Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 4 Jahrgang 1872 [Reprint 2020 ed.] 9783112357484, 9783112357477

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern herausgegeben von

Carl Ohrtmann, Felix Mttller, Albert Wangerin.

Vierter Band. Jahrgang

1872.

Berlin. Druck uud V e r l a g von G e o r g

1875.

Reimer.

Erklärung der Citate.

Bine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu der der Band gehört. Allpr. Monataschr.: Altpreussische Monatsschrift. Der neuen preussischeu Provinzialblätter vierte F o l g e . Herausgegeben von R. Reiche und E. Wiecbert. Königsberg i. l'r. 8. " Ann. de Belg.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. 12. Ann. de VÉc. Norm,.: Annales scientifiques de l'école normale supérieure publiées sous les auspices du ministre de l'instructiou publique par Mr. L e Pasteur. Paris. 4. Ann. d. Mines: Annales des Mines. Paris. 8. Ann. d. P. et Ch.: Annales des Ponts et des Chaussées. Paris. 8. Ann. d. R. M. T. d. Torino: Annali delle Reale Museo Industriale di T o rino. Torino. Ann. d. Vn. Tose.: Annali delle Università Toscane. Pisa. Arr.h. Néerl.: Archives Néerlandaises des sciences exaetes et, naturelles, publiées par la Société Hollaudaise dea Sciences à Harlem. L a Haye. 8. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A . P . Peters. Altona. 4. Asti-. Viert.: Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft herausgegeben von 0. Bruhns. L e i p z i g . 8. Alt. d. Acc. P. d. N. Line.: Atti della Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei. Roma. Att. d. Acc. R. d. Line.: Atti della Accademia Reale dei Lincei. Roma Att. d. R. Ist. Fera.: Atti del Reale Istituto V e n e t o di scienze, lettere ed arti. Vinezia. Alt. d. Torino: A t t i della Reale Accademia delle scienze di Torino. Torino. Battaglini G. : Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicata per cura del P r o f . G. Battaglini. ìfapoli. gr. 8. Her. d. Böhm. V. : Bericht des Vereins Böhmischer Mathematiker. Prag. 8. Beri. Abh.: Mathematisch - physikalische Abhandlungen der K g l . Preussisclien Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4. Beri. Monatsber.: Monatsberichte der K g l . Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8. Boncompagni Bull.: Bulletino di Bibliografia e di Storia delle scienze matematiche e fisiche .pubblicata da B. Boncompagni. Roma. 4. Borchardt J. : Journal für reine und angewandte Mathematik. A l s Fortsetzung des von A . Ii. Grelle gegründeten Journals, herausgegeben unter Mitwirkung der Herren Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von G. W . Borchardt. Berlin. 4. A*

IV

E r k l ä r u n g der Citate.

Brioschi Ann. : Annali di M a t e m a t i c a p u r a ed a p p l i c a t a diretti da F . Brioschi e L . Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma da P r o f . Tortoli ni. Milano. 4Bull, de Belg.: Bulletin de l ' A c a d é m i e Royale des s c i e n c e s , des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles 8 Bull, de Moscou.: Bulletin de la Société Impériale des N a t u r a l i s t e s de Moscou. Moscou, 8. Bull, de St. Pét.: Bulletin de l ' A c a d é m i e Impériale de St. P é t e r s b o u r g . Pe'terebourg et Leipzig. Folio. Carl Repert.: Repertorium fïir E x p é r i m e n t a l - P h y s i k h e r a u s g e g e b e n von Dr. Pli. Carl. München, gr. 8 Casopis: Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und P h y s i k , redigirt mit besonderer Rücksicht anf S t u d i r e n d e der Mittel- und H o c h s c h u l e n von F . J . Studnieka, herausgegeben vom V e r e i n e b ö h m i s c h e r M a t h e m a t i k e r in P r a g . P r a g . 8. Clebsch Ann.: Mathematische Annalen h e r a u s g e g e b e n von A. Clebsch und C. Neumann. Leipzig. 8. C. R.: Comptes Rendus h e b d o m a d a i r e s des s é a n c e s de l ' A c a d é m i e B ü 7 7 8 8 8 9 10 10 10 10 10 11 11 11 12 12

VIII

Inhal tsverzeichuiss.

R P e i n l i c h . Die steirischen Landschaftsmathematiker . . . J . N e w t o n . Mathematische Principien der Naturlehre A. I). W a c k e r b a r t h . Hyperbolic and Napierian logarithms K. D u b o i s . Logarithmes hyperboliques et néperiens J . W. L . G l a i s h e r . On errors in Vlacq's table often-figure logarithms F . v. K o b e l l . Babbage B. de H a a n , B. B o n c o m p a g n i . Meindert Semeijns M. C a n t o r . Die Familie Fagnano J . S c l o p i s . Lettera di Lagrange M. 0 an toi-. Biirmann F . v. K o b e l l , A. Q u e t e le t. Herschel A. C l e b s c h . J . Plücker 0 . N e u m a n n . Zum Andenken an R. F . A. Clebsch E . B e l t r a m i . A. Clebsch L . C r e m o n a . Commemorazione di A. Clebsch B . B ö r n s t e i n . Nachruf an A. Clebsch A. S t i a t t e s i . Vita c lavori del P . G. Antonelli B. B o n c o m p a g n i . Intoruo ad un' opéra dell' Abbate L de La-Caillo L. d e F o u r c y , J . B e r t r a n d , C o m b e s , V . P u i s e u x . Sur Lamé F . v. K o b e l l , H e e l Nekrolog von F . M. Schwerd J . C. J a m i n . Discours aux funérailles de Duhamel M. C u r t z e . Vie de J . A. Grunert F a y e , V. P u i s e u x , D u b a r é e , Y . V i l l a r c e a u . Discours aux funérailles de Delaunay L . F . M e n a b r e a . Intorno ad uno scritto del Prof. Genocchi . . . A. G e n o c c h i . Intorno ad nna lettera del Conte Menabrea . . . . H. S u t e r . Geschichte der mathematischen Wissenschaften, nebst Kecension von H. Hankel P. R i c c a r d i . Biblioteca matematica Italiana M. de T i l l y . Rapport séculaire sur les travaux mathématiques de Belgique S. G ü n t h e r . Beiträge zur iCrtindungsgeschichte der Kettenbrüche . W . K a r u p . Handbuch der Lebensversicherung F . K l e i n . Ueber „Chasles, Rapport sur les progrès de la géométrie" f F . H o z a . Geschichte der Trochoiderç J . W. L . G1 a i s h e r. Remarks on the calcnlatiou of n K. H i p p a u f . Problem der Trisection mittelst der Conchoido . . . F . Z ö l l n e r . Zur Geschichte des Horizontalpendels

i (1 + *) ( l - H O ( « + » ) = ! ( t - x ) ( f - y ) ( < - * ) ,

Capitel 2.

Theorie der Formen.

47

zeige, däss nur ein einziges System von Wertben xyzt Gleichungen genügt und finde die Lösung. Man erhält: iJ u< 8

x = (i+j + k + l) —•——rr?—k~

- -

w

diesen

-

und sieht leicht, dass a + y + » + i = » + > + * + *•

J . WOLSTÉNHOLME.

Solution of question

3528.

Educ. Tim.

x v n . 24-25.

Wenn w = (1 —®2) = a;,(l — x j = ••• = xn (1 — av+i) = x„+l (1— 0,

«4

o, 1,

0,

0,

o 0 1

—

(n-^-a

0 0 0

•(« + «„)» »3

0,

0

.

— C« + a r _,),

Qr

«r

Durch eine Reihe von Determinanten-Transformationen erhält man das Resultat n(Pr Pr +

+

Qr)

» +

=

«i

nQr

«.

+i ' . •. -f n-A-a "+"'-1 «r-l

Ist dann S'

=

n-\-a r ' «r+l

«4-a,

» + «2 6*

III. Abschnitt.

84 so folgt für r =

Zahlentheorie.

oo fi,=

i»(S+l) S+ n

Diese Relation ward von Euler auf inductorischem Wege gewonnen. Geht man alsdann von dem allgemeineren Kettenbruche

ß

'

+ U T +

-.

aus und wendet ganz analog einige einfache Determinantensätze an, so gelangt man zu dem Resultate. (

d

t.

i

b

'

Es ist

»,» b'

_ ~

d_ S + d—bl d^ S + rf-f 6, 2 ' S + d + 6, ' 2 ' S + d — bt

_ ~

jrf 4

'

Ist allgemein br = 2r + l , d eine grade ganze Zahl, so erhält man mit höchst einfachen Mitteln jenes Wallis'sche Theorem

-

(4)'.

welches jener Mathematiker bekanntlich nur auf sehr mühsame Art indirect beweisen konnte.

Für d = 2 geht der erste Ketten-

bruch in den bekannten Brouncker'schen über: 1 +

T + -§-

4. 2

n

'

Herr Bauer verallgemeinert das erlangte Resultat und stellt zum Schluss folgenden neuen Satz auf: Das Product der beiden Kettenbrüche g+ b+ c

Capitel 2.

Theorie der Formen und Ketteubriiche.

85

und 9-Cb+c)

2

+ — - r

, (b + h)tc + h)

hat stets den Werth Der Beweis dieses Lehrsatzes, sei es durch die Hülfsmittel der älteren Analysis, sei es mit Benutzung des Multiplicationssatzes der Determinanten, dürfte bedeutende Schwierigkeiten darbieten. Gr.

Vierter Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. C.

MOREAU.

Sur les permutations circulaires distinctes.

Nouv. Ann. (2) XI. 309-314.

Die Anzahl der circularen Permutationen, d. h. der nach Verwerfung der cyklischen Verschiebungen übrigbleibenden, von S Elementen ist im allgemeinen gleich der Anzahl aller Permutationen dividirt durch S. Eine Ausnahme tritt nur ein, wenn einzelne Permutationen in congruente Gruppen zerfallen, die bei cyklischer Verschiebung mehrmals zur Deckung gelangen; dies findet statt, wenn alle Anzahlen gleicher Elemente einen gemeinsamen Factor haben. Zur allgemeinen Lösung wendet der Verfasser die Coefficienten der Taylor'schen Reihenentwickelung einer Function mehrerer Variabein an und gelangt zu folgendem Ausdruck:

Hier ist ö ein beliebiger Divisor des grössten gemeinsamen Factors d aller Anzahlen gleicher Elemente, der in Primfactoren zerlegt lautet: d =

Pl*.

p**...pln».

Die Summe erstreckt sich Uber alle möglichen Werthe von ö.

IY. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

87

Ferner ist

und drttckt aus, wie viele relative Primzahlen zu 3 kleiner als c3 es giebt. Endlich bezeichnet der Ausdruck

£ (I)' = * (4)' (4)' ' wo A, B, ... L die Anzahlen gleicher Elemente bedeuten, die Anzahl der geradlinigen Permutationen von -y Elementen; und P¡ die gesuchte Anzahl der circularen Permutationen aller Elemente. H. C.

MOREAU. XI. 131-132.

Solution de la question 4 4 4 .

Nouv, Ann. (2)

Wenn man aus jeder von n Urnen, deren jede die m ersten Zahlen enthält, eine Zahl zieht, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gezogenen Zahlen 1) = k wird: P" = ¿T - cn Cï-U + Cl CTU. Itv und ' dass sie 2) zwischen k und k-\-1 liegt, Pk>*

=

^ñ f(Ck+l—c*-l)

C* i^k^l-m—

+ Cl (Ct+j_2„, —

J . GROLOUS.

Études sur les nombres,

— • •)

I_m) ]. Pr. inst. XL. 253—254.

Siehe Abschn. V. Cap. 2. M. REISS. Évaluation du nombre de combinaisons desquelles les 28 dés d'un jeu du Domino sont susceptibles d'après la règle de ce jeu. Brioschi Ann. (2) Y. 90-i2ojächluss der Arbeit, über welche Bd. III. p. 80 referirt worden ist.

88 P.

IV. Abschnitt;

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

VOLPICELLI. Soluzione completa e generale, mediante la geometria di situazione, del problema relativo alle corse del cavallo sopra qualunque scacchiere. Att. d. R. Acc. d. Line. X X V . 87-160, 364-454.

Da die Arbeit noch nicht beendet ist, wird sie im nächsten Bande des Jahrbuchs zur Besprechung gelangen. Jg. (0.) Solution complète du problème relatif au cavalier des échecs. C. R. LXXIV. 1099-1102.

P . VOLPICELLI.

Der Verfasser zieht diejenigen Springercurse, bei welchen nur ein Theil des Schachbretts durchlaufen wird, als Lösungen des Problems für diesen Theil mit in Betracht und nennt sie partielle Curse. Die allgemeine Bedingung des Schlusses ist dann, dass jeder fernere Zug auf ein schon betretenes Feld zurückführen würde. Von der eigentlichen Frage jedoch, wann dieser Schluss eintritt, wie viel und welche Curse für das Ganze und für den Theil möglich sind, ist nicht die Rede. Es werden nur einige Folgerungen aus der Symmetrie gezogen, und die einzelnen Züge in Goordinaten tabellarisch dargestellt, ohne alle Rücksicht auf die Bedingung kein Feld zweimal zu besetzen. Verwiesen ist auf einen frühern Aufsatz C. R. XXXI. 314, wo der Verfasser die Basis des Problems entwickelt zu haben erklärt. H. Solution du problème du cavalier au jeu d'échecs par Mr. Volpicelli. Mondes (2) XXVIII. 60-64.

TARRY.

Der Verfasser giebt zunächst einen kurzen Ueberblick über frühere Lösungen des Problems, die sich im „Dictionaire encyclopédique des amusements des sciences" (Paris 1792) zusammengestellt finden. Er setzt speciell die Lösung von Moivre auseinander, bespricht sodann den Versuch einer allgemeinen Lösung von Van der Monde, und wendet sich zu einer Darstellung der Methode, die Volpicelli in einer Abhandlung (siehe C. R. XXXI. p. 314) und einer früheren aus dem Jahre 1852 (ebendaselbst) gegeben. Volpicelli bezeichnet die Felder des Schachbretts durch

I V . Abschnitt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

89

ihre Abscissen und Ordinaten. Es existiren dann 8 Paare von von je 2 Gleichungen, denen die Züge des Springers genügen mUssen. Die Art und Weise der Lösung wird dann an dem Beispiel eines Schachbrettes mit 12 Feldern erläutert. 0. V.

Sur les combinaisons d'un genre particulier qui se rencontrent clans la question sur les livres défectueuses. Mém. de st. Pét. xx. 1871. BOUNIAKOWSKY.

Der Verfasser beschäftigt sich mit folgender Frage: Wenn die Anzahl der unvollständigen Exemplare eines Buches und die Anzahl der in jedem Exemplar fehlenden Blätter bekannt ist, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich daraus eine bestimmte Anzahl vollständiger oder solcher Exemplare zusammensetzen lässt, in denen ein, zwei oder mehr Blätter fehlen. Z. (0.) J.

Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit zusammenhängende bestimmte Integrale. Prag. Abh. (6) V. DIENGEB.

Es wird die Aufgabe gelöst, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die Sumlfte einer Anzahl durch Versuche zu ermittelnder Grössen A zwischen gegebenen Grenzen liege, wenn dieselben einzeln zwischen gegebenen Grenzen liegen und ungleiche Wahrscheinlichkeit haben, die auch von Versuch zu Versuch variiren kann. Die Summe wird als Coefficient einer Reihenentwickelung dargestellt. Ist nämlich F/n) die Wahrscheinlichkeit, dass A bei dem r ,en Versuche den Werth n habe, so drückt der Coefficient von t'HÜJ in dem Froduct (2F1(n)tn = ei@, multiplicirt mit e"" 0 und integrirt zwischen — n und n, so erhält man diesen Coefficienten. Nun hat man noch für m die zwischen

90

IV. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

den gegebenen Grenzen liegenden Zahlen zu setzen und zu summiren; die Summe ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Sind alle Werthe von A gleich wahrscheinlich und für alle Versuche gleich, so geht die gesuchte Grösse über in

wo c+e die verlangten Grenzen der Summe, h+g die bekannten Grenzen von t, fi die Anzahl der Versuche ist. Bei der Auswerthung des Integrals kann man c, f, h, g als ganze Zahlen betrachten, da man in x den gemeinsamen Nenner aufnehmen kann. Auch ist sin ex cos (fih—c) x nur Summe zweier Werthe des ersten Factors, daher reducirt sich das zu Berechnende auf v

und dieses lässt sich in einer endlichen ßeihe darstellen. Hiervon werden besondere Fälle untersucht, und die Werthe einer Anzahl ähnlicher Integralausdrücke abgeleitet. Den gleichen Reihenausdruck gewinnt der Verfasser direct für die genannte Wahrscheinlichkeit auf anderm Wege. Er geht von folgender allgemeineren Betrachtung aus. Die Wahrscheinlichkeit jedes Werthes der positiven Variabein j t^ j • • . in SCI gegeben; das Product der Wahrscheinlichkeiten ist dann die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Stattfindens aller n Werthe; dieses wird mit einer Function der Variabein multiplicirt und dann summirt über alle Werthcombinationen, für welche s = 2t zwischen gegebenen Grenzen liegt. Die Differenzen der Werthe werden als unendlich klein betrachtet, so dass sich die Summe als ein n-faches Integral darstellt. Es handelt sich um Bestimmung von dessen Grenzen. Die Bedingung für s lässt sich einführen durch Substitution von s — f a —... tn für n--- lg(m~l) n • \lg(m) n}1' 0 stets unter einer endlichen Grenze bleibt. Ist Letzteres jedoch nur der Fall, wenn < r ^ 0 genommen wird, dann ist die Reihe, falls alle Glieder positiv sind, divergent." Hr. J . THOMAE.

Bemerkung über Fourier'sche Reihen.

Schlömilch Z. X V I I . 78-82.

Nach derselben Methode, nach welcher Dirichlet (Liouville's J . (1) VII. 1862) den Abel'schen Satz bewiesen hat: „Die Reihe SAnrn convergirt, wenn r gegen 1 convergirt, gegen dieselbe Grenze, wie die Reihe 2 An" beweist der Verfasser folgende Erweiterung: „Ist S (