Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 22 Jahrgang 1890 [Reprint 2020 ed.] 9783112373149, 9783112373132

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet toii

Carl Ohrtmann. Im Verein mit anderen Mathematikern und u n t e r b e s o n d e r e r M i t w i r k u n g der H e r r e n Felix Müller und Albert Wangerin herausgegeben von

Emil Lampe.

Band XXH. Jahrgang

1 8 9 0.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r .

1893.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu welcher der Band gehört. Einige periodische Schriften, in denen nur zuweilen eine vereinzelte mathematische Arbeit erschienen ist, sind in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen worden; das bezügliche Oitat im Texte ist dann in hinreichender Ausführlichkeit gegeben.

Acta Math.: Acta Mathematica. Zeitschrift heransgegeben von G. MittagLeffler. Stockholm. 4». XIII, X I V . Almeida J.: Journal de physique théorique et appliquée. Fondé par J. Ch. d'Almeida et publié par MM. E. Bouty, A . Cornu, E. Mascart, A. Potier. Paris. Au Bureau du Journal de Physique. 8°. (2) I X . American J.: American Journal of Mathematics. Editor S. Newcomb, Associate Editor Th. Craig. Published under the auspices of the Johns Hopkins University. Baltimore. 4°. X I I , XIII. Amst. Versi, en Meded.:

Verslagen

en

Mededeelingen

der

Eoninklijke

Academic van Wetenschappen. Afdeeling Natuurkunde. Amsterdam. (3) V I I . Annali di Mat.: Annali di matematica pura ed applicata diretti dal prof. Francesco Brioschi colla cooperazione dei professori : L . Cremona, E. Beltrami, È. Betti, F. Casorati. Milano. 4°. (2) X V I I I . Annals of Math.: Annals of Mathematics. Ormond Stone, editor. William M. Thornton, associate editor. Office of publication: University of Virginia. B. Westermann and Co. New York. 4°. V. Ann. de Chim. et Phys. : Annales de Chimie et de Physique par MM. Berthelot, Pasteur etc. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (6) X I X , X X , X X I . Ann. eie FÊc. Norm. : Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, publiées etc. par un comité de rédaction composé de MM. les maîtres ae conférences de l'École. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4°. (3) V I I . Arch. f. Art. : Archiv für die Artillerie- und Ingenienr-Officiere des Deutschen Reichsheeres. Redaction: Schröder, Meinardus. Berlin. Mittler u. Sohn. 8°. X C V I I . Arch, for Math, og Naturvid. : Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Kristiania. ë°. X I I I . Arch. Nitri: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem et rédigées par J. Bosscha etc. Harlem. 8°. X X I V . A*

IV

Erklärung der Citate.

-dssoc. Franç.: Association F r a n ç a i s e pour l'avancement des sciences. Compte renda de la 19 m e session (Congrès de Limoges). P a r i ? an secrétariat de l'association et cbez 6 . Masson. 8°. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, b e g r ü n d e t von H . C. Schumacher. Unter Mitwirkung des Vorstandes der Astronomischen Gesellschaft herausg. von A. Krüger. Kiel. 4°. C X X I I , C X X I I I ; No. 2906-2953. Atti dell' Acc. Pont.: A t t i dell' Accademia Fontaniana. Roma. X X . Batt. G. : Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato p e r cura del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8°. XXVIII. Belg. Bull.-. Bulletin de l'Académie Royale des s c i e n c e s , des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. 8°. (3) X I X , XX. Belg. Mém.: Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Collection in 4°. Bruxelles. F. Hayez. Belg. Mém. S. É.: Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beauxarts de Belgique. Bruxelles. F. Hayez. 4°. Beri. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1890. Beri. Phys. Oes. Verh.: Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin. Berlin. G. Reimer. 8°. IX. Besso Per. mat.: Periodico di matematica per l'insegnamento secondario. Roma. 8°. V. Bibì. Math.: Bibliotheca Mathematica, herausgegeben von Gustaf Eneströro. Stockholm. (2) IV. Böhlen Mitt.: Mathematisch - naturwissenschaftliche Mitteilungen, herausgegeben von Dr. O. Böklen. Tübingen. F r . Fues. 8°. III. Bologna Mera.: Memorie della R. A c c a d e m i a delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4°. (4) X, (5) I. Bologna Rend.: Rendiconto delle sessioni dell' A c c a d e m i a delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 8°. 1889-90. Bordeaux Mém.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Bordeaux. P a r i s . 8®. (3) V. Brit. Ass. Rep.: R e p o r t of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 8°. Brüx. S. se.: Annales de la Société scientifique de Bruxelles. Bruxelles. F . Hayez. (Doppelt paginirt, unterschieden durch A und B.). X I V . Cambr. Proc.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. V I I . Cambr. Trans.: T r a n s a c t i o n s of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. Oasop.-. Casopis; Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vom V e r e i n e böhmischer Mathematiker in P r a g . P r a g . 8°. (Böhmisch.) X I X . Centralbl. der Bauverw.: Centralblatt der Bauverwaltung. Herausgegeben im Ministerium der öffentlichen A r b e i t e n . Redacteure 0 . Sarrazin und O. Hossfeld. Berlin. E r n s t u. Sohn. 4°. X . Charkow Ges.: Sammlung der Mitteilungen und Protokolle der mathematischen Gesellschaft in Charkow. (Russisch.) (2) I, I I .

Erklärung der Citate.

Y

Civüing. : Der CiviliDgenieur. Organ des sächsischen Ingenieur- nnd Architekten-Vereins. Unter Mitwirkung etc. herausgegeben von Dr. E. Hartig. Leipzig. Arthur Felix. 4°. (2) XXXVI. Colorado Studies: Colorado College Studies. Papers read before the Colorado College scientific Society. Colorado Springs. 8°. I. C. B.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4°. CX, CXI. Darboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques, rédigé par MM. G. Darbouz et J. Tanner; avec la collaböration de MM. Ândré, Battaglini etc. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (2) XIV. Delft Ann. d. l'Éc. Polyt.: Annales de l'École Polytechnique de Delft. Leiden. B. J. Brill. VI. Deutsche Bauztg.: Deutsche Bauzeitung. Verkündigungsblatt des Verbandes deutscher Architekten- und Ingenieurvereine. Redacteure K. E. 0 . Fritsch und B. W. Büsing. Berlin. E. Toeche. XXIV. Dublin Proc.: Proceedings of the Royal Irish Academy. Dublin. Dublin Trans. : Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. XXIX. Edinb. M. S. Proc.: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 8°. VIII. Edinb. Proc.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8°. XVIII. Edinb. Trams.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 4°. XXXVI. Ed. Times: Mathematical questions, with their solutions from the „Educational Times" with many papers and solutions not published in the „Educational Times." Edited by W. J. C. Miller. London. 8°. Francis Hodgson. LH, LIII. Exner Rep. : Repertorium der Physik, herausgegeben von Exner. München und Leipzig, gr. 8°. XXVI. Génie civil: Le Génie civil. Revue générale hebdomadaire des industries françaises et étrangères. Paris. XVII. Gött. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Göttingen. 4°. XXXVI. Gött. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Göttingen. 8°. 1890. Hamb. Mitt.: Mitteilungen der Hamburger Mathematischen Gesellschaft. Hamburg. 8°. II. Hamnov. Zeitschr.-. Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, redigirt von Keck. Hannover. Schmorl u. Seefeld. 4°. XXXVI. Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J . C. V. Hoffmann. Leipzig. Teubner. 8°. XXI. Hoppe Arch.: Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten, gegründet von J. A. Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Leipzig. Ç. A. Koch. 8°. (2) VIII, IX. Japan Joum.: Journal of the college of science, imperial university, Japan. Published by the university. . Tokyo. 4°. J. de l'Éc. Pol.: Journal de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4°. Cah. LX. J. de Math, élém.: Journal de Mathématiques élémentaires à l'usage de tous les candidats aux écoles du Gouvernement et dès aspirants au baccalauréat ès sciences, publié sous la direction de MM. de Longchamps, Lucien Lévy. Paris. Delagrave. 8°. (3) IV.

VI

Erklärung der Citate.

J. de Math. spéc. : Journal de Mathématiques spéciales à l'usage des canditats aux Ecoles Polytechnique, Normale et Centrale, publié sous la direction de MM. de Longchamps, Lucien Lévy. Paris. Delagrave. 8°. (3) IV. J. /är Math.: Journal für die reine und angewandte Mathematik. In zwanglosen Heften. Herausgegeben unter Mitwirkung etc. von L. Kronecker. Berlin. G. Reimer. 4». OV1, CVII. Jordan Z. f . V. : Zeitschrift für Vermessungswesen. Organ des deutschen Geometervereins. Unter Mitwirkung von C. Steppes und R. Gerke herausgegeben von W. Jordan. Stuttgart. 8°. XIX. Journ. de Math.: Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J. Liouville. Publié par 0. Jordan avec la collaboration de G. Halphen, M. Lévy, A. Mannheim, Ê. Picard, H. Poincaré, H. Resal. Paris. 4°. (4) VI. Kasan Ber.: Sitzungsberichte der mathematischen Section des Naturforschenden Vereins zu Kasan. (Russisch.) VIII. Kasan Ges.: Sammlung der Mitteilungen der physikalisch-mathematischen Gesellschaft zu Kasan. (Russisch.) VII, VIII. Krak. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch - naturwissenschaftlichen Section der Krakauer Akademie. Krakau. (Polnisch.) XX. Krak. Denkschr.: Denkschriften der Krakauer Akademie der Wissenschaften. Krakau. (Polnisch.) XVII. Leipz. Abh. : Abhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch - physische Klasse. Leipzig. 4°. Leipz. Ber.: Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch - physische Klasse. Leipzig. 8°. XLII. Leopold. Akad.: Verhandlungen der Kais. Leopoldinisch - Carolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. Halle, gr. 4°. LV. Liège Mim.: Mémoires de la Société Royale des sciences de Liège. Bruxelles. Hayez; Paris. Roret. (2) V. Lisboa Jom.: Jornal de Sciencias Mathematicas, Physicas e Naturaes publicado sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de Lisboa. Lisboa. Lomb. Ist. Rend.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8°. (-2) XXIII. Lond. M. S. Proc.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. XXI. Lond. Phil. Trans.: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4°. CLXXXI. Lond. R. S. Proc.: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8". XL VII, XL VIII. Manchester Proc.: Memoirs and Proceedings of the literary and philosophical Society of Manchester. Manchester. Math. Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. F. A. Clebsch. Unter Mitwirkung der 'Herren P . Gordan, C. Neumann, K. VonderMühll gegenwärtig herausgegeben von F. Klein, W. Dyck und A. Mayer. Leipzig. Téubner. 8°. XXXV, XXXVI, XXXVII. Mathesîs: Mathesis, Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenne publié par P. Mansion et J. Neuberg. Gand. Hoste ; Paris. Gauthier-Villars et f i l s . 8°. X.

Erklärung der Oliate.

VII

Mém. Sav. Étr.: Mémoires présentés par divers savantB à l'Académie des sciences de r i n s t i t u f d e F r a n c e et imprimés par son ordre. 4°. (2) X X X I . Mess.-. The Messenger of Mathematics. Edited by J . W . L . Glaisher. London and Cambridge. Macmillan and Co. 8°. (2) X I X , X X . Met. Zeitschr.: Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben von der Österreich. Gesellschaft für Meteorologie und der deutschen Meteorol. Gesellschaft, redigirt von J . Hann u. W . K o e p p e n . Berlin, gr. 8°. V I I . Mitt. üb. Art. u. Genie: Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Genie-Wesens. Herausgegeben vom K. K. technischen u. administrativen Militar-Comité. Wien. R. v. Waldheim. 8°. X X I . Modena Mem.: Memorie della Regia Accademia di scienze, lettere ed arti in Modena. Modena. 4°. (2) V I I . Monatsh. f . Math. : Monatshefte für Mathematik und Physik. Mit Unterstützung des hohen K. K. Ministeriums für Cultus und Unterricht herausgegeben von G. v. Esoherich und Em. Weyr. Wien. 8°. I. Mosk. Math. Samml. : Mathematische Sammlung, herausgegeben von der Mathematischen Gesellschaft in Moskau. (Russisch.) X I V , X V . Münch. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite E l a s s e . München. 4°. X V I I . Münch. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie der W i s s e n s c h a f t e n zu München. München. 8®. X X . Napoli Rend.: Rendiconto dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche (Sezione della Società Reale di Napoli). Napoli. 4°. (2) IV. Nature: N a t u r e , a weekly illustrated journal of science. London and New Y o r k . Macmillan and Co. 4°. X L I , X L I I . Natur/. Oes. Bremen: Verhandlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Aerzte. 63. Versammlung zu Bremen 15. - 20. Septbr. 1890. I u. II. Herausg. von 0 . L a s s a r . Leipzig. F . C. W . Vogel. 1891. 8°. Nieuw Archief: Nieuw Archief voor wiskunde uitgegeven door h e t Wiekundig Genootschap. Amsterdam. 8°. X V I I . Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. J o u r n a l des candidats aux Ècoles Polytechoique et N o r m a l e , rédigé par MM. Ch. Brisse et E . Rouché. P a r i s . Gauthier Villars et Fils. 8°. (3) I X . Nuovo Cimento: Il N u o r o Cimento. Giornale fondato per la fisica e la chimica da C. Matteucci e R. Piria, continuato per la fisica esperimentale e matematica da E. Betti e R. Felici. P i s a . Salvioni. gr. 8°. (3) XXVII. Nyt Tidss. for Math.: Nyt Tidsscrift for Mathematik. R e d i g e r e t af P . T . F o l d b e r g og C. Juel. (Abteilung A für elementare, B für höhere Mathematik.) Kjöbenhavn. 8°. I. Odessa Oes.: Denkschriften der mathematischen Abteilung der neurussischen Gesellschaft der Naturforscher. (Russisch.) X, X I . « Padova Atti: Atti della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di P a d o v a . P a d o v a . (2) VI. Palermo Rend.: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo, gr. 8«. I V . Petersb. Abh.: Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. P e t e r s b u r g . St. Petersburg. L X I I . Phil. Mag.: T h e London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and j o u r n a l of science, by Kane, Thomson, Francis. Lopdon. 8°. (5) X X I X , XXX. Phys. Ges. St. Petersb.: Journal der physiko-chemischen Gesellschaft zu St. P e t e r s b u r g . (Russisch.) (2) X X I I .

Vili

Erklärung der Citate.

Phys.-Math. Wiss.: D i e physiko-mathematischen W i s s e n s c h a f t e n . Journal der reinen und angewandten Mathematik, Astronomie und P h y s i k , herausgegeben von W . W.» Bobynin. Moskau. (Russisch.) I X . (1890 ) Pisa Ann.: Annali della Beale Scuola Normale S u p e r i o r e di Pisa. Scienze fisiche e matematiche. P i s a . 8°. Poske Z. : Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht. Unter der besonderen Mitwirkung von E. Mach und B. Schwalbe, herausgegeben von P . P o s k e . Berlin. J . Springer, gr. 8°. III. Pr. = Programmabhandlung, Gymn. = Gymnasium, Realgymn. = Realgymnasium, etc. Prace mat.-fiz.: P r a c e matematyczno-fizyczne. (Mathematische und physikalische Abhandlungen, hrsg. in Warschau von S. Dickstein, W. Gosiewski, E. u. W . Natanson.) gr. 8°. (Polnisch.) II. Prag. Abh.: Abhandlungen der Eönigl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. P r a g . Selbstverlag der Königl. Böhmischen Gesellschaft. 4°. Prag. Ber.: Sitzungsberichte d e r K g l . Böhmischen Gesellschaft der W i s s e n schaften. P r a g . 8°. 1890. Quart. J. : T h e Quarterly J o u r n a l of pure and applied Mathematics. Edited by N. M. FerrerSf A. Cayley, J . W. L . Glaisher, A. R . Forsyth. London. 8". X X I V , X X V . Rev. d'Art.: Revue d'Artillerie paraissant le 15 de chaque mois. Paris. 8°. X X X V , X X X V I . Rev. des Quest. sc.: Revue des Questions scientifiques, publiée par la Société scientifique de Bruxelles. Bruxelles, gr. 8°.' X X V I I , X X V I I I . Rom. Acc. L. Mem.: Memorie della Reale Accademia dei Lincei. Roma, gr. 4°. (4) VI. Rom. Acc. L. Rend.: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Roma 4°. (4) VI. (Zwei Semester, unterschieden als Vii und VI 2 .) Rom. Acc. P. d. N. L.: Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei. Roma. 4». X L I I , X L I I I . Rom. Acc. P. d. N. L. Mem.: Memorie della Pontificia Accademia dei Nuovi Lincei. Roma. 4°. V, V I . Schlomilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Redaction von Schlömilch, K a h l und Cantor. L e i p z i g . Teubner. 8°. X X X V . Hl. A.: Historisch-litterarische Abteilung (besonders paginirt). Schweiz. Bauztg.: Revue Polytechnique; Schweizerische Bauzeitung, Wochenschrift für Bau-, Verkehrs- und Maschinentechnik, Organ des Schweizerischen Ingenieur- und Architekten - Vereins etc. Herausgegeben von Waldner. Silliman J.: T h e American J o u r n a l of science. E d i t o r s : J . D. and E . S. Dana. (3). S. M. F. Bull.: Bulletin de la Société Mathématique de F r a n c e publié par les secrétaires. Paris. 8°. X V I I I . Soc. Philom. Bull: Bulletin de la Société Philomathique de Paris. P a r i s . 8°. (8) II. Stockh. Handl. : Handlingar af Kongl. Svenska V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s . Stockholm. Stockh. Öfv. : ö f v e r s i g t af E o n g l . Svenska V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s F ö r handlingar. Stockholm. Stockh. Vetensk. Bihang: Bihang tili E o n g l . Svenska V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s Handlingar. Stockholm. 8°. X V .

Erklärung der Citate.

IX

Teixeira J.: J o r n a l de Sciencias Mathgmaticaa e Astronomicas publicado pelo Dr F . Gomes Teixeira. Coimbra. 8°. IX, X. Tokio Math. Ges.: Tokyo sugaku butsurigaku kwai kiji (Zeitschrift der Physiko-Mathematischen Gesellschaft in Tokio. Englisch n. Japanisch.) Tokio. 8°. I V . Torino Atti: Atti della Reale Accademia di Torino. Torino. 8°. X X V , X X V I . Torino Mem.: Memorie della Reale Accademia delle scienze di Torino. Torino. 4°. Toulouse Ann.: Annalea de la F a c u l t é des Sciences de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, pnbliées p a r un comité de rédaction composé des professeurs de mathématiques, de pbysique et de chimie de la faculté etc. P a r i s . Gauthier-Villars et Fils. 4°. I V . Toulouse Mém.: Mémoires de l'Académie des sciences, inscriptions et belies lettres de Toulouse. Toulouse. Douladoure-Privat. 8°. Ungar. Ber.: Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Mit Unterstützung der Ung. A k a d . der Wissenscb. und der Eönigl. Ung. naturwissenschaftlichen Gesellschaft hrsg. von Baron R. Eötvös etc. Redig. v. I. Fröhlich. Budapest. 8°. Ven. Ateneo: L ' A t e n e o Veneto. Rivista mensile di scienze, lettere ed arti diretta da A. 8. de Eiriaki e L. Gambari. Venezia. 8°. (14) I, II. Ven. Ist. Atti: Atti del Reale Istituto V e n e t o di scienze, lettere ed arti. Venezia. 8°. (7) I. Ven. Ist. Mem.: Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. 4°. X X I I I . Warsch. Nachr.: Nachrichten der W a r s c h a u e r Universität. Warschau. (Russisch.) Wiedemann Ann. : Annalen der Physik und Chemie. Unter Mitwirkung der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin und insbesondere des Herrn H . v. Helmholtz herausgegeben von G. Wiedemann. L e i p z i g . Barth. 8°. XXXIX, XL, XLI. Wien. Bauztg.: Allgemeine Bauzeitung gegründet von Chr. L. F ö r s t e r . Redigirt unter Mitwirkung etc. von A. Köstlin. Wien. R. v. Waldheim. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen K l a s s e der Eaiserl. Akademie der W i s s e n s c h a f t e n zu Wien. Zweite A b teilung. Wien. 8°. X C I X . Wien. Denkschr.: Denkschriften der Eaiserl. A k a d e m i e der Wissenschaften in W i e n . Mathematisch-naturwissenschaftliche E l a s s e . Wien. 4°. L V I I . Woehenschr. f . Astr.: Wochenschrift für Astronomie, Meteorologie und Geographie. Redigirt von Hermann J . Klein. Halle. H. W . Schmidt. 8°. (2) X X X I - X X X I I I . W. Oestr. Ing. u. Arch.: Wochenschrift des Oesterreichischen Ingenieurund Architekten-Vereins. Redacteur P . E o r t z . Wien. 4°. Wolf Z.: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8°. X X X V . Z. dtsch. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, herausgegeben von T h . P e t e r s . J . Springer. Berlin. 4°. X X X I V . Z. f . Bauwesen: Zeitschrift für Bauwesen, herausgegeben im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. Redacteure O. Sarrazin u. 0 . Hossfeld. Berlin. E r n s t u. Sohn. 4°. X L . Z. Oestr. Ing. u. Arch.: Zeitschrift des Oesterreicbischen Ingenieur- u. Architekten-Vereins. Redacteur P . E o r t z . Wien. 4°.

Vergleichende Uebersicht der im

Jahrbuche bestehenden Verteilung des Stoffes mit dem „Index du répertoire bibliographique des sciences mathématiques", publié par la commission permanente du répertoire.*) I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie: Klasse V.

1. Capitel. Geschichte: V 2 bis Y10. A. Biographisch-Litterarisches. B. Geschichte einzelner Disciplinen. 2. Capitel. Philosophie und Pädagogik: V I . A. Philosophie. B. Pädagogik: V i a .

II. Abschnitt.

Algebra: Klasse A, B, dann C, D, I, J.

1. Capitel. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.): 122, D 6 j , A2, A3, A 4 . 2. Capitel. Theorie der Formen (Invariantentheorie): C4a, B 4 bis B11. 3. Capitel. Elimination und Substitution. Determinanten, symmetrische Functionen: B3, B2, J 4 , B l , C3, A 3 b , H 1 2 c .

III. Abschnitt.

Höhere und niedere Arithmetik: Klasse A und I.

1. Capitel. Niedere Arithmetik: A l a , A l b , Alc/S, A5a, I I . 2. Capitel. Zahlentheorie: Klasse I. A. Allgemeines: 12 bis 15, 17 bis I I I , 119. B. Theorie der Formen: 112 bis 118, 120 bis 122. 3. Capitel. Kettenbrüche: D2d, D2e, D2f, 123. *) Paris, Gauthier-Villars et Fils, 1893. X I V + 8 0 S . gr.8°. Vergl. den Bericht in F . d. M. X X I . 1889. 2. — Die „Klassen" werden durch grosse lateinische Buchstaben von A bis X bezeichnet, Unterklassen durch angefügte Exponenten, z. B. M3. Die Klassen werden in „Divisionen" geteilt, welche durch arabische Ziffern gekennzeichnet werden; die Divisionen spalten sich in „Sectionen", durch einen kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Endlich können noch „Subsectionen" einen griechischen Buchstaben erhalten. Das Ganze wird durch ein Rechteck eingerahmt: | L ' 3 , b « | . Vergleiche das auf S . X I I I folgende Verzeichnis der Klassen des Répertoire.

Vergleichende Uebersicht.

XI

IV. Abschnitt. W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g u n d Combinationslehre: Klasse J ( J 1 und J 2 ) , Q4b, Q4c. V. Abschnitt. R e i h e n : A u s K l a s s e A, C, D, I. 1. Capitel. Allgemeines: D2a, D2c, C l e , H12d. 2. Capitel. Besondere Reiben: D2b, A l a , A l e , A5b, 125. VI. Abschnitt.

Differential- u n d I n t e g r a l r e c h n u n g : K l a s s e C, E, H, J. 1. Capitel. Allgemeines: C l a , O l . 2-, Capitel. Differentialrechnung. (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima.): O l , 0 4 b , C4c, Cö, O l . 3. Capitel. Integralrechnung: C2a bis 0 2 g . 4. Capitel. Bestimmte Integrale: C2h bis 021, E 2 bis E&, 0 2 a , 0 3 c , 05a, 05b. 5. Capitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen: H l bis H 6 , H12. 6. Capitel. Partielle Differentialgleichungen : H 7 bis H10, J 4 . 7. Capitel. Variationsrechnung: J 3 . V I I . Abschnitt. F u n c t i o n e n t h e o r i e : K l a s s e B, D , E, F , G, I, J. 1. Capitel. Allgemeines: J 5 , H U , B12a, B12f, B12g, D l , D3, D4, D5, D6a, 0 6 . 2. Capitel. Besondere Functionen. A. Elementare Functionen (einschliesslich der Gammafunctionen and der hypergeometrischen Reihen): D6b, D6c, D6d, E l , H5f, H 5g/), 124. B. Elliptische Functionen: F l bis F 8 . C. Hyperelliptische, Abel'scbe and verwandte Functionen: G l bis G 5. D. Engel- und verwandte Functionen: D6e, D6f, D6g, D6h, H5g«, H5i. VIII. Abschnitt.

Reine, elementare und synthetische Geometrie: K l a s s e K bis Q. Frincipien der Geometrie: Q l . Continuitätsbetrachtnngen. (Analysis situs): J l c , K 14b,

1. Capitel. 2. Capitel. K14g, Q3, Q4a. 3. Capitel. Elementare Geometrie. (Planimetrie, Trigonométrie, Stereometrie): E l bis E 5 , E 8 bis E 2 1 . 4. Capitel. Darstellende Geometrie: E 2 2 , E 2 3 . 5. Capitel. Neuere synthetische Geometrie. A. Allgemeines: E 7, M»l, P I , P 2 a . B. Besondere ebene Gebilde: L 1 ! bis L»21, M ' l bis M»8. C. Besondere räumliche Gebilde: L 2 , Ma, M3. D. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen: Q2. E. Abzählende Geometrie: N 4 1, N 4 2.

I X . Abschnitt. A n a l y t i s c h e G e o m e t r i e : K l a s s e K bis Q. 1. Capitel. Allgemeines (Lehrbücher etc.): B12b bis B12e, 16, E 6 . 2. Capitel. Analytische Geometrie der Ebene. A. Allgemeine Theorie der ebenen Curven: C4d, O l , 0 2 . B. Theorie der algebraischen Curven: M ] 1 bis M'4. C. Gerade Linie und Eegelschnitte: L ' l bis L l 21D. Andere specielle Curven : L 1 1 5 , M ' 5 bis M>8, M 4 a bis M4f, M4m. 3. Capitel. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen and Raamcurven: C4d, 0 2 bis 0 6 .

Vergleichende Uebersicht.

XII

B.

Theorie der algebraischen Flächen und Raumcurven: M 2 2, M 2 7a, M 2 8a, MU bis M 3 4, N 4 l e bis N 4 l h .

C.

B a u m g e b i l d e ersteD,

zweiten

und

dritten G r a d e s :

M 2 1,

L-l

bis

L 3 21, M 2 3, M 3 5, N 4 l a bis N 4 l d . D. Andere specielle Raumgebilde: L J 1 6 , M 2 4 bis M 2 9, M3(>, M4g bis M41, M 4 n, 0 6 . E. Gebilde in Bäumen von mehr als drei Dimensionen: Q2. 4. Capitel. Liniengeometrie (Complexe, Strahlensysteme): N ' l b i s N ^ , N 2 1 bis N 2 3, N3, 0 7 . 5. Capitel. Verwandtschaft, eindeutige Transformationen, Abbildungen. A. Verwandtschaft, eindeutige Transformationen, Abbildungen: P I bis P 6 . B. Conforme Abbildung und dergleichen: D5c«, P 3 , P5.

X. Abschnitt.

Mechanik: Klasse R, S.

1. Capitel. Allgemeines (Lehrbücher etc.) 2. Capitel. Kinematik: 0 8 , R l . 3. Capitel. Statik. A. Statik fester Körper: R2, R3, R4, X 4 . B. Hydrostatik: S l . 4. Capitel. Dynamik. A. Dynamik fester Körper: R 6 bis R9, S6. B. Hydrodynamik: S2, S3, S5. 5. Capitel. Potentialtheorie: R5.

XI. Abschnitt.

Mathematische Physik:

Klasse T, U und aus S.

1. Capitel. Molecularphysik, Elasticität und Oapillarität. A. Molecularphysik: T l a , T l b . B. Elasticitätstheorie: T 2 a , T 2 b . C. Capillarität: T l b o . 2. Capitel. Aknstik und Optik. A. Akustik: S5b, T 2 c . B. Theoretische Optik: T 3 b , T3c. C. Geometrische Optik; T'3a. 3. Capitel. Elektricität und Magnetismus: T3c, T 5 , T 6 , T7. 4. Capitel. Wärmelehre. A. Mechanische Wärmetheorie: S4. B. Gastheorie: S4b, S5a. C. Wärmeleitung und Strahlung: T 4 .

XII. Abschnitt. 1. Capitel. 2. Capitel. 3. Capitel. UlOb.

Geodäsie, Astronomie, Meteorologie: Klasse U.

Geodäsie: U10. Astronomie: U 1 bis U6, U9. Mathematische Geographie und Meteorologie:

XIII. Anhang.

X I bis X 8 .

U 7, U 8 ,

Verzeichnis der

Klassen des Repertoire. Analysis. A. Elementare Algebra; Theorie der algebraischen und transcendenten Gleichungen; Galois'sche Gruppen; rationale Bräche; Interpolation. B. Determinanten; lineare Substitutionen; Elimination; algebraische Theorie der Formen; Invarianten und Covariaoten; Quaternionen; Aequipollenzen und complexe Grössen. C. Principien der Differential- und Integralrechnung; analytische Anwendungen ; Quadraturen; vielfache Integrale; FunctioDaldeterminanten; Differentialausdrücke; Differential-Operatoren. D. Allgemeine Theorie der Functionen und ihre Anwendung auf die algebraischen und Kreis-Functionen; unendliche Reihen und Entwickelungen einschliesslich besonders der unendlichen Producte und der unter dem algebraischen Gesichtspunkte betrachteten Kettenbrüche; Bernoulli'sche Zahlen; Kugel- und verwandte Functionen. E. Bestimmte Integrale und insbesondere Euler'sche Integrale. F . Elliptische Functionen nebst ihren Anwendungen. G. Byperelliptische, Abel'sche, Fuchs'sche Functionen. H. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen; Functionalgleichungen; Gleichungen mit endlichen Differenzen; recurrirende Reihen. I. Arithmetik und Zahlentlieorie; unbestimmte Analysis; arithmetische Theorie der Formen und der Eettenbrüche; Ereisteilung; complexe, ideale, transcendente Zahlen. J . Combinatorische Analysis; Wahrscheinlichkeitsrechnung; Variationsrechnung; allgemeine Theorie der Transformationsgruppen [unter Fortlassung der Galois'schen Gruppen (A), der linearen Substitutionsgruppen (B) und der geometrischen Transformationsgruppen (P)]; Theorie der Cantor'schen Mannigfaltigkeiten. Geometrie. E . Elementare Geometrie und Trigonometrie (Erforschung der ans Geraden, E b e n e n , Ereisen und Eugeln gebildeten Figuren); Geometrie des P u n k t e s , der Geraden, der Ebene, des Kreises und der Eugel; darstellende Geometrie; Perspective. L . Kegelschnitte und Oberflächen zweiter Ordnung. M. Algebraische Curven und Oberflächen; specielle transcendente Curven und Oberflächen.

XIV

Verzeichnis der Klassen des Répertoire.

N. Complexe und Congruenzen ; Connexe; Scharen von Cnrven und Oberflächen; abzählende Geometrie. 0 . Infinitesimale Geometrie und kinematische Geometrie; geometrische Anwendungen der Differential- and Integral-Rechnung auf die Theorie der Curven und der Oberflächen ; Quadratur und Rectification; Krümmung; asymptotische, geodätische, Krümmungs-Linien; Flächeninhalte; Rauminhalte; Minimalflächen ; orthogonale Systeme. P . Geometrische Transformationen; Collinearität; Projectivität und Affinität; Corrélation und reciproke Polaren; Inversion; birationale und andere Transformationen. Q. Geometrie, Verschiedenes; n-dimensionale Geometrie; nichteuklidische Geometrie; Analysis situs; Topologie und geometrische Arithmetik.

Angewandte Mathematik. R. Allgemeine Mechanik ; Kinematik ; Statik einschliesslich der Schwerpunkte und Trägheitsmomente; Dynamik; Mechanik der festen Körper; Reibung; Anziehung der EUipsoide. S. Mechanik der Flüssigkeiten; Hydrostatik; Hydrodynamik; Thermodynamik. T. Mathematische Physik; Elasticität; Festigkeit der Materialien; Capillarität; Licht; Wärme; Elektricität. U. Astronomie, Mechanik des Himmels und Geodäsie. V. Philosophie und Geschichte der mathematischen Wissenschaften; Biographie. X. Rechnungsverfahren; Tafeln; Nomographie; graphisches Rechnen; Planimeter; verschiedene Instramente.

Inhaltsverzeichnis. (pie mit einem f versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

E r s t e r Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e l 1. A.

Geschichte.

Biographisch-LitterarischeB.

G. E n e s t r ö m . Sur les bibliographies des sciences mathématiqnes . P. R i c c a r d i . Saggio di una biblioteca matematica italiana del secolo XIX P. R i c c a r d i . De propositione novae Bibliothecae mathematicae italicae seculi XIX G. Y i c n n a . Bibliographie espagnole de l'histoire des mathématiques F. 6 . T e i x e i r a . Sur les écrits d'histoire des mathématiqnes publiés en Portugal H. Su t e r . Bibliographische Notiz über die mathematisch-historischen Studien in der Schweiz G. Y i c n n a . Sur quelques écrits mathématiques publiés en Ëspagne aux 16e et 17« siècles W. B o b y n i n . Russische physiko-mathematische Bibliographie. I . . W. B o b y n i n . Umriss der Geschichte der Entwickelung der physikomathematischen Wissenschaften in Russland f W . B o b y n i n . Umriss der Geschichte der Bntwickelung der mathematischen Wissenschaften im westlichen Europa während der Periode der Aneignung der arabischen Wissenschaft S. D i c k s t e i n . Bibliographische Notiz über die historisch-mathematischen Stndien in Polen J . B i e l i n ski. Mathematische und physikalische Wissenschaften auf der Universität zu Wilna. Bibliographischer Abriss W. W. R o u s e Ball. A history of the study of mathematics at Cambridge F. C a j o r i . The teaching and history of mathematics in the United States S. G ü n t h e r . Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen Mittelalter bis zum Jahre 1525 J . L. H e i b e r g . Beiträge znr Geschichte der Mathematik im Mittelalter +J. K ö s t l i n . Die Baccalaurei und Magistri der Wittenberger philosophischen Facultät 1538—1546 nnd die öffentlichen Disputationen derselben Jahre

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XVI

Inhaltsverzeichnis.

J . H. G r a f . Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften in Bernischen LandeD. III. 2 J . W. L. G l a i s h e r . Mathematica and physics A. E i s e n l o h r . Ein mathematisches Handbach der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) übersetzt und erklärt . . V . B o b y n i n . Sur le procédé employé dans le papyrus de Rhind pour réduire les fractions en quantièmes G. L o r i a . Il periodo aureo della geometria greca Saggio storico P . R i c c a r d i . Saggio di una bibliografia euclidea IY G. W e r t h e i m . Die Arithmetik und die Schrift über Polygonalzahlen des Diophantus von Alexandria M. S t e i n s c h n e i d e r . Ueber die mathematischen Handschriften der amplonianischen Sammlung M. S t e i n s c h n e i d e r . Miscellen zur Geschichte der Mathematik . . G. E n e s t r ö m . Questions 29, 30, 31, 32 M. S t e i n s c h n e i d e r . Ueber eine lateinische Bearbeitung von Zarkali's Saphea M. C u r t z e . Kommentar zu dem „tractatus de numeris datis" des Jordanus Nemorarius, Buch I A. F a v a r o . Intorno ad un trattato anonimo sull' Astrolabio . . . P . R i c c a r d i . Intorno al trattato di Prosdocimo de' Beldomandi sull'Astrolabio M. F i o r i n i . Gerardo Mercatore e le sue carte geografiche . . . . M. F i o r i n i . I globi di Gerardo Mercatore in Italia A. F a v a r o . Bonaventura Cavalieri nello studio di Bologna . . . . f A . F a v a r o . Supplemento al carteggio di Ticone Brahe A. F a v a r o . Ticone Brahe e la Corte di Toscana G. E n e s t r ö m . Om den nya upplagan af Galilei's samlade arbeten . f A . F a v a r o . Rarità bibliografiche Galileiane. I—IY f A . F a v a r o . Intorno alla licenza di stampa del Sidereus Nuncius di Galileo Galilei A. F a v a r o . Serie quinta di scampoli Galileiani G a l i l e o G a l i l e i . Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. 1. u. 2. Tag. Uebers. u. hrsg. von A. von OettingeD A. F a v a r o . De corno y quando el santo officio anuló la prohibicion del sistema copernicano W. L â s k a . Ueber Marcus Marci de Kronland P. T a n n e r y . Sur un opuscule de Desargues C. L e P a i g e . Un astronome belge du X V I I e siècle M. d e l G a i z o . Contributo allo studio della vita e delle opere di Giovanni Alfonso Borrelli Ch. H u y g e n s . Oeuvres complètes de Christiaan Huygens. I I I . . . Ch. H u y g e n s . Abhandlung über das Licht (1678). Hrsg. von E. Lommel G. E n e B t r ö m . Emanuel Svedenborg sàsom matematiker F o u r i e r . Oeuvres publiées par les soins de M. G. Darboux. I I . . R. W o l f . Die von Gauss im Jahre 1815 gehaltenen Vorlesungen über die Elemente der Astronomie C. G. J . J a c o b i . Gesammelte Werke. V. Hrsg. von K, Weierstrass f J a m e s C l e r k M a x w e l l . Scientific papere, edited by W. D. Niven F . F o l i e . . E. Clausius:. sa vie et .ses travaux G. L a i s . Notizie biografiche dell' Ing. Prof. V. de Rossi Re . . . J . L i a g r e . Notice sur Jean Charles Houzean E. P i c a r d . Notice sur la vie et les travaux de G. H. Halphen . . H. P o i n c a r é . Notice sur Halphen f B r i o s c h i . Notice sur la vie et les travaux de G. H. Halphen . .

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Inhaltsverzeichnis.

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E . N. L e g n a z z i . Commemorazione del Prof. Gilberto Govi . . . . 6 . B a s s o . Id commemorazione di Gilberto Govi H . L é a u t é . Notice sur Éd. Phillips G. B a s s o . Giacomo Prescott J o u l e P r o f e s s o r Dr. August Hugo Emsmannf Nachruf für Dr. Uth, Prof. am Realgymn. zu Wiesbaden W . T . L y n n . Lorenzo Respighi H. W e b e r . Paul du Bois-Reymond G. v o n V o i t . Nekrolog auf Paul du Bois-Reymond O. B ö k l e n . Paul du Bois-Reymond G. T o r e l l i . Cenno necrologico di Rubini Raffaele +G. V a n d e r M e n s b r u g g h e . Discours prononcé aux funérailles de Ch. Moutiguy A. S l a b y . John Ericsson und Gustav Adolf Hirn. Gedächtnisrede F . F o l i e . Gustave-Adolphe Hirn M a s c a r t. Notice sur les travaux de M. Hirn A. G. G r e e n h i l l . T h e life and work of G. A. Hirn J . T h i r i o n . L e R. P . Perry A. W a n g e r i n . Otto August Rosenberger F. F o l i e . Ohr.-H. Buys-Ballot Christoforus Heuricus Diedericus Buys Ballot W. v. B e z o l d . Nachruf an Chr. H. D. Buys-Ballot J a m e s Nasmyth B. S c h w a l b e . Nachruf an W . Gallenkamp C. H. F . Petersf F. B r i o s c h i . F . Caaorati. Annuncio necrologico E . d ' O v i d i o . Felice Casorati. Cenno necrologico R. T u c k e r . Alexander John Ellisf f P . D z i w i n s k i . Biographie des Mathematikers Lorenz Zmurko . . N. E. J o u k o f f s k y , P. A. N e k r a s s o f f und P . M. P o k r o f f s k y . L e b e n und Wirken A. J . Dawîdoff's E . A. A n d r e i e f f . W. J . Buniakofifsky. Nekrologische Skizze . . A. W a s s i l i e f f . Wladimir Maximowitsch A. W a s s i l i e f f , G. S c h e b u i e f f und D. G o l d h a m m e r . J . 8. Gromeka. Nekrolog Ch. H e r m i t e . Mathematical teaching at the Sorbonne., 1809—1889 C h . H e r m i t e . Discours prononcé à l'inauguration de la nouvelle Sorbonne +A. C a y l e y . Collected mathematical papers. III, I V H . A . S c h w a r z . Gesammelte mathematische Abhandlungen. 2 Bde. B. Geschichte einzelner Disciplinen. K. L a s s w i t z . Geschichte der Atomistik vom Mittelalter bis Newton. I, II F . C a j o r i . A mathematical textbook of the last century K. F i n k . Kurzer Abriss einer Geschichte der Elementar-Mathematik F . S e e g e r . Geschichtliche Darstellung der Zahlen und der sieben ersten Rechnungsarten. I J . H a m m o n d . Euclid and the associative law S. D i c k s t e i n . Nachtrag zu einem Aufsatz über H o e n e - W r o n s k i J . W . L . G l a i s h e r . T h e method of quarter squares T h . M u i r . T h e theory of determinants in the historical order of its development. I G. E n e s t r ö m . Note historique sur la somme des valeurs inverses des nombres carrés S. D i c k s t e i n . Ueber das „loi suprême" von Hoene-Wronski. I . . H . W. L l o y d T a n n e r . On the history of Arbogast's rule . . . . Fortschr. d. Math. XXII. 3.

B

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XVIII

Inhaltsverzeichnis.

P . M a n s i o n . Sur les postulats et les axiomes d'Euclide P . M a n s i o n . Analyse des recherches da P. Saccheri, S. J., sur le postulatum d'Euclide W . J . J a m e s . The use of the word antiparallel E. M. L a n g l e y . On the use of the word antiparallel J . S. M a c k ay. Historical notes on a geometrical problem and theorem F. R u d i o . Das Problem von der Quadratur des Zirkels M. C a n t o r . Ueber einige Constructionen von Lionardo da Vinci. . R. H. G r a h a m . Newton's influence on modern geometry É. V i g a r i é . Esquisse historique sur la marche du développement de la géométrie du triangle É. V i g a r i é . Sur un ouvrage de Crelle P. M a n s i o n . Crelle ou Brocard E. V i g a r i é . Sur l'origine du mot orthocentre C. L e P a i g e . La formule d'Ozanam est due à Snell E. d e J o n q u i è r e s . Note sur un mémoire de Descartes E. d e J o n q u i è r e s . É c r i t posthume de Descartes sur les polyèdres E. d e J o n q u i è r e s . Note sur l'écrit posthume de Descartes: „De solidorum elementis" E. d e J o n q u i è r e s . Note sur le théorème d'Euler dans la théorie des polyèdres E. de J o n q u i è r e s . Écrit posthume de Descartes intitulé „de solidorum elementis" A. v o n B r a u n m ü h l . Notiz über die ersten Eegelscbnittzirkel . . . S. D i c k s t e i n . Hoene-Wronski's Phoronomie A. K i e l . Geschichte der absoluten Masseinheiten f G . K a r s t e n . Die internationale General-Conferenz für Mass und Gewicht in Paris 1889. Rectoratsrede O. R ü t h n i c k . Darstellung der Entwickelung der Gesetze des Stosses von Cartesius an D w e l s h a u v e r s - Dery. Sur une notice biographique relative à G. A. Hirn N o b l e . Mechanical science B e r t h e l o t . Sur l'histoire de la balance hydrostatique E. L a m p e . Litterarische Notiz über den Körper grösster Anziehung E. W i e d e m a n n . Zur Geschichte der Brennspiegel E. W i e d e m a n n . Zur Geschichte der Lehre vom Sehen E. W i e d e m a n n . Ueber das Sehen durch eine Kugel bei den Arabern B. G ü h n e . Abriss der Geschichte der Elektricität R. W o l f . Bandbuch der Astronomie. 1. Halbbd J . O p p e r t . Un annuaire astronomique chaldéen, utilisé par Ptolémée W. M. P a g e . New light from solar eclipses W. E. P l u m m e r . T h e eclipse of Thaïes . . . • J . D. L u c a s . L'astronomie à Babylone f F r i e d r . M ü l l e r . Die Chronologie des Simeon Sanglàwâjâ. . . . . •¡•A. K r a e m e r . De Manilii qui fertur astronomicis S. H . B a r b e r e n a . Tratado elemental del calendario musulmán . • f H u e s ' s Treatise on the globes (1592) A. Br eu s i n g . Die nautischen Instrumente bis zur Erfindung des Spiegelsextanten S. G ü n t h e r . Die erste Anwendung des Jakobsstabes zur geographischen Ortsbestimmung J . T h i r i o n . L'astronomie sidérale E. S a n g . On last-place errors in Vlacq S. D i c k B t e i n . Die logarithmischeo Cánones von Hoene-Wronski

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Inhaltsverzeichnis.

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S. D i c k s t e i n . Die logarithmische T a f e l von Hoene-Wronski f H . S c h u b e r t . The squaring of the circle f W . C. W i n l o c k . Progress of astronomy for 1889, 1890 C a p i t e l 2.

. . .

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Philosophie und Pädagogik.

A.

Philosophie.

G. H e y m a l i s . Die Gesetze und Blemente des wissenschaftlichen Denkens. I P . du B o i s - R e y m o n d . Ueber die Grundlagen der Erkenntnis in den exacten Wissenschaften K . A . P . K n a b e . Ueber den directen Beweis C. H. K u m m e 11. On the method of continued identity A . S c h m i d t . Dillmano, die Mathematik, die Fackelträgerin einer neuen Zeit H. V . H a h n . Fragen über Raum, Zeit und Gott A. V o i g t . Die Auflösung von Urteilssystemen, das Eliminationsproblem und die Kriterien des Widerspruchs in der Algebra der Logik M a r y B o o l e . A new logicai machine R. B e t t a z z i . Teoria delle grandezze H. K e f e r s t ein. Ueber den Begriff der Zahl E. S c h r ö d e r . Ueber das Zeichen. Festrede E. S c h r ö d e r . Vorlesungen Aber die Algebra der Logik. (Exacte Logik.) I A . N a g y . Fondamenti del calcolo logico A . N a g y . Sulla rappresentazione grafica delle quantità logiche . . A . B. K e m p e . On the relation between the logicai theory of classes and the geometrical theory of points A . F o l a . Investigaciones filosofico-mathematicas sobre las cantidades imaginarias fG. Cantor. Zur Lehre vom Tranefiniten. Gesammelte Abhandlungen. I J. D e l s a u l x . Quelques applications du calcai des probabilités à la démonstration de vérités de certitude morale J. D e l s a u l x . L a probabilità philosophique et la nature cinétique de la chaleur fG. Garbieri. L a matematica nello sviluppo delle scienze . . . . A . K o p e k e . Ueber empirische und idealisirende Raumauffassung . M. R a s c h i g . Erkenntnistheoretiscbe Einleitung in die Geometrie . f H . G i s e v i us. Kant's Lehre von Baum und Zeit J. D u c i out. LOB fondamentos de la geometria A . N a g y . Sulla recente questione intorno alle dimensioni dello spazio F . H a f t . L a quarta dimensión f V . R. F o n t a n a . Saggio sul riordinamento delle matematiche . . . I. K a n t . Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels. (1755.) Hrsg. von H. Ebert tJ- G . V o g t . Das Wesen der Elektricität und des Magnetismus auf Grund eines einheitlichen Snbstanzbegriffes. I f G . C a n t o n i . Congetture su le azioni a distanza F . E n g e l . Der Geschmack in der neueren Mathematik F. M o h r . Das enthüllte Geheimnis der Pythia B.

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Pädagogik.

G. E n e s t r ö m . Programme d'un cours universitäre d'histoire mathématiques B*

des 87

XX

Inhaltsverzeichnis.

W. B o b y n i n . Der heutige Zustand des Unterrichts der Geschichte der Mathematik W. B o b y n i n . Programm der Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik an der Universität Moskau P. G. L a u r i n . Om den matematiska undervisningen vid högre allmänna läroverk A. B r i l l . Ueber die Schulreform und den Unterricht in Mathematik und Zeichnen auf den Gymnasien H. T h i e m e . Die Bedeutung der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächer für die allgemeine Bildung D. V a l e r i . Sull' insegnamento della matematica nelle scuole classiche •(•A. J . P i c k . Sternwarten und Lehrerbildung R. L a n g e r h e i m . Ein Vorschlag, um deD ersten Unterricht in der Mathematik umzugestalten f T h . W i t t s t e i n . Die Methode des mathematischen Unterrichts . . -j-B. B u c h d r u c k e r . Ist die Beseitigung der Fremdwörter aus der Schulmathematik möglich und nützlich? f L . V i e r e c k . Fremdwort und Schule W e i s f l o g . Der Rechenunterricht an höheren Lehranstalten . . . . E. H ö b e l . Zur Reform des planimetrischen Unterrichts Oxford „pass" geometry H. J . W o o d a l l . How to teach geometry H. Geometrical teaching J . B a z a l a . Beitrag zum Mittelschulunterrichte über Kegelechnittlinien f M . S i m o n . Noch einmal der einbeschriebene und der umbeschriebene Kreis f D . S a n d e r s . Eine sprachliche Studie für Mathematiker f V o l l h e r i n g . Ungenauigkeiten des Ausdrucks in der Mathematik. 0. R o d e n b e r g . Ueber Wesen und Aufgaben der Kinematik . . . P . K o n z . Der physikalische Unterricht in der Gymnasial-Secunda . J . K a r n a s . Zur Stellung und Methode des physikalischen Unterrichts F . K ü h n e m a n n . Ein Beitrag zum Unterricht in der Physik . . . A. R i c h t e r Das Mathematische im physikalischen Unterricht . . . B. F e s t . Das Ohm'sche Gesetz in der Schule f G r o s s e . Sind Abschnitte der Physik beim Unterricht auszuscheiden? B. H o f f m a n n . Ueber die Behandlung der mathematischen Geographie in den mittleren und unteren Klassen J . K l a u . Ueber die Behandlung der Himmelskunde am Gymnasium. F. L u d w i g . Weitere Capitel zur mathematischen Botanik J . W a l d v o g e l . Uebungen aus dem mathematischen Repetitionsstoffe der Obergymnasialklasse f j . C. V. H o f f m a n n . Aufruf zu einem Congress der Lehrer der Mathematik und Naturwissenschaften an höheren Schnlen Deutschlands f J . C. V. H o f f m a n n . Der Congress zu J e n a vom 2 5 . - 2 8 . September 1890 - ( - B u c h b i n d e r . Ausführlicher Bericht über den Congress in J e n a vom 2 6 . - 2 8 . September 1890

Zweiter Abschnitt. C a p i t e l 1.

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Algebra.

Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.)

f T o d h u n t e r . Elementi di Algebra con molti esempi •j-P. V i s a i i i e G. M a n d e s . Trattato di Algebra

97 97

Inhaltsverzeichnis.

XXI Seite

f C h . de C o m b e r o u s s e . Cours de M a t h é m a t i q u e s . I V . 2 Li. E r o n e c k e r . Z a r T h e o r i e der allgemeinen c o m p l e x e n Z a h l e n und der Modulsysteme L. Stickelberger. U e b e r eine V e r a l l g e m e i n e r u n g der K r e i s t e i l u r g f G . L a n d s b e r g. U n t e r s u c h u n g e n ü b e r die T h e o r i e der I d e a l e . . E. Netto. U e b e r den g e m e i n s a m e n T e i l e r zweier ganzen F u n c t i o n e n einer V e r ä n d e r l i c h e n E. Netto. U e b e r den g r ö s s t e n gemeinsamen T e i l e r zweier g a n z e r Functionen N . W . B u g a i e f f . V e r s c h i e d e n e Anwendungen des P r i n c i p s der g r ö s s ten und kleinsten E x p o n e n t e n in der T h e o r i e der a l g e b r a i s c h e n Fnnctionen A. K n e s e r . Ein" neuer B e w e i s der U n m ö g l i c h k e i t , a l l g e m e i n e G l e i chungen höheren G r a d e s a l g e b r a i s c h aufzulösen O. T o g n o l i . I n t o r n o a l l a risoluzione a l g e b r a i c a delle equazioni . . 0 . F . G a u s s . D i e vier B e w e i s e für die Z e r l e g u n g g a n z e r a l g e b r a i s c h e r F n n c t i o n e n . Hrsg. von E . N e t t o H. 6 . Z e u t h e n , B e v i s for at en algebraisk L i g n i n g altid har en R o d A. C a y l e y . S u r les r a c i n e s d'une équation a l g é b r i q u e . (2 N o t e n ) . É. Amigues. T h é o r è m e de d ' A l e m b e r t P . M a n s i o n . S u r le théorème fondamental de l'analyse a l g é b r i q u e fßiquier. S u r l e s f o n c t i o n s continues d'un uombre q u e l c o n q u e de variables J . W . B ä s c h . Meetkundige p l a a t s van de wortelpunten e e n e r h o o g e r e machtsvergelijking F. Mertens. U e b e r einen S a t z der höheren A l g e b r a Ch. B i e h l e r . S u r les é q u a t i o n s b i n ô m e s A. C a y l e y . N o t e on the ninth r o o t s o f unity A. C a y l e y . On t h e équation x"— 1 = 0 W . J . 0. S h a r p , E. L a m p e . Solution of question 8 9 5 1 G. d e L o n g c h a m p s . N o t e sur la question 2 7 8 L. L a c h t i n e . D e r Ausdruck der W u r z e l n einer dreigliedrigen a l g e b r a i s c h e n Gleichung durch bestimmte I n t e g r a l e F. J. Studniöka. E i n e B e m e r k u n g ü b e r die H a m i l t o n ' s c h e n Z a h l e n Lalbalétrier. S u r l a formule de W a r i n g F. J . S t u d n i c k a . B e i t r a g zur T h e o r i e der r e c i p r o k e n G l e i c h u n g e n H e l g e von Koch. Om upplösningen a f e t t system Iineära l i k h e t e r mellan e t t oändligt a n t a l o b e k a n t a W. J. Albitzky. D i e U n t e r s u c h u n g der Gleichungen zweiten G r a d e s mit zwei V e r ä n d e r l i c h e n H. N i s s e n . Om V i n k l e r ' s T r e d e l i n g V. Mollame. S u l c a s u s irreductibilis dell' equazione c u b i c a . . . Ch. B r i s s e . Nouvelle m é t h o d e de discussion de l'équation en S . • F. Lucas. N a t u r e d e s racineB de l'équation du 4« degré A. C a y l e y . On a s o l u b l e q u i n t i c équation U e b e r die auflösbaren GleiN . W . B u g a i e f f und L E . L a c h t i n e . chungen fünften G r a d e s R . A l a g n a . Condizioni p e r c h è una forma dell' ottavo ordine a b b i a quattro punti doppii R. A l a g n a . I u t o r n o ad alcuni c a s i di mnltiplicità delle radici dell'equazione d ' o t t a v o ordine J . J . S y l v e s t e r , P. H. S c h o n t e . Solution o f question 7 6 6 8 . . . A. H u r w i t z . U e b e r die W u r z e l n einiger t r a n s c e n d e n t e n Gleichungen B . N i e w e n g l o w s k i . N o t e sur le théorème de S t u r m A. Poulain. S u r t r o i s t h é o r è m e s de B u d a n G . F o u r e t . S u r la m é t h o d e d'approximation de Newton fE. Carvallo. E x t e n s i o n de la méthode de Graffe . . . . . . . .

97 97 100 102 102 102 103 103 104 105 105 lOd 107 107 107 107 108 108 108 109 109 109 109 110 110 110 111 111 111 112 112 113 113 114 114 114 115 115 116 116 116 117

XXII

Inhaltsverzeichnis. Seite

R. M e h m k e . Bestimmung der reellen Wurzeln zweier numerischer algebraischer Gleichungen mit zwei Unbekannten 117 R. M e h m k e . Ueber das Aufzeichnen ebener Curven mit numerisch gegebener Gleichung 118 R. M e h m k e . Ueber eine periodische kettenbruchartige Entwickeluug der Wurzeln algebraischer Gleichungen IIS W. W i r t i n g e r . Bemerkung über ganzzahlige irréductible Gleichungen 119 F. L u c a s . Résolution électromagnétique des équations 119 D. B e s s o . Süll' eguaglianza o ^ s f t o c o n aeb interi e positivi . . . 120 U. D a i n e l l i . Sull' equazione xy = y* c o n x e y interi e positivi . . 120 L . C a r l i n e . Sull' eguaglianza at = i« con o e i interi e positivi . . 120 +A. C a p u z z o . Soluzione grafica d'un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite 120 C a p i t e i 2.

Theorie der Formen.

E. B. E l l i o t t . On the interchange of the variables in certain linear differential operators Z . E l l i o t t . Sur les invariants d'une classe d'équations du premier ordre R i v e r e a u . Sur les invariants des équations différentielles linéaires D i e t r i c h k e i t . U e b e r eine Invariante der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung f P . G o r d a n . Begriff und Eigenschaften der Differentialinvarianten J . D u r â n y L o r i g a . Teoria elemental de las formas algebricas . . f G . S a l m o n . T r a i t é d'algèbre supérieure L . M a u r e r . Ueber Invariantentheorie E . W i l t h e i s s . Eine besondere A r t von Covarianten bildender Operation. II, I I I G. V i v a n t i . Alcune formole relative all'operazione il J . D e r u y t s . Sur la réduction des fonctions invariantes J . D e r u y t s . Sur les covariante primaires J . D e r u y t s . Sur les fonctions semi-invariantes S. R o b e r t s . Concerning semi-invariants D. H i l b e r t . Ueber die Theorie der algebraischen Formen . . . . A. C a p e l l i . Sur les opérations dans la théorie des formes algébriques A . B e r g e r . Användningen af invarianter och half-invarianter . . . (3. B. M a t h e w s . On class-invariants E d . W e y r . Zur Theorie der bilinearen Formen E . G e i g e r . Die Covarianten der binären biquadratischen Formen . E . S t r o h . Ueber die symbolische Darstellung der Grundsyzyganten einer binären F o r m sechster Ordnung G. M a i s a n o . L ' H e s s i a n o della sestica binaria J . H a m m o n d . A simple proof of the existence of irreducible invariants of degrees 20 and 30 for the binary seventhic C. M o l l o . Sul sistema di due cubiche binarie E . S t r o h . Bemerkung zu v. Gall's Untersuchung über die Grundsyzyganten zweier simultanen biqnadratischen binären Formen . A . d e l R e . Sulle coppie di forme bilineari A . C a y l e y . On two invariants of a quadriquadric function . . . . R. P e r r i n . Essai de théorie complète du système de deux formes ternaires quadratiques F . G e r b a l d i . Sui combinanti di t r e forme ternarie quadratiche . . A. R. J o h n s o n . On certain concomitants of systems of conics and quadrics G. M a i s a n o . Il combinante iV della forma ternaria cubica . . . .

120 122 123 123 124 124 124 124 127 129 130 130 132 132 133 137 140 141 141 141 142 146 146 147 147 147 148 148 151 151 152

XXIII

Inhaltsverzeichnis.

Setts

E . W ö l f f i n g . U e b e r die Hesse'sche Covariante einer ganzen rationalen Function von ternären Formen F . M e r t e n s . Die Invarianten dreier qnaternären quadratischen F o r m e n F. M e r t e n s . Die invarianten G e b i l d e der räumlichen Collineation . E. W a e i s c h . Zur Invariantentheorie der L i n i e n g e o m e t r i e E. S t u d y . Ueber quadratische Formen und L i n i e n c o m p l e x e . . . . G. F r o b e n i u s . T h e o r i e der biquadratischen Formen A. Voss. U e b e r die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst B. L i p s c h i t z . Beiträge zu der T h e o r i e der gleichzeitigen T r a n s formation von zwei quadratischen oder bilinearen F o r m e n . . . L. Kronecker. U e b e r orthogonale Systeme L . E r o n e c k e r . U e b e r die Composition der Systeme von » ^ G r ö s s e n mit sich selbst L. K r o n e c k e r . A l g e b r a i s c h e Reduction der Schoren bilinearer Formen L. Kronecker. A l g e b r a i s c h e Reduction der Scharen quadratischer Formen f W . Weiss. U e b e r eine algebraische T h e o r i e der Scharen nicht adjungirter ßerührungscurven C a p i t e i 3.

Elimination und Substitution. symmetrische Functionen.

152 153 154 155 157 158 161 164 165 167 169 172 173

Determinanten,

G. F o u r e t . Demonstration et application d'un théorème de L i o u ville sur l'élimination W. Kretkowski. Beitrag zur Eliminationstheorie Fr. Meyer. Ueber Discriminanten nnd Resultanten von Singularitätengleichungen. I I , I I I f F r . M e y e r . Das Frincip des Projicirens in der Eliminationstheorie Aekwith. On groups of substitutions with eight letters . A. C a y l e y . On the substitution groups for two, three, four, five, six, seven, aDd eight letters O. B o l z a . On the theory of substitution-groups A . d e l R e . Su alcuni gruppi completi contenuti nel gruppo Cremona M o r r i c e . N o t e on a quaternary group of 51840 linear substitutions H. B u r k h a r d t . Zur T h e o r i e der Jacobi'scheo Gleichungen 40. Grades bei der Transformation 3. Ordnung der Thetafunctionen . . L. Bianchi. Sui gruppi di sostituzioni lineari a coefficienti interi complessi L. Bianchi. Sopra una classe di gruppi Fuchsiani X . S t o u f f . Sur certains groupes fuchsiens G. T o r e l l i . Sulle sostituzioni lineari a coefficienti immaginarii . . fH. Minkowski. B e w e i s , dass j e d e Discriminante eine von Eins verschiedene Zahl ist A. J N. P r a n g e . Een en ander over nieuwere algebra L . K r ö n e c k e r . Reduction der Systeme von n2 ganzzahligen E l e menten E . G u b i er. Ueber eine Determinante, welche bei der Berechnung symmetrischer Functionen vorkommt E. d ' O v i d i o . Altra addizione alla nota „Sui determinanti di determinanti" A. T i s s o t . Sur la multiplication des déterminants E. P o m e y . Sur un théorème de déterminants Th. Muir. On some hitherto unproved theorems in determinants. . L. Bénézech. A p p l i c a t i o n des déterminants à la géométrie . . . W . J. C. S h a r p , S. S i r c o m . Solution of question 9776 H e l g e von Koch. Bidrag till teorin för oändliga determinanter .

173 174 175 175 176 176 176 177 177 177 178 179 180 181 181 181 182 183 183 184 184 184 184 184 185

XXIV

Inhaltsverzeichnis.

W . J . C. S h a r p . OD simplicisBima in space of n dimensions. III . + N. N. Volume du tétraèdre en axes obliques H. W. S e g a r . Some inequalities P . M e r t e n s . Ueber ganze Functionen eines Systems von mn Veränderlichen, welche m Zeilen und n Coloonen bilden A u r i c . Formule de Waring P . A. M a c M a h o n . Memoir on the symmetric functions H. P. B a k e r . On Euler's «¿-function E . C a t a l a n . Conséquence d'un théorème d'algèbre H. T a b er. On the theory of matrices H. T a b e r . Ou certaiD identities in the theory of matrices . . . .

Dritter Abschnitt.

Seite

185 185 185

186 187 187 190 190 191 191

Niedere und höhere Arithmetik.

C a p i t e l 1. Niedere Arithmetik. O. R e i c h e l . Die Grundlagen der Arithmetik. II L. K a m b l y . Die Elementar-Mathematik. I M. F o c k e und M. K r a s s . Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik . F r y . Das algebraische Rechnen für Secunda J . G r a s s . Die Gruppen-Zablbilder und ihre Herstellung durch die Münchener Rechenmaschine H. S c h e l l e n . Methodisch geordnete Materialien für den Unterricht im theoretischen und praktischen Rechnen. I F . R o e s e . 5000 Aufgaben nebst Resultaten aus der Bruchrechnung Ch. M é r a y et Gh. R i q u i e r . Sur quelques perfectionnements de la théorie des quantités négatives T . F u o r t e s . Sul numéro dalle divisioni nella ricerca del massimo comune divisore di due numeri P . J . S t u d n i ë k a . Ueber Prolov's Zahlengruppen, welche eine zweigradigo Gleichheit bieten L. d a C o s t a e A l m e i d a . Nota sobre a doctrina da proporcionalidade f W e i t e r e Litteratur C a p i t e l 2. Zahlentheorie. A. A l l g e m e i n e s . T.-J. S t i e l t j e s . Sur la théorie des nombres P . A. M a c M a h o n . The theory of perfect partitions of numbers A. L u g l i . Un problema d'aritmetica A. M a r t i n , D. B i d d l e . Solution of question 3276 É d . L u c a s . Sur les différents systèmes de numération A. S c h w i d t a l . Die Darstellung aller Zahlen durch die Zahl 3 . . T h . P é p i n . Sur la décomposition des grands nombres en facteurs premiers A. C u n n i n g h a m . On finding factors L. S a i n t - L o u p . Sur la représentation graphique des diviseurs des nombres Ç. H o s s f e l d . Bemerkung über eine zahlentheoretische Formel . . E d . L u c a s . Sur les nombres parfaits R. E. A i l a r d i c e . On some theorems in the theory of numb«rs . . F . R o g e l . Zur Bestimmung der Anzahl Primzahlen unter gegebenen Grenzen J . W . L. G l a i s h e r . On the function which denotes the excess of the number of divisors etc J . A. G m e i n e r . Beweis eines arithmetischen Satzes A. A n d r e i n i . Osservazione ad una nota del dott. Gambioli. . . .

192 193 193 193 194 194 195 195 195 196 196 196

199 199 200 200 201 201 201 202 ,202 202 202 202 203 203 203 204

Inhaltsverzeichnis.

XXV Seite

L . G e g e n b a u e r . Zur Theorie der Congruenzen mit mehreren Unbekannten É d . L u c a s . Critérium pour la formule de Paoli E. C a t a l a n . Remarque sur une note de M. Lucas E . C a t a l a n . Sur l'analyse indéterminée du premier degré . . . . L . K r o n e c k e r . Ueber die Dirichlet'sche Methode der Wertbestimmung der Gauss'schen Reiben A. T a f e l m a c h e r . Zu dem .dritten Gauss'schen Beweise des Reciprocitäts-Satzes M. M a n d l . Ueber die Verallgemeinerung eines Gauss'schen Algorithmus T h . P é p i n . Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité . . . P . F r a n k l i n . A proof of the theorem of reciprocity J . C. P i e l d s . A simple statement of proof of reciprocal-theorem . E. B u s c h e . Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes in der Theorie der aus den vierten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen J . T a t a r i n o f f . Die Methoden zur Berechnung der Summe P P mit Hülfe der Kettenbrüche E.Busche.

Ueber die Function

P == 1,

205 206 206 206 207 207 207

208 -1)] . . . .

M. A. S t e r n . Zur Theorie der Function Ex L. K r o n e c k e r . Bemerkungen über die von Gauss mit [x] bezeichnete arithmetische Function einer reellen Grösse x H. L a u r e n t . Mémoire sur les fonctions entières A. M a t r o t . Sur la décomposition d'un entier quelconque en une somme de carrés A, M a t r o t . Sur les résidus quadratiques +Ed. L u c a s . Nouvelle démonstration de la loi de [réciprocité . . . L . G e g e n b a u e r . Ueber einen arithmetischen Satz des Hrn. Hermite O. L a n d s b e r g . Lettera al Redattore P é p i n . Démonstration d'un théorème de Liouville F . T a n o . Sur quelques points de la théorie des nombres C h . B e r d e l l é . De l'incommensurabilité des angles des triangles rectangles en nombres entiers L . G e g e n b a u e r . Einige arithmetische Sätze F . R o g e l . Zahlentheoretische Eigentümlichkeiten gewisser Reihen J . A m a l d i . Dimostrazione délia periodicità nella espressione in serie infinite delle grande?,ze razionali R. L i p s c h i t z . Bemerkung zu dem Aufsatze: Untersuchung der Eigenschaften eiuer Gattung von unendlichen Reihen B.

204 205 205 205

208 209 209 210 211 211 211 211 212 212 212 213 213 213 214 214

Theorie der Formen.

G. B. M a t h e w s . Irregulär déterminants and subtriplicate forms . . L. L a c h t i n e . Einige Vereinfachungen in der Auflösung der unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten . P . W . P r e o b r a s c h e n s k y . Bemerkungen zur vorhergehenden Abhandlung P . W. P r e o b r a s c h e n s k y . Theorie der binären quadratischen Formen H . M i n k o w s k i . Bedingungen, unter welchen zwei quadratische Formen in einander rational transformirt werden können P é p i n . Sur quelques formes quadratiques quaternaires G. B. M a t h e w s . On the arithmetical theory of the form œ3+ny3+7i223 — Znxyz

214 215 215 215 216 219 220

XXVI

Inhaltsverzeichnis. Seite

C a p i t e l 3. Kettenbrüche. J . S l e s c h i n s k y . Ueber die Convergenz der Kettenbrüche . . . . T . N. T h i e l e . E t Stykke Arvegods fra Professor Oppermann . . . B. C a r r a r a . Extraction de la racine carrée par la méthode des deux moyennes E. C a t a l a n . Sur le développement, en fraction continue, de VN. . S. P i n c h e r l e . Sulla rappresentazione approssimata di una funzione mediante irrazionali quadratici . . . S. P i n c h e r l e . Saggio di una generalizzazione delle frazioni continue algebriche D. G a m b i oli. Sulle frazioni continue W. Z i m m e r m a n n . Ueber die Kettenbruch-Entwickelung einer Function

220 221 222 222 222 223 226 226

V i e r t e r A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. R. E. A l l a r d i c e . On a problem in permutations T. B. S p r a g u e . Arrangements of eight men on a chess-board . . M. F r o l o v . Sur les permutations carrées A. C a y l e y . On latin squares F. H e r r m a n n . Ueber die Theorie der magischen Systeme . . . . T h . F a r m e n t i e r . Sur les carrés magiques f É d . L u c a s . Sur les carrés magiques et leurs applications à l'arithmétique N a s h . Solution of question 10144 S. B i n di. Una osservazione relativa ad alcune quistioni di probabilità S e y d l e r . Sur le problème de Saint-Pétersbourg f S y d n e y L u p t o n . The St. Petersburg problem P . Y. E d g e w o r t h . Problems in probability. 2 : Competitive examinations H. D e l a n n o y . Problèmes divers concernant le jen L. L o r e n z . Valgkredssystemer og Minoritäten T. N. T h i e l e . Om Kredsvalgproblemet J . C u r i e . Représentation proportionnelle des différentes opinions dans les élections J . J . S y l v e s t e r . On a funicular solution of Buffon's „problem of the needle" G. F r a t t i n i . Intorno al significato di alcune questioni di probabilità F. G i u d i c e . Sopra una questione di probabilità f F . G a l t o n . Dice for statistical experiments •¡•Aufgaben über geometrische Wahrscheinlichkeiten P . A. N e k r a s s o f f . Die Umkehrnng des Bernoulli'schen Theorems W. G o s i e w s k i . Beweis des Gauss'schen Fehlergesetzes M. A. B a r a n i e c k i . Ueber eine analytische Beweisführung . . . . E. C z u b e r . Zur Theorie der Beobachtnngsfehler E. C z u b e r . Wahrscheinlichste Werte beobachteter Grössen . . . P . P i z z e t t i . Sur la théorie des observations arrondies R. L i p s c b i t z . Sur la combinaison des observations W . J . L o n d o n . A formula in the „theory of least squares" . . . . J . A. K l e i b e r . Empirische Formeln J . A. K l e i b e r . Ueber die beste Ordinate bei der Interpolation nach der Methode der kleinsten Quadrate A. Q u i q u e t . Théorie concernant une classe nombreuse d'annuités viagères

227 227 228 228 228 229 230 230 230 230 231 231 232 232 232 233 233 234 234 235 235 235 235 235 236 236 237 238 239 239 239 239

Inhaltsverzeichnis.

XXVII Seite

W. L a z a r u s . Oie sociale Gesetzgebung und die Mathematik . . . 240 f W e i t e r e Litteratur 241

Fünfter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Reihen.

Allgemeines.

E. A. A. A. A.

Ce s a r ò . Sur une question de limites L a M a e s t r a . Sulle successioni L a M a e s t r a . Sopra un teorema di Caucby L a M a e s t r a . Généralisation d'un théorème d'Abel d e S a i n t - G e rm ai n. Généralisation de la règle de convergence de Gauss G. F o u r e t . Remarque sur les cas douteux à certains caractères de convergence de séries F. G i u d i c e . Osservazioni sulle serie F . G i u d i c e . Sulle serie a termini positivi J . B. P o m e y . Théorème général de convergence É. B o r e i . Sur le changement de l'ordre des termes d'une série semiconvergente E. C e s â r o . Nouvelles remarques sur divers articles concernant la théorie des séries E . C e s â r o . Sur la multiplication des séries M. L e r c h . Bemerkungen zur Reihentheorie . F. G i u d i c e . Prodotti infiniti F. G i u d i c e . Osservazione alla nota sui prodotti infiniti D. A n d r é . Sur les produits de facteurs variables O. J e ä e k . Ueber die Beihenumkehrung . M. d ' O c a g n e . Sur les séries récurrentes A. P r i n g s h e i m . Zur Theorie der bestimmten Integrale und der unendlichen Reihen J . B. d e ü a b e d o . Sobre o resto da formula de Taylor A. P r i n g s h e i m . Zur Theorie der Dirichlet'schen Reihen D i r i c h l e t . On the series whose general term involves two aDgles . F. H. L o u d . N. H. A b e l .

C a p i t e l 2. Besondere Reihen. A rigorous elementary proof of the binomial theorem Researches on the series

242 242 243 243 244 244 244 245 246 247 247 248 249 250 250 250 251 251 252 253 253 255 256 256

J . M e n d i z a b o l T a m b o r r e l . Nueva formula del binomio de Newton J . T a n o . Quelques théorèmes sur les coefficients binomiaux . . . C. A. L a i s a n t . Expression du produit des coefficients da binôme. H . D e l a n n o y . Formules relatives aux coefficients du binôme . . . A. C. D i x o n . On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem . . ' . . . M. H a m y . Sur le théorème de la moyenne A. H u r w i t z . Ueber einige Verallgemeinerungen der Leibniz'schen Differentiationsformel und des polynomischen Lehrsatzes . . . U. W e l l m a n n . Einige wichtigere Reihen und ihre Anwendung . . P . J . B r e u e r . Die Lehre von den Logarithmen Oh. M é r a y . Théorie analytique du logarithme népérien J . S o c h o c k i . Entwickelung einiger Functionen und Reihen . . . . R. C h a r t r e s . Gregory's series F. G i u d i c e . Sviluppo di arcsena; F . J . S t u d n i c k a . Ableitungsart einiger trigonometrischen Reihen . A. S t r n a d . Ueber einen paradoxen Ausdruck der Ludolfine . . . .

256 257 257 257 258 258 258 259 259 259 260 261 261 261 261

Iuhaltsverzeichnis.

XXVIII

C. A. S w i f t , T . E. T e r r y . Solution of question 10136 E. C. H u d s o n . On the expansion of a series L . S a a l s c h u t z . Eine Summationsformel •A. B r i l l . Summation einer gewissen endlichen Reihe J . W . L . G l a i s h e r . On the square of Euler's series J . W . L . G l a i s h e r . On the series in which the exponents of the powers are the pentagonal numbers M. d ' O c a g n e . Quelques propriétés des nombres K v m E . R o u c h é . Sur la formule de Stirling H. P l a m e n e w s b y . Question 208 H . d ' O c a g n e . Sur les moyennes limites de deux nombres . . . . J . C. F i e l d s . Expressions for Bernoulli's and Euler's numbers . . E. D u p o r c q . Sur la somme des puissances semblables des x premiers nombres E . C e s à r o . Démonstrations du théorème de Staudt et de Clausen . G. T . W o r o n o i . Ueber die Bernoulli'schen Zahlen F . J . v a n d e n B e r g . Quelques formules pour le calcul des nombres de Bernoulli et des coefficients des t a n g e n t e s E . L a m p e , J . D. H. D i c k s o n , J . J . B a r n i v i l l e . Solution of question 9977 J . W. L . G l a i s h e r . Sums of even powers of the natural numbers J . W . L . G l a i s h e r . N o t e on series whose coefficients involve powers of the Bernoullian numbers +E. S c h r ö d e r . N e u e r e s ü b e r Bernoulli'sche Functionen F . D i e s t e l . B e i t r ä g e zu der Interpolationsrechnung V . W i l l i o t . Sur une généralisation de la formule d'interpolation de Lagrange C. A . L a i s a n t . Interpolation cinématique E . S e l l i n g . Ueber eine Formel für empirische Zahlenreihen . . .

Sechster Abschnitt. C a p i t e l 1.

G. A. P. H. P. F.

262 262 262 263 263

264 265 265 266 266 266 267 267 268 268 268 269 269 270 270 271 272 272

Differential- und Integralrechnung.

Allgemeines. ( L e h r b ü c h e r etc.).

H . L a u r e n t . T r a i t é d'analyse. V, V I . Calcul intégral f j . B o u s s i n e s q . Cours élémentaire d'analyse infinitésimale. I I . . f F . G. T e i x e i r a . Curso de analyse infinitesimal. Calcolo differencial f A. S. H a r d y . Elements of the differential and integral calculus . -j-H. F l e u r y . Théorie rationnelle de l'infini mathématique A . F u h r m a n n . Naturwissenschaftliche Anwendungen der Integralrechnung E . V i l l i é . Compositions d'analyse, mécanique et astronomie. II . C a p i t e l 2.

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274 276 277 277 277 277 278

Differentialrechnung. (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima).

P e a n o . Sur l'interversion des dérivations partielles K r u g . Theorie der Derivationen L i n d n e r . Ueber begrenzte Ableitungen mit complexem Z e i g e r . W . L l o y d T a n n e r . N o t e on A r b o g a s t ' s method of derivations T . F o l d b e r g . Integration af exakte Differentialqvotienter etc. . M e r t e n s . Einführung neuer Variabein in den Differentialausdrücben F . F r a n k l i n . On t h e Hessian of a product of linear functions . . M. F o u c h é . Sur une simplification à un calcul de L a m é f L . B i a n c h i . Sulle forme differenziali quadratiche indefinite . . .

279 279 280 281 281 282 282 283 283

Inhaltsverzeichnis.

A. A. M a r k off. C.-A. L a i s a Dt.

XXIX

U e b e r eine Mendeleieff'sche F r a g e L i m i t e de l'expression / _L -L -1 \

f \

)

p i + p i - i — i - p „

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283

m

'

lorsque m c r o î t indéfiniment Ch. G a l o p i n - S c h a u b . Questions de maxima et de minima . . . L . M a l e y x . Méthode élémentaire pour étudier les variations des fonctions continues, maximums et minimums J. Koch. Darstellung und Anwendung von S c h e l l b a c h ' s Verfahren, Maxima oder Minima zu bestimmen 0 . S t o l z . Oie Maxima und Minima der Functionen von mehreren Veränderlichen K . A . P o s s e . Zur F r a g e von den grössten und kleinsten W e r t e n einer Function von zwei unabhängigen Veränderlichen . . . . L. Scheeffer. T h e o r i e der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabein T a u r u d a . A n example of maxima and minima E . H o f f m a n n . U e b e r das kürzeste Verbindungssystem zwischen vier Punkten der E b e n e C l a r k e , D. E d w a r d e s . Solution of question 8 3 9 5 A s p a r a g u s , T . G a l l i e r s , G. G. S t o r r . Solution o f question 8815 V . v. D a n t s c h e r . Ueber die Ellipse vom kleinsten Umfange durch drei gegebene Punkte ß . E . A H a r d i c e . On a property of odd and even polygons . . . f R . H ö h n e . Analytische Untersuchungen Steiner'scher Maxima- und Minimaprobleme . . . . ; C a p i t e l 3. Integralrechnung. V . D a n t s c h e r v o n K o l l e s b e r g . Bemerkung zur Integralrechnung G. M a c l o s k i e . Formulae for integration M. C i e m n i e w s k i . Aus dem Gebiete der Integralrechnung . . . . P h . G i l b e r t . Sur quelques formules d'un usage général dans la physique mathématique E . C a r v a l l o . F o r m u l e s de quaternions pour la réduction des intégrales multiples les unes dans les autres N . J . S o ni n e . U e b e r die Reduction eines mehrfachen Integrals . . M. Z in i n e . Zur Aufgabe von der Reduction des mehrfachen Integrals C a p i t e l 4. G. U. S. R.

285 285 285 286 286 286 287 287 287 288 289 289 289 290 290 291 292 292 292

B e s t i m m t e Integrale.

F . L i n d m a n u . N â g r a formler hos Mr. B i e r e n s de Haan . . . . Bigler. Auswertung einiger bestimmten Integrale Pincherle. Sulla trasformazione di H e i n e M i l d n e r . U e b e r eine Anwendung der Taylor'schen R e i h e und einige bestimmte Integrale

T. J. S t i e l t j e s .

284 284

N o t e sur l'intégrale J"

e-"'du

u J . R a j e w s k i . U e b e r einige bestimmte I n t e g r a l e M. L e r c h . Mitteilungen aus der Integralrechnung f E . S c h r ö d e r . U e b e r bestimmte Integrale, die sich rational durch 7i und log 2 ausdrücken B . L o r e n z . E n diskontinuert F a k t o r G. G. S t o k e s . Note on the determination of arbitrary constants which appear as multipliers o f semi-convergent series

293 293 294 294 .295 295 296 296 296 297

XXX

Inhaltsverzeichnis.

T.-J. S t i e l t j e e . Sur quelques intégrales définies F. M an s ion. Généralisation de la formule approximative de W. Snell et Ozanam R. H o p p e . Ueber die von Humbert untersuchten Kugelflächenstücke P . M a n s i o n . Paradoxe f E . G e l i n . Surface et volume du tore W. G. I m s c h e n e t z k y . Geometrische Deutung der Euler'schen Formel für die angenäherte Berechnung der Quadraturen P . A p p e l l . Sur une classe de polynômes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles L. L a c h t i n e . Der Ausdruck der Wurzeln einer dreigliedrigen algebraischen Gleichung durch bestimmte Integrale C a p i t e l 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 0 - v. L i c h t e n f e l s . Ueber den Fundamentalsatz der Theorie der Differentialgleichungen G. P e a n o . Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires H. B. F i n e . Singular solutions of ordinary differential équations . J . M ö l l e r . Ueber die singulären Punkte der gewöhnlichen algebraischen Differentialgleichungen E. P i c a r d . Sur une classe d'équations différentielles L . F u c h s . Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. Schluss L. F u c h s . Ueber algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen L. H e f f t e r . Ueber Recursionsformeln der Integrale linearer homogener Differentialgleichungen L . F u c h s . Bemerkung zu vorstehender Abhandlung des Hrn.Heffter P. S c h a f h e i t l i n . Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten P . G ü n t h e r . Ueber eine Methode, die zu einem singulären Punkte gehörige Fundamentalgleichung zu bestimmen J . C e l s . Sur les équations différentielles linéaires ordinaires . . . J . C e l s . Sur une classe d'équations linéaires ordinaires J . R a j e w s k i . Einige Integrale linearer Differentialgleichungen . . A. M. J o h a n s o n . Integralernas form vid lineära differentialekvationer C. B i g i a v i . Sulle equazioni differenziali lineari C. B i g i a v i . Sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti doppiamente periodici F . B r e m e r . Ueber lineare homogene Differentialgleichungen mit doppelt-periodischen Coefficienten L . W. T h o r a é . Anwendung der Theorie der linearen Differentialgleichungen auf nicbtfaomogene lineare Differentialgleichungen . . . S. P i n c h e r l e . Su alcuni integrali particolari delle equazioni differenziali lineari non omogenee ' H. v o n K o c h . Om användningen af oändliga determinanter inom teorin för lineära homogena differentialekvationer H. G. Z e u t h e n . Om Omdannelse af Differentialligninger med to Variable ved Indförelse af Liniekoordinater G. T o r e l l i , Sopra nna forinola data da Halphen relativa alle trasformazioni delle equazioni differenziali lineari L . P o c h h a m m e r . Ueber die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten L . P o c h h a m m e r . Ueber die Tissot'sche Differentialgleichung . . P . A. N e k r a s s o f f . Lineare Differentialgleichungen, welche durch bestimmte Integrale integrirt werden .

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298 298 299 299 299 299 301

301 302 302 304 304 305 306 306 30G 307 308 309 309 310 311 312 312 313 314 315 316 316 317 317 318 320

Inhaltsverzeichnis.

XXK Seite

E . T S c h o p p . Die symbolische Methode zur Auflösung von Differenrentialgleicbungen A. S t a r k o f f . Théorie des éqaationB générales f P . R i v e r e a u . Sur les invariants d e certaines classes d'équations différentielles homogènes A . M a y e r . Zur Theorie der vollständigen L ö s u n g e n der Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Variabein . . . A . M a y e r . Allgemeine integrirbare F o r m e n von Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Kriterien P . S. N a s i m o f f . Ueber die Oonvergenz der Reihen, welche als Integrale der Differentialgleichungen erster Ordnung dienen . . . Z i m m e r m a n n . U e b e r die Kettenbruchentwickelnng einer F u n c t i o n , w e l c h * durch eine Differentialgleichung b e s t i m m t ist R. L i o u v i l l e . Sur les développements en série des intégrales de certaines équations différentielles A. W i n c k l e r . Multiplicator der Differentialgleichungen 1. Ordn. . . 6 . W a l l e n b e r g . Beitrag zum Studium der algebraischen Differen' tialgleichungen erster Ordnung E . J a h n k e . Ueber die algebraischen Integrale a l g e b r a i s c h e r Differentialgleichungen G. V i v a n t i . Sülle equazioni algebraico-differenziali del 1° ordine . P . P a i n l e v é . Intégrales rationnelles des équations du 1 « ordre . P . P a i n l e v é . Sur une transformation des équations différentielles du premier ordre P. P a i u l è v é . Sur les intégrales a l g é b r i q u e s d e s équations différentielles du premier ordre E l l i o t . Sur une équation du premier ordre W. R a s c h k e . Ueber die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung R . L o h n s t e i n . U e b e r lineare homogene Differentialgleichungen 2. O. A. R o s é n . U n d e r s ö k n i n g a f e n linear differentialekvation a f a n d r a o r d n i n g e n 6 . C a s s e l . Sur une équation linéaire du second ordre à coefficients transcendants Y . J a m e t . Sur un cas particulier de l'équation d e L a m é P . S i e m o n . U e b e r die Integrale einer nicht homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung 6 . d e L o n g c h a m p s . Intégration de l'équation de B r a s s i n e au moyen des fonctions hyperbernoulliennes f H . G y l d é n . F o r t s a t t a U n d e r s ö k n i n g a r rÖrande en ickelineär Differentialekvation af a n d r a ordningen D. B e s s o . Süll' integrazione dell' equazione differenziale lineare o m o g e n e a del second' ordine D. B e s s o . Sull' integrazione dell' equazione differenziale lineare omogenea del terz' ordine E . J a h n k e . Z u r Integration der binomischen Differentialgleichung d r i t t e r Ordnung A . C a y l e y . On a particular case of R u m m e r ' s differential équation M. R o s e n k r a n z . Quadratische Relationen unter den Integralen einer linearen homogenen Differentialgleichung 6. O r d n u n g f G . P e n s e i e r . E i n e lineare Differentialgleichung f ü n f t e r O r d n u n g . f E . G r o h n . A b l e i t u n g der singulären L ö s u n g e n eines S y s t e m s von simnltanen Differentialgleichungen C a p i t e l 6. P a r t i e l l e Differentialgleichungen. A. R. F o r s y t h . T h e o r y of differential équations. I E . G o u r s a t . T h é o r i e des équations aux dérivées partielles dn premier o r d r e

320 322 322 322 323 325 325 325 326 327 330 331 331 332 333 334 336 337 339 340 340 340 342 342 342 343 343 344 345 346 347 347 348

XXXII

Inhaltsverzeichnis.

Ch. M é r a y e t R i q u i e r . Convergence des développements des intégrales ordinaires d'un système d'équations différentielles partielles Ch. M é r a y et R i q u i e r . Convergence des développements des intégrales ordinaires d'un système d'équations différentielles totales Ch. M é r a y . Extension de la méthode de Jacobi pour intégrer une seule équation aux dérivées partielles P. A. M a c M a h o n . A theorem in the calculus of linear partial differential opérations 6 . C h r y s t a l . A démonstration of Lagrange's rule for the solution of a linear partial differentiat equatiou W. P. E r m a k o f f . Lineare Differentialgleichungen mit partiellen Derivirten erster Ordnung N. S o k o l o f f . Lineare Differentialgleichungen mit partiellen Derivirten erster Ordnung W. E. S e r d o b i n s k y . Ueber die besonderen Fälle, welche bei der Aufsuchung des allgemeinen Integrals eintreten können . . . . D. A. G r a w e . Ueber die Integration der partiellen Differentialglei-chungen erster Ordnung J . H o r n . Ueber Systeme linearer Differentialgleichungen mit mehreren Veränderlichen F. E n g e l . Zur Invariantentheorie der Systeme von Pfaff'schen Gleichungen. I I A. E. P e l l e t . Sur une classe d'équations aux dérivées partielles . P. J ä r i s c h . Zur Theorie der linearen partiellen Differenti&lgleichungen F . G. T e i x e i r a . Note sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre E. P i c a r d . Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives E . P i c a r d . Rectification E. P i c a r d . Sur la détermination des intégrales de certaines équations aux derivées partielles du second ordre etc G. K o b b . Sur un théorème de M. Picard A. P e t o t . Sur les équations linéaires aux dérivées partielles . . . C. G u i c h a r d . Sur une classe particulière d'éqaations aux dérivées partielles dont les invariants sont égaux S. Z a r e m b a . L'intégration d'une équation aux dérivées partielles . J . K ü r s c h a k . Ueber partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichen Charakteristiken G. T o r e l l i . Sopra alcune equazioni alle derivate parziali . . . . A. G u t z m e r . Remarques sur certaines équations aux différences partielles d'ordre supérieur A. G u t z m e r . Remarque sur certaines équations différentielles . . . J . W e i n g a r t e n . Ueber particuläre Integrale der Differentialgleichung ¿ Í F = 0 G. B ä c k l i n . Om partiela differentialekvationer C. S o m i g l i a n a . Sulla trasformazione delle equazioni lineari, omogenee, a derivate parziali, con coefficienti costanti C. S o m i g l i a n a . Sopra un' equazione a derivate parziali del 4° ordine V . V o l t e r r a . Sulle equazioni differenziali che provengono da questioni di calcolo delle variazioni S. L i e . Neuer Beweis dee zweiten Fundamentalsatzes in der Theorie der Transformationsgruppen S. L i e . Bestimmung aller r-gliedrigen transitiven Transformations gruppen durch ausführbare Operationen

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348 349 349 350 350 350 350 351 351 352 354 355 355 356 357 357 358 359 360 360 361 362 362 363 363 364 365 365 366 370 372 374

In halts verzeichnig.

XXXI11

F. S c h a r . Beweis für die Darstellbarkeit der infinitesimalen Traneforraationen aller transitiven endlichen Gruppen etc W . K i l l i n g . Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgrnppen. IV W . K i l l ing. Bestimmung der grössten Untergruppen von endlichen Transformationsgruppen A. S c h w a r z . Zur Theorie der reellen linearen Transformationen und der Lobatschewski'schen Geometrie G. S c h e f f e r s . Bestimmung einer, Klasse von Beruhrungetransformationsgruppen des dreifach ausgedehnten Raumes C a p i t e i 7. Variationsrechnung. M. E. W a s c h t s c h e n k o - Z a k h a r t s c h e n k o . Variationsrechnung . E. T . S a b i n i ne. Ueber die Transformationen in der Variation des bestimmten Integrals W. P. E r m a k o f f . Die Ausdehnung der Aufgaben der Variationsrechuung auf die Differentialgleichungen G. v o n E s c h e r i c h . Zur Theorie der zweiten Variation. (Forts.) . G. K o b b . Om maxima och minima af dubbelintegraler V. V o l t e r r a . Sopra una estensione della teoria Jacobi - Hamilton del calcolo delle variazioni E. T. S a b i n in e. Ueber die Abhandlung von Sarrus . L. B a r b e r a . Teoria della integrabilità delle funzioni e dei massimi e minimi degli integrali definiti

Siebenter Abschnitt.

375 376 377 378 379 380 380 381 381 382 382 384 384

Functionentheorie.

C a p i t e i 1. Allgemeines. C h . C e l l é r i e r . Note sur les principes fondamentaux de l'analyse . C. G i m é n e z R u e d a . .Prolegómenos de Aritmètica universal. . . . E. S t u d y . Ueber Systeme complexer Zahlen . . . A. K ö b c k e . Analytische Darstellung einer differentiirbaren Function mit Oscillationen in jedem Intervalle M. L e r c h . Sur une classe de fonctions à espace lacunaire . . . . G u k o w s k y . Ueber eine Eigenschaft der homogenen Functionen . . F . G. T e i x e i r a . Extension d'un théorème de Jacobi F r . M e y e r . Höhere Ableitungen eines Quotienten zweier Functionen, Fr. Meyer. Ueber Teilbarkeitseigenschaften ganzer Functionen höherer Differentialquotienten F r . M e y e r . Ueber algebraische Relationen zwischen den Entwickelungscoefficienten höherer Differentiale G. H a l p h e n . Sur les formes différentielles associées • A. C a p e l l i . Sulla teoria delle funzioni algebriche di più variabili . E. S t u d y . Ein Reciprocitätsgesetz in der Theorie d$r algebraischen Functionen W. W i r t i n g e r . Ueber Functionen, welche gewissen Functionalgleichungen genügen H. P a d é . Sur la représentation approchée d'une fònCtion par des fractions rationuelles H. S e e l i g e r . Ueber die interpolatorische Darstellung einer Function durch eine nach Kugelfunctionen fortschreitende Reihe . . . . K . J . Ko t e l o ff. Ueber eine besondere Art der Zerlegung einer holomorphen Function in ein unendliches Product P . S t ä c k e l . Zur Theorie der eindeutigen Functionen W. B u r n s i d e . On a property of plane isothermal curves V. V o l t e r r a . Sulle variabili complesse negli iperspazi Fortschr. d. Math. XXII. 8.

Seit»

C

386 387 387 387 388 388 388 389 389 389 391 392 393 394 395 395 396 396 397 398

xxxiv

Inhaltsverzeichnis.

Cornelia Fabri. S o p r a a l c u n e p r o p r i e t à g e n e r a l i delle f u n z i o n i c h e d i p e n d o n o d a a l t r e f u n z i o n i e d a linee G. P e a n o . S u r u n e c o u r b e qui r e m p l i t t o u t e u n e aire p i a n e . . . -j-D. H i l b e r t . U e b e r d i e s t e t i g e A b b i l d u n g einer L i n i e auf ein F l ä chenstück G. M i t t a g - L e f f l e r . S u r u n e t r a n s c e n d a n t e r e m a r q u a b l e R i q u i e r . S u r les f o n c t i o n s c o n t i n u e s d ' u n n o m b r e q u e l c o n q u e de variables L. P o c h h a m m e r . U e b e r ein I n t e g r a l m i t d o p p e l t e m U m l a u f . . . L. P o c h h a m m e r . U e b e r eine K l a s s e von I n t e g r a l e n mit g e s c h l o s sener Integrationscurve G. T o i x e i r a . E x t r a i t d ' u n e l e t t r e à M. H e r m i t e F . G. ï e i x e i r a . S o b r e o d e s e n v o l v i m e n t o d a s f u n c ç ô e s em s e r i e o r d e n a d a s e g u n d o as p o t e n c i a s d o s s e n o s e c o s e u o s A. J o n q u i è r e . U e b e r einige T r a n s c e n d e n t e n , welche bei d e r w i e d e r holten Integration rationaler Functionen auftreten A. P a l m s t r ó m . D e t e r m i n a n t t e o r i e n s a n v e n d e l s e p â l a e r e n om k o m p l e x e s t ó r r e l s e r s multiplikation E. Melander. N â g r a satser rörande implicita funktioner J. F r e d h o l m . O m en speciell k l a s s af s i n g u l ä r a linier F . d e B r u n . A n a l y t i s k h ä r l e d n i n g af e k v a t i o n e r n a för d e y t o r och linier F . d e B r u n . I n v a r i a n t a u t t r y c k för d e n P o i n c a r é ' s k a g e n e r a l i s e r a d e Substitutionen G. C a s s e l . O m en g e n e r a l i s e r i n g af d e E l e i n ' s k a f u n k t i o n e r n a af tredje familjen F . N . C o l e . T h e l i n e a r f u n c t i o n s of a c o m p l e x v a r i a b l e R. R e i f f . U e b e r die C o n d e n s a t i o n d e r S i n g u l a r i t ä t e n J . K ö n i g . U e b e r stetige F u n c t i o n e n , die innerhalb j e d e s Intervalls extreme W e r t e besitzen P . A p p e l l . Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs . . . P. A p p e l l . Sur les f o n c t i o n s d e d e u x v a r i a b l e s à p l u s i e u r s p a i r e s de périodes P . A p p e l l . S u r les f o n c t i o n s p é r i o d i q u e s d e d e u x v a r i a b l e s . . . . P . A p p e l l . S u r les f o n c t i o n s d e d e u x v a r i a b l e s q u a d r u p l e m e n t p é r i o diques de troisième espèce H. P o i n c a r é . S u r u n e c l a s s e n o u v e l l e d e t r a n s c e n d a n t e s u n i f o r m e s B. B u k r e i e f f . U e b e r die F u c h s ' s c h e n F u n c t i o n e n nullten B a n g e s . O. B i e r m a n n . U e b e r die D a r s t e l l u n g d e r F u c h s ' s c h e n F u n c t i o n e n erster Familie durch unendliche Producte X . S t o u f f . S u r de n o u v e l l e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s à t r o i s v a r i a b l e s L. F u c h s . B e m e r k u n g zu d e r A r b e i t im J . für M a t h . L X X V , 177 . P . A. N e k r a s s o f f . U e b e r d e n F u c h s ' s c h e n G r e n z k r e i s G. H u m b e r t . S u r le t h é o r è m e d ' A b e l e t q u e l q u e s - u n e s d e s e s a p p l i c a t i o n s à la g é o m é t r i e . ( S u i t e e t fin) C a p i t e l 2.

Besondere

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401 405 406 406 407 407 407 408 409 409 409 409 410 410 410 410 411 411 411 412 418 419 419 420 424 425 427 428 428 429

Functionen.

A . E l e m e n t a r e F u n c t i o n e n (einschliesslich d e r G a m m a f u n c t i o n e n und d e r hypergeometrischen Reihen). E . S c h u l z e . D i e v i e r t e R e c h e n s t u f e . (2 A r b e i t e n ) F. R o g e l . Ein Discontinuitätsfactor A. D u m o u l i n . N o t e s u r le d é v e l o p p e m e n t en s é r i e d e s f o n c t i o n s sinus, c o s i n u s e t d e la f o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e M. d ' O c a g n e . M é t h o d e n o u v e l l e p o u r c a l c u l e r s i n m o e t c o s ma en fonction d e sin a et d e c o s o M. d ' O c a g n e . S u r le d é v e l o p p e m e n t d e s i n r u p e t d e COBtup. . . .

431 434 434 434 434

Inhaltsverzeichnis.

XXXV

F. Rogel. Die Entwickelung der Exponentielles in eine unendliche Factorenfolge F . Rogel. Darstellung der harmonischen Reihen durch Factorenfolgen T.-J. S t i e l t j e s . Sur la fonction exponentielle 0 . Yen eke. Ueber eine Abänderung des ersten Hermite'schen Beweises für die Transcendenz der Zahl e J. Molk. Exposition de la démonstration, donnée par M. Weierstrass de ce théorème: n est un nombre transcendant J. J . S y l v e s t e r . Sur le rapport de la circonférence au diamètre . J. J . S y l v e s t e r . Preuve que n ne peut pas être racine d'une équation algébrique à coefficients entiers L. P o c h h a m m e r . Zur Theorie der Euler'schen Integrale W. A. S t e k l o f f . Interpolation einiger Producte W. P. A l e x e i e w s k y . Ueber die Functionen, welche den GammaFunctionen ähnlich sind N. J. S o n i n e . Die Darstellung des Logarithmus und der Euler'schen Constante durch bestimmte Integrale A. W. L e t t n i k o f f . Ueber die hypergeometrischen Functionen höherer Ordnungen D. M. S in tz e ff. Ueber die Bernoulli'schen Functionen mit fractionärem Index F. K l e i n . Ueber die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe. (3 Noten) A. H u r w i t z . Ueber die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe . J . K l e i b e r . Empirische Formeln B. E l l i p t i s c h e F u n c t i o n e n . 6 . A. H a l p h e n . Traité des fonctions elliptiques. III E. H. M o o r e . Note concerning a fundamental theorem of elliptic functions O. K ö n i g s . Sur un point de la théorie des fonctions elliptiques . . P . A p p e l l . Sur les fonctions elliptiques J. P . T e i x e i r a . Estudo sobre as fnncçôes duplamente periodicas de terceira especie J . P. D o l b n i a . Sur les intégrales pseudo-elliptiques d'Abel . . . . J . P. D o l b n i a . Ueber die Abel'schen pseudoelliptischen Integrale . J . P. D o l b n i a . Analogie zwischen den elliptischen und trigonometrischen Functionen M. A. T i c h o m a n d r i t z k y . Die Entwickelungen der trigonometrischen und elliptischen Functionen J . W. L. G l a i s h e r . Expansions of K, I, G, E in powers of k'2—k1 G. F. C h i l d e . On a direct relation between the definite elliptic integrals of the first and second order O K I J. W. L. G l a i s h e r . On the expansion of -=- etc A 17 xt G. Z u r r i a . Sulla espressione degl' integrali ellittici in integrali definiti E. P i c a r d . Sur l'inversion de l'intégrale elliptique G. T o r e l l i . Estensione d'un teorema di Riemann relativo al quoziente degl' integrali ellittici completi di 1» specie G. V a l l e . Sopra un caso particolare di trasformazione delle funzioni ellittiche H. P. M a n n i n g . Reduction of the elliptic integral A. Cay ley. A transformation in elliptic functions W. B o c k . Combinatorische Ableitung einiger Formeln der 6-Functionen 0*

Seite

435 435 435 437 437 437 437 439 439 439 441 443 443 444 446 446 447 448 448 448 449 449 449 450 450 450 451 451 451 452 453 453 454 454 455

XXXVI

Inhaltsverzeichnis.

F e l i x K l e i n . Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modnlfunctionen. Ausgearb. von R o b . P r i c k e . I W. W i r t i u g e r . Bemerkung über die elliptischen Modulfunctionen . A. C a y l e y . Note on Schlaefli's modular equation for the cubic transformation A. C a y l e y . Sur l'équation modulaire pour la transformation de l'ordre 11 L. K i e p e r t . Ueber gewisse Vereinfachungen der Transformationsgleichungen in der Theorie der elliptischen Functionen . . . . G.B. M a t h e w s . Complex multiplication of elliptic functions for the determinants —53 and —61 R. R a s « e l l . On modular equations A. G. G r e e n h i l ) . Table of complex multiplication moduli . . . . M a r t . K r a u s e . Ueber die Multiplication der doppelt-periodischen Functionen zweiter Art M a r t . K r a u s e . Ueber die Differentialgleichungen, denen die doppelt-periodischen Functionen zweiter Art Genüge leisten. I-III M a r t . K r a u s e . Ueber die Entwickelung der doppelt-periodischen Functionen dritter Art in trigonometrische Reihen. IV . . . . L. K r o n e c k e r . Zur Theorie der elliptischen Functionen W. S c h e i b n e r . Ueber elliptische Doppelsummen F. C a s p a r y . Sur les relations qui lient les éléments d'un système orthogonal aux fonctions thêta et sigma W . B u r n s i d e . On the differential equation of confocal sphero-conics G. P e a n o . Valori approssimati per l'area di un ellissoide . . . . 0 . F u l s t . Bestimmung des Flächeninhalts des Mantels eines schiefen Kegels mit elliptischer Grundfläche J . A. M a r t i n s d a S i l v a . Sur trois formules de la théorie des fonctions elliptiques f W . K r i m p h o f f . Ueber eine neue Curvengattung, welche aus der leroniskatischen Function entspringt 0.

H y p e r e l l i p t i s c h e , A b e l ' s c h e und v e r w a n d t e

Seite

455 464 4(54 465 405 466 466 4157 467 463 470 471 477 479 481 481 482 483 483

Functionen.

P. B a u m e r t . - Ueber die ultraelliptischen Integrale der dritten Ordnung. II T o r o p o f f . Ueber eine Transformation der hyperelliptischen Integrale J . P t a s z y c k i . Ueber die Reduction einiger Abel'schen Integrale . E. P i c a r d . Snr le nombre des intégrales abéliennes de l r e espèce H. S. W h i t e . Ueber zwei covariante Formen aus der Theorie der Abel'schen Integrale . . . F r . B r i o s c hi. Ueber die Reihenentwickelung der geraden Sigmafunetionen zweier Veränderlichen F. C a s p a r y . Sur une nouvelle méthode d'exposition de la théorie des fonctions thêta J . S c h r ö d e r . Ueber den Zusammenhang der hyperelliptischen aund • ^-Functionen. (2 Arbeiten) . . . H. B u r k h a r d t . Untersuchungen aus dem Gebiete der hyperelliptischen Modulfnnctionen. I W. W i r t f n g e r * Ueber eine Verallgemeinerung der Kummer'schen Fläche E. P a s c a l . Sulla teoria delle funzioni a abeliane pari a tre argo. menti E. P a s c a l . Sopra le funzioni iperellittiche di I a specie per p = 2 E. P a s c a l . L'equazione razionale della superficie di K u m m e r . . . H. A r n s t e i n . Fonctions abéliennea du genre 3 .

483 484 484 485 486 486 487 487 488 491 491 492 492 492

Inhaltsverzeichnis.

XXXVII Seite

E. S c h l e i c h e r . Darstellung and Umkehrung von Thetaquotienteo, deren Charakteristiken ans Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind 493 A. VOD B r a u n m ü h l . Ueber Gruppen von />-reihigen Charakteristiken, die ans n'ln ganzer Zahlen gebildet sind . 493 F. S c h o t t k y . Zur Definition des Systems der 4? geraden and angeraden Thetafunctionen 495 F. S c h o t t l j y . Ueber die charakteristischen Gleichungen symmetrischer ebener Flächen und die zagehörigen Âbel'schen Functionen 496 F. K l e i n . Zur Theorie der Abel'schen Functionen 498 M. N o e t h e r . Zar Theorie der Âbel'schen DiCferentialausdrücke und Functionen 501 D. K u g e l - und v e r w a n d t e F u n c t i o n e n . J . D ou gali. On a certain expression for a spherical harmonie . . 503 Oh. H e r m ite. Sur les polynômes de Legendre 503, 504 F. C a s p a r y . Sur quelques formules relatives aux fonctions sphériques 506 R. Fuji-sawa. Note on a new formula in spherical harmonies. . . 506 E. B e l t r a m i . Quelques remarques au sujet des fonctions sphériques 500 Ch. H e r m i t e . Sur les racines de la fonctiob sphérique de 2« espèce 508 T -J. S t i e l t j e s . Sur les racines de la fonction sphérique de 3 e espèce . . . . . . 508 T.-J. S t i e l t j e s . Sur la valeur asymptotique des polynômes de Legendre . . 511 T.-J. S t i e l t j e s . Sur les polynômes de Legendre 511 J. F r i s c h a u f . Zur Theorie der Kugelfunclionen 514 H. J. S h a r p e . Note on Legendre's coefficients 514 G. P l a r r . On the transformation of Laplace's coefficients 515 I). W. N i v e n . On ellipsoidal harmonies 516 F. K l e i n . Zur Theorie der Lamé'schen Functionen 516 H. W e b e r . Zur Theorie der Bessel'schen Functionen 518 E. M e i s s e l . Ueber die Bessel'schen Functionen B, A = A', B = B', so ist A' > B ' ; b) ist A> B, so ist B CA; c) ist A ^ B, B > C, so ist A > C; d) ist A> B, so ist S(A, C) > S(B, C). Die erste Abteilung der vorliegenden Abhandlung ist der allgemeinen Theorie der Klassen von Grössen gewidmet. Wollten wir dem Verfasser durch alle Einzelheiten folgen, so müssten wir zuerst eine Menge neuer Benennungen darlegen, was uns schon zu weit führen würde. Wir beschränken uns also darauf, einen sehr wichtigen Punkt hervorzuheben. Die eindimensionalen

I. Abschnitt. Geschichte and philosophie.

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Klassen zerfallen in zwei „Arten", j e nachdem sie dem sogenannten Archimedischen Axiome gehorchen oder nicht; und Herr Bettazzi stellt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür auf, dass eine Klasse der ersten Art angehöre. Die bisher wenig bekannten Klassen zweiter Art, von denen ein Beispiel durch den Inbegriff der Ordnungen des Unendlichweidens aller möglichen Functionen dargeboten wird, werden hier einem eingehenden Studium unterworfen. Die zweite Abteilung beschäftigt sich mit der Anwendung der allgemeinen Theorie auf eine besondere Familie von Grössen, d. i. auf die Zahlen. J e nachdem zwei Grössen A, B gleich oder ungleich sind, kann man s a g e n , sie haben gleiche oder ungleiche Zahl. Man ordnet dadurch jeder Grösse ein neues Object (Zahl) zu; und man kann immer über das Gleich- und Ungleichsein von zwei Zahlen entscheiden, sobald man die zu Grunde gelegte Klasse von Grössen vollkommen kennt. Die Zahlen können also als Grössen angesehen werden; man sagt, dass sie die ihnen zugeordneten Grössen „messen". Das Eigentumliche an ihnen ist aber, dass eine und dieselbe Zahlenklasse zur Messung unendlich vieler verschiedenen Klassen von Grössen dienen kann, — aller derjenigen Klassen nämlich, deren Elemente derart ein-eindeutig einander zugeordnet werden können, dass die Resultanten entsprechender Grössen sich gegenseitig entsprechen. So können insbesondere alle eindimensionalen Klassen erster Art durch die gemeinen reellen Zahlen gemessen werden. Die Abhandlung schliesst mit einem Anhange, in dem der Zahlbegriff direct, d. i. ohne Vermittelung des Grössenbegriffes, eingeführt wird. Eine ausführliche Recension der Bettazzi'schen Schrift wurde vom Berichterstatter in Darboux Bull. (2) XV. 53-68 gegeben. Vi.

H.

KEFERSTEIN.

Ueber den Begriff der Zahl.

Hamb. Mitt.

II. 119-125.

Keferstein sucht gegen Wundt, sich auf Frege (Die Grund-

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

73

lagen der Arithmetik 1884) und auf Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen? 1888) stützend, die Möglichkeit einer rein logischen Definition des Zahlbegriffs nachzuweisen, der wohl mehr mit Recht ein reiner Verstandesbegriff heissen dürfte als alle Kategorien, und den j a auch Wundt als die abstracteste Form, in der das Gesetz des discursiven Denkens zum Ausdruck kommt, anerkennt. Mi.

E.

SCHRÖDER.

Ueber das Zeichen.

Festrede,

G. B r a a -

sche Hofbuchdr. 24 S. gr. 8°.

Das Zeichen, zunächst in allgemeinster Bedeutung als Mittel der Verständigung, wird unter steter Berücksichtigung seiner culturgeschichtlichen Bedeutung in seinen wichtigsten Entwickelungsstufen als Naturlaut, Sprache, Schrift und Druck vorgeführt, wobei die mannigfachsten sonstigen Arten der Mitteilung (auch in der Tierwelt) wenigstens gestreift werden. Dann wendet sich die Rede zu den Anforderungen, welche die Denkoperationen an ihr Werkzeug, die Sprache, stellen, und verbreitet sich über die verschiedenen Versuche, nach dem Muster der mathematischen Zeichenschrift eine solche internationale Sprache auch für das allgemeine Denkgebiet herzustellen, wozu in der neueren mathematischen Darstellung der Logik wenigstens der Anfang gemacht ist. Die geistvolle, von allen Seiten her interessantes Detail heranziehende Darstellung des Stoffes macht diese Rede zu einer ebenso anziehenden wie anregenden Leetüre. Schg.

E.

SCHRÖDER. Vorlesungen über die Algebra der Logik. (Exacte Logik). I. Leipzig. B. G. Teubner. XII u. 717 S. 8°. Berichtigung hierzu. Math. Ann. xxxvi. 602.

Durch das vorliegende Werk löst der Verfasser das im Vorwort zu seinem „Operationskreis des Logikkalküls" gegebene Versprechen ein, eine ausführliche Darstellung jener bedeutsamen Untersuchungen zu geben, durch welche die Logik zum Range einer exaeten Wissenschaft erhoben worden ist. Mit Recht darf der Verfasser seiner Arbeit heute diesen stolzen Titel

74

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

voransetzen; denn während damals (1877) in den einschlägigen Werken von Boole und R. Grassmann nur erst die kaum beachteten Grundlagen der mathematischen Logik vorhanden waren, wird uns hier ein Handbuch geboten, welches, indem es die eigenen bahnbrechenden Untersuchungen des Verfassers und die Leistungen zahlreicher anderer Autoren zu einem einheitlichen System zusammenfasst, bereits das Bild einer nach den verschiedensten Richtungen hin ausgebauten Wissenschaft gewährt. Und bei aller Anerkennung der Verdienste, welche sich moderne Forscher wie Trendelenburg, Drobisch, Wundt um die Logik erworben haben, zeigt sich jetzt doch, dass es erst der mathematischen Behandlung vorbehalten war, den von Alters her auf ihr lastenden Bann der Stagnation zu brechen und ihr Gebiet in ungeahntem Masse zu erweitern und zu vertiefen. — Wenn der Verf. sich mit seinem Werk vermittelnd an die Mathematiker und Philosophen wendet, so haben wir gegenwärtig um so mehr Grund, diesem Streben Erfolg zu wünschen, j e lebhafter sich die Philosophie gegen die Fortschritte wehrt, welche ihr von der Mathematik hinsichtlich des Raumbegriffes aufgenötigt werden. Aber auch für vergleichende Sprachwissenschaft erwachsen aus den zahlreichen neuen Gesichtspunkten, welche sich jetzt eröffnen, anziehende und lehrreiche Probleme. Vor allem dürfte hier nach Ansicht des Ref. zum ersten Male der wissenschaftliche Boden gewonnen sein für eine Abwägung der logischen Vorzüge zweier Sprachen gegen einander. Doch dies nur nebenbei. Wenden wir uns nun zu den Einzelheiten des Inhalts. Eine umfangreiche Einleitung enthält Vorbetrachtungen über Thatsachen und Aufgaben des Denkens, über Zeichen und Namen und über die Grundbegriffe der Logik. Schon hier, wie auch im weiteren Verlaufe der Darstellung, wird ein über Erwarten umfangreiches Gebiet täglicher Erfahrungen im Denken und Sprechen in Anspruch genommen, um Beispiele zu liefern für Fragen und Unklarheiten, zu deren Lösung die Logik berufen ist. Es ist ein Gegenstand besonderer Sorgfalt des Verfassers gewesen, hierdurch den trockenen Stoff in anziehender Weise zu beleben und uns gleichzeitig die Wissenschaft

(Japitel 2.

Philosophie and Pädagogik.

75

in ihrer neuen Gestalt als eine eminent praktische vor Augen zu führen. Der in 14 Vorlesungen gegliederte Stoff des vorliegenden ersten Bandes erstreckt sich im wesentlichen über Inhalt und Umfang von Begriffen und die darauf bezüglichen Urteile („Gebietekalkül" im Gegensatz zu dem im zweiten Bande behandelten „Aussagenkalkül"). Von fundamentaler Bedeutung ist die Operation der „Einordnung" (Subsumtion), die einzige, welche ein neues Zeichen erfordert. So ist z. B. der Begriff Gold (o) eingeordnet dem Begriffe Metall (6). In Zeichen ausgedrückt: aLb. Formell betrachtet, kommt der ganze Logikkalkül, so weit er hier dargestellt ist, zu Stande durch consequente Durchführung des Unterschiedes zwischen den beiden Zeichen der Einordnung und Gleichheit. Verschiedene mathematische Anwendungen, z. B. auf mehrdeutige Zahlenausdrücke, ergeben sich unmittelbar. Vor allem aber gründen sich auf die Unterscheidung von Subsumtion und Gleichheit wesentliche Unterschiede der einfachen Urteile nach Inhalt und Form. Die Mehrdeutigkeit vieler sprachlichen Urteile tritt in helles Licht, und die Logik löst hier die Aufgabe, die verschiedenen Deutungen zu sondern. Veranschaulicht wird die Subsumtion durch die Euler'schen Diagramme. Grundlage der mathematischen Logik ist der „identische Kalkül". Aus einer Mannigfaltigkeit beliebiger Elemente (z. B. Punkte einer ebenen Tafel) werden irgend welche Zusammenstellungen von Elementen (z. B. Figuren) herausgenommen, „Gebiete" genannt und durch Buchstaben bezeichnet. Mit diesen Buchstaben rechnet der identische Kalkül. Dieselben können aber nicht nur stetige, aus Elementen gebildete Gebiete darstellen, sondern auch discrete, aus Individuen gebildete „Klassen", ferner Begriffe, Urteile, Schlüsse, Gleichungen, Kalküle, Gruppen u. s. w. Hierdurch erlangt der identische Kalkül seine universale Anwendungsfähigkeit. — An der Spitze des Kalküls stehen die beiden Principien: aLa, und: Wenn aLb und bLc, so ist auch oXc. Die Null bedeutet ein Gebiet, welches jedem

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I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Gebiete, und die Eins ein Gebiet, welchem jedes Gebiet eingeordnet ist. — Die Rechnungsarten des identischen Kalküls s i n d : Multiplication, Addition (mit den Eigenschaften der gleichen arithmetischen Rechnungen) und Negation (in welchen Specialfall die in ihrer Allgemeinheit überflüssigen Rechnungen der Subtraction und Division zusammenfliessen). Zur Erklärung von Product und Summe dienen die Sätze: Wenn cLa und clb, so gilt: cLab. Wenn aLc und 6 i c , so gilt: a + blc. Hiermit ist das Product als Prädicat, die Summe als Subject definirt. Ferner ist ab das zwei Gebieten a und b gemeinsame Gebiet, a-\-b dasjenige, zu welchem sie sich gegenseitig ergänzen. Sind a und b Zahlen, so entspricht ab dem grössten gemeinsamen Factor, a-\-b dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen. — Die weitere Discussion dieser Rechnungen und der für sie geltenden Theoreme liefert Material zur Aufdeckung einer Reihe gewohnter Nachlässigkeiten im Gebrauch der Sprache. Excurse wie derjenige Uber die Mehrdeutigkeit des Wortes „oder" in den modernen Sprachen gegenüber der exacten Unterscheidung, welche hier die lateinische Sprache trifft, dürften geeignet sein, so manchen Fanatiker der modernen antiklassischen Richtung zu ernüchtern. — Weiter sind hervorzuheben die Tautologiegesetze a-\-a = a und a-a = a. Merkwürdigerweise zeigt sich das Distributivgesetz in der Form a(b -f c)Lab-\- ac als unbeweisbar. Es wird als Princip aufgestellt, welches für den identischen Kalkül Geltung hat, nicht aber für den „logischen Kalkül mit Gruppen" (z. B. von Functionalgleichungen, Algorithmen oder Kalkülen). Ein weiterer Abschnitt ist den Regeln der Negation gewidmet. Hier finden auch der Satz des Widerspruchs, des ausgeschlossenen Dritten und die logischen Einteilungen ihre Stelle. Ein dualistisches Princip gilt hinsichtlich der Zeichen 0 und 1, mal und plus, sowie derjenigen für Ueber- und Unterordnung. — Die Functionstheorie gründet sich auf die Sätze: Jedes Gebiet y lässt sich durch jedes andere Gebiet x und dessen Negation linear und homogen ausdrücken. Jede Function von x lässt sich als lineare Function von x darstellen. — Auf den Unterschied zwischen

Capitel 2.

Philosophie and Pädagogik.

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Gleichungen und Formeln, zwischen speciellen und allgemeinen Bedeutungen der Buchstaben gründet sich nun auch die Klassification der Urteile (Propositionen) einerseits in synthetische und analytische, andererseits in specielle und allgemeine. Das analytische Urteil sagt Selbstverständliches aus und stellt, wenn es allgemein ist, Gesetze des Denkens dar, innerhalb deren eine Umformung gegebener Ausdrucksweisen gestattet ist. Das synthetische Urteil giebt neue Aufschlüsse über die Klassen oder Gebiete, von denen es handelt. Sofern es allgemein und nicht etwa absurd ist, lässt es sich durch Einsetzen gewisser specieller Bedeutungen (Wurzeln) an Stelle der allgemeinen in ein richtiges specielles Urteil verwandeln. Beiläufig erweisen sich hier die Wahrheiten der Mathematik, wenn sie Zahlen betreffen, als analytische, die der-Geometrie dagegen als synthetische. Hierdurch bestätigt sich auch die Grassmann'sche Auffassung der Geometrie als einer angewandten Wissenschaft. Es folgen nun die Auflösungen der Propositionen (Gleichungen) und die damit zusammenhängenden Eliminationen, wobei die Abweichungen des logischen Kalküls vom algebraischen sich mehr geltend machen als vorher. Dem vorstehend skizzirten Gange der Hauptuntersuchung schliesst sich, in Form von Zwischenbetrachtungen oder Anhängen, noch allerlei dankenswertes Beiwerk an. Wiederholt setzt der Verfasser ausführlich auseinander, warum er diesen und nicht einen andern Weg einschlägt, rechtfertigt nachträglich sein Vorgehen, weist Wege, deren Vernachlässigung dem Leser auffallen muss, als überflüssig oder unfruchtbar zurück, wird den abweichenden Darstellungen desselben Gegenstandes bei fremden Autoren gerecht und giebt ein reiches Material von Anwendungen und von teilweise ausführlich gelösten Aufgaben. Dieses Material ist geeignet, die Ueberlegenheit der rechnenden Methode gegenüber der bisherigen schulmässigen, verbalen Ueberlegungsweise in überzeugender Weise darzuthun. Die Anhänge geben weiteres Detail über Multiplication und Addition und verbreiten sich ausführlich Uber den oben erwähnten logischen Kalkül mit Gruppen.

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I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Unser Urteil zusammenfassend, müssen wir sagen, dass der allgemeine Charakter der mathematischen Behandlung für die Wissenschaft der Logik die Möglichkeit einer fruchtbaren Weiterentwickelung geschaffen hat, dass ferner die Schärfe der mathematischen Behandlung, welche die feinsten Unterschiede im Denken zum Ausdruck bringt, den Wert dieser Wissenschaft für die Schärfe und Klarheit des Denkens schon in ihren hier erst vorliegenden Elementen ganz erheblich gesteigert hat, und dass hier die ersten selbständigen, verheissungsvollen Schritte einer bisher von der Philosophie am Gängelbande geführten Wissenschaft vorliegen. — Unfruchtbare Nebenwege aber werden hier gerade so wie in der Mathematik als solche erkannt und verlassen werden. — Dass es dem Verfasser gelungen ist, in einer tiberall leicht verständlichen und nirgends langweilenden Weise ein Handbuch der mathematischen Logik herzustellen, gereicht nicht weniger dem Gegenstande zur Empfehlung wie ihm selbst zum Verdienst. Litteraturverzeichnis und Namenregister beschliessen den stattlichen Teubner-Band. Durch die in den Math. Ann. enthaltene Bemerkung wird eine, Miss Ladd betreffende, Litteraturangabe nachgeholt. Schg.

A.

NAGY.

Fondaraenti

del

calcolo

logico.

Batt. G.

X X V I I I . 1-35.

Der Verfasser findet, dass die Grundbegriffe des logischen Kalküls von den Autoren nicht völlig klargestellt seien; hieraus ergeben sich Zweifel über den Gültigkeitsbereich der logischmathematischen Gesetze. Er unterzieht daher jene Grundbegriffe einer Revision, definirt (nach Grassmann) die „logischen Grössen", stellt drei Postulate für dieselben auf und entwickelt kurz die Grundoperationen mit diesen Grössen. Ebenso werden die „logischen Elemente" behandelt, die Mannigfaltigkeiten („logischen Räume") und Klassen. Der Verfasser erreicht hierbei einen noch engeren Anschluss der logischen Methoden an die mathematischen und eine umfangreichere Verwendungsfähigkeit der letzteren. Der von Schröder aufgestellte Dualismus findet sein

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

79

Gegenbild in der geometrischen Reciprocität des Schneidens und Projicirens im mehrdimensionalen Räume. Die logischen Grössen sind durch Kreise, die Elemente durch Punkte repräsentirt, die logischen Räume durch geometrische, die logischen Grössen und Klassen durch Summen von Elementen. Das Element selbst erscheint als Produci seiner Merkmale. Beispiele werden zumeist den Gebieten der Töne und Farben entnommen. Schg. A . NAGY. logiche.

S u l l a r a p p r e s e n t a z i o n e g r a f i c a delle q u a n t i t à Rom. Acc. L. Rend. (4) VI 2 . 50-55, 373-378.

Die Euler'sche Darstellung logischer Grössen und ihrer Beziehungen durch Kreise in der Ebene verliert, wie Bolzano und Venn gezeigt, ihre Gültigkeit, sobald es sich um mehr als drei Grössen handelt. Dagegen ist die Definition eines logischen Elementes durch n Merkmale analog der Bestimmung eines Punktes durch n Coordinaten im re-dimensionalen Räume. Wird nämlich eine logische Grösse zunächst in der Ebene durch einen Kreis mit dem Mittelpunkte C, und eins ihrer Merkmale durch einen Punkt P innerhalb des Kreises dargestellt, so kann die Intensität des Merkmals dem Abstände des Punktes von der Peripherie proportional gesetzt werden. Die Lage des Punktes P lässt sich alsdann durch 2 Coordinaten bestimmen, die für unendlich grossen Abstand PC in gewöhnliche cartesische Coordinaten übergehen. — Hierdurch ist die Aufgabe der exacten graphischen Darstellung logischer Grössen in der Ebene zurückgeführt auf die Aufsuchung einer eindeutigen und umkehrbaren Beziehung zwischen dem n-dimensionalen Räume und der Ebene. Schg. A. B. KEMPE. On the relation between the logical t h e o r y of classes a n d the g e o m e t r i c a l t h e o r y of p o i n t s . Lond. M. S. Proc. XXI. 147-182.

Anwendung des in der mathematischen Logik Algorithmus auf Symbole von der Form ab • c und mit zusammenhängende. Resultante der Symbole ca • x hcisst der Ausdruck [a&c]. Ist c constant, a

verwendeten ähnliche daab • x, bc • x, und b varia-

I. Abschnitt.

80

Geschichte und Philosophie.

bei, so kann die Resultante als Function von a und b angesehen werden. Hiermit begründet der Verfasser eine „primitive Algebra". Bedeuten a, 6, c Klassen (oder auch Urteile), so drttckt ab'c aus, dass c in a-\-b, und ab in c enthalten ist, was durch zwei sich schneidende Kreise a, b und den kleinsten durch ihre Schnittpunkte gehenden Kreis c veranschaulicht wird. Bedeuten a, b, c Punkte einer Geraden, so drückt ab • c aus, dass c zwischen a und b liegt. Nach diesen beiden Richtungen hin wird ein Teil der zahlreichen, zuerst abstract entwickelten Formeln interpretirt. Schg. A.

Investigaciones filosofico-mathematicas las cantidades imaginarias. FOLA.

sobre

In diesem Werke untersucht der Verfasser den Begriff der imaginären Zahl und erzählt von der Geschichte und Kritik der philosophischen und mathematischen Theorien, zu denen dieser Gegenstand den Anlass gegeben hat. Tx. (Lp.)

G. CANTOR. Zur L e h r e v o m Transfiniten. Gesammelte Abhandlungen. 1 . Abteilung. Halle a. S. c. E. M. Pfeffer. 92 S. 8°. (Sonderdruck.)

J . DELSAULX.

Quelques applications du calcul des pro-

babilités à la démonstration morale.

de vérités

de

certitude

Rev. des Quest. sc. XXVIII. 5-36.

J . DELSAULX.

La probabilité philosophique et la nature

cinétique de la chaleur.

Rey. des Quest. se. XXVIII. 484-516.

Betrachtungen über die objective Tragweite der Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst verschiedenen Anwendungen. Aehnliche Betrachtungen über den Grad der Gewissheit der kinetischen Wärmetheorie. Mn. (Lp.) G . GARBIERI.

Discorso.

L a matematica n e l l o sviluppo delle scienze. Genova.

Capitel 2.

A. KÖPCKE. auffassung.

81

Philosophie und Pädagogik.

Ueber empirische und idealisirende R a u m Pr. Realsch. Altona-Ottensen.

Die idealisirende euklidische Geometrie, die von Flächen ohne Dicke, Linien ohne Breite, Punkten ohne Ausdehnung redet, wird von den modernen, auf dem Boden des Empirismus stehenden Mathematikern verworfen, die sich auf die Betrachtung der aus der Erfahrung gewonnenen wirklich vorstellbaren Körper beschränken zu wollen erklären und den euklidischen Gebilden den Vorwurf des Nichtvorhandenseins und der Nichtvorstellbarkeit machen. Aber die in den euklidischen Definitionen geforderte Realisirung der Eaumgebilde wird auf die Dauer von keinem Mathematiker ganz vermieden. Bei empirischer Auffassung construirt man nur mit nicht immer klein zu nennenden Körpern, ohne den Unterschied ihrer noch erkennbaren Teile zu berücksichtigen, während man in der idealisirenden Auffassung immer mit so kleinen Körpern construirt, dass ihre Teile nur mit Mtthe zu unterscheiden sind, und diese so behandelt, als ob sie gar keine Teile hätten. Die Gebilde der idealisirenden Geometrie existiren allerdings nicht als Anschauungen oder als Begriffe, wohl aber als Anschauungsgrenzen im Vorstellungskreise eines jeden Menschen. Der Empirist gerät bei dem Versuch, die Teilbarkeitsgrenze zu bestimmen, leicht in Schwierigkeiten, welche die idealisirende Raumauffassung am leichtesten hebt. Der Idealist setzt von vorn herein in den Erklärungen voraus, dass einem geometrischen Lehrsatz in Wirklichkeit nichts mit der ausgesprochenen Genauigkeit entsprechen kann, und dass über den höchsten in der Natur möglichen Grad von Genauigkeit nichts bekannt ist; der Empiriker muss sich diese Beschränkungen bei jedem einzelnen Satze denken, ohne doch hoffen zu können, dadurch etwas Neues zu erreichen. Erst dann käme eine wirklich neue empirische Geometrie zu Tage, wenn auf Grund einer Beobachtung oder einer Hypothese ein höchster in der Natur möglicher Grad von Genauigkeit constatirt wäre, z. B. der pythagoreische Lehrsatz als bis nur zu einer gewissen Decimalstelle anwendbar nachgewiesen würde. Der Versuch, die Geometrie zu einer echten Naturwissenschaft zu machen, ist so Fortgcbr, i. Math. XXII. 1.

6

82

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

lange unausführbar, als es zweifelhaft bleibt, ob wir die Eigenschaften unseres Raums ebenso durch Beobachtung kennen lernen, wie die Naturgesetze. Mi.

M.

RASCHIG.

Geometrie.

Erkenntnistheoretische Einleitung in die Pr. Gymn. Schneeberg.

In einfacher und klarer psychologischer Entwickelung leitet Raschig unter Zugrundelegung der nicht unbegründet gelassenen Hypothese einer sich in uns spiegelnden Aussenwelt die Grundlagen der Geometrie ab. Er sucht zu beweisen, dass zu der Entwickelung der geometrischen Begriffe die Erfahrung gehört, dass aber zu den empirischen Grundlagen durch die geforderte Gesetzmässigkeit der Gebilde ein apriorisches Element hinzutritt. Er bespricht die Abstractionen, durch welche die Klassenformen geometrischer Gebilde (Körper, Fläche, Linie, Punkt) gewonnen werden, und zeigt, wie die rein geometrischen Formen erst durch ein Bildungsgesetz unter Zugrundelegung des Princips der Bewegung entstehen. Die Natur kommt durch eine in ihr waltende Tendenz der Bildung gesetzmässiger Körper unserer Raumphantasie entgegen; Vernunft, jene Tendenz erkennend, postulirt die Identität derselben und fordert auf Grund einer Unendlichkeitsinduction strenge Allgemeinheit geometrischer Lehrsätze. An der Geraden, dem Zusammenhang der Geraden und der Ebene und dem elften Axiom Euklid's, für das Raschig das von Günther formulirte Axiom setzt, werden speciell die Grundlagen der euklidischen Geometrie erörtert. Mi.

H.

GISEVIUS. Kant's Lehre von Raum und Zeit, kritisch beleuchtet vom Standpunkte des gemeinen Menschenverstandes aus. Hannover. Heiwerg. 38 S. 8°.

J.

Los fondamentos de la geometría j el conocimiento del espacio. Soc. Argentinea XXX, XXXI. DUCLOUT.

Capitel 2.

Philosophie and Pädagogik.

83

Vortrag vor der Argentinischen wissenschaftlichen Gesellschaft zur Erläuterung der Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie, sowie der vornehmsten bekannten geometrischen Untersuchungsmethoden. Tx. (Lp.)

A.

NAGT. Sulla recente questione intorno alle dimensioni dello spazio. Rivista Italiana di Filosofia. Anno V. Volume I. 120-151.

Herr Nagy behandelt abermals die so oft und so stark bestrittene Frage der Existenz einer vierten Dimension des Raumes. Seine treffliche Kenntnis der Litteratur Uber diesen Gegenstand erhellt aus dem § I seiner Arbeit, wo er im raschen Laufe die bezüglichen Schriften vorführt; er belehrt insbesondere uns Mathematiker, in welchem Masse und auf welche Weise sich nicht nur die Philosophen, sondern auch die Theologen mit diesem Thema beschäftigt haben; ferner setzt er den Anteil in ein klares Licht, welchen besonders Kant und Zöllner an der Formulirung der genannten Frage hatten. Und wir Mathematiker werden eine neue und nicht minder interessante Belehrung im § 1 1 finden, wo die schönen Erfahrungen dargelegt werden, welche einige Physiologen bei dem Nachweise gemacht haben, dass wir nur nach und nach den Begriff einer dritten Dimension in unserem Räume erwerben; dadurch wird man zu der Annahme geführt, es sei nicht unmöglich, dass es gelinge, dass wir durch eine grössere Verfeinerung der Organe unserer Sinne eine vierte Dimension in unserem Räume wahrnehmen. Uebrigens haben die Dinge zu ihrem Wesen gehörende innere Eigenschaften, welche doch auf irgend eine Art durch uns wahrgenommen werden, die von unserem eigenen Organismus abhängt: wer kann daher versichern, dass die Unmöglichkeit der Wahrnehmung einer vierten Dimension in unserem Räume gerade von unserer Leibesbeschaffenheit nicht abhänge? Die Nützlichkeit einer vierten Dimension, um einige unerklärliche Verschiedenheiten zwischen Planimetrie und Stereometrie wegzuschaffen, ist schon durch Kant und Zöllner betont; ihre Brauchbarkeit, um beifallswtlrdige 6*

84

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Erklärungen anderer durch die Krystallographie und die Chemie dargebotenen Erscheinungen zu finden, wurde ebenfalls durch Zöllner selbst und dann durch Mach bemerkt. Herr Nagy setzt diese Bemerkungen auf's neue sehr klar in den §§ III und IV seiner Arbeit auseinander, um jedoch zu schliessen, dass dieselben keine zureichenden Elemente liefern, um eine bejahende Antwort auf die Frage zu geben: „Soll man dem Räume eine vierte Dimension zuschreiben?" Mit vollem Rechte folgt er Zöllner zur Untersuchung neuer Entscheidungselemente nicht in die Spiritistik und macht (§ V) eine neue Definition der vierten Dimension bekannt', welche Eduard Wagener auf ßrund dynamischer Betrachtungen vortrug, welche aber die vorgelegte Aufgabe nicht löst. Nachher schliesst er endlich (§ VI), dass man nur Gründe hat, um die Möglichkeit einer vierten Dimension anzunehmen. Und auch wir glauben, dieses sei die einzige Behauptung, welche man heute mit Recht aufstellen darf: bescheiden sollen wir bei dieser Gelegenheit das berühmte Ignoramus des Herrn du Bois-Reymond wiederholen; aber es wäre etwas gefährlich, das nicht minder berühmte Ignorabimus desselben Physiologen beizufügen. La. F.

HAFT.

La quarta dimension.

Soc. Argentinea

xxx.

Vortrag vor der Argentinischen wissenschaftlichen Gesellschaft. Der Verf. schildert die Entwickelung der Gedanken bei den Geometern und bei den Philosophen in Bezug auf die Art, sich in der Geometrie eine vierte Dimension vorzustellen. Tx. (Lp.) V.

R . FONTANA.

matiche.

Genova.

Saggio sul riordinamento delle mateStabilimento Tipo-lit. Forense.

Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels. (1755.) Hrsg. von H. Ebert. (Ostwald's Klassiker der exacten Wissenschaften. 12.) Leipzig.

I. KANT.

W. Engelmann. 101 S. 8°.

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

85

Der neue Abdruck von Kant's allgemeiner Naturgeschichte und Theorie des Himmels dürfte die wichtige Abhandlung einem weiteren Leserkreise zugänglich machen. Der Wert des Abdrucks beschränkt sich aber dadurch, dass der Herausgeber die vierte, nach Kant's Tode erschienene Auflage zu Grunde gelegt und sich Kürzungen und Abänderungen erlaubt hat, auch keine Entstehungsgeschichte der Kant'schen Schrift gegeben und die Anmerkungen in sehr beschränktem Umfang gehalten hat. Fttr den Kantphilologen ist der Abdruck unbrauchbar. Mi.

J.

G. V O G T . Das Wesen der Elektricität und des Magnetismus auf Grund eines einheitlichen Substanzbegriffes. I. Teil. Die Constellationen der einheitlichen Substanz als die Träger der physikalischen Kraftäusserungen. Leipzig. Wiest. VI + 4 7 2 S . 8°.

G . CANTONI.

Congetture su le azioni a distanza.

Rom.

Acc. L. Rend. (4) VI 2 . 379-383.

Der Geschmack in der neueren Mathematik. Antrittsvorlesung. Leipzig. Lorentz. 22 S. 8°.

F . ENGEL.

Der naiven Periode Euler's, in der man sich wenig um die strenge Begründung der Mathematik kümmerte, folgte gegen Ende des vorigen Jahrhunderts die kritische Periode, unter deren Zeichen wir noch jetzt stehen. Man begann die ganze Mathematik von Grund auf neu und einwandsfrei zu erbauen. Diese kritischen Bestrebungen sind auch auf die ganze Art und Weise, Mathematik zu treiben, von Einfluss gewesen. Man hat sich bemüht, unter den möglichen Methoden die beste ausfindig zu machen, und der Geschmack musste schliesslich entscheiden, welche Methode die beste sei. Der Verfasser beweist nun eingehend, dass der Geschmack bei Beurteilung mathematischer Bewickelungen eine Bolle spielen kann, und zeigt, wie man

86

I.-Abschnitt.

Geschichte and Philosophie.

Mathematik treiben muss, damit auch das ästhetische Bedürfnis seine Rechnung findet. Als Beispiele dienen ihm die Theorie der algebraischen Gleichungen und die projective Geometrie. M.

F. MOHR.

Das enthüllte Geheimnis der Pythia.

Han-

nover. Schmorl u. v. Seefeld Nachf. 15 S. 8°.

Die Schrift F. Mohr's täuscht mit ihrem Titel, wenn sie von einer Kunst, auf mathematischem Wege lateinische Hexameter zu machen, spricht. Mathematisches ist in derselben nicht vorhanden. Die vier in der Schrift gegebenen Tabellen lassen sich bequem auf zwei reduciren, und das ganze Geheimnis, das wahrlich nicht tief liegt, besteht in folgenden 9 Reihen: 1 2 4 3 6 5 I Hic o etenim fausto rumpet tibi foedera fatum I I Esto petis cupido complebit talia casus III Ecce scias non indet prospera licite numen IV Tanta solvet tibi commoda nimis dubie sydus V Forte gaudia lubent votis promittit hic annus VI Iure satis certo praedicit nubila thema VII Mille dominans uouet tibi magis saecula carmen VIII Nonne optas vitas non reddet praemia tempus IX Credo quidem merito donabit debita caelum. Man hat, um einen Hexameter zu machen, irgend ein Wort oder einen Wortcomplex der Columne 1 mit einem der Golumne 2 und so fort bis 6 zu verbinden. Es sind allerdings 531441 ( = 9 6 ) Hexameter möglich, aber das Latein der Pythia ist recht armselig; es besteht aus 58 Wörtern. Klassisch wird es auch niemand nennen, und die Pythia macht gelegentlich einen prosodischen Schnitzer. Und warum redet die Pythia lateinisch? Hätte sie doch lieber gesagt: JiXXa oct(pi5g aoi navra xofti&i derlei not/xog, oder: Nvv de TqinXwg fjo&qri, negaivei xaigict daifitov etc. Wozu aber die ganze Spielerei und Geheimnisthuerei? Mi.

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

B.

87

Pädagogik.

Programme d'un cours universitaire d'histoire des mathdmatiques. Bibl. Math. (2) IV. l - i o .

6.

ENESTRÖM.

Nach einer allgemeinen Einleitung über die beste Anordnung von akademischen Vorlesungen über Geschichte der Mathematik giebt der Verfasser das Programm eines solchen Vorlesungscursus, der die ganze Geschichte der Mathematik übersichtlich in 30 Vorlesungen (von 1 J — S t . ) behandeln dürfte, und ein Verzeichnis mathematisch-historischer Arbeiten, die dabei benutzt werden können. Zuletzt folgt eine Liste der mathematischhistorischen Vorlesungen, die im Jahre 1890 an verschiedenen Universitäten gehalten worden sind. E.

Der heutige Zustand des Unterrichts der Geschichte der Mathematik. Phys.-math. Wiss. ix. 1-6. W . BOBYNIN. Programm der Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik an der Universität Moskau. W.

BOBYNIN.

Phys.-math. Wiss. IX. 6-22.

(Russisch.)

Seit 1882/83 hält Hr. Bobynin an der Universität Moskau Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik. In einer ersten Note berichtet der Verf. über den Plan und die leitenden Gedanken und Ansichten seiner Vorlesung, nachdem er kurze Mitteilungen über die denselben Gegenstand betreffenden Vorlesungen der Herren Cantor (Heidelberg), Favaro (Padova) und Mansion (Gent) voraufgeschickt hat. Die zweite Note enthält ein eingehendes Programm dieser Vorlesungen. Wi.

P. G. LAURIN. Om den matematiska undervisningen vid högre allmänna läroverk. Pr. Gymn. Christianstad 1890. 42 S.

Der Verf. bringt (nach einer Studienreise) Mitteilungen über den mathematischen Gymnasialunterricht in Deutschland, vor

88

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

allem in Oesterreich, und stellt im Zusammenbange hiermit ausführliche mathematisch-pädagogische Betrachtungen an, wobei er eine realistisch-praktische Richtung und eine genetisch-heuristische Unterrichtsmethode eifrig verteidigt. Bdn. A.

BRILL. Ueber die Schulreform und den Unterricht in Mathematik und Zeichnen auf den Gymnasien. Darmstadt. L. Brill. 20 S. 8°.

Der Verfasser hat die bekannte „Heidelberger Gegenerklärung", welche hauptsächlich für die Beibehaltung des Griechischen als eines obligatorischen Unterrichtsgegenstandes auf den Gymnasien eintrat, unterzeichnet und rechtfertigt im vorliegenden Vortrage ausführlich seine Unterschrift. Er erklärt als vornehmste Aufgabe des Gymnasialunterrichtes die Ausbildung eines gesunden selbständigen Urteils, was bei Beschränkung des Gesichtskreises leichter zu erreichen ist als bei Vielseitigkeit. Dasjenige Mass von Kenntnissen in griechischer Grammatik, welches den Weg zum Verständnis der griechischen Klassiker bahnt, ist ein weit geringeres, als es der Lehrplan solcher Gymnasien vorauszusetzen scheint, welche ein correctes griechisches Scriptum von den Abiturienten verlangen. Was das mathematische Pensum anbetrifft, so hält der Verfasser eine Erweiterung desselben, z. B. durch Aufnahme der Elemente der Differentialrechnung oder der analytischen Geometrie, für überflüssig, ja sogar für schädlich. Dagegen reclamirt er dringend eine Disciplin für das Gymnasium, die bisher fehlte, die Elemente der darstellenden Geometrie. Neben dem obligatorischen Freihandzeichnen in den Unterklassen sollte Linearzeichnen in den mittleren Klassen und ein Cursus der Elemente der darstellenden Geometrie in den höheren einhergehen, der jedoch nicht von einem Künstler, sondern von einem Mathematiker geleitet werden müsste. M. H.

Die Bedeutung der mathematisch - naturwissenschaftlichen Fächer für die allgemeine Bildung. THIEME.

Hoffmann Z. XXI. 81-100.

Capitel 2.

89

Philosophie und Pädagogik.

Unter besonderer Berücksichtigung der Schriften: F. Paulsen, „das Realgymnasium und die humanistische Bildung", und F. Pietzker, „Humanismus und Schulzweck". Lp.

D.

Süll' insegnamento della matematica nelle scuole classiche. Besso Per. mat. V. 46-59, 65-71. VALERI.

Bemerkungen über die Methoden, nach welchen der Unterricht der Mathematik unter die verschiedenen Klassen der italienischen Gymnasien und Lyceen verteilt und in ihnen erteilt wird. La. A . J . PICK. Sternwarten XXI. 481-493.

und Lehrerbildung.

Hoffmann

z.

Ein Vorschlag, um den ersten Unterricht in der Mathematik umzugestalten. Hoffmann z.

R . LANGERHEIM. XXI. 578-582.

Gemäss einer den Aufsatz begleitenden Kritik glückter Versuch.

ein missLp.

Die Methode des mathematischen UnterNebst Proben einer schulmässigen Behandlung

TH. WITTSTEIN.

richts.

der Geometrie.

2. Aufl.

Hannover. Hahn'sche Buchhdlg. IV

-+- 103 S. 8°.

B.

Ist die Beseitigung der Fremdwörter Schulmathematik möglich und nützlich?

BÜCHDRÜCKER.

aus

der

Hoffmnnn Z. XXI. 312-316.

L.

VIERECK.

Fremdwort und Schule.

Hoffmann

z. xxi.

höheren

Lehr-

460-465. WEISFLOG.

anstalten.

Der Rechenunterricht

an

Pr. Realsch. Crefeld.

Der Verfasser geht von der Thatsache aus, dass die Schüler

90

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

der mittleren und oberen Klassen höherer Lehranstalten selten die erforderliche Fertigkeit im Rechnen besitzen. Ursache dieser Erscheinung ist nach seiner Ansicht die oft mangelhafte, zu sehr sich an den Volksschulunterricht anlehnende Methode auf der untern Stufe, die das Rechnen in geistloser, rein mechanischer Weise lehrt, und welche die Lösung praktischer Aufgaben zu früh, und daher nur nach einem fest eingeprägten Schema, verlangt. Dem gegenüber fordert der Verfasser für die höheren Lehranstalten eine geistvollere Behandlung des Rechenunterichts, die vor allem darauf hinzielt, die Selbstthätigkeit des Schülers zu wecken, und die den Schüler anleitet, jede Aufgabe durch eigenes Nachdenken und nicht nur nach der Schablone zu lösen. Auf Grund dieser Principien giebt der Verfasser einige Andeutungen über den Gang des Rechenunterrichts. So soll schon in Sexta der Gebrauch der Klammern eingeübt und die Multiplicar o n und Division ganzer Zahlen auf die mannigfaltigsten Arten ausgeführt werden, um eine rein mechanische Thätigkeit nicht aufkommen zu lassen. Die Decimalbrüche sind erst nach den gemeinen Brüchen zu behandeln. Im Mittelpunkte des gesamten Rechenunterrichts hat das Kopfrechnen zu stehen. F.

Zur Reform des planimetrischen Unterrichts, mit besonderer Rücksicht auf Realschulen. Pr. (No.392)

E . HÖBEL.

Neue Realschule Cassel. 10 S. 4°.

Die leitenden Grundsätze bei der Abfassung dieser Arbeit, mit denen die Fachcollegen gewiss übereinstimmen, spricht der Verfasser in den Worten aus: „Der Unterricht muss anschaulich sein und der Lehrstoff zum bleibenden Eigentum des Schülers gemacht werden. Eine weise Beschränkung des gedächtnismässigen Wissens und weniges gründlich erfassen ist besser, als vieles oberflächlich kennen lernen." Im speciellen wird ausgeführt: nur durch Anschauung gewinnt der Schüler richtige Vorstellungen und klare Begriffe. Form und Ausdrucksweise der Erklärungen und Lehrsätze müssen einfach und dem Fassungsvermögen des Schülers angepasst sein; insbesondere sind über-

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

91

flüssige Fremdwörter durch deutsche Bezeichnungen zu ersetzen. Die vielen Hülfs-, Zu- und Nebensätze, namentlich sophischen Grundsätze sind überflüssig.

die philo-

Nebensächliches muss

hinter Wichtigem auch äusserlich zurücktreten und die algebraische, schematische Kunstsprache ist namentlich anfangs möglichst zu vermeiden, dagegen ist der Schüler daran zu gewöhnen, ähnlich

wie in den beschreibenden Naturwissenschaften oder der

Geschichte,

Uber ein seinen Standpunkt entsprechendes Thema

einen kleinen Vortrag zu halten; als Beispiel wird „das gleichschenklige Dreieck" behandelt. — Auf die Art der Stoffverteilung unter die einzelnen Klassen einzugehen, ist wohl um so weniger angezeigt,

als dieselbe nunmehr in den neuen Lehrplänen fest-

gelegt und vorläufig ausser Discussion gestellt ist.

Oxford „pass" geometry. elaiTW.

aysmjietQTiros

Lg.

urjdelg

ivtav&öi

Nature X L I . 467-468.

Kritisirt die mechanische Art des Prüfens, wobei der Euklid zahlenmässig auswendig gewusst werden muss.

H . J . WOODALL.

H.

HOW to teach g e o m e t r y .

G e o m e t r i c a l teaching.

Lp.

Nature X L I . 60.

Nature X L I . 80-81.

Erörterungen über das mechanische Einprägen des Euklid in England.

J.

BAZALA.

Lp. Beitrag

Kegelschnittslinien.

zum

Mittelschulunterrichte

über

Hoffmann z. x x i . 19-22.

Mit Rücksicht auf den Artikel von Hrn. H. Marius: stimmung der Krümmungsradien".

(Vgl. F. d. M. X X I .

690.) M. SIMON.

„Be1889.

Lp. Noch

einmal

umbeschriebene Kreis.

d e r einbeschriebene Hoffmann z. x x i . 341-342.

und d e r

92

I. Abschnitt.

D. SANDERS.

Geschichte tiDd Philosophie.

Eine sprachliche Studie für Mathematiker.

Hoffmann Z. X X I . 465-471.

Zum Capitel der Ungenauigkeiten des Ausdrucks in der Mathematik. Eine interessante Controverse. Ueber den Begriff „Dividiren". Hoffmann z.

VOLLHERING.

XXI. 501-504.

C. RODENBERG. Ueber W e s e n und A u f g a b e n der K i n e matik mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Schulen. Hoffmann z. XXI. 3-18, 161-180. „Die Kinematik bietet ein weites und in vielen Gebieten bis jetzt noch wenig bebautes Feld. Erfinden wird zwar niemand mit Hülfe der Mathematik allein ein neues Getriebe, welches einem vorgegebenen Zwecke zu dienen geeignet ist, ebenso wenig wie ein Maler die Idee zu einem Gemälde den Gesetzen der Perspective zu entnehmen vermag. Aber ein sicheres Urteil über den Gang eines Getriebes und ein zielbewusstes Verbessern eines Entwurfes unter Vermeidung planlosen Probirens ist nur auf Grund strenger mathematischer Untersuchung möglich. Und wenn Eant sagt, dass in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als Mathematik anzutreffen sei, so gilt diese Behauptung in vollstem Masse für die Kinematik." Lp.

P . KONZ.

Der

nasial-Secunda. J.

KARNAS.

physikalische

Unterricht in der G y m -

Pr. (No.418) Ritterakademie Bedburg. 24 S. 4°.

Zur Stellung

und Methode des physikali-

schen Unterrichts, insbesondere auf dem G y m n a s i u m . Pr. (No. 183) Gynm. Kattowitz. 17 S. 4°.

F. K Ü H N E M A N N . Ein Beitrag zum Unterricht in der P h y s i k auf dem G y m n a s i u m . Pr. (No. 14) Gymn. Memei. 25 8. 4°.

Alle drei Arbeiten behandeln den physikalischen Unterricht, wie er sich speciell auf dem Gymnasium nach den Lehrplänen

Capitel 2.

Philosophie and Pädagogik.

93

von 1882 gestaltet hat, und zwar I für das gesamte Gebiet, IJ und III hauptsächlich für die mathematische Geographie. Die aus der Erfahrung hervorgegangenen Gedanken und Wahrnehmungen über Methode und Stoffverteilung werden auch heute noch den Fachcollegen Anregung gewähren, wo durch die neuesten Lehrpläne die Vorschläge erfüllt (Anordnung des Lehrstoffs in concen tri sehen Kreisen) oder vorläufig ausser Discussion gestellt sind, wie der propädeutische Cursus in der astronomischen Geographie. Lg. A.

Das Mathematische Unterricht auf den Gymnasien. RICHTER.

im

physikalischen Hoffmann z. xxi. 325-338.

Einleitung: Der Zweck des Gymnasialunterrichts im allgemeinen. A. Der Zweck des Physikunterrichts, a. Die Beobachtungsfähigkeit. b. Die Kenntnisse, c. Das Interesse, d. Die formale Bildung. B. Die Abgrenzung des physikalischen Gymnasialpensums. a. Auszuscheidendes, b. Einzuschliessendes. C. Das Mathematische im physikalischen Gymnasialunterricht. a. Der Wert der mathematischen Formulirung der Gesetze. b. Mathematisch - physikalische Aufgaben, c. Vermehrung des Mathematischen im Physikunterricht, d. Der Beginn des Physikunterrichts mit der Mechanik. Lp. B . FEST. Das Ohm'sche Gesetz Realprogymn. Northeim. 12 S. 4°.

in der Schule.

Pr. (No. 333)

Es wird gezeigt, wie man mit möglichst einfachen Hülfsmitteln in drei Unterrichtsstunden zu einer experimentellen Bestätigung des Ohm'schen Gesetzes gelangen kann. Zuerst wird mittels eines Stöpselrheostaten aus 10 Neusilberspiralen ä 5 S. E. nach der Substitutionsmethode das Widerstandsgesetz für lineare Leiter, alsdann dasselbe Gesetz für Flüssigkeiten hergeleitet mit einem besonders construirten Apparat, welcher die bequeme Einschaltung einer Flüssigkeitssäule von verschiedenen Dimensionen

I. Abschnitt.

94

Geschichte und Philosophie.

gestattet. Endlich wird die Abhängigkeit der Stromstärke vom Gesamtwiderstand und der elektromotorischen Kraft ermittelt. Als constantes Element dient ein Bunsen'scher Becher, als Strommesser ein Wagegalvanometer. Das beschriebene Verfahren dürfte wohl, auch mit Benutzung des constanten Elements, allgemein üblich sein. Lg. Sind Abschnitte der P h y s i k beim p h y s i k a l i schen Unterricht an höheren Lehranstalten (bes. G y m nasien) auszuscheiden und dem akademischen Unterricht vorzubehalten, und w e l c h e ? Mit besonderer Rücksicht auf die Optik. Hoffmann Z. XXI. 261-262.

GROSSE.

B. HOFFMANN. Ueber die B e h a n d l u n g der Mathematischen Geographie in den mittleren und unteren Klassen. Pr. Realgymn. Nordhausen.

Ueberzeugt, dass nur der Anschauungsunterricht eine wirkliche Einsicht in das Wesen der Vorgänge am Himmel zu vermitteln vermöge, sucht der Verf. den elementaren Lehrstoff für die vier Klassen Quinta, Quarta, Unter- und Obertertia zweckmässig zu verteilen. Seine Vorschläge bekunden durchweg den erfahrenen Lehrer; insonderheit verdient der Rat an junge Lehrer Beachtung, dass nicht allzu viel Gewicht auf die — für gewisse Zwecke j a höchst schätzbaren — Demonstrationsapparate gelegt werde. Gr. J. K L A U . Ueber die B e h a n d l u n g der a m G y m n a s i u m . Pr. Gymn. Wiesbaden.

Himmelskunde

Da merkwürdigerweise den preussischen Gymnasien der Unterricht in der sphärischen Trigonometrie entzogen worden ist, so ist auch die Astronomie viel schwerer als früher zu lehren, und es begreift sich, dass der Lehrer die Frage, wie unter solchen Umständen doch noch didaktische Erfolge auf einem so schwer zugänglichen Gebiete zu erzielen seien, in ernstliche Er-

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

95

wägung ziehen muss. So giebt hier der Verf. eine Gestaltung des Unterrichtsstoffes, wie sie mit geringen mathematischen Vorkenntnissen sich empfiehlt. So unbeweisbare Behauptungen, wie die, dass die Sonne zur Zeit des südlichen Sommers, „wenn sie aus geringer Entfernung und unter grossem Winkel wirkt", gewaltige Wassermassen nach dem Süden ziehe, die während des nördlichen Sommers nicht alle wieder auf die Nordhalbkugel zurückkehren könnten, sollte man aber gerade in einer für Anfänger bestimmten Darstellung aufzustellen sich hüten; bekanntlich ist auch nach den neueren Untersuchungen von Hann und Spitaler die „klimatische Zurücksetzung des Südens gegen den Norden" nichts weniger als eine Thatsache. Auf beschreibende Himmelskunde und Astrophysik legt der Verf. ein sehr grosses, vielleicht allzu grosses Gewicht und schlägt vor, gewisse Partien der mechanischen Physik ganz wegzulassen oder doch mit solcher Kürze zu erledigen, dass für einen astronomischen Cursus, wie er ihn sich denkt, die Zeit gewonnen werde. Gr.

F . LUDWIG.

Weitere Capitel zur mathematischen Botanik.

Hoflroaon Z. XXI. 243-248.

Fortsetzung früherer Betrachtungen (vgl.F.d.M. XX. 1888. 66). Die Curven des Höhenwachstums, deren Abscissen die verschiedenen Altersstufen, deren Ordinaten die zugehörigen Höhenzuwachse bilden, sind fUr die einzelnen Baumarten nahezu constant, insgesamt sind es logarithmische Curven. — Betreffs der Bewegung der pflanzlichen Flugorgane wird auf das Buch von H. Dingler verwiesen: „Ueber die Bewegung der pflanzlichen Flugorgane. Ein Beitrag zur Physiologie der passiven Bewegungen im Pflanzenreiche". München. Th. Ackermann. 1889. Lp.

J.

WALDVOGEL. Uebungen aus dem mathematischen Repetitionsstoffe der Obergymnasialklasse. Pr. Studienanst. Aschaffenburg. 8. 77-122. 8°.

Fortsetzung der Sammlung von Aufgaben (No. XXXIV bis LXVI), über welche F. d. M. XXI. 1889. 66 berichtet ist. Lp.

96 J.

J.

I. Abschnitt.

C. V . H O F F M A N N . Aufruf zu einem Congress der Lehrer der Mathematik und Naturwissenschaften an höheren Schulen Deutschlands. Hoffmann z. xxi. 241-242. C.

V.

HOFFMANN.

legeilheit. J.

Geschichte und Philosophie.

Noch einmal die Congressange-

Hoffmann Z. XXI. 321-324.

C. V . H O F F M A N N . Der Congress von Lehrern der Mathematik und Naturwissenschaften an höheren Lehranstalten Deutschlands zu Jena vom 25. - 28. September 1890. Hoflfmann Z. XXI. 561-574. Ausführlicher Bericht Ober den Congress von Lehrern der Mathematik und Naturwissenschaften an höheren Lehranstalten Deutschlands in Jena vom 26. - 28. September 1890. Hoffmann Z. XXI. 611-632.

BÜCHBINDER.

Zweiter Abschnitt. A l g e b r a .

Capitel 1. G l e i c h u n g e n . (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.) Elementi di Algebra con molti esempi. Versione dall' Inglese del Prof. O. Porcalli. XIII ed. interamente rifatta. Napoli. B. Pellerano.

TODHUNTER.

P. VISALLI e G. MANDES. Trattato di Algebra ad uso degli alunni della R. Accademia Navale, delle Scuole militari e secondarie. Livorno. Giusti. [Ref. in Lugli Per. VI. 109.] Cours de Mathématiques. Tome I V : Algèbre supérieure. I I e Partie: Étude des imaginaires. Théorie générale des équations. Paris. Gan-

CH. DE COMBEROUSSE.

thier-Villars et Fils. X X I V + 832 S. 8°.

L. KRONECKER. Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme. Berl. Bor. 1888. S. 429-438, 447-465, 557-578, 595-612, 983-1016. Im Bande X X der F . d. M. S. 7 3 findet sich unter dem obigen Titel die Bemerkung: Forttchr. d. Matb. X X I I . 1.

„Referat folgt im nächsten Bande nach 7

98

II. Abschnitt.

Algebra.

Beendigung der Arbeit." Die Arbeit ist unvollendet geblieben; der Tod hat dem bis zum letzten Augenblicke schaffensfreudigen und schaffensgewaltigen Gelehrten die Feder aus der Hand genommen und die Reihe der Gedanken unterbrochen, denen die Wissenschaft so viel an Tiefe und an Ausdehnung verdankt. Wie eine grosse Fülle anderer weitgehender Arbeiten, so hat auch dieser Aufsatz von Leopold Kronecker nicht zu Ende geführt werden können. Der Verf. knüpft an die Frage nach den aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen an, wie sie von den Herren Weierstrass, Dedekind, Petersen, H. A. Schwarz behandelt worden ist, und ersetzt das Problem durch ein anderes der Theorie der Divisorensysteme angehöriges: „in der allgemeinsten Weise ^»»(v-fl) ganze Functionen (JV) yhyk-cVy-...

-

(h zu

den

gewöhnlichen

Resolventen.

Ferner

zerlegen

sich unsere Resolventen stets in zwei Factoren, deren einer entw e d e r eine gewöhnliche Resolvente oder gleich — p ist, w ä h r e n d der a n d e r e

nur von den m ten Einheitswurzeln

gleicher W e i s e g e b a u t

abhängt

und in

ist wie die besonderen, von Eisenstein

untersuchten Summen, weshalb wir denselben als Eisenstein'sche S u m m e bezeichnen. — Die Analogie der gewöhnlichen und der verallgemeinerten Resolventen b e w ä h r t sich auch l e g u n g derselben

in ihre

idealen F a c t o r e n ;

Modul m zum Exponenten f gehört, meine Resolvente ähnlich wie Resolventen.

bei der Zer-

wenn p

so verhält

für den

sich die allge-

ein Product von f

gewöhnlichen

Vollständiger w i r d die Analogie, w e n n man eine

beliebige „ G r u p p e " von Resten nach dem Modul m betrachtet; sobald die Primzahl p dieser G r u p p e angehört, k a n n man

ein

Product von Resolventen herstellen, dessen ideale Primfactoren yon j e n e m Exponenten f g a r nicht explicite a b h ä n g e n , und das

Capitel 1.

101

Gleichungen.

Gleiche gilt auch von dem Reste dieses Productes nach der niedrigsten Potenz eines idealen Primfactors von p, durch die das Product nicht teilbar ist. Ist die Zahl m so beschaffen, dass —m eine Fundamentaldeterminante quadratischer Formen ist, und besteht die Restgruppe aus denjenigen (ungeraden positiven) Zahlen, für die das Jacobi'scbe Zeichen (

™ ) den Wert

+1

hat, so werden unsere allgemeineren Producte wie die von Jacobi und Cauchy betrachteten zweiwertig und geben daher die Darstellung einer gewissen Potenz von p durch die Hauptform jener Determinante; zugleich genügen die darstellenden Zahlen zwei linearen Congruenzen nach dem Modul p, von denen jedoch nur eine von der gewählten Wurzel der Congruenz « ' + » » = 0 (mod. p) unabhängig ist. Da der Exponent jener Potenz gleich der Klassenzahl der quadratischen Formen ist, so ist die Analogie mit den Sätzen von Jacobi und Cauchy eine vollständige; zur wirklichen Herstellung der quadratischen Zerfällungen reichen freilich unsere Formeln so wenig aus wie die der genannten Mathematiker, sobald die Klassenanzahl grösser als Eins ist. Diese Resultate habe ich im Jahre 1888 der Gesellschaft der Wissenschaften vorgelegt in einer Abhandlung: „Theorie der Eisenstein'schen Summen u. s. w.", von welcher die gegenwärtige eine Umarbeitung ist. In der neuen Fassung treten die Eisenstein'schen Summen mehr zurück als in der früheren, nachdem es mir seither gelungen ist, die Zerlegung der Resolventen in ihre idealen Primfactoren auf neuem Wege, nämlich ohne die Hülfe jener Summen, zu bewerkstelligen. Dieser neue Beweis findet sich in § 6 ; er umfasst zugleich den in § 5 gegebenen; wiewohl also § 5 an sich entbehrlich ist, mochte ich ihn nicht beseitigen, da er immerhin das Verständnis von § 6 nicht unwesentlich erleichtern dürfte. Auch sonst ist die Anordnung des zweiten Teils wesentlich geändert und § 4 beträchtlich verkürzt, während in § 1-3 nur untergeordnete redactionelle Aenderungen vorgenommen sind. Die Theorie der idealen Zahlen ist in derjenigen Form benutzt, die ihr Herr Dedekind zuerst in der zweiten Auflage der

102

II. Abschnitt.

Algebra.

Dirichlet'schen Vorlesungen über Zahlentheorie gegeben hat. Die wenigen speciell auf Kreisteilungskörper bezüglichen Sätze, welche hier gebraucht werden, finden sich in der dritten Auflage desselben W e r k e s in der Fussnote zu Seite 587 angegeben." Wbg.

G.

LANDSBERG.

Ideale. E.

Untersuchungen über die Theorie der

Diss. Breslau. 58 S. 8°.

NETTO. Ueber den gemeinsamen Teiler zweier ganzen Functionen einer Veränderlichen. J. für Math. cvi. 81-88.

In seinem Aufsatze „Ueber einige Anwendungen der Modulsysteme auf elementare algebraische F r a g e n " [J. für Math. IC, F. d. M. XVIII. 57] hat Kronecker unter anderem den grössten gemeinsamen Teiler von zwei ganzen Functionen einer Veränderlichen für irgend ein Primmodulsystem des Bereiches ihrer Coefficienten bestimmt, und zwar auf einem Wege, welcher sich der Bözout-Jacobi'schen Eliminationsmethode anschliesst. In der vorliegenden Arbeit stellt sich Herr Netto die F r a g e n : „Lassen sich die Kronecker'schen Ergebnisse auch auf das alte Euler'sche Eliminationsverfahren übertragen? Und in welcher Beziehung stehen, wenn dies der Fall sein sollte, die hier und die dort benutzten Modulsysteme ?" Durch elementare Determinantentransformationen gelingt es, nachzuweisen, dass die Kronecker'schen Resultate auch bei der Euler'schen Eliminationsmethode bestehen bleiben, und dass die beiderseits benutzten Modulsysteme einander äquivalent sind. F. E.

Ueber den grössten gemeinsamen zweier ganzer Functionen. Hamb. Mitt. Ii. 36-43. NETTO.

Teiler

Für die Existenz eines gemeinschaftlichen Teilers vom Grade n—h zweier ganzen Functionen vom G r a d e n ist bekanntlich die hinreichende und notwendige Bedingung die, dass aus einer Reihe von Determinanten der Ordnungen 2», 2n — 2, 2« — 4, . . . , welche in bestimmter Weise aus den Coefficienten der beiden gegebenen Functionen gebildet sind, die ersten n — k verschwinden, während

Capitel 1.

Gleichungen.

103

die nächste (von der Ordnung 24) von Null verschieden ist. Der grösste gemeinsame Teiler ist alsdann eine ganze Function q> vom Grade n—k, deren Coefficienten Determinanten der Ordnung 2k sind. In der vorliegenden Arbeit weist nun Herr Netto mittels Determinantenbetrachtungen im Anschluss an seine frühere Arbeit „Anwendung der Modulsysteme auf eine elementare algebraische Frage" (cf. F. d. M. XXI. 132) die charakteristische Bedeutung nach, welche die erwähnte Function q> noch in dem Falle besitzt, dass die Determinanten der Ordnungen 2», 2n—2,... nicht verschwinden. F. Verschiedene Anwendungen des Princips der grössten und kleinsten Exponenten in der Theorie der algebraischen Functionen. Mosb. Math.Samml.

N . W . BUGAIEFF.

X I V . 553-590.

Unter dem Princip der grössten und kleinsten Exponenten versteht der Verf. die Methode, successive Glieder der Zerlegung algebraischer Functionen in unendliche Reihen nach abnehmenden oder wachsenden Potenzen der Veränderlichen zu ermitteln. Diese Methode wird auf die simultanen Gleichungen erweitert und hierdurch eine wichtige Anwendung auf die Zerlegung ganzer Functionen mit mehreren Veränderlichen in irreductible Factoren ermöglicht. Die Methode des Verfassers zur Gewinnung der Zerlegung ist sehr zweckmässig und führt schnell zum Ziele. Wi. A. KNESER. Ein neuer Beweis der Unmöglichkeit, allgemeine Gleichungen höheren Grades algebraisch aufzulösen. J. für Math. CVI. 48-64. Sind w,, « 2 , ion die Wurzeln einer algebraischen, im Rationalitätsbereich (5ft) irreductiblen Gleichung »ten Grades F(x) = 0, so gehört das Product G (x) = Tl{x—u 1(*) = [/"(*#, a = r (cos © -f- i sin ©) und lässt & von 0 bis zu 2 n wachsen, während r constant bleibt, so beschreibt z einen Kreis um den Anfangspunkt. Wird r hin-

106

I I . Abschnitt.

Algebra.

länglich gross angenommen, so kann man schreiben f(z) = zn ( l +

) = r" (cos n& + i sin «©) p (cos a -f i sin a),

wo q und 0 beliebig wenig von respective 1 und 0 abweichen. Man sieht dann, dass V(*) = VrVS(cos® + i s i n | ) ( c o s ^ + i s i n ^ ) ' ein Wert von g>(z) ist. Lässt man jetzt 0 von 0 bis 2 n wachsen, so werden, indem und a auch sich ändern. Da aber a, wenn r hinlänglich gross genommen wird, hierbei so wenig, als man will, schwankt, so kann a nicht, indem 0 von 0 bis 27i variirt,1 von a bis

a

sich ändern, und muss also, wenn n ' 6 den Wert 2n annimmt, seinen anfänglichen Wert wieder an-

nehmen.

Dagegen wird cos

0 + i sin © ^ von dem Wert -f-l in

den Wert —1 übergehen. Dieses ist aber unmöglich, wenn kein Verzweigungspunkt von q>(z) innerhalb des Kreises liegt. Aber in einem Verzweigungspunkt von q>(z) muss qp(z) = 0 sein, da in allen anderen Punkten die Werte von q>(z) um eine endliche Grösse verschieden sind. V.

A.

CAYLEY.

Sur les racines d'une équation algébrique.

C. R. CX. 174-176.

A.

CAYLEY.

Sur les racines d'une équation algébrique.

C. R. OX. 215-218.

/"(M) sei eine ganze rationale Function «ten Grades mit reellen oder imaginären Coefficienten ; es werde gesetzt f(u) = f(x + iy) = P(x, y) + i.Q(x, y). Aus der Voraussetzung, dass die Gleichung f'(u) = 0 n—1 Wurzeln besitzt, ergiebt sich durch Discussion der Fläche c-z

= P3 + Q\

(wo c eine gegebene positive Grösse bedeutet),

Capital 1.

d a s s P1-\-Qt

Gleichungen.

107

f ü r « Wertsysteme (x) y) verschwindet, f(u) = 0 also

« W u r z e l n besitzt. In der zweiten Note betrachtet Herr Cayley die Fläche ( c - z y =P* + Q% m i t Httlfe deren er graphisch die Newton'sche A n n ä h e r u n g construit.

Im Anschluss hieran behandelt er das Newton-Fourier'-

s c h e Problem (cf. F. d. M. XI. 67 u. 260) f ü r eine q u a d r a t i s c h e Gleichung.

E.

AMIGUES.

F.

Théorème de d'Alembert.

Nonv. ANN. (3)

ix.

116-118, J. de Math. spéc. (3) IV. 145-146.

Beweis des Satzes, dass, wenn es einen (oder auch m e h r e r e ) bestimmten, endlichen Wert z 0 der Variable s giebt, f ü r welchen der

absolute Betrag

der

ganzen

rationalen Function f(a)

mit

reellen oder imaginären Coefficienten kleiner ist als f ü r alle and e r e n W e r t e von z, notwendig /"(s0) — 0 ist.

P.

F.

Sur le théorème fondamental de l'analyse algébrique. Brüx. s. 8C. XIV A. 46. MANSION.

Die Beweise dieses Satzes, welche das Vorhandensein einer W u r z e l feststellen und gleichzeitig e r g e b e n ,

d a s s diese Wurzel

sich mit den Coefficienten stetig ändert, können eine rein arithmetische Gestalt bekommen.

Mn.

(Lp.)

Sur les fonctions continues d'un nombre quelconque de variables et sur le principe fondamental de la théorie des équations algébriques. Paris. Gauthier-

RIQUIER.

Yillars et Fils.

J. W. RASCH. Meetkundige plaats van de wortelpunten eener hoogere machtsvergelijking. Nieuw Archief xvil. 233-234.

Es wird hier eine Beziehung abgeleitet zwischen den Orten der Wurzelpunkte

einer Gleichung höheren G r a d e s

und

denen

II. Abschnitt.

108

Algebra.

einer anderen, deren Grad um 1 niedriger ist und die in überaus einfacher Weise

aus

der ersteren

abgeleitet

wird.

Wenn

ein

geometrischer Ort ein Kreis ist, so bekommt die Gleichung des anderen eine merkwürdige Form.

MERTENS.

F.

G.

Ueber einen Satz der höheren

Algebra.

Wien. Ber. XOIX. 907-909. Arithmetischer Beweis des Abel'schen Satzes, dass die reine Gleichung xf — A=

0, deren Grad eine Primzahl ist,

nur dann

in dem Rationalitätsbereiche A reductibel sein kann, wenn A eine p te Potenz ist. CH.

BIEHLER.

F.

Sur les équations binômes.

Nouv. Ann. (3)

I X . 472-476.

Die Gleichung lässt

sich

bekanntlich,

nach

Division

durch x— 1,

durch

die

Substitution y

= x

. 1 + ~x

auf eine Gleichung m ten Grades zurückführen.

Dass

sämtliche

Wurzeln der letzteren reell sind und zwischen den Grenzen ( — 2 ) und ( + 2 ) liegen, wird durch Benutzung der Sturm'schen Methode bewiesen.

A . CAYLEY. XX. 63.

F.

N o t e on t h e n i n t h r o o t s o f u n i t y .

Mass. (2)

Zur Auflösung der Gleichung 0 6 - f 0 3 - f - l = O setzt der Verfasser a = 0 + 0 8 , b = di+67,

c — G1-j-0\

berechnet die symme-

trischen Verbindungen der a, b, c und findet hieraus, dass diese Grössen Wurzeln v o n x 3 — 3 ® + 1 = 0 nalen symmetrischen Functionen Werte haben.

sind, dass daher alle ratio-

von a, b, c ebenfalls

rationale Lp.

Capitel 1. A.

CAYLEY.

109

OleichnogeD.

On the equation

®17—1 =

0.

Mess. (-2)

xix.

184-188.

Beitrag zur übersichtlichen Berechnung der Wurzeln dieser 2ti Gleichung, insbesondere von 2 cos u. s. w. ^

W.

J.

C.

SHARP,

E . LAMPE.

Solution of question

8951.

Bd. Times LII. 93-94.

Hr. Sharp hatte den Beweis dafür verlangt, dass 1) xtn + x3n + xin + xn -f 1 durch x^x^+x^x-f 1, 2) x+- x3« + x2» + x" 4-1 „ x*— x3+ x3—x +1, 3) x*71 — x3n + x2n — x n \ „ x*— « ä -f- x 2 — x -f 1 teilbar sei, jedoch im Falle 2) nur für ein gerades «, im Falle 3) für ein ungerades. Ref. weist in seiner eingesandten Note auf den Zusammenhang dieser Fragen mit der Theorie der Kreisteilungsgleichungen hin und ersetzt z. B. die Formel 1) durch ... +xn + 1 xn(p-n + xnip-2)+ r—: r—!— ohne Rest teilbar, wenn n und p l 2 xP~ -\-a;P- -\

|-®+l

relative Primzahlen sind. G . DE LONGCHAMPS.

Note sur la question

Lp. 278.

J. de Math.

sp6c. (3) IV. 87-88.

Ist f(x)= 0 eine Gleichung mit lauter reellen und ungleichen Wurzeln, so hat die Gleichung f+Af+AJ"+.-+ApfW = 0 dieselbe Eigenschaft, falls alle Wurzeln der Gleichung a P - A ^ - 1 -f A ^ - * • • • + ( - 1 Y A P = 0 reell sind. Dieser von Hrn. de Longchamps zum Beweise vorgelegte Satz rührt von Herrn Hermite her (Nouv. Ann. 1866. 479). Lp. L.

LACHTINE. Der Ausdruck der Wurzeln einer dreigliedrigen algebraischen Gleichung durch bestimmte Integrale Mosk. Math. Samml. X V . 61-83.

Vergl. Abschnitt VI, Cap. 4, bestimmte Integrale.

Wi.

110

F. J.

II. Absöhnitt.

Eine Bemerkung über die Hamiltou'-

STUDNICKA.

schen

Algebra.

Zahlen.

Caaop. XIX. 119. (Böhmisch.)

Bezieht sich auf eine in diesem Jahrb. (XIX. 1887. 80) gemachte Bemerkung, dass die dortige Substitution t = £ ein paradoxes Ergebnis liefert, wobei das Paradoxon beseitigt wird. Std. Sur la formule de Waring (équations du second degré). J. de Math. élém. (3) IV. 5-10, 25-29.

LALBALÉTRIER.

Von der für Gleichungen zweiten Grades specialisirten und für sie bewiesenen Waring'schen Formel werden Anwendungen auf Lösungen zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten gemacht. LpF. J.

Beitrag zur Theorie der

STUDNICKA.

Gleichungen.

reciproken

Casop. XIX. 1. (Böhmisch.)

Enthält eine kurzgefasste Darstellung des Vorgangs, wie man von der Gleichung A0x*-\-

A, s ' — H

Asx"

+

A,-i

kx»-*

+

"

V

2

+ • • •+

A0k>

=

0

durch Vermittelung der Grössen V

—

m

I

k m

woraus folgt x

die Relation A

0

V , + A

1

V

s

-

l

+ . ~ + A

s

=

0

und die neue Gleichung B„tf+Bltf-i

+ ..- + Bt = 0

ableitet, wobei zu setzen ist Bt =

A(

+

k=l

1)Ä

n

+

' f ~ H

i

( « _ i + A - l ^ W A i - n ,

so dass nach Auflösung dieser Gleichung mit Hülfe der so erhaltenen Wurzelwerte noch die Gleichung x1-yix

+ k= 0

( i = 1, 2 , 3 , . . . , s )

Capiteli.

Gleichungen.

Ili

aufzulösen ist, um die 2s Wurzeln der gegebenen Gleichung zu erhalten. Hierauf wird noch der specielle Fall *= —1 behandelt und an einer Gleichung 8 len Grades der ganze Vorgang dargestellt. Std. Om upplösningen af ett system lineära likheter mellan ett oändligt antal obekanta.

HELGE

VON

KOCH.

Stockh. Öfversigt. 109-129.

Durch Untersuchungen von Hill, Appell und Poincaré angeregt, beschäftigt sich der Verf. mit Systemen von unendlich vielen linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Es werden allgemeine Bedingungen hergeleitet ftir die Existenz einer Lösung und für die Eindeutigkeit derselben. Auch gewinnt der Verf. durch functionentheoretische Betrachtungen eine ziemlich allgemeine analytische Form der Lösung. Bdn.

W.

D i e Untersuchung der Gleichungen zweiten Grades mit zwei Veränderlichen in Bezug auf ihre Zerlegbarkeit in zwei lineare Factoren. J.

ALBITZKY.

Petersb. Techn. löst. (Rassisch.)

Beweis dafür, dass AE3 -f CD2 + FB*—BDE - 4 A C F = 0 der Ausdruck für die Bedingung der Zerlegbarkeit von Ax' + Bxy + Cy' + Dx + Ey + F in zwei lineare Factoren ist. Wi.

H.

Om Vinkler's Tredeling, kubiske Ligninger o g det deliske Problem. Nyt Tidss. for Math. IA. 2-7. NISSEN.

Es wird die Dreiteilung eines Winkels bewerkstelligt mittels eines rechten Winkels, dessen einer Schenkel einen Kreis berührt, und dessen Scheitel auf einer Geraden gleitet. Es wird darnach gezeigt, wie die Lösung einer Gleichung dritten Grades

II. Abschnitt.

112

Algebra.

(in dem nicht irreduciblen F a l l e ) geometrisch mittels desselben Hlilfsmittels gelöst werden graphische

Lösung

der

kann.

(Vergl. B a r t l ,

kubischen

und

„Mechanisch-

biquadratischen

Glei-

chungen«, Hoppe Arch. ( 2 ) I. 1 — 4 6 ; F . d. M. X V I . 1884. 87. Lp.) V.

Sul casus irreductibilis dell'

MOLLAME.

V.

cubica.

equazione

Napoli Rend. (2) IV. 167-171.

Wenn man von der Form ausgeht,

auf welche man,

Abel, j e d e Function der Coefficienten einer algebraisch

nach auflös-

baren Gleichung bringen kann, die eine ihrer Wurzeln darstellt, so lässt sich mit Benutzung des S a t z e s :

„Ist die dritte Potenz

einer ganzen rationalen, mehr als zweiwertigen Function ip dreier Grössen x zweiwertig, so kommen in xp complexe Coefficienten vor", der Schluss ziehen, dass, auf welche Weise man auch eine allgemeine kubische Gleichung mit drei reellen Wurzeln auflösen mag, der resultirende Ausdruck notwendig die Kubikwurzel aus einer complexen Grösse enthält. Im zweiten Teil der Note werden von Gleichungen

dritten

Grades

einige

behandelt,

besondere Arten

deren

drei

reelle

Wurzeln sich algebraisch in reeller Form darstellen lassen. F.

Nouvelle méthode de discussion de l'équa-

CH. BRISSE.

tion en S.

Nouv. Ann. (3) IX. 367-372.

Die „Gleichung in S"

J(S)= kann

als

notwendige

A—S B" B' B" A'-S B B' B A"—S und hinreichende

=0 Bedingung

dafür

an-

gesehen werden, dass der Ausdruck

wo

q>—So,

+A'y*+ A"z* + 2Byz + 2B'zx + 2B"xy

mit reellen Coefficienten und

o = x3+y>+z°

Capital 1.

IIS

Gleichungen.

ist, sich auf eine Summe von weniger als drei Quadraten reducirt. Daraus lassen sich in einfachster Weise die Eigenschaften der „Gleichung in S" entwickeln, deren wichtigste hier angegeben werden mögen: 1) Die Gleichung in S hat reelle Wurzeln. 2) Der Ausdruck q>—Sa reducirt sich auf eine Summe von zwei Quadraten, oder auf ein Quadrat, oder ist identisch Null, j e nachdem S einfache, zweifache oder dreifache Wurzel der Gleichung in S ist, und umgekehrt. 3) Eine einfache Wurzel der Gleichung in S annullirt nicht alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung der Determinante ¿/(S), eine zweifache Wurzel alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung, aber nicht &lle erster Ordnung, eine dreifache Wurzel auch alle Unterdeternjinanten erster Ordnung, und umgekehrt. 4) Die kleinste Wurzel der Gleichung in S liefert eine Zerlegung des Ausdruckes q> — Sa in zwei positive, die grösste Wurzel in zwei negative Quadrate, die mittlere Wurzel allein zerlegt diesen Ausdruck in ein Product zweier verschiedenen reellen Factoren. Wbg. F.

Nature des racines de l'équation du quatrième degré. S. M. P. Bull. XVIII. 145-149. LUCAS.

Die Arbeit behandelt Beziehungen zwischen den Wurzeln einer Gleichung vierten Grades und denen ihrer nach der Descartes'schen Methode gebildeten Besolvente dritten Grades, und zieht aus dem Vorzeichen der Discriminante der letzteren Schlüsse auf die Realität der Wurzeln der Gleichung vierten Grades. F. A . CAYLEY.

OII

a soluble quintic equation.

American

J. XIII.

53 - 58.

Angabe der Wurzeln der auflösbaren Gleichung x* + 3000®2 + 20000« - 100000 = 0 und Verification der Lösung. Fortschr. d. Math. XXII. 1.

F.

8

114 N.

II. Abschnitt.

Algebra.

W . BUGAIEFF und L. K . LACHTINE. Ueber die auflösbaren G l e i c h u n g e n f ü n f t e n Grades. Mosk.Math.Sammi. XY. 83-98.

Die Resolvente der Gleichung xi-\- ax-\- b =0 wird in der Form: 2 °a\y -11) V + 4¡) — b5b*(2y + 3 ) 5 = 0 erhalten. Damit diese Resolvente eine rationale Wurzel hat, was, wie bekannt, eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit der Gleichung (1) ist, muss diese Gleichung die Form haben: /i-Mi i O) +

4(^+4)

(lx)

i J£—IL-n + 2(^+4) ~ a

Die Wurzel der Resolvente dieser Gleichung y ist gleich (Vergleiche Runge: Ueber die auflösbaren Gleichungen von der Form a;5 + w® + ® = 0. Acta Math. VII. 1 7 3 - 1 8 6 ; F.d.M. XVII. 1885. 69.) Wi. R . ALAGNA.

Condizioni perchè u n a forma dell' ottavo

ordine abbia quattro punti doppii.

Palermo Rend. i v . 25-29.

Es werden die sieben Relationen zwischen den Invarianten einer Form achten Grades mit vier Doppelpunkten aufgestellt, indem die Form als das Quadrat einer biquadratischen Form betrachtet und ihre Invarianten als Functionen der Invarianten der letzteren ausgedrückt werden -, man findet dann die gesuchten Relationen durch eine einfache Elimination. Wbg.

E . ALAGNA. Intorno ad alcuni casi di multiplicità delle radici dell' equazione d'ottavo ordine. Palermo Rend. i v . 287-298.

Die vorliegende Arbeit ist eine Fortsetzung der vorher besprochenen: Es werden die Relationen zwischen den Invarianten einer Form achten Grades aufgestellt, welche 1) einen dreifachen und einen Doppelpunkt, 2) einen dreifachen und zwei Doppel-

Capitel 1.

Gleichungen.

115

punkte, 3) zwei dreifache Punkte, 4) zwei dreifache und einen Doppelpunkt besitzt. Zu diesem Zweck wird die Form als das Product des Quadrates einer quadratischen in eine biquadratische Form betrachtet, und es werden zunächst die Relationen zwischen den simultanen Invarianten dieser beiden Formen ermittelt. Eine einfache Elimination führt auch hier in den einzelnen Fällen zum Ziele. Wbg.

J. J.

SYLVESTER,

7668.

P. H.

SCHOUTE.

Solution of question

Ed. Times LIII. 33-34.

Ist m eine beliebige positive ganze Zahl und sind a, b, c reelle Grössen, so kann die Gleichung

nicht mehr als zwei reelle Wurzeln haben.

A.

Lp.

HÜRWITZ. Ueber die Wurzeln einiger transcendenten Gleichungen. Hamb. Mitt. II. 25-31.

Ein von dem Verfasser in einer Abhandlung Aber die Bessel'schen Functionen I n (z) (Math. Ann. XXXIII. 246, F. d. M. XX. 1888. 502) bewiesener Satz über die Wurzeln transcendenter Gleichungen wird auf die Gleichungen ß m a m )sin z + (60 + 6, a + • • • + 6 m z m ) cos» = 0

(a0+0,^-1 und oo

M

¡5*

r(x+i)r(a1+*)...r(«r+*)

(die linke Seite der letzteren ist eine höhere hypergeometrische Reihe) sowie auf einige durch Specialisirung aus diesen hervorgehende transcendente Gleichungen angewandt. Es ergiebt sich, dass die erste Gleichung stets, ausser unendlich vielen reellen Wurzeln, nur eine endliche Anzahl (mit angebbarer oberer Grenze) 8*

116

II. Abschnitt.

Algebra.

von imaginären Wurzeln besitzt, während die Wurzeln der zweiten Gleichung sämtlich reell sind. Wbg. B . NIEWENGLOWSKI. Note Nouv. Ann. (3) IX. 181-182.

sur le théorème de Sturm.

Einige èinfache Beziehungen zwischen der Zahl der Zeichenwechsel in der Sturm'schen Reihe, der Zahl der imaginären Wurzeln und der reellen Wurzeln, die oberhalb einer bestimmten Grenze liegen. F. A . POULAIN. Sur trois théorèmes spéc. (3) IV. 58-62, 79-82, 97-101.

de ßudan.

J. de Math,

Der Verf. teilt aus dem Budan'schen Werke: „Nouvelle Méthode pour la résolution des équations numériques" (par Fr. Budan de Boislaurent, Inspecteur général de l'Université. 2mt éd. Paris. Bachelier, 1822) ausser dem bebannten „Budan'schen Satze", den er als Nr. 1 bezeichnet, noch zwei andere mit, welche zur Ergänzung jenes ersten dienen und zur Vereinfachung der Rechnungen benutzt werden können. Diese Sätze werden bewiesen und ihre Anwendungen bei der numerischen Auflösung von Gleichungen erläutert. Lp.

G . FOURET.

Sur la méthode d'approximation de Newton.

Nonv. Ann. (3) IX. 567-585.

Behufs Feststellung der hinreichenden und notwendigen Bedingungen, unter denen sich die Newton'sche Näherungsmethode mit Sicherheit anwenden lässt, wird folgende Regel hergeleitet: Wenn die Zahl a ein erster Näherungswert einer Wurzel a der Gleichung 0 ist, so liegt die Zahl

stets zwischen a und a, ist also ein neuer, günstigerer Näherungs-

Capital 1.

117

Gleichungen.

wert, falls f(a) und f"(a) dasselbe Vorzeichen haben und f"{x) im Intervall ( o . . . a ) sein Vorzeichen nicht wechselt. F.

E. CARVALLO. Extension de la méthode de Grâffe. Méthode pratique pour la résolution numérique complète des équations algébriques ou transcendantes. Thèse d'analyse. Paria. Gauthier-Villare et Fils. 40 S. 4°.

R.

MEBMKK.

reellen

Neues

Wurzeln

Verfahren zweier

zur

Bestimmung

numerischer

der

algebraischer

Gleichungen mit zwei Unbekannten, schiömiich z. x x x v . 174-185.

Das mitgeteilte Verfahren ist die unmittelbare Erweiterung der vom Verf. für die Auflösung der Gleichungen mit einer Unbekannten veröffentlichten Methode (vgl. Civilingenieur XXXV. 617 und F. d. M. XXI. 1889. 93, 882). Die beiden Gleichungen A (®.S0=/,(«,IO,

& (>,«/) = & Oi i0 sind äquivalent den beiden GleichungsBystemen

Projicirt man die Schnittcurve der durch die beiden ersten Gleichungen dargestellten Fläche und ebenso die Schnittcurve der durch die beiden letzten Gleichungen dargestellten Fläche auf die asy-Ebene, so sind die Coordinaten der Schnittpunkte beider Projectionscurven Näherungswerte für die Wurzeln der vorgelegten Gleichungen. Statt nun aber die eben erwähnten Flächen selbst zu construiren, zeichnet der Verf., und zwar ohne Rechnung nach den Methoden der darstellenden Geometrie, diejenigen Flächen, resp. ihre Projectionen, welche den algebraischen Zusammenhang zwischen log®, logt/, logss repräsentiren. Die Schnittpunkte der Projectionscurven liefern alsdann die Logarithmen der gesuchten Wurzeln. Zur punktweisen Construction der

118

II. Abschnitt.

Algebra.

letzterwähnten Flächen wird dieselbe Additionscurve benutzt, wie in der früheren Arbeit. Hat man eine Anzahl Gleichungssysteme von bestimmter Form, nur mit verschiedenen Coefficienten, zu lösen, so kann man Apparate construiren, die eine rein mechanische Bestimmung der Wurzeln ermöglichen. F. R.

Ueber das Aufzeichnen mit numerisch gegebener Gleichung. MEHMKE.

(und ein autogr. Blatt „Berichtigung").

ebener

Curven

Böklen Mitt. III. 4 - 9

Mit Fig. 1-3.

Der Gedanke, welcher Herrn Mehmke zur Auffindung eines Verfahrens, numerische Gleichungen graphisch aufzulösen, geführt hat (cf. F. d. M. XXI. 1889. 93 und das vorangehende Referat), nämlich die Logarithmen der Variabein einzuführen, erweist sich auch als nutzbringend, um beliebig viele Punkte einer Curve mit numerisch gegebener Gleichung durch Zeichnung zu bestimmen. In der vorliegenden Mitteilung erläutert er sein Verfahren an einer aus drei Gliedern bestehenden Curvengleichung. Man hat nur ein für alle Mal eine Fundamentalcurve zu zeichnen (+10? + 1 0 ' = 1) und ein von den speciellen numerischen Werten abhängiges neues Axen-System einzutragen; dann sind die Coordinaten eines beliebigen Punktes der Fundamentalcurve in Bezug auf das letztere Axen-System die Logarithmen der Coordinaten eines Punktes der zu construirenden Curve. F. R.

MEHMKE. Ueber eine periodische kettenbruchartige Entwickelung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Böklen Mitt. III. 9-14.

Mitteilung des Satzes (ohne Beweis): „Jede reelle Wurzel einer algebraischen Gleichung «ten Grades mit rationalen Coefficienten kann in Näherungsbrüche entwickelt werden, bei denen der Zähler eines jeden eine lineare Function von den Zählern der n vorhergehenden Brüche, und der Nenner dieselbe lineare Function von den Nennern jener Brüche ist; und zwar so, dass die Entwickelung eingliedrig periodisch wird."

Capitel 1. Gleichungen.

119

Benutzung desselben zur Auflösung einiger numerisch gegebenen Gleichungen. F. W. WIRTINGER. Bemerkung über ganzzahlige irreductible Gleichungen. Monateh. f. M. I. 47-48. Ist R eine beliebige positive Grösse und n eine positive ganze Zahl, so liegt in einem um den Nullpunkt beschriebenen Kreise mit einem Radius, der kleiner ist als 1 2 . (2fi)«(2»-i)-i> höchstens eine einzige Wurzel einer solchen irreductiblen ganzzahligen Gleichung nte" Grades, deren sämtliche Wurzeln dem absoluten Betrage nach kleiner als R sind. F.

F.

LUCAS.

Résolution électromagnétique des équations.

C. R. 0X1. 965-967.

Die gegebene Gleichung ç>(z) = 0 sei vom Grade p. Auf einem Blatte Papier zeichne man ein rechtwinkliges Coordinatensystem und nehme auf der x - Axe p + 1 Punkte 0 n . . . , Op+1 an, deren Abscissen as„ . . . , xp+1 seien. Man setze F(z) =

(z—xj

und bestimme p-|-l Zahlen ju,, y(a) FQ&)

...

( z — x

P +

i )

fi p + i so, dass fin M=i

z—x„

Alsdann führe man, senkrecht zur Ebene des Papiers, durch jeden der Punkte 0 einen Draht, dessen Länge dem zugehörigen jtt umgekehrt proportional ist, während Stoff und Dicke aller Drähte übereinstimmen. Die Drähte werden von elektrischen Strömen, die aus derselben Batterie stammen, durchlaufen, so dass die Stromintensitäten in den einzelnen Drähten den Zahlen fi proportional sind. Auf diese Weise entsteht in der Ebene des Papiers ein magnetisches Feld, dessen Kraftlinien durch Aufstreuen von Eisenfeilspänen sichtbar gemacht werden können.

II. Abschnitt.

120

Algebra.

Die Punkte, in denen die magnetische Kraft den Wert 0 hat, entsprechen den Wurzeln der gegebenen Gleichung. F.

D.

Sali' eguaglianza

BESSO.

positivi.

Besso Per. mat.

U. DAINELLI. e positivi. L . ' CARLINE.

ab = ba con a

V. 12-15.

Süll' equazione Daselbst 115-117.

Sull' uguaglianza

e

b

interi e

x

e

y

interi

ab = ba con a

e

b

interi

a? = yx

con

e positivi. Daselbst 117-119. Die einzige Lösung für a > ò ist a = 4, 6 = 2. ist nicht neu; siehe F. d. M. XX. 1888. 164.

A.

Der Satz Vi.

CAPUZZO. Soluzione grafica d'un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite. Treviso. Longo.

Capitel 2. Theorie der Formen. ELLIOTT. On the interchange of the variables in certain linear differential operators. Lond. Phil. Trans.

E. B.

CLXXXI. 19-53.

Die zu betrachtenden Operatoren schliessen ein oder umfassen alle diejenigen, welche in den neueren Theorien der functionalen Differentialinvarianten, der Reciprocanten, der Cyklicanten u. s. w. als Annihilatoren und als Erzeugende aufgetreten sind. Die allgemeine Form der binären Operatoren (Operatoren, deren Argumente die Ableitungen einer abhängigen Veränderlichen in Bezug auf eine unabhängige sind), welche der Verf. zuerst der Betrachtung unterwirft, wird in Uebereinstimmung

Capitel 2. Theorie der Formen.

121

mit der von Herrn MacMahon in den beiden bemerkenswerten Schriften benutzten angenommen: „The theory of a multilinear partial differential operator with applications to the theories of invariants and reciprocants", Lond. M. S. Proc. X V I I I (F. d. M. X I X . 1887. 94), „The algebra of multilinear partial differential Operators", ibid. XIX (F. d. M. XX. 1889. 91). Diese Operatoren enthalten vier Elemente. Die analogen ternären Operatoren, denen der Verf. hiernach seine Aufmerksamkeit zuwendet, sind von den MacMahon'schen Operatoren aus sechs Elementen verschieden. Ihre Argumente sind die partiellen Ableitungen einer der drei Variabein, die als durch eine einzige Relation in Bezug auf die beiden anderen verbunden vorausgesetzt sind. Die Abschnitte 2 big 15 beziehen sich auf die binären Operatoren. Ihre Definition werde im folgenden erläutert. Man schreibe yr zur Bezeichnung von ~ und xr für ^ : JZr dxr IJr ayr ' entsprechende Zunahmen von x, y seien | und 17, so d a s s 7 + a v ? a + •••> v = V i S + y ^ + y ^ 1 4- •••, I = wobei die eine Entwickelung eine Umkehrung der anderen ist; ferner bezeichne 7 s (m) den Coefficienten von f» in der Entwickelung von 1f nach aufsteigenden Potenzen von | und Xjm) den Coefficienten von rf in der Entwickelung von | m nach aufsteigenden Potenzen von r¡, wobei m eine positive oder negative ganze Zahl, die Null nicht ausgeschlossen, bedeutet.

Ausserdem sei «

eine positive oder negative Zahl oder N u l l ; ¿i, v seien beliebige Zahlgrössen.

Dann sind die betrachteten Operatoren:

Die Summationen beziehen sich auf s, welches der Reihe nach alle ganzzahligen Werte annimmt, die nicht kleiner als der grössere der Werte m und — n - f l sind. Das zu erreichende Ziel besteht darin, jeden Operator ¡(U, v\ m, n}x, der von x abhängt, als einen Operator oder eine Summe von Operatoren gleicher Gestalt v'\ m', n'\m von y abhängig, auszudrücken.

122

II. Abschnitt.

Algebra.

Die übrigen Abschnitte 16 bis 24 beziehen sich auf ternäre Operatoren, nämlich: m i f i , v, v'; m, », n '1j = 2 1{(ji+vr+v'*)^ ' x

m

m, «, »') = 2

-r—Y™

j, +s '

¿ J ^ J .

m |(U, v, v'; m, n, riJ = sjfri+vr+v's)Z%}

d

Hierin bedeuten fi, v beliebige Zahlengrössen; m eine positive ganze Zahl; n, n' positive ganze Zahlen, mit Einschluss der Null; r, s Grössen, welche der Reihe nach alle positiven ganzzahligen Werte von Null an durchlaufen, die der Bedingung r + s < m genügen. Cly. (Lp.)

Z . ELLIOTT.

S u r les i n v a r i a n t s d ' u n e classe d ' e q u a t i o n s

du premier ordre.

C. R. CX. 629-632.

Die Differentialgleichung erster Ordnung ^ = ax

, wo

die

"t

P Polynome zweiten resp. ersten Grades in y bezeichnen, kann durch die Substitution y =

VIT aY b +>

^

wo a, b, c geeignete Functionen von x bedeuten, auf die kanonische Gestalt dx^

Y

gebracht werden: J ist dann eine absolute Invariante der gegebenen Gleichung. Stimmt J, abgesehen von einem Factor, mit X überein, so wird die Gleichung integrabel, und man kommt so auf eine Klasse von Gleichungen, welche bereits Jacobi studirt hatte. Von der einschlägigen Litteratur wird sonst nur Appell erwähnt. My.

Capitel 2.

Theorie der Formen.

123

Sur les invariants des équations différentielles linéaires. Toulouse Ann. IYM. 1-5.

RIVEREAU.

Halphen hatte in seiner bekannten Arbeit „Sur la réduction des équations différentielles aux formes intégrables" eine Methode angegeben, um die Invarianten solcher Gleichungen zu bilden, welche indessen fttr eine wirkliche Ausführung in besonderen Fällen weniger geeignet schien. ' Seien y, x die alten Veränderlichen, Y, X die neuen, so bestimmt der Verfasser die Httlfsfunctionen t/(x), M(x) als Lösungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung derart, dass vermöge der Transformation y = YU(x),

£

=

M(x)

die gegebene lineare Differentialgleichung in eine solche übergeht, für welche der zweite und dritte Coefficient verschwinden. Aus den weiteren Coefficienten und deren Ableitungen setzen sich dann die gesuchten (relativen) Invarianten linear zusammen. Oie Rechnung wird im Falle der vierten und fünften Ordnung durchgeführt. My.

Ueber eine Invariante der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sehlömilch z. xxxv.

DIETRICHKEIT. 52 - 56.

Ist die lineare Differentialgleichung

vorgelegt, so ist der Ausdruck

eine absolute Invariante gegenüber allen Transformationen von der Form y — zq>(x): umgekehrt lassen sich zwei Gleichungen mit derselben Invariante J durch eine Transformation der genannten Art in einander überführen. Kennt man daher ein Integral einer der beiden Gleichungen, so auch eines der andern. Der Verf. giebt damit eine Illustration

124

II. Abschnitt.

Algebra.

zu den allgemeinen Theorien von Lie und Qalphen, ohne auf die Letzteren irgendwie Bezug zu nehmen. My.

P.

Ueber Begriff und Eigenschaften der Differentialin Varianten; ihr Z u s a m m e n h a n g mit den g e wöhnlichen Invarianten. Naturf. Ges. Bremen. 4.

J.

DURAN Y LORIGA. Teoría elemental algébricas. Segovia (1889).

GORDAN.

de las

formas

Dieses Werklein enthält den Teil der Theorie der algebraischen Formen, den die Prüfungsvorschriften für die Aufnahme in die Vorbereitungsschule für die Ingenieure in Madrid verlangen. Der Stoff ist auf zehn Capitel verteilt; in denselben kommen die linearen Substitutionen, die Discriminanten, die Invarianten, die Jacobi'sche und Hesse'sche Determinante, die Covarianten, die Emananten und die kanonischen Formen zum Vortrag. Tx. (Lp.) G.

Traité d'algèbre supérieure. 2 e éd. franç., publiée d'après la 4 e éd. angl., par O. Chemin. Paris. SALMON.

Gautbier-Yillars et Fils.

L. MAURER.

Ueber Invariantentheorie.

J. für Math.

cvil.

89 -116.

Während man sich bisher in der Invariantentheorie in der Hauptsache auf „allgemeine" Urformen beschränkt hat, will der Verf. eine Theorie aufstellen, welche auch die „speciellen" Formen mitumfasst, d. h. solche, zwischen deren Coefficienten algebraische Relationen herrschen. Die Formen einer bestimmten Ordnung werden zu dem Behuf in Klassen eingeteilt. &„ umfasst alle Formen; ¿2, diejenigen, deren Coefficienten einem bestimmten (irreducibeln) System algebraischer Gleichungen genügen; ß 2 solche, deren

Capitel 2.

Tkeorie der Formen.

125

Coefficienten einem weiteren System solcher Gleichungen genügen, u. s. f.

Die scheinbare Willkür dieser Einteilung verschwindet im weiteren Verlauf der Untersuchung, insofern die notwendig vorauszusetzende Eigenschaft der auszuübenden Transformationen, eine „continuirliche endliche Transformationsgruppe" zu bilden, zu einer ganz bestimmten Klasseneinteilung hinfuhrt. In einer beliebigen Form f der Klasse Sit ist nur noch ein Teil der Coefficienten frei verfügbar; f = f(x,u) darf also betrachtet werden als eine ganae, homogene Function von n „Variabein" x und als algebraische homogene Function von t „Parametern" m. Statt der u können beliebige t unabhängige algebraische Functionen derselben eintreten. Die Variabein x und Parameter u werden nun gleichzeitig einer Transformation in neue Grössen q>,v unterworfen: (S) Xi = cp( (y /p), m = ipk(v/p). Die p sind hier m willkürliche Substitutionsparameter, welche in die Functionen auftreten. Zugleich sollen die Transformationen eine „Gruppe" in dem Sinne bilden, dass einmal die Zusammensetzung zweier derselben wieder eine Transformation des Systems ergiebt, sowie dass die Umkehrung einer Transformation gleichfalls von derselben Art sei: Vi = , cp' auch noch von den v resp. u algebraisch abhängen. Die Substitutionen (S) sollen nun die Eigenschaft besitzen, dass sie für alle Werte der Grössen p die Form f ( x , ü) in f(y, v) transformiren; dann heissen sie der Klasse „zugeordnet." Eine Function J der u, welche durch ein der Klasse zugeordnetes System (S) in sich übergeht, ist eine Invariante der Form f (x,u). Sowohl f , als J, wie auch die g>,rp, werden gewissen linearen partiellen Differentialgleichungen genUgen

II. Abschnitt.

126 müssen.

Algebra.

Stellt m a n dieselben auf, so gestatten

eine wichtige Folgerung.

Existirt

nämlich

sie vor

allem

ein System (S),

so

gehört auch nur eine bestimmte Klasse i i i d a z u ; umgekehrt dagegen k a n n ein und derselben E l a s s e noch eine endliche oder selbst unendliche Anzahl von Systemen ( S ) entsprechen.

In die-

sem F a l l e k ö n n t e es scheinen, als ob auch f (x, u) m e h r e r e Invariantensysteme

besässe.

Dies ist i n d e s s e n ,

Cbristoffel gewisse extreme Behufs Aufstellung Verf. genötigt, fischen

falls man

nach

nicht der

Fall.

F ä l l e ausschliesst,

der Differentialgleichungen

die von Lie

selbst w a r

der

a n g e w a n d t e n Methoden der spezi-

Eigenart der vorliegenden T r a n s f o r m a t i o n e n gemäss ab-

zuändern.

In der T h a t

macht sich auch in der

Endgleichung

eine gewisse Separation der veränderlichen Grössen geltend.

So

g e n ü g t z. B. die F o r m f(x, u) m linearen partiellen Differentialgleichungen von der F o r m : x

öf

öf

df

Bf

j,

df

8f

wo die X nur von den x (ev. noch von den u), die U nur von den u a b h ä n g e n . Entsprechendes gilt von den m Gleichungen, welchen jeweils die q>', xf)\ J g e n ü g e n .

Die letzteren sind einfach von der Ge-

stalt : TT

dJ

Ist m' die Anzahl der gleichungen,

TT

dJ

,

.

WT

dJ

_

„wesentlichen" unter diesen Differential-

so h a t die F o r m e n k l a s s e ß< t—m'

von

einander

unabhängige Invarianten. Besitzen die Gleichungen für f (x, w) noch eine weitere ganzrationale Lösung, so ist dieselbe als „Covariante" der U r f o r m f zu betrachten. Die verschiedenen a u f g e f ü h r t e n Arten von j e m Differentialgleichungen

bilden

lauter vollständige Systeme,

wie a u s dem

G r u p p e n c h a r a k t e r der a u s g e ü b t e n Transformationen folgt. Sieht m a n von besonderen Fällen a b (so z. B., w e n n Discriminante der U r f o r m f , resp. noch d e r e n Ableitungen

die ver-

schwinden sollten), so ist d a s System von Differentialgleichungen,

Capitel 2.

Theorie der Formen.

127

welchen die allgemeine Form der Klasse ß< genügt, im wesentlichen analog den auf die Klasse S2i+1 bezüglichen. Daraus folgt aber, dass die « 2 Aronhold'schen Differentialgleichungen für die allgemeine Klasse Si0 auch für die folgenden Klassen typisch sind. Zum Schlüsse macht der Verf. darauf aufmerksam, dass sich neben die oben getroffene Einteilung der Formen nach Ordnungen und Klassen eine zweite gleichberechtigte stellt. Man kann nämlich die Formen von n Variabein zunächst in „Systeme" nach der Anzahl der „Parameter'' u einteilen, weiter jedes dieser Systeme in Klassen, deren jede durch ein System invariantiver Differentialgleichungen charakterisirt ist, und schliesslich sind die Formen einer Klasse nach ihrer Ordnung in Bezug auf die Variabein x in „Ordnungen" einzuteilen. Diese zweite Einteilung empfiehlt sich vornehmlich zur Untersuchung der Ausnahmefälle, in denen die Anzahl der invariantiven Differentialgleichungen die Zahl « a Ubersteigt. Die vorstehend skizzirten Entwickelungen bilden eine Weiterführung derjenigen, welche der Verf. hinsichtlich gewöhnlicher linearer Substitutionsgruppen angestellt hatte. (F. d. M. XX. 1888. 102). My.

E.

WILTHEISS. Eine besondere Art von Covarianten bildender Operation. II. III. Math. Ann. x x x v i . 134-153, X X X V I I . 229-272.

Die beiden vorliegenden Arbeiten bilden die Fortsetzung einer Arbeit gleichen Titels, über welche F. d. M. XXI. 1889. 109 i referirt worden ist. Der dort behandelte Process geht,

v= u ° '

wenn man die Grundform f von der sechsten Ordnung in ein Product von zwei kubischen Formen

zerlegt, über in den Process

+

r

—

II. Abschnitt.

128 wo

G0, •••, G3, r o , •••, r 3

v a r i a n t e n G und r

Algebra.

die Coefficienten yon simultanen

Co-

der F o r m e n g> und xp sind, welche noch eine

weitere Veränderlichenreihe

v 3 im 2 t e n G r a d e enthalten; ausser-

dem möge die Covariante G in den Coefficienten a von q> vom 2 l e n Grade, d a g e g e n in den Coefficienten a von tp vom l t e n G r a d e s e i n , und die C o v a r i a n t e r der a und a.

entstehe a u s G durch Vertauschung

In der ersten Arbeit wird n u n gezeigt, dass die

9Covarianten

, aber von den Coefficienten einfacherer Urformen abhängen. Auf die letzteren ist dann der Hilbert'sche Satz unmittelbar anwendbar. My.

J.

DERUYTS.

S u r les c o v a r i a n t s p r i m a i r e s .

Belg. Bull. (3)

X X . 116-132.

Es sei eine Anzahl von Ur-Formen f mit einer oder mehreren (cogredienten) Reihen von n Variabein vorgelegt. Eine primäre Covariante y> ist eine solche Covariante jener Urformen, welche n — 1 Reihen «W, aK2), von j e n Variabein ent-

Capitel 2.

131

T h e o r i e der Formen.

hält und den n— 1 Differentialgleichungen genügt: D„ = 0, D23 = 0 , . . . , #7,-2,71-1 = 0, wo Dik = 2>(y

wo also nachträglich in jedem Gliede die Folge der n Zeichen d

durch das eine Zeichen dn der n-maligen

ersetzen ist.

Differentiation

Bezeichnet man das Product A ß

von ß

zu

mit der

Determinante A der Variabein durch H, so kommt successive: Dxx Dxy Dx: WJ Dxx Dxy j etc. DyX 1 Dy "

~

\ D

1 + D

'

~

Dzx

DZy

2

Diese Operation H hat die ausgezeichnete Eigenschaft, mit allen Polarenprocessen, die mit den v Variabeinreihen vorgenommen werden können, vertauschbar zu sein. Eine wichtige

Anwendung

davon prägt sich aus in der

Eigenschaft einer ganzen homogenen Function der (x), (y), . ..,

140

II. Abschnitt.

Algebra.

(w), (v), welche den n—1 Differentialgleichungen genügt: Dxy = 0, Dyi — 0, . . . , Duv = 0, das Product zu sein aus einer Potenz der Determinante A mit einer anderen ganzen Function F', welche den nämlichen Differentialgleichungen genügt. Mit den bisher erwähnten Hülfsmitteln gelingt es, ein leicht zu handhabendes Kriterium dafür aufzustellen, ob eine vorgegebene ganze Function von n Variabeinreihen eine „uneigentliche" ist oder eine „eigentliche", d. i. ob sie sich durch Polaroperationen aus Functionen von n — 1 (oder weniger) Reihen von Yariabeln ableiten lässt oder nicht. Beispielsweise ist eine ganze Function von » Reihen von n Variabein, welche die Determinante der letzteren zum wirklichen Factor besitzt, eine eigentliche. Hierauf gestützt, wendet sich der Verfasser zum Beweise des Hauptsatzes über Reihenentwickelung (F. d. M. XIV. 1882. 86). Der grundlegende Gedanke ist, eine ganze Function F von n Reihen von » Variabein in zwei Teile zu zerlegen, von denen der eine durch die Determinante A der Variabein teilbar ist, während der andere durch Polarenprocesse aus Functionen ableitbar ist, welche eine Variabeinreihe weniger enthalten. Durch Wiederholung dieses Processes wird F nach Potenzen von A entwickelt mit Coefficienten, welche uneigentliche Functionen der gegebenen Variabein sind. My.

O M användningen af invarianter och halfinvarianter vid lösningen af allmänna algebraiska ekvationer. Stockh. ö f v . 165-188.

A . BERGER.

Die Wurzeln der allgemeinen Gleichungen der 4 niedrigsten Gradzahlen werden durch die Invarianten und Halbinvarianten der Gleichungen ausgedrückt, und die aufgestellten Formeln werden zur Bestimmung der Discriminanten der Gleichungen angewandt. Vorher geht eine elementare Herleitung gewisser Sätze aus der Invariantentheorie. Bdn.

Capitel 2. G.

B.

MATHEWS.

ON

141

Theorie der Formen. class - invariants.

Lond. M. s . Proc.

XXI. 28.4-246. Die Gleichung zwischen der Modularfunction ihrer Transformirten J' —

ist, wie Klein

J(ta)

und

hervorgehoben

hat, vom Geechlechte Null in den Fällen n = 2, 3, 4, 5, 7,13; für diese Fälle wird die auf jene Gleichung direct bezogene complexe Multiplication algebraisch durchgeführt. Dies geschieht am bequemsten mit Hülfe der von Klein eingeführten Irrationalität J' wird dann dieselbe (rationale) Function von einer Grösse x\ wie J von t, und zugleich sind x und %' durch eine lineo-lineare Relation verbunden. Man hat dann für den vorliegenden Zweck J' gleich J zu setzen und t' zu eliminiren, wodurch die singulären Werte von t und damit J gefunden werden. Jeder solche Wert „correspondirt" einer bestimmten Klasse quadratischer Formen. So erhält man z. B. im Falle n = 2 für J' = J die Gleichung (4r-ly "V

=

(4-^3 %

^

l)(64r J —47T + 64) = 0

und damit die brauchbaren Wertepaare ^ = 1, J= 1; t— — 1, J=

53 g|,

welche den Formenklassen (1, 0 , 1 ) resp. (1,0,2) correspondiren. Für die höheren Fälle erheischt die richtige Anordnung der Rechnung ein grosses Geschick. My.

Zur Theorie der bilinearen Formen. Monstab, f. M. I. 163-236.

E D . WEYR.

Diese Arbeit stellt einen Auszug aus einer grösseren dar, über welche bereits F. d. M. XXI. 1889. 123 berichtet worden ist. My. K.

Die Covarianten der'binären biquadratischen Formen, entwickelt aus den projectivischen Eigenschaften des vollständigen, einer Curve zweiter Ordnung eingeschriebenen Vierecks. Dise. München, v i u. GEIGER.

74 S. 8°. Mit 10 Fig.-Taf. in besonderem Atlas.

142

II. Abschnitt.

Álgebra.

Wird eine binäre biquadratiscbe Form f durch vier Punkte eines Kegelschnitts K repräsentirt, so stellt bekanntlich jede Punktgruppe auf K, auf welche man durch projectivische Constructionen in der Ebene von K geführt wird, die Wurzeln einer Covariante von f dar. Auf diese Weise deutet der Verf. die Covarianten von f , sowie die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen. Das Bemerkenswerte der Arbeit ist, dass die verschiedenen Realitätsmöglichkeiten bis ins Einzelnste discutirt uod durch saubere, vom Verf. selbst in Stein gravirte Figuren erläutert werden. My. E.

Ueber die symbolische Darstellung der Grundsyzyganten einer binären Form sechster Ordnung und eine Erweiterung der Symbolik von Clebsch. STROH.

Math. Ann. X X X V I . 262-303, Diss. Briangen. 44 S. 8°.

Dieser Aufsatz bietet einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie der Syzyganten, sowie in der Symbolik der Formen Uberhaupt. Durch die Arbeiten von Perrin, Stéphanos, Hammond und y. Gall waren im ganzen 204 irreducible Syzyganten der binären Form 6. Ordnung f6 aufgefunden und berechnet, und zwar nach verschiedenartigen, teils umständlichen, theils schwer controllirbaren Methoden. Im ersten Teil seiner Arbeit weist der Verf. nach, dass sämtliche 204 Syzyganten verschiedene Formen von im ganzen nur 11 elementaren Syzyganten sind: es sind jene daher durch nur 11 verschiedene Symbole darstellbar und dadurch zugleich vollständig bestimmt. Dabei ist jede Syzygante unabhängig von den übrigen berechnet worden, wodurch fehlerhafte Resultate möglichst vermieden wurden. Der Gang der Untersuchung stützt sich wesentlich auf eine frühere Abhandlung des Verf. (vgl. F. d. M. XX. 1888.120), in der alle linearen Relationen (Syzygien) zwischen den Ueberschiebungen von je zwei aus vier Formen f , q>, if>, % aufgestellt sind.

Capitel 2.

Theorie der¿Formen.

143

Diese Relationen werden hier auf 11 „elementare" reducirt, deren linke Seiten eben die in Rede stehenden Syzyganten bilden. Um dieselben auf ihre Richtigkeit zu prüfen, nimmt man die darin vorkommenden vier Formen als wirkliche Potenzen linearer Formen an: f—(x — a)n^ (p — (x—6)% xp = (x—c)Mj, % = {x—d)">] bildet daraus alle Ueberschiebungen und nimmt den ersten Coefficienten jeder derselben. Dies kommt einfach darauf hinaus, dass man z. B. (f, q>)k ersetzt durch (a—6)A, ((ftp)* cp)2 durch (a — c ) ' ( o — 6 ) 2 u. s. f. Die Syzygante wird so eine Form F der Elemente a,b,c,d, die der partiellen Differentialgleichung de + dd ~ genügt, und demzufolge allein durch die drei Differenzen a — b, a — c, a — d dargestellt werden kann. Man braucht daher in F nur a = 0 zu setzen, um dann das identische Verschwinden der Function F einzusehen. Umgekehrt lässt sich aus jeder solchen identisch verschwindenden Function dreier Variabein die entsprechende ßyzygie herstellen. Die Anwendung auf die binäre Form fe geschieht nun in der Weise, dass zunächst jede der 26 Clebsch'schen Grundformen als eine Ueberschiebung zweier niedrigeren Grundformen geschrieben, wird. Sodann bildet man alle Producte der Grundformen zu zweien, die demnach die Form (fq>)l(ty%)ft annehmen; nach Früherem können nunmehr die zugehörigen elementaren Syzyganten entwickelt werden, welche dieses Product enthalten. Bis zum Grade 9 sind sämtliche irreducibeln Syzyganten ausgewertet, von da ab ist nur derjenige Teil der Syzygante beigesetzt, aus welchem die Irreducibilität derselben ersichtlich ist. Im zweiten Teile der Arbeit wird die oben berührte symbolische Darstellung F(a,b,c,d) der Syzyganten auf ihren Grund genauer untersucht: es zeigt sich, dass durch Verfolgung eines entsprechenden Leitgedankens die bisherige Clebsch-Gordan'sche Symbolik (und zwar nicht nur für binäre Formen) einer fruchtbaren Verallgemeinerung und damit zugleich Vereinfachung fähig ist. Beschränken wir uns mit dem Verfasser auf binäre Formen, da

db

IL Abschnitt.

144

Algebra.

so kann bekanntlich eine Covariante C, die in den Coefficienten einer Form f vom »ten Grade ist, symbolisch als simultane Covariante der » Potenzen (ai xt -j-a)ix2)n(l= 1,2,..., i) dargestellt werden. Hier darf nun offenbar a, = a 2 = • • • = a gesetzt werden, ohne dass in C beim Uebergange zum wirklichen Werte irgend eine Vieldeutigkeit der zu ersetzenden Symbole eintritt. Es kann sogar a gleich der Einheit angenommen werden: man hat dann nur C nachträglich mittels eines ersten Coefficienten a0 homogen zu machen. Versteht man unter C0 das Leitglied von C, so bleibt von den 4 ursprünglichen Differentialgleichungen für C, wie bekannt, nur eine charakteristische Gleichung für C0 übrig, die aber hier die durchsichtige Gestalt annimmt: l=i

dC oax

A=I

Jede in den a¡ ganze und homogene Function, welche der letzteren Gleichung genügt, liefert eine Covariante C. Nach einem Satze von Hesse ist aber eine „Form" (d. h. eine homogene ganze Function) von i Variabein a, welche die Gleichung y ^ = 0 befriedigt, dadurch charakterisirt, dass sie eine ebendax solche Function von nur ¿—1 Grössen o 2 ', a 3 ' , . . . , a , ! ist, wo die letzteren als Differenzen der a bestimmt sind: a2' = a a — a,,

a,' = o3 — o15

ai=ai

— al etc.

Um also die allgemeinste Form q> der a von einer Ordnung g zu finden, für welche 2

= O ist, stelle man die allgemeinste

Form tp der a' von der Ordnung g auf, in der keine Variable in einer höheren Potenz als n auftritt, und substituiré hinterher statt der a' die a. Dies ist immer ausführbar, wenn ist: die anderen Fälle lassen sich darauf zurückführen. Praktischer jedoch verfährt man so: Unter „Grundsymbolen" seien diejenigen Lösungen von in den a sind.

= 0 verstanden, welche vom ersten Grade dax Offenbar giebt es dann nur i— 1 linear unab-

Capitel 2.

Theorie der Formen.

145

hängige, und jede Lösung jener Gleichung kann durch dieselben rational und ganz ausgedruckt werden. Um demnach die symbolische Darstellung fttr das Leitglied einer Covariante von f zu erhalten, bilde man aus g Grundsymbolen ein Product, in welchem jedes Symbol höchstens in der « tcn Potenz vorkommt. Die einfachsten Grundsymbole sind die Differenzen Or—a„ und diese sind es gerade, welche der Glebsch'schen symbolischen Darstellung zu Grunde liegen. Der Verf. entwickelt darauf hin, wie sich irgend eine in der Symbolik von Clebsch gegebene Covariante in seine Grundsymbole umsetzen lässt, und vice versa. Da die Anzahl der auftretenden Grundsymbole höchstens

i — 1 beträgt — im Gegensatz zu den

—- Clebsch'schen

Klammerfactoren — so bietet die neue Darstellung mancherlei Vorteile. Beispielsweise schreibt sich die Covariante % = (a&^C&c)««- 2 ^- 3 ^- 1 in der Gestalt (a + ö —2c) 3 . Das Verfahren des Verfassers erscheint besonders brauchbar, wenn die Ordnung n der Ausgangsform f stets höher bleibt als das Gewicht g der zu betrachtenden Covarianten, also bei Formensystemen einer Form unbegrenzt hoher Ordnung, wie sie von englischen Mathematikern (Sylvester, Cayley, Ma,cMahon u. a.) studirt worden sind. Für solche „Semiinvarianten" C0 gilt dann der grundlegende Satz: „Alle Semiinvarianten vom Grade i und vom Gewichte g sind durch symbolische Potenzen (A.öj + ^OJH Mio.-) 9 linear ausdrttckbar." Daraufhin ist der Verf. in der Lage, alle irreducibeln Semiinvarianten (Perpetuanten) von gegebenem Grade i und gegebenem Gewichte g zu ermitteln. Ihre Anzahl ist gleich der Zahl ganzzahliger Lösungen (Us, ¿u3, • • •, fi ( der Gleichung: + H \-ifii=g— 2 i _ 1 + 1, wodurch ein Satz von MacMahon bestätigt wird (cf. F. d. M. XVI. 1884. 105). Aber auch die Bildungen selbst lassen sich in symbolischer Gestalt sofort hinschreiben. Fortachr. d. Math. XXII. 1.

10

146

II. Abschnitt.

Algebra.

Zum Schlüsse giebt der Verf. kurz a n , wie sich die entsprechende Umformung der Differentialgleichungen für Invarianten nebst der Bildung der „ Grundsymbole 8 im ternären Gebiete vollzieht. My.

6.

MAISANO. L'Hessiano della sestica binaria e il discriminante della forma dell' ottavo ordine. Nota IIa. Palermo Rend. IV. 1-8.

Die Note ist eine Fortsetzung der in F. d. M. XXI. 1889. 111 besprochenen. Die Aufgabe, die Discriminante einer binären Form f achter Ordnung als ganze Function der 9 Invarianten von f darzustellen, führt auf ein System von linearen numerischen Gleichungen mit 31 Unbekannten. Gestützt auf die frühere Ausführung, wo f speciell die Hesse'sche Covariante einer Form sechster Ordnung war, vermag der Verf. mittels symbolischer Rechnung jene Unbekannten zu ermitteln. Der definitive Ausdruck der Discriminante enthält 30 Glieder. My.

J.

A simple proof of the existence of irreducible invariants of degrees 20 and 30 for the binary seventhic. Math. Ann. x x x v i . 255-261. HAMMOND.

Sylvester und Franklin (F. d. M. XI. 1879. 82) hatten nicht vermocht, für die Covarianten einer binären Form 7. Ordnung f7 eine repräsentirende erzeugende Function herzustellen, insofern der Zähler der letzteren ins Unendliche ging. Hierbei war indessen infolge eines Rechenfehlers die Annahme gemacht worden, dass die f7 keine irreducibeln Invarianten von den Graden 20 und 30 besitzen könne, während v. Gall (F. d. M. XX. 1888. 128) solche (ohne vollständigen Beweis) wirklich auffand. Der Verf. deckt direct vermöge geeigneter Specialisirung der f7 die Existenz solcher zwei Invarianten auf und entwickelt daraufhin die correcte Gestalt der gesuchten repräsentirenden erzeugenden Function. Damit ist eine wesentliche Lücke der bezüglichen Sylvester'schen Theorie ausgefüllt. My.

Capitel 2.

C.

MOLLO. Sul XXVIII. 330-348.

147

Theorie der Formen.

sistema di due cubiche binarie. Batt. G.

Die Covarianten des Systems zweier kubischen binären Formen werden mit Bezugnahme auf frühere Untersuchungen von Battaglini, Clebsch, Gordan, d'Ovidio symbolisch noch einmal abgeleitet und dann geometrisch gedeutet. My.

E.

Bemerkung zu v. Gall's Untersuchung über die Grundsyzyganten zweier simultanen biquadratiSTROH.

s c h e n binären F o r m e n .

Math. Ann. x x x v i . 154-156.

Hammond hatte den Satz empirisch ausgesprochen, dass j e d e (irreducible) Grundsyzygante eine binäre Combination der Grundformen enthalten mtlsse. Indessen war v. Gall auf ein Beispiel gestossen, welches dem Satze zu widersprechen schien. Die Relation zwischen den acht Invarianten von zwei binären Formen vierter Ordnung enthält die vierte Potenz einer Grundform D , konnte jedoch trotz aller Anstrengungen nicht weiter reducirt, und zugleich konnte aber keine Syzygante mit dem Terme D* aufgefunden werden. Durch geeignete Specialisirung der gegebenen Formen zeigt der Verf. direct mittels Ausrechnung, dass die Ansicht v. Gall's richtig w a r , dass also der von Hammond aufgestellte Satz nicht allgemein gültig ist. My. A. DEL RE. S ü l l e c o p p i e di forme bilineari. Rend. (4) VIa. 237-244.

Rom. Acc.L.

Der Verf. beabsichtigt, mit den Hülfsmitteln der Geometrie der Lage die notwendigen und hinreichenden Bedingungen daf ü r abzuleiten, dass ein Paar von symmetrischen bilinearen Formen in ein eben solches linear transformirt werden kann, und im Falle der Möglichkeit die (endliche) Zahl von bezüglichen Transformationen zu ermitteln. Dies geschieht hier zunächst für die binären Formen, wo man mit einfachen Hülfssätzen über projectivische Punktreihen und Involutionen auf einer geraden Linie ausreicht. Es werden fünf verschiedene Typen von trans10*

II. Abschnitt.

148

Algebra.

formirbaren Paaren binärer symmetrischer bilinearer Formen (Involutionen) aufgestellt mit resp. 2, 4, 2 , 8 , 4 Transformationen.

My. A.

CAYLEY.

On two invariants of a quadriquadric function.

Mess. (2) XX. 68-69.

Die „quadriquadratische" Function *\ax'+2hxy +g'y*) +2zw(h'x>+2bxy+fy°) + w\gx*+2f'xy + et/2) besitzt, einmal als Function von z und w, sodann als Function von x und y betrachtet, zwei Discriminanten U und V vierter Ordnung mit gleichen quadratischen und kubischen Invarianten. Diese letzteren werden, vollständig ausgerechnet, zum Abdruck gebracht. Lp.

Essai de théorie complète du système de deux formes ternaires quadratiques. S. M. F. BAIL. x v m .

R . PKRRIN.

1-80. Das „volle System" zweier quadratischen ternären Formen Ca, bestehend aus 20 Grundformen, ist von Gordan aufgestellt worden. (Siehe Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I S. 288, sowie Math. Ann. XIX, cf. F. d. M. XIV. 1882. 80). Der Verf. giebt hier eine abgeschlossene Theorie: manche seiner Resultate sind übrigens in der zweitgenannten Arbeit Gordan's enthalten, welche dem Verf., wie es scheint, unbekannt war. Die Untersuchung zielt wesentlich auf geometrische Anwendungen: es ist in der That einleuchtend, dass schon das vollständige Studium der projectivischen Eigenschaften eines einzelnen Kegelschnitts eine Reihe von Fragen aus der projectivischen Theorie zweier Kegelschnitte in sich begreift. Insbesondere war es von Wichtigkeit, die zwischen den 20 Grundformen bestehenden Relationen (Syzygien) aufzustellen, sowie die nötigen Folgerungen daraus zu ziehen, um z. B. eine simultane Covariante unmittelbar auch in Liniencoordinaten schreiben zu können. Das Bemerkenswerteste der Arbeit scheint jedoch eine Art Uebertragungsprincip zu sein. Hiernach sind die Invarianten

Capitel 2.

Theorie der Formen,

149

eines Systems von vier binären Formen, zwei linearen und zwei quadratischen (welche der Verf. schon früher vollständig untersucht hatte, cf. F. d. M. XIX. 1887. 133), die Leitglieder der invarianten Bildungen zweier C,, sodass man ohne weiteres von den bekannten Syzygien zwischen den binären Grundformen Übergehen kann zu denjenigen zwischen den ternären. In der That, seien die beiden vorgelegten Formen: s = ax' +by3 + cs a + 2fyz + 2gzx + 2 hxy, s'= a'oi3+by+

c V + 2f'yz +

2g'zx+2h'xy,

so gehen dieselben vermöge der Substitution x = X-hY-gZ,

y = aY

über in: s = a(X3+F), s'=a'(X3+2UX+V), wo V, V, U binäre Formen in Y, Z sind. Um nun zunächst die Leitglieder des vollen Systems der In- und Covarianten von s, s' zu haben, würde es genügen, die Invarianten von U, V, V' zu bilden, dieselben unter sich und mit a, a' derart zu combiniren, dass die Ergebnisse durch eine möglichst hohe Potenz von a teilbar werden. Indessen empfiehlt es sich, statt der V, F', V vier binäre Formen mit der Eigenschaft einzuführen, dass deren Coefficienten weder von einander, noch von a und a' abhängen. Dies geschieht von selber, indem man V,V',U nach a,a' ordnet: U = au'—a'u, V— av—Ma, F'=aV—2auu'-\-a'u*, wo nunmehr « , « ' , » , » ' die gewünschten Formen sind, nämlich: u = hY+gZ, u' = h'Y+g'Z, v = 6 Y*+2fYZ+cZ\ v' = b'Y3+2f'YZ+c'Z\ die übrigens unmittelbar entstehen, wenn män s, s' nach Potenzen von x ordnet. (Vgl. auch Brill, F. d. M. X. 1878. 459). Das System («,«', v,»') besitzt 13 Invarianten, aus denen sich die 6 Invarianten des Systems ( V , V, V) zusammensetzen; letztere sind Leitglieder von In- oder Covarianten des Systems («,$'), die sich mit Anwendung eines einfachen Residuencalculs (cf. F. d. M. XV. 1883. 73) zum Teil durch noch einfachere ersetzen lassen.

150

II. Abschnitt.

Algebra.

Zugleich wird aber bewiesen, dass die entsprechenden 6 wirklichen Bildungen, 4 Invarianten, eine quadratische und eine kubische Covariante, für die In- und Covarianten von (s, s') ein volles System bilden, verbunden durch eine Syzygie. Es erübrigt noch die Berücksichtigung der Contravarianten und Zwischenformen. Zu dem Behuf ist den drei Formen t/,F,F' noch eine vierte V zu adjungiren: wo die t], £ die zu x, y, z contragredienten Variabein bedeuten. Man bilde wiederum die Invarianten des binären Systems (l/, l/', F, F ) , combinire dieselben unter sich, sowie mit a, a', sodass eine möglichst hohe Teilbarkeit durch a erreicht wird, so gelangt man zur Gesamtheit der Leitglieder der Contravarianten und Zwischenformen von (s, s'). Von den 13 Invarianten des Systems ( U , U ' , V , V ) waren 6 bereits berücksichtigt; die 7 übrigen führen in der That zu 2 Contravarianten und 5 Zwischenformen, von denen zwei lineo-linear sind. Durch Fortsetzung des Verfahrens entstehen einmal noch drei weitere Formen, deren Existenz schon aus Symmetriegründen notwendig war, schliesslich noch, ausser der identischen Zwischenform, zwei letzte Formen. Die bezüglichen 7 Syzygien sind der unmittelbare Ausdruck für die Herleitung der Formen. Durch weitere Uebertragung binärer Syzygien auf das ternäre Gebiet resultirt eine Anzahl von im ganzen 67 Syzygien, deren Vollständigkeit allerdings nicht nachgewiesen wird. Die Syzygien stehen in einem gewissen eigentümlichen Reciprocitätsverhältnis zu einander, abgesehen von der Symmetrie in Be2ug auf die Coefficienten von s und s'. Behufs geometrischer Auswertung empfiehlt es sich, ein typisches Coordinatendreieck zu Grunde zu legen, das repräsentirt wird (etwa bei festgehaltenen ??, Q durch die beiden lineolinearen Zwischenformen nebst der identischen + + die Coefficienten sämtlicher invarianten Bildungen werden dann von selbst von invariantem Charakter. Es werden Aufgaben gelöst, wie: die Gleichung desjenigen Kegelschnittes (s, s') zu bilden, welcher noch eine gegebene Ge-

Capitel 2.

Theorie der Formen.

151

rade • berührt. Das Verschwinden von Invarianten u. s. f. wird eingehend untersucht. Als Beispiel der Bedeutung von Syzygien sei der Satz erwähnt: Alle covarianten Kegelschnitte, welche eine feste Gerade berühren, berühren noch drei weitere feste Geraden. Auch die verschiedenen Ausnahmefälle hinsichtlich Berührung der beiden Kegelschnitte werden der Reihe nach in Betracht gezogen. My. F . GERBALDI.

dratiche.

Sui combinanti di tre forme ternarie quaTorino Atti. XXV. 390-396.

Unter den Invarianten dreier ternären quadratischen Formen befinden sich bekanntlich zwei Combinanten vom 2. resp. vom 4. Grade in den Coefficienten jeder Form. Dieselben werden hier als ganze Functionen der 11 fundamentalen Invarianten der drei gegebenen Formen berechnet, und damit auch die Resultante derselben. Für die erstgenannte Combinante war die gemeinte Formel bereits von Mertens abgeleitet worden (F. d. M. XVIII. 1886. 99). My.

A. R. JOHNSON. On certain concomitants of systems of conics and quadrics, and on the calculation of tbe covariant S of the ternary quartic. Lond. M. S. Proc. xxi. 432-441.

Die Arbeit zerfällt in drei völlig getrennte Abschnitte. Im ersten Abschnitt drückt der Verfasser gewisse geometrisch interessante Combinanten von drei quadratischen Formen durch fundamentale Invarianten der letzteren aus. Es wird das beispielsweise auf die Aufgabe angewandt, die Gleichung für die Regelfläche aufzustellen, deren Geraden drei Flächen zweiter Ordnung zugleich berühren. Im zweiten Abschnitt werden zwei Aufgaben über Involution behandelt. Die eine lautet, den Complex von Geraden zu finden, welche drei Flächen zweiter Ordnung in Involution schneiden.

II. Abschnitt.

152

Álgebra.

Im dritten Abschnitt endlich berechnet der Verf. die Covariante S einer ternären biquadratischen Form als ein typisches Beispiel für Invarianten von Polaren. My.

G.

MAISANO. cubica.

Il combinante N della forma ternaria

Palermo Rend. IV. 153-185.

Eine kubische ternäre Form f = a% besitzt nach Clebsch und Gordan eine ausgezeichnete Covariante N = (aau)ala% (bei constanten u), welche bezüglich f und deren Hesse'scher Form a% Combinanteneigenschaft besitzt. Bei Clebsch und Gordan finden sich auch schon alle Formen zweiten Grades in den Coefficienten von N. Auf Grund einer früheren Arbeit (F. d. M. XIII. 1881. 110) berechnet der Verf. auf symbolischem Wege einige für die Theorie der Form f fundamentale Formen vom 3., 4. und 6. Grade in den Coefficienten von N und macht Anwendungen davon auf eine Reihe geometrischer Eigenschaften der Curve N — 0. My.

E.

WÖLFFING. Ueber die Hesse'sche Covariante einer ganzen rationalen Function von ternären Formen. Math. Ann. X X X V I . 97-120.

Auch Dies. Tübingen.

Leipzig.

B. G.

Teubner. 26 S. 8°.

Die Untersuchung einiger Fälle von Singularitäten einer ebenen Curve, in denen sich die Hesse'sche Curve durch ein anomales Verhalten auszeichnet, führte den Verf., auf Anregung von Hrn. Brill hin, auf folgende algebraische Aufgabe. Sei eine ternäre Form F als Product von anderen Formen gegeben, oder allgemeiner als ganze Function von anderen ternären Formen f0 , /j, ft ,..., so soll die Hesse'sche Form H von F, eine Simultancovariante der ¡f, in Function der im vollständigen Formensystem der f enthaltenen In- und Covarianten dargestellt werden. Der Verf. beschäftigt sich zuvörderst mit dem einfachen Falle, wo F eine mehrfach-lineare Function der f ist, und wo jedes der f immer nur je in einem einzigen Gliede i< auftreten

Capitel 2.

Theorie der Formen.

153

soll. Man hat dann in H(F) erstens die Symbole der F und zweitens an Stelle dieser die Symbole der f einzuführen. Die Ausführung zeigt, dass sich der Ausdruck von H zurückführen lässt auf solche simultanen Covarianten der f, welche nur zwei Klammerfactoren enthalten; die reale Endformel ist freilich, wie nicht anders zu erwarten, complicirt. Nunmehr darf auch die Erweiterung zugelassen werden, dass in den Gliedern F, mehrere gleiche Factoren f vorkommen, sowie dass diese Glieder Fi, Fk, ... einzelne Factoren f unter sich gemein haben. Es werden dann vorerst alle Factoren sämtlicher F mit verschiedenen Indices bezeichnet und die letzteren erst nach Anwendung der Zwischenformeln teilweise einander gleich gesetzt. Eine specielle Untersuchung ist erforderlich, falls unter den Formen f lineare vorkommen. Diese werden innerhalb der einzelnen Glieder Ft in geeigneter Weise zu nicht-linearen Formen zusammengefasst, sodass einer unmittelbaren Anwendung der früheren Formeln nichts im Wege steht; es erübrigt dann noch, an Stelle der Symbole jener nicht-linearen Hülfsformen die Symbole der linearen Formen einzuführen, wozu ein erheblicher Formelapparat in Thätigkeit gesetzt werden muss. Der Verf. vereinigt die von ihm verwendeten invarianten Gebilde nebst ihrer geometrischen Bedeutung, bespricht das Vorkommen einzelner unter denselben in der bisherigen Litteratur und geht zuletzt zu der anfangs erwähnten Anwendung über. Es ergeben sich Ergänzungen von Sätzen, welche früher von Brill (F. d. M. X. 1878. 459) aufgestellt waren. Beispielsweise berührt die Hesse'sche Curve in einem Undulationspunkt der gegebenen Gurve die Undulationstangente. Es sind hauptsächlich Symmetriegründe, welche in letzter Linie zur Erklärung des abweichenden Verhaltens der Hesse'schen Curve herbeigezogen werden müssen. My. F. MERTENS.

Die

Invarianten

dratischen Formen.

dreier quaternären qua-

Wien. Ber. XCIX. 367-384.

Der Verf. ermittelt auf Grund

seiner früheren Methoden

154

II. Abschnitt.

Algebra.

Cef. F. d. M. XXI. 1889. 122) ein volles System der invarianten Bildungen von drei quaternären, quadratischen Formen f,f',f". Es seien F(u), F'(u), F" (u) die zugehörigen Formen in EbenenCoordinaten M, desgleichen q> (p), qp'(p), +2B"xxi

+ C"x°1)y'11

und fuhrt man vier quaternäre Variabein ein: xy = p,

xlV = q,

xy, = r,

xiVl = «,

so ist die quadratische Form: G = (Ap + Bq +A'r + B's)p + (Bp + Cq +B'r + C's)q + (A'p + B'q JfA"r + B"s)r+ (B'p + C'q+B"r + C"s)s als eine Covariante von F zu bezeichnen. Denn geht F vermöge zweier Substitutionen (S), (T) der (x), (y) in F0 Uber, so geht auch G in die genau entsprechende Form G0 über vermöge einer

Capitel 2.

Theorie der Formen.

159

linearen Substitution U der p,q,r,s, welche die Folge von (S), (T) ist. Eine zweite Covariante in den Variabein p,q, r,s ist die Form H = ps — qr. Der Kern der Theorie liegt nun in der Schar quadratischer Formen G-\-kH und deren Determinante ß a (A), welche die „charakteristische Function" von F heisst. Der Verf. reproducirt zunächst den Beweis des Cayley'schen Satzes, dass die Coefficienten s, t, u von ß,(A) = X1—6A'i-|-4A, ein System von Invarianten. Ist nun die Anzahl beider Variabein dieselbe, etwa gleich r, und ist ferner die Determinante | fik | der Formenschar nicht identisch Null, d. h. ist auch t = r, so ist, wie bereits in der Weierstrass'schen Abhandlung vom Jahre 1868 (Berl. Ber. 310-338, F. d. M. I. 54) nachgewiesen wurde, das oben aufgestellte Invariantensystem ein vollständiges, d. h. zwei Formenpaare [qp, xp] und \cp\ xjj'] sind dann, und nur dann, simultan in einander transformirbar, wenn diese Invarianten für beide übereinstimmen. Sind aber jene speciellen Voraussetzungen nicht erfüllt, so treten zu den oben aufgestellten Invarianten noch andere hinzu. Ist nämlich der Rang % von (£*) kleiner als mindestens eine der Anzahlen r und s, so bestehen zwischen den r Ableitungen von f nach den Variabeln xt genau q = r—r von einander unabhängige Relationen, und ebenso zwischen den «Ableitungen nach den yk genau a = s—% von einander unabhängige lineare Relationen, deren Coefficienten ganze homogene Formen von (w, v) sind. Denkt man sich nun beide Arten von Relationen so gewählt, dass ihre Dimensionen in Bezug auf (u, v), welche beziehlich durch: m1, »»,, . . . ,

und

m n m2, . . . , ma

bezeichnet werden sollen, möglichst klein sind, so bleiben offen-

Capitel 2. Theorie der Formen.

171

bar auch diese § + f f ganzen Zahlen bei jeder simultanen Transformation des Formenpaares ungeändert. Der grundlegende Nachweis d a f ü r , d a s s die Gleichheit der hier gefundenen Invarianten (J)

0,)

¡i • • i OT",

m 1 , m2, -

...,

me -

für die Aequivalenz zweier Formenpaare nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend i s t , wird nun dadurch gefuhrt, d a s s ein beliebiges Formenpaar [qt>, xf>] in ein „reducirtes" P a a r [, f ] transformirt wird, welches durch die in dem Schema ( J ) enthaltenen Invarianten eindeutig bestimmt ist; denn hieraus folgt j a unmittelbar, d a s s die ßeduction zweier Formensysteme [qp, tf>] und [qp', v ' ] , denen ein und dasselbe Invariantensystem ( J ) angehört, auf dasselbe reducirte Formenpaar [í>, f ] führen muss. Aus der in den beiden ersten Abschnitten dieser Arbeit durchgeführten ßeduction der Formenschar f — uq>-]-vip ergiebt sich nun, d a s s j e d e Formenschar f stets und nur auf eine Weise in eine „reducirte S c h a r " von der F o r m : 2

{ ( 1 7 + » < " ) V)

FV^I

0«, f =

1, 2, . . . )

transformirt werden kann, in der die elementaren Formen und « F ^ durch die Gleichungen: =

2 4 ? ttf

=

2

( « + i = e ^ - 1 , x = 0 , 1,..., e P - 1 ) , + A= Jr\ ^ r * ] » deren Variabeinzahlen beziehlich , , 2 gleich ny sind, und für die «?-\-v\p) können, wie im letzten Abschnitt der Arbeit dargelegt

wird,

aus

den

in ( J ) aufgestellten Invarianten des

F o r m e n p a a r e s [-\-dy]

zu abstrahiren, wenn (a, b, c, d) irgend welche Constanten bedeuten, f ü r die ad—bc Während

somit

nicht verschwindet. die Frage,

ob zwei F o r m e n p a a r e

[qt>, %p]

und [r,

( r = 0 , 1 , 2, . . . , s—1)

' Es+i)3 + 0 . Die Gleichung 2\Es+izr= r=0'

0

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

175

giebt die s gemeinschaftlichen Wurzeln; die Gleichungen aber Dm+n-2(s—l) = 0, Cm+„-2(j—1) = 0 geben die übrigen Wurzeln der ersten und der zweiten Function. Dn. FR. MEYER. Ueber Discriminanten und Resultanten von Singularitätengleichungen. I I , I I I . Gott. Nachr. 366-375, 493-501.

„Unsere Kenntnisse von den Singularitäten auf Raumcurven reichen wohl so weit, dass wir, wenigstens in den einfacheren Fällen, die Art ihres Entstehens übersehen können. Insbesondere erlaubt die geometrische Anschauung, die verschiedenen Möglichkeiten des Zusammenrückens je zweier „einfacher" Singularitäten (d. i. solcher, die bei jeder Curve vorkommen) zu erschöpfen. — Indessen bleibt die innere Seite derartiger Vorgänge davon unberührt: erweist sich schon die geometrische Abzahlung bei der Bestimmung der Anzahl von elementaren Singularitäten, welche in eine höhere eintreten, als unzureichend, so wird die verschiedenartige Geschwindigkeit, mit der die einzelnen singulären Punkte, Geraden, Ebenen coincidiren, gar nicht berücksichtigt. Im folgenden wird ein erster Versuch in dieser Richtung gemacht, indem die einschlägigen Verhältnisse auf einer allgemeinen Ordnungscurve vom Geschlecht Null mit algebraischen Hülfsmitteln studirt werden". In der ersten Arbeit werden die Singularitäten der Raumcurven Rl, in der zweiten die der allgemeinen Curven R* behandelt, und zwar beschränkt sich der Verfasser auf die nächstliegende Erweiterung der bereits früher (Gött. N. 1888, F. d. M. XX. 155) von ihm untersuchten Singularitäten einer allgemeinen ebenen Ordnungscurve R% vom Geschlecht Null, nämlich auf die „Hyperosculationsebenen", die „Schmiegungsberührebenen" und die „Trefftangenten". Wbg. FR. MEYER. Das Princip des Projicirens in der Eliminationstheorie. Naturf. Ges. Bremen. 9-11.

176

II. Abschnitt.

Algebra.

O N groups of substitutions that ean be formed with eight letters. Quart. J. X X I V . 263-331.

ASKWITH.

Fortsetzung der F . d. M. X X I . 1889. 142 besprochenen Arbeit. Nach einigen Ergänzungen der dort mitgeteilten Resultate geht der Verfasser dazu Uber, die möglichen Gruppen der aus acht Buchstaben zu bildenden Substitutionen aufzustellen. Er findet 157 solcher Gruppen, deren jede Substitutionen enthält, welche alle Buchstaben versetzen. F.

On the substitution groups for two, three, four, five, six, seven, and eight letters. Quart. J. x x v . 71-88.

A . CAYLKY.

Durch Einführung abkürzender Bezeichnungen gelingt es, die schon früher bekannten Substitutions-Gruppen aus 3, 4, 5 Buchstaben und die neuerdings von Herrn Askwith (vgl. F . d. M. XXI. 1889. 142 und das vorangehende Referat) gefundenen Gruppen von Substitutionen aus 6, 7, 8 Buchstaben in gedrängter Form darzustellen. Die Arbeit bricht bei den aus 7 Buchstaben zu bildenden Gruppen ab; hinsichtlich der aus 8 Buchstaben zusammengesetzten wird auf eine Fortsetzung verwiesen, aber schon bemerkt, dass die Anzahl der Gruppen nicht genau mit der von Herrn Askwith angegebenen übereinstimmt. F.

O. ßoLZA. On t'he theory of substitutiou-groups and its applications to algebraic equations. American J. xill. 59-144. Die Arbeit erhebt nicht den Anspruch, neue Resultate mitzuteilen; sie soll vielmehr eine Einführung in die SubstitutionenTheorie und die Galois'sche Theorie der algebraischen Gleichungen bilden und das Studium der grösseren Werke (Jordan, Netto, Serret) sowie der Originalabhandlungen (Abel, Galois, Kronecker, Klein) erleichtern. Die Darstellung ist klar und verständlich; die Sätze werden häufig nur an speciellen Fällen (Gleichungen dritten und vierten Grades) erläutert, während

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

177

bezüglich der allgemeinen und strengen Beweise auf die genannten Autoren verwiesen wird. Besonders schätzenswert sind die zahlreichen Litteraturangaben. F.

A. DEL RE. SA alcuni gruppi completi contenuti nel gruppo Cremona ad un numero qualunque di variabili. Rom. Acc. L. Bend. (4) VI a . 271-276.

Der Verfasser beschäftigt sich mit der Aufstellung einiger vollständiger n-facher Gruppen, welche in der Cremona'sehen Gruppe mit n-f-1 homogenen Variabein enthalten sind; diese Arbeit ist deshalb dankenswert, weil man noch nicht einmal für den Raum alle Cremona'schen Transformationen kennt. Wbg. N o t e on a quaternary g r o u p of 5 1 8 4 0 linear substitutions. Lond. M. S. Proc. XXI. 58-62.

MORRICE.

Die Arbeit schliesst sich eng an die Abhandlungen von Witting (Diss. Dresden. 1887 und Math. Ann. XXIX) und Maschke (Math. Ann. XXXIII, F. d. M. XXI. 1889. 142) über diesen Gegenstand an. In dem ersten Teile giebt der Verfasser einige kurze Daten Uber die Transformation der hyperelliptischen Functionen vom Geschlecht 2 im Anschluss an die Resultate jener Abhandlungen. Im zweiten Teile betrachtet er drei bemerkenswerte Specialtransformationen, welche den Perioden einerseits und den Jacobi'schen Functionen andererseits gemeinsam sind. Wbg.

H.

Zur Theorie der Jacobi'schen Gleic h u n g e n 4 0 . G r a d e s , w e l c h e bei der Transformation 3. O r d n u n g der Thetafunctionen v o n zwei Veränderlichen auftreten. Gött. Nachr. 376-382. BURKHARDT.

Aus den 9 linear unabhängigen Jacobi'schen Functionen Ordnung von 2 Veränderlichen lassen sich 5 gerade Functionen Y0, Y,, Yj, Y3, F 4 zusammensetzen; diese Functionen ergter

Fortschr. d. Math. XXII. 1.

12

178

II. Abschnitt..

Algebra.

fahren bei linearer Transformation der Perioden, welche die Charakteristik fest lässt, eine Gruppe G von 25920 linearen Substitutionen, welche aus folgenden 4 Substitutionen erzeugt werden kann: F0 = d ( Y 0 + 2 r i ) , = Y01 = - Y 0 , = Y0, r^dcr.-F,), y ; = ó(Y,+ r a + y 4 ) , y; = d(ya+£y,+fi8y4), y; = d ( y J + e a y 8 + e y 4 ) ) wo 5 =

T^r- und e = e

3

=r1, = y4, = ys, = y3,

= -rI) = —T„ = ra, = - y 3 , = cy3, = - y 4 , = cy4,

zu setzen ist.

Der Verfasser unter-

sucht zunächst gewisse Untergruppen dieser Gruppe G und deren Zusammensetzung und giebt dann das volle System der zugehörigen Invarianten an, d. h. die ganzen rationalen Functionen von Y0, Y,, Yj, Ya, Y4, welche bei Anwendung aller Substitutionen der Gruppe ungeändert bleiben, und durch welche sich alle anderen solche Functionen in ganzer und rationaler Weise darstellen lassen. Dieses volle System besteht aus 6 Invarianten von den bezüglichen Graden 4, 6, 10, 12, 18, 45. Ht. S u i g r u p p i di sostituzioni l i n e a r i a coefficienti interi c o m p l e s s i . Rom. Acc. L. Bend. (4) VIj. 331-339. Die Gruppen G der linearen Substitutionen einer Variable z az + ß yz-\-3 mit der Determinante a8—ßy = 1, in welcher die Coefficienten a, ß, y, ö alle ganzen, complexen, mit der vierten oder dritten Einheitswurzel i bez. e gebildeten Zahlen durchlaufen, sind in der ganzen complexen z-Ebene uneigentlich discontinuirlich (Klein : Math. Ann. XXI. 141-182; Poincaré: Acta Math. III. 49-92). Der Verfasser untersucht die in diesen Gruppen enthaltenen Untergruppen mit endlichem Index, welche fttr das 'Studium der aus ihnen hervorgehenden Fuchs'schen Functionen und der flir diese Functionen das Analogon der Modulargleichungen bildenden Gleichungen mit ihren Monodromie-Gruppen von Wichtig' keit sind. L.

BIANCHI.

Capitel 3.

Elimination a. Substitution, Determinanten etc.

179

Es wird zunächst gezeigt, dass jede Substitution der Gruppe G sich aus 3 Elementarsubstitutioneü

zusammensetzen lässt. Sodann wird auf geometrischem Wege bewiesen, dass jede „Hermite'sche Form" (d. i. eine binäre quadratische Form mit conjugirten Variabein) mit negativer Determinante bb0— ac einer „reducirten" Form äquivalent ist. Endlich werden diejenigen Untergruppen f von G betrachtet, welche durch die Congruenz

CJK?) ^

definirt sind, wo /u eine Primzahl in der complexen Zahlenebene bedeutet, und es wird eine mit G isomorphe Gruppe A mit einer endlichen Anzahl von Substitutionen aufgestellt, deren identischer Substitution in G die Untergruppe F entspricht. Wenn H eine complexe Zahl ist, so unterscheidet sich die Gruppe A nicht von der gewöhnlichen Modulargruppe; wenn (i eine reale Primzahl q von der Form 4 » + 3 ist, so ist A eine einfache Gruppe vom Grade ^ ^ ^ , zweifach transitiv über a"bm -f- b"cm + c"am,

(»)

Ö

vm«"

/ b \!,mL

Die Ausdehnung der Formel I auf mehr als drei Zahlen bildet den Gegenstand der zweiten Note, in welcher die bezüglichen Determinanten-Relationen genauer untersucht werden.

Lp.

186 F.

U. Abschnitt.

Algebra.

Ueber g a n z e Functionen eines S y s t e m s von mn Veränderlichen, welche m Zeilen und n Colonnen bilden. Krak. Denkschr. XVII. 143-165. (Polnisch.) MERTENS.

Der Verfasser betrachtet eine ganze homogene Function 0 der Elemente des Systems «1,1 «1,2 • • • «1,» «2,1 «2,2 - • • «2,» «m, 1 «m,2 . . . «m,ni welche die Elemente der i16" Zeile in der Ordnung lt enthält. Die Function 6 ist also charakterisirt durch die Reihe der Zahlen l„ . . . , l m . Die Summe 8k6 üp'a Qq'b *»• o o ^ i 0,6,...,c OaPtaOa,,6 . .. OOr,, wo jeder der Indices a, b,..., e die Werte 1, 2 , . . . , n annehmen kann und die Reihen pq...r, p'q' ...r' zwei verschiedene Combinationen ohne Wiederholung zur fcten Klasse der Zahlen 1,2,...,«» sind, bezeichnet er mit \p q ... r / und nennt den Ausdruck (p' \

a

de

,

86

YP

,

+ -

für p ' j S p die Polare der Function 6. (V'\

.

d

.

+

66 AP, N

' D^N

Die Operation

d

3

nennt er „Polarenbildung", und zwar ist dieselbe von der „ersten" Gattung, wenn pfr wo P, / " , , , . Determinanten m Ordnung des gegebenen Systems sind. Dn. AURIC. Formule de Waring. Nouv. Ann. (3) IX. 561-564. Darstellung einer symmetrischen Funktion als ganze Function der Summen gleicher Potenzen. F. P. A. M A C M A H O N . Memoir on the symmetric functions of the roots of equations. Lond. Phil.Trans. C L X X X I . 481-536. Der Verfasser bemerkt, dass die Theorie der symmetrischen

188

II. Abschnitt.

Algebra.

Functionen eines einzigen Systems von Grössen in einer sehr grossen Anzahl von Abhandlungen durchforscht worden sei; was aber die analoge Theorie für mehrere Systeme von Grössen betreffe, so seien nur die ersten Umrisse einer Theorie in den bezüglichen Abhandlungen von Schläfli und Cayley gegeben. In der Theorie der symmetrischen Functionen eines einzigen Systems von Grössen werden diese letzteren als die Wurzeln einer Gleichung angesehen, und da es bei einer allgemeinen Erörterung passend und vorteilhaft ist, ihre Anzahl unbeschränkt zu lassen, so wird die fundamentale Beziehung in der Gestalt angenommen: (l + a^Xl+a,,«)...

= l + a1x+aix"+ — = l+(l>+(2)«"+....-

Statt jedoch ein Product binomischer linearer Functionen einer Veränderlichen, wie eben, anzunehmen, können wir bei m Systemen von Grössen ein Product nicht homogener linearer Functionen betrachten von der Gestalt 1 + a , 1 ^ + 0112®^ 1Als bezeichnend für diesen allgemeinen Fall genllgt es, bloss den Fall zweier Grössensysteme ins Auge zu fassen, und der Verfasser betrachtet demgemäss die beiden Grössensysteme: a

n, ßll ßll • • •) $11 in denen das n jedes Systems als unendlich betrachtet Die fundamentale Kelation ist demnach: «D

«i)

• • •)

(i-\-aix+ßly)(l+a3x+ßiy)...(i = 1+0,0®+°«!»+°»«®*+«»,,®»+«,,^ = 1+2al*+2ßt9+2alatxt+2aißtxy+2ßlß#,+

+

wird.

aix+ßsy)... 1-apq*pyq+--....

Die allgemeinste symmetrische zu betrachtende Function ist symbolisch dargestellt als (Pi9. Ptit p3q.•••)> wobei die Summation bezüglich der Ausdrucke durch Permutation der n Zeiger 1, 2, 3 , n bewirkt wird. Das Gewicht (weight) der Function muss als zweiteilig angesehen werden;

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

189

es besteht aus den beiden Zahlen und der Verfasser spricht demgemäss von dem Zwiegewichte (biweight) 2p, 2q. Die Summe 2p-\-2q ist das Gesamtgewicht oder kurz das Gewicht; mit einer beliebigen Zahl w ist ein Gewicht ic und ein Zwiegewicht v e r k n ü p f t , welches j e d e r Zusammensetzung von w mittels zweier Zahlen, mit Einschluss von Null als einer Zahl, entspricht. In einer solchen Zusammensetzung ist die Folge der Teile zu beachten; so sind 21 und 12 verschiedene Zusammensetzungen von 3. Wir haben dann Teilungen das Zwiegewicht bezeichnet.

der zweiteiligen Zahl, welche

So ist (p,qt

prjq2 p , e i n e

Tei-

l u n g des Zwiegewichts 2p, 2q, während die Teile, welche selber zweiteilig sind werden,

und

welche daher Zwieteile (biparts) genannt

p3q3, . . . sind.

Gemäss dem üblichen Gebrauche

werden Wiederholungen von Zwieteilungen durch Potenzsymbole, wie ( p ^ E B f o g ,

p.g,), bezeichnet.

(l+o.s+ftyXl-Hyr-hirf)...^

_

= l + ( I Ö > + ( 0 1 ) H - " + ( 1 0 V + ( 1 0 ' , 01)®V + (10,

O l W

+ ( Ö I V + —Hierbei bedeuten die Symbole der rechten Seite gewisse symmetrische Functionen von an a„ «„, . . . , ßl, ßt, ß3, . . . , die „einfach-unitär" (single-unitary) genannt werden können. Dieselben sind fundamental, insofern als sie dazu dienen, alle a n d e r n rationalen ganzen Functionen auszudrucken, und das allgemeine Problem besteht darin, solche anderen rationalen ganzen symmetrischen Functionen oder aber die allgemeine Function (PiiV P-jlT P j i C ' - O Gliedern mit diesen einfach - unitären symmetrischen Functionen auszudrucken. Die Arbeit enthält mannigfaltige interessante Untersuchungen und insbesondere Probetafeln symmetrischer Functionen fttr die Teilungen der einzelnen Zwiegewichte 11, 21, 31 und 22. Cly. (Lp.)

190 H.

II. Abschnitt. F.

BAKER.

Álgebra.

On Euler's ^-function*).

Lond. M. s. Proc.

XXI. 30-32.

Der Verfasser beweist zunächst folgendes Theorem über die Umkehrung endlicher Reihen: Wenn f (at, ai,...a*) irgend eine symmetrische Function der in beliebiger Anzahl vorhandenen Argumente a,, a „ . . . , ak und i a 2)-") a * ) = f ( a „ a a , • • •, a - O + ^ / K , 1

• ••> +

+

2

•••

+ n—1 ist, worin eine auf jede Auswahl von n—r der Argumente o,, o a , ..., a* sich erstreckende Summation bedeutet, so ist umgekehrt F{a,, a3,..., o„) ...,an) +2F(at,..., « 1 2 N— X

Durch Specialisirung von f(a,, a 2 , . . . , a k ) ergiebt sich hieraus erstens der von Herrn R. W. D. Christie (Lond. M. S. Proc. XX, F. d. M. XXI. 1889. 200) aufgestellte Satz: (o, + a2 + • • • + any - 2 (a, + o3 + • . • -f an)m +H(a¡ + a4 + • • • Om 1 2 — • • • + ( — 1 )m_1- -Z®? = 0, wenn m < u (diese Summe ist gleich n\atatat ... an, wenn m = w); zweitens die bekannte zahlentheoretische Formel N — JJqp (d) und damit der von Dedekind im J. für Math. LIV. 25 gegebene Wert für —i p—i a x 2 i i H — + «»® s 2 +o»+x®»+iH p-i 2 2 +•••+ + o«+I®H-H

(mod. p)

| - o s + b x s + „ + 6 = 0, 1-

= 0

werden analoge Fragen discutirt. Zur Erledigung allgemeinerer Aufgaben werden sehr verwickelte Beziehungen zwischen Determi-

Capitel 2.

205

Zahlentheorie.

nanten aufgestellt, und für die Anzahl von gewissen Lösungssystemen wird eine obere Grenze erhalten.

Sn.

C r i t é r i u m p o u r l a f o r m u l e de P a o l i .

É D . LUCAS,

Mathesis

X . 129-132.

E . CATALAN.

Remarque

sur

une

note

de M.

Lucas.

Mathesie X . 197-199. E.

Sur

CATALAN.

degré.

l'analyse

indéterminée

du

premier

Mathesis X . 220-222, 241-243, 275-276.

Hr. Catalan vereinfacht und vervollständigt ein von Hrn. Lucas angegebenes neues Verfahren zur Auffindung der genauen Anzahl nicht ax-\-by =

L.

negativer

Lösungen

der

unbestimmten

c.

Gleichung

Mn. ( L p . )

KRONECKER.

Ueber

Wertbestimmung

die

Dirichlet'sche Methode

der G a u s s ' s c h e n

Reihen.

der

Hamb.

Mitt.

II. 32-36.

Der Summe i m + f a )

+ - + K r - l ) + i f ( r )

wird unter anderen die für die Summirung der Gauss'schen Reihen sehr bequeme Form gegeben: lim ¿

f

f ( x — k r )e 2(

m +

W

x 7 l i

0 1 2

/h = d x (J =

2 1 — * ,

2

1

\ ^

worin X eine beliebige ganze Zahl bedeutet; hieraus wird die (für

X — 2 von Dirichlet bewiesene) fundamentale Relation: 2^-1 i L ^ ¿ e r

=

I f Z IM-l V - r Z e

u

/

f + * > & ' n td y

abgeleitet, welche unmittelbar zur Wertbestimmung meinen Gauss'schen Reihen führt.

N

f* s

J=ü

Setzt man

der

allge-

206

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

so ergiebt sich hieraus

Setzt man

so stimmen

den Legendre-Jacobi'schen Zeichen

tiberein, welche auf diese Weise analytisch dargestellt sind. Wz. Zu dein dritten Gauss'schen Beweise des Reciprocitäts - Satzes für die quadratischen Reste gehörende Untersuchungen. Pr. Gymn. Osnabrück. 1-24.

A . TAFELMACHER;

Es wird an eine Abhandlung des Herrn M. A. Stern (Gött. Nachr. 1870. 237-253; F. d. M. II. 1869/70. 93-94) angeknüpft; sodann an eine Arbeit des Herrn Schering (ßerl. Ber. 1885. 113-117). Sn. Ueber die Verallgemeinerung eines Gauss'schen Algorithmus. Monatsh. f. M. I. 465-472.

M . MANDL.

Die zuerst von Herrn Schering gegebene und von Kronecker commentirte Verallgemeinerung des Kriteriums für den quadratischen Bestcharakter (Berl. Ber. 1876. 330-341, F. d. M. VIII. 1876. 93-95) wird hier neu bewiesen. Sn. Npuvelle démonstration de la loi de réciprocité de Legendre. Rom. Acc. P . d. N. L. X L l l l . 192-198.

TH.

PÉPIN.

Der Beweis knüpft an den zweiten von Gauss an, ohne indes eine vollständige Theorie der Genera zu erfordern. Es werden nur die einfachsten Sätze aus der Theorie der Composition quadratischer Formen benutzt. Am Schlüsse finden sich historische Bemerkungen. Sn.

Capite! 2.

F. FRANKLIN.

A

proof

for quadratic residues.

207

Zahlentheorie.

of the theorem Mess. (2)

of

reciprocity

x i x . 176-177.

Ein neuer and kurzer Beweis dieses Satzes.

Glr.

J. C. F I E L D S . A s i m p l e statement of proof of reciprocaltheorem. American J. XIII. 189-190Beweis des Gauss'schen Kriteriums mit Hülfe einer neuen Gruppirung der Reste und Nichtreste. Sn.

E. BUSCHE. B e w e i s des quadratischen Reciprocitätsg e s e t z e s in der T h e o r i e der aus den vierten W u r z e l n der E i n h e i t gebildeten c o m p l e x e n Zahlen. Hamb. Mitt. II. 80-92.

Im Anschluss an das Princip des dritten der Beweise von Gauss werden hier für die Decidenten Ausdrücke durch die Legendre'sche Function E(x) mit reellem Argument aufgestellt und von deren Summe sodann bewiesen, dass sie gerade sei. Von den benutzten Formeln für E(x) seien erwähnt: K"-')r(2r—V)m. 1 _ m—1 T

L

2n

J~

2

n— 1 2

'

IP^l-ßl+^G+O. wo m, n, k positive ungerade, g eine positive gerade Zahl bezeichnet-, j e zwei dieser Zahlen seien teilerfremd. Der Verfasser macht darauf aufmerksam, dass einer der benutzten Ausdrücke zu verwickelt sei, um den hier gefundenen Beweis als eine Vorbereitung zum Beweise des biquadratischen Gesetzes ansehen zu dürfen, so dass die Reconstruction des von Gauss gefundenen, aber nicht veröffentlichten Beweises noch zu wünschen bleibe. Sn.

208 J.

IH- Abschnitt.

Die

TATARINOFF.

Summe

+

Methoden •••+ E

P

tenbl'iiche.

Niedere und höhere Arithmetik.

P

zur m

j

Berechnung t

P

der

Hülfe der Ket-

Mosk. Math. Samml. X I V . 668-682. (Russisch.)

Die Summe E ^ + E ^ j p

Berechnung des Symbols

p

h E ( p " ~ 1 ) 9 , auf welche die p

zurückkommt, wird mit Hälfe der

Kettenbrllche gefunden.

Wi.

1 *=«— 2

E.

BUSCHE,

ü e b e r die F u n c t i o n 2

F—1x—i L y .1

J-für Math. cvi.

65-80.

Mit Hülfe des Euklidischen Algorithmus lässt sich leicht der folgende allgemeine Satz beweisen: Zwei Functionen F(p, q) und Ft(p,q) stimmen für alle ganzzahligen Werte ihrer Argumente überein, wenn 1) F(p,p) = Ft(p,p) fiir jeden ganzzahligen Wert von p und 2) für beliebige ganzzahlige p, q, k die Gleichungen F(p + g)-F(P, ?) = F,(P + q) - Fl (p, q), F(p, q + Xp) - F(p, q) = F1 (p, q + Xp)-F1 (p, q)

gültig sind. Dieser Satz lässt sich benutzen zur Auswertung der beiden Functionen xp (p, q) + ip(q,p), wo die Function ip(p,q) für ungerade positive Werte von p und q durch die im Titel angegebene Summe dargestellt wird, und zur Definition der Function für negative q die Formel ip(p, —q) = — tfi(p, q) gelten soll. Für die erstere Function ergiebt sich auf diese Weise die Formel ./ x , ./ p—lg—1 V(P, q) + tp (q,p)x = ~2

e—1 d—1 2~ '

wo e und ó beziehungsweise die Vorzeichen von p und q bedeuten. Diese Formel enthält, wie man sieht, das Reciprocitätsgesetz für quadratische Reste. Ht.

Capitel 2.

M. A.

Zahlentheorie.

209

Zur Theorie der Function Ex.

STERN.

J. für Math.

CVI. 337-345. Der Verfasser leitet in elementarer W e i s e eine grosse Reihe von Formeln fQr die bekannte Function Ex = [«] ab, welche als die grösste in x enthaltene ganze Zahl definirt ist.

Die Gestalt

dieser Formeln ersieht man aus den Beispielen K

W * " J. 1 ^ -i-

K

W *

(m—l)(n-l)

m

und

Ht.

L.

Bemerkungen Uber die von Gauss mit [x] bezeichnete arithmetische Function einer reellen Grösse X. j . für Math. OVI. 346-348. KRONECKER.

Bezeichnet r irgend eine ganze,

die Zahl x

Ubersteigende

Zahl, so gilt offenbar die Formel E(x) = [x] = J-'lTa &

wo s ( « )

das Vorzeichen

von x

Ausdruckes für [a;] lassen und

Stern

(vergl.

die

A=1

+

s(x-h)),

bezeichnet.

Mit

Hülfe

dieses

sich reicht die Formeln von Busche

beiden

vorigen

Referate)

verificiren.

So wird beispielsweise infolge der a n g e g e b e n e n Formel „rftfnl

1 ,

ü L»J

2

S

...

l „

'

2 tjc

/k

h\/h = l,2,...,m m'

— l\

1 , 2 , . . . , n— V

und hieraus folgt leicht die bekannte Formel

w o überall m und n ungerade Zahlen bedeuten.

Insbesondere

werden auch die beiden im vorigen Referate angegebenen Formeln anf dem bezeichneten W e g e abgeleitet. Fortschr. d. Math. XXII. I.

Ht. 14

210 H.

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Mémoire sur les fonctions entières.

LAURENT.

J. de l'Éc. Pol. L X . 107-136.

Sind q> und % zwei rationale Functionen der Veränderlichen x, so bestehen, wenn m a n %(x) als Modul nimmt, n Congruenzen von der Gestalt: cp (x) = c,, + c,, x + • • • +

clnxn

h Cin Xn~\

xq,(x) = C21 + xn~iq>(x') = C„1 + Cn2x-1- •••

+CnnXn~l,

wo n der G r a d von %(x) und c u , c 12 , . . . , cnn bestimmte Constanten sind.

Die Determinante

¿ ' + c 1 1 c 2 J . . . c n n ist gleich

Resultante von v; denn bezeichnet man mit

der

a a , . . . , ccn die

Wurzeln der Gleichung % = 0, so e r k e n n t man leicht, d a s s j e n e Determinante gleich dem Producte q>(a,')tp(a2). ,.(p(an)

wird.

Auch

die weiteren Sätze über die Resultante zweier g a n z e n rationalen Functionen

folgen leicht aus

der

eben gegebenen

Definition.

I n d e m der Verfasser n u n die Coefficienten der beiden Formen rp u n d % a l s Functionen

einer

zweiten

unabhängigen

Veränder-

lichen y annimmt, g e l a n g t er zu den entsprechenden Sätzen über die Resultante dreier Functionen von zwei Veränderlichen, wobei auch die F r a g e nach den Kriterien f ü r die Vielfachheit gemeinsamer Lösungen berührt wird.

Endlich betrachtet der Verfasser den Fall

von r Functionen qpn . . . , qpr mit r Veränderlichen xn ..., xr\

hierbei

wird jedoch die E i n s c h r ä n k u n g g e m a c h t , dass die Gleichungen qp, = 0, . . . ,

g>r = 0 g e n a u /u endliche

schiedene L ö s u n g s s y s t e m e besitzen, der

Grade

der

schränkenden

Functionen

Annahme

r ist. folgende

zwei ganze rationale Functionen von

Bei

dieser

Theorem:

ein-

Irgend

. . . , xn welche f ü r j e n e

ft Lösungen die nämlichen W e r t e annehmen, sind einander cong r u e n t bezüglich des Modulsystems (,, . . . , -1 congruent ist. Auf diese Weise folgt, dass die Theorie der Functionen von xt, .. ., xr in Bezug auf das Modulsystem (q>lf . . . , ,-/?,'

ß, bt

(b+ßX«b-ß)»—(b-ß) (b + ß)(nb-ß)»+(b-ß){nb

(nb+ß)» + ß)«'

und x auf dieselbe Weise bestimmen, wie vorher — • Fährt man

'

a

III. Absctmitt.

222

Niedere und höhere Arithmetik.

auf diese Weise fort, so wird man bald eine gute Annäherung an die gesuchte Wurzel finden. Bei wiederholter Anwendung der Annäherungsformel convergirt das Product beinahe wie die Reihe ß J n ^ l Oppermann's Methode giebt das Resultat unter der Form eines Bruches. Im allgemeinen gehört dieser nicht zu den Näherungswerten des Kettenbruches, welcher die Wurzel darstellt. In speciellen Fällen gehören aber alle jene Werte zu den Näherungsbrüchen, z. B. wenn die Wurzel eine Quadratwurzel j/F ist und eine Oppermann'sche Annäherung ^ die Eigenschaft bat,

dass

3

p* = q l± 1.

B. CARRARA.

Extraction de la racine carrée par la m é -

thode des d e u x m o y e n n e s . E.

CATALAN.

V.

Sur

tinue, de 1/JV.

x . 15-16.

Mathesis

le d é v e l o p p e m e n t ,

en fraction

con-

Mathesis X . 17.

Ist N = a0 b0 = fljfe, = o s b3 =

2a, = a 0 -f 6 0 , 2 a 2 =

a , + 6 , , ..., so folgt limo» = limò« = ]/JV für n = oo.

Ist a 0 ein

Näherungswert p ter Ordnung des Kettenbruchs für l/JV, so sind Oj, a 3 , a 3 , . . . die Näherungswerte von den Ordnungen 2p, 4p, 8p, . . . ; hierbei ist p als ein Vielfaches von der Anzahl der unvollständigen Quotienten der Periode des Kettenbruchs vorausgesetzt.

Mn. (Lp.)

S. PINCHERLE. S u l l a r a p p r e s e n t a z i o n e a p p r o s s i m a t a di u n a f u n z i o n e m e d i a n t e irrazionali quadratici. Lomb. Ist. Rend. (2) X X I I I . 373-376.

Die in einer früheren Note (Di un' estensione dell'algoritmo delle frazioni continue, Lomb. Ist. Rend. (2) XXII. 5 5 5 - 5 5 8 ; F. d. M. XXI. 1889. 191) behandelte Verallgemeinerung des Kettenbruchalgorithmus wird hier auf einen besonderen Fall an-

Capitel 3.

Kettenbrücke.

223

gewandt, woraus sich eine Darstellung einer beliebigen Function P+VQ unter der Form — ^ —

ergiebt, welche die grösste, für gegebene

Ordnungen der Polynome P, Q, R erreichbare Annäherung darbietet. Vi.

S.

PINCHERLE. Saggio di una generalizzazione delle frazioni Continue algebriche. Bologna Mem. (4) X. 513-538.

Die Grundlage der in dieser Abhandlung besprochenen Verallgemeinerung des Kettenbruchalgorithmus (vgl. Pincherle, Di un'estensione dell'algoritmo delle frazioni continue, Lomb. Ist. Rend. (2) XXII. 555-558; F. d. M. X X I . 1889. 191) bildet der folgende Satz: Sind p absteigende Potenzreihen a0(x), o^x), „, deren Wert beständig grösser als 1 ist, und welche die Eigenschaft hat, dass für alle Werte von n («) «! L x, — a

=

-I

^ 'J'

giebt einen neuen Beweis für dieselbe und betrachtet auch den Fall der imaginären Variabein.

A.

PRINGSHEIM.

T x . (Lp.)

Zur Theorie der Diriehlet'schen Reihen.

Math. Ann. X X X V I I . 38-60.

Wenn die Mr positive, mit v niemals abnehmende Grössen mit dem Grenzwerte oo,

die ar

oder

bedeuten,

complexe

Grössen

dagegen ganz beliebige reelle so

beweist

der

Verfasser

betreffs der Convergenz der Reihen

(1)

Al~i> = 2 a r M ; 9 *=o

den Satz: Die Reihe (1) convergirt für ein bestimmtes positives q in der durch die Indices vorgeschriebenen Anordnung, zum mindesten bedingt,

also

und ihre Summe ist gleich derjenigen

der unbedingt convergirenden Reihe: »•=()

wenn für a > —Q, S