Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Teil 3 Grundzüge und Anwendungen Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und Analytische Geometrie der Ebene [7., unveränd. Aufl., Reprint 2022] 9783112683163

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Elementar - Math ematik Oberstufe 3

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Hauptsätze der

El ementar-!1?athematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

vr. F.G.Mchler. Bearbeitet von A. Schulte - Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Lasset.

Ausgabe B.

(Vberstufe Z. Teil. Grundzüge und Anmendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung Analytische Geometrie der Ebene.

Berlin und Leipzig 1922

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Lo. vormals G. 3- Göschen'sche Verlagshandlung — 3. Guttentag, Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — Rarl 3. Erübner — Veit & Lomp.

Grundzüge und Anwendungen der

Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und

Analytische

Geometrie der Ebene Sur die oberen Rlaffen höherer Lehranstalten bearbeitet von

A. Schulte-Tigges, Direktor de» Realgymnasium» zu Lass«!.

Siebente unveränderte Auflage

Berlin und Leipzig J922 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter 8c Lo. vormals G. I. Göschen'sche Verlagshandlung — I Guttentag, Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — Rar! I.Trübnee — Veit & Lomp.

Vorwort zur ersten Auflage. Mit dem vorliegenden dritten Teil der Oberstufe, der übrigens auch als selbständiges Werk benutzt werden kann, ist die als Aus­ gabe B erschienene Neuausgabe der Schellbach-Mehlerschen ElementarMathematik abgeschloffen. Die ursprünglich getrennt gedachte Be­ ist mit Rücksicht auf die in der Unterstufe enthaltene Einführung mit den Grundzügen der Differentialrechnung verschmolzen worden, doch enthalten die zugehörigeu Aufgaben mancherlei Stoff zur weiteren Ausführung der ersteren insbesondere hinsichtlich der Theorie der Gleichungen. Bei der Differentialrechnung ist nach Möglichkeit die sinnlich-geometrische Anschauung in den Vordergrund gestellt und alles vermieden worden, was begriffliche oder andere Schwierigkeiten bieten könnte. Es werden daher auch schwächere Schüler recht wohl imstande sein, den Dar­ legungen zu folge«, besonders wenn man sie daran gewöhnt, wie es hier geschehen ist, dem Lauf der Kurven mit den Augen gleitend zu handlung der graphischen Darstellung

folgen. Die zahlreichen und mannigfachen Anwendungen sind sicher geeignet, das Verständnis zu vertiefen und das Interesse zu erhöhen. Der anfängliche Plan, auch die Grundzüge der Integralrechnung aufzunehmen, ist noch nicht ausgeführt worden, da die eigenartigen Schwierigkeiten einer schulgemäßen Darstellung dieser Lehre noch nicht

Das Prinzip der Integration aber kommt verschiedentlich, ohne als solches genannt zu sein, nament­ lich in den Übungen zur Anwendung. genügend gehoben werden konnten.

In die analytische Geometrie der Ebene sind nur ganz kleine Abschnitte des Stammbuches unverändert übergegangen; alles übrige ist völlig neu dargestellt und nach verschiedenen Richtungen erweitert

worden.

In den beigefügten Aufgaben, die durchweg neu gebildet

n sind — in der Differentialrechnung sind einige wenige den Jahresberichten der höheren Schulen von 1907 entnommen —, wurden die Zahlenbeispiele bevorzugt und solche allgemeineren Beispiele, die nicht

unwichtige theoretische Ergebnisse liefern. Zum Abschluß der Ausgabe B möge noch darauf hingewiesen werden, daß der größere Umfang dieser Ausgabe sich erklärt durch die Beifügung zahlreicher Aufgaben, die durch die Rücksichtnahme auf die realistischen Vollanstalten gebotene Erweiterung des Lehrstoffes wie auch durch die mehrfache Ausführung einzelner Abschnitte des letzteren zugunsten einer größeren Bewegungsfreiheit des Lehrers. Demgegenüber braucht wohl nicht besonders betont zu werden, daß es nicht die Meinung des Herausgebers ist, es müsse nun unbedingt

auch der ganze Stoff den Schülern dargeboten werden.

Cassel, im September 1909.

A. Schulte Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe Druckfehler berichtigt worden sind. Cassel, im Februar 1912.

A Schulte-TiAges.

Inhaltsübersicht. Sette

Erster Abschnitt: Grundzüge und Anwendungen der Diffe­ rentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. 1. Einführung in die Differentialrechnung....................................... 1 2. Anwendungen der Differentialrechnung. A. Maxima und Minima................... •..................................... 23 B. Unendliche Reihen........................................................................33 C. Auswertung von Quotienten und Ermittelung von Wurzeln numerischer Gleichungen.............................................................. 40 D. Ermittelung der Gleichungenvon Kurventangenten ... 41 E. Geschwindigkeit und Beschleunigung........................................... 43 F. Krümmung der Kurven.............................................................. 44

Zweiter Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene. 1. Punkt und Gerade..................................................................................46 2. Der Kreis............................................................................................... 53 3. Die Parabel...........................................................................................57 4. Die Ellipse............................ 63 5. Die Hyperbel...........................................................................................71 6. Lageänderung des Koordinatensystems und Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades................................................................... 77 7. Verwandtschaftliche Beziehungen und Polargleichungen der Kegel­ schnitte ..................................................................................................... 82

Erster Teil.

Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. Erster Abschnitt. Einführung in die Differentialrechnung. § 1 *). Wenn eine Größe (r/) sich mit einer anderen Größe (®) ändert, so nennt man die erste von der zweiten abhängig oder eine Funktion der zweiten. Beispiele-. 1. (Aus dem praktischen Leben.) ändert sich mit der Zeit.

Der Preis einer Ware

2. (Aus der Arithmetik.) a) Die dritte Potenz einer Zahl ändert sich mit der Zahl; b) der Logarithmus einer Zahl ändert sich mit der Zahl. 3. (Aus der Planimetrie.) mit der Quadratseite.

Der Flächeninhalt eines Quadrats ändert sich

4. (Aus der Stereometrie.) ihrem Halbmesser.

Der Rauminhalt einer Kugel ändert sich mit

5. (Aus der Trigonometrie.) Der Sinus eines Winkels ändert sich mit dem Winkel. (Trigonometrische „Funktionen".) 6. (Aus der Wärmelehre.) a) Die Spannkraft des (gesättigten) Wasser» dampfes ändert sich mit der Temperatur, desgl. b) die Dichte des Wassers. 7. (Aus der Meteorologie.) An demselben Ort ändert sich der Luftdruck mit der Zeit, desgl. die Temperatur und die Feuchtigkeit der Luft.

*) Die ersten Paragraphen dienen zugleich zur Wiederholung des Anhangs III der Unterstufe. Mehler-Schulte-TiggeS, Ausgabe B. Oberstufe III. 7. Ausl.

•2

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

S. (Aus der Mechanik.) a) Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Kör­ pers ändert sich mit der Zeit, b) Die lebendige Kraft eines Körpers (Energie der Bewegung) ändert sich mit der Geschwindigkeit.

Bemerkung. Bei der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen im obigen Sinne ist nicht immer die erste die Wirkung, die zweite die Ursache, wie die obigen Beispiele lehren. § 2. In vielen Fällen ist die Abhängigkeit so klar erkannt, daß inan sie durch eine mathematische Formel (Gleichung) ausdrücken kann, so im Beispiel 2a) durch ,y = »3; 2b) durch y = log»; 3) durch 4) durch y — |rr»3; 5) durch y — sin »; 8a) y=gx\ 8 b) durch y — tynx\ Die hierin außer y und x vorkommenden Größen sind den Beispielen entsprechend als unveränderlich (konstant) an­ zusehen; x ist die unabhängige, y die abhängige Veränderliche. In andern Fällen (Beispiel 1, 6a, 6b, 7) ist es nicht möglich oder bis jetzt noch nicht möglich, die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel wiederzugeben. Bemerkungen. 1. Meist steht es stet, die eine oder die andere Veränderliche als unabhängige zu wählen; gegebenensalls sind dann die Formeln umzukehren, wie in 2a) x — "\fy, 8a) ® = ~ usw.

2. In vielen Fällen ist eine Größe von mehr als einer andem abhängig, wie in den Beispielen 8a) und 8b) wenn auch g und m als veränderlich angenommen werden. Die Gesamtänderung von y kann dann aber in der Weise festgestellt werden, daß man die Ver­ änderungen der einzelnen unabhängigen Veränderlichen nacheinander vornimmt, womit denn diese Aufgabe auf mehrere obiger Art zurück­ geführt ist. Übung.

Suche weitere Beispiele auf und drücke die Abhängigkeit wenn

möglich durch eine mathematische Formel aus.

§ 3. In allen Fällen aber läßt sich die Abhängigkeit auf doppelte Weise darstellen, nämlich 1) arithmetisch: durch eine Zahlentabelle, 2) geometrisch: durch eine Zeichnung (graphische Darstellung). Die Zahlentabelle erhält man, wenn man für die eine Ver­ änderliche bestimmte Werte (meist in wachsender Folge) annimmt und die zrigehörigen Werte der andern ermittelt. Als eine solche Zahlen­ tabelle würde sich ergeben für

3

Einführung in die Differentialrechnung.

Beispiel 6a. Tempe­ ratur L—

0

10

20

30

40

50

60

80

70

90

100

Grad Celsius.

Spann­ 4,6 9,2 17,4 31,5 54,9 92,0 148,8 233,1 354,6 mmQueck525,5 760,0 kraft silber.

Beispiel 2a. — 3

— 2

— 1

0

1

2

3

4

— 64 — 27

— 8

— 1

0

1

8

27

64

— 4

Bemerkung. Ist die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel darstellbar, so kann man für die unabhängige Veränderliche beliebige Werte annehmen und wählt im allgemeinen solche, die gleich­ mäßig zunehmen; in den anderen Fällen muß man sich mit den Werten begnügen, für die die Abhängigkeit tatsächlich ermittelt ist. Übung.

Entwirf zu den angegebenen und weiteren Beispielen Zahlen­

tabellen.

§ 4. Die Zahlentabelle gibt nur ausgesuchte Werte der Ver­ änderlichen wieder, die sich sprungweise ändem; sie zeigt also nicht lückenlos, wie die abhängige Veränderliche sich ändert, wenn die andere allmählich zuntmmt. Dies aber leistet die graphische Dar­ stellung.

Hierbei werden beide Veränderliche durch Strecken dargestellt, indem für die Maßeinheit einer jeden eine Strecke von bestimmter Länge (gleichsam als Bild) ausgewählt wird. Es sind alsdann die in der Zahlentabelle vorkommenden Größen in solche Strecken umzurechnen. Die erhaltenen «-Strecken trägt man nunmehr auf einer wagerechten Geraden (der «-Achse) von einem und deinselben Punkt (dem Anfangs­ punkt) 0 (oder O) an und zwar nach derselben Richtung (rechts) hin ab und errichtet in den Endpunkten auf der «-Achse nach oben Lote gleich den betreffenden z/-Strecken. Sind negative « oder y vorhanden, so wählt man hierfür die entgegengesetzten Richtungen (links bezw. unten). Verfolgt man nun die Lote von links nach rechts, so erkennt man, wie y sich bei wachsendem « ändert, d. h. ob es zu- oder abnimmt oder sich gleich bleibt, auch um wieviel es zu- oder abnimmt usw. § 5. Schaltet man noch mehr Zwischenwerte in die Zahlen­ tabelle ein, so erhält man ebensoviel Zwischenlote, und man kann

1*

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung,

4

schließlich mit einiger Sicherheit die Endpunkte der Lote durch eine Linie verbinden, die nun die Änderung der y=Sote lückenlos darstellt und außerdem derart, daß sie mit einem Blick übersehen werden kam.

Auf diese Weise ist Figur 1 und 2 zu Beispiel 6a und 2a ent­ standen, wobei im ersten Falle 10’C durch fern, 10 mm Ouecksilber.durch 1 mm, im zweiten Fall die Einheit der x durch f cm und die der y durch |mm dargestellt worden sind.

Die die Endpunkte der y verbindende Linie soll die «/-Linie ge­ nannt werden; die im Anfangspunkt auf der w-Achse errichtete Senk­ rechte heißt die «/-Achse, y und x selbst Koordinaten und zwar x die Abszisse und y die Ordinate, das Ganze ein Koordinatensystem. Übung.

Entwirf zu

den

ausgestellten Zahlentabellen die zugehörigen

Kurven.

§ 6. 1) Die Betrachtung der auf solche Weise dargestellten Linien ergibt sofort:

Einführung in die Differentialrechnung.

5

Steigt die y»ßinte (stets nach rechts hin betrachtet), so nimmt y bei wachsendem x zu; fällt sie, so nimmt es ab; bleibt sie längere

oder kürzere Zeit wagerecht, so ändert y währenddessen seinen Wert nicht.

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Ma- 2. 2) Ist im besonderen die »/-Linie eine gerade Linie, so erkennt man ohne weiteres und kann mathematisch leicht beweisen: a) Wächst X gleichmäßig, so ändert sich auch y gleichmäßig, und

zwar um so stärker, je steiler die Gerade zur«-Achse geneigt ist. b) Geht die »/-Linie durch den Anfangspunkt,

so nimmt y in

demselben Verhältnis zu wie x.

c) Mr den Winkel «, den die Gerade mit der positiven Richtung

üer «-Achse bildet, ist stets tg a = ^,

wenn Ay den Zuwachs

bei

Ordinate bezeichnet, der dem Zuwachs der Abszisse, Ax, entspricht.

§ 7.

Eine Gerade ist die »/-Linie stets, wenn y eine Funktion

ersten Grades von x ist.

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

6

Beweis. Die Funktion sei y = ax-\-b. Ist also.$ = 0, so ergibt sich y — b, und für x—\ ist y = a 4- 6. Durch die End­ punkte der beiden ermittel­ ten y, A und C, legt man die Gerade AC und zieht AF^OB\ dann ist tg a CF a . = ÄF=l=a- ®Ur etn

beliebiges drittes ®, 01) — c, ist nun y oder DE — ac-Fb. Verlängert man AF 6iä G, so x^EG = ac und

tg EAG ------ a c

— tg a, d. h. E liegt auf der Geraden AC. Die Gleichung y — ax+b stellt also stets eine Gerade dar, und zwar ist a die trigonometrische Tangente ihres Winkels mit der ^-Achse (gemesien im Sinne einer Drehung der positiven w-Achsc zur positiven y-Achse) und b das auf der positiven y-Achse abgeschnittene Stück. § 8. Ist die y-Linie eine krumme Linie und will man wissen, wie sich y in einem bestimmten Punkt der Kurve gegen den Wert in einem früheren Punkt geändert hat, so verbindet man beide Punkte durch eine Sehne und urteilt nach § 6, 1) und 2). Für den Winkel dieser Sehne mit der positiven Richtung der w-Achse ist auch hier — E (Differenzenquotient),

wenn man unter dy und dx wiederum den Zuwachs der Ordi-

___________ j O

B

A Fig. 4.

X

nate und der Abszisse versteht. Dieses Urteil sagt aber nichts aus über die Veränderung, die y zwischen den beiden ansgeSoll also die Änderung von y

wählten Punkten erfahren hat. lückenlos verfolgt werden, so müssen

die beiden betrachteten Punkte

Einführung in die Differentialrechnung.

7

immer näher aneinander gerückt werden, bis sie unmittelbar zu­ sammen liegen, wobei dann aus der Sehne die Tangente wird. Ay und Ax werden in diesem Falle unendlich klein*) und mit dy und dx bezeichnet r für die Tangente gilt alsdann die Gleichung (Differentialquotient), worin der Quotient^ noch

näher

bestimmt werden muß, da er der Zahlentabelle nicht entnommen werden kann. Diese Bestimmung ist bei solchen Kurven, die aus mathematischen Gleichungen hervorgegangen sind, auf arithmetischem Wege möglich und soll weiter unten ausgeführt werden. Es ist aber riicht zu vergessen, daß « zeichnerisch durch Anlegung der Tangente und nachfolgende Messung (oder Schätzung) näher be­ stimmt werden kann. § 9. Das Verhalten einer Kurve in unmittelbarer Nähe eines ihrer Punkte ist daher nach der Lage der Tangente in diesem Punkte zu beurteilen und das Gesamtverhalten einer durch eine Kurve dar­ gestellten Funktion nach dem Verhalten der an ihr gleitend gedachten Tangente. Aus einer solchen Betrachtung der in den Figuren ba—k dar­ gestellten z/-Linien und ihrer Tangenten erhellen nachstehende Er-

*) Es wird wenigstens im folgenben stets vorausgesetzt, daß mit Jx auch zly unendlich klein wird, d. h. daß die Funktion — wenigstens in unmittelbarer Nähe des betrachteten Punktes — stetig ist.

8

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Bei a wächst y zunächst weniger stark, zuletzt aber stärker; b „ „ „ stärker „ „ weniger stark; c nimmt „ „ ab, „ „ i d „ „ „ weniger stark, „ stärker ab. e setzt sich aus b und d zusammen, dazwischen erreicht y ein Maximum da, wo die Tangente wagerecht liegt oder a —0 ist; f setzt sich ent­ sprechend aus c und a zusammen und weist für y ein Minimum auf. g besteht aus b und a, h aus a und b, i aus c und d, k aus d und c; bei g—k tritt ein Wendepunkt da auf, wo die Tangente beim Gleiten aus der Drehung nach der einen Richtung in die entgegen­ gesetzte übergeht, wo die Kurve also auf verschiedenen Seiten der Tangente liegt. Bemerkung: Andere Kurven können aus a und c, d und b, a und d, b und c, c und b, d und a zusammengesetzt werden. Noch andere Formen entstehen, wenn in den Fällen e—k die Tangenten in den zusammenstoßenden Endpunkten nicht zusammenfallen. Alle diese Formen sollen aber von der Betrachtung ausgeschloffen bleiben, da sich in dem Grenzpunkte die Lage der Tangente (beim Gleiten) sprungweise ändert. § 10. Diese Ergebnisse lassen sich in die folgenden Regeln zu­ sammenfassen: (Siehe die Übersicht aus S. 9.)

§ 11. Ist die Funktion ein mathematischer Ausdruck, so läßt sich der Differentialquotient rein arithmetisch bestimmen. Es hat dies den Vorzug, daß man die umständliche Zahlentabelle und ihre gra­ phische Darstellung entbehren und sich doch mit Hülfe des ermittelten Differentialquotienten eine Vorstellung von dem Verlauf der Funktion machen kann. Auch läßt sich die Betrachtung allgemeiner gestalten. Es sei zunächst die Funktion ein Ausdruck ersten Grades in x, also y = ax + b. Dann gehören zu den ausgewählten Werten »x und x,2 die Funktionswerte yx — axx + b und y, = ax2+b, und es ist yt — y,—a (x, — x,) oder Jy = a. zlx, d. h. E — st. = a.

Der Differenzenquotient ist also stets gleich a und behält daher auch diesen Wert, wenn x, = xx und damit yt =yx wird (d. h. wenn die beiden Punkte der y«Smie zusammenrücken).

, d(ax 4- 6) oder —- — a. dx

Daher ist

— a

Vordersatz Arithmetisch

Geometrisch a) Ist die Tangente auf­

Ist tga=^ positiv,

so

steigt

um

die Kurve (und so nimmt stärker,

wärts gerichtet*) (ihr Nei­

zwar

gungswinkel") spitz),

steiler die Tangente),

so

y

mit wachsen­

je dem x zu (und zwar um so stärker, je größer

b) Ist die Tangente

ab­

Ist tga = ^ negativ,

so

fällt die Kurve (und

um

so

stärker,

wärts gerichtet") (ihr Nei­

zwar

gungswinkel**) stumpf),

steiler die Tangente),

je

so nimmt y mit wachsendem

x

ab (und zwar um so stärker, je größer, absolut genommen, tg«=|j'

y

c) Ist die Tangente wage­

so geht die Kurve an diesem so hat

recht gerichtet") (ihr Nei­

Punkt entweder

gungswinkel*') gleich Null),

a) vom Steigen zum Fallen a) ein Maximum oder oder

b) vom Fallen zum Steigen

b) ein Minimum oder

über oder sie hat c) einen Wendepunkt im c) y geht beim Zu- oder Abnehmen burd)’ einen Steigen oder im Fallen,

Ruhepunkt hindurch. *) Stets von links nach rechts betrachtet. **) Mit der positiven Richtung der -.Achse im Sinne einer Drehung von der positiven -.Achse zur positiven z/.Achse.

Einführung in die Differentialrechnung.

,g"=ä)-

10

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Da der Differentialquotient konstant ist, so folgt dasselbe für den Neigungswinkel der Tangente; die r/-Linie ist also eine unter einem Winkel a zur »-Achse geneigte Gerade, für die tg a = « ist

(vergl. § 7).

§ 12. Ermittelung des Differentialquotienten eines Ausdrucks zweiten Grades. y ---- axa + bx -|- c; yx = axx 4" bx, 4* c> y, — y,=a (»’ — »?)+6 (»,—»,);

41 — V* ~ J» », —», dy

— a q,

— «»jj + bx, + c;

-f-» ) 4- 6.

Daher

n , i s. d («®’4-6» + c) o , — 2 a» -st - oder —------ ——- — 2ax -st b.

Untersuchung des Ergebnisses.

Der Differentialquotient

wird gleich 0, wenn 2«» + 6 = 0, also w — —

ist.

Für diesen

Wert von x hat die Kurve mithin eine wagerechte Tangente, also ein Maximum, Minimum oder einen Wendepunkt. Welcher dieser Fälle vorliegt, muß noch entschieden werden.

Nun ist aber^, wo­

für die kurze Bezeichnung y' üblich ist, ebenso wie y selbst eine Funktion von x, da y' — 2ax -p b ist. Diese Funktion können wir uns zugleich mit y — ax* 4- bx+c graphisch dargestellt denken und erhalten (§ 7) eine Gerade, für deren Neigungswinkel tgst — 2a ist und die auf der r/-Achse das Stück b, auf der »--Achse aber —

abschneidet.

Ist a positiv, so steigt die Gerade; für den Bereich

— oc-