Zeitschrift für Sozialpsychologie: Band 11, Heft 3 1980 [Reprint 2021 ed.] 9783112469347, 9783112469330

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H ERAUSGEBER HUBERT FEGER

C.F. G R A U M A N N KLAUS HOLZKAMP MARTIN IRLE

B A N D 11 1980 HEFT 3

VERLAG HANS HUBER BERN STUTTGART WIEN

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1980, B a n d 11, H e f t 3 INHALT

Zu diesem Heft

139

Theorie und Methoden LANGEHEINE, R.: M u l t i v a r i a t e H y p o t h e s e n t e s t u n g bei qualitativen D a t e n

140

Empirie BRANDSTÄTTER, H . ,

STOCKER-KREICHGAUER, G . & FIRCHAU, V.:

Wir-

k u n g von Freundlichkeit u n d A r g u m e n t g ü t e auf Leser eines Diskuss i o n s p r o t o k o l l s . Ein P r o z e ß m o d e l l MÜLLER, G . F . : I n t e r p e r s o n a l e s K o n f l i k t v e r h a l t e n : Vergleich u n d experimentelle U n t e r s u c h u n g zweier E r k l ä r u n g s m o d e l l e BIERHOFF, H . W . : Naive psychologische T h e o r i e n u n d E i g e n s c h a f t e n als F u n k t i o n des I n t e r a k t i o n s m u s t e r s der S t i m u l u s p e r s o n

152 168 181

Diskussion LEUTNER, D.: Einige A n m e r k u n g e n zu G u t t m a n s «First Law of A t t i t ü d e » 189 Literatur Neuerscheinungen

195

Titel u n d A b s t r a c t a

198

Nachrichten und Mitteilungen

201

Autoren

205

Copyright 1980 Verlag H a n s H u b e r Bern Stuttgart Wien Herstellung: Satzatelier Paul S t e g m a n n , Bern Printed in Switzerland Library of Congress C a t a l o g C a r d N u m b e r 78-126626 Die Zeitschrift für Sozialpsychologie wird in Social Sciences Citation Current Contents/ Social and Behavioral Sciences e r f a ß t .

Index (SSC1) und

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1980

139

Zu diesem Heft Im Teil .5 .008 >.5 .000 .004 .000 .000 .009 .000 .000 .000

Sit.B LR Chi 2 2.22 2.83 2.22 38.42 2.99 39.13 38.58 3.04 39.50 38.58 39.35

P .137 .243 .330 .000 .392 .000 .000 >.5 .000 .000 .000

Sit.C. LR Chi 2 .06 7.39 1.28 55.00 19.12 72.84 66.72 19.43 72.85 66.78 84.57

P >.5 .025 >.5 .000 .000 .000 .000 .001 .000 .000 .000

Sit.D LRChi 2 .01 13.92 .11 23.13 17.74 40.75 26.94 18.04 41.06 27.25 44.57

P >.5 .001 >.5 .000 .001 .000 .000 .001 .000 .000 .000

Sit.E LRChi 2 .14 .25 6.10 14.07 6.26 14.22 20.07 6.26 14.28 20.12 20.22

P >.5 >.5 .047 .001 .099 .003 .000 .180 .007 .001 .001

145

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1 9 8 0 , 1 1 , 1 4 0 - 1 5 1

3.2 Eine Reanalyse von Daten aus der Konfliktforsch ung Da in dieser Arbeit demonstriert werden soll, daß es viele potentiell mit den Daten verträgliche Modelle gibt, folgen wir nicht exakt dem in Abschnitt 2 beschriebenen Modellfindungsprozeß. F E G E R (1978) hat das Modell H 5 (Nullhypothese: die 3 Variablen sind unabhängig, und - implizit - : für alle Paare von Variablen gilt Nullassoziation) getestet. In jedem Fall mußte diese Hypothese verworfen werden (vgl. LR Chi 2 für die Modelltests 4 in Tabelle 2). Es bestehen also Assoziationen. Die Frage ist allerdings, welche. Wie aus Tabelle 2 hervorgeht, ist für alle Situationen das Modell H l mit den Daten kongruent. Dies zeigt: Es besteht keine 3er Assoziation. Die Interpretation von Typen unter Einbezug aller drei Variablen heißt jedoch implizit Interpretation einer derartigen Assoziation. Für die Situationen B, E und G zeigt sich z.B., daß das Modell H4, den Daten gerecht wird. H4, fordert konditionale Gleichwahrscheinlichkeit, oder: Für jede Kategorie der Variable C müssen die Subtabellen der Variablen A und B identisch sein. In allen diesen Fällen fittet natürlich das weniger restriktive Modell H3, (Nullhypothese: zwischen den Variablen A und B einerseits und C andererseits besteht multiple Unabhängigkeit) mit gegenüber H4, einem Parameter mehr (Variable C) die Daten. Nach H 3 wird für jede Kategorie von Variable C die gleiche Assoziation zwischen Variable A und B zugelassen. Gegenüber H 4 müssen die entsprechenden 2 x 2 Subtabellen jedoch nicht identisch sein. Für die Situationen A, C, D und H weicht das Modell H2 2 nicht von den Daten ab. Dieses Mo-

Sit.F LR Chi 2

P

Sit.G LRChi2

1.93 6.61 9.92 32.89 11.01 33.98 37.30 13.26 47.91 52.45 38.39

.165 .037 .007 .000 .012 .000 .000 .010 .000 .000 .000

.00 .53 .69 19.11 .92 19.34 19.50 3.16 19.84 29.04 19.73

P >.5 >.5 >.5 .000 >.5 .000 .000 >.5 .001 .000 .000

Sit.H LRChi2 .08 7.90 .78 35.15 14.21 48.58 41.46 14.71 53.13 52.02 54.89

P >.5 .019 >.5 .000 .003 .000 .000 .005 .000 .000 .000

dell fordert konditionale Unabhängigkeit der Variablen A und C, gegeben die jeweilige Kategorie in Variable B. Mit anderen Worten: Zwischen A und C besteht keine direkte Beziehung, aber beide sind indirekt durch B verbunden. Wird die Variable B konstant gehalten, so verschwindet die (Schein-) Assoziation. Als bedeutsam erweisen sich hier somit die Assoziationen AB und BC, deren Signifikanz sich unter der Annahme, daß H 2 wahr ist, wie folgt testen läßt (für Situation A) 5 : AB: Chi 2 (H3 3 ) - Chi 2 (H2 2 ) = 31.73 - .61 = 31.12 BC: C h i 2 ( H 3 , ) - C h i 2 ( H 2 2 ) = 1 3 . 4 3 - . 6 1 = 12.82. Das resultierende Chi 2 ist angenähert x 2 ' v e r " teilt mit 3 - 2 = 1 Freiheitsgraden. Lediglich im Fall der Situation F ist das Modell H 1 mit allen 2er Assoziationen zur Erklärung der Daten notwendig. Unter der Annahme, daß H l wahr ist, lassen sich die Partialassoziationen über folgende Testgrößen auf Signifikanz prüfen: AB: Chi 2 (H2 3 ) - Chi 2 (Hl) = 32.89 - 1 . 9 3 = 30.96 bei 2 - 1 = 1 df AC: C h i 2 ( H 2222))--CChh i 2 ( H l ) = 9 . 9 2 - 1 . 9 3 = 7.99 bei 2 - 1 = 1 df O hi i 2 ( H l ) = 6 . 6 1 - 1 . 9 3 = 4.68 BC: C h i 2 ( H 2 , ) - C bei 2 - 1 = 1 df Berechnet man für alle Situationen die entsprechenden Chi 2 -Werte für die Effekte, so zeigt sich eindeutig, daß der Assoziation AB die größte Bedeutung zukommt. Diese Ergebnisse stehen im Einklang mit der zweiten Möglichkeit, die Bedeutsamkeit von Effekten zu testen. In Tabelle 3 finden sich die standardisierten Parameter (X/s^) f ü r das saturierte Modell. Obwohl dieses Modell von der trivialen Hypothese ausgeht, daß sich die Daten durch sich selbst anpassen lassen, ist es nicht uninteressant, da sich anhand der standardisierten Parameter beurteilen läßt, welche Effekte mit Wahrscheinlichkeit in einem sparsameren unsaturierten Modell enthalten sein müssen, damit es die Daten fittet (vgl. GOODMAN, 1970,1971). Da mehrere Tests an denselben Daten durchgeführt werden, muß

Alle für diese Arbeit n o t w e n d i g e n R e c h n u n g e n wurden mit GOODMANS P r o g r a m m E C T A durchgeführt. Zur Partitionierung in diesem Fall vgl. GOODMAN (1970), REYNOLDS (1977a).

146

Langeheine: Multivariate Hypothesentestung bei qualitativen Daten

Tab. 3: Standardisierte Parameter (X/SjJ für das saturierte Modell für 8 Situationen. Effekt

Sit.A

Sit.B

Sit.C

Sit.D

A B C AB AC BC ABC

.952 - .860 - .029 4.979 - .559 -2.894 - .613

- .320 .656 .939 5.673 .125 - .852 -1.474

.235 .067 .664 6.690 -1.107 -2.672 - .253

- .366 - .219 .395 4.612 - .317 -3.636 - .108

das nominelle Alpha-Niveau korrigiert werden 6 . Für die vier uns interessierenden Assoziationseffekte beträgt der korrigierte kritische Wert für das 5 % Niveau 2 . 4 9 8 (vgl. GOODMAN, 1 9 6 9 ) . Lediglich im Fall der Situation F differieren danach beide Ansätze für die Partialassoziation BC. Die Vorzeichen der standardisierten Parameter weisen zugleich übereinstimmend über alle 8 Situationen aus, daß zwischen den Variablen A und B eine positive und zwischen den Variablen B und C eine negative Assoziation besteht. Niedriger Konflikt (A) ist also mit hoher Sicherheit (B) und hohe Wichtigkeit (C) mit hoher Sicherheit (B) assoziiert (zur Poolung der Variablen vgl. FEGER) . Die X Parameter geben somit auch A u s k u n f t über die Richtung einer Beziehung. Das wichtige Ergebnis dieser Reanalyse muß somit darin gesehen werden, daß wir gerade nicht auf die Existenz von Typen vertrauen können, wie sie von FEGER interpretiert wurden, z. B.: «Im Typ d finden wir Entscheidungen mit relativ großer Wichtigkeit, schwachem Konflikt und hoher Konfidenz» (FEGER, 1978, p.309). Des Rätsels Lösung liegt darin, daß in der KFA von einem signifikanten Ergebnis für das Modell H 5 zugleich auf Assoziation höchster Ordnung geschlossen wird. KRAUTH&LIENERT(1973, p.27) führen an, daß man in diesem Fall (H5 gilt nicht) «... einen (irgendwie gearteten) Zusammenhang zwischen den 3 Merkmalen ...» vermuten kann. Wie dieser Zusammenhang geartet ist, sollte allerdings bestimmt werden. Konkret heißt dies: Von Schritt 4 der in Abschnitt 2 beschriebenen Testprozedur hätte zunächst nach Schritt 1 gegangen werden müssen. Von FEGER wurden jedoch E f f e k t e in einem Modell interpretiert, das nicht gilt.

6 Dies gilt im Prinzip auch für die Chi 2 -Tests (vgl. LANGEHEINE, 1979).

Sit.E .275 - .234 .137 3.641 2.401 - .328 - .372

Sit.F

Sit.G

Sit.H

-2.473 -1.792 - .378 5.099 2.568 -2.249 -1.381

-3.026 .460 1.510 4.160 .822 - .698 - .011

-2.368 - .571 - .203 5.580 - .854 -2.651 .291

3.3 Asymmetrische Fragestellung: Regressionsbzw. varianzanalytischer Ansatz Während im symmetrischen Ansatz die Variablen den gleichen Status haben, werden im asymmetrischen Ansatz eine (oder mehrere) Variablen explizit als abhängig von einer (oder mehreren) Variablen angesehen. Zur Entwicklung entsprechender Modelle wollen wir zunächst der Einfachheit halber die Variable A (Konfliktstärke) der zuvor analysierten Daten als abhängig von B (Konfidenz) und C (Wichtigkeit) betrachten. Es ist nun möglich, log-lineare Modelle so umzuschreiben, daß diese Abhängigkeit explizit betrachtet wird. Nehmen wir an, wir seien an dem Verhältnis von konfliktstarken zu konfliktschwachen Personen in verschiedenen Gruppen interessiert. Ziel ist es dann, ein Modell zu spezifizieren, durch das die Variation in diesem Verhältnis erklärt wird. Gesucht wird somit nicht mehr ein Modell, das die m i j k allein erklärt, sondern deren Verhältnis, also (6) i 2 j k A = m , j k / m 2 j k , worin die Subskripte die Abhängigkeit des Verhältnisses A, zu A 2 von den Kategorien der Variablen B und C anzeigen. Aspezifiziert A als explizit abhängige Variable. Arbeiten wir wiederum mit natürlichen Logarithmen, so ergibt sich für ln(m l j k /m 2 j k ) = ln m l j k -Inm2jV (7) Vj k A =|J.ij k -^2j k -

Die beiden Terme auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens von (7) lassen sich jeweils durch ein log-lineares Modell ausdrücken. Wählen wir das saturierte Modell (1) und setzen in (7) ein, so ergibt sich

147

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1980,11,140-151

(8) it/ jk Ä =

+

3.4 Schulnoten in A bhängigkeit von Schülermerkmalen: Eine Reanalyse

danach(2) = -A.f usw. Setzen wir A a = 2X,f (und entsprechend fürdieweiterenTerme), so resultiert

In Tabelle 4 finden sich verschiedene Logitmodelle und die zugehörigen Ergebnisse der Modelltests f ü r d i e v o n KRÜGER (1979) analysierten Daten .Alle diese Modelle lassen sich wiederum aus dem saturierten Logitmodell

(9) y ^ A ^ A ^ + A i + A ^

(10)

mit ^ A ^ =

= A* + A T + A* s + A™ + A ^ S + A T 80 + -1- A 1\ ^jk + T A™ ijk

A* k = Z, A ™ = I k A ™ = 0.

(9) ist in der Literatur bekannt unter der Bezeichnung «Logitmodell». Logitmodelle sind somit Spezialfälle log-linearer Modelle und lassen sich daher über letztere testen. Zugleich zeigt sich, d a ß in einem Logitmodell nur die P a r a m e t e r enthalten sind, in denen die abhängige Variable vorkommt. (9) ist äquivalent zu der Hypothese, d a ß sich die 4 Elemente des Logitvektors \j/ u A als S u m m e einer Konstanten (A A ), zweier H a u p t e f f e k t e (A*® und und A A k ) sowie einer Wechselwirkung ( A ^ ) ausdrücken lassen. Damit entspricht dieses Modell dem Design einer 2-Weg Varianzanalyse mit einer Besetzung pro Zelle und In ( m i j k / m 2 j k ) als der abhängigen Variable. Log-lineare wie Logitmodelle sind schließlich voll generalisierbar auf p o l y c h o t o m e Variablen. Hinweiseauf diedabei n o t w e n d i g e n M o d i f i k a t i o nen finden sich in der in Abschnitt 1 angegebenen Literatur.

d a d u r c h ableiten, d a ß bestimmte P a r a m e t e r gleich Null gesetzt werden. Die restriktivste H y p o t h e s e , die wir zunächst testen k ö n n e n , lautet: Variable N ist u n a b h ä n g i g von den Variablen R, S und G . Der Modelltest f ü r H 1 zeigt, d a ß dieses Modell erheblich von den Daten abweicht. Wir erweitern daher mit H 2 auf das Modell mit allen H a u p t e f f e k t e n und stellen fest, d a ß H 2 außerordentlich gut p a ß t . D a möglicherweise ein noch sparsameres Modell den Daten gerecht werden k ö n n t e , testen wir mit H 3 , , H 3 2 und H 3 3 drei Modelle, die jeweils n u r zwei der drei H a u p t e f f e k t e enthalten. Keines dieser Modelle fittet - und damit sind wir am E n d e der Reise. Es verbleibt lediglich die A u f g a b e , die Bedeutsamkeit der E f f e k t e in H 2 zu bestimmen. Dazu bilden wir wiederum die angenäherte ^ - v e r t e i l t e n Testgrößen als D i f f e r e n z aus den entsprechenden Werten von H 3 u n d H 2 : Haupteffekt R: 6 0 3 . 5 0 - 13.70 = 589.80 bei 16-14 = 2 df S: 61.93 - 1 3 . 7 0 = 48.23 bei 18-14 = 4 d f G: 3 4 . 8 0 - 1 3 . 7 0 = 21.10 bei 16-14 = 2 df

Tab.4: Modelltests für die Logitanalyse: Variable N in Abhängigkeit von Variablen R, S und G. Hypothese

Logitmodell

Hl H2 H3, H3 2

N

* N .

N

* N .

N

N

»NR.

Vijk

(RSG), (N)

735.25

22

.000

(RSG), (RN), (SN), (GN)

NS .

A

NG

(RSG),

k

k

+ANOk

13.70

14

.473

(SN), (GN)

603.50

16

.000

(GN)

61.93

18

.000

34.80

16

.004

4.40

4

.354

(RSG), (RN), (RSG), (RN), (SN)

H3, H4

P

NG

A j+A

=A +A ;+

df

A

A

N,

LR Chi 2

. NS .

\yijk = A + A , + A j + A Vuk = A +

angepaßte Randverteilungen

Vllk

N

N

n

= A + A *+

n

N

ns

+ A ° + A™ + A ™ + A °

(RSG), (RSN), (RGN), (SGN)

148

Langeheine: Multivariate Hypothesentestung bei qualitativen Daten

Unter rein signifikanzstatistischen Gesichtspunkten tragen somit alle drei Prädiktoren zur Vorhersage des Kriteriums bei. Es wird jedoch deutlich, daß der substantielle Beitrag der Variablen S und G im Vergleich zu R außerordentlich gering ist . Auf die Interpretation der Modellparameter wird aus Platzgründen verzichtet. Dieses Ergebnis korrespondiert relativ gut mit dem nach der PKFA von KRÜGER. Während allerdings die Chi 2 -Komponenten im Fall der PKFA nicht additiv sind und sich somit Interaktionen höherer Ordnung nicht testen lassen, trifft dies für log-lineare und Logitmodelle nicht zu. Der Vollständigkeit halber findet sich daher in Tabelle 4 mit H 4 das Modell mit allen 2er Interaktionen. Wie zu erwarten, bringt H 4 gegenüber H 2 keinen Gewinn. Die Residualvariation (quantifiziert durch die LR Chi-Quadrate) verringert sich von 13.70 für H 2 auf lediglich 4.40 für H 4 . Wäre H 4 das einzige mit den Daten verträgliche Modell, so ließen sich Testgrößen für die Interaktionseffekte analog zum Vorgehen bei den H a u p t e f f e k t e n bestimmen. Es sei darauf hingewiesen, daß wie in der Varianzanalyse eine exakte Zerlegung der totalen Variation der Logits ( H l ) möglich ist (vgl. z . B . GOODMAN, 1 9 7 1 ; LANGEHEINE, 1980).

Wegen der Nichtadditivität der Chi 2 -Komponenten in der PKFA kat KRÜGER nun im zweiten Schritt eine Analyse nach der A S A vorgenommen, um zu prüfen, ob möglicherweise eine Interaktion höherer Ordnung von Bedeutung ist. In der Tat erwies sich dabei die Assoziation SRN als signifikant. M a n b e a c h t e j e d o c h , d a ß n u n m e h r v o n einer asymmetrischen zu einer symmetrischen Fragestellung und damit zu einem anderen Modell gewechselt wurde. Daß sich die Ergebnisse damit verändern, sollte nicht verwundern.

3.5 Komplexe Zusammenhänge: Multivariate Varianzanalyse bei Nominaldaten W ä h r e n d i n A b s c h n i t t 3 . 4 e i n e Variable in Abhängigkeit von drei Variablen betrachtet wurde, werden im letzten Beispiel zwei Variablen (B und C) als abhängig von zwei Variablen (A und D) ange-

7 Möglichkeiten zur Quantifizierung der erklärten Variation durch Determinationskoeffizienten werden in LANGEHEINE (1980) diskutiert.

sehen (vgl. Abschnitt 3). Das saturierte Logitmodell für diesen Fall lautet (vgl. GOODMAN, 1971): (11)

v

; c = A S + A S f + A5fD + A 7 + A e + A e f1 + A £ D + A ÖAD +

i

A

BC

+

A

BCA i

+

A

ii

BCD

r

+

A

BCAD

it

Sehen wir uns zunächst die standardisierten X Parameter des entsprechenden saturierten loglinearen Modells an, um zu beurteilen, welche Parameter mit Wahrscheinlichkeit in einem sparsameren unsaturierten Modell enthalten sein sollten. Von Interesse sind alle diejenigen Effekte, die zumindest eine abhängige und eine unabhängige Variable enthalten, also insgesamt 9. Der korrigierte kritische z-Wert beträgt in diesem Fall 2.773 für das 5% Niveau (vgl. GOODMAN, 1969). Wie aus Tabelle 5 hervorgeht (dort finden sich ebenfalls Angaben über die inhaltliche Bedeutung der Effekte), erweisen sich lediglich die H a u p t e f fekte von A auf B und D auf B als signifikant. In Tabelle 6 sind wiederum die Ergebnisse verschiedener Modelltests zusammengestellt. Mit H 1 wird die Hypothese geprüft, daß B und C unabhängig von A und D sind. Diese Hypothese m u ß verworfen werden. A u f g r u n d der Vorinformation aus dem saturierten Modell erweitern wir sofort auf H 2 mit den Haupteffekten A und D auf B. Da sich dieses Modell als akzeptabel erweist, schließen wir zur Quantifizierung der E f f e k t e in H 2 noch die Modelltests H 3 , und H3 2 an und bestimmen die beiden E f f e k t e in H 2 wie folgt: Haupteffekt A auf B: 39.18-10.96 = 28.22 bei 8 - 7 = 1 df D auf B: 43.00-10.96 = 32.04 bei 8 - 7 = 1 df Der Vollständigkeit halber findet sich in Tabelle 6 mit H 4 das Modell mit allen (univariaten) Haupteffekten. Wie zu erwarten, bringt dieses Modell gegenüber H 2 keinen Gewinn, da die Variablen B und C hoch korreliert sind (vgl. den entsprechenden Parameter in Tabelle 5). Wiederum erweist sich somit die von FEGER aufgrund der A S A vorgenommene Interpretation von Typen als nicht haltbar.

149

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1980,11,140-151

Tab. 5: Parameter für das saturierte Modell: Variablen B und C in Abhängigkeit von Variablen A und D. Effekt

X

X/sx

grand mean A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

2.959 .893 - . 402 .062 .115 .327 .206 - .263 .346 .306 .167 .219 - .103 - .095 .127 - .144

9.925 -4.474 .685 1.278 3.641 2.290 -2.925 3.846 3.405 1.854 2.433 -1.149 -1.057 1.408 -1.597

Bedeutung des Effekts

Haupteffekt A auf B Haupteffekt A auf C

Haupteffekt D auf B Haupteffekt D auf C Haupteffekt A auf gemeinsame Verteilung BC Wechselwirkung AD auf B Wechselwirkung AD auf C Haupteffekt D auf gemeinsame Verteilung BC Wechselwirkung AD auf gemeinsame Verteilung BC

Anmerkung: sx beträgt .09 für alle Effekte.

Tab. 6: Modelltests für die Logitanalyse: Variablen B und C in Abhängigkeit von Variablen A und D. Hypothese

Logitmodelle

Hl

V

H2

v

H3,

V -=A5+ if

H3 2

v

H4

v

64.62

9

.000

(AD), (AB),

(BD),

(BC)

10.96

7

.141

A5d+As+ 1

A^

(AD),

(BD),

(BC)

39.18

8

.000

A= +

A^

(AD), (AB),

(BC)

43.00

8

.000

(AD), (AB), (AC), (BD), (CD), (BC)

8.54

5

.129

= A5 + A5a + A5d + AE+ ' '

+

iE

= A5 + A l A + i

tc

= A5 + A 5 a + A5d + AE + A E a + A - + A 5 5 i f i f

if

(BC)

A12

S5

if

P

(AD),

= AS+

if

df

Ak

SE

if

LR Chi2

angepaßte Randverteilungen

4. Diskussion Betrachten wir zunächst die symmetrische Version der KFA, die A S A , so ist festzustellen, daß die Chi -Testgröße für jede mögliche Kombination von Variablen einer K-Weg Tabelle nach dem Modell der totalen Unabhängigkeit berechnet wird. Für Effekte, die einen Satz S von 3 und mehr Variablen enthalten, wird dann ein um diejenigenEffekte korrigierter Chi 2 -Wert bestimmt, die im Sinn von Abschnitt 3.1 Untermengen von S sind. Da nach LANCASTERS Ansatz das totale Chi 2 auf diese Weise in additive Komponenten zerlegt wird, ist es möglich, diese Komponenten zu kombinieren und somit zusätzlich eine Reihe von Hypothesen zu testen (vgl. KENDALL&STUART, 1961; LANCASTER, 1 9 6 0 ) . LEWIS ( 1 9 6 2 ) h a t j e d o c h d a r -

aufhingewiesen, d a ß u . a . hiereine Schwächevon LANCASTERS Ansatz deutlich wird. Im Fall einer 3-Weg Tabelle wird die Interaktion A B C residual definiert: Chi 2 ABC = Chi 2 I o t a l - Chi 2 A B - Chi 2 AC Chi BC . Weicht jedoch z. B. die Assoziation A B in Kategorie C, von der in C 2 ab, so gibt die reduzierte Tabelle A B (zusammengefaßt über die Kategorien von C) j e nach Ausmaß dieser Abweichung ein falsches Bild der Interaktion A B . GOODMAN (1970, Abschnitt 6.2) hat ausführlicher gezeigt, wie eine Zerlegung des Total Chi-Quadrates (H5 in Tabelle 1) möglich ist. Das Problem wird in Statistikbüchern häufig unter einem etwas anderen Aspekt behandelt: Es gibt immer wieder Beispiele dafür, daß durch Zusammenfassung von 2 A x B Subtabellen über die Kategorien der dritten Variable Effekte verdeckt oder erst geschaffen werden.

150

Langeheine: Multivariate Hypothesentestung bei qualitativen Daten

In der ASA erfolgt eine solche Zusammenlegung für jede Untermenge der K Variablen. In G O O D MANS Ansatz wird dagegen nie zusammengefaßt, so daß sich E f f e k t e nicht nur exakt, sondern auch weitaus differenzierter beurteilen lassen. LANCASTERS Ansatz (und damit der der ASA) und G O O D M A N S Ansatz unterscheiden sich somit wie folgt: LANCASTER: Die Zerlegung des Total Chi-Quadrats erfolgt a u f g r u n d einer Reihe von Modelltests , diea//e nach der Hypothese der totalen Unabhängigkeit der in der jeweiligen Kombination enthaltenen Variablen vorgenommen werden. Durch Summation bestimmter korrigierter, aber möglicherweise den Sachverhalt nich adäquat repräsentierender Chi 2 -Komponenten können dann andere Hypothesen getestet werden. GOODMAN: Wichtigstes Kriterium in der log-linearen Analyse ist zunächst die Bestimmung eines mit den Daten verträglichen Modells. Dazu werden von Anbeginn explizit unterschiedliche Modelle getestet. Im zweiten Schritt erfolgt dann die Testung von Effekten in einem gültigen Modell. Lesern, die sich mit log-linearen Modellen vertraut machen möchten sei daher eine vergleichende Analyse der beiden Datensätze von KRIZ ( 1 9 7 3 , p . 2 0 6 , 2 0 8 ) nach der ASA und nach G O O D M A N S Ansatz empfohlen. Für die zweite Version der KFA, die asymmetrische PKFA, stellt sich das Problem, daß - worauf K R A U T H & LIENERT(1973) hinweisen - die Zerlegung des Gesamt Chi-Quadrats in additive Komponenten unter der Hypothese der Unabhängigkeit einer (oder mehrerer) von einer (oder mehreren) Variablen nicht gültig ist (genauer m ü ß t e m a n sagen: nicht gültigist bei mehrals 3 Variablen). Damit wird die P K F A jedoch in vielen Fällen unbrauchbar. Dies wiederum sollte keine Begründung d a f ü r sein, Antworten auf eine asymmetrische Fragestellung durch ein symmetrisches Modell zu geben, wie es K R Ü G E R getan hat. Beide Modelle differieren in der A n n a h m e darüber, wie die Zellhäufigkeiten Zustandekommen könnten. Log-lineare Modelle bieten auch in diesem Fall die Möglichkeit einer sehr differenzierten Logitanalyse. Schließlich noch eine Anmerkung zur Interpretation von Typen in der KFA. Wiein Abschnitt 3.2 gezeigt wurde, konnte für keine der 8 Situationen eine signifikante 3er Interaktion identifiziert werden. Die den Variablen zugrundeliegende

Struktur ist also einfacher. Mit Ausnahme der Situation F sind alle 3-Weg Tabellen reduzierbar auf 2-Weg Tabellen (vgl. BISHOP et al., 1975). Für die Situationen B, E und G ist es sogar möglich, Aussagen lediglich anhand einer über die Kategorien der Variable C zusammengefaßten A x B Tabelle zu treffen, ohne daß bedeutsame strukturelle Eigenschaften verlorengehen. Die log-lineare Analyse macht somit deutlich, daß sich die Daten in der Regel durch sehr viel einfachere Modelle erklären lassen. Dies gilt für die große Mehrzahl von Arbeiten, die auf der Auswertung mit der KFA beruhen. Das Problem liegt offensichtlich in der von K R A U T H & LIENERT (1973, p. 26-27) gegebenen Definition von Typen. Sofern die Nullhypothese der totalen Unabhängigkeit verworfen wird, sei die Alternativhypothese zu akzeptieren, daß es zumindest eine Zelle ij k - einen Typ - gibt, für die die erwartete Häufigkeit signifikant von der beobachteten abweicht. Derartige Typen werden dann identifiziert und interpretiert. Diese Schlußfolgerung beruht jedoch auf einem Modell, das mit den Daten nicht verträglich ist. Wir wissen nur, daß es Zusammenhänge zwischen den drei Variablen gibt. Wie diese Zusammenhänge geartet sind, wissen wir hingegen nicht. Für alle hier analysierten Datensätze wurde daher gezeigt, wie sich diese Frage über loglineare Modelle beantworten läßt. Zu guter Letzt noch ein Hinweis: Die Möglichkeiten, die log-lineare Modelle f ü r die Analyse qualitativer Daten bieten, sind weit größer als hier demonstriert. In der Tat trifft zu, was M E R E D I T H et al. (1974, p.485) bereits konstatierten: «Theadvances presented by this work make it possible now to perform the same kind of detailed analyses on qualitative data that long have been possible for quantitative data.» Hinweise zur Benutzung verschiedener C o m p u t e r p r o g r a m m e finden sich bei BISHOP et al. (1975), K Ü C H L E R (1979) und L A N GEHEINE (1980). Literatur BENEDETTI, J . K . & B R O W N , M . B . 1 9 7 6 . A l t e r n a t e m e t h o d s o f

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152

Brandstätter et al.: W i r k u n g von Freundlichkeit und Argumentgüte auf Leser eines Protokolls

Empirie Wirkung von Freundlichkeit und Argumentgüte auf Leser eines Diskussionsprotokolls. Ein Prozeßmodell H E R M A N N BRANDSTÄTTER, GISELA STOCKER-KREICHGAUER, VOLKER FIRCHAU Universität Augsburg

Es w u r d e die Hypothese g e p r ü f t , d a ß bei guter Qualität der A r g u m e n t e ein unfreundlicher Diskussionsstil im Vergleich zu einem freundlichen bei Parteigängern des Sprechers einf l u ß f ö r d e r n d sei. Die experimentelle A n o r d n u n g w u r d e so gestaltet, daß sich ein Pro-Sprecher und ein Contra-Sprecher abwechselnd zu einem kontroversen A n t r a g äußerten. Infolge einer zweifachen Variation der A r g u m e n t g ü t e (gute/ schlechte Argumente) und einer dreifachen Variation der Freundlichkeit ( f r e u n d l i c h / n e u t r a l / u n f r e u n d l i c h ) des P r o Sprechers ergaben sich sechs verschiedene experimentelle Konditionen. Die P r ä f e r e n z v e r l ä u f e der Beobachter der Diskussion wurden mit Hilfe zweier Prozeßmodelle, des Balkenwaagemodells und des modifizierten p r o p o r t i o n a l e n Distanzmodells, analysiert. Die oben genannte Hypothese m u ß t e a u f g r u n d beider Modelle abgewiesen werden. Entgegen unserer H y p o t h e s e ergab sich bei beiden Modellen, daß ein neutraler Diskussionsstil einem emotionalen (freundlichen oder unfreundlichen) Diskussionsstil bei Parteigängern u n d Gegnern insbesondere d a n n überlegen ist, wenn die Arg u m e n t e dieses Sprechers schlecht sind. Zwischen freundlichem u n d unfreundlichem Diskussionsstil ergab sich in der W i r k u n g auf die Einstellung von Diskussionsbeobachtern kein Unterschied. Die P r ü f u n g der G ü t e der A n p a s s u n g der beiden Modelle an die tatsächlichen P r ä f e r e n z v e r l ä u f e ergab eine Überlegenheit des modifizierten p r o p o r t i o n a l e n Distanzmodells gegenüber dem Balkanwaagemodell.

T h e hypothesis was tested that an unfriendly speaker has m o r e influence on observers holding the same position as himself t h a n a friendly speaker if he uses high quality arguments in a g r o u p discussion. «Observers» m a r k e d their preferences a f t e r each a r g u m e n t given alternately by two speakers in a controversal discussion. Because of a t w o f o l d variation of the quality of arguments and a threefold variation of friendliness ( u n f r i e n d l y / n e u t r a l / f r i e n d l y ) of the pro-speaker there resulted six experimental conditions. T h e preferences of the observers were analyzed by two process models: balance sheet model and modified p r o p o r t i o n a l distance model. T h e hypothesis stated above must be rejected. On the contrary a neutral style proved to be superior to an affective (friendly and unfriendly) style on followers and antagonists expecially when giving weak arguments. Friendly and unfriendly a r g u m e n t a t i o n were equally effective on observers. W h e n testing the fit of the two process models o n the actual preferences of observers the modified p r o p o r t i o n a l distance model proved to be superior.

1.

stellungsänderungen bei Beobachtung einer kontroversen Diskussion, in der ein Pro-Sprecher und ein Contra-Sprecher abwechselnd ihre Argumente vorbringen, beschreiben sollen. Die Ergebnisse früherer Experimente legten eine Revision unserer Auffassungen über die Wirkung verbaler Aggression nahe. Ursprünglich waren wir davon ausgegangen, daß ein aggressiver Argumentationsstil nicht nur bei Diskussionsteilnehmern (SCHULER & PELTZER, 1 9 7 8 ) sondern

Einleitung

Wir haben uns mit dem Experiment, über das im folgenden zu berichten ist, ein zweifaches Ziel gesetzt. Zum einen ist zu prüfen, ob eine aggressive Argumentationsweise Beobachter der Diskussion auch dann stärker beeinflußt als ein freundlich-verbindlicher Stil, wenn die Argumente schwach sind. Zum anderen sind zwei formale Modelle zu untersuchen, die den Verlauf der Ein-

153

Zeitschrift für Sozialpsychologie 1980,11,152-167

auch bei Diskussionsbeobachtern 1972;

BRANDSTÄTTER

&

(RÜTTINGER,

RÜTTINGER,

STOCKER-KREICHGAUER & v . ROSENSTIEL,

1974; 1976)

Abneigung gegen den Sprecher und damit Widerstand gegen seine Beeinflussungsversuche auslösen würde. Dies gilt nach den bisherigen Befunden sehr wahrscheinlich jedoch nur für die direkt angegriffenen Diskussionsteilnehmer. Zumindest kann dies für jene Situation angenommen werden, in der der Angreifer keine Kontrolle über die Reaktionen des Angegriffenen hat, weil er z.B. während der Diskussion nicht verfolgen kann, welche Urteile sein Gegner schriftlich abgibt. Von den beiden im Augsburger Forschungsteam dazu bisher durchgeführten Experimenten - ein weiteres (SCHULER & PELTZER, 1 9 7 8 ) bezog sich auf nonverbale Freundlichkeit/Unfreundlichkeit und ist für das vorliegende Problem nicht unmittelbar von Belang - zeigte das erste (PELTZER& SCHULER, 1 9 7 6 ) eine schwache, das zweite ( K L E I N - M O D D E N BORG & BRANDSTÄTTER, 1 9 7 8 ) eine stark einflußfördernde Wirkung von verbaler Freundlichkeit im Vergleich zur Unfreundlichkeit. Im zuletzt genannten Experiment waren neben den Diskussionsteilnehmern auch Beobachter anwesend. Bei diesen war, gleichgültig ob sie auf der Seite des Angreifers oder des Angegriffenen standen, verbale Aggression kurzfristig leicht einflußfördernd, langfristig nur leicht einflußmindernd. Auch im Versuch von STOCKER-KREICHGAUER & v. ROSENSTIEL ( 1 9 7 6 ) war ein Sprecher bei den Diskussionsbeobachtern (Zuschauern, Zuhörern oder Lesern) einflußreicher, wenn er im Vergleich zum anderen Sprecher eher unfreundlich argumentierte. In zwei weiteren Experimenten mit Vpn als Lesern eines Diskussionsprotokolls deutete sich an, daß verbale Aggression nur beim Gegner des Aggressors einflußmindernd ( R Ü T T I N GER, 1972) bzw. nur beim Anhänger einflußfördernd (BRANDSTÄTTER & RÜTTINGER, 1 9 7 4 ) war, hier verglichen jeweils mit emotional neutraler Diskussionsweise. In allen diesen Versuchen waren die Argumente des freundlichen bzw. unfreundlichen Sprechers von relativ hoher Qualität. Es stellt sich nun die Frage, ob verbale Aggression auch dann einflußfördernd wirkt, wenn die vom aggressiven Sprecher vorgebrachten Argumente inhaltlich wenig überzeugend sind. Dazu lassen sich folgende Überlegungen anstellen:

Beobachter neigen insbesondere dann dazu, einen aggressiven Argumentationsstil nicht als verletzend, sondern als berechtigt und kraftvoll aufzufassen, wenn sie die Position des Aggressors teilen, und wenn dieser gut argumentiert. Daß da jemand dem Gegner, dessen Einstellung man ablehnt, stellvertretend «gehörig die Meinung sagt», dürfte von den meisten als befreiend und befriedigend, nicht als ungehörig oder beschämend erlebt werden. Daraus würde folgen, daß sie sich von einem aggressiven Sprecher stärker beeinflussen lassen als von einem freundlichen. Die Gesinnungsgenossen des Angegriffenen unter den Beobachtern müßten eher dazu neigen, die aggressive Argumentationsweise abzulehnen, da sie indirekt davon betroffen sind. Demnach müßte bei diesen verbale Aggression weniger einflußfördernd, wenn nicht überhaupt einflußmindernd wirken. Die Neigung vieler Politiker, in Parlamentsdebatten oder Wahlreden in Worten kräftig auf den Gegner einzuschlagen, könnte durch den Erfolg bekräftigt werden, den sie damit bei ihren Anhängern erzielen. Unsere Hypothese lautet: Bei guter Qualität der Argumente ist ein unfreundlicher Diskussionsstil im Vergleich zu einem freundlichen bei Parteigängern des Sprechers einflußfördernd. Was geschieht jedoch, wenn der Aggressor im Vergleich zu seinem Diskussionspartner offensichtlich schwach argumentiert und dadurch seine demonstrierte Stärke Lügen straft? Wirkt dann die Aggression nicht eher als peinlich und unangemessen, so daß sie den Einfluß auf den Beobachter mindert? Wir sind uns dieser von der Alltagserfahrung nahegelegten Vermutung nicht so sicher, daß wir sie als Hypothese im Sinne einer Vorhersage gelten lassen wollen. Ließen sich doch auch Argumente für die gegenteilige Aussage vorbringen. So wäre z.B. denkbar, daß man mit aggressiven Bemerkungen eher von der Schwäche der Argumente ablenken könne als mit freundlichen Äußerungen. In dieser Frage betrachten wir die Untersuchung als Erkundungsexperiment.

2.

Das Balkenwaage-Modell

2.1. Allgemeine

Charakteristik

Die meisten Untersuchungen zur Einstellungsän-

154

Brandstätter et al.: Wirkung von Freundlichkeit und Argumentgüte auf Leser eines Protokolls

derung beschränken sich auf die Analyse von Meßwerten, die vor und nach der Einflußnahme erhoben wurden. Fortlaufende Messungen diskussionsbedingter Einstellungsänderungen sind außerhalb der Augsburger Arbeiten zur Gruppenentscheidung (Überblick dazu gibt B R A N D STÄTTER, 1978) überaus selten. Selbst in den Augsburger Untersuchungen wurde bisher der Verlauf nicht konsequent analysiert; denn man beschränkte sich meist darauf, die während der Diskussion von den Vpn angegebenen Veränderungen pro Sprecher und sozial-emotionaler Bedingung zu summieren und dann diese Werte einer Varianzanalyse zu unterziehen. Dabei wurden gelegentlich auch die Summen der Einstellungsänderungen in der ersten und zweiten Hälfte der Diskussion, oder auch in vier aufeinanderfolgenden Abschnitten einer Varianzanalyse unterzogen. Mitunter wurden die Zwischenmessungen gar nicht in die Analyse einbezogen, sondern nur die Endeinstellungen unter Kontrolle der Kovarianz mit der Anfangseinstellung analysiert. BRANDSTÄTTER

&

KLEIN-MODDENBORG

(im

Druck) versuchten dann, den gesamten Verlauf mit einem formalen Modell darzustellen, das jeden Veränderungsschritt vorhersagen sollte. Sie testeten ein modifiziertes Distanzmodell, dessen Parameter, nämlich das Gewicht der Distanz zwischen Skalenposition der Vp und Skalenwert des geäußerten Arguments, beides zum Zeitpunkt t, sowie das Gewicht der Distanzzwischen Anfangsposition und Skalenposition der Vp zum Zeitpunkt t, nach der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt wurden. Es zeigte sich, daß die meisten individuellen Sequenzen von Einstellungsskalierungen - nach jedem Argument einer Pro- und Contra-Diskussion zwischen zwei Vpn war die Einstellung jeweils erneut zu skalieren - durch das Distanzmodell passend dargestellt werden konnten. Außerdem k o n n t e m a n die Wirkung der experimentellen Bedingungen (Variation der Ähnlichkeit des Diskussionspartners in zentralen Wertauffassungen) auf die Modellparameter nachweisen. Der hier zu untersuchende Ansatz, ursprünglich ohne Bezug zu den formalen Modellen der Inf o r m a t i o n s i n t e g r a t i o n (ANDERSON, 1971;

AN-

1976) entwickelt, kann als Spezifizierung eines solchen Modells zur Verlaufsanalyse von Gruppendiskussionen aufgefaßt werden. Die jeweilige Einstellung ergibt sich

DERSON & GRAESSER,

danach fortlaufend als gewichteter Durchschnitt der bisher verarbeiteten und der jeweils neu dazukommenden Information.

W0x0+ (1) X t + 1 =

w0 +

t+1 I WmSm m= 1 t+ 1

L wm

m= 1 In Formel (1) ist XD die Anfangseinstellung, die ihrerseits als gewichtetes Mittel aller bis zum Zeitpunkt vor Beginn der Diskussion verarbeiteten Informationen aufgefaßt werden kann, X, + , die Einstellung nach dem zum Zeitpunkt t übermittelten Argument mit dem Skalenwert S, + , und dem Gewicht W t + ,. Teilen wir die einzelnen Ausdrücke der rechten Seite der Formel (1) durch W„ und setzen wir W 21 rrr = g m , und nehmen wir des weiteren an, daß W

o

alle Argumente das gleiche Gewicht haben, d . h . daß g = g, = g 2 = . . . g„, so erhalten wir Formel (2). t+ 1 X0 + g (2) X t + 1

I m= l

Sm

l + (t + l)g Eine mathematisch äquivalente Schreibweise des Modells stellt Formel (3) dar (3) X I + 1 =

(1 + tg) X, + g S, + ! l+(t+l)g

X t geht dabei jeweils mit der Summe der Gewichte der bis dahin verarbeiteten Information ein. Die Anfangsposition X c erhält demnach das Gewicht 1, dazu wird der mit g gewichtete Skalenwert des ersten Arguments S, addiert, das Ganze wird durch die Summe der Gewichte, hier also, da t = 0, durch (1 + g) dividiert. Wir führen eine weitere Vereinfachung da-

Tab. 1: Zahlenbeispiel für das Balkenwaage-Modell. t

0

s, X,

8.00

1

2

3

4

9

1

9

1

8.09

7.50

7.62

7.14

155

Zeitschrift fürSozialpsychologie!980,11,152-167

pro

contra Abb. I: Veranschaulichung des Balkenwaagemodells (Erläuterungen im Text s.u.)

durch ein, daß wir allen Pro-Argumenten den Skalenwert 9, allen Contra-Argumenten den Skalenwert 1 zuordnen. Aus einer Anfangsposition von X c = 8 und einem relativen Argumentgewicht von g = .10 (relativ zum Gewicht der Anfangsposition, das gleich 1 gesetzt wurde) ergibt sich, wenn die Diskussion mit einem Pro-Argument begonnen wird, folgende Sequenz (Tab. 1). Ein physikalisches Analogon zu diesem Modell ist die Balkenwaage (Abb. 1). Die Anfangseinstellung, repräsentiert als Balancepunkt, kann als gewichteter Durchschnitt der bisher verarbeiteten Information aufgefaßt werden. In A b b . 1 wären das 4 extreme Pro-Argumente und zwei extreme Contra-Argumente, jedes von ihnen gleich gewichtet. M a n kann sich anhand der A b b . l leicht vorstellen, daß ein neu dazukommendes Pro-Argument eine Verschiebung des Balancepunktes nach links auslöst, deren absolutes Ausmaß nur halb so groß ist wie die Verschiebung des Balancepunktes nach rechts, die von der A u f n a h m e eines gleich extremen und gleich gewichteten Contra-Arguments ausgelöst würde. Legt man im Wechsel einmal links, einmal rechts ein Argument auf die Waage, so werden die dadurch bedingten LinksRechts-Verschiebungen des Balancepunktes immer kleiner, und der Balancepunkt nähert sich insgesamt der Balkenmitte. Eine Verschiebung über die Balkenmitte hin zum anderen Extrem ist in diesem Modell nur möglich, wenn nur mehr auf der einen Seite Gewichte aufgelegt (Argumente in die Waagschale geworfen) werden. Im Grenzfall auf beiden Seiten liegt bereits eine sehr große Anzahl von Argumenten - lösen weitere Pro- und Contra-Argumente keine Änderung mehr aus. Bestimmt man das Ausmaß der Änderung pro-

portional zur Distanz zwischen Balancepunkt und Auflagepunkt des Gewichts, so wären diese proportionalen Verschiebungen, die von einem links oder rechts aufgelegten Gewicht verursacht würden, gleich groß. In einer Sequenz von Gewichtsauflagen (Argumenten) werden auch die proportionalen Verschiebungen immer kleiner. Die soeben skizzierten und an der Balkenwaage erläuterten Eigenschaften des Modells lassen es als geeignet erscheinen, die Verarbeitung einer Folge von Pro- und Contra-Argumenten zu einer Gesamteinstellung gegenüber dem Diskussionsgegenstand abzubilden. Wer noch sehr wenig über einen Diskussionsgégenstand weiß, wird durch eine Folge von Pround Contra-Argumenten stärker hin- und hergerissen, alsjemand, der viele der Argumente bereits kennt und zu seiner Einstellung verarbeitet hat. Das Modell kann auch Unterschiede im absoluten Einfluß des Pro- und Contrasprechers, die etwa auf Unterschiede im Diskussionsstil zurückzuführen sind, durch entsprechende Wahl des Argumentgewichts darstellen. Ein hohes Gewicht bedeutet j a vor allem - absolut genommen - große Schritte in Richtung zum Opponenten. Nimmt man an, daß ein freundlicher Opponent mehr Einfluß habe als ein unfreundlicher, so müßte sich das in höheren g-Gewichten der Diskussion mit dem freundlichen Opponenten zeigen. Nicht vorgesehen sind in diesem Informationsverarbeitungs-Modell Bumerang-Effekte, d . h . vom Argument ausgelöste Einstellungsänderungen, die gegen die Intention des Arguments laufen. Läßt man negative Gewichte zu, um solche E f f e k t e zu erfassen, so verläßt m a n die Analogie zur Balkenwaage. Sowohl die Pro- als auch die Contra-Argumente mit einem negativen Koeffi-

156

Brandstätter et al.: Wirkung v o n Freundlichkeit und A r g u m e n t g ü t e auf Leser eines P r o t o k o l l s

zienten zu gewichten erscheint im übrigen wenig plausibel, da dies einen Bumerang-Effekt in beiden Richtungen bedeuten würde.

F(g'): = n-1 t=0

2.2. Bestimmung des relativen Argumentgewichts mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate

F(g) = g.

n-1 / Q(g'):=

(l + g't)X t + g'S t + 1

I |X1 + I t= 0

l + (t + l)g'

n ist der Endzeitpunkt der betrachteten Diskussion. Für die Versuche galt stets n = 12. Es ergibt sich dQ dg'

=

2

Im Punkt g ergibt sich:

dF {5)

min Q(g') mit g'

" y 1 (Xt4l-X,)(X,-S„,) [l + g ' ( t + l)] 2 t= Q

|

'{t+1)]3

so gilt nach (4)

Der Parameter g wird so bestimmt, daß die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen Meßwerten und theoretischen Werten minimal ist: Q(g)=

[1+g

dl'(g)=1" V-l (s„,-x,) 2 E [l + g(t + l)] J t=0

Falls man einen Startwert g, nahe genug bei g finden kann, so konvergiert das Iterationsverfahren F(gi) = gi +1 i = l , 2 , . . . . dF gegen g, wenn - 1