Fortschritte der Physik / Progress of Physics: Band 25, Heft 12 1977 [Reprint 2021 ed.] 9783112519585, 9783112519578

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FORTSCHRITTE DER PHYSIK H E R A U S G E G E B E N IM AUFTRAGE D E R P H Y S I K A L I S C H E N GESELLSCHAFT DER DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN

REPUBLIK

VON F. KASCHLUHN, A. LÖSCHE, II. RITSCHL UND R. ROMPE

H E F T 12 • 1977 • B A N D 25

A K A D E M I E - V E R L A G

EVP 1 0 , - M 31728

.

B E R L I N

BEZUGSMÖGLICHKEITEN Bestellungen sind zu richten — in der D D R an eine Buchhandlung oder an den Akademie-Verlag, D D R - 108 Berlin, Leipziger S t r a ß e 3 - 4 — im sozialistischen Ausland an eine Buchhandlung für fremdsprachige Literatur oder an den zuständigen Postzeitungsvertrieb — in der B R D lind Westberlin an eine Buchhandlung oder an die Allslieferungsstelle K U N S T U N D W I S S E N , Erich Bieber, 7 S t u t t g a r t 1, Wilhelmstraße 4 — 6 — in Österreich an den Glohus-Buchverlrieb, 1201 Wien, Höchstädtplatz 3 — im übrigen Ausland an den Internationalen Buch- und Zeitschrift.enhandel; den B u c h e x p o r t , Volkseigener Außenhandelsbetrieb der Deutschen Demokratischen Republik, D D R - 701 Leipzig, Postfach 160, oder an den Akademie-Verlag, D D R - 108 Berlin, Leipziger S t r a ß e 3 - 4

Zeitschrift „Fortschritte der Physik 4 ' Herausgeber: Prof. Dr. Frank Kaschluhn, Prof. Dr. Artur Lösche, Prof. Dr. Rudolf Ritsehl, Prof. D r . Robert Rouipe, im Auftrag der Physikalischen Gesellschaft der Deutschen Demokratischen Republik. Verlag: Akademie-Verlag. D D R - 108 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 ; Fernrui: 2 2 3 6 0 ; Telex-Nr. 114420; Postscheckkonto: Berlin 350 2 1 ; B a n k : Staatsbank der D D R , Berlin, Konto-Nr. 6836-26-20712. Chefredakteur: Dr. Lutz Rothkirch. Anschrift der R e d a k t i o n : Sektion Physik der Humboldt-Universität zu Berlin, D D R • 104 Berlin, Hessische Straße 2. Veröffentlicht unter der Lizenzmumner 1324 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutscheu Demokratischen Republik. Cesamtherstellung: V E B Druckhnus ,,Maxim Gorki 4 '» D D R - 74 Altcnburg, Carl-von-Ossietzky-StraÜe 30/31. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift „Fortschritte der Physik'' erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres bilden einen B a n d . Bezugspreis j e Band 1 8 0 , - M zuzüsJich Versandspesen (Preis für die D D R : 120,— M). Preis je Heft 15,— M (Preis für die D D R : 1 0 , - M). Bestellnummer dieses Heftes: 1027/25/12. © 1977 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratic Repubiic. AN ( E D V ) 5 7 6 1 8

ISSN 0015 - 8208 Fortschritte der Physik 25, 743 - 763 (1977)

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung C . HOFMANN

Jena, DDR Zusammenfassung E s wird gezeigt, daß die Fouriertransformation in guter Näherung die drei grundliegenden Aspekte der realen optischen Abbildung Beugung (exakt im Fraunhoferfall), Kohärenz des Lichtes und die Übertragungseigenschaften des optischen Systems beschreibt. Eine optische Abbildung kann in die beiden Schritte der Beugung am Objekt, die mathematisch durch die Fouriertransformation der Objektamplitudenverteilung in die Pupillenebene modelliert werden kann, und der Filterung und Beugung des Objektspektrums an der Pupille, die durch die inverse Fouriertransformation des beschnittenen Beugungsspektrums der Objektamplitudenverteilung von der Pupillen- in die Bildebene beschrieben werden kann, zerlegt werden. Die Anwendungsmöglichkeit dieser beiden Fourierschritte auf verschiedene optische Systeme wie Fouriertransformationsoptik, holographische Speicherung, Mikroskopoptik und Photoobjektive wird auf der Grundlage der Fouriertheorie der partiell kohärenten Abbildung diskutiert.

On the Significance of the Fourier Transformation in the Optical Imaging Abstract I t is shown that the Fourier transformation describes in a good approximation the three basic aspects of the real optical imaging as diffraction (exactly in the Fraunhofer case), coherence of light, and transfer characteristic of the optical system. An optical imaging consists of two steps as diffraction by the object, mathematically modelled by the Fourier transformation of the object amplitude distribution into the pupil plan, and cutoff of the object diffraction pattern and diffraction by the pupil, describing by the inverse Fourier transformation of the cutoff object diffraction amplitude distribution from the pupil plan into the image plan. The applicability of these two Fourier steps in different optical systems as optical Fourier transformation objectives, holographic imaging, microscope optics, and photo objectives is discussed on the basic of the Fourier theory of the partiell coherent imaging.

Einleitung Durch eine optische Abbildung soll von einem Objekt ein diesem ähnliches Bild erzeugt werden. In nullter Näherung kann diese Objekt-Bild-Transformation durch die Gaußsche Kollineation [5] beschrieben werden, die den an eine ideale punktförmige Abbildung gestellten Anforderungen entspricht und sich strahlenoptisch konstruieren läßt (Bild 1 a). Bildpunkte sind dabei die Schnittpunkte homozentrischer Strahlenbündel. Dieses 54

Zeitschrift „Fortschritte der Physik", Heft 12

744

C . HOFMANN

Modell stellt aber nur eine mathematische Fiktion dar, da es sich aus energetischen Gründen nur im paraxialen Raum optischer Systeme physikalisch realisieren läßt [Ji].

Gegenüber der Gaußschen Kollineation stellt die geometrisch-optische Abbildung die erste Näherung für die mit Lichtstrahlen realisierbare physikalische Abbildung dar. Die von diesem interferenzoptischen Modell vorausgesetzte Existenz von Lichtstrahlen wird für optische Systeme mit unendlich großer Pupille nach der Eikonalgleichung durch die Wellennormalen realisiert. Da die Bildentstehung o)

Objektebene

Bildebene /

e:. Hauptebenen

•

/'

Unse / tßetqungt or dnung >

x

"

,-'-l$tugtmgsOrdnung

am Obiekt

der Blende

B i l d 1. Modelle der optischen A b b i l d u n g eines O b j e k t p u n k t e s 0(x) mit der Intensität I(x), der in der Bildebene die Intensitätsverteilung / ' ( » ' ) entspricht. a) Gaußsche Kollineation als mathematische, ideal punktuelle Abbildung b) Geometrisch-optische A b b i l d u n g als Interferenz von Strahlen m i t konstanter optischer Weglänge und m i t Punktbildverwaschung durch die Strahlaberrationen c) Wellenoptische kohärente Zwei-Schritt-Abbildung m i t Filterung des Beugungsspektrums des Objektes durch Pupillenbeschnitt, der durch B e u g u n g an der Pupille zur Punktbild Vermischung f ü h r t

Über die Bedeutung der Fouriertransformation f ü r die optische Abbildung

745

durch Interferenz der durch ein optisches System durch Brechung abgelenkten Lichtstrahlen erfolgt, entstehen Bildpunkte mir an Schnittpunkten von Strahlen mit konstanter optischer Weglänge (Bild l b ) . Diese Interferenzbedingung wird durch das Fermatsche Prinzip in Verbindung mit dem Satz von Malus realisiert. Die angestrebte Punktförmigkeit der Abbildung wird in der geometrischen Optik durch die Strahlaberrationen des optischen Übertraglingssystems gestört, die über entsprechende Wellenaberrationen [19] die geforderte Eikonalkonstanz störende Phasenfehler hervorrufen. Weitere Störungen der optischen Übertragung treten durch die endlichen Pupillendurchmesser auf, die die Strahlenbündel beschneiden und der fokussierenden Wirkung der Strahlenbrechung entgegenwirkende Beugungseffekte hervorrufen. Dies bedeutet, daß man von der geometrischen zur wellenoptischen Abbildung übergehen muß, nach der die geforderte Punktförmigkeit der Abbildung prinzipiell durch eine aus der Beugung und den geometrisch-optischen Aberrationen resultierende P u n k t bildverwaschung gestört ist. Obwohl exakt an jeder strahlbegrenzenden Öffnung eines optischen Systems Beugung auftritt, ben u t z t man in der Praxis ein vereinfachtes Modell, bei dem nur Beugung an der Aperturblende a u f t r i t t und das Beugungsbild durch die brechende Wirkung des optischen Systems in die Bildebene abgebildet wird. Da auch bereits am Objekt Beugung a u f t r i t t (die zwar bei der Abbildung makroskopischer Objekte und bei der Objektbeleuchtung durch ausgedehnte Lichtquellen meist vernachlässigt wird), muß man in diesem wellenoptischen Modell eine 2-Schritt-Abbildung annehmen (Bild 1). I m ersten Schritt wird am Objekt gebeugt und die Beugungserscheinung in die Blendenebene transformiert. Da durch den Bündelbeschnitt der Blende Beugungsordnungen unterdrückt wurden, erfolgt in der Blendenebene eine optische Filterung. Die nicht beschnittenen Beugungsordnungen des Objektes werden an der Blende nochmals gebeugt und in die Bildebene transformiert, wobei dieser zweite Abbildungsschritt zwar dem ersten invers ist, aber infolge des bündelbeschneidenden Eingriffs in der Pupillenebene an Stelle eines idealen Punktbildes ein Beugungsspektrum in Form eines verwaschenen Punktbildes erzeugt (Bild 1 c). Die beiden Abbildungsschritten entsprechenden Transformationen beschreiben die spektrale Zerlegung der räumlichen Struktur des Objektes bzw. der Pupille durch Beugung und können unter gewissen Einschränkungen durch Fouriertransformationen mathematisch modelliert werden [13]. E x a k t entspricht bei der Fraunhoferschen Beugung die Amplitudenverteilung im Beugungsbild dem Fourierspektrum der Amplitudenverteilung des Objektes.

Die von den Kohärenzeigenschaften des Lichtes abhängige Überlagerung der von . den einzelnen Punkten eines ausgedehnten Objektes ausgehenden und durch Wellenaberration und Beugung deformierten und deshalb nicht mehr in »diskreten Bildpunkten konvergierenden Wellen bedingt den Einfluß der Objektstruktur auf die optische Abbildung. Die durch ein optisches System bewirkte Transformation der Helligkeitsverteilung von Objekt- und Bildebene ist deshalb unvollkommen und von den zu übertragenden Objektdetails, vom optischen Übertragungssystem und von der Kohärenz des Lichtes abhängig. Bei der Behandlung der realen optischen Abbildung müssen deshalb im Gegensatz zur mathematischen kollinearen Objekt-Bild-Transformation Beugung und Kohärenz des Lichtes sowie die daraus resultierenden Übertragungseigenschaften des abbildenden Systems berücksichtigt werden. Alle diese 3 grundlegenden Aspekte können in guter Näherung theoretisch mit Hilfe der Fouriertransformation behandelt werden [27]. Obwohl die Fouriertransformation die Basis der Abbeschen Theorie der mikroskopischen Abbildung darstellt und bereits 1932 im Phasenkontrastverfahren nach Z E R N I K E [21], [2] eine weitere technische Anwendung gefunden hat, wird sie erst seit den 50er Jahren nach Übernahme von Analogien der elektrischen Nachrichtentheorie in die Optik durch D U F F I E U X [7] und H O P K I N S [14] als methodisches Hilfsmittel für die optische Informationsübertragung [21] und für die Bildgütebewertung [9] benutzt. Dem systematischen Ausbau der Fouriertheorie der optischen Abbildung — insbesondere f ü r die partiell-kohärente Abbildung — stand anfangs der große rechentechnische Aufwand entgegen, der zur numerischen Berechnung der im allgemeinen nicht geschlossen lösbaren Fourierintegrale erforderlich ist. Erst durch den 1965 von C O O L E Y und T U K E Y [4] entwickelten Formalismus zur schnel[_Z]

54*

746

C . HOFMANN

len Fouriertransformation [ ü ] ist die numerische Behandlung der Fouriertheorie der optischen Abbildung mit ökonomisch vertretbarem Aufwand praktisch möglich geworden.

1. Fouriertransformation und Fraunhofersche Beugung Nach der skalaren Beugungstheorie ist die komplexe Amplitudentransparenz

Va&A) = -CA&A) e x P M9>(«J}

(1)

eines kohärent durch eine in einem achsennahen P u n k t L{x{) angeordnete Punktlichtquelle mit der Lichtstärke J(xL) beleuchteten, ebenen, beugenden Objektes durch eine Integraltransformation m i t der Lichterregung + oo

up(xp,

xL)

=

]/j(xL)

/ / yA(xA) J J

— 00

rPrL

exp {-ik(rP

+ rL)} dxA dyA

(2)

:

verknüpft [13]. Die Koordinaten

(3)

®p {xP +

i c £ j | dßP dvP

(15)

und der diesen in Sinusgitter spektral zerlegten Amplitudenverlauf des Beugungsbildes darstellenden Objektamplitude im Frequenzraum + °o y)A(WP)

= 2?p^C(xP

xL) f f

Up Xp

( '

Xl)

ex

P

|

—

{

X

P

+

Xpj j dxP dyP.

(16)

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung

749

2. Fouriertransformation und Fresnelsche Beugung Die Modellierung1 der Fraunhoferschen Beugung durch die Fouriertransformation (2 c) ist für die optische Abbildung wegen der dabei unzulässigen Vernachlässigung der Fresnelschen Beugungsanteile zunächst ohne Bedeutung. Man kann aber das Fresnelsche Beugungsintegral (2 a) als Fouriertransformation der mit dem Fresnelterm expj— —

xA2

|

1

j j multiplizierten Amplitudentransparenz

y>A{xÄ)

des beugen-

den Objektes auffassen. Der Fresnelterm ist der komplexen Amplitudentransparenz ipF(xA)

=

e x p j — i k (n -

x - j ^

1) d0 -

(17)

einer Linse der Dicke d0 und der Brechkraft

h

(18)

- (\Pp- + -PL/)

/

proportional, die sich aus der linsenbedingten Phasenverschiebung (Bild 3) cpF{xÄ)

=

k(ii

-

1) {d0

-

g ^ )

+

(19)

d0, \xF\) für die Radienabhängigkeit der Pfeilhöhen 9i

XA

=

2

2

r.

für

i = 1, 2

(20)

und für die Brechkraft (21) setzt. Dies bedeutet, daß man den Fresnelterm in Gl. (2 a) durch das Aufsetzen einer realen Linse auf das beugende Objekt, deren Brechkraft durch 1 _ /'

~

1

1

PP

PL

(18a)

fixiert ist, und die die Lichtquelle in einem Punkt des Aufpunktes die Koordinaten xL'

=

- x

L

abbildet, der in der Ebene

L'(xl')

Pp — Pl

(22)

hat, kompensieren kann (Bild 3). +00 uPF{xP>xL)

=

G{XP;XL)

f j"y)A{xA)

H

X exp \

—ikx

exp j —

XP

Pp

x

dxA PL

Ä

dyA.

2

+

^ - j j ipF{XA)

(23)

750

C. HOFMANN

Unter Berücksichtigung von (17), (18a) und (22) geht (23) über in uPF(xr

— xL')

=

C(xP,

xL)

e x p {ik(n — 1) d0]J

j"ipA(xA)

Linse

e x p \^-xA(xP

gebeugtes Licht A

L'(*[!

— ae £ ')| dxA dyA.

(23 a)

i'P = »t • l Ordnung 'J.Ordnung -7. Ordnung Beugungsbild

Bild

Niiherungsweise Kompensation der Fresnelschen Beugungsanteile durch eine dem beugenden Objekt aufgesetzte Linse, die die Lichtquelle in die Beobachtungsebene abbildet.

Wegen der Näherungen (20) und (21) ist diese Kompensation, bei der durch]die Linse die Lichtquellenebene in die Ebene des Aufpunktes abgebildet werden muß, nur bei kleinen Aperturen exakt möglich. Der Übergang zur exakten Unterdrückung der Fresnelbeugung erfolgt durch Aufspalten der Kompensationsoptik in eine Kondensorlinse, die die in ihrer Objektbrennebene liegende Lichtquelle ins Unendliche abbildet, und in eine Objektivlinse, die das im Unendlichen entstehende Fraunhofersche Beugungsbild in ihre Bildbrennebene abbildet (Bild 4). Der Abstand beider Linsen und die Lage des beugenden Objektes bestimmen nur die Lage und die Größe des Beugungsbildes, sind aber auf die Intensitätsverteilung ohne Einfluß. Beuaunasbild

Lichtquelle

Kondensor

Fourierfransformationslinse

Auffangebene

Bild 4. Exakte Kompensation der Fresnelschen Beugungsanteile durch eine Kondensor-Objektiv-Anordnung

3. Fouriertransformation und Punktbild

Die bezüglich der Fresnelschen Beugungsanteile kompensierende Wirkung einer in der Beugungsebene angeordneten Linse ermöglicht die Modellierung der optischen Abbildung eines Objektpunktes durch die Fouriertransformation des Amplitudenverlaufs in der als beugendes Objekt wirkenden Aperturblende, wenn man die Beugung an anderen strahlenbegrenzenden Öffnungen vernachlässigt. Bei kleinen Aperturen kann man entsprechend jedes optische System durch eine Aperturblende als beugendes Objekt und eine das Beugungsbild in die Bildebene abbildende Linse großen Durchmessers annähern.

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung

751

Man kann zur weiteren Vereinfachung dieses Modells, das Bild 3 entspricht, wenn man die Lichtquelle und den Aufpunkt durch Objekt- und Bildpunkt und das beugende Objekt durch die Aperturblende ersetzt, ohne wesentliche Fehler annehmen, daß die Beugung der durch die Aberrationen des optischen Systems deformierten Welle>nach deren Fokussierung an der Austrittspupille erfolgt (Bild 5). Deren als Pupillenfunktion VB{xb')

= rB(xB')

exp

{—ikl(xB')}

(la)

bezeichnete komplexe Amplitudentransparenz (1) enthält sowohl die Wellenaberration l{xB') des optischen Systems als auch die begrenzende Wirkung der Pupille

{

4= 0 inner- ]

(24)

}• halb der Austrittspupille. = 0 außer- J Unter den oben erwähnten einschränkenden Voraussetzungen ergibt sich nach Gl. (23 a) die Lichterregung uPF(x' — x0', l) in der Umgebung des geometrisch-optischen Bildpunktes O0'(x0') als Fouriertransformierte dieser Pupillenfunktion.

fctrittspupiHe

Mdebene

Bild 5. S t a r k reduziertes, nur für kleine Aperturen gültiges wellenoptisches Modell der Abbildung eines O b j e k t p u n k t e s durch B e u g u n g der vom optischen S y s t e m mit der Wellenaberration l deformierten und auf den geometrischoptischen B i l d p u n k t 0„'(®o') fokussierten Welle a n der Austrittspupille.

Da nur der relative Verlauf der Amplitudenverwaschung für die optische Abbildung von Interesse ist, wird die Lichterregung uPF(x' — x0', l) auf die komplexe Amplitude uPF(0, 0) der undeformierten Kugelwelle bei gleichmäßig transparenter Pupille (r(x B ) = l) im geometrisch-optischen Bildpunkt O0'(x0') bezogen. Der auf diese Weise auf die Fläche der Auatrittspupille F.iP normierte Amplitudenverlauf + oo

uK(x'

— x0, l) ==

JT^ JJWB(xB') exp j - ^ xB'(x' — a?0')j dxB' dyB'

(25)

wird als Amplitudenverwaschungsfunktion des optischen Systems bezeichnet [9]. Der Abstand p' zwischen Austrittspupille und Auffangebene ist die Pupillenschnittweite. F ü r Objektive mit Kreispupille ohne Apodisation erhält man nach Substitution der kartesischen Püpil lenkoordinaten xB' = Q'P' sin A' cos q>' ii(w), d. h. durch Pupilleneingriffe, die Amplitudenverteilung im Beugungsbild durch Herausfiltern von Ortsfrequenzen beeinflussen kann. So bestimmt nach (14) der maximale Pupillendurchmesser die höchste noch vom System übertragene Ortsfrequenz und damit dessen Auflösungsvermögen. Apodisation \2I\ und Schmidtplatte sind Beispiele von Pupilleneingriffen bezüglich der Amplituden- und Phasentransparenz bei inkohärenter Abbildung, während das Phasenkontrastverfahren [2, 22] einer kohärenten Filterung durch Phaseneingriff entspricht. Aus der Amplitudenverwaschungsfunktion uR erhält man den Intensitätsverlauf im Punktbild in Form der Punktbildverwaschungsfunktion [9] G(x' - x0') = uR(x' - ®0') uR*(x' - ® 0 ').

(28)

753

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung

Man kann also aus dem Verlauf der Wellenaberration l(xB) in der Pupille ausgehend von der Pupillenfunktion ( l a ) über den Fouriertransformationsformalismus (25) die 'Punktbildverwaschungsfunktion (28) numerisch berechnen [11], wobei man zweckmäßigerweise den Algorithmus der schnellen Fouriertransformation nach C O O L E Y und T U K E Y [ 4 ] verwendet. Bild 6 zeigt als Beispiel den Verlauf der Wellenaberration in der Austrittspupille eines Prismenspektrographen und das dazugehörige typische astigmatische Punktbild [19\. Die Anwendung der Amplituden- bzw. der Punktbildverwaschungsfunktion auf die kohärente bzw. inkohärente Abbildung ausgedehnter Objekte erfordert die Invarianz dieser Verwasehungsfunktion als Voraussetzung einer linearen Superposition \21~\. Exakt läßt sich diese Invarianzforderung natürlich infolge der Ortsabhängigkeit der außeraxialen geometrisch-optischen Aberrationen nicht erfüllen. Da sich aber die Aberrationen nur allmählich und stetig mit dem Bildort ändern, lassen sich innerhalb des Bildfeldes eines optischen Systems Invarianzbereiche definieren, aus denen man mit sprunghafter Änderung der Verwaschung an den Grenzen die Bildebene approximieren kann. Durch eine aplanatische bzw. isoplanatische Korrektion [12] kann man dieser Invarianzforderung noch besser entsprechen. Unter Voraussetzung der Erfüllung dieser Invarianzbedingung kann man bei kohärenter bzw. inkohärenter Abbildung durch Faltung des Amplituden- bzw. Intensitätsverlaufs in der Objektebene mit der entsprechenden Verwasehungsfunktion den Verlauf der Amplitude bzw. der Intensität in der Bildebene bestimmen.

4. Fouriertransformation und partielle kohärente Abbildung ausgedehnter Objekte Bei der Abbildung ausgedehnter Objekte muß man im allgemeinen ausgedehnte Lichtquellen benutzen, da eine Punktquelle bekanntlich energetisch nicht realisierbar ist. Die Überlagerung der von den einzelnen Punkten eines ausgedehnten Objektes ausgehenden und durch Wellenaberrationen und Beugung deformierten Wellen wird von der Ausdehnung der Lichtquelle und damit von den Kohärenzeigenschaften des Lichtes abhängig. Bei realen Lichtquellen mit endlicher Ausdehnung liegt partielle Kohärenz vor. Die Grenzfälle strenger Kohärenz bzw. Inkohärenz sind rein hypothetisch, da sie unendlich kleine bzw. unendlich ausgedehnte Lichtquellen erfordern.

Die von einem Punkt L{XL) einer Lichtquelle ausgehende Welle (29) die in Fraunhoferscher Näherung (rL^> \xL\, |a?0|) durch (29 a) gegeben ist, wird durch die komplexe Amplitudentransparenz y>0(x0) des abzubildenden Objektes moduliert (Bild 7). Da jedem Punkt O0(x0) des Objektes im Bildraum eine Amplitudenverwaschung u0(x0, xL) uR(x' — ß0'x0) entspricht, ergibt sich die Amplitudenverteilung in der Bildebene w0'(3c0', xL) = f f u0(x0, xL) uR(x0' — ac0) dx0 dy0 — oo

(30)

durch Faltung der Amplitudenverteilung im Objekt w0(»0> ®i) = uL{xL,

x0)

f0(x0)

mit der als invariant vorausgesetzte» Amplitudenverwaschungsfunktion.

(31)

754

C . HOFMANN

Aus Dimensionsgründen und zur Elimination des Abbildungsmaßstabes R ' = Po

x »'

=

®o

p'

(32)

— P

sind in (30) die Ortskoordinaten in den Funktionen u0', u0 und uR durch reduzierte dimensionslose Größen

3Cn — Xn

(33 a)

Xp'

(33 b)

Xp

_ _

X

ersetzt worden.

Lichtquelle

1

(33 e)

L — XL ' ~7 e

am Punkt 0; gebeugtes > Licht Objekt optisches System mit Blende

Bildebene

Bild 7. Partiell kohärente Abbildung ausgedehnter Objekte, die durch eine ausgedehnte Lichtquelle beleuchtet werden, durch ein Objektiv mit zusammenfallender Pupillen- und Hauptebenenlage

Infolge der Inkohärenz der einzelnen Lichtquellenpunkte L(xL) überlagern sich in der Bildebene die einzelnen Intensitätsverteilungen u 0 'u 0 *' zur resultierenden. Intensitätsverteilung + 00

J'(®o') = f f Wo'(®o'>

«o*W>

dx L dy L ,

(34)

wobei über die Intensitätsverteilung der Lichtquelle Il{xl) =

- \ j { x PL

L

(35)

)

zu integrieren ist. • Eliminiert man in Gl. (34) die Amplitudenverteilung u0' durch Gl. (30) unter Berücksichtigung von (31) und (29a), so erhält man die Bildraumintensitätsverteilung r{

x

o) =

/ / / /

r

i ( x o i . ^02) Vo(xoi)

V>*ix02)

uR{x0'

— ae 01 ) uR*(x0'

— x02)

dx1 dx2 dy1

dy2

(34a)

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung

755

in Abhängigkeit von der Amplitudentransparenz des Objektes und von der Intensitätsverteilung der Lichtquelle, die als Fouriertransformierte in der Kohärenzfunktion [14] + CO rL{x01,

x02) = JI

IL{xL) exp | 2 n i y

(xol - x02) x £ j dxL dyL,

(36)

— oo

enthalten ist.

Durch diese Kohärenzfunktion wird die gegenseitige Kohärenz der Lichterregungen in den beiden Objektpunkten O1(®01) und O1(ac02) erfaßt, da sie das Interferenzglied derjenigen shear-Interferenzen darstellt, die man bei Überlagerung der ineinander verschobenen Teilerregungen u 0 1 und u 02 erhalten würde. Entsprechend nimmt diese Kohäre'nzfunktion bei Inkohärenz (lL(xL) = (IL) = const) den Wert ( I L ) ö(x oi — xwi) a n J während bei Kohärenz (/jr (ac£) — (IL) ö(xL — xLo) der Wert (IL) exp {2ni plpL(x01 — tf02) äCjr0l auftritt. Fallen beide Punkte zusammen, geht die Kohärenzfunktion in die Intensität über. Da man den Faktor Vxo(«o> = exp ¡2m — x0xL l (37) als komplexe Amplitudentransparenz des Raumes zwischen Lichtquelle und Objekt auffassen kann, läßt sich die Kohärenzfunktion unmittelbar vor dem Objekt als +

Vi02(3C02. « i ) dxL dyL

(36a)

darstellen. Die Amplitudentransparenz des Objektes verändert die Kohärenzfunktion zu Voi(®oi) Vo*2(«o2)-

(38)

Dies bedeutet, daß man allgemein die Kohärenzfunktion einer ausgedehnten Lichtquelle in 2 Punkten P^Xpj) und P2(Xp2) einer beliebigen Ebene durch die komplexe Amplitudentransparenz y>P(xP, xL) in diesen Punkten entsprechend + 00

rP(xPl,

xP2)

definieren kann.

= ff —00

V>p*(xP2, ae L) dxL dyL

(36b)

Wegen Gl. (30) übertragen sich bei der optischen Abbildung Amplitudentransparenzverteilungen vom Objektraum durch Faltung in den Bildraum, d. h., die Übertragung der Kohärenzfunktion durch ein abbildendes System erfolgt durch einen doppelten Faltungsprozeß. + 00

r0 (x'01> x'02) = f f f f r0(x01, x02) uR{x'01

x 01 ) ur*(x'02

x02) dxn dx02 dyn dy02 •

(39)

—00

Als Spezialfall x'01 = x'02 = x0' von Gl. (39) erhält man die mit Gl. (34 a) identische Intensitätsverteilung im Bildraum I (®0 )

=

x

(®o » o ) +00

= f f f f r0(x01, x02) uR(x0' - x01) uR*{x0' — x02) dx01 dx02 dy01 dy02.

(34b)

—00

Die Faltung (39) der Objektkohärenzfunktion mit dem als Übertragungsfunktion dienendem Produkt der beiden Amplitudenverwaschungsfunktionen kann man durch

756

C. HOFMANN

Übergang zu den Fouriertransformierten der Kohärenzfunktion + 0° y0'{w!, w2) = f f f f r0'{x'01, x'02) exp — oo

- x'02w2)} dx'01 dx'B2 dy'al dy'm

+00 y0{ wu w2) = f f f f r0(xM, x02) exp {—2ni{x01w1

(40a)

B{Wo)) nur im Bereich von |ic0| sS 1 von 0 verschieden und konstant 1 ist, nimmt die Modulationsübertragungsfunktion T{w0) im Bereich |i»0| iS 2 monoton ab. Dies bedeutet, daß der zu übertragende Frequenzbereich bei der kohärenten Abbildung nur halb so groß ist wie bei der inkohärenten; daß aber bei der kohärenten Abbildung im Gegensatz zur inkohärenten das Signal im übertragenen Frequenzbereich nicht modifiziert wird. Aus Bild 8 geht weiter hervor, daß mit steigender Kohärenz der Beleuchtung eine Kontrastanhebung der niederen Raumfrequenzen unter Kontrastverminderung der hohen Raumfrequenzen und Abnahme des Auflösungsvermögens eintritt.

CMlä.wU k CM(0,0)1 \ \

X

/

'VXnyvx/w Übertragungsfunktion

Elementargitter

vwv [lementorgitterlgedämpft und pnosenverschoäen)

Ilw)

. l'(w)

g(w)

: inkohärent Ü'Q[W) -.kohärent

Bild 9. Behandlung der inkohärenten bzw. kohärenten Abbildung durch Fourierzerlegung des Intensitäts-(/(ac 0 )) bzw. Amplitudenverlaufs (M0(X0)) im Objekt in elementare Intensitäts-(z(«>)) bzw. Amplitudengitter (W„(M>)), die durch das optische System raumfrequenzabhängig gedämpft und phasenverschoben (/'(">) bzw. « / ( t c ) ) zum Intensitäts(Z'(x 0 ')) bzw. Amplitudenverlauf (u0'(x„')) im Bild zusammengesetzt werden

Aus Gl. (57 a) bzw. (57 b) läßt sich in Verbindung mit Gl. (52) eine lineare Amplitudenübertragung im kohärenten Fall und eine lineare Intensitätsübertragung im inkohärenten Fall ableiten (Bild 9), die durch Faltungen beschrieben werden kann. Bei der kohärenten Abbildung wird durch Beugung am Objekt der Amplitudenverlauf (30) des Objektes im ersten Abbildungsschritt in ein Spektrum von sinusförmigen Amplitudengittern ü0(w>0)

=

i ( I L ) ö0(w0)

(58)

exp ( - i k p L )

fourierzerlegt. Durch die Filterwirkung der Pupille Ü0'(tv0)

=

ü0(w0)

(59)

ipB(wB)

werden diese Elementargitter unterschiedlich gedämpft und phasenverschoben im nachfolgenden Abbildungsschritt in die Amplitudenverteilung der Bildebene fouriersynthetisiert, wobei die Pupillenfunktion als Übertragungsmaß dient (Bild 9). Die sich aus (52) ergebende Intensitätsverteilung in der Bildebene (h)

55

/ /

ö0(w0)

Zeitschrift „Fortschritte der Physik", Heft 12

yi0(w0)

e x p {—2mx0'w0\

dfi„

dv0

(52 a)

760

C. Hofmann

hängt damit nichtlinear von der Objektintensität ab. Nur bei schwach modulierten Objekten werden nach MENZEL [18] die Intensitäten bei kohärenter Abbildung linear übertragen. Im Gegensatz dazu werden bei inkohärenter Beleuchtung die Intensitäten linear durch das ungebeugte Licht übertragen, da sich in diesem Fall aus (52) eine Zerlegung der Objektintensität I(ic 0 ) entsprechend Bild 9 in sinusförmige Intensitätsgitter 1 (ic 0 ) ableiten läßt, die durch dieFilterwirkung der Pupille

/ i '(tc 0 ) = /(tc () ) ? (t» 0 )

(60)

phasenverschoben und gedämpft zur Bildintensität fouriertransformiert werden \13~\. Bei der inkohärenten Abbildung wird nur die Beugung an der Blende berücksichtigt. Die Linearität der Übertragung schließt aber die nichtidentische verwaschene Reproduktion der Intensität in der Bildebene mit ein, da durch die endliche Größe der Pupille immer eine Raumfreqtienzfilterung entsprechend Bild 9 auftritt, die die einzelnen Punktbilder zwangsläufig verwäscht.

5 . Die Anwendung der Fouriertransformation auf reale optische Systeme

Da die Anwendung der Fouriertransformation in der optischen Abbildung exakt nur bei Fresnelscher Beugung möglich ist, ist es erforderlich, entsprechend Bild 10a die Lichtquelle durch eine Kondensoroptik nach unendlich und das im Unendlichen entstehende Fraunhofersche Beugungsbild des Objektes durch ein Objektiv in dessen Bildbrennebene abzubilden. Zur Erzeugung einer ähnlichen optischen Abbildung des Objektes muß aus dessen Amplitudenspektrum ü0(w0, wL) durch eine inverse Fouriertransformation die Bildamplitude (50) rekonstruiert werden. Dazu ist das Fouriertransformationsobjektiv, das die Fraunhofersche Beugungsfigur in ihre Bildbrennebene abbildet, durch eine analoge Rücktransformationsoptik zu einem Keplerschen Fernrohr zu ergänzen (Bild 10a). Um eine scharfe Begrenzung des Fourierspektrunis des Objektes zu erhalten, muß die Aperturblende in der gemeinsamen Brennebene beider Teilsysteme des Teleskops liegen. Deshalb ist für eine derartige Fouriertransformationsoptik telezentrischer Hauptstrahlengang zu fordern [6]. Der zweite Abbildungsschritt, die Beugung an der Aperturblende, kann nur dann durch eine Fourierrücktransformation (50) beschrieben werden, wenn die Aperturblende parallel durch das von einem Objektpunkt O(x0) ausgehende Licht durchstrahlt wird. Das Objekt muß deshalb in der vorderen Brennebene der ersten Transformationsoptik und das Bild in der hinteren Brennebene der Rücktransformationsoptik liegen. Die beiden Teilsysteme müssen also sowohl bezüglich der Abbildung ins Unendliche als auch der Brennpunktabbildung korrigiert sein und — sofern die Fouriertransformation auch bèi schräger Beleuchtung ohne Verzeichnung anwendbar sein soll — beiderseitig die Sinusbedingung erfüllen [6]. Fordert man eine homogene Ausleuchtung des Objektfeldes durch ausgedehnte Lichtquellen, muß das Objekt in der hinteren Brennebene des Kondensors stehen (Bild 10a). Streng genommen ist die Fouriertransformation nur auf die Abbildung ebener Objekte, die in der Objektbrennebene des Vordergliedes eines teleskopischen Systems stehen, anwendbar. Eine derartige Abbildung ist exakt in die beiden Abbildungsschritte Fouriertransformation der Objektamplitude (43) durch das Vorderglied in die die Frequenzebene darstellende Blendenebene und Rücktransformation (50) des durch die Blende beschnittenen Fourierspektrums (59) durch das Hinterglied in die Bildebene unterteilbar (Bild 9 und 10a). Beide Schritte können unter Voraussetzung kohärenter Objektbeleuchtung auch räumlich und zeitlich getrennt ausgeführt werden, wenn man das Fraunhofersche Beugungsbild mit einer ebenen Referenz'welle überlagert, das entstehende Interferenzmuster als Schwärzungs- oder Brechzahlverteilung auf ei nei1 Photoplatte aufzeichnet

Über die Bedeutung der Fouriertransformation für die optische Abbildung

761

und .an einem derartigen Fourierhologramm eine kohärente, der Referenzwelle entsprechende Rekonstruktionswelle beugt (Bild 10b). Die Hologrammebene ist dabei als Frequenzebene der Blendenebene analog. Die Filterwirkung entsteht durch die Endlich-

tichtquelle Kondensor

Objekt •

Transformationsoptik

Blende

Rücktransformationsoptik

Bildebene

Transformationsoptik Hologrammaufnahme

Lichtquelk' Kondensor

Rekonstruktion

Mikroobjekt

Aperturblende X = — A ms2

m* = m/ • «^(A;

g).

I t should be mentioned t h a t the mapping (3.10) remains well defined also in the limit A oo. I n order to define the generator RA of the renormalization group transformation described by the mapping (3.10) one can use the formula (2.14). The local current (see the generator Qr(t)) modified the normalization of 0A and can be defined means of the normalization current operator

One gets from CCR the relation [N*(t), 0A(1, 0 ] = i0A(x,

where

NA(t) = f d3xN0A(2,

t)

(3.12)

t).

(3.13)

We obtain /

/

3

Vxl^iM

3

— + »Alx(g)

3 +

9> x,m,).(3.14)

Using again the results of Sect. 2 one can write [RA, 0A(x; g, x, ws)] = -i(?Ai*{g) If A

+ PaiM

+ 0iA/x{g) m

s

0

A

( x ; g, x, m s ).

(3.15)

oo because the limits lim 0A{x~, g, x, ms) = 0(x\ g, x, TO,) lim yAix(g) = y(g) lim p A , M = m yl—>00

(3-16)

lim »A/X(g) = »(g) A —>oo do exist, one gets for the cut-off-free renormalized theory

(

3

3 \

7(g) + /%) g j + »(g) rns —J

0(x; g, x, ms)

(3.17)

Renormalization Group Transformation

773

where the r.h.s. exists and the generator R is defined in a cut-off-free limit in the sense of derivation. Using multiple commutator formula one can write the following global formula for the renormalization group transformations: F(A) 0(x; g, x, «,) V~\X) =

g) 0

g(l; g), j , a1'2^; g)

.

(3.18)

In particular, if R\0) = 0

(3.19)

one gets the following generalization of the GML renormalization group transformations (1.10) for the Green functions