Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 6 Jahrgang 1874 [Reprint 2020 ed.] 9783112362709, 9783112362693

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern herausgegeben von

Carl Ohrtmann, Felix Müller, Albert Wangerin.

Sechster Band. Jahrgang-

1874.

Berlin. Druck und Verlag vou G. R e i m e r . 1876.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Beihe (Serie), zn der der Band gehört. Akad. Afh. Uptala: Abhandlungen and Verhandlangen der Universität zn Upsala. Upsala. Altpr. Monatsachr.: Altprenssische Monatsschrift. Der neuen preussischen Provinzialblätter vierte Folge. Herausgegeben von R. Re icke and E. Wiechert. Königsberg i. Pr. 8°. Analyst: The Analyst, a monthly journal of pure and applied mathematics. Edited and published bv J . E. Hendricks. Des Moines, Jowa: B. J . Pierson and Co. Amerika gr. 8". Ann. de Belg.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles 12°. Ann. de VÉc. Norm.: Annales scientifiques de l'école normale supérieure ubliées sous les auspices do ministre de l'instruction publique par Mr. ie Pastear. Paris. 4*. Ann. d. Mines: Annales des Mines. Paris. 8°. Ann. de VObs. de Brüx.: Annuaire de l'observatoire royal de Bruxelles. Bruxelles. 12°. Ann. d. P. et Ch.: Annales des Ponts et des Chaussées. Paris. 8°. Ann. d. R. M. J. d. Torino: Annali del Reale Museo Industriale di Torino. Torino. Ann. d. Sc. Norm,.: Annali della Scnola Normale. Pisa. Ann. d. Un. Tose.: Annali delle Università Toscane. Pisa. Arch. d. Mutée Teyler: Archives du Musée Teyler. Harlem. 8°. Arch. Néerl.: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des Sciences à Harlem. L a Haye. 8*. Astr. Viert.: Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft herausgegeben von C. Bruhns. Leipzig. 8°. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A. F. Peters. Altona. 4°. Au. d Acc. R. d. Line.: Atti della Accademia Reale dei Lincei. Roma Att. d. Acc. P. d. N. Line.: Atti della Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei. Boma. 4°. Att.d.R. 1st. Ven.: Atti del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Vinezia. Att. d. Torino: Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino. Torino. Battaglini O. : Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato per cara del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8°. Beri. Abh.: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4°. A*

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IV

Erklärung der Citate.

Beri. Monatiber.: Monatsberichte der Egl. Preueeischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. Bull, de Motcou: Balletin de la Société Impériale des Naturalistes de Moscou. Moscou. 8*. BUitter f . d. bayr. Gymncuiatoesen : Blätter für das bayrische Gymnasialschulwesen. München. 8°. Boncompagni Bull.: Bulletino di Bibliografia e di Storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni. Roma. 4°. Borehardt J.: Journal für reine und angewandte Mathematik. Als Fortsetzung des von A. L. Creile gegründeten Journals, herausgegeben unter Mitwirkung der Herren Schellbacb, Kummer, Kronecker, Weierstrass von C. W . Borchardt. Berlin. 4*. Brioschi Ann.: Annali di Matematica pura ed applicata diretti da F. Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma da Prof. Tortolini. Milano. 4°. Bull, de Belg.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. 8°. Bull. d. I. Soc. Math, de France: Bulletin de la Société Mathématique de France publié par les Sécrétaires. Paris. 8*. Bull, de St. Pét.: Bulletin de l'Académie Impériale de St. Pétersbourg Pétersbourg et Leipzig. Folio. Carl Repert.: Repertorium für Expérimental-Physik herausgegeben von Ph. Carl. München, gr. 8°. Catopis: Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- nnd Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vom Vereine böhmischer Mathematiker in Prag. Prag. 8*. Clebsch Ann.: Mathematische Annalen in Verbindung mit C.Neumann begründet durch A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren Gordan, Klein, A. Mayer, v. d. Mühll, gegenwärtig herausgegeben von Carl Neumann. Leipzig. 8°. C. R.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4°. Darboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par G. Darboux. Paris. 8°. Denkschr. d. Par. Oes.: Denkschriften der Pariser Gesellschaft der exacten Wissenschaften. Polnisch. Paris. 4°. Educ. Times: Mathematlcal Reprint of the Educational Times. London. 8°. Erl. Ber.: Sitzungsberichte der pbysikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. Erlangen. 8°. Forh. ved »band. Natf. : Forhandlingar af de skandinaviske Naturforsker. Forh. af Christ.: Forhandlingar i Videnskabs Selskabet i Christiania. Christiania. 8*. Forh. af Kopenh.: Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlingar. Af J . J. S. Steenstrop. Kopenhagen. FrilnkeV» Z. : Monatschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judenthoms, herausgegeben von Frankel. Breslau. 8°. Oeiger Jüd. Zeitschr.: Jüdische Zeitschrift für Wissenschaft und Leben, herausgegeben von Geiger. Breslau. 8°. G'ótt. Abh.: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Göttingen. 4°. Gott. Ans.: Göttingische gelehrte Anzeigen. Unter der Aufsicht der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften. Göttingen. 12°. G'òtt. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der G. A. Universität zu Göttingen. Göttingen. 12°.

Erklärung der Citate.

V

Grunert Arch. : Archiv für Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Unterrichtsanstalten gegründet von J. A. Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Greifswald. 8*. Kgl. Svenska Vetenskaps Akademiens Handlingar. Handl. Stockholm: Stockholm. 4". Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J. C. V. Hoffmann Leipzig. 8°. Jaarb. v. Am»t.: Jaarbock van de koninkligke Akademie van Wetenschapen. Amsterdam. Il Nuovo Cimento: Il nuovo Cimento, Giornale di fisica, di chemica e scienze affini da C. Matteucci, R. Piria, G. Meneghini. Torino e Pisa. 8". Ins t.: L'Institut, Journal universel des sciences et des sociétés savantes en France et à l'étranger. Première section. Sciences mathématiques, physiques et naturelles. Paris. 4°. J. Phil- d. Moscou: Journal de la Société Philomatique de Moscou. Moscou. J. d. Phyt. Oes. in Petersb. : Journal der Physischen Gesellschaft in Petersburg. Katan. Oel. Anz.: Gelehrte Anzeigen der Kais. Universität za Kasan. Kräh. Denkschr.: Denkschriften der Krakauer Akademie. Mathematische Abtheilung. Krakan. Leipz. Abh. : Abhandlungen der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig, gr. 8°. Leipz. Ber.: Berichte über die Verhandlungen der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physikalische Klasse. Leipzig. 8°. Liouville J.: Journal de Mathématiques pures et appliquées ou Recueil mensuel des mémoires sur les diverses parties de mathématiques, par J. Liouville. Paris. 4".

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Lundi Un. An.: Lunds Universitets-Arsskrift. Marb. Ber.-. Sitzungsberichte der Gesellschaft zur Beförderung der gesammten Naturwissenschaften zu Marburg. Marburg. 8°. Math. Samml. v. Moskau: Sammlung mathematischer Abhandlungen. Moskau. Mil.math. et asir.: Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg. Leipzig. Petersburg. 8°. Mim. de Belg, in 8°; Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des Sciences de Belgique. Bruxelles. 8'. Atém de Belg.: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. 4°. Mem. di Bologna: Memorie dell' Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4°. Mém. de Bordeaux: Mémoires de la Société des Sciences Physiques et Naturelles de Bordeaux. Paris. Bordeaux. 8°. Mem. d. Ist. Lomb.: Memorie del Reale Istituto Lombardo di scienze, lettere ed arti. Milano, gr. S°. Mém. d. I. S. B. de Liège: Mémoires de la Société Royale de Liège. Mim. de Kasan: Mémoires de l'Université de Kasan. Kasan. Mim. de Pari»: Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France. Paris. 4°. Mem. d. R. Ist. Ven. Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Vinezia. Mim. de St. Pél.: Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St, Pétersbourg, St. Pétersbourg. 4°.

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Erklärung dur Citate.

Mim. d. l. S. Ph. de Moscou: Mémoires de la Société Philomatique de Moscou. Moscou. 8°. Mém. d. I. S. techn. de Moscou: Mémoires de la Société Technique du Moscou. Moscou. Mem. di Torino: Memorie dell' Accademia delle scienze di Torino. Torino. Mem 0/ Manch.: Memoirs of the litterary and philosophical society of Manchester. Manchester. Mem. ofR.Astr. Soc. : Memoirs of the Royal Astronomical Society. London. 4°. Messenger: The Messenger of Mathematics, edited by M. Allen Whitworth, C. Taylor, R. Pendlebury, J. W. L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan. 8°. Mondes: Les Mondes, revue hebdomadaire des sciences et de leur application aux arts et à l'industrie par l'Abbé Moigno. Paris. 8". Monthl. Not.: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4°. Münch. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite Klasse. München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Egl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8°. Nov. Act. Ups.: Nora Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis. Upsala. 4°. N. C. M.: Nouvelle correspondance mathématique publiée par M. M. E. Catalan, prof, à l'université de Liège, et P . Mansion, prof, à l'université de Gand. Möns. Manceauz. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de Mathématiques. Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, rédigé par Gerono et Bourget. Paris. 8°. Nyt Mag.: Nyt Magazin for Naturvidenskaberne, ved Sara og Kjerulf. ..Christiania. 8°. Ofv. af Forh. Stockh.: Öfversigt af Eongl. Vetenskaps-Akademiens Forhandlingar. Stockholm. Fetersb. Oel. Anz.: Gelehrte Anzeigen der Akademie zu St. Petersburg. Russisch. Petersburg. Phil. Mag.: The London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and Journal of Science, by Brewster, Kane, Francis. London. 8". Phil. Trans. : Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4°. Pogg. Ann.: Annalen der Physik und Chemie herausgegeben zu Berlin von Poggendorff. Leipzig. 8°. Polyt. Tidsshr. : Polyteknisk Tidsskrift. Christiania. Prag. Abh. : Abhandlungen der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. 4°. Prag. Ber. : Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. 8". Proc. of London: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8". Proc. of L. M. S.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. 8". Proc. of Manch.: Proceedings of the litterary and philosophical Society of Manchester. Manchester. Quart. J. : The Quarterly Journal of pure and applied mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London. 8". Quart. J. of Science: The Quarterly Journal of Science and Annals of Mining, Metallurgy, Engineering, Industral Arts and Technology. Edited by William Crookes. London. 8°. Bend, di Bologna: Rendiconti delle sessioni dell'Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4°.

Erklärung der Citate.

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Rend. d. Ist. Lomb. : Beale latitato Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8*. Rend, di Napoli: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Napoli. Report of the Brit. Ass. : Report of the meeting of the British Association for the advancement of science. London. 8°. Rev. de VInstr. Pubi.: Revue de l'instruction publique de Belge. Gand. 8°. Sehl'ómilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter der verantworte Rédaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. 8°. Skrìft. v. Kopenh. : Det Eongl. Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter. Natnrvidenskabelig og mathematisk Afdeling. Kopenhagen. Trans, of Cambridge: Transactions of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. Tram, of Dublin: Transactions of the Boyal Irish Academy. Dublin. Veri. d. AI. d. Wet. Amet. : Verhandlingen der Eongl. Akademie de Wetenschapen. Amsterdam. Verh. d. Oes. f . Erdkundes Zeitschrift der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin. Als Fortsetzung der Zeitschrift für Allgemeine Erdkunde im Auftrage der Gesellschaft herausgegeben von W. Eoner. Berlin. 8°. Versi, en Mededeel.: Verslagen en Mededeelingen d. Eongl. Akademie van Wetenschapen to Amsterdam. Amsterdam. Wien. Anz.: Anzeiger der Esl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Elasse. Wien. 8°. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathem.-naturwissenschaftlichen Elasse der Eaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abtheilung. Wien. 8*. Wien. Denlcschr. : Denkschriften der Èaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Elasse. Wien. 4*. Wolf J. : VierteljahrBSchrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8°. Z. dtsch. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure herausgegeben von Ziebarth. Berlin. 4°. Zeuthen Tidssitr.: Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af Zeuthen. Eopenhagen. 8°.

Inhaltsverzeichniss. (Die mit einem t bezeichneten Arbeiten

Erster Abschnitt.

Bind

ohne Referate.)

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e l 1.

Geschichte.

H. H a n k e l . Zur Geschichte der Mathematik im Alterthnm und Mittelalter L. M a t t h i e s s e n . Zur Álgebra der Chinesen A . S c h w a r z . Der jüdische Kalender, nebst Recensión von S l o D i m s k i A. S c h w a r z . Zur Geschichte des Constanten Kalenders F e l s e n t h a l . Brief an H. Geiger Th. H. M a r t i n . P r o d i Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarli B. B o n c o m p a g n i . Intorno al comento di Proclo sul primo libro degli elementi di Euclide Th. H. M a r t i n . Sur l'époque et l'auteur du prétendu XV e libre des éle'ments d'Euclide H. M e n g e . Des Archimedes Kreismessung nebst des Eutokius aus Ascalon Commentar A. M a r r e . Extrait du Kitab al Mobärek d'Abou'l Wafa al Djouei'ni M. S t e i n s c h n e i d e r . Calendrier de Cordove R. P e n d l e b u r y . Two old tables M. C u r t z e . Extrait d'une lettre à Mr. Darboux A. Z i e g l er. Regiomontanus Die vierto Säkularfeier von Copernicus zu Thorn A. W o l y n s k i . Kopernik w Italji czyli dokumenta L. P r o w e . Nicolaus Copernicus auf der Universität zu Krakau . . H. H ü sa e Der. Des Copernicus Gründe für die Bewegung der Erde M. C u r t z e . Zur Entstehungsgeschichte der Revolutiones des Copernicus M. C u r t z e . Reliquiae Copernicanae M. C u r t z e . Ueber ein Exemplar der Ephemeriden des Joannes Stöfler M. C u r t z e . Fünf ungedruckte Briefe von Gemma Frisius R. P e i n l i c h . Kepler's Heirathsbrief F . J a c o li. Intorno a due scritti di Raffaele Gualtcrotti Fiorentino E. C a t a t a n . Intorno ad una iscrizione posta sulla tomba di L. v. Ceulen C. d e S i m o n i , B o n c o m p a g n i . Intorno alla vita ed ai lavori di Negro J. F. S c h a d . Einführung des gregorianischen Kalenders in Dinkelsbühl

Seile

1 9 9 9 9 12 13 13 14 14 15 15 15 16 19 19 20 20 20 21 23 23 24 25 25 26 26

Iuhaltsverzeichniss.

J . B e r n ou I l i Ad J . J . de Mairan epiatola R. W o l f . F . X . de Zacb A. Qu e t e l e t. Notice sur Ch. Babbage Ch. d e C a m b e r o u s s e . Sur deux oeuvres de J . Y . P o n c e l e t . . . 6 . B . M o r i n . Sur l'enseignement de la mécanique appliquée, donnée par Poncelet C. F . G e i s e r . Zur Erinnerung an J a c o b Steiner, nebst Recension von M. C a n t o r A. F a v a r o . Intorno alle opere di Clebsch A . C l e b s ^ h ed i suoi lavori scientifici F . v. K o b e l l . F . Zantedeschi F . v. K o b e l l . Ch. Hansteen W . v. Z a h n . Zum Andenken an Hermann Hanbel F . v. K o b e l l . K . F . Naumann F . v. K o b e l l . A. A. de la Rive R . W o l f . C. H. Graeffe F . v. K o b e l l . L A. J . Quetelet E . M ai 11 y. Snr la vie et les ouvrages de Ad. Quetelet F . v. K o b e l l . J . H. von Mâdler M. Q u e r c i a . Intorno alla vita ed ai lavori di Ranbino F . H ö f e r . Histoire des mathématiques P . M a n s i o n . L e s mathématiques en Belgique en 1872 D. B . d e H a a n . Sur quelques quadrateurs du cercle dans les PaysBas S. G ü n t h e r . Storia dello sviluppo della teoria delle frazioni continue fino all' Euler A. F a v a r o . Sulle frazioni continue dal secolo decimoterzo al decimo settimo F . W o e p c k e . Intorno ad un metodo per la determinazione approssimativa dogi' irrazionali di secondo grado P . M a n s i o n . Sur la théorie des transformations birationnelles planes D. B. d e H a a q . Houwstoffen voor de Geschiedenis der wis-en naturkundige wetenschappen in de Nederlanden F . H e j z l a r . Ueber die ersten logarithmischen Tafelu M. C u r t z e . Noch einmal die Trisection des Winkels mittelst der Kreis-Conchoide J . T o d h u n t er. A history of the mathematical theories of attraction K. L a s s w i t z . Verfall der kinetischen Atomistik im siebzehnten Jahrhundert J . W e y r a u c h . Die graphische Statik H. R é s a l . L'énoncé du principe de la théorie du timbre est dû à Monge G. H e 11 m a n n . Zum Repertorium neuer Erfindungen und Entdeckungen W . M e y e r . Ueber die Entdeckung des Neptun S. G ü n t h e r . Historische Notizen über Lateral-Refraction C a p i t e l 2.

IX Seite

27 28 28 29 29

29 30 30 31 31 31 32 32 33 34 35 35 36 37 37 37 33 39 39 39 40 41 41 41 42 43 44 44 44 45

Philosophie.

J . K r ö n i g . Das Daseiu Gottes H a r t z . Der Dualismus in der Zahlvorstellung S. G ü n t h e r . Anwendungen und Erweiterungen des Hauber'schen Theorems K r ä h e . Ueber den indirecten Beweis E . M e y e r . Zum Beweisverfahren in der Mathematik B ö r n e r . Das Beweisverfahren in den inveraen Rechnungsarten . . F . R e i d t . Beiträge zu den Kleinigkeiten J . v a n B e b b e r . Die Proportionen und die Schlussrechnung . . .

45 47 48 48 50 50 51 52

Inhaltsverzeichnis«.

X J. J. J. E. G. J. J.

C o o k i e . OD the sign of equality K o b e r . Die Bruchdivision K o b e r . Ueber das W o r t „Gegenwinkel" M e y e r und S c h e r l i n g . Zwei Entgegnungen an H . Bender . . H e l l m a n n , M. C u r t z e . Mathematische Sophismen . . . . . . W e y r a u c h . Die graphische S t a t i k B o d e . Noch einmal die Centripetalkraft

Zweiter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Seite

52 52 52 53 53 53 53

Algebra.

Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen )

E . S c h r ö d e r . .Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra G. C a n t o r . U e b e r eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen L a g u e r r e . Sur la théorie des équations numériques Laguerre. Sur une formule nouvelle permettant d'obtenir, par approximations successives, les racines d'une équation dont toutes les racines sont réelles L a g u e r r e . Sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles A . S i e b e l . Untersuchungen über algebraische Gleichungen . . . . S. G ü n t h e r . Ueber die allgemeine Auflösung von Gleichungen durch Kettenbrüche M a l e y x . Séparation des racines des équations à une i n c o n n u e . • • J . C. M a l e t . A général formula for the équation whose roots are the products in pairs of the roots of any algebraic équation . . J . C. M a l e t . On certain Symmetrie functions of the roots of an algebraical équation V. V a l e r i a n o . Nuova dimostrazione di una importante formola algebrica F . U n f e r d i n g e r . U e b e r die Auflösung eines linearen Systems von Gleichungen A. W a s s i l i e f f . Ueber die Absonderung der Wurzeln simultaner Gleichungen De Saint-Germain. Des cas où l'on peut résoudre l'équation du second degré par approximations successives K . L . B a u e r . Bemerkungen zu einem Aufsatze des H. Diekmann • J . D i e k m a n n . T h e o r i e der Gleichungen zweiten Grades S c h e r l i n g . Zur trigonometrischen Lösung quadratischer Gleichungen A . C a y l e y . On a Senate-house problem S- B i l l s , H. M u r p h y . Solution of a question A. C a y l e y , S . B i l l s , ß . T u c k e r , H a r l e y , W i l k i n s o n , B o o t h , H o p k i n s . L ö s u n g von Aufgaben M. A z z a r e l l i . Bisoluzione delle equazioni di 3° e 4 ° grado per mezzo di una sostituzione lineare D. A m a n z i o . Bisoluzione dell' equazione di 3 ° grado S a i n t - L o u p . Resolution de l'équation du troisième degré, à l'aide d'un système articulé A. W. P h i l i p p s . Graphical solution of cubic équations C. D a h l . E n L ö s n i n g af den kubiske Ligning B . H o p p e . Construction der reellen Wurzeln einer Gleichung vierten oder dritten Grades mittelst einer festen P a r a b e l N e i l . U e b e r die allgemeine L ö s u n g der Gleichungen vierten Grades K . L . B a u e r . U e b e r eine A r t biquadratischer Gleichungen . . . . J . C. M a l e t Solution of a question

55 57 57 58 59 59 59 60 60 60 61 61 61 61 62 62 62 62 63 63 63 64 64 64 64 64 65 66 66

iDhaltBverzeichniss.

XI Seite

H . B r o c a r d . Solution d'une question J . W o U t e n h o l m e , R. S. B a i l , S. B i l l s , A. M. N a s h , J . S y l v e s t e r , M c k e n z i e . Lösung von Aufgaben C a p i t e l 2. G. C. C. L. L. L. C. C. B. S. J.

67

Theorie der Formen.

D a r b o u s . Sur la théorie algébrique des formes quadratiques . . J o r d a n . Sur les polynômes bilioéaires J o r d a n . Sur la réduction des formes bilinéaires K r o n e c k e r . Ueber Schaaren von quadratischen Formen . . . . K r o n e c k e r . Sur les faisceaux de formes quadratiques . . . . K r o n e c k e r . Ueber die congruenten Transformationen der bilinearen Formen J o r d a n . Sur les systèmes des formes quadratiques J o r d a n . Mémoirè sur la réduction et la transformation des systèmes quadratiques I g e l . Ueber die Darstellung der ternären quadratischen Formen durch Quadrate G u n d e l f i n g e r . Ueber das simultane System zweier binären kubischen Formen W o l s t e n h o l m e . Solution of a question

C a p i t o l 3.

66

63 70 70 71 71 75 77 77 78 79 79

Elimination und Substitution, Determinanten, Invarianten, Covarianten, symmetrische Functionen.

F o u r e t . Détermination du nombre des solutions d'un système de n équations C. J o r d a n . Sur deux points de la théorie des substitutions . . . . V. J a n n i . Risoluzione dell' equazioni di Galois E . N e t t o . Theorie der zusammengesetzten Gruppen C. J o r d a n . Sur la limite du degré des groupes primitifs L . P a i n v i n . Sur la méthode d'élimination de Bezout Y . J a n n i . Sul grado dell' eliminante del sistema di due equazioni . H . G. Z e u t h e n . Om Elimination mellem to algebraiske Ligninger . J . P e t e r s e n . Elimination mellem to Ligninger W . J . C. M i l l e r . Solution of a question S. G u n d e l f i n g e r . Quadratische Transformation eines elliptischen Differentials A. C u n n i n g h a m . An investigation of the numbers of constituents, elements and minors of a determinant A. C a y l e y . On the number of distinct terms in a symmetrical determinant A. C a y l e y and S. R o b e r t s . Solution of a question V . J a n n i . Dimostrazione di alcuni teoremi sui determinanti . . . J . W e i h r a u c h . Zur Determinantenlehre G. D o s t o r . Propriété des déterminants F . J . S t u d n i c k a . Determinantensatz T i r e Ili. Soluzione di alcune quistioDi J . W. L . G l a i s h e r , J . W o l s t e n h o l m e , J . J . S y l v e s t e r , J . L. M c k e n z i e . Solution of questions J . C a s o r a t i . Alcuni teoremi sui determinanti G. F r o b e n i u e . Ueber die Determinante mehrerer Functionen einer Variabein P . G o r d a n . Ueber den grössten gemeinschaftlichen Factor . . . . J . P. G r a m . Sur quelques théorèmes fondamentaux de l'algèbre moderne

79 80 80 81 81 81 82 82 82 82 83 83 84 84 85 85 85 85 85 86 87 87 90 90

XII

Inhaltsverzeichniss. Seite

S. L i e . B e g r ü n d u n g einer InvarianteDtheorie der formationen S- L i e . U e b e r G r u p p e n von T r a n s f o r m a t i o n e n

Dritter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Berührungstrans92 93

Zahlentbeorie.

Allgemeines.

J. W. L. G l a i s h e r . On partitions and derivations L u b i n . C a r a c t è r e s g é n é r a u x d e la d i v i s i b i l i t é d ' u n n o m b r e . . . . D. A n d r é . Sur une formule d'arithmétique B r o d a . Beiträge zur T h e o r i e periodischer Decimalbriiche G. d e C o n i n e k . P r o p r i é t é s nouvelles des fractions décimales périodiques W . S h a n k s . On t h e n u m b e r of t h e figures in t h e p e r i o d of t h e rec i p r o c a l of e v e r y p r i m e n n m b e r 97. J . P l a t e a u . Sur uue récréation arithmétique P. Mansion. Sur quelques propriétés des fractions périodiques . . G. de C o n i n c k . L o i s nouvelles des puissances des nombres . . . V . A . L e b e s g u e , C. M o r e a u . S o l u t i o n d ' u n e q u e s t i o n Ë. C a t a l a n . Nuovo teorema d'aritmetica G . W . H i l l . S o l u t i o n of a p r o b l e m VV. D . H e n k l e . P e r f e c t c u b e s A. B . E v a n s , E . B . E l l i o t , G . H . H o p k i n s , J . R. W i l s o n , H . M u r p h y , H . S . M o n c k , W . J . G r e e n f i e l d , M. C o l l i n s . S o l u t i o n s of q u e s t i o n s 100. N . B o u g a ï e f f . Problèmes sur quelques fonctions numériques . • . C. G R e u s c h l e . E n t w i c k e l u n g von P r o d u c t e n c o n j u g i r t e r F a c t o r e n G. R . P e r k i n s . S o l u t i o n of two similar i n d e t e r m i n a t e . p r o b l e m s . . W . À . W h i t w o r l b . F o r m u l a for a f r a c t i o n a p p r o x i m a t e in v a l u e t o a given s u r d A. S t e r n Zur Theorie der Euler'schen Zahlen C. G. B a c h e t . P r o b l è m e s plaisants et délectables J . M u i r. T h e o r e m s on c o n g r u e n c e s J. W e i h r a u c h . U e b e r d i e F o r m e n , in d e n e n die L ö s u n g e n e i n e r d i o p h a n t i s c h e n G l e i c h u n g vom e r s t e n G r a d e e n t h a l t e n s i n d . . C. R e u s c h l e j u n . U e b e r d i e u n b e s t i m m t e n G l e i c h u n g e n 1. G r a d e s . 1]. R a t h . D i e r a t i o n a l e n D r e i e c k e H . S. M o n c k a n d G . H . H o p k i n s . S o l u t i o n of a q u e s t i o n . . . . J . W . L . G l a i s h e r , G. H . H o p k i n s , H . S. M o n c k , S. T e b a y , T. T . W i l k i n s o n . Pythagorean triangles G. R. P e r k i n s . S o l u t i o n of an i n d e t e r m i n a t e p r o b l e m D . S. H a r t , A . B. E v a n s u. A . L ö s u n g e n von A u f g a b e n 109, 110, S . B i l l s . A new m e t h o d of t r e a t i n g b i q u a d r a t i c e x p r e s s i o n s . . . . C h a b a n el. S u r un p r o b l è m e d ' a n a l y s e i n d é t e r m i n é e r e l a t i f a u tétraèdre W. Schmidt. Ueber die Auflösung einer unbestimmten G l e i c h u n g . E . C a t a l a n . P r o p o s i t i o n s r e l a t i v e s à la t h é o r i e d e s n o m b r e s . . . A. G e n o c c h i . S u r l'impossibilité d e q u e l q u e s é g a l i t é s d o u b l e s . • P . P é p i n . Théorèmes d'analyse indéterminée E. B. C h r i s t o f f e l . Observatio arithmetica P. P é p i n . Sur les résidus cubiques F . M e r t e n s . U e b e r einige a s y m p t o t i s c h e G e s e t z e d e r Z a h l e n t h e o r i e F . M e r t e n s . B e i t r a g zur a n a l y t i s c h e n Z a h l e n t h e o r i e E . K u m m e r . U e b e r die P r i m z a h l e n X , f ü r welche d i e K l a s s e n d e r a u s ¿ten E i n h e i t s w u r z e l n g e b i l d e t e n c o m p l e x e n Z a h l e n d u r c h 2 t h e i l bar sind

96 96 97 97 97 98 98 99 99 99 100 100 100 101 101 102 102 102 103 104 104 104 105 105 107 107 109 111 Ill 111 112 112 112 113 113 114 114 116 U7

Inhalts? erzeichnisS.

XIII Seite

G. Z o l o t a r e f f . Théorie des nombres entiers complexes avec une application au calcul intégral 117 T. N. T h i e l e . Talmönstre 124 C a p i t e l 2.

Theorie der Formen.

P. G r n b e . Ueber einige Euler'sche Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen P. P é p i n . Nombre des classes de formes quadratiques pour un déterminant donné E. S e l l i n g . Ueber die binären und ternären quadratischen Formen Ch. fi e r m i t e . Extraits de deux lettres à Mr. Borchardt C a p i t e l 3.

124 126 128 131

Kettenbrüche.

V. N a c h r e i n e r . Beziehungen zwischen Determinanten und Kettenbrüchen F. J . S t u d n i o k a . Beitrag zur Lehre von den Kettcnbrüchen . . . S. G ü n t h e r . Paragone di due metodi per la determinazione approssimativa di quautità irrazionali E. F ü r s t e n a u . Ueber Kettenbrüche höherer Ordnung J . W. L. G l a i s h e r . On the transformation of continued products into continued fractions J. W. L. G l a i s h e r . Numerical values of certain continued fractions J . W. L. G l a i s h e r . A continued fraction for tan nx E. B. C h r i s t o f f e l . Observatio arithmetica

131 132 132 133 135 135 136 136

V i e r t e r A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. M. V a c h e t t e . Permutations rectilignes de 29 lettres A. J . S h e p h e r d , H. M u r p h y , J. R. W i l s o n . Solution of a question P . V o l p i c e l l i . Soluzione del problem» relative» alle corse del cavallo P. V o l p i c e l l i . Réponse aux critiques S. G ü n t h e r . Zur mathematischen Theorie des Schachbrettes . . . M. G. H. N i e wen g l o w ski. Combinaisons complètes H. N ä g e l s b a c h . Zur independenten Darstellung der Bemoulli'schen Zahlen , . W. L e a , T. P . K i r k m a n . Solutions of questions D. T r o w b r i d g e . Solution of a problem A. M e y e r , F. F o l i e . Cours de calcul des probabilités C. J. M o n r o . On the inversion of Bernoulli's theorem in probabilities C. P o w a l k y . On the combination of the different results of various series of observations J. W. B e r g . On the influence of errors of observation on the determination of the orbit of a planet J. W. L. G l a i s h e r . Note on a paper by Mr. Stone, nebst Antwort des Herrn StoDe 144. J. W. L. G l a i s h e r . On the solution of the equations in the method of least squares J. Di e n g e r . Die Laplace'sche Methode der Ausgleichung von Beobachtungsfehlern bei zahlreichen Beobachtungen

137 137 138 139 139 140 140 141 141 142 143 144 144 145 145 146

Inhal tsverzeichniss.

XIV

6 . V. S c h i a p a r e l l i . Sul calcolo di Laplace intorno alla probabilità delle orbite planetarie iperboliche L. S e i d e l . Ueber ein Verfahren, lineare Gleichungen dnrch successive Annäherung zu lösen C. N a e g e l i . Verdrängung der Pflanzenformen durch ihre Mitbewerber A n o n y m u s . Calculs servants des bases pour des caisses de retraite J . B. S p r a g u e . Explanation of W. M'Clintock's method J. J . S y l v e s t e r , J . W o l s t e n h o l m e , Ä. B. E v a n s , A. M a r t i n , H. W. W a t s o n , G. S. C a r r , H S. M o n c k , W. J. 0. M i l l e r , S . F o r d e , S. T e b a y und Andere. Lösung von Aufgaben 151, 152, C. T y c h s e n . Om Sandsynlighedsregningens Anvendelse til Lösningen af geometriske Problemer G. S. C a r r , W. S. B. W o o l h o u s e , S. W a t s o n , E. B. E l l i o t t , A. M a r t i n , A. B. E v a n s , W. J. 0. M i l l e r , J. W o l s t e n h o l m e und Andere. Lösung von Aufgaben 154,

Fünfter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Seit«

146 147 149 151 151

153 153 155

Reihen.

Allgemeines-

F . M e r t e n s . Ueber die Multiplicationsregel für zwei nnendliche Reihen H. F . C. L o g a n . On the calculas of factorials A. P i c a r t . Série de Taylor A. P i c a r t . Développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes d'une autre fonction A. P i c a r t . Série de Taylor J . K ö n i g . Nouvelle démonstration du théorème de Taylor . . . . J o u r j o n . Sur une transformation de la formule de Taylor . . . . A. F a i s . Intorno ad alcune formolo elio si deducono dalla formola di Taylor C a p i t e l 2.

C a p i t e l 1. J . T o d h u n t e r.

157 158 158 158 158

Besondere Reihen.

G. D o s t or. Calcul élémentaire du nombre des boulets contenus dans les piles des arsenaux V. J a n n i . Sulla serie binomiale A. M a r t i n . On the extraction of roots of whole nnmbres by the binomial theorem J . L . E i t c h i n , S. F o r d e , J. W o l s t e n h o l m e , R. T u c k e r und Andere. Lösungen von Aufgaben 159, J . W . L. G l a i s h e r . Summation of selected terms of a series . . L a i s a n t . Solution d'une question A. B o n o l i s . Sulle progressioni di ordine superiore A. S t e en. Om Beschaffenheden af Tallet e M. C h e vi Iii et. Sur le développement en série de arc sin* au moyen de la formule de Maclaurin W. L i g o w s k i . Ueber eine gewisse Klasse unendlicher Reihen • .

S e c h s t e r Abschnitt.

156 156 157

158 159 159 160 160 160 160 161 161 162

Differential- und Integralrechnung.

Allgemeines (Lehrbücher etc.).

Calcul différentiel

163

Inhal tsverzeichniss.

XV Seite

W. F o l k i e r s k i . Grundlagen der Differential- und nung J. Ph. H e e r r . Lehrbuch der höheren Mathematik

Integralrech-

164 165

C a p i t e l 2. Differentialrechnung. (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima). W. D. W i l s o n . A new method of finding differentials J. W. L. G l a i s h e r . Account of the method employed by J. M. Rice and W. Johnson for obtaining the differentials of functions . . M. A l b e g g i a n i . Soluzione di una quistione J . N e u b e r g . Questions de maximum et minimum A. W. L e t n i k o f f . Recherches relatives à la théorie des intégrales de la forme J*\x—u)i>-1 G. W. Hill.

f{u) du

166 166 167 167 167

Useful formulae in the calculus of finite differences . . 168 O a p i t e l 3.

Integralrechnung.

P . du B o i s - R e y m o n d . Ueber eine veränderte Form der Bedingung für die Integrirbarkeit einer Function P . M a n s i o n . Sur certaines courbes quarrables algébriquement . . A. Cay le y. Sur une formule d'intégration D. G r e e n e . Integration of polynomial differentials G. Z o l o t a r e f f . Sur la méthode d'intégration de Mr. Tchébicheff . J . C. M a l e t . Two theorems in integration A. M. S t e r n . Ueber den Werth einiger Integrale A. W i n c k l c r . Ueber die unbestimmte Integration einer Gattung transcendenter Functionen J . L i o u v i l l e . Extrait d'une lettre adressée à Mr. Besge; und Antwort des Herrn B e s g e S. R é a l i s . Sur l'intégrale / c o s ^ + i - r d r C a p i t e l 4.

168 169 170 171 171 174 175 176 178 179

Bestimmte Integrale.

P . du B o i s - R e y m o n d . Ueber eine neue Bedingung für den gewöhnlichen Mittelwerthsatz P . T c h é b i c h e f f . Sur les valeurs limitées des intégrales O h e v i l l i e t . Sur le degré d'exactitude de la formule de Simpson . P . T c h é b i c h e f f . Sur les quadratures J. W. L. G l a i s h e r . A new formula in definite integrals J . 0 . K i n e a l y . On a new formula in definite integrals W. H. L. R u s s e l l . On the multiplication of definite integrals . . . T h . Mu ir. On Sylvester's and other forms of circle-quadrature . . J . W o r p i t z k y . Auswerthung eines bestimmten Integrals D. B e s s o . Süll' un integrale P . M a n s i o n . Démonstration.d'un théorème de M. Liouville . . . . E. C a t a l a n . Remarque sur une intégrale Ch. H e r m i t e . Sur une intégrale L. G e g e n b a u e r . Ueber einige bestimmte Integrale B e s g e . Extrait d'une lettre à Mr. Liouville A. G e n o c c h i . Réclamation de priorité au sujet de la série de Binet M. de T i l l y . Sur la généralisation de la formule de Binet . . . . 0 . M o r e a u . Solution d'une question

180 180 181 182 184 185 185 185 186 187 188 189 189 189 191 191 191 191

InhaltsverzeichnisB.

ivi

Seite

J. L i o u v i l l e . Sur une intégrale définie . . . . . . . ' 192 J. W. L. G l a i s h e r , F. D. T h o m s o n , J . W o l s t e n h o l m e . Solutions of questions . 192. 193 G. B e l l a v i t i s . Tavole numeriche di integrali 193 C a p i t e l 5.

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

H. L a u r e n t . Mémoire sur les équations différentielles ordinaires et aux différentielles totales S. L i e . Zur Theorie des Integrabilitätsfactors S. L i e . Verallgemeinerung der Jacobi'schen Multiplicatortheorie . . A. F a i s . Sopra una forma compendiata delle equazioni differenziali immediate d'ordine superiore J. Co e k l e . On particular intégrais J. C o o k i e . On singular solutions L. Z a j a c z k o w s k i . Zur Theorie der singulären Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung L. Z a j a c z k o w s k i . Ueber singulare Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen beliebiger Ordnung P u l l i c h . Note tilLaeren om homogene Differentialligninger af färste Orden F o u r e t . Intégration géométrique de l'équation L{xdy — y dx) — Mdy + Ndx = 0 C. H a r k e m a . Sur une intégration de l'équation f(x,y)dx + e von der ersten Hälfte der Werke d'Alembert's; das 14,e von Boscovich; das Iö ,e von den Untersuchungen der Jahre 1741—1760; das Iß'" von der andern Hälfte der Schriften d'Alembert's; das 17le von den Werken Frisi's; das 18", das letzte des ersten Baldes, behandelt endlich die Jahre 1761 — 1780. Cap. 19. handelt von dem ersten Mémoire von

42

I' Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Laplace; das 20" von dem ersten Mémoire von Legendre; das 21" von einem andern Tractat Laplace's; das 22" von der zweiten Abhandlung Legendre's; das 23" von drei weiteren Mémoires von Laplace, das 24" vom 3 ,en Legendre'schen Mémoire. Das 25,e bebandelt ebenso das 4" Mémoire Legendre's; das 26'* das 7 ,e Mémoire von Laplace ; das 27" verschiedene Untersuchungen in den Jahren 1781 — 1800; das 28le die beiden ersten Bände der Mécanique céleste ; das 29 te die Geschichte der Untersuchungen Uber das Laplace'sche Theorem von Ivory, Gauss, Rodrigues; das 30,e von einer speciellen Gleichung von Laplace; das 31le behandelt die partielle Differentialgleichung für die Potentialfunction ; das 32,e eine Methode von Laplace, um das Legendre'sche Problem zu lösen; das 33"' eine Reihe Abhandlungen, die Laplace im ersten Viertel des laufenden Jahrhunderts veröffentlichte; das 34" den fünften Band der Mécanique céleste. Die folgenden Capitel sind als Anhang zu betrachten, da der auf dem Titel genannte Zeitraum erschöpft ist. Es bandelt nun noch Gap. 35 über alle Abhandlungen Poisson's; das 36" von den zahlreichen Abhandlungen Ivory's; das 37" endlich ist Plana gewidmet. Im letzten Capitel wird dann noch Uber die verschiedenen Untersuchungen im ersten Viertel des laufenden Jahrhunderts gehandelt. Ce.

K.

LASSWITZ. Der Verfall der „kinetischen Atomistik" im siebzehnten Jahrhundert. Poggendorff Ann. CLXll. 373-386.

Der Verfasser bemerkt zunächst, dass die Hypothesen, die Clausius seiner kinetischen Theorie der Gase zu Grunde legte, in ihrem WeBen sich bereits bei Gassendi vorfinden. Er entwickelt sodann die Ansicht der beiden Hauptvertreter der Atomistik im 17"n Jahrhundert, Borelli und Boyle, und zeigt, wie bereits in ihnen die beiden Gründe liegen, aus denen diese Hypothese in der Folge fast in Vergessenheit gerieth. Er sucht dieselben einmal darin, dass man die physikalischen Erscheinungen nicht durch Bewegung der angenommenen Atome zu erklären gesucht habe, sondern durch Eigenschaften derselben, dass man

Capitel 1.

Geschichte.

43

also die Eigenschaften der Materie gewissermassen nur um eine Station zurfickverlegt habe. Den zweiten Grund für die nicht geschehene Forteritwickelung findet der Verfasser im Auftreten und Umsichgreifen der Roberval-Newton'schen dynamischen Atomistik, welche ein bequemes Mittel darbot, die dort eintretenden Schwierigkeiten mit Vortheil zu umgehen. 0.

J.

WEYRAUCH.

Kritisches.

Die graphische Statik. Historisches und Schlömilch Z. X I X . 361-390.

Nach einer kurzen Einleitung stellt der Verfasser den Unterschied zwischen analytischer und synthetischer Methode fest. Darauf bespricht er die Verschiedenheiten der geometrischen und analytischen Mechanik, und geht dann näher auf das graphische Rechnen, die graphische Darstellung und die graphische Statik ein. Letztere definirt er als die Lehre von den Constructionen, welche bei der graphischen Lösung der statischen Probleme des Ingenieurwesens zur Verwendung kommen, und welche die allgemeinen Beziehungen untersucht, die sich im Anschluss an diese Constructionen erreichen lassen. Der Verfasser geht in diesem sechsten Abschnitt genauer auf die historische Entwickelung der graphischen Statik ein. Er bespricht namentlich die Leistungen von Cousinery, Poncelet und Culmann in dieser Richtung. Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit der Methode der graphischen Statik und ihren Grenzen. Nach einem Abschnitt liber das Wesen und die Entwickelung der neueren Geometrie in ihren verschiedenen Richtungen untersucht er die Wichtigkeit ihrer Methoden fflr das Ingenieurwesen, indem er namentlich auch darauf dringt, dieselbe zu einem obligatorischen Gegenstande aut den technischen Hochschulen zu machen. Den Schluss bilden Betrachtungen liber die Fälle, wo die Anwendung der graphischen oder der analytischen Methode in Problemen der Praxis zweckmässig sei. In allen Abschnitten finden sich zahlreiche Literaturangaben. Einem Separatabzug seiner Arbeit gedenkt der Verfasser ein vollständiges Literaturverzeichniss beizugeben. 0.

44

H.

I. Abschnitt.

Geschichte and Philosophie.

L'énoncé du principe de la théorie du timbre est dû à Monge, c . R. LXXIX. 821-822. RÉSAL.

Der Verfasser stutzt seine Ansicht, dass Monge zuerst das Wesen der Klangfarbe erkannt habe, auf eine Stelle eines 1793 erschienenen Buches von A. Suremain-Missery: Théorie acotulicomuticale. In der citirten Stelle wird jedoch nicht erwfthnt, wo Monge seine Ansicht ausgesprochen habe. Wn.

G.

Zum Repertorium neuer Entdeckungen und Erfindungen, a) Astronomie. Hoffmann z. v. 244-246. HELLMANN.

Der Verfasser mustert die Fortschritte der Astronomie in diesem Jahrhundert, und führt namentlich an: die Stellar-Astronomie (Bewegung der Doppelsterne), die Astrophysik (Spectralanalyse), die Photographie (Herstellung der Mondkarten), die Meteor-Astronomie (Zusammenhang zwischen Kometen und Sternschnuppen), die Aufsuchung der Planeten jenseits Neptun und Merkur und der Planetoiden. Er geht dann ausführlicher ein auf die Beobachtungen der Venusdurchgänge zur Bestimmung der Sonnenparallaxe, und macht historische und literarische Angaben. H.

W.

MEYER. Ueber Wolf Z. IX. 220-242.

die Entdeckung des Neptun.

Die Notiz giebt zunächst ein kurzes Bild Uber die Differenzen, die sich zwischen den Uranustafeln von 0. Bouvard und den Beobachtungen ergaben. Sie schildert dann die vergeblichen Bemühungen Bouvard's, um den Gründen derselben auf die Spur zu kommen. Sodann wendet sich der Verfasser zu den Arbeiten Leverrier's, giebt eine Schilderung der Schwierigkeiten, mit denen derselbe zu kämpfen hatte, und setzt die Art ihrer Ueberwindung auseinander. Nachdem dann der wirklichen Auffindung des Neptun durch Galle gedacht, wendet sich der Verfasser zu den Ansprüchen Adam's auf die Entdeckung desselben, und schildert

Capitel 2.

Philosophie.

45

den Streit, der sich zwischen ihm und Leverrier Uber die Priorität derselben entwickelt hatte. 0.

S.

GÜNTHER. Historische Notizen über die LateralRefraction. Erl. Ber. 1874

Der Verfasser stellt die Literatur Hber das fUt die Geodäsie wichtige Problem der Lateral-Refraction zusammen und bespricht die einzelnen Arbeiten. Die Lateral-Refraction wird zunächst erwähnt von dem Nürnberger Astronomen Eimmart im Anfang des vorigen Jahrhunderts. 138 Jahre später stellte Brandes Untersuchungen darüber an, ohne zu einem Resultate zu gelangen. Wichtiger sind die Untersuchungen von Sabler, die in seiner 1839 zu Dorpat erschienenen Inauguralschrift (Beobachtungen über die irdische Strahlenbrechung und über die Gesetze der Verände-' rung derselben) niedergelegt sind. Seitdem haben sich mit jener Erscheinung beschäftigt Fr. Pfaff (Sitzungsber. der Münch. Akad. 1872) und Sonderhof (Grunert's Arch. L.). Durch Sabler's und Pfaff's Arbeiten ist die Existenz der Lateral-Refraction erwiesen. Wn.

Capitel 2. Philosophie. J.

KRÖNIG.

Menschen.

Das Dasein Gottes und das Glllck der Berlin, Stande.

Aus dieser Schrift, welche nur zum kleinsten Theil das mathematische Gebiet berührt, sind 2 Separatabdrücke erschienen. Der eine, betitelt Das Unendliche, ist ein daraus abgedruckter Abschnitt; der andere, Entwurf eines erfahrungsphilosophischen Systems,

be-

steht aus 60 Thesen, die der Verfasser zum Zweck übersichtlicher Ordnung besonders zusammengestellt hat. Der Bericht kann sieb

46

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

um so mehr auf diese zwei kleineren Schriften beschränken, weil sie in der That das am reichlichsten Durchdachte und alles auf exacte Wissenschaft Bezügliche enthalten. Die Thesen betreffen die gangbarsten kosmologischen Fragen. Sie zeichnen sich durch eine seltene vorurtheilslose Unparteilichkeit, Vielseitigkeit und logische Schärfe aus, die sich namentlich dadurch hervorthut, dass jede Behauptung auf das genaue Maass des Evidenten beschränkt ist. Unterstützt oder nicht durch Argumente schlagen sie kurz und einfach gangbare und von namhaften Schriftstellern vertheidigte Ansichten durch Enthüllung der direct widersprechenden, gleichwohl nie bestrittenen, sondern beharrlich ausser Acht gelassenen Punkte. In dieser Eigenschaft war die Wahl der Thesenform für die Darlegung eine sehr glückliche. Freilich würde dem Verfasser der deutliche Ausdruck nicht so leicht geworden sein, wenn er in die behandelten Fragen tiefer eingedrungen wäre. Doch giebt er stets Rechenschaft über die Grenzen seines Fassungsvermögens und nennt das darüber Hinausliegende nur ihm selbst unbegreiflich. Alles, was von Mängeln in dieser Hinsicht hier Bedeutung hat, lässt sich in einen Punkt zusammenfassen, in welchem Viele mit ihm übereinstimmen, die doch aus Fahrlässigkeit der Beengung überhoben werden. E r verlangt mit Recht, dass die Begriffe und Erkenntnissformen der Wirklichkeit entsprechen. Daraus folgt aber nicht, was er und Andere als selbstverständlich betrachten, dass sie der Wirklichkeit congruent sein müssten, sondern dass sie als freie Producte des Verstandes geeignet sind, die Wirklichkeit oder doch soviel als möglich davon, in dessen Gewalt zu bringen. Krönig erkennt die Nützlichkeit imaginärer Einführungen an, nur geht er ohne Interesse darüber hinweg, und beachtet daher nicht, dass alle ideellen Begriffe der Mathematik in gleichem Falle sind. Das Vorstehende ist nun entscheidend über des Verfassers Ansicht vom Unendlichen. Da in der Wirklichkeit nichts dauernd existirt, was sich mit unendlich adäquater Weise bezeichnen lässt, so erklärt er den Begriff für falsch. Der Gegenstand wird sehr vielseitig besprochen, und eine Anzahl falscher Bestimmungen des Begriffs kritisirt. Die Definition des Unendlichen als Variabein

Capitel 2.

Philosophie.

47

ist ihm fremd und bleibt unerwähnt; er wilrde sie als imaginäre Einführung der Beachtung für unwerth halten. In seinen Folgerungen beobachtet er hier nicht die gleiche Selbstcontrole wie sonst. Er schliesst aus dem Mangel des Begriffs auf die Nichtexistenz dessen, was ihm die Unendlichkeit zu involviren scheint, namentlich auf die begrenzte Theilbarkeit des Stoffes, der nur aus untheilbaren, doch ausgedehnten Atomen bestehen könne; die Resultate der Infinitesimalrechnung seien mit Fehlern behaftet, aber mit unschädlichen, weil sie kleiner als die Beobachtungsfehler seien, u. s. w. Erwähnenswerth ist nur noch der methodische Vorschlag, die Tangente als Scheide zwischen zwei Secanten zu definireu. Hiermit meint er den Begriff der Grenze zu vermeiden. H.

Der Dualismus in der Zahl Vorstellung, dem Zahlausdruck und den Zahloperationen. Pr. Hadersleben.

HARTZ.

Unter dem Dualismus versteht der Verfasser die Verbindung der zwei Denka^teij beim Rechnen, Bildung der Einheiten (10, 100, • • •) und Zählen derselben. Der erste wird vom Schematismus übernommen und schwindet aus dem Bewusstsein. Bei der Aufgabe, die Multiplication umfassend zu definiren, macht er sich plötzlich wieder geltend, und die Vergessenheit ist schuld an der hier empfundenen Schwierigkeit. Es ist so unwahr, dass der Rechner um mit 1473 zu multipliciren, 1473 gleiche Addenden setzt, als es unwahr und sinnlos ist, dass er um mit .

•

D

tipliciren, ~

gleiche Addenden gesetzt denkt.

8

zu mul-

Vielmehr treten

Q

in beiden Fällen algebraische Reductionen zwischen die Rechnung, die auch im ersten nicht Ubersehen werden dürfen. Diese Reductionen bestimmen sich unter dem leitenden Gesichtspunkt (nicht aus der Definition, wie der Verfasser fälschlich sagt, denn dass es keine Definition ist, ist unzähligemal erklärt worden), dass das Product aus dem Multiplicanden zu bilden ist, wie der Multiplicator aus 1. Aus dem Ganzen ist wohl der allgemeine.

I. Abschnitt.

48

Geschichte und Philosophie.

Gedanke zu entnehmen, dass methodische Schwierigkeiten da eintreten, wo man den im Vergleich zur gewohnten Praxis etwas längeren Weg der psychischen Genesis zu verfolgen sich scheut. H.

S.

GÜNTHER. Ueber einige Anwendungen und Erweiterungen des Hauber'schen Theorems. Grunert Arch. LVI. 26-41.

Das Hauber'sche Theorem ist ein logisches Princip, welches ein Kriterium für die Umkehrbarkeit eines allgemeinen bejahenden hypothetischen Urtheils aufstellt. In dem Werke: Scholae logico-mathematicae auctore F. C. Haubero Cap. VII. § 287 ist es in folgender Weise ausgesprochen: Si genus aliquod dividatur in suas species duplici ratione, et singulis speciebus unius divisionia respondeant singulae species alterius ut attributa: vicissim etiam singulis speciebus alterius divisionis singulae species prioris ut attributa respondebunt. Drobisch hat diesem Satze eine entsprechende Erweiterung gegeben, worüber das Nähere in der „neuen Darstellung der Logik, 4. Aufl. S. 231" zu lesen ist. In dem Grunert'schen Archiv VI. 653. hat Matzka denselben Gegenstand weiter verfolgt. Der Verfasser fuhrt in der vorliegenden Abhandlung mehrere Sätze aus der elementaren Geometrie, aus der Analysis, der Theorie der Gleichungen und der angewandten Mathematik an, deren Umkehrung nach seiner Ansicht aus dem Hauber'schen Theorem folgen soll. Schi.

KRÄHE.

Ueber den indirecten Beweis.

PR Berlin.

Der Aufsatz beginnt mit den Principien der Logik, die er ganz in formalem Sinne aufifasst. Die Präliminarien zum Thema bestehen in einer Disposition der Aufgabe der logischen Doctrin, die in einer desto vollkommneren systematischen Ordnung auftritt, je weniger darin Kritik geübt, der Sachverhalt geprüft, und Falsches vom Wahren gesondert worden ist. Da alles nur Re-

Capitel 2.

Philosophie.

49

production fremder Gedanken ist, so bietet es keinen Anlass zur Besprechung. Die Behandlung des Themas beschränkt sich nicht auf den mathematischen Beweis, sondern bleibt stets bei dem umfassenden Begriffe stehen, indem sie der erklärten Scheidung zwischen apodiktischen Beweisen und Beweisen ad hominem keine weitere Folge giebt. Ganz besonders vermisst man die Unterscheidung zwischen Beweis und Bestätigung. Eigenthttmlich ist wohl dem Verfasser die irrige Behauptung, dass die Hypothese in der Absicht aufgestellt werde, dass sie sich in ihren Consequenzen bewähre, nur im indirecten Beweise sei die Absicht die entgegengesetzte. Beim directen Beweise findet doch keine von beiden Absiebten statt. Den Hauptinhalt des Aufsatzes bildet die Frage nach dem Werthe des indirecten Beweises. Der Verfasser räumt, als eine anerkannte Sache, dem directen Beweise die zwei Vorzüge ein, dass er einen besseren Einblick in die Natur des Gegenstandes gebe, und dass er den Trugschlüssen weniger ausgesetzt sei. Beides kann man bestreiten: Ersteres hängt von manchen Umständen ab; die Trugschlüsse aber gehen hervor aus Nichtbeachtung der abschliessenden Gegensätze, aur welchen alle Beweisfähigkeit beruht, und die gerade im indirecten Beweise deutlich werden. Obiges vorausgesetzt tritt der Verfasser der Verwerfung des indirecten Beweises schlechthin entgegen und zeigt seine Unersetzlichkeit für bestimmte Fälle. Der indirecte Beweis ist die einzig natürliche Methode, wenn das zu beweisende Urtheil negativ ist oder in einer Disjunction besteht. Ferner muss er eintreten, wo er wegen zeitweiliger Grenzen der Erkenntniss das einzige Mittel zur Erlangung apodiktischer Gewissheit ist. Hiev hat er also eine interimistische Stelle. Dies giebt nun Anlass auf die Bedeutung der Induction in der Naturforschung einzugehen, Uber deren Verhältniss zur Theorie manche ganz richtige Gesichtspunkte aufgestellt werden, obwohl es ihnen wegen mangelhafter Begriffsscheidung noch sehr am genauen Ausdruck fehlt. Wiederholt begegnet man in dem Aufsatze noch dem Irrthum, das mathematische, wie jedes andere Urtheil bestehe aus Subject und Prädicat. Zwar heisst es in erster Aufstellung die Form des Urlheils; doch gilt hier überall Form und Gedanke für eins, Fortsclir. d. M«th. VI. 1.

4

50

I- Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

und der Vorbehalt ist bedeutungslos. Im Vorstehenden ist Übergangen, was zur Mathematik in keiner Beziehung steht. H.

E.

Zum Beweisverfahren in der Mathematik, (siehe H, Z. III. 26, 167, 459.} Hoffmann z. V. 44,48. MEYER.

Erwiderung auf den gleichbetitelten Aufsatz von Zerlang a. a. 0. in derselben Zeitschrift. Letzterer hatte behauptet, zum Beweise eines Satzes für den Unterricht genüge nicht der Beweis der Formel. Der Verfasser weist darauf hin, dass in den angefahrten Fällen die Formel dem Satze nicht gleich ist. H.

Das Beweisverfahren in den inversen Rechnungsarten. Hoffmann Z. V. 28-43, 93-100-

BÖRNER.

Der Verfasser vertheidigt den Grundsatz, erst die inverse Rechnungsart zu definiren, dann die daraus hervorgehende neue Zahlform abzuleiten; woraus dann der Doctrin die Aufgabe erwächst: 1) die neue Rechnungsart auf die bis dahin bekannten Zahlformen, und 2) die sämmtlichen nun bekannten Rechnungsarten auf die neue Zahlform anzuwenden. Wenn er dies die neue Methode nennt, so ist dies insofern richtig, als Th. Wittstein es zuerst ausgesprochen und durchgeführt hat Was er zur Unterstützung anführt, ist ziemlich dunkel und im Ausdruck mehrfach ungenau. Zunächst ist das, was er die alte Methode nennt, durch nichts charakterisirt, während er derselben doch einen gegenteiligen Grundsatz beizulegen scheint. Die angefahrten Autoren, •Kambly, Aschenborn, Helmes, Wiegand, Richter bilden keinen deutlichen Gegensatz; bei ihnen, wie bei vielen andern, ist nur die Art der Ausführung oder die Unterlassung derselben bemerkbar. In der That ist ja mit dem aufgestellten Grundsatz das Wesen der Sache erst zum Bewusstsein gezogen: man kann dasselbe zur Geltung bringen oder hinter andere Gesichtspunkte

Capitel 2.

Philosophie.

51

zurücksetzen, aber ein Gegenprincip dürfte wohl nicht bekannt sein. An ungenauem Ausdruck ist besonders zu erwähnen, dass hier definirt wird: Rechnen lieisst, aus zwei Zahlen eine neue Zahl bilden. Hiernach würde von den zwei Arten, Bildung von 3 • 4 aus 3 und 4, und Transformation der Zahl 3 • 4 in 12, die crstere es sein, in dem das Rechnen besteht. Dies stimmt aber weder mit dem gewöhnlichen Sprachgebrauch noch mit der Meinung des Verfassers; denu weiterhin ist es stets die Transformation, die er mit Rechnen bezeichnet. Auf die Erörterungen folgt die ausgeführte Lehrmethode in Lehrsätzen und Beweisen. H.

F. REIDT. Beiträge zu den Kleinigkeiten aus der SchulStube. Hoffmann Z. V. 27G-280. Der Verfasser hält es für einen Umweg, aus dem gewonnenen umfassenden Resultate, z. B. der vorher bewiesenen Congruenz zweier Dreiecke, eine Sache (die Gleichheit homogener Winkel) zu folgern, wenn dieselbe schon aus weniger Datis (der Gleichheit der andern Winkel) folgt. Er hat dabei nicht beachtet, dass auf letzterem Wege dieselbe Sache zweimal bewiesen wird, da sie mit der Gongruenz schon bewiesen ist. Es ist im Gegentheil das gewöhnliche Verfahren völlig correct, von dem Standpunkt der erweiterten Schlussfähigkeit aus fortzuschreiten. Treffender ist die zweite Bemerkung, dass der gewöhnlich aufgestellte Satz: Der Flächeninhalt eines regelmässigen Polygons ist gleich dem halben Produkt aus Umfang und kleinem Radius, zu eng gefässt ist. Es muss heissen eines Tangentenvielecks ; die Gleichheit der Seiten ist Überflüssig angenommen. Bei letzterer Fassung ergeben sich auch manche nützliche Anwendungen. Die folgende Bemerkung rügt einen falschen Satz bei Bardey betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In der Zinsrechnung soll man die Grenzen der Theilbarkeit der Zahlungsmittel berücksichtigen. 4* t

52

I- Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Einige sprachliche Ungenauigkeiten sind nur einzeln vorgekommen. H.

J.

VAN

BEBBER.

rechnung.

Die Proportionen und die Schluss-

Hoffmann Z. V. 257-262.

Der Verfasser spricht von zwei Methoden der Auflösung von Rechenaufgaben, die er mit den Worten Proportionen und Schlussrechnung benennt, und deren erstere er als Geist und Geschmack tödtenden Mechanismus verdammt. Unter Proportion versteht er das geschriebene Schema ohne den Gedanken seiner Bedeutung; die von ihm vorgeführte Schlussrechnung aber ist gerade die Auffassung der in der Aufgabe vorliegenden Beziehung, welchc Proportion heisst. Diese Auffassung setzt er voraus; wie der Schttler dazu gelangen soll, ist nirgends gesagt. Dass alle in Rede stehenden Aufgaben Proportionsaufgaben sind, und die geschriebene Proportion nur der Ausdruck der natürlichen Beziehung ist, die unter allen Umständen zur Lösung beachtet werden muss, entzieht er durchweg dem Bewusstsein, auch scheint es ihm entgangen zu sein. H.

J. CoCKLE. On the sign Of equality.

Messenger (2) IV. 11-14.

Der Verfasser setzt die verschiedenen Bedeutungen des Zeichens = auseinander, nämlich bei einer Identität, einem Gegensatz, einer Beschränkung, einer Frage, einer-Richtung und einer Erläuterung. Ferner giebt er einige Beispiele fttr die Bedeutung des = als ist gleich in den Daten, und als ist von der Form in den Resultaten. Glr. (M). J . KOBER. J.

KOBER. 55-56.

Die Bruchdivision.

Hoffmann Z. V. 63-55.

Ueber das Wort Gegenwinkel.

Hoffmaun

z.

V.

Der Verfasser verwirft die Regel, den Divisor umzukehren

Capitel 2.

Philosophie.

53

als unnöthige Vermehrung des Schreibens und als nichtinstructiv. Für Gegenwinkel bei Parallelen schlägt er ein neu zu bildendes Wort, etwa Anwinkel, vor. H. und SCHERLING. Zwei Entgegnungen auf Dr. B e n d e r s Neuer Beweis, dass 7 = 13. (s. H . Z. IV. 356.)

E . MEYER

Hoffmann Z. V. 50-51.

Meyer deckt den Fehlscbluss auf, Scherling beleuchtet Bender's unrichtige Correction des Fehlers und knüpft daran die Bemerkung, dass man nicht Gleichungen, die erst durch Division (mit Beseitigung einer Wurzel) linear werden, unter den Aufgaben über lineare Gleichungen aufführen soll. H.

Gr. HELLMANN.

Mathematische Sophismen. Hoffmann z. v .

225-226.

M. CURTZE.

Mathematische

Sophismen.

Hoffmann

z. V.

359-360.

Beide Verfasser geben nach Bender's Vorgang Beispiele von Trugschlüssen, deren Nützlichkeit sie demselben zugestehen. Alle mit einer Ausnahme Verstössen jedoch gegen namhafte Sätze, sind daher nur für schlecht Unterrichtete verständlich. Nur der letzte beruht auf täuschender Anschauung. Zwei festverbundene concentrische Kreise rollen auf parallelen Geraden bis auf einen vollen Umlauf, woraus die Gleichheit der Peripherien folgt. H. J.

WEYRAUCH. Die graphische Statik. Kritisches. Schlömilch Z. XIX. 361-390.

Historisches und

Siehe Abschn. I. Cap. 1. p. 43.

J. BODE. N o c h einmal die Centripetalkraft (bearbeitet für physikalische Lehrbücher). Hoffmann z. v. 440-441.

54

I- Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

(Vergl. III. 327. F. d. M. IV. 471.) Der Verfasser leitet die Gesetze der Ablenkung ms der geraden Bahn mittelst Zusammensetzung der Beschleunigungen her. Die widersprechende Annahme, von welcher der citirte frühere Artikel ausging, ist hier weggeblieben. Dagegen ist die unzulänglich genannte Methode, welche Anlass zum gegenwärtigen geboten hat, wieder nicht bezeichnet. H.

Zweiter Abschnitt A l g e b r a .

Capitel L Gleichungen (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen). E.

Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. Pr. Baden-Baden. Stuttgart. Schweizerbart. SCHRÖDER.

Die formale Algebra wird von dem Herrn Verfasser nach Analogie der absoluten, Geometrie oder Pan-Geometrie, absolute Algebra genannt, weil ihr dieselbe Tendenz zu Grunde liegt, nämlfch die, eine möglichst scharfe Sonderung ihrer Voraussetzungen oder Prämissen vorzunehmen und die letzteren auch einzeln genommen nach ihren Gonsequenzen zu untersuchen. Ueber das Ziel und die Aufgabe der absoluten Algebra hat sich der Verfasser in seinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra I, p. 293 so ausgesprochen: „Die formale Algebra strebt zunächst darnach, in systematischer Vollständigkeit alle Annahmen a u f suchen, welche — höchstens beschränkt durch die Anforderung einer gewissen Einfachheit ihres Charakters — Uberhaupt möglicherweise dazu dienen können, eine Rechnungsoperation zu definiren, d. i. eine bestimmte Art von operativer Verknüpfung der Zahlen eines Zahlensystems zu charakterisiren. Ihre begriffliche Bestimmung erhält eine Rechnungsoperation auf einem Zahlengebiete hauptsächlich dadurch, dass man ihr daselbst ge-

56

IL Abacliuilt. Algebra.

wisse Grundeigenschaften beilegt, sie bestimmten Gesetzen unterwirft, welche — an sich willkürlich — nur miteinander, verträglich zu sein brauchen." — „Nachdem jene erste Aufgabe der formalen Algebra, das ist die Auffindung der brauchbaren oder zulässigen Prämissen, erledigt ist, tritt an sie als zweite Aufgabe die heran, zu jeder Prämisse sowohl im einzelnen als in ihren zulässigen Verknüpfungen mit anderen, erschöpfend die Conclusionen zu ziehen — vorerst immer mit der Beschränkung, dass ein gewisser Grad von Einfachheit nicht überschritten werde." — „ Eine dritte Aufgabe der formalen Algebra wird hierauf darin bestehen, zuzusehen, welche in sich abgeschlossene Zahlensysteme, die von einheitlichen Gesetzen ihrer operativen Verknüpfung beherrscht sind, sich durch die gefundenen Operationen construiren lassen, um endlich viertens zu entscheiden, welche geometrische, physikalische oder überhaupt vernünftige Bedeutung diesen Zahlen und Operationen zukommen, welches reale Substrat ihnen untergelegt werden kann." — Die absolute Algebra operirt mit einem Zahlengebiet, Uber dessen Natur selbst weiter keine Voraussetzungen gemacht sind, mit einer unbegrenzten Mannigfaltigkeit von Objecten irgend einer Art, welche begrifflich, durch ein Merkmal oder eine Grenze, von einander unterschieden sind. Angenommen wird nur, dass es Operationen giebt, mittelst deren durch Verknüpfung zweier Objecte ein drittes gebildet werden kann; z. B. eine symbolische Multiplication, deren Ergebnisse durch c = a-b = ab dargestellt werden kann. Da eine solche Operation im Allgemeinen nicht dem Gommutationsgesetze ab = ba gehorchen wird, so lassen sich zwei inverse Operationen, Messung und Theilung, unterscheiden, die durch die Gleichungen 6-(o:6) = a,

= a

charakterisirt werden. Alle drei Operationen bilden eine Operationsstufe. Der Herr Verfasser beschränkt sich nun auf die Untersuchung einer einzigen Operationsstufe auf einem einzigen Zahlengebiete, und legt sich die Frage vor, welches die einfachsten formalen Gesetze sind, denen eine solche Operation mit

Capitel 1.

Gleichungen.

57

¡bren beiden Umkehrungen unterworfen sein kann, und welchen logischen Zusammenhang diese Gesetze unter sich haben. Ausführbarkeit und Eindeutigkeit aller drei Operationen wird dabei vorausgesetzt. Zunächst werden die Fundamentalgleichungen, welche zwischen einer Function (zweier Argumente) und ihren inversen Functionen Überhaupt bestehen, für nur 2 Zahlen erörtert und die sich ergebenden Vertauschungs-Principien aufgestellt. Dann werden für 3 Zahlen Elemeniarcyklen (siehe Lehrbuch p. 277) und Cyklusgruppen unterschieden, und die Gonsequenzen der Algorithmen, oder die aus den Prämissen nothwendig sich ergebenden Fundamentalgleichungen bestimmt. Der nächste Paragraph enthält das entsprechende Formelsystem C, der ordinären Algebra, und der Schluss die Discussion der Frage: wie viele und Welche von einander unabhängige und in sich widerspruchsfreie Algorithmen Uberhaupt möglich sind. M.

Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. Borchardt J. L X X V I I . 258-265.

G . CANTOR.

Trotzdem in der Nähe jeder beliebig gegebenen reellen Zahl unendlich viele reelle algebraische Zahlen liegen, kann man dennoch den Inbegriff aller reellen algebraischen Zahlen dem aller positiven ganzen Zahlen zuordnen, so dass jede der einen Reihe nur einer der andern entspricht. Da sich nun weiter zeigen lässt, dass wenn eine beliebige Reihe reeller Zahlengrßssen vorliegt, man in jedem Intervalle Zahlen bestimmen kann, die nicht zur Reihe gehören, so folgt ein Beweis des zuerst von Liouville gegebenen Satzes, dass in jedem reellen Intervalle unendlich viele transcendente Zahlen vorhanden sind. No.

LAGUERRE.

Sur la théorie des équations numériques.

C. R . L X X V I I I . 278-280.

Im Folgenden mögen die Zeichen y, tj, rf,- - stets den Werth 1 haben. Ist nun eine homogene Function m'en Grades mit reellen

II. Abschnitt.

58

Algebra.

Coefficienten gegeben g (x, y) = 0 und ist ß = (*,-»!> ( i - | | + , f - ) , so liegt zwischen 2 Wurzeln von g = 0 eine ungrade Zahl der Wurzeln von ¿2 = 0, und mit den Wurzeln von % = 0 sind auch die von £ 2 = 0 reell, so dass die letzteren die ersteren von einander trennen. Bezeichnet man mit J das Symbol

so haben die Emananten von g(er, y~) die Form Stellt man jetzt die reellen oder complexen Wurzeln als Punkte einer Ebene dar, so enthält jeder Kreis, der alle diese Wurzel-Punkte umschliesst, auch alle Wurzeln von d l $ ( x , y ) = 0, wenn | ausserhalb des Kreises angenommen wird. Besteht zwischen zwei Punkten die Beziehung

so trennt jeder durch beide gehende Kreis zwei Wurzeln der Gleichung g ( x , y) = 0 von einander, ausgenommen, wenn er durch sämmtliche Wurzel-Punkte geht. No.

Sur une formule nouvelle permettant (^obtenir, par approximations successives, les raciues d'une équation dont toutes les racines sont réelles.

LAÖUERRE.

0. R. L X X I X . 522-523.

Enthält das Intervall AB eine einzige Wurzel § der Gleichung = 0 und wählt man in diesem Intervall a derart, dass «—

in demselben Intervalle liegt, so befindet sich | inner-

halb der engeren Grenzen - "TUW

+

und 6 = « + * ( « ) g« 8'a + ( a - B ) (gag"a No.

Cnpitel 1.

Gleichungen.

59

Sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines spnt réelles. C. R. LXXIX. o%-999.

LAGUERRE.

Bezeichnet d das «*(1 — «)fache der Hesse'schen Determinante der Gleichung »>rn Grades (1) iy y) = 0, deren Wurzeln sämiutlicli reell sind, und genligeu für ein willkürliches f die Grössen x und x' der Gleichung (2) (xfl-yöO^-yD so liegen zwischen x und x' Wurzeln von g — 0. Hat (2) fttr gegebene x und x' als Function von § nur imaginäre oder besitzt sie auch reelle Wurzeln, so liegen im ersten Falle alle oder keine Wurzeln zwischen x und x\ im zweiten einige oder eine. Es giebt eine Curve M, derart, dass je 2 Gerade, die sich in einem Punkte derselben rechtwinklig schneiden, auf der X-Axe eine Strecke bestimmen, in der eine oder einige Wurzeln liegen. Darauf gründet sich eine geometrische Näherungs-Construction. No. AI

SIEBEL. Untersuchungen über algebraische Gleichungen. Artikel 1 . Grunert Arch. LVI. 422-487.

Mit Hülfe eines rechtwinkligen Linienzuges werden die Functionswerthe ganzer algebraischer Functionen für gegebene Argumente construirt; die Wurzeln von = 0 als Abscissen der Durchschnitte zweier convexen Curven dargestellt. No. S.

Ueber die allgemeine Auflösung von Gleichungen durch Kettenbrüche. Clebsch ANU. vii. 262-268. GÜNTHER.

Der Herr Verfasser beschäftigt sich mit der Fürstenau'schen Darstellung von Näherungswerthen der Wurzeln einer Gleichung durch Determinanten-Quotienten. Diese Darstellung hängt aufs Innigste mit den erweiterten Jacobi'schen Kettenbruch-Algorithmen zusammen, und der gemeinsame Ursprung beider Methoden ist

60

II. Abschnitt.

Algebra.

wohl schon in Euler's Algebra I. 231—239 zu suchen. Herr Günther stellt die auftretenden Determinanten als Kettenbrttche dar. Der daraus gezogene Schluss, dass der wahre Werth der Wurzel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungswertben liege, ist aber nicht begründet, da u. A. der entsprechende Satz nicht von allgemeinen Kettenbrüchen gilt. No.

MALKYX.

Séparation des racines des équations K u n e

inconnue.

Nouv. Ann. (2) XIII. 385-389.

Bemerkungen und weitere Ausführungen zu einer früheren Arbeit des Herrn Verfassers. (F. d. M. IV. p. 44.) No.

J.

C. MALET. A general formula for the equation whose roots are the products in pairs of the roots of any algebraic equation. Quart. J. xin. 30-32.

Diese allgemeine Formel für die Gleichung, deren Wurzeln Producte aus je zwei Wurzeln irgend einer gegebenen algebraischen Gleichung sind, erscheint in Form einer Determinante. Das Resultat ist entwickelt für die Fälle, wo die vorgelegte Gleichung vom dritten, vom vierten oder vom fünften Grade ist. Cly. (M.)

J. C. MALET. On certain symmetric functions of the roots of an algebraical equation. Trans, of Dublin. 1874. Durch die Coefficienten einer algebraischen Gleichung wird eine Determinante von der Form 1 ®f

x\

1 rf

1 •• •

cA "•

«5

xl

ausgedrückt, worin die Elemente einer Reihe irgend welche Potenzen der Wurzeln sind. Csy. (M.)

Capitel 1.

Gleichungen.

61

Nuova dimostrazione di una importante formola algebrica. Battagliai 6. XII. 208-213.

V . VALERIANO.

Die Summe x" -J-y" wird als Function von x-\-y und xy ausgedruckt. No. F.

Ueber die Auflösung eines linearen Systems von Gleichungen. Grunert Arch. L V I . 105-106. UNFERDINGER.

Der Verfasser giebt eine neue einfache Ltfsung des Gleichungssystems : r—m S * '

8 I N

fflTf =-RR —

K

«

(« =

1,

»»),

,=1 m -f-1 mit welchen sich zuerst Lagrange in seinen Untersuchungen Uber die Fortpflanzung des Schalles (Miscell. Soc. Taur. I. 1759) beschäftigt, und von dem Grelle in seinem J. (XLIII. 37) eine sehr weitläufige Auflösung gegeben hat. Hier ergiebt sich das Lagrange'sche Resultat, indem die Gleichungen der Reihe nach mit sin na, sin 2na etc. multiplicirt und dann addirt werden, unter Benutzung des bekannten Ausdrucks für 2m cos mz. M. A.

WASSILIEFF. Ueber die Absonderung der Wurzeln simultaner Gleichungen. Kasan Gel. Anz. 1874. (Russisch.)

Es wird ein klarer und strenger Beweis der von Kronecker (Ueber Systeme von Functionen mehrerer Variabein, Berliner MonatBber. 1869, siehe F. d. M. II. 203) aufgestellten Theoreme gegeben. Sodann werden die bekannten, auf Systeme zweier Gleichungen sich beziehenden Sätze von Cauchy, Sturm und Liouville aus den Kronecker'schen als Folgerungen gezogen. P. Des cas oh l'on peut résoudre l'équation du second degré par approximations successives. Nouv. Ann. (2) XIII. 401-404.

DE

SAINT-GERMAIN.

II. Abschnitt.

62

Algebra.

Convergenzbestimmung des Kettenbrucbes, der die Gleichung zweiten Grades löst. No.

K.

Einige Bemerkungen zu dem Aufsatze Herrn Diekmann's: Zur Theorie der Gleichungen zweiten Grades (H. Z. IV. 392). Hoffmann z. v. 222-225. L . BAUER.

J . DIEKMANN. Theorie Hoffmann Z. V. 362-364.

der Gleichungen zweiten Grades.

Bauer erinnert, dass Bardey in seinen algebraischen Gleichungen (Leipzig 1868) das Resultat Diekmann's auf kürzerem Wege abgeleitet habe, dass sich statt zweier gleichberechtigter Wurzelausdriicke eigentlich 4 ergeben, und dass auch die geometrische Deutung sich durch eine kürzere Darstellung ersetzen lasse. Diekmann motivirt sein Verfahren im vorausgehenden Aufsatz. H. Zur trigonometrischen Auflösung quadratischer Gleichungen. Hoffmann Z. V. 52-53.

SCHERLING.

Die Gleichung x ' + o x + ft = 0 , wo b in Summen von Quadraten geben. Hat die Gleichung /IQ.) = 0 vielfache Wurzeln, so ist die obige Ableitung nicht möglich; es wird dann f - K ^ - f in eine Summe von Quadraten zerlegt, und für jeden Summanden nach dem von Lagrange gegebenen Theorem der' Coefficient von ^-p+i , ®P-i

0

P

in

1 L—K—H

'

aufgesucht; dieser giebt die Gesammtheit der einfachen Brüche, welche der vielfachen Wurzel A; entspricht. Als Schlussresultat ergeben sich die Formeln des Herrn Weierstrass (siehe F. d. M. I. p- 54). Verschwindet nicht nur ®t> = ¿/(A), sondern auch 0 p - i identisch, während O p von Null verschieden ist, so bestehen p lineare Relationen unter den Ableitungen, welche — nach dem Vorgange des Herrn Kronecker — so aufgestellt werden können, dass die Coefficienten der nach k geordneten Ausdrucke von einander linear unabhängig sind. Daher ist es möglich, p neue Gruppen von Variablen derart einzuführen, dass durch

II. Abschnitt.

?0

Algebra.

jede Gruppe je einer der p Relationen Genüge geleistet wird, und h andere, so dass die Gesammtzahl n beträgt. Die entere Art der Veränderlichen tritt nur in der ersten Dimension auf, so dass sich schliesslich die Formen, welche Herr Kronecker (Berl. Ber. 1868 siehe F. d. M. I. 57) und Herr Jordan (Liouville XIX. (2) 35, siehe unten) aufstellten, ergeben. Auf Grund der so abgeleiteten Resultate wird die Aequivalenz zweier quadratischer Formen behandelt. No.

C.

JOEDAN.

Sur les polynômes bilinéaires. c. R.

LXXVII.

1487-1491. 1873.

Siehe F. d. M. V. p. 85.

C.

JORDAN. Mémoire (2) XIX. 35-55.

sur les formes bilinéaires.

C.

JORDAN. Sur la réduction C. R. LXXYIII. 614 617.

Liouville J.

des formes bilinéaires.

Der erste der angegebenen Aufsätze enthält eine Ankündigung der Ableitungen und Resultate des zweiten, der dritte eine Vertheidigung derselben gegenüber einer Besprechung von Seiten des Herrn Kronecker. — Die bilineare Form P = 2AaßXayß, (Aaß = Aßa; a,ß — 1, 2-• • ») kann auf unendlich viele Arten in die kanonische Form 1" Smf]m Ii Vi H gebracht werden. Als erstes Problem wird aufgestellt: P soll durch orthogonale Substitutionen auf eine einfache kanonische Form reducirt werden; als zweites: es sollen für die x und y simultane, aber sonst beliebige Substitutionen angewendet werden; als drittes: zwei Polynome P und Q sollen durch beliebige, auf beide Reihen der Veränderlichen getrennt zu vollbringende Substitutionen gleichzeitig auf kanonische Formen gebracht werden. An diese Arbeit und deren Ankündigung schlosB sich eine Discussion zwischen dem Herrn Verfasser und Herrn Kronecker, aus der ich folgendes hervorheben zu müssen glaube. Das erste, von Herrn Jordan für neu gehaltene Problem sei ein bekannter Specialfall des dritten; die Lösung des zweiten sei verfehlt; die

Capitel 2.

Theorie der Formen.

71

des dritten unzureichend. Dieses letzte Hauptresultat lautete: „Wenn die Determinante zweier bilinearen Formen identisch Null ist, so kann man sie auf die Formen P = *iyi-\ y.n-i+P'iQ = xtyt-1—\-xmym~i + Q' bringen, wo P' und Q' die Veränderlichen x„y„ • • • x„„ ym nicht mehr enthalten." Die Richtigkeit der beiden ersten Einwürfe giebt Herr Jordan zu; die des letzten bestreitet er. Aber mit Unrecht. Denn betrachtet man das Beispiel des Herrn Kronecker in der Form, wie es in der Arbeit Ueber die congruenten Transformationen u. s. w., Sep.-Abdr. S. 28 Anm. (s. p. 75) gegeben ist, so erkennt man, dass eine Reduction des von Herrn Jordan übersehenen Specialfalles von § 12 auf § 9 nicht möglich ist, weil sonst die eine der zu beseitigenden Veränderlichen bei der Beseitigung der andern wieder zum Vorschein kommt. .Ebenso lassen sich, wie Referent durch gütige Mittheilung des Herrn Kronecker erfahren hat, einfache Beispiele bilden, aus denen das Ungenügende der Ableitungen in § 14 u. 15 hervorgeht. Dieselben zeigen sogar, dass das Zwischenresultat in § 16, auf welches sich die weitere Reduction gründet, unrichtig sei. Es wird hiernach also wohl nicht nöthig erscheinen, auf die Details der vorliegenden Arbeit einzugehen. No. L.

KRONECKER.

Formen.

Ueber Schaaren

von quadratischen

Berl. Monatsber. 1874. 59-76, 149-156, 206-232.

Sur les faiaeaux de formes quadratiques et bilin^aires. c. R. LXXVIII. u s i - i m

L . KRONECKER.

In seiner Abhandlung vom Jahre 1868 hatte Herr Weierstrass (F. d. M. I. p. 54) durch Untersuchung der Determinante quadratischer Formen ohne Voraussetzung der Zerlegbarkeit in nur ungleiche Factoren und die daran geknüpfte Einführung des Begriffes der Elementartheiler die Theorie der quadratischen Formen bis auf den Fall identisch verschwindender Determinanten erledigt. In demselben Jahre hatte Herr Kronecker (F. d. M. I. p. 57) auch diese Beschränkung beseitigt, indem er die Schaar uq> -¡- vtft mit verschwindender Determinante in die Form

72-

IL Abschnitt.

m

Algebra.

,

2 (ux} -f »*._,) '3. In ip werden

74

II. Abschnitt.

Algebra.

statt xm---xn die x'm- • • x'n eingeführt; diejenigen derselben x'm+i • • • x'm+l) welche in q>, vorkommen, werden als erste Gruppe betrachtet; xb nach II. transformirt, wobei x',, • • • x" ,, nur von x m + i " ' x m + i abhängen und diese wieder in (p eingeführt. Bei dieser Reduction lösen sich aus urp -f- vip Theile los, welche als elementare Schaaren .erkannt werden, und der Best kann in gleicher Weise weiter behandelt werden; hierbei wird aber eine abermalige Transformation nöthig, welche die durch jene Fortsetzung zum Theil gestörte Form wiederherstellt. Dieselbe Transformation liefert auch die Ueberftihrung der von Herrn Kronecker gegebenen reducirten Form, die wir oben angaben, in die neue der elementaren Schaaren. Hiermit ist die Theorie also völlig abgeschlossen. In einem Nachtrag behandelt der Herr Verfasser die Vereinfachungen, welche für den Fall quadratischer Formen eintreten. Die Ableitungen des Haupttheiles hatten eine Vermischung der beiden Systeme von Variablen durchaus vermieden. Der Fall, dass alle Unterdeterminanten ¡¿ — l , e n , aber nicht alle ¡u'er Ordnung identisch verschwinden, ergiebt die Existenz von ft linearen unabhängigen Relationen zwischen den nach den verschiedenen Variabein genommenen Ableitungen von ucp -\- vxp, deren Coefficienten ganze homogene Functionen von u und t> sind. Werden diese Relationen so hergestellt, dass ihre Coefficienten von möglichst niedriger Dimension flir u und e sind, also ZÍ—1)* &^uhvk = 0 (h + k = mW; r = 0, 1 1), hyk so sind die @lr) lineare homogene Functionen der Ableitungen vön ucp -J- vxp, linear von einander unabhängig. Die Reihe der Zahlen w»(r> ist für lineare Transformationen der Schaar invariant; ihre Summe ist bekannt; jede Relation charakterisirt eine Elementar-Schaar. Die folgenden Auseinandersetzungen sind theils kritischen Inhalts, theils geben sie eine Analyse der Methoden des Herrn Weierst'rass und des Herrn Verfassers selbst, theils stellen sie die allgemeinen Gesichtspunkte auf, welche den Beginn des Referats ausmachten. No.

Capitel 2.

Theorie der Formen.

75

Uebei: die congruentcn Transformationen der bilinearen Formen. Beri. Monatsber. 1874. 397-447.

L . KRONECKI-'R.

War in der eben besprochenen Arbeit die Theorie der Reductiori von Schaaren bilinearer Formen erledigt, so handelt es. sich in dem vorliegenden Aufsatze darum, bilineare Formen durch congruente

Transformationen Xi =

zu reduciren.

2cikx'k,

yt =

Der erste, vorbereitende Paragraph ist der Jacobi-

schen Transformation quadratischer widmet.

2!ciky'k

und bilinearer Formen ge-

F(2J*"3») wird in ZCKK-

ZhZh,

(h =

h2-K\

h' =

h[ /»;•••//)

verwandelt; jede lineare Function Z enthält die Variable 3 von gleichem Index nebst solchen, welche sowohl in der Ana s z ordnung ' v darauf folgen. Diese zweite Anordnung ist so beschaffen, dass für r < s auch hr M — c u ^ in Q n - u Q*-2, ••• enthalten ist. Q, ist dabei durch die Gleichung P, = Q, P,+l definirt, in der P, den grössten gemeinsamen Theiler aller Unterdeterminanten n—s 1 " Ordnung der Determinante von g bedeutet. No.

C. JOBDAN.

Sur les systèmes de formes quadratiques.

C. R. LXXVIII. 1763-1766.

C. JORDAN.

Mémoire sur l a réduction et la transformation des systèmes quadratiques. Liouvilie J. (2) xix. 397-422.

Die Réduction der Systeme quadratischer Formen wird auf folgende Lemmata gestutzt. Ist p = 0 , + * „ +