Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik: Band 13, Heft 1/2 Januar/Februar 1977 [Reprint 2021 ed.] 9783112484845, 9783112484838

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Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik

1/2 HEFT

B A N D 13 1977

M I E - V E R L A G

B E R L I N

REDAKTIONELLE

HINWEISE

Manuskripte sind in zwei E x e m p l a r e n zu richten a n : Prof. Dr. H . Thiele Sektion Mathematik der H u m b o l d t - U n i v e r s i t ä t zu Berlin D D R - 1 0 8 6 Berlin, P o s t f a c h 12Ü7 oder Prof. Dr. W . K ä m m e r e r D D R - 6 9 Jena, Sonnenbergstr. 6 oder Dr. H . D . Modrow Redaktion , , E 1 K " im Zentralinstitut für K y b e r n e t i k u n d Informationsprozesse D D R - 1 1 9 9 Berlin-Adlershof, R u d o w e r Chaussee 6 Manuskripte werden in deutscher, englischer, französischer und russischer Sprache angenommen. Die Autoren werden g e b e t e n : Manuskripte einseitig in Maschinenschrift m i t m i n d e s t e n s zweizeiligem A b s t a n d einzureichen (die Zahl der Abbildungen sollt« möglichst klein sein). N a m e n u n d V o r n a m e n d e s Verfassers, seine Anschrift u n d gegebenenfalls die Institution, in der er t ä t i g ist, sowie deren Leiter anzugeben. Eine kurze Zusammenfassung der Arbeit v o n höchstens 10 Zeilen, wenn möglich auch in zwei weiteren der o b e n g e n a n n t e n Sprachen, beizufügen. Abbildungen auf besonderen Blättern (Transparentpapier) beizufügen. Abbildungsunterschriften auf einem gesonderten B l a t t b e i z u f ü g e n und, falls bezüglich der Abbildungsgrößen besondere W ü n s c h e bestehen, diese auf den Abbildungen zu vermerken. I n einem E x e m p l a r hervorzuhebende T e x t s t e l l e n schwarz zu unterstreichen, u n d zwar halbfetter Satz m i t einer geraden Linie; kursiv (Schrägschrift) m i t einer Wellenlinie; Sperrungen gestrichelt. B e s o n d e r e B u c h s t a b e n durch farbige Unterstreichung zu kennzeichnen; u n d zwar F r a k t u r (8t, 58, . . .) grün; Griechisch rot; Grotesk (A, B, . . .) viol e t t ; Schreibschrift (U, < % , . . . ) braun. Die Autoren erhalten v o n der Arbeit zwei Korrekturabzüge übersandt. Sie erhalten von ihren Beiträgen 76 Sonderdrucke kostenlos, darüber hinaus bis zu 250 Sonderdrucke gegen Berechnung. Der Verlag behält sich für alle Beiträge das R e c h t der Vervielfältigung, Verbreitung u n d Übersetzung innerhalb der gesetzlichen Schutzfrist vor. Bezugsmögliclikeiten: Bestellungen sind zu richten — in der DDR an eine B u c h h a n d l u n g oder an den Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 — im «ozialistischen Aualand an eine B u c h h a n d l u n g für fremdsprachige Literatur oder an den zuständigen Postzeitungsvertrieb — in dar BRD und in Westberlin an eine B u c h h a n d l u n g oder an die Auslieferungsstelle K U N S T U N D W I S S E N , Erich Bieber, Wilhelmstraße 4 - 6, 7 Stuttgart 1 — in Österreich an den Globus-Buohrertrieb, 1201 Wien, H ö c h s t ä d t p l a t z 3 — im übrigen Ausland an den Internationalen Bueh- u n d Zeitschriftenhandel; den Buchexport, Volkseigener Außenhandelsbetrieb der D e u t s c h e n D e m o k r a t i s c h e n Republik, D D R - 7 0 1 Leipzig, P o s t f a c h 160, oder an den Akademie-Verlag, D D R - 1 0 8 Berlin, Leipziger Strafle » - 4 .

HEFT

1 / 2

Elektronische

B A N D 13 SEITE

1-106

JANUAR/FEBRUAR

1977

Informationsverarbeitung und Kybernetik

Herausgegeben im Auftrag der Mathematischen Gesellschaft der Deutschen Demokratischen Republik und des Zentralinstituts für Kybernetik und Informationsprozesse der Akademie der Wissenschaften der D D R von W I L H E L M K Ä M M E R E R (Jena) und H E L M U T T H I E L E (Berlin)

unter Mitwirkung

von

G. Asser (Greifswald), W . Beier (Leipzig), J . Dörr (Saarbrücken), H . Drischel (Leipzig), B. W . Gnedenko (Moskau), W . H ä n d l e r (Erlangen), L. Ilieff (Sofia), L. K a l m a r f (Budapest), L. A. Kaloujnine (Kiew), H . Kindler (Dresden), F . Klix (Berlin), N. J . L e h m a n n (Dresden), I . Nedoma (Prag), H . Rohleder (Leipzig), A. Salomaa (Turku), K . Schröder (Berlin), P . H . Starke (Berlin), K . Steinbuch (Karlsruhe), B. A. Trachtenbrot (Nowosibirsk), H . Völz (Berlin)

Verantwortlicher

Redakteur

H E I N Z D. M O D R O W (Berlin)

AKADEMIE-VERLAG BERLIN

INHALT Ruohonen, K.:

On Circular Words and (cu* + cu)-Powers of Words

Korec, I., J. Prochdzka:

Real-Time Computability of LM

Heinz, M.:

and [xaJ

3 13

Zur Teilwortkomplexität für Wörter und Folgen über einem endlichen Alphabet

27

Walter, H. K.-G.:

Über lineare Simulierbarkeit endlicher Automaten

39

Bär, O.:

Ein Beitrag zur Transformation ganzzahliger Optimierungsprobleme '

55

Fritzsch, K.:

Über den Einsatz mehrstufiger Mehrschrittalgorithmen zur Lösung von Adaptionsproblemen

Bert, M.: Buchbesprechungen

A Formalization of the Transformation of Nested Declarations .

61 79 97

I n dieser Zeitschrift werden Beiträge aus folgenden Gebieten und Problemkreisen publiziert: Theorie der Digitalrechner (allgemeine Algorithmentheorie, abstrakte Automaten, algorithmische Sprachen, Programmierung, Struktur konkreter Digitalrechner, Bauelemente); Theorie der Analog- und Hybrid-Rechner; Fragen des praktischen Einsatzes von Bechenautomaten; Schaltstrukturen (kombinatorische Schaltungen, sequentielle Schaltungen, Neuronennetze); wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Probleme (Informationstheorie, Bedienungstheorie, stochastische Automaten, Lernstrukturen, lernende Automaten, Zuverlässigkeitstheorie); Spieltheorie und Theorie der Optimierung; mathematische Linguistik; Anwendungen der elektronischen Informationsverarbeitung und Kybernetik in Natur- und Gesellschaftswissenschaften, soweit sie vorwiegend mathematischen Charakter tragen. — Neben Originalarbeiten werden auch zusammenfassende Berichte über den erreichten Stand der genannten Sachgebiete sowie über einschlagige Tagungen veröffentlicht. Ferner sollen grundlegende Bücher und Einzelarbeiten besprochen werden.

Herausgeber: Im Auftrage der Mathematischen Gesellschaft der DDR und des Zentralinstituts f ü r Kybernetik und Informationsprozesse der AdW herausgegeben von Prof. Dr. W. Kämmerer und Prof. Dr. H. Thiele. Verlag: Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Str. 3 - 4 ; Fernruf 2200441; Telex-Nr. 114420; Postscheckkonto: Berlin 35021; Bank: Staatsbank der DDR, Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Chefredaktion: Prof. Dr. Wilhelm Kämmerer, 69 Jena, Sonnenbergstr. 6; Prof. Dr. Helmut Thiele, Sektion Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin, 1086 Berlin, Postfach 1297. Verantwortlicher Redakteur: Dr. Heinz D. Modrow. Anschrift der Redaktion: Zentralinstitut für Kybernetik und Informationsprozesse der AdW, DDR-1199 Berlin, Rudower Chaussee 5; Fernruf: 6 70 28 41 App. 26 06. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1520 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: VEB Druckerei „ThomasMüntzer", 582 Bad Langensalza. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift „Elektronische Informationsverarbeitung u n d Kybernetik (EIK)" erscheint jährlich in einem Band mit 12 Heften. Bezugspreis Je Band 150,— M zuzüglich Versandspesen (Preis für die D D R 120,— M); Preis je Heft 12,50 M (Preis f ü r die DDR 10, - M). Bestellnummer dieses Heftes 1076/13/1 - 2 . Urheberrecht: Alle Rechte vorbehalten, insbesondere die der Übersetzung. Kein Teil dieser Zeitschrift darf in irgendeiner Form — durch Photokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren — ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert werden. — All rights reserved (including those of translations into foreign languages). No part of this Issue may be reproduced in any form, by photoprint, microfilm or any other means, without written permission from the publishers. © 1977 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Republic

Elekt.ronisahe Informations verarbeitunj? und Kybernetik EIK 13 (1977) 1/2, 3-12

On Circular Words and («>* + to) -Powers of Words B y Keijo

Buohonen

1. Circular words and ( w * + co)-powers of words introduced

Let A be a finite alphabet. Define in A* the binary relation Q by PQQ

iff

P = PjP2

and

Q = P2PX for some words P1 and P 2 .

Clearly Q is an equivalence relation with infinite index. The equivalence classes of Q are called circular words over A. An equivalence class of Q represented by P is denoted by P f l . Intuitively, a class (ax ••• a„)a where a 1 ( ... , a„ are in A can be identified with the "circular sequence" of Fig. 1. We denote AC)

=

{po

| p is B * we define the mapping ha:A 0)

and /an ••• ffiA

st = I : Vli

:

(for k > 0)

1

••• OkkJ

Then, by Lemma 4, we have /#Cltl\

/ # A

\#>y

\#ck>1)

Let Ek be a matrix such that Ju

EkSt =

21

k—1

01,4-1

Vk,k-1

1

Thus yk can be expressed as a linear combination of # A, ... , # of which do not depend on # A. Denote = { P e A(*>

DKi

I

|P| =

k, exp (P)

=

i}

(for

k, i

Ah

0).

the coefficients

> 0).

Further denote by ôk the number of (co* + co)-powers of length k over A (for k > 0). Theorem 4. ôk = # DkA (for k > 0). P r o o f . For each circular word P, Pr is an (co* -f- co)-power of length k if and only if |/P is in Dk \. This follows by Lemma 2 and Theorem 1. Theorem 1 also implies that if /P 4= ]/Q, then Pz' 4= QE\ | To derive a formula for # Dkt ! we apply the analogue of Lemma 4 to circular words. Lemma 5. 2" # Dm>1 = yk (for k > 0). m\k

P r o o f . Clearly

u {P

m\k

6

AC> I

|P| =

k,

||/P| = m} = { P e AW | |P| =

k}

and the union is disjoint. If |P| = \Q\ = k, |/P| = = m, |/P #= ^Qand P = Q, a contradiction immediately arises by Lemma 2, since exp (/P) = exp (/Q) = 1. Thus # { P 6 ¿ | |P| = k, |/P| = TO} = # 14,!. | T h e o r e m 5. Sk =

(0, ... , 0, 1) Sk\ylt

... , yk)T .

On Circular Words and (co* + co)-Powers of Words

7

Proof. Theorem 4 and Lemma 5. | Denote e< = ((0, ... , 0, 1) Ei | 0, ... , 0)

(for i = 1, ... , k)

(a ¿-vector) and

Combining Theorems 3 and 5 we get the following formula for Sk. Theorem 6. dh = (0, ... , 0, 1

A, ... , # A*)T

(for k > 0).

3. Some generative properties Bearing in mind the intuitive interpretation of circular words as' 'circular sequences" of symbols it is obvious how Chomsky type grammars should be defined so as to generate circular words starting from some initial nonterminal circular word. The families of languages of circular words thus obtained are denoted by REG a, CF f l , CSfl and R E o for type 3, 2, 1 and 0 grammars, respectively (cf. Salomaa [3]). These families are easily characterized. For a family F of languages of "usual" words we denote Fa = {LQ | L is in F} where La = {Pa | P is in L} . Theorem 7. (i) REG f l = REG f i , (ii) CF f l = CF fl , (iii) CS n = CS fl , (iv) R E f l = R E f l Proof, (i) and (ii) are clear. The proof of (iii) and (iv) (is by standard techniques (details are omitted here). | In (i) and (ii) the crucial factor is context-free rewriting. In (iii) and (iv) it is contextsensitive rewriting together with the use of nonterminal "blocks" and "messengers". Thus interesting behaviour can be expected concerning grammars which use contextsensitive type rewriting but no nonterminals. Indeed, for I L systems (see Herman and Rozenberg [1]; generation of circular words by these systems is defined in the obvious way) the situation is quite different from the one in Theorem 7. Using a notation as above we have Theorem 8. ILfl and I L f l are incomparable. Proof. Since U I L ° = UOL°, any unary I L language L which is not in UOL (say {a, a 2 }) is such that La is not in IL f l . Clearly the language L' = Lx u L2 where = {(a2mca2n~mba3"b)3 | 0 ^ m ^ 2n, n ^ 0} , L2 = {(a3mda3"~mba2n+x6)3

| 0 ^ m ^ 3», n ^ 0}

is such that (L') a is in ILfl. We claim that there exists no such I L language L that L° = (L')a. Assume the contrary of the above claim, i.e. (L')a = La for a language L generated by the 0 and j, s ^ 0 such that (a", a, ahy -> P a4 and ••• Qh+n+i = a1bae. Further, there exist unique numbers pe, qc and pd, qd such that 2k + 2h and pd + qd + + a + j > 2& + 2h, i.e. pc > j and pd > j. The above results imply that whenever a symbol c or d is not in the neighbourhood of a symbol b, it moves to the right with respect to the 6's in the scanned word. Since L is infinite, for each n large enough some word in 2»

u

{(a 2 m ca 2 "~ m ba s n b) 3 } a

must directly derive a word containing occurrences of d and some word in 3» U {(aSmda&n-mba2n+1b)3}Q m = Zn—k must directly derive a word containing occurrences of c. This process clearly should be deterministic. I t is not difficult to see that the situation is now untenable. To maintain the above described process a synchronization of certain events at the ends of the scanned

On Circular Words and (