Thetafunktionen und hyperelliptische Funktionen [Reprint 2011 ed.] 9783111563510, 9783111192284

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Sammlung Schubert X L V I

Thetafunktionen und

hyperelliptische Funktionen von

Έ. Landfriedt Oberlehrer am Technikum in Strassburg i. E.

Mit 5 Figuren

Leipzig G. J. Göschensche Verlagshandlung 1902

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Inhaltsverzeichnis. Erster Teil.

Die Thetafunktion und ihre Anwendungen. K a p i t e l I.

§ § § § §

Theorie der Riemann'echen Thetafanktion.

Stiu

1. 2. 3. 4. 5.

Das Jacobi'sche Umkehrproblem 1 Die Thetafanktion; Grandeigenschaften derselben 3 Thetafunktionen mit Charakteristiken 10 Die Riemann'sche ^-Funktion . . . . . .20 Die Primärreihe und die Sekundärreihen; Lösbarkeit des Umkehrproblems . . . . . . . . 29 § 6. Identisches Verschwinden der Summe der Primärreihe. Eindeutigkeit and Mehrdeutigkeit des ümkehrproblems 37 § 7. Über ^-Funktionen mit zweiteiligen Charakteristiken und Berührungsfunktionen 53 K a p i t e l Π.

Anwendungen der Thetafunktionen.

§ 8. Lösung des Jacobi'schen Umkehrproblems . . . .64 § 9. Darstellung der Funktionen und Integrale der Klasse durch ^-Quotienten . . . . 69 § 10. Die Wurzelfunktionen; Definition und Darstellung derselben . . . . . . 78 § 11. Über Wurzelfunktionen zweiten Grades . 88 § 12. Beziehungen zwischen Wurzelformen 92

Zweiter Teil.

Die hyperelliptischen Funktionen. K a p i t e l III.

Die Funktionen und Integrale der Klasse.

§ 13. Die einfach zusammenhängende Fläche T ' und die Funktionen der Klasse . 99 § 14. Die Integrale I. Gattung 103

IV

Inhaltsverzeichnis. § 15. § 16.

K a p i t e l IV.

Die ρ Normalintegrale I. Gattung . . Die Normalintegrale II. und I I I . Gattung Die Thetafunktion.

§ 17. Die hyperelliptische θ·-Funktion . . . . § 18. ^-Funktionen mit zweiteiligen Charakteristiken K a p i t e l Y.

§ 19. § 20.

Seite

. 109 .118

125 134

Anwendungen der ^Funktionen.

Lösung des hyperelliptischen Umkehrproblems Die Wurzelfunktionen zweiten Grades . . . .

141 144

Erster Teil.

Die Thetafunktion und ihre Anwendungen. K a p i t e l I.

Theorie der Riemann'schen Thetafunktion. § 1.

Das Jacobi'sche Umkehrproblem.

Ans der Theorie der elliptischen Funktionen ist bekannt, wrie befruchtend die Jacobi'sche Idee, die obere Grenze des elliptischen Integrals I. Gattung als Funktion des Integralwerts anzusehen, auf die Theorie der elliptischen Funktionen eingewirkt hat. Es wirft sich daher naturgemäfs die Frage auf, ob es nicht möglich und nützlich ist, für ρ 1 eine ähnliche Frage zu stellen und zu lösen. Einen ersten Fingerzeig in dieser Richtung giebt uns die Umkehrung des Abel'schen Theorems für Integrale L Gattung. Bezeichnen, wie gewöhnlich, , w 2 , . . . up die ρ Normalintegrale I. Gattung, so folgt aus der Gültigkeit der ρ Beziehungen Ϊ 4 ^v(fr), Ο = 1, 2 .p\ q> ρ x=l x=l die sich auch in der Form Uu. Ol) + ·. · +

(ap) = - ημ (ap + 0 — · · · — «V Μ + J L V (Ä) y.—l

schreiben lassen, die Existenz einer Funktion τ der Klasse, die in at... aq gleich 0 1 und in ßl . . . fiq gleich oo1 wird. Landfriedt, Thetafnnfctionen. ^

2

I. Die Thetafunktion und ihre Anwendungen.

Einer solchen Funktion kann man, wenn sie eine Funktion Π. Gattung ist, nach dem Riemann-Roch'schen Satze aufser den Unstetigkeitspunkten noch κ = q — ρ Nullpunkte ctp + i . . . a3 vorschreiben; dann sind die übrigen Nullpunkte ax . . . ap im allgemeinen vollkommen bestimmt. Schreiben wir also abkürzend —uu

(ap

+

i) —

...

—

Uu (α3)

-{-

(ßk)

=

{μ

=

νμ,

{μ

=

1, 2 ...

ρ )

χ=1

so liefern uns die ρ Beziehungen "μ

(®i)

+

· · · +

(

α

ί) =

Όμ

ι

1 , 2 . . .

ρ )

des Abel'schen Theorems das erste Beispiel eines Systems von ρ Kongruenzen, das ρ Punkte 0 ist, und m i . . . mp irgend welche reelle Zahlen bezeichnen, die nicht alle = 0 sind. Wendet man das Vorhergehende auf die Modulreihe θ an und setzt dabei, was von hier an immer angenommen sei, voraus, dafs die αμν die Periodizitätsmoduln der Normalintegrale an den Querschnitten bx ... bp sind, so erhält man:

—

— CO

flip

=

OD

Die rechte Seite dieser Ungleichheit ist das Produkt aus ρ Reihen von der Form + ® — am24~2ma 2Je > m — — oo von denen jede konvergiert, sofern das entsprechende σ nicht unendlich wird. Grenzen wir daher o±... σρ ein mit Hilfe der Ungleichheiten — ωμ < σμ < - f ωμ

(μ = 1, 2 . . . ρ)

wo cot... ωρ beliebige, endliche, ohne Unbestimmtheit angenommene positive Gröfsen sind, so konvergiert die Modulreihe Θ. Wir haben also den

§ 2. Die Thetafunktion: Grundeigenschaften derselben.

7

Satz I®) Die p - f a c h e unendliche ^ - R e i h e 1?), in welcher die Moduln αμν — ßjuv die P e r i o d i z i t ä t s moduln der N o r m a l i n t e g r a l e I. Gattung an den Querschnitten bt bp sind, konvergiert, und ihre Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summationen, so lange die Argumente Vj... νμ...νρ (νμ = σ μ ΐ τ μ ) einem durch die Ungleichheiten = 1, 2 . . . ρ) bestimmten Gröfsengebiete angehören, wo a x . . . a p b e l i e b i g aber ohne Unbestimmtheit angenommene, positive, endliche Gröfsen sind.*) Setzt man 2v, 2 ν„ 2« Ρ 2 — 0)μ