Geschichte der Elementarmathematik: Band 6 Analysis, analytische Geometrie [2., verb. und sehr verm. Aufl. Reprint 2011] 9783111722443, 9783111080628

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GESCHICHTE DER

ELEMENTARMATHEMATIK IN SYSTEMATISCHER DARSTELLUNG MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER F A C H W O R T E R VON

DR. J O H A N N E S DIREKTOR

TROPFKE

DER K I R S C H N E R - O B E R R E A L S C H U L E

ZU

BERLIN

SECHSTER BAND

ANALYSIS · ANALYTISCHE GEOMETRIE ZWEITE, SEHR

VERBESSERTE

VERMEHRTE

UND

AUFLAGE

&}

W

BERLIN UND LEIPZIG 1924

WALTER

DE G R U Y T E R

& CO.

VORMALS G. J. GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG • J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG · GEORG REIMER · KARL J. TRÜBNER • VEIT & COMP.

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsreehts, vorbehaltet!.

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Dem vorliegenden Band VI folgt der Schlußband VII; er wird die Stereometrie und zwei eingehende Verzeichnisse über alle sieben Bände, 1. Namen und Schriften, 2. Sachliches, enthalten. Berlin, im Januar 1924. Der Verfasser.

Inhalt. Analysis. Analytische Geometrie. A. Die Analysis 1. Die Reihen a) Die arithmetischen Reihen b) Die geometrischen Reihen c) Die arithmetischen Reihen höherer Ordnung . . . . d) Die höheren Reihen 2. Die Zinseszinsrechnung 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . 4. Die Kettenbrüche 5. Maxima und Minima B. Die analytische Geometrie 1. Geschichtlicher Überblick 2. Die Fachausdrücke 3. Der Punkt, die Gerade, der Kreis 4.. Die Kegelschnitte a) Geschichtlicher Überblick b) Besonderer Teil 5. Koordinatentransformation und Reduktion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades

Seite

3— 91 3—55 3— 15 15— 20 20— 29 29— 55 56— 62 63— 74 74— 84 84— 91 92—169 92—115 116—120 120—128 128—164 128—143 143—164 164—169

ANALYSIS.

TROPFKK, Gcschichte.

ANALYTISCHE GEOMETRIE

VI.

2. Aufl.

1

A. Die Analysis. I. Die Reihen. a) Die arithmetischen Beihen. Unter den ältesten Funden, die man in der Geschichte der Mathematik gemacht hat, befinden sich auch Reihenaufgaben. Im ägyptischen Papyrus Ehind, dem sogenannten Rechenbuch des A H M E S (zwischen 2000 und 1700 v. Chr.), enthalten die Aufgaben Nr. 40 und 64 1 Beispiele aus der Reihenlehre, die nicht einmal zu den leichtesten ihrer Anwendungen gehören. Aufgabe 40 verlangt, 100 Brote so an fünf Personen zu verteilen, daß die Anteile eine arithmetische Reihe bilden und die beiden Personen, auf die die geringeren Anteile fallen, zusammen ein Siebentel von der Summe der übrigen Anteile erhalten. Ist gi das i te Glied, d die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder, s{ die Summe der ersten i Glieder und η die Anzahl der Glieder, so soll aus n=5,

sn = 100,

= gA +

ffi

die negative Differenz d gefunden werden. Aus der letzten Beziehung schließt A H M E S — wie, ist nicht gesagt —, daß d zunächst als das 51 fache des kleinsten Gliedes angenommen werden müsse, und setzt demnach die Reihe 23, 17^, 12, 1 an. Da deren Summe aber nur 60 beträgt, so ist jedes Glied noch mit lf- zu multiplizieren; A H M E S findet so 38^, 29£, 20, lOf, l f als Werte der einzelnen Anteile. In der zweiten Aufgabe (Nr. 64) will A H M E S zehn Maß Getreide unter zehn Personen verteilen; es solle jede folgende Person aber Maß weniger empfangen als die vorhergehende. In unserer 1

A . EISENLOHE, S . 9 0 u n d

159

M8X

.

1*

4 Symbolik wäre gi aus η = 10, sn = 10, d = — \ zu berechnen, und zwar ergäbe die uns geläufige Formel sn = ng^ + —— d sofort für den ersten Anteil den Wert:

Nach der hierin enthaltenen Rechenvorschrift verfährt aber auch der ägyptische Rechner, wiederum ohne zu sagen, wie er zu ihr kommt. Man kann sich dem Eindruck nicht verschließen, daß ihm allgemeine Sätze über Summierung arithmetischer Reihen zu Gebote gestanden haben. Bestärkt wird diese Vermutung, wenn man bei seinen Herleitungen sogar einen ständig gebrauchten Fachausdruck tunnu ( = Erhebung) für die Differenz d antrifft. In den Fragmenten von KAHUN, die etwa aus der Zeitperiode jener Vorlagen des A H M E S stammen, ist die Reihe: 1 110 133 1911 12-112-' I i i4» ΙΟ-6- 9-ϊ81 7-! '7JL 64 1 ill/, J.Ö-J, 12» 1 2? Τ2> 1

σ

4

υ

untereinander aufgezählt. Die erste Zahl 110 ist unklar; vielleicht war zwischen 100 und 10 ein Trennungszeichen, und es galt dies als Überschrift: 100 in 10 Teile zu zerlegen. In der Tat geben die übrigen 10 Zahlen die Summe 100; sie weisen die konstante Differenz £ auf. Weiteres fehlt. 2 Nicht unbedeutende Spuren sind von den Kenntnissen der Babylonier über die arithmetischen Reihen vorhanden. Wir können auf eine Zahlenreihe hinweisen, die eine Keilschrifttafel, eines der ersten unter den entzifferten babylonischen Schriftdenkmälern (1854),3 uns bietet: 5, 10, 20, 40, 1-20, 1-36, 1-52, 2-8, 2-24, 2-40,2-56,3-12,3-28,3-44,4. Sie soll das allmähliche Wachstum der erleuchteten Mondscheibe in den 15 Tagen vom Neumond bis zum Vollmond darstellen. Beachtet man die sexagesimale Schreibweise (1-20 = 1 · 60 + 20; 3-44 = 3 · 60 + 44), in der 4 die 240 Teile der vollen Scheibe ausmachen, so stellen sich die fünf ersten Zahlen als Glieder einer geometrischen, die übrigen als solche einer arithmetischen Reihe heraus. Die Zeit ihrer Abfassung steht nicht fest. Aber die Verwendung arithmetischer Reihen zur Festlegung des Verlaufes astronomischer Vorgänge ist durch weitere Funde für jüngere Zeit nachgewiesen. Umfangreiche keilschriftliche Aufzeichnungen liegen M. CANTOR, Oriental. Lit.-Ztg. 1898, Irish Ac. 22, Bd. 2, S. 405—422. 2

S.

307111 ,β1 . —

3

Ε.

HINCKS,

Transact, ß .

δ vom Ende des vorchristlichen zweiten Jahrhunderts, kurz nach der Blütezeit hipparchischer Astronomie, aus dem Euphratlande vox-.4 Der babylonische Beobachter will den Lauf des Mondes angeben und entwirft eine vielgliedrige auf- und absteigende Zahlenreihe, die zwischen den Umkehrstellen mit gleichbleibender Differenz verläuft. Eine mathematische Behandlung fehlt. Eeine Beobachtungsreihen sind das aber auf keinen Fall; es scheint sich um theoretische Einschaltungswerte zwischen gewissen Beobachtungswerten zu handeln. Zweck wird die Bestimmung von Finsternissen gewesen sein. Etwas besser Bescheid wissen wir über den Standpunkt, den die Griechen in der Eeihentheorie einnahmen. Die Pythagoreische Schule (sechstes und fünftes Jahrh. v. Chr.) zog zahlentheoretische Untersuchungen mit Vorliebe in den Kreis ihrer Betrachtungen. Hierzu gaben ihr die Eeihen reichlich Gelegenheit. T H E O N VON SMYRNA (um 130 n. Chr.) teilt uns mit, daß die Pythagoreer nicht nur die Eeihe der ganzen Zahlen 5 zu summieren verstanden: 1 + 2 + 3 + . . . + » = !»(* +1), sondern auch die der ungeraden®: l + 3 + 5 + ... + 2w—l=w2 und die der geraden 7 : 2 + 4 + 6 + . . . + 2» =

rc(w+l)

für sich allein. Die Summierung der ungeraden Zahlen ist schon durch ARISTOTELES (384—322 v. Chr.) bezeugt. 8 Eine Zahl von der Form \n[n + 1) hieß eine Dreieckszahl (vgl. S. 7); n(n-\- 1) wurde heteromeke Zahl (Eechteckszahl) genannt. Auch für die Dreieckszahlen ist uns eine Erwähnung bei ARISTOTELES 9 Beweis, daß sie zur Pythagoreischen Wissenschaft gehören. Man vermutet, daß schon bei den Pythagoreern έκ&εσις ein Fachausdruck für „Eeihe", όροι für deren Glieder gewesen sei.10 Tatsächliche Belege, daß den älteren Griechen die allgemeine Summationsformel bekannt war, können nicht beigebracht werden. Zur Zeit des großen Syrakusaners ARCHIMEDES (287—212 ν. Chr.) war aber bestimmt eine solche vorhanden, da 4

F. X. KUGLER, Bab. Mondrechnung180, Kolonne F auf S. 12; vgl. auch S. 14. — 5 Theonis Smyrnaei expositio, ed. HILLER1 6 3 7 , S. 31. — 6 Daselbst S. 28. — 7 Daselbst S- 27 und 31. — 8 Phys. III, 4, nach E. HOPPE, Math. u. Astron. im klass. Altertum1189, S. 77. — 9 Metaphys. XIV, 5, ed. BEKKER1 2, Sp. 1092 R., Z. 12. — 10 I. J. BIENAYM£, Traduction de deux passages de Stobbee, Comptea ßendus Ac. Paris 71, 1870, S. 460.

6

Die Analysis.

dieser ihre Kenntnis bei der Summierung der Quadratzahlenreihe (vgl. S. 27) voraussetzt. 11 H Y P S I K L E S YON ALEXANDRIA (um 1 7 0 v. Chr.) hat eine uns nicht erhaltene Schrift Όρος verfaßt, aus der D I O P H A N T 1 2 den Satz entnimmt: „Schreitet eine Reihe mit gleicher Differenz fort, so ist ihre Summe, wenn die Differenz 1 ist, eine dreieckige Zahl, wenn die Differenz 2 ist, eine viereckige, wenn die Differenz 3 ist, eine fünfeckige usw." Aus derselben Schrift scheinen die drei Sätze zu stammen, die in einer astrologischen Schrift Αναφορικός (Von den Aufgängen der Gestirne)13 an die Spitze gestellt sind: für η — 2 ν 1. 2

(0„+ι +9,+2 + · · · + 92v) ~{ffi+9z

·

'η^'ΰν-μ+^

+'•·+!!,)

= dv*,

+ μ),

für η = 2 ν + 1 3·

sn =

{2v+l)gv+l,

Sätze, die die Summation der arithmetischen Eeihe klar aussprechen. Die Anführung dieser dem H Y P S I K L E S zukommenden Sätze dürfte der Grund gewesen sein, daß auch die ganze Abhandlung Αναφορικός dem H Y P S I K L E S , schon seit dem Altertum, zugeschrieben wurde; sie ist aber in der weiteren Durchführung so dürftig, ja fehlerhaft, daß ein tüchtiger Mathematiker wie H Y P S I K L E S ihr Verfasser nicht gewesen sein kann. 14 Die beiden Summationsformeln des H Y P S I K L E S faßt D I O P H A N T (zweite Hälfte des dritten Jahrh. n. Chr.) in seiner Schrift über die Polygonalzahlen 15 in einen Satz zusammen: „Wenn beliebig viele Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das Produkt aus der Summe der größten und kleinsten in die Anzahl der Zahlen gleich der doppelten Summe aller vorliegenden Zahlen." Der Beweis erfolgt dann aber noch getrennt für gerades und ungerades n. Aufgaben, die auf arithmetische Reihen führen, werden auch in 16 H E E O N S (erstes Jahrh. v. Chr.) Schriften gelöst. Sie verraten seine Vertrautheit mit der Berechnung von sn und gn für eine vorgegebene JUeql ελίκων X, ed. HEIBERG17, Leipzig 1880—81, 2®, S . 80—40 ff; N I Z Z E , S . 125—148. — 1 2 D I O P H A N T , De polygonis numeris, ed. T A N N E R Y Ι 5 Β Β , I , S. 468; Übersetzung von W E R T H E I M Satz VIII, S. 307. — ' 3 Ed. MANITIUS 1 A O 4 , 1888, S. XIII und XIV, XXIV—XXVI. — L* Vgl. E. HOPPE1189, S. 316—317. — Ι6ββ 15 D I O P H A N T , De polygonis numeris , ed. T A N N E R Y S. 456; Übersetzung von i48S 16 W E R T H E I M S. 300. — H E R O N , Stereometrica, I, cap. 42, ed. HEIBKRQ 5 , S. 46—49, Berechnung der Sitze in einem Theater aus der Anzahl der Sitze auf der äußersten (£„) und der innersten ( i B a n k und der Zahl der Bank11

ARCHIMEDES,

Die Reihen.

7

Reihe. Aus anderen Gebieten wissen wir, daß HEBON in der Hauptsache ägyptische Kenntnisse wiedergibt; vielleicht hat diese Ansicht auch hier ihre Berechtigung. Eine ausgedehnte Anwendung fand bei den griechischen Mathematikern die Lehre von den arithmetischen Reihen in der T h e o r i e der f i g u r i e r t e n Z a h l e n , 1 7 deren Begründung in der Schule des PYTHAGORAS, deren Ausbau in der Akademie PLATONS zu suchen ist E U K L I D schweigt über sie ganz. Hierzu gehört die schon oben angeführte Bezeichnung „Dreieckszahl" für -\n{n-1), die aus der Addition der in Dreiecksform regelmäßig angeordneten Punkte:

von einer Ecke aus, in Parallelreihen zur Gegenseite, zu erklären ist. Die n te Dreieckszahl s^. ist danach gleich 1 + 2 + 3 + . . . + n, mithin die Summe einer arithmetischen Reihe, in der g = 1, d = 1 ist. Ähnlich ist die n te Yiereckszahl s ^ gleich der Summe einer Reihe mit g.^ = 1 und d = 2 und allgemein die nte m-Eckszahl sη(m) die Summe einer arithmetischen Reihe mit dem Anfangsglied 1 und der Differenz m — 2, also in unserer Formelsprache:

η= 1

η - 2

η = 3

η= 4

η = 5

η - 6

m= 3

1

3

6

10

15

21

Dreieckszahlen

m= 4

1

4

9

16

25

36

Viereckszahlen

m= 5

1

5

12

22

35

51

Fiinfeckszahlen

m= 6

1

6

15

28

45

66

Sechseckszahlen

m= 7

1

7

18

34

55

81

Siebeneckszahlen

reihen (ή), BerechnungsVorschrift

gn berechnet durch gn = gl + (« — 5 I146e , S. 180f. — des

BOETIUS

17

^

n\

ferner cap. 43, § 2, S. 49—51,

vgl. auch Mensurae, cap. 24, ed.

HEIBEBG

Der Ausdruck numeri figurati stammt aus der Arithmetik

( 4 8 0 — 5 2 4 n. Chr.), ζ. B . Überschrift II, 17, ed. F R I E D L E I N 1 3 2 0 , S . 101:

8 Die erweiterte Definition gab H Y P S I K L E S , wie oben nach D I O P H A N T berichtet wurde. Aber schon lange vor ihm soll P H I L I P P O S O P U N T I O S (um 875 Y. Chr.),18 ein Schüler des SOKBATES und P L A T O N , ferner 19 S P E U S I P P O S (um 350 v. Chr.), der Nachfolger P L A T O N s in der Leitung der Akademie, über Vieleckszahlen geschrieben haben. Nach H Y P S I K L E S ist besonders die Εισαγωγή άρι&μητική des NIKOMACHOS 29 VON G E R A S A (um 100 n. Chr.) zu nennen, ein vielgelesenes Lehrbuch, das die griechische Zahlentheorie ebenso zusammenfaßt, wie E U K L I D S Elemente die theoretische und H E R O N S Schriften die praktische Geometrie. Den Polygonalzahlen widmet NIKOMACHOS breiten Raum. Seine systematische Ableitung mit Hilfe der arithmetischen Reihe war für Jahrtausende vorbildlich. Geschickt und in scharfer Gliederung hat er den überkommenen arithmetischen Stoff der Pythagoreischen und Platonischen Schule verarbeitet und wohl auch Eigenes hinzugetan. So ist die Beziehung zwischen Polygonalzahlen verschiedenen Ranges: 21 (3) , ηw +1 srt—1 , = Sn(m+1)

vor ihm noch nicht nachzuweisen. Neben dem alten έκ&εσις22 benutzt NIKOMACHOS σνν&εσις23 als Fachwort sowohl für arithmetische Reihen wie für geometrische. Eine allgemeine Zahlenfolge heißt oi Ικχύμινοι άριϋ-μοί.24. Unser Wort „ n a t ü r l i c h e Z a h l e n r e i h e " für 1, 2, 3, 4 . . . klingt an in seinem ό φυσικός στίχος?'0 P L U T A R C H (erstes Jahrh. η. Chr.) schreibt den Pythagoreern den Satz zu, daß jede Dreieckszahl, mit 8 multipliziert und um 1 vermehrt, eine Quadratzahl ist.26 Denselben Satz führt auch I A M B L I CHOS (um 325 n. Chr.; aus Chalkis in Cölesyrien) in seiner Sammlung Descriptio figuratorum, numerorum in ordine. Es ist die wörtliche Übersetzung des griechischen άξΐ&μός σχημαπογρηφ&είς bei NIKOMACHOS II, 1 7 , 1 , ed. HOCHE1815, S. 108, Z. 9. — 1 8 Βιογράφοι. Vitarum scriptores graeci minores, ed. A . WESTER19 MANN, Braunschweig 1 8 4 5 , S. 446, Z. 12—13. — Fragment dieser Abhandlung bei P. TANNEBY, Pour l'histoire de la science hellene, de Thaies ä Emptdocle, Paris 1 8 8 7 , Appendice II, Nr. 14, S. 3 8 6 — 3 8 9 . — 2 0 Buch II, ed. HOCHE1815, S. 73 ff. — 21 CANTOB L 3 , S. 432. Dieser Satz wiederholt sich in der Literatur erst wieder bei BOETIUS ( 4 8 0 — 5 2 4 n . C h r . ; ed. FBIEDLEIN S . 1 0 3 — 1 0 4 1 3 4 0 ) , der die Einführung des NIKOMACHOS lateinisch bearbeitete. — 2 2 Lib. I, cap. 8, § 12, ed. HOCHE1815, S. 18, Z. 12 u. ö., siehe Index. — « II, 27, 3. S. 137, Z. 24 u. ö. — 2 * II, 10, 2. S. 92, Z. 9. — « II, 8, 3. S. 88, Z. 21. — « Platonicae quaest., V, 2, § 4, ed. DIDOT-DÜBNEB, Moralia, II, Paris 1890, S. 1228, Z. 19—21.

9

Pythagoreischer Lehren an,27 während ihn DIOPHANT (zweite Hälfte des dritten Jahrh. n. Chr.) zu 8 (M -

2) ·

+

[M -

4)3 =

[(M -

2) ( 2 »

-

VON ALEXANDRIA

1) +

2]

2

verallgemeinert/ 8 einer Formel, die eine neue Definition der allgemeinen Vieleckszahl liefert. Diese Beziehung wurde von DIOPHANT nicht nur dazu benutzt, sη{m) aus den Werten von η und m zu berechnen, sondern auch η mit Hilfe von η und m zu finden.29 Die Kenntnisse, die die Inder 30 von arithmetischen Reihen hatten, gingen nicht über die der Griechen hinaus; die Theorie der figurierten Zahlen ist bei ihnen überhaupt nicht nachzuweisen. Wir heben nur als bemerkenswert hervor, daß ÄRYABHATA (geb. 4 7 6 n. Chr.) die Anzahl η der Glieder einer arithmetischen Reihe gelegentlich aus den Größen gx, sn und d mit Hilfe einer quadratischen Gleichung bestimmt 31 und daß bei ihm 32 zum erstenmal die sogenannte Kurieraufgabe auftritt, in der ein Bote durch eine später abgesandte, aber mit steigender Schnelligkeit vorwärtskommende zweite Person eingeholt werden soll. Sie findet sich auch im sogenannten Rechenbuch von BAKHSÄLI, 33 das man früher für das dritte bis vierte Jahrhundert in Anspruch nahm, das aber sicherlich viel jünger als '

ÄRYABHATA i s t .

Durch die Vermittlung der Araber gelangte das, was Griechen und Inder geleistet hatten, zum Abendland. Einiges flöß unmittelbar aus griechischen Quellen in das Mittelalter durch die Übersetzung eines Auszuges aus NIKOMACHOS, die BOETIUS ( 4 8 0 — 5 2 4 ) verfaßte 1320 . Fachwort für „Reihe" ist bei diesem zumeist progressio, seltener disposüio3i oder ordo,36 Series36 hat die heutige Fachbedeutung jedenfalls noch nicht. Im Codex Arcerianus37 (sechstes Jahrh. n. Chr.) ist ein Bruchstück des römischen Feldmessers EPAPHRODITUS (drittes Jahrh. n. Chr.) erhalten, in dem ein Satz über 27

In Nicomachi arilhmeticam, introduetionem, ed. P I S T E L L I 1 3 ' 0 , S . 90. — 2 8 De 1566 polygonis numeris I V , ed. T A N N E R Y , I , 8. 460—467; vgl. Übersetzung von WEHTHEIM S . 305 Anm. — 2 9 Daselbst Satz 9 , ed. T A N N E R Y 1 5 Β Β , I , S. 474, Ζ . 2 1 bis S. 476, Ζ. 3, ed. WERTHEIM, Leipzig 1890, S . 309—310. — 3 0 L. R O D E T , Lepons de calcul rf'Aryabhatta™3, X I X — X X , S . 400—401, 420—421, BUAHMAGUPTA, Ganita eh. X I I , S. I I I , ed. COLEBROOKE 1 8 5 , S. 2 9 0 — 2 9 4 ; BHÄBKARA, Lilävati ch. Y, sect. I u. I I , ed. COLEBROOKE, S. 51—57. — 31 L. R O D E T 1 8 8 , X X , S . 401 u. 421. — 3 2 R O D E T 1 8 8 , S . 15, 41—42. — 3 3 Vgl. R . HOERNLE, InI8S 34 dian Antiquary 17 , S . 42 rechts. — Ed. F R I E D L E I N 1 3 8 0 , S . 18, Z . 21, S . 19, 3 3 Z. l n . ö . — 5 S . 18, Z. 8, 25 u. ö. — 6 S . 35, Z. 22, S . 36, Z. 16 u. ö. — s I3es 3 7 CANTOR I , S. 557 .

10

Die

Analysis.

Vieleckszahlen steht, den weder NIKOMACHOS noch ein anderer uns bekannter griechischer Mathematiker berichtet, ein Zeichen, daß uns wertvolle griechische Schriften über Vieleckszahlen verloren gegangen sind. Das Verständnis, das den Reihen im Mittelalter entgegengebracht wurde, ist sehr wechselnd. In einem Sammelbande aus dem elften Jahrhundert38 findet sich ein kurzes Schriftstück De aggregations naturalium numerorum', dort tritt unsere Bezeichnung „ n a t ü r l i c h e Z a h l e n " nach BOETIÜS (Bd. II, S. 53) zum erstenmal wieder auf. Ihre Summe wird in allgemeinem Wortlaut als v ( $ v + \ ) angegeben, wenn das letzte Glied gerade ist ( = 2v), als (i/+ l)(2v-]~ wenn das letzte Glied ungerade ist. Die Summe der ungeraden Zahlen bis 2 ν + 1 ist (v + l) 2 , die der geraden bis 2 ν gleich v(v + 1). LEONARDO VON P I S A hat in seinem Liber abaci (1228) bessere Quellen und bringt die allgemeine Summationsvorschrift in doppelter Fassung:39

je nachdem η gerade oder ungerade ist. Ein Vorzug beider Schriften ist, daß die Rechenvorschriften nicht nur, wie später oft, an Zahlenbeispielen vorgeführt, sondern allgemein ausgesprochen werden. Fachwörter kennt LEONARDO noch nicht; er spricht aber von numerus primus,

numerus

ultimus,

numerus

multitudinis

numerorwn.

Das Rechenbuch des SACEOBOSCO (f 1256, Paris), Tractatus de arte numerandi, nimmt zwar die Progressio als neue Spezies auf, deren nunmehr neun gezählt werden: Numeratio, Additio, Subtractio, Mediatio,

Duplatio,

Multiplication

Divisio,

Progressio,

Extraetio,

aber

trotzdem enthält es aus der Lehre der arithmetischen Reihen nichts als die Summation der natürlichen Zahlenreihe und die der geraden und ungeraden Zahlen.40 Indem SACEOBOSCO ebenfalls zwischen einer geraden und ungeraden Anzahl der Glieder unterscheidet,

38

Cod. lat. Mon. Nr. 14836,

1895,

S . 105.

—

3

9

ed. CÜRTZE, Abh. z. Gesch. d. math. Wies. 7,

LEONARDO P I S A N O ,

e d . BONCOMPAGNI I 1 1 7 ,

S . 166,

Z.Off.:

Dimidium multitudinis eunctorum numerorum in collectione positorum per conjunetum extremis multiplied; vel dimidium sume extremorum, scilicet primi et ultimi numeri, per numerum multitudinis numerorum ducas et habebis propositum (Die Hälfte der Anzahl aller in der Keihe stehenden Glieder multipliziere mit der Summe der äußersten; oder nimm die Hälfte der äußersten Glieder, die des ersten und letzten Gliedes, multipliziere sie mit der Anzahl der Zahlen, so erhältst du das Gewünschte). — 4 0 SACEOBOSCO, Algorismus vulgaris ed. CDRTZE119, S. 2, Z. 8—6 y. u. und S. 12—13.

11 bringt er es fertig, vier ganz verschiedene ßegeln für die Summation aufzustellen. Hier zeigt sein Kommentator P E T B Ü S DE DACIA ( 1 2 9 1 ) 1 1 9 wieder bessere Einsicht. Schon die Definition der arithmetischen Reihe wird allgemein gehalten: Progressio est numerorum secundum aequales excessus augmentatorum

numeratis

(Reihe ist die Zusammen-

fügung von Zahlen, die nach gleichem Überschuß vermehrt sind). Er zeigt, daß das Anfangsglied, die Differenz und die Anzahl der Glieder ganz beliebig sein können, und gibt dann beide Summationsregeln des LEONARDO. Beachtenswert ist sein Zusatz, daß entweder die Summe des ersten und letzten Gliedes oder die Gliederzahl, oder auch beide, gerade Zahlen sind.41 Als Fachworter treten bei

P E T B U S DE DACIA

auf: Anfangsglied

primus locus, Endglied ultimus locus, Anzahl der Glieder numerus locorum, Glieder loca oder loca positionum, Summe summa universorum oder totius progressionis.

Avignon) summiert zwar im Anfange seines Sefer Maassei Choscheb ( = Werk des Rechnens)42 aus dem Jahre 1321 an einer Stelle die Reihe der ungeraden Zahlen, beschäftigt sich dann aber nur mit der Summe der natürlichen Zahlen. Nennen wir diese sn, so leitet er u. a. folgende Beziehungen her:43 LEVI

BEN GEBSON

(1288—1344,

sη + sTI+L ..

= n2/,

2 sn

= η +

1

η2,

«3 + · · · + « „ = 2 2 + 4 2 + 6 2 + . . . + η8

s.B - I

- I 2 + 32 + 5 2 + . . . + n2 w2 — η ~~

2 .

S

n

=

Vs V

=

n

+

(η gerade), (» ungerade),

' —

η

- γ - >

η33 + , = η + (» - l) 3 + (Λ - 2)3 + · · · ·

Die oben angeführte Bemerkung des P E T B U S DE DACIA ist BELDOMANDI ( F L 4 2 8 , Padua) fremd; er muß daher in seinem Algorismus de integris (gedruckt 1540, Yenet.) für eine ungerade Glieder** Ed.

CÜEXZE 1 1 9 ,

S. 68, Z. 1 8 — 2 0 : Unde debes hie indubitanter scire, quod vel numerus locorum erit par vel numerus aggregatus ex primo et ultimo eritpar, 42 veluterque. — Ed. Gr. L A N G E 112ββ, Frankf. a. M. 1909. — 4 3 Daselbst § 30—42.

12 anzahl η = 2 ν + 1 die sehr zusammengesetzte Rechenvorschrift der allgemeinen Reihe aufstellen: 44 =

+

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Die Fachwörter haben sich etwas geändert. Glied der Reihe, ein Begriff, für den BELDOMANDI auch eine besondere Definition gibt, 45 heißt bei ihm portio, selten terminus;40 er spricht von dem numerus portionum (-- n) aber auch von der summa omnium illorum numerorum. Neu ist für das Mittelalter die Unterscheidung: Progressionum alia arithmetica, alia geometrica. Die arithmetische Reihe teilt er in progressio continua, bzw. naturalis (d. i. 1, 2, 3, . . .) und progressio discontinua, bzw. intercisa (Differenz > 1), eine Einteilung, die übrigens SACEOBOSCO schon hat. BELDOMANDI kennt aber nur Reihen mit ganzzahligen Gliedern. In einem Schriftchen des Münchener Sammelbandes Cod. lat. Mon. 14908, geschrieben von FBATER FBIDEKICUS zwischen 145i> und 1464, wird zum erstenmal eine Reihe mit Brüchen addiert und zum erstenmal seit dem Altertum wieder mit einer einzigen Regel: t f f l + ffr) γ

gerechnet, ganz gleich, ob η gerade oder ungerade ist 4 7 Sehr dürftig ist der Inhalt des Bamberger Rechenbuchs von 1483, das sich auf die natürliche Zahlenreihe beschränkt. 48 "Wirkliche Mathematiker beherrschten aber trotz des allgemeinen Niedergangs noch den vollständigen Stoff. Der französische Gelehrte CHUQUET (f um 1 5 0 0 ; Lyon, Paris) gibt in seinem Triparty ( 1 4 8 4 ) wiederum die allgemeine Regel LEONAEDOS. 4 9 Das Rechenbuch von WIDMANN (Leipzig 1 4 8 9 ) wendet sie auf die Reihe der ganzen Zahlen 1, 2, 3 , . . . an, die einmal bis zu einem geraden, bei einem anderen Beispiel bis zu einem ungeraden Schlußglied steigt, dann werden auch noch die Zahlen 2, 4, 8, . . . und 1, 3, 5, 7, . . . summiert. 50 Auch seine Definition des „Progredirens", wie es schon im deutschen Text heißt, bezieht sich nur auf die Differenzen 44 Bl.