Handbuch der Differential- und Integral-Rechnung: Teil 3 Variations- und Differential- Rechnung [Reprint 2018 ed.] 9783111450681, 9783111083407

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Differentialund

S. F. Lacroix. Nach der vierten verbesserten und vermehrten Original »Ausgabe (1828) aus dem Französischen übersetzt, und mit einigt« Anmerkungen versehm von

Dr.

Fr. Bau mann.

Variations- und Differenzen-Rechnung. Dritter Theil.

Berlin, 1831, gedruckt und verlegt bei G. Reimer.

B a r i a t r o n sund

Differenzen-Rechnung.

Dri tter Theil.

Inhalt

der Variatioris- und der Differenzen -Rechnung^ Von der Variations-Rechnung. DaS Aussuchen der Variation einer beliebigen Function. Zweck dieser llntersachung.

....

©• 1

Rote über daS Eulersche Verfahren, die Variationen durch die partiellen Differentiale auszudrücken.

.

Versetzung deS & nach dem d und unter das /

. .

— 5 — 4

Entwickelung der Variation der Differential-Functionen und der Integrale

.....

— 5

Bedingung-gleichungen der unmittelbaren IntegrabilitLt einer Differeutial-Function.

.

.

.

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— 9

Die Maxima und Minima der unbestimmten Jntegralformeln. Was sind unbestimmte (mddiermin&s) Jntegralformeln.

— 12

Kennzeichen deS Maximums und des Minimums dieser Formeln.

— 13

Von den Gleichungen, welche die Relation zwischen den Veränder­ lichen bestimmen.

.

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—15

Von den auf die Grenzen der gegebenen Integrale bezüglichen Va­ riationen.

.....

— 16

Aufsuchen der kürzesten Linie zwischen zwei Punkten

.

— 17

Aufsuchen der Brachystochrone

.

.

— 23

Von den relativen MaximiS und MinimiS.

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— 23

Ein Beispiel deS isoperimetrischen Problem-.

.

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— 24

VI

Anhang zum Handbuch der Differential- und IntegralRechnung. Von den Differenzen und den Reihen.

Don der direkten Differenzen-Rechnung. Bildung der Tabelle der Werthe einer Function mittels ihrer auf einander folgenden Differenzen. . . . S. 27 Zeichen und Grundlehren der Differenzen - Rechnung. « — 29 Functionen, welche beständige Differenzen haben . — 29 Construction der Logarithmen-Tafeln durch die Differenzen. — 34 Anwendung der Differenzen - Rechnung auf die Interpolation der Reihen. Wenn die zu interpolirenden Größen äquidifferenten Stellenzeigern entsprechen. . . . . . Wenn die Stellenzeiger beliebige sind. . . Lagrange'sche Interpolation - Formel. . . Wie man bei derselben Interpolation eine unendliche Anzahl ver­ schiedener Functionen in Anwendung bringen kann. . Die Interpolation kann zur genäherten Bestimmung von /Xdx dienen. . . • . .

S. 36 — 41 — 43 — 43 — 44

Von der Analogie der Differentiation und der Erhebung zu gewissen Potenzen. Uebergang von den Differenzen zu den Differentialen, und DewciS des Taylorschen Lehrsatzes. . . . Analogie der Differentiale und gewisser Potenzen. . Allgemeiner Ausdruck der Differenzen durch die Differentiale. Der inverse Ausdruck. . . . . Anwendung auf die Interpolation. . . .

— 46 — 47 — 48 — 50 — 52

vn Von der inversen Differenzen-Rechnung in Bezug auf explicite Functionen einer einzigen Veränderlichen. Definitionen, Zeiche», Beschaffenheit der einzuführenden willkürlich«» Eonstanten. . . . . . Do» der Integration algebraischer rationaler Functionen.

G. 54

Won der Integration transcendenter Functionen. Allgemeine Entwickelung von -2™a . .

. .

— LS — 57

Analogie der Integrale und gewisser negative» Potenzen. Don der Integration durch Theile. . . .

— 58 — 59

— 55

Anwendung der Differenzen - Rechnung auf die Summation der Reihen. Direct« uud inverse Reihe» von figurirte» Zahlen.

.

S. 69

Von der Integration der Differenzen - Gleichungen mit zwei Veränderlichen. Drrgleichnng der Differenzen - Gleichungen mit de» DifferentialGleichungen. . . . . . 6. 73 Integration einer Differenzen - Gleichung vom erste» Grad und von der ersten Ordnung. . . . . — 74 Von den Gleichungen vom erste» Grad in allen Ordnungen. — 75 Korrespondenz dieser Gleichungen und der rekurrenten Rethen.

— 76

Geometrische Konstruktion der Differenzen -Glelchuagea.

— 82

Won den Differenzen-Glrichuogrn, in welchen die Differenzen beider Veränderlichen ebenfalls veränderlich find, und die hierauf be­ zügliche allgemeine Aufgab«. . . « — 83 Wo» den Gleichungen mit gemischten Differenzen.

.

— 85

Anwmdung der Integral - Rechnung auf die Throne der Reihen. Summation der Rethen durch Integrale.

.

Summation verschiedener Stücke der Laylorschea Reihe.

.

6. 86 — 87

Beispiele von besondern Werthen, welch« dir bestimmten Integral« annehmen. . . . . . — 89

vni Ausdruck des Kreiös Umfangs, in Produkten von einer unendttchen Anzahl von Factoren, den man Wallis verdankt. G. 93 Anwendung der bestimmten Integrale auf die Interpolation der Reihen. . . . . . — 96 Summation der Reihe li + l2....-Mx . . — 101 Beispiel des Gebrauchs der bestimmten Integrale, um die Integrale der partiellen Differential-Gleichungen auszudrücken. — 105 Entwickelung der Functionen in Reihen von Sinussen und Cosinussen .... — 106 vielfacher Bogen. Lehrsätze von Fourier. . . . . — 10$ Ein gnderer Beweis von Poiffon. . . . — 110

Variations-Rechnung. Aufsuchen der Variation einer beliebigen Function.

§. 356. Alle früheren Anwendungen der Differential-Rechnung setzen voraus, daß die Abhängigkeit der Veränderlichen im Laufe einer Aufgabe beständig dieselbe bleibe. Allein es giebt verschiedene Arten von Aufgaben, für welche diese Abhängigkeit als verän­ derlich anzusehen ist, wie z. B. die folgende. Wenn V eine Function bedeutet, welche x, y und die Differential - Coefficienten von y enthält; so läßt das Integral /Vdx zwischen denselben Grenz-Werthen von x, eine unendliche An­ zahl von Werthen zu, welche von der zwischen x und y festge­ stellten Relation abhangen, so daß man die Frage auswerfen kann; „welche von allen möglichen Relationen macht das gegebene Integral zum Marimum oder Minimum V‘ Da das Integral /Vdx, wofern man die Relation zwischen y und x nicht particularisirt, daß Maß einer allen krummen Linien gemeinschaftli­ chen Eigenschaft ausdrückt, so frägt eS sich also, für welche krum­ me Linie jene Eigenschaft ein Maximum oder Minimum ist. Es ist ersichtlich, daß wenn CE Fig. 60. die letztere krumme Fig. 60. Linie ist, das Integral /Vdx für jede andere krumme Linie ys in dem ersteren Falle einen kleineren und in dem letzteren einen größeren Werth hat. Um jener Bedingung zu genügen, muß vor allen Dingen der Unterschied untersucht werden, den eine beliebige Aenderung in der Relation zwischen y und x oder in der Natur der diese Relation vorstellenden kmmmen Linie, zwi­ schen den Werthen des Integrals /Vdx bewirkt. Jene Aende­ rung drückt man dadurch auS, daß man y unabhängig von x Witten läßt: denn betrachtet man zwei krumme Linien CE und ye, so entspricht dieselbe Absciffe AP zweien Ordinalen PM und P/t, und der Unterschied M/t dieser Ordinalen muß von den Unterschieden M'R und /t', welche zwischen zwei bei derselben krummen Linie auf einander folgenden Ordinalen Statt finden, wohl unterschieden werden. Viurcij; Variat.

2

Begriff der Variations-Rechnung.

Lagrange, welcher den Anfang seiner Laufbahn durch seine Entdeckung der Variations-Rechnung auszeichnete, machte von dieser auch eine höchst wichtige Anwendung auf die Mechanik, deren Zweck man leicht überschauen kann, wenn man bemerkt, daß man die Coordinaten der verschiedenen Punkte eines sich be­ wegenden Körpers, entweder zur Beziehung zweier Punkte auf denselben Augenblick, oder zur Vergleichung zweier aufeinander folgenden Lagen desselben Punktes, in Betrachtung ziehen kann. In dem einen dieser Fülle findet zwischen den Coordinaten keine andere Abhängigkeit Statt, als diejenige, welche aus den den Kör­ per begrenzenden Flächen entspringt; in dem andern ändern sich die Coordinaten den Bedingungen der vorgeschriebenen Bewegung gemäß, und mit einer neuen Veränderlichen, welche das Maß der Zeit ist. Hier erscheinen also wiederum zwei Arten, diesel­ ben Größen vaniren zu lassen, welche zweckmässig durch verschie­ dene Bezeichnungen unterschieden werden. Diejenige Art, welche auf die vorhergehende folgt, veranlaßt die Variations-Rech­ nung, deren mannichsaltige Richtungen nur dadurch zusammen­ gefaßt werden können, daß man ihr den Zweck beilegt, Größen, welche schon unter einem Gesichtspunkte differentiirt worden, unter einem neuen nochmals zu differentiiren. Man stellt hierauf bei dem zweiten Dif­ ferentiations-Verfahren eine der Gattung der auszulosenden Aus­ gaben angemessene Hypothese aus. *) §. 357. Lagrange bezeichnet die neue Differentiation mit dem Zei­ chen 6, und dieser Gebrauch hat überall Eingang gefunden. Um meine Grenzen nicht zu überschreiten, werde ich mich darauf beschränken, die Prinzipien der Anwendung der Variations-Rech­ nung auf geometrische Aufgaben zu entwickeln. Bei diesen Aufgaben wird das Zeichen d beim Uebergange von einem Punkte zu einem andern auf derselben krummen Linie und das Zeichen d beim Uebergange von einer krummen Linie zu einer andern angewandt. So roito M'R durch dy (60) und Mft durch dy bezeichnet, woraus folgt: P'M'=y-f-dy, P/t=y + dy. Geht man vom Punkte M' zum Punkte über, und zieht dann ,/r+/