Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 21 Jahrgang 1889 [Reprint 2020 ed.] 9783112373224, 9783112373217

Citation preview

Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet von

Carl Ohrtmann. Im Verein mit anderen Mathematikern und unter besonderer Mitwirkung der Herren Felix Httller und Albert Wangerin herausgegeben von

Emil Lampe.

Band XXI. Jahrgang

1 8 8 9.

Berlin. Druck und Verlag von Georg R e i m e r ,

1892.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu welcher der Band gehört. Einige periodische Schriften, in. deDen nur zuweilen eine vereinzelte mathematische Arbeit erschienen ist, sind in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen worden; das bezügliche Citat im Texte ist dann in hinreichender Ausführlichkeit gegeben.

Acta Math.: Acta Mathematica. Zeitschrift herausgegeben von G. MittagLeffler. Stockholm. 4°. XII. Almeida J.: Journal de physique théorique et appliquée. Fondé par J . Ch. d'Almeida et publié par MM. Ë. Bouty, A. Cornu, E. Mascart, A. Potier. Paris. Au Bureau du Journal de Physique. 8°. (2) VIII. American J.: Americau Journal of Mathematics. Editor S. Newcomb, Associate Editor Th. Craig. Published under the auspices of the Johns Hopkins University. Baltimore. 4°. XI, XII. Amst. Versi, en Meded.: Verslagen en Mededeelingen der Eoninklijke Akademie van Wetenschappen. Afdeeling Natuurkunde. Amsterdam. (3) VI. Annali di Mat.: Annali di matematica pura ed applicata diretti dal prof. Francesco Brioschi colla cooperazione dei professori: L . Cremona, E. Beltrami, E. Betti, F. Casorati. Milano. 4°. (2) XVII. Annals of Math.: Annals of Mathematics. Ormond Stone, editor. William M.Thornton, associate editor. Office of publication: University of Virginia. B. Westermann and Co. New-York. 4°. V. Ann. de Chim. et Fhys.: Annales de Chimie et de Physique par MM. Berthelot, Pasteur etc. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (6) XVI, XVII, XVIII. Ann. de VÊc. Norm.: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, publiées etc. par un comité de rédaction composé de MM. les maîtres de conférences de l'École. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4*. (3) VI. Arch. f . Art.: Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Officiere des Deutschen Beichsheeres. Redaction: Schröder, Meinardus. Berlin. Mittler u. Sohn. 8°. XCVI. Arch. Néerl: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem et rédigées par J . Bosscha etc. Harlem. 8°. XXIII, XXIV. A*

XV

Erklärung der Citate.

Assoc. Franç.: Association Française pour l'avancement des sciences. Compte rendo de la 18m session (Congrès de Paris). P a r i s an secrétariat de l'association et chez 0 . Masson. 8°. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher. Unter Mitwirkung des Vorstandes der Astronomischen Gesellschaft herausg. von A. Krüger. Kiel. 4°. CXX, C X X I ; No. 2858-2905. Aui dell' Acc Pont.: Atti dell' Accademia Pontaniana. Borna. XIX. Batt. O.: Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato p e r cura del P r o f . G. Battaglini. Napoli, gr. 8°. XXVI, XXVII. Belg. Bull.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, d e s lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. 8°. (3) X V I , X V I I , X V I I I . Belg. Mém.: Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Collection in 4°. Bruxelles. F. Hayez. XLVII. Belg. Mim. S. É.: Mémoires couronnés e t Mémoires des savants étrangers pabliés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beauxarts de Belgique. Bruxelles. F . Hayez. 4°. L I . Beri. Abh.: Abhandlungen der Kgl. P r e u s s i s c h e n Akademie der W i s s e n schaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1889. Beri. Phys, Ges. Verh.: Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin. Berlin. G. Reimer. 8". V I I I . Besso Per. mat.: Periodico di matematica per l'insegnamento secondario diretto da D. Besso. Roma. 8°. I V . Bibl. Math.: Bibliotheca Mathematica, herausgegeben von G. Eneström. Stockholm. (2) I I I . Böhlen Miti.: Mathematisch - naturwissenschaftliche Mitteilungen, herausgegeben von Dr. 0 . Bökleo. T ü b i n g e n . F r . Fues. 8°. Bologna Mem.: Memorie della R . Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4°. (4) IX, X . Bologna Rend.: Rendiconto delle sessioni dell' Accademia delle scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 8°. 1888-89. Bordeaux Mém.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Bordeaux. P a r i s . 8". (3) V. Brit. Ass. Rep.: R e p o r t of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 8°. Brüx. Ann.: Annales de l'Observatoire Royal de Bruxelles, publiées aux frais de l ' É t a t . Bruxelles. F . Hayez. 4°. Brüx. S. se.: Annales de la Société scientifique de Bruxelles. Bruxelles. F. Hayez. (Doppelt paginirt, unterschieden durch A und B.). X I I I . Camhr. Proe.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. VI. Cambr. Trans.: T r a n s a c t i o n s of t h e Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. X I V . Oasop.: Casopis; Zeitschrift zur Pflege d e r Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende d e r Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vom V e r e i n e böhmischer Mathematiker in P r a g . P r a g . 8°. (Böhmisch.) X V I I I . Centralb. der Bauverw. : Centralblatt der Bauverwaltung. Herausgegeben im Ministerium der öffentlichen A r b e i t e n . Redacteure 0 . Sarrazin und K . Schäfer. Berlin. E r n s t u. Korn. 4°. I X .

Erklärung der Citate.

V

Chark. Ges.. Sammlung der Mitteilungen und Protokolle der mathematischen Gesellschaft in Charkow. (Russisch.) (2) I, II. Civiling. : Der Civilingenieur. Organ des sächsischen Ingenieur- und Architekten-Vereins. Unter Mitwirkung etc. herausgegeben von Dr. B. Hartig. Leipzig. Arthur Felix. 4°. (2) X X X V . C. B.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4°. CVII1, CIX. Darboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques, rédigé par MM. G. Darboux et J . Tannery avec la collaboration de MM. André, Battaglini etc. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (2) XIII. Delft Ann. d. l'Éc. Polyt.: Annales de l'École Polytechnique de Delft. Leiden. E. J . Brill. V. Deutsche Bauztg.: Deutsche Bauzeitung. Verkündigungsblatt des Verbandes deutscher Architekten- und Ingenieurvereine. Redacteure K. E. 0 . Fritsch und E. W. Busing. Berlin. E. Toeche. X X I I I . Dublin Proc. : Proceedings of the Royal Irish Academy. Dublin. Dublin Trans.: Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. X X I X . Edinb. M. S. Proc.: Proceedings of the Edinburgh Mathematical^ Society. 8°. V I I . Edinb. Proc.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8°. X V I I . Edinb. Trans.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 4°. X X X V . Ed. Times: Mathematical questions, with their solutions from the „Educational Times" with many papers and solutions not published in the „Educational Times." Edited by W . J . C. Miller. London. 8°. Francis Hodgson. L , L I . Exner Rep.: Repertorium der Physik, herausgegeben von Exner. München und Leipzig, gr. 8°. X X V . Flammarion, Rev. d'Astr.: L'Astronomie. Revue d'astronomie populaire, de météorologie et de physique du globe, exposant les progrès de la science pendant l'année. Paris. Gauthier-Villars et Fils. gr. 8°. V I I I . Génie civ.: L e Génie civil. Revue générale hebdomadaire des industries françaises et étrangères. Paris. XV. Gett. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Göttingen. 4°. G'ott. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Göttingen. 8°. 1889. Hamb. Mitt.: Mitteilungen der Hamburger Mathematischen Gesellschaft. Hamburg. 8°. I. Hannov. Zeitschr.-. Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, redigirt von Keck. Hannover. Schmorl u. Seefeld. 4°. X X X V . Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J . C. V. Hoffmann. Leipzig. Teubner. 8°. XX. Hoppe Arch.: Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten, gegründet von J . A. Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Leipzig. C. A. Koch. 8°. (2) V I I , VIII. Japan Journ.: Journal of the college of science, imperial university, Japan. Published by the university. Tokyo. 4°. II, III. J. de l'Éc. Pol.: Journal de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. Gauthier-Villars et Fils 4°. Cah. L V I I I , L I X .

VI

Erklärung der Citate.

J. de Math. élém. : Journal de Mathématiques élémentaires à l'usage de tous les candidats aux écoles du Gouvernement et des aspirants au baccalauréat ès s c i e n c e s , publié sous la direction de de Longchamps, Lucien Lévy. P a r i s . Delagrave. 8°. (3) III. J. de Math, spéc.: Journal de Mathématiques spéciales à l'usage des canditats aux Ecoles Polytechnique, Normale et Centrale, publié sous la direction de de Longchamps, Lucien Lévy. Paris. Delagrave. 8°. (3) I I I . J. für Math.: J o u r n a l für die reine und angewandte Mathematik. In zwanglosen Heften. Herausgegeben unter Mitwirkung etc. von L . Kronecker. Berlin. G Reimer. 4°. C1V, OY. Jordan Z. f V. : Zeitschrift für Vermessungswesen. Organ des deutschen Geometervereins. Unter Mitwirkung von C. S t e p p e s und R. Gerke herausgegeben von W . J o r d a n . Stuttgart. 8°. X V I I I . Journ. de Math.: Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J . Liouville. Publié par C. J o r d a n avec la collaboration de G. Halphen, M. Lévy, A. Mannheim, É . Picard, H . Poincaré, H. Resal. Paris. 4°. (4) V . Journ. d. Wegebau-Minist. : Journal des Wegebau-Ministeriums. St. P e t e r s burg. (Russisch.; 1889. Kasan Ber.: Sitzungsberichte der mathematischen Section des N a t u r forschenden Vereins zu Kasafi. (Russisch.) V I I I . Kasan Ges.: Sammlung der Mitteilungen der physikalisch-mathematischen Gesellschaft zu Kasan. (Russisch.) V I I . Kjöb. Skrift.: Schriften der Kopenhagener Akademie. Kopenhagen. (6) V. Kopenh. Overs.: Oversigt over d e t Kongelige Danske V i d e n s k a b e m e s S e l s k a b s Forhandlinger. Kopenhagen. Krak. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Section der Krakauer Akademie. Krakau. (Polnisch.) X I X . Krak. Denkschr. : Denkschriften der K r a k a u e r Akademie der W i s s e n schaften. Krakau. (Polnisch.) X V I . Leipz. Abh. : Abhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch - physische Klasse. Leipzig. 4°. Leipz Ber.: Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch • physische Klasse. Leipzig. 8°. X L I . Leopold. Akad.: Verhandinngen der Kais. Leopoldinisch - Carolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. Halle, gr. 4°. Liège Mém. : Mémoires de la Société Royale des sciences de Liège. Bruxelles. Hayez. P a r i s . Roret. (2) Lisboa Jörn: J o r n a l de Sciencias Mathematicas, Physicas e N a t u r a e s pnblicado sob os auspicios da A c a d e m i a Real das Sciencias de L i s b o a . Lisboa. Lomb. Ist. Rend.: Reale Istituto L o m b a r d o di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8°. (2) X X I I . Lond. M. S. Proe.: P r o c e e d i n g s of the L o n d o n Mathematical Society. L o n d o n . 8°. X I X , X X . Lond. Ph.il. Trans.: Philosophical T r a n s a c t i o n s of the Royal Society of L o n d o n . London. 4°. C L X X X . Lond. R. S. Proc.: P r o c e e d i n g s of the Royal Sooiety of L o n d o n . London. 8° X L V , X L VI, X L V I I . Manchester Proc.: Meraoirs and P r o c e e d i n g s of t h e literary and philosophical Society of Manchester. Manchester. (4) II.

Erklärung der Citate.

VII

Math. Ann.: Matheraatische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. P. A. Clebach. Unter Mitwirkung der Herren P . Gordan, C. Neumann, K . VonderMühll gegenwärtig herausgegeben von F. Klein, W. Dyck und A. Mayer. Leipzig. Teubner. 8°. XXXIII, X X X I V , XXXV. Mathesis: Mathesis, Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissementB d'instruction moyenne publié par P. Mansion et J . Neuberg. Gand. Hoste; Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. IX. Mém. Sav. Étr. : Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de ¡'Institut de Frauce et imprimés par son ordre. 4°. ("2) XXX. Mess.: The Messenger of Mathematics. Edited by J . W . L . Glaisher. London and Cambridge. Macmillan and Co. 8 4 . (2) X V I I I , X I X . Met. Zeitschr.: Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben von der Österreich. Gesellschaft für Meteorologie und der deutschen Meteorol. Gesellschaft, redigirt von J . Hann u. W. Koeppen. Berlin, gr. 8°. VI. Mitt. üb. Art. u. Genie: Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und G e n i e - W e s e n s . Herausgegeben vom K. K. technischen u. administrativen Militar-Coraité. Wien. R. v. Waldheim. 8°. X X . Modena Mem.: Memorie della Regia Accademia di scienze, lettere ed arti in Modena. Modena. 4°. Mosk. Math. Samtnl.: Mathematische Sammlung, herausgegeben von der Mathematischen Gesellschaft in Moskau. (Russisch.) X I V . Münch. Abh. : Abhandlungen der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite Elasse. München. 4°. XVII. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8°. X I X . Napoli Rend. : Rendiconto dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche (Sezione della Società Reale di Napoli). Napoli. 4 4 . (2) III. Nature: Nature, a weekly illustrated journal of science. London and New York. Macmillan and Co. 4°. X X X I X , X L , X L I . Nieuw Archie/: Nieuw Archief voor wiskunde uitgegeven door het Wiskundig Genootschap. Amsterdam. 8°. X V I . Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal d e s candidate aux Ècoles Polytechnique et Normale, rédigé par MM. Ch. Briese et E. Rouché. Paris. Gauthier Villars et Fils. 8°. (3) V i l i . Nuovo Cimento: Il Nuovo Cimento. Giornale fondato per la fisica e la chimica da C. Matteucci e R. Piria, continuato per la fisica esperimentale e matematica da E. Betti e R. Felici. P i s a . Salvioni. gr. 8°. (3) XXV, X X V I . Odessa Oes.: Denkschriften der mathematischen Abteilung der neurussischen Gesellschaft der Naturforscher. (Russisch.) IX. Padova Atti: Atti della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di Padova. Padova. (2) V. Palermo Rend.: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo, gr. 8°. III. Petersb. Abh.: Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg. St. Petersburg. L I X - L X I . Phil. Mag.: T h e London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and journal of science, by Kane, Thomson, Francis. London. 8°. (5) X X V I I , XXVIII. Phys. Ges. St. Petersb.: Journal der physiko-chemischen Gesellschaft zu St. Petersburg. (Russisch.) X X I .

Erklärung der Citate. Pisa Ann.: Annali della Reale Scuola Normale Superiore di Pisa. Scienze fisiche e matematiche. Pisa. 8°. VI. Poske Z.; Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht. Unter der besonderen Mitwirkung von E. Mach und B. Schwalbe, herausgegeben von F. Poske. Berlin. J . Springer, gr. 8°. II. Pr. = Programmabhandlung, Gymn. = Gymnasium, Realgymn. = Realgymnasium, etc. Prace mat.-ßz.: Prace matematyczno-fizyczne. (Mathematische und physikalische Abhandlungen, hrsg. in Warschau von S. Dickstein, W. Qosiewski, E. u. W. Natanson.) gr. 8°. (Polnisch.) Prag. Äbh.: Abhandlungen der Eönigl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. Selbstverlag der Eönigl. Böhmischen Gesellschaft. 4°. (7) III. Prag. Ber.: Sitzungsberichte d e r E g l . Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. 8°. 1889. Quart. J.: The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. Edited by N. M, Ferrers, A. Cayley, J . W. L . Glaisher, A. R. Forsyth. London. 8". XXIII, XXIV. Rev. d'Art.: Revue d'Artillerie paraissant le 15 de chaque mois. Paris. 8°. XXXIII, XXXIV. Rom. Acc. L. Mem.: Memorie della Reale Accademia dei Lincei. Roma, gr. 4°. Rom. Acc. L. Rend. : Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Roma. 4°. (4) V. (Zwei Semester, unterschieden als Vj und V 2 .) Rom. Acc. P. d. N. L. : Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei. Roma. 4°. Rom. Acc. P. d. N. L. Mem.: Memorie della Pontificia Accademia dei Nuovi Lincei. Roma, 4°. I - I V . Schl'òmìlch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Teubner. 8°. XXXIV^ Hl. A.: Historisch-litterarische Abteilung (besonders pàginirt). Schweiz. Bauztg.: Revue Polytechnique; Schweizerische Bauzeitung, Wochenschrift für Bau-, Verkehrs- nnd Maschinentechnik, Organ des Schweizerischen Ingenieur- und Architekten - Vereins etc. Herausgegeben von Waldner. XIV. Silliman J.: The American Journal of science. Editors: J . D. and E. S. Dana. (3) XXXVII, XXXVIII. S. M. F. Bull.: Bulletin de la Société Mathématiqne de France publié par les secrétaires. Paris. 8°. XVII. Soc. Philom. Bull: Bulletin de la Société Philomathique de Paris. Paris. 8°. (8) I.

Stockh. Handl. : Handlingar af Eongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens. Stockholm. Stockh. Öfv.: öfversigt af Eongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar. Stockholm. X L V I . Stockh. Vetensk. Bihang: Bihang tili Eongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar. Stockholm. 8°. Techn. Bl.: Technische Blätter, Vierteljahrschrift des deutschen Polytechnischen Vereins in Böhmen, redigirt von Ed. Maiss. Prag. XXI. TeixeiraJ.: Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pelo Dr. F. Goraes Teixeira. Coimbra. 8°. IX.

Erklärung der Citate.

IX

Tokio Math. Ges.: Tokyo sugaku batsurigaku kwai kiji (Zeitschrift der Physiko-Mathematischen Gesellschaft in Tokio. Englisch o. Japanisch.) Tokio. 8°. Torino Atti: Atti della Reale Accademia di Torino. Torino. 8°. XXIV, X X V . Torino Mem.: Memorie della Beale Accademia delle scienze di Torino. Torino. 4». (2) X X X I X . Toulouse Ann.: Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, publiées par un comité de rédaction composé des professeurs de mathématiques, de physique et de chimie de la faculté etc Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4°. III. Toulouse Mém.: Mémoires de l'Académie des sciences, inscriptions et belles lettres de Toulouse. Toulouse. Douladoure-Privat. 8°. Ungar. Ber.: Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Mit Unterstützung der Ung. Akad. der Wissensch. und der Königl. Ung. naturwissenschaftlichen Gesellschaft hrsg. von Baron R. Eötvös etc. Redig. v. J . Fröhlich. Budapest. 8°. Ven. Ateneo: L'Ateneo Veneto. Rivista mensile di scienze, lettere ed arti diretta da A. S. de Kiriaki e L Gambari. Venezia. 8°. (13) I, II. Ven. Ist. Atti: Atti del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. 8°. (6) V I I . Ven. Ist. Mem.: Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. 4°. Venezia. Warsch. Nachr.: Nachrichten der Warschauer Universität. Warschau. (Russisch.) 1889. Wiedemann Ann.: Annalen der Physik und Chemie. Unter Mitwirkung der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin und insbesondere des Herrn H. v. Helmholtz herausgegeben von G. Wiedemann. Leipzig. Barth. 8°. (2) X X X V I , XXXVII, X X X V I I I . Wien. Am. : Anzeiger der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Wien. 8°. 1889. Wien. Bauztg.: Allgemeine Bauzeitung gegründet von Chr. L. Förster. Redigirt unter Mitwirkung etc. von A. Köstlin. Wien. R. v. Waldheim. Fol. L I V . Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen E l a s s e der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung. Wien. 8°. XCVII, X C V I I I . Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Wien. 4°. L V . W. Oestr. Ing. u. Arch.: Wochenschrift des Oesterreichischen Ingenieurund Architekten-Vereins. Redacteur P. Kortz. Wien. 4°. X I V . Wolf Z. : Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich, 8°. X X X I I I , X X X I V . Z. dtsch. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, herausgegeben von Th. Peters. J . Springer. Berlin. 4°. X X X I I I . Z. f . Bauwesen: Zeitschrift für Bauwesen, herausgegeben im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. Redacteure O. Sarrazin u. K. Schäfer. Berlin. Ernst u. Korn. 4°. X X X I X . Z. Oestr. Ing. u. Arch.: Zeitschrift des Oesterreichischen Ingenieur- u. Architekten-Vereins. Redacteur P . Kortz. Wien. 4°. X L I .

Inhaltsverzeichnis. (Die mit einem f versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

Erster Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e l 1. A.

Geschichte.

Biographisch-Litterarisches.

A. F a v a r o . Il Ballettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni (1868-1887) Projet de Répertoire bibliographique des Sciences Mathématiques . . G. E n e e t r ö m . Bibliographie suédoise de l'histoire des mathématiques 1667-1888 S. D i c k s t e i n . Note bibliographique^sur les études historico-matbématiques en Pologne S. A. C h r i s t e n s e n und J . L . H e i b e r g . Bibliographische Notiz über das Studium der Geschichte der Mathematik in Dänemark E. H o l s t . Bibliographische Notiz über das Studium der Geschichte der Mathematik in Norwegen G. E n e s t r ö m . Bidrag tili de matematiska studiernas historia i Sverige under femtonhundratalet A. F a v a r o . Notizie sulle fonti bibliografiche per gli studi di storia delle matematiche in Italia H. S u t e r . Die mathematischen und naturphilosophischenDisputationen an der Universität Leipzig 1512-1,526 J . H. G r a f . Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften in bernischen Landen. III. 1 T h e Royal Society of Edinburgh W. W. B a l l . A history of the study of mathematics at Cambridge . Festschrift, herausgegeben von der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. I : Geschichte der Gesellschaft. (1690-1890) . . . . Oh. H e n r y . Question 24. D ä n i s c h e G e s e l l s c h a f t d e r W i s s e n s c h a f t e n . Question 25. G . E n e s t r ö m . Questions 26-27. G. L o r i a - Question 28. P . M a n s i o n . Réponse à la question 24 M. S t e i n s c h n e i d e r . Miscellen zur Geschichte der Mathematik . . G. J . A11 m a n . Greek geometry from ThaleB to Euclid P . R i c c a r d i . Saggio di una bibliografia euclidea. I I I f J . L. H e i b e r g . Om scholierne til Euklids Elementer D. Besa'o. Sopra una ricerca goniometrica di Aristarco di Samo . J . L. H e i b e r g . Neue Studien zu Archimedes . . . .

Seite

1 1 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8

Inhaltsverzeichnis.

XI Seite

L . M. L. N i x . Das fünfte Buch der Conica des Apollonius von Perga L. S e h n a a s e . Die Optik Alhazen's M. O u r t z e . Ueber den „liber de similibus areubus" des Ahmedben Jasuf H. S t a i g m ü l l e r . Lucas Paciuolo. Eine biographische Skizze . . fMitteilungeD des Coppernicus-Vereins für Wissenschaft und Kunst zu Thorn. V I : J o r d a n i N e m o r a r i i de triangulis libri quatuor, ed. M. Curtze f A . F a v a r o . Supplemento al carteggio di Ticone Brahe •j-R. W . C h u r c h . Bacon P . R. W e g g - P r o s s e r . Galileo and his judges f W o l y n s k i . Nuovi documenti Galileiani R. W o l f . Zwei kleine Notizen zur Geschichte der Mathematik . . P . T a n n e r ; . Pascal et Lalouvère D. B i e r e n s d e H a a n . Quelques renseignements sur l'édition de la correspondance et des oeuvres de Christian Huygens Ch. H u y g e n s . Oeuvres complètes de Christiaan Huygens. II . . . D. B i e r e n s d e H a a n . Bouwstoffen voor de gesebiedenis der wis-en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden. X X X I . . . •j-E. B o d e m a n n . Der Briefwechsel des Gottfried Wilhelm L e i b n i z . J . H. G r a f . Der Mathematiker Johann Samuel König und das Princip der kleinsten Action +J. B e r t r a n d . D'Alembert • . . G. E n e s t r ö m . Meddelande om Svedenborgs matematiBka arbeten . G. G r e e n . An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism . E. L o m m e l . Georg Simon Ohm's wissenschaftliche Leistungen . . G. C. F. Memorial to G. S. Ohm f F . P o s k e . Za Georg Simon Ohm's Gedächtnis A. C a u c h y . Oeuvres complètes. (2) VII, V i l i , IX G. L e j e u n e D i r i c h l e t ' s Werke. Hrsg. von L. Kronecker. I . . R. P . G r a v e s . Life of Sir William Rowan Hamilton. I I I . . . . • | W . C u d w o r t h . Life and correspondence of Abraham Sharp . . . Mitteilung über das Möbius-Archiv J . J . W e y r a u c h . Robert Mayer der Entdecker des Princips von der Erhaltung der Energie R o b . v. M a y e r über die Erhaltung der Energie. Briefe an Wilh. Griesinger. Hrsg. von W . Preyer F i z e a u , E. M o u c h e z , F . T i s s e r a n d . Discours prononcés àl'inauguration de la statue de L e V e r r i e r f T h . A n d r e w s . The scientific papers of the late Thomas Andrews f W . P o l e . The life of Sir William Siemens -j-William S i e m e n s . T h e scientific works of Sir William Siemens f K . P e a r s o n . The elastical researches of Barré de Saint-Venant . f A. T h a e r . Noch eine Erinnerung an Richard Baltzer G. L o r i a . L'opera scientifica di Ettore Caporali Th. SI ou d s k y . Leben und Wirken A. W. Lettnikoff's F . S i a c c i . Cenni necrologici di Angelo Genocchi G. P e a n o . Angelo Genocchi +G. B a t t a g l i n i . Cenno necrologico di Angelo Genocchi H. v o n H e l m h o l t z . Zur Erinnerung an Rudolph Clausius . . . . L . K r o n e c k e r . Paul du Bois-Reymond G. B a s s o . Commemorazione de conto Paolo Ballada di Saint-Robert L. L é v y . Notice biographique sur M. Koehler C. J o r d a n . Georges Halphen • G e o r g e s - H e n r i H a l p h e n . Liste des travaux mathématiques . Ch. H e r m i t e . Discours prononcé par M. Hermite aux funérailles de M. Halphen

9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 15 15 15 15 16 17 17 18 18 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 23 23 23 23 23 24 24 24

XII

Inhaltsverzeichnis.

G. M i t t a g - L e f f l e r . 0 . J . Brochf Robert Stirling Newallf James Prescott Joulef Warren de la R u e | Obituary. (Nekrologe aus Silliman J.) Nekrologe in Lond. M. S. Proc f S i r W i l l i a m T h o m s o n . Popular lectures and addresses. I . . . P . E. T h o r p e . Scientific worthies. XX.VI. Dmitri Ivanowitsch Mendeleef 0 . J. L o d g e . Use or abuse of empirical formulae, and of differentiation, by chemists S . P i c k e r i n g . Use or abuse of empirical formulae, and of differentiation, by chemists W . H. M. C h r i s t i e . M. Loewy's inventions and researches P . W. N e w m a n . Mathematical tracts. I. 1-5; I I B. Geschichte einzelner Disciplinen. A. P. N i n n i . Sui segni prealfabetici dei pescatori Clodiensi . . . S. A. C h r i s t e n s e n . Ueber Gleichungen vierten Grades im zehnten Buch der Elemente Euklid's A. N a g l . Ueber eine Algorismus - Schrift des XII. Jahrhunderts. . A. N a g l . Oer arithmetische Traktat des Radulph von Laon . . . . A. N a g l . Das Qaadripartitam des Johannes de Mûris E. W a p p l e r . Beitrag zur Geschichte der Mathematik M. D z i w i ú s k i . Ueber den Algorithmus von Bernard Wojewódka . M. A. B a r a n i e c k i . Algorithmus von Thomas Klos J . W. L. G l a i s h e r . The method of quarter-squares G. C a r e y F o s t e r . The method of quarter-squares S. D i c k s t e i n . Ueber die teleologische Methode der Auflösung algebraischer Gleichungen von Wronski J . S u l y k o s . Der mathematische Grund-Baum mit neuen geometrischen Entdeckungen G. E n e s t r ö m . Sur le premier emploi du symbole n pour 3,14159... F . J . S t u d n i c k a . Ueber Leibnizens letzte Aufgabe ans der unbestimmten Analytik R. R e i f f . Geschichte der unendlichen Reiben f J . L ü r o t h . Geschichtliches über die Erfindung der Infinitesimalrechnung D. S. A r c h i l l a y E s p e j o e D. G. V i c u ñ a . Discursos leídos ante la real Academia de Ciencias G. E n e s t r ö m . Sur un théorème de Kepler équivalent à l'intégration d'une fonction trigonométrique fM. C h a s l e s . Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie M. L a z a r s k i . Ueber die Entwickelung der Begriffe und der Methoden in der Geometrie +G. L o r i a . Die frühere und heutige Entwickelung der hauptsächlichsten Theorien der Geometrie E. F e l t r a m i . Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewski E. d ' O v i d i o . Cenno sulla Nota del prof. E. Beltrami: „Un precursore etc." . . f j . T r á v n i c e k . Das Problem der Kreismessung. I G. L o r i a . Addizioni alle notizie storiche sulla geometria numerativa P . R i c c a r d i . Di alcune opere di prospettiva di autori Italiani . . G. L o r i a . Rassegna di alcuni scritti sui poligoni di Poncelet . . . É . V i g a r i é . Géométrie du triangle

Seite

24 24 25 25 25 25 25 25

26 26 26 26

27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 30 30 30 31 32 32 32 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34

Inhaltsverzeichnis.

É. V i g a r i é . Premier inventaire de la géométrie da t r i a n g l e . . . . É. V i g a r i é . Esquisse historique sur la marche du développement dé la géométrie du triangle A. Emmerich. Der Brocard'sche W i n k e l des Dreiecks W . J. C, M i l l e r . N o t e s on the recent geometry of the triangle . . J. L a n g e . Eine L e g e n d e vom Brocard'schen Winkel A . E m m e r i c h . Zur L e g e n d e vom Brocard'schen W i n k e l O. S c h l ö m i l c h . Crelle oder Brocard E . M. L a n g l e y . On the use of the word antiparallel R. C h a r t r e s . Delambre's analogies M. Z w e r g e r . Der Schwingungsmittelpunkt zusammengesetzter Pendel F. X. De W ä c h t e r . Ein historischer Beitrag zur elementaren Herleitung der Newton'schen Attractionstheorie aus Kepler's Gesetzen fG. Pennacehietti. Gl'Italiani nella storia della meccanica . . . Collection de mémoires relatifs à la physique publiée par la Société française de Physique. I V G. W . A . K a h l b a u m . Aus der Vorgeschichte der Spectralanalyse G. W . A . K a h l b a u m . Ueber das von N e w t o n beobachtete Spectrum R e p o r t of the Committee for the continuation of the bibliography of spectroscopy G. G o v i . D i un precursore Italiano del Franklin W . S e i f e r t . Gemeinfassliche Geschichte der elektrischen Fernverständigung S. P . L a n g l e y . T h e history of a doctrine L o r d B a y l e i g h . T h e history of the- doctrine of radiant energy . . G. A . G i b s o n . A short notice of the additions to the mathematical theory of heat since 1811 • . • . V. B o b y n i n . Quelques mots sur l'histoire des connaissances mathématiques O. B o e r s c h . Internationale Erdmessung. Geodätische Litteratur . J. H o w a r d G o r e . A bibliography of geodesy H o u z e a u e t L a n c e s t e r . Bibliographie générale de l'astronomie. I . 2 E. M i l l o s e v i c h . I l sistema métrico J. E p p i n g . Astronomisches aus Babylon oder das W i s s e n der Chaldäer über den gestirnten Himmel G. B e r t i n . Babylonian astronomy C. F . L e h m a n n , ü e b e r das babylonische metrische System . . . . E . G e l c i c h . D i e ersten Bestimmungen der Rotationsdauer der Sonne +J. K l e i b e r P e t i t e histoire des étoiles filantes M. F i o r i n i . Curiosità cartografiche B. L i e b m a n n . Christian Trautmann and die erste meteorologische Station der Obertausitz -f-BibHography of meteorology. I C a p i t e l 2. A. A. K. E. G.

XIII Seite 35 35 36 36 37 37 37 37 37 37

38 38 39 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 42 43 43 44 44 45 46 46 46 46 48

Philosophie and P ä d a g o g i k . Philosophie.

C a p e l l i . L a matematica nella sintesi delle scienze Zindler. Beiträge zur T h e o r i e der mathematischen Erkenntnis. Fink. K a n t als Mathematiker B e l l e r m a n n . Beweis aus der neueren Raumtheorie für die Realität von Z e i t und Raum und für das Dasein Gottes f A . Drews. Die L e h r e von Raum und Z e i t in der nachkantischen Philosophie

48 49 49 50 50

XIV

Inhaltsverzeichnis. Seite

f O . S e i f f e r t . Beiträge zu den Theorien des Syllogismus und der Induction C. D i l l m a n n . D i e Mathematik die Fackelträgerin einer neuen Z e i t J. P e a n o . Arithmetices principia nova methodo exposita G. d e G a l d e a n o . Critica y sintesis del algebra f W . B r i x . Die erkenntnistheoretische und logische Bedeutung des mathematischen Zahlbegriffes F r . P r i h o n s k y . Dr. Bernard Bolzano's Paradoxien des.Unendlichen F r . M e y e r . Zur L e h r e vom Unendlichen t G . F . L i p p s . Die logischen Grundlagen des mathematischen Functionsbegriffes J. C o c k l e . On the confluences and bifurcations of certain theories A. Crum Brown. Our sensations of motion C. I s e n k r a h e . Ueber die Fernkraft und das durch Paul du ß o i s Reymond aufgestellte dritte Ignorabimus H . K l e i n . Deduction des Principe von der Erhaltung der Energie ß. A b e n d r o t h . Das Problem der Materie +0. B a e u m k e r . Das Problem der Materie in der griechischen Philosophie fJ. Schlesinger. Ueber das W e s e n des Stoffes und des allgemeinen Baumes S. L u p t o n . Time Sir W i l l i a m T h o m s o n . On Boscovich's theory E.O.Beetz. Das Typenrechnen auf psycho-physischer Grundlage. I F. K e r z . W e i t e r e Ausbildung der Laplace'schen Nebularhypothese. Zweiter Nachtrag G. H . D a r w i n . On the mechanical conditions of a swarm of meteorites S. T o l v e r P r e s t o n . T h e meteoric theory of nebulae, etc G. H. D a r w i n . T h e meteoric theory of nebulae, etc f V . E . J o h n s o n . T h e use and triumphs of Mathematics •¡•A. R e b i è r e . Mathématiques et Mathématiciens B.

50 51 51 53 53 53 54 54 54 55 55 56 58 58 59 59 59 59 59 60 62 63 63 63

Pädagogik.

G. M. M i n c h i n . T h e vices of our scientific education J. G. M a c g r e g o r . On calculus dodging and other educational sins E . J. B r o o k s m i t h . W o o l w i c h mathematical papers, 1880-1888 . . T h e u. linations for W o o l w i c h and Sandhurst P . J o h a n n e s s o n . Deutsche Ausdrücke für Fremdwörter in der SchulMathematik J. C. V . H o f f m a n n . Einige Bemerkungen und Vorschläge zu dem Artikel von Martus-Johannesson J. C. V . H o f f m a n n . N o c h einmal die Verdeutschung der Fremdwörter in der Schulmathematik D i e Stellung der Mathematik und der Naturwissenschaften an unseren Gymnasien. — Bemerkungen zu diesem A r t i k e l J. W a l d v o g e l . Uebungen aus dem mathematischen Repetitionsstoffe der Obergymnasialklasse E . S t r e h l . Einige kleine B e i t r ä g e ' z u r Elementarmathematik . . . . A . H a l l . N o t e on symbols f S . E m p i r i k u s . Der Taschenspielerbeweis der Arithmetik . . . . P. Treutlein. Das geschichtliche Element im mathematischen Unterrichte der höheren Lehranstalten H. Böklen. Ueber die Berücksichtigung des Historischen beim Unterricht in der Geometrie E . R ä d e l . Die Verwertung der Symmetrie im Geometrieunterrichte

63 64 65 65 65 65 65 66 66 67 67 67 67 68 68

Inhaltsverzeichnis.

XV

H a b . Müller. -Besitzt die heutige Schulgeometrie noch die Vorzöge des Euklidischen Originals? EzaminatioDB in elementary geometry G. L o r i a . A. I. Q. T K. Schwering. Aufgabe und Anschauung, besonders in der Stereometrie G. Bohle. Der vorbereitende geometrische Unterricht in Quinta . . J . Pauly. Der erste Jahrescursus des planimetrischen Unterrichts H. Müller. Ueber den ersten planimetrischen Unterricht. I . . . . fS. Canevazzi. Süll' insegnamento della Meccanica razionale nelle Università P. Glatzel. Zur Methodik des physikalischen Unterrichts . . . . fA. H ö f l e r . Die humanistischen Aufgaben des physikalischen Unterrichts + K. Noack. Die Vorbildung der Lehrer für Physik f j . M. Beckmann. Die Lehrpläne für die verschiedenen Unterrichtsfächer. IV. Physik fH. J a u u s c h k e . Ueber die Verwendung des Energieprincipes . . tW. Schmidt. Zum Unterricht in der mathematischen Geographie

Zweiter Abschnitt.

Seite

69 69 70 70 70 71 71 71 71 72 72 72 72 72

Algebra.

C a p i t e l 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.) G. C h r y s t a l . Algebra; an elementary teztbook. II H. S. H a l l and S. B. Knight. Key to higher algebra Gh. Smith. Solutions of the examples in a treatise on algebra . . Ch. de C o m b e r o u s s e . Cours de mathématiques. IV. 2 . . . .

73 76 76 76

CourB d'algèbre supérieure +J. B e r t r a n d et H. Garcet. Traité d'algèbre f j . J. van L a a r . Leerboek der Algebra. II fCh. B i e h l e r . Sur la théorie des équations et sur les séries . . . -j-J. T o d h u n t e r . Elementar-Algebra. Polnische Uebersetzung . . . N. H. A b e l und E. Galois. Abhandlungen über die algebraische Auflösung der Gleichungen. Deutsch von H. Maser J. P. Dolbnia. Ueber das Galois'sche Kriterium der Auflösbarkeit der Gleichungen £ . H e n s e l . Ueber Gattungen, welche durch Composition aus zwei anderen Gattungen entstehen O. H o l d e r . Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen 0. H o l d e r . Ueber den Söderberg'schen Beweis des Galois'schen Fundamentalsatzes F. B r i o s c h i . Sur la transformation des équations algébriques . . . Fr. Meyer. Zur Auflösung der Gleichungen B. Igel. Ueber die associirten Formen and deren Anwendung . . . F. v. Dalwigk. Ueber einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra F. v. Dalwigk. Ueber den Gordan'schen Beweis des Fandamentalsatzes der Algebra C. A. L a i s a n t . Sur le théorème de d'Alembert Mangeot. Démonstration du théorème de d'Alembert

76 76 76 76 77

ÎP. Mansión.

77 77 77 78 79 79 79 80 81 81 82 82

XVI

Inhaltsverzeichnis.

E . P i c a r d . Sur le nombre des racines communes à plusieufs équations simultanées J . P . M c O n l l o c h . Extension of Rolle's theorem P. M a n s i o n . Sur l'extension du théorème de Bolle aux racines imaginaires des équations algébriques C. S c h m i d t . Ueber die Auflösbarkeit eines Systems linearer Gleichungen +G. R u s s o . Radici eguali delle equazioni del 2 o , 3 o e 4 o grado. . . M. A z z a r e l l i . Nota sul caso irreducibile dell'equazione del 3° grado J . C. M e d e i r o s . Processo gérai de Clairaut para achar o valor approximado iuecial daB raizes da equaçâo do 3° grào, no caso irreductivel M a n g e o t . Sur la résolution de l'équation du troisième degré . . . R. E. A l l a r d i c e . Notes on the solution of certain equations . . . F . d a n n 8 . Zur Gleichung vierten Grades D. S e Ii van off. Ueber die Gleichungen fünften Grades mit ganzen Coefficienten C. F a e r b e r . Herleitung von Kriterien für die Anzahl reeller Wurzeln von Gleichungen aus der Beschaffenheit ihrer Discriminantenmannigfaltigkeit J . D i e c k m a n n . Zur Auflösung der dreigliedrigen irrationalen Gleichungen mit beliebigen Radicanden Lord M c L a r e n . On the solution of the three-term numerical equation of the (n — 1)'* degree A. P e l l e t . Sur la résolution trigonométrique de certaines équations G. L e i n e k u g e l . École Normale (1888). Concours d'admission . . G. V i van ti. Un problema d'algebra Cb. d e C o m b e r o u s s e . Sur les équations réciproques J . W a t t B u t t e r s . On the solution of the equation XP — 1 = 0 . . Cb. B i e h l e r . Sur les équations auxquelles conduit le problème de la division des arcs en trigonométrie +A. E . S c h b i k o f f s k y . Zur Frage von der Auffindung der höchsten Grenze der reellen Wurzeln einer Gleichung E . C a r v a l l o . Méthode pratique pour la résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes F . L u c a s . Statique des polynômes R. M e h m k e . Neue Methode, beliebige numerische Gleichungen mit einer Unbekannten graphisch aufzulösen + J . M a s s au. Note sur la résolution graphique des équations du premier degré A. R e d l i c h . Praktische Anleitung zur algebraischen Entwickelung und Lösung der Gleichungen der höheren Grade +M. M a r i o n e . Sulla risoluzione delle equazioni numeriche . . . . -j-M. V . P r a d a . Lucubraciones algebraicas. I. I I { E . Z a h r a d n í k . Auflösung von quadratischen Gleichungen mit Hülfe der Gaussischen Logarithmen C a p i t e l 2.

Seite

32 82 83 83 84 84 85 85 85 86 86 87 88 89 89 90 90 90 90 91 91 91 92 93 93 93 94 94 94

Theorie der Formen.

A . R. F o r s y t h . A class of functional invariants 95 E . B . E l l i o t t . On projective cyclic concomitants 97 E . B . E l l i o t t . On differential expressions which persist in form after a certain transformation 98 A. B e r r y . Simultaneous reciprocants 100 L . J . R o g e r s . On secondary invariants 100 J . G r i f f i t h s . Notes and solutions 101

Inhaltsverzeichnis.

XVII Seite

L . J . R o g e r s . Note on conjugate annihilators D. H i l b e r t . Zur Theorie der algebraischen Gebilde. II. III . • • A. C a y l e y . On the finite number of the covariants of a binary quantic P e t e r s e n . Ueber die Endlichkeit des Formensystems einer binären Grundform P. G o r d a n . Das erweiterte Formensystem H. F. B a k e r . Gordan's series V e i t m a n n . Zur Invariantentheorie • • J . M c M a h o n . On the expression of the Hessian of a binary quantic in terms of the roots F . G e r b a l d i . Un teorema sull' Hessiana d'una forma binaria . . . P . H. S c h o u t e . Sur un théorème relatif à l'Hessienne E. M o l l o . Sulle forme binarie Frhr. v. G a l i . Die Grundsyzyganten zweier simultaneu biquadratischen binären Formen E. S t r o h . Entwickelung der Grundsyzyganten der binären Form fünfter Ordnung E. S t r o h . Die fundamentalen Syzyganten der binären Form sechster Ordnung E. S t r o h . Ueber daB vollständige Combinantensystem zweier binärer Formen E. W i l t h e i s s . Eine besondere Art von Covarianten bildender Operation G. M a i s a n o . L'Hessiano della sestica binaria e il discriminante della forma dell' ottavo ordine Frhr. v. G a l i . Die irreducibeln Syzyganten einer binären Form sechster Ordnung, die in denCoefficienten höher als vom neunten Grade sind E. S t u d y . Methoden zur Theorie der ternären Formen J . J . W a l k e r . Resnlts of ternary quadric operators on products of forms of any orders A. R. F o r s y t h . Systems of ternariants that are algebraically complete F . G e r b a l d i . Sul sistema di due coniche F. G e r b a l d i . Sull' Hessiano del prodotto di due forme ternarie . . F . G e r b a l d i . Sulla forma Jacobiana di tre forme ternarie . . . . F. M e r t e n s . Ueber invariante Gebilde quaternärer Formen . . . . Ed. W e y r . Ueber die Theorie der bilinearen Formen E. C o s s e r a t . Sur les formes bilinéaires J . J . S y l v e s t e r . Sur la réduction biorthogonale d'une forme linéolinéaire à sa forme canonique J . J . S y l v e s t e r . A new proof that a general quadric may be reduced to its canonical form by means of a real orthogonal substitution J . J . S y l v e s t e r . On the reduction of a bilinear quantic of the n th order to the form of a sum of n products by a double orthogonal substitution A. V o s s . Ueber die conjugirte Transformation einer bilinearen Form in sich selbst A. V o s s . Ueber die mit einer bilinearen Form vertauschbaren bilinearen Formen A. V o s s . Ueber einen Satz aus der Theorie der Determinanten . . H. G. D a w s o n . A theorem in algebra •T. D e r u y t s . Sur la généralisation des semi-invariauts J . D e r u y t s . Sur la transformation linéaire de la théorie des covariants J . D e r u y t s . Sur la loi de formation des fonctions iuvariantes . • C. L e P a i g e . Rapport sur troia mémoircs de M. J . Deruyts . . . . Fortscbr. ci. Math. XXI. 3.

B

101 102 104 104 105 100 106 106 107 107 107 107 108 108 108 109 Ili 111 111 118 118 120 121 121 12*2 123 124 125 125 125 126 12ö 129 129 130 130 130 130

Inhaltsverzeichnis.

xvni

8eite

J . D e r u y t g . Détermination des fonctions invariantes de formes à plusieurs séries de variables 131 f L . 0 . d e T o l e d o y Z u l u e t a . Elementos de la teoria de las formas 131 C a p i t e l 3.

Elimination nnd Substitution. Determinanten, symmetrische Functionen. W . M a n t e l . Over het aantal gemeenschappelijke oplossingen van stelkundige vergelijkingen E. N e t t o . Anwendung der Modulsysteme auf eine elementare algebraische F r a g e G. L o r i a . Nota 9u due applicazioni algebriche dell' eliminazione . W . S t a h l . Ueber eine neue Darstellung der Resultante zweier Formen gleicher Ordnung A. B r i l l . Ueber die reducirte Resultante H. V a l e n t i n e r . De endelige Trauaformationsgruppers Theori . . A. B o c h e r t . Ueber die Trausitivitätsgreuze der Substitutionengruppen, welche die altemirende ihres Grades nicht enthalten A. B o c h e r t . Ueber die Zahl der verschiedenen W e r t e , die eine Function gegebener Buchstaben durch Vertauschung derselben erlangen kann 0 . B o l z a . On the construction of intransitive groups E. B e r t i n i . Sopra un teorema del sign. Netto A s k w i t h . On possible groups of substitutions H. M a s c h k e . Aufstellung des vollen Formensystems einer quaternären Gruppe von 51 840 linearen Substitutionen f O . L a n d s b e r g . Untersuchungen über die Gruppen einer linearen fünffachen Mannigfaltigkeit A. B r i l l . U e b e r die Discriminante von Resultanten F . B r i o s c h i . L e s discriminants des résolvantes de Galois . . . . G. H a l p h e n . Sur la résolvante de Galois dans la division des périodes elliptiques par 7 Fr. H o f m a n n . Allgemeine Parameterdarstellung von Substitutionen involutorischen Charakters G. T o r e l l i . Sulle sostituzioni lineari a coefficienti immaginarii . . +S. S u l z b e r g e r . Die reeller. Transformationsgruppen der Geraden und der Ebene +H. W e r n e r . Bestimmung der grössten Untergruppen derjenigen projectiven Gruppe, welche eine Gleichung zweiten Grades in n Veränderlichen invariant lässt +Fr. J u n k e r . Ueber algebraische Correspondenzen F . A m o r é t t i e C. M o r a l e s . Teoria elemental de las déterminantes F . d a P o n t e H o r t a . Estudo elementar dos déterminantes . . . . F . d a P o n t e H o r t a . Nota sobre os déterminantes J . D i e k m a n n . Anwendung der Determinanten und Elemente der neueren Algebra nuf dem Gebiete der niederen Mathematik . . L . E r o n e c k e r . Ueber symmetrische Systeme L . E r o n e c k e r . Die Décomposition der Systeme von n 2 Grössen und ihre Anwendung auf die Theorie der Invarianten Th. S. F i s k e . N o t e s on modern higher algebra N . v. S z ü t s . Zur Theorie der Determinanten F . M e r t e n s . Ueber die Determinante, deren Elemente die W e r t e sind, welche n! ganze Functionen annehmen L . G e g e n b a n e r . Ueber windschiefe Determinanten höheren Ranges G. P e a n o . Sur le déterminant wronskien A . D e m o u l i n . Remarque sur une propriété fondamentale des wronskiens

132 132 133 134 134 135 140 141 141 142 142 142 143 143 143 143 143 145 146 146 146 146 146 147 147 148 149 150 150 151 152 153 153

Inhaltsverzeichnis.

XIX

B. J . C l a s e D . Sur une nouvelle méthode de résolution des équations linéaires A. C a p e l l i . Sopra certi sviluppi (li determinanti C.-A. L a i s a n t . Sur un déterminant remarquable 6 . F o u r e t. Sur deux déterminants numériques D. E d w a r d e s. Solution of question 8767 B. L u c a s . Sur lo plus grand commun diviseur algébrique P . A . M a c M a h o n. Secondmemoironanewtheoryofsymmetricfunctions W. J . C. S h a r p , D. E d w a r d e s , I. B e y e n s . Solution of question 9790 R. E. A l l a r d i c e . On the expression of a symmetric function in terms of the elementary symmetric functions

Dritter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Seite

153 153 154 154 154 155 155 155 156

Niedere und höhere Arithmetik. Niedere Arithmetik.

O t t o u. D i e s e n e r . Lehrbuch der gesamten niederen Mathematik. I u. I I : Arithmetik, Buchstabenrechnung und Algebra B o y m a n n . Lehrbuch der Mathematik. I I I : Arithmetik. 7. Aufl. . . O. P r a n g e . Lehrbuch der Gleichungen des lt auf den Curven dritter Ordnung Cl. S e r v a i s . Sur les cubiques nodales circulaires F . M o r l e y . On the geometry of a nodal circular eubie F . B a l i t r a n d . Note sur la strophoïde Duchêne. Sur la construction des tangentes aux cubiques et aux quartiques W . B i n d e r . Ueber das System der Tangentialpunkte einer unicursalen Plancurve vierter Ordnung K. K ü p p e r . Ueber die Curven von n ter Ordnung und dem Geschlecht p > 1, auf welchen die einfachen Specialscharen

Seite

631 631 Ç31 631 632 633 633 634 634 634 635 635 635 636 637 637 638 638 639 640 640 641 641 641 644 645 645 646 646 646

S ^ i Î31'* vorkommen C . P e l z . Note zur Abhandlung „Ueber die Focalcurven des Quetelet" Lord M ' L a r e n . On the reflexion-caustics of symmetrical curves. . G. L o r i a . I poligoni di Poncelet

647 649 650 650

C. B e s o n d e r e r ä u m l i c h e G e b i l d e . J. H . . E n g e l . Conatructionen znr Geometrie der Flächen Ordnung und. der ebenen Curven dritter Ordnung

651

zweiter

Inhaltsverzeichnis.

XXXIX

6 . F o u r e t . Sur quelques problèmes de géométrie descriptive . • • L. L e fé vre. IntersectioD d'une droite et de la surface réglée quadrique H. D o b r i n e r . Ueber das räumliche Achteck, welches die Schnittpoukte dreier Oberflächen zweiter Ordnung bilden H. 6 . Z e u t h e n . Note sur les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre F . S c h u m a c h e r . Geometrie der Kreise einer Kugel F r . R u t h . Ueber den geraden KreiBkegel G. K o b e r . Zur Gruppe der acht harmonisch zugeordneten Flächen zweiten Grades K. M e i s t e r . Ueber die Flächen zweiten Grades, welche ein gegebenes Tetraeder zum gemeinsamen Polartetraeder haben . . . D i x on. On twisted cubics F . B a l i t r a n d . Sur les cubiques gauches F. D e r u y t s . Sur la représentation de l'homographie de seconde espèce sur la cubique gauche K. K ü p p e r . Ueber die Flächen 3 u. 4. O. mit Doppelkegelschnitt A. S u c h a r d a . Ueber die Normalflächen der Rückungsflächen 4 . 0 . J . J o h a n n e s . Die rationalen Raumcurven sechster Ordnung. . • • M. P i e r i . Sulle tangenti triple di alcune superficie del sest'ordine . C. 8 e g r e . Recherches générales sur les courbes et les surfaces réglées algébriques. II D. M o n t e s a n o . Su la trasformazione involutoria dello spazio, che determina un complesso tetraedrale F . B a l i t r a n d . Sur le déplacement d'une droite A. M a n n h e i m . Construction du centre de courbure de la développée de la courbe de contour apparent J . C a r d i n a a l . Het construeeren van gebogen oppervlakken door middel van vlakke doorsneden K. D o e h l e m a n n . Untersuchung der Flächen, welche etc D. G e b i l d e i n R ä u m e n v o n m e h r a l s d r e i D i m e n s i o n e n . G. L o r i a . Di due rappresentazioni univoche dello spazio rigato su una forma lineare di quarta specie G. C a s t e l n u o v o . Numero degli spazi che segano più rette in uno spazio ad n dimensioni G. C a s t e l n u o v o . Numero delle involuzioni razionali giacenti sopra una curva di dato genere G. C a s t e l n u o v o . Ricerche di geometria sulle curve algebriche . . G. C a s t e l n u o v o . Su certi gruppi associati di punti F. D e r u y t s . Sur une propriété commune aux courbes normales des espaces linéaires E. G o u r s a t . Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace E. A b z ä h l e n d e G e o m e t r i e . H. S c h u b e r t . Ueber Räume zweiten GradeB G. C a s t e l n u o v o . Una applicazione della Geometria alle curve algebriche

Neunter Abschnitt. C a p i t e l 1.

enumerativa

Seite

652

652 652 652 655 655 656 656 658 659 660 660 661 662 663 664 664 665 665 665 666

667 667 668 669 671 673 673 674 674

Analytische Geometrie.

Lehrbücher, Ooordinaten.

R. H o p p e . Lehrbuch der analytischen Geometrie. II J F r i s c h a u f . Einleitung in die analytische Geometrie

676 677-

Inhaltsverzeichnis.

XL

E. W . F i e d l e r . Mink'ti Leitfaden der analytischen Geometrie. . . W. K r u m m e . Der Unterricht in der analytischen Geometrie . . . H. D r a s c h . Elemente der analytischen Geometrie J. C a r n o y . Cours de géométrie analytique. Géométrie de l'espace f A . 8. H a r d y . Elements of analytic geometry Èd. L u c a s . Sur les coordonnées tripolaires A. P o u l a i n . Des coordonnées tripolaires A. P o u l a i n . Des coordonnées sous-trilinéaires G. F o g l i n i . Applicazione délie coordinate omogenee alla geometria snperiore H. P l a m e n e v s k y . Distance de deux points en coordonnées barycentriques | H . H e d d a e u s . Theorie und Anwendung eines besonderen Ebenencoordinatensystems 0 . H o l d e r . Bemerkung zur Quaternionentheorie J . B r i l l . A new geometrical representation of the quaternion analysis A. H c A u l a y . Establishment of the fundamental properties of quaternions R. E. A l l a r d i c e . Note on a formula in quaternions M. M. U. W i l k i n s o n . Some multinomial theorems in quaternions . f E . S a r r a u . Notions sur la théorie des quaternions P. C a s p a r y . Sur une méthode générale de la géométrie, qui forme le lien entre la géométrie synthétique et la géométrie analytique A. C a y l e y . A theorem on trees C a p i t e l 2. A.

Seite

677 678 679 680 680 680 680 681 681 681 682 682 682 683 684 684 685 685 687

Analytische Geometrie der Ebene.

Allgemeine Theorie der e b e n e n

Curyen.

J . B r i l l . Notes on conjugate functions and equipotential curves. . J . B r i l l . On the geometrical meaning of the singular points of an equipotential system of curves J . B r i l l , J . M c M a h o n . Solution of question 9473 J . B r i l l . Orthogonal systems of curves and of surfaces CI. S e r v a i s . Sur un cercle analogue au cercle de courbure . . . Cl. S e r v a i s . Sur le cercle osculateur H M a r t u s . Bestimmung der Krümmungsradien E. C e s à r o . Étude intrinsèque de qqelques courbes planes . . . . L . R a f f y . Sur les éléments linéaires doublement harmoniques . . . R. M ü l l e r . Ueber die Curven, deren Bogen einer Potenz der Abscisse proportional ist ' E. J a n i s eh. Verallgemeinerung des Entstehungsgesetzes der Fusspunktcurven A n c i e n é l è v e de Math. spec. Note sur un système de deux courbes planes L. L é v y . Deuxième note d'algèbre W . J e r â b e k . Notiz zur Theorie der ebenen Curven A. Ch. B a s u , J . M c M a h o n , K. B a s u . Solution of question 9455. f P . G. T a i t . On the relations between systems of curves which, together, cut their plane into squares

688 688 688 690 690 690 690 691 691 691 692 693 693 694 694 694

B. T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n C u r v e n . F r . J u n k e r . Ueber algebraische Correspondenzen 694 T a y l o r . On the centre of an algebraical ourve 695 F . C a s o r a t i . Su gli asintoti del le linee piane algebriche 696 F . P . R u f f i n i . Delle curve piane algebriche che hanno potenza etc. 696 L . L é v y . Étude d'une courbe autour d'un point singulier 697 E . C a t a l a n . Sur les branches infinies des courbes algébriques . . 697

Inhalts Verzeichnis.

XLI Seite

A. B e c k . Elementare Herleitung der Flücker'schen F o r m e l n . . . . G. B. G o c c i a . Sulle singolarità composte delle curve algebriche piane. I G. B. G o c c i a . Sulla classe e sul Dumero dei flessi di una curva algebrica dotata di singolarità qualunque H . G. Z e u t h e n . Extrait d'une lettre adressée à M. Guccia . . . . H. HahD. Eoler's Methode der Parameterdarstellung algebraischer Curven J. T h o m a e . Ueber Curven, deren Punkten mehrere Parameterwerte entsprechen D. L e i t e . Sobra a representaçào parametrica das curvas do primeiro genero O. S c h l e s i n g e r . Ueber elliptische Curven in der Ebene K. K ü p p e r .

Ueber die Curven

Gerade

Linie

698 700 700 701 701 702 702 704

K. B o b e k . Ueber Dreischarcurven O. S c h l ö m i l c h . Hyperarithmetische und hyperharmonische Mittel M. d ' O c a g n e . Sur les trajectoires des points marqués sur une droite M. d ' O c a g n e . L e s applications des coordonnées parallèles . . . . B u r a l i - F o r t i . Sopra un sistema di curve, che dividono in n parti eguali gli archi di circoli che passano per due punti fissi . . . K. G l ä n z e r . Die Gegencurven der Kegelschnitte E. P o r o e y. T a n g e n t e en un point d'une courbe remarquable . . . M. d ' O c a g n e . Deux théorèmes généraux sur les trajectoires de points et les enveloppes de droites mobiles dans un plan P. H. S c h o n t e . Equianharmonie en harmonie bij poolstelsels van binaire vormen P . H. S c h o u t o . Sur des quadruples équianharmoniques ou harmoniques C.

698

und

704 706 706 707 707 708 708 709 710 710

Kegelschnitte.

A. P e l l e t . Sur les cercles ou sphères se coupant sous des angles donnés f D . M u n o . Analytical geometry of the straight line and c i r c l e . . . R. T n c k e r . A group of isostereans Th. M u i r . N o t e on Cayley's démonstration of Pascal's theorem . . Carl Schmidt. Ueber eine Anwendung der Symbolik bei einer A u f gabe AUS der T h e o r i e der Kegelschnitte J. W o l s t e n h o l m e . Solution of question 8357 E. L e m o i n e . N o t e sur deux faisceaux de trois droites E . C z u b e r . Zur T h e o r i e der Kegelschnitte Haas. U e b e r die Indicatricen der Kegelschnitte F . P . R u f f i n i . D i alcune proprietà delle coniche conjugate . . . . Hartmann. Studien über Kegelschnitte und Flächen zweiten Grades R . M a l a g o l i e E. N a n n e i . L e forinole fondamentali per la trigonometria della ellisse J. B o u g s i n e s q . Expressions approchées du contour de l'ellipse et de la surface de l'ellipsoïde G. P e a n o . Sur une formule d'approximation pour la rectification de l'ellipse C. L a u e r m a n n . Zum Normalenproblem der Ellipse F . M e r t e n s . Zum Normalenproblem der Kegelschnitte P . H. S c h o u t e . Zum Normalenproblem der Kegelschnitte . . . . P. A p p e l l . Sur les points d'intersection d'une conique fixe avec une conique mobile passant par deux points fixes H . F a u r e . Sur le lieu, des foyers des coniques qui passent par quatre points d'un cercle

710 711 711 711 711 712 712 713 713 714 714 715 715 715 716 717 717 718 719

XLII

Inhaltsverzeichnis,

F . J . vaD d e n B e r g . Naschrift over stelsels van twee cirkels of twee kegelsnedeo, waarin en waarom eeozelfde veelhoek p a s t . H E k a m a. De lijnen beschreven door punten van kegelsneden, die zoDder glijden längs andere kromme lijnen rollen É . B o r e i . Question proposée pour l'admission à 1 ' É c . Pol. en 1874 J. L e m a i r e Question proposée pour l'admission à 1'Éc. Pol. en 1888 A n o n y m e . École Polytechnique. Concours de 1889 J . L e m a i r e . Concours d'admission à l'École Polyt. en 1889 . . . . J . L e m a i r e . Question du concours général de math, spéciales en 1889 M a r c h a n d . Concours général de 1889. Autre solution L . R é z e a u . Concours général de mathématiques spéciales en 1889. Solution G. L e i n e k u g e l . Concours général de 1888. Solution H . M. . T e f f e r y . On the generalised problem of contacts D. A n d e r e s p e c i e l l e C u r r e n . H. F r i t z . Ueber die erste Qrassmanu'sche Erzeugungsweise der ebenen Curven dritter Ordnung und deren Analogon im Baume W a l k e r . On the figures of a certain class of cubic curves and their concomitants A. B o u t i n Sur un groupe de cubiques remarquables du plan d'un triangle H. G. D a w s o n . Note on the intersection of lines with curves of an odd degree L . R a f f y . Sur la rectification des cubiques planes unicursales . . . E . B. E l l i o t t , A. M. N a s h . Solution of question 9562 W . J . C. M i l l e r , J . L . K i t c h i n , J . W ol s t o n h o 1 m e. Solution of question 9587 A. P i e p e r Untersuchung der in rechtwinkligen Coordinaten gegebenen Curve xi-}-axyî-+-by = c B a r i s i e n . Solution de la question 1590 E . F e s q u e t . Question 90. Solution M o r l e y , W . J . C. S h a r p , S . M a r k s . Solution of question 10034 t P . V e n t u r i n o . Sulla cissoide di Diocle. I M. N o e t h e r . Zur Theorie der Berü'nrungscurven der ebenen Curve vierter Ordnung A n d o y e r . Sur un problème de géométrie H. J e f f e r y . Sur l'identité des noeuds d'une courbe du 4>ème ordre . W . S t a h l . Ueber die rationale ebene Curve 4. Ordnung. (Forts.) . W . J . C. S h a r p , J . M c M a h o n . Solution of question 8949 . . . . J C. M a l e t . Quelques propriétés d'une quartique plane trinodale . A s p a r a g u s . A . M. N a s h . Solution of question 9569 A s p a r a g u s , W o l s t e n h o l m e . Solution of question 9595 . . . . W . J . C. S h a r p , J . M c M a h o n . Solution of question 7394 . . . . C.-A. L a i s a n t , R. F . D a v i s . Solution of question 9902 U . B i g l e r . Ueber Cassini'sche Curven E . O e k i n g h a u s . Die L e m n i s k a t e C. M. J e s s o p . A property of bicircular quartics A C a y l e y . On the binodal quartic and the graphical representation of the elliptic functions K . B o b e k . U e b e r die Steiner'schen Mittelpunktscurven. I, II, I I I . F . B a l i t r a n d . N o t e de géométrie f E . L e m o i n e . L e t t r e au sujet de l'hypocycloïde à trois rebroussements H e a l . T h e bitangential of the quintic P . d e l P e z z o . Equazione di ana curva piana del quinto ordine dotata di cinque cuspidi P . B o u r g a r e l . Question 128. Solution

8eite

719 719 721 721 722 722 723 724 724 724 725

725 726 727 727 727 728 729 729 729 730 730 730 730 732 733 733 734 735 735 735 736 736 736 737 738 738 739 740 740 740 741 741

Inhaltsverzeichnis.

XLIII Seite

P . 6 . l ' a i t . GliB8ettes of an ellipse and of a hyperbola H i m s t e d t . U e b e r Parabeln höherer Ordnung M. d ' O c a g n e . S u r les isométriques d'une droite par rapport à un système de droites concourantes . A . M u k h o p â d h y â y , N. S a r k a r , B . C h a k r a v a r t i , J . M c M a h o n . Solution of questions 8345, 8906, 9 1 2 1 + S . R . A . L e u c h . Erzeugung und Untersuchung einiger ebenen Curven H. E k a m a . De lijnen beschreven door pnnten van kegelsneden etc. C a p i t e l 3. A.

742 742 743 743 743 743

Analytische Geometrie des Raumes.

Allgemeine Theorie

der

Flächen

und

Raumcurven.

C. F . G a u s s . Allgemeine Flächentheorie. Hrsg. von A. W a n g e r i n G. D a r b o u x . L e ç o n s sur la théorie géuérale des surfaces. I I . . G K o e n i g s . Extension du problème d'Euler sur l'équation 0 und + 1

liegt,

in

mym~* {x—y),

welchem

sind,

so

ist

ausser wenn m zwischen

Falle mxm(x

— y) < xm — ym

ist (vgl. F. d. M. X X . 1888. 255).

Von diesem

Satze wird im ganzen Buche ein ausgiebiger Gebrauch gemacht. Die Behandlung der Maxima und Minima ist vortrefflich. einem Capitel über die Grenzen, bestimmung

welches

klar

und reich an erläuternden Beispielen

die Betrachtung

der unendlichen

Nach

in der Begriffsist,

beginnt

Reihen und Producte.

Das

X X V I . Capitel enthält nach unserem Wissen die erste wirklich befriedigende Erörterung vieler Fragen, wie z. B. der Stetigkeit, der Convergenz in gleichem Grade u. dergl. m., welche be^ den Reihen auftreten, in einem englischen Lehrbuche.

Zweifelsohne

erfordert das Capitel ein anstrengendes Stück Arbeit; aber der Leser, welcher es bewältigt, wird seine Mühe in dem schnellen Fortschritt der späteren Studien belohnt

finden.

In den Capiteln

X X V I I und X X V I I I werden die Binomial- und die Polynomialreihe für einen beliebigen reellen Exponenten behandelt, ferner die Exponentialreihe und die logarithmische Reihe, und im Verlaufe des Vortrags werden Anwendungen auf die Reihensummation gemacht,

auf die Besprechung der Bernoulli'schen Zahlen,

auf die Berechnung der Logarithmen gleichheiten

und Grenzen.

und auf Sätze über Un-

Die Capitel X X I X

von sehr grossem Interesse und Werte.

und X X X

sind

Gemäss der Vorrede

können dieselben als eine elementare Erläuterung der Anwendung der jetzigen Functionenlehre angesehen werden. sicht des Verfassers

sollen sie für das Studium

Nach der Abder neueren

Werke der Mathematiker des Festlandes über denselben Gegenstand den Weg bahnen.

Daneben enthalten sie alles,

englischen Werken

dem Titel der analytischen Trigono-

unter

metrie gegeben wird. ist

besonders

was in

Die diesen Capiteln eigene Vollständigkeit

anzumerken.

Die Behandlung der Entwickelung

der Functionen in unendliche Reihen und Producte ist sehr lehrreich.

Der

elementare Beweis

für Stirling's Theorem

[das in

Capitel 1.

Gleichungen.

75

der Form gegeben wird: n ! = (n/e)» + ^ n + d\, wenn n eine grosse Zahl ist, und — ^n2 < 6 < 1)] ist beachtenswert, und die Erörterung der Umkehrung der Reihen und der Entwickelung einer algebraischen Function in eine Potenzreihe am Schlüsse des XXX. Capitels verdient besondere Erwähnung. Im XXXI. Capitel wird die Methode der endlichen Differenzen in elementarer Art auf die Reihensummirung angewandt, und auch recurrirende Reihen kommen zur Behandlung. Die Capitel XXXII, XXXIII, XXXIV erledigen auf ungefähr hundert Seiten die Kettenbrüche. Die allgemeinen Eigenschaften ganzer Zahlen werden im XXXV. Capitel dargestellt, damit der Leser einen Ueberblick der elementaren Beweisarten erhalte, die bei der Herleitung der Sätze Uber ganze Zahlen benutzt werden, und damit er diese Methoden an den Beweisen einiger der elementaren Sätze erläutert finde, welche in einem gewöhnlichen Gange des Studiums der Mathematik vermutlich vorkommen. Das nächste Capitel, das letzte in dem Buche, ist der Wahrscheinlichkeit oder der Theorie der mittleren Werte gewidmet. Die Darlegung der ersten Principien dieser Theorie ist klar und sorgfältig. Das folgende Citat aus Seite 576 verdient eine Stelle in diesem Berichte: „Aller Stoff von streitigem Charakter oder zweifelhaftem Nutzen ist ausgeschlossen worden. Unter diesen Titel fällt nach unserer Ansicht die Theorie einer apriorischen oder inversen Wahrscheinlichkeit, ferner die Anwendungen auf die Theorie der Evidenz. Das mildeste Urteil, das wir fällen könnten, würde in den folgenden Worten De Morgan's selbst enthalten sein, der nach allem „gezweifelt" zu haben scheint: Meine eigene Ansicht, die hieraus (eine Stelle in der Theorie der Fehlerausgleichung) und aus vielen anderen mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verbundenen Umständen ihre Bildung herleitet, geht dahin, dass die mathematischen Ergebnisse über ihre Deutung hinausgegangen sind". Jedes Capitel des Buches ist mit zahlreichen Beispielen versehen, und in dieser Hinsicht könnten die Verfasser von Lehrbüchern auf dem Festlande dem Beispiele der Engländer wohl folgen. Interessante geschichtliche Notizen beleben die Darstellung, häufige Ver-

76

II. Abschnitt.

Algebra.

Weisungen auf Quellen weiterer Belehrung werden gegeben, und die Leistung des Druckers und Verlegers ist ausgezeichnet. Englische und wie wir hinzufügen möchten, festländische Studirende schulden Hrn. Chrystal für dieses Lehrbuch der Algebra vielen Dank. Gbs. (Lp.)

S.

H.

and S. R.

HALL

KNIGHT.

Key to higher algebra.

London. Macmillan and Co. CH.

Solutions of the examples in a treatise on

SMITH.

algebr a.

London.

Macmillan and Co.

Sehr brauchbare Ergänzungen zu den bezüglichen Lehrbüchern (vgl. F. d. M. XIX. 1887. 61). Für Lehrer mit beschränkter Zeit und für Lernende, welche ohne die Unterstützung eines Beaufsichtigenden arbeiten, werden sie sich als wertvoll erweisen. Gbs. (Lp.)

Cours de mathématiques. Tome IV. Algèbre supérieure, partie 2: Etude des imaginaires. Théorie générale des équations. 2 e éd.

CH. DE COMBEROUSSE.

Paris. Gauthier-Villars et Pils. X X X I V + 831 S.

P.

Cours d'algèbre supérieure de l'université

MANSION.

de Gand.

J.

Gand. Ad. Hoste.

BERTRAND et velle édition.«

J. J.

VAN

H.

LAAR.

GARCET.

Traité d'algèbre.

Nou-

Paris. 392 S.

Leerboek

der

Algebra.

Deel II.

Leiden. 13 + 230 8.

CH.

BIEHLER.

séries.

Sur la théorie des équations et sur les

Paris. Gauthier-Villars et Fils.

Capitel 1. J.

TODHUNTER

77

Gleichungen.

Elementar-Algebra.

Polnische

Ueber-

s e t z u n g aus der 20. englischen Auflage mit Zusätzen yon

N.

W.

KWIETNIEWSKI.

Warschau. 800 S. 16°.

H . A B E L und E . G A L O I S . A b h a n d l u n g e n über die algebraische Auflösung der Gleichungen. Deutsch herausgegeben von H . M A S E R . Berlin. J. Springer.

Die betreffenden Aufsätze von Abel und von Galois liegen in deutscher Uebersetzung vor. Die „Anmerkungen zu der hinterlassenen Abhandlung von Abel" wurden aus der Sylow'schen Ausgabe der Gesamtwerke Abel's übernommen. No.

J. P. D O L B N I A . Ueber das Galois'sche Kriterium der Auflösbarkeit der Gleichungen. Kasan. Ges. VII. 223-240. Die Arbeit ist in Nouv. Ann. (3) VII. 467-485 veröffentlicht und in F. d. M. XX. 77 besprochen. Wi.

Ueber Gattungen, w e l c h e durch Composition aus zwei anderen Gattungen entstehen. J. für Math. c v \

K . HENSEL. 329-344.

Aus den Fundamentalsystemen zweier beliebigen Gattungen ©j und Gl wird ein solches für die aus ihnen componirte Gattung in dem Falle gebildet, dass die Ordnung der einen sich nicht reducirt, falls die andere dem Rationalitätsbereiche adjungirt wird, wenn also die Ordnung der componirten Gattung gleich dem Producte der Ordnungszahlen der sie erzeugenden Gattungen wird. Zu diesem Zwecke wird zunächst untersucht, wie oft ein beliebiger Primdivisor P des natürlichen Rationalitätsbereichs (9i, Di',...) in der Discriminante der Gattung ® enthalten ist; die Bestimmung gelingt mit Hülfe der Construction eines besonders einfachen „normalen" Fundamentalsystems für den Modul

II. Abschnitt.

78

Algebra.

P, und dabei ergeben sich noch andere interessante Sätze über die Gattungsdiscriminante. Sind dann weiter £ ]3 , . . . , £ l m ; ftii ^ist •••) ^i» Fundamentalsysteme für die Gattungen ©,, Gl der Ordnungen m, n, dann liefern die ^n.r] ] k (i = 1, . . . , m; k = 1, . . . , «) noch nicht ohne weiteres ein Fundamentalsystem der componirten Gattung (©,, GJ modulo P. Es muss in jenem Systeme von m . n Grössen noch eine Art von Reinigung durch Divisionen mit Potenzen von P vorgenommen werden. Ist dies geschehen, dann lässt sich mit Leichtigkeit die Potenz von P bestimmen, welche als wesentlicher Teiler in der Discriminante der componirten Gattung ( ® n Cr,) enthalten ist. No.

0.

Zurückftihrung einer beliebigen a l g e b r a i G l e i c h u n g auf eine Kette von G l e i c h u n g e n .

HÖLDER.

schen

Math. Ann. X X X I V . 2Ü-56.

Um die Einführung gewisser Einheitswurzeln bei der Auflösung von Gleichungen zu vermeiden, reducirt Herr Hölder die gegebene Gleichung auf eine Kette von Abel'schen Gleichungen derart, dass man die Wurzeln der Hülfsgieichungen in den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung rational ausdrücken kann, ohne dass die Einführung von Einheitswurzeln nötig wäre. Die Reduction der einzelnen erhaltenen Abel'schen Gleichungen vom Primzahlgrad auf reine Gleichungen ist dann jedesmal besonders auszuführen, nach vorhergegangener Adjunction einer Einheitswurzel. Die Darstellung zerfällt in einen gruppentheoretischen und einen algebraischen Teil. Im ersten wird die Zusammensetzung der Gruppen ausführlich behandelt. Dabei wird eine Gruppe eingeführt, welche dem Factor der Zusammensetzung entspricht; dasselbe ist wohl gleichzeitig von Herrn 0 . Bolza (American J. XI. 195; vgl. d. Ref. unter II. 3) geschehen. Im algebraischen Teile wird dann übersichtlich die Lösung der gestellten Aufgabe abgeleitet. No.

Capitel 1.

0.

Gleichungen.

79

HÖLDER. Ueber den Söderberg'sehen Beweis des Galois'schen Fundamentalsatzes. Math. Ann. x x x i v . 454-462.

Herr Hölder nimmt einen Einwurf, den er gegen den Söderberg'sehen Beweis gerichtet hatte, zurück und vervollständigt dabei den Lagrange'schen Beweis von der rationalen Darstellung einer Function durch eine andere. No.

F.

BRIOSCHI.

briques.

Sur la transformation des équations algéLond. M. S. Proc. X X . 127-131.

Bedeutet f(x) = 0 eine Gleichung ntea G r a d e s , xr eine beliebige ihrer Wurzeln und ist f(x) = (x—xr) . (x) darstellen lässt. Diese Darstellung wird für die Invarianten und gewisse Covarianten einer beliebigen Function f(x) vom fünften Grade wirklich ausgeführt, und die sich ergebenden Formeln werden dazu benutzt, um die Gleichung f(x) = 0 in eine andere zu transformiren, in welcher der Coefficient des zweiten Gliedes Null und die andern Coefficieuten ganze Functionen der Invarianten von f(x) sind. F.

FR. MEYER.

Zur Auflösung der Gleichungen.

Math. Ann.

XXXIII. 511-524.

Um eine gegebene algebraische Gleichung f(z) = 0 aufzulösen, sucht der Verfasser eine Keihe von Grössen ß n R 2 , . . . , fiA, so zu bestimmen, dass j e d e s Glied rational von dem vorhergehenden und den Coefficienten der Gleichung abhängt, und dass limi?* eine Wurzel ist. ß , wird gleich einer willkürlichen complexen Zahl x gewählt und Ä2 als rationale Function von x und den Coefficienten der Gleichung so bestimmt, dass |/"(Äj)| einer beliebig vorgeschriebenen («tCD) Potenz von |/"(a;)| propor-

80

I I . Abschnitt.

tional sei.

Algebra.

Diese letztere Forderung führt zu einer gewissen

Form der Function Ä „ welche nahezu mit der von Herrn Runge für denselben Zweck in seiner Arbeit „Entwickelung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Summen von rationalen Functionen der Coefficienten", Acta Math. VI, aufgestellten Function

Rx

übereinstimmt.

Z ? 3 , fi4, . . .

Die

aufeinander

folgenden

Glieder

der obigen Reihe erhält man nun, indem man ent-

weder die durch das Zeichen fi2 angedeutete rationale Operation fortgesetzt iterirt, oder auch, indem man die vorher erwähnte Zahl n unbegrenzt wachsen lässt.

Je nach der Wahl des An-

fangsweites x stellt der Grenzwert der Reihe die verschiedenen Wurzeln der Gleichung dar.

Es findet sich aber keine Bestim-

mung darüber, wie aus den Coefficienten der Gleichung der Bezirk zu bestimmen ist, innerhalb dessen man x zu wählen hat, um eine bestimmte Wurzel zu erhalten.

ß. IGEL.

F.

U e b e r die associirten Formen und deren A n -

wendung in der Theorie der Gleichungen.

WieD. c. Ge-

rold's Sohn.

Den Zweck der Arbeit sucht der Verfasser mit folgenden Worten darzulegen:

„Die Substitutionentheorie giebt nicht nur

die Auflösungen der Gleichungen bis inclusive 4ten Grades in eleganter Form, sondern gewährt auch einen tiefen Einblick in das Wesen derselben und, was noch wichtiger ist, führt auf den Gedanken, dass die Gleichungen höheren Grades auf diese Weise nicht zu lösen sind.

Womöglich noch eleganter sind die inva-

riantentheoretischen Lösungen der Gleichungen, wie sie zuerst von Cayley gegeben worden; sie gewähren ebenfalls einen tiefen Blick in die Natur derselben, allein sie lassen nicht im mindesten ahnen, dass die Gleichungen höheren Grades auf diese Weise nicht zu lösen sind. Lösungen

Diese Lücke auszufüllen, d. h. die

der Gleichungen invariantentheoretisch

so zu geben,

dass sich dann nachweisen lässt, dass sie bei Gleichungen höheren Grades nicht möglich sind, hat sich der Verfasser zur Aufgabe gestellt".

Oapitel 1.

81

Gleichungen.

Bildet man die Resultante von fr und (if2 + Xfr, wo fr, fr, fr binäre Formen

von

der nämlichen geraden Ordnung sind, und

setzt dann fi = fr und X =

— f r , so entsteht ein Ausdruck, wel-

cher gleich ist dem Producte von fr in eine Simultancovariante tp der drei Formen /",,

fr,

fr.

als Determinante dargestellt. entwickelt Formen.

der Verfasser

Die Simultancovariante tp wird

Im Anschluss an diese Bemerkung

die

bekannte Theorie der associirten

Aus einer sich hierbei ergebenden allgemeineren Iden-

tität folgen durch Specialisirung diejenigen Identitäten, auf welchen

die

bekannten

invariantentheoretischen

Gleichungen bis zum 4 ten Grade beruhen. der Verfasser

die Möglichkeit

einer

Auflösungen

Uebrigens

der

hat wohl

l i n e a r e n Darstellung

Sinne, wenn er von r a t i o n a l e r Ausdriickbarkeit spricht.

im An-

derenfalls wäre es unverständlich, wenn auf S. 16 der Satz aufgestellt wird:

„Die a t c Potenz der Functionaldeterminante lässt

sich rational durch die niederen Potenzen derselben ausdrücken", und wenn darauf noch der zweite Satz bewiesen und besonders hervorgehoben wird, „dass irgend eine beliebige Potenz der Functionaldeterminante

sich

durch diese selbst rational

lässt".

ausdrücken

_

Ht.

F. v. D A L W I G K . Ueber einen Beweis des Fuudameutalsatzes der Algebra. Schlömilch z. x x x i v . 185-188. Der Beweis knüpft an den des Herrn Hocks an X V . 1883. 44),

( F . d. M.

zeigt seine Fehlerhaftigkeit und verbessert ihn. No.

F. y. D A L W I G K . Ueber den Gordan'schen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Math. Ann. x x x i v . 158-160. Der Herr Verfasser hat in dem Gordan'schen Beweise (vgl. F . d. M. V I I I . 1876. 4 5 ) ein Versehen entdeckt und berichtigt es. Ref. glaubt,

dass dieses

verbessert werden können, Herrn

Kerschensteiner

„Versehen"

mit fünf Worten

(Invariantentheorie

I.

166)

nicht vorkommt. Fortschr. d. Math. XXI. 1.

hätte

und dass es in der Darstellung des überhaupt No.

6

82

It. Abschnitt.

0 . A. L A I S A N T .

Algebra.

Sur le t h é o r è m e d e d'Alembert.

J. de Math.

spéc. (3) III. 77-83. MANGEOT.

Démonstration

du

t h é o r è m e de d'Alembert.

J. de Math. spéc. (3) III. 121-124, 162-163.

Zwei durchsichtige Darstellungen des Beweises für das Fundamentaltheorem der Algebra; beliebige complexe Coefficienten der vorgelegten Gleichung. In Betreff des Beweises von Hrn. Laisant, der schon in S. M. F. Bull. XV gegeben war, vergl. man die Notiz F. d. M. X I X . 1887. 70. Herr Mangeot verweist ausserdem in einem späteren Briefe auf einen dem seinigen ganz ähnlichen Beweis von Mourey in Liouville J . IV u. V (1839 - 40). Sn. E.

PICARD.

Sur

le

nombre

des

plusieurs équations simultanées.

racines

communes

à

Nouv. Ann. (3) VIII. 5-13.

Sind ft(x, y) = 0, f3(x, y) = 0 nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung continuirliche Functionen von x, y\ setzt man

dann giebt Integral

das

über

J

eine

= ^

geschlossene

f

Curve

C

erstreckte

(Pdx+Qdy)

den Ueberschuss der Zahl der Wurzeln innerhalb C, für welche die Functionaldeterminante positiv ist, über die Zahl der Wurzeln, für welche sie negativ ist. F ü r mehrere Variabein gelten entsprechende Sätze. No. J.

F.

MCCULLOCH.

Extension

of R o l l e ' s

theorem.

Annals of Math. V. 5-8. (1888.)

Folgender Satz wird bewiesen: Die linke Seite einer algebraischen Gleichung f(x) = 0 vom « ten G r a d e sei nach fallenden

Capitel 1.

Potenzen

von x geordnet.

Gleichungen.

Multiplicirt man die

der Gleichung der Reihe nach mit n + 1 Gliedern

83 n -f-1 Glieder

aufeinander folgenden

einer arithmetischen Reihe [o, a - f d ,

a-\-nd~\, so

erhält man eine neue Gleichung, welche die Eigenschaft besitzt, dass

zwischen

zwei

benachbarten positiven oder zwei benach-

barten negativen Wurzeln

der gegebenen Gleichung eine unge-

rade, zwischen der grössten negativen und der kleinsten positiven Wurzel aber eine gerade Anzahl reeller Wurzeln der abgeleiteten Gleichung liegt. Setzt man speciell a — n,

d =

—1,

so reducirt

sich

die

linke Seite der letzteren, abgesehen vom Factor x, auf den Differentialquotienten von f(x),

und man erhält den Rolle'schen Satz.

Leitet man aus der Function f(x) 1 eine

d =

neue

auf

die

unter der Annahme a =

angegebene

Art

ab,

aus

der

0, er-

haltenen in derselben Weise eine zweite u. s. w., so können die n entstehenden Functionen die Stelle der n aufeinander folgenden Differentialquotienten

im Fourier'schen (Budan'schen) Satz

treten.

ver-

F.

P . MANSION. racines

Sur l ' e x t e n s i o n

imaginaires

du t h é o r è m e

de R o l l e aux

des équations algébriques.

Brüx.

S. sc. X I I I , A . 42-45.

Beweis

des

folgenden,

stammenden Satzes: in zwei Gebiete,

„Teilt

von

denen

wahrscheinlich von Hrn. F . Lucas man

die Ebene durch eine Gerade

das eine alle Wurzelpunkte einer

algebraischen Gleichung enthält,

so enthält dieses selbe Gebiet

auch alle Wurzelpunkte der Ableitungsgleichung". verfahren besteht darin, linken

Seite

der

dass die logarithmische Ableitung der

gegebenen Gleichung

geometrisch

wird.

C. SCHMIDT.

Das Beweisdargestellt

Mn. ( L p . )

Ueber

die

linearer Gleichungen.

Auflösbarkeit Schlömilch

eines

z. xxxiv.

Systems

189-190.

Herr Schmidt giebt ein einfaches Beispiel an,

in welchem

aus der Lösbarkeit eines Systems linearer Gleichungen in einem 6*

84

II. Abschnitt.

Algebra.

speciellen Falle der Coefficientenwerte nicht auf diejenige im allgemeinen Falle geschlossen werden kann. Es wird dadurch ein vom Ref. F. d. M. XVIII. 1886. 105 begangener Irrtum berichtigt. No. G. Russo. Radici eguali delle equazioni del 2U, 3° e 4" grado. Napoli. Tip. A. Trani. 11 S.

M.

AZZARELLI. Nota sul caao zione del 3° grado. Rom Acc.

irreducibile

dell' equa-

Pont. d. N. L. XL. 67-83. (1887.)

Im Falle dass die drei Wurzeln der kubischen Gleichung x3-\-px-{-

q =

0

reell sind, lassen sie sich bekanntlich ohne Zuhlilfenahme von unendlichen Reihen oder trigonometrischen Functionen im allgemeinen nicht in reeller Form darstellen. Der Verfasser legt sich die Frage vor, ob es specielle Gleichungen giebt, welche die Darstellung in reeller, algebraischer Form gestatten. Er findet o3 p3 als solche zunächst die durch die Bedingung ~ == charakterisirten, scheint aber nicht zu bemerken, dass diese wegen ihrer Reductibilität kein besonderes Interesse bieten. Sodann zeigt er, dass für alle gesuchten Gleichungen p und q sich als bestimmte Functionen zweier reellen Parameter ausdrücken lassen, giebt aber weder ein Kriterium zur Entscheidung darüber, ob bei vorgelegten Werten p, q diese Darstellung möglich sei, noch untersucht er, ob unter den, sämtlichen Werten der Parameter entsprechenden Gleichungen sich überhaupt irreductible befinden. Die aufgestellten Entwickelungen werden nunmehr auf diejenige kubische Gleichung angewandt, von welcher die Dreiteilung des Winkels abhängt. Zum Schluss behandelt der Verfasser analog dem Früheren die Frage, deren Untersuchung einen Sinn wohl kaum haben dürfte, wann sich die Kubikwurzel aus einem Binom reeller Zahlen wieder als Binom reeller Zahlen darstellen lässt. F.

Capitel 1. J.

Gleichungen.

85

Processo gérai de Clairaut para achar o valor approximado inecial das raizes da equaçào do 3" grào, no caso irreductivel. Instituto de C.

MEDEIROS.

Coimbra. X X X V I .

Der Verf. zeigt, dass in dem Falle des Casus irreducibilis eine der Wurzeln der Gleichung x3—px—q = 0 (p > 0, q > 0) zwischen den Zahlen: 1 / 1 + 3 m . 1 / p u n d | jr + ] / l + 3 m - 3

( y =

-

l)'j ]/p

liegt, wo m = — ~ r ist; ferner dass die Differenz zwischen PVP diesen beiden Werten kleiner als 0,001856 • •. Yï> i st Tx. (Lp.) Sur la résolution de l'équation du troisième

MANGEOT.

degré,

j . de Math. spéc. (3) III. 217-218.

Zur Auflösung dient die Substitution x = az +i ß—, ¡5 wobei a und ß die Wurzeln einer quadratischen Gleichung darstellen. Sn. R.

E.

ALLARDICE.

equations.

Notes

on

the

Solution

of

certain

Edinb. Proc. XVII. 139-142.

Die betrachteten Gleichungen sind vom dritten und vierten Grade mit einer Unbekannten, oder Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Der Zweck ist die Hervorhebung des Vorteils, mehr, als dies gewöhnlich geschieht, von der Discriminante bei der Auflösung der Gleichungen Gebrauch zu machen, und die Betonung der Wichtigkeit, nach geometrischen Erläuterungen analytischer Methoden Umschau zu halten, wenn dies möglich ist. Cly. (Lp.)

86

II. Abschnitt.

F . HANÜS.

Algebra.

Z u r G l e i c h u n g vierten G r a d e s .

Casop. xviii.

32. (Böhmisch.)

Enthält eine neue einfache Ableitung der Resolvente Ferrari's. Std.

D. SELIVANOFF.

Ueber die G l e i c h u n g e n fünften

mit g a n z e n Coefficienten.

Die Arbeit ist dazu bestimmt, Methoden chungen

der Theorie

Grades

St. Petersburg. (Rassisch.) die allgemeinen Sätze und

der algebraischen Auflösung der Glei-

ausführlich auf die Gleichungen fünften Grades anzu-

wenden.

Demzufolge ist sie in vier Capitel geteilt.

Das erste Capitel handelt von der Irreductibilität.

Die all-

gemeinen Methoden zur Auffindung der Teiler der ganzen Functionen mit Hülfe der Functionalcongruenzen werden hier auf die Gleichungen fünften Grades angewandt. Form x

5

= 0 berücksichtigt,

u x v

Es wird besonders die und es werden folgende

Resultate erhalten: 1) Die Function ¿cs^-x — v ist reductibel nur für p = 1, 2, 6, 34,

246, 1028, 3130,

2 ) Die Function x*—x—v

wenn 0 < v < 7770.

ist absolut irreductibel für alle gan-

zen und positiven Werte von v unterhalb 7770, mit Ausnahme von e = 15, 30, 240, 1020, 3120. Im

zweiten

grösstenteils Ausdrücke, nten

Capitel untersucht

Abel folgt,

welche die Wurzeln

Grades darstellen können.

weise des Theorems,

der

Verfasser,

die Eigenschaften

der

indem

er

algebraischen

einer irreductiblen Gleichung Das Capitel endet mit dem Be-

dass die Irrationalitäten,

welche in den

algebraischen Ausdrücken der Wurzeln einer irreductiblen Gleichung vorkommen,

ganze Functionen der Wurzeln dieser Glei-

chung und von Wurzeln aus der Einheit sind.

Auf die Gleichung

fünften Grades angewandt,

führt dieser Satz also

suchung

der Functionen der Wurzeln

der Eigenschaften

Gleichung fünften Grades.

zur Untereiner

Diese Untersuchung bildet den Ge-

genstand des dritten Capitels,

wo nach einander die Methoden

zur Berechnung der symmetrischen, der alternirenden Functionen und der Discriminante gezeigt werden.

Auch

die allgemeinen

Capitel 1.

Gleichungen.

87

Lehrsätze der Theorie der Substitutionsgruppen und ähnlicher Functionen werden hier bewiesen. Dann folgt die Erklärung des Begriffs der Gruppe einer Gleichung und der Nachweis, dass für eine irreductible Gleichung die Gruppe transitiv sein muss. Das Studium der transitiven Gruppen fuhrt zur Einführung der cyklischen, halbmetacyklischen und der metacyklischen Gruppen und der entsprechenden Gattungen der Functionen von fünf Buchstaben. Am Ende des Capitels zeigt der Verfasser, wie man durch eine endliche Anzahl von Operationen die Gruppe einer Gleichung bestimmen kann. Im vierten und letzten Capitel wird die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen fünften Grades behandelt. Nach einigen Bemerkungen über die Abel'schen Gleichungen fünften Grades wird gezeigt, dass die Lösung der Frage, ob eine Gleichung fünften Grades mit ganzen Coefficienten auflösbar ist, auf die Frage zurückkommt, ob eine gewisse Gleichung sechsten Grades (Resolvente von Lagrange) eine ganze Wurzel hat. Der Bildung der Coefficienten dieser Resolvente mit Hülfe der Jacobi'schen metacyklischen Function sind die vorletzten Paragraphen der Arbeit gewidmet. Am Ende giebt der Verfasser die Runge'sche Form der Resolvente für die Gleichung a;6-f- uz + e = O und unter Erweiterung eines Resultates, welches von Hrn. Runge (Acta Math. VII. 173-186) gefunden ist, das Theorem: „Die Gleichung x*+x —» = 0 ist bei ganzen Werten von v unauflösbar, wenn sie irreductibel ist". Daraus folgt mit Bezug auf die früher gefundenen Resultate, dass, wenn v eine ganze positive Zahl unterhalb 7770 ist, die Gleichung xi-\-x — v = 0 auflösbar ist, nur wenn v = 1, 2, 6, 34, 246, 1028, 3130, und die Gleichung xB—x-v = 0, nur wenn t> = 15, 30, 240, 1020, 3120. Wi. C.

FAERBER. Herleitung von Kriterien für die Anzahl reeller Wurzeln von Gleichungen (speciell der allgemeinen viergliedrigen und der Gleichungen v o m fünften Grade) aus der Beschaffenheit ihrer Discriminantenmannigfaltigkeit. Dias. Berlin. 62 S. u. 1 Taf. 8«.

88

II. Abschnitt.

Algebn

Sind die Coefficienten einer Gleichung eindeutige reelle Functionen der i Grössen x¡, ..., x¡, so entspricht jedem Punkte der ¿-fachen Mannigfaltigkeit (x„ . . . , ¡r¡) eine bestimmte Gleichung, und umgekehrt. Die Gesamtheit derjenigen Stellen, denen Gleichungen mit einer bestimmten Anzahl reeller Wurzeln entsprechen, bilden continuirlich zusammenhängende ¿-fach ausgedehnte Gebiete, deren Grenzen durch die DiscriminantenMannigfaltigkeit D — 0 geliefert werden. Hierin stecken also die Kriterien für die Realität von Wurzeln der Gleichung. Will man sich dieses Kronecker'schen Verfahrens (ßerl. Ber. 1878, 14. Febr.) bedienen, so hat man 1. die Singularitäten der D-Mannigfaltigkeit durch algebraische Gleichungen zu bestimmen; 2. diejenigen (¿—l)-fachen Mannigfaltigkeiten zu suchen, welche aus einem singulären Gebilde keine andere reelle Mannigfaltigkeit als eine bestimmte singuläre von einer um 1 geringeren Dimension herausschneiden; 3. zu prüfen, ob derartige Mannigfaltigkeiten ¿-fach ausgedehnte, continuirliche Gebiete in continuirliche Teile zerlegen. Diese Aufgaben sind f ü r die allgemeinen viergliedrigen, die Gleichungen vom fünften und die Kronecker'sche Resolvente derselben vom 12 ten Grade gelöst. Hierbei liefert die Discussion weit einfachere Resultate als der Sturm'sche Satz. So fordert dieser bei den Gleichungen fünften Grades vier Functionen zur Trennung der Gebiete, hier reicht man schon mit drei Functionen aus. No.

J.

Zur Auflösung der dreigliedrigen irraGleichungen mit beliebigen Badicanden.

DIEKMANN.

tionalen

Pr. (Nr. 473) Real-Progymn. Viersen. 25 S. 4°.

Die Arbeit beschäftigt sich mit Gleichungen von der Form m m ]/R(x) + ]/Rjx) = A, wo A eine beliebig gegebene Zahl, m eine der Zahlen 2, 3, 4, 5 und R(x), ß j ( x ) rationale Functionen von x bedeuten. Eine derartige Gleichung wird rational gemacht, indem f ü r die vorkommenden Wurzeln neue Unbekannte eingeführt und diese aus

Capitel 1.

Gleichungen.

89

den so entstehenden rationalen Gleichungen unter Verwendung der Sylvester'schen Methode wieder eliminirt werden. Im Hinblick auf den Schulunterricht hat der Verfasser diejenigen Fälle besonders hervorgehoben, in welchen die resultirende rationale Gleichung von nicht höherem Grade als dem zweiten ist. Um erkennen zu lassen, welcher Zweig der algebraischen Function m

m

für eine bestimmte Wurzel der rationalen Gleichung verschwindet, in

m

werden „die Irrationalitäten V ^ / * ) d u r c h die Radi" canden und Coefficienten der Gleichung in einfacher Form rational ausgedrückt". Zur Fernhaltung von Missverständnissen wäre wohl die Bemerkung nicht überflüssig gewesen, dass eine solche Darstellung keine identische ist, sondern eben nur für die Wurzeln der rationalen Gleichung gilt. F.

Lord M C L A R E N . O N the solution of the three - term numerical equation of the ( « — l ) t h degree. Edinb. Proc. XVII. 270-280.

Der Process ist ein numerischer und beruht auf dem Gebrauche der Gauss'schen Logarithmen. Der Verf. bezieht sich am Schlüsse auf einen Aufsatz in Zeuthen's Tidsskrift (Kjeldgaard, Zeuthen T. (4) IV. 135-137, F. d. M. XII. 1880. 76), in welchem Gauss'sche Logarithmen für die Lösung der Gleichung xn-\-px + 9 = 0 benutzt werden. Cly. (Lp.)

A.

PELLET. Sur la résolution trigonométrique de certaines équations. Ass. Franç. XVIII. 164-165.

Die betreffende Gattung von Gleichungen wird erhalten, indem man y aus den Gleichungen ( a , i ' - a 1 ) y » - ( a 1 i - o 1 ) = 0, eliminirt, wo X und l '

die Wurzeln einer quadratischen Glei-

90

II. Abschnitt.

Algebra.

chung mit beliebigen Zahlencoefficienten bedeuten. Für Gleichungen dritten Grades erhält man die gewohnte Formel. Sn. G. LEINEKUGEL. mission.

Ecole N o r m a l e (1888).

Concours d'ad-

J . de Math. spec. (3) III. 111-113.

Ein Polynom nten Grades befriedigt die identische Gleichung: HfO) = (x-a)f'(x) + bf"(x). 1) Die Coefficienten von f(x) zu finden, geordnet nach Potenzen von (x—a). 2) Die Bedingungen für die Realität der Wurzeln von f(x) = 0 zu finden. 3) Zu zeigen, dass, wenn b0 der absolute Wert von b ist, die Wurzeln von f(x) = 0 zwischen a — l ) i > 0 und l)fe0 liegen. Lp.

G.

VIVANTI.

Batt. G. xxvil.

Un problema d'algebra.

229-232.

Ein von Herrn Cayley (vgl. F. d. M. XVII. 1885. 77) gestelltes Problem wird dahin erweitert, dass n Grössen gefunden werden sollen, die (abgesehen von der Reihenfolge) den p ten Potenzen dieser Grössen gleich sind. Die Lösung wird auf einfache Principien aufgebaut, aus denen die Natur dieser Grössen als Einheitswurzeln klar hervorgeht. No. CH. DE COMBEROUSSE.

Sur

les

équations

réciproques.

Nouv. Ann. (3) VIII. 27-33.

Es werden reciproke Gleichungen „zweiter Gattung", d. h. solche behandelt, bei denen jeder Wurzel z eine andere — — entspricht. Allgemeinere Definitionen und Resultate sind z längst in deutsche Lehrbücher übergegangen. No.

J . W A T T BUTTERS.

of—

1

On

the

solution

= 0 (p b e i n g a p r i m e n u m b e r ) .

VII. 10-22.

of

the

equation

Edinb. M. S. Proc.

Capitel 1. Gleichungen.

91

Eine Darstellung der Gauss'schen Behandlung dieser Gleichung. Gbs. CH.

BIEHLER.

problème

de

Sur les équations auxquelles conduit le la division des arcs en trigonométrie.

Nonv. Ann. (3) VIII. 552-563.

Es wird rein analytisch bewiesen, dass die vier Gleichungen, von denen cos — , s i n — abhängen, wenn Cosa oder sin a gern tn geben ist, reelle Wurzeln besitzen. Dazu wird der Satz benutzt, dass Vm ---- (x + l ^ T T ) " ' + O = 0 nur reelle, zwischen + 1 und —1 liegende Wurzeln hat, wie dies aus der Betrachtung der Sturm'schen Reihe Vm, F m _i, . . . , F0 folgt.

Die Gleichung, welche cos-^- = :r und cos a = A mit

einander verbindet, lautet Vm— 2 A = ®(x) = 0. Es ist also y)

•• •

wird, als Function der Wurzeln o,, o a , . . . , a n ausgedrückt, wie folgt: — n'(n—1)£T

= a\2(

a

-a

1

) \ x - a i y ) \ x - a i y ) ' ...

(x-a«y)\

Ht. F . GERBALDI.

binaria.

Un

teorema sull' Hessiana d'una forma

Palermo Bend. III. 22-26.

Wenn alle Nullstellen einer binären Form reell und von einander verschieden sind, so hat die Hesse'sche Covariante derselben lauter imaginäre Nullstellen und wird für alle reellen Werte der Veränderlichen negativ. Wenn andererseits die Hesse'sche Covariante lauter imaginäre Nullstellen besitzt und nur positive Werte annimmt, so besitzt auch die Grundform lauter imaginäre Nullstellen. Ht. P. H . SCHOUTE. Sur un théorème relatif à l'Hessienne d'une forme binaire. Palermo Bend. III. 160-164. Die Note enthält einen anderen Beweis des im vorigen Referate angegebenen Satzes. Ht.

E . MOLLO.

Sülle forme binarie.

Batt. G. x x v n . 327-333.

Der Verfasser berechnet mit Hülfe der symbolischen Methode die bekannten Ausdrücke für die Invarianten der binären quadratischen, kubischen und biquadratischen Form als Function der Wurzeln der entsprechenden Gleichung. Ht.

Frhr. v. GALL. Die Grundsyzyganten zweier simultanen biquadratischen binären Formen. Math. AM. XXXIV. 332-353.

Die Arbeit ist eine Fortsetzung derjenigen Arbeit, über welche F. d. M. XX. 1888. 129 referirt worden ist. Indem der

108

II. Abschnitt.

Algebra.

Verfasser unter den dort gefundenen Syzyganten die irreducibeln absondert, gelangt derselbe zu einer Tabelle, welche 169 irreducible Syzyganten für die Invarianten und Covarianten zweier simultanen biquadratischen binären Formen enthält, ohne dass der Nachweis der Vollständigkeit dieses Systems erbracht wird. Ht. E. STROH. Entwickelung der Grundsyzyganten der binären Form fünfter Ordnung, Math. Ann. x x x i v . 354-370. Ks wird gezeigt, dass diejenigen irreduciblen Syzyganten einer binären Form 5 ,er Ordnung, welche Hammond im American Journal VIII. 19 25 (F. d. M. XVII. 1885. 86) mitgeteilt hat, auch alle mittels der von Clebsch und Gordan begründeten symbolischen Methode erhalten werden können. Ht. E. STROH. Die fundamentalen Syzyganten der binären Form sechster Ordnung. Math. Ann. XXXIV. 306-318. Der Verfasser stellt auf einem in einer früheren Arbeit von ihm angegebenen Wege (vgl. F. d. M. XX. 1888. 120) eine Tabelle auf, welche 20 irreducible Syzyganten der binären Form gter Ordnung enthält. Jede weitere Syzygante kann durch lineare Combination jener 20 Syzyganten erhalten werden. Doch gehen die Coefficienten bei dieser linearen Darstellung erst dann in ganze rationale Invarianten und Covarianten der Form f über, wenn man mit einer genügend hohen Potenz von f multiplicirt. Ht. E. STROH.

Ueber das vollständige Combinantensystem

zweier binärer

Formen.

Math. Ann. XXXIV. 321-331.

Bedeuten q>, zwei binäre Formen mter Ordnung und setzt man nach Cayley -

rän-

x™X™

• ' y2m-2 0 y?-2». • . . ym-1 und da die Determinante rechter Hand eine Covariante von f darstellt, so ergiebt sich der Satz: Die Cayley'sche Form F kann durch Multiplication mit einer Potenz der Resultante von q>, ip in eine Covariante einer einzigen binären Form (2m— 2) t e r Ordnung übergeführt werden. Da aber alle Combinanten von cp, tp aus F abgeleitet werden können, so folgt, dass das volle Gombinantensystem zweier binären Formen (p, tp (bis auf einen Factor, der eine Invariante ist) mit dem vollen Formensystem einer einzigen binären Form f zusammenfällt. Der Verfasser behandelt dann im folgenden besondere Beispiele und Anwendungen des bewiesenen Theorems; so ergiebt sich eine allgemeine Darstellung der Resultante von g>, rp als Function der simultanen Invarianten von (qo, ( - y y d^dr) J- reducirt. 3) Wenn man irgend ein invariantes Gebilde der Grundformen transformirt, so sind die transformirten Coefficienten desselben in gewisser Weise gleich linearen Combinationen der Functionen q>. Mit Hülfe dieser Ueberlegungen gelangt schliesslich der Verfasser zu folgendem Resultate. Wenn für jedes von zwei Grundformensystemen geschlossene Bestände von einschichtigen invarianten Gebilden angebbar sind, durch welche sich alle solche Gebilde des betreffenden Systems in ganzer Weise darstellen lassen, so ist auch für das aus beiden Formensystemen zusammengesetzte System ein solcher Bestand angebbar. Beispielsweise wird der volle Bestand der invarianten Gebilde für zwei quadratische quaternäre Formen ermittelt. Ht.

ED.

WEYR.

Ueber die Theorie der bilinearen Formen.

Prag. Jubiläumsfond der k. b. Ges. d. Wiss. 1889. (Böhmisch.)

Das ganze Werk, in welchem die schon früher in verschiedenen

Zeitschriften über denselben Gegenstand

veröffent-

124

II. Abschnitt.

Algebra.

lichten Abhandlungen desselben Autors eingereiht und verarbeitet erscheinen, hat den Zweck, I. J a h r g a n g

wie

der Autor in dem daraus ent-

lehnten,

im

der „Monatshefte für Mathematik und

Physik"

publicirten Aufsatze selbst

angiebt,

„ein neues Hülfs-

mittel in die Theorie der bilinearen F o r m e n einzuführen, welches in gewissen,

einer Matrix

deren Betrachtung

die

zugeordneten Wertsystemen

Lösung

mancher

Probleme

besteht,

ermöglicht,

insbesondere des von Weierstrass gelösten Problems der gleichzeitigen Transformation zweier bilinearen F o r m e n . " Dasselbe zerfällt in 13 Capitel, die Theorie

der Matrix

nten

Grades

wird die simultane Transformation sowie

eine Reihe

von Sätzen

leitet; im 12. Capitel

wird

von

denen

behandeln;

von

die

ersten

im

11. Capitel

zwei bilinearen

10

Formen

über quadratische Formen abge-

hauptsächlich Sylvester's Satz

über

die Transformation einer beliebigen Function der Matrix in eine ganze Function behandelt,

während

im letzten Capitel die An-

wendung der typischen Matrix in der T h e o r i e der linearen Differentialgleichungen,

namentlich

in Bezug

auf

den

betreffenden

Satz von Fuchs, gezeigt wird.

E.

COSSERAT.

Sur

Std.

les f o r n i e s b i l i n e a i r e s .

Toulouse Ann.

III. M. 1-12.

Der Verfasser der

entwickelt

bilinearen Formen,

in

einfacher W e i s e

deren Hauptproblem

die

Theorie

bekanntlich darin

i,k besteht,

die bilineare Grundform P =

gonaler linearer Substitutionen und yt,

i

zu bringen. orthogonale

y2,

¿aikXiyk

der beiden yn

in

ortho-

die kanonische

Gestalt

Diese Aufgabe kommt d a r a u f zurück, zwei

Substitutionen

zu

bestimmen,

Formen überführen.

mittels

Veränderlichenreihen

welche

die

beiden

Summe von Quadraten Es

folgt

die

Theorie

der

besonderen

F o r m e n , welche durch die Annahme ait == 0, aik = charakterisirt sind.

bilinearen

— aki (k =

i)

Die Zurückführung dieser Formen a u f eine

Capitel 2.

Theorie der Formen.

125

einfache Gestalt hängt ab von der Lösung der Aufgabe, die Maxima und Minima von P zu finden, während die Veränderlichen ® n . . . , xn und j/j, y2, ..., y„ durch die Relationen = 1 und ¿ y > = 1 verknüpft sind. Die Rechnung wird f ü r den Fall n — 5 vollständig durchgeführt. Ht.

J . J. SYLVESTER.

Sur la reduction b i o r t h o g o n a l e D'une

forme lineo-lineaire ä sa forme canonique.

C. R. CVIII.

651 653.

Für die Coefficienten A,, l 2 , . . . , welche bei der Kanonisirung einer bilinearen Form auftreten (vgl. das vorige Referat), führt der Verfasser die Bezeichnung „multiplicateurs canoniques" ein. Es werden die multiplicateurs canoniques für die Form P = 8 s, y, +7a> a y, berechnet. Ht.

J . J. S Y L V E S T E R .

A

new proof that a g e n e r a l quadric

m a y be reduced to its canonical form (that is, a linear function

of squares) by

substitution.

means

of a real orthogonal

Mess. (2) XIX. 1-5.

Um die Betrachtung über die Realität der Wurzeln derjenigen Gleichung unnötig zu machen, von welcher die orthogonale Substitution abhängt, die den Uebergang zur kanonischen Form vermittelt, wendet der Verfasser infinitesimale orthogonale Substitutionen an, die er auf einander häuft. Durchgeführt wird der Beweis für zwei, drei und vier Variabeln; die weitere Ausdehnung geschieht durch den Schluss von n auf « + 1 . LPJ. J. S Y L V E S T E R .

On the reduction of a bilinear quantic

of the « t h order to the form of a s u m of « products b y a double orthogonal substitution.

Mess, (¿j XIX. 42-46.

Eine homogene „lineo-lineare" Function in zwei Systemen von Variabein x, y, ..., z; u, v, . . w enthält Glieder.

126

II. Abschnitt.

Àlgebra.

Zwei unabhängige orthogonale Substitutionen für die beiden Systeme führen zweimal 1) verfügbare Constanten ein, und durch eine passende Wahl derselben können ri1—n Glieder der transformirten Function zum Verschwinden gebracht werden, sodass eine Summe der Producte der neuen x, y, . . . , z mit den neuen u, v, ..tc übrig bleibt. Die angedeutete Transformation kann leicht durch eine Methode erzielt werden, welche derjenigen sehr ähnlich ist, nach welcher eine quadratische Form von n Variabein vermittelst einer orthogonalen Substitution auf ihre kanonische Gestalt gebracht wird; darauf kann a posteriori der Beweis geführt werden, dass die Substitutionen in diesem Falle, wie in dem anderen, reell ausfallen, wenn die ursprünglichen Coefficienten reell sind. Der Verf. hält es jedoch für lehrreicher und interessanter, diese Behauptung a priori zu beweisen, und zwar durch eine Methode, die derjenigen nachgebildet ist, über welche im vorangehenden Referate berichtet ist. Der leitende Gedanke in dieser Notiz, wie in der vorigen, liegt also darin, dass eine endliche orthogonale Substitution als das Product einer unendlichen Anzahl infinitesimaler Substitutionen angesehen werden kann. Lp.

A. V o s s . Ueber die conjngirte Transformation einer bilinearen Form in sich selbst. Münch. Ber. XIX. 175-211. Die Arbeit behandelt das Problem, eine bilineare Form S = 2aikXiyk der n Variabeinpaare x, y durch die beiden zu einander conjugirten linearen Substitutionen x

i —

Cim ism j y* = ^CnkTJn

in sich selbst zu transformiren. Was die angewandten Symbole und Bezeichnungen anbetrifft, so vergleiche man die Arbeit von Hrn. Frobenius: „Ueber bilineare Formen und lineare Substitutionen« Journ. für Math. LXXXIV (F. d. M. IX. 1877. 85). Bezeichnet man die zu jener Substitution gehörige bilineare Form 2cilcXiyk mit U, so erkennt man, dass die gestellte Aufgabe darauf hinausläuft, eine bilineare Form U zu finden, für welche

Capitel 2.

Theorie der Formen.

127

die symbolische Gleichung USM - S Wegen t/S3 = (US)S = SU~lS - SCU-^S) = S2U kommt die letztere Aufgabe wiederum auf die Ermittelung der mit S 2 vertauschbaren Formen hinaus (§ 1). Es wird nun der folgende Satz gezeigt: Wenn eine beliebige Form U mit S1 vertauschbar ist, so ist U auch mit S vertauschbar, falls die charakteristischen Functionen von S und — S teilerfremd sind. Setzt man E = 2x{yi, so folgt wegen US = SU die Gleichung ( Í P — E ) S = O, d. h. L/A = JE, und es handelt sich nun darum, alle Formen U zu finden, welche diesen Bedingungen genügen. Dieses Problem wird schrittweise gelöst: 1) wenn alle Nullstellen der charakteristischen Function von S von einander verschieden sind, 2) wenn zu jeder Nullstelle nur ein einziger Elementarteiler gehört, 3) wenn die charakteristische Function von S nur einfache Elementarteiler hat, und 4) im allgemeinsten Falle (§ 2). Ausser den eben bestimmten Substitutionen g*iebt es, sobald die charakteristischen Functionen von S und — S gemeinsame Teiler haben, noch andere, welche mit S a , nicht aber mit S vertauschbar sind. Diese Substitutionen werden in § 3 bestimmt. § 4 beschäftigt sich mit der für alle diese F r a g e n wichtigen und mit der Theorie der conjugirten Transformationen überhaupt in engem Zusammenhang stehenden symbolischen Gleichung SX+XS = 0, s wo die « Coefficienten der bilinearen Form X als die Unbekannten zu betrachten sind. In § 5 wird unter anderem der Satz bewiesen: Ist die Form S von nicht verschwindender Determinante einer alternirenden Form ähnlich, so sind auch die Lösungen der Gleichung SX + XS = 0, deren Determinante nicht verschwindet, einer alternirenden Form ähnlich. Der analoge Satz über symmetrische Formen lautet: Ist eine Form einer symmetrischen ähnlich, so ist sie das Product zweier symmetrischen Formen, von denen wenigstens eine eine nicht verschwindende Determinante hat. § 6 behandelt die besteht.

128

II. Abschnitt.

Algebra.

Frage, ob und unter welchen Bedingungen das Problem der conjugirten Transformation einer bilinearen Form in sich selbst auf rationale Operationen zurückgeführt werden kann. Ht. A. Voss.

Ueber

die

mit

einer bilinearen F o r m ver-

tauschbaren bilinearen Formen.

Münch. Ber. X I X . 283-300.

Wenn A — rB und Al — rBl zwei Scharen von bilinearen Formen von n Paaren Veränderlicher bezeichnen, deren Determinanten die nämlichen Elementarteiler besitzen, so giebt es nach Hrn. Weierstrass zwei Substitutionen P und Q von nicht verschwindender Determinante, vermöge welcher PAQ = A, und PBQ = ß, wird. Betreffs der Bedeutung dieser Bezeichnungen sehe man die Bemerkung im vorigen Referate. Die Aufgabe, aus zwei bestimmten Substitutionen P und Q alle übrigen Substitutionen von der nämlichen" Eigenschaft zu finden, kommt, wie der Verfasser zeigt, darauf zurück, alle Substitutionen aufzustellen, welche mit AB'1 vertauschbar sind, und deren Determinante nicht Null ist. Es wird nun der Satz bewiesen: Ist die Form A zerlegbar in Formen, deren charakteristische Functionen unter einander teilerfremd sind, so ist jede mit A vertauschbare Form P in gleicher Weise zerlegbar. Dabei heissen zwei Formen in gleicher Weise zerlegbar, wenn jedem Bestandteil der einen ein von den nämlichen Variabelnpaaren abhängiger Bestandteil der anderen entspricht. In Folge dieses Satzes kommt dann die obige Aufgabe darauf zurück, alle Substitutionen zu finden, welche mit einer Form N vertauschbar sind, wo N eine Form besonderer Art ist, nämlich eine solche, deren charakteristische Function nur eine einzige vielfache Wurzel besitzt. Die Lösungen dieser Aufgabe lassen sich unmittelbar angeben. Dabei ergiebt sich ein Beweis des von Hrn. Frobenius aufgestellten Satzes: Ist in der charakteristischen Determinante einer Form der grösste gemeinsame Teiler der Unterdeterminanten (n—A)ten Grades vom Grade »*, so ist «-f2(»j-)-n 2 -f •••) die Anzahl der linear unab-

Capitel 2. Theorie der Formen.

129

hängigen Formen, die mit der Form vertauschbar sind. Der vom Verfasser eingeschlagene Weg führt zugleich zur Aufstellung der charakteristischen Function der allgemeinsten mit einer gegebenen Form A vertauschbaren Formen. Diese charakteristische Function ist nämlich (e-r0>(e-r,>

...

(g—rtfk,

wo die r< völlig willkürliche Grössen und e 0 , e,, e a , . . . , ek die Exponenten der Elementarteiler der charakteristischen Function von A sind.

Ht.

A. Voss. Ueber einen Satz aus der Theorie der Determinanten. Münch. Ber. X I X . 329-339. In der vorliegenden Note wird ein von Hrn. Stickelberger aufgestellter Satz über die Determinante der Schar bilinearer Formen C = ScikXitft -- r2aikx,yk-}~ 2bikX(yk von neuem bewiesen (vgl. F. d. M. X. 1878. 77). Der Beweis gründet sich auf eine Identität zwischen Determinanten und gestattet zugleich, jenen Satz auch auf den Fall auszudehnen, wo die Coefficienten cik nicht mehr lineare Functionen des Parameters r, sondern überhaupt ganze rationale Functionen eines solchen oder analytische Functionen sind, welche in der Nähe einer Nullstelle r = r0 der Determinante sämtlich den Charakter einer ganzen rationalen Function haben. Ht.

H . G. DAWSON. A theorem in algebra.

Mess. (2) xvill. 145-148.

te

Ist U eine binäre Form n " Grades von x und y, oder Productform V = n(x-ctiy)

(i = 1, 2, 3, . . . , «),

sind ferner p und q zwei beliebige Zahlen, so folgt aus Gleichungen 1 U dx Fortschr. d. Matb. XXI. 1.

in

1

1 dü

x — a.y '

U dy

=

^

«. x—aty 9

den

II. Abschuitt.

130

Àlgebra.

die Relation 1 (

dU

au^sJ^SSL dy / x—a, f/

Ebenso kann man zeigen, dass: Tf \P

+

Pq

öxdy

.allgemein erhält man

+

9

durch

"Ôp"J ~ "

(x-ya()(x-yat)

'

den Schluss von m auf m-j-1 die

symbolische Formel ( P * + q - f j v = m i u b . ^ dx * dy s ( {x—yaj{x—yaî)...(x—yam) Für p = x und 9 = y ist dies die Euler'sche Formel für homogene Functionen. Noch zwei andere besondere Fälle werden betrachtet. Lp. J.

DERUYTS.

Sur

la g é n é r a l i s a t i o n

des

semi-invariants.

Belg. Mém. S. É. LI. 20 S. J . DERUYTS.

S u r la t r a n s f o r m a t i o n linéaire de la théorie

des covariants. J . DERUYTS. variantes.

Sur

Belg. Mém. S. É. Li. 22 s. la loi de formation des fonctions in-

Belg. Mém. S. É. LI. 16 S.

Man vergleiche in Belg. Bull. (3) XVII. 493-495 eine Anzeige dieser Abhandlungen durch Hrn. Le Paige (s. das folgende Referat). Hr. J. DeruytB hat 1891 seine gesamten Untersuchungen zu einem Ganzen vereinigt, worüber später berichtet werden wird. Mn. (Lp.) C. L E P A I G E . DERUYTS.

Rapport

sur

trois

mémoires

de M. J .

Belg. Bull. (3) X V I I . 493-495.

Diese Abhandlungen, welche im LI. Bande der Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers der belgischen Akademie veröffentlicht worden sind, bilden die Fortsetzung der Untersuchungen des Verfassers über die Semiinvarianten. Hr. Deruyts betrachtet, wie Hr. Le Paige berichtet, neue Functionen, denen er den Namen „Semiinvarianten der ersten Art" giebt, und kennzeichnet sie teils durch ihr Bildungsgesetz selbst, teils

Capitel 2.

131

Theorie der Formeo.

durch die partiellen Differentialgleichungen, denen sie genügen. Hierauf lehrt er ihren symbolischen Ausdruck und die Art ihrer Herleitung aus einer gewissen Semiinvariante erster Art kennen. Danach definirt er andere Ausdrücke, welche er identische Covarianten zweiter Art nennt, und beweist den folgenden Satz: J e d e Covariante mit einer beliebigen Anzahl von Variabeinreihen ist eine Summe von Producten aus identischen Covarianten mit Polaren p r i m ä r e r Covarianten. Die Bestimmung der primären Covarianten bildet den Gegenstand der dritten Abhandlung. Der Verf. gelangt zum Beweise des folgenden, in der That grundlegenden Lehrsatzes: „Jede primäre Covariante vom Grade t bezüglich einer Form f ist eine Summe aus Covarianten, die von der Form f abgeleitet sind t und aus primären Covarianten c vom Grade t—1 bezüglich der Form f." Dieser Satz gestattet den allmählichen Aufbau aller primären Covarianten eines Systems von Formen mit n Variabein. Mn. (Lp.)

C.

LE PAIGE. Rapport sur le mémoire intitulé: Détermination des fonctions invariantes de formes à plusieurs séries de variables, par M. J. D E R U Y T S . Belg. Bull. (3) X V I I r. 377-379.

Folgendes ist das Hauptergebnis der Arbeit des Hrn. J . Deruyts: Es ist möglich, durch ein eindeutiges Verfahren alle Covarianten von Formen mit einer beliebigen Anzahl von Variabelnreihen zu erhalten. Mn. (Lp.)

L.

O . DE

TOLEDO

de l a s f o r m a s .

Y ZULUETA.

Elementos de la teoria

Madrid, v i -+-173 S. 4°.

9*

II. Abschnitt.

132

Algebra.

Capitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen. W . MANTEL.

Over het aantal gemeenschappelijke oplos-

s i n g e n v a n s t e l k u n d i g e v e r g e l i j k i n g e n . Nieuw Arch. XVI. 203-208.

Der Verfasser beabsichtigt, einen Beweis fiir den Satz von B6zout über den Grad der Endgleichung zu geben, welche entsteht, w«nn aus mehreren algebraischen Gleichungen alle Unbekannten bis auf eine eliminirt werden. Seine Methode beruht auf der Bestimmung des Grades, ohne dass die Gleichung selbst gelöst wird. Hierzu schickt er einige algebraische Sätze voraus, die für sich bewiesen werden. Auf Grund derselben kommt er zu dem Satz von Bezout, dass die Zahl der gemeinschaftlichen Auflösungen mehrerer vollständigen Gleichungen so gross ist, wie das Product der Exponenten ihrer Grade. G.

E.

NETTO.

Anwendung

der

Modulsysteme

elementare algebraische Frage.

auf

eine

J. für Math. c i v . 321-340.

Die Coefficienten derjenigen Function Kx) = c0xm -\ 1- c m , deren Wurzeln gleichzeitig den beiden Gleichungen f ( x ) = a0x»-\ an = 0 und g(x) = b0x» + • • • + bn = 0 geniigen, lassen sich bekanntlich als aus den Elementen a 0 , . . . , an, 6 0 , . . . , bn gebildete Determinanten darstellen. Aus der Bedeutung von h(x) als dem Producte des grössten gemeinsamen Teilers von f(tr), g(x) und einer ganzen Function der a, b lässt sich leicht schliessen, dass alle Coefficienten der Functionen a0h(x) und b0h(x) durch c0 teilbar sein müssen, was aus der Form dieser Coefficienten durchaus nicht ohne weiteres zu erkennen ist. Damit die Functionen f(x) und g(x) einen gemeinschaftlichen Teiler von wenigstens dem mten Grade besitzen, müssen ihre

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

133

Resultante und deren Unterdeterminanten bis zur Ordnung 2n —2»re + 2 gleich Null sein. Verschwindet nun auch noch c 0 , so sind die übrigen c notwendig auch Null, weil der gemeinsame Teijer alsdann von höherem als dem m ten Grade ist. Auch diese Beziehung unter den c geht aus ihrer Form nicht unmittelbar hervor. In der vorliegenden Abhandlung hat nun der Herr Verfasser die erwähnten Thatsachen direct durch Determinantenbetrachtungen nachgewiesen. Um nicht mit Relationen unter solchen Grössen a, b zu thun zu haben, zwischen denen die für die Existenz eines gemeinsamen Teilers erforderlichen Bedingungsgleichungen bestehen, operirt er nach dem Vorbilde des Herrn Kronecker nur mit Congruenzen für aus Determinanten bestehende Modulsysteme, und erreicht dadurch den Vorteil, die a, b als unbestimmte Variabein betrachten und die Resultate als reine Identitäten darstellen zu können. Die Schlüsse werden im wesentlichen aus dem Satze gezogen, dass ein Aggregat von Producten j e zweier Determinanten der Ordnung 2k für ein aus Determinanten der Ordnung 2k-\-2 bestehendes Modulsystem congruent Null ist, einem Satze, dessen Beweis auf der nach zwei verschiedenen Arten ausgeführten Zerlegung einer Determinante der Ordnung 4k beruht. Zum Schluss werden unter Anwendung derselben Principien für solche Determinanten, die durch k Colonnen der ersten k Zeilen des Schemas w0

wl

iP2

wt

. . .

«>,

«>3 W3

W4

. . .

«>2

«>a

W

W4

5

gebildet sind, den bisherigen Resultaten abgeleitet.

G.

analoge Beziehungen F.

Nota su due applicazioni algebriche dell'eliminazione. Teixeira J. IX. 33-38. LORIA.

Der erste Teil dieser Note betrifft die Theorie der symmetrischen Functionen. Der Verfasser wendet die Eliminations-

134

II. Abschnitt.

Álgebra.

theorie auf die Bestimmung der Summe der Werte a n , welche die Function b 0 xP + b,xP~ l + ••• + bP c0xP + c ^ f - 1 -1 -t- Cp annimmt, wenn man in ihr x durch die n Wurzeln einer algebraischen Gleichung n te " Grades ersetzt. In dem zweiten Teile zeigt der Verfasser, wie man mit Hülfe der Eliminationstheorie die notwendige und hinreichende Beziehung zwischen den Coefficienten einer algebraischen Gleichung ermitteln kann, damit zwei Wurzeln x und y einer gegebenen algebraischen Gleichung F(x, y) = 0 genügen. Als Anwendung bestimmt Hr. Loria die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung « ,en Grades zwei Wurzeln von gleichem Zahl werte, aber entgegengesetztem Zeichen, oder zwei reciproke Wurzeln besitzt. Tx. (Lp.)

W. S T A H L . Ueber eine neue Darstellung der Resultante zweier Formen gleicher Ordnung. Math. ADD. X X X V . 335-400.

Aus den beiden Formen fk= 2 f (k = 1, 2; fi = 0, 1, u werden n — 1 linear unabhängige Functionen fi = 2(^)o^A"-" ¡u ' so gebildet, dass

0

= 0, . . . , »; i=

. . « )

1, . . . ,

n-1)

yAn-^a^ = 0 M wird. Dann kann man durch eine gewisse Differential-Operation aus der Determinante der a Mi Grössen ax% bilden, deren Determinante die Resultante von qp,, = Ma^s) t*Vn+1 = ÍM-l^n+l)

136

II. Abschnitt.

Algebra.

wo (i eine unbestimmte Grösse, /u,, (W2, . . . , /uB+i Wurzeln der Einheit sind. Die Grössen fi u jult . . . , ju„+1 werden die Multiplicatoren der Transformation genannt. Eine Transformation heisst von der nten Ordnung, wenn sie durch n-malige Wiederholung die identische Transformation giebt. Es werden auch die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür entwickelt, dass die Transformation in die obengenannte kanonische Form gebracht werden kann. Das Resultat, obgleich es unter einer anderen Form erscheint, ist identisch mit demjenigen, das z. B. Herr Lipschitz in Acta Mathematica X. 140-144 gewonnen hat (F. d. M. XIX. 1887. 139). Der nächste Abschnitt handelt von den Transformationsgruppen der geraden Linie. Gehören zu einer solchen Gruppe zwei Transformationen A und B, und werden alle Transformationen BAß-1 gebildet, indem ftir B nach und nach alle Transformationen der Gruppe gesetzt werden, so heissen die so erzeugten Transformationen die zu A gehörende Sammlung. Jeder Transformation A gehören zwei Punkte an, die Doppelpunkte, welche durch die Transformation A ungeändert bleiben. Wenn A von der n ten Ordnung ist, und keine Transformation der Gruppe von höherer als der n ten Ordnung dieselben Doppelpunkte N wie A hat, so wird die zu A gehörende Sammlung — verschiedene Transformationen enthalten, wenn n > 2 und die Gruppe im ganzen N Transformationen enthält. Die Sammlungen, Ttwelche zu A und ihren Potenzen gehören, ' 1 W ^ enthalten zusammen N oder — N Transformationen. n 2n Man bekommt die eine oder die andere Zahl, j e nachdem es in der Gruppe entweder keine Transformation giebt, welche die Doppelpunkte von A vertauscht, oder die Gruppe eine Transformation enthält, die dieses thut. Um alle endlichen linearen Transformationsgruppen der geraden Linie zu finden, hat man dann nur die positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung

Capitel 3.

Elimioation u. Substitution, Determinanten etc.

N = N2——— + n

137

+ 1

2n1

zu bestimmen. Diese Gleichung ist durch die Betrachtung gefunden, dass die Gruppe aus allen zu ihr gehörigen Sammlungen und ausserdem aus der identischen Transformation besteht. Diese Gleichung zeigt, wenn sie in der Form N geschrieben wird, Transformationen lichen Dividuus Transformationen

v

n

'

2»j

'

dass die Anzahl der zur Gruppe gehörenden entweder gleich dem kleinsten gemeinschaftder Ordnungen der zur Gruppe gehörenden ist, oder gleich dem Doppelten dieser Zahl.

Es muss jedoch bemerkt werden, dass nicht jede Lösung der Gleichung einer wirklich existirenden Gruppe entspricht. Es ist indessen ziemlich leicht zu ersehen, ob die gefundenen Zahlen wirklichen Gruppen entsprechen können oder nicht. Die Endlichkeit der Gruppen wird durch wirkliche Multiplication der Transformationen bewiesen. Aehnliche Betrachtungen führen zur Bestimmung der endlichen Transformationsgruppen der Ebene. Jede Transformation, welche eine Ebene in sich selbst Uberfahrt, lässt im allgemeinen drei Punkte, die Doppelpunkte der Transformation, ungeändert. Es giebt aber Transformationen, welche alle Punkte einer geraden Linie ungeändert lassen. Solche Transformationen werden perspectivische Transformationen genannt. Die Betrachtungen über die Gruppen der Ebene werden dadurch complicirter als die analogen Betrachtungen Uber die gerade Linie, dass, während bei der geraden Linie alle Potenzen von Transformationen mit verschiedenen Doppelpunkten wieder verschiedene Transformationen sind, Potenzen von Transformationen der Ebene mit verschiedenen Doppelpunkten dieselbe perspectivische Transformation geben können. Zuerst wird gezeigt, dass alle Transformationen einer endlichen Gruppe in eine solche Form gebracht werden können, dass, wenn

138

II. Abschnitt.

I

Algebra.

/tXj = 0,^ + 6,2/4-0,55,

fxy1 '

atx + b2y + c2s,

/ua, = a3x + b3y + c 3 z eine solche Transformation ist, hdie Determinante = l. a, b, c, und dass j e d e s Element D = (o,) dieser Determinante und seine Unterdeterminante ( 4 , ) conjugirte imaginäre Grössen sind (a und ä bezeichnen conjugirte imaginäre Grössen). Eine Gruppe wird cyklisch genannt, wenn alle Transformationen der Gruppe entweder die Doppelpunkte einer bestimmten Transformation ungeändert lassen oder unter einander vertauschen. E s wird dann gezeigt, dass keine Gruppe perspectivische Transformationen von höherer als der zweiten Ordnung enthalten kann, wenn die Gruppe nicht cyklisch ist, oder wenn nicht alle Transformationen der Gruppe dieselbe gerade Linie ungeändert lassen. Es wird nun untersucht, ob eine endliche Gruppe Transformationen mit verschiedenen Doppelpunkten enthalten kann, wenn eine Potenz dieser Transformationen dieselbe perspectivische Transformation giebt. Eine solche Gruppe existirt wirklich, nämlich eine Gruppe, welche 72 Transformationen enthält. Die Ordnungen der Transformationen sind 2, 3 und 4. Die Transformationen vierter Ordn u n g haben zu j e 6 eine gemeinsame zweite Potenz. Eine Sammlung, welche einer Transformation A angehört, wird auf dieselbe Weise wie vorher definirt, und wir setzen im folgenden voraus, dass keine Transformation der Gruppe verschiedene Doppelpunkte und eine gemeinsame Potenz hat. Man kann d a n n zeigen, dass, wenn w verschieden von 3, alle die Sammlungen, welche zu Transformationen mit denselben Doppelpunkten wie A gehören, m-1

„

n—1

—j:— N

,

n—1 „

—^— N n 2n 3n verschiedene Transformationen enthalten, wenn n Transformationen die besprochenen Doppelpunkte haben. JV,

oder

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

139

Man bekommt diese drei Zahlen, j e nachdem es keine Transformation der Gruppe giebt, welche die Doppelpunkte von A vertauscht, oder eine Transformation, die zwei Doppelpunkte vertauscht, oder eine Transformation, welche die drei Doppelp u n k t e von A cyklisch vertauscht. Der letzte Fall kann nur dann eintreten, wenn n die Primfactoren 2, 3 hat, oder wenn diese von der Form 3p + 1 sind. Wenn A dritter Ordnung' ist, und wenn nur die Potenzen von A dieselben Doppelpunkte wie A haben, so kann die Gruppe eine Transformation enthalten, welche zwei der Doppelpunkte von A vertauscht, und eine andere, welche alle drei Doppelpunkte cyklisch verschiebt. In diesem Falle enthalten die Sammlungen, welche zu A und ihren Potenzen gehören, Transformationen. Um alle möglichen endlichen Gruppen der Ebene zu bestimmen, brauchen wir nur die ganzzahligen positiven Lösungen der Gleichung +

+ W - S r i + f

1 = iV

zu finden. Diese Gleichung kann auch so geschrieben werden: _L - i v " " 1 y ». — 1 y "8—1 9 IV n ~ 2n, 3«2 9 und zeigt dann, dass die Anzahl der Transformationen einer endlichen Gruppe der Ebene entweder der kleinste gemeinsame Dividuus der Ordnungen der zur Gruppe gehörenden Transformationen ist oder das Zweifache, Dreifache oder Sechsfache dieser Zahl. Es bleibt nun übrig zu untersuchen, ob den gefundenen Zahlen wirklich existirende Gruppen entsprechen, was in den meisten Fällen nicht stattfindet. Bei der Bildung der Gruppen leistet die Bemerkung gute Dienste, dass j e d e Transformation zweiter Ordnung, welche einer Gruppe angehört, deren Transformationen auf die Form A gebracht sind, ihre Diagonalelemente o,, c3 reell haben muss. Uebrigens sind

die Multiplicationen

einer

Transformation

140

II. Abschnitt.

Algebra.

durch die Diagonalsumme a, -f- bs + c3 bestimmt. Wenn eine Transformation B die Diagonalsumme d hat, und wenn die Diagonalsumme der Transformation BPA noch sf genannt wird, dann besteht die folgende Relation sp — sp+3 = dsp+i — dsp+2. Endlich kann man zeigen, dass die endlichen Gruppen, die nicht cyklisch sind, oder deren Transformationen nicht alle dieselbe gerade Linie in sich selbst überführen, und die keine Transformationen mit verschiedenen Doppelpunkten, aber eine gemeinsame Potenz enthalten, die folgenden sind: 1) Gruppen, deren Transformationen alle denselben Kegelschnitt in sich selbst überführen. Diese können als Transformationen der Gruppen der geraden Linie betrachtet werden und werden mit denselben Namen bezeichnet wie die analogen Gruppen für die gerade Linie. 2) Eine Gruppe, die 36 Transformationen zweiter, dritter und vierter Ordnung enthält. Diese Gruppe ist eine Untergruppe der oben genannten endlichen Gruppe, welche 72 Transformationen enthält. 3) Eine Gruppe, welche aus 360 Transformationen zweiter, dritter, vierter und fünfter Ordnung besteht. Die Ikosaedergruppe ist eine Untergruppe dieser Gruppe. 4) Eine Gruppe, welche aus 168 Transformationen zweiter, dritter, vierter und siebenter Ordnung besteht. Die Beweise für die Endlichkeit der Gruppen sind ziemlich verschieden, indem einige durch wirkliche Ausführung der Multiplication der zur Gruppe gehörenden Transformationen geführt werden, andere den Dyck'schen Beweisen für analoge Sätze ähnlich sind. V. A.

Ueber die Transitivitätsgrenze der Substitutionengruppen, welche die alternirende ihres Grades nicht enthalten. Math. Ana. XXXIII. 572-583. BOCHERT.

Die Arbeit ist eine Fortsetzung der F. d. M. XIX. 1887. 139 besprochenen, Sie liefert Relationen zwischen dem Tran-

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

141

sitivitätsgrade

V v' v"

w

u' u" u'"

1, y ,

| > Mn.

B. J. C L A S E N . S u r u n e n o u v e l l e m é t h o d e de r é s o l u t i o n des é q u a t i o n s l i n é a i r e s et s u r l'application d e cette m é t h o d e au c a l c u l des d é t e r m i n a n t s . Mathesis IX. Suppl. II. 4 0 S e i t e n .

Aus den Annales der Soc. Bcient. de Bruxelles XII. Vgl. F. d. M. X X . 1 8 8 8 . 1 4 a Mn.

A.

CAPELLI.

Sopra

certi

N a p o l i Rend. (-,;) III. 58-63.

sviluppi

di

determinanti.

154

II. A b s c h a i t t .

Algebra.

Es wird die Entwickelung der Determinante \axi

+

(s +

(*, l

x— l)e

x A

|

«a

0

(x ^

=

exx

=

1,2,

=

1

. . . , « )

gegeben.

No.

C.-A. L a i s a n t . S. M. P . a„

—y 0

Sur un

Bull. X V I I . a,

as

a,

x

0

0

x

0

—y

x

—y

0

0

déterminant

remarquable.

104-107.

_

aax m-\-alx m~ iy

•\-aix" i~-y' 2

~

+ ••• + Om-ixy'"- 1

amy m

n

No. G. F o u r e t .

Sur d e u x d é t e r m i n a n t s numériques.

A d d . (3) V I I I .

Nouv.

82-85.

Die Werte der beiden Determinanten 1 1 —1 0 —1 - 1 -1 - l

1 1 0

. . .

. . .

1 1 1

.

.

0

-1

1 0 -1 0 -1 -1

und

1 1 0

—1 —1 - 1

n

weiden abgeleitet.

D.

Edwardes.

. . .

. 1 . 1 . 1

.

.

0 No.

Solution of question 8 7 6 7 .

Ed. Times LI.76.

Ist =

0,

so ist a

b

ax 3-\-2bxy-\-cy 1

bx*-{-2cxy-\-dy*

ax-\-by

bx-\- cy

b

c

bx 3-\-2cxy+dy 3

cx* Jr2dxy-\-ey' 1

bx-\-cy

cx-\-dy

Lp.

Capitel 3. E.

Elimination a. Substitution, Determinanten etc.

155

Sur le plus grand commun diviseur algé-

LUCAS.

brique.

J. de Math. epéc. (3) III. 25-27, 49-50.

Zwei Ableitungen der F o r m e l : V(x) = R(x)

F{x)—S(x)G(x)

f ü r zwei beliebige ganze Functionen F(x),

die Werte von

V(x), R(x), S(m) in Determinantenform, gemäss der dialytischen Sn. Methode des Herrn Sylvester.

P.

A.

Second memoir on a new theory of S y m m e t r i e funetions. American J. XII. 61-102. MACMAHON.

Die gegenwärtige Arbeit beschäftigt sich mit der Ergänzung und Verallgemeinerung d e r j e n i g e n Sätze über symmetrische Functionen, welche der Verfasser in der v o r a n g e g a n g e n e n Arbeit (vgl. F. d. M. X X . 1888. 156) abgeleitet hat, und dehnt dieselben insbesondere auf den Fall rationaler, aber nicht notwendig ganzer symmetrischer Functionen aus. So entspricht beispielsweise einem früher abgeleiteten, auf ganze rationale symmetrische Functionen bezüglichen Satz der folgende allgemeinere S a t z : W e n n eine symmetrische Function symbolisch gegeben ist durch (Xf.iv ...), wo A, (.i, v, . . . positive oder negative g a n z e Zahlen sind, so lässt sich dieselbe a u s d r ü c k e n als lineare Function der „Separationen" von (Aj X3 . . . p , ju, . . . » , » , » , . . . ) , wo li l2 A3 ...; .. vl v2 v3 . . . ; . . . irgend welche g a n z e Zahlen sind, deren Summe beziehungsweise . . . ist. W e g e n der Bedeutung der Bezeichnungen vergleiche man das Referat, auf welches vorhin verwiesen worden ist. Ht.

W.

J. C . S H A R P , D . of question 9790. Ist u eine rationale

xn xs, . x

n

,

EDWARDKS,

I.

BEYENS.

Solution

Ed. T i m e s L I . 125.

und

ganze symmetrische Function von

so sind du dx,

156

If. Abschnitt.

für alle teilbar. R.

E.

positiven

ganzen Werte

Algebra.

von p, r, s durch

ALLARDICE.

On

the

expression

f u n c t i o n in terms of t h e e l e m e n t a r y tions.

xT—x Lp.

of

a symmetric

symmetric

func-

E d i n b . M. S. P r o c . V I I . 41-42.

Ohne sich auf die Eigenschaften der Wurzeln einer Gleichung zu stützen, führt der Verfasser den Beweis des Satzes, dass j e d e rationale symmetrische Function von « Variabein .-r,, x 2 , . . . , xn als eine rationale Function der n elementaren symmetrischen Functionen J x , , 2 x t x 3 , 2 x i x i x 3 > . . . ausdrückbar ist. Gbs. (Lp.)

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Oapitel 1. Niedere Arithmetik. OTTO

U. DIKSENER.

Mathematik.

Lehrbuch

der g e s a m t e n

A b t e i l u n g I u. I I :

s t a b e n r e c h n u n g und A l g e b r a .

niederen

Arithmetik,

Buch-

Halle a. S. Hofstetter.

Der Verfasser nennt den ersten Teil des vorliegenden Lehrbuchs ein „praktisches Unterrichtsbuch zur leichten Erlernung der vier Rechnungsarten mit ganzen Zahlen, gewöhnlichen Brüchen und Decitualbriichen, unter Berücksichtigung der Eigenschaften und der Teilbarkeit, der Zerlegung einer Zahl in Factoren und des grössten gemeinschaftlichen Masses der Zahlen; mit eioer grossen Zahl vollständig ausgerechneter praktischer Beispiele für den Selbstunterricht und zum Gebrauche von Bau-, Real- und Fortbildungsschulen". Der zweite Teil wird bezeichnet als „ein praktisches Unterrichtsbuch zur leichten Erlernung der vier Operationen mit Buchstabengrössen, der Potenzen, der Gleichungen, des Ausziehens der Quadrat- und Kubikwurzel, des Rechnens mit Wurzeigrössen, der Verhältnisse und Proportionen und deren Anwendung auf das praktische Rechnen; mit einer grossen Zahl vollständig ausgerechneter Beispiele und Aufgaben, bearbeitet für den Selbstunterricht und zum Gebrauche an Bau-, Real- und Fortbildungsschulen."

III. Abschnitt.

158

N i e d e r e und höhere Arithmetik.

W a s dieser etwas lange Titel verspricht, das hält das Lehrbuch, aber nur für denjenigen, der ohne Causalitätsbedürfnis an dasselbe herangeht und der über Ungenauigkeiten im Ausdruck leicht hinweggeht. Dass an einen systematischen oder nur einigermassen strengen Aufbau der Arithmetik nicht gedacht ist, dafür mag die E r k l ä r u n g der Subtraction als Beispiel dienen, die auch nicht einmal ahnen lässt, dass die Subtraction eine Umkehrung der Addition ist: „Subtrahiren oder abziehen heisst, von einer Zahl so viele Einheiten wegnehmen als eine oder mehrere andere Zahlen Einheiten haben." Als Beispiel für Ungenauigkeit im Ausdruck diene die Erklärung des geometrischen Verhältnisses. Nachdem gesagt ist, dass ein arithmetisches Verhältnis die Angabe ist, um wieviel eine Grösse grösser ist als eine andere, wird ein geometrisches Verhältnis als die Angabe definirt, um wieviel mal grösser eine Grösse ist, als eine andere. Trotz dieser Mängel wird das Buch wegen der vielen vorgerechneten Beispiele manchem Praktiker genügen. Seht.

BOYMANN.

Lehrbuch

Realschulen Teil:

und

Arithmetik.

der M a t h e m a t i k

andere 7.

höhere

für

Gymnasien,

Lehranstalten.

Auflage besorgt von C .

III. WERR.

Dusseldorf. L . Schwann. X I I u. 284 S. 8°.

Durch einige schienenen

Zusätze vermehrter

6. Auflage

Abdruck

des in genauer

der

1881

er-

Uebereinstimmung mit

Heis' Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra bearbeiteten Lehrbuchs.

O . PRANGE.

mit

F.

L e h r b u c h der G l e i c h u n g e n

mehreren Unbekannten.

Für

das

und z u m G e b r a u c h e an L e h r a n s t a l t e n System

Kleyer.

des l t e n G r a d e s Selbststudium

bearbeitet

nach

Stuttgart. Jul. Maier. X n. 331 S. gr. 8°.

Das Buch bildet einen Teil der Kleyer'schen Encyklopädie und zeichnet sich deshalb, dem Grundgedanken entsprechend,

Capitel 1.

159

Niedere Arithmetik.

nach dem dieselbe bearbeitet ist, durch eine äusserst ausführliche, an Vorkenntnissen und Vorübungen das d e n k b a r Geringste voraussetzende Behandlung des Gegenstandes aus. Auf eine g e n a u e Auseinandersetzung der verschiedenen Auflösungsmethoden folgen 905 den bekannten Sammlungen entnommene Aufgaben, von denen ein grosser Teil in aller Ausführlichkeit gelöst ist, während den übrigen die Resultate beigefügt sind. In der gewählten Reihenfolge der eingekleideten Gleichungen hat Referent ein durchgreifendes Princip nicht entdecken können. F.

H. RAYDT.

Die A r i t h m e t i k a u f d e m G y m n a s i u m .

Prak-

tisches Regel- und Lehrbuch für Gymnasien und verwandte Anstalten, sowie zum Selbstunterricht. HannoverLiDden. C. Manz. VIII u. 174 S. 8».

Eine ausführliche, für das Verständnis auch des mässig begabten Schülers berechnete Entwickelung der arithmetischen Regeln, so weit sie für den Unterricht an den preussischen Gymnasien erforderlich sind. Aufgaben enthält das Buch nicht, es schliesst sich vielmehr an die Aufgabensammlung von Bardey an. In Anmerkungen sind die Verdeutschungen aller vorkommenden Fremdwörter sowie eine Reihe geschichtlicher Notizen beigefügt. F.

E.

Katechismus der praktischen Arithmetik. Kurz gefasstes Lehrbuch der Rechenkunst für Lehrende und Lernende. 3 t e Auflage bearb. von M A X M E Y E R . SCHICK.

Leipzig. J. J . Weber. X u. 273 S. 8°.

Die neue Auflage dieses Buches, das in katechetischer Form das praktische Rechnen zu lehren bestimmt ist, weist mehrfache Veränderungen und Erweiterungen auf. So ist namentlich die additive Methode bei der Subtraction, die Neuner- und die Elferprobe bei der Multiplication sowie ein Anhang über abgekürztes Rechnen hinzugekommen. Der rein kaufmännische Teil hat die aus den wirtschaftlichen Verhältnissen sich ergebenden Abänderungen erfahren. F.

160 J.

I i i . Abschnitt. SCHRÄM

matik

und

R.

N i e d e r e und höhere Arithmetik. SCHÜSSLER.

wandte Lehranstalten. J.

Vorschule der Mathe-

für österreichische Untergymnasien

SCHRÄM

und R.

und

ver-

W i e n . A. Holder. IV u. 320 S. gr. 8°.

SCHÜSSLER.

Figurentafeln zur Vor-

schule der Mathematik für österreichische Untergymnasien und verwandte Lehranstalten.

W i e o . A. Holder.

Das Lehrbuch enthält das mathematische Pensum der österreichischen Untergymnasien in vier Abschnitten: 1) Besondere Arithmetik (Rechnen mit bestimmten Zahlen), 2) Allgemeine Arithmetik (Rechnen mit unbestimmten Zahlen bis zu den Quadrat- und Kubikwurzeln und den linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten), 3) Planimetrie, 4) Stereometrie. Entsprechend der Instruction flir den mathematischen Unterricht an den Gymnasien in Oesterreich, ist alles Notwendige in gedrängter, präciser Form dargestellt. In einem Anhange findet sich für jeden Paragraphen des Lehrbuchs eine Anzahl Uebungsaufgaben. Die Figuren sind zu einem besonderen Hefte vereinigt. F. K . WEBER. Arithmetische Regeln. metische Aufgaben - S a m m l u n g e n .

Hilfsbuch für arithBraunachweig.

Achtel-

sletter. I V u. 37 S. 8°.

Eine Zusammenstellung der elementaren arithmetischen Formeln und Regeln nebst ihren Beweisen, die als Ergänzung der bekannten Aufgabensammlungen von Heis und Bardey dienen soll. An Correctheit lässt es der Herr Verfasser zuweilen fehlen; so betrachtet er die Gleichungen o° = 1 und a~x = als Definitionen, sondern als Lehrsätze, selbstverständlich hinfällig sein muss.

deren

—nicht ax Beweis dann F.

Weitere Lehrbücher. Bos.

E l e m e n t s d'algèbre.

4 e éd.

Paris. 516 S . 8°.

Capitel 1. W.

ZAJACZKOWSKI.

ster G.

U.

D.

Anfangsgründe der Arithmetik.

zweiter Teil.

MULLER

161

Niedere Arithmetik.

PETTI.

Elementi

d'aritmetica

delle scuole tecniche normali e superiori. Elementi d'aritmetica teorica.

F. TIRELLI.

Er-

Lemberg. 163 u. 159 S . 8°. (Polnisch.) ad

uso

Torino. Paravia. Nocera inferiore.

Angora.

N. MARTELLI.

Trattato elementare d'aritmetica razionale.

Firenze. Tipografia cooperativa. 400 S . 8°.

C. MASI.

Sinossi di algebra elementare e sui logaritmi.

Cuneo. Tipografia subalpina.

A. CARROZZINI. Introduzione allo studio dell' algebra. Opera ad uso delle scuole secondarie. Urbino. R . GRILLI. Saggio di un nuovo trattato d'algebra elementare per i licei. Correggio. F . PRINCIVALLE. Trattato di aritmetica pratica per le scuole secondarie con note storiche e 6 0 0 esercizi. Sassari. Azuni.

G . GRAHAM. Elementary algebra, with nutnerous examples and exercises. London. 312 S . 8°. E . AMIGUES. Leçons d'algèbre à l'usage des élèves de la classe de mathématiques spéciales, etc. Paris. F é l i x Alcan.

B. NIKWENGLOYVSKI. Cours d'algèbre à l'usage des élèves de la classe de mathématiques spéciales, etc. Paris. Armand Collin et Cie.

J.

A. SARRASQUEIRO.

Tratado

de

algebra

elementar.

Coimbra. 1890. Z u m G e b r a u c h e a n Mittelschulen g e s c h r i e b e n , Werk

alles, w a s man gewöhnlich

tare Algebra

W. H. WISSELINK. kunde. Groningen. Fortschr. d. Math. X X I . 1.

findet.

Kern

in

den W e r k e n

enthält über Tx.

van de Theorie der

63 S . 8°.

11

dieses elemen-

(Lp.)

Reken-

III. Abschnitt.

162

Niedere und höhere Arithmetik.

Arithmetische Aufgaben.

H . FENKNER.

Mit besonderer

B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n A n w e n d u n g e n a u s dein G e b i e t e der G e o m e t r i e , Ausgabe A: Oberrealschulen. Ausgabe B: schulen.

Trigonometrie, Für G y m n a s i e n ,

Physik

und

Chemie.

Realgymnasien

und

Braunschwoig. O. Salle. VIII u. 342 S. gr. 8°.

Für R e a l s c h u l e n u n d H ö h e r e

Bürger-

Braunschweig. O. Salle. VIII u. 230 S. gr. 8°.

Die Ausgabe A ist für den algebraischen Unterricht der Tertia und Secunda bestimmt; sie reicht bis zu den Gleichungen zweiten Grades mit mehreren Unbekannten, den arithmetischen und geometrischen Reihen und der Zinseszinsrechnung. An die Spitze der einzelnen Aufgabengruppen sind die entsprechenden Lehrsätze (nicht immer mit allgemeingültigem Beweise) gestellt. Der Verfasser betrachtet es als Hauptzweck seines Buches, die Schüler zu selbstständigem, planmässigem Lösen von Aufgaben anzuleiten; er schliesst deshalb alle Beispiele aus, deren Lösung besondere Kunstgriffe oder zu weitläufige Umformungen erfordert. Die Aufgaben j e d e s Abschnitts sind in hinreichender Anzahl vorhanden und sorgfältig geordnet. Die Resultate sind nicht beigefügt. Bei der Auswahl der Aufgaben ist besondere Rücksicht auf verwandte Unterrichtsgebiete genommen worden. Die eingekleideten Gleichungen ersten Grades aus der Stereometrie, Physik und Chemie dürften allerdings wenig Verwendung finden, d a diese Gebiete dem Tertianer noch fremd zu sein pflegen. Die Ausgabe B ist genau ebenso eingerichtet wie Ausgabe A. Die ersten Abschnitte stimmen wörtlich überein, in den andern ist die Zahl der Aufgaben in B geringer. F.

A l g e b r a i s c h e s U e b u n g s b u c h mit e i n l e i t e n d e n F r a g e n , e i n g e r e i h t e n S ä t z e n und R e g e l n , s o w i e a u s geführten Musterbeispielen. 3. Aufl. Giesseo. E. Roth.

W . REEB.

IV u. 126 S. 8».

Die dritte Auflage dieser „für Realschulen, Mittelschulen und Lehrerbildungsanstalten'' bestimmten Aufgabensammlung, in welche

Capitel 1.

Niedere Arithmetik.

163

die wichtigsten Regeln teils in Form von Fragen teils in Form von Sätzen eingestreut sind, ist in den ersten Capiteln umgearbeitet und durch einen Abschnitt Uber diophantischff-Aufgaben vermehrt worden. F.

H.

Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. Heft IV. Leipzig. B. G. Teubner. 78 S. SERVUS.

Das Heft enthält Gleichungen mit Einschluss der logarithmisclien und diophantischen, sowie Aufgaben für die geometrischen und arithmetischen Reihen erster Ordnung. Lg.

A.

S I C K E N B E R G ER.

Teile.

Uebungsbuch

zur

Algebra.

Zwei

München. Th. Äckermann. I V u. 136 S. 8°.

Eine reichhaltige und sorgfältig geordnete Aufgabensammlung, die eine Ergänzung zum „Leitfaden der elementaren Mathematik" des Verfassers zu bilden bestimmt ist und etwa das algebraische Pensum der Gymnasien umfasst. Die erste Abteilung erstreckt sich auf die erste und zweite Stufe der Rechnungsarten einschliesslich der linearen Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten, die zweite auf die dritte Stufe der Rechnungsarten, quadratische Gleichungen, Reihen, Combinatorik. F. WALTER. Algebraische Aufgaben. Bewegungsaufgabeil I. Berlin u. Stuttgart.

TH.

Erster

Band.

Spemann.

V I I I u.

292 S 8°.

Der Band enthält Aufgaben über gleichförmige, geradlinige Bewegung, welche auf Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten führen. Nach einem einleitenden Capitel Uber die Beziehungen zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit werden im zweiten Abschnitt 18 Fundamentalaufgaben in unbestimmten Zahlen auf verschiedene Arten (durch Einführung verschiedener Grössen als Unbekannte) gelöst. Das Ansetzen der Gleichungen geschieht durchgehends in Form von Tabellen. Im dritten Ab11*

164

IIT. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

schnitt sind Zahlenbeispiele behandelt, die zum Teil den bekannten Aufgabensammlungen (Meier Hirsch, Heis, Bardey etc.) entlehnt sind, zum Teil von dem Verfasser stammen, der mit Vorliebe Beispiele aus dem Eisenbahnverkehr ausgewählt hat. Den Schluss bildet eine Anzahl ungelöster Bewegungsaufgaben. F. E. B A R D E Y . Methodisch geordnete A u f g a b e n s a m m l u n g m e h r a l s 8 0 0 0 A u f g a b e n e n t h a l t e n d , ü b e r alle Teile der E l e m e n t a r - A r i t h m e t i k . 1 5 t e Aufl. Leipzig. B. Q. Teubner. X I V u. 330 S. 8°.

WROBEL. Uebungsbucl» Rostock. W.' Werther.

zur

Arithmetik

und

Algebra.

MÉRAY. T h é o r i e é l é m e n t a i r e des f r a c t i o n s d é g a g é e d e t o u t e c o n s i d é r a t i o n i m p l i q u a n t soit la s u b d i v i s i o n de l ' u n i t é a b s t r a i t e , soit l'intervention des g r a n d e u r s concrètes. Son a p p l i c a t i o n k la spécification m a t h é m a t i q u e de ces d e r n i è r e s . Nouv. Ann. (3) v i n . 421-435.

CH.

Um einerseits nicht die abstracte Einheit teilen und andererseits nicht concrete Maasse zu Hülfe nehmen zu müssen, giebt der Verfasser folgende Definition eines Bruches: Wenn E, n, d ganze Zahlen bedeuten und zwar derart, dass E. n, aber nicht n teil• ÎI bar ist durch d, so soll unter dem Symbol eine fingirte Zahl (t („nombre fictif") verstanden werden, die mit E multiplicirt die E n ganze Zahl — e r g i e b t .

Auf Grund dieser Definition werden

die Regeln der Bruchrechnung entwickelt. S.

Del m a s s i m o c o m u n divisore e del c o m u n e m u l t i p l o di d u e o p i ù n u m e r i . Bari. GATTI.

F. minimo

Capitel 1.

165

Niedere Arithmetik.

Sul numero delle divisioni nella ricerca del massimo comun divisore di due numeri. Besso P e r . Mat.

S.

GATTI.

IV. 100-104.

Kommen bei der Aufsuchung des grösBten gemeinschaftlichen Teilers zweier Zahlen A, B mehr als 2n Teilungen vor, so sind A und B grösser als 2 " - 1 ( n + 2 ) . Mit anderen Worten: Die Anzahl der Teilungen kann nicht 2n übersteigen, wenn n die kleinste Zahl ist, für welche (vorausgesetzt dass B < A) B ^ 2 n _ 1 ( n + 2 ) ist. Eine kleinere obere Grenze für die Anzahl der Teilungen ist schon bekannt; siehe: Colombier, Note d'arithVi. métique, J. de Math. él. et spéc. V (1881). 12-18.

M.

GRKMIGNI.

interi

estese

Le proprietà dei prodotti e dei quozienti ai monomi algebrici. Besso Per. Mat. IV.

171-177.

F.

HOZA. Zahlen.

Ueber die relativen Fehler bei unvollständigen Oasop. X V I I I . 5. (Böhmisch.)

Enthält eine einfache Begründung diesbezüglicher Sätze unter Hinweis auf J. A. Serret's „Traité d'Arithmétique". Std. O . JEZEK. Beitrag X V I I I . 17. (Böhmisch.)

z u m abgekürzten Rechnen.

Casop.

Befasst sich mit der Aufgabe, die zweite und dritte Potenz einer Decimalzahl in bestimmter Ziffernzahl darzustellen. Std. GUYOU.

Sur

les

approximations

numériques.

Paris.

Qauthier-Villars et Fils.

Vergl. Abschn. IV. A.

BIFFIGNANDI.

meri irrazionali.

Rappresentazione geometrica Besso P e r . Mat. I V . 67-73, 107-114.

dei

nu-

Ißß

III. Abschnitt.

N. N.

Studio

-\-bx-\-C. J.

W.

Niedere und höhere Arithmetik.

riassuntivo

della

funzione

F{x)

=

ax2

Lecce.

L . GLAISHER.

The

method

of quarter

squares.

Nature X L . 573-576, 5 9 3 ; X L I. 9.

Der erste Artikel bringt eine beachtenswerte Besprechung von Blater's Viertel-Quadraten ( F . d. M. X I X . 1887. 1235). auch S . 29 dieses Bandes.

S.

Gbs. (Lp.)

HEINR. SIMON. Die Auflösung der dreigliedrigen Gleic h u n g e n mit Q u a d r a t w u r z e l n aus linearen Radicanden. Hoffmann Z. X X . 337-340.

Lösung von ^ax-\-b + ] / a l x - \ - b l = c|/a3« -\-b3 mit Hülfe der Formel (a+b)(a-b)

= o3-63.

Lp.

Capitel 2. Z a h l e n t h e o r i e . A. C. F . GAUSS. Deutsch

Allgemeines.

Untersuchungen

von

H.

Maser.

Ober höhere A r i t h m e t i k .

Berlin. Julius Springer. V I I I u. 695 S-

Der Herr Uebersetzer hat in dem vorliegenden Sammelwerke alle die Zahlentheorie und Kreisteilung behandelnden Abhandlungen von Gauss vereinigt. die

Disquisitiones

Theorematis

Den Hauptteil des Bandes nehmen

arithmeticae

arithmetici

rumdam serierum singularium. doctrina

de

tiones novae.

residuis

ein;

demonstratio

hieran

schliessen

sich:

nova.

Summatio

qua-

Theorematis

quadraticis

fundamentalis

demonstrationes

et

in

amplia-

Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio

prima et secunda.

Ferner

sind die zahlentheoretischen Unter-

suchungen aus dem handschriftlichen Nachlasse von Gauss (aus

Oapitel 2.

Zahlentheorie.

167

dem zweiten Band der sämtlichen Werke) angefügt, nebst den von Herrn Dedekind herrührenden Anmerkungen. Der Herr Uebersetzer bat es sich, wie auch bei der Herausgabe der Zahlentheorie von Legendre, angelegen sein lassen, ein in jeder Hinsicht brauchbares Werk herzustellen. Sn. P.

L . TSCHEBYSCHEFF. Theorie der Congruenzen (Elemente der Zahlentheorie). Deutsch mit Autorisation des Verfassers herausgegeben von H . S C H A P I R A . Berlin. Mayer & Müller. XIII u. 314 S. 31 Tabellen.

Das Originalwerk ist 1849 in russischer Sprache erschienen. Es hat ungefähr den gleichen Umfang des Stoffes, wie die vier ersten Abschnitte der Vorlesungen von Dirichlet (Dedekind); ist aber in den einzelnen Teilen weit vollständiger, insofern auf die älteren Methoden von Euler, Legendre, Lagrange mehr Rücksicht genommen wird. Von originalen Wendungen seien besonders die Sätze hervorgehoben, welche in besonderen Fällen eine primitive Wurzel einer vorgelegten Zahl ohne vorhergehendes Probiren kennen lehren, z. B. „Eine Primzahl von der Form 2in-\-\ hat die primitive Wurzel 3; eine Primzahl von der Form 8M+3 hat, wenn 4w-)-l auch eine Primzahl ist, die primitive Wurzel 2; eine Primzahl von der Form 4p + 1 (p Primzahl) hat die primitive Wurzel 2", u. dgl. m. Sn. R . PERRIN.

Sur les caractères de divisibilité.

Ass. Pranç.

X V I I I . 24-38

Der Herr Verfasser macht zunächst darauf aufmerksam, dass der Begriff der Kennzeichen für die Teilbarkeit allgemeiner als bisher gefasst werden könne, z. B. : „Ist N — 100a -f- 106 + c durch 131 teilbar, so ist es auch N' = (c—a)J-j-(3a—b)(3c—6); und umgekehrt". Sodann aber behandelt er für eine beliebige Basis x das Zahlsystem JV = cuc + bx"-1^ +fe+g in Bezug auf einen beliebigen Teiler p mit Hülfe der Congruenz qx = 1 (mod. p),

168

III. Abschoitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

und zeigt besonders die Rechnungsvorteile, welche bei der gleichzeitigen Prüfung einer vorgelegten Zahl in Bezug auf mehrere Primfactoren möglich sind. Sn.

J. J. VAN LAAR. Over het aantal ondeelbare getallen b e n e d e n een w i l l e k e u r i g g e t a l . Bepaling eener bened e n s t e g r e n s . Nieuw Arch. XVI. 209-214. In dieser kurzen Arbeit wird eine Methode angegeben, mittels einer Tafel der unteilbaren Zahlen bis etwa 1760 die richtige Zahl von teilbaren Zahlen bis etwa 30000 zu bestimmen. Sodann wird darauf hingewiesen, wie es wohl bekannt ist, dass die betreffende Anzahl unteilbarer Zahlen abnimmt, dass aber das Gesetz dieser Abnahme unbekannt ist, und dass es ebensowenig geglückt ist, einigermassen genau die Grenzen anzugeben, zwischen denen diese Anzahl gelegen sein kann. (Man vergl. jedoch die bekannte Abhandlung von Riemann. Ges. Werke 136ff. und die sich hieran anschliessenden Arbeiten. Eed.) Doch kann eine untere Grenze hierfür wohl erhalten werden. Mit Hülfe der Reihe von Wallis findet Verfasser, dass die bezügliche Anzahl unteilbarer Zahlen bei n bestimmt grösser ist als 4

j/-!L

UQ

d die ganze Anzahl grösser als j / ^ t i womit auch

bewiesen ist, dass die Anzahl unteilbarer Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadraten immer > 2 ist. Endlich folgt noch, dass die Anzahl unteilbarer Zahlen bei n ungefähr £ ist von der Anzahl unter n. G.

LOIR. S u r la c o n s t r u c t i o n d ' u n e t a b l e des n o m b r e s p r e m i e r s . J. de Math. 616m. (3) III. 146-149. Das Sieb des Eratosthenes wird aus Gittern zusammengesetzt und deren praktische Verwendbarkeit gezeigt. Sn.

(Japitel 2. G H . J . BUSK.

TO

169

Zahlentheorie.

find the factors of any proposed number.

Nature X X X I X . 413-415.

W . H. A.

Finding factors.

H . HUDSON.

CUNNINGHAM.

Nature

Factors of numbers.

xxxix.

510-511.

Nature

xxxix.

559-560.

Herr Busk giebt in der ersten Note ein Verfahren zur Auffindung der Factoren einer Zahl an; die beiden anderen Noten, besonders die letzte des Herrn Cunningham, geben die mathematische Begründung jenes (wohl empirisch gefundenen) Verfahrens und seiner nur beschränkten Anwendbarkeit Es beruht anf dem Satze, dass jede ungerade Zahl als Differenz zweier Quadrate dargestellt werden kann, von welchen die Basis des einen willkürlich gewählt und so lange um je eine Einheit geändert wild, bis das andere entsteht. Z. B. Gegeben 5141 = 72 a —43 = 7 3 ' - 1 8 8 = 74a—335 = 7 5 s - 4 8 4 = (75-f 2 2 ) ( 7 5 - 2 2 ) = 97.53. Die verschiedenen Kunstgriffe, welche in einzelnen Fällen das Verfahren abkürzen, werden dadurch illusorisch, dass man über ihre Anwendbarkeit von vorne herein nichts aussagen kann. LPR.

Some properties of the number 7.

TUCKER.

Nature

X L . 115-116.

R.

W.

D.

CHRISTIE.

Test of divisibility by any prime.

Nature X L . 246.

Ist b eine Zahl aus dem Umfange 1 bis 9, so ist, wenn a die Einer der ganzen Zahl N bezeichnet, n eine ganze Zahl ist: N-a(l&b+l) = N (mod. [10"6+1]). Auf die wiederholte Anwendung dieser Formel beziehen sich beide Noten. So lautet das erste Beispiel des Herrn Tucker (6 = 2, n = 1) in dieser Schreibweise: 3 425 443 = 342 538.10' = 3 4237.10» = 3409.10 3 = 322.10 4 = 28.10 5 (mod. 21), also ist 3 425 443 durch 7 teilbar. Hieran werden einige Verallgemeinerungen geknüpft. Lp.

170

III. Abschnitt.

A . GUGUUZZO FAZIO.

Niedere und höhere Arithmetik.

S u i caratteri di d i v i s i b i l i t à p e r 7,

13, 17 e pei numeri della forma ( q X 1 0 + 1). Appunti. Palermo. Clausen. 16 S.

Von den zwei aufgestellten Kriterien f ü r die Teilbarkeit durch 7 geben wir nur d a s zweite, einfachere a n : Man zerlege die vorgegebene Zahl in Gruppen von j e drei Ziffern, und bilde die algebraische Summe der so entstehenden Zahlen, die 1", 3 te , 5 t e (von links an) positiv, die 2", 4 te , 6 t e negativ genommen; diese Summe ist congruent zur ursprünglichen Zahl nach dem Modul 7. Dasselbe findet für die Moduln 11 und 13 statt. Für die Divisoren von der Form 10g-f-1 gilt folgende Regel: Ist eine Zahl N = anan-1 . . . a^a^ (wo o„, a„._i, . . . , o 0 die Ziffern von AT bezeichnen) durch l O g - f l teilbar, so gilt dasselbe von den Zahlen: Nt — ana„-1 . . . aao, — q.a0 = bnfin,-1 • • • Nj - bnbn^i... b.ibi — q.b0 = C B J C B J _ X . . .

MAt c^c^

wobei zu bemerken ist, dass < n— 1, w3 < nt—1, . . . — Der Quotient besteht aus den in umgekehrter O r d n u n g genommenen letzten Ziffern von JV, JV,, N2, . . . . Es möge zur E r l ä u t e r u n g ein Beispiel a n g e f ü h r t weiden. Sei N = 3903012, q = 7, so operiit man wie folgt: iV =

3903012

ff. =

=

14 390287

49 38979 = c 63 9- o - 3834 =

9 A

—

= —-

28 355

9 • eo = 35 iV5 = 0 Also geht 71 in 3903012 auf, und der Quotient ist 54972. Die Kegel k a n n leicht

für jeden

beliebigen

zu 10 relativ

Capitel 2.

171

Zahlentheorie.

primen Divisor p verwertet werden, indem man beachtet, dass man immer eine durch p teilbare Zahl von der Form 1 0 g + l finden k a n n ; eine solche Zahl wäre z. B. 91 oder 51 für 13 bezw. 17. Der Verfasser berichtet, dass die Grundidee seiner Methode aus einigen, am Ende der Broschüre angeführten Zeilen der Elementos de aritmetica von José Garcia Plaza (Madrid 1886) entstanden ist. (Vergi, jedoch das vorangehende Referat und Vi Wertheim, Zahlentheorie S. 31 ff.) R e c h e r c h e s sur les caractères de d i v i s i b i l i t é d'un n o m b r e premier. LOIR.

J. de Math. élém. (3) III. 107-110.

Caractères

n o m b r e premier.

de

divisibilité

d'un

nombre

par

un

J. de Math. élém. (3) n i . 121-123.

Es werden die einfachsten Zahlen von der Form 10".a-J-& gesucht, in welche die betreffende Primzahl aufgeht, u. s. f. Sn. D é m o n s t r a t i o n d'un t h é o r è m e d'arithmétique.

J. de Math,

élém. (3) III. 98-99.

Das Product von p auf einander folgenden ganzen Zahlen ist durch das Product der p ersten Zahlen teilbar. Sn.

L.

GEGENBAUER. Ueber diejenigen Teiler einer g a n z e n Zahl, welche eine vorgeschriebene Grenze überschreiten. W i e n . Bor. X C V I I I . 28-36.

Es sei f(x) eine ganze ganzzahlige Function der nicht negativen ganzen Zahl x, und es bezeichne \f(x), Aj) die Anzahl der incongruenten Wurzeln der Congruenz f(a5) = 0 (mod. Stellt nun ftM . . . , kg eine wachsende Reihe von positiven ganzen Zahlen dar, und ist g(x) eine beliebig definirte Function von x, so wird: A

x—i)

172

III. Abschnitt.

Niedere UDd höhere Arithmetik.

und es findet sich auf der rechten Seite die Summe derjenigen Werte der Function g(x~), welche erhalten werden, wenn ihr Argument alle zu den Zahlen kx gehörigen Teiler der ganzen Zahl f{x) durchläuft, welche grösser als x sind. In dieser Relation sind, wie der Herr Verfasser zeigt, eine Reihe von speciellen Formeln des Herrn Lerch u. a. enthalten. (Vgl. F. d. M. XX. 1888. 184-185.) Sn. F. ROGEL. Die B e s t i m m u n g der A n z a h l P r i m z a h l e n , welche nicht grösser als eine g e g e b e n e Z a h l sind. Hoppe Arch. (2) VII. 381-388.

Es wird die einfachste Formel gesucht, die durch gleichzeitige Verwendung der Function (p(m) und nur derjenigen Primzahlen, welche kleiner als ~\fm sind, erhalten werden kann. Praktische Vorteile gewährt eine solche Formel nicht. Sn.

GAMBIOLI.

A proposito di u n a nota del sig. Andreini.

Batt. G. X X V I I . 334-339.

Die Perioden der Decimalbrüche, welche den Nennern von der Form 10«—1 entsprechen, haben, wenn lOn—1 Primzahl ist, die Eigenschaft, durch Multiplication mit den Ziffern 1, 2, . . . , 9 cvklisch verschoben zu werden. Die Note des Herrn Andreini findet sich Batt. G. XXVI. 315-326, vgl. F. d. M. XX. 1888. 175. Sn. ß.

ADAM.

Ueber die Teilbarkeit der Zahlen.

Pr. Claus-

thal. GymD. Leipzig. G. Fock. 10 S.

Zusammenhang mit den periodischen DecimalbrUchen. Sn. J . PERROTT.

Bulletin.

Sur une proposition empirique énoncée au S. M. F. Bull. X V I I . 155-156.

Herr Catalan hat die Frage aufgeworfen, ob eine aus der jedesmaligen Summe der Divisoren der vorhergehenden Zahl zu

Capitel 2.

Zahlentheorie.

173

bildende Reihe gegen die Einheit oder auch gegen eine vollkommene Zahl convergiren müsse. Herr Perrott zeigt, dass es Zahlen gebe, deren jede gleich der Divisorensumtne der anderen ist, z. B. 220 und 284; die fragliche Reihe würde also in diesem Falle nur diese beiden Zahlen aufweisen. Sn.

A.

GUTZMER. Nach w e l c h e m Gesetze sind die Quadratzahlen gebildet, die mit gleichen Ziffern endigen? Wo findet man Litteratur hierüber? Naturwissenschaft!. Wochenschr. 183.

Vgl. F. d. M. III. 1871. 70. Die Quadrate der Zahlen von der Form 5 0 m + 1 2 endigen mit 44; die der Zahlen von der Form 5 0 0 m + 38 mit 444; mehr gleiche Ziffern am Schlüsse einer Quadratzahl sind nicht möglich; u. s. f. Sn.

T.

Quel nombre serait à préférer comme base de notre système de numération? Kopenta. Overs. N.

THIELE.

25-42.

Der Verfasser untersucht; welche Zahl am besten als Grundzahl für unser Zahlensystem gewählt werden müsste. Es wird gezeigt, dass die Teilbarkeit der Grundzahl nur im geringen Grade die Rechnungen erleichtert, so dass man die Frage beinahe gänzlich darauf beschränken kann, ob man eine grosse oder eine kleine Zahl als Grundzahl wählen soll. Der Verfasser kommt zu dem Resultate, dass eine kleine Zahl die meisten Vorteile darbietet. Aehnliche Untersuchungen sind frUher schon von Herrn Lehmann in Leipzig angestellt worden; dieser ist zu dem Resultat gekommen, dass 6 die beste Grundzahl sein würde. Herr Thiele, der viele Rechnungen in den verschiedenen Zahlensystemen ausgeführt hat, zeigt dagegen, dass 4 als Grundzahl noch vorteilhafter wäre. Er hat nun umfangreiche Logarithmentafeln und ähnliche Hülfstabellen zur Erleichterung der Rechnungen für die Grundzahl 4 construirt. Diese Tabellen befinden sich (in Manuscript) im Archive des Observatoriums zu Kopen-

174

III. Abschnitt.

N i e d e r e und höhere Arithmetik.

hagen, sollen aber demjenigen zur Verfügung gestellt der eine Copie wAnseht.

L.

GEGENBAUER.

werden, V.

Zur Theorie der Congruenzen.

Wien.

Ber. X C V I I I . 652-672.

Es werden die Bedingungen für die Existenz einer bestimmten Anzahl von gemeinsamen Wurzeln zweier Congruenzen auf verschiedene Weise formulirt; es wird die Congruenz aufgestellt, denen dieselben zu genügen haben. Sodann werden Sätze über die symmetrischen Functionen der Wurzeln gegeben. Sn.

L.

GEGENBAUER.

Ueber complexe

Primzahlen.

Wien.

Ber. X C V I I I . 1036-1091.

Der Herr Verfasser teilt die Formeln, welche die Anzahlen der in zwei irgendwie definirten Zahlenbereichen enthaltenen Primzahlen zu einander in Beziehung setzen, in zwei grosse Gruppen, j e nachdem alle in einem der Bereiche enthaltenen Primzahlen als bekannt vorausgesetzt sind oder nicht. Für beide Gattungen werden Analoga im Gebiet der allgemeinen complexen Zahlen aufgestellt. Sn.

L.

GEGENBAUER. Wahrscheinlichkeiten im Gebiet der aus den vierten Rinheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen. W i e n . Ber. X C V I I I . 635-646.

F ü r reelle Zahlen gilt der Satz: Man k a n n beiläufig 61 : 3 9 ( 6 : n 3 — 6 ) wetten, dass zwei beliebige ganze Zahlen relativ prim sind. Analog wird hier die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass zwei beliebige primäre complexe Zahlen der Form a-\-bi teilerfremd sind. Der Herr Verfasser knüpft an frühere Ableitungen „Zur Theorie der aus den vierten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen" (vgl- F. d. M. XVII. 1885. 143-144) eine Reihe von ähnlichen Sätzen. Sn.

Capite! 2.

H . W . LLOYD TANNER.

Zahlentheorie.

On cyclotomic functions.

175 Lond. M.

s . Proc. XX. 63-87, 258-296.

Die aus « teu Wurzeln der Einheit gebildeten Perioden, welche bisher geläufig waren, werden als einbasige bezeichnet. Für den Fall eines zusammengesetzten n werden ihnen andere Wurzelsummen von verwandten Eigenschaften als „mehrbasige Perioden" nebengeordnet. In Reuschle's „Tafeln complexer Primzahlen" finden sich für solche nur beiläufige Andeutungen ohne Anspruch auf Vollständigkeit; vgl. die Anmerkungen S. 385 (zu n = 91), S. 440 (zu n = 105), S. 483 (zu n = 24), S. 506 (zu n = 40) u. dgl. ni. Die erste Hälfte der vorliegenden Abhandlung enthält gruppentheoretische Untersuchungen, welche zur Bildung der neuen Summengattungen führen. In der zweiten handelt es sich um Aufstellung der Gleichungen (mit ganzzahligen Coefficienten), welchen sie zu genügen haben. Ist F(x) = 0 eine derartige Gleichung, so giebt es für die Entwicklung der Function

eine nicht unbeträchtliche Zahl von Relationen, bei denen besonders die Newton'schen Summenformeln eine Rolle spielen; es wird so ein bemerkenswerter Fortschritt in der Methode zur Berechnung der Coefficienten jener Gleichungen erzielt; auch für den Fall, dass n Primzahl ist. Sn.

H . W . L L O Y D T A N N E R . Solution o f ( a , 6 , . . . , c ) = ( a p , 6 p , . . . , c p ) . Mess. (2) XIX. 118-128.

Herr Cayley hat in Mess. XV. 59-61 (F. d. M. XVII. 1885. 77) die Aufgabe gelöst, vier Grössen, von denen keine Null ist, zu finden, sodass sie in irgend einer Folge ihren Quadraten gleich sind: (o, b, e, d) = (a3, b\ c',

d').

Die gegenwärtige Abhandlung betrifft dieselbe Aufgabe, wenn n Grössen gegeben sind, welche in irgend einer Folge ihren p ten Potenzen gleich sind. Hierbei sind n und p positive ganze Zahlen, sonst aber unbeschränkt; besonders wird nicht

176

III. A b s c h n i t t .

N i e d e r e and höhere

Arithmetik.

vorausgesetzt, dass eine von ihnen eine Primzahl ist. Null werte für a, b, c, . . . werden zugelassen, hauptsächlich aus Rücksicht auf eine Stelle in Gauss (Werke II. 221 in „Disquisitiones generales de congruentiis"). Die Untersuchung, welche sich auf die Theorie der primitiven Wurzeln der Gleichung x p — 1 = 0 stützt, indem die Lösungen in Cyklen angeordnet werden, gelangt zu dem Schlüsse, dass die Anzahl verschiedener Lösungen im allgemeinen Falle gleich pn ist. Schliesst man die Null werte von a, b, c, . . . aus, so ist die Anzahl der Lösungen pn—p"~1. Zuletzt wird auch noch die Congruenz behandelt (o, 6, . . . , c) = (aP, br,...,

c*)

(mod. fi). Lp.

R.

Untersuchung der Eigenschaften Gattung von unendlichen Reihen. J . für Math. C V . LIPSCHITZ.

einer 127-156.

Es mögen t, s complexe Grössen bezeichnen, v eine reelle positive Grösse, die kleiner als 1 ist, der reelle Teil von t sei nicht negativ, derjenige von s positiv; dann gilt die Formel: (27t)1-5

® e-2j,0+m>i

r ( i - s ) JL, 0 + m y

N

einnvi

=

n^-N(.t+niy->''

N

=

oc

-

Hinsichtlich des Beweises stützt sich der Herr Verfasser, abgesehen von der Formel

auf eine Methode Riemann's, die dieser für die Umformung der » 1 Reihe £ — in seiner Abhandlung über die Primzahlen unter n=l «' einer gegebenen Grösse benutzt hatte. Aus der obigen Formel gewinnt der Herr Verfasser eine zweite:

(M = oo, N — oo) u n d giebt für dieselbe einen zweiten Beweis, der auf einer allgemeinen

Transformation

der

einfach-unendlichen

Thetareihen

Capitel 2.

177

Zablentheorie.

beruht. Durch Anwendung seines Transformationsverfahrens auf die sämtlichen von Dirichlet in der Arbeit über die arithmetische Progression gebrauchten Reihen gelangt er sodann zur Aufdeckung einer charakteristischen Beziehung der Dirichlet'schen Reihen zur allgemeinen Theorie der Teilung des Kreises in beliebig viele Teile; endlich gewinnt er ein Princip, um die sämtlichen Zahlen in Klassen einzuteilen, welches auf eine Einteilung der sämtlichen Primzahlen in Klassen zurückweist. Wz. A.

GENOCCHI. Première partie du chapitre X I I I Note sur la théorie des résidus quadratiques.

de la J. für

Math. C I Y . 345-347.

Die Note findet sich Belg. Mém. S. É. XXV. 1853. Sn. L.

KRONECKER. Beweis des ßeciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste. A u s einem Anfsatze in No. X L V I I I der Sitzungsberichte

der Berliner Akademie

von 1884.

J. für Math.

CIV. 348-351.

Vgl. F. d. M. XVI. 1884. 156-158.

A .4 TAFELMACHER.

ZU

Sn.

dem dritten Gauss'schen B e w e i s e

des ßeciprocitäts - Satzes für die quadratischen Reste gehörende Untersuchungen. Diss. Göttingen. 2 4 s. 4°.

R . LIPSCHITZ.

Sur un théorème arithmétique.

C . R . CVIII.

489-492.

Herrn Lipschitz ist es aufgefallen, dass bei der von den Herren Schering und Kronecker gegebenen Ausdehnung des Lemmas von Gauss (vgl. Berl. Monatsber. 1876. 330-341; F. d. M. VIII. 93-95) die Zahl r lediglich durch eine Reihe von Divisionen ohne Zerlegung des n in Primfactoren bestimmt werden kann, während doch die Definition des Legendre-Jacobi'schen Foitscbr. d. Math. XXI. 1

12

III. Abschnitt.

178 Zeichens

Niedere und höhere Arithmetik.

eine d e r a r t i g e Zerlegung

m e r k u n g wird

ein

voraussetzt.

An diese Be-

Beweis des verallgemeinerten L e m m a s

knüpft, welcher j e n e r

Schwierigkeit

Rechnung

t r ä g t und

mit den von Gauss gegebenen Hülfsmitteln operirt.

A.-E.

genur

Sn.

Sur les caractères cubiques et biquac. R. CVlll. 609-610.

PELLET.

dratiques.

Folgerungen aus den Congruenzen,

welche in der T h e o r i e

der Kreisteilung f ü r die aus den Wurzeln der Einheit gebildeten Perioden auftreten. F.

Sn.

Das Reciprocitätsgesetz der achten 29 S. 4°.

GOLDSCHEIDER.

Potenzreste.

Pr. Berlin. Luisenstädt. Realgymn.

Die Untersuchung beruht ganz teilung.

Betrachtungen,

der Einheit üblich sind,

führen

fassers zu den Reciprocitäten, während

der

auf der Theorie der Kreis-

wie sie für dritte und vierte Wurzeln

allgemeinere

nach

wenn

Fall

A n g a b e des Herrn

Ver-

eine der Zahlen reell ist,

neue Schwierigkeiten

ergiebt.

Hier wird deshalb n u r diese F o r t f ü h r u n g ausführlicher gegeben. E s sei A4 =

— 1, und f( Jl) =

a+ßX+yP+di*

heisse dann eine p r i m ä r e Zahl, wenn a u n g e r a d e ist, ß, y, ö gerade, a-\-ß-\-y-\-d und

•= 1 (mod. 4).

F e r n e r sei

Nfm = fwmmw) =

(mod.f(A)).

D a n n lautet das Gesetz f ü r zwei p r i m ä r e complexe Primzahlen

fw, f,ay-

Ergänzungssätze u. s. f. ermöglichen die Bestimmung j e d e s achten Restcharakters.

Sn.

Capitel 2.

179

Zahlentheorie.

Sur les fonctions réduites suivant un module premier, s. M. P. Bull. X Y l l . 156-167.

A.-E.

PELLET.

Die Untersuchung stützt sich auf den Satz: Ist d(x) eine rationale Function mit ganzzahligen Coefficienten, und ersetzt man in ihr x durch alle Wurzeln x„ ..., xm einer (mod. p) irreductiblen Congruenz des Grades m, so sind die (i von einander verschiedenen Werte von 0 gleichfalls Wurzeln einer irreductiblen Congruenz. Daraus folgt z. B.: Ist f(x) eine (mod. p) irreductible Function f t e n Grades, in welcher der Coefficient von x"-1 nicht = 0 (mod. p) ist, dann ist auch f(xv—x) irreductibel. Von diesen Sätzen werden Anwendungen auf die Periodengleichungen der Einheitswurzeln gemacht. No.

G.

DE

LONGCHAMPS.

Sur les égalités

K

deux degrés.

J . de Math. élém. (3) III. 171-173, 195-198.

Es werden Zahlen untersucht, welche den Relationen

genügen. einander. M.

a, -I + «P = «i H +ap, a j + . . . + 0 » = «; + ••. + V Beziehungen verschiedener solcher Zahlengruppen zu Sn.

FROLOV.

Égalités à deux degrés,

s. M. F. Bull. X V I I .

69-83.

Zahlengruppen, für welche gleichzeitig die diophantischen Gleichungen: 2a = 2A — • • -, 2a3 = 2A2 - • • • erfüllt sind; ihre allgemeinsten Eigenschaften und einfachsten Beispiele. Sn. A.

CAYLEY.

On the Diophantine Relation y7-\-yn = Square.

Lond. M. S. Proc. XX. 122-127.

Die einfachste Function, welche obige Bedingung erfüllt, hat die Form: y = (x+ay. (x+a—2vy. 12*

180

HF. Abschnitt.

Niedere trnd höhere Arithmetik.

Es werden die Bedingungen aufgestellt, welchen die Constanten der Formel y = (x + a,y.(x+by.(x-{-cy.(x

+ d)S

zu genügen haben, um die nächst einfache Lösung darzustellen. Sn. M. A.

STERN.

Beweis eines Liouville'schen Satzes.

J. für Math. CV. 250-266.

Es sei n = 2a.m (in ganz, positiv, ungerade, a ganz, positiv) und N die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von vier Quadraten, wobei alle Permutationen und sowohl die Quadrate positiver als negativer Zahlen einzeln gezählt sein sollen. Nach Jacobi ist dann N = 24qp(m), wo 4 .

Note sur l'équation

indéterminée

Mathesis IX. 241-242.

Die Desboyes'sche Lösung ist im Grunde dieselbe wie eine der Euler'schen Lösungen. Mn. (Lp.)

PÉPIN.

Solution des deux équations biquadratiques x*±22a . 7y* = *2, ®4+24a+3. 7y* = s2.

Rom. Acc. P. d. N. I, Mem. IV. 227-242.

Die vorgelegten Gleichungen werden auf die Formen s*+ 7/4 = 8»3, s 4 +56< 4 = n 3 zurUckgeftthrt, deren Lösung in einer früheren Abhandlung des Herrn Verfassers enthalten ist. (Acc. P. d. N. L. XXXI. 397-427. 1878.) Sn. A.

MARTIN.

Solution of question 9563.

Ed.Times L . 74-75.

Zur Auflösung der Aufgabe, sechs ganze positive Zahlen zu finden, deren fünfte Potenzen eine Summe ergeben, die ebenfalls eine fünfte Potenz ist, giebt der Verfasser zwei Verfahrungsarten an, die tastend fortschreiten. Er findet hierdurch: 4 S + 5 5 + 6 ' + 7 " + 9 5 + l l 5 = 12% 5 5 + 1 0 5 + l l 6 + 1 6 ' + 1 9 5 - [ - 2 9 5 = 30 s . Lp.

182

A.

Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Ueber die Gleichung xp+yp

RIEKE.

= zp.

Schlömilch

Z. X X X I Y . 238-248.

I).

VARISCO. Ricerche aritmetiche contenenti la dimostrazione generale del teorema di Fermat. Batt. 6. x x v i l . 371-380.

Beiträge zur Beweisführung der Unmöglichkeit. C.

Some results in the elementary theory

LEUDESDORF.

of numbers.

von Ferruat angegebenen Sn.

Lond. M. S. Proc. X X . 199-212.

Untersuchung der Function VmW

= -¿r + ¿ T + - +

(FZT7-

Wenn p Primzahl, so ist der Zähler von ipM{p) im allgemeinen durch p 1 teilbar. Ausnahmen und complicirtere Sätze für ein beliebiges N. Sn. A.

RIEKE.

Ein Satz aus der Zahlenlehre.

Schlömilchz.

X X X I V . 190-191.

Ist p > 3 und P = (p—1)!, so ist f +

N.

f

+

-

+

F T = °

(m0d p3)

-

'

Sn.

W. BUGAIEFF. Allgemeine Transformationen der Zahlenintegrale nach den Divisoren. Mosk. math. Samml. X I V . 169-197. (Russisch )

Die Abhandlung beschäftigt sich mit einigen allgemeinen Formeln zur Bestimmung und Transformation der Zahlenintegrale nach den Divisoren. Man hat z. B. JSMQ+ZMQ+änVW, — — — a b c wenn Ö, 6, c die Primfactoren der Zahl n sind, £(/*) die Anzahl dieser Primfactoren bezeichnet, n = d.d und ip eine willkürliche n

=

Capitel 2.

183

Zahlentheorie.

Zahlfunction ist (die Summation ist über alle Teiler der Zahlen n,

ausgedehnt).

...

Die zwei anderen Formeln, welche im folgenden transformirt und angewandt werden, lauten: 2 W n

)

=

2

Zrp{d) = n

n

i H d ) + £ — a

n

¿ni}>(ad)+2n — a

ip(a*d),

a

xfj(d), °

WO n =

Dann

folgen

a"b^cr

aana

=

=

b$nb

die allgemeinen

=

c*uc.

Gesetze,

denen die Zahlen-

integrale nach den Divisoren genügen, mit der Anwendung auf die Elimination der willkürlichen Functionen und die Bestimmung einiger unendlichen Reihen.

P.

W.

Wi.

PREOBRASCHENSIÍY.

punkte.

Der Verfasser für die Berechnung abhängen,

Princip

DÍIS

der

Knoten-

K a s a n G e s . V I I . 5 - 4 1 . (Russisch.)

sehr

stellt

ohne

Beweis

der Summen,

wichtig

sein

ein

Princip

auf,

das

welche von den Primzahlen

muss.

Wenn man die bekannte

Riemann'sche Reihe — • • • mit

y —

bezeichnet und die ihverse Function x = u(y) die Zahlen «(1), «(2), . . . das folgende

Princip:

die

„Wenn

Knotenzahlen. man

R(x)

einführt, Dann

so sind hat

man

die Summe 2 f ( p ) für die

Reihe der Primzahlen zwischen der Aten und (/c' + l) t e n berechnen will, so kann man diese Summe durch das Integral f

/•«(*) f ( x ) . d ( x ) d x

u(0 ersetzen,

wo d ( x ) die Dichtigkeit

Derivirte der Function R(jb)

ist".

auf die Ermittelung der Summen Productes n ( 1 — a n g e w a n d t .

der Primzahlen,

d. h. die

E s wird dann dieses Princip 2~-,

2 ^ ,

2\ogp,

2p

und des

184

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Am Ende der Abhandlung wird das Princip auf mittelung der wahrscheinlichsten Grösse der Primzahl Ranges ausgedehnt. Der Abhandlung ist die Tabelle der zahlen beigefügt. A. BERGER.

die Erdes k iea KnotenWi.

R e c h e r c h e s sur les v a l e u r s m o y e n n e s

la t h é o r i e d e s n o m b r e s .

B.

dans

Upsala Akad. 130 s.

T h e o r i e der Formen.

L. BIANCHI. Sülle f o r m e q u a d r a t i c h e a coefficienti e a indeterminate complesse. Rom. Acc. L. Rend. (4) Vi. 589-599. Bekanntlich hat bereits Dirichlet das Klassenanzahlproblem für solche quadratischen Formen axt-{-2bxy-\-cy2 in Angriff genommen, deren Coefficienten und Variabein ganze complexe Zahlen sind. Bedeutet a den grössten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen a, 2b, c, so giebt es von primitiven Formen (d. h. von solchen, bei denen a, b, c relativ prim sind) drei Arten, j e nachdem ^ a =

1, a =

1fi, a =

2

ist. F ü r die erste Art hat Dirichlet die Klassenanzahl h auf analytischem Wege bestimmt, während Lipschitz auf die beiden ersten Arten zu gleichem Zweck eine rein arithmetische Methode angewandt hat. Der Verfasser bedient sich hier, behufs gleichmässiger Behandlung aller drei Fälle, einer ebenfalls rein arithmetischen Methode, die für reelle Formen von Gauss ausgebildet war, nämlich der Lehre von der Composition, die sich in der That ohne wesentliche Aenderungen auf die neuen Formen übertragen lässt. Es gelingt auf diesem Wege, vermöge Einzeluntersuchung

Capitel 2.

Zahlentheorie.

185

der verschiedenen Unterfälle, die Ermittelung des Verhältnisses My. von j e zwei der drei Klassenanzahlen. X . STOUFF. extension

S u r c e r t a i n s g r o u p e s f u c h s i e n s et s u r u n e de la t h é o r i e des f o r m e s q u a d r a t i q u e s .

Toulouse Ann. III. B. 28 S.

Die Arbeit beschäftigt sich mit einer ausgedehnten Klasse von Fuchs'schen Gruppen. Es seien «„ o a , . . . , an ganze Zahlen, von denen je zwei relativ prim sind, L sei das Product aller und Pi das Product einiger dieser Zahlen. Dann bilden die Substitutionen

mit der Bedingung Piad-±rßy = 1 Pi eine Gruppe, für welche die Zahl der erzeugenden Substitutionen eine endliche ist. Die Aufgabe, die singulären Punkte der Fuchs'schen Gleichung zu suchen, welche zu einer gegebenen Gruppe gehört, steht in Zusammenhang mit einer Erweiterung der Theorie der quadratischen Formen. Der Verfasser definirt mit einer „gegebenen Gruppe verknüpfte quadratische Formen", stellt für diese den Begriff der Klasse fest, giebt ein Verfahren, um Repräsentanten aller Klassen zu finden, und berechnet die Zahl der Klassen, ohne die Repräsentanten wirklich zu bilden. Mit Hülfe dieser gefundenen Resultate gelingt es, die verschiedenen Arten von singulären Punkten der zu einer Gruppe gehörigen Fuchs'schen Gleichung sowie die Zahl der singulären Punkte jeder Art zu bestimmen. Zum Schluss wird gezeigt, dass die dargestellte Theorie in mehreren Beziehungen der Verallgemeinerung fähig ist. F.

186

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Capitel 3. Kettenbrüche. J . W. SLESCHINSKY. der Kettenbrtiche. J. W. SLESCHINSKY. vergenz

der

Zur

Frage

von

der

Convergenz

Mosk. math. Samml. XIV. 337-343. (Russisch.)

A n h a n g zu der Notiz von der ConMosk. math. Samml. XIV. 436-438.

Kettenbrüche.

(Rassisch) Der u n e n d l i c h e nte

Näherungsbruch

Kettenbruch bei n =

heisst

wenn

der

oo eine G r e n z e hat.

In d e r ersten A b h a n d l u n g w i r d wiesen: „Der

convergent,

das

folgende Theorem

be-

Kettenbruch

! + —

c

+ —

c

ist c o n v e r g e n t , w e n n l i m n = a , c s =

0".

X

1+-. In dem A n h a n g e w i r d g e z e i g t , d a s s d e r

Kettenbruch

&!

c o n v e r g i r t , w e n n | o „ | > l + |6„|.

S. PINCHERLE.

Wi.

A l c u n i teoremi sulle frazioni continue.

Rom. Acc. Ij. Rend. (4) V ^ 640-643. W e i s s man v o n oder c o m p l e x e n

dem

unendlichen Kettenbruch

mit

reellen

Elementen:

d a s s a l l e | a „ | > 2 + i7, w o t] eine b e l i e b i g k l e i n e positive G r ö s s e ist, so lässt sich schliessen, d a s s a c o n v e r g i r t , d a s s | < r | < l , dass

der

y - j - — ist.

absolute

Wert

jedes

Näherungsbruches

kleiner

und als

Der Verfasser wendet diese Sätze an a u f algebraische

Capitel 3.

187

Kettenbrüche.

Kettenbrüche, bei denen «„ = bnx—a„ gesetzt wird, und bestimmt den Convergenzkreis des Kettenbrucbs sowie den Geltungsbereich der daraus hervorgehenden Heine'sehen Entwickelung: = ZbnPn(x)qn(z).

R_ M_

T . - J . STIELTJES. S u r la r é d u c t i o n en f r a c t i o n c o n t i n u e d ' u n e série p r o c é d a n t s u i v a n t les p u i s s a n c e s d e s c e n d a n t e s d ' u n e variable. Toulouse Aon. III. H. 117. Die Reihe Je(—l) n a»aî-( n + | ) kann im allgemeinen in jeden u

der beiden Kettenbrüche c

0 ; c i j c2 .¡. c» ; ... ; X 1 X 1

F':

x+cl

aj+c 2 + ca

C2

"-l + ^L I x

x+c4+c5

übergeführt werden, wo die c rationale Functionen der a sind, sodass c„ nur von a n a 2 , . . . , an abhängt. Die Ausdrücke der c durch die a lassen sich leicht angeben; indem der Verfasser aber auch die umgekehrten Ausdrücke sucht, ergiebt sich ein intimer Zusammenbang mit der Zerlegung der beiden quadratischen Formen von unendlich vielen Variabein: ^^(¡i+kXiXk I) (J

und

JsjSai+wXiX* U U

in die Summe von Quadraten, derart dass man die Kettenbrüche sofort hinschreiben kann, falls diese Zerlegungen bekannt sind. Der Verfasser giebt vier Beispiele; jedes der Integrale SO ^»00

/

e-*»co8 _ *zdz,

O

/

/ e - * 2 sin am z dz, 0

CO

e - ** cos am Ä dz, / e~*'Ja,m sdz 0 u besitzt eine nach negativen Potenzen von x fortschreitende

188

I I I . Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

( d i v e r g e n t e ) ReihenentwickeluDg

und

lässt

sich

in einen (con-

vergenten) Kettenbruch der obigen Art umformen.

R. M. A. HURWITZ. Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwickelung reeller Grössen. A c t a Math. XII. 367-405.

Die hier studirte besondere Art der Entwickelung einer reellen Grösse x0 in den Kettenbruch (a0, aa oa, ..., an, a; n+ i) berührt sich mit der von Hrn. Minnigerode angewandten (F. d. M. V. 1873. 105) und ist dadurch charakterisirt, dass in den Gleichungen: 1

1

die ganze Zahl o ; der Bedingung — bestimmt ist.

1 — g e m ä s s

Dass diese Entwickelung convergirt, für rationale

x„ endlich ist und für quadratische Irrationalitäten periodisch wird, ist aus früheren Sätzen X X . 1888. 201.)

des Verfassers klar.

(F. d. M.

Wenn man nun das Gesetz der Näherungswerte

p„ : qn untersucht, in welcher Weise die Nenner derselben wachsen und welches der Grad der Annäherung ist, so erkennt man, welche bemerkenswerte Bedeutung in dieser Theorie der unendliche Kettenbruch (3, 3, 3, . . . ) hat, dessen Wert =

wenn

r = i(3—"|/5) die kleinere Wurzel der Gleichung r - J — = 3 bezeichnet. Es erweist sich nämlich merkwürdigerweise als notwendig, eine zweite Art der Kettenbruch-Entwickelung hinzuzunehmen, bei der man die unendliche Gerade der reellen x durch die Punkte ± ( l - r ) , ± ( 2 - r ) , ± ( 3 - r ) , . . . in Intervalle teilt, und jedem x, jedesmal diejenige ganze Zahl a, zuordnet, welche in demselben Intervall liegt. Ist z. B. x0 = (a 0 , o,, . . . , a„, ...) ein Kettenbruch erster Art, so besteht für qn: qn~i die Entwickelung zweiter Art (o„, a„-1, . . . , a „ o,), und umgekehrt. Um den Uebergang zu der Theorie quadratischer Formen vorzubereiten, mtlssen Grössenpaare entwickelt werden,

Capilel 3.

Kettenbräche.

189

Zunächst gilt für zwei äquivalente Grössen x und x\ schen denen eine Gleichung: = S

r

zwi-

= J>

besteht, der aus der gewöhnlichen Theorie geläufige Satz:

x = (o 0 , a„ ..., a„, xn+t ),

x' = (a' 0 , a,, . . . , a'm , xn+1 )

auch für die beiden hier betrachteten Entwickelungen, jedoch mit gewissen Cautelen, wenn x r ist. Wenn ferner x0 , y0 zwei verschiedene irrationale Grössen bezeichnen, wenn wieder a0 aus dem Intervall — — bestimmt wird, wenn endlich gleichzeitig

gesetzt wird, so soll das Paar («,, y,) dem Paare (x0 , y„) nach rechts benachbart heissen, und ein solches Paar soll reducirt genannt werden, wenn es gewisse geometrisch leicht fassbare Grenzbedingungen erfüllt. Ist x„ r, so treten wieder besondere Schwierigkeiten auf; in jedem anderen Falle aber sind die in der Reihe (¡r0, t/0), («,,«/,), . . . , (xn , yn ), . . . auftretenden Paare von einem bestimmten ab sämtlich reducirt. Mit Hülfe dieser Sätze lässt sich die Theorie der quadratischen Formen mit positiver Determinante D und die Auflösung der Pell'schen Gleichung in ganz ähnlicher Weise wie sonst auf die vorliegenden Kettenbruch-Algorithmen gründen und erkennen, in wie weit die gewöhnlichen Sätze über die Perioden von ~)/D sich bestätigen resp. modificiren. R. M. Calcul direct des termes d'une réduite M. D'OCAGNE. de rang quelconque d'une fraction continue périodique. C. R. CVIII. 499-501.

Sobald alle Näherungsbrüche bis zum Ende der zweiten Periode bekannt sind, lassen sich die weiteren Näherungsbrüche independent berechnen. R. M.

III. Abschnitt.

190

L.

Niedere und höhere

Arithmetik.

Eine Eigenschaft der Entwickelang einer ganzen Function nach den Näherungsnennern von gewissen regulären Kettenbrüchen. Wien. Ber. X C V l l l . GEGENBAUER.

867-882.

Der Verfasser hat schon in früheren Mitteilungen (Wien. Ber. L X X X I I I u. XCV) ganze Functionen in Reihen entwickelt, welche nach den Näherungsnennern regulärer Kettfinbrtiche fortschreiten, und hat die Anzahl der Nullstellen jener Function mit der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe der Entwickelungscoefficienten in Verbindung gebracht. In der vorliegenden Note werden zwei Functionen, welche durch gebrochene lineare Substitution in einander übergehen, gleichzeitig entwickelt und einige Sätze über die Verteilung der negativen Vorzeichen in ihren Entwickelungscoefficienten abgeleitet. R. M.

L.

GEGENBAUER.

Zur Theorie der Kettenbrüche.

Wien.

Ber. X C V I I I . 673-687.

Wenn

man

eine nach

ganzen

negativen

fortschreitende Function reap, das Integral a

Potenzen von x x—z

dz

in einen

Kettenbruch entwickelt und mit q>k(&), fh(x) bezw. den Näherungszähler, den Näherungsnenner, die Restfunction bezeichnet, so lassen sich (unter Benutzung der Nullstellen von rpkip)) für die Coefficienten der Reihenentwickelung von fk gewisse summatorische Ausdrücke bilden und dieselben nach einer Brioschi'schen Formel zu Determinanten umformen, in welche neue durch Congruenzen bestimmte Coefficienten eingehen. R. M.

T . - J . STIELTJES. continue. C. R.

Sur

un

développement

en

fraction

C V I I I . 1297-1298.

Wenn in der bekannten Entwickelung des Integrals

a

Capitel 3.

191

KetteDbrüche.

der « te Näherungsbruch durch Pn : Qn bezeichnet und

gesetzt wird, so ist R„ das Minimum der quadratischen Form ,

• • M xn) --

J

f

a

b

ï £ L .[i+®,(«-*)+» X—Z

1 (x-zy+-+xn (x-zy]

1

d*.

R. M. S.

PINCHERLE. Di un' estensione dell' algoritmo delle frazioili continue. Lomb. Ist. Bend. (2) X X I I . 555-558.

Die bekannte Verallgemeinerung des Kettenbruch-Algorithmus auf recurrirende Gleichungen von mehr als drei Gliedern überträgt der Verfasser auf die Analysis. Bezeichnet

eine Function vom Grade — r, so können zwei gegebene Functionen a,(as) und a2 (x) die Grundlage zu solchem viergliedrigen Algorithmus geben, indem man zunächst a3 (x) aus der Gleichung: 1 = (a0 x+bjo,

(x) + c2 a3 (x)

+ a3 (x)

bestimmt und so fortfahrend allgemein On = («»®+&»)0nn+c>i

n

t

„

„

A,-,

«endlich

„

„

—A,, —

•) h—11 Aj—i, A;, 1 •> /l

. . . , Aj, Aj, .

.

—

—

ferner bedeute 0 t die Aufeinanderfolge zweier Typen 0 und t; 001 bedeutet alsdann einen Typus, der zwischen den Typen 0 und t eine Null hat; 0(Ot) YT

ist ein Typus, welcher zusammen-

gesetzt ist aus 0, dem ?-fach wiederholten Typus 0i, dem Typus T.

Nach

endlich

diesen Vorbereitungen wird der folgende

Satz verständlich sein: Die beiden Wurzeln einer quadratischen Gleichung können gleichzeitig und eindeutig durch die Formen: (0/(O eine bekannte Function von x ist, welche endlich ist für alle Werte des Argumentes von 1 bis n; dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A den B ruinirt; M

-

(n—V) ... q>(n—s)

+

9(1)...

Im allgemeineren Falle, dass sich die Chancen des Gewinnens wie g>(x) zu f(n—x) verhalten, wird

wo ( fi', = fi'; > fi', < fi'; -

fi',

=z fi';

= fi', 0,

x",

. ..)

In der zweiten Anmerkung giebt der Verfasser eine ver-

änderte Darstellung des § 21 der Gauss'schen Abhandlung. Wi. P . S. N A S I M O F F .

Ueber

die

Anwendung

der

Methode

d e r kleinsten Q u a d r a t e in d e m F a l l e , w o die U n b e k a n n t e n einigen e x a c t e n B e d i n g u n g e n g e n ü g e n .

Warsch.

Univ.

Nachr. 5. (Russisch.)

In der Abhandlung

wird im Anschluss an Gauss

(Theoria

combinationis observationum) der Fall betrachtet, wo die Unbekannten einigen exacten Bedingungen genügen.

C.

RUSSIAN.

Zur

zufälliger Fehler.

Frage

von

der

Wi.

Wahrscheinlichkeit

Odessa Ges. I X . 134-138. (Russisch.)

Wenn zwischen x, a,, o„ ..., cp^x — a,, x—a^

an die Gleichung

. . . , x—an)

=

0

besteht, so ist X

—=

g

l+aa +

H Qn-l + an , „ „ „ + © O , — o 3 , « , — a„ • •

a

i—

\

••

220

I V . A b s c h n i t t . Combinationslehre u. W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g .

Dieses

Theorem

wird

mittels

der

Integration

eines

simultaner Differentialgleichungen bewiesen.

P . P . GRAWE.

der

Systems Wi.

U e b e r die p a r a b o l i s c h e I n t e r p o l a t i o n nach

Methode

der

kleinsten

Quadrate.

K a s a n Ges.

vii.

(Russisch.)

Die Gleichungen, handlung

auf welche Tschebyscheff in seiner Ab-

„über die Kettenbrüche"

(St. Petersb. Akad.

1855)

die Aufgabe der parabolischen Interpolation nach der Methode der kleinsten Quadrate reducirt hatte, wurden von diesem Geometer mit Hülfe der Eigenschaften der Nenner der Näherungswerte eines Kettenbruchs aufgelöst. lung

gelangt

Auflösung

zu

derselben

des Systems

Der Verfasser der Abhand-

Tschebyscheff'schen

Formel

der erwähnten Gleichungen

durch

nach zwei

Methoden, von denen die eine auf der von ihm bemerkten Symmetrie einer Function beruht, die andere als ein Resultat sehr einfacher Transformationen erscheint. die Ausdrücke

Der Verfasser giebt dann

der Tschebyscheff'schen

Functionen tpm

durch

mehrfache Summen und zeigt die Existenz recurrenter Formeln, welche es ermöglichen, sie als die Nenner von Näherungsbrüchen zu betrachten.

Die exacte Bestimmung der Zahlcoefficienten in

allen vorkommenden Functionen giebt dem Verfasser die Möglichkeit, die Formel von Tschebyscheff in einfacherer Form darzustellen und direct auf die Interpolation äquidistanter Grössen anzuwenden.

P.

Wi.

PIZZETTI. Alcune ricerche sulla probabilità a priori degli errori d'osservazione. B a t t . G. x x v n . 7 7 - 8 9 .

Diese Untersuchungen schliessen sich an ähnliche an, welche Laplace

in

seiner Théorie analytique

des probabilités

ange-

stellt hat. Ist U der wahrscheinlichste Wert einer unbekannten Grösse, zu

deren

Bestimmung

irgendwie

n Beobachtungen

beitragen,

so möge die Wahrscheinlichkeit Pu, dass U mit einem Fehler u

I V . Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

221

beliaftet sei, durch die Relation ausdrlickbar sein: (1) logP u = log A-nF, wo A eine Constante und F eine reelle Function von u ist, welche ein Minimum für u = 0 hat und beständig und continuirlich wächst für u gleich 0 bis oo und 0 bis — oo, Ist ferner d'F \ d3F

(— ¡ - r )

endlich und von Null verschieden, und - -r3 endlich und du2 \ du continuirlich für jeden Wert von u, so zeigt der Verfasser, dass man innerhalb der überhaupt möglichen Fehlergrenzen für ein unendlich wachsendes n für (1) den Ausdruck substituiren darf: Pu = wo (dHogPu\ _ n / d*F \ du2 /. 2 ^ du2 ist. Legt man nunmehr das Gauss'sche Fehlergesetz zu Grunde und ordnet n directe, gleich genaue Beobachtungswerte einer Unbekannten nach ihrer Grösse, mit dem grössten beginnend, so entwickelt der Herr Verfasser die Wahrscheinlichkeit a priori, dass das r te Glied dieser Reihe mit dem Fehler J - \ - u behaftet sei. Hierbei wird die Correction, welche an dem r tcn Gliede anzubringen ist, um bei bekanntem Genauigkeitsmass h aus diesem Glied allein einen wahrscheinlichsten Wert der Unbekannten abzuleiten, ebenso wie die Genauigkeit dieses corrigirten Wertes ermittelt. Diese letztere ist bei 2m-\-\ Beobachtungen für das mittelste Glied durch \

71 /

gegeben, während der analoge Ausdruck für das arithmetische Mittel aller Beobachtungen H' 2 = ist.

Ä2(l+2m)

Beide Genauigkeiten stehen also, wenn m hinlänglich gross

ist, im Verhältnis von 2 zu |/2 n oder ungefähr von 4 zu 5. Endlich leitet der Herr Verfasser die Wahrscheinlichkeit a priori ab, dass das arithmetische Mittel zweier gegen die Mitte einer nach der Grösse geordneten Reihe von n Beobachtungen

2 2 2 I V . Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

symmetrisch gelegener und um 2 d verschiedener Werte mit dem Fehler u behaftet sei.

Aus dieser Untersuchung folgt:

Die beiden symmetrischen Beobachtungen, deren Mittel die grösste Genauigkeit

besitzt,

nehmen

in

der

nach

der Grösse

geordneten Reihe die Stellen 0,27« und 0,73« + 1 ein. Die Genauigkeit dieses Mittels ist ungefähr gleich ¿ ^ 0 , 8 1 « , sie verhält sich daher zu der des arithmetischen Mittels aller Beobachtungen wie 0,9 zu 1.

Dieses Mittel

giebt

also

schon eine sehr gute An-

näherung.

Bö.

P. PIZZETTI.

S o p r a il c a l c o l o

sistema di osservazioni.

dell' errore m e d i o

di

un

Rom. Acc. L . Rend. V , . 740-744.

Einen angenäherten Wert des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit

erhält

vermittelnder

man

auf

Grund

Beobachtungen

der Ausgleichung

aus

der

sogenannter

bekannten

Gauss'schen

Formel:

wo n und w bezw. die Anzahl der Beobachtungen und der Unbekannten

und

Gewichtseinheit

[AA] die

Summe

reducirten

der

Quadrate

übrigbleibenden

der

Fehler

auf

die

bedeuten.

Herr Bertrand hatte in seinem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung bemerkt,

dass man noch auf unendlich viele andere

Weisen zu immer verschiedenen Ausdrücken des mittleren Fehlers durch die A gelangen könne. wenn 1In

die x~

gesuchten

relative

Häufigkeit

darstellbar ist,

der

Herr Pizzetti zeigt nun, dass, Fehler

von allen Formen,

mittleren Fehler

a posteriori

durch

die

welche

geben

Sopra

una g e n e r a l i z z a z i o n e

della media aritmetica.

Rom. Acc. L . Rend.

man dem

kann, die

Gauss aufgestellte die wahrscheinlichste ist.

P . PIZZETTI.

Formel

von

Bö.

del

v,.

principio 186-191.

I V . Abschoitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

223

P. PIZZETTI. S o p r a u n a certa f o r m u l a e s p r i m e n t e la p r o b a b i l i t à d e g l i e r r o r i di o s s e r v a z i o n e . Rom. Acc. L. Rend. Vj. 191-199.

Sind xlt x2, ..., xn n gleichwertige Beobachtungswerte einer Unbekannten x, so ist nach dem Princip des arithmetischen Mittels ihr wahrscheinlichster Wert 1

~

Der Herr Verfasser verallgemeinert diesen Ausdruck, indem er setzt:

(1)

=

wo die Form der Function f derart sein muss, dass x und f(x) einwertige Functionen von einander sind. Nimmt man hierzu noch die allgemein in der Geodäsie eingeführte Forderung, dass, wenn man allen a^, x2, . . . , xn einen gleichen Zuwachs giebt, der wahrscheinlichste Wert y denselben Zuwachs erhält, so ergiebt sich für die Function f der Ausdruck: f(x) =

K+

c wo K, c und d Constanten sind. Nach Unterdrückung des Factors ed nimmt dann (1) die Form a n : — e^ = — ( e c ' r ' + e Cä H h«®*")» C 71C welche für c = 0 wieder in das arithmetische Mittel übergeht. Unter Annahme dieses Princips zur Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes y würde sich als Analogon des Gauss'schen Fehlergesetzes ergeben :

(2)

=

2 h2 wo n = - , ist und c den absoluten Wert von c bedeutet, ein c Ausdruck, welcher für c = 0 in das Gauss'sche Fehlergesetz übergeht. In der zweiten Abhandlung giebt der Verfasser auf Grund des Fehlergesetzes (2) die Ableitung der Wahrscheinlich-

2 2 4 I V ' Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

keit, dass ein Beobachtungsfehler falle.

Hat c einen

z. B.

für

hinlänglich

zwischen

bestimmte Grenzen

kleinen Wert,

so ergeben

die Wahrscheinlichkeiten P, und P 2 ,

sich

dass ein Beob-

achtungsfehler positiv oder negativ sei, bis auf Glieder von der Ordnung c 4 und höhere, die Ausdrücke: „3

Pi

= i ~

6A|/rc c

P, = i -

6 k]/n

2160 h3]/rt ' +

2160Ä3]/TI

so dass also die Verteilung der Fehler nicht mehr symmetrisch gegen Null ist.

Für

das Quadrat

des mittleren Fehlers erhält

Herr Pizzetti mit derselben Genauigkeit: 2h22 V ^' 16 AV 2A

F.

VIRGILI.

Introduzione

e r r o r i di osservazione. Eine keineswegs Beobachtungsfehler

ad

Bö.

una nuova

teorica

originelle Einleitung

mit Ausblicken

auf

in die Theorie der

die

socialen

schaften (Statistik u. s. w.).

G.

G.

LORENZONI.

Sulla

osservazioni

dirette.

GARDENGHI.

degli

Ven. Ateneo (13) I. 244-253.

WissenBö.

teoria

degli

errori

fortuiti

nelle

Padova Atti. (2) V. 203-223.

Teoria

matematica

della

previdenza.

Parma. Battei.

Bericht darüber von G. Ricci in Besso Per. Mat. IV. 156-59, und in Ateneo Ligure X I I . 248.

R . LEHMANN-FILHÈS.

Beobachtungen.

Ueber Ausgleichung

abgerundeter

Astr. Nachr. C X X . No. 2876. 305-312.

I V . Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

225

In einer früheren Nummer der Astr. Nachr. (2622) hatte der Verfasser unter Zugrundelegung des Gauss'schen Fehlergesetzes die vorstehende Aufgabe bereits behandelt, jedoch bei Ermittelung des mittleren Fehlers ein Versehen begangen. Nunmehr nimmt er die Aufgabe nochmals vor, jetzt aber nach den Principien der Gauss'schen Theoria combinationis. Das Resultat ist, dass, wenn man die Ausgleichung unter Benutzung der abgerundeten Beobachtungswerte genau nach der Methode der kleinsten Quadrate durchführt, zu dem auf gewöhnliche Weise berechneten mittleren Fehlerquadrat noch zwei Glieder hinzukommen, welche man aber im allgemeinen wegen der Unbekanntschaft mit dem Gesetze der Fehlerverteilung und den wahren Werten der Unbekannten nicht streng wird bestimmen können. In der Praxis wird dies Resultat wohl kaum Verwendung finden. Bö. GUYOU.

Sur les approximations numériques.

Nouv.

Ann.

(3) V I I I . 165-186.

Die Berechnung numerischer Formeln (ohne Zuhülfenahme von Tafeln) wird ein durch zweierlei Arten von Fehlern beeinflusstes Resultat ergeben. Diese sind die Unsicherheiten in den gegebenen (etwa aus Beobachtungen abgeleiteten) Zahlen und die der Rechnung. Der Verfasser ermittelt den Einfluss beider auf das Resultat und entwickelt sodann Regeln, nach welchen man erkennt, wie genau man jede einzelne Zahl einer numerischen Formel in die Rechnung einführen muss, um das Resultat bis auf eine gewisse Grösse genau zu erhalten. Bö. F.

HOFMANN.

Ermittelung der Tragweite der Neuner-

probe bei Kenntnis der subjectiven Genauigkeit Rechnenden. A.

EMMERICH.

Schl5milch

des

z. xxxiv. 116-117.

Zur Neunerprobe.

Scblömilch

z. xxxiv.

320.

Ist für einen bestimmten Rechner die Wahrscheinlichkeit, sich bei einer Ziffernrechnung von gegebenem Umfang zu verrechnen, Fortschr. d. Matb. XXI. 1.

15

2 2 6 IV. Abschnitt. Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

gleich w, so ist, nach Herrn Hofmann, die Wahrscheinlichkeit, durch das Eintreffen der Neunerprobe nicht getäuscht zu sein:

Verrechnet sich j e m a n d z. B. durchschnittlich einmal auf drei Aufgaben von demselben Umfang, ist also w — so ist die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit eines Resultats, das der Neunerprobe genügt, gleich ^ f . Die Neunerprobe selbst und die Kontrolle durch Vergleichung der Reste (mod. 9) wird hierbei als fehlerfrei vorausgesetzt. Die zweite Notiz weist eine Bemerkung der ersten, dass die Neunerprobe bei Divisionen nur mit besonderen Vorsichtsmassregeln angewendet werden dürfe, als irrtümlich zurück. Bö.

F. Y. EDGEWORTH. Opening address.

Economic

science

and

statistics.

N a t u r a X L . 496-508.

Der Verfasser behandelt die Frage nach der Anwendbarkeit der mathematischen Methode auf die Volkswirtschaftslehre, wie dies von Cournot, Gossen, Jevons, Walras, Launhardt u. a. m. versucht ist. An der Spitze befindet sich folgende Disposition: „Punkte, auf welche mathematische Ueberlegungen in der Nationalökonomie anwendbar sind: A. Vollkommener Wettbewerb (competition). 1. Einfachster Markttypus. 2. Zusammengesetztes System von Märkten, vereinfacht durch gewisse Abstractionen. 3. Das concretere Problem eines Tausches und einer Verteilung. B. Monopol. 1. Verkehr zwischen einem einzigen Monopolisten und einem sich bewerbenden Publicum. 2. Verkehr zwischen zwei Monopolisten, oder Combinationen. Der Nutzen dieser Anwendungen der Mathematik auf Nationalökonomie, erläutert durch:

IV. Abschnitt. CombinatioDslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechuung.

227

1. Angewandt« Mathematik im allgemeinen. 2. Die mathematische Theorie der Statistik. Schlusswort." Aus dem Schlussworte führen wir folgende Stelle an: „Wenn man diese Parallelen annimmt, wird man vielleicht zu dem Schlüsse kommen, dass die mathematische Theorie der Volkswirtschaftslehre ein viel wichtigeres Studium ist als viele der seltsamen Spitzfindigkeiten, welche den Scharfsinn der Männer der Wissenschaft beschäftigt haben; dass sie im Vergleich zu einem grossen Teile der Logik und Metaphysik eine innige Beziehung zum Leben und zur Praxis hat, dass sie als ein Mittel zur Entdeckung der Wahrheit mit dem theoretischen Teile der Statistik sich auf gleicher Linie befindet; dass sie dagegen hinter der angewandten Mathematik weit zurücksteht in Bezug auf jene Art prästabilirter Harmonie zwischen dem stofflichen Gegenstande und den Schlussfolgerungen, wodurch die mathematische Physik zu dem vollkommensten Muster angewandter Wissenschaft wird." Lp. A. W. WOLF. Beiträge Invalidenversicherung.

zur Theorie

und

Praxis

Pr. Städt. Realgymn. Leipzig.

der

Leipzig.

Hinrichs. 4 0 S. u. 1 Taf.

Der Verfasser hatte in jüngster Zeit Gelegenheit, verschiedene Pensionskassen auf ihre Lebensfähigkeit zu prüfen, und sah sich daher genötigt, die eigene Statistik dieser Kassen zu berücksichtigen und ausführlich zu bearbeiten. Diese Untersuchungen betrafen die Pensionsanstalt der Genossenschaft deutscher ßühnenangehöriger, die Pensions-Zuschusskasse für Beamte der deutschen Reichspost- und Telegraphenverwaltung und die Pensions-Zuschusskasse der Musikmeister des Königlich Preussischen Heeres. Es wird der Versuch gemacht, aus der sorgfältig geführten Statistik dieser Kassen einige Zahlenangaben für die Fundamental-Wahrscheinlichkeiten zu gewinnen, nämlich: 1) für die Wahrscheinlichkeit eines activen Mitgliedes, im nächsten Jahre zu sterben (Sterbenswahrscheinlichkeit der Activen), 2) für die Wahrscheinlichkeit, im Laufe des nächsten Jahres in Pension 15*

2 2 8 I V . A b s c h n i t t . Combinationslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

gehen zu müssen (Invaliditätswalirscheinlichkeit), und 3) für die Wahrscheinlichkeit eines pensionirten oder invaliden Mitgliedes, im Laufe des nächsten Jahres zu sterben (Sterbenswahrscheinlichbeit der Invaliden). Für die wichtigste Wahrscheinlichkeit No. 2 wurden die erhaltenen Resultate mit den schon bekannten für die deutschen Eisenbahnbeamten verglichen. Aus den gewaltigen Unterschieden in dieser Zusammenstellung scheint hervorzugehen, dass man in Zukunft bei Untersuchung der Lebensfähigkeit von Pensionskassen nicht einerlei Fundamentalzahlen wird verwenden dürfen. In der zweiten Hälfte der Abhandlung werden die mathematischen Entwickelungen für die Ausdrücke zur Berechnung derjenigen Hülfszahlen gegeben, welche man zur Untersuchung der Lebensfähigkeit von Pensionskassen hauptsächlich nötig hat. An einigen Beispielen wird die Anwendbarkeit dieser Hülfszahlen und ihre Verwendung zur Berechnung der Invalidenrenten, der Activitätsrenten, der in jeder Altersklasse jährlich entstehenden Invaliden und der Werte ihrer Anwartschaft auf Invalidenpension gezeigt. Das gesamte Zahlenmaterial ist am Schluss in 11 Tabellen zusammengestellt. Eine Tafel giebt die Invaliditätscurven für die untersuchten Berufe. Bö.

A. Q u i q u e t . Généralisation C.R. CIX. 794-797.

de la loi de M a k e h a m .

Herr Bertrand hat in seinem Lehrbuche der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine einfache Ableitung eines von Gompertz aufgestellten und von Makeham erweiterten Theorems gegeben. Auf Grund des von Herrn Bertrand eingeschlagenen Weges verallgemeinert Herr Quiquet dasselbe in folgender Form: Es soll die Wahrscheinlichkeit gefunden werden, dass nach Ablauf von x Jahren eine Gruppe von n + p Individuen noch lebt, und zwar als Function von n von x unabhängigen Variabein. Das Problem wird auf die Integration linearer Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten und ohne zweites Glied

IV. Abschnitt. Combiiiaüonslehre u. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

zurückgeführt.

229

Für n = 1 ergiebt sich unter andern das Make-

ham'sche Gesetz.

Bö.

Over reserveberekening voor kontrakten van verzekering bij leven. Nieuw Arch. X V I . 215-224.

M . C . PAKAIRA.

Einige Betrachtungen und Berechnungen über die Reserveberechnung bei Lebensversicherungs - Contracten. Allgemeine Formeln werden gegeben sowohl für den Fall, dass nichts beim Ableben des Versicherten zurückgegeben wird, als für den Fall, dass alsdann die Summe der Netto- oder der Brutto-Jahresprämien zurückgegeben wild. G.

TH. G. A C K L A N D and G. F . H A R D Y .

Graduated exercises and examples for the use of students of the institute of actuaries' text-book, with solutions. (I: Interest. I I : Life contingencies.) London. V U H - 1 2 0 S .

L.

R.

Éléments d'économie politique pure.

WALRAS. Lausanne.

F . Rouge.

[Nature X L . 434-436].

und ß . L I E B E N . Untersuchungen über die Theorie des Preises. Leipzig. Ouncker und Humblot. [Nature AUSPITZ

XL. 242-244.]

G.

Prolusione a un corso libero di calcoli finanziari tenuto nella R. Università di Parma durante l'anno 1889. Parma. [Ref. in Ateneo Ligure, Anno XII, S. 248 PONCINI.

und in Besso Per. Mat. I Y . 156.]

A . NEWSHOLME.

The elements of vital statistics.

Sonnenschein. 344 S. 8°. [Nature X L . 145-147.]

London.

Fünfter Abschnitt. R e i h e n .

Capitel 1. Allgemeines. A.

PRINGSHEIM. A l l g e m e i n e Theorie der D i v e r g e n z C o n v e r g e n z v o n Reihen mit positiven Gliedern. Aon. X X X V .

und Math.

297-394.

Der Verfasser unterscheidet nach dem Vorgange von P. du Bois-Reymond (J. für Math. LXXVI. 61) Kriterien erster und zweiter Art, j e nachdem dieselben auf der Untersuchung des allgemeinen Gliedes a„ selbst oder auf derjenigen des Quotienten a B _ ! : a„ beruhen. Mittels des Princips der Reihenvergleichung wird in § 1 zunächst der allgemeine Ausdruck dieser Kriterien fixirt; nach Einschaltung einiger Formeln aus der Theorie der Logarithmen (§ 2) werden sodann die für die wirkliche Aufstellung der Kriterien erforderlichen typischen Formen für das allgemeine Glied jeder divergenten (§ 3), bezw. convergenten Reihe (§ 4) abgeleitet. In § 5 werden die Kriterien erster Art behandelt, wobei sich die allgemeinsten Typen für dualistisch getrennte Kriterienpaare ergeben, wie auch disjunctive Doppelkriterien, d. h. solche, bei denen die Prüfung der Convergenz oder Divergenz nur von der Prüfung eines einzigen Ausdrucks abhängt. Im Anschluss an die letzteren erscheint dann noch ein allgemeinstes Convergenz-Kriterium erster

Capitel 1.

Allgemeines.

231

Art, welches das Analogon zu dem bisher isolirt

dastehenden

allgemeinsten (Kummer'schen) Convergenzkriterium

zweiter Art

(J. für Math. XIII. 172) bildet. Kriterien und

erster,

neben den

in

§ 7

diejenigen

bekannteren

dere von gleicher

Es werden sodann in § 6 die Formen

Allgemeinheit

zweiter

Art

besprochen

der letzteren

abgeleitet.

noch

an-

Der § 8 behan-

delt die Beziehungen zwischen den Kriterien erster und zweiter Art, welche das Analogon

zu der von Cauchy erwiesenen Be-

ziehung zwischen lima M " und lim

a

"+1

liefern. — Der Schluss

ün der Abhandlung (§ 9 und § 10) beschäftigt sich mit Reihen von niemals zunehmenden positiven Gliedern. Für diese werden 1) Kriterien dritter Art, d. h. solche aufgestellt, welche von dem Grenzwerte der Differenz an—an+1 oder 0^+1—ä^1 abhängen; 2) erweiterte Kriterien zweiter Art, bei denen statt des Quotienten an+1: an der Quotient an+p: an in Betracht gezogen wird. Es sei noch darauf hingewiesen, dass der Herr Verfasser sich nicht nur mit der bereits erwähnten Arbeit von P. du BoisReymond, sondern auch mit den übrigen hierher gehörigen Arbeiten eingehender auseinandergesetzt hat. Wz.

Uua considerazione relativa alle serie a terpositivi. Batt. G. X X V I I . 345-351.

GIUDICE. IXlini

Nach den Kummer'schen Convergenzkriterien handelt es sich um die Untersuchung der Grenzen von n+i

für n = 00. Der Herr Verfasser giebt an, wie q>„ zu wählen u ist, falls — — == l - l - o j n ^ - t - o , « - 2 - ) — ist; für die harmonische Wjs+l Reihe setzt er q>„ = « l o g « und bestimmt die Euler'sche Constante; endlich zeigt er, dass i ä ist.

(nflog«P

(wP + l)log(ni'-)-l)"'

^ w«Iog«« ]

—

Wz.

V. Abschnitt.

232 N.

W.

BUGAIEFF.

Reihen.

Zur

Reihen.

Theorie

der

Convergenz

der

Mosk. math. Samml. X I V . 279-282. (Russisch.)

Zwei Reihen mit allgemeinen Gliedern »„ und tp'(n)- u y{n) sind conjugirt in dem Sinne, dass aus der Convergenz resp. Divergenz der einen die Convergenz resp. Divergenz der andern folgt. Die Notiz bezweckt, den Zusammenhang des Convergenzkriteriums von Ermakoff mit diesem vom Verfasser im Jahre 1863 gefundenen Gesetz der Conjugirtheit zu zeigen. Wi.

E. CESARO.

Contribution

À la t h é o r i e des limites.

Darb. Bull. (2) XIII. 51-54. +a M *u* " " i u m i + 2 + ••• 4-«» kann die divergente Reihe positiver Glieder w, + m3 -f u3 — durch eine analoge vl + ®2 v3 - | — ersetzt werden, wenn für a v j » J i li — — i LJ, —, + a ü8l \H, -\-a n v n gegen eine . ,ben = oo der Ausdruck n v i + ®2H h«» u stimmte endliche Grenze A und — durch abnehmende Werte

In dem Grenzwert des Quotienten

+a

gegen Null convergirt. Wenn man eine veränderliche ganze Zahl n durch eine stetige Veränderliche x ersetzen will und die Functionen cp, ip mit x ins Unendliche wachsen, während das Verhältnis ihrer Ableitungen durch abnehmende Werte gegen Null convergirt, so ist lim fty'dx — lim fip' dx, vorausgesetzt, dass die rechte Seite existirt. Dieser Satz, der unmittelbar ersichtlich ist, wenn f gegen eine Grenze convergirt, ist auch richtig, wenn dies nicht der Fall ist. Wz. A. GUTZMER.

N o t e s u r u n p o i n t d e la t h é o r i e d e s s é r i e s .

Nouv. Ann. (3) VIII. 22-27, Teixeira J. IX. 60-64.

Aus der Convergenz einer Reihe «„ + «, die Existenz einer Grenze für tient beliebig gross werden.

Wv+i

—

folgt nicht

Uy .' vielmehr kann dieser QuoEine solche Reihe ist die von

Capitel 1.

233

Allgemeines.

Herrn Lerch angegebene £