Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Teil 3 Grundzüge und Anwendungen Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und Analytische Geometrie der Ebene [2., unveränd. Aufl. Reprint 2021] 9783112396568, 9783112396551

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Hauptsätze der

El ementar-H?athematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. F. G. Mehler. Bearbeiter von A. Schulte-Tigges, Direktor de» Realgymnasium» zu Löffel.

Ausgabe B. Oberstufe Z. Teil.

Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mir graphischer Darstellung und

Analytische Geometrie der Ebene.

Berlin W. 55 Druck und Verlag von Georg Reimer

1912.

Grundzüge und Anwendungen der

Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und

Analytische

Geometrie der Ebene Lür die »deren Rlassen höherer Lehranstalten

bearbeitet von

A. Schulte-Tigges, Direktor de« Realgymnasiums zu (assel.

Zweite unveränderte Auflage.

Berlin W. 35 Druck und Verlag von Georg Reimer

1912.

Vorwort zur ersten Austage. Mit dem vorliegenden dritten Teil der Oberstufe, der übrigens auch als selbständiges Werk benutzt werden kann, ist die als Aus­ gabe B erschienene Neuausgabe der Schellbach-Mehlerschen Elementar­

mathematik abgeschlossen. Die ursprünglich getrennt gedachte Be­ handlung der graphischen Darstellung ist mit Rücksicht auf die in der Unterstufe enthaltene Einführung mit den Grundzügen der

Differentialrechnung verschmolzen worden, doch enthalten die zu­ gehörigen Aufgaben mancherlei Stoff zur weiteren Ausführung der ersteren insbesondere hinsichtlich der Theorie der Gleichungen. Bei der Differentialrechnung ist nach Möglichkeit die sinnlich-geometrische

Anschauung in den Vordergrund gestellt und alles vermieden worden, was begriffliche oder andere Schwierigkeiten bieten könnte. Es werden daher auch schwächere Schüler recht wohl imstande sein, den Dar­ legungen zu folgen, besonders wenn man sie daran gewöhnt, wie eS

hier geschehen ist, dem Lauf der Kurven mit den Augen gleitend zu folgen. Die zahlreichen und mannigfachen Anwendungen sind sicher geeignet, das Verständnis zu vertiefen und das Interesse zu erhöhen. Der anfängliche Plan, auch die Grundzüge der Integralrechnung autzunehmen, ist noch nicht ausgeführt worden, da die eigenartigen

Schwierigkeiten einer schulgemäßen Darstellung dieser Lehre noch nicht genügend gehoben werden konnten. Das Prinzip der Integration

aber kommt verschiedenttich, ohne als solches genannt zu sein, nament­ lich in den Übungen zur Anwendung.

In die analytische Geometrie der Ebene sind nur ganz kleine Abschnitte des Stammbuches unverändert übergegangen; alles übrige ist völlig neu dargestellt und nach verschiedenen Richtungen erweitert worden. In den beigefügten Aufgabm, die durchweg neu gebildet

VI

sind — in der Differentialrechnung find einige wenige dm Jahres' berichtm der höheren Schulen von 1907 entnommen —, wurden die Zahlenbeispiele bmorzugt und solche allgemeinerm Beispiele, die nicht unwichtige theoretische Ergebnisse liefern. Zum Abschluß der Ausgabe B möge noch darauf hingewiesen werdm, daß der größere Umfang dieser Ausgabe sich erklärt durch

die Beifügung zahlreicher Aufgabm, die durch die Rücksichtnahme auf die realistischm Bollanstalten gebotene Erweiterung des Lehrstoffes

wie auch durch die mehrfache Ausführung einzelner Abschnitte des letzteren zugunsten einer größeren Bewegungsfrecheit des Lehrers. Demgegmüber braucht wohl nicht besonders betont zu werdm, daß es nicht die Meinung des Herausgebers ist, es müsse nun unbedingt,

auch der ganze Stoff den Schülern dnrgeboten werdm.

Cassel, im September 1909.

A. Gchulte-Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe Druckfehler berichtigt worden sind. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte-Tlgges.

VI

sind — in der Differentialrechnung find einige wenige dm Jahres' berichtm der höheren Schulen von 1907 entnommen —, wurden die Zahlenbeispiele bmorzugt und solche allgemeinerm Beispiele, die nicht unwichtige theoretische Ergebnisse liefern. Zum Abschluß der Ausgabe B möge noch darauf hingewiesen werdm, daß der größere Umfang dieser Ausgabe sich erklärt durch

die Beifügung zahlreicher Aufgabm, die durch die Rücksichtnahme auf die realistischm Bollanstalten gebotene Erweiterung des Lehrstoffes

wie auch durch die mehrfache Ausführung einzelner Abschnitte des letzteren zugunsten einer größeren Bewegungsfrecheit des Lehrers. Demgegmüber braucht wohl nicht besonders betont zu werdm, daß es nicht die Meinung des Herausgebers ist, es müsse nun unbedingt,

auch der ganze Stoff den Schülern dnrgeboten werdm.

Cassel, im September 1909.

A. Gchulte-Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe Druckfehler berichtigt worden sind. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte-Tlgges.

Inhaltsübersicht. Sette

Erster Abschnitt: Grundzüge und Anwendungen der Diffe­ rentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. L Einführung in die Differentialrechnung ......................................................1 2. Anwendungen der Differentialrechnung. A. Maxima und Minima..................... 23 B. Unendliche Reihen............................................................................. 33 C. Auswertung von Quotienten und Ermittelung von Wurzel»! numerischer Gleichungen...................................................................40 D. Ermittelung der Gleichungen vonKurventangenten ... 41 E. Geschwindigkeit und Beschleunigung.............................................. 43 F. Krümmung der Kurven...................................................................44 Zweiter Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene. 1. Punkt und Gerade....................................................................................... 46 2. Der Kreis........................ 53 3. Die Parabel................................................................................................. 57 4. Die Ellipse...................................................................................................... 63 5. Die Hyperbel............................................................................................ .71 6. Lageänderung des Koordinatensystems und Diskusston der allgemeine»» Gleichung zweiten Grades........................................................................ 77 7. Verwandtschaftliche Beziehungen und Polargleichungen der Kegel­ schnitte ............................................................................................................ 82

Erster Teil. Grundzüge und Anwmdungen der

Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung.

Erster Abschnitt. Einsiihrung in die Differentialrechnung. § 1*). Wenn eine Größe (y) sich mit einer anderen Großes) ändert, so nennt man die erste von -erzweiten abhängig odereine Funktion der zweiten. Beispiele:

1.

(Aus dem praktischen Leben.)

Der Preis einer Ware

ändert fich mit der Zeit. 2. (Aus der Arithmetik.)

a) Die dritte Potenz einer Zahl ändert fich mtt

der Zahl; b) der Logarithmus einer Zahl ändert fich mit der Zahl.

3. (Aus der Planimetrie.)

Der Flächeninhalt eines Quadrats ändert fich

mit der Quadratseite. 4. (AuS der Stereometrie.)

Der Rauminhalt einer Kugel ändert fich mit

ihrem Halbmefler. 5. (AuS der Trigonometrie.)

dem Winkel.

Der SinuS eines Dinkels ändert fich mit

(Trigonometrische „Funktionen".)

6. (AuS der Wärmelehre.)

a) Die Spannkraft deS (gesättigten) Wasser»

dampfeS ändert fich mit der Temperatur, desgl. b) die Dichte deS Wassers. 7. (AuS der Meteorologie.)

An demselben Ort ändert fich der Luftdruck

mit der Zeit, deSgl. die Temperatur und die Feuchttgkeit der Lust.

e) Die ersten Paragraphen dienen zugleich zur Wiederholung des Anhangs III der Unterstufe. MehLer-Schulte-rtgge», LuSgabe B, Oberstufe HI. s. «ufl.

9

I. Gruudzugk und Anwendungen der Differentialrechnung. 8. (Aus der Mechanik.)

a) Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Kör«

per» ändert fich mit der Zeit, b) Die lebendige Kraft eines Körper» (Energie der Bewegung) ändert fich mit der Geschwindigkeit.

Bemerkung.

Bei der Abhängigkeit einer Größe von einer

anderen im obigen Sinne ist nicht immer die erste die Wirkung, die

zweite die Ursache, wie die obigen Beispiele lehren. § 2.

In Dielm Fällen ist die Abhängigkeit so klar erkannt, daß

man sie durch eine mathematische Formel (Gleichung)

ausdrücken

kann, so im Beispiel

2 a) durch y — »*; 2 b) durch y — log»; 3) durch y — 4) durch y = fnx’; 5) durch y = sin»; 8a) y — y»; 8 b) durch

y = |m»*.

Die hierin außer y und x vorkommenden Größen find

dm Beispielm mtsprechend als unveränderlich (konstant) anzusehm; x ist die unabhängige, y die abhängige Veränderliche.

In andern Fällm (Beispiel 1, 6a, 6b, 7) ist es nicht möglich oder biS jetzt noch nicht möglich, die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel wiederzugeben.

Bemerkungen.

1. Meist steht es frei, die eine oder die andere

Veränderliche als unabhängige zu wählen; gegebrnenfalls find dann a _ g» die Formeln umzukehrrn, wie in 2 a) x — j/y, 8a) ® — ~ usw.

2. In vielen Fällm ist eine Größe von mehr als einer andern abhängig, wie in dm Beispielm 8a) und 8b) wenn auch g und m

als veränderlich angenommen werdrn.

Die Gesamtändemng von y

kann dann aber in der Weife sestgestellt werden, daß man die Verändemngen der einzelnen unabhängigen Veränderlichen nacheinander

vornimmt, womit denn diese Aufgabe auf mehrere obiger Art zurück­ geführt ist. Übung.

Euch« »eitert Beispiele auf und drücke die Abhängigkeit wenn

möglich durch eine mathematische Formel aus.

§ 3.

In allen Fällm aber läßt fich die Abhängigkeit auf

doppelte Weise darstellm, nämlich

1) arithmetisch: durch eine Zahlmtabelle,

2) geometrisch: durch eine Zeichnung (graphische Darstellung). Die Zahlmtabelle erhält man,

wrnn man für die eine Ver­

änderliche bestimmte Werte (meist in wachsrnder Folge) annimmt und

die zugehörigrn Werte der andern ermittelt. tabelle würde fich ergeben für

AlS eine solche Zahlen­

Einführung in die Differentialrechnung.

3

Beispiel 6a. Xempe tatorx= 0

10

30

20

40

50

60

80

70

90

Grad 100 Celsius.

Spann« 4,6 9,2 174 31,5 54,9 92,0 148,8 233,1 354,6 625,6 760,0 aunQuecf" traft y= stlber.

Beispiel 2a.

— 3

— 2

— 1

0

1

2

3

— 64 — 27

— 8

— 1

0

1

8

27

— 4

Bemerkung.

1

4

64

Ist die Abhängigkeit durch eine mathemattsche

Formel darstellbar, so kann man für die unabhängige Veränderliche

beliebige Werte annehmen und wählt im allgemeinen solche, die gleich­ mäßig zunehmen; in den anderen Fällen muß man sich mit den

Werten begnügen, für die die Abhängigkeit tatsächlich ermittelt ist.

Übung.

Entwirf zu den angegebenen und weiteren Beispielen Zahlen-

tabellm. Die Zahlentabelle gibt nur ausgesuchte Werte der Ver­

§ 4.

änderlichen wieder, die sich sprungweise Lndem; sie zeigt also nicht lückenlos,

andere

wie die abhängige Veränderliche sich

allmählich zunimmt.

ändert,

wenn die

DteS aber leistet die graphische Dar­

stellung. Hierbei werden beide Veränderliche durch Strecken dargestellt,

indem für die Maßeinhett einer jeden eine Strecke von bestimmter Länge (gleichsam al» Bild) au-gewählt wird.

ES find alsdann die in

der Zahlentabelle vorkommenden Größen in solche Strecken umzurechnen.

Die erhaltenen ---Strecken trägt man nunmehr auf einer wagerechten Geraden (der ---Achse) von einem und demselben Punkt (dem Anfangs­

punkt) 0 (oder (?) an und zwar nach derselben Richtung (rechts) hin ab und errichtet in den Endpunkten auf der ---Achse nach oben Lote gleich

den betreffenden ^-Strecken.

Sind negative -- oder y vorhanden, so

wählt mau hierfür die entgegengesetzten Richtungen (link- bezw. unten).

Verfolgt man nun die Lote von links nach rechts, so erkennt «an, wie y sich bei wachsendem -- ändert, d. h. ob es zu- oder abnimmt oder fich gleich bleibt, auch um wieviel es zu- oder abnimmt usw. § 5.

tabelle ein,

Schattet man noch mehr Zwifchenwerte in die Zcchlenso erhält man ebensoviel Zwischenlote,

und man kaun 1*

4

L Orundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung,

schließlich mit einiger Sicherheit die Endpunkte der Lote durch eine Linie verbinden, die'nun die Änderung -er --Lote lückenlos darstellt und außerdem derart, daß sie mit einem Blick übersehen werden kann. Auf diese Weise ist Figur 1 und 2 zu Beispiel 6a und 2a ent­

standen, wobei im ersten Falle 10'6 durch |cm, 10mm Quecksilber durch

1 mm, im zweiten Fall die Einheit der x durch | cm und die der y

0

10 20 30 M) 50 60 70 80 90 100'e. Fig- 1.

Die die Endpunkte der y verbindende Linie soll die y-Linie ge­

nannt werden; die im Anfangspunkt auf der w-Achse errichtete Senk­ rechte heißt die y-Achse, y und x selbst Koordinaten und zwar ® die

Abszisse und y die Ordinate, das Ganze ein Koordinatensystem. Übung.

Entwirf zu

dm

ausgestellten Zahlentabellen

die zugehörigen

Äuteen.

§ 6.

1) Die Betrachtung der

Linien ergibt sofort:

auf solche Weise dargestellten

Einführung in die Differentialrechnung.

5

Steigt die --Lime (stets nach rechts hin betrachtet), so nimmt y bei wachsendem x zu; fällt sie, so nimmt es ab; bleibt sie längere oder kürzere Zeit wagerecht, so ändert y währenddessen seinen Wert nicht.

Fig. 2.

2) Ist im besonderen die --Linie eine gerade Linie, so erkennt man ohne weiteres und kann mathematisch leicht beweisen: a) Wächst x gleichmäßig, so ändert sich auch y gleichmäßig, und zwar um so stärker, je steiler die Gerade zur a?-Achse geneigt ist. b) Geht die --Linie durch den Anfangspunkt, so nimmt y in demselben Verhältnis zu wie ®. c) Für den Winkel «, den die Gerade mit der positiven Richtung der ^r-Achse bildet, ist stets tga = ^, wenn z/y den Zuwachs der

Ordinate bezeichnet, der dem Zuwachs der Abszisse, dx, entspricht. § 7« Eine Gerade ist die --Linie stets, wenn y eine Funktion ersten Grades von x ist.

I. Grimb-ü-e und Ämeenbungen bet Differeutialrechmmg.

6

Beweis.

Die Funktion fei y = ax-Vb.

Ist also »==0, so

ergibt sich y = b, und für «= 1 ist y — a + b.

Durch

die End-

punkte der beiden ermittel­ ten y, A und C, legt mau die Gerade AC und

AFjOB;

dann

CF a = ÄF=l==a-

beliebiges

drittes

zieht

ist

tge

„

. ti­

x,

OD

ist nun y oder DE

= c,

= ac+b.

Verlängert man

AF 6i6 G, so ist EG = ac und

tg EAG =“! = a

— tg a, d. h. E liegt auf

Fig. 3.

der

Geraden

AC.

Die

Gleichung y — ax+b stellt also stets eine Gerade dar, und zwar ist a die trigonometrische Tangente ihres Winkel- mit der ---Achse (ge­ messen im Sinne einer Drehung der positiven ---Achse zur positiven

«/-Achse) und b das aus der positiven --Achse abgeschntttene Stück, Ist die --Linie eine krumme Linie und will man wissen,

tz 8.

wie sich y in einem bestimmten Punkt der Kurve gegen den Wert in

einem

früheren

Punkt

geändert

hat, so verbindet man beide Punkte

durch eine Sehne und urteilt nach § 6, 1) und 2).

dieser Sehne

Für den Winkel

mit der

positiven

Richtung der ---Achse ist auch hier

(Differenzenquotient),

tg* = wenn ______

0

A

B

x

man

unter

dy

und

dx

wiederum den Zuwachs der Ordinate und der Abszisse versteht.

Dieses Urteil sagt aber nichts

aus

Fig. 4-

wählten Punkten

lückenlos

erfahren

hat.

über

die Veränderung,

die

-zwischen den beiden ausgeSoll also die Änderung von y

verfolgt werden, so müssen

die beiden betrachteten Punkte

7

Einführung in die Differentialrechnung.

immer näher aneinander gerückt werden,

sammen dy

liegen,

wobei

und dz werden in

bis sie unmittelbar zu-

dann aus der Sehne die Tangente wird.

diesem Falle

dy und dz bezeichnet; für die Tangente

unendlich

klein*) und

mit

gilt alsdann die Gleichung

rg a — ^(Differentialquotient), worin der Quotient^

noch

näher

bestimmt werden muß, da er der Zahlentabelle nicht entnommen werden kann.

Diese Bestimmung ist bei solchen Kurven,

die aus

mathematischen Gleichungen hervorgegangen find, auf arithmetischem

Wege möglich und soll weiter unten auSgeführt werden. Es ist aber nicht zu vergeffen, daß a zeichnerisch durch Anlegung der Tangente und nachfolgende Messung (oder Schätzung) näher be­ stimmt werden kann.

§ 9.

Das Verhalten einer Kurve in unmittelbarer Nähe eines

ihrer Punkte ist daher nach der Lage der Tangente in diesem Puntte

zu beurteilen und das Gesamtverhalten einer durch eine Kurve dargestelltm Funktion nach dem Verhalten der an ihr gleitend gedachten Tangente. AuS einer solchen Betrachtung der in den Figuren 5 a—k dar­

gestellten --Linien und

ihrer Tangentm erhellen nachstehende

Er­

gebnisse:

•) ES wird wenigstens im folgenden stets vorausgesetzt, daß mit dx auch dy unendlich klein wird, d. h. daß die Funktion — wenigstens in unmittelbarer

Nähe deS betrachteten Punktes — stetig ist.

8

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Bei a wächst y zunächst weniger stark, zuletzt aber stärker; , b , , , stärker , , weniger stark; , ab, , c nimmt , , d , , , weniger stark, , , stärker abe setzt sich aus b und d zusammen, dazwischen erreicht y ein Maximum da, wo die Tangente wagerecht liegt oder a —0 ist; f fetzt sich ent­ sprechend aus c und a zusammen und weist für - ein Minimum auf. g besteht aus b und a, K aus a und b, i aus c und d, k aus d und c; bei g—k tritt ein Wendepunkt da auf, wo die Tangente beim Gleiten aus der Drehung nach der einen Richtung in die entgegen­ gesetzte übergeht, wo die Kurve also auf verschiedenen Seiten der Tangente liegt. Bemerkung: Andere Kurven sönnen aus a und c, d und b, a und d, b und c, c und b, d und a zusammengesetzt werden. Noch andere Formen entstehen, wenn in den Fällen e—k die Tangenten in den zusammenstoßenden Endpunkten nicht zufammenfalleu. Alle diese Formen sollen aber von der Betrachtung ausgeschlossen bleiben, da sich in dem Grenzpunkte die Lage der Tangente (beim Gleiten) sprung­ weise ändert. § 10. Diese Ergebnisse lassen sich in die folgenden Regeln zusammenfaffen: (Siehe die Übersicht auf S. 9.) § 11. Ist die Funktion ein mathematischer Ausdruck, so läßt sich der Differentialquotient rein arithmetisch bestimmen. Es hat dies den Vorzug, daß man die umständliche Zahlentabelle und ihre gra­ phische Darstellung entbehren und sich doch mit Hülse des ermittelten Differentialquotienten eine Vorstellung von dem Verlauf der Funktion machen kann. Auch läßt sich die Betrachtung allgemeiner gestalten. Es sei zunächst die Funktion ein Ausdruck ersten Grades in x, also y = ax 4- b. Dann gehören zu den ausgewählten Werten xx und x, die Funktionswerte yx = axx +6 und y, = ax, +ö, und es

ist y, — y, =a (x, — .r,) oder Ay = a.. Ax, d. h.

— a.

Der Differcnzenquotient ist also stets gleich « und behält daher auch diesen Wert, wenn x, — ®x und damit y, — y, wird (d. h. wenn

a.

Vordersatz

Geometrisch

Nachsatz Arithmetisch

a) Ist die Tangente auf- Ist tg«=^?/ positiv,

wärts gerichtet') (ihr Nei-

”

gungswinkel") spitz),

Geometrisch

Arithmetisch

so steigt die Kurve (und so nimmt y mit wachsen­ zwar um so stärker, je dem x zu (und zwar um so stärker, je größer steiler die Tangente),

b) Ist die Tangente ab­ Ist t8“ —negativ, wärts gerichtet') (ihr Nei­ gungswinkel") stumpf),

dJ'\. dx)

;fo fällt die Kurve (und so nimmt y mit wachsendem i; zwar um so stärker, je x ab (und zwar um so i1 steiler die Tangente), stärker, je größer, absolut

genommen, tga = c) Ist die Tangente wage­ recht gerichtet') (ihr Nei­

gungswinkel") gleich Null),

so geht die Kurve an diesem Punkt entweder a) vom Steigen zum Fallen oder i b) vom Fallen zum Steigen über oder sie hat c) einen Wendepunkt im Steigen oder im Fallen,

dy\ dx)

so hat y

a) ein Maximum oder

b) ein Minimum oder

c) y geht beim Zu- oder Abnehmen durch einen Ruhepunkt hindurch.

*) Stet- von links nach rechts betrachtet. ") Mit der positiven Richtung der --Achse im Sinne einer Drehung von der positiven --Achse zur positiven y-Achse.

Einführung in die Differentialrechnung.

tg a =

10

1. Grundzüge und Anwendungeu der DifferrutialrechII ung.

Da der Disferentialquotient konstant ist, so folgt dasselbe für den Neigungswinkel der Tangente; die --Linie ist also eine unter einem Winkel a zur «-Achse geneigte Gerade, für die tga —a ist

(vergl. § 7).

§ 12.

Ermittelung des Difsereatialquotienten eines

Ausdrucks zweiten Grades.

y = o«1 4-+ c; y, = «urf 4- 6«, + c, y, — ax\ 4-6«, 4-c; y, — Hi =a

= «(«,+*,) 4-6.

Daher

du n . d(ax*4-6« 4-c) , / — 2a« 4- 6 oder — j !—- = 2o« 4-6. dx dx

Untersuchung des Ergebnisses.

Der Differentialquotient

wird gleich 0, wenn 2a« 4-6 = 0, also

ist.

Mr

diesm

Wert von « hat die Kurve mithin eine wagerechte Tangente, also

ein Maximum,

Mnimum oder einen Wendepunkt.

Fälle vorltegt, muß noch entschieden werden.

für die kurze Bezeichnung y' üblich ist, ebenso Funktion von «, da y' — 2 a« 4- 6 ist.

Welcher dieser

Nun ist aber^, wo­

wie y selbst eine

Diese Funktion können wir

uns zugleich mit y = o«*4-6«4-c graphisch dargestellt denken und

erhalten (§ 7) eine Gerade, für deren Neigungswinkel tg£ = 2a ist und die auf der y-Achse daS Stück 6, auf der «-Achse aber —

abschneidet.

Ist a positiv,

— oo