Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: Band 2 Einführung in die Theorie der Flächen [2., verb. u. verm. Aufl. Reprint 2020] 9783112383049, 9783112383032

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ANWENDUNG DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL RECHNUNG AUF

GEOMETRIE VON

GEORG S C H E F F E R S

ZWEITER BAND EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER FLÄCHEN

m LEIPZIG V E R L A G VON V E I T & COMP. 1913

EINFÜHRUNG

IN DIE

THEORIE DER FLÄCHEN VON

GEORG S C H E F F E R S

ZWEITE VERBESSERTE UND VERMEHRTE A U F L A G E

MIT HD FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG V E R L A G VON V E I T & COMP. 1913

Druck von Motzger & Wittig in Leipzig.

Aus dem Vorworte zur ersten Auflage. Diesem zweiten, abschließenden Bande der Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie seien zunächst einige Bemerkungen über die Art der Benutzung des Buches durch Lernende vorausgeschickt. Der Inhalt des ersten Bandes wird als bekannt vorausgesetzt. Es ist aber auch möglich, daß man unmittelbar mit diesem zweiten Bande beginnt, sobald man nur die wichtigeren Sätze der Kurventheorie anderswo schon kennen gelernt hat. Zwar ist es am besten, die vier Abschnitte, in die dies Buch zerfällt, der Reihenfolge nach durchzunehmen; aber der dritte, schwierigste, Abschnitt braucht nur zum Teil vor dem vierten studiert zu werden. Man findet die nötigen Hinweise darüber an den betreffenden Stellen im Buche und im Inhaltsverzeichnis. Damit die Theorie deutlicher hervortrete, sind die Beispiele, wenn sie nicht ganze Paragraphen umfassen, in kleineren Lettern gedruckt worden. Der Umfang des Buches möge den Anfänger nicht erschrecken, denn nur bei entsprechendem Räume ist es möglich, die Dinge so ausführlich zu behandeln, daß sie vollkommen verständlich werden. Es sei mir gestattet, mich noch hinsichtlich einiger Punkte den Fachgenossen gegenüber zu äußern: Dem Haupttitel des Werkes entsprechend habe ich auch in diesem Bande grundsätzlich die analytische Methode benutzt und rein geometrische Betrachtungen nur zum Erleichtern des Verstehens, bei der Andeutung weiterer Ausblicke, ferner da, wo sie besonders interessant sind, und endlich noch hin und wieder da, wo ihre rechnerische Wiedergabe auf der Hand liegt, eingefügt. Aber die Tendenz des Ganzen ist doch eine geometrische, indem ich solche Probleme aus der Flächentheorie ausgewählt habe, die in erster Linie von geometrischem Interesse sind. Man wird daher manche schöne Anwendung der Analysis auf die Geometrie vermissen, möge aber bedenken, daß das Gebiet der Flächentheorie

VI

Vorwort.

so groß ist, daß eine Auswahl daraus gestattet ist. Manches, was andere Lehrbücher bringen, fehlt hier; andererseits bringe ich manches, was andere nicht haben. Ich erwähne z. B. die Anwendung auf die Herstellung geographischer Karten, das Kongruenzproblem für Flächen und die geodätische Abbildung. Zwei grundsätzliche Abweichungen von den sonstigen elementaren Lehrbüchern sind hier diese: Erstens die beständige Mitberücksichtigung des Imaginären, zweitens die infolge hiervon unabweisliche Mitberücksichtigung derjenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, da auf diesen Flächen z. B. die EuLEBsche Krümmung3theorie nicht gilt. Eine Hauptschwierigkeit für den Anfänger in der Flächentheorie ist die Fülle der Formeln und der stehenden Bezeichnungen. In Hinsicht auf das Eine habe ich die Sache durch den Anhang von Formeltafeln zu erleichtern versucht, in Hinsicht auf das Andere dadurch, daß ich nur ziemlich wenige stehende Zeichen, diese aber beständig, benutzt habe. Ich denke, ein Kenner der Flächentheorie wird beim Blättern in diesem Buche überall orientiert sein, sobald er nur weiß, daß u, v die Parameter auf der Fläche, E, F, G und L, M, N ihre Fundamentalgrößen, X, Y, Z die Richtungskosinus der Flächennormale, Rv R2 die Hauptkrümmungsradien, K das GAUSSische Krümmungsmaß und H die mittlere Krümmung bedeuten. In Tafel XXIV findet man übrigens eine vergleichende Zusammenstellung der Bezeichnungen bei verschiedenen Autoren. Noch muß ich hervorheben, daß ich es für ausgeschlossen halte, dem A n f ä n g e r die Flächen theorie als In Varianten theorie zweier quadratischer Differentialformen beibringen zu wollen. Das kann er später aus den großen Werken, wie z. B . aus BIANCHIS Differentialgeometrie, lernen; für den Anfang bietet die Geometrie der Flächen selbst schon fast zu viel des Neuen und Ungewohnten. D a r m s t a d t , im Januar 1902.

Vorwort zur zweiten Auflage. Obgleich dieser Band schon seit mehreren Jahren im Buchhandel vergriffen war, konnte ich aus äußeren Gründen erst jetzt an die neue Bearbeitung herantreten. Ebenso wie der erste ist auch dieser zweite Band einer gründlichen Durchsicht unterzogen worden, doch lag auch hier kein Anlaß vor, den Gang der Entwicklungen wesentlich abzuändern, abgesehen von einer Stelle: Die Bestimmung der Elächen mit gegebenen und den drei Fundamentalgleichungen Genüge leistenden Fundamentalgrößen konnte ich diesmal, von einer zwar einfachen, aber pädagogisch recht nützlichen Bemerkung E N G E L S Gebrauch machend (vgl. die Anm. zu S. 340), derart in mehrere Teile zerlegen, daß die Schwierigkeiten für den Anfänger recht verringert werden: In § 3 des 3. Abschnittes wird zunächst nur das Vorhandensein einer Fläche mit den gegebenen Fundamentalgrößen bewiesen; mittels der in § 7 aufgestellten Differentialinvarianten wird alsdann gezeigt, daß alle Flächen mit denselben Fundamentalgrößen einander kongruent sind. Mit diesen beiden Ergebnissen kann man sich, wenn man will, begnügen. Nachträglich wird jedoch in den überschlagbaren §§ 8 und 9 des dritten Abschnittes erörtert, wie man eine unter diesen Flächen und damit auch alle durch Integration einer RICCATIsehen Gleichung und einige Quadraturen zu bestimmen vermag. Die Betrachtungen dieser beiden Paragraphen sind jetzt, ganz abgesehen von jener Teilung des Problems, wohl überhaupt leichter verständlich als früher. Eine andere mehr untergeordnete Abänderung ist diese: In der ersten Auflage hatte ich die natürlichen Gleichungen einer Fläche, die Hauptkrümmungsradien zuläßt, dadurch zum Ausdrucke gebracht, daß ich die Ableitungen dieser Radien längs der Krümmungskurven als Funktionen der Radien darstellte. Die hierbei auftretenden Größen sind nun aber keine absoluten Invarianten gegenüber Bewegungen und gegenüber der Einführung neuer Parameter. Deshalb habe ich es diesmal vorgezogen, statt der Radien das Krümmungsmaß K und das Quadrat der mittleren Krümmung H zu benutzen, die ja absolute Invarianten sind. Aus ihnen werden mit Hilfe der Differentialparameter vier andere absolute Invarianten gebildet, und

Vili

Vorwort.

nun sind die natürlichen Gleichungen der Fläche diejenigen Gleichungen, die aussagen, wie sich diese letzten vier Invarianten als Funktionen von K und IP darstellen. Selbstverständlich kann man von diesen natürlichen Gleichungen wieder zu denen zurückgelangen, die in der ersten Auflage benutzt wurden (vgl. S. 443). Die Flächen, auf denen K und H voneinander abhängig sind oder, wie man nicht ganz einwandfrei zu sagen pflegt, eine Gleichung zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien besteht, sind bei jenen Betrachtungen auszuschließen. Auf die Frage, wie man für sie zweckmäßig die natürlichen Gleichungen aufstellt, bin ich nicht näher eingegangen. Im ersten Abschnitte ist der § 4 über die Einhüllende einer zweifach unendlichen Ebenenschar neu. Der zweite Abschnitt ist um folgende Paragraphen bereichert worden: § 5 über die Schnittkurve von Fläche und Tangentenebene, § 7 über oskulierende Flächen zweiter Ordnung, § 12 über dreifache orthogonale Flächensysteme, § 17 über Flächen von Minimalgeraden. Viele andere geringfügigere Zusätze finden sich an den verschiedensten Stellen des Buches. Die wie im ersten Bande in der neuen Auflage auch hier überall durchgeführte naturgemäße Orientierung des räumlichen Koordinatensystems erforderte die Umänderung mehrerer Figuren, außerdem wurden mehrere neue Abbildungen eingeschaltet. Insbesondere möchte ich auf die Fig. 93, S. 363, hinweisen, die die stetige Verbiegung einer gemeinen Schraubenfläche auf ein Katenoid veranschaulicht. Wie stark das Buch bisher benutzt worden ist, hat sich darin gezeigt, daß mir von sehr vielen Seiten Verzeichnisse von Druckfehlern und sachliche Berichtigungen zugingen. Mit besonderem Danke erwähne ich wertvolle Hinweise der Herren B E C K , H A U B , E M I L M Ü L L E S , SCHUR und H. A. SCHWABZ. Findet sich mancher freundliche Mitarbeiter an der Verbesserung nicht genannt, so muß ich darauf hinweisen, daß mir natürlich eine und dieselbe Korrektur im Laufe der Jahre seit 1902 wieder und wieder von den verschiedensten Seiten her mitgeteilt worden ist. Ich schließe einerseits mit dem Wunsche, daß das Buch auch diesmal so gründliche Leser finden möge, und anderseits mit meinem besten Danke an die Verlagshandlung, deren Geduld durch die Verzögerung der neuen Bearbeitung auf die Probe gestellt wurde und die alle meine Wünsche stets auf das bereitwilligste sofort zu erfüllen die Güte hatte. B e r l i n - S t e g l i t z , im August 1913. Georg Sclicffers.

Inhalt. Erster A b s c h n i t t . Das Bogenelement der Fläche. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. § 12.

Analytische Darstellung von Flächen Die Fundamentalgrößen erster Ordnung auf einer Fläche . . . Tangentenebenen einer Fläche Einhüllende einer zweifach unendlichen Ebenenachar Fortschreitung8richtungen von einem Flächenpunkte aus . . . . Kurvennetze auf einer Fläche Flächentreue Abbildung von Flächen Isothermen auf einer Fläche . . . . • . . Bestimmung der Isothermennetze auf einer Fläche Konforme Abbildung von Flächen Konforme Abbildung der Kugel auf der Ebene Beliebige punktweise Abbildungen von Flächen Zweiter

Seite

1 14 19 26 31 43 52 68 76 81 90 104

Abschnitt.

Die Krümmung der Fläche. §

1.

§ 2 § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. §12. §13. § 14. § 15. §16. § 17. § 18. § 19.

Die Krümmung der Flächenkurven und die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung 115 Norinalschnitte und Hauptkrümmungarichtungen 125 Hauptkrümmungen bei einer Rotationsfläche 137 Haupttangenten 143 Schnittkurve von Fläche und Tangentenebene 151 Die Indikatrix eines Flächenpunktes 158 Oskulierende Flächen zweiter Ordnung 172 Fläche der Krümmungskreise der Normalschnitte eines Punktes . 180 Konjugierte Richtungen .189 Unendlich benachbarte Normalen 196 Krümmungskurven 211 Dreifache orthogonale Flächensysteme 224 Haupttangentenkurven 232 Netze von konjugierten Kurven 240 Die sphärische Abbildung und das Krümmungsmaß 255 Allgemeine geradlinige Flächen 272 Flächen von Minimalgeraden 283 Die mittlere Krümmung der Flächen 295 Minimalflächen 307

Inkalt.

X

Dritter Abschnitt. Die Fundamentalgleichungen der Fläche. Seite

§ § § § § § § §

1. 2. 3.1 4. 5. 6. 7.1 8.2

§ § § § §

9.2 10. 11. 12. 13.

Die Ableitungen der rechtwinkligen Koordinaten Aufstellung der Fundamentalgleichungen . Existenzbeweis für eine Fläche mit gegebenen Fundamentalgrößen Verbiegung einer Fläche auf eine andere Verbiegung von Flächen auf Rotationsflächen Verbiegung von Flächen konstanter Krümmung Differentialinvarianten einer Fläche bei Bewegungen Ansatz zur Ermittelung einer Fläche mit gegebenen Fundamentalgrößen Gleichungen einer Fläche mit gegebenen Fundamentalgrößen . . Funktionen des Ortes auf einer Fläche Differentialinvarianten einer Fläche hinsichtlich neuer Parameter. Die natürlichen Gleichungen einer Flüche von allgemeiner Art . Flächen, deren Krümmungsmaß und mittlere Krümmung voneinander abhängige Funktionen sind Merkmale der Verbiegbarkeit von Flüchen aufeinander . . . .

§ 14.

329 333 341 350 367 378 383 393 403 415 423 433 443 458

Vierter A b s c h n i t t . Kurven auf der Fläche. § § § § § § §

1. Geodätische Kurven 2. Geodätische Abbildung von Flächen 3. Orthogonale Trajektorien geodätischer Kurven 4. Anwendungen von geodätischen Parametern 5. Zentraflächen . . 6. Geradenscharen, die Normalenscharen von Flächen sind . . . . 7. Die allgemeine Flächenkurve

466 483 499 507 518 532 539

Anhang. Tafel

XI.

„

XII.

„ „ „ „

XIII. XIV. XV. XVI.

„

XVII. 1 2

Formeln für die Fundamentalgrößen erster Ordnung für die Richtungskosinus der Normale Formeln für die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung für die Krümmung Formeln für die Darstellung x = f (x, y) der Fläche . Sphärische Abbildung der Fläche Parallelflächen Die Ableitungen zweiter Ordnung der rechtwinkligen ordinaten der Fläche Die drei Fundamentalgleichungen der Fläche

und 555 und .

.

556 559 560 560

Ko-

Vorläufig zum Teil überschlagbar, vgl. die Anm. zu S. 345 u. S. 391. Vorläufig überschlagbar.

561 562

Inhalt.

xi Seite

Tafel XVIII. ,,

XIX.

„ „ „ „ „

XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV.

Formeln für Flächen, deren Parameterlinien Minimalkurven sind Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Krümmungskurven sind Differentialparameter Geodätische Kurven Zentraflächen Die allgemeine Flächenkurve Bezeichnungen

563 564 565 565 566 567 568

Sachregister

570

Berichtigungen

582

Erster Abschnitt.

Das Bogenelement der Fläche. § 1.

Analytische Darstellung von Flächen.

Die am nächsten liegende analytische Darstellung einer Fläche ist die durch eine Gleichung zwischen den drei rechtwinkligen Punktkoordinaten x, y, z des Raumes: (1)

F[x,y,z)

= 0,

1

vgl. I S. '208. Insbesondere benutzt man gern die Auflösung der Gleichung nach einer der drei Koordinaten, namentlich die nach z: (2)

* = f{*,y)-

Bei der Darstellungsweise (2) einer Fläche haben sich Bezeichnungen für die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von z nach x und y eingebürgert, die wir gelegentlich benutzen wollen, nämlich diese: dz dz }> P ~= 6 x • ? ).

Was ist dann der geometrische Ort aller Punkte (x, y, z), die sich hieraus ergeben, wenn die Veränderlichen u und v alle möglichen Werte erhalten? Wir setzen dabei wie früher (vgl. I S. 2) voraus, daß die Funktionen _ ~d v ~

®o)>

z

= V (u> vo)

mit dem Parameter u liegen. Diese Kurve auf der Fläche heißt die P a r a m e t e r l i n i e (w0) d e r F l ä c h e , und ihre senkrechte Projektion auf die ary-Ebene ist die im allgemeinen k r u m m e Linie x = üo)» y0 = x K> u o)> o = V (uo>vo) ist der Schnittpunkt der beiden Parameterlinien (w0) und (u0). Mithin haben wir uns die Fläche mit einem Netze von Parameterlinien (m0) und (r0) überzogen zu denken, und die Projektion dieses Netzes auf die a-y-Ebene liefert ein im allgemeinen k r u m m l i n i g e s Kurvennetz

(18)

x = rp[u,v),

y = x[u, v)

in der Ebene. Vgl. I , 1. Abschn. § 18 u. 20, wo wir die ebenen Kurvennetze ausführlich behandelt haben, insbes. I S. 145. Die Bestimmung (17) der Punkte einer F l ä c h e vermöge zweier Parameter u und v ist die natürliche Verallgemeinerung der Bestimmung der Punkte einer E b e n e vermöge zweier Parameter u und v. E s tritt eben bei der Fläche zu den zwei Gleichungen (18) noch eine dritte z = y{u,v) hinzu, die bei der x y - E b e n e — diese im Raum betrachtet — einfach durch z = 0 zu ersetzen wäre.

§ 1.

Analytische

Darstellung

von

Flächen.

11

2. B e i s p i e l : Die T a n g e n t e n f l ä c h e (4) einer Kurve hat, wenn wir jetzt statt t und z die Zeichen u und v gebrauchen, die Darstellung: x = (p (u) + v q>' (u),

y =•/_(u) + v•/'(u),

z = yj (?t) + vy/'

(u).

Geben wir u einen bestimmten Wert ii0, so heißt dies: Wir betrachten die von einem bestimmten Punkte der Gratlinie x = qi (u),

y=/(u),

x = rp(u)

ausgehende Tangente. Die Parameterlinie ( u j ist demnach eine der Geraden der Fläche, während die Parameterlinien (v0) krummlinig sind. Wenn u insbesondere die Bogenlänge der Gratlinie ist, bedeutet v die Strecke, die auf der Tangente des Punktes (u) der Gratlinie abgetragen wird, nach I S. 352. Die Linie (v„) ist daher der Ort der Punkte, die sich ergeben, wenn man auf allen Tangenten der Gratlinie die Strecke va von den Berührungspunkten aus abträgt. Die Parameterlinie v = 0 ist die Gratlinie selbst. 3. B e i s p i e l : Bezeichnen wir die Breite ß und die Länge A auf der K u g e l (6) mit u bzw. v, so liegt die Kugel vor: x = r cos u cos v,

y — rcosusinv,

*=rsin«.

Die Parameterlinie (u0) ist eine Kurve konstanter geographischer Breite u 0 , d. h. ein Breitenkreis, und die Parameterlinie (»„) eine Kurve konstanter geographischer Länge v 0 , d. h. ein Längenkreis der Kugel.

Eine geometrisch gegebene Fläche kann willkürlich mit Kurvennetzen, d h. mit zwei Scharen von einfach unendlich vielen Kurven, überzogen werden. Dem entspricht es, daß man eine Fläche nach S. 7 auf beliebig viele Weisen mittels Parameter darstellen kann. Zu j e d e r P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g gehören ganz b e s t i m m t e S c h a r e n von P a r a m e t e r l i n i e n , a b e r n i c h t u m g e k e h r t : Wir erkennen vielmehr wie früher in der Ebene, I S. 150, daß die Scharen der Parameterlinien nur dann ungeändert bleiben, wenn man statt der alten Parameter u und v solche neue Parameter ü und v einführt, von denen jeder nur von einem der beiden alten Parameter abhängt: ü = A {»),

v ~

Diese Bemerkung kann man gelegentlich zur Vereinfachung der Parameterstellung benutzen, wenn man Wert darauf legt, die Natur der Parameterlinien selbst nicht zu ändern. Da zu jedem Wertepaare (u, v) ein und nur ein Punkt der Fläche (19)

x = ff (a, v),

y = •/ (w, v),

z = •!// (u, v)

gehört, falls man den Bereich der erlaubten Werte u, v gehörig begrenzt (vgl. S. 7), so schneidet jede Parameterlinie (a) jede Parameterlinie (y) einmal und nur einmal. Wird also eine K u r v e a u f d e r F l ä c h e gezogen, so gebort längs der Kurve zu jedem Werte

12

Erster

Abschnitt:

Das Bogenelement der

Fläche.

von u ein und nur ein Wert von v, siehe Fig. 4, d. h. zwischen u und v besteht längs der Kurve eine Gleichung £(«,») = 0, vermöge derer zu jedem u ein v und umgekehrt gehört. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Kurve keine Parameterlinie sei, denn sonst wäre entweder u oder v konstant. Aber auch die Gleichungen u = konst. und v = konst. ordnen sich der allgemeinen Gleichung = 0 unter. Wir sagen also: Satz 2: Auf e i n e r F l ä c h e m i t d e n P a r a m e t e r n u und v wird jede Kurve durch eine Gleichung i2(u,v) = 0 zwischen u und v definiert. Gerade so also, wie in der Ebene eine Kurve zunächst durch eine Gleichung zwischen den beiden Koordinaten x und y gegeben wurde, vgl. I S. 1, wird auf der Fläche eine Kurve durch eine Gleichung zwischen den beiden krummlinigen Koordinaten u und v gegeben. Zu diesem Ergebnisse kommen wir auch, indem wir von der allgemeinsten Darstellungsform einer Kaumkurve mittels eines Parameters t ausgehen: * = «M,

* =

y =

vgl. I S. 203. Diese Kurve gehört der Fläche (19) dann und nur dann an, wenn es zu jedem Werte t ein Wertepaar n, v derart gibt, daß