Grenzwertbegriff, Differentialrechnung [Reprint 2019 ed.] 9783111700748, 9783111312194

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

86/86a

DIFFERENTIALUND INTEGRALRECHNUNG von

DR. M A R T I N

BARNER

a. o. P r o f . an d e r T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e K a r l s r u h e

GRENZWERTBEGRIFF,

i

DIFFERENTIALRECHNUNG

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s e h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. T r ü b n e r • Veit & Comp. B E R L I N

1 9 6 1

©

Copyright 1961 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30. — Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1100 86. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30 Printed in Germany

Inhalt Literatur

Seite 4

I. E i g e n s c h a f t e n d e r r e e l l e n Z a h l e n 1. Körpereigenschaften 2. Anordnungseigenschaften 3. Eigenschaft der Vollständigkeit 4. Bemerkungen 5. Vollständige Induktion 6. Archimedische Eigenschaft II. M e n g e n r e e l l e r Z a h l e n 1. Definition und Beispiele 2. Aus der allgemeinen Mengenlehre 3. Aus der Punktmengenlehre

5 6 8 10 11 17 20 21 21 23 26

III. F u n k t i o n e n reeller Zahlen 1. Definition und Beispiele 2. Zusammengesetzte Funktionen, umkehrbar eindeutige Funktionen, monotone Funktionen

49

IV. F o l g e n r e e l l e r Z a h l e n 1. Konvergenz von Folgen 2. Rechnen mit konvergenten Folgen 3. Konvergenzkriterien 4. Reihen als Folgen 5. Limes superior. Limes inferior

53 54 63 68 77 81

V. S t e t i g e F u n k t i o n e n 1. Grenzwertbegriff bei Funktionen 2. Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit 3. Abbildungseigenschaften der stetigen Funktionen

37 38

83 84 95 103

VI. L o g a r i t h m u s f u n k t i o n u n d E x p o n e n t i a l f u n k t i o n . . . . 112 1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus, Eindeutigkeit und Existenz 114 2. Eigenschaften der Funktionen Ina; und ex 120 Vif. D i f f e r e n z i e r b a r e F u n k t i o n e n 1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln 2. Satz von R o l l e und Mittelwertsatz 3. T a y l o r s c h e Formel und Reihe

125 126 140 149

VIII. W i n k e l f u n k t i o n e n 159 1. Definierende Eigenschaften der Funktionen cos® und sin«, Folgerungen 161 166 2. Existenz der Funktionen cos« und sina 3. Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen . 169 Symbole

174

Sachverzeichnis

175

Literatur (Auswahl deutschsprachiger L e h r b ü c h e r ) A l e x a n d r o f f , P . S., E i n f ü h r u n g in die Mengenlehre T h e o r i e der reellen F u n k t i o n e n , B e r l i n 1 9 5 6 .

und

die

A u m a n n , G., Reelle F u n k t i o n e n , B e r l i n 1954. C o u r a n t , R . , Vorlesungen über Differentialrechnung, B d . I, 3. Aufl., B e r l i n 1 9 5 5 .

und

Integral-

D u s c h e k , A., Vorlesungen über Höhere M a t h e m a t i k , Bd. 1 , 3 . Aufl., Wien 1956. H a u p t , 0 . — G. A u m a n n — C. P a u c , Differential- und I n t e g r a l rechnung, B d . I bi* I I I , 2. Aufl., B e r l i n 1948, 1 9 5 0 und 1 9 5 5 . L a n d a u , E . , E i n f ü h r u n g in die Differentialrechnung, G r o n i n g e n - B a t a v i a 1 9 3 4 .

und

Integral-

M a a k , W . , Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g , 2. Aufl., G ö t t i n g e n 1960. v. M a n g o l d t , H. — K . K n o p p , E i n f ü h r u n g in die M a t h e m a t i k , B d . I und I I , 11. Aufl,, S t u t t g a r t 1 9 5 8 . O s t r o w s k i , A., Vorlesungen über Differentialr e c h n u n g , B d . I und I I , B a s e l 1 9 4 5 und 1 9 5 1 .

und

Höhere Integral-

R o t h e , R , , Höhere M a t h e m a t i k , Teil I, 15. Aufl., S t u t t g a r t 1 9 5 8 . S m i r n o w , W. I., L e h r g a n g 2. Aufl., Berlin 1956.

der

Höheren

Mathematik,

Teil

I,

S t r u b e c k e r , K . , E i n f ü h r u n g in die Höhere M a t h e m a t i k , B d . I, München 1956. T o c p l i t z , 0 . — G. K ö t h e , Die E n t w i c k l u n g der rechnung, Bd. I, B e r l i n 1949.

Infinitesimal-

I. Eigenschaften der reellen Zahlen Die Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g b e r u h t auf der Theorie der reellen Zahlen. — Mit den reellen Zahlen in Gestalt der Dezimalzahlen h a t m a n in der Schule u n d i m täglichen Leben u m g e h e n gelernt. D a r a n wird hier erinnert. U m a b e r eine sichere Grundlage zu h a b e n , w e r d e n in diesem K a p i t e l solche E i g e n s c h a f t e n der reellen Zahlen z u s a m m e n g e s t e l l t u n d k u r z e r l ä u t e r t , die das S y s t e m der reellen Zahlen kennzeichnen. E s sind dies: die K ö r p e r e i g e n s c h a f t e n , die A n o r d n u n g s e i g e n s c h a f t e n , die E i g e n s c h a f t der Vollständigkeit. Auf diese E i g e n s c h a f t e n lassen sich die weiteren Begriifsbilduugen g r ü n den u n d alle zu beweisenden Aussagen z u r ü c k f ü h r e n . Die K ö r p e r e i g e n s c h a f t e n b e s t i m m e n das R e c h n e n m i t den Zeichen + , •> die A n o r d n u n g s e i g e n s c h a f t e n die Regeln f ü r die Größer- u n d Kleinerbeziehungen > , < . Zur E r l ä u t e r u n g der E i g e n s c h a f t der Vollständigkeit gehen wir v o n einem f ü r die Fragestellung charakteristischen Beispiel a u s . D e r F l ä c h e n i n h a l t des Einheitskreises, JI, wird etwa so gewonnen, d a ß m a n alle möglichen, dem Einheitskreis einbeschriebenen n - E c k e u n d die F l ä c h e n i n h a l t e dieser n - E c k e b e t r a c h t e t . U n t e r all diesen F l ä c h e n i n h a l t e n g i b t es n a t ü r l i c h keinen größten, denn zu einem « - E c k k a n n m a n durch H i n z u n a h m e eines weiteren E c k p u n k t e s ein (n + 1)-Eck m i t g r ö ß e r e m I n h a l t a n g e b e n . Andererseits ist klar, d a ß die I n h a l t e all dieser n - E c k e n i c h t beliebig groß w e r d e n k ö n n e n , ihre Große ist e t w a d u r c h den I n h a l t des u m b e s c h r i e b e n e n Q u a d r a t s , also d u r c h die Zahl 4, n a c h oben bes c h r ä n k t . Aber es wird a u c h kein F l ä c h e n i n h a l t eines einbeschriebenen n - E c k s die Zahl n erreichen, n ist also ebenfalls eine obere S c h r a n k e f ü r die I n h a l t e der einbeschriebenen n - E c k e , u n d zwar die kleinste obere Schranke. Man wird die Zahl n als kleinste obere S c h r a n k e der F l ä c h e n inhalte aller d e m Einheitskreis einbeschriebenen Vielecke definieren. D a ß es u n t e r allen oberen S c h r a n k e n s t e t s eine kleinste gibt, bezeichnet m a n als die E i g e n s c h a f t der Vollständigkeit der reellen Zahlen. D e r Leser m a g diese Z u s a m m e n s t e l l u n g der f u n d a m e n t a l e n (und wie gesagt kennzeichnenden) E i g e n s c h a f t e n der reellen Zahlen als eine Zus a m m e n f a s s u n g der Schul- u n d L e b e n s e r f a h r u n g oder als eine „ a x i o matische F e s t l e g u n g " des Systems der reellen Zahlen b e t r a c h t e n (vgl. I. 4. Bern. 1 u n d 3). — Die Ü b e r s i c h t über die Eigenschaften der reellen Zahlen wird hier noch d u r c h Hinweis auf die n a t ü r l i c h e n Zahler. Lt V e r b i n d u n g m i t der B e w e i s m e t h o d e der vollständigen I n d u k t i o n ergänzt.

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

6

1. Körpereigenschaften Je zwei reellen Zahlen a, b ist eindeutig eine reelle Zahl a + b, ihre Summe, zugeordnet. Ebenso gehört zu a, b eindeutig die reelle Zahl a • b, das Produkt von a und b. Diese Zuordnungen nennt man Addition bzw. Multiplikation. Es gelten: Die K ö r p e r e i g e n s c h a f t e n a + b= b+ a

(l.a) (l.b)

Addition

Kommutativgesetz

a + (b + c) = {a + b) + c Assoziativgesetz

(1. c)

Zu jedem a, b gibt es ein Lösbarkeit der x, so daß a + x = b ist Gleichung a + x —b

(2.a)

a• b = b• a

Kommutativgesetz

(2. b) Multipli- a - (b • c) = (a-b) • c Assoziativgesetz kation Zu jedem a, b mit a 4= 0 Lösbarkeit der (2.c) Gleichung gibt es ein x, so daß a-x = b a • x = l ist + a-c Distributivgesetz

(3)

a-(b + c)=a-b

(4)

Es gibt a mit a =|= 0

Die folgenden Bemerkungen geben Ergänzungen zu den Körpereigenschaften und dienen zugleich als Beispiele dafür, wie sich rein formal aus den Körpereigenschaften weitere Aussagen ableiten lassen 1 ). Eine ausführliche Diskussion findet man zum Beispiel bei H. H a s s e , Höhere Algebra I, Sammlung Göschen Band 931 (1957).

1. Körpereigenschaften

7

Bemerkung 1: Die Gesetze (1) bestimmen eindeutig die 0, die in (2. c) eine Sonderrolle spielt, als Lösung der Gleichung a + x = a. Es ist zu zeigen: 1. x löst auch die Gleichung b + x = b mit beliebigem b. 2. x ist durch die Gleichung eindeutig bestimmt. Zu 1. Zu beliebigem b bestimmen wir c nach (1. c) aus a + c = b; dann ist b + x={a-\-c)-\-x={a-\-x)-\-c = a-\-c —b, also x auch Lösung von b + x = b. Zu 2. Es seien y und z Lösungen von a + x = a, d. h. es gelte a + y = a, a + s = a. Nach dem eben bewiesenen ist dann auch z + y = z und y + z = y, und also nach (1. a) z = y. Bemerkung 2: Es läßt sich aus (1) zeigen: Zu jeder Zahl a gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl x mit o + x = 0; man bezeichnet dieses x mit — a. Statt b + (— a) schreibt man dann b — a. Ferner: Die Lösung x in (1. c) ist eindeutig durch x = b — a bestimmt. Dieses Auflösen der Gleichung a + x — b bezeichnet man als Subtraktion und das Ergebnis als Differenz b — a. Bemerkung 3: Wie in Bern. 1 beweist man: Es gibt eine eindeutig bestimmte Zahl 1 derart, daß o • 1 = a für jedes a gilt. Bemerkung 4: Analog zu Bern. 2 gilt: Zu jeder Zahl a 4= 0 gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl x mit a • x = 1; man bezeichnet dieses x mit — . a Ferner: Die Gleichung in (2. c) hat eine eindeutig bestimmte Lösung x = b • — ; kürzer schreibt man hierfür x = — . Dieses ° a a Auflösen der Gleichung a • x = b bezeichnet man als Division und das Ergebnis — als Quotient. Bemerkung 5: Zur Abkürzung setzt man a- a = a?,a- a • a = a3. Entsprechend bezeichnet man ein Produkt mit n Faktoren a mit an. Statt

(meine natürliche Zahl) schreibt man auch a~m.

Man legt fest a° = 1 für jedes a. Statt a • b schreibt man einfach ab. Es ist (— a)b — — ab und (— d) (— b) = ab. Ferner ist 0 • a = 0 und aus ab — 0 folgt a = 0 oder 6 = 0.

8

I. Eigenschafton der reellen Zahlen

Wir verwenden weiterhin die Körpereigenschaften und die daraus folgenden Kegeln, ohne darauf besonders zu verweisen. 2. Anordnungseigcnschaften Zwischen je zwei reellen Zahlen a, b besteht eine und nur eine der Relationen a b nicht gilt, ist a •¿b. — Sinngemäß verwendet man die Schreibweise a b (lies: a größer gleich V). Durch die Körpereigenschaften (1) ist die Zahl Null ausgezeichnet (vgl. I. 1, Bern. 1). Ist a > 0, so heißt die reelle Zahl a positiv, ist dagegen a < 0, so heißt die Zahl negativ. Eine Beziehung der Art a < b oder a ^b nennt man Ungleichung, in gewissen Zusammenhängen auch Abschätzung. Statt Ungleichung angeben sagt man auch abschätzen und sagt, es sei b durch a nach unten und a durch b nach oben abgeschätzt. Auf Grund der Anordnungseigenschaften lassen sich die reellen Zahlen den Punkten einer Geraden, der sogenannten Zahlengeraden, zuordnen. Die Zahlengerade ist einein Maßstab vergleichbar, bei dem vom Nullpunkt ausgehend nach rechts die positiven Zahlen und nach links die negativen

2. Anordnungseigenschaften

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Zahlen in entsprechenden Abständen angetragen sind (siehe Fig. 1). a < b bedeutet im Bild der Zahlengeraden, daß a links von b liegt; a < b ist gleichwertig mit 6 > a, und dies bedeutet auf der Zahlengeraden: b liegt rechts von a. Ist a < z < b, so sagt man, z liegt zwischen a und b. - 3 - 2 - 1

0

1

Z

3

Fig. 1

In ihrer anschaulichen Deutung auf der Zahlengeraden verstehen sich die Gesetze (a) und (b) von selbst. Das Transitivgesetz (a) sagt aus: Wenn b rechts von a und c rechts von b liegt, so liegt auch c rechts von a (Fig. 2). Figur 2 veranschaulicht auch das Monotoniegesetz der Addition (b).

a

b

c

0 /

a

\b

0

a*c

\bi-c

/ Fig. 2

Nach (b) ist a 0 und ac 0. Somit können wir die Eigenschaft (c) auch wie folgt formulieren: Aus b — a> 0 und c> 0 folgt {b — a) c = bc — ac > 0. In dieser Formulierung sagt also das Monotoniegesetz det Multiplikation (c) aus, daß das Produkt zweier positiver Zahlen wieder positiv ist. Wir weisen bei dieser Gelegenheit auf die prinzipielle Bedeutunganschaulicher Hilfsmittel, wie sie die Zahlengemle darstellt, hin. Die Größen und Begriffe, mit denen wir es zu t u n haben, sind unabhängig von der Anschauung definiert; wir sind verpflich-

10

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

tet, alle Beweise unabhängig von der Anschauung zu führen. Trotzdem empfehlen wir die Verwendung von Figuren und anschaulichen Hilfsmitteln zur Orientierung; läßt doch eine solche Figur oft schon das Wesen des betrachteten Sachverhaltes erkennen. Wir geben noch einige Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen an; die Zuriickführung dieser Regeln auf die Anordnungseigenschaften ist angedeutet. Bemerkung 2: Aus a < b folgt — b < — a. Man verwende das Monotoniegesetz der Addition (b) und setze dort c = — a — b. Bemerkung 3: Aus a < b und c < 0 folgt be < ac. Nach Bern. 2 folgt aus c < 0 die Ungleichung — e > 0. Nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation ist dann a • (— c) < b • (— c) und daraus nach Bern. 2 bc < ac. Bemerkung 4 : Es ist 1 > 0. Aus den Körpereigenschaften folgt I 4= 0. Wäre 1 < 0, so würde aus a < b wegen 1 < 0 folgen: b • 1 < a • 1 also b < a; dies widerspricht der Voraussetzung a < b. Also ist 1 < 0 nicht richtig. Bemerkung 5 : Aus a > 0 folgt — > 0. Aus a < b folgt a I I 1 1 -r- < — bei ab > 0 und — < -r- bei ab < 0. b a a b Aufgabe 1: Man zeige: Liegt x zwischen a und b, a =j= b, dann gibt es zweipositive Zahlen a, ß mit a + ß = 1, so daß x = xa + ßb gilt. Läßt sich diese Aussage umkehren ? Aufgabe 2 : Man beweise, daß für jede reelle Zahl a 4= 0 die Zahl a 2 positiv ist. Aufgabe 3: Man zeige: a) Ist a\ + a\ + • • • + a\ = 0 für n reelle Zahlen alt a 2 , . . ., an, so ist a1 = 0, a2 = 0 , . . ., an = 0. b) Ist oj + a| + ' ' ' "t" an = ao> s o ist — »o £? ai < aü für i = 1, 2, . . . , « . 3. Eigenschaft der Vollständigkeit Während in den Körper- und Anordnungseigenschaften Beziehungen zwischen zwei oder drei reellen Zahlen hergestellt werden, betrifft die Eigenschaft der Vollständigkeit Mengen reeller Zahlen (vgl. das folgende Kapitel). Dabei treten die folgenden Begriffsbildungen auf:

3. Eigenschaft der Vollständigkeit — 4. Bemerkungen

H

Nicht leer'heißt eine Menge reeller Zahlen, wenn mindestens eine reelle Zahl der Menge angehört. Nach oben beschränkt nennt man eine Menge reeller Zahlen, wenn es eine Zahl K gibt, so daß f ü r alle reellen Zahlen x, die der Menge angehören, x K ist; K heißt dann obere Schranke. Die Zahl | heißt kleinste obere Schranke, wenn f ü r jede obere Schranke K der Menge f < K ist. F ü r die reellen Zahlen gilt: Die E i g e n s c h a f t der Vollständigkeit Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke. Aufgabe 1: Man zeige, daß die kleinste obere Schranke eindeutig bestimmt ist. Als Grundlage f ü r die weiteren Untersuchungen verwenden wir nur die genannten Eigenschaften der reellen Zahlen, die Körpereigenschaften, die Anordnungseigenschaften u n d die Eigenschaft der Vollständigkeit. D a das Rechnen mit reellen Zahlen geläufig ist, benützen wir Folgerungen aus den Körpereigenschaften ohne besonderen Hinweis. Auch a n das Umgehen mit Ungleichungen werden wir uns bald so gewöhnt haben, daß Hinweise auf die Anordnungseigenschaften nicht mehr notwendig sind. Die Verwendung der Eigenschaft der Vollständigkeit wird jedoch ausdrücklich genannt werden. 4. Bemerkungen 1. Beim Rechnen mit reellen Zahlen spielen hauptsächlich die Körpereigenschaften eine Rolle; aber auch in anderen Bereichen der Mathematik treten dieselben Rechengesetze als charakteristische Eigenschaften einer gewissen Gesamtheit mathematischer Dinge auf. Diese Gleichartigkeit unter einem übergeordneten Gesichtspunkt zusammenzufassen, hat sich als wichtiges Prinzip in der modernen Mathematik erwiesen. Man spricht von einer mathematischen Struktur, die einer zugrundeliegenden, ursprünglich strukturlosen Menge aufgeprägt ist. In diesem Sinne versteht man unter einem Körper eine Menge von Dingen mit den folgenden

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I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Eigenschaften: Es gibt in der Menge zwei Verknüpfungen; jede dieser Verknüpfungen ordnet je zwei Elementen der Menge eindeutig ein drittes Element der Menge zu. Man bezeichnet (las den Elementen a, b in der einen Verknüpfung zugeordnete Element mit a + b, das in der anderen Verknüpfung zugeordnete Element mit a • b. Es gelten dann f ü r diese Verknüpfungen die Körpereigenschaften (siehe die Tabelle S. 6). Die reellen Zahlen bilden einen Körper. Außer (lie;em gibt es natürlich noch andere Körper, b e i p i e l s w e i e den der rationalen Zahlen (vgl. folgende Bern, 2). Gibt es in einem Körper eine Beziehung, beschrieben durch das Zeichen < , der Art, daß f ü r zwei Elemente a, b des Körpers entweder a < b oder a — b oder b < a gilt, u n d genügt diese Beziehung den Anordnungseigenschaften (siehe die Tabelle S. 8), so heißt der Körper angeordnet. Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper. Es gibt aber außer die.em noch andere angeordnete Körper, b e ü p i e l s w e i e den der rationalen Zahlen. Ohne Beweis 1 ) geben wir das f ü r die Kennzeichnung des Körpers der reellen Zahlen wichtige Ergebnis a n : Jeder beschränkt vollständige2), angeordnete Körper ist dem Körper der reellen Zahlen isomorph. Das heißt, daß man die Elemente eines solchen Körpers den reellen Zahlen so eindeutig und u m k e h r b a r eindeutig zuordnen kann, daß in dieser Zuordnung auch die Verknüpfungsoperationen und Anordnungsgesetze erhalten bleiben. (Sind also den Elementen a, b, c, d die reellen Zahlen a, b, e, d zugeordnet, so gilt mit ä + b = e auch a + b = c und mit ä • b = d auch a • b = d und mit ä < b auch a < b.) Das bedeutet praktisch, daß das System der reellen Zahlen durch die angegebenen Eigenschaften voll gekennzeichnet wird. 2. Ist in einer Menge mathematischer Dinge eine Verknüpfung erklärt, die je zwei Elementen a, b der Menge wieder ein Element a + b zuordnet, u n d erfüllt diese Verknüpfungsoperation die Gesetze (1) der Tabelle S. 6, so n e n n t m a n die Menge eine Gruppe und zwar genauer, wegen (1. a), eine kommutalive Gruppe. Die ganzen Zahlen, auch die rationalen u n d auch die reellen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine k o m m u t a t i v e Gruppe; die positiven rationalen Zahlen u n d auch die positiven reellen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. 1 ) Man vgl. etwa: G. A u m a n n , Reelle Funktionen, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1954. z ) „Beschränkt vollständig" soll darauf hinweisen, daß die Existenz der kleinsten oberen Schranke für nach oben beschränkte Mengen gefordert wird.

4. Bemerkungen

13

Die Tabelle der Körpereigenschaften erlaubt dann die folgende Zergliederung: unter (1) sind die Gruppeneigenschaften bezüglich der Addition, unter (2) die Gruppeneigenschaften bezüglich der Multiplikation aufgeführt; das Distributivgesetz (3) betrifft beide Verknüpfungsoperationen geraeinsam. 3. Die Mathematik ist eine deduktive Wissenschaft. Man bemüht sich, von gewissen Voraussetzungen, die nicht bewiesen werden, den sogenannten Axiomen, ausgehend durch logische Kolgerungen zu den Sätzen einer Theorie zu gelangen. In diesem Sinne kann man die Körper- und Anordnungseigenschaften und die Eigenschaft der Vollständigkeit als Axiome der reellen Zahlen betrachten. Ein solcher axiomatischer Aufbau erfordert den Nachweis, daß es solche mathematischen Dinge, denen alle geforderten Eigenschaften zukommen, überhaupt gibt. Man kann diese Frage für das System der reellen Zahlen nicht durch den Hinweis erledigen — so berechtigt dieser ist —, daß man ja schon seit Jahrhunderten mit den reellen Zahlen in Form von Dezimalzahlen arbeitet und dabei nie auf Widersprüche stieß. Vielmehr muß man ein Modell, das die Axiome erfüllt, konstruieren. Man geht von den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . aus. Damit die Addition umkehrbar wird, erweitert man den Bereich der natürlichen Zahlen zu dem System der ganzen Zahlen . . ., — 2, — 1, 0, 1, 2, . . . Damit die Multiplikation umkehrbar wird, geht man von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen (Brüche ganzer Zahlen) über. Es läßt sich leicht nachweisen, daß den rationalen Zahlen die Körper- und Anordnungseigenschaften zukommen. Die rationalen Zahlen besitzen jedoch nicht die Eigenschaft der Vollständigkeit. (Man mache sich dies an Hand der Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen klar. Die rationalen Zahlen werden — woran wir erinnern — durch abbrechende oder periodische Dezimalbrüche dargestellt. Der nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalbruch 0,101001000100001. . . stellt eine reelle Zahl dar, die sicher keine rationale Zahl ist. Diese Zahl ist kleinste obere Schranke der Menge der rationalen Zahlen 0,1, 0,101, 0,101001, 0,1010010001,. . . Man überlege sich, daß es unter den rationalen Zahlen zu jeder oberen Schranke dieser Menge eine noch kleinere obere Schranke der Menge gibt; daraus folgt, daß im Bereich der rationalen Zahlen eine kleinste obere Schranke dieser Menge nicht existiert.) Um die rationalen Zahlen konstruktiv zum System der reellen Zahlen zu erweitern, gebraucht man Begriffsbildungen und

14

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Methoden, die in den nächsten Kapiteln besprochen werden ( D e d e k i n d s c h e Schnitte (vgl. II. 3, Bern. 6), konzentrierte Folgen (vgl. IV. 3. 2) oder Intervallschachtelungen (vgl. IV. 3. 2. Bern. 2)). Man kann zusammenfassend sagen, daß eine „reelle Zahl" durch ein Menge bzw. Folge rationaler Zahlen erklärt wird. Es ist nachzuweisen1), daß die so erklärten „reellen Zahlen" die Körper- und Anordnungseigenschaften und auch die Eigenschaft der Vollständigkeit besitzen. Dieses Zahlsystem stellt dann also ein Modell für das zugrunde gelegte Axiomensystem dar. Die Konstruktion eines Modells und die Herleitung der Sätze aus den Axiomen geschieht, wie wir schon sagten, durch logische Folgerungen. Diesen Begriff „logische Folgerung" haben wir nicht näher präzisiert, sondern nehmen an, daß er dem Leser geläufig ist. Von diesem Standpunkt aus ist der skizzierte Aufbau des Systems der reellen Zahlen befriedigend. Eine Präzisierung der logischen Hilfsmittel, die aus verschiedenen Gründen wünschenswert erscheint, wirft zahlreiche neue Probleme auf 2 ). 4. Die Methode des indirekten Beweises. Es seien für diese Bemerkung a und b positive Zahlen. Aus a < b folgt nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation nach Multiplikation mit a bzw. b : a2 < ab, ab < b2 und daraus nach dem Transitivgesetz a 2 < h2. Wir haben also durch direkte Anwendung von Rechengesetzen aus a < b gefolgert a 2 < b2. Damit ist ein direkter Beweis dafür gegeben, daß aus a < b folgt a2 < b2. Wir wenden uns nun der Aufgabe zu, aus a2 < b2 auf a < b zu schließen. Der oben durchgeführte Beweisgang läßt sich nicht einfach umkehren, da aus a2 < b2 nicht unmittelbar a2 < ab und auch nicht ab < V gefolgert werden kann. Jedoch kann man durch die Methode des indirekten Beweises unter Verwendung derselben Beweisschritte wie oben zum Ziel gelangen. Hierbei schließt man so: Würde aus a 2 < b2 nicht a< b, sondern a Jä b folgen, so wäre a2 ig ab, ab b2 und also a2 ^ 6 2 ; dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung a2 < b2. Die Annahme, daß aus a2 < h2 die Aussage a ^ b folgt, kann also nicht richtig sein, da wir zu einem Widerspruch gelangen. Also folgt aus a 2 < b2, wie behauptet, a < b. 1 ) Man vgl. etwa: E. L a n d a u , Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930. — O. P e r r o n , Irrationalzahlen, Berlin 1960. — A. V o g e l , Klassische Grundlagen der Analysis, Leipzig 1952. •) Vgl. den Artikel „Grundlagen der Mathematik" von H. H e r m e s und \V. M a r k w a l d in H. B e h n k e , K. F l a d t , W. Süss, Grundzüge der Mathematik, Bd. 1, Göttingen 1958.

4. Bemerkungen

15

Logische Grundlage der indirekten Beweismethode ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Von zwei Aussagen, von denen die eine die Verneinung der anderen ist (kontradiktorische Aussagen), ist die eine richtig und die andere falsch. Die indirekte Methode dient hauptsächlich zum Beweis begrifflicher Aussagen und ist dabei ein außerordentlich brauchbares Hilfsmittel (man vergleiche das folgende Kapitel). Rechnerische Aussagen lassen sich meist auch direkt beweisen; dies trifft auch für unser Beispiel, das wir zur Erläuterung verwendet haben, zu (vgl. die folgende Bern. 5). In I. 2, Bern. 4 wurde bereits ein indirekter Beweis angedeutet. 5. Die Begriffe: notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung. Wir betrachten hier verschiedene Aussagen und beschäftigen uns mit den logischen Beziehungen, die zwischen diesen Aussagen bestehen. Beispiel 1: Aussage (1): Es ist a > 0 und 6 > 0. Aussage (2): Es ist a + b > 0. Aus Aussage (1) folgt a -f b > b > 0, d. h. es folgt die Aussage (2). Die Aussage (1) reicht also hin zum Beweis von (2). Man nennt deshalb (1) eine hinreichende Bedingung für (2): Dann, wenn (1) gilt, gilt auch (2). Bisher hatten wir die Aussage (1) als Voraussetzung, die Aussage (2) als Folgerung betrachtet. Wir wollen jetzt klären, welche Bedeutung (2) für (1) hat. (2) ist eine Folge von (1); (2) muß also immer dann gelten, wenn (1) gilt. Wenn (2) nicht richtig ist, so kann auch (1) nicht richtig sein; denn wäre (1) richtig, so müßte auch (2) richtig sein. Die Bedingung (2) ist also notwendig für die Richtigkeit von (1). Man nennt deshalb (2) eine notwendige Bedingung für (1): Nur dann, wenn (2) gilt, gilt auch (1). Beispiel 2: Es soll die Aussage: (A) a •b> 0 mit folgenden drei Aussagen (B t ) a > 0, 6 > 0, (B 8 ) a #= 0, (B s ) a > 0, 6 > 0 oder a < 0, b< 0 in Verbindung gebracht werden. Aus (Bj) folgt (A) nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation. Also ist (B x ) eine hinreichende Bedingung für (A). (Bj) ist aber nicht notwendig für (A), wie man durch ein Gegenbeispiel zeigt:

16

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Mit a = —• 1 und 6 = — 1 ist (A) richtig ( ( — l ) - ( — 1 ) > 0), während (B l ) nicht zutrifft. Aus (A) folgt (B 2 ); denn a = 0 würde a • b = 0 nach sich ziehen. (B 2 ) ist also notwendig erfüllt, wenn (A) gilt. (B 2 ) ist daher eine notwendige Bedingung für die Richtigkeit der Aussage (A). (B 2 ) ist aber nicht hinreichend für (A): Mit a = — 1 und 6 = 1 ist zwar (B2) erfüllt, jedoch (A) nicht richtig (es gilt nicht: (—1) • 1 > 0). Während (Bj) zwar hinreichend, aber nicht notwendig und (B2) zwar notwendig, aber nicht hinreichend für die Richtigkeit von (A) ist, gilt jedoch: (B 3 ) ist notwendig und hinreichend für die Richtigkeit der Aussage (A). Der Beweis zerfällt in zwei Teile: 1. Aus (B 3 ) folgt (A), d. h. (B 3 ) ist hinreichend für (A). Bei a > 0, b > 0 ist a • b > 0; bei a < 0, b < 0 ist — a > 0, — b > 0 und also (— a) • (— b) > 0 und somit a • b > 0. 2. Aus (A) folgt (B 3 ), d. h. (B 3 ) ist notwendig für (A). Zum Beweis machen wir die Fallunterscheidung a = 0, a > 0, a < 0. a = 0 erfüllt die Voraussetzung a - b > 0 nicht; bei a > 0 folgt — > 0 und also — . ab > 0, d. h. b > 0; bei a < 0 folgt — < 0 a a a und also

• ab < 0 und also b < 0. Aus der Aussage (A) folgt

also entweder a > 0, b > 0 oder a < 0, b < 0, d. h. (B 3 ). Wir fassen zusammen: (A) und (B) seien zwei Aussagen. Es gelte: die Aussage (B) folgt aus (A). Dann sagt man: (A) ist hinreichend für (B); (B) ist notwendig für (A); (B) gilt dann, wenn (A) gilt; (A) gilt nur dann, wenn (B) gilt. Es gelte: Die Aussage (A) folgt aus (B) und die Aussage (B) folgt aus (A). Dann sagt man: (A) ist notwendig und hinreichend für (B); (B) ist notwendig und hinreichend für (A); (B) gilt dann und nur dann, wenn (A) gilt; (A) gilt dann und nur dann, wenn (B) gilt; (A) gilt genau dann, wenn (B) gilt; die beiden Aussagen (A) und (B) sind gleichwertig; (A) und (B) sind äquivalente Aussagen; (A) heißt charakteristisch oder kennzeichnend für (B); (B) kennzeichnet oder charakterisiert (A). Man beachte, daß der Beweis eines ¡Satzes, der die Ausdrücke „notwendig und hinreichend" bzw. „dann und nur dann" enthält, immer in zwei Teile zerfällt: Teil 1: aus (A) folgt (B), Teil 2: aus (B) folgt (A).

5. Vollständige Induktion

17

5. Vollständige Induktion Durch fortgesetzte Addition lassen sich die natürlichen Zahlen aus der Zahl 1 erzeugen. Mit 1 sind alle natürlichen Zahlen positiv (vgl. I. 2, Bern. 4). Die Menge der natürlichen Zahlen, mit 3 bezeichnet, kann aucli so beschrieben werden: Die Zahl 1 ist eine natürliche Zahl. Ist n eine natürliche Zahl, so ist auch n + 1 eine natürliche Zahl. Damit ist bereits der Gedankengang aufgezeigt, der der Beweismethode der vollständigen Induktion zugrunde liegt. Mit ihr zeigt man die Richtigkeit solcher Aussagen, die irgendwie von einer natürlichen Zahl n abhängen und für alle natürlichen Zahlen, von einer kleinsten n0 an, gültig sind. Der Beweis erfolgt in zwei Schritten: Schritt 1: Man beweist die Richtigkeit der Aussage für n = n0. Schritt 2: Man beweist, daß aus der Annahme, die Aussage sei richtig für die natürlichen Zahlen n mit w0 5S n^k, folgt, daß die Aussage auch für k + 1 gilt. Nach dem Schritt 1 gilt die Aussage für n = »i0; nach dem Schritt 2 folgt dann die Gültigkeit für n = n0 + 1 und bei nochmaliger Anwendung für n = (n0 + 1) + 1 und nach m-facher Anwendung auch für n = n0 + m. Man gelangt so nie zu einer letzten Zahl, denn aus der Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen n mit n 0 ^ nf^k folgt nach Schritt 2 auch die Gültigkeit für n = k + 1. Man schließt deshalb auf die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen n 2; n0, indem man tatsächlich nur die beiden Schritte 1 und 2 durchführt. Man spricht deshalb auch von dem Schluß von n auf n + 1. Es folgen Beispiele f iir die Beweisnicthode der vollständigen Induktion. Beispiel 1: Diu Aussage haute 1 + 3 + 5H 1- (2)1 — 1) = u~. Die Richtigkeit dieser Aussage ist für n ^ 1 (« 0 = 11 zu erweisen. Schritt 1: Wir setzen»! = 1; dann lautet die Aussage 1 = 1. 2

B a r n u r , Differential- und Integralrechnung L

18

I. Eigenschaften der reellen Zahlen Schritt 2: Aus der Aussage für n — k 1 + 3+ 5H

b (2k — 1) = k2

folgt durch Addition von (2 k + 1) auf beiden Seiten der Gleichung: 1 + 3+ 5H

b (2k — 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1

und also: 1 + 3 + 5 + h (2(k + 1) — 1) = (k + l) 2 , und dies ist unsere Aussage für n = k + 1. Beispiel 2: Die Aussage laute 2n > n2 Diese Aussage ist für n = 1 (2 > 1) richtig, nicht aber für n = 2 (nicht 4 > 4), n = 3 (nicht 8 > 9), n = 4 (nicht 16 > 16). Die Richtigkeit der Aussage ist für n ig 5 (w0 = 5) zu erweisen. Schritt 1: Für n = 5 ist tatsächlich 2 5 > 5 2 . Schritt 2: Aus 2* > k2 folgt zunächst 2k+l > 2 k2 = k2 + k2. Bei fe^3istfc^3>2 + ~ wegen 1 > . Damit wird fc2 +

k2 >

k2 +

k ^2 + -i-j

= k2 + 2k + 1 = (k + l) 2 , also

2»+i > 1)2. Dies ist unsere Aussage für n = k + 1. Anmerkung: Im Laufe der Rechnung zu Schritt 2 mußten wir die zusätzliche Voraussetzung k ^ 3 machen. Wäre unsere Aussage für k = 3 richtig, so würde, wie unsere Überlegung zeigt, auch die Richtigkeit für n = 4, 5 , . . . folgen. Tatsächlich ist aber unsere Aussage erst für n = 5 und damit, wie bewiesen, auch für n > 5 richtig. — Daß unsere Aussage zufällig auch für n = 1 richtig ist, nützt uns gar nichts, da der Schluß von n auf n + 1 erst für w ^ 3 durchgeführt werden kann. Beispiel 3 : Die BernoulliscAe Ungleichung lautet (1 + h)n > 1 + nh

bei h>

— 1

Diese Ungleichung gilt für alle n 5: 1. Schritt 1: Es ist (1 + ft)1 lä 1 + 1 • h. (Es gilt das Gleichheitszeichen.) Schritt 2: Aus der Aussage für n = k: (1 + h)k iä 1 + kh folgt durch Multiplikation mit der positiven Zahl (1 + h) die Beziehung (1 + ^ (1 + kh) (1 + h) = 1 + (k + 1)7» + kh2 und wegen kh2 ä 0 weiter 1 + (k + 1)A + Ich2 ^ 1 + (k + 1)7», also: (1 + h)k+1

;> 1 + (k + l)h; das ist unsere Aussage für n = k + 1.

5. Vollständige Induktion

19

Beispiel 4: Die Aussage laute: „Unter n (n 5: 2) voneinander verschiedenen reellen Zahlen av a2,. . ., an gibt es stets eine größte." Schritt 1: Für n -- 2 l'olgt aus a1 4 : entweder < a 2 oder > a 2 ; es ist entweder aL oder a 2 die größte der beiden Zahlen. Schritt 2: Sei die Zahl % die größte unter den reellen Zahlen av a2, .. ., ak, d. h. es sei ai < a{ für l = 1, 2,. . ., k, l 4= i. Da a k+1 + a i ist) gilt entweder a k + 1 < a t oder a k + 1 > «¡. Im ersten Fall folgt ai < öj für l = 1, 2 , . . ., k + 1, l 4= i, im zweiten Fall aber at < ak+l für l = 1, 2, . . ., k. Also: Gibt es unter den k reellen Zahlen av a 2 , . . ., ak eine größte, so auch unter den k + 1 Zahlen ox, o 2 ,. . ,,ak, ak+1. Aufgabe 1: Man beweise, daß es unter k nicht notwendig verschiedenen reellen Zahlen ax, a 2 , . . . , an stets eine Zahl a( gibt, für die gilt: ax iS ait a2 ^ «j «„ i j o,-. Aufgabe 2: Man beweise die binomische Formel (0+6)»=

0«+ (") an^b

H

+ (

Hierin sind die Binomialkoeffizienten w\ -, (n \ 0) ~ 11 [mj -

"

)ab+

b«.

durch

w • (w — 1) • (w — 2) 1• 2• 3

m

(w — m + 1)

für alle natürlichen n und für m = 1, 2, . . . , n definiert. Beim Beweis verwende man, daß zwischen den Binomialkoeffizienten die Beziehungen bestehen: !k + 1\ / m }~\m~

k

\ , fk\ 1/ ' \mj

für m = 1, 2

k.

Aufgabe B: Durch vollständige Induktion beweise man für q =t= 1 die Formel: 1_0n+i 1 + q + f + • ' • + qn = - 1 J • Aufgabe 4: Es sei x eine reelle Zahl mit 0 < x < 1. Durch die Vorschrift x1 = x, x

n + l = ~ - (xi + x l +

x

l H

1-®").

n = 1,2,3,...

werden die Zahlen x1,xs,x3,. . . bestimmt. Man zeige, daß 0 < xn^ x für alle natürlichen Zahlen n gilt.

20

I. Eigenschaften der reellen Zahlen 6. Archimedische Eigenschaft

Die Menge der natürlichen Zahlen int nicht nach oben beschränkt. Den Beweis dieses Satzes führen wir indirekt (vgl. I. 4, Bern. 4). Wäre die Menge der natürlichen Zahlen nach oben beschränkt, so gäbe es auf Grund der Eigenschaft der Vollständigkeit eine kleinste obere Schranke für jede natürliche Zahl n wäre also n Wir zeigen die Unmöglichkeit dieser Annahme, indem wir folgern, daß es immer eine natürliche Zahl n x > f gibt. Es gibt eine natürliche Zahl n0 mit £ — 1 < n0; sonst wäre ja mit £ auch | — 1 obere Schranke der Menge der natürlichen Zahlen; wir hatten jedoch angenommen, | sei die kleinste obere Schranke. Aus | — 1 < n0 folgt aber nun I < n0 + 1, d. h. für die natürliche Zahl n0 + 1 = nx ist nx > Somit kommen wir zu einer natürlichen Zahl wx > | und damit zu einem Widerspruch zu der Annahme, | sei obere Schranke der Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist also, wie behauptet, nicht nach oben beschränkt. Diese Aussage ist gleichwertig mit: Zu den positiven reellen Zahlen a, b gibt es immer eine natürliche Zahl n, so daßn • a > b ist. Andernfalls wäre ja-—obere Schranke für die Menge der natürlichen Zahlen. Man bezeichnet diesen Sachverhalt als archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen. Ferner zieht unsere Aussage den folgenden, für die Grenzwerttheorie wichtigen Satz nach sich: Wenn die nicht negative Zahl x die Ungleichung a
0, so würde aus der Voraussetzung x < folgen n < ~ für alle n \ ~ wäre eine obere Schranke für die Menge der natürlichen Zahlen; eine solche Schranke gibt es aber nicht. Die Annahme x > 0 hat zum Widerspruch geführt; es muß x = 0 sein. Aufgabe 1 : Jede nach oben beschränkte Menge natürlicher Zahlen besteht aus endlich vielen natürlichen Zahlen (vgl. I. 5, Beisp. 4).

6. Archimedische E i g e n s c h a f t — 1. Definition u n d Beispiele

21

Aufgabe 2 : Man zeige: Sind a u n d b reelle Zahlen m i t a < b, so gibt es (mindestens) eine rationale Zahl r mit a< r < b. Man suche r u n t e r den rationalen Zahlen — (»» ganze Zahl, u n a t ü r l i c h e n Zahl), wobei n so g e w ä h l t ist, d a ß 0 < — < b — a gilt.

II. Mengen reeller Zahlen Der Mengenbegriff spielt heute in fast allen mathematischen Disziplinen eine fundamentale Rolle. Iiier beschäftigen wir uns zwar mit Mengen reeller Zahlen und entnehmen die Beispiele diesem Bereich, doch erklären wir auch einige allgemein übliche Begriffsbildungen. Für den Aufbau der Differential- und Integralrechnung wichtiger sind jedoch die Begriffe, die an den Umgebungsbegriff gekoppelt sind und sich damit, von einem übergeordneten Gesichtspunkt aus, der mengentheoretischen Topologie unterordnen. Hier führen wir den Umgebungsbegriff auf die Anordnungseigensehaften der reellen Zahlen zurück. Der Satz von B o l z a n o - W e i e r s l r a ß ist für den Aufbau der Differential- und Integralrechnung von grundlegender Bedeutung. Kr besagt, anschaulich gesprochen, daß unendlich viele Punkte, die in einem beschränkten Bereich eingeschlossen sind, sich an mindestens einer Stelle häufen müssen. Für das Verständnis des Folgenden sind aus diesem Kapitel unbedingt erforderlich die Definitionen der Begriffe Intervall, Umgebung, Häufungspunkt und das Ergebnis des Satzes von B o l z a n o - W e i e r s t r a ß . Für diesen Satz geben wir später in IV. 3, Bern. 5 noch einen zweiten einfacheren Beweis.

1. Definition und Beispiele W i r n e n n e n eine G e s a m t h e i t reeller Zahlen eine Menge, w e n n festgelegt ist, welche reellen Zahlen zu der G e s a m t h e i t g e h ö r e n u n d welche n i c h t . D i e reellen Z a h l e n , die zu einer M e n g e g e h ö r e n , h e i ß e n Elemente der Menge. Auf die Problem a t i k d e r D e f i n i t i o n des M e n g e n b e g r i f f s m a c h e n w i r a u s d r ü c k l i c h a u f m e r k s a m u n d verweisen auf die L i t e r a t u r 1 ) . J ) Vgl. e t w a E . K a m k e , Mengenlehre, S a m m l u n g Göschen Bd. 999/999a, 1955, u n d die d o r t a n g e g e b e n e L i t e r a t u r .

22

II. Mengen reeller Zahlen

Mengen bezeichnen wir mit großen Frakturbuchstaben. Können wir eine Menge 93! durch explizite Angabe ihrer Elemente festlegen, so bezeichnen wir diese Menge, indem wir ihre Elemente in Klammern { } setzen (vgl. die folgenden Beisp. 1 und 4). Besteht eine Menge 3Jt aus allen Elementen x, die eine bestimmte Eigenschaft P haben, so verwenden wir das Symbol = {x | P} (vgl. folgendes Beisp. 6). Beispiel 1: 391 bestehe aus den reellen Zahlen 3 , 5 , 7 . Wir schreiben hierfür 58x = {3, 5, 7}. Beispiel 2 : 332 bestehe aus allen geraden Zahlen. Beispiel 3 : S83 bestehe aus allen natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Beispiel 4 : 334 bestehe aus den Zahlen 1, - i - , - i , - i - , . . . . Hier a o 4 und überall, wo in einer Aufzählung oder Formel... erscheinen, muß durch die Angabe das allgemeine Bildungsgesetz eindeutig erkennbar sein; bei Anwendung dieser Schreibweise kommt man überein, die Aufzählung oder Formel nach diesem allgemeinen Bildungsgesetz zu ergänzen. Wir schreiben auch: 334 = j l , ^ , ~ , ,... j . Beispiel 6 : 335 sei wie folgt festgelegt: Die Zahlen 1 und 2 gehören zur Menge S35; ferner gehöre mit a und b auch die Zahl — (a + i ) und die Zahl -i- a-b zur Menge 93 5 . 93 5 möge alle und nur £ U die Zahlen enthalten, die sich so, von 1 und 2 ausgehend, erzeugen lassen. Beispiel 6 : Zur Menge 586 gehören alle x mit x > 0 und x2 < 2; 33, = {x | x > 0 und x 2 < 2 } . Wir vermehren die Beispiele durch Angabe solcher Mengen reeller Zahlen, die im folgenden immer wieder auftreten werden und denen wir deshalb eine besondere Bezeichnung zukommen lassen: 9i die Menge aller reellen Zahlen, 9io die Menge aller rationalen Zahlen, 3

die Menge aller natürlichen Zahlen.

2. Aus der allgemeinen Mengenlehre

23

Die Menge aller reellen Zahlen x, die einer Ungleichung a ^ xf^Lb oder a < x < b genügen, nennt man Intervall. Auf der Zahlengeraden entspricht einem Intervall die Gesamtheit der Punkte einer Strecke. Gehören die Endpunkte a, b mit zur Menge, so heißt das Intervall abgeschlossen-, gehören sie nicht mit zur Menge, so heißt das Intervall offen. Ein offenes Intervall x0 — s < x < x0 + e (e > 0) mit dem Mittelpunkt xQ heißt Umgebung von xa, in Zeichen II (x0); ist die positive Größe e von Bedeutung, so sprechen wir von einer e-Umgebung und schreiben ll £ (a; 0 ). E s folgt eine Übersicht, die zugleich die Bezeichnungen definiert. (Durch die Klammern ], [ wird angedeutet, ob der betreffende Punkt zu dem Intervall gehört oder nicht.) E s ist a < b vorausgesetzt: [a, 6] = {x \ a f S xfSL &} abgeschlossenes Intervall [a, b[ = {x | a ^

x < b}

]a, 6] = {x | a < x 52 6} \a, &[ = {x\ a < x < 6 }

a

b

(halboffenes Intervall) (halboffenes Intervall) offenes Intervall

£ a ^ a j] a

b b £ b

U £ (x 0 ) = {x | x0 — e < x < x0 + e] s-Umgebung Ä—C von x0 i-e-4-e-r Bemerkung 1: Gelegentlich nennt man eine Menge Sß auch dann schon Umgebung von x0, wenn eine e-Umgebung (in unserem Sinne) als Teilmenge (vgl. folgenden Abschnitt II. 2.1) enthält. Die nachfolgenden Überlegungen sind auch bei Verwendung dieses allgemeineren Umgebungsbegriffs gültig. Doch wollen wir unter s-Umgebung eines Punktes x0 stets die Menge {x\x0—e; dabei ist a < 0 die Höchstgeschwindigkeit im Rückwärtsgang und b > 0 die Höchstgeschwindigkeit bei Vorwärtsfahrt. Es ist sinnlos, diese „Funktion" für große negative oder extrem hohe positive Werte von i> betrachten zu wollen. Zu den „elementaren Funktionen" rechnet man unter anderem die rationalen Funktionen, insbesondere die Polynome, ferner die Logarithmus*, Exponential- und Winkelfunktionen. Die rationalen Funktionen werden hier genannt werden. Die anderen elementaren Funktionen können wir erst später (Kapitel VI und VIII) einführen. Genauer gehen wir auf eine Funktion ein, die geometrisch auf der Zahlengeraden erklärt werden k a n n : der Zahl x ordnen wir den Abstand (positiv gemessen) des Punktes x vom Ursprung der Zahlengeraden zu. So wird jeder Zahl x eine bestimmte positive Zahl, mit | x | bezeichnet, zugeordnet. In | x | lernen wir ein Beispiel für ein Funktionssymbol kennen, das ebenso wie In x, ex, cos x, sin x feststehende, allgemein übliche Bedeutung hat.

1. Definition und Beispiele 1. Es sei uns eine Menge ® reeller Zahlen gegeben. Ist dann jedem Element x e SD eindeutig eine reelle Zahl y zugeordnet, so sagen wir, y sei eine reelle Funktion von x und schreiben V = f(x)- Bei dieser Zuordnung werden den Elementen von 2> gewisse reelle Zahlen zugeordnet, die wieder eine Menge bilden, die wir mit SB bezeichnen. ® heißt Dejinitionsmenge, SB Wertmenge der Funktion f(x). Die Elemente x e ® nennt man Argumente oder Argumentstellen, die y e 358 Funktionswerte. Man spricht kurz von einer „Stelle" x e ® und einem „ W e r t " yc'SÜ. Wir bezeichnen die Zuordnung y = f(x) auch als eine Abbildung. Jeder Punkt x e ® wird auf das Bild y e SB abgebildet; heißt Urbild zu y e SB. Wir verwenden für die Abbildung, die den Elementen der Menge ® die Elemente der Menge SB nach der Vorschrift der Funktion y = f(x)

1. Definition und Beispiele

39

zuordnet, das Symbol 2) —^ SB. Dabei ist die Richtung von 2) nach SB, wie dies der Pfeil ausdrückt, ausgezeichnet; zu i e S gibt es genau ein y e SB. Die Abbildung ist also eindeutig. Es kann jedoch zu einem y e SB durchaus mehrere Urbilder geben, so daß alle diese x e % auf dasselbe y e SB abgebildet werden. Sind Definitionsmenge % und Funktion j(x) so beschaffen, daß die Wertemenge 28 nach oben (bzw. nach unten) beschränkt ist, so nennt man f(x) nach oben {bzw. nach unten) beschränkt. f(x) heißt beschränkt, falls SB beschränkt ist. — Die Funktionen der nachfolgenden Beispiele 1, 3, 5, 7 , 1 0 und 11 sind beschränkt, die Funktionen der Beispiele 2, 4, 8 sind nach unten, nicht aber nach oben beschränkt. Bemerkung 1: Man hat zu unterscheiden zwischen dem Funktionswert f(x), das ist eine reelle Zahl, und der Funktion /, das ist eine Zuordnungsvorschiift, eine Abbildung. Es ist die Aufgabe anderer mathematischer Disziplinen, z. B. der Funktionalanalysis, sich mit Mengen von Abbildungen und ihren Eigenschaften auseinanderzusetzen. Uns interessiert hier nur die durch eine Funktion definierte Zuordnung zwischen reellen Zahlen. Bemerkung 2: Eine Funktion ist immer in einer bestimmten Menge definiert. Es ist nicht so, daß diese Menge durch die Funktion bestimmt wäre. Die Festlegung einer Funktion erfolgt gemeinsam mit der Festlegung der Definitionsmenge. — Ein mathematisches oder auch physikalisches Problem liefert meist zusammen mit einer Funktion f(x) auch die Definitionsmenge ®. Ist ® Definitionsmenge der Funktion / (x), so ist die Funktion auch in jeder Teilmenge ® von ® definiert, und wir können die Funktion auch in der Teilmenge ® betrachten. So ist die Ausdrucksweise zu verstehen: f(x) hat in der Menge ® diese oder jene Eigenschaft, beispielsweise f(x) ist in ® beschränkt. Besitzt eine Funktion f(x) eine Eigenschaft in der Definitionsmenge selbst, so erwähnen wir ® nicht besonders. Die Frage, ob man eine Funktion f(x) mit der Definitionsmenge ® auch in Punkten, die nicht zu ® gehören, definieren kann, ob man also die Definitionsmenge erweitern kann, ist selbstverständlich zu bejahen. Wer wollte uns an einer solchen Erweiterung hindern ? Allerdings wird mit dieser Frage meist ein anderer Sinn verbunden. Man denkt nur an den analytischen Ausdruck und fragt,

40

III. Funktionen reeller Zahlen

warum heißt esy = x2 „in — 1 ^ i ^ 1" statt „für alle reellen x" ? Wie wir dies einrichten wollen, liegt in unserer Hand, ist Definitionssache. Zu einem mathematischen Problem wird die Erweiterung der Definitionsmenge dann, wenn man an die zu definierende Funktion zusätzliche Bedingungen stellt. Bemerkung 3: Eine Funktion f(x) ist für jedes x e ® definiert. Damit verbindet sich die Vorstellung, daß man x die Elemente der Definitionsmenge „durchlaufen lassen" kann. Zugleich betrachtet man die Funktionswerte f(x), die ihrerseits die Wertemenge „durchlaufen". Da man hierbei x als „veränderliches" Element von ® auffaßt, nennt man x auch eine Veränderliche oder Variable, und zwar unabhängige Veränderliche, da man x e ® beliebig auswählen kann, y = f(x) ergibt sich dann zwangsläufig nach der Zuordnungsvorschrift. Deshalb heißt y abhängige Veränderliche oder abhängige Variable. Bemerkung 4: Ist/(x 0 ) = 0 für ein x0 e ®, so heißt x0 Nullstelle der Funktion /(x). Man sagt auch, f(x) verschwindet für x = x0.

Wir erläutern die Begriffsbildungen an Beispielen und an Figuren. Wir werden davon zu sprechen haben, wie man solche Figuren anlegt.

2. Beispiele: 1. Enthält ® nur endlich viele Elemente, so können wir eine Funktion mit der Definitionsmenge ® durch eine Tabelle festlegen : 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,95 0 ® besteht aus den neun in der ersten, SB aus den neun in der zweiten Zeile angegebenen rationalen Zahlen. Jede Funktionstafel (beispielsweise eine Logarithmentafel) ist solch eine Tabelle, wenn auch mit mehr Elementen in ® und SB. 2. Auch wenn ® abzählbar ist, kann eine Tabelle eine Funktion festlegen, wenn die Tabelle das allgemeine Bildungsgesetz für x e ® und y e SB erkennen läßt. Hier und in allen derartigen Fällen fordern wir, daß das erkennbare Bildungsgesetz tatsächlich angewendet wird. So bekommen die . . . einen wohlbestimmten Sinn. 1_ 2 4 8 16 32 " " y 0

2

4

6

8

10

41

1. Definition und Beispiele

2) besteht im Beispiel aus der Zahl 1 und außerdem aus allen x = —- mit natürlichem n. SB besteht aus der Zahl 0 und allen ¿t geraden natürlichen Zahlen. SJ. Ist % speziell die Menge der natürlichen Zahlen, so bezeichnet man die zugeordneten Werte als eine Folge. Beispiel: x | 1 2 3 4 ... I 1 A Ä -i |¥ "3 4 5 Bei einer Folge besteht die Definitionsmenge immer aus den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . und es genügt deshalb, zur Beschreibung der Funktion die zugeordneten Funktionswerte in der entsprechenden Reihenfolge, im Beispiel durch _1 _2_ _3 4 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' anzugeben. Mit Folgen werden wir uns in dem nachfolgenden Kapitel beschäftigen. 4. Definitionsmenge ® sei wieder die Menge der natürlichen Zahlen Q. Mit n! (lies: n Fakultät), n e Q, bezeichnet man das Produkt n! = 1 • 2 • 3 • • • n. Es handelt sich um eine spezielle Folge. Die Wertemenge SB ist Teilmenge der Menge g . (Gelegentlich nimmt man zur Definitionsmenge noch die Zahl 0 hinzu und definiert 0! = 1.) y

5. Definitionsmenge sei die Menge 3t aller reellen Zahlen. Ordnet man jeder Zahl x e ® dieselbe feste Zahl c zu, so schreibt man y— c oder f(x) = c. Die Wertemenge SB besteht hier aus einer einzigen reellen Zahl c, es ist also SB = {c} (Fig. 3). Man sagt, f(x) sei kon'y fjto

, Kg. 3

a

42

III. Funktionen reeller Zahlen

nur diese Tatsache, nicht stant oder eine Konstante; inte aber der Wert der Konstanten c , so schreibt man f(x) = const. 6. Definitionsmenge sei wieder SR. Ordnen wir jeder reellen Zahl / 7- x diese Zahl selbst zu, d. h. setzen ©«iK X wir f(x) = x, so sprechen wir /y=x von der identischen Abbildung (Fig. 4). / » = 3 1 Xx 7. Definitionsmenge ® sei das 0 ) ' Intervall [— 1, 1]. Der Zahl x e ® sei die Zahl y = x 2 zugeordnet. Die Wertemenge SB ist das Intervall [0,1] (Fig. 5).

Fig. i

8. Die Definitionsmenge bestehe aus allen positiven reellen Zahlen. Zu gegebenem x > 0 betrachten wir die Menge Mx der reellen Zahlen | mit f 2 < x. Für jedes x ist SRa; nicht leer und nach oben beschränkt. Nach der Eigenschaft der Vollständigkeit gibt es für Wx eine kleinste obere Schranke. Wir bezeichnen diese mit y und ordnen sie der Zahl x zu, setzen also y = fin Wlx = fin{£ | | 2 < x}. Die hierdurch für x > 0 definierte Funktion nennen wir Wurzelfunktion und verwenden für sie das Symbol Wir erweitern die Definitionsmenge durch die Zahl 0 und setzen |/Ö~= 0 (Fig. 6). Für x > 0 ist y > 0, denn W x enthält ein Element f > 0 (bei x < 1 wähle man £ = x, bei x 2

1 wähle man £ -- - - ).

Wir zeigen, daß fiir y -- )/x ;ilt y = x, indem wir die Unmöglichkeit der Annahme y 2 < x n id der Annahme y 2 > x beweisen.

1. Definition und Beispiele

43

2

Wäre y < x, so wäre y nicht obere Schranke der Menge Wz, denn wir könnten h > 0 so bestimmen, daß (y h) 2 < x wäre. Denn bei Wahl von h mit

^ ~ y_l

0 < h < 1 und h < (?/ +

hf

y 2 + 2hy

=

+

gilt: ö

2y

+

1

h 2 sS y 2 + 2hy

+

h
0 nach der gemachten Annahme auch x — y 2 > 0 ist. (Die Ungleichungsfolge lehrt zugleich, warum wir h so wählen.) Wäre y 2 > x, so wäre y nicht kleinste obere Schranke der Menge Ttx , denn wir könnten k> 0 so bestimmen, daß auch y — k obere Schranke von W x wäre. Wählen wir nämlich 0
(y — Kf = t — 2yk + k 2 >y 2 — 2yk > y 2 — (y 2 — x) = x also | 2 > x. Damit ist sowohl die Annahme y 2 < x als auch die Annahme y 2 > x zu einem Widerspruch geführt. Also gilt, wie zu beweisen war, y 2 = x. Eine andere Definition der Wurzelfunktion geben wir in V. 3, Beisp. 2. Aufgabe 1 : Jedem x e ® = {x [ x > 0}, sei die kleinste obere Schranke der Menge Wlx = { ! | | r e < x} zugeordnet; n sei eine festgewählte natürliche Zahl. Die so definierte Funktion bezeichnet man

z L

n

durch y = |/x . Man zeige: Es ist

y

n

III I I

= x.

...1

j z

9. Es sei ® = 3?. Wir setzen (vgl. Fig. 7)

H

a-m

X

Fig. 7

x, falls x =)= 0 ist und — eine natürliche Zahl ist; s i keine natürliche Zahl ist. 0 , falls x = 0 ist oder falls —

x

44

ITT. Funktionen reeller Zahlen

Ks ist. SU - | 0, 1, - l ,

* -,

. . . | (Fi,-. 7).

10. Ks sei 2) - i)i die Mungo aller reellen Zahlen. Der Zahl x ordnen wir die größte ganze Zahl zu, die kleiner oder gleich x ist, und bezeichnen diese mit [x] (vgl. I I . 3, Aufg. 1). Die Wertemenge der Funktion [x] besteht aus allen ganzen Zahlen (Fig. 8).

y -z

y-M

o - —

\i ,i -3

< i -2

I, -1

N

|

0

7

1\ 2

11

3

m^

-7

- -Z —3

0

Fig. S

] I. Ks sei wieder 3) = 9t. Wir setzen

^

J 1

für rationales x

| 0

für irrationales x

Die Wertemenge besteht aus den beiden Zahlen 0 und 1.

3. Wir besprechen jetzt einige Möglichkeiten, eine Funktion geometrisch zu veranschaulichen. Definitionsmenge wie auch Wertemenge können wir als Punktmengen auf je einer Zahlengerade aufzeichnen. Dabei müssen wir uns vor Augen halten, daß jedem Punkt x c 2) ein Punkt ye SB eindeutig zugeordnet ist. In der Figur 9 sollen die Pfeile die Zuordnung für einige Punkte andeuten.

45

1. D e f i n i t i o n und Beispiele

l

3» »'ig. 9

Beide Geraden können wir zusammenfallen lassen. Wir notieren dann die Argumentwerte durch Zahlenangabe, und zwar an den Stellen, die auf der Zahlengerade zu den zugehörigen Funktionswerten gehören. So können wir die Größe eines Funktionswertes an der Figur durch Abmessen der Strecke 0.2 — 0 o

1

0,* 1—I

0,6 0,i (0 I 1 I MO 1

F i g . 10

finden, deren Endpunkt den herausgegriffenen Argumentwert als Zahlenangabe trägt. Es entstellt eine Funktionsleiter, die uns besonders dann einen guten Eindruck einer Funktion (in einer endlichen Definitionsmenge) vermittelt, wenn die Argumentwerte, wie in Beispiel 1 (vgl. Figur 10), äquidistant gewählt wurden. Auch Folgen lassen sich auf diese Weise manchmal gut geometrisch anschaulich erfassen. (Figur 11 zeigt Beispiel 3.) — o 0

/ 1

2

3t

— o

1

Fig. 11

Die bekannteste Anordnung ist jedoch die, daß man die beiden Zahlengeraden, die «-Gerade und die ^/-Gerade in der Anschauungsebene senkrecht zueinander wählt. Im allgemeinen wird man die Null beider Zahlengeraden in den Schnitt-

46

III. Funktionen reeller Zahlen

p u n k t der b e i d e n G e r a d e n legen u n d auf beiden G e r a d e n denselben M a ß s t a b v e r w e n d e n . Zu x e ® g e h ö r t d a n n der P u n k t m i t den K o o r d i n a t e n (x, f(x)) in der x, (/-Ebene. Die G e s a m t heit der P u n k t e , die so a u s g e h e n d von allen x e 2) d u r c h f(x)

y-fM

y

Fig. 12

in der x, ?/-Ebene b e s t i m m t sind, n e n n t m a n d e n Graph d e r F u n k t i o n /(x). — Die F i g u r e n 3, 4, 5, 6, 7, 8 b e s c h r e i b e n so die F u n k t i o n e n der Beispiele 5 , 6 , 7 , 8 , 9 u n d 10. Beispiel 1 1 e n t z i e h t sich einer solchen D a r s t e l l u n g , d a sich P u n k t e d e r Z a h l e n g e r a d e , die zu r a t i o n a l e n u n d i r r a t i o n a l e n Z a h l e n gehören, im a n s c h a u l i c h e n Bild n i c h t t r e n n e n lassen. 4. E i n e Klasse v o n F u n k t i o n e n , die s o g e n a n n t e n Polynome, wollen wir wegen i h r e r g r o ß e n B e d e u t u n g h e r a u s s t e l l e n . Sie sind rechnerisch g u t zu h a n d h a b e n , u n d m a n b e m ü h t sich deshalb in v e r s c h i e d e n e n Z u s a m m e n h ä n g e n , gegebene allgemeine F u n k t i o n e n m i t geeignet g e w ä h l t e n P o l y n o m e n zu vergleichen. E s seien c0, cv ..., ck fest gewählte, reelle Z a h l e n m i t ck =1= 0 u n d ® = 3?. Die F u n k t i o n f(x) = c0 + e^x + e2x2 H b ekxh h e i ß t ganze rationale Funktion oder Polynom v o m G r a d e k. F ü r f c = 1 g e h ö r e n zu den P o l y n o m e n die linearen Funktionen: g{x) = c0 + cxx.

1. Definition und Beispiele Sind

P ^ x ) und als

P2 (x)

Polynome

gebrochen

rationale

47

so bezeichnet Funktion.

man

Die

De-

finitionsmenge von R(x) enthalte alle reellen Zahlen außer den Nullstellen von P2(x). — Sind P^x) und P2(x) lineare F u n k t i o n e n , so n e n n t m a n R(x)

linear

gebrochene

Funktion.

Auf die algebraischen Eigenschaften der rationalen Funktionen gehen wir hier nicht ein. 5. Die Funktion | x \ wird für alle reellen x durch I I

x

, I ~

i \ —

x für x 2g 0 x für x ^ 0

definiert (Fig. 13). Man nennt | x | den (absoluten) Betrag von x und liest: x absolut, oder: Betrag x. Wir stellen die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktion, die man immer wieder benötigt, hier zusammen.

y A-\x

i X

0

J

Fig. 13

0}. 1. Die Wertemenge der Funktion y = | x | ist SB = {y | Für a; 2g 0 ist y = x, so daß jedes y mit i/ 2g 0 zur Wertemenge gehört. Ist x < 0, so ist y = | x \ = — x > 0 , so daß sich tatsächlich für alle x immer ] x | 2g 0 ergibt. — Es folgt insbesondere für alle x die Ungleichung x 5S | x \. 2. Auf der Zahlengerade mißt\x\den Abstand des Punktes x v o m Nullpunkt der Gerade als nicht negative Zahl. | a — b | gibt den (nicht negativen) Abstand der zugehörigen P u n k t e der Zahlengerade an (Fig. 14).

-Url 0

7

- \a-b\

7

a .

Fis. 14

3. Es ist | a • b ] - | a | • \ :b\Bei a 2g 0, ¿> 2g 0 ist ft 2 ; 0 und also \ a - b \ = | a | • | £> Bei|. tt 0 und | a • b | = «•& = (—ä)- (— b)

=

\a\-\b\.

4. Ist a 4= 0, so folgt aus 3., wenn man a-b

— c setzt:

und also 4~t a 5. Die Ungleichung | a | < 6 ist gleichwertig mit — beide Ungleichungen sind nur für b > 0 sinnvoll.

b 0, und die Voraussetzung — b < a führt auf — a < b, d . h . aber | a | < b. Man benötigt die bewiesene Aussage meist in der Form: Die Ungleichungen

\ x — x0 [ < d und x0 — d < x < x0 + d sind gleichwertig. 6. Es gilt die sogenannte

Dreiecksungleichung

| a + ü> | 5S | a | + | 6 |. Nach —J^ (a + b Beide |a +

1. ist a [ a ], b ^ | b | und — a | — a | = j « j, | — & | = | 6 | • Daraus folgt durch Addition sowohl | a\ -f | b\ wie auch —(a + b) = —a—\ a\ +1 b\. Aussagen zusammen sind aber nach 5. mit 6 | ^ | a | + | 6 | gleichwertig.

Aufgabe 2 : Es sei ein P o l y n o m vom Grade k in der Form

P(x) = cn + cxx + e2x2 + • • • + cic_1xk~1 + C]cXk gegeben. Man

zeige, daß J sc01 ] e^ 1 (| c 0 | -J- | | ^ b | ck |) f ü r jede Nullstelle x„ des Polynoms gilt. Zum Beweis unterscheide m a n die Fälle | x0 \ < 1 und | x(l j > 1 und bear.lite, daß | Cjc | =f: 1 vorausgesetzt ist. Aufgabe 3 : Mit Hilfe der Dreiecksungleichung g e w i n n t m a n die weitere Ungleichung ! ' a | — |6| - i | a + & | .

2. Zusammengesetzte Funktionen usw.

49

2. Zusammengesetzte Funktionen, umkehrbar eindeutige Funktionen, monotone Funktionen 1. Sind uns zwei Funktionen f1 und / 2 als Abbildungen ^ 35$!, ® 2 ~ L> gegeben, so können wir unter Umständen die beiden Abbildungen hintereinander ausführen und damit eine dritte Abbildung SB erhalten. Dies ist dann mögkch, wenn SK^ Teilmenge der Menge ® 2 ist, also Söi < ® 2 gilt. Mit -x e und y e Sä^ c ® 2 , folgt aus y = f^x), s = / 2 (i/) durch Hintereinanderausführen der beiden Zuordnungen z = / 2 (/i(a;)); diese neue Abbildung z = g{x) = f 2 { f 1 ( x ) ) bildet auf eine Teilmenge SB von 2B2 ab. Man spricht auch von einer zusammengesetzten Funktion. — Dieses Hintereinanderausführen zweier Abbildungen läßt sich veranschaulichen durch zwei Figuren derselben Ebene (vgl. Figur 15).

Als Beispiel betrachten wir die beiden Abbildungen der Beispiele 9 und 7 und führen diese in dieser Reihenfolge hintereinander aus. Es ist also y = f1(x) --- -- x2 mit = {x \ — 1 .r • 1} und ¡// u // !!. ferner 2 = f2(y) mit f2(y) = y, wenn y 4= 0 und

- e i n e natürliche Zahl ist, und /„(?/) = 0, wenn y - 0 und y i auch falls keine natürliche Zahl ist, mit - i){ und Sii., : y

{(), 1, — ,—-,-— , . . .1. Das Hintereinanderausführen beider Abl

2

3

4

j

4 U a r n e r , Differential-und Integralrechnung I

III. Funktionen reeller Zahlen

50

bildungen ist möglich, denn es gilt Sffij < ® 2 . Dann erhalten wir für die neue, zusammengesetzte Funktion x 2 , falls x =|= 0 ist und

2= \

eine natürliche Zahl ist

^ 0, falls x = 0 ist oder falls —rx keine natürliche Zahl ist.

Hier

=

Aufgabe 1: Ist f2(x) in ® 2 beschränkt, so ist bei beliebigem / j ( x ) , wenn nur Sßj fik-i — 1

Die beiden letztgenannten Folgen (Beispiel 5 und 6) sind zwar aus denselben reellen Zahlen gebildet, diese treten jedoch in verschiedener Reihenfolge auf; es handelt sich deshalb um verschiedene Folgen. — Die angeschriebenen Zahlen in den Beispielen lassen bereits das allgemeine Bildungsgesetz erkennen; die . . . fordern, daß dieses Bildungsgesetz auch angewendet wird. Zu den einzelnen Beispielen ist der Funktionswert fn = /(«), das ist das n-te Element der Folge, für allgemeines n angegeben. In den Beispielen 3 und 5 ist dabei zu beachten, daß für f (n), je nachdem ob n gerade oder ungerade ist, die erste oder zweite Definition mit Yt Yl I 1 k= bzw. mit k = — - — anzuwenden ist. In Beispiel 6 hat u Z man zu unterscheiden, ob n bei Division durch 3 den Rest 0, 1 oder 2 läßt. Nicht bei jeder Folge ist es möglich, das n-te Element ohne weiteres direkt anzugeben, obgleich der Funktionswert f(n) sehr wohl eindeutig bestimmt ist. Ein Beispiel hierzu bildet die rekursiv definierte Folge: Beispiel 7: f1 = A.

t

fn + l = f2n+J,

n=

1,2,3,..

Bei theoretischen Überlegungen kommt es oft nicht darauf an, eine Folge explizit anzugeben; vielmehr will man die Existenz einer Folge mit bestimmten Eigenschaften sichern. Hierzu ein typisches Beispiel: Es sei eine Menge SR mit einem Häufungspunkt .x0 gegeben. Nach Definition des Häufungspunktes gibt es in jeder e-Umgebung von .r„ außer x0 (mindestens) einen Punkt x e Jfi. Wir setzen der Reihe nach e = 1, i p -g-,

. und wählen in der e-Umgebung mit

56

IV. Folgen reeller Zahlen

s = - - einen P u n k t

xneW

aus. So e n t s t e h t

eine

Folge

xv x2, x3, . . . d e r E i g e n s c h a f t , d a ß f ü r xn gilt n ^

Xn

n '

E i n e F o l g e ist — so w u r d e sie d e f i n i e r t — eine F u n k t i o n , deren D e f i n i t i o n s m e n g e die Menge der n a t ü r l i c h e n Z a h l e n ist. Die W e r t e m e n g e dieser F u n k t i o n darf n i c h t m i t der F o l g e selbst v e r w e c h s e l t w e r d e n . Die W e r t e m e n g e der F o l g e a u s Beispiel 1 ist {1}; die F o l g e n der Beispiele 2, 5 u n d 6 h a b e n dieselbe W e r t e m e n g e S B = j x j ~ n a t ü r l i c h e Z a h l 1 . I n d e n Folgen v o n Beispiel 5 u n d 6 w i r d die Zahl 1 u n e n d l i c h o f t a n g e n o m m e n ; die Zahl 1 g e h ö r t also z u r W e r t e m e n g e , ist a b e r als E l e m e n t dieser Menge d u r c h n i c h t s v o r d e n a n d e r e n E l e m e n t e n der Menge ausgezeichnet. W i r wiederholen zwei D e f i n i t i o n e n , die bereits f ü r F u n k t i o n e n allgemein festgelegt w u r d e n : E i n e Folge h e i ß t nach oben beschränkt, falls i h r e W e r t e menge nach oben b e s c h r ä n k t ist. Die Folgen der Beispiele 1 bis 6 sind s ä m t l i c h b e s c h r ä n k t . Die F o l g e 1, 1-2, 1-2-3, •••, n\, ••• ist n a c h u n t e n d u r c h Null, n i c h t a b e r n a c h oben b e s c h r ä n k t . E i n e Folge h e i ß t monoton wachsend, w e n n m i t n < m gilt In im- I n s b e s o n d e r e ist d a n n fn ^ fn+1. B e s t e h t f ü r jedes n die U n g l e i c h u n g fn ^ fn + 1 , so k a n n m a n der R e i h e n a c h auf fn+1 ^ fn+2, fn+2 ^ /„+ 3, ..., ^ fm u n d also n a c h d e m T r a n s i t i v g e s e t z der A n o r d n u n g s e i g e n s c h a f t e n auf / n i S fm f ü r jedes n u n d m m i t n < m schließen. D e s h a l b sind m o n o t o n wachsende Folgen durch f n ^ f n + 1 charakterisiert. Eine Folge m i t /„ < /„ + 1 f ü r j edes n heißt streng monoton wachsend. — M o n o t o n fallende F o l g e n bzw. s t r e n g m o n o t o n f a l l e n d e F o l gen sind e n t s p r e c h e n d d u r c h /„ /„ + 1 bzw. d u r c h /„ > fn ^ gekennzeichnet. Aufgabe 1: Man zeige: Die Folge in Beispiel 7 ist streng monoton wachsend und durch

nach oben beschränkt.

1. Konvergenz von Folgen

57

Ein anschauliches Bild einer 'Folge gewinnen wir, indem wir die Funktionswerte auf der Zalilengoraden, versehen mit den zugehörigen Argumenten .1, 2, 3, . . . auftragen. So gibt Figur 19 ein Bild für die Folge des Beispiels 4. ...53 —H

7

1 1

Z 4S !—H—

°

0

7

Fig. 19

Bei einer Folge interessiert besonders das Verhalten für große Werte von n. Wir erinnern an das eingangs erwähnte Beispiel der Folge der Flächeninhalte Fv F2, F3, .. Fn,.. . der regulären 6 • 2"- 1 -Ecke (n = 1, 2, 3 , . . .). Die Folgen der Beispiele 1, 2 und 3 zeichnen jeweils einen bestimmten Zahlwert aus und zwar die Folge 1 , 1 , 1 , . . . die Zahl 1 dadurch, daß alle Elemente der Folge mit ihr übereinstimmen, die Folge 1, y ,

, ~ , . . . die Zahl 0 da-

durch, daß für alle großen Werte von n die Zahlen — der Null sehr nahe kommen, und dasselbe gilt für die Folge 1 2 3 1, -g-, 1, -g-, 1, , . . . mit Bezug auf den Zahlwert 1. Dagegen gibt es bei den Folgen der Beispiele 4, 5 und 6 jeweils mehrere Zahlwerte, denen sich für große Werte von n Elemente der Folge nähern; bei—

1

?

3

, g, — f

4

. . . sind

dies die Zahlen 1, — 1; bei Beispiel 5 und 6 die Zahlen 1, 0. — Die Folge 1, 1 - 2 , 1 • 2 • 3, • • •, n\, • • • zeichnet für große Werte von n überhaupt keine reelle Zahl aus. In der Folge 1 2 3 . 1, y> "3"> 3, - p 4, . . . ist zwar die Zahl 1 dadurch hervorgehoben, daß für große Werte von n gewisse fn der Zahl 1 sehr nahe kommen. Zu jeder (noch so großen) natürlichen Zahl N gibt es aber auch natürliche Zahlen n > N der Eigenschaft, daß fn von 1 weit entfernt ist. Wir knüpfen an die zuerst genannten Beispiele an. Eine Klasse spezieller Folgen, für die diese Beispiele typische Ver-

58

IV. Folgen reeller Zahlen

treter sind und zu der die anderen genannten Folgen nicht gehören, wollen wir durch die folgende Definition erfassen: Eine Folge fv /2, /3,... heißt konvergent mit dem Grenzwert /„, wenn in jeder Umgebung von f0 alle bis auf endlich viele Elemente der Folge liegen. f0 heißt dann Limes oder Grenzwert der Folge. Wir schreiben lim /„ = / 0 oder kürzer /„ /„. n ->-=o S t a t t des Ausdrucks „alle bis auf endlich viele" hat sich die knappere Bezeichnung fast alle eingebürgert. Bei einer konvergenten Folge mit dem Limes /„ enthält also jede Umgebung von /„ fast alle Elemente der Folge. Der Grenzwert f0 einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Beweis: Ein P u n k t f =f= / 0 kann nicht ebenfalls Limes der Folge sein. Die e-Umgebung von / 0 u n d die £-Umgebung von fmite =

1 /„ —

haben keinen P u n k t gemeinsam; in

der Umgebung von /„ liegen fast alle Elemente der Folge; daher können in der Umgebung von £ nur endlich viele, also sicher nicht fast alle Elemente der Folge liegen. Bemerkung 1: Wir machen auf die Formulierung „jede Umgebung" aufmerksam. Interesse haben hierbei natürlich hauptsächlich die „kleinen", „noch so kleinen", „beliebig kleinen" Umgebungen. Aber sie sind in der Formulierung „jede Umgebung" mit erfaßt. Wir verwenden deshalb diesen knapperen und klareren Ausdruck „jede Umgebung", zudem der Begriff „kleine" oder „noch so kleine" Umgebung nicht erklärt ist. Die Betonung in dieser Definition liegt aber durchaus auf jeder Umgebung; alle Elemente der Folge a, — a, a, — a, a, — a,. . . mit einer sehr kleinen Zahl a > 0 liegen zwar sehr nahe bei Null (oder bei a, oder bei — a) \ diese Folge ist aber nicht konvergent mit dem Grenzwert 0, denn in der Umgebung II = ja; | — ^ < x
- i - . nh ° sh Eh Der Konvergenzbeweis wird nun wie folgt geführt: Wählen wir zu vorgegebenem t > 0 die Zahl N > - s h

für alle n > N

mit 7» — , , \q\

1, so folgt

1. K o n v e r g e n z v o n F o l g e n 1 1

Also g i l t

*

1

"

(1 +

0 für 0