Vorlesungen über Differentialgeometrie: Teil 2 [Reprint 2022 ed.] 9783112646328

Citation preview

G H E O R G H E VRANCEANU

VORLESUNGEN ÜBER

DIFFERENTIALGEOMETRIE TEIL II

MATHEMATISCHE LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN

H E R A U S G E G E B E N VON D E R D E U T S C H E N AKADEMIE D E R WISSENSCHAFTEN ZU B E R L I N INSTITUTE F Ü R MATHEMATIK

II. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE MONOGRAPHIEN BAND X I I I

ÜBER

VORLESUNGEN DIFFERENTIALGEOMETRIE TEIL II VON

GHEORGHE VRANCEANU

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N 1961

G H E O R G H E VRANCEANU

VORLESUNGEN ÜBER DIFFERENTIALGEOMETRIE TEIL II

In deutscher Sprache bearbeitet und herausgegeben von

MAX P I N L Professor an der Universität Köln

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N 1961

GHEORGHE VEANOEANU

Lec(ii de geometrie diferen^ialä II Erschienen im Akademie-Verlag, Bukarest, R. P. R., 1951 Leçons de Géometrie Différentielle II Vom Autor verfaßte französische Ausgabe. Erschienen im Akademie-Verlag, Bukarest, R. P. R., 1957.

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH« Berlin W 8, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1961 b y Akademie-Verlag G m b H , Berlin Lizenznummer 202 • 100/498/61 Gesamth er Stellung : Druckhaus „ M a x i m G o r k i " , Altenburg Printed in Germany Bestellnummer: 5361/11 • E S 19 B 3

VORWORT ZUR D E U T S C H E N B E A R B E I T U N G

Im ersten Band seiner Vorlesungen über Differentialgeometrie hatte Professor Vranceantt die Theorie dreier linearer Übertragungen behandelt: Räume mit affinem Zusammenhang, R i E M A N N s c h e Räume und Räume mit projektivem Zusammenhang. 1930 begann B. Kagan die Theorie subprojektiver Räume zu entwickeln, welche bald einen Umfang gewann, der es begründete, den zweiten Band dieser Vorlesungen mit einem eigenen Kapitel über diese teilweise projektiven Räume zu beginnen. Die Untersuchung von Räumen mit konformen Zusammenhang hatte demgegenüber bereits früher eingesetzt und die Darstellung dieser Theorie beginnt im zweiten Kapitel sinngemäß mit der Behandlung der WsYLschen Ergebnisse aus dem Jahre 1921. Nach zahlreichen anderen Versuchen, eine einheitliche weltgeometrische Deutung des Schwere- und des elektromagnetischen Feldes zu gewinnen, hat A. Einstein in seinem Buch „The Meaning of Relativity" 1950 bekanntlich die Weltgeometrie dieser beiden Felder auf einen kovarianten asymmetrischen Tensor zweiter Stufe begründet. Die mathematische Durchführung dieser Theorie ist seither in zahlreichen Arbeiten von V. H l a v a t y gegeben worden, worauf wir im Anhang näher eingehen wollen. Die Darstellung der Theorie der Räume mit gegebenen kovarianten, kontraVarianten oder gemischten Tensoren zweiter Stufe im dritten Kapitel dieser Vorlesungen ist von den hier erwähnten Problemen der theoretischen Physik unbeeinflußt und legt vor allem auf die Theorie der sogenannten symplektischen Räume besonderes Gewicht. Da es sich bei nichtholonomen Räumen um Integralmannigfaltigkeiten allgemeiner (nicht vollständig integrabler) P F A F F s c h e r Systeme handelt, wird der Leser im vierten Kapitel dieser Vorlesungen zunächst mit der Ü A B T A N s c h e n Theorie P F A F F s c h e r Systeme vertraut gemacht. Dies ist an sich zu begrüßen, da seit Jahrzehnten eine gründliche Darstellung dieser Theorie — vergleichbar etwa E. Goubsats „Leçons sur le problème de Pfaff" — in der deutschen Fachliteratur fehlt. Auch Kapitel V ist berufen, erhebliche Lücken in der deutschen Fachliteratur zu schließen. Dies gilt zunächst in differentialgeometrischer Hinsicht. Zwar herrscht an deutschen Darstellungen der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung gegenwärtig kein Mangel, doch stehen für die meisten Autoren Eindeutigkeits- und Randwertprobleme im Vordergrund, wie dies typische physikalische Fragestellungen mit sich brachten. Demgegenüber geht es dem Autor um die Invariantentheorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung und damit um deren „Geometrisierung" und differentialgeometrische Klassifikation. Die damit eng verknüpfte Transformationstheorie bringt wiederum

VI

Vorwort zur deutschen Bearbeitung

analytische Gesichtspunkte ins Treffen. Zunächst werden allgemeine partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt, dann lineare solche insbesondere LAPLACEsche Gleichungen. Außer Punkt- und Berührungstransformationen werden auch die zu Unrecht in der letzten Zeit vergessenen BlcKLUND-Transformationen wieder herangezogen. Im Grenzgebiet differentialgeometrischer Forschung stehen heute in zunehmendem Maße Probleme der globalen Differentialgeometrie. Da es hier noch an einer einheitlichen Systematik gebricht, wird der Leser nicht überrascht sein, wenn ihm im letzten Kapitel dieser Vorlesungen eine Blütenlese sehr verschiedener Forschungsergebnisse geboten wird. Den Algebraiker werden die hyperkomplexen Methoden interessieren, welche der Autor der Behandlung von Räumen mit konstantem affinem Zusammenhang assoziiert oder die Behandlung quaternionalprojektiver Räume, der Analytiker wird die globale Untersuchung autoparalleler Kurven oder die Verallgemeinerungsmöglichkeiten des GAtrss-BoNNETschen Integralsatzes in der Lektüre bevorzugen. Bei den Korrekturarbeiten an der vorliegenden deutschen Bearbeitung wurde ich von Herrn Professor G. V R A N C E A N U und Herrn Professor E. K R E Y S Z I G in freundlichster Weise unterstützt. Ich bin beiden Herrn für diese Hilfe zu großem Dank verpflichtet. Ebenso bin ich dem Verlag dankbar für die gute Ausstattung des Werkes und für die stets erfreuliche Zusammenarbeit. Köln, im Herbst 1961

M.PINL

INHALT KAPITEL I Teilweise projektive Bäume § § § § § § §

1

1 KAGANsche Räume mit affinem Zusammenhang 2 Invariante Bedingungen 3 RiEMANNsche teilweise projektive Räume V„ 4 Die Klasse teilweise projektiver RiEMANNscher Räume V„ . . . . 5 Die Räume A„ mit maximaler Automorphismengruppe 6 RiEMANNsche Räume Vn mit maximaler Bewegungsgruppe . . . . 7 Die Invarianten der subprojektiven Räume

1 13 24 34 43 66 69

KAPITEL Ii Bäume mit konformem Zusammenhang § § § § § §

1 2 3 4 5 6

Der konforme Zusammenhang von H . WEYL Die konforme Gruppe eines Raumes.V„ Die Bewegungsgruppen eines konformen F„ Die konform-projektive Gruppe Affin-konforme Übertragungen Projektiv-konformer Zusammenhang

76 76 86 94 99 109 118

KAPITEL III Tensoren zweiter Stule

126

§ 1 Räume mit gegebenem kovariantem Tensor zweiter Stufe . . . . § 2 Symplektische Räume § 3 Der zu einem symplektischen Raum S2p assoziierte affine Zusammenhang § 4 Spezielle symplektische Räume § 5 Vierdimensionale symplektische Räume § 6 Räume mit gegebenem kontravariantem Tensor zweiter Stufe . . . § 7 Räume mit gegebenem gemischtem Tensor zweiter Stufe

126 136 143 148 152 158 163

KAPITEL IV Nichtholonome Bäume § 1 Unterräume § 2 Starrheitsbedingungen

173 173 185

VIII

Inhalt §3 §4 §5 §6 §7

Invarianten PrAPFscher Systeme Nichtholonome Räume X * " - 2 Nichtholonome Räume in zusammenhängenden Räumen Nichtholonome 7™ Mechanische Deutung der Räume 7 "

KAPITEL

190 197 206 215 229

V

Die Invarianten der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . 232 § 1 Klassifikation nach den Charakteristiken § 2 Gleichungen mit zwei verschiedenen Charakteristikensytemen zweiter Ordnung § 3 Klassen spezieller Differentialgleichungen mit nichtzusammenfallenden Charakteristikenscharen § 4 Gleichungen mit einer oder zwei Scharen von Charakteristiken erster Ordnung § 5 Transformationen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . § 6 Invarianten der LAPLACEsohen Gleichung § 7 Lineare partielle Differentialgleichungen in n unabhängigen Veränderlichen

KAPITEL

259 266 268 276 292

298

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 299 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit affinem Zusammenhang . . 308 Lokal-euklidische Räume A„ 315 Räume mit konstantem Zusammenhang 322 Globale Eigenschaften autoparalleler Kurven 332 Beziehungen zwischen affinen und projektiven Räumen 342

§ 7 Die F o r m e l v o n G a u s s - B o n n e t

§8 §9 § 10 § 11

246

VI

Differentialgeometrie im Großen §1 §2 §3 §4 §5 §6

233

Globale Eigenschaften von Räumen konstanter Krümmung . . . . Lokal nichteuklidische Räume Globale Eigenschaften einer Klasse von Räumen V2p Eine Klasse symmetrischer Räume V4p

346

357 365 369 378

Anhang

382

Namen- und Sachregister

386

KAPITEL I

T E I L W E I S E P R O J E K T I V E RÄUME

Die teilweise projektiven Räume A„ sind zum erstenmal 1 9 3 0 von V. F. K A G A N betrachtet worden, und wir nennen sie daher auch KAQASsche Räume.1) Es handelt sich um Räume A„ von affinem Zusammenhang, deren Autoparallele, dargestellt in gewissen Variablensystemen, in linearen zwei- oder mehrdimensionalen Mannigfaltigkeiten liegen. K A G A N S Untersuchung enthält vor allem wichtige Ergebnisse, die sich auf Räume A„ mit affinem Zusammenhang und auf R I E M A N N sche Räume V„ beziehen, deren geodätische Kurven in linearen zweidimensionalen Räumen liegen, die durch einen Fixpunkt gehen. Räume V„ mit dieser Eigenschaft wurden schon von S C H U B 1886 betrachtet als Räume, für welche alle durch einen festen Punkt gehenden geodätischen Flächen doppelt unendlich viele geodätische Linien des Raumes enthalten.2) Andere wichtige Ergebnisse haben hinsichtlich solcher Räume P. R A S C H E V S K Y , H. S C H A P I B O , P. S I B O K O V , 3 A . P. N O B D E N und J . A. S C H A P I B O erzielt. ) Das Interesse an teilweise projektiven Räumen beruht auf dem Umstand, daß diese Räume in der Theorie der Räume mit affinem oder projektivem Zusammenhang die natürliche Verallgemeinerung der projektiv-euklidischen wie auch der R i E M A N N s c h e n Räume V„ mit konstanter Krümmung darstellen.4) § 1 KAGANsche Räume mit affinem Zusammenhang Liegt ein Raum An vom affinen Zusammenhang rjj, vor, so kann ihm6) in invarianter Weise eine Schar von Autoparallelen zugeordnet werden, die durch die Gleichungen Vx* dxUJ -W = r»lli~dt>

. . M.4-1.2......

(1)

!) Vgl. V. F. KAGAN, Sur les espaces sous-projectifs, C.R. 191 (1930), S. 548; Über eine Erweiterung des Begriffs von projektiven Räumen und dem zugehörigen Absolut, Travaux du Sémin. de Calcul vectoriel et tensoriel, Moscou 1933, vol. I, S. 12—101. 2 ) F. SCHUB, Über den Zusammenhang der Räume konstanten Krümmungsmaßes mit den projektiven Räumen, Math. Anm. 27 (1886), S. 537—567. s ) Vgl. P. K. RASCHEVSKY, Caractères tensoriels de l'espace sous-projectif; H. SCHAPIBO, Über die Metrik der subprojektiven Räume, ibidem, S. 102—142. P. SIROKOV, Über den Schurschen Raum, Iswestija Phys. Math. Kazan 7 (1934—1935), S. 64—76. A. P. NOB4

DEN, D o k l a d y 5 0 (1945), S. 5 3 - 5 6 . " S. 1 2 5 - 1 4 8 .

J . A . SCHAPIBO, M a t h . Sbornik 3 6 (78) ( 1 9 5 5 ) ,

) Vgl. G. VRANCEANTT, Sur les espaces de Kagan, Bul. §tiin£.Acad. R. P. R., Série Mathém., Physique et Chimie 2 (1950), S. 299. 6 ) Vgl. Band I dieses Werkes, Kapitel IV, § 4, S. 147-153. 1

Vranceanu II

2

I. Teilweise projektive Bäume

gegeben sind mit t als affinem Parameter zum Zusammenhang r'fl. Da die Koeffizienten der Gleichungen (1) durch

=

i,j,k = 1,2

+ n,),

»

gegeben sind, sind die Autoparallelen mit dem symmetrischen Zusammenhang, der zu r)k gehört, verbunden. Wir nehmen daher von vornherein an, daß A„ ein symmetrischer Zusammenhang zukommt, d.h., daß Sjk = rjk gilt. Dann ist es äquivalent, ob man den Zusammenhang eines A„ oder seine Autoparallelen vorgibt. Tatsächlich erhalten wir aus der Variablentransformation

x'* = x'* (x1

a*)

(2)

durch zweimalige Differentiation nach dem Parameter t, die Gleichungen

Sind

dxH _ dxdrf d*xri _ cPx'* d^ IT ' 8x ~dt' dt2 ~ dxida? dt dt d2x'i

dx> ~d¥'

^ *

„ • dx'r dx"

die Gleichungen der Autoparallelen (1) im System der Veränderlichen x'%, so zeigen die Formeln (3), daß die jT/j, und T ß durch die Beziehungen

d^x'1

dx'T dx''

dx'*

verknüpft sind und die r* jh daher Komponenten eines affinen Zusammenhangs sind.6) Wir haben auch gesehen, daß eine Transformation des Parameters t auf eine projektive Abänderung

^

= ^

+

+

%,j,h = 1,2

»

(4)

hinauskommt mit einem kovarianten Vektor q>k. Nimmt man andererseits eine der Veränderlichen x1,..., xn, etwa x1, als Parameter t, so schreiben sich die Gleichungen (1)

d2x*

=

dx* ~dxi

dotfi dxv dxi +

fivd&

d, arß + (2r"ßl - dßTh)^ +

{Fßv

« ,

0

'

« 1

» -

,

dvL

dxß dx? i

a, ß, Y = 2,..., ».

(5)

Die Gleichungen (5) bilden ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in n — 1 unbekannten Funktionen x2, ...,xn der unabhän()

Vgl. Band I dieses Werkes, S. 135.

§

1

KAGAHsche

3

Bäume mit affinem Zusammenhang

gigen Veränderlichen x1. So ergibt sich, daß die Autoparallelen des A„ eine (2n — 2)-parametrige Kurvenschar bilden. Man kann demnach das allgemeine Integral der Differentialgleichungen der autoparallelen Kurven (5) in der Gestalt Fa{x1, ...,xn,c1,..., c 2 * -2 ) = 0, y%i — yli«>

(32")

yli« + y?ä( gewisse Funktionen der Variablen x1,x" bezeichnen, die man passend bestimmen muß. Diese Gleichungen gelten notwendig gleichzeitig mit (37"'). So bekommen wir für i,j>m die Gleichungen gy

w

8y•

dt

e

v

während sie uns für i ^ m zusammen mit den Ableitungen von (37) auf endliche Beziehungen führen. Um diese Relationen aufzuschreiben und die Symbolik zu 8y* vereinfachen, werden wir y* = —-¡- setzen und die vorstehenden Gleichungen öx in die Gestalt VI = -ytv?i - yfVi

(vi = f f

+

r\fy^

setzen, wobei die yf f kovariante Ableitungen bedeuten. Leiten wir andererseits die Beziehung (37"') ab und berücksichtigen, daß a\ = ö\ (i ^ m) gilt, so können wir + «£,$ + y?,, + aP.yh = o,

=

1,...,»»

22

I. Teilweise projektive Bäume

schreiben, wobei die a'tf,akovariante Ableitungen bezeichnen. Durch Elimination der Ableitungen y" it yp t mit Hilfe der vorstehenden Gleichungen und mit Rücksicht auf (37"') (die Determinante \yß\ verschwindet nicht), bekommen wir die Bedingungen -

+ a%0. = 0

ß),

= 0,

(37VI)

i,s^m,

die ein endliches Bedingungssystem für die Komponenten des Zusammenhangs des Raumes A„ und die Ableitungen der Größen af darstellen. Die zweiten dieser Gleichungen lassen sich für ß = A nach den 0, auflösen, und die 0a lassen sich also mit Hilfe der anderen der Gleichungen (37IV) eliminieren. Das Problem reduziert sich somit darauf, die Integrabilitätsbedingungen der Gleichungen (37"') und (37v) zusammen mit den endlichen Bedingungen (37IV) und (37VI) nach passender Bestimmung der Funktionen 0 S und ipa aufzustellen. Was die Gleichungen (37v), dargestellt in Funktionen y" (a > m) der x*, anbetrifft, so sieht man leicht, daß ihre Integrabilitätsbedingungen für n — m > 2 durch den Umstand gegeben sind, daß der WEYLsche Tensor des Raumes A„_m, dessen Zusammenhang durch die Gleichungen „a 1 ßy = tt* 1 ßy ~ r* 1 ßVa» gegeben ist, verschwindet. So bekommen wir den Satz. Damit ein Raum A„ vom Krümmungstensor (37"'), dessen zugehöriges System (37"') vollständig ist, einen subprojektiven Raum der Ordnung n — m — 1 darstellt, muß der Raum An_m projektiv-euklidisch sein. Andere Integrabilitätsbedingungen ergeben sich, wenn man (37v) nach x* ableitet (i iS m) und (37"') berücksichtigt. Wir wollen diese Bedingungen nicht aufschreiben, sondern nur bemerken, daß im Fall af = 0, d. h., wenn (37"') integriert vorliegt, die Bedingungen (37IV) identisch erfüllt sind und die Gleichungen (37^) in der Gestalt ^ , = 0,

r*0p =

-ö«efp

geschrieben werden können. Bringt man noch die tpp durch eine projektive Transformation des Zusammenhanges zum Verschwinden, so erweist sich der Raum A„ als subprojektiv von der Ordnung n — m— 1, sofern die Fßy von x* unabhängig sind (i ^ m) und der WEYische Tensor des Raumes A„_m verschwindet. Das Problem von ADATI. Die vorhergehenden Überlegungen lassen sich auf das Problem von ADATI10) anwenden. Dieses besteht darin, Bedingungen anzugeben, unter welchen der Raum A„, dessen Zusammenhang durch r% = (VK + dlw + p^v', 10

pit =

Pli

(37 v n )

) Vgl. J. A. SCHOUTEN, Rioci-Caloulus, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1954, S. 321.

23

§ 2 Invariante Bedingungen

gegeben ist, ein subprojektiver Raum ist. Dabei sind die 1), denn dann ist der Zusammenhang durch (16') gegeben. Im allgemeinen Fall betrachten wir den Krümmungstensor des Zusammenhangs (37 v n ). Haben wir der Einfachheit halber durch eine projektive Transformation des Zusammenhangs das Verschwinden von »

¡/dpit

dptt

=

+

'

p lVi,v

' -

p

"

p i t v

\ )

+

dv* p» -

dv { M

Nun sei v* den Bedingungen =

+

(37^)

unterworfen mit beliebigen Funktionen q , von A D A T I tungen

Diese Bedingungen enthalten die 8v' angegebenen, wobei man hnks -—-J durch die kovarianten Ablei8v< t Ö V< TU , i r i M »i = ~ r u v ' = - j . - 8at

8k

-

2

k

(

8 0

oder wenn Q < —r

1 —

ist. Wir bekommen so den Satz v o n K . H . W E I S E . 1 6 ) Die reelle Klasse eines RIEMANNSCÄCW Raumes V„ von konstanter negativer Krümmung ist höchstens gleich n — 1. Darüber hinaus hat L I B E R und OTSTTKI17) bewiesen, daß die reelle Klasse eines RiEMANNschen Raumes Vn (n 2: 3) von konstanter negativer Krümmung genau gleich n — 1 ist. Die Klasse der subprojektiven Riemannschen Bäume V„ der Ordnung n — 2. Um zu zeigen, daß die subprojektiven RiEMANNschen Bäume der Ordnung n — 2 von der Klasse 1 sind, muß man zeigen, daß jede der metrischen Grundformen (48), (49) und (50) von der Klasse 1 ist. ls

) Vgl. K. H. WEISE, Beiträge zum Klassenproblem der quadratischen Differentialformen,

M a t h . A n n . 1 1 0 (1935), S. 5 2 2 . " ) V g l . A . E . LIBER, J . U n i v . S a r a t o w 1 (14) (1938), S. 1 0 5 — 1 2 2 ; u n d T . OTSUKI, I s o m e t r i c

imbedding of ßiemann manifolds in a Riemann manifold, J. Math. Soc. Japan 6 (1954), S. 2 2 1 - 2 3 3 .

37

§ 4 Die Klasse teilweise projektiver RiEMANirscher Bäume V„

Man sieht dies unmittelbar von der Metrik (50), sofern deren Klasse durch die Form h bestimmt ist. Die Metrik (50) ist aus diesem Grunde von der reellen Klasse 1, wenn h von konstanter positiver Krümmung ist und von der reellen Höchstklasse n — 2, wenn h von negativer konstanter Krümmung ist. Um die Klasse 1 für die Metrik (49) nachzuweisen, schreiben wir sie in der Form (49') und setzen mit SCHAPIRO 2/° = - W )

2

+ ••• + {yn?\.

(54)

Danach kann diese Metrik (49) offensichtlich als Metrik der Hyperfläche (54) in einem euklidischen Baum ds2

=

(¿3,1)2 + ...

+

(dy»)z + (dyf

angesehen werden, wenn

gilt, was im komplexen Gebiet immer möglich ist. Demnach ist (49) von der Klasse 1. Es folgt, daß (49) von der reellen Klasse 1 ist, wenn h von positiver Krümmung ist und wenn A (g) >

A

, d. h. wenn

y'2
' beschränkt. Darüber hinaus ist (49) von der Klasse Null, sobald ip'2 =

4Kaip2

gilt und F„ ein euklidischer Raum ist in Übereinstimmung mit (49") für K' = 0. Wir gehen jetzt zur Metrik (48) über und nehmen an, daß diese in der Gestalt (49), also durch ds2 = A(g)dq2

+ Q2[{dx2)2 -\

b (da;")2],

Ay>'2 =

(55)

gegeben ist. Wir setzen yi = Qxi,

i = 2,

...,n

und bekommen ds2 = (dy2)2 H

b (dyn)2 + A (q) dq2 — 2gxidxidQ

—

An Stelle der letzten drei Terme können wir den Ausdruck (dy*)2 -

(dy°)2

einführen, indem wir V1 = y° + Q,

2y° = f [A(q) -

1] dQ -

Qxixi

x^Hq2.

38

I. Teilweise projektive Bäume

ansetzen. Damit ist auch von der Metrik (48) die Klasse 1 nachgewiesen, sofern es sich um die Metrik einer Hyperfläche im Raum En+i(y°, y1,..., yn) handelt. Doch ist die Metrik in E „ + 1 indefinit und die Klasse daher offensichtlich nicht reell. Der Satz von WEISE läßt sich auch auf Räume F„ der Metrik (48) ausdehnen. Tatsächlich läßt sich diese Metrik, wenn man von der Gestalt (55) ausgeht, ds2 = [¿(e)

- 1

(65)

Wenn q konstant ist, übertrifft die Klasse c des Baumes F„ die Klasse k höchstens um eine Einheit, und man hat daher c Bezeichnet so gilt

^

^

^

+ l.

(66)

die reelle Klasse des F„ und ist h von positiver konstanter Krümmung,

und wenn h von konstanter negativer Krümmung ist, Ci ^

m(m -

g

1)

h» —1•

Ist q in (63) nicht konstant, so schreiben wir diese Metrik in der Gestalt ds2 = ^(Ag-2

+ h).

Nun seien die Maßbestimmungen kgr 2 und h beide von der Krümmung Null. Dann kann man ds2 = ^[(dx 1 ) 2 H b (¿a;")2] (67) schreiben. Die Klasse der Metrik (67) ist höchstens 2, wie dies H. W. B R I N K MAiTN18) für alle konformeuklidischen Maßbestimmungen bewiesen hat. Um dies einzusehen, setzen wir in (59) 2< = — , u

2° = — ( x i x i — , u\ 4/

zn+1 = — (ata? + u \

4) 4/

und können dann (dz0)2 + (dz1)2 + ••• + (dznf - (dz»+1)2 =

Ii

[(da;1)2 + ••• + (dxB)2]

schreiben. Damit ist (59) als konformeuklidische Metrik mit der imaginären Höchstklasse 2 nachgewiesen. 18

) Vgl. H. W. B B I N K M A N N , On Riemann spaces conformai to Euclidean spaces, Proc. Nat. Acad. Sci 9 USA (1923), S. 1.

§ 5 Die Bäume A„ mit maximaler Automorphismengruppe

43

Man bemerkt auch, daß, wenn der Baum mit der Metrik (67) von der Klasse 1 ist, diese Klasse nicht reell sein kann, da die Differenz n — m höchstens den Wert 2 erreicht. Man bekommt so Gleichungen, die zu (61) analog sind, wobei r,s = m-sr 1, ..., n ist, und es ergibt sich wie im Fall u = u(x1, x2) und w 4, daß die brr nicht reell sein können. Ein anderer spezieller Fall der Metrik (63) liegt vor, wenn h und k von der Krümmung Null sind, so daß ds2 = g2

( ^ )

2

+

- - +

(dx* — "a dd

1r-

(70")

f* dx'

genügt. Da andererseits die einzigen Transformationen, welche Geraden in Geraden verwandeln, projektive Transformationen sind, folgt, daß die Transformationen (71) projektive Transformationen sein müssen. Mit Rücksicht auf (70) und (70') ergibt sich aus (70") d'x'* dx^dx*

dx'1 ,dx'< dx,f r dxi * Ös* ' dz*

dx'*' ,dx'* dx* rs dxi

dx'1 ' dx'

Verlangen wir zusätzlich, daß + a*

(73)

zu bestimmen, deren Determinante | d) | =f= 0 ist und solche

j~ih ß* 6 P ti — o» • ~ . a

1

r>k J u —

s hP o* —, a

+ P f r - e ) - * - ^

r u = o,

Aus der charakteristischen Gleichung wird eine solche in r = mit dem Zusammenhang rix = «,

rt1 = üß,

=

r\i =

(76) k , h > i. r — p a

n* = o.

. Ein Baum h,k>i

mit konstanten a, ß, y, ö gestattet demnach eine w2-parametrige Bewegungsgruppe. Ist p Wurzel der charakteristischen Gleichung (75IV), so sind die Komponenten r'i des affinen Zusammenhangs des Baumes An nach (76) alle konstant. Der A„ kann daher als Baum von konstantem affinen Zusammenhang angesehen werden, wenn man auf Bealitätsbetrachtungen weiter keinen Wert legt. Nun sei p das arithmetische Mittel der Wurzeln der Gleichung (75IV), also p= ^

£

^ . Dann schreiben sich die Gleichungen (76) in der Gestalt Fi _ f*

r* — P + 6 »

ph _ * * + (/«+ 8 ) ' » 11 — 4ö 2

r" — i" ~ g m

J

™ _ n » * —u>

und die Diskriminante der charakteristischen Gleichung ist 4A + (fi + g)2. Sie ist negativ, Null oder positiv, je nachdem die Wurzeln der Gleichung (75IV) imaginär, beide reell zusammenfallend oder beide reell verschieden sind. Man kann dann a immer gemäß der Bedingung 4A + (j« + ß)2 = — 4ea 2 wählen mit e = 0,1, — 1. Da r = ristische Gleichung

r — 7) i - = y — e gilt, ergibt sich für die charaktea y," + Sf = 0.

4 Vranceanu II

(76')

50

I. Teilweise projektive Räume

So bekommen wir den Satz. 2 3 ) Der affine Zusammenhang eines Raumes A„ mit invarianter ~PvAFFscher Form und maximaler Avtomorphismengruppe G„> kann • immer auf die kanonische Gestalt r\1 = 2r,

^

= ^ +

rhu =

r\t

rit = o,

h,k>

öht(r-s),

= 1

reduziert werden, wobei e = 0,1, — 1 und die Gruppe des Raumes durch die Gleichungen (75") und die Lösungen f^ und ip2 der Gleichung (76') gegeben ist. Veränderliche, in welchen der Zusammenhang des Raumes die Gestalt (76") gewinnt, heißen kanonische Veränderliche und der Baum An elliptisch, wenn e = 1, parabolisch, wenn e = 0 und hyperbolisch, wenn s = — 1 ist. Um die Konstante r in der kanonischen Form (76') zu deuten, betrachten wir den Krümmungstensor und seinen abgeleiteten Tensor. Nichtverschwindende Komponenten sind N »

= e + (r -

rUi.x = zr^ri,

*)2>

= 4r( e + (r - «)•),

wobei h > 1 und fest ist. Wenn der Baum symmetrisch ist, ist r offenbar gleich Null. Im elliptischen Fall ist die Krümmung positiv. Die Umkehrung gilt nur für symmetrische und torsionsfreie Bäume. Wir werden jetzt einen Satz von

EGOROV

beweisen:24)

Die Gruppen Gn> lassen sich als projektive Automorphismengruppen zweier Hyperebenen auffassen. Der Satz gilt offensichtlich für die Gruppen (74) mit einer uneigentlichen invarianten Hyperebene. Transformiert man gemäß 1

i

^

*

so wird aus (74) 1 + cy1

1 + cy1

und diese Transformationen bilden eine projektive Gruppe, welche die Hyperebene y1 = 0 und daher auch die Gleichung (y1)2 = 0 invariant lassen. **) Vgl. G. VRANCBANXJ, Propriétés différentielles globales des espaces à groupe maximum Gn». Bul. çtiin$. Aoad. R. P. R., Série Mathém., Physique et Chimie, 6 (1956), S. 49—54. M

) Vgl. H . I L E r o p o B ,

flBHîKeHHH

B

HPOCTPAHCTBAX A$$IIHHON CBH3HOCTH (I. P . EGOROV,

Bewegungen in Räumen affinen Zusammenhangs), Doklady 87, Nr. 5 (1952), S. 693; 89 (1953), S. 781.

§ 5 Die Bäume A„ mit maximaler Automorphismengruppe

51

Nun sei e = 1. Dann gehören zur Gleichung (76') die Lösungen ipt = sin x1, ip2 = cos x1, und die Gruppe (75") verwandelt sich durch die Transformation y1 = tg x1, tf =

cos ¡r1

in die projektive Gruppe 1 — my

1 — my

mit der charakteristischen Eigenschaft, die Gleichung (y1)2 + 1 = 0 invariant zu lassen. Desgleichen gehören, wenn e = — 1 ist, zu (76') die Lösungen y^ = sh x1, y>2 = ch x1, und die Gruppe (75") verwandelt sich durch die Transformation

in die Gruppe *

1 + my1

"

1 + my

y

/

v

;

und läßt die Gleichung (y1)2 — 1 = 0 invariant. Man kann also die Gruppe (?„» in allen Fällen als projektive Automorphismengruppe der beiden Hyperebenen (yi)* +

£

= 0,

e = 1, 0, - 1

ansehen. Damit ist der Satz von EGOBOV bewiesen. Betrachtet man die Komponenten des Zusammenhangs (76") in projektiven Variablen im Fall verschwindender Torsion (s = 0), so bestätigt man leicht, daß dieser Zusammenhang projektiv ist und daß die Komponente y223 = 7ms c i "i" ^aaa

yaas = 7aa3 c i 4" ^aas

7*23 c t > Taas = ^223 c i "f" y*aj >

yJas + yltscl = rJa» c i. yLi +

yaa3cl

7sas C1 "l" yaas c t >

= yistCi.

yias + y 2 2 3 = yiascj, h,k = 4

ra.

Nach den ersten dieser Gleichungen läßt sich c\ so wählen, daß yj as = 1 wird. Mit Hilfe der anderen Gleichungen lassen sich die yf 23 , yj 23 , yi a3 , y\tk durch geeignete Werte der cj(a > 1), cl, c\ (k 4) zum Verschwinden bringen. So erhalten wir das E r g e b n i s : Für einen nicht projektiv-euklidischen A„ (n 2g 3) kann man immer yl„ = 1, annehmen.

ySa3 = o

7m = Yliz = Yn* =

(« + i ) .

(80)

§ 5 Die Bäume A„ mit maximaler Automorphismengruppe

53

Wir betrachten jetzt die Äquivalenzbedingungen (79) für zwei Bäume A„, A'n und setzen dabei voraus, daß das zu Grunde liegende Kongruenzensystem (A) den Bedingungen (80) genügt. Gilt dann 6 = 2 , c = 2,