Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.. Teil 3 Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und Analytische Geometrie der Ebene: Für die oberen Klassen Lehranstalten bearbeitet [5., unveränd. Aufl. Reprint 2018] 9783111445663, 9783111078960

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Hauptsätze der

Elementar-)1?atheinatik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von Dr.

S. G. Nchler.

Seoriwii« von A. Schulte-Dgges, Direktor des Realgymnasium- zu Lasse!.

Ausgabe

B.

Oberstufe Z. Teil.

Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und

Analytische Geometrie der Ebene.

Berlin W. Jo

Druck und Verlag von Georg Redner 1918.

Grundzüge und Anwendungen der

Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und

Analytische

Geometrie der Ebene Sür die oberen Rlassen höherer Lehranstalten bearbeitet von

A. Schulte-Tiggee, Direktor de« Realgymnasiums zu (assel.

fünfte unveränderte Auflage.

Berlin W. Jo Druck und Verlag von Georg Reimer 1918.

Vorwort zur ersten Auflage. Mit betn vorliegenden dritten Teil der Oberstufe, der übrigens auch als selbständiges Werk benutzt werden kann, ist die als Aus­ gabe B erschienene Neuausgabe der Schellbach-Mehlerschen Elementar­ mathematik abgeschlossen. Die ursprünglich getrennt gedachte Be­ handlung der graphischen Darstellung ist mit Rücksicht auf die in der Unterstufe enchaltene Einführung mit den Grundzügen der Differenttalrechnung verschmolzen worden, doch enthalten die zu­ gehörigen Aufgaben mancherlei Stoff zur weiteren Ausführung der ersteren insbesondere hinsichtlich der Theorie der Gleichungen. Bei der Differentialrechnung ist nach Möglichkeit die sinnlich-geometrische Anschauung in den Vordergrund gestellt und alles vermieden worden, was begriffliche oder andere Schwiettgkeiten bieten könnte. Es werden daher auch schwächere Schüler recht wohl imstande sein, den Dar­ legungen zu folgen, besonders wenn man sie daran gewöhnt, wie es hier geschehen ist, dem Lauf der Kurven mit den Augen gleitend zu folgen. Die zahlreichen und mannigfachen Anwendungen sind sicher geeignet, das Verständnis zu vertiefen und das Interesse zu erhöhen. Der anfängliche Plan, auch die Grundzüge der Integralrechnung aufzunehmen, ist noch nicht ausgeführt worden, da die eigenartigen Schwierigkeiten einer schulgemäßen Darstellung dieser Lehre noch nicht genügend gehoben werden konnten. Das Prinzip der Integration aber kommt verschiedentlich, ohne als solches genannt zu sein, nament­ lich in den Übungen zur Anwendung. In die analytische Geometrie der Ebene sind nur ganz kleine Abschnitte des Stammbuches unverändert übergegangen; alles übrige ist völlig neu dargestellt und nach verschiedene« Richtungen erweitert worden. In den beigefügten Aufgaben, die durchweg neu gebildet

VI

sind — in der Differentialrechnung sind einige wenige den Jahres­ berichten der höheren Schulen von 1907 entnommen —, wurden die Zahlenbeispiele bevorzugt und solche allgemeineren Beispiele, die nicht unwichtige theoretische Ergebnisse liefern. Zum Abschluß der Ausgabe B möge noch darauf hingewiesen werden, daß der größere Umfang dieser Ausgabe sich erklärt durch die Beifügung zahlreicher Aufgaben, die durch die Rücksichtnahme auf die realistischen Vollaustalten gebotene Erweiterung des Lehrstoffes wie auch durch die mehrfache Ausführung einzelner Abschnitte des letzteren zugunsten einer größeren Bewegungsfreiheit des Lehrers. Demgegenüber braucht wohl nicht besonders betont zu werden, daß es nicht die Meinung des Herausgebers ist, es müsse nun unbedingt auch der ganze Stoff den Schülern dargeboten werden. Cassel, im September 1909.

A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe Druckfehler berichtigt worden sind. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte TiAges.

Inhaltsübersicht. Sette

Erster Abschnitt: Grundzüge und Anwendungen der Diffe­ rentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. 1. Einführung in die Differentialrechnung............................................... 1 2. Anwendungen der Differentialrechnung. A. Maxima und Minima..................... •.................................... 23 B. Unendliche Reihen.............................................................................. 33 C. Auswertung von Quotienten und Ermittelung von Winzeln numerischer Gleichungen................................................................... 40 D. Ermittelung der Gleichungen von Kurventangenten ... 41 E. Geschwindigkeit und Beschleunigung...............................................43 F. Krümmung der Kurven....................................................................44 Zweiter Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene. 1. Punkt und Gerade.........................................................................................46 2. Der Kreis........................................................................................................ 53 3. Die Parabel....................................................................................................57 4. Die Ellipse......................................................................................................... 63 6. Die Hyperbel................................................................................................... 71 6. Lageänderung des Koordinatensystems und Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades......................................................................... 77 7. Verwandtschaftliche Beziehungen und Polargleichungen der Kegel­ schnitte

Erster Teil. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung.

Erster Abschnitt. Einführung in die Differentialrechnung. § 1 *).

Wenn eine Größe (i/) sich mit einer anderen Größe (x)

ändert, so nennt man die erste von der zweiten abhängig odereine Funktion der zweiten. Beispiele: 1. (Aus dem praktischen Leben.) ändert sich mit der Zeit.

Der Preis einer Ware

2. (Aus der Arithmetik.) a) Die dritte Potenz einer Zahl ändert sich mit der Zahl; b) der Logarithmus einer Zahl ändert sich mit der Zahl. 3. (Aus der Planimetrie.) mit der Quadratseite.

Der Flächeninhalt eines Quadrats ändert sich

4. (Aus der Stereometrie.) ihrem Halbnlesser.

Der Rauminhalt einer Kugel ändert sich mit

5. (Aus der Trigonometrie.) Der Sinus eines Winkels ändert fich mit dem Winkel. (Trigonometrische „Funktionen".) 6. (Aus der Wärmelehre.) a) Die Spannkraft des (gesättigten) Wasser­ dampfes ändert sich mit der Temperatur, desgl. b) die Dichte des Wassers. 7. (Aus der Meteorologie.) An demselben Ort ändert sich der Luftdruck mit der Zeit, desgl. die Temperatur und die Feuchtigkeit der Luft. *) Die ersten Paragraphen dienen zugleich zur Wiederholung des Anhangs III der Unterstufe. Mehler-Schulte-Tigges, Ausgabe B, Oberstufe III 4. Aufl.

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I. Gruudzüge ittib Amvendungen der Differentialrechnung.

8. (Aus der Mechanik.) a) Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Kör­ pers ändert sich mit der Zeit, b) Die lebendige Kraft eines Körpers (Energie der Bewegung) ändert sich mit der Geschwindigkeit.

Bemerkung. Bei der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen im obigen Sinne ist nicht immer die erste die Wirkung, die zweite die Ursache, wie die obigen Beispiele lehren. § 2. In vielen Fällen ist die Abhängigkeit so klar erkannt, daß man sie durch eine mathematische Formel (Gleichung) ausdrucken kann, so im Beispiel 2a) durch y — x*\ 2b) durch y = log#; 3) durch y — 4) durch y = %nx3-, 5) durch y = sin x-, 8a) y=gx\ 8b) durch y = \mx*. Die hierin außer y und x vorkommenden Größen sind den Beispielen entsprechend als unveränderlich (konstant) an­ zusehen; x ist die unabhängige, y die abhängige Veränderliche. In andern Fällen (Beispiel 1, 6a, 6b, 7) ist es nicht möglich oder bis jetzt noch nicht möglich, die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel wiederzugeben. Bemerkungen. 1. Meist steht es frei, die eine oder die andere Veränderliche als unabhängige zu wählen; gegebenenfalls sind dann

g usw. 9 2. In vielen Fällen ist eine Größe von mehr als einer andern abhängig, wie in den Beispielen 8a) und 8b) wenn auch g und m als veränderlich angenommen werden. Die Gesamtänderung von y kaun dann aber in der Weise festgestellt werden, daß man die Ver­ änderungen der einzelnen unabhängigen Veränderlichen nacheinander vornimmt, womit denn diese Aufgabe aus mehrere obiger Art zurück­ geführt ist. die Formeln umzukehren, wie in 2 a) x = ]/y, 8a) x

Übung. Suche weitere Beispiele auf und drücke die Abhängigkeit wenn möglich durch eine mathematische Formel aus.

§ 3. In allen Fällen aber läßt sich die Abhängigkeit auf doppelte Weise darstellen, nämlich 1) arithmetisch: durch eine Zahlentabelle, 2) geometrisch: durch eine Zeichnung (graphische Darstellung). Die Zahlenlabelle erhält man, wenn man für die eine Ver­ änderliche bestimmte Werte (meist in wachsender Folge) annimmt und die zugehörigen Werte der andern ermittelt. Als eine solche Zahlen­ tabelle würde sich ergeben für

Einführung in die Differentialrechnung.

3

Beispiel 6a. Tempe ratur«—

0

10

20

30

40

50

60

80

70

90

100

Grad Celsius.

Spann­ 4,6 9,2 17,4 31,5 54,9 92,0 148,8 233,1 354,6 525,5 760,0 inmQuecksilber. kraft y =

Beispiel 2a. x— ii

ii

— 3

— 2

— 1

0

1

2

3

4

— 64 — 27

— 8

— 1

0

1

8

27

64

— 4

Bemerkung. Ist die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel darstellbar, so kann man für die unabhängige Veränderliche beliebige Werte annehmen und wählt im allgemeinen solche, die gleich­ mäßig zunehmen; in den anderen Fällen muß man sich mit den Werten begnügen, für die die Abhängigkeit tatsächlich ermittelt ist. Übung.

Entwirf zu den angegebenen und weiteren Beispielen Zahlen­

tabellen.

§ 4. Die Zahlentabelle gibt nur ausgesuchte Werte der Ver­ änderlichen wieder, die sich sprungweise ändern; sie zeigt also nicht lückenlos, wie die abhängige Veränderliche sich ändert, wenn die andere allmählich zunimmt. Dies aber leistet die graphische Dar­ stellung. Hierbei werden beide Veränderliche durch Strecken dargestellt, indem für die Maßeinheit einer jeden eine Strecke von bestimmter Länge (gleichsam als Bild) ausgewählt wird. Es sind alsdann die in der Zahlentabelle vorkommenden Größen in solche Strecken umzurechnen. Die erhaltenen «-Strecken trägt man nunmehr aus einer wagerechten Geraden (der «-Achse) von einem und demselben Punkt (dem Anfangs­ punkt) 0 (oder 0) an und zwar nach derselben Richtung (rechts) hin ab und errichtet in den Endpunkten auf der «-Achse nach oben Lote gleich den betreffenden z,-Strecken. Sind negative « oder y vorhanden, so wählt man hierfiir die entgegengesetzten Richtungen (links bezw. unten). Verfolgt man nun die Lote von links nach rechts, so erkennt man, wie y sich bei wachsendem « ändert, d. h. ob es zu- oder abnimmt oder sich gleich bleibt, auch um wieviel es zu- oder abnimmt usw. § 5. Schaltet man noch mehr Zwischenwerte in die Zahlen­ tabelle ein, so erhält man ebensoviel Zwischenlote, und man kann l*

4

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

schließlich mit einiger Sicherheit die Endpunkte der Lote durch eine Linie verbinden, die nun die Änderung der y=fiote lückenlos darstellt und außerdem derart, daß sie mit einem Blick übersehen werden kann. Auf diese Weise ist Figur 1 und 2 zu Beispiel 6a und 2a ent­ standen, wobei im ersten Falle 10° 6 durch ^ cm, 10 mm Quecksilber durch 1 mm,

im zweiten Fall die Einheit der x durch £ cm und die der y

durch \ mm dargestellt worden sind.

y

10

20 30 W 50 60

70 80

90 1000 C.

Mg- 1.

Die die Endpunkte der y verbindende Linie soll die y«8inie ge­ nannt werden; die im Anfangspunkt auf der w-Achse errichtete Senk­ rechte heißt die z/-Achse, y und x selbst Koordinaten und zwar x die Abszisse und y die Ordinate, das Ganze ein Koordinatensystem. Übung.

Entwirf

zu

den

aufgestellten Zahlentabellen

die zugehörigen

Kurven.

§ 6.

1) Die Betrachtung der

Linien ergibt sofort:

aus

solche

Weise dargestellten

Steigt die --Linie (stets nach rechts hin betrachtet), so nimmt y bei wachsendem x zu; fällt sie, so nimmt es ab; bleibt sie längere oder kürzere Zeit wagerecht, so ändert y währenddessen seinen Wert nicht.

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inDintf * ttttttt ' lö : "~j j"f| 11 |.j || ^r|=|=j[) j~f-

IliiMEtHHÖE

......|]l+-

1 MIT

::::::: X: it "lirn: ijriF1-. Ü [Üjj'HjIi ml jl jätE:

Fig. 2. 2) Ist im besonderen die --Linie eine gerade Linie, so erkennt man ohne weiteres und kann mathematisch leicht beweisen: a) Wächst x gleichmäßig, so ändert sich auch y gleichmäßig, und zwar um so stärker, je steiler die Gerade zur «-Achse geneigt ist. b) Geht die --Linie durch den Anfangspunkt, so nimmt y in demselben Verhältnis zu wie x. c) Für den Winkel a, den die Gerade mit der positiven Richtung der «-Achse bildet, ist stets t;g a = ^, wenn Jy den Zuwachs der Ordinate bezeichnet, der dem Zuwachs der Abszisse, Jx, entspricht. § 7. Eine Gerade ist die --Linie stets, wenn y eine Funktion ersten Grades von x ist.

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I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Beweis. Die Funktion sei y= ax + b. Ist also w —0, so ergibt sich y = b, und für x=l ist y = a + b. Durch die End­ punkte der beiden ermittelten y, A und C, legt man y die Gerade AC und zieht AF\\ OB] dann ist tga ac 'a

ZT

O

B c

= ÄF=l = a-

%ÜX Ctn

beliebiges drittes x, OD = c, ist nun y oder DE = ac + b. Vertäu gert m an AF bis G, so ist EG = ac und tg EAG -------- a

— tga, d. h. E liegt auf der Geraden AC. Die Gleichung y — ax+b stellt also stets eine Gerade dar, und zwar ist a die trigonometrische Tangente ihres Winkels mit der -r-Achse (ge­ messen im Sinne einer Drehung der positiven n-Achse zur positiven z/-Achse) und b das auf der positiven z,-Achse abgeschnittene Stück. § 8. Ist die z,-Linie eine krumme Linie und will man wissen, wie sich y in einem bestimmten Punkt der Kurve gegen den Wert in einem stüheren Punkt geändert hat, so verbindet man beide Punkte durch eine Sehne und urteilt nach § 6, 1) und 2). Für den Winkel dieser Sehne mit der positiven Richtung der w-Achse ist auch hier Fig. 3.

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