Gewöhnliche Differentialgleichungen [6., neubearb. und erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111707716, 9783111318196

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

920

GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN von DR. G U I D O

H O H E I S E L

o. Professor der Mathematik an der Universität Köln

Sechste, neubearbeitete und erweiterte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sehe Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1960

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. - Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1 1 0 9 2 0 . — Satz: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. - Druck: Paul Funk, Berlin W 35. Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

1. Kapitel. Die Differentialgleichung 1. Ordnung

t), l?') =

0

1. 1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für die explizite Differentialgleichung 1. Ordnung t)' = f (x, Q) 1. 2 Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung t), t)') = 0 1. 3 Singulare Lösungen. Kurvenscharen 1. 4 Verlauf der Integralkurven in der Nähe einer singulären Stelle 1. 5 Sätze im Großen 1. 6 Abhängigkeit der Integrale von Anfangswerten und Parametern 1. 7 Die Differentialgleichung m-ter Ordnung F(z, y', = 0

5 16 19 25 39 43 49

2. Kapitel. Lineare Differentialgleichungen 2. 2. 2. 2.

1 2 3 4

Allgemeine Existenzsätze Über die Integration der inhomogenen Gleichung Greensche Funktion. Adjungierte. . Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .

51 57 60 68

3. Kapitel. Randwertaufgaben 3. 1 Allgemeine Theorie 72 3. 2 Eigenwerte 79 3. 3 Sturm-Liouvillesche Systeme. Asymptotische Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen 84 3. 4 Nicht Liouvillesche Systeme. Bandwertaufgaben der Periodizität 92 3. 5 Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen 104

4. Kapitel. Oszillationsprobleme 4. I Sturmsche Sätze. Die zugeordnete Riceatische gleichung 4 . 2 Nullstellenverteilung 4. 3 Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation

Differential108 113 118

Abkürzung As. = -Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen (Sammlung Göschen Band 1059).

Literatur B e l l m a n , R., Stability t h e o r y of d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s (New York, 1953) B i e b e r b a c h , L., E i n f ü h r u n g in die Theorie der Differentialgleichungen im reellen Gebiet (Berlin, 1956) C o l l a t z , L . , N u m e r i s c h e B e h a n d l u n g v o n Differentialgleichungen (Berlin» 1955) — —, E i g e n w e r t p r o b l e m e . C o d d i n g t o n , E . & N. L e v i n s o n , T h e o r y of o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s (New York, 1955) H o r n , J . u. H . W i t t i c h , Gewöhnliche Differentialgleichungen (Göschens L e h r b ü c h e r e i B d . 10) I n c e , E . L., O r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( L o n d o n , 1927, N a c h d r u c k 1956 in USA.) K a m k e , E., Differentialgleichungen reeller F u n k t i o n e n (Leipzig, 1952) — —, Differentialgleichungen, 1956)

Lösungen

und

Lösungsmethoden

K a p l a n , W . , O r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( R e a d i n g , Mass.

(Leipzig,

USA,

1958)

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1. K a p i t e l Die Differentialgleichung 1. Ordnung 5 fot),t)') = O 1 . 1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze Eine Beziehung $ ( * , t),>)') = O

(1.1)

heißt gewöhnliehe Differentialgleichung erster Ordnung für die Vektorfunktion t)(x) = (y^x),...., ym(x)j. Dabeiist die Funktion $ eine w-dimensionale Vektorfunktion von 2 m + 1 Variablen. Wir betrachten zunächst die spezielle Gleichung (explizite Dgl. 1 )): l>' = f ( M ) -

(1-2)

Eine in einem Intervall,/ differenzierbare Funktion t) = Q(X), die in J (1. 2) erfüllt, heißt Lösung oder Integral der Dgl. Im Falle m = 1 ist eine geometrische Deutung von (1. 2) möglich. f(x, y) sei in einem Gebiet G der (x, ?/)-Ebene eindeutig definiert. Jedem Punkt P € G wird dann durch ( 1 . 2 ) eine Richtung zugeordnet. Sie werde durch einen kleinen Pfeil in P angezeigt, der in Richtung wachsender x weisen soll. Durch (1. 2) wird also ein Richtungsfeld definiert. Das Kurvenbild einer Lösung muß sich derart in das Richtungsfeld einfügen, daß in jedem Punkt der Lösung y — f(x) die Pfeilrichtung des Richtungsfeldes mit der Richtung der Kurventangente zusammenfällt. Die Konstruktion einer Lösung durch einen Punkt P B € G können wir uns so vorstellen: Wir gehen von P0 ein kleines Stück in Richtung des dort gezeichneten Pfeils bis zum Punkt Pv Von Pt gehen wir ein Stück in Richtung des in diesem Punkt gezeichneten Pfeils bis zu P2, usw. Das auf diese Weise erhaltene Polygon ist ein angenähertes Bild einer Lösung von (1. 2), falls solche Lösungen existieren. Die Annäherung wird um so besser sein, je kleiner die SchrittJ)

Wir kürzen Differentialgleichung im folgenden durch Dgl. ab.

6

Differentialgleichung erster Ordnung % (x, t), t)') = 0

länge ist. (Auf diesem- Verfahren beruhen viele Methoden zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen.) Wir wollen jetzt untersuchen, welche Eigenschaften wir von f(ic, t)) verlangen müssen, damit Lösungen von (1. 2) existieren. Schon die einfache Dgl. y' = f(x) zeigt, daß wir wenigstens die Stetigkeit von f(a;, ty) fordern sollten. Ist nämlich fix) stetig, so ergibt sich als Lösung die KurvenX

schar y = xff(t)dt-\c. Unter der Annahme, daß f(x) nur ° integrierbar ist, kann es sein, daß das obige y nicht differenzierbar, also keine Lösung 1 ) der Dgl. ist. Hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von (1. 2) gibt folgender Satz von Picard und Lindelöf: Es sei f(a;, ty) im abgeschlossenen Gebiet G des Rm+1 = = {x,ylt . . . , ym } definiert und habe folgende Eigenschaften: 1 . f ( ® , t)) ist stetig in G, also auch beschränkt

2. für je zwei Punkte, (x, t^), (x, t)2) € G mit gleicher Abszisse gilt die Lipschitzbedingung

Dann gibt es durch jeden inneren Punkt (a0, € G eine und nur eine Kurve t) = g(«), die für ein gewisses Intervall | x — xB | ^ a stetig differenzierbar ist, ganz in G verläuft und dort der Dgl. (1. 2) genügt:

9 ' 0 * 0 = fO», g ( a O ) . Damit ist nicht nur die Existenz einer Lösung ausgesprochen, sondern auch gesagt, daß durch jeden Punkt nur eine Integralkurve geht. 1 ) Legt man einen allgemeineren Lösungsbegriff zugrunde, so kann man auf die Stetigkeit von f (x, Q) verzichten (vgl. etwa Coddington & Levinson).

Existenz- und Eindeutigkeitssätze usw.

7

Beweis: Wir definieren eine Folge von Funktionen t)iW = IJo + /f( •••

(!•10)

12

Differentialgleichung erster Ordnung $ (x, t), t)') = 0

Aus (1. 9) ergibt sich durch Integration M z ) = t)o + / % ( * > M Q ) Ä und daraus | t)n(x) | ^ | i)0| + | /1 %(t, t)n(0) | dt | ^ 11)01 + aP
CO

X0

t)(x) = i)„ +

lim V—•

»

ff(t,t)(t))dt. x„

Durch Differenzieren der letzten Beziehung folgt die Behauptung. Besonders elegant läßt sich die Existenz einer Lösung der Dgl. (1. 2) mit Hilfe des in der modernen Mathematik vielgebrauchten Fixpunktprinzips nachweisen. Wir setzen dazu den Fixpunktsatz von Schauder 2 ) voraus: Jede stetige Abbildung A(x) einer kompakten, konvexen Teilmenge M eines Banachraums auf eine kompakte Teilmenge A (M) c: M hat wenigstens einen Fixpunkt X0, d. h. für X0 0 || ^ N | z |^ b und || g f o ) - g(z 2 ) || ^ N | x1 - z 2 1 .

N.

Also ist M = { g; g = A(f) mit f € M } eine kompakte Teilmenge von M. Nach dem Fixpunktsatz existiert ein f 0 € M , so daß fo = ¿ ( f o ) =

fo(fMZo Durch Differenzieren folgt daraus, daß f 0 der Dgl. (1. 2) genügt. Wir haben die Eindeutigkeit der Lösung von (1. 2) mit Hilfe der Lipschitzbedingung gezeigt. Es sind nun eine Anzahl von Bedingungen bekannt geworden, die ebenso wie die Lipschitzbedingung die eindeutige Lösbarkeit einer Dgl. sichern. Als Beispiel bringen wir ein Kriterium 1 ), welches einen großen Teil der bekannten Eindeutigkeitskriterien umfaßt. Wir definieren die Funktion S mit folgenden Eigenschaften : Es sei iS(^) stetig im Rm und £(0) = 0. Für jede in einem Intervall J differenzierbare Funktion f (x) gelte D±S(j(x)) fS iS(f'(ic)), wobei D+ (bzw. D_) die rechtsseitige (bzw. linksseitige) Ableitung bedeutet. l ) Kamke, 17. Abh.

+

Sitzungsber. der Heidelberger Akademie der Wiss.,

(1930)

14

Differentialgleichung erster Ordnung g (j,

t)') == 0

Dann gilt der Satz: Vor: 1. q>{x, y) sei stelig in 0 < x < a, — 6 < y (x, z) + e. Für genügend kleine e > 0 hat sie Lösungen z(x, e) in J , die durch (f 0 , F(l-0)) laufen {Existenzsatz von Peano }. Die Menge der Funktionen { z(x, e) } ist beschränkt und gleichgradig stetig. Denn durch Integration erhält man e(x, e) = F(i0)

+ J

wenn xx, x2eJ und N = max | x0, yx > y2 und 0 für y1 > 0 unmöglich. Somit gibt es nur eine Charakteristik, die gegen (0, 0) konvergiert und dort die i^-Achse als Tangente hat. Voll7Z kommen analog findet man, daß in den Richtungen i i p n je eine Charakteristik in (0, 0) mit der betreffenden Halbachse als Tangente einläuft. Durch diese Charakteristiken wird die Ebene in vier Winkelräume zerlegt. Durch jeden Punkt P 4= (0, 0) geht genau eine Charakteristik und verläßt den Winkelraum nicht, in dem P liegt. Das Bild des Sattelpunktes bleibt also vollständig erhalten. 2. Die verkürzte Gleichung habe lei (0, 0) einen zweitangentigen Knoten. 0 . B. d. A. dürfen wir A2 > > 0 annehmen. Wir machen dieselben Voraussetzungen wie bei 1. Im rechten oberen der durch Cx und C 2 (Oj, C2 und D sind wie im ersten Teil definiert) bestimmten Winkelräume ist jetzt dyjdy1 > 0 , während im rechten unteren Winkelraum dy2ßyi < 0 gilt. Auf C2 ist dyjdy1 = 0 . Wegen ü o. ( ( x — 1 ) ~ +"(!) dy2 y2 hlh+ h 2/2 / y1 ^ n 1 + 0(1) dyt yt hVi+9i Vi für genügend kleine r, folgt, daß der Anstieg der durch P 6 OA laufenden Charakteristik größer als der Anstieg der Geraden OA ist. (Die Betrachtungen auf OB verlaufen völlig analog.) Da die Charakteristik kein zweites Mal OA für yx > 0 schneiden und bis zum Rand von D verfolgt werden kann, muß sie in (0, 0) einmünden. Sie muß dort die yt-Achse als Tangente haben, denn nehmen wir an, sie mündet mit fester Tangentenrichtung in (0, 0) ein, so folgt

Vr*0 dVl

= m = lim -

2

Vi

Vi

_

A 2 o t + o(l) _ k

Vi—o

Vi 3

H o h e l s e l , Gewöhnliche

Differentialgleichungen

+«(1)

m

h

'

34

Differentialgleichung erster Ordnung % (x, t), 5') = 0

und daraus m = 0. Sei nun xiVi) e i n e beliebige Charakteristik. Für jeden Punkt L von ^ bezeichnen wir mit w(y1) den Winkel, den OL mit der i/1-Achse bildet. Für L (0, 0) ist dann w(y-^ monoton nicht zunehmend. Denn ist w(y\) = wx > w{y\) = w2 für y\ < y\, so müßte % die Gerade g mit dem Anstieg m = tg

(M^ + w2) etwa im

Punkte P schneiden. Dann wäre in P im Widerspruch zu oben der Anstieg der Geraden g größer (oder gleich) dem von Wegen w(y^Sg k (denn % kann C2 nicht schneiden) existiert also lim und ist nach dem vorigen 0. Also münden alle Charakteristiken, die in D eintreten, mit waagerechter Tangente in (0, 0). Dasselbe Ergebnis erhalten wir für die Richtung jt. 7t Wie im 1. Teil folgt, daß in Richtung ± je eine Charakteristik mit der t/2-Achse als Tangente in (0, 0) mündet. Ebenso ergibt sich, daß jede Charakteristik in dem durch Gx und 0 2 bestimmten Winkelraum bleibt, in dem sie anfängt. Also genügen die Voraussetzungen, um das Bild eines zweitangentigen Knotens zu erhalten. 8. Die verkürzte Gleichung j' = Aj habe in (0, 0) einen Quellpunkt. Um folgern zu können, daß beim Übergang von (4. 2) zu (4. 9) die Singularität erhalten bleibt, genügen unsere bisherigen Voraussetzungen nicht mehr. Das zeigt das Beispiel dx ~

2/1

logr ' dx ~

2/2 +

logr ' ^

~

+ *•>'

wo (4. 2) einen Quellpunkt, (4. 9) einen Strudelpunkt bei (0,0) hat. Wir setzen daher neben a)—d) voraus: | g f ^ , y 2 ) \ = o(r1+e) mit e > 0 . Die Charakteristiken genügen hier offensichtlich der Dgl. dy^ ¿Vi

=

Xy2 +

y2)

hh + 9i(Vv Vi)

Verlauf der Integralkurven usw.

35

Führen wir durch yl = r cos — 00 in £ für ->• + 0 im Widerspruch zur Voraussetzung | y2 / y11 ^ c. Also gibt es einen letzten Wiedereintritt in 8 mit einem r, das gleich dem Rs unser Behauptung ist. Die Kurven 9>x und ( f 2 , definiert durch tg ^

= A log r, { - y ^ 4}

und tg tp2 = Alogr, j - y - ^ ^2 = 2tt, 4 > 4 j , haben

die

verlangten Eigenschaften. Daß sie mit der positiven bzw. negativen ?/2-Achse für r 0 in (0, 0) einmünden, ist klar. Es existiert ferner ein ö > 0, so daß für alle r < ö gilt:

d 0 konvergiert auf einem Leitstrahl. Dann ist der Grenzwert r* auf jedem Leitstrahl positiv. Die Charakteristik konvergiert also spiralisch gegen eine Grenzkurve C*. C* muß eine geschlossene Bahnkurve sein, nämlich die durch (r*, 0 definiert ist. Daher ist 1

1 2

u

1 2

2

(5. 2) eine Lösung der Dgl., die in einem Intervall J 2 > existiert. Somit ist durch die zugehörige Charakteristik G: y { x ) , y ( x ) die Charakteristik C über J hinaus fortgesetzt. Können wir durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens die Kurve C nur für x < x0 erklären, so ist klar, daß wir den Rand von G erreicht haben. In diesem Fall ist die Existenz einer Charakteristik bis zum Rand von G gesichert. Falls wir aber die Charakteristik C für alle x > 0 definieren können nach der obigen Methode, so kann es sein, daß C für a-> oo gegen den Rand von G konvergiert. Dann sind wir fertig. Es kann aber auch sein, daß C ganz in einer abgeschlossenen Teilmenge von G bleibt, d. h. dem Rand nicht beliebig nahe kommt. Nehmen wir zuerst an, daß C sich einem festen Punkt t)0 = (y10, y20) e G nähert für x-> oo. Dann muß f(t)0) = 0 sein. Wäre nämlich etwa die erste Komponente ^(tjo) von f positiv, so gälte für x > x \ j ( ^ ( x ) ) >!/i(tyo)> w e n n wir mit i)(x) die Lösung von (5.1) bezeichnen, deren Charakteristik G ist. Dann folgt aber 3 1

3 2

0

1

X

— 2/iOo) =

f

h i W ) )

ä

i

>

J

1

0 ~ ®o)/i(9o) -

im

Sätze im Großen Widerspruch zur Annahme lim y^x) X > CO

man f ü r negatives

41 = ylQ. Analog schließt

t)0) und f ü r / 2 (t) 0 ) 4= 0.

E s sei nun M die Menge der H ä u f u n g s p u n k t e von C f ü r 00, d. h. ein P u n k t P gehört dann und nur dann zu M, wenn es eine Folge { xn } mit xn~> 00 f ü r mh» 00 gibt, so daß die Folge der P u n k t e Pn = y2 (%))-* P konvergiert. Wir setzen voraus, daß M keinen kritischen u n d keinen R a n d p u n k t von G enthält. Dann können wir behaupten : Entweder ist C eine geschlossene Charakteristik und C = M, oder M ist eine geschlossene Charakteristik, an die sich C spiralenjörmig anschließt. Wir zerlegen den Beweis in drei Teile. 1. Ein Punkt ReM sei zugleich ein Punkt von C. Dann ist C = M und C eine geschlossene Charakteristik. Beweis: C hat in R als Lösung von ( 5 . 1 ) eine bestimmte Tangente und daher eine bestimmte Normale nR, die die Ebene in zwei Halbebenen teilt. F ü r X — werde R passiert. Dabei läuft C von der ersten in die zweite Halbebene. Wir nennen diejenige Halbebene, aus der C k o m m t , die linke, die andere die rechte. D a es eine Folge { Rn } (x = xn in Rn) von P u n k t e n auf C gibt, die gegen R konvergiert, und weil das Richtungsfeld der Dg], in der Nähe von R stetig ist, hat C in den P u n k t e n Rn nahezu die gleiche Tangente (für genügend große n) wie in R. Es m u ß also f ü r x> xR einen ersten Wert x1 geben, f ü r den die Normale nR nahe bei R von links nach rechts geschnitten wird, etwa in R[. Das Kurvenstück C f ü r xR i g x x1 u n d das Normalenstück RR[ bilden zusammen eine geschlossene Jordankurve. Weil nR immer wieder beliebig nahe bei R durch C von links nach rechts geschnitten wird, m u ß C die J o r d a n k u r v e treffen, entweder sich selbst — dann ist C aber geschlossen — oder das Normalenstück. Das würde bedeuten, daß f ü r x > x^ die Normale wenigstens einmal von rechts nach links geschnitten wird. (Der Leser mache sich zur Veranschaulichung eine Zeichnung.) D a diese Be-

42

Differentialgleichung erster Ordnung f j (i>

tl') = 0

trachtung statt für X Xß auch für einen beliebig großen Wert x > x0 gilt, f ü r den die Normale von links nach rechts geschnitten wird, ergibt sich ein "Widerspruch zur Stetigkeit von fv / 2 in R, da diese ja nicht gleichzeitig verschwinden. Also muß C eine geschlossene Charakteristik sein. 2. Es sei M 4= C und P € M gehöre nicht zu C. C' sei die Charakteristik durch P (die nach dem Existenzsatz von Peano existiert). Dann gilt C'cM. Beweis: Pn sei eine Punktfolge auf C, die gegen P konvergiert. Wir betrachten für x = 0 die Charakteristiken durch P und Pn. Das sind 6" und C, denn eine Verschiebung von x ändert nichts an der Dgl. Die stetige Abhängigkeit 1 ) von den Anfangswerten erlaubt nun, zu jedem beliebigen festen Intervall ] x | < K ein n = n(K, e) so groß zu finden, daß C und C sich für | x | < K um weniger als e unterscheiden. Daraus folgt bereits, daß jeder P u n k t von C' zu M gehört. Ferner ist jeder Häufungspunkt von Punkten von C' auch Häufungspunkt von Punkten von C. Bezeichnen wir mit M' die Menge der Häufungspunkte von 6" für oo, so ist also M' P f ü r n-> oo. In genügender Nähe der Stelle P", d. h. für n > w0, kann die Strecke P'n P'n+i nur einmal von C geschnitten werden, da sich sonst (wie vorher) ein Widerspruch zur Stetigkeit des Richtungs') Vgl. 8. 45.

Abhängigkeit der Integrale von Anfangswerten usw.

43

feldes in der Nähe von P" ergibt. Also können für n > na die Punkte P'n keine Häufungspunkte von C sein, d. h. P'n $ M im Widerspruch zum Teil 2 des Beweises. Somit ist M' = C', woraus die Behauptung folgt. 1.6. Abhängigkeit der Integrale von Anfangswerten und Parametern Wir betrachten 5' = f(®.9). (6-1) Es seien die Voraussetzungen des Picard-Lindelöfschen Existenzsatzes erfüllt in einem Gebiet G Darin stehen ') Vgl. S. 51.

48

Differentialgleichung erster Ordnung g (x, t), ty') = 0

die m Parameter y01 =

. . ., yom = 2 m . F ü r jeden dieser

Parameter gelten die obigen Überlegungen. Mit j(e) = ergibt sich dann an Stelle von (6. 11)

für q = 1, . .

i # - * < ? > + # (6-12) dx /i=1 dy^ " ÖAg m mit der Anfangsbedingung g(e) (a;0) = 0 .

dj(e) _

"Wegen

dx

82f

_

dxdXg

~

92(t) dxdXQ

=

~ dy„ dy» ~ dy„ ' -Je)

ÖAg

vy» f = ^

—f

^

= zf

-

_

d2t)

~

dxdXe

_ Sä ~

dx

9]

9f dye

gf

dXe ~

dyQ dAe ~

dye

dQß (denn

=

y*)

folgt dx - ¿ d y / ' S

+

dye ~ ¿ i

dy„ z.

mit den Anfangsbedingungen = e„. Nachzutragen ist noch das Lemma von Arzela: Es sei F = {f(a;)} eine Familie von gleichmäßig beschränkten, gleichgradig stetigen Funktionen in J: a xf^l, d. h. für alle f £ F gilt | f(z) I f ( ^ I ) — \ i x i ) I < £>

x i J falls n u r I x i — x i \ < CCjj X 2/a- • • •. 2 / J

auf die spezielle Dgl. (1.2): = (2/2> 2/3- • • •> 2/rn: /(». 2/1. 2/2' • • M 2/m)) = f (z. bringen. Wir wollen annehmen, daß / einer Lipschitzbedingung genügt. Der Picard-Lindelöfsche Existenzsatz lehrt dann, daß es zu jedem Anfangswert 2/(«o) = s/o; y'( x o) = 2/0; • • •; 2/(m_1)(«o) = 2/o(m_1) aus dem Definitionsbereich 0 der Funktion / genau eine Lösung von (7. 2) gibt, die in einer Umgebung der Stelle x0 definiert ist und für x = x0 die obigen Werte annimmt. Nach Abschnitt 1. 6 folgt noch, daß das allgemeine Integral von (7. 2) genau m willkürliche Konstanten enthält. Bei der Behandlung der Dgl. (7.1) wird man wieder versuchen, diese mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen in Gleichungen der Art (7. 2) aufzulösen. Ebenso ist die Definition und Untersuchung singulärer Lösungen in Analogie zu Abschnitt 1. 2 möglich. Wir gehen nicht näher darauf ein. Nach dem Existenzsatz hat das allgemeine Integral der Dgl. (7. 2) die Gestalt 0(x,y,c1,c2,...,em)

= 0.

(7.3)

Umgekehrt entspricht jeder solchen Kurvenschar eine Dgl. m-ter Ordnung. Um sie zu gewinnen, hat man jetzt die m ersten totalen Ableitungen von 0 nach x zu bilden und aus den (m + 1) Gleichungen

eine Gleichung zu bilden, die frei von den Parametern

Allgemeine Existenzsätze

51

2. Kapitel Lineare Differentialgleichungen 2.1. Allgemeine Existenzsütze Eine Dgl. i), t)', . . ., t)M) = 0 heißt linear, wenn sie in den m-komponentigen Vektoren ty, tf linear ist. Sie hat also, wenn wir uns der Einfachheit halber auf den Fall m = 1 beschränken, die Gestalt: ?/(»)

+

... +

(p»{x)

=

0.

Nach Abschnitt 1. 7 ist diese Gleichung nur ein Sonderfall der Dgl.

t , ' = $ ( * ) ! , + f(a:)i).

(1.1)

Nur mit dieser Dgl. beschäftigen wir uns im folgenden. Die Funktion \(x) und die Komponentenfunktionen der (m, m)-Matrix seien stetig in [a, b]. Man nennt ( 1 . 1 ) eine inhomogene Dgl., wenn ist.

tf = (1• 2) heißt die zu ( 1 . 1 ) gehörende homogene Dgl. F ü r ( 1 . 2 ) gilt der Existenzsatz: Zu ganzen

jedem

Anfangswert

Intervall

t) (%)

(a, b)

=

definierte

t)0

gibt

Lösung

es

genau

t) =

eine,

t j ( x ) der

im Dgl.

(1- 2). Beweis: S e i ^ z ) = t>0; Dann gilt (mit max | pik \ x€la ,6] in [ x , ic0]) | t)u(x) -

^ ( x )

\)n {x)

=

t)„ +

= P und Un (x)

U n ( x ) f ^ , mP\x— to

vergiert 2j Un (x) ff 1 2)

4*

= max 11)„— t)„-! |

x

| = | /

5ß(i) ( 9 , ^ ( 0 f g mP

also ist

/ X,

x0

\

IX —

t)n .2 (t)) x0 \

dt |

U n - x i x ) ,

t/ n _ 1 (a;) und folglich konoo

und damit 2 (t) K (a;) - t ) n ^ ( x ) ) abso»=1

Hier und im folgenden ist s t a t t n wieder m geschrieben.

52

Lineare Differentialgleichungen

lut und gleichmäßig in \x — x0\ = %mp •

Konstante

ist unabhängig von t)0. Indem man nun jeden Endpunkt dieses Intervalls zum neuen Anfangspunkt macht, kann man mit den jetzt bekannten Werten t)(x) als Anfangswerten die Lösung nach beiden Seiten fortsetzen. Man erreicht nach endlich vielen Schritten die Endpunkte a, b. Offenbar ist mit t) (x) auch c • t) (x) eine Lösung von (1. 2). Sind t)4(a:) (i = 1, 2 , . . ., k) Lösungen von (1. 2), so ist jede Linearkombination

k

£c(t)i(x) ebenfalls eine ¿=i Lösung. Trivialerweise ist der Nullvektor, d. h. die Funktion, deren Komponenten identisch verschwinden, auch eine Lösung. Uns interessieren jedoch nur die nicht identisch verschwindenden Lösungen. Um die Gesamtheit dieser Lösungen überblicken zu können, definieren wir: k Funktionen ..., t) k heißen linear unabhängig in (a, b),

k

wenn eine Relation 2

= 0 (cf konstant) dort nur für

Cj = c2 = • • • = ck = 0 möglich ist.

Dann hat (1. 2) genau m linear unabhängig m tyuix) (fi = 1,..., m) und 21 c^ fj^(x) ist das ß=1 Integral. Beweis: Es sei D,(a;) die Lösung von (1. 2) mit der Anm

fangsbedingung ^ i ( x 0 ) = e, 1 ). Aus 2 c ^ ^ x ) = 0 folgt an m .(-J

Pl(t)dt)

wobei der Wert der Konstanten W(x0) Wahl des Hauptsystems abhängt.

(1.8)

offenbar von der

2.2. über die Integration der inhomogenen Gleicbung. Die Integration der inhomogenen Dgl. t)' = 5ßt, + f(z) bringt keine neuen Schwierigkeiten. Sie läßt sich zurückführen auf die Integration der homogenen Gleichung. Aus

58

Lineare Differentialgleichungen

Abschnitt 2 . 1 folgt, daß die homogene Dgl. (1. 2) das allgemeine Integral _ r(iB)e (2.1} h a t , wo r eine F u n d a m e n t a l m a t r i x u n d © ein beliebiger k o n s t a n t e r Vektor ((wi, 1)-Matrix) ist. Das allgemeine Integral von (1.1) hat dann die Form !)(«) = F ( a O e + l ) o ( * ) .

(2.2)

wobei t)0(x) ein spezielles Integral der inhomogenen Dgl. ( 1 . 1 ) ist. Denn setzt m a n (2. 2) in ( 1 . 1 ) ein, so ergibt sich Y ' g + t)j = s p y g + + f , woraus m i t ( 2 . 1 ) die Beh a u p t u n g folgt. U m ein partikuläres Integral von ( 1 . 1 ) zu finden, machen wir den A n s a t z : Z(x) = Y(x)a(x).

(2.3)

Y(x) sei eine F u n d a m e n t a l m a t r i x der homogenen Dgl. (1. 2) u n d a(x) eine differenzierbare F u n k t i o n , die wir' so bestimmen wollen, daß (2. 3) eine Lösung von ( 1 . 1 ) ist. Setzen wir (2. 3) in ( 1 . 1 ) ein, so folgt F ' o + Ya' = $ r c t + f . D a Y F u n d a m e n t a l m a t r i x von (1. 2) ist, erhalten wir zur Berechnung von a(a;) die Dgl. G' = 7 " 1 f X

m i t der Lösung a(:r) = / Y _ 1 ( i ) \(t)dt.

Das allgemeine Inte-

xo

gral von ( 1 . 1 ) ist daher

X

t)(x) = Y(x)(Z+Y

f

Y-i(i)f(i)Ä.

(2.4)

x„

Dieses Verfahren heißt „Variation der Konstanten". Wir wollen es f ü r den in der Praxis wichtigen Fall der Dgl. noch +

L(y) = / ( « ) einmal ausführlich hinschreiben. E s sei y = eiy1 + ' ' " + CmUm das allgemeine Integral der homo-

Über die Integration der inhomogenen Gleichung

59

genen Dgl. L(y) = 0 . Um ein partikuläres Integral der inhomogenen Dgl. zu gewinnen, machen wir den Ansatz V =

Da hier

£) = r( x >£) für a; 4=1 d x m-1 u n d y(£

+

0,i)

-

y(£-0,£)

= 1

Dabei ist £ ein willkürlicher Parameter: a < f m(x)y = 0 . ' () S

*

A

,

e^e^'+^'dt e*"x

A +

i(v +

\ m)

I

2ico

.

pivx

j

,

—ei**

(A +

i v f

+

x („Resonanz"). Man kann auch so sagen: Im Falle einer freien Schwingung (A = 0) tritt Resonanz ein, wenn die „äußere K r a f t " f(x) die Frequenz der „freien Schwingung" hat. 3. K a p i t e l Randwertaufgaben 3.1. Allgemeine Theorie Die Lösung einer linearen Dgl. zweiter Ordnung L(y) = Poy" + Piy' + P2y = r> (i-i) in der p, r stetige Funktionen (p0 4= 0) in (a, b) sind, ist eindeutig durch zwei „Anfangswerte" y(x0), y'{x0) bestimmt. Physikalische Fragen führen dazu, eine solche Lösung durch Randwertbedingungen zu bestimmen, d. h. durch zwei (lineare) Gleichungen zwischen y(a), y'{a), y(i), y'iV)B

i (y) = «1 y(a) +

+ 0. (1. 5) Ist y-iix), y2(x) irgendein Hauptsystem von Lösungen der Dgl. L(y) = 0, so ist y = c1y1 + c2y2 die allgemeine Lösung. Um die Randbedingungen zu erfüllen, muß also B ^ y ) = ß «(«i2/i + CiVi) = Ci B i(yi) + c i B i ( y i ) = ^ ( ¿ = 1,2) sein. Ist det (B^y,)) =|= 0, so sind die elt c2 eindeutig bestimmt. Das inhomogene System (1. 5) hat genau eine Lösung, das homogene nur die Lösung y = 0 (nämlich = c2 = 0). Ist det {Bi(yj)) = 0 und p ihr Rang, so hat das homogene System (2 — p) linear unabhängige Lösungen, während das inhomogene nur dann lösbar ist, wenn die Matrix (Biiyß, yt) den gleichen Rang hat wie (B,-(?/,•)). Sei jetzt wieder det (jB,(i/,)) =j= 0. Dann ist auch das allgemeine inhomogene System L(y)=r(x),

Bi(y) = yi

(1.6)

eindeutig lösbar, und die Lösung läßt sich mit Hilfe der z u g e h ö r i g e n Greenschen Funktion angeben, d . h . derjenigen, eindeutig bestimmten Greenschen Funktion von L(y), die die Randbedingungen erfüllt. Nach S. 62 gilt G(x, £) = %(£)«/! + a 2 (|)«/ 2 in (a, G(x,i)

= b1(i)y1+b2(i)y2

in (£,&).

Die bj — a j = ej sind bestimmt durch: ei2/i(£) + e2y2{£) = 0, eiVl(f)+e.s£(f) = l.

74

Randwertaufgaben

Sollen nun noch die Randbedingungen Bt(y) = 0 erfüllt sein, so ergibt sich, wenn wir mit Bty(y) bzw. B ' f ^ y ) die sich auf b bzw. a beziehenden Terme von B((y) bezeichnen: B,(y) = BW (y) + Bf B,(G) = a.Bfiy^+a.B^iy,)

+ hBf^y,)

+ b2B^(y2)

=

+ hVi) - ß) = 0

+ rjl3y(b)+r]uy'(b)=0{-

B2=-ß1B1+oc1B2=Vl2y'(a)

'

oder B1 = ß*B1 — «4^2 = Vu V («)+ Bt = ßsB1— 0 für

(2.2)

B l l 2 sind durch (1.18) oder (1.19) festgelegt, wobei im ersten Falle die Gültigkeit von (1.16) zusätzlich gefordert werden muß, die im zweiten Falle wegen rj 12 = rj 3 i = 0 von selbst erfüllt ist. X ist ein Parameter. Diese homogene Aufgabe wird nun für besondere Werte X eine nicht identisch verschwindende Lösung y(x, X) haben. Solche Werte X heißen Eigenwerte, die Lösungen Eigenfunktionen. Es existiert mindestens ein Eigenwert. • Zum Beweise betrachten wir für irgendein stetiges h ( x 0 das inhomogene Randwertproblem L(u) + Xgu = h\ B 1 (m) = B2(u) = 0.

(2. 3)

Dann ist, falls kein Eigenwert existiert, nach S. 75 das inhomogene Problem (2. 3) eindeutig lösbar und die Lösung u(x, X) stetig und differenzierbar für alle X (vgl. S. 45). Wir definieren mit u0 = u(x, 0) b

v (X) = X f guQudx.

Aus (2.1) und (2. 2) folgt durch Diffe-

a

rentiation nach X (indem wir u statt y schreiben)

L

w =

(Ii)+XgIi = -u '(Ii) = B* (Ii)=0 • ist Lösung der inhomogenen Randwertaufgabe

L(w) -}- Xg w = ~u b

g; B1(w) = B2(w) — 0. Es existiert auch b

v'(X) = / g u0u dx + X/g

du m 0 ~öt

dx.

80

Randwertaufgaben

Die beiden rechtsstehenden Integrale lassen sich mit Hilfe der Lagrangeschen Identität umformen. Denn die Gleichungen L(w)

=

L(u0)

=

— ( l g w + g u ) h

ergeben bei Multiplikation mit w0 bzw. (— w), Summation und Integration b

b

f (u0L(w)—wL(*u0))dx=—X a

b

b

f gu0wdx—Jgu0udx—f a b

hw

dx.

a

Die linke Seite ist gemäß der Lagrangeschen Identität gleich b

P(u0,w)

a

b

=k(w'u0

—

Ugw)

, wie man auch durch Ver-

gleich mit (1.10) sehen kann. Da w0 und w =

CA

denselben

Randbedingungen genügen, so verschwindet dieser Ausdruck sowohl für (1.18), wie auch für (1.19). (Unmittelbare Folge aus (1.15), da dort Bx = B2 = Bf = = 0.) Also ist 6

v'(X)

= — J

du h-^j-dx.

a

Vollkommen analog ergibt sich mit u statt u0 (und also h — Xgu statt h) b

J

b

h-^j-dx-{- J

a

b

mithin

v'(X) = J

gu2dx

=

Q,

a

gu2dx

>

0,

a

da u = 0 zum Widerspruch h = 0 führte. Wegen f(0) = 0 ist sign v(X) — sign 1. Die Schwarzsche Ungleichung 1 ) liefert b

\2 u d x )

1

b ^ t f f guHx

) b. Integralgleichungen, Slg. Göschen Bd. 1099.

b 1 guldx

Eigenwerte

81

b / gutdx)

~(X^~c20v(X)-^0,

;

a

w(A) = — eot)(A)_1 ist also monoton nicht abnehmend für wachsendes X. Dann folgt für X > 0: A-1 - c20v{X)~l £ lim (X'1 - cgi'- 1 ) = — cg lim i r 1 ^ 0 X < 0: A-1 - e M A ) - 1 ^ lim (X-1 — cStr 1 ) = i

00

—

1

lim i r

0 .

00

Also ist

iv{X) = 0; v{X) = Xc20

b = X / gwgda;

('2. 4)

a

b b b und daher v' (1) = f gv20 dx. Folglich ist f gu2dx = f gu%dx a

a

a

und somit u = u0, weil u stetig ist. Aus u = u0 und h = L(u) + Xgu = L(u0) + Xgu0 = h + Xgu0 folgt w0 = 0 und also L(u0) = h = 0, ein Widerspruch, der die Annahme der Nichtexistenz von Eigenwerten widerlegt. Ferner: Sind A,-, X, zwei verschiedene Eigenwerte, yt und yt zugehörige Eigenfunktionen, so gilt die Orthogonalitätsbeziehung b JgyiVjdx = 0. a Beweis: d f d \ L(yi) + kgyi

= dx\kdxyi)

L(Vi) + Xjgyj

d /

d

+

X i m

\ + hm

"

lyi

=

0

~ lVi =

Wir subtrahieren die mit yf multiplizierte erste Gleichung von der mit y{ multiplizierten zweiten und integrieren über [a, 6], Das liefert 6

H o h e l s e l , Gewöhnliche Differentialgleichungen

82

Randwertaufgaben b

b

J (yMVj) — y M y i ) ) * * + ( h — h ) / gytVidx = o.

a

a

Weil aber die rechte Seite von ( 1 . 5 ) verschwindet (da B1 = B2 = = B2 = 0), ist der erste Summand 0. Aus Xj 4= I i ergibt sich die Behauptung. Weiter folgt: Die Eigenwerte sind reell. Mit einem komplexen Eigenwert X + iX' und u + iv als Eigenfunktion wäre auch X — iX! Eigenwert und u — iv Eigenfunktion, wie der Übergang zum konjugierten in ( 2 . 1 ) zeigt. (Man beachte, daß die Funktionen k, l, g reellwertig sind.) Daher / g • (u + iv) (u — iv)dx = f g(u2 + v2)dx = 0 und folglich u = v = 0 . Das bedeutet aber, daß keine komplexen Eigenwerte X + iX' existieren. Y1(x, X), Y2(x, X) seien jene zwei linear unabhängigen Lösungen von L(y)+Xgy

= 0,

die festgelegt sind durch F ^ a ) = 1, Y[ (a) = 0 und durch Y2(a) = 0 , Y'2(a) = 1 . Die Yj sind übrigens gleichmäßig stetig in X für jedes abgeschlossene A-Intervall. Dann sind die Nullstellen der Funktion f(X) = det ( B i ( Y j ) ) (1,7 = 1,2) die Eigenwerte, denn nur für diese Werte sind j a die Randbedingungen erfüllt und jede andere Lösung der Dgl. läßt sich als Linearkombination der Y, darstellen. Es gilt dann: Die Eigenwerte haben keinen Häufungspunkt im Endlichen. Sei Xy-> X*. X* ist ebenfalls Eigenwert, nämlich ebenfalls Nullstelle der stetigen Funktion det (JB^Y,)). yp und y* seien die Eigenfunktionen, die folgendermaßen eindeutig festgelegt werden können: Ist der Rang der Matrix (5,(7^)) eins, so sind beim Ansatz yv = clt vYltt+ c 2l ? r 2 , „ (abgekürzt: 7 ( , „ = Y{(x, X„) die c bis auf einen- gemeinsamen Faktor kv festgelegt, näm-

Eigenwerte

83

lieh cltv = — k„B1 (F 2i „) und c2,v = kvB1 (Fj, „) und entsprechend c i = — k*Bx{Y$), 4 = k*Bx(Yt). Das ergibt sich beim Einsetzen der yv in die Randbedingungen. Aus y, = ci,vYltV+ folgt

» J vldx "

k2v = -¡j /

C2,vY2,v = ~kv Z?1(72,v)ri)v+

KBi

(yi.^i.v

> 0, da y„ ^ 0 als

(^(Fj.OFv-B1(ri>r)ri,

b

Eigenfunktion. Entsprechend folgt k*>o. Also gilt für v — oo Yu v -» F f und B( (Yh v) -* B{ (F^), also auch Cj, ,:kv — cf:k*. Es gilt auch k2v k*2 und kv-*k*, falls die k positiv gewählt werden. Aus f gyvy*dx = 0 folgt jetzt f gy*2dx = 0 im Widerspruch zum wirklichen Werte 1. Die Annahme eines Häufungspunktes von einfachen Eigenwerten (d. h. Rang (B^Y,)) = 1) ergibt einen Widerspruch. Ist Rang ( ß ( ( F i l v ) ) = 0, also Yi ) 2 (x, A„) Eigenfunktionen, so folgt Rang (B,-(Ff)) = 0, also F*i,2auch Eigenfunktionen. f gYltV Yydx = 0 führt zum Widerspruch f g Y$2dx = 0, Die Eigenwerte bilden also eine diskrete reelle Punktmenge. Es kann unendlich viele geben, doch nicht unendlich viel negative. Denn die Menge der Eigenwerte ist nach unten beschränkt. Beweis: Wir wählen X < 0 dem Betrage nach so groß, daß p(x) = | X | • g + l > 0 ist in [a, b], Aus -¿¿{ky'y)

= ky'2+

y-^ity')

= W*+V&

> 0

folgt die Monotonie von kyy' in [a, b]. Es kann dort yy', also auch y höchstens eine Nullstelle haben. Gibt es für mehr als ein X eine nullstellenfreie Eigenfunktion, so führt die Orthogonalität zu einem Widerspruch. Das gleiche gilt, wenn zwei solche Funktionen die einzige Nullstelle gemeinsam haben. Gäbe es nun drei Eigenfunktionen ylt 2 , 3 mit 6•

Randwertaufgaben

84

den jeweils einzigen Nullstellen Die Funktionen y f sind, da y't keine Nullstelle haben kann, monoton und können monoton fallend angenommen werden. Mit

h = Vifa)>

0

und

c

2= — V i M >°

ist

y^eiVii*)

+ c 2 y 2 ( x ) eine monoton fallende Funktion, die in x 3 Null wird. Es ist also y y 3 > 0 für x =\= x s . Wegen der Orthogonalität von y 1 und y 2 zu y s ist auch y orthogonal zu y 3 , was offenbar unmöglich ist. Es kann also für so große negative X höchstens drei verschiedene Eigenwerte geben, nämlich einen mit einer nullstellenfreien und zwei mit Eigenfunktionen, die je eine Nullstelle haben. 3.3 Sturm-Liouvillesche Systeme. Asymptotische Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen Der Fall (II), gekennzeichnet durch r j l 2 = rjM = 0 , birgt noch neun verschiedene Typen in sich. Bei den ersten sieben läßt sich die asymptotische Berechnung einheitlich vornehmen; sie unterscheiden sich aber im Resultat von den beiden letzten Typen. Die Identität (1. 3), die sich zu

ViaVa

= VuVn

( 3 -1)

vereinfacht, leitet zu den neun in der Tabelle 1 angeführten Typen hin. Es ist zweckmäßig, zur Vereinfachung der Schreibweise x

in x' zu transformieren, wo n ( x — a ) = x ' ( b — a ) ist.

[a, b ] geht über in [0, t i ] . Wird nachher wieder x statt x' geschrieben, und bezeichnet man die Koeffizienten in der alten Weise, so läßt sich weiter die Vereinfachung k(x) = g ( x ) = 1 vornehmen. Das bedeutet keine Einschränkung wegen k, g > 0. Wird nämlich in der Dgl. bei Division durch g

die neue Veränderliche

x n t = n f gd£ : f gd£ 0 0

an Stelle von x eingeführt, so ergibt sich

Sturm-Liouvillesche Systeme usw.

85

Fall II Vn = »?M =

0

Vu ' 1l3 — Iii ' Vi3

0

Typus

Vu

0l3

Iii

Vii

1

4= 0

= 0

= u

= 0

2

*

= 0

= 0

4= 0

= 0

*

= 0

*

o

3

4= 0 .

4

*

0

4= o

*

5

= 0

= 0

= 0

4= 0

6

= 0

*

0

= 0

= 0

4= 0

= 0

*

0

0

0

7

= 0

8

= 0

*

0

4= 0

= 0

9

= 0

= 0

4= 0

= 0

0

Tabelle 1

wobei

n

£(h4 2/(0) + «¡»«yW = 0; B2 = 0 siehe S. 103

4

= 0

=

= 0

y(o) — y{n) = 0;

5

= 0

= — Vü3

+ 0

y(o) + 2/(ji) = 0; — + ^aiif'C 0 ) + y'{n)) = 0

6

= 0

= ~ »¡as

= 0

y(o) + y{n) = 0; /(") + = o

Tabelle 2 Das f ü h r t zum Ansatz q = 2 w + tt^cü . co2 cos qti = cos co = 1 — - g - + 0 ( w 4 ) ; sin pjt = sin a> = co + 0 ( w 3 ) . In (4. 6) eingesetzt ergibt sich

+ i

L

°+ 0 ( c ° 3 )

=

d h w

- -

Der verbesserte Ansatz g = 2w + dßnn ,

2 (2w)2

+

I

(2nf ' 2

.

_

0

8(2w)2 ~

= °(Q~

ergibt in (4. 6)

n,

U( w

-

Der weiter verbesserte Ansatz:' 7 Hohelsel, Gewöhnliche Differentialgleichungen

J

0

98

Randwertaufgaben

in (4.1—4. 6) eingesetzt, ergibt für •& die quadratische Gleichung:

Für l(n) 4= 1(0) erhält man so paarweise um den Wert 2n +

liegende Eigenwerte L0

+ 0 (»-").

l(n)-l(0) 16 Tin2

+

nLx-2L\ 64w3 7t2

(4.7)

Für l(n) = Z(0) wäre es nötig, die Rechnung bis zu 0(o~ 8 ) zu verfolgen, um (bei geeigneten Voraussetzungen) zwei getrennte Wurzeln zu erhalten, eine hier undurchführbare Aufgabe. Daß die g2n Eigenwerte sind, erkennt man leicht am Zeichenwechsel von 0 (a konstant), Q1 = a 2 , K ^ K ^ l für x'St x0. Da y" + a?y = 0 oszillatorisch ist, folgt nach dem Vergleichssatz, daß y" + Q2(x)y = 0 auch oszillatorisch ist. 2. Man möchte nun ein möglichst kleines Q 1 (x) als Vergleichsfunktion haben. Das folgende Beispiel zeigt, welche Möglichkeiten man h a t :

Sturmsche Sätze usw.

111

E s sei a > 0 und wir definieren log„a; = » , . . . , log„a; = log (log«-!®); L0(x) = x, . . ., Ln{x) = Ln^(x) log n x; Sn(x)

=

l{Lk{x))-\ 1 = 0

Wenn K± = K2 = 1 und Q2(x) ^ | Sn(x)

+

a2(L„(x))~2

= Qx(x) ist, dann ist (1. 3) oszillatorisch. Beweis: Wir gehen aus von der oszillatorischen Gleichung y" + a?y = 0 . Die Substitution t = ex ändert offenbar nichts an der Zahl der Nullstellen einer Lösung und liefert i

2

^f + ^ + a

die

2

i / = 0 . Mittels y =

oszillatorische Dgl.

CO

M

ist, denn dann ist für große x: M M = — v(I m — l M)m ^< m ' ' ' — m M

= — • m M

r

^

-

7

( 1 — ei )—< l — m \

r

H

x

—7 — a;2) und

J

fo

lim 's —IIM • n = ß —x -

a»)

•—ö ß —x M

—1 = ( 1 ¡m—1/Af)ili

^

^

n ^ — m

—— < (\1 — £/ ) -_! < ! + £ i, .

m

Also A l a f t

=

Nullstellenverteilung

115

Hinreichend zur Ableitung der asymptotischen Formel ( 2 . 1 ) ist auch folgende Voraussetzung über q: e(x)

=

log

sup

1 +

q(v) q{u)

f q(t)

0 für

x->

oo, für die

dt

wiederum q' = o(q2) für x-> oo hinreicht. Der Satz läßt sich noch etwas verallgemeinern. Zunächst gilt (wobei wir K > 0 voraussetzen): Wenn lim X 0 0

x

f „

d£

—J- = oo oder lim A.

lim ^K

X-*

x

f

Q(£)d£

=

oo

und

CO

= 0 ist, dann gilt für jede Lösung von

L5): N(a,

x) ~

Beweis: a) Ist J K^dg

n'1

•j

(K-iQ)*

d£.

= co, sosetzen wir t =

a

J a

d2v

und erhalten aus (1. 5 ) : - ^ f +

= 0 . Nach

K(x(t))Q(x{t))y t

dem vorigen Satz folgt:

N(a1,

d {QKf gesetzt, daß lim —

t) ~TT1 i

• /

(QK^dr,

voraus-

= 0 ist. Das ist aber unter Be-

rücksichtigung der Transformation der Fall, und wegen dt = K^dx folgt die Beh. X

b) Ist

f

Qd£

=

oo, so setzen wir

z =

K(x)y'

und er-

a

halten statt (1. 5) ( Q - V ) ' + Ä-iz = 0. 8*

(1.10)

116

Oszillationsprobleme

Man erkennt unmittelbar, daß sich die Nullstellen einer X

Lösung von (1. 5) und (1.10) trennen. Mit s = / Qd£ — ana

gewandt auf (1.10) — erfolgt die weitere Rechnung wie vorher. Jetzt ergibt sich ohne Mühe die angekündigte Verallgemeinerung (für (1.1)): / 1 \1/2 Wenn g{x) = yx2Q —-^J

reell und positiv ist und

lim» x{g~1{x))' = Oist, dann folgt N(a, x) ~ J7t"1 t• f -^ß- dt. a Beweis: Wir transformieren (1.1) durch y = x1/2 z in 2 1 (xz'Y + g x~ z = 0 und erhalten aus dem vorigen Satz die Beh. Daß dadurch tatsächlich eine Verallgemeinerung gex wonnen ist, sieht man am Beispiel y" + 14x-}i ¡log 0 g x V = 0, X

auf das dieser Satz im Gegensatz zum ersten anwendbar ist. Umgekehrt trifft er stets zu, wenn der erste gilt. Ein anderes Problem der Nullstellenverteilung ist die Frage: Unter welchen Bedingungen hat jede Lösung einer Dgl. 2. Ordnung in einem (eventuell endlichen) Intervall J höchstens eine Nullstelle, d. h. N(xv x2) = 1 ? Wir setzen K(x) > 0 in J voraus. Es sei R(v) der (1. 5) zugeordnete Riccatioperator. Man findet: Dann und nur dann ist N(xv x2) = 1, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion v(x) gibt, die in J der Beziehung R(v) 0 genügt. Die Notwendigkeit haben wir schon auf S. 112 bewiesen. Es sei umgekehrt v eine in J stetig differenzierbare Funktion mit R ( v ) ^ 0. Zum Vergleich betrachten wir (Ky')' + Q* ( x ) y = 0 • Q* sei stetig in J. Die den R, N entsprechenden Größen seien R*, N*. Es ist also R(v) — R*(v) = Q—Q*.

W i r w ä h l e n n u n Q* so, d a ß R*(v) = 0 ist, d. h.

Q* = —v' — v2jK. (Dann ist Q* stetig in J, und mehr

Nullstellenverteilung

117

war nicht verlangt.) Also folgt Q iS Q*, und daher nach dem Vergleichssatz N sS N*. Wegen N* = 1 (vgl. S. 112) gilt N 1. Weil immer N 12:1 gilt, folgt also die Beh. Aus diesem Satz ziehen wir einige einfache Folgerungen. i a) Für ( 1 . 1 ) gilt N = 1 in (0,1), wenn / Q+{t)dt^ 4 0 ist, wobei Q + = max (0, Q) ist. ¡e«[0,l] Da Q+ ¡2: Q ist, genügt es (nach dem Vergleichssatz), den Beweis für Q 0 zu führen. Mit v(x)=fQ(t)di+

{ J ^ 1

4

i r

! / S f < l

folgt

die

Beh. aus dem oben bewiesenen Kriterium. b) Analog folgt: Für ( 1 . 1 ) gilt N = 1 in (0, oo), wenn 00

/ Q+(t)dtSS

1/ix ist. Wie vorher genügt auch hier der Be-

X

CO

weis für Q 2g 0 . Ein geeignetes v ist v(x) = f Q(t)dt + II ix. Etwas allgemeiner gilt noch: * CO c) Wenn JQ(t)dt

konvergiert und ein y existiert, so daß

X

1/2

CO

y 5S 1 und für alle

^ x f Qdt ^y

x 6 (x 0 , oo) gilt:

— y — y2

— ys, dann ist N = 1 für (1.1) in J = (z 0 ,oo).

X

CO

r Zum Beweis verwenden wir v(x) = J Abschließend finden wir:

n

y Q{t)dt+J—.

X

OO 2 d) Es ist AT = 1 für ( 1 . 1 ) in J = (0, oo), wenn ( f Q(t)dt)

Q(x)

— 2 — ist, und es ist N = 1 in J* = (0, a), wenn (fQW)'

118

Oszillationsprobleme

Q(x) i S — | — ist. Zum Beweis nehmen wir im ersten Fall 2 / Q(t)dt

und im zweiten v(x) = — 2 /

v(x)

Q(t)dt.

4.3. Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation ^ Hier gilt zunächst: CO

Wenn j xQdx existiert, dann ist (1.1)nichtoszillatorisch und hat eine Lösung y, die gegen 1 konvergiert.

X

Beweis: Aus ( 1 . 1 ) folgt durch Integration y' =c2 — f Qydt Xt X X , und y = c1Jt~c2x—

/ / Q{r)ydx = cx + c2x — / (x—t)Qydt. X„ X, \y\ Xa F ü r x0 > 1 erhält man daraus —— L ^ (| c11 + | c 2 1) + x X r IVI f tlQldt + / I Q I I y I dt u n d d a h e r ^ J - i S (| c x | + | \)e l x' X X < c 3 . Das liefert / | Q (| y | dt < c3 / t \ Q \ dt. Folglich X„ X, existiert lim y' = C < oo. Ist C = 0 , so sind wir fertig. AnX—Kn dernfalls ist yx — x{l + o ( l ) ) eine Lösung von (1. 1). F ü r zwei linear unabhängige Lösungen ylt y2 ist die Wronskideterminante konstant und =)= 0. Ohne Einschränkung können wir y2 so wählen, daß W = 1 ist. Dann folgt aus y[ y2 — x ^ ViVt = 1 : Vi = Vi f T T • E s sei a;0 so groß, daß | o ( l ) | < 1 . * »i Wegen yx 2 = ar2(l + o ( l ) ) folgt y2 = 1 + o ( l ) . Das war die Beh. *) Weil die Negation einer notwendigen Bedingung für Oszillation hinreichend für Nichtoszillation und umgekehrt ist, genügte eine Bezeichnungsweise. Herkömmlicherweise wenden wir jedoch beide nebeneinander an.

Kriterien für Oszillation und Nichtoszülation

119

Das Beispiel y" + cx~2 y = 0 zeigt, daß die Bedingung 00

f xQdx

< oo keinesfalls notwendig f ü r die Nichtoszilla-

tion von ( 1 . 1 ) ist. Eines der wichtigsten Kriterien ist das folgende: Wenn { inf }

M

dann ist (1.1) oszillatorisch f ü r y„^ > oszillatorisch f ü r y*

und

^ nicht-


für 0

xx:

-^-j und oszillatorich

. E s sei nun y* < - | - , d. h.

[A.(*)] a [ G M - j £ , « ( * ) ]

< j

d. h. Q(x) [Ln{x)Y2+ | Sn^(x)

(3. 2)

120

Oszillationsprobleme

Die rechte Seite von (3. 2) stimmt mit Q aus (3.1) überein, wenn man dort yn =

setzt. Da (3. 2) für diesen Wert

nichtoszillatorisch ist, folgt mit dem Vergleichssatz die Behauptung. Ist aber yn^ >

, d. h. auch noch yn^ > -j- + 0),

so zeigt eine ähnliche Rechnung wie vorher ( t +

d

) V ^ -

2

+ T

-W*)

und nach S. 111 folgt die Behauptung. Mit Hilfe dieses Kriteriums beweist man (wobei wir Q(x)> 0 und K(x)^. 0 voraussetzen): a) Wenn lim

= M existiert, so ist (1.1) nicht-

oszillatorisch, wenn M > 2 und oszillatorisch, wenn ,

M< 2. b)

Wenn lim CO

i f KrHt = oo X-+ und lim K - 4 - (KQ)~ = M J a Co

existiert, so ist (1. 5) nichtoszillatorisch, wenn M > 2 und oszillatorisch, wenn M < 2.

Zu weitreichenden Kriterien kommt man, wenn man Bedingungen in Form von Integralen angeben kann. Durch den Integrationsprozeß werden kleine Unregelmäßigkeiten in den Koeffizientenfunktionen Q und K weitgehend ausgeglichen. Hier gilt zunächst: Hinreichend für den oszillatorischen Charakter (jetzt der allgemeineren Gleichung (1. 5)) sind bei positivem für 0 die Bedingungen

Q x^ix X X lim f Q(t)dt = oo und lim / K^i^dt = X

~*'°

X„

®-

>

-

0 0

X,

Beweis: Wir dividieren (1. 5) durch y und finden durch Integration

Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation

x9

121

x0

oder

X,

X0

Daher y'jy < 0 für große x. Nehmen wir nun an, die Beh. sei falsch für x^. x0, d . h . (1.5) sei nichtoszillatorisch. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir dann y > 0 für x 2: x1 > x0 annehmen. Also muß y' < 0 und ( m i t (1. 5) } — (Ky'Y > 0 sein für x^ixy. Für diese x gilt dann K{x^y'(x^) > K(x)y'(x) und wir erhalten X,

X,

y&z) — 2/Oi) = f y'dt < KixJy'ixJ Xi

/ K^dt

.

X,

Wegen y'(xj) — oo für . Das ist ein Widerspruch zu y(x)> 0. Ziemlich allgemein ist der folgende Satz: Die Dgl. (1. 5) ist nichtoszillatorisch, wenn K positiv und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (I) Es gibt eine endliche Zahl A, so daß für x ¡g a X

0 < A - f gilt.

X

Qgdt < 1 mit g(x) = 1 + f

a

K^dt

a

(II) Es gibt eine endliche Zahl B, so daß für X

00

0 < B + / Qhdt < 1 mit h(x) = / K^dt a

x^a gilt.

x

Beweis: Ist (I) erfüllt, so folgt die Beh. aus dem Vergleichssatz, weil g(x) eine nichtoszillatorische Lösung der Dgl. X

lK(A-fQgdt)y']'

+ Qy = 0

122

Oszillationsprobleme

ist. Wenn aber ( I I ) erfüllt ist, so ergibt sich die Beh. ebenfalls aus dem Vergleichssatz, weil h(x) eine nichtoszillatorische Lösung der Dgl. X

[K(B

+ / Qhdt)y']' + Qy = 0 a

ist. Unter Benutzung einer ähnlichen Beweismethode finden wir: Wenn es eine positive Zahl k gibt, so daß in [a, oo) entweder 1 - k + f k ^ i

- k - f k ^ g { x ) / Q d t = G(x)^ X

X

mit g(x) = 1 +

oder

/K^dt a

x

— k — Yk^h(x)

1 - k + Y k < , j

f Qdt = H(x) ^ a

oe mit h(x) = /

K-Ht

X

gilt, dann ist (1. 5) nicht oszillatorisch. Beweis: Gilt die erste Ungleichung, so ist X

00

z{x) = g"(x) exp { / X " 1 / Qdsdt } ^ a

t

'

eine nichtoszillatorische Lösung der Dgl. (.Kz')' + [Q -

^

2 = (Kz'Y + Qte = 0

Q1 ist für x S; a stetig. Weil 0 nur Werte im Intervall i2] annimmt, wobei t2 die beiden Wurzeln der Gleichung t2 + 2kt + k(k — 1) = 0 sind, gilt Q^Q für x^a. Also liefert der Vergleichssatz die Beh.

Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation

123

Gilt aber die zweite Ungleichung, so ist w(x)

=

(

exp | -

h*(x)

x

/

l

1

K -

f

1

a

Qdsdt

j

a

eine nichtoszillatorische Lösung der Dgl. (Kw')'

+

Q

i

^ J p

w

=

0

.

Alles weitere verläuft wie vorher. Definiert man G und H wie im vorigen Satz, so kann man folgendes Oszillationskriterium behaupten: Die

Dgl.

1/4
0

und

f fxr2dx für eine positive, monoton nicht abnehmende 1 oo Funktion / existiert, dann konvergiert f Q f d t . l Beweis: Wir multiplizieren die der Dgl. ( 1 . 1 ) zugeordnete Riccatische Dgl. mit f ( x ) und erhalten durch Integration b

b

b

v ( b ) j (b) -

v ( a ) f ( a ) - / v ( t ) d f + / fvHt + J fQ dt = 0. et a a und damit Mit (1. 7 ) folgt 0 0 für oo. Das erste Integral können wir folgendermaßen abschätzen: b

b

| / v ( t ) d f | ^ | / d f l ( t + c ) | = | t{b)l(b+e) a a b

- /(«)/(«

+

+ / f d t l ( t + c f |. a Da hier die rechte Seite für b -* oo konvergiert, ist die Konvergenz des ersten Integrals bewiesen. Also konvergiert

e)

Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation

125

auch das letzte Integral für oo. Das war behauptet. Wählen wir }(x) = 1, so ergibt sich also die Integralgleichung 2

v(x) = / v {t)dt+ f Q(t)dt. *

(3.5)

X

Wir finden zunächst: Dann und nur dann ist die Dgl. ( 1 . 1 ) nichtoszillatorisch, wenn (3. 5) für genügend große x lösbar ist. Beweis: Wenn ( 3 . 5 ) für x~2ta eine Lösung v(x) hat, so muß v positiv sein, weil beide Integranden in (3. 5) positiv sind. Ferner folgt unmittelbar aus (3. 5), daß v monoton nicht zunehmend ist und ( 1 . 6 ) genügt. Also ist y = z exp | j vdt | eine nichtoszillatorische Lösung von (1.1). »0 Die Notwendigkeit der Bedingung haben wir schon auf S. 112 bewiesen. Zur Vereinfachung der folgenden Beweise setzen wir CO

u(x) = xv(x) und g(x) = x f Qdl. Damit geht (3. 5) über in X

CO

u(x) = xfu2 t~2dt + g(x). Ferner führen wir noch

X

(3. 6)

lim ( } u(ic) = ( M und lim Í } ö(.k) = eina. l inf J w U* Unf J l g* Dann gilt: Wenn die Dgl. ( 1 . 1 ) nichtoszillatorisch ist, so folgt 0 , ^ 1 / 4 und g * ^ 1 . Beweis: Wenn ( 1 . 1 ) nichtoszillatorisch ist, hat ( 3 . 6 ) für genügend große x Lösungen u(x) und nach S. 113 folgt O Sí 0 : m * — e u(x) für x x0(e). Mithin ergibt sich

126

Oszillationsprobleme

x f u2t~2dt 5: x(u% — e) J t~2dt = u% — s. X

X

Wir addieren auf beiden Seiten dieser Ungleichung g(x) und bilden den Limes inferior. Das ergibt u* ^ u% + ¡Z*. Daraus folgt 5S 1/4, denn g kann nicht größer als das Maximum der Funktion y = x — x2 in [0,1] sein. Das ist aber 1/4. Beispiele zeigen, daß diese Abschätzungen die besten ihrer Art sind. Nach S. 122 folgt mit k = 1/2 und K = 1, daß g* < 1/4 hinreichend ist für die Nichtoszillation von (1.1). Entsprechend entnehmen wir dem Satz von S. 123 mit K = l , daß 1/4 hinreicht für die Oszillation von (1.1). Spezielle Nichtoszillationskriterien ergeben sich aus dem Kriterium von S. 116, das man auch in folgender Form aussprechen kann: Dann und nur dann ist eine lineare Dgl. 2. Ordnung nichtoszillatorisch, wenn es eine in [a, oo) stetig differenzierbare Funktion v gibt, die dort der Beziehung R(v) ^ 0 genügt. R ist der der Dgl. zugeordnete Biccatioperator. So folgt z. B. nach S. 117 (wenn man dort y = 1/2 setzt), das schon auf andere Weise gewonnene Resultat: CO

(1.1) ist nichtoszillatorisch, wenn

x f Qdt < 1 / 4 . °0

und

lim x - * c o

f Qclx konvergiert Xa

x

Es ergeben sich aber auch von den bisherigen Kriterien wesentlich verschiedene, wie z. B. das folgende, welches nicht unmittelbar aus dem Vergleichssatz abgeleitet werden kann: (1.1) ist nichtoszillatorisch, wenn sich Q in der Form Q(xj = Qx(x) + Q2(x) schreiben läßt, wobei lim Q1 < 0 (O

ist und

J Q2dx *0

X—>03

existiert.

Kriterien für Oszillation und Nichtoszillation

127

Zum Beweis setzen wir v(x) = J Q2dt und erhalten aus (1. 6) mit K = 1 CO X

Diese Ungleichung ist für große x richtig, weil die linke Seite gegen 0 konvergiert und Qi schließlich negativ ist. Bisher haben wir mit Hilfe des allgemeinen Kriteriums von S. 117 nur Nichtoszillationskriterien abgeleitet, indem wir eine geeignete Funktion v angaben, welche in [xa, oo) der Bedingung R(v) ^ 0 genügte. Dadurch, daß man die Annahme der Existenz eines solchen v(x) zum Widerspruch führt, lassen sich aber auch Oszillationskriterien gewinnen. So gilt: X Die Dgl. (1.1) ist oszillatorisch, wenn lim fQdt= oo ist. X,

Beweis: Nehmen wir an, die Beh. sei falsch. Dann muß für große x eine stetig differenzierbare Funktion v existieren, die R(v)f¿, 0 genügt. Durch Integration folgt daraus X

X

v(x)—v{x0)+'Jvidt-^—f

Qdt.

X.

Für x

oo strebt die rechte Seite gegen — oo. Das hat X

v(x) -»• — oo zur Folge. Weil aber f v2dt viel stärker als X,

| v(x) | divergiert, kann trotzdem die linke Seite nicht gegen — oo streben. Das ist ein Widerspruch. Ein enger Zusammenhang besteht zwischen Oszillationsproblemen und Randwertaufgaben. Wir zeigen das an einem einfachen Beispiel und verweisen zum ausführlichen Studium dieses Problems auf die Literatur (z. B. Z. Nehari, Trans. Am. Math. Soc. 85 (1957), p. 428).

128

Oszillationsprobleme

Gegeben sei die homogene selbstadjungierte Kandwertaufgabe u"

+

=

XQ{x)u

0;

u(a)

=

u'{b)

=

0

(4.1)

mit stetigem positivem Q in (0, oo). Dann gilt: Ist Xa der kleinste Eigenwert von (4.1), so ist (1.1) dann und nur dann nichtoszillatorisch, wenn bei festem a > 0 für alle b > a gilt A0 > 1. Beweis: Es sei (1.1) nichtoszillatorisch und y(x) eine Lösung. Deren größte Nullstelle sei a. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir y ' ( a ) > 0 annehmen. Auf S. 113 haben wir bereits bewiesen, daß dann y' > 0 ist für alle a. Mithin folgt aus (1.1) und (4.1) b 0
0 sein muß für > 1. Gehen wir nämlich von a aus, so ist y wegen y(a) — 0 und y'(a) > 0 in einer kleinen Umgebung rechts von a positiv, also y'(b) > 0. Strebt boo, so bleibt y'(b) solange positiv, wie y > 0 ist. y kann aber nur verschwinden, wenn vorher y' verschwindet. Das kann aber nicht eintreten. Also ist (1.1) nichtoszillatorisch, wenn für alle * > a gilt A0 > 1.

GESAMTVERZEICHNIS der

SAMMLUNG GÖSCHEN

J e d e r Band DM 3,60 • Doppelband DM 5,80

Stand Mai 1960

WALTER DE GRUYTER & CO., BERLIN W 3 5

Inhaltsübersicht Biologie Botanik Chemie Deutsche Sprache und Literatur Elektrotechnik Englisch Erd- und Länderkunde Geologie Germanisch Geschichte Griechisch Hebräisch Hoch- und Tiefbau Indogermanisch. Kristallographie Kunst Land* und Forstwirtschaft Lateinisch Maschinenbau Mathematik Mineralogie Musik Pädagogik Philosophie Physik Psychologie Publizistik Religionswissenschaften Romanisch Russisch Sanskrit Soziologie Statistik Technik Technologie Volkswirtschaft Vermessungswesen Wasserbau Zoologie

2

Seit» 13 13 12 6 15 7 8 14 7 5 8 8 18 7 14 5 14 8 16 9 14 4 3 3 11 3 9 4 7 8 8 3 9 15 12 9 18 17 14

Geisteswissenschaften Philosophie Einführung in die Philosophie von H. Leisegang f . 4. Auflage. 145 Seiten. 1960. (281) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmel f . 7., unveränderte Auflage. 177 Seiten. 1950. (500) Geschichte der Philosophie I : Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Leukippos. 2., erweiterte Auflage. 135 Seiten. 1953. (857) Iis Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W, Capelle. 2. T e i l . Von der Sophistlk bis zum Tode Piatons. 2., stark erweiterte Auflage. 144 Seiten. 1953. (858) III: Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 3. T e i l . Vom Tode Piatons bis zur Alten Stoa. 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (859) IV: Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 4. T e i l . Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus im 1. J b . v. Chr. 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (863) V : Die P h i l o s o p h i e d e s M i t t e l a l t e r s von J. Koch. In Vorbereitung. (826) V I : Von der R e n a i s s a n c e b i s K a n t von K. Schilling. 234 Seiten. 1954. (394/394 a) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. In Vorbereitung. (536) VIII: Die P h i l o s o p h i e des 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 1. T e i l . 151 Seiten. 1953. (571) I X : Die P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 2. T e i l . 168 Seiten. 1953. (709) X : Die P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s I von G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) X I : Die P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s II von G. Lehmann. 114 Seiten. 1960. (850) Die geistige Situation der Zeit (1931) von K. Jaspers. 5., unveränderter Abdruck der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seiten. 1960. (1000) Erkenntnistheorie von G. Kropp. I. Teil: A l l g e m e i n e G r u n d l e g u n g . 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P. Lorenzen. 165 Seiten. 1958. (1176/1176 a) Philosophisches Wörterbuch von M . Apel f . 5., völlig neubearbeitete Auflage von P. Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031 a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M. Landmann. 266 Seiten. 1955. (156/156 a)

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer. 14. Auflage von Heinz Weimer. 1960. In Vorbereitung. (145) Therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeldt. Mit einer Einführung von C. G. Jung. 3. Auflage. 152 Seiten. 1956. (1034)

3

GEISTESWISSENSCHAFTEN Allgemeine Psychologie von Th. Erismann. 3 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : G r u n d p r o b l e m e . 146 Seiten. 1958. (831) II: C r u n d a r t e n d e s p h y s i s c h e n G e s c h e h e n s . 272 Seiten. 1959. (832/832a) III: P s y c h o l o g i e d e r P e r s ö n l i c h k e i t . In Vorbereitung (833) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 6. Auflage. 175 Seiten. 1960.(101) Sozialpsychologie von P. R. Hafstätter. 181 Seiten, 15 Abbildungen, 22 Tabellen. 1956. (104/104 a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede f. 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 120 Seiten. 1956. (103)

Religionswissenschaften Jesus von M. Dibelius f . 3. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G. Kümmei. 140 Seiten. 1960. (1130) Paulus von M . Dibelius f . Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. 1956. (1160) Luther von F. Lau. 151 Seiten. 1959. (1187) Melanchthon von R. Slupperich. 139 Seiten. 1960. (1190) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n. Chr.) von E. L. Ehrlich. 158 Seiten, 1 Tafel. 1958. (231/231a) Römische Religionsgeschichte von F. Altheim. 2 Bände. 2., umgearbeitete Auflage. I : G r u n d l a g e n u n d G r u n d b e g r i f f e . 116 Seiten. 1956. (1035) I I : Der g e s c h i c h t l i c h e A b l a u f . 164 Seiten. 1956. (1052)

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1953. (344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Auflage. 136 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bände. I : D e r c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. Auflage. 223 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1148) I I : Ü b u n g e n im d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d im K a n o n . 137 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1957. (1164/1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispiclen. 1955. (220/220a) Harmonielehre von II. J. Moser. 2 Bände. I : 109 Seiten. Mit 120 Notenbeispielen. 1954. (809) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 Seiten. 1953. (170) Die Musik des 20. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 1960. In Vorbereitung. (171/171a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J . Moser. 3., durchgesehene und verbesserte Auflage. 144 Seiten, 5 Figuren sowie Tabellen und Notenbeispiele. 1954. (576/576 a)

4

GEISTESWISSENSCHAFTEN Die Kunst des Dirigieren« von H. W. von Wolfershausen f . 2., vermehrte Auflage. 138 Seiten. Mit 19 Notenbeispielen. 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K. Schubert f . 3. Auflage. 110 Seiten. Mit Notenbeispielen. 1954. (1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bände. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. I : V o r z e i t , A n t i k e , M i t t e l a l t e r . 136 Seiten, 94 Abbildungen. 1958. (80) I I : S p ä t m i t t e l a l t e r u n d N e u z e i t . 150 Seiten, 88 Abbildungen. 1958. (781) Archäologie von A. Rumpf. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , h i s t o r i s c h e r Ü b e r b l i c k . 143 Seiten, 6 Abbildungen, 12 Tafeln. 1953. (538) I I : D i e . A r c h ä o l o g e n s p r a c h e . Die antiken Reproduktionen. 136 Seiten, 7 Abbildungen, 12 Tafeln. 1956. (539)

Geschichte Einführung In die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 3., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1959. (270) Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzeit für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann f . 3. Auflage, durchgesehen von K. Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bände. 4. Auflage der Kultur der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I : D i e v o r m e t a l l i s c h e n K u l t u r e n . (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen in anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Abbildungen. 1950. (564) I I : D i e ä l t e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Der Beginn der Metall benutzung. Kupferund Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen 1950.(565) I I I : D i e j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als Kulturmetall, HallstattLatene-Kultur in Europa. Das erste Auftreten des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit*' von M . Hoernes. 125 Seiten, 47 Abbildungen. 1949.(42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Haller f . 3. Auflage, durchgesehen von H. Donnenbauer. 120 Seiten. 6 Kartenskizzen. 1957. (1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von J. Haller f . 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 Karten. 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und Emporkommen der Landesstaaten (1250—1519) von J. Haller f . 2., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 129 Seiten. 1951. (1105) Deutsche Geschichte von 1648—1740. Politischer und geistiger Wiederaufbau von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806 von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1807—1890 von W. Treue. In Vorbereitung. (893)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutschen Geschichte im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K. Jacob f . 3 Bände. I : E i n l e i t u n g . A l l g e m e i n e r T e i l . Die Zeit der K a r o l i n g e r . 6. Auflage, bearbeitet von H. Hohenleutner. 127 Seiten. 1959. (279) I I : Die K a i s e r z e i t (911—1250). 5., neubearbeitete Auflage von H. Hohenleutner. 1960. In Vorbereitung. (280) III: D a s S p ä t m i t t e l a l t e r (vom Interregnum bis 1500). Herausgegeben von F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284) Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I : b i s 1 8 1 5 . 3., stark umgearbeitete Auflage. 135 Seiten, 7 Stammtafeln, 2 Karten. 1952. (375) I I : Von 1815 b i s 1910. 2., völlig umgearbeitete Auflage. 118Seiten, 1 Stammtafel, 7 Karten. 1954. (1088) Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : B i s zur S c h l a c h t bei P y d n a (168 v. Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) I I : B i s z u r S c h l a c h t bei A c t i u m (31 v. Chr.). 129 Seiten. 1956. (677) III: B i s z u r S c h l a c h t an der M i l v i s c h e n B r ü c k e (312 n. Chr.). 148 Seiten. 1958. (679) IV: B i s zur S c h l a c h t a m Y a r m u k (636 n. Chr.). In Vorbereitung. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf tu Stolberg-Wer nigerode. 192 Seiten, 10 Karten. 1956. (1051/1051a)

Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 3. Auflage, besorgt von W. Fleischhauer. 128 Seiten. 1958. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 219 Seiten. 1953. (200/200a) Deutsche Wortkunde. Eine kulturgeschichtliche Betrachtung des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 4. Auflage von W.Mitzka. 123 Seiten. 1960. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige Umarbeitung der 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) Stimmkunde für Beruf, Kunst und Heilzwecke von H. Biehle. I I I Seiten 1955. (60) Redetechnik. Einführung in die Rhetorik von H. Biehle. 115 Seiten. 1954. (61) Sprechen und Sprachpflege (Die Kunst des Sprechens) von H. Feist. 2., verbesserte Auflage. 99 Seiten, 25 Abbildungen. 1952. (1122) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zeit von H. Naumann f . (Deutsche Literatur vom 5.—13. Jahrhundert.) 2., verbesserte Auflage. 166 Seiten. 1952. (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzeit von G. Müller (1270 bis 1700). 2., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1949. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklarung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. Vietar f . 3-, durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Der Nibelunge Not in Auswahl mit kurzem Wörterbuch von K. Langosch. 10., durchgesehene Auflage. 164 Seiten. 1956. (1) Kudrun und Dietrich-Epen in Auswahl mit Wörterbuch von 0. L. Jiriczek. 6. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 173 Seiten. 1957. (10) Wolfram von Eschenbacb. Parzival. Eine Auswahl mit Anmerkungen und Wörterbuch von H. Jantzen. 2. Auflage, bearbeitet von H. Kolb. 128 Seiten. 1957. (921) Hartmann von Aue. Der arme Heinrich nebst einer Auswahl aus der „Klage , dem „Gregorius" und den Liedern (mit einem Wörterverzeichnis) herausgegeben von F. Maurer. 96 Seiten. 1958. (18) Gottfried von Strassburg in Auswahl herausgegeben von F. Maurer. 142 Seiten. 1959. (22) Die deutschen Personennamen von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. Grammatik und Texte von H. Naumann f und W. Bets. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 156 Seiten. 1954. (1111) Mittelhochdeutsche Grammatik von H. de Boor und R. Wisniewski. 2., verbesserte und ergänzte Auflage. 142 Seiten. 1960. (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. 3., neubearbeitete Auflage. I: E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 106 Seiten. 1958. (59) II: F o r m e n l e h r e . 124 Seiten. 1959. (64) Gotisches Elementarbueh. Grammatik, Texte mit Übersetzung und Erläuterungen. Mit einer Einleitung von ff. Hempel. 2., umgearbeitete Auflage. 165 Seiten. 1953.(79) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 4.» überarbeitete Auflage. 147 Seiten. 1960. (238) II: F o r m e n l e h r e . 3., neubearbeitete Auflage. 149 Seiten. 1957. (780) Altnordisches Elementarbuch. Schrift, Sprache, Texte mit Übersetzung und Wörterbuch von F. Ranke. 2., durchgesehene Auflage. 146 Seiten. 1949. (1115)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbueh von M. Lehnert. Einführung, Grammatik, Texte mit Übersetzung und Wörterbuch. 4., verbesserte Auflage. 178 Seiten. 1959. (1125) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. Ekwail. 3.» durchgesehene Auflage. 150 Seiten. 1956. (735) Englische Phonetik von H. Mutachmann f , 117 Seiten. 1956. (601) Englische Literaturgeschichte von F. Schubel. 4 Bände. I: Die a l t - und m i t t e l e n g l i s c h e Periode. 163 Seiten. 1954. (1114) II: Von der Renaissance bis zur A u f k l ä r u n g . 160 Seiten. 1956. (1116) III: R o m a n t i k und V i k t o r i a n i s m u s . 160 Seiten. 1960. (1124)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Beowulf von M. Lehnert. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung» Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. 3., verbesserte Auflage. 135 Seiten. 1959. (1135) Shakespeare von P. Meißner f . 2. Auflage, neubearbeitet von M. Lehnert. 136 Seiten. 1954. (1142) Italienische Literaturgeschichte von K. Voßler f . 5. Auflage, neubearbeitet von A. Noyer- Weidner. In Vorbereitung. (125) Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d V o k a l i s m u s . 160 Seiten. 1956. (I28/128a) I I : K o n s o n a n t i s m u s . 95 Seiten. 1956. (250)

Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t s y s t e m , E t y m o l o g i e . 160 Seiten. 1954. (117) I I : W o r t b i l d u n g u n d F o r m e n l e h r e . 192 Seiten. 1959. (118/118a) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bände. I : B i s z u m A u s g a n g der k l a s s i s c h e n Zeit von 0. Hoffmann f . 3. Auflage, bearbeitet von A. Debrunner f . 156 Seiten. 1953. (111) I I : G r u n d f r a g e n u n d G r u n d z ü g e des n a c h k l a s s i s c h e n G r i e c h i s c h von A. Debrunner f . 144 Seiten. 1954. (114) Grammatik der neugriechischen Volkssprache von J. Kalitsunakis. 3., völlig neu« bearbeitete und erweiterte Auflage. 1960. In Vorbereitung. (756/756a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J. Kalitsunakis. 2. Auflage, bearbeitet von A. Steinmetz. 99 Seiten. 1960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz f . 3., stark umgearbeitete Auflage von A. Debrunner f . 136 Seiten. 1953. (492)

Hebräisch, Sanskrit, Russisch Hebräische Grammatik von C. Beer f . 2 Bände. 2., völlig neubearbeitete Auflage von Ä. Meyer. I : S c h r i f t - , L a u t - u n d F o r m e n l e h r e I. 157 Seiten. 1952. (763/763a) I I : F o r m e n l e h r e II. Syntax und Flexionstabellen. 195 Seiten. 1955. (764/ 764 a) Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, Hebräische Grammatik von R. Meyer, 170 Seiten. 1960. (769/769 a) Sanskrit-Grammatik von M . Mayrhofer. 89 Seiten. 1953. (1158) Russische Grammatik von E. Berneker f . 6., unveränderte Auflage von M. Vasmer. 155 Seiten. 1947. (66)

Erd- und Länderkunde Afrika von F. Joeger. Ein geographischer Überblick. 2 Bände. 2., umgearbeitete Auflage. I : Der L e b e n s r a u m . 179 Seiten, 18 Abbildungen. 1954. (910) II: Mensch u n d K u l t u r . 155 Seiten, 6 Abbildungen. 1954. (911) Australien und Ozeanien von H. J. Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik Allgemeine Betriebswirtschaftslehre von K. Mellerowicx. 4 B ä n d e . 10., erweiterte und veränderte A u f l a g e . I : 224 Seiten. 1958. (1008/1008a) I I : 188 Seiten. 1959. (1153/1153a) I I I : 260 Seiten. 1959. (1154/1154a) I V : 209 Seiten. 1959. (1186/1186a) Diese 4 B ä n d e sind auch in Ganzleinen gebunden zum Preise von j e D M 6,30 lieferbar. Allgemeine Volkswirtschaftslehre von A. Paulsen. 4 B ä n d e . I : G r u n d l e g u n g , W i r t s c h a f t s k r e i s l a u f . 3., durchgesehene und ergänzte A u f l a g e . 148 Seiten. 1959. (1169) I I : H a u s h a l t e , U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 3., neubearbeitete A u f l a g e . 166 Seiten, 32 Abbildungen. 1960. (1170) I I I : P r o d u k t i o n s f a k t o r e n . 190 Seiten. 1959. (1171) I V : G e s a m t b e s c h ä f t i g u n g , K o n j u n k t u r , W a c h s t u m . 172 Seiten. 1960. (1172) Finanswissenschaft von ff. Kolms. 4 B ä n d e . I : G r u n d l e g u n g , ö f f e n t l i c h e A u a g a b e n . 160 Seiten. 1959. (148) II: E r w e r b sein k ü n f t e , G e b ü h r e n und B e i t r ä g e ; Allgemeine Steuerl e h r e . 148 Seiten. 1960. (391) I I I : B e s o n d e r e S t e u e r l e h r e . In Vorbereitung. (776) I V : ö f f e n t l i c h e r K r e d i t . H a u s h a l t s w e s e n . F i n a n z a u s g l e i c h . In Vorbereitung. (782) F i n a i m n a t h e m a t i k von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 T a f e l n , 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Industrie- und Betriebssoziologie v o n R. Dahrendorf. 120 Seiten. 1956. (103) Psychologie des B e r u f s - und Wirtschaftslebens von W. Moede f . 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Allgemeine MethodenJehre der Statistik von J . Pfanzagl. 2 B ä n d e . I : E l e m e n t a r e Methoden unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. 205 Seiten, 35 Abbildungen. 1960. (746/746 a ) I I : H ö h e r e Methoden unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen in N a t u r w i s s e n s c h a f t , Medizin und Technik. In Vorbereitung. Zeitungslehre von E. Dovifat. 2 B ä n d e . 3., neubearbeitete A u f l a g e . I: T h e o r e t i s c h e und rechtliche G r u n d l a g e n — N a c h r i c h t und Mein u n g — S p r a c h e u n d F o r m . 148 Seiten. 1955. (1039) II: H e d a k t i o n — Die S p a r t e n ¡Verlag und Vertrieb, Wirtschaft und T e c h n i k , S i c h e r u n g d e r ö f f e n t l i c h e n A u f g a b e . 158 Seiten. 19S5. (1040)

Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der Mathematik v o n J . E. Hof mann. 3 B ä n d e . I: Von den Anfängen bis zum Auftreten von F e r m a t und Desc a r t e s . 200 Seiten. 1953. (226) II: Von F e r m a t und D e s c a r t e s bis zur E r f i n d u n g des Calculus u n d b i s z u m A u s b a u d e r n e u e n M e t h o d e n . 109 Seiten. 1957. (875) III: Von den A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n um den C a l c u l u s bis zur franz ö s i s c h e n R e v o l u t i o n . 107 Seiten. 1957. (882)

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NATURWISSENSCHAFTEN Mathematische Formelsammlung von F. Ringleb. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe des Werkes von 0. Th. Bürklen f . 7., erweiterte Auflage. 320 Seiten, 37 Figuren. 1960. (51/51 a) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. Schubert und R. Hauasner, 2. Auflage. 156 Seiten. 1960. (81) Fünfstellige Logarithmen von A. Adler. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlenwerten. 3. Auflage. 127 Seiten, 1 Tafel. 1959. (423) Arithmetik von P. B. Fischer f . 3. Auflage von H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 Abbildungen. 1958. (47) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I : L i n e a r e G l e i c h u n g e n . 152 Seiten. 1957. (931) I I : G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s . 158 Seiten, 5 Figuren. 1958. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra von H. Haaae und W. Klobe. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 181 Seiten. 1952. (1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt von W. Krull. 2 Bände. I : 2., erweiterte Auflage. 136 Seiten. 1952. (930) I I : 132 Seiten. 1959. (933) Einführung in die Zahlentheorie von A. Scholz f . Überarbeitet und herausgegeben von B. Schoeneberg. 2. Auflage. 128 Seiten. 1955. (1131) Formale Logik von P. Loremen. 165 Seiten. 19S8. (1176/1176 a) Topologie von W. Frans. 2 Bände. 1960. In Vorbereitung. (1181, 1182) Elemente der Funktionentheorie von K. Knopp f . 5. Auflage. 144 Seiten, 23 Fig. 1959. (1109) Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. I: Grundlagen der a l l g e m e i n e n Theorie der a n a l y t i s c h e n Funkt i o n e n . 9., neubearbeitete Auflage. 144 Seiten, 8 Figuren. 1957. (668) II: A n w e n d u n g e n und W e i t e r f ü h r u n g der a l l g e m e i n e n Theorie. 8./9. Auflage. 130 Seiten, 7 Figuren. 1955. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 5. Auflage. I : A u f g a b e n zur e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 135 Seiten. 1957. (877) I I : A u f g a b e n zur h ö h e r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 144 Seiten. 1959. (878) Differential- und Integralrechnung von M. Barner. (Früher IVitting). 4 Bände. In Vorbereitung. Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 129 Seiten. 1956. (920) Partielle Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 130 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 3., durchgesehene und verbesserte Auflage. 124 Seiten. 1958. (1059) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., durchgesehene Auflage. 1960. In Vorbereitung. (1099) Mengenlehre von E. Kamke. 3., neubearbeitete Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1955. (999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 3., neubearbeitete Auflage. 110 Seiten 3 Tafeln. 1958. (837)

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NATURWISSENSCHAFTEN Ebene und sphärische Trigonometrie von G. Hessenberg f . 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I: Die w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . G r u n d - und A u f r i ß e b e n f l ä c h i g e r K ö r p e r . 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. 113 Seiten, 120 Abbildungen. 1960. (142) II: K ö r p e r mit k r u m m e n Begrenzungsflächen. K o t i e r t e P r o j e k t i o n e n . 2., durchgesehene und ergänzte Auflage. 129 Seiten, 86 Abbildungen. 1959. (143) I I I : A x o n o m e t r i e u n d P e r s p e k t i v e . 127 Seiten, 100 Abbildungen. 1957. (144) Analytische Geometrie von K. P. Gr olemeyer. 202 Seiten, 73 Abbildungen. 1958. (65/65 a) Nich{euklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. Baldus f . Durchgesehen und herausgegeben von F. Lob eil. 3.« verbesserte Auflage. 140 Seiten, 70 Figuren. 1953. (970) Differentialgeometrie von K. Strubecker (früher Rothe). 3 Bände. I : K u r v e n t h e o r i e d e r E b e n e u n d d e s R a u m e s . 150 Seiten, 18 Figuren. 1955. (1113/1113 a) I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n m e t r i k . 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) I I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g . 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/U80a) Variationsrechnung I von L. Koschmieder. 2., verbesserte Auflage. Mit 23 Figuren. I n Vorbereitung. (1074) Einführung in die konforme Abbildung von L. Bieberbach, 5., erweiterte Auflage. 180 Seiten, 42 Figuren. 1956. (768/768a) Vektoren nnd Matrizen von S. Valentiner. 8., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis". Mit Anhang: Aufgaben zur Vektorrechnung von H. König. 202 Seiten, 35 Figuren. 1958. (354/354 a) Versieheriukgsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I : E l e m e n t e d e r V e r s i c h e r u n g s r e c h n u n g . 3., vermehrte und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten. 1953. (180) I I : L e b e n s v e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k . Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917a) Finananathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959.(1183/1183 a)

Physik Einführmtg in die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I : M e c h a n i k . 2., verbesserte Auflage. 123 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (76) I I : D a s e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d . 122 Seiten, 15 Abbildungen. 1955. (77) I I I : O p t i k . 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1956. (78) I V : T h e r m o d y n a m i k . 107 Seiten, 9 Abbildungen. 1956. (374) V : S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 114 Seiten, 12 Abbildungen. 1957. (1017) Mechanik defor mi er bar er Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Abbildungen. 1960. (1189/1189a) Atomphysik von K. Bechert und Ch. Gerthsen f . 7 Bände. I : A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 1. T e i l . 4., durchgesehene Auflage von A. Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) I I : A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 2. T e i l . 3., umgearbeitete Auflage. 122 Seiten, 48 Abbildungen. 1955. (1033)

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NATURWISSENSCHAFTEN I I I : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 1. T e i l . 3., umgearbeitete A u f l a g e . 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1954. (1123/1123a) I V : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 2. T e i l . 3., umgearbeitete A u f l a g e . 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1954. (1165/1165 a ) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 3., durchgesehene und ergänzte A u f l a g e . 148 Seiten, 16 Figuren. 1958. (1070) Physikalische F o r m e l s a m m l u n g von G. u. K. Mahler. 11. A u f l a g e , neubearbeitet von H. Graewe. 69 Figuren. 1960. In V o r b e r e i t u n g (136) Physikalische A u f g a b e n s a m m l u n g von G. Mahler f . Neubearbeitet von K. Mahler. Mit den Ergebnissen. 10., durchgesehene A u f l a g e . 127 Seiten. 1959. (243)

Chemie Geschichte der Chemie in kurzgefaßter Darstellung von G. Lockemann. 2 B ä n d e . I : V o m A l t e r t u m b i s z u r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s . 142 Seiten, 8 Bildnisse. 1950. (264) I I : V o n d e r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s b i s z u r G e g e n w a r t . 151 Seiten, 16 Bildnisse. 1955. (265/265 a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 11. A u f l a g e . 185 Seiten, 18 Abbildungen. 1960.(37) Organische Chemie von W. Schlenk. 8., erweiterte A u f l a g e . 272 Seiten, 16 Abbildungen. 1 9 6 0 . ( 3 8 / 3 8 a) Physikalische Methoden der Organischen Chemie v o n G. Kresze. 1960. In Vor« bereitung. (44) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 B ä n d e . I : 5.« durchgesehene A u f l a g e . 139 Seiten, 10 Figuren. 1960. (71) I I : 4., neubearbeitete A u f l a g e . 176 Seiten, 37 Figuren. 1956. ( 6 9 8 / 6 9 8 a ) Molekttlban. Theoretische Grundlagen und Methoden der S t r u k t u r e r m i t t l u n g von W. Schuhe. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben v o n E. Aamus. 3., verbesserte A u f l a g e . 96 Seiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und P r a x i s der klassischen und der elektrochemischen Titrier» verfahren von G. Jander und K. F. Jahr. 8., durchgesehene und ergänzte A u f l a g e . 313 Seiten, 49 Figuren. 1959. ( 2 2 1 / 2 2 1 a ) Qualitative Analyse v o n H. Hofmann u. G. Jander. 5 Abbildungen. 1960. I n V o r b e r e i t u n g . (247/247 a) Thermochemie von W. A. Roth f . 2., verbesserte A u f l a g e . 109 Seiten, 16 Figuren. 1952.(1057) Stochiometrische A u f g a b e n s a m m l u n g von W. Bahrdt f und R. Scheer. Mit den Ergebnissen. 7., durchgesehene A u f l a g e . 119 Seiten. 1960. (452)

Technologie Die Chemie der K u n s t s t o f f e von K. Hamann, unter Mitarbeit von XV. Funke und H. D. Hermann. 143 Seiten. 1960. (1173) Warenkunde von K. Hassak und E. Beutel f . 2 B ä n d e . I : A n o r g a n i s c h e W a r e n s o w i e K o h l e u n d E r d ö l . 8. A u f l a g e . Neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958. (222) I I : O r g a n i s c h e W a r e n . 8. A u f l a g e . Vollständig neubearbeitet von A. Kutselnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1-J59. (223)

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NATURWISSENSCHAFTEN Die Fette und ö l e von K. Braun f . 5., völlig neubearbeitete und verbesserte Auflage v o n Th. Klug. 145 Seiten. 1950. (335) Die Seifenfabrikation von K. Braun f . 3., neubearbeitete und verbesserte A u f l a g e von Th. Klug. 116 Seiten, 18 Abbildungen. 1953. (336) Textilindustrie von A. Blümcke. I : S p i n n e r e i u n d Z w i r n e r e i . I I I Seiten, 43 Abbildungen. 1954. (184)

Biologie E i n f ü h r u n g In die allgemeine Biologie und ihre philosophischen Grund- und Grenz» fragen v o n M. Hartmann. 132 Seiten, 2 Abbildungen. 1956. (96) H o r m o n e von G. Koller. 2., neubearbeitete und erweiterte A u f l a g e . 187 Seiten, 60 Abbildungen, 19 Tabellen. 1949. (1141) Fortpflanzung i m Tier- und Pflanzenreich von J . Hämmerling. 2.« ergänzte A u f l a g e . 135.Seiten, 101 AbbUdungen. 1951. (1138) Geschlecht a n d Geschlechtsbestimmung i m Tier- und Pflanzenreich von M . Hart' mann. 2., verbesserte A u f l a g e . 116 S e i t e n , 61 Abbildungen, 7 Tabellen. 1951. (1127) Symbiose der Tiere m i t pflanzlichen Mikroorganismen von P. Büchner. 2., verbesserte und vermehrte A u f l a g e . 130 Seiten, 121 A b b U d u n g e n . 1949. (1128) 2 Bände. GrundriB der Allgemeinen Mikrobiologie v o n W. u. A. Schwarti. 2 . , verbesserte und ergänzte A u f l a g e . I : 147 Seiten, 25 Abbildungen. 1 9 6 0 . (1155) I I : 1960. I n Vorbereitung. (1157)

Botanik Entwicklungsgeschichte de« Pflanzenreiches von ff. Heil. 2. A u f l a g e . 138 Seiten, 94 Abbildungen, 1 T a b e l l e . 1950. (1137) Morphologie der Pflanzen v o n L . Geitler. 3., umgearbeitete A u f l a g e . 126 Seiten, 114 AbbUdungen. 1953. (141) Pflanzengeographie v o n L. Diel» f . 5., völlig neubearbeitete A u f l a g e v o n F. Mattick. 195 S e i t e n , 2 K a r t e n . 1958. (389/389 a ) Die L a a k h ö l z e r . K u r z g e f a ß t e Beschreibung der in Mitteleuropa gedeihenden L a u b b ä u m e und Sträucher v o n F. W. Neger f und E. Münch f . 3., durchgesehene A u f l a g e , herausgegeben von B. Huber. 143 Seiten, 63 Figuren, 7 Tabellen. 1950.(718) Die Nadelhölzer ( K o n i f e r e n ) und übrigen Gymnospermen von F. W. Neger f und E. Münch f . 4. A u f l a g e , durchgesehen und ergänzt von B. Huber. 140 Seiten, 75 Figuren, 4 Tabellen, 3 K a r t e n . 1952. (355) Pflanzenzüchtung v o n H. Kuckuck. 2 B ä n d e . I : G r u n d z ü g e d e r P f l a n z e n z ü c h t u n g . 3., völlig umgearbeitete und erweiterte A u f l a g e . 132 Seiten, 22 Abbildungen. 1952. (1134) I I : S p e z i e l l e g a r t e n b a u l i c h e P f l a n z e n z ü c h t u n g (Züchtung von Gem ü s e , Obst und Blumen). 178 Seiten, 27 Abbildungen. 1957. ( 1 1 7 8 / l l ? 8 a )

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NATURWISSENSCHAFTEN

Zoologie Entwicblnngsphysiologie der Tiere von F. Seidel. 2 Bünde. I: Ei u n d F u r c h u n g . 126 Seiten, 29 Abbildungen. 1953. (1162) II: K ö r p e r g r u n d g e s t a l t u n d Organ b i l d u n g . 159 Seiten, 42 Abbildungen. 1953. (1163) D u Tierreich I: E i n z e l l e r , P r o t o z o e n von E. Reicherunc. 115 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. (444) II: S c h w ä m m e und H o h l t i e r e von H. J. Bannemann. 95 Seiten, 80 Abbildungen. 1956. (442) III: W ü r m e r . Platt-, Hohl-, Schnurwürmer, Kamptozoen, Ringelwürmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von 5. Jaeckel. 114 Seiten, 36 Abbildungen. 1955. (439) IV, 1: K r e b s e von H. E. Gruner und K. Deckerl. 114 Seiten, 43 Abbildungen. 1956. (443) IV, 2: S p i n n e n t i e r e (Trilobitomorphen, Fühlerlose) u n d T a u s e n d f ü ß l e r von A. Kaestner. 96 Seiten, 55 Abbildungen. 1955. (1161) IV, 3: I n s e k t e n von H. vonLengerken. 128 Seiten, 58 Abbildungen. 1953. (594) V: W e i c h t i e r e . Urmollusken, Schnecken, Muscheln und Kopffüßer von S. Jaeckel. 92 Seiten, 34 Abbildungen. 1954. (440) VI: S t a c h e l h ä u t e r . Tentakulaten, Binnenatmer und Pfeilwürmer von S. Jaeckel. 100 Seiten, 46 Abbildungen. 1955. (441) VII, 2: F i s c h e von D. Lüdemann. 130 Seiten, 65 Abbildungen. 1955. (356) VII, 3: L u r c h e (Chordatiere) von K. Herler. 143 Seiten, 129 Abbildungen. 1955. (847) VII, 4: K r i e c h t i e r e (Chordatiere) von K. Herlsr. 200 Seiten, 142 Abbildungen. 1960. (447/447a) VII, 5: V ö g e l (Chordatiere) von H.-A. Freye. In Vorbereitung. (869) V t l , 6: S ä u g e t i e r e (Chordatiere) von Th. Haltenorth. In Vorbereitung. (282)

Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 Seiten, 11 Abbildungen. 1952. (228) Kulturtechnische Bodenverbesserungen von O. Fauser. 2 Bände. I: A l l g e m e i n e s , E n t w ä s s e r u n g . 5., verbesserte und vermehrte Auflage. 127 Seiten, 49 Abbildungen. 1959. (691) II: B e w ä s s e r u n g , Ö d l a n d k u l t u r , U m l e g u n g . 5., verbesserte und vermehrte Auflage. 1960. In Vorbereitung. (692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bände. I: P f l a n z e n e r n ä h r u n g . 143 Seiten. 1953. (329) I I : F u t t e r m i t t e l k ü n d e . 192 Seiten. 1956. (330/330a)

Geologie, Mineralogie, Kristallographie Mineral- and Eralagerstüttenkunde von H. Huttenlocher f . 2 Bände. I : 128 Seiten, 34 Abbildungen. 1954. (1014) II: 156 Seiten, 48 Abbildungen. 1954. (1015/1015a)

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NATURWISSENSCHAFTEN

Braunst, Allgemeine Mineralogie. 10., erweiterte A u f l a g e der „ M i n e r a l o g i e " von R. bearbeitet von K. F. Chudoba. 120 Seiten, 120 Figuren, 1 T a f e l , 3 Tabellen. 1958. (29) Spezielle Mineralogie* 10., erweiterte A u f l a g e der „Mineralogie* 1 von R.Brauns f, bearbeitet v o n K. F. Chudoba. 170 Seiten, 125 Figuren, 4 Tabellen. 1959. (31/31a) Petrographie (Gesteinskunde) v o n W. Bruhns f . Neubearbeitet von P. 5., erweiterte A u f l a g e . 141 Seiten, 10 Figuren. 1960. (173)

Ramdohr.

Kristallographie von W. Bruhn» f . 5. A u f l a g e , neubearbeitet von P. Ramdohr. 109 S e i t e n , 164 Abbildungen. 1958. (210) E i n f ü h r u n g in die Kristalloptik von E. Buchwald. 4..verbesserte A u f l a g e . 138 Seiten, 121 Figuren. 1952. (619)

Technik Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von M. Pirani. 3., erweiterte A u f l a g e bearbeitet v o n J . Fischer unter B e n u t z u n g der von I. Runge besorgten 2. A u f l a g e . 216 Seiten, 104 Abbildungen. 1957. (728/728 a ) Technische Tabellen und Formeln v o n W. Müller. 4., verbesserte und erweiterte A u f l a g e von E. Schulte. 152 Seiten, 105 Figuren. 1951. (579)

Elektrotechnik Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik v o n O. Mohr. 3 B ä n d e . I : D i e d r e i F e l d f o r m e n . 2. A u f l a g e . In Vorbereitung. (196) II: Die wichtigsten elektrischen und physikalischen Gründerschei• n u n g e n . 95 Seiten, 36 Abbildungen, 7 T a f e l n . 1956. (197) I I I : S c h a l t v o r g ä n g e , W i d e r s t a n d s f o r m e n , M e ß t e c h n i k . 91 Seiten, 59 A b b i l d u n g e n , 1 T a f e l . 1956. (198) Die Gleichstrommaschine von K. Humburg. 2 B ä n d e . 2.» durchgesehene A u f l a g e . I : 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. (257) I I : 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. (881) Die synchrone Maschine von K. Humburg. Neudruck.' 109 Seiten, 78 Abbildungen. 1951. (1146) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte A u f l a g e . 142 Seiten, 49 Abbildungen. 1954. (1140) Die komplexe Berechnung von 'Wechselstromschaltungen v o n H. H. Meinke. 2. A u f l a g e . 180 Seiten, 120 Abbildungen. 1957. (1156/1156a) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte von F. Kesselring. 3. A u f l a g e . 144 Seiten, 92 Abbildungen. 1950. (711) E i n f ü h r u n g in die Technik selbsttätiger Regelungen von W. zur Megede. 176 Seiten, 86 Abbildungen. 1956. ( 7 1 4 / 7 1 4 a )

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TECHNIK Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) von A. Schwaiger. 3., neubearbeitete Auflage. 96 Seiten, 34 Abbildungen. 1952. (827) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. druck. 122 Seiten, 98 Abbildungen. 1950. (1132)

Durchgesehener Neu«

Maschinenbau Metallkunde von H. Borchers. 2 Bände. I : A u f b a u der M e t a l l e u n d L e g i e r u n g e n . 4. Auflage. 120 Seiten, 90 Abbildungen, 2 Tabellen. 1959. (432) II: E i g e n s c h a f t e n , G r u n d z ü g e der F o r m « u n d Z u s t a n d s g e b u n g . 3. und 4. Auflage. 107 Abbildungen, 10 Tabellen. 1959. (433/433a) Die Werkstoffe des Maschinenbaues von A. Thum f und C. M. v. Meyaenbug. 2 Bände. I : E i n f ü h r u n g i n d i e W e r k s t o f f p r ü f u n g . 2., neubearbeitete Auflage. 100 Seiten, 7 Tabellen, 56 Abbildungen. 1956. (476) II: D i e K o n s t r u k t i o n s w e r k s t o f f e . 132 Seiten, 40 Abbildungen. 1959.(936) Dynamik von W. Müller. 2 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : D y n a m i k d e s E i n z e l k ö r p e r s . 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) I I : S y s t e m e von s t a r r e n K ö r p e r n . 102 Seiten, 41 Figuren. 1952. (903) Technische Schwingungslehre von L. Zipperer. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : A l l g e m e i n e S c h w i n g u n g s g l e i c h u n g e n , e i n f a c h e S c h w i n g e r . 120 Seiten, 101 Abbildungen. 1953. (953) II: T o r s i o n s s c h w i n g u n g e n in M a s c h i n e n a n l a g e n . 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1955. (961/961 a) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung von K. P. Matthes. 2 Bände. I: 100 Seiten, 27 Abbildungen, 11 Zahlentafeln, 1 Tafelanhang. 1954. (561) II: F e r t i g u n g s t e c h n i s c h e G r u n d l a g e n d e r n e u z e i t l i c h e n M e t a l l b e a r b e i t u n g . 101 Seiten, 30 Abbildungen, 5 Tafeln. 1955. (562) Transformatoren von W. Schäfer. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. 130 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (952) Da« Maschinenzeichnen mit Einführung in das Konstruieren von W. Tochtermann. 2 Bände. 4. Auflage. I : D a s M a s c h i n e n z e i c h n e n . 156 Seiten, 75 Tafeln. 1950. (589) II: A u s g e f ü h r t e K o n s t r u k t i o n s b e i s p i e l e . 130 Seiten, 58 Tafeln. 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende. 3., verbesserte Auflage. 166 Seiten, 175 Figuren, 9 Tafeln. 1956. (3/3 a) Die Maschinen der Eisenhüttenwerke von L. Engel. 156 Seiten, 95 Abbildungen. 1957.(583/583a) Walzwerke von H. Sedlaczek f unter Mitarbeit von F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 Abbildungen. 1958. (580/580 a) Getriebelehre von P. Grodxinski f . 2 Bände. I : G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n . 3. Auflage, durchgesehen von G. Lechner. 159 Seiten, 142 Figuren. 1953. (1061)

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TECHNIK Gießereitechnik von H. Jungblutk. 2 Binde. I : E i s e n g i e ß e r e i . 126 Seiten, 44 Abbildungen. 1951. (1159) Die Dampfkessel and Feuerungen einschließlich Hilfseinrichtungen in Theorie« Konstruktion und Berechnung von W. Marcard f . 2 Bände. 2. Auflage, neubearbeitet von K. Beck. I: Die t h e o r e t i s c h e n G r u n d l a g e n , W ä r m e , V e r b r e n n u n g , W ä r m e ü b e r t r a g u n g . 150 Seiten, 42 Abbildungen, 16 Tabellen. 1951. (9) II: D a m p f k e s s e l . 147 Seiten, 43 Abbildungen. 1952. (521) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungsweise, Berechnung und Konstruktion von C. Zietemann. 3 Bände. 3., verbesserte Auflage. I: T h e o r i e der D a m p f t u r b i n e n . 139 Seiten, 48 Abbildungen. 1955. (274) II: D i e B e r e c h n u n g der D a m p f t u r b i n e n u n d d i e K o n s t r u k t i o n der E i n z e l t e i l e . 132 Seiten, 111 Abbildungen. 1956. (715) III: Die R e g e l u n g der D a m p f t u r b i n e n , d i e B a u a r t e n , T u r b i n e n f ü r S o n d e r z w e c k e , K o n d e n s a t i o n s a n l a g e n . 126 Seiten, 90 Abbildungen. 1956. (716) Verbrennungsmotoren von W. Endres. 3 Bände. I: Überblick. Motor-Brennstoffe. Verbrennung im Motor allgem e i n , im O t t o - u n d D i e s e l - M o t o r . 153 Seiten, 57 Abbildungen. 1958. (1076/1076a) II: Die h e u t i g e n T y p e n der V e r b r e n n u n g s k r a f t m a s c h i n e . In Vorbereitung. (1184) III: Die E i n z e l t e i l e d e s V e r b r e n n u n g s m o t o r s . In Vorbereitung. (1185) Autogenes Schweißen and Schneiden von H. Niese. 5. Auflage, neubearbeitet von A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) Die elektrischen Schweißverfahren von H. Niese. 2. Auflage, neubearbeitet von H. Dienet. 136 Seiten, 58 Abbildungen. 1955. (1020) Die Hebezeuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. 2., verbesserte Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414 a)

Wasserbau Wasserkraftanlagen von A. Ludin unter Mitarbeit von W. Borkenstein. 2 Bände. I : P l a n u n g , G r u n d l a g e n u n d G r u n d z ü g e . 124 Seiten, 60 Abbildungen. 1955. (665) I I : A n o r d n u n g u n d A u s b i l d u n g d e r H a u p t b a u werke. 184 Seiten, 91 Abbildungen. 1958. (666/666 a) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bände. I : E n t w u r f s g r u n d l a g e n , F l u ß r e g e l u n g e n . 103 Seiten, 52 Abbildungen. 1950. (585) II: F l u ß k a n a l i s i e r u n g u n d S c h i f f a h r t s k a n & l e . 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1950.(597) III: S c h l e u s e n und H e b e w e r k e . 98 Seiten, 70 Abbildungen. 1950. (1152) Wehr- und Stauanlagen von H. Dehnert. 134 Seiten, 90 Abbildungen. 1952. (965) Talsperren von F. Tölke. 122 Seiten, 70 Abbildungen. 1953. (1044)

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TECHNIK

Hoch- und Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaus von 0. Graf f . 4 . , verbesserte Auflage. 131 Seiten, 63 Abbildungen. 1953. (984) Bauatoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Kleinlogel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 126 Seiten, 35 Abbildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre« 2 Bände. I : E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t und F e s t i g k e i t der B a u s t o f f e und B a u t e i l e von W. Gehler f und W. Herberg. Durchgesehener und erweiterter Neudruck. 159 Seiten, 118 Abbildungen. 1952. (1144) I I : F o r m ä n d e r u n g , P l a t t e n , S t a b i l i t ä t u n d B r u c h h y p o t h e s e n von W. Herberg und N. Dimitrov. 187 Seiten, 94 Abbildungen. 1955. (1145/1145a) Grundlagen des Stahlbetonbaus von A. Troche. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 208 Seiten, 75 Abbildungen, 17 Bemessungstafeln, 20 Rechenbeispiele. 1953. (1078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 3 Bände. I : G r u n d l a g e n . 101 Seiten, 51 Abbildungen, 8 Formeltafeln. 1956. (119) I I : S t a t i s c h b e s t i m m t e S t a b w e r k e . 107 Seiten, 52 Abbildungen, 7 Tafeln. 1957. (120) I I I : S t a t i s c h u n b e s t i m m t e S y s t e m e . 1 1 2 S e i t e n , 3 4 Abbildungen,7Formeltafeln. 1958. (122) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerksgerechten Konstruktion von W. Wickop f . 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. 155 Seiten, 95 Abbildungen. 1 9 5 5 . ( 1 0 9 2 ) Heizung and Lüftung von W. Körting. 2 B i n d e . 9., neubearbeitete Auflage. I : D a s W e s e n und die B e r e c h n u n g der H e i z u n g s - und L ü f t u n g s a n l a g e n . 1960. In Vorbereitung. (342) I I : D i e A u s f ü h r u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 1960. In Vorbereitung. (343) Industrielle Kraft« und Wärmewirtschaft von F. A. F. Schmidt 167 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (318/318 a)

und A.

Becker».

Vermessungswesen Vermessungskunde von P. Werkmeister. 3 Bände. I : S t ü c k v e r m e s s u n g u n d N i v e l l i e r e n . 10., völlig neu bearbeitete Auflage von VT. Grossmann. 143 Seiten, 117 Figuren. 1958. (468) I I : H o r i z o n t a l a u f n a h m e n u n d e b e n e R e c h n u n g e n . 8., völlig neubearbeitete Auflage von W. Grosamann. 133 Seiten, 97 Figuren. 1959. (469) III: T r i g o n o m e t r i s c h e und b a r o m e t r i s c h e Höhenmessung. T a c h y m e t r i e u n d A b s t e c k u n g e n . 7 . , völlig neubearbeitete Auflage von W. Groesmann. 136 Seiten, 97 Figuren. 1960. ( 8 6 2 ) Photogrammetrie von G. Lehmann.

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189 Seiten, 132 Abbildungen. 1959. (1188/1188a)

Sammlung Göschen / Bandnummernfolge 1 Langosch, Der Nibelunge Not 3/3a v. Ende, Maschinenelemente 9 Marcard-Beck, Dampfkessel I '10 Jiriczek-Wisniewski, Kudrun-und Dietrich-Epen 18 Maurer, Hartmann von Aue. Der arme Heinrich 19 Altheim, Römische Geschichte I 20 Hofstaetter, Dt. Sprachlehre 22 Maurer, Gottfried von Strassburg 29 Brauns-Chudoba, Allg. Mineraiog. 31/31 a Brauns-Chudoba, Spez. Mineralogie 35 Treue, Dt. Geschichte von 1648 bis 1740 37 Klemm, Anorganische Chemie 38/38 a Schlenk, Organische Chemie 39 Treue, Dt. Geschichte von 1713 bis 1806 42 Behn, Vorgeschichte Europas 44 Kresze, Physikalische Methoden der organischen Chemie 47 Fischer-Rohrbach, Arithmetik 51/51 a Ringleb-Bürklen, Mathemati, sehe Formelsammlung 59 Krähe, Indog. Sprachwiss. I 60 Biehle, Stimmkunde 61 Biehle, Redetechnik 64 Krähe, Indog. Sprachwiss. II 65/65 a Grotemeyer, Analyt. Geometrie 66 Berneker-Vasmer, Russische Grammatik 71 Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie I 76 Döring, Einführung in die theoret. Physik I 77 Döring, Einfühlung in die theoret. Physik II 78 Döring, Einführung in die theoret. Physik III 79 Hempel, Got. Elementarbuch 80 Weigert, Stilkunde I 81 Schubert-Haussner, Vierstell. Logarithmentafeln 96 Hartmann, Einf. in die allgem. Biologie 99 Hessenberg-Kneser, Ebene und sphär. Trigonometrie 101 v. Wiese, Soziologie 103 Dahrendorf, Industrie- und Betriebssoziologie

104/104 a Hofstätter, Sozialpsycholog. 111 Hoffmann-Debrunner, Gesch. der griechischen Sprache I 114 Debrunner, Gesch. der griechisch. Sprache II 117 Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft I 118/llÔa Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft II 119 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen I 120 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen II 122 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen III 125 Vossler-Noyer-Weidner, Ital. Literaturgeschichte 128/128 a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I 136 Mahler-Graewe, Physikalische Formelsammlung 141 Geitler, Morphologie der Pflanzen 142 Haack, Darstellende Geometrie I 143 Haack,Darstellende Geometrie II 144 Haack, Darstellende Geometrie III 145 Weimer, Gesch. der Pädagogik 148 Köllns, Finanzwissenschaft I 156/156a Landmann, Philosophische Anthropologie 170 Oehlmann, Musik des 19. Jhs. 171/171 a Oehlmann, Musik des 20. Jhs. 173 Bruhns-Ramdohr, Petrographie 180 Böhm, Versicherungsmathem. I 184 Blümcke, Textilindustrie I 196 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik I 197 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik II 198 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik III 200/200 a Gottschald, Dt. Recht« Schreibungswörterbuch 210 Bruhns-Ramdohr, Kristallogr. 220/220 a Moser, Allg. Musiklehre 221/221 a Jander-Jahr, Maßanalyse 222 Haasak-Beutel-Kutzelnigg, Warenkunde I 223 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, Warenkunde II 226 Hofmann, Gesch. d. Mathem. I 228 Vogel, Landw. Tierzucht

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BANDNUMMERNFOLGE 231/231 a Ehrlich, Geschichte Israels 238 Krähe, German. Sprachwiss. I 243 Mahler, Physikal. Aufgabensammlung 247 H ofmann-Jander, Qualitative Analyse 250 Lausberg» Romanische Sprach* Wissenschaft II 257 Humburg, Gleichstrommaschine I 264 Lockemann, Gesch. d. Chemie I 265/265 a Lockemann, Geschichte der Chemie II 270 Kirn, Einführung in die Geschichtswissenschaft 274 Zietemann, Dampfturbinen I 279 Jacob-Hohenleutner, Quellenkde. der deutschen Geschichte I 280 Jacob-Hohenleutner, Quellenkde. der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, Einführung in die Philosophie 282 Haltenorth, Säugetiere 284 Jacob-Weden, Quellenkunde der deutschen Geschichte III 318/318a Schmidt-Beckers, Industrielle Kraft- u. Wärmewirtschaft 319 Krug, Australien und Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 330/330 a Scharrer, Agrikulturchem. II 335 Braun-Klug, Fette und Öle 336 Braun-Klug, Seifenfabrikation 342 Körting, Heizung und Lüftung I 343 Körting, Heizung und Lüftung II 344 Moser, Musikästhetik 354/354 a Valentiner-König, Vektoren und Matrizen 355 Neger-Münch, Nadelhölzer 356 Lüdemann, Fische 374 Döring, Einführung in die theoret. Physik IV 375 Preller, Geschichte Englands I 389/389 a Diels-Mattick, Pflanzengeographie 391 Kolms, Finanzwissenschaft II 394/394 a Schilling, Von der Renaissance bis Kant 414/414a Tafel, Hebezeuge 422 Gottschald, Deutsche Personennamen 423 Adler, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 433/433a Borchers, Metallkunde II

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439 440 441 442

Jaeckel, Würmer Jaeckel, Weichtiere Jaeckel, Stachelhäuter Hannemann, Schwämme und Hohl ti ere 443 Gruner-Deckert, Krebse 444 Reichenow, Einzeller 445 Asmus, Physikal.-ehem. Rechenaufgaben 447/447 a Herter, Kriechtiere 452 Bahrdt-Scheer, Stöchiometrische Aufgabensammlung 468 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde I 469 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde II 476 Thum-Meysenbug, Die Werkstoffe des Maschinenbaues I 492 Stolz-Debrunner, Geschichte der lateinischen Sprache 499 Niese-Küchler, Autogenes Schweißen 500 Simmel, Hauptprobleme der Philosophie 521 Marcard-Beck, Dampfkessel II 536 Lehmann, Kant 538 Rumpf, Archäologie I 539 Rumpf, Archäologie II 561 Matthes, Werkzeugmaschinen I 562 Matthes, Werkzeugmaschinen II 564 Behn, Kultur der Urzeit I 565 Behn, Kultur der Urzeit II 566 Behn, Kultur der Urzeit III 571 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts I 576/576 a Moser, Gesangskunst 579 Müller-Schulze, Techn. Tabellen 580/580 a Sedlaczek-Fischer-Buch, Walzwerke 583/583 a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 585 Dehnert, Verkehrswasserbau I 587 Kalitsunakis-Steinmetz, Neugriech.-dt. Gesprächsbuch 589 Tochtermann, Maschinenzeichnen I 590 Tochtermann, Maschinenzeichnen II 594 v. Lengerken, Insekten 597 Dehnert, Verkehrswasserbau II 601 Mutschmann, Engl. Phonetik 619 Buchwald, Kristalloptik

BANDNUMMERNFOLGE 665 Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen I 666/666 a Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen II 668 Knopp, Funktionentheorie I 677 Altheim, Rom. Geschichte II 679 Altheim, Rom. Geschichte III 684 Altheim, Röm. Geschichtc IV 691 Fauser, Kulturtechn. Bodenverbesserungen I 692 Fauser, Kulturtechn. Bodenverbesserungen II 698/698 a Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie II 703 Knopp, Funktionentheorie II 709 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts II 711 Kesselring, Berechnung der Schaltgeräte 714/714 a zur Megede, Technik selbsttätiger Regelungen 715 Zietemann, Dampfturbinen II 716 Zietemann, Dampfturbinen III 718 Neger-Münch, Laubhölzer 728/728a Pirani-Fischer, Graph. Darstellung in Wissensch, u. Technik 735 Ekwall, Historische neuengl. Laut- und Formenlehre 746/746a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der Statistik I 756/756a Kalitsunakis, Grammatik der Neugriechischen Volkssprache 763/763 a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik I 764/764 a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik II 768/768 a Bieberbach, Einführung in die konforme Abbildung 769/769 a Beer-Meyer, Hebr. Textbuch 776 Kolms, Finanzwissenschaft III 780 Krähe, German. Sprachwiss. II 781 Weigert, Stilkunde II 782 Kolms, Finanzwissenschaft IV 786 Schulze, Molekülbau 807 Kropp, Erkenntnistheorie £09 Moser, Harmonielehre I 826 Koch, Philosophie des Mittelalters 827 Schwaiger, Elektromotorische Antriebe 831 Erismann, Allg. Psychologie I 832/832 a Erismann, Allg. Psycho« logie II

833 Erismann, Allg. Psychologie III 837 Baumgartner, Gruppentheorie 845 Lehmann, Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts I 847 Herter, Lurche 850 Lehmann, Philosophie im ersten Drittel d»;s 20. Jahrhunderts II 851/851 a Moede, Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens 857 Capelle, Griech. Philosophie I 858 Capelle, Griech. Philosophie II 859 Capelle, Griech. Philosophie III 862 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde III 863 Capelle, Griech. Philosophie IV 869 Freye, Vögel 875 Hofmann, Geschichte der Mathematik II 877 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie I 878 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie II 881 Humburg, Gleichstrommaschinc II 882 Hofmann, Gesch. d. Mathematik III 893 Treue, Dt. Geschichte von 1807 bis 1890 894 Treue, Dt. Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart 902 Müller, Dynamik I 903 Müller, Dynamik II 910 Jacger, Afrika I 911 Jaeger, Afrika II 915 Spcrber-Fleischhauer, Geschichte der Deutschen Sprachc 917/917a Böhm, Versicherungsmathematik II 920 Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 921 Jantzen-Kolb, W. v. Eschenbach. Parzival 929 Schirmer-Mitzka, Deutsche Wortkunde 930 Krull, Elementare und klassische Algebra I 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, Höhere Algebra II 933 Krull, Elementare und klassische Algebra II 936 Thum-Meysenbug, Werkstoffe des Maschinenbaues II 21

BANDNUMMERNFOLGE 952 Schäfer, Transformatoren 953 Zipperer, Techn. Schwingungsl. I 961/961 a Zipperer, Techn. Schwingungslehre II 965 Dehnert, Wehr-und Stauanlagen 970 Baldus-Löbell, Nichteuklidische Geometrie 978 Kleinlogel, Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung d. Betons 984 Graf, Baustoffe des Hoch' und Tiefbaues 999/999 a Kamke, Mengenlehre 1000 Jaspers, Geistige Situat. der Zeit 1003 Hoheisel, Partielle Differentialgleichungen 1008/1008 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I 1009 Bechert-Gerthsen-Flammersfeld, Atomphysik I 1014 Huttenlocher, Mineral- und Erziagerstattenkunde I 1015/1015 a Huttenlocher, Mineral- u. Erzlagerstättenkunde II 1017 Döring, Einführung in die theoret. Physik V 1020 Niese-Dienst, Elektrische Schweiß verfahren 1031/1031 a Apel-Ludz, Philosophisches Wörterbuch 1033 Bechert-Gerthsen, Atomphysik II 1034 Kranefcldt-Jung, Therapeutische Psychologie 1035 Altheim, Rom. Religionsgeschichte I 1039 Dovifat, Zeitungslehre I 1040 Dovifat, Zeitungslehre II 1044 Tölke, Talsperren 1045 Schubert, Technik des Klavierspiels 1051/1051a Stol berg-Wer ni gerode, Gesch. d. Verein. Staaten von Amerika 1052 Althcim, Römische Religionsgeschichte II 1057 Roth, Thermochemie 1059 Hoheisel, Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen 1061 Grodzinski-Lechner, Getriebel. I 1065 Haller-Dannenbauer, Von den Karolingern zu den Staufern

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1070 Sauter, Differentialgleichungen der Physik 1074 Koschmieder, Variationsrechnung I 1076/1076 a Endres, Verbrennungsmotoren I 1077 Haller-Dannenbauer, Von den Staufern zu den H absburgem 1078 Troche, Stahlbetonbau 1082 Hasse-Klobe, Aufgabensammlung zur höheren Algebra 1085 Lietzmann^Aland, Zeitrechnung 1086 Müller, Dt! Dichten u. Denken 1088 Preller, Gesch. Englands II 1092 Wickop, Fenster, Türen, Tore 1094 Hernried, System. Modulation 1096 Vietor, Deutsches Dichten und Denken 1099 Hoheisel, Integralgleichungen 1105 Härtung, Dt. Geschichte im Zeitalter der Reformation 1108 de Boor-Wisniewski, Mittelhochdeutsche Grammatik 1109 Knopp, Elemente der Funktionentheorie 1111 Naumann-Betz, Althochdeutsches Elementarbuch 1113/1113 a Strubecker, Differentialgeometrie I 1114 Schubel, Englische Literaturgeschichte I 1115 Ranke, Altnord. Elementarb. 1116 Schubel, Englische Literaturgeschichte II 1117 Haller-Dannenbauer, Eintritt der Germanen in die Geschichte 1121 Naumann, Dt. Dichten und Denken 1122 Feist, Sprechen u. Sprachpflege 1123/1123a Bechert-Gerthsen, Atomphysik III 1124 Schubel, Englische Literaturgeschichte III 1125 Lehnert, Altengl. Elementarbuch 1127 Hartmann, Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tierund Pflanzenreich 1128 Buchner, Symbiose der Tiere mit pflanzl. Mikroorganismen 1130 Dibelius-Kümmel, Jesus 1131 Scholz-Schöneberg, Einführung in die Zahlentheorie

BANDNUMMERNFOLGE 1132 Frühauf, Überspannungen und Überspannungsschutz 1134 Kuckuck, Pflanzenzüchtung I 1135 Lehnert, Beowulf 1137 Heil, Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches 1138 Hämmerling, Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich 1140 Unger, Induktionsmaschinen 1141 Koller, Hormone 1142 Meissner-Lehnert, Shakespeare 1144 Gehler-Herherg, Festigkeitslehre I 1145/1145 a Herberg-Dimitrov, Festigkeitslehre II 1146 Humburg, Synchrone Maschine 1147 v. Waltershausen, Kunst des Dirigierens 1148 Pepping, Der polyphone Satz I 1152 Dehnert, Verkehrswasserbau III 1153/1153a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre II 1154/1154a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre III 1155 Schwartz, Mikrobiologie I 1156/llS6a Meinke, Komplexe Berechn. v. Wechselstromschalt. 1157 Schwartz, Mikribiologic II 1158 Mayrhofer, Sanskrit-Gramipatik 1159 Jungbluth, Gießereitechnik I 1160 Dibelius-Kümmel, Paulus 1161 Kaestner, Spinnentiere 1162 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I 1163 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I I

1164/1164 a Pepping, Der polyphone Satz II 1165/1165 a Bechert-Gerthsen, Atomphysik IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre II 1171 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre III 1172 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre IV 1173 Hamann-Funke-Hermann, Chemie der Kunststoffe 1176/1176a Lorenzen, Formale Logik 1178/1178a Kuckuck, Pflanzenzüchtung II 1179/1179 a Strubecker, Differentialgeometrie II 1180/1180a Strubecker, Differentialgeometrie III 1181 Franz, Topologie I 1182 Franz, Topologie II 1183/1183a Nicolas, Finanzmathematik 1184 Endres, Verbrennungsmot. II 1185 Endres, Verbrennungsmot. III 1186/1186a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschuftslehre IV 1187 Lau, Luther 1188/1188 a Lehmann, Photogrammetrie 1189/1189 a Päsler, Mechanik deformierbarer Körper 1190 Stupperich, Melanchthon

Autorenregister Adler 10 Aland 5 Altheim 4, 6 Apel 3 Asmus 12 Bahrdt 12 Baldus 11 Barner 10 Baumgartner 10 Bechert 11 Beck 17 Beckers 18

Beer 8 Behn 5 Berneker 8 Betz 7 Beutel 12 Bieberbach 11 Biehle 6 Blümcke 13 Böhm 11 de Boor 7 Borchers 16 Borkenstein 17

Brandenstein 8 Braun 13 Brauns 15 Bruhns 15 Buch 16 Buchner 13 Buchwald 15 Bürklen 10 Capelle 3 Chudoba 15 Dahrendorf 4, 9 Dannenbauer 5

Debrunner 8 Deckert 14 Dehnert 17 Dibelius 4 Diels 13 Dienst 17 Dimitrov 18 Döring 11 Dovifat 9 Ehrlich 4 Ekwall 7 Ende, vom 16

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AUTORENREGISTER E n d r e s 17 E n g e l 16 Erismann 4 F a u s e r 14 Feist 6 F i s c h e r , F 16 F i s c h e r , J . 15 F i s c h e r , P . B. 10 F l a m m e r s f e l d 11 Fleischhauer 6 F r a n z 10 F r e y e 14 F r ü h a u f 16 F u n k e 12 Gehler 18 Geitler 13 G e r t h s e n 11 G o t t s c h a l d 6, 7 G r a e w e 12 G r a f 18 G r o d z i n s k i 16 G r o s s m a n n 18 G r o t e m e y e r 11 G r u n e r 14 H a a c k 11 H ä m m e r l i n g 13 H aller 5 H a l t e n o r t h 14 H a m a n n 12 H a n n e m a n n 14 H a r t m a n n 13 Härtung 5 H a s s a k 12 H a s s e 10 H a u s s n e r 10 H e i l 13 Hempel 7 H e r b e r g 18 H e r m a n n 12 Hernried 4 H e r t e r 14 H e s s e n b e r g 11 Hoernes 5 Hoffmann 8 H o f m a n n 9, 12 Hofstätter 4 Hofstaetter 6 Hoheiscl 10 Hohenleutner 6 H u b e r 13

H u m b u r g 15 H u t t e n l o c h e r 14 Jacob 6 J a e c k e l 14 Jaeger 8 J a h r 12 J a n d e r 12 Jantzen 7 Jaspers 3 Jiriczek 7 Jung 3 J u n g b l u t h 17 K a e s t n e r 14 Kalitsunakis 8 K a n i k e 10 K e s s e l r i n g 15 Kirn 5 Kleinlogel 18 K l e m m 12 K l o b e 10 K l u g 13 K n e s e r 11 K n o p p 10 Koch 3 K ö n i g 11 K ö r t i n g 13 Kolb 7 K o l l e r 13 Kolms 9 K o s c h m i e d e r 11 Krähe 7 Kranefeldt 3 K r e s z e 12 Kropp 3 Krug 8 K r u l l 10 K u c k u c k 13 K ü c h l e r 17 Kümmel 4 K u t z e l n i g g 12 Landmann 3 Langosch 7 Lau 4 Lausberg 8 L e c h n e r 16 L e h m a n n , G. 3 L e h m a n n , G. 18 L e h n e r t 7, 8 Leisegang 3 L e n g e r k e n , von 14

Lietzmann 5 L o c k e m a n n 12 LöbeJl 11 L o r e n z e n 3, 10 L u d i n 17 Ludz 3 L ü d e m a n n 14 M a h l e r 12 M a r c a r d 17 M a t t h e s 16 M a t t i c k 13 Maurer 7 Mayrhofer 8 Megede, z u r 15 Meinke 15 Meissner 8 Mellerowicz 9 Meyer 8 M e y s e n b u g 16 Mitzka 6 Moede 4, 9 M o h r 15 Moser 4 Müller, A. 13 Müller, G. 6 Müller, W . 15, 16 M ü n c h 13 Mutschmann 7 N a u m a n n 6, 7 N e g e r 13 Nicolas 9, 11 Niese 17 Noyer-Weidner 8 N u ß e l t 17 Oehlmann 4 P ä s l e r 11 Paulsen 9 Pepping 4 Pfanzagl 9 P i r a n i 15 Preller 6 R a m d o h r 15 Ranke 7 Reichenow 14 R i n g l e b 10 R o h r b a c h 10 R o t h 12 Rumpf 5 R u n g e 15 S a u t e r 12

S c h ä f e r 16 S c h a r r e r 14 Scheer 12 Schilling 3 Schirmer 6 S c h l e n k 12 S c h m i d t 18 S c h o e n e b e r g 10 Scholz 10 Schubel 7 S c h u b e r t , H . 10 Schubert, K . 5 Schulze, E , 15 Schulze, W . 12 S c h w a r t z 13 S c h w a i g e r 16 S e d l a c z e k 16 Seidel 14 Simmel 3 Sperber 6 Steinmetz 8 Stolberg-Wernig e r o d e , zu 6 Stolz 8 S t r u b e c k e r 11 Stupperich 4 T a f e l 17 T e i c h m a n n 18 T h u m 16 Tochtermann 16 T ö l k e 17 T r e u e 5, 6 T r o c h e 18 U n g e r 15 V a l e n t i n e r 11 Vasmer 8 Viëtor 6 Vogel 14 Vossler 8 Waltershausen,v.5 Weden 6 Weigert 5 Weimer 3 W e r k m e i s t e r 18 W i c k o p 18 Wiese, von 4 Wisniewski 7 W i t t i n g 10 Z i e t e m a n n 17 Z i p p e r e r 16