Differentialgeometrie: Band 2 Theorie der Flächenmetrik [Reprint 2019 ed.] 9783111623931, 9783111246499

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 1179/1179a

DIFFERENTIALGEOMETRIE von

DR. PHIL. K A R L

STRUBECKER

o. P r o f e s s o r d e r M a t h e m a t i k a n d e r T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e K a r l s r u h e

ii T H E O R I E

D E R

F L Ä C H E N M E T R I K

M i t 14 F i g u r e n

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G. J . G ö s c b e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp. B E R L I N

1958

© Copyright 1958 b y W a l t e r d e Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13 Alle Rechte, einschl. der Rechte

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Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — A r c h i v - N r . 11 11 79. Satz : Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. — Bruck : Paul Funk, B e r l i n W 35. Printed in Germany

Inhalt Literaturverzeichnis

Seite 5

III. Theorie der Flächenmetrik Einleitung A. Flächenmetrik 1. Gaußsche Darstellung der Flächen Im dreidimensionalen euklidischen R a u m 2. Zulässige Parameter. Reguläre Parameternetze 3. Einführung neuer zulässiger Gaußscher Koordinaten 4. Flächenkurven. Flächentangenten. Tangentenebene 5. N ormalenvektor der Fläche. Die metrischen Fundamentalgrößen E, F, O, und W. Punkte mit isotropen Flächennormalen und isotropen Tangentenebenen 6. Linienelement und Metrik einer Fläche. Isotrope Flächenkurven 7. Metrisch singulare Flächen ( J F J = Eß - F* = 0) 8. Invarianzeigenschaften von B, F, 0, W und ds* 0. Kugelmetrik. Kugelloxodromen 10. Isotrope Linien und isotrope Parameter der Kugel. Rlemannsche Zahlenkugel. Stereographische Projektion 11. Eulersche Darstellung der Flächen 12. Drehflächen 13. Schraubflächen 14. Stetige Verbiegung der Kettenfläche in die Wendelfläche . . . 15. Isometrie und Verbiegung 16. Metrik der euklidischen Ebene 17. Kegel 18. Zylinder 19. Torsen 20. Regelflächen 21. Kehlpunkte und Kehllinie einer Regelfläche

7

7 13 17 19 21 25 32 40 43 46 61 52 54 55 60 63 65 67 69 73 79

B . Vektoranalysls auf Flächen 22. Beltramis erster Differentiator V v)h + Vv (w, v)e2 + zv (u, v)e3.

Diese beiden Tangentenvektoren sind genau die Zeilenvektoren der Funktionalmatrix 2JI in (2). Ihr A u ß e n p r o d u k t ist der V e k t o r

16

III. A. Flächenmetrik

dessen Koordinaten die drei Unterdeterminanten zweiter Ordnung der Matrix 35i sind. Die Voraussetzung (7) besagt dann, daß in keinem Punkte P(u, v) des Flächenstücks 0 das Außenprodukt (12) der beiden Tangentenvektoren %u(u,v) und tcV(U,v) verschwinden darf: (2.13) [Em. SO] =1= 0 • Dann ist gewiß auch =f= 0 und £„ =f= o, d. h. u und v sind dann auf den Parameterlinien der Fläche im Sinne von ( I I . 2) z u l ä s s i g e P a r a m e t e r ; darüber hinaus sind aber die Tangentenvektoren x u und j „ der Parameterlinien wegen (13) auch n i c h t p r o p o r t i o n a l , d . h . die beiden P a r a m e t e r l i n i e n b e r ü h r e n s i c h n i c h t , sondern schneiden sich in jedem Flächenpunkte P(u, v) unter einem Winkel 95, der weder 0 noch n ist. Wir nennen Gaußsche Parameter u, v, die auf der Fläche 0 der Bedingung (7) oder (13) genügen, zulässige P a r a m e t e r . Die w-Linien und die i;-Linien bilden dann auf dem glatten Flächenstück 0 ein reguläres P a r a m e t e r n e t z , dessen v i e r e c k i g e (i. a. k r u m m l i n i g e ) M a s c h e n keine verschwindenden oder gestreckten Winkel aufweisen (dessen Seiten sich nicht berühren). Zusammenfassend gilt also (Bild 1): Satz 2 : Ein Flächenstück 0 der Gaußschen Darstellung J = J(M, V) ist glatt, wenn es durch zulässige, d.h. solche Gaußsche Parameter (u,v) beschrieben werden kann, in deren Definitionsbereich, 93 (u, v) überall j (u, v) nach u und v stetig ableitbar und (2.14) ist. Durch jeden Punkt

te» Er] =1= 0 PQ(u0, v0) von 0 läuft dann genau

eine

3. Einführung neuer Gaußscher Koordinaten

17

u-Linie (v — vg) und genau eine v-Linie (u = u0). Diese Parameterlinien überziehen das Flächenstück 0 mit einem regulären Parameternetz, dessen Netzmaschen vier weder verschwindende noch gestreckte Winkel aufweisen. Die Punkte P(u,v) eines durch zulässige Parameter darstellbaren glatten Flächenstücks 0 heißen reguläre Flächenpunkte. 3. Einführung neuer zulässiger Gaußscher Koordinaten. Eine g l a t t e F l ä c h e 0 (gemeint ist damit stets ein g l a t t e s F l ä c h e n s t ü c k 0) mit abgeschlossenem Parameterbereich 93 (w, v) vom Ortsvektor (3.1) mit (3. 2)

i

=

V)

[in{u, v), s„(w, v)] =f= o

sei auf die zulässigen (alten) Gaußschen Parameter (u, v) bezogen. Neue zulässige G a u ß s c h e P a r a m e t e r (ü, v) hängen dann mit den alten (u, v) durch stetig ableitbare Gleichungen (3.3) ü = ü(u,v), v = v(u,v) zusammen, die (wegen der eindeutigen Beschreibung der Flächenpunkte P sowohl durch die alten als auch die neuen Parameter) e i n d e u t i g nach (u, v) a u f l ö s b a r sein sollen. Nach dem Fundamentalsatz über implizite Funktionensysteme ist dafür notwendig und hinreichend das Nichtverschwinden der F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e (3.4) '

3(u,v)

=

\vu

Die (im Kleinen eindeutige und stetig ableitbare) Auflösung (Umkehrung) von (3) lautet dann: (3.5)

u = u(ü,v),

v =

v(ü,v),

wobei ebenfalls die Funktionaldeterminante 2

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I I

18 (3.6)

III. A. Flächenmetrik D

=

3 (u, v)

1 = I + 0 3 (M, v) D 3 (U, V)

ist. Die Gaußsche Darstellung der Fläche 0 lautet dann in den neuen Parametern (w, v) nach (1) und (5) (3. 7)

j = £(w, v) = %[u(ü, «), «(w, w)] =

»).

Die neuen Parameterlinien, nämlich die «-Linien (ü = variabel, v = fest) und die v-Linien (ü = fest, v — variabel), bilden dabei auf der Fläche 0 wegen der Voraussetzung (4) wieder ein r e g u l ä r e s P a r a m e t e r n e t z . Die Tangentenvektoren EJJ(M,«) und (ü,v) der neuen Parameterlinien sind nämlich (3.8)

I 5 = S«' «« + S, • »5.

If = S , ' « f

und ihr Außen produkt ist dabei wegen (2) und (6) (3.9)

[E5,Si]=|^|-[S.,S,]#=o.

Bemerkung 1: Je nachdem dabei die (in u und v stetige) Funktionaldeterminante (3.10)

^ > 0 oder « < 0 3(lt, V) d(u,v) ist, haben die Vektorenp&are j„) und (j„, ji) auf der Fläche denselben oder verschiedenen Sinn; entsprechend sind die Gau fischen K o o r d i n a t e n s y s t e m e (u,v) und (ü,v) dann auf der Fläche gleich oder e n t g e g e n g e s e t z t o r i e n t i e r t . Bemerkung 2: Aus den vorstehenden Überlegungen folgt, daß die zulässigen P a r a m e t e r ä n d e r u n g e n (3) der Eigenschaft (4) eine Gruppe bilden. Bei der Zusammensetzung zweier (regulärer) Parameteränderungen (u, v) || (ü, v) und (5, v) || (u, v) multiplizieren sich ihre Funktionaldeterminanten: ,g ^

3(M, v) _ 3(u, v) _ 3(5, v) d(u,v) d(Ü,v) 3(U,V) Bemerkung 3: Der Sonderfall einer neuen B e z i f f e r u n g der P a r a m e t e r s k a l e n entsteht, wenn in den Formeln (3) der

4. Flächenkurven. Flächentangenten. Tangentenebene

19

Parameter ü nur von u und der Parameter v nur von v abhängt, also (3.12) ü = ü(u), v = ü(t>), gilt, und dabei (3.13)

d(u,v)

du

av

ist. Das N e t z der P a r a m e t e r l i n i e n bleibt dann als Ganzes u n g e ä n d e r t , nur die B e z i f f e r u n g e n der Parameterlinien (die P a r a m e t e r s k a l e n ) ä n d e r n s i c h . Die alten Skalenwerte w und v werden dabei durch die neuen Werte ü und v ersetzt.

4. Flächenkurven. Flächentangenten. Tangentenebene. Wählt man auf der glatten Fläche 0 mit dem Ortsvektor (4.1)

i = i(u, v) = x(u, v) e x + y(u, v) e 2 + z{u, v) e 3

die Parameter u und v als stetig ableitbare Funktionen eines Parameters t, indem man setzt (4.2)

u=u(t),

v = v(t),

so bilden die entstehenden Punkte P(u(t), v(t)) eine F l ä c h e n k u r v e k mit dem Ortsvektor (4.3)

S = S(«(Q.«(Q) = S(Q.

Als T a n g e n t e n v e k t o r dieser Flächenkurve h erhält man nach (II. 2. 2) durch Ableiten von j(£) nach dem Parameter t den Vektor , . d£{t) _ du(t) dv(t) v + dt - l u ~2f ~ i r oder (4.5) ¿(0 = £ « - « ( 0 + £ . • » ( ' ) • Wegen (2.13) ist j(i) k e i n N u l l v e k t o r und daher t ein z u l ä s s i g e r K u r v e n p a r a m e t e r auf der Flächenkurve h, wenn (und nur wenn) (4.6)

(«( 0 .

Nach der Identität von L a g r a n g e (II. 1. 22) erhält man für das L ä n g e n q u a d r a t ÜJi2 des N o r m a l e n v e k t o r s (1) ausführlicher (5. 3)

= [ui*]2

= lllt

- {luhf

— EG — F2 — W2.

Dabei haben wir mit G a u ß (1827) gesetzt:

(5.4)

E = E(u,v) = FU(u,v) =xl + yl + zl, + zuzv, F = F(u,v) = iu (W, V) •Zv(u,v)=xuxv+yuyv =xl+yl+zl G = G(u, v) = J?(M, V)

und (5. 5) \W2 = EG — F2, d. h. W = W(u, v) = }/EG -

F2.

Die n u r v o m F l ä c h e n p u n k t e P(u,v) abhängigen G r ö ß e n E(u,v), F(u,v), Q(u,v) heißen die Gaußschen Fundamentalgrößen 1. A r t der Flächentheorie. Sie beherrschen, wie sich zeigen wird, die Metrik der Fläche und heißen daher auch die metrischen Fundamentalgrößen der Fläche i(u, v). Die Größen (5. 6)

E =

2 Eu

= | £ u |« und G = E« = |

|2

sind identisch mit den L ä n g e n q u a d r a t e n d e r T a n g e n t e n v e k t o r e n j u und £„ der Parameterlinien. Daher ist für r e e l l e F l ä c h e n und r e e l l e r e g u l ä r e P a r a m e t e r n e t z e stets (5.7)

E(u,v)>Q

und

G(w,v)>0.

5. Normalenvektor. Metrische Fundamentalgrößen Bemerkung 1 : Auf k o m p l e x e n kann jedoch auch (5. 8)

E(u, v)

=

E»(U,

analytischen

v) = 0 bzw. G (it, v) = £»(«,

23

Flächen V) =

0

sein. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn im Punkte P(u,v) die P a r a m e t e r r i c h t u n g e n j u bzw. j „ i s o t r o p sind. Ist überall auf der Fläche (6.9)

E(u, t ) ) s O bzw. ß(w, » ) = B 0 ,

so sind alle P a r a m e t e r l i n i e n der Fläche i s o t r o p . Die Fläche ist dann auf i s o t r o p e P a r a m e t e r (u, v) bezogen. Schließen die (nichtisotropen) Parameterrichtungen £ u , j „ miteinander den Winkel

Die (isotrope) T a n g e n t e n e b e n e r der Fläche TC(U, V) im Punkte P(u, v) hat nach (8) den (isotropen) Vektor j„(w, v) als Normalenvektor; ihre Gleichung lautet daher (7.14)

E,(X

-

5) = 0 .

36 ist dabei der Ortsvektor eines in r laufenden Punktes. Die Tangentenebene T ändert sich nach Satz 3 nicht, wenn man bei festem u den Wert von v ändert. Um die G e s a m t h e i t aller T a n g e n t e n e b e n e n T. der F l ä c h e zu erhalten, genügt es daher, den Parameter u zu variieren. Dann sind drei F ä l l e möglich: Fall 1: Alle i s o t r o p e n T a n g e n t e n e b e n e n r(w) der Fläche j(m, V) sind m i t e i n a n d e r i d e n t i s c h . Die Fläche J(M, V) ist dann eine feste isotrope Ebene. Kennzeichnend dafür ist, daß die Vektoren = [£UE„] und 31« = [EuuEol + [Zulu»] dieselbe Richtung haben, d. h. daß (7.15)

[91».]-o

{u,v}

ist. Nach der Regel des doppelten Faktors (II. 1. 38) bedeutet dies: ««EtJ] [EMEudI] = [[EuEs] [EmmE®]] + [[EMEO] [E«E«„]] = — [Eu ED EM«] ED [EUEDEucIEW = ® • Wegen der linearen Unabhängigkeit von und folgt daraus [E«E„Eu«] = 0 und [lutvtuv] = 0Weil nach (13) die zweite Gleichung für Flächen mit TF s= 0 ohnehin stets erfüllt ist, bleibt schließlich nur die (notwendige und hinreichende) Bedingung 8»

36

III. A. Flächenmetrik

(7.16)

[EuieEuu] = 0

{u,v}

als K e n n z e i c h e n des 1. F a l l e s einer festen isotropen Ebene ¡(u,v), deren (untereinander parallele) isotrope Geraden als v-Linien gewählt sind. Lautet die Gleichung der isotropen Ebene z. B. (7. 17) y + iz= 0, so folgt dy + idz = 0 und dy2 - f dz2 = (dy + idz) (dy — idz) = 0. Das B o g e n e l e m e n t ds = ]fdx2-}-dy2 + dz2 der isotropen Ebene (17) hat daher die r a t i o n a l e G e s t a l t (7. 18)

ds = dx.

I n den übrigen Fällen sind die isotropen Tangentenebenen t(m), welche die metrisch singulare Fläche j(tt, V) mit W = 0 längs ihrer isotropen geraden ^-Linien (u = const) berühren, voneinander verschieden, und es gilt als Gegensatz zu (16) (7.19)

[E«S.E«J^0.

Satz 1 behauptet, daß die metrisch dann entweder (Fall 2) ein isotroper eine isotrope Torse (Tangentenfläche pen Raumkurve) ist.

singulare Fläche j(m, V) Kegel oder (Fall 3) einer krummen isotro-

Beweis: Ist zunächst (7.20)

t> = t5(M)

eine b e l i e b i g e k r u m m l i n i g e , nicht isotrope F l ä c h e n k u r v e ( L e i t l i n i e ) , so kann man sie als P a r a m e t e r l i n i e v — 0 («-Linie) wählen und unter u ihren Bogen verstehen, also t)' 2 (u) = 1 annehmen. Sind dann mit x(u) e£e 0 nach (II. 4) (7.21)

t = >>'(«), % =

&=

die Vektoren ihres begleiterden Dreibeins, so gelten nach (II. 6.14) die Frenetschen Formeln (7.22) Ist dann (7. 23)

t'=*t), ä

Ij'= -

= j(«)

mit

xt + t 6 , a 2 («) = 0

b'=-Tlj.

7. Metrisch singulare Flächen

37

der Vektor der durch den Kurvenpunkt w von \)(ü) laufenden g e r a d l i n i g e n i s o t r o p e n u - L i n i e , so kann die metrisch singulare Fläche j(m, V) in der Form (7.24) v = 1c(u,v)= \)(w) + vi(u) geschrieben werden. Die Linie v = 0 deckt sich mit der Leitlinie (20) der Fläche. "Weil dabei der i s o t r o p e V e k t o r £„ = ¡(u) die Richtung der F l ä c h e n n o r m a l e n 9l(u,v) haben soll, also auf dem Tangentenvektor t = t)'(«) der Leitlinie (20) normal steht, d. h. (t)'ä) = ( t j ) = Oist, liegt er in der N o r m a l e b e n e v der Linie (20) und kann daher in der Form (7.25)

5(m) = t)(u) ±

ib(u)

geschrieben werden. Die R e g e l f l ä c h e j(w, v) mit isotropen geraden Erzeugenden und W = 0 lautet daher im Falle (19) schließlich (7.26) E = E(«.«) = $ ( « ) + •>($(«) ± »&(«)). Bemerkung 1 : Entsprechend den beiden Vorzeichen von i in den Formeln (25) und (26) gibt es durch die Leitlinie (20) zwei verschiedene Flächen j (u, v) mit W = 0. Es genügt bei der weiteren Rechnung, die zu dem positiven Vorzeichen von i gehörende Fläche zu betrachten. Man findet dann aus (26) wegen fj' + ib' = — xt — tT(fj + ib) die abgeleiteten Vektoren Zu = t + V(Y + iV) = (1 - W)t - iTV(t) + ib), Es == £) + »6, (7. 27) luu = v{ixT-x')t + (1 - tev)xfj - v(ir' + r2)(i) + luv = - xtir(i) + ¿6), Em, = o > und den isotropen N o r m a l e n v e k t o r (7.28)

ib),

31 = [EUE„] = — t ( l — * v ) ( I j + ¿ b ) = M -

Also sind die m e t r i s c h e n F u n d a m e n t a l g r ö ß e n der Fläche (26) (7. 29)

E = il = (1 -

xvf, F =

ft.;,)

^ 0, G =

S

J = 0.

Somit ist tatsächlich W2 = EG - F2 = 0 und wegen x (w) (7. 30)

[EuEdEum] = - ¿ * ( 1 -

xvf

0

0, jedoch [euE„EOT] = 0.

Zwischen den Vektoren Emi Zv> Em» besteht also eine lineare Abhängigkeit, nämlich (7.31)

+ * T J „ + ( 1 - w ) i „ „ s o.

38

III. A. Flächenmetrik

Das Netz der Parameterlinien ist wegen (28) auf der Fläche (26) überall regulär, außer in jenen Punkten P(u, v), in denen (7.32)

1 - xv = 0, d. h. v = - ^ - r = x(u)

r(u)

ist. r = r(u) = l/x(u) ist dabei nach (II. 14) der S c h m i e g k r e i s r a d i u s der L e i t k u r v e tj(w). In diesen Punkten (7.33)

!&=t)(u)

+ r(u)-(i)(u)

+

ii(u))

der metrisch singulären Fläche (26) berühren sich wegen 92 = [%u = o die Parameterlinien der beiden Scharen. Die Formel (33) stellt also das Hüllgebilde d e r auf d e r F l ä c h e (24) l i e g e n d e n i s o t r o p e n G e r a d e n s c h a r dar. Dieses H ü l l g e b i l d e (33) ist im Fall 2: ein f e s t e r P u n k t , wenn (7.34)

Xu ^ o

{«}

ist. Die Fläche (24) ist dann der isotrope Kegel (Nullkugel, Kugel vom Radius R = 0) mit dem festen Punkte X als Scheitel. Da aus (33) folgt (7.35)

3 e B = ( r ' - t r r ) ( ^ + ib),

tritt dieser Fall dann ein, wenn (7. 36)

r ' -irr

ss 0

{«}

gilt, oder auch (im Hinblick auf Bemerkung 1) dann, wenn f + irr = 0 {u} ist, zusammengenommen also dann und nur dann, wenn (7.37) r' 2 + r 2 T2 = 0 {iu} gilt. Ist dann die Leitlinie (20) kein Kreis ( / 4= 0, r #= 0), so ist sie nach (II. 14.14) tatsächlich eine doppeltgekrümmte Kurve auf einer N u l l k u g e l , nämlich eine nichtebene sphärische Kurve auf einer Kugel vom Radiusquadrat ß2 =

(7.38)

r2r2

r' 2 T

= 0.

Ist dagegen im Fall 3 : (7. 39)

Xu

o, d. h. r' 2 + r 2 r 2 ^ 0,

so ist das H ü l l g e b i l d e (33) der isotropen geraden v-Linien der

7. Metrisch singulare Flächen

39

metrisch singulären Fläche(26) eine k r u m m e i s o t r o p e R a u m k u r v e und die Fläche (26) selbst ist ihre T a n g e n t e n f l ä c h e , d. h. eine isotrope Torse. Tatsächlich stimmt dann nach (35) die Tangentenrichtung 3EU der G r a t l i n i e (33) mit der Richtung ä(u) der isotropen Erzeugenden (25) der Fläche (26) überein. Das B o g e n e l e m e n t des i s o t r o p e n K e g e l s beziehungsweise der i s o t r o p e n T o r s e , die man durch die gegebene Raumkurve j = j (u) mit dem Bogen u und der Krümmung x = x (u) 0 legen kann, hat nach (29) die r a t i o n a l e G e s t a l t (7. 40)

ds = (1 —

vx{u))du,

die wegen x(u) ^ 0 von der Gestalt ds = dx des Bogens der isotropen Ebene (7. 17) verschieden ist. Zusammenfassend ist damit in Erweiterung des Satzes 1 bewiesen: Satz 4 : Es gibt dreierlei Arten von metrisch singulären Flächen £ = £(w, v) mit W2 = EG — F2 = 0, d.h. mit nur einer Schar isotroper Flächenkurven. Es sind dies 1. die isotropen Ebenen (Tangentenebenen des Ponceletschen absoluten Kegelschnitts), 2. die isotropen Kegel, 3. die isotropen Torsen. Die isotropen Kurven jeder solchen Fläche sind stets geradlinig, nämlich 1. die parallelen isotropen Geraden der isotropen Ebene, 2. die geraden isotropen Mantellinien des isotropen Kegels, 3. die isotropen Tangenten der krummen isotropen Gratlinie der isotropen Torse. Längs jeder dieser isotropen Geraden besitzt die Fläche eine feste isotrope Tangentenebene. Auch die Flächennormalen sind isotrop; sie stimmen mit der isotropen Berührungsgeraden der jeweiligen Tangentenebene überein. Wir schließen in Zukunft diese m e t r i s c h s i n g u l ä r e n F l ä c h e n mit Tf 2 = 0 aus der Betrachtung aus und setzen stets (7. 41)

W'-ä = EG - F2 äp 0

voraus. Der N o r m a l e n v e k t o r

v) =

=f= o die-

40

III. A. Flächenmetrik

ser metrisch regulären = [EwSJ2 = EG - F2 = punkten isotrop.

Flächen ist dann wegen 0 nur in A u s n a h m e -

8. Invarianzeigenschaften von E, F, G, W und ds2. Die e l e m e n t a r e F l ä c h e n t h e o r i e befaßt sich mit solchen differentieilen Eigenschaften der Fläche j = £(m,d), die 1. u n a b h ä n g i g sind von der speziellen L a g e der Fläche im Raum und die 2. auch u n a b h ä n g i g sind von der s p e z i e l l e n P a r a meterwahl. Ä n d e r u n g e n der L a g e der Fläche im Raum werden analytisch beschrieben durch die aus (II. 1) bekannten o r t h o g o n a l e n T r a n s f o r m a t i o n e n der cartesischen Koordinaten £ = (x, y, z) der Flächenpunkte. Diese Transformationen bilden eine sechsgliedrige stetige Gruppe und werden durch die Formeln (II. 1 . 1 ) mit den Orthogonalitätsrelationen (II. 1. 2) und (II. 1. 3) beschrieben. Ä n d e r u n g e n der P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g j = v) der Fläche werden analytisch beschrieben durch die regulären P a r a m e t e r t r a n s f o r m a t i o n e n (8.1)

ü =

ü (u,

v),

V =

V (u, v)

| U =

U (Ü, v),

V =

V (ü,

v)

mit nichtverschwindenden Funktionaldeterminanten (8. 2) V

'

D =

= ~ 3(M,

V)

d{U,

, V)

= - 4 =#() und D = 4 + 0 . D D ^

3(M, V) Diese Parametertransformationen bilden eine s t e t i g e Gruppe mit unendlich vielen Parametern. Elementare differentialgeometrische Eigenschaften einer Fläche i = £(w, v) sind also solche lokale (differentielle) Eigenschaften der Fläche, die unveränderlich (invariant) sind sowohl gegenüber der Gruppe der orthogonalen Transformationen der

8. Invarianzeigenschaften

41

Flächenkoordinaten (x, y, z) als auch gegenüber der Gruppe der regulären Transformationen der Flächenparameter (u, v). Différentielle Eigenschaften der Fläche £ = J(M, V) lassen sich daher durch solche Funktionen J der Ableitungen des Ortsvektors j(w, v) nach den Parametern u und v beschreiben, welche bewegungs- und parameterinvariant sind. Geht die Funktion J durch orthogonale Koordinatentransformation in die Funktion J* und durch reguläre Parametertransformation in J über, so soll also (8.4) J* = J und / = J sein. Man nennt eine solche Größe J eine (absolute) o r t h o g o n a l e D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e fc-ter O r d n u n g , wenn in ihr Ableitungen bis zur fc-ten Ordnung auftreten. Wegen der Bewegungsinvarianz kommen dabei in J nur I n n e n p r o d u k t e von je zweien u n d A u ß e n p r o d u k t e von j e dreien der in (3) angeschriebenen Vektoren vor. Bemerkung: 1 : Die eben erklärten a b s o l u t e n orthogonalen Differentialinvarianten J sind ein Sonderfall der r e l a t i v e n orthogonalen Differentialinvarianten. Darlinter versteht man solche orthogonale Invarianten J der Gestalt (3), welche sich bei einer regulären Parametertransformation (1) mit einer Potenz der d(u v) Transformationsdeterminante D = ' J multiplizieren, für die

J =

DP-J.

Den Exponenten p nennt man das G e w i c h t der relativen Differentialinvariante J. Für p = 0 erhält man eine a b s o l u t e Invariante. F ü h r t man durch die reguläre Parametertransformation (1) neue Parameter (ü, v) ein, so nimmt der Ortsvektor j = j(tt, V) der Fläche die Gestalt an

42 (8. 6)

III. A. Flächenmetrik I = L{u,

v) = TC(U(Ü, V), v(ü,

V))

= £(w,

V) =

j.

Es gelten dann für die T a n g e n t e n v e k t o r e n £- und j- der neuen Parameterlinien die Transformationsformeln (8. 7)

& = l n u ü + E,»s. h = lu u v + E»«f.

und für die neuen metrischen Fundamentalgrößen E, F, 0 gilt nach (5. 4) (8. 8)

l = (Mü) = + S ^ m ^ s + Gitf, F = ( j s f - ) = Sujtty + F(u 5 I7 ? + u ; e 5 ) + G«5I>5, G = (i,-&) = ^ V

+

t>f + G V -

Nach (8) sind die metrischen Fundamentalgrößen 2?, F, O zwar bewegungsinvariant, jedoch nicht parameterinvariant. Wegen der P a r a m e t e r i n v a r i a n z des e r s t e n D i f f e r e n t i a l s , d. h. wegen (8. 9)

äl(ü, v) = lüiü

+ 3:¿dv = iudu + %vdv = ä%(u, v)

gilt für das B o g e n e l e m e n t q u a d r a t der Fläche (8.10)

da2 = {di (ü, v))2 = (dj(w, v))2 = ds2

oder (8 111

d

*2 = + '¿Fdüdv + Gifö2 2 = Edu + 2Fdudv + G 0 aus (1. 6) (9. 2) j =

v) — r(cosw cosf e t + sin« cosue 2 + sint>e3)

(r > 0, — n < u ^ + n, - n/2 ^ v ^ + n/2) ist M die g e o g r a p h i s c h e L ä n g e , v die g e o g r a p h i s c h e B r e i t e des Kugelpunktes P(u, v). Die beiden P o l e der Kugel, nämlich der N o r d p o l N (u = beliebig, v = + n/2) und der S ü d p o l S (tt = beliebig, v = — n/2) sind s i n g u l a r e P u n k t e dieses g e o g r a p h i s c h e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s {tt, v} der Kugel, weil durch sie 1. alle M e r i d i a n k r e i s e u = const (v-Linien) hindurchgehen und 2. die zugehörigen B r e i t e n k r e i s e «jy = + n/2 bzw. vg = — n/2 sich auf einen e i n z i g e n P u n k t (N bzw. S) zusammenziehen. Die T a n g e n t e n v e k t o r e n jM der « - L i n i e n ( B r e i t e n k r e i s e ) und der ^ - L i n i e n ( L ä n g e n k r e i s e ) haben die Koordinaten (9.3)

{'•Tu \ —rsinwcosu, -frcosMcosu, 0 i : ::=ü; I: — r cos« sins, — r sin« sinv, r cost; j

und sind im Sinne wachsender Parameter orientiert (Bild 2). Für die F l ä c h e n n o r m a l e 9t = [juf„] im P(u, v) folgt daraus mit Rücksicht auf (2) (9.4)

91 =

j„] = r cos v

Kugelpunkte

•£(«,«).

Wegen j(w, v) #= o ist in den beiden Polen (v = ± n/2) der Normalenvektor = 0, sonst ist überall =t= o, und 9Z hat die Richtung des Kugelradius %(u,v). Das g e o g r a p h i s c h e K o o r d i n a t e n s y s t e m {u, v) der Kugel ist also nur in d e n b e i d e n P o l e n s i n g u l ä r , s o n s t r e g u l ä r . Die Kugelfläche selbst ist jedoch weder im Nordpol N noch im Südpol S singulär, beide Punkte N und £ sind vielmehr v ö l l i g r e g u l ä r e F l ä c h e n p u n k t e . Die m e t r i s c h e n F u n d a m e n t a l g r ö ß e n der Kugel (2) lauten (9. 5)

E = il = r 2 cos 2 o, F =

= 0, ö = j 2 = r 2 .

44

III. A. Flächenmetrik

Wegen F = 0 durchsetzen sich die Parameterlinien (Meridian- und Breitenkreise) überall auf der Kugel rechtwinklig. Es folgt | = ]/EG - F2 = r 2 cosv. + In allen (reellen) Kugelpunkten ist W > 0, außer in den beiden Polen (v = ± n/2); dort gilt W = 0. (9. 6)

W = |m |= 1

Das B o g e n e l e m e n t q u a d r a t der Kugel lautet nach (5) und (6.11) (9.7) ds2 = r2(eos2v du2 + dv2). Die Flächenrichtungen (du^.dv^ und (du2: dv2) schließen im Punkte P(w, v) der Kugel nach (6.14) einen W i n k e l y> ein mit (9. 8)

cos y> =

cos2u du, duo + dv, dv« , • + dv\ •+J/cos2d du\ + dv\ +J/cos u 2

Das F l ä c h e n e l e m e n t der Kugel ist dO = W dudv— r2 cosu dudv.

(9. 9)

Die gesamte O b e r f l ä c h e d e r K u g e l ist daher + n + n/2 + n + ji/2 (9.10) 0 = f f r2cosvdvdu~r2 f d u f cosvdv = - n - nß —n -nj 2

4r2n.

Beispiel 1: Als Anwendung bestimmen wir die Loxodromen der Kugel (Ao|o's = schief, Sgöfios = Lauf), d. h. jene sphärischen Linien, welche die Breitenkreise (v — const) der Kugel unter dem f e s t e n spitzen W i n k e l co schneiden. Die Meridiankreise (w = const) werden dann unter dem festen spitzen Winkel (Azimut) n/2 — co geschnitten (Bild 2). Ist (du^.dvj) — (du:dv) die Tangentenrichtung der gesuchten Loxodrome und (du^dv^) = (1:0) die Tangentenrichtung des Breitenkreises im Punkte P(u, v), so folgt aus (8) (9. 11)

cos co =

cos 2 vdu 2

ycos vdu

2

+

cos v du — — 2= = — , + dv • +ycos v y cos2v du2 + dv2 + 2

d. h. nach Trennung der Veränderlichen u und v ßny2 te2co du2 = — ,2 - oder tgcu du = 4 , v(9.12) ' ® cos i; cos v

9. Kugelmetrik. Kugelloxodromen

45

wehn wir an jene Kugelloxodromen denken, die von Südwesten nach Nordosten laufen (bei denen du und dv gleiche Vorzeichen haben). Durch Integration der Differentialgleichung (12) erhält man (9.13)

( « - « . ) tga> = In

.

(m0 = Integrationskonstante) als Darstellung der Kugelloxodromen, welche die Breitenkreise der Kugel unter dem festen spitzen Winkel a> in nordöstlicher Richtung durchsetzen. Diese D r e h s c h a r entsteht aus der speziellen Loxodrome (9.14)

„ . t g 0 , = lntg(-|-+-J-)

durch Drehung um die Kugelachse (z-Achse) um den Winkel u0. Man kann die Gleichung dieser durch den Anfangspunkt P o (0,0) der geographischen Koordinaten laufenden Loxodrome (14) auch in der Gestalt (9.15)

tg y = £ g

oder

tg » = ©in {u tgco)

schreiben. Da aus w-»- + oo folgt: + jr/2, und aus m-s- — oo folgt: «-> — n/2, umwindet die Loxodrome den Nordpol N(v = + ji/2) und den Südpol S (v = — ji/2) spiralig in unendlich vielen (immer enger werdenden) Windungen. Die beiden Pole sind also a s y m p t o t i s c h e P u n k t e oder W i c k e l p u n k t e der Loxodrome, die daher eine transzendente sphärische Linie ist (Bild 2). Aus (15) folgt noch (9.16)

cos« =

,

s i n , = Xg(u tgco),

womit man durch Eintragen in (2) schließlich die folgende vektorielle P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der K u g e l l o x o d r o m e (14) erhält: (9.17) j = j(m) =

(M t g a ) )(cos«e 1 + sinMe 2 +©in(Mtgco)e 3 ).

Für u = 0 ergibt sich der Kugelpunkt P0 (r, 0, 0), d. h. der Nullpunkt des geographischen Koordinatensystems.

46

III. A. Flächenmetrik

Der N o r m a l r i ß dieser Kugelloxodrome auf die Ebene 2 = 0 hat nach (17) in den Polarkoordinaten (R, & = u) die Polargleichung (9.18) R • do\( tgcu) = r (r = Kugelradius). Das ist eine sogenannte P o i n s o t s c h e S p i r a l e . Um die B o g e n l ä n g e s der Loxodrome vom Anfangspunkte 0) bis zu dem in (17) dargestellten Punkte P mit dem Parameter w zu berechnen, berücksichtigen wir, daß für unsere Loxodrome die Differentialgleichung (12) besteht, und finden P

o

( u = 0 , v =

damit wegen du2 = -—„ 2

tg U)

dv2

„ - aus (7) cos2« ' u

(9.19)

, - r . f y .cos2i> du2 + dv2 u = 0

«=0 Für v — + rc/2 erhält man als Länge s des Loxodromenbogens von (9. 20)

s = ^ ^ , 2 sincu

also trotz der unendlich vielen Windungen der Loxodrome um den Nordpol N nur einen e n d l i c h e n Wert. Ein Schiff, das auf dem Weltmeer festen Kurs (in fester Himmelsrichtung) steuert, beschreibt auf der Erdkugel eine Loxodrome. Das Schiff fährt dabei auf dem Ozean zwischen Start und Ziel n i c h t die k ü r z e s t e B a h n , die ein Großkreisbogen der Kugel wäre, sondern nur die navigatorisch bequemste Bahn festen Kurses. 10. Isotrope Linien und isotrope Parameter der Kugel. Riemannsche Zahlenkugel. Stereographische Projektion. Wie jede reguläre algebraische Fläche zweiter Ordnung trägt auch die Kugel zwei (konjugiert komplexe) S c h a r e n g e r a d l i n i g e r E r z e u g e n den. Wir wollen beweisen, daß diese beiden Erzeugendenscharen mit den i s o t r o p e n L i n i e n der K u g e l identisch sind.

10. Isotrope Linien und isotrope Parameter der Kugel

47

Beweis: Für die isotropen Linien verschwindet das Bogenelement (9. 7) der Kugel, d. h. für sie ist (10.1) ds2 = r 2 cos2v (idu+ — ) i du + ) = 0. V ' \ COS VI \ cos VJ Weil die Klammerausdrücke vollständige Differentiale sind, gelten für die i s o t r o p e n L i n i e n der Kugel die Differentialgleichungen (10.2) dU = idu + — = 0, dV=-idu+ — = 0. cos V COS V Die Gleichungen der isotropen Linien der Kugel lauten daher in geographischen Koordinaten (w, v): U = + in + l n t g = const, (10. 3) V 7t\

(

-+ - J = const. Um die Art dieser Kurven leichter zu erkennen, führen wir U und V als i s o t r o p e P a r a m e t e r der Kugel ein. Dann gelten für U und V wegen iu = In (e iu ) die Formeln (10.4) Z7 = l n [ e ' « - t g g + J ] ,

7 = ln [ « - ' » - t g ^ + j ) .

Wir ändern sogleich die Parameterskalen U, V, indem wir (10.6)

J7=lnu,

V = In i

setzen und gewinnen schließlich für die endgültigen i s o t r o p e n P a r a m e t e r u, v der K u g e l die Formeln (10.6)

fi=«'-tg(g

+ g ,

fS = « - ' « t g ( l + f j .

Daraus ergeben sich die Beziehungen ü+ v

=

2cosm

• tg

+

j j

u — v — 2i sinw • tg

cos

(10. 7) ~

,

1

* 2 lv ,

-i

(2+4)

" " " c o s 2

+

2

)

(i+i)

Sffl!) cos2

(äb'i)

48

I I I . A. Flächenmetrik

und daraus schließlich nach (9.2) die folgende r a t i o n a l e v e k t o r i e l l e D a r s t e l l u n g der K u g e l (Radius r = 1) durch die (komplexen) isotropen Parameter u und v: .„,. (10. 8)

E=

M + ? ,1M— V , UV — 1 ' ex + - • , 1 e2 + e3. MD+ 1 » UV + 1 UV + 1 "

Mit der Abkürzung X(ü, v) = = = j; = = iS

(10. 9)

lüu =

A(«, A(«, A(«, A(i,

^

folgt daraus

v) • {(1 - ¿(1 + i z )e 2 + 2 i e3} i ) • ti(i') 0) • {(1 - Ä 2 )e! + ¿(1 + m2)ea + 2«e 3 } v) • u(M) ' ö(i),

=

?) • U(M).

Daraus folgt schließlich wegen (10.10)

[ j j Esa] = o {£} und [ j j j j j ] s o { J }

nach (II. 3 Satz 1) der zu beweisende Satz 1 : Die isotropen Linien ü = const und v = const (oder U= const und V = const) der Kugel sind geradlinig und fallen mit den leiden (konjugiert komplexen) Scharen geradliniger Erzeugendender Kugel zusammen. Aus (9) ergeben sich für die isotropen Parameter u, v die metrischen Fundamentalgrößen (10.11)

E(Ü, v) = G(Ü, v) = 0, F(u, 5) =

und damit das Bogenelementquadrat der Kugel (10.12)

(1 +

s

uvf

Bemerkung 1 : Um in der (komplexen) Darstellung (8) r e e l l e P u n k t e P(x,y,z) der Kugel (Radius r = 1) zu erhalten, muß man den isotropen Parametern ü und v konjugiert komplexe Werte geben. Setzt man (IC. 13)

ü = w = X + iY,

v= w =

X - i Y ,

so erhält man die reellen Kugelpunkte -, 4s (10.14) oder

x =

w-\-w , „ , y = WW + 1

1 l

w —w ww — 1 _ , „ , 2 = _ , ., WW + 1 WW + 1

10. Isotrope Linien und isotrope Parameter der Kugel

(10.16)

49

2 Y 2 X 2 X 2 + Y 2 + 1* V ~ XW + Y2 + 1 _ X 2 + Y2 - 1 2z - = W + Y2 + 1

Die Darstellung (14) der Einheitskugel wurde schon in (II. 12.13) verwendet. Aus (15) folgen die ebenfalls schon in (II. 12.12) benutzten Formeln (10.16) 1 —2

x +

iy

die nochmals belegen, daß w = ü und w = v binäre Parameter der beiden konjugiert komplexen Erzeugendenscharen der Kugel sind. Bemerkung 2 : Durch die Formeln (14) und (16) wird jedem reellen Punkte P(x, y, z) der Kugel umkehrbar eindeutig eine komplexe Zahl w = X + i Y zugeordnet. Die auf diese Art mit komplexen Zahlen w belegte Kugel bezeichnet man als die R i e m a n n s c h e Z a h l e n k u g e l oder Kugel der komplexen Zahlen. Wir denken uns noch in der Äquatorebene 2 = 0 der Kugel den Punkt P'(X, Y, 0) und beschriften ihn nach G a u ß mit der komplexen Zahl w = X + iY. Nach den aus (16) folgenden Formeln (10.17) sind dann die Vektoren NP = (x, y,z — 1) und NP' = (X, Y, - 1) proportional, d. h. die Punkte P und P' liegen auf einer Geraden durch N, oder: Der P u n k t P' ( X , Y, 0) der Ä q u a t o r e b e n e ist das s t e r e o g r a p h i s c h e B i l d des K u g e l p u n k t e s P (x, y, z), wenn als P r o j e k t i o n s z e n t r u m der N o r d p o l N (0, 0, 1) der Kugel und als B i l d e b e n e n ihre Ä q u a t o r e b e n e 2 = 0 gewählt wird. Diese wohl schon von dem griechischen Astronomen H i p p a r c h von N i k a i a (180—125 v. Chr.) zur Darstellung der Himmelskugel angewandte s t e r e o g r a p h i s c h e P r o j e k t i o n besitzt die grundlegende Eigenschaft, k r e i s t r e u zu sein, d . h . es gilt nach J o r d a n u s N e m o r a r i u s (um 1250, gedruckt 1507) der 4

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie XI

III. A. Flächenmetrik

50

Satz 2 : Jeder Kreis k der Kugel (Schnitt der Kugel mit einer Ebene e) hat als stereographisches Bild meder einen Kreis K; wenn im besonderen der Kugelkreis k (und die Kreisebene s) den Nordpol N enthält, so ist sein stereographisches Bild K eine Gerade. Auch die Umkehrung dieser Sätze gilt. Beweis: Ist (10.18)

ax + by + cz + d = 0

die Gleichung der Ebene des Kugelkreises k, so folgt aus (16) für sein stereographisches Bild K in der Äquatorebene 2 = 0 2 a X + 2Z>Y + c(X 2 + Y2 - 1) + d(X2 + Y 2 + 1) = 0 oder (10.19) (e + d) (X 2 + Y2) + 2aX + 2bY = (c - d). Das ist für c + d =j= 0 stets ein K r e i s und für c + d = 0, d. h. wenn die Ebene (18) den Nordpol N(0, 0,1) enthält, eine G e r a d e . Auch die Umkehrung gilt, w. z. b. w. Der N a m e stereographische Projektion stammt übrigens von François d ' A i g u i l l o n (1613). Bemerkung 3: Wenn man auf der Kugel statt der isotropen Parameter w und v durch die Formeln (13) die Größen (X, Y) als neue krummlinige Koordinaten einführt, so nimmt das Quadrat ihres L i n i e n e l e m e n t e s ds statt (12) die Gestalt (10.20)

A* =

A.(Z> Y )

=

.

{dX2

+ dY 2 )

an, die man, weil (10. 21)

E(X, Y) = G(X, Y) und F(X, Y) = 0

ist, als i s o t h e r m e F o r m des Bogenelementes bezeichnet. Für die zugehörige Parameterdarstellung (15) der Kugel folgt aus (20) für alle reellen (X, Y) (10.22) W = TßG~-F*

=

( i +

-

x

t

+

y 2) 2 =

Y

) > 0-

Nur wenn X und Y unbeschränkt anwachsen, strebt W-> 0. Der Kugelpunkt P(x, y, z) strebt dabei nach (15) gegen den Nor dpol N(0,0,1), der somit der e i n z i g e s i n g u l a r e P u n k t des Gaußschen Parametersystems (X, Y) ist (ohne jedoch ein singulärer Punkt der Kugel zu sein).

11. Eulersche Darstellung der Flächen

51

Tatsächlich bilden die Parameterlinien X = const Y = const auf der Kugel zwei von den Ebenenbüscheln (10.23)

x-X(l-2) = 0

und

y -

und

Y(1 - z) = 0

ausgeschnittene konjugierte p a r a b o l i s c h e K r e i s b ü s c h e l , deren Kreise sämtlich durch den Nordpol laufen und dort zwei feste, zueinander normale (nämlich zur x- und «/-Achse parallele) Kugeltangenten berühren. Bemerkung 4 : Nach einem grundlegenden S a t z e der T o p o l o g i e gibt es übrigens a u f d e r K u g e l und jeder anderen geschlossenen Fläche vom topologischen Typus der Kugel k e i n s i n g u l a r i t ä t e n f r e i e s G a u ß s c h e s P a r a m e t e r n e t z . Zumindest ein singulärer Punkt muß in jedem Parameternetz auf solchen Flächen immer vorhanden sein. 11. Eulersche Darstellung der Flächen. Leonhard E u l e r (1760) gründete seine Entwicklung der Flächentheorie auf die e x p l i z i t e G l e i c h u n g der Fläche

(11.1)

e = e(x,y),

d. h„ wenn man wie in (2. Bemerkung 2) u = x und v = y als Parameter verwendet, auf die spezielle vektorielle Parameterdarstellung (11.2)

j(x, y) = xe1+

ye2 + z(x,

y)e3.

Ist die Funktion z (x, y) dabei in einem Bereiche SB (x, y) eindeutig und stetig ableitbar, so stellen (1) und (2) ein in 23 (x, y) g l a t t e s F l ä c h e n s t ü c k dar. Die Parameterlinien, in Ebenen y = const (x-Linien) und x = const («/-Linien) gelegen, bilden dann auf der Fläche ein reguläres Netz. Die T a n g e n t e n v e k t o r e n der Parameterlinien haben die Koordinaten (11 3)

j!s-ii= ¡ : E » , i

U0

-P(-X'y) 1 .

9 (

x

>

y)W

wobei i p = p(*,y) l

'

«

=

? ( x , 2 / )

= =

y) z „ ( x ,

bedeutet. Der N o r m a l e n v e k t o r der Fläche (1) lautet (11. 4)

W = [EsSj,] = -

(p(x, y)e1 + q(x,y)e2-

1 • e 3 ),

seine L ä n g e ist (11.5)

= / 1 +

p ' T ? .

Die metrischen F u n d a m e n t a l g r ö ß e n der Fläche (1) sind (11. 6) 4*

E = il = 1 + p», F = hly

= P?, G =

= 1 +

y )

52

III. A. Flächenmetrik

das Quadrat ihres B o g e n e l e m e n t e s ds h a t daher die Gestalt (11. 7)

ds2 = (1 + p 2 ) dx2 + 2 p i

Das O b e r f l ä c h e n e l e m e n t W = | | = +Yl + p* + f , (11. 8)

dO = Wdxdy

dy + (1 + g2) % 2 . der Fläche (1) lautet,

wegen

= ]/l~~+p* + f dxdy . +

12. Drchflächen. Dreht man die in der Ebene y — 0 liegende glatte M e r i d i a n k u r v e m mit der Darstellung (12.1)

x = r,y

= 0,z

= f(r)

um die (lotrechte) 2-Achse als Drehachse, so erhält man eine D r e h f l ä c h e , deren Ortsvektor j = j ( r , ', j] = 0. Im F a l l e a) des Zylinders ist der Normalenvektor 9i in (9) mit M in seiner Richtung veränderlich, d. h. [9 0) kurz als der F u ß p u n k t des G e m e i n l o t e s d e r „ b e n a c h b a r t e n " E r z e u g e n d e n ü(tt) und §(« + du) bezeichnet werden kann. Der O r t d e r K e h l p u n k t e ( 7 ) d e r win dschiefen (Nioht-M o n g e sehen) Regelfläche (20. 3) ist eine (gerade oder krumme) Flächenkurve, die als ihre Kehllinie (Zentrallinie, S t r i k t i o n s l i n i e ) bezeichnet wird. Die Kehllinie ist also der Ort jener Punkte der Erzeugenden u, welche von den Nachbarerzeugenden u + du kürzesten Abstand haben (Ort der Fußpunkte der Gemeinlote benachbarter Erzeugenden der Fläche). Bemerkung 3: Man darf aus dieser Erklärung jedoch nicht folgern, daß die Kehllinie die Erzeugenden senkrecht schneidet. Z. B. ist die Kehllinie jeder der beiden •Eizeugendcnscliaren eines e i n s c h a l i g e n D r e h h y p e r b o l o i d s (wegen der Symmetrieeigenschaften der Fläche) mit dem K e h l k r e i s der Fläche identisch, der zu keiner Erzeugenden des Drehhyperboloids rechtwinklig ist, sondern alle unter demselben spitzen Winkel schneidet.

[i(«)> ä ( «

+ du)]/du

=

Wählt man die K e h l l i n i e (7) als L e i t l i n i e t)(u) der Flächei so ist v0 = 0, d. h. neben t)'a = 1 und j2 = 1 nach (6) auch noch (21.9) t)Y = 0 {«}. 6

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I I

82

I I I . A. Flächenmetrik

Für den Schnittwinkel m der Kehllinie j 0 = t) (u) mit den Erzeugenden j(u) der Fläche gilt dann (21.10)

COSCU =

i)'(w) • ä ( w ) .

Nur wenn außer (9) auch noch tj'g = 0 ist, schneidet die Kehllinie die Erzeugenden der Regelfläche überall rechtwinklig. Sind dann u und w + du zwei nur um das Differential erster Ordnung du 4= 0 unterschiedene Stellen der Kehllinie t) (u), so sei dX der Winkel und dl der Lotabstand der beiden zugehörigen Erzeugenden j(m) und j(m + du). Wenn wir Differentiale zweiter und höherer Ordnung vernachlässigen, also t(u + du) = Bild 5. Kehlpunkt P„ (Ortsvektor j„), Drall ß = dl/dX und Zentraltangente I der Erzeugenden e einer itegelfläche

(21.11)

dX =

h(u) +

i'(u)du

setzen (Bild 5), so schließen diese beiden Einheitsvektoren den Winkel

| ä'(w) | du =

Yz'*du

ein. Wenn man die beiden Einheitsvektoren j ( « ) und j(m - f du) auf ihren Erzeugenden beliebig verschiebt, so bestimmen sie Tetraeder, die das feste Volumen dl • sindX — dl - dX haben. Schreibt man dieses Volumen als Spatprodukt, so folgt: ( 2 1 . 1 2 ) dl • s i n d X = =

dl • dX =

[\)(u-\-du)

W(u)du,

ä ( « ) , i'(u)du]

— t ) ( « ) , j(m), =

¿¡{u+du)]

Witidu*.

Dividiert man (12) noch durch dX2 = j ' 2 (u) du2, so erhält man (21.13)

V ••

! _

fo'ül

dX

Die Größe p bedeutet geometrisch d e n P a r a m e t e r der i n f i n i t e s i m a l e n S c h r a u b u n g , welche die Erzeugende j ( u ) in die Nachbarerzeugende ä(« + du) überführt und sich zusammensetzt aus 1. der i n f i n i t e s i m a l e n D r e h u n g der Erzeugenden j(u) um das Gemeinlot I (Drehwinkel dX) und 2. der i n f i n i t e s i m a l e n S c h i e b u n g längs des Gemeinlotes I (Schiebstrecke dl).

21. Kehlpunkte und Kehllinie einer Regelfläche

83

Man nennt p nach Wilhelm B l a s c h k e den Drall der Erzeugenden« der Regelfläche. Das V o r z e i c h e n des Dralls p entscheidet über den W i n d u n g s s i n n (Schraubsinn) der beiden benachbarten Erzeugenden u und u du. Bemerkung 4: Der Drall p verschwindet für die Erzeugenden der abwickelbaren Regelflächen (nichtisotrope Kegel, Zylinder, Torsen), weil dann [t)'ää'] = 0 und j' 2 ^ 0 ist. Je größer der Drall p ist, um so stärker ist die Windung des w i n d s c h i e f e n S t r e i f e n s , den die beiden Nachbarerzeugenden aufspannen, und umso schneller dreht sich dabei die Tangentenebene r der Regelfläche um die Erzeugende e beim Fortschreiten längs e. Betrachten wir nämlich den Kehlpunkt vg = 0 und einen beliebigen Punkt v =t= 0 dieser Erzeugenden mit den zugehörigen Flächennormalen 9i0 = [ t / j ] und 31 = [t)'ä] + so dreht sich die Tangentenebene r beim Fortschreiten vom Kehlpunkte v0 = 0 nach dem Punkte v =f= 0 um den Winkel e, wobei C2i 14)

C 0 S £

- - . M

_

ist. Beachtet man die Formeln (21.15) 82 ^ 1, SS' ^ 0, ty'2 = 1, so folgt aus (13) leicht das Ergebnis tat 1 a\ (21.16)

s

t,'ä=coso>,

n a >

i v • ctg« = -•' - = p.

Vi' 2

Diese Formel beschreibt nochmals die Chaslessche Berührungskorrelation (20. 35) zwischen den Punkten und Tangentenebenen einer Erzeugenden der windschiefen Regelfläche. Beispiel 1: Die H a u p t n o r m a l e n f l ä c h e der krummen R a u m k u r v e t) = t){u), die weder isotrop ist (t)'2 ^ 0), noch in einer isotropen Ebene liegt (t)"2 ^ 0), hat, wenn als Parameter u ihr Bogen gewählt wird (t)'2 = 1), die Gaußsche Darstellung (21.17) E = s ( t t , i > ) = t ) ( t t ) + t;$(M). Wenn die Raumkurve t) («) doppeltgekrümmt, d. h. neben x(u) ^ 0 auch t(w) ^ 0 ist, so ist die H a u p t n o r m a l e n f l ä c h e (17) eine w i n d s c h i e f e R e g e l f l ä c h e . Tatsächlich ist dann wegenty'(tt)= t und S = t»(«) (21. 18) 6'

W l Ü = Et, i), = Kt + Tb] = r [ t p ] = t(m) eJ= 0.

84

III. A. Flächenmetrik 2

2

Wegen ä' = t)' = ( - *t + t6) 2 = x2 + t 2 ist der D r a l l der Hauptnormalenfläche in der Erzeugenden u nach (13) (2,19)

r

-

V

p

-

^

.

Die K e h l l i n i e der H a u p t n o r m a l e n f l ä c h e , uns schon aus (II. 10.12) bekannt, lautet wegen ä'2 = i|'2 = x2 + r 2 und (9'8') = ( t r ) = - * nach (7) (21.20)

io

=

Eo

(«) = m

+

i i («) •

Beispiel 2: D i e B i n o r m a l e n f l ä c h e einer doppeltgekrümmten R a u m k u r v e t) = t)(u), die weder isotrop (t)'2 ^ 0) ist, noch in einer isotropen Ebene liegt (t)"2 ^ 0) und auf ihren Bogen u bezogen ist (t)'2 s 1), hat die Gaußsche Parameterdarstellung (21.21)

i = z(u,v)=

t)(u) +

vb(u).

Wegen x ^ 0, r 0 ist auch die Binormalenfläche eine windschiefe R e g e l f l ä c h e . Tatsächlich ist wegen t)'(u) = t(w) und 8 = 6 («) (21. 22) W i l l = [t, b, B'] = [t, 6, - rfj] = t(«) ^ 0 . Wegen ä'2 = b'2 = ( - rt))2 = r 2 ist der D r a l l der Binormalenfläche in der Erzeugenden u (21.23)

p =

=

5

=

Wegen t = tb' = — r(tlj) = 0 ist nach (7) die R a u m k u r v e mit der K e h l l i n i e i h r e r B i n o r m a l e n f l ä c h e identisch. Da außerdem t)'% = tb = 0 ist, liegt dabei nach (10) sogar der Ausnahmefall vor, daß die K e h l l i n i e die E r z e u g e n d e n der Regelfläche rechtwinkelig durchsetzt. Bemerkung 4: Um das B o g e n e l e m e n t ds der Regelfläche (20. 3) zu erhalten, berechnen wir aus (20. 4) unter Berücksichtigung von (10) und (15) die metrischen Fundamentalgrößen (21 24t

E

= W +

(¿L. M) F = { i ) ' und erhalten (21. 25)

+

= V* + 2t)(t)'j') + u Y 2 = 1 + f 2 ä' 2 , vil'2)dv?

Aus (16) folgt (21.26)

3'

2

+

„(J/J) =

C0SCÜ!

+ 2 coscu dudv +

= ^

.

G = ä2 = 1, dv2.

21. Kehlpunkte und Kehllinie einer Regelfläche

85

Damit ergibt sich schließlich (21. 27)

ds2 = ( l +

) du2 + 2 coscu dudv + dv2.

Weil es, wie sich zeigen wird, auf keine Art möglich ist, windschiefe Regelflächen ([t)'S5'] ^ 0) in die Ebene längentreu abzubilden (abzuwickeln), heißen w i n d s c h i e f e R e g e l f l ä c h e n auch nicht abwickelbare Regelflächen. Beispiel 8 : Die K e h l l i n i e (Striktionslinie) einer E r z e u g e n d e n s c h a r des e i n s c h a l i g e n H y p e r b o l o i d s (21-28)

7>2

a y2

j>2

i

(a2>&2)

kann man nach Johannes H j e l m s l e v (1902) in der folgenden einfachen, rein geometrischen Weise bestimmen:

Hyperboloids

86

I I I . A. Flächenmetrik

Legt man (Bild 6) durch die Erzeugenden e der Regelschar des Hyperboloids die a s y m p t o t i s c h e E b e N G T^j die dazu normale Zentralebene r 0 und zwei beliebige Ebenen r , r ' , welche mit t u oder r 0 g l e i c h e W i n k e l einschließen, so liegen die Berührungspunkte Pu, P 0 , P , P' dieser vier Ebenen nach dem Satze von C h a s l e s wegen DV(rur0, x r') = — 1 = DV(PUP0, PP') harmonisch. Weil Pu der Fernpunkt vone ist,liegt der Z e n t r a l p u n k t P0 v o n e i n der M i t t e z w i s c h e n d e n P u n k t e n P u n d P ' . Da die asymptotischen Ebenen r u der Erzeugenden e den Mittelpunkt 0 des Hyperboloids (28) enthalten, erhält man Ebenen T, T', die gegen x u gleiche (aber mit e veränderliche) Winkel bilden, wenn man aus den Erzeugenden e die Tangentenebenen an eine beliebige, zu dem Hyperboloid (28) k o n z e n t r i s c h e K u g e l x legt. Diese Ebenen r , t ' umhüllen dann die V e r b i n d u n g s t o r s e # d e r K u g e l x u n d des H y p e r b o l o i d s (28). Wenn die Kugel x das Hyperboloid in den Scheiteln (0, ± b, 0) doppelt berührt, so zerfällt diese Torse & in zwei r e e l l e D r e h z y l i n d e r £ v deren Achsen die Richtungen der Vektoren ( ± Y ^ — &2> 0, c) = ( ± e, 0, c) haben, und welche das Hyperboloid längs zweier E l l i p s e n k l t k 2 berühren, die in den Ebenen ± enx = a?z liegen. H a l b i e r t m a n d a n n d i e S t r e c k e n [ P i P 2 ] , welche die Berührungsellipsen klt k2 der beiden dem Hyperboloid umschriebenen Drehzylinder f l t C2 auf den E r zeugenden e der Regelschar begrenzen, so erhält man Punkte P 0 der Kehllinie ( S t r i k t i o n s l i n i e ) dieser Regelschar des Hyperboloids ; sie ist eine a l g e b r a i s c h e ( r a t i o n a l e ) R a u m k u r v e 4. O r d n u n g . Im Falle des D r e h h y p e r b o l o i d s (a 2 = b 2 ) ergibt sich als Striktionslinie jeder der beiden Regelscharen der K e h l k r e i s der Fläche.

B. Yektoranalysis auf Flächen 22. Beltramis erster Differentiator Vtp. Gradient einer Ortsfunktion auf der Fläche. Ordnet man jedem Punkte P(u, v) der Fläche 5 = J(M, V) einen Zahlen wert (Skalar)

V y sind also auf der Fläche biegungs- und parameterinvariant mit den Funktionen cp (u, v) und ip (u, v) verbunden. D. h. bei Übergang zu neuen regulären Parametern (ü, v) vermöge der Formeln (3. 3) gilt

(22.14)

=

V ( ? , y ) = Vfo>, y). V y = Vy-

Man nennt die (schon bei G a u ß vorkommende) Größe \Jq> (gelesen: „ N a b l a 93") den ersten Beltramischen Differentiator der Ortsfunktion und y), gelesen: „ N a b l a cp, f", den gemischten Beltramischen Differentiator der Flächenfunktionen 99 (u, v) und ip(u, v). Die B e d e u t u n g der Differentiatoren liegt vor allem darin, daß sich viele wichtige biegungsinvariante Eigenschaften von Flächenkurven oder Systemen von Flächenkurven u n a b h ä n g i g v o n d e r P a r a m e t e r w a h l durch Differentiatoren beschreiben lassen.

. y) + v(,«0 u«' + ?>«,«')?>* -

+ Fv') = 0 ,

HEu'

+ GV') =

0.

Multipliziert man in (24) die erste Gleichung mit u', die zweite mit v', so erhält man wegen (22) durch Addition

Eliminiert man aus (24) das Verhältnis u':v', so folgt

Aus der Parameterinvarianz der linken Seite in (26) folgt nochmals die von V (x,y).

24. Rotation (Wirbeldichte) eines Vektorfeldes auf der Fläche. Das eindeutige und stetig ableitbare Vektorfeld b = b(u, v) in (23.1) definiert außer seiner Divergenz (23.9) auf der Fläche j = j(w, v) noch eine zweite skalare Ortsfunktion, die mit ihm biegungs- und parameterinvariant verbunden ist, nämlich seine W i r b e l d i c h t e oder R o t a t i o n . Um diese zu gewinnen, berechnen wir die W i r b e l u n g oder Z i r k u l a t i o n /* der zu dem Vektorfelde (23.1) gehörenden stationären Strömung längs der geschlossenen Kontur R des Bereiches S3, d. h. das Linienintegral (24.1)

r=tf> R =

M J ) = $ (aju +

$>(«.E+ R

ßl„)

(ludu

+

R

ßF)du

+

(ocF +

ßG)dv.

Tcvdv)

24. Rotation (Wirbeldichte) eines Vektorfeldes

99

Der Umlaufsinn von R ist dabei so gewählt, daß für einen in der Flächennormalen rt stehenden Beobachter das Innere von SS zur Linken bleibt. Deutet man b (u, v) als K r a f t f e l d , so i s t / 1 die A r b e i t dieser Kraft auf dem Wege R. Das Kurvenintegral (1) kann man nach dem I n t e g r a l s a t z von G a u ß umformen und so schreiben: (24. 2) r = f f [ ¿ ( « i 1 + ßG) - ¿ ( « E + ßF) dudv. Damit ist die Wirbelung oder Wirbelstärke r(f8) der Strömung um die Kontur R durch ein über das Innere 33 der Kontur R erstrecktes F l ä c h e n i n t e g r a l dargestellt: (24. 3) r = r m = f f ± \i(*F+ßG) Sein Integrand (24. 4)

-

ßF) dO.

S3

1 rotö(u,t>)=^

du V

ocF+ßG)--(ocE r ' dv

+ ßF)

stellt die Wirbeldichte oder Rotation rot ü(m, «) der Strömung oder des Vektorfeldes b = a£ u + /?£„ im Punkte P(u, v) der Fläche dar. D. h. es gilt, wenn 0(39) den Flächeninhalt des Bereichs 33 bezeichnet und 33 stetig auf den Punkt P(u,v) zusammengezogen wird, die G r e n z w e r t f o r m e l rot b (U, V) = lim ^Ivr- . SB—>P Durch (4) ist die R o t a t i o n rot b(u, v) des Vektorfeldes (1) als s k a l a r e O r t s f u n k t i o n b i e g u n g s - und p a r a m e t e r i n v a r i a n t erklärt. Auch den Namen „Rotation" hat James Clerk M a x w e l l (1873) eingeführt; nach William Kingdon C l i f f o r d (1878) spricht man oft kürzer „ R o t o r " . (24.5)

7*

100

I I I . B. Vektoranalysis auf Flächen

Bemerkung 1 : Das eindeutige und stetig ableitbare Vektorfeld ö(m, v) heißt wirbelfrei, wenn überall auf der Fläche rotb = 0 ist. Das Integral (3) wird dann Null, d. h. die Wirbelstärke 7^(33) der Strömung in jedem Bereiche 33 oder, damit gleichbedeutend, die Zirkulation der Strömung um jede Kontur R verschwindet. Der Integrand in (1) ist dann das v o l l s t ä n d i g e D i f ferential (24. 6)

{ ds

Sie stimmen in dieser allgemeinen parameterinvarianten Gestalt unmittelbar mit den C a u c h y - R i e m a n n s c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n (14) der Ebene überein und werden daher auch im Falle allgemeiner Metrik (22. 7) oft nach C a u c h y und R i e m a n n benannt. Aus den Formeln (17) folgt, daß man allgemein auf j e d e r reellen analytischen Fläche zwei k o n j u g i e r t e h a r m o n i s c h e P o t e n t i a l e (u, v) stets auffassen kann als R e a l - u n d I m a g i n ä r t e i l einer k o m p l e x e n a n a l y t i s c h e n (d. h. d i f f e r e n z i e r b a r e n ) O r t s f u n k t i o n (25.18)

f(u + iv) =

dw ds

^dy> _ ds ds

%

hat. Umgekehrt muß der Realteil

).

108

I I I . B. Vektoranalysis auf Flächen

Das isotherme Bogenelementquadrat (11) der Fläche erhält dann die Form (25.21)

d s ^ y ^ i d ^ + d ^ ) .

Beispiel 2 : Die D r e h f l ä c h e (25. 22)

£ = r cos

+ r sin /ff/n

» « " • » - / / [ b P V N +

S

^

f»

\

*

)

dudv

8

/T«,r a (G 0 die Längenverzerrung der R i c h t u n g (du, dv) im Punktepaare (u, v) oder kurz die V e r z e r r u n g der Abbildung in dieser Richtung. Ihr Quadrat 8*

116

III. C. Theorie der Abbildung von Flächen

/on C1 ,„ 1 (27. 6) X» (u, v, du, dv) = ^

=

Edu* + 2Fdudv + Gdv2 W d u }

ändert sich in der berührenden Affinität (4) bei festem Punktepaar (u, v) mit der Richtung (du, dv) und hat für alle Paare entsprechender Punkte (u, v) dann und nur dann einen von der R i c h t u n g (du,dv) u n a b h ä n g i g e n W e r t 7? = ?i2(u, v), wenn (27. 7) E(n, v):F(u, v):G{u, v) = E(u, v):F(u, v):G(u, v) gilt. Die berührende Affinität ist dann eine berührende Ähnlichkeit mit dem Ähnlichkeitsmodul X (u, v). Man sagt, die beiden Flächen sind durch die Abbildung im Kleinen ähnlich aufeinander bezogen. Eine durch (7) gekennzeichnete Abbildung ist folglich winkeltreu. Weil entsprechende Figuren in Umgebungen erster Ordnung der beiden Flächen (3) zueinander ähnlich sind, spricht man nach C. F. G a u ß (1844) auch von einer konformen Abbildung. Ist insbesondere (27. 8) E(u,v) =.E(u,v), F(u,v) = F{u,v),G{u,v)

= G(u,v),

so sind die beiden Flächen durch die Abbildung (3) sogar längentreu oder isometrisch aufeinander bezogen. Nach (6. Satz 3) folgt daraus von selbst die W i n k e l t r e u e und die F l ä c h e n t r e u e der Abbildung. Während es nun, wie wir sehen werden, stets möglich ist, zwei reelle analytische Flächenstücke (sogar auf unendlich viele Arten) konform (winkeltreu) aufeinander zu beziehen, ist es i. a. nicht möglich, zwei beliebig vorgegebene glatte Flächenstücke (sie mögen analytisch sein oder nicht) längentreu aufeinander abzubilden. Beispiel 1 : Es ist z. B. auf keine Weise möglich, eine K u g e l auf eine E b e n e längentreu abzubilden, wie zuerst Leonhard E u l e r (1777) bewiesen hat. Bei einer längentreuen Abbildung (3) zweier Flächen j , j entsprechen nämlich notwendig den kürzesten

27. Abbildung zweier Flächen aufeinander

117

Linien zwischen irgendwelchen Punkten P, Q der einen Fläche die kürzesten Linien zwischen den Bildpunkten P, Q auf der anderen Fläche, wobei diese Kürzesten auf beiden Flächen dieselbe Länge haben. Bei einer längentreuen Abbildung der Kugel auf die Ebene müßten also die k ü r z e s t e n L i n i e n a u f d e r K u g e l (d.s. die G r o ß k r e i s e ) als Bilder die k ü r z e s t e n L i n i e n d e r E b e n e (d. s. die G e r a d e n ) haben. Einem s p h ä r i s c h e n D r e i e c k aus Großkreisen der Kugel entspräche dann ein g e r a d l i n i g e s D r e i e c k der Ebene, und beide Dreiecke müßten gleichlange Seiten und (weil längentreue Abbildungen stets winkeltreu sind) gleich große Winkel haben. Das ist aber unmöglich, weil die W i n k e l s u m m e im Kugeldreieck stets g r ö ß e r ist als zwei rechte Winkel, im ebenen Dreieck aber stets g l e i c h zwei Rechten. Daher kann es keine längentreue Abbildung der Kugel oder irgendeines Stückes der Kuge l auf die Ebene geben.

Unter den Abbildungen zweier Flächen (3) aufeinander sind außer den konformen (im Kleinen ähnlichen) Abbildungen auch noch jene von besonderer Bedeutung, deren berührende Affinitäten f l ä c h e n t r e u sind. F ü r diese i m K l e i n e n f l ä c h e n t r e u e n A b b i l d u n g e n müssen entsprechende, von den Vektoren %udu, £„dv u n d %udu, ]Cvdv a u f g e s p a n n t e Koordinatenmaschen flächengleich sein, d. h. es m u ß do=m

dO=

u

j J | dudv

— Wdudv

gleich

IfeüEjI dudv = Wdudv

sein,

also W = W, oder es m u ß f ü r alle Werte von (u, v) (27. 9)

EG - F* == EG -

F*

{u, v}

sein. Die beiden Flächen (3) sind dann wegen (27.10)

Ö = f f Wdudv

= f f Wdudv

= 0

5B(u, v) SB(ti,»>) a u c h i m G r o ß e n f l ä c h e n t r e u aufeinander bezogen, d. h. entsprechende Flächenstücke von j und j haben stets gleiche Flächeninhalte ( 0 = Ö). Soll umgekehrt f ü r alle Parameterbereiche S3(w, v) stets 0=0

sein, so gilt notwendig W = W, d. h. die Bedingung

118

III. C. Theorie der Abbildung von Flächen

(9) ist notwendig und hinreichend (kennzeichnend) für flächentreue Abbildungen. Die treffenden Bezeichnungen winkeltreue, längentreue und flächentreue Abbildung hat 1882 Artur B r e u s i n g (1818—1892, Direktor der Bremer Seefahrtsschule) erfunden. Vordem nannte man flächentreue Abbildungen auch ä q u i valente Abbildungen. 28. Die Hauptverzerrungsrichtungen einer Abbildung. Indikatrizen von Tissot und Study. Wir betrachten zunächst nur n i c h t k o n f o r m e A b b i l d u n g e n der beiden reellen, metrisch regulären Flächen j(w, v) und j(m, V). Wir nehmen also an, daß die F u n d a m e n t a l g r ö ß e n ( E , F , G ) und (E,F,0) n i c h t p r o p o r t i o n a l sind, d.h. daß die Matrix E F G

(28. 1)

E

FG

den R a n g zwei hat, und somit nicht alle drei Unterdeterminanten zweiter Ordnung (28. 2)

e =

F G F G

-2/

E G

E F

E G

E F

verschwinden. Ferner sind die Größen E, G, EG — F2 und E, G, EG - F2 sämtlich positiv. Die berührende Affinität ist dann keine Ähnlichkeit und die Längenverzerrung X ändert sich nach (27.6) stetig mit der Richtung (du, dv). Weil 1/A stetig ist, (0 < 1/A < oo), gibt es nach W e i e r s t r a ß in jedem Punktepaar (u,v) mindestens eine Richtung (du, dv) mit absolut größter und mindestens eine mit absolut kleinster Längenverzerrung. Man bezeichnet diese Richtungen als die Hauptverzerrungsrichtungen ( T i s s o t s c h e n H a u p t r i c h t u n g e n ) der Abbildung und ihrer berührenden Affinität in dem Punktepaare (u, v).

28. Hauptverzerrungsrichtungen und Indikatrizen

119

dv Setzt man ^ 2

=

so hat nach (27. 6) der Ausdruck

I = 1/A die F o r m j2 = = (28. 3) A2 2

£ +

+ GP _ Z(f)

£ + 2 i , | + G|2

F ü r seine extremalen Werte gilt nach L e i b n i z d(l/A 2 ) _ NZ' - ZN' N* dl

oder ijz

Z'

2| NN'

0,

E + 2FS + G?,

F+G£

j

E+

F+G£

\

2,F£+

GF,

\E + FS,

F+Gi

\E+F£,

F+G£

0.

dv Setzt man darin wieder £ = ^ - ein, so bleibt die Gleichung (28. 4)

Edu + Fdv,

Fdu +

Gdv

Edu+Fdv,

Fdu +

Gdv

0

oder nach (2) (28. 5)

gdv? - 2fdudv + edv2 = 0 ,

aus der sich in jedem Punktepaare (u, v) der Abbildung z w e i H a u p t v e r z e r r u n g s r i c h t u n g e n (du, dv) ergeben, d i e s t e t s r e e l l u n d v o n e i n a n d e r v e r s c h i e d e n sind, weil (28. 6)

A = p - eg >

0

ist. Beweis: Aus EFO\ (28. 7)

EFG

= Ee + 2Ff + Gg = 0, d.h. Ee = - 2 Ff - Gg

EFG folgt nämlich wegen E > 0 und EG — F2 > 0 tatsächlich

120

III. C. Theorie der Abbildung von Flächen

EPA = ET - Eg • Ee = E2f2 + Eg{2Ff + Gg) = {Ef + Fgf + {EG - F*)g* > 0. Null könnte nur für g — 0, / = 0 entstehen. Dann wäre nach (7) auch e = 0, im Widerspruch zu der Annahme einer nichtkonformen Abbildung. (28. 8)

Für diese Hauptverzerrungsrichtungen gilt Satz 1: Die beiden Hauptverzerrungsrichtungen (4) sind auf jeder der beiden Flächen j und £ zueinander rechtwinkelig. Sie stimmen daher mit den beiden Paaren entsprechender rechter Winkel (kv it2) und (hv h2) der in zugeordneten Punkten berührenden Affinität uberein. Beweis: Für diese beiden Paare rechtwinkeliger Richtungen dl und dl' auf i{u, v) bzw. df und , welche die Richtung

(du, dv) auf der Fläche j (u, i>) gegen die erste bzw. zweite Hauptkrümmungsrichtung (du, 0 ) bzw. (0, dv) einschließt, wegen iulv

= F = 0,

l i . 1 = ] / e und | f , | =

(28.16) cos

± n/2) wächst die Längenverzerrung unbeschränkt. + oo). Alle B r e i t e n k r e i s e v = const (Radius g — COSÎ;, Umfang ! = 2 j t c o s t > ) erscheinen in der M e r c a t o r - K a r t e als h o r i z o n t a l e S t r e c k e n der f e s t e n L ä n g e XI = 2n. Der ganzen

136

III. C. Theorie der Abbildung von Flächen

Kugeloberfläche (— n u g n, — tt/2 v 2= + Ji/2) entspricht dabei der P a r a l l e l s t r e i f e n ( — — o o +

Beispiel 3: W i n k e l t r e u e P r o j e k t i o n von L a m b e r t und Gauß. Man erhält diese von Johann Heinrich L a m b e r t (1772) angegebene V e r a l l g e m e i n e r u n g der s t e r e o g r a p h i s c h e n P r o j e k t i o n , indem man in (8) f(w)^eikw

(k> 0, reell)

138

I I I . C. Theorie der Abbildung von Flächen

setzt. Gegenüber Beispiel 2 ist w durch k w , d.h. £ durch und r] durch kr] ersetzt. Die Abbildungsformeln lauten dann nach (5)

X

= cos

ku •

(31. 20)

Y —

sin

- I t + T

ku •

F ü r k = 1 ist darin als Sonderfall die stereographische Abbildung (15) enthalten. In ebenen P o l a r k o o r d i n a t e n ( R , (31.21)

lautet die Abbildung

2 < n / 2 ) , so kann man nämlich die Zahl k so wählen, daß die Längenverzerrungen Xl und X2 für diese äußersten Breiten gleich groß werden. Nach (22) hat dann k den Wert In cost' x — In cosu 2

(31.23) In ctg

In ctg

wobei 0 < k < 1 ist. Gegen die Mitte der Karte zu wird X am kleinsten und erreicht, wie man aus (22) leicht feststellt, seinen Minimalwert in jener Breite v , für die k = !Eg rj = sini) ist.

32. Beispiele von flächentreuen Abbildungen der Kugel

139

32. Beispiele von flächentreuen Abbildungen der Kugel auf die Ebene. (Entwürfe von Archimedes, Sanson, Mollweide, Lambert, Bonne und Stab-Werner.) Flächentreue Karten der Erd- oder Himmelskugel verwendet man zweckmäßig dann, wenn in den Karten Größen veranschaulicht werden sollen, die von den Flächeninhalten abhängen, wie die Areale der Länder, die Bevölkerungsdichten, die Regenmengen, Verkehrsdichten, der Waldbestand usw. 1 ). Nach (9. 9) hat die Kugel £ = j(w, v) vom Radius r = 1 mit der Darstellung (32.1)

£=

TC(U,V) =

cos u cos v ex + sin u cos »e 2 + sin v e3

das Flächenelement (32. 2) dO = Wdudv = cos vdudv. Dabei bedeutet u die geographische Länge und v die geographische Breite (beide im Bogenmaß). Soll die K u g e l (1) durch die Gleichungen (32. 3)

x = x(u, v), y = y(u, v)

f l ä c h e n t r e u auf die E b e n e %{x,y) deren Flächenelement (32. 4)

dO = Wdudv = ^^—dudv

abgebildet werden,

= (xuyv

—

xvyu)dudv

ist, so muß W = W sein. Da bei geeigneter Bezeichnung der x- und ?/-Achse stets (32

"

5)

T) =

- «»y« > o

wird (für einen in den Flächennormalen n =

fr

^

v i

bzw.

x ) Ausführlicheres Bildmaterial über ilächentreue Abbildungen der Kugel auf die Ebene findet man in dem Büchlein vun G. S c h e f f e r s K . S t r i l b e c k e r in Nr. 8 des Literaturverzeichnisses.

140

n =

I I I . C. Theorie der Abbildung von Flächen

ix r 1

stehenden Beobachter W chende Figuren 33 und 33 auf der gleichen Umlaufsinn), so folgt als r e i c h e n d e B e d i n g u n g f ü r die der Kugel (1) auf die Ebene (3) und (4) die Identität (32. G)

XuVv — xvyu

haben

dann

entspre-

Kugel und in der Ebene notwendige und hinflächentreue Abbildung durch Vergleich von (2)

= cos v

{u, v} .

Uns interessieren zuerst jene flächentreuen Abbildungen der Kugel j auf die Ebene j, bei denen die Breitenkreise (v = const) d e r K u g e l auf parallele Geraden (y = const) d e r E b e n e abgebildet werden. Die Abbildungsgleichungen (3) haben dann die vereinfachte Gestalt (32.7)

öc = x(u, v), y =

y(v).

Wegen y u = 0 lautet die Bedingung (6) dann (32. 8)

xu • yv = cos v.

Daraus folgt, weil y nur von v abhängt, (32. 9)

xu (u, v) = f{v),

yv {v) = ^

,

wobei f(v) =j= 0 für | v \ iS tt/2 eine willkürliche stetige Funktion von v ist. Wenn dann c eine beliebige Konstante und g(v) eine weitere willkürliche Funktion von v ist, so folgt daraus als Darstellung der a l l g e m e i n s t e n f l ä c h e n t r e u e n A b b i l d u n g d e r K u g e l auf d i e E b e n e , bei der die Breitenkreise (v = const) als parallele Geraden (y = const) erscheinen V

(32.10)

x(u,v)

= u- /(„) + g(v),

y(v) = c + f f ^ dv. b Verlangt man z u s ä t z l i c h noch, daß dem Ä q u a t o r (v = 0) der Kugel die i - A c h s e (y — 0) und dem N u l l -

32. Beispiele von flächentreuen Abbildungen der Kugel

141

m e r i d i a n (u — 0) die geradlinige y - A c h s e ( x = 0) entspricht, so ist c = 0 und g(v) = 0 zu setzen, und man erhält schließlich die A b b i l d u n g s f o r m e l n V

(H2.lt)

i -H-j(:o),

y"=J™vjdv,

0 welche die allgemeinste flächentreue Abbildung der Kugel auf die Ebene liefern, bei der Äquator und Nullmeridian als x- und y-Achse erscheinen und sich alle Breitenkreise als Parallelen zur x-Achse darstellen. Bemerkung 1 : Man kann die Integration in (11) durch eine Differentiation ersetzen. Wenn man nämlich v

(32.12)

f™^dv

= F(v)

"o setzt, so ist mit f(v) =|= 0 auch F(v) eine (für | v | ^ n/2 stetig ableitbare) willkürliche Funktion von v, und man erhält aus (32.13)

und

m =

™