Algebraisches Uebengsbuch für mittlere und obere Klassen höherer Unterrichtsanstalten und zum Selbstunterricht: Erste Reihe [Zweite Auflage. Reprint 2018] 9783111436326, 9783111070438

Citation preview

Ulgebraisches Uebungsbuch für

mittlere und obere Klassen höherer Unterrichtsanstalten und zum Selbstunterrichte

von

Dr. Paul Wiecke, Director der Kgl. höheren Gewerbeschule in Kassel.

Erste Neihe.

Zweite Auflage.

Berlin, Druck und Verlag von G. Reimer. 1877.

Vorwort.

SDie nachfolgende Beispielsammlung enthält das Material zu algebraischen Uebungen, welche Schüler von den Anfängen im al­ gebraischen Rechnen bis zum Gebrauche von Logarithmentafeln unb' andererseits bis zur Auflösung quadratischer Gleichungen durchzu­ machen Pflegen. Sie ist in der Absicht zusammengestellt dem Schülerselbst in die Hand gegeben zu werden — soll übrigens in einzelnen Lieferungen (Reihen) erscheinen, so daß jede derselben den ganzen Cyklus jener Uebungen umfaßt, die einzelnen Lieferungen sich nicht in der Art der Beispiele, sondern nur in den Individuen unter­ scheiden.

Hiernach würde dasselbe Heftchen einen Schüler, der in

keiner Klasse zurückbleibt, von Quarta bis Secunda begleiten, in aufeinander folgenden Jahrgängen dieselbe Klasse sich verschiedener Hefte zu bedienen haben. Daß überhaupt dem Schüler eine Sammlung von Aufgaben in die Hand gegeben werde, scheint mir durchaus wünschenswerth.

IV

Ich

will zu bekannten Gründen noch den

einen

anfügtest,

daß

eine Wiederholung des Pensums in der praktischen Algebra eine übersichtliche

Zusammenstellung

gleichartiger

Aufgaben

erfordert.

Und diese Wiederholungen können nicht genug empfohlen werden. So lange der Schüler die Regel einübt, kümmert er sich weder um den Verlauf der Rechnung noch um die Form deS gewon­ nenen Resultates,

und doch sind eS gerade

die in diesen Hin­

sichten aufzustellenden Gesichtspunkte, welche den Schüler nach Ein­ übung der Regel veranlassen sollen dieselbe am rechten Orte auch ohne Anweisung des Lehrers anzuwenden. jene Repetitionen,

Dieses Nachdenken wird durch

die ganze Gruppen

von Beispielen

umfassen

müssen und nur hier und da sich auf Details einlassen, nament­ lich wenn dabei nur im Kopfe gerechnet wird, ganz besonders ge­ fördert und dürfte vorzüglich

bei jüngeren Schülern für die oben

genannten Zwecke unentbehrlich sein. — Bei einer für den Schulgebrauch bestimmten Sammlung al­ gebraischer Aufgaben ist hinsichtlich der Reichhaltigkeit meines Er­ achtens die Anforderung zu stellen, daß es einerseits nicht unum­ gänglich ist Jahr aus — Jahr ein in derselben Klasse die näm­ lichen

Exempel rechnen zu lassen;

daß

andererseits der

einzelne

Schüler nicht wesentlich mehr Material in die Hände bekomme, als in der Schule durchgesprochen wird und ihm selbst geläufig

Derben soll. aunkte — ncht

Das Zuviel muß —

ganz abgesehen vom Kosten-

das Interesse des Schülers am Inhalte des Buches

unerheblich

schmälern.

Die vorstehenden Rücksichten haben

naturgemäß auf die Theilung der ganzen Sammlung in einzelne Hefte, deren erstes hier vorliegt, geführt. Für den Gebrauch des Buches wird von vornherein Fertig­ keit des Schülers im Operiren mit bestimmten Zahlen und zwar ganzen und gebrochenen, gemeinen und Dezimal-Brüchen voraus­ gesetzt.

Die Reihenfolge und der Umfang der Uebungen ergiebt

sich zum Theil aus dem Jnhaltsverzeichniß, zum Theil wird es allerdings eines Blickes auf die die Gruppen schließenden Beispiele bedürfen. Jeder Uebung geht die Regel, meist auch in Formel ge­ faßt, vorauf, und es beginnt jene mit einer Reihe leichterer Auf­ gaben, die in der folgenden Suite in der einen oder anderen Ge­ stalt auftreten, sowie auch die verschiedenen Fälle, in denen die Regel zur Anwendung kommt, aufweisen sollen.

Da die Lösung dieser

ersten Aufgaben leicht im Kopfe auszuführen ist, so sind deren Resultate im Anhange nicht aufgeführt. — Bei der vorstehend be­ schriebenen Einrichtung des Buches wird es möglich fein, dasselbe für die erste Stufe des arithmetischen Unterrichtes gleichzeitig als Lehrbuch zu verwenden. Auf Mannichfaltigkeit der Beispiele in den einzelnen Abschnitten ist gebührend Rücksicht genommen, und ebenso ist für Zuverlässigkeit der Resultate nach Möglichkeit gesorgt. Möge die Arbeit bei meinen sachverständigen Collegen eine wohlwollende Aufnahme finden! Hagen im Mai 1868.

Wiecke.

VI

Vorwort zur zweiten Auflage. !£)en die erste Auflage begleitenden Vorbemerkungen ist nichts weiter hinzuzufügen, als daß die zweite Auflage ein möglichst unver­ änderter Abdruck der ersten ist.

Namentlich ist an den Aufgaben

der ersten Auflage und an den Nummern, welche sie bisher geführt haben, keine Veränderung vorgenommen worden, als daß Nr. 540b und die Gleichungen Nr. Nr. 284 u. 285 durch andere ersetzt sind, sowie daß die Zahl der bei den Wurzelrechnungen Nr. 495 u. flgd., Nr. 530 u. flgd. anzugebenden Stellen in bessere Uebereinstimmung mit den je unmittelbar vorausgehenden, allgemeinen Entwickelungen gebracht ist. Einige neuen Beispiele zu den in die Gruppe V pg. 12 aufgenommenen Formeln für A3—B3 u. A3+B3 sind durch be­ sondere Zeichen (*) als solche kenntlich gemacht. — Die früher unrichtigen Angaben in den "Resultaten" sind verbessert worden, nachdem behufs thunlichster Zuverlässigkeit derselben neuerdings sämmtliche Aufgaben nochmals waren durchgerechnet worden. Kassel im Mai 1877.

Wiecke.

Jnhaltsverzeichniß. Erste Gruppe.

Die vier Grundoperationen mit irgend welchen allgemeinen Zahlen. T

^

Seite

I. Addiren. — Regel 1 bi« 3. Beispiel 1 6i8 36.......................................................1 II. Subtrahiren. — Regel 4 und 5, Bsp. 37 bis 46............................................4 I. und II. Addiren und Subtrahiren. — Regel 6, Bsp. 47 bi« 56. . . 5 III. Multipliziren. — Regel 7 bis 9, Bsp. 57 bi« 110............................................... 6 IV. Dividire». — Regel 10 bis 12, Bsp. 111 bis 146....................................................9 V. Complexschreiben. — Regel 13....................................................................................12 a. Bsp. 147 bi« 196........................................................................................................ 13 b. Heben der Brüche. - Regel 14, Bsp. 197 bis 207..................................... 14 c. Das kleinste Vielfache mehrer Zahlen. — Regel 15, Bsp. 208 bis 217. 15 d. Addiren und Subtrahiren von Brüchen. — Regel 16, Bsp. 218 bis 238. 16

Zweite Gruppe.

Rechnungsoperationen mit allgemeinen Zahlen, deren Hauptgrößen Potenzen und Wurzeln sind. Regel 17 über das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln, nebst Beispielen.

...

18

Uebung in der Anwendung der Regeln 1 bis 16: I. und II. Addiren und Subtrahiren. — Bsp. 239 bis 250........................... 22 III. Multipliziren. — Bsp. 251 bis 281.........................................................................23 IV. Dividireu. — Bsp. 282 bis 328............................................................................. 25 V. Complexschreiben. re. re- — Bsp. 329 bis 415................................................28 VI. Potenziren. — Bsp. 416 bis 463......................................................................... 33 VII. RadizirenA. Quadratwurzeln. — Bsp. 464 bis 467........................................................... 35 Regel 18. Bsp. 468 bis 508...................................................................... 35 B. Kubikwurzeln. Bsp. 509 bi« 540..................................................................... 37 VIII. Logarithmen. — Regel 19, Bsp. 541 bis 575.............................................. 40

VIII

Dritte Gruppe. Gleichungen. Seite

Reduziren einer Gleichung. Regel 20 und 21. Bsp. 1................................................ 42 1. Gleichungen des ersten Grades. — Regel 22..............................................................43 a. mit einer Unbekannten. — Bsp. 2 bis 69.....................................................44 Regel 23 und 24. — Bsp. 70 bis 114.....................................................47 b. mit mehren Unbekannten. — Regel 25. Bsp. 115 bis 186..................... 50 2. Gleichungen des zweiten GradeS. — Regel 26........................ ............................ .55 a. mit einer Unbekannten. — Bsp. 187 bis 231.............................................. 55 b. mit mehren Unbekannten. — Bsp. 232 bis 286......................................... 57

Resultate...............................................................................61

Crste Gruppe.

Die vier Grundoperationen mit irgend welchen allgemeinen Zahlen. Erklärung: In dem Ausdrücke (+4ab) heißt ab die Hauptgröße, 4 der Coeffizient, + das Vorzeichen; (+4) wird der algebraische Coefsizient genannt.

1. Addiren. 1. Regel: Buchstabengrößen mit verschiedenen Hauptgrößen können durch Addition nicht zu einem Gliede vereinigt werden. Bnchstabengrößen mit derselben Hauptgröße zu addiren, addire man ihre algebraischen Coeffizienten und behalte die Hauptgröße bei. DaS Addiren der algebraischen Coesfizienten erfolgt nach einem der Schemata': 7+4{lies: (+7) + (+4)| =+11. — 7—4{lie8: (-7) +(-4)} = -11. 7-4{lies: (+7) + (-4)| =+3. -7+4{ließ: (-7) + (+4)} =-3. Gieb hiernach die Summe an von: 7a + 4a; —7b—4b; 7xy—4xy; —7(r+z)+4(r + z); —5c + 9c; —3x—5y; +4zz—3zzz; Hab—5ab; —9mn—mn; —10sx + 6sx; —9{r + 5fr; — 10|s—7£s; 3jpq—9§pq; 50|xx—30|xx; 10,5a + 11,4a; 3,07bc+0,96bc; 5,8x—3,2x; —0,57y + y; —34z—0,89z; —0,ly + 0,034y; z—0,lz; 5,34xm—7xm; —0,42rv+0,2794rv; -3,76n+lln; 12|rs-15,6rs. 2. ^Regel: Sind mehr als zwei Posten zu addiren, so addire man zunächst die mit dem Vorzeichen +, dann die mit dem Vorzeichen — versehenen und vereinige schließlich beide Summen, wie in der 1. Regel gelehrt. Wiecke, algebraisches Uebungsbuch.

1. Reihe.

2. Auflage.

2 Beispiele: 1. 2. 3 4. 8. 6. 7. 8.

23a + 14a + 26a + 18a + 33a. 12b + 16b -f 43b + 42b. —llxy—19xy—xy—27xy—30xy. 2^z 3|z 4fz 7y^z. 15m + 18m+m—7m— 10m—14m. 23p-16p-9p + 35p + 11p—36p—43p + 18p. 14rs—rs—9rs—7rs +■ 12rs + 16rs—21rs—46rs. —ll^d-f 12zd + 18id-20|d-10|d + 17*d.

9. g-ig + ig-ig + ig-ig + gg-TYg10. l,53y+ 2,71y-5y-0,ly+ 3,485y-6,2y. 11. 5,lnn—0,783nn—2,6nn + 4,72nn—nn—0,lnn. 12. 16t-9,2t-0,13t-0,58t-t-0,47t-0,25t. Haben nicht alle Glieder, wohl aber einzelne Gruppen unter ihnen dieselbe Hauptgröße, so gewinnt die Summe eine übersichtlichere Gestalt, wenn man die Glieder jeder einzelnen Gruppe nach der 2. Regel zu einem Gliede vereinigt. 13. 14. 18. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Beispiele: 6a + 4b + 13b—5a—5b—2a + 4a-7b-7a + b. 12£r—13£s + 4£s 6r—5f r—7£s—r— l£s + 2|s. 10c — lim + 5x— 4y—4x—12c + y + 13m -f- x — m +7c — 2x. 14a + 15b + 18c + 30d-6c-9d + 16b - 7a - 4a - 10c - 29b —lld—c -f b—a + d. 4a—3b + 5c—7b—6c + 9a-11c + 5b-8c + 6a-9b. 4abc — 5ab + 3a — 7ab 1 labe—6ab + 5 (b — c) — 8abc + 17a .ch- 23ab—41abc—9(b—c) 13abc—26abc. 8|x- 5zy + 4m — 2|x + 2fm - 6|y + 4T'5x + 3|y-ljm + 2-fx. 2^aa—2^aaa-}-4|a—5^aaa—2—5TVa + 3 + 7|a—5. 0,7z — 5,3y + 4,2r — 6,8y + 4,3y — 6,9r — 9,2z + 5,14r + 0,075z —2,83r—9,54z -|- 8,75y. 0,834m — 2,3p + x — 1,3m + 3,4p — 0,9m — 2x + 0,45m + 17v “1“ 0,7 3x. 5,32xx—9,7x + 2,4 + 2,58x-0,9-3,lxx -f 1,8 + l,43x + 0,126xx—x— l,51xx—1,37 + 2,7x. 7,84aab—3,2abb + l,5aaab—2,3aabb + 5,6abbb—0,18aab -j- 5,32abb + 7,4aabb + 9,6aab—2,6abb—6,02aabb—lOOaab.

3

3. Regel. Sind die einzelnen Posten selbst wieder Summen, so darf man deren Glieder einzeln und in beliebiger Reihenfolge zu einander addiren in Formel: A+(B + C)+(D-E) = A + B + C + D-E. Danach verfahre man nach der 2. Regel! 23. (7|a-5|b + 6c-7jd + 12x-14y) + (5fd-3ic-7|b-6ia —12y—10x) = 7-Ja—5|b + 6c -7£d4-12x—14y -6ja—7ib-3ic + 5|d- 10x- 12y.

26. 5r—6x— 9z 4-11t-

27.

26m + 10x + 14v+36z —12m -f 15x — 3t — 20z — 5m—12x + 10t— 6z + 18m — 7x+ 4t + 11z.

29.

12m—14p -j- 13x—26y — 4m-t- 3p + y -f 7m — x— 5y — 8m + 2x— y —10m— 8p— 3x+ 4y.

7r—9x—11z-j- 8v 4r—7x— 8z + 3v 9r—8x— 4z + 14v.

28. 28a + 13m + 14p + 25x — 8a+ 12m — 16p-j- llx —30a — 15m — 28x -10a + 3p — 10x + 35a—10m — 17p + x.

30.

3,4x — 7,3y +2,5z + l,6x + 8,25y — 3,6z -0,01x-2,58y + 7,19z + 5,89x —6,34y — 8,2z.

31. 5ab—7 £ac + 6,5bc — 0,8bcT — 7ab -11 bc + 3ab-6|ac + l,6bcT — 5ab+ ac— bc—0,4bcT — l§ac + 13,8bc — 5 bcT.

32. (17a- 11b + 13c- 18d+23m-36x)+(14a + 30d-5c + 9b + 23x + 46m). 33.

(5a—9b + 3c-8x) + (- 10x-6c-4a+3b)+(-4b + 5c + 7a)+(3b-11a).

34. (51a—7b + 4c+5x)+(6b-9c + 14a-2x) + (3b- 12a-1 lc —4x) + (6a+5x—3c)+(—x—9b + 16a). 35. (5aa—7a -j- 6aaa -}-11) "(■ (—9a -{- 17 -j- 15aa—13aaa) -j- (—15 —9a + 8aaa) + (20aa—36aaa +1) -J- 37a—46aa—10. 36.

(5§x—4|y-j- 6^z)-f-(2Hy—3|x—5-J^z) -s- (6x -s- 7-faz—5/^y) + (—9z + 7|y—8^x)+(2|x—3y + 2|z).

4

II. Subtrahiren. 4. Regel. Man gebe dem SubtrahenduS das entgegengesetzte Vor­ zeichen und addire ihn zum MinuenduS. Berechne hiernach: 7a—(+4a); 7a—(+ 11a); 7a—(—4a); —7a—(+4a); —7a—(—4a); —7a—(—11a); 12a—(+5b); 14x—(—3y); 15z—(—3z); r-(+4r); -r-(+5r); 7aa-(+12aa); —5mq—(—3mq); 8^ab—(+5$ab); 5zz—(—2fzz); -7ixy-(-10xy); -10fss-(+2|ss); 17|rr-(+ 18fr); 17£rr—(-f 18frr); — 5xx—(—3££xx); — 5|v—(—5fv); 1,37t—(+3,71t); 2,58y-(+0,693y); 5,lz-(-z); —9, laa — (+ 2,34aa); — 0,57si—(— 12,3si); —12,6ac—(—0,73ac). 5. Regel. Ist der SubtrahenduS eine Summe, so gebe man jedem Gliede desselben das entgegengesetzte Vorzeichen und addire ihn dann zum MinuenduS, d. i. in Formel: A-(B + C) = A-B-C, A-(B-C) = A-B + C. Beispiele: 37. (7x—8y + 9z + 12a- 13b + 14c + 5v)-(12z-5y + 3x-4a —17b—18c— 15vv) = 7x—8y + 9z-fl2a—13b-j-14c-J-5v 3x—5y + 12z— 4a—17b — 18c —15w 38. (10|k—ll|v — 12£m + 17|x — 2z) — (—5|k— 8t’5v—15|m+ 9§x + l$z—7t). 39. (—0,89mm + 4,72nn—0,97n—0,8) —(—l,3nnn — 2,3nn — 0,54n +1,2 a). 40. (14p-17q + 36r-45s + 60t-40u + 45v-17x)-(17s-30q + 20t—12r+ 17p + 63v—13u—7x). 41. (15a—36b-f 17c—48d + 17m—86r+q)—(19m—12q—86r - 16c + 10a-11s). 42. (36a—7—12aa+ 15aaa—26aaaa—5b)—(37aa -f lOaaa + 48a —9—7c+ 14aaaa). 43. (5pp—7pr—9rr -f lOpr—llpp + 8rr—7p)—(8rr— 1 lpp + 9pr— lOpp—6rr—3pr— 2rr + 4r). 44. (l^xy—3xx-7|xy + 2|xx—7yy)—(ö|xy+2^xx—3£yy + 2|xy-Uyy-7x).

5 43.

(5,3zzz—2,lzz + 3,4z—3,9zz+ 2,lz + 6zz)—(8,12zz—2,5z -6,9 + 7,2z +11,3—5,6zz).

46. (0,5988-7,18 4-5,3 + 2,84s-7,64-0,59s)-(3,2s-ll + 2,97s + 3,1—3,18—0,5988 + 4,78—4,2s).

I. u. II. Addiren und Subtrahiren. Die Regeln 3. und 5. führen auf folgendes praktische Verfahren. — 6. Regel: Steht vor einer Klammer das Zeichen +, so lasse man jedem Gliede in der Klammer sein Vorzeichen; steht vor einer Klammer das Zeichen —, so gebe man jedem Gliede in dieser Klammer das ent­ gegengesetzte Vorzeichen: lasse in beiden Fällen die Klammern fort und addire die einzelnen Glieder, d. i. in Formel: A+(B-C) - (D-E) = A + B-C-D + E. Beispiele: 47.

(5a- 12b)+(9b-6a) -(3a + 5b) - (8a-4b) + (-7a- 11b) + (6a—3b)—(2a— 10b).

48.

(l|a—2|b -)- 5^c)—(4a-j- lgb—2Hv) — (1-fa—3fc -f- 6i7+(l0+i_JL+JL)te

14 X

XX

XXX

2.3 X

XX

16 )3xxx. XXX

(o,4±.-l,2^ +0,12 -^) lOabc—0,8a(4ac— 3,2bb).

(3a—4b+5c)(7a—9b —8c). (7m—9q—8x) (4m—6q—12x). 68. 69. (14x—6xx+3xxx) (2—9x + 7xx). z2 3 m! vm m2 m3\ *) 3 r/ 70. ("3"Tm ~y X"2 67.

71.

(! “

2+30x_60x,)-

72.

(0,lab—0,2ac+0,3bc)(2ab—0,3ac—0,5bc).

*) Wir wollen für die Folge eine Abkürzung in der Schreibweise eintreten lassen. Enthält eine Hauptgröße denselben Buchstabenfaktor mehre Mal, so werden wir den Buchstaben nur ein Mal schreiben und die Zahl, wie oft er als Faktor aufgestellt werden müßte, durch eine kleine Ziffer andeuten, die oben und rechts neben den Faktor gesetzt wird. Hiernach schreiben wir: aaa kurz a3, öxxxx kurz 5x4, — kurz , - ---- kurz , ab.ab.ab kurz (ab)3, zz Z" cmm cm (a +b)(a + b) kurz (a+b)2 u.s. f., und umgekehrt sind stet« Ausdrücke, wie z. B. (f)4 icbe8 502(11 durch F'F'F'F’ (u —b)l> durch (a —b)(a—b)(a —b) u. f. f. zu ersetzen.

8

s 3xy

2x3 1 ^Y1- 2y2 3x2 4xV 5y 1 3yV\2 l(”-2 S -1,474. (°'ST -0,7

73.

V 4

2 /4ab 5a2 , 7a3 y3b 7 V bc2 1 b3c3/x a* abc b3c2z v c 76. (3x+4y)(3x — 4y)(—3x—4y). 77. (4m—5q) (4m + 6q) (5m — 6q). 78. (0,1 v—0,2s)(0,2s-0,lr)(—0,2s—0,1 r). 75.

*■ (|-|)(2-f)(i-#)-

so. a+ixi+ixf+i)81. (3a —4b + 5c)(9a—2b -c) + (10a- 8b)(3a —7c). 82- (i-i+^)(2I-5x-)-(2-3x+ta')(I-|). 83. (1—x + x2)(l +x) —(l + x-|-x2)(l —x). 84. (9-6-4- 4 z2) (3—2z) + (9 + 6z+4z’)(3 + 2z). 85.

(t+tXt-tX4-t)-

86. (1—x + x2—x3)(l + x)+(l—x)(l—x)(l-x)5x. 87. 7m(l-0,2m)(l-0,2mXl-0z2m)-(l—0,3m+0,4m2)(7 - 0,4m2). 9. Regel: Merke, daß unter Anderem ist (A + B)(A—B) = A2—B2, (A + B)2 = A2+2AB + B2, (A-B)2 = A2—2AB + B2, (A + B)2 = A3+3A2B+3A B‘+ B3, (A—B)3 = A3—3A2B+3AB2-B3, und bilde hiernach: 88. (4a + 5b)(4a-5b).

89. (^-2xz)2.

91.

rXi+!)+(94. (0,4r + 1,2s)2 + (r—0,3s)(- r + 0,3s).

90.

9 95. (0,5v—0,02ty—(0,2v + 0,05t)(—0,2v—0,05 t). »6. (f +0,3)(-| +0,8)-(OX-1)(- 1 W} 97. (4m+3pq)(4m—3pq) + (3m -j-0,4pq)(—3m—0,4pq) —(3p—4mq)(—3p + 4mq> 98. (x + y+z)(x + y- Z) - (x-y + z)(x-y-z) +(x-y+z)(-x+y + z). 99. (a + b + c)2 + (a + b—c)-+(a—b—c)4. 100. (m + 2p—3q)2—(m—2p + 3q)\ 101. (0,3x—0,4y + 2z) (—0,3x + 0,4y—2z)—(0,3x—0,4y—2z)2. z8 2r 3t\/s 2r 3t\ za 2r 3t x" 102. 3t + 4r A"2 3i 4r/ V2 + 3F 4r>' 103. (m -hp + q+r)(m + p -q -r) + (m + p + q-r)(m -h p- q + r) -(m-p + q-r)(m-p+q+r)+(m-p-q+r)(m+p+q+r). z2a 3b' 3bY 105. (1—3x)3. 106. («*-¥)' 104. Vb 5 + aa / ' 108. (x-y + z)3. 107. (a + b + c)3. -3r)3. 110. (2—5x—0,5x2)3. 109. (0,1m + 0,2p-

IV. Dividiren. 10. Regel. Man dividire die algebraischen Coessizienten und die Hauptgrößen durch einander. Das Dividiren der algebraischen Coessizienten erfolgt nach einem der Schemata: + 7:+4= +1 -7:+4 = -| + 7:—4 = - 2_ 4 -7:-4= -flGieb hiernach die Quotienten an: -f- 12ab: +3b; — 12rx: + 6r; -s- 36svt: — 9st; ~50mxy: —5mx +3mv: - 4v; —27m3: —3m; —54ab: +6; -72m3: 30m2; in , x_. _1_ 4- 14am: —1; + 16£rst: Isst; —mv: — 5 ' + 5' 25 x’y3 xy2 , 3 5r r -o4sv:-Tsv; pr:— I7r,.3. ~3? 5ab4:0,2b; —0,4r3s5: —2rs3; —0,36m4p2: +0,9m3p; -f 10a4b3: — 0,la4b2; —2,6rnx: -s-13; — 12,6sq3: —4,2sq;

10 4-0,7ax3y2: —3,5axy; —0,95ab4: —0,019ab2;

^: c;

a: ^ ;

a c a 1 a 5m 4m3 „ 5m4 2x 4m 12m ¥:T; F:~c ’ F'FF ' ~5x :dmX? 6x^'3m ' 5x*:~35x; 16a2 20a3 1 5a2 7ab 12ae 1 4ac 21b3: 21b4’ 1: W? +5cm:_25mb; - 3":+ l5bm ; x 5 , m s 5x3 a3b4 7a4bs ~¥:"; +1Ux: r? 5c": 5c ' 15 1 0,3ab 0,9ac a3b3 a4b° 16ab: + 32abe; c. ' b ? + 3c2 : 5c ; 0,27 0,9c _10rs , _ 0,5rm 0,96 _ _ 12x _ a*b3 * ’4_ ab * vm vs ’ x y ' ___ 1_ , 0,2x 1__ l_ 15a2x3 5x 5x3 * "4” z ' ab' ab' l,6y* ’ 4,8y3 * 11. Regel. Ist der Dividendus eine Summe, so dividire. man jedes Glied desselben durch den Divisor — in Formel: (A + B):M = A:M+B:M. 111. (sßabc—^aC -j- 15x—10£ : 4ab. 112. (18m X /lOabc 113. Cd 114.

12b,+14“ * X 1 * r s VX / X llad , 5bc _ , . ac \ ac bc +6ad 0ab+3bd>3bd * (3abx—sjg + Jjg-lSig),-« ab

115. (0,12^-0,17 + 0,01 4-16^ + m)

X

X*

116.

:_0,3^

117. (5,4—4,6 £ +0,36 i-_24-12o|C

>-■4

12. Regel. Einen Quotienten, dessen Divisor eine Summe ist, in eine Summe zu verwandeln, 1) ordne man Dividendus und Divisor nach demselben Gesetze, 2) dividire das erste Glied des Dividendus durch das erste Glied des Divisors, 3) multiplizire diesen Quotienten mit dem ganzen Divisor, 4) subtrahire das Produkt von dem Dividendus — und wiederhole das Verfahren am Reste.

11 Es ist also in Formel A A AC :(B + C) B B B+C AC3 AC -^-:(B A + C) u. s. f. ~ B B8 118. (21ar—24as—30ax—28br+32bs+ 40cs—35cr+40bx+50cx): (3a—4b—5c). 119. (3x8— xy + 23jxz — 10y8+52yz—3 l£z8): (3x+5y—3£z). 120. (35rV— 69r8sx—18rs8x—54r8x8+ 78rsx8— 8s8x8): (5rs+3rx—4sx). 121. (-^— 4jwx + 8-Jimp8 + 10x8—29jp8x—2p4): (|m-5x-|-). 122. (0,06x8—0,llxy—0,142xz—0,3y8+ 0,512yz—0,02z8): (0,2x+0,3y—0,5z). 123. (a8+ 4,92am—2,52ar—0,4m8+ 0,lmr+0,05r8): (0,2a+m —0,5r). 124.

(—|-=;‘+Wz’):(-|x+Tz)-

125. (1,44b8—0,16a8+ 0,24ac—0,09c8): (0,4a— 1,2b—0,3c). zx^_a?__ab_b8xza . b__jtA 126. Xl6 T~ 3"—"9/:x 2"+3"— 4/ 128. (243 + 32s5):(3 +2s). 127. (1—x4):(l—x). Z 27x3 343y3\ Z3x 7y X 129. X343y3 1 27x3 / x 7y + 3x /' 130. (o,iir 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138.

omz'>-Cy

°-2z>

(1 + x—2x8+3x3): (1—x). (2—3x—5x'):(4—3x). (0,4x8—0,7): (0,2x—1). 1: (2—3x + 4x8—5x3). (6 + 2x - 3x8+ 7x4): (4x8—x3+ 3x4). 1: (0,2x—0,4x8— 0,5x3). , Zl 2 3 4x 3—2x 0,lx+0,2x8—0,3x3

*

(5 Glieder!) (4 Gl.!) (4 Gl.!) (4 Gl.!) (5 Gl.!) (4 Gl.!) (5 Gl.!) 4x + 5y x—2y

(5 Gl.!)

12

140. (lOx1— 2xy + lly8): (2x3—5x3y+3xy’—yä) (4 Glieder!) 1+X 1-X (Division auf 5 Gl.!) 141. 1—x + x1 1 + x-x3 4 —8z-j-7z’ 1—2z+3za 142 (ebenso!) l + 3z—4z’ 1 -4—12z + 9z* a—b a+b 143. (Divis, auf 6 Gl.!) a+b —a—b 1 144. auf 5 Glieder zu berechnen und die Gleichung von Summe 1—x und Quotienten zu bewahrheiten für x =

; x — 0,1; x — 0,001.

Sind Quotient und Summe auch annähernd gleich für x — 10?

145.

auf 4 Glieder zu berechnen und die Gleichheit von Summe

146.

und Quotienten zu bewahrheiten für x — 2, x — 10, x — 100 Sind Quotient und Summe auch für x — 0,1 annähernd gleich? —x + 1 1—x 1 x und —" x + 1 *e flttf ö Glieder zu berechnen, darauf Summe und Quotienten, wie vorher, zu vergleichen bei jenem für x — 0,2 und x — —0,01, bei diesem für x — 5 und x — —100.

V. Complexschreiben. 13. Regel: Haben mehre Glieder einer Summe einen gemein­ schaftlichen Faktor, so darf man die Summe durch diesen Faktor komplex schreiben, d. h. jedes dieser Glieder durch den Faktor algebraisch dividiren, die Quotienten algebraisch addiren und die Summe mit jenem Faktor multipliziren. Es ist also 1) A—B + C = A + (—B + C) 2) A-B + C = A—(B—C) 3) A + BM + CM = A + M(B + C) ; +m + m~a+ m Die nachstehenden Summen sollen hiernach durch Absondern des ge­ meinschaftlichen Faktors in Produkte — jede der Nru. 147—151 auf mehrerlei Weise — verwandelt werden. 4acx 6acy 147. lOabc— 12acd + 18acm 2ac. 7 6xy 148. 12 x’y—18 xyz — 30 xy + 42xmy 7z

13 149. 150.

4ab 12ac 14ad 2a 5mq 35mr 15ms 5m 0,04a2b2—0,06ab2c + i^-

•2ab.

152 153 154.

ab ax , bx abx 2x 3b 4a 5 60abx 24am—30ap + 28bm—35bp. 10ax — 15ay + 2bx—3by. 16rx—20sx—12rz -f 15sz.

155.

14mp—21vp—2m + 3v.

157.

lOx3—25x2-0,4x + 1. 3a 7b , 10 , ... ----- q-+ 12a2— 14ab. 4x 8x 1 ß n, 0,2 . 0,3 6ax—9bx---- £—h -L—' b a

151.

158 159. 160.

12x2— 15x—0,8 -f — •

'

2a 3bx

156.

6ar—8br+4— J

161.

X

o

15xy + 20-^-i4 y

Für die Verwandlung der folgenden Summen in Produkte beachte man die Formeln der 9. Regel und merke die weiteren: A3—B3 = (A—B)(A2+AB + B2) A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2).

Die Verallgemeinerung der in diesen Formeln enthaltenen Lehrsätze ergiebt sich auS den Beispielen Nr. 305 u. 306. 162. 164.

9a2—16b2. 4 , ,

9

,

-9r-rs+-rra-

163 * 25a2 + 60am + 36m2. 165. 4+2xy + 4y2. QqS ^_ + 216b3.

165*. 27x’—125y*.

165:

165*. 0,064z3—1. 167. x2—y2—2yz—z2. 169. 48ax —56ay + 36x2— 49y2.

166. a2—2ab + b2—c2. 168. 9x2— 24xy -j- 16y2— 25z2.

170.

15bx—24by +

171. 172.

3x + 5y + 9x2+30xy + 25y2. 0,2a—0,3b—4a2-f 12ab—9b2. 2x4 + 3x3 + i^ —1. 174. 174.

173.

16x2— 8x -j-1 + ——

14

173 176.

64z2— 121v2—24zr+33vr. 0,8—0,49x4+ l,12xy-0,64y2.

176t. 125x3-64z3—25x2+16z2.

176;.

+ $ + ^+ 5&

o

o

Eine dreigliedrige Summe x5+Ax+B

kann in ein Produkt zerlegt werden, wenn man den algebraischen Goes* sizienten A so in zwei Summanden (P + Q) zerlegt, daß deren Produkt gleich B ist. Man behandle alsdann die Summe x4+Px -j- Qx+PQ

= (x +P)(X + Q)-

Hierzu die Beispiele: 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183 184. 185. 186. 187. 188.

x4+5x + 6. x2+5x+4. x4—5x + 6. x4—5x—6. x4—lOx + 16. x'-s-12x-s-35. x4—8x—20. x4+10x—24. m4— 15m + 56. a4+0,7a+0,12. r4—0,4r—0,05. z4 + 0,6z—0,16.

189. x4-il+A. 7 +49 ,

2a

1

190. 3 3 3 ' 191. a4+7ba + 12b4. 192. r4—10rs + 24s4. 193. 32y4—12xy + x4. 194. 195. 196.

5xy

y4 6 + 6 , 3ab b4 4 4 m4-j- 0,6mp—0,07p4. a-------------------------------------- *

Heben der Brüche.

14. Regel. Beabsichtigt man einen Bruch zu heben, so verwandle man Zähler und Nenner in ein Produkt; alödann können die dem Zähler und Nenner gemeinschaftlichen Faktoren weggelassen werden. Dazu die Beispiele: 197. 198. 199.

lOabr— 12acr + 30bmr—36cmr 15xbr— 18xcr—25bry+30cry 6abx—8bcx—16acx -f 24c4x 12amx—16cmx + 3ax—4cx l,4mpq—21mrq -j- 0,021vpq—0,315vrq 28xpq—420xrq—0,7ypq + 10,5yrq

15

200. 201. 202.

4x2—9y2 6ax—9ay—0,2bx+0,3by 25x2—70xy + 49y2 25x*—49y* 36x2 + 96xy + 64y2 3x + 4y— 15x2—20xy ,

. P*

m-mp + ^

203.

204.

2m—p + 0,6mr—0,3pr

oY«

x3--=—5x + 2

205. 206.

x2—1 x24-2x4-1 x24-5x4'6

x2 4-7x4-12'

m24-6mx—7x2 m2—4mx4-3xä 27x3-{-54x2y-72xy2-64y3 207*. 9x2—4y*

207.

DaS kleinste Vielfache mehrer Zahlen. 15. Regel.

Soll man zu mehren eingliedrigen Zahlen das

kleinste Vielfache suchen, so suche man das kleinste Vielfache zu den Coeffizienten und zu den Hauptgrößen.

Das letztere muß jeden Buchstaben­

faktor, der überhaupt in den Zahlen vorkommt, wenigstens ein Mal, braucht ihn aber auch nicht öfter zu enthalten, als die Zahl, in welcher er am häufigsten auftritt. — Suche hiernach das kleinste Vielfache zu:

6a, 12b, 15c, 20ab, 8ac, 24bc, 40ab, 30bc. 2m, 10x, 6mx, 21x‘, 15m2x, 14m2, 35mx2. ab, 9a3b, 15b3c, 12a2c2, 4a4, 20ab2, 6c5. rt4, 5r4t, 2r2x, 3r3t2, 10xt3, 15r4t4, 6xr4. 5, 2ms2, 22s3, 33m5y, 6m3s2, 10m4z, 110m2yz. 16z3, 24m5z, 15mzt4, 40m*t3, 60z2m4t2, 48m5t4z2. 36v2x, 24v5r4, 42r3x4, 28rV, 63vt, 252r*v2t. Hat man zu mehren mehrgliedrigen oder eingliedrigen

und mehr­

gliedrigen Zahlen das kleinste Vielfache zu suchen, so zerlege man jede nach einem der oben (Beispiele zur 13. Regel) gelehrten Verfahren so lange als möglich in Faktoren und folge dann wieder der obigen Regel: lege also jeden Faktor der Zahlen wenigstens ein Mal, aber auch nicht öfter in das Vielfache, als er überhaupt in einer der Zahlen als Faktor vorkommt. Gieb hiernach das kleinste Vielfache (in Gestalt eines Produktes!) an von:

16

208. 209. 210. 211. 212. 213. 214.

218. 216. 217.

x, x+1, x + 2. x—1, x+1, 2x—1. x, x+2, x+4. 2, 3, 6x + 5, 3x+2. 3x, x —3, x+3. 10x, 10, lOx + 1, lOx+10. 4x, 2x+1, 4x+1. a, 2a, 2a+ b, 2a + 2b. 3x, 4x*—4, 3x—3, x+1, 2x* + 4x + 2, 5x—5. 5x+15, 6x*—54, x*—6x + 9, 2x3, 6x'+18x, 7x-21. a3+3a3 + 3a + l, 5a3 + 10a*+5a, 4a3, 12a3—12a3, 4a*—4a. a* + 5a+4, 12a4 + 96a3 + 192a*, a3 + 2a*-8a, 6a*, 3a4—3a3—6a*. m4— 3m*+ 2, 5m4—10m3+5m*, 3m+ 3, m4—4m* + 4, 2m3. 6a + 12b, 5ab, 3a3b+12a*b*+12ab3, 2a3, 5a + 2b, 5a+10b. 3m—4a, 12a—9m, 18m3—48am + 32a*, 27m4a—48a3m*, 6m3a*, 15m3a*—20m*a3, 3m + 3a. 4n + 8p, 6n3p + 30n*p* + 36np3, n* + 6np + 9p*, 5n3, 4np3, 5n3+4p*, n*c—4p*c. a*c+bc*, a4+2a*bc+b*c3, 5a’c, 3bc*, 5a4b*+10a3b*c+5b‘c*, a4 + (b +1) a*c + bc*, 3a3 + 3bc. a + b + c, a3+b*+c*, a’+2ab+b*—c*, 5a+5b—5c, 7a+7b, 3a*c + 6abc + 3b*c, 4a*c, 6ab*, 2bc*, 10ac3 + 10bc3.

Addiren und Snbtrahiren von Brüchen.

16. Regel. Gleichnamige Brüche werden addirt oder subtrahirt, in­ dem man ihre Zähler nach den früheren Regeln (1—5) addirt oder subtrahirt. Ungleichnamige Brüche müssen zunächst gleichnamig gemacht werden. Man suche demnach zu den verschiedenen Nennern das kleinste Vielfache und gebe dieses jedem Bruche zum Nenner; dividire also den Nenner eines jeden Bruches in das Vielfache und multiplizier den Quotienten mit dem Zähler des Bruches. DaS Produkt liefert den neuen Zähler desselben. Hiernach sollen die folgenden Summen berechnet werden: 4a

7a

5a

7b , 10c

218. 5b 4 3b

6c 11c 8a 7c „ 4b~ + l2b ~l5b~2Öb_a+dC

219. 6x 8x"^l2x

5b 3x

c b '

11c | 14a 5x * 15x a^*

4x 7x 13x _ 7z 9x 3z 11z 4z _ 5y _ 8y + I6y “ 4y ~ 20y+ 40y~ l6y + y ~X'

17 4x

7

6

3x

7x

.

2

221. 3x^3+4x^4_5x=5+2?=2 ” x^I+3x-3 222.

7a 3a—4b

5b 6a—8b

3b 12a— 16b

4a 15a—20b

+ 30a-40b—7 + 2a‘

223.

3a—4b 5a

7b 5a-2b 3a+ 4b

224.

6a — 5b 2a

225.

3x—1 3x

5x + 2 . _ 6x2

226.

5x + 2 ~4x

3x 6x — 1 , 1st „„ 3x2 + 2x-9 T------ 5F™+10_2X----------- lte------

227.

5x—1 2x — 1

5x + l ö+ 2x + l

228.

4a2 + 3ab—b2 25a2—36b3

229.

5 3x

230.

12m—4r 2m—r

231.

a— 1 a+1

232.

7m 3p—2m

233.

0,2m+0,3 2m—3

234.

2a a+1 „ a+3_ 2a—5 +

235.

10a—4b 2a+5b

236.

a a—1

237.

±5 6 x2 x2—l + x2—2x + l

«oo "

3x x2—5x+4

7a + 3b 3a h

^

9a 12a-5b 10b+ 12b

4*

4a—5b 3b

2a + 3b 4a

2x + 3 8x

a+b 6b

4x2 + 3x—2 12x2

1 x

12x2—3x + 2 4x2—1

„ 6a—5b 2a + 3b ‘ +5a + 6b — 5a — 6b '

7—3x x—1 ^

8x 5

^ ‘

9—5x 3x—3

3m—2r 6m

a+ 1 a2+1 a—1 ~^a2—1 4p 2p—m

5m + r 4r ,

5 2a 3p__

1 + 8m

0,5 + 0,1m -

1

2m

5m W‘ 0,4m + 3 4m —6

3a 2a + 6 ‘

a2—2ab + 3b2 . 4a2+ b2 ~4a2—25b2 + 4a2 + 20ab+25b2 '

2a2—1 a2—1

_ a 4a a+1 ^a2—2a+l ‘ 1 2x

2x+1 x—2 x2 + 3x—4-1' x2—16 ‘

Wiecke, algebraisches Uebungsbuch.

1. Reche.

2. Auflage.

Z

3 4x

18

Zweite Gruppe.

Rechnungsoperationen mit allgemeinen Zahlen, deren Hauptgrößen Potenzen und Wurzeln sind. Erklärung: ES ist

j/AN = A, N

(V'Ä)N — A und weiter

A« = 1fW, 1 A“N = i; AN '

-L = AN; A-

A° = l.

17. Regel: Gleichviel ob N und P positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahlen sind, immer bestehen die Gleichungen: AN.AP = AN+P AN.BN = (AB)N, namentlich also auch VÄ.yB = VÄB AN:AP = AN-P AN:BN = (A:B)N, und somit auch p p p }/A:]/B = flTß (AN)P — ANP, sonach unter Anderem

(yl)N = P

N

E = Ap. Bilde hiernach und merke V, 2*, 3', ... 10', ebenso 1', 23, 33, ... IO3. 1. Gieb ferner an: 24, 3S, IO1, 10', 103, . . . (*)*, )3, ti)4, G)\ (I)3, (i)e, (U)3, (2i)3, (H)4, (U)3; 0,1'; 0,2'; 0,5'; 0,9'; 0,13; 0,23; 0,43; 0,93; 0,01'; 0,009'; 0,023 ; 0,083; 0,14; 0,25; 1,1'; 1,3'; 0,21'; 3,1';

19 0,11'; 5,V; 10,V; (-2)'; (-3)'; (-*)4; (-Z)'; M; ^49; j/|;‘ Vak? Vak; VO,Ol; Vo,25; V0,81; V 36; V8; v^i Vak; Vaaa? V—125; V

1; V

i; V—ria»

9k 9i, 9-2, 9-*, (0-2, (i)K arK (-9)2, (-!)-*, (-9)4, 8», 84, 8$, 8-3, 8-4, (-8)4, (-8)"4, (i)~4, (*)-$, (-|)4, (-|)-4, IGO"2, 100-4, 644, (—64)—4, (&)i, (-2)--,

16-4, ^L_;

2^, (—125)“4. a3+a4, a3-|-b3, 4a3+5a3, dieß ist die Regel — ? Vä+ yä, setze z. B. a — 64; Vb +Vc» setze z. B. b — 9, e — 16; 3Vä+4]/a, dieß ist die Regel — ? T.

Beispiele zu der Formel:

AN.AP = AN+P a$.a5, a4.a, a°.a°, a5b4.a3b3, x2m,.x3m4p3, a3bc4.ac’d4, mr.mp, mr.mr+1, x2p.xp-2, ambp.am+1b3, xrz“.x3r-1z3, kr-1tr-2.kr+1t2r+3;---------a4.a4, a*.a4, a4.a3, a’.a14, a4b4.a4bl, nrp».m4p4; xry2.x4y2, m jp

m—1

xpz2.x

p

_b_

2r _s_

3__

____

4

p

a

z3, m3pr.m3pr, ]/x.yx; }/m3.)/m;

Vaa.ya3; j/a.^a; fa.^a; ------

a~2.a5; a^.a-4. a“°.a3 a^b^a^b-5; a2b-5.a-,1b-2; a~4b3.a4b~5; x—7y4.x7y-4; z~rps.p-3sz3; z~8y-1.y-2rz8-1; m_^q^.m^q_1; p~Sr£.p2r-1; „3h5.b^. mV x3y3z\ Vz fe kr. j/z # a3' b5c3 b*a3’ yV ™4 ’ Vx z ’ Vm ^ ’ Vx Vz ’ /y* __ _ __ ___ 3 3 3 Vm3 Vp Vm3 , /—,: Vx* Vz1 Vz Vx$ Vz7 1 L-i-*L4; i=.p3Vm5; 1---- 1—• — --—• 1-------- • z X" X3 Z ' Vx z ' p3 m Vp5 f /— 1

V^

z” . Vx3p Vz2”

VX°'TZZ’ Vx2h ^‘I Vz° ap=T’ —l

8

VxP '

V™

1

Vx’

V^5

Beispiele zu der Formel: AN:AP = AN-p. ä3:a3, a3:a5, a4:a, a:as, a7:a°, a°: a*, a^a1-1, an:a”+1, a2r:ar, a2r:a5r, mp-I:mp+1, sm_1:sm-5, p2r+1:p3r-1, a3:a5b3, a6b*:a4b3, a3bs;a3b8,

20 a4b4:a5b7, mpr'i+1:mp-2, cnqr:cn+2q2r, xn-':xn-2yz3.---------- x*:x*, JL 3 _ x»:x*, x*:x*, x*:x, x4:x*, x“:x2, x*:xr, ]/x:]/x, x:/x, yx:x4, _ __ __ 3_ 3 3_ 3__

}/xr:|/xP, ]/x™:xm, x:yx“, j/x’ij/x1, >^x:x2, x3:]/x\ zT:yz% 3

n

n

n

n

n

n

n

a

|/z2r-‘:z?r+1, /zi/z4, |/n3:]/n, ]/3n:]/(3n7, yp:p, p2n:/p°----------a~2:a6, a‘:a~2, a-3:a-4, a_5:a-3, a-5b4:a~2b~3, a3b*:a-3b-2, a4b-5:a4b-5, a~3b-2:a-2b-5, xr:x-r, znyp:z-2ny2p, zn-1x-p:z1-”x-p+1, >,i , , 5 x* x4 x4 z* 1 1 i-l ’ ’ y y ’ z x4 x3z rz x 7 1 — y. 1 « i , 1 11 1 vi7 r"*y^ 1 :W'' w:7?’ fa"’ 1

/xr •~7=r i

yx

„1 x

1

D

z

' /—, * » :xPj /— '

yxayv

yxr

t

r_ 1

* l^x:

x 7 _t

1

X _

l

z

:z . j^z2n+l

Beispiele zu den Formeln:

pp p AN.BN = (A.B)N, yA.yi = yiB; p_ p__ AN _ / A\N BN —XB/ '

j/A _ Ja. * ~r B ‘

a’b4, —yx.yy,

yg yx.yx, y?.yx, y?.y?,

y!3:^7, yi*:yxp, yx8:yx3, -]5-. —

y2.yi8, ys.yi,

yx*

y?.y^. yiöo.yö^ö, y*.y*, yöoi.yiö, yii.ysi, M.yz,

y65:yi3, ^24:/li, yi9:yiÖ, fö6:}/ÖJ, y4.y2, I^.y384, yo.yv, yLz.yiöK, yöM.yZj, M-yiz^, yi2:y^, yoj2:y^, yZJ:M. 5. ES sollen die nachfolgenden Vielfachen (und Theile) der Potenzen von X in Potenzen von Vielfachen (oder Theilen) des Dignanden X ver­ wandelt werden: wie z. B. 8x3 = 23.x3 — (2x)3 b'x3 _ (b4)-x3

-(¥)

27x4 = 3.34.x4 = 3(3x)4

21 X»

4x’, J-,

qfix’

r3

0,01x’, Hx’, 6ix’, 0,0064x’, ±-, 64x3,

3§x3; 0,008x3; 0,343x3; 16x4; 9x7 ---m

19FWi

0,0081x4; aV, b*>x3,

16rV

25sJrx’ . , .. t x3 0,064x3 0,000729a6x3 ; a x , b3“x3, 757, ----------• b3P c,r p” 49m8 üg-'i 12x-, 18x-, 0.03X-; 0,W;

0,25a3x3 b4

50a4x* a?r+,x .. , x3 27a4x3 63b3 ' b2n .' 54x*.' 16' m3P+2x3 m3p+2xp r2p+i

0,08x3

b5x3

O. Es sollen die nachfolgenden Vielfachen (und Theile) der Wurzel aus z als Wurzeln aus Vielfachen (und Theilen) von z dargestellt — kurz: Faktoren von Wurzeln unter das Wurzelzeichen gebracht werden, wie z. B. 3^z — ]/9z; 15/z — 3]/25z. 3

_

Qa ®

^

Oa

2^z, lYi, a/z, b’Vz, -jT-j/z, — V*. (a—b)j/z, -^-/z; 0,1 M 1 9ar

3 _

3__

8 _

3

0,2a/z; an/z; 6a3}/z, —^z; 2Vz; 0,4^z; f]/z, a}/z, b 3Z- 0,3a*3- _ ^ 3/- , /3- , ap 3Z- pzT3 Vz; —-Vz, 15y z; 0,6yz; A/z, A^*> ^yz, a/z, m

Ü. Syi K > M '4' 3. Umgekehrt — kurz: ES sollen Faktoren aus dem Dignanden gezogen, resp. Faktoren unter dem Wurzelzeichen hervorgezogen werden. z. B. (2x)3 = 8x3; (|-)’ =

]/l6i = 4/z.

= 4M,

l/8= _ 2 j/ü r 63 ~ 5 r 7 (2x)', (J), (0,lx)’, (ax)3, (a’bx)’,

(t)' G' (5)*.

(l,2aPx)’, (5x)3,

O^)’ (t)-

V36z, /-j-. /|p yö/nz, yäVz,

yiÖ8z, }z54z,

22 /s> /?-■ /t- /A

^ f 0,064z Tiz i/

3

V 27b’z */TrZoz ilz V»4z V 8a4z ,/'an+1z V 125a3p ’ ^108z> V 32 ’ V b3 ’ V 135b5’ V' b2n+3 125a3p» r ' ' 32' ' b3

8. Beispiele zu den Formeln: (AN)P = ANP; P

N

]/AN = Ap;

(a’r, (a->)‘,

y?‘

AN = yp jP

NP

\^A=fI.

(a-^r>, (a!)', (a-i)', (a-l)-*; fC', )/l,

yT. ys?. y^F1--—^ y^-—^

yywr, y&a Umgekehrt sollen folgende Wurzeln höheren Grades durch Wurzeln deS 4

2. und 3. Grades wiedergegeben werden.

_

18

_

24

_

36

_

6

8

9

12

_

1 6

]/a, |/a, j/a, |/a, |/a, ]/a,

48

ya, ya, ya, yä u. f. f. Wiederholung der in der ersten Gruppe gelehrten Rechnungs­ operationen, wobei die Hauptgrößen Potenzen sind. I. und II.

Addiren und Subtrahiren. (Regel 1 bis 6.)

239. 240. 241. 242.

10a4+7a,+(4a3-12a4-6a8)-(13a3+12a4-7a)+(1 la3-4a8) -(16a4-18a3-7aa)+l. 12x3—(0,4x2—0,7x) + (3x3-0,12x)-(4x5 + 0,5)-(0,6x4-0,9) + (6x3-{8x2 + 5x|-10). 10x°—(llx"_1—7xp) -f (10xp—8xn_1)—(9xp—4xn) + (lOxP—(3xn—6X”-1}—Öx”-1). Ix-»—(§x-p—ix—) + (|x——|x-p)—/flx-”-(rsIx-p —{tjX-p+|x—j—10x—).

23 - j-'jl + 0,5-(6,3l-’ +l,4i-‘+0,3.t") +

243.

+0,3,-’- M_ j 3 _ M+(2i-._ 244. + |2a’_0,lla-’-M| + M).

(ta->y-> + ^1-1^-^ + -^-

243.

16x Sl+^-^'-Cifc+m. 5,3a~“ _I W 246. 0,7a-"bP—(l,la‘b“P— \ b*p 1 a“ (anb-p +^!j+^)+a^_(o,9,b._^>

247.

lla*-(2a?-0,5a?+{0,3af-0,16a?H0,9a?-0,4a*| + 0,7ai-0,lal)+6ak 248. 4ya—0,3]/^— (0,1a?- 0,2a?-f{ya -7^}-3/ä+ 0,4^) + 0,7a?-0,8a?+0,lJ/a. 249.

VF—---- (4x?—|6x?—7x?}+ ö^x)—14]/x —17]/x*-f- xt—4x?—(10x?—5x?+{3x? —7/xj—xi). n__

n

p

p__

1_

p_

1_

250. 4}/x—0,5|/xp-f- 0,7 >V—0,6 |/x — (xp—4x“-}- 0,3x n n

p

1

p

n

1_

—0,2xi)+0,7 |/x—0,4xn —(0,1 ]/x“— yxP+0,2xP) _p

—0,3x°. III. Multipliziren. (Regel 7 bis 9.) 251. (4as-5ab + 7a7)(0,la7-0,6a4-0,8a8) +(3a4—4a7) (0,8a-0,2a4). 252. 3(0,4a4b3-0,7a3b5)(2a8b-5a8b3)+2(3a2b-4ab3) (0,7a8b 3-0,2a7b 5)-6 (a6b3-0,lasb8)(0,3a4b + 2a3b3).

24

283. (0,4x2y3—0,3x3y5)(0,lx3y6—0,2x4y6) 254. 255.

—(6xy4—2x2y’) (0,01x4y‘+0,02x5y9). (a3b -5 + 2a4b-3—3a5b-1+5a6b)(4ab4—3b2-|- 8a-1—5a-2b-2). (7a-1bs-4ab,+ 5a3b -1-10asb"4) (1 la2b *5-8b "2+ 4a~2b + 0,2a-4b4).

256. 257. (5xpyr— 2xp-1yr+24-3xp-2yr+4)(0/lxq+2y9+1-}-0,4xq+3ya~l — 4xq+4ys-3).

258. (4ambr

5b" ' B(o>-"h.+o>-o,i^).

— 259. fx-pv2»\ J yq

°'5x3pY 2y~q i 3y2q y4q / \

jP

'

X3p

260. (4xPyr-1+0,3x~Py2r~3—0,5x~3Py3r~5)

5y5q\ X5p x5p / -----0,8yxp

—0,4y3_rxJp^*

261. (a^—2ai + 3a?)(0,4a$—0,7 a*—0,9ai). 262. (5 Va—7a + 9 ,^)(4a'-0,5 +l,la3). 263. (7 lzx—4 ^x) (0,2 jV— 0,1/x) —(3>/x+0,3 /x) (0,4 ]/x -4}/x).

264. (8 |/m — 3]/m) (0,2 im — m)—(0,1 ]/m—0,2 i^m) (0,3 |/m + 0,5)/^).

265. 266. 267.

268.

3

25 Beachte die Beispielgruppe Seite 21 No. 7.

270. (|/8 —3]/32)(yi8 —2l/5Ö).

271. o^-y*xfö-3V£). _ 272. (l/f +0,5/Ä)(l/¥-0,2M). 273

274. (^-o,5M)(fz-o,i^)275.

(yi-o,6yM)(VÄ-o,7Vi).

276. 2”- (v'ä-6yT)(4/w+°'3/s.> ' *” * ' 3b" 278,• (yw-^y^Xv^-0-5/^)-

279. ]/i/2Ö +2]/]/20-2+1/1/30-1/5. /l/SO-l/ö. 280. yyio-1/2 yyio+y2-/yio-ye. /yioo+yoo+y36. a ---------------------------------------

2 ---------------------------------------------------------- ----------------------

281. Vim + yoM./yO,0025-yöÖÖ2 + y0,0016

+yy3o+y3 yyso-ys.

IV. Dividiren. (Regel 10 bis 12.) 282. (24x5y7— 12x3y6+x5—3x2y + 7x7y4+£x.6y6): 12xsy5 2x4 .v3 2x° , 1 . A 2x3y2 288' (t^y-^+^ 3xv / 3 3y ~r x2 3y4 ~r 3xy

284. (o,10

r4

r3

m3

+ 2,4 —3 — 3,2rm5 — 0,32 m m ' r Z5r2 3s2 0 . 4 , 6 „ , 8s3 285. ( 2s4 4r4 +2r 8 + r3s2 7r+ 3r2

286.

/ 3m3Pxr X 4

-2>°'2Wnrr4 v m 2\ 3r5 «)' 4s2 '

2mp+2x2r m2P~1xr~3 | 5mp+1 3 2 n 7x* 7xr 3 -20): 5m2pxr+1 + 5x2r—2 , ' 8mp—5 3m3xq ÄVV‘ 6

Wiecke, algebraisches Uebungsbuch.

1. Reihe.

2 Auflage.

x3r 8m2p+1

26

287. (o,14duka+p

3,5dv k2p

d2”-’

tP+1 lr \ -°LR -prr -Ml -xLi-):0,7

lrP-3

ks+~

7

•

. 288. (4A-A + ,^.+g^__2+6^_^i__2_ yä yä + 8,yä"5-4a+5a,-^):4yä. l]sb

289.

io yä n/bJ_abY ^ 5r a 4' 5yb

290.

(o^-as/^-ai+Zil-o^^+Yi-. -äml'P + Y'“-^)10'25/!'

291. (4ci'i-0,3ni'c>0,12y'-^-0,24 ”

+

0,42V4-^+^):^Lr n3 V- ~ ne/ n y° 292. (20a3b4—26a8b8—a9b7 + 12a12b8—24a15b9 + 9a18b10): (5a9b3-4a5b4-6a8b5 + 3aub6). 293. (- l,2a4b9-45,3a9b7-480a,3b5):(0,2a3b4-0,3a6b3 + 4a7b9). /r8t3 2r2t3 t2 t y/r4t4 2r2t3 t2 \ 294. \ 8 9 +9r 72r4/ x 2 3 + 6r/‘ / 4r° 79 , s*\ Z4r4 298. x25s?—24Ö + 9rv:X5sr ^l/2y7 0,3 0,3x3 296.

297. (x5-32):(x-2). 298. (32z3+243): (2z+ 3). 299. (27x12—1): (3x4—1). 300. (^+64X++4).

_r___2s \ 2ss 3rV | ^ |

27 Zl6x4

301. XSly11

81y=\ f 2x 3y6\ 16x4/"V3y» + 2x /

302. (X3P-J-y6r).(Xp+y2r) 303.

\ c4m

d8s / x cm

d2s /

304. (—___ —Vf Jl j

x c4m d8s / x cm T d2a / (X2m+l^.y2m+l).(-x^.y)i

308. 306. (xp—l):(x—1). 307. (g2n—k2n):(g-|-k). 308. 309.

j (2y)4n). f x (2y)41 l(2y)3n x5n ) ' ( (2y)3 x5 ) (10a6-2b6) :(2a4—3aV—5b4).

(5 Glieder.)

310. 0»,b’-2b,+AXi»lb'-2^-»4=)-

(4 Gl.)

311. 3xs:(3x9—1). 312. (9z«+l):(3z$+l).

(4 Gl.) (4 Gl.)

313. (0,008a3c6+ 0,125

: (o,2ac'-0,5 £)•

(5 Gl.)

* _l * Yf ■*■ + * Y 314. (Xl6m4 1 81p4/ X 4m1 1 9p' / 318. (r2P + s2p):(r + s).

(5 Gl.)

316. (v3n-^-):(v4n-v2n+l).

(5 Gl.)

317. (m—l):(}/m—1). 318. (m—s):(]/m—j/s). 319. (4p'-9r2):(y2p + ]/3r). (32yT5- *Wy5):(2l/I- ^)-

320. 321. (x— ^tCl/x-]/x). 322. (x'-i/?):(l/x-i/x). 323. l:(l+l/x). 324. (l + l/2x):(l-l/2x).

(5 Gl.)

328. (2 ]/a — 3/a): (2 i/a + 3 ]/a).

(4 Gl.)

(5 Gl.)

28 3

_

_

826.

(4 Glieder.) 3

---

327.

(/| + ^):(yc-c).

328.

(j/1-2^)-(0,5}/x-b0,2x).

6

(5 Gl.)

---

(4 Gl.)

V. Complexschreiben. Regel 13. 329. 330.

40a4b3x4—12a4b5x84- 16a3b4x4—24a5bsx\ 10a3c4s6 - 15acss7 + 30a4c5s8-45a3cs4.

331.

4]/asb3c3 — 6 |/a3bc5 + 8 ]/a7b6c6 —10 ]/a3b5c7.

332.

a)

333.

6}/m8p3x

334.

b) 3yibI-6|/^ + 15]/^.

• iK + 121// p3x& r x 1 f m

0,5 i/2a3bc7

0,1 l/50a3b5c + 3,5 ]/

-**rw

335.

lOl/äVci4 - 15 i^bV + 25 /a6b8c - 3,,5Vanb4c.

336.

12]/a4bes + 16|/a^-24y

337. 338.

8a4b3 3mV 5x4y3 12z6

'aV b6

56a8b6 40a4b 15m4x4 1 9mx8 15x3y 28z4v3

104a4b4 45m 8x3 35x4vy4 65x6y4 36z3 24av4z

In den folgenden Beispielen 339 bis 347 und 348 bis 355 sollen die in den Beispielen vorkommenden Wurzelgrößen nach dem in den Gruppen Seite 21 Nr. 6. resp; Nr. 7. gezeigten Verfahren gleichnamig gemacht und dann addirt werden.

29

339. 3 ]/§■ 4~ 2 Vf

6^i-l-5]/|

3 j/f -j-15 V y-j-.

340. 5yi-ioyA+6oys-9yv‘+i6|/ii+ v ys - 0,21/750 + 0,iy3ÖÖÖ. 341.

syi-io ypr+sys+uyi-84^+12a vs-30b ,/oFi. 12

342. sy#- i y96 + i y324 + 0,3 y^ -10 Vf + 60-

5V144

343. 344. 345.

§ y1 -1 y¥+1 yÄ+f y2§ - v yi+a y2a . sVi—1 y*yi+0,6 v iv—t $ y9o+Vri** 1 y§ - i yw+yMo - f Vii+§ y ä . abc2 |/ —+4a

346.

4ab ,/0,01am2 b

F

16 ./(ab)3 abF 16 ' b2x*

347.

~¥~ 3r 1/ sy ' 9r2'

348. 349. 350. 351.

V?2- V&0+ V8 - y32 + 3 yi8 - 2y98 + 5 y200. V27 - Vf| +7 Vn - 4 V-H + 2 yf - 5 yr+6 V* -12 VÄ 4" i4 y $7. l/9ü - 5 V4Ö + 3 yiööö - 2 V * + 4 yp + 7 V - 3 Vv 4" 2 V äV — 9 j/ffi 4* 6 y2,5. 4 Vi6 - 5 y54 + 6 - 0,14

- 5 y2ÖÖÖ 4-11 ypl6 - 5 J/flf

yiif +10 ypö2 -16 J/f 4 7 il-10 fe. -

352. 5/8ö_3vif4-7yi4i-4yäöi4-6yf-iiyÄ4-te

353.

K-t1- 200a3b 1 -7k 1/ 50a 5b 9c2 10ab y/ 0,02c6 a3b3

f7beFw 5c ,/WF ab F 49c2

2a1/l8b5d2 3d 25a7

F

30

354.

1

9y j/25x9 27x3 2^r]/24xy+xä 54y7 8y5 4*-./ 1,5y +' ' xn6

333

xy 5y3 _3/27x8 Y> 3x

+

5x3y ,/ 147m4 7m5 r 50x3y3

4x>002 z r z3xy7 x4y2 3

nj/c

/ 250cn3 x7y5

356. 4x—6x3+ 6x5—9x7—10x9-}- 15x' 357. 358

a3b5

^ + 3a-b.-4a.b.-^+^.

0,3 4

^-

c4

10a3

3a

' c3

-0,1a + 0,03c.

359. 2a4b5- 4a7b3+5a,0b -6a"b3+ 12a'4360.

nr 2s‘

m* 3s4

6ms3

m

2s3 ms

15a'

m*

361. 2x7+5x4+x-l,2-|— M. 362.

0,2a4 d3

0,5a3 . a3 d3 + d

, 2,5d4 d+ a

5d6 a3 *

363. 3xryn—5x2ryn+2-)- 6x3ry2n+1—10x4ry2n+3. 364. 2—5amc + 4a2mcP—10a3mcp+1—6a4mc2p_1+15a5mc2p. b5r

365. an—a"-3br—an-5b2r+an-8b3r+ab4r— a 366. 367. 368.

a3r a2r-i a2r+x a1-2. b» b3-2 b--4 T b8-6 T ab 36a4-49b 6+ 12a5-14a3b3. 9x°— 24x3y3+ 16y4—l5x3yn+20yn+2. 9x4 6xy y4 3 0(h,s

369. 257 + ^ + F-12x

JOy-

370. 100m5-2mV+0,01ms4+ ^---- 0,5. 371. 0,75r6-3se-0,25r8s + r3s3-s9

31 372

25 , 5x 36 + 3

373.

x6—y64-x34-y3.

374.

• 9a» 8a3—0,001c6— =j- + 0,lac.

375.

2

i 25 + x6

36 x4'

i+i£-10x6-2x1°-

376. 377.

a2P—6aPbr + 9b2r+10aP+2bm—30a3bm+r. m3—p3n—mz+p2n.

378.

25m4”-60m2“s3r+36s6r+

«**«

0,125z6r . 0,027y3-+3 y3n—6 T ^5 '

380.

12 yäY -16 yäx3- 0,3 j/ä?bxr+ 0,4 i/äÖ

381.

|]/ßsm4 —|]/c,m5 + iV'c3mr—i]/ms.

382.

9a-25c + 3]/ä-5]/c!

383.

x-y +

1

JL n

1

----- S4 «3r-2

m^n-l

* .

Vy

384.

lOOOx—27x3 +100 y?- 9

385.

1 + 2 ]/3x + 3x- i/3x3- 3x3.

386.

z—0,6 y^-f 0,09—1£-+A..

387.

x2—z* + yx3z + 2xz + l/xz3.

yz

z

Die nachstehenden Brüche (Nr. 388—395) sollen gehoben werden. 388.

389. 390. 391. 392. 394.

_s-2sy±yl, x —y xs—lOxYy+25xy xsyy—5xy 5m4p6—10m 3p7— 8mp94-16p10 im3—p4 5m —3c

5m4-y60mc+3c yx"3- y'? x-y 1 —m 1—y m—m3+yin6

393.

C —8

c—2yc3s4*ycs3 1 —m

1—ym4-m3— ym5

32 Die in den folgenden Beispielen enthaltenen Brüche sollen gleich namig gemacht und algebraisch addirt werden.

12b2— 15ab 396. 4b-3a 6a' "h 15a4

19bs-lla3 17 , 18a2+25b9 3a' +W ' 6a4

2x2-7xy 397. 4x3—5y3 12xy + 8y3

3x4+y4 6x4y

399.

5x*y3—llxy4 8x6+2x8y4 5x3—4y3 3x4y4-f7y4 12x7— 3x4 4x5—2x2 5x4—1 _ 3x2—2

400.

0,4x4-0,5x2 7x3—3

401.

7/12 — 5/8 2/18-7/12 2/3 + 3/2

402.

6/2-7/3 5/2-4 4/5 + 2/T(j

403.

4/5 —3/8 /2Ö-2/2 6/5 + 10/3

404.

/3x—1 /ix—3

407. 408. 409. 410. 411.

2/IÖ4-/5 4/2Ö-9/1Ö 3/2 + 6 6/3-3/8Ö 5/Ö-6/5 2/15 + /30

/3x + l /4x + 3

/5x3-2 1 4x4— 5x /5x-f2 * __\ __ _ /5a-s-/2b 4/ä-f5/3b 3/a —2/3b_2/5a —3/2b

/x+y_ /x — /y /x + /y /x + y a2p5____ 4a 4p 3a2p3 2a2p. a4—p4 a2—p2 ' a2+p2 2m*v3—3mv4 , 3mv2— 2m2v 7m — 3v 10m4-40v4 1 m24-2v2 5 1 + 3xp -f- 5x?i> 5—7xp , 3 —xp 1—2xp -j- x2p 3-f-/x 2 —3/x 5—2x 3 —/x / - r . . /— 1 „ I /— /x 1— /x I

406.

3/96-10 /6

I

405.

2x°-3x4 0/lx3-10 + ü'Ä'

QO

398.

33 412.

413.

414.

3|/x 10+2|/x 5a—2m a—m

2ya + 3}/m

]/ä— |/c ]/a+ ]/c

]/ac a—c

3

415.

5-2|/x+3x 25+ lO^/x + x 3

_

1 |Zx

_

]/a —]/m ayac a2—c2

__

j/m + ys

)/ms 3

3

5-Vx x

3

Vm2— }V

3

3

|/m2+]/s2 1

3

i/m — ys

VI.

j/ms

Potenziren.

Die nachstehenden Potenzen von Summen oder Unterschieden sollen in Summen verwandelt werden.

416.

(4aV+5aV)2.

418.

(0,2x2y4+0,lx-1y-3)3.

417. (2a2b6-6a-1b-3)1. mm /3a2b3 4a-2b-3c4\3

416 CT"----- —)■

420. (^ + 0,U,b‘)*.

421. (2x-2y-3-3xsy2)4.

4aa 424.

4x

423.

y

(ab3+4a2b5)(ab3-4a2bs).

*»■ (£+£)(£-£> 426. (0,lx-1y3+0,2x-2y-5) (0, lx-'y3—0,2x-2y-5). 427. (x3y2+xy4+ x-1y6)(x8y2+xy4—x~‘y °). 428. (5m2p~3—7m3p‘+ mp"-2)(5m2p~3+7m3p5— mp-2). 429. (— + 2x-1y + 4x~4y5) (^- + 2x-1y - 4x-4y5)-

r

431 —•

/axm

(axpyr+bxry8)2.

432. 433. 434.

(4m*p-7 + 2m-x-|p-y+2)3. (xm—xm+2+xm+4)(xm +xra+2—xm+4). (xmy-p4* xm-2y-2p—xm—4y~3p)(x,uy—p—xm—2y~2p—xm—4y-3p).

438.

(8-i/3)2+(5 + i/2)2.

437.

(ff- }/2)2+ (]/5 +1/6)2.

Wiecke, algebraisches UebullgSbuch.

436. 1. Reihe.

x yP

bxm+2\3

430.

yP [7P + 3

/

(2-i-3M2-(3-2M.

2. Auflage.

4

34 438. (]/7- 2/5)2+(3yiÖ+4 i/3,5)\ 439. (Vi y§),-K4yVi + 3 j/7)2. 440. (i/ä- y5b)* + (0,lj/5ä +0,3 ]/b)2. Ml-

442. o®K-+yäisp)'+(/|L_yi^_y. 443. (l/2i+ i/4T3- ]/7p)2. 444. (/ßx3- 2 >/3x7-9 ylS*1)'2. 448. (a /2ax — 3b j/äx^äF3 + 2c j/— 446. 447. (j/3ap+’bp-1- 0,2 ]/0,3aP-3bf+* +5 ^Oa^b-2^1)2. 448. (>/4 - B)2-(0,51/6-2 >/9)8. 449. (/i—2 /5)2-(3 yi2+2 M)2. 480. (^b-2to2-(0,2^-4/^y. 481. (0,5^-0,2y?+0,4yP)2.

«•

WPX‘vf-^1 -w^> 488. 0/0,1 +4 yiO)3. 487. Q/x-fö+JIy.

484. (i/lO + ]/3)3. 486. (0,4]/5ä—2|/6b)s. 488. (yiS + i/ß)3.

489. (0,2/5-3 M)3.

460. ay4-2yi)3.

46

i. (i^+x^y.

462 (2-+A-4+M 463» (0,2x~2 |/xpy~r + 3x-1 }/x“2py3r)3.

35

VII. Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln. A. Quadratwurzeln. Gieb die Quadrate — b) e) 511,7 - 0 i) 0,090054 -

464. a) 8593

folgender Zahlen an: 2487 — c) 3649 — d) 4513 0,4219 - g) 0,7016 - k) 1000,37 k) 208,004.

-

Demnach berechne die Quadratwurzeln der Zahlen,: e) 6180196 d) 65723449 — e) 69322276 — s) 2442969 — g) 16257024 - h) 662,5476 - i) 100172,25 — k) 0,25928464 - V) 0,000064064016 - m) 100,2001.

465. a) 401956 - V) 328329 -

Gieb von den Quadratwurzeln der folgenden Zahlen 5 Ziffern an:

466. a) 7 — b) 70 - c) 10 - d) 243 — e) 345,973 — f) 0,3149 und ebenso von den 467. d) 3,666... d) 0,444...

— g) 0,101 - h) 0,07348 — i) 0,9 folgenden periodischen Dezimalbrüchen: - b) 52,71971... — c) 0,01854018... - e) 0,694722... - f) 0,3402777....

— —

18. Regel. Soll man die Wurzel auS einem Bruche ziehen, so ziehe man sie auS Zähler und Nenner, sorge aber zunächst dafür, daß die Wurzel auS dem Nenner rational wird — verwandele also, wenn dieß für den gegebenen Nenner nicht der Fall ist, entweder vor dem Radiziren den Bruch in einen Dezimalbruch, oder erweitere den Bruch so, daß der Nenner eine Quadratzahl wird. Hiernach berechne die Wurzeln der folgenden Zahlen auf 5 Ziffern:

468. (t) t — b) D 7*

-

— c) 9) 63tVt

— d) 1$ — -

h) 1010z

-

e) 4j|

—

9 42«.

Gieb die Wurzeln der nachstehenden abgekürzten Dezimalbrüche so genau als möglich an:

469. d) 17,30714... 269,735... } 172 9)

b) 6,584...

- c) 0,297458... ^ 1,689354... 1 e) 156 V 52347,...

35 628359,... '

Bemerkung. Hat man einen Bruch mit mehrgliedrigem irratio­ nalen Nenner zu berechnen, so beginne man die Ausrechnung wieder da«

36 mit, daß man den Nenner rational macht Schemata: z _ z(a —]/b) a8-b ' a + )/b “ z _ _ z(ya-r-|/b) 470.

518 5-y?'

471.

473.

Ve . ye-i'

474.

476.

479.

481.

z _ z(a+yb) a—yb a*—b z_____ z(yä + yb) a —b ’ ya — yb 2,58 47» ^ y5—y2 ’ 104-yr

a— b

ya -(- yb

10

5y2—4y3'

477.

yiö+i. yio-1'

479.

4-3y5 . 5-2y5 '

5y3 4-?y5 4y5-2y3

480.

«Vfi

482.

4

■y3+y2 5-2y3 + sy2 ' 2>/3 + 3y2

a) yio. b)

y2-y2

2

nach einem der folgenden

i2-p

y35,72.

2vz3 i-y3

484.

y4ae—12aV-fl6asb4+9a10b4—24a6b,+16b8

485.

]/9-12x + 34x8— 20x3 + 25x4.

f

13x‘

45

19x8 i5

38x°

75

4x4

5

yo,25m4p6—0,2m 5p5—3,96m 6p44-l,6m7ps4-16m8p*.

488.

|/4z8-0,8z4-l,16z’4-4;92-

489. 490.

„ ,

3

486. ' 487.

'

m4 4s8

2 . 14s8 s’m 1 3m8

10,04m8 I 01° 1 c

t

0,39

0,72 , 1,44

8s8 4s10 3m"1 1 9m16 m2

,

0,6c8 m4

c3 m6

34b . 4b8 , b* 45a T 15a8 ' 25a5 y0,01a2mc2r- 2a3mc2r+1+100,04a4mc2r+2 - 4a5™c2t+3 + 0,04a6mc2r+*.

9a . 491. yjf-4 492. 493

.

25

]/0,09x2r-0,l2x+|g jf4r—3

37 /0,16m2p_ 2,4mp~1 , 8,28c 5,4c3 0,81c' \ c3 c ' ma ' mp+3 ' m2p+4 493. a) i 1-f-z auf 5 Glieder zu berechnen; danach: b) yi^2 (auf 5 Stellen genau) c) JTM (auf 10 Stellen genau) 496. a) ]/l—z (5 Gl.) b) ft (6 Stellen) c) /0,999 (12 Stellen). 494.

497. ■*-> /1-, b) ViM 499. cQ ya,-}-1) b) yn 301.

504.

(8 Stellen.) (5 Gl.) (9 Stellen.)

yi—2x+3x3--4x3 (5 Gl.)

/l + z

498.

b> y« 500. a) ya —b b) y9999 502.

10

1—2

505. ]/(5z + 4)(5z —4) /T72TTW7W 506. rb+a*+ a5 + a8 807. |Za2n—an+2bn—2 -J- a4b2n—4 808,

/

mp

yq

v?q

m2p

(5 Gl.) (8 Stellen.) (5 Gl.) (10 Stellen.)

/l + 2x- 3x'

10 1+z 18z+1 /z3+6z + 9 Tz+3

/:

803.

(5 Gl.)

(5 Gl.) (4 Gl.) (5 Gl.) (4 Gl.) (4 Gl.) (4 Gl.)

B. Kubikwurzeln.

Gieb die Kuben folgender Zahlen an: 509. a) 5247 - b) 9685 - c) 46,31 e) 0,07201 — f) 1,0015.

- d) 6904 -

Danach berechne die Kubikwurzeln der Zahlen: 510. a) 95569357248 - b) 12406605875 - c) 176369,715712 d) 0,352943569763 - e) 1,125188511201 f) 343735,525125 - g) 0,000729729243027

38 ferner die 4 ersten Ziffern der Kubikwurzeln von: 511. a) 1257 - b) 125,7 - c) 12,57 - d) 96 e) 0,8 - f) 0,05 - A) 85,01 - h) 0,009 ebenso die 4 ersten Ziffern von den Kubikwurzeln der periodischen Dezimal­ brüche: 512. a) 200,104504... - b) 0,25757... - e) 2,37037... d) 0,0594259... und weiter die 4 ersten Ziffern der Kubikwurzeln aus den Brüchen (vgl. 18. Regel) 513. a) % — b) ja II — d) -fTg e) 1-J. Bemerkung. Will man den Nenner eines zu berechnenden Bruches, in welchem (dem Nenner) eine Kubikwurzel enthalten ist, rational machen, so wird man, wenn der Nenner eingliedrig ist, der Formel sich bedienen: oder

b>/a

j/a Ist der Nenner dagegen zweigliedrig, so würde man sich der Formel zu bedienen haben: m

a + l/b

m(a’—aj/b+yb11) a3+b

m m(a3-f a]/b-f-yb3) 3_ as—b a— ]/b UebrigenS wird hierbei in jedem einzelnen Falle zu überlegen feilt, ob aus dem Rationalmachen des Nenners wirklich eine Vereinfachung der Rechnung entspringt oder nicht. — Hiernach berechne auf 4 Ziffern: 514.

~

515.

iVä

1/2 516.

,16 •

fa+fo.

$17

"•ä+i®.

519.

yioo 5_^ •

ii $18. yl8 520. 2?3-4-4^9 2J/9-1

i+5y3 gcj

3,2ye-12yo,036 2y6+3

39

1

822.

523.

2-1fb

2/24-1/4 524. 526.

/24-1 r /4 + /24-1

525. 1/0,25-/0,5 4-1

6) te

a) /lO.

527.

/äS-6a,b-9aac+12ab!,-36abc+27aca+8bs-36b,c+54bc,-27c3. 3 ------- --------------------- ------------------------528. j/l-y4-6$x2-6|xs4- 13|x4-6x54-8x6. 529.

/0,008w'-0,012w 6-0,354m7+0,359m 9+5,31m1 '-2,7m"-27m".

530.

a) /14-z (auf 4 Glieder)

531.

ii+z b) fe

540.

(4 Gl.) (5 Stellen)

9

b) /V

(5 Stellen)

a) /as4-b

(4 Gl.)

b) /TOÖ (5 Ziffern) 3/ z x8 , X5 (4 Gl.) 535. V X z z* 8 (4 Gl.) 537. a) /a*4-b b) /5ÖÖ

(5 Stellen)

(4 Gl.)

*

633

539.

a) /14-z b) /M

(5 Ziffern) (4 Gl.)

40

VIII. Logarithmen. Erklärung: Ist t>c = n, so nenjtt man c — logbn.

Gieb hiernach an:

log18, log1!, logH, log82, log*2, log8!, logi*; log10100, log101000, log101000000, logieO,l, log">0,001, log,00,000001; log*010, log‘°l, log'10, log'°0, log*a, log' 1, log0»1!, log0-1!), log0»110, log°»010,l; log-’(-8), log-i(-|), log-i(-i), log—2( ■g‘), log"8(-i); log"39, log-H, log9(-|), log-®3. 19. Regel.

ES ist für jede Basis b log(pq) = logp + logq

log ~~ — logp — logq logp» = qlogp

Es sollen die Brigge'schen Logarithmen der nachfolgenden Produkte (P), Quotienten (Q), Potenzen (D), Wurzeln (R) und anderer aus ihnen zusammengesetzten Ausdrücke (S) — und danach diese P, Q etc. selbst — auS den Logarithmentafeln berechnet werden. 841.

a) P = 43,978.9635,4; b) P = 0,8752.0,0069432; c) P = 0,012345.5456,23; d) P = 456,21.0,09701.0,19584.

842.

a) Q =

, A _ 0,573286 4563,217 24,589 . b) Q = 37,697 ' c)^~ 245,675 ' 289,7652 ' 0,095482 234,975 O - 0,59842 d) Q = 0,096543' f) Q = 0,018652' 0,0072653 ' e) v 0,00359 g) Q = 452,76 65457.89,235 ~ 0,15429.630,18 ' 0,18543.24| 52,569.15* ’

0,09287.13* . J H ~ 576|.0,001295 ’ 0 _ 0,0954273.60 d) y “ 546,853.0,53267*

41 SM.

a) D = 326,754’; b) D — 5,47268’; c) D = 0,9542’; d) D =0,003875’...; e) D =0,17621>4...; s) D — 7,61802°>15...; n - f576'284Y 9) D “ \ 93.0018/ 93,0018 > 0,05432’ 545. a) Q = 0,67285’ 214,52 • 125,94’ r “ 198,54'.5 1U4v546.

b) R =

a) R = |/117|; , R

J 0,2387.156|

e> E = V55 0,0184.12736’

|/^925476 I l;,23685

d) R = jA),08234;

0,006943584 ,708521 547.

a) P

_ 10 J 134’ — 164 M ' 0,01584'

,,

V —

0,0158 yi6Öi , 3 ______

1

7,364 i/513

c; P = 0,258'>2>/63,15942. 548.

a) S = ^624-^-0,974 . ^ g = 9/q854*(16^82-^25,834);

y638|

c; s = (J/5 - yiö)

1

19,26354'

^ g _ ,/519,2—13,574’ d;S-y------468/76------; e) 8

l/7i-10'>5 “ 10l>5 —15 '

j/9-l/IÖ q _

]/0,009234 + l/0,1837, )/0,1837 -]/0,009234’

^ s = 1/0,6-yÖ5 r 114,23’

ES soll die Unbekannte x aus folgenden Gleichungen berechnet werden: 549. 551. 553. 555. 557.

100- - 236,5843. 0,15874* = 0,0076543. 5,16429* = 0,516429. 61,705* = 0,39624. Gff)x = y57p8.

Wlecke, algebraische- Uebungsbuch.

1. Reihe

550. 552. 554. 656. KKC ggtz

573,73- = 974. 0,001* = 0,87429. 0,098726* = 10. 4,823571* = 0,9543628. ^0,19854 ( __ z,\5 V 0,27632/ “ U)

2. Auflage.

5

42 339.

]A),29154“ = 0,0001.

361.

582,1393“ = 1257,46.

563.

Z0,09751\5x-2 = 0,76345. V 4,5862 )

565.

560.

(0,06234.0,82731)“ = M. IWT = 486,93.

564.

V'0,628511-1 = 0,95432“~3.

566 i/w^”0-254347-

= 15. / 9,4237 = 12,724. 135,684

yi3 _ 125

V

568.

569.

x1-2 = 0,1.

570.

(tT = 0,97.

571.

^ = (19|)\

572.

0,lx —

573.

17,5x1 = iO,195407.

574.

1 (5x)V» •“ 15,9"

367.

IOA

/12

3 V6 4 9 5

ES sollen die natürlichen Logarithmen (log zur Basis e — 2,718281828...) angegeben werden von den Zahlen 575. a) 10 - b) 1,345 - c) 0,38576 - d) 0,0038576 -

e) 38,576

- f) $

-

9) 12|

-

h) foö8.

Dritte Gruppe. Gleichungen. 20. Regel. Man darf ein Glied einer Gleichung von einer Seite auf die andere setzen, wenn man dabei sein Vorzeichen wechselt. — Man darf einen Faktor eines Gliedes weglassen, wenn man auch alle übrigen Glieder durch diesen Faktor dividirt. — Man darf den Nenner eines Gliedes weglassen, wenn man auch alle übrigen Glieder mit demselben multiplizirt. Mehre Nenner in einer Gleichung gleichzeitig fortzuschaffen, multiplizire man jedes Glied der Gleichung mit dem kleinsten Vielfachen dieser Nenner. —

43 Man darf beide Seiten (!) einer Gleichung auf dieselbe Potenz erheben — aus beiden Seiten (!) Wurzeln desselben Grades ziehen. — Uebe jede Vorschrift aus dem ersten Theil der vorstehenden Regel an folgenden Beispielen: a) 5x + 3-7x + 8x= -^-15x + 7-^- + 10. . 2b . _ . 5x 5a , 3b b) 4a—ß- + 7x—9 + -g- — 0,5 — + -g—0,3x. c)

2(3-x)-^- = 4(5-2x) + 6x- 1.

d) (a + b)x—3(a—b) — 5m —b(a—x). e)

D 9)

h) i) k)

5 —3x . 7x 5 . 3x—7 4—5x + 5x. = 122 + 3 4 12 15 7 —3x 4—3x 12 02 -0,1 — X ' 3x ' 3x4-2 9x + 6 4—x 5+x 7x —3 7x = 4i-°'6 + 4x*—1 ' 2x+l 2x—-1 a+x b —x , „ 5a—2x 2b-5a 3a m 2b 4a 3b 2a —x 5b3 3» b -2. aa—ba 1 a-b “ a+h 5amx , a+b '

“

2(a — b)

aä + b8 — 2(a4—b51)

bx(2a + b) (a+b)1

21. Regel. Soll aus einer Gleichung die Unbekannte berechnet werden, so löse man alle Klammern auf, in denen die Unbekannte auf­ tritt; beseitige, wenn nicht alle Nenner, so doch diejenigen, in welchen die Unbekannte vorkommt; schaffe alle Glieder mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, die ohne Unbekannte auf die andere Seite derselben; und addire schließlich auf jeder Seite die Glieder mit derselben Haupt­ größe. So entsteht die reducirte Gleichung: —(-mx3+nxa + px — s, wo x die Unbekannte bezeichnet. — 1. Welches sind die reducirten Gleichungen der oben a) bis i) be­ trachteten Beispiele?

1. Gleichungen des ersten Grades. 22. Regel.

Die reducirte Gleichung des ersten Grades px = s

44 zu erfüllen, muß x — gesetzt werden. Gieb danach daS x an, welches die Gleichungen erfüllt: 5x = 10; 3x = 1; zx = 9; y = 7; 3gx = 12; 0,3x = 2; 0,4x=0,24; •3x = l,8; 0,5x = — y; — l,2x = —24; . . 4x ok —0,lax = 2b; - = -2b;

3ax

=

5x

3 — 7;6ax

3b;

6a 3ax b "b—^

3,7ax = —5,9b; (a + b)x = a’—b1; (a — b)x = b — a; (a’—b’)x = a’b — ab”. ES soll aus den folgenden Gleichungen die (mit x bezeichnete) Un­ bekannte berechnet werden. — Man reducire dazu die gegebenen Glei­ chungen (nach Regel 20. und 21.) und löse die reducirte Gleichung nach der 22. Regel auf. 2. 3x-7 + 2x + 10 = 5x—12-4x + 31. 3 5x-19 + 7 —2x = 12x + 10 —x —30. 4. 4x-12 + 6x + 10 = 13x-8-x + l. k

5x

6.

s 15x-t-^ + 17x —12 = 10x —9 + 22x —3 $•

7. 8.

x+ £-10 = 2x-216. 3 4 5 1 + 18- J + 14 = -^ + ^ + 34.

o J*

5x __ 7 x _ 2 _ x 5 4 6"+2 - 3" - "8 ~"6 "

10. 11. 12 13. 14. 15. 16.

3x

T+T

= 10-Ir

0,7x—0,5 + 12x— 0,8x = 10-93,lx. 0,4x — 3,2 + 3,8x +17,6 = - 0,6x. 0,4x — l,4x + 3,2 = —12 + 0,5x + 0,8. 5x - 6,937 -j- 3,14x = 5,264 - 2,15x. 0,4x + 0,01 - 2,4x -0,1(3+ 0,2x) = - 0,189. 0,7x - 0,6(x - 1,2) - 8,4 = 3(0,4x - 0,7) + x - 26,58. 7x 11 y y-15,14 + i^+12,4 = (5,97x + 3,1)0,5.

45

17 18 19 20.

10x+ 11 5x —7 3x-f 5 5x-)-7 4 2 8 " 8 18x —19 , 8 + 5x lOx + 3 12x—7 "+ 3 12 4 “ 6 3x + ll 2x + 6 4x — 7 . 3x+5 8 1 9 ~ 4 18 3x + 7 l-3z. lOx —3 14x4-5 “ 4 12 10

21.

12(3x—4) — 5(4x — 8)

22.

6x —5 4

,S-2

, £W

-

1

X— 10

I

26.

CO

X

25.

3(4x —

4x + l , •7a =2(5■*>-r 2 1

23. 4(x-3)- .+2(x + 6)= 24.

=

3x 2:_1 10 1U' 8 _ 24 i 36x — 1 2x--3 — x ,i L 15 x —2 2x4-1 |(x-2)- Kx-il) 5 ' - 3 5(7x —6) 3 9(4x—5) 5

27. 0,3(4x-12)-2(3x-0,l) = -^-4,73. 28.

-^-A-2(5x-4) + 3i= ^±l + 5(2x-3).

29.

lj!(x-j*)_x_-3_2x = 0 3(x__ i2)-3,4.

30.

- 7,24x +

- (6,132 - 0,786x)0,2

= 5/1^4x — (7,32—2x)2.

81. 0,123x—(l,23x - 0,765)0,5 + = 12,864x - 17/12x

32 33. 34. 35.

3,475x

0,9531 + 1,; 3589.

ax—(b -k2a) 3x — 5x — a —3bx +1. (a1— b’)x + bx(a + b) — (a + b)c. r(r+2q)x —4rs — s(q —3r) —q’x. m8—2mx + 4x — (3 —m,)x + 2m'’—1.

46

36. 3dx (A + c) - 2b(3d - ^) = x(bc + 3da)+3daa-2ba. 37 38. 39. 40. 41.

42.

43.

44. 46. 47. 48. 49.

50.

ma(2 + x)—2m(l—4x) = 3x(m—2) + 3m8—2(m + 2). 3px(2m — p) x —mp (m— 4p)(m—p). (m + p)’ x—2b a Z3ba 4 ax 5mx—12p 3x4-4 _ 2x—8 mfp — m —p ' ma-pa . 5amx . a(10m —1) —b a) , +5m—x 2(a —b) a 4" b bx(2a +b) aa+ba (vgl. 1. *). 2(aa—ba) (a+b)1 5amx a (10m—1)4 b -5m —xb) 2(a4b) a —b aa+ba bx(2a-b) 2(aa—ba) T (a—b)a cax . b(4aa—x) =iA 1\ bac a) a(b—c)a cl x a / (b — c)s a(b► — c) b(4aa—x) Zl \ bac b) a(b + c)a a(b + c) V (b + c)s x mq pq — 4rm pq+4rm _ xmq a) m + q m — q 2mq(m—q) p44r n 2mq(m4-q) x mq pq — 4rm _ xmq pq+4rm b) p+4r 2mq(m —q) m — q m 4- q 2mq(m 4 q) 1 , mpx pq — 4rm mp pq 4 4rm x. c) m + p m —p 2mp(m—p) x — 4r—q 2mp(m-|-p) 3x —4 6x—5 5x —2 6x—1 •2 = -1,8: 45. 3x—4 ' 2 —5x 6x —8 5x + 2 5x —18 7x —3 4-10 = 3x + 2 4x —3 14xa 7x_ 14^-863 = 3 X+D ' 2x+5 8x —5 . 4x—9 7x42 l2x —4 3x — 1 + 15. 9x —3 7x . 0,4x 0,3x 2x 13 = x +1 T 5x + 5 x+1 3x 4 3 13 __ 9________5 4x + 2 3x — 7 12x + 6

47

81. (7x- 12,543)(3x -1,4)- 2,768x +14,135 = (42x-0,32X0,5x4-1,2). 6ax—5b _ 6ax — 7b 32 3ax — 4b ~ 3ax —2b 5x 23 12x5-16x+4 _ 5(3x+19) 83. 6+18+ 3x*-5x+4 “ 18 20x3-10x2+3x-4 84. = 4x4- 3,6. 5x*—7x +1,2 lOx—-3 5x —4 _ 2 88. 5 : 6 ” 5' 5x—4 3x —2 _ 0 , K_ 5x4-3 3x-J-4 86. 3 ' 5 - TT* ' 3x—4'5x4-3 38.

x_4 .(7x

89.

4x —5

60. 61.

25 9'

«) - 7x_12 1

14x—20

5x4-7 ' 5x4-4 7 (5x4-4):(5x-4) = (12x-(-7):12x.

3x-5,(5x4-6_i) _ 2;?

62. (0,36x -f 0,24): (2x -f 3) = (9x-4): (50x4-0,3). 63.

(10x4-6):

64.

0,6x-2;(o,9x + 2) __ (i/2x_3).27x-4 5 3 5x4

68.

x —2

66.

2x->-1 ^

67. 68. 69.

= (10x8-4x4-13):l.

6x4-3x3 x —1 Rv®

x2- 3x4-2

= 0.

q

2x—1

- = 2,5

x —2 6x34-|x-7 , 6x'4-3 x—3 x4-3 xp—2xp—1 1 XP - 3xp 1 x —2 — 2x—2 2x —4 2x —4 15x —4 5

xpxp 23. Regel. Soll ein Wurzelzeichen aus einer Gleichung weggeschafft verden, so muß die Gleichung auf die Potenz deS Grades erhoben werden,

reiche der Wurzelexponent angiebt. Dabei ist zu beachten, daß das Wurzel­ zeichen nur dann herausfällt, wenn diese Wurzelgröße auf einer Seite ?er Gleichung allein steht.

48

70. ]/x+4 = 3. 72. yx4- 16x + 16 = 3x-4. 74. y2x4+5x+9—x=0,5x—3.

71. l/x*+5x + 17 =x+3. 73. yp+5-3 = x— 1, 75. )/2x + 5 — 5 —y§x.

76. 2i/3x + 5-2y5 = yx.

77. 3>/4x + 2-3/4i = yx

78. >'3x+5

— ]/7.

y3x+5 80.

^-6 _ ^

/ß

81.

]z5x-6 ««

1 y2x-y3 2m

83

2

5x —6

_

6

]/5x~y6 - yöx-ye’

3

_

y2x-3

lyrF2ü.-]/i = ym.

79.

' 3

y2x+ys

,-------------

yax+b1 = ]/y + b.

84. x = ]/x4+ay4x4+ayi6x4+a —a.

85. yx+yr^=7 1~4k= yx—yi—x 24. Regel. Kommt die aus einer Gleichung zu berechnende Größe (x) immer in derselben Verbindung mit anderen Größen vor, so behan­ dele man zunächst diese Verbindung als Unbekannte, und berechne, nachdem deren Werth ermittelt ist, aus diesem die verlangte Unbekannte.

GH

' KR

a x

5b + 4a . 2b + 2a_ 3a4—4b4 7b —2a 3a "* 4x ~ 2äx *" 4a

a4~2b _ 4b + 5a x 2a

b 12a

a4— b4 _ 5b — 4a _ a4+ b4 4ax — 4b 2bx

89. ^+ 7(x + 5) + U-^ = 2(x + 5)+40i90. 5 (2x - *)-

+141 = l(2x + i)+ 141.

91. 3(4x —7)+4x — 11 == -l(4x-7)+ 5x — 0,2

25x—1

—

5x—0,2

—iT----------r + 5x=0,6+—3^.

- 1TV

4—3x a 3x—4 „ _ 8—6x , A . A „ 3x+——[-3,5 = 6 — i 2 ' ~ —g—+0,4—0,3x. 3 7ab ab(”+b) _ 2(a~b) _______ 94. 2a('ax4-b")2a(ax+b) a+b a+b - a»_b» -2b(ax + b).

93.

ab 2b Ca—b) a Sa’b1 (x—a2)(a + b) x—a‘ 1 (a + b)1 a+b 5]/x—2 9]/x—17 1 96. 8 16 ]/5i-3 2^51—10 ySx—4 97. ]/5x+6 yöx+8 )/5x+10

95.

b' (a+b)1

98 . 0,3(2y?+I-5)-0,2(4yx+l-7) = ^±i-2,2. t—3c 100 /a-äi =2/, -bx a+3x c+2mypx _ 3c + 4mypx c —2m]/px 4c—4m]/px Zu dieser Gruppe gehören unter anderen die rein quadratischen, rein kubischen — kurzum die Gleichungen, die rein von irgend einem Grade sind d. h. diejenigen, deren reducirte Gleichungen die Unbekannte nur in der zweiten, nur in der dritten — genugl nur in einer Potenz enthalten. x—4 2x+4 102. öx1—7 = 9xs—11. 103. 16. x+3 x —2 5x—3 6x'-7x+3 x*+4x—9 3X1—7x+4 105. 104. x+3 x—2 2x+5 — 3x*+5x—2,8 3x—2 3x+l -6x—2. 106. 3x+2 3x—1

"•

107. ysx+ö-l/sx^b = y6x-2yil. x—1 109. x + ya + x1 = = 2. 108. x+T _________ ya+x1 110.

-a+ya1+x1 = 2ya1-x1

112.

ya1+b1x1+bx _ b 113. yä1+b1x1—bx a yx1—x+i _ x—yp—3 x+yx*—3 yx+i

Wiecke, algebraisches Uebungöbuch.

1. Reihe.

111.

yx+yx1—a1 _ x yx-y^ä1

b

}/a1x1+2abx+c — )/bx+a.

2. Auflage.

50

Gleichungen des- ersten Grades mit mehren Unbekannten. 25. Regel. A. Zur gleichzeitigen Bestimmung zweier Größen sind zwei von einander unabhängige Gleichungen nothwendig und hinreichend. Sie zu berechnen leite man aus beiden Gleichungen eine neue ab, in welcher nur noch eine von beiden Unbekannten vorkommt, ermittele diese und mit Hilfe deS gefundenen Werthes und einer der gegebenen Glei­ chungen dann auch die andere Unbekannte. — DaS Fortschaffen (Eliminiren) der einen Unbekannten erfolgt 1. entweder so, daß man aus der einen Gleichung die eine Unbe­ kannte berechnet und den für sie gefundenen Werth statt ihrer in die andere Gleichung setzt — SubstitntionSverfahren — 2. oder so, daß man aus beiden Gleichungen dieselbe Unbekannte berechnet und die gefundenen Werthe gleichsetzt — Combina­ tionsverfahren — 3. oder endlich durch Addiren der beiden Gleichungen. Multiplizirt man nämlich'zuvor eine derselben oder beide so, daß die zu elimtnirende Unbekannte entgegengesetzte Coefficienten erhält, so wird beim Addiren der Gleichungen diese Unbekannte herausfallen. 115.

x + y = 14

116.

x+y = s x— y = d.

118

13x—4y = 4 2y —5x = 2. l|x —2Jy = -1 3y —2x = 3.

x —y — 6. 117. 119.

5x + 8y = 31 lOx—4y — 22. $x-|y = 5

121.

l|y-^ = 16

123.

2x—3zy = —37. 15x — 16y = 2

120.

iy-ix = l.

jL_ JL

3

125.

2

— !_ 12 “

122.

124.

3y — l,5x = 12. '

|j-x = l,l

126.

3,5x + -| = -3,1. 127.

15jx + 2iy = 1§. 0,5x — 0,2y = 0,8

y + 3y = 2,8 0,5y—0,lx — 0,14.

3,2x—0,8y = 1,76 0,5y + 0,2x = 0.

128.

10x+0,5y = 0,6 3,5x — 3y = 4,02.

51

129. a'x + b'y — c'

130 a.

ax + by = r x , y — a h-u' b =

a"x + b"y — c".

131. -J+by = m ax —

V

b

130 fr.

135.

ax + by = ab

-+i = i-

= n.

a b 9x— 10y+4|=6x+8y+l 2y—ßx+12 — 4x—9y—5. 5x-8y-7|=42x-5y-10J. 3x + 4y o, 2x + 6y _ 4x-7y-3 2 T-------3 ~ i x — 6y. 7y—5 0,2(3x - 10y)+l,2(0,4x - 3) = • 0,5 (0,4x—5y)—2,4

132. 3x+4y—17=5y—2x + 5 134.

s.

133.

X

y= 5-

136. 2x + 3y

137.

4x —3y _ 2x—y 3 6 — 5 3x + 4y ■2x — 4 —2y. 23 5x —4y 7x 8x + 9

2

2

(^-7)=

, -

138.

7x+4y 3

139.

(4x + 5y):(2x-3y) = 48:16. x+7 . 3y —2x _ 12 *y 5

5y + 2 + x

4

5y— 8 _ 2x —6y , 0 5 10 +J 5y + 2x-7 30

ifcto±l1(7i-l±5) = 3:5.

140. 0,0632i - 0,ly _ ft0604l _ o.0985y- V?~S£Sl 141.

Ö 0,6354x:(0,2 + 0,7365y) = 2:3. _ 7y + 11d) 3x- 4 + 0,0345y-0,0286 5x —0,0068y = 0,0091x+lly-6. b) 3x-4 = ^ + ll 5x === lly —6.

&

0,0062x—0,0073

52 142. a) 2000x - 240 + x + 2y = 1500y + 259 500,1x4-399,9y = 280,1. b) 2000x-240 = 1500y + 260 500x + 400y = 280. 4x +5 _ 2x + l 143. 6y— 1 ~ 3y — 2 15y +19 _ 5x-(-14 6y+17 " 2x + 10‘ 10x’ + 6xy — 7 144. 5x-7 f3y + l = 0 2x + l (4y4-3x):(4y-3x)= 11:5. 4x — 2y 4- 7 _ 8x — 4y 4- 5 145. 2x 4- 3y — 4 — 4x4*5y—3 y 4"3,8x = 0,1. 3x—4 6x—4 146. 5x —2 — 10x 4-5 5x-4y ^ , n_ - 15x,4-10xy4-2x4-10 6x—4y + ” 3x —2y 2y 4- x _ x3—2xy — 20x 4-y 4-10 147. x — x —3 xs— 9 y3-4x'-3x 4- 7y - 6 1. J_ 2x4-y /x L 148. X —y —

J

a —b r—• ab

149. |/x4-y:j/x—y = a:b fz + fy = c-

150.

a-j-2x b+y a + 2x b4-y

b-j-x a4-2y b-fx — s. a+2y

ax4-by ■ gbx4~ay 4-c _ & 151. ax — by "l" bx — ay »ax-t-by bx-ay _ bx-ay ax — by bx 4- ay 4- c 2(bx ay 4- c) 25. Regel. B. Zu gleichzeitiger Bestimmung von n Größen sind n Gleichungen nothwendig und hinreichend. Diese Größen zu berechnen eliminire man auS allen Gleichungen dieselbe Unbekannte und stelle so ein System von (n—1) Gleichungen mit (n—1) Unbekannten her. Hier-

53 mit verfahre man, wie mit den gegebenen Gleichungen, bis man auf 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und schließlich auf 1 Gleichung mit 1 Un­ bekannten geführt wird. Aus dieser berechne man diese Unbekannte und durch Substituiren des gefundenen Werthes — resp. der gefundenen Werthe in die früheren Systeme auch die übrigen. 182. x+y+z — 15

183.

x + 2y + 3z = 34

I

N

2x + y + 3z — 32. 2x-y . 3x— z 4 3 1 2y — x 2 11 2z+x ,1 5z-y 11 I1 19 i

186. 5x—y+ 2z = 1,6 x + 0,2y + 0,5z — 0,6 3x — 0,3y + 0,8z = 0,79. 188 2x -f 3y — 4z = 15 x+2y+3z — 52 3y — 2z — 11. 160. x+ay + bz — m 2ax + 3by—z = p 3bx—2az = 2ap. 162. 2x+-|- + 0,lz = 0,9 x — 0,5y z — 5y — 2. = JL a b 2a 2 x bz _ 2a ~2 3~ _ ~3 i, z _ _£. a ^ b’ ~ b 166. x:y:z — 3:5:9 x+y + z — 51.

164.

_l1 i i___a

2 +3 + 4 —6 £_Ixi=l 2 3^4 2x-f 3y + 4z — 29-

188. 2x + 3y+z = 3 2X_ xy+ Sv I_£ -6 -

ttx

4

187. ax + by-j-cz = m bx + cy + az = p cx + ay + bz — q. 189. 0,1x + 0,3y + 4z = 2,1 x+2y z 7 5 x—0,3y — (0,5—4x)0,1. 161. 3x — l,5y + 2z = 6 2x + 3y = 40 5x—£ =24. 163. x+10y + 100z = 3 2x-3y = 1,7 0,3x — 2y = 0,1. 168. 3ax — 4by — 3bz =

~a

~

b(x + z) + l =

Hz-j)-l = £=£■■ 167. x:y:z = a:b:c mx+ny+r^ = s.

54 | c5

l/x:j/y:yz

II

168.

1 c

mx + ny- rz — t.

172.

II

1

170. ox + 4y — 40 3x+2z — 27 6.

10y + 2x == 9 3x—0,1z:= 6 4y + 2z — 61,2.

174. 4y—0,3x = 0,9 0,3 |/x—yz"= " Vx + Vz II

1

= M.

1

ax+by ax + cz a+b 1 a+c ~ P ax + by by + cz q a+b 1 b + c by + cz ax + cz b + c + a + c — r. 179. Aa+ya + x = 9

176.

l/Z*+y’_ z = 1

i/x+z+4]/z — yx+yz. 181. 4x + 5y—2z-|-3v — 45 3x —2y + 6z —v = 42 2x —3y+4z+2v = 26 5x+4y —3z+5v — 43. -|-| + 10z = 4

169. x'-y'-z' = 1:0,25:0,0625 i+i+3z = 32. 171. 3x —2y = ;8 4y—5x = -6 5z_y_ 5z n — - 5. 173. x = 2z 3y = 4z |+| = 1 3 ’ 175. — + — = 11 x y 2 _3_ _ -9 X z. 1 3_ 2 _ 3 ' 4y 3z ~ 177. x:y:z = a::b:c mx + ny = 8. 178. Vx + Vy = C Vx+Vz = b y —z = as xy c 180. ax+by xz b ax -J- cz ~~

yz = ,

by+cz 182. 5x —3y + 4z = 41 10x + 7y —3v — 5 15x —2z + 2v — 34 6z +5v — 120. 184. ax + by = m

3x — 2y + -|- = 0,2

bx + cz = r

z — 2x 0,5v + 3z — 1,5.

cy + dv = q dz+av == t.

55

188. 6y — 2z — 7xy

186.

4x — 5y-j-3z = 11

y -f 3x = 13xx

y+y-10y = i

3v — |x — 4xv 2zv . 3yv 2yz

0,2y + 3v — 4w — 1,1 ,,

T + T-'f“25'"-

0,5x — 0,2y + 5w = 3 z + 2v + 3w — 5,2.

2. Gleichungen des zweiten Gtades. 26. Regel.

Die reducirte Gleichung des zweiten Grades nx*-j-px = s aufzulösen, werde sie auf die Gestalt gebracht x’+ax — b. Addirt man auf beiden Seiten das Quadrat des halben Coeffizienten von x und zieht aus beiden Seiten die Quadratwurzel, so findet man für vorstehendes Schema: =

als Wurzeln der Gleichung. 187. xa+3x = 28. 189. 2x8-4x+-| = 0.

-1 ±i'

b+-

188.

x2+ 8x + 15 = 0.

190.

6x$+x — 12.

192.

x2—0,8x4-0,15 = 0.

193

’ 0,03x2-0,53x = 1,4.

194.

x2-f-5x —7 — 0.

195.

2x2+ 3x — 6.

196.

191

197. 199.

^ + ^+1 6 + 36 + 6

x1—2x |(x2+6) x2-f 4x

=0

f 0,1 = 0.

198.

X2

1

T“ 6" - T 0,4(x24-3x)4-0,6 = 0.

5x4-4 _ 2x2—9x 127x-196 3 “ 4 + 12

5x4-2 , lOx2— 7 5x —10 5 x-f-12 201. 5x4-4 — —= 7xx 2 2x —3 7x —2 202. 5x—11 x4-l “ 4 9 —5x x2—5 203. 3x2-5x4-4 4x->-2

200.

X

110x2-65x4-2

56 204. 206. 207. 208. 209.

211. 213.

3x4-2 x -j-1

5 x

3x —52 3x -j- 3

3x4-3 4x— 0,5 2x4-0,5 x4-l x —1

x—2,5 0,5x4-5 4x4-4 1 3x-2 2,5-13x 1 5x—1 1 3,5 4- 5x 2x—2 4x—1 x4-l 2x—1

2o$- 5i+i-ö+,,-i=a

11 3 5 2x x1—x T x1—2x ax bx = a + b. a4-x b4-x

0.

210. 212.

a-b

a4-x

b4-x

m—x

c’-fmx

m

cm

1 x

2x(aa4-bs) _ ,

a+b

kl , 4aV—2ax(a*4-b*) ~a— D + 4x _____ =/4x4-l.

214.

]/x+16.y4x-ll = 25.

218

5]/x+5-

216.

}/x+2ä—}/x+a — y2x—5a.

217.

3x-2Vx = 21.

yx+5

8 7l/x+8 218. 5j/x-----j=- = —2 yx 4 219. xa4- 12x— 3 - j/xa4-12x-3 = 20.

220. VF+3+^= = 6hS±6. yp+3 2|/x$+3 221. ax,4-2bx4-2myax,4-2bx4-c = m* 222.

yxa-19 4- ]/x2—19 = 12.

223.

x3-5>zxa = 24.

224. 226.

yx4- 0,5 i/x*= 76,5. 10x,n — 14xn —12 — 0.

225.

a)/x4-2byx — c.

2n

Bemerkung: Kann man beide Seiten der Gleichungen in Qua­ drate verwandeln, wie etwa in (a'x24- b'x 4- c')1 — (a"xs-f- b"x 4- c")2, so sind die aus den Gleichungen a'x24- b'x 4-c' = 4- (a"xs4- b"x 4- c") und a'xs4- b'x 4-c' = — (a"x,4- b"x 4- c") zu berechnenden Unbekannten die Wurzeln der gegebenen Gleichung. 227.

49x'-5,6x 4- 0,16 =

x

X

+L

57 228. 229.

36x4+ 60x3— 75x*+ 20x -1 = 0. x1—x = x —a/x —230. x4—4ab2x = b4—4a4. ' 16 Und ähnlich führt sich auf eine unrein quadratische Gleichung zurück:

231. x'-6xyx + 27= 12||.

Gleichungen mit mehren Unbekannten. Die 25. Regel bleibt auch für die jetzt zu behandelnden Aufgaben maß­ gebend. — Die Methode der Elimination durch Addition ist nur in ein­ zelnen Fällen anwendbar. — Ist der Werth einer Unbekannten ermittelt, so hat man die andere Unbekannte aus derjenigen von den gegebenen Gleichungen zu berechnen, welche in Bezug auf letztere von niedrigerem Grade ist. 232. x,+2xy-y’=3x+4y+33

233. 3x,-4xy+2y’=5x-4y+18

5x — 6y.

284. ^S+|-’=2,.3y-8

3x — 2y — 2. 235.

xy + 2x + 3y = 10 x

x-2y _ 3 “ dl

1

7 2 ~

236.

x _ 3y x+y — 5x + 2

237.

5 x

2 _ 1 y 4

239.

4x-3y = 16. 240.

4x’—5xy+ 2y3 — 32

241.

6x3—2xy+5y’ — 25 2x—5y — — 1.

JL_JL _ _L X y 6xy - + - = 12. x y 20x,+ 15xy — 9y2 — 6 1

x 6 ■ 7 - t" 242.

xy = 1 3x + 2y = 7.

x + y — 4. 238.

“

xy=r 243.

x’-y2 = 16 s

3

5.

58 Bemerkung. Unter Umständen ist es zweckmäßig oder nothwendig die Unbekannten nicht unmittelbar selbst, sondern Funktionen derselben zu berechnen, aus denen sich jene dann leicht ergeben. Solche Funktionen­ paare sind: xy und —; (x + y) und (x—y) — andere, die zunächst auf die vorstehenden zurückzuführen sind, sind unter den folgenden Bei­ spielen (Nr. Nr. 249. 250. 256. 257.) enthalten. 244.

xy — 1

245.

- = 0,01. y 246.

xy = 12.

(]/x — }/y): ]/x = 1:3

247.

1 Xy=36248.

X7y: 1 J 6

=

1:2

249.

x — y = 0,1

2x4—xy — 119

251.

x’-xy = 0,06

288.

x4+y4 = 41

255.

257.

x4+y4 = 0,34 x+y = 0,8.

x4+y4 = 2a4

259.

-xy’= 1

—- — = 1. y x

xy = 20. 258.

(i+|,7= * j/x-]/y b x-y = a4—b4.

xy—y4 — 0,02. 256.

2>/x + 3i/y = 18 yxy — 12.

3x -)- y = 24. 254.

x+y = ! 1 xy= 6'

xy — 0,06. 252.

(x4+ y,):(xs— y3) = 13:5 xy = 24.

, i Xy'y = 48* 250.

(4x + 3y):y — 25:3

]/x3—]/y*=xy—4^xy-{-7 Vx-l/y = 1.

x3+y3 = 9 x + y = 3.

261.

x°-y° = 63 x4- y4 = 3.

59 262. x4+y4 = 97 x—y — 1. 13 216(x —y) 1 xy = 36(x-y)

263. x4+y»=l* x + y = 1,5.

264. x2+y2 =

265. x2+y2+x + y = 14 xy — 3.

266. (x2+y2)(x+y) — j (c2+ d2)

267. x — y = 2xy + 0,02 x2+y2 = 3xy+0,01.

(x2-y2)(x-y) = cd2.

268

Cxl+y*)(x~y) = A_

269.

x+y 12 (x*+y*)(x + y) _ 15

270.

*’+** + *!' = 10t x + 2y z'-Hy+W = _ x —2y 272. 5xy-3(x + y) = 158 6xy — 5 (x+y) — 170.

274. x2+y2+)/x2+y2 = 182 (x + y)2 — 229+xy.

2x'+3yQ = 30 x-y 2x'-3y2 = 6 x-y

271. x2— y = 46 — xy x —y2 — —10 + xy. 273.

6xy—5(x+y)=x2—y2—6 8xy—5(x—y)=x2+y2+6.

275. x]/x + y/y = 17 x‘+y4 = 4097.

276. x2+xy + y2 = AEl x3—x’y+xy2—y3 = 4m3. 277. x'+2y2 = 17 278. xy + xz = a yx + yz — b 3x2-2z2 = 25 y2+4z2 i= 8. 279. x2+y2+z2 = a2 x + y-z = b xy — c2. 281. x2+y2+xy = 19 z2—xy = 10 z(x+y) = 20.

zx+zy — c. 280. x2+ y2+ z2 = 50 xy+yz—xz — 17 x+y+z = 12. 282. x2+2xy — a2 y2+2yz — b2 xz — y2 = 0,

60

283. x+yz — a y+xz — b y’-fxV = m\

284. x+y+z — 15 x+2y + 3z = 29

285. x+y+z — s

286. (x+y+z)(x+y—z) = c

x’+y’+z2 = (a+b)s2 ayz+bxz+bxy = J(a+b)(l-a-b).

x’+y’+z2 = 77.

(x+y+z)(x—y+z) = b (x+y+z)(-x+y+z) = a.

Resultate.

Die vier Grundoperationen mit irgend welchen allge­ meinen Zahlen. I. Addiren. I. 6.

114a. 2. 113b. 3 - 88xy. 4. -22fz. 8. 3m. -17p. 7. —42rs. 8. 5fd. 9. ,V6g. 10. -3,575y. II. 5,337nn. 12. 4,37t. 13. -4a + 6b. 14. 11fr-15fs. 15. 5c+m—3y. 16. 2a+3b+c+lld. 17. 19a—14b—20c. 18. 20a+5ab—47abc—4(b — c). 19. 13 3\ x — 8f y+5T3S m. 20. — 7£aaa + 2jaa + 6fa — 4. 21. — 17,965z + 0,95y—0,39r. 22. -0,916m+l,lp-0,27x+17v. 23. 0,836xx-3,99x+l,93. 24. l,5aaab—82,74aab—0,92aabb—0,48abb+5,6abbb. 25. l£a -13b+2fc-lfd+2x-26y. 26. 25r-30x-32z+36v. 27. 27m +6x+25v+21z. 28. 15a—16p—x. 29. —3m— 19p+ llx —27y. 30. 10,88x—7,97y—2,11z. 31. -4ab-14f ac+8,3bc —4,6bcv. 32. 31a—2b+8c+12d+69m—13x. 33. -3a—7b +2c-18x. 34. 75a-7b-19c+3x. 35. —35aaa-6aa + 12a+4. 36. lfx-3Hy+l|fz.

II. Subtrahiren. 37. 4x-3y-3z+16a+4b+32c+5v+15w. 38. 15fk-3T'9v +2|m+7£x—3fz+7t. 39. 0,41 nnn+7,02nn—0,43n—2—a. 40. -3p+ 13q+48r-62s+40t-27u- 18v- 10x. 41. 5a-36b +33c—48d—2m+13q+ 11s. 42. 2—12a—49aa+5aaa—40aaaa —5b+7c. 43. 15pp—3pr—rr—7p—4r. 44. 7x—3xx —14fxy—2fyy. 45. 5,3zzz—2,52zz+0,8z—4,4. 46. l,18ss + 1,28s+ 0,78.

64

I. und II. Addiren und Subtrahiren. 47. —15a—8b. 48. -4£a-14£b+12fc-3iv. 49. -11,2 — 11,2a — 14,41aa +1 l,55aaa. 80. 15,99 — 14,47x - 5,04xx —0,2xxx. 51. 5a—9b—6c. 52. 70+32x— 13xx—44xxx. 53. 8m — 9r—4q. 54. -12,32 - 42,3x + 8,74xx + 13,lxxx. 55. 10,35 + 10,02z+4,61zz — l,59zzz. 56. 4j -)- 18m—l£Jmm.

III. Multipliziren. 57. — 87ax + 155bx 28cx. 58. — 149az + 96mz + 6rz. 59. 2x — 3xx + 3xxx — 13xxxx — 80xxxxx. 60. 1,5m—5,8mm — 30,7 mmm + 38,4mmmm. 61. 9TsTav — 5jbv + lffcv. 7cc fi rr rrx 2x bb 54 + 72 4^-^64. 62. 2dd ^"''ledd 2x 388 5 39x — 34xx.

65.

72

24

— 51xxx + 46xx+31x +14 + — — — •

66. 0,8aac—9,44abb+l,2bcc. 67. 21aa—55ab+llac+36bb — 13bc — 40cc. 68. 28mm — 78mq — 116mx + 54qq + 156qx + 96xx. 69. 28x — 138xx + 158xxx — 69xxxx+21xxxxx. m 43m' m3 . 17m4 . m5 6 ' 48 -8 71 — x+16yX2—46fx3 70, 3 72 + 16x4 + 40x5.

72. 0,2a2b2 - 0,43a2bc + 0,06a2 c2 +0,55ab2c 3ys 2y3 67xy 19x3 x^ +0,01abc2—0,15b V. 73. 16x3 5x T 120 45y 6y3 b3 +. ,1,65^. „„b3 74. 0,06^-0,56^ + 0,35^ + 2,87^ 75. ™ ac 23 . 3a , 21a2 49a3 76. — 27x3—36x2y+48xy2+64y3. — + b2Cs W b6c6 c 78. 0,001r3—0,002r2s 77. 80m3—76m2q — 174mq2+180q - 0,004rs2+0,008s3. 80.

79.

-^+^-+ ~

S + ^? + ^- + S. 81. 57a2— 66ab — 28ac + 8b2+ 50bc 4 ' 6 1 27 O 83. 2x3. -5c2. 82. — l + 2*x —4Bx2+4Jx3-^x4-

65 64+48z2.

84.

87.

+ 15xs— 6x4. 88.

5x2

8S-

l+5x—15x2

-7 + 9,1m - 6,6m2 + 0,72m3 + 0,104m4.

89.

16a2-25b’.

86

90.

— 2x2yz+4xV.

^p- + 2

16y2 1. q9 0,25p2-0,lpq+0,01q2 91. 0,04m2—1,2+ —»• 92.' 9x2 m2 4m2+2mr+0,25r2 13x2 _9 i 93. 94. -0,84r2+l,56rs+1,35s2. 93. 0,29v2 "TTT* 36 + 0,0029t2, 96. -0,20111...z4+0,2z2-0,02111.... 97. 7m2 +16m2q2—26,4mpq+9p2—9,16p2q2. 98. —x2+6xy—y2+z2. 99. 3a2+2ab —2ac + 3b2 + 2bc + 3c 100. 8mp—12mq. 4sr 3st 101. — 0,18x2+0,48xy - 0,32y2 - 8z2. 102.

+

3T +IT

9t2 8r= + 1. 36a 54b

103. 2m2+6mp — 2mq + 2mr — 4q2. 27hä

+ T + 1T ---- i~0,012

0,006

105. 1 —9x+27x2—27x3.

104.

8a3 b3

106. 0,008

0,001

107. a3+3a2b + 3a2c + 3ab2 + 6abc x + x x* 108. x3—3x2y+3x2z+3xy2—6xyz +3ac2+b3+3b2c+3bc2+c3. +3xz2—y3+3y2z—3yz2+z3. 109. 0,001m3+0,006m2p—0,09m2r + 0,012mp2 - 0,36mpr + 2,7mr2 + 0,008p' - 0,36p2r + 5,4pr2 - 27r3. 110. 8-60x + 144x2—95x3—36x4- 3,75xs- 0,125x°.

IV. 111

9c

113.

-30b2

1

^3c I

2b2+4ab

15

33d2

Divldiren. 11t>

8a2

*

5b2 . 27b2d

2sx2 ^

1.

4m . sx2 3F+8?V

3m 5v2

114. -4x2+ K

2a2 115. 0,24 — -0,34 C +0,02

-32 — a2 1 ' a3 ca 10zx xz +*?■• 3z2+10^-0,6^ + ^ 116. 50 bc c ' 3c2 b2c2 4s 0q ®S J_20s2_L 100b 117. -4,58f!+ b -0'3bi+l^+ 118. 7r—8s—10x. 8

-4>—+ *a2b2 + 2s

Wiecke, algebratscheü UebungSbuch.

a

1. Reihe.

'

2. Auflage.

8

66 119. x—2y+9z. + 6p*.

124. £ + ——-y* +16s4.

120. 7rs—18rx+2sx.

122. 0,3x — y+0,04z. 123. 5a—0,4m — 0,lr. 2z , 125. —0,4a— 1,2b-f 0,3 c. 126. -f 127.

l+x+x’+x1.

9x" 49y*

129.

49y2 r 9x'

l+2x+3x3+3x4+3xs.

133.

2x+10+ 46,5 ' 232,5 X

+90x8

3 2x*

130. tan

132

139. 4-f

5 . 23y , W , 417y3 8x4 x T 2x* ' 4x3

.

4 4-7 i, + 0^+0,04z*.

187x' 9X*_______

3x

T

8

32

128

3x 134. * + T + "8 ~l6'

X

7 53 137x . 1395x* 512 8x 32 128 137. x+2 + l + |i + 1A

—740x*+2230x3 140.

128. 81—548+368*—24sä

-1-f

131.

135.

121. ™ —2x

136. -^- +10 + 32,5x 138.

^-80+250x

13y , 26y* , 52y3 , 104y4 X

X

1

X3

1

X4

141. 4x—2x*+4x3—10x4.

4b 4b3 4b6 144. 1+x a a* a° +x3+x3+x4; für x — 4, Quotient — 2, Summe — 1||; für x — 0,1. Q = 1,11111, 8 = 1,11110; für x = 0,001, Q = 1,001001001001001, S = 1,001001001001000; für x = 10, Q = -0,1111..., S = 11111. 142. 3z*-17|z3+98iz4.

143.

145. ^-p + p-^4; fürx = 2, Q = 0,33..., S = 0,31; für x-10. Q = 0,090909, 8 = 0,090900; für x = 100, Q = 0,00990099009..., 8 = 0,00990099000. 146. l-2x+2x'-2x3->-2x4; für x = 0,2; Q = 0,666..., 8 = 0,6672; für x = -0,01, Q = 1,0202020202..., 8 = 1,0202020200; _ l + l-l + l-l, für x = 5, Q = -0,666..., 8 = -0,6672; für x = -100, Q = -1,0202020202, 8 = -1,0202020200.

67

V. Complexschreiben. 147.

2ac^5b—6d -|-9m — £x—oder: —2ac(—5b-j-6d—9m

+ TT + T" “ 0*

149

148, 6xy(2x-3z-5+7m-

S- (f - fF+S - 0 “b,t $Ä55

193. (a+ j)(a—b).

2(a+3m) 3x—5y 2x+3y 200. 3a—0,1b" m-ip 203. 2+0,6r m+7x 207. m—3x

197.

196. (m+0,7p)(m—0,1p).

2m+0,03v 2(b—3c). 199. 4m+l 40x—y 4(3x+4y) 201. 5x-7y. 202. 5x+7y 1—bx 204. x-*"t 208. x—1 206. x^~2 x+l’ x —5 x+4 «07* (3x-4y)(3x+8y) 3x—2y

198

208. 60x(x+l)8(x-l). 209. 210(x + 3)(x-3)8x8. 210. 60a3(a + l)3(a-l). 211. 12a8(a + 4)8(a+l)(a-2). 212. 30(m8-2)8(m+l)(m- l)8m3. 213. 30a8b(a+2b)8(5a+2b). 214. 30m3a8(3m-4a)8(3m+4a)(m+a). 218. 60n3p8c(n+2p) (n + 3p)8 (n - 2p) (5n8+4p8). 216. 15aW(a8+ bc)8(a8+ c)8. 217. 420a8b8c3(a + b+c)(a + b — c)(ä+b)8(a8+b8+ c8). 39a—29c— 15ab+45bc 15b 212a—305b—164c— 120ax+240bx 219. 12ÖE ' 23x+131z—80xy 240x3-790x+373 220. 221. 60(x—1) 8Öy 525b-284a 4- 120a8- 160ab 81a8—259ab- 188b8 222. 223. 20(3a—4b) 60ab

218.

69

224. 226. 228. 230. 232. 233. 238. 237.

14a2+112ab—51b’ 194x'-7x-12 223 12ab 24x2 -4xg+3x-l -107x3+442xg+38x+8 227. 40x2 4x2-l — 151a2—85ab4-263b3 —24x3-f74x2—65x—25 229. 15x(x—1) 25a2—36b2 —30m3—3m2r+25mr2+4ra 10a3—13a2—6a+5 231. 12mr(2m—r) 2a (a2— 1) —404m—76m3p+210m2p2+81mp3+54p4 24mp(3p—2m)(2p—m) 0,4m3—2,6m2—1,4m 4-3 24a2—a-186 234. 2m (2m—3) 2(a4-3)(2a-5) 46a3—37a2b—244ab2-f80b3 a3+5a24-2 236. (a-l)2(a+l)' (2a4-5b)2(2a-5b) 2x24-16x4-6 —x4-f llx34- 15x2—9x+8 238. (x+4)(x—4)(x—1) ' 2x2(x-l)2(x-hl)

Rechnen mit Potenzen. I. und II. Addiren und Subtrahiren. 239.

14-7a 4- 4a2+ 20a3— 30a4. 240. — 0,6x44-21x3-12,4x2 — 4,42x—9,6. 241. 11x“-18x“-14-18xp. 242. llf6x-

-Mx-p. 243.

243. -1,64-^-l7-

244. 5,2a3-11a2-

— 13x2y-3 — 28x—2y3— 15x_2y~3 — 20x2y3.

+ l,33anb~p - 3,92a~“bP.

247.

248. 6,9 ^4-5,71/5*— 0,2 J'ä. 250. 3,3 yx+4,2 j/54-0,8

246. 10,4a”bP

10 /ä3— >/ä24- 6,26 /a.

249. -9xl-34xk -1,1 }/£

III. Multipliziren. 251. 2,8a5—2,9a7—3,8a84-0,5a94-0,6au—5>6a13. 252. 4,8a10b4 -28,82a'b'4-13,3a°b°. 253. -0,02x5y7- 0,21x6y104-0,lx7y'3.

70 254.

-5ab-’-2a’b-5+28a3b-3-51a4b-1+57a6b-27a6b’+ 20a7b\

255.

l,4a-5bJ + 27,2a~3b6- 71a->b3 + 127a - 124a3b-3 + 135a5b“6

— 110a7b~9.

256.

0,06 £ -0,55 ^+1,11 -0,4 ^ +0,04 £ • A A y j 257. — 20xp + 'J+*yr + s —3-|- 10xp + « +-3yr + s —1 — 12,3lp + 9+2yr + 8 + 1 -j-xp+q+iyr+s+3_^Q,3xp+qyi+3-t-5. 258. —0,4a4m+ l,7a2mbr— l,4b2r

_ 5,5 _ x2p y2q ~ y®4"

260.

+l,9x-2py3r-4-2,5x-4py4r-6. -2,7a!. 263.

262.

—5y7l) 13y4q x6p 1 x4p

259.

+ l,la-2™b3r + l,4a-4mb4r.

l,5yq x2p

- l,6x4py4 - 3,32x2pyr + 19,96y2r~2 261.

0,4a*-1,5a*+ l,7a?-0,3a

20 }/a~5 - 30,5a3 + 45ya7- 12,2a4 + 9,9 /a3.

l,4x - 2,7 i/x*+12,28 y?+1,2 ]fx.

+1,61 fm3- 0,5m-8/nT5 + 3 \/m\ 38,8

50 , 20

yx

y?

264. 265.

-0,8^+/x — 2,8

266.

+ y?

+4,5 yx — 3 |/x — 0,49 ^x3—0,42 yx7.

-0,03 )/m

+M v*

yi

50,25 . 32,6

267.

y^3 268.

y24x + 22x3 - 18x5+9x7- 2x9.

269.

1/-^+^? + ^-0,34+0,6a.

272.

0,8444....

275.

-0,075.

*/

4

Q 09

273. 276.

-0,15.

270. 140. 274.

— -^-f. y ^ *

278. |-l,46+0,46 L

—119,95. 281.

Äö

271. 2V -0,9333....

277. 6+-0,9| 279.

9.

280.

0.

3,3.

IV. Dividiren. 282. , 3y I Ov5 2x5

2xy—y+

12y5

1 . 7x4 . x3 4xy4 T 12y ' 15

,76 y6 T 2x4y3i 4” n 2x*y

284.

283.

14-

0,5+12rm-16' m r

71 m"

8

~~ 1/6 "TT +

10m3 r*

28s1 . 32s5 3r4 + ' 9r7

+

8s 3r6

6 7mp~'x2r+1

286

3x2r_1 20m4p+*

24 25ra2px3r—1

24 m2pxr+1

0,9

mp x

4xr—1 5mp~2

9 20m:ip—5xr+1

, 0,2d3n_Tkp_2 —

287.

8s6 8 + 3 + r9

10

283.

3 5mx4

2 5m2p+3x'1+r+1

5d2n . 40d4“-2T ka+2p+2 k2s+3 ~

^4n-4v

+0,7d3e-3Tkp-2s-2 -

10d2n-y ^+2 -0,34d"+‘-vkp-9-3-6,3 fc8+1

288.

?/a

/a-

5 4/a5

*

4

8

j/a

.

1

2/a1

289.

+ 2/a

2/a

2/a

5b|ib_lW^+4a^

a/a Iba'/ä

25

4ba/b

ß/ä’/b

3,2 /m5

.

7b

5b/b

2/a1

0,4 /TT”

290. 2,4j/'

b/b /a\

3/a7

.

2 V/m15

q

12m/m

jT~

“TVT~TIw + 4“7VTr+8t/p^_—

+ 16V_4/p__ + p f p1 0,4n3 ca/c

291

r m1

2,5 , 3n3 e e1

■2a4b3+3aV. * 12r3t 0,15x1

297.

+36z3-54z+81.

0,7/n c

6,66n7/n /c

35n /'n3 /e

Q,5na 0,2n /n9 c "*" * /c6

10n c7/c

292.

293.

-6a7b5—9a4b4-120a6b3.

293.

^ + |—|v 5s 1 8r 6r4

v2

Q2

9xe+3x4+l.

298.

302.

r’t 0,3 xy

16z4—24z3

■-S+16.

300. 4

8x3 2x 3y 27y6 27y5 + 3yI + 2x~"8xr'

0,6y3 x*

296.

x4-f2x3+4x7+8x+16. 299.

294.

4ab*

y4

y*

x2p—xpy2r+y4r.

72

1 ß3m ' 02m—1 ^j2s *

303.

1 + 7^3 cm-2(j4s +y2m.

c3 d6a

304.

1 .

310.

x2-

313.

0,04a2c4+

0,1c3 0,25c2 1,25c a a* a 32m4 , 128m'

9p2 ' 81p4

2s2p r

2 2 2 ■7n ..Ol. 1 i,13n ^ yVll * y v3] 4 4 ym3 4- yWs 4- /ms2 4- /s3. I

yJD

4-3r]/2p —3r]/3r. 321

323.

4-8x24—

Vas

13,5 l/a2 327 -

+ Za2

2s2p+1 r

,

319.

2p /2p — 2p^3r

322.

xyx + xVx+x^x + x.

324.

14-2)/2x4-4x4-4x]/2x

1-^-4-

fa 4,5

326.

f2p-i_r2p-2s

16 |/x44-|]/x3y4-^yx2y2 4-AVxy*

1/x2 4-yx64"x323. 1 — ]/x 4- x — yix3 4- x2 + B*iVyi
/f.

5a2b c2 4y3

-62,9/2. 2b' 5a3 2y ‘ n3y

c2 ab

74

386. (2-3x3)(2 + 3x4-5xe)x. (3b1-4a).

338

(a - 0,3c)

_^)(2b-_4aV+5a-).

337. aJ

aV-^-)

+ —* - 0,l) •

359. a4(b

360.

361. (i-^)(2i1+6xl+l). +

362.

363. xry”(3—5xry2)(l-f2x2ryn+1).

(l+2a2mcP-3a4mcJp-»).

365.

(a—3-a” -8b2r + -^-)(a3 - br).

366. (a-r-+1~ a?r+2b4+^s~2Xi-. +7b3+2a3).

364. (2-5a“c)

367. (6a1-7b3) (6a1

368. (3x3-4y1)(3x3-4y3- 5y?).

369. (|^

x öy + +

+ y " 20xy).

370. (10m1-0,ls1)(l0m3-0,ls2m

371. (0,5r3-s4)(l,5r3+3s4-0,5r3s-t-s3).

—)■

{l + x + ^i-Cö—6x)j-

373. (x + y)(x’ - xy + yä)(x3 - y3 + 1).

374. (2a-0,lc1)(4a*+0/2ac1+0,01c4--^)(l-|^ +1*-10x3).

1 m2n-lg3r-2

378. (5m2'1-6s3r)(5m2'‘

379. 380.

— 0,15zr+3y34-

381.

)•

)/ax(3a3—4x) (4 — 0,1ax ^b).

m(l + 6cm)(^--^)-

+ 5]/c+l).

383

375. (l +

376. (ap — 3br)(ap-3br + lOa’b™).

377. (m-p°)(p2“+(m+p“)(m-l)). - 6s3r +

372. (|+x)

382. (3/ä-5)/c)(3>/a

(i/x +]/y)(l/x —)/y + -pL-).

— 3 /x2)(10 j/x +103 /?+ 30x -f- 9x j/x).

384. (10/x

385. (l + ]/3x)

75

(1+ y'3x- ]/3x3).

386. {\/x+2z }/x — z )/z).

388,

x3—y4 x3+y4

391.

yöm —y3c yöm + y3c

394.

389. ag2

1 (l+m)(l-ym)

---------

*=*1L. yy

390.

x + yxy + y yx+yy

393 y^+ycs + j/s2

398.

4P6(5"V8pa) • m + 2p

yc’-v cs

1 + ym lfm5 '

56a3- Wb - lOlab2- 190b3 30a5 397 6x«- 13x5y - 12x4y2— 10x2y3-4y6 1 24x4y3 —77xy8+43x2y7— 33x3y6+ 15x4y5— 10x5y4-j- 32x6y3— 40x,J 398. (5x3-4y3)(3x2y2+7y4) 16x8-f24x7+x6+4x5+6x4—2x2 400. (-14x8+21x7 399 (5x4-1)(3x'-2) + 6,18x°- 27,05x4-0,06x3+ 5x2+ 6x) : (7x3- 3)(0,1x2-10).

396.

-94yi0-2iyi5+70y5 9+?y6 402. 3 60 20 — 6 yiö + 2 y 15 + 60 y3 +12 j/5 - 32 yö 30 40g x2-j-5x —4 + 2j/5x(x—1) (3y3 — 2)2 Vx 4x-9 ‘ (4x2-5x)(y5x + 2)

401. 403. 404. 406. 408. 409. 410.

22a - yiöab + 7 yZäb-36b (3yä-2y3b)(2y5E-3y2b) ‘

^7

2y * y£^(yf+yy)"

^4p(p'!+6a2) a4—p4 42m2v3— 7mv4+ 30m 3v2— 14m 4v — 14m5— 24v5 10m4-40V*1 1 + 41xp + 31x2p — x3p 3 —yx—4x+7xyx 411. 8(1 —xp)2 (i-x)y£

76 3 ___ » ___ 3a—5m—5j/a2m—5 /am’ a —m

—250 +20x+23x /x—3x2 412. 2x(5 + j/x)9 a — 2a |/ac “I" 2ac — 3c ]/3C -j- c3< a2—c2

414.

____

3

3

3

_

ym(m—s)— /mV- }/s(m + s)

415.

3

3

m /s~— s /m

VI. Potenziren. 416.

16a6b4+40a,b8+25a8b'2.

418.

, , 0,008x6y,2+0,012x3y

27a2b3 , 36c4 20c4 T 25a2b3

417.

0,006 . 0,001 y3 x3y3

64c" 125a‘b8

216x 64x3

r

423

— 16a4b'°.

425.

125x6

+2abxP+ryr +‘s+b 2x2ry2s.

x’ 64x3

a3x3m ir^p

424.

16y10 xo

430.

4a9bx3m+2 p3p+3

|j 3-y 3m-(- b

432.

y3p+9

+

8 .-4

3x2m

U-4P

+ 14,4/5".

64m^p^^ + görn*-^-3^2 -

433. x2m—x2m+4+2x2m+6—x2m+8.

m3l + 3p3y-6

a2b6

0,01y6 0,04 x4y‘° x m2 . 25m4 + 14m4p3 p4 F

428. 28y9 x.

^ X

426.

16x”

431.

16 96 x8y12 xy 0,48y8 , 9,6

0,008y12

300x5 , 240x4

16x4 y“ 12 427. x8y,+2x4y6+x2y8-^i-. x" 9x4 —49m4p1#. 429.

64c’2 81a'2 , 10,8a"

421. 422.

-216x7y3+81x,2y8.

r

419

420.

+0,54a,0b4+0,012a9b10+0,0001a8b1

+

36 a2b8 ‘

4a4b,0-24ab2+

a9x2py2r

. 3ab9x3m+4 y3p+6

48 mI+2p3y-4

434.

ir5P

u-2m—8 1/tiP

437.

435.

94-16)/3 + 10|/2.

20-2/II + 2/30.

438.

436.

39,2

173 + 20/35.

77

439. 71|.

440. 1,05a-1,94 y5ab +5,09b.

442. 2abV(ac + 2b’)2

- ~(27b + 4c)+]/3bc(4a + —)■

+

441. a(4b + 3c)

443. 2x+4x7 /2+x3(4-2 M) - 4x4 ff+7x5.

444. 6xs-12x5]/2-12x7(3l/3-l) + 36x9|/6-f 162x". 24x7bc 4xV . 18b7' -^•+£(=+™) a° 12c . 4c9 -24a’b4+9ab + 16 — a’b" T a5b5

2c2x9 a7

445. 2a3x 446.

16a 3b7

447. 3aP+,bP-1

- l,2aP-‘bP /0,1 + 30 j/lOa^-^b-P + 0,012aP-3bP+1 - 6 /a3P-8b-p+2 + 750aJp-5b-Jp t K 449.

448. 8}/2 +yl-4-0,25 M—12 f3.

+ 4 ^25 —18 y 18 —12 y 12 — 76. 3

0 043

+4b3 j/a’b -

/I O

3

450. ayäF-4ab9

AQ 3

3 ___

y9aV+ gy j/aV - ^ y3aV.

— 0,2x+ 0,04x )/x+0,4x7— 0,16x9 yx + 0,16x3 )/x. 3 __

3 __

1Gq3 3 ____

+ 8a ya-6a7byb +

-16/^ + 4j/^-0,09^ j/|^- -

455. 689,21 /lO.

3 ____

yab2-24a4+9a4b ya’b.

454.

451. 0,25 ^ 452.

yab

453

161/^

19 yiO +33 y3.

466. 3,2 )/5ä(0,la + 9b) - 4,8 )/6b (a + 10b).

457. xyi(l - 3x+ 6x’-7x3+ 6x4- 3x5+x6). 458. 24+18i/9 +18 fe 459. - 5,36 - 0,36 y5+5,4 M. 460. 0,5. Äfi1

8x2 6 3,-, 3 ’r vy_. —----yx*+s-yx+^LT y 1 y r 1 2x' 1 8x3 54xp+5 72xp+5 — 64xp+-5 |/2xay3 V4xy-- rrr—2 yr

461.

0,36 yr . 5,4 yy5r '

X5

"•

XP+4

462. 463.

27*p+6

2yr 0,008xp-6

27y3r X2P+3 ’

VII. Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln. A. Quadratwurzeln.

464. a) 73839649. e) 261836,89.

b) 6185169. c) 13315201. d) 2142149. s) 0,17799961. g) 0,49224256. h) 1000740,1369.

78 i) 0,008109722916. k) 43265,664016. — 465. a) 634. b) 573. c) 2486. d) 8107. ey 8326. f) 1563. g) 4032. h) 25,74. i) 316,5. k) 0,5092. I) 0,008004. m) 10,01. — 466. a) 2,6457. b) 8,366600. c) 3,1622. d) 15,588. e) 18,600. f) 0,5611595. g) 0,31780. h) 0,27107. i) 0,94868. — 467. a) 1,9148. b) 7,2608. c) 0,13616. d) 0,66666. e) 0,83349. f) 0,58333. — 468. a) 0,74535. b) 0,65465. c) 0,73192. d) 1,2909. e) 2,2188. f) 2,7136. g) 7,98389. h) 31,78835.i) 6,51810. — 469. a) 4,1601. b) 2,56. c) 0,54539. d) 1,2522. e) 0,10406. f) 0,004370. — 470. 220,0277. 471. 0,2199. 472. 1,2167. g) 0,0074633. 473. 1,6898. 474. 1,924950. 475. 0,65153. 476. 69,996. 477. -5,130495. 478. 0,74980. 479. 4,43649. 480. a) 1,7782. b) 2,4447. - 481. 0,086430. 482. -8,3276. 483. a + 2b + 3c. 484. 2a3-3a5b3+4b4. 485. 3-2x + 5x\ x7 x3 2x3 487. 0,5m3p3- 0,2my- 4m4p. 486. 2 3 m3 2s 2s5 489. 2s3 488. m3 ^3ma ' z 1 z3

2,._0^-W + W

490

0/2m

0,3]/c

c^c

|/c

m

m3

492. 0,lamcr— 10a2mcr+1 + 0,2a3mcr"1'2. i 5 +

nan 4941

y®

7^

b) 1,0954. y3

f\y 4

¥_l6_Är

+

+

3)/c 0,9 j/c3 m------- Ei**-’

493. 0,3xr — 495.

a) l + ~

F^y 4

+ y®

0,4mv

b]/b 5a/a

401.

c) 1,0049875621. - 496. a) 1--| y

0,942809. c) 0,999499874937. — 497. a) 1+ ~

3z1 3z3 . 5z3 , 35z4 • b) 1,00402416. — 498. a) 1-v + 16 T 128 8 8 b3 35z4 - b) 0,99014754. — 499. a) j/a+-^=5z3 16 128 2l/a 2/a 8ya3 5b4 b3 b) 3,31662479. — 500. a) )/ä--^=--^= r 2j/a 8]/a3 16ya5 128)/a7 h3 F>h4 qx4 5b -V------—-T=-> L) 99,99499987. — 501. l-x+x3-x3-==-. 16]/a5 128/a7 2

79 __(

302.

503. 4,4721

l-x + Sx1—7x3 + 19x4. •

/-1 5

7®

Qy *

+

12,8 +. 37,916 113,53504) ----------------------- ^r— •

509. a) 144455204223.

b) 908445494125. c) 99317,171591. d) 329080651264. e) 0,000373403541601. f) 1,004506753375. — 510. a) 4572. b) 2315. c) 56,08. d) 0,7067. e) 1,0401. f) 70,05. g) 0,09003. — 511. a) 10,792. b) 5,0093. c) 2,3251. d) 4,5788. e) 0,92832. f) 0,36840. g) 4,397000. h) 0,208008. — 512. a) 5,8490. b) 0,636260. c) 1,33333. d) 0,390234. — 513. a) 0,89390. b) 0,42529. c) 0,77871. d) 0,35422. e) 1,2114. — 514. 3,1748. 515. 11,05208. 516. 1,2937. 517. 0,52879. 518 4,4867. 519. 0,43327. 520. 3,5456. 521. 0,2792. 522. 0,2434. 523 3,448. 524. 0,5874. 525. 1,19580. 526. a) 1,4677. b) 0,81818. 527. a+2b—3c.

528.

l-~+2x\

b) 0,96872.

&

532.

529. 0,2m-0,lmä-3m5.

a)

rj

9?2

14z3

l+l + ^-4-ig-.

530. o; 1 + 4 ö

b) 1,077.

80

887. «->a+A_^ + _|grri,,2,8m. 772

Q173

+ _S'_W + "" +

4z• 81 z 5z2 95z3 a) H 9" + 81 f2187'

339. a)

^ 0,98259.

b) 1,0106.

338. a) 1--|

340.

b) 1,01177.

VIII. Logarithmen. 341. a) logP=5,6271052; P = 423745,5. b) logP=0,7836670-3; P = 0,006076689. c) logP = 1,8283838; P = 67,35716. ly logP = 0,9378827; P = 8,667278. 542. a) logQ = 1,1972249; Q=15,74798. b) logQ=0,8144341-1; Q = 0,6522800. c) logQ = 0,3680104-3; Q = 0,002333513. und 44 58. f. 57. -1,781481. F, I 4 64. 1,888". 61. 62. 1,751. 68!. 0,16. 67. 0 unb — 2|f. 66. 0 und 0,3. 65. 0 und 4. 72. 0 und 1. 70. 5. 71. 8. 69. 6. 68. 0 und -2. 76. 0 und -iYt75. 2. 73 0,25. 74. 0 und 56 77.

4-

81.

0 und 4,8.

85. f. 89. 94.

3.

78.

!

86.

82.

ab. • a—b 90. 4-

a(a—b)

79.

0 und 3-V 2j4*

0 anfc (l-m-y

83.

87. 0,6b. 91. 95.

*) Vgl. Gleichung Nr. 1 Je.

2.

a(a + b). v y

8#-

1-2-

O.«»4«1-'». 84. Ya o 88. 2a 5+3a*b + lOab* 4 - b3 -4a1+l5ab+8b8 93. 3. 92. -0,12. 96.

24-

97.

10if

83 98.

8.

102.

±1.

106.

-0,41997.

110.

99.

b

± 0,97980a.

111.

10 4.

= = (y

r

149.

122.

123.

2.

7|.

10.

5.

6.

-21.

-f.

130.

128. 0,12 j. -1,2

3 h

2 0,4.

141.

a)

11,81 5,904.

146.

147.

4 5.

12) llj

129.

X —

a(r—sb1) ‘ a2—bs ' a (m ± ob2) l±a2b2 '

y =

136.

137.

138.

6 7.

IsVs — iIIS