Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven [Reprint 2019 ed.] 9783111419008, 9783111054636

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften S t i f t u n g Heinrich. L a n z Mathematisch - naturwissenschaftliche

Klasse

Abteilung A. =

J a h r g a n g 1924. 8. A b h a n d l u n g .

——

Zur

Differentialgeometrie der isotropen Kurven Von

Julius Well stein in Karlsruhe (Baden).

Eingegangen am 29. Juli 1924 Vorgelegt von Herrn K r a z e r .

Berlin

und

Leipzig

1924

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s 6 . J. Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r I K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven. Literaturverzeichnis. Die Gruppe der Minimalgeraden. Leipz. Ber. (Math. Phys. KL.) (1912) Bd. 64 S. 35-56. BERWALD L. Über die Flächen mit einer einzigen Schar zueinander windschiefer Minimalgeraden. Sitzungsber. Bayr. Akad. d. Wisa. (Math. Phys. Kl.) 1913 S. 143-211. CARTAN E. Les développables isotropes et la méthode du trièdre mobile. Comptes rendus Bd. 151 (1910) S. 919—922. STUDY E. Zur Differentialgeometrie der analytischen Kurven. Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 10 (.1909) S. 1 - 4 9 . STUDY E. Die natürlichen Gleichungen der analytischen Kurven im Euklidischen Räume. Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 11 (1910) S. 249—279. STUDY E. Über einige imaginäre Minimalflächen. Leipz. Ber. (Math. Phys.

1. BECK H .

2. 3. 4. 5.

6.

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7. STUDY E .

8. 9.

STUDY

D i e vorliegende Arbeit 1 ) beabsichtigt, die bei anisotropen Kurven üblichen Untersuchungsmethoden und Begriffsbildungen auf die isotropen Kurven, soweit als möglich, zu übertragen; sie schließt sich an die (später zitierten) Arbeiten von E. S T U D Y an und setzt deren wesentliche Ergebnisse als bekannt voraus. § 1. Analytische Hilfsmittel. 1. Der Raum werde durch Cartesische Koordinaten auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen; zur Darstellung der Relationen zwischen diesen Koordinaten sei die Studysche, der Invariantentheorie entnommene Bezeichnungsweise 2 ) verwandt. Häufig zu benutzen sind die Identitäten: (1) (2)

{abc) (x/w) = (bcx) (a/w) + (cax) (b/w) + (abx) (c/w) (abc) (x/io) = (c/x) (abw) + (ajx) (bcw) + (b/x) (caw).

') Auszug aus der gleichbetitelten Habilitationsschrift des Verfassers, welche auf der Bibliothek der Technischen Hochschule Karlsruhe hinterlegt ist. 2

) V g l . E . STUDY [ L . 4 ] § 1, 2 .

2

4

JULIUS

WELLSTEIN:

Dreht man das Tetraeder, das vom Koordinatenanfang 0 und den Punkten (1, 0,0), (0,1, 0), ( 0 , 0 , 1 ) gebildet wird, um seine Spitze (den Punkt 0 ) und bezeichnet die nach den neuen Eckpunkten gehenden Vektoren mit ev e2, e3, so bestehen zwischen diesen Vektoren die Normierungsbeziehungen : (3 a) (ej/ej) = (e2/e2) = (e3/e3) = 1, (e,/ej) = (e2/e3) = ( e j e j = 0

(3 b)

(ex efi w) = (ev/w), (ex e2 e3) = 1,

wo X, [i, v eine zyklische Permutation von 1, 2, 3 ist. Die Eichtungen der Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht, oder, projektiv aufgefaßt, ihre uneigentlichen Punkte bilden ein Poldreieck des a. K . (absoluten Kegelschnittes), sie bilden ein „normales Dreikant", die Figur der gemäß (3a,b) normierten Vektoren ein „normales Tetraeder". Zu gegebener Spitze gehören oc 3 (zueinander kongruente) normale Tetraeder. Ist X der OrtBvektor eines Punktes X, so liefert (nach (2) und (3)):

(4)

(X/w) = (X/eJ (ejw) + (X/e2) (e»

+ (X/eJ (e3/w)

dessen Komponentenzerlegung bezüglich der Koordinatenachsen ev e^ e3. 2. D a s q u a s i n o r m a l e D r e i k a n t . Die so formulierten Sätze lassen sich ohne weiteres übertragen auf eine Klasse von Tetraedern und durch sie bestimmten Dreikanten, die nur im engeren, projektiven Sinne den „normalen" beigerechnet werden können, ohne zu ihnen kongruent zu sein.1) D i e F i g u r d r e i e r von einem P u n k t e ( S p i t z e ) a u s g e h e n d e n V e k t o r e n er, b, c heiße ein „ q u a s i n o r m a l e s T e t r a e d e r " , die d u r c h sie b e s t i m m t e n R i c h t u n g e n die K a n t e n e i n e s „ q u a s i n o r m a l e n D r e i k a n t e s " , wenn d i e s e s T e t r a e d e r zu dem von den P u n k t e n 0, ( j , 0), (0,0,-«), (i, -1, 0) g e b i l d e t e n (in dieser Reihenfolge der Eckpunkte) kong r u e n t i s t . Die Richtungen der Vektoren a, c sind isotrop, die des Vektors 6 ist anisotrop und zu den beiden anderen senkrecht; die uneigentlichen Punkte der Kanten bilden ein Poldreieck des a. K . in dem Sinne, daß zwar die Ecken die Pole der Seiten sind, daß aber nicht jede Seite ihrem Pole „gegenüberliegt"; diese Tatsache soll die Bezeichnung quasinormal ausdrücken. Zwischen den Vektoren a, b, c bestehen die „Normierungsbedingungen": (5 a) (5b)

(o/fl) = (c/c) = (ajl) = (r/b) = 0; (bjb) = (c/o)

1

(abw) = — (ajw)-i (bcw) — — (c/w); (caw) = — (b/w);(abc) = l

*) Dieses Dreikant wild bei B. STUDY [L. 5] S. 257 systematisch führt; siehe auch E. VESSIOT [L. 9] S. 1382.

einge-

Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.

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deren zweite Gruppe zu (3 b) analog ist und die polare Beziehung bezüglich des a. K. ausdrückt. Je drei diesen Bedingungen genügende (kürzer: normierte) Vektoren a, b, c bilden ein quasinormales Tetraeder (gehören zu einem quasinormalen Dreikant), z. B. die Vektoren:

(6) (a/to) =

+ e2/ u>); (b/w) = — i ( als analytische Funktion von p gegeben (natürliche Gleichung der Kurve), so gehört zu 0 eine Klasse zueinander kongruenter Kurven, deren Bestimmung von E . S T U D Y auf eine Riccatische Gleichung zurückgeführt worden ist.1) Hier sei ein anderes Verfahren mitgeteilt: S i n d f und g zwei linear u n a b h ä n g i g e Lösungen der Differentialgleichung: (?) sind ferner a, 6, c die normierten Vektoren eines festen quasinormalen D r e i k a n t e s , so liefert die Gleichung (8) (Xjw) = f , f f ^ g { j Pdp-(alw) + f f g d p . ( ß i w ) - $ fg*dp.(cltv)} ein Exemplar der zur n a t ü r l i c h e n Gleichung 0(p) gehörigen Kurvenklasse. Ersetzt man die Lösungen f , g durch zwei andere, l i n e a r unabhängige, so kommt dies auf eine Drehung des Dreikants a, 6, C um seine Spitze heraus. 8. Zu der natürlichen Gleichung 0 =_ 0 gehören, wie aus (7), (8) hervorgeht, Raumkurven 3. Ordnung, die sogenannten LYONSchen isotropen Schraubenlinien, die später (Nr. 12) behandelt werden. Die Gleichung 0 = const $ 0 fuhrt dagegen auf die transzendenten isotropen Schraubenlinien (.Mi), deren wichtigste Eigenschaften aufgezählt seien: Zu einer Schraubung des Raumes um die Achse e3 eines Dreikants normaler (anisotroper) Vektoren e1 e2 e3 von der Ganghöhe 2 n k gehört die gemeine oder MEUSNiERsche Schraubenfläche (Minimalfläche)

\M\, die durch die Gleichungen (9)

(X/w) = q^cosy=

( e j w ) + sin y

k

(e2/w) J - f p |/¥(e3/w)

dargestellt werden kann. Die Kurven p = const. sind die geradlinigen Erzeugenden der Fläche und schneiden die Achse e3 unter rechten Winkeln; sie sind die Hauptnormalen der Kurven q = const., q2 + t 0, der unebenen gemeinen Schraubenlinien (M). Jede dieser Kurven liegt auf dem Drehzylinder mit der Achse e3 und dem quadrierten Radius q"2-, dieser Drebzylinder hat mit (M) eine zweite Kurve (M) gemeinsam, die in die erste durch eine Umwendung um die Achse e3 übergeht. Irgend zwei der Schraubenlinien (M) bilden ein B E H T R A N D sches Kurvenpaar. Die zuvor ausgeschlossenen Kurven q2-{-k2 = 0 sind isotrope Schraubenlinien (Mi) mit der natürlichen Gleichung 0 =— p , und zwar ist (9) eine Darstellung durch einen ihrer natür>) E.

STUDY

[L. 5] S. 254—257. 3*

10

JULIUS WELLSTEIN:

liehen Parameter p. Die Hauptnormalen von (iüf») sind wiederum die Erzeugenden der Fläche und es gilt alles oben Gesagte auch von den Kurven (Mi\. Zu jeder dieser Kurven gehört eine BEHTHANDSche (Mi) (auf dem Drehzylinder vom Badiusquadrat — &2) sowie einfach-unendlich viele BERTRAND sehe (M), die alle auf den orientierten Hauptnormalen von (Mi) konstante Strecken abschneiden. Diese Analogie der Eigenschaften rechtfertigt bereits die Einführung des Namens Hauptnormale. 9. Beispiel. Es sei die zu der natürlichen Gleichung (10) = **0 gehörige Kurvenfamilie zu bestimmen. Im Falle A. ¿ 2 - f 1 = 0 sind f = ep'^, g=p1k (1 Inp), g2 = 1 zwei linear unabhängige Lösungen von (7) und

(11) (X]w)=^{(ajw) + e (1 + 2 Inp)(fi/w)~(l-\-2lnp+2(lnp)2)(c/w)J ein Exemplar der Kurvenklasse, wobei zu den Werten e = + 1 kongruente Kurven gehören. Bt. k* + l }0, ö 2 - 1 + 0. Hier sind f=p-l* + g =plk—a linear unabhängige Lösungen, und

(12)

(a/u>) + (hlw) -

(XW =

eine Kurve der Klasse.

(clw)}

Bi. o 2 - 1 = 0.

Die Annahmen a = +; 1 fuhren auf die (zueinander kongruenten) Kurven

(Xlw) = - i pi (a\w) + p> (%) -1 np (clw)} (Xjw) = i {2 Inp (5\w) +p2 (blw) (c/»)}.

Die Diskussion der Resultate erfolgt in anderem Zusammenhange (Nr. 24). § 4.

Die Bahnkurven der parabolischen Bewegung.

10. Aus der Darstellung der parabolischen Bewegung Nr. 5 (6) erhält man in bekannter Weise, wenn man noch —c statt a schreibt, die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n der k o n t i n u i e r l i c h e n parabolischen Bewegung: (i)

=

betrachtet man die Veränderliche t als die Zeit, so ist hier analog zu den gewöhnlichen Bewegungen die Geschwindigkeit des Punktes X

Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.

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in einen rotatorischen und einen translatorisehen Bestandteil getrennt. Durch den Punkt P geht die Bahnkurve:

(X\w) = (Pjw) -t(cPw) + $ P (Pj c) (c/w) + (m/c) (c/w) % t 2 (c mw)- srt (mjw). Bilden die Vektoren a, f>, c ein quasinormales Tetraeder, und definiert man einen Punkt A durch (A\w) — (amw), so läßt sich (2) in der F o r m schreiben: (2)

(2a)

(X—Ajw) = ( P - J J w ) — t ( c , P - A , + (m/c) { ¡ P c - i P b - t a l w } .

(P-Ajc)

(clw) +

I m F a l l e (mjc) = 0, wenn also die Translationsrichtung m a u f der isotropen Richtung c senkrecht steht, stellt demnach (2) eine D r e h u n g um die durch den Punkt i zu c parallele Gerade (g) dar, die Achse der i s o t r o p e n D r e h u n g , die punktweise in Ruhe bleibt (vgl. N r . 5 , I I ) . E i n e Diskussion dieser Bewegungen findet sich bei E . STUDY1); hier sei nur hingewiesen auf die Drehflächen, welche die anisotropen Geraden beschreiben, die die Drehachse (g) treffen. E s sind dies zueinander kongruente K e g e l 2. O., welche keine regulären Kreise, sondern nur die eine, in den achsenparallelen isotropen Ebenen gelegene Schar parabolischer K r e i s e enthalten und daher als p a r a b o l i s c h e D r e h k e g e l 2 ) bezeichnet werden mögen; sie sind zu der Fläche (3)

(XIX) + (X/c) 2 = 0

kongruent.

11. D i e B a h n s c h r a u b e n l i n i e n . I m F a l l e (m/c) + 0 stellt (2) die oa3-fache Schar eingliedriger Gruppen isotroper Schraub u n g e n dar. Aus ( l ) und (2) folgt: (4)

(X'lc) = (m/c), (X'X"w) = - (X'IX') (clw) + (m/c) (X'jw), (X'X"IX'X") = - (X'IX') (m/c) 2 (X'X"X"')

= (m/c) 3, (X'IX') = - ( P / c ) 2 + 2 ( c m P ) + (m\m) ~

Hieraus ergibt sich, daß die nicht auf dem parabolischen Zylinder 2. O. 2) = 0 gelegenen Punkte anisotrope, unebene Kurven beschreiben, deren K r ü m m u n g ^ und Torsion ^ konstant, T = — (»«/) + (p+Po) (aW, wo man wieder p statt p + p0 schreiben könnte, die Gleichung der Schraubenlinie (bei festem q, T), zugleich aber die Gleichung der Schraubenfläche L = 3 1 = const. Die Kurve (X) geht für p = 0 durch den Punkt P, die durch P gehende Hauptnormale der Kurve treffe den Zylinder [D0] oder ^ = 0 im Punkte P ° ; die Hauptnormalenfläche von (X) schneidet den Zylinder [_D0] in der isotropen Bahnschraubenlinie, deren begleitendes Tetraeder in P ° durch c° = C, B° = — C + "6. 0° = — + P o f > 4- tt bestimmt ist. Führt man diese Vektoren in (10) ein, so folgt (11)

(X\w) = (P°iw)-{kp 3+ipq}

( c > m (p 2+q)

+p

(tt»

als zweite N o r m a l f o r m der durch den Punkt (Ffw) = ( P » + ¡ ( 6 » gehenden Schraubenlinie und der Schraubenfläche [Z/]. Aus dieser Dar-' Stellung folgt, daß eine S c h r a u b e n l i n i e (L¡) durch A n g a b e e i n e s P u n k t e s u n d des b e g l e i t e n d e n T e t r a e d e r s f ü r d i e s e n P u n k t e i n d e u t i g b e s t i m m t ist. Aus (11) folgt das Bestehen der Gleichung (12) ( X - P / X - P ) - £ ( X - P/6«) 2 - q ( X - P/C0)2 = 0, d. h. die LYON sehe Schraubenlinie wird aus jedem ihrer Punkte durch zueinander kongruente Kegel 2. O. projiziert, was von vornherein zu erwarten war. Zu beachten ist indes, daß die i s o t r o p e n S c h r a u b e n l i n i e n (Li) a u f g e w ö h n l i c h e n D r e h k e g e l n 2. O. l i e g e n , d i e zu dem (imaginären) Drehkegel (13) (Y/Y)—}(Y[b) 2=0 kongruent sind. 13. Die mannigfachen Analogien zwischen den LYON sehen und den gemeinen Schraubenlinien haben ihren tieferen Grund in dem Umstände, daß sich die Schraubenlinien (M) einer Schraubenfläche [M~\

14

JULIUS WELLSTEIN

durch einen geeigneten Grenzübergang in die Schraubenlinien (L) der Schraubenfläche [L] überfuhren lassen. Die Schraubenlinien der Fläche [M], die durch die Gleichung Nr. 8 (9) dargestellt werden, gehen für p = 0 durch den Punkt ((¿¡w) = q (e^w) der Koordinatenachse ev Führt man nun die Vektoren: (14)

(ajw) = (X'lw)0, (ß\w) = (X"jw)0, (y\w) = - ±

(X'/«,)0-(X»0

e

ein und stellt die Vektoren ev e2> 3 durch die Vektoren a, ß, y dar, so folgt : (15)

qW«,) = - h(ß\w), qCeJw) =

+

Vk(y\iv)},

Bezieht man die Schraubenlinie (.M) auf das (natürlich nicht rechtwinklige) Dreikant a, ß, y, so kommt: (16)

(Xjw) = ( X - Q \ w ) = \-{V+

Vk sin

fe}(ajw)

+ k 1 1 — cos y ^ J (ßjw) - k { p - Vk sin

J (y/tv)

als Gleichung der gemeinen Schraubenlinie, die für p — 0 durch den Punkt X = 0 geht; ist diese insbesondere isotrop ( g 2 = — ft2), so ist a, ß, y das begleitende quasinormale Dreikant von (Mi), das zum Punkte X = 0 gehört.1) Um nun den beabsichtigten Grenzübergang auszuführen, verschiebt man das Koordinatensystem in den Punkt ( P / w ) = ik(e1jw) und bezieht die Koordinaten auf das quasinormale Dreikant a, 6, C der durch P gehenden isotropen Schraubenlinie (Mi). Die gemeinsame Achse der Schraubenlinien ist in bezug auf das neue Koordinatensystem die Gerade (17)

(%)

= Jc(ßlw) + ¿J - W

+ (cW }.

Die Achsen erfüllen also bei veränderlichem k eine Regelschar des Paraboloids [P] mit der Gleichung 2 (S/b) (S/c) - (Sja) = 0. Hält man nun den Punkt P mit dem Dreikant o, i>, c fest, ebenso die Schnittpunkte aller Schraubenlinien mit der Kante ^ und läßt die Schraubenachse auf dem Paraboloid [P] in die uneigentliche Ebene rücken, so geht die Schar der Kurven (M) in die Schar der Kurven (L) über, und demnach die Fläche [Ji] in die Fläche [L], Die Kurven (M) ') Vgl. die analoge Darstellung Nr. 12 (11) der durch einen Punkt P gehenden sehen Schraubenlinien; d u r c h e i n e n P u n k t P g e h e n also O S 1 isotrope Schraubenlinien und eine L Y O N s c h e Schraubenlinie (Zj) mit zu P g e h ö r i g e m g e g e b e n e n b e g l e i t e n d e n (normierten) Dreik u n t Q, b, c. LYON

Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.

15

liegen auf koaxialen Drehzylindern 2.O., die bei dem gleichen Grenzübergang in die koaxialen Schraubenzylinder [D] der Schraubenlinien (Z) übergehen; diese Grenzlagen gestatten indes keine Drehungen, sondern nur noch isotrope Schraubungen in sich. Die Schraubenachse geht in die Tangente des a. K. im Fundamentalpunkte der Schraubung über, die schon früher (Nr. 5) als (uneigentliche) Achse der isotropen Schraubung bezeichnet wurde. Die Näherungsschraubenlinien.

§ 5.

14. Die Methode der Approximation unebener, anisotroper Kurven durch in höherer Ordnung berührende Schraubenlinien läßt sich auf isotrope Kurven erst anwenden, wenn für diese der Begriff der Berührung höherer Ordnung erklärt ist. i Die bei den. anisotropen Kurven in der Differentialgeometrie gebräuchliche Definition ist jedenfalls nicht anwendbar; es sei vielmehr folgende, der projektiven Natur dieses Begriffes angepaßte vorläufige Erklärung gegeben: Zwei isotrope Kurven (X), (3£) berühren sich in einem Punkte P, der auf beiden allgemeine Lage, hat, in gerade n-ter Ordnung, wenn bei allen Paaren von Kurven (X), (36), die aus ihnen durch senkrechte Projektion auf — mit gewissen Ausnahmen beliebige — anisotrope Ebenen [e] erhalten werden, im Bisse P von P Berührung in mindestens n-ter Ordnung und bei wenigstens einem solchen Paare Berührung von gerade n-ter Ordnung stattfindet. Führt man die Rechnung, wenigstens für die Ordnungen 1 bis 5, durch, so sieht man, daß diese Erklärung mit der folgenden äquivalent ist. Die auf ihre natürlichen Parameter bezogenen isotropen Kurven (X), (X) berühren sich im Punkte P— X(j>0) = 3£(p0) z u gerade n-ter Ordnung unter folgenden Bedingungen (wobei jede neue das Bestehen der vorangehenden, das Nichtbestehen der nächstfolgenden voraussetzt):

(1)

n=l «= 2 *» = 8 n =4 n=n>3

:

(X»

0 = fc(3E»o £2=1 ( X » 0 = (X'»o (X'»0 =*(£'»o

v dp*-1 1 J 0 \ dp"-1 A> Für die Vektoren a,b,c; a, 6, c der begleitenden Dreikante in P sowie die Invarianten 0, g der Kurven (X), (X) ergeben sich hieraus die Beziehungen:

16

JULIUS WELLSTEIN :

n = 1 n = 2

(2)

n=3 n = 4

(a/w)0 = Ä(a/tt')o = 1 W«0o = (f>/w)o. ( C W 0 = * (cH 0 ^ 0 = So

w= 5

0

w> 4:

Vrfp™" U l ' 4 / 4,/ o

so daß also bei B e r ü h r u n g m i n d e s t e n s 3. Ordnung die Kurven ein gemeinsames b e g l e i t e n d e s D r e i k a n t haben. 15. Die Näherungssphraubenlinien. Von den eine isotrope Kurve ( X ) in mindestens 3. Ordnung berührenden isotropen Schraubenlinien, den N ä h e r u n g s s c h r a u b e n l i n i e n , ist nach (2) das begleitende Dreikant im Punkte X° bekannt, und damit auch ihre Gleichung, nämlich die einer os 1 - fachen Schar von Schraubenlinien (M