Geschichte der Elementarmathematik: Band 1 Rechnen [2., verbes. u. sehr verm. Aufl. Reprint 2020] 9783112348628, 9783112348611

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GESCHICHTE DER

1ELEMENTAR-MATH EMATIK IN S Y S T E M A T I S C H E R

DARSTELLUNG

MIT B E S O N D E R E R B E R Ü C K S I C H T I G U N G DER F A C H W O R T E R VON

DR. JOHANNES TROPFKE DIREKTOR DER KIRSCHNER-OBERREALSCHULE ZU BERLIN

ERSTER

BAND

RECHNEN

ZWEITE. V E R B E S S E R T E UND SEHR VERMEHRTE AUFLAGE

B E R L I N U N D L E I P Z I G 1921 VEREINIGUNG W I S S E N S C H A F T L I C H E R WALTER DE GRUYTER & CO.

VERLEGER

VORMALS G. J . GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG • J . GUTTF.NTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG • GEORG REIMER • KARL J . TRÜBNER . VEIT & COMf.

Alle Rechte, einschließlieh des Überßetzungsrechts, vorbehalten.

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort zur ersten Auflage. Die hohe Bedeutung geschichtlicher Forschungen in der Wissenschaft, wie insbesondere der große Wert, der in der Verwendung geschichtlicher Mitteilungen auch bei dem mathematischen Unterricht ruht, ist so allgemein anerkannt, daß es sich erübrigt, an dieser Stelle näher darauf einzugehen. Anders liegt die Frage, wie ein Schulmann oder ein Gebildeter überhaupt — sei es zum Gebrauch im Unterricht, sei es zur Selbstbelehrung — sich die historischen Kenntnisse zu eigen machen kann. Bis vor kurzem war die Geschichte der Mathematik nur in vielen einzelnen Abhandlungen, zum Teil sehr speziellen Inhaltes, zerstreut .behandelt. Einen Markstein in der Entwicklung des geschichtlichmathematischen Studiums bildet CANTOES großes Meisterwerk.1 Seine zusammenfassende Darstellung des immer umfangreicher gewordenen, vielseitigen Stoffes gibt uns in meisterhafter Schilderung einen klaren und tiefen Einblick in den großen Werdegang unserer modernen Mathematik. Den Einzelheiten wird, soweit es zum Verständnis der Allgemeindarstellung nötig ist, möglichste Ausführlichkeit gewidmet; aber naturgemäß kann bei einem so groß angelegten Werke, wie bei der Fülle des zu bearbeitenden Materials erschöpfende Behandlung in diesen Einzelheiten nicht verlangt werden. Gerade das Studium der CANTOB sehen Vorlesungen hat daher eine beträchtliche Anzahl neuer Arbeiten hervorgerufen, von denen die einen die nun erst kenntlicher gewordenen Lücken der Geschichtsforschung auszufüllen sich bemühen, andere sich mit einheitlicher Darstellung der Geschichte von Sondergebieten, wie der Trigonometrie u. a. beschäftigen und daher das engere Thema eingehender durcharbeiten können. Die vorwiegend historische Anordnung in CANTOES Werk bereitet dem Leser, der sich über ein Thema unterrichten will, große Schwierigkeiten, da die stufenweise Entwicklung des gesuchten Stoffes aus den verschiedensten Kapiteln mit Hilfe des Inhaltsverzeichnisses zusammengetragen werden muß. Monographien sind noch nicht in größerer Zahl vorhanden; zum Teil stellen auch diese noch ein so 1 MOBITZ C A N T O R , Vorlesungen über Geschichte der Mathematik — Bd. I , dritte Auflage, Leipzig 1907 — Bd. II, zweite Auflage, Leipzig 1900 und 1913 — Bd. III, zweite Auflage, Leipzig 1901 — Bd. I V , Leipzig 1908 — (kurz als CANTOR, 1 S , 2S, 3», 4» angeführt).

a*

Vorwort.

XV

umfassendes Sachgebiet dar, daß das Beantworten der gestellten Frage nur wenig erleichtert wird. Für ein Werk, das imstande sein soll, schnell Auskunft über diesen oder jenen Punkt zu geben, das also als eine Art Nachschlagewerk dienen kann, ist deshalb die systematische Anordnung durchaus vorzuziehen. Nach diesem Gesichtspunkt ist die vorliegende Geschichte der Elementarmathematik behandelt worden. Angeregt durch das Studium mathematisch-historischer Schriften, hatte der Verfasser begonnen, sich eine stofflich geordnete Sammlung geschichtlicher Notizen herzustellen, um sie im Unterricht hier und dort benutzen zu können. Neben den Vorlesungen CANTOBS waren die Schriften von BALTZEB, BBETSCHNEIDEB, CHASLES, FBEEDLEIN, GÜNTHEB, HANKEL, TBEUTLEIN, UNGEB,

KLÜGEL,

MATTHIESSEN,

NESSELMANN,

SÜTEB,

ferner die Zeitschrift für Mathematik und die Bibliotheca mathematica durchgearbeitet worden. In einer Programmabhandlung Ostern 1899 erschien, übersichtlich geordnet, der erste Teil dieser Zusammenstellung. Die Unvollständigkeit des gefundenen Materials trat schon beim Abfassen dieser Abhandlung so klar hervor, daß eine Fortsetzung unterdrückt wurde. Als unerläßliche Notwendigkeit stellte es sich heraus, das bereits begonnene Quellenstudium zunächst weiter durchzuführen. Es war das eine mehrjährige, äußerst umfangreiche Vorarbeit, die ihren Ausdruck in den Fußnoten findet Der Neubearbeitung lag daher eine erheblich vergrößerte Stoffmenge vor; daß diese von Vollständigkeit noch ziemlich weit entfernt ist, kann niemandem klarer sein als dem Verfasser. Der gewählte Stil nähert sich bei dem Umfang des Stoffes lexikalischer Kürze. Durch eine breitere Darstellung, die entschieden leichter gewesen wäre und zu der oft genug das Interesse zum Thema verlocken wollte, hätte die Übersichtlichkeit gelitten. Auch durfte der Umfang des Baches nicht über eine gewisse Grenze hinausgehen, damit der Charakter eines Handbuches gewahrt bleibe. Anderseits Würde zu große Knappheit in der Form die Klarheit und Deutlichkeit beeinträchtigt haben. Gesperrt gedruckte Stichworte erleichtern das Zurechtfinden. Die sich oft in derselben Form wiederholenden Zeitangaben waren nötig, um auch denen, die nur diesen oder jenen Abschnitt herausgreifen, die historische Folge stets vor Augen zu führen. In unseren elementar-mathematischen Lehrbüchern ist geschichtlichen Belehrungen leider selten eine Stelle eingeräumt. Nur wenige neuere Leitfaden ahmen das beachtenswerte Beispiel BALTZEBS nach! Es wäre nicht der schlechteste Dank, den der Verfasser für seine Arbeit hätte, wenn das reichlich gebotene Material hierin eine Änderung herbeiführte; zu keinem Zwecke würden die Resultate seiner Mühe freudiger zur Verfügung gestellt werden. Ein Erfolg wäre es schon, wenn endlich einmal so viele fälsche, leider nur zu fest eingewurzelte Bezeichnungen aus dem Unterricht verschwinden würden, wie „Diophantische Gleichungen, Cardanische Formel, Goldener Schnitt,

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Vorwort.

Lunulae Hippocratis, Huddesche Methode, Gauss sehe Zahlenebene" und viele andere, wenn die richtigen neueren Erklärungen für das Pluszeichen aus et, den Wurzelhaken aus einem Punkt (nicht aus einem r), das Prozentzeichen °/0 aus Cto. ( = cento), für den Zusammenhang des x der Gleichung mit dem italienischen cosa usw. die allbeliebten ialschen Erzählungen verdrängten. Auf die Genauigkeit der Angaben, besonders in den Anmerkungen, ist größter Wert gelegt worden. Die Zitate sind den Originalen selbst entnommen. In den wenigen Fällen, wo dies& dem Verfasser nicht zugänglich waren, sind die Gewährsmänner gewissenhaft genannt. Ein allgemeines Namen- und Sachregister wird am Schluß des zweiten Bandes beigefugt werden. B e r l i n , im Sommer 1902. Der Verfasser.

Vorwort zur zweiten Auflage. Seit Erscheinen der ersten Auflage hat die mathematisch historische Wissenschaft große Fortschritte gemacht. Besondere Verdienste um sie hat sich GUSTAF ENESTBÖM (Stockholm) erworben, der die Bibliotheca mathematica zu einem Mittelpunkt der Forschung ausbaute, in ihr wie von einer Warte aus alle fachlichen Veröffentlichungen verfolgte und in Berichten und Berichtigungen, in Kritik und Anregung, nicht zum wenigsten in eigener wertvoller Mitarbeit Förderung schaffte. Wenn sich MOBITZ CANTOB auch in seinen Vorlesungen ein bleibendes Denkmal errichtet hat, so stellte sich doch vielfach bei strenger Nachprüfung Unzulänglichkeit in Bericht, Urteil und Genauigkeit heraus, die ernsten Widerspruch und exakte Verbesserung forderte. Hier trat die Bibliotheca mathematica nachdrücklich ein.2 Eine Reihe befähigter Fachgenossen haben sich in jüngster Zeit zum Wort gemeldet; von deutschen Gelehrten sind D. MAHNKE, E. RATH, F. RUDIO, W. SCHMIDT, P. STÄCKEL (f), H. VOGT zu nennen, vor allem HEINBICH WIELEITNEE, 3 für das Ausland H. BOSMANS, FL. CAJOBI, TH. HEATH, J. L. HEIBEBG, G. R . KAYE, L. C. KABPINSKI, G. LOBIA, D. E. SMITH, P. TANNERY (F), H. G. ZEUTHEN (F). Die inter2

Vgl. u. a. die zahlreichen Kleinen Bemerkungen zu CANTORS Vorlesungen in der Bibliotheca mathematica. — 3 Seine in der Sammlung SCHITBEET erscheinende, zum Teil auf eigenen Forschungen beruhende Gesehichte der Mathematik, II. Teil: Von Cartesius bis xur Wende des achtzehnten Jahrhunderts, I.Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis, Leipzig 1911; 2. Hälfte: Geometrie und Trigonometrie, Berlin 1921, ebenso auch der I. Teil von S. GÜKTHEB, Von den ältesten Zeiten bis Cartesius, Leipzig 1908, geben für die einzelnen Kapitel des nachfolgenden Werkes sehr wertvolle Obersichten, die bei den hier gesteckten Zielen naturgemäß sehr kurz gehalten werden mußten.

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Vorwort.

Lunulae Hippocratis, Huddesche Methode, Gauss sehe Zahlenebene" und viele andere, wenn die richtigen neueren Erklärungen für das Pluszeichen aus et, den Wurzelhaken aus einem Punkt (nicht aus einem r), das Prozentzeichen °/0 aus Cto. ( = cento), für den Zusammenhang des x der Gleichung mit dem italienischen cosa usw. die allbeliebten ialschen Erzählungen verdrängten. Auf die Genauigkeit der Angaben, besonders in den Anmerkungen, ist größter Wert gelegt worden. Die Zitate sind den Originalen selbst entnommen. In den wenigen Fällen, wo dies& dem Verfasser nicht zugänglich waren, sind die Gewährsmänner gewissenhaft genannt. Ein allgemeines Namen- und Sachregister wird am Schluß des zweiten Bandes beigefugt werden. B e r l i n , im Sommer 1902. Der Verfasser.

Vorwort zur zweiten Auflage. Seit Erscheinen der ersten Auflage hat die mathematisch historische Wissenschaft große Fortschritte gemacht. Besondere Verdienste um sie hat sich GUSTAF ENESTBÖM (Stockholm) erworben, der die Bibliotheca mathematica zu einem Mittelpunkt der Forschung ausbaute, in ihr wie von einer Warte aus alle fachlichen Veröffentlichungen verfolgte und in Berichten und Berichtigungen, in Kritik und Anregung, nicht zum wenigsten in eigener wertvoller Mitarbeit Förderung schaffte. Wenn sich MOBITZ CANTOB auch in seinen Vorlesungen ein bleibendes Denkmal errichtet hat, so stellte sich doch vielfach bei strenger Nachprüfung Unzulänglichkeit in Bericht, Urteil und Genauigkeit heraus, die ernsten Widerspruch und exakte Verbesserung forderte. Hier trat die Bibliotheca mathematica nachdrücklich ein.2 Eine Reihe befähigter Fachgenossen haben sich in jüngster Zeit zum Wort gemeldet; von deutschen Gelehrten sind D. MAHNKE, E. RATH, F. RUDIO, W. SCHMIDT, P. STÄCKEL (f), H. VOGT zu nennen, vor allem HEINBICH WIELEITNEE, 3 für das Ausland H. BOSMANS, FL. CAJOBI, TH. HEATH, J. L. HEIBEBG, G. R . KAYE, L. C. KABPINSKI, G. LOBIA, D. E. SMITH, P. TANNERY (F), H. G. ZEUTHEN (F). Die inter2

Vgl. u. a. die zahlreichen Kleinen Bemerkungen zu CANTORS Vorlesungen in der Bibliotheca mathematica. — 3 Seine in der Sammlung SCHITBEET erscheinende, zum Teil auf eigenen Forschungen beruhende Gesehichte der Mathematik, II. Teil: Von Cartesius bis xur Wende des achtzehnten Jahrhunderts, I.Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis, Leipzig 1911; 2. Hälfte: Geometrie und Trigonometrie, Berlin 1921, ebenso auch der I. Teil von S. GÜKTHEB, Von den ältesten Zeiten bis Cartesius, Leipzig 1908, geben für die einzelnen Kapitel des nachfolgenden Werkes sehr wertvolle Obersichten, die bei den hier gesteckten Zielen naturgemäß sehr kurz gehalten werden mußten.

Vorwort.

VI

nationale Zusammenarbeit, die unter ENESTBÖMS Führung so schön begonnen hatte, ist durch die Ereignisse der letzten Jahre unterbunden worden. Den größten Abbruch erlitt unsere junge Wissenschaft durch das Eingehen der Bibliotheca mathemalica. Die Durcharbeitung dieser neueren Literatur, sowie tieferes Studium der Quellenschriften selbst brachte der neuen Auflage große Ergänzungen und auch Berichtigungen, so daß der Umfang des Werkes, vor allem in den Anmerkungen, die wohl den wichtigsten und schwierigsten Teil der Darstellung ausmachen, erheblich gewachsen ist. Besondere Aufmerksamkeit wurde auf die Geschichte der Fachwörter verwendet; die gleichgerichtete Arbeit von A. SCHIBMEB46 über die deutschen Fachwörter kam dem Verfasser erst zur Kenntnis, als er selbst schon den größten Teil seiner Sammlung fertiggestellt hatte. Im Äußeren ist eine Umstellung der einzelnen Abschnitte und eine Teilung in mehr als zwei Bände erfolgt; der Anschluß an das Schulpensum ist aber möglichst gewahrt. Es enthält Band I Das Rechnen, I I Allgemeine Arithmetik, I I I Proportionen und Gleichungen, I V Geometrie, V Trigonometrie und Sphärik, V I Analysis. Analytische Geometrie. Kegelschnitte. In Band V I I werden zwei getrennte Register, Namen- und Sachverzeichnis, gegeben; sie sind mit größter Sorgfalt hergestellt, um eine möglichst tiefe Ausnutzung des gesamten Stoffes zu verbürgen. Verweisungsziffern in den Anmerkungen geben immer die Stelle an, wo die entsprechenden Schrifttitel genau zu finden sind. Der Druck wurde dadurch erschwert, daß erst jetzt die Verbindung Deutschlands mit der wissenschaftlichen Außenwelt wiederhergestellt wurde und sich mehrfach durch neu zugehende Mitteilungen Änderungen im letzten Augenblick nötig zeigten. Ohne die reiche Unterstützung, die G . ENESTBÖM beim Durchsehen der Fahnen gewährte, ohne die selbstlose, fleißige und peinlich genaue Mitarbeit meines Freundes H. WIELEITNEB wäre das gesteckte Ziel nicht erreicht worden. Ihnen für ihre Hilfe zu danken, reichen meine Worte nicht aus; den besten Dank werden sie mit mir in der Anerkennung durch die Leser und Benutzer finden. Für die arabische Literatur, Schreibart der Eigennamen usw. war die entgegenkommende Teilnahme an der Korrektur durch JULIUS RUSKA. (Heidelberg) von wesentlicher Bedeutung. B e r l i n , Dezember 1920. Der Verfasser.

Inhalt. Das Rechnen.

Seite

A. Die Zahlen im allgemeinen . 3— 29 1. Die -Zahlwörter 3— 12 2. Die Ziffern 12—29 B. Die Maße 29— 46 1. Die Zeitmaße 29— 86 2. Die Winkelmaße 36— 44 3. Die Dezimalmaße 44— 46 C. Die ganzen Zahlen 46^118 I. Das Rechnen mit ganzen Zahlen . 46— 93 1. Das Kopfrechnen 46— 49 2. Das schriftliche Rechnen 49— 89 a) Die Rechnungsarten im allgemeinen . . . . 49— 64 b) Die einzelnen Rechnungsarten . 64— 87 a) Addition 64— 66 ß) Subtraktion 66— 72 p) Multiplikation 72— 80 ö) Division • • - • . . . . 80— 87 c) Das abgekürzte Rechnen . . . . - • - • . . . . 87— 893. Das Rechnen mit benannten Zahlen . • • • • . . . . 89— 93 II. Eigenschaften der ganzen Zahlen 93—110 III. Tabellen .111—118 1). Die Brüche 118—149 1. Die gewöhnlichen Brüche 118—136 a) Allgemeiner Teil. . 118-128 b) Besonderer Teil 128—136 2. Die Dezimalbrüche . 136 -149 E. Das angewandte Rechnen 150—177 1. Die Regeldetri . 150-155 2. Die Zinsrechnung . . . . . . . . . . 155—163 3. Die Terminrechnung . . 163 —164 4. Die Gewinn- und Verlustrechnung . . . 164-165 5. Die Rabattrechnung 165 168 6. Die Tararechnung 168-170 7. Die Miächungsrechnung . . . . . . 170—171 8. Die Gesellschaftsrechnung . . . . 171—175 9. Wechselrechnung 176- 177

DAS RECHNEN

TROPFKE, Geschichte. I. 2. Aufl.

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A. Die Zahlen im allgemeinen. I. Die Zahlwörter. Nur weniges vermag aus der Vorzeit menschlicher Kultur der grübelnde Verstand zu erschließen. Tatsächliche Kenntnisse, die wir aus der Durchforschung alter Bauten und Denkmäler schöpfen, reichen kaum über das vierte Jahrtausend vor Beginn unserer Zeitrechnung hinaus, literarische Funde sind erst aus noch viel späterer Zeit zu verzeichnen. Welch lange und blühende Entwickelung mathematisch-architektonischen Wissens muß indes vorangegangen sein, daß die' auf das dritte Jahrtausend v.. Chr. zu datierenden majestätischen Bauten Altägyptens hervorgebracht werden konnten! Wie weit in die Vergangenheit muß unser geistiges Auge blicken, um den Anfängen rechnerischer Leistungen nachzuforschen, wenn uns zwei kleine unscheinbare Tontäfelchcn aus dem dritten Jahrtausend v. Chr. von hohen abstrakten mathematischen Kenntnissen Babylons erzählen, Kenntnissen, die von Beschäftigung mit Quadratzahlen, mit Sexagesimalbrüchen zeugen!1 Dichter Nebel verhüllt diese Fernen historischer Forschung, nur Vermutungen und Annahmen können zum Ersatz herangezogen werden. Dem Beginn der Sprachenbildung muß die Entstehung des Z a h l b e g r i i f e s vorangegangen sein. Wie die Henne, die instinktiv ihre Jungen zählt, eine Art Begriff der Anzahl besitzt, so im Urzustand der Mensch. Sehr allmählich erwuchsen den. Begriffen Worte, meistens aus Bezeichnungen von Dingen, die in der betreffenden Anzahl aufzutreten pflegen. Geringer veranlagte Völker ' Die sogenannten Täfelchen von Senkereh (unweit Babylon), gefunden 1854, vgl. R. LEPSIÜS, Abh. Ak. Berlin, Phil. u. hist. Abt. 1 8 7 7 ( 1 8 7 8 ) , S. 1 0 5 — 1 4 4 . Die neuesten Ausgrabungen der Pennsylvania-Universität unter Leitung von H. V. HILPRECHT haben in der Tempelbibliothek zu Nippur Täfelchen mit mathematischen Texten an das Licht gebracht, die bis zum Jahr 2 4 0 0 v. Chr. zurückreichen. The Babylonian Expedition of tke Untrersily of Pennsylvania. Series A. Vol. XX. Part. 1. Philadelphia 1906. 1*

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Die Zahlen im

allgemeinen.

konnten nur zu Wortbildungen für wenige Einheiten gelangen, andere vermochten zu einem Z a h l e n s y s t e m fortzuschreiten. Nach und nach erhöhte sich das Bedürfnis, die Zahlenreihe zu erweitern; die Anzahl der Finger, als stetig vor Äugen, wurde maßgebend, um Ordnung in diese Reihe zu bringen. 2 Fast alle Völker der Erde besitzen Zahlensysteme, deren Einheiten sich zu zehn (Finger beider Hände) gruppieren. Nur wenige Fälle eines Zwanzigersystemes, das die Anzahl der Finger und Zehen zusammen zum Grundtypus nimmt, sind sicher festzustellen, bei den Altmexikanern, den Kelten und einigen Indianerstämmen. Ein streng durchgebildetes Flinfersystem (Finger einer Hand) findet sich noch seltener, wenn auch solche Wortbildungen in anderen Systemen zuweilen auftreten. Spuren eines Elfersystems, dessen Entstehung zweifelhaft ist, sind bei den Neuseeländern vorhanden. Ob ein hin und wieder durchblickendes Zwölfersystem natürlichen Ursprunges ist, ob es nicht unbewußter Nachklang eines historisch nachweisbaren künstlichen System es (Babylon) ist, dürfte schwer zu entscheiden sein. 3 2

Auf diese Entstehung des dekadischen Systemea hat zuerst ARISTOTELES (381 v. Chr. Stagira in Macédonien — 322 v. Chr. Chalkis; Athen, Schule'der Peripatetiker) aufmerksam gemacht, vgl. ARISTOTELES, Problem. XV, § 3, Ausgabe Berl. Ak. ed. B E E K E R , Berlin 1831, Bd. I I , S. 910; GEMMA FRISIUS (1508 Friesland — 1555 Loewen) fügt den betreffenden Absatz des ABISTOTELES seinem Bechenbuch Arithmeticae practicae methodus faoilis, Wittenberg 1544 (1. AuS. 1540) als Anhang bei. — 3 Wissenschaftliche Betrachtungen Uber andere Zahlensysteme, als das dekadische, hat zuerst BLAISE PASCAL (1623 Clermont — 1662 Paris, Math. u. Philos.) in einer Abhandlung Caractères de divisibilité des nombres588 (PASCAL, Werke, ed. BOSSOT, La Haye 1779, Bd. V, S. 123ff.) angestellt, dann unabhängig von ihm der gelehrte Bischof J O H . CARAHVEL Y LOBKOWITZ (1606—1682), der 1670 (Campaniae) ein Werk Matkesis biceps velus et nova veröffentlichte, in dessen erstem Bande Zahlensysteme mit der Basis 2 bis 10, 12 und 60 besprochen werden (vgl. CANTOB, 2!, S. 771). Auch LEIBNIZ (1646 Leipzig — 1716 Hannover) gab sich mit derartigen Untersuchungen ab; in d. Hist. Mém. math. phys. sc. Paris 1703 (1705), S. 85—89 (Ges. Werke, ed. GERHARDT, I I I . Folge, IL Abt., Bd. 3, Halle 1863, S. 223—227) erörtert er die Vorteile und Nachteile des dyadischen Systems. Die Vorzüge eines Duodezimalsystems schildert BCFFOH (1707—1788, Paris, Naturf.) und schlägt in dem etwa 1670 niedergeschriebenen Essai darithmétique morale (BUFFON, Histoire naturelle, Bd. X, Deux-Ponts 1786, cap. XXVII, S. 125) die Bildung zweier neuen Zahlzeichen vor, um die Einfuhrung dieses von jeher von den Mathematikern bevorzugten Systems zu ermöglichen. Eine umfassende Darstellung des ganzen Gebietes mit sorgfältigen Literaturangaben gibt W. A H S E N S , Math. Unterhaltungen und Spiele, 2. Aufl. I, Leipzig 1910, Kap. III: Numerationssysteme S. 24—104. Siehe auch Bd. II, Leipzig 1913, S. 319-333. — Nach W. C. E E L L S , Bibl. math. 13„ 1912—1913, S. 218—222 gibt es Indianersprachen mit 5" und 20er Systemen; 3er, 4er und 8" Systeme sollen auch nachzuweisen sein.

Die Zahlwörter.

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Unsere Sprache, die zum indogermanischen Stamm gehört, hat eine rein dezimale Zahlwörterreihe. Der Ursprung der Wurzeln für die e i n z e l n e n Z a h l w ö r t e r 1 bis 1000 liegt im Dunkeln. Das Wort Elf ist entstanden aus ein-lif = eins über zehn, wie Zwölf aus zteo-lif = zwei über zehn; beide weisen also nicht auf ein anzunehmendes Zwölfersystem hin. 4 Die Zehner, Hunderter usw. sind multiplikative, die dazwischenliegenden Zahlen additive Bildungen. Die Schlußsilbe in „zwanzig, dreißig usw." hängt mit dem gotischen tigus — Sexäg (Zehn) zusammen. Die Verwendung der Subtraktion (vgl. das lateinische duodeviginti) fehlt, die Division wird nur in der Verbindung anderthalb (vom Zweiten die Hälfte) benutzt. Das Bedürfnis nach E r w e i t e r u n g der Z a h l e n r e i h e kann mehrere Gründe haben; es kann aus religiösen Betrachtungen entspringen, wie bei den Indern und Chinesen, aus wissenschaftlichen Überlegungen, wie bei den Babyloniern und Griechen (ABCHIMEDES), aus Rücksichten auf Verkehr und Handel, wie im Mittelalter und in der Neuzeit. Dem Naturvolk wird tausend beinahe als unendlich erscheinen; je höher die Kultur, um so höher steigt der Begriff des Unendlichen, bis er zu den Zahlen der modernen Astronomie, die mit Lichtjahren arbeitet, gelangt. Der Buddhagläubige, Inder und Chinese, will das Unfaßbare, Erhabene seiner Gottheit durch übergroße Zahlen versinnbildlichen. So hat das Sanskrit eigene Zahlenbezeichnungen für alle dekadischen Einheiten bis 1021, ja es finden sich, auch im Chinesischen, Bildungen bis 1063, die dann zu einem System zusammengefaßt noch fünf bis sechs andere solche Systeme über sich haben. 5 Viel weiter zurück reicht die Rechenkunst der Babylonier (vgl. S. 1). Auf den in der Tempelbibliothek zu Nippur gefundenen Tontäfelchen, die aus dem dritten Jahrtausend v. Chr. stammen, will man eine Reihe großer Zahlen, als höchste unter ihnen 195955200000000, entziffert haben (vgl. S. 15).6 Der große griechische Mathematiker ABCHIMEDES (287 v. Chr. — 212 v. Chr., Syrakus), bestrebt zu zeigen, daß die Zahlenreihe nach oben keinen Abschluß besitzt, sucht in seiner sogenannten Sandrechnung (xfjcef»(UTrjq, arenarius]7 die Anzahl der Sandkörner zu * Vgl. M. HEYNE, Deutsches Wörterbuch, 1*, Leipzig 1905, S. 740; 2», Leipzig 1906, S. 1464. — B Journal Asiatique, Paris 1863, Série VI, T. I , WOEPCKE, S. 257 und CANTOB, L3, S. 669. — 6 H. V. HILPRECHT, The Bab. Exped. A. XX, S. 261. Vgl. E. LÖFFLER , Die arithmetischen Kenntnisse der Babylonier und das Sexagesimalsystem, Arch. Math. Phys. 17S, 1911, S. 189. — 7 Archimedis opera omnia, ed. HEIBEKO, Leipzig 1880, 1881, Bd. 2, S. 242—291, 2. Ausgabe 1910—1915, 2', S. 216—259; deutsch von E. NIZZE, Stralsund 1827, S. 209—223.

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Die Zahlen im allgemeinen.

ermitteln, die eine Kugel mit einem Radius von Fixsternweite enthält. Um eine solche auszudrücken, faßt er die Zahlen bis zu 10 8 zu einer Oktade zusammen; 10 8 wird als Einheit einer neuen Oktade genommen, die also bis 10 16 reicht; die dritte Oktade geht bis 10 24 usf. Solcher Oktaden stellt ABCHIMEDES im ganzen 10® auf und nennt die ungeheure Reihe dieser Zahlen die erste Periode. Hier beginnt eine zweite Période von schwindelnder Höhe, der noch andere folgen können. Die sich ergebende Sandkörnermenge berechnet ABCHIMEDES auf 10000000 Einheiten der achten Oktade in der ersten Periode. Ähnliche Gruppierung der unendlichen Zahlenreihe, nur zu Tetraden, nimmt APOLLONIOS von Perge (zwischen 250 und 200 v. Chr. in Alexandria, dann in Pergamum) nach dem Zeugnis des PAPPOS (Ende des dritten Jahrhunderts n. Chr., Alexandria) vor.8 Während diese wissenschaftlichen Zahlenfortführungen geistiges Eigentum nur weniger ausgesuchten Gelehrten blieb, brachte Steigerung von Handel und Verkehr dauernden Zuwachs für unseren Zahlwörterschatz. Charakteristisch ist, daß in Deutschland das Wort M i l l i o n zunächst nur in der Verbindung „1 Million Gulden" auftrat, zuglèich mit der Bezeichnung 1 Tonne Gulden = 100000 G., die sich heute noch in der holländischen Kaufmannsprache findet.8" In Deutschland erscheint das Wort Million erstmalig im Rechenbuch des CHBISTOPH RUDOLFF aus Jauer (1526).9 Ihm folgt der bekannte Rechenmeister ADAM R I E S E (1492—1559, Annaberg). Die Wortform weist auf italienischen Ursprang; tatsächlich wird es benutzt in der Arithmetica des Italieners PIERO BORGI aus dem Jahre 1484 (Venedig),10 in der Summa des LUCA PACIOLI (ungefähr 1445 Borgo San Sepolcro — 1514 Florenz; Franziskaner, Lehrer der Math, an verschiedenen ¿tal. Universitäten) von 1494, dem bedeutendsten Werke jener Zeit, wo es auch zu Zusammensetzungen wie millione di millioni verwertet wird.11 Doch muß der Gebrauch des Wortes noch älter sein,11® da es Pappi math, collectiones (avvaifafi]) lib. II, cap. lff., ed. HÜLTSCH, Berlin 1876—1878, Bd. I; S. 2ff. Die Zahlen unter 10000 nennt APOLLONIUS fioiàâe: (Einheiten), die fünf- bis achtstelligen pvQiâdsç ànkaì (einfache Myriaden), die neun- bis zwölfstelligen /ivçtàôe; òmlaì (doppelte Myriaden) usf. bis fivçiàôe; TQiçxaiôexankai(10000"). — 8 * Vgl. auch T H . FONTANE, Roman „Cécile" (8.Kapitel): Ich habe von einer Tonne Goldes sprechen hören. — 9 Künftlidje Hectmung mit ber ,§'ff e r onb mit ben ¿Jatpfeitnigen. Wien 1526. Sign. Aiij, Z. 18: „Das taui'ent» maltaufenb ober million." — 1 0 CANTO E, 2', S. 305. Faksimile bei D. E. Surra, Rara Arithmetica, Boston u. London 1908, S. 19. — 1 1 L . PACIOLI, Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita, Venet. 1494, Bl. 19 v°, vgl. die Übersicht am Bande. — G . ENESTRÖM brieflich: Das Wort schon zur Zeit MABCO P O L O S ( F 1324) gebraucht; vgl. H. Y U L E , Marco Polo (London 1875), I I , S. 199, Z. 12. 8

Die

7

Zahlwörter.

auch bei dem französischen Mathematiker NICOLAS CHUQUET (Lyon, Paris; f um 1500) in dem nur handschriftlich überlieferten, 1484 vom Verfasser vollendeten Werke Le Triparty en la science des nombres vorkommt; hier wird sogar bereits eine weitere Vervollkommnung der Zahlenwörterreihe angebahnt, indem entsprechend zu Million die Worte Byllion für 1012, Tryllion für 1018 und weiter Quadrülion,

Quyllion,

Sixlion,

Septyllion,

Octyllion, Nonyllion usw. vor-

geschlagen werden.11 Der italienischen Herkunft sind sich auch die deutschen Rechenmeister bewußt; CLAVIÜS (1537 Bamberg — 1612 ßom; Jesuit, zuletzt Lehrer der Mathematik im Ordenshause zu Rom) b e m e r k t

wenigstens in

d e r Epitome

arühmeticae

practicaei

Romae 1588, um das schwülstige, bis dahin und selbst noch viel später übliche „tausendmaltausend" durch das neue Wort zu ersetzen: „Man könne, wenn man der Sitte der Italiener gemäß die millena milia Million nenne, jede beliebige Zahl mit weniger Worten und vielleicht sogar deutlicher aussprechen".13 Es dauerte noch eine beträchtliche Spanne Zeit, bis das Wort Million ein fester Bestandteil der Zählung wurde. Schon längst wurde Million, Billion usw. in Frankreich ständig benutzt, wie von L A ROCHE, Larismethique, Lyon 1520, L A U N A Y , L'Arithmétique Arpendage universel Toise des Bastimes etc., Anjou et Rouen 1605, die eigentlichen Gelehrten stellten sich energisch auf die Seite der neuen Lesart, so GIBARD (1595?—1632, Leiden, Lehrer der Math.),14 aber in Deutschland ist die alte Zähl weise noch im achtzehnten Jahrhundert nicht ganz verdrängt. In der mathematischen Enzyklopädie von SCHOTT, Oursus mathematicus 1674, wurde milliones bei höheren Zahlen zweifach, dreifach usf. gesetzt, ähnlich wie früher das Wort Tausend; SCHOTT führt an, daß neuere Mathematiker, um sich nicht zu wiederh o l e n , Bimilliones

f u r millicnes

millionum

u. ä . Trimilliones

bildeten.

12 CHUQÜET, Le Triparty en la science des nombres 1484 (Manuskript), Abdr. im Bull. bibl. storia mat., 13, Rom 1880, ed. M A B B E , S . 594, Zeile 4ff. — 13 2. Aufl. Coloniae, 1584, S. 10: „Iam vero si more ltalorum millena milia appellare relimvs Milliones, paucioribus verbis et fortasse significantius numerum quemeumque propositum exprimemus"'. — 14 A. G I B A B D , Invention nouvelle en l'algèbre, Amsterdam 1629, Neudruck von B I E R E N S DE H A A N , Leiden 1884 (unp&giniert), Seite A. Der Flame SIMON STEVIN (1548 Brügge — 1620 Leiden, Kaufmann, später Ingenieur), dessen mathematische Werke G I B A B D herausgab, las noch (1585) die Zahl 75687130789276: septante eincq mille mille mille mille, six cents huictante sept mille mille mille, cent trente mille mille, sept cents huiclante neuf mille, deux cents septante six, vgl. Les Oeuvres de S . STEVIN augmentées par A L B . G I B A R D , Leyden 1 6 3 4 , 1 , 3. U Arithmétique (zuerst gedruckt 1585) L. I , déf. V, explicat. Das Wort Million wird nicht benutzt bei STIFEL 1544 3 ", 361 SCHEYBL 1549 u. a., selbst nicht bei Jon. U L R . MÜLLER 16 9 5 .

8

Die Zahlen im allgemeinen.

Diese Zählart nimmt dann J . CHB. STUBM in seiner Mathesis enucleata 1689 auf. Erst durch die weitverbreiteten Lehr- und Handbücher des Freiherrn CHB. VON W O L F F ( 1 6 7 9 Breslau — 1 7 5 4 Halle, Prof. d. Math.) scheint der modernen Methode, größere Zahlen zu lesen, endgültig der Sieg verschafft worden zu sein.15 Das Wort Milliarde hat bei JACQUES PELETIEB (Varithmétique, Poitiers 1549) noch die Bedeutung million de millions, nimmt aber schon 1 5 6 6 (1. Aufl. 1 5 5 8 ) bei J A N TBENCHANT, L'arithmétique departie en trois livres etc., Lyon, den modernen Wert von 1000 Millionen an; in der ersten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts wurde es in Frankreich gebräuchlich, in Deutschland lernte man es jedoch erst durch die von Frankreich an Deutschland 1871 nach dem Friedensschluß zu zahlende Summe in weiteren Kreisen kennen. Um größere Zahlen zu lesen, muß man sie sich in Gruppen zu je sechs, bzw. drei, etwa durch übergesetzte Punkte oder Bogen, abteilen. Dies empfiehlt bereits eine anonyme Algorithmushandschrift aus der Zeit um 1 2 0 0 , 1 6 dann LEONABDO VON PISA ( 1 2 2 8 ) im Liber abaci,17 JOHANNES DE SACBOBOSCO (T 1 2 5 6 ? in Paris; daselbst Lehrer der Astron. u. Math.) im Eechenbuch Tractatus de arte numerandi18 und sein Kommentator PETBUS DE DACIA (erste Hälfte des 14. Jahrh.).19 Es ist noch auf das Wort Null einzugehen, das ebenfalls als Zahlwort aufzufassen ist. Wie wir sehen werden (S. 15 f.), ist das Zeichen für Null indisch-arabischen Ursprungs. Die indische Bezeichnung der Null éûnya (wörtlich : leer) übersetzten die Araber mit 20 al ?ifr (al der Artikel); latinisiert wurde dies bei LEONABDO VON PISA (um 1 1 8 0 — 1 2 5 0 ? ) , dem in erster Keihe das hohe Verdienst zukommt, indisch-arabisches Eechnen nach Italien verpflanzt zu haben (liber abaci 1228), mit xephirum,21 während der hochgelehrte ,B

Z. B. Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften, I. Aufl., Halle 1710 (bis in das sechste Jahrzehnt das gebräuchlichste Handbuch, dann durch die KÄSTNER sehen Lehrbücher gleichen Titels abgelöst). — 18 M. CANTOR, Liber algorixmi*», Z. Math. Phys. 10, 1865, S. 3. Vgl. G. ENESTRÖM, Bibl. math. 13s, 1912—1913, S. 265. — 17 Scritti di LEONARDO PISANO matematico pubbl. da 18 BALD. BONCOMPAOKI, I , liber abbati, Roma 1857, 8. 4. — Ed. CÜBTZE19, auch 19 J. 0. HALLIW£LL, Rara mathematica, London 1839. — Petri Philomeni de Dacia in Algorismum vulgarem Johannis de Sacrobosco commentarius, ed. COBTZE, Kopenhagen 1897, S. 3, 29 m . — 2 0 G. BÖHLEB, Ind. Paläogr.»9, S. 78, Absatz B. — 21 S. 2, Z. 24". Tn den ältesten lateinischen Übersetzungen arabischer Originale heißt die Null eirettlus (zwölftes Jahrhundert), vgl. trattati d'aritmetica P 8 , I P " . SACROBOSCOS Rechenbuch sagt: theta (vel theca) vel eireuhts vel cifra vel figura nihil (HALLIWEIX, S. 3).

Die Zahlwörter.

9

NEMOBABIÜS (t 1 2 3 7 , deutscher Ordensgeneral?), der zweite Vorkämpfer für die neuerwachende mathematische Wissenschaft in der Demonstratio de algorismo „sciffula",22 ein anonymer Algori thmik er aus der ersten Hälfte des zwölften Jahrhunderts, 23 ebenso der ein Jahrhundert jüngere Algorithmus demonstratioder später dem JOBDANUS NEMOBABIÜS zugeschrieben wurde, cifra verwendet Hieraus entstand in Frankreich chiffre ( 1 3 5 6 , handschriftlich, vgl. S. 1 2 ; 26 1 4 8 4 , Nie. CHUQÜET, Le Triparty), in Italien xero, wie lira aus livra, libra. Zero ist seit dem vierzehnten Jahrhundert in schriftlicher Aufzeichnung nachzuweisen, 2Sa im Druck 1 4 9 1 bei CALANDBI, 26 28 1 4 9 4 bei LUCA PACIOLI, 27 drang auch früh nach Frankreich ein, wo ein neues Wort für Null nötig wurde, da chiffre im 14. Jahrhundert allmählich einen erweiterten Sinn, die gemeinsame Bezeichnung für alle Zeichen 1, 2, 3 . . . 9, angenommen hatte (vgl. S. 12 f.). Die Kenntnis von der Entstehung des Wortes cifra ist bald geschwunden. PETBÜS DE DACIA (1326/27, Kektor der Universität Paris) erklärt das ihm unverständliche Wort in seinem Kommentar (1291) zum Rechenbuch des SACBOBOSCO als Abkürzung aus oircumfaeta oder cireumferentia.29 Cifra ist aber noch lange für Null gebräuchlich geblieben, selbst zu einer Zeit, wo es längst den modernen Sinn „Ziffer" angenommen hatte (vgl. unten), so bei 39 31 32 ADBIAN METIUS 1611, HÉRIGONE 1634, CAVALIEBI 164 3, sogar im achtzehnten Jahrhundert noch in lateinischen Abhandlungen 33 EÜIIERS 1783. In FR.MEINEBTS Lehrbuch der Mathematik, Halle 1789, wird historisch-getreu nur die 0 Ziffer genannt; 1, 2, 3 . . . 9 heißen Zahlzeichen.34 Selbst GAUSS nennt 1799 35 noch die Null cifra; ja JOBDANUS

22

G. ENESTRÖM, Bibl. math. 7„ 1906—1907, S. 26 Nr. 6. — 2 3 Münchner Handschrift (1163—1168 abgeschrieben) CLM 13021, ed. CUBTZE, Abh. Gesch. Math. 8, 1898, S. 18,22. — 2 4 Algorithmus demonslratus, ed. JOH. SCHÖNES, Nürnberg 1534, Teil I, petitiones: figura 0, quae cifra, sive circulus, sive figura nihili. Bibl. matb. 13,, S. 293, Z. 2. Über die Entstehung des Algorithmus demonstratus vgl. S. 24 U.). — 2 5 CHUQÜET, Le Triparty", S. 593, Z. 16 v . u . : „chiffre, nulle, figure de nulle valeur". — 2 5 A BONCOMPAQNI, Bullet, bibl. storia 16, Borna 1883, S. 673—685. — 2 6 De arimetrica opusculum, Florenz 1491. — 2 7 LUCA PACIOLI, Summa11, Bl. 19 r° am Band. — 2 8 1485, Le kadran des marchans, vgl. LEO JOBDAN, Materialien tur Geschichte der Zahlreichen in Frankreich, Arch. f. Kulturgeschichte III, Berlin 1905, S. 191, Anm. So auch im Liure de chiffres et de getx nouvellement imprimé, Lyon 1501, Bl. 11 r°: chiffre ou xero, . . . qui ne vault riès mais elle fait valoir les autres selon les lieux ou elle est mise. — 29 Ed. CUBTZE, S. 26 10 . — 3 0 Arithmetirae et geometria& practica S. 1. — 31 Cursus mathematicus II, S. 2. — 3 2 Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmiea, Bononiae 1643, S. 3 X X I I I . — 3 3 Opuscula analytica I, Petersb. 1783, S. 87, Z. 5. — 3 4 I, Halle 1789, § 18 S. 15. — 86 Werke 3», S. 8, Z. 20.

10

Die Zahlen im allgemeinen.

in England bleibt diese Auffassung bis ins neunzehnte Jahrhundert, hinein nachweisbar. 36 In den lateinischen Übersetzungen und Bearbeitungen arabischer Schriften des zwölften Jahrhunderts scheint nun auch das Wort nul la aufzutreten. 37 Es muß sich, besonders im mündlichen Unterricht, bis zum fünfzehnten Jahrhundert stark verbreitet haben, wenn auch die gelehrte Literatur schweigt; es erscheint plötzlich, fast gleichzeitig in Frankreich (CHUQUET, Triparty 1484),38 in Italien (BOBGI, Arithmetica 1484)39 und Deutscldand (Deutsche Algorithmushandschrift 1488).40 Es fehlt im Bamberger Rechenbvch 1483268c, wie in dem von 145 WIDMANN 1489, und wird erst wieder in Deutschland indenEechenbüchern von JOH. BÖSCHENSTEYN (1514), 41 JACOB KOEBEL (1515) 42 und HENRICHS GBAMMATEUS ( = SCHREYBEB) (1518) 43 benutzt Mit Beginn des sechzehnten Jahrhunderts greift die Umdeutung des Wortes Ziffer auch nach Deutschland hinüber; daher wurde auch hier ein neues Wort, das allein nur die 0 zu bedeuten hatte, ein Bedürfnis. Wie sich in Frankreich zéro eingestellt hatte, so leistet jetzt hier nach und nach N u l l den gleichen Dienst. Der ItalienerTARTAGLXA (1499? Brescia — 1557 Venedig; Lehrer der Mathematik) zählt 1556 als zu seiner Zeit geltende Bezeichnungen der Null auf: niteceha, circolo, cifra, xerro, nulla.u Von diesen läßt sich circulus, und auch nihil, schon in der oben erwähnten Handschrift aus der ersten Hälfte des zwölften Jahrhunderts gleichzeitig mit cifra nachweisen.46 Beide erscheinen in der Folgezeit fast immer nebeneinander, z. B. in dem sehr stark gebrauchten und weit verbreiteten Eechenbuche des SACBOBOSCO (t 1256?; Oxford).19 Nulla fühlte sich noch lange in den deutschen Schriften, in denen es seit 1488 immer häufiger auftritt, als Fremdwort und 36 Z. B. HÜTTON, Course math. 1827, I 4: The fèrst nine are ealled signifieant figures as distiriguished from the cipher, which is of itself quite insignißeant. In übertragenem Sinne heute noch üblich, z. B. sagt THACKEBAY im Esmond (1852): kis lordship being Utile more than a cypher in the house. — 3 7 Vgl. Anm. 23, a. a. 0 . S. 19 nullus (vielleicht aber auch Schreib- oder Lesefehler), circulus. — 3 3 Vgl. Anm. 25. — 3 9 CANTOB, 2 S , S. 305. — 4 0 Stuttgarter Landesbibliothek H B . XI. 22. Vgl. E. RATH, Bibl. math. 14„, 1914, S. 244: . . . gijfra wirb od) genannt nulla ober figura nifjel tmb bie anderen 9 Figuren nempt man bigitos tinger. — 4 1 2Iin Hewgeorbnet Hedjen biecljleirt usw., Augsburg 1514, nach F . MÜLLEB*60, Z. Math. Phys., Leipzig 1899, Suppl. S. 319. — « JACOB KOEBEL, € y n neu» georbnet Dyftrbudj, 1515, Blatt X V , fetj ein 0 3tffern, etil nuüa . . . — 43 2iyu new funftlidj 8ued; ( W i d m u n g W i e n 1518, gedr. Nürnberg wohl 1521 (unpaginiert), am Anfang des ersten Teiles „Numeratio", unb bte 3el(enbe (figura) ifl ain ünbebeutlidje als . 0 . nulla GETJAYFFE". — 4 4 TABTAGLU, General trattato di numeri etmisure, Venedig 1556—1560, parte I, lib. I, Bl. 5 v°. — 4 6 A . a . O . " , S. 19.

Die Zahlwörter.

11

legt die lateinische Endung selten ab (z. B. 1 5 9 2 SABTOBIUS), 4 6 höchstens in der Mehrzahl ( 1 5 6 2 HOLTZMANN 4 7 ). In den enbiid?lein, Danzig 1592 Bl. I a (nach A. SCHIRMES, Der Wortschatz der Mathematik, Straßburg 1912, S. 48). — 4 7 Die Sedjs erfte 33iid?er €uclibis" 3 , Basel 1562, S. 123, Z. 1 v. u. — 4 » I. Aufg. 18, S. 44, Z. 3 v. u. So tyteffe man ltodj eilt HuOa hinter bie fe'fcen; ferner S. 46, Z. 15, S. 52, Z. 5 u. ö. — 4 9 Sp. 1486 Mitte: eine Ztulle93. — 8 0 Vollst Anleitung xur Algebra, Peters-

46

burg 1770, II, § 205, S. 424, Z. 20. — 51 Anfangsgründe der Math., Wien 1771, § 29. — 62 I, 352, Z. 2 ; aber S. 1439, Z. 16. — " Pappus, ed. HULTSCH8, I I I . Appendix

S. 1213. —

84

Vgl. Trattati I 9 ", S. 7. —

88

Vgl. A. a. O." S. 17, 21. — 56 i

S. 2, Z. 13 v. U.17 Vgl. hierzu G. ENESTRÖM, Bibl. math. 8 3 . 1 9 0 7 - 1 9 0 8 , S. 150. — 87 Oerberti opera math., ed. BCBNOW, Berlin 1899, S. 9. — 8 B Daselbst S. 7, Brief

an ConstaDtin, er. 980 n. Chr. —

88

* J . RUSKA, Arabische Texte Uber das Finger-

rechnen. Der Islam, Bd. X , Berlin 1920, S. 118. — 69 z . B. BÜT'EO, Logística, Lugduni 1559, S. 8, 9. — 60 HARSDÖRFFER, Deliciae Physieo-mathematicae, 1651, nach FEL. MÜLLER11, S. 321. — 61 Ausg. v. 1619, Frankfurt, S. 13. —

62 J . PH. GRÜSON, Grundriß d. rein. u. angew. Math., I. Halle 1799, § 24.

12

Die Zahlen im allgemeinen.

es gehört zu den deutschen Fachausdrücken, die durch die vielgelesenen Bücher v. WOLPTB Anerkennung gefunden haben ( N I E ) . 6 3 84 KÄSTNEB (1758) bildet die Zusammensetzung Dezimalstelle. In den ältesten lateinischen Schriften, die das indische Zifferrechnen nach dem Abendland brachten, war „Stelle" mit differentia, wohl in Anlehnung an diq arabische Vorlage, wiedergegeben worden, so in Algorithmushandschriften des 1 2 . Jahrhunderts, 86 von LEONARDO (1228),66 SACBOBOSCO (t 1256?; Oxford, Paris),67 während die Abacisten unter differentia die dekadische Ergänzung einer Einerzahl verstanden.68 Bei SACBOBOSCO tritt aber auch schon locus in dem Sinne von Stelle auf,89 und wird dann bald vorherrschend.70 Bei STIFEL (1546) u. a. wird es mit ftct verdeutscht. Im Französischen tritt Heu ein.28 2. Die Ziffern.

Das Wort Z i f f e r hat sich, wie eben geschildert, aus der Verallgemeinerung des alten Wortes für 0, eifra, gebildet, eine charakteristische Erscheinung, die erkennen läßt, daß man sich wohl bewußt war, welche wichtige Stelle gerade die Null unter den neu aufkommenden Zahlzeichen einnahm. Die neue Bedeutung hat cifra offenbar im Volksmund angenommen, und zwar geschah, das schon im 14. Jahrhundert. Das Volk rechnete nicht schriftlich: es hatte die neuen Zahlzeichen nur vom Hörensagen kennen gelernt und übertrug das dabei übernommene Wort „Ziffer" leicht auf alle Zahlzeichen. Wissenschaftliche Mathematiker kämpfen vergeblich gegen den entstehenden Mißbrauch des Wortes. In einer Handschrift von 1356 spricht ein Verfasser ganz erregt gegen diese Umdeutung: Quamvis solum decima . . debeat nominari ohifra, isla . 0 . . . . et alie nouem vocäntur figure ut isle . 987 . . 1, sed vulgariter secundum communem usum loquendi ignoranoium omnes decem littere appellantur chiffre. Sunt

figure! et hoc suffidat ad predita." (Obgleich nur die zehnte c h i f r a genannt werden sollte — jene 0 — und die anderen F i g u r e n 63 Math. Lexikon,

Leipzig 1716, Sp. 1486 . . . bie leeren Stelle; in bcr britten

Stelle. — ®4 Anfangsgründe d. Arithmetik16 usw. Göttingen 1758, S. 80, Z. 2 v. ti. — 65 C a n t o r , 1», S. 8 0 2 6 8 , A . NAQL*«8, S. 135, M. C d r t z b " , S. 18, Z. 4. — 66 Liber abbaciAbschnitt 5 , S. 33, Z. 24. Leonabdo h a t f ü r Stelle a u c h

gradus z. B. 8. 2, 27, Z. 1: numeri primi gradus, einstellige Zahlen. — 6 7 Algorismus ed. Cübtze i o , S. 2, Z. 2—5, S. 22, 25—26. — 6 8 Vgl. N. Bubnow, Arithm. Selbständigkeit der europäischen Kultur, Berlin 1914, S. 92. — 6 9 E d . Cobtzb 1 », S. 3, Z. 4. — 70 Bibl. m a t h . 9*, 1895, S. 38. — 7 0 " Hedjenbud? oon bet IDelidjen unb Deuifdjen p r a f t i f , N ü r n b e r g 1546, S. 2: in bet britten fJet . . a u c h schon im Hildesheimer R e c h e n b u c h 1445 3 0 0 (Ztschr. Math. P b y s . 33, 1888, Hist. lit. A b t , S. 125) u n d im B a m b e r g e r R e c h e n b u c h 1488 " e o .

13

Die Ziffern.

heißen, . . . werden dennoch beim Volk nach dem gemeinen Brauche der Ungebildeten alle 10 Zeichen Ziffern genannt. Sie sind aber Figuren! Und das genüge zu obigem.)71 In Frankreich trat bald noch eine weitere Umdeutung ein, indem man unter Ziffer schließlich „fremdartige Zeichen, Geheimzeichen" verstand; hierbei ist an unser „Chiffrieren" zu denken. Der Verfasser einer Handschrift von 1 4 8 5 s a g t : . . . se nomme chiffres, pour ce, que c'est une manière d'escripture à la lettré commune différante. [ M a n n e n n t sie

Ziffern, weil es eine Schreibweise ist, die sich von den üblichen Zahlen (den römischen!) unterscheidet].72 Das Einreißen dieser Mehrdeutigkeiten hat in Frankreich dahin geführt, daß man sich bald, wie schon erwähnt, nach einem Ersatzwort, das nur Null bedeuten sollte, umsehen mußte ; man übernahm das italienische xero, das sich dort aus zefiro (vgl. L E O N A B D O VON P I S A 1 2 2 8 , S. 8 — 9 ) gebildet hatte. In Deutschland tritt uns das verallgemeinerte Wort Ziffer erst in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts entgegen, so im Algorithmus rimatus,13 im Bamberger Rechenbuch 1483 2 6 6 E i n Beispiel kennen wir (HUSWIRT 1501),74 das sogar beide Bedeutungen nebeneinander gibt; erst in der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts wird das moderne „Ziffer" allgemein gebräuchlich. Auch hier in Deutschland hatte cifre die neue Bedeutung im Volksmunde angenommen. Gelehrte Rechner der damaligen Zeit kennen die richtige Verwendung von cifra noch und weisen auf die Umdeutung im volkstümlichen Rechnen hin. Bei S T I B O B I U S heißen

die

zehn

Zahlzeichen

figurae

significativae,

quas

iners

popellus cyphras vocat (mit Wert behaftete Zeichen, die der träge Pöbel Ziffern nennt).76 In den Rechenbüchern von JACOB K O E B E L (1514 Oppenheim, (£ynn Vieme georòent KcdjSbiidjlein)70 werden die Eindringlinge als «gyfferjale bezeichnet, die bis dahin allgemein gewohnten römischen Zahlzeichen im Gegensatz dazu als öic gemein Ceütfd? jale, eine Benennung, die sich noch 1537 und 1543 wiederfindet. So verwachsen waren die Deutschen mit den römischen Anleihen in Sprache, Schrift und Wissenschaft, 71 Vgl. L E O J O R D A N , MaterialienS. 185. — 7 2 Daselbst S. Ib8. — 7 3 Hcion figiir ber 3tffer foltu oetftan, nach M. CÜRTZE, Zentralbl. f. Bibliothekswesen 16, 1899, S. 287. — 7 4 HusWIRT, Enchiridim, Anleitung zum Rechnen aus dem Anfang des sechzehnten Jahrhunderts, neu herausgegeben v. WILDERMÜTH, Programm Tübingen 1864—1865. Ausgabe, Cöln 1504, vgl. S. a„, Z. 10 v.u. mit S. c„ Z. 7 v. u. — 7 6 Vorrede zu der Ausgabe der Tabulae ecelipsium P E Ü B B A C H S , 1514. Vgl. A. STÜRM, Bibl. math. 103, 1909—1910, S . 3 4 5 . — 76 Bl. îliij v°. Vgl. auch S. 21 (5) r° Œafel ber (Semaynen oub ber «gyffersate.

14

Die Zahlen im allgemeinen.

daß ihnen das Bewußtsein fremden Besitztums gänzlich abging. Aber auch KOEBEL kennt noch die ursprüngliche Bedeutung von Ziffer. Wenn er auch den Namen Zyffern für die zehn Zahlzeichen wiederholt gebraucht, so bemerkt er ausdrücklich, daß sie öer gemein mafi so nennt. E r sagt des weiteren mit Absicht: v tiqiaieqüv tni i« « G. ENESTBÖM, Bibl. math. 1 0 „ 1896, S. 120. — M 3 Liber de remediis utriusque fortunae, Coloniae 1471. — 1 4 3 0 UNOER" 4 , S. 36. — FR. UNOEB, Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Enticickehing vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart, Leipzig 1888, S. 36, 37. — MB Begebe cnb ljubfäe Hedjenung auff allen faüjfmannfdjajft, Leipzig 1489.

Die

Ziffern.

27

1514 146 in den ihrigen getan hatten.116 Das Rechenbuch des ADAM RIESE (1492—1559, Annaberg) von 1518 Hecfynüg auf 6er linifjen lehrt das Zifferrechnen noch nicht, sondern nur das damals übliche Linienrechnen, benutzt aber im Texte die Ziffern; dasjenige von 1522 zeigt auch das Zifferrechnen.147 Allmählich siegt das Zifferschreiben im Privatleben; von der Mitte des sechzehnten Jahrhunderts an findet es sich in Protokollen, Rechnungen usw.148 Was die Form der Ziffern betrifft, so hat sie sich, seitdem sie einmal im Druck festgelegt war (1478,266 1483, 1489), bis auf die heutige Zeit fast unverändert erhalten. Daß vorher infolge handschriftlicher Veränderung, Verschnörkelung usw. die Form sich wandelte, ist erklärlich. Hervorzuheben ist, daß für die 4, 5 und 7 im zwölften bis fünfzehnten Jahrhundert andere Zeichen üblich waren. Im Bamberger Rechenbuch266c treten beide Formen für 4, 5 und 7 gemischt auf. 0 und 1 haben stets ihre Form behalten. Die 2 erscheint auf den apices, in den westarabischen Ziffern und in Handschriften Deutschlands bis ins vierzehnte Jahrhundert hinein auf den Kopf gestellt; erst von dieser Zeit an erkennen wir die Gestalt unserer 2 heraus. Sie ist offenbar (vgl. Gwalior-Inschrift) aus der Verdopplung der 1, wie die 3 aus der Verdreifachung — ursprünglich 2 bzw. 3 parallele Striche — entstanden. Die 3 hat die indische Form (vgl. S. 28, Nr. 2) am reinsten bewahrt. Die moderne 4 tritt vereinzelt zuerst im dreizehnten Jahrhundert auf, so in der Florentiner Handschrift des Liber abaci von LEONARDO VON PISA (1228); sie wurde im vierzehnten Jahrhundert

in Italien immer gebräuchlicher und drang allmählich nach Norden vor. Die Schleifenform der 4 (vgl. Tafel Nr. 7, 8, 9, 10, 11) hielt sich in Deutschland, so lange sie noch in der Jahreszahl vorkam. Mit 1500 verschwindet sie plötzlich.149 Die 5 hatte dasselbe Schicksal wie die 2, indem sie vor Bildung der Druckschrift gerade umgekehrt geschrieben zu werden scheint.150 146

2Jin Hero georbnet Sedjen biedjlin mit ben jyffern, Augsburg 1514. — 1*7 F B . U N S E R , MethodikS. 44—55. — F R . U N G E R , Methodik, S. 14. — '« 9 Vgl. A. N A G L , Ztschr. Math. Phys. 34, 1889. Hist.-lit. Abt. S . 135. M. CURTZE, Ztschr. Math. Phys. 42, 1897, Hist.-lit. Abt. S. 152. — «0 i m Anfang des sechzehnten Jahrhunderts wurde die alte Form der 5 und 7 noch geschrieben, obgleich die moderne Form seit mehreren Jahrzehnten im Druck festlag. Vgl. die Beispiele in Schreibschrift bei GREGOR R E Y S C H , Margarita philosophica, Freyburg 1503, Bl. g,, g, verso, g„, g m .

28

Die Zahlen im allgemeinen.

Zur Geschichte der Ziffern. Indische Anfangsbuch1) staben der Zahlwörter ans dem II. Jahrh.n.Chr.

1

„, Ziffern d. indischen 6walior-Inschrift(876n.Chr.)

^

3

u

•y

tl

ff

z

5

u

u

*

n

9

X

? 7

8X 3

9 64 R. WOLF, Oeseh. d. Ästr,15S, S. 16.

32

Die Maße.

Schon in sehr früher Zeit waren die Ä g y p t e r vom Mondjahr zum Sonnenjahr übergegangen, indem sie 12 Monate mit 30 Tagen ansetzten, denen sie 5 Ergänzungstage folgen ließen. Sie erkannten bald den Fehler von einem viertel Tag, behielten aber trotzdem ihre Zeitrechnung mit kurzer Unterbrechung bei. Unter PTOLEMAEUS I I I EÜEBGETES ( 2 4 7 — 2 2 2 v. Chr.) wurde die bedeutsame Neuerung vorgenommen, alle 4 Jahre einen Schalttag einzuführen. Es geschah dies durch das (1866 wiederaufgefundene) sog. Dekret von Kanopus vom 7. März 238 v. Chr.,165 an dem wahrscheinlich der berühmte Geograph EBATOSTHENES (276 — 194 v. Chr.) beteiligt war. Leider ließ man diese wichtige'Verordnung nach etwa 40 Jahren wieder in Vergessenheit geraten. Am schlimmsten war die Unordnung im r ö m i s c h e n Kalender. Ursprünglich wohl im Besitze eines reinen Mondjahres von 354 Tagen mit 4 Monaten zu 31 Tagen, 7 Monaten zu 29 Tagen und einem zu 27 Tagen, versuchten die Römer durch ziemlich unglückliche Einschaltungen mit dem Sonnenjahr im Einklang zu bleiben. Erst CAESARS Machtspruch gelang es 47 v. Chr., die nach ihm benannte julianische Beform mit Unterstützung des SOSIGENES, der auf das Ptolemäische Edikt zurückgriff, in die Wege zu leiten (3 Jahre zu 365, 1 Jähr zu 366 Tagen). Das erste Jahr dieser Zeitrechnung (1. Januar 45 v. Chr.) begann mit dem ersten Neumondstage nach der bruma (Wintersonnenwende); der Schalttag (dies intercaiaris) lag im Februar. 166 Nach CAESABS Tode wurde diese Reform, die der Senat zuerst in folscher Auffassung in Angriff nahm, durch AUGUSTUS richtig durchgeführt Gemäß der Machtstellung Roms gelangte sie zu weitester Verbreitung und behielt bis zum sechzehnten Jahrhundert ihre allgemeine Gültigkeit, hält sich sogar noch heute bei den Staaten griechisch-katholischen Bekenntnisses (Rußland, Griechenland). In dieser Reform war das Jahr mit 3 6 5 , 2 5 statt mit 3 6 5 , 2 4 2 2 0 Tagen angenommen. Dies wurde im Laufe längerer Zeit eine neue Fehlerquelle. Bildet man für den Überschuß über 365 Tage die Näherungswerte nach dem Kettenbruchverfahren, so erhält man 1 6 ' 0 1 '

1 7 4 ' 29'

8 33'

55 227'

63 260'

181 747 ' ' "

1 8 Den Bruch — benutzt CAESAR, — liegt einem Vorschlag des 4

od

ostarabischen Astronomen 'OMAR ALHAJJSM (F 1123, Bagdad) vom 185

R. LEPSIDS, Das bitingue Dekret von Kanopus, Berlin 1866, Bd. I. — F. K. GINZEL, Chronologie I 1 " , S. 97. — 1 8 7 L. EHLER , Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748, I, 18, § 382. 186

Die Zeitmaße.

33

Jahre 1079 zugrunde, einen Zyklus von 33 Jahren einzuführen, nämlich das 4TE, 8TE, 12u, . . . , 28TE als Schaltjahr zu nehmen, statt des 32TEN aber das 33T0 zu wählen. 198 Es ergäbe dieser Vorschlag den genauesten überhaupt jemals vorgeschlagenen Wert 365,24242. In der neueren Zeit wurden die Vorschläge zur Reform des julianischen Kalenders immer häufiger, da der Fehler auf 10 Tage angewachsen war (NIKOLAUS VON CÜSA f 1464, REGIOMONTANUS f 1 4 7 6 , STIFEL T 1567). Durch eine Bulle des Papstes GREGOR X I I I . vom 1. März 1582 wurde die Neuordnung eingeleitet. Unter Mitwirkung des deutschen Mathematikers CHRISTOPH CLAYIÜS ( 1 5 3 7 Bamberg — 1612 Rom; Jesuit) wurde festgesetzt, daß die Tage vom 5. bis 14. Oktober 1582 gestrichen werden sollten und von den julianischen Schaltjahren jedes Säkulaijahr, dessen Hunderter nicht durch 4 teilbar sind, als gewöhnliches J a h r zu nehmen sei. Hierdurch erhielt das J a h r den Wert von 365,24250 Tagen, allerdings immer noch mit einem Fehler, der indes erst in 3 1 /, Jahrtausend einen Tag ausmachen wird. — Leider ließ die religiöse Spaltung Deutschlands den gregorianischen Kalender nicht sofort allgemeine Geltung finden. Die evangelischen Teile Deutschlands nahmen ihn, ebenso wie die Niederlande, erst 1700 an, wo dann der 19.—29. Februar wegblieb; die fehlenden Teile der Schweiz begannen das J a h r 1701 mit dem 12. Januar, Dänemark schloß sich 1710, England sogar erst 1752, Schweden 1753 an. 169 Der J a h r e s a n f a n g lag im alten Rom an den Iden des März; er wurde 153 v. Chr. auf die Calendae Januariae verlegt, von wo wir heute noch das neue J a h r rechnen, war jedoch in der Zwischenzeit, namentlich in christlichen Ländern, vielfachen Schwankungen unterworfen. So begann man in Deutschland in früher Zeit einem Vorschlage des DIONYSIUS E X I G U U S (+ um 540, Abt in Rom) zufolge mit dem 25. März, später mit dem 25. Dezember; in England und Frankreich ging man umgekehrt vom 25. Dezember auf den 25. März über. Gesetzlich wurde Neujahr auf den 1. Januar verlegt in Frankreich 1566, den Niederlanden 1575, Schottland 1599, England wieder erst 1752. In Deutschland und in der Schweiz erfolgte der Ubergang zum 1. Januar im fünfzehnten und sechzehnten Jahrhundert allmählich von selbst. 1 ' 0 ws

«68 ß . WOLF, Gesch. d. Astr.™, S. 331. — R. WOLF, Handbuch d. Astr. , Kap. 3 0 8 - 3 0 9 . — » 0 R. WOLF, Handbuch, d. Astr.,os, Kap. 307. — N . TARTAGLIA

erzählt in seinem Oeneral trattato**, Venet. 1556, parte I, üb. 11, cap. 4, S. 182*, daß zu seiner Zeit in Italien meistens das Jahr mit dem Januar begonnen werde, nur an einzelnen Orten, wie z. B. in Venedig, mit dem März; er TaorjrKE, Geschichte. I. 2. Aufl.

3

34

Die

Maße.

Den Beginn u n s e r e r c h r i s t l i c h e n Z e i t r e c h n u n g legt auf das Jahr 7 5 8 ab urbe condita als dais Geburtsjahr Christi. Dieser Datierung trat 604 Bonifacius IV. bei. Indessen ist später vielfach auf einen Irrtum des Dionysius bei dieser Angabe hingewiesen worden, so u. a. von dem Astronomen Johannes Keplbb (1571 "Weil der Stadt, Württ. — 1630 Eegensburg; Graz, Prag, Linz, Ulm) De Jesu Christi servatoris nostri

Dionysius Exigttus

vero anno natalitia,

Frankfurt 1606 1 7 1 und

JDiöerfyolter 2lusfülp=

Iidjer Ceutfdjer Bericht, öas »nfcr £)err dtiö £}ailanb 3 e f u s Cijriftus ntt. nufyr ein 3a^r cor 6cm 2lnfang mtferer heutiges Cags ge« breucfytgen 3afyrjaljl geboren fey, fon&ern fünff ganzer 3a*?r* Straßburg 1613.1™ In der heutigen Zeitrechnung zählt man die julianischen Jahre von der Geburt Christi an nach vorwärts und rückwärts, so daß das Jahr 1 y. Chr. und 1 n. Chr. wie bei den Historikern aufeinanderfolgen. Die Astronomie nimmt statt der Ordinalzahlen die Kardinalzahlen und schaltet das Jahr 0 ein, so daß die astronomischen Jahre vor Christus um eine Einheit kleiner sind als die historischen. Vorteile dieser Bestimmung sind, daß die Jahre ± 4 , + 8 , ± 1 2 usw. Schaltjahre sind und die Zeitdauer einfach durch Subtraktion gefunden werden kann.173 Die Vorschriften über die Lage des Osterfestes wurden auf der Kirchen Versammlung zu Nicaea auf Anregung Kaiser Konstantins 325 n. Chr. so geregelt, daß Ostern an dem ersten Sonntage nach dem Vollmond, welcher der Tag- und Nacht-Gleiche folgt, gefeiert werden sollte. Mehrfachen späteren Wünschen, fiir das Osterfest den ersten Aprilsonntag zu nehmen, ist leider nie Folge gegeben worden. In mathematische Form hat Gauss (1777 Braunschweig — 1855 Göttingen) die kirchlichen Vorschriften über die Lage des Osterfestes gebracht.174 Das W o r t K a l e n d e r hängt mit dem römischen calendae, der Bezeichnung des ersten Tages eines jeden Monates, zusammen. Es ist abzuleiten von cälare (xaXsiv = ausrufen) und bezieht sich auf das zählt demnach auf 1. Marxo, 2. Aprile, 3. Maxxo, 4. Zugno, 5. Luio, 6. Agosto, 7. Settembrio, 8. Oltobrio, 9. Nonembrio, 10. Decembrio, 11. Genaro, 12. Febraro und rechnet dabei in seinen Aufgaben jeden Monat mit 30 Tagen (Bl. 182 r°, Z. 3 v. u.). — 171 Joannis Kepleri opera omnia, ed. FRISCH, Frankfurt a. M. u. Erlangen 1 8 5 8 - 7 1 , Bd. IV, 1 8 6 8 , S. 175FF. — S. 2 0 1 ff.171. — 1 7 3 Vgl. F. K . GrazEL, Chronologie I 157 , S . 9 9 . — v. ZACH E Monatl. Korresp. 1 8 0 0 August; GAUSS' Werke, Bd. V I , Göttingen 1 8 7 4 , 8 . 73FF. Beweis von J . B. J . DELAMBRE, Conn. des temps pour Van 1 8 1 7 , Paris 1 8 1 5 , S. 3 0 7 . Vgl. O . BEAC, Das christliche Osterfest, Programm Nr. 95, Gymn. Sorau, Ostern 1905.

Die

Zeitmaße.

35

öffentliche Ausrafen des Sichtbarwerdens der ersten Mondsichel, mit deren Erscheinen ein Monat beginnen sollte. Die M o n a t s n a m e n sind dem römischen Kalender entnommen. Auf Vorschlag des M A B C U S A N T O N I U S wurde der Monat Quintiiis, in welchem C A E S A B geboren war, Julias genannt. Die Umänderung des Namens Sextiiis in Augustus vollzog ein Edikt des A U G U S T U S selbst (9 oder 8 n. Chr.). Gewählt wurde der Sextiiis nicht als Geburtsmonat des A U G U S T U S , sondern als der Monat, in dem von ihm die meisten Siege erfochten worden waren. 1 " Die Wörter Minute und Sekunde stammen von den Benennungen der sexagesimalen Bruchteile, in die nach dem Vorgang Babylons bei den Griechen die Einheit eingeteilt wurde. H I P P A B C H (zwischen 1 6 1 und 1 2 6 v. Chr. auf Rhodus) benutzte bereits die Sexagesimalteilung. In der e r h a l t e n e n griechischen Literatur findet sie sich aber erst bei dem Astronomen G E M I N U S (zweite Hälfte des 1. Jahrhunderts v. Chr.).179 Die Bruchbezeichnung lautet bei ihm nQwrov ¿^tjxoaröv, ÖSVTEQOV ¿{•rjxofjrdv sc. /leQog bzw. XtTiröv, ebenso bei P T O L E M A E Ü S (zwischen 1 2 5 und 1 5 1 n. Chr. in Alexandria) in seiner fisyüi.Tj A W R A | I S . 1 7 7 Nach P T O L E M A E Ü S sind diese Bezeichnungen durch Vermittlung der arabischen Wissenschaft dem Abendland überliefert worden. Die kurzen Bezeichnungen agtöTcc I.ENRD, ÖSVTSQCC ATITXD werden dabei in den lateinischen Übersetzungen, die nach den arabischen Schriften hergestellt werden, mit prima minuta, secunda minuta wiedergegeben. Die Spezialisierung der ungleichartigen Adjektiva minuta und secunda zu den heutigen Fachwörtern ist vielleicht schon bei den Indern, die die griechische Trigonometrie übernahmen, sicher bei den Arabern eingetreten, wie eine mittelalterliche (zwölftes Jahrhundert) Übersetzung des Bechenbuches des M U H A M M A D IBN M Ü S Ä ALHWÄKAZMI (Anfang des neunten Jahrhunderts; Perser, Astronom in Bagdad) erzählt.178 Minuta, secunda M.CANTOB, Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschickte der Feldmeßkunst, Leipzig 1875, S. 82. — 1 7 6 Ed. MANITIÜS168, S. 116; Einführung der Sechzigerteilung erst S. 204, Z. 9: xaleiiai de TO fiiv itjg fttag fioiqag e'fijxoaiöv nqS>T0v ¿¡¡rjxovidv, z'o /IBQi&lV (Divisor= ¡JBQiafiög) {liyoc, fiegiiJftoc) Quotient = 6 ex tov

(iBQiiriiav BOES

deutsch von NIEDEBMÜLLEB, Leipzig 1880, Vorl. II, S. 21.

Elementarvorlesungen,

Das schriftliche Rechnen.

71

metbode die benatzte 10 durch das Beisetzen eines Punktes an die nächst höhere Subtrahendusziffer kennzeichnet, so daß die letztere um 1 größer zu nehmen ist, ähnlich wie wir einen S u b t r a k t i o n s p u n k t oder ein Strichlein an die Minuendusziffer setzen. Es ist dies wohl das älteste Auftreten eines solchen Hilfszeichens. Von den heutigen Fachwörtern geht keines auf altklassische Rechenbezeichnungen zurück. Überliefert sind uns deducere (Linus), detrahere und subducere (CICEKO), deminuere (PLAUTUS), demere (VABBO) für subtrahieren, reliquum und summa reliqui (CICEBO) für Best. Reichere Auswahl bieten die Schriften des Feldmessers 347 FBONTINÜS (40—103 n. Chr.) mit deprehendere, detrahere, minuere, subtrahere, deducere. Da s u b t r a h e r e im klassischen Latein eine ganz andere Bedeutung hat ( = heimlich entziehen), muß fiir dieses Rechenfachwort bewußte Anlehnung an das griechische Fachwort ixpaiQtlv angenommen werden. Jedenfalls gefällt der neue Terminus technicus; ihn Ubernehmen BOETIUS (4b0—Ö24),348 ABBO VON F L E U B Y (945—1003),349 JOBDANUS NEMOBARIÜS (F 1237),360 SACKOBOSCO19 (f 125b?); durch das Rechenbuch des letzteren wird er nun Allgemeingut, so daß ihn schließlich auch die deutsche Sprache in der Mitte des fünfzehnten Jahrhunderts anerkennt.381 Das deutsche abziehen erscheint gleichzeitig.352 Seit SACBOBOSCO wird auch S u b t r a h e n d u s üblich. S u b t r a c t i o ist bei BOETIUS und dann oft nachweisbar.353 Ganz anders Minuendus. Wenn auch minuere sicher im klassischen Latein als Rechenwort Verwendung fand (siehe oben FBONTINUS), so sucht man es vergeblich in der Form minuendus bis zum Beginn des achtzehnten Jahrhunderts. Erst im Mathematischen Lexikon von 354 VON W O L F F 1 7 1 6 ist numerus minuendus verzeichnet; es scheint sich um eioen der vielen neuen Ausdrücke zu handeln, die man diesem verdankt und die schnell auch in den deutschen Schriften angenommen wurden. Für Rest wird im mittelalterlichen Latein reliquum (klass.), residuum (seit GEBBEBT), superfluum (LEONARDO VON PISA) gesagt. In der Wendung numerus qui restat (1410, BELDOMANDI) klingt unser Wort Rest an. Die Entlehnung aus dem Lateinischen findet aber erst Uber das Italienische statt. In kaufmännischen Abrech347 Vgl. die Auszöge bei MAX C. P. SCHMIDT, hulturhist. Beiträge I " , S. 253 bis 254. — 348 Musica II, 7, ed. FRIEDLEIN"0, S. 232, Z. 17 u. ö. — 3*9 Opera Gerberti,

ed. BUBNOW", S. 199, Z. 15.

—

360 G. ENESTRÖM, Bibl. math. 1 4 „

1914, S. 47. — 351 Schriften aus der Mitte des fünfzehnten Jahrhunderts' 04 , Abh. Gesch. Math. 7, 1895, S. 40, Z. 5: $2, barott fubtraljir q, pleibt 38. — 362 Um 1400, Oeom. Culmensissl\ S. 42: So fal man . . . abebben. 1483 Bamberger Rechenbuch* 890 : Subirabiren basfyeiftabjiel^cn. — 363 ed. FBIEDLEIN320, S. 38, Z. 5. — 364 Daselbst 03 S. 953 unter numerus.

72

Die ganzen Zahlen.

nungen hatte sich der Vermerk pro resto eingebürgert.355 Da man daraus resium bildet, schwankt der Sprachgebrauch anfangs zwischen Aas Heft (1525 Chb. Rudolf, 85 « 1527 Apianus857) und öer Heft (1538 E y s e n h u t 3 5 8 u. Ö.).

Das Wort D i f f e r e n z erhält den modernen Sinn im zwölften Jahrhundert. Bis dahin bedeutet differentia die „Stelle" in einer Zahl (S. 12); beide Bedeutungen treffen sich in einer Wiener Handschrift aus dem Jahre 1143, in der übrigens das seltenere minuere in einer Überschrift De diminutione durchsieht.859 Bei den komplementären Rechnungsarten (vgl. S. 75 f.) ist differentia immer die dekadische Ergänzung. Von L e o n a b d o t o n P i s a (1228 Liber abaci) wird differentia, besonders in algebraischen Ausdrücken, zuweilen benutzt,860 bei J o b d a n u s öfter. 381 W i d m a n n v. Eger erklärt in seinem Rechenbuch in deutscher Sprache: 362 Mfferentiä öas ift pnterfdjeyö 6er erften jtöeyen jal. G b a m m a t e u s 8 6 8 1518 verdeutscht in 6ie öifferetitj. Das Wort borgen (1695, J o h . U l b . M ü i l b b ) 3 6 4 ist Übersetzung von mutuare, das seit S a c b o b o s c o (F 1256 P)365 bekannt ist. Es tritt erst mit Beginn des achtzehnten Jahrhunderts 366 für das ältere leihen, entleihen auf. 367 ijr) Multiplikation.

Ähnlich wie die Addition wird auch die Multiplikation bei der Bildung der Zahlwörter benutzt, im Gegensatz zu der Subtraktion, deren Verwendung zu diesem Zwecke, wie im lateinischen duodeviginti, spätere Neubildung schon in anderer Form vorhandener Zahlwörter verrät. Wirkliche Rechenverfahren für die Multiplikation wurden erst spät erdacht. Die Ägypter kannten, soweit Ahmes 481 lehrt, noch keine eigentlichen Multiplikationsmethoden, man behalf sich mit Verdoppelungen, deren Teilresultate in entsprechender Weise zum verlangten 35

6 Vgl. Schirmer, Wortschatz der MathematikS. 63. — 3 6 6 Die Coß">\ 21 (6) r°, Z. 20. — 3 5 7 Kauffmanf? Segnung 28 »», Bl. 8 bas refto, 33ij d°, \2 BJ reft. — 3 5 8 Rechenbuch"", BL 0 (5) v°, Z. 7, S. X(8)r», Z. 12. — 369 a . N a q l » 8 , Anhang Tafel VII. — 360 Ed. Bohcompaoni 17 S. 416, Z. 22, S. 419, Z. 14 n. Ö. — 361 /je,- Traktat des Jordanus Nemorariits De numeris datis, ed. P. Treutlein, Abh. Gesch. Math. 2, 1879, S. 127—166; ed. Dkdblbwsky, Monateschi. Math. Phys. 7, 1896, S. 165f., ed. M. Curtze, Z. Math. Phys. 34, 1891, Bist, l i t Abt. S. 1 - 2 3 , 41—63, 81—95, 121—138. — 362 Bl. i(4)v°, Z. 6 M S . — 363 Rechenb u c h " 21 (6) r°, Z. 5. — 364 23en aufgefdjmürfte tentfdje IHattiematic, Ulm 1695, S. 5. — 3 « s Ed. Cubtze S.4, Z. 31. — 366 L. Chr. Stürm, Em tu er Begriff d. ges. Mathesis, Nürnberg 1707, II, 1, § 4, S. 10 unten; J. Fr. Haeselbr, Anfangsgründe der reinen Mathematik, Lemgo 1776—1790, I, S. 517. — 367 So schon im Bamberger Rechenbuch 1483, Kap. 3.

Das

schriftliche

Rechnen.

73

Ergebnis zusammengezogen wurden (vgl. S. 51): Ein bedeutender Fortschritt gelang den Griechen, so unbequem ihre Art und Weise, die Zahlen durch die fortlaufende Reihe der Buchstaben zu bezeichnen, für diesen ZVeck auch war. In einem Kommentar zur Kreismessung des ABCHIMEDES, verfaßt von EUTOKIOS (geb. 480 Askalon), sind uns mehrere Multiplikationen erhalten. 368 Sie zeigen, daß die Griechen wie wir bei Multiplikationen großer Zahlen Teilprodukte der Zehner-, Hunderterzahlen usw. bildeten, die sodann zum Gesamtergebnis zusammengezogen wurden, nur daß mit dem Berechnen der höchsten Teilprodukte begonnen wurde. Eine erhebliche Erleichterung in diesem Verfahren wird auf APOLLONIOS (ZW. 250 u. 200 in Alexandria, dann in Pergamum, Epheras) zurückgeführt.869 Den Zusammenhang zwischen 3, 30, 300 Usw., den unser Stellenwertsjstem ohne weiteres hervortreten läßt, konnten die Griechen in ihren Zahlzeichen y', X, x' usw. nicht ablesen, wenngleich die Sprache in TQtts, TQIUXOVTU, TQtaxöotoi usw. sie darauf leitete. APO:LLONIDS nannte nun jruffyi/Jj'3'0 die Anzahl der Einer, Zehner, Hunderter — in diesem Falle 3 — und lehrte, wie man mit Hilfe dieser nv&/iave$ die Multiplikation vollziehen kann, indem er den dekadischen Wert des Teilproduktes zweier nv&fitvtq aus ihrem eigenen dekadischen Wert ableitete, eine Eechenmethode, die der indischen und damit der modernen gleichartig wäre, wenn die Griechen in der Wahl ihrer Zahlzeichen denselben glücklichen Griff getan hätten, wie wie man ihn den Indern .zuschreibt. Den Indern, oder wer vor ihnen auf das Stellenwertsystem gekommen war 96 , ergab sich ihre Methode aus diesem von selbst; ihr Erfindungsgeist konnte darüber hinaus nur in Äußerlichkeiten, Vorteilen, geschickter Anordnung und Zusammenfugung der Teilprodukte tätig sein. Eine hohe rechnerische Gewandtheit, besonders im Kopfrechnen, wie die Möglichkeit, bereits erhaltene Teilresultate durch Auslöschen der auf einem Staubbrett geschriebenen Ziffern leicht zu verbessern, lassen ihre Multiplikationsausfuhrung in so stark verkürzter Form auftreten, ABCHIMEDES, Eutocii comm. in diinensionem circuli, Opera Arehimedis, ed. HEIBBROBd. III,, S. 272ff.; NIZZE, S. 278ff.; ein Multiplikationsbeispiel in Sexagesimalbriichen findet sich bei THEON VON ALEXANDRIEN (um 365 n. Chr.), Commentaire de Theon sur le premier livre de la composition math. de Ptolemee, ed. HALMA, Paris 1821, I, S. 111—118. Vgl. noch Fit. HÜI.TSCH, Bibl. math. 5, 1904, S. 228—229 4i0a . — 3 « 9 Nach P A P P U B , Collectiones8, lib. I I , § 1 - 2 7 , Bd. I , S . 2—29. — 3 7 0 Bei JAMBLICHDS (um 325 n. Chr.), „fiornäeg", Jambliehi •in Kieontaehi Geraseni aritkmeticam introductionem Uber, ed. PISTELLI, Leipzig ls94, S. 103. 368

74

Die ganzen

Zahlen.

daß das Resultat sofort oberhalb des Multiplikandus in dem fertig gerechneten Schema, ja znweilen s t a t t des im Laufe der Rechnung von Ziffer zu Ziffer entbehrlich werdenden Multiplikandus erscheint,, indem alle Zwischenrechnungen im* Kopfe ausgeführt werden. Erklärlich ist uns auch aus ihrer Schreibart, daß sie vielfach die Rechnung mit der höchsten Stelle des Multiplikators beginnen konnten. Ausführlich hingeschriebene Ausrechnungen müssen die uns geläufige Form besessen haben, allenfalls mit Ausrücken nach rechts, wenn mit der höchsten Multiplikatorziffer angefangen wird. Eins ihrer Schema, das später unter dem Namen schachbrettartige Multiplikation bekannt wurde, ordnet die Teilproduktreihen, die wir nach rechts bzw. links von Reihe zu Reihe um eine Stelle verschieben, senkrecht untereinander an, nimmt dann aber die Addition zum Schlußergebnis in schräger Richtung von oben nach unten vor. Eine andere hervorzuhebende Methode ist die, welche man unter dem Namen der blitxbildenden kannte, die auch heutzutage noch von Kopirechenkünstlern benutzt wird, um unter die Faktoren sofort ohne schriftliche Zwischenrechnung das Resultat setzen zu können. Folgendes Beispiel macht das Verfahren klar: 9576 .4213 40343688

1 + 2 + 5- 3 + 3 + 9-3 + 5-1 + 7 + 9-1 + 5 +

7 .3 7- l 7-2 5-2 9-2 4

+

+ + + + +

3-6 = 6• 1 = 6-2 = 6-4 = 7- 4 = 5-4 = 9-4 =

18 28 36 73 54 43 40

Die fettgedruckten Ziffern sind die des gesuchten Ergebnisses.371 Die indischen Methoden finden wir bei den Arabern wieder, wie im Rechenbuch des A L H W Â H A Z M Ï (vgl. S. 1 9 ) , nur daß bei ihnen das Auslöschen und Verbessern schon geschriebener Zahlen durch Ausstreichen und Darüberschreiben ersetzt werden muß; wir finden sie im Abendlande wieder, zum Teil mit Hinzufügung neuer Anordnungsarten der Teilprodukte. In den meisten Lehrbüchern des fünfzehnten und sechzehnten Jahrhunderts werden mehrere Arten, oft 6 bis 8, vorgeführt, nicht etwa in dem Sinne, daß alle üblich gewesen wären, sondern nur, um das Thema möglichst vielseitig und erschöpfend zu behandeln. Das Bamberger Rechenbuch von 1483,372 das älteste der in 371 Vgl. J . B . FOURIER, Analyse des éqvat. déterminées, Paris 1 8 3 1 , in OSTWALDS Klassikern, Nr. 127, S. 182 u. und S. 183 o., S. 262. — 3 7 2 Bl. (ll)r 0 i C 8 c .

75

Das schriftliche Rechnen.

Deutschland im Druck erschienenen, und vollständig erhaltenen (vgl. S. 55), gibt schon unsere moderne Art, deren schräg nach links eingerückten Teilreihen die entsprechenden Ziffern des Multiplikators wie zur Erläuterung beigefügt sind. Letztere Merkziffern sind im Rechenbuch des JOHANN WIDMANN V. Eger (1489J373 weggelassen. Unsere Rechnungsanordnung ist aber nicht deutschen Ursprungs, sie stammt wieder einmal aus Italien, wo sie PBOSDÖCIMO DE' 37 BELDOMANDI 1410 im Algorithmi traetatus * lehrt. Ebenso treffen wir sie in der Summa (1494) des LUCA PACIOLI an, 375 beiläufig neben Bieben anderen, deren jede einen besonderen Namen führt. PACIOLI lehrt auch das Ausrücken nach rechts; die rechts vorhandenen leeren Stellen werden durch Nullen ausgefüllt. Der 37Ä General traitato des N. TABTAGLIA (1556) enthält sieben Abarten. Die gleichzeitig und später erschienenen deutschen Rechenbücher bleiben in der Fülle der mitgeteilten Arten wenig zurück. Nichtsdestoweniger scheint unsere moderne Methode mit dem Ausrücken nach links schon damals in der Praxis die vorherrschende gewesen zu sein. Es liegen uns Rechnungen REGIOMONTANS (1436—1476) vor, die nur nach diesem Verfahren vorgenommen sind. 3 " Ferner gibt es Schriftsteller, wie CAEDANO (.Arühmetica 1539),378 die dieses allein lehren. Sie würden das nicht getan haben, wenn die Praxis in anderer Weise zu rechnen sich gewöhnt hätte. In neuester Zeit gibt man auf Vorschlag ALB. KUCKUCKS 379 (KALLIUS, Gymnasialprofessor in Berlin) vielfach dem Ausrücken nach rechts den Vorzug, indem man mit der höchsten Ziffer des Multiplikators zu rechnen beginnt, hauptsächlich deshalb, um beim Ableiten und Einüben der sog. abgekürzten Multiplikation nicht ein Umlernen von den Schülern verlangen zu müssen. Übrigens war dieser Vorschlag KUCKUCKS schon einmal im achtzehnten Jahrhundert durch den Verfasser des bekannten enzyklopädischen Lehrbuches,380 W. J. G. KARSTEN, gemacht worden. Von mehr historischem Interesse ist eine komplementäre Multiplikation, die die dekadische Ergänzung der Faktoren benutzt. Vielleicht ist sie römischen Ursprunges und durch die Schreibweise IX, IIX statt VILLI, VIII entstanden.381 Eine komplementäre 3 « Daselbst, Bl. c 4 v°. — 3 7 4 Ausg. Venet. 1540 SM », Bl. 8 ( 8 ) . — 376 Summa1', Bl. 26 r°. — 376 p a r t e p " , S. 21 r°— 26 v°. — 377 y g i . die Streitschrift g e g e n G U S A N U S vom 27. J u n i 1464; A n h a n g zu seinem H a u p t w e r k e De triangulis omnimodis, N ü r n b e r g 1533, S. 46—49 u. ö. — 378 Aritkmetiea331, cap. X V ; Card. Opera I V, L u g d . 1663, S. 20—21. — 379 z . math.-naturw. U n t e r r . B d . 2, 1871, S. 418. — 3 8 0 K A R S T E N " » , Lehrbegriff' 1767, B d . I , S. 129. — C A N T O R , 1 » , S. 528. 3 8 1

76

Die ganzen

Zahlen.

Divisionsmethode ist in einer Handschrift des elften Jahrhunderts (Gefälschte Geometrie des B O E T I Ü S ) nachweisbar,382 eine solche für die Multiplikation erst in einem Codex aas dem zwölften(?) Jahrhundert (Heidelberger Handschrift).383 Weder bei den Indern noch bei den Arabern sind bisher irgendwelche Spuren dieser komplementären Methoden gefunden worden. In der Hauptsache sind es drei Formeln, nach denen in der Multiplikation gerechnet wird 1. a-b = 1 0 a - a(10 - b) 2. a-b = 10.[a - (10 - &)] + (10 - o)-(10 - b) 3. a-b = (10 -

A)-(10 - b ) + 10(A + b) -

100.

Ihre Anwendung ist im sechzehnten Jahrhundert sehr verbreitet. Regeln, denen sie zugrunde liegen, gibt W I D M A N N 1 4 5 (1489), G B A M M A TEUS43

RUDOLFE9

(1518),

(1544),

RIESE«

2B

(1526),

(1550),

GIMBEANUS33*

LONICEBÜS

407

(1570),

(1539),

STIFEL'0»

B E H Ä EDDIN

(1547

bis 1622, Perser) S8Sa u. a. Formel 1 tritt schon in einer von M. C U B T Z E j 39g 383b herausgegebenen Algorithmushandschrift aus dem zwölften Jahrhundert (vor 1168), dann im Algorithmus demonslratus384 einer anonymen Handschrift (Meister G E R N A R D U S ? ) aus dem dreizehnten Jahrhundert, im Rechenbuche des S A C B O B O S C O 1 9 (t 1 2 5 6 ? , Paris) und bei seinem Kommentator des P E T R U S D E DACIA, 385 im Hildesheimer Rechenbuch des Stiftschülers B E R N H A R D (1445), 3 8 6 Formel 2 in der oben erwähnten Heidelberger Handschrift auf. Alle diese Formeln dienen dazu, bei fehlender Kenntnis des vollständigen Einmaleins Multiplikationen der Einer über 5 miteinander durch die der Einer unter 5 zu ersetzen. Bemerkenswert i^t die schriftliche Anordnung beim Rechnen nach Formel 2. G B A M M A T E U S (15 1 8) 387 rechnet z. B. 6 - 8 = 48 bzw. 6 • 9 = 54 folgendermaßen vor: 6. 4. mal

4.

8.

2.

6. ma(

9.

1.

4

8

5

4

andere Verfasser schreiben auch

9\/l 6 / \ 4 5

4

Rechts stehen die dekadischen Ergänzungen (z. B. zuletzt 1 und 4), die, miteinander multipliziert, die Einerstelle des gesuchten Produktes liefern. Um die Zehner zu finden, subtrahiere man in dem Schema Math. Phys. 10, S . 5 S « . — 3 8 3 » BBHÄ EDDINS Essenx der Rechenkunst, arabisch und deutsch herausg. von G . H. F. NESSEI.MAKN, Berlin 1 8 4 3 . — 383b Miinchener Handschrift, CLM 1 3 0 2 1 " , ed. M. CDBTZE, 382

BOETIÜS" 0 , S . 3 9 9 — 4 0 0 . —

3 8 3

Z.

S . 10. — 3 8 4 ED. SCHÖNER", T e i l I , c a p . 1 3 ; v g l . G . ENESTRÖM, B i b l . m u t h . 13 3 , 1913—1914,

S. 329.

S. 132. — 387 ßiatt

—

386 E d . M. CURTZE ">, S . X I V .

(6) v°".

—

386 E d .

UNGER3"",

Das schrifllicke Rechnen.

11

übers Kreuz (9 — 4 = 5 oder 6 — 1 = 5 ) . Man hat vermutet, daß aus solchem Kreuzschema unser Multiplikationskreuz entstanden sei. 387a Wirkliches M u l t i p l i z i e r e n m i t d e r N u l l findet sich selten. Ein anonymer Algorithmus aus der Mitte des zwölften Jahrhunderts rechnet die Aufgabe 40*300 vor und führt dabei an: ter nihil nihil est (dreimal null ist null).388 Multiplicare ist das einzige Fachwort, das seit ältester Zeit gleichmäßig bis heute in Übung war. Im allgemeinen Sinne ron Vervielfältigen begegnet man ihm häufig im klassischen Latein; es ist mehr Zufall, daß es beim Rechnen nicht vor VITBUV (um 15 n. Chr., Baumeister in Rom) 389 anzutreffen ist. Auch das Substantivum Multiplicatio bringt VITBUV. Erst ein Menschenalter später (um 62 n. Chr.) gibt COLUMELLA 3 9 0 wiederum Hinweise auf Multiplikationen unter Verwendung des Wortes; das Produkt heißt bei ihm summa ex multiplicatione,391 quadrieren multiplicare in se. Eine Form wie muMiplicandus und multiplieator findet sich nirgends in der klassischen Latinität; für solche ganz besonderen Ausdrücke ist die Entwicklung des Rechnens damals auch noch lange nicht weit genug vorgeschritten. Aus einem Brief des Bischofs PAULINUS von Nola (um 400 n. Chr.) bringen die Wörterbücher einmal Multiplieator. Eine rechnerische Wendung liegt in der Stelle aus der Musik des 392 BOÉTIUS (480—524): . . . antequam his temarius multiplieator accederet (mit dem Sinne: . . . Zahlen mit 3 multipliziert haben dasselbe Verhältnis, bevor der Multiplikator 3 hinzutritt). Verschiedene Stellen für Multiplieator aus der sog. Geometrie des BOÉTIUS393 sind erst für das elfte Jahrhundert belegkräftig, da sich der betreffende Teil der Handschrift als eine Fälschung aus jener Zeit herausgestellt hat; für multiplicare selbst sind indes weitere echte Zitate aus BOÉTIUS beizubringen. 381 Multiplicare hält sich durch die Jahrhunderte, höchstens daß die mit ihm verwendeten Präpositionen schwanken; LEONARDO VON PISA (1228 Liber abaci) hat multiplicare per, in und contra. In Wett3 8 7 » Vgl. N. L. W . A. GRAVEI.AAR, Over den oorsprong van ons maaltecken (x), Wiskundig Tijdschrift, Zesde Jaargang. — 3 8 8 Münchener Handschrift", M. CÜRTZE, Abh. Gesch. Math. 8, 1»98, S . 10. Auch S . 19, Z. 11 u. 14. — 3 8 9 De Architectura I X , praef. 4 , X , 11, 1; ed. K R O H N , Lips. 1912, S . 196, Z 14, 22, S . 247, Z. 18. — 3 9 0 COLUMELLA, De re rustica V, 1, § 4f., ed. G E S S N E R , Flensburg 1795, S . 360 f. — 3 9 1 COLUMELLA, De re rustica V, 2, § 1. — 3 9 2 BOÉTIUS, instit. mus. I I , 28, ed. F R I E D L E I N , S . 261, 16. — 3 9 3 ed. F R I E D L E I N 3 1 0 , S . 395, Z. 5 . 1 7 , 1 9 ; S . 398, Z. 12; Gerberti op., ed. B C B N O W " , S . 156, 159. — 3 9 + BOÉTIÜS, arilhm. I, 10, ed. F R I E D L E I N , S. 22, Z. 26 u. ö. Mus. V, 2: multiplicantur in

siimmam u. ö.

78

Die ganzen Zahlen.

bewerb mit multiplicare tritt frühzeitig faeere, seit den römischen Feldmessern (erste Jahrhunderte n. Chr) nachweisbar,385 und ducere (seit BOETIUS)396 Aus dem letzteren bildet sich producere, das im dreizehnten Jahrhundert ganz geläufig ist.397 Sofort stellt sich für das Ergebnis der Multiplikation productum ein; es wird durch SACRO398 BOSCOS (f 1256?) Rechenbuch Allgemeingut. GRAMMATEUS 1 5 1 8 sagt ber8®9 undöasproöuct. 399 " M u l t i p l i k a t o r hatte sich aus BOETIUS in die Klostergelehrsamkeit, die seine Schriften emsigst studierte, geflüchtet. Bei GEBBEBT (Auvergne 9 4 0 — Rom 1 0 0 3 ) ist sein Fehlen in der erhaltenen Literatur mehr Zufall, aber sein Zeitgenosse H E B I G E R 400 VON LOBBES kennt es, ebenso A B B O VON F L E U B Y (Mitte des zehnten Jahrh.) in seinem Kommentar zu den Rechentafeln des V I C T O B I U S , 4 0 1 ferner der Klosterschullehrer R A D U L P H VON L A O N (F 1131), 4 0 2 dann der Meister GEBNABDUS aus dem dreizehnten Jahrhundert. 403 Trotz dieser Verbreitung ließen die späteren Mathematiker auch dieses Wort wieder fallen. SACROBOSCO (F 1256?) wählte den Gegensatz multiplieans und multiplicandus — letzteres zuerst bei R A D U L P H VON L A O N (vgl. oben) —, der auch schon in einem Algorithmus unbekannten Verfassers vor 1168 404 vorkommt, und die Nachwelt folgte ihm. Multiplikator bleibt ganz im Hintergrund; nur vereinzelte Liebhaber späterer Zeit ziehen es wieder hervor, so 1 5 2 3 GRAMMATEUS 406 und 406 GLABEANUS 1539, wenn sie auch beide an der Hauptstelle treulich multiplicans 395 R o m .

und

multiplicandus

Feldmesser303,

nennen.

In

der

Arithmetica

ed. BLCME, LACHMANN U. RUDORFF, Z. B . I,

des S. 298,

Z. 5—6, faeere in se = quadrieren, dann im Codex Arcerianus, Feldmesserhandschrift aus dem sechsten Jahrhundert n. Chr.: M. CANTOR, AgrimensorenU8, S. 208ff., z. B. quadriert werden in se fieri S. 208, § 1, woraus kurz der Zusatz „in se", gleichwertig unserem „zum Quadrat", wird; auch GERBERT, Z. B. ed. BÜBNOW, S. 45, Z. 2. — 396 inst. arithm., ed. FRIEDLEIN 3»°, S. 21, Z. 4, S. 24, Z. 14, 17 u. Ö. — 3 9 7 JORDANCS NEMOBARIUS (F 1237), De numeris datis361 (auch

productum), Abh. Gesch. Math. 2, Leipzig 1879, S. 140, Z. 33 u. ö. Anonyme Abhandlung aus dem Ende des dreizehnten Jahrhunderts, M. CURTZE, Zentralbl. f. Bibliothekswesen 16, 1899, S. 300, Z. 138: ex duetu o in hoc productum fit sotidum y. JOHANNES DE MÜRIS (Mitte d. vierzehnten Jahrh.), Z. Math. Phys. 34, Suppl. 1890. S. 145, Z. 2: productum. Hier neu: ampliare S. 143, Z. 7. — 398 E d . CURTZE19, S. 9, Z. 6.

—

400

399 R e c h e n b u c h 4 3 ,

Bl. 21 (7) v°, Z. 1 v. u.

—

399» gl. ^ (6) v°, Z. 2 v. u. — In den Regulae de numerorum abad rationibus\ Opera Oerberti, ed. BÜBNOW57, S. 208. — 4 0 1 Gerberti opera, ed. BDBNOW, S. 200. — 4 0 2 Arithmet. Traktat™, A. NAGI., S. 104, Z. 11 v. u. — 4 0 3 Ed. G . ENESTRÖM, B i b l . math. 13„, 1 9 1 2 — 1 3 , S. 307, Z. 19, 21. — 405

404

M. CORTZE53,

Abh. Gesch. Math. 8, 1898, S. 19 (auch multiplicator). — Algorismus de integris, Abdruck v. CHE. F. MÖLLER, Programm 1896, Gymn. Zwickau, 8. 32. — 4 0 6 De sex arithmeticae practicae speeiebus, Freiburg, 1. Ausg. 1539 (Vorwort 1538); Ausg. 1550, S. 67, 52.

Das schriftliche

Rechnen.

79

LOKICEBUS(1551),407 in J . H . ALSTEDS Elementalemathemalicum'30 1611, in KASPAB SCHOTTS Gursus mathematicus von 1 6 7 4 3 1 8 tritt aber das

Wortpaar multiplicaior und multiplicandus wieder in den Vordergrund; vom achtzehnten Jahrhundert ab setzt es sich rasch durch. Multiplicare und ducere werden zunächst wahllos verwendet. N. TABTAGLIA ( 1 4 9 9 ? — 1 5 5 7 ) konstruiert einen Gegensatz und benutzt multiplicare nur bei Zahlengrößen, ducere bei Liniengrößen; ebenso unterscheidet er bei der Division zwischen partiré und

misurare.*08

Aus facere wurde factum abgeleitet, das früher, noch im achtzehnten Jahrhundert, 40 " für Produkt sehr gebräuchlich war, erst später factor, das natürlich mit dem gleichen klassischen Wort nur die äußere Buchstabenfolge gemeinsam hat. Es findet sich — ist aber wohl etwas älter — 1603 in der Logística decimalis von J. H. B E Y E B , 4 1 0 dann 1609 in einem Rechenbuch von PH. GEYGEB.411 Zur Anerkennung verhilft ihm wieder CHB. V. W O L F F durch die' Anfangsgründe von 1710 41 ' und die Elementa voü 1717,413 denen sich die anderen großen Lehrwerke des achtzehnten Jahrhunderts von 270b J.A.SEG.NEB (17 4 7) , A. G . KÄSTNEB (1764)«9a, W. J. G . KABSTEN 209 (1767) usf. anschließen. Wir verfolgen noch das Eindringen der aufgezählten Ausdrücke als Fremdwörter in die deutsche Sprache; es vollzieht sich ziemlich glatt. Hildesheimer Eechenbuch300 ( 1 4 4 5 ; niederdeutsch): multpliceren 414 proöuftum, 415 Münchner Handschrift, Nr. 1 4 9 0 8 3 0 4 aus der Mitte des fünfzehnten Jahrhunderts: Hu multiplicir ^ mit 3, funt ^2. 416 J. WIDMANN v. Eger, Rechenbuch 1 4 8 9 1 4 5 : 6er felbigcrt mltipli= catión,417 bas Proöuct.418 H . GBAMMATEUS (SCHBEYBEB), Rechenbuch von 1 5 1 8 4 3 : ZTCultú plifatio ober merun^.418" 2m MICH. STIFEL, Deutsche Arithmetica, 1 5 4 5 : 6er 2TCultipltfan6.419 407

Arithmetices brevis introductio per ADAMCM LONICERUM, Francoforti 1551, Bl. J3i r°. — 4 0 8 General tratiatoVenet. 1556. II, 17. Vgl. G. ENESTRÖM, Bibl. math. 13„, 1912-1913, S. 156-157. — 4 0 9 CHB. v. WOLFF, Anfangsgründe15, Aufl. v. 1750, S. 43. — 4 , 0 Ausgabe von 1619, Frankfurt, S. 14: factores numeri, jtoo bra, both historieal and practical, London 1685, S. 29—30 (handschriftlich schon 1676); lat. Traetatus 4 7 2

Das Rechnen mit benannten Zahlen.

8 9

fügt, 419 so stammen doch methodische Behandlungen erst aas dem neunzehnten Jahrhundert. So gibt M. OHM in seinem Versuch einen vollkommen consequenten Systems der Mathematik, Berlin 182 8 470a , besondere Regeln über die Stellung des Kommas im Re*ultat. Von F. W O L F F , Theoretische und •praktische Zahlenlehre, Berlin 1 8 2 8 , rührt die Regel her, das Komma der beiden Faktoren eines zu berechnenden Produktes im entgegengesetzten Sinne zu verschieben, bis im Multiplikator nur e i n e wirkliche Ziffer vor dem Komma steht, und dann dem Resultat ebensoviel Dezimalstellen zu geben, wie der Multiplikator besitzt; von demselben wird auch die Frage aufgeworfen, auf wieviel Stellen man die ungenauen Dezimalbrüche kennen müsse, um durch das abgekürzte Verfahren Resultate von vorgeschriebener Genauigkeit zu erhalten, eine Frage, deren endgültige Lösung in der anfangs angeführten Arbeit von K U L L B I C H gegeben ist. Erst nach der Einführung des dezimalen Systems für Münze, Maß und Gewicht wird zugleich mit der Anerkennung der Dezimalbruchrechnung als Schullehrstoff dem abgekürzten Verfahren zu größerer Verbreitung verholfen und seine Methode mit aller Schärfe durchgearbeitet. 480 3. Das Rechnen mit benannten Zahlen. Das älteste Rechnen war ein Operieren mit benannten Zahlen gewesen. Wie sich in der geistigen Entwicklung des einzelnen Menschen der Zahlbegriff nur allmählich von konkreten Zahlenmengen abhebt, so wird im Geistesleben der Völker die abstrakte Behandlung der Zahlen erst auf einer höheren Bildungsstufe erworben werden. Tausch, Kauf und Verkauf, der Verkehr der Völker untereinander muß zu Maßvergleichungen und Maßumrechnungen führen, die nun erst sehr langsam das reine Rechnen entstehen lassen. Aus dieser ältesten Zeit liegt dem Historiker keine Uberlieferung vor. In dem altägyptischen Rechenbuche des A H M E S (aus dem zwanzigsten bis siebzehnten Jahrhundert vor Chr.)481 steht abstraktes Rechnen bereits auf einer Höhe, die man vor Auffindung des Papyrus nicht hatte ahnen können. Das Rechnen mit benannten Zahlen steht schon im Hintergrund. Selbstverständlich sind immer de algebra historicus et practicus, Oxford 1693 in den Opera omnia, Oxoniae 1695—99, II, S. 32 ff. — « 9 Ebenda. Ausg. v. 16»5, S 29—30, Opera II, S. 36. — 479« Bd. I , 2. Aufl. (1. Aufl. 1822), Kap. h, § 11 und 12, S. 233ff. — « 0 ALB. KUCKUCK " , S . V. Vgl. J A K . L Ü B O T H , Vorlesungen über das numerische Rechnen, Leipzig 1900. — 4 8 1 Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter (Papyrus Rhind des Brit. Mus.), übers, und erklärt von A Ü G . E I S E N L O H R , Leipzig 1 8 7 7 , 336

vgl.

CANTOR,

L8,

S . 5 8 FF.

90

Die ganzen Zahlen.

noch eine grobe Anzahl von Aufgaben vorhanden, die uns Kenntnis über die damaligen Maße geben; zwei Abschnitte enthalten sogar nur Vorschriften über Umwandlung aus einem Maßsystem in ein anderes.488 — Das erste Jahrhundert v. Chr. läßt uns erst wieder ein Buch antreffen, das für konkretes Rechnen Wichtigkeit hat; es ist das Lehrbuch für Feldmesser des H E B O N V O N A L E X A N D R I A . Bedeutsam für die rechnende und messende Mathematik, gibt es uns zugleich durch seine Maßtabellen wertvollen Einblick in die damalige Metrologie.483 Über ein Jahrtausend hinweg ist sein Einfluß auf die späteren Geometer maßgebend. Mittelbar oder unmittelbar schöpfen aus H E B O N die römischen Agrimensoren C o L U M E L L A (aus Gades) und F B O N T I N U S im ersten Jahrhundert unserer Zeitrechnung, B A L B T J S , H Y G I N U S am Beginn des neuen, M A R C U S J U N I U S 484 N I P S Ü S , E P A P H B O D I T U S , V I T B U V T Ü S R U F U S im zweiten Jahrhundert; 485 in den Origines des Bischofs I S I D O B U S von Sevilla (5 7 0 Cartagena — 63b Sevilla), wie in der Geometrie G E B B E E T S 4 8 6 (um 940 Auvergne — 1001 Rom; Papst S I L V E S T E B H ) ist heronische Wissenschaft unverkennbar. Feldmesserische Vorschriften, Maßvergleichungen bilden den Faden, der von dem einen zum anderen führt. Inhaltlich wurde das Rechnen mit benannten Zahlen — wenn es sich auch hierbei in der Tat um abstrakte Zahlen handelt — bei den Sexagesimalbrüchen geübt. Ihre Verwendung lernten die Griechen im zweiten vorchristlichen Jahrhundert von Babylon (vgl. S. 40); sie beschränkte sich auf die Astronomie, hielt hier aber zähe stand selbst bis über das Mittelalter hinweg, um erst den Dezimalbrüchen allmählich zu weichen (vgl. diese). Wie im Altertum mit Sexagesimalbrüchen gerechnet wurde, lehrt uns T H E O N V O N A L E X A N D B I A (zweite Hälfte des vierten Jahrhunderts n. Chr.). Besondere Schwierigkeiten bereitete das Multiplizieren und Dividieren mit ihnen und das Bestimmen der Sexagesimalbenennungen im Resultat. „Die Bezeichnung Grad", setzt T H E O N auseinander,481 „läßt die Gattung der Zahl, mit der er multipliziert wird, unverändert." Mit umständlichen geometrischen Betrachtungen sucht er nachzuweisen, daß die ersten Sechzigstel mit einer anderen Gattung multipliziert diese um eine Stufe herabsetzen, zweite Sechzigstel um deren zwei usf.; 482 EISENLOHE, Tafel XXII, S. 204—211. — « 3 H E R O N , Defmitimes 131, Opera IV, ed. J. L. H E I B E E O , Leipzig 1912, S. 86; Oeomelriea 4, S. 182ff. usw. Interessant ist bei H E R O N die Bezeichnung für Fuß, Quatratfuß and Kubikfuß: 6 noiii o evitvjieiQixög (längemessender F.), o n. & ¿nincdos (Flächenfuß) und 6 n, ö oieyeoc (fester F.). — 4 8 4 Vgl. C A N T O R , Die römischen Agrimensoren"5. — « 5 CANTOR, l 3 , S. 823. — •«« CANTOR, l 8 , S.861f. — 487 Ed. H A I M A 3 8 » , S. 111,

Z. 11 v. u.: Tj ftniQa, ¿q>' o a* etdo; noXlanXtxaiao&ij, avto xb eidog (/.vXaiiei.

Das Rechnen mit benannten Zahlen.

91

umgekehrt beim Dividieren. Eine allgemeine Eegel spricht T H E O N aber nicht aus, sondern zeigt das Verfahren nur an Beispielen.488 Ahnliche Schwierigkeiten bereitete natürlich auch das römische Duodezimalbruchrechnen mit den unciae (vgl. S. 123), das schließlich bei der geringen mathematischen Allgemeinbegabung der Römer tabellarisch im Gebrauch erstarrte. Im Mittelalter erscheint das Rechnen mit echten benannten Zahlen erst in zweiter und dritter Seihe. Etwas ausführlicher ist L E O N A R D O VON P I S A in seiner Practica geomeiriae von 1 2 2 0 als Einleitung zur Flächenberechnung.* 88 Aufgaben aus der Praxis, insbesondere aus der Regeldetri mit ihren zahlreichen Anwendungen finden wir fast bei jedem Schriftsteller des fünfzehnten und des sechzehnten Jahrhunderts, aber fast nirgends wird in den Rechenbüchern eine Behandlung der Rechnungsarten mit benannten Zahlen gesondert vorgenommen; solche Aufgaben werden höchstens als Übungsbeispiele dem Rechnen mit unbenannten Zahlen angefügt, wie in dem Rechenbuch 146 des J O H A N N E S W I D M A N N von Eger ( 1 4 8 9 ) . Eine rühmliche Ausnahme bilden die auf dem Höhepunkt ihrer Zeit stehenden Lehrbücher des Italieners N . T A R T A G L I A ( 1 4 9 9 ? Brescia — 490 1 5 5 7 Venedig) und seines deutschen Zeitgenossen C H B . R Ü D O L F F (Rechenbuch von 1 5 2 6 ) 9 , in denen besondere Abschnitte den Rechnungsarten mit benannten Zahlen gewidmet sind. In T A B T A G L I A S General trallato finden wir schon Aufgaben aus der Zeitrechnung in demselben Schema ausgeführt, wie wir es heute gewöhnt sind.491 Das siebzehnte Jahrhundert hat diese Höhe wieder verloren. Reines und angewandtes Rechnen wird vermischt gelehrt. Nachdem anfangs bei irgendeiner Gelegenheit das Addieren und Subtrahieren mehrfach benannter Zahlen geübt ist, wird in der Regel dem numerischen Multiplizieren das Resolvieren, der Division das Reduzieren angeschlossen.493 Erst im achtzehnten Jahrhundert ist ein endgültiger Ubergang zur getrennten Behandlung beider Rechenstoffe wahrzunehmen. In dem 4S8 Vgl. hierzu G. H. F. NESSELMASN, Die Algebra der Griechen™, S. 138ff. FE. HÜLTSCH, Die Sexagesimalreehnungen in den Scholien zu Euklids Elementen4,0% S. 225—233. — 4 8 9 Scritti di Leonardo Pisano matematico, pubbl. da BALD. BONCOMPAONI, II, Practica geometrine, Rom 1862, S. 5ff. — 4 9 0 General trattato**, Parte I, lib. III, BL. 36 v°ff. — 4 9 1 So wird im General trattato, BL. 182 v° die Zeit zwischen dem 19. Augast 1552 nachm. 9 Uhr bis zum 6. April 1558 früh 7 Uhr folgendermaßen berechnet: höre 7 giorni 6 mesi 4 anno 1558 höre 21 giorni 19 mesi 8 anno 1552 Dift'erentia: höre 10 giorni 16 mesi 7 anni 5.

Die ganzen Zahlen.

92

Rechenbuch von PABICIUS (Regensburg 1 7 0 6 ) 4 9 2 — und so in vielen anderen — werden nach Abschluß des gewöhnlichen Rechnens, gleichsam als Einleitung, die üblichen Münz-, Maß- und Gewichtssysteme, deren außerordentlich große Zahl den Rechenunterricht erheblich erschwerte, dann das Addieren und Subtrahieren benannter Zahlen gelehrt; vor der Multiplikation wird das Resol vieren, vor der Division das Reduzieren gezeigt. Multiplikation und Division werden sowohl nach Zurückführung auf das kleinste Maß vorgenommen, als auch an den mehrfach benannten Zahlen selbst, indem man beim Dividieren mit der höchsten - Sorte, bei dem Multiplizieren mit der niedrigsten beginnt. Statt der lateinischen Namen numeri abstracti und concreti benutzt W . HOLTZMANN(XYLANDEB; 1 5 3 2 Augsburg—1576 Heidelberg) die Verdeutschungen l e d i g e und b e n a n n t e Z a h l e n , 4 9 3 von denen nur die letztere Bürgerrecht erhalten hat. Die Ausdrücke r e s o l v i e r o n und r e d u z i e r e n stammen aus dem sogenannten Linienrechnen mit Rechenpfennigen, das im fünfzehnten Jahrhundert und selbst noch im Anfang des sechzehnten Jahrhunderts die volkstümliche Rechenmethode in Deutschland war. Auf einer hiefür bestimmten Tafel (Rechenbank oder Banckir) waren wagerechte Linien gezogen; die auf der untersten Linie liegenden Rechenmarken galten als Einer, die auf der nächsten als Zehner úsw. Ein Rechenpfennig z w i s c h e n zwei Linien hatte den fünffachen Wert von dem, den ihm die darunter befindliche Linie, also den halben Wert von dem, den ihm die näi-hstobere zuwies. Unter Elevieren verstand man nun, soviel Rechenpfennige wegnehmen {aufheben), daß eine gegebene Zahl durch möglichst wenige Rechenpfennige ausgedrückt wurde, indem jedesmal fünf auf einer Linie befindliche Marken durch eine solche im nächsthöheren Zwischenraum, beziehentlich zwei in einem Zwischenraum durch eine auf der benachbarten höheren Linie ersetzt werden. Das Umgekehrte, also das Verfahren, eine höhere Einheit in niedrigere aufzulösen, heißt Resolvieren, gerade so wie wir heute noch sagen. F ü r beide Operationen war auch das Wort Reduzieren, das sich später nur auf die erstere beschränkte, in Übung, wie im Algorithmus deminutiin455 des JOHANNES DE LINERIIS (um 1 . 1 2 2 ; Paris) 4 " 4 und im Algorithmus « 2 STERNER161, S. 334. — 4 9 3 Die ScJjs ", Blàtt b (8)r°. «16

TROPVKB, Geaohichte.

I. 2. Aull.

8

Die ganzem Zahlen. 1 1 2 4 8 9 4

2 2 8 6 4 12

6

16 6

20

6 86

7 42 8 66 9 72 0 0

25 7

8 64 9

81 0

0

3 3 4 8 6 16

6

24 7

6 80 35

/

8 48 9 63 0 0"

4 4 6 10

6

18 7 28 8 40 9 M 0 o

/

6 6 6 12 7 21

8

82 9 46 0 0

/

6 6 7 14 8 34 » 86

0 0

/

7 7 8 16 9 27

0 0

/

8 8 9 18

/

0 0

9 9

0 0

/

: /

/

1

2

2

4

3

6

3 9

4

8

12 16

« 5

5

10 15 20 25

6

12 18 24 30 36

7

14 21 28 35 4 2 4 9

8

16 24 32 4 0 4 8 5 6 64

9

18 27 3 6 4 5 54 6 3 72 8 1

6 7 8 9

/

Nach CHTJQUET.

Nach WIDMANK.

Eine Erweiterung der Einmaleins-Tabelle bis zu 4 9 - 4 9 , allerdings im Sexagesimalsystem, nimmt PETRUS D E D A C L A , ein dem Dominikanerorden angehörender dänischer Gelehrter (um 1 3 0 0 ) , 8 8 4 vor. Ungefähr aus dem Jahre 1400 ist eine Tabelle in dekadischem System bis 20 • 20 aus dem Algorismus prosaycus des Prager Mathematikers KRISTAN VON PRACHATITZ ( 1 3 9 2 — 1 4 3 7 ) bekannt; 626 der Kanon des PROSDOCIMO DE' BELDOMANDI (F 1 4 2 8 , Prof. in vPadua) reicht bis 22-22. 620 Umfangreichere P r o d u k t t a f e l n erscheinen nicht vor dem siebzehnten Jahrhundert. Das Verdienst, eine solche zum erstenmal zusammengestellt zu haben, gebührt dem bayrischen Staatsmann HEBWART VON HOHENBURG ( 1 5 5 3 — 1 6 2 2 ) , einem in der Mathematik und Philologie gleich bewanderten Laien. Sein Tabellenwerk 627 erschien 1610, enthält die Produkte sämtlicher dreiziffrigen Zahlen bis 9 9 9 - 9 9 9 ; es konnte auch für Faktoren mit höherer Ziffernanzahl bei entsprechender Zerlegung derselben benutzt werden. Das umfangreiche Werk enthält 999 Seiten von über 1/2 m Höhe und 1 / i m Breite und ist dabei 101/, cm dick. Wieviel übersichtlicher und raumsparender dagegen die neuere Zeit arbeitet, erkennt man aus einem Werke A. L. CRELLES ( 1 7 8 0 — 1 8 5 5 , Oberbaurat in Berlin),628 das genau denselben Inhalt hat, jedoch bei erheblich kleinerem Format, dank der besseren Anordnung, nur 450 Seiten umfaßt. G. ENESTBÖM, Bibl. math.," 1890, S. 32. — «26 CANTOB, 2 S , S. 179. — 626 A. FAVARO, Bull. bibl. storia m a t 12, 1879, S. 217. — 8 2 7 UNQEB1", S. 217. — 8 2 8 A. X.. CRELLE, Rechentafeln, Berlin 1820, 2. Aufl. v. BBEMIKER, 1864.

115

Tabellen,.

Als besondere Produkttafeln sind die Q u a d r a t - a n d K u b i k Z a h l e n t a b e l l e n anzusehen. Die älteste derartige Zusammenstellung zeigen uns zwei uralte babylonische Tontafeln, die bei Senkereh am Euphrat unweit Babylon 1854 gefunden wurden (vgl. S. 37); 629 sie stammen aus dem dreiundzwanzigsten bis sechzehnten Jahrhundert v. Chr. und enthalten die Quadratzahlen bis 592, ausgedrückt im Sexagesimalsystem; die Kubibzahlen reichen nur von l 3 bis 32 s , da das betreffende Täfelchen durch Bruch unvollständig geworden ist. — Beschränkte Reihen von Quadrat- und Kubikzahlen werden zuweilen arabischen und abendländischen Rechenbüchern beigegeben. In Handschriften REGIOMONTANS ( 1 4 3 6 — 1 4 7 6 ) findet sich eine Tafel der Quadratzablen von l 2 = 1 bis 1 1 3 0 2 = 1 2 7 9 0 0 , die bis 6 1 4 0 2 fortgesetzt werden sollte; die Kubikzahlen sind bis 3 8 7 3 durchgeführt, aber bis 651 3 angelegt. 630 1592 (Venedig) erschien die Tabula, tetragonica631 des italienischen Astronomen G. A. MAGINI ( 1 5 5 5 — 1 6 1 5 , Prof. in Padua), die auf 2 4 Blättern die Quadrate von 1 — 1 0 0 1 0 0 liefert. Weniger reich ist die Tafel, die CLAVIUS (1537* Bamberg — 1612 Rom; Jesuit, zuletzt Lehrer am Ordenshause zu Rom) seiner Qeometria practica (Romae 1604, Moguntiae 1606)632 angehängt bat (n2 für n — 1 bis 1000); dafür enthält letztere aber auch die Kubikzahlen in dem gleichen Umfang wie die Quadratzahlen. Bis n = 10000 geht die Quadrat- und Kubikzahlentabelle, die PAUL GULDIN (1577 St. Gallen — 1643; Rom, Wien, Graz) seinem ersten Buche De centro gravitatis (Wien 1635) angeschlossen hat. Fortführungen wurden erst im nächsten Jahrhundert unternommen; J O H . PAUL BUCHNEB berechnet seine Tabula radicum, quadralorum et ruborum (Nürnberg 1701) bis zu 12000, J. LUDOLFS Tetragonometria labularia (Leipzig 1690) dehnt sich sogar bis 100000 aus. 833 Wohl den geringsten Raum beansprucht die Anordnung, welche T H . ARLDT 1912 vorschlägt; 631 es gelingt ihm die Quadratzahlen von 1 bis 1000 auf nur eine Quartseite zu bringen. Eine V e r b i n d u n g von P r o d u k t - u n d Q u a d r a t t a f e l n stellen diejenigen von J. BLATEB 188 7 634a dar, in denen — für 4 bis 200000 berechnet ist; vermittelst der Formel 829

n =

1

R. LEPSIUS, Die Babylonisch assyrischen Längenmaße nach der Tafel ton Senkereh, Abh. der Berl. Akademie 1877, S. 106—107. — «30 M. CURTZE, Zentralbl. f. Bibliothekswesen 16, 1899, S. 289. — 63' CANTOR, 2', S. 581. — • 3 2 CLAVIUS, Romae 1604, S. 425—433; W e r k e 4 " , 1612, Bd. I I , Qeom. pract., S. 221—226. — 633 KÄSTNER, AnfangsgründeII. Aufl., Göttingen 1764, S. 119. — 634 Unterrichtsbl. Math. Nat. 18, 1912, 8. 93. — 634» Tafel der Viertelqnadrate aller ganxen Zahlen von 1 bis 200000, Wien 1887. 8*

116

Die ganzen Zahlen.

,

a-b =

(a + 6)*

(a - b)t —

ist es auch möglich, das Produkt a-b zu finden. Dieselbe Formel nntzte übrigens auch die oben erwähnte Tetragonometria tabularía J . L u d o l f s Ans.

Entgegengesetzt der Aufgabe, für eine - gegebene Zahl die Quadratzahl zu finden, ist die andere, einer gegebenen Z a h l a n z u s e h e n , ob sie eine Q u a d r a t z a h l ist, eine Aufgabe, die bei sehr großen Zahlen durch die oben angeführten Tabellen infolge ihres beschränken Umfanges nicht mehr gelöst werden kann. Eine Anzahl brauchbarer Kennzeichen stellt Guldln (vgl. oben) in seinem Buch De centro gravitaiis, zusammen,1M4b reichhaltiger und übersichtlicher Lambert ( 1 7 2 8 — 1 7 7 7 ; Oberbaurat, Berlin) in den Beyträgen xur Mathematik von 1 7 7 0 . 6 3 6 Aus der Bildung der Quadratzahlen ist ohne weiteres klar, daß nur folgende 25 Endungen vorkommen können, wenn mit p eine gerade, mit « eine ungerade Zahl bezeichnet wird: ¿>01, »21, ¿>41, «61, ¿>81; 04, 24, 44, 64, 84; 00,

025,

225,

625;

LT>, 3 6 ,

56,

76,

96;

¿>09,

« 2 9 , ¿>49, «69,

¿>89.

Jede gerade Quadratzahl muß sich so oft durch 4 teilen lassen, bis sich eine ungerade Zahl ergibt. Eine ungerade Quadratzahl ist, um 1 vermindert-, immer durch 8 teilbar, wie die Zerlegung (10a + &)» - 1 = (10« + b - l).(10a + 6 + 1 ) zeigt, da beide Faktoren gerade Zahlen sind, der eine sogar durch 4 teilbar ist Daß Quadratzahlen, durch 9 dividiert, nur die Beste 0, 1, 4, 7, Eubikzahlen die Beste 0, 1, 8 geben können, wußte bereits der arabische Arzt Avicenna (= Ibn Sinä; 9 7 8 — 1 0 3 6 ) ; 6 3 6 ja dem Neuplatoniker Theon yon Smybna (um 130 n. Chr.) war schon

bekannt, daß bei der Division einer Quadratzahl durch 3 oder 4 nur die Reste 0 und 1 vorkommen.637 Eine Münchener Handschrift von 1 4 6 4 6 3 7 B gibt noch an, daß bei der Division durch 7 Quädratzahleu nur die Beste 1, 4, 7, 0, Eubikzahlen nur die Beste 1, 6, 0 haben können; auch die Division durch 10 wird betrachtet. Bei Lambert 634" De centro gravitatis Wien 1635, S. 183. — 636 Bd. II" 7 , Berlin 1770, Abh. I, § 8, S. 10. — 636 Cantos, 1», S. 756—757. — «37 Theonis Smyrnaei Philosophi Ptatoniei expositio verum maihematiearum ad legendum Plalonem ulilium, ed. Hlllbr, Leipzig 1878, S. 17—20: idiio; dé lOfj isiQayúvotg avfjßsßrjxev ¡¡TOI xqiior HXtlv V fopádog áati¡s&sioi¡s xétaqior fysiv návias (bei den Qnadratzahlen ist es der Fall, daß sie, entweder selbst oder nach Abzug der Einheit, ein Dreifaches sind oder auch, entweder selbst oder nach Abzug *der Einheit, ein Vierfaches). — 637* Olm 14908,M,Mt, M. Cuktzb, Arch. Math. Phys. 13„ 1895, S. .405—406.

Tabellen.

117

finden wie die neue Bemerkung, daü eine nicht durch 9 teilbare, ungerade Quadratzahl, um 1 vermindert durch 24 teilbar sein muß. Viel wichtiger als Produkttafeln sind die P r i m z a h l e n - und F a k t o r e n t a f e l n , von denen die letzteren die Divisoren oder wenigstens den kleinsten Primzahldivisor für eine gegebene Zahl liefern. Von älteren Zusammenstellungen dieser Art ist wenig anzuführen. Erwähnenswert ist höchstens eine kleine Kandtabelle im fünften Abschnitt des Uber abaci ( 1 2 2 8 ) von LEONARDO VON PISA, die die Primzahlen von 11 bis 97, 638 und eine andere, die die Zerlegung in Faktoren von 12—100 gibt. 639 Die Zerlegung der Zahlen 1 bis 1000 in Primfaktoren stellt P. A. CATALDI (F 1 6 2 6 ; Bologna) in einem Anhang zu seiner Abhandlung über vollkommene Zahlen (1603) E S 9 A zusammen; die Primzahlen zwischen 1 und 10000 bestimmt der jüngere FRANZ VAN SCHOOTEN ( 1 6 5 7). 6 4 0 Eine Divisorentafel aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2 4 0 0 0 in handlicher, ganz moderner Anordnung schiebt JOH. HEINRICH RAHN ( 1 6 2 2 — 1 6 7 6 ) seiner Ceutfdjen illgebra von 1 6 5 9 ein. 641 Eine Faktorentafel von 1 — 1 0 5 0 0 und eine Primzahlentafel von 1 — 1 0 0 0 0 0 enthalten die Vorlesungen über Mathematik von GEORG FREIHEHR VON VEGA (Wien 1 7 9 3 ) ; bis 4 0 0 0 0 0 fortgesetzt wird die Faktorentafel in VEGAS Tabulae logarithmo-trigonometricac (Leipzig, II. Aufl. 1797). Die erste Million vollendete der niederländische Professor LADISLAUS CHERNAC (ZU Deventer).642 Bis zur dritten Million erstrecken sich die Berechnungen des französischen Akademikers JOH. KARL BURCKHAKDT ( 1 7 7 3 Leipzig — 1 8 1 5 Paris).043 Eine bis zur fünften Million ausgedehnte Tafel, die das besondere Interesse EULERS erregte, soll K . F R . HINDENBURG ( 1 7 4 1 Dresden — 1808, Prof. in Leipzig) in Angriff genommen haben; 644 der Druck kam jedoch nicht über den Anfang hinaus. Der berühmte Rechenkünstler ZACH. DASE ( 1 8 2 4 — 1 8 6 1 , Hamburg) bearbeitete die siebente, achte und zum Teil die neunte Million.645 Für 638 ¡¿her abbacil, 8. 31. — 639 Daselbst S. 37. — 6 3 9 1 Truttato de' numeri perfetti, Bologna 1603, S. 28/40; s. G. W E R T H E I M , Bibl. math. 33, 1902, S. 80—81. — 6 4 0 Exereitatione.s mathematicae'sm, Hb. V, Sectio V, S. 394—403. — 641 Daselbst S. 37—46; 6 . W E R T H E I M , Bibl. math. 33, 1902, S. 114. — 6 4 2 Oribrum arithmetieum sive tabula continens numeros primos a eompositis segreyatos Deventer 1811; vgl. GAUSS' Besprechung, Gött. Gel. Anzeigen 23. März 1882; G . M ' S S ' Werke, LII, Gött. 1876, S. 181—182. — 6 4 3 J . C. B U R C K H A R D T , Tables de* diviseurs par tous les nombres du 1., 2. et 3. million avee les nombres Premiers, 3 part., Paris 1814—17; vgl. G A Ü S S , Gött. Gel. Anz. 3. November 1814, 7. November 1816, 9. August 1817; GAUSS' Werke, III 64 *, S. 183—186. — 644 Nouy. Mem. Ac. Berlin 1781 (1783), Histoire, S. 31 ff. — 645 Z. D A S E , Faktorentafeln f . alle Zahlen der 7., 8. und 9. Million mit den darin vorkommenden Primxahlen, Hamburg 1862—65, 3 Bände.

118

Die

Brüche.

die fehlenden Millionen, die vierte, fünfte und sechste, war man lange auf ein Manuskript C B E L L E S ( 1 7 8 0 — 1 8 5 5 ; Oberbaurat, Berlin), das der Berliner Akademie gehörte, angewiesen. Erst in der neuesten Zeit wurde die vorhandene Lücke durch J. W. L. G L A I S H E R 648 ( 1 8 7 9 / 1 8 8 3 , London) ausgefüllt Die zehnte Million fügt D. N. L E H 847 MJSB 1 9 0 9 hinzu. Ungedruckte Tafeln von J. P H . K T T L I K gehen bis 100000000.647»

D. Die Brüche. I. Die g e w ö h n l i c h e n

Brüche.

k) A l l g e m e i n e r Teil. Gleich bei ihrem Eintritt in die geschichtliche Überlieferung bietet sich die Lehre von den gewöhnlichen Brüchen dem Forscher in einer staunenswerten Vollkommenheit dar. Das a l t ä g y p t i s c h e Rechenbuch des A H M E S , der sog. Papyrus Rhind (S. 94). der etwa aus dem Beginn des zweiten Jahrtausend vor unserer Zeitrechnung (XVII. oder XVIII. Dynastie) stammt, weist ein vollständiges System einer Bruchrechnung auf, das uns freilich durch seine merkwürdigen Stammbruchmethoden fremdartig berührt, aber in überraschend befriedigender Weise die gestellten Aufgaben, wie insbesondere die vier Rechenoperationen, auszuführen imstande ist. Im Vergleich zu der Ausführlichkeit, die der Verfasser den Brüchen zu teil werden läßt, verschwindet fast die Behandlung der Lehre von den ganzen Zahlen. Das Rechenbuch des A H I J E S scheint den Höhepunkt der damaligen Entwicklung der Arithmetik darzustellen; es ist in der auf uns gekommenen Form allerdings an manchen Stellen nur eine dürftige Nachschrift eines Priesterschülers, doch ein für seine Zeit hochwissenschaftliches Werk, das auf elementare Herleitung wie auf Ausführung der gemeinen Rechenoperationen nicht eingeht, das den spürenden Geschichtsschreiber nur erraten läßt, was als allgemein Bekanntes vorauszusetzen ist Um so schmerzlicher vermißt man weitere Vorquellen. Aus dem ganzen dritten Jahrtausend, das an der Bildung jener Methoden gearbeitet haben muß, sind als einzige Spur zwei kleine Fragmente in Kahun gefunden, die etwa aus der 4 8 1

6+6

Factor-Table for the 4. Million, London 1879; desgl. 3. Million, Loud. lööl); 6. Million, Lond. 1883. — 6 4 7 Factor-Table for the first ten miUions, Washington 1909 und List of prime numbers frorn 1 lo 10006721. Washington 1914. — 647 ° H. J. P S T Z V A L , Stzgsber. Ak. (math. nat.) Wien 53 (II), 1866, S. 460.

118

Die

Brüche.

die fehlenden Millionen, die vierte, fünfte und sechste, war man lange auf ein Manuskript C B E L L E S ( 1 7 8 0 — 1 8 5 5 ; Oberbaurat, Berlin), das der Berliner Akademie gehörte, angewiesen. Erst in der neuesten Zeit wurde die vorhandene Lücke durch J. W. L. G L A I S H E R 648 ( 1 8 7 9 / 1 8 8 3 , London) ausgefüllt Die zehnte Million fügt D. N. L E H 847 MJSB 1 9 0 9 hinzu. Ungedruckte Tafeln von J. P H . K T T L I K gehen bis 100000000.647»

D. Die Brüche. I. Die g e w ö h n l i c h e n

Brüche.

k) A l l g e m e i n e r Teil. Gleich bei ihrem Eintritt in die geschichtliche Überlieferung bietet sich die Lehre von den gewöhnlichen Brüchen dem Forscher in einer staunenswerten Vollkommenheit dar. Das a l t ä g y p t i s c h e Rechenbuch des A H M E S , der sog. Papyrus Rhind (S. 94). der etwa aus dem Beginn des zweiten Jahrtausend vor unserer Zeitrechnung (XVII. oder XVIII. Dynastie) stammt, weist ein vollständiges System einer Bruchrechnung auf, das uns freilich durch seine merkwürdigen Stammbruchmethoden fremdartig berührt, aber in überraschend befriedigender Weise die gestellten Aufgaben, wie insbesondere die vier Rechenoperationen, auszuführen imstande ist. Im Vergleich zu der Ausführlichkeit, die der Verfasser den Brüchen zu teil werden läßt, verschwindet fast die Behandlung der Lehre von den ganzen Zahlen. Das Rechenbuch des A H I J E S scheint den Höhepunkt der damaligen Entwicklung der Arithmetik darzustellen; es ist in der auf uns gekommenen Form allerdings an manchen Stellen nur eine dürftige Nachschrift eines Priesterschülers, doch ein für seine Zeit hochwissenschaftliches Werk, das auf elementare Herleitung wie auf Ausführung der gemeinen Rechenoperationen nicht eingeht, das den spürenden Geschichtsschreiber nur erraten läßt, was als allgemein Bekanntes vorauszusetzen ist Um so schmerzlicher vermißt man weitere Vorquellen. Aus dem ganzen dritten Jahrtausend, das an der Bildung jener Methoden gearbeitet haben muß, sind als einzige Spur zwei kleine Fragmente in Kahun gefunden, die etwa aus der 4 8 1

6+6

Factor-Table for the 4. Million, London 1879; desgl. 3. Million, Loud. lööl); 6. Million, Lond. 1883. — 6 4 7 Factor-Table for the first ten miUions, Washington 1909 und List of prime numbers frorn 1 lo 10006721. Washington 1914. — 647 ° H. J. P S T Z V A L , Stzgsber. Ak. (math. nat.) Wien 53 (II), 1866, S. 460.

Die gewöhnliehen Brüche.

119

XII. Dyuastie stammen. Leider ist es bei dem emsigen Suchen der neuesten Zeit nach Uberresten der alten Kulturen mehr als zweifelhaft, ob die Zukunft auf weitere Quellenfunde wird rechnen dürfen. Charakteristisch für die ägyptische Wissenschaft ist das starre Festhalten an den einmal gewonnenen Methoden und Resultaten. Gleichsam als wenn dem Stoff selbst der Stempel dieser zähen Beständigkeit a u s p r ä g t wäre, treffen wir in späteren Jahrtausenden bei den verschiedensten Völkern immer und immer wieder auf ägyptische Weisheit. Altägyptische Verfahren sehen wir zur Zeit der Griechen beobachtet, von den Römern getrieben, von den Arabern gepflegt — verändert und durchdrungen von dem sie behütenden Volke, aber in den Umrissen sicher erkennbar. Wir können die ägyptische Stammbruchlehre verfolgen über die Zeit der Araber hinweg bis ins deutsche Mittelalter hinein. Die Ägypter rechneten mit Stammbrüchen. Begrifflich haben sie auch Brüche mit höherem Zähler als 1 besessen; doch vermochten sie diese — mit Ausnahme von f , wofür ein eigenes Zeichen vorhanden war — nicht schriftlich auszudrücken, da nur die Zahl des Nenners mit einem übergesetzten Punkt, etwa 7, geschrieben und dann als | gelesen wurde. Nichtstammbrüche mußten durch Summen von Stammbrüchen ersetzt werden, wie £ durch £ + TV» A durch UQ I + s t + TFFI> d zu diesem Zweck gibt AHMES eine umfangreiche Zerlegungstabelle aller Brüche von der Form j n + T (»»= 1 , 2 . . . 49).M8 Brüche mit geradem Nenner 2 n weist die Tafel nicht auf, da sie sofort mit 2 gehoben werden konnten. Lag ein Bruch mit höherem Zähler vor, so konnte er zerfällt werden in eine Summe gleichnamiger Brüche, deren Zähler nur 2 bzw. 1 sind. Die ersten ließen sich, falls nicht mit 2 zu heben war, mit Hilfe der Tabellen in Summen von Stammbrüchen verwandeln, so daß sich schließlich der in Rede stehende allgemeine Brach vollständig in Stammbrüche auflösen ließ. In der Zusammenstellung der Tafel ist ein einheitliches Zerlegungsprinzip nicht zu entdecken; sie läßt sich daher kaum als Arbeit eines Verfassers ansehen. Alle Wahrscheinlichkeit spricht dafür, daß sie eine Sammlung einzeln gefundener Zerlegungen ist, an deren Vervollständigung Rechner aus verschiedenen Zeiten beigetragen haben, so etwa, wie in moderner Zeit eine Formelsammlung die Forschungen vieler Gelehrten auf einem speziellen Gebiete vereinigt Für diese Vermutung spricht, daß auch in den älteren Kahunfragmenten (um 2000 v. Chr.) einige Zerlegungen des 648

EISESLOHR,

8. 46—484"1.

Die Brüche.

120

schon vorkommen.9*9 Kleine Ergänzungen bringen spätere ägyptische Epochen; so zerlegt ein aus der römischen Zeit stammender Papyrus Brache mit den Nennern 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, der Papyrus von Akhmim (siebentes oder achtes Jahrh: n. Chr.) die Teilungen durch 11 bis 20. 960 Mit diesen Stammbruchsummen Verden nun von A H M E S Beispiele aus allen vier Rechnungsarten vorgeführt, die Subtraktion in der Form einer additiven Ergänzung des Subtrahendus zum Minuendus, ähnlich die Division durch multiplikative Ergänzung des Divisors zum Dividendus. Bei schwierigeren Aufgaben begnügt sich der Rechner zunächst mit einem angenäherten Resultat, das dann allmählich zum richtigen verbessert wird. Bezeichnend für das Verfahren, das A H M E S einschlägt, ist in fast allen Aufgaben ein Erweitern mit einem nicht besonders erwähnten oder hingeschriebenen, aber aus den Resultaten klar hervorgehenden Hauptnenner. Oft ist dieser Hauptnenner, für den auch kein Fachwort üblich ist, nicht einmal ein gemeinsames Vielfaches der Einzelnenner, so daß dann als Zähler wiederum gebrochene Zahlen auftreten. Die ägyptische Methode, mit Brüchen zu rechnen, erlernten die Griechen und bedienten sich ihrer, anfangs allgemein auch im wissenschaftlichen, später nur noch im praktischen Rechnen, wie in der Feldmeßkunst.661 Sie schufen sich eine Schreibart für Nichtstammbrüche, indem sie neben den als ganze Zahl (z. B. /£' = 17) geschriebenen Zähler die Nennerzahl zweimal und mit doppeltem Komma versehen setzten (z. B. = t£'xu'xct") 881 oder sie erhöht (mit oder ohne Kennstrich) dem Zähler beifügten: AHMES

— na'

oder

xa

ff683

oder

xä

«f.684

xa" für sich in Schriftlinie bedeutete den einfachen Stammbruch -fa. Nur für \ bestand ein altertümliches Zeichen C, ein Halbkreis mit senkrecht gestelltem Durchmesser und nach rechts gerichteter Öffnung, 849 M. CAM TOB, Orientelistische Literatur Zeitung 1,1898, S. 806. — 960 FB. HÜLTSCH,

Neue Beiträge xur ägyptischen Teikmgsrecknung, Bibl. math. 2,, 1901, S. 177

bis 184. — 6 M So bei HBBON (erstes Jahrhundert v. Chr.), der die Brüche lenxii — Geschältes, Dünnes, Feines nennt. — 861 HBBON, -Stereometrie, I, 8, ed. HÜLTSCH, Berlin 1864, 6. 155, Z. 10—11; vgl. auch FB. HÜLTSCH, Metrologicorum seriptorum reliquiae, vol. I, Lips. 1864, S. 175. — 8 8 3 Bei ABOHIKBDES nach ECTOKIOS, vgl. NESBELHAOTT, Algebra der Griechen, S. 114 7 NIZZE 7 , S. 280 schreibt 1838 ^ = ,aoli) ed. HEIBBBQ (Leipzig 1880/81) 854 hat (Bd. 3„ S. 295) ,eyrt namen aus» gefprodjen. Das obe gcfdjribe iß tjeyfl ber jtler »n bas nybeit ftet Ijeyjjt ber nennet. — 698 s. 45»«: „eyn ganejes", „ein cjeler ber teyle", „Benumunge ber teyle". — 6 9 9 M. CÜRTZE, Z. Math. Phys. 42, 1897, hist.-lit. Abt. S. 148. — 700 Bibl. math. 14,4'», S. 44. — 701 Ed. G. ENESTBÖM, Bibl. math. 14s, 1914, S. 143. — 702 Scritii17 I, S. 24, Z. 3 (L. verwechselt wohl inferior und superior). — Abh. Gesch. Math. 8M, 1898, S. 11. — 704 j. R Ö B B E L , groey Hedjenbüdjlein uff ben £inien unb Sipfjer mit einein angehenden Pifirbud) (erste Aufl. 1514). — 705 Filium Ariadne in Ldbyrintho Fraelionitm Arithmeticarum etc., Regensburg 1696, nach S T E R N E R " , S . 282. 1

Die

gewöhnlichen

131

Brüche.

scheidung gänzlich; KÄSTNERS gleichartiges Lehrwerk 2594 (2. Aufl. 1 7 6 4 ) 7 0 8 trennt eigentliche (verae) und uneigentliche Brüche (Bastardbrüche, spuriae fractümes). Die Verbreitung der Wörter e c h t e und u n e c h t e BrUche geht wohl von VON SEGNEB aus, der sie in seinen Vorlesungen 1747 einführt 707 Das Wort e i n r i c h t e n erscheint bei CHB. RUDOLFF 1 5 2 6 . 7 0 8 Hinterher wird es äußerst spärlich; erst im neunzehnten Jahrhundert taucht es wieder auf.709 Die oben erwähnte Münchener Handschrift aus dem zwölften Jahrhundert (vor 1 1 6 8 ) sagt: ad suarn fractionem retrahere.71° Für die entgegengesetzte Operation haben wir heute noch kein Fachwort; wir umschreiben sie mit zu G a n z e n m a c h e n , wie schon JOHANNES DE LINEBUS (um 1 3 2 2 , Paris) sagt: reducere.''11

ad integra

Das Wort h e b e n denominationem

(reductio fractionum\

reducere',711A

GEBNABDUS:

JOBDANUS: Ad Subtiliores

minorem

minucias

in

für das bis zum Anfang des neunzehnten Jahrhunderts fast regelmäßig, jetzt nur selten Aufheben gesagt wird, stammt aus dem früheren Rechnen auf der Linie (vgl. S. 93). Die betreffenden Kapitelüberschriften in den Bechenbüchern der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts lauten in der Regel: Prüdj Meiner madjen; so bei GBAMMATEUS 1 5 1 8 4 8 , in RUDOLFE s Coß von 1525 801 u. a. Das einfache Wort h e b e n im rein rechnerischen Sinne scheint nicht vor RUDOLFF s Rechenbuch 1 5 2 6 7 1 2 in Übung gewesen zu sein. Das Wort k ü r z e n wird im Deutschen seltener gebraucht; es hat sich in abréger als französisches Fachwort entwickelt; OBONTIUS FINAEUS ( 1 4 9 4 — 1 5 5 5 , Paris) gebraucht abbreviare,''13 A . ABNAULD ( 1 6 1 2 Paris — 1 6 9 4 Brüssel) abreger.''1* Das Wort e r w e i t e r n ist erst im neunzehnten Jahrhundert zum

grossiores

reducere711b),

706 B u c h i , Kap. I, § 5 7 . - 707 n , § 8 , S. 3 " o b ; dann in Vollständige Anleitung xur Algebra vop L e o n h a r d E d l e e , Petersburg 1770, Teil I, Abschn. I, cap. 7, § 75, S. 44. — 708 KunfHidje Hedjnnng 9 ( f 4)r°, Z. 13f.: ¿fuert ter 8rud? am gange 3a! an ber feiten / multiplicir fie mit bem nennet bes brudjs / 3U bem bj ba fompt tl|ue ben 3eler S o l t j s . . tja^ii man bas ganfo mit bem Srudj ein» ridjteit. — 709 Z . B . J . F r . K r o l l , Grundriß d. Math., Eisleben 1889, S. 24, Nr. 133. — 710 Abh. Gesch. Math. 8 2 î , 1898, S. 23, Z. 5 v. u. - ™ Algorismus de minutiü, Venet. 1540 466 . — 711» Bibl. math. 14„ 1914, S. 49, Satz 8 979 . — 7"" Daselbst S. 118, Satz 23'°'. — 712 . . (,63 noch KÄSTNER (1764)" 9 » noch BUOCHS (1800) 716 kennen es. E s erscheint, wolil erstmalig, 1839 in KBOLLS Grundriß. 11* Die Wörter g l e i c h n a m i g und u n g l e i c h n a m i g sind wenig älter. Im achtzehnten Jahrhundert haben sie noch wechselnde Bedeutung. So nennt KABBTEN209 (1767/68) Proportionen von gleichem Verhältnis und Potenzen von gleichem Exponenten glekfynaijmicfyt; für Potenzen hat e s a u c h HAESELKB (1776) 3 6 «.

E r s t bei MEINEST ( 1 7 8 9 ) 7 1 7 t r e f f e n wir

unsere Wörter in fester Verwendung auch in der Verbindung g l e i c h n a m i g machen. Für die letzte Operation waren früher üblich: zwölftes Jahrhundert (Münchener Handschrift 718 vor 1168): deducere ad inferiorem differentiam ( = zurückführen auf eine [gemeinsame]

t i e f e r e B e n e n n u n g ) ; JOBDANUS NEMOBABIUS (F 1 2 3 7 ? ) Diversarum, denominationum partes ( = u n g l e i c h n a m i g e B r ü c h e ) , in partes similes ( = g l e i c h n a m i g ) resolvere]119 GEBNABDUS (13. J a h r h ) : dissimilium denominationum fraclidnes ad minutiös similium denominationum reducere;119"JOHANNES DE LINEBIIS (um 1 3 2 2 P ä r i s ) : reduetio ad eandem denominationem\7W REGIOMONTANÜS B r i e f e 1 4 6 4 : 7 2 1 ad unum denominatorem convertere u. ä . B e i MEINEM: 3 1 (1789) treffen wir a u c h a u f die B e -

zeichnungen H a u p t n e n n e r und G e n e r a l n e n n e r . Den Wert des Hebens beim Rechnen mit Brüchen wird natürlich das Altertum ebenso erkannt haben wie wir, wenngleich Vorschriften für Ausführung dieser Operation nicht auf uns gekommen sind. Mitteilsamer sind die mittelalterlichen Verfasser einschlägiger Schriften. Übereinstimmend mit dem modernen Verfahren ist die Art, in d e r d e r Algorithmus

demonstratio

d e s M e i s t e r s GEBNABDUS (13. J a h r h . ) 7 2 8

das Heben vornimmt. Im Bamberger Bechenbuche i 6 6 ° von 1483 wird nur mit kleinen Zahlen gehoben; eine besondere Erklärung wird nicht gegeben. In dem nur handschriftlich 12 überlieferten Triparty

d e s F r a n z o s e n N . CHÜQUET (F u m 1 5 0 0 ; L y o n , P a r i s ) von 1 4 8 4 7 2 3

wird die Reduktion auf einmal vorgenommen, nachdem mittels des euklidischen Verfahrens der gemeinsame Teiler zwischen Zähler und

7IS TH. BDÖQE, Lehrbuch der gesamten Mathematik, ans dem Dänischen übersetzt von L . 11. TOBLBSEH, Altona 1800. — 7 , 8 Grundriß der Math., Eisleben 1839, S. 25, Nr. 135. — 7 1 7 Lehrbuch der Mathematik»« 1789, I , § 62. — 7 1 8 Abh. Gesch. Math. 8, 1898", S. 23. — ™ Bibl. math. 14, 67 », 1914, S. 48„ Kr. 1. — 7 l 9 a Bibl. math. 1 4 „ 1914, 8. 104, Satz 22'»*. — Algorismus de minutiis"'. — Ed. CDBTZB30", Abh. Gesch. Math. 12, 1902, S. 290. — 722 Algorithmus demonstratiou, Teil II, K a p . X X I I : Subtiliores minutiös in grossiores reducere, vgl. auch Bibl. math. 1 4 , " " , 1914, S. 118, Nr. 23. — 723

Triparty, S. 604ff.".

DU gewöhnlichen Brüche.

133

Nenner festgestellt war. Wenn bei den Bechenmeistern des sechzehnten Jahrhunderts anscheinend ein Rückschritt zu verzeichnen ist, indem RIESE und GBAMMATEUB Z. B. empfehlen, zuerst mit 2 zu heben, und zwar so oft, wie es geht, dann mit 3 zu probieren, mit 5 us£, so liegt diese Beschränkung wohl weniger an dem wissenschaftlichen Stand der Verfasser, als vielmehr an der Mittelmäßigkeit der Leser, denen möglichst wenig geistige Anstrengung zugemutet werden soll. Die Anführung des Satzes, daß durch Heben und Erweitern der Wert eines Bruches nicht geändert wird, ist fast durchgängig unterlassen; nur STIFEL (um 1 4 8 7 — 1 5 6 7 ) M und CLAVIÜS (1537 Bamberg — 1612 Rom; Jesuit, zuletzt Lehrer am Ordenshause zu Rom)726 machen eine rühmliche Ausnahme. * Die Multiplikation der Brüche wird in den früheren Rechenbüchern meistens nach der Addition und Subtraktion gelehrt; der erste, der sie, was heute wohl die Regel ist, an die Spitze stellt, ist LUCA PACIOLI in der Summa von 1 4 9 4 , ™ in Deutschland 727 GRAMMATEUS im Rechenbuch von 15 1 8. Von denselben Verfassern wird auch die Sonderung in verschiedene Einzelfalle bis höchstens 5, je nachdem man .echte Brüche bzw. gemischte Brüche mit ganzen Zahlen oder miteinander zu multiplizieren hat, fast stets vorgenommen.728 LEONABDO VON PISA (1228, Uber abad) multipliziert zwei Brüche miteinander, indem er erst die Zähler multipliziert und dann das erhaltene Produkt durch die beiden Nenner nacheinander dividiert,72' während JOBDANUS NEMOBABIUS (F 1237?), 7 3 0 der Meister GEBNABDUS (13. Jahrh.)731 und die meisten Verfasser nach ihnen Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.731 724 1544 Arithmetica integraS. 56: Quando autem uterque ierminorum minuiiae, uno et eodem numero multiplicatus, tune non uariatur ualor eins. STIFEL empfiehlt auch wieder die maxima mensura nach dem euklidischen

Verfahren, wenn man mit kleineren Zahlen nicht Bchn«ll genug zum Ziele

kommt. Auf das Heben (reponere in términos mínimos) legt er überhaupt

großen Wert. — 7 2 5 CI.AVIÜB, Epitome Arithmeticae praetieae, 1583", Ausg. von 1584, S. 88, Z. 28: non mutato ejus valore ae pretio\ Ct. Werke 4 ", 11 Mainz 1612, Bd. II, Arith. pract., S. 24. — 7 2 6 Summa , Dist. III, tract. Ii, 727 04 Bl. 50 r°. — Bl. (e§en ift fecj ben nenner. 739

136

Die

Brüche.

gemeinsamen Teiler haben.717 LEONARDO beginnt mit zwei Nennern, bildet ihr Produkt und läßt in ihnen einen auftretenden gemeinsamen Teiler einmal fort; zur Summe der beiden Bräche addiert er dann ebenso den dritten Bruch usf. Für das kleinste gemeinsame Vielfache (minimum mensuratum,748 minimus commensuraturus omnium 740 numerorum719) hat er bereits in eolumpna ein Fachwort. Die Algorithmusschriften und Rechenbficher nach LEONABDO heben sich nicht auf diese Höhe; sie begnügen sich wieder bei ihren Beispielen mit zwei Brüchen ohne Berücksichtigung eines kleinsten Hauptnenners. Das letztere unterläßt auch noch STXFEL ( 1 5 4 5 , Deutsche Arithmetik*72*), wenn er auch an mehrere Brüche zugleich herangeht. TABTAOLIA (1556) gibt in seinem General trattato161 ein besonderes Verfahren an, den kleinsten Hauptnenner bei mehreren Brüchen zu finden. Zunächst sucht er das kleinste Vielfache der ersten beiden Nenner; das erhaltene Vielfache kombiniert er mit dem dritten Nenner usf. Mit Ausgang des siebzehnten Jahrhunderts bildet sich unsere moderne Methode heraus. So schreibt KAUKOL 1 6 9 6 705 vor, bei einer gegebenen ßeihe von Nennern gleiche Nenner bis auf einen zu streichen, ebenso diejenigen wegzulassen, die in anderen enthalten sind. Besitzen zwei Nenner einen gemeinsamen Teiler, so werde einer von beiden durch ihn dividiert. Das Produkt der übrig bleibenden Zahlen sei der Hauptnenner. — Das Additionsschema mit senkrechter Anordnung der zu addierenden Brüche und rechts daneben beigefügter Angabe der erweiterten Zähler tritt uns schon bei GIBABB (gest. 1 6 3 2 ; Niederlande) 1629752 entgegen; es wird im achtzehnten Jahrhundert allgemein gebräuchlich. 2. Dezimalbrüche.

Die Dezimalbrüche haben in den Sexagesimalbrüchen (S. 37 bis 41) ihre Vorläufer. Mögen diese ihren Ausgangspunkt von sexagesimal geteilten Maßen, ähnlich dem Winkelmaße, genommen haben, in ihrer Verwendung in der Astronomie und Mathematik streifen sie schließlich den konkreten Charakter völlig ab und werden zu reinen Bruchtypen, ein Vorgang, den wir sehr klar bei dem Duodezimalsystem des römischen As erkannten (S. 124). Recht bald scheint sich die Erkenntnis Bahn gebrochen zu haben, dstß W Seritti" I, S. 57. — g. 5 7 ( z . 5. — 7*» g. 282, Z. 5 v. u. — « S. 57, Z. 21 u . ö . — 7 5 1 General trattato", P. I, Bl. 112 r® und 112 v». — 7 6 2 Intention nouvelle en Falgibreu, unter der Überschrift: Conjugaisons des fraetions,

Bl. A, r".

Dezimalbrüche.

137

nicht die Zahl 60 das Wesentliche ist, sondern die gleichmäßige, systematische Abstufung in weitere und weitere Unterabteilungen mit konstanter Verhältniszahl. Diese Erkenntnis findet sich schon in dem Liber algorismi de pratica arismetrioe. 752a Besonders wird sie in der Demonstratio de minutiis des JOKDANUS hervorgehoben, wo die Verallgemeinerung der sexagesimalen Brüche eine eigene Benennung (partes consimilis sumpüonis) bekommen hat.' 6 2 b Diesen Gedanken entwickelt auch eine Abhandlung über das Bruchrechnen, Algorismus de minutiis, aus dem vierzehnten Jahrhundert, deren Verfasser unbekannt ist; 753 in ihr wird auseinandergesetzt, daß man 60 nur deshalb vorziehe, weil diese Zahl durch eine große Anzahl von Teilern ausgezeichnet sei; man könne ebensogut 12 oder 10 nehmen. Mit dem letzten Hinweis wird ein prophetischer Ausblick in die Zukunft getan. Die spätere Zeit sah sich immer mehr veranlaßt, die Zahl 10 nun wirklich zu bevorzugen. Wollte man das Rechnen der dekadisch geordneten ganzen Zahlen auf Unterabteilungen übertragen, so mußte man zur 10 greifen. Es ist nicht ausgeschlossen,75* daß die Inder bereits ein Weitergehen unter die Eins in dekadischer Abstufung vornahmen, daß sie etwa beim Dividieren oder Quadratwurzelausziehen Nullen anhingen, wenn sie zu den Einern gekommen waren, um die Genauigkeit des Resultates weiterzutreiben. Wir finden diese Methode wenigstens für Q u a d r a t w u r z e l a u s z i e h e n in einer Bearbeitung jenes ältesten, auf rein indischen Quellen fußenden arabischen Rechenbuches des MUHAMMAD IBN M Ü S ! AXJHWÄRAZMI (um 8 2 0 n. Chr.), die uns in der lateinischen Übersetzung (zwölftes Jahrhundert) einer arabischen Bearbeitung erhalten ist, dem sog. Rechenbuch des JOHANNES VON SEVILLA98, wie nach einer Handschrift der Übersetzer hieß.766 Wir treffen sie dann bei dem um 1 0 0 0 n. Chr. lebenden Araber ALNASAWI, 756 ferner in einer Algorismushandschrift aus dem zwölften Jahrhundert (vor 1168 geschrieben),76,7 in einer Schrift des JORDANÜS NEMOEARIÜS (F 1237?), Demonstratio de minutiis,768 Handelt es sich z. B. um ] / 2 6 , 7 5 9 so wird ] / 2 6 0 0 0 0 ausgerechnet; die Lösung 509 wird durch 100 wieder dividiert und gleichzeitig in Sexagesimalbruchform 5° 5' 24" umgewandelt. In der Anlage findet sich dieses Verfahren schon im Rechenbuch der sog. drei 752» Trattati II° 8 , S. 49 ; G. ENESTRÖM, Bibl. math. 14S, 1914, S.171. — 7 5 2 b Daselbst S. 45 " 9 . — 753 CANTOR, 22, S. 127. — HANEEL13', S. 185, Anm. — 755 Trattati II, S. 86ff. Überschrift item, de interrimela radice integrorum, numerorum alio modo per eireulos. — 756 H. SUTEB, Bibl. math. 7,, 1906—1907, S. 118. — 757 Münehener Handschrift", Abli. Gesch. Math. 8, 1898, S. 14, 26. — 758 Bibl. math. 14a, 19 1 4 879 , S. 53. — 759 M. CURTZE"8, S. 26.

138

Die Brüche.

Brüder (Söhne des MOsÄ ibn Schäkib, erste Hälfte des neunten Jahrhunderts),760 allerdings rein sexagesimal; sie verwandeln die Grade in kleinere sexagesimale Untereinheiten, ziehen die Wurzel und reduzieren das Resultat wieder auf Grade. Das D i v i d i e r e n in der angegebenen dezimalen Art begegnet uns erst in den Bechenbüchern des sechzehnten Jahrhunderts, aber sehr vereinzelt, 761 ungleich häufiger das Quadratwurzelausziehen (vgl. Bd. II). Es ist kein Zweifel, daß aus dieser Methode, freilich erst nach schwerem Ringen mit der Sexagesimalteilung, das Dezimalbruchsystem seinen Anfang genommen hat. Johann von Gmünden (F 1 4 4 2 ) , 7 0 2 ein Mathematiker von bedeutendem Ruf, der zuerst an einer deutschen Universität (Wien) eingehendere mathematische Vorlesungen gehalten hat, hatte die Lehre von den Sexagesimalbrüchen auch in seinen Schriften (Traclaius de minuliis physicis) behandelt. Er benutzte nicht nur die sexagesimale Einteilung auch der Ganzen, indem er eine Gruppe von 60 Ganzen als signum physicum zusammenfaßte und die Benutzung dieses Symbols762" lehrte, sondern er verwandte auch' eine positionsartige Schreibform seiner Brüche uud setzte einfach .2.24.36.45. statt 2 Signa 2 4 Grad 3 6 Minuten 4 5 Sekunden ( = 1 4 4 ° 3 6 ' 4 5 ^ ) . 7 6 2 A Trotzdem griff er, wenn genaueres Quadratwurzelausziehen verlangt wurde, zu jener arabischen Methode, die das Abendland durch Jobdanus 753 kennen gelernt hatte. Die gegebene sexagesimale Zahl reduzierte er auf. die kleinste Unterabteilung; waren die vorhandenen Ziffernstellen beim Radizieren erschöpft, so hing er eine gerade Anzahl von Nullen an und rechnete weiter. Das erhaltene Resultat wurde dann rückwärts wieder in Sexagesimalbrüche umgesetzt. Auf diese Rückverwandlung wird dann auch zuweilen verzichtet; so erscheint in einer anonymen Handschrift aus der zweiten Hälfte des fünfzehnten Jahrhunderts die Quadratwurzel aus 392 in der rein dezimalen Form l ö ^ V A - 7 0 3 Eine ähnliche Vermischung des sexagesimalen und dezimalen Prinzips nehmen wir bei seinem Nachfolger auf dem Wiener Lehrstuhl, Geobg von Peüebach ( 1 4 2 3 — 1 4 6 1 ) , wahr.7"1 Es hatte sich für die rechnende Astronomie infolge des allmählichen Uberganges 7

«° II. Suteb, Bibl. math. 3,, 1902, S. 271. — *«« Bei Gbammateüs18, (eifung, Bielefeld 1716, S. 468: Interesse-Tabella xu 4 ProGent. — WO 2lnt»eifnng jnr HfdjenFunft, Halle 1749, S. 20, 23, 28. — 8 8 1 (Scuubriß eines Dollftänbigen Kaufmanns-Syftems, Leipzig 1768, S. 123, § 203. — 882 (Sebanfen über bie fjanblung, Chemnitz 1777, S. 51: procent. — 8 8 3 Deutsche Ausgabe der 6. Aufl. von Samuel Ricard s ßanbbudj ber Kaufleute, Greifswald,

Die

161

Zinsrechnung.

selten wird es noch zweiteilig geschrieben, wie bei F B . H . W. IHEBING (1798): das 1 pro Gent,8Bi J . H . MICHAELIS (1809): nach pro Centen.885 Es erhält Zusätze; J . A. SCHRÖTER(1795) sagt: die gegebenen Procente,888 J . P. ROSCHES (17Ö9): wieviel Proeent und procenitoeise.887 Es ist vom Beginn des neunzehnten Jahrhunderts an in der Praxis so befestigt, daß es zu neuen Ableitungen, wie Procentwesen, Procenivcrhältnis (1803, FB. SCHULZ),888 verwendet werden kann. Gleichzeitig gewinnt auch das deutsche Wort Z i n s f u ß Anhänger (1799 E. 6 . FISCHEB, 8 8 9 J . P . ROSCHER, 890 1 8 0 9 REICHE 8 9 1 U. a.).

Das Prozentzeichen g- stammt aus italienischen Handschriften des fünfzehnten Jahrhunderts. In einem Manuskript von 1425. der PLiMPTONbibliothek wird von einem unkundigen Schreiber statt des eento kurz ^ g-2- ^flir ^jcj gesehr häuSgen per 100: £ 100, 892 0 schrieben. Das oben angesetzte ist aus der italienischen Zahlen0 0 bezeichnung 1°, 2° . . . oder 1, 2 . . . für primo, secundo bekannt. Eine ähnliche Abkürzung zeigt auch ein Manuskript von 1456. 898 Ein kalligraphisch 0geschriebenes Manuskript von 1490 894 schreibt wieder deutlich p. c. Der Schritt zu p g-, das ein allerdings viel späteres Manuskript von 1684 zeigt, 895 ist nicht sehr groß. Die Untersuchung weiterer Manuskripte aus der Zwischenzeit dürfte die Lücke leicht decken. Deutschland bezog seine kaufmännische Wissenschaft aus Italien; die Äußerlichkeiten, Fachwörter, Abkürzungen, Zeichen usw. wanderten natürlich mit. So erklärt sich die Abkürzung ^ c° bei JOH. EYSENHUT 1 5 3 8 8 9 6 und auch das per ^ bei A . NEUDÖBFFEB 1 5 9 9 , 8 9 7 pro

b e i ULB. HOFFMANN 1 6 5 8 , 8 9 8 pro

^

bei GÖTSCH 1 6 6 4 , anderseits das ganz vereinzelte, dem Setzer fast versehentlich entschlüpfte p. g, das siclf 1 6 6 9 in ZUBBODTS Unter= 899

Bd. 2, 1784, S. 465: ITTit ^ proeent (Seminn . . a u f derselben Seite: So mii§te man bas £ proeent abjiefjen. — 8 8 4 Der praftifdje Kaufmann, Halle 1798, S. 19, 22. - 8 8 8 Die Jlritfymetif, Berlin 1809, S. 427. — 8 8 8 Derfttdj einer Anleitung jnr praftifdjen Hedjenfunft, Halle 1795, 8. 135. — 8 8 7 «Semeinnüfciges Hecfjenbudj, Teil I, 2. viel verm. u. verb. Aufl., Lippstadt 1799, S. 143, Nr. 163; S. 187, Z. 9: 3ft . . . ber Habatt procentmeife beftimmt . . . — 8 8 8 fjanblungsafabemift, BerUn 1803, 8. 273, 276. — 8 8 8 Hedjenbudj, Berlin 1799, II, 8. 218. — 8 8 8 S. 149 8 ". — 8 8 1 FEISTS tjanbbndf ber Hecfjenfunft, Breslau, I, S. 305. — 8 « D. E. SMITH, Rara arithmetical, Boston and London 1908, S. 440. — 8 8 8 Daselbst S. 458 bis 4 5 9 . — 8 8 4 Daselbst S. 476. — 8 8 8 Daselbst S. 441. — 8 8 8 Hecfjenbnd;272», 1538, Bl.Rij v°. — 8 8 7 Kiinftlidje onb ©rbentlidje Jinmeyfjung ber gantjen practic.. Nürnberg 1599, Bl. xivoxBQva eis "l* etQn* fiiay, xai 6 eis ifSjiiCei aviijv ei; &Qa; S. Sut nöaav ¿tqCiv bjiov yefuovaiv Tt/v xivtrtegyav; (Es sei ein Brunnen, in den 2 Zuflüsse führen. Der eine füllt ihn in einer Stande, der andere in vier. In wieviel Stunden werden beide zusammen den Brunnen füllen?)

Die

OeaeUschaftsrechnung.

173

erzählt von einem Schaf, das von einem Löwen allein in einer Stunde, von einem Wolf in vier, von einem Hand in sechs Stunden verzehrt werden könnte, aber von allen zugleich in Angriff genommen wird, und an einer anderen Stelle von einem Schiff mit drei Segeln verschiedener Größe, die der Schiffer einzeln, aber auch alle zusammen benutzen kann, in einer dritten von einer Mühle mit drei ungleich großen Mahlgängen. Bei H U S W I B T (1501) ist es ein Haus, das von vier Baumeistern gleichzeitig erbaut werden soll, von denen der erste es allein in einem Jahr, der zweite in zwei Jahren usw. zu errichten verspricht, u a. 957 In der römischen Zeit gab das Erbrecht in der Praxis vielfach zu Teilungsaufgaben Veranlassung. Sei es, daß die vorgefundene Erbschaft die verfügten Legate nicht deckte, sei es, daß die Erben in unvorschriftsmäßiger Weise vom Testament bedacht waren — nach der lex Falcidia (40 v. Chr.) mußte dem eigentlichen Erben ein Viertel des Oanzen überlassen werden, den anderen Erben also Abzüge gemacht werden, wenn das Viertel nicht beachtet war —, immer mußte die gerichtliche Regelung durch eine Art Gesellschaftsrechnung vorgenommen werden. Ja, verwickelte Fälle werden besonders erdacht, um au ihnen den juristischen Scharfsinn .zu üben. Eine solche Aufgabe, die sich ähnlich der eben erwähnten Brunnenaufgabe wie ein roter Faden durch die Geschichte des Rechnens bis zur Neuzeit hinzieht, ist die folgende: „Ein Mann stirbt kurz vor der Geburt seines Kindes und verfugt, daß, wenn ihm ein Sohn geboren wird, dieser das Doppelte des Anteiles der Mutter, wenn eine Tochter, die Mutter das Doppelte der Tochter 9 " METRODORÜS (um 330N. N Chr.), vgl. CAMTOB, 1 S , S. 4 6 2 ; ALKUIN (J 804),

Opera,

ed. FROBENIUS, 1777, Bd. II, S. 442, prop. VIII De cupa in den Propositiones Alcuini ad acuendos juvenes; ALEABQI (um 1010), Extraitdu FakhriI85, II, 15, ed. WOEPCKE, P a r i s 1853, S. 8 8 ; BHÄSKABA (geb. 1114), Lilätati,

sect. II, S. 42; LEONARDO PISANO, Scritti",

e d . COLEBROOKE85, c h . I V ,

I, S. 183; Bamberger Rechenbuch,EI,C

1483, vgl. ÜNOER 1 ", S. 106; CHUQUET, Le Triparly" (1484), A n h a n g , A u f g . X X I , S. 420/21; WIDMANN 146 (1489), BL. (r 7) r° Don ber OTuIen, BL. (FL)R° «EB ITolff f j u n t , BL. f ( l ) V ° Sdjiff; HOSWIRT (1501), EnchiridipnAufg. 26 u. 2 7 ; RIESE,

Coß (Mannscript 1524), nach BEBLET, Die Coß von Adam Riese, Leipzig-Frankfurt a/M. 1892, S. 55, Aufg. 118; RUDOLFF, Coß301, 1525, «jempl ber (Erften regl, Nr. 150, BL. ©iiij; CAKDANO, Practica ArithmeticaeM Mailand 1539, cap. 66, § 125; Opera, Lugduni 1663, IV, S. 180; BEHÄ EDDIN (1547—1622), Essenx der Rechenkunsted. NESSEL MANN, Berlin 1843, cap. X, Aufg. 4, deutsch S. 49 bis 50; BÜTBO, Logistica Lugd. 1559, S. 205 (3 Zecher v. verschiedener Trinkfestigkeit); SCHOOTEN, Exercitationes mathematicaeKt, Lugd. Bat. 1657, S. 17, Aufg. 28; NEWTONS Vorlesungen, unter dem Titel Arithmetica universalis"*, 1707 von WHISTON veröffentlicht, S. 65, probl. VII (ganz allgemein behandelt), u. a.

174

Das angewandte Rechnen.

erben sollte. Jetzt gebiert die Frau aber Zwillinge verschiedenen Geschlechtes. W i e ist die ErbBchaftsverteilung vorzunehmen?" Ein Jurist SJLLVMJTUS JULIAHUS MUHAMMBD BEN MUSA8M, ed. ROSEN, London 1831, S. 86 ff.

Die Gesellschaftsrechnung.

175

und es scheint sein Verdienst zu sein, zuerst auf sie die systematische Lösungsmethode mit Hilfe von Gleichungen angewendet zu haben.968 In dem Hauptwerk des christlichen Mittelalters, dem Líber ahaei (LEONAÄDO YON PISA, 1228), ist der zehnte Abschnitt Gesellschaftsaufgaben gewidmet: D& sodetatibus factis ínter socios. Es sind vorzugsweise einfache Gewinnverteilungsaufgahen, bei denen mehrere Personen mit verschieden großen Einsätzen angenommen werden.963 Vollständiger, we&n auch etwas Angeordnet, wird unsere Auigabengruppe im Bamberger Eecheabuch26®« von 1483, cap. 13, behandelt. Man kann die dort gegebenen 17 Aufgaben in sechs Arten einteilen. Erstens erstrecken sich di& Einlagen' der einseinen Personen auf gleiche Zeit, zweitens auf verschiedene Zeiten; drittens sind die Einlagen nicht ihrer a b s o l u t e n Größe nach, sondern nur in ihrem Verhältnis zueinander bekannt Viertens werden Aufgaben von der Art gelöst, daß etwa A B G £ etc. zu beanspruchen hat, wobei auf ein Überschreiten der Einheit bei Summierung der Brüche nicht geachtet wird. Fünftens sind für die Einlagen nicht zusammenhängende Proportionen gegeben, wie A:B= 3 : 1 , É: C — 4:1. Schließlich wird noch Vermehrung und Verminderung der Einlagen während der Dauer des Geschäftes berücksichtigt.964 Daß auch ein Abschnitt der Summa des Italieners LUGA PACIOLI (1494) eingehend de societatibu8 handelt, liegt bei der umfassenden Darlegung, die die kaufmännische Wissenschaft in diesem bedeutenden Werke erfährt, auf der Hand.966 Nach diesen Vorbildern arbeitet nun der große Haufen der deutschen Bechenmeister — so mechanisch, wie möglich! Die Lösung wird vollzogen durch so viel einfache Begeldetriaufgaben, als Gesellschafter vorhanden sind. Ist ein Gewinn in verschiedene Anteile zu zerlegen, so multipliziert man den Gesamtgewinn mit je einem Anteil und dividiert durch die Summe der Anteile. Die dabei heute üblichen Bechen vorteile, statt der Anteile kleinste Verhältniszahlen zu nehmen oder gar die Division vor der Multiplikation auszuführen, um so eine gemeinsame Vorarbeit für alle Dreisätze zu erledigen, ließ man sich fast stets entgehen. In gebührender Weise hervorgehoben werden solche Erleichterungen beim Bechnen erst im achtzehnten Jahrhundert, wie in CLAUSBEBGS

Demonstrativer Rechenkunst von 1732. 968

962 y gl. j . Ruska , Zur ältesten arabischen Algebra u. Rechenkunst, Stzgsb. Heidelb. Ak. Wiag., Phil.-hiet. Klasse 1917, 2. Abh., S. 47 f. — »«3 Scrilti", I, S . 135—143. — M4 U N Q E E S.40. — 9«* Summa11,1, dist. 9, tract. 1 , B1.160r°ff. — W« 5. Ausg. v. 1795, S. 1888.

176

Das angewandte Rechnen. 9. Wechselrechnung.

Die Verschiedenheit des Münzfußes von Ländchen zu Ländchen, die zu den größten Umständlichkeiten bei Bezahlung gekaufter Ware führte, die vielfache Gefahrdang des Eigentumes, die mit der Beförderung von barem Gelde bei den unsicheren Verkehrsverhältmssen verbunden war, endlich wiederholt erlassene AusfOhrungsverbote einheimischen Geldes führten zur Erfindung des W e c h s e l b r i e f e s . Die Erkenntnis seiner Nützlichkeit ließ seinen Gebrauch sich immer weiter verbreiten und ihn schließlich zu dem vervollkommneten Zahlungsmittel werden, das der Geschäftsmann heute an ihm besitzt.. Juden sollen seine Erfindung gemacht und ihn im siebenten Jahrhundert, als sie aus Frankreich vertrieben worden, nach der Lombardei gebracht haben, wo er bei dem bald hochstrebenden Handel Italiens günstigen Boden fand. Am Anfang des dreizehnten Jahrhunderts bildeten sich die ersten Privatbänken in Italien (Girobanken von giro — Kreis, Gesellschaft von Kaufleuten), die die gegenseitigen Zahlungen ihrer Mitglieder ausglichen. Politische Flüchtlinge aus der Lombardei, Ghibellinen, führten die Kenntnis des Wechsels in Amsterdam ein und schufen hier ein neues Zentrum, von dem aus sein Gebrauch sich über Europa ausdehnte. Mit dem dreizehnten Jahrhundert beginnt der Handel Nürnbergs; seine Kaufmannssöhne wanderten zur Erlernung ihrer Wissenschaft nach Italien uad brachten die dort üblichen Verfahren zurück in ihre Heimat. Durch sie kam der Wechsel nach Deutschland. Der älteste, uns bis jetzt bekannt gewordene Wechsel stammt aus dem Jahre 1325 (ausgestellt in Mailand, zahlbar in Lucca nach 8 Monaten); ein zweites Formular teilt uns LÜCA PACIOLI in seiner Summa11 von 1494 mit. 987 Dem Gebrauche folgte schließlich auch die staatliche Anerkennung. Venedig hat den ßuhm, die erste Staatsgirobank (1584)868 errichtet zu haben; ihr folgten andere in Amsterdam (1609), Hamburg (1619) und Nürnberg (1621). In der Ordonnance pour le commerce von 1673 schuf Frankreich ein allgemeines Wechselrecht, das durch den Code de commerce NAPOLEONS abgelöst wurde. In Deutschland trat einheitliche Regelung erst 1849—1862 ein. Ein internationales Wechselrecht gibt es noch nicht W Summa", Venedig 1494, Teil I, diat. IV, tract. IV, BI.-167 v° am Band (die Seitenzahl heifit durch einen Druckfehler 168). — 9 6 8 E. L. JAEGEB, Beiträge xur Geschichte der Doppelbuchhaltung, Stuttgart 1874, S. 278.

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Wechselreôhnung.

Lehrbücher, aus denen der junge Kaufmann sich bilden konnte, werden bald nach Aufschwung von Handel und Verkehr in Italien entstanden sein. Das älteste Dokument kaufmännischer Rechenlehre ist für uns PACIÖLIS Summa11 von 1 4 9 4 . Die letzte Distinktion des ersten Abschnittes stellt für die Geschichte des Handels, besonders des italienischen, eine hochwichtige Quelle 4ar. Hier sind Belehrungen über die Form und Verwendung des Wechsels 969 zum erstenmal in der Literatur gegeben, hier erscheinen zuerst die Bezeichnungen Debet und Credit, hier findet sich vor allem die älteste Anleitung zur d o p p e l t e n B u c h f ü h r u n g . 9 7 0 Eigene Neuerungen PACIOLIS sind dies keineswegs; er gab nur das wieder, was er in seinem kaufmännischen Verkehr erlernt hatte. Daß er es aber wiedergab und wie er es wiedergab, bleibt sein unbestreitbares Verdienst. Bearbeitungen der Summa in verschiedenen Sprachen führten zu. schneller Verbreitung der geschilderten Methoden und Gewohnheiten. Deutsche Schriftsteller beteiligten sich in der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts wenig daran. Nur GBAMMATEÜS (t 1525 in Wien, Universitätslehrer daselbst) übernimmt einiges aus der Summa in sein Rechenbuch von 1 5 1 8 . 9 7 1 1 5 4 3 erschien eine flämische und französische Anleitung zur Buchführung von JAN YMPYN, die auch ins Englische übersetzt wurde, 1549 in Nürnberg eine Schrift Zwiefach Buekhaltm von WOLFEGANG SCHWEICHEB, der ein die Summa nachahmendes Werk des DOMENICO MANZONI, Quademio doppio col suo giornale, Venedig 1540, zugrunde liegt.972 Auch in 973 TABTAGLIAS General trattatö (155 6) ist die Wechsellehre behandelt. Das ausführlichste Lehrbuch des siebzehnten Jahrhunderts ist ZUBBODT, Unterricht der Wechselhandlung (1669), im achtzehnten Jahrhundert CLAUSBEBGS Demonstrative Rechenkunst von 17 3 2 . 9 7 4 969 Teil I " , dist. IX, tract. IV, De cambio, Bl. 167 r°ff. — 970 Daselbst tract. X I , De computi8 et scripturis, Bl. 198 v°ff., übersetzt in E. L. JAEQER, Lucas Paeioli und Simon Stevin nebst einigen jüngeren Schriftstellern über Buchhaltung, Stuttgart 1876, S. 8. — 971 23ned) tjalte öurdf gornal Kaps onb Sdjul&tbud? anff alle Kauffmannfdjafft, Bl. (OT 6)ff. 49 — 972 y g i . M. CANTOR, Z. Math. Phys. 42, 1897, Lit.-hist. Abt., S. 46. — 973 Qeneral trattatö**, I, üb. XIV, Bl. 219v°ff. — 9 7 4 5. Ausg. v. 1795, S. 791—1053.

TROPFKK,

Geschichte. I 2. Aufl.

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