Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 14 Jahrgang 1882 [Reprint 2020 ed.] 9783112357668, 9783112357651

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern und unter b e s o n d e r e r M i t w i r k u n g der Herren

Felix Mfiller und Albert Wangerin herausgegeben von

Carl Ohrtmann.

Vierzelmter Band. Jahrgang

1882.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g

1885.

Reimer.

Erklärung der Citate.

E i n e eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzabl b e z e i c h n e t die Reihe (Serie), zu der der Band gehört. Abh. z. Gesch. d. Math.: Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik. L e i p z i g . Teubner. IV. Act. Math.: Acta Mathematics. Zeitschrift herausgegeben von G. MittagL e f f l e r . Stockholm. I - I I I . Almeida J.: Journal de physique théorique e t appliquée, publié par J . Ch. d'Almeida. Paris. 8°. Am. Ass.: Proceedings of the American Association for the advancement of sciences. Am. J. Sc.: American Journal of sciences and arts. Amsi. Jaarb.: J a a r b o e k van de Koninklijke Akademie van Weteoschappen. Amsterdam. Amst. Verh.-. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Amsterdam. Amu. Yersl. en Meded.: Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Afdeeling Natuurkunde. Amsterdam. X V I i . Anal.: T h e Analyst, a monthly journal of pure and applied mathematics. Edited and published by J . E. Hendricks. Des Moines, Jowa. gr. 8». IX. Andresen Tekn. Foren. Tidsskr.: Den tekniske Porenings Tidsskrift udgivet af A. Andresen. Kopenhagen. Ann. d. C'him. et Phys.: Annales de Chimie et de Physique par MM. Ohevreul, Dumas etc. Paris. Masson. 8°. X X X I I I . X X X I V . Ann. de VÊc. Norm.: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, pabliées sous les auspices du Ministre de l'instruction publique par M. Le P a s t e u r . Paris. Gauthier-Villars. 4°. (2) XI. Arth. / . Art. : Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Officiere des Deutsehen Reichsheeres. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher, lierausgegeben ven C. A. F. P e t e r s . Altona. 4". 2443. Ash. Vier/sehr.: Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft. Herausgegeben von E . Schoenfeld in Bonn, A. Winnecke in Strassburg i. E . Leipzig. W. Engelmann. 8°. A*

IV

Erklärung der Citate.

Bair. Bl.: Blätter für das bairische Gymnasial- nnd RealachulweBen, redigirt von W . Bauer nnd A . Kurz. München. 8'. X V I I , X V I I I . Batt. O. : Giornale matematico ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato per cura del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8 4 . XX. Belg. Ann.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. F . Hayez. Belg. Ann : Annales de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. Belg. Bull.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles 8°. (3) III, IV, V. Belg. Mém. C.: Mémoires couronnés de l'Académie Royale de Belgique. Bruxelles. 4«. X L I V , X L V . Belg. Mém. S. E.: Mémoire in 4° des Savants É t r a n g e r s de l'Académie de Belgique. X L I V . Belg. M. N. : Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale de Belgique. Bruxelles. 4*. Beri. Abk.: Mathematisch - physikalische Abhandlungen der S g l . Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. Monatsber.: Monatsberichte der E g l . Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1882. Bibl. un.: Bibliothèque universelle et revue suisse. Archives des sciences physiques et naturelles. Lausanne. Bridel. Bologna Mem.: Memorie dell' Accademia Reale di scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. 4°. Bologna Rend.: Rendiconti dell' Accademia Reale di scienze dell' Istituto di Bologna Bologna. Bone. Bull.: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni. Roma. 4°. X I V , XV. Bord. Mém.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles à Bordeaux. Bordeaux. Paris. 8®. (5) V. Rriosehi Ann. : ADnali di matematica pura ed applicata diretti da F . Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma dal Prof. Tortolini. Milano. 4°. (2) X. Brìi. Ass. Rep.: Reports of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 1882. Brüse. Ann.: AnnaleB de l'Observatoire Royal de Bruxelles, publieés aux frais de l'État. Bruxelles. F. Hayez. 4°. Brüx. S. sc.: Annales de la société scientifique de Bruxelles. Bruxelles. F. Hayez. (Doppelt paginirt, unterschieden durch A und B.). VI, VII. Cambr. Proc.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. IV. Cambr. Trans.: Transactions of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. X I I I . Carl Rep.: Repertorium für Expérimental-Physik, herausgegeben von Ph. Carl. München, gr. 8°. Cas : Casopis; Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vom Vereine böhmischer Mathematiker in P r a g . Prag. 8°. (Böhmisch). XI. Centr. f . Forslw.:

Centraiblatt für das gesamuite Forstwesen.

Erklärung der Citate. Chark. Ges.:

Mitteilungen der mathematischen Gesellschaft in Charkow.

Chrimania Fork.: XXI, XXII. Christ.

Forhaudlingar i V i d e n s k a b s - S e l s k a b e t

i Christiania.

8°.

W.: Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania. Christiania.

G.d.

Der Civilingenieur.

Civüing.:

v

Herausgegeben von K . H . Borneinann.

Conn,, d. temps-. Connaissance P a r i s . Gauthier-Villars. 8°. Conn. Trans.: Transactions sciences. New-Haven.

of

des the

tempB

on

des mouvements

Connecticut A c a d e m y

0. Ä . : Comptes Rendus hebdomadaires des séances Sciences. P a r i s . 4". X C I V , X C V .

de

of

Celesten. arts

and

l'Académie

des

Croît, cient.: Cronica cientifica revista iuternatioual de ciencias, fuodador proprietario y director D. Rafael R o i g y Torres. Barcelona. 8°. D. Versz.:

Deutsche

Versicheruogszeitung.

Darb. Bull.: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, réd i g é par M M . G. Darboux et J. Hoüel avec la collaboration des M M . A n d r é , L e s p i a u l t , Painvin et Radau, sous La direction de la Commission des H a n t e s Etudes. Paris. Gauthier-Villars. 8*. (2) V I . Dublin

Tram.:

Transactions of the Royal Irish A c a d e m y .

Dublin. X X V I I I .

Edtnb. Proc.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. burgh. 8°. X X X I I , X X X I I I , X X X I V .

Edin-

Edinb. Trans.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. burgh. 4°. X X X .

Edin-

Ed. Times: Mathematical questions, with their solutions from the „Educational T i m e s " with many papers and solutions not published in the „Educational T i m e s . " Edited by W . J. C. Miller. L o n d o n . 8°. C. P . H o d g s o n and Son. X X X V I , X X X V I I . Electrot. Z.: Elektrotechnische Zeitschrift. technischen "Verein. Berlin. 4°. I I I .

Herausgegeben

vom

elektro-

Erlang. Ber.: Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. Erlangen. 8°. Franc. Ass : Association Française pour l'avancement des sciences naturelles. 1880. Gen. Mém.: Mémoire de la société de physique et d'histoire naturelle de Genève. Genève. 4°. Librairie H. Georg. X X V I I f . Gött. Abh.: Abhandlungen der K g l . Gesellschaft der Wissenschaften zu Güttingen. Göttingen. 4°. X X I X . Gött. N.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen. Göttingen. 12°. 1882. Hamb. Mitt.: Hamburg. Heising/. Afh.:

Mitteilungen 8°. 1882.

der Hamburger

Mathematischen

Gesellschaft.

Akademiens Afhandlingar Helsingfors.

Herrn.: Hermatbena, a series of papers on literature, science and philosophy, by members of Trinity College. Dublin. Ponsonby. 8°. 1882. Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Uoterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J. C. V . Hoffmann. L e i p z i g . Teubner. 8°. X I I I . Hoppe Arch.: Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten gegründet von J. A . Grunert, fortgesetzt von R. Hoppe. Leipzig. C. A . K o c h . 8«. L X V 1 I , L X V I I I , L X I X .

VI

Erklärung der Citate.

J. de tÉc. Pol.: Journal de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. Gauthier-Villars. 4°. ./. Hopkins circ.: Johns Hopkins University Circulare. 1882. (Bd. II.) Jordan, Z. f . V. : Zeitschrift für Vermessungskunde, herausgegeben von W. Jordan. Kazan Ber.: Sitzungsberichte der mathematischen Section des Naturforschenden Vereins zu Kazan. 1881-1882. Kazan Ges.: Sammlung der Mitteilungen der physikalisch-mathematischen Gesellschaft zu Kazan. Kazan Nachr.: Nachr. der Kaiserlichen Universität zu Kazan. Kjob. Skrift.: Schriften der Kopenhagener Akademie. Kopenhagen, ((i) I. Klein Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. P. A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren P. Gordan, C. Neumann, K. v. d. Mühll gegenwärtig herausgegeben von F. Klein und A. Mayer. Leipzig. Teubner. 8°. XIX, XX. Königsb. Sehr.: Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg i. P r . Königsberg i. P r . 4°. Kopenh. Overs. : Orersigt Over Videnakabs Selskabet Forhandlingar. Kopenhagen. Krak. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch- naturwissenschaftlichen Section der Krakauer Akademie. Krakau. (Polnisch.) Krak. Denkschr.: Denkschriften der Krakauer Akademie der Wissenschaften. Krakau. (Polnisch.) Kronecker J.: Journal für reine und angewandte Mathematik. In zwanglosen Heften. Herausgegeben von L . Kronecker und K. Weierstrass mit tätiger Beförderung hoher Königl. Preussischer Behörden. Fortsetzung des von A. L. Crelle (1826-18561 und 0. W. Borchardt (1856-1880) herausgegebenen Journals. Berlin. G. Reimer. 4°. XCII, XCIII, XCIV. Leipz. Abk.: Abhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. Leipz. Ber.-. Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. Lie Arch.: Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Christiania. 8 o . VII. Liège Mém.: Mémoires de la Société Royale des sciences de Liège. Liège. (2) X. Lisb. J.: Jornal de Sciencias Mathematicas, Fhysicas e Naturales publicados sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de LiBboa. Lisboa. Lisb. Mem.: Memorias da Academia Real das Sciencias de Lisboa Lisboa. Lomb. Rend.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendicouti. Milano. 8°. (2) XIV, XV. Lond. M. S., Proe.: Proceedings of the London mathematical Society. London. 8». XIII. Lond. Phil. Trans.: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4®. CLXXI, CLXXII, CLXXIIT. Lond. R. S., Proc.: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8" XXXIII. Lund Act.: Acta universitatis Lundensis. Lund. Lund A/h.: Lunds Akademiens Afhandlingar. Lund. 0 Lund Arsskr : Lunds Uuiversitets Arsskrift. Lund. XVIII

Erklärung der Citate-

vu

Manch. Proc.: Proceedings of the litterary and philosophical Society of Manchester. Manchester. Marb. Ber.: Sitzungsberichte der Gesellschaft zur Beförderung der gesamtst e n Naturwissenschaften zu Marburg. Marburg. 8°. 1882. Math.: Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissement d'instruction moyenne publié par P . Mansion e t J . Neuberg. Gand. H o s t . Paris. Gauthier-Villars. 8°. I, II. Mem. R. Astr. S. : Memoirs of the Royal Astronomical Society. London. 4°. Mess.: The Messenger of mathematics, edited by M. Allen Whitworth, C. Taylor, R. Pendlebury, J . W . L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan. 8'. (2) XI, XII. Modena Mem.: Memorie della Accademia Reale di Modena. Modena. XX. Monthl. Not.: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4". Mosk. Nachr.: Nachrichten der Moskauer Universität Moskau. (Russisch). Münch. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Bairischen Gesellschaft der Wissenschaften zu München. Zweite Classe. Mönchen. 1882. Münch Ber.: Sitzungsberichte der E g l . Bairischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8°. 1881, Nap. Rend.: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Napoli. 4°. XXI. Néerl. Arch.: ArchiVes Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem. L a Haye. 8*. XVII. Nieuto Arch.: Nieuw Archief voor wiskunde. Amsterdam. 8°. VIII, IX. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux écoles Polytechnique et Normale, rédigé par MM. Gerono et Ch. Brisse. Paris. 8°. (3) I. Observatory: The Observatory, a monthly review of astronomy. Edited by W. N. M. Christie. M. A. London. Odessa Nachr.: Nachrichten von der Universität Odessa. Odessa. Padova Atti: Atti della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di Padova. Padova. Par. Denkschr.: Denkschriften der Pariser Gesellschaft der exacten Wissenschaften. Paris. 4°. (Polnisch). Paris Mém. prés.: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de l'Institut de France Paris. Paris Soc. Phil. : Bulletin de la Société Philomatique de Paris. Paris. 8°. Petersb. Abh.: Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg. Petersburg. (Russisch). X. Pétersb. Bull.: Bulletin de l'Académie impériale de St. Pétersbourg. Pótersbourg e t Leipzig. Polio. X X V I I . Phil. Mag.: The London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and journal of science, by Brewster, Kane, Francis. London. 8". Phys. Ges. St. Pit.: Journal der physiko-chemischen Gesellschaft zu St.Petersburg. Prag. Abh. : Abhandlungen der König], Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. Selbstverlag der Königl. Böhmischen Gesellschaft. 4°. ( G ) XI. Prag. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. 8". 1881.

Vin

Erklärung der Citate.

Quart. J. : T h e Quarterly Journal of pare and applied mathematics by Sylvester and Ferrers. London. 8". X V I I I , X I X .

Edited

Risai J. : Journal de mathématiques pures et appliquées fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J . Liouville. Publié par H . Résal avec la collaboration de plusieurs savants. Paris. 4*. (3) V I I I . Rev. dì Art. : R e v u e d ' A r t i l l e r i e paraissant le 15. de chaque mois. Paris. Rev. d. gu sc.: Revue deB questions scientifiques. X I , X I I . Revue de rinstr. p.: R e v u e de l'instruction publique de Belgique. Gand. 8°. XXV. Ri». Mal. el.: Rivista di matematica elementare. (2) X V . Rom. Arc. L.: Atti della Accademia R e a l e dei Lincei. Roma. 4°. (3) V I . Rom. Acc. L. Mem. : Memorie della Accademia Reale dei L i n c e i . Roma, gr. 4*. tfIV. Rom Acc. P. d. N. L : A t t i della Accademia Pontificia dei N u o v i Lincei. Roma. 4°. X X X I I I , X X X I V . Schl'ómilch Z.: Zeitschrift für Mathematik uud Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Redaction von Schlòmilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Teubner. 8°. X X V I I . Hl. A.: Historisch-literarische Abteilung (besonders puginirt). S. M. F. Bull : Bulletin de la Société Mathématique de F r a n c e publié par les secrétaires. Paris. 8°. I X , X . Stockh. Handl.: Handlingar af K o n g l Svenska Y a t e n s b a b s AkademieuB. Stockholm. V I , X V I I I . Stockh. Ö/v.: ö f v e r s i g t af K o n g l . Svenska Vetenskabs Akademiens F o r handlingar. - Stockholm. XXXVII. St/lv. Am. J.: American Journal of mathematics pure and applied. Editor in chief: J . J . S y l v e s t e r ; Associate Editor in charge: W . E . Story. Published under the auspices of the Johns Hopkins University. Baltimore. Murphy. 4°. I V , V . Teixeira J.: Jornal di Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pel Dr F . Gomes T e i x e i r a . Coimbra. 8°. I V . Torino Ann.: Annuario dell' A c c a d e m i a R e a l e di scienze e di lettere di Torino. Torino. Torino Atti: A t t i della R e a l e A c c a d e m i a di Torino. T o r i n o . H°. X V I I . Torino Mem.: Memorie dell' A c c a d e m i a R e a l e delle scienze di T o r i n o . Torino. Toul. Mém.: Mémoires de l ' A c a d é m i e des sciences, inscriptions et belleslettres de Toulouse.

Toulouse.

Dulagrave. 8°. (6)

IV.

Upsala Afh.:

A k a d e m i e n s Afhandlingar. Upsala. o Ups. Arsskr.: Upsala Universitets Arsskrift. Upsala. 8°. Upsaliensis. Ups. N. Act.: N o v a A c t a R e g i a e Societatis Scientiarum Upsala. 4°. Ven. At., Atti: A t t i dell' A t e n e o V e n e t o . V e n e z i a . Cecchini. 8°. Ven. 1st., Atti: A t t i del Reale Istituto V e n e t o di scienze, lettere ed arti. Venezia. 8°. (5) V I I , V i l i . Ven. 1st., Mem.: Memorie del Reale Istituto Veneto di s c i e n z e , lettere ed arti. Venezia. Verhandl. d. naturh. Vereins für Rheinland und Westphalen. X X X I X . Warsch. J.: Jahrbuch der Arbeiten Warschauer Studenten. Warschau. 1881.

Erklärung der Citate.

IX

Wash. Bull.: Bulletin of tbe Philoaophical Society of Washington Wiedemann Ann.: Annalen der Physik und Chemie. (Jäter Mitwirkung der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin und insbesondere des Herrn H . Helmholtz herausgegeben von G. Wiedemann. Leipzig. Barth. 8*. (2) XV, XVI, XVII. Wien. Anz.: Anzeigen der Kaiserlichen Akademie der Wissenscharten zu Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Wien. 8°. 1882. Wien. BIT.: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien Zweite Abteilung. Wien. 8°. LXXXV, L X X X V l , LXXXV1I. Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe Wien. 4*. X L V , XLVI. Wochenschr. f . Astr.: Wochenschrift für Astronomie. Halle a. S. H. W. Schmidt. Wolf Z.: Vierteljahraschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8°. XXIV, X X V , XXVI, X X V I I Woolwich, Art. Inst. Proe.: Proceedings of the Royal Artillery Institution. Woolwicb. fe®. XI, XII. Z. dttth. Iny.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, herausgegeben von Ziebarth. Bertin. 4°. Zeuthen T.: Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af Zeuthen. Kopenhagen. 8°. (4) VI. Z. Realsch : Zeitschrift für das Realschulwesen. VII.

Inhaltsverzeichnis. (Die mit einem f verseheneu Arbeiten sind ohne Referate )

Erster Abschnitt.

Geschichte uud Philosophie.

C a p i t e l 1. Â.

Geschichte.

Biographisch-Literarisches. Steit«

Th. v o n O p p o l z e r . Ueber eine von Archilochos erwähnte Sonnenfinsternis A. K i e c k e . Pythagoras P . T a n n e r y . Système astronomique d'Eudoxe P. T a n u e r y . L e fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules H. 6 . Z e u t h e n . Fra Mathematikens Historie, II—III P. T a n n e r y . Aristarque de Samos P. T a n n e r y . Critique ancienne d'une démonstration d'Archimede . P. T a n n e r y . Sur les fragments de Héron d'Alexandrie conservés par Proclus B. S e p p . Zu Posidouius Rhodius W i n t e r b e r g . Der Tractat Franco'» von Lüttich: „De quadratura circuii" E. N a r d u c c i . Due trattati inediti d'Abaco M. S t e i n s c h n e i d e r . Sur les tableB astronomiques attribuées ¡1 Pierre III. d'Aragon H. S u t e r . Unbekannte Schrift des Nie. Oresme J . P. G r a m . L e triparty de Nicolas Chnquet O. Z. B i a n c o . G. F. Peverone J. P e r o t t Une arithmétique espagnole du 16m2 bezog er die Königsberger Universität zu j e n e r Zeit, wo Königsberg seine mathematische Glanzperiode feierte, gekennzeichnet durch die Namen Jacobi, Bessel, Richclot und F. Neumann. 1840 promovirte er mit der Arbeit „Ueber die Oberflächen zweiten Grades" und habilitirte sich kurz darauf. Zehn J a h r e dauerte es, bis er endlich als ordentlicher Professor nach Halle kam. Von dort siedelte er 1856 nach Heidelberg und 18(38 nach München an das neugegrttndete Polytechnicum Uber. Er starb am 4. August 1874. Die vorliegende Gedächtnisrede enthält indess mehr, als einen trocknen Nachruf. Sie giebt eine Analyse der Arbeiten des bekannten Mathematikers. Der Verfasser hat es dabei verstanden, an die Schilderung der Leistungen de}' einzelnen Persönlichkeit eine in kürzesten Zligen gehaltene Darstellung der Geometrie Uberhaupt zu knüpfen. Die Darstellung des Verfassers characterisirt die Etappen der Entwickelung der Geometrie durch die Namen Euklid, Descartes, Monge, Poncelet, Steiner, Chasles, PlUcker. 2*

I. Abschnitt.

20

G e s c h i c h t e und P h i l o s o p h i e .

Besonders hervorgehoben wird überall der Zusammenhang zwischen der Entwiekelung der Geometrie und der Algebra. Durch diese allgemeinen Beziehungen werden vielfach sonst schwer zu Ubersehende Zusammenhänge zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik gewonnen. 0.

L. TETMAJER. Zürich.

Ueber Culmann's bleibende

Leistungen.

Meyer u. Zell.

A. FAVARO.

D e i l a v i t a e d e g l i scritti di Carlo C u l m a n n .

V e n . Ist. Att. (5) V I I I . 715-740.

Schilderung des Lebens und der Leistungen des b e k a n n t e n Mathematikers.

D.

0.

C o m m e m o r a z i o n e di G i u s t o

TURAZZA.

Bellavitis.

V e n . Ist. Atti (5) V I I I . 395-422.

Nachruf flir Bellavitis.

Siehe F. d. M. XIII. 1881. p. 2;3-24. 0.

D.

BIERENS

auteurs

B i b l i o g r a p h i e N é e r l a n d a i s e liisto-

DE H A A N .

rico-scientifique sont

nés

des aux

ouvrages

importants

dont

16", 17" et 18" s i è c l e s ,

les

sur les

s c i e n c e s m a t h é m a t i q u e s et p h y s i q u e s a v e c leui-s a p p l i cations.

B o n c . Bull.

X I V . 519-G30, 077-718, 1881;

XV.

225-312,

355-438.

Der Inhalt dieser Arbeit ist aus dem Titel völlig ersichtlich. Die Arbeiten sind alphabetisch nach den Namen der Autoren geordnet und mit allen Notizen versehen, welche von Interesse sein können. 0.

P. R I C C A U D I .

N o t a s t a t i s t i c a di storia

Modena, Metri. X X . 299-310.

matematica.

Capitel 1.

Geschichte.

21

Die Arbeit enthält eine Zusammenstellung statistischer Notizen über das Leben und die Arbeiten italienischer Mathematiker. Referent kann den Nutzen der mühsamen Arbeit nicht verstehen. Historisch wird nichts gefördert, und die Einteilung der berücksichtigten Männer in Mathematiker l t e r , 2 , e r , .i ter , 4 ,er Klasse wird mit nichts motivirt. (Genannt wird nur die erste Klasse Archimed, Galilei, Lagrange.) 0.

15.

Geschichte einzelner

P. dk L a g a r d k .

Disoiplinen.

Woher stammt das x der Mathematiker?

Gött. N. 1882. 409-413.

Der Verfasser zeigt, dass der Gebrauch des x durch die arabische Uebersetzung des Wortes cosa, nämlich rcei entstanden ist, und teilt einen Brief von Herrn Menge in Mainz mit, worin dieser zu erklären sucht, wie der Gebrauch des Wortes «ei aus dem bei Diophant gebräuchlichen ¿Qi&fioe entstanden sei. 0.

S. G ü n t h e r . Sur la dépendance entre certaines méthodes d'extraction de la racine carrée et l'algorithme des fractions continues. Bord. Mém. (2) V. 91-107. Um gewisse im Altertum vorkommende Näherungswerte von Quadratwurzeln zu erklären, haben Mollweide und Alexejeff Berechnungsmethoden angegeben, welche keine weiteren arithmetischen Vorkenntnisse voraussetzen, als solche, die bereits zur Zeit des Archimedes bekannt sein konnten. In der vorliegenden Note aber wird gezeigt, dass beide Verfahrungsweisen doch nur versteckte Kettenbruch-Algorithtuen involviren. Gr.

S. G ü n t h e k . Die quadratischen Irrationalitäten der Alten und deren Entwickelungsmethoden. Abb. ?.. g. d. M. IV. 1-134.

22

I. Abschnitt.

Geschichte unil Philosophie.

Der Verfasser hat die Untersuchungen wieder aufgenommen, über die bereits im Bande XI. 1879. dieses Jahrbuches p. :;7-38 berichtet worden ist. Er beschränkt sich in dieser Arbeit auf quadratische Irrationalitäten, zieht dafllr aber auch alle anderen Methoden als Kettenbruchentwickelungen, in den Kreis seiner Untersuchung. Gemäss dem Ziele der Untersuchung zerfällt die Abhandlung in drei Capitel, in deren erstem das Material aus dem Altertum gesammelt wird. Das zweite Capitel (p. n 1-100) ist der Ableitung der antiken Quadratwurzeln durch offene oder versteckte Kettenbruch-Algorithmen gewidmet und das 3 te (101-129) der Ableitung derselben durch Entwickelung in Bruchreihen. Auf die Untersuchung selbst näher einzugehen, erlaubt der hier gestattete Raum nicht. Referent niuss sich daher begnügen, die wesentlichsten Ergebnisse anzuführen. Die Alten gingen bei der Berechnung irrationaler Quadratwurzeln durchgängig von der Relation i V - f ö = a + —— 2a aus und brachten dann in fast empirischer Weise Verbesserungen an.

Von der so gewonnenen ersten Annäherung aus

gewann

man methodisch durch Betrachtungen ähnlich denen, die bei der Auflösung der Pell'schen Gleichung gebraucht werden, weitere Näherungswerte.

Ein Kettenbruchverfahren, welches mit dem jetzigen

Aehnlichkeit hätte, existirte ebenso wenig, wie die Auflösung in eine Bruchreihe.

Nur bei den Indern, Arabern und Juden des frühen

Mittelalters finden sich die Näherungswerte der Entwickelung ]'a'±b

=

a±b-.2a±b:2a.... 0.

F.

SCHLEPPS.

Die Logarithmen.

Leipzig

Scholtz.

Das Buch will in möglichst einfacher und elementarer Weise den Begriff und das Wesen der Logarithmen auch dem grossen Publicum zugänglich machen. Der Verfasser entwickelt d a h e r zunächst in einer Einleitung eine Geschichte der Logarithmen. Seine Behauptung, Jost Bürgis sei als der Entdecker anzusehen, wird vielfach beanstandet werden. Dann giebt er die einfachsten Sätze und Anwendungen der Logarithmen. 0..

Capitel 1. KIESSLING.

Geschichte.

23

Ueber die Entwickelung des Imaginären in

der A n a l y s i s .

Hamb. Mitt. 1KÖ2. 24-26.

Aus dein vorliegenden

kurzen Auszuge ergiebt sich,

dass

Herr Kiessling zunächst die Versuche der italienischen Algebraiker (Girardet) zur Benutzung des Imaginären erwähnt.

Er schildert

dann die Entwickelung des Algorithmus imaginärer Zahlen und ihrer Anwendung von Euler bis Riemann.

F.

0. •

Die geometrische Zahl in Platon's VIII. Buche vom Staate. Schlömilch Z. X X V I I . Hl. A. 42-60. HULTSCH.

Die Veröffentlichung von Dupuis': „Le nombre géométrique de Platon; interprétation nouvelle" (Paris 1881) gab auch Herrn Hultsch Veranlassung, mit deu Ansichten nicht mehr zurückzuhalten, welche er sich bereits vor längerer Zeit über dieses viel umstrittene Problem gebildet hatte. Für ihn ist diese Zahl gleich 3600'

-- 2 S . 3 4 . 5 4 = 3 \ 4 4 . 5 4 = 700. 2700. ^ 7 — y • J 7 — y •

Als eine wesentliche Stütze dieser Hypothese darf man es betrachten, dass sie nur mit den Zahlen 3, 4, 5 operirt, welche als Seitenmasszahlen des einfachsten pythagoräischen Dreieckes in der älteren Mathematik eine so gewichtige Rolle spielten. Zudem lassen sich gewisse grosse Zeitperloden der antiken Astronomie (das grosse platonische J a h r u. s. w.) zu der genannten Zahl in eine ganz ungezwungene Beziehung setzen. Gr.

O.

STOLZ.

Zur Geometrie der Alten, insbesondere über

ein Axiom des Archimedes. Siehe Abschn. VIII. Cap. 1.

E.

MAHLER.

innsbr.'Ber. xii. / « - ¿ " f . ^37.

Beitrag zur Geschichte der Mathematik.

Schlömilch Z. X X V I I

Herr Cantor

HL. A. 207-210.

hatte gelegentlich

einmal gebeten,

nach der

I. Abschnitt.

24

Geschichte und Philosophie.

Stelle des Talmud zu forschen, auf der die orientalische Annahme n = 3 beruhe. Dies geschieht in der vorliegenden Notiz. 0.

Alhazen's problem. Its bibliography and an extension of the problem. Sylv., Am. J. I V . 327-332.

M . BAKER.

Alhazen's Problem ist folgendes: „Von zwei Punkten in der Ebene eines Kreises sollen Linien gezogen werden, welche sich in einem Punkte der Peripherie schneiden und gleiche Winkel mit der im Schnittpunkt gezogenen Tangente bilden." Die vorliegende Arbeit giebt ein Verzeichnis der Mathematiker, welche sich mit diesem Problem beschäftigt haben, und Uberträgt dasselbe im zweiten Teil auf die Kugel. 0.

E.

GELCICH. Eine Studie über die Entdeckung der analytischen Geometrie. Mit Berücksichtigung eines Werkes des Marino Ghetaldi Patrizier Rogusaer. Aus dem Jahre 1630. Abh. z. G. d. M. IY. 191-232.

Das Werk des Ghetaldi, welches den Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit bildet, heisst: „De resolutione et compositione matheinaticis. Libri quinque. Opus posthumum. Roma. Ex typographia reverendae camerae apostolicae. M D C X X X . " Der Verfasser giebt zunächst nähere Nachrichten über Ghetaldi's Person und Leben. Dem folgt eine genaue Analyse des oben citirten Werkes. Der Verfasser bespricht nun kritisirend die Autoren, welche in Folge desselben Ghetaldi für den Entdecker der analytischen Geometrie ausgegeben haben, und lässt dann einen Ueberblick Uber frühere Anwendungen der Algebra auf die Geometrie folgen. Er kommt schliesslich zu dem Resultate, dass das Verdienst des Ghetaldi gegenüber Oresme und Anderen darin bestehe, dass er die Anwendung der Algebra auf die Geometrie zuerst zum Gegenstand eines besonderen Studiums gemacht habe. Der letze Abschnitt enthält noch Einiges Uber Descartes, worüber

C a p i t e l 1.

25

Geschichte.

auc:h in der Arbeit von Krämer

^sichc p. 26)

sproeben ist.

V.

Liste d e s t r a v a u x

LIGUINE.

cartes.

D a r b . Bull

(V)

ausführlich 0.

sur l e s o v a l e s de

ROSENBERGER.

Des-

VI. 40-49.

0.

Der Titel bezeichnet den Inhalt.

F.

ge-

Die Geschichte der P h y s i k

in G r u n d -

z i i g e n init s y n c h r o n i s t i s c h e n T a b e l l e n der M a t h e m a t i k , der Chemie sowie

der

schichte

und b e s c h r e i b e n d e n

Naturwissenschaften,

allgemeinen Geschichte.

Erster Teil.

der P h y s i k im A l t e r t u m u n d i m

Braunschweig.

Vieweg n

Ge-

Mittelalter.

SohD.

Der vorliegende erste Band des W e r k e s zerfällt in zwei Teile. Der erste ist der Geschichte der Physik im Altertum gewidmet und besteht aus drei Abschnitten. I. Von 600 — 300 vor Chr. Physik als reine Naturphilosophie. II. Von 300 vor bis 150 nach Chr. Periode der mathematischen Physik. III. Von 150 bis 700- Periode des Untergangs der alten Physik. Der zweite Teil behandelt wieder in drei Abschnitten das Mittelalter. 1. 700 1150. Periode der arabischen Physik, II. 1150 bis 1500. Chi istliche Periode der mittelalterlichen Physik. III. 1500 bis 1600. Uebergangsperiode der mittelalterlichen Physik. Jeder Abschnitt hat an der Spitze eine allgemeine Charakteristik der Periode. Dieser folgt dann die Darstellung der Leistungen, geordnet nach den Männern. Am öcliluss findet sich eine synchronistische Tabelle der Physik, Mathematik, Chemie und beschreibenden Naturwissenschaften mit der allgemeinen Geschichte. 0.

K.

LASSWITZ.

Die L e h r e v o n den E l e m e n t e n

des U e b e r g a n g e s

von

Corpusculartheorie.

der scholastischen

Pr. Gotha.

während

Physik

zur

26

I. Abschnitt

Geschichte und Philosophie.

Lasswitz schildert, wie sich die Theorie der Elemente von den ersten Anfängen des Kampfes gegen die aristotelisch -scholastische Physik bis auf Galilei unter Einfluss des humanistischen Gedankenkreises und der naturwissenschaftlichen Bestrebungen entwickelte. Die so entstandene Naturphilosophie sucht noch den Sitz des gestaltenden Lebens in der Materie selbst und fuhrt auch bei ihren bedeutendsten Vertretern, Nicolaus v. Cusa, Paracelsus, v. Hclmont etc. noch nicht zu einer exaeten Naturforschung. Erst als die Natur vom Einfluss des Bewustseins emancipicirt und der quantitative Masstab angelegt wurde, gelangte m a n zur methodischen Naturforschung. Mi.

Die beiden Theorien der Elasticität in ihrer geschichtlichen Entwickelung. Hamb. Mitt. 1882. 18.

JÄKISCH.

Aus dem vorliegenden kurzen Bericht über den Vortrag ergiebt sich, dass Herr Järisch die Theorien von Navier, Laplace, Poisson, Cauchy und Lamé in den Bereich seiner Besprechung gezogen hat. 0.

P.

Descartes

KRAMER.

Lichtes.

und

das

Brechungsgesetz

des

Abh. z. G. d. M. I V . 235-278-

Der Verfasser sucht nachzuweisen, dass die von Poggemdoiff und vielen Anderen ausgesprochene Ansicht, Descartes hab© die Entdeckung von Snellius gekannt und in unberechtigter Weisei sich zugeschrieben, nicht einwandsfrei ist. Er nimmt die Krage dlaher nochmals auf und kommt zu dem Resultate, dass ebenso>vieie Gründe für die selbständige Entdeckung des Gesetzes dlurch Descartes sprächen, wie dagegeu. 0..

PH.

GILBERT.

de la terre.

Les preuves mécaniques

de la relation

Rev. d. qu. se. X I . 353-393.

Historisch-kritische Abhandlung. Heraclit, Elephantus,

Aristarch,

I. Pythagoras,

Seleucus,

PhiUolaus,

Nicolaus de hilosophischcr Versuch'' gelten, die verschiedenen Grade der Ureberzeugung, der Wahrscheinlichkeit analog, zu begründen und ziiffeimässig auszudrücken. Std.,

B. J. Gilman.

Ün propositions und

syllogisins.

J. Hopkins C'iic. l>-82. 240.

C . 8. PkIKCK.

Reiliarks.

J. Hopkins Circ. 1S82. 210.

Capitel 2.

Philosophie.

29

Gilman behandelt die Logik aus sechs Grundformen des Urteils. Er leitet aus den Grundformen 48 verschiedene Urteile ab und bespricht die sich daran anschliessende Syllogistik. Peirce fltgt die Syllogistik zweier Urteilsformen der gewöhnlichen Logik unter Anwendung der .,Algebra of relatives 4 ' hinzu. Mi.

B. .1.

OILMAN.

On propositions called „spurious".

J. H o p k i n s Circ. 1882. 241.

Gilman bespricht die von De Morgan „Spurious" Bastardsätze

genannten

unter Anwendung der „Algebra of relatives"

Peirce.

von

Mi.

An analysis of relationship.

A . MACFARLANE.

Ed. T i m e s

X X X V I . 78-107.

Der Artikel enthält einen Auszug aus mehreren Berichten liber eine Analysis der Kelationsbegriffe, in specieller Anwendung auf die Verwandtschaftsverhältnisse des Menschen. In der Tat lassen sich zur Fixiiung der complicirten verwandtschaftlichen Beziehungen logisch - mathematische Formeln vortrefflich verwenden. Mi.

Y.

Essai philosophique suv

VILLARCEAU.

l'ordre".

k. „Science de

C. R. X C I V . 1008-1013.

Villarceau will zeigen, wie man durch ein einfaches philosophisches Raisonnement zu der „Science de l V d r e " gelangen kann. Mi.

C. N. DE S.

V.

Zero and Infinity.

JUDSON. WOOD.

NKWCOMB.

Limits.

Anal.

ix.

Anal.

ix. ft-n.

79-81.

Remarks on the doctrine of limits.

A n a l . I X . 114-Hi).

Contmverac liber die Definition der Grenze.

Jn. (0.).

I. Abschnitt.

30

Geschichte and Philosophie.

A. F . I g u r b i d e . Investigaciones sobre las c o n t i d a d e s i m a g i n a r i a s . 18« 1. 8°.

S. A. S e x k .

Skul

filosofico-matemáticas I.

Valencia.

M. A h f r e

de des i k k e l a d e s i g finde et reeilt

inathematisk Udtryk, der k ü n d e o v e r t a g e de imaginaere Störrelsers R o l l e eller gjöre s a m m e Tjen e s t e som disse Störreiser.

Lie Arch. VII. 110-154.

Der Verfasser sucht das Imaginaire zu vermeiden, durch reelle mathematische Ausdrücke zu ersetzen.

resp. L.

0 . Simony. sätze.

Eine R e i h e n e u e r m a t h e m a t i s c h e r E r f a h r u n g s -

Wien Anz. 1882 96-97.

Die Notiz giebt einen Bericht über den ersten Teil einer Abhandlung Simony's, in der speciell diejenigen Erscheinungen untersucht worden, dio ein biegsamer Ring von kreisförmigem Querschnitte zeigt, falls man einen den Ring bis zur Mittellinie durchsetzenden längs der letzteren in sich selbst zurückkehrenden Schnitt durch denselben führt. Die Abhandlung, die eine Reihe auf specielle Experimente gestützter mathematischer Erfahrungssätze als Resultat liefert, ist eine Fortsetzung der interessanten topologischen Untersuchungen Simony's. Derselbe hat schon in einer 1881 in III. Aufl. erschienenen Schrift das Problem, in einen unverdrehten biegsamen Ring ohne Ausführung eines Querschnittes einen Knoten zu machen, in der klarsten und anschaulichsten Weise behandelt, auch die Beziehungen dieses Problems zur Theorie des vier dimensionalen Raumes erörtert und die Bedenken, die einer Hypothese der wirklichen Existenz eines vier-dimemsionalen Raumes entgegenstehen, scharf und bestimmt hervorgehoben. Mi.

Capitel 2.

A.

Philosophie.

Da cycle du raisonnement. c.

LEDIKU.

31 R

xciv.

1442-I44T>.

Unter dein ..cycle du raisonnement" verstellt Ledieu ein logisches Verfahren, welches die Beobachtung oder das Experiment a priori, die Deduktion, die Induktion und das Experiment oder die Beobachtung a posteriori in sich fasst. Nur die vollständige Anwendung dieses Kreises von Operationen führt, nach Ledieu's Urteil, zur Ableitung solcher Begriffe und Hypothesen, wie sie z. B. der Mechanik zu Grunde liegen. Mi.

A. LEDIEU.

Considérations

unités.

R. X C V . 1328-1332.

C.

s u r la t h é o r i e g é n é r a l e

des

Ledieu bespricht die Grundlagen einer formalen Metrologie: die theoretische Aufstellung der Maasseinheiten, die Verbindung der Maasseinheiten unter einander, die Gewinuung von Normalmaassen etc. Mi.

GILLES.

Die Einheit der Naturkräfte.

Bair. BL.

xviu.

283-292.

Dieser Aufsatz enthält im Wesentlichen eine eingehende Kritik der bekannten Schrift von Scbmitz-Dumont: „Die Einheit der Naturkräfte". Der rechnungsmässige Nachweis dafür, dass die Grundannahme j e n e s Buches, a b s t o ß e n d e Kräfte, die dem Newton'schen Gesetze des umgekehrten Quadrates der Entfernung gehorchen, selbst die einfacheren Fälle nicht genügend erkläre, wird von Herrn Gilles in ähnlicher Weise geführt, wie dies auch von isenkrahe (Schlömilch Z.) und von Lasswitz (Gött. gel. Anzeigen) getan worden ist. Der Verfasser, der schon früher die Newton'sche Gravitation als die Quelle aller und j e d e r Kraftäusserungen im Weltall aufzuzeigen bestrebt w a r , spricht sich im Gegensatz zu den würfelförmig angeordneten Kraftcentren Schmitz Dumont's flir eine reihenförmige L a g e r u n g der Atome aus und sucht diese seine Auffassung analytisch zu rechtfertigen. Gr.

I. A b s c h n i t t .

32

D.

De

PIRMEZ.

d'inertie. P.

VAN

L'unitd des

Bruxelles.

MANSION. TRICHT.

G e s c h i c h t e und P h i l o s o p h i e .

forces

Bruyland-Christophe.

E x a m e n Clitique.

hat d a s Buch

et

18S1. 8°.

Rev. d e l'Instr. X X V . 120-141.

E x a m e n critique.

Herr Mansion

de gravitation

quest. sc.

xn.

249-280.

vom S t a n d p u n k t e

der

reinen

Rev.

d.

Mechanik u n d H e r r Tricht von dem d e r physikalischen Mechanik einer Kritik unterzogen.

Das Buch giebt eine geschickte Auf-

frischung

Gedanken

Aristotelischer

L a g r a n g e ' s c h e r ü b e r die Gravitation. folgender.

Teil I.

1) E s giebt in

über

die B e w e g u n g ,

und

Der Inhalt des B u c h e s ist der Natur K ö r p e r ,

welche

sich wechselseitig anziehen oder w e n i g s t e n s anzuziehen scheinen. Ü) Es ist nicht zu verstehen, dass zwei Körper, d i e eine g e w i s s e E n t f e r n u n g von e i n a n d e r h a b e n , a u f e i n a n d e r a n z i e h e n d

durch

d a s Nichts oder g e w i s s e r m a s s e n durch seine Vermittelung w i r k e n . ¿5) Ihre A n z i e h u n g

würde auch

unbegreiflich sein, wenn sie in

einem nicht w i d e r s t e h e n d e n Mittel w ä r e , d a r u n t e r ein Mittel vers t a n d e n , w e l c h e s keine W i r k u n g a u f die B e w e g u n g e n d e s d a r i n befindlichen

Körpers ausübte.

4)

Die K ö r p e r können

a l s o nur

indirect a n z i e h e n d auf e i n a n d e r wirken durch diese Vermittelung, oder besser d u r c h die W i r k u n g eines w i d e r s t e h e n d e n Mittels, in dein

sie

sich

befinden.

Dieses

Mittel

wird

Aetber

genannt,

ö) W e n n ein K ö r p e r einen Impuls erhält, b e w e g t er sich in

einer

gewissen Richtung u n d mit einer gewissen G e s c h w i n d i g k e i t ,

wenn

nicht

andere

Rich-

tung

ändern,

Impulse fi)

wirken. wegung

hat,

Geschwindigkeit

Der urspriiugliche I m p u l s ,

B e w e g u n g beiui Beginn, aufgehört

diese kann

keine Wirkung

und

diese

die U r s a c h e haben,

d e n n eine nicht existirende Ursache k a n n

7) W e n n

er

nicht

nicht a n d e r e Impulse die g l e i c h f ö r m i g e

des K ö r p e r s in g e r a d e r

der

wenn

Linie v e r ä n d e r n , so k a n n

Bedie

wirkliche B e w e g u n g desselben nur h e r r ü h r e n von dem ä t h e r i s c h e n Mittel, in d e m sich alle Körper befinden. Teil II.

H y p o t h e s e : Die p o n d c r a b l e n Körper h a b e n k e i n e

eigene T ä t i g k e i t und befinden sich in einem Aethermeere, Atome mit B e w e g u n g e n in allen Kichtungen begabt sind.

dessen

Capitel 2.

33

Philosophie.

9) Ein einzelner Körper wird in diesem Mittel in Folge der von allen Seiten kommenden Stesse in Ruhe bleiben. Sind zwei Körper da, so werden sie sich gegenseitig Schutz gewähren. Jeder Körper wird durch den andern gegen die von dieser Seite kom inenden Stösse geschützt. Aus dieser gegenseitigen Deckung folgt, dass die Körper nicht an allen Seiten dieselbe Menge von Stössen erhalten, und zwar wird dieses Minus in der Verbindungsgeraden liegen. J e d e r Körper wird also gegen den andern hingetrieben durch die Differenz der Stösse, welche sich so ergiebt. Es entsteht also in Folge des Aethers eine scheinbare Anziehung j e d e s Körpers nach dem andern. 10) Es lässt sich leicht nachweisen, dass diese Anziehung proportional den Massen und umg e k e h r t proportional dem Quadrate der Entfernung erfolgt. 11) Hat einmal für einen ponderablen Körper eine Hewègung unter dem Einfiuss eines momentanen Impulses begonnen, so wird sie in demselben Sinne und in gleichförmiger Art fortfahren, weil die Bewegung des Körpers in dem umgebenden Aether eine Unterbrechung des bestehenden Gleichgewichts hervorgebracht hat. Teil III. 12) Die Annahme dieses Aethers giebt die Möglichkeit, viele Erscheinungen der Dynamik und theoretischen Physik zu erklären. 13) Diese Theorie stimmt überein mit der Metaphysik, welche die Existenz eines höchsten Wesens beweist. Mn. (0.).

E.

RETHWISCH. F r e i b u r g i. Br.

Der Irrtum der Gravitationshypothese. Kiepert.

Rethwisch nimmt für alle grossen Bewegungen im Welträume und auf der Erde eine gemeinsame Quelle an. Eine Wirkung in die Ferne ist physikalisch unmöglich. Eine allgemeine Anziehung der Körper findet nicht statt. Bewegung lässt sich nur aus Bewegung ableiten. Die Axendrehung ist die Quelle aller Entwickelung. Der Fall der Körper auf der Erde ist eine Folge der Axendrehung, durch welche alle Teile der Erde nach innen gerissen werden. Der Verfasser sebliesst seine Schrift „in dem F u r t s u h r . J . .Malli. X I V .

1.

'.!

I. Abschnitt.

34

Geschichte und Philosophie.

Bewustsein, die Welt des Stoffes und die Welt der Gedanken von dem Alp der Schwerkraft befreit zu haben, und in dem freudigen Gefühl, dass der Sturz der märchenhaften Gravitation noch einem der Zeitgenossen gelingen dürfte." Mi.

A.

KEINDORFF. Neuhaldeoslebeu.

Kritik der drei Kepler'schen Gesetze. Eyrund.

Keindorff, der eine kritische Beleuchtung der theoretischen Entwickelung der Kepler'schen Gesetze geben will, behauptet z. B., bei der Ableitung des ersten Kepler'schen Gesetzes sei übersehen: „dass der Planet sich fast stets (nur in zwei Punkten auf der ganzen Bahn nicht — im Perihel nnd Aphel) auf einer schiefen Ebene bewegt." Er bezweifelt die Richtigkeit der Schlüsse der Differentialrechnung, j a rodet sogar von Flunkereien in der Mathematik! Er glaubt behaupten zu können, dass die ganze höhere Analysis unter groben Missgriffen mehr oder minder zu leiden habe. Er will mit seiner Schrift den Anstoss zu einer Kritik der ganzen Mathematik geben und versäumt nicht, im Vorworte hervorzuheben, dass seine Abhandlung volle Aufmerksamkeit verdiene Mi.

ß.

Der Chemismus, Magnetismus und Diamagnetismus im Lichte mehr-dimensionaler Raumanschauung. Leipzig. Bresch. BRESCH.

Bresch, der für Homoeopathie, Odlehre, Spiritismus etc. eine Lanze bricht, stellt S. 50 die Hypothese auf: „dass unsere dreidimensionale Welt, so weit sie aus ponderabler Materie zusammengesetzt ist, aus drei-dimensioual geordneten mehr-dimensionalcn Atomen besteht." Auf dieser Hypothese beruht seine Erklärung der diamagnetischen Abstossung. Mi.

Capitel 2.

C.

Philosophie.

Hvorvidt ere Axiomerne Erfaringssätninger.

KREBS

Z e u t h e n T. (4) V I . «1-95. AD.

I hvad inon äro axiomerna erfarenhets-

MEYER.

satzer.

Der

Verfasser

nachdem (Kant,

Zeuthen T. (4) VI. 113-11«.

der ersteD

dieser

er die Betrachtungen Locke,

beiden Aufsätze

vou verschiedenen

Mill u. a.) referirt h a t ,

spricht,

Philosophen

als seine

eigene Auf-

f a s s u n g die aus, dass die Axiome allein a u s der E r f a h r u n g herrühren.

Gegen diese Anschauung polemisirt Herr Meyer, wesent-

lich von dem S t a n d p u n k t e Kant's ausgehend.

Der Streit d r e h t

sich nicht n u r um die mathematischen, sondern vielmehr um die allgemein logischen H e r r Zeuthen

Axiome.

In einer beigefügten Note führt

die F r a g e auf die

rein mathematischen

Axiome

z u r ü c k , und bespricht insbesondere die von Euklid aufgestellten geometrischen Axiome, um die Aufmerksamkeit auf d a s in mathematischer Rücksicht Wesentliche hinzuleiten. Gm.

ß. A.

Methodik,

Pädagogik.

Die Mathematik au den humanistischen Gymnasien. Bair. Bl. xvm. 90-96. SCHMITZ.

Die Mathematik an den humanistischen Gymnasien. Bair. Bl. X V I I I . 448-457.

ECKL.

E r ö r t e r u n g e n über das Mass des Lehrstoffes in der Mathematik,

die

allerdings

nur

für

die ein

Lehrer nicht zu

der

bairischen

Studienanstalten,

f ü r diese a b e r

unterschätzendes

Interesse haben.

Der Ansicht des Herrn E c k l , die Mathematik

sei minder um ihrer selbst willen, als zur Ausbildung d e s Denkvermögens zu pflegen und dalier z. B. die sphärische T r i g o n o m e t r i e a u s dem

Pensum zu streichen, w e r d e n hoffentlich W e n i g e bei-

pflichten, während Herr Schmitz, der eher f ü r E r w e i t e r u n g eintritt, mehr A n h ä n g e r finden dürfte.

Referent w e i s s , d a s s nord3*

36

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

deutsche Collegen grade in der Aufnahme des genannten Faches einen Vorzug des bairischen Lehrprogrammes erblickeu. Auf Grund eigener Erfahrungen können wir übrigens den von beideu Autoren ihren Betrachtungen zu Grunde gelegten Satz (.,Es ist eine alljährlich sich wiederholende Klage, dass die Kenntnisse der Absolventen humanistischer Gymnasien in der Mathematik sehr gering sind, weit geringer als in den philologischen Fächern") als in dieser Allgemeinheit falsch und irreführend bezeichnen. Gr.

A . WEILENMANN.

schulen.

Der geometrische Unterricht in Mittel-

Pr. Zürich.

Der Verfasser betrachtet die Geometrie als ein Kunstwerk, welches der Lehrer vor den Augen der Schüler auffuhrt. Die Schönheit des Baues erscheint als einziges Interesse. Dieser Gedanke ist zunächst in der Einleitung sehr hervortretend ausgesprochen; doch lässt dieselbe, indem sie von Unterrichtsreform gemäss den neueren I'ortschritten der Methode handelt, die pädagogisch didaktischen Gesichtspunkte im Verlaufe der Schrift als selbstverständlich erwarten. Dass letztere gänzlich fehlen, zeigt die dann folgende Skizze des Lehrgangs. Diese entwickelt die Steiner'sche Geometrie ohne j e d e Vorbereitung, nachdem sie Punkt, Gerade. Richtung, Winkel etc. als Grundbegriffe vorausgesetzt hat, beginnend mit den Gebilden in allgemeinster Form und Zusammensetzung, das Unendliche als Dogma einführend. Nicht blos (wie die Einleitung sagt) die Unterscheidung VOÜ Planimetrie und Stereometrie, sondern das ganze Princip der Synthese ist beiseite g e w o r f e n ; denn zur isolirten Betrachtung der einfachen Figuren wird nicht die geringste Gelegenheit geboten; mit dem gesammteu Gebiet der euklidischen Sätze würde der Schüler bei einem solchen Uuterricht unbekannt bleiben. Er lernt also nicht Geometrie nach verschiedener Methode, sondern es werden ihm andere Gegenstände vorgeführt, ohne Rücksicht auf das, was er dadurch lernt. H.

Oapitel 2.

J.

HOÜEL.

gonométrie.

Remarques

Philosophie.

sur renseignement

37

de lu tri-

Bord. Mém. (2) V. lt»7-208

Siehe F. d. M. VII. 1875. p. 322.

VILI.ARCEAU. De la nécessité d'introduire certaines modifications dans l'enseignement de la mécanique, et d'en bannir certains problèmes, par exemple: le mouvement du corps solide des géomètres.

YVON

0 . R. X C V . 1321 1327.

Der Verfasser verlangt eine exactere Gestaltung der Lehre der Mechanik im Unterricht. Nach einigen Hinweisungen auf Desideraten, die nur wenig characterisirt, noch weniger begründet werden und wol nur zur Einleitung und Motivirung dienen, entwickelt er die Grundzüge eines seinen Anforderungen entsprechenden Lehrgangs. Dieser unterscheidet sich nicht derart von dem gewöhnlichen, dass bestimmte Fragen für die Methode daraus deutlich hervorgingen. Erst am Schlüsse kommt ein wesentliches Problem der Lehrmethode zur Sprache, welches wol als der Kernpunkt des Aufsatzes anzusehen ist. Die Annahme staricr Körper schliesst offenbar die Entstehung innerer Kräfte (Spannungen) aus. Daher stehen alle Bewegungen starrer Körper, welche zur Herstellung des Gleichgewichts innere Kräfte erfordern, mit den Grundsätzen der Mechanik im Widerspruch, wie hier am Beispiel der Rotation gezeigt wird. Das gewöhnliche Verfahren, die innern Kräfte nach Erfordernis hypothetisch einzuführen, ihre Entstehung als physikalische F r a g e beiseite zu lassen, bleibt unerwähnt. Der Verfasser geht so zu W e r k e , dass er die Bewegung eines Körperelemcnts in Translation und Rotation zerlegt und die kleinen Radialtranslationen erst vernachlässigt, nachdem das Priucip der Flächen hergeleitet ist. Im Ganzen scheint er die Idealisirung der Probleme vom Unterricht fern halten zu wollen und auf den Connex der Begriffe mit der rohen Beobachtung Wert zu legen. H.

Zweiter Abschnitt. A

l

g

e

b

r

a

.

Capitel 1. G l e i c h u n g e n . (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen). Eqvationslára

BERWALD.

HJ.

exempelsamling. Elementare Benutzung

sainniandrag

jenite

Stockholm.

Darstellung

allgemein

i

der

bekannter

Theorie

der

Arbeiten

Gleichungen,

von

mit

Bertrand,

h u n t e r u. A.

TodE.

Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. Festschrift. Berlin, iteimur.

L . KRONECKER.

Krouecker J . XCII. 1-123. Ein

durch

die

nalitätsbereich" tionen

d e r SR m i t

Betrachtungen

G r ö s s e n SR', SR", S R ' " , . . .

(SR', SR", SR'",. • •) u i n f a s s t ganzzahligen

reicht

es

aus,

gebildeter

alle

C'ocfticienten;

rationalen für

d i e SR a l s V a r i a b l e

..Ratio Func-

algebraische anzunehmen,

bis a u f Ejn E l e m e n t , w e l c h e s eine a l g e b r a i s c h e F u n c t i o n d e r übrigen

wird.

Sind

a l l e SR V a r i a b l e , o d e r

e x i s t i r t n u r ein S R ' =

I,

d a n u ist d e r B e i e i c h e i n . . n a t ü r l i c h

abgegrenzter."

Jede Wurzel

einer

Grades,

Coellieieuten

irreductible!!

Gleichung

/(""

deren

Capitel 1. dem

Gleichnogen.

SR", S R ' " , . . .) angeboren, heisst eine „ a l g e b r a i s c h e Func-

tion M" t Ordnung; der SR"; die « W u r z e l n sind

39

..conjugirte algebraische

derselben

Functionen".

Gleichung

Adjungirt man den

SR eine solche Wurzel © ' , so bildet ( ® \ SR', SR", . . . ) „den B e r e i c h der G a t t u n g ® ' " .

Ein j e d e r Bereich ( © ' , © " , . . . ,

S R ' , . . . ) kann

durch ( © , SR', SR", . . . ) dargestellt werden, wenn ® eine passend gewählte Function der ® ' , ® " , . . . ist. Rationalitätsbereiches

wird

die

E r s t mit der Fixirung des

Frage

nach

der

Zerlegbarkeit

g a n z e r Functionen zu einer bestimmten

und mit ihr der B e g r i f f

von

diese

einen

Reductibilität fassbaren

und

Irreductibilität;

Untergrund

durch die

Begriffe

Angabe

einer

erhalten Methode,

w e l c h e mit den einfachsten Hülfsmitteln entscheiden lehrt, ob eine Function in einem gegebenen Bereiche irreductibel ist, bezw. wie ihre irreductiblen T e i l e r

zu

finden

sind.

E i n e Grösse x heisst

eine „ganze algebraische Function der SR", wenn sie einer Gleichung genügt, welche zum höchsten Coefficienten 1 hat, während die anderen

ganze,

Fundamentalsatz

ganzzahlige

der

Functionen

der SR sind.

arithmetischen T h e o r i e

der

Ein

algebraischen

Grössen ist der, das» es eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Grössen x\ x",

x'",...

«("+"'. x' + g a n z e ,

g a n z z a h l i g e Functionen

SR bedeuten;

ein solches System x', x", . ..

mentalstem

cler Gattung".

werden,

z. B .

so

in

einem

heisst

ein

der

„Funda-

In besonderen F ä l l e n kann m = natürlich

abgegrenzten

0

Bereiche

(SR', SR",... SR W ) für alle Gattungen, die durch irgend eine rationale Function der « W u r z e l n der Gleichung .c» + SR'x" - 1 + SR"x»- 3 + ••• repräsentirt werden.

- o

Der Inbegriff aller Discriminanten

von j e

« E l e m e n t e n eines Fundamentalsystems bildet einen Complex von Invarianten

derart,

dass Alles ihnen G e m e i n s a m e auch

Discriminante von j e /(Functionen der Gattung gilt. erhält man

nur eiue,

für die

Für m =

„die Discriminante der G a t t u n g " ;

0

sie ist

demnach ein gemeinsamer Teiler aller Discriminanten der F u n c tionen der Gattung und der grösstc g e m e i n s a m e T e i l e r aller dieser

II. A b s c h n i t t .

40 teilt die

fl(fl ^

]J) besteht, und man setzt

vi

¡y(.r) = f l (x — n'x'i — u"x'; /= i

wC»+»0a;i('!+»0))

so heisst g(x') = 0 die Fundamentalgleichung des Art-Bereichs ( ® ) ; ihr genügt jede Grösse der Art ( S ) ; diese erhält mau sämnitlich, sobald die « durch ganze Grössen aus [9?', 9 i " , . - - ] ersetzt werden. Versteht man feiner unter der Disciiminanten-Form der Art eine Form, deren Cocfficientcn die säiumtlichen Determinanten-Quadrate I^Pp sind , und

welehe somit der grösste

aller Discriniinanten von j e »ganzen

gemeinsame Teiler

algebraischen Formen des

Art-Bereichs und als solcher deren vollständige Invariante ist, dann folgt,

dass

die

Discriminantc

der

Fundamentalgleichung

II. Abschnitt.

14

Algebra.

ein Teiler der -^-(n—l)« t e n Potenz der Discriminanten-Form sei, Cl

und daher ausser ihr nur noch Teiler derselben enthalte. Handelt es sich uní ein Fundamentalsystem x \ x " , . . . einer Gattung, dann stimmt die Discriminante der Fundamentalgleichung entweder mit der Discriminanten-Form der Gattung im Sinne der vollständigen absoluten Aequivalenz überein, oder sie enthält nur noch solche Divisoren der Form, welche Formen von höherer als der ersten Stufe oder Zahlen aus der Reihe 2, 3 , . . . » — 2 sind. Als wesentliches Resultat ergiebt sich hieraus, dass die gesammte arithmetische Theorie der algebraischen Grössen auf eine Theorie der ganzen ganzzahligen Functionen von Variablen und Unbestimmten zurückgeführt werden kann. No.

Die Zerlegung der ganzen Grössen eines natürlichen ßationalitäts-Bereichs in ihre irreductibeln Factoren. KroDecker J. XC1Y. 344-348. 18*3.

\J. KRONECKER.

Vollständige Ausführung des in § 4 der „Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen-' angedeuteten Beweises für die Möglichkeit und die völlige Bestimmtheit der Zerlegung ganzer Grössen eines natürlichen Rationalitätsbereiches in irreductible Factoren. No.

L . KRONECKER. Berl. Ber.

1883.

Zur Theorie der Formen höherer Stufen. 957-960.

Es wird eine wesentliche Erweiterung des Begriffes vom Enthaltensein eines Divisorensystems unter einem anderen gegeben. (1üf0, Mi} enthält das Divisorensystem (JV„, IV,, iV,,...), wenn die Form Wurzel einer Gleichung ç tc " Grades ist, in welcher der Coefficient der e t0 " Potenz gleich Eins und der Coefficient der (g - r)' c " Potenz eine das Formenpioduct

Capitel 1.

45

Gleichungen.

i7(JV0»*., + JV, »*, + •••) 4=1 im früheren engeren Sinne enthaltende Form ist. Hieraus folgt dann auch ein erweiterter Begriff der Aequivalenz, und damit ergiebt sich ein einfacher Beweis für die Aequivalenz der beiden Modulsysteme ( * » . * „ + , ) und (Mi) (h = 0, l , . . . m ; i = 1,2....»—IM+1; Ä = (), l , . . . n ) , wobei die M und die M' durch die Gleichung h

i

k

mit einander verbunden sind.

L.

KRONECKER.

Zur

braischen Formen.

No.

arithmetischen Theorie der

alge-

Kronecker J. XCIII. 365-366.

I. Eine Form, welche zwei andere Formen enthält, wird nach Multiplicatiou mit deren grösstem gemeinsamen Inhalt durch das Product derselben teilbar. II. Durch Multiplication einer Fundamentalform mit einer beliebigen Form entsteht wiederum eine Fundamentalform. Die Substitution, mittels deren das Produkt zweier primitiver Grundformen von beliebig vielen Gliedern in eine primitive Grundform von nur n Gliedern transformirt wird, bestimmt sich als diejenige, mittels welcher die aus den beiden algebraischen Formen componirte in irgend eine ihr relativ äquivalente lineare Grundform von nur n Gliedern Ubergeführt wird. No.

F.

Bolzano'« „Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen j e zwei Werten, die ein entgegengesetztes Resultat g e w ä h r e n , w e n i g s t e n s eine reelle Wurzel der G l e i c h u n g liege." Prag. 1817. ,J. S T U D N I C K A .

Gas. XI. 1-38. (Böhmisch).

Enthält eine böhmische Uebersetzung und Commentirung dieses von Bolzano in den Schriften der böbinischeu Gesellschaft

II. Abschnitt.

46

Algebra.

der Wissenschaften veröffentlichten Aufsatzes, in welchem das Fundauientaltheorem aus der Theorie der Gleichungen auf eine für die damalige Zeit höchst bemerkenswerte gründliche, neuere Begriffe anticipirende Weise abgeleitet wird. Std.

M.

J e d e G l e i c h u n g des n ten Grades hat g e n a u

MANDL.

n Wurzeln.

Wien. ADZ. 185.

Ankündigung eines Beweises, sehen ist.

J . HAMMOND.

n roots.

aus welcher Nichts zu erNo.

Proof that an equation must have at least

Ed. Times X X X V I . 115.

Der Herr Verfasser hätte wissen können, dass sich dieser Satz nicht in 12^ Zeile beweisen lässt. Der Fehler liegt in der Annahme einer Functionalgleichung für die Wurzeln. No.

L . KRONECKKR.

D i e Composition Abel'scher G l e i c h u n g e n .

Berl. Ber. 1882. 1059-1065. L.

KRONECKER.

D i e cubischen

des Bereiches ( ^ ^ 3 1 ) .

Abel'schen G l e i c h u n g e n

Berl. Ber. 1882. 1151-1155.

Es seien una (ha,ka = ü, 1, ...,»„— 1;

Vk„ k, k,'

a — 1, 2,...v)

gegebene Grössen, und es werde gesetzt *

/',.+*> =

^^^..J'y-yk,,..^,,-

Nimmt man die cyklischen Functionen der Grössen x, sowie die der Grössen y zum Rationalitätsbereiche, so werden die x, die y und die z Wurzeln Abel'scher Gleichungen, und die letzte Gleichung heisst aus den beiden ersten zusammengesetzt oder componiit. Eine einfache Abel'sche Gleichung (siehe F. d. M. IX. 1877, 57) mit den Wurzeln x 0 , x i y ...x„^i lässt sich aus zwei anderen com-

Capitel 1.

47

Gleichungen.

poniren. wenn = £(ahrx,.

(wn — I = 0)

sich als Produkt zweier ähnlicher Ausdrücke darstellen lässt.

Die

Anwendung der Decompositinn auf die Gleichungen dritten Grades ergiebt, dass die Wurzeln jeder eubischen Abel'schen Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten sich als rationale Functionen der Wurzeln von Gleichungen

P(r+s) = 0,

y'-3py+ darstellen lassen.

y3-Xy+l=0

Dabei sind die p Primzahlen, und die r, s sind

durch die Bedingungen definirt p

- r2—rs+s',

r = s (mod. 3 ) .

Die Decomposition der cubischen Abel'schen Gleichungen des Bereiches ^ — 3 1 mit den Wurzeln x „ x 2 , xs fordert die Zerlegung von Ausdrucken

{xa+ü)hxi+(Jjv,x.iy

= (8„+w A H 1 +w M 8 2 ) a (g 0 +tu 2A g 1 +w A 8 J ),

in denen w eine primitive dritte Einheitswurzel ist,

und die g

ganze algebraische Zahlen des Bereiches (]/ — 3, V^—öl) sind, in Factoren

von

derselben

Form.

In

diesem Bereiche

sind die

Primzahlen p entweder als Normen ganzer algebraischer Zahlen darstellbar (p°), oder erst ihr Cubus hat diese Eigenschaft (p'). Alle diejenigen cubischen Gleichungen, für welche

+

\ )•(>„ + (o\ + (OX2)

nur eine Potenz von p' ist, sind in solche zu zerlegen, bei denen

(x, + « * , + « ' * , ) ' =

H&uyü&ü,*)

und H eine ganze algebraische Zahl wird, deren Norm der Cubus von p' ist.

Alsdann ergiebt sich x 0 + U)X, + 0) 3 x 2 =

3

w) ]/£(!, w),

worin auch 0 eine ganze algebraische Zahl und E eine primitive Form bedeutet.

Fügt man zu E nur eine einfache Einheit hinzu

+ tü", so gehören alle j e n e Gleichungen zu derselben

Gattung,

wie die Abel'sche Gleichung 10a; + deren Wurzeln die zu

1) = 0,

—31 gehörigen singulären Moduln der

elliptischen Functionen sind.

Die Gattung algebraischer Zahlen,

wclche durch die Wurzeln dieser Gleichung definirt wird, ist ge-

II. Abschnitt.

48

Algebra.

wissermassen arithmetisch dem Bereiche (v'— 31) angebörig und algebraisch demselben unmittelbar associirt. No.

Zur Theorie der Abel'schen Gleichungen.

L . KRONECKER.

Kronecker J. XCIV. 338-365.

Die Abhandlung knüpft an einen Aufsatz des Herrn Scbweriug an.

Versteht

man

unter

unbestimmte

x t , . . . x„_t

Grössen,

unter w eine Variable, dann gilt die Formel (A)

{ £ w e r

=

w

x

r

y

. ( 2 ; w r

0 , 1, — « — I ;

m

'

r

x

r

y ...=cp(w)

lm-\-l'm'-j-..

. =

0

(mod.O"—1)), (mod.

«)

wo ' ist, deren Coefficienten rationale cyklische Functionen des x sind. Wenn man ferner mit g eine primitive Congruenzwurzel von p = m-|-1 bezeichnet und xa

=

X,

annimmt, so ergiebt

xt

sich

=

X:',...X"~l

=

X',V

durch Vereinfachung einer gewissen

Congruenz das Resultat (J)

V*,t(fi»') = - 1

(mod.(w'-l)3).

Aber auch in jeder Gattung Abel'scher Gleichungen eines beliebigen Rationalitätsbereiches giebt es solche, fUr die ähnliche Vereinfachungen vorliegen. Hier ergiebt sich auch die Reduction der Jacobi'sclien ^-Functionen auf den sechsten Teil der überhaupt möglichen. Herr Kronecker behandelt weiter die allgemeinere von Jacobi angeregte Frage der Reduction der xjj, welche darauf hinauskommt, (or, x y durch ein Product von conjugirten ^ - F u n c t i o n e n

Capitel 1.

49

Gleichungen.

darzustellen und zwar so, dass die Bedeutung der bei (a, x), (a J , x ) , . . . auftretenden Wurzelzeichen bestimmt ist. Es erfordert das Erstere die Erfüllung der Gleichung (Q)

T =

,h,k = 0, 1,... « - 2 N V 1 = 1 , 2 , . . . «—1/ ' wo y eine primitive Congruenzwurzel der Primzahl n ist; die Erfüllung der Congruenzen (R) yrh = r,,-i (mod. «) (h = 0,1,... n - 2 ) repräsentirt den zweiten Teil der Forderung. Diese letzteren sind schon bei n = 47 nicht mehr lösbar; ist also jene Darstellung möglich, so entbehrt sie doch der Eigentümlichkeit, die sie theoretisch wichtig macht. Aber auch in solcher Einschränkung scheint eine allgemeine Darstellung nicht durchführbar, da (Q) sich in die Congruenzbedingungen (T) « = 0 (mod-O-^K*"')) (&= 1,3,5...«—2) umsetzen lässt, bei denen £ eine primitive (n — 1)" Wurzel der Einheit ist, und 1 = ind. ( l + y m ) ( m o d . (n— 1)) wird; es ist unwahrscheinlich, dass (T) für jedes n erfüllbar ist. Im letzten Paragraphen wird die Gleichung r

why =

(r = 0 , l , . . . p - 2 ;

p£ctwu t

1 = 0, 1 , . . , n - 2 )

behandelt, wo n irgend einen Teiler von p— 1 bedeutet. Die linke Seite wird in merkwürdiger Weise umgeformt und gedeutet, so dass z. B. c, als (p — l) ler Teil der Anzahl aller mod. (p — 1) unter einander verschiedenen Wertsysteme r,, r 2 ,...r n definirt wird, welche den beiden Congruenzen r, +r2

+ —\-rn

= t (mod.«),

tf>

h p r " = 0 (mod.p)

zugleich genügen. Aus diesen Betrachtungen ergeben sich weitere interessante Sätze über die Zerlegungen von Primzahlen 4p = a 2 f 276*, p = aM-6 5 , p = a 2 + 262, wenn p von der Form tin-f-l, resp. 4 « 4 1 oder 8«-(-1 ist. No. Foitschr. d. M a t h . XJY. I.

4

II. Abschnitt.

50 B. IGEL.

Algebra.

U e b e r e i n e K l a s s e v o n Abel'schen G l e i c h u n g e n .

Wien. Denkschr. X L V .

Ist ft(x) = 0 mit den Wurzeln a, b, c,...

irreductibel, und

ist es möglich, zwei ganze Functionen ft und f3 so zu bestimmen, dass

««):&(«) = m-W)

= •••

ist, dann ist die Gleichung f , = 0 eine Abel'sche von der Form f,(x) = (x- a) (« -d(a)) (a> - 6) - 0(6) ) . . . = 0. Ferner wird gezeigt: Sind f,(*,A0. A 0 , f 0 , A M ganze homogene Functionen nl" Ordnung in i , /u, uud haben die drei Gleichungen fMri £•+.(*. iO = o den grössten gemeinsamen Teiler vom zweiten Grade, so sind fx = 0, f3 = 0, f3 = 0 Abel'sche Gleichungen; die Wurzeln einer jeden lassen sich rational durch die Wurzeln jeder der anderen beiden ausdrücken und zwar so, dass, wenn durch 0 , 0 , zwei derartige rationale Functionen einer Wurzel bezeichnet werden, 0 0 , = 0 , 0 ist. No.

M. W E I S S . U e b e r e i n i g e Abel'sche G l e i c h u n g e n v o m sechsten G r a d e , die sich mit H ü l f e einer G l e i c h u n g v o m vierten Grade auflösen lassen. Hoppe Arch. L X V I I I . 304-315.

Sind o, b, c, d die Wurzeln einer Gleichung vierten Grades, so sind diejenigen der behandelten Gleichungen sechsten Grades ab, ac, bc,... resp. o + i», a + c, b-\- c,... Die Gleichungen sind jedoch keine Abel'schen, da sich ac nicht rational durch ab ausdrücken lässt. No.

V . JANNT.

Sul teorema di Sturm.

Batt. G. x x . 166-107.

Es wird ein gedanklicher Uebergang vom Fourier'schen zum Sturm'schen Theoreme aufgewiesen. No.

Capitel 1.

51

Gleichungen.

G. J. LEGEBEKE. Eene eigenschap van de wortels eener afgeleide vergelijking. Nieuw Arch. VIII. 75-80. F. J. VAN DEN BERG. Over het verband tusschen de wortels eener vergelijking en die van hare afgeleide. Nieuw Arch. IX. 1-14.

F. J. VAN DEN B E R G . Naschrift over het verband tusschen de wortels eener vergelijking en die van hare afgeleide. Nienw Arch. IX. 60. Ueber die erste Notiz ist schon früher referirt. (S. F. d. M. XIII. 1881. p. 70.). Sie handelt Uber den Zusammenhang der Wurzeln einer Gleichung und der von ihr abgeleiteten. Die nämliche Aufgabe wird in der zweiten durch geometrische und statische Betrachtungen gelöst. Einige andere Eigenschaften der Gleichungen höheren Grades werden auf demselben Wege gewonnen und daraus einige Eigenschaften hinsichtlich des Gleichgewichts von Kräften abgeleitet. In der dritten Notiz wird mitgeteilt, dass die Eigenschaft der Wurzeln einer Gleichung, welche in den beiden vorigen behandelt ist, schon in den G. R. von 1874 vorkommt und dort von Lucas und Laguerre behandelt ist. Auch Gauss teilt diese Aufgabe mit in den Gött. gel. Anzeigen für 1816, doch ist der durch Legebeke gegebene Beweis davon ganz unabhängig. G.

On equal roots of equations.

CH. HUDSON.

Quart,

j. xvm.

215-229, 327-330.

Es sei f(x) , Vv»

ats"~2-|

a0x" + na,a:"-' +

. r(r—»— 1)! ) = jn amar

m

H

lm—v

1- nan-\x -f- o„,

(r—2)(r—v—2)! (TZTi)i

p(g—1) (r—4)(r—p—3)! 2I (r - 2 ) !

am+iar+m+1

i-m+H—

Wenn dann f(x) — 0 eine (« —»))-fache Wurzel besitzt, wobei 4*

II. Abschnitt. Algebra.

52

1) ist, dann hat dieselbe den Wert — V(r> vi » 0 : V C r — ®» m ) i wo für m gesetzt werden kann 0, 1, 2 , . . . , n—2u—1 und für r einer der Zahlenwerte 2v + 1, 2® -J- 2 , . . . n—m. Hat ferner /"(«) = 0 eine (»—c)-fache Wurzel, wobei

—1 ist, dann «

ist tff(r, v + 1, m) = 0 für m = 0, 1, 2 , . . . n — 2 e — 2 , und für r = 2t>+2, 2 r + 3 , . . . , n—m. Aus den verschiedenen Wertformen der gleichen Wurzeln folgen Bedingungen unter den Coefficienten a. Für if>(r, »+- (3)

1

173-17«.

Damit von der wendig, (fa = für a =

F(x) = aax"' -)- n, x'" _ 1 -| ¡- a.m Form (xv—af) • x(j(x) sei, ist es hinreichend dass ö a - 1 + + )(/-ö(-->)... ( | _ 0 W ) = r - f a , « " - ' - ! |-a„. Dann ist die Norm N(d) von 0 gleich (—1 )nan, und die Spur S(6) von 6 gleich — o,, wo an an rationale und, falls 0 eine ganze Zahl (in £2) ist, ganze rationale Zahlen sind.

60

II. Abschnitt.

Àlgebra.

Die Normen und Spuren hängen mit den Discriniinanten durch die beiden Relationen zusammen: (i) (?)

j( i, e, e\... e » - ' ) = ( - 1 )~LtJ~N[F,(6)] J(a,

a») = |S(a; o*)|

(¿, k = l, 2,...n),

wo in der zweiten Formel die a irgend n Zahlen von Sl sind, und rechts die Determinante, gebildet aus den Spuren der n* Producte er, ak, steht. Ist jetzt im Besonderen 6 eine ganze Zahl (von £2), dann kann man auf die linke Seite von (1) einen bekannten Determinantensatz anwenden und erhält: (3)

J(\, 6, 6\... ö-" 1 ) = Dk* = + N [F'(0)].

Hier ist D die Grundzahl von £2 (d. i. die Discriminante eines ¡Systems von n unabhängigen ganzen in £2 enthaltenen Zahlen), k eir.e ganze rationale Zahl (der sog. Index von 6). Endlich liefert der Fermat'sche Potenzsatz für die Spur einer ganzen Zahl w (von £2) die wichtige Formel (4) S(w) = S(w>') (mod. p), woraus nach (2) folgt, dass auch für p als eine rationale (positive) Primzahl gilt: (n) oü) = J ( a „ & 4 ,...a B )(mod. p). Nunmehr kann man zum Beweise des Hauptsatzes schreiten, falls man noch die eine Voraussetzung macht, dass es unter den ganzen Zahlen o (in £2) wenigstens eine, 6, giebt, deren Index k nicht durch p teilbar ist, denn mit Hülfe eines in der früheren Arbeit d. H. Verfassers aufgestellten Satzes, der dann die Zerlegung des Ideals op in Primfactoren durch die Zerlegung der zugehörigen Function F(t) in Primfactoren nach dem Modul p ersetzt, zeigt man leicht, dass p in der Norm von F\6), also nach (.3) auch in Dk' aufgeht. Zufolge unserer Voraussetzung muss demnach D durch p teilbar sein. Da es tatsächlich Körper £2 giebt, bei denen jene Voraussetzung nicht für alle Primzahlen p zutrifft, so wird ein gaDZ neuer, nicht ganz eiufacher W e g eingeschlagen, der den Herrn Verfasser, wie er angiebt, schon 1871 zum Ziele geführt hatte. Den zu beweisenden Satz k a n n man in zwei Teile zerlegen:

Capitel 2.

Theorie der Formen.

61

]) „ist p durch das Quadrat eines Primideals teilbar, so geht p in D auf". 2) die Umkehrung davon. Der erste Teil ist bald mit Hülfe der Relation (ó) erledigt, der zweite aber erfordert zuvor eine Reihe von flinf Hülfssätzen. . Erstens lässt sich die Annahme, eine aus lauter ganzen rationalen Zahlen cik gebildete Determinante wtc" Grades sei teilbar durch die Primzahl p, ersetzen durch die « Congruenzen: (6)

k=n

2 c i k x k = O (uiod.p) ¡t=i

( i = 1 , 2 , . . . n),

wo die x ganze rationale, nicht sämmtlich durch p teilbare Zahlen sind. Zweitens bilde man aus den n festen, ganzen Zahlen ¡, und c rj-, die einer Form \pi, so gebt mittels der Substitutionen I.

x' — -—^-const., x-y¡

resp. r

II.

x' = ——— • const. x — r¡¡

die Form W\x) in die resp. canonischen Formen über:

Capitel 2.

Theorie der FormeD.

67

I. x' + 2pxi-\-3qx'-\-trx3+3x*+-2px-{-q, 6 4 II. x -J- a x + 6 x 3 + c x 2 + l . Dabei setzen also die Coefficienten der bezüglichen Substitionsformeln die Adjunction j e einer Wurzel einer Gleichung fünften und einer dritten, resp. vierten Grades voraus. Bildet man die Discriminante der Form I und deutet dabei die reellen p, q, r als rechtwinklige Coordinaten eines Raumpunktes, so gelangt man zu einer sehr instructiven Discussion der Realitätsverhältnisse der Wurzeln. Im Weiteren treten die vier quadratischen Formen xph namentlich in ihrem Zusammenhange mit den Wurzeln der Htilfsgleichung fünften Grades in den Vordergrund. Das Characteristische der vier Formen ip¡ ist, dass durch irgend drei derselben (beliebig anzunehmende) immer die vierte eindeutig so bestimmt ist, dass sowol zwischen den vier Formen, als ihren Quadraten eine lineare Identität herrscht. Bildet man noch die sechs Functionaldeterminanten Tik j e zweier der xf>, so haben diese 6 - f - 4 = 1 0 quadratischen Formen die Eigenschaft, beim Uebergang von einer Wurzel der Gleichung fünften Grades zu einer anderen sich nur in gewisser Weise zu vertauschen, und zwar so, dass immer eines der xpi ungeändert bleibt, während die drei anderen iph tfjm sich gegen die drei Formen Tkl, Tkm, Tlm auswechseln. Bei Zugrundelegung von drei der i(j gelingt es, alle hier auftretenden Formen mit Hülfe des vollen Systems der drei i f j auszudrücken. Eine sehr einfache Uebersicht über den hier auftretenden Formenkreis erhält man, wie Referent hinzufügen möchte, wenn man die f¡ als (homogene) Coordinaten eines variabeln Punktes einer rationalen ebenen Curve vierter Ordnung R deutet. Dann liefert W = 0 die sechs Wendepunkte von R, die sind die Argumentenpaare der Doppelpunkte, die ip¡ die der Berührungspunkte der Doppeltangenten. Von dem Schnittpunkt j e zweier Doppeltangenten geht noch ein Tangentenpaar an die Curve; dies sind die sechs Tik.

68

II. Abschnitt.

Álgebra.

Von jedem Punkt einer Doppeltangente D geht noch ein Tangentenquadrupel an R, alle diese Quadrupel constituiren eine lineare Schaar mit der Functionaldeterminante W. Endlich hat auch die dem Doppeltangentenyierseit einbeschriebene Kegelschnittschaar mit R eine lineare Schaar von Tangentenquadrupeln gemein, deren Functionaldeterminante gleichfalls W ist. Diese fünf linearen Quadrupelschaaren entsprechen den fünf Wurzeln der Hülfsgieichung, die letztere Schaar der ausgezeichneten Wurzel. Der Uebergang von dieser Wurzel zu einer der vier andern vollzieht sich mittels einer quadratischen (Classen-)Transformation, die zu Fundamentalgeraden immer drei der vier Doppeltangenten D besitzt. Durch diese Transformation geht .die Curve R wieder in eine solche über. Der Uebergang der zehn Formen tp, T in sich fällt dann in die Augen. Zum Schluss sei noch erwähnt, dass diese Untersuchungen in engstem Zusammenhang mit denen des Herrn Stephanos und des Referenten stehen, ohne dass dieser Zusammenhang subjectiv irgendwie nachweisbar wäre. Wegen des Näheren sei auf die Schrift des Referenten Uber lineare Räume verwiesen. My.

W. R . W. ROBERTS. A geometrical representation of a system of two binary cubics and their associated forms. Lond. M. S., Proc. XIII. 1C-2Ö. Eine cubische lineare Form

f = a^+Sa^x^

+ Sa^xl + i^x3,

repräsentirt der Herr Verfasser durch eine Ebene a0M0 +

M|

+

Ut + a.iU3

=

die aus der cubischen Raumcurve

exo =

exi —

= xl drei Punkte ausschneidet, deren Argumente die Wurzeln von f sind. Auf dieser Grundlage giebt der Herr Verfasser einfache geometrische Deutungen und Constructions des vollen Systems

qXS ~

QX¡

Capitel 2.

Theorie der Formen.

69

zweier cubischer Formen f, cp. So entspricht z. B. der Hesse'schen Form von f die Schnittlinie zweier „Ebenen der Curve", die in der Ebene ../'"' liegt; ferner der Fuuctionaldeterminante von f , rp die vier Tangenten, welche die Schnittlinie der beiden Ebenen ,./••', ,//>'• treffen etc. Von der Sturmschen Arbeit (ßorchardt J . LXXXVI. 116, siehe F. d. M. X. 1878. 96), die mit dieser die Grundlage und die meisten Resultate gemein hat, scheint der Herr Verfasser keine Kenntnis gehabt zu haben. My.

A.

CAYLEY.

Tables for the binary s e x t i c .

Sylv., Am. J.

IV. 379-384. Die Zahl der Covarianten einer binären Form sechsten Grades (diese mit eingeschlossen) beträgt bekanntlich 26. Zuerst werden die Leitglieder der ersten 18 dieser Covarianten angegeben. Dann wird gezeigt, wie sich die Leitglieder der folgenden 8 Covarianten (von den Graden 7 bis 15 in den Coefficienten der Grundform) aus den Coefficienten von einigen der früheren zusammensetzen. My.

F.

Quelques applications de la théorie des formes binaires aux fonctions elliptiques. Sylv., Am. JDE

BRUNO.

V. 1-25.

Die von Herrn Klein auf functionentheoretischem Wege (bei dessen Verfolgung namentlich die hypergeometrischen Reihen einen wesentlichen Durchgangspunkt bilden) ermittelte Darstellung der Elemente der elliptischen Functionen mittels der absoluten Invariante der binären biquadratischen Form wird hier mit Ausschluss nicht-algebraischer Hiilfsmittel auf rechnerischem Wege erzielt. Der Hauptsatz lautet: Ist Y die gegebene binäre Form vierten Grades (in den Variabein y geschrieben') mit positiver Discriminante J, i und j i'

J

ihre Invarianten, ferner / — —,, H = — , J'

*

II. Abschnitt.

70

Algebra.

«•-Si-

^^Uì^^ì

Ki+T+I dann hat man

' " i f f + T r i

i //• dy ^ _L r ay ' - 1dx iY ' o qJJ 1(\—xx r4 ) ( l - A V ) J ]/Y I2 wo, abgesehen vom Factor ] ' d , die rechte Seite allein von der absoluten Invariante (H, resp. / ) abhängt. Für K ergiebt sich die gut convergirende Reihe:

K

-ilt Fy' LL ^ ^ 2 ) \ 1 + , / k ' • ^ 2 . 4 ) V , +,/ Ii j (( 11++1 W 2tf

r , , / I \ V 1 - \'~k< \l . ( 1 . 3 \ 7 1 J

-1 - 3 . n \ V l - l > v V Hier kann man das arithmetisch-geometrische Mittel Jtf( 1

1—x)

einführen, für dessen reciproken Wert Gauss (Werke Bd. III. p. 3 6 7 ) die Reihe aufgestellt hatte:

dann wird

1( = desgleichen

bestimmt

sich

? , Jtf(l +k', 2]/kr) der

Modul k durch die für Hc

I,

und 7 ' < 1 stark convergirende R e i h e :

=

I i « ) - ' • !

Endlich zeigt sich

die rapideste Convergenz in folgender neuen

0 und q verknüpfenden Relation: W

+ 0,(O) + 2 0 ( y ) =

4 + 8 iq" + 9

u

+9

u ,

+ •••),

oder auch, wenn man hier die Ö-Werte wieder mit Hülfe von K und k' ausdrückt:

Capitel 2.

Theorie der Formen.

( 1 + ]'k' + ]f I + é¡'Min =

1

1

^

71

= I + 2.(q "s + q"+q

g, welche Covarianten der gegebenen Formen excl. einer, etwa fn+i sind.

Capitel 2.

Theorie der Formen.

75

Wird der Satz jetzt von Neuem auf diese Functionen qp angewandt, u. s. f., so stellt sich F dar als Function einmal der (n-|- l)-reihigen Coefficienten-Detenninanten, und im Uebrigen von Covarianteu von nur n der gegebenen Formen. Und da sich diese letzteren Covarianten aus einer endlichen Zahl von Typen zusammensetzen, so tun es auch die allgemeinsten Covarianten F. Für ein System beliebig vieler binärer Formen dritten Grades wird die Rechnung durchgeführt. Es ergeben sich zehn verschiedene Typen; am Schluss wird noch ohne Beweis mitgeteilt, wie sich die Bildungen des vollen Systems auf diese zehn Typen verteilen. Ist N die Zahl der gegebenen Formen, so gehören den einzelnen Typen successive folgende Anzahlen von Formen zu: N,~-N(N-

1), yJV(JV+l), -¡¡-(N-1) ö

N(N+1)

J^JV(JV+i)(JV+2), etc. My.

G.

PEANO. XVII.

ULI

t e o r e m a s u l l e f o r m e multiple. Torino, Atti.

73-80.

Der Gordan'sche Fundamentalsatz Uber die Endlichkeit des binären Formensystems wird hier ausgedehnt auf binäre Formen mit beliebig vielen Variabelnreihen, die Substitutionen unterworfen weiden, die alle von einander unabhängig sein können, (wie sie durch Capelli in die Formentheorie eingeführt sind). Der Herr Verfasser stellt zu dem Zwecke folgenden Hauptsatz a u f : „Eine Reihe von Formen mit n binären Variabelnreihen sei gegeben; nach einer dieser Reihen, etwa der x-Reihe entwickelt, seien sie: fEEf^'l'+mf,*™-'

+

g=

etc..

Besitzen dann die Formen /'„,/',..., g0, so, dass s] = aWo, pl = ALAL, ql — o j o j , w x = papr (QTX). Dann erfordert die typische Darstellung von a*x und Q'x 17 simultane Invarianten beider, von denen aber nur 13 unabhängig sind. Ist dagegen a i nicht allgemein, sondern unter der im Titel angegebenen numerischen Form gegeben, so ist von vornherein klar, dass die Zahl der unabhängigen Invarianten sechs, d. h. gleich der Zahl der Coefficienten des Kegelschnitts sein muss. Die Rechnung führt zunächst auf zwölf Fundamentalinvarianten, die sich infolge eines eigentumlichen, zwischen der Form f und ihrer Covariante(a6«)' stattfindenden Reciprocitätsverhältnisses paarweise gruppiren lassen. Dadurch nun, dass es gelingt, gewisse höhere Invarianten durch jene zwölf auszudrücken, wird man von selbst auf die sechs Relationen geführt, die zwischen den zwölf bestehen. Diese Relationen zeigen eine verhältnismässig grosse Einfachheit, denn fünf von den zwölf Invarianten drücken sich rational durch die übrigen aus, und zwischen den letzteren sieben besteht eine algebraische Gleichung, welche in zweien derselben vom sechsten Grade ist. Umgekehrt denke man sich jetzt diese sechs letzteren Fundamentalinvarianten mit der zwischen ihnen stattfindenden Gleichung numerisch gegeben, ebenso wie das canonische f. Berechnet sollen die Coefficienten des Kegelschnitts Q werden. Diese abschliessende Aufgabe ist nun ohne Weiteres auf die bereits früher gelöste (cf. F. d. M. XII. 1880. p. 96) zurück fuhrbar: „Eine biquadratische ternäre Form F, von der bekannt ist, dass sie sich durch eine lineare Substitution von der Determinante Eins in f = x ^ - t - a ^ a ; , - ^ ^ , verwandeln lässt, (die also durch 168 lineare Substitutionen von der Determinante Eins in sich übergeht) die aber iu irgend einer anderen Form (hier der typischen) gegeben ist, tatsächlich durch eine solche Substitution in f überzuführen." Diese Substitution führt aber zugleich das typische Q in das

Capitel 2.

Theorie der Formen.

83

gesuchte (canoniscbe) Uber, womit die Aufgabe gelöst ist.

Den

168

168

gleichberechtigten [Substitutionen

stellen

sich

genau

gleichberechtigte Kegelschnitte zur Seite. Diese 168 Substitutionen stehen in engstem Z u s a m m e n h a n g e mit den 168 Substitutionen, die den A n f a n g s erwähnten Gleichungeu 7"" Grades zukommen, und in der T a t ist mit d e r Lösung der

eben

angeführten

Aufgabe

auch

Gleichungen implicite mitgegeben.

die

Auflösung

solcher

Doch haben wir über die be-

zügliche Arbeit von Herrn G o r d a n , die den Schlusstein Gebäudes bildet, erst im nächsten J a h r g a n g dieser zu sprechen.

G.

seines

Fortschritte My.

BATTAGUNI.

Sülle forme quaternarie bilineari.

Rom., Acc. L. (3) VI. 40-42.

Die räumliche Correlativität wird hier durch d a s Verschwinden einer

quaternären

Coordinaten

biiinearen Form

(in

zweier P u n k t e bedeuten),

der die Variabein die sowie ihrer

Contravarianten und Zwischenformen dargestellt.

wichtigsten

In diesem Sinne

schliesst sich die Note genau a n eine frühere des Herrn Verfassers Uber die ternäre bilineare F o r m an. Die Beziehung zwischen den E b e n e n des Kaumes repräsentirt die

„conjungirte" Form, die zwischen

den

Geraden

des

Raumes j e d e der beiden „intermediären" Formen. J e nachdem die Discriminante der ursprünglichen Form oder alle ihre ersten, oder alle ihre zweiten Unterdeterminanten verschwinden, existirt j e ein F u n d a m e n t a l - P u n k t , - G e r a d e , - E b e n e , (und dualistisch für die conjungirte Form). Dann werden die beiden Fundamentalflächen zweiter Ordnung, resp. Classe und ihre Zuordnung besprochen.

Diese h a b e n

ein windschiefes Vierseit gemein, dessen E c k e n , K a n t e n , Seiten in gewisser Weise sich involutorisch entsprechen.

Dieses Vier-

seit hängt von einer biquadratischen Gleichung ab, d e r e n Specialfälle interpretirt weiden. Zum Schlüsse wird noch die fortgesetzte Wiederholung der 6*

II. Abschnitt.

84

Algebra

Zuordnung discutirt, die abwechselnd zu correlativen (reciproken) und collinearen Gebilden führt. Die Kote ist wohl als eine gedrängte Zusammenstellung von grösstenteils bekannten Tatsachen aufzufassen. My.

A.

Sul numero dei covarianti di grado dato per forme di qualsivoglia specie. Batt. G. xx. 293-301. CAPELLI.

Die durch den Titel angegebene Aufgabe wird hier ihrer Lösung näher geführt. In seiner der Acc. dei Lincei überreichten Abhandlung (siehe p. 86) hatte Herr Capelli diese Aufgabe durch folgende ersetzt: die Anzahl der Covarianten

Y«

A

B,

B,

B}

Ct

C2

C3 Glr. (O.J.

Th. Muir. ON a symmetric determinant connected with Lagrange's interpolation problem. Load., m. s. Proc. x i i i . 156-161. Es sei *

L„ =

, . A./« sin —r~7" 1 1

«+ 1

(A,

=

1,2,...,«).

(X, /.i =

1,2,..., m),

Dann ergiebt sich z. B.

U M = (—1)'"2"

sin — ^ . 2m+l

I.ft _ sin ——F-t- 271 2m-f-l

. l.(2fi-\) sin „ , n 2m 4-1 In ähnlicher Weise erhält man für iW„ =

A.u cos — r — n «+1

=

1,2,...,«)

die Resultate M 1 n ¥ i = 0,

M,n =

A. u COS -^r p - 71 2m+1

(_i)»i.[l(2»+l)]","1> 2 L2 I

2wi+l

= 1, 2 , . . . . m) u. s. vv.

No,

Th. Ml-ir. Note on the condensation of skew determinants, which are partially zero-axial. Loud., M. s. Proc. XIII. 161-164.

Capitel 3.

Elimination u. SnbstitntioD, Determinanten etc.

109

Die behandelten Determinanten entstehen, wenn man in Ct., «4 « I —a.. x„ K -K -

C4

-K

«4

-

p

X

i

4

der Reihe nach xx — 0; ferner xt = 0, xt = 0; u. s. w. setzt.

No.

R. F. SCOTT.

Notes on determinatus.

xn. 105-118.

M e s s . (2)

Der Verfasser betrachtet zuerst die Determinante n ler Ordnung: x,

,

at+ßt,

at+ß„

x2

«.+011

a,+

&,....

,

...