Geschichte der Elementarmathematik: Band 7 Stereometrie, Verzeichnisse [2., verb. und sehr verm. Aufl. Reprint 2013] 9783111621517, 9783111244464

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GESCHICHTE DER

ELEMENTARMATHEMATIK IN SYSTEMATISCHER DARSTELLUNG MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER FACHWORTER VON

DR. JOHANNES TROPFKE DIREKTOR DER KIRSCHNER-OBERREALSCHULE ZU BERLIN

S I E B E N T E R BAND

STEREOMETRIE VERZEICHNISSE Z W E I T E , V E R B E S S E R T E UND SEHR VERMEHRTE AUFLAGE

BERLIN UND LEIPZIG 1 9 2 4

WALTER

DE

GRUYTER

& CO.

VORMALS G. J . GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG « } . GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG · GEORG REIMER · KARL J . TRÜBNER • VEIT & COMP.

Alle Rechte, einschließlich des Übersetz ungsrechta, vorbehalten.

Druck von Metiger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Mit dem vorliegenden siebenten Band ist die zweite Auflage des Werkes zu Ende gefuhrt. Der Verfasser ist sich wohl bewußt, daß auch jetzt noch das gesteckte Ziel nur annähernd erreicht ist. Die ungeheure vorhandene Literatur zu bewältigen, übersteigt die Kraft des einzelnen. Viele Lücken mußten bleiben. Wenn weitere Literatur zu Händen kommt, werden an so manchen Stellen die Zeitangaben für das erstmalige Auftreten der einzelnen Bestandteile der Schulmathematik, besonders auch in der Fachwörtergeschichte, etwas heraufgesetzt werden können. Jede Mitarbeit, Ergänzung und Verbesserung, wäre dringend erwünscht. Die Verzeichnisse sind möglichst gedrungen, aber eingehend gehalten. Eine besondere Geschichte der Differential- und Integralrechnung ist mehrfach angeregt worden. Besser als sie mein treuer Mitarbeiter H. W I E L E I T N E R in seinen eigenen Veröffentlichungen in der Sammlung Schubert (vgl. Bd. I, Vorwort S. V Anm. 3) und in knapperer Form in der Sammlung Goeschen (Nr. 226, 875, Geschichte der Mathematik, Neue Bearbeitung) gegeben hat, könnte sie aber gegenwärtig kaum dargestellt werden. Überhaupt sind die Werke WIELEITNEES für alle sieben Bände die notwendige Ergänzung, indem dort die historischen Zusammenhänge in dem Gesamtverlauf der Entwicklung der Mathematik, wie die Lebensarbeit der einzelnen Gelehrten, schärfer hervortreten, als das in einer systematischen Darstellung der Fall sein kann. Auf die neuere Veröffentlichung WIELEITNEES „Die Geburt der modernen Mathematik" (zwei Hefte der Sammlung „Wissen und Wirken" bei G. Braun, Karlsruhe i. B.) sei besonders hingewiesen.

Vorwort.

IV

Mit selbstloser Hingabe und regster Aufmerksamkeit haben bei der Drucklegung H . WIELEITNEB und J . KUSKA, in den trigonometrischen Teilen auch K . SCHOT, die Arbeit des Verfassers unterstützt und gefordert. Der Tod G. ENESTBÖMS war ein schwerer Verlust; die Bände V—VII hätten sicher so manche Verbesserung von ihm erfahren. Dem scharfen Auge meines Amtsgenossen K . LEWENT, der die Hauptkorrekturen mit ausgezeichneter Genauigkeit las, werden nur wenige Druckfehler entgangen sein. Diese vielseitige, wertvolle Hilfe mit Dank abzugelten, fehlen mir die zureichenden Worte. Von dem Erfolg des Werkes gebührt ihnen ein guter Teil. B e r l i n , im August 1924. Johannes Tropfke.

Inhalt. Stereometrie.

Verzeichnisse.

Stereometrie Á. Geschichtlicher Überblick B. Besondere/r Teil 1. Die geraden Linien und die Ebenen im Baum . . . . 2. Die Volumen- und Oberflächenberechnungen a) Allgemeines b) Parallelepipedon und Prisma c) Die Pyramide d) Zylinder und Kegel e) Die Kugel und die allgemeinen ^Rotationskörper . . . f) Allgemeine Körper. Das CAVALIERI sehe Prinzip. Die SIMPSON sehe Regel Verzeichnis I : Namen und Schriften Verzeichnis II: Sachliches

Seit«

3— 54 3— 8 9— 9— 14— 14— 16— 20— 29— 35—

54 14 54 16 20 29 34 42

42—

54

55—100 101—128

STEREOMETRIE.

TROPFKE, Geschichte. VII. 2. Aufl.

VERZEICHNISSE

1

Stereometrie. Α. Geschichtlicher Überblick. Die Stereometrie ist die jüngere Schwester der Planimetrie. Beide entspringen den in praktischer Erfahrung gesammelten Kenntnissen, deren Umfang sich ganz allmählich vergrößerte. Das Bedürfnis nach räumlichen Betrachtungen wird anfangs ein geringeres gewesen sein als das für geometrische Überlegungen. Aber allmählich lernte der Landmann die Erntehaufen, die in bestimmten Formen auf dem Felde aufgestapelt standen, in rohem Maße abschätzen, der Techniker suchte sich einen Überschlag zu machen über die Menge des Baumaterials, das zu einem Mauerwerk von verschiedener Gestalt mit vorgeschriebenen Abmessungen erforderlich war usw. Es entstanden praktische Berechnungsvorschriften, über deren Genauigkeit die Rechner mehr oder weniger unterrichtet waren. Himmelsbeobachtungen, deren Wichtigkeit für die Zeiteinteilung und Zeitangabe sehr früh erkannt wurde, förderten stereometrische Untersuchungen an der Kugel. Nach und nach verdichtete sich der wachsende Bestand solcher Kenntnisse und bildete sich, wohl zumeist unter der Hand besonders befähigter Männer, zu einer wirklichen Theorie aus. Dieser hypothetische Entwicklungsgang der Stereometrie spiegelt sich in den geschichtlichen Urkunden, so spärlich sie besonders für die ältere Zeit sind, in der Tat wieder. Die wirkliche Überlieferung beginnt, wie wir fast bei allen Kapiteln der Mathematik bemerken konnten, mit jenem uralten ägyptischen Papyrus, der als Rechenbuch des AHMES1481 (zwanzigstes bis siebzehntes Jahrhundert v. Chr.) bezeichnet zu werden pflegt. Der Charakter dieser Schrift ist der eines Rechenübungsbuches; sie läßt daher keine Ansprüche an systematische Zusammenstellung des gegebenen Stoffes stellen, wenigstens soweit Planimetrie und Stereometrie in Betracht kommen. Die gewählten Aufgaben sollen nur 1*

4

Geschichtlicher Überblick.

die eingeschlagenen Rechenmethoden erläutern. Der Verfasser legt kein Gewicht darauf, etwa die Kreisherechnung selbst vor der Berechnung von Körpern mit kreisrunder Grundfläche vorzunehmen. Trotzdem gewähren die gestellten Aufgaben einen tiefen Einblick in den damaligen Bestand der Mathematik; wir haben aus ihnen in den vorstehenden Kapiteln öfters, besonders in der ebenen Geometrie, wertvolle Schlüsse für die Geschichte der Mathematik ziehen können. Auffallend ist, daß uns der Verfasser für das Gebiet der Stereometrie fast ganz im Stich läßt. Die einzigen von ihm gelieferten stereometrischen Übungsbeispiele 1 beziehen sich auf die Ausmessung von Fruchtspeichern, deren Gestalt uns nicht einmal genauer bekannt ist; bei einzelnen ist eine kreisförmige Grundfläche anzunehmen. Unser Befremden löst sich, wenn wir annehmen, daß zur Zeit des A H M E S die Stereometrie in dem oben angedeuteten Anfangsstadium begriffen war. Freilich legen jene gewaltigen Bauten der Ägypter, deren einige noch vor der Zeit des A H M E S hergestellt worden waren, Zeugnis dafür ab, daß dem alten Techniker gewisse Grundformen stereometrischer Gebilde, wie sogar die der Pyramide, geläufig waren. Aber noch mögen für diese in der Baukunst bereits bekannten Körperformen sich nicht so feststehende Berechnungsvorschriften entwickelt haben, daß sie aus den engsten Fachkreisen heraus einer größeren Öffentlichkeit zugänglich waren. Solche durfte A H M E S bei seinen Rechenübungen nicht als bekannt voraussetzen, wie er es bei der so häufig nötig werdenden und gewiß viel geübten Ausmessung von Erntehaufen, wie er es vor allem bei den planimetrischen Formeln (vgl. Bd. I V , S. 127—128) tun konnte. W i e weit die ägyptische Stereometrie allmählich vorgedrungen war, ist schwer zu begrenzen. Man kann annehmen, daß sie die Volumenberechnungen an Würfeln, an geraden, eckigen and runden Säulen genau ausführen konnte, daß sie für die Pyramide, den K e g e l , vielleicht auch für die Kugel Näherungsformeln gefunden hatte. Die genauen Formeln für die letzteren Körper sind erst spätere griechische Entdeckungen, wie geschichtlich feststeht. Ein gutes Bild der ägyptischen Leistung scheinen uns die Schriften H E R O N S ZU geben (erstes Jahrhundert v. Chr.). W i r haben öfters (vgl. Bd. I , S. 150; I I , S. 136; I I I , S. 36; I V , S. 127f.; V, S. 5f.) auf die Eigentümlichkeit der führenden griechischen Mathematiker hingewiesen, daß sie die technische Anwendung ihrer hohen theoretischen Eesultate gänzlich übergehen. Das strenge, starre System 1

AUG. EISENLOHR, S . 9 3 FF.1481.

Geschichtlicher

Oberblick.

5

ihrer Mathematik schien ihnen nur um seiner selbst willen da zu sein, seine vermeintliche Würde vertrug sich nicht mit praktischer Ubertragung. Der Theoretiker fühlte sich erhaben über den Techniker. Wenn nun die Schriften des Alexandriners HEKON gerade den entgegengesetzten Standpunkt einnehmen und nur auf die praktische Berechnung Wert legen, so scheinen sie sich damit so von dem griechischen Geiste zu entfernen, daß wir in ihnen die alte ägyptische Wissenschaft wiederzufinden glauben, die der Verfasser an der Quelle durch eigenes Studium hatte kennen lernen können. Natürlich hat HEKON die ihm bekannten neueren griechischen Entdeckungen mit aufgenommen. Der Archimedische Wert für π (vgl. Bd. IV, S. 205) hat bei ihm den alten ägyptischen Wert glatt verdrängt, da er ebenso bequem, aber um vieles genauer war. Die neue griechische Theorie der spitzen Körper und der Kugel ist verwertet; kaum haben sich Andeutungen erhalten, wie man vordem rechnete. Zu diesen Spuren gehört eine Näherungsformel für den Kegelstumpf, die einen Zylinder mit dem Mittelkreis als Querschnitt zugrunde legt.2 Die unmittelbar nach Verwendung dieses Notbehelfs gebrauchte genaue Kegelstumpfformel3 verrät die griechische Verbesserung des altägyptischen Verfahrens. Dieselbe Näherungsmethode mit dem Mittelkreis befolgte HEBON noch bei einer Reihe anderer, unbekannter Körper, die er πί&ος (Faß),4 χονπα (Kufe?),5 βούτις (Butte?)6 u. a. nennt. Die Anzahl solcher Körperarten, über deren Aussehen kaum Vermutungen möglich, ja deren Namen uns dunkel sind, ist bei HEKON merkwürdig groß. Vielleicht gelingt es einmal der späteren Sprachforschung, Genaueres hierüber in Erfahrung zu bringen, vielleicht ist eine Verbindung mit jenen unbekannten Fruchtspeicherformen des AHMES nachzuweisen. Von der babylonischen Stereometrie weiß man so gut wie nichts. Aus einem kleinen Text, dessen Ubersetzung aber noch ganz unklar ist,7 geht nur hervor, daß man einen Wall mit trapezförmigem Querschnitt zu berechnen wußte. Andere veröffentlichte Texte bedürfen erst der Enträtselung. Zahlreiches Mathematische ist überhaupt noch nicht gedruckt. Der mathematisch-wissenschaftliche Geist der Griechen vertiefte die aus Ägypten bezogenen praktischen Kenntnisse zu einer wirkStereom., I , cap. 15, ed. H E I B E R G 5 I I 1 5 e , S . 12, Ζ. 27 ff. — 3 Daselbst cap. 16, S. 14. — 4 Stereom,., II, cap. 23, 24, ed. H E I B E R G 5, S. 100. — B Daselbst I, cap. 51, S. 54; II, cap. 3, 7, S. 86, 90. — 6 Daselbst I, cap. 52, S. 56; II, cap. 9, S . 92. — 7 A . U N G N A D , Zur babylonischen MathematikIT747, Orientalist. Lit.-Ztg. 19, 1916, Sp. 363 f. 2 HERON,

6

Geschichtlicher

Überblick.

liehen Lehre, in der Stereometrie aber erheblich später als in der Planimetrie. Der Aufschwung begann mit der Perspektive. Ein Maler, AGATHAECHOS, stellte zur Zeit der letzten Tragödien des AISCHYLOS (f 456/455 v. Chr.) eine perspektivische Bühnendekoration her und schrieb auch eine Abhandlung über die neue Kunst.8 ANAXAGOBAS, der um 463 nach Athen kam, erfaßte das darin liegende mathematische Problem und bearbeitete es wissenschaftlichtheoretisch. DEMOKRIT erweiterte um 430/400 seine Untersuchungen. Die Lehre der Perspektive schuf so die Anfänge einer stereometrischen Betrachtungsweise, die sich schließlich frei weiter entwickelte. Etwa gleichzeitig mit DEMOKEIT nahm HIPPOKBATES VON CHIOS stereometrische Untersuchungen auf; er ist der erste, der auf eine Lösung des inzwischen gestellten Würfelverdoppelungsproblems hinweist (Bd. I I I , S. 66). Zur Zeit PLATON s (429—348 v. Chr., Athen) gab es indes noch keine eigentlichen Lehrgebäude der Stereometrie;9 er kämpft in seinen Schriften für ihren Aufbau und bedauert die Unwissenheit seiner Zeitgenossen: „Hinsichtlich der Messungen von allem, was Länge, Breite und Tiefe hat, legen die Griechen eine in allen Menschen von Natur vorhandene, aber ebenso lächerliche wie schmähliche Unwissenheit an den Tag" — in derben Ausdrücken fährt er fort: „nicht wie es Menschen, sondern wie es Schweinen geziemt, und ich schämte mich daher nicht bloß über mich selbst, sondern für alle Griechen."10 Was an ihrem Teil lag, haben PLATON., seine Zeitgenossen und Schüler das Versäumte nachgeholt, besonders die unteritalische Schule um ABCHYTAS, von PLATON als ,sogenannte' Pythagoreer bezeichnet. Kannten die früheren Pythagoreer, d. i. die engere Schule des PYTHAGORAS, von den regelmäßigen Körpern nur die Formen des Würfels und des Tetraeders, vielleicht noch das Dodekaeder (vgl. S. 48) — alle weitergehenden Berichte sind legendenhaft —, so fügte T H E Ä T E T (f 369 v. Chr.) das Oktaeder und Ikosaeder hinzu und bildete erst eine Theorie aller fünf Körper aus.11 Dabei beVorwort zum 7. Buch der Architeetura, ed. F . K B O H N , Leipzig 1912, 146, Z . 21. Vgl. ERICH F R A N K , Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923, S . 19 ff., 234 ff. — 9 E V A SACHS, Die fünf platonischen Körper. Philolog. Untersuchungen, Heft 24, Berlin 1917, S . 146—160. — 1° PLATON, Gesetze, Buch VII, cap. 21, 819 D, ed. STALLBAÜH, X, 2, Gotha 1859, S . 379: . . . και l3ofe μοι τοντο ovx άν&ρώπινον, αλλά νηνών τινών sivai μάλλον θρεμμάτων, ήαχύν&ην τβ ονχ vnèç ¿μαυτοΰ μόνον αλλά xal υπέρ απάντων 'Ελλήνων. Ahnliche Klagen im Staat, lib. VII, 258, ed. STALLBAUM, III, 2, Gotha u. Erfurt 1859, 8

VITKDV,

S.

S. 157

ff.

—

«

E V A SACHS», S . 7 6 ff.

Geschichtlicher Überblick.

i

nutzte er eine kurz vor ihm erschienene Schrift des EUDOXOS YON (410—356 v. Chr.) über die stetige Teilung {τομή). T H E Ä T E T S Arbeiten sind im dreizehnten Buch der Elemente E U K L I D S wiedergegeben. ABCHYTAS VON T A E E N T (430—365 v. Chr.) beherrschte bereits in überraschender Weise die Grundlagen der Stereometrie. E r kannte nicht nur Sätze über das gegenseitige Schneiden von Ebenen, sondern wußte auch Bescheid mit der Entstehung von Zylindern und Kegeln, benutzte ζ. B. die bei der Durchdringung solcher Körper gebildeten Kurven zu einer scharfsinnigen Lösung des Würfelverdoppelungsproblems, das damals gerade eine brennende Tagesfrage war (vgl. Bd. II, S. 135; ΠΙ, S. 66). Sein älterer Zeitgenosse DEMOKBITOS ist der Entdecker jenes Satzes, daß die Pyramide ein Drittel des Prismas von gleicher Grundfläche und Höhe ist; einen ausreichenden Beweis gab indes erst EUDOXOS. Dem letzteren ist auch wohl die Abfassung eines stereometrischen Lehrbuches zuzuschreiben, dem sich E U K L I D wahrscheinlich ziemlich eng anschloß. Weisen wir noch auf die Leistungen des begabtesten Schülers PLATON S, MENAICHMOS (um 3 5 0 v. Chr.) hin, des Erfinders der Kegelschnitte, und erwägen wir, daß seine Ableitungen an diesen Kurven mit stereometrischen Betrachtungen verbunden wurden (vgl. Bd. VI, S. 129, 130), so erhalten wir eine Ahnung von dem gewaltigen Aufschwung, den die Stereometrie in kaum einem halben Jahrhundert genommen hatte. KNIDOS

Nunmehr beginnen auch die Quellen unmittelbarer Überlieferung zu fließen. Die mathematischen Stellen in Schriften des ABISTOTELES (384—322 v. Chr.), die für die Planimetrie ziemlich ergiebig waren, geben für die Stereometrie noch äußerst wenig. Es wird erwähnt, daß Lote auf derselben Geraden in denselben Punkten in einer Ebene liegen, daß ein Schnitt durch den Mittelpunkt einer Kugel einen größten Kreis gibt. ABISTOTELES zeigt auch Kenntnis der regelmäßigen Körper. 12 Ein eigentliches Lehrgebäude der Stereometrie können wir ihm aber nicht entnehmen. Das älteste Lehrbuch einer sphärischen Stereometrie, IV 780 zusammengestellt durch AUTOLYKOS YON P I T A N E (um 333 v. Chr.), und dann vor allem E U K L I D S (um 325 v. Chr.) Elemente liegen uns tatsächlich vor. Die letzteren enthalten eine vollständige Lehre der elementaren Stereometrie, über die auch unser modernes Schulpensum nur in einzelnen 12

HEIBEHQ, Mathematisches

%u Aristoteles160*,

S. 25.

8

Geschichtlicher Überblick.

Punkten hinausgeht. An Erweiterungen verdankt man ARCHIMEDES v. Chr., Syrakus) die Berechnung des Kugelvolumens und der Kugeloberfläche, ferner die Aufstellung der halbregulären Vielflache und die Bestimmung der Volumina für gewisse Rotationskörper. Durch ihn ist der Höhepunkt griechischer Stereometrie erreicht. HYPSIKLES (um 1 9 0 v. Chr.) und PAPPOS (um 2 9 5 n. Chr.) fügen eine Anzahl rechnerischer Relationen zwischen den Fundamentalstücken der fünf regelmäßigen Körper hinzu; bei PAPPOS findet sich auch zum erstenmal die Aufstellung des sogenannten GULDIN sehen Theorems von den Rotationskörpern. Weder die Inder noch die Araber, sonst so gelehrige Schüler, kamen in der Stereometrie über die Forschungen der Griechen hinaus. Erst die Neuzeit brachte, mit dem Auftreten der Infinitesimalrechnung, durch K E P L E R ( 1 5 7 1 — 1 6 3 0 ) und CAVALIERI ( 1 5 9 1 — 1 6 4 7 ) neue Methoden und neue Resultate. Die Theorie der regelmäßigen Körper wurde durch die K E P L E R sehen Sternpolyeder fortgeführt. Die von NEWTON und L E I B N I Z begründete Integralrechnung lieferte die allgemeine Lösung des Kubaturproblems. Mit dem Ende des siebzehnten Jahrhunderts begann auch eine analytische Geometrie des Raumes (vgl. Bd. VI, S. 113) sich zu entwickeln, der sich, hauptsächlich im neunzehnten Jahrhundert, eine projektive Raumgeometrie gegenüberstellte. (287—212

Das Wort S t e r e o m e t r i e begegnet uns zuerst unmittelbar nach dem Tode PLATON s bei P H I L I P P O S VON O P U S ; 1 3 PLATON kennt es bestimmt noch nicht. 14 Bei ARISTOTELES ( 3 8 4 — 3 2 2 v. Chr.) erscheint es nur einmal. 15 Es geht unverändert in die lateinische 18 (BOËTIUS) und deutsche Sprache ( 1 4 7 7 , deutsche Übersetzung I V 1 3 3 des tractatus quadrantis von ROBERTOS ANGLICUS) 1 7 über. 13

Vgl. EVA SACHS9, S . 1 5 5 . — 14 Daselbst S. 1 4 7 . — 1 5 ΆναΙυτιχων νστ. a, Akademieauegabe18, I , S. 7 8 rechts, Ζ . 3 8 . — 1 6 BOËTIUS, Aristoteles anal, 17 poster. 1, 7, S. 2 5 8 . — M. CUBTZE, Abh. Gesch. Math. 9, 1 8 9 9 , S. 4 5 : Stereometri e ift, wann wir ains Dings lettge, praite ottb iteffe futren. 13,

Die geraden Linien

und die Ebenen im

Raum.

9

B. Besonderer Teil. I. Die geraden Linien und die Ebenen im Raum.

Den Hauptteil der Lehre von den geraden Linien und den Ebenen im Baume bietet das elfte Buch EUKLIDS bereits in den ersten 19 Sätzen. Die Definition einer Ebene 18 (vgl. Bd. IV, S. 24) ist in der Einleitung zum ersten Buch (Def. 7) vorausgeschickt worden; sie ist eine einfache Verallgemeinerung der unmittelbar vorangehenden Definition einer Geraden. ROBEBT SIMSON ersetzt sie in seiner Bearbeitung der Euklidischen Elemente 19 durch: „Eben sei eine Fläche, wenn die geraden Linien, welche je zwei beliebige in der Fläche liegende Punkte verbinden, ganz in der Fläche liegen" — eine Erklärung, auf die bereits HEEON20 und PBOKLOS21 hinweisen. FOUEIEB ( 1 7 6 8 — 1 8 3 0 ; Paris) faßt die Ebene als geometrischen Ort aller in einem Punkte auf einer Geraden senkrechten Geraden auf.22 Das elfte Buch E U K L I D S beginnt ebenfalls mit Definitionen, an deren Spitze die Erklärung von Körper und Fläche (Grenze eines Körpers) gestellt ist. Der erste Satz legt dar, daß von einer geraden Linie nicht ein Stück in einer Ebene und ein anderes außerhalb derselben liegen kann;23 wir sprechen jetzt diesen Satz anders aus: eine Gerade liegt entweder mit allen ihren Punkten in einer Ebene oder nur mit einem. Nachdem in Satz 2 gezeigt ist, daß zwei sich schneidende Geraden in einer Ebene liegen müssen — wobei wir heute sofort hinzufügen, daß durch diese beiden Geraden die Ebene bestimmt ist —, lehrt EUKLID in Satz 3 , daß der Durchschnitt zweier Ebenen eine gerade Linie ist. Auf Grund der Definition (XI, 2) des Senkrechtstehens einer Geraden auf einer Ebene wird in Satz 4 der wichtige Satz abgeleitet,24 daß eine Gerade, die auf 18

Einen Überblick über die verschiedenen Erklärungen gibt mit entsprechender Literatur M . ZACHAMAS, Encykl. d. math. W.nem, I I I A B 9, Leipzig 1914, S . 875. — 19 The Elements of Euclid. Notes critical and geometrical, Glasgow 1756 bis 1762. — 2 0 Opera 4 I S. 270 1T105 . — 1 , 4 An verschiedenen Stellen der Stereometrica, Mensurae und Metrica.

Metrica,

—

1,5

Stereometrica,

I I , c a p . 68, e d . HEIBERG, 5 I I 4 5 E , S. 158, Z. 1 6 — 1 7 ,

Opera 3, ed. SCHÖNE1 506, S. 103, Z. 9—11.

Die

Volumen-

und

23

Oberflächenberechnungen.

berechnen.116 Vielleicht liegt hierin die Erinnerung an eine ägyptisch-griechische Überlieferung vor, die ja in der indischen Mathematik öfters durchleuchtet. Als ägyptische Praxis lernten wir S. 5 das Verfahren kennen, bei zylinderähnlichen Körpern das Produkt des Mittelschnittes mit der Höhe für das Volumen zu setzen; auch im Abendlande wurde später zuweilen so verfahren.117 Bei einem sich langsam verjüngenden Baumstamm wird der Mittelkreis das arithmetische Mittel der oberen und unteren Grundfläche sein. Wird bei einer Pyramide die obere Grundfläche als Null angenommen, so ergibt sich auf diesem Wege die indische Formel. besitzt für die a b g e s t u m p f t e Pyramide 1 1 7 1 (πυραμίς χόλονρος, auch π. τΐϋ-ραυσμίνη) eine durchaus richtige Vorschrift. Er führt mehrere Beispiele durch, so u. a. auch filr einen Stumpf mit quadratischer Basis. Ist die Seite des Grundquadrates a lf die des Deckquadrates a 2 , die Höhe des Stumpfes H, die Kante k, so rechnet H E R O N in einer Anordnung, die wir durch die Formeln HEBON

H - y p - H ^ - a t f , Yol ausdrücken können.118 Ein Beweis findet sich in den Metrica;119 er ist durchgeführt für den Fall eines dreikantigen Pyramidenstumpfes. Die daselbst aufgestellte Rechenvorschrift besagt, daß, wenn a, b, c, die Seiten des Grunddreiecks, a', b' c' die des Deckdreiecks (a' = m · a, b' = m · b, c = m· c) und H die Höhe des Stumpfes sind, der Inhalt eines Dreiecks mit den Seiten a + αn a , b *Λb , ° *Ζ e um eines Dreiecks mit den Seiten a — a', b — b', c — c' zu vermehren und das Resultat mit der « 6 ÄRYABHATA, ed. RODET18», S t r o p h e X X I , S. 4 0 1 , 4 2 3 — 4 2 4 .

—

1" V g l

die

lateinische Geometrie des FraterFsiDERicus im Münchener Sammelband 14908 ΙΙΒΪΒ , g e s c h r i e b e n z w i s c h e n 1455 u n d 1464, ed. CUBTZE S. 112, Z. 35 ff. LEONARDO DE

ANTONIIS CREMONESE (erste Hälfte des fünfzehnten Jahrhunderts) sieht sich veranlaßt, besonders zu beweisen, daß diese Formel falsch ist (Practica geometriae, e d . CÜETZE, A b h . G e s c h . Math. 13, 1902, S. 403). — 1 " · L . C. KARPINSKI h a t i n

School Science and Mathematics XXIII, 1923, S. 56 Fußnote mitgeteilt, daß R. C. ARCHIBALD 1922 auf einer Versammlung der Math. Assoc. of America bekannt gab, es sei in einer russischen Zeitschrift vor einigen Jahren eine Übersetzung einer frühen ägyptischen Urkunde erschienen mit der Formel für den Pyramidenstumpf. Genaueres konnte nicht festgestellt werden. — " 8 Stereom., I, c a p . 32, 33, ed. HEIBERG""", 5, S. 3 1 — 3 5 .

II, § YI, S. 104—109.

—

"9 Opera

3, ed. SCHÖNE"05,

24

Besonderer Teil.

Höhe zu multiplizieren ist. mit der modernen Formel

Diese Regel läßt sich ohne weiteres

Vol. - ^ (ff + ]/G~Gr+ ff') , wo ff und ff' die Flächen der beiden Grenzdreiecke bedeuten, in Übereinstimmung bringen. Da die Seiten der beiden Heronischen Hilfsdreiecke sich zu den Seiten des Grunddreiecks wie 1 : —i-^·, bzw. wie 1 : (1 — m) verhalten, so sind ihre Flächen gleich ff ^ 1 * bzw. ff

(1 —

m) , so daß 2

HERON

m

j ,

setzt:

Yol. = [ff

H.

Dies ist umzuwandeln in Vol. = -^ß- (1 + m + mF) O

oder, da:

ff: ff'= 1 :m 2 ,

in Voi. = ^

(ff + y ff. ff' +

In den Metrica, II, § VII, zeigt Pyramidenstümpfe.

HEBON

ff'). die Berechnung schiefer

Ausführlicher spricht sich der Inder BBAHMAGUPTA (geb. 598 n. Chr.) über die Volumenberechnung des Pyramidenstumpfes aus. 120 Er kennt in dem Falle einer quadratischen Grundfläche drei Rechenverfahren von steigender Genauigkeit. In der Praxis ziehe man die Benutzung des Produkts aus der Höhe und dem Quadrat, dessen S e i t e das arithmetische Mittel zwischen den Seiten der Grund- und Deckfläche bildet, vor; besser sei es, statt dieses Quadrates das zu nehmen, dessen F l ä c h e das arithmetische Mittel zwischen den beiden Grundflächen ist. Zu einem genauen Resultat aber gelange man, wenn man das auf dem ersten Wege erhaltene Resultat (F x ) um ein Drittel des Unterschiedes zwischen diesem ( F J und dem zu zweit berechneten (F 2 ) vermehrte, d.h. wenn: V

V -A's -— *i +

120 BRAHMAGUPTA, Ganita,

bis 313.

a~

^

.

ch. X I I , sect. Y, 45—46, ed.

COLEBROOKE185,

S. 312

Die Volumen- und Oberflächenberechnungen.

Diese Vorschrift stimmt in der Tat. Vl = Η [ ^ ή

2

25

Ist in moderner Symbolik:

und

V

+

1 „ 2 Ϊ2αι -

1

V2 = Η

,

so wird: Fs = Ξ =

4- Ξ

-

TT (a^ ata2 a^ , 1 „ 2 ι (iT + "Ι" + ^ + τ α ι +

Ä

= γ-δ'(αι2 + αι·«2 +

1 Λ

2

1 „ „ „ 2\ α 2 - Ϊ2 α * J

α 2

3 )>

und dieses ist die richtige Volumenformel. Eine in arabischen Schriften auftretende Pyramidenstumpfberechnung — in der Algebra des MUHAMMAD IBN M Ü S ! ALHWÂBAZMÏ (um 820 n.«Chr.; Damaskus)121 — läßt nicht erkennen, ob indische oder griechische Quellen vorliegen. Aus arabischen Schriften schöpfte 122 LEONABDO VON PISA; in seiner Practica geometriae (1220) treffen wir inhaltlich zum erstenmal auf die heutige Formel: V = ÍH(qí

+ YQJT% +

G2),

natürlich nicht in Buchstabenform. Gx bedeute die Grund-, G2 die Deckfläche. Hierdurch war diese Berechnungsvorschrift dem Abendland gewonnen und erscheint nun hin und wieder in eingehenderen Werken, so bei CLAVIUS 1606 in der Geometria practica,123

bei ADBIAN METIUS

1626124 u. a. Die Lehrbücher bis zum neunzehnten Jahrhundert bringen die Berechnungsvorschrift selten, noch seltener den Beweis. Die Ableitung, die die moderne Schulmathematik wählt, ohne Benutzung der SIMPSON sehen Regel, rührt von W . OUGHTBED her ( 1 5 7 4 — 1 6 6 0 ; Pfarrer in einem englischen Landort), der sie »21 Ed. KOSEN1934, S. 84, Beispiel: a¡ = 4, a2 = 2, E = 10. Vgl. auch Annali di matematica pura ed applicata, Bd. VII, Rom 1865, S. 279—280. — 122 LEONARDO P I S A N O , 2 1 4 8 9 , S. 174, Ζ. 4 F . : Embadum curiae pyramidis provenís ex duetu tertiae partís altitudìnis ipsius in summam arearum basis et capitis illius et superficiel, que est in proportione media inter superfieiem basis et superficiem capitis (Das Volumen der abgestumpften Pyramide ergibt sich aus dem Produkt des dritten Teiles der Höhe in die Summe der Inhalte der Grundfläche und der Kopffläche und derjenigen Fläche, die die mittlere Proportionale zwischen der Grund- und Kopffläche ist). — 1 2 3 Lib. V, cap. 3 171837 ; Opera 16111«*, II, S. 132, Nr. 3—4. — 1 2 4 Arith. librili, geom., libri VIΙΤ2ββ, S. 194, Nr. 6.

26

Besonderer

Teil.

1631 in seiner Clavis maihematicae125 nur mit Hilfe der allgemeinen Pyramidenformel entwickelte. Verbreitung fand sie durch J A K O B 126 BERNOULLI I ( 1 6 6 4 — 1 7 0 5 , Basel) und hauptsächlich durch die Sammlung

geometrischer

Aufgaben

v o n MEIER HIRSCH

(1807).127

L E G E N D B E versucht in seinen Elementen einen geometrischen Beweis.128 CBELLE geht aber in einer Anmerkung seiner Übersetzung der L E G E N D B E sehen Elemente auf den algebraischen Beweis wieder zurück.129 Der Fachausdruck abgestumpfte Pyramide bürgert sich erst in der ersten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts ein; vorher pflegte man abgekürzte Pyramide zu sagen. In der deutschen Übersetzung, die I D E L E B 1 8 2 8 von LACBOIX' Elementen IV298 herstellt, kommen beide Bezeichnungen vor, in der älteren Übersetzung 1806 von i v 1395 HAHN wird nur abgekürzt benutzt. T E L L K A M P F ( 1 8 2 9 ) 1 2 9 5 sagt nur abgestumpft. Lateinische Ausdrücke waren curtme pyramides (1145,

PISA

1189

SAVASOBDA 1

822B

),

decurtatae

pyramides

), später allgemeiner pyramides

(1220,

LEONABDO

VON

truncatae.

Die Bedeutung, die das Dreieck für die Ebene besitzt, kommt im dreidimensionalen Räume der dreiseitigen Pyramide, dem u n r e g e l m ä ß i g e n Tetraeder, zu. Es hat sich, besonders im neunzehnten Jahrhundert, allmählich eine Tetraederlehre130 gebildet, die in vielen Sätzen sehr schöne Verallgemeinerungen der Lehre vom ebenen Dreieck enthält. Wir müssen uns im folgenden auf einige wenige Einzelheiten beschränken, da fast der gesamte Gegenstand außerhalb des Schulpensums fällt.131 Als der erste nahm N . TABTAGLIA ( 1 4 9 9 ? — 1 5 5 7 , Venedig) die Berechnung des Volumens aus den sechs Seitenkanten in Angriff.131 Einen, allerdings sehr umständlichen, Ausdruck gibt W O L D E G K 182 WELAND 1640; über ein Jahrhundert später ( 1 7 4 6 ) griff DE O P P E L 125

1. Ausg. 1631 147eo , cap. XX, §15, S. 77f.; Abdruck in Opusoula math. 1676 I 7 9 î , cap. XIX, prop. XXI, S. 98 f. —