Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 15 Jahrgang 1883 [Reprint 2020 ed.] 9783112340141, 9783112340134

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet von

Carl Okrtmann. Im Verein mit anderen Mathematikern und unter besonderer Mitwirkung der Herren Felix Müller und Albert Wangerin herausgegeben •on

Max Henoch und Emil Lampe.

Band XV. Jahrgang

1 8 8 3.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r .

1886.

Erklärung der Citate.

E i n e e i n g e k l a m m e r t e ( a r a b i s c h e ) Z a h l vor d e r ( r ö m i s c h e n ) B a n d z a h l bezeichnet die R e i h e (Serie), zu d e r d e r B a n d g e h ö r t . Abh. z. Gesch. d. Math.: A b h a n d l u n g e n zur G e s c h i c h t e d e r M a t h e m a t i k . Leipzig. T e u b n o r . Act. Math.: A c t a M a t h e m a t i c a . Z e i t s c h r i f t h e r a u s g e g e b e n von G. M i t t a g L e f f l e r . S t o c k h o l m . 4°. I - I I I . Act. Soc. Fenn.: A c t a s o c i e t a t i s F e n n i c a e . H e l s i n g f o r s . 4°. X I I . Almeida J.: J o u r n a l de p h y s i q u e t h é o r i q u e et a p p l i q u é e , p u b l i é p a r J . Ch. d ' A l m e i d a . P a r i s . 8°. (2) II. Am. Ass.: P r o c e e d i n g s of t h e A m e r i c a n A s s o c i a t i o n for t h e a d v a n c e m e n t of sciences. Am. J. Sc. : A m e r i c a n J o u r n a l of s c i e n c e s and a r t s . V I . Amst. Jaarb.: J a a r b o e k van de K o n i n k l i j k e A k a d e m i e van W e t e n s c h a p p e n . Amsterdam. Amst. Verh.: V e r h a n d e l i n g e n der K o n i n k l i j k e A k a d e m i e van W e t e n s c h a p p e n . Amsterdam. XXII. Amst. Versl. en Meded.: V e r s l a g e n en M e d e d e e l i n g e n d e r K o n i n k l i j k e A k a demie van W e t e n s c h a p p e n . A f d e e l i n g N a t u u r k u n d e . A m s t e r d a m . X V I H . Anal.: T h e Analyst, a monthly j o u r n a l of p u r e a n d a p p l i e d m a t h e m a tics. E d i t e d and p u b l i s h e d by J . E . H e n d r i c k s . Des Moines, J o w a . gr. 8°. X. Andresen Tekn. Foren. Tidsskr.: D e n t e k n i s k e Forening's T i d s s k r i f t u d g i v e t af A. A n d r e s e n . Kopenhagen. Ann. d. Chim. et Phys.: A n n a l e s d e Chimie et d e P h y s i q u e p a r MM. Chevreul, D u m a s etc. P a r i s . M a s s o n . 8°. (5) X X V I I I - X X X . Ann. de VÉc. Norm.: A n n a l e s s c i e n t i f i q u e s de l ' É c o l e N o r m a l e S u p é r i e u r e , publiées sous les a u s p i c e s du M i n i s t r e de l ' i n s t r u c t i o n p u b l i q u e p a r uu comité de r é d a c t i o n c o m p o s é de MM. les m a î t r e s d e c o n f é r e n c e s de l'École. P a r i s . G a u t h i e r - V i l l a r s . 4°. (2) X I I . Arch. f . Art.: A r c h i v f ü r die Artillerie- und I n g e n i e u r - O f f i c i e r e d e s D e u t schen R e i c h s h e e r e s . Astr. Nachr.: A s t r o n o m i s c h e N a c h r i c h t e n , b e g r ü n d e t von H . C. S c h u m a c h e r , h e r a u s g e g e b e n von C. A . P . P e t e r s . A l t o n a . 4°. 2454-2563. Astr. Viertschr.: V i e r t e l j a h r s s c h r i f t d e r A s t r o n o m i s c h e n G e s e l l s c h a f t . H e r a u s gegeben von E . S c h o e n f e l d in B o n n , A . W i n n e c b e in S t r a s s b u r g i. E . Leipzig. W . E n g e l m a n n . 8°. A*

IV

Erklärung der Citate.

Bair. Bl.: Blätter f ü r d a s b a i r i s c h e G y m n a s i a l - und R e a l s c h u l w e s e n , redig i r t von W . B a u e r und A . K u r z . M ü n c h e n . 8°. X I X . Batt. Cr..- G i o r n a l e m a t e m a t i c o ad u s o degli s t u d e n t i delle u n i v e r s i t à italiane p u b b l i c a t o p e r c u r a d e l P r o f . G. B a t t a g l i n i . N a p o l i , gr. 8°. X X I . Belg. des Belg. des

Annu.: A n n u a i r e de l ' A c a d é m i e R o y a l e des s c i e n c e s , des lettres et b e a u x - a r t s de B e l g i q u e . B r u x e l l e s . P . H a y e z . Ann.: A n n a l e s d e l ' A c a d é m i e R o y a l e d e s s c i e n c e s , des l e t t r e s et b e a u x - a r t s de B e l g i q u e . B r u x e l l e s .

Belg. Bull.: Bulletin de l ' A c a d é m i e Royale des s c i e n c e s , d e s l e t t r e s e t d e s b e a u x - a r t s d e B e l g i q u e . B r u x e l l e s . 8°. (3) V , V I . Belg. Mém. S. È.: M é m o i r e s c o u r o n n é s e t M é m o i r e s d e s s a v a n t s é t r a n g e r s p u b l i é s p a r l ' A c a d é m i e R o y a l e d e s s c i e n c e s , d e s lettres et des b e a u x a r t s de B e l g i q u e . B r u x e l l e s . 4°. X L V . Belg. Mém. C.: M é m o i r e s c o u r o n n é s et a u t r e s Mémoires p u b l i é s p a r l ' A c a d é m i e Royale d e s s c i e n c e s , d e s l e t t r e s e t des b e a u x - a r t s de B e l g i q u e . Collection in 8°. B r u x e l l e s . F . H a y e z . X X X V . Belg. M. N.: N o u v e a u x M é m o i r e s de l'Académie R o y a l e de B e l g i q u e . B r u x e l l e s . 4°. Beri. Abb..: M a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e A b h a n d l u n g e n d e r K g l . P r e u s s i s c h e n A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n zu Berlin. B e r l i n . 4°. Beri. Ber.: S i t z u n g s b e r i c h t e d e r K g l . P r e u s s i s c h e n A k a d e m i e der W i s s e n - , Schäften zu B e r l i n . B e r l i n . 8°. Bibl. un.: B i b l i o t h è q u e u n i v e r s e l l e e t r e v u e suisse. A r c h i v e s des s c i e n c e s p h y s i q u e s e t naturelles. L a u s a n n e . Bridel. Bologna Meni.: M e m o r i e dell' A c c a d e m i a R e a l e di 'Scienze dell' I s t i t u t o di B o l o g n a . B o l o g n a . 4". 1882. (4) I I I . Bologna Rend.-. R e n d i c o n t i dell' A c c a d e m i a Reale di s c i e n z e dell' I s t i t u t o di B o l o g n a . Bologna. Bone. Bull.: B u l l e t i n o di bibliografia e di s t o r i a delle s c i e n z e m a t e m a t i c h e e fisiche p u b b l i c a t o d a B . B o n c o m p a g n i . R o m a . 4°. X V , X V I . Bord. Mém.: M é m o i r e s de la S o c i é t é d e s s c i e n c e s p h y s i q u e s e t n a t u r e l l e s de B o r d e a u x . B o r d e a u x . P a r i s . 8°. (2) V. Brioschi Ann.: A n n a l i di m a t e m a t i c a p u r a ed a p p l i c a t a ^ d i r e t t i dal prof. F r a n c e s c o B r i o s c h i colla c o o p e r a z i o n e dei p r o f e s s o r i : L . C r e m o n a , E . Beltrami, E . B e t t i , P . C a s o r a t i . Milano. 4°. (2) X I . Brit. Ass. Rep.: R e p o r t s of t h e m e e t i n g of t h e British A s s o c i a t i o n for t h e a d v a n c e m e n t of s c i e n c e . L o n d o n , gr. 8°. 1883. Brüx. Ann : A n n a l e s d e l ' O b s e r v a t o i r e R o y a l de B r u x e l l e s , p u b l i é e s aux f r a i s de l ' É t a t B r u x e l l e s . P . H a y e z . 4°. V I I . Brüx. S. sc.: A n n a l e s d e la s o c i é t é scientifique de B r u x e l l e s . B r u x e l l e s . P . H a y e z . ( D o p p e l t p a g i n i r t , u n t e r s c h i e d e n durch A und B.). V I I . Cambr. Proc.: P r o c e e d i n g s of t h e C a m b r i d g e P h i l o s o p h i c a l Society. Camb r i d g e . V. Cambr. Trans.: T r a n s a c t i o n s of t h e P h i l o s o p h i c a l S o c i e t y of C a m b r i d g e . Cambridge, XIII. Cas : C a s o p i s ; Z e i t s c h r i f t zur P f l e g e d e r M a t h e m a t i k und P h y s i k , r e d i g i r t mit b e s o n d e r e r R ü c k s i c h t auf S t u d i r e n d e d e r M i t t e l - u n d H o c h s c h u l e n von P . J . S t u d n i o k a , h e r a u s g e g e b e n vom V e r e i n e b ö h m i s c h e r Mathemat i k e r in P r a g . P r a g . 8°. (Böhmisch). X I I . Centr. / . Forstw.: C e n t r a i b l a t t für d a s g e s a m t e P o r s t w e s e n . Chark. Ges.: M i t t e i l u n g e n d e r m a t h e m a t i s c h e n G e s e l l s c h a f t in Charkow.

Erklärung der Citate.

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Christiania Fork.: F o r h a u d l i n g a r i V i d e n s k a b s - S e l s k a b e t i C h r i s t i a n i a . 8°. Christ. G. d. W.: G e s e l l s c h a f t d e r W i s s e n s c h a f t e n in C h r i s t i a n i a . C h r i s t i a n i a . Civiling.: D e r Civilingenieur. U n t e r M i t w i r k u u g d e r P r o f e s s o r e n am K ö n i g l . Sachs. P o l y t e c h n i k u m Dr. W . F r ä n k e l , L . L e w i c k i , 0 . C. Mohr, A N a g e l , T . R i t t e r s h a u s , G. Z e u n e r h e r a u s g e g e b e n von D r . E . H a r t i g . J a h r g . 1883. (Der neuen F o l g e Bd. X X I X . ) L e i p z i g . A r t h u r F e l i x . Conn. d. temps: C o n n a i s s a n c e d e s t e m p s ou d e s m o u v e m e n t s c é l e s t e s . P a r i s . G a u t h i e r - V i l l a r s . 8°. Conn. Trans.: T r a n s a c t i o n s of t h e C o n n e c t i c u t A c a d e m y of a r t s and sciences. New-Haven. C. R.: C o m p t e s R e n d u s h e b d o m a d a i r e s d e s s é a n c e s de l ' A c a d é m i e d e s Sciences. P a r i s . 4°. X C V I , X C V I I . Cron. aient.: C r o n i c a cientiflca r e v i s t a i n t e r n a t i o n a l d e c i e n c i a s , f u n d a d o r p r o p r i e t a r i o y d i r e c t o r D. R a f a e l R o i g y T o r r e s . B a r c e l o n a . 8°. D. Versz.: D e u t s c h e V e r s i c h e r u n g s z e i t u n g . 1883. Darb. Bull.: Bulletin des s c i e n c e s m a t h é m a t i q u e s e t a s t r o n o m i q u e s , rédigé p a r MM. G. D a r b o u x , J . H o ü e l et J . T a n n e r y a v e c la c o l l a b o r a t i o n des MM. A n d r é , B a t t a g l i n i , B e l t r a m i , Bougaïeff, B r o c a r d , L a i s a n t , L a m p e , L e s p i a u l t , Mansion, P o t o c k i , R a y e t , W e y r e t c . , s o u s la d i r e c t i o n de l a Commission des H a u t e s É t u d e s . P a r i s . G a u t h i e r - V i l l a r s . 8°. (2) V I I . Dublin Trans.: T r a n s a c t i o n s of t h e R o y a l I r i s h A c a d e m y . D u b l i n . X X V I I I . Edinb. Proc.: P r o c e e d i n g s of t h e R o y a l S o c i e t y of E d i n b u r g h . Edinburgh. 8°. X I . Edinb. Trans.: T r a n s a c t i o n s of t h e R o y a l S o c i e t y of E d i n b u r g h . Edinburgh. 4°. X X X I I . Ed. Times: M a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s , with t h e i r s o l u t i o n s f r o m t h e „ E d u c a tional T i m e s " with m a n y p a p e r s a n d s o l u t i o n s n o t p u b l i s h e d in t h e „Educational Times." E d i t e d by W . J . C. Miller. L o n d o n . 8°. Francis Hodgson. X X X V I I I , X X X I X . Elektrot. Z.: E l e k t r o t e c h n i s c h e Z e i t s c h r i f t . H e r a u s g e g e b e n vom e l e k t r o technischen V e r e i n . B e r l i n . 4°. I V . Erlang. Ber.: S i t z u n g s b e r i c h t e d e r p h y s i k a l i s c h - m e d i c i n i s c h e n S o c i e t ä t zu Erlangen. E r l a n g e n . 8°. Exner Rep.: R e p e r t o r i u m d e r P h y s i k h e r a u s g e g e b e n von E x n e r . München und L e i p z i g , gr. 8°. X I X . Franc. Ass : A s s o c i a t i o n F r a n ç a i s e p o u r l ' a v a n c e m e n t d e s s c i e n c e s n a t u r e l l e s . Gen. Mim.: Genève.

M é m o i r e s d e la s o c i é t é de p h y s i q u e e t d ' h i s t o i r e n a t u r e l l e de G e n è v e . 4°. L i b r a i r i e H . G e o r g . X X I X .

Gött. Abk.: A b h a n d l u n g e n d e r K g l . G e s e l l s c h a f t d e r W i s s e n s c h a f t e n zu Göttingen. G ö t t i n g e n . 4°. X X X . Gott. 'N.: N a c h r i c h t e n von d e r K ö n i g l i c h e n G e s e l l s c h a f t d e r W i s s e n schaften und der G e o r g - A u g u s t - U n i v e r s i t ä t zu G ö t t i n g e n . Göttingen. 12°. 1883. Hamb. Mitt.: Mitteilungen der Hamburger Mathematischen Gesellschaft. Hamburg. 8°. 1883. Heising/. Afh.: A k a d e m i e n s A f h a n d l i n g a r H e l s i n g f o r s . Herrn.: H e r m a t h e n a , a s e r i e s of p a p e r s on l i t e r a t u r e , s c i e n c e and philosophy, by m e m b e r s of T r i n i t y C o l l e g e . D u b l i n . P o n s o n b y . 8°. Hoffmann Z.: Z e i t s c h r i f t f ü r m a t h e m a t i s c h e n und n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Unterricht. U n t e r M i t w i r k u n g von F a c h l e h r e r n h e r a u s g e g e b e n von J . C. V. H o f f m a n n . L e i p z i g . T e u b n e r . 8°. X I V .

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Erklärung der Citate.

Hoppe Arch. : Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten gegründet von J . A. Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Leipzig O. A Koch. 8°. L X I X , L X X . J. de l'Éc. Pol.: Journal de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. Gauthier-Villars. 4°. Cah. LI-LUI. J. Hopkins circ.: J o h n s Hopkins University Circulars. 1883. II, I I I . Jordan Z. f . V.: Zeitschrift für Vermessungskunde, herausgegeben von W. Jordan. Kazan Ber.: Sitzungsberichte der mathematischen Section des Naturforschenden Vereins zu Kazan. 1882-1883. Kazan Oes.: Sammlung der Mitteilungen der physikalisch-mathematischen Gesellschaft zu Kazan. Kazan Nachr.: Nachr. der Kaiserlichen Universität zu Kazan. Kjob. Skrift.: Schriften der Kopenhagener Akademie. Kopenhagen. Klein Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit 0 . Neumann begründet durch R. P . A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren P . Gordan, 0 . Neumann , K . v. d. Mühll gegenwärtig herausgegeben von F. Klein und A. Mayer. Leipzig. Teubner. 8°. XXI, XXII. Königsb. Sehr.: Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg i. P r . Königsberg i. P r . 4°. Kopenh. Overs.: Oversigt over Videnskabs Selskabet Forhandlingar. Kopenhagen. Krak. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Section der Krakauer Akademie. Krakau. (Polnisch.) Krak. Denksehr.: Denkschriften der Krakauer Akademie der Wissenschaften. Krakau. (Polnisch.) Kronecker J.: J o u r n a l für die reine und angewandte Mathematik. In zwanglosen Heften. Herausgegeben von L . Kronecker und K. Weierstrass mit thätiger Beförderung hoher Königl. Preussischer Behörden. Portsetzung des von A. L . Crelle (1826-185B1 und 0 . W . Borchardt (1856-1880) herausgegebenen Journals. Berlin. G. Reimer. 4°. XCIV, X C V . Leipz. Abh.: Abhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. XII. Leipz Ber.: Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. Lie Arch.: Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Christiania. 8 o . VIII. Liège Mérn.: Mémoires de la Société Royale des sciences de Liège. Liège. (•2) XI. Lisb. J : Jornal de Sciencias Mathematicas, Fhysicas e Naturales publicados sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de Lisboa. Lisboa. Lisb. Mera.: Memorias da Academia Real das Sciencias de Lisboa. Lisboa. Lomb. Rend.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8°. (á) X V I . Lond. M. S. Proc.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. 8». X I V . Lond. Phil. Trans.: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4 o . C L X X I I I , C L X X I V . Lond. R. S. Proc.: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8° XXXIV, XXXV.

Erklärung der Citate.

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Lund Act.: Acta universitatis Lundensis. Lund. Lund Afh : Lunds Akademiens Afhandlingar. Lund. o Lund Arsskr.i Lunds Uuiversitets Arsskrift. Lund. XIX. Manch. Proc.: Proceedings of the litterary and philosophical Society of Manchester Manchester. Marò. Ber.: Sitzungsberichte der Gesellschaft zur Beförderung der gesamten Naturwissenschaften zu Marburg. Marburg. 8°. Math.: Mathesis, Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenne publié par P. Mansion et J . Neuberg. G r a n d , Host. Paris, Gauthier-Villars. 8°. III. Mem. R. Astr. S. : Memoirs of the Royal Astronomical Society. London. 4°. Mess.: The Messenger of Mathematics, edited by M. Allen Whitworth, 0 . Taylor, R Pendlebury, J. W. L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan 8°. (2) XII, XIII. Modena Mem.: Memorie della Accademia Reale di Modena. Modena. ("2) I. Monthl. Not.: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4°. LXIII. Mosk. Nachr.: Nachrichten der Moskauer Universität. Moskau. (Russisch). Münch. Ahh.: Abhandlungen der Kgl. Bairischen Gesellschaft der Wissenschaften zu München. Zweite Classe. München. X I V . Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Bairischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8°. Nap. Rend.: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Napoli. 4°. XXII. Néerl. Arch : Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem. L a Haye. 8°. XVIII Nieuw Arch.: Nieuw Archief voor wiskunde uitgegeven door het Wiskundig Genootschap. Amsterdam. 8°. IX, X. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux Écoles Polytechnique et Normale, rédigé par MM. Gerono et Ch. Brisse. Paris 8°. (3) II. Observatory : The Observatory, a monthly review of astronomy. Bdited by W. N. M. Christie, London. Odessa Nachr.: Nachrichten von der Universität Odessa. Odessa. Padova Atti: Atti della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di Padova. Padova. Par. Denkschr.: Denkschriften der Pariser Gesellschaft der exacten Wissenschaften. Paris. 4°. (Polnisch). Paris Mém. prés.: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de l'Institut de France. Paris. Paris Soc. Phil. : Bulletin de la Société Philomathique de Paris. Paris. 8°. Petersb. Abh.: Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg. Petersburg. (Russisch). Pétersb. Bull.: Bulletin de l'Académie-impériale de St. Pétersbourg. Pëtersbourg et Leipzig. Polio. Phys. Ges. St. Pét.: Journal der physiko-chemischen Gesellschaft zu St.Petersburg. Phil. Mag.: The London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and journal of science, by Kane, Thomson, Francis. London. 8°. (5) XV, XVI,

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Erklärung der Citate.

Pr.'— Programmabhandlung, Gymn. = Gymnasium, Realgymn. = Realgymnasium, etc. Prag. Abh. : Abhandlungen der Eönigl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Frag. Selbstverlag der Königl. Böhmischen Gesellschaft. 4°. (0) XII. Prag. Ber.: Sitzungsberichte derKgl. Böhmischen Gesellschaft der "Wissenschaften. Prag. 8°. 1882. Quart. J. : The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London: 8°. XIX. Resal J. : Journal de mathématiques pures et appliquées fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J . Liouville. Publié par H. Resal avec la collaboration de plusieurs savants. Paris. 4°. (3) Vili, IX. Rev. d'Art. : Revue d'Artillerie paraissant le 15 de chaque mois. Paris. 8». X X I I . Rev. d. qu. sc.: Revue des questions scientifiques. XIII, XIV. Revue de Vinstr. p.: Revue de l'instruction publique de Belgique. Gand. 8". XXVI. Riv. Mat. el.: Rivista di matematica elementare. (2) XVI. Rom. Acc. L.: Atti della Accademia Reale dei Lincei. Roma. 4°. (3) VII. Rom. Acc. L. Mem. : Memorie della Accademia Reale dei Lincei. Roma, gr. 4°. XII, XIII. Rom. Acc. P. d. N. L. : Atti della Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei. Roma. 4°. XXV. Schlömilch Z. : Zeitschrift f i r Mathematik und Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Teubner. 8°. XXVIII. Hl. A.: Historisch-literarische Abteilung (besonders paginirt). S. M. F. Bull.: Bulletin de la Société Mathématique de France publié par les secrétaires. Paris. 8°. X, XI. Stockh. Handl.: Handlingar af Kongl. Svenska Vetenskabs Akademiens. Stockholm. (4) XIX. Stockh. ö/v. : öfversigt af Kongl. Svenska Vetenskabs Akademiens Forhandlingar. Stockholm. XXXIX. Sylv. Am. J.: American Journal of mathematics pure and applied. Editor in chief: J. J . Sylvester; Associate Editor in charge: W. E. Story. Published under the auspices of the Johns Hopkins University. Baltimore. Murphy. 4°. V, VI. Teixeira J.: Jornal di Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pel Dr. F . Gomes Teixeira. Coimbra. 8*. V. Torino Ann.: Annuario dell' Accademia Reale di scienze e di lettere di Torino. Torino. Torino Atti: Atti della Reale Accademia di Torino. Torino. 8°. XVIII. Torino Mem.: Memorie dell'Accademia Reale delle scienze di Torino. Torino. Toul. Mfm.: Mémoires de l'Académie des sciences, inscriptions et belleslettres de Toulouse. Toulouse. Douladoure-Privat. 8°. (8) V . Upsala A/h.: Akademiens Afhandlingar. Upsala. 0 Ups. Ar¡»kr. : Upsala Universitets Arsskrift. Upsala. 8°. Ups. N. Act.: Nova Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis. Upsala. 4°. (3) XI. Ven. At. Atti: Atti dell' Ateneo Veneto. Venezia. Cecchini. 8°.

Erklärung der Citate.

IX

Ven. Ist. Atti: Atti del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. 8°. (.6) I. Ven. Ist. Mem.: Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. Verhandl.: Verhandlungen d. naturh. Vereins für Rheinland und Westphalen. Warsch. J.: Jahrbuch der Arbeiten Warschauer Studenten. Warschau. 1882. Wash. Bull.: Bulletin of the Philosophical Society of Washington. V. Wiedemann Ann.: Annalen der Physik und Chemie. Unter Mitwirkung der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin imd insbesondere des Herrn H. Helmholtz herausgegeben von G. Wiedemann. Leipzig. Barth. 8°. (2) XVIII, XIX, XX. Wien. Anz. : Anzeigen der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Wien. 8°. 1883. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung. Wien. 8°. L X X X V I I , L X X X Y I I I . Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Wien. 4°. XLV1I,

xLvm.

Wochenschr. f . Asti-.: Wochenschrift für Astronomie. Halle a. S. H. W. Schmidt. Wolf Z.: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8°. X X V I I , X X V I I I . Woolwich Art. Inst. Proc.: Proceedings of the Royal Artillery Institution. Woolwich. 8°. Z. dtseh. Iny.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, herausgegeben von Ziebarth. Berlin. 4°. Zeuthen T.: Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af J . P. Gram og H. G. Zeuthen. Kopenhagen. 8°. (5) I. Z. Realsch. : Zeitschrift für das Realschulwesen. VIII.

Inhaltsverzeichnis. ( D i e mit einem f versehenen A r b e i t e n sind ohne Referate.)

Erster Abschnitt. Capitel A.

Geschichte uud Philosophie. 1.

Geschichte.

Biographisch-Literarisches. Seite

M. M a r i e . Histoire des sciences mathématiques et physiques . . . Vaschtchenko. Geschichte der Mathematik Vachtchenko-Zakhartchènko. Considérations sur le développement des mathématiques depuis les temps les plus reculés jusqu'au X V « siècle S. G ü n t h e r . Mathematisch-Philologisches über eine Stelle im platonischen „ S t a a t " L . H e i b e r g , H. M e n g e . Euclidis opera omnia A . F a v a r o . Preliminari ad una restituzione del libro di Euclide sulla divisione delle figure piane P. Tannery. L a stéréométrie de Héron d'Alexandrie P . T a n n e r y . Études héroniennes P . T a n n e r y . Serenus d'Antissa J. L . H e i b e r g . Zum Fragmentum mathematicum Bobiense . . . . E. N a r d u c c i . Comento ¡Dedito di R e m i g i o d'Auxerre al „Satyricon" di Marciano Oapella e altri conienti al Satyricon Narducci. Sur un manuscrit du Vatican du X I V « siècle contenant un traité de calcul emprunté à la méthode „ G o b â r i " J. T e i g e . Bin Beitrag zur Lebensgeschichte des Magister Joannes de P r a g a L Prowe. Nicolaus Coppernicus M. C u r t z e . Ueber eiüe Handschrift der königl. öffentl. Bibliothek zu Dresden '. P. Tannery. Albert Girard de Saint-Mihiel A . F a v a r o . Gli autografi Galileiani P h . G i l b e r t . Analyse critique des „Galileistudien von H. Grisar" . P. van Geer. Willebrordus Snellius P . v a n G e e r . H e t geboortejaar van Willebrordus Snellius . . . . P . v a n G e e r . N o t i c e sur la v i e et les travaux de W i l l e b r o r d Snellius D. B i e r e n s d e H a a n . Bouwstofien voor de geschiedenis der wis-en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden

1 2

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Inhaltsverzeichnis.

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P . T a n n e r y . Sur la date des principales découvertes de F e r m â t . Oh. H e n r y . Sur quelques propositions inédites de F e r m â t . . . . A. M a r r e . Sur huit lettres inédites du P . Claude J a q u e m e t de l'Oratoire Ch. H e n r y . L e s connaissances mathématiques de J a c q u e s Casanova de Seingalt Ed. M a i l l y . Histoire de l'Académie impériale et royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles B. B o n c o m p a g n i . Intorno agli atti di nascita e di morte di P. 8 . Laplace R. W o l f . Einige Notizen über Namen und Familie des Astronomen Lalande A. S p a r a g n a . L e t t e r a di C. F . Gauss al dottore E . G. M. Olbers . f A d . W e r n i c k e . Dr. Robert Meyer, d. B e g r ü n d e r d. modernen Physik B. B o n c o m p a g n i . Intorno alla vita ed ai lavori dì A. C. M. P o u l l e t Delisle J . B. J . L i a g r e . L e colonel E m i l e - H e n r i - J o s e p h A d a n f P . C a s s a n i . P a o l o Sarpi e le scienze matematiche e naturali . . E. B l a n c h a r d , P e r r i e r , F a y e , T i s s e r a n d . Discours prononcés aux funérailles de M. Yvon Villarceau J . W . L . G l a i s h e r . J a m e s Challis . L. C r e m o n a . Commemorazione del professore H. J . S. Smith . . J. W. L. G l a i s h e r . Notice of H. J . S. Smith J. B e r t r a n d . Notice sur les travaux de M. de la Gournerie . . . f L i s t e des travaux mathématiques de Victor Bouniakowsky . . . . B.

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Geschichte einzelner Disciplinen.

K. L a s s w i t z . Giordano Bruno und die Atomistik f K l e i n w a c h t e r . More on the origin of the Arabie numerals . . . f F . V i l l i e u s . Zur Geschichte der Rechenkunst f U n g a r . Grundzüge der Geschichte der elementaren Arithmetik . . H. W e i s s e n b o r n . Bemerkungen zu den Archimedischen N ä h e r u n g s werten der irrationalen Quadratwurzeln W. S c h ö n b o r n . U e b e r die M e t h o d e , nach der die alten Griechen Quadratwurzeln berechnet haben f K . H u n r a t h . Ueber das Ausziehen der Quadratwurzeln bei Griechen und Indern C. J . M a l m s t e n . Oui u p p k o m s t e n af x sasom betechning för den obekanta f C . S t e p h a n . Zur Geschichte der algebraischen Auflösung der quadratischen und kubischen Gleichungen sowie der L e h r e von den Logarithmen G. S. E l y . Bibliography of Bernoulli's numbers H. C o h e n . Das Princip der Inflnitesimalmethode und seine Geschichte R. B a l t z e r . E i n f ü h r u n g der complexen Zahlen 0. S t o l z . Zur Geometrie der A l t e n , i n s b e s o n d e r e über ein Axiom des Archimedes P. T r e u t l e i n . Ein Beitrag zur Geschichte der griechischen Geometrie P. T a n n e r y . P o u r l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'antiquité A. C a y l e y . On Monge's mémoire sur la théorie des déblais et des remblais A. S t a d l e r . K a u t ' s Theorie der Materie V. L i g u i n e . L i s t e des travaux sur les systèmes articulés . . . . t F. G r u b e . Zur Geschichte des Problems der Anziehung der Ellipsoïde

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Inhaltsverzeichnis.

XII

A. G e n o c c h i . Rassegna di scritti intorno alle deviazioni dei pendoli e alla sperienza del Foucault E. G e l c i c h . Ueber den Vorschlag des Marino Ghetaldi, die Grösse der Erde zu bestimmen S. G ü n t h e r . Die neueren Bemühungen um schärfere Bestimmung der Èrdgestalt F r . P o s k e . Die Erklärung des Regenbogens bei Aristoteles . . . t J . I d e l e r . Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie C a p i t e l 2.

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Philosophie (Methodik, Pädagogik).

S. R o b e r t s . Remarks on mathematical terminology, and the philosophie bearing of recent mathematical spéculations concerniog tlie realities of space W. S i m e r k a . Die Kraft der Ueberzeugung . . . f G . T e i x e i r a . Sur la théorie des imaginaires J . H o ü e l . .Considérations élémentaires sur la généralisation successive de l'idée de quantité dans l'analyse mathématique . . . . 0 . S i m o n y . Ueber eine Reihe neuer mathematischer Erfah'rungssätze V . S c h l e g e l . Die Ausdehnungslebre als Mittel zur Analysis elementar-geometrischer Aufgaben A. N y s t r ö m . Nä^ra ord om Zöllners metafysiska teori om rummets s. k. „Qerde dimension" . M o s t . Neue Darlegung der absoluten Geometrie und Mechanik, mit Berücksichtigung der Frage nach den Grenzen des Weltenraumes E. D o r n e t d e s V o r g e s , d e M a r s i l l y . L a notion de l'étendue et ses causes objectives K. K r o m a n . Unsere Naturerkenntnis E. C h e v r e u l . Considérations générales sur les méthodes scientifiques P . v a n G e e r . Philosophiae naturalis principia mathematica . . . . f j . M. v. B i n z e r . Yacuosität und Schwerkraft S. T o l v e r P r e s t o n . Eine dynamische Erklärung der Gravitation . S. T o l v e r P r e s t o n . Ueber die Möglichkeit, vergangene Wechsel im Universum durch die Wirkung der jetzt thätigen Naturgesetze zu erklären F . D a n g e . Leçons de méthodologie mathématique G. D i l l n e r . Om Matematikens Studium i Italien och Frankrike . . J . K . B e c k e r . Die Mathematik als Lehrgegenstand des Gymnasiums P i p e r . Eine neue Methode des mathematischen U n t e r r i c h t s . . . . J . K o b e r . Die Anfänge des Buchstabenrechnens J . D i e k m a n n . Wie erleichtert man den Schülern den Eingang in die sphärische Trigonometrie?

Zweiter Abschnitt. C a p i t e l 1.

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Algebra.

Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.)

L . E r o n e c k e r . Zur Theorie der Formen höherer Stufen L . K r o n e c k e r . Die Zerlegung der ganzen Grössen eines natürlichen Rationalitäts-Bereichs in ihre irreductiblen Factoren A. E. P e l l e t . Sur la réduction des équations H. D u t o r d o i r . Démonstration nouvelle du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques . . . . . . . . . . . . .

43 43 43 44

Inhaltsverzeichnis.

XIII Seite

H . H o o k s . U e b e r d e n F u n d a m e n t a l s a t z der a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g e n T . J . S t i e l t j e s , j r . B e w i j s van d e Stelling, d a t e e n e g e h e e l e r a t i o n e e l e f u n c t i e altijd, voor z e k e r e r e ë l e of c o m p l e x e w a a r d e n van de v e r a n d e r l i j k e , de w a a r d e duI a a n n e e m t Walecki. D é m o n s t r a t i o n d'un t h é o r è m e f o n d a m e n t a l d e la t h é o r i e des équations algébriques W a l e c k i . D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e de d ' A l e m b e r t J . K ö n i g . B e i t r ä g e zur T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g e n . . R. D i e t r i c h D a r s t e l l u n g der W u r z e l n d e r a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g e n d u r c h u n e n d l i c h e Reihen D. A n d r é . M é m o i r e s u r la multiplication d o n t le m u l t i p l i c a t e u r e s t la somme x-f- a D. A n d r é . Mémoire sur la multiplication d o n t le m u l t i p l i c a t e u r e s t la s o m m e x — « A. S c h m i t z . Die r e d u c t i b l e n a l g e b r a i s c h e n F u n c t i o n e n L. K r o n e c k e r . Sur les u n i t é s c o m p l e x e s J M o l k . S u r les u n i t é s c o m p l e x e s C a y l e y . On Mr. A n g l i n ' s f o r m u l a for t h e s u c c e s s i v e p o w e r s of t h e root of an a l g e b r a i c a l e q u a t i o n W . R e h o r o v s k y . Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln E . N e t t o . Zur T h e o r i e d e r D i s c r i m i n a n t e n Sohotzky. Die h ö h e r e A l g e b r a . I . T e i l : A u f l ö s u n g d e r n u m e r i s c h e n Gleichungen E . B a r d e y . A l g e b r a i s c h e G l e i c h u n g e n n e b s t den R e s u l t a t e n . . . A . C a y l e y . N o t e on a s y s t e m of e q u a t i o n s B. A d a m . U e b e r r e c i p r o k e G l e i c h u n g e n f H . G . D a w s o n , M a l e t , R. R u s s e l l , D. E a s t w o o d , M a t z , W . H . B l y t h e , H. L . O r c h a r d , C a y l e y , J . C . S h a r p , S y l v e s t e r , L . H . R o s e n t h a l , J . H a m m o n d , W . J . C. M i l l e r , T a n n e r , M o r e l . Lösungen einzelner besonderer Gleichungen L . G. B a r b o u x . Cubic equations F. S a u t r e a u x . E s s a i d ' a p p l i c a t i o n de la g é o m é t r i e à c o o r d o n n é e s p o l y g o n a l e s et p o l y é d r i q u e s à la résolution d e s é q u a t i o n s du troisième e t du q u a t r i è m e d e g r é G. W e i c h h o l d . C a r a c t è r e a u q u e l on p e u t r e c o n n a î t r e si l ' o p é r a t i o n 2m-t-l 2m i n d i q u é e par \ wi ou p a r l / o + i y ' vwi p e u t ê t r e e f f e c t u é e sous la forme « Vv±ßYwi R. H o p p e . C o n s t r u c t i o n der. i m a g i n ä r e n W u r z e l n e i n e r G l e i c h u n g vierten o d e r d r i t t e n G r a d e s m i t t e l s t einer f e s t e n P a r a b e l . . . W e i l l . S u r le d i s c r i m i n a n t de l'équation du q u a t r i è m e d e g r é . . . . S e Ii v a n of. E x t r a i t d'une l e t t r e à M. H e r m i t e V. J a n n i . S o p r a u n a f o r m o l a di A r o n h o l d A. L o d g e . On t h e solution of t h e g e n e r a l equation of t h e f o u r t h degree A. L o d g e . N o t e on a simple method of solving t h e g e n e r a l e q u a t i o n of t h e f o u r t h d e g r e e G. B o r e n i u s . E n metod för u p p l ö s n i n g e n af likheter af f j e r d e g r a d e n E. O e k i n g b a u s . T r i g o n o m e t r i s c h e A u f l ö s u n g b i q u a d r a t i s c h e r Gleic h u n g e n in g e o m e t r i s c h e r D a r s t e l l u n g E. O e k i n g h a u s . B e i t r ä g e zur T h e o r i e d e r G l e i c h u n g e n vierten Grades Perrin. S u r les c a s de résolubilité d e l ' é q u a t i o n du c i n q u i è m e degré G. P. Y o u n g . P r i n c i p l e s of t h e solution of e q u a t i o n s of t h e h i g h e r degrees

44 44 45 45 46 46 47 47 48 48 51 51 51 52 55 55 55 56

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XIV

Inhaltsverzeichnis.

G. P . Y o u n g . Resolution of solvable equations of the fifth degree . J. M. H i l l . Calculation of the equation which determines the anharmonic ratios of the roots of a quintic E. Catalan. Théorèmes d'arithmétique et d'algèbre L . F. M a r r e c a s F e r r e i r a . Sobre as equacoes trinomias . . . . L e a g u e r r e . Mémoire sur la théorie des équations numériques . . . H. P o i n c a r é . Sur les équations algébriques C a p i t e l 2.

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T h e o r i e der Formen.

E. N e t t o . N o t i z über Gleichungen, deren Discriminante ein Quadrat ist A. Cayley. On the automorphic transformation of the binary cubic function . . . Battagliai. Relazione sulla Memoria del dott. Maisano, intitolata: Sulla forma binaria di 5° ordine F . L i n d e m a n n . U e b e r die Hesse'scheCovariante einer binären algebraischen Form fünfter Ordnung F. B r i o s c h i . Sulle relazioni esistenti fra covarianti ed invarianti di una stessa forma binaria C. S t é p h an o s . Sur les relations qui existent entro les covariants et les invariants de caractère pair d'une forme binaire du sixième ordre C. S t é p h a n o s . Sur les relations qui existent entre les covariants et les invariants de la forme binaire du sixième ordre F. Brioschi. Sur quelques propriétés d'une forme binaire du 8 e ordre A . C a y l e y . On seminvariants .'...P . A . M a c M a h o n . On Professor Cayley's canonical form . . . . R. P e r r i n . Sur les résidus des invariants et covariants des formes binaires R. P e r r i n . Sur les relatiops qui existent entre les covariants et invariants des formes binaires R. P e r r i n . Sur les relations qui existent entre les covariants et invariants de la forme binaire du Cinquième ordre R. P e r r i n . Sur la théorie de la forme binaire du sixième ordre . . J. J. S y l v e s t e r . „On subinvariants i . e . semi-invariants to binary quantics of an unlimited order J . J. S y l v e s t e r . On subinvariants . . . . J. H a m m o n d . N o t e on an exceptional case in which the fundamental postulate of P r o f e s s o r Sylvester's theory of tamisage fails . . . A . O a y l e y . A d d i t i o n to the foregoing paper J. H a m m o n d . On the solution of the differential equation of sources A Cayley. L e t t e r to P r o f . Sylvester J. H a m m o n d . Extracts of letters to P r o f . Sylvester C. S t é p h a n o s . Sur le système complet des combinants de deux formes binaires biquadratiques . E. d ' O v i d i o . Sopra alcuni invarianti d i - d u e forme binarie degli ordine 5 e 2 o 5 e 3 F . M è y e r . Eine neue canonische Form von Gruppen binärer Formen F. M e y e r . Ein Satz über lineare Identitäten zwischen Quadraten binärer F o r m e n . •. . F. Meyer. Ein neuesTJebertragungsprincip für binäre Formen, deren Ordnungszahl eine nicht prime ist . È . S t r o h . Reduction zweier Covariänten binärer Formen Maisano. Alcuni teoremi relativi alle forme binarie di grado qualunque . \ Spottiswoode. Sur les invariants et les covariants d'une fonction transformée par une substitution quadratique

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69 69 69 71 72 73 74 74 74 75 77 77 77 77 79 79 79 80 80 81 81 82 82 83

Inhaltsverzeichnis.

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S. 0. C. G. 0. E.

G u n d e l f i n g e n Z u r T h e o r i e der binären F o r m e n S t é p h a n o s . Sur un problème de la théorie de l'élimination . . S t é p h a n o s . Sur l'intégration d'une fonction rationnelle homogène P i t t a r e l l i . L e coniche e le forme binarie q u a d r a t i c h e e cubiche S c h l e s i n g e r . Ueber conjugirte biDäre F o r m e n P i c a r d . Sur les formes quadratiques binaires à indéterminées conjuguées E. P i c a r d . Sur la réduction continuelle do c e r t a i n e s formes quadratiques B. P i c a r d . Sur les formes binaires indéfinies à indéterminées conjuguées E. P i c a r d . Sur les formes quadratiques t e r n a i r e s indéfinies à indéterminées conjuguées C. S t é p h a n o s . Sur la représentation des homographies binaires p a r des points de l'espace G. B a t t a g l i n i . Sulle forme t e r n a r i e bilineari G. B a t t a g l i n i . Sulle forme quaternarie bilineari J . J . S y l v e s t e r . T a b l e s of generating functions, reduced and représentative for certain ternary s y s t e m s of binary formB G. B a t t a g l i n i . Relazione sulla memoria del. dott. M a i s a n o , intitolata: , S o p r a due classi di formi binarie" B. I g e i . U e b e r ein Princip zur Erzeugung von Covarianten . . . . H. P o i n c a r é . Sur les formes cubiques t e r n a i r e s et q u a t e r n a i r e s M o r e r a . Sulle proprietà invariantive del sistema di una forma lineare e di una forma bilineare a l t e r n a t a 0 . le P a i g e . Sur le système de deux formes trilinéaires C. le P a i g e . Sur les formes trilinéaires E. S t r o h . Z u r Theorie der Combinanten 0 . J o r d a n . Sur la théorie arithmétique des formes quadratiques . C. le P a i g e . Sur les formes binaires à plusieurs séries de variables A. C a p e l l i . Alcune formole numeriche in relazione alla teoria delle operazioni di polare J . J . S y l v e s t e r . On involutants G. B a t t a g l i n i . Relazione sulla memoria del prof. A . Capelli, intitolata: „ E s t e n z i o n e della formula pel numero dei covariante al caso delle trasformazioni lineari" f W . J . C. M i l l e r , J . C. S h a r p , D. E d w a r d e s , W o l s t e n h o l m e , C a y l e y , A. M c M u r c h y , L e u d e s d o r f , M a l e t , S y l v e s t e r . A u f g a b e n über E i g e n s c h a f t e n von F o r m e n J . J . S y l v e s t e r . Erratum. N o t e P e i r c e . A communication C a p i t e l 3.

Elimination und Substitution. symmetrische F u n c t i o n e n .

83 84 85 85 86 87 88 88 88 91 95 95 95 95 96 97 101 101 101 102 104 104 105 ÌOG 107 108 108 108

Determinanten,

F . J . S t u d n i ö k a . U e b e r die Elimination bei linearen G l e i c h u n g e n . 108 H. L a u r e n t . Mémoire sur la théorie de l'élimination 109 L. S a l t e l Nouveaux développements sur une méthode d'élimination 109 C. P r e d i g e r . U e b e r lineare Gleichungen 109 t F . W a l k e r , E v a n s . Aufgaben über Eliminationen aus Gleichungen 110 W . D y c k . U e b e r die durch Gruppen linearer Transformationen gegebenen regulären Gebietseinteilungen des R a u m e s 110 W. D y c k . Gruppentheoretische Studien 110 W. D y c k . Remarques sur la primitivité des g r o u p e s 112 G. F r a t t i ni. I gruppi transitivi di sostituzioni dell' ¡stesso ordine e grado 112 L . K r a u s . U e b e r rational umkehrbare Substitutionen 113

XYI

Inhaltsverzeichnis.

K ö n i g s . Recherches aar les substitutions uniformes L. A n t o n ne. Recherches aar les groupes d'ordre fini J. G i e r s t e r . Ueber Congruenzgruppen von Frimzahlstufe A. G r a n d i . Generalizzazione di un teorema sulla rappresentazione analitica delle sostituzioni H. P o i n c a r é . Sur la reproduction des formes L. B i a n c h i . Sulla risolvente di Lagrange per le equazioni di grado primo risolvibili per radicali J . K ö n i g . Ueber die alternirende Gruppe f E . P i c a r d . Sur nne classe de groupes discontinns de substitutions linéaires ' G. V e r o n e s e . Interprétations géométriques de la théorie des substitutions de n lettres T. P. K i r k m a n . Aufgaben aus der Theorie der Substitutionen . . Th. M u i r . A treatise on the theory of déterminants A. S u a r e z y L. Gasco. Lecciones de Coordinatoria con las Déterminantes y sus principales aplicationes A. B o n o lis. Di un nnovo e semplice modo di sviluppare i determinanti di grado qualunque W. K a p t e y n . Over een paar Stellingen uit de leer der determinanten L. G e g e n b a n e r . Zur Theorie der Determinanten höheren Ranges. R. F. S c o t t . On componnd determinants v C. A. van V e i t z e r . Compound determinants J . J . S y l v e s t e r . On the involutions and evolutions of quaternions. Th. Muir. Note on the transformation of any determinant to any other equivalent determinant Em. B a r b i e r . Sur une formule de Lagrange déjà généralisée par Cauchv Em. B a r D i e r . Généralisation du théorème de Jacobi sur les déterminants partiels du système adjoint A. B u c h h e i m . Mathematical notes D. A m an zio. Di alcune transformazioni del simbolo d'operazione

v±.u±-...z

4-.r4-.x4-

dx dx dx dx dx E. H u n y a d y . Ueber einige Determinantengleichungen Th. Muir. On a peculiar development of a special determinant of the sixth order A. L o d g e . Note on the coefficients in a transformed equation . . F. C a s p a r y. Ueber einige Determinanten-Identitäten V. R e t a l i . Sui sistemi di punti in linea retta J . J . S y l v e s t e r . On the equation to the secular inequalities in the planetary theory | J . N e u b e r g . Applications des déterminants +J. H a m m o n d , J . L. M c K e n z i e , E. B. E l l i o t t , G e n e s e , Th. M u i r , G. H e p p e l , R o y . Aufgaben über besondere Determinanten . . . . C. L e u d e s d o r f . Note on a senate-house problem G. G a r b i e r i . Sopra alcuni classi di funzioni simmetriche P . A. M a c M a h o n . On symmetric functions and in particular on certain inverse operators in connection therewith F o r e s t i e r . Équation aux carrés des différences de l'équation générale du quatrième degré P . A. M a c M a h o n . Seminvariants and symmetric functions . . . . fW. Rehorovsky. Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln W. P. D u r f e e . The tabulation of symmetric functions J. T a n n e r y . Sur nne décomposition en carrés

Seite

114 115 115 116 117 117 118 118 118 118 118 119 119 119 12t) 120 121 121 122 122 122 122

123 123 123 124 124 124 124 126 125 125 125 126 126 127 127 127 127

Inhaltsverzeichnis.

XVII Seite

Tb. M u i r . On a class of permanent symmetric functions J . H a m m o n d . Extracts of letters to Professor Sylvester

Dritter Abschnitt. C a p i t e l 1.

128 128

Zahlentbeorie.

Allgemeines.

J . J . S y l v e s t e r . Solution of a question J. J. S y l v e s t e r . A constitutive theory of partitions arranged in three acts, an interact and an exodion J . J . S y l v e s t e r . Sur un théorème de partitions J. J. S y l v e s t e r . Démonstration graphique d'un théorème d'Euler concernant les partitions des nombres J . J . S y l v e s t e r . Sur un théorème de partitions de nombres Complexes contenu dans un théorème de Jacobi J . J . S y l v e s t e r . Preuve graphique du théorème graphique d'Euler sur la partition des nombres pentagonanx O a y l e y . Note on a partition — Series J . J . S y l v e s t e r . Graphical proof of Euler's theorem on the partitions of pentagonal and non pentagonal numbers J . J . S y l v e s t e r . On a new method in partitions J . J . S y l v e s t e r . Note on the graphical method in partitions . . . F. F r a n k l i n . On partitions C a y l e y . Extract form a letter to Dr. Franklin J . J . S y l v e s t e r . Sur les nombres de fractions qu'on peut exprimer en se servant de chiffres qui n'excèdent pas un nombre donné E. C e s a r o . A letter to professor Sylvester J . J . S y l v e s t e r . On the number of fractions whose numerators and denominators are limited not to exceed a certain number . . . On the number of fractions contained in any + J. J. S y l v e s t e r . . Farey-series of which the limiting number is given J . J . S y l v e s t e r . On Farey series F . J . v a n d e n B e r g . Over een rekenkundig vraagstuk J . W . L. G l a i s h e r . A theorem in partitions R. L i p s c h i t z . Sur une communication de M. de Jonquières relative aux nombres premiers B. L i p s c h i t z . Addition à une note sur les nombres premiers . . E. d e J o n q u i è r e s . Addition à une note sur les nombres premiers R. L i p s c h i t z . Application d'une méthode donnée par Legendre . J . J . S y l v e s t e r . Note sur le théorème de Legendre .' M e i s s e l . Ueber Primzahlmengen S t i e l t j e s . Sur le nombre des diviseurs d'un nombre e n t i e r . . . . E. G e s a r o . Sur un théorème de M. Stieltjes Ch. H e r m i t e et R. L i p s c h i t z . Sur quelques points dans la théorie des nombres C. d e P o l i g n a c . Sur une question de divisibilité J . "W. L. G l a i s h e r . Theorems relating to the sum of the uneven divisors of a number O. K e s s l e r . Zur Lehre von der Teilbarkeit der Zahlen Karl H a a s . Teilbarkeitsregeln für ein Zahlensystem mit beliebiger ganzer positiver Basis +S. D i c k s t e i n . Zur Teilbarkeit der Zahlen J a m e s G l a i s h e r . Factor tables for the sixth million containing the leaBt factor of every number not divisible by two, three or five between five million and six million P. S e e l h o f f . Befreundete Zahlen Fortsohr. d. Math. XV. 3.

B

129 129 130 130 130 130 130 131 131 131 131 131 132 132 133 133 133 133 134 134 134 135 135 135 135 135 135 136 136 137 137 137 137 137 138

xvm

Inhaltsverzeichnis.

B o u n i a k o w s k y . Démonstration de quelques propositions relatives à la fonction E(x) H e r m i t e . Extract from a letter to Mr. Sylvester H a l p h e n . Sur l'approximation des sommes de fonctions numériques O. D z i o b e k . Ueber cyklische Functionen E. S c h e r i n g . Zur Theorie der quadratischen Reste J . R o g n e r . Ueber die „Kunst", aus allen Kubikzahlen von Eins bis tausend Millionen die Kubikwurzel aus dem Kopfe zu nennen . T. J . S t i e l t j e s . Contributions à la théorie des résidus cubiques et biquadratiques T. J . S t i e l t j e s . Sur la théorie des résidus biquadratiques . . . . E. B a r b i e r . Démonstration élémentaire du théorème relatif à la somme des cubes des nombres secondaires P i c q u e t . Sur une généralisation du théorème de Fermât E. L u c a s . Sur la généralisation du théorème de F e r m â t P e l l e t . Sur une généralisation du théorème de Fermât S. K a n t o r . Sur une généralisation du théorème de Fermât . . . . P i e q u e t. Sur la généralisation du théorème de Fermât, due à M. Serret E. C a t a l a n , d e T i l l y , P . M a u s i o n . Rapport sur un concours . E. C e s a r o . Sur diverses questions d'arithmétique W . A. W h i t w o r t h , G. H e p p e l , B. R e y n o l d s . Solutions of a question A. O e n o c c h i . Démonstration d'un théorème de F e r m â t . . . . . . A. G e n o c c h i . Brano di lettera S. R e a l i s . Sopra un' equazione indeterminata S. T e b a y . Solution of a question J . W. L. G l a i s h e r . Note on the compositions òf a number as a sum of two or four uneven squares S t i e l t j e s . Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés . . • S t i e l t j e s . Sur le nombre de décompos. d'un entier en cinq carrés S. T e b a y . Solution of a question S. R e a li s. Résolution d'une éq. indéterminée par formules directes . S. R e a l i s . Sur une équation indéterminée S. R e a l i s . Résolution d'une équation indéterminée S t i e l t j e s . Sur quelques théorèmes arithmétiques E. C a t a l a n . Sur quelques décompositions en carrés C. M. P i u m a . Intorno ad una congruenza di modulo primo . . . . N. V. B o u g a e f f . Einige Anwendungen der Theorie der elliptischen Functionen auf die Theorie der discontinuirlichen Functionen . E. C a t a l a n . Problèmes et théorèmes d'arithmétique F o r m e n t i . . Sui numeri irreducibili coi numeri complessi Ch. M é r a y . Solution du problème général de l'analyse indéterminée du premier degré f J . 0 . S h a r p , W . A. W h i t w o r t h , W. A. P i c k , R, K n o w l e s , James M a t t e s o n , J . C. S h a r p , S y l v e s t e r . Specielle Aufgaben zahlentheor.etischer Natur C a p i t e l 2.

Seite

139 139 139 140 141 141 141 141 142 142 142 142 142 142 144 144 144 144 145 145 145 145 146 146 146 146 147 147 147 147 148 148 148 149 149 149

Theorie der Formen.

J. G i e r s t e r Ueber Relationen zwischen KJassenzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante S t i e l t j e s . Sur un théorème de M. Liouville J . P e r o t t . Sur la formation des déterminants irréguliers A. B e r g e r . Sur une application des nombres des classes des formes quadratiques binaires pour un déterminant négatif f t i F r a t t i n i . Carattero quadratico di 2 come conseguenza prossima del teorema di Wilson H. M i n k o w s k i . Sur la réduction des formes quadr. pos. ternaires .

149 151 152 152 152 152

Inhaltsverzeichnis. Arnold M e y e r . Kin Satz aus der T h e o r i e der indefiniten ternären quadratischen Formen L. C h a r v e . Table des formes q u a d r a t i q u e s q u a t e r n a i r e s positives réduites dont le déterminant est égal ou inférieur à 20 . . . . A. S. H a t h a w a y . A proof of a theorem of J a c o b i C. Di na. Teoria delle congruenze bimodulari C a p i t e l 3.

XIX Seite

153 154 154 154

Kettenbrüche.

E. C a t a l a n . Notes sur la théorie des fractions continues E, de J o n q u i è r e s . Sur les fractions continues périodiques dont les numérateurs diffèrent de l'unité E. de J o n q u i è r e s . É t u d e des identités qui se p r é s e n t e n t entre les réduites deux des modes de fractions continues périodiques . . E. de J o n q u i è r e s . Addition aux communications p r é c é d é n t e s . . K. E. H o f f m a n n . Studien über K e t t e n b r ü c h e H. W e i s s e n b o r n . Bemerkungen zu den Archimedischen N ä h e r u n g s werten der irrationalen Quadratwurzeln

155 155 156 157 157 157

Vierter A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. E. L u c a s . Récréations mathématiques S. K a n t o r . Permutationen mit b e s c h r ä n k t e r S t e l l e n b e s e t z u n g . . . D. A n d r é . Sur le nombre des permutations de n éléments qui p r é s e n tent s séquences J. B o u r g e t . Note sur les permutations de n objets S an at. Ueber Permutationen der Zahlen des dekadischen Systems E. S t e r n . Ein combinatorischer Satz F. Roth. Die Combinationen mit unbeschränkter W i e d e r h o l u n g . . E. zur N i e d e n . Zur Combinationslehre Tb. S a n i o . Eine combinatorische Definition der Zahl e J. P e r o t t . Sur le problème des fous A. F i c k . Philosophischer V e r s u c h über die W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n . A. P ä n e k . Ueber die Wahrscheinlichkeit a posteriori D. A n d r é . Probabilité pour qu'une permutation donnée d e n lettres soit une permutation alternée W. G o s i e w s k i . Aufgabe aus der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g . . F. Y. E d g e w o r t h . T h e law of error fF. Y. E d g e w o r t h . T h e method of least squares 0. L. L a n d r é . , De middelbare fout bij waarnemingen ter bepaling van meer dan een o n b e k e n d e N. L. W. A. G r a v e l a a r . H e t gebruik van determinanten b i j de methode der kleinste quadraten P. van G e e r . Sur l'emploi des déterminants d a n s la méthode des moindres carrés C. H. K u m m e l . Reconsideration of the solution of a problem . . . ß. J. Ad c o c k . Law of random errors E. C e s a r o . Remarques sur une question de probabilités . . . . . E. L e m o i n e . Quelques questions de probabilités résolues géométriquement E. L. de F o r e s t . On an unsymmetrical probability curve C a v a l l i n , G . F . W a l k e r . Solution of a question J. E. H e u d r i c k s . Solution of a problem W. J. C. M i l l e r . Solution of a question D. E d w a r d e s , E. B l a c k w o o d . Solution of a question B*

158 158 159 159 159 159 160 160 160 160 161 161 162 162 162 162 163 163 164 164 164 164 164 165 165 1G5 165 166

XX

Inhaltsverzeichnis. Seite

E. B. S e i t z . Solution of a problem E. B. S e i t z . Solution of questions S e i t z , C a v a l l i n . Solution of a question . • B. B> S e i t z . Solution of a question M a r t i n . Solution of a question E. L . d e F o r e s t . A method of demonstrating certain properties of polynomials f M a c F a r i a n e , B . F . S c o t t , F . A . M a c M a h o n , M a r t i n , B. B a s t o n , . T o w n s e n d . Lösungen von Aufgaben über Wahrscheinlichkeit É. L u c a s . Détermination des progressions arithmétiques dont les termes ne sont connus qu'approximativement A. W. H a l 6 . Table for facilitating the determination of empirical formulae D. B e s s o . Sull' approssimazione dell' ordinaria interpolazione nelle tavole di logaritmi L. P e r o z z o . Neue Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Statistik L . W a l r a s . Théorie mathématique de la richesse sociale Th. W i t t s t e i n . Das mathematische Gesetz k) gehören mögen. IJnter R den Kugelradius verstehend, berechnet der Verf. den kubischen Inhalt V der so bestimmten Konche und findet 1/ V =

1 T

2ßä a b i c +, - T -

Rc a r *c t a n g - ^ -

- «(ß*- -|-)arctang-^- —6 ( ß 2 - ~ ) a r c t a n g - ^ - , wo der Kürze wegen C'-4Ä'

° gesetzt ward.

=

8Ä

.

'

b =

c'-4k'

- W ~

Heron's Berechnungsformel ist

Es gelingt, auch den Ursprung dieser stets zu grosse Werte liefernden Beziehung aufzuklären. — Zum Schlüsse wird noch von einigen Raumgebilden gesprochen, welche an zwei Stellen bei Heron vorkommen, und von welchen sich bisher niemand eine recht zutreffende Vorstellung hatte machen können. Aus dem Studium der für das Volumen dieser Körper aufgestellten Regeln zieht Herr Tannery den Schluss, man möge es hier wohl mit cylindrischen Gewölben zu thun haben. Gr.

P.

TANNERY.

Serenus

d'Antissa.

Darb. Bull. (2) V I I . 237-244.

Das Alter des Mathematikers Serenus, der die Identität der aus dem Kegel und aus dem Cylinder geschnittenen Ellipse

6

I. A b s c h n i t t .

zuerst nachwies,

G e s c h i c h t e und Philosophie.

w a r bisher so gut wie ganz unbekannt,

nur

konnte man mit Blass und Cantor annehmen, dass der römische Name

auf

eine

verhältnismässig

späte Zeit

hinweise.

Herr

T a n n e r y hält dafür, dass Serenus nach Pappos lebte; denn bis auf diesen habe

mau nicht sowol eigentliche Commentare,

als

vielmehr blosse Sammlungen von Hülfssätzen zu den mathematischen Werken der klassischen Epoche angefertigt;

Porphyrios

und Pappos begannen für Euklid und Ptolemaeus zuerst eigentliche Scholien zurechtzumachen, und ihnen folgten, so wird hier geschlossen,

Serenus

für Apollonios,

Marinus für Archimedes.

Jedenfalls aber lässt sich auch zeigen, dass Serenus älter ist, als T h e o n Alexandrinus.

J . L . HEIBERG. biense.

Gr.

Zum

Fvagmentum

mathematicum

D a s in der Ueberschrift genannte Bruchstück schen

Bo-

Schlömilch Z. XXVIII. Hl. A. 121-129. eines griechi-

mathematischen W e r k e s ist bereits von Belger

mit

nur

geringem, von Wachsmuth und Cantor dagegen mit recht gutem Erfolge zu restituiren

versucht

zweiten Theile.

den Anfang

kannte

Für

dänische Fachmann

darin ein Lemma

über

worden,

wenigstens

der gleichen A u f g a b e ;

die Parabeltangcnte

Beweis mit Glück wieder her.

in

seinem

unterzieht sich der und

wohlbe-

er

erkennt

stellt

dessen

Der griechische Autor

brauchte

diesen Hülfssatz, um darthun zu können, dass alle parallel der A x e eines parabolischen Hohlspiegels einfallenden Strahlen sich in

dessen

Focus

vereinigen.

vorgeschlagen und begründet

Nachdcni sind,

einige

Emendationen

wendet sich der Verfasser

der Autorenfrage zu; ein unbedeutender Compilator sei derselbe keineswegs

gewesen,

sondern

ein guter Sachkenner,

vielleicht

wol gar jener tüchtige Byzantiner Anthemios, dessen schon der

Vorgeschichte

der

Dampfmaschine

Mechanikers Erwähnung gethan wird.

als Da

eines

in

gewandten

es sicher ist,

dass

Anthemios über konische Brennspiegel geschrieben bat, so macht Heiberg's Vermutung einen recht plausiblen Eindruck.

Gr.

Capitel 1.

E.

Geschichte.

7

NARDUCCI. Comento inedito di Remigio d'Auxerre al „Satyricon" di Marciano Capeila e altri comenti al SatyricOIl. Bonc. Bull. X V . 505-580.

Herr Narducci hat in der vaticanischen Bibliothek einen Auszug aus der Arithmetik des bekannten spätrömischen Schriftstellers Martianus Capeila aufgefunden und zwar in einer von einem deutschen Bischof des neunten Jahrhunderts besorgten Handschrift, welche zugleich den Commentar des Stiftslehrers Remigius mit enthält. Der Auszug wird hier abgedruckt, ausserdem aber verbreitet sich der Verfasser mit bekannter Sachkunde Uber die anderen Commentarc, welche zum Satyrikon geschrieben worden sind. Gr.

H.

Sur un manuscrit da Vatican, du X I V e siècle, contenant un traité de calcul emprunté à la méthode „Gobâl'i". Darb. Bull. (-2) V I I . 247-256. NARDUCCI.

Der unermüdliche Kenner römischer Bibliotheken beschreibt in diesem Sendschreiben an Herrn Marre einen aus dem Privatbesitze der Königin Christine an die vaticanische Bibliothek tibergegangenen „Introductorius liber qui et pulveris dicitur in mathematicam disciplinant"; derselbe charakterisire denUebergang von den Systemen der Abacisten zu denjenigen der Algorithmiker. Die angewandten arabischen Ziffern differiren nur unbedeutend vou den heutzutage üblichen, 0 heisst „circulus" und ist durch einen kleinen Kreis vertreten. Jedenfalls, und das ist das Bemerkenswerte an der Sache, scheint dieser arabischen Vorbildern nachgebildete Traktat den Titel „Staubrechnung" mehr nur als Aushängeschild zu tragen und in Wirklichkeit ein Erzeugnis des Abendlandes zu sein. Gr.

J.

TEIGE.

Ein Beitrag zur Lebensgeschichte des Magister

Joannes de Praga.

Schlömilch

z.jxvill.

Hl. A. 41-44.

Johannes Schindel wird in einem von dem bekannten Huma-

8

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

nisten und nachmaligen Papst Enea Silvio an ihn gerichteten Briefe als hervorragender Astronom und Mathematiker gefeiert. Von seinen Lebensverhältnissen ist nicht allzuviel bekannt. Geboren in Königgrätz zwischen 1370 und 1375, lebte er von 1407 bis 1409 als Docent der genannten Wissenschaften in Wien, wurde aber 1410 Rektor der Prager Hochschule. Er starb um 1450. Für sein wissenschaftliches Ansehen spricht u. a. die lobende Erwähnung, welche ihm der bekannte Bianchini angedeihen liess, als er seine „tabulae motuum coelestium" dem Kaiser Friedrich III. zum Geschenke machte. Gr.

L.

PßOWE.

Nicolaus -CoppernicUS.

Berlin. Weidmann.

Dieser erste Band der grossartig angelegten CoppernicusBiographie zerfällt selbst wieder in zwei stattliche Teile. Im ersten wird die Geburtsstadt des Reformators, das altehrwürdige Thorn, geschildert; die Etymologie des deutsch-slavischen Namens Koppernigk (latinisirt stets Coppernicus mit Doppel-p) wird festgestellt. Wahrscheinlich stammte die Familie aus Frankenstein in Schlesien. Später sassen die Koppernigks, ein damals schon durch und durch deutsches Geschlecht, in Krakau; der Vater des Nicolaus verlegte sein Domicil nach Thorn und trat dort in nahe verwandtschaftliche Beziehungen zu den Watzelrode's. Wir begleiten an der Hand unseres kundigen Führers den jungen Coppernicus in die Schule und von dort auf die Universität Krakau, an der damals die Mathematik blühte, ßrudzewski, ihr Hauptvertreter, war damals freilich schon, wie es die leidige Gelehrtensittc jener Zeit mit sich brachte, zu anderen Lehrfächern übergegangen. Zwei Jahre bringt der junge Mann hierauf in der Heimat, in Thorn und in Heilsberg, zu, und der Verf. nimmt die Gelegenheit wahr, uns hiebei die Zustände des Ermländischen Bistums genau zu schildern, welches den jungen Patrizier zwar als Domherrn aufnahm, ihm aber trotzdem Erlaubnis und Mittel zu einem weiteren mehrjährigen Studium in Italien gewährte. Mit lebhaften Farben werden uns die Zustände der Universität Bologna gemalt, wo Coppernic nunmehr in Gemeinschaft mit

Capitel 1.

Gcschichte.

9

seinem Bruder Andreas das Studium des Kirchenrechtes begann, dabei aber auch Griechisch und Astronomie nicht verabsäumte. Nach längerem Aufenthalt daselbst und in Rom sehen wir das Brüderpaar nach Preussen zurückkehren, bald aber wiederum das geliebte Italien aufsuchen; Nicolaus erwirbt in Ferrara den Doctorhut und sammelt sich dann noch in P a d u a ein stattliches medicinisches Wissen, ausreichend, um ihm für seine ganze künftige Lebenszeit den Ruf eines hervorragenden Heilkünstleis zu sichern. Nach endgültiger Heimkehr widmet sich der j u n g e Domherr den Pflichten seines Amtes; von 1506 bis 1512 unterstützt er in Heilsberg seinen Oheim, den Bischof Watzelrode, freilich weniger bei kirchlichen, als bei politischen und staatlichen Geschäften. Vier weitere Jahre, die J a h r e ruhiger und intensiver Arbeit, verlebt er bei der Kathedrale in Frauenburg; alsdann versieht er mehrfach die Function eines Kapitelsstatthalters in der Provinz Allen stein und von 1521—1531 weilt er wieder ungestört in Frauenb u r g , seine Zeit zwischen Kirche, Beratungszimmer, Studirstube und der — bekanntlich äusserst primitiven — Sternwarte teilend und nur gelegentlich zur Teilnahme an den Landtagsversammlungen oder ärztlicher Concilien halber sein Tusculum verlassend. Die letzten J a h r e des grossen Mannes verbittert die zelotische Gesinnung des neuen Oberhirten Johannes Dautiscus, während andererseits der Aufenthalt des wissbegierigen Rheticus als ein freundlicher Lichtblick erscheint. Der letzte Abschnitt schildert den Lebensausgang Coppernic's. — Während der zweite Band hauptsächlich die urkundlichen Belege nachbringen und der dritte dem Denker und Forscher gerecht werden soll, geht doch auch schon in diesem ersten Bande die Wissenschaftsgeschichte keineswegs leer aus. So erhalten wir eingehende Mitteilungen über Coppernic's Uebersetzung der Episteln des Byzantiners Theophylaktos Simokatta, über die Instrumente und Tafeln, mittelst deren die erfahrungsmässige Grundlage für die „Revolutiones" beschafft ward, über die in nationalökonomischer Beziehung hochwichtige Denkschrift zur Münzregulirung, über Coppernic's scharfe Polemik gegen die neu aufgewärmte Trepidationstheorie des Johannes Werner, über den „Commentariolus", der die Grundsätze der

I. Abschnitt.

10

Geschichte und Philosophie.

neuen Kosmologie in nuce enthält, über die medicinischen Kenntnisse des Coppernicus, über seine Trigonometrie und endlich Uber die geistige Entwickelung, deren Schlussstein das erwähnte Hauptwerk darstellt. Im Uebrigen verweist Referent auf seine ausführlicheren Besprechungen des vortrefflichen Werkes in der „Allg. Zeitung" und in der „Vierteljahrsschr. der astron. Gesellschaft". Gr.

M.

CURTZE.

lieber eine Handschrift der königl. öffentl.

Bibliothek zu Dresden,

s'cblömiich

z. x x v i l l .

Hl. A. 1-13.

Analyse des Manuscripts Db. 8(5 der königlichen Bibliothek in Dresden, welches vor 300 Jahren einem gewissen Magister Thaus zugehörte. In einem Sammelbande sind 38 griechische und lateinische Schriften vereinigt, von Euklid, Theodosios, Pappos, aber auch mittelalterliche Algorithmen, das Buch „de numeris datis" von Jordanus Nemorarius und die Optik Peckbam's. Bemerkenswert erscheint vor allem ein synthetischer Beweis des heronischen Lehrsatzes von der Dreiecksfläche. Vgl. auch des Referenten ausführlicheren Bericht in der „Philol. Rundschau". Gr.

P.

Albert Girard, de Saint-Mihiel.

TANNERY. (2) V I I

Darb. Bull.

358-360

Die Orthograpie des Namens Saint-Mihiel stimmt nicht überall überein, wo von Albert Girard, dem Herausgeber der Werke Stevin's, die Rede ist. 0.

A . FAVARO.

GH autografi Galileiani.

Bonc. Bull. X V . 581-&.93.

Es sind dies Briefe Galilei's an Cavalieri und an den Marquis Marsigli, von denen bisher nur ein Teil, allerdings der grössere durch Alb6ri und Predieri veröffentlicht ist. Nach Herrn Favaro's Ansicht wäre jedoch eine neue kritische Ausgabe des ganzen Materials wünschenswert; freilich ist darauf nicht zu hoffen, so

Capitel 1.

lange

das Archiv der Familie Marsigli so schwer

bleibt, wie es leider zur Zeit der Fall ist.

PH.

11

Geschichte.

GILBERT.

H. Glisar«.

zugänglich Gr.

Analyse critique des „Galileistudien von Rev. d. qu. sc. XIV. '265-270.

Nach Herrn Gilbert ist das Buch Grisar's fast immer zuverlässig in der Erzählung der Tatsachen und gründlicher als die meisten vom katholischen Standpunkte ausgehenden Schriften in den auf den Process von Galilei bezüglichen Fragen des positiven kanonischen Rechts. Mn. (Lp.).

P.

VAN

P.

VAN G K E R .

lius. P.

GEER.

Willebiordus Suellius.

Album der Natuur.

Het geboortejaar van Willebrordus Snel-

Album der Natuur.

Notice sur la vie et les travaux de Willebrord Snellius. Neerl. Arch. XVIII. 453-468. VAN G E E R .

Diese. verschiedenen Abhandlungen betreffen den berühmten holländischen Mathematiker W. Snellius. In der ersten wird neben einem Portrait eine kurze Lebensbeschreibung mitgeteilt. Er w a r der Sohn des Leidener Professors Rudolf Snellius, welcher mit dem Landgrafen von Hessen eng befreundet war. Willebrord folgte 1618 seinem Vater, doch starb er schon 1626 in bester Lebenskraft und Wirksamkeit Sodann wird eine Uebersicht Uber seine Werke gegeben. Zu den wichtigsten gehören: der Cyclometricus, von der Quadratur des Kreises handelnd, worin eine bessere Methode als diejenige L u d o l f s von Köln zur annähernden Berechnung des Umfangs mitgeteilt wird; ein Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, worin verschiedene neue Beweise enthalten sind und zum ersten Mal das Polardreieek eingeführt wird; vor allem aber der Eratosthenes Batavus (1617 in Leiden erschienen), worin die erste von Snellius ausgeführte Gradmessung zwischen Alkmaar und Bergen op Zoom beschrieben wird. Auch wird gezeigt, wie

I. Abschnitt.

12

Geschichte und Philosophie.

in diesem Werk die vollständige Lösung der bekannten geodätischen Aufgabe vorkommt, welche in unserer Zeit oft, aber gänzlich mit Unrecht, den Namen des Franzosen Pothenot trägt. Schliesslich wird das Brechungsgesetz des Lichtes erwähnt, welches gewöhnlich Descartes zugeschrieben wird. Die Gründe, weshalb man die Entdeckung desselben Snellius zuschreiben niuss, werden ausführlich dargelegt. In Uebereinstimmung mit der Abhandlung von Dr. P. Kramer in Schlömilch Z. XXVII. (siehe F. d. M. XIV. J882. 26) kommt der Verfasser zu dem Schlüsse, dass das Brechungsgesetz zuerst durch Snellius gefunden, aber nicht veröffentlicht worden ist; dass es wahrscheinlich später durch Descartes noch einmal gefunden wurde, welcher es zuerst .in seiner Dioptrik mitteilte. In der zweiten der obengenannten Abhandlungen wird ausführlicher über Snellius' Geburtsjahr gehandelt. Durch verschiedene einheimische und ausländische Schriftsteller (u. a. Montucla und Poggendorff) wird das J a h r 1591 als Geburtsjahr angegeben. Auf Grund von Untersuchungen, welche im Archiv der Stadt Leiden und an anderen Orten angestellt sind, wird der Beweis geführt, das dies J a h r nicht das richtige ist, vielmehr sein Geburtsjahr in das J a h r J 581 gesetzt werden muss. Als er 1626 starb, war er demnach nicht 35, sondern 45 J a h r e alt. Die französische Abhandlung ist ein Auszug aus den beiden oben genannten. G.

I). HIERENS DE HAAN.

Bouwstoffen voor de geschiedenis

d e r w i s - e n n a t u u r k u n d i g e w e t e n s e h a p p e n in d e N e d e r landen.

Amst. Versl. en Meded. X V I I I . 218-301.

Fortsetzung der historischen Studien des Verfassers über die Mathematik und die Naturwissenschaften in den Niederlanden. No. X X I handelt von den beiden Mathematikern Cornelis Saskersz van Leeuwen und Abraham de Graaf, welche um die Mitte des 17. Jahrhunderts in Amsterdam lebten. Beide waren Lehrer, welche verschiedene mathematische Lehrbücher herausgaben, doch auch einander auf scharfe Weise in kleineren Schriften

Capitel 1.

Geschichte.

13

bekämpften. Ueber diesen Streit, in welchen auch andere bekanntere Mathematiker gezogen wurden, wird ausführlich gesprochen. No. XXII handelt von Jan Hendrick Jarichs van der Ley, welcher im Anfang des 17. Jahrhunderts zu Dokkum lebte und einige W e r k e über Seefahrtskunde schrieb. Ihr Inhalt und der Streit, zu welchem sie Veranlassung gaben, wird ausführlich beschrieben. Gr.

P.

TANNERY.

de Fermât.

Sur la date des principales découvertes Darb. Bull. (2) V I I . 116-128.

E s soll gezeigt werden, dass jener Erfahrungssatz, welchem zufolge die wichtigsten Entdeckungen grosser Männer mehr aus deren Jugendzeit als aus ihrem reiferen Alter stammen, auch bezüglich des grössten französischen Zahlentheoretikers keine Ausnahme erleidet. Als solche besonders hervorragende Leistungen Fermat's bezeichnet Herr Tannery seine Untersuchungen Uber figurirte Zahlen und über die Sutnmirung der Reihe l n + 2n-\-3n-\ |-m re , ferner die Methode, Maxima und Minima zu finden, sodann die Aufstellung des Satzes, dass die unbestimmte Gleichung xn-\-yn = s" für n > 2 niemals in ganzen Zahlen befriedigt werden könne, und endlich die Erfindung der von Fermât selbst als Krönung des Gebäudes bezeichneten Zerlegung einer Zahl in Polygonalzahlen vorgeschriebenen Charakters. Die Bildung der Binomialcoefficienten entstammt dem J a h r e 1636; auch unterliegt es keinem Zweifel, dass Roberval's 1650 erfolgte Mitteilung an Hevel betreffs der Summation obiger Reihe auf einem Plagiate beruht; selbst Pascal's Stellung zu Fermât erscheint nicht in ganz klarem Lichte. In noch frühere Zeit (1629) fallen Fermat's Beschäftigungen mit dem, w a s wir heute Differentialrechnung nennen würden, und seine glücklichen Versuche, Schriften des Apollonios zu restituiren. Den Beweis f ü r die schon früher erkannte Wahrheit, dass keine ganzzahlige Lösung besitze, fand er um 1636. Das Theorem Uber die Zusammensetzung von Polygonalzahlen wird am 27. Juli

I. Abschnitt.

14

Geschichte und Philosophie.

1638 von Descartes dem Mersenne mitgeteilt und als ein Fund St. Croix's bezeichnet. In Wirklichkeit hat es aber das Jahr zuvor Fermat seinem Freunde St. Croix bekannt gegeben. Der Fundamentalsatz Uber unbestimmte Gleichungen, dessen wir oben gedachten, muss auch schon vor 1640 gefunden worden sein; ein noch unedirter Brief von 1637 enthält auch schon den scheinbar so einleuchtenden, durch Euler's Genie jedoch als falsch erwiesenen Satz, dass (2 ( 2 n ) -}-l) immer eine Primzahl sei. Kurz, die Zeit zwischen 1636 und 1641, Fermat war IfiOl geboren, muss als die eigentliche schöpferische Periode dieses unvergleichlichen Genius bezeichnet werden, dessen juridische Berufstätigkeit ihn j a von jeder andauernden Beschäftigung mit mathematischen Dingen zurückhielt. Gr.

CH. HENRY.

Sur quelques propositions inédites (le Fermat.

Rom. Acc. L. (3) VII. 39-40.

Fürst Boncompagni besitzt den noch nicht publicirten Briefwechsel Fermat's mit Mersenne, und in diesem erzählt der Erstgenannte viel von den zahlentheoretischen Nüssen, welche er seinen wissenschaftlichen Freunden, Frenicle u. a., zum Knacken vorgelegt hat. Einiges davon wird hier mitgeteilt; éé soll z. B. ein Dreieck von der Art gefunden werden, dass die Fläche desselben, zum Quadrate der Summe zweier Seiten hinzuaddirt, wieder ein Quadrat ergebe. 205709, 190281, 78320 sind die Maasszablen für die Seiten eines solchen Dreieckes. Gr.

A.

Sur huit lettres inédites du P . Claude Jaquemet de l'Oratoire. Bonc. Bull. X V . 679-G83. Huit lettres inédites du P . Claude Jaquemet. 683-098. MARRE.

Der Inhalt dieser an L'Hôpital, Reyneau und an einen sonst wenig bekannten Ordensbruder des Schreibers gerichteten Briefe bezieht sich in der Hauptsache auf algebraische Fragen. Gr.

Capitel 1.

Geschichte.

15

Les connaissances mathématiques de Jacques Casanova de Seingalt. Bonc. Boll. xv. 637-670.

C H . HENRY.

Dass der bekannte Abenteurer, dessen Lebensverhältnisse durch die fleissige literarhistorische Studie des Bibliothekars der Sorbonne in mehr denn einer Hinsicht fixirt und geklärt werden, sich auch mit Mathematik beschäftigt hat, das wussten wol nur wenige. In der That aber veröffentlichte derselbe 1790 in Dresden eine Schrift über das delische Problem und Hess derselben noch zwei kleinere, dasselbe Thema behandelnde Abhandlungen folgen, die jedoch anscheinend mehr philosophische, als gerade mathematische Bedeutung beanspruchen können. Casanova's Construction führt zu der nicht eben schlechten, aber auch nicht eben besonders genauen Relation s ,— (z2)-\- ztffo1), wo q>, xfj als Coefficienten Functionen von y enthalten, dann kann man y so zu bestimmen suchen, dass (p, x[> einen gemeinsamen Teiler erhalten. Die Resultante wird vom ungeraden Grade p(2p— 1) und hat also eine Wurzel. Macht diese t = 0, dann folgt der zu beweisende Satz sofort; sind q>, ip aber für jenen Wert von y nicht Null, so zerfällt f(x) in Factoren. Ist einer derselben von ungeradem Grade, so ist wiederum eine Wurzel von f(é) = 0 gefunden; sind alle von geradem Grade, so ist einer der Teiler vom Grade 2p', wo p ' < p und ungerade ist. Für diesen. Teiler suchen wir auf demselben Wege die Existenz einer Wurzel zu beweisen und gelangen so schliesslich entweder zu einer Gleichung ungeraden, oder zu einer Gleichung zweiten Grades. Nehmen wir weiter an, dass der Satz von der Wurzelexistenz für alle Gleichungen bewiesen sei, deren Grad durch keine höhere als die (v—l) te Potenz von 2 teilbar ist, so folgt er auch für v. Denn wir setzen wieder f(x) = g>(z2)-|-zt//(a4) und bilden die Resultante von q>7 xp. Diese hat in y den Grad

—

u n (

dieser ist also nur durch 2r~l teilbar. Die obige Schlussfolge liefert dann auch hier das gewünschte Resultat. No.

|

IT. Abschnitt.

46 J.

Algebra.

Beiträge zur Theorie der Gleichungen. Klein Ann. X X I . 424-434. KÖNIG.

algebraischen

Damit fiir f(x) = 0 eine Resolvente (p von q Werten bestehe, muss dasselbe für die Galois'sche Resolvente F(!-) = 0 von f statthaben; seien die Werte der JV = n!-wertigen Function welche xp = (£,— / u ) . . . ( | r — /«) als q-wertige Resolvente bilden.

/N\ Dann genUgt xp einer Gleichung des Grades ^ J , deren

Coefficienten rational von F abhängen; hat das Polynom der letzteren einen rationalen Factor g ten Grades, dann und nur dann besteht eine irreductible g-wertige Resolvente q>. Hieraus ergiebt sich eine Methode der Untersuchung, ob eine vorgelegte Gleichung auflösbar sei; denn dies hängt von der Existenz gewisser Resolventen von Primzahl-Graden ab. Die Auflösung von algebraisch lösbaren Gleichungen hängt von gewissen Elementaroperationen a b ; es wird die nothwendige und hinreichende Bedingung dafUr aufgestellt, dass diese Operationen in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden dürfen. No.

R.

Darstellung der Wurzeln der algebraischen Gleichungen durch unendliche Reihen. Hoppe Arch. L X I X . DIETRICH.

337-381.

Aus der Taylor'schen Reihe erhält man durch Substitution ff(z\ { )

-~ mf(c)+ + £ 1 =

s

+1

ist, eliminire aus ihnen diese Parameter und bilde Gl als Gruppe der resultirenden Gleichung; G\ erhält man, wenn man den Gleichungen g' = 0, g" = 0, = 0 beliebige Gattungen ihrer Wurzeln adjungirt. Dann folgt eine Erweiterung dieser Betrachtungen, indem die Transpositionen durch Substitutionen von bestimmten anderen Typen, z. ß . ( x i x t x 3 ) oder (¡e, x2)(x3 x4) ersetzt werden. So ergiebt sich z. B. folgendes Theorem: Es giebt Klassen von Gleichungen vom Grade n!, deren Gattungen als Divisorensysteme der Discriminanten nur n\ oder solche von höherer Stufe besitzen. 2 Endlich werden im letzten Paragraphen der Arbeit noch allgemeinere Betrachtungen angestellt. Ist die Anzahl Q der Werte qt>,,...,4> dann erhält man für cos co eine Resolventengleicbung dritten Grades. Für die angeführten Hlilfsgrössen ergeben sich einfache geometrische Deutungen. Es werden Anwendungen auf das Kreis-

Capitel 1.

61

Gleichungen.

viereck, die Dreiteilung der Winkel, die Normalen bei der Ellipse und der Hyperbel u. s. w. gegeben. No.

Beiträge zur Theorie der G l e i c h u n g e n

E . OEKINGHAUS.

vierten Grades.

Hoppe Arch. L X I X . 169-195.

Eingehende Untersuchung verschiedener Wurzelformen der Gleichungen vierten Grades nebst geometrischen Deutungen, die hauptsächlich auf Eigenschaften der Parabel führen. No.

PERRIN.

Sur

les

cas de résolubilité de l'équation du

cinquième degré.

S. M. F. Bull. XI. 61-65.

Die Gleichung ¡ r 5 + 1 0 p « s + 20p*x + s = 0 ist algebraisch lösbar, und ihre Wurzeln haben die Form a.d' + b.d ebenso ist a : 5 4 - 1 0 qx'+frx+s

=

0,

(I6q*+2qrs=r3)

lösbar, und ihre Wurzeln haben die Form a.dv -\-b.6iy.

Die

Methode, welche zu diesen Resultaten geführt hat, wird auf Gleichungen angewendet, deren Wurzelform die allgemeine xf = adP + & 0 5 P + CÖ3P + dd*f ist; dieselbe soll zu einer Resolvente sechsten Grades von besonderer Einfachheit führen. No.

G.

P. Y O U N G . Principles of the solution of equations of the higher degrees, with applications. Am. J. Sc. VI. 65-103.

G.

P. YOUNG.

fifth degree.

Resolution of solvable Am. J. Sc. VI. 103-115.

equations of the

In der ersten der beiden Arbeiten untersucht der Herr Verfasser die Form der Wurzeln lösbarer Gleichungen. Hervorzu-

IL Abschnitt.

62

Algebro.

heben ist die scharfe Trennung der auftretenden Einheitswurzeln von den übrigen in den Ausdruck der Wurzeln eingehenden Irrationalitäten; hierauf wird eine Trennung der auflösbaren Primzahlgleichungen in zwei Klassen gegründet. Interessant ist ferner die Einführung einer „erzeugenden" Function zur Zusammenfassung aller derjenigen algebraischen Zahlen, die sich nur durch die Bedeutung der in ihnen stehenden Wurzeln unterscheiden. Die Resultate der Arbeit sind natürlich die allgemein bekannten. Die Abhandlung endet mit dem Beweise der Richtigkeit jener von Abel angegebenen Form der Wurzeln auflösbarer Gleichungen vom fünften Grade. In dem zweiten der beiden Aufsätze macht Herr Young von den Resultaten des ersten Gebrauch, um ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichungen fünften Grades aufzustellen. Dasselbe besteht darin, dass gewisse Gleichungen, in welche die Coefficienten der Gleichung fünften Grades eingehen, rationale Lösungssysteme zulassen. In besonderen Fällen gelingt es, die Wurzeln der Gleichung fünften Grades durch die Coefficienten auszudrücken, falls jenes Kriterium erfüllt ist. Im allgemeinen aber müssen die Coefficienten in Zahlenwerten gegeben sein, damit man die Wurzeln berechnen könne. Freilich ist eine Elimination zwischen sechs Unbekannten bei fünf Gleichungen nicht zu umgehen; ob hierbei nicht etwa Schwierigkeiten auftreten, muss dahingestellt bleiben. No.

Calculation of the equation which determines the anharmonic ratios of the roots of a quintic.

J . M . HILL.

Lond. M. S. Proc. XIV. 173-196.

Die fünf Wurzeln einer Gleichung fünften Grades liefern 30 anharmonische Verhältnisse. Die zugehörige Gleichung hat einen Factor fünften Grades. Die Coefficienten desselben werden berechnet. No.

E . CATALAN.

Théorèmes d'arithmétique et d'algèbre.

Belg. Bull. (3) VI. 34, 264-265.

Capitel 1.

63

Gleichungen.

Auszug aus einer von der Academie der Nuovi Lincei veröffentlichten Arbeit. Mn. (Lp.).

L . F . MARRECAS FERREIRA. Teixeira J V. 50-70.

Sobre as equacoes trinomias.

Der Verfasser studirt die geometrische Darstellung der Wurzeln der trinomischen Gleichung wm + pwm~n + q =

0.

Er zeigt zuerst, dass die Potenzen m und n der Wurzeln mit Hülfe der Tangenten erhalten werden können, welche man vom Punkte (p,q) an die Parabel xm = +kyn zieht, und beschäftigt sich sodann mit der Darstellung anderer Wurzeln. Tx. (0.).

LAGUERRE.

riques.

Memoire sur la théorie des équations numéResal J. (3) IX. 99-147.

In dieser Abhandlung fasst der Herr Verfasser seine in den letzten Jahren angestellten Untersuchungen (vgl. F. d. M. XI. 63; XII. 71, 72; XIII. 72; XIV. 57) über numerische Gleichungen zu einem Ganzen zusammen. Der erste Abschnitt handelt von der Descartes'schen Zeichenregel und deren durch Herrn Laguerre gefundene Ausdehnungen auf Polynome mit gebrochenen Potenzexponenten sowie auf unendliche Reihen. Nennt man die Zeichenwechsel, die in der Reihe p, p+q, P+q+r, p + g + r - f - s , . . . auftreten, die „Alternanzen" von p + g 4 » ' + H — , so liefert die Einführung dieses Begriffes weitgehende Verallgemeinerungen der Cartesischen Regel; angeführt sei beispielshalber die folgende: „Die Zahl der zwischen 0 und 1 liegenden Wurzeln von ax" + bvt)-\--~ + lxx = 0

(ax sein oder eine Untergruppe derselben. Verfolgt man diese Forderung, so ergiebt sich: „Die Discriminante Dy ist dann und nur dann ein Quadrat, wenn die Anzahl der Werte von * e ' n e g a n z e > positive Zahl ist, bei der Entwickelung dieses Ausdrucks nach aufsteigenden Potenzen von x den Wert — 1 hat. Die Rechnung stützt sich auf den Cauchy'schen Residuencalcul. Zum Teil hängt diese neue Theorie der Semiinvarianten des Herrn Verfassers eng mit den Principien seiner universalen Algebra zusammen, die er im Am. J. systematisch darzulegen gedenkt. So führt im letzten Grunde auch diese „abzählende Theorie" der Invarianten, wie man sie nennen könnte, zu einem symbolischen Calcul (der Matrices), ähnlich wie die abzählende

Capitel 2.

77

Theorie der Formen.

Geometrie. Und dieser symbolische Caleul ist wieder dem Wesen der Sache nach mit der Grassmann'schen Producttheorie identisch, wie er sich andrerseits ausgesprochenermassen den Peirce'schen Principien in der linearen associativen Algebra anschliesst. My.

.1. J . S Y L V E S T E R .

ON

s u b i n v a r i a n t s . J. Hopkins circ. Ii. 45-46.

Eigener Bericht des Herrn Verfassers Uber die Resultate seiner grossen Arbeit im Am. J. V. (cf. den vorangehenden Bericht des Referenten). My.

Note on an exceptional case in which the fundamental postulate of Professor Sylvester's theory of taraisage fails. Lond. M. S. Proc. X I V . 85-88.

J . HAMMOND.

A.

CAYLEY.

Addition to the foregoing paper.

Lond. M.

s.

Proc. III. 88-91.

On the solution of the differential equation of sources. Sy!v. A m . J . V. 218-228.

J . HAMMOND.

Herr Sylvester hatte seiner ausgedehnten Theorie der „erzeugenden Functionen", d. h. solcher ganzen Functionen, deren Coefficienten unmittelbar die „vollen Systeme" von binären Grundformen erkennen lassen sollen, ein gewisses Fundamentalpostulat zu Grunde gelegt, zufolge dessen, wenn für ein gewisses „degorder" nur zusammengesetzte Covarianten existiren, dann eben für dieses deg-order weder eine „Syzygie" herrschen, noch eine „Grundform" vorhanden sein dürfte. Herr Hammond zeigt, dass das Postulat (wenigstens in dieser Form) nicht richtig sein kann. Er kam zuerst durch folgendes Beispiel darauf. Stellt man die „erzeugende Function" der binären Form ? e r Ordnung auf, so erkennt man, dass vier linear unabhängige Covarianten vorhanden sein müssen, die zum deg-order (5 . 13) gehören. Andererseits ergebeu sieb vier und nur vier, aus niedrigeren

II. Abschnitt.

78

Álgebra.

Formen zusammengesezte Covarianten dieses deg-order. nämlich: (l.7)(4.6);

(2.2)(3.11);

(2.6)(3.7);

(2.10)(3.3).

Zu diesen zieht der Herr Verfasser noch eine gewisse bekannte Covariante # desselben deg-order. Dann zeigt sich, bei wirklicher Ausrechnuug der Coefficienten, dass einmal zwischen obigen vier Covarianten eine Syzygie herrscht, nämlich: ( 2 . 6 ) ( 3 . 7 ) - ( 2 . 2 ) ( 3 . 1 1 ) = (1.7)(4.6), andrerseits, dass & eine wahre Grundform ist, d. h. vermöge jener vier nicht linear ausgedrückt werden kann. Es giebt also immerhin noch vier linear unabhängige Covarianten vom deg-order (5.13), aber drei von ihnen sind zusammengesetzt, eine ist Gründform. Herr Cayley bestätigt diese Rechnung auf etwas anderem Wege. Herr Hammond hat aber weiter den tieferen Grund der oben mitgeteilten Syzygie aufgefunden. Indem er nämlich eine geeignete particuläre Lösung der Leitglieder-Differentialgleichung:

construirte, ergab sich ihm allgemein die Identität: Gsm + l = d„ Pim+l — 2a, 02mDabei sind C, V, Q gewisse Lösungen von J = 0, und zwar kann man insbesondere Qim als die Quadriinvariante der Form 2m Ul Ordnung und Cim+i als das Leitglied einer Covariante vom dritten Grade in den Coefficienten der Form ( 2 m - f l ) t e r Ordnung annehmen. Endlich bestimmt sich V daraus mittelst der Operation d Vim+i = Qim-

Dann lässt sich aus der eben hingeschriebenen Identität sofort die andere ableiten: Qlm + xQip— QimCbp+l — O0(P2m+l(?2p— ^2P+102m). Für m, — 3, p = 2 resultirt daraus die oben mitgeteilte specielle Syzygie. Die Folgen dieser unerwarteten Entdeckung lassen sich vor der Hand noch nicht absehen. My.

Capitel 2.

79

Theorie der Formen.

Letter to Prof. Sylvester. Extract of a letter to Prof. Sylvester. J. Hopkins circ. II. 8f>-86, 150; III. 13.

A . CAYLEY.

Heir Cayley bespricht die etwaigen Folgen, die die merkwürdige Entdeckung des Herrn Hammond (cf. den vorangehenden Bericht) für die Theorie der Grundformen haben könnte. Sodann wendet er sich zu der Bedeutung der Formeln, die er selbst für die „automorphe" Transformation der binären cubic (d. h. eine solche in sich) erhalten hat. Dieser Gegenstand ist anderswo ausführlicher von ihm dargelegt (cf. den Bericht des Referenten p. 65). My.

J.

HAMMOND.

Extracts of letters to Prof. Sylvester.

J. Hopkins circ. II. 150.

Der Herr Autor erzählt die Entstehungsgeschichte seines wichtigen Ergebnisses, nach dein das Sylvester'sche „Fundamentalpostulat" nicht immer richtig ist (cf. den Bericht p. 77, 78). My.

C.

Sur le système complet des combinants de deux formes binaires biquadratiques. c. R. xcvil. STÉPHANOS.

27-31.

Nach Herrn Gordan sind die Combinanten von (f = a% und xp = b% die simultanen Co- und Invarianten der Formen: « i = (9>V)i. # = 3Man kann nun auch nach Herrn Gordan das volle System einer Form 6 ten und 2ten Grades aufstellen: es handelt sich jedoch darum, wegen der zwischen a, ß herrschenden Identität:

das volle System zu reduciren. Dies hat Herr Stéphanos ausgeführt. Er erhält 26 Formen: erstens acht gerade Covarianten, zweitens vier gerade Invarianten, 13 schiefe Covarianten, endlich eine schiefe Invariante.

80

II. Abschnitt.

Algebra.

Es ist sehr bemerkenswert, dass diese 26 Formen denjenigen 26 Formen, welche das volle System einer binären Form 6 ter Ordnung ausmachen, in mancher Hinsicht parallel laufen. Speciell werden noch die interessanten Formeln entwickelt, welche System-Invarianten von a j (darunter die eine schiefe) j e mit den obigen f> Combinant-InVarianten verknüpfen. Desgleichen noch für die Discriminante von a und eine weitere hervorragende Invariante My. Sopra alcuni invarianti di due forme binarie degli ordine 5 e 2 o 5 e 3 e in particolare sul risultante di esse. Nap. Mem. XI.

E . D'OVIDIO.

Im ersten Fall werden vier Fundamentalinvarianten aufgestellt, deren Grad in den Coefficienten der gegebenen Formen die Zahlen 2 und 5 nicht Ubersteigt, und entsprechend im zweiten Fall dreizehn solcher Invarianten des vollen Systems. Beidemal wird die Resultante der gegebenen Formen mittelst dieser Invarianten dargestellt. My.

F.

Eine neue canonische Form von binärer Formen. Klein Ann. X V I . 434-441. MKYER.

Gruppen

Der Satz handelt von denjenigen /t-gliedrigen Untergruppen einer («/ + l)-gliedrigen Gruppe n ten Grades, deren sämtliche Formen dieselben fi linearen Factoren gemein haben. Die Mannigfaltigkeit einer solchen Gruppe ist kd-(k

+ ti)(k-1).

Dann gehört zu einer jeden solchen Gruppe von 7c Formen eiue Gruppe von p = ¡x—d—1 + A: Formen, die eine Untergruppe der (n eingliedrigen, zur gegebenen Gruppe conjugirten darstellt, derart, dass alle Formen dieser p-gliedrigen Gruppe die gemeinsame Gestalt besitzen: i Hier sind die 1— 0 ) darstellbar sei, ist nötig und hinreichend, dass Ck, d. i. die Determinante der 2 D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von f , identisch verschwinde (C*_i aber nicht). Dann ist C*_i die wter

6*

II. Abschnitt.

84

Algebra.

(n — 2k -f 2)te Potenz einer ganzen Function JJ und diese muss noch, falls die gewünschte Darstellung möglich sein soll, lauter verschiedene Wurzeln besitzen." So ist der Verfasser in der Lage, verschiedene von Herrn Rosanes in neuerer Zeit im Journal für Mathematik behandelte Fragen auch allen Ausnahmefällen zugänglich zu machen. (Vgl. auch die Apolaritätsschrift des Referenten, Anhang). Als specielles Resultat sei etwa noch erwähnt, wie man eine binäre Form fünften Grades durch eine lineare Substitution in die Jerrard'sche Form überführen kann, sobald die Canonizante (eine Covariante dritten Grades) zwei glciche Wurzeln hat. My.

C.

STÉPHANOS.

mination.

Sur un problème de la théorie de l'éli-

0. R. XCVII. 1050-1053.

Das bebandelte Problem lautet: „Wenn drei binäre Formen i ß> Ï gegeben sind, deren Ordnungen Z, m, n zur Summe die Zahl 2p + 1 haben, und wenn ferner keine der drei Differenzen a

/' = p — l,

m' =

n' = p — n

p — m,

negativ ist, dann sollen drei andere binäre Formen L, M, N von den Ordnungen l\ m', n' so bestimmt werden, dass La + Mß + Ny =

0

sei." Die Lösung kann auf die Bestimmung einer einzigen binären Form J der Ordnung p — 1 zurückgeführt werden. Es werden die Fälle, in denen eine der Zahlen /', m', «' verschwindet, oder in denen a = cti+K • '

8 =

P

! TO+1

'

y =—!

7

m+1

dx2

'

(f =

u

»

am+1} )

ist, oder endlich, in denen a, ß, y proportional den zweiten Ableitungen einer Form des Grades m-f 1 = 2g + 3 werden, ausführlicher Behandlung unterzogen. No.

Capitel 2. C . STÉPHANOS.

homogène,

Theorie der Formen.

85

Sur l'intégration d'une fonction rationnelle c . r. x c v i r . 1290-1293.

D e r Herr Verfasser bespricht ira Anschluss an seine obige Mitteilung d a s P r o b l e m : „Gegeben sind zwei binäre Formen q> =

9>?

+b 1

- ,

f=al

l + 1

,

(wo m , ^ » ) ,

deren zweite eine nicht verschwindende Discriminante D bat; man soll d e n Ausdruck der binären F o r m e n , = £-, finden,

C'-2.

t =

welche die Gleichung t>

*> Man beweist dies, indem man von gewissen Eigenschaften der Coefficienten in den Polarbildungen D\DlF Gebrauch macht, wo F eine ganze, rationale Function der beiden Variabeinreihen ®„ «„...,® n ; y„yì, --ìyn ist, und D, D, den Sinn haben: D

=

Man bedarf des obigen Satzes bei der Bestimmung der Anzahl

II. Abschnitt.

106

Algebra.

der linear unabhängigen Covarianten (von gegebenem „deg-order") eines Systems von Formen mit mehreren Reihen von unabhängigen Veränderlichen (cfr. den Bericht Uber die bez. Arbeit von Capelli, F. d. M. XIV. 1882. 84-85). My.

ON involutants.

J . J . SYLVESTER

J. Hopkins circ. III. 9-12.

Da dieser Gegenstand, und vor allem die ihm zu Grunde liegenden Principien der Matrix-Lehre später im Am. J. systematisch dargestellt werden sollen, so mögen hier vor der Hand einige Bemerkungen genügen. Irgend eine Matrix mit den Elementen aik und von der Ordnung tu (d. h. das Schema einer analog aufgebauten Determinante) kann repräsentirt werden durch die lineare Form Saacta, wo die Httlfsvariabeln t für alle Matrices der gleichen Ordnung w die nämlichen sind. Dann ist unter der „ topischen Resultante" von tu2 Matrices der Ordnung w die gewöhnliche Resultante der w' entsprechenden linearen Formen zu verstehen. Sind nun zwei Matrices m,» gegeben (von der Ordnung tu), so bilde man die successiven Potenzen 0

1

2

m ,m ,m ,...,m

Cd—1.

0

1

2

0}—I

; n, n , n ,...n

Combinirt man dann j e zwei Potenzen mink zu einem Product, so ist die topische Resultante der so entstandenen w2 Matrices die sogenannte „Involutante" (m, n). Dieser steht immer eine zweite (n, m) zur Seite. Das Verschwinden dieser „Involutante" (m, n) spielt eine wichtige Rolle bei der Darstellung irgend einer dritten Matrix p als ganze lineare Function der w4 Matrices mink. Während diese im allgemeinen möglich ist, versagt sie beim Verschwinden von (m, n). Dann stehen die beiden Matrices m und n „in Involution", und die «w* Producte m* nk sind durch eine gewisse lineare Identität unter einander verknttpft. Die Aufstellung dieser Identität hängt nun eng zusammen mit dem sogenannten „Nullitätsgesetz" der Matrices. Herr Sylvester bezeichnet mit Nullität einer Matrix m (von der Ordnung « ) die ganze Zahl i, wenn alle Unterdeterminanten von

Capite] 2.

Theorie der Formen.

107

der Ordnung i-J-1 der der Matrix m entsprechenden Determinante verschwinden. Das Nullitätsgesetz sagt dann aus, dass die Nullität eines Productes von Matrices nicht kleiner sein kann, als die die Nullität jedes Factors, und nicht grösser, als die Summe der Nullitäten der einzelnen Factoren. Die Involutanten spielen die Rolle von allgemeinen Invarianten. Werden nämlich die beiden Matrices m, n ersetzt durch irgend (TU fli welche Functionen von m resp. n, so bleibt das Verhältnis ; ' ( (n, m) dabei ungeändert. Mit solchen Invarianten beschäftigt sich des weiteren diese etwas schwer verständliche Note. My.

G. Battaglini. Relazione sulla memoria del prof. A. Capelli, intitolata: „Estensione della formula pel numero dei covarianti al caso delle trasformazioni lineari." Rom. Acc. L. (3) VII. 163

Herr Capelli dehnt hier ein Problem aus, das er in seiner Arbeit: Fondamenti di una teoria generale delle forme algebriche" behandelt batte. Es liege vor eine binäre Form mit mehreren Reiben von cogredienten Variabein, die von einander unabhängigen linearen Substitutionen unterworfen werden. Welches ist die Anzahl der linear unabhängigen Covarianten (in diesem erweiterten Sinne), von gegebenen Graden in den Coefficienten der Grundform und gegebenen Ordnungen in den Variabein? Auch in diesem Falle kommt die Aufgabe darauf hinaus, alle verschiedenen ganzzabligen Lösungen eines gewissen Gleichungssystems aufzufinden, das bei der Partition gegebener Zahlen auftritt. Die lineare Unabhängigkeit der sich ergebenden Covarianten fordert, dass dieselben gewissen partiellen Differentialgleichungen genügen müssen. Die Arbeit wird in den Atti erscheinen. My.

IL Abschnitt.

108

Algebra.

Specielle Aufgaben über Eigenschaften von Formen finden sich ferner in Ed. Times x x x v m . von W. J. C. MILLER, J . C. SHARP, CAYLEY,

A.

D.

MCMÜRCHY,

C . LEUDESDORF,

MALET,

EDWARDES, in

xxxix.

WOLSTENHÖLME,

von

MCMURCHY,

SYLVESTER.

Lp.

J. J. J. J.

Erratum. J. Hopkins circ. II. 46. SYLVESTER. Note. J. Hopkins circ. Ii. 86. PEIRCE. A communication. J. Hopkins circ. II. 86-88. SYLVESTER.

In der Note Erratum bezeichnet Sylvester eine litterarische Notiz seines Artikels „ A word on nonions" (No. 17, p. 2 4 F . d. M. XIV. 1882. 88) als nicht von ihm herrührend, sondern von Charles S. Peirce, dem er den Correcturbogen zur Einfügung übergeben hatte. In der zweiten „Note" präcisirt Sylvester seine Absicht bei der Abfassung des Erratum dahin, er habe die Verantwortlichkeit für die betreifende Stelle abgelehnt, weil ihm das citirte Werk von Ch. S. Peirce „Logic of Relatives" gänzlich unbekannt sei, und Peirce als Gewährsmann hinstellen wollen. Peirce kommt in seiner Mitteilung der Aufforderung nach auseinanderzusetzen, was sein System der Nonionen und welches sein Anteil an ihrer Erfindung ist. Vor ihm habe nämlich auch sein Vater bezügliche Untersuchungen darüber angestellt. Lp.

Oapitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen. F. J. STUDNI&KA. Gleichungen.

Ueber die Elimination

bei

linearen

Gas. XII. 187. (Böhmisch.).

Enthält eine in den mittleren Schlussfolgen von der Üblichen Darstellung abweichende Ableitung der bekannten Resultate. Std.

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

Memoire sur la théorie de L'élimination.

LAURENT.

H.

109

Nouv. Ann. (3) IL 145-1(51.

Zwei P o l y n o m e F(x,,...,xn), genannt,

wenn

/^(¡r,,...,®») werden äquivalent

man mit H ü l f e

gewisser gegebener

Polynome

9 \ i < P i f - - , 9 n die Gleichung F

=

+

H—b

+f

befriedigen

k a n n , w o unter q>t, qp 2 ,...,q>„ gleichfalls

von xn...,x„

verstanden sind, w e l c h e von den Geraden

sein

sollen.

x™Ì~^

yo) + o

lassen sich als reguläre Einteilungen

des Raumes in endliche Polyeder deuten, deren Flächen durch die Fundamentalkugel gebildet werden."

oder auf ihr senkrecht stehende Kugeln

Herr D y c k bemerkt, dass in gleicher Weise

eine Einteilung d e s Inneren der K u g e l möglich sei, bei der ausser Stücken der K u g e l noch Ebenen als Begrenzungsflächen auftreten. Diese Deutung hat den V o r z u g , dass Vorkommnisse

ausserhalb

der K u g e l realisirt erscheinen, die in der ersten Darstellung imaginär waren. entsprechenden

Vereinigt man die durch Substitutionen einander Flächen,

dessen Grenzflächen

so

durch

entsteht

ein geschlossener

Kugelstilcke,

die

sich

Raum,

selbst

ent-

sprechen, gebildet werden; hierdurch kommt man zum Begriffe des „Zusammenhanges".

Je nachdem vermöge der Substitutionen

um eine Kante Drehungen möglich sind oder nicht, heisst dieselbe unveränderlich oder veränderlich. gelten für unveränderliche und

Aehnliche Definitionen

veränderliche Ecken.

Die un-

veränderlichen Ecken geben dilrch ihre L a g e zur Kugel ein Unterscheidungsprincip der Einteilungen ab.

Eine Anzahl

passend

gewählter Beispiele erläutert die getroffenen Festsetzungen. No.

W. DYCK. Gruppentheoretische Studien. II. Ueber die Zusammensetzung einer Gruppe directer Operationen, Ober ihre Primitivität und Transitivität. Klein Ann. XXII. 70-108.

Capitel 3.

Elimination u. SubstitutioD, Determinanten etc.

111

Hinsichtlich der Anschauungen des Herrn Verfassers über Substitutionen und Gruppen verweisen wir auf das Referat F. d. M. XIV. 1882. 97. Ist G = (1,.s\,,s 3 ,...,s r ) eine Gruppe der Ordnung r, so sind alle Transformirten «r1««»» (» = l , 2 , . . . , r ) mit sa gleichberechtigt; ist G' eine Untergruppe von G, so sind alle s^G's, mit G' gleichberechtigt. Falls jedes ST'G'S; = G' ist, heisst G' eine ausgezeichnete Untergruppe. Alle mit einer Substitution sa gleichberechtigten bilden die erzeugenden Substitutionen einer kleinsten ausgezeichneten Untergruppe. Führen alle kleinsten ausgezeichneten Untergruppen auf G selbst zurück, dann heisst G einfach. Jede ausgezeichnete Untergruppe zerspaltet das die Gruppe G darstellende Polygonnetz (vgl. das oben erwähnte Referat) in Fundamentalsysteme, von denen ein beliebiges als der Einheit äquivalent angesehen werden kann. Um die ausgezeichneten Untergruppen von G aufzustellen, setzt man daher den Repräsentanten ein er Gruppe gleichberechtigter Substitutionen = 1; diese neue Relation wird, zu den alten, welche G definiren, hinzugefügt, eine ausgezeichnete Untergruppe liefern, welche freilich auch G selbst werden kann. Es wird die Untersuchung über die Zusammensetzung der Oktaeder- und der lkosaeder-Gruppe hiernach in einfachster Weise durchgeführt; die angegebene Methode führt überall da leicht zum Ziele, wo die definirenden Relationen bekannt sind. Im zweiten Teile der Arbeit wird die Primitivität von Gruppen besprochen. Ordnet man die Substitutionen beliebig l,s 2 ,s ä ,...,s r und schreibt darunter in neue Zeilen si,s1si,s3si,...,srsi (i = 1,2,...,r), dann stimmen die Zeilen bis auf ihre Anordnung Uberein. Die Uebergänge von der ersten zu den übrigen Zeilen können als Substitutionen gedeutet, und so kann die Gruppe G in regulärer Form als Gruppe r des Grades und der Ordnung r geschrieben werden. Beide Gruppen sind zueinander einstufig isomorph und daher den Anschauungen des Herrn Verfassers gemäss identisch. Ordnen wir jene Substitutionen der ersten Reihe so an, dass eine Untergruppe G' = (l.Sj,...,«^) heraustritt: l)*a>®»> l'2)S2 h' •' • )s/*h !••• I'»-) Ä2 »' "> • • •) s p tr (t i v = r)> dann ergiebt sich, dass r imprimitiv ist mit Bezug auf die

t i . Abschnitt.

112

Algebra.

Untergruppe G'. (Dies ist also dasselbe Resultat, welches Herr 6 . Frattini auf anderm Wege gefunden hat; vgl. das zweitfolgende Referat.) Umgekehrt entspricht jeder impriruitiven Anordnung von r eine Untergruppe von G'. Wenn man die einzelnen Systeme der eben aufgestellten Zeile mit T 1 ,T 2 ,...,T y bezeichnet, dann giebt deren Vertauschung Veranlassung zur Bildung einer Gruppe T, welche aber nur dann einstufig isomorph zu G wird, wenn G' keine ausgezeichnete Untergruppe von G enthält. Es kann auch die F r a g e nach der Primitivität von T entschieden werden: Nur wenn G' eine Maximaluntergruppe von G ist, wird T primitiv. Ebenso lassen sich alle Gruppen bestimmen, welche niemals, und diejenigen, welche nur in der regulären Form imprimitiv geschrieben werden können. Die Oktaeder- und die Ikosaeder-Gruppe liefern wieder einfache Beispiele für die durchgeführten Untersuchungen. No.

W.

DYCK.

Remarques sur la primitivité des groupes.

C. R. XCVI. 1024-1026.

Kurze Angabe der Resultate der soebeD besprochenen Arbeit aus den Math. Ann.

G.

No.

I gruppi transitivi di sostituzioni dell' ¡stesso ordine e grado. Rom. ACC. R. Mem. (3) xiv. FRATTINI.

Bildet man, von einer beliebigen Substitution t der Gruppe G = ( S „ SA, . . . , Sr) ausgehend, —i —i —i t =

Sa

Sß

=

Sß

Sy =

so treten die Indices a, ß, y,...

Sy

SS =

•••,

in Cyklen zusammen,

und so

erhält man dem t entsprechend eine Substitution pt = (a,

/?,y,...)

wten Grades.

Alle r Substitutionen pSi,..., p v liefern eine Gruppe P,

welche zu G einstufig isomorph ist, und für welche G r a d - und Ordnungszahlen

gleich

sind.

In ähnlicher Weise erhält

durch t — Sa'

Sß'1

=

Sß' Sy1

=

•••

man

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

eine Gruppe A mit den Substitutionen at.

]13

Diese, der Form nach

neuen Definitionen liefern die „Potential-" und die „Antipotentialgruppe".

Jeder Untergruppe H von G entspricht ein Zerfallen

der Indices a , ß , y , . . . in einzelne Teile, die mit einander transitiv nicht verbunden sind.

Die Einteilungen von P und von A fallen

dann und nur dann zusammen, wenn H eine ausgezeichnete Untergruppe von G ist.

Die Einteilungen von P und A sind Sy-

steme der Imprimitivität für A und für G; es folgt also, dass die transitive, isomorphe Gruppe vom Grade und der Ordnung r imprimitiv ist, sobald r keine Primzahl ist. der Ordnung r,

Dies zeigt: Ist G1 mit

eine Maximaluntergruppe

von G; G% mit der

Ordnung r 2 eine solche von Git u. s. f., dann ist die Reihe der Quotienten r:r1,rl Im

:r 2 ,... bis auf ihre Anordnung invariant für G.

Laufe

der

Untersuchung

werden

die

Substitutionen

studirt, welche P in A transformiren; es tritt unter diesen eine solche zweiter Ordnung als besonders bemerkenswert heraus. No.

CBEMONA. Relazione sulla memoria del prof. Frattini: Sui gruppi transitivi di sostituzioni. Rom. Acc.

BATTAGLINI,

L. (3) VII. 127-128.

Referat Uber die so eben besprochene Arbeit.

L.

KRAUS.

No.

Ueber rational umkehrbare Substitutionen.

Prag. Ber. 1882. 338-352.

Es seien £ = 9(x, y)i V =

f(x,y)

ganze rationale Functionen von x, y von der Beschaffenheit, dass auch x, y rationale Functionen von

TJ sind.

Setzt man g, f als

von gleichen Dimensionen voraus, dann lässt sich eine Oonstante c so bestimmen, dass cg—f von niederer Dimension wird; hieraus folgt, dass, wenn g0, f0 die Aggregate der Glieder'höchster Dimension (der «teD in g, der p ten ( p < n ) in f) sind, jeder lineare Factor von f0 auch g0 teile und umgekehrt. FortscUr. d. Math. XV. 1.

Die nähere Bestimmung der g

II.Abschnitt.

114

Algebra.

Potenz, in der die einzelnen Factoren in g0,f0 eingehen, ist mit Hülfe der Sätze über symmetrische Functionen möglich; es wird g0 = c0hn>, f0 = cihP>, wo c 0 ,cj Constanten sind und h eine homogene Function von x,y bedeutet vom Grade d, so dass dnx = n, dpt =p. Ist f0 in lauter verschiedene Linearfactoren zerlegbar,, so folgt, dass, wenn n nicht relativ prim zu p ist, dann n ein Vielfaches von p sein muss. Der Fall, dass n relativ prim zu p wird, kann nur für p = 2 eintreten. Hierbei wird fo =

c

o (ax + ßy)?-1

9o = c.Caxi

(yx + dy)1,

ßyy-."(Yx-\-öi/y.

Ist die Dimension von g grösser als die von f und diese letztere grösser als 1, während f0 lauter verschiedene Linearfactoren enthält, so ist die Dimension von f0 gleich zwei. No.

KÖNIGS.

Recherches sur les substitutions uniformes.

Darb. Bull. (2) VII. 340-358.

Verstehen wir unter s eine complexe Grösse, unter 0(z) eine eindeutige Function, und setzen wir *2 =

Ö(»,),

=

0(*,) =

0'(*l),...t

dann heissta; der Grenzpunkt der Reihe zn z2, z-3,..., falls limz k = x ist. Wenn dabei stets | Zt+i—x | < | zk—x | sich zeigt, dann nennen wir die Annäherung der z an x eine reguläre. Nur für solche Werte x, für die 0(x) — x = 0 äst, kann eine reguläre Annäherung, eintreten; dabei wird zugleich | 0 ' ( z ) | < J . Ist umgekehrt 6(x) — x = 0 und ausserdem | 0 ' ( ® ) | < 1 , dann kann man um x einen Kreis beschreiben, dessen innere Punkte auf x als Grenzpunkt führen. Ist x Wurzel einer Gleichung 6>' (z)— z = 0 und gleichzeitig d6?(z) dz

< 1 für z = x,

ohne dass x eine Gleichung mit niedrigerem Index a von der Form 0°(z)—z = 0 befriedigt, dann nähert sich jede der Reihen z, 0P(Z), 0 2 ?(z),...; 0(z), 0P (Z), 0 2 i'+ 1 (z),...;... einem bestimmten Grenzpunkte x,x1}... in regulärer Weise. No. +1

Capitel 3.

L.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

115

Recherches sur les groupes d'ordre fini,

AUTONNE.

contenus dans le groupe des substitutions quadratiques homogènes

À

trois variables.

C. R. X C V I I . 5G7-570.

E s sei 0 i = qn y,

- PtQ-P,Qt,

+

x 'i

+ 9.3 x 3

y, = p, G , - / • , < ? „

' '

11

y, =

P.O,-!>,