Matematisk og teoretisk fysikk 3 : Elektrisitet og magnetisme [3]

Citation preview

MATEMATISK OG TEORETISK

FYSIKK AV

EGIL HYLLERAAS

III. DEL

ELEKTRISITET OG MAGNETISME

OSLO 1950 GRØNDAHL & SONS FORLAG

PRINTED IN NORWAY

GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI

OSLO

FORORD Da dette 3. bind av «Matematisk og teoretisk fysikk» utkommer først, skal jeg her gi et kort forord, mens jeg forøvrig henviser til forordet i B. 1. Som allerede nevnt der må denne bok ikke betraktes ute­ lukkende som en lærebok skrevet spesielt for hovedfagsstuderende i fysikk innenfor rammen av et på forhånd avtalt pensum. En samlet fremstilling av den teoretiske fysikk er i dag en så vidt krevende oppgave at man ikke kan legge den an etter ett enkelt nyttehensyn. Med henblikk på studentenes forutsetninger og kunnskapstrinn har jeg forsøkt å bygge fremstillingen opp fra grunnen av. Men jeg har også tenkt på dem som vil arbeide videre med teoretiskfysiske problemer, og jeg har derfor også villet dra nytte av de spesielle erfaringer jeg selv har gjort på dette område. Til disse erfaringer hører også den at man av og til må gå til bunns i saken ved hjelp av matematiske utredninger. Først da behersker man stoffet slik at man kan gjøre seg mest mulig uavhengig av andre bøker og hjelpemidler om man selv vil ta fatt på et problem. Denne innstilling fører naturlig til at leseren stadig vil støte på tyngre avsnitt i fremstillingen. Disse avsnitt er beregnet på dem som ved et mere inngående studium føler det nødvendig å underbygge sin viten solidere. Det er å håpe at de som første gang leser boken ikke lar seg skremme av dette tyngre stoff, men legger det til side for eventuell senere nøyaktigere gjennomgåelse. Når de matematiske utredninger har fått en så vidt bred plass, ville man kanskje ha ventet at boken hadde hatt en ut­ preget deduktiv karakter. Dette er ikke tilfelle. Den induktive karakter kommer tvert om til syne ikke minst i dette 3. bind: «Elektrisitet og magnetisme». Vi stiller f. eks. ikke opp de Maxwellske ligninger som det sentrale utgangspunkt og utleder de

viktigste kjente erfaringslover ved hjelp av disse, skjønt dette var vel mulig og endog kanskje kunne ha forkortet fremstillingen. I stedet vandrer vi historiens vei og viser hvordan erfaringslovene skritt for skritt fører oss frem til de Maxwellske ligninger som det altomfattende grunnlag for den klassiske elektromagnetisme. Først på dette trinn tar vi de Maxwellske ligninger i bruk til videre deduksjoner og til sammenknytning av elektromagnetismen med de øvrige områder av fysikken. En lignende linje mener jeg stort sett å ha fulgt også i de øvrige bind av «Matematisk og teoretisk fysikk». Blindern, Oslo, januar 1950.

Egil Hylleraas.

INNHOLD III. Del.

Elektrisitet og magnetisme. Kapitel I. ELEKTROSTATIKK.

I. Elektrisitetens natur................................................................

Side

1

Positiv og negativ elektrisitet. — Isolatorer og ledere. Transport av elektrisitet. —Påvisning av elektriske ladninger ved deres kraftvirkninger.

2. Elektrisitetsmengde. Elektrisk kraftlov....................................

4

Coulombs, Cavendish’s og Faradays forsøk. — Formulering av en kraftlov.

3. Elektrisk feltkraft og potensial...............................................

8

Definisjon av feltstyrke. — Det elektriske potensial.

4. Coulombs lov...........................................................................

H

Potensialet av et kuleskikt. — Konsekvensen av ladningens fordeling på overflaten av ledere. — Sammenheng mellom romladningen og feltets divergens.

5. Gauss’ teorem. Diskontinuerlige felter. Elektriske dipoler og dipolskikt.................................................................................

15

Kraftstrøm fra ladninger. — Gauss’s lov og Coulombs lov. — Overflatetetthet og normalkomponent av feltstyrke. — Elektriske dipo­ ler. — Elektriske dobbeltlag. — Potensialsprang i dobbeltlaget.

6. Løsning av Poissons ligning ..........

22

Greens metode. — Løsning av Poissons ligning for et begrenset om­ råde. — Løsningens entydighet.

7. Elektriske enheter og målsystemer.........................................

26

Grunnenheter og avledede enheter. — Dimensjonen av fysikalske størrelser. — Valg av grunnenheter. Målsystemer. — Naturlige abso­ lutte grunnenheter. — Absolutte elektriske målsystemer. — Praktiske enheter og det internasjonale målsystem.

8. Elektriske multipoler................................................................ Utvikling av potensialer etter kulefunksjoner. — Tydning av de en­ kelte ledd i utviklingen som multipoler.

31

VIII 9. Elektrisitetens fordeling på ledere. Laplaces ligning med grensebetingelser ............................................................. 35 Punktladning og plan leder. — Den induserte ladnings fordeling og størrelse. — Punktladning og ledende kule. — Ledende kule i et homogent felt. — Potensialet av et jevnt ladet linjestykke. — Entydighet ved løsninger av Laplaces ligning.

10. Dielektriske legemer. Sann ladning og skinnladning. Polarisasjonsvektor og dielektrisk forskyvningsvektor.......................

45

Polarisasjon. — Skinnladninger og frie ladninger. — Den elektriske feltkraft i et dielektrikum. — Dielektrisk forskyvning. Dielektrisitetskonstant.

11. Det elektriske felt i diskontinuerlige medier................... ....

51

Grenseflatebetingelser ved dielektriske medier. — Dielektrisk kule i et homogent felt. — Punktladning overfor dielektrisk halvtom og dielektrisk kule.

12. Elektriske kondensatorer....................

56

Kapasitet av en leder. — Kulekondensatoren. — Plate- og sylinderkondensator. — Potensiell energi av en kondensator. — Potensiell energi og potensialkoeffisienter for et system av ledere. — Energiminimum ved elektrostatisk ladningsfordeling.

13. Potensiell energi i det elektrostatiske felt............................

62

Potensiell energi av ladninger i et dielektrikum. — Den potensielle energi uttrykt ved feltvektorene. — Mekaniske krefter i et dielek­ trikum.

14. Elektrodynamiske betraktninger ...........................................

67

Maxwellske spenninger. — De Maxwellske spenningers avhengighet av feltretningen. — Krefter på diskontinuitetsflater. — Felter dan­ net ved mekanisk arbeide. — Energiminimum i det elektrostatiske felt. Kelvins sats.

Kapitel 2. ELEKTRISK STRØM OG MAGNETISKE FELTER.

15. Stasjonære elektriske strømmer..............................................

75

Strømstyrke og strømtetthet. — Elektrisitetens bevarelse. Kontinuitetsligningen. — Ohms og Joules lov. — Lukkede strømkretser og elektromotoriske krefter. — Kirchhoffs lover for strømfordeling. Metallers ledningsevne etter elektronteorien. — Varmeledning i metaller.

16. Magneter og magnetiske felter...............................................

83

Magnetiske ladninger. Coulombs lov. — Enheter for magnetisk lad­ ning. — Analogi mellom magnetiske og elektriske feltstørrelser. — Kelvins definisjon av H og B.

17. Magnetostatiske krefter og magnetostatisk energi............... Det magnetiske felts energi. — Mekaniske krefter og Maxwellske

90

IX Side spenninger i det magnetiske felt. — Magnetisk kule i et inhomogent magnetfelt. — Magnetisk dipol og dipolskikt i et magnetfelt. — Måling av dipolmoment og feltstyrke i absolutte enheter.

18. Magnetostatisk potensial og vektorpotensial..........................

98

Fremstilling av et divergensfritt felt ved et vektorpotensial. — Vektorpotensial av en hvirvellinje. — Feltet fra et magnetisk dobbeltlag.

19. Det elektromagnetiske felt......................................................

103

Elektromagnetismens grunnleggelse. Orsteds oppdagelse. Biot-Savarts og Ampéres lover. — Elektromagnetisk og elektrostatisk mål for strømstyrke. — Ampéres lov i form av differensialligning. — Po­ tensiell energi av en strømkrets i et magnetfelt. — Mekaniske krefter på strømledere i et magnetfelt. — Ampéres teori for mag­ netismen.

20. Induserte elektriske strømmer .................

112

Faradays lov. — Lenz’ lov. — Selvinduksjon og gjensidig induk­ sjon for strømledere. — Induksjonsloven som følge av kraftloven for en leder i et magnetfelt. — Faradays lov i form av differensial­ ligning.

21. Det kvasistasjonære elektromagnetiske felt ..........................

118

Det magnetiske felts energi og utspring. — Den elektriske forskyv ningsstrøm. — Strømlederes magnetiske feltenergi. — Mekaniske krefter og dreiningsmomenter på strømkretser.

22. Vekselstrøm og koblede strømkretser....................................

128

Strømkrets med motstand, selvinduksjon og kapasitet. — Reso­ nans. — Kobling av impedanser. — Vekselstrømføring i lednings­ nett. Kirchhoffs lover. — Filtrering og blokering av strøm. — Selektiv ledning og sperring av vekselstrøm. — Induktivt koblede strømkretser. — Transformatorer.

23. Elektriske målinger................................................................

138

Absolutte og relative målinger. — Elektrostatiske målinger. — Kvadrantelektrometret. — Elektrisitetsvekten. Kelvins absolutte elektrometer. — Absolutte og relative elektromagnetiske målinger. — Absolutt strømmåling. Strømvekten. — Absolutt motstandsmåling. Lorenz’ metode. — Sammenligning av kapasitet og mot­ stand ved periodisk avbrutt likestrøm. — Sammenligning av kapa­ sitet og selvinduksjon ved vekselstrøm. — Måling av CL.

24. Elektriske enheter og målsystemer........................................ Dimensjon av elektriske størrelser. — Dimensjonstabell for elek­ triske og magnetiske enheter. — Det praktiske målsystem. — Praktiske enheter uttrykt i elektromagnetiske og Gauss’ske enheter. — Varianter av det praktiske målsystem. — Rasjonaliserte enheter. — Internasjonale enheter og absolutte enheter. — Den kritiske hastighet og lyshastigheten.

149

X Kapitel 3. DEN ELEKTROMAGNETISKE STRÅLING.

25. Elektromagnetiske bølger........................................................

side

159

Maxwells elektromagnetiske ligninger. — Frie elektromagnetiske bølger. — Gruppehastighet og fasehastighet. — Longitudinelle eller transverselle bølger? — Elektromagnetiske bølger fra et bølgesentrum. Kulebølger.

26. Energi og energitransport i det elektromagnetiske felt.........

171

Den plane bølges feltenergi. — Poyntings vektor.

27. Elektromagnetiske bølger i ledere..........................................

172

De Maxwellske ligninger for ledere. — Løsning ved plane harmo­ niske bølger. — Dempning og absorpsjon. — Faseforsinkelse av den magnetiske vektor. — Den komplekse Poyntingske vektor og ab­ sorpsjonen. — Refleksjon fra metalloverflater. — Skjerming av de elektromagnetiske bølger ved metaller. — Grensebetingelser ved den fullkomne leder.

28. Elektromagnetiske bølger langs kabler og ledere..................

183

Den elektriske kabel. — Strøm og potensialbølger i en motstandsfri kabel. — Bølger i kabel med endelig motstand.

29. Elektromagnetiske bølgers refleksjon og brytning i dielektriske grenseflater..............................................................................

190

Grensebetingelser. — Refleksjons- og brytningslov. — Fresnels lover for intensiteten av den reflekterte og brutte bølge. — Polarisert lys. Polarisasjonsvinkel. — Refleksjon av lysbølger i molekylære skikt. — Totalrefleksjon og elliptisk polarisert lys. Kapitel 4. ELEKTRODYNAMIKK OG ELEKTRONTEORI.

30. Det elektromagnetiske felts dynamiske egenskaper................

200

Strålingens bevegelsesmengde og treghet. — Energitetthet og strålingstrykk. — Masse og energi av den elektromagnetiske stråling.

31. Den Hertz’ske løsning av de elektromagnetiske ligninger . ..

206

Elektrisk potensial og vektorpotensial. — De elektromagnetiske lig­ ninger uttrykt ved fri ladning og fri strøm. — Den Hertz’ske vektor.

32. Dipolstråling og stråling fra akselererte ladninger................

213

Den Hertz’ske vektor for en kulebølge. — Strålingsenergien fra en akselerert ladning eller en dipol.

33. Løsning av den inhomogene ligning for elektromagnetiske bølger..................................................................................... 217 Retarderte potensialer. — Løsning av den inhomogene bølgeligning. — Stråling fra en oscillerende ladning. — Den rene kvadrupol- og multipolstråling.

XI 34. Elektromagnetisme og relativitetsteori...................................

Side

225

Formell omskrivning av de elektromagnetiske ligninger. — Lorentztransformasjonen. — Relativistisk lengdekontraksjon og tidsdilatasjon. Addisjon av hastigheter.

35. Relativistisk transformasjon av potensialer og feltvektorer . .

231

Relativitet av ladning og strøm. 4-dimensjonal formulering av Maxwells ligninger og Lorentztransformasjoner av feltstørrelsene. — Impuls-energivektoren. Massens variasjon.

36. Elektrodynamiske betraktninger...........................................

238

Elektronets energi og masse. — Massens og energiens avhengighet av hastigheten.

37. Elektromagnetiske bølger i atomistisk oppbygd materie. Enkel dispersjonsteori............................................................. 242 De elektromagnetiske ligninger og polarisasjonen. — Elementær dis­ persjonsteori for et isotropt medium. — Anomal dispersjon. — Grense­ tilfellet frie elektroner.

KAPITEL 1

ELEKTROSTATIKK

1. ELEKTRISITETENS NATUR

Positiv og negativ elektrisitet.

Elektriske fenomener har sikkert vært iakttatt av mennesker fra de eldste tider. Vi vet jo alle at om man bare stryker en kam gjennom håret eller drar et tørt klæsstykke av ull eller silke over det, så begynner det å knitre som tegn på at det er blitt elektrisk. Allerede i den greske oldtid visste man at rav ved gnidning mot ull ble i stand til å tiltrekke lette smålegemer. Den engelske læge og fysiker William Gilbert (1540—1603) viste at også mange andre legemer enn rav kunne gjøres, som han kalte det, elektriske, etter det greske ordet for rav, elektron. Gilbert hører, som f. eks. Galileo Galilei, til pionerene som innførte realismens metoder i naturvitenskapene. Som fremragende eksperimentator, spesielt innen magnetismen, skapte han en ny epoke ved sine opp­ dagelser. Gilberts landsmann Stephan Gray (1670—1736) opp­ daget forskjellen mellom isolatorer og ledere, og franskmannen Charles Franqois du Fay (1698—1739) påviste at det finnes to slags elektrisitet, som han kalte glasselektrisitet og lakkelektrisitet. Legemer med samme sort elektrisitet frastøter hverandre, mens legemer som er blitt ladet med hver sin sort elektrisitet, tiltrekker hverandre. Dette er den første og mest grunnleggende egenskap ved elektrisiteten. Når to legemer, f. eks. glass og silke, blir gjort elektriske ved å gnis mot hverandre, så får de to legemer hver sin sort elektrisi­ tet, eg de elektrisitetsmengder som er dannet opphever nøyaktig hverandres virkninger utad, så lenge de to legemer ikke er fjernet merkbart fra hverandre. I 'stedet for glasselektrisitet og lakk­ elektrisitet innførte derfor amerikaneren Benjamin Franklin (1706 —1790) betegnelsen positiv og negativ elektrisitet for de to elektrisitetssorter. Dette er en rent konvensjonell betegnelse, da de to sorter i fenomenologisk henseende er helt like. Først den moiii — i.

2

Kap. 1. Elektrostatikk.

derne atomforskning har klarlagt den grunnleggende forskjell mellom positiv og negativ elektrisitet når det gjelder materiens oppbygning. For et halvt århundre siden førte studiet av katodestrålene til opp­ dagelsen av elektronene, partikler nær to tusen ganger lettere enn vannstoffatomet og med negativ ladning. Den positive elektrisitet viste seg senere å være knyttet til atomkjernene, i kvanta svarende til protonets (vannstoffkjernens) ladning. Med dette billede for øye ville det ha vært naturlig å gi elektronets ladning betegnelsen positiv. I våre dager, etter oppdagelsen av det positive elektron eller positronet i 1932, videre både positive og negative tunge elektroner eller mesoner, utsendelsen av såvel positive som negative elektroner fra kunstig radioaktive kjerner, synes det atter vanskeligere å finne noen avgjørende forskjell mellom positiv og negativ elektrisitet. Det histo­ riske valg av betegnelsen positiv og negativ elektrisitet gjør i praksis god tjeneste. Ved dette valg har elektronet (det negative) arvet ikke bare navnet, men også ladningen fra ravet, det greske elektron.

Isolatorer og ledere. Transport av elektrisitet. Når noen legemer tilsynelatende ikke kan elektriseres ved gnidning, så skyldes det gjerne at de er hva vi kaller ledere i motsetning til isolatorer. Alle metaller er ledere. Sørger vi for å montere en metallstang på et isolerende håndtak, så kan den gjøres elektrisk ved gnidning, men så snart vi berører den med hånden eller med et annet ledende legeme som ikke selv er isolert, for­ svinner den oppsamlede elektrisitet. Forskjellen mellom isolatorer og ledere er ikke skarp. Vi har alle overganger fra mere eller mindre dårlige ledere, gjennom halvledere, til elektrolyter og me­ taller. Vi vet at ledningsevnen i metaller beror på at en ikke uvesentlig del av atomenes elektroner er frie og beveger seg mere som gasmolekyler i en beholder enn som atomelektroner i baner i et individuelt atom. I elektrolytene har de fritt bevegelige atomer av det oppløste stoff dannet joner ved å oppta eller avgi ett eller flere elektroner. En atomsort danner da positive joner, en annen negative, og disse joner besørger så transporten av elektrisiteten med utjevning og nøytralisering som mål, på giunn av tiltrekningen mellom positiv og negativ elektrisitet. Ved transport av elektrisitet er det, hva den elektriske til­ stand angår, likegyldig om det er positive eller negative ladningsenheter som besørger denne transport. Ved elektriske måleappa­

1. Elektrisitetens natur.

3

rater som beror på kraftvirkningen mellom ladninger, er det ikke mulig å fastslå noen forskjell. Det samme gjelder om vi benytter oss av de magnetiske virkninger av den elektriske strøm. Vi vet at det i metallene praktisk talt utelukkende er elektronene som beveger seg, og at jonene i en elektrolyt kan ha forskjellige vandringshastigheter, men dette må fastslåes på annen måte enn ved måling av elektrisitetsmengder eller strømstyrker. Påvisning av elektriske ladninger ved deres kraftvirkninger.

Å «fremstille» elektrisitet vil altså i virkeligheten si å skille positiv og negativ elektrisitet frå, hverandre. Det er andre enkle måter å gjøre dette på enn ved gnidning. Da elektronene i et metall er lett bevegelige, vil en metallisk leder forandre sin elek­ triske tilstand så snart den utsettes for elektriske krefter. En elek­ trisert lakkstang som bringes i nærheten av en leder, vil trekke positiv elektrisitet over til sin side og støte negativ elektrisitet over til den motsatte side av lederen. Dette fenomen kaller vi elektrisk fordeling eller influens. Vi kan også få ladet hele lederen (i dette tilfelle med positiv elektrisitet) ved å berøre den med hånden, slik at en viss mengde negativ elektrisitet strømmer bort. Avbryter vi forbindelsen, så er lederen blitt positiv, og fjerner vi videre lakkstangen, som jo trekker den positive elektrisitet over til sin side og helt eller delvis nøytraliserer dens virkninger utover, så vil den metalliske leder virke nøyaktig som om den var elektrisert direkte ved gnidning. Det enkleste apparat til påvisning av elektriske ladninger er elektroskopet. I sin enkleste form består det av to tynne metallblader festet til en leder, en metall stang, og anbragt i en beholder til beskyttelse. Ved oppladning med samme sort elektrisitet vil de to metallbladene frastøte hverandre, og avleser man metallbladenes utslag på en passende anbragt skala, har man i virkeligheten en innretning til måling av elektrisitets mengder, et elektrometer. (Se fig. 2). Holder man en elektrisert isolator opp til metallstangen i elektrometeret, vil metallbladene opplades ved influens og slå ut. Berører vi metallstangen med en ladet metallisk leder, vil en del av elektrisi­ teten gå over på elektrometeret, og vi får utslag på samme måte. Vi har mange varianter av elektroskop og elektrometre, men de må alle forståes ut fra samme prinsipp: kraftvirkning mellom elektriske ladninger.

4

Kap. 1.

Elektrostatikk.

2. ELEKTRISITETSMENGDE OG ELEKTRISK KRAFTLOV

Coulombs, Cavendish’s og Faradays forsøk. Vi beskjeftiger oss inntil videre bare med ladninger som be­ finner seg i ro, med den elektriske likevektslære eller elektrostatikken. Grunnleggende for elektrostatikken er loven for kraftvirkningen mellom elektriske ladninger: Coulombs lov, oppstilt i 1785 av franskmannen Charles Augustin Coulomb (1736—-1806). Coulomb oppfant selv sitt viktigste hjelpemiddel, den følsomme torsjonsvekt, og målte direkte kraften mellom ladede kuleformede legemer. For å få et kvantitativt mål for elektrisk ladning gjorde han den plausible antagelse at en isolert, ledende kules ladning ble redusert nøyaktig til det halve når kulen berø te en annen kule som var fullstendig lik den første, men opprinnelig uladet. Coulombs lov, at kraften mellom to elektriske ladninger er proporsjonal med produktet av de to ladninger og omvendt pro­ porsjonal med kvadratet av avstanden mellom dem, har vist sig å være eksakt riktig. Noe nøyaktig bevis i eksperimentell forstand for denne lov gir imidlertid Coulombs forsøk ikke. De må sies å være av mere veiledende art. Den kvantitative side ved loven bekreftes langt bedre ved de forsøk som ble utført av Henry Cavendish (1731 —1810). Han benyttet en isolert metallkule som kunne omsluttes av to metalliske halvkuler med litt større radius. Etter oppladning av den indre kule ble denne satt i ledende forbindelse med de to ytre halvkuler. Det viste seg da at hele ladningen gikk over på disse. Dette er det samme fenomen som at den elektriske ladning på en leder alltid samler seg på overflaten, og scm vi senere skal Fig. 1. Fjernelse av elektrisitet se, er Coulombs avstandslov en nød­ fra en kule. vendig følge av dette forhold. Cavendish gjorde sine forsøk allerede i 1773, altså før Coulomb, og han brukte hyllemargskuler for å påvise eventuelle restladninger på den indre kule. Men resultatene ble først offentlig gjort av James Clerk Maxwell (1831—1879), som gjentok for­ søkene, men benyttet det ytterst følsomme kvadrantelektrometer,

2.

Elektrisitetsmengde. Elektrisk kraftlov.

5

som Lord Kelvin (William Thomson, 1824—1907) hadde kon­ struert. Heller ikke Maxwell kunne påvise noen slike ladninger, skjønt følsomheten av elektrometeret var så stor at en avvikelse på i 0,00005 i eksponenten 2 i Coulombs lov ville ha gjort seg be­ merket. Til sammenligning nevnes at Cavendish kunne garantere at avvikelsen i eksponenten var mindre enn ± 0,02. Cavendish’s forsøk ble også gjentatt på en særegen måte av Michael Faraday (1791—1867). Han benyttet en hul isolert leder med en åj ning som kunne lukkes med et ledende lokk, en Faradays gryte. Ved å anbringe en ladet kule i en tråd under lokket og føre denne inn i lederens hulrom, fikk han et utslag på et elektroskop eller elektrometer som var forbundet med den hule lederens overflate. Ved nu å bringe kulen i kontakt med lederens veg­ ger kunne han etterpå konstatere at kulen mistet sin ladning. På den annen side forandret elektrometerets utslag seg ikke, og ladningen på lederens ytre overflate måtte derfor være den samme før og etter berøringen Fig. 2. Faradays gryte. med kulen. Dette forsøket viser at vi utenfra ikke er i stand til å iaktta med elektriske måleapparater forandringer i ladningsfordelingen i et hulrom som er skjermet av en metallisk leder. Det eneste vi kan måle er overskuddet av positiv eller negativ elektrisitet som er ført inn i lederens hulrom. Denne trekker da ved influens en tilsvarende elektrisitetsmengde av motsatt tegn til lederens indre overflate og støter en like stor mengde av samme tegn ut til lede­ rens overflate. Fordelingen er fullstendig. På den annen side vil feltet i lederens hulrom være fullstendig bestemt ved ladningsfordelingen i dens indre. Anbringelse av et ladet legeme i lederens nærhet, eller i det hele elektriske krefter utenfra, vil ikke kunne merkes. En lukket leder avskjermer full­ stendig det indre rum i elektrisk henseende. Faraday viste dette ved å foreta målinger inne i en trekasse som var omgitt av et nettverk av kobbertråd og tinnfolium, et

6

Kap. 1. Elektrostatikk.

Faradays bur, som ble ladet opp til en meget høy spenning ved hjelp av en sterk elektrisermaskin. Med sine forskjellige følsomme elektrometere kunne han ikke påvise noe felt inne i buret.

Formulering av en kraftlov.

Om de krefter som virker mellom elektriske ladninger vil vi gjøre visse uundgåelige forutsetninger. Vi må anta at når et ladet legeme X påvirkes av flere ladede legemer A, B, C, ..., så er bidraget fra hvert enkelt av dem til den resulterende kraft på X uavhengig av ladningstilstanden og beliggenheten av de øvrige. Dette er i overensstemmelse med den generelle fysikalske lov om fri overlagring av krefter. Forestiller vi oss elektrisiteten som frem­ kommet ved sammenhopning av elektroner, så må vi anta at to elektroner gir en dobbelt så stor elektrisk kraft som ett eneste. Ellers ville vi ikke kunne tale om, eller definere, elektrisitetsmengde. Hvis vi derimot først har gjort denne antagelse, så kan vi få et mål for ladningen av en elektrisk partikkel ved å måle den kraft den utøver på en annen elektrisk partikkel. Denne kraft vil dessuten være desto større jo sterkere den andre partikkel er ladet, idet de gjensidige krefter mellom de to partikler, etter loven om actio og reactio, må være like store og motsatt rettet. Vi får derfor et mål for elektrisitetsmengde, som vi vil betegne med e, ved å sette kraften proporsjonal med produktet ei e2 av de to ladninger. Vi må videre anta at kraften mellom to ladede partikler er rettet langs forbindelseslinjen, og at den, foruten av det omgivende mediums ), * natur bare avhenger av avstanden mellom partiklene. Hvis kraften ikke var rettet langs forbindelseslinjen, ville vi nemlig ved å føre den ene partikkel rundt i en lukket bane kunne vinne arbeide, i strid med energiloven. Det ville derfor være forfeilet å stille opp spesielle eksperimenter som «bevis» på rik­ tigheten av de forutsetninger som hittil er gjort, idet disse, tvert om, finner sin støtte i vårt samlede eksperimentelle erfa­ ringsmateriale som helhet. *) Vi forutsetter at dette er homogent, da der ellers (se under polarisasjon) vil opptre skinnladninger. Likeledes må vi ta forbehold om hysteresefenomener (dielektrisk ettervirkning) som i svak grad kan opptre såvel ved elektrisk polariserbare som ved magnetiserbare legemer.

7

3. Elektrisk feltkraft og potensial.

For kraften mellom to ladede partikler A og B skriver vi altså F=e1e2f(r), (2.1)

hvor r er avstanden mellom de to partikler, og f (r) en spesiell funksjon som uttrykker hvordan kraften avhenger av avstanden. Hvis f (r) er valgt positiv, så vil F være positiv for ladninger av samme sort og negativ for ladninger med motsatt tegn. Dermed uttrykker loven allerede at like ladninger frastøter hverandre, mens en positiv og en negativ ladning tiltrekker hverandre, idet vi regner frastøtende krefter som positive. Måleenheten for elektrisk ladning kan velges helt vilkårlig, og forskjellig valg medfører bare forskjellig verdi i en konstant (stedsuavhengig) faktor i funksjonen f (r). Vi kan uttrykke det slik at når først denne faktor er fastlagt, så er enheten for elektrisitetsmengde gitt, f. eks. ved at to like enhetsladninger i avstanden 1 fra­ støter hverandre med en kraft ^ =/(!)• (2) Denne vil vi betegne med />, og som vi skal se, vil vi ut fra det faktum at ladningen på en leder er samlet på overflaten, være i stand til å utlede at funksjonen f (r) må ha formen

=

hvor /> avhenger bare av det omgivende medium.

'

(3)

8

Kap. 1. Elektrostatikk.

3. ELEKTRISK FELTKRAFT OG POTENSIAL

Definisjon av feltstyrke.

I alminnelighet vil der på en enkelt elektrisk ladning virke krefter fra flere andre ladninger, som dessuten kan være fordelt kontinuerlig i rommet eller på overflaten av ledere. I alle tilfeller vil vi kunne summere enkeltkreftene svarende til den antatte kraftlov (2. 1) under bibehold av den betraktede partikkels ladning som felles faktor. Vi kan da skrive F = e E, (3. 1) hvor E kalles den elektriske feltkraft. Den er, likesom F, en retningsavhengig størrelse, en vektor. Ved en gitt ladningsfordeling er det av interesse å kjenne ikke bare de krefter som virker på de tilstedeværende legemer, men også de krefter som vil virke på en hvilken som helst partikkel som anbringes på et hvilket som helst sted i rommet. Dermed føres vi over til begrepet det elektriske felt som noe selvstendig eksisterende hvor som helst i rommet som omgir ladningene. Det representerer den tilstand rommet er kom­ met i ved tilstedeværelsen av ladningene. Dette felt er gitt ved størrelsen og retningen av den elektriske feltkraft i ethvert punkt i rommet, og denne kan på sin side defineres som den kraft som virker på en punktformet enhetsladning i det betraktede rompunkt. En ladning av endelig størrelse vil imidlertid virke tilbake på den ladningsfordeling som vi har antatt gitt. Den vil forandre denne, og dermed feltet. Dessuten er punktladningen et fiktivt be­ grep. Ved delinisjon av begrepet «det elektriske felt» må vi derfor strengt tatt i stedet for enhetsladningen tenke oss at der benyttes et prøvelegeme av så små dimensjoner og med så liten ladning som mulig, idet vi setter E = lim F/e. (2) e—>0

Ved beregningen etter lign. (2. 1) av den kraft som virker på en gitt ladning e ved gitt ladningsfordeling, ser vi straks at feltkraften E ikke er den mest hendige størrelse. Bidraget til denne fra de enkelte ladninger ek er nemlig retningsavhengig. Med beteg­ nelsen x, y, z for de relative koordinater må vi her skrive (2.1) på formen Fkx=eekf(r)-—, (3) T

3. Elektrisk feltkraft og potensial.

9

og tilsvarende for Fky og Fkz. Summerer vi bidragene til de resul­ terende komponenter fra de enkelte punktladninger er, e2 > • • *> > • • • » vil vi, når vi betegner avstanden til det betraktede rompunkt med rk og de tilsvarende relative koordinater med xk, yk, zk, få følgende uttrykk for feltkraften,

a, — for R a,

(4.17)

4tt:

(18) * ’ osv., r < a. 3 r2 — = y