Dinamica delle strutture 9788893853903

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INGEGNERIA STRUTTURALE

Alberto CARPINTERI

DINAMICA DELLE

STRUTTURE ~

Collana di INGEGNERIA STRUTTURALE

ALBERTO CARPINTERI

DINAMICA DELLE STRUTTURE

I

ISBN 978-88-9385-390-3 © Copyright 2023 Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

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Indice

VII

Prefazione 1.

2.

3.

DINAMICA DEI SISTEMI DISCRETI

........... . .................... .

1. 1.

Premesse .................... ... ........... . .................. .

1.2.

Oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.

Sollecitazione annonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.

Sollecitazione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.

Sollecitazione impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.

Sollecitazione generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.7.

Oscillatore elastico non-lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.8.

Oscillatore elasto-plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.9.

Sistemi a due o più gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.1 O. Rapporto di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.11. Metodo di Stodola-Vianello

.......................................

33

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.

Analisi modale delle travi inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.

Differenti condizioni al contorno per la singola trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.

Trave continua su più appoggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5.

Membrane vibranti

..............................................

53

2.6. Lastre vibranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.7.

Metodo approssimato di Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

DISCRETIZZAZIONE DEI SISTEMI CONTINUI: TRAVI, ARCHI, LASTRE, GUSCI, SOLIDI TRIDIMENSIONALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.1.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2.

Sistema ad un grado di libertà .. .. ...... . ....... .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 III

3.3.

Principio di minimo dell 'energia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.

Metodo di Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5.

Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 79

68

3.6.

Condizioni al contorno di tipo cinematico

3.7.

Dinamica dei solidi elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.8.

Dinamica dei solidi elastici con smorzamento viscoso lineare . . . . . . . . . . . . .

84

3.9.

Applicazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

............................

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.

DINAMICA DELLE STRUTTURE INTELAIATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I

4.2.

Sistemi di bielle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.

Sistemi di travi in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.

Calcolo automatico dei sistemi di travi a molti gradi di iperstaticità . . . . . . . . 110

4.5.

Travature reticolari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.6.

Telai piani

4.7.

Grigliati piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.8.

Telai spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.9.

Dinamica dei sistemi di travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1 O. Oscillazioni forzate dei telai multipiano a traversi rigidi

. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.11. Applicazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.

ANALISI SPETTRALE E NORMATIVA ANTISISMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.

Lo smorzamento strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2.

L' oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lo spettro di risposta dell ' oscillatore semplice sottoposto ad eccitazione sismica . ... ... . . . ..... .. ... .... . ..... . . . . . . .. . . . . . ... .. . . . . .. .. . 153

5.3 . 5.4.

La composizione dei modi propri di vibrazione .... . .... .. . .. . .. . : . . . . . 156

5.5.

La normativa italiana per gli edifici in zona sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.6.

L'applicazione ad un telaio shear-type

5.7.

La capacità del sistema di dissipare energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.

DINAMICA NON-LINEARE .. .... . ............... . ...... . ... . .. . .. . . . 169 6.1.

IV

Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.

Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3.

Introduzione ai sistemi non-lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.4.

Sistema SDOF conservativo non forzato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.5.

Sistema SDOF dissipativo non forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.6.

Sistema SDOF smorzato e forzato sinusoidalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.7.

Sistema SDOF smorzato e soggetto a forzante generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.8.

Ulteriori forme idealizzate di non-linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.9. Linearizzazione equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.10. Cenni sulla risoluzione del problema dinamico non-lineare con il metodo degli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.11. Rilevazione delle non-linearità per via sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Prefazione

Nel presente volume sono raccolte le lezioni riguardanti la dinamica delle strutture, tenute nell'ambito del Corso di Approfondimento su «Il Metodo degli Elementi Finiti: Fondamenti e Applicazioni Strutturali», organizzato dal COREP (Consorzio per la Ricerca e l'Educazione Permanente) e dal Dipartimento di Ingegneria Strutturale del Politecnico di Torino, e svoltosi presso il Politecnico di Torino, dal 19 al 22 Settembre 1995. Nel Capitolo I viene richiamata la dinamica dei sistemi discreti, i quali presentano un numero finito di gradi di libertà. Sia nel caso dell'oscillatore semplice armonico che in quello dell'oscillatore semplice smorzato, si considerano le oscillazioni libere e le oscillazioni forzate. Queste ultime possono poi essere di tipo armonico, periodico, impulsivo o generico, e produrre indesiderati fenomeni di risonanza. Viene anche fatto un cenno all'oscillatore elastico non-lineare, con la soluzione numerica incrementale, e all'oscillatore elasto-plastico. Per quanto riguarda i sistemi a due o più gradi di libertà, si imposta la relativa analisi modale con la definizione delle frequenze proprie e delle corrispondenti autodeformate. Si introducono infine due metodi approssimati per il calcolo, rispettivamente, della frequenza fondamentale e della corrispondente autodeformata: il Rapporto di Rayleigh e il Metodo di Stodola-Vianello. Nal Capitolo 2 viene trattata la dinamica dei sistemi elastici continui, i quali sono dotati di infiniti gradi di libertà. Si considerano, in particolare, le travi, le membrane e le lastre vibranti, così da mettere in luce, nell'ambito di una analisi modale analoga a quella dei sistemi discreti, l'infinità numerabile di modi propri o naturali secondo cui possono vibrare gli elementi strutturali suddetti. All'aumentare dell'ordine dell'autodeformata, si può osservare un numero crescente di punti o linee nodali, ove lo spostamento trasversale è nullo e resta tale durante la vibrazione naturale. È come se venissero aggiunti, all'aumentare dell'ordine dell'autodeformata, dei vincoli supplementari. L'infinità numerabile delle frequenze naturali costituisce, d'altra parte, l'insieme degli autovalori del problema dinamico. All'aumentare dell'ordine dell'autovalore, la frequenza corrispondente aumenta, poiché risulta essere relativa ad un sistema più vincolato e quindi più rigido. Anche nel caso dei sistemi continui viene illustrato il Metodo Approssimato di Rayleigh-Ritz per il calcolo della frequenza fondamentale. Nel Capitolo 3 si affronta il problema della discretizzazione dei sistemi continui. Il Metodo degli Elementi Finiti viene introdotto in modo del tutto generale, senza specifiVII

care l'elemento strutturale a cui viene applicato, sia esso mono-, bi- o tridimensionale, e, nei primi due casi, con o senza una curvatura intrinseca. Viene trattata quindi la dinamica dei solidi elastici discretizzati, sviluppando la relativa analisi modale. Chiudono il capitolo alcuni esempi di applicazioni numeriche, già considerati, in regime statico, nel volume «Calcolo Automatico delle Strutture» della presente collana: un arco semicircolare incernierato alle basi, una lastra circolare appoggiata al bordo, un tubo sottile incastrato ad un estremo, una mensola con sezione ad L. Nel Capitolo 4 è trattata la dinamica delle strutture intelaiate. In regime dinamico, il Metodo degli Spostamenti si trasforma nel cosiddetto Metodo delle Masse Concentrate nei Nodi. D'altra parte, poiché nel caso dei telai multipiano a maglie ortogonali il momento d'inerzia delle travi orizzontali è solitamente assia maggiore di quello dei pilastri, si considerano i traversi orizzontali infinitamente rigidi e le masse concentrate nei soli traversi. Nell'ambito di tali ipotesi, si analizzano le oscillazioni forzate dei telai multipiano a traversi rigidi sollecitati alla base da scuotimento sismico. Il problema viene ricondotto a quello di tanti oscillatori armonici forzati, quanti sono i modi di vibrare e quindi i piani dell'edificio. Ciascuno oscillatore elementare viene sollecitato in proporzione al relativo coefficiente di partecipazione. Tale coefficiente diminuisce all'aumentare dell'ordine del relativo modo di vibrare. Le autofunzioni del problema forniscono infine il cosiddetto coefficiente di distribuzione del modo i-esimo sul piano j-esimo, rendendo così possibile un'analisi statica equivalente per ogni modo di vibrare. Chiudono il capitolo alcuni esempi di applicazioni numeriche, già considerati, in regime statico, nel volume «Calcolo Automatico delle Strutture» della presente collana: un telaio shear-type, un telaio a nodi fissi, un telaio piano generico, un telaio spaziale. Nel Capitolo 5 viene illustrata l'analisi spettrale delle frequenze sismiche e la relativa normativa. Lo spettro di risposta prescritto dalle Norme Sismiche Italiane risulta fornito dal prodotto di più coefficienti: di fondazione, di struttura, di protezione sismica, di intensità sismica e di risposta. Quest'ultimo viene graficato e discusso in base alle curve di risonanza. Viene inoltre dettagliatamente illustrata una applicazione relativa ad un telaio di dieci piani. Nel Capitolo 6, infine, si approfondisce l'argomento della dinamica non-lineare, già accennato al Capitolo 1. Si sviluppa, in particolare, il concetto di attrattore e, conseguentemente, di bacino di attrazione nel piano delle fasi. Desidero ringraziare il Professore Silvio Valente e l'Ingegnere Cecilia Surace per avere curato rispettivamente i Capitoli 5 e 6, nonché il Professore Giuseppe Ferro per avere effettuato i calcoli e realizzato il materiale grafico delle applicazioni numeriche riportate al termine dei Capitoli 3 e 4. Alberto CARPlNTERI Politecnico di Torino Maggio 1998

VIII

1 Dinamica dei sistemi discreti

1.1. PREMESSE

Scopo principale della Dinamica delle Strutture è quello di determinare le sollecitazioni interne e le deformazioni di sistemi strutturali sollecitati in modo arbitrario nel tempo. Si tratta quindi di una estensione dei metodi dell'analisi strutturale, che, usualmente, sono definiti solo per i carichi statici. I carichi diventano quindi funzioni del tempo, così come la risposta strutturale. I carichi dinamici agenti su di una struttura possono essere periodici o non-periodici. Il carico periodico più semplice è quello di tipo sinusoidale (fig. 1. La), che è anche detto sollecitazione armonica. Esso è caratteristico degli effetti delle masse eccentriche nelle macchine rotanti. Altri carichi periodici di natura più complessa sono quelli generati, ad esempio, dalle spinte idrodinamiche delle eliche sulla poppa di una nave (fig. 1.1.b). I carichi non-periodici, d'altra parte, possono essere di breve durata o impulsivi, come ad esempio quelli generati da esplosioni (fig. 1.1.c), ovvero di lunga durata o generici, come ad esempio quelli generati da scosse sismiche (fig. 1.1.d). Se una struttura è soggetta ad un carico statico, la sua deformazione, così come le sue sollecitazioni interne, dipendono come è noto soltanto dal carico esterno, tramite considerazioni di equilibrio interno. D'altra parte, se il carico è applicato dinamicamente, la risposta strutturale dipende anche dalle forze di inerzia, che si oppongono alle accelerazioni, oltre che dalle forze elastiche, che si oppongono agli spostamenti. Se la struttura è soggetta anche a forze di smorzamento viscoso, la risposta dipenderà anche da tali forze, che, per definizione, si oppongono alle velocità. Se il moto risulta essere così lento da poter trascurare sia le forze viscose che quelle d'inerzia, l'analisi può essere istante per istante di tipo statico, sebbene carico e risposta strutturale risultino essere variabili nel tempo. In genere il numero dei gradi di libertà di una struttura continua è infinito. È sempre possibile, comunque, discretizzare la struttura, se non altro nell'ambito dei metodi di calcolo numerico come quello degli Elementi Finiti (v. Capitolo 3). In certi casi è la geometria stessa della struttura che può suggerire una sua discretizzazione, come

1 Dinamica dei sistemi discreti

Storia di carico F

Esempio tipico o

Vibrazione di una macchina rotante su di una fondazione

(a)

F

Sollecitazione dell'elica sulla poppa di una nave

(b)

F

Esplosione di una bomba su di un edificio

(c)

F

(d)

Scosse sismiche su di un serbatoio

Figura 1.1

nel caso dei telai piani a traversi rigidi (v. Capitolo 4), ove le masse possono venire concentrate nei singoli piani così come le rigidezze possono venire concentrate nei pilastri che connettono piano a piano. Vi sono casi infine per cui risulta possibile una discretizzazione ancora più spinta, rendendo il sistema equivalente ad un oscillatore semplice, con un solo grado di libertà. Sono i casi in cui tutta la massa e tutta la rigidezza 2

1 Dinamica dei sistemi discreti

del sistema sono concentrabili in un singolo elemento rappresentativo. Un classico esempio di questo ultimo tipo è costituito da un serbatoio sostenuto da una struttura verticale snella.

1.2. OSCILLAZIONI LIBERE

L'equazione del moto di una massa elementare soggetta ad una forza di richiamo elastico e ad una forza di natura viscosa (fig. 1.2), si presenta come segue: mx(t) + c±(t) + kx(t) =O,

(1.1)

ove x è l'elongazione della molla elastica lineare, che dipende dal tempo t (il punto significa derivazione rispetto al tempo t ), m è la massa, e è la costante di smorzamento viscoso, k è la rigidezza della molla. La (1.1) rappresenta in sostanza la ben nota equazione dinamica: forza = massa x accelerazione, ove tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne al sistema precedentemente definito. Entrambe le forze attive, -kx e - e±, sono infatti negative in' caso di elongazioni e, rispettivamente, di velocità positive. D'altra parte, una interpretazione alternativa può essere data alla equazione (1.1) tramite il Principio di d'Alembert, il quale afferma che ciascuna massa si trova in equilibrio nel proprio sistema di riferimento, una volta soggetta a tutte le forze attive e passive. Queste ultime non sono altro che le forze di inerzia, e cioè le forze che si oppongono alle accelerazioni, ottenute moltiplicando queste per la massa. Quando tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne, ma solo forze interne (elastiche e viscose) e passive (inerziali), i movimenti del sistema vengono detti oscillazioni libere. La soluzione dell'eq. (1.1) presenta la seguente forma: \

x(t) = Ce st .

( 1.2)

x(t)

½---------F(t)

m

Figura 1.2 3

1 Dinamica dei sistemi discreti

Sostituendo la (1.2) nella (1.1) si ottiene:

( 1.3)

(ms2 + es+ k)Ce st = O.

Dividendo per mCe st e ponendo:

k - =w2,

( 1.4)

m

si ha: ( 1.5)

s2

+ ~s + w 2 = O. m

Oscillazioni libere prive di smorzamento viscoso ( e = O) In questo caso le due soluzioni della (1.5) sono: ( 1.6)

s

= ±iw,

ove i è l'unità immaginaria, così che la risposta è data da: (1.7) Ricordando che: ( 1.8)

e±iwt

= cos wt

± i sin wt,

la (1.7) si può riscrivere come segue: ( 1.9)

x( t) = A sin wt + B cos wt,

ove le costanti A e B sono esprimibili tramite le condizioni iniziali. Poiché infatti: ( 1.10 .a)

x(O) = B,

( 1.10 .b)

±(0) = Aw,

la (1.9) diventa (fig. 1.3): (1.11)

±(0) . x( t) = - - sm wt + x( O) cos wt. w

La precedente espressione è dimensionalmente omogenea, poiché la velocità angolare (o pulsazione) w ha la dimensione [ T]- 1 , ed è misurata in radianti per unità di tempo. La frequenza f , peraltro, è misurata in Hertz (cicli per unità di tempo): ( 1.12)

w

f = 27r'

mentre il suo inverso rappresenta il periodo T : 4

1 Dinamica dei sistemi discreti

x(t)

Figura 1.3

( 1.13)

Il moto può essere rappresentato, oltre che dall'eq. (1.11), anche dalla seguente espressione (fig. 1.3): ( 1.14) \

x(t)

= X cos(wt - cp),

ove l'ampiezza è data da: ( 1.15) e l'angolo di fase iniziale da:

( 1.16)

±(0) cp = arctan wx(O).

Oscillazioni libere con smorzamento viscoso ( e > O) In questo caso le due soluzioni della (1.5) sono: ( 1.17)

5

l Dinamica dei sistemi discreti

Si verificano tre differenti tipi di moto, a seconda che la quantità sotto radice quadrata sia positiva, negativa o nulla. 1° caso: w = ...!:_ ( Condizione di smorzamento critico). 2m Il valore critico della costante di smorzamento viscoso è:

( 1.18) Dalla eq. ( 1.17) si ha in questo caso:

s=

( 1.19)

e --=

2m

-w

'

da cui, tramite la (1.2), si ottiene:

( 1.20) ove il secondo termine è moltiplicato per t poiché le due radici s sono coincidenti. L'introduzione delle condizioni iniziali fornisce la forma finale della risposta dinamica:

( 1.21)

x(t)

= [x(O)( 1 + wt) + ±(O)t] e-wt,

che è rappresentata graficamente in fig. 1.4. Si noti che questa risposta non presenta oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio, ma soltanto un decadimento esponenziale verso tale posizione. Si può affermare che la condizione di smorzamento critico è quella di minima viscosità per cui non si verifichino oscillazioni libere.

x(t)

x(f-l----1_ _ _ Figura 1.4 6

-----==::::::::::=.._______

1 Dinamica dei sistemi discreti

2 ° caso: e < 2 mw (Sistema sottosmorzato ). Si esprima lo smorzamento come rapporto tra la costante e e il suo valore critico

e e ç=-=-

( 1.22)

ove

cc

2mw'

ç è detto rapporto di smorzamento. Introducendo la (1.22) nella (1.17) si ottiene:

( 1.23)

s

= -çw ± V(çw)2

- w2,

cono::;::c::;::1. La (1.23) si può esprimere anche come: ( 1.24) ove: ( 1.25)

wv=w~,

è detta pulsazione smorzata. Nei casi pratici, ove usualmente ç < 1 / 4 , essa è prossima alla pulsazione non smorzata w . La risposta dinamica di un sistema sottosmorzato si ottiene sostituendo le soluzioni (1.24) nell'equazione (1.2):

o e-/;wt-iwDt = = e-l;wt (OieiwDt + o2 e-iwDt).

X( t) = OJ e-/;wt+iwDt +

( 1.26)

2

Il termine entro parentesi rappresenta un semplice moto armonico, per cui si può scrivere: ( 1.27) Stimando le costanti arbitrarie A e B in base alle condizioni iniziali si ha infine: ( 1.28)

In alternativa alla legge del moto (1.28), si può considerare la seguente: ( 1.29) con: 7

1 Dinamica dei sistemi discreti

x(t)

Figura 1.5

(1.30)

X= {[ ±(O) ::{O}(w

(1.31)

1), il fattore di amplificazione dinamica dipende principalmente dalla rapidità con cui la sollecitazione raggiunge il suo massimo valore. Una sollecitazione a gradino (forma rettangolare) di durata sufficiente produce un fattore 2; una sollecitazione molto graduale, d'altra parte, produce, come è noto, un fattore 1. Quest'ultima applicazione del carico viene usualmente detta quasi statica.

2.4

a

2.0

l1l

o

.E l1l

e

'6

1.6

Q)

e

o

'i;:j l1l

o

1.2

!E

o.. E

l1l

'6

0.8

~

o :::: l1l

u.

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Rapporto di impulso,

1.4

1.6

1.8

2.0

4-/T

Figura 1.12

19

1 Dinamica dei sistemi discreti

Per sollecitazioni di breve durata ( t F/T < O .25) , la massima ampiezza dello spostamento X dipende principalmente dall'entità dell'impulso applicato I = F( t) dt, mentre non risulta particolarmente influenzata dalla forma dell'impulso stesso. La risposta dinamica dopo l'impulso è rappresentata dalla vibrazione libera di eq. (1.69), che può essere approssimata considerando trascurabile lo spostamento x( t F) e ponendo ±( t F) = ~ i :

J;F

( 1.76) con~±= I/m. La risposta massima si ha per sin w( t - t F) = I : ( 1.77) La massima forza di richiamo elastico, sviluppata dalla molla di rigidezza k , vale peraltro kxmax, ed è una grandezza di notevole interesse per l'ingegnere strutturale.

1.6. SOLLECITAZIONE GENERICA L'analisi del precedente paragrafo per approssimare la risposta di un oscillatore ad un impulso di breve durata può essere utilizzata per valutare la risposta ad una sollecitazione dinamica generica. Si consideri la sollecitazione arbitraria F(t) di fig. 1.13, e, in particolare, l'intensità del carico F( r) agente nell'istante di tempo t = r. Tale carico, agente durante l'intervallo di tempo infinitesimo dr, produce l'impulso F( r) dr sull'oscillatore, e l'eq. (1.76) può venire utilizzata per valutare la risposta a tale impulso. Si noti che, sebbene la (1.76) sia solo approssimata per impulsi di durata finita, essa diviene esatta per impulsi di durata infinitesima: ( 1.78)

dx(t - r) =

F(r) dr .

--'--'--SlilW(t-

mw

r),

t > r.

L'intero processo di carico può essere considerato come formato da una successione di brevi impulsi, ciascuno producente una propria risposta differenziale della forma (1.78). Per la linearità del sistema è possibile quindi sommare tutti questi contributi e ottenere così la risposta totale: (1.79)

x(t) = - I

mw

1t

F( r) sin w(t - r) dr.

0

L'equazione (1.79) è generalmente nota come integrale di Duhamelper i sistemi privi di smorzamento. Ricorrendo ali 'identità trigonometrica: 20

I Dinamica dei sistemi discreti

F(t)

- - - - - 't

(t -'t)

Figura 1.13

( 1.80)

sin(wt - wT) = sin wt cos wT - cos wt sin WT,

è possibile porre l'integrale di convoluzione (1.79) nella sua forma alternativa: 1 x(t) = sinwt-

mw

( 1.81)

1t 1t

F(T) coswTdT-

0

- cos w tl -

mw

F( T) sin wTdT,

0

ovvero: ( 1.82)

x( t)

= A( t) sin wt - B( t) cos wt,

ove gli integrali: ( 1.83 .a) ( 1.83 .b)

A(t) = - I

mw

B(t)

= -1

mw

1t 1t

F(T) coswTdT,

0

F(T)sinwTdT,

0

sono da valutarsi analiticamente o numericamente. Nel caso di oscillatore smorzato, tenendo conto della (1.28), la (1.79) può venire generalizzata come segue: 21

1 Dinamica dei sistemi discreti

x(t)

( 1.84)

= -1mwD

1t

F( r)e-Ew(t-r) sin wD(t - r) dr.

o

Sebbene l'analisi nel dominio del tempo descritta pocanzi sia del tutto generale, talvolta risulta più conveniente effettuare un'analisi nel dominio delle frequenze. Tale approccio è concettualmente simile alla procedura relativa alla sollecitazione periodica e presentata al Paragrafo 1.4. Entrambe queste procedure esprimono la sollecitazione applicata in termini di componenti armoniche, valutano la risposta dell'oscillatore a ciascuna armonica e quindi sovrappongono le risposte armoniche per ottenere la risposta dinamica totale. Lo sviluppo in serie di Fourier della sollecitazione di fig. 1.14 può porsi in forma esponenziale: ( 1.85)

con: ( 1.86) Nel caso in cui il periodo TF ---t oo, la sollecitazione tende a diventare non-periodica, così che la sola onda a tratto pieno di fig. 1.14 è da considerarsi efficace. Per T F ---t oo, si ha wF ---t O , e quindi wn = n wF ---t O . Lo sviluppo in serie di Fourier (1.85) si può perciò porre in forma integrale:

1 F(t) = l1r

( 1.87)

! +ooc(w) exp(iwt) dw, -oo

F(t)

,, ,', ,

-

-TF

,, \ \

22

,·_,

-TF 2

Figura 1.14

,, ,', ,

\

,, \

\ \ \ \

TF

3TF 2

_,

1 Dinamica dei sistemi discreti

con: +oo

( 1.88)

c(w) =

J

-oo

F(t) exp(-iwt) dt .

I due integrali (1.88) e (1 .87) sono rispettivamente detti trasformata e antitrasformata di Fourier. Come si può notare, la funzione del tempo F( t) può ottenersi dalla funzione della pulsazione e( w) , e viceversa. Introducendo la forzante unitaria in forma complessa exp ( i w F t) nell'equazione del moto si ha: ( 1.89)

m x(t) + k x (t) = exp(iwpt) ,

la quale presenta una soluzione della forma: ( 1.90) Allorché la (1.90) venga sostituita nella (1.89), si ottiene: (1 .91)

ovvero: ( 1.92)

Dalle (1.87) e (1.90), si ottiene in definitiva la risposta totale nel dominio delle frequenze:

( 1.93)

x (t) =

1 7f 2

l +oo H(w)c(w) exp(iwt) dw, - oo

ove le funzioni H e e sono fomite rispettivamente dalle equazioni (1.91) e (1.88).

1.7. OSCILLATORE ELASTICO NON-LINEARE

Nell'analisi dell'oscillatore elastico lineare soggetto ad un carico dinamico arbitrario, l' integrale di Duhamel oppure l' analisi nel dominio delle frequenze, descritti entrambi al paragrafo precedente, forniscono in genere la tecnica solutiva più conveniente. Tali procedure sono basate sul Principio di Sovrapposizione e quindi possono venire applicate soltanto a sistemi lineari, sistemi cioè le cui proprietà rimangono costanti durante la risposta strutturale. Vi sono peraltro importanti classi di problemi dinamici strutturali che non possono essere considerati lineari. In essi la rigidezza o la massa variano durante il moto vibratorio. La tecnica più adeguata per l'analisi non-lineare è quella dell' integrazione passo per passo (step-by-step integration). La condizione di equilibrio dinamico è stabilita all'inizio e alla fine di ciascun passo, mentre la risposta 23

I Dinamica dei sistemi discreti

i-----~•

F(t)

Figura 1.15

completa è ottenuta utilizzando lo spostamento e la velocità, computati alla fine di un intervallo, come condizioni iniziali per l'intervallo seguente. Le forze agenti sulla massa dell'oscillatore sono indicate in fig. 1.15. Ad ogni istante di tempo t l'equilibrio delle forze in senso dinamico richiede: ( 1.94) ove nell'ordine appaiono la forza d'inerzia, la forza di smorzamento, la forza di richiamo elastico e la forzante esterna. Poiché, trascorso un breve intervallo di tempo Il t , la (1.94) diventa: ( 1.95) sottraendo la (1.94) dalla (1.95) si ottiene l'equazione del moto in forma incrementale: ( 1.96) Le forze incrementali della (1.96) possono esprimersi come segue: ( 1.97 .a)

llFlt) = F1(t + llt) - F1(t) = m(t)llx(t),

( 1.97 .b)

llF8 (t)

( 1.97 .c)

F 8 (t+ llt) - F 8 (t) = c(t)llx(t), llFR(t) = FR(t + llt) - FR(t) = k(t)llx(t),

( 1.97 .d)

llF( t)

=

= F( t + Il t) - F( t),

ove e( t) e k( t) rappresentano le caratteristiche tangenti: ( 1.98)

k(t)

= ( dFR) . dx

t

Sostituendo le (1.97) nella (1.96), si ottiene la forma finale dell'equazione incrementale del moto: ( 1.99) 24

m(t)llx(t) + c(t)llx(t) + k(t)llx(t)

= llF(t).

1 Dinamica dei sistemi discreti

Le caratteristiche e( t) e k( t) possono descrivere ogni forma di non-linearità. Ad esempio, non è necessario che la forza di richiamo FR dipenda soltanto dallo spostamento, come avviene per le molle elastiche non-lineari. Si può correttamente considerare anche una molla non-lineare isteretica, in cui la forza di richiamo dipenda dalla passata storia deformativa, oltre che dal valore corrente dello spostamento. L'ipotesi fondamentale della procedura di calcolo è che l'accelerazione vari linearmente durante ciascun incremento di tempo, mentre le caratteristiche dell'oscillatore rimangono costanti durante lo stesso intervallo. Ad una variazione lineare dell'accelerazione corrispondono una variazione quadratica della velocità e cubica dello spostamento. Sviluppando queste ultime funzioni cinematiche in serie di Taylor nell'intorno dell'istante t si ha: (1.100.a) (1.100.b)

= x(t)At+

Ax(t) A2t2, At A t 2 A x( t) At 3 Ax(t) = ±(t)At + x(t)- + - - - - . 2 At 6

A±(t)

Dalla (1.100.b) si ottiene: (1 .101)

6

Ax(t) =

A LJ,

7

t-

6 Ax(t) - A±(t) - 3x(t), LJ,

t

che introdotta nella (1.100.a) porge:

( 1.102) Sostituendo le eq. (1.101) e (1.102) nella (1.99) si ha:

m(t) [A~ 2 Ax(t) - :tx(t) - 3x(t)] + +c(t) [1tAx(t) - 3±(t) - ~tx(t)] + k(t)Ax(t) = AF(t) . Trasferendo infine al secondo membro tutti i termini associati alle condizioni iniziali note, si ottiene in forma simbolica:

( 1.104)

k*(t)Ax(t)

= AF*(t),

6

3

ove:

( 1.105 .a)

k*(t)

= k(t) + At 2 m(t) + Atc(t),

AF*(t)

= AF(t) + m(t)

[:tx(t) + 3x(t)] +

( 1.105 .b) + c(t) [3±(t) + ~t x(t)] .

25

1 Dinamica dei sistemi discreti

Si tiene quindi conto della natura dinamica del problema con l'inclusione degli effetti inerziali e smorzanti sia nei termini di rigidezza k*( t) che in quelli di sollecitazione efficace AF*(t). Ricapitolando, si possono riconoscere i seguenti passaggi successivi.

(1) I valori iniziali della velocità :i;( t) e dello spostamento x( t) sono noti dal passo di calcolo precedente, ovvero dalle condizioni iniziali del problema. (2) Dai valori :i;( t) e x( t) derivano rispettivamente la costante di smorzamento e( t) e la rigidezza k( t) . (3) Il valore iniziale dell'accelerazione è fornito dall' equazione dell' equilibrio dinamico (l.94): ( 1.106) ove F8 (t) e , FR(t) dipendono, rispettivamente, da :i;(t) e x(t) . (4) I valori efficaci k*(t) e AF*(t) si calcolano in base alle (1.105). (5) L'incremento di spostamento A x( t) è dato dalla (1.104). (6) L'incremento di velocità A :i;( t) è dato dalla (1.102). (7) L'incremento di accelerazione A x( t) è dato dalla ( 1.1O1). (8) Spostamento, velocità e accelerazione al termine dell'incremento si ottengono come: ( 1.107 .a)

x(t+ Lit)= x(t) + Ax(t),

( 1.107 .b)

:i;(t +Lit)= :i;(t) + ii :i;(t) ,

( 1.107 .c)

x(t +Lit)= x(t) + ii x (t) .

Mentre le prime due espressioni costituiscono direttamente le condizioni iniziali per il passo successivo di calcolo, la (1.107.c) viene in effetti sostituita dalla (1.106), una volta calcolata all'istante t + A t. In questo modo si evita un accumulo di errori numerici. Anche i sistemi lineari naturalmente possono essere trattati con la stessa procedura; in tal caso la rigidezza e la costante di smorzamento rimangono costanti, così che l' algoritmo risulta leggermente più semplice. In genere, un rapporto tra incremento temporale ii t e periodo proprio dell'oscillatore T minore o uguale a 1 / 1O fornisce risultati soddisfacenti.

1.8. OSCILLATORE ELASTO-PLASTICO Nel caso dell'oscillatore elastico-perfettamente plastico (fig. 1.16), oltre alla soluzione numerica del paragrafo precedente, è possibile ottenere anche la soluzione analitica. Nei tratti a comportamento elastico vale ancora la (1.1), purché si ponga, in luogo

26

1 Dinamica dei sistemi discreti

F(x)

B

o

X

Figura 1.16

di kx(t), il termine k[x(t) - x*], essendo x* lo spostamento permanente associato alla fase plastica precedente (fig. 1.16). Nei tratti a comportamento perfettamente plastico la forza di richiamo è invece costante e pari a ±kx P , e tale rimane finché x( t) non cambia segno. Si consideri il caso con assenza di smorzamento e un impulso iniziale m±0 > O . L'equazione del moto nei tratti a comportamento elastico si presenta come segue:

( 1.108)

mx(t) + kx(t)

= kx*.

Nella fase elastica iniziale è x* = O e la soluzione è data dalla (1.11), per x(0) x0 , x(0) =O:

( 1.109)

x( t)

= ±o sin wt. w

Se i 0 > w x P , la risposta elastica raggiunge e supera il valore plastico x P dello spostame~to. L'inizio della fase plastica si ha all'istante di tempo t = t 1 tale che: 27

1 Dinamica dei sistemi discreti

( 1.110) da cui segue:

(1.111) Per t

t1

1

. WXp

w

±o

= -arcsm - - .

> t 1 , l'equazione del moto diventa: mx(t) = -kxp,

( 1.112) la cui soluzione è parabolica:

( 1.113) Le costanti arbitrarie A e B si determinano imponendo le condizioni iniziali all'istante t 1 :

t2

d + At 1 + B = Xp,

( 1.114 .a)

x(t 1) = -w 2 xp

( 1.114 .b)

±(t 1 ) = -w 2 xpt 1 +A= ± 0 cos wt 1 ,

da cui si ottiene:

( 1.115 .a)

A= w 2 xpt 1 +

( 1.115 .b)

B = xp

±0 coswt 1 , 2

(

1- ~

tf) - ±o t cos wt 1

1.

Durante la fase plastica si ha quindi: 2

(1.116.a)

x(t) = Xp [1 - ~ (t- t 1 ) 2 ] + ±0 (t-t 1 ) coswt 1 ,

(1.116.b)

±(t)

= -w 2 xp(t - t 1) + ±0 cos wt 1.

Il rientro in fase elastica avviene quando ±( t) cambia segno, ovvero ali' istante di tempo t = t 2 tale che:

( 1.117) da cui si ha: ( 1.118) A.tale istante lo spostamento è pari a:

28

1 Dinamica dei sistemi discreti

X Xp

2.5 2.0 1.5 1.0

A

0.5 I I

t1

t2

Figura 1.17

( 1.119)

_

X2 -

Xp

Xo ·2

(

1 + -2 2w 2 Xp

COS

2

wt 1

)

,

per cui lo spostamento permamente vale: .2

( 1.120)

X

*-

X2 -

X

-

p -

~ Xo 2 W Xp

COS

2

W

t I.

La ( 1.108) diventa allora:

.,

(1.121)

mx-

°

mx(t) + k x (t) = cos 2 wt 1 . 2 Xp

Per t > t 2 si avranno quindi oscillazioni libere elastiche attorno allo spostamento permanente x* , di ampiezza pari alla elongazione di plasticizzazione x P • La legge del moto è stata rappresentata in fig. 1.17, ponendo ±0 = 2 w x P , cioè il doppio del valore minimo della velocità iniziale che produce la plasticizzazione. La curva tratteggiata rappresenta la risposta dell'oscillatore indefinitamente elastico di pari rigidezza. 29

I Dinamica dei sistemi discreti

1.9. SISTEMI A DUE O PIÙ GRADI DI LIBERTÀ Non sempre le strutture possono essere descritte servendosi di un modello ad un solo grado di libertà. In generale esse devono essere rappresentate da modelli discretizzati con vari gradi di libertà. In realtà, le stesse strutture sono sistemi continui e, come tali, presenterebbero un numero infinito di gradi di libertà. Si consideri un sistema oscillante costituito da n masse m; e da n molle disposte in serie, di rigidezza k;, i= 1, 2, ... , n (fig. 1.18). Le equazioni del moto sono quindi n, una per ciascuna massa oscillante: m 1x1 + k 1x 1 - k 2 (x 2 - x 1) = O, m 2 x2 + k 2 (x 2 ( 1.122)

x 1)

-

m 3 x3 + k 3(x 3 - x 2 )

-

-

= O, k 4 (x 4 - x 3 ) = O, k 3 (x 3

-

x2 )

Nelle (1.122) si sono trascurate le forze di smorzamento viscoso, così come non si è considerata la presenza di azioni forzanti. Le (1.122) possono essere poste in forma compatta:

[M]{x} + [K]{x} ={O},

( 1.123)

ove [ M] e [ K] sono, rispettivamente, le matrici di massa e di rigidezza:

(1.124.a)

(1.124.b)

[M]

[K]

=

=

o

o

o

o

o

o

mn

(k1 + k2)

-k2

o

-k2

(k2 + k3)

-k3

o o

o

-k3

(k3 + k4)

-k4

o

o

o

o

o o o -kn

kn

Si noti che la matrice delle masse è diagonale, mentre quella delle rigidezze è tridiagorÌale. 30

1 Dinamica dei sistemi discreti

7,

Figura 1.18

Dell'equazione (1.123) si ricerchi una soluzione della forma:

( 1.125)

{x} = {A} sin(wt- a).

Introducendo la (1.125) nella (1.123) si ottiene:

(1 ,126)

-w 2 [M]{A} sin(wt - a)+ [K]{A} sin(wt - a)= {O},

ovvero:

( 1.127) La (l .127) rappresenta un problema agli autovalori, poiché il sistema di equazioni algebriche lineari è omogeneo e la sua soluzione ovvia è priva di significato fisico. Si tratta quindi di annullare il determinante della matrice entro le parentesi tonde:

( 1.128) L'equazione polinomiale di ordine n in w 2 che scaturisce dalla condizione (1.128), costituisce l'equazione caratteristica del sistema elastico. Per ciascun autovalore wf , i = l , 2 , ... , n, si può ottenere l'autovettore {A;} corrispondente, a meno di un fattore arbitrario. Si deduce quindi che un sistema oscillante elastico ad n gradi di libertà possiede n pulsazioni proprie, così come n modi propri di vibrare. A ciascuna pulsazione corrisponde un preciso modo di vibrare. Si dice pulsazione fondamentale quella minima tra le n pulsazioni proprie. Si dice modo fondamentale di vibrare quello corrispondente alla pulsazione fondamentale. Si riprenderanno questi ultimi argomenti sia nel Capitolo 2, che si occupa delle travi e delle lastre inflesse, che nel Capitolo 4, che si occupa delle strutture intelaiate. Nel primo caso si tratterrà di sistemi continui ad infiniti gradi di li_bertà, mentre nel secondo di sistemi discreti con un numero finito di gradi di 31

I Dinamica dei sistemi discreti

libertà. In entrambi i casi i concetti testé introdotti di pulsazioni e modi propri di vibrare riemergeranno in modo coerente e costituiranno i pilastri della cosiddetta Analisi Modale. Si constaterà come l'equazione (1.128) rimanga la condizione essenziale per l'analisi, anche se le matrici [ M] e [ K] in genere non sono diagonali e tridiagonali ma appaiono assai più complesse. Tale complessità riflette quella della connessione reale ed effettiva tra le masse vibranti, che in genere non si presentano disposte in serie come nella fig. 1.18. L'unico caso tecnicamente interessante rappresentabile con le masse in serie è peraltro quello dei telai piani a traversi rigidi e pilastri flessibili e inestensibili (telai shear-type), che verranno trattati al Paragrafo 4.9.

1.10. RAPPORTO DI RAYLEIGH

Premoltiplicando la (1.127) per { AV , la si rende una equazione scalare, da cui non è difficile ottenere: ( 1.129)

{AJT[I{i]{A} {A}T[M]{A}.

2 _

w

-

Il secondo membro è il cosiddetto rapporto di Rayleigh, che rappresenta la generalizzazione del rapporto k/m relativo ai sistemi ad un solo grado di libertà. La (l.129) è verificata soltanto se {A} coincide con uno degli autovettori. D'altra parte, se {A} non coincide con uno degli autovettori, neanche il rapporto coinciderà con alcuno degli autovalori. Si può dimostrare che il minimo del rapporto di Rayleigh rispetto a tutte le possibili scelte di {A} coincide con l'autovalore minimo. Si verifica tale caso allorché {A} coincida con il primo autovettore. In tutti gli altri casi la pulsazione calcolata tramite la (1.129) è più alta, poiché è come se irrigidissimo la struttura con vincoli addizionali. Da tale proprietà discende un metodo per valutare in prima approssimazione la frequenza fondamentale, assumendo a priori la forma del primo autovettore. Un modo alternativo per ottenere la ( 1.129) è quello di considerare l'energia potenziale massima relativa ad un certo autovalore: ( 1.130 .a)

Wmax -- 1 {A} T [K]{A},

2

così come l'energia cinetica massima: ( 1.130 .b)

_ 1

Tmax -

2w

2

T

{A} [M]{A},

ed uguagliando tra loro queste due quantità. Come esempio di applicazione della ( 1.129) si consideri il telaio a traversi rigidi di fi~. 1.19. Sia m la massa di ciascuno dei due traversi e k la rigidezza tagliante di ciascuna coppia di pilastri. Come autovettore di tentativo si assuma {AV = { 1 , 2 } , 32

I Dinamica dei sistemi discreti

Figura 1.19

ipotizzando in questo modo uno spostamento laterale d(ll traverso superiore pari al doppio dello spostamento laterale del traverso inferiore. La (1.129) fornisce quindi:

( 1.131)

Sviluppando i calcoli si ottiene: ( 1. \32)

che risulta essere una stima (per eccesso) già accettabile rispetto al valore esatto: ( 1.133)

w2

k

= 0.382- . m

Lo scarto percentuale tra la (1.132) e la (1.133) è infatti del 4.7%, mentre lo scarto tra i valori delle pulsazioni è del 2 .3% ( circa la metà).

1.11. METODO DI STODOLA-VIANELLO Nel precedente paragrafo si è descritto un metodo per ottenere un'approssimazione della frequenza fondamentale di un sistema elastico discreto. Nel presente paragrafo si descriverà un metodo approssimato per ottenere il primo autovettore di un sistema elastico discreto. Tale metodo, noto in Analisi Numerica come Metodo delle Potenze, è di tipo iterativo ed è stato applicato da Stodola e Vianello nel caso specifico suddetto. 33

I Dinamica dei sistemi discreti

Premoltiplicando la (1.127) per l'inversa della matrice di rigidezza [K]- 1 (detta anche matrice di cedevolezza) si ha:

( 1.134) da cui segue:

( 1.135)

{A}= w 2 [D]{A},

ove: ( 1.136) è detta matrice dinamica. Se con { A 0 } si indica un primo autovettore di tentativo, dalla ( 1.13 5) si può ottenere una nuova valutazione dello stesso: ( 1.137)

{Ai}= w 2 [D]{A 0 }. ;

Applicando ancora la (1.135) ad {A 1 }, si può ottenere un'ulteriore stima dell'autovettore:

( 1.138) e così via in modo iterativo:

( 1.139) Si può dimostrare come {Ak} converga al primo autovettore, all'aumentare del numero k di iterazioni. Si esprima infatti il vettore di tentativo {A0 } come combinazione lineare degli autovettori { rp;}, supposti noti: n

i=! n

( 1.140) i=!

Essendo per ipotesi: w1 < w2 < ... < w; < ... < wn, e rappresentando w1 la pulsazione fondamentale, si può eseguire il seguente limite:

( 1.141)

34

I Dinamica dei sistemi discreti

Poiché in realtà la pulsazione fondamentale w 1 è incognita e, in ogni caso, essendo uno scalare, non modifica le direzioni dei vettori {Ak}, si può assumere: ( 1.142)

in luogo della (1.139). Come esempio di applicazione delle (1.141) e (1.142), si riconsideri il telaio a traversi rigidi di fig. 1.19. In questo caso si ha:

[D] = [K]- 1 [M] =

( 1.143)

--k~l

r

_-2kkl

l[ l mo mo

Assumendo poi {A 0 V= [ 1, 2] , si hanno le seguenti prime quattro iterazioni:

( 1.144 .a)

(1.144.b)

( 1.144 .c)

( 1.144 .d)

Poiché gli autovettori sono determinati a meno di un fattore, si può anche scrivere:

( 1.145)

che, come si vedrà al Paragrafo 4.9, coincide praticamente con l'autovettore esatto. Facendo un'ipotesi più lontana dalla soluzione esatta, {A 0 V = [ 1, 1] , si trova d'altra parte: 35

1 Dinamica dei sistemi discreti

( 1.146 .a)

{Ai}=

( 1.146 .b)

{A2} =

( 1.146 .c)

{A3} =

( 1.146 .d)

{A4} =

[: ~][:]-[:], [: ~][:]-[:], [: ~ ][:] - [:: ]

'

~

[: ][ :: J- [::

l

ovvero:

_ [O6182] '

( 1.147)

{A4} -

1

che è, ancora una volta, estremamente vicino all'autovettore esatto. È possibile inoltre calcolare approssimativamente la pulsazione fondamentale come: w 2 -_

( 1.148)

!

1·lffi IAk-1I IAk I .

k-->oo

Utilizzando le (1.146.c, d) si ha ad esempio: w2

~

IA3I = J132 + 212 = 0.382. IA4 I Y34 2 + 55 2

A meno quindi del fattore k/m, si ritrova la pulsazione esatta (1.133). La formula (1.148) si giustifica applicando la (1.142) ed esprimendo {A 0 } come combinazione lineare degli autovettori { cp;} , supposti noti: n

{Ad= [D]k{A 0 } = [D(1:::a;{cp;} = ( 1.149)

La (1.149.) porge infatti:

(1.150)

36

i=!

1 Dinamica dei sistemi discreti

da cui, essendo w 1 < w2 < ... < w; < .. . < wn, segue la (1.148). Una volta individuati { -s:t

N

/

qcP o·7 C?-2

q/

o 0.1

1

2

4

810