Spezielle Funktionen und ihre Anwendung 3411014237

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Alle Rechte vorbehalten. Nachdrucke, auch auszugsweise, verboten © Bibliographisches Institut AG, Zürich 1973 Satz und Druck: Zechnersche Buchdruckerei, Speyer Bindearbeit : Pilger-Druckerei, Speyer Printed in Germany ISBN 3~411-01423-7 A

INHALT Vorwort

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KAPITEL I. Gammafunktion

17

§ § § §

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

§ 1.5. § 1.6.

Definition der Gammafunktion Funktionalgleichungen der Gammafunktion Logarithmische Ableitung der Gammafunktion Asymptotische Darstellung der Gammafunktion für große Izi . . . . . . . . . . . . . . .. Bestimmte Integrale, die mit der Gammafunktion zusammenhängen. . . . . . . . . . . . . Übersicht über Tabellen der Gammafunktion .

17 19 22 25 f11 32

Übungen KAPITEL 11. Fehlerintegral und verwandte Funktionen § 2.1. § 2.2. § 2.3. § 2.4. § 2.5. § 2.6. § 2.7.

§ 2.8.

Fehlerintegral und seine grundlegenden Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotische Darstellung des Fehlerintegrales für große Werte von Iz I . . . . . . . . . . . Fehlerintegral für imaginäres Argument. Die Funktion F (z) . . . . . . . . Fehlerintegral für das Argument x FRESNELsche Integrale . . . . . . . . . . . Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung in der Theorie der Wärmeleitung. Abkühlung einer Fläche eines erwärmten Körpers. Anwendung in der Schwingungstheorie. Querschwingung eines unendlichen Stabes unter der einmaligen Einwirkung einer punktförmigen Kraft . Übersicht über Tabellen des Fehlerintegrales und verwandter Funktionen . . . . . . . . . . .

VT

36 36

38 39 41

44 45

47 49

Übungen KAPITEL 111. Exponentialintegral und verwandte spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .

53

Exponentialintegral und seine grundlegenden Eigenschaften . . . . . .'. . . . . . . .

53

§ 3.1.

6

Inhaltsverzeichnis § 3.2. § 3.3. § 3.4. § 3.5. § 3.6.

Asymptotische Darstellung des Exponentialintegrals für Izi -+ 00 Exponentialintegral mit imaginärem Argument. Integralsinus und Integralkosinus . Integrallogarithmus . Anwendung in der Radiotechnik. Ausstrahlung eines linearen Halbwellenvibrators Übersicht über Tabellen des Exponentialintegrals und anderer verwandter Funktionen

56 57 61 63 66

Übungen KAPITEL IV. Orthogonale Polynome § 4.1. § 4.2. § 4.3. § 4.4. § 4.5. § 4.6. § 4.7.

§ 4.8. § 4.9. § 4.10. § 4.11. § 4.12.

§ 4.13. § 4.14. § 4.15.

§ 4.16.

70

Allgemeine Bemerkungen über orthogonale Polynome 70 Polynome von LEOENDRE. Definition und 71 erzeugende Funktion Rekursionsformeln und Differentialgleichung für 73 die Lnorcxnnre-Polynorne 75 Integraldarstellungen für LEoENDRE-Polynome 77 Orthogonalität der LEoENDRE-Polynome Asymptotische Darstellung der LEOENDRE79 Polynome für große Werte des Index n Reihenentwicklung einer Funktion nach 81 LEGENDRE-Polynomen . Beispiele für Reihenentwicklungen nach LEGENDRE-Polynomen 86 HERMITEsche Polynome. Definition und erzeugende Funktion 88 Rekursionsformeln und Differentialgleichung für HERMITEsche Polynome 90 Integraldarstellungen für HERMITEsche Polynome . 91 Integralgleichungen für HERMITEsche Polynome 93 Orthogonalität der HERMITEschen Polynome 94 Asymptotische Darstellung der HERMITEschen Polynome für große Indexwerte n 95 Reihenentwicklung einer Funktion nach HERMITEschen Polynomen . 97 Beispiele für Reihenentwicklungen nach HERMITEschen Polynomen . 103

1nhaltsoerzeichnie

7

§ 4.17. LAGUERRESche Polynome. Definition und

erzeugende Funktion

106

§ 4.18. Rekursionsformeln und Differentialgleichung für

LAGUERRESche Polynome

109

§ 4.19. Integraldarstellungen für LAGUERRESche

§ 4.20. § 4.21. § 4.22. § 4.23. § 4.24. § 4.25.

§ 4.26.

Polynome. Zusammenhang zwischen LAGUERREsehen und HERMITEschen Polynomen Integralgleichung der LAGUERRESchen Polynome Orthogonalität der LAGUERRESchen Polynome Asymptotische Darstellung der LAGUERRESchen Polynome für große Indexwerte n RJihenentwicklung einer Funktion nach LAGUERRESchen Polynomen Beispiele für Reihenentwicklungen nach LAGUERRESchen Polynomen Anwendung in der Theorie der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen längs dünner Leiter. Reflexion am Ende der Leiter, die mit einer punktförmigen Induktivität abgeschlossen sind. Übersicht über Tabellen orthogonaler Polynome Übunqen.

KAPITEL V. Zylinderfunktionen

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Einführung Bnssm-Funktionen mit ganzem positiven Index Bnssm-Funktionen mit beliebigem Index Allgemeine Darstellung der Zylinderfunktionen. Bnssmt-F'unktionen zweiter Art. § 5.5. Reihenentwicklung der Bzasm.schen Funktionen zweiter Art mit ganzem Index § 5.6. Bnasar.sche Funktionen dritter Art § 5.7. Basasr.sohe Funktionen mit imaginärem Argument § 5.8. Zylinderfunktionen mit halbganzem Index. § 5.9. WRONsKIsche Determinante von Lösungssystemen der Bassnt-Gleichung . § 5.10. Integraldarstellungen der Zylinderfunktionen . § 5.11. Asymptotische Darstellungen der Zylinderfunktionen für große Argumentwerte § 5.12. Additionstheoreme für Zylinderfunktionen § § § §

111 112 114 116 119 120

123 126

133 133 133 137 140 142 144 145 149 150 152 159 163

Inhaltsverzeichnis

8

§ 5.13. Nullstellen der Zylinderfunktionen § 5.14. Darstellung beliebiger Funktionen durch Reihen und Integrale von Zylinderfunktionen . § 5.15. Bestimmte Integrale, die mit Zylinderfunktionen zusammenhängen . § 5.16. Zylinderfunktionen mit reellen positiven Argument und Index § 5.17. AIR vsche Funktionen § 5.18. Übersicht über Tabellen der Zylinderfunktionen

167 168 173 176 178 181

Übunqen KAPITEL VI. Anwendung der Zylinderfunktionen bei Aufgaben der mathematischen Physik 190

§ 6.1. § 6.2.

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Trennung der Veränderlichen der Gleichung 1 o2U

§ 6.3.

§ 6.4. § 6.5. § 6.6.

§ 6.7. § 6.8.

ou

..du = - - + b + cu in Zylinderkoordinaten a 2 ot 2 ot Anwendung der Methode der partikulären Lösungen auf eine Randwertaufgabe für den Zylinder. Beispiel aus der Theorie der Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . Randwertaufgabe für ein von zwei parallelen Ebenen begrenztes Gebiet . . . . . . . . Randwertaufgabe für einen Winkelraum . . Beispiel aus der Elektrostatik. Feld einer Punktladung, die in der Nähe des Randes einer dünnen leitenden Ebene liegt . . . . . . . . . . . Anwendung auf die Theorie der Wärmeleitung. Abkühlung eines Zylinders. . . . . Anwendung auf die Beugungstheorie

KAPITEL VII. Kugelfunktionen

§ 7.1. § 7.2.

§ § § §

7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Einführung . . . . Hypergeometrische Differentialgleichung und ihre Lösung mit~els Reihen. . . . . . . LEGENDRESche Kugelfunktionen . . . . Integraldarstellungen für Kugelfunktionen Funktionalgleichungen für Kugelfunktionen Darstellung der Kugelfunktionen durch Reihen

190

193 198 199

202 204 206 209 209 210 213 221 224 226

Inhaltsverzeichnis § 7.7. § 7.8. § 7.9. § 7.10. § 7.11. § 7.12. § 7.13.

Waoxsxr-Determinanto von Lösungssystemen der LEGENDREschen Gleichung. Rekursionsformeln Kugelfunktionen mit ganzem positiven Index. Zusammenhang mit LEGENDREschen Polynomen Kugelfunktionen mit halbganzem Index Asymptotische Darstellung der Kugelfunktionen für große Werte IvI Zugeordnete Kugelfunktionen Übersicht über Tabellen der Kugelfunktionen Übunqet:

9

232 235 237 238 241 244 253

KAPITEL VIII. Anwendung der Kugelfunktionen in Aufgaben 259 der mathematischen Physik § 8.1. § 8.2. § 8.3.

§ 8.4.

§ 8.5.

§ 8.6. § 8.7. § 8.8.

§ 8.9. § 8.10. § 8.11. § 8.12.

§ 8.13.

Einführung . . . . . . . . . Trennung der Veränderlichen der LAPLACEGleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . Anwendung der Methode der partikulären Lösungen auf die Randwertaufgabe für Kugelgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . .. Beispiel aus der Elektrostatik. Feld einer punktförmigen Ladung, die im Inneren einer leitenden Kugel angebracht ist . . . . . . .. Anwendung der Methode der partikulären Lösungen auf die Randwertaufgabe für kegelförmige Gebiete Trennung der Veränderlichen der LAPLACEGleichung in entarteten elliptischen Koordinaten Randwertaufgaben für Rotationsellipsoide Beispiel aus der mathematischen Physik. Anziehung eines gestreckten homogenen Ellipsoides. . . . . . . . . . . . . . Randwertaufgabe für das Rotationshyperboloid . Toruskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . Randwertaufgabe für den Torus. Beispiel aus der Elektrostatik. . . . . . . . . . . . . . . Randwertaufgabe für ein Gebiet, das von zwei sich schneidenden Kugeln begrenzt ist. . . . Bipolarkoordinaten und ihre Anwendung auf Randwertaufgaben der mathematischen Physik.

259 260

262

264

266 269 272

276 278 279 282 285 289

10

Inhaltsverzeichnis

§ 8.14. Anwendung der Kugelfunktionen zur Integration der Her.xaorzrz-Gleichung . . . . . . . . . KAPITEL IX. Hypergeometrische Funktionen . . . . . § 9.1. § 9.2. § 9.3. § 9.4. § 9.5. § 9.6. § 9.7.

§ 9.8. § 9.9. § 9.10.

§ 9.11. § 9,12.

§ 9.13. § 9.14.

Hypergeometrische Reihe und ihre analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Eigenschaften der hypergeometrischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwert. der Summe der hypergeometrischen Reihe für z -+ 1 und R(y - IX - ß) > 0 . . . . Hypergeometrische Funktion als Funktion ihrer Parameter . . " . . . . . . . . . . . . . . Funktionalgleichungen für die hypergeometrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Funktionalgleichungen . . . . . Formeln für die analytische Fortsetzung der hypergeometrischen Funktion in singulären Fällen. . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung verschiedener Funktionen durch die hypergeometrische Funktion . . . . . . . . Konfluente hypergeometrische Funktionen. . . Differentialgleichung für die konfluente hypergeometrische Funktion und ihre Integrale. Konfluente hypergeometrische Funktion zweiter Art Integraldarstellungen für konfluente hypergeometrische Funktionen . . . . . . . . . . . Asymptotische Darstellungen der konfluenten hypergeometrischen Funktionen für große Argumentwerte . . . . . . . . . . . . . Darstellung verschiedener Funktionen durch konfluente hypergeometrische Funktionen . Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen Übunqen

KAPITEL X. Funktionen des parabolischen Zylinders

293 295 295 298 301 302 304 309

313 316 319

321 325

327 331 334

. . . 342

§ 10.1. Trennung der Veränderlichen der LAPLACEGleichung in parabolischen Koordinaten. § 10.2. HERMITEsche Funktionen erster Art § 10.3. Funktionalgleichungen für HERMITEsche Funktionen § 10.4. Rekursionsformeln für HERMITEsche Funktionen

342 344 348 349

I nhaltsverzeichnie § 10.5. Integraldarstellungen für HERMITEsche Funktionen § 10.6. Asymptotische Darstellungen der HERMITEschen Funktionen für große Werte des Argumentes . § 10.7. Anwendung in der mathematischen Physik. Randwertaufgabe für den parabolischen Zylinder § 10.8. Anwendung auf die Quantenmechanik .

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351 353 355 359

Übunqen

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362