Versicherungsmathematik. Band 2 Lebensversicherungsmathematik: Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung [2., verm. u. verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111625744, 9783111247946

Citation preview

Sammlung

Göschen

Band

917/917a

Versicherungsmathematik Von

Dr. Friedrich Böhm Professor an der Universität München

II

Lebensversicherungsmathematik Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals G. J. Gösehen'sche Verlagshandlung - J. Gnttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg fieimer - K a r l J. Trübner - Veit & Comp.

Berlin

1953

Alle R e c h t e , einschl. d e r R e c h t e d e r H e r s t e l l u n g v o n P h o t o k o p i e n u n d Mikrofilmen, v o n der Verlagshandlung v o r b e h a l t e n

C o p y r i g h t b y W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G J G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g - 3 G u t t e n t a g , Verlagsb u c h h a n d l u n g - G e o r g R e i m e r - K a r l J T r ü b n e r - Veit & C o m p , B e r l i n W 35, G e n t h i n e r S t r 13

Archiv-Nr

110917

S a t z u n d D r u c k : V E B L e i p z i g e r D r u c k h a u s , L e i p z i g (111/18/203) P r i n t e d in G e r m a n y G N. 7 3 6 1 / 4 9 - 9 8 9 1 / 4 9

Inhaltsverzeichnis» I. Teil. Lebensversicherungsmathematik. I. Kapitel: D i e V e r z i n s u n g e i n e s K a p i t a l s und die Zeitrenfe. geite §1. Die terminliche Verzinsung eines K a p i t a l s A. Die Aufzinsung a) Der terminliche Aufzinsungsfaktor b) Die terminliche Aufzinsung eines Kapitals im Laufe eines J a h r e s c) Die terminliche Aufzinsung eines Kapitals im Laufe von k Abschnitten B. Die Abzinsung oder Diskontierung a) Der terminliche Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor b) Die terminliche Diskontierung eines Kapitals für die Dauer eines J a h r e s c) Die terminliche Diskontierung eines Kapitals für die Dauer von ¿ Abschnitten §2. Die kontinuierliche Verzinsung eines K a p i t a l s A. Die Aufzinsung a) Die kontinuierliche Aufzinsung eines Kapitals im Laufe eines Jahres b) Die kontinuierliche Aufzinsung eines Kapitals im Laufe von t J a h r e n . B. Die Abzinsung oder Diskontierung Tabellen a, b, c zur terminlichen und kontinuierlichen Verzinsung eines Kapitals § 3. Die terminliche Zahlung und Verzinsung von Zeitrenten a) Die Zahlungen erfolgen nachschüssig b ) Die Zahlungen erfolgen vorschüssig c) Der Zusammenhang zwischen dem Barwert eines Kapitals und dem Barwert einer Rente d) Die inhomogene lineare Differenzengleichung für den Rentenbarwert | 4. Die kontinuierliche Zahlung und Verzinsung von Zeitrenten § 5. Die terminlich sich verändernde Zeitrente § 6. Die kontinuierlich sich verändernde Zeitrente

15 15 15 16 17 .18 18 18 19 20 20 20 21 22 22 24 24 24 25 25 26 27 29

4

Inhaltsverzeichnis.

II. Kapitel: D i e erwartung.

Sterblichkeit

und

die

Lebens-

^

§ 1. Die Zahl der Lebenden a) Die gewöhnliche Absterbeordnung b) Die terminliche Absterbeordnung c) Die kontinuierliche Absterbeordnung § 2. Die Zahl der Sterbefälle a) bei jährlichem Ausscheiden . b) bei terminlichem Ausscheiden c) Die Sterbeintensität d) Die homogene lineare Differentialgleichung für die Zahl der Lebenden e) Die Erlebens- und Sterbenswahrscheinlichkeiten bei stetiger Absterbeordnung . . f) Eine angenäherte Bestimmung der Sterbeintensität für eine vorliegende Sterbetafel

30 *30 30 31 31 31 33 34

§ 3. Die Lebenserwartung a) bei jährlichem Ausscheiden b) bei terminlichem Ausscheiden c) bei kontinuierlichem Ausscheiden d) Inhomogene lineare Differentialgleichung für die Lebenserwartung e) Näherungsmethoden zur Bestimmung der Lebenserwartung § 4. Die Sterblichkeitsformei von Gompertz-Makeham und ihre Anwendung auf eine gegebene Sterbetafel a) Die grundlegende A n n a h m e über die Sterbeintehsität b) Die Berechnung der K o n s t a n t e n c) Die Anwendung der Kingschen Methode auf die Br. Life Offices Tables 1. Die Berechnung der K o n s t a n t e n . . 2. Die P r ü f u n g der vorstehenden Berechnung . . . . 3. Die Berechnung der Sterbeintensitäten für die einzelnen Alter 4. Die Berechnung der Zahl l ( x ) der L e b e n d e n . . . Analytische Ausgleichung der 20 British Life Offices H e a l t h y Males Lives 1869

37 37 38 38

35 35 36

39 39 40 40 41 43 43 45 46 47 47

III. Kapitel: D i e E r l e b e n s f a l l v e r s i e h e r u n g u n d die Leibrente. §1. Die Erlebensfallversicherung als Grundlage der Leibrente A. Die diskontierte Zahl der Lebenden a) Einjährige Absterbeordnung b) Terminliche A b s t e r b e o r d n u n g c) Stetige Absterbeordnung B. Die Erlebensfallversicherung.

48 48 49 fco 50 51

Inhaltsverzeichnis.

5

Seite § 2. Die terminliche und die kontinuierliche Leibrente . . . 52 A. Die lebenslängliche Leibrente 52 a) Die Zahlungen erfolgen vorschüssig 52 b) Die Zahlungen erfolgen nachschüssig 53 c) Die Änderung des Barwertes mit dem Alter . . . . 54 a) Jährliche Auszahlung 54 ß) Terminliche Auszahlung 54 V) Kontinuierliche Zahlung der Rente 55 B. Die aufgeschobene lebenslängliche Leibrente . . . . 55 C. Die abgekürzte Leibrente . 56 a) Direkte Bestimmung 56 b) Einführung einer besonderen Ausscheideordnung . 5o a) einjähriges Ausscheiden 57 ß) terminliches Ausscheiden 58 V) stetige Absterbeordnung 58 D. Der Zusammenhang der Leibrente mit der Zeitrente und der Lebenserwartung 58 § 3. Näherungsmethoden zur Bestimmung des Wertes der terminlichen und kontinuierlichen Leibrente 58 Näherungsmethode 1 58 Näherungsmethode I I 59 a) Die terminliche Leibrente 60 Tabelle d zur Näherungsmethode I I 61 b) Die kontinuierliche Leibrente 62 § 4. Näherungsmethode I I I auf Grund der Euler-Mac-Laurinschen Summenformel 63 A. Kurze Ableitung dieser Summenformel 63 B. Anwendung der Summenformel 65 a) Fall der jährlich vorschüssig zahlbaren lebenslänglichen Leibrente 66 b) Fall der terminlich vorschüssig zahlbaren lebenslänglichen Leibrente ^ 66 c) Fall der mittleren ferneren Lebensdauer 67

IV. Kapitel: D i e T o d e s f a l l v e r s i c h e r u n g .

§ 1. Die Risikoversicherung als Grundlage der Todesfallversicherung A. Die diskontierte Zahl der Toten . . . B. Die Risikoversicherung § 2. Die terminliche und die kontinuierliche Todesfallvcrsicherung A. Die sofort beginnende lebenslängliche Todesfallversicherung a ) Die Versicherungssumme wird a m Ende des Sterbej a h r e s ausbezahlt . . b) Die Versicherungssumme wird a m Ende des Sterbeabschnitts ausbezahlt c) Die Versicherungssumme wird sofort beim Tod ausbezahlt

68 68 69 70 70 70 71 71

6

Inhaltsverzeichnis. d ) B e m e r k u n g ü b e r die F u n k t i o n C(x) = D(x)- n(x) e) D i e Ä n d e r u n g der E i n m a l p r ä m i e m i t d e m Alter .

C

2 3 X2 = ® '

— c 2 3 a;2 + c 2 3

= 0.

58

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

mit dem Ergebnis: 2 + i — + — ) c ]122 + ( — + — ) C2 23 3 J] a> \TOj m2/ \m2 ' m3l

das mit co2 = z gesetzt auf eine quadratische Gleichung führt, die schließlich zwei positive Eigenkreisfrequenzen zu w1 und a>2 liefert. c) S c h w i n g e r m i t « - M a s s e n . Das Bildungsgesetz für die w-Massen führt auf eine Gleichungsform die nur graphisch zu lösen ist. Für w-Massen gibt es (n — 1) Eigenkreisfrequenzen. Das Bildungsgesetz für die Koeffizienten ist von H o l z er aufgestellt, es liefert rechnerisch unbequeme Ausdrücke. Graphische Verfahren von G ü m b e l , G e i g e r und insbesondere das analytische indirekte Verfahren von T o l l e bringt die Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen rechnerisch einfacher. 3216 I n d i r e k t e s V e r f a h r e n Es soll zunächst am Dreimassensystem (Abb, 46) gezeigt werden

Abb. 46

Die Federverlängerung ist Al12 — a2 — alt die elastische Federkraft e12 = c12 (a2 — Oj).

Schwingungssysteme unter elastischer Kräftewirkung

59

Auf die zweite Masse wirken die elastischen Kräfte — e i2 u n ( l die Massenkraft m2 x 2 . Mit x2 = a2 sin co t erhält man x2 = — a 2 m2 a>2. Es wird also für ein beliebiges co und bekanntes a2

e 23

e2

3

e 21 =

e2

3=

ß12

®2 m2 »2

> •

Aus e2Sl = c 2 3 (a 3 — a 2 ) berechnet sich: «3 = «2 + ~

°2 3

•

Mit dem nun errechneten Ausschlag a.3 kann die Rechnung in gleicher Weise für die dritte Masse durchgeführt werden usw. Für 2 = i erhalten wir für die ¿-Masse die Gleichungen: i — a% m-i w2 dynamische ^

ti, i+i = e-i-i, di+i = ai +

i T fgleichung.

elastische

iL±tL

Ci, i+1

(328)

'

Damit ergibt sich folgender Rechnungsgang für ein gewähltes co, wobei wir ferner a^ = 1 setzen. Da sich links der Masse 1 keine Feder befindet und auch keine äußere Kraft wirkt, ist e 0 1 = 0 . Wir erhalten: »1 = 1 . e oi ß

12

= °> =

al

~~~ ml

al

0)2

aa - aa 4- i l l - 11 2 — l + — —

a

=

— ml m1 r

0)2

'

a>2

i2 '

e 2 3 = e12 — tn2 a 2 a>2 usw. Die Rechnung selbst ist einfacher als die allgemeine Ableitung erkennen läßt, sie soll deshalb an einem Drei-

60

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

massensystem gezeigt werden. Gl = 20 kg,

ml =

ff, = 60 kg,

m, =

ff 3 = 30 kg,

m3 = ~

20

= 0,02039 kg s2 c m " 1 , - = 0,06118 kg s2 c m - \

in

= 0,030 59 kg s2 cm - \

c 12 = 3,248 kg c m - 1 , c23 = 2,029 kg c m - 1 . Gewählt sei:

co = 9 s _ 1 , co2 = 81 s - 2

öj = 1,000 cm, w2 = 0 - 0 , 0 2 0 3 9 - 1 - 8 1 = - 1 , 6 5 9 kg,

e13 = e0l — m^ o» e23

+ = =

e ia

—

= 1,000 — - ^ ¡ j m

2

a2

-1,659 -

p «3 = « 2 + 1 7 C34 = = e23 —

=

m 3 a3

-4,084 -

= + 0 , 4 8 9 4 cm,

0)2

0,06118 • 0,4894 • 81 = - 4 , 0 8 4 kg, 4 0R4. = 0,4894 —

= _

1,5246 cm,

«>" 0,03059 ( - 1 , 5 2 4 6 ) 8 1 =

-0,308kg.

Da eine Feder 34 nicht vorhanden ist, muß eai = —0,308 als äußere K r a f t angebracht werden, um das System im Gleichgewicht zu halten; e!i = —0,308 kg = R = Restkraft. Noch einfacher wird die Durchrechnung mit folgendem Rechenschema 1 ), wenn man zunächst die Werte i^eo 2 ; m2 ü)2 ; m3 co2 berechnet. *) Mail zeichnet zweckmäßig das Schema mit kräftigen Strichen auf, legt ein durchscheinendes Papier darauf und führt die Rechnung auf diesem für verschiedene tu aus.

Schwingungssysteme tinter elastischer Kräftewirkung m= 9 e

c -1,659

12

-1,659 -4,084 + 3,776

34

-0,308

i

a

mco2 .

+1,0000

1

-0,5106

3,248

-2,425 23

a>2 = 81 -1,659

:

61

-4,955

.

-2,477

.

+ 0,4894

2

-2,0140

2,029

-1,5246

3

R _____ - +2 = -0,00381 frl

Die Durchrechnung fiir co = 10 liefert eine Restkraft R = + 1 , 0 5 kg, woraus zu ersehen ist, daß zwischen co = 9 und co = 10 R = 0 wird, eine Eigenkreisfrequenz

vorhanden ist. Die zweite liegt zwischen 15 und 16. Trägt man die errechneten Restkräfte als Funktion von a> auf, so erhält man (Abb. 47) als Eigenfrequenzen w1 = 9,2 und o ) 2 = 15,2 s - 1 .

62

Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme Um

Maßstabsänderungen ü OJ

zu vermeiden,

kann

man

zweckmäßiger —t als Funktion von w auftragen 1 ). Hierfür ß

müssen wir noch untersuchen, welchen Wert —2 f ü r co — 0 CO annimmt. Die Weiterrechnung des allgemeinen Verfahrens führt nach Ordnen der Glieder auf eine Gleichung der Form. ^ = _ ^ _j_ a w 4 ß m& _ E s wird: R —

=

und allgemein Die

R

— (m^ + »»ü + m3) - f a —>n• 0 \ OJ') = /

~~ K

+

m

*

+

m

3) '

lim eo->-0

- K u r v e ist in Abb. 48 wiedergegeben.

+0,02

0 '

'Co

-0,02 -0,0*

-0,06 5

/

/

\ 1

-0,03 -0,1

10 A b b . 48

Weitere Rechenschema finden sich in der Literatur. T o l l e zeigte, daß bei einer Durchrechnung des Verfahrens ') Vorschlag Tolle.

Schwingungssysteme unter einfacher Kräftewirkung

63

von beiden Massenenden aus (Vor- und Rückwärtsrechnung) bei Änderung von Massen und Federkonstanten das ganze Verfahren nicht nochmals durchzurechnen ist, sondern in einfacher Weise die dadurch hervorgerufenen Reständerungen ermittelt werden können; es ist ferner möglich, die Anlage unter Wirkung einer äußeren Kraft zu berechnen usw. Hierüber im zweiten Band bei den Torsionsschwingungen, für die das Verfahren aufgestellt wurde. Trotz der mannigfachen neuen Verfahren kann es auch heute noch für die praktische Durchführung als das Ubersichtlichste und rechnerisch Einfachste bezeichnet werden. 3217 S y s t e m e m i t Üb e r s e t z u n g e n im e l a s t i s c h e n Teil Zwischen den elastischen Gliedern und Massen sind Übersetzungen vorhanden, die eine Reduktion der Federkonstanten und der Massen erfordern. Nach Abb. 49 besteht das System aus den beiden Massen m1 und m i , den elastischen Gliedern cx und c 2 , die an einer masselosen Scheibe mit den Hebelarmen r1 und r 2 angreifen. Zur Umrechnung auf den gemeinsamen Hebelarm r gehen wir von der Energiegleichung aus. Zu einer bestimmten Zeit habe die Masse m1 den Ausschlag xl. Die Gesamtenergie, bestehend aus der potentiellen Energie Abb. 49 Ep und der kinetischen Energie E^ ist: d!x1 E = EP + Ek = i- Cl x\ + ~ m1 (329) 1W Für die auf r reduzierten Werte m* und m* lautet die Energiegleichung: d"x* + y m* dt2

64 Bestimmung der Scbwingungsdauer einfacher Systeme Die Summe der Energie beider Systeme bleibt nur konstant, wenn E* = Ep und E% = Ek ist. Hieraus folgt: * d2xf

d2 x,

* 9e| C| Xj — C^ und wegen

x\ : x1 = r: r1,

In gleicher Weise erhält man: m% Zweckmäßig wählt man zur Reduktion r = 1, oder man reduziert den einen Teil auf den anderen. Für die Reduktion von 2 auf 1 wird r = rx und m

i

=

m

c

i >

«Mif-

»n; = | - M »i,,

i

=

c

i> (331)

Co = I —-12 c„

oder für 1 auf 2, mit r = r2: (332) In Worten ausgedrückt: Man reduziert 1 auf 2, indem man «1 und Cj mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses von 1 auf 2 multipliziert. Hierfür kann man auch schreiben: ' M i = (-)*

,

[c]i = (Ii-) 2 C l ,

wenn, wie bei den Grenzen der Integralen [ 1 auf 2, das Quadrat von r ± auf r 2 , also

(333) bedeutet ist.

Eine weitere Näherungsmethode usw. der einzelnen weglassen.

T a y l o r sehen

Entwicklungen

65

unbedenklich

h J f(x)dx + h -A, \f(x) + W -A2 | f'(x) l + h*-Ä3\ f"(x) l + • • • = hv£= 0f(a + vh)+h*l— \Z! / *2"= 0/'(« + »*) +

Da im allgemeinen das Integral einer Funktion leichter zu bestimmen ist als die Summe einer großen Zahl von Ordinaten f , kann man auch die E u l e r s c h e Summenformel dazu verwenden, diese Summe der Ordinaten angenähert durch jenes Integral und die Ableitungen der Funktion an den Enden des Intervalls auszudrücken. Die Werte der Koeffizienten A t ergeben sich sukzessive aus den Gleichungen ¿

+ A =

¿

+

+ ^

=

¿

+ £

+ ^

+ ¿ 3 = 0;

Die Annäherung mit Hilfe der E u l e r s c h e n Summenformel ist demnach:

0 s f(x)dx^h"£f(a + vh) + A|/(*)|> g|/' )| (a; a+ f B. Anwendung der Summenformel.

F ü r unsere Zwecke beschränken wir die Summenformel bis auf Glieder mit h? (eigentlich mit h 3 , da A a = 0) und schreiben B ö h m , Versicherungsmathematik II.

5

66

Die Erlebensfallversicherung und die Leibrente.

sie in der Form:

/ b— a

f ( a

+

t ) d t

~

h

"¿Ii* r =

+

"

'0

+

4

I / { «

0

+

t) [ ; —

• -

^

12 | / > + o i r

a) F a l l d e r j ä h r l i c h v o r s c h ü s s i g z a h l b a r e n lebenslänglichen Leibrente: o

=

x ,

b

=

co,

n

=

co

—

x ,

/

a i

n

m

m )

—

=

l

Lm

^

=

a

x

;

N +I ¡ix).

1

1

a.^a,--^

v

y

m ( c o

—

x ) ,

h

zahlbaren —.

m

1

—

—

™

1

12 m2

( 3

+

f i

x

) .

;

Eine weitere Näherungsmethode usw.

67

Durch die Gleichsetzung dieser beiden Ausdrücke für Wx erhalten wir die gewünschte angenäherte Darstellung des Wertes der terminlichen Leibrente nach der Näherungsmethode III: m

(m)

ai « a*

—

1

m2

r

—

1

2

zm

1 ¿m i

• ( — x,

f { x ) =

h =

1;

f ' ( x ) = - f i

x

da wir für Z(z + i) und festgesetzt haben.

t =

;

/(a+i)

1;

l ( x

+

t)

/(cu) = 0;

o j - x ,

t =

=

/

o > - x ,

»

=

0 ,

+ i) für t = co — x den Wert 0

a> — x w —

/

f ( a

+

t)dt

=

t ( x ) ;

1 T

z—1

£

1

V=0

E

L

|ttx

'

—,— = e»,

f ( a

+

o T-T1"*-6*

vh)

1 ~l2

=

Da für terminliches Ausscheiden entsprechend 1

2ro

1

12 m2 '

0 (m)

fix

_

ergibt sich durch Vergleich die folgende Annäherung der terminlichen Lebenserwartung nach der Näherungsmethode III: (m)

TO

— 1 TO2 — 1 2m 12to2

5*

Die Todesfallversicherung.

68

IV. K a p i t e l .

Die Todesfallversicherung. Eine Todesfall Versicherung liegt vor, wenn im Fall des Todes eine bestimmte Summe fällig wird; im Gegensatz zu dem Risiko einen bestimmten Z e i t p u n k t zu erleben, erstreckt sich das Todesfallrisiko auf eine bestimmte Zeitd a u e r . Je nach der Art der Absterbeordnung wird man vereinbaren, daß die Summe am Ende des Sterbejahres bzw. des Sterbeabschnitts oder sofort beim Tod ausbezahlt wird. § 1. Die Risikoversicherung als Grundlage der Todesfallversicherung. A. Die diskontierte Zahl der Toten. Als diskontierte Zahl der Toten eines Jahres bzw. eines Abschnitts definieren wir: Cx+V =

• dx+v = v • Xqx+V • D„+r\

< •D 1• w m

Cm hat keinen Sinn; man kann ihm — wie C(w) — formal den Wert 0 beilegen.

Risikoversicherung als Grundlage der Todesfallversicherung. 69 Das Verhalten der Cx ist vermöge der Zusammensetzung aus ±qx und Dx nicht eindeutig: zunächst Abnahme, dann Zunahme, von einem bestimmten Alter an j edoch beständige Abnahme*). B. Die Risikoversicherung. Vereinbart man, daß die Todesfallversicherung von Jahr zu Jahr, von Abschnitt zu Abschnitt, von Moment zu Moment durch die entsprechenden Einlagen erneuert wird, so stellen die Quotienten: v

' 11x+r

(v

=

0 , 1 , . . . C O — X — 1)

die entsprechenden Risikoprämien dar; man nennt sie auch „natürliche Prämien", weil aus ihnen die Natur des Sterbefallrisikos besonders klar hervorgeht. Die Risikoversicherung ist die primitivste Form der Todesfallversicherung, am nächsten dem Umlageverfahren verwandt. Die Prämien werden zu Beginn der Zeitstrecke, für welche das Risiko übernommen werden soll, einbezahlt und verzinst; die Sterbefälle werden am Schluß der Zeitstrecke ausbezahlt; die gesamten Prämien sind damit aufgebracht; eine Reserve entsteht nicht; für die nächste Zeitstrecke ist ebenso zu verfahren. Die natürlichen Prämien nehmen wie die entsprechenden Sterbenswahrscheinlichkeiten mit *) Vgl. Sterbetafel M. W. I. 3'/>%, Tab. 10, s. S. 204/5; auch V. M. I., S. 148/49 und Tab. 12, S. 45.

70

Die Todesfallversicherung.

dem Alter zu; das Verfahren, sich gegen eine solche beständig steigende Prämie gegen Todesfall zu versichern, hat alle (Vor- und) Nachteile des Umlage Verfahrens. § 2. Die terminliche und die kontinuierliche Todesfallversicherung. Wie bei der Leibrente unterscheidet man: A. Die sofort beginnende lebenslängliche Todesfallversicherung. B . Die aufgeschobene lebenslängliche Todesfallversicherung. C. Die abgekürzte Todesfallversicherung. Fügt man zu der letzteren noch die entsprechende Erlebensfallversicherung hinzu, so erhält man: D. Die gemischte Versicherung oder die Versicherung auf Ab- und Erleben. A. Die sofort beginnende lebenslängliche Todesfallversicherung. a) D i e V e r s i c h e r u n g s s u m m e w i r d a m E n d e des S t e r b e j a h r e s a u s b e z a h l t . (Vgl. V. M. I. Kap. I I , § 4 c S. 46) 4 A

* ~

-

Dx

~

M

*

Dx-

Infolge der Identität Cx = — ADX — dDx irnd damit

2 C X = D Ax = I — d • 2tx,

x

ist

- d Z D

x

d. h. die Sterbefallsumme 1 könnte dem Versicherungsnehmer gleich bei seinem Eintritt gegen die Einmal-

Terminliche und kontinuierliche Todesfallversicherung.

71

prämie A x zunächst als verzinsbares Darlehen ausgehändigt werden; der entsprechende Zins ist bis zum Eintritt des Todes vorschüssig in der. Höhe d zu entrichten; erst am Ende des Sterbejahres ginge die Summe endgültig in seinen Besitz über. b) Die V e r s i c h e r u n g s s u m m e wird a m E n d e des S t e r b e a b s c h n i t t s a u s b e z a h l t . Entsprechend ist 4-

Dx

Z°i

=

Aus

m )

_

DP x • -Bf

M

m

und m

folgt

Af> = \ (Erklärung ähnlich wie unter a)!) c) Die V e r s i c h e r u n g s s u m m e wird s o f o r t beim Tod ausbezahlt.

In der Grenze gilt: A x = 1 — d • ä^; stellen wir den Wert A x direkt auf, so erhalten wir durch partielle Integration dasselbe Ergebnis:

A(x) = j^- J vt • l(x + t)fi(x + t)dt ^

co-

r

0

i =

co — X

7 "

f C ( x + ,)n 7

J

W

72

Die Todesfallversicherung.

oder infolge l(x + t) • fi{x + t)dt = —dl(x + t) 2 u

o Diese Relation besagt: Der Versicherte hat die ihm gegen die Einmalprämie Ax vorläufig als Darlehen ausbezahlte Versicherungssumme 1 bis zu seinem Tode mit dem Jahresbetrag

h

—

x ,

t)

d ( x )

=

z ,

— f i ( x ) ;

=

1 ;

f ( x

+

t)

=

- D ( x

+

=

t ) , u ( x

+

also

—

J

;

t)

;

m

a>

x

= 0.

f ( w )

t —

\ A

t

2

x ,

~J

/'(co)

3

=

^>jA

0 .

x

-f~

Auf Grund der Annäherung c5t 1 + dt ergibt sich demnach mit Hilfe der E u l er sehen Summenformel die folgende angenäherte Darstellung für Ax:

6*

84

Die Todesfallversicherung.

also umgekehrt

b) T e r m i n l i c h e Die entsprechende e

(\m H ~l S-u(x+

Auszahlung.

Grundfunktion n+—

m

+ t) • D(x + n +

m

—+t)dt

DW C(x + n + — m =

+t)e6t

DM

i s t zu summieren über alle Abschnitte ( n ~ V '''w x J \s = 0 , 1 , . . . m — 1 und innerhalb eines jeden Abschnitts von 0 bis — zu intern grieren. Die beiden Summationen lassen sich vereinigen, wenn man s' = m • n + s setzt : s ' = 0 , 1, . . ., m (co — x) — 1. Das Ergebnis ist die Annäherung: Ax

~x

b) D i e a b g e k ü r z t e T o d e s f a l l v e r s i c h e r u n g mit steigender Versicherungssumme. <

- ^ 7 - = TL G«40 = 20933;

Ni0 = 344428;

Ar30 - Ni0 = 269 981;

|(-ß3o - -Bio - 10 itf40) = 6880; -^30 - N i 0 - ¿(P 3 0 - R i 0 - 10 i f 4 0 ) = 263101. a) Erlebensfallversicherung: 10P ' (Nso - ^«o) = -D«o • 'S, xo-P' • (# 30 -

A74o

10P'(10000)

10P(10000)

= 775,35 DM;

- 4(^30 - -«40 - 10 Ml0)) = i>40 • S, = 795,62 DM ( = 1,02614 • 1 0 P);

l ü F ( P ) =

4 U ' '

S

=

1093,8

D M ;

97 47 loF(P,) =

7 ^ 2 '5 =

1225,1 D M ( = 1 , 1 2

'loF(P))-

Die übrigen Fälle b), c), d) sind ebenso zu behandeln!

Die Berechnung der Prämienreserve nach m Jahren.

117

A b s c h n i t t II.

Die R ü c k g e w ä h r der P r ä m i e n ohne Zuschlag. A.

Entwicklung

der

Formeln.

§ 1. Die Berechnung des Zuschlags. Nachdem der Zusehlag Z nicht zurückgewährt wird, ist durch ihn nur das Risiko der Rückgewähr des vereinbarten Teils der Normalprämien P zu decken. Diese zusätzliche Leistung ist wie in Abschnitt I eine abgekürzte Todesfallversicherung m i t steigender Summe bzw. eine Erlebensfallversicherung auf die Summe k • n • P. In den Fällen a), b) und c) ist nZ

• (Nx -Nx+.)

= k- nP • (Rx - Rx +

n

- n •

Mx+n);

im Fall d) ist nZ

• (Nx - Nx

+ n)

= k • n • „ P • Dx + x.

Die Berechnung der Normalprämie P erfolgt wie in Abschnitt I ; die Gesamtprämie ist „ P " = „ P + nZ.

§ 2. Die Berechnung der Prämienreserve nach m Jahren. Wir wollen nur f ü r den Fall der Erlebensfallversicherung die Formeln entwickeln; die übrigen Fälle sind ähnlieh zu behandeln. Dx + m- mV(P") = (nP + nZ)(NxNx+m) -k-nP(Rx — Bx+m — to • Mx + m) = «P • (Nx - Nx + m — k • (Rx — Rx + m - m • Mx+n)) + „Z • (Nx Nx+a). Infolge der Relationen: 8• Dx+m = JP• (Nx -Nx+m), und

mZ

• (Nx - Nx+m)

Dx+m-mV(P)

= k • mP • (Rx — Rx+m

= nP-(Nx — m • Mx

-Nx+m) + m)

118

Die Prämienrückgewähr.

erhalten wir nach einigen Umformungen die Darstellung: mV(P")

= mV(P) • (l - ^ p j + ^ - s .

B. Numerische Beispiele zur Rückgewähr Prämien ohne Zuschlag.

der

1. D i e B e r e c h n u n g d e s Z u s c h l a g s . Wie in Abschnitt I sei x — 30,

n = 35,

k = £;

8 = 10000 DM bzw. R = 1000 DM. F ü r die Fälle a), b) und c) ist S5Z-

572545 =

35P-

im Falle d) ist 35 Z • 572545 =

35P

74362,5, • 84980,

d.h. d.h.

35 Z

35 Z

= 0,128 • 3 5 P ;

= 0,148 • 3 6 P .

Wir haben also die Zusammenstellung: DM

a) P =

DM

84,81,

P' =

97,47,

DM

2 = 10,86,

DM

P" =

95,67

b) P =

73,12,

P' =

84,03,

Z=

9,37,

P"=

82,49

c) P =

60,08,

P'=

69,05,

Z=

7,70,

P"=

67,78

d) P = 146,89,

P ' = 172,49,

2 = 21,80,

P " = 168,69

2. D i e B e r e c h n u n g d e r P r ä m i e n r e s e r v e n a c h 10 J a h r e n . Wie in Abschnitt I sei nur der Fall der Erlebensversicherung ausführlich behandelt: 36P 10 Z

= 84,81 DM,

• (N30 - Ni0) =

10 Z

36 Z

= 10P=

775,35 DM,

= 84,81 • 0,128 = 10,86 DM,

• 266981 • i(Ä30 - Pio - 10 Mw) =

I02

lnP

• 6880;

= 775,35 DM • 0,02548 = 19,76 DM,

1 0 F(P)

= 1093,8 DM.

Zwei Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 119 Danach ergibt sich für die entsprechende Reserve bei Prämienrückgewähr ohne Zuschlag: 10V(P")

= WV(P) • (l -

+

= 1093,8 • (1 - 0,02548) + 140,1 = 1065,9 + 140,1 = 1206 DM. Die übrigen Fälle sind ähnlich zu behandeln. Wie zu erwarten, hat die Reserve ohne Rückgewähr den kleinsten Wert: 1093,8 DM und die Reserve bei Rückgewähr der halben Gesamtprämie den größten Wert: 1225,1 DM, während die Reserve bei Rückgewähr der halben Prämie ohne Zuschlag: 1206,0 DM dazwischen, jedoch mehr gegen den letzteren Wert hin liegt.

VIII. K a p i t e l .

Die Versicherung verbundener Leben. § 1. Zwei Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bevor wir die verschiedenen Arten von Versicherungen verbundener Leben näher erörtern, seien zwei wichtige Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung kurz behandelt, deren Lösung bei der Aufstellung der Prämien für die Versicherung verbundener Leben mit Vorteil verwendet wird. 1. Aufgabe. In s aufeinanderfolgenden Versuchen sei mit den voneinander unabhängigen Wahrscheinlichkeiten f t zu erwarten, daß ein bestimmtes Ereignis E eintritt; qv = 1 — p sei die W. für das Gegenereignis E', d. h. die W. dafür, daß E im v-ten Versuch (v = 1 , 2 , . . ., s) nicht auftritt. Wie groß ist die W. P (m ) S , daß innerhalb dieser s Versuche E g e n a u m-mal, also E' genau n = s — m-mal eintritt?

120

Die Versicherung verbundener Leben.

Die 2* Glieder des Produkts 7 7 G>, + ? , ) = ! v=l stellen je die W. einer der 2» möglichen Aufeinanderfolgen von E und E' dar. Handelt es sich u m keine vorbestimmte Aufeinanderfolge von m-mal E und n-mal E', sondern u m alle möglichen Aufeinanderfolgen, so h a t m a n die Summe aller Glieder von [ J , welche aus j e m Faktoren f und n Faktoren q bestehen, zu bilden. Zu dem gleichen Ziel gelangt man, wenn m a n von der erzeugenden Funktion

n (Pv t + q,) = i 1 P ( w ) , • t m v=i m=0 ausgeht und den Koeffizienten von t m bestimmt. Der erste S u m m a n d von den (£) Summanden, aus denen P( m ) s besteht, ist Vi • Vz • • • Tm • ?m+i • 2»»+ 2 • • • ?» = Pl • TV • •?>»»• ( ! — P m + l ) ( ! — P»+2>. • • • . ( ! — ? » ) • Führt m a n bei diesem Summanden die Multiplikationen aus, so treten Produkte mit einer Anzahl von »» + ¿ ( ¿ = 0 , 1 , . . ., s — m) Faktoren p a u f ; ebenso bei jedem weiteren Summanden. Die gesuchte W . P(m)S erhält damit die F o r m s—m P(m)s — 2 ' ^m + i > i=0

dabei bedeutet jS m+ f die Summe aller

möglichen

Produkte von m + ¿ Faktoren p; die Koeffizienten Ai hängen als reine Zahlenfaktoren nur von i, m und s ab, nicht aber von den W. pv. W i r können also zur Bestimmung der Ai alle pv = p setzen.

Zwei Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

121

Dabei geht die erzeugende Funktion in die bekannte B e r n o u l l i s e l i e Funktion (pt + q) s über und Sm+i in

Sm+ i = (

.)

für diesen F a l l schreiben wir P ( m ) s .

+

Die Koeffizienten A{ ergeben sich aus der folgenden Identität:

m/

r

\ i

J

r

= 2 4 Sm+i = 2 A( ,. p m+i; i=0 i=0 \m -+- i/ Ai=

V » J\m} s 1 \m + i )

/m + i (¿ = 0 , 1 , . . . , s — m ) .

Die gesuchte W . P ( t ? l ) s nimmt folgende Form a n : •Mm)« — ¿ J ( — i=0

• • • + ( — 1)'

l „• } bm + i \ * /

M

(S_

W

J ««•

Bedienen wir uns für die S^ der symbolischen Schreibweise der Potenz S k, wobei gemäß der Natur der Sk jede Potenz S k für h > s gleich 0 ist, so wird

. /m + i\

{

Sm

122

Die Versicherung verbundener Leben.

die auf die prägnanteste Form gebrachte Lösung der Aufgabe 1. 2. Aufgabe. Der Tatbestand ist der gleiche wie in Aufgabe 1, jedoch wird nach der Wahrscheinlichkeit P[m]S gefragt, daß in diesen s-Versuchen das Ereignis E mindestens rn-mal auftritt: 8~m s—m s—m—v im + V +i\ P[m]s = 2 P(m+r)s ~ 2 2 ( - 1)'( „• Pm + v + iv=0 v=0 i=0 \ » / Die einfachste Berechnung von P[m\t ergibt sich durch eine Anordnung der einzelnen Zeilen dieser Doppelsumme, bei welcher Glieder mit dem gleichen Faktor Sm+v'{v' = 0, 1 , . . . s — m) in der Spalte v' untereinander zu stehen kommen; wir brauchen dann nur die Glieder spaltenweise von unten nach oben zu summieren. Gemäß dem Aufbau der Kombinationszahlen ( gilt: \

also: Pm. = 2 2(-i)M v' = 0 k=0

\

m + v' i

Jm+v'

= Sm — ^ j ^ ' &m + l + ^ 8 -ml

*

) ' m+2 $ (l+Ä)"

,

1

I

Zwei Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 123 Man erhält dasselbe Ergebnis durch die Summation der symbolischen Form für

_

Sm + i

Hm+i)s — (1 _]_

Sm =

(1

+

00

J S)«+1

+i+l

:

( S

i? Q \ T + S

Sm W +

(1 + / S ) m + 1

1 -

gm (1+S)"

S \ 1+s

Kennt man die Größen P(m)S der Aufgabe 1, so läßt sich P[ m]g sehr leicht aus der Identität

P[m\» = S ' P(m -1)« bestimmen. Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeit P, dafür, daß das Ereignis E in den «-Versuchen der Aufgabe 1 h ö c h s t e n s m-mal auftritt, ist:

m p' =S/au

=

~

1 M^iS

l l + i )

m

I S \T+~SI = 1

S

d.h. die Gegenwahrscheinlichkeit 1 — P> ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit _ / S \»>+l

P,

daß das Ereignis E mindestens (m + l)-mal auftritt.

124

Die Versicherung verbundener Leben.

§ 2. Die verschiedenen Erlebens Wahrscheinlichkeiten bei verbundenen Leben. A . Der Begriff der verbundenen Leben. Sind s Personen des Alters xv (v = 1, 2, s) einer geschlossenen Gruppe gleichzeitig an einer Versicherung beteiligt, so daß die Auszahlung der Versicherungssumme an die Bedingung geknüpft ist, daß eine bestimmte Anzahl m von Personen dieser Gruppe an dem vereinbarten Termin noch am Leben ist, so spricht man von einer Versicherung verbundener Leben. B. Die Anwendung der beiden Sätze des § 1. Um diese Sätze — welche auch dann gelten, wenn die Versuche nicht nacheinander, sondern gleichzeitig angestellt werden — in unserem Fall anwenden zu können, müssen wir voraussetzen, daß die W. npx^ für die einzelnen Mitglieder der Gruppe noch n Jahre zu leben, voneinander unabhängig sind. a) Die m-jährige E r l e b e n s w a h r s c h e i n l i c h k e i t der geschlossenen Gruppe. (Fall m = s.) Diese W. nf'£\ Xi

^ist gleich dem Produkt der n-jäh-

rigen Erlebenswahrscheinlichkeiten „ p ^ (v = 1, 2, . . ., s) der einzelnen s Mitglieders nP%,

zs

=

P

« 0 «

=

Ss

=

n

«

2

V

8

Bezeichnet man mit lXu

~ [J lx die mögliche * V=1 Zahl aller Gruppen mit je einem Mitglied des Alters x , r

Erlebenswahrscheinlichkeiten bei verbundenen Leben. 125 mit lXl+n, xt+n

zt+n dieselbe Zahl für die Alter x^ +

n,

so ist • + «Fx,, xi, . .., x,—

x!+n,...,xs+n 7 "Xu x2t . . xg

_ * lx„+n — 11 Jt — v=l 'xv

« llnPxv-

r= l

Dieses Ergebnis ist davon unabhängig, ob man für die lxv je eine andere, oder ob man immer dieselbe Sterbetafel verwendet. b) D i e v e r s c h i e d e n e n « - j ä h r i g e n E r l e b e n s w a h r scheinlichkeiten innerhalb der Gruppe . (allg e m e i n e r F a l l m). Nach Satz 1, § 1 ist die Wahrscheinlichkeit, daß g e r a d e m Mitglieder der Gruppe nach n Jahren noch am Leben sind, gegeben durch: gm „•=1

für die Auflösungsintensität der Gruppe: f i i ^ + R , xz + T , . . ., xs

— dl(xj

+T)

dl{xv+T) ~

~

v=i

+ r , x2-\-r,

• • •)

l(x± + r , xa + r , . . . ) dr '

l(x„ +r)dr

~

KX

"

+

T)

-

Die Auflösungsintensität einer geschlossenen Gruppe ist gleich der Summe der Sterbeintensitäten der einzelnen Mitglieder; die Intensitäten der einzelnen voneinander unabhängigen Vorgänge superponieren sich zu der Intensität des aus ihnen zusammengesetzten Vorgangs der Auflösung der geschlossenen Gruppe. B. Die Erlebenswahrscheinlichkeit einer geschlossenen Gruppe. t

„(s)

tPx,, %•.

—

x, —

=

— J ii(a;,+r, x,+t,.. pe

u

t s - f p(xll+z)dx I J e o v=l

,)dx

s = n t f x y=l

v

-

128

Die Versicherung verbundener Leben.

Sie ergibt sich (wie in § 2 A ) als das Produkt der Erlebenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Mitglieder. C. Sonstige Wahrscheinlichkeiten. 1. Mit Hilfe der Auflösungsintensität einer geschlossenen Gruppe läßt auch die Wahrscheinlichkeit dafür ableiten, daß die Gruppe geschlossen einen bestimmten Zeitpunkt t erlebt und dann (durch den Tod eines ihrer Mitglieder) aufgelöst wird. N B . : Die W., daß mehrere Mitglieder in diesem Zeitpunkt gleichzeitig sterben, ist unendlich klein von höherer Ordnung, kann also unberücksichtigt bleiben. Die gesuchte W . tVxl,

. . *

P K t

s

-

2 l * { ? . + t ) - * r=l

=

f

+

x2

+

l>

• • •)

dt

t f{xv+r)dr

g =

0

Z tPx-!*(Xv v=l

+

t)dt

ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, daß die Gruppe durch den Tod eines bestimmten Mitglieds in diesem Zeitpunkt t aufgelöst wird. 2. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Mitglied des Alters xx als l e t z t e s Glied der Gruppe im Zeitpunkt t stirbt, ist: s

» =

/

J 7 ' ^ - e

~ / Z4 (*»+*) 0

)

•/i(xl

+

t)dt,

wobei das Produkt ] J ' über alle v =j= Ä zu nehmen ist. Nach diesen Richtlinien lassen sich für die verschiedensten Möglichkeiten innerhalb einer Gruppe von verbundenen Leben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aufstellen.

Berechnung des Barwertes der verschiedenen Rentenarten.

129

§ 4. Die Berechnung des Barwertes der verschiedenen Rentenarten verbundener Leben. A. Zwei verbundene Leben. Gruppe I : 1. Die Verbindungsrente m — s = 2. Die Rente 1 wird zu Beginn jedes Jahres bezahlt, wenn in diesem Zeitpunkt noch beide Personen leben, d. h. bis zum 1. Tod. a

x% = 2V"

• »vfv = Zv" • >P* • *Vv

Gemäß den Definitionen Dxv = v* -lx-ly

= Dz-lu

und

Nxy =

^Dxy

erhält man (in der allgemein üblichen Schreibweise) die Form: ~zv

N

*»

• **xy (Vgl. V.M. I.Kap. V, § 3a, S. 130.) D

2. Die Überlebensrente m = 1,

s = 2.

Die Rente 1 wird erst bezahlt, wenn nur mehr eine Person am Leben ist, d. h. vom 1. bis zum 2. Tod. a

xy

=

' "T^xy — ax + ay — 2 a x y .

Gruppe I I : Die Verbindungsrente mit vollständigem Übergang an die überlebende Person: B ö h m , Versicherungsmathematik I I .

9

130

Die Versicherung verbundener Leben.

Die Rente 1 wird bezahlt, solange wenigstens eine Person noch lebt, d. h. bis zum 2. Tod. — ' vJJxy = &X 4" &y (Vgl. V. M. I. Kap. V, § 3d, S, 132.) I I . und 12. zusammen ergeben II. B. Drei verbundene Leben. Gruppe I : 1. Die Verbindungsrente schlechthin m — s = 3. Die Rente 1 läuft so lange, als alle 3 Personen noch am Leben sind, d . h . bis zum 1. Tod. "xyz — 2. m• = 2, s = 3.

— ™xyz•

Die Rente 1 läuft so lange, als 2 Personen am Leben sind, d. h. vom 1. bis zum 2. Tod. ^x y z ~ ^2 ^ 3. m = 1, s = 3.

~ &xy

^yz "I-

x

Die Rente 1 läuft nur, wenn eine Person am Leben ist, d. h. vom 2. bis zum 3 Ted. a%z =

- 2Sa + 3Ss = &x + ny + sij - 2(aX)/ + + &yz +

+

3axl/z.

Gruppe I I : 1. m = 2, s = 3. a

aTtf 2

=

2/S3 = a r y

a y z + aiX

'2axyz.

Die Rente 1 läuft so lange, als wenigstens 2 am Leben sind, d. h. bis zum 2. Tod.

Näherungsmethoden.

131

2. »i = l , s = 3. a

xlz

=

— S 2 -f- 1

m = 2, ==

+

s = 3. a

jf +

S

Z

( a z2/

+

a

iit) •

Die Rente 1 läuft so lange, als entweder eine oder 2 (also höchstens 2) Personen am Leben sind, d. h. v o m 1. bis zum 3. Tod. N B . : Der Fall m = 0 k o m m t bei den Renten nicht in Betracht. A n m e r k u n g : Die Kapitalversicherungen, wie die zugehörigen Prämien- und Reserveberechnungen, lassen sich nach diesen Richtlinien genau so behandeln wie die entsprechenden Berechnungen f ü r ein Lehen, um so mehr, als auch hier zwischen der einmaligen Prämie f ü r die Kapitalversicherung u n d der zugehörigen verbundenen Rente die entsprechende Relation A • • • = 1 — d • a . . . besteht. F ü r 2 verbundene Leben sei auf die entsprechenden Berechnungen in V. M. I. K a p . V, § 4, S. 137 f hingewiesen, wo ausführliche Beispiele durchgeführt sind. § 5 . N ä h e r u n g s m e t h o d e n z u r D a r s t e l l u n g der terminlichen und kontinuierlichen Yerbindungsrente für 2 Personen. Würde man wie bei einer Person für die geschlossene Gruppe die Annahme K + n+ J-,y+n+— m

=

m

^x+n, y+n

— —nl ' (h+n,u+n

~

hy) 9*

132

Die Versicherung verbundener Leben.

machen, so würde sich gegenüber dem Kap. III, § 3, S. 59 f. Näherungsmethode I I nichts ändern. Wir wollen aber die Annahme gleichmäßigen Absterbens für jedes einzelne Mitglied machen; dabei gibt sich Gelegenheit, die Methode II von einem allgemeinen Gesichtspunkt aus systematisch zu behandeln. a) T e r m i n l i c h n a c h s c h t i s s i g e Z a h l u n g der V e r b i n d u n g s r e n t e . Die Grundfunktion /

1

„m-n+s.

s x + n-1---m

m

-I

y+nA

m

I x - h

gibt den durch l x • l y geteilten Barwert einer Zahlung je —• an die l m,

x + n-i— m

•l

„ Paare, welche von den in

v+n+— m

die Versicherung eingetretenen l x • l y Paaren am Ende des s. Abschnittes des n + 1. Versicherungsjahres noch vorhanden sind. Näherungsweise wird dann i

x-n

s • i s +— y+m— m m

=

i m — I \ m

s

s ' l'x rn

Im ( "

— s

\

m

m s

' i'y + n

(m m—

' ''x. + n+i

'u+nrl

"

s)2 ' lx+n —

/

m

i'x-t n'h'+n

+l

s2 1

TO"

'

\ )

' iy -f n

(TO — .?)s H

\ I •

+ n+ 1 ' ly + n+ 1 •

"I" 'ar-r»+1' '¡/f »)

Näherungsmethoden.

133

Die Summation nach n geht bis an das Ende der Tafel des ältesten Mitglieds und zeigt keine besondere Schwierigkeiten. Bei der für jedes Versicherungsjahr gleichbleibenden Summation nach s treten folgende Summen auf: I m 1 m 1 m m2 ¿ f t

m

r

ma ¿ f t

die beiden ersteren Summen sind bereits bekannt: i-v

d

i —

Im

Im

d

d —

m

Im"»

d

Im

. v

m

u

m

(Vgl. Kap. I, § 3a und § 5 I I 3 und Kap. III, § 3 II.) m

Das Polynom P/- = 2j s'" ' 'p" läßt sich ganz allgemein in S=1 folgender Weise durch die vorhergehenden Polynome Pk_ j, Pk-2» • ••> Po ausdrücken: P,.(l _

cp)

=

£

{sk

_ (8—1)4)^« —

nfi

cpm+

•

s= 1

=

2

( - l )

x + 1

P k - > . - m

k

Berücksichtigt man noch m(

1 —