Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 28 Jahrgang 1897 [Reprint 2020 ed.] 9783112362808, 9783112362792

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet von

Carl Ohrt mann. Im Verein mit andereil Mathematikern und unter besonderer Mitwirkung der Herren

Felix Mttller und Albert W&ngerin herausgegeben von

Emil Lampe. Band 28. J a h r g a n g

1

8 9 7 .

B e r l i n . Druck nnd Verlag von G e o r g R e i m e r .

1900.

Erklärung der Citate. E i n e e i n g e k l a m m e r t e Z a h l vor d e r ( f e i t g e d r u c k t e n ) B a n d z a h l b e z e i c h n e t die R e i h e (Serie), zu w e l c h e r d e r B a n d g e h ö r t . E i n i g e p e r i o d i s c h e S c h r i f t e n , in d e n e n nur zuweilen eine v e r e i n z e l t e m a t h e m a t i s c h e A r b e i t e r s c h i e n e n ist, sind in d i e s e s V e r z e i c h n i s n i c h t a u f g e n o m m e n w o r d e n ; d a s b e z ü g l i c h e C i t a t im T e x t e ist dann in h i n r e i c h e n d e r A u s f ü h r l i c h k e i t g e g e b e n .

Acta Math.: A c t a M a t h e m a t i c a . Z e i t s c h r i f t h e r a u s g e g e b e n Leö'ler. S t o c k h o l m . 4°. 2 0 , 21. Acta. Sac. Fcnmcae: Acta societatis scientiarum Pennicae. »I •>•>

von G. M i t t a g I l e l s i n g f o r s 4°.

American Acad. Proc.: P r o c e e d i n g s of t h e A m e r i c a n A c a d e m y of a r t s a n d s c i e n c e s . 8°. 32, 3 3 . American ./.: A m e r i c a u J o u r n a l of M a t h e m a t i c s . E d i t o r S. N e w c o m b , A s s o ciate E d i t o r T h . Craig. P u b l i s h e d u n d e r t h e a u s p i c e s of t h e J o h n s H o p k i n s U n i v e r s i t y . B a l t i m o r e . 4°. 1 0 , 2 0 . American M. S. Bull.: B u l l e t i n of t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y . A h i s t o r i c a l a n d critical review of m a t h e m a t i c a l s c i e n c e . E d i t e d by T . S. F i s k e , A. Z i w e t , P . Morley, F . N . C o l e . N e w Y o r k . 8°. (2) 3 , 4 . Am. J. of science: T h e A m e r i c a n J o u r n a l of S c i e n c e . E d i t o r : E d w a r d S. Dana. Associate editors: P r o f e s s o r s Geo. L . Goodale etc. New Haven, C o n n e c t i c u t . 8°. (4) 3 , 4. Amst. Akad. Verh.: K o n i n k l i j k e A k a d e m i e van W e t e n s c h a p p e n , A m s t e r dam. V e r h a n d e l i n g e n . 4. Amst. Akad. Versi o d e r Amst. Sitz.-Uer.: K o n i n k l i j k e A k a d e m i e van W e t e n s c h a p p e n , A m s t e r d a m . V e r s l a g e n . 5. Annali di Mat.: A n n a l i di m a t e m a t i c a p u r a ed a p p l i c a t a d i r e t t i dal p r o f . F r a n c e s c o B r i o s c h i colla c o o p e r a z i o n e dei p r o f e s s o r i : L . C r e m o n a , E . Beltrami, U. Dini. Milano. 4°. (2) 2 4 , 2 5 , 2 6 . Annals of Math.: A n n a l s of M a t h e m a t i c s . O r m o n d S t o n e , e d i t o r . W i l l i a m M . T h o r n t o n , a s s o c i a t e e d i t o r . Office of p u b l i c a t i o n : U n i v e r s i t y of V i r ginia. B. W e s t e r m a n n and Co. N e w York. 4°. 11. Ann. de. C'him. et Phys.: A n n a l e s d e C h i m i e et d e P h y s i q u e p a r M M . B e r thelot, P r i e d e l , M a s c a r i , M o i s a a n . P a r i s : M a s s o n e t C i e , é d i t e u r s . 8°. (7) 10, 11, 12. Ann. de CÉc. Norm.: A n u a l e s s c i e n t i f i q u e s de l ' É c o l e N o r m a l e S u p é r i e u r e , p u b l i é e s e t c . p a r un comité de r é d a c t i o n c o m p o s é de MM. les m a î t r e s de c o n f é r e n c e s d e l ' É c o l e . P a r i s : G a u t h i e r - V i l l a r s e t P i l s . 4°. (;i) 14. A*

IT

Erklärung der Citate.

Annuaire Belg.: Annuaire de l'observatoire royal de Belgique. P a r F . Folie Bruxelles: Hayez. 1897, 61. Ardi. f . Art.: Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Officiere des deutschen ReichsheereB. Rédaction:Schröder. Berlin: Mittler n. Sohn. 8°. 104. Archivo de Mai.: Archivo de matemáticas poras y aplicadas. Periodico mensual publicado por D. Luis Gonzago Gaseó con la colaboración de E. León, M. Belmás. Madrid, Valencia. 8°. 2. Arch. Néerl: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem et rédigées par J . Bosscha etc. Harlem. 8°. 30. Arch. te. phys.: Bibliothèque universelle. Archives des sciences physiques et naturelles. Genève, Bureau des Archives. S°. (3) 36. Assoc. Franç.: Association Française pour l'avancement des sciences. Compte rendu de la 25«» session. Congrès de Tunis (1896). Paris an secrétariat de l'association et chez G. Massou. 8° (1897). Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher. Unter Hitwirkung des Vorstandes der Astronomischen Gesellschaft herausg. von H . Kreutz. Kiel. 4°. 1 4 2 , 1 4 3 , 1 4 4 . Alti Acc. Gioenia: tania. (4) 10. Atti Acc. Napoli:

Atti dell'Accademia Gioenia di Scienze naturali io CaAtti dell'Accademia di Napoli, (2) 9.

Alti deWAcc. Pont.: Atti dell'Accademia Poutaniana. Napoli. 27. Batt. G. : Giornale di matematiche di Battaglini per il progresso degli studi nelle università italiane. Fondato nel 1863. Proseguito dal prof. A. Capelli. Napoli, gr. 8*. 35. Belg. Ann.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Bruxelles: F. Hayez. 1S97, 63. Belg. Bull.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Bruxelles. 8°. (3) 33, 34. Belg. Mim.: Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres e t des beaux-arts de Belgique. In 4°. Belg. Mém. G.: Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Collection in 8°. Bruxelles: F. Hayez. Belg. Mém. S. Ê.: Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beauxarts de Belgique. Bruxelles: F. Hayez. 4°. Beri. Abk.: Abhandlungen der Kg). Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4*. Beri. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1897. Beri. Phys. Ges. Verh.: Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin. Leipzig: Barth. 8'. 16. Bibl. Math.: Bibliotheca Mathematica, Zeitschrift für Geschichte der Mathematik, herausgegeben von Gustaf Eneström. Stockholm. 8°. (2) 11. Bologna Mem.: Memorie della R. Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4". (5) 6. Bologna Rend.: Rendiconto delle sessioni dell'Accademia dell'Istituto di Bologna. Bologna. 8 a . l»96-97.

delle scienze

Erklärung der Citate.

V

Bordeaux Mém.: Mémoires de la S o c i é t é d e s s c i e n c e s p h y s i q u e s e t natur e l l e s de Bordeaux. Bordeaux. Paris. 8°. Brii. Ass. Rep.: R e p o r t of the meeting of the British A s s o c i a t i o n for the a d v a n c e m e n t of s c i e n c e . London, gr. 8*. 1897. Brüx. Ann.: A n n a l e s d e l'observatoire royal de B r u x e l l e s . A n n a l e s astronomiques. B r u x e l l e s : F . Hayez. 1>97. Brüx. S. sc.: A n n a l e s de la S o c i é t é scientifique de B r u x e l l e s . B r u x e l l e s : S c h e p e n s ; P a r i s : Gauthier-Villars et Fils. ( D o p p e l t paginirt, unters c h i e d e n durch A und B ; A = l è r e partie, B = 2 e partie.) 21. Bull, intern, de l'Ac. François Joseph : S i e h e Rozpravy. Cambr. Proc.: P r o c e e d i n g s of the Cambridge P h i l o s o p h i c a l S o c i e t y . Cambridge. 8°. 9 . Cambr. Trans.: T r a n s a c t i o n s of the Cambridge P h i l o s o p h i c a l Society. Cambridge. 4°. 16W

V

(Ûasopis: C a s o p i s ; Zeitschrift zur P f l e g e der Mathematik und P h y s i k , redigirt mit b e s o n d e r e r Rücksicht auf Studirende der Mittel- nnd H o c h s c h u l e n von F . J . Studni&ka, herausgegeben vom V e r e i n e b ö h m i s c h e r Mathematiker in P r a g . Prag. 8°. (Böhmisch.) 2 0 . Centralbl. der Bauverw.: Centralblatt der Bauverwaltung. H e r a u s g e g e b e n im Ministerium d e r öffentlichen Arbeiten. Redacteure 0 - Sarrazin und O. H o s s f e l d . B e r l i n : Ernst u. Sohn. 4°. 17. Charkow Ges.: S a m m l u n g der Mitteilungen und P r o t o k o l l e der mathematis c h e n G e s e l l s c h a f t in Charkow. (Russisch.) (2) 5 , 6 . (C. R.: C o m p t e s R e n d u s hebdomadaires d e s s é a n c e s de l ' A c a d é m i e d e s S c i e n c e s . P a r i s . 4°. 1 2 4 , 1 2 5 . Darboux Bull.: Bulletin d e s s c i e n c e s mathématiques, rédigé par MM. G. D a r b o u x et J . Tannery avec la collaboration de MM. André, Beltrami etc. P a r i s : G a u t h i e r - V i l l a r s ot Fils. 8". (2) 21. Deutsche Bauzty. : D e u t s c h e Bauzeitung. V e r k ü n d i g u n g s b l a t t d e s V e r e i n s d e u t s c h e r Architekten- und Ingenieurvereine. R e d a c t e u r e : K. B. O. F r i t s c h und E. W . B u s i n g . Berlin: É. Toeclie. 3 3 . Deutsche Math. Ver. : Jahresbericht der D e u t s c h e n Mathematiker • V e r einigung. H e r a u s g e g e b e u im Auftrage des V o r s t a n d e s von A. W a n gerin, A . Gutzmer. Berlin: Georg Reimer. 8°. 4 , 5 . Dublin Proc.: P r o c e e d i n g s of the Royal Irish A c a d e m y . Dublin. 8°. Dublin Trans.: T h e Transactions of the Royal Irish A c a d e m y . Dublin. 4°. Edinb. M. S. Proc.: P r o c e e d i n g s of the Edinburgh Mathematical S o ciety. 8°. 15. Edinb. Proc.: P r o c e e d i n g s of the Royal S o c i e t y of Edinburgh. Edinburgh. 8°. 21. Edinb. Trans.: T r a n s a c t i o n s of the Royal S o c i e t y of Edinburgh. Edinburgh. 4°. 3 8 , 3 9 . Ed. Time»: Mathematical questions and solutions, from the „ E d u c a t i o n a l T i m e s " , with many papers and solutions in addition to t h o s e p u b l i s h e d in the „Educational Times." Edited by W . J . C. Miller. London: Francis H o d g s o n . 8°. 6 6 , 67. Fin s ha Vet. Förh. 3 8 (ISO"). Gött. Abh. : Abhandlungen der Kgl. G e s e l l s c h a f t der W i s s e n s c h a f t e n zu Göttingen. Göttingen. 4°. Gött. Nachr.: Nachrichten von der K ö n i g l i c h e n G e s e l l s c h a f t der W i s s e n schaften iiu Göttingen. Mathematisch - physikalische K l a s s e aus d e m Jahre 1897. Göttingen. h". 18U7.

Erklärung der Citate.

VI Hamb. Miit.: Mitteilungen L e i p z i g : B. 6 . Teobner.

der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. 8°. 3.

Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung der Herren n. s. w. herausgegeben von J. C. V . Hoffmann. L e i p z i g : Teubner. 8*. 28. Hoppe Arch.: Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten, gegründet von J. A . Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Leipzig: 0 . A . K o c h . 8*. (2) 15. J. de TÉc. Pol.: Journal de l'École d'instruction de cet établissement.

(2) 2, 8.

J. de Math, ¿lém.: Journal tous les candidats aux baccalauréat ès sciences, P a r i s : Delagrave. 8*. (5)

Polytechnique, publié par le conseil P a r i s : Gauthier-Villars et Fils. 4°.

de Mathématiques élémentaires à l'usage de écoles du gouvernement et des aspirants au publié sous la direction de M. de Longchamps. 21.

J. de Math, spéc.: Journal de Mathématiques spéciales à l'usage des canditats aux Ecoles Polytechnique, Normale et Centrale, publié sous la direction de M. de Longchamps. Paris: Delagrave. 8°. (5) 21. J. für Math.: Journal für die reine und angewandte Mathematik, gcgrüudet von A . L . Creile 1826. Herausgegeben von L . Fuchs. Berlin: G. R e i mer. 4'. 117, 118. Johns Hopkins Univ. Circ.: Johns Hopkins University Circulars. Published with the approbation of the Board of Trustees. Baltimore. 4°. 16, 17. Jordan Z. f. V.: Zeitschrift für Vermessungswesen. Organ des deutschen Geometervereins. Herausgegeben von W . Jordan und C. Steppes. Stuttgart. 8°. 26. Journ. de Math.: Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé eu 1836 et publié jusqu'en 1874 par J. Liouville etc. Publié par C. Jordan avec la collaboration de M. L e v y , A. Mannheim, É. Picard, H. Poincaré. P a r i s : Gauthier-Villars et Fils. 4°. (5) 3. Journ. de phys.: Journal de physique théorique et appliquée. Fondé par J. Ch. d'Almeida et publié par MM. E. Bouty, A . Cornu, G. L i p p mann, E. Mascart, A. Potier. Paris: A u Bureau du Journal de Physique. 8°. (3) 6. Kansas Univ. Quart.: The Kansas University Quarterly. Series A : Science and mathematics. Published by the University. Lawrence, Kansas. 8°. 6 Kasan Ges.: Nachrichten der physiko-mathematischen Gesellschaft an der Kaiserlichen Universität zu Kasan. (Russisch.) (2) 6, 7. Kasan Univ.: Gelehrte Schriften Jährlich 12 Nummern. Kiew Univ. Nachr.: (Russisch.) 7.

Nachrichten

der der

kaiserlichen

Universität

Kaiserlichen Universität

Kasan. zu K i e w .

Kjebenham Overs.: Oversigt over det kongelige Danske Videnskabemes Selskabs Forhandlinger. Kjöbeohavn. 1897. Königsb. Physik.-ökon. Oes.: Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg. Königsberg i. Pr. gr. 4°. 38. Kosmos: Kosmos [Czasopismo Polskiego Towarzystwa Przyrodniköw im. Kopernika]. Red. B. Radziszewski. L e m b e r g . 8°. (Polnisch.)

Erklärung der Citate. Krakau. Denksclir.: Denkschriften schaften. Krakau. (Polnisch.)

der

VII

Krakauer

Akademie

der

Wissen-

Krakau. Ber.: Sitzungsberichte der Krakauer schaften. K r a k a u . (Polnisch.) 3 2 , 33.

Akademie

der

Wissen-

Leipz. Abh. : A b h a n d l u n g e n d e r K ö n i g l . S ä c h s i s c h e n G e s e l l s c h a f t d e r W i s s e n s c h a f t e n zu L e i p z i g . M a t h e m a t i s c h - p h y s i s c h e K l a s s e . L e i p z i g : 4°. 2 3 . Leipz. Ber.: B e r i c h t e ü b e r die V e r h a n d l u n g e n d e r K ö n i g l . S ä c h s i s c h e n G e s e l l s c h a f t der W i s s e n s c h a f t e n zu L e i p z i g . Mathematisch - physische K l a s s e . L e i p z i g . 8°. 4 9 (1897). Leop. Xova Acta: N o v a A c t a A c a d e m i a e C a e s a r e a e L e o p o l d i n o - C a r o l i o a e G e r m a n i c a e N a t u r a e Curiosorum. H a l l e . 4°. 71, 72. Leopoldina: Leopoldina. A m t l i c h e s O r g a n d e r K a i s . L e o p o l d i n o - Carolinischen D e u t s c h e n A k a d e m i e d e r N a t u r f o r s c h e r . H e r a u s g e g . von K. v. F r i t s c h . H a l l e a. S. gr. 4°. 33. Liège Mim.: M é m o i r e s de la S o c i é t é B r u x e l l e s : H a y e z ; P a r i s : R o r e t . 19.

Royale

des

sciences

de

Liège.

I.isboa Jörn.: J o r n a l de S c i e n c i a s M a t h e m a t i c a s , P h y s i c a s e N a t u r a e s p u b l i c a d o s o b os a u s p i c i o s d a A c a d e m i a R e a l d a s S c i e n c i a s de L i s b o a . Lisboa. 1897. I.omb. ht. Rend.: R e a l e I s t i t u t o L o m b a r d o di s c i e n z e e l e t t e r e . Rendiconti. Milano. 8°. (2) 3 0 . Land. M. is. Proc.: L o n d o n . 8°. 28. Loud. Phil. London.

Trans. : London.

Proceedings Philosophical 4°. 189.

of t h e

London

Transactions

Mathematical

Society.

of t h e R o y a l S o c i e t y

of

Land. li. H. Proc..: P r o c e e d i n g s of t h e R o y a l S o c i e t y of L o n d o n . L o n d o n . 8". 0, «1. Teoria Bollettino: B o l l e t t i n o di b i b l i o g r a f i a e s t o r i a delle s c i e n z e m a t e m a t i c h e p u b b l i c a t o p e r c u r a di Gino L o r i a . T o r i n o : Carlo C l a u s e n . 8°. 1. Moth. Ann.: M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n . In V e r b i n d u n g mit C. N e u m a n n b e g r ü n d e t d u r c h R . F . A . C l e b s c h . U n t e r M i t w i r k u n g der H e r r e n P . G o r d a n , C. N e u m a n n , M. N o e t h e r , K . V o n d e r M i i h l l , H. W e b e r g e g e n w ä r t i g h e r a u s g e g e b e n von F . Klein, W . Dyck und A . M a y e r . L e i p z i g : T e u b n e r . 8°. 4 8 , 4 9 , 5 0 . JIalhesis: M a t h e s i s , R e c u e i l m a t h é m a t i q u e à l ' u s a g e des écoles s p é c i a l e s e t d e s é t a b l i s s e m e n t s d ' i n s t r u c t i o n m o y e n n e p u b l i é p a r P . Mansion e t J . N e u b e r g a v e c la c o l l a b o r a t i o n d e p l u s i e u r s p r o f e s s e u r s b e l g e s et é t r a n g e r s . P a r i s : G a u t h i e r - V i l l a r s e t F i l s . G a n d : H o s t e . 8°. (2) 7. Math. Magazine: T h e Mathematical Magazine. A J o u r n a l of e l e m e n t a r y and higher mathematics. E d i t e d a n d p u b l i s h e d by A r t e m a s M a r t i n . W a s h i n g t o n I). C. 4°. 2. Mt-m. Sav. Kir.: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie s c i e n c e s de l ' I n s t i t u t d e F r a n c e e t i m p r i m é s p a r son o r d r e . 4°.

des

.1 Fessent/er: T h e M e s s e n g e r of M a t h e m a t i c s . E d i t e d b y J . W . L . G l a i s h e r . L o n d o n a n d C a m b r i d g e : M a c m i l l a n and Co. 8°. (2) 2 6 , 27. Meteor. Zeitsehr.: M e t e o r o l o g i s c h e Z e i t s c h r i f t . H e r a u s g e g e b e n im A u f t r a g e d e r Österreich. G e s e l l s c h a f t für M e t e o r o l o g i e und d e r d e u t s c h e n M e t e o r o l . G e s e l l s c h a f t , r e d i g i r t von J . H a n n u. G. H e l l m a n n . W i e n : E d . H o l z e l , gr. 8°. 14.

Erklärung der Citate.

vm

Miti. üb. Art. u. Genie: Mitteilaogeo über Gegenstände des Artillerie- und Genie-Wesens. Herausgegeben vom K . u. K . technischen M i l i t ä r - C o mité. W i e n : R . v. Waldheim. 8°. 28. Modena Mem.: Memorie della Regia A c c a d e m i a arti in Modena. Modena. 4°.

di scienze,

lettere

ed

Monatti, f . Math.: Monatshefte für Mathematik und Physik. M i t Unterstützung des hohen K . K . Ministeriums für Colta» und Unterricht herausgegeben von 6 . v. Escherich und L . Gegenbauer in W i e n . W i e n . 8°. 8. Monthly

Monthly Notices: L o n d o n . 8°.

Notices

of

tbe

Royal

Astronomica!

Society.

Moskau. Math. Samml.: Mathematische Sammlung, herausgegeben von der Mathematischen Gesellschaft in Moskau. (Russisch.) 19, 20. Moskau. Phys. Sect.: A r b e i t e n der physikalischen Section der Kaiserlichen Gesellschaft der Freunde der Naturkunde, Anthropologie und Ethnographie. Moskau. (Russisch.) 9. (Auch unter dem T i t e l : Nachrichten der Kaiserlichen Gesellschaft etc.) Münch. Abk.: Abhandlungen der K g l . Bayerischen A k a d e m i e der W i s s e n schaften zu München. Z w e i t e Klasse. München. 4°. 19. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der K g l . Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8*. 27. Napoli Rend.: Rendiconto dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche ( S e z i o n e della Società Reale di N a p o l i ) . N a p o l i . 4*. (3) 3. Nature: N a t u r e , a weekly illustrateci journal of science. Y o r k : Macmillan and Co. 4°. 55, 5 6 , 57.

L o n d o n and N e w

Nieuio Archief: N i e u w A r c b i e f voor wiskunde oitgegeven door het Wiekuodig Genootschap te Amsterdam onder redactie van J. C. Kluyver, D. J. Korteweg en P . H. Schonte. Amsterdam. 8°. ('2) 3. Nouv. Ann.: N o u v e l l e s Annales de mathématiques. Journal des candidats anx È c o l e s spéciales, à la licence et à l'agrégation, rédigé par C. A . L a i s a n t et X . Antomari. P a r i s : Gauthier-ViUars et F i l s . 8°. (3) 16. Nova Acta Leop.

s. L e o p . N o v a A c t a .

Nuovo Cimento: I l N u o v o Cimento. Giornale fondato da C. Matteucci e R . P i r i a per la fisica e la chimica. Continuato da R . F e l i c i , A . Batelli, V . V o l t e r r a per la fisica esperimeutale e matematica. Pisa: Salvioni. gr. 8». (4) 5 , 6. Nyt Tidss. fot Math.: N y t Tidsskrift for Mathematik. R e d i g e r e t af P . T . F o l d b e r g og C. Juel. (Abteilung A für elementare, B für höhere Mathematik.) K j ò b e n h a v n . 8°. 8. Odessa Ges.: Denkschriften der mathematischen Abteilung russischen Gesellschaft der Naturforscher. (Russisch.) Padova Atti: Padova.

Atti

della R e a l e

Accademia

der

di scienze, lettere ed

neu-

arti

di

Paedag. Samml.: Paedagogische Sammlung, herausgegeben bei dem paedagogischen Museum der Hauptverwaltung der Militärschuleo in St. Petersburg. 12 Nummern jährlich. 8°. Palermo Rend.: gr. 8°. 11.

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.

Palermo,

Periodico di Mat.: P e r i o d i c o di matematica per l'insegnamento secondario fondato da D . Besso. continuato da A . L u g l i ed attualmente diretto dal Dott. G. L a z z e r i , L i v o r n o . 8°. 12.

Erklärung der Citate.

IX

Peiersb. Bull.: Bulletin der Kaiserlichen A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n zu St. P e t e r s b u r g . St. P e t e r s b u r g . (7) 7. Peiersb. Denksehr.: Denkschriften der Rais. Akademie d e r W i s s e n s c h a f t e n zu St. P e t e r s b u r g . St. P e t e r s b u r g . Phil. Mag.: T h e London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and j o u r n a l of science. Conducted bv Lord Kelvin, G . F . Fitzgerald, W . F r a n c i s . L o n d o n . 8". (5) 4 3 , 4 t . Phys.-Math. Wws.: Die physiko-mathematischen W i s s e n s c h a f t e n . J o u r n a l der reinen tind angewandten Mathematik, Astronomie und P h y s i k , herausgegeben von W . W . Bobynin. Moskau. (Russisch.) 13. Pisa Ann.: Annali della Reale Scuola Normale Superiore di P i s a . Scienze fisiche e matematiche. P i s a . Politecnico: Il Politecnico. Giornale dell'ingegnere a r c h i t e t t o civile ed industriale. Milano: Tipografia e Litografia degli Ingegneri, gr. 8°. Potke Z.: Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht. Unter d e r besonderen Mitwirkung von E. Mach und B . Schwalbe, hera u s g e g e b e n von F . P o s k e . Berlin: J . Springer, gr. S°. 10. Pr. = P r o g r a m m a b h a n d l u n g , Gymn. — Gymnasium, Realgymn. = Realgymnasium, etc. 1897. Prace mat.-ßz.: P r a c e matemalycznorfizyczne. (Mathematische und physikalische Abhandlungen, hrsg. in Warschan von S. Dickstein, W . Gosiewski, E . u. W . Natanson.) gr. 8°. (Polnisch.) 8. Prag. Ber.: Sitzungsberichte d e r K g l . Böhmischen G e s e l l s c h a f t d e r ' W i s s e n schaften. P r a g . 8°. 42, 1897. Quart. J.: T h e Quarterly J o u r n a l of pure and applied Mathematica. E d i t e d by N . M. F e r r e r s , J . W . L . Glaieher, A. R. Forsyth. London. 8". 29. Revue d'Art.: Revue d'Artillerie paraissant le 15 de c h a q u e mois. P a r i s . 8*. 4 9 , 5 0 , 51. Revue de Math.: Revue d e Mathématiques (Rivista di Matematica), publiée par G. P e a n o . Turin. 8°. Revue de Math, spie.: Revue de Mathématiques spéciales rédigée par M. M. R. B u m b e r t et G. Papelier avec la collaboration de MM. etc. P a r i s : Nony e t Cie. Bruxelles : Ramlot. 4°. 7, 8. Revue des Quest. se.: Revue des Questions scientifiques, publiée par la Société scientifique de Bruxelles. Bruxelles, gr. 8°. (2) 11, 12. Rivista di Mat.: Siehe Revue de Math. Rom. Acc. L. Mem.: Memorie della Reale Accademia dei Lincei. Roma, gr. 4". Rom. Arc. L. Rend.: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali. R o m a 4°. (5) 6 (1807). ( J e zwei Semester, uuterschiedeu als 6! und tt,.) Rom. Acc. P. d. N. L.: A t t i d e l l ' A c c a d e m i a Pontificia d e ' N u o v i Lincei. Koma. 4°. 50. Rom. Acc. P. d. N. L. Mem.: Memorie d e l l ' A c c a d e m i a Pontificia d e ' N u o v i Lincei. Roma. 4°. Rozpravy: Rozpravy ccské Akademie eisare Frantiska J o s e f a pro vedy, slovesnost a umcni, (II. CI), l'rag. ( B ö h m i s c h ) 0. (Dazu: Bulletin international. Résumés des travaux présentes. Classe des sciences mathématiques e t naturelles. — Académie des Scieuces de l ' E m p e r e u r François J o s e p h I.)

X

Erklärung der Citate.

Schlömilch Z. : Zeitschrift für Mathematik and Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Rédaction von 0 . Schlömilch und U. Cantor. Leipzig: Teubner. 8«. 42. Hl. A.: Historisch-litterarische Abteilung (besonders paginirt). S. M. F. Bull.: Bulletin de la Société Mathématique de France public par les secrétaires. Paris. 8*. 25. Soc. Philom. Bull: Bulletin de la Société Philomathique de Paris. Paris. 8°. (S) 9. Spaczinsh's Bote: Spaczinski's Bote der Experimentalphysik und elementaren Mathematik, früher herausgegeben von Spaczinski, jetzt von Gernet und Zimmermann in Odessa. 24 Nummern jährlich. Die Nummern laufen vom Anfange des Journals an. (Russisch.) 1897. Stockh. Akad. Bihang: Bihang tili Kongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar. Stockholm. S e . 23. Stockh. Öfv.: öfversigt af Kongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar. Stockholm. 54, 55. Teixeira J.: Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pelo Dr. F . Gomes Teixeira. Coimbra. 8°. 13. Tokio Math. Ges.: Tokyo sugaku butsarigaku kwai kiji (Zeitschrift der Physiko-Mathematischen Gesellschaft iu Tokio. Englisch u. Japanisch.) Tokio. 8°. 8. Torino Atti: Atti della Reale Accademia di Torino. Torino. 8°. 3 2 , 33. Torino Mcm.: Memorie della Reale Accademia delle scienze di TorÌDo. Torino. 4°. (2) 47. Toulouse Ann.: Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, publiées par un comité de rédaction composé des professeurs de mathématiques, de physique et de chimie de la faculté etc. P a r i s : Gauthier-Yillars et Fils. 4°. 11. Toulouse Bull.: Bulletin de l'Académie des sciences, inscriptions et belles lettres de Toulouse. Toulouse: Douladoure-Privat. 8°. 1. Toulouse Mém.: Mémoires de l'Académie des sciences, inscriptions et belles lettres de Toulouse. Toulouse: Douladoure-Privat. 8°. (9) 9. Ungar. Ber.: Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Mit Unterstützung der Uog. Akad. der Wissensch. and der König], Ung. naturwissenschaftlichen Gesellschaft hrsg. von Baron R. Eötvös etc. Redig. v. I. Fröhlich. Budapest. 8°. 13, 14. Unterrichisbl. f . Math.: Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften. Herausgegeben von B. Schwalbe u. Fr. Pietzker. Berlin: 0 . Salle. 4°. 3. Upsala Nova Acta: Nova Acta Regiae Societatis Scientiaruin Upsaliensis. Ven. Ateneo: L'Ateneo Veneto. Rivista mensile di scienze, lettere ed arti diretta da A . S. de Kiriaki e L. Gambari. Venezia. 8°. Ven. Ist. Atti: Atti del Reale Istituto V e n e t o di scienze, lettere ed arti. Venezia. 8°. (7) 8 , 9. Ven. Ist. Mem.: Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. 4°. 26. Verh. Naturf. Ges. Frankfurt a. M. : Verhandlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher uud Aerzte zu Frankfurt a. M. 1806. Herausgegeben von A. Wangerin und O. Taechenberg. Leipzig: F . C. W. Vogel. 1, 2 (1^97). Vierteljahrsschr. Astr. Ges.: Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft. Herausgegeben von den Schriftführern der Gesellschaft R. Lehmann -Filhés uud G. Müller. Leipzig: W. Engelmann. 8°. 32.

Erklärung der Citate.

XI

Warschau Phys. Sect.: Arbeiten der Warschauer Gesellschaft der Naturforscher; Verhandlungen der Section für Physik und Chemie. Jährlich ein Band. Warschau. Univ. Nachr.: schau. (Russisch.) 2

Nachrichten der Warschauer Universität.

Washington Bull.: Bulletin of the Philosophical Society Washington, D. C. Judd and Dettweiler, Printers. Wiad. Mat.: Wiadomosci Matematyczne. stein. Warszawa (Polnisch). 8°. 1.

War-

of Washington.

Redactor i Wydawca S. Dick-

Wiedemann Ann.: Ânnalen der Physik und Chemie. Unter Mitwirkung der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin und insbesondere des Herrn M. Planck herausgegeben von G. und E. Wiedemann. L e i p z i g : Barth. 8*. 60, 61, 62. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite A b - , teilung. Wien. 8*. 106. Wundt Philos. Studien: Philosophische Stndien. Herausgegeben von W i l helm Wandt. L e i p z i g : Wilhelm Engelmann. 8°. 13. Zeitschr. deutscher Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, herausgegeben von T b . Peters. Berlin: J. Springer. 4°. 41. Zeitschr. f . Bauwesen: Zeitschrift für Bauwesen, herausgegeben im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. Redacteure: O. Sarrazin u. 0 . Hossfeld. Berlin: E r n s f û . Sohn. 4°. 47. Zürich. Naturf. Ges.: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zurich. Herausgegeben unter Mitwirkung etc. von F . Rudio. Zürich. 8°. 43.

Inhaltsverzeichnis. (Die mit eiuem f versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

Erster Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

K a p i t e l 1. A.

Geschichte.

Biographisch-Litterarisches.

G. E n e s t r ö m . Neueste mathematisch - bibliographische Unternehmungen Répertoire bibliographique des sciences mathématiques. II-V . . . . G. E n e s t r ö m . Réponse à la question 18 M. C a n t o r . Réponse à la question 40 C. d e V a u x . Remarque sur la question 60 G. E n e s t r ö m . Questions 62-66. Remarque sur la question 63 . • H. Su t e r . Arabische Mathematiker und Astronomen M. S t e i n s c h n e i d e r . Die Mathematik bei den Juden A. K. G h o se. T h e lost books of Euclid A r c h i m e d e s . T h e works of Archimedes by T. L. Heath . . . . f G e r b e r t i Opera mathematica F o n t è s . Deux mathématiciens peu connus du XIII« siècle . . . . P . T a n u e r y . Magister Robertus Anglicus in Montepessulano . . . T h . M ü l l e r . Der Esslinger Mathematiker Michael Stifel J . W. T e s c h . W a a r is Simon Sterin gestorven? G a l i l e o G a l i l e i . L e opere di Galileo Galilei. VII . . . . . . . . G. B e r t h o l d . Eppur si muove G. B e r t h o l d . Angeblicher Ausspruch Galilei's „Eppur si muove" • R. D e s c a r t e s . Oeuvres. Correspondance I F. J . S t u d n i ë k a . Ueber Descartes' Verdienste auf dem Gebiete der exacten Wissenschaften C h r . H u y g e n s . Oeuvres. V I I T. L. B u r a t t i n i . Misura universale S. D i c k s t e i n . Briefwechsel zwischen Kochanski und Leibniz . . S. D i c k s t e i n . Aus dem Briefwechsel Kochanski's mit Leibuiz . . J . H. G r a f . Nikiaus Blauner J . G. H a g e n . Verzeichnis der Werke von Leonhard Euler . . . . G. E n e s t r ö m . Sur les lettres de L. Euler à J e a n I. Bernoulli . . F. A m o d e o e B. C ' r o c e . C. Laoberg ed A. Giordano E. G a l o i s . Oeuvres mathématiques M. A. T i k h o m a n d r i t z k y . Einiges über Evariste Galois f E . P i c a r d . L'oeuvre mathématique de Galois

Sjilo 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 8 9 0 !» 10 10 10 10 II 11 IL

Inhaltsverzeichnis.

XIII Seit«

+ S. D i c k s t e i n . J . Bertrand über H. W r o n s k i A. C a n c h y . Oeuvres (1) 10, (2) 3 E . S c h e r i n g . Quelques errata dans les oeuvres de Gauss . . . . E d . W e y r . Enthüllung des Denkmales von L o b a t s c h e w s k y . . . . E d . W e y r . Preis zu Lobatschewsky's Ebren \V. B o l v a i d e B o l y a . T e n t a m e n . Ed. Ii, T o m . I, edid. J . König e t M. R é t b y G. L e j e u n e D i r i c b l e t ' s W e r k e . II J . H . G r a f . Der Mathematiker J a k o b Steiner von Dtzeostorf . . . J . B . 6 r a T . Die Exhumiruug J a k o b Steiner's und die Einweihung d e s Grabdenkmals Ludwig Schläfli's G. L o r i a . Di alcuni nuovi documenti relativi a J . Steiner . . . . G. B a p s t . Sur le séjour du général Poncelet à Saratow F. K l e i n . Neue auf ß i e m a o n bezügliche Manuacripte L . O. H e e s e . Gesammelte W e r k e . L . K r o n e c k e r ' s Werke. Bd. II. H e r a u s g e g e b e n von K. Hensel . L . P o c h h a m m e r . Wilhelm Ligowski + A . P r i t c b a r d . Charles Pritchard. Memoire of bis life + E . d a B o i s R e y m o n d . Gedächtnisrede auf H. v. H e l m h o l t z . . . U n g e n a n n t . August Zillmer T h . R e y e a n d A . B r i l l . Wilhelm Stahl F . R u d i o . E r i n n e r u n g an Moriz Abraham S t e r n G. K o h n . Emil W e y r + M. K r a u s e . Gustav Ferdinand Mehler f A. W a n g e r i n . F . E. Neumann Fr. Meyer. Carl P r e d i g e r F. K l e i n . Ernst Ritter A . G u t z m e r . Heinrich T h e o d o r Sinram E. L a m p e . Nachruf für P r o f e s s o r Dr. J u l i u s Worpitzky L . C r e d a r o . Maarizio Guglielmo Drobisch S. C. C h a n d l e r . Benjamin Aptborp Gould L o e w y . Oeuvre scientifique de Benjamin A p t h o r p Gould G. M i i i l e r . Benjamin A p t h o r p Gould L . B. Obituary of Benjamin Aptborp Gould f M . E m s t . T i s s e r a n d , Gyldén, Gould O. B a c k l u n d . J o h a n n August Hugo Gyldén C. v. V o l t . Hugo J o h a n n August Gyldén. Nekrolog K. B o h l i n . H u g o Gyldén. Ein biographischer Umriss F . v. L ü h m a n n . P r o f e s s o r Dr. Heinrich L i e b e r f A. L a n g . Arnold Meyer J . W . G i b b e . Hubert Anson Newton G. R i c c i . Commemorazione del Prof. E r n e s t o Padova - f - L a u n h a r d t . Nekrolog auf Christian Moritz Rühlmann B. Geheimer Regierungsrat Professor Dr. Moritz Rühlmann f • • • L . S c h l e s i n g e r . Wilhelm Schrentzel J . J a n s s e n . Discours prononcé aux funérailles de M. T i s s e r a n d M. L o e w y . Discours, au nom de l'observatoire de Paris H . P o i n c a r é . Discours, au nom du Bureau des longitudes . . . . O. C a l l a n d r e a n . François Félix Tisserand U n g e n a n n t . Georg Daniel Eduard W e y e r t A. S a f a r i k . Wilhelm Julius Theodor Wolff G. B a r d e y. Nekrolog von E. Bardey Ungenannt. B a r d e y -fCh. H e r m i t e . Notice sur M. F. Briosc'hi A . M e s s e d a g l i a . Commemorazione di F r a n c e s c o Brioschi . . . . U n g e n a n n t . John Robert Campbell f G. G e r o s a . Necrologia del Prof. G. t'antoni

12 12 13 13 13 13 14 16 16 17 17 17 17 19 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 27 27 27

XIV

Inhaltsverzeichnis.

W . B . Obituary of A l v a n Graham Clark T h . W i t t r a m . Johann Heinrich Wilhelm Döllen 6. Lorenzoni. P a r o l e pronunziate Del funerale di P . F a m b r i . . E. T e z a . In memoria del Segretario P a n l o Fambri Andrea Naccari. Galileo Ferraris. Commemorazione P. Blaserna. Commemorazione del Socio Galileo Ferraris . . . . M. B e l l a t i . In memoria di Galileo Ferraris G. M e n g a r i n i . I n memoria di Galileo Ferraris Ungenannt. R e v . A l e x a n d e r Freeman + H . S e e l i g e r . Eduard Freiherr von Haerdtl A . F. Adam Hilger A . W . W . Obituary o f A l f r e d Marshall Meyer L . P i n t o . Arminio Nobile G . M. Arminio N o b i l e Ungenannt. Leonhard Sohncke f W . E . P . Edward James Stone P . A . M a c M a h o n . James Joseph Sylvester Ungenannt. James Joseph Sylvester F . F r a n k l i n . James Joseph Sylvester. A d d r e s s M . N o e t h e r . James Joseph Sylvester A. Capelli. Commemorazione di James Joseph Sylvester J . J. W a l k e r . Sketch of the late Professor Sylvester P . M a n s i o n . J. J. Sylvester (1814-1897) Ungenannt. Sylvester f f É . P i c a r d . James Joseph Sylvester Ungenannt. Sylvester t S. D i c k s t e i n . J. J. Sylvester E. L a m p e . A r t b a r Cay ley f und James Joseph Sylvester f . . . . W . E. P. Dr. Friedrich A . W i n n e c k e E. L a m p e . Karl Weierstrass. Gedächtuisrede G.'Mittag.Leffler. Weierstrass D. H i l b e r t . Zum Gedächtnis an Karl Weierstrass Cb. H e r m i t e . N o t i c e sur M. Weierstrass Ungenannt. Nachruf für K a r l Weierstrass F . S i a c c i . Carlo Weierstrass W. Killing. Karl Weierstrass. Rectoratsrede UDgenanDt. Weierstrass f H. S c h o b e r t . Zum Andenken an K a r l Weierstrass Ungenannt. Erinnerungen an Weierstrass J. S l e s c h i n s k y . N e k r o l o g von Weierstrass P . M. P o k r o w s k y . K a r l Weierstrass M. A . T i k h o m a u d r i t z k y . K a r l Weierstrass C. v. V o i t . K a r l T h e o d o r Wilhelm Weierstrass. N e k r o l o g . . . . M. d ' O c a g n e . Karl W e i e r s t r a s s A . R. F. K a r l Weierstrass S. D i c k s t e i n . K . Weierstrass É. P i c a r d . Karl Weierstrass Ungenannt. N e c r o l o g i o ( W e i e r s t r a s s , Sylvester) Ungenannt. Zum achtzigsten Geburtstage von Friedrich Boust . . . Bollettino della Associazione . M a t h e s i s " 11 Pitagora. Giornale di Matematica, pubblicato per cura di Gaetano Fazzari H . S. W h i t e . Account of the c o o g r e s s at Chicago 1893 F. K l e i n . T h e present state of mathematics J. H . G r a f . Rückblicke und Ausblicke bei Anlnss des ersten internationalen Mathematikercongresse8 S. D i c k s t e i n . D e r erste internationale Mathematiker-Congress . .

tat* 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 30 36 3ii 37

Inhaltsverzeichnis. f O . L o d g e . T h e work of Hertz and some of his successors . . . -j-Julius F i r m i c u s M a t e r n u s . Matheseos libri TUT. Ediderunt W. Kroll et F. Sfeutsch. V +C. H. M o o r e . Julius Firmicus Maternus, der Heide UDd Christ . . f A . R e b i è r e . Mathématiques et mathématiciens +A. R e b i è r e . L e s femmes dans la science. 2 e édition B. Geschichte einzelner D i s c i p l i n e s G. V a i l a t i . Sull'importanza della storia delle scienze P . R i c c a r d i . Contributo degl'Italiani alla storia delle scienze mathematiche pure ed applicate C. de V a u x . Sur le sens exact du mot a a l - d j e b r " G. B n e s t r ö m . Sur les neuf »limites" mentionnés dans »l'Algorismus" de Sacrobosco A . 0. H . Reading, writing, and arithmetic of t h e troglodytes . . . M. C u r t z e . Quadrat- und Kubikwurzeln bei den Griechen nach Heron's oen aufgefundenen Metptxa M. C u r t z e . Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern und bei Regiomontan A u h r y . Essai historique sur la théorie des équations G. W e r t h e i m . Schlussanfgabe in Diophant's Polygonalzahlen . . . S. £. J. v a n ä c h e v i c h a v e n . Bouwstoffen yoor de geschiedenis van de levensverzekeringen en lijfrenten in N e d e r l a n d . . . . . G. B n e s t r ö m . Sur la méthode de Johan de Witt (1671) pour le calcul des rentes viagères M . S i m o n . Zur Geschichte und Philosophie der Differentialrechnung H . 6 . Z e u t h e n . Note sur l'histoire des mathématiques. Suite . . G. E n e s t r ö m . Sur la découverte de l'intégrale complète des équations différentielles linéaires à coefficients constants. . . • . . L . H e f f t e r . Die neueren Fortschritte in der Theorie der linearen Differentialgleichungen E. S t u d y . Aeltere und neuere Untersuchungen über Systeme complezer Zahlen H. H a n c o c k . The historical development of Abelian functions up to the time of Riemann P . S t ä c k e l . Aus dem Briefwechsel von Gauss und W.Bolyai . . . P . S t ä c k e l und F r . E n g e l . Gauss, die beiden Bolyai und die nicbteuklidischo Geometrie A. W a s s i l j e f . Lobatscbefskij's Ansichten über die Theorie der ParallelÜDien vor dem Jahre 1826 F r . S c h m i d t . Mitteilungen über Johann Bolyai G. B. H a l s t e d . Some salient points in the history of non\ K l e i n . A u s g e w ä h l t e K a p i t e l d e r Z a h l e n t h e o r i e I I . Ausgearbeitet von A . S o m m e r f e l d und P h . F u r t w ä n g l e r F. K l e i n . Autograpbirte Vorlesungshefte III G. L e j e u n e D i r i c h l e t . A n w e n d u n g e n d e r I n f i n i t e s i m a l a u a l y s i s a u f d i e Z a h l e n t h e o r i e . D e u t s c h von R. H a u s s n e r K. F r i c k e . A u t o m o r p h e F u n c t i o n e n und A r i t h m e t i k Carl Störmer. Quelques théorèmes sur l'équation de Pell A. H u r w i t z . R é d u c t i o n d e r binären q u a d r a t i s c h e n F o r m e n . . . . M. L e r c l i . Q u e l q u e s f o r m u l e s r e l a t i v e s au n o m b r e d e s c l a s s e s . . . A. C u u n i n g h a m . C o n n e x i o n of q u a d r a t i c f o r m s Ph. F u r t w ä n g l e r . Z u r T h e o r i e d e r in L i n e a r f a c t o r e n z e r l e g b a r e n , ganzzahligen ternären kubischen F o r m e n

180 189 1 H u s q u i n du R h é v i l l e . Sur une représentation géométrique du développement en fraction continne ordinaire 1% L . G e g e n b a u e r . Resultante zweier auf einander folgenden NälierungsnenDer eines gewissen regulären K e t t e n b r u c h s 19o + L. S a a l s c h ü t z . Zur T h e o r i e der K e t t e n b r ü c h e 196 f K . F. S u n d m an. U t r e c k l i n g a r n a af « och e- uti k e d j e b r â k . . . 196

Vierter Abschnitt.

Combinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

N. T r a v e r s o . Generalizzazione dell'ordinaria analisi combinatoria . J . lì. C l a r k . Proof of t h e fundamental combination t h e o r e m . . . . F. P a n i z z a . F o r m o l e relative al numero delle combinazioni semplici e con ripetizione F. M o r l e y . A g e n e r a t i n g fonction for the number of permutations with an assigned number of sequences S t u y v a e r t . Un théorème c o m b i n a t o l e li. M a c ü l i n t o c k . On the most p e r f e c t forms of magic squaros . . T . C. S i m m o n s . P r o b a b i l i t é d e s événements composés L . G o l d s c h m i d t . Wahrscheinlichkeitsrechnung. Versuch zur Kritik K. W . D a v i s . A geometric p i c t u r e of the 15 schoolgirls problem . F. H a u s d o r f f . D a s Risico bei Zufallsspielen D. E. M a y e r . T h é o r è m e s relatifs à la probabilité du j e u G. H . B r y a n . On certain applications of t h e theory of probability W . A. W h i t w o r t h , H . F o r t e y . Solution of question 13331 . . . R. A i y a r . Question 13254 S. W a t s o n , D. B i d d l e , S a n j a n a . Solution of question 4673 . . W . S. B. W o o l h o u s e , H . W . G u r j e l . Solution of question 4701 . A . M a r t i n , H . W . C u r j e ) . Solution of question 4815 T . N. T h i e l e . E l e m e n t a r J a g t t a g e l s e s l ä r e L . K r ü g e r . U e b e r einen Satz d e r Theoria Combinationis 0 . R u n g e . Zar Methode der kleinsten Quadrate E. G o e d s e e l s . R e m a r q u e s sur les r â l e u r s des inconnues dans la méthode des moindres carrés W. V e i t m a n n . D e r mittlere Beobachtungsfehler J . M a s c a r t . Emploi de la méthode des moindres carrés pour révéler la présence d ' e r r e u r s systématiques. 2 Noten A d . B l ü m c k e . Z u r J o r d a n ' s c h e n T h e o r i e des Maximalfehlers . . . . J . R e i n a . Probabilità degli errori di situazione di un p u n t o nello spazio G. J u n g . Sulla determinazione geometrica del p u n t o dato, m e d i a n t e il metodo dei minimi q u a d r a t i , da un sistema di piani . . . . G. T h . F e c h n e r . Collectivmasslehrc. Hrsg. von G. F . L i p p s . . . G. F . L i p p s . U e b e r Fechner's Collectivmasslehre K. P e a r s o n . On a form of spurious correlation which may arise, when indices are used in t h e measurements of organs . . . . F r . G a l t o n . N o t e to K. Pearson, on spurious correlation Miss A . L e e and K . P e a r s o n . Oti the relative variation and correlation in civilised and uncivilised races K. P e a r s o n and L . N. G. F i l o n . On the probable errors of frequency constants, and on the influence of random selection F r. G a l t o n . T h e average contribution of each several a n c e s t o r to t h e total heritage of the offspring

197 197 197 198 198 198 198 199 199 199 200 200 200 201 201 201 201 201 202 202 203 203 204 205 206 207 208 209 209 209 210 210 210

XXV]

Inhaltsverzeichnis.

F r . G a l l o n . R a t e of r a c i a l c h a n g e in s e l e c t i o n G. U d n y . Y u l e . OD t h e s i g n i f i c a n c e of B r a v a i s ' r e g r e s s i o n e t c . i n t h e c a s e of s k e w c o r r e l a t i o n t Weitere Litteratur

F ü n f t e r Abschnitt. K a p i t e l 1.

Seite

211

formulae

for 211 211

Reihen.

Allgemeines.

A. P r i n g s h e i m . Allgemeine T h e o r i e der Divergenz und Converg e n z von R e i h e n m i t p o s i t i v e n G l i e d e r n A. P r i n g s h e i m . U e b e r d i e Du B o i s - R e y m o n d ' s c h e C o n v e r g e n z Grenze und eine besondere Form der ConvergenzbedinguDgen . A. P r i n g s h e i m . Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen O- B i e r m a n n . U n e n d l i c h e D o p p e l r e i h e n und D o p p e l p r o d u c t e . . . J. Bendixson. S u r la c o n v e r g e n c e u n i f o r m e d e s s é r i e s W . F. O s g o o d . N O D - u n i f o r m c o n v e r g e n c e a n d t h e i n t e g r a t i o n of series term by term A. T a u b e r . E i n Satz a a s der Theorie der unendlichen Reihen . . E. C e s a r o . R e m a r q u e s u t i l e s d a n s les c a l c u l s d e limite V. de P a s q u a l e . S u i p r o d o t t i infiniti W . A . A n i s s i in o w. Z u r T h e o r i e d e r u n e n d l i c h e n P r o d u c t e . . . . A. P r i n g s h e i m . U e b e r zwei A b e l ' s e h e S ä t z e , d i e S t e t i g k e i t von Reihensummen betreffend J. H a d a m a r d . T h é o r è m e sur les séries entières . . . . • . . . . Mohrmann. B e s t i m m u n g der C'oefficienten in d e r P o t e n z r e i b e , die durch U m k e h r u n g einer gegebenen Potenzreihe entsteht . . . . A. P r i n g s h e i m . N o t w e n d i g e u n d h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g e n für d i e E o t w i c k e l b a r k e i t Dach d e r T a y l o r ' s c h e n R e i h e E l g é . Sur un paradoxe apparent F i t t e . S u r le p a r a d o x e a p p a r e n t d e M. E l g é N . J . ä o n i n . D i e R e i h e von J o h a n n B e r n o u l l i É . B o ' r e l . S u r les séries de Taylor . ^ E. F a b r y . S u r l e s s é r i e s d e T a y l o r . 2 A r b e i t e n . H. L a u r e n t . G é n é r a l i s a t i o n d e la s é r i e d e T a y l o r É B o r e l . S u r l'interpolation • . . W . H. E c h o l s . On i n t e r p o l a t i o n f o r m u l a e . . . P. J . H o a wo o d . Interpolation tables • + W. F. O s g o o d . I n t r o d u c t i o n t o infinite s e r i e s K a p i t e l 2. B e s o n d e r e R e i h e n . E d . C o l Ii g n o n . R e m a r q u e s s u r la s u i t e d e s n o m b r e s e n t i e r s . . . E. L. S t a b l e r . Triangular numbers' • E . B. E l l i o t t . S o m e s i m p l e p r o p e r t i e s of divisibility L. V i v e s y C a s a d e m o n t . S o b r e la d e t e r m i n a c i ó n d e l mayor coefic i e n t e d e l d e s a r r o l l o d e la p o t e n c i a d e un p o l i n o m i o J . J . S y l v e s t e r . Q u e s t i o n 13375 . . . G. S p e c k m a n n . U e b e r P o t e n z r e i h e n . . . . G. S p e c k m a n n . S y s t e m e a r i t h m e t i s c h e r R e i h e n »'er O r d n u n g . . . E . S c h o n . B e v i s f o r en S ä t n i n g af H a d a m a r d E . S c h o u . S u m m a t i o n af en u e n d e l i g R a e k k e N. N i e l s e n . N o g l e r a t i o n a l e R e l a t i o n e r mellem T a l r a e k k e n s T a l . K. Z i n d l e r . U e b e r s e h r r a s c h c o n v e r g i r e n d e R e i h e n z u r B e r e c h n u n g der natürlichen Logarithmen F r . R o g e l . T r a n s f o r m a t i o n e n a r i t h m e t i s c h e r Reihen Fr. Rogel. B e z i e h u n g e n zwischen S u m m e n von T e i l e r p o t e n z e o . . F r . R o g e ] , Besondere Gattung goniometrischer Nulldarstellungen .

213 213 215 217 219 221 221 221 221 221 221 222 222 223 224 224 224 224 225 225 225 226 226 226 226 227 227 227 227 227 228 228 228 228 220 230 232 233

Inhaltsverzeichnis.

XXVII Seite

F r . B o g e l . S u m m i r u n g einer G a t t u n g t r i g o n o m e t r i s c h e r Reihen . . '233 P. A p p e l l . D é v e l o p p e m e n t en séries tri gonomé t r i q u e s des polynômes de M. L é a u t é 233 E . D. R o e . N o t e on integral and i n t e g r o - g é o m é t r i e s é r i é s . . . . 234 M. L e r c b . R e m a r q u e élémentaire sur la c o n s t a n t « d ' E u l e r . . . . 235 N. N i e l s e n . E e n R a e k k e for E u l e r ' s K o n s t a n t 235 F . d e M o n t e l . S u r les lois de l'intérêt 235 A. P a l m s t r ö m . Q u e l q u e s p r o p r i é t é s des solutions d e c e r t a i n e s é q u a t i o n s i n d é t e r m i n é e s de deuxième degré 23t> f Weitere Litteratur 23ti

Sechster Abschnitt. K a p i t e l 1.

Differential- und Integralrechnung.

A l l g e m e i n e s ( L e h r b ü c h e r etc.).

C h . M é r a y . L e ç o n s nouvelles sur l ' a n a l y s e infinitésimale I I I . . . H. L a m b . A n elementary course of infinitesimal calculus E. P a s c a l . Calcolo delle variazioni e calcolo d e l l e différénze finite J . A. S e r r e t . L e h r b a c h der D i f f e r e n t i a l - und I n t e g r a l r e c h n u n g . D e u t s c h von A x e l H a r n a c k . Z w e i t e Aufl. von 6 . B o h l m a n n . R. F r i c k e . H a u p t s ä t z e d e r Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g . . . J . P e r r y . T h e calculus for engineers R . H- S m i t h . T h e calculus for e n g i n e e r s a n d p h y s i c i s t s C h . S t u r m . L e h r b u c h d e r Analysis. U e b e r s e t z t von Gross. I. . . . L . K i e p e r t . G r u n d r i s s d e r D i f f e r e n t i a l - R e c h n u n g . 8. Aufl I. F i s h e r . A brief introduction to t h e infinitesimal c a l c u l u s . . . . A. V i t e r b i . S u l l ' o p e r a z i o n e funzionale r a p p r e s e n t a t a d a uu i n t e g r a l e definito r i g u a r d a t a come e l e m e n t o d'un calcolo A . V i t e r b i . U n ' e s t e n s i o n e di concetti del calcolo i n f i n i t e s i m a l e . . W. H. L J a n s s e n van R a a i j . De j o n g s t e n o n d e r z o e k i o g e n bet r e f f e n d e bet oneindig groote T h . W u l f . Gewisse Grenzwerte als G r u n d l a g e für die T h e o r i e d e r P o t e n z e n und d e s L o g a r i t h m u s t Weitere Litteratur K a p i t e l 2.

237 238 239 240 240 241 241 242 243 244 244 244 244 245 245

Differentialrechnung (Differentiale, F u n c t i o n e n von Differentialen, Maxima und Minima).

H . P. N i e l s e n . Sammenhiing mellem Differenser og Differentialqvotienter K. G. G a l l o p . Change of the variable in a differential coefficient . C. R u u g e . O e b e r die Differentiation e m p i r i s c h e r F u n c t i o n e n . . . T h . M o u t a r d . S u r les différentielles s u c c e s s i v e s d ' u n e f o n c t i o n d e p l u s i e u r s variables E. G o u r s a t . Sur les différentielles s u c c e s s i v e s d ' u n e fonction de p l u s i e u r s variables i n d é p e n d a n t e s L . H e f f t e r . U e b e r gemeinsame T e i l e r und g e m e i n s a m e V i e l f a c h e l i n e a r e r Differentialausdriicke A. G u l d b e r g . T h é o r i e des c o n g r u e n c e s différentielles l i n é a i r e s . . A. G u l d b e r g . S u r des congruences différentielles l i n é a i r e s . . . . L . A u t o n n e . Sur les symboles 0/0 à plusieurs v a r i a b l e s K. J a n s e n . U e b e r g r ö s s t e und kleinste W e r t e im A n s c h l ü s s e an die L e h r e von d e n K e g e l s c h n i t t e n A. S c h r ä d e r . A u f g a b e n aus d e r a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e ü b e r M a x i m a und Minima J . A l i s o n . Maximum und Minimum E . N. B a r i s i e n . L e s t r i a n g l e s d'aire maximum inscrits d a n s l'ellipse

24ü 24tt 247 247 247 248 248 249 240 249 250 250 250

Inhaltsverzeichnis.

XXVIII

Seite

U. J . B u k r e i e w . U e b e r e i n i g e specielle F ä l l e der T h e o r i e der Maxima and M i n i m a einer Function dreier V e r ä n d e r l i c h e n . . . 250 + A. Maurer. M á x i m a und Minima 250 f F . J. V a a s . V e e l b o e k e n met minimum ointrek beschreeveu in eeD gegeven veelboek 250 Kapitel

3.

Integralrechnung.

A. l i u r w i t z . Sar l'intégrale finie d'une fonction entière 251 Kiquier. Snr la réduction du problème général d e l'intégration . . 252 C. A r z e l a . Sull'integrazione per serie 252 f J . B. F a u g h t . Réduction o f irrational algebraic intégrais . . . . 252 Kapitel

4.

Bestimmte

Integrale.

O. S t o l z . P e a n o ' s B e g r i f f des bestimmten Integrals O. S t o l z . Z w e i G r e n z w e r t e , von welchen das o b e r e I n t e g r a l ein besonderer F a l l ist G. K o w a l e w s k i . Simultane Darstellung bestimmter I n t e g r a l e . . . G. K o w a l e w s k i . M i t t e l w e r t s a t z für ein System von n I n t e g r a l e n . T h . S. F Ï 8 k e . N o t e ou the intégration of a uniformly c o n v e r g e n t series through an infinite interval E. l l a l l g r e n . B i d r a g tili teorin für definita integraler M. P e t r o v i t c b . Quelques formules générales r e l a t i v e s au calcul des intégrales définies N. N i e l s e n . T h é o r è m e sur deux intégrales définies M. L o r c h . E x p r e s s i o n s nouvelles de la constante d'Euler V. J a m e t . Sur une question de licence - "

/ 0

C08

5.

Gewöhnliche

253 254 254 251 255 255 255 25t> 256

e s a i n t . S u r l e s p r o p r i é t é s d e s fonctions e n t i è r e s R. liaire. S u r l a t h é o r i e d e s f o n c t i o n s de v a r i a b l e s r é e l l e s . . . . P. S t ä c k e l . E i n e von A b e l u n t e r s u c h t e F u u c t i o u a l g l e i c h u n g . . . T. Brodén. B e i t r ä g e zur T h e o r i e der stutigen F u n c t i o n e n e i n e r reelleD V e r ä n d e r l i c h e n T. Brodéu. U e b e r G r e n z w e r t e für Reiheuquotieiiten T. B r o d é n . F u u c t i o n e n t h e o r e t i s c h e B e m e r k u n g e n und S ä t z e . . . Ii. H a l l g r e o . B i d r a g tili teorin for entydigo f u n k t i o n e r F. Bucca. S u l l o sviluppo d'una funzione u n i f o r m e di v a r i a b i l e c o m p l e s s a in s e r i e c o l l e c a r a t t e r i s t i c h e s e p a r a t e J. Puzyna. Z u r T h e o r i e der P o t e n z r e i h e n S. M a n g e o t . D é v e l o p p e m e n t en série d e s f o n c t i o n s a l g é b r i q u e s explicites W. Kapteyn. S u r deux s é r i e s qui r e p r é s e n t e n t la même f o n c t i o n . A . P. P s z e b o r s k y . Ueber lacunare Functionen Fortschr. cl. Math. 2S. :i.

C

341 342 342 342 343 343 343 344 344 345 345 345 345 345 346 346 346 346 347 347 348 348 349 349 350 350 351 352 352 352 353 353 353 353 354 354 355 355 355 356 356 356

XXXIV

Inhaltsverzeichnis.

M. L e r c h . l i e b e r die analytische Natur einer von F. du BoisReymond b e t r a c h t e t e n Function K r y g o w s k i . Sur les fonctions à espaces lacunaires H. A . S c h w a r z . Z u r L e h r e von den unentwickelten Functionen . . L>. H i l b e r t . Eutwickelung einer analytischen Function in eine nach ganzen rationalen Functionen fortschreitende Reihe K. C e s a r o . Sur la représentation analytique des régions K. B o r e i . Snr lea zéros des fonctions entières F r . S c h i l l i n g . Kreisbogendreiecke mit einfachem K n o t e n p u n k t . . F r . S c h i l l i n g . Geometrisch-analytische Theorie der symmetrischen ¿»-Functionen mit einem einfachen N e b e n p u n k t R. D. B o h a n n a n . F u n d a m e n t a l theorem in the theory of fonctions E . S c h o u . S n r la théorie des fonctions entières G. H o l z m ü l l e r . Ueber einen Satz der Functionentheorie und seine A n w e n d u n g auf isothermische G'urvensysteme R. B l o n d l o t . Nouvelle démonstration du théorème de S t o k e s . . . C. A r z e l à . Sul principio di Dirichlet S. Z a r e m b a . Sur le problème de Dirichlet (2 Noten) V . V o l t e r r a . Sul principio di Dirichlet A. L i a p o u n o f f . Questions se rattachant au problème de Dirichlet J . C. K l u y v e r . H e t vraagstuck der g e g e r e n randwaarden voor eene figuur, die door twee cirkels is begrensd J . C. K l u y v e r . A special case of Dirichlet's problem W. D y c k . Bemerkungen zu Kronecker's Theorie der Charakteristiken von Functionen-Systemen W. A. S t e k l o w . Existenz einer F u n c t i o o , die innerhalb eines g e g e b e n e n G e b i e t e s endlich und stetig ist und der Gleichung von L a p l a c e g e n ü g t A. T a u b e r . W e r t e einer analytischen Function längs einer Kreislinie A. E d v . F r a n s é n . Sur une exteusion de la formule de Green . . L. A a t o n n e . Sur les pôles des fonctions uniformes à plusieurs variables i n d é p e n d a n t e s E . J a g g i . Sur une formule du la théorie générale des fonctions de plusieurs variables '. . V. V o l t e r r a . Alcune questioni di ¡uversioue di integrali definiti . E. P i c a r d . Sur les intégrales doubles de seconde espéce d a n s la théorie des surfaces algébriques T. A p p e l l . Sur un mode d'inversion des intégrales multiples . . . P. A p p e l l . E x e m p l e s d'inversion d'intégrales doubles H. P o i n c a r é . Sur les périodes des intégrales doubles E. P i c a r d . P é r i o d e s des intégrales doubles de fonctions algébriques E . P i c a r d . Résidus des intégrales doubles de fonctions rationnelles F. S c h o t t k y . Wertschwankungen der harmonischen F u n c t i o n e n zweier reellen Veränderlichen und der Fuuctiouen eines complexen A r g u m e n t s S. L i e . A b e l ' s c h e s Theorem und Translationsmannigfaltigkeiten . . É. P i c a r d . S u r les fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux variables . . . f Weitere Litteratur

Seite

357 358 358 359 359 360 360 360 361 361 361 362 362 362 363 363 363 364 364 364 365 36.r> 365 366 366 367 367 367 368 368 368 369 370 371 371

K a p i t e l 2. Besondere Functionen. A. E l e m e n t a r e F u n c t i o n e n (einschliesslich der Gammafunctionen und der hypergcometrischen Heiheu). G. F u b i n i . Nuovo metodo per lo studio e por il calcolo delle funzioui trascendenti elementari 372 A. A n d r e i n i . Seno e coseno della somma di n archi 372

Inhaltsverzeichnis.

XXXV

A. A. A. E. E.

S - C h e s s i n . OD the analytic theory of c i r c u l a r f u n c t i o n s . • • Pages. P r e m i e r c o n c o u r s des „ N o u v e l l e s A n n a l e s " pour 1897 H- A n g l i u . Circular functions of 3 8 and 5'-) L a m p e . S u r une formule de Newton L a m p e . Sur q u e l q u e s formules qui r e p r é s e n t e n t par a p p r o x i m a t i o n l'arc d o n t on connaît le sinus e t le c o s i n u s E. L a m p e . Sur q u e l q u e s e r r e u r s d a n s les „ N u o v e tavole delle funzioni i p e r b o l i c h e " d e M. A. F o r t i M a i l l a r d . R e p r é s e n t a t i o n géométrique d e la fonction a r c t g z . . . L. S a a l s c h ü t z . S t u d i e n zu R a a b e ' s M o n o g r a p h i e ü b e r die J a c o b Bernoulli'sche Function J . W . L . G l a i s h c r . On t h e Bernoullian f u n c t i o n J . W . L . G l a i s h e r . Ou t h e definite i n t e g r a l s c o n n e c t e d with t h e Bernoullian function J . S c h r ö d e r . Die P o t e n z e n t w i c k l u n g einer F u n c t i o n G. L a n d s b e r g . Sur nn n o u v e a u d é v e l o p p e m e n t de. la fonction G a m m a qui c o n t i e n t la 6érie de Stirling e t celle d e K a m m e r . M. L e r c h . F o r m e l ans der T h e o r i e d e r G a m m a f u u c t i o n F . H . J a c k s o n . An extension of a G a u s s i a n t h e o r e m F . H . J a c k s o n . E x p a n s i o n s of x " in h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s . . . . M. B. P o r t e r . On t h e n u m b e r of r o o t s of t h e h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s b e t w e e n zero and ona H j . M e l l i D . H y p e r g e o m e t r i s c h e Reihen h ö h e r e r O r d n u n g e n . . . . t Weitere Litteratnr B. E l l i p t i s c h e F u n c t i o n e n . P. A p p e l l et É. L a c o u r . P r i n c i p e s d e la t h é o r i e d e s fonctions elliptiques M. K r a u s e . T h e o r i e d e r d o p p e l t p e r i o d i s c h e n F u n c t i o n e n e i n e r verä n d e r l i c h e n G r ö s s e . 2. Bd M. K r a u s e . T r a n s f o r m a t i o n s t h e o r i e der elliptischen F u n c t i o n e n . . J . S t r i o g h a m . Formulary for an introduction t o elliptic f u n c t i o n s . M. K u s c h n i r i u k . S i m u l t a n e T r a n s f o r m a t i o n e l l i p t i s c h e r I n t e g r a l e . D e S p a r r e . Sur la réduction a u s i n t é g r a l e s elliptiques d e c e r t a i n e s intégrales D e S a l v e r t . Sur les i n t é g r a l e s elliptiques P. M a n s i o n . S u r une lacune d a n s In s e c o n d e m é t h o d e d e r é d u c tion d e s i n t é g r a l e s e l l i p t i q u e s de t r o i s i è m e e s p è c e P . P . G r a v e . Zur F r a g e über elliptische F u n c t i o n e n Ch. H e r m i t e . S u r q u e l q u e s p r o p o s i t i o n s f o n d a m e n t a l e s de la théorie d e s f o u c t i o n s elliptiques Ch. H e r m i t e . S n r quelques d é v e l o p p e m e n t s en s é r i e d a n s la théorie d e s f o n c t i o n s e l l i p t i q u e s P . S t a c k e I. L e théorème d'addition d e la fonction p(u) P . M. P o k r o w s k y . Das Additionstheorem der elliptischen Functioneu von W e i e r s t r a s s nach der M e t h o d e von L a g r a n g e . . . M. S i m o n . Zusatz zur P r o g r a m m a b h a n d l u n g für 1875 F. de B r u n . E i n i g e neue F o r m e l n d e r T h e o r i e d e r e l l i p t i s c h e n Functionen ß . B r i c a r d . Sur les fonctions elliptiques du second o r d r e . . . . J . G. K l u y v e r . Optellingsformules der elliptische s i g m a f u n e t i e s . . A . K r a z e r . U e b e r die Convergenz der T h e t a r e i h e A . H u r w i t z . Entwickelungscoefficieoten d e r l e m n i s k a t i s c h e n F u n c t i o n e n F. d e S a l v e r t . S u r une formule d'analyse relative à c e r t a i n e s i n t é g r a l e s d e fonctions elliptiques p a r r a p p o r t á leur m o d u l e . . M. L e r c h . U e b e r ein bei C a u c h y ' s c h e r T r a n s f o r m a t i o n d e r elliptischen Klementarfunctiou dritter A r t a u f t r e t e n d e s i n t e g r a l . . C*

Saite

373 .373 374 374 374 374 375 375 375 377 378 378 379 380 380 381 381 382

382 383 386 386 387 387 388 388 388 388 389 390 390 390 390 391 392 392 393 394 394

ID h a l t s Verzeichnis.

XXXVI

Stite

M. L e r ç h . S n r q u e l q u e s formules c o n c e r n a n t les f o n c t i o n s ellipt i q u e s e t les i n t é g r a l e s E n l é r i e n n e s 394 B. I g e l . U e b e r eine Relation voo K r o n e c k e r 395 J . F r a o e l . S u r u n e formule f o n d a m e n t a l e d e K r o n e c k e r 395 O. B o l z a . D i e k u b i s c h e Involution und die D r e i t e i l u n g u n d Transf o r m a t i o n d r i t t e r O r d n u n g d e r elliptischen F u n c t i o n e n 39 F. B r i o s c hi. S u r une classe d ' é q u a t i o n s du cinquième d e g r é et la t r a n s f o r m a t i o n du onzième o r d r e d e s f o n c t i o n s e l l i p t i q u e s . . . 397 A. P a l m s t r ô m . Généralisation d e q u e l q u e s é q u a t i o n s a l g é b r i q u e s qui se p r é s e n t e n t d a n s la t h é o r i e d e s fonctions e l l i p t i q u e s . . 397 J . P i e r p o n t . On modular e q u a t i o n s 398 A. M o r g a n . On t h e geometrical r e p r e s e n t a t i o n of elliptic i n t e g r a l s of t h e first kind 39K t Weitere Litteratur 399 C. H y p e r e l l i p t i s c h e , A b e l ' s c h e u n d v e r w a n d t e F u n c t i o n e n . J . P . D o l b n i a . S u r le genre d e s i n t é g r a l e s abélienneB 399 O. B o l z a . On W e i e r s t r a s s ' s y s t e m s of hyperelliptic i n t e g r a l s of the first a n d s e c o n d kind 400 A . S. C h e s s i n . N o t e on hyperelliptic i n t e g r a l s 400 F . d e B r u n . Om i n v a r i a n t a h y p e r e l l i p t i s k a likbeter 400 P . P o k r o w s k y . Ueber das Additionstheorem der byperelliptischen F u n c t i o n e n von zwei A r g u m e n t e n 401 E. J a h n k e . Z u s a m m e n h a n g zwischen den E l e m e n t e n orthogonaler N e u n e r - und S e c h z e h n e r s y s t e m e 401 E. J a h n k e . S y s t è m e s o r t h o g o n a u x pour les dérivées des fonctions t h ê t a d e deux a r g u m e n t s 401 M. K r a u s e . Z u r T r a n s f o r m a t i o n f ü n f t e n G r a d e s der byperelliptischen Functionen erster Ordnung 401 W . P . E r m a k o w . T h e o r i e d e r A b e l ' s c h e n Functionen 402 R . F u c h s . P e r i o d i c i t ä t s m n d u l n d e r h y p e r e l l i p t i s c h e n I n t e g r a l e als Functionen eines Verzweigungspnnktes 402 L . F u c h s . Z u r T h e o r i e der A b e l ' s c h e n F u n c t i o n e n 403 H. P o i n c a r é . S u r les fonctions a b é l i e n n e s 404 H . B o u r g e t . Sur une c l a s s e de f o n c t i o n s h y p e r a b é l i e n n e s . . . . 404 D. K u g e l - u n d v e r w a n d t e F u n c t i o n e n . J. F r i s c h a u f . V o r l e s u n g e n ü b e r K r e i s - und K u g e l f u n c t i o n e n r e i h e n G. M o r e r a . Sui polinomi di L e g e n d r e E . G. G a l l o p . T h e differentiation of s p h e r i c a l harmonics f A. H. L e a h y . F u n c t i o n s c o n n e c t e d with tessera] h a r m o n i c s . . . E . B. v a n V l e c k . On the r o o t s of B e s s e l - and P- f u n c t i o n s . . . E . W. H o b s o n . N o t e on s o m e p r o p e r t i e s of B e s s e l ' s f u n c t i o n s . . L. G e g e n b a u e r . Bemerkung über die Bessel'schen Functionen . M. B ô c h e r . On c e r t a i n m e t h o d s of S t u r m a n d their a p p l i c a t i o n to tho r o o t s of B e s s e l ' s f u n c t i o n s R ; W . W i l s o n a n d B. 0 . P e i r c e . T a b l e of t h e first 40 r o o t s of J

0

( x ) = 0

L. Cr e l i e r . E. G a b l e r .

409 410

S u r les fonctions b e s s é l i e n n e s 0"(x) et S*(z) Beweis einer F o r m e l d e s H e r r n Sooine

Achter Abschnitt.

405 405 40(1 407 408 408 408

. . .

.

410 411

Reine, elementare und synthetische Geometrie.

K a p i t e l 1. P r i n c i p i e u d e r G e o m e t r i e . B. A. W . R ü s s e l . An e s s a y on t h e f o u n d a t i o n s of g e o m e t r y G. V e r o n e s e . Sul p o s t u l a t o d e l l a c o n t i n u i t y

. . .

413 415

Inhaltsverzeichnis.

XXXVII Seite

A. S c l i o e u f l i e s . Transfinite Zahlen, das Axiom des Archimedee uud die projective Geometrie G. L a z z e r i . Sul postulato dell'equivalenza G. S f o r z a . Sopra alcuni postulati del segmento G-. T r a t t i n i . Grandezze finite e indefinite R. B e t t a z z i . Grandezze finite ed infinite P. M a n s i on. Résumé de la théorie de l'équivalence Ch. A. S c o t t . On Cayley's theory of the absolute J . A n d r a d e . Réduction des vecteurs et propriétés métriques . . . A. R a m o r i n o . Gli elementi imaginari nella geometria F e l i x K l e i n . Gutachten, betreffend den dritten Band der Theorie der Transformationsgruppen von S. Lie N. R e i n h a r d t . Nichteuklidische Geometrie und Positivismus . . . V. R- P r o s p e r . Théorème de Pythagore et géométrie non-euclidienne V. R. P r o s p e r . Nota sobre un punto de geometria no-euclidea . . F r . E n g e l . Parallelen in der nichteuklidiscben Geometrie .T. D e l b o e u f . Géométrie euclidienne sans le postulatilo) d'Euclide . G. L e c h a l a 8 . Identité des plans de Riemann et des sphères d'Euclide P . M a n s i o n . Sur la non identité da plaD riemannien et de la sphère euclidienne P. M a n s i o n . Sur une méthode élémentaire d'exposition des principes de la géométrie non-euclidienne P. M a n s i o n . Nouvelle démonstration du postulatnm d'Euclide . . P. M a n s i o n . Relation entre les distances de cinq ou six points en géométrie euclidienne et en géométrie non-euclidienne . . . . P. M a n s i o n . Volume d'un corps en géométrie non-euclidienDe . . M a x S i m o n . Zwei Sätze zur nichteuklidischen Geometrie V. S i kB t e l . Théorèmes fondamentaux de la géométrie sphérique . C. H. H i n t o n . Hyperbolea and the solution of équations C. B u r a l i - F o r t i . Metodo del Grassmann nella geometria proiettiva (Nota II») + Weitere Litteratur

415 415 415 415 416 417 417 417 417 417 418 419 419 419 419 419 419 420 420 420 420 420 421 421 422 422

K a p i t e l 2. Continuitätsbetrachtungen (Analysis situs, Topologie). M a n n o u r y . Lois cyclomatiques 423 L a z z e r i . L e configurazioni piane di Caporali 424 M a r t i n e t t i . Sopra la configurazione di Kummer 424 M a r t i n e t t i . L e configurazioni (ri,, 8 4 ) di punti e piani . . . . 424 H e f f t e r . Ueber Nachbarconfigurationen, Tripelsysteme und metacyklische Gruppen 425 E. S t e i n i t z . Unmöglichkeit, gewisse Configurationen n3 in einem Zuge zu durchlaufen 425 E . C a h e n . Théorie des régions 425 P . S t a c k e I. Ueber Nachbargebiete im Räume 425 L . B e r z o l a r i . Un'osservazione sull'estensione dei teoremi di Eulero et Meusnier agli iperspazi 425 P. J. H e a w o o d . On the four colour map tlieorem 426 • f P . W e r n i c k e . On the solution ol' the map colour problem . . . 426 C h . G O c h m a n n . Schnellzüge als complexe Grössen 426 A. M i n i n . Zahlentheoretische Lösung eines geometrischen Problems 426 J . M. B r ü c k n e r . Geschichtliches zur Aufzählung der Vielflache . . 426 U. M i n k o w s k i . Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder 427 J . F. Gh. H e s s e l . Krystallometiie oder Krystallouomie und Krystallograpliie. 1, 2. Hrsg. von 15. Hess 428 G. G. V. V. L.

XXXVIII

Inhaltsverzeichnis.

A. B r a v a i s . Systeme vou regelmässig auf einer Ebeoe oder im Raum verteilten Punkten (1848). Hrsg. von C. und E. Blasius + K. R ö h n . Krystallklassen Elementare Geometrie (Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie). R. D e a k i n . Euclid, books I-IV C h a r l e s S m i t h and S o p h i e B r y a n t . Euclid's elements of geometry G. M. M i n c h i n . Geometrv for beginners H. B o r k , B. C r a n t z , E. H a e n t z s c h e l . Mathematischer Leitfaden. 1, 2 W . B r i g g s and G. H. B r y a n . The tutorial trigonometry 0 . B ü r k l e n . Lehrbuch der ebenen Trigonometrie J e ' n t z e n . Elemente der Trigonometrie. 2. Aufl J . D. S o n t o R o d r i g u e s. Goniometria E. S c h n l z . Leitfaden der Körperberechnung K. F i n k . Sätze und Aufgaben zur systematischen und darstellenden Geometrie der Ebene in der Mittelschule. 3, 4 C. H e l m . Determinationen zu Dreiecksaufgaben M. S c h u s t e r . Aufgaben für den Anfangsunterricht in der Geometrie F r . R e i d t . Aufgaben und Beispiele aus der Trigonometrie und Stereometrie, bearb. von A. Much S. P i n c h e r l e . Esercizi sulla geometria. Manuale Hoepli . . . . W. S m e t a c z e k . Mathematisches aus der Lehrstunde F. F e r r a r i . Exercices sur les triangles pédales B e r u è s . Exercices f W e i t e r e Lehrbücher W. M. K u t t a . Zur Geschichte der Geometrie mit constanter Zirkelöfinung E n g . D a b o ni s. L a géométrie du compas V . B a i b i n . Geometrografia E. L e m o i n e . I. L a géométrographie. II. Transformation continue A. M a n n h e i m . Remarque sur les constructions géométriques . . . M. J . M. H i l l . Question 13406 i M . G r e m i g n i . Ancora sull'equivalenza dei poligoni f M a r a n g o n i . Il concetto di eguaglianza in geometria F . P a l a t i n i . Una defînizione di poligono convesso B r a n d . Une nouvelle démonstration de Pythagore W o l k o w . Une démonstration du théorème de Pythagore J . O p p e r t . Remarques sur la géodésie des Chaîdéens M. d ' Ô c a g n e . Sur le déplacement d'un triangle variable semblable à un triangle donné F. J . Sur les figures semblables A. W e r e b r ü s s o w . Einschreibung ähnlicher und gleicher Dreiecke M. Si m i n . Dreieck, in welchem die Summe zweier Seiten der dreifach genommenen dritten Seite gleich ist + W. S i k s t e l . Flächeninhalt eines Dreiecks durch den Halbperimeter N. S s o l o v j e w . Punkt kleinster Entfernung von 3 u. 4 Punkten . . M. P e l i s e k . Rationale Relationen im gleichseitigen D r e i e c k . . . . J . H. T u r r e l l , C. E. H i l l y e r , K. S. P u t n a m . Questions 2916 and 4313 S a n j a n a . Question 13306 G. C a n d i d o . Un teorema sul triangolo t P . D o l g u s c h i n . Rationalität der Winkelhalbirenden des Dreiecks W. H e y m a n n . Zum Problem der Winkelhalbirenden

Seite

428 428

E a p i t e l 3.

428 428 428 429 429 429 430 430 431 431 432 432 433 433 433 433 434 434 439 439 439 439 440 440 440 440 440 440 441 441 441 441 411 441 441 441 442 442 442 442 442 443

Inhaltsverzeichnis.

XXXIX Seite

A. K o r s e l t . U e b e r die U n m ö g l i c h k e i t der C o n s t r u c t i o n e i n e s D r e i e c k s aus den drei W i n k e l h a l b i r e n d e n A. K o r s e l t . U c b e r das P r o b l e m d e r W i o k e l h a l b i r e o d e n -f-H. v a n A u b e l . T h é o r è m e s sur l e s t r i a n g l e s t r i h o m o l o g i q u e s . . . -j-Déprez. S o r le c e n t r e d e s t r a n s v e r s a l e s a n g u l a i r e s é g a l e s . . . . 4F. Ferrati. T h é o r è m e s sur le t r i a n g l e Barbarin. S y s t è m e s i 9 o g o n a u x d'an triangle Ch. M i c h e l . D e u x p r o b l è m e s g é n é r a u x de g é o m é t r i e é l é m e n t a i r e . R. E . A n d e r s o n . E x t e n s i o n o f t h e „medial s e c t i o n * p r o b l e m . . . X. P f e i f e r . B e i t r a g zur A n w e n d u n g d e s g o l d e n e n S c h n i t t s . . . . F. S. M a c a u l a y . On the d e f o r m a t i o n o f a p l a n e c l o s e d polygon so t h a t a c e r t a i n function r e m a i n s c o n s t a n t J. Dougall. P r o o f o f t h e t h e o r e m t h a t the mid p o i n t s o f the t h r e e diagonals of a complete quadrilateral are collinear V. M u r e r . C o r d e notevoli del t r a p e z i o C. J . R u e d a . C e n t r o s de p r o j e c c i ó n i s o t ó m i c a de nn c u a d r i l á t e r o . \1. A z z a r e l l i . Poligoni regolari convessi iscritti e circoscritti . . . A. C a b r e i r a . S o b r e a á r e a dos polygonos r e g a l a r e s A. C a b r e i r a . S o b r e a á r e a d o s polygonos s e m i - r e g u l a r e s J. Oppert. S é r i e pour le c ô t é d'un p o l y g o n e r é g u l i e r d e n c ô t é s . . A. D r o z - F a m y . S u r le p e n t a g o n e e t le d é c a g o n e r é g u l i e r s . . . Oraeber. U e b e r die p y t h a g o r e i s c h e n D r e i e c k e und i h r e A n w e n d u n g a u f die T e i l u n g d e s K r e i s u m f a n g s fG. Benedetti. S c i e n z a dei t r i a n g o l i P i t a g o r i c i A. K o r s e l t . M e c h a n i s m u s , durch den ein W i n k e l in e i n e b e l i e b i g e u n g e r a d e Anzahl g l e i c h e r T e i l e g e t e i l t werden k a o n fC. Giavarini. A difesa della trisezione dell'angolo + F . A. S j ö g r e n . I n s t r u m e n t for C i r k e l b a g a r s R e c t i f i c a t i o n . . . . E . S- B a r r a c h i n a . R e c t i f i c a c i ó n a p r o x i m a d a d e la c i r c u n f e r e n c i a . J. Husak. Angenäherte L ö s u n g der Quadratur des K r e i s e s . . . . + U . G . F i l o g o m o. M i s u r a z i o n e della c i r c o n f e r e n z a e del c i r c o l o . M. H a b e r l a n d . V e r a l l g e m e i n e r u n g der „ L u n u l a e B i p p o c r a t i s " . . E. Mathot. N o t e de g é o m é t r i e A. B e r t e z è n e . P r o b l è m e de g é o m é t r i e p r a t i q u e C. E . H i l l y e r . Q u e s t i o n 1 3 2 6 5 N. Q u i n t . T h e g e n e r a l W a l l a c e line of an i n s c r i b e d polygon . . . N. Q u i n t . On an e x t e n s i o n o f t h e W a l l a c e p r o b l e m J. J. Duran Loriga. S o b r e los círculos radicales J . D u r a n L o r i g a . Sur les cercles radicaux et antiradicaux . . . . M. H a b e r l a n d . S ä t z e ü b e r die A p o l l o n i s c h e n K r e i s e d e s D r e i e c k s fK. Traub. Radien der Berührungskreise beim Apollonischen Problem Pampuch. Das verallgemeinerte Malfatti'sche Problem G. B e l l a c c h i . N o t a s o p r a a l c u n e formole di S t e i n e r + A. C. D i x o n . T h e polygons of P o n c e l e t and W e i l l ' s theorem . . f j . Girod. S u r le c e r c l e c o u p a n t trois c e r c l e s d o n n é s sous d e s angles donnés . . . . A. M a n n h e i m . D é m o n s t r a t i o n s d'un t h é o r è m e de M . M a n n h e i m . . O. R i c h a r d s o n . Question 13126 B. S p o r e r . U e b e r den F e u e r b a c h ' s c h e n K r e i s V . R. A i y a r . A g e n e r a l t h e o r e m on the n i n e - p o i n t s c i r c l e H. von J e t t m a r . Dreieck der Berührungspunkte des Inkreises . . A. E m m e r i c h . Zusatz H. H e n k e . Berechnung der Entfernung gewieser merkwürdiger P u n k t e d e s D r e i e c k s vom S c h w e r p u n k t H. L i e b e r . I s o g o n i s c h e und i s o d y n a m i s c h e P u n k t e d e s D r e i e c k s . J . S. M a c k a y . Isogonic centres of a triangle

443 443 443 443 443 443 444 444 444 444 445 445 445 445 445 446 44(5 446 446 446 446 447 447 447 447 447 447 448 448 148 448 449 449 449 449 449 449 451 451 451 451 451 451 451 452 452 452 452 452

XL

Inhaltsverzeichnis.

E. L e m o i n e . Questions relatives à la géométrie du triangle . . . L. C o l l e t t e . Quelques propriétés du triangle R. T u c k e r . Geometrical notes J. F. d ' A v i l l e z . L'angle de Brocard et les aogles de Steiner . - . D é p r e z . Question 9746 S c h w a t t . Question 13311 H. B r o c a r d . Question 13420 f B . J . A l e y . Contributions to the geometry of the triaDgle . . . . -j-R. J- A l e y . Collinear sets of t h r e e points in the triangle . . . . D. E. Nene Geometrie des Dreiecks A. G o l d e n b e r g . Die Parallelen des Dreiecks F r . M e y e r . Die Resultantenbildungen der Trigonometrie . . . . F r . M e y e r . Ueber volle Systeme in der ebenen Trigonometrie . . J . W . B n t t e r s . A geometrical proof of trigonometrical formulae . F. J . V a e s . Sur l'équatioD asin J T - 1 - Í C O S J : = c P. F l o r o w . Construction der Wurzeln der trigonometrischen Gleichungen mit Hülfe des Zirkels und Lineals L e c o c q . Relations métriques et trigonométriques entre les éléments linéaires et angulaires du quadrilatère inscrit complet G. C a n d i d o . Sulla questione 342 D. F e l l i n i . Il problema di P o t h e n o t • E. G r o h m a n o . Ueber das sphärische D r e i e c k . . E. G r o h m a n n . Ueber das gemeine sphärische Dreieck E. C. H u d s o n . Geometrical proof of spherical formulae G. S f o r z a . Equivalenza dei poliedri per congruenza delle parti . . A. G o u l a r d . Sur la formule des trois niveaux W. B a r t o l o m e i . Versuch einer elementaren theoretischen Untersuchung der Berühruug von Kugeln W. M c F . O r r . Theorems on the contacts of spheres G. G a l l u c c i . Quelques théorèmes de géométrie A. C a b r e i r a . Sobre algumas applicaçoes do theorema de Tinseau f B . B. H a y w a r d . On some semi-regular solids t G . B. H a l s t e d . T h e criterion for t w o - t e r m prismoidal formulae . + T. U. T a y l o r . Prismoidal formulae •j-A. L o d g e and P. H . H e a w o o d . Spherical geometry K a p i t e l 4. Darstellende Geometrie. F. J . O b e n r a u c h . Geschichte der darstellenden und projectiven Geometrie R. D o e r g e n s . Ueber Photogrammetrie T . J . E v a n s and W. W . F . P u l l e n . Practical plane and solid geometry J . H. S p a n t o n . Complete perspective course W. B i n d e r . Die cotirte Darstellung auf einer Bildebene K. S c h ü s s l e r . Zur Perspective des Kreises A. S u c h a r d a . Ueber die Lichtgleichen-Tangenten-Construction bei den Translationsflächen H. G a l a s c h . Isophotoiden der Rotationsflächen zweiten Grades . . Chr. ß e y e l . Eine Aufgabe aus der Schattenlehrc Fr. P r o c b á z k a . Bemerkung zur perspectiven Darstellung . . . . R. M e h m k e . Das Einstellen der dreiteiligen Fluchtpunktschiene . . T. M a r i e et H. R i b a u t . Stéréoscopie de précision A. B o u l a n g e r . Sur le biais passé gauche A. G r ü n w a l d . Die Projectionen einer unebenen Curve . . . . G. S t i n e r . Die Bernoulli'sche Lemniskate dargestellt als Orthogonalprojection von Raumcnrven J . P i e r c e . The principles involved in projecting panoramic views .

Seil«

453 453 453 453 453 454 454 454 454 454 454 454 455 455 455 455 456 456 456 456 457 158 458 45S 45S 458 45S 459 459 459 459 459

459 460 460 461 461 461 461 462 462 462 463 463 463 463 464 464

Inhaltsverzeichnis.

XI.I Seite

H e n r i c h . Die stenographische Projection 464 J. F r i s c h a u f . Zu C. S. Peirce: Quincuncial projection 465 E. M. B l a k e . Note upon a representation in space of the ellipses drawn by an ellipsograph 465 + Weitere Litteratnr 4G5 K a p i t e l 5.

Neuere synthetische Geometrie. A. A l l g e m e i n e s . M. W a s t s c h e n k o - S a c h a r t s c h e n k o . Projective Geometrie . . . (J. F. E. B j ö r l i n g . Lärobok i nyare plan geometri K. B o b e k . Einleitung in die projectivische Geometrie der Ebene . G. F o n t e n é . Géométrie dirigée M. P i e r i . Sogli enti primitivi della geometrìa projettiva astratta . F. A m o d e o . A proposito dei postulati della geometria projettiva . M. P i e r i . Intermezzo H. G. Z e u t h e n . Bemaerkninger om, og nyt Bevis for Fondamentalsätninger i den projective Geometri H. G. Z e u t h e n . Théorème fondamental de la géométrie projective J . B r i l l . On certain analogues of aoharmonic ratio L. K l u g . Ueber den harmonischen Pol G. B r o c a r d . Sur la transformation homographique des propriétés métriques des figures planes K. K ü p p e r . Ein Grundproblem der projectiven Geometrie . . . . K. K r a u s e . Ueber cykliscbe Collineationen H. B. N e w s o n . Projective transformations in the plane and in space K i l b i n g e r . Zur perspectivischen Lage collinearer ebener Felder . W. E s s on. Notes on synthetic geometry G. K o h n . Erweiterung eines Grundbegriffes der Geometrie der Lage G. del P r e t e . Le corrispondenze proiettive degeneri f Weitere Litteratur B. B e s o n d e r e e b e n e G e b i l d e . J . B l a s c h k e . Zur elementaren Behandlung der Kegelschnitte . . . F. F a r j o n . Théorèmes de Pascal et de Brianchon P . S v e 8 c h n i k o f f . Elementare Theorie der Ellipse J . B e l l a n k i n . Haupteigenschaften der Parabel A. M a n n h e i m . Sur la déviation dans l'ellipse A. T i s s o t . Sur les cercles bitangents aux coniques A. T i s s o t . Cercles et droites ätiotropes A. M a n n h e i m . Démonstration relative à l'inverseur de Hart . . . J . F r a n e l . Question 1720 X. A u t o m a r i . Question 1714 Oh. M i c h e l . Sur les cercles et les sphères F . S a r t i a u x . Admission à l'École Polytechnique en 1863 A. M a n n h e i m . Sur le tracé de l'anse du panier E. B a l l y . Généralisation du théorème de Joachimstlial E. B a l l y . Note sur les coniques M. de F r a n c h i s . Sulla curva luogo dei contatti d'ordine k delle curve d'un fascio colle curve d'un sistema lineare oc* M. de F r a n c h i s . Sopra una teoria geometrica delle singolarità di una curva algebrica piana R. P y r k o s c h . Ueber Poncelet'sche Dreiecke E. F a u q u e m b e r g u e . Question 1546 P. S o n d â t . Question 1719 P . S o n d â t . Question 1696 A. D a z a m i a n . Question 1684 A. E. J o l l i f f e . Questions 11707 and 11720

467 468 469 469 469 470 470 470 470 471 471 472 472 472 473 473 473 473 473 474 471 474 475 475 475 475 475 475 475 476 476 476 476 477 477 477 478 480 480 480 481 481 481

I u h a l t s Verzeichnis.

XLII

C. E . H i l l y e r . Question 13359 M. d ' O c a g n e . Sur les coniques qui ont avec uue courbe douuta en un de ses p o i n t s un contact d'ordre supérieur F . G e u e r . U e b e r äquivalente Bewegungen. I. Entstehung von Gurven d r i t t e r Ordnung aus projectiviseben Kreisbüscheln . . . . S. R o b e r t s . Cubic curves connected with triangles in p e r s p e c t i v e . C h r . B e y e l . D e r kubische Kreis mit Doppelpunkt F r . L o n d o n . U e b e r k u b i s c h e Constructionen G. L o r i a . I d e n t i t é de la strophoïde avec la focale à noeud . . . . G. L o r i a . U n e c o n r b e oubliée: la conchoïde de R. d e Sluse . . . E l g é . Sur une t r a n s f o r m a t i o n centrale \V. G o d t. U e b e r den F e a e r b a c h ' s c h e n Kreis und die Steiner'seil« Curve vierter O r d n u n g nnd dritter Klasse H . M. T a y l o r . On a sériés of -cotrinodal quartics . . . . . . . W . B i n d e r . Die Undulationen ebener Curven CJ. I G. L e i n e k u g e l . Sur un problème de géométrie F r . P r o c b à z k a . Kriiramungsmittelpunkt von T r a j e c t o r i e n . . . . A. S u c h a r d a . Construction der Normale und des Krümmungsmittelp u n k t e s der Radiale einer beliebigen P l a n c u r v e A. V i c a i r e . Démonstration d'une propriété de la cycloïde . . t Weitere Litteratur C.

Besondere räumliche

4*1 4SI 482 482 483 483 483 483 484 484 484 485 485 485 485 486 486

Gebilde.

G. B a u e r . Von zwei T e t r a e d e r n , welche einander zugleich eingeschrieben und umschrieben sind S. C a t a n i a . T e o r e m i e problemi sui tetraudri isobaricentrici . . . W . M c F . O r r . C o n t a c t relations of certain systeuis of circles and conice + M. B. P o r t e r . On spherics J. T h o m a e . L i n e a r e Construction der Fläch« 0 . aus 9 P u u k t e u L. K l a g . U e b e r die vierten Scbnittgeraden der einem Dreikant umschriebenen Rotationskegel A. M a n n h e i m . N o t e à propos d'un théorème connu de géométrie . G. K o h n . U e b e r räumliche P o n c e l e t ' s c h e Polygone P . G r a v e . U e b e r einen geometrischen S a t z D. S i n z o w . E i g e n s c h a f t der Flächen zweiter Ordnung . . P . N a s i r a o w . Geometrischer Beweis des Satzes von S. Lie . . . . R . B r i c a r d . É t u d e géométrique d'un déplacement remarquable . . G e n e i x - M a r t i n , A. T h é v e n e t . Question 1542 J. K l o b u c e k . Beweis eines S a t z e s aus der Geometrie der L a g e . C. J u e l . D o b b e l p u n k t s t a n g e n t e r n e for en Rumkurve af f j e r d e Order A. M a n n h e i m . E x t r a i t d'une lettre A. P e l l e t . Question 1753 Fr. Trochazica. Osculationshyperboloide tviudsebiefer Flachen . . D. G e b i l d e i n R ä u m e n v o n m e h r a l s d r e i D i m e n s i o n e n . V. S c h l e g e l . P y t h a g o r e i s c h e r L e h r s a t z in mehrdimensionalen Räumen P. H . S c h o u t e . L e s uogles quadrimensiouaux de deux plaus . . . S. L . v a n O s s . T o e p a s s i n g van een paar Stellingen van de meetkuode en beweging der ruimte vau vier afmetingen D. M o n t e s a n o . Su due trasforinazioni razionali ed involutorie dello spazio di 4° ordine e di genere zéro G. B o r d i g a . L'omografia nello spazio a » diruensiom H. S c h u b e r t .

Seite

487 487 487 488 488 488 489 489 489 489 489 489 490 490 490 490 490 490

491 491 492 492 492

E. A b z ä h l e n d e G e o m e t r i e . Correlative V e r w a n d t s c h a f t in n Dimensionen . . . • 493

Inhaltsverzeichnis.

XI.I11 Seite

Neunter Abschnitt. Kapitel

1.

Analytische Geometrie.

Lehrbücher,

Coordinates

Max Simon. Analytische Geometrie der E b e n e 494 H . G a n t e r und F . R a d i o . Die Elemente der analytischen Geometrie. 1 • 495 P. A. L a m b e r t . Analytic geometry 495 K . K o p p e ' s G e o m e t r i e 3. A n a l y t i s c h e G e o m e t r i e d e r E b e n e . . . 4 9 5 F . ET. B a i l e y a n d F . S. W o o d s . P l a n e and solid analytic geometry 495 Ii. L e i n e w e b e r . L a t e r a l e C u r v e n und C o e f f i c i e n t e n d e r L a g e . . 496 F. R a c k d e s c h e l . T r a n s f o r m a t i o n e n in L i n i e n - u n d E b e n e n c o o r dinaten 496 G. K o h n . G e o m e t r i s c h e D e u t u n g d e r h o m o g e n e n C ' o o r d i n a t e o . . . 496 J . B r i l l . N o t e on t h e p r i n c i p l e of d n a l i t y 496 E. S t u d y . S o m e r e s e a r c h e s in s p h e r i c a l t r i g o n o m e t r y 497 C. J u e l . O m B e s t e m m e l s e af A r e a l e r o g V o l u m i n e r 497 C. W e s s e l . E s s a i s u r l a r e p r é s e n t a t i o n a n a l y t i q u e d e la d i r e c t i o n . 4 9 7 R. d e S a u s s u r e . Calcul g é o m é t r i q u e r é g l é 499 R. d e S a a s s u r e . P r i n c i p l e s of a n e w l i n e - g e o m e t r y 499 G. N é d é l e c . L e calcul vectoriel et s e s applications 500 G. F e r r a r i s . T e o r i a g e o m e t r i c a dei c a m p i v e t t o r i a l i 501 C. B u r a l i - F o r t i . I n t r o d u c t i o n à la g é o m é t r i e d i f f é r e n t i e l l e s u i v a n t la m é t h o d e d e H . G r a s s m a n n 501 E . L a s k e r . A n e s s a y on t h e g e o m e t r i c a l c a l c u l u s . . 502 Emil Müller. Ueber das gemischte Prodact 502 A. S. H a t h a w a y . Q u a t e r n i o n s a s n u m b e r s of f o n r - d i m e n s i o n a l s p a c e 5 0 2 J . B . S h a w . D e v e l o p m e n t of t h e . ¿ - p r o c e s s in q u a t e r n i o n s . . . . 503 E. W. H y d e . An analogue t o de Moivre'e theorem 503 B. W . H y d e . L o c i of t h e e q u a t i o n s p = a , > • • • > a, > 0 genügen, während k0, k0 •••, fch t-\-l von Null verschiedene endliche Zahlen sind. Den Schluss des Artikels bildet die Untersuchung derjenigen Zahlen (als „«-Zahlen" bezeichnet) der zweiten Zahlenklasse, welche Wurzeln der Gleichung cox = x sind. Vi.

C. Bürau-Forti.

Sopra un teorema del sig. G. Cantor.

Torino

Una questione sui numeri transiiniti.

Palermo

Atti 32, 229-237. G. C a n t o r sagt (Math. Ann. 46, 484): „Erst später, wenn wir einen Ueberblick über die aufsteigende Folge der transfiniten Cardinalzahlen und eine Einsicht in ihren Zusammenhang gewonnen haben werden, wird sich die Wahrheit des Satzes ergeben: Sind a und b zwei beliebige Cardinalzahlen, so ist entweder a = b oder a < 6 oder a~Z>bu. Dagegen wendet B.-F. ein, dass jeder Satz über Cardinalzahlen sich auf blosse Eigenschaften von Klassen und Correspondenzen zurückführen lassen muss, während es ihm bisher nur dann gelangen ist, diese Redaction für den betrachteten Satz auszuführen, wenn beide Cardinalzahlen endlich sind, oder wenn die eine derselben = N0 (Alephnull) ist. _ Vi.

C. Bürau - Forti.

Rend. 11, 154-164.

C. B u r a l i - F o r t i .

Sülle classi ben Ordinate.

Palermo Rend. 11, 260.

Eine „vollkommen geordnete Klasse" („classe perfettamente ordinata") ist, nach B.-F., eine geordnete Klasse, welche die folgenden Eigenschaften besitzt: a) Sie hat ein erstes Element, b) Zu jedem bestimmten Elemente — falls es nicht das letzte ist — existirt ein nächstfolgendes. c) Ist x ein Element, welches ein nächstvorangehendes hat, so existirt anter den vorangehenden Elementen ein solches y, welches kein vorangehendes besitzt und von x höchstens durch eine endliche Anzahl von Elementen getrennt wird. Nun beweist B.-F., dass, wenn a, ß die Ordnungstypen zweier vollkommen geordneter Klassen sind, die Annahme, dass einer der drei Fälle: a = ß, a ß notwendig stattfinden muss, zu einem Widerspruch führt. Es ist aber zu beachten, dass — wie der Verf. in seiner zweiten Note berichtigend erkennt — eine vollkommen geordnete Klasse nicht

63

Kapitel 2. Philosophie und Pädagogik.

immer eine „wohl geordnete Klasse" ist, so dass das erhaltene Resultat für die Cantor'schen Ordnungszahlen nicht notwendig gilt. Uebrigens hat G. Cantor neuerlich bewiesen (Math. Ann. 4 9 , 216), dass, wenn a, ß zwei Ordnungszahlen sind, entweder a = ß oder a < ß oder a> ß ist (vergl. oben S. 61). Vi. E. SCHRÖDER. Ueber G. C a n t o r ' s e h e Sätze. Deutsche Math. Ver. 5„ 81-8-2. Kurze Bemerkungen über die Sätze A bis E von G. Cantor in Math. Ann. 46, 484 (F. d. M. 2 6 , 81, 1895). Lp. A. SCHÖNFLIES.

Sur les nombres transfinis de M.

Veronese.

Rom. Acc. L. Rend. (5) «ü, 362-368.

S c h ö n f l i e s wiederholt hier seine früher (Transfinite Zahlen, das Axiom des Archimedes und die projectivische Geometrie, Deutsche Math. Ver. 5, 75-81, Bericht in diesem Bande) ausgesprochene Behauptung, dass auf die Veronese'schen transfiniten Zahlen sich eine projectivische Geometrie nicht begründen lässt. Er versucht nämlich zu beweisen, dass das Product von zwei Veronese'schen Zahlen im allgemeinen keine solche Zahl ist. Eine Erwiderung von Veronese ist inzwischen erschienen (Segmenti e numeri transfiniti, Rom. Acc. L. Rend. (5) 7,, 79-87, 1898). Vi.

G.

PEANO. Logique mathématique. Formulaire de mathématiques T . II § 1. T u r i n : Bocca-Clausen. 63 S. 8».

Die „mathematische Logik", welche im ersten Bande des „Formulaire" (s. F. d. M. 25, 103, 1893/94) mit Einschluss der Zusätze und der Noten auf elf Seiten beschränkt war, ist jetzt bis über sechzig Seiten gewachsen. Von diesen enthalten S. 2-3 das Verzeichnis der Abkürzungen und Bezeichnungen, S. 3-17 Definitionen und Sätze, S. 18 das Litteraturverzeichnis, S. 19-63 die Noten. Vi. G. PEANO.

Studii di logica matematica. Torino: Clausen. 21 S. 8°.

E. BUNITZKIJ.

Anzahl der Elemente in einem logischen Polynome.

Spaczinski's Bote, Nr. 249. (Russisch.)

gi.

E. BUNITZKIJ. Einige Anwendungen der mathematischen Logik in der Arithmetik. Spaczinski's Bote, Nr. 247. (Russisch.) Die Formel für die Anzahl der Elemente, welche mehreren logischen Klassen gemein sind, wird auf die Frage nach der Anzahl der Zahlen angewandt, welche kleiner als A und durch a, oder durch b, oder durch c teilbar sind. Si.

I. Abschnitt.

64

Geschichte und Philosophie.

H. MACCOLL. T h e *calculus of equivalent statements. Sixth paper. London M. S. Proc. 28, 156-183, 555-579.

Fifth and

M c C o l l teilt alle logischen Conceptionen in drei Klassen, die notwendig und ausnahmlos richtigen, die er mit dem Symbol e, die notwendig und ausnahmlos falschen, die er mit dem Symbol i], und die zu keiner der beiden ersten Klassen gehörigen, die also richtig oder falsch sein können, die er mit dem Buchstaben & bezeichnet. Auf Grund einer Reihe neu von ihm gewählter Symbole führt er so den logischen Algorithmus durch und entwickelt eine Logik in mathematischer Form, die er Logik dreier Dimensionen nennt und auf die Bestimmung mathematischer Wahrscheinlichkeit anwendet. Eine übersichtliche Zusammenstellung der Formeln der Klasse e geben die Seiten 176-180. Mi.

H. MACCOLL, H. W . CÜKJEL.

Question 13234. Ed. Times 66, 95-97.

Die von M a c C o l l gestellte Aufgabe lautet: Die folgenden Formeln der symbolischen Logik zu beweisen: 1) axßx — (aß)x, 2) axa? 3)

=

ax+*,

6)

B ( a — — axyK xy \ x

4) 1

a\ I. y )

—

a

a

Definitionen:

a

5

)

JL.JL..JL, x y xy

Das Symbol a x steht ab-

gekürzt für a + x' und sagt aus, dass entweder a richtig oder x falsch ist, vielleicht beides. Das Symbol a ß (oder a • ß) bedeutet die Wahrheit sowohl von a als auch von ß. Das Symbol a : ß (oder a /? ) sagt aus, dass immer, wenn a wahr ist, ß wahr ist. Das Bruchsymbol a/ß steht kurz für aß (a'ß)'; es sagt aus, was a-, aussagt und auch, dass ß nicht immer wahr ist, wenn a nicht wahr ist. Lp. H. MACCOLL, H. W . CURJEL, KRISHMACHANDRA DE. Ed. Times 66, 119-120.

Question 13288.

Die folgenden von M a c C o l l aufgestellten Formeln der symbolischen Logik werden bewiesen: 1) (a-hß)x : ax+ßx : (aß)x, 4) 2 ) xaß • xa-\-Xß : xa+ß, 3) (a+ß)0x — aox-hßox, xax0ß = Ooß, 5 ) x/a • x/Oß : a/Oß, 6 ) a/ß = aß eoß, 7 ) ap = (e: ßa). Hier steht A :B :C kurz für (A: B) (B: C); ctoß ist die Verneinung von aß; a/Qß ist die Verneinung von a/ß; das Symbol s bezeichnet das Urteil stets w a h r , so dass ea aussagt, dass a immer wahr ist, und e 0 a sagt aus, dass a n i c h t immer wahr ist. LP6 . B. HALSTED. Darwinism and non-euclidean geometry. Ges. (2) 6, 22-25. (In memoriam N. F. Lobatschevskii.)

Kasan

H a l s t e d , welcher behauptet, dass zwischen dem Darwinismus und der nichteuklidischen Geometrie ein so enger Zusammenhang bestehe, dass der Nachweis, der Weltenraum sei euklidisch, die Widerlegung des

Kapitel 2. Philosophie und Pädagogik.

65

Darwinismus in sich einschlösse, steht auf dem Boden des Darwinismus und der neueren Geometrie und glaubt an die Möglichkeit eines experimentellen astronomischen Beweises, dass der Erfahrungsraum nicht - euklidisch sei. Mi. Die E n t w i c k l u n g des Raum- und Zeitbegrifls in der neueren Mathematik und Mechanik und seine Bedeutung für die Erkenntnistheorie. Arch. f. system. Philos. 4, 32-43. K l e i n p e t e r kommt in einer Besprechung der Raum- und Zeittheorien von N e w t o n und K a n t bis zur Gegenwart, in der die Fortschritte, die durch M a x w e l l und H e i n r i c h H e r t z gemacht sind, hervorgehoben werden, zu dem Resultate, dass der K a n t ' s e h e Wahn von der unbedingten Gewissheit der Geometrie und damit das ganze Fundament der Kant'schen Erkenntnislehre hinfällig ist. Die Raum- und Zeitanschauung ist zwar subjectiver Natur, wie unsere ganze Begriffswelt, aber nicht notwendig, wie sich schon aus der Möglichkeit mehrerer Raumund Zeitbegriffe ergiebt. Es ist anmöglich, der Erscheinungswelt Gesetze vorzuschreiben, welche für jede Erfahrung gültig, von derselben weder bestätigt, noch verleugnet werden können. Wir setzen vielmehr an die Spitze unserer Systeme rein willkürliche (?) Voraussetzungen, entwickeln deren Consequenzen und überlassen der Erfahrung das entscheidende Wort über ihre Richtigkeit oder Zulässigkeit. Mi. H . KLEINPETER.

A.

Die Kraft und Materie im Räume, Grundlage einer neuen Schöpfungstheorie. 5 . Auflage. Leipzig: Th. Thomas. X X I V

TURNER.

4 - 407 S. 8° mit 20 Taf.

Das Problem der Krystallisation. Leipzig: Th. Thomas. VII -+- 98 S. 8° mit 2G Taf. Beide Werke gehören zusammen,, da die Lösung des Problems der Krystallisation bei der Aufstellung der Grundlage einer neuen Schöpfungstheorie gewissermasseu als Nebenproduct gewonnen wurde. Der Verf. ist einer von den Reformatoren der Wissenschaft, deren Arbeiten von der „privilegirten Wissenschaft" nicht gewürdigt werden, obwohl, wie es in der Ankündigung des ersten Werkes durch die Verlagsbuchhandlung heisst, „die Notwendigkeit einer Reform an Haupt und Gliedern in Bezug auf die herrschenden Anschauungen auf naturwissenschaftlichem Gebiete schon von anderen verdienten Männern, z. B. G a u s s , offen anerkannt worden ist." Referent muss sich ausser stände bekennen, anzugeben, welches der positive Inhalt beider Werke ist, da die Sprache, obwohl an sich nicht unverständlich, doch für einen durch die exaete Ausdrucksweise der „privilegirten Wissenschaft" Verwöhnten so fremdartig ist, dass es unmöglich wird, zu unterscheiden, was vom Verf. als Thatsache und was als Hypothese, was als Voraussetzung und was als Folgerung angesehen wird. Es seien statt dessen noch folgende Sätze aus der Ankündigung der Verlagsbuchhandlung abgedruckt, die wenigstens Tendenz und Charakter des Werkes klarstellen: „Es handelt sich bei den A . TÜRNER.

Fortgebt*, d. Math. 28. 1.

5

66

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Arbeiten über diesen Gegenstand um vollständig nene Principien und Anschauungen, welche nicht nur veraltete irrige Grundsätze beseitigen, sondern auch Neues an ihre Stelle setzen und zwar mit Zugrundelegung positiver Factoren und Beweisführungen, die jeder in der Lage ist, bei speciellem Studium des Werkes auf ihre Richtigkeit zu prüfen. Es bezieht sich das namentlich auf die Theorie über die chemisch-physikalischen Gesetze, die Atom- und Molecülverbindungen, jene über die Natur der Gase und Dämpfe, Licht, Wärme und Elektricität. Aus den Gesetzen der Relationen einfacher Substanzen leitet der Verf. die Gesetze der Entwickelung der Massen im Räume, die Bildung der Sonnensysteme und die Theorie über die Natur der Kometen und Meteoriten ab, gleichzeitig den Beweis führend, dass das N e w t o n ' s e h e Gravitationsgesetz in Bezug auf die Anziehung proportional der Masse unzulässig sei und ebenso dio K a n t - L a p l a c e ' s c h e Hypothese der Weltenbildung durch Ringablösung und jene von S c h i a p a r e l l i über den Zusammenhang der Meteorschwärme und Kometen. Der Verf. beweist die Unhaltbarkeit der Aether-Hypothese und der Wellenschwingungen des Lichtes und begründet seine Anschauungen auf der Basis der materiellen Lichtstrahlen, schon auf Grund ihrer chemischen und mechanischen Wirkungsfälligkeit. Ebenso begründet derselbe die chemische Wärmetheorie auf der Basis der abstossenden Relationen der Materie in ganz allgemeinem Sinne auf alle Elemente ausdehnend und jene der Elektricität mit den Relationen von Substanz zu Substanz identificirend, mit Zugrundelegung des Princips der anziehenden und abstossenden Kräfte." (Vergl. F. d. M. 2 5 , 1538, 1894.) Br. Baron N. DELLINGSHAUSEN. Heidelberg: gr. 8°.

Gruncl/.üge der kinetischen N a t u r l e h r e .

Carl Winter's Universitätsbuchhandlung.

VIII und 5 2 0 S.,

Das vorliegende Werk ist von dem am 18. Sept. (a. St.) 189G zu Riga verschiedenen Baron N. D e l l i n g s h a t i s e n hinterlassen, von seinem Sohne in pietätvoller Gesinnung mit einem Vorworte versehen und veröffentlicht worden, obgleich einige Abschnitte nicht ganz vollendet waren. Das Ziel des Verf. ist: „die mathematische Form für die in seinen früheren Werken ausgesprochenen Theorien zu finden." Seit der ersten Veröffentlichung des verstorbenen Naturphilosophen aus dem Jahre 1851 hat derselbe in einer Reihe von Schriften seine Anschauungen wieder und wieder dargelegt, ohne sie dadurch der naturwissenschaftlichen Mitwelt annehmbar zu machen. Als ein von dem Heerbann der übrigen Forscher isolirter Denker hat er nicht einmal von allen ähnlichen Bestrebungen Kenntnis erhalten und ist, unbeirrt durch die ihm vorgehaltenen Widersprüche seines Systems und unbeeinflusst durch die ihm offenbar nicht immer verständlichen Arbeiten seiner Zeitgenossen, bis zuletzt seinen ursprünglichen Ideen treu geblieben, immer bemüht, sie mit der realen Welt in Uebereinstimmung zu bringen. Wie wenig er von den Aenderungen, die sich in der Wissenschaft zu seinen Lebzeiten vollzogen, Notiz genommen hat, geht unter anderem daraus hervor, dass er gegen den H e l m h o l t z ' s c h e u Ausdruck „Erhaltung der

67

Kapitel 2. Philosophie und Pädagogik.

Kraft" polemisirt, ihn für eine Nachlässigkeit der Sprache erklärt, bei der man von einer Kraft rede, während man Energie sagen wollte. Es ist ihm eben unbekannt geblieben, dass H e l m h o l t z wie Mayer das Wort Kraft genau in dem Sinne des später erst von T h o m s o n eingeführten Ausdruckes Energie in ihren früheren Schriften gebraucht haben. Der Grundgedanke D e l l i n g s h a u s e n ' s , der ihm übrigens nicht ausschliesslich als Eigentum angehört, ist von überraschender Einfachheit und empfiehlt sich dadurch auf den ersten Blick. Die ganze Welt ist von einem allgemeinen Substrat angefüllt, dessen Wesen nns verschlossen bleibt; unterschiedslos, nnveränderlich und stetig, nicht in Atome zerfallend, ist es in allen Körpern vorhanden. Die Verschiedenheit und Veränderlichkeit der Körper beruht nur auf der Verschiedenheit und Veränderlichkeit der inneren Bewegungen dieses Substrates. Die Interferenzen in den Erscheinungen des Schalles und des Lichtes wiederholen sich (in unklar gedachter Weise) in den Bewegungen des Substrates, in Wellenbewegungen, welche dasselbe nach allen Richtungen durchlaufen. Die Bahnen der — geometrisch abzusondernden — Punkte des Mediums sind Schraubenlinien von verschiedener Ganghöhe, die mit verschiedenen Geschwindigkeiten beschrieben werden, eine Vorstellung, welche die unausgesprochene Hypothese eines Beharrungszustandes oder Trägheitsgesetzes in schraublinigen Bahnen in sich schliesst. Innerhalb eines Körpers interferiren die Wellen durch Reflexion an den Grenzen desselben und neutralisiren sich in ihren Wirkungen nach aussen, vernichten sich aber nicht, sondern bilden den Vorrat an potentieller Energie des Körpers, rätselhafte Wendungen, die nirgends klar erläutert werden. Die interferirenden Wellen teilen durch ihre Knotenlinien den Körper in Wirbelzellen, die kleinsten Teile der Körper, bei vereinfachten Annahmen von Würfelgestalt, die aber bereits der Form und Art nach alle die Bewegungen in sich enthalten, welche in dem Körper vorkommen. Die Veränderung im Volumen eines Körpers ist nichts anderes als reine Ausbreitung oder Beschränkung der ihn qualificirenden Bewegungen auf einen grösseren oder kleineren Teil des allgemeinen Substrates. Die äussere Bewegung eines' Körpers ist eine Ausbreitung seiner inneren Bewegungen in einer bestimmten Richtung und ein gleichzeitiges Zurückziehen derselben an seinem entgegengesetzten Ende. „Indem die inneren Bewegungen eines Körpers nach einer Seite hin über die ihnen gezogenen Grenzen hinübergreifen und die inneren Bewegungen der nächsten Körper zurückdrängen, am anderen Ende aber vor den inneren Bewegungen der nachdrängenden Körper zurückweichen, werden sie beständig auf immer neue Teile des allgemeinen Substrates übertragen und b r i n g e n , i n d e m sie diesen T e i l e n nach e i n a n d e r d i e E i g e n s c h a f t e n e i n e s b e s t i m m t e n K ö r p e r s e r t e i l e n , die E r s c h e i n u n g s e i n e r ä u s s e r e n Bewegung hervor." Um eine Vorstellung von der unerschrockenen Consequenz zu geben, mit welcher D e l l i n g s h a u s e n seine Vorstellungen durchführt, haben wir die vorstehenden Sätze zum Abdruck gebracht, müssen aber nun darauf verzichten, auch nur eine Skizze der weiteren Anwendung dieser Ideen 5*

68

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

auf die Erklärung der Grunderscheinungen in den verschiedenen Gebieten der Physik und Chemie zu geben. Die Widersprüche in den vom Verf. aufgestellten Principien, die Unklarheiten in den Entwickelungen liegen so offen zu Tage, dass man die Unzulänglichkeit der Theorie kaum hervorzuheben braucht. Die Undenkbarkeit einer stetigen Raumerfüllung durch ein unterschiedsloses, unveränderliches Substrat mit Bewegungen in demselben ist von P a u l d u B o i s - R e y m o n d in seinem nachgelassenen Werke „Ueber die Grundlagen der Erkenntnis in den exacten Wissenschaften" (Tübingen, 1890) überzeugend nachgewiesen worden. Wie I s e n k r a h e in Uebereinstimmung mit dieser Ansicht in seiner Abhandlung „Ueber die Zurückführung der Schwere auf Absorption und die daraus abgeleiteten Gesetze" ( S c h l ö m i l c h Z. 37, F. d. M. 2 4 , 72, 1892) ausführt, muss in einem solchen Substrat, dem der Verf. das Beharrungsvermögen in der Bewegung, die Eiasticität und die Fernkraft abspricht, jeder isolirt gedachte Pnnkt sofort zur Ruhe kommen und in Ruhe verharren. Alle Einwürfe, welche I s e n k r a h e in der citirten Schrift gegen die D e l l i n g s h a u s e n ' sehen Theorien in ihrer früheren Gestalt erhebt, bleiben auch für die in dem vorliegenden Buche gewählte, kaum von den älteren Veröffentlichungen abweichende Form bestehen. Unter Verweis auf diese durchaus sachliche Kritik, sowie auf die von R o s e n b e r g e r in Bd. III der Geschichte der Physik gemachten Einwände, endlich auf das Referat, welches der Unterzeichnete über die D e l l i n g s ha u s e n ' s e h e Schrift „Die Schwere oder das Wirksamwerden der potentiellen Energie" in F. d. M. 16, 53, 1884 geliefert hat, wollen wir nur die Erklärung wiederholen, dass auch durch dieses letzte Werk des Verf. seine Annahmen nicht begreiflich gemacht worden sind. Ref. will jedoch noch auf einen Umstand hinweisen, der seines Wissens nirgends hervorgehoben ist. Die Grenzen eines Körpers sollen die inneren Wellen reflectiren; aber die Natur dieser Grenzen ist nicht definirt. Denn in dem unterschiedslosen Substrat ist eine solche Grenze unvorstellbar. Die Entstehung der stehenden Wellen in einem Medium hat dem Verf. die Grundvorstellung geliefert; hierbei braucht man aber innere Kräfte, die Eiasticität, ein zweites Medium an der Grenze des ersten von einer anderen Dichte, Dinge, die der Verf. leugnet. Wenn hierauf erwidert werden sollte, der Verf. denke immer nur an z w e i K ö r p e r in Berührung mit einander, so dass also nicht übereinstimmende Bewegungen die Grenze markiren, so widerspricht diesem Einwände die oben angeführte Stelle von der Bewegung eines Körpers, die nur ein Schein, in Wahrheit eine fortwährende Neubildung des Körpers in dem Substrate ist. Dieses Beispiel zeigt, dass die Phantasien des Verf. über das Wesen der Dinge durch äusserliche Analogien mit bekannten Vorgängen erzeugt und genährt sind. Das Neue in der vorliegenden Publication besteht in der Hinzufügung einer grösseren Anzahl von mathematischen Entwickelungen. Bei näherem Zusehen ergiebt sich aber, dass diese nichts weiter sind als ungemein breit ausgesponnene, ganz elementare Erläuterungen der

Kapitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

69

Anschauungen des Verf., dass sie also mit denselben Willkürlichkeiten in den ersteu Annahmen behaftet sind, deren Unzulässigkeit sonst schon aufgedeckt ist, und dass sie demnach nicht als Stützen des entwickelten Systems dienen können. Bei aller Anerkennung der Beharrlichkeit, mit welcher der Verf. den einfachen Grundgedanken seiner Naturphilosophie während seines ganzen Lebens verfolgt hat, können wir daher auch in dem gegenwärtigen Werke nicht einen Fortschritt zu einem annehmbaren Aufbau der kinetischen Natnrlehre erblicken, und wir können nur mit Bedauern das Scheitern eines Planes feststellen, der auf den ersten Blick etwas Bestechendes hat und sich manchen Ideen nähert, die Lord K e l v i n und andere vermutungsweise ausgesprochen haben. Lp. A. SINRAM. Fragmente zum kosmischen Bewegungsgesetz (Incitatioustheorie) und zur Mechanik des Himmels. Hamburg: Lucas Gräfe & Sil lern. 3 2 S. gr. 8°.

Der Verf. will alle kosmischen Bewegungen durch Wäraeschwingungen erklären. „Besteht die Kältekraft ans der Summe der Thätigkeit der von der Wärme erweckten und belebten ( i n c i t i r t e n ) WeltraumMolecüle, dann geht die Vorstellung von der Kältekraft in den Begriff der Incitationskraft über." Der Inhalt ist für den Referenten ebenso ungeniessbar wie die frühere Schrift des Verf. (F. d.M. 27, 681, 1896). LPDie Schwere, ihr Wesen und ihr Gesetz. Isaak N e w t o n ' s Irrtum. Das Wesen des Stoffs und das Gesetz der Natur. Begründung der wissenschaftlichen Metaphysik. Mit 21 Figuren. Zürich: J. Schabelitz. VI u. 128 S. gr. 8°.

W M . DANMAR.

Der Verfasser, welcher die Fallgesetze nicht begriffen und noch weniger ihre Begründung verstanden hat, erklärt dieselben für irrig, ebenso auch die allgemein angenommenen Gesetze der Planetenbahnen; er stösst die ganze moderne astronomische Wissenschaft um und schafft, wie alle solche Entdecker, die Welt von neuem nach Gesetzen, deren Entdeckung er sich zum Ruhme anrechnet, und zu deren Formulirung er eine Anzahl neuer Wörter schaffen musste. Von vielen neuen Sätzen nur einer als Probe (S. 8 6 ) : Abkühlung des fallenden Körpers ist die Ursache der Zunahme der Fallgeschwindigkeit. Lp. H. E . ARMSTRONG. The need Nature 5 5 , 409-411, 433-435.

of

organising

scientific

opinion.

Unter besonderem Hinweis auf die deutschen Lehranstalten befürwortet der Verf. eine bessere und wissenschaftlichere Erziehung der englischen Jugend, falls England nicht in dem Wettbewerb der Nationen unterliegen wolle. Lp.

70

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

F. RUDIO. Ueber die Aufgaben uud die Organisation internationaler mathematischer Congresse. I. Intern. Mathem. Congr. Zürich 1897. 7 S.

Die internationalen mathematischen Congresse, die in Zwischenräumen von 3 bis 5 Jahren, der nächste 1900 in Paris, stattfinden und von Congress zu Congress vorbereitet werden sollen, haben eine reiche Fülle von Aufgaben vor sich: Sie sollen die persönlichen Beziehungen zwischen den Mathematikern der verschiedenen Länder fördern, einen Ueberblick über den Stand der verschiedenen Gebiete mathematischer Wissenschaften und ihrer Anwendungen geben, die Behandlung einzelner Probleme von besonderer Bedeutung in Angriff nehmen, gemeinsame litterarische Unternehmungen in Fluss bringen, internationale wissenschaftliche Ausstellungen veranlassen, zur Herbeiführung einer einheitlichen Terminologie und mathematischer Masseinheiten beitragen, eine rasch fnnctionirende und continuirlich laufende Bibliographie und mit ihr im Zusammenhang eine allgemein anzuerkennende {Classification für das mathematische Gebiet schaffen und überhaupt mit allen mathematischen Aufgaben sich befassen, die gemeinschaftlicher Anstrengung wert sind. Mi. W . DYCK. Ueber die Beschlüsse der internationalen Katalog-Conferenz zu London im Jahre 1896. Deutsche Math. Ver. 5„ 89-91Auf Anregung der Royal Society zu London, welche in dem Catalogue of scientific papers bereits ein nach den Autoren geordnetes Verzeichnis aller Abhandlungen mathematischen und naturwissenschaftlichen Inhaltes für das gegenwärtige Jahrhundert geschaffen hat, wird eine internationale Commission sich bilden, welche die Ausarbeitung und Veröffentlichung eines Autoren- und Sacli-Katalogs in die Hand nehmen wird, der mit Beginn des nächsten Jahrhunderts einsetzt. M. E. LAMPE. Ueber die Herstellung eines allgemeinen bibliographischen Repertoriums. Deutsche Math. Ver. 4, 129-131. Bericht über die Druckschrift, welche der Einladung des Office international de bibliographie in Brüssel zu einer internationalen bibliographischen Conferenz beigegeben wurde, insbesondere über die von Melvil D e w a y erdachte decimale Einteilung des Sachkatalogs. M. Weitere

Litteratur.

J. J. BLAISDELL. The methods of sciencc, as being in the domain of logic. Wisconsin Acad. Trans. 11, 49-65. W. DYCK. Ueber die wechselseitigen Beziehungen zwischen der reinen und der angewandten Mathematik. Polnische Uebersetzung von S. D i c k s t e i n . Wiadom. mat. 1, 139-169. Vergl. F. d. M. 27, 48, 1896.

Kapitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

71

E. FERRIÈRE. La cause première d'après les données expérimentales. Paris: Felix Alcau. 462 S. [Nature 55, 533.] G. GAILLARD. 584-586.

De L'observation en mathématiques.

Rev. scientif. (4) 8,

P. J. HELWIG. Eine Theorie des Schönen. Mathematisch-psychologische Studie. Amsterdam: Delsmau nnd Nolthenius. VII -+- 87 S. 8°. V. HENRI. Ueber die Raumwahrnehmungen des Tastsinnes. Ein Beitrag zur experimentellen Psychologie. Berlin: Reuther u. Reicbard. XII + 228 S. 8°. J. HERMES. Mathematische Schrift. Eine Stenographie mit unverbundenen Elementarzeichen. Berlin: G. Schuhr. 14 S. mit 1 Taf. 8". TH. KAMPFER. Das Wesen der Naturkräfte in neuer Auffassung. Ein Weg zur Beantwortung der Frage nach den Gestalten der Atome, und die Beschreibung der Gestalten einiger Atome. Barmen: D. B. Wiemann. VIII -+- 88 S. 8°. F. KLEIN. Sur l'arithmétization des mathématiqnes. L a u g e l . Nouv. Ann. (3) 16, 114-128. S. F. d. M. 2 6 , 4 6 7 , 1895. G. T. LADD. Philosophy of knowledge. XV + 614 S. [Nature 57, 125.] T. LIPPS.

Raumästhetik

Leipzig. VIII +

und

London:

Traduit

par L.

Longmans and Co.

geometrisch - optische

Täuschungen.

424 S.

E. NEUMANN. Der Urgrund des Daseins oder die Abstammung des Absoluten. Eine auf logischem und mathematischem Grunde gestützte Naturbetrachtung. Leipzig: Gressner u. Schramm in Comm. III 4 556 S. 8°. H. RUDOLPH. Die Constitution der Materie und der Zusammenhang zwischen ponderabler und imponderabler Materie. Berlin: R. Friedläuder u. Sohn. 33 S. 8°. H. SCHEFFLER. Realität und Ideellität, ferner Nalurkraft und Schöpfungskraft, eine Ergänzung zur Theorie der Grundfesten. Im Anhang: Naturwissenschaftliche Irrtümer. Braunschweig: F. Wagner. VI -+265 S. 8°. J . SCHULTZ. J. TANNERY.

Bemerkungen zur Psychologie der Axiome. Berlin. 30 S. 4°. De L'infini mathématique.

Revue generale des sc. 8, 129-140.

C. THOMAS. Cosmic ethics; or, the mathematical theory of evolution. Loudon: Smith, Eider, and Co. XXII-H 296 S. (1896). [Nature 56, 195.] G. VAILATI. Il metodo deduttivo come strumento di ricerca. Lettura d'introduzione al Corso di lezioni sulla storia della meccanica, tenuto all'Università di Torino, l'anno 1897-98. Torino-Roma : Frassati e C. 44 S. 8°. Ref. in Loria Bollettino 1, 54-55.

I. Abschnitt.

72

Geschichte und Philosophie.

R. VON SCHUBERT-SOLDEKN. Erwiderung auf Prof. W u n d t ' s Aufsatz „Ueber naiven und kritischen Realismus". Wundt Philos. Studien 13, 305-317. W . WUNDT. 318-322.

Einige Bemerkungen zu vorstellendem Aufsatze.

B.

Ebenda,

Pädagogik.

A . VON BRAUNMÜHL. M a t h e m a t i s c h - historische V o r l e s u n g e n und S e m i n a r ü b u n g e n a n der t e c h n i s c h e u H o c h s c h u l e z u M ü n c h e n . Bibl. Math. (2) 11, 113-115. Im J a h r g . 1 8 9 5 der Biblioth. Mathem. (vergl. F. d. M. 2 6 , 8 9 , 1 8 9 5 ) h a t der Verf. über seine ersten beiden mathematisch-historischen Vorlesungen berichtet. Hier giebt er eine Mitteilung über die Fortsetzung derselben, welche er einer ausführlichen Behandlung der Geschichte der Trigonometrie gewidmet hat, und über die Anordnung seiner mathematisch-historischen S e m i n a r ü b u n g e n , die schon zu einigen grösseren i m D r u c k erschienenen Arbeiten der Teilnehmer Veranlassung gegeben haben. E. J. HERMES. D a s e t h i s c h e M o m e n t i m m a t h e m a t i s c h e n Hoffmann Z. 28, 91-93. STAMMER. richts.

Untcrricht.

U e b e r d e n e t h i s c h e n W e r t des m a t h e m a t i s c h e n

Unter-

Ebenda, 487-493.

G. HOLZMÜLLER.

Zur Abwehr.

Ebenda, iw7-G3S.

In einem von uns n u r mit dem Titel angeführten Artikel (F. d. M. 2 5 , 1 2 7 , 1 8 9 3 / 9 4 ) hatte ITolzinii11 e r sich g e ä u s s e r t : „ J e d e n f a l l s ist die Mathematik trotz ihres hohen Wertes in anderer Beziehung nicht gerade geeignet, die sittlichen K r ä f t e zu wccken nnd zu pflegen." Zur E i n s c h r ä n k u n g oder Widerlegung dieser Acusserung sind die beiden ersten Aufsätze geschrieben; es wird in ihnen gezeigt, wie der Unterricht in der Mathematik (allerdings indirect) zur Hebung und Belebung der sittlichen K r ä f t e beiträgt. In der „ A b w e h r " sagt denn auch H o l z m ü l l e r , es sei ihm nie eingefallen, das ethische Moment im mathematischen U n t e r r i c h t abzuleugnen. Lp. BAUMANN. I n w i e f e r n e i g n e n sicli d i e realen W i s s e n s c h a f t e n i m m e r m e h r dazu, d i e G r u n d l a g e der B i l d u n g der Z u k u n f t zu w e r d e n ? Hoffmann Z. 28, 561-568. Auszug aus dem Vortrage auf der Braunschweiger NaturforscherVersammlung, der ausführlich in den „ V e r h a n d l u n g e n " dieser Versamml u n g 2 , , 8 - 1 9 abgedruckt ist. Lp. G, F. DEACON. Rede,

O p e n i n g address.

Nature 5 8 , 409-412.

gehalten zur Eröffnung der Section G,

mechanische Wissen-

I. Abschnitt.

72

Geschichte und Philosophie.

R. VON SCHUBERT-SOLDEKN. Erwiderung auf Prof. W u n d t ' s Aufsatz „Ueber naiven und kritischen Realismus". Wundt Philos. Studien 13, 305-317. W . WUNDT. 318-322.

Einige Bemerkungen zu vorstellendem Aufsatze.

B.

Ebenda,

Pädagogik.

A . VON BRAUNMÜHL. M a t h e m a t i s c h - historische V o r l e s u n g e n und S e m i n a r ü b u n g e n a n der t e c h n i s c h e u H o c h s c h u l e z u M ü n c h e n . Bibl. Math. (2) 11, 113-115. Im J a h r g . 1 8 9 5 der Biblioth. Mathem. (vergl. F. d. M. 2 6 , 8 9 , 1 8 9 5 ) h a t der Verf. über seine ersten beiden mathematisch-historischen Vorlesungen berichtet. Hier giebt er eine Mitteilung über die Fortsetzung derselben, welche er einer ausführlichen Behandlung der Geschichte der Trigonometrie gewidmet hat, und über die Anordnung seiner mathematisch-historischen S e m i n a r ü b u n g e n , die schon zu einigen grösseren i m D r u c k erschienenen Arbeiten der Teilnehmer Veranlassung gegeben haben. E. J. HERMES. D a s e t h i s c h e M o m e n t i m m a t h e m a t i s c h e n Hoffmann Z. 28, 91-93. STAMMER. richts.

Untcrricht.

U e b e r d e n e t h i s c h e n W e r t des m a t h e m a t i s c h e n

Unter-

Ebenda, 487-493.

G. HOLZMÜLLER.

Zur Abwehr.

Ebenda, iw7-G3S.

In einem von uns n u r mit dem Titel angeführten Artikel (F. d. M. 2 5 , 1 2 7 , 1 8 9 3 / 9 4 ) hatte ITolzinii11 e r sich g e ä u s s e r t : „ J e d e n f a l l s ist die Mathematik trotz ihres hohen Wertes in anderer Beziehung nicht gerade geeignet, die sittlichen K r ä f t e zu wccken nnd zu pflegen." Zur E i n s c h r ä n k u n g oder Widerlegung dieser Acusserung sind die beiden ersten Aufsätze geschrieben; es wird in ihnen gezeigt, wie der Unterricht in der Mathematik (allerdings indirect) zur Hebung und Belebung der sittlichen K r ä f t e beiträgt. In der „ A b w e h r " sagt denn auch H o l z m ü l l e r , es sei ihm nie eingefallen, das ethische Moment im mathematischen U n t e r r i c h t abzuleugnen. Lp. BAUMANN. I n w i e f e r n e i g n e n sicli d i e realen W i s s e n s c h a f t e n i m m e r m e h r dazu, d i e G r u n d l a g e der B i l d u n g der Z u k u n f t zu w e r d e n ? Hoffmann Z. 28, 561-568. Auszug aus dem Vortrage auf der Braunschweiger NaturforscherVersammlung, der ausführlich in den „ V e r h a n d l u n g e n " dieser Versamml u n g 2 , , 8 - 1 9 abgedruckt ist. Lp. G, F. DEACON. Rede,

O p e n i n g address.

Nature 5 8 , 409-412.

gehalten zur Eröffnung der Section G,

mechanische Wissen-

Kapitel 2. Philosophie und Pädagogik.

73

schaft, auf der Versammlung der British Association zu Toronto. Der Verf. erörtert die Tagesfrage der Erziehung zur Ingenieur-Wissenschaft und betont der englischen Sorglosigkeit gegenüber die Notwendigkeit eines geregelten, wissenschaftlicher zu gestaltenden Bildungsganges. Lp. Duke of DEVONSHIRE. OD scientific education. Nature 56, 380-381. Rede zur Eröffnung einer neuen technischen Lehranstalt zu Darlington. Die einzelnen Abschnitte der Rede sind betitelt: Kunst und Wissenschaft als erforderlich zum gewerblichen Wohlstande. Der fremde Wettbewerb als Atlsfluss höheren technischen Unterrichts. Ausdehnung technischer Erziehung. Die Organisation des Mittelschulunterrichts. Lp. 0 . HENRICI.

Professor K l e i n and technical education in Germany.

Nature 5 6 , 143-147.

Referat über die verschiedenen von F e l i x K l e i n nach dieser Richtung veröffentlichten Artikel, insbesondere auch über das in Göttingen zu errichtende neue Institut zur Ausbildung wissenschaftlicher Mechaniker. Lp. Ueber den mathematischen Unterricht an technischen Hochschulen. Hoffmann Z. 2 8 , 161-164.

Nachdem dieses von den Lehrern der Mathematik an den deutschen technischen Hochschulen vereinbarte Protokoll durch einen Zufall in die Hände eines nicht zu ihnen gehörigen Professors aus Dresden gelangt und von demselben veröffentlicht war, wurde das Schriftstück der Hoffmann'schen Zeitschrift von dem geschäftsführenden Ausschusse zum Abdrucke übergeben. Es bandelt sich wesentlich um die Abwehr der Angriffe, welche die Techniker in ihren grossen Vereinen unter der Führung technischer Hochschulprofessoren gegen die „Universitätsmathematik" gerichtet haben, insbesondere um Zurückweisung der von ihnen erhobenen Ansprüche der Besetzung der Professuren für Mathematik an den Hochschulen ausschliesslich durch Techniker, die längere Zeit in der Praxis thätig gewesen sind. Lp. The teaching of science in elementary schools. Report of Committee. Brit. Ass. Rep. 1897, i&l-M'i. Interessant wegen des Nachweises der gegenwärtigen Bestrebungen in dem englischen Elementarunterricht. Daraus scheint hervorzugehen, dass auf der einen Seite die englische Grammatik im Gegensatze zur englischen Litteratur allmählich die Gunst verliert, auf der anderen die wissenschaftlichen Gegenstände um so mehr sich wachsender Aufmerksamkeit erfreuen. Mit diesem Berichte muss man auch denjenigen über die „Position of geography in the educational system of the country" vergleichen (Brit. Ass. Rep. 1897, 370-409). Gbs. (Lp.)

74

I. A b s c h n i t t

Geschichte und Philosophie.

G. DE LONGCIIAMPS. L'École Polytechnique, à propos des récents programmes. J. de Math. spéc. (5) 21, G2-65. Bespricht den Einfluss der neuen Programme auf die Gestaltung des mathematischen Unterrichts in Frankreich. Lp. L. KIEPERT.

Ueber die mathematische Ausbildung von Versiche-

rungstechnikern.

Deutsche Math. Ver. 4 , 116-121.

Die mathematische Forschung darf sich nicht zu sehr ins Abstráete verlieren, sondern muss Fühlung mit den praktischen Anwendungen behalten. Je weiter das Gebiet dieser Anwendungen, desto höher die Wertschätzung der Mathematik. Bisher wurden die Anwendungen der Mathematik auf das Versicherungswesen arg vernachlässigt. Bei der Wichtigkeit dieses Gegenstandes empfiehlt es sich dringend, an den Universitäten Vorlesungen zur Ausbildung von Versicherungstechnikern sowohl für Mathematiker wie für Juristen zu halten. M. B. SCHWALBE. Ueber die Vorbildung der Lehrer für Mathematik und Naturwissenschaften an höheren Unterrichtsanstalten den Forderungen der heutigen Zeit gegenüber. Deutsche Math. Ver. 5 „ 23-42.

Dieser Vortrag ist zugleich Berichterstattung über die Beschlüsse, welche der Verein zur Förderung des naturwissenschaftlichen und mathematischen Unterrichts in seiner Versammlung zu Elberfeld gefasst hat. Es muss dem Unterricht an den höheren Lehranstalten das Ziel eines allgemein vorbildenden Unterrichts gewahrt bleiben; daher Auswahl und Behandlung des Stoffes nur mit Rücksicht auf bestimmte Berufszweige nachteilig ist. Bei der methodischen Durchführung des Unterrichts in den einzelnen Lehrgegenständen sind möglichst die Beziehungen derselben zu dem heutigen Leben, zu den Fortschritten in Industrie, Technik und Wissenschaft heranzuziehen. Den Studirendcn der Mathematik muss Gelegenheit geboten werden, sich eine allgemeine Bildung auf den Gebieten der Technik anzueignen. Auf den deutschen Universitäten sollen Vorlesungen und Uebungen in der darstellenden Geometrie gehalten werden. M. QUENSEN. Die mathematischen Aufgaben bei den Ostern 1893, Herbst 9 3 und Ostern 94 abgehaltenen Abschluss- bezw. Reifepräfungen an Realgymnasien und Realprogymnasien in Preussen. Hoffmann Z. 2 8 , 104-111, 192-196.

Eine vergleichende Zusammenstellung und Besprechung der bei 133 Prüfungen gestellten 399 Aufgaben, angeschlossen an einen ähnlichen Artikel in H o f f m a n n Z. 25, 2HO ff. über entsprechende Aufgaben an Gymnasien und Progymnasien. Lp.

Kapitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

75

S. ZAREMBA. Ueber Grössenmessung und die damit verwandten Begriffe. Wiadom. mat. 1, 58-67. (Polnisch.) Ein Versuch, die Dedekind'sche Theorie der Irrationalzahlen für Schulzwecke auf elementare Weise zu begründen und zu verwerten. Dn. A. EMMERICH. Der binomische Lehrsatz am Gymnasium. Hoffraann Z. 28, 481-486. Empfiehlt den auf combinatorischen Betrachtungen beruhenden Beweis und giebt eine Skizze des zu befolgenden Lehrganges. Lp. KEWITSCH.

Gegen S a u e r .

24,

529

(1893).

BoffmannZ. 2 8 , 2 1 - 2 3 .

Verteidigt gegen den von uns in F. d. U. 2 5 , 128, 1 8 9 3 / 9 4 nur mit dem Titel angeführten Aufsatz von S a u e r die Aasdrücke Inkreis, Ankreis, Umkreis, als deren Urheber der Verf. sich bekennt. Lp. F. POSKE. Der Physikunterricht an den höheren Vereinigten Staaten. Poske Z. 10, 2 7 3 - 2 6 3 .

Schulen

der

Der Verf. verweilt bei den physikalischen Uebungen der Schüler, die in Amerika allgemein üblich sind, und fordert eine Vermehrung derselben für Deutschland. Lp. E. MACH.

Ueber Gedankenexperiraente.

Poske Z. 10, 1-5.

Die „Gedankenexperimente" sind im wesentlichen Schlussfolgerungen, die, unbekümmert um die Ausführbarkeit der verlangten Versuche, aus gegebenen Beobachtungen die Anstellung immer neuer in Gedanken fordern. Mau vergleiche die folgende Probe: „Der Stein fällt zur Erde. Lassen wir dessen Entfernung von der Erde wachsen. Wir müssen uns Gewalt anthun, um diesem continuirlichen Wachstum eine Discontinuität der Bewegung entgegenzusetzen. Auch in der Entfernung des Mondes wird der Stein nicht plötzlich sein Fallbestreben verlieren. Der grosse Stein fällt so wie der kleine. Der Stein werde so gross wie der Mond. Auch der Mond strebt zur Erde zu fallen. Der Mond möge wachsen, bis er so gross wird wie die Erde. Nun würde unsere Vorstellung die zureichende Bestimmtheit verlieren, wenn wir annehmen wollten, dass nur das eine zum andern gezogen wird, und nicht auch umgekehrt. Die Anziehung ist also gegenseitig. Sie bleibt aber auch gegenseitig bei ungleichen Körpern; denn der eine Fall geht in den andern continuirlich über." — Der anregende Wert solcher, der heuristischen Methode eigentümlichen philosophischen Ueberlegtingen ist jedem denkenden Lehrer einleuchtend. Lp. M. KOPPE. Z. 1 0 ,

Zur Methodik der astronomischen Geographie.

131-140.

Der Verf. vertritt mit Recht den Standpunkt,

Poske

dass der Unterricht

76

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

von der anmittelbaren naiven am Himmel auszugehen habe. B a n m e i s t e r ' s „Didaktik und graphie von S. G ü n t h e r , die ist. Für Lehrer ist die genaue

Auschauung der scheinbaren Bewegungen Er übt Kritik an den Darstellungen in Pädagogik", wo die mathematische GeoGeographie von A. K i r c h h o f f behandelt Leetüre des Aufsatzes sehr zu empfehlen. Lp.

CARL Ü E I N R .

MÜLLER.

ID

Sachen des Rechenstabes.

Hoffmann

Z.

28, 180. Empfiehlt neben vierstelligen Logarithmen die Einführung logarithmischer Rechenstäbe in den oberen Klassen der Mittelschulen. Lp.

A.

SCHÜLKE.

Vierstellige

Logarithmen

für den

Pr. (Nr. 13) Realgymu. Osterode i. Ostpr. 7 S. 4°.

Schulgcbrauch.

Eine Abhandlung über den pädagogischen Wert der vierstelligen Logarithmentafeln. Der Verf. kommt zu dem Ergebnis, dass ein stichhaltiger Grund gegen vierstellige Tafeln nicht vorgebracht worden ist, dass diese Tafeln sich durch Uebersichtlichkeit, sowie Ersparnis von Zeit und Arbeitskraft empfehlen, und dass man bei gleichzeitiger Einführung der Decimalteilung des Grades noch weiteren Nutzen im Unterricht erreichen kann. M.

Weitere

Litteratur.

A . DE ANGELI. Sui programi di matematica per le scuole normali e complementari. Mondovi 88 S. S°. B. BUCHDRUCKER. Kritische Bemerkungen über die Mathematik höheren Schulen. Uuterrichtsbl. f. Math. 3, 9-11, 24-27. G. KEWITSCH. Höhere Analysis in der Schule. 53-54, 74-75.

der

UnterrichtsM. f. Math. 3,

J . CRONAUER. Der heutige Stand der Methodik des Rechenunterrichts. Ludwigshafen. 81 S. 8°. H. DOHRINER. unterrichte.

Flächenvergleichung und Aehnlichkeitslehre im SchulUuterrichtsbl. f. Math. 3, 70-72, 87-90.

E. FITZGA. Die leitenden Grundsätze der natürlichen Methode f ü r den Elementarunterricht in Rechncn und Geometrie. Wien: Manz; Leipzig. XVI -+- 213 S. gr. 8». GERCKEN. Ueber die Notwendigkeit und Möglichkeit, die Kraftlinien in den Schulunterricht einzuführen. Uuterrichtsbl. f. Math. 3 , 20-23. F. POSKE.

Zur Frage der Kraftlinien.

Unterrichtsbl. f. Math. 3 , 39-41.

J . GROISSL. Die Absolutorial-Aufgabcn aus der Mathematik und Physik an den humanistischen Gymnasien Bayerns 1 8 5 4 - 1 8 8 8 . I. Teil: Anleitungen zur Lösung und Resultate, nebst Fig.-Tafeln. II. Teil: Als Anhang die Aufgaben von 1 8 8 9 - 1 8 9 6 nebst Lösungen. MünchenP. Zipperer. IV, 19, 67, 9 S. 8°.

Kapitel 2.

77

Philosophie und Pädagogik.

International congress on technical education. Report of proceedings of the fourth meeting, held in London, June 1897. Nature 57,9-11. J. C. V. HOFFMANN. Erneuter Kampf gegen eingerostete wunde Punkte im mathematischen Elementar - Unterricht betreffend incorrecte Ausdrücke. Hoffmann Z. 28, 88-90. J. C. V. HOFFMANN. Sollen die Sectionen für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht in den Versammlungen der Naturforscher und Philologen ausfallen oder bestehen bleiben? Hoffmann Z. 28, 241-244. Empfiehlt die Beibehaltung dieser Abteilung.

Lp.

J . LARMOR. On the geometrical method. Math, gazette 1897, 1-9. E. LENZ. Unterrichtsmittel für den Stereometrie - Unterricht in Untersecunda. [Jnterrichtsbl. f. Math. 3, 8-9. M. MÖLLER. Ueber Mathematik und Naturwissenschaft in ihrer Beziehung zu dem Studium des Ingenieurwesens. Unterrichtsbl. f. Math. 3, 5-7, 18-20. MAX NEDMANN. 3, 2-3.

Ucber geometrische Wandtafeln. Unterrichtsbl. f. Math.

B. SCHWALBE. Ueber die physikalische Nomenklatur. Math. 3, 49-53, 67-70, 83-87.

[Juterrichtsbl. f.

F. SPENCER. Chapters on the aims and practice of teaching. University Press. VIII + 284 S. [Nature 56, 8.]

Cambridge:

FRZ. WALLENTIN. Maturitätsfragen ans der Mathematik. Zum Gebrauche für die obersten Klassen der Gymnasien und Realschulen zusammengestellt. Auflösungen. 3. Aufl. Wien. C. Gerold's Sohn. V H - 2 0 8 S . 8». F. WILHELM. Die Maturitätsprüfung an den österreichischen Realschulen. Mit besonderer Berücksichtigung der Prüfung aus der Mathematik nebst einigen anderen Bemerkungen über österreichische Schuleinrichtungen. Hoffmann Z. 28, 1-20, 84-87.

Zweiter Abschnitt A

l

g

e

b

r

a

.

Kapitel 1. G l e i c h u n g e n . (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.) L . BIANCHI. T e o r í a dei gruppi di s o s t i t u z i o n i e d e l l e e q u a z i o n i algebriche secondo G a l o i s . Lezioni fatte n e l l a R. S c u o l a N o r m a l e S u p e r i o r e di P i s a P a n n o a c c a d e m i c o 1 8 9 6 - 9 7 , r a c c o l t e e p u b b l i c a t e p e r c u r a del D o t t . V . B o c e a r a . Pisa: Gozani. 384 S . lith. Eine vortreffliche Auseinandersetzung der Substitutionstheorie und ihrer Anwendung auf algebraische Gleichungen. E s möge hier ein kurzes Inhaltsverzeichnis folgen. I. Siibstitntionstheorie. — Substitutionsgruppen. Transitivität, Primitivität, Isomorphismus. Untergruppen. Einfache und zusammengesetzte Gruppen. Reihen der Zusammensetzung. S y l o w ' s c h e Sätze. A b e l ' s c h e Gruppen. Transitive zerlegbare primzahlgradige Gruppen. Metacyklischc Gruppe. Allgemeine lineare Gruppe. Modulargruppe. Gruppen von linearen Substitutionen einer Variabein. Complexe Kugel und reguläre Vielecke. II. Algebraische Gleichungen. Rationalitätsbereich. Irreductibilität. G a l o i s ' s c h e Resolvente und Gruppe. Resolventen im allgemeinen. R e duetion einer zusammengesetzten Gleichung. Abel'sche Gleichungen. Irreductibilität der allgemeinen Gleichungen von höherem als dem vierten Grade. Primzahlgradige auflösbare Gleichungen. Kreisteilung. Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen eines Parameters sind; algebraische Functionen. Reguläre Vielecke. Auflösung der allgemeinen Gleichung vom fünften Grade. Vi.

Kapitel 1.

Gleichungen.

79

W.

B R I G G S and 6 . H. B R T A N . The tutorial algebra: based on the algebra of R a d a k r i s h n a n . Part II. Advanced course. London: W. B. Clive. VIII -+- 596 S. G . CHRYSTAL. Introduction to algebra, for the use of secondary schools and technical Colleges. London-. A. and C. Black. XVIII-h 412 + X X V S. R. LACHLAN. The elementa of algebra. London: E. Arnold. VIII + 256 S. THOMSON. Algebra for schools. London & Edinburgh: W. & R . Chambers. XV -h 560 S. J. T O D H U N T E R . Algebra for beginners. New edition revised and enlarged by S. L. L o n e y . London: Macmillan & Co. XXXVI -+428 S. W.

Das erste dieser Bücher ist die Fortsetzung der „Intermedíate algebra", die in F. d. M. 27, 118, 1896 angezeigt ist. Die Hälfte dieses Buches ist einfach ein Abdruck der „Intermediate algebra", nnd der neue Stoff behandelt vornehmlich die complexen Grössen sowie die Theorie der unendlichen Reihen; zugleich ist ein brauchbares Kapitel über graphische Darstellungen angehängt. Die Behandlung der unendlichen Reihen ist befriedigender als in den älteren elementaren Werken. Die allgemeinen Eigenheiten der Darstellung, welche in der Anzeige der Intermediate algebra angemerkt wurden, sind auch hier zu finden. Die drei letztgenannten Bücher sind gute Beispiele für Elementarbücher über Algebra zum Schulgebrauch. Der logischen Entwicklung der Sache ist gehörige Aufmerksamkeit gewidmet; doch ist die Behandlung nicht wesentlich verschieden von derjenigen in den neueren Schulbüchern. Die C h r y s t a l ' s c h e Introduction to algebra erhebt sich augenfällig weit über die anderen Bücher. Der grössere Teil der ersten 60 Seiten wird zu einer Erörterung und Beleuchtung der grundlegenden Gesetze der Algebra verwendet, und jeder Schritt in der Entwickelung des Gegenstandes wird mit den dort dargelegten Principien verknüpft. Keine Uühe wird gespart, um dem Anfänger diese Principien durch die Anwendung zahlreicher Beispiele geläufig zu machen, und der dem Studenten hieraus erwachsende Gewinn ist hoch zu veranschlagen; besonders wird der Gegenstand dadurch ein einheitliches Ganzes, und die Erörterung schwieriger und ungewöhnlicher Fälle kann in verhältnismässig kurzem Umfange erledigt werden. Die in den Kapiteln 11-15 behandelte Theorie ganzer und gebrochener Functionen wird in dieser Weise erschöpfend besprochen; sodann ist das Kapitel über Systeme von Gleichungen, welche mittels linearer oder quadratischer Gleichungen gelöst werden können, ein Muster von Durchsichtigkeit. Ein beträchtlicher Raum ist der graphischen Erörterung rationaler Functionen zugebilligt. In einem kurzen Bericht, wie im Jahrbuche üblich ist, kann man unmöglich mehr thun, als die Aufmerksamkeit auf hervorstechende Züge hinlenken; doch darf man sicher behaupten, dass dieses Schulbuch eine Norm für die

II. Abschnitt.

80

Algebra.

Verfasser elementarer Werke geben wird. Die Hauptschwierigkeit des Buches liegt in den einführenden Kapiteln, wo das logische Fundament gelegt wird; wenn Knaben dieses mit Erfolg begriffen haben, sind ihre weiteren Fortschritte gesichert. Die Anordnung des Buches ist die der gewöhnlichen Schulbücher bis zum Binomialsatze für positive ganze Exponenten einschliesslich; aber im Laufe der Arbeit wird mancher Stoff eingeführt, der sonst einer späteren Stufe vorbehalten wird. Ausser den in den Text verwebten Beispielen sind noch zahlreiche Zusammenstellungen von solchen vorhanden, die zur Uebung bestimmt sind. Gbs. (Lp.) M. CANDIOTI. Lecciones de Algebra, professadas en la Universidad de Buenos Aires. Buenos Aires (1898). Das Werk enthält die Vorträge des Verf. über Algebra an der Universität zu Buenos Aires. Die Vorlesung steht zwischen der elementaren und der höheren Algebra. Folgende Gegenstände werden abgehandelt: Theorie der algebraischen Division, Theorie des grössten gemeinschaftlichen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Wurzelrechnung, Theorie der imaginären Zahlen, binomischer Satz, Theorie der Determinanten und Anwendung auf die Auflösung der Gleichungen ersten Grades, Auflösung der Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades, Theorie der Kettenbrüche, Theorie der Logarithmen u. s. w. Tx. (Lp.) V. DE PASQUALE. Note all'Algebra complementare del Prof. S. P i n c h e r l e . P. I. Analisi algébrica. Messina: Trimarchi. VIII -+48 S. 8".

Diese Noten, welche die Erleichterung des Studiums der vortrefflichen Algebra complementare von S. Pinchcrle(MiIano. Hoepli 1 8 9 3 / 9 4 ; F. d. M. 25, 131, 1893/94) zum Zweck haben, verteilen sich auf folgende Gegenstände: 1-10 Streckenfolgen, 11-14 Grundlagen der Zahlentheorie, 15 Folgen von rationalen Zahlen, 16-19 (mit Einschluss von 17 bis) irrationale Zahlen, 20-22 complexo Zahlen, 23-25 Folgen von reellen Zahlen, 26-28 Folgen von complexen Zahlen, 29-33 Grenzwerte, 34 Polygonalzahlen, 35-40 Reihen, 41-42 unendliche Producte, 43 Kettenbrüche, 4 4 - 4 8 ganze rationale Functionen, 4 9 - 5 1 Exponential- und Hyperbel-Functionen. Vi. H . BURKHARDT.

Ueber Vectoranalysis,

Deutsche Math. Ver. 5,, 43-52.

Der klare und gut orientirende Bericht zeigt, wie die Bedürfnisse der modernen Physik, namentlich der F a r a d a y - M a x w e l l ' s c h e n Elektricitätstheorie, dazu geführt haben, die Coordinatengeometrie als Untersuchungs-Instrument durch die mit den geometrischen Gebilden selbst rechnenden Methoden der Vectoralgebra und Vectoranalysis zu ersetzen. Diese Methoden werden in historischer Reihenfolge kurz charakterisirt, ihre Beziehungen zur G r a s s m a n n ' s c h e n Ausdehnungslehre erörtert, ihre Vorteile durch einen interessanten Ausspruch von G a u s s (über den bary-

Kapitel 1.

81

Gleichungen.

centrischen Calcul) ins rechte Licht gestellt. Als wichtigste u n d umfassendste Methoden dieser Art w e r d e n Quaternionen u n d A u s d e h n u n g s lehre näher betrachtet u n d verglichen, auch ihr Geltungsbereich innerhalb der Theorie der T r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e n erörtert. Der Bericht gipfelt in den T h e s e n : 1) Es kann keine a l l u m f a s s e n d e geometrische Symbolik geben, wie sie G r a s s m a n n und H a m i l t o n sich dachten. 2) Alles in Quaternionen zwängen zu wollen, ist zwecklos. 3) Man erhält das f ü r physikalische Zwecke geeignetste System, w e n n m a n G r a s s m a n n ' s System nach der Seite der Infinitesimalrechnung hin ausbaut. Schg.

G. NÉDÉLEC. Le calcul vectoriel et ses a p p l i c a t i o n s en g é o m é t r i e et en m é c a n i q u e . Premier volume. Paris: Gauthier - Villais et Fils. X -+- 24G S. 8°. Folgendes ist nach der Einleitung der I n h a l t des Buches. „Das W e r k , welches wir dem Leser darbieten, umfasst drei verschiedene Teile: der erste Teil betrifft die elementaren Principien oder die Regeln der V c c t o r e n r e c h n u n g ; der zweite u m f a s s t die Theorie der Vcctorfimctionen oder die Erforschung der P u n k t f u n c t i o n e n u n d die der P u n k t v e c t o r e n ; d e r dritte Teil endlich behandelt die A n w e n d u n g e n der V e c t o r e n r e c h n u n g auf die Geometrie, die Kinematik und die Molecularphysik. Nach der D a r l e g u n g des U r s p r u n g s und W e s e n s der V c c t o r e n r e c h n u n g im ersten Kapitel geben wir im zweiten allgemeine Begriffe über die V e c t o r e n ; die von uns gegebenen Definitionen ergeben sich aus den Sätzen über die R e c h n u n g mit den Vectoren. Auf allgemeine Weise definiren wir die vectorielle Addition u n d die versorielle Addition, und wir meinen, dass wir sehr viele Dunkelheiten in der Q u a t e r n i o n e n r e c h n u n g beseitigen und es solchen F o r s c h e r n , die geschickter f ü r mathematische E n t d e c k u n g e n sind, überlassen k ö n n e n , die Regeln der R e c h n u n g mit periodischen Grössen zu entwickeln. Wir fügen einige, übrigens sehr b e k a n n t e Begriffe über die lineare Exponentialgrösse hinzu, die j a nichts a n d e r e s ist als der T y p u s einer circularen oder quaternionischen Grösse. — Im dritten Kapitel gehen wir an die algebraischen Regeln der R e c h n u n g mit der imag i n ä r e n Einheit und beweisen auf eine rein arithmetische Weise die von H a m i l t o n auf anschauliche Weise aufgestellten E i g e n s c h a f t e n der Quadrantvectoren. Wir vervollständigen die Formeln d u r c h einige Begriffe über die schiefen Componenten, die ihre A n w e n d u n g e n in der R e c h n u n g mit einer auf allgemeine Weise b e t r a c h t e t e n linearen Function finden. Im vierten Kapitel zeigen wir die Analogie der binomischen vectoriellen Gleichung mit der gewöhnlichen binomischen Gleichung; zweifelsohne k ö n n e n diese Analogien eingehender definirt w e r d e n . Zu unserem Bed a u e r n erlauben uns die Zeit und die F ä h i g k e i t e n nicht die E n t w i c k e l u n g dieses P u n k t e s , wobei die eigentliche V e c t o r e n r e c h n u n g einsetzt. D a n a c h n e h m e n wir das P r o d u c t der von ihren Moduln begleiteten Vectoren wieder auf, weil die additive oder vectorielle F o r m der Quatern i o n e n der algebraischen R e c h n u n g eine ganz andere Gestalt giebt. Wir n e h m e n die allgemeine S u m m a t i o n der Vectoren wieder auf, und endlich Fortschr. d. Math. 28. 1.

'

ß

II. Abschnitt.

82

Algebra.

meinen wir vor der Angriffnahme der vectoriellen Functionen die Theorie der vectoriellen Gleichungen ersten Grades geben zu müssen." Bei dem zweiten Teile, der „Theorie der vectoriellen Functionen ersten Grades", begnügen wir uns mit der Angabe der Kapitelüberschriften: VII. Erste Begriffe über die vectoriellen Functionen. VIII. Begriffe über die expliciten Functionen. IX. Vectorielle Functionen ersten Grades. X. Vectorielle Theorie der Ebene. XI. Fortsetzung. XII. Vectorielles anharmonisches Verhältnis. Lp. J. B. S H A W . The linear vector operator of quaternions. American J. 1», 267-282. Zweck der Arbeit ist, die Algebra des linearen Vectoroperators y unter dem Gesichtspunkte der Quaternionen zu entwickeln. Hierbei wird

.

delle equazioui algebriche.

Nanoli

Bekanntlich ist (nach Abel) die binomische Gleichung x''—A = 0 für eine Primzahl p in einem beliebigen Rationalitätsbereiche K dann und nur dann reductibel, wenn A die Potenz einer Grösse des Bereiches K ist. Die Irreductibilität binomischer Gleichungen beliebigen Grades ist von V a h l e n (Acta Math. 19, 195-198; F. d. M. 2G, 121, 1895) untersucht worden, aber nur für den natürlichen Rationalitätsbereich. Um die Frage allgemein zu erledigen, beweist C a p e l l i zunächst den folgenden Satz: Eine Gleichung von der Form t)x (O^x)) = 0, in welcher 0, und Ot ganze rationale Functionen der Grade n, resp. n„ bedeuten mit Coefficienten, die einem beliebigen Rationalitätsbereichc K angehören, ist dann und nur dann irreductibel, wenn erstens 0t(x) = 0 in K und zweitens 0J(x)=yi ( j f i ist eine beliebige Wurzel von 6,(y) = 0) im Bereiche (AT, _(/,) irreductibel ist. Im Falle der Reductibilität der vorgelegten Gleichung ist der Grad jedes irrcductiblen Factors ein Vielfaches von nr Aus diesem Satze ergiebt sich leicht ein anderer Hülfssatz: Wenn es möglich ist, eine algebraische Gleichung sowohl auf die Form # , ( # , ( # ) ) = 0 wie auf die Form 0 ^ 6 „(je)) = 0 zu bringen, wo ganze rationale Functionen der Grade m, n und Ot, Ö„ ganze rationale Functionen der Grade n, vi bedeuten, deren Coefficienten einem beliebigen Bereiche K angehören, und wenn m und n relativ prim sind, dann ist die hinreichende und notwendige Bedingung für die Irreductibilität der vorgelegten Gleichung die. dass il, und Oi in K irreductibel sind. Mittelst dieses letzten Satzes beweist C a p e l l i in einfachster Weise, dass xn — A = 0, wo n = pa • q>3 und p, q, r, . . . Primzahlen bedeuten, dann und nur dann irreductibel ist, wenn gleichzeitig

Kapitel 1.

Gleichungen.

91

XP" — A= 0, x''1' — A = 0, xr7—A = 0 etc. irreductibel sind. Die Anwendung des ersten der beiden Hülfssätze ergiebt endlich das Resultat, dass, falls p eine ungerade Primzahl ist, die Gleichung j;i>a — A = 0 nur dann reductibel wird, wenn A die p" Potenz einer Grösse des Rationalitätsbereiches ist. Die Behandlung der Gleichung x-1—A = 0 soll in einer späteren Note erfolgen. F. H. WEBER. chungen.

Zar Theorie der ganzzahligen algebraischen Chicago Congr. Papers, 401-407 (1896).

Glei-

Nach G a l o i s kann eine Gleichung « t c n Grades nicht algebraisch lösbar sein, wenn ihre Gruppe die symmetrische ist, die aus allen J](n) Permutationen der n Wurzeln besteht. Ist die Gruppe nicht die symmetrische, so sagt man mit K r o n e c k e r , dass die Gleichnng einen Affect habe. Die Frage, ob es algebraisch uulösbare Gleichungen mit rationalen Coefficienten giebt, ist in der allgemeineren enthalten, ob es algebraische Gleichungen mit rationalen Coefficienten giebt, die keinen Affect haben. Die Frage ist in bejahendem Sinne mit Hülfe eines allgemeinen Theorems von H i l b e r t (cf. F. d. M. 24, 87, 1892) entschieden worden, wonach man in einer irreducibeln ganzzahligen ganzen rationalen Function f (¿r,, . . . , ic„) für irgend welche der x stets solche rationalen Zahlen setzen kann, dass f auch nach dieser Substitution irredncibel bleibt. Der Verf. giebt für die in Rede stehende Aufgabe eine directe einfache, rein algebraische Lösung für n als Primzahl. My. K. Tu. VAHLEN. Der Fundamentalsatz der Algebra und die Auflösung der Gleichungeu durch Quadratwurzeln. Acta Math. 21, 287-300.

Bedeutet f(x) = 0 eine algebraische Gleichung n t e n Grades ohne gleiche Wurzeln, so bilde man die beiden Reihen ¿»,-+-0 , xi-\-xi, . . .; x,-x2, x3 • xt, xs-x6> . . . , wobei n—2 [ n / 2 ] Wurzeln iibrig bleiben. Aus jeder der beiden Reihen bilde man in derselben Weise durch Addition, resp. Multiplication zweier benachbarten Glieder je zwei nene Reihen, wobei in jeder [w/2] — 2 [«/4] Glieder übrig bleiben. Fährt man so fort, bis man keine neuen Reihen mel^r bilden kann, so bleiben im ganzen genau n Grössen übrig, die in irgend einer Reihenfolge mit . . . , x ^ bezeichnet werden. Aus ihnen lassen sich die sämtlichen Wurzeln xt, . . . , xn unter Zuhiilfenahme keiner andern Irrationalitäten als blosser Quadratwurzeln darstellen. Die Function -u = j; (1) H |_M(n)i einer Wurzel von Null an bis 180° zunehmen, so giebt es n Werte von P in der Entwickelung uh von £ — — nach steigenden Potenzen von to. My. Invariants of a group of 2 . 1 6 8 linear quaternary substitutions. Chicago Congr. Papers 1896, 175-186. F. Klein hat (F. d. M. 1 9 , 82, 1887), von der Liniengeometrie aüs, eine merkwürdige Gruppe von 7! linearen quaternären Substitutionen aufgefunden. Diese Gruppe besitzt eine wichtige Untergruppe Gi. Ii«, die isomorph ist mit der Galois'schen Gruppe der Jacobi'sehen Modulargleichung achten Grades. Der Verf. stellt das volle System der Gi. 168 auf; die Untersuchung, stützt sich darauf, dass die Gruppe durch drei gewisse Fundamentalsubstitutionen erzeugbar ist, und dass daher zwei wesentlich einfachere Untergruppen existiren, von der Art, dass jede Invariante der vorgelegten Gruppe auch eine Invariante bezüglich der beiden erwähnten Untergruppen ist. Das gesuchte volle System besteht aus sieben Formen, zwischen denen drei Relationen bestehen, die auch angegeben werden. My. H.

MASCHKE.

Weitere

Litteratur.

PH. FURTWANGLER. Zur Theorie der in Linearfactoren zerlegbaren, ganzzahligen ternären kubischen Formen. Diss. Göttingen: Vandenhoeck u. Ruprecht. 63 S. 8°. (Bericht in Abschnitt III, Kapitel 2, 8.) A. S. HATHAWAY. Alternate processes. Proc. Indiana Ac. 1897, 117-127. A. LAGRANGE. Réduction simultanée de deux formes quadratiques à trois variables à des sommes de trois carrés. Rev. de math spéc 7, .177-181. H. TABER. On the transformations between two symmetric or alternate . bilinear forms. Math. Review 1, 120-126. H. TABER. On the group of linear homogeneous transformations whose invariant is a bilinear form. Math. Review 1, 154-168.

Kapitel 3. Elimination, Substitution und Gruppen, Determinanten, symmetrische Functionen. R.

LACHLAN.

equations.

O D the degree of the eliminant of two algebraic Cambr. Proc. 9, 313-318.

Gegeben zwei Gleichungen fn(a, y, z) = 0, f„, (a, y, z) = 0, j deren linke Seiten homogen in x, y, z sind. Von den mn Schnittpunkten j

116

II. Abschnitt.

Algebra.

ergebnis: Der Grnppeticharakter einer ans sämtlichen independenten rationalen ganzen Functionen p U n Grades der Variabein einer linearen Gruppe gebildeten Gruppe ist der Coefficient von a>P in der Entwickelung uh von £ — — nach steigenden Potenzen von to. My. Invariants of a group of 2 . 1 6 8 linear quaternary substitutions. Chicago Congr. Papers 1896, 175-186. F. Klein hat (F. d. M. 1 9 , 82, 1887), von der Liniengeometrie aüs, eine merkwürdige Gruppe von 7! linearen quaternären Substitutionen aufgefunden. Diese Gruppe besitzt eine wichtige Untergruppe Gi. Ii«, die isomorph ist mit der Galois'schen Gruppe der Jacobi'sehen Modulargleichung achten Grades. Der Verf. stellt das volle System der Gi. 168 auf; die Untersuchung, stützt sich darauf, dass die Gruppe durch drei gewisse Fundamentalsubstitutionen erzeugbar ist, und dass daher zwei wesentlich einfachere Untergruppen existiren, von der Art, dass jede Invariante der vorgelegten Gruppe auch eine Invariante bezüglich der beiden erwähnten Untergruppen ist. Das gesuchte volle System besteht aus sieben Formen, zwischen denen drei Relationen bestehen, die auch angegeben werden. My. H.

MASCHKE.

Weitere

Litteratur.

PH. FURTWANGLER. Zur Theorie der in Linearfactoren zerlegbaren, ganzzahligen ternären kubischen Formen. Diss. Göttingen: Vandenhoeck u. Ruprecht. 63 S. 8°. (Bericht in Abschnitt III, Kapitel 2, 8.) A. S. HATHAWAY. Alternate processes. Proc. Indiana Ac. 1897, 117-127. A. LAGRANGE. Réduction simultanée de deux formes quadratiques à trois variables à des sommes de trois carrés. Rev. de math spéc 7, .177-181. H. TABER. On the transformations between two symmetric or alternate . bilinear forms. Math. Review 1, 120-126. H. TABER. On the group of linear homogeneous transformations whose invariant is a bilinear form. Math. Review 1, 154-168.

Kapitel 3. Elimination, Substitution und Gruppen, Determinanten, symmetrische Functionen. R.

LACHLAN.

equations.

O D the degree of the eliminant of two algebraic Cambr. Proc. 9, 313-318.

Gegeben zwei Gleichungen fn(a, y, z) = 0, f„, (a, y, z) = 0, j deren linke Seiten homogen in x, y, z sind. Von den mn Schnittpunkten j

Kapitel 3.

Elimination, Substitution u. Gruppen, Determinanten etc. 117

der beiden Curven f„== 0 und f m = 0 schliesst Verf. alle diejenigen ans, welche auf einer Seite oder in einer Ecke des Coordinatendreiecks liegen. Die r übrig bleibenden geben, z. B. mit der Ecke x — y = 0 verbunden, r gerade Linien, deren Product durch eine Gleichung von der Form ( p , . ( j e , y ) = Q bestimmt wird. (p,. heisst die s-Eliminante der beiden Gleichungen. Der Grad r der Eliminante wird in einer Reihe von Beispielen bestimmt. A. S. P.

GOKDAN.

Resultanten ternärer Formen.

Math. A n n . 5 0 ,

113-132.

P. GOKDAN. Le rcsultant de trois formes ternaires quadratiques. Journ. de Math. (5) 3, 195-201. Es handelt sich um die Aufgabe, die Resultante R von drei ternären Formen f , ft, f3 in übersichtlicher Weise invariantiv darzustellen. Die Grade der /', f{, f,3 seien resp. m, n, p. Die „Curven" ft = 0, f., — 0 schneiden sich in np Punkten: uai = 0, ua„ = 0, ..., ua = 0 ; dann ist

R

bekanntlich definirt durch das Product

i=np £1

f ( ß i ) -

Der Aus-

druck ist so umzuformen, dass man erkennt, dass auch die Coefficienten von f t und f rational darin vorkommen. Es lassen sich nun einmal Invarianten etc. U von f angeben, andererseits simultane symmetrische Invarianten etc. der a, derart, dass R als eine Summe von Ueberschiebungen ([7, V") erscheint. Die U lassen sich wiederum linear ausdrücken durch eine Anzahl fx linear unabhängiger Invarianten etc. P von f vom Grade np in den Coefficienten, und analog die V durch die gleiche Anzahl ¡i von Formen Q, wobei die Q den P nach dem von D e r u y t s erweiterten (vgl. F. d. M. 2 3 , 127, 1891 und oben S. 108) II e r m i t e ' s c h e n Reciprocitätsgesetz entsprechen. Dadurch nimmt R die Gestalt eines mit numerischen Coefficienten c versehenen Aggregats von Ueberschiebungen (P, Q) an: R — ~c(P, Q). Die Q sind Combinanten und Semicombinanten von f1 und / j und zudem rationale Invarianten etc. des Prodnctes n aller u a . Die Q zerfallen daher in zwei Klassen. Die erste besteht aus den ganzen Invarianten etc. von rc. Für die zweite Klasse ergiebt sich nach dem vom Verf. (cf. F. d. M. 2 5 , 1086, 1894) behandelten Invarianten-Kriterium V = 0, dass f in lineare Factoren zerfällt. Nach dem Reciprocitätsgesetz entspricht V eine simultan symmetrische Invariante etc. A der a . Die Ueberschiebungen über J bilden die zweite Art Q. Die zweite Arbeit bringt eine explicite Ausführung für den Fall von drei ternären quadratischen Formen. My. E. NETTO. Zur Theorie der Resultanten. Heilk. 1897, 5 S.

Oberhess. Ges. f. Natur- u.

Der Verf. hat im ersten Bande seiner Algebra (cf. F. d. M. 27, 58, 1896) bewiesen, dass die Resultante zweier Gleichungen mit einer Unbekannten bei allgemeinen, unbestimmten Coefficienten irreducibel ist. Nunmehr wird der Beweis auf den Fall beliebig vieler Gleichungen

118

II. Abschnitt.

Algebra.

übertragen. Es seien ( 1 ) fa(x, y, . . . ) = 0 (d = 1, 2, . . . , 2e+3; 1) 4 < 2 , « / = 4 Ä 4 - 3 , 2) f>e-1-1 = 2-, in den beiden letzten Fällen ist die Gruppe einfach transitiv und hat eine zu f relativ prime Ordnung." Für e = f folgt noch: „Der Grad einer transitiven Gruppe von der Klasse es ist gleich 2 oder > < r - | - c , wo e eine ungerade Primzahl." III) „Die transitiven Gruppen von der Klasse cftl 1 0 0 (e und f Primzahlen, 5 s i n d vom Grade ef-i-k, wo 4 < 1 , 2 oder '¿c ist. ef-+-e." — Die primitiven unter diesen Gruppen sind vom Grade Wbg. ED. MAILLET.

Des groupes primitifs de classe N—

S . M. F . Bull. 2 5 ,

16-32.

1 et de degré N.

Verf. hat in seiner Doctorthese (S. 4 9 - 6 8 ) folgenden Satz gestellt: „Die einzigen primitiven Gruppen von der Klasse N — 1 vom Grade /V 1 und relativ prim zu p) und von nur existiren, wenn ist". III) „Eine primitive Gruppe G vom Grade Primzahl, und relativ prim zu p ) und kann nur existiren, wenn ¡ > > ^ - ( p + l ) ist."

N — gp2 (p ungerade der Klasse N—1 kann N = Qp'" (p ungerade von der Klasse N — 1 Wbg.

Eu. MAILLET. S u r u n e série de g r o u p e s primitifs h o l o é d r i q u e m e n t i s o m o r p h e s à des g r o u p e s plusieurs fois transitifs. 0. R. 124, 351-353; Journ. de Math. (5) 3, 277-310. I) „Es sei ( ' eine ¿-fach transitive Gruppe von n Buchstaben, Ta die mit G' holoedrisch isomorphe Gruppe, die von den Substitutionen gebildet wird, welche die Gruppe C auf die Coinbinationen zu je « (aq>r an. Da die Ordnung einer transitiven Gruppe ein Vielfaches ihres Grades ist und alle in Frage stehenden Gruppen eine invariante Untergruppe von der Ordnung p 1 enthalten, so muss der Grad dieser Gruppen p, pr oder pq sein. Verf. untersucht alle möglichen Gruppen für diese drei Grade in der angegebenen Reihenfolge. Wbg. G. A. MILLER. On the transitive substitution groups of degrees thirteen and fourteen. Quart. J. 29, 224-249. In der Einleitung giebt Verf. eine allgemeine, auf einem Satze von Dyck (llath. Ann. 22, 9 4 ) über die Darstellung einer Operationsgruppe

126

II. Abschnitt.

Algebra.

als transitive Substitutionsgruppe beruhende Methode an, alle transitiven Substitationsgruppen eines gegebenen Grades zu bestimmen, and zeigt, dass insbesondere die Bestimmung der kleinsten Zahl von Elementen, mittels deren eine einfache Gruppe als transitive Substitutionsgruppe dargestellt werden kann, mit der Bestimmung der Ordnung ihrer grössten Untergruppe äquivalent ist. Bei der daran sich schliessenden Aufstellung der einfachen Gruppen bis zum Grade 14 ergeben sich, zum Grade 12 gehörig, zwei neue einfache Gruppen von der Ordnung 7920 und 95040. Aus dem ersten Teile der Arbeit, der die Untersuchung der transitiven Substitutionsgruppen vom Grade 13 enthält, seien folgende Sätze hervorgehoben: 1) Wenn eine transitive Gruppe vom Grade 13 nicht die alternirende Gruppe dieses Grades enthält, so ist sie höchstens zweifach transitiv und ihre Ordnung von der Form 2". 3' s . 13; die Maximalwerte von a und ß sind 7, bez. 4. 2) Jede transitive Gruppe vom Grade 13, welche mehr als eine Untergruppe von der Ordnung 13 enthält, ohne die alternirende Gruppe dieses Grades einzuschliessen, enthält gerade 144 Untergruppen dieser Ordnung. 3) Jede einfach transitive Gruppe vom Grade 13 ist in der metacyklischen Gruppe dieses Grades enthalten. Im zweiten Teile werden die transitiven Substitutionsgruppen vom Grade 14 untersucht, und zwar zuerst die imprimitiven und dann die primitiven Gruppen: Es giebt nur eine imprimitive Gruppe vom Grade 14, die ausser der Einheit keine Substitution enthält, welche alle möglichen Systeme der Imprimitivität ungeändert lässt; diese Gruppe ist einfach isomorph mit ( a b c d e f g ) i s t i . Den Schluss der Arbeit bildet eine Tabelle aller transitiven Substitutionsgruppen vom Grade 13 und 14; unter denen vom Grade 13 sind einfach die Gruppen von der Ordnung 13, 56IG, 13!/2, unter denen vom Grade 14 die von der Ordnung 168, 1092, 141/2. Wbg. G. A. MILLER. On the primitive substitution fifteen. Lond. M. S. Proc. 28, 533-544.

groups

of degree

Verf. zeigt, dass es nur vier primitive Gruppen vom Grade 15 giebt, welche nicht die alternirende Gruppe dieses Grades enthalten; zwei davon sind einfach transitiv, die beiden anderen zweifach transitiv. Im ganzen (mit der symmetrischen und alternirenden Gruppe) giebt es also sechs primitive Gruppen vom Grade 15. (Vgl. das folgende Referat.) Wbg. 6 . A. MILLER. S u r l'énumération des groupes primitifs d o n t degré est inférieur à 17. C. R. 124, 1505-1508.

le

Verf. weist die Existenz der primitiven Gruppen vom Grade 13, 14, 15, 16 nach (bis zum 13. Grade ist die Untersuchung bereits von C a y l e y u. a. durchgeführt worden), verzichtet aber aus Mangel an Raum auf den Nachweis, dass die von ihm angegebenen Gruppen die einzigen ihres Grades sind (für n = 15 ist dieser Nachweis vom Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit erbracht). Als bisheriges Resultat ergiebt sich:

Kapitel 3. Grad Anzahl

Elimination, Substitution u. Gruppen, Determinanten etc. 127 4 5 6 7 2 5 4 7 7

3 2

8 9 1 1

10 9

11 8

12 6

13 9

14 4

15 6

16 22.

Wbg. G. A. MILLER. The transitive substitution groups of order 8 p , p being aüy prime number. Phil. Mag. ( 5 ) 4 3 , 1 1 7 - 1 2 5 . Während in einer an derselben Stelle (vgl. F. d. M. 2 7 , 100, 1 8 9 6 ) veröffentlichten Abhandlung des Verf. alle möglichen Operationsgruppen von der Ordnung 8p bestimmt wurden, soll der gegenwärtige Aufsatz zur Ermittelung aller möglichen transitiven Substitutionsgruppen dieser Ordnung dienen. Am Schlüsse wird folgende Uebersicht der Ergebnisse zusammengestellt. p = 2 ; 2 0 transitive Substitutionsgruppen von der Ordnung 8 p , 6 vom Grade 8, 14 vom Grade 16. p = 3. Grad der Gruppen: 4, 6, 8, 12, 24; Anzahl der ( 3 2 ) Gruppen: 1, 3, 3, 10, 15. p =

Grad der Gruppen:

8,

14,

28,

56;

Anzahl der (22) Gruppen:

7.

1,

1,

7,

13.

p — 1 teilbar durch 8.

Grad der Gruppen:

Anzahl der ( 2 7 ) Gruppen: p — 1 teilbar durch 4,1 nicht durch 8. J

p,

2p,

4p,

1,

2,

9,

Grad der Gruppen:

2p,

4p,

Anzahl ( 2 3 ) :

1,

8,

8p; 15. 8p;

14.

p — 1 nicht durch 4 1 Grad der Gruppen: 4p, 8p; teilbar, p > 7 . J Anzahl ( 1 8 ) : 6, 12. Die drei Gruppen von den Graden 4, 8, p sind primitiv, alle anderen sind nicht primitiv. Für p = 2 giebt es 5 commutative Gruppen, für p>2 nur 3. Wenn p = 2 ist, giebt es drei nicht-commutative Gruppen, welche nicht einfach isomorph zu irgend einer nicht-regulären transitiven Gruppe sind. Für ein durch 4 teilbares p — 1 giebt es fünf solcher Gruppen, sonst aber ( p > 2) 4. Lp. G. H. MOORE. Bull. (2) 4 ,

Concerning regular triple systems.

American U. S.

11-1G.

Die Arbeit bildet die Fortsetzung ähnlicher Untersuchungen des Verf. und schliesst sich besonders an die Arbeit an „Concerning abelian-regular transitive triple systems" in Math. Ann. Ein Tripelsystem in t Buchstaben heisst regelmässig, wenn es unter einer regulären Substitutionsgruppe der Ordnung t an ihren t Buchstaben invariant ist. Der Verf. giebt eine Analysis des allgemeinen regulären Systems und eine explicite Construction eines Systems in ¿ = 6 m + 3 Buchstaben, das regulär ist bezüglich jeder regulären Gruppe von der Ordnung t = C m + 3 , welche ein selbstconjugirtes Element von der Periode 3 enthält und eine jenes Element nicht enthaltende Gruppe von der Ordnung S m - h l . Lp.

128

II. Abschnitt. Algebra.

E. ZULAUF, lieber Tripelsysteme von 13 Elementen. Diss. Giessen. 22 S. 8°. Kirkman (Mathematical Journal 8, 1853), ß e i s s (J. für Math. 56, 326, 1859), Netto (Math. Ann. 42, 143, 1892) und De Vries (Palermo Rend. 8 , 222, 1894) haben Tripelsysteme von 13 Elementen aufgestellt. Verf. untersucht dieselben in der Absicht, zu entscheiden, ob eines dieser Tripelsysteme von einem anderen etwa nur durch die Bezeichnung der Elemente sich unterscheidet; zu diesem Zwecke stellt er die zu jedem derselben gehörige Substitutionsgruppe auf, d. h. er giebt sämtliche Permutationen der Elemente an. welche ein jedes einzelne System in sich selbst überführen. Es ergiebt sich, dass die drei Systeme von De Vries, Reiss und Kirkman sich durch Permutation ihrer Elemente in einander überführen lassen, so dass sich die Zahl der vier bis jetzt angegebenen Systeme von 13 Elementen auf zwei wesentlich verschiedene reducirt, das Kirkman'sche (als das älteste von den dreien) und das Netto'sehe System. Wbg. L. HEFFTER. Ueber Tripelsysteme. Math. Ann. 49, 101-112. Das Problem der Tripelsysteme wurde, wie Verf. bemerkt hat, zuerst von J a k o b S t e i n e r aufgestellt, der im Jahre 1862 die „combinatorische Aufgabe" notirte: „Welche Zahl n von Elementen hat die Eigenschaft, dass sich die Elemente so zu dreien ordnen lassen, dass je zwei in einer, aber nur in einer Verbindung vorkommen? Wieviel wesentlich verschiedene Anordnungen, d. h. solche, die nicht durch eine blosse Permutation der Elemente aus einander hervorgeheu, giebt es bei jeder Zahl? u. s. w." (Ges. W. 2, 436). Diese Anordnung von n Elementen nennt man aber ein Tripelsystem. Eingehend mit Tripelsystemen haben sich dann Noether (Math. Ann. 15, 1879), Netto (Substitutionentheorie, 1882, 220: Math. Ann. 42, 1892), Moore (Math. Ann. 43, 1893) und De Vries (Palermo Rend. 8, 1894) beschäftigt (vergl. das vorangehende Referat), die letzteren drei namentlich mit der Frage der Herstellbarkeit und mit der wirklichen Herstellung von Tripelsystemen bei den einzelnen Zahlen n. Man fand bald, dass Tripelsysteme nur möglich sind bei den Zahlen der Form n = 6wi-(-l und n = Qm + 3, und dass die Anzahl der Tripel eines Systems, wenn ein solches existirt, ¿ n ( n — 1 ) ist. N e t t o hat, abgesehen von einigen zurückführenden Sätzen, gezeigt, wie bei den Primzahlen der Form 6 m + l eine cyklische Anordnung der Tripel möglich ist; ebenso, wenn n = 6 m + 3 das Dreifache einer Primzahl der Form 6£-|-5 ist. Allein es blieb noch die Frage offen, ob bei j e d e r Zahl 6m+1 und 6 m + 3 Tripelsysteme existiren. Diese Frage hat Moore in bejahendem Sinne entschieden; freilich in so complicirter Weise, dass eine weitere Vereinfachung erwünscht scheint. Nun hat Verf. schon in einer früheren Arbeit „Ueber das Problem der Nachbargebieteu (Math. Ann. 38, 477 ff., 496 Anm., 1891) beiläufig erwähnt, dass dieses Problem in seiner arithmetischen Einkleidung jenem Steiner'schen Problem der Tripelsysteme verwandt

Kapitel 3.

Elimination, Substitution u. Gruppen, Determinanten etc. 1 2 9

ist. Daher sucht er in der vorliegenden Abhandlung die Ergehnisse jener Arbeit für den Bau von Tripelsystemen nutzbar zu machen. Dies führt dazu, das Problem der cyklischen Anordnung solcher Systeme im Falle 6 m + l und 6 m - f - 3 je auf ein anderes einfacheres arithmetisches Problem zu reduciren. Diese werden, abgesehen von den schon von N e t t o erledigten Fällen, gelöst für die Fälle w = 1 2 £ + 7, wenn 4 Ä + 3 eine Primzahl mit der primitiven Wurzel 2 ist, n — 6 ? w + 3 , wenn 6 ? « + 3 das Dreifache einer beliebigen Primzahl ist, und ausserdem für alle übrigen Zahlen Gm + 1 und 6 m + 3 unter 100. Mit der allgemeinen Lösung der beiden Probleme würde die erschöpfende Natur der Resultate von M o o r e mit der Eleganz derer von N e t t o verbunden sein. Wbg. E. D A V I S A note on the factors of composition of a group. American J. 19, 191. Verf. giebt ein übersichtliches Schema in Dreiecksform für die Factoren der Zusammensetzung einer Gruppe. Wbg. W.

R. FKICKE. Ueber eine einfache Gruppe von 3 6 0 Operationen. Deutsche Math. Ver. 5,, 55-56. Vergl. Gött. Nachr. 1896, 1 9 9 - 2 0 6 . (F. d. M. 27, 103, 1 8 9 6 . ) Wbg. R. DEDEKIND. teiler sind.

Ueber Gruppen, deren Math. Ann. 48, 548-561.

sämtliche

Teiler

Normal-

Die vorliegende Untersuchung ist durch die Frage nach allen denjenigen endlichen Zahlkörpern veranlasst, deren sämtliche Divisoren Normalkörper sind. Ist R die Gruppe aller Permutationen

1 ist. Ferner behandelt er die aus zwei vertauschbaren Substitutionen, sowie die aus zwei Substitutionen ohne numerischen Teil abgeleitete Gruppe und in zwei folgenden Abschnitten die Gruppen der Substitutionen mit einem und mit zwei Parametern. Alsdann betrachtet er die Substitutionen von der Form tst~l und weist schliesslich auf den Zusammenhang der von ihm behandelten Substitutionen zweiten Grades mit der Theorie der Quaternionen hin, welche zn bemerkenswerten, mit den der Einheitskugel eingeschriebenen regulären Körpern zusammenhängenden Gruppen von endlicher Ordnung führt. Wbg. W . Burnside.

Note on the Symmetrie group.

Lond. M. S. Proc.

28, 119-129.

Die symmetrischen Gruppen von drei und vier Symbolen sind bekanntlich einer abstracten Definition durch die Relationen A" = 1, Bi = 1, ( A B y = 1, bezw. A* = 1 , B* = 1, (AB)4 = 1 fähig, während die alternirende Gruppe von fünf Symbolen durch A' = 1, B* = 1 , (ABy = 1 definirt werden kann. Verf. dehnt in der vor-

Kapitel 3.

Elimination, Substitution u. Gruppen, Determinanten etc. 133

liegenden Arbeit diese Art der Definition auf die symmetrische Gruppe von n Symbolen für eine beliebige Zahl n aus, indem er zeigt, dass, zusammen mit eine lineare Relation besteht. Die Beschränkung lautet: es dürfen nicht gleichzeitig Fortschr. d. Math. 28. 1.

10

II. AbscbnUt. Algebra.

146

für irgend einen Wert von x in dem betrachteten Intervall, wo W= 0 ist, sämtliche Unterdeterminanten der letzten Horizontalreihe verschwinden. Jhk. , A.

Démonstration de la propriété fondamentale des wronskiens. Mathesis (2) 7, 62-63. Es ist W(y,z,u,v)= W(D(z/y), D(u/y), D(v/y)). Daraus folgt, dass eine lineare homogene Relation zwischen y, z, u, v besteht, wenn die erste Wronskiana Noll ist, falls diese Eigenschaft für eine Wronskiana dreier Functionen gilt. Mn. (Lp.) DEMOULIN.

S. DICKSTEIN. Propriedades y algunas relaciones de las Wronskianas. Arcbivo de Mat. 2, 101-108. Aus dem Polnischen fibersetzt (Prace mat.-fiz. 1, 5-25; F. d. M. 2 0 , 151). . Lp. W . H. METZLEB. Some notes ou Symmetrie funetions. Lond. U. S. Proc. 28, 390-393. Der Verf. stellt drei Gesetze anf, die erlauben, gewisse symmetrische Functionen unmittelbar durch schon bekannte auszudrücken. Wir führen etwa das erste Gesetz an, indem wir es an zwei Beispielen erläutern. Die symmetrische Function 2g\g\g\, wo die g als die Wurzeln einer Gleichung sechster Ordnung mit den Coefficienten • ••,pi gedacht sind, lässt sich (wie man den Tafeln entnimmt) durch die p ganzrational ausdrücken, wie folgt: 0 ) 2S\9\9\ = -Sp;-3p;p4+4pfp4-i-7i>Ipi-12p.. Dann hat man auch: (2) Zg\g\g\g\ = P, P, Pt — — 3/> Jp, + 4p, p s p 5 -H 7pt Pi -4- Gliedern, die p 6 , p , , • p ] 0 enthalten. (3) Zg\9\9\9\ = P ^ P - W V I ~ Zplpt+4p,p] -+- Gliedern, die p 5 , p e , . . . . p I 0 enthalten. Beidemal sind die g als Wurzeln einer Gleichung zehnter Ordnung mit den Coefficienten p,, • • . , p 1 0 zu denken. Man beachte bei (1) nnd (2), dass 29\9\g\ = Z g W M g l > £ M M = Z 9 \ 9 \ 9 \ 9 \ 9 i = 2 9 \ - 0 9 \ - ° 9 \ - * 9 \ - * 9 \ ~ 3 > während die explicite ausgeschriebene rechte Seite von (2) aus der von (1) dadurch hervorgeht, dass man jedes pt durch das „complementäre" (p 0 = 1, = 0 etc.) ersetzt, und mit pi derartig homogen macht, dass das Gesamtgewicht 9 = 3—1—3—1—2—(—1 resultirt. Entsprechend schreibe man bei (1) und (3) die linken Seiten in der Gestalt: £g\g\g\ = 29\9\9\9\i Z9\9\9\9\ = £ g\~°gl"1 g\~* g\~3, ersetee »n der rechten Seite von (1) jedes p( durch das complementäre p^ und mache mit p\ homogen. Auch die Exponenten der linken Seiten von (2) und (3) sind (sc. bezüglich der Zahlen 5, 4) complementär zu denen .der Exponenten

Kapitel 3. Elimination, Substitution u. Gruppen, Determinanten etc. 147 der linken Seite von (1), letztere Exponenten durch geeignete Nullen ergänzt. Der Beweis beruht darauf, dass die Producte von n Grössen zu je r (r 1. Ein Ergänzungssatz giebt den quadratischen Charakter der geraden Primzahl 2 bezüglich irgend einer anderen Primzahl an. Eine entsprechende Ausnahmerolle spielt beim biquadratischen Reciprocitätssatze die complexe Primzahl 1 -\-i, beim kubischen 1 — g . Die Beweise der Ergänzungssätze sind zum Teil schwieriger gewesen, als die der allgemeinen Gesetze; so zeigt E i s e n s t e i n den biquadratischen Charakter von l + ¿ erst auf Grund des allgemeinen Gesetzes. Alle wesentlichen Mittel zu einem gleich massigen und rein arithmetischen Beweise aller drei: 2, l - f - ¿ , 1 — q betreffenden Ergänzungssätze sind in G a u s s ' „Prima commentatio" der Theorie der biquadratischen Reste (freilich nur erst auf reelle Zahlen angewandt) enthalten, Principien, die auch dem dritten und fünften G a u s s ' s e h e n Beweise des quadratischen Reciprocitätssatzes zu Grunde liegen. Der Verf. giebt einen erschöpfenden Ausbau der G a u s s ' s c h e n Theorie für alle drei Fälle; es sei erlaubt, den Gang der Entwickelung am zweiten Falle l + ¿ kurz zu skizziren. Ist M=a-\-bi eine complexe Primzahl und (x deren Norm, so zerlegen sich die fi—1 incongruenten, durch M nicht teilbaren Zahlen (mod. M ) nach ihrem biquadratischen Charakter in vier Klassen von je ^

4.

* Zahlen.

Diese Klassen heissen A, B, C, D;

die Zahlen von

A

seien a, a', a",..., die von B, C, D entsprechend durch ß, y, ó bezeichnet. Man hat mod. M: n-i a

4

1,

ß

4

Y

4

1,

à

4

t

Kapitel 2. Zahlentheorie. sowie weiter die leicht beweisbaren Congruenzen: p-i

(x— a) (x—a')

... = x

4

— 1,

(«—13) (x—ß') ... = tf

171 M—1 4

—»,

/ 3 , hatte Angelo G e n o c c h i in Annali di Mat. 3 bewiesen, dass der Satz allgemein gültig sei. Der Verf. entscheidet diesen Widerspruch nach Methoden, die er ersonnen hat, zu Gunsten von R o b e r t s gegen Genocchi. Der Titel des Aufsatzes ist durch die eigentümlichen Ansichten des Verf. zu erklären, nach denen die Mathematiker gut thäten, wenn sie sich unter die Fuchtel der metaphysischen Analysis begeben wollten. (Man vergleiche F. d. M. 23, 1253, 1891.) LPR. HOPPE. Ueber rationale Richtungscosinus. Hoppe Arcb. (2) 15, 323-326. Aus œ = 2 ( a c + b d ) , y = 2 ( a d - b c ) , z == a%-hb*—c'—d\ u = a ' - t - i ' - h c ' + d 1 ergiebt sich u' = x3+y7+z3. Aus der Möglichkeit der Darstellung jeder Zahl u als Summe von vier Quadraten ergiebt sich also die Möglichkeit der Darstellung jeder Quadratzahl v? als Summe dreier Quadrate. Dies Ergebnis ist trivial, da die Darstellung = «'H-O'-t-O® mitzählt. Die weiteren Erörterungen geben keinen

Kapitel 2. Zahlentheorie.

175

theoretischen Einblick in die Mannigfaltigkeit der „rationalen Richtungscosinus" x/u, y/u, z/u, sondern liefern nur einige Winke, wie man bei der versuchsweisen Auflösung von u = a*-^-b,-\-c!-\-d'> in ganzen Zahlen a, b, c, d zweckmässig verfahren kann. Fr. Une question d'analyse indéterminée. J. de Math. élëm. (5) 21, 58-59. Beweis des von P. F. Teilhet vorgelegten Satzes: Eine beliebige der Gleichungen 2 < 1 ± 1 == l'\ 2 i 3 ± 2 = t", 1 teilbar ist, und j u ( m ) = ( — 1 ) K ist, falls m das Product von v ( = 1) verschiedenen Primzahlen ist. Verf. teilt eine Tabelle für ff(n) von n = 1 bis n = 1 0 0 0 0 mit, aus welcher | a(n) | < ] / n für alle « > 1 hervorgeht; doch hat das hierin liegende Gesetz noch nicht allgemein bewiesen werden können. Bei Aufstellung der Tabelle machte Verf. von den Formeln

,1(1) E(n)-hfl(2)E(nß)-\

\~n(g) E(n/g) + o(n/l)+a(n/2)+-h 1 fW

Prim1)

0 ( n ) - 0 ( n -

log3

log

aller

zusammen,

1

über das Verschwinden wieder

auf

der leider

j/wi.

von noch

Fr.

Empirische Untersuchung über den

Verlauf der zahlentheoretischen

Function l , gilt sicher bis n = 1 5 0 0 0 0 . D a f ü r z w e i auf e i n a n d e r f o l g e n d e g a n z e Z a h l e n n die F u n c t i o n a sich h ö c h s t e n s u m d e n B e t r a g 1 ä n d e r t , so k a n n m a n sich v o m V e r l a u f d e r F u n c t i o n ein u n g e f ä h r e s Bild d u r c h e i n e zusammenhängende Curve bilden. E i n e solche giebt d e r V e r f . d e r A b h a n d l u n g bei. Fr. CH.

J.

DE

LA

VALLÉE

POUSSIN.

théorie des nombres premiers.

Recherches

analytiques

sur

la

B r u x . S. se. 2 1 B , 251-342, 3 4 3 - 3 6 8 ;

B e r i c h t i g u n g e n S. X X I I I . CH.

J . DE LA V A L L É E POUSSIN. Analyse de la seconde et de la troisième partie; analyse de la quatrième partie. Brux. s. se.

21 A, 1-13, 60-72. P . MANSION.

Rapport.

Brux. S. se. 2 2 , 1-3 (1898).

Der Verf. h a t d i e d r e i e r s t e n T e i l e d i e s e r w i c h t i g e n A b h a n d l u n g in B r n x . S. sc. 2 0 A, 1 0 0 — 1 0 1 ; B, 1 8 3 — 2 5 G , 2 8 1 — 3 6 2 , 303—397 zugleich mit einer Angabe der Hauptergebnisse des zweiten und dritten T e i l e s v e r ö f f e n t l i c h t ; d i e s e l b e S a m m l u n g e n t h ä l t ( 2 1 A, 9 1 — 9 G ) e i n e n B e r i c h t v o n C. J o r d a n ü b e r d e n e r s t e n Teil. Eine Uebersicht über

Kapitel 2.

Zahlentheorie.

179

den gesamten Inhalt der Arbeit hat der Verf. geliefert für die „Verhandlungen des ersten internationalen Mathematikercongresses" (Leipzig 1898), 1 9 4 — 1 9 5 . I. Der Verf. beweist zum ersten Male, dass die R i e m a n n ' s c h e Function £ ( s ) keine Null hat gehörig zu 1-Hpfi. Hiernach stellt er einige asymptotische Gesetze auf, die man schon lange vermutet hatte, die aber ohne Beweis geblieben waren ( H a d a m a r d hat sie ebenfalls bewiesen, aber einige Monate später). Die beiden hauptsächlichsten sind die folgenden: 1. Die Summe der natürlichen Logarithmen der unter y liegenden Primzahlen ist asymptotisch zu y, wenn y unbegrenzt wächst. 2. Die Differenz l o g y — 2 l o g p / ( p — 1 ) , in der sich die Summe auf die unterhalb y liegenden Primzahlen p erstreckt, hat bei unbegrenzt wachsendem y die E u l e r ' s c h e Constante zur Grenze. II. Der zweite Teil ist der Erforschung der Primzahlen von der Form Mx-(-A7 gewidmet, wo M und N relative Primzahlen bedeuten. Folgende Schlüsse ergeben sich: 1. Der Ausdruck [

0 und dass gleichfalls nicht U 0 und m < 0 . Durch Zusammen® w (h) fassung ergiebt sich die zu beweisende Gleichung ^ 1 = 0. Wei*=1 k

Kapitel 2.

181

Zablentbeorie.

tere Folgerungen sind, dass die Summe J ? fi(k) bei unbegrenzt wach*=1 senden) n im Verhältnis zu n verschwindend klein wird, sowie dass für sehr grosse n zwischen 1 und n annähernd ebenso viele ganze Zahlen vorkommen, die aus einer geraden, als solche, die aus einer ungeraden Anzahl von Primfactoren zusammengesetzt sind. Fr.

F. MERTENS. Ueber einen asymptotischen Ausdruck. 10«, 411-421.

Wien. Ber.

Es wird eine mit der bekannten K r o n e c k e r ' s c h e n Grenzformel sehr nahe verwandte Formel aufgestellt. Ist ax*-\-%baycy^ eine 1 positive ganzzahlige Form der negativen Determinante — J = b —ac, yt+ff ( i Y+so entwickelt K r o n e c k e r die Summe — s — ^ ^ I , ge-

ax' -+-" 1bxy-\ex* I" C*JC J \, (HC | • JiOJCiJ

bildet für alle Paare ganzer Zahlen x, y

ausser

x — 0,

y =

0,

im

Anschluss an D i r i c h l e t nach Potenzen von q und bestimmt das Absolutglied

dieser Entwickelung.

M e r t e n s bildet

£ axi-\-e>bxy-\-cy'

alle Paare x, y, die von x = 0, y = 0 verschieden sind, und für die «.za -I- 2bxycy2 ,—

. „

Bi+l(n),

182

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik,

während für ungerade m und n die Formeln r-2 sin2»i?r 1 * ( — 1) * / « u r V p y

mn 4«cotg — •in

,,

.

4n

mit

cos —v-

mn 2n

n

«cos—gelten.

v!

\ in)

Auf Grund dieser Darstellungen werden Entxvickelungen für die Summe Sr der r t e " Potenzen aller Teiler t einer Zahl vi, welche eine i -l gegebene Zahl q nicht übertreffen (Sr = Itr), fiir Tr — I(— 1)2V, fiir die grösste ganze in m/n enthaltene Zahl E(m/n) und für die Anzahl •=1.2.... v

hierin ist f, = 1, f K = H— 1 , wenn die Anzahl der in v aufgehenden verschiedenen Primzahlen (1 ausgeschlossen) gerade, f,, = = — 1, wenn dieselbe, ungerade, und f,, = 0 , wenn v durch ein Quadrat > 1 teilbar ist. Hieraus ergiebt sich die Doppelreihe

eine andere Form ist

*

i

hierin ist SM = ^=1 £ vm , k gerade; diese Reihe kann noch durch tauschunc von B „ mit "~~-\4--S-> B modificirt werden. b

{l7t)2P

v

~p

Eine ähnliche Darstellung wird für tp(u)

=

£

x

u

f a [ u , o ] - , worin

0 = 1.3.5,...

ff

u ungerade ist, aufgestellt; endlich werden die Reihen

2 behandelt.

(k)k' zk und

2

Ver-

/» incongruenten Linearformen D. Gestützt auf diesen Hfilfssatz, beweist der Verf. den in Rede stehenden Satz der Reihe nach f ü r Linearformen mit ganzen, mit rationalen und endlich mit beliebigen Coefficienten. My. E. STEINTTZ. 5 „ 87.

H o m o g e n e lineare Congruenzen.

Deutsche Math. Ver.

Vorläufige Angabe über einen später ausführlich zu veröffentlichenden Satz, betreffend die Gesamtheit der Lösungen von k linearen Congruenzen mit n Unbekannten. Fr. K. T u . VAHLEN. U e b e r Zahlenteiler milch Z. 42, 214-215. 14

Ist

(x\

x(x—\)...(x I =

„Factoriellen"

—i + l )

—-—~

Function f(xl,x2,...,x„*) ^ ^

ganzer Functionen.

statt

^—- ,

Schlö-

. so

kann

nach Potenzen der x

man

eine

ganze

auch nach

den

anordnen, nämlich in der Gestalt:

ft) (?)-(t)' Zur

Bestimmung

der A

kann

man

solche

ganzzahligen Wertsysteme eintragen, dass für die A ein lineares Gleichungssystem mit ganzzahligcn Coefficienten der Determinante 1 entsteht. Dasselbe gilt, wenn man statt der obigen die Darstellung w ä h l t :

k{, kv ..., kn in erforderlicher Anzahl für xn...,xn

(V)(VMV> unter y r . . . . »,»"]. Da man das GF[p'" n] entweder durch eine IQ [m,p n\ oder durch eine IQ \mn, p] definiren kann, so kann eine Theorie der ersteren Formen oft bei der Aufstellung und Durcharbeitung des GF[p'""] praktisch wertvoll sein. Bei gewissen Forschungen (nach Art vieler J o r d a n ' s c h e n ) , vorziehbar in denen der Gebrauch der concreten Gestalt des GF[p m"] erscheint (nämlich der Gebrauch der auf einem imaginären Galois-Felde beruhenden Formen), dürfte es oft, besonders bei Verallgemeinerungen, einfacher sein, eine definirende IQ[m, p n] zu gebrauchen, indem man das bezügliche G í ' f p " ] in seiner abstracten Gestalt beibehält. Die nun vorkommenden Formen sind dann von einem Grade ^ m — 1 statt von einem Grade z^ m n — 1 . Der erste Teil der hier gegebenen Theorie geht parallel zu den schönen Entwickelungen von S e r r e t , ('ours d'algèbre supérieure, Section III, Chap. III (§ 360 bildet eine bezeichnende Ausnahme; vergl.

186

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

§ 16 unten); daher begnüge ich mich mit der Fassung der wichtigeren verallgemeinerten Sätze. Da es sich mit Chap. IV ganz anders 'verhält, so gebe ich die entsprechenden Entwickellingen in voller Länge." Lp.

H. G h ö n w a l l .

Note sur les fonctions et les nombres algébriques.

Stockh. Ofv. 5 4 ,

H. G r ô n w a l l .

199-203.

Deux

théorèmes sur les nombres transcendants.

Stockh. Öfv. 5 4 , 623-639.

H. G r ö n w a l l .

Sur les nombres transcendants i l .

stockh. Ofv. 55,

153-156 (1898).

Die Aufsätze enthalten zwei Sätze über transcendente Zahlen, welche indessen in den L i o u v i l l e ' s c h e n Untersuchungen enthalten sind (Journal de Math. (1) 1 6 , 1 8 5 1 ) . Hmg.

R. Dedekind.

Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten

g e m e i n s a m e n Teiler.

Braunschw. Festschr. 1-40.

Sind a , b, c irgend drei ganze positive Zahlen des grössten gemeinsamen Teilers d, und sind bez. at,bt, c, die grössten gemeinsamen Teiler von b und c, von c und a und endlich von a und b, so ist d offenbar auch der grösste gemeinsame Teiler irgend zweier unter den drei Zahlen a^b^c,. Setzt man sonach al = da', è, = db', ct =dc', so sind unter den drei Zahlen a', b', c' je zwei relativ prim, und also würde d b' c' das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von bl und c, sein u. s. w. Als solches wird db'c' in a aufgehen; es wird sonach drei weitere ganze Zahlen a", b", c" geben, welche die folgenden Zerlegungen der gegebenen Zahlen a, b, c liefern :

a = db'c' a",

b = dc'a'b",

c=

da'b'c".

Die sieben Zahlen a',b',c', a",b",c",d heissen die „Kerne" des Systems a, b, c, und die eben angegebene Darstellung des Systems in den Kernen ist das erste Ziel der Entwickelung. Das vom Verf. in der vorliegenden Arbeit gelöste Problem besteht in einer äusserst weitgehenden Verallgemeinerung dieses Ansatzes, und zwar nach zwei Richtungen hin. Erstlich treten an Stelle von drei gegebenen ganzen Zahlen deren n , wo n eine ganz beliebige Anzahl bedeutet. Es lässt sich dann wieder (wie der Verf. zunächst noch explicite für n = 4 zeigt) durch fortgesetztes Bilden grösster gemeinsamer Teiler eine Reihe ganzzahliger „Kerne" des gegebenen Systems gewinnen, aus denen sich die Zahlen dieses Systems in gewisser Weise multiplicativ zusammensetzen. Die zweite Verallgemeinerung aber besteht darin, dass an Stelle des Systems aller ganzen positiven Zahlen, dem die bisherigen Systemo entnommen waren, die Elemente einer in gewisser Weise beschränkten, übrigens beliebigen A b e T s c h e n Gruppe unendlich hoher Ordnung treten. Die Beschränkung besteht darin, dass neben der Multiplication (Combin a r o n ) der Elemente, welche eben die Gruppeneigenschaft begründet, noch eine zweite, der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Teilers

Kapitel 2.

187

Zahlentheorie.

zweier ganzen Zahlen entsprechende Operation gegeben sein muss, welche gleichfalls aus je zwei Elementen der Gruppe ein drittes erzeugt und alsdann zur Handhabe für die Bildung des „Kernes" eines Systems von n Elementen der Gruppe wird. Diese zweite Operation nennt der Verf. „Addition" und deutet sie durch das Symbol -+- an. Es zeigt sich, dass bei einer Abel'sehen Gruppe fraglicher Art dann immer noch eine dritte, symbolisch durch — angedeutete, Operation existirt, wobei die Operationen ± (grösster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches) in der dualistischen Beziehung stehen, dass sie gänzlich analogen Gesetzen gehorchen. Die in Rede stehenden A b e l ' schen Gruppen ordnen sich in diesem Sinne dem allgemeinen vom Verf. eingeführten Begriffe der „Dualgruppen" unter, deren Grundgesetze in § 4 des vorliegenden Aufsatzes besprochen werden. Eine der einfachsten, aber für die Durchführung des vorgelegten Problems wichtigsten Dualgruppen wird von allen 2" „Combinationen" von irgend n Elementen geliefert, wobei die Reihenfolge der Elemente in der einzelnen Combination gleichgültig ist und die „Combination Oten Grades", welche kein Element umfasst, auch mitzählt. Sind a and ß irgend zwei der 2" Combinationen, so sind „Summe" a-\-ß und „Durchschnitt" a — ß derselben zwei Combinationen, von denen die erste sowohl die in a als die in ß enthaltenen Elemente und nur diese umfasst, die zweite aber die in a und ß zugleich enthaltenen Elemente. Der dualistische Charakter der beiden Operationen spricht sich in den nachfolgenden Grundgesetzen: a+ß

=

«4- (a—ß) =

ß-ha, a ,

a—ß = ß—a (a—ß) — Y = a — a—(a-f-jS) = a

, (ß—y),

aus, welche man leicht aus der Bedeutung der Operationen ± folgert. Wegen der wirklichen Durchführung der Darstellung der Elemente eines aus der A b e l ' s c h e n Gruppe entnommenen Systems in den zugehörigen „Kernen" ist auf § 7 der vorliegenden Abhandlung zu verFr. weisen. J. DE DUCLA LOPIC. Das aus den primitiven dritten Wurzeln der Einheit gebildete complexe Zahlensystem. Pr. Ober-Gymn. der F r a n c i s c a n e r zu Hall 1896-1897.

Innsbruck.

52 Seiten.

Die elementare Theorie der aus den primitiven dritten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen wird ausführlich dargestellt und auf die kubischen Reste angewandt. Hau. E. J . AMBERG. Ueber den Körper, dessen Zahlen sich rational aus zwei Quadratwurzeln zusammensetzen. Diss. Z ü r i c h : Orell Ftissli. 50 S. 8°.

Ausführung der Haiiptgrundlagen der Idealtheorie an denjenigen biquadratischen Körpern, die durch Uebereinanderlagerung irgend zweier

188

III. Abschnitt

Niedere und höhere Arithmetik.

quadratischen Körper entstehen, nnd zu denen die sogenannten D i r i c h l e t ' schen Zahlkörper als Specialfälle gehören. Fr. G.

Zur T h e o r i e der Deutsche Math. Ver. 4 , 111-112.

LANDSBERG.

ganzen

algebraischen

Zahlen.

Es wird das Problem, gewisse in Zahlringen (Ordnungen) enthaltene äquivalente Modulsystcme in einander zu transformiren, zurückgeführt auf die Aufgabe, zwei Scharen bilinearer Formen mit gleichen Elementarteilern in einander zu überführen. Fr. H.

J.

WOODALL.

Question 1 2 8 6 8 .

Ed. Times 6 6 , 120.

A u f k l ä r u n g über die Bemerkungen von S c h e r i n g Werken 2 , 5 2 3 , gegeben von S a n j a n a , H. W . C u r j e l .

Weitere

in

Gauss Lp.

Litteratur.

C. CELLÉRIEK. Démonstration d ' u n théorème fondamental relatif aux facteurs primitifs des nombres premiers. Genève, Mém. Soc. de phys. (2) 3 2 , No. 7, 61 S. F. MERTENS. (Polnisch.)

Ueber die G a u s s ' s c b e n S u m m e n .

Vgl. F . d. M. 2 7 , 1 4 4 ,

Prace mat.-fiz. 8, 1-4.

1896.

U . SCARPIS. Primi elementi délia teoria dei numeri. Milano. VIII u. 152 S. 8°. S. F. d. M. 2 7 , 1 2 7 , 1 8 9 6 . J . J . SYLVESTER. On t h e primes. Nature 5 5 , 269. S. F. d. M. 2 7 , 1 2 7 , K. TH. VAHLEN. ökoD. G e s . 3 8 ,

Goldbach - Euler

Manuale

Hoepli Vi.

Iheorein

concerning

1896.

Untersuchungen über Linearformen.

Königsb. Phys.-

47.

K. TH. VAHLEN. Ueber höhere complexe Zahlen. Ges. 38, 72-78.

Königsb. Phys -ökon

H. WEBER. Ueber Zahlengruppen in algebraischen Körpern. Math. Ann 48, 433-473; 4 9 , 83-100 ; 5 0 , 1-26. Bericht auf S. 8 3 - 84 dieses Bandes. A. WEREBRÜSSOW. Ueber die Zahlen, welche bei Division durch gegebene relative Primzahlen gegebene Reste ergeben. Spaczinski's Bote, No. 252. (Kussisch.) Si.

Kapitel 2. Zahlentheorie.

B.

189

Theorie der Formen.

F. KLEIN. Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie II. Vorlesung, gehalten im Sommersemester 1896. Ausgearbeitet von A. S o m m e r f e l d und P h . F u r t w ä n g l e r . Güttingen 1897, 354 S. autogr. F. KLEIN. Autographirte Vorlesungshefte III. Math. Ann. 48, 562-587. In dem ersten Teile dieser Vorlesung (vgl. F. d. M. 27, 163, 1896) war die Theorie der quadratischen Formen in geometrischem Gewände vom Standpunkte der Gittertheorie aus entwickelt. Ein Anhang leitete bereits zu den Anwendungen auf elliptische Modulfunctionen, dem Hauptgegenstande des zweiten Teiles, über. Der vorliegende Teil beginnt mit den T r a n s f o r m a t i o n e n h ö h e r e r O r d n u n g der Gitter (oder, was auf dasselbe hinauskommt, der quadratischen Formen und der elliptischen Functionen). Durch Transformation wler Ordnung wird dem ursprünglichen ein neues Gitter eingelagert, dessen Maschen den «-fachen Flächeninhalt der ursprünglichen Gittermaschen haben, während die zugehörige Discriminante den Factor w* aufnimmt. Umgekehrt kann jedes Gitter, dessen Discriminante einen quadratischen Teiler besitzt („Zweiggitter"), durch Transformation höherer Ordnung aus einem Gitter, dessen Discriminante keinen quadratischen Teiler enthält („Stammgitter"), abgeleitet werden. Die verschiedenen Werte, welche die elliptischen Modulfunctionen bei allen möglichen Periodentransformationen von gegebener Ordnung n annehmen, geben zu den Transformations- und Multiplicatorgleichungen Anlass, deren Eigenschaften hier „nicht durch Rechnung, sondern durch functionentheoretische Ueberlegungen" gewonnen werden, und zwar nicht nur für die Modulfunctionen erster Stufe (J',j und M,j), sondern auch fiir die höheren Stufen (z. B. die Ikosaederirrationalität). Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit der C o m p o s i t i o n d e r G i t t e r ; er bezweckt, die D e d e k i n d ' s c h e Idealtheorie zu veranschaulichen und die Kummer'schen idealen Zahlen zu „realisiren". Eine erste Aufgabe besteht darin, die h Gitter, welche durch lineare Transformationen nicht in einander überführbar sind, und den h verschiedenen Klassen quadratischer Formen von gegebener Stammdiscrimiliante d entsprechen, in solcher Weise zu „ o r i e n t i r e n d a s s die Multiplication irgend zweier Gitterpunkte wieder auf einen Punkt der h Gitter zurückführt. Die Gitterpunkte sind dabei durch ihre „Minimalcoordinaten" t} gegeben gedacht, d. h. durch ihre Parallelcoordinaten in Bezug auf diejenigen beiden Richtungen (die „Minimalrichtungen"), in denen die zu dem Gitter gehörende und die Massbestimmung definirende quadratische Form ax*bxy-+-cyverschwindet:

190

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

die Orientirung besteht in der geeigneten Wahl des „Azimutalfactors" p ; unter der Multiplication zweier Gitterpunkte (J, jj) und (£'. ? / ) wird dabei die Multiplication der Minimalcoordinaten J, 5', bez. r t , r t ' verstanden. Mittels der Compositionstheorie der quadratischen Formen wird bewiesen, dass diese Orientirung stets und zwar noch auf h verschiedene Weisen möglich ist. Dem entsprechend ergeben sich h f ü r das Folgende unter sich gleichwertige „Normalfiguren" der orientirten Gitter. Es zeigt sich nun aber weiter, dass innerhalb der Normalfigur nicht nur die Multiplications-, sondern auch die Teilbarkeitsgesetze der gewöhnlichen Zahlentheorie gelten, d a s s n ä m l i c h j e d e G i t t e r z a h l (£-Coordinate eines Gitterpunktes) s i c h a u f e i n e u n d n u r a u f e i n e W e i s e i n P r i m z a h l e n z e r l e g e n l ä s s t , wenn man von der immer möglichen Abtrennung von E i n h e i t e n absieht. (Wegen der Definition der Primzahlen und Einheiten sei auf S. 175 der Vorlesungen verwiesen.) Der Beweis dieses Fundamentalsatzes geht den betreffenden Kntwickelungen D e d e k i n d ' s vollständig parallel, wobei aber die abstracten Begriffe D e d e k i n d ' s überall eine geometrische Unterlage erhalten. Um die Beziehungen zu den Theorien von K u m m e r und D e d e k i n d deutlicher zu machen, diene Folgendes: Unter den h Gittern der Normalfigur ist eines, das „Hauptgitter", ausgezeichnet. Seine Gitterzahlen („ Hauptzahlen" genannt)

£=

x-\-y.

Vd

, 1 + Vd bez. vS = x-\-y.

(je nachdem d = 0 oder = 1 (mod. 4 ) ist) sind die ganzen algebraischen Zahlen des Körpers ~\fd, das ausschliessliche Object der D e d e k i n d ' s e h e n Argumentationen. Die Zahlen der Nebengittev („Nebenzahlen"), welche nicht in dem Körper JA/, sondern in einem höheren (durch Adjunction von Q ypv •••,p,„ die Chancen der einzelnen Spieler der ersten Partei, jedes Spiel zu gewinnen, und 7r,, 7 r 2 , . . . , 7rm die entsprechenden Chancen für die zweite Partei. Je nachdem ein Spieler p* der ersten Partei oder ein solcher n r der zweiten gewinnt, soll einer Spielkasse die Summe k hinzugefügt oder die Summe r entnommen werden. Mit E,, E^, ..., E„, werden sodann gewisse mathematische Hoffnungen definirt, die mit dem Zustande der Kasse zusammenhängen. Es handelt sich nun um die Darstellung der Functionen E i auf algebraischem Wege und vermittelst bestimmter Integrale. Hierbei spielen die Gleichung 1 1

ri

r

xm

X X

und die Coefficienten der Entwickelung Seite nach Potenzen von x eine Rolle.

der ntea Potenz

der

rechten Bö.

G. H. BRYAN. On certain applications of t h e theory of probability t o physical p h e n o m e n a . American J. 19, 283-288. B o l t z m a n n hat das „ B o l t z m a n n - M a x w e l l ' s c h e Gesetz" durch Wahrscheinlichkeits-Betrachtungen und Rechnungen bewiesen. Der Verf. giebt eine kürzere Ableitung des Beweises, zeigt aber zugleich, dass der Beweis noch nicht ganz lückenlos und endgültig ist. Bö. W . A. WHITWORTH, H. FORTEY. Ed. Times 67, 48-50.

Solution

of

question

13331.

Man ziehe in einem Kreise n beliebige Sehnen, so ist, wenn N = 1 / 1 . 3 . 5 . . . ( 2 n — 1 ) gesetzt wird, dann die Wahrscheinlichkeit für — 1 ) Durchschnitte derselben gleich N, für — 1) —1 Durchschnitte gleich nN, für keinen Durchschnitt gleich 2 " / ( w + l ) ! , für einen gleich n(n—l)2"/(ra-f-2)!. Die von F o r t e y gegebene Herleitung dieser Zahlen giebt auch einige Verallgemeinerungen (vcrgl. F. d. M. 27, 181, 1897: question 1 2 8 9 8 ) . Lp.

IV. Abschnitt.

R. AiYAR.

Combinationslebre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Question 13254.

201

Ed. Times 66, 89-90.

ABC sei ein gegebenes spitzwinkliges Dreieck. Die Punkte P, Q, R werden willkürlich in den Seiten BC, CA, AB angenommen; in P, Q, R werden Lote zu diesen Seiten errichtet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das durch diese Lote bestimmte Dreieck ganz innerhalb des Dreiecks ABC liegt, ist ^-sin A sin Z?sin (,'/(cotg A -+- cotgß-t-cotgC), beim gleichseitigen Dreiecke also Beweise von D. B i d d l e und H . W . C u r j e l . Lp. S. WATSON, D . BIDDLE, Ed. Times 6 6 , 107.

SANJANA.

Solution

of question

4673.

Durch die Ecken eines Dreiecks A ziehe man je eine Gerade beliebig, doch so, dass ein Teil derselben innerhalb des Dreiecks liege. Dann gilt für den durchschnittlichen Inhalt A , des durch diese drei Transversalen bestimmten Dreiecks die Relation: Lp. W.

S. B . WOOLHOUSE, H . W . CURJEL. Ed. Times 67, 81-82.

Solution of question 4 7 0 1 .

Wenn man innerhalb einer geschlossenen Figur drei beliebige Punkte als Ecken eines Dreiecks annimmt, so wird das durchschnittliche Quadrat des Dreiecksinhaltes auf ein Drittel seines Wertes gebracht, wenn einer jener Punkte im Schwerpunkte der Figur fest angenommen wird. Bei der UÜbertragung dieser Betrachtung in den Raum beträgt die Reduction des durchschnittlichen Quadrates des Tetraederinhaltes ein Viertel. Lp. A . MARTIN, H. W . CURJEL. 67, 52.

Solution of question 4 8 1 5 .

Ed. Times

Vier Würfel werden auf horizontaler Unterlage beliebig auf einander gestellt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die so gebildete Säule nicht umfällt, wird von C u r j e l allgemein bei n Würfeln zu (log 2/JT)"—1 bestimmt; die von Martin in ähnlichen Fragen (s. F. d. M. 2 6 , 242, 1895, question 5263) angenommene Stellung zur Frage ergiebt eine andere Lösung. Lp. T . N . THIELE. Elementär Jagttagelsesläre. ske Boghandel. 128 S. u. 1 Taf.

Copenhagen:

Gjldendal-

Dieses Buch kann als eine Bearbeitung des Werkes „Forelaesninger over almindelig Jagttagelsesläre", Copenhagen 1K89, von demselben Verf. angesehen werden. Referent kann daher auf das ausführliche Referat (F. d. M. 21, 210-217, 1889) verweisen. Jedoch muss bemerkt werden, dass das neue Werk wesentliche Verbesserungen enthält, und dass namentlich dio Darstellung viel leichtcr gemacht ist. V.

202

IV- Abschnitt. Combinalionslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

L. K b ü g e r . Ueber einen Satz der Theoria Combinationis. Nachr. 1897, 146-157.

Gött.

G a u s s hat in den Artikeln 10 und 11 der Theoria combinationis observationum zwei von ihm selbst als merkwürdig bezeichnete Lehrsätze, nnd zwar den einen ohne Beweis, mitgeteilt. Gleichzeitig mit diesem Beweis wird von dem Verf. eine Erweiterung beider Sätze gegeben. — Von dem Fehlergesetze (x) sei nur bekannt, dass sein Wert stets positiv bleibt, und dass eT mit zunehmendem absoluten Betrag von x abnimmt oder wenigstens nicht wächst. Der mittlere Wert der Quadrate aller bei den Beobachtungen zu befürchtenden Fehler sei m* und der mittlere Wert ihrer 2p teo Potenzen

jx 1tf{x)dx

so dass also m ' = —

= J < p (x) dx ist, wonach wi3 =

und allgemein

n\

00

wird.

Dann

— OB

ist 1) die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen — x 0 und + . r 0 , wenn x 2 ? kleiner

falle, grösser (sicher nicht kleiner) als ^ — — V 2 p + 1 . ihp als

(2r p f f

_— r & (2p-f-l) '

ist,

feT'

und

grösser

(sicher

nicht

kleiner)

als

wenn AP grösser a,s

und sie ist grösser (sicher nicht kleiner)

als

ist

2p g p _ j _ y > wenn x?/

'

=

, nf ist, und es ist 2) ( ^ V " niemals kleiner als (2p-)— 1)2p—1 2p ' ' \n-2pj 4p-1-1 und ( — ) \n3

niemals kleiner als — ^ — - . 2p-H

J

n,)

)

wirdfe deich — , wenn y, den v 2p+l ' 2x2r

Maximalfehler bedeutet. Setzt man p = 1, so ergeben sich u. a. die beiden angeführten Sätze von G a u s s . Bö. C. R u n g e . Zur Methode der kleinsten Quadrate. 26, 454-456.

Jordan z. f. v.

In der Theoria combinationis observationum hat G a u s s im Art. 34 einen Satz gegeben, den man nach des Verf. Meinung mehr an den Anfang der Darstellung bringen kann, wodurch manche vorhergehende Betrachtungen überflüssig werden würden.

IV. Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

203

Haben die Fehlergleichungen (z. B. für drei Unbekannte) die Form v — ax-\-by-\-cz-\-l, und setzt man in bekannter Bezeichnungsweise [aa].r-t- [ab]y -f- [ac\z-\-[al]

=

[ « . 2 ] 3 + [c/-2] =

[aa])C+[aZ], [>.2]j+[cM],

so wird:

Die Bedingung, dass [TO] ein Minimum werden soll, liefert die Werte [al] _ [¿M] _ [cb 2] _ [ao] ' * — [W-l]' [cc.2]' die also unmittelbar lineare Functionen der Beobachtungen l sind. Wenn man nun j, t), } als Unbekannte anstatt x, y, z betrachtet, so ergiebt sich leicht der von Gauss in etwas anderer Form im Art. 34 ausgesprochene fundamentale Satz: Die Unbekannten f, q, g verhalten sich genau so, als wenn sie von einander unabhängige Beobachtungen wären, d. h. das Quadrat des mittleren Fehlers einer Function ist gleich kim\ -+- k' 2mjj -f- 2nij, wo m?, m ' , bezw. gleich , ™ .-,-, (m der mittlere Fehler der Gewichtseinheit) sind. [aä] [6o-l] [cc-2] Hat man nun den mittleren Fehler einer Function von x,y,z: P — ftx-\-f%y-{-ftz za bestimmen, so braucht man nur vermittelst der Gleichungen (1) die x,y,z durch Q, £ auszudrücken und den soeben erwähnten Satz anzuwenden, um die von Gauss im Art. 32 gegebenen Formeln zu erhalten, quarum formularum simplicitas nihil desiderandum relinquit. Bö. E. GOEDSEELS. Remarques sur les valeurs des inconnues dans la methode des moindres carres. Brüx. S. sc. 21A, 13-15. Die durch die Methode der kleinsten Quadrate erhaltenen Werte für die Unbekannten liegen zwischen dem grössten und kleinsten unter den Werten der Unbekannten, die durch n beliebige von den ursprünglichen Gleichungen geliefert werden, wo n die Anzahl der Unbekannten ist; andere Methoden können mit geringerem Rechenaufwand leichter zu erhaltende Werte der Unbekannten geben. Mn. (Lp.) W . VELTMANN.

Der mittlere Beobachtungsfehler.

(No. 3419), 161-168.

Astr. Nachr. 143,

Jacobi hat zuerst gezeigt, dass man aus n Fehlergleichungen mit m Unbekannten {n>.m) die sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ergebenden Werte der Unbekannten auch erhält, wenn man die

204

IV. Abschnitt.

Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

möglichen Systeme zu j e m Gleichungen einzeln auflöst.

(

n\ m

)

) Werte

A

A

Bt

ß3

Für eine

....

welchen sich ihr resultirender Wert als eine Mittelgrösse von der —

ergiebt.

Form

Einen ähnlichen W e g sucht nun der Verf.

zur Ableitung des mittleren Fehlers einzuschlagen. aus den ^ ^

aus

Er setzt nämlich die

Combinationen zu j e m Gleichungen erhaltenen Werte der

Unbekannten jedesmal in sämtliche n Gleichungen ein und bestimmt die so entstehenden

übrig bleibenden

Fehler.

Jeder

dieser n

Fehler

hat dann die Form: eine Determinante ( » i + l ) t e n Grades dividirt durch eine Determinante wi ,en Grades. Der Verf. definirt nun das mittlere Fehlerquadrat F * als den Quotienten aus der Summe der Quadrate sämtlicher Dividenden, dividirt durch die Summe der Quadrate der Divisoren der n fn\ Bruchausdrücke, wobei eine bestimmte Anzahl von Dividenden gleich Null ist.

Aus

dieser Definition folgt unter Heranziehung

früherer Untersuchungen des Verf.: F*

=

^ t !

71

[tro], w o [uu] die nach

der Methode der kleinsten Quadrate erhaltene kleinste Fehlerquadratsumme bedeutet; der G a u s s ' s e h e Wert des mittleren Fehlerquadrats ist dagegen F*

=

— - —

n—m

vi-\-1

[trol.

Diese

beiden Ausdrücke

überein; für alle Werte n > m - l - l der G a u s s ' s e h e .

stimmen

nur

für

n

=

ist der des Verf. grösser als

Da V e i t m a n n seinen Ausdruck für F s ziemlich analog der unbestritten richtigen J a c o b i ' s c h e n Bestimmung der Unbekannten gebildet hat, so meint er: „ E s wird also wohl gegen obige Herleitung des mittleren Fehlers nichts Wesentliches eingewendet werden können", und ferner: „ W a s die Plausibilität betrifft, dürfte nieine Herleitung und somit auch das Resultat derselben nichts zu wünschen übrig lassen." Die Hinfälligkeit dieser Behauptungen geht unter anderm aber schon daraus hervor, dass für m = n der V e i t m a n n ' s e h e Ausdruck für F s den unsinnigen Wert Null giebt, während der G a u s s ' s e h e in diesem Falle sehr vernünftig die Form annimmt. Bö.

J.

Emploi de la méthode des moindres carrés pour révéler la présence d'erreurs systématiques. G. R, 125, 852-855. J. MASCART. Application de l a méthode des moindres carrés à la recherche des erreurs systématiques, c. R. 125, 924-926. MASCART.

IV. Abschnitt. Combin&tionslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

205

Die Bestimmungen des Nadirpunktes am grossen Meridiankreis der Pariser Sternwarte zeigen bedeutende Abweichungen unter einander, die nur durch systematische Fehler verursacht sein können. Als Ursache solcher Fehler wird die Temperatur angenommen, und ihre Einwirkung wird so vorausgesetzt, dass für jede Ablesung x' der sechs Mikroskope des Verticalkreises, die zur Nadirbestimmung gedient hat, ein corrigirter Wert x abgeleitet werden kann, dessen Abhängigkeit von der Temperatur durch die Gleichung x' = x-{-f.i6-\-).d3 gegeben sein soll, wo im vorliegenden Fall 0 zwischen 8° und 22° liegt. Die nach der Methode der kleinsten Quadrate erhaltenen sechs Wertsysteme für x, fi, X scheinen im Hinblick auf ihre wahrscheinlichen Fehler zwar verhältnismässig gut bestimmt zu sein, und die Correctionen der Ablesungen sind auch ziemlich gross (im Maximum schwanken sie bei einem Mikroskop zwischen — 1 " , 7 und -+-10",6), gleichwohl werden die grössten Abweichungen in den Ablesungen der einzelnen Mikroskope, die von derselben Grössenordnung wie die Verbesserungen sind, im Mittel doch nur um etwa ein Viertel ihres Betrages verringert. Dies wird auch durch Einführung weiterer Parameter nicht besser, so dass also noch andere Ursachen bedeutender systematischer Fehler vorhanden sein müssen. In der zweiten Mitteilung werden verschiedene Vermutungen über solche Ursachen ausgesprochen; z. B. braucht die Temperatur der Umgebung nicht für alle Teile des Instrumentes gleichmässig zu gelten, auch kann eine Anzahl anderer Einwirkungen, wie Bodenerschütterungen und rein instrumenteile Unvollkommenheiten, schädlich sein. Einer sachgemässen Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ist aber wohl keine Schuld beizumessen. Bö. Ad. Blümcke. Zur J o r d a n ' s c h e n Theorie Jordan Z. f. V. 26, 51-54, 276-281, 561-562.

des

Maximalfehlers.

In dem ersten Bande der 4. Auflage seines Handbuches der Vermessungskunde (1895) hatte Prof. W. J o r d a n die G a u s s ' s c h e Fehlerfunetion durch eine andere zu ersetzen versucht, die nur Fehler bis zu einer gewissen Grösse AI (dem Maximalfehler) zulässt. Er bestimmt nämlich die Fehlercurve als eine parabolische Linie, die symmetrisch zur y-Axc liegt, für x = 0 ein Maximum hat und für x — dzM mit der x-Axe eine Berührung n t e r Ordnung eingeht, und für die ausserdem +M J

(f{x)dx

=

1 wird.

Er erhält hieraus den Ausdruck

—u

1

3 . 5 . . ,. . ( 2 » + l ) ( 2 » - f - 3 ) 1 / x3 i x 1. ... 2 n ( 2 n + 2 ) "ifV M*) ' Der Verf. glaubt einen Beweis für diese Formel erhalten zu können, indem er zunächst eine Aenderung an der bekannten H a g e n ' s e h e n Ableitung des G a u s s ' s e h e n Fehlergesetzes anbringt. Ist 2 r die Anzahl der Elementarfehler äx = so setzt H a g e n , um den sich ergebeny =

«p(*) =

f

206

IV. Abschnitt. Combinationslebre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

den Differentialausdruck weiter verwerten zu können, r^Jxf = A = Const., d. h. er nimmt den Maximalfehler anendlich gross an, und erhält sodann aus

dv

=

Ix

— y — das G a u s s ' s e h e Fehlergesetz.

Der Verf.

setzt nun dagegen r(Jx)* = F(x) — A-\-Bx*-{-CxA-\ , beschränkt sich aber rechts auf die beiden ersten Glieder. Indem er ferner einen 1 M* Maximalfehler dzM annimmt, und — r -.~ = —- = n-(-1 setzt, findet

H

A

er für y genau die J o r d a n i s c h e Formel. Jedoch bedeutet jetzt n etwas ganz anderes als bei J o r d a n , und ausserdem fehlt der wohl schwerlich zu führende Nachweis, dass n eine ganze Zahl ist; hierdurch wird die ganze Entwickelung hinfällig. In der zweiten Note will der Verf. zeigen, dass man zur J o r d a n ' schen Fehlerfunction auch gelangen kann, wenn man anstatt vom gewöhnlichen arithmetischen Mittel von dem Ausdruck

X = *,/(«,)+*,/W-

/(«.H-rt*,)-*-als wahrscheinlichsten Wert der beobachteten Grösse X ausgeht und in der sich hieraus ergebenden Gleichung zur Bestimmung von y : 2

dx

—

/ w —

k

(

A +

Bx%)

setzt. Die Mängel dieser Ableitung sind ausserdem dieselben wie bei der ersten. Der Verf. zeigt sodann noch, dass der aus der J o r d H i r schen Fehlerfunction folgende Wert der Unbekannten um so mehr mit dem einfachen arithmetischen Mittel zusammenfällt, j e mehr sich die Beobachtungsfehler symmetrisch anordnen lassen, und dass sie mit der Methode der kleinsten Quadrate nicht im Widerspruch steht. An der letzten Stelle werden im Anschluss an die zweite Note näherungsweise Berechnungen von M entwickelt. Bö. J. REINA. S u l l a p r o b a b i l i t à degli errori di s i t u a z i o n e di u n nello spazio. Rom. Acc. L. Rend. (5) 6,, 107-112. Werden die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes im durch die Beobachtung von n unabhängigen Grössen, deren ®2, ...,vn seien, bestimmt, so lassen sich die Fehler x, y, Coordinaten in folgender Form darstellen:

x = a1v1+as^>,^

h anvn =

y =

Hfl.«» =

DH

hy»®. =

[y®]-

2 =

y.ü.-Hy,»3h

punto Raum Fehler z der

[or],

Befolgen die einzelnen Fehler das G a u s s ' s c h e Fehlergesetz — k* P ——e r r, so erhält man die Wahrscheinlichkeit Pdxdydz, dass der

h

\n

IV. Abschnitt. Combinationslebre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fehler in der Lage des Punktes zwischen ¿rund x-\-dx, z und z-\-dz liege, wenn man den Differentialausdruck h1h....h„ -^—-e {yn)

über das Gebiet

-[ihn]

207

y und y-^-dy,

dv.dv^-.dvn

x 0 und bleibt unter einer endlichen Zahl g, so convergirt die Doppelreihe der u^ gegen eine bestimmte Summe S. Zugleich convergirt jede Zeile und jede Colonne, und die Reihe der Zeilen- (Colonnen-) Summen convergirt gleichfalls gegen die Summe S.

§ 3.

2 fi,r=0

VI. Ist

= S,

2 2 >=*< fi=0

g

o zieht jede der vier Gleichungen

= S,

2

2 r=u

= S,

2 wy = r=u

S,

wo m , = m W + m ' ' " 1 ) + ••• +!t[ í '¿ 1 +M¡, l ) ' ist, die drei anderen nach sich, gleichgültig, ob S endlich oder unendlich gross ist. VII. Besitzt die convergente Doppelreihe 2 — S die Eigenu, r=0 ß schaft, dass die einzelnen Zeilen und Colonnen convergiren oder innerhalb endlicher Grenzen oscilliren, so kann die Reihe 2wv (v = 0, ..., oo) nur convergiren oder oscilliren. Im ersteren Fall ist dann auch Swy = 5.

Kapitel 1.

Allgemeines.

217

§ 4. Die Doppelreihe 2uy ( f i , v = 0, 1, ..., o o ) heisst absolut convergent, wenn die Doppelreihe | u ^ | convergirt. VIII. Von den vier Gleichungen des Satzes VI zieht jede einzelne die drei anderen nach sich, wenn die in der Voraussetzung auftretende Reihe bei der Vertauschung der u ^ mit ihren absoluten Beträgen convergent bleibt. IX. Jede absolut convergente Doppelreihe ist unbedingt convergent und umgekehrt. X. Eine convergente Doppelreihe, welche nicht absolut convergirt, lässt sich stets durch Umordnung divergent machen. Sie kann also keinenfalls unbedingt convergiren. XI. Ist die Doppelreihe der u ^ unbedingt convergent, so convergirt auch jede Zeile (Colonne), desgleichen die aus den Zeilensummen (Colonnensummen) gebildete Reihe, und die Summe der letzteren ist gleich der Summe der Doppelreihe. §. 5. Erfüllt die Doppelreihe (ji, v = 0, • • •, oo) mit negativen Tennen die notwendige Convergenzbedingung, dass jede zelne Zeile und Colonne convergirt, so ist für deren Convergenz reichend, dass für fi = oo, v = o o lim C), 6', < o o ist. — Doppelreihe JSaj,'' divergirt sicher, wenn (¿u

_ m , > v > _ n ist.

Dabei ist C^ = c^ 1 , D p = d p 1 , während cM das allgemeine Glied einer convergenten, dp dasjenige einer divergenten einfach unendlichen Reihe mit positiven Gliedern bedeutet. Wz. 0 . BIERMANN.

Ueber

Doppelproduete.

unendliche

Doppelreihen

und

unendliche

Monatsb. f. Math. 8 , 115-137.

I. „Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Convergenz der Doppelreihe bestehen darin, dass zu jeder beliebig kleiuen positiven Grösse d ganze Zahlen m und n von solcher Art zu finden sind, dass für alle ganzen Zahlen ii : > m und und für jedes ganzzahlige Wertepaar (2), f ( z ) Potenzreihen, 6(z), Il(z) Potenzreihen oder ganze Functionen von 2 ; at,a2,... die als bekannt vorausgesetzten Nullstellen von (p(z); C p C j , . . . die Werte von f(z) für z = a , , a , , . . . (diese Werte c,,c„,...

seien von der Art, dass 21

I

c

—;

convergirt), so ist

L°«ÎP(°«)

die Interpolationsformel

wegen der Willkürlichkeit von H{z) FORTTTHR. D. MATH. 28.1.

unbestimmt;

sie kann jedoch, 15

wie

226

V. Abschnitt

Reiben.

an einigen Beispielen erläutert wird, durch eine Bedingung, welche die Form einer Ungleichung hat, zu einer bestimmten werden. Wz. W. H. ECHOLS. On interpolation formulae and their relation to infinite series. Chicago Congr. Papers, 52-57 (1896). Der Verf., welcher in einer früheren Arbeit sich mit der L a g r a n g e ' schen Interpolationsformel beschäftigt hat (vergl. F. d. M. 25, 402, 1893) formulirt das allgemeine Problem der Interpolation so: Gegeben seien n Werte einer Function, die n gegebenen Werten der Variable entsprechen; man verlangt, eine Function zu bilden, die mit der gegebenen Function an den n bekannten Punkten zusammenfällt und so beschaffen ist, dass sie so nahe wie möglich mit der Function in allen Zwischenpunkten zusammenfällt. Mit Bezug auf diese Forderung werden fünf allgemeine Formeln aufgestellt, aus denen „alle Interpolationsformeln für regelmässige und unregelmässige Intervalle fliessen, alle ßeihenformeln des Calculus of enlargement und der endlichen Differenzen und endlich Formeln für alle unendliche Reihen in der Differentialrechnung." Lp. P. J. HEAWOOD. Interpolation tables. MesseDger (2) 27, 121-12S. In vielen Fällen, wenn die ersten drei Glieder der1 Formel mit endlichen Differenzen un+x = —1 )J un-l mit hinreichender Genauigkeit die Zwischenwerte einer zu tabulirenden Function geben würden, sobald jedes Zehntel direct berechnet worden ist, dürfte es sich lohnen, Abkürzungen zu schaffen bei der Ergänzung der bis zur letzten verlangten Decimale genauen Zwischenwerte und die Rechenarbeit zu ersparen, welche der directe Gebrauch der Formel einscliliesst. Der Verf. zeigt, dass einige sehr einfache Hülfstafeln nach dieser Richtung wesentliche Erleichterungen verschaffen in solchen Fällen, in denen die endlichen Intervalle der genau ergänzten Tafel nicht zu schnell sich ändern. LPW. F. OSGOOD. Introduction to infinite series. üniversity. 71 S. 8°.

Cambridge: Harvard

Kapitel 2. Besondere Reihen. ED. COLLIGNON. Remarques sur la suite des noinbres entiers. Ass. Frauf. Tunis 25, 17-42. Der Verf. teilt die Reihe der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . in Gruppen zu r = 1, 2, 3, . . . Zahlen, so dass die erste Gruppe die Zahl 0, die zweite die Zahlen 1, 2, die dritte die Zahlen 3, 4, 5 u. s. w. enthält, und beantwortet eine grössere Reibe von Fragen bezüglich der so gebildeten Gruppen: Summe der Zahlen einer Gruppe, ausgedrückt durch r.

226

V. Abschnitt

Reiben.

an einigen Beispielen erläutert wird, durch eine Bedingung, welche die Form einer Ungleichung hat, zu einer bestimmten werden. Wz. W. H. ECHOLS. On interpolation formulae and their relation to infinite series. Chicago Congr. Papers, 52-57 (1896). Der Verf., welcher in einer früheren Arbeit sich mit der L a g r a n g e ' schen Interpolationsformel beschäftigt hat (vergl. F. d. M. 25, 402, 1893) formulirt das allgemeine Problem der Interpolation so: Gegeben seien n Werte einer Function, die n gegebenen Werten der Variable entsprechen; man verlangt, eine Function zu bilden, die mit der gegebenen Function an den n bekannten Punkten zusammenfällt und so beschaffen ist, dass sie so nahe wie möglich mit der Function in allen Zwischenpunkten zusammenfällt. Mit Bezug auf diese Forderung werden fünf allgemeine Formeln aufgestellt, aus denen „alle Interpolationsformeln für regelmässige und unregelmässige Intervalle fliessen, alle ßeihenformeln des Calculus of enlargement und der endlichen Differenzen und endlich Formeln für alle unendliche Reihen in der Differentialrechnung." Lp. P. J. HEAWOOD. Interpolation tables. MesseDger (2) 27, 121-12S. In vielen Fällen, wenn die ersten drei Glieder der1 Formel mit endlichen Differenzen un+x = —1 )J un-l mit hinreichender Genauigkeit die Zwischenwerte einer zu tabulirenden Function geben würden, sobald jedes Zehntel direct berechnet worden ist, dürfte es sich lohnen, Abkürzungen zu schaffen bei der Ergänzung der bis zur letzten verlangten Decimale genauen Zwischenwerte und die Rechenarbeit zu ersparen, welche der directe Gebrauch der Formel einscliliesst. Der Verf. zeigt, dass einige sehr einfache Hülfstafeln nach dieser Richtung wesentliche Erleichterungen verschaffen in solchen Fällen, in denen die endlichen Intervalle der genau ergänzten Tafel nicht zu schnell sich ändern. LPW. F. OSGOOD. Introduction to infinite series. üniversity. 71 S. 8°.

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Kapitel 2. Besondere Reihen. ED. COLLIGNON. Remarques sur la suite des noinbres entiers. Ass. Frauf. Tunis 25, 17-42. Der Verf. teilt die Reihe der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . in Gruppen zu r = 1, 2, 3, . . . Zahlen, so dass die erste Gruppe die Zahl 0, die zweite die Zahlen 1, 2, die dritte die Zahlen 3, 4, 5 u. s. w. enthält, und beantwortet eine grössere Reibe von Fragen bezüglich der so gebildeten Gruppen: Summe der Zahlen einer Gruppe, ausgedrückt durch r.

Kapitel 2. Besondere Reihen-

227

Einteilung in zwei Untergruppen. Summe der Zahlen in beiden Untergruppen. Summe der Quadrate der Zahlen einer Gruppe und jeder der Untergruppen. Verteilung der Primzahlen auf die Gruppen. Empirische Formel zur Zusammenfassung aller Ergebnisse. Verschiedene Versuche zur Verallgemeinerung der Betrachtungen. Lp. E. L. STABLER. Triangular numbers. American M.S. Bull. (2)3,399-401. Bemerkungen über die Einrichtung und den Nutzen der Triangularzahlen beim numerischen Rechnen, mit Bezug auf das A r n a u d e a u ' s c h e Tabellenwerk (vergl. F. d. M. 27, 205, 1896). Lp. E. B. ELLIOTT. Some simple properties of divisibility. Messenger (2) 27, 12-15. In Anlehnung an einen Satz von S e g a r (F. d. U. 26, 276, 1893) werden folgende Sätze hergeleitet: I. Das Product der Differenzen irgend welcher n ungleichen Zahlen, positiv oder nicht, ist durch das Product der Differenzen der n Zahlen 0, 1, 2, . . . , » — 1 teilbar. IL Das Product der Differenzen irgend welcher n verschiedenen Quadratzahlen ist durch das Product der Differenzen der n ersten Quadratzahlen 0 ' , 1*, 2 ' , . . . , ( n — l ) a teilbar. III. Das Product der Differenzen der Quadrate irgend welcher n verschiedenen ungeraden Zahlen, multiplicirt mit dem Producte der n ungeraden Zahlen selbst, ist durch das Product der Differenzen der Quadrate der ersten n ungeraden Zahlen 1, 3, 5, . . . , 2 n — 1 , multiplicirt mit dem Producte dieser selben Zahlen, teilbar. Lp. L. VIVES Y CASADEMONT. Sobre la determinación del mayor coeficiente de los términos del desarrollo de la potencia de un polinomio. Archivo de Mat. 2, 109-110. Der Verf. zeigt, wie man den grössten Coefficienten in den Gliedern der Entwickelung der n t e a Potenz eines Polynoms finden kann. Tx. (Lp.) J. J.

SYLVESTER.

Question 13375. Ed. Times 07, 57.

Die aus dem Athenäum-Club vom 18. Decbr. 1896 datirte Aufgabe lautet: Es sei F ( . c ) / ( 1 — x) n — 1 + 2 " - l a ; - t - 3 ' , - V H , so ist zu zeigen, dass F(x) eine symmetrische Function (n — 2) te " Grades in x ist, deren Coefficienten als Summe die Factorielle von n — 1 ergeben, z.

B.:

(1 — x)

=

I + 1 6 * + 81«,+25&B,+... .

Lösungen von K n o w l e s und S t e g g a l l . G. SPECKMANN,

l i e b e r Potenzreihen.

Lp. Hoppe Aich. (2) 15, 334-335.

Aus den dritten und höheren ungeraden Potenzen der Zahlen der natürlichen Zahlenreihe kann man durch Hinzunahme geeigneter Quadrat-

15*

Y. Abschnitt

228

Reiben.

zahlen eine Reihe von Quadratzahlen bilden. Alle hier dnrch Beobachtung erhaltenen Resultate sind indes anch schon in der Identität nx+»-\-\(nx — nry = enthalten. H. 6 . SPECKMANN. Systeme von arithmetischen Reihen WTER Ordnung. Hoppe Arch. (2) 15, 332-334. Es werden arithmetische Reihen höherer Ordnung betrachtet, welche innerhalb der in eine Doppelreihe zerlegten natürlichen Zahlenreihe bei Verfolg in gewissen Richtungen sich vorfinden. H. E. SCHOU.

Bevis for en Sätning af H a d a m a r d .

Nyt. Tidss. for

Math. 8 B , 5-6.

Beweis eines Satzes von H a d a m a r d . Der Satz, welcher hier mittels elementarer Betrachtungen bewiesen wird, ist aus H a d a m a r d ' s grosser Abhandlung (Journ. de Math. ( 4 ) 9 , 171-218) entnommen und

1 betrifft die Convergenz der Reihe £ —¡^¡^, wo qp der Modulus einer i Qpw Nullstelle einer ganzen Function ist. (Vergl. F. d. M. 25, 701, 1893.) V. E. SCHOU.

Summation af en uendelig Raekke.

NYT Tidss. for Math.

8 B, 1-5.

Der Verf. behandelt die Reihe f='"

welche die Functionalgleicliung xp„ (c)

(c-f-p)"

i/>„(c-f-l) = c"

befriedigt.

Diese Reihe wird mittels eines bestimmten Integrals summirt, und der Verf. zeigt, dass ip„(c) = (c—1) (i(c) + M 0 ) , wo k(c) eine ganze rationale Function n'°" Grades in c ist, l eine Constante und A0 = l e'(l—zj—dz, wo c > l . 0 Der Verf. findet zuletzt die Formel

/

ip(c) = (c- \)(k(c)+elP(c-\)) , wo P die aus der Theorie der Gammafunctionen bekannte Function ist; diese Formel ist für alle Werte von c gültig, die ganzen negativen Werte von c ausgenommen. V. N. NIELSEN.

Nogle rationale Relationer mellera Talraekkens Tal.

N y t . Tidss. for Uath. 8 B , 7-10.

Kapitel 2.

Besondere Reiben.

229

Mit Hülfe VOD Integralaasdrücken von der Form:

J

n cospsT, ¿c n , ausgedrückt durch S I 6 1 , Silt, JS I J 4 9 , •••; die am langsamsten convergirenden Reihen schreiten nach ungeraden Potenzen von - i — , 161 nung V e g a ' s fortschreiten.

—j—, 511

die Reihen

— ~ , ... 1249

fort,

während bei der Berech-

nach ungeraden Potenzen von

^ ,

...

230

V. Abschnitt.

Reihen.

Für die Berechnung der natürlichen Logarithmen aller Primzahlen unter 100, welche auf die Gleichung (I) allein begründet werden kann, wird eine Tabelle aufgestellt. Wz. FB. ROGEL. Transformationen 1897, 31 S.

arithmetischer Reihen.

Prag. Ber.

Die Function f(x) sei nach dem Maclaurin'schen Satze entwickelbar für | ; r > 0 und nehme für Werten, die unterhalb eines bestimmten liegen, mit diesen zugleich ab. Hierauf wird die Operation £) angewandt: » « « - • f ^ f e ) wo w > 0 , n vorläufig > 1 , e = ± l ist und v nach einer arithmetischen Progression fortschreitet. Diese Reihe ist im Intervall (—f 0 , f ) absolut und gleichmässig convergent. Die Operation £) zerfällt in drei specielle Operationen 6/(*)= n

n

2 , U: i

r=l,2,... V

\ V

i

J

¡1=0,1....

/iS(A«+»y,

wo /„, / , , / 5 , ... die Coefficienten der Entwickelung von f

nach

Potenzen von x sind und £

v=1,2....

v~r =

S(r)

gesetzt ist.

y—1

u/(*) =

i

N

wo

=

V = L , 3 ,

T(r) =

V

5 , . . .

v~r,

2

W

Up) =

» - = 1 , 3 , . . .

. i

/

A = U ,

ü r = l ,

fxU(l,n +

n)*,

1 . . . .

(—1)

2

V'r gesetzt ist.

3 , . . .

Es sei eine Function, die gleich 1 ist fiir k = 1, gleich 0, wenn k durch eine Quadratzahl > 1 teilbar ist, - ( - 1 , wenn k aus einer geraden, und — 1 , wenn k aus einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen zusammengesetzt ist. Mittelst fi werden drei weitere Operationen eingeführt:

©-'/(*)= n

£-'/(*)= n

i

V = L , 2 . . . .

i

y=l,3,...

^ M v « ) V

W

y

T

\ V j

=

i

f>.SKbn+n)x\

i

f i T - W m + n)**,

I = 0 , 1 , . . .

A 0. 1

Kapitel 2.

n

k=1,3,...

i ^ y=l,3,... V gesetzt ist.

=

T ~

V

l

( i ) ,

Nun wird gezeigt, invers sind, d. h. dass n U.

Besondere Reihen.

A=0,1,...

i (_i)V r=l, J,... dass

© und =

n

/

® ~

l

v

-

1 / u C v ) =

J ® +

R H

231

l

f ( x ) =

C7-1C0

und I - 1 ,

U und U - 1

f ( x )

S. w. ist. Bezeichnet man durch 0 die zusammengesetzte Operation

n «j »2 durch £), D p D , irgend welche der Operationen @ + 1 , S£ +1 , tt+1, durch n nt n-j £) r , D ~ r die r-fache Wiederholung von £), £ ) ~ ' , ist E x ein Product von n n n n Potenzen harmonischer Summen H (gleich S, T oder ü ) gleich H r ( X m - + - n ) J J f ^ A m + n J i T p ^ T O + n , ) und so gebildet, dass jedem D J in 0 ein E r ( a ) in E entspricht, also einem

eine sich über alle Teiler x der Zahl v erstreckende Summe ist. Ausserdem werden viele Formeln entwickelt, in denen es sich um Summen von der Form

2

pk, v /

=1 V=1 handelt,

\

„ k,

V n ' \ V"J '

V" ' \ V") '

V" 'Vi""/' Wz.

Fr. Rogel.

Combinatorische Beziehungen zwischen Summen von

Teilerpotenzen.

Prag. Ber. 1897, 9 S.

Bezeichnet b™ die Summe der n t e " Potenzen sämtlicher Teiler des Index r , so ist n

b/•

+, rOr-l —\

v» Sk« v« . Dr-2ö TT" t>2 , ü r _3 O3 "I1 r—2 2 r—3 3

frr-4-2

^r—2 ,TZ2('-erde)

" 2" " 2 b^+l '!«,!...Or-jlV 2)

U

J"'\r-3j

br-l

¡ q i l r^l

~2

un

Serade)

Kapitel 2. Besondere Reiben. =

—}•»-•'-)-(>•—l^-'-t-SOr—2)"-+-

Kr~

233

(r*—4\"-1 ) ( r gerade)

h

ic-OCDC;')-^) (^Tfr— «,+CtjH

a1-h2as4-3a,H

l-ßr-3 =

i,

|_(r—3)a_j =

r.

Es werden noch weitere Formeln für die Grössen b" abgeleitet. FB. ROGEL. Eine besondere Gattung goniometrischer stellungen. Hoppe Arch. (2) 15, 431-438. Ist r = 1

,

Nulldar-

0, 1, 2, . . . , so gelten Formeln von der Art: 2 • . 62"-2(2ra—2)!27rt

6a"(2»)!

Wz.

cosv.« "

2

. COSVJ;

(—1)°

~~ 6 2 »-*(2ra— 4)(2ti)* 1 "cos2vj! 22"—2 ~ ^

1 1 ™ cos 3-i«! 3SnM J ,v2a

für 27i(c— D i i N i i u n d

=

FR. BOGEL.

Gattung

Reihen.

Die

Summirung

einer

I

"C

1

f

ü

(2r-\-\)n.

Wz.

trigonometrischer

H o p p e Arch. (2) 1 5 , 255-261.

Dieselben zwei Reihensummationen, welche 0 . Beau in der Programmarbeit Sorau 1893 (s. F. d. M. 2 5 , 39(5) mittelst eines induetiven Verfahrens aus bekannten trigonometrischen Reihen ableitet, gewinnt der Verf. einfacher direct, indem er nach Verbindung der Kreisfnnctionen zu imaginären Exponentialfunetionen statt wiederholter Integration jener Reihen dieselben mit Anwendung bekannter independenter Formeln differentiirt. Die Resultate stimmen dann mit den Formeln (31), (32), (39), (122) der citirten Arbeit überein. H. P. APPELL. nomes

Développement en séries trigonometriques des poly-

de M.

Sind P0, Pv Eigenschaften Pa =

Léauté.

Nouv. Ann. (3) 16, 265-268.

P2, ..., Pn Polynome ratc" Grades von x, welche die

1,

=

,

Ç P„Jx =

0

(»>

1)

—h

haben, so ist h-'" (

7xx

1

Inx

t

1

^^^ 37xx

\

V. Abschnitt.

234

(

L2m+1

Reiben.

. 71X

s , n

T

~hk Znx 32m+l

\

Sin

Wz.

E . D. ROE. N o t e OD i n t e g r a l a n d i n t e g r o - g e o m e t r i c s e r i e s . of Matb. 11, 184-194.

Der Coefficient von

Annals

in der Entwickelung von ( e ? — l ) r

. Ar+P

.i-p

(A-p)! ' p=0 er genügt der Gleichung ist eine rationale ganze Function > ,ten Grades vona A und k a n n F o r m gebracht werden: |A—(r+1)

A — 2(ì--H1)

2!

ist

auf

die

A —A(j-4-1) ( A + l )!

3! A—1—0

A - l

2!

A!

0

A—!

0

0

1 Setzt man = =

A'/•(«),

so

f(x+r)

=

ist

f(x+n)

Z C-A'/O) = r=0

ur—ur-[

ur, =

(l-f-A)"/^) =

*

k-r

+

A«,-i,

A^

1

—A'^

- 1

+ Dnf(x).

= D gelten die Gesetze der Addition der bekannten Formel Cnr-\ + Cnr — Für die Summe

=

F ü r das S y m b o l 1 - + - A

und Subtraction; Cn+\r-

die C

genügen

\-f(x-\-ri) ergiebt sich

f(x-\-1)-\ X

1 AripX ~f

*

Kapitel 2. Besondere Reihen. Ist S „ r - , =

l r _ 1 -+-2 r—1 x-\-3r_Ix*

235

H

so ist

¿=0 f=0

—

(— l ) ' C r > ( n — 1 ) ' - 1 . 2=0 »=2+1 (a 0 r" ; + a 1 i , i - , H \-ak)xr für r = l , ...,ra, so -+-

Addirt erhält man

man

j^ol, 1 —¿y

r=o

2=0

1=0 1=1+1

1=0

l)«a-r+i,(»—a+A+1)*-'}. J Wz.

M. LERCH. Remarque élémentaire sur la constante Teixeira J. 13, 129-133. Indem der Verf. von den Gleichungen ausgeht: lim [ V — - logral = n=® L 1

V

d'Enler.

C,

J

wo C die E n l e r ' s e h en=x Constante Ll V und K eineJ andere Constante ist, beweist er eine auf C bezügliche Formel von d e la V a l l é e P o u s s i n (Brüx. S. sc. 2 0 , 65, 1896) und eine ähnliche Formel bezüglich der Constante K, nämlich: 21og2(iT-H C . l o g 2 - | I o g ' 2 ) =

J

C - V - ^ .

N.NIELSEN. Een R a e k k e for E u l e r ' s Konstant. SB, 10-12.

Tx

Nyt. Tidss. for Math.

Mittels elementarer Betrachtungen zeigt der Verf., dass die Eu 1er'sehe Constante durch die Reihe V . V=oc 0=2 —1 C

=

1

~ £

e

J - i ( 2 ç - f - l ) ( 2 f + 2)

ausgedrückt werden kann. E. DE MONTEL.

Sur les lois de l'intérêt.

V. C. R. 124, 224-225.

E. C a t a l a n hatte vorgeschlagen, das Anwachsen eines Kapitals 1 in n Jahren anstatt in der gewohnten Weise, die schliesslich zu unannehmbaren Resultaten führt, nach folgender Formel zu berechnen: 100.,

236

V. Abschnitt.

Reiben.

p ist dabei die nächst grössere ganze Zahl, die durch die Gleichung

bestimmt wird, wo r den Zuwachs des ersten Jahres bedeutet. Da diese Formel zur Lösung mancher finanziellen Probleme noch nicht ausreicht, stellt der Verf. für eine solche Formel folgende Forderungen auf: Das Gesetz des Anwachsens soll so beschaffen sein, dass für hinlänglich kleine Zeiträume der Zuwachs nahe proportional der Zeit bleibt, und dass sein Betrag, selbst für eine unendlich lange Zeit, eine bestimmte Grösse nicht überschreitet. Um dies zu erreichen, wird von der Formel xy-±-ay-\-bx-\-c = 0 Gebrauch gemacht, in der x die Zeit und y den dazugehörigen Wert der Kapitalseinheit bedeutet. Die Constanten werden so bestimmt, dass man den Zinsfuss und das Maximum des Wertes festsetzt und beachtet, dass a-\-c = 0 ist. Ist z. B. der Zinsfuss 4 Procent und der Maximalbetrag 8, so wird diese Gleichung xy + 1 7 4 y — 8 x — 1 7 4 = 0. Diese Methode wird auch auf die Berechnung von Renten und auf die Aufnahme von Anleihen ausgedehnt. Bö. A. PALMSTRÖM. Quelques propriétés des solutions de certaines équations indéterminées de deuxième degré. Bergens Museums Aarbog 1896, No. XIV, 11 S. 8°. Der Verf. beweist einige Eigenschaften der Lösungen der unbestimmten Gleichung ( a - f - 2 ) , « ' — ( a — 2)»(20/

( B )

(i+y+y)%>

— 00

die nte abgeleitete Function bedeutet. Der Verf., welcher sich wo immer einer Ausdrucksweise bedient, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung entlehnt ist, spricht diesen Satz in der Weise aus: A " / ( < ) ist dem Mittelwerte von ein Fehler ist, welcher dem Fehlergesetze Fn(y)

gleich, wenn y unterworfen ist.

V.

E. G. GALLOP. Change of the independent variable in a differential coefficient. Cambr. Trans. 16, 116-132. Es seien y und u Functionen der unabhängigen Variable x.

Das

dnu vom Verf. behandelte Problem ist dieses: -— auszudrücken durch dy

Kapitel 2.

Differentialrechnung.

247

..., . Die Formel des Verf. (Gl. (21) der Arbeit) dx dx 1 dx dx' besteht ans einer Summe von n Termen, deren jeder sich aus den Differentialquotienten ^ , dx

...,

dx

, . . . nach gewissen Regeln zusammen-

setzt; sie wird mit den von anderer Seite gegebenen Formeln ( S c h l ö m i l c h , S y l v e s t e r etc.) in Verbindung gesetzt. A. S.

C. Runge.

Ueber

die Differentiation empirischer Functionen.

Scblömilcb Z. 42, 205-213.

Bei Beobachtungen zeigt es sich oft, dass die benutzten Apparate nicht die eigentlichen zu messenden Functionswerte angeben, sondern Mittelwerte. Die Apparate integriren über ein Intervall, statt den Functionswert selbst zu geben, und gleichen dadurch in der Wirklichkeit vorkommende Schwankungen so weit aus, dass sie nicht mehr wahrgenommen werden. Bierauf beruht z. B. das beschränkte Trennnngsvermogen optischer Apparate. Diese Integration der Apparate lässt sich bis zu einem gewissen Grade durch Rechnung wieder rückgängig machen, welche Reduction der Verf. „Differentiation" der beobachteten Integralwerte nennt, obwohl sich der Begriff nicht ganz mit dem der gewöhnlichen Differentiation deckt. Diese Differentiation führt der Verf. für den besonderen Fall bolometrischer Messungen von Spectren durch. Hau.

Th. Moutabd. Sur les différentielles successives d'une fonction de plusieurs variables, c. R. 124, 603-607. E. Goursat. Sur les différentielles successives d'une fonction de plusieurs variables indépendantes, c. R. 124, 676. Beachtet man, dass die successiven totalen Differentiale einer Function von n unabhängigen Veränderlichen f(xl ,x1 ,...,xn ) homogene Functionen von dxv dx% ,..., dxn sind, und nennt man jedes Systemvon n Functionen, welche, in einem solchen totalen Differentiale an Stelle von dx,, dxt ,..., dxn gesetzt, dieses zum Verschwinden bringen, eine einfache oder mehrfache Lösung dieses Differentials — wobei diese Bezeichnungen in analoger Weise wie in der Theorie der Gleichungen mit mehreren Unbekannten gebraucht sind — , so gelten folgende Sätze: I. Gehört eine Lösung zu n auf einander folgenden Differentialen, so ist sie auch eine Lösung aller höheren Differentiale. II. Lässt ein Differential eine mehrfache Lösung zu, so ist dieselbe auch eine ebenso vielfache Lösung aller folgenden Differentiale. III. Wenn eine Gruppe von m Differentialen, wo « i < n ist, eine gemeinsame zweifache Lösung besitzt, so ist diese auch zweifache Lösung jeder erweiterten Gruppe.

248

VI. Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

IV. Haben zwei auf einander folgende Differentiale einen gemeinsamen Teiler, so enthalten ihn auch alle höheren Differentiale als Factor. V. Enthält ein Differential einen mehrfachen Factor, so ist derselbe, und zwar ebenso oft, auch Factor aller höheren Differentiale. Diese Sätze legen eine Reihe von Problemen nahe, welche mit der Integration gewisser partieller Differentialgleichungen identisch sind. Z. B. es sind alle Functionen zu finden, 1) welche die in I gestellte Bedingung erfüllen; 2 ) bei welchen irgend ein totales Differential eine zweifache Lösung zulässt; 3) für welche eine Gruppe von m auf einander folgenden Differentialen, wo m, < n ist, eine zweifache Lösung zulässt. Diese Sätze nnd Probleme lassen sich im Räume von n Dimensionen geometrisch interpretiren, was Moutard für den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum durchführt. G o u r s a t erinnert aus Anlass dieser Mitteilung M o u t a r d ' s daran, dass er in einer früheren Arbeit aus dem Jahre 1885 die vollständige Lösung des Problems: alle Functionen zu finden, bei welchen zwei auf einander folgende Differentiale einen Factor gemeinsam haben, gegeben und am Schlüsse dieser Arbeit die Sätze IV und V abgeleitet hat (vergl. F. d. M. 17, 245, 1885). Hau. L. HEFFTEB. Ueber gemeinsame Teiler uud gemeinsame Vielfache linearer Differentialausdrücke. Deutsche Math. Ver. 4, 131-132. Der Verf. stellt in dieser Mitteilung eine Reihe von Sätzen über gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache linearer Differentialausdrücke von der Form P { y ) = p 0 y - 1 r - l > \ y ' *rPyV(v) a u i ) i n welchen „die ganze Theorie der zu derselben Klasse gehörigen Differentialgleichungen enthalten ist, wie sie im Anschlüsse an die R i e m a n n ' s e h e Einführung dieses Begriffes von F u c h s entwickelt worden ist." Hau. A. GÜLDBERG.

Sur

la

théorie

des

congruences

différentielles

l i n é a i r e s . Christiania Videnskabsselskabs Skrifter I. M. N. Klasse. No. 10. 93 S. in Imp. 8°.

Die algebraischen Congruenzen sind bekanntlich im Gebiete der Functionen eine directe Verallgemeinerung der arithmetischen Congruenzen; in der vorliegenden Mitteilung wird eine analoge Verallgemeinerung der Theorie der Congruenzen im Gebiete der Differentialrechnung gemacht. Die Betrachtungen knüpfen an einen linearen Differentialausdruck von der Form: Dy =

£

*my

| cn j. Y darzulegen, setzen

Um die Convergenz der Reihe

Ym =

Cxx-\-Cixt

H

wir

xu,

^ y TRu-x

- ^ f " =[/"(>> Aber

Aus

. .., y ^ - i

dieser

— Vt +

W *

sind von 6',,, C ^ + i , . . .

Gleichung

folgt

haben wir, wenn

| f(x,

y)

wir bloss r e e l l e

positive x

die

|
= ip(t"\ eine m-gliedrige Gruppe bilden, „die F u n d a m e n t a l g r u p p e " der Normaldifferentialgleichung. Dies führt darauf, Differentialgleichungen mit Fun-

Kapitel 5.

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

273

damentalgruppe überhaupt in Betracht zu ziehen. Es wird angenommen, dass das allgemeine Integral Y der vorgelegten Differentialgleichung sich durch ein einziges bestimmtes Formelsystem: Y

= 5PG/I> •••>&» y\> •••>3/p°, at,...,am) darstellen lasse, und dass cp auch ein Integral giebt, wenn y^ • yp durch p willkürliche andere ersetzt werden. Die durch Erweiterung gebildete neue Transformation Y' = (pt, . . . , = ) = P.«" fa > «(-«) = P - l • f o i den z,, ...,

du,

• • • > «(«) = P n - * - ^

zn entsprechen, ebenfalls ein Fundamentalsystem.

lir.

L. AUTONNE. Sur l'équation différentielle du premier ordre et sur les singularités de ses intégrales algébriques. J. de lÉc. Pol. (2) 2, 51-169; (2) 3, 1-74.

Kapitel 5.

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

281

Diese Abhandlung tritt ergänzend zu drei früheren über denselben Gegenstand hinzu (F. d. M. 2 3 , 3 2 8 , 1 8 9 1 ; 24, 2 9 5 , 1 8 9 2 ; 2 5 , 5 6 3 , 1893/94). In diesen behandelt der Verf. die Differentialgleichung erster Ordnung H z=ïh(x, y. p) = 0 (p = dyjdx) nach einer geometrischen Methode, indem er jedem der Elemente j, y, p mittels einer gewissen birationalen Transformation einen Punkt des Raumes zuordnet. Der Differentialgleichung II entspricht so eine bestimmte Fläche F, jedem ihrer Integrale eine gewisse Curve G (courbe intégrante) auf dieser Fläche. Auf der Fläche giebt es singulare Punkte, „Nodalpunkte", die dadurch charakterisirt sind, dass durch sie mehr als eine Integrante geht. In der letzten der drei genannten Abhandlungen, die sich allein mit der allgemeinen Gleichung H, wo p in höherem als erstem Grade vorkommt, und mit ihren algebraischen Integralen beschäftigt, waren nur Singularitäten einfachster Art zugelassen. In dem vorliegenden Aufsatze wird die Untersuchung auf eine algebraische Fläche F mit beliebigen Singularitäten ausgedehnt. Zweck derselben ist, eine obere Grenze für den Grad n der algebraischen Integrante G zu bestimmen. Indes wird diese Grenzbestimmang einer späteren Arbeit vorbehalten. Als Vorbereitung hierzu wird hier eine detaillirte Discussion der Singularitäten, die G besitzen kann, gegeben. Analytisch kommt die Frage auf die Entwickelung der algebraischen Integrale der Differentialgleichung in Reihen zurück. In weiterer Ausführung der Entwickelungen in der klassischen Arbeit von B r i o t und B o u q u e t über diesen Gegenstand wird bewiesen, dass jede Singularität von H , soweit es sich um algebraische Integrale handelt, durch eine endliche und begrenzte Anzahl von algebraischen Operationen aufgelöst werden kann, derart, dass nach Ausführung derselben die verschiedenen Reihenentwickelungen getrennt sind. Eine Ausnahme bildet der Fall, dass H = 0 vielfache singulare Integrale besitzt, deren Existenz leicht zu erkennen ist. Die Trennung der Entwickelungen erfordert dann eine zwar immer noch endliche Anzahl von Operationen, deren Grenze aber nach dem angewandten Verfahren sich nicht bestimmen lässt. Das Verfahren, ^figurative Methode" genannt, ist eine Verallgemeinerung der Newton'schcn Methode für die Auflösung der Singularität eines vielfachen Punktes auf einer ebenen algebraischen Curve auf die Fläche. Die zu lösende Aufgabe ist hier: Ein Polynom ip(g, h, t) mit ip(0, 0, 0 ) = 0 sei gegeben; g und h sind Functionen von t, die der Gleichung xp — 0 genügen, von demselben positiven, commensurablen, aber unbekannten Grade sind; es sollen alle Gruppirungen von Gliedern niedrigsten Grades gebildet werden. Der zweite Teil der Arbeit enthält verschiedene Beispiele, bei denen die vorhergehenden Methoden auf relativ einfache Singularitäten von F angewandt werden. Hr. M. P e t r o v i t c h . Contribution à la théorie des solutions singulières des équations différentielles du premier ordre. Math. Ann. 6 0 , 103-112. Es sei y = u(x) eine Auflösung der Eliminationsgleichung zwischen

282

VI. Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

der algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung F ( x , y, y') = O und der Gleichung dF/dy' — O in Beziehung auf y\ so kann es eintreten, dass y = u(x) eine Integralcurve V der Gleichung F = O ist, die aber keine Enveloppe der particulären Integralcurven dieser Gleichung darstellt. Zur Entscheidung darüber und zur Auffindung der Curven r , falls sie existiren, wird folgender Weg angegeben. F sei ein irreducibles Polynom in y und >/ von den Graden resp. m und n; so suche man alle gemeinsamen Lösungen der Gleichungen

a"+''-F(*,y.y') m

n

=

0

dy 'dy' > wo »»,—f-M¡ < n ist, falls solche existiren. Wenn y = u(ui) eine Lösung ist, so ist sie die gesuchte Curve T; sie schneidet die particulären Integrale der Gleichung F — O in festen Punkten, die sich mit der Constante der Integration nicht ändern. Es folgen dann Bemerkungen darüber, wie man die Kenntnis der Curve P teils für die vollständige Integration der Gleichung F= 0, teils f ü r die Bestimmung der etwa vorhandenen rationalen oder im allgemeinen meromorphen particularen Integrale derselben verwerten kann. Hr.

G. Chrystal. On the p-discriminant of a differential equation of the first order and on certain points in the general theory of envelopes connected therewith.

Edinb. Trans. 38, 803-824.

Verf. giebt zunächst einige bekannte Sätze über die singulären Lüsuugen von Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Berechnung durch die übliche Discriminantenbildung wieder, z. B. den Satz, dass die durch die Discriminante dargestellte Curve im allgemeinsten Falle keine Enveloppe, sondern ein Ort von Spitzen des Integralcurveusystems ist etc. Zweck der Arbeit ist es, diese Sätze in einer Reihe durchgeführter Beispiele zu beleuchten. A. S.

H. Dischner. Ein Beispiel für den Zusammenhang des allgemeinen Integrals einer linearen homogenen Differentialgleichung mit einem Fundamentalsystem von Integralen. Pr. (No. 278) Realsch. Erfurt. 15 S. 4°. Verf. giebt in der vorliegenden Arbeit eine etwas mechanische Anwendung der F u c h s ' s e h e n Theorie der linearen homogenen Differentialgleichungen auf eine Gleichung dritter Ordnung mit den singulären Punkten 0, 1, o o , deren Integrale sich überall „regulär" verhalten und nicht mit Logarithmen behaftet sind. Neue Gesichtspunkte sind in der Arbeit nicht enthalten. Wbg.

A. Gutzmer.

Ueber

gewisse

lineare

Differentialgleichungen.

Deutsche Math. Ver. 4, 160-1G1. Es handelt sich um lineare Differentialgleichungen, die durch Ite-

Kapitel 5.

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

283

ration aus einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung entstehen. (Vgl. Prag. Ber. 1 8 9 2 und J. f ü r Math. 115; F. d. M. 2 6 , 3 5 6 , 1 8 9 5 ) . Wbg. A. MACFAELANE. O n a n e w p r i n c i p l e in s o l v i n g c e r t a i n l i n e a r e q u a t i o n s w h i c h o c c u r in m a t h e m a t i c a l p h y s i c s . Amer. Assoc.adv. of science 46, 54-55. Das

„neue Prinzip"

bestellt d a r i n , zur Integration

der

Gleichung

iMt

- ^ - . r = — s i n e o t (R, L, C, w sind Constanten) e statt sinooi dt L L einzuführen. Der Factor von i in der so erhaltenen complexen Lösung ist das Integral der gegebenen Gleichung. Es lautet: x =

C -—yR'-hUCO2

. f Leu \ sin I wt— arctg I• V R )

Ilr.

W . A . ANISSIMOW. Berichtigung. Sitzungsber. Warsch. Naturwiss.Ges. Abt. Phys. u. Chemie. 8, No. 2. (Russisch.) Berichtigung 2 7 , 2 5 8 , 189G). figuriren.

zu der Abhandlung desselben Verfassers ( F . d. M. Die Functionen xp (c) dürfen nicht in dem Integrale Si.

R. GUIMAKÀES. S o b r e o i n t e g r a l d e u m a e q u a ç â o n o t a v e l . da Acad. das Sciencias de Lisboa. Der Artikel giebt ein Verfahren gleichung confocaler Kegelschnitte.

zur Integration

Jornal

der DifferentialTx. (Lp.)

AUGUST KKAÜSE. l i e b e r F u c h s ' s c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n v i e r t e n G r a d e s . Diss. Berlin: Mayer & Müller. 58 S. gr. 8°. Die algebraischen Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen, sind zum ersten Mal von F u c h s (Beri. Ber. 1 8 8 4 ; F. d. M. 1 6 , 2 4 8 ) betrachtet worden. In der A b h a n d l u n g : Sur un théorème de M. F u c h s (Acta Math. 7; F. d. M. 1 7 , 2 7 9 , 1 8 8 5 ) fügte später P o i n c a r é wichtige Bemerkungen über den Charakter der Differentialgleichungen der erwähnten Art hinzu. Angeregt von diesen Untersuchungen, hat sich W a l l e n b e r g (Schlömilch Z. 3 5 ; F. d. M. 2 2 , 3 2 7 , 1 8 9 0 ) insbesondere mit dem Studium derjenigen Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten beschäftigt, welche die Ableitung bis zum dritten Grade enthalten. Im Anschluss daran behandelt der Verf. speciell die Differentialgleichungen erster Ordnung und vom vierten Grade in der Ableitung mit festen Verzweigungspunkten ; sie werden nach dem Vorgange von W a l l e n b e r g „ F u c h s ' s c h e " genannt. Bei der Discussion finden die mannigfachen, in der W a l l e n b e r g ' s c h e n Arbeit eingeführten sinnreichen Methoden, durch die gewisse Schwierigkeiten geschickt umgangen werden, erfolgreiche Verwendung. Die be-

284

VI. Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

handelten Differentialgleichungen haben die Formen: =

O»

3 =

°>

wo die ip ganze rationale Functionen von y und von der Unabhängigen z sind. Die entsprechenden Gleichungen mt"' Grades lassen sich, wie der Verf. bemerkt, in gleicher Weise wie die obigen behandeln. Ilr. Sur un procédé d'intégration graphique des équations différentielles, c. R. 124, 1081-1084.

M . PETROVITCH.

Ein prismatischer Körper taucht in ein mit Quecksilber gefülltes Gefäss, das zugleich durch eine Oeffnung im Boden ausflicsst. Die Aenderung des Niveaus des Quecksilbers hängt von der Art der Einsenkung des Körpers ab. Die Construction des Apparats gestattet, die Tiefe der Einsendung nach einer beliebig vorgegebenen Function f(t) der Zeit zu reguliren und gleichzeitig die veränderliche Höhe y des Quecksilberniveaus zu registriren. Man erhält so die graphische Integration aller Gleichungen von der Form

a ist der constante Querschnitt des Körpers, e

t

Gleiaufge-

> e3 alle drei

2 m.

a„1p'"u+am_1p'"-,w-| e,)(pu—e.J

2)

und z w e i dem ähnliche II.

n

ungerade =

1- « 0

|nm

,p"'"]u

p'u

H

(¿w+1

an

Zahl),

h

n an Z a h l ) ,

Typen. 2 m — 1.

yptt-eja,,,-! f - ' H

und zwei dem ähnliche 2)

der

reelle positive W e r t e von

sind:

1)

1)

behandelt,

eine Differential-

Hr.

chung in endlicher Form reell

genügen-

beide v o m

besondere Fall

L . CRAWFORD. On the factors of the solutions in L a m e ' s e q u a t i o n , d'U/du' = U \n(n-\-\)pu-\-B\. 196-201.

stellt.

(1)

auftreten.

x betrachtet.

Es

im

von

Dadurch wird alsdann die

¿r^i-^-1

wird

gleichung mit reellen Coefficienten wird, dieser Gleichung

lässt.

wird

der ganzen transcendenten Func-

die Functionen

Zum Schluss

dass A, und A 3 conjugirt c o m p l e x reellen Integrale

übersehen

ermöglicht, die in den der Gleichung ( 1 )

Integralausdrücken

Hierbei

oo

enthaltenen £ntwickelungen

h«0|

an

Zahl),

Q ( n — 1 ) an

Zahl).

Typen.

{a,„_2Pm_2M H

\-aa\x

288

VI. Abschnitt. Differential- and Integralrechnung.

Die Typen 1(1) und 11(1) werden dann weiter in Beziehung auf ihre Factoren untersucht, und es wird gezeigt, dass im ersten Fall die Lösung in das Product

ü = (pu—at)

(pu—a,)

...

(pu — a,,,),

im zweiten Fall in

ü = ]/pu—el

{(pu—at)

. .. (pu — am_,)}

zerlegbar ist, wo in beiden Fällen die a alle reell von einander verschieden sind und zwischen