Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 3 Jahrgang 1871 [Reprint 2020 ed.] 9783112363386, 9783112363379

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Jahrbuch über die

Portschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern herausgegeben

von

Carl Ohrtmann, Felix Müller, Altert Wangerin.

Dritter Band. Jahrgang

1871.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r . 1874.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), za der der Band gehört. Ann. de VÉe. Norm.: Annales scientifiques de Fècole normale snpérieure ubliées sona les anspicea da ministre de l'instrnction publique par Mr. •e Pasteur. Paris. 4. Ann. d. Mines : Annales des Mines. Paris. 8. Ann. d. Sc. Norm.: Annali della Scuola Normale. Pisa. Ann. d. Un. Tose.: Annali delle Università Toscane. Pisa. Ann. d. R. M. I. d. Torino: Annali delle Reale Museo Industriale di Torino. Torino. Arch. Nierl.: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des Sciences à Hartem. L a Haye. 8. Attr. Naehr. Astronomische Nachrichten begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A. P. Peters. Altona. 4. Attr. Vieri: Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft herausgegeben von C. Bruhns. Leipzig. Ali. d. Ace. d.N. Line. : Atti della Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei. Roma. Att. d. Ace. R. d. Line.: Atti della Accademia Reale dei Lincei. Roma Alt. d. R. Ut. Ven. : Atti del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Vinezia. Att. d. Torino: Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino. Torino. Basel. Verh.: Verhandlangen der naturforschenden Gesellschaft in Basel. Basel. Battaglini O. : Giornale di Matematiche ad UBO degli studenti delle università italiane pubblicata per cura del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8. Beri Abh. : Mathematisch - physikalische Abhandlungen der Kgl. Preussischen Academie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4. Beri. Monauber.: Monatsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8. Bern. Afitth.: Mittheilungen der naturforBchenden Gesellschaft in Bern. Bern. 8. Boneompagni Bull.: Bulletino di Bibliografia e di Storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicata da B. Boneompagni. Roma. Borehardt J. : Journal für reine und angewandte Mathematik. Als Fortsetzung des von A. L. Creile gegründeten Journals, herausgegeben unter Mitwirkung der Ilerrcn Schellbacb, Kummer, Kronecker, Weierstrass von C. W . Borchardt. Berlin. 4. A*

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IV

Erklärung der Citate.

Brtoschi Ann. : Annali di Matematica pura ed applicata diretti da F . Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma dal Prof. Tortolini. Milano. 4. Brünn. Verh : Verhandlungen des naturforschenden Vereins zu Brünn. Brunn. Bull, de Belg.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. 8Bull, de Moscou.: Bulletin de la Société Impériale des Naturalistes de Moscou. Moscou. 8. Bull, de St. Pél.: Bulletin de l'Académie Impériale de St. Pétersbourg. Pétersbourg et Leipzig. Folio. Carl Rettert.: Repertorium für Expérimental-Physik herausgegeben von Dr. Ph. Carl. München, gr. 8. ChrUt. Vid. Selskab.: Forhandlingar i Videnskabs Selskabet i Christiania. ChriBtiania. 8. Clebteh Ann.: Mathematische Annalen herausgegeben von A. Clebsch und C. Nenmann. Leipzig. 8. C. R : Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4. Dnrboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par G. Darboux. Paris. 8. Dillner Tidthr.: Tidskrift for Matematik och Fysik, utgiven af Dillner, Hultmann och Thalen. Educ. Times: Mathematical Reprint of the Educational Times. London. 8. Forlì, af Christ.: Forhandlingar i Videnskabs Selskabet i Christiania. Christiania. 8. Giebel Z.: Zeitschrift fur die gesammten Naturwissenschaften, herausgegeben von dem naturwissenschaftlichen Vereine für Sachsen und Thüringen in Halle, redigirt von F. Giebel. Halle. 8. Oòtt.Abh.: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Göttingen. 4. Gott. Anz. : Göttingische gelehrte Anzeigen. Unter der Aufsicht der Kgt. Gesellschaft der Wissenschaften. Göttingen. 12. Gott. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der G. A. Universität zu Göttingen. Göttingen. 12. Grunert Arch. : Archiv für Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren UnterrichtsanBtalten herausgegeben von J . A. Grunert. Greifswald. 8. Handl. Stockholm.: Kgl. Svenska Vetenskaps Akademiens Handlingar. Stockholm. 4. Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J . C. V. Hoffmann Leipzig. 8. Jaarb. v. Amst.: Jaarbock van de koninkligke Akademie van Wetenschapen. Amsterdam. Inst.: L'Institut. Journal universel des sciences et des sociétés savantes en France et à l'étranger. Première section. Sciences mathématiques, physiques et naturelles. Paris. 4. J. d. Coll. f . Lebensv. : Journal des Colleginms für Lebensversicherungswissenschaft. Berlin. 4. j. d. l'Éc. Poi.: Journal de l'école impériale polytechnique publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. 4. J. Phil. d. Moscou. : Journal de la Société Philomatique de Moscou. Moscou. J. des Sav.: Journal des Savants. Paris. 4. Leipz. Abh : Abhandlungen der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig, gr. 8. Leipz. Ber.: Berichte über die Verhandlungen der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physikalische Klasse. Leipzig. 8.

Erklärung der Citate.

v

Liouville J.: Journal de Mathématiques pures et appliquées ou Recueil mensuel des mémoires sur les diverses parties de mathématiques, par J . Liouville. Paris. 4. Bologna Bologna. Bologna. 4. Mém. de Bordeaux: Mémoires de la Société des Sciences Physiques et Naturelles de Bordeaux. P a r i s . Bordeaux. 8. Mem. d. 1st. Lomb.: Memorie del Reale Istituto Lombardo di scieDze, lettere ed arti. Milano, gr. 8. Mém. de Kasan : Mémoires de l'Université de Kasan. Kasan. Mem. of Manch.: Memoirs of the litterary and philosophical society of Manchester. Manchester. Mim. de Paris: Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de F r a n c e . Paris. 4. Mém. d- I. & lechn. de Moscou: Mémoires de la Société Technique de Moscou. Moscou. Mém. de St. Pét.: Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg. St. Pétersbourg. 4. Mem. di Torino: Memorie dell' Accademia delle scienze di Torino. Torino. Mem. di Vinez.: Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Yinezia. Messenger: The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger. A j o u r n a i supported by junior mathematical students of three universities, edited by Whitworth, Casey, Challis, Mc. Dowell, Taylor and Turnbull. London and Cambridge. 8. Mondes: L e s Mondes, revue hebdomadaire des sciences et de leur application aux arts et à l'industrie par l'Abbé Moigno. Paris. 8. Monthl. Not. : Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4. Münch. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite Klasse. München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8. Nov. Act. Ups.: Nova Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis. Upsala. 4. Nouv. Mém. de Belg.: Nouveaux Mémoires de 1 Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. 8. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de Mathématiques. Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, rédigé par Gerono et Bourget. p « " 8 . 8. , „ ™ Nyt. Mag.: Nyt Magazin for Naturvidenskaberne, ved Sars og Kjerulf. Christiania. 8. . Öfv. af Fork. Stockh.: öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens F o r handlingar. Stockholm. Overs, v. Kopenh.t Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlingar. Af J . J . S. Steenstrup. Kopenhagen. Phil. Mag.: T h e London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and Journal of Science, by Brewster, Kane, Francis. London. 8. Pogg. Ann.: Annalen der Physik und Chemie herausgegeben zu Berlin von Poggendorff. Leipzig. 8. Prag. Abh : Abhandlungen der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. P r a g . 4. Prag. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Y\ issenschaften. P r a g . 8. Proe. of Edinb. : Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8. Proc. of London: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8.

VI

Erklärung der Citate.

Proe. of L. M. Ä; Proceedings of the London Mathematical Society. London. 8. Prue, of Manch.: Proceedings of the litterary and philosophical Society of Manchester. Manchester. Quart. J.: The Quarterly Journal of pare and applied mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London. 8. Bend, di Bologna: Rendiconti delle sessioni dell'Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4. Rend. d. Ist. Lomb.: Beale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8. Rend, di Napoli: Bendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Report of the Brit. Ass. : Report of the meeting of the British Association for the advancement of scienze. London. 8. Rev. de Clmtr. Pubi. : Revue de 1'inBtruction publique de Belge. Gand. 8. Schl'ómilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter der verantwortl. Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. 8. Trans, of Cambridge-. Transactions of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. Trane, of Dublin: Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. Tran*, of Edinb. : Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. Tran*, of London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4. Verh. d. Ak. d. Wet. Am»t. : Verhandlingen der Eongl. Akademie de Wetenschapen. Amsterdam. Veril. en Mededeel.: Verslagen en Mededeelingen d. Kongl. Akademie van Wetenschapen to Amsterdam. Amsterdam. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathem.-naturwissenschaftlichen Klasse der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abtheilune. Wien. 8. Wien. Denksehr.: Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Wien. Wolf J. : Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8. Z. dtieh. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure herausgegeben von Ziebarth. Berlin. 4. Zeuthen Tidsikr..- Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af Zeuthen. Kopenhagen. 8.

Inhaltsverzeichniss. (Die mit einem f bezeichneten Arbeiten sind ohne Referate.)

E r s t e r Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e l 1.

Geschichte. Seite

C. G. B. G. H.

A. B r e t s c h n e i d e r . Die Geometrie und die Geometer vor Euklid F r i e d lein. De Heronis quae feruntur definitionibus B o n c o m p a g n i . Intorno alle definizione di Erone Alessandrino F r i e d lein. Untersuchung der sogenannten'Definitionen Hero's . M a r t i n . Ptolémée, auteur de l'optique, traduit en latin par Ammératus Eugenius Siculus B . B o n c o m p a g n i . Intorno ad una traduzione latina dell' ottica di Tolomeo H. M a r t i n . Sur les instruments d'optiquo faussement attribués aux anciens J . B e r t r a n d et C h a s l e s . Sur la théorie de la lune d'Aboul-Wéfâ L . A. S é d i l l o t . Des savants arabes et des savants d'aujourd'hui . H. M a r t i n . Quelques mots de réponse à M. Sédillot E. N a r d u c c i . Intorno ad una traduzione italiana d'ottica d'Alhazen M. S t e i n s c h n e i d e r . Zum Speculum astronomicum des Albertus Magnus M. C u r t z e . Sur l'orthographie du nom et sur la patrie de Witelo . B . B o n c o m p a g n i . Intorno ad un manoscritto dell' ottica di Vitellione F . J a e o l i . Intorno ad un commento di Benedetto Vittori al tractatus proportionum di Alberto di Sassonia B . B o n c o m p a g n i . Intorno al tractatus proportionum di Alberto di Sassonia G. F r i e d l e i n . Der Calculus des Victorius nebst Nachtrag . . . . S. G h e r a r d i . Beiträge zur Geschichte der mathematischen Facultät von Bologna M. C u r t z e . Sopra alcuni scritti stampati, finora non conosciuti di Domenico Maria Novara da Ferrara B . B o n c o m p a g n i . Intorno ad un opusculo di DomenicoMariaNovara M. S t e i n s c h n e i d e r . Copernicus M. C a n t o r . Recensionen über: „Wohlwill und Gherardi. Der Process Galilei's

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Inhaltsverzeichniss.

A. D. W a c k e r b a r t h . Logarithmes hyperboliques et logarithmes népériens D. 6 . Anmärkoiogar betreffende benämningen, naturlig, hyperbolsk, och Nepersk logaritm R. W o l f . Zur Geschichte der Röhrenlibelle E . C a t a l a n . Sor un article da Jonmal des Savants F . W . H o l t m a n n . Svenska aritmetikens historia L . O p p e r m a n n . Aughstus de Morgan A. C l e b s c h Znm Gedächtniss an Jalins Pläcker A. D r o n k e . Julius Pläcker A. G en oc chi. Notizie intorno alla vita ed agli scritti di Felice Chiò B. B o n c o m p a g n i . Catalogo dei lavori di Felice Chiò Y . C h e r b u l i e z . Geschichtliche Mittheilangen ans dem Gebiete der mechanischen Wärmetheorie V. C h e r b u l i e z . Geschichtliche Uebersicht der Untersnchnngen über die SchallfortpflanzungBgeschwindigkeit in der L u f t . . . . . . A. W i t t s t e i o . Geschichte des Malfatti'schen Problems M. C h a s l e s . Rapport sur les progrès de la géométrie J . W . L. G l a i sh er. Review of Mr. Sang's logarithms C a p i t e l 2.

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Philosophie.

A.' C a y l e y . Note on the calculus of logic B. Zimmermann. Ueber Kant's mathematisches Vorurtheil und dessen Folgen A. T r a n son. Sur l'emploi de l'infini en mathématiques E . d'Ovidio. Nota sul libro X I I di Euclide e sul trattato di Archimede Anonymus. Un discorso del Dr. Hirst sopra Euclide come libro di testo P . M a n s i o n . Sur le premier livre de la géométrie de Legendre à propos de quelques traités récents G i a l a . Zu dem Aufsatze von J . Kober: „Geometrische Grundbegriffe" J . C. B e c k e r . Lehrbücher zur Einführung in die darstellende Geometrie B u t z . Entgegnung auf den Aufsatz von J . C. Becker Mädler's Reden und Abhandlungen über Gegenstände A. J . P i c k . der Himmelskunde

Zweiter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Seite

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Algebra.

Gleichungen.

|A. S o n n e n s t e i n and H. A. N e s b i t t . Science and art of arithmetic fD. M a n n . Theory of arithmetic A. D r o n k e . Einleitung in die höhere Algebra E. S c h r o d e r . Die Umformungsregeln für algebraische Ausdrücke . C. W. M e r r i f i e l d . A verification of the solution of a system of simultaneous equations W. W a l t o n . A demonstration that every equation has a root. . . 0 . B o n n e t . Démonstration de la continuité des racines d'nne équation algébrique A. B a a b e . Lösung algebraischer Gleichungen von beliebig hohem Grade C. F . E. B j ö r l i n g . Tbeori for algebraiska eqvationers rötter . . .

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Inhaltsverzeichnis».

IX Seite

J . P e t e r s e n . Om Ligninger, der loses ved Kvadratrod . . . . . 23 S. R é a l i s . Sulla forma delle funzioni razionali della radice d'un equazione algebrica 26 C. J o r d a n Sur la résolution des équations les unes par les autres 26 F." W. H u i t m a n n . Om bortskaffande af rolmârken ur eqvationer . . 26 J . V e r s l u y s . Discussion complète d'un système d'équations linéaires 27 V. V a l e r i a n o . Sistema generale di n equazioni lineari fra n incognite _ 27 0. W. M e r r i f i e l d Solution of a question '27 P . de St. R o b e r t . De la résolution de certaines équatioDS à troia variables 28 V. E u g e n i o . Alcune ricerche sulle frazioni continue 28 L. B i g n o n . Solution de deux questions 29 D. G. Solution of Z S + J > X + J = 0 29 A. de St G e r m a i n . Sur la résolution trigonométriqoe de l'équation du troisième degré 29 M A z z a r e l l i . Risoluzione delle equazione di 3° e 4° grado . . . 30 A. S. G u l d b e r g . Om Ligninger af 3 d i e Grad ed 5' e Grad . . . . 30 P. B r i o a c h i . Sur l'équation du cinquième degré 30 A. C l e b s c h . Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen fünften Grades 31 A. C l e b s c h . Ueber die geometrische Interpretation der höheren Transformationen binärer Formen 81 A. C l e b s c h . Bemerkungen zu der Theorie der Gleichungen 5 , e n und 6 , e n Grades 33 S. R é a l i s . Sulle radici reali contenute fra dati limiti 33 A b o n n é . Solution d'une question 33 J . B o u s s i n e s q . Méthode nouvelle pour la résolution d'une classe importante et très-nombreuse d'équations transcendantes . . . 34 C a p i t e l 2- Theorie der Formen. S. G u n d e l f i n g er. Ueber eiuige allgemeine Theoreme aus der neueren Algebra S. G u n d e l f i n g e r . Ueber binäre Formen J . J . W a l k e r , A. Cayley. Solution of questions • . A. C a y l e y . An example of the higher transformation of a binary form G. B a t t a g l i n i . Sulle forme binarie di grado qualunque G. B a t t a g l i n i . Sulle forme temarie di grado qualunque S. R o b e r t s . On the order of the discriminant of a ternary form . S- G u n d e l f i n g e r . Zur Theorie der ternären cubischen Formen . A. C a y l e y . On the number of covariants of a binary quantic . . . A. C a y l e y . A ninth memoir on quantics J. D i e n g e r . Studien zur Theorie der Covarianten und Invarianten binärer Formen C a p i t e l 3.

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Elimination und Substitution, Determinanten, Invarianten, Covarianten und symmetrische Functionen.

C. J o r d a n . Traité des substitutions et des équations algébriques . C. J o r d a n . Sur la résolution des équations les unes par les autres C. J o r d a n . Mémoire sur la résolution des équations algébriques les unes par . les autres 0. J o r d a n . Sur la classification des groupes primitifs 0 . J o r d a n . Théorèmes sur les groupes primitifs

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X

Inhalt« verzeichniss.

V. J a n n i . Esposizione della teorica delle sostituzioni J . R o s a n e s . Ueber diejenigen rationalen Substitutionen, welche eine rationale Umkehrnng zulassen L. Sylow. Om den Gruppe af Substitutioner, der tilhörer Ligninger for Division af Perioderne ved de elliptiake Funktioner . . . . M. A. v. B a r n i e c k i . Ueber gegen einander permutable Substitutionen W. K. G l i f f o r d . On a case of eyaporation in the order of a resultant A. B r i l l . Zur Theorie der Elimination und der algebraischen Cuiren O. H e s s e . Die Determinanten, elementar behandelt F. J . S t u d n i ö k a . Einleitung in die Theorie der Determinanten . . J . C. B e c k e r . Ueber einen Fundamentalsatz der DeterminantenTheorie W. V e l t m a n n . Beiträge zur Theorie der Determinanten 6 . B a t t a g l i a i . Nota sui determinanti E. S c h n i t z e . Ueber eine aus symmetrischen Determinanten gebildete Reihe M. A. S t e r n . Bemerkungen über eine Determinante F. C a l d a r e r a . Nota su talune proprietà dei determinanti, in specie di quelli a matrici composte con la serie dei numeri figurati . . S. R o b e r t s , J . W a l k e r , H o p k i n s . Solution of a question . . . Ph. G i l b e r t . Sur une propriété des déterminants fonctionnels . . J . V e r s l u y s . Applications des déterminants à l'algèbre et à la géométrie analytique P. G o r d a n . Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen P. G or dan. Resultanten von Covarianten F. E lein. Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen algebraischer Gleichungen . S. G u n d e l f i n g e r . Ueber die Ausartungen einer Curve dritter Ordnung A. Cayley. Example of a special discriminant J. W a l k e r . Solution of a question Y. Mollame. Soluzione di una questione

Dritter Abschnitt.

Seite

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Zahlentheorie.

C a p i t e l 1. Allgemeines. P. C., L e j e u n e - D i r i c h l e t . Vorlesungen über Zahlentheorie . • . t S t ou ff. Note sur la détermination deB facteurs premiers d'un nombre G- Z o l o t a r e f . Note relative à une formule de Mr. Lionville . . . P. P é p i n . Solution de deux questions E. AmigueB. Note sur les sommes des puissances semblables des n premiers nombres entiers T. P. K i r k m a n . Solution of a question W. A. W h i t w o r t h , Solution of a question T o n bin. Solution d'une question E. P e l l e t , S. M o r e l , L a y r i t z . Solutions de questions A. S t e e n . Lôsning og Udvidelse af en Opgave G. B a r il lari. Sulla divisibilità de' numeri periodici D. A n d r é . Solution d'une question B. M i n n i g e r o d e . Ueber irrationale Zahlen F i t r e m a n n . Sur les racines carrées et cubiques E. M e i s s e l . Berechnung der Menge von Primzahlen innerhalb der ersten Handert Millionen A. M o r e t - B l a n c . Solution de questions S. Morel. Solution do doux questions

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Inhaltsverzeichniss.

XI Seite

E. K r a s c h w i t z . D. A n d r é .

Solution d'une question

Analyse indéterminée

D. André. Théorèmes d'arithmétique J. J. Sylvester. On the partition of an even number into two primes N. N i c o l a i d e s . Analectes J. H o r n e r . On the algebra of magic squares L. Lorenz. Bidrag til Tallenes-Theori J. P e t e r s e n . Om en ubestimte Ligning F. G a m b a r d e l l a .

Sul numéro delle soluzione intere e positive di

un equazione S. B i l l s . Problème d'algèbre B. Evans. Solution of questions D. S. Hart, A. Martin, Scott, Evans, Matteson. Solution of questions Anonymus- Note sur la résolution en nombres entiers et positifs d'une equation P. See lieg. Ueber die Auflösung einer unbestimmten Gleichung . N. B o u g a i e f f . La théorie des fonctions dérivées des fonctions numériqueB

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C a p i t e l 2. Theorie der Formen und Kettenbruche. P. Bachmann. Zur Theorie der quadratischen Formen A. Cay ley. Tables of the binary cubic forms for negative determinants f M . Falk. Om Konvergensen och Divergensen af Kjedebràk . . . V . Eugenio. Sulle frazioni continue

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V i e r t e r A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. J. Bourg et. Des permutations B. Harley, M. Jenkins. Solution of questions S o u f f l e t . Combinaisons avec répétition D. André. Sur les combinaisons simples A. M or et-Blanc. Solution d'une question M. R e i s s. Evaluation du nombre de combinaisons desquelles les 38 dés du jeu du Domino sont susceptibles d'après la règle de ce jeu A. Cayley. A „Smith's Prize" paper. 1870. Question 12 . . . . . M. Jenkins, W. J. Miller. Solution of questions H. Me. Coll. Probability notation H. Me. Coli, S. Watson. Solutions of questions L . L o r e n z . En „mathematisk Leg" J. P e t e r s e n . Videre Undersogelse af en Kortopgave F. Bing. Lösning af en Opgave G. Tychsen. Svar paa en Foresporgsel A. Steen. Lösning og Udvidelse af en Opgave E . H a t t e n d o r f f . Ueber die Ermittelung des Sterblichkeitsgesetzes aus gegebenen Beobachtungen M. Kanner. Analytische Theorie der Ausgleichung der Sterblichkeitstafeln T . N . T h i e l e . En mathematisk Formel for Dödeligheden Gh. Simon. Sur la formule de Gompertz H. Mc. C o l i , Martin, W a t s o n , S a v a g e , W o l s t e n h o l m e , Evans, Miller, D a l e , Genese. Solution of questions . . .

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XII

IohaltSverzeichnias. Seite

G. Z a c l i a r i a e . Laerebog i Theorien om de mindste Qvadratersmetbode F . Min d i n g . De la méthode des moindres carrés Ch. W i e n e r . Ueber die möglichst genaue mechanische Rectification eines verzeichneten Cnrveäbogens

Fünfter Abschnitt. C a p i t e l 1.

95 97 97

Reihen.

Allgemeines.

P. da B o i s - R e y m o n d . Ueber einen Cauchy'schen Satz betreffs der Stetigkeit der Summen anendlicher Reiben 99 V. E r m a k o f . Caractère de convergence des séries 99 Y. R e t a l i . Salle serie triple 100 M. H o l l w e c k . Das Binomialtheorem 100 J . W. L. G l a i s h e r . On a paradox in infinite series 101 L. L o r e n z . Bidrag til Tallenes Theori 101 D. A n d r é . Sommation de certains développements 102 M. J e n k i n s . Solution of a question 102 J . B l i s s a r d . Solution of a question 102 C a p i t e l 2.

Besondere Reihen.

E. A m i g n e s . Sur un procédé nouveau pour trouver les cubes de certaines sommes 0 . C a l l a n d r e a u . Solution d'une question D. A n d r é . Sur le développement du binôme D. A n d r é . Développement de sin (na + de cos(na-f z )> de sin a» et cos «» G. C a n t o r . Ueber trigonometrische Reihen L. S e h e n d e 1. Zur Théorie der Reihen A. C a y l e y . On Lagrange's demonstration of Taylor's theorem . . M. M. U. W i l k i n s o n . Note on Taylor's theorem A. C a y l e y . Further note on Lagrange's demonstration of Taylor's theorem J . W. L. G l a i s h e r . On the summation by definite integrals of the geometrical series of higher orders J . T h o m a e . Les Bériea Heinéennes supérieures Fi T a n o . Sopra due serie di Gaues e di Heine L . R o c h h a m m e r . Ueber Relationen zwischen den hypergeometrischen Integralen n1«1, Ordnung L. F a c h s . Bemerkung zu der Arbeit des Herrn Pochhammer . • • L. P o c h h a m m e r . Ueber einfach singulare Punkte linearer Differentialgleichungen L. P o c h h a m m e r . Ueber die Herleitung der hypergeometrischen Differentialgleichungen J. W o l s t e n h o l m e and S. W a t s o n . Solution of a qneBtion . . .

Sechster Abschnitt.

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Differential- and Integral-Rechnung.

C a p i t e l 1. Allgemeines. (Lehrbücher etc.) B. W i l l i a m s o n . Differential calculus J . H o ü e l . Cours de calcul infinitésimal C. S p i t z . Erster Cursus der Differential- and Integralrechnung

112 113 . . 114

Inhaltsverzeichniss.

xni Seite

R. H o p p e . Om Principerne for og formentlige Vanskeligheder ved Infinitesimalregningen 115 C a p i t e l 2.

Differentialrechnung.

R. H o p p e . Ueber die independente Darstellung der höheren Differentialquotienten R. M o s t . Ueber die höheren Differentialquotienteu W. H. L. R a a s e l l . On an functional elimination S. A. S e x e . Et Par Ord om math«matiske Graendser R. W . G e n e s e . On maxima and minima F. U n f e r d i n g e r . Zur Theorie des Maximums und Minimums . . . C a p i t e l 3.

115 116 118 118 118 118

Integralrechnung.

E. C o m b e s c u r e . Sur diverses conditions d'intégrabilité et d'intégration F. G r e l l e . Note Mr Integration eines Differentials H. Mc. C o l l . On the formnlae of reduction in the integral calculus 0 . H a n Ion. Solution of a question M. A z z a r e l l i . Sul teorema di Fagnano A. S t e e n . Bevis for Simpson's Formel M. D e p r e z . Instrument servant à calculer mécaniquement les valeurs de quelques grandeurs F. U n f e r d i n g e r . Zur Theorie der simultanen Substitutionen inzweiund dreifachen Integralen C. T y c h s e n . Svar paa en Foresporgsel Â. G e n o c c h i . Dimostrazioni di una formola di.Leibniz e Lagrange

122 123 123 123 123 123 124 125 125

C a p i t e l 4. Bestimmte Integrale. G. F. M e y e r . Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen • • • • • • .• • D. B. de H a a n . Differentiation et intégration d'une intégrale multiple par rapport à une constante F. Chio. Differentiation d'une intégrale définie . . . . L . O p p e r m a n n . Om Qvadraturer • . bepaalde •j-D. B. de H a a n . Herleiduugsformulen by de theorie van . . . . integralen A. A n d r é i e w s k y . Formules relatives à la théorie des intégrales définies J . W. L. G l a i s h e r . On the history of Euler's constant J . W. L G l a i s h e r . On the calculation of Euler s constant. . . . W. S h a n k s . Numerical value of Euler's constant and on the summation of the harmonic series W. S h a n k s . Numerical values of e, loge® etc J. W. L. G l a i s h e r . On a class of definite integrals R. P e n d l e b u r y . On some definite integrals S. S p i t z e r . Darstellung von y e**' in der Form y = S [ A m e»«] 8. S p i t z e r . Darstellung von u = x* e*"3 in der Form y = S [Am e»" Ordnung B. M o s t . Anwendung der Differentialquotienten mit allgemeinem Index zum Integriren von Differentialgleichungen J. C o c k l e . Exercices in the integral calculus J. W o l s t e n h o l m e , K i t c h i n and W . R o b e r t s , J. W a l k e r . Solution of questions C. J o r d a n . Sur la résolution des équations différentielles linéaires . M. M a c k e n z i e . Simultaneous differential equations J. S i a c c i . Trasformazioni delle equazioni del problema dei 3 corpi 0. M e r r i f i e i d . On certain families of surfaces C a p i t e l 6.

140 142 143 144 144 146 146 148 148 149 150 152 152 154 154 15G 157 159 160 161 163 165 165 166 167 167 167

Partielle Differentialgleichungen.

f L . G a r n s h a w . Partial differential equations G r a i n d o r g e . Sur l'intégration des équations de la mécanique . . E. Combescure. Sur diverses conditions d'intégrabilitéet d'intégration J. C o c k l e . On fractional criticoids A. Mayer. Integration simultaner partieller Differentialgleichungen Iter Ordnung

168 168 168 168 169

Inhaltsverzeichniss.

XV •Seite

A. A n d r é i e w s k y . Propriétés de quelques quadratures A. Mayer. Ueber die Jacobi-Hamilton'sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen l t e r Ordnung J. Somoff. Sur un moyen algébrique de démontrer le principe de Hamilton A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1870. Question 10 M. L è v y. Sur l'intégration des équations aux différences partielles gifr

p y

L. M a t t h i e s s e n . Ueber das Integral der Gleichung " g ^ r + T ^ j T = 0 E. M a t h i e u . Sur l'intégration des équations aux différences partielles E. B. C h r i s t o f f e l . Ueber die Integration yon zwei partiellen Differentialgleichungen J . C o c k l e . Solution of questions

169 171 171 171 172 172 172 173 173

Cap i t el 7. VariationB-Rechnnng. J. B. S er r e t . Sur le principe de la móindre action A. C a y l e y . On a problem in the calculus of variations S. C h a l l is. On some unsolved problems in the calculus of variations A. Cayley. On a new integration of differential equations of the second ordre S. C h al li s. On a new method of solving some problems in the calculas of variations J. T o d h n n t e r . On a problem in the calculas of variations . . . . J . T o d h n n t e r . Researches in the calculus of variations

S i e b e n t e r Abschnitt.

174 176 176 176 176 176 176

Fanctionentheorie.

C a p i t e l 1. Allgemeines. J . Hoiiel. Théorie élémentaire des quantités complexes U- Dini. Sopra le funzioni di una variabile complessa C. G. J- J a c o b i . Mathematische Werke G. de B e r a r d i n i s e T. F u o r t e s . Relazione de'corsi di geometria superiore e d'analisi superiore F. E. P r y m . Zur Integration einer Differentialgleichung E. B. C h r i s t o f f e l . Ueber die Integration von zwei partiellen Differentialgleichnngen R. L i p s o h i t z . Sopra la teoria della inversione di an sistema di funzioni E . H e i n e . Ueber einige Voraussetzungen beim Beweis des Dirichletschen Principe \ . . . G Frobenius. Ueber Entwickelung analytischer Functionen in ». Reihen G. C a n t o r . Notiz zu einem Aufsatz in Borchardt's Journal . . . . J . L ü r o t h . Ueber Verzweigungsschnitte and Ausschnitte in einer Riemann'schen Fläche f F . R a f f i n i . Sul modo di definire la continuità delle funzioni . . M. N ö t h e r . Ueber die algebraischen Functionen einer und zweier Variabein iL H a m b a r g e r . Ueber die Entwickelang algebraischer Functionen in Reihen Ed. W e y r . Sur les fonctions, dont les dérivées successives forment des séries arithmétiques •

178 179 180 182 182 185 187 187 188 192 192 193 193 194 196

Inhaltsverzeichniss.

XVI

L. S e i d e l . Ueber eine eigentümliche Form von Fonctioneu einer complexen Yariabeln . . . . P. da B o i s - R e y m o n d . Sor la grandeur relative dea infinis des fonctions • O. ABCOIÌ. Dimostrazione di nn teorema di Canchy S. R o b e r t s and J . J . W a l k e r . Solution of a question L. P a i n vin. Nombre des systèmes de plans que peut représenter une équation du second degré L. O p p e r m a n n . . Sur la formule d'interpolation de Newton . . . . A. C a y l e y . On an analytical theorem

Seile

196 197 197 197 198 198 198

Capi t e i 2. Besondere Functionen. J . W. L. G l a i s h e r . OD Lambert's proof of irrationality of n . . . A. Cayley. A „Smith's Prize" paper. 1871 Question 8 O. S c h i o m i l e li. Ueber den Kettenbruch für tgz G. L e m o y n e . Intorno ad un problema di partizione sopra alcune funzioni simmetriche . . A. de L e gge. Forinole relative al seno e coseno della somma degli archi H. L e m o n n i e r . Démonstration des expressions de cos (a±b), sin (a ±i)

Ch. L i n d m a n . Formulae quaedam goniometricae L. S e i d e l . Darstellung des Kreisbogens, des Logarithmus etc. dnrch unendliche Producte J . W. L. G l a i s h e r . On sin oo and cos oo W. W a l t o n . On sin oo and cos oo M. A z z a r e l l i . Trattato elementare delle funzioni iperboliche . . . M. R o b e r t s . On the addition of elliptic and hyperelliptic integrals E. V. B o n s d o r f f . Den geometriska theori for complexa functioner Ch. H e r m i t e . Sur la construction géométrique de l'éqnation relative à l'addition des intégrales elliptiques de première espèce . . . A. C l e b s c h . Theorie der Gleichungen 5 , e n und 6 len Grades . . . . L. S y low. Om en Grappe af Substitutioner C. N e u m a n n . Ueber die elliptischen und hyperelliptischen Integrale A. J. Gauss' approximation to the first elliptic integral W. W a l t o n . On a property of elliptic functions C. M. M i n c h i n . Solution of a question E. Dorn. Transformation zweiter Ordnung des elliptischen Integrals mit imaginärem Modnl E. K o s s a k . DSB Additionstheorem der ultraelliptischen Functionen Ordnung M. R o b e r t s . Sur les fonctions abéliennes à quatre périodes . . . H. W e b e r . Ueber die mehrfachen Gaussischen Summen C. J o r d a n . Sur les sommes de Gauss à plusieurs variables . . . . H. W e b e r . Ueber die unendlich vielen Formen der ¿-Functionen . L. F u c h s . Ueber die linearen Differentialgleichungen, welcher die Periodicitätsmoduln der Abel'schen Functionen genfigen . . . . L. F u c h s . Ueber die Form der Argumente der »-Function . . . . L. P o c h h a m m e r . Ueber einfach singulare Punkte linearer Differentialgleichungen L. P o c h h a m m e r . Ueber die Herleitung der hypergeometrischen Differentialgleichung E. L o m m e l . Zur Theorie der Bessel'schen Functionen W. K. C l i f f o r d . On a canonical form of spherical harmonics • • • W. T h o m p s o n . On the g e neral canonical form of a spherical harmonic function of the nth order

198 199 199 200 200 200

200

201 202 203 203 204 205 205 205 206 206 206 206 206 207 208 210 211 211 216 218 220 221 221 221 224 224

x?n

Iahaltsverzeichni ss.

Seite

Achter A b s c h n i t t C a p i t e l 1.

Reine, elementare und synthetische Geometrie. Priocipien der Geometrie.

L a g o u t . Le carré générateur tie l'étendue lt. S t u r m . Ueber die unendlich entfernten Gebilde mit Bemerkungen von J. Kober und Hoffmann J. C. B e c k e r . Ueber Incorrectheiten in der Sprache der Mathematik B o l z e . Ueber Parallellinien S t a m m e r u n d Z e r l a n g . Bemerkungen zu dem Aufsatze von Becker F. C. F r e s e n i u s . Die Lehre von der Congruenz der Dreiecke . . P l a g g e . Construction mnemonischer Figuren . . F. C. F r e s e n i u s . Die neuere Geometrie und die anendlich entfernten Gebilde A. E. B e l t r a m i . Essai d'interprétation de la géométrie non-euclidienne . . . . . . . Y . S c h l e g e l . Proben aus einer neuen auf der Grassmann'schen Ausdehnungslehre fussenden Bearbeitung der Elementarmathematik F. K l o in. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie , . . B . B a l t z e r . Ueber die Hypothesen der Parallelentheorie 0 . S t o l z . Die geometrische Bedeutung der complexen Elemente in der analytischen Geometrie A. T r a n s on. Sur l'emploi de l'infini en mathématiques J. B o s a n e s . Ueber die neuesten Untersnchungen in Betreff unserer. Anschanung vom Baume H. G. Z e u t h e n . Om dualitetsprincipet . . . P. M a n s i o n . Sur le premier livre de la géométrie de Legendre . . F. St. Marie. Études analytiques sur la théorie des parallèles . . C a p i t e l 2.

225 225 227 227 227 229 229 230 230 231 231 232 233 234 234 234 235 236

Continuitätsbetrachtungen (analysis situs).

A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 5 236 W. F. C l i f f o r d . On syzygetic relations among the powers of linear quantics 236 C a p i t e l 3.

Elementare Geometrie (Planimetrie. Stereometrie )

Trigonometrie.

G- B e c k n a g e l . Ebene Geometrie F. P a u g g e r . Elementar-Mathematik A . C a y l e y . Solution of questions C a v a l l i n . Satser T. C o t t e r i l l . Solution of a question A. M o r e l . J. G. Solution d'une question C. H a r k e m a . Merkwürdiger Punkt im Dreieck A . H o c h h e i m . Der fünfte merkwürdige Punkt J. A. G r u n e r t . Entfernung des Schwerpunktes vom Mittelpunkte des einbeschriebenen Kreises im Dreieck H. S c h u b e r t . Elementares über das Dreieck C. L a d u r o n . Solution d'une question A . C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1870 Question 7 C. A. B r e t s c h n e i d e r . Berechnung des Trapezes aus seinen Seiten M. C o l l i n s . Ueber die Mittelpunkte der Diagonalen eines vollständigen Vierecks T. F u o r t e s . Ueber Fermat's geometrischen Satz ForlscUr. (I. Math. III. 3.

B

237 238 238 238 238. 239 239 239 240 240 240 040 241 241 241

XVIII

Inhaltsverzeichnis.

L . O p p e r m a n n . Den ptolemaiske Saetning F a s b e n d e r . L e liea an centre da cercle inscrit à an quadrilatère . E K m s c h w i t z . Solution d'une question J . G. Théorèmes de géométrie M. S a n c e r y . Note sur le quadrilatère inscrit J . S y l v e s t e r . Solution of a question A. S t e i n h a u s e r . Winkelsumme ebener Polygone O. C a l l a n d r e a u . Solution d'une question N a g e l . Bestimmung der Vielecke durch die Halbirungspunkte ihrer Seiten R. N i p p e r t . Aufgabe über reguläre Polygone O. C a l l a n d r e a u . Solution de deux questions J . G r i f f i t h s . On the circle which cuts three given circles at given angles Z e r l a n g . Berechnung der Zahl n C. A. B r e t s c h n e i d e r . Berechnung der Winkel ebener und sphärischer Dreiecke ans den Seiten F . H. B u m p . Zwei trigonometrische Sätze Weitere Aufgaben J . 0 . B e c k e r . Beiträge zur Geometrie C. W. M e r r i f i e l d . Solution of a question J . W o l s t e n h o l m e . Exercices sur le tétraèdre C. W. M e r r i f i e l d . Solution of a question H e s s e l . Uebersicht der gleicheckigen Polyeder J . A. G r u n e r t . Oberfläche eines Polyeders V. Mol l a m e . Teoremi di geometria A. S t e i n h a u s e r . Netze der Poinsot'schen Körper G. A f f o l t e r . Geometrische Aufgabe G. A f f o l t e r . Lehrsätze und Aufgaben über die Kugel . O. S t o l z . Analytische Entwickelung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie F . U n f e r d i n g e r . Ueber ein sphärisches Dreieck A . S t e e n . Formule de Simpson C a p i t e l 4.

S*i»e 241 242 242 242 242 243 243 243 244 244 244 245 245 245 246 246 246 247 247 248 248 248 249 250 250 250 250 251 251

Darstellende Geometrie.

W. F i e d l e r . Darstellende Geometrie G. R i e s a . Grundzüge der darstellenden Geometrie K. R u d e l . Die ersten Elemente der darstellenden Geometrie . . . G. Del a b a r . Linearzeichnen J . S c h l o t k e . Die Hauptaufgaben der descriptiven Geometrie . . . L . B u r m e s t e r . Die schiefe Parallelperspective f J . H o s c h e k . Die centrale Projectionsmethode f D . T e s s a r i . Principii della projezione assonometrica F . H o z a . Apparat zum Anschauungsunterricht in der descriptiven Geometrie G. T a y l o r . The principles of geometrical conics E. K o u t n y . Beschreibung der Parabel aus gegebenen Punkten und Tangenten G. D. Sur la représentation des surfaces algébriques C. P e l z . Central- und Parallel-Projection der Flächen zweiten Grades auf eine Kreisebene R. N i e m t s c h i c k . Construction des Durchschnitts zweier krummer Flächen A. C a y l e y . On the plane representation of a solid figure f A . C a y l e y . On Gauss' pentagramma mirificum . »

252 254 254 254 254 254 255 255 255 255 255 256 256 257 257 258

Inhaltsverzeichnis.

XIX Seite

C a p i t e l 5.

Neuere synthetische Geometrie.

A.

Ebene Gebilde.

R. S t a u d i g l . Lehrbuch der neueren Geometrie L. S al tel. Extrait d'une lettre A. C a y l e y . On the rational transformation between two planes • • A n o n y m u s . Propriétés focales des figures homographiques . . . . J. J. W a l k e r . On conditions for, and equations of corresponding points in certain involutions P. C a s s ani. Sulla involuzione quadratica T. F n o r t e s . Solntion of a question A. C l e b s c h . Ueber das ebene Fünfeck A. C l e b s c h . Ueber Anwendung der quadratischen Substitution . . A. C l e b s c h . Ueber die geometrische Interpretation der höheren Transformation binärer Formen T. F n o r t e s . Dimostrazione di un teorema 0 . M o n t a g . Ueber ein geometrisches üeziehungssystem S. M o r e l . Théorie des sections coniques . J . C. B e c k e r . Beiträge zur Geometrie J . P e t e r s e n . Om Ligninger, der loses ved Kradratrod T. F n o r t e s . Dimostrazione di due teoremi V. N. B i t o n t i . Dimostrazione di due teoremi M. W i l l i è r e . Solution d'une question R. W. G e n e s e . On the trisection of an angle A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 3 R. T o w n s e n d. On the analogue in the theory of quadrics to a known property in the theory of conics J . G r i f f i t h s . On a problem T. F u o r t e s. Soluzione d'un problema A. M o r e t - B l a n c . Solution dune question W. C r o f t o n and others. Solutions of questions O . T a y l o r . The geometry of rectangular hyperbola C. T a y l o r The principles of geometrical conics H. D u r è g e . Die ebenen Curven dritter Ordnung H. D u r è g e . Ueber die Kegelschnitte, welche eine Curve dritter Ordnung osculiren V a l l i e r . Solution d'une question Em. W e y r . Alcuni teoremi intorno alla „focale à noeud" . . . . f J . W o l s t e n h o l m e . On osculating curves t A. C a y l e y . On the Cartesian with two imaginary axial foci . . . M. C ha s l e s . Propriétés générales des courbes géométriques . . . M. C h a s l e s . Théorèmes relatifs aux axes harmoniques des courbes géométriques M. C h a s l e s . Propriétés des diamètres des courbes géométriques . B.

258 259 259 260 260 260 260 261 261 261 262 262 264 265 265 26§ 26Ç 266 26$ 266 266 267 267 267 268 269 270 270 272 274 274 274 275 275 275 275

Räumliche Geb ilde.

Em. W e y r . Sopra la corrispondenza del seoondo grado J. F r i s c h a n f . Theorie der räumlichen Strahlbüschel Em. W eyr. Ueber die Fusspunktcurven räumlicher Curven . . . . A. E n n e p e r . Bemerkungen über einige geometrische Theoreme . . A. M a n n h e i m . Détermination d'une équation des surfaces du second ordre L. E l l i s . Démonstration de deux théorèmes G. A f f o l t e r . Lohrsätze und Aufgaben über die Kogel C. T a y l o r . An angle-property of the right circular cone B*

276 277 277 278 278 279 279 280

Inhal tsverzeichniss.

XX

Seite

6. A. R. 6. A. R.

B r u n o . Sulla linea luogo dei ponti di an iperboloide sghembo . C a y l e y . A „Smith's P r i z e " paper. 1871. Question 9 T o w n s e n d . On a property of confocal quadrics D a r b o u x . Sur une classe particulière de surfaces réglées . . . C a y l e y . Ou the torse circumscribed about two quad rie surfaces T o w n a e n d . Ou an analogue in the theory of quadrics to a known property in the theory of conics Em W e y r . Sopra una certa curva gobba di 4° ordine K. S t u r m . Ueber die Flächen mit einer endlichen Zahl von Geraden Em. W e y r . Ueber die Krümmung windschiefer Flächen C. G e o m e t r i e d e r A n z a h l . C h a s l e s . Systèmes de coniques représentés par deux caractéristiques C h a s l e s . Propriétés des courbes d'ordre et de classe quelconques C h a s l e s . Détermination d'une série de groupes de points . • . Chasles. Détermination de la classe de la développée d'une courbe géométrique , M. C h a s l e s . Propriétés de certains systèmes de coniques . . . . S. R o b e r t s . On the order and singularities of the parallel of an algebraical curve O. T o g n o l i . Sulla teorica dei complessi A. C a y l e y . On the deficiency of certain surfaces A . C a y l e y . On the theory of the curve and torse H . S c h u b e r t . Auszug aus einem Schreiben H . G. Z e u t h e n . Sur les quadrìques polaires St. G. Z e u t h e n . Recherche de certaines.singularités H . G. Z e u t h e n . Sur les propriétés de deux surfaces H . G. Z e u t h e n . Sur la théorie de surfaces réciproques A. C a y l e y . On the problem of the in- and circumscribed triangle . A. M a c é . Solution d'une question O. T o g n o l i . Sul numero delle superficie di una certa rete . . . . M. M. M. U.

Neunter Abschnitt. C a p i t e l 1.

C a p i t e l 2.

283 283 284 285

286 287 288 290 290 290 291 291 291 293 293 295 295 297 297 299 299

Analytische Geometrìe. Coordinaten.

E . B e t t i . Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni . S. L i e . Ueber die Theorie eineB Raumes mit beliebig vielen Dimensionen S. L i e . Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen V . S c h l e g e l . Ueber eine Fläche dritter Ordnung mittelst der Grassmann'schen Ansdehnungslehre R. H e g e r . Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes in homogenen Coordinaten P . G. T a i t . Discours . W . W a l t o n . Des coordonnées biangulaires • . J . A. G r u n e r t . Das tetraedrische Coordinatensystem J . H e m m i n g . Transformation der projectivischen Coordinaten . . W . U n v e r z a g t . Ueber ein einfaches Coordinatensystem der Geraden G. de B e r a r d i n i s e T . F u o r t e s . Relazione di corsi di geometria

A.

281 281 282 282 283

301 303 305 306 307 307 307 308 308 308 310

Analytische Geometrie der Ebene.

A l l g e m e i n e T h e o r i e der ebenen

Curven.

J . F r i s c h a u f . Einleitung in die analytische Geometrie 311 H . S c h u m a n n . Lehrbuch der analytischen Geometrie der Ebene . 311 F . J o a c h i m s t h a i . Elemente der analytischen Geometrie der E b e n e 311

Inhaltsverzeichniss.

XXI Seile

M. P a s c h . Ueber eino Eigenschaft der reeiproken CurveD . . . . fA. Grunert. Allgemeine Theorie der Berührenden etc. in Dreilinien-Coordinaten |L. F a i n v i n . Étude de la courbure en un point maltiple A b o n n é . Sur la courbure en uu point de rebroassement J . S o m off. Ueber die annähernde Rectification beliebiger Cnrven . B.

T h e o r i e der a l g e b r a i s c h e n

312 312 313 313

Cnrven.

Em- W e y r . Zur Theorie der Involutionen höherer Grade Em. W e y r . Ueber algebraische Curvcn A. B r i l l . Zur Theorie der Elimination und der algebraischen Curven A. B r i l l Ueber zwei Beriihrungsprobleme A. B r i l l . Ueber die Doppelpunkte von Curven im Raarn, deren Geschlecht Null ist A. B r i l l . Ueber die Curven eines Büschels, welche eine gegebene Carve 2-punktig berühren S. G u n d e l f i n g e n Bemerkungen zu einem Aufsätze des Hrn. Bischoff S". G u n d e l f i n g e n Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herrn Aronhold S. R o b e r t s . Solution of a question C.

312

313 313 314 316 319 319 320 321 321

G e r a d o L i n i e und K e g e l s c h n i t t e .

W . B r e n n e c k e . Einleitung in das Stadium der analytischen Geometrie P . D o u c e t . Problème de géométrie A b o n n é . Solution d'une question P . C a s s a n i. Soluziono di una quistione A. C a y l e y . On a theorem relating to eight points on a conic . . . E. B e l t r a m i . Alcune formole per la teoria elementare delle coniclie R. W. G e n e s e . Note on analytical conics E. C o n s t a b l e . On carvature P . C a s s a n i . Studio di una quistione G. H e l l m a n n . Lehre von den Kegelschnitten F . U n f e r d i n g e r . Ueber die Bestimmung einer Curve aus ihrer Tangenteneigenschaft C. G. J . J a c o b i . Geometrische Theoreme Em. W e y r . Ueber Normalen an Curveu zweiter Ordnung J . V e r s l u y s . Discussion de quelques théorèmes et problèmes . . . J . V e r s l u y s . Application des déterminants à la géométrie analytique f J . A. G r u n e r t . Die Theoreme von Pascal, Désargues etc. . . . J . P e t e r s e n . Om Ligninger der loses ved Kvadratrod G. D o s t or. Propriété des coniques V. E u g e n i o e V. N. B i t o n t i . Dimostrazioni di un teorema . . . . A. C a y l e y . On the reciprocal of a certain équation of a eonic . . A. C a y l e y ; A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 6 . . . . . . J . A. G r u n e r t . Ueber die Gleichung des um ein Dreieck beschriebenen Kreises in Dreilinien-Coordinaten • A. E n n e p e r . Ueber die Bedingung, dass sich drei Kreise in einem Punkte schneiden C. V a l e n t i n o . Soluzione di alcune quistioui P . P e i n , H. L e z , 0 . C a l l a n d r e a u , S . M o r e l . Solutions de . questions ' H. G. Day. Théorème sur l'ellipse G. D e l a b a r . Construction der Axen einer Ellipse J . A . Grunert. Der Flächeninhalt der Ellipse L . L i n d e l ö f . Problèmes relatifs â l'ellipse et à l'ellipsoïde . . . . F , T a no. Un teorema

321 322 322 322 323 323 323 323 323 324 324 324 324 325 325 325 326 326 326 326 327 327 327 327 328 329 329 330 330 330

xxn

Inhaltsverzeichnis».

C. M i t t e l a c k e r . Theorie des elliptischen Vierseits 6 . D o s t o r . Surfaces d'un certain quadrilatère et d'un certain triangle V . E n g e n i o , C. V a l e n t i n o . Dimostrazione di alcnne teoremi . . E . L e c I e r t. Tracé des arcs parabol iques on circulaires à grande portée A n o m y m u s . Tracé pratique des arcs de parabole D. André. Deux théorèmes sur la parabole N. M. F e r r e r s - On Mr. Clifford's proof of Miquel's theorem . . . Ch. B r i s se. Solution d'une question J . J . W a l k e r and J . Wolstenholme. Solution of a question . . . B . W. G e n e s e . Solution of a question J . J . W a l k e r . Solution of a question Weitere Aufgaben D.

Seile

330 331 332 332 333 333 333 334 334 334 334 335

A n d e r e s p e c i e l l e Cnrven.

H. D u r è g e . Die ebenen Curven dritter Ordnung Em. W e y r . Sülle curve piane razionali del terz* ordine P . 6 or dan. Ueber Curven dritter Ordnung mit zwei Doppelpunkten H. D u r è g e . Ueber die Kegelschnitte, welche eine Curve dritter Ordnung osculiren S. G u n d e l f i n g e n . Ueber die Ausartungen einer Curve dritter Ordnung t J . J . W a l k e r . On systems of tangents to plane cubic and quartic curves + Th. E r d m a n n . Das Descartes'sche Folium S. B o b e r t s . On the ovals of Descartes A. B u r t a i r e . Solution d'une question S. B o b e r t s . Sur les podaires centrales des coniques C. A l b r i c h . Ueber Fusspunktcurven B. T o r t o l i n i . Sulla teoria di alcune curve pedali S. M o r e l . Problème de géométrie analytique F . W. Newman. On doubly diametral quartic curves F . B r i o s c b i . Les tangentes doubles à une courbe du 4e' ordre avec un point double L. Cremona. Observations géométriques à propos d'une note de Mr. Brioschi A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1870. Question 14 S. B o b e r t s . On the pedals of conic sections A. C ay 1 ey. On the mechanical description of a nodal bicircular quartic J . F . M o n i t o n , F . D. T h o m s o n , J . J . S y l v e s t e r . Solution of questions L . B é d o r e z , M e u t z n e r . Solutions de questions C. F . E. B j o r l i n g . Theori for algebraiska eqvationers rotter . . S. B o b e r t s . Solution of questions A. G i r a r d . Solution d'une question A. C a y l e y . On evolntes and parallel curves Ph. B r e t o n . Problème de géométrie H. B r o c a r d et Gr a s sa t. Solution d'une question A. Cayley. On a problem of envelopes W. W a l t o n . On the spoke asymptotes of rhizic curves W. W a l t o n . On the curvature of rhizic curves at multiple points . Em. W e y r . Alcuni teoremi intorno alla „focale à noeud" W. W a l t o n . On the transformation of two simultaneous equations . A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 2 H. M y l o r d . Elliptiske Koordinators H. Mylord. Skaevvinklede Trajectorier til nogle Systemer af Carver F . K l e i n und S. L i e . Ueber die Curven, die durch ein geschlossenes System von Transformationen in sich übergehen A n g i e r . Solution d'ane question

335 335 336 336 336 336 336 336 337 337 337 338 338 339 339 339 340 340 341 341 342 342 342 343 343 343 344 344 344 345 345 345 345 845 348 848 350

Inhaltsverzeichniss.

XXIII Seile

C a p i t e l 3. A.

Analytische Geometrie des Raumes.

A l l g e m e i n e T h e o r i e der F l ä c h e n and R a u m c a r v e n .

Ph. G i l b e r t - Rapport sur un memoire de Mr. Sattel N. N i c o l a i d e s . Aualectes L. P a in via. Sur un système variable de trois directions rectangulaires U. D i n i . Sopra alcune formolo generali della teoria delle superficie G. D a r b o u x . Lea coarbes tracùes sur une surface' A. E n ne p e r . Ueber die Differentialgleichung einer Art von Curven auf Flächen A. E n n e p e r . Ueber asymptotische Linien 0 . T o g n o l i . Dimostrazione d'un teorema di geometria B. W i l l i a m s o n . On Gauss' theorem of the measure of curvature . Em. W e y r . Ueber die Krümmung windschiefer Flächen . . . . . . . J . B o u s s i n e s q . Sur les lignes de plus grande pente d'une surface D. R e g i 8 . Sulle superficie di ugual pendenza L. P a i n v i n . Détermination des rayons de courbure L. P a i n v i n . Détermination des plans osculatene et des rayons de courbure E. K r e t s c h m e r . Zur Theorie der Flächen mit ebenen Krümmungslinien K. E x n e r . Ueber die Maxima und Minima der Winkel zwischen krummen Flächen und Radiusvectoren S. R o b e r t s . On the order of the discriminant of a ternary form . . C. W. M e r r i f i e l d On certain families of surfaces C. W. M e r r i f i e l d . On conical and cylindrical surfaces C. W. M e r r i f i e l d . Sur un système particulier des surfaces . . . B.

351 351 351 352 355 356 356 356 357 357 357 358 359 359 359 362 362 362 364 364

T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n F l ä c h e n UDd R a u m c u r v e n .

Em. W e y r . Die Erzeugung algebraischer Curven durch mehrdeutige Elementargebilde Em. W e y r . Intorno alle curve gobbe razionali Em. W e y r . Sopra alcune singularità di second' ordine di curve gobbe razionali Em. W e y r . Ueber rationale Raumcurven Em. W e y r . Ueber rationale Raumcurven 4 , e r Ordnung G. K o r n d S r f e r . Ueber die Raumcurven, deren Coordinaten sich als rationale Functionen eines Parameters darstellen 0. A r z e l a . Sopra alcune applicazioni di una formola di J a c o b i . . O. T o g n o l i . Osservazioni geometriche E. P a d o v a . Della generazione delle superficie mediante reti projettive L. P a i n v i n . Théorème sur les surfaces C. F. G e i s e r . Ueber die algebraischen Minimumsflächen A. C a y l e y . On the deficiency of certain surfaces R. S t u r m . Ueber die Flächen mit einer endlichen Zahl von Geraden H. S t a h l Zur Theorie der Krümmungslinien und der dreifachen Orthogonalsysteme L. C r e m o n a . Sulle linee di curvatura delle superficie di 2°grado .

364 365 367 367 367 368 370 371 371 372 372 373 373 373 374

C. R a u m g e b i l d e e r s t e n , z w e i t e n u n d d r i t t e n G r a d e s . R. B a l t z e r . Ueber den Ausdruck des Tetraeders durch die Coordinaten der Eckpunkte 374 E. d ' O v i d i o . Alcune relazioni fra le mutue distanze de più punti . 375

XXIV

Inhaltsverzeichnis». Seile

J. A . G r u n e r t . Inhalt des Dreiecks und Tetraeders durch cartesische Coordinate» der Eckpunkte J. V e r s l u y s Discussion de l'équation du second degré C. G. J. J a c o b i . Geometrische Theoreme F . J o a c b i m s t h a l . Ueber die Normalen einer Fläche zweiten Grades O. H e r m e s . Die Jacobi'sche Erzeugungs weise der Flächen zweiten Grades A. C a y l e y . Solution of a question W . H. L . B a s s e l . On Mac Cullagh's theorem W . W a l t o n. On the transformation of two simultaneous equations L . P a i n v i n . Lien des sommets de trièdres trirectangles H . P i c q u e t . Quelques problèmes relatifs aux surfaces du second degré E. Y a z e i l l e . Cordes principales et plans principaux d'une surface du second ordre R. T o w 0 8 e n d . On the analogues in the theory of quadrics and in the theory of conics O. H e s s e . Ueber die acht Schnittpunkte droier Oberflächen zweiter Ordnung L . S a l t e l , A . M o r e t - B l a n c . Solution de questions B e r m a n n . Beweis zweier Steiner'scher Lehrsätze . . . E. B e n t e r . Ueber Tangentialkegel und Curven zweiten Grades . . A . de G r o s s o u v r e , E. B o n n e t . Solution d'une question . . . . B. T o r t o l i n i . Süll' intersezione di un elÜBsoide con un eilindro ellittico M. B o b e r t s . Sur la rectification des lignes de courbure d'un ellipsoïde L a g u e r r e . Sur une propriété de l'hyperboloide de révolution . . . J. V e r s l u y s . Discussion de quelques théorèmes de géométrie analytique L . L i n d e l ö f . Problèmes relatifs à l'ellipse et à l'ellipsoide . . . . H erra a nu. Sur une propriété du cône de révolution A . H o c h h e i m . Ueber eine windschiefe Fläche V . S c h l e g e l . Ueber eine Fläche dritter Ordnuug D. A. A. A. A. A. À. A. A. L. C. J. E. A. A. A. A. A. F.

Andere

specielle

375 375 37g 379 382 3g-> 382 382 384 3^*4 335 385

386 38g 387 387 3gg 383 388 jgg 389 389 309 389

Baumgebilde.

C a y l e y . On quartic surfaces C a y l e y . On an analytical theorem from a new point of view . C a y l e y . On Plücker's models of certain quartic surfaces . . . C a y l e y . Sur une surface du quatrième ordre C a y l e y . On a quartic surface C a y l e y . A „Smith's P r i z e " poper. 1870. Question 13 . . ! . . C a y l e y . Sketch of recent researches on quartic and quintic surfaces C a y l e y . On the inversion of a quadric surface C r e m o n a . Sulla superficie di 4° ordine H i e r h o l z e r . Ueber eine Fläche der vierten Ordnung C a s e y . On cyclides and sphero-quartics Catalan. Sur une transformation géométrique et sur la surface dès ondes C a y l e y . Corrections and additions to a memoir: „On the theory of reciprocal surfaces" C a y l e y . Example of a special discriminant C a y l e y . On a surface of the eight order C a y l e y . On the envelope of a certain quadric surface . . . . C a y l e y . On the centro-surface of an ellipsoid T i s s é r a n d . Sur les surfaces orthogonales . . , . . , . . ,

39Q 392 392 393 393 393 3g3 394 394 394 396 398 400 400 400 401 401 401

Inhaltsverzeichniss.

XXV Strite

R.Hoppe. Systèmes de lignes et de surfaces égales, terminées pur des rayons communs W. R o b o r t s . ¡Sur les courbes équidistantes sphériques A. S t e eu. Om Omdrejuingsfladerne H . M. J e f f e r y . On coocyclic conicoids (Jh. R u c h o n n e t . De l'hélice osculatrice A. G ' a y l e y . A „Smith's P r i z e " paper. ISTI. Question 7 A. de S t . - G e r m a i n . Étude géométrique G. H a l p h e n . Sur les droites qui satisfont à des conditions données S. R o b e r t s . Solution of a question H Pellet Solution de deux questions A. G a y le y. On the geodesic lines on an ellipsoid G. D a r b o u x . Sur nne nouvelle méthode pour l'étade des courbes tracées sur les surfaces algébriques G. b a r b o n i . Sur une classe particulière de surfaces réglées . . . D. T e a s a r i . Salle linee di uguale illuminazione delle superficie . . H. M y l o r d . Elliptiske Koordinater H . M y l o r d . Skaevvinklede Trajectorier H . A. S c h w a r z . Bestimmung einer speciellen Minimalfläche . . . C a p i t e l 4.

408 409 409 409 409 409

Liniengeometrie (Complexe, Strahlensysteme).

D. C h e l i n i . Sulle nuova geometria dei complessi D. C h o l i n i . Sulle composizione geometrica dei sistemi di rette, di aree e di punti F. Klein. Ueber den Zusammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik starrer Körper 0 . T o g n o l i . Sulla teorica dei complessi . . . • F. K l e i n . Ueber einen Satz aus der Theorie der Liniengeometrie . L. P a i n v i n . Étude d'un complexe du second ordre F . K l e i n . Zur Theorie der Kummer'schen Fläche J . F r i s c h a u f . Theorie der räumlichen Strahlbüschel C a p i t e l 5.

402 403 405 405 405 406 406 407 407 408 408

412 412 413 413 418 413 415 415

Verwandtschaft, eindeutige Transformation, Abbildungen.

A. C l e b s c h . Zur Theorie der Cremona'schen Transformation . . . J . R o s a n e s . Ueber die rationalen Substitutionen, die eine rationale Umkehruug zulassen T h R e y e . Collineare Grundgebilde und ihre Erzeugnisse Ed. W e y r . Ueber einige Sätze von Steiner J . C. B e c k e r . Kleine Beiträge zur Geometrie G. D a r b o u x . Sur une méthode nouvelle pour l'étude des courbes tracées sur les surfaces algébriques V. M o l l a m e . Sulla trasformazione continua d'una figura piana . . A. M a n n h e i m . Sur une propriété de la transformation par rayons vecteurs réciproques S. L i e . Over en Classe geometriske Transformationer. . . . . . . H. A r n s t e i n . Conforme Abbildung der Oberfläche eines regulären Octaeders auf einer Kugel 0 . H e n t s c h e l . Ueber einige conforme Abbildungen G. K o r n d ö r f e r . Die Abbildung von Flächen 4 , e r Ordnung . . . . J . D i e k m a n n . Ueber die Modificationen der ebenen Abbildung einer Fläche dritter Ordnung durch Singularitäten A. C a y l e y . On the transformation of unicursal surfaces G. D a r b o u x . Sur une surface du 5'' , n e ordre et sa représentation sur le plan

416 417 417 418 419 419 419 420 420 422 423 423 424 424 425

Inhaltsverzeichniss.

XXVI

U . N ö t h e r . Ueber die eindeutigen Raumtransformationen L . C r e m o n a . Ueber die Abbildung algebraischer Flächen . . . . L . C r e m o n a . Salle trasformazioni razionali nello spazio A. Gay lev. On the rational transformation between two spaces . . t F . C a m p a n e l l a . Delle trasformazioni geometriche L . P a i n vin. Théorème sur les surfaces . E . K r e t s c h m e r . Zur Theorie der Flächen mit ebenen Kriiinmungslinien G. H o l z m ü l l e r . Ueber logarithmische Abbildung

Zehnter Abschnitt C a p i t e l 1.

425 426 420 430 430 431 431 431

Mechanik.

Allgemeines. (Lehrbücher etc.)

A. W e r n i c k e . Lehrbuch der Mechanik H. B u f f . Lehrbuch der physikalischen Mechanik J . S o m o f . Mécanique rationelle N. B o u g a i e f f . Mécanique analytique W . T h o m s o n und P . G. T a i t . Theoretische Physik C a p i t e l 2.

S o m o f . Mécanique rationelle L i p k i n . Ueber eine genaue Gelenk-Geradfnhrung T e s s a r i . Sulla descrizione geometrica degli ingranaggi . . . . T u r a s za. Dei sistemi di due forze R o b e r t s . On the motion of a piane under certain conditions . . D u r r a n d e . Théorie du déplacement d'une figure M a n n h e i m . Déplacements infinement petits d'un corps définis par quatre conditions A. En n e p e r . Geometrische Theoreme C a p i t e 1 3.

433 433 434 436 436

Kinematik.

J. L. D. D. S. H. A.

A.

Seile

437 437 438 438 439 440 441 441

Statik.

Statik fester

Körper.

J . B a u s c h i n g e r . Elemente der graphischen Statik W. B i t t e r . Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den continuirlichen Balken F. Lippich. Theorie der continnirlichen Träger mit constantem Querschnitt J . A. G r u n e r ! Ueber das Gleichgewicht zwischen 3 Kräften . . . J . A. G r u n e r t . Ueber das Gleichgewicht zwischen vier Kräften in einer Ebene J . P e t e r s e n . Dell' uso del principio delle velocità virtuali . . . . A. C a y l e y . , A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 10 V . M o l l a m e . Soluzione di due quistioni G. B a t t a g l i n i . Sugli assi principali F. Klein. Zusammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik starrer Körper D. P i a n i . Sul centro di gravità F a s b e n d e r . Les angles que les lignes de gravité du triangle forment entre elles . J . A. G r u n e r t . Entfernung des Schwerpunktes vom Mittelpunkt des dem Dreieck einbeschriebenen Kreises

442 443 444 444 444 445 445 445 446 446 446 446 447

Inhaltsverzeichniss.

XXVII Seile

G G. D. G. N. G.

B a r d e Ili. Sul centro di gravità di una specie di linee e di superficie 447 B a r d e l l i . Teoremi di statica razionale 448 A n d r é . Théorèmes de statique 448 S t o k e s . Explanation of a dynamical paradox 448 M. F e r r e r s . On a dynamical paradox 449 H a g e n . Ueber den Seitendruck der E r d e 449 B.

Hydrostatik.

L. Matthiessen. Ueber Bewegung and Abplattung homogener Ellipsoïde 450 L . B o l t z m a n n . U e b e r die Druckkräfte, welche a a f B i n g e wirksam Bind, die in bewegte Flüssigkeit tauchen 451 A . M o l l . U e b e r Centrifogalpumpen 452 C a p i t e l 4. A.

Dynamik

Dynamik. fester

Körper.

A . F a h r m a n n . Aufgaben aus der analytischen Mechanik S . A u t e n h e i m e r . Aufgaben über mechanische Arbeit F. Klein. Zusammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik starrer Körper A . K o r k i n e . Sur le théorème de Poisson e t son réciproque . . . J . S o m o f. Sur le principe de Hamilton G r a i n d o r g e . Sur l'intégration des équations de la mécanique . . J . A . S e r r e t . Sur le principe de la moindre action N . N i c o l a i d e s . Analectes R . C l au s i a s . Ueber Anwendung einer mechanischen Gleichnng . . P . van G e e r . Sur le monvement rectiligne d'un point matériel . . C. Z e i d l e r . Probleme aus der Dynamik deB P u n k t e s R . H o p p e . Mouvement d'un point sur une surface en mouvement . A. C a y l e y . A „Smith's P r i z e " paper. 1870. Question 8 . 1871. Question 11. 1. 1870. Question 11 A b o n n é . Solution d'une question t J . S i a c c i . Trasformazioni delle equazioni del problema dei 3 corpi H . R é s a ) . Du mouvement d'un corps solide J . R e g n a n i . Dimostrazione dell' isocronismo del pendolo E. Z e t z s c h e . Parallele Drehaxen eines P e n d e l s mit der nämlichen Schwingungzeit Ph. B r e t o n . Problème de géométrie résolu par une considération de mécanique E . J . R o u t h . Oscillation of a heavy string t W . H. B e s a n t . T h e deduction of Euler's equations from the L a grange equations W. Walton. On axes of lug and axes of kick t R - S. B a l l . T h e small oscillations of a particle and of a rigid body H . R é s a l . Du mouvement d'un système matériel E . R o l l a n d . Isochrone Regulatoren mit gekoppelten Kugeln . . . H. R é s a l . Théorie du régulateur Larivière Tchébycheff. Sur le régulateur centrifuge Y . V i I l a r e e a u . Sur le mouvement des meules horizontales . . . M. de T i l l y . Sur le roulemeut des rouleaux e t des roues sur un plan d'appui . Steicben. Sur quelques questions de mécanique physique . . . .

452 453 453 455 455 457 457 457 457 458 460 461 462 463 463 463 463 463 464 464 464 465 465 465 465 465 466 467 467 470

Inhaltsverzeichniss.

XXVIII

H. K. P. St.

Seite

R é a al. Des conditions de résistance d'un volant 470 C a l m a n o . Der Minentrichter 471 C a v a l l i . Théorie du choc des projectiles 471 V e n a n t , M. L é v y . Équations différentielles des mouvements intérieurs dans les corps solides dnctiles 471 B.

Hydrodynamik.

J . Co e k l e . On the motion of fluida f j . C. M a x w e l l . On the diBplacement in a case of fluid motion . . M. A z z a r e Ili. Sul movimento dei Snidi O. E. M e y e r . Ueber pendelnde Bewegung einer Kugel O. E. M e y e r . Pendelbeobacbtungen C. A. B j e r k n e s s . Sur le mouvement de corps sphériques variables 6 . C a v a l l i . Della resistenza dei tubi all' urto dell' acqua . . . . t O . 0 . H a n l o n . The vena contrada P a r t i o t . Sur les marées fluviales de S t . - V e n a n t . Sur le mouvement non permanent des eaux . . . J . B o u s s i n e s q . Sur la théorie des ondes liquides périodiques . . de S t . - V e n a n t . Sur la houle et le clapotis J . B o u s s i n e s q . Théorie de l'intumescence liquide J . B o u s s i n e s q. Théorie des mouvements dans nn canal rectangulaire horizontale J. Bonssinesq. Sur le mouvement varié de l'eau dans les tuyaux de conduite W. J . M. B a n k i n e . On the theory of stream-lines W i t t e , A. C old in g. Zur Theorie der Meeresströmungen . . . . W . R. K u t t e r . Formeln für Bewegung des Wassers in Kanälen . H. H e i n e m a n n . Die Hydraulik als exakte Wissenschaft C a p i t e l 5.

V = 0 . H. de la G o u p i l li è r e . Sur la transformation du potentiel par rayons vecteurs réciproques H. B r u n s . De proprietate quadam functionis poteutialis corporutn homogeneorum A. C a y l e y . A. „Smith's Prize" paper. 1870. Question 9

C a p i t e l 1.

486 487 487 488 489 489

Potentialtheorie.

Th. W a n d . Die Principien der math. Physik und Potentialtheorie . C. N e u m a n n . Revision von Sätzen aus der Theorie des Potentials C. N e u m a n n . Zur Theorie des Logarithmischen und Newton'schen Potentials C. N e u m a n n . Ueber die elliptischen und hyperelliptischen Integrale (¡•¡y ¿2 y L. M a t t h i e s s e n . Ueber das Integral der Gleichung -(-

Elfter Abschnitt.

473 474 474 475 475 479 482 482 482 482 484 484 486

400 491 493 495 496 496 497 499

Mathematische Physik.

Molecularphysik, Elasticität und Capillarität.

f J . C. M a x w e l l . On physical quantities 500 W . C. W i t t w e r . Die Moleculargesetze 500 de S t . - V e n a n t . Formules relatives aux petites déformations d'un solide 500 L . J . M é n a b r é a . Etude de statique physique 502

Inhaltsverzeichnis«.

XXIX Seile

H . R é s a l . De l'équilibre, de l'élasticité et de la résistance du ressort à boudin A. S t e e n . Om Grundloven for L c g e m e r s Straekniug og Sammentrykning R. H o p p e . Deformation of an elastic sphere . . E . H i l l . Bourdon's metallic barometer J. B o u s s i n e s q . Sur l'équilibre et le mouvement des corps solides élastiques P . H o p k i o s o n . Impact on an elastic rod R. H o p p e . V i b r a t i o n e n eines Ringes in seiner E b e n e P h i l l i p s . Sur le spiral réglant des chronomètres A . M o u s SOD. T h e o r i e d e r Capillar-Erscheinungen E . R o g e r . T h é o r i e des phénomènes capillaires E . J . M e l l b e r g . Om Y t s p ä n n i n g e n has V ä t s k o r . C a p i t e l 2.

503 503 503 503 506 507 503 509 509 510

A k u s t i k und Optik.

Y . C h c r b u l i o z . Schallfortpflanzungsgeschwindigkeit in der L u f t . A- T e r q u e m . Sur les sons produits par les ébranlements discontinus . J . B o u r g e t . Influence de la résistance de l'air dans le mouvement vibratoire T . H o p k i n s o n . On t h e effect of internal friction on t h e vibrations of a solid R e i c h e l . G e s e t z e der Doppelbrechung in zweiaxigen Krystallen . . E . J o c b m a n n . Zurückwerfung und Brechung des L i c h t s durch dünne Metallschichten E . L o m m e l . U e b e r Fluorescenz E . K e t t e i e r . Einflnss d e r astronomischen Bewegungen auf die optischen Erscheinungen H . Z i n k e n - S o m m e r . Dioptrik der L i n s e n s y s t e m e P . A . B a n s e n . D e r W e g eines Lichtstrahls durch eine beliebige Zahl brechender s p h ä r i s c h e r Flächen A . T o p 1 e r . Anzahl d e r Fnndamentalpunkte eines Systems centrirter Kugelflächea V. v. L a n g . Dioptrik eines Systems centrirter Kugelflächen . . . . F . L i p p i c h . F u n d a m e n t a l p u n k t e eines Systems centrirter Flächen . J . B L i s t i n g . U e b e r d a s Reflexionsprisma J . B . L i s t i n g . U e b e r das Huyghens'sche Ocular A . C a y l e y . A „ S m i t h ' s P r i z e " paper. 1871. Question 4 A . H o c h h e i m . P r o b l e m aus der Optik B . T o w n s e n d . Solution of a question C. A l b r i e h H a r m o n i s c h e Beziehungen bei der Reflexion und B r e c h u n g des Lichta J . K u d e l k a . E i n f ü h r u n g der sphärischen Trigonometrie in die Optik Z. W c s e l y . Photometrische Probleme G. F . W . B a h r . S u r le mouvement de l'oeil C a p i t e l 3.

502

511 511 511 511 512 513 514 515 518 518 520 522 522 522 523 523 524 524 525 525 525 525

Elektricität und Magnetismus.

W . W e b e r . Electrodynamische Maassbestimmungen J . B e r t r a n d . T h é o r i e mathématique de l'électricité dynamique . . Em. W e y r . F e r n w i r k u n g elektrischer Solenoide . . . P . F r o s t . Electrodynamics Th. K ö t t e r i t z s c h . Lösung des allgemeinen elektrostatischen Problems P. G o d t . VertheihiDg der Eloktricität auf einem von 2 Kugelcalotten begrenzten K ö r p e r

526 526 527 528 523 529

XXX

Inhaltsverzeichnisse Seile

W . v. B e z o l d . Der Elektrophor 6. Quincke. Elektrolyse and Elektricitätsleitung durch Flüssigkeiten 0 . F r ö l i c h . Das Electrodynamometer F . Ko h l r a u s ch. Das Weber'sche compensirte Magnetonieter . . . Waszmath. Arbeit des elektrischen Stromes beim Magnetisiren eines Eisenstabes A. C a z i n . Méthode pour mesurer le magnétisme . K ü l p . Magnetische Untersuchungen C. M e n z z e r . Zusammenhang der Configuration des Landes mit der Lage der magnetischen Pole A. K u r z . Gauss' absolutes Maass der Intensität des Erdmagnetismus Hornstein. Abhängigkeit des Erdmagnetismus von der Rotation der Sonne C a p i t e l 4.

529 530 530 530 531 531 532 532 533 533

Wärme.

V. G h e r b u l i e z . Geschichtliches aus der mechanischen Wärmetheorie S. A u t e n h e i m e r . Aufgaben über mechanische Arbeit F. M a n n . Aus der Undnlationstheorie der Wärme Ch. B r i o t. Lehrbuch der mechanischen Wärmetheorie R. R ö n t g e n . Die Grundlehren der mechanischen Wärmetheorie . . R. C l a u s i u 8 . Zurückfährung des zweiten Hauptsatzes der Wärmetheorie auf mechanische Principien L. B o l t z m a n n . Zur Priorität der Auffindung der Beziehung . . . L. B o l t z m a n n . Ueber Wärmegleichgewicht L. B o l t z m a n n . Beweis des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie P f a u n d l e r . Grundgleichungen der dynamischen Gastheorie . . . . H. M o h r . Wärmeverhältniss bei constantem Druck und Volumen . H. R é s a l . Sur le calcul des volants des machines'à vapeur . • . H. R é s a l . Sur la théorie des vapeurs G. H a n s e m a n n . Ueber die innere Beschaffenheit der Gase . • . G. S c h m i d t . Theorie der Lehmann'schen calorischen Maschinen . J . B o u r g e t . Théorie des machines à air chaud A. J. v. O e t t i n g e n . Ueber das bei dem umkehrbaren Kreisprocess permanenter Gase zureichende Arbeitsquantum A. W i n e k l e r . Theorie der Dampfstrahlpumpen G. R e c k n a g e l . Das physikalische Verhalten der Kohlensäure . . J. M o n t i e r . Sur la chaleur dégagée par la dissolution des gaz . . E. L e c l e r t . Théorie de la machine à air P e r r i g a u l t . Force vive emmagasinée dans l'air comprimé . . . . Weilemann. Ueber die Beziehungen zwischen Barometerstand, Temperatur und Höhe in der Atmosphäre E. M a t h i e u . Sur l'intégration des équations aux différences partielles H. W e b e r . Ueber ein Problem der Wärmetheorie O. F r ö l i c h . Verbesserungen am Pouillet'schen Pyrheliometer . • . 0 . F r ö l i c h . Zur Theorie der Erdtemperatur H. W i l d . Ueber Temperaturcompensation des Wagebarometers . . F . Z ö l l n e r . Einfluss der Dichtigkeit und Temperatur auf die Spectra glühender Gase F. R o t h . Verschiedenheit der Erwärmung der nördlichen und südlichen Erdhälfte

533 533 533 534 534 534 534 536 537 538 538 539 539 539 539 539 540 541 541 541 541 542 542 542 542 543 543 544 544 54!">

Inhaltsverzeichniss.

XXXI Seite

Zwölfter Abschnitt.

Geodäsie und Astronomie.

C a p i t e l 1.

Geodäsie.

f P . B a u e r . Lehrbach der oiederen Geodäsie J. V o r l ä n d e r . Anleitung zum Feldmessen J. H. F r a n k o . Die Dreiecksnetze vierter Ordnung A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 13 C. M. B a u e r n f e i n d . Mechanische Lösung der Pothenot'schcn Aufgabe and Apparat dazu L. C o r n e b o i s . Deux questions à l'arpentage E. L a S a u b i e . Formule générale, pour passer des angles magnétiques aux angles des côtés d'un polygone A n d r e s . Berechnung geodätischer Coordinaten W . J o r d a n , lieber das Einschalten eines trigonometrischen Punktes in ein N e t z W. J o r d a n . U e b e r . d i e Genauigkeit einfacher geodätischer Operationen T . V i l l a r c e a u . Détermination de la vraie figure de la Terre . . C o m b e s . Sur le planimètre de Amsler G a p i t e 1 2.

546 546 546 547 547 547 547 547 548 549 549 550

Astronomie.

H. Z i r n d o r f er. Mathematische Geographie F. B r i i n n o w . Lehrbach der sphärischen Astronomie J. F r i s c h a u f . Grundriss der theoretischen Astronomie P e t e r s . Astronomische Tafeln und Formeln G. D. E. W e y e r . Vorlesungen über nautische Astronomie . . . . V . F u s s und M. N y r é n . Bestimmung einer Längendifierenz . . . A. H a l l . T h e coordinates of a celestial body B o s a u q u e t . On Lambert's theorem A. C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. 1871. Question 12 A . de G a s p a r i s . Calcai des orbites des étoiles doubles H. G y l d é n . Studien auf dem Gebiete der Störungstheorie . . . . S. N e w c o m b . Théorie des perturbations de la Lune N. G a r b i c h . Berechnung von Sonnenfinsternissen Ch. A n d r é . Sur la parallaxe du soleil H o n z e a u . D'un moyen de mesurer la distance des centres da Soleil et de Vénus P. A. B a n s e n . Bestimmung der Figur des Mondes Ch. D e l a u n a y . Sur l'équation séculaire de la Lune W. L i g o w s k i . Rédaction der Monddistanzen F. Z ö l l n e r . Ueber das Rotationsgesetz der Sonne and der Planeten F. H o za. Graphische Bestimmung der Tages- and Nachtlänge . . W. L i g o w s k i . Bestimmung von Breite und Zeit aus zwei Sternen W. L i g o w s k i . Berechnung der Entfernungen auf S e e H a s s e n s t e i n . Bestimmung der Entfernungen von Schiffen auf S e e II. G y l d é n . Einfluss von Aenderungen der Rotationsaxe auf das Meeresniveaa Ly. v. P f e i l . Strahlenbrechung in der Atmosphäre der Planeten . . | E. R e y m a n n . Höhenbestimmung der Sternschnuppen G. S c h u b r i n g . Immerwährender Kalender

551 551 551 552 552 552 553 553 553 553 554 555 558 558 559 559 562 562 562 562 563 563 563 564 564 564 564

XXXII

Inhaltsverzeichnis». Seile

A n h a n g . G. G r e e n . Mathematical papers O. N e u m a n n . Repetitorium der Rlementar-Mathematik E . H. L i e r s e m a n n . Arithmetik and Algebra Meier H i r s c h . Aufgabensammlung W. G a l l ns. Zins- und Prämienberechnung Tafeln Ton S a n g , B r e m i k e r , P e i r c e , F r i s c h a u f , Clonth, S t ü r m e r , Kayser, St.-Robert

Dunham,

565 566 566 566 566 567

Verzeichniss der Herren, welche für den dritten Band Referate geliefert haben. (Die Verantwortlichkeit fär den lohalt tragen die Herren Beferenten. Di« in Klammern gesetzten Chiffern bezeichnen die Uebersetzer der in fremder Sprache eingesandten Referate).

Herr Dr. A u g u s t in Berlin. Dr. B r u n s in Dorpat. Prof. J. Casey in Kingstown-Dublin. Prof. Cayley in Cambridge. - Prof. Clebsch in Göttingen, (f). Prof. G l a i s h e r in Cambridge. Dr. H a m b u r g e r in Berlin. P. C. V. H a n s e n in Kopenhagen. Prof. H e n r i c i in London. Prof. H o p p e in Berlin. Dr. H ü t t xn Brandenburg a. H. Prof. J u n g in Mailand. Prof. Klein in Erlangen. Prof. K o r k ine in Petersburg. Dr. K r e t s c h m e r in Posen Prof. Lie in Ghristiania. Prof. Mansion in Gent. Prof. A. Mayer in Leipzig. Dr. Maynz in Ludwigslust. Dr. Felix Müller in Berlin. Dr. N e t t o in Berlin. Prof. C. Neumann in Leipzig. Dr. Ober beck in Berlin. Dr. O h r t m a n n in Berlin. Dr. P a n t z e r b i e t e r in Berlin. Dr. S c h o l z in Berlin. Dr. S c h u b e r t in Hildesheim. Dr. S c h u m a n n in Berlin. Prof. S t o l z in Innsbruck. - Dr. T e i c h e r t in Freienwalde a. 0 . (f). Dr. W a n g e r i n in Berlin. Dr. W i t t s t e i n in Leipzig. Prof. Zolotareff in Petersburg.

A. B. Csy. Cly. Cl. Glr. Hr. Hn. Hi. H. Ht. Jg. Kln. Ke. K. L. Mn. Mr. Mz. M. No. Nn. Ok. 0. Pr. Schz. Seht. Sehn. St. T. Wn. Wtn. Z.

Briefe und Zusendungen erbitten wir entweder durch Vermittelung der Verlagshandlung oder unter der Adresse: Dr. Carl O h r t m a n n , Berlin SW., Markgrafenstr. 78. III.

F o r t s c h r . d. Math

III. 3.

0

XXXIV

Berichtigungen.

S. 10, Z. 2 v. o. lies: XVI. statt: XV. 8. 89, Z. 8 v- o. lies: „Der Verfasser schätzt jedoch mehr die Anwendbarkeit seiner Arbeit, als er deren Beurtheilunp vom theoretischen Gesichtspnnkte wünscht. Doch..." statt: „Da j e d o c h . . . wünscht, so . . . " S. 106, Z. 2 Y. u. lieB: 105-106 statt: 36-47. S. 114, Z. 6 v. o. einzuschalten nach dem Worte Princip: „der Grtuzen, entwickelt aber vorher das Princip . . . " S. 127, Z. 6 •. u. lies: F. Chiö statt: J . Cbiö. S. 133, Z. 12 v.o. lies: Am statt: A">. S. 166, Z. 1 v. o. lies: C. Jordan statt: B. Jordan. S. 284, Z. 9 •. n. lies: Clebsch Ann. IV. statt: Clebsch Ann III. S. 397, Z. 3 v. n. lies: Doppelter Kegelschnitt statt: coniBcher Kniten. S. 401, Z. 1 v. o. HOB: „der sechs gegebene Gerade berührt." statt: „der durch sechs gegebene Gerade geht." Im 2. Bande des Jahrbuchs p. 592 ist eine Arbeit fälschlich Herrn C a t a l a n Angeschrieben, die von Herrn Ph. G i l b e r t herrührt. Ret.

Erster Abschnitt. Geschichte lind Philosophie. Capitel 1. Geschichte. C.

Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, ein historischer Versuch. Leipzig A.

BRETSCHNEIDER.

1870.

Ree. 7. Friedlein.

Hoffmann Z. II. 341-348.

Siehe Fortsei»-, d. Math. II. 1 - 2 . G . FRIEDLEIN. De Heronis Boncompagni Bull. I V . 93-121. B.

BONCOMPAGNI.

Alessandrino.

quae fercmtur definitionibus.

Intorno alle definizione di Erone

Boncompagni Bull. IV. 122—1*26.

Giunte e cor-

r e z i o n i : ib. 512.

Herr

Friedlein

hat

die

in

der

Schrift von F .

Hultsch:

Heronis Alexandrini geometiicorum et stereonietrieorum reliquiae, Berlin, 1864, p. 1 - 4 0 gegebenen Definitionen (Heronis definition e s Dominum geometriae) in ihrer alten Form wiederherzustellen versucht u n d sie mit lateinischer Uebersctzung liier im Bulletino veröffentlicht.

Der Verfasser weist an einigen besonders hervor-

g e h o b e n e n P a r a g r a p h e n n a c h , d a s s diese Definitionen nicht d a s W e r k eines so bedeutenden Geistes sind, wie llero von Alexandrien war,

dass sie ihm also

wohl mit Unrecht

zugeschrieben

w e r d e n . — H e r r Boncompagni fllgt dieser Arbeit ein Verzeichniss d e r A u s g a b e n der Definitionen des Hcro h i n z u , die sich in v e r s c h i e d e n e n Bibliotheken finden, Fortschr. d. Math. III. 1,

M. \

I. Abschnitt.

2 G.

Geschichte und Philosophie.

Untersuchung

FRIEDLEIN.

t i o n e n Hero's.

cler s o g e n a n n t e n Defini-

Hoffmann Z. II. 173-191. 277-291.

Eine detaillirte Textkritik, die im Einzelnen Interesse darbietet, sich jedoch nicht in der Kürze wiedergeben lässt. H. H.

MARTIN. P t o l e i n é e , auteur de l'optique, traduit e n latin par Amme'ratus E u g e n i u s S i c u l u s sur u n e traduction arabe incomplète, est il le m ê m e q u e Claude P t o l é m é e , auteur de l ' A h n a g e s t e ? Boncompagni Bull. iv\ 464-469.

Der Verfasser bejaht die im Titel aufgestellte Frage entschieden. Die positiven Gründe werden kurz dahin angegeben, dass es nur einen einzigen griechischen Autor dieses Namens gegeben habe, der Uber Mathematik geschrieben. Die von Coussin gegen diese Annahme angeführten Gründe werden dann ausführlich widerlegt. 0. B.

BONCOMPAGNI.

Intorno ad un a traduzione l a t i n a dell'

ottica di T o l o m e o . BoncompagDi Bull. IV. 470-492. Von der Optik des Ptolcmiius in fünf Büchern sind das zweite, dritte, vierte und das fünfte theilweise in einer lateinischen Uebersetzung auf uns gekommen, die jener bereits oben genannte Ammiratus Eugenius Siculus aus dem Arabischen angefertigt hat. Von dieser lateinischen Uebersetzung existiren dreizehn Manuscripte. Die Notiz enthält Nachrichten über dieselben und fügt einige Bemerkungen hinzu, die sich auf das Bekanntsein derselben bei verschiedenen mathematischen Autoren beziehen. 0. H.

MARTIN.

Sur les instruments

d'optique

faussement

attribués a u x anciens par quelques s a v a n t s m o d e r n e s . Boncompagni Bull. IY. 165-238.

Der Verfasser unterwirft die Frage, ob den Griechen und Römern eine Anzahl optischer Instrumente, wie Brillen, Lupen,

Capitel 1.

Geschichte.

3

Mikroskope bereits bekannt gewesen seien, einer erneuten Untersuchung. Indem die für die Bejahung gebrachten Beweise kritisirt und sodann die Stellen, die einen directen Beweis gegen die Bejahung enthalten, geprüft werden, gelangt Herr Martin dazu, die Bekanntschaft der Alten mit diesen Instrumenten auf das Entschiedenste zu verneinen. Diese Untersuchung giebt zugleich Anlass, einige Punkte in der Geschichte der Optik zu erläutern. 0.

J.

BKRTRAND ET

M.

CHASLES.

d'Aboul-Wéfá. c. R. 889-890, 932-934.

Sur la the'orie de la luiie

LXXIII. 581-589, 637-647, 765-766, 805-808,

J. des Sav. 1871. 457-474.

Herr Bertrand hatte in der ersten Arbeit seihe Ansichten über die Entdeckung der dritten Ungleichheit des Mondes, der Variation, durch den arabischen Astronomen Aboul-Wéfa dahin ausgesprochen, dass ihm der Ruhm derselben nicht gebühre. Er begründet diese Ansicht durch Mittheilung einer Uebersetzung des uns bekannten Bruchstückes der Astronomie desselben. Herr Chasles tritt dieser Ansicht entgegen und beharrt auf seiner bereits früher ausgesprochenen Meinung vom Gegentheil. Die folgenden Noten enthalten gegenseitige Erwiderungen der Herren Bertrand und Chasles über denselben Gegenstand. 0.

L. Am. SEDILLOT. Des savants arabes et des savants d'aujourd'hui a propos de quelques reotifications. Boncompagni Bull. IV, 401-418.

Die Arbeit ist voll von persönlichen Bemerkungen gegen die Herren Bertrand und Martin. Sachlich wendet sich dieselbe gegen die von Herrn Bertrand über Aboul-Wéfó vertretene Ansicht, gegen die Notiz Martin's, die im II. Bde. dieses Jahrbuches p. 17 besprochen ist, und einige sonstige von Herrn Martin aufgestellte Behauptungen. 0. T H . H . MARTIN. Quelques Boncompagni Bull. IV. 464-466.

mots de réponse k M. Sedillot.

Kurze Erwiderung auf die persönlichen Angriffe des Herrn Sédillot. 0.

I. Abschnitt.

4

E . NARDUCCI.

Geschichte und Philosophie.

Intorno ad una traduzione italiana, fatta

nel secolo décimo quarto del trattato d'ottica d'Alhazen, matemático del secolo undécimo e ad altri lavori di questo scienziato.

Boncompagni Bull. I V . 1-48. 137-139.

Die Arbeit enthält Nachrichten Uber ein Manuscript der Vatikanischen Bibliothek, das eine italienische Uebersetzung der Optik des Alhazen, eines arabischen Mathematikers aus dem elften Jahrhundert, enthält.

Die Uebersetzung stammt aus dem

vierzehnten Jahrhundert und wird mit einer lateinischen desselben Werkes verglichen. getheilt.

Aus beiden werden Bruchstücke mit-

Zugleich finden sich noch Notizen Uber andere Arbeiten

des Alhazen eingestreut. 0. M. STEINSCHNEIDER.

Z u m Speculum astronomicum

des

Albertus Magnus, über die darin aufgeführten Schriftsteller und Schriften. Schlömilch z. XVI. 357-396. Die vorliegende Arbeit enthält Notizen und Nachrichten über Schriften, die im „Speculum astronomicum'' des Albertus Magnus (+ 1280) vorkommen, und deren Verfasser.

Sie sollen

einer

neuen Ausgabe dieses Werkes durch Herrn Jesser in Eldena zur Vervollständigung dienen und beziehen sich meist auf arabische Autoren. 0. M . CURTZE.

Sur l'orthographie du nom et sur la patrie

de Witelo (Vitellion). Herr Curtze

Boncompagni Bull. I V . 49-77.

weist durch

Vergleichung

der

Manuscripte,

welche von dem optischen Werke: „Perspectiva" des Witelo aus dem 13ten Jahrhundert existiren, nach, dass die richtige Schreibweise „Witelo" sei. wenn er

Seiner Abstammung nach sei er Deutscher,

sich auch Filius Thuringorum et Polonorum

Am Schluss findet sich der Abdruck

nenne.

des Artikels über Witelo

ans B. Baldi: Vite de' Matematici. 0.

Capitel 1.

5

Geschichte.

Intorno ad un manoscritto dell' ottica di Vitellione citato da Fra Luca Pacioli. Boocompagoi

B . BONCOMPAGNI. Bull. IV. 78-81.

Herr Boncompagni bemerkt, dass der Mathematiker Fra Luca Pacioli da Borgo San Sepolcro dell' Ordine de' Minori aus dem fünfzehnten Jahrhundert in seinem Werke: „Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita' 1 eines Manuscripte8 der Optik des Witelo ermähnt, welches sich in der Bibliothek des Conrents ci San Marco de' Padri Domenicani di Firenze (dem Publikum durch Cosimo von Medici eröffnet) befunden habe. Dies ist wahrscheinlich identisch mit einem der von Herrn Gurtze verglichenen Manuscripte. 0.

F.

Intorno ad un commento di Benedetto Vittori, medico Faentino, al tractatus proportionum di Alberto di Sassonia. Boncompagni Bull. IY. 493-497. JACOLI.

Dem Verfasser der obigen Notiz ist ein Exemplar des Tractatus proportionum des Alberto di Sassonia bekannt geworden, das einen Commentar des Benedictus Victorius zu demselben enthält. Die Notiz bringt Nachrichten über das Werk selbst, wie auch kurze Bemerkungen über den Commentator, der in der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts zu Padua und Bologna gelebt hat. 0. B.

BONCOMPAGNI. Intorno al tractatus proportionum di Alberto di Sassonia. Boucompagni Bull. iv. 498-511.

Die Arbeit enthält Notizen Uber die zehn verschiedenen Ausgaben, welche von dem im Titel erwähnten Werke existiren, und Nachrichten Uber die vorhandenen Exemplare desselben. 0. G.

FRIEDLEIN. XVI. 42-79.

Der Calculus des Victorius.

Schlömilch

z.

Die Arbeit enthält Untersuchungen Uber den Calculus des Victorius aus Aquitanisn, der in der ersten Hälfte des fünften

6

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Jahrhunderts verfasst worden ist, nach Vergleichung dreier Handschriften aus Basel, Bern und Bamberg. Dieser Calculus besteht aus Tafeln, die zur Erleichterung des Rechnens, namentlich mit Brttchen, bestimmt sind. Die Untersuchungen beziehen sich auf den Verfasser, der zweifellos Victorius aus Aquitanien ist, und namentlich darauf, wie viele der Tafeln von Victorius selbst, und wie viele von Anderen herrühren. Nach Herrn Friedlein sind nur die Rechentabellen 1 - 9 8 dem Victorius selbst zuzuschreiben, während die folgenden nach Form und Inhalt von Andern angefügt sind. Zum Schluss giebt Herr Friedlein einen Ueberblick ttber die Varianten in den drei Handschriften. 0. G.

FRIEDLEIN.

Victorii

Calculus.

Boncompagni

Bull.

iv.

443-469.

Der Verfasser publicirt den Calculus des Victorius nebst der Präfatio hier noch einmal nach neuen Handschriften, die ihm durch Herrn Boncompagni aus der Vatikanischen Bibliothek zugegangen waren. 0. G . 'FRIEDLEIN.

Nachtrag

zu

Seite

58-61.

Schlömilch

z.

X V I . 253-254.

Notiz über drei Handschriften der Präfatio zum Calculus des Victorius, die Hrn. Friedlein später durch Hrn. Boncompagni zugegangen sind. 0. S.

Einige Beiträge zur Geschichte der mathematischen Facultät der alten Universität Bologna. Deutsch von M. Curtze. Grunert Arch. LH. 6 5 - 2 0 4 , auch GHERARDI.

Berlin, Calvary.

Uebersetzung einer von Herrn Gherardi 1844 im Institut zu Bologna gehaltenen Rede, die in den Annali delle Scienze Naturali di Bologna (2) V. 241-368 1846, gedruckt erschienen ist. Es werden hier die beiden ersten von den sechs Epochen, in die der Verfasser die Geschichte der mathematischen Facultät zu Bologna theilt, behandelt. Die erste Epoche knüpft sich an

Capitel 1.

Geschichte.

7

den N a m e n Francesco di Simone Stabiii, genannt Cecco d'Ascoli, der von 1322 bis 1327 in Bologna Astrologie lehrte.

D i e zweite

Epoche ist bezeichnet durch die Namen Domenico Maria Novara, den

Lehrer

des Copernicus,

und Scipione

Ferro,

den

ersten

Löser der cubischen Gleichungen, welcher von 149G bis 152G die Professur der Mathematik innc hatte.

Der letztere

wird

seiner Prioritätsansprüche in Beziehung aut' die Lösung bischen Gleichungen, die man sonst wohl Cardan pflegt,

mit

besonderer

dieser Priorität,

Ausführlichkeit

sowie

der Streit,

der cu-

zuzuschreiben

behandelt.

der sich

wegen

Der

Punkt

hinsichtlich

dieser

Lösung zwischen Cardan und Ferrari einerseits, Tartaglia andererseits entspann, wird durch Beibringung

von Stellen und D o -

cumenten nach allen Seiten hin beleuchtet.

Herr Gherardi kommt

zu dem Schlüsse,

zuerst g e f u n d e n ,

dass Ferro die Lösung

sie

aber nur bandschriftlich in einem W e r k e niedergelegt habe, das durch Vermittelung

seines Schwiegersohnes und N a c h f o l g e r s im

Amte, Annibale del N a v a l e , zur Kenntniss Cardan's und Ferrari's g e k o m m e n sei, bereits 3 Jahre früher als diese die A r s

Magna

veröffentlichten. V o m Uebersetzer 1) Capitel Auflösung x*+px an

der

angefügt:

welches Tartaglia dem Cardan

Gleichungen

dritten

Grades

von

der

zur

Form

mitgetheilt hat; 2) ein Schreiben des Hrn. Gherardi

=+q

Herrn

sind dieser Arbeit im Anhange

in T e r z a R i m a ,

Grasselini

Ludovico Ferrari;

über

das

Leben

und

die

Arbeiten

des

3 ) Notizen Uber N o v a r a , die bereits im zwei-

ten Bande dieses Jahrbuchs p. 7-8 besprochen w o r d e n sind. 0.

M. CURTZE. Sopra alcuni scritti stampati, finora non conosciuti, di Domenico Maria Novara da Ferrara. Boncompagni Ball. I V . 140-148.

M. CURTZE. stampati,

Ulteriori finora

non

N o v a r a da Fer l'ara. Uebersetzungen nen Arbeiten.

notizie intorno

ad alcuni scritti

conosciuti di

Domenico Maria

Boucompagui Bull. TV. 149.

der in diesem Jahrb. II. 7 u. 8 besproche-

I. Abschnitt..

è

B.

Geschichte nnd Philosophie.

Eine fernere Notiz darüber giebt: Intorno ad un opusculo di Domenico Maria Novara. Boncompagni Bull. IV. 340 u. 341. M. BONCOMPAGNI.

M. STEINSCHNEIDER.

Copernicus.

Schlömilch

z. x v i 252-253.

Die Notiz enthält die Uebersetzung eines Urtheila über Copernicus, welches sich in dem hebräischen Werke „Nechmad Wenaiin" des Astronomen David Gans (geb. 1541 zu Lippstadt, gest. Iö23 zu Prag) findet. Dasselbe ist 1743 zu Jessnitz erschienen. 0. M. CANTOR. Recensionen über Wohlwill: Der Inquisitionsprocess des Galileo Galilei; und S. Gherardi: II processo Galilei. Schlömilch z. x v i . Lit z. 1-8. Zusammenstellung des Gedankenganges, der in den beiden Schriften (siehe Fortschr. d. M. II. p. 11.) hinsichtlich des Processes Galilei's enthalten ist. Durch Prüfung beider Schriften, die auf verschiedenen Wegen zu demselben Resultate gelangen, kommt Herr Cantor dazu, ihrer Ansicht beizustimmen, dass nämlich das Protokoll, auf Grund dessen Galilei verurtheilt worden ist, gefälscht sei. O. A. D.

WACKERBARTH.

garithmes népériens.

Logarithmes hyperboliques et loMondes (2)

XXVI.

626-627

[Monthly

Notices).

Die natürlichen Logarithmen (log c ) sind von den Napier'schen (log/v) verschieden. Denn Napier definirte die Logarithmen so : Ein Punkt p bewege sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit von a aus auf der unbegrenzten Geraden ab. Gleichzeitig bewege sich ein Punkt P von A aus auf der begrenzten Geraden AB mit einer Geschwindigkeit proportional PB; dann ist die Linie ab der Logarithmus von PB. Dies giebt, wenn man die Napier'schen Constanten benutzt: lo g i V « = 10Mog e

W n

Capitel 1.

9

Geschichte.

D. G. Anmärkningar beträffende benämningen, naturlig, hyperbolsk, och Nepersk logaritm. Dillner Tidsskr. IV. 28.

Der Verfasser zeigt, dass es ungenau sei, die Ausdrucke „Napier'sche Logarithmen" und ,,natürliche Logarithmen'' als synonym zu betrachten, indem er sich auf die von Napier selbst gegebene Definition bezieht. Hn. (0). R

WOLF.

Zur Geschichte der Röhrenlibelle.

Wolf J.

XVI. 49-51.

Mittheilung der Resultate aus den Nachforschungen des Herrn Govi über den Erfinder der Röhrenlibelle. Siehe Fortschr. d. M. II. 15 u. 16. 0. E. CATALAN.

Sur un article du Journal des Savants.

Boncompagni Bull. IV. 127-134.

Eine Antikritik des von H. J. Bertrand im Journal des Savants 593-607, 1871, veröffentlichten Artikels über die drei ersten Bände des Boncompagni'schen Bulletins. Herr Catalan weist die Ausschreitungen des Herrn Bertrand in seiner Besprechung gewisser im Bulletino enthalteneu Aufsätze mit gerechtfertigter Entrüstung zurUck. Herr B. hatte u. a. behauptet, das Fundamentalfheorem Brasseurs (Mem. de Belg. XXIX, 149) sei absurd. Herr Catalan zeigt, wie man dieses Theorem zu verstehen habe, um seine fundamentale Bedeutung zu erkennen. M. F. W . HULTMANN.

Svenska aritmetikeus historia.

Dillner Tidsskr. IV. 5. 97.

Fortsetzung einer früheren Arbeit. p. 15. L.

OPPERMANN. I. 94.

S. Fortschr. d. M. II. Hn. (0.)

Augustus d e Morgan. Zeuthen Tidsskr. (3)

Nekrolog dieses Gelehrten. Hn. (0.)

10

I. Abschnitt.

A . CLEBSCH. Z u m Gött. Abh. XVI".

Geschichte und Philosophie.

Gedächtniss

an J u l i u s

Plücker.

Der Verfasser hat sich eine Schilderung der mathematischen Thätigkeit Plücker's zur Aufgabe gestellt. Es ist bekannt, wie sich dieselbe auf zwei Perioden virtheilt, von denen die eine fast noch der heutigen Zeit angehört, während die andere in j e n e Epoche zurückgeht, in welcher die neuere Geometrie zuerst ihren mächtigen Aufschwung nahm. Die auf die letztere Periode. bezüglichen Arbeiten Plücker's werden im Vergleiche mit den gleichzeitigen Arbeiten von Poncelet, Moebius, Steiner dargestellt: Die erweiterte Auffassung der Coordinaten, des Raumelementes, die Sätze Uber Schnittpunktsysteme, die Formeln für die Singularitäten algebraischer C'urven, die Methode des Constantenzählens etc. werden nach ihrer historischen E n t w i c k l u n g besprochen. Hinsichtlich der neueren Arbeiten Plücker's glaubte der Verfasser besonders zurückverfolgen zu sollen, welche Erscheinungen der mathematischen Literatur allmälig zu dem hingedrängt haben, was wir nach Plücker's letztem grossen W e r k e als selbständige Disciplin auffassen und als Liniengeometrie bezeichnen. — Am Schlüsse ist eine kurze Note von Herrn Hittorf über Plücker's physikalische Thätigkeit und ein Verzeichniss von Plücker's Schriften zugefügt. Cl. A. DHONKE.

Julius Plücker.

Bonn, Marcus.

Dem Verfasser waren von der Familie Plücker's die Papiere des Verstorbenen behufs Schilderung seines Lebens und Wirkens Ubergeben worden. In vorliegender Schrift entledigt sich derselbe dieser Aufgabe, indem er kurz den äusseren Lebensgang, eingehender die wissenschaftliche Entwickelung des grossen Geometers schildert, Angefügt ist ein Verzeichniss der Arbeiten Plücker's. Julius Pliicker, geb. d. Iii. Juli 1 SO 1 in Elberfeld, besuchte das Gymnasiuni in Düsseldorf, studirte in Bonn, Berlin, Heidelberg und ging 1324 nach Paris. 182f> Privatdocent in Bonn, 1829 ausserordentlicher Professor ebenda, von 1833 a n in Berlin, 1834 ordentlicher Professor in Halle und seit 1836 in

Capitel 1.

11

Geschichte.

Bonn, wo er am 22. Mai 1868 starb.

Siehe auch das vorste-

hende Referat.

A.

0.

Notizie intorno alla vita ed agli scritti lli Feiice Cllin. Kmicompagni Bull. IV. 363-380

Ciexocchi.

B. BüNCOMPAfjxi. Catalogo dei lavori di Feiice Chiö. Bomcompagni Bull. IV. 381-400.

Feiice Chiö, geb. d. 29. April 1813 in Crescentino, einer kleinen Stadt in Piemont, studirte in Turin. 1838 Lehrer an der Militair-Akademie daselbst, 1839 Professor an der dortigen Universität, stirbt er den 28. Mai 1871 in Turin. — Im Text seihst sowohl wie in begleitenden Noten finden sieh nähere Angaben Uber die Hauptarbeiten des italienischen Gelehrten. In dem zweiten Aufsatze findet sich ein ausführliches Verzeichniss der gedruckten, sowie auch Notizen Uber unedirte Arbeiten von Chiö. 0. V . C h e r b u l i e z . Geschichtliche Mittheilungen aus dem Ge-

biete der mechanischen Wärmetheorie.

Beru.

Mitth.

1871.

291-325.

Die Arbeit enthält ausführliche Mittheilungen über die Werke der Gelehrten des 17. Jahrhunderts, die zuerst die Wärme durch Bewegung, ohne Annahme eines besonderen Wärmestoffes, zu erklären sachten. Es sind dies: Jakob Hermann (1678-1733, Basel), ein Schuler Daniel Bernoulli's I., der seine Ansichten in der „Phoronomia sive de Viribus et Motibus corporniu solidorum et fluidorum libri duo". Amstel. 1716, niedergelegt hat. Ferner hat Euler diese Ansicht von der Wärme vertreten in der Arbeit: „Tentamen explicationis phaenornenorum aeris". Comm. Acad. Petropol. II., 347. 1727. Endlich folgte Daniel Bernoulli I. i n d e m Werke: „Hydrodyuaniica. Sectio deeima, 200. De affectionibus atque motibus fluidorum elasticorum, preeipue autem aeris" (s. auch Pogg. Ann. CVII. p. 490-494, wo sich eine deutsche Uebersetzung der sechs ersten Paragraphen findet). Die Arbeit eines vierten Gelehrten, Lesage (1724-1803), die hierher gehört hätte,

I. Abschnitt.

12

Geschichte und Philosophie.

hat der Verfasser nicht besprechen können, da ihm die Literatur nicht zugänglich war. 0.

V. C H E R B U L I E Z . Geschichtliche Uebersicht der Untersuchungen über die Schallfortpflanzungsgeschwindigkeit in der Luft. Bern. Mitth. 1871. 1-28. Der vorliegende zweite Theil der Arbeit bespricht die Forschungen in der ersten Hälfte des 18ten Jahrhunderts. Speciell werden die Arbeiten von Euler, Lagrange, Lambert und Biot ausführlicher behandelt. Von anderen Autoren, die in der Arbeit erwähnt werden, finden sich Wünsch, Chladni und Fischer. 0. A,

WITTSTEIN. München.

Geschichte des Malfatti'schen Problems.

Schurich.

Die Einleitung giebt das Problem, wie es von Malfatti aufgestellt worden ist, und bespricht die von ihm gegebene Lösung. Nachdem sodann im ersten Abschnitt die algebraischen und trigonometrischen Lösungen von Gergonne, Lavernède, Tédenot, Lehmus, Grelle, Grunert, Scheffler, Schellbach, Cayley und Zorer besprochen worden sind, wendet sich der Verfasser zu der Lösung Steiner's und unterzieht die für die Richtigkeit derselben gegebenen Beweise von Adams, Zornow, Plücker, Quidde und Binder einer eingehenden Kritik. Daran schliesst sich eine Besprechung der Steiner'schen Erweiterung der Aufgabe auf den Raum und der Arbeiten von Schellbach, Cayley und Clebsch Uber diesen Gegenstand. 0.

M.

CHASLES. Paris.

Rapport sur les progrès de la géométrie.

Imprimerie nationale.

1870.

Eine Ankündigung dieses Werkes Uber die Fortschritte der Geometrie findet sich in Darboux Bull. II, 7 u. 8. Ein Referat über das Werk folgt später. M.

J . W. L.

GLAISHER.

Review of Mr. Sang's logarithms.

Messenger (2) I. 77-80.

Enthält eine kurze Geschichte der Logarithmen und einige Bemerkungen Uber Logarithmentafeln. Glr. (0.)

Capitel 2.

13

Philosophie.

Capitel 2.

Philosophie. A.

CAYLEY.

Note on the calculas of logic.

Quart. J.

xi.

282-283.

Versuch, der Theorie der Syllogismen eine concisere und compendiösere Form zu geben, als dies in Boole's: „The calcultis of logic", Cambr. und Dubl. M. J. III. (1848) p. 183-198, geschehen ist. Cly. (0.)

Ueber Kant's mathematisches Vorurtheil und dessen Folgen. W i e n . Ber. L X V l l . hist. phil.

R . ZIMMERMANN. A b t h . 7-49.

Der Verfasser unterwirft den Kant'schen Satz: ,,dass die mathematischen Urtheile durchaus synthetischer Natur seien", und die von Kant dafür gegebenen Beweise einer Kritik, die ihn dazu führt, den Satz für unrichtig zu erklären, weshalb er ihn Kant's mathematisches Vorurtheil nennt. Der sonstige Inhalt der Arbeit gehört nicht in den Bereich dieses Jahrbuches. 0. A.

TRANSON.

Sur l'emploi de l'infini en mathématiques.

C. R. L X X I I I . 3 6 7 - 3 6 9 .

Der Verfasser will zunächst das mathematische Infini vom metaphysischen unterschieden wissen: es sei nur ein Indéfini, blos mit der Bestimmung, über alle Grössen hinaus zu wachsen. Mit dieser Benennung charakterisirt er das mathematische Unendliche als eine Variable; wir pflegen jedoch eine Variable als solche aus gutem Grunde nicht unbestimmt zu nennen. Was aber die Unterscheidung vom metaphysischen Unendlichen betrifft, so bleibt er uns hier, wie durchgängig, die Angabe schuldig, was das letztere sei, in der stillschweigenden Voraussetzung, dass eine positive Idee eines absolut Unendlichen existire, während doch nur die Negation der Grenze ausgesprochen ist.

14

Abschnitt

Geschichte und Philosophie.

Das absolute Infini scheint dem Verfasser dem mathematischen Indéfini überall als Voraussetzung zu Grunde zu liegen. Er führt zuerst am Algorithmus aus, dass, wenn auch ersteres keine Grösse sei, es doch oft als Resultat gefordert würde, und nennt es eine Forderung der Vernunft, dass es existire. Indess ist es nur die Analogie, die er aufweist, und die er gleichsam getrieben von einem horror vacui fordert. In Betreff der Geometrie betrachtet er es nach gewohnter Anschauung als selbstverständlich, dass dem Denken specieller Figuren das Denken des unendlichen Raumes vorausgehen müsse. Hauptargument ist ihm indess die Notwendigkeit des Infini zu Beweisen, indem man bei Innehalten der successiven Stationen des Indéfini in unübersteigliche Schwierigkeiten gerathe. So hätten mittelst einer Betrachtung des Infini Arnauld in der Sorbonne und Bertrand in Genf den Parallelensatz bewiesen, aber keine Beachtung gefunden, weil der hier in Anwendung kommende Sinn des Infini nicht der gewöhnliche wäre. Bei dieser Gelegenheit erklärt er sich gegen die sogenannte imaginäre oder nicht euklidische Geometrie, welche durch jene Schwierigkeit hervorgerufen worden sei und die Geometrie zu einer experimentellen Wissenschaft machen wolle, und verspricht eine ausführliche Widerlegung derselben. Die vorgeblichen Beweise von Arnauld und Bertrand beruhen, wie aus der inzwischen erschienenen Schrift von Transon ersichtlich, auf der Definition des Winkels durçh den unendlichen Flächenraum zwischen seinen Schenkeln, und sind unter den illusorischen Beweisversuchen nicht eben unbekannt. Das Nähere wird Gegenstand des Berichts fUr 1872 sein. H.

Nota sul libro X I I di Euclide e sul trattato di Archimede relative» alla misura del circolo e de' COl-pi rotondi. ßattagliui G. IX. 122-125.

E . D'OVIDIO.

Der Verfasser bespricht zunächst die Art, in welcher Euclid die Proportioneu unabhängig von der Arithmetik behandelt, rühmt ihre Einfachheit, macht aber auf das Ungenügende derselben aufmerksam, dass sich nirgends eine Defiuition des Ver-

Capitel 2.

Philosophie.

15

hältnisses, sondern nur eine Definition der Gleichheit zweier Verhältnisse vorfindet. Ferner lässt die Euclidische Lehre vom zusammengesetzten Verhältnisse Vieles hinsichtlich der Klarheit und Strenge zu wünschen übrig. Der Verfasser verweist nun auf das von ihm und A. Sannia herausgegebene Buch: Elementi di Geometría, 2. Ausg. Neapel 1871, in welchem die angedeuteten Mängel beseitigt sind, ohne dass jedoch, wie bei Legendre, die Grundlehren der Arithmetik bereits vorausgesetzt werden; vielmehr erklärt er, einen Mittelweg zwischen dem Euclid'schen und Legendre'schen Wege eingeschlagen zu haben. Er giebt dann einige Principien ¡>n, mit deren Hülfe die Methode der Grenzen auf die Sätze des 12 ten Buches von Euclid und auf einige im Archimedischen Werke über die Ausmessung angewandt, und wobei die Beweisart durch das Absurde vermieden wird. Mz. ANONYMUS. COme l i b r o

Un cliscorso del Dr. Ilirst sopra Euclide d i testo. Battagliui G. I X . 180-187.

In der ersten Sitzung der „Association for the iinprovement of geometrical teaching" hielt der Präsident Dr. Hirst eine Eröffnungsrede, welche ihrem Hauptinhalte nach die Verbreitung des Buches von Euclid, als obligatorischen Leitfadens, die wegeil der Mängel dieses Buches dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft gegenüber von Autoritäten erhobenen Beschwerden bespricht und dann die Unzuträglichkeiten hervorhebt, welche beim Examiniren jüngerer Candidaten dadurch entstehen, dass es an einem den jetzigen Anforderungen entsprechenden, allgemein anerkannten Buche über die Grundlehren der Geometrie fehlt, und dass in Folge dessen die Examinanden j e nach der Wahl ihrer Lehrbücher in sehr verschiedener Weise zu ihrem Examen vorbereitet sind. Es folgt eine Debatte über die Mittel zur Abhülfe der angedeuteten Uebelstände, worauf 6 Kesolutionen gefasst werden, deren erste (die wichtigste) bezweckt, auf die Examinatoren einzuwirken, dass sie ihre Anforderungen an die Candidaten unabhängig von irgend einem besonderen Leitfaden stellen mögen. Mz.

16

I. Abschnitt.

Geschichte and Philosophie.

Sur le premier livre de la géométrie de Legendre à propos de quelques traités récents.

P . MANSION.

E e v u e de l'instruction publique XIII. 317-357. Gand. Hoste.

Siehe Abschn. VIII. Cap. I.

CIALA. Zu dem Aufsatze von J. Kober: „Geometrische Grundbegriffe". Hoffmann z. Ii 42-44. Der Aufsatz enthält nur einige lose verknüpfte Gedanken ohne Ausführung. Der Verfasser leitet die Geometrie aus der Naturbetrachtung ab und will die Kaumbegriffe mit den Naturkräften in Verbindung bringen. Hier geräth er in eine auch sonst nicht selten vorkommende Verwechselung oder Verschmelzung jener Kräfte mit den Antrieben des Geistes zur Begriffsbildung. So erklärt sich für ihn die Einfachheit der Idee der geraden Linien durch die vermeintliche Einfachheit der Kraft, welche die geradlinige Bewegung erzeuge. Als beispielsweiser Beleg, dass solche Meinungen wohl überwunden sein könnten, möge die Hinweisung auf eine Schrift von Mauritius (vgl. Fortsein-, d. Math. II. 31.) dienen. Hiernach ist nicht die Entstehung einfach, sondern nur das Resultat. H. J.

C. BECKER. Lehrbücher zur Einführung in die darstellende Geometrie. Hoffmann Z. II. 228-239.

BUTZ. Entgegnung hierauf und B e c k e r , Erwiderung. Hoffmann Z. II. 533-536.

Der erstere Artikel ist eine Kritik der Lehrbücher von Butz, Brennecke und Scherling. Im ersten wird der Grundsatz des Verfassers getadelt, welcher in die Eröffnung neuer Seiten der Auffassung deu Hauptwerth des mathematischen Unterrichts legt, und gezeigt, wie dadurch der Zweck des exaeten Lernens vereitelt wird. Das zweite bietet keinen Anlass zur Besprechung. In Betreff des dritten wird ausgeführt, dass die Lehre von der Affinität und Collinearität im Unterricht unnütz ist, wenn nicht der natürlichen und factischen Genesis gemäss die darstellende Geometrie als die Kunst von räumlichen Dingen Bilder zu geben

Capitel 2.

17

Philosophie.

zum Zwecke klarer Vorstellung und der Entnahme der Dimensionen aus den Bildern vorher gelehrt worden ist. Iu diesem Sinne steht offenbar „Kunst" nicht im Gegensatz zu „Wissenschaft". Die letzte Aeusserung bietet daher eine berichtigende Erläuterung zu einem in seiner Aufstellungsform sehr anfechtbaren Satze, der vereinzelt in der Kritik von Butz vorkommt. ..Nicht als Wissenschaft, sondern als Kunst muss die darstellende Geometrie vorgetragen werden." Hierin sieht nun Butz einen diametral entgegengesetzten Standpunkt gegen die auf deutschen Schulen geltenden Grundsätze. Becker, erklärt darauf das Missverständniss; doch dürfte es ihm wohl nicht gelungen sein, deu Satz dadurch zu rechtfertigen. H.

A. J. PICK. Mädler: Reden und Abbandlungen über Gegenstande der Himmelskunde. Hoffmann z. II. 239-248. Kritik einer von 25 gesammelten Abhandlungen: „Ueber Hiranielskunde als Lehrobject in Unterrichtsanstalten". Von principieller Bedeutung t'lir die Stellung mathematischer Erkenntniss n a c h aussen hin ist darin, dass der Verfasser der Ansicht Mädler's, es müsse von Anfang an die Kopernikanische "Weltanschauung gelehrt werden, entschieden entgegentritt, und vielmehr die Ptolemäische so lange als möglich festgehalten wissen will, damit der Schüler den Erkenntnissprocess wirklich durchmacht und nicht das Resultat als Dogma glaubt. Der terrestrische Gesichtskreis muss zuerst bekannt werden, sollte auch die E r d e als Planet auf den unteren Stufen des Unterrichts gar nicht an die Reihe kommen. H.

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 1.

Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen. A.

SONNENSCHEIN

of arithmetic.

a n d H.

A.

London.

Wbittaker.

Science

NESBITT.

a n d art Hi.

DAVID

MANN.

T h e o r y of a r i t h m e t i c .

B l a c k w o o d and S o n .

Hi. A.

DRONKH. Theil.

Halle.

Einleitung

in

Erster

Nebert.

Behandlung der Potenzen, G r a d e , Reihen, Pennutationen, schen Satzes,

die h ö h e r e A l g e b r a .

der Kettenbrilche,

Wurzeln,

Gleichungen

niederer

des binomischen und polynomiCongruenzen

und

der ersten

Eigenschaften ganzer algebraischer Functionen von reellen Variablen. E . SCHRÖDER. Ausdrücke.

No. Die

L'mfonnungsregeln

für

algebraische

H o f f m a n n Z. I I . 410-415.

Der Verfasser stellt sännntliche Coinbinationen der 7 algebraischen Operationen (iuol. Potenzirung nebst Inversen), an

Capitel 1.

Gleichungen.

19

3 Zahlen a, b, « vollzogen, auf, deren Resultat unabhängig von n ist. Die Anzahl beträgt 33. H. C. W . MERRIFIELD. A verification of t h e solution of a particular system of s i m u l t a n e o u s equations. Messenger Y.

206-207.

Es wird a posteriori bewiesen, dass

dem Gleicliungssystem: x

i Axt + Bx,-\

h^v = 0 \-Rxr = 0

A'-1 x, + B'-1 a?3 + • • • -f R a

r

= 0

genügen. W.

GIr. (0.) A démonstration tliat every équation lias Quart. J. XL 178-182.

WALTON.

a root.

Schreibt man f(u-\-iv) = P-\-iQ und geht von der Voraussetzung aus, dass P a - f ( ? 2 einen Minimalwerth hat, so wird bewiesen, dass dies nothwendig zu den Werthen P= 0, 0 = 0 führt. Cly. (0.) W.

WALTON. D é m o n s t r a t i o n (lu t h é o r è m e de C a u c h y : „Toute équation a u n e racine - '. Nouv. Ann. (2; X. 509-514.

Uebersetzung des .vorhergehenden Aufsatzes. No. 0.

D é m o n s t r a t i o n de la continuité des racines d'une équation algébrique. Darboux Bull. II. 215-221. BONNET.

Cauchy beweist bekanntlich seinen Satz von der Continuität der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch geometrische Interpretation der complexen Grössen und durch Betrachtung geschlossener Curven (Exercices d'analyse et de physique math. 2*

20

II. Abschnitt.

Algebra.

II, 109). Herr Bonnet giebt einen elementareren Beweis und spricht das Fundamentaltheorem in etwas anderer Form aus, wie es für die wichtigsten Anwendungen genügt. Zunächst werden die beiden Definitionen aufgestellt: I. „Ist eine bestimmte, reelle oder imaginäre Function

(m) immer > Ä ist". II. „Unter denselben Annahmen für u und tp (u) sagt m a n : rp (u) ist stetig in Bezug auf u für u = u' oder in der Umgebung von «', wenn cp (m) für u = u' einen endlichen und bestimmten Werth hat, und wenn dieser Werth die Grenze ist, gegen welche («) convergirt, sobald u sich dem u' nähert." Hierauf beweist der Verfasser das folgende Theorem: „Mau habe eine algebraische Gleichung m'"" Grades: At*~ + A,i~-1 + A1i—i + - + Am-i a-h-4» = 0in der die Coefiicienten A reelle oder imaginäre Functionen einer reellen oder imaginären Variabein u und stetig in Bezug auf u für m = u' seien. Setzt man in dieser Gleichung u = u', so erhält man eine neue Gleichung mit bestimmten endlichen numerischen Coefiicienten: A'„ »- + A\ z—\ + A\

+•••-[- A'm-i s -f A'm = 0.

Ist nun A'„ von Null verschieden, so ist die zweite Gleichung ebenso wie die erste vom wi1"" Grade; verschwinden aber mehrere Coefiicienten A'a, A\, A'^..., so wird der Grad der zweiten

C a p i t e l 1.

21

Gleichungen.

G l e i c h u n g niedriger, beispielsweise m — n .

I m e r s t e n F a l l e cou-

vergiren die / » W u r z e l n der ersten Gleichung, w e l c h e F u n c t i o n e n von u sind, sobald u sich dem u' n ä h e r t , g e y e n b e s t i m m t e endliche (¡renzen, und diese Grenzen sind rc^j». gleich clen » i W u r zeln der zweiten Gleichung.

Im zweiten Fall w e r d e n

«Wurzeln

d e r ersten Gleichung unendlich, und m - u W u r z e l n n ä h e r n sich den m — n W u r z e l n der zweiten G l e i c h u n g . " M.

A.

RAABE. Lösung algebraischer Gleichungen von beliebig hohem Gr.'ule, auch mit complexen Coefficienten, mit Hülfe des üauss'schen ¡Schönas für complexe Grinsen. W i e n . Ber. L X I I I . 7 3 3 - 7 5 9

Von d e r Gauss'schen geometrischen D a r s t e l l u n g

complexer

Grössen wird eine Anwendung gemacht auf die n ä h e r u n g s w e i s e A u f l ö s u n g numerischer Gleichungen

von

beliebig h o h e m G r a d e

mit beliebigen, reellen oder i m a g i n ä r e n G'ucflicienten.

1. 0 = a 4 - « , i - K H - ( c - r

Ist

(ß + dli)xt + —

die a l l g e m e i n e F o r m einer Gleichung, so wird eine Wurzel d e r s e l b e n im Allgemeinen die Form x — 4 y-j :•• i h a b e n , u n d durch E i n s e t z u n g dieses Warthes in ( 1 ) der A u s d r u c k y

) verschwindet.

Daher

ge-

E b e n s o wird an-

werden

auf d e n e n der imagiwird j e d e r

Durch-

s c h n i t t s p u n k t einer C i m e der einen mit einer C i m e d e r a n d e r e n

22

1!. A b s c h n i t t .

Art eine W u r z e l

Algebra.

der Gleichung (1) repräsentiren.

suchung der W u r z e l n ist daher die L a g e ,

B e h u f s Auf-

die Anzahl und die

Anzahl der D u r e h s c h n i t t s p u n k t c der C'urven beider A r t e n zu erforschen. Indem V e r f a s s e r geraden Linie

die Durchschnittspunkte

mit j e n e n Grenzcurven

einer

discutirt,

beliebigen

g e l a n g t er zu

der B e s t i m m u n g ihrer Asymptoten und somit zu e i n e r herten F e s t s e t z u n g Er

findet,

ihrer Lage und Vertheiluug

dass die Asymptoten durch den

punkt g e h e n ,

und

dass e s ,

angenä-

in d e r

Ebene.

Coordinatenanfangs-

wenn n den G r a d

der

Gleichung

ausdrückt, n Asymptoten der einen und n der a n d e r e n Art giebt. Daher

giebt es auch

von beiden Alten n C u r v e n ,

von

denen

eine j e d e a u s zwei Z w e i g e n besteht.

J e d e Curve s c h n e i d e t n u r

e i n m a l eine Curvc der a n d e r e n Alt;

daher giebt es im g a n z e n

m solcher Durchschnittspunktc und also auch n W u r z e l n . D i e eigentliche Aufsuchung der Wurzeln geschieht n u n durch Näherung,

wobei die vorher zu berechnende L a g e d e r A s y m p -

t o t e n einen A n h a l t e p u n k t f ü r die erste A n n a h m e d a r b i e t e t . Die Anwendbarkeit

des Verfahrens

wird

zum S c h l ü s s e

Beispielen erläutert. C. F .

E.

Björlinc.

rötter.

an

Ht. Tlieori for a l g e b r a i s k a

Hand). Stockholm.

eqvationers

1871.

E s sei az," -f

+ es"-

3

| • • gi>

e i n e G l e i c h u n g mit reellen Coefficientcn. so e r h ä l t

man

nun x und y

ein Resultat

hz f k = 0 Setzt m a n ss = x j yi,

von der F o r m

die rechtwinkligen Coordinaten

X - | - F t — 0 . • Sind eines P u n k t e s

in

d e r E b e n e , so n e n n t man Wurzelpunkt j e d e n P u n k t in der E b e n e , d e s s e n C o o r d i n a t e n den Gleichungen A'----0 und F = 0 D a s P r o b l e m , dessen Lösung sich

der Verfasser

genügen.

vorgenommen,

¡ s t : zu bestimmen, wie sich die W u r z c l p u n k t c in d e r E b e n e bew e g e n , w e n n m a n eine oder einige Cocflicienten, b e s o n d e r s

das

letzte Glied variiren lasst.

die

Curve F — 0 ,

Um das Problem zu lösen, w i r d

d e r e n Gleichung

vom Parameter u n a b h ä n g i g

ist,

e i n e r detaillirten Untersuchung unterworfen, um ihre a l l g e m e i n e

Cnpitel 1.

Gleichungen.

23

Form uud die Art zu finden, in der diese Form sieb ändert, wenn mau h ändert. Diese Curve setzt sich, abgesehen von den Fällen, wo es vielfache Punkte giebt, aus « — 1 getrennten Zweigen von zwei verschiedenen Alten zusammen, die der Verfasser laterale und transversale Zweige nennt. Jeder Zweig der ersten Art enthält einen Wurzelpunkt, j e d e r der zweiten deren zwei oder Null. Die specielle Discussion giebt als Resultat eine vollständige Trennung der Wurzeln, der reellen sowohl, als der imaginären. Die Schwierigkeit ist also auf die Construction der Curve Y=0 zurückgeführt. Angefügt ist der Abhandlung noch eine Note über die näherungsweise Berechnung der imaginären Wurzeln numerischer Gleichungen, wenn die Anzahl dieser WTurzeln nicht grösser als 4 ist. Hn. (0.)

J.

PETERSEN. O U I Ligninger, der Joses ved Kvadratrod, med Auvendelso paa Problemers Lösning ved Pass*er O g Lineal. Diss. Kopenhagen.

Die Schrift besteht aus zwei Abschnitten, deren erster von der Auffindung der in Quadratwurzeln darstellbaren Wurzeln einer Gleichung/"(x) = 0 mit rationalen, numerisch gegebenen Coefficieuten handelt. Existirt eine solche Wurzel, welche p auf e i n a n d e r nicht reducirbare Quadratwurzeln enthält, so existiren im ganzen 2p analoge Wurzeln, die durch Vorzeichenwechsel der einzelneu Quadratwurzeln daraus abgeleitet werden können. Bildet man die Gleichung rp (x) = 0, welche ausschliesslich diese 2p Wurzeln hat, so sind deren Coefficienten rational, und f ( x ) theilbar durch „) zwei

Reihen

von

Grösseu,

die alle verschieden s i n d , so k ö n n e n die 2 « Gleichungen ( r t . - f c , ) (fl;-/!>,,) ••• (rt, -&„) = (fr.-«,) C ' . - f f J

/!,(>, - a , ) (a, - « . , ) • • •

«„) =

(6,-ig...

n u r dann z u s a m m e n bestehen, wenn 2 »

A, -) £ H, a

0.

Hi.

II. Abschnitt.

28

P.

Algebra.

De la résolution de certaines équations à trois variables par le moyen d'une règle glissante Caractère auquel on reconnaît qu'une telle résolution est possible. Graduation à la règle. Mem. di DE S A I N T - R O B E R T .

Toriuo. XXV. 53-72.

Der Verfasser hatte sich ein gleitendes Lineal (regolo scorrevolo, règle glissante) analog dem logarithmischen Lineal construirt, mittelst dessen man mechanisch die aus den barometrischen Tafeln gelieferten Resultate erhalten kann. Bei dem Nachdenken über eine solche Réduction der doppelt laufenden Tafeln in ein gleitendes Lineal wurde nun der Verfasser darauf geführt, ein passend graduirtes Lineal zu ersinnen, mittelst dessen sich gewisse Gleichungen mit drei Variabein lösen lassen. In dieser Note untersucht der Verfasser die Kriterien, die anzeigen, ob die Réduction einer Gleichung mit drei Variabein in ein solches Lineal möglich ist, und setzt die Art aus einander, wie diese Réduction vorzunehmen sei, wenn sie möglich, indem er sie auf ein Paar Beispiele anwendet. Die Réduction ist anwendbar bei einer Gleichung J(xyz) = 0, wenn man sie transformiren k a n n

in

Z — X-\-Y,

w o X = ' f ( x ) , Y = ip(y),

Z=x(fi),

und die nothwendigë Bedingung für die Réduction ist: dJ dl log R dxdy

dx J j ~dy

V.

EUGENIO. Alcune ricerche sulle frazioni Battaglini G. IX. 358-365.

Jg. (0.) continue.

Der Verfasser stellt die Bedingung auf, unter welcher die zwei beliebige Grössen darstellenden Kettenbrtiche mit Quotienten schliessen, die sich um eine gegebene Grösse von einander unterscheiden. Ein specieller Fall davon ist der, wo die beiden EndQuotienten gleich sind (vgl. Serret, Cours d'algèbre supérieure I, 16). Diese Untersuchungen werden auf das Problem angewendet: die Gleichung zweiten Grades mit rationalen Coefiicienten

Capitel 1.

zu

finden,

deren Wurzeln

deln lassen,

welche

Gleichungen.

29

sieh iu s o l c h e Kettenbriiche v e r w a n -

letzte Quotienten von

g e g e b e n e r Differenz

haben. L.

M.

Solution des questions

BIGNON.

9G8

et

Nouv.

069.

Aun (2.) X . 515. 1.

W e n n man mit n eine g a n z e

positive Zahl und mit /)„

die Differenz der n'"" P o t e n z e n der Wurzeln der Gleichung a;1 -f~ px + q — 0 b e z e i c h n e t , so hat man, w e n n man v o n n = 2 ausgeht: b . = . - ! ) - ' • [ , - • -

FCÄIPIV-,

•

D i e E n t w i c k e l u n g g e h t bis zu dem G l i e d e , 2.

w e l c h e s = 0 wird.

D a b e i ist: 1

"r

1

T2

_ ( « - 4 ) («—5)

Q-6) +

12-3

"

Pr.

D. G. Solution af

Xijrpx-\-q=0.

Dilluer Tidskr. I V . 31.

D i e b e k a u n t e Transformation =

o

0

+

6

=

I L

p

der cubischen Gleichung. A.

DE S A I N T - G E R M A I N . Sur la résolution trique de l'équation du troisième degré. iß)

Hn. ( 0 . )

trigonoméNouv.

Ann.

X. 63-6G.

Die trigonometrische L ö s u n g der G l e i c h u n g e n dritten Grades für den F a l l , dass sämmtliche Wurzeln reell sind, den

ist auch a u f

Fall a n w e n d b a r , dass z w e i der Wurzeln i m a g i n ä r sind. T.

II. Abschnitt.

30

M.

AZZARELLI.

Algebra.

Risoluzione delle equazione di

3"

e 4"

grado per mezzo della sostituzione lineare s = Att. d. Acc. d. N. Lice. X X I V .

83-90.

Der Verfasser will zeigen, dass es möglich ist, sowohl die cubische wie die biquadratische Gleichung durch eine und dieselbe Substitution, die im Titel angegeben ist, aufzulösen.

Jg. (0.)

A. S. G I L D B E R G . Om Ligningen af 3 die Grad. Om te Ligningeil af 5 Grad. Chriatiania Videtiakabs-Selskab. 1871. 287-32G.

Diese Abhandlung, die nichts Neues hinsichtlich der allge-, meinen Theorie der Gleichungen giebt, enthält eine Tabelle zur Berechnung einer Wurzel der Gleichungen xz — cx — c — 0 xs — cx — c = 0. Der praktische Werth dieser Tabelle scheint zweifelhaft. L.

F. BRioscur.

Sur l'équation du cinquième degré.

C. R. LXXIII. 1470-1472.

Herr Herraite hatte in seiner Arbeit über die Gleichung fünften Grades (C. R. LXI. u. LXII) am Schlüsse (S. 1167) von einer Function zweiten Grades für zwei unbestimmte Grössen p, q nachgewiesen, dass der Coefficient des Productes p q identisch verschwindet. In vorliegender Note wild die Existenz unendlich vieler Functionen von gleicher Eigenschaft gezeigt. Setzt man für die bekannte Gleichung

F(y)=(y-ay-4a(y-ay

so werden,

mOj-ay-4c(y-a)-\-bbt--4ac---=Q

+

da ^

db

~

'

de ~~ '

auch in 2 Y die Coefficienten vou pq und pr identisch verschwinden. - Es wird hierauf nachgewiesen, wie j e n e Function

Capitel 1.

Gleichungen.

31

des Herrn Hermite aus einer von Herrn Brioschi in seiner Arbeit ,,über die Methode des Herrn Kronecker zur Auflösung der Gleichung fünften Grades" aufgestellten Function abgeleitet werden kann. No.

A.

CLEBSCH. Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen fünften Grades und die geometrische Theorie des ebenen Flinfseits. Clebsch Ann. IV. 284-345.

A.

Ueber die geometrische Interpretation der höheren Transformationen binärer Formen und der Formen fünfter Ordnung insbesondere. Gött. Nachr. 1871. CLEBSCH.

335-345.

Während die neuere Algebra zunächst die algebraischen Formen nur riicksichtlich linearer Transformationen ihrer Veränderlichen betrachtet, ist ihr doch auch die Untersuchung höherer eindeutiger Transformationen in ähnlicher Weise zugänglich. Dass solche bei binären Formen eben auch nur wieder auf die schon bei linearen Transformationen benutzten Principien führen, geht schon aus den Arbeiten von Hermite und Gordan hervor. In den vorliegenden Untersuchungen handelt es sich um eine Interpretation der höheren Transformationen binärer Formen, welche dieselben mit den linearen Transformationen eines Raumes von mehreren Dimensionen in Beziehung setzt. Insbesondere erhält man alle Gleichungen fünften Grades, welche aus einer gegebenen entstehen können, indem m a n die Schnittpunktsysteme betrachtet, welche auf den Geraden einer Ebene durch fünf irgendwie fest gelegte Gerade bestimmt werden. Damit die resultirende Gleichung eine bestimmte Invarianteneigenschaft besitze, muss die veränderliche Gerade, auf welcher das gedachte Sehnittpunktsystem eintritt, Tangente einer entsprechenden Curve der Ebene sein. Die auf solche Weise definirten Curven, welche dem festen Fünfseit zugeordnet und durch dasselbe definirt sind, haben merkwürdige Eigenschaften und Beziehungen zu einander. Insbesondere z. B. wird eine Curve li'ter Classe behandelt,

32

II. A b s c h n i t t .

Algebra.

welche eine Doppelreihe ausgezeichneter Doppeltangenten besitzt, und durch sie eine genaue geometrische Interpretation für die Eigenschaften der Resolvente sechsten Grades giebt, auf welche die Theorie der Gleichungen fünften Grades führt. Die geometrische Lösung der Gleichungen welche

den von Hermite und Kronecker

äquivaleut ist, beruht auf der Verbindung, suchung dieser

Doppeltangcnten

gleichuug und ihrer

fünften Grades,

gegebenen

mit der

Lösungen

in welche die Aufbekannten

Modular-

geometrischen Interpretation gesetzt

Hierzu führt der Umstand,

wird.

dass diese 12 Doppeltangenten ein-

deutig den Geraden einer Doppelsechs entsprechen, welche einer gewissen merkwürdigen Fläche dritter Ordnung angehört. F l ä c h e , vom Verfasser Diagonalfläche genannt, finirt,

dass sie durch

Diese

ist dadurch de-

die Diagonalen aller Vierseite

geht,

in

denen die Seiten eines Pentaeders von den übrigen geschnitten werden.

Unter den 36 Doppelsechseu, welche die Geraden die-

ser Fläche bilden,

wird eine linear,

d. h. ohne Lösung

einer

höheren Gleichung, gefunden; die beiden Sechsen, in welche sie zerfällt, liefern zwei ausgezeichnete Abbildungen der Fläche auf der E b e n e ,

welche

quadratischen

zu ihrer Auffindung

Gleichung

bedürfen.

Die

nur die Lösung sechs

einer

Fundaraental-

punkte einer solchen Abbildung aber bilden ein sehr merkwürdiges Punktsystem, repräsentirt.

welches

die Modulargleichung

geometrisch

Diese sechs Punkte haben nämlich die Eigenschaft,

in zehn verschiedenen Arten zu einem ßrianchon'schen Sechseck zusammengefasst werden zu können; und das System der sechs Punkte ist hierdurch bis auf projectivische Umformungen definirt.

völlig

Verbindet man aber mit solchen sechs Punkten irgend

einen anderen Punkt der Ebene, so erhält man ein System von sechs Strahlen, deren Abstandsverhältnisse, von irgend zwei festen Strahlen durch denselben Punkt gerechnet, Wurzeln der Modulargleichung sind, oder vielmehr Wurzeln einer Gleichung, welche nur durch eine lineare Transformation

sich noch von ihr unter-

scheiden kann. Cl.

Capitel 1.

Gleichnngen.

33

Bemerkungen zu der Theorie der Gleichungen fünften und sechsten Grades. Gött. Nachr. 1871.

A . CLEBSCH. 103-108.

EB wird bezüglich der Gleichungen des fünften Grades gezeigt, wie man ihnen die Jerrard'sche Form x> — x — a = 0 giebt, sobald eine ihrer Invarianten (12ten Grades) verschwindet. Bezüglich der Gleichungen sechsten Grades wird gezeigt, wie man dieselben in die Modulargleichung, bez. Multiplicatorgleichung der Transformation fünften Grades der elliptischen Functionen verwandelt, sobald die nöthigen Invariantenbeziehungen erfüllt sind. Cl.

S. RÉALIS.

Sulle radici reali contenute fra dati limiti.

Battagliai G. IX. 355-357.

Mit Hülfe der von Lagrange (Traité de la résolution des équations numériques etc. Note XII) gegebenen Methode läset sich das Problem lösen: „Sind zwei Zahlen a und b gegeben, welche eine oder mehrere Wurzeln x einer algebraischen Gleichung einschliessen, so dass a ( y \ xp(z)--\ bezeichnet. Die Gruppe, bei der die f, n

CA = 1, 2 , - n ) die Function 2

{xx

+ m

+

— & y2~)

J

bis auf einen constanten Factor in sich selbst umwandeln,

so

44

IT. AbBchnitt.

Algebra.

bilden sie eine A b e l ' s c h e G r u p p e ; Specialfälle derselben sind die H y p o - A b e l s c h e n G r u p p e n . Alle diese werden näher untersucht, ihre Ordnung, ihre Factoren der Zusammensetzung u. 8. w. bestimmt. Feiner wird iu diesem Capitel eine canonische Form für lineare Substitutionen aufgestellt; Methoden gegegeben, um specielle lineare Gruppen zu construiren; die Grnppen behandelt, deren Substitutionen unter einander vertauschbar sind, und eine Theorie der linearen gebrochenen Substitutionen gegeben. Durch Aufstellung des Begriffes der Gruppe einer Gleichung wird im ersten Capitel des dritten Buches die Theorie der Gleichungen mit derjenigen der Substitutionen in Verbindung gebracht, und so beispielsweise die Auflösbarkeit der algebraischen Gleichungen auf die Zusammensetzung ihrer Gruppe reducirt. Durch Adjunctioa gewisser Irrationalitäten kann man eine Reduction der Gleichungen herbeiführen und die genauere Untersuchung dieser Verhältnisse fuhrt zu den Theoremen über Auflösbarkeit der Gleichungen u. s. w. Das zweite Capitel giebt die Theorie der Abel'schen und der Galois'schen Gleichungen. Die ersteren sind solche, bei denen alle Wurzeln rational durch eine unter ihnen, die letzteren solche, bei denen alle durch zwei ausgedrückt werden können. Die Gruppe der Abel'scben Gleichungen enthält nur gegen einander vertauschbare Substitutionen; einen besonderen Fall derselben bilden die binomischen Gleichungen. Die geometrischen Anwendungen des dritten Capitels beziehen sich auf die Inflexionspunkte der Curven dritten Grades; auf die Curven dritter Ordnung, deren Schnittpunkte mit einer gegebenen Curve vierter Ordnung zu j e vier zusammenfallen; auf die Kummer'sche Fläche, auf die Geraden der Flächen dritter Ordnung und auf BerUhrungsprobleme. Die Anwendung auf die Theorie der Transcendenten bildet den Inhalt des vierten Capitels. Es werden circulare, elliptische und hyperelliptische Functionen besprochen, die Theilung der Perioden, die Modulargleichungen u. s. f. behandelt. Aus der sich anschliessenden „Auflösung der Gleichungen durch Transcendenten" heben wir folgendes Theorem hervor, welches nach Durchführung der Auf-

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Detenni nanten etc.

45

lösungsmethoden der Gleichungen dritten, vierten und fünften Grades bewiesen wird. Die Auflösung der allgemeinen Gleichung + a x î _ 1 - f •• = 0 wird, nach Adjunction numerischer Irrationalitäten, welche nur von q abhängen, auf die Gleichung zurückgeführt, welche die Zweitheilung der Perioden derjenigen hyperelliptischen Functionen giebt, welche mit gebildet sind. Galois hat gezeigt, dass eine irréductible Gleichung von einem Primzahlgrade dann und nur dann lösbar sei, wenn ihre Gruppe die lineare ist. Es kam hierbei auf die Construction der Gruppe an, die sich ohne grosse Schwierigkeiten bewirken lässt. Anders wird dies bei Gleichungen eines beliebigen Grades. GaloiB stellte zwar eine Haupteigenscbaft der Gruppen auflösbarer Gleichungen fest (Traité IV. 1 Théor. 4), gelangte aber nicht zur Construction derselben und sprach, indem er sich auf die primitiven Gleichungen beschränkte, deren Grad also nur eine Primzahlpotenz sein kann, die schon früher von Herrn Jordan widerlegte Ansicht aus, alle auflösbaren primitiven Gleichungen eines Grades gehörten zu nur einem Tj'pus (F. d. M. I. p. 40). — Der Herr Verfasser stellt nun im ersten Capitel des vierten Buches ausser dem eben erwähnten Galois'schen noch andere Kriterien fttv auflösbare Gruppen auf und grUndet auf eine derselben seine Construction. Diese wird im zweiten Capitel durchgeführt, und zwar wird das Problem für den allgemeinsten Fall auf ein gleiches für specielle Fälle der Gruppen reducirt. Eine allgemein gültige Formel wird nicht gegeben, sondern eine Methode, mittelst deren daB Problem für Gleichungen höherer auf solche von bei weitem niederem Grade zurückgeführt wird. Die Ausdrücke der Substitutionen der gesuchten Gruppen enthalten imaginäre Grössen, nämlich die Wurzeln irreductibler Congrueuzen höherer Grade; allein dies findet nur scheinbar statt. Die Umformung in reelle Form jedoch erfordert Versuche. — Die angegebene Methode liefert sämmtliche gesuchte Gruppen; der im letzten Capitel gegebene Beweis, dass alle gefundenen im allgemeinen von einander unabhängig seien, erfordert bedeutenden Baum und macht ziemlich grosse Schwierigkeiten. No.

II. Abschnitt.

46

C.

Algebra.

JORDAN. Sur la résolution des équations les unes par les autres, c. R. LXXII. 283-290.

An Neuem bringt dieser Bericht drei Tafeln. Die erste enthält die Anzahl der Typen auflösbarer primitiver Gleichungen für alle Grade bis 106; die zweite die Anzahl der Gruppen aller auflösbaren Gleichungen der Grade bis 10* ; die dritte Congruenzen, welche sich auf die Umformung der Substitutionen aus imaginärer in reelle Form beziehen, fllr Gleichungen bis zum Grade 12000. No.

Mémoire sur la résolution des équations algébriques les unes par les autres. Lioimiie J.-(2.) xvi.

C . JOBDAN. 1-20.

Die Arbeit könnte statt Livre IV. Chap. 2 u. Chap. 3 § 1 in den Traité etc. eingefügt werden, da sie die dort behandelten Probleme allgemeiner und kürzer durchführt. Der Beweis stützt sich auf einen neuen Satz Uber die Zusammensetzung der Gruppen. No. C. JORDAN. Sur C. R. LXXIII. 853.

la classification des groupes primitifs.

Eine primitive Gruppe soll von der nten Klasse heissen, wenn die Substitution, welche die geringste Zahl von Elementen versetzt, (die Substitution 1 ausgenommen) gerade n umstellt. Für die Klassen 4, f v - 1 1 werden die vorhandenen primitiven Gruppen aufgestellt ; schliesslich wird ein Satz Uber die Gruppen gegeben, deren Klassen von einem Primzahlgrade sind. No.

C.

JORDAN. Théorèmes sur les groupes Liouville J (2) XVI. 383. C. R. LXXII. 854.

primitifs.

Die Bedeutung des Aufsatzes liegt im zweiten Theorem: Eine primitive Gruppe ist symmetrisch oder alternirend, sobald ihr Grad eine von der Klassenzahl abhängige Grösse überschritten hat. — (Das erste Problem ist in Liouville's J. unrichtig angegeben.) No.

Capitel 3.

Y. JANNI.

Elimination a. Substitution, Determinanten etc.

47

Esposizione della teorica delle sostituzioni.

Battaglini G. IX. 280-340.

Mit Auslassung einiger und Umstellung anderer Paragraphen eine ziemlich wortgetreue Uebersetzung von Jordan: „Traité des substitutions et des équations algébriques", livre II. chap. 1. No.

J. ROSANES. Ueber diejenigen rationalen Substitutionen, welche eine rationale Umkehrung zulassen. BorchardtJ. LXXIII. 97-111.

Der Verfasser behandelt die in neuerer Zeit wiederholt betrachteten eindeutig umkehrbaren rationalen Substitutionen bei drei homogenen Veränderlichen, oder, was dasselbe ist, die eindeutigen algebraischen Verwandtschaften in der Ebene, letztere als Punktgebilde betrachtet. Leider ist demselben die einschlägige Literatur bis auf den gleich zu nennenden zweiten Aufsatz von Cremona unbekannt geblieben, so dass der grösste Theil der von ihm gewonnenen Resultate nicht mehr neu erscheint. Die Wichtigkeit des Gegenstandes mag es begründen, wenn Ref. hier eine kurze historische Zusammenstellung der bez. Arbeiten folgen lässt. Die erste eindeutige Verwandtschaft, welche nächst der linearen untersucht wurde, war die sogenannte quadratische, durch welche jeder Geraden ein Kegelschnitt zugeordnet wird, der durch drei feste Punkte geht. Dieselbe findet sich bereits, ob auch nicht principiell aufgefasst, bei Poncelet im Traité des propriétés projectives. (Erste Ausgabe. 1822. p. 198.) Auf dieselbe bezieht sich ferner eine kurze Stelle in einem Aufsatze von Plücker (Crelle V. 1829). Andererseits war Magnus sélbstständig auf denselben Gegenstand geführt worden delte ihn, unter Bezugnahme auf Plücker, ausftthrlict Bande von Crelle's Journal (1831). Auch Steiner beschäftigte sich um dieselbe Zeit mit ähnlichen Fragen, worüber man die „systematischen Entwickelungen" (1832) und namentlich deren Vorrede vergleichen mag. Sodann sind die allgemeinen eindeutigen Transformationen der Ebene, von denen Magnus bereits andeutungsweise spricht, in neuerer Zeit zuerst von Cremona

4g

II- Abschnitt.

Algebra.

aufgestellt und nach ibren wesentlichen Eigenschaften entwickelt worden (Mem. di Bologna (2.) II., 1863; V. 1865), so dass, neben Magnus, Cremona als der eigentliche Schöpfer dieser Theorie gelten muss. Eine wichtige Ergänzung fanden seine Untersuchungen durch einen Satz, welchen Nöther in den Gott. Nachrichten 1870 (s. Fortschr. d. M. II. p. 624) mittheilte, und der dahin geht, dass jede Cremona'sche Transformation durch Wiederholung einer Anzahl quadratischer Transformationen hergestellt werden kann (vergl. indess die Schlussbemerkung dieses Referates). Einen Beweis dieses Satzes gab Nöther in den math. Annalen, III. Kio (s. Fortschr. d. M. II. p. 616). Zugleich mit der letzteren Abhandlung erschien eine Uebersicht der Cremona' sehen Transformationen, welche von Cayley herrührte (Proc. of L. M. S. v. III. 127). Dieselbe enthält, ohne Beweis, auch den von Clifford, wie es scheint, unabhängig gefundenen Nöther'schen Satz. — In der Abhandlung von Rosanes, die später erschien, ist nun eben auch dieser Satz aufgestellt und bewiesen worden, und es mag hervorgehoben werden, dass sich sein Beweis durch einfachere Darstellung auszeichnet. Sodann ist zum ersten Male gezeigt, dass alle eindeutigen Punkttransformationen der Ebene nothwendig Cremona'sche sein müssen, d. h. dass die Curven, welche vermöge der Transformation den Geraden der Ebene entsprechen, nur einen beweglichen Schnittpunkt haben, und dass die Erniedrigung ihres Geschlechtes auf Null, welche nothwendig ist, auf Rechnung der gemeinsamen festen Punkte zu setzen ist. Kln.

L.

Om den Gruppe af Substitutioner, der tilhörer Ligninger for Division af Perioderne ved de elliptiske Funktioner. Christiania VidenskabB-Selskab. 1871. SYLOW.

Die Gruppe der Gleichung, welche die Grössen 4pK + 4qK'i sin am —— } 2 n 4- 1 bestimmt, enthält bekanntlich nur lineare Substitutionen und von diesen gewiss diejenigen, deren Determinante nach dem Modul

Capitel 3.

Elimination n. Substitution, Determinanten etc.

49

2« -}-1 der Einheit congruent ist, welche die sogenanute Monodromiegruppe bilden. Ausserdem wusste man nur, dass wenigstens, wenn 2n-\-\ eine Primzahl ist, die Gruppe noch Substitutionen enthalten tnuss, deren Determinante nicht = 1 ist. Die noch offen stehende Frage wird in der Abhandlung dahin beantwortet, dass die Gruppe wirklich alle linearen Substitutionen enthält; zugleich wird bewiesen, dass die Gruppe sich bis auf die Monodromiegruppe vereinfacht, wenn man die (2«-)-l) l '* n Wurzeln der Einheit als bekannte Grössen einführt. Der letzte Punkt wird zuerst dargethan durch die von Abel angedeutete und vom Verfasser bewiesene Relation:

% e^ ' " C ; , ' " ' "

*'

^(mK+pVQ+iqtmrK+p'tn) 8 i n am 8m

_

2n + i

(Christ. Videnskabs-Selskab, 1864. 68-92). zeln der Einheit sich durch die Grössen 8m

am

- 2n+

\

~

Weil nun die Wur-

-

rational ausdrücken lassen, folgt aus einem Reciprocitätsgesetz der Theorie der algebraischen Irrationalitäten (siehe Traité des subst. par M. C. Jordan, p. 269), dass die Ordnung der Gruppe, wenn man die Wurzeln der Einheit als bekaunt ansieht, durch den Grad der Gleichung x ' — 1 = 0, das heisst durch (f (2n -(-1), dividirt wird. Die Gruppe muss also von vorn herein

= II ( 8 , + a t / J + . . + a . / * - » )

> • • at

abgeleitet, wo das II sich über alle Werthe von ß erstreckt, für die ß"=l i s t Setzt man 2ai = s; D = SAiai; 2Ax = N, so ist D = sN. Ist « Primzahl, und D= s ( 0 , + a , +

(6, + 6 ^ + 6 ^ + . . ) ,

so folgt für die hierdurch bestimmten 6;, wenn Z a i b i ~ S gesetzt wird,

Capitel 3.

D = s (S ^ Für

ganzzahlige

LS=s"_1

55

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

, S — sn~\ j— ) n—1 J

,

4 ai

folgt

und

weiter

2Ax =

(mod. n— 1); ausserdem At =

At — Au = s (b, — 6„).

nS — s"-1 — . h— 1

N=

s"-1

§

(mod. n)

sn—l

— — — ^ — 4*

Hieran schliesst sich eine

und also

Untersuchung

der Determinante

j-it—3 a • •• aT

aT wobei n Primzahl,

II

a ar ar2 • ar ar2 • • ••a

a eine » t e Wurzel der Einheit, die Einheit

selbst ausgenommen, und r eine primitive Wurzel von n ist. No.

Nota su talune proprietà dei determinanti, in ispecie di quelli a matrici composte con la serie

F . CALDARERA.

dèi numeri figurati. Die

Determinante

F o r m P — P,

P, ~ ist.

• («,„,,„) 2 ~*

Battagliai. G. I X . 223. 232.

P = 2±

ai>

r

a2,ì • • ak>k

kann

auf

gebracht w e r d e n , wobei

• • a[,k

UnC

^ a'rs — a'»>

>" ~ °r, m n so auswählen, dass jede Zahl des Körpers in der n

Form o} = £ hywy erscheint, wobei die hy rationale Zahlen be•

deuten. Die tu sind dabei Wurzeln vou Gleichungen n ,e " Grades. Ist der erste Coefficient dieser Gleichung i , und sind die übrigen gauze Zahlen, so heisst w eine algebraische ganze Zahl; die o)y können stets so gewählt werden, dass bei allen Zahlen w auch die hy gauze rationale Zahlen sind. Um nun in solchen Körpern die Analoga von Primzahlen zu finden, stellt man folgende Betrachtungen an. Ein System a von Zahlen eines Körpers, welche sich durch Addition und Subtraction reproduciren, heisse ein Modul, und (mod. a) bedeute, d a s s « — + c)p-* = Cp+ (^j*-). Darin sind a,b,c ganze Zahlen, die nicht durch p theilbar sind; A, B, C sind ganze Zahlen; die Summen sind zu bilden, indem man den Grössen x, y die Werthe 0, 1, 2 . . . p — 1 giebt. 2) Die Zahlen an at, a3,..am, a m + 1 sind ganze Zahlen Cp und nicht durch p theilbar. S"m, Sm mögen die Anzahl der Lösungen der folgenden unbestimmten Gleichungen bezeichnen :

o, + atx2* H f- am xm* = py a, £c,1 -f «¡1/ 4 ¡- am xm* -f a,n + i = py, xl7 x2..xm nur die Zahlen i, 2, ..p — 1 zu uehmen

wobei ftlr sind. Daun finden folgende Gleichungen statt: o—i)

St-i

sm = =o,

- « -

s:+I -

s:,

C ^ - ) .

und ähnliche für Si -

p, S,

«.„-p"-',

E.

AMIGUES.

blables des

- p,

S*m -

s2,1+l-p2».

p"-', Wn.

Note sur les sorames des puissances semn premiers nombres entievs. Nouv Ann. (2.)

X. 79-82.

n i=i

Bezeichnet man 2

= Si, so kann der Inhalt der Note

so bezeichnet werden, dass S j = 2 a? gelöst werden soll.

fUr gegebene A und p No.

Capitel 1.

T. P.

Allgemeines.

67

Solution of question 3184.

KlRKMAN.

Educ. Times

X V . 60-63.

sei eine ganze Zahl und R — mtet + r»2e2 + -) jede mögliche Zerlegung von R in positive Producte, z. B.: R

5 = 5 - l = l - 5 = 1 . 4 + l - l = l - 3 + l . 2 = 1 - 3 + 2 - 1 = etc. Dann ist C2fi-l)(2fl-3)-31 2 /f (2 ß — 2) • • • 4 • 2

1

=

* (2e, )"'• (2e t )-. +

+

Ji»>2

wo jede Zerlegung ein Glied in der Summe 2 , hervorbringt. Hi.

W. A.

WHITWORTH.

Solution of question 2023.

Educ.

Times X I V . 112.

Wenn n eine Primzahl bedeutet, so ist |n~

I

—1

1 • 2 (n—2}

4. I 1-2-3 ( w - S ) " 1 " " L

1 r

«-1!

M

«! I

eine positive ganze Zahl vou der Form M («) — 2. Hi. TOUBIN.

Solution de la question 881.

Nouv. Ana.

(2) x 181-182.

„Wenn eine Primzahl von der Form 1 + 2" ist, so ist der Exponent n entweder Null oder von der Form 2°." Diesen Satz erweitert der Verfasser dahin: „Wenn eine Primzahl von der Form A" + 1 ist, so ist der Exponent n entweder Null oder von der Form: 2 a ." Der Verfasser giebt den Beweis dieses Satzes. Mz. E.

PELLET, 876.

877.

S.

MOREL,

878.

879.

LAYRITZ.

Solutions des questions

Nouv. Ann. (2.) X. 39-42; 92-95.

1) Wenn die Verwandlung eines Bruches ^

in einen De-

cimalbruch eine Periode von n Stellen ergiebt, so giebt jeder nicht reducirbare Bruch, dessen Nenner einem Vielfachen von b

5*

gg

I I I . Abschnitt

Zahlentheorie.

gleich ist, eine Periode, deren Stellenzahl einem Vielfachen von n gleich ist. 2) Wenn die Verwandlung mehrerer nicht reducirbarer Brüche 1 SL — . . in DecimalbrUche auf Perioden führt, deren Stellen6 ' 6'' 6"' zahlen w, ri, « " . . . sind, so giebt jeder nicht reducirbare Bruch, dessen Nenner dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner b, b', b"...

gleich ist, eine Periode, deren Stellenzahl dem

kleinsten gemeinschaftlichen

Vielfachen

der Zahlen w, «', n" . ..

gleich ist. 3 ) Wenn die Verwandlung eines nicht reducirbaren Bruches, dessen Nenner eine Primzahl p ist, in einen Decimalbruch

auf

eine Periode von n Stellen führt, und wenn p" die grösste Potenz von p ist, welche in 1 0 " — 1 enthalten ist, reducirbare Bruch, dessen Nenner

p a +i°

so fuhrt j e d e r

nicht

ist, auf eine Periode von

npß Stellen. 4 ) Bestimmung der Stellenzahlen der Perioden, welche durch die Verwandlung eines nicht reducirbaren Buches mit dem Nenner 1 0 2 0 entstehen. A . STKEN.

Lüsning

og

ITdviclclse

af

Opgave

307.

Zeuthen Tidsskr. (3.) I. 178.

Beweis des folgenden Satzes: „Die Anzahlen der verschiedeneu „Zahlencirkel", die man aus ganzen positiven Zahlen er2? — 2

halten kann, deren Summe eine Primzahl ist, ist -

• •" Unter

„Zahlencirkel" versteht der Verfasser wenigstens zwei im Cirkel geschriebene Zahlen. der folgende bewiesen:

Um den Satz zu beweisen, wird zunächst „Man kann auf 2P~1 Arten eiue ganze

positive Zahl als Summe von positiven ganzen Zahlen schreiben." Dieser Satz

lässt

sich

beweisen,

indem

man durch

Induction

zeigt, dass man, wenn r

_

( p - 1 ) (p — 2 ) • • • (p - - r -}-1)

p auf Cp- t. i—i Arten als Summe von r ganzen positiven Zahlen

Capitel 1.

69

Zahlentheorie.

schreiben kann. Die Untersuchungen werden so ausgedehnt, dasB sie auch einige Fälle des ersten Satzes enthalten, wenn p eine zusammengesetzte Zahl ist. Hn. (0.) G.

Sulla divisibilità de' numeri periodici e sulla determinazione de' periodi decimali. B a t t a g l i ò G. BARILLARI.

IX. 125-135.

Ist a eine »-zifferige Zahl, so ist i fì'ih \ a + a • 10" + • • • + a 10» (*-') = a jdie aus A maliger Wiederholung derselben entstehende Zahl. Die Theiler von 10"A — 1, welche nicht zugleich 10" — 1 theilen, sind also Factoren der periodischen Zahl, u. s. w. No. D.

Solution de la question

ANDRÉ. 185-187.

941.

Nouv. Ann. (2.)

x.

Beweis der folgenden beiden Lehrsätze: 1) Jede grade Zahl ist einem Gubus gleich, der nicht Null ist, plus "drei Quadraten. 2) Jede grade Zahl, welche grösser als T"+ l , 'ist einer ( 2 o - j - 0 ' e " Potenz, die von Null verschieden, gleich, plus drei Quadraten, die alle von Null verschieden sind. Mz. B.

MINNIGERODE.

Bemerkung über irrationale Zahlen.

Clebsch Ann. IV. 497-498.

Nachweis, dass es unmöglich sei, durch eine rationale Function von endlichem gegebenen Grade gegebener Irrationalitäten mit rationalen Coefficienten alle Zahlen darzustellen. No. FITBEMANN.

biques.

Remarques sur les racines carre'es et cu-

Nouv. Ann. (2.) X . 87-90.

Hat man Quadratwurzeln oder Cubikwurzeln auf mehrere

III. Abschnitt.

70

Zahlentheorie.

Stellen ausgezogen, so können die folgenden durch Division gefunden werden. Serret (Arithmétique. 209. 225) hatte als untere Grenze der Anzahl der Stellen, die schon gefunden sein müssen, damit man die Division anwenden könne, 5 bez. 10 gegeben. Der Verfasser setzt dieselben auf 4 bez. 7 herab. No. E. M E I S S E L . B e r e c h n u n g der M e n g e von Primzahlen, w e l c h e innerhalb der ersten Hundert Millionen natürlicher Zahlen vorkommen, (,'lebsch Aon. III. 523-525. Fortsetzung der Berechnung aus Clebsch Ann. II. S. 636. (Siehe Fortschr. d. M. II. 87). No. A. MORET-BLANC. ADD.

Solution de la question 1 0 1 0 .

Nouv.

(2.) X. 431.

Auffindung derjenigen Zahlen, deren Quadrate in jedem Zahlensystem, dessen Basis grösser als 4 ist, in eben derselben Weise geschrieben werden. Pr. S. MOREL. ADO.

Solution

des

questions

971

et 9 4 2 .

Nouv.

(2.) X. 44. u. 95.

1) Die Zahlen, deren Quadrate mit zwei gleichen Ziffern 62 oder 88 endigen. schliessen sollen, müssen auf 12, 2) Der Kubus einer Zahl, um 7 Einheiten irgend einer Ordnung vermehrt, kann keine vollständige Quadratzahl sein. Pr. E. KRUSCHWITZ.

Solution de l a question 9 7 1 . Nouv. Anu.

(2.) X. 187-188.

Lösung folgender Aufgabe von Brocard: „Das Bildungsgesetz derjenigen Zahlen zu finden, deren Quadrate mit zwei gleichen Ziffern endigen." Ms.

Capitel 1.

D.

ANDRÉ.

71

Allgemeines.

Analyse indéterminée; Problèmes.

Xouv. Ann.

(2) X. 295-303.

1) Drei ganze Zahlen zu finden, metischer Proportion stehen ; 2) in 1 „ __ 3) Lösung in ganzen ¿ahlen von •2/

deren Quadrate in arithharmonischer Proportion. , 1 1 1 = —.

y &

No. D.

ANDRE.

Théorèmes d'arithmétique.

Nouv. Ann.

X.

207-208.

Ist » ganz und > 1, so ist die Lösung von * ( * + l ) - - ( * + » » - 0 = y + i > 0 = 0, 4 - 1 , - 1 ) in ganzen Zahlen > 0 unmöglich. No. J.

J.

SYLVESTER.

into tWO primes.

On the partition of an even number Messenger (2.) I. 127-128.

Rep. Brit. Ass. 1871.

Unter dem Titel „Transactions of Societies" ist ein Auszug aus der obigen Abhandlung gegeben worden, die vorher in der Londoner Mathematischen Gesellschaft gelesen, aber von der Gesellschaft noch nicht publicirt war, weil sie unvollständig war. Es sollte in derselben ein Maass flir die wahrscheinliche Zahl von Wegen gefunden werden, auf denen die Zerlegung einer gegebenen graden Zahl in zwei Primzahlen bewirkt werden kann. Glr. (0.) N.

Analectes ou Série de mémoires sur les diverses parties des mathématiques. l r e et 2 e livraiNICOLAIDES.

son.

A t h è n e s , P a r i s , Gauthier-Villars.

3) Note sur la théorie des nombres. J.

HORNER.

On the algebra of magie squares.

Quart. J.

XI. 213-224.

Fortsetzung der Arbeit, über welche Fortschritte der Math. II. p. 99 referirt ist. Cly. (0.)

III. Abschnitt.

72 L.

LORENZ.

Zahlentheorie.

B i i l r a g til T a l l e n e s - T h e o r i .

Zeuthen

Tidssbr.

(3.) I. 97.

Der Verfasser beginnt folgendermassen: .,Wenn man die Zahl der Lösungen der unbestimmten Gleichung m* + en1 = N sucht, wo m und n ganze Zahlen, positiv, negativ oder null sind, die der Gleichung genügen, e eine gegebene Zahl, N eine positive ganze Zahl, so kann man zuweilen flir bestimmte Werthe von e ein einfaches Gesetz finden, welches diese Zahl mit der Zahl der Divisoren von X verbindet." Um das Problem zu lösen, transformirt man die Reihe 2 —i

- *

].

Im zweiten Gliede durchläuft m sämmtliche Werthe von 0 bis oo, n von 1 bis ca. Daraus wird dann folgendes Resultat abgeleitet: Bezeichnen pjv, a.v, bjv die Anzahl der Lösungen der Gleichungen tnt-\-n'1 = N, ( 4 m - f 1) n = N, ( 4 m + 3) n = N, wenn man in den letzten Gleichungen m und n nur ganze positive Werthe giebt und n ausserdem den Werth 0, so hat man Qy = 4 (ay — by). a y und b y sind die Anzahl der Theiler von N der Formen 4 m + 1 und 4 m + 3. Der Verfasser hat auf diese Weise die Fälle e = 2, e = 3, e = 4, e= — 1 behandelt und wendet seine Resultate auf die Summation einiger Reihen an. Hn. (0.)

Capitel 1.

J.

73

Allgemeines.

Olli den übestimtc Liguing x paa Opgave 2 9 8 . Zeuthen Tidsskr.

PETERSEN. Alivendelse

(3 ) I. 76.

Der Verfasser hat dieselbe F r a g e , wie Herr Lorenz behandelt, nur in mehr synthetischer Form. F.

Hn. (0.)

GAMBARDELLA. Sul numéro delle soluzioni intere e positive dell' equazione ax + by + cs = m, dove a,b,c,m sono nuraeri interi e positivi. Battaglini G. ix. 262-263.

E s ist leicht, die Gleichung ax~\-bycz = m so umzugestalten, dass nicht zwei d e r Grössen a, b, c einen gemeinsamen Theiler haben. Setzt man dann m = c-y-j-A; y J[-i = q-abJ{-r\ dividirt A, A + Ci A. + 2 c , . . A-f- (r—i)c durch ab und nennt die Summe der Quotienten s, die Reste £>,,.. ß r ; endlich k die Anzahl der möglichen Gleichungen ax -f by = ga, so ist die Anzahl der Lösungen von ax -f by -j- cz = m gleich 4" (2/rt + a + 6 + c— abcq) -f s -f k. No.

S.

BILLS.

Problème d'algèbre.

Nouv. ANN. (2.)

x.

323.

Bestimmung der ganzen allgemeinen Werthe von x, y und z, wenn

die Grössen xy — i, yz — i und xz—\

gleichzeitig Qua-

drate sein sollen.

S.

B I L L S and (A. Martin.)

Pr.

B.

EVANS.

Solutions of question

3159.

Educ. Times X V . 75.

Gesucht ganze Zahlen x, y, z, flir welche xy — i, xz — 1, yz — i Quadratzahlen werden. Siehe die vorige Aufgabe. Hi. D . S. HART.

Solution of question

3 1 1 5 . Educ. T i m e s x i v . 8 6 .

Gesucht werden 5 Biquadrate, deren Summe wieder Biquadrat ist. Hi.

ein

III. Abschoitt.

74 A.

MARTIN.

Zahlentheorie.

S o l u t i o n o f question 2 9 8 1 . EJuc Times, xiv.89.

Gesucht werden auf einander folgende Zahlen, so dass die Summe ihrer Quadrate wieder ein Quadrat giebt. Hi. SCOTT and H A R T .

Solution of question 3 1 8 3

(A.Martin).

Educ. Times XIY. 95.

Drei ganze Zahlen in geometrischer Progression, jede um eine Einheit vermehrt und quadrirt, sollen als Summe

wieder

eine Quadratzahl geben. Hi. HART, (G.

EVANS

a n d MARTIN.

Matteson).

S o l u t i o n of question

3158.

Educ. Times XV. 24.

Gesucht eine Reihe auf einander folgender Zahlen, deren Anzahl eine Cubikzahl ist, so dass die Summe ihrer Cuben wieder eine Cubikzahl ist. Evans giebt s = 4 - ( V -

3» 3 — 2 « * — 2 ) ,

wenn

die erste

D

der Zahlen x - \ - i , die Anzahl — n 3 ist, wenn

«>3. Hi.

EVANS.

Solution

of question

3175.

(Matteson.)

Kduc.

Times XV. 91.

Gesucht 4 positive ganze Zahlen, so dass die Summe von j e zweien eine Cubikzahl ist. Hi. G.

MATTESON.

Solution

of question

3158.

Educ.

Times

XIV. 32.

Gesucht M3 aufeinander folgende ganze Zahlen, so dass die Summe ihrer Cuben wieder eine Cubikzahl ist. Nur möglich für n = 1. Hi.

Capitel 1.

Allgemeines.

75

Note sur la resolution en nombres entiers et positifs de l'équation xm=y"+l. Nouv. A D D . (2.: x.

ANONYME.

'204-206.

Ist y eine Primzahl, so ist x = 3, m = 2, y — 2, u= 3 die einzige Lösung. No.

P.

SEELING.

Ueber die Auflösung der Gleichung x7-A?=±

1

in ganzen Zahlen, wo A positiv und kein vollständiges Quadrat ist. tírunert Arch. LII. 40-49. Lösung mittelst Kettenbruchs; Discussion; Tabellen. No. N.

BOUGAIEFF. La théorie des fonctions dérivées fonctioilS numériques. J. phil. de Moscou v.

des

Der Verfasser bezeichnet mit dem Namen numerisches Integral eine Summe von Functionen, die für irgend welche bestimmte Werthe eines bestimmten Argumentes genommen sind. Es sei 2 6 (rf) = v 0 0 . wo die Summe sich auf alle Theile von n erstreckt. Die Function 6 («) wird vom Verfasser die derivirte Function von \p (w) genannt. Der Ausdruck der numerischen derivirten Function ist bereits von Liouville und Dirichlet bestimmt worden. Nachdem der Verfasser ihre Untersuchungen dargestellt, betrachtet er die Entwickelung der Functionen in eine Reihe von der Form E 00 — a¡

+

+

(Ex ist die grösste ganze Zahl, die in x enthalten ist). Die Möglichkeit einer solchen Entwickelung für alle Werthe von n vorausgesetzt, beweist der Verfasser, dass jede andere Entwickelung dieser Form unmöglich ist. Hierbei ist der Cocfficient ak = wo Q (n) die derivirte Function der numerischen Function F(n)-F(n-i) ist.

76

III. Abschnitt.

Zahlentheorie.

Herr Bongaieff wendet diese Formel auf die Entwicklung 3

der Functionen E YTI, E}/« und einiger anderer an.

Die Ent-

wickelung von E )^N ist

a, b, c... sind Primzahlen. Aus derselben Formel (1) leitet der Verfasser eine Gleichung her, die zur Verbindung für zwei irgend welche Functionen dient. Es seien F(H)

= F W

E ±

+ F(2)E%

+ F ( S ) E ± +

:

at

e h> x,

indem er die Todesursachen in drei Classen theilt, wie sie den Lebensabschnitten der ersten 20, der folgenden 30 und der übrigen Jahre eigen sind, zu denen noch eine vierte für die in jedem Alter gleich wahrscheinlichen Todesfälle kommen könnte. Bezeichnet dann Ix die Wahrscheinlichkeit des Sterbens im Alter r ,

IV. Abschnitt.

also

i

( x 4- n ^ . —I x

die

'

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Wahrscheinlichkeit

des

89

Ueberlebens

des

Jahres x, so ist: »o

/

f i

( a f )

d x .

X

Das Verfahren der Constantenbestimmung ist aus allen zu Gebote stehenden Methoden zusammengesetzt, und es werden alle sieben Constanten des Gcsammtausdrucks zugleich berechnet. Die dadurch erreichte Uebereinstimmung mit dem ßeobachtungsmaterial ist ganz befriedigend. Da jedoch der Verfasser weniger die Anwendbarkeit seiner Arbeit schätzt, vielmehr deren Beurtheilung vom theoretischen Gesichtspunkt wünscht, so hätte es offenbar nahe gelegen, durch gesonderte Prüfung der drei Theile des Ausdrucks seinen plausibeln Theilungsgrund zum Erfahrungssatz zu erheben und dadurch ein Motiv zu seiner Beibehaltung zu geben. H.

Note sur la formule de Gompertz et sur son application au calcul des probabilités de la vie humaine. Darboux Bull. II. 282-288.

CH.

SIMON.

Der Verfasser leitet kurz die Formel von Gompertz ab, die in England bei der Berechnung der Tabellen für Lebensversicherungen benutzt wird, und zeigt an einigen Problemen die Vortheile, die ihre Anwendung anderen Formeln gegenüber bietet. Der wesentliche Zweck der Arbeit ist, die Aufmerksamkeit der Franzosen auf diese unter ihnen wenig gekannte Formel hinzulenken. 0.

H. M'COLL.

Solution of question 1100. (Miller.)

Educ.

Times X V . 35.

Eine gerade Strecke wird beliebig in drei Segmente getheilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese ein spitzwinkliges Dreieck bilden können = 3 log 2 —2. Hi.

I V . Abschnitt.

90

A.

U. 8.

MARTIN

(A. Martin.)

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

WAISOX.

Solutions of question 3316.

Educ. T i m e s X V . 74.

Eine G e r a d e von beliebiger Länge wird von einem P u n k t e innerhalb eines Kreises beliebig gezogen; dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe den Kreisumfang schneidet, = 1

aresin ( ¿ )

wenn a die Länge

| .

(

4 r ' -

der gegebenen Geraden, r der Radius des

Kreises ist.

H.

Hi.

u. (A. Martin.) M'COLL

S.

Solutions of question 3385.

WATSON.

Educ. T i m e s X V . 83.

Ein P u n k t wird beliebig im Innern eines Rechtecks angenommen, und eine beliebige Gerade durch ihn gezogen. Gesucht die Wahrscheinlichkeit, dass diese Gerade gegenüberliegende Seiten des Rechtecks schneide. Stehen die Seiten im Verhältniss o : l , so ist die Wahrscheinlichkeit i

=

+

A log a -- - L (1 + a 7 ) log (I -f a 2 ). 71 7UI Hi.

S.

WATSON.

Solution of question 3310.

(.J.

Wolstenholme.)

E d u c . T i m e s X V . 56.

Wenn

in einer Strecke AB

die Punkte P und Q und ein

P u n k t R zwischen ihnen beliebig angenommen werden, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass PRt + RQ' > APZ + QB« ist, = 3 log 2 - 2 . Hi.

S.

WATSON

(M'Coll.)

and

other.

Solutions

of question

3264.

Kduc. Times X V . 40.

Vom Mittelpunkt eines Quadrates werden drei Gerade gezogen, die erste in beliebiger Richtung, die zweite nach einem beliebigen Punkte im Umfange, die dritte durch einen beliebigen

IV. Abschnitt.

P u n k t in der Fläche.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit =

d a f ü r , dass die e r s t e , =

2 1 — —

91

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

— I

71

— dafür, d a s s

1,

71

die zweite

und

d a f ü r , d a s s die dritte die grösste ist.

n

Hi.

S. WATSON.

Solution

of question

3342.

(M'Coll.)

Kduc. T i m e s X V . 58.

Wenn von einem beliebigen Punkte innerhalb eines gleichseitigen D r e i e c k s Senkrechte auf die Seiten gefällt w e r d e n , ist 3 log 2 — 2

die Wahrscheinlichkeit,

dass diese

so

Senkrechten

ein spitzwinkliges Dreieck bilden können. Hi. S . WATSON.

Solution of question 3 3 7 5 .

( A . Martin.)

Educ. T i m e s X V . 94.

In

einem

dunklen Zimmer

zeichnen

zwei Personen

jeder

einen Kreis auf eine kreisrunde Tafel. Die Wahrscheinlichkeit, 9 dass beide Kreise sich schneiden, ist — . 3:> Hi.

S. WATSON.

Solution

Educ. T i m e s X V .

of question

(M'Coll.)

3388.

106.

Die Wahrscheinlichkeiten,

dass die Kesultirende zweier be-

liebiger K r ä f t e in einer Ebene die grösste, kleinste oder mittlere der drei K r ä f t e s e i , sind 2 3

2 - / 3 7i

1

n

2 3 ' 3

2(/3-l) 7t Hi.

S. WATSOH. Solution of question 3 2 5 6 . holme.) E d u c . T i m e s X V . 108.

(J.

Wolsten-

Wenn eine g e g e b e n e Strecke beliebig in vier Theile getheilt wird, so ist die Wahrscheinlichkeit,

dass die Summe der Qua-

I V . Abschnitt.

92

drate von irgend

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

dreien kleiner als das Quadrat des vierten

Theiles sei, = 6 - f n — 12 log 2. Hi. S. WATSON.

Solution

of

question

2991.

Educ

Times

X I V . 33

Durch die Endpunkte der grossen Axe einer Ellipse werden zwei Gerade von beliebigen Richtungen gezogen. scheinlichkeit p ,

Die Wahr-

dass diese innerhalb der Ellipse sich schnei-

den, ist: p = - ^ | ( a r c t a n g m)2,-[- 2

aretang (w'cot.fjr) d y j

aretan;: m

= -^¡(aretangwO' + i (J - W

Q - O

+m4) +|m,0(i

-...J. Hi.

S . WATSON.

Solution

of question

3258.

(A.

Martin.)

Educ. Times X I V . 97.

Zwei Punkte

werden beliebig

in demselben Kadius

eines

Kreises genommen und mit einem beliebigen dritten Punkte innerhalb des Kreises verbunden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das 4 5 entstehende Dreieck spitzwinklig ist, ist Durch zwei beliebig

im Umfange eines Kreises angenom-

mene Punkte werden beliebige Sehnen gezogen. scheinlichkeit, den, ist =

dass diese

innerhalb des

Kreises

Die

Wahr-

sich schnei-

-i-, Hi.

A . MARTIN.

Solution of question 3 1 8 7 . Educ. Times XIV. 71.

Eine Sehne ist beliebig durch

einen Kreis gezogen,

die

Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebig in der Fläche des Kreises

I V . Abschnitt.

93

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

angenommene Punkte an derselben Seite der Sebne liegen, =

_2_

5

ist

wenn die Endpunkte der Sehne im Kreisumfange

128 beliebigD angenommen werden; und - - 1 — t ^ —N ^- im Falle, dass O die Sehne iu beliebiger Richtung gezogen ist. Hi.

S.

WATSON.

Solution of question 2791.

EJuc. Times

xiv.

19-20. 1) In den Seiten BC, CA, AB eines Dreiecks ABC werden die Punkte D, E, F beliebig angenommen und das dem ersten eingeschriebene Dreieck DEF gebildet. In jedem der Dreiecke AEF, BFD, CDE wird ein Punkt als Vertex eines Dreiecks PQR beliebig angenommen. Dann ist der mittlere Werth der Fläche von PQR gleich dem vierten Theile der Fläche von ABC. 2) Sind G,, Gt, G3 die Schwerpunkte der Dreiecke AEF, BFD, CDE, so ist allgemein 9 JGt Gt G3 = 2JABC+JDEF. Hi. SAVAGE,

WOLSTENHOLME,

of question 2360.

(W.

WATSON'antl otlier.

J. Miller.)

Solutions xiv. 103.

Educ. Times

Gesucht der mittlere Flächeninhalt aller Dreiecke, ftir welche gegeben ist: 1) Ein Winkel 0 und die Summen l der anliegenden Seiten: alle möglichen Werthe der Seiten gleich wahrscheinlich /' sin 0 angenommen — — . 2) Die Summen zweier Seiten allein: alle möglichen Winkel V gleich wahrscheinlich angenommen -r.—. Vit 3) Eine Seite a und die Summe l der beiden anderen: - T T

('•-•>'•

4 -1) Die Summe s der drei Seiten: - — - ns*.

IV. Abschnitt.

94

WalirschfinlicliVeitsrechnung.

Alle möglichen Werthe der Seiteu innner als gleich wahrscheinlich. Ferner das Mittel der mittleren Werthe in (3) ist o

des mittleren Werthes in (4). Hi.

A. M A R T I N .

S o l u t i o n of q u e s t i o n 3 0 1 5 .

Educ. Times

xv. 65.

Wird eine Sehne beliebig durch einen Punkt iu der Fläche eines 16r , n

Kreises gezogen, so ist die mittlere Lauge der Seime = und die mittlere Fläche des abgeschnittenen Segments

Hi. W . J . C. MILLER.

Solution

of

question

3259.

Edac.

Times X V . 34

In einem gegebeuen Kreise, Radius = a, werden zwei Radien beliebig gezogen, und dem so erhaltenen Sector wird ein Rechteck von gegebener Form symmetrisch eingeschrieben. Dann ist die mittlere Fläche des Rechtecks für alle Formen des Sectors = ( l - — arc tang 2 - ~ log 5 ) a a = 0,391 a 5 . N n &n s Die mittlere Fläche des grössten 2a* aber ist = log 2 — 0,441 «'. n

eingeschriebenen

Rechtecks

Hi. STEPHEN Times

WATSON.

Solution

of

question

2547.

Educ.

X I V . 29.

Der mittlere Werth der Fläche eines Vierecks, dessen einer Eckpunkt im Mittelpunkt eines gegebenen Kreises liegt, während die anderen drei im Umfange desselben Kreises beliebig ange2 nommen werden, ist = mal dem lulialte des gegebeneu n Kreises.

Hi.

IV. Abschnitt. S.

Wahrsclii-inlicbkeitsrechuung.

Solution of question 3 0 0 5 .

WATSÖN.

95

Educ. Times X I V . 94.

Mittlere Entfernung aller Punkte innerhalb eines Parallelogramms von eiuem Eckpunkt. Hi. and J . DALK. Solutions of question 3 1 4 1 . (S. Watson.) E d u c . T i m e s X I V . Gl. Durch den Brennpunkt eiuer Ellipse werden zwei Sehnen, rechtwinklig zu einander, gezogen. Die Fläche des durch die Endpunkte der Sehnen gebildeten Vierecks hat dann den mittleren Werth f , . wenn a, b die Halbaxen bezeichnen. Der a -\-b A.

B. EVANS

grösste Werth, den die Fläche annehmen kann, ist 26*, der kleinBte

kleinste

8g,&
, — 1 Air einen beliebigen Werth des p durch m theilbar ist. Es bezeichnet dann den (p + l) l r " Binomialcoefficienten für das Binom (« 6) m -'. Ferner folgt aus diesem Satze für den Fall, dass m eine Primzahl ist: Vermehrt man diejenigen der Coeflicienten von welche in einer graden Stelle stehen um 1, und vermindert man diejenigen, welche in einer ungraden Stelle stehen, um dieselbe Grösse, dann erhält man eine Reihe von Zahlen, welche sämmtlich durch vi theilbar sind. T. D.

Developpements de sin

Andrk. de

sill

a"

et

de

COS

a".

(/iß-l-a'),

de cos

N o u v . A u a . (2.) X .

Ausgehend von dem Ausdruck t/ = c

vcosa

(/jra-fs),

359-368.

sin (x sin a), wird d" ti

durch fortgesetztes Differcntiiren ein Ausdruck für

abge-

leitet; bezeichnet man den ersten Factor in y durch ?/; den zweiten durch v, dann findet man durch fortgesetztes Differcntiiren il" ti einen zweiten Ausdruck für und durch Gleichsetzen beider dx" Resultate erhält man die Entwickelung für sin (na a). Durch Substitutionen kann man daraus eine Entwickelung für sin pn herleiten. Für cos («« + :&) enthält man eine Entwickelung entweder durch Differentiiren der flir sin («a j-s) gefundenen nach z-, oder auf ganz analogem Wege wie die erste flir sin Qta s), vr0Sß ausgehend von y = c cos (xsin «). Durch Substitutionen gewinnt man dann auch eine Entwickelung flir cos pa. y =Wählt Clxcasu man cos'den O s iAusdruck: n a ) = ); 1 c o s (2xsina) ^ . V C O S I ,

_J_

C

2 A - C U S U

zum Ausgangspunkt, dann gewinnt man aus den beiden Seiten der Gleichung durch fortgesetztes Differcntiiren eine Entwickelung flir cos a", welche durch passende Substitutionen no, i/, ••& 0 ) bezeichnet der Verfasser durch k, k (x), ku (x) ctc. und neunt diese Grössen ¿-Functionen. Sie spielen in der Theorie der behandelten Functionen dieselbe Rolle, wie anderwärts die Constanten. Die wichtigsten dieser k-Functionen sind diejenigen, welche als Quotienten von 0-Functionen sich e r g e b e n , deren Variable ¿ l o g ® und deren Modul + ,] log«/ ist. M. F.

TANO. Battaglini

Sopra tluc scrie di Gauss e di Heine. O . I X . G0-G3.

Auch hier w i r d , wie in der oben besprochenen Arbeit, die höhere Ileinc'scbe Reihe:

210

V. Abschnitt.

Reiben.

i/> ( d,f '

80 ist d' (log *) dx*

+

, d* (log s) dy*

_ ~ Glr. (0.)

S . A . SEXE.

Et Par Orel om matliematiske Graendser.

Christiania. Nyt Magazin, 1871 81-97. Formale Bemerkungen hinsichtlich

~

u. s. w. L.

E.

W.

GENESE.

On maxima and minima. Messenger(2) I.

23-34.

Die Arbeit giebt eine Methode, die Maxima und Minima eines rationalen algebraischen Ausdrucks ohne Differentialrechnung zu finden. Glr. (0.) F . UNFERDINGER.

nimums.

Zur Theorie des Maximums und Mi-

Grunert Arch. LI1I 15-26.

Der Verfasser bringt eine von Herrn Pctzval vor mehr als 22 Jahren an der Wiener Universität vorgetragene und in Haidinger's naturwissenschaftlichen Abhandlungen (II. Bd. 1848) veröffentlichte Methode für die Bestimmung der Kriterien des Maximums und Minimums einer Function von beliebig vielen Variablen in Erinnerung und führt sie für drei Variable durch. Sie kommt im Grunde darauf zurück, die homogene Function zweiten Grades

Capitel 3.

119

Integralrechnung.

worin U=f(xi

•••xa) ist und ( J* }? *) den Werth von ^ ^ * \ dx, dxx ' a dx, dxx für das Weithsystem x^... x',', bedeutet, i'iir welches d U

6xl

=0.

™ dx„

=0

ist, vermittelst einer orthogonalen Substitution in ein Aggregat von n Quadraten zu verwandeln. Die Coefficienteu der Quadrate finden sich bekanntlich als Wurzeln einer Gleichung nte" Grades, die alle reell sind. Je nachdem diese nuu sämintlich positiv oder negativ sind, oder auch, je nachdem die Gleichung lauter Zeichenwechscl oder lauter Zeichenfolgen in ihren Coefficienten anzeigt, ist U für das betrachtete Werthsystem ein Minimum oder Maximum. Kommen theils Zeichen Wechsel, theils Zeichenfolgen vor, so ist U für jenes Werthsystem weder ein Maximum noch ein Minimum. Wenn der Verfasser jedoch der Meinung ist, hierdurch den Gegenstand erledigt zu haben, so ist zu bemerken, d*U dass der Fall, wo die zweiten Derivirten — ~ — für das beVtTi

03Cy

trachtete Werthsystem sämmtlich verschwinden, nicht berücksichtigt ist. Hr.

Capitel 3.

Integralrechnung. E.

COMBESCURE.

et d'intégration.

Sur diverses conditions d'intégrabilité Brioschi Ann. (2) V. 20-62.

Die Abhandlung erstreckt sich über sehr verschiedenartige Gegenstände und behandelt Aufgaben, die an und für sich in gar keinem Zusammenhange stehen und nur in den zu ihrer Lösung benutzten Rechnungsoperationen eine entfernte Aehnlichkeit erkennen lassen. § 1 beschäftigt sich mit der Frage, unter welchen Bedin-

120

VI. Abschnitt. Differential- i;. Integralri-chininj:.

gutigen ein gegebener Ausdruck F, der die unabhängige Variable x, eine unbestimmte Function y von x u n d ' d e r e n Differentialquotienten bis zum enthält, ein vollständiger Differentialquotient ist. Anstatt, wie man sonst zu thun pflegt, die Euler'sche Integrabilitätsbedingung zu Grunde zu legen und zu untersuchen, welche Bedingungsgleichungen sich aus dieser ergeben, geht der Verfasser direkt davon aus, dass, wenn f derjenige Ausdruck (n—l)'' r Ordnung ist, dessen üifferentialquotient F, die Gleichung: dx

'

y

By

+

y

dy'

+

y

cy—»>

fltr alle Werthe von x y y' • • • r/H) identisch erfüllt sein nmss, ganz so als ob diese Grössen unabhängige Veränderliche wären, berechnet daraus die Werthe der partiellen Differentialquotienten des unbekannten Integrals f und zeigt, dass unter den bekannten n Bedingungen von Joachimsthal diese Werthe clen Relationen: a j f etyw _ =

J f ctyW ~dy^~ ' d

Ö S d Sf dx _ dy (n) mit Hülfe der Integralrechnung finden kann. Hn. (0.) A.

GENOCCHI.

ed Lagrange.

Dimostrazione di una formola di Leibniz Mem. di Torino XXVI. 61-77.

Siehe Fortschr. d. M. II. p. 135.

Capitel 4.

Bestimmte Integrale. G.

F . MEYER. Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen. Leipzig. Teobner.

Die Grundlage dieses Buches bilden die von Dirichlet im Sommersemester 1858 gehaltenen Vorlesungen Uber die Theorie

126 der

T l . Abschnitt.

bestimmten

Differential- u. Integralrechnung.

Iutegrale.

Ausserdem

sind

die

Vorlesungen

Dirichlet's über Integration partieller Differentialgleichungen, mit Anwendung

auf physikalische P r o b l e m e , Sommersemester 18f>7,

und „ U e b e r die Kräfte, welche im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung w i r k e n " , Wintersem. 1857/öS, und die Dirichlet'schen Abhandlungen benutzt worden.

Der

beschränkte

R a u m gestattet nicht, auch nur andeutungsweise von der Reichhaltigkeit des Materials, das in dem W e r k e geboten wird, eine Vorstellung zu g e b e n , und wir bemerken nur, Laplace'schen,

Cauchy'scben,

unseres Wissens gangenen

in

die bekannteren

Kummer'schen

dass ausser den

Liouville'scheu Formeln auch die

Theoreme

Lehrbücher nicht Uberge(Crelle J .

XVII.)

und

die

Winckler'schen Formeln ( W i e n . Ber. L X , siehe F . d. M. II. p. 146) mit aufgenommen sind.

Den

werden

allgemeinen

zunächst

die

Gang der Darstellung Principien,

anlangend, welche

der

T h e o r i e der bestimmten Integrale zu Grunde liegen, in einer gesonderten Abtheilung dargelegt, worauf die Bestimmung der besonderen einfachen und vielfachen Integrale folgt. Von den Anwendungen,

welche von der Theorie

der

be-

die Theo-

stimmten Integrale gegeben werden, merken wir a n :

reme Uber die Gauss'schen Summen und das Reciprocitätsgesetz a u f dem Gebiete der Zahlentheorie, ferner die Entwiekelung einer Function nach Kugelfunctionen,

die Berechnung der Oberfläche

des dreiaxigen

der

Ellipsoids

nach

Catalan-Lobatto-Dirichlet'-

schen Methode und die Attraction des homogenen Ellipsoids auf einen Punkt.

Hr.

D . BIERENS DE HAAN.

Note

sur

la

différentiation

et

l'intdgration cl'une intégrale multiple par rapport a une constante. Versl. eu Mededeel. ,2) V . 53-64 und 65-77. A r c h . Néerl. VI. 329-347.

Schlömilch

hat die Euler'schc Methode

der

Differentiation

und Integration eines bestimmten Integrals nach einer bestimmten Constanten auf den F a l l ausgedehnt,

wo

die Grenzen

stimmten Integrals von dieser Constanten abhängen.

des

be-

D i e betref-

fenden Integrations-Formeln sind für diesen F a l l von H. B i e r e n s

Capitel 4.

Bestimmte Integrale.

127

de Haan gegeben, Versi, en Medcdeel. (1.) IV., 322-340,' 1856. Cauchy hat für vielfache Integrale, deren Grenzen unabhängig von der Constanten sind, die Differentiation und Integration nach dieser Constante ausgeführt. Im Vorliegenden betrachtet nun der Herr Verfasser den F a l l , wo die Grenzen Functionen der betreffenden Constante sind. Er geht für die Differentiation aus von der Formel:

d

ftr r

w

r

fRdf(ç,x),

, dR *

dr *

^

und von diesem einfachen Integral zu einem Doppelintegral, von diesem zu einem dreifachen Uber. Die allgemeine Form des »fachen Integrals ist leicht aus der des dreifachen zu ersehen. Dasselbe wird dann für die Integration eines vielfachen Integrals ausgeführt mit Hülfe der Formel:

f w f h , 0 dx = f R d x f f ( ç , r) do - f ~ d o f f (ç, ß) dç r r *

+/£ «

M

"> «

fc"> f «

*f*

WO

x (e, y)

=

Jf

(&

y)

de

ist. Die Endformel wird allerdings sehr complichi. Schliesslich wird der specielle Fall durchgeführt, wo die unter dem vielfachen Integral stehende Function von der betreffenden Constante unabhängig ist. M.

0. CHIÒ. Théorème relatif À. la différentiation d'une intégrale définie par rapport à une variable comprise dans la fonction sous le signe f et dans les limites de l'intégrale étendue au calcul aux différences et suivi de quelques applications. A t t . d T o r i n o vi. 1 9 4 - 2 3 0 . Die wenigen Worte, welche zur Einleitung dieser Arbeit

V I . Abschnitt.

128

Differential- u. Integralrechnung.

dienen, erläutern ihren Zweck gut.

Referent glaubt daher nicht

fehlzugreifen, wenn er sie statt eines Referates hier reproducirt. „Die Geometer,

und vor allem Cauchy,

h a b e n , indem sie sich

auf die Formel stützten, welche das Differential eines bestimmten Integrals in Beziehung auf eine Variable der Function unter dem Z e i c h e n J und zwischen vieler Eleganz,

den Integrationsgrenzen darstellt,

mit

sowohl den Ausdruck eines vielfachen Integrals

mit einer einzigen Yariabeln

unter der Form eines einfachen Integrals abgeleitet, als auch die Reihe von Taylor mit dem Restgliede. die Absiebt zu zeigen,

Ich habe in dieser Schrift

dass man eine der oben citirten analoge

Formel für die Differenzenrechnung aufstellen kann. mittelst derselben leicht

nicht

Ich erhalte

allein den Werth des vielfachen

Integrals von der Ordnung H

unter der Form eines einfachen Integrals mit Differenzen,

son-

dern

den

auch

das Restglied

der bekannten F o r m e l ,

welche

Werth einer Function f ( x ) mit Hülfe ihrer Differenzen, bezogen auf einen und denselben Werth der Variabein, giebt."

Jg. (0.) L.

OPPERMANN.

Der Verfasser

Olli

Qvadraturer.

drückt

sein Problem

Zeuthen Tidsskr. (3) I. 11.

folgendermassen

aus:

„Schon Newton und seine jüngeren Zeitgenossen haben annähernd das Integral einer Function dargestellt, indem sie nach Multiplication bestimmter Werthe der Function

mit gewissen Factoren

die Summe aus diesen Producten nahmen." in ihrer Allgemeinheit

von Gauss

Diese Methode ist

entwickelt.

Hier

Verfasser eine (zum Theil originelle) Entwickelung seben Resultate.

Die Methode setzt voraus,

der

dass die Function

in eine convergente Reihe nach steigenden Potenzen werden kann.

giebt

der Gauss'entwickelt

Capitel 4

Es sei / X dx das gesuchte Integral. x

und

(1)

129

Bestimmte Integrate.

Setzt man nun

= 9 + y h + y h»

X = X0 + li n + L «* H

,

so bat man: '*+* /

Xdx =

h /' ¡1 Y

J

U d u = h (A(, + ¿ A, + * K + "O = A F 0 .

e Es seien jetzt a, o, a3 • • • a„ verschiedene Werthe von u, At A2 A3---A„ die entsprechenden Werthe von U. a, a., as --an die entsprechenden Factoren. Setzt man Oj Al + °2 + •' •a« An = F,) so musa man F, dergestalt bestimmen, dass es möglichst nahe mit F0 zusammenfällt. Setzt man (2) F2 = K (1 - [«]) - A, (1 - [ « « ] ) + A, ( ¡ - [ « » « ] ) • . , (wo [ ] das Zeichen der Summation ist), so ist hF.2 die Correction, die man zu hFt hinzufügen muss, um den genauen Werth hF0 zu erhalten. Wird die Reihe (1) als convergent vorausgesetzt, so wird die Annäherung um so grösser sein, je höher der Index von h im ersten Gliede von (2) ist, das nicht verschwindet. Der Verfasser zeigt, wie man die 2n ersten Glieder der Reihe (2) verschwinden lassen kann, wenn man Uber die 2n Grösseu a( at- -a„ a, a, • • • o„ disponiren kann und giebt alsdann einige Mittel zur Erleichterung der Rechnungen an. Hn. (0.) D.

Oversenige nieuwe herleidungsde tlieorie van bepaalde integralen.

BIERENS DE H A A N .

formulen by

Verh. d. Ak. d. Wet. Amst. 1871- 1-64. A.

Formules relatives K la théorie des intégrales définies. Clebech Aun. IV. 550-557. ANDRÉIEWSKY.

Der Verfasser giebt zunächst einen analytischen Beweis des Satzes, dass: Fortschr. (I. Math. III. 1.

9

V I . Abschnitt.

130

o (x, X) + ip (x, *)] dx = j * [qr (x, a) - f tp (b, x ) ] dx n

J ii ist,

Differential- u. Integralrechnung.

sobald qr (x, y) und

zwei zwischen den Grenzen

(x, y)

x = x = a und x — y — b stetige Functionen von x und y sind, welche der Bedingung

an, wie man sie bei der Zerlegung einer beliebigen Function F

der imaginären Variabein x + iy in die

Theile:

F O - f iy) = (p (x, y) -f »V fo y) erhält, wobei von der Bemerkung Gebrauch gemacht wird, dass man

in der obigen Formel

rechter Hand unter dem Integral-

zeichen a und b mit einander vertauschen kann, nachdem er zuvor noch den Satz

und schliesst,

auf mehr als zwei Variable

ausgedehnt hat, mit einigen allgemeinen Betrachtungen Uber Integralformeln von der Beschaffenheit:

pb

h

/

a

fix,

a, b) dx =

a

/ X / e~x* dx X

als neue fundamentale Function einzuführen, welche er die Errorfunction nennt uud durch Erfx

bezeichnet, so dass dx =

Erfx.

X

Im zweiten T h e i l e wird noch die Function f i)

e~x' dx = Erf c x,

als Error-function-complement beigefügt.

Man hat dann

Erfx

+ Erfcx

—

wenn x positiv.

Erfx

+ Erfcx

=

i/n ¡j—, wenn x negativ.

E s werden Eigenschaften der Function entwickelt und eine Menge

bestimmter Integrale durch dieselbe ausgedrückt.

Hier-

von nur einige Beispiele: "

/ *

iIn

- r r — a?"1 + a'

Ii

I

p~cx' dx

=

—

a

LJFL. -

e

ca"'

ErfaVc. '

i ü

E r f a

Jc

it y ii Zur gegeben.

e - « " " sin 2 r x ~

Berechnung

von

Zum Scliluss

Erfx

=

werden

Erfc(—

)•

Reihenentwickelungen

wird ein Verzeichniss der

vorhandenen

T a b e l l e n zusammengestellt, welche j e d o c h den Werth von nur für Werthe von x zwischen 0 und 3 0 0 enthalten,

Erfx

weshalb

eine weitere T a f e l für W e r t h e von x = 3 00 bis x = 4 - 5 0 vom Verfasser berechnet ist.

Hi.

Capitel 4. R.

PENDLEBURY. Phil

Bestimmte Integrale.

Note

on

some

133

definite integrals.

Mag. (4.) X L I I . 437-440.

Der Verfasser drückt einige weitere Integrale durch die von Herrn Glaisher eingeführte Error-function aus, indem er Producte und Potenzen von Er fx

bildet.

\Erf(_a)Y =

Er erhält z. B.

e - ' f

Auch die dritte und vierte Potenz

1+x*

wird

'

durch bestimmte Inte-

grale ausgedrückt. S.

SPITZER.

Hi.

D a r s t e l l u n g der Function y = x"e'lx\

cher 1 eine

con staute,

aber

von N u l l

verschiedene,

und n N u l l oder eine g a n z e p o s i t i v e Z a h l in der F o r m y =

S[AM

emx].

in w e l -

bezeichnet,

Grunert Arch. LII., 364-368.

>f\ S.

Darstellung

SPITZER.

der

Function

y — xneax\

welcher a eine con staute aber v o n N u l l

in

verschiedene,

und n N u l l oder eine g a n z e positive Z a h l

bezeichnet,

ill der F o r m y = S [Am emx]. Grunert Arch. L I I . 368-370. In der ersten Arbeit wird von der Identität 4 l*s=-4=

/ i/2n l/2n 1 —JaJ

n+

il-

e~^+uxi/ndu

ausgegangen und durch fortgesetzte Differentiation die Relation erhalten : e-~+uxVn

y du,

wo V eine ganze Function von u ist, welche

der Differential-

gleichung : - T T2 - 4 du ist, genügt.

S — - 4- m VF = 0, -wo W = e du '

Die Lösung

2 V

derselben und die Bestimmung

Constanten durch die beiden Bedingungen,

der

dass V eine ganze

Function ist, und dass für ra = 0 die obige Formel für elx' ergeben muss, führt auf folgenden Ausdruck für

xn

elxl:

sich

134

VI. Abschnitt.

Differential- u. Integralrechnung.

/*+ x

1 x

»e**' =

- ¿ =

/

}/2n ¿r

e

- ff" P 2 u x

j

du"

welcher die verlangte Form hat. In der zweiten Note geht der Verfasser von dem folgenden, bereits im 42 ten Bande des Archivs p. 105 aufgestellten Werth für e" v ' aus: (1) en v ' = / / c 0 0

3

c (C,

C2 el>uux -f C3 e ¿

log

1

b

V_arctgj8in«tg^ sina;

=

y

ü

erfolgende Gleichung: — ß

'

cos x

dx

=

2 / J

ii

sin

x

dx,

wird mit Hülfe von unendlichen Reihen verificirt.

G.

^

:

a+bcosx a —öcosa;

Die für et = ^

/ '/i , r c 5 , n ft arctg ( s i n o t g a ; ) sin® . J< Ji 0

D I L L N E R . Definita integraler Dillner Tidssbr. IY. 33. 121.

ß Z , , , r < 1

Hr.

af synektiska funktioner.

Fortsetzung einer früheren Abhandlung. II. P- 154.

S. Fortschr. d. M. Hn. ( 0 . )

136 S.

VI. Abschnitt.

Differential- u. Integralrechnung.

REALIS. Esercizio elementare sugi' integrali euleriani dèlia p r i m a Specie. Battaglini G IX., 345-354.

Der Verfasser untersucht Gattung:

das Euler'sche Integral erster (1— x)