Affine Differentialgeometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111338279, 9783110989755

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Göschens Lehrbücherei 1. Gruppe

Reine und angewandte Mathematik Band 22

Affine Differentialgeometrie Von

Professor Dr. Erich Salkowski

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J . G o s c h e n ' s c h e V e r l a f f s h a n d l u n ? J. G u t t e n t a p , Ve r 1 a JJ s b u e h h a n d I u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin W 10 und Leipzig

1934

Affine Differentialgeometrie Von

Dr. Erich Salkowski o. Professor an der Teehnisehco Hochschule Bertin

Mit 2 3

Figuren

W a l t e r de G r u y t e r & Co. Tormili

G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a s s b u c h h a n d l u n g —Georg R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & Comp.

Berlin W

10 und Leipzig 1934

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

ArchivNr. 110534 Druck von Walter de Grayter JE = x { y t eine Invariante, die, euklidisch gemessen, den Winkel e der beiden Vektoren bestimmt. Die Formel (30)

cos e =

, \ x ix1

Vytyk

die diesen Winkel bei euklidischer Maßbestimmung festlegt, möge auch im allgemeinen Falle den Winkel zweier Vektoren definieren. Auch der Winkel zweier reellen Vektoren kann imaginär sein. Die Gleichung rechtfertigt die Bezeichnung „senkrechte Vektoren" durch die Gleichung (26). Wenn diese erfüllt ist, ist in der Tat für zwei Vektoren von nicht verschwindender Länge § 5. Die quadratische Grundform. Die letzten Betrachtungen zeigten, daß, wenn man die beiden über E ausgebreiteten, zueinander kontragredienten Felder (Cje2) .und (c l ea) gleichzeitig betrachtet, der Ebene E eine Metrik aufgeprägt wird, d. h. daß man in dieser Ebene Längen von Strecken und Winkelgrößen messen kann. Dabei hat die ganze Betrachtung zunächst nur eine formale Bedeutung, da wir zwischen den Grundvektoren der beiden Schichten noch keinerlei Beziehungen vorausgesetzt hatten. Die kontravarianten Grundvektoren ei waren ja zwei ganz beliebige, nicht kollineare Vektoren der Ebene E, von denen wir nur das eine verlangen, daß sie sich zu den ef kontragredient transformieren sollen. Nun wissen wir aber, daß sich in der doppelt überdeckten Ebene E alle Vektoren durch zwei linear unabhängige (d. h. nicht kollineare) darstellen lassen. Daher müssen sich auch die c' nach den Richtungen e t zerlegen lassen, und umgekehrt. Es bestehen daher Gleichungen von der Form C< = g" = [ p i l p 2 2 ) als einen „ k o n t r a v a r i a n t e n T e n s o r z w e i t e r S t u f e " , wenn seine Komponenten sich wie die Produkte xxy" = ala"kP*. Beispiele für solche kontravarianten Tensoren sind die Produkte xlyselbst a und der metrische Fundamentaltensor g ". Dann ist auch Pi*x i y x ein invariantes Gebilde, denn es geht bei der Affinität (22) über in P^aMi^ = P ^ x ^ , das, gleich einer Konstanten gesetzt, wiederum eine Reziprozität in der Ebene E definiert. Endlich wird man auch ein Größensystem (49)

M

3

3

)

als einen „ g e m i s c h t e n T e n s o r z w e i t e r S t u f e " bezeichnen, wenn seine Koordinaten sich wie die Produkte xxy>1 der Koordinaten eines kovarianten und eines kontravarianten Vektors transformieren: (50)

=

1. Kapitel.

§ 6. Affine Transformation der Grundform. Tensoren.

29

Insbesondere ist der „ g e m i s c h t e F u n d a m e n t a l t e n s o r "

gegenüber allen Affinitäten invariant. Man überzeuge sich von dieser geometrisch einleuchtenden Tatsache durch ausführliche Aufstellung und Auflösung der Gleichungen (50) für diesen Fall. D i e D e t e r m i n a n t e e i n e s T e n s o r s a l s I n v a r i a n t e . Während die Komponenten eines Tensors den Transformationsgleichungen (45) bzw. (48) und (50) unterliegen, ist seine Determinante (52)

P

eine affine Invariante.

=

c

21

22

Es wird nämlich _ a l a ' i P ^ , a}aZP/M a l a i P t e , alalP V Q

oder ausgerechnet: P =

-ajafa^ap =

= K«!-fl!«S)Der Koeffizient von P > 4 l P r B verschwindet also immer, wenn ¡x = q ist; es kann also nur /j, = 1, q = 2 oder fi = 2, o = 1 sein. Demnach wird, da a\a\ — a\

= a

die Determinante der Affinität ist: P =

a{a{al(P)xPvi-PXiP,,)}.

Hier verschwindet wieder der Faktor von a}a%, wenn zugleich A = 1, v = 1 oder X = 2, v = 2 ist. Demnach bleiben rechts als nicht verschwindende Glieder nur noch P = a {a\4(PuPM

-

P12Ptl)

+ a?aJ(?21P12

-

?„?„)}

,

so daß schließlich 2 (53) P = a P wird. Für Scherungen, bei denen a = 1 ist, ergibt sich (54) P = P als Invariante. Insbesondere ist die Determinante (55)

g = g

ugn—gil

der Grundform gegenüber Scherungen invariant. Die Invarianz der Determinante eines gemischten oder kontravarianten Tensors kann durch eine ganz entsprechende Rechnung dargetan werden. Auf ihre Durchführung kann um so eher verzichtet werden, als sich das Ergebnis bei einer späteren Gelegenheit ohne weiteres ergeben wird. „ H e b e n " u n d „ S e n k e n " d e r I n d i z e s . Wir haben gesehen, daß die beiden Arten von Vektoren, die kovarianten ( x j und die kontravarianten

30

Enter Teil. Alfine Geometrie der Ebene.

(x*) nur formal verschieden sind und dasselbe geometrische Gebilde bedeuten, den invarianten Vektor der Ebene E, dargestellt in den beiden „Schichten", mit denen die Ebene E überdeckt ist. Es war auch gelungen, die eine in die andere Darstellung durch die Gleichungen (31*) *i = ft***, ** = g"'*; überzuführen. Es ist daher zu erwarten, daß auch die drei Arten von Tensoren, die soeben eingeführt worden sind, im Grunde dieselben geometrischen Gebilde darstellen werden und daß es möglich sein muß, die kovarianten Tensoren in gemischte und kontravariante Tensoren zu verwandeln. Das einfachste geometrische Gebilde, das mit einem Tensor zweiter Stufe verknüpft ist, ist die Reziprozität in der Ebene, die jedem ihrer Punkte eine Gerade eineindeutig zuordnet. Diese Reziprozität wählen wir als Repräsentanten des Tensors und nennen drei Tensoren Pix, PP'1" dann einander gleich, wenn die Gleichungen (56) Pixx*y* = C P\xiyy = C P^xxyß = C dieselbe Reziprozität definieren. Setzt man mit Hilfe von (31*) die Werte von x', y" in diese Gleichungen ein, so folgt durch Koeffizientenvergleichung sofort: P» = gixPii = gixg^P"" Pi = g^P* = gläP>" Px" = gxig»*Pix = g1'" PI. Dabei ist hier, wie immer, über alle Marken zu summieren, die gleichzeitig als untere und obere Indizes auftreten. Die Formeln (57) gestatten, für denselben Tensor in seinen drei Darstellungsformen die Determinanten in Beziehung zueinander auszurechnen. Ist *ß0 die Determinante von Pu, 5)5° diejenigen von P\ und P1**, so zeigt die erste Gleichung (57), daß (57)

m

EuPz P\ gUPi = Pf PI wird, und ebenso die letzte Gleichung: g11 g 12 (59) = p\ PI g 21 g22 Pi PI (58)

SuPii

gl 1 glt gn Bn

„m

" 7 * V e r j ü n g u n g . Hat man einen kontravarianten Vektor x* aus einem kovarianten Tensor Pix gegeben, so kann man die Summe (60) u{ = Pixx" bilden. Diese Größen « j und u2 transformieren sich dann wie die Komponenten eines kovarianten Vektors, d. h. b i l d e n einen solchen. Man hat also durch diese Operation "i = -Pn* 1 + P12X2 (60')

1. Kapitel. § 6. Affine Transformation der Grundform. Tensoren.

31

a u s einem Tensor zweiter S t u f e einen Vektor hergeleitet, d. h. die Zahl der Indizes um eins vermindert und aus dem verwickeiteren Gebilde, dem Tensor, ein einfacheres hergeleitet, den Vektor. Eine solche Operation bezeichnet m a n als „ V e r j ü n g u n g " . Tensoren höherer Stufe. Die Deßnition der Tensoren zweiter Ordnung läßt sich nunmehr leicht auf Tensoren dritter und höherer Ordnung ausdehnen. E i n kovarianter Tensor dritter Stufe Aiu ist demnach ein System von neun Größen, die sich wie die Produkte der Koordinaten x t y k zi dreier kovarianter Vektoren transformieren, also bei der Affinität (21), (22): (61)

=

W ä h l t man seine Komponenten als Koeffizienten einer trilinearen Form (62)

A^y'z1,

so bleibt diese gegenüber Affinitäten invariant. In derselben Weise ist ein kontravarianter Vektor dritter Stufe ein System von neun Größen, das bei derselben Affinität (21), (22) in durch folgende Gleichungen übergeführt wird: (62')

=

Axkl Äkl"

ala"ka]AiH.

Entsprechend wird man gemischte Tensoren A[k, A\l als Größensysteme delinieren, die sich wie die Produkte xiykzl bzw. x{ykzl transformieren. Setzt man das Verfahren der Tensorenbildung fort, so kann man kovariante, kontravariante und mehrere Arten gemischter Tensoren vierter, fünfter, . . . re-ter Stufe bilden: jeder Tensor zi-ter Stufe besitzt n 2 Komponenten, die sich wie die Produkte der Koordinaten von n Vektoren transformieren, und zwar ist er A-fach kovariant und (n — A:)-fach kontravariant, wenn von den n Vektoren k kovariant, die übrigen kontravariant sind. E s erübrigt sich, die einfachen Transformationsformeln ausführlich hinzuschreiben, da ihr Bildungsgesetz genau denselben Regeln unterliegt, die für n = 2 im einzelnen festgelegt waren. F ü r n = 1 erhält man Vektoren, die demnach als „ T e n s o r e n e r s t e r S t u f e " zu bezeichnen sind. Auch bei Tensoren höherer Stufe wird man ihre Darstellung (als kovariante, gemischte oder kontravariante) wohl zu unterscheiden haben von ihrer geometrischen Bedeutung; erstere ist mehr zufällig, letztere das wesentliche. E i n e Form (63)

Aillrxiyiz'ur

2. B . , deren Koeffizienten einen kovarianten Tensor vierter Stufe bilden, ist invariant, d. h. sie definiert eine geometrische Beziehung zwischen den vier Punkten X, Y, Z, U der E b e n e E, die gegenüber Affinitäten in eine gleichartige übergeht. Diese Beziehung der vier Punkte bleibt ungeändert, wenn man die kontravarianten Koordinaten eines Punktes, etwa des Punktes Ui durch seine kovarianten Koordinaten ersetzt: (64)

A ^ y ^ ' u ' = A ^ t f i f U e = A ^ y ^ u , ,

32

Enter Teil.

Affine Geometrie der Ebene.

wobei (65) AI, = A ^ g « gesetzt ist. Wesentlich ist — das sei nochmals hervorgehoben — nur das geometrische Gebilde, nicht seine Koordinatendarstellung. Man wird daher die beiden Tensoren, die dasselbe geometrische Gebilde darstellen, z. B. den kovarianten Tensor Aarl und den gemischten Tensor als zwei verschiedene Darstellungen „desselben" Tensors bezeichnen. Setzt man das Verfahren fort, so erhält man die folgenden vier gleichwertigen Darstellungen des betrachteten Tensors: Aiklr = AMrSre (66) A$ = Aairg- transformieren: dies aber ist die Definition für einen Tensor sechster Stufe. 5. V e r j ü n g u n g . In einem gemischten Tensor A s u m m i e r e man alle Glieder, bei denen ein oberer und unterer Index einander gleich ist (i = s). Dadurch entsteht ein neues Größensystem (71) Aar = Aller* (auch hier ist, wie immer bei gleichnamigen ungleichständigen Marken über s zu summieren!), das einen Tensor einer um zwei Einheiten kleineren Stufenzahl bildet. Dies ergibt sich einmal durch direkte Aufstellung der Transformationsgleichungen, aber auch durch folgende Überlegung: Der gegebene Tensor transformiert sich wie der Ausdruck Aikr somit wie xiykzr(to've),

also, da vfv, eine Invariante ist, wie a ^ v » die Größen Aikr bilden also in der Tat einen Tensor dritter Stufe. Dieser Verjüngungsprozeß gestattet es, von verwickelten invarianten Gebilden, den Tensoren re-ter Stufe, zu einfacheren Gebilden, zuletzt zu den einfachsten Invarianten, den Skalaren, zurückzugehen. Die Verjüngung, die für den Fall eines Tensors zweiter und eines solchen erster Stufe bereits in | 6 behandelt worden ist, ist in ihrer einfachsten Form schon bei der Einführung der kontravarianten Einheitsvektoren in Anwendung gekommen. Die Transformationsformeln (31*) enthalten nämlich, ausführlich geschrieben, die Komponenten des gemischten Tensors dritter Stufe gikxl bzw. gik xh und ihre Zusammenfassung zu den kovarianten bzw. kontravarianten Koordinaten des Vektors j ist nichts anderes als die Verjüngung dieses Tensors mit Hilfe des Grundtensors. S a 1 k o w s k i , Affine Differentialgeometrie.

3

34

Erster Teil. Affine Geometrie der Ebene.

§ 8. Beispiele. B e i s p i e l 1. Die Verjüngung kann auch f ü r zwei oder mehrere gleiche Indexpaare ausgeführt werden. Insbesondere kann ein Tensor Pik bzw. Am mit sich selbst verjüngt werden, dabei ergeben sich die Skalaren (72) % = P i k P i k = PikPrlg H g k (73)

8t = AwAm

=

AmA^g^S1-

Es sind dies Invarianten der Tensoren zweiter bzw. dritter Ordnung, die ganz entsprechend gebildet sind wie das Quadrat der Länge eines Vektors is = xixi = gikxixk = gikxixk. B e i s p i e 1 2. Es sei Pik ein symmetrischer Tensor. Man suche dann die Punkte (x1, «*), die der Gleichung (74) Pikxta* = 0 genügen. Diese Punkte liegen auf zwei reellen oder imaginären Geraden, deren Gleichungen man dadurch erhält, daß man die linke Seite von (74) in zwei Faktoren zerlegt: (75) Pikxix* =3 (oixi){bkx*). Betrachtet man die Vektoren (76)

a = «ne*

6 = fo e*,

so wird das skalare Produkt (77) ab = (aie*) (6*el) = i>»*e«e* = Pikgik. Aus der identischen Gleichung (75) folgt « A = Pu (78) a1bi + atb x = 2 Plt ))dt

als natürlichen Parameter kommen. Es würde natürlich zulässig sein, auch in diesem Falle die Affinlänge einzuführen, indessen bedeutete dies nur eine überflüssige Erschwerung. Uberhaupt ist der natürliche Parameter keineswegs eindeutig durch die Gruppe bestimmt, nur ergibt sich, daß jeder Gruppe ein besonders einfacher Parameter zukommt. W i r werden später, bei der Theorie der Raumkurven und weiter in der Flächentheorie von dieser T a t sache noch wiederholt Gebrauch machen.

§ 12. Geometrie der radialen Scherungen. Für das Tangentenbild ist der Koordinatenanfang ein ausgezeichneter Punkt. Einer beliebigen Scherung der K u r v e 5 entspricht eine homogene Scherung der K u r v e t). Die Gruppe der homogenen oder „ r a d i a l e n " Scherungen ist aber geometrisch wesentlich leichter zu überschauen und daher auch einfacher analytisch zu behandeln als die allgemeine Scherungsgruppe. Dies beruht darauf, daß hier schon zwei Punkte P und Q mit dem Anfangspunkte die fundamentale Scherungsinvariante bestimmen, die Maßzahl des Bivektors OP x OQ. Daher hat man hier auch in dem Ausdruck der einfachsten Integralinvariante (10*)

s = /(t) x i>)dt

nur Differentiale erster Ordnung und braucht nicht wie vorher bis zu Differentialen dritter Ordnung aufzusteigen. D a das Tangentenbild t) die K u r v e j bis auf Schiebungen eindeutig bestimmt, beide K u r v e n auf denselben natürlichen Parameter bezogen sind und daher die invarianten Gebilde, die mit der einen K u r v e verknüpft sind, auch für die andere eine invariante Be-

42

Erster Teil.

Affine Geometrie der Ebene.

deutung haben, sei zunächst einmal die „Geometrie der radialen Scherungen" in ihren Grundzügen entwickelt. Diese h a t schon deswegen ein besonderes Interesse, weil sie eine noch einfachere Struktur als die metrische hat, da hier die einfachste Integralinvariante s durch eine l i n e a r e DiiTerentialform ds = (t) x tj) dt gegeben ist. Ihre geometrische Bedeutung ist bereits als der doppelte Flächeninhalt der von dem Radiusvektor überstrichenen Fläche erkannt worden; man bezeichne s daher als „Sektor" der Kurve t). Da der Anfangspunkt festgehalten wird, ist ein „natürliches", d. h. mit den Punkten der Kurve kovariant verbundenes Koordinatensystem durch t) und

» = gegeben. Dabei ist also 3 der normierte Tangentenvektor der Kurve l); sein Endpunkt beschreibt daher im Sinne der radialen Scherungsgeometrie das Tangentenbild von t). Da (13)

r ) x t ) ' = 1,

also t) x t)" = 0 ist, so ist der Vektor t)" kollinear zu ty: (14) t ) " + Ä I ) = 0. Der Wert des Proportionalitätsfaktors k ergibt sich, indem man in (13) den Wert von t) einsetzt: (15)

k =

t)'xt)".

Man bezeichne die Invariante k als die „radiale Krümmung" der Kurve

(Y).

Zwischen einer Kurve (Y) und ihrem „radialen Tangentenbilde" j bestehen einfache geometrische Beziehungen. Da (13) t)xj = l ist, erhält man zu einem Punkte Y den zugehörigen Punkt Z dadurch, daß man durch O zur Tangente YT einen Parallelvektor derart konstruiert, daß der Flächeninhalt des von OY und OZ eingespannten Flächenstücks Fj„ 10. ' gleich Eins wird. Man überzeugt sich durch elementargeometrische Betrachtungen leicht davon, daß, wenn Y eine infinitesimale Bewegung ausführt, der Punkt Z sich parallel zu OY bewegt, was der Gleichung (14) entspricht. Bezeichnet man den Sektor von (Z) mit a, so ergibt sich (16) da = (a x 5')ds = kds .

2. Kapitel. § 12. Geometrie der radialen Scherungen.

43

Die radiale Krümmung ist also der Grenzwert, dem das Verhältnis der von OZ bzw. OY überstrichenen Sektoren zustrebt, wenn die Endpunkte des Kurvenbogens (Y) zusammenfallen. Konstruiert man in derselben Weise das radiale Tangentenbild von (Z): (17)

u

= | = i

ä

'

=

- , ,

so erhält man die zu (Y) bezüglich des Anfangspunktes symmetrische Kurve (U), das Tangentenbild ( F ) von (U) ist symmetrisch zu (Z), und das Tangentenbild von ( F ) fällt mit (Y) zusammen. Man erhält also einen geschlossenen Zyklus von vier Kurven, von denen jede das radiale Tangentenbild der vorhergehenden ist. Beachtet man die Bedeutung der radialen Krümmung, so ergibt sich: Das Produkt der radialen Krümmung einer ebenen Kurve und der ihres radialen Tangentenbildes ist immer gleich Eins.

Das radiale Tangentenbild (Z) einer Kurve (Y) wird, wie auch in der metiischen und der allgemeinen Scherungsgeometrie, durch Differentiationen gewonnen. Während dort aber die umgekehrte Aufgabe, d. h. die Bestimmung einer Kurve, die ein gegebenes Tangentenbild besitzt, die Ausführung von Quadraturen erfordert, sieht man hier: Durch ihr radiales Tangentenbild Differentiation bestimmt.

ist eine Kurve eindeutig, und zwar durch

Man erhält nämlich aus (Z) zunächst die Kurve U, die man nur noch am Anfangspunkt zu spiegeln hat, um (Y) zu erhalten. Für die a n a l y t i s c h e D a r s t e l l u n g des beschriebenen Zusammenhangs wird man beachten, daß der Anfangspunkt eine ausgezeichnete Rolle Bpielt. Es liegt daher nahe, der Ebene eine euklidische Metrik aufzuprägen und in ihr Polarkoordinaten einzuführen. Dann wird jeder Punkt der Kurve Y durch seinen Radiusvektor (18)

t) = r(e2),

die Tangente durch die Stützfunktion y 1 cos A + y 1 sin A = p(A)

(19)dargestellt.

Da der Berührungspunkt der Tangente auch die Gleichung

(20) erfüllen muß, wird (21)

— y* sin A + y2 cos A = p =

^

y1 = p cos A — p sin A y2 = p sin A + p cos A '

so daß zwischen (r, • oo die Kurve j selbst. Für die Hüllkurve 5 muß d$ ds = A = Solche Systeme von neun Größen halten :

a"xa^xxy1'. die sich wie die P r o d u k t e x?y ß ver-

werden uns in der affinen Geometrie des Raumes häufig entgegentreten; wir bezeichnen sie entsprechend den gleichartigen Gebilden in der E b e n e als „ k o n t r a v a r i a n t e T e n s o r e n z w e i t e r S t u f e " , u n d analog heißt ein Zahlensystem das sich wie die P r o d u k t e uxvM der Koordinaten zweier k o v a r i a n t e r Vektoren transformiert: Äx„ = o.\a*A aß ein „ k o v a r i a n t e r T e n s o r z w e i t e r S t u f e " . Endlich wird m a n ein Größensystem A* als einen „ g e m i s c h t e n T e n s o r z w e i t e r S t u f e " bezeichnen, wenn es sich wie die P r o d u k t e xfux der Koordinaten eines k o n t r a v a r i a n t e n u n d eines k o v a r i a n t e n Vektors verhält. W i r erkennen, daß die Ergebnisse des ersten Kapitels auch hier völlig u n g e ä n d e r t erhalten bleiben, d a ß wir auch hier Tensoren d r i t t e r u n d höherer Stufe in derselben Weise einführen

62

Zweiter Teil. Affine Geometrie des Raumes.

k ö n n e n . Ü b e r h a u p t ist d e r Begriff u n d d a s R e c h n e n m i t Tensoren u n a b h ä n g i g v o n der Dimensionenzahl. W i r k ö n n e n d a h e r d a v o n absehen, n o c h einmal ausführlich den g a n z e n S a c h v e r h a l t darzustellen, u n d überlassen es d e m Leser, sich d u r c h N a c h r e c h n e n d a v o n zu überzeugen. Die E b e n e im a f f i n e n Raum. Zwei P u n k t e Xv X2 im R ä u m e b e s t i m m e n m i t d e m A n f a n g s p u n k t 0 eine E b e n e u n d in dieser zwei R a d i e n vektoren = u n d 0A*2 = j 2 ; j e d e r weitere P u n k t X der E b e n e ist d a n n d u r c h seinen R a d i u s v e k t o r dl) E = f 1 i i + * s E i = fiSi festgelegt. Die Zahlgrößen I 1 u n d f 2 sind nichts anderes als die K o o r d i n a n t e n des P u n k t e s X in dieser E b e n e , bezogen auf d e n N u l l p u n k t 0 u n d die G r u n d vektoren E» = x i c i + x i e 2 + z i ' e 3 = Es = + x l e 2 + zijcj = ' Man kann den Sachverhalt auch so auffassen, daß alle Punkte des Raumes mit den Koordinaten ( £ l f l f 3 ) durch eine ausgeartete Affinität £ 3 = 0 auf die Ebene OXtXt „projiziert" sind; d . h . allen Punkten des Raumes mit denselben Koordinaten £2 ist ein und derselbe P u n k t der Ebene zugeordnet. F ü r die Geometrie in einer E b e n e des affinen R a u m e s gelten also alle Ergebnisse, die wir f r ü h e r f ü r die affine Geometrie in der E b e n e g e f u n d e n h a t t e n , wobei wir zwei beliebige n i c h t kollineare V e k t o r e n j „ j 2 der E b e n e als G r u n d v e k t o r e n e i n f ü h r e n k ö n n e n . il2

\

Sind zwei E b e n e n OX1X2 u n d OX1X2 gegeben, so w e r d e n die E b e n e n affin a u f e i n a n d e r bezogen sein, w e n n m a n diejenigen P u n k t e sich entsprechen l ä ß t , die in beiden dieselben K o o r d i n a t e n besitzen:

E = £*Ei + l 2 E 2 Innerhalb des affinen Raumes können, da ja die Grundvektoren beider Ebenen völlig unabhängig voneinander gewählt werden, zwei Ebenen noch auf mehrfach unendlich viele Arten affin aufeinander bezogen werden, und diese Beziehung ist ihrer Natur nach invariant f ü r jede auf den ganzen Raum ausgeübte affine Transformation. Fallen die beiden Ebenen zusammen oder sind sie parallel, so kommen wir auf die im vorigen Kapitel betrachtete affine Beziehung einer Ebene auf sich selbst zurück. Dann kann man die Parallelität, Orthogonalität usw. ohne weiteres durch kovariante bzw. kontravariante Beziehungen zwischen den Koordinaten zum Ausdruck bringen. Schneiden sich dagegen die Ebenen, so hat es schlechterdings zunächst keinen Sinn, zwei Richtungen in den beiden Ebenen miteinander zu vergleichen und etwa als „parallel" zu bezeichnen. Es gibt allerdings ein Paar entgegengesetzte ausgezeichnete Richtungen: die der Vektoren, die in die Schnittlinie fallen. Es liegt nahe, diese Richtung sich in beiden Ebenen entsprechen zu lassen. Dann ist nach Einführung eines metrischen Grundtensors auch die dazu orthogonale Richtung definiert, und wenn man die Vektoren, die in dieser Richtung sich entsprechen, einander zuordnet, so hat man einen „affinen Zusammenhang" zwischen beiden Ebenen konstruiert. Dies ist aber nicht die einzige und vielfach nicht ein-

1. Kapitel. § 18. Der Bivektor.

63

mal die sachgemäßeste Möglichkeit, die beiden Ebenen aufeinander zu beziehen. Es wird daher darauf ankommen, die analytischen Beziehungen, die einen solchen affinen Zusammenhang zweier Ebenen vermitteln, ausführlich zu entwickeln. Diese grundlegend wichtige Aufgabe sei hier zunächst erst gestellt; ihre Lösung sei einem besonderen Kapitel vorbehalten. § 18. Der Bivektor. Wie aus dem ersten Kapitel bereits bekannt ist, bestimmen zwei Radienvektoren j^, j 2 eine geometrische Größe höherer Ordnung, das Parallelogramm, das zwischen ihnen ausgespannt werden kann. Diese „Flächengröße" ist durch ihre Stellung und ihren Umlaufsinn völlig bestimmt. Wir bezeichnen sie als „ B i v e k t o r " E12, und dieser ist identisch mit dem „äußeren Produkt" (13) Eiü = Ei x r 2 der beiden Vektoren. Dieser Begriff ist bereits im ersten Kapitel eingeführt worden und seine Rechengesetze sind begründet. Insbesondere war (14)

Es x Ei = — Ei x E«.

also (15) E, x = 0. Dabei bedeutete geometrisch die Änderung der Reihenfolge der Faktoren die Umkehrung des Umlaufsinns des Flächenstücks. Sind t) zwei beliebige Vektoren der Ebene OX1X1 (16)

l

=

so wird der Bivektor (17)

i x t ) = ( i V - W i « »

d. h. alle Bivektoren einer Ebene (oder paralleler Ebenen) lassen sich als Vielfache eines und desselben Bivektors f 12 , des von den Grundvektoren Ed E2 eingespannten Flächenstücks, darstellen. In der Geometrie der Ebene hatten wir die Bivektoren als Vielfache derselben Einheit kennengelernt und daher als skalare Größen behandeln können. Anders liegt die Sache im Räume. Der durch die beiden Vektoren (18) & = «?ea ( ¿ = 1 , 2 ; « = 1,2,3) bestimmte Bivektor (19) Ei2 = Ei x E8 = e*ß scheint zunächst in neun Komponenten nach den Bivektoren ej l t e12, • . 6 3 3 zerlegt zu sein, wobei die ea/J einen kovarianten, die Koordinaten einen kontravariantenC Tensor bilden. Dae aber wegen (14) und (15) 1 e zweiter CStufe = e = C /nn\ 21 l2» 32 23» l3 31» eP ' — P — eP — u0 ll — 22 — 33 — ist, läßt sich (19) in der Form

64

Zweiter Teil. Affine Geometrie des Raumes. x

£2 — {x\x\ — x\x%)ea +(x\xl-x\xl)e31 + (x:\x2 — xf x|)e 12 schreiben, oder als Determinante: (21)

£12 — Ei

e

(21')

£l2 —

1

i2

x\ 3?2 X® Aus der geometrischen Definition ergab sich, daß ein Bivektor t)j X t)2 dann und nur dann ein Vielfaches von h x j2 ist, wenn die vier Vektoren tjk komplanar sind. Man zeige dies durch direkte Ausrechnung. Die Gleichung (21) besagt, daß die Gesamtheit J12 aller Bivektoren des Raumes sich homogen und linear durch drei Grundbivektoren e M , e sl , c12 darstellen läßt, daß sie durch Zahlentripel von Koordinaten xf sì x\ xf j (22) Xo = 1 x 3 = %2 xl I I #2 ausgedrückt werden. Derartige Größen hatten wir aber als räumliche Vektoren definiert. Ändert man noch die Bezeichnung des Bezugssystems ab und setzt (23) e23 = c 1 , ce,, e-, c12 31 = e* so ist auch formal der Bivektor (21) als Vektor (24) j = a^c1 + x 2 e a + z 3 e 3 = ^ e * geschrieben. Nimmt man „einen Raum" mit dem Koordinatensystem (eA) an, so sind die Vektoren dieses Raumes eineindeutig den Bivektoren des Raumes (c„) zugeordnet. Es ist nun noch zu untersuchen, wie sich die Vektoren des Raumes (e*) verhalten, wenn der Raum (ea) einer Affinität (3) unterworfen wird, oder, was dasselbe ist, wie sich die Bivektoren gegenüber Affinitäten der Vektoren transformieren. L i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n der B i v e k t o r e n . In der Bezeichnung der Formeln (22) und (23) ist das Ergebnis bereits vorweggenommen: die Grundvektoren eA transformieren sich kontravariant, die Koordinaten xx kovariant. Dies zeigt man leicht durch Ausrechnung. Aus den Transformationsformeln (3) eß = a'ßea x" = afxi> ergibt sich sofort: e* = V = (c„ x e„) = aZ4(ea x tß) = (afö — afä) eaß = (a;4 - afä) ey oder: e 1 e2 e3 (25) »l a\ a2r al

x, =

11


3 Dimensionen ausdehnen lassen. Gerade hierin liegt ihre Bedeutung für die neuere Physik, die mit dem Einsteinschen vierdimensionalen Räume arbeitet.

§ 20. Der Trivektor und das innere Produkt. Als geometrische Grundgebilde hatten wir bisher nur zwei Größen eingeführt: den Vektor und den Bivektor. Damit war für die Ebene die Zahl der Grundgebilde erschöpft. Im Räume dagegen tritt noch ein neues Element hinzu, der „Spat" (das Parallelepiped), der durch drei nicht komplanare Vektoren bestimmt ist. Sind drei solche Vektoren j, t), j vorgelegt, so bestimmen die Radienvektoren 0X = = t),OZ = 3 diese Raumgröße, die durch (60)

(E, t), %)

1. Kapitel. § 20. Der Trivektor und das innere Produkt.

71

bezeichnet sein möge. Da sie von drei Vektoren abhängt, nennt man sie einen „ T r i v e k t o r " . Die Raumgröße sei, ebenso wie das Flächenstück, orientiert, so daß zwei Körper, die spiegelbildlich gleich sind, wohl dieselbe absolute Maßzahl, aber entgegengesetztes Vorzeichen haben. Das Symbol (60) genügt also der Rechenregel (61)

(E, t), 5) = (tj, Z, E) = (J, E, = — (E3 ty) = — (t), E> ä) = — (ä, t), E) • Der Rauminhalt eines Spats ist nicht von der Gestalt seiner Grundfläche abhängig, sondern nur von ihrer Größe; dies muß dadurch zum Ausdruck kommen, daß (e, t), a) nicht von e, 9 einzeln, sondern nur von dem Vektorprodukt e x ! } abhängig ist. Der Trivektor wird daher durch diesen Bivektor, seine „Grundfläche", und durch seine Seite, den Vektor a, darstellbar sein. Da aber der Ausdruck des Inhalts eines Körpers durch Grundfläche und Höhe dem assoziativen und distributiven Gesetz gehorcht, wird der Trivektor als eine Art von Multiplikation eines Bivektors und eines Vektors aufgefaßt werden können: (62)

(E,

a) = (E x tj) • j = (a x j ) • t) = (t) x j) • E;

zudem kann man festsetzen, daß auch das kommutative Gesetz erfüllt ist: (63)

(e, ij, a) = s • 05 * a) = 9 • (a * s) = a • (e x tj) •

Man bezeichnet daher den Trivektor als das „ i n n e r e P r o d u k t " eines Vektors mit einem Bivektor. Auch das innere Produkt kann gleich Null werden, ohne daß ein Faktor verschwindet. Sind nämlich j , t), a komplanar, so wird der eingespannte Rauminhalt gleich Null; insbesondere ist immer (E, t),

13)

= 0.

Auf Grund dieser Festsetzungen ergibt sich ( e i e 2 e 3) = (ei x e 2 ) • e 3 = (e2 x e 3 ) • = (e 3 x e x ) • e 2 (64) = — (e2 x e ^ • e 3 = — (e3 x e 2 ) • e^^ = — (ex x e 3 ) • e 2 (e« x e j • eß = (e a x eß) • e„ = 0, und man erkennt, daß alle „Grundtrivektoren" entweder Null oder ± e 123 sind:

I

H" ei23 ' ei23 ! 0 und zwar + e 1 2 3 , wenn oc,ß,y die Zahlen 1 , 2 , 3 , — e 123 wenn ß, y 1, 3, 2 oder eine zyklische Vertauschung dieser Zahlenfolgen bedeuten, 0 wenn zwei der Marken einander gleich sind. Alle Trivektoren des Raumes sind somit Vielfache einer und derselben Einheit e123. In dieser Einheit läßt sich der durch die drei Vektoren (65)

z = xaea,

t) = yßzß,

l =

zyty

72

Zweiter Teil.

Affine Geometrie des Raumes.

bestimmte Trivektor durch einfache Ausrechnung in der Form (66)

(b

b)

=

X1

X2

y1

y2 z2

z1

X3 yZ

z3

ei23

— A ' ^123

darstellen; die Maßzahl des Spats ist daher die Determinante aus den Koordinaten seiner Kanten. Größen, die als Vielfache einer und derselben Einheit dargestellt werden können, bilden eine skalare Mannigfaltigkeit, bei der es auf die Bezeichnung der Einheit nicht ankommt. Man wird daher (67) e123 = 1 setzen können: Die Trivektoren des dreidimensionalen Raumes können als Skalare aufgefaßt werden. Schreiben wir nun in den Gleichungen (64) statt der Vektorprodukte die ihnen entsprechenden kontravarianten Grundvektoren und berücksichtigen die Festsetzung (67), so folgt:

Dies ist aber identisch mit den Formeln (40), die die Rechenregeln für die s k a l a r e Multiplikation festlegen. Im dreidimensionalen Räume ist das „innere Produkt" mit dem „skalaren Produkt" identisch. Die G l e i c h u n g der E b e n e . Der Begriff des Trivektors führt auf eine besonders einfache geometrische Erfassung der in der Gleichung einer Ebene auftretenden Größen. Ist eine Gleichung (69)

Uj^x1 + u2x2 + u3x3 = 0

vorgelegt, so bedeutet dies zunächst, daß der Radiusvektor u = uxt" auf dem Radiusvektor l = senkrecht steht. Hält man also u fest und läßt 3? alle der Gleichung (69) genügenden Werte durchlaufen, so sind dadurch alle Radienvektoren, die auf u senkrecht stehen, bestimmt. Andererseits kann man aber auch auf unendlich viele Weisen sechs Größen y'-, z>* so bestimmen, daß ui =

(70) wird, d. h.

u2 = u3 =

ißz1

— Z*V3 — z3y1 — z1^2 e1 y1 z1

e2

y2

z2

e! V z!

1. Kapitel

§ 21. Beispiele.

73

ist das Vektorprodukt zweier kontravarianten Vektoren Die Gleichung (69) kann somit auch in der Form (Ei

X1

X2

X3

1

y*

y3 = (xyz) = 0

3) = y rl

geschrieben werden; sie bedeutet also nichts anderes, als daß der Spat (£t}j) den Rauminhalt Null besitzt, d. h. der Vektor £ unterliegt nur der Bedingung, mit den Vektoren t), j in derselben Ebene durch den Nullpunkt zu liegen, deren Stellung durch den Bivektor t) x } eindeutig bestimmt ist. Die Gleichung (69) stellt also eine Ebene durch den Nullpunkt dar. Besteht dagegen die Gleichung (71)

=

so heftet man ebenso im Nullpunkt ein Flächcnstück t) x 3 = u an, das zwar seiner Gestalt nach unbestimmt ist (da die drei Gleichungen (70) die sechs Größen y", za nicht eindeutig festlegen), das aber eine feste Größe und Stellung besitzt. Die Gleichung (71) fordert dann, daß der Spat (S9i) = ^yz) = C eine feste Maßzahl C besitzen soll. Dies besagt aber geometrisch, daß der Endpunkt X aller der Bedingung (71) genügenden Vektoren (ar") in einer zu (t), 5), also zur Ebene (69) parallelen Ebene liegt. Multipliziert man sowohl die ux als auch C mit demselben Faktor k, so wird die Grundfläche t) x 3 des Spats mit k multipliziert, ebenso aber auch seine Maßzahl C. Daraus folgt, daß derselbe Vektor j auch die Gleichung kuaaf — kC erfüllt. Man kann daher die Größenverhältnisse ut: u2: u3: C als die homogenen Koordinaten einer Ebene auffassen. Da der Vektor u zu allen Vektoren der Ebene (69), also auch zu den der Parallelebenen (71) senkrecht steht, kann man ihn als den „ N o r m a l v e k t o r " dieser Ebenen bezeichnen. Die Orthogonalität — dies sei zum Schluß noch einmal betont — ist aber keine affininvariante Beziehung, d. h. ein Vektor u, der auf j senkrecht steht, bleibt nach Ausführung einer Affinität in der Regel nicht normal zum transformierten Vektor j , weil sich die beiden Reihen von Veränderlichen in (69) nicht kogredient, d. h. durch dieselben Transformationsformeln, sondern kontragredient transformieren.

§ 21.

Beispiele.

Beispiel 1. Der Grundtensor sei gll = £22 = gsi = 1 ffi2 = gn = ff n = 0; dann ist auch g** = 1,

g*/i = 0

( t0, r„>tllti> 12 gehören. Sodann werde der Punkt A~4 durch ti > t3

derart festgelegt, daß der Rauminhalt i v des Tetraeders A\ A 2 A s Ä"4 auch dem Vorzeichen nach gleich dem des Tetraeders X0 A'j X 2 X 3 ist. Dann liegen A„ und X 4 auf verschiedenen Seiten, aber im gleichen Abstände von der Ebene der gemeinsamen Grundfläche A 1 A 2 A 5 der beiden Körper, und der Mittelpunkt Y von A 0 X 4 in der Ebene A\ X2 X3. Setzt man das Verfahren fort, bestimmt also den P u n k t A'6 auf der Kurve, so daß er denselben Abstand von der Ebene X2 X3 Xt hat wie der Punkt A j , und entsprechend Xe, X , . . . Xn+3, so hat man der Kurve ein Vieleck derart eingeschrieben, daß der Rauminhalt der Pyramiden A x A x + i A x + 2 AK+3 =

¿f

immer denselben Wert besitzt. Ist dann A n + 3 der Endpunkt A ' des Kurvenbogens XX', und bildet man f 2, . . . reguläre F u n k t i o n e n v o n s sind. Wählt man v o n ihnen drei linear u n a b h ä n g i g e willkürlich aus. so k a n n m a n j e d e n R a u m v e k t o r n a c h diesen drei K o m p o n e n t e n eindeutig zerlegen; m a n h a t dadurch an j e d e n P u n k t der K u r v e ein räumliches K o o r d i n a t e n s y s t e m geh e f t e t , dessen A c h s e n n u r v o n der K u r v e selbst, n i c h t v o n dem Ausgangssystem Cj, c 2 , e 3 a b h ä n g e n , und die ineinander übergehen, wenn der A n f a n g s p u n k t sich auf der K u r v e v e r s c h i e b t . Die W a h l dieser A c h s e n ist in weitem Maße willkürlich, m a n wird sie d a h e r so treffen, d a ß das „ b e g l e i t e n d e " oder , , H a u p t d r e i k a n t " der K u r v e in einer b e s t i m m t e n H i n s i c h t als das e i n f a c h s t e erscheint. Das nächstliegende ist, die V e k t o r e n i

ii

in

k> 4 ) t als G r u n d v e k t o r e n zu w ä h l e n . Sie sind auf G r u n d v o n ( 5 ) jedenfalls v o n einander u n a b h ä n g i g u n d lassen sich durch eine S c h e r u n g in das Grundsystem Cj, c 2 , c 3 t r a n s f o r m i e r e n *). D a der G r u n d v e k t o r e' in die R i c h t u n g der T a n g e n t e fällt, wird e r als ( n o r m i e r t e r ) „ T a n g e n t e n v e k t o r " b e z e i c h n e t , und e n t s p r e c h e n d n e n n t m a n e " und in etwas e n t f e r n t e r Analogie zu der metrischen Geometrie den n o r m i e r t e n „Affinhauptnormal-" bzw. „Affinbinormal vektor". Das hier bevorzugte Hauptdreikant ist so gewählt, daß seine Kanten j ' , j " , %"' durch die Ableitungen niedrigster Ordnung nach dem Affinbogen gegeben sind. Diese formale Einfachheit darf aber nicht darüber hinwegtäuschen, daß in der allgemeinen Parameterdarstellung die Ableitung nach s bereits drei Differentiationen, somit j " vier, ¿ " ' fünf Differentiationen erfordert. Dies bedeutet geometrisch, daß, wenn man den Vektor £' durch einen Grenzübergang erzeugt, schon vier Kurvenpunkte, für i " fünf und für £ ' " sechs Kurvenpunkte betrachtet werden müssen, deren Konfiguration die Richtungen bestimmen, die beim Grenzübergang in die genannten Grundvektoren übergehen. So überzeugt man sich leicht, daß in Fig. 17 die Grenzlage von X2Y die Affinhauptnormale der Kurve an der Stelle X beim Zusammenfallen der Punkte X „ . . . X t wird. Will man sich auch von der Lage der Affinbinormalen eine Vorstellung verschallen, so muß man noch einen sechsten P u n k t ATS heranziehen. Dies ist der Sinn der Aussage „das begleitende Dreikant £', j " , £ " ' ist von fünfter Ordnung". E s ist aber durchaus möglich, daß man bereits aus der Figur von fünf Kurvenpunkten eine Richtung bestimmen kann, die auch beim Grenzübergang mit j ' und j " nicht komplanar wird und daher als dritte Achse eines „begleitenden Dreikants *) Die Realitätsverhältnisse sind bereits vorher erörtert.

Zweiter Teil. Affine Geometrie des Raumes.

78

vierter Ordnung" gewählt werden kann. Durch fünf Punkte lassen sich oo2 Zylinder zweiter Ordnung legen, unter ihnen gibt es einen parabolischen Zylinder; die Richtung seiner Erzeugenden gibt dann, zusammen mit dem Tangentenvektor £' und dem Affinhauptnormalenvektor j" das gesuchte Hauptdreikant vierter Ordnung. Da man aber von dem zuerst gewählten zu diesem von W i n t e r n i t z gefundenen Dreikant 1) durch eine ganz einfache Transformation übergehen kann, sei mit Rücksicht auf die formale Einfachheit der Rechnung an der ersten Wahl festgehalten.

§ 23. Die Ableitungsgleichungen und die kovarianten Kurvenbilder. Die A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n . Durch die drei Grundvektoren 5', 5", 5"' lassen sich alle Vektoren linear und homogen darstellen, die sich mit der Kurve kogredient transformieren. Insbesondere wird so jede höhere Ableitung nach dem Affinbogen j IV , j v , . . . durch die drei ersten dargestellt werden; man kann daher ansetzen (7) f y + Aj'" + k i " + I i = 0 , wobei die Koeffizienten X, k , t Funktionen von s sind. Sie sind die einfachsten Scherungskovarianten der Kurve g und lassen sich, wenn die Kurve 5 durch eine Gleichung von der Form (1) gegeben ist, sofort hinschreiben. Da (5)

(E'S"S"') = 1

ist, wird (E'E"EIV) =

0.

Setzt man aus (7) den Wert von j IV in diese Gleichung ein, so folgt X = 0, während sich k

= (£', j " \

E

1V

)

i = - ( s " s " ' sIV)

ergibt. Man bezeichnet, immer in etwas entfernter Analogie, k als die „ A f f i n k r ü m m u n g " , t als die „ A f f i n t o r s i o n " der Kurve £ a ). Ihre grundlegende Bedeutung für die Kurventheorie im affinen Räume besteht darin, daß jede Affinkovariante j«) CiU = ( s ( i ) ; j « sich durch diese einfachsten Kovarianten und ihre Ableitungen ausdrücken läßt. In der Tat kann man ja jede Ableitung j® ( i > 4) mit Hilfe der „ H a u p t g l e i c h u n g " der Raumkurve (7*)

jiv

+

kl

"

+

tl > =

0

durch wiederholte Ableitung aus j', j", j ' " linear und homogen zusammensetzen. 1

) Vgl. hierzu W. B l a s c h k e , Vorlesungen S. 76—79, G. K o w a l e w s k i , Allg. natürliche Geometrie (Göschens Lehrbücherei Bd. 19) Berlin 1931, S. 209. 2 ) Wir vermeiden die Bezeichnung „Affinwindung", um den Anschein zu vermeiden, als ob t irgend etwas mit der „Rechtswindung" bzw. „Linkswindung" der Kurve zu tun hätte.

2. Kapitel. § 24. Exkurs in die Geometrie der radialen Schcrungen.

79

I s t umgekehrt

(8*)

k = k(s),

t = t(s)

gegeben, so bestimmen sich die Koordinaten der Raumkurve bis auf Affinitäten eindeutig durch ein System unabhängiger Lösungen der Hauptgleichung, das gemäß der Bedingung (5) normiert ist. Die Gleichungen (8*), die also die Kurve unabhängig von einem Koordinatensystem bestimmen, werden daher als die „ n a t ü r l i c h e n G l e i c h u n g e n " der Kurve bezeichnet. D a s T a n g e n t e n b i l d und die beiden A f f i n k r ü m m u n g s b i l d e r . R a d i a l e S c h e r u n g e n . Heftet man die Vektoren t} = E', a = s"> " = £'" als Radienvektoren an den Nullpunkt, so beschreiben ihre Endpunkte drei Kurven ( Y ) , (Z), (U), die mit der Kurve (X) kovariant verbunden sind, und von denen die erste als das affine „Tangentenbild", die beiden anderen als das erste und zweite Affinkrümmungsbild (bzw. Affinkrümmungs- und Affintorsionsbild) bezeichnet sein möge. Diese Kurven unterliegen einer h o m o g e n e n Scherung, wenn (X) durch eine a l l g e m e i n e Scherung transformiert wird. Die gegenseitigen Beziehungen der Kurven ( Y ) , (Z), ( U ) werden daher am einfachsten zu untersuchen sein, wenn man sich auf die G e o m e t r i e d e r h o m o g e n e n o d e r r a d i a l e n S c h e r u n g e n beschränkt. In diesem Bereiche ist (9)

ij)'1',

also (9*)

s = J(t)i)

{))''• dt

eine Integralkovariante, d. h. ein natürlicher Parameter auch für die Kurve ( Y ) . Ihre geometrische Deutung ist nicht ganz so einfach wie bei der entsprechenden Fragestellung in der Ebene: man beschreibe der Kurve Y ein Sehnenvieleck YY1Y2... Y n Y n + 1 Y n + 2 derart ein, daß die durch 0 und drei aufeinanderfolgende Punkte Yt Y , . + 1 Y i + 2 bestimmten Spate alle denselben Rauminhalt (As) 3 haben, und bilde die Summe § =

nAs.

Dann geht bei einem Grenzübergang, bei dem das Vieleck sich der Kurve unbeschränkt annähert, 3 in das Integral s über. Für die Kurve ( Y ) hat also s die „Dimension" einer Länge; man bezeichne daher s als die „Affinlänge" der Kurve ( Y ) . Man beachte: der „ A f f i n b o g e n " einer Kurve (X) ist die „ A f f i n l ä n g e " i h r e s Tangentenbildes; der „Bogen" ist eine Integralinvariante der allgemeinen Schcrungsgeometrie, die „Länge" eine solche der radialen Scherungen.

§ 24. Exkurs in die Geometrie der radialen Scherungen. Betrachtet man die Kurve ( Y ) , unabhängig von ihrer Entstehung als Tangentenbild einer Kurve (X), als eine allgemeine Kurve und untersucht ihre gegenüber radialen Scherungen invarianten Eigenschaften, so definiert

80

Zweiter Teil.

Affine Geometrie des Raumes.

die Gleichung (9) ihre Affinlänge s als natürlichen Parameter. Sodann werden die Ableitungen nach 5 (10)

8 = t)'

u=t)"

ihren Tangenten- und Affinnormalvektor so normieren, daß der durch t), 3, u bestimmte Spat den konstanten Rauminhalt (11)

0J,8,U) = 1

besitzt. Dabei liegt die eine Seitenfläche des Spats immer in der Schmiegungsebene von (Y), die ja zu den Vektoren 3 und u parallel ist. Man erkennt nun schon rein anschaulich, daß der „Einheitsspat", dessen eine Ecke im Mittelpunkt 0 der radialen Affinitäten liegt, sich derart verschieben kann, daß drei seiner Ecken Y, Z, U auf den entsprechenden Kurven gleiten, eine seiner Flächen die Schmiegungsebene von (T) beschreibt und die Ecke U sich parallel zur Ebene YZ bewegt. Demnach m u ß eine Gleichung (12)

u' + kt + tt) = 0

bestehen, eine Gleichung, die von (7*) sich nur durch die Form unterscheidet. Die einfachsten Affinkovarianten sind hier: k = (i), tj", t r ) (13) t = - w , t)", t)'"), sie seien als die radiale „Affinkrümmung" bzw. „radiale Affintorsion" bezeichnet. Aus ihnen läßt sich jede andere Affinkovariante C i H = (t)«\ t), t)«>) dadurch darstellen, daß man durch die Gleichung (12), die in der Form (12 a)

t)'" + kt)' + tt) = 0

geschrieben werden kann, alle höheren Ableitungen von t) durch t) selbst u n d seine beiden ersten Ableitungen ersetzt. Dies bedeutet geometrisch nichts anderes als die Zerlegung des Vektors t)(:t)' die Gleichung 1)

= v

X

V

gegenüber. Dagegen ist das Hauptdreikant (v, q) gegen die Kurve (Y) wesentlich anders orientiert als das Dreikant (t), j, u) gegen die Kurve (Y): es entsprechen sich die Grundvektoren (22)

t),

l)',

t,"

und v, — v', v" — kv = »?, während sich umgekehrt die Systeme ,23v v, v, v" zugeordnet sind. Dabei kommt die Symmetrie der Beziehung zwischen t) und v noch durch die Gleichungen (24) rf = tv, ro' = 7 t} S a l t o WS k l , Affine Differentialgeometrie.

(J

82

Zweiter Teil.

zum Ausdruck. (25) und (26)

Affine Geometrie des Raumes.

Endlich sieht man, daß «}t? = l , >}»?' = 0, vto = 1,

«tu' = 0,

»)»?" = 0 Dtv" = 0

ist, d. h. die Kurven r] und tj sind reziprok polar zur Einheitskugel, ebenso v und tu. Diese einfachen Beziehungen bilden die Grundlage für die affine Kurventheorie in demselben Sinne wie für die klassische Kurventheorie die Beziehungen der sphärischen Bilder der Tangenten, Haupt- und Binormalen, die durch die F r e n e t s c h e n Gleichungen ausgedrückt werden. § 25. Kurven mit gegebenem Tangentenbild. Während in der klassischen Kurventheorie zu einem Tangentenbild eine ganze Klasse von parallel zugeordneten Kurven gehört, ist hier durch das affine Tangentenbild die Kurve selbst bis auf Schiebungen eindeutig bestimmt. Ist nämlich ty = t)(t) das Tangentenbild einer zu bestimmenden Raumkurve j, so bestimmt man durch (9) das Affinlängenelement ds und erhält dann

(27) j = Jt)d* durch drei Quadraturen. Damit stimmt auch überein, daß dasselbe Paar natürlicher Gleichungen (8*) k = k(s), t = l(s) in der Geometrie der allgemeinen Scherungsgeometrie eine Kurve j und in der Geometrie der homogenen Scherungen das zugehörige Tangentenbild bestimmt. Will man die Koordinatendarstellung der durch die Gleichungen (8) definierten Kurve j finden, so kommt dies darauf hinaus, zunächst ein Tripel unabhängiger Lösungen y1, y2, y3 der Gleichung (12 a) + ktf + tt) = 0 zu bestimmen, deren Determinante ( W ) = i ist, und dann die Quadraturen (27) zu lösen. Da aber durch passende Wahl der unabhängigen Veränderlichen jede homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung 9 + Atj+ptj + v ^ O in die Form (12 a) gesetzt werden kann, so ergibt sich: Die Theorie der homogenen linearen Differentialgleichungen dritter Ordnung hat ihr geometrisches Bild in der affinen Geometrie der Raumkurven. B e i s p i e l 1. Ist k = 0, t = 0, so wird t)'" = 0, also t; = ex + se 2 + ¿s 2 £ 3

i = «ei + i« 2 e 2 +

umgekehrt ist die kubische Parabel durch das Verschwinden von Affinkrümmung und -torsion gekennzeichnet.

83

2. Kapitel. § 26. Kurven mit gegebenem Tangentenbild.

B e i s p i e l 2. Die natürlichen Gleichungen der gewöhnlichen Schraubenlinie j = e, cos t -f et sin t + e,t sind k - 1, t — 0. B e i s p i e l 3. Die Kurven, deren Tangentenbild eine ebene Kurve ist, sind durch die Gleichung t = 0 gekennzeichnet. B e i s p i e l 4. Die Kurven, für die k und t beide konstant sind, werden durch yi

gegeben, wobei

- eX(t

At, As Wurzeln der Gleichung *> -f kX -f t - 0

sind. B e i s p i e l 5. Die G e w i n d e k u r v e n , d. Ii. die Kurven, deren Tangenten einem linearen Komplex (Gewinde) angehören, werden durch die Gleichung ¿ l x 2 _ ¿2 Z 1 = ¿3 zwischen den Koordinaten und ihren Ableitungen gegeben. Ihre natürliche Gleichung ist k' — t = 0 (Vgl- § 26.) B e i s p i e l 6. Die B ö s c h u n g s l i n i e n , d. h. die Kurven, deren Tangentenbild auf einem Kegel zweiten Grades liegen, haben die natürliche Gleichung k' — 21 = 0. Ein metrischer Sonderfall von ihnen sind die M i n i m a l k u r v e n derklassischen Kurventheorie. Diese sind die ersten Kurven, für die man den Affinbogen als natürlichen Parameter eingeführt hat, weil für sie die ,,gewöhnliche" Bogenlänge ihren Sinn verliert l ). Im Bereiche der Geometrie der radialen Sclierungen bedeutet die Gleichung ¥ — 21 = 0 zwischen den radialen Krümmungen das Tangentenbild t) einer Böschungslinie d . h . eine Kurve auf einem Kegel zweiter Ordnung. B e i s p i e l 7. P a r a l l e l k u r v e n . In der klassischen Kurventheorie sind zwei Raumkurven, die sich so zuordnen lassen, daß sie in entsprechenden Punkten parallele Tangenten haben, dadurch gekennzeichnet, daß ihre Tangentenbilder kongruente Kurven auf der Einheitskugel sind. Alle in Parallelkurven überführbare Kurven besitzen zwei gemeinsame Bewegungsinvarianten, den Krümmungs- und Schmiegungswinkel. Aus diesem Sachverhalt ergibt sich hier die Frage: W e l c h e „ n a t ü r l i c h e n " B e z i e h u n g e n b e s t e h e n z w i s c h e n zwei K u r v e n j u n d 3E, w e n n d i e e i n e d u r c h e i n e S c h e r u n g in e i n e P a r a l l e l k u r v e z u r z w e i t e n ü b e r geführt werden kann? Da die gesuchte invariante Beziehung durch eine Scherung nicht geändert wird, seien die Kurve j und I selbst parallel zugeordnet. Dann liegen ihre Tangentenbilder 9 = S', ?) = X auf demselben Kegel, dessen Spitze im Nullpunkt liegt. Dabei bedeutet der Akzent die Ableitung nach dem Affinbogen s von j, der P u n k t die Ableitung nach dem Affinbogen S von 36. Ferner seien k, t; K, T die Affinkrümmungen und -torsionen der Kurven j und I , also zugleich die „radialen" Affinkrümmungen und -torsionen der Kurven t) und 7). Es bestehen daher die Gleichungen («) t)'"+ky +tt) =0 (ß) 9 + + r » =0, ferner, d a die Vektoren t) und ?) in entsprechenden Punkten dieselbe Richtung haben, (r) so daß x

B = e

) E. S t u d y , American M. S. Trans. 10 (1909), S. 1. 6*

84

Zweiter Teil. Affine Geometrie des Eaumcs.

W

?) = i>*> + e$ ?) = + 2ßt) + e t) $ = + + 3pij -f et)

wird.

Ferner ist (e) t) = g's, g = l)"i 2 + t)'s, tj = i)"'s 3 + 3t)"ss + t)'s. Führt man in der Gleichung (ß) unter Benutzung der Beziehungen (¿) und (e) für die Vektoren D, | ) , . . . den Vektor 15 und seine Ableitungen ein, so muß sie in die Gleichung (a) übergehen. Daraus folgt, daß (f) e's + sß = 0 (t)) qs + 3 qs + 3 qs + Kqs = kqs3 (0) q + Kq + Tq = tqs3 sein muß, und wegen der Bedeutung von s und S i - (9, % $) = e3(y, y, y) = e»«*(9, t>', t>") = e . Daher ist für reelle Kurven (*') e* = 1 , woraus durch Ableitung die Gleichung ({) hervorgeht. Ferner wird W) k = KQ* + 2qq — e« m t = e»(e + Kg + Tq) , so daß (t) k' — 2t = (K — 2T)q3 ist, d. h.: Alle Kurven ein und desselben Kegels besitzen dieselbe Jntegralinvariante (x) a = f(k' — 2t)'l'ds; diese ist dann und nur dann konstant, wenn die Kurven auf einem Kegel zweiter Ordnung liegen, dessen Spitze in den festen Koordinatenanfang fällt. Für diejenigen Kurven, bei denen (X) k' — 2t = 1 ist, ist a der Affinbogen, man wird sie als „natürliche Leitkurve" des Kegels bezeichzeichnen können. Aus diesem Satze der radialen Scherungsgeometrie ergibt sich sofort der entsprechende Satz für Parallelkurven im Räume der allgemeinen Scherungen, dessen Formulierung dem Leser überlassen sei. Beachte ferner: Hat i) die natürliche Gleichung (A), so hat die entsprechende Kurve o die Gleichung k' — 2t = — 1.

§ 26. Weitere Fragestellungen. Kontravariante Kurvenpaare. Bilden ty und •'> ein kontravariantes Kurvenpaar der Geometrie der radialen Scherungen im Sinne des § 24, so sind dadurch bis auf ihre gegenseitige Stellung im Räume zwei Kurven g und £ eindeutig bestimmt, deren Tangentenbilder die gegebenen Kurven t) und « sind. Sie bilden ein k o n t r a v a r i a n t e s K u r v e n p a a r der Geometrie der allgemeinen Scherungen. Man untersuche ihre gegenseitigen Beziehungen. Eine eingehendere Untersuchung dieser und weiterer Beispiele findet der Leser in den Vorlesungen über Affingeometrie von W. B l a s c h k e , wo auch die Originalliteratur angegeben ist. D a s S c h m i e g u n g s g e w i n d e . Das Gewinde oder der lineare Komplex ist die Gesamtheit von oo8 geraden Linien, deren P l ü c k e r s c h e Linienkoordinaten durch eine lineare Gleichung verbunden sind. Aus den Elementen der analytischen

2. Kapitel. § 27. Abgeleitete Kurven und Flächen.

85

Geometrie ist bekannt., daß diese sechs Linienkoordinaten in zwei Reihen zerfallen, von denen die eine durch den Richtungsvektor der Geraden, die zweite durch ihr Moment bezügl. des Anfangspunktes gegeben sind. Für die Tangenten einer Raumkurve j kann man sie daher so normieren, daß die erste Reihe mit den Koordinaten des Tangentenverktors j ' = t), die zweite mit denen des Vektorprodukts j x t) zusammenfällt. Ein Gewinde, dem die Tangente in einem Punkte j angehört, ist also durch eine lineare Gleichung (28) at)+ b(E XD) = 0 gegeben, wobei a einen festen zu j kontravarianten, 6 einen festen zu j kovarianten Vektor bedeutet. Dabei gibt 6 den Richtungsvektor der Gewindedurchmesser 1 ). Da ein Gewinde durch fünf gerade Linien eindeutig bestimmt ist (seine Gleichung enthält sechs homogene Koeffizienten I), wird man durch fünf beliebige Tangenten der Kurve ein Gewinde legen können. Läßt man diese in der Grenze zusammenfallen, so erhält man das „Schmiegungsgewinde". Dieses hat somit mit der Kurve E eine „Berührung vierter Ordnung"; für dieses muß nicht nur die Gleichung (28) erfüllt sein, sondern auch die aus ihr durch ein-, zwei-, drei- und viermalige Differentiation entstehenden Gleichungen; also (29)

«3 + b ( j x }) nu + b ( j x u) K = 0 i[k-j—tj) = 0

Die beiden letzten Gleichungen zeigen,daß bderNormalvektorzurSchmiegungsebene von o ist. Zerlegt man b nach den Koordinaten 1), }, u, so folgt aus ihnen durch leichte Rechnung (30) b = kt) -f- u = W. Die Durchmesserrichlung des Schmiegungsgew indes ist parallel zum Vektor h). Nun kann man, immer unter Benutzung der Ableitungsgleichungen, auch den Vektor a aus (28) und den ersten beiden Gleichungen (29) bestimmen. Es ergibt sich (31) a = (Ä(p') - 1 ) i» - (p») C — {£»') t)

= — u + ' + k't) + u' = 0 sein müssen, d. h. (*'-t)t> = 0 ; Die natürliche Gleichung der Gewindekurven ist somit (32) k' — i = 0.

§ 27. Abgeleitete Kurven und Flächen. Mit einer jeden Raumkurve j ist eine große Anzahl von weiteren Kurven affininvariant verknüpft, deren Beziehungen zur Ausgangskurve den Inhalt einer ohne Schwierigkeit weit auszubauenden speziellen affinen Kurventheorie sein würde. Hier seien nur einige wenige naheliegende Gebilde geJ ) Wegen der hier benutzten Eigenschaften der Gewinde ziehe man eine der zahlreichen Darstellungen der Liniengeometrie zu R a t e ; etwa R e y e , Geometrie der Lage, Bd. I I ; Z i n d l e r , Liniengeometrie, Bd. I I ; S t u d y , Geometrie der Dynamen.

86

Zweiter Teil.

Affine Geometrie des Raumes.

nannt; der weitere Ausbau sei dem Leser überlassen, wobei er sich die Fragestellungen der klassischen Kurventheorie als Vorbild nehmen m ö g e 1 ) . 1. D i e T a n g e n t e n f l ä c h e von j (33)

£ = i + wi'

ist, wie aus der elementaren Differentialgeometrie bekannt ist, eine „ T o r s e " , d . h . eine abwickelbare Fläche: sie läßt sich so ausbreiten, daß sie auf ein Ebenenstück ohne Zerreißen oder Knicken abgewickelt werden kann. Sie ist zugleich auch die Hüllfläche der Schmiegungsebenen von j . Auf ihr liegen die „ A f f i n e v o l v e n t e n " Í = Í — s¿ von j , die dadurch gekennzeichnet sind, daß ihre Tangenten parallel zu den Affinhauptnormalen von j sind. 2. D i e A f f i n h a u p t n o r m a l e n f l ä c h e (34)

l = i

+

ist k e i n e Torse, d. h. die Tangentenfläche einer Raumkurve. Dies wäre nämlich nur dann der Fall, wenn man auf jeder Affinhauptnormalen einen solchen Punkt w = w(s) bestimmen könnte, daß die Tangente an die Kurve £ parallel zu j " ist. Nun hat aber der Vektor l' = i' + w'i" + w¿" stets eine nicht verschwindende Komponente in der Richtung j ' : die Affinhauptnormalenfläche ist also stets eine windschiefe Fläche. 3. D i e

Affinbinormalenfläche

(35)

1 = 1 + ws'"

ist ebenfalls windschief, wenn nicht k = 0 ist. Tangentenfläche der Kurve (36)

l = j + \

4. D i e H ü l l f l ä c h e d e r (37)

Im letzten Falle ist sie die

i".

Schmiegungsebenen

(S-S,E'E") = 0

oder (S-I,u) = 0 ist die Tangentenfläche von j . 5. D i e H ü l l f l ä c h e d e r A f f i n n o r m a l e b e n e n (38)

(S-S,S",S"') = 0

oder

(i-t,v)

=

0

Vgl. etwa S c h e l l s Theorie der Kurven doppelter Krümmung (3. Aufl., Leipzig 1914), in der die hauptsächlichsten bisher behandelten Fragestellungen zusammengestellt sind, oder G. K o w a l e w s k i , Allgemeine natürliche Geometrie, Berlin 1931, 4. Kap.

2. Kapitel. § 27. Abgeleitete Kurven and Flächen.

87

ist eine Torse, deren Gratlinie (39) ist; für t = parallel, für ebenen sind 6. D i e

s = E + "jr l " + J

E'" = E + ^

(«!")'

konst. sind ihre Erzeugenden zu den Affinhauptnormalen von j / = 0 ist auf Grund von (18) r\ = konst., d. h. alle Affinnormaleiner festen Ebene parallel. Ebenen

(40)

(E-E,E'"E') = 0

oder (40*) (E-S,O=0 umhüllen eine Torse, deren Erzeugenden auch der Gleichung (41) (E-E,f')=0 genügen. Diese Geraden sind, da (40) und (41) mit den letzten beiden Gleichungen (29) übereinstimmen, die Durchmesser des Schmiegungsgewindes von j. Die Ebenen (40) seien daher als „ D u r c h m e s s e r e b e n e n " der Kurve j bezeichnet und die von ihnen umhüllte Torse als „ D u r c h m e s s e r t o r s e " . Ihre Gratlinie ist durch die Gleichung (42) E = E + w» gegeben, wobei (43) zu setzen ist. (44)

„ = Die Torse reduziert sich auf einen Kegel, wenn w' = 0, d. h .

k' —t = konst. 1 wird, auf einen Zylinder, wenn — = 0, d. h. die Kurve eine Gewindekurve ist.

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Zweiter Teil. Affine Geometrie des Raumes.

Drittes

Kapitel.

Grundlegende Begriffe der affinen Flächentheorie. § 28. Krummlinige Koordinaten.

Kurvenscharen.

Wenn die Koordinaten x* eines Raumpunktes (a;) als Funktionen zweier Parameter it1, k2 mit gemeinsamem Existenzbereich gegeben sind, so bilden diese Punkte, d. h. die Endpunkte des Vektors (1)

x =

a?ea

eine Fläche 1 ). Alle Punkte, für die u1 = konst. ist, liegen auf einer Kurve der Fläche, deren Parameter u2 ist, die man daher als u2-Kurven bezeichnet, ebenso liegen die Punkte u 2 = konst. auf einer u 1 - K u r v e . Das System der «^Kurven und a 2 -Kurven nennt man die „Parameterkurven" oder „Koordinatenkurven" der Fläche, und die Werte von (it1, w2), die einem festen Punkt (z) der Fläche zugeordnet sind, heißen die (krummlinigen) „Koordinaten" des Punktes (x). Jede andere Kurve der Fläche wird durch eine Gleichung (2)

, , ( „ 1 u2)

=

c

bestimmt; läßt man die Konstante c alle möglichen Werte durchlaufen, so erhält man eine „Kurvenschar" auf der Fläche. Durch jeden Flächenpunkt (x) geht eine Kurve der Schar, deren „Fortschreitungsrichtung" du1 : du2 aus der Gleichung 1 (3)

U

2 u3 * = C — (u ) — (u2)2 _ ! . . »1>2« _

2

— 2K1 = C — («')* — (ua)a

ist. Man kann also in der Tat einen affinen Zusammenhang derart definieren, daß das Kurvensystem (x) die geradesten Linien der Ebene darstellen. Zur weiteren Übung betrachte man in unserem Beispiel den Einfluß der Koordinatentransformation auf die Komponenten des affinen Zusammenhangs und setze (o) u1 = u1 cos ü 2 , « 2 = u 1 sin ti2, d. h. man gehe von rechtwinkligen zu Polarkoordinaten der Ebene über. ergibt sich nach einfacher Rechnung der transformierte Grundtensor:

¿ii =

(»)

¿ i L = » . _ ¿22 = (51)2

ßU = ßh = =

(