Struktur der Atomkerne: Band 1 Einteilchenbewegung [Reprint 2022 ed.] 9783112612620, 9783112612613

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Struktur der Atomkerne Band I

Einteilchenbewegung

AAGE B O H R Niels-Bohr-Institut der Universität Kopenhagen

B E N R. M O T T E L S O N NORDITA, Kopenhagen

STRUKTUR DER ATOMKERNE Band i

Einteilchenbewegung In deutscher Sprache herausgegeben von

Josef Schintlmeister "f" unter Mitarbeit von

H. R. Kissener Zentralinstitut für Kernforschung der Akademie der Wissenschaften der D D R Rossendorf bei Dresden

R. Reif Technische Universität Dresden

AKADEMIE-VERLAG • B E R L I N 1975

Titel der Originalausgabe : Aage Bohr and Ben R. Mottelaon, NUCLEAR STRUCTURE Vol. I. Single-Particle Motion. Verlag : W. A. Benjamin, Inc., 1969, New York, Amsterdam

Übersetzer: Hans-Rainer Kissener Georg Winter Zentralinstitut für Kernforschung in Rossendorf Roland Reif Technische Universität Dresden Claus Riedel Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt

Erschienen im Akademie-Verlag, 1Ö8 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © der deutschen Ausgabe 1975 by Akademie-Verlag, Berlin Lizenznummer: 202 • 100/432/75 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 761 546 7 (5861/1) • LSV 1175 Printed in GDR EVP 9 8 , -

VORWORT

Der Plan zu dem vorliegenden Werk entstand vor etwa einem Jahrzehnt, zur Zeit der hauptsächlichen Entwicklung der Theorien,, die kollektive Kerneigenschaften mit der Bewegung individueller Nukleonen in Beziehung setzen. Bei dem Versuch, diese Entwicklungen zu beschreiben, bemerkten wir nach und nach, daß ihre gründliche Auswertung eine breitere Diskussion erfordert, die von einer mehr phänomenologischen Analyse der Kerneigenschaften ausgeht. So unternahmen wir schließlich (ohne die erforderliche Zeit abzuschätzen) den Versuch, den gegenwärtigen Stand unseres Verständnisses der Kernstruktur systematisch darzustellen. Einige unserer Kollegen vertraten die Ansicht, daß eine gründliche Darstellung des Stoffes von der ScHBÖDiNGER-Gleichung für das Vielkörpersystem des Kerns ausgehen und durch geeignete Näherungen die beobachteten Kerneigenschaften ableiten sollte. Wir betrachten den Gegenstand jedoch unter einem anderen Gesichtspunkt. Beim Studium eines Vielkörpersystems, wie es der Kern mit seiner reichen Vielfalt an Struktureffekten darstellt, dürfte das zentrale Problem darin bestehen, die zur Beschreibung der auftretenden Phänomene geeigneten Konzeptionen und Freiheitsgrade zu finden. Ein Fortschritt in dieser Richtung wurde durch eine Kombination verschiedener Betrachtungsweisen erreicht. Diese stützen sich zum Teil auf Anhaltspunkte aus experimentellen Daten, zum Teil auf theoretische Studien von Modellsystemen und zum Teil auf allgemeine Beziehungen, die aus Symmetriebetrachtungen folgen. Wir haben es als günstig empfunden, bei der Darstellung des Materials in mehrfacher Hinsicht Dreiteilungen zu benutzen. So ist das Werk in drei Bände mit jeweils drei Kapiteln eingeteilt. Die Einteilchenbewegung ist der hauptsächliche Inhalt von Band I. Der Diskussion stellen wir eine Zusammenfassung der wichtigen Symmetrieeigenschaften von Kernsystemen voran. Diese ziehen sich durch das ganze Buch. Band I I ist der phänomenologischen Analyse der Konsequenzen von Kerndeformationen gewidmet. Band I I I bringt, ausgehend von einer Analyse der Konfigurationen mit wenigen Teilchen, die mikroskopische Theorie kollektiver Phänomene. Die vielfältigen Beziehungen zwischen Theorie und Experiment haben uns zu einer weiteren Dreiteilung des Materials in Text, Beispiele und Anhänge veranlaßt. Der Text stellt den Versuch einer systematischen Entwicklung des Gegenstandes dar. Jeder Abschnitt baut nur auf Konzeptionen auf, die in voran-

VI

Vorwort

gegangenen Abschnitten erklärt wurden. Die hauptsächlichen Schlußfolgerungen, die aus dem Vergleich mit dem Experiment gezogen werden können, sind im Text gegeben. Die eindimensionale Darstellung ist zur Diskussion der tatsächlichen Informationen, die das Experiment liefert, jedoch ungeeignet. Jedes Experiment betrifft den gesamten Kern. Die Analyse setzt umfangreiche Informationen über den untersuchten Kern voraus und erfordert oft alle verfügbaren Hilfsmittel. Aus diesem Grunde haben wir die Diskussion der empirischen Daten hauptsächlich in Abschnitten mit der Bezeichnung „Beispiele" untergebracht. Darin haben wir Resultate aus verschiedenen Kapiteln des Buches verwendet. I n der Theorie der Kernstruktur und bei der Analyse von Experimenten werden allgemeine Methoden benutzt, die in weiten Bereichen der Quantenphysik anwendbar sind. Es ist daher zweckmäßiger, sie getrennt darzustellen. Eine kurze Diskussion einiger solcher Themen haben wir daher in Anhängen aufgenommen, um das Buch so abgeschlossen wie möglich zu gestalten. Zum Beispiel wurde die Formulierung der Theorie der elektromagnetischen Wechselwirkung, des ß-Zerfalls und der Kernreaktionen in dieser Weise behandelt. Dabei lag das Gewicht auf der Definition der Matrixelemente, welche durch diese verschiedenen Prozesse gemessen werden. Die Algebra des Drehimpulses und andere Symmetrieprobleme, Elemente der statistischen Mechanik sowie eine Anzahl einfacher Modelle werden ebenfalls in den Anhängen behandelt. Bei der Abfassung dieses Buches haben wir unschätzbare Unterstützung und Anregungen von einer großen Zahl von Kollegen erhalten. Jedes Kapitel wurde von einem Mitarbeiter betreut, der sowohl bei der Sammlung und Zusammenstellung des Materials als auch durch kritische Bemerkungen zur Darstellung half. F ü r diesen wichtigen Beitrag möchten wir H A N S L Ü T K E N (Kapitel 1 und 4 ) , J A K O B P E T E R B O N D O R F (Kapitel 2), J O R G E N D A M G A A R D (Kapitel 3), B E R T E L L O H M A N A N D E R S E N (Kapitel 5), C A R L J O R G E N V E J E (Kapitel 6), P E T E R W I N G E (Kapitel 7), J E N S B A N G (Kapitel 8) und B E N T S O R E N S E N (Kapitel 9) danken. Die Darstellung wurde wesentlich gefördert durch die kritischen Bemerkungen von P E T E R A X E L , J . P . E L L I O T T und J O H N R A S M U S S E N , die es übernahmen, das vollständige Manuskript zu lesen. Wir möchten auch N O R M A N A U S T E R N , JOHN BLAIR,

G . E . BROWN,

K . - H . CHAN, GEORGE E W A N ,

JAMES

HAMILTON,

J . D . JACKSON, A . K . K E R M A N , THOMAS LAURITSEN, J O H N NAGEL, OVE NATHAN, S. G . NILSSON,

JOHN ROGERS,

LÉON ROSENFELD,

L E V SLIV,

W. J.

SWIATECKI,

und T O S H I M I T S U Y A M A Z A K I danken, deren R a t wir in Zusammenhang mit speziellen Abschnitten gesucht haben. Es ist uns nicht möglich, alle Mitarbeiter und Besucher des Instituts zu erwähnen, die durch Anregungen und Hilfe zur Vorbereitung des Materials beigetragen haben. Wie aus den Danksagungen in den Bildunterschriften hervorgeht, hat diese Hilfe bei dem Entwurf eines großen Teils der Abbildungen eine wichtige Rolle gespielt. Es ist kaum vorstellbar, wie wir das immense organisatorische Problem, das Material zusammenzutragen und es in den zahlreichen Stadien von der vorläufigen Version bis zu den vollständigen Korrekturbogen zu bearbeiten, ohne die TAKESHI UDAGAWA, AAGE WINTHER

Vorwort

VII

Unterstützung von S O P H I E H E L L M A N N hätten bewältigen können. Wir möchten unsere Bewunderung und Dankbarkeit für ihre hervorragende Leitung des gesamten Unternehmens ausdrücken. Die vielen Versionen des Manuskripts wurden wieder und wieder von L I S E M A D S E N getippt, deren Geduld und Eifer eine wesentliche Unterstützung war. Die Abbildungen wurden geschickt und phantasievoll von H E N R Y O L S E N gezeichnet. Kopenhagen August 1968

AAGE

BOHR

B E N MOTTELSON

VORWORT ZUR DEUTSCHEN AUSGABE

On the occasion of the appearance of the present edition of NUCLEAR STRUCTURE, we wish to express our sincere thanks to our colleagues at the Zentralinstitut fur Kernforschung in Rossendorf, who with such care have prepared the German translation. The initiative for this translation is due to the late Professor J O S E F S C H I N T L M E I S T E R , and we would like to take the opportunity to p a y tribute to his important contributions to the promotion of international scientific co-operation and, in particular, to the establishment of the fruitful contacts between the institutes in Rossendorf and Copenhagen. Copenhagen, October 1972 AAGE BOHE

B E N R . MOTTELSON

Anläßlich des Erscheinens der vorliegenden Ausgabe von NUCLEAR STRUCT U R E möchten wir unseren Kollegen im Zentralinstitut für Kernforschung in Rossendorf, die die deutsche Übersetzung mit solcher Sorgfalt vorbereitet haben, aufrichtig danken. Die Anregung zu dieser Übersetzung stammt von dem inzwischen verstorbenen Professor J O S E F S C H I N T L M E I S T E R , und wir möchten die Gelegenheit benutzen, seine wesentlichen Beiträge zur Förderung der internationalen wissenschaftlichen Zusammenarbeit, insbesondere zur Herstellung fruchtbarer Kontakte zwischen den Instituten in Rossendorf und Kopenhagen, zu würdigen. Kopenhagen, Oktober 1972 AAGE B O H R

B E N R . MOTTELSON

V O R W O R T DES HERAUSGEBERS

Mit der deutschen Herausgabe des fundamentalen Werkes „Nuclear Structure" von A. B O H B und B . R. M O T T E L S O N wird der deutschsprachigen Fachwelt die modernste Darstellung unserer Kenntnis der Atomkernstruktur vermittelt. Die Verfasser haben sich bereits zu Beginn der fünfziger Jahre mit der Einführung des Kollektivmodells einen hervorragenden Ruf erworben. Seit dieser Zeit wirken sie in einem führenden internationalen Zentrum, das die kernphysikalische Forschung stark beeinflußt. Der vorliegende erste Band enthält vorwiegend die Einteilchenaspekte der Atomkernstruktur. Gegenwärtig gibt es kein vergleichbares Buch über dieses Gebiet, das in so einheitlicher Fassung die physikalischen Grundgedanken, die theoretischen Methoden und — in brillanter Auswahl — illustrative Beispiele behandelt, ohne die Verbindung zu aktuellen Problemen zu verlieren. Das Bestreben der Autoren, die Vielfalt der Erscheinungen nicht in ein einziges theoretisches Schema zu pressen, sondern die unter verschiedenen Gesichtspunkten entstandenen Betrachtungsweisen zu erläutern, macht das Werk nicht nur für den Theoretiker, sondern auch für den Experimentator besonders lesenswert. Ich danke meinen langjährigen Mitarbeitern H . R . K I S S E N E R , R . R E I F , C . R I E D E L und G . W I N T E R für die gelungene Übersetzung. Dem AkademieVerlag Berlin möchte ich für die mühevolle Arbeit und die vortreffliche Ausstattung des Bandes meinen herzlichen Dank aussprechen. J . SCHINTLMEISTER

f

INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort Vorwort zur deutschen Ausgabe Vorwort des Herausgebers

Kapitel 1

Symmetrien und Erhaltungssätze

1-1

Kernaufbau Beispiele zu Abschnitt 1-1 Symmetrieeigenschaften des Kerns und Raum-Zeit-Invarianz . Kontinuierliche Transformationen Raumspiegelung Zeitumkehr Beispiele zu Abschnitt 1-2 Isobare Invarianz Isospinsymmetrie Erweiterung der isobaren Symmetrie Beispiele zu Abschnitt 1-3 Invarianzbedingungen für Kernkräfte Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Geschwindigkeitsabhängige Kräfte

1-2 1-2 a 1-2 b 1-2 c 1-3 1-3 a 1-3 b 1-4 1—4 a 1-4 b

V IX XI

1 1 3 6 6 12 15 20 31 31 37 41 66 66 68

Anhang 1 A D r e h i n v a r i a n z

70

1 A-l 1A-2 1A-3 1A—4 1A-5 1A-6 1A-7 1A-8

70 71 73 76 81 89 92

1A-9

Drehimpulsmatrizen Kopplung von Drehimpulsen Umkopplungskoeffizienten Drehmatrizen. 3)-Funktionen Sphärische Tensoren und reduzierte Matrixelemente Transformation in das innere Koordinatensystem Transformation von Feldern Kopplung von Feldern und Entwicklung nach Multipolmomenten Tensoren im Isospinraum

Anhang 1 B 1 B-l 1B-2 1B-3 1B-4

Zeitumkehr Einteilchenzustände Vielteilchenzustände (gebundene Systeme) Stoßprozesse Zerfallsprozesse

94 98 99 99 101 103 105

XIV

Inhalt Anhang 1 C Permutationssymmetrie 1C-1 1C-2 1C-3

108

Symmetriequantenzahlen (Partitionen) 109 Symmetrieklassifizierung von Wellenfunktionen im Kaum der Besetzungszahlen 122 Unitäre Symmetrie 127 Beispiele zu Anhang IC 134

Kapitel 2

B e w e g u n g u n a b h ä n g i g e r Teilchen

145

2-1 2-1 a 2-1 b 2-1 c 2-1 d 2-1 e 2—lf 2-1 g 2-1 h 2-1 i

Allgemeine Eigenschaften der Atomkerne Größe des Kerns Mittlere freie Weglänge der Nukleonen Impulsverteilung (FERMI-Gas-Näherung) Bindungsenergien der Kerne Paarungsenergie Isospinquantenzahl Kernpotential Antisymmetrische Wellenfunktionen des FEBMi-Gases . . . . Statistische Eigenschaften des Anregungsspektrums Beispiele zu Abschnitt 2-1 Schalenstruktur des Kerns Bindungsenergien Anregungsenergien von gerade-gerade Kernen Niveaudichten Beispiele zu Abschnitt 2-2 Kernarten und Häufigkeiten Stabilität der Kerne Relative Häufigkeiten und die Entstehung der Kernarten. . . Beispiele zu Abschnitt 2-3 Mittleres Kernpotential Reihenfolge der Einteilchenniveaus. Spinbahnkopplung . . . Einteilchen-Stärkefunktion Optisches Potential Beispiele zu Abschnitt 2-4 Nukleonen Wechselwirkungen und Kernpotential Hauptmerkmale der Nukleonenwechselwirkung Beziehung zwischen Kernpotential und Nukleonenwechselwirkungen Theorie der Kernmaterie Beispiele zu Abschnitt 2-5

145 145 146 147 148 150 151 154 157 160 166 199 199 200 200 201 208 208 209 213 219 219 222 224 231 253 253

2-2 2-2 a 2-2 b 2-2 c 2-3 2-3 a 2-3 b 2-4 2—4 a 2-4 b 2-4 c 2-5 2-5 a 2-5 b 2-5 c

Anhang 2 A Antisymmetrisierte Produktfunktionen. und Vernichtungsoperatoren 2A-1 2A-2 2A-3 2A-4 2A-5

264 275 276

Erzeugungs286

Antisymmetrische Wellenfunktionen 286 Eigenschaften der Erzeugungsoperatoren für Fermionen . . . 287 Einteilchenoperatoren 290 Zweiteilchenoperatoren 291 Teilchentransferoperatoren 292

Inhalt 2 A-6 2A-7 2A-8

XV

^-Darstellung Dichtematrizen Erzeugungsoperatoren für Bosonen

292 293 294

Anhang 2 B Statistische Berechnung von Niveaudichten

296

2 B-l 2 B-2 2 B-3 2 B-4 2B-5 2 B-6

296 298 300 301 303

Niveaudichtefunktion und ihre LAPLACE-Transformierte . . . Inversion der LAPLACE-Transformation Mittlere Besetzungszahlen für Einteilchenzustände Beschreibung des Spektrums durch Quasiteilchenanregungen . Thermodynamische Deutung der Niveaudichteberechnung . . Berechnung von Niveaudichten, die durch zusätzliche Quantenzahlen bestimmt werden

304

Anhang 2 C Beschreibung von Schwankungen mit Hilfe stochastischer Matrizen 310 2 C—1 2 C-2 2C-3

Stochastische Verteilung der Elemente einer zweidimensionalen Matrix 310 Verteilung der Eigenwerte und Eigenvektoren 312 Matrizen großer Dimension 314

Anhang 2 D Modell für Eigenschaften der Stärkefunktion

. . . .

318

2D-1 2D-2 2D-3 2D-4 2D-5 2D-6 2D-7

Wahl der Darstellung 318 Diagonalisierung 319 Stärkefunktion für konstante Matrixelemente 319 Zeitabhängige Beschreibung des Kopplungsprozesses 320 Moment zweiter Ordnung der Stärkefunktion 321 Zwischenstadien der Kopplung 321 Berechnung der Stärkefunktion für nicht-konstante Matrixelemente 322

Kapitel 3

Einteilchenkonfigurationen

325

3-1

Quantenzahlen und Wellenfunktionen. Teilchen-Loch-Symmetrie Einteilchenzustände Lochzustände. Teilchen-Loch-Konjugation Isospin für Teilchen- und Lochzustände Beispiele zu Abschnitt 3-1 Energiespektren Beispiele zu Abschnitt 3-2 Matrixelemente elektromagnetischer Momente Quadrupolmomente und J?2-Übergangswahrscheinlichkeiten . Magnetische Momente Andere elektromagnetische Momente Beispiele zu Abschnitt 3-3 Matrixelemente für ß-Zerfall Erlaubte Übergänge

325 325 327 329 330 332 334 348 348 351 356 366 360 360

3-1 a 3-1 b 3-1 c 3-2 3-3 3-3 a 3-3 b 3-3 c 3-4 3-4 a

XVI

Inhalt 3-4 b

Verbotene Übergänge Beispiele zu Abschnitt 3-4

364 365

3-5 3-5 a 3-5 b

Reaktionen. Spektroskopische Amplituden Einteilchen-Transferreaktionen Resonanzreaktionen Beispiele zu Abschnitt 3-5

370 370 371 372

Anhang 3 A Einteilchenwellenfunktionen und - m a t r i x e l e m e n t e . . 376 3A-1 3A-2

Kopplung von Spin und Bahnbewegung 376 Berechnung der Matrixelemente von Einteilchenoperatoren. . 379

Anhang 3 B TeMchen-Loch-Konjugation 3B-1 3B-2 3B-3

Anhang 3 C M a t r i x e l e m e n t e wirkungen 3C-1 3C-2 3 C-3 3 C-4 3C-5 3C-6

für

elektromagnetische

Kopplung von Feld und Strom Strahlungsprozesse Wechselwirkungen mit geladenen Teilchen Ladungs- und Stromdichte für freie Nukleonen Einteilchenmatrixelemente Wechsel Wirkungseffekte im Strom

Anhang 3 D B e t a - W e c h s e l w i r k u n g 3D-1 3D-2 3D-3 3D-4 3D-5

384

Beschreibung von Fermionensystemen durch Teilchen- und Lochzustände 384 Matrixelemente von Einteilchenoperatoren 388 Matrixelemente von Zweiteilchenoperatoren 391 Wechsel398 398 399 402 404 407 410 417

Prozesse mit schwacher Wechselwirkung und schwacher Strom 417 Symmetrieeigenschaften des ß-Stromes 421 Nichtrelativistische Form des ß-Stromes 426 Multipolmomente 429 /«-Werte 434 Beispiele zu Anhang 3 D 439

Anhang 3 E N u k l e o n - T r a n s f e r r e a k t i o n e n

445

3E-1 3E-2

446 451

Einteilchen-Transferreaktionen Zweiteilchen-Transferreaktionen

Anhang 3 F Resonanzreaktionen

454

3F-1 3F-2

454 465

Allgemeine Merkmale der Resonanzstreuung Resonanzparameter für die Einteilchenbewegung

Literatur

477

Sachverzeichnis

491

KAPITEL

Symmetrien und Erhaltungssätze

1-1

Kernaulbau

Kerne sind Gebilde, die aus zwei Teilchenarten, Neutronen und Protonen, bestehen. Die hauptsächlichen Eigenschaften freier Nukleonen sind in Tab. 1-1, Seite 4 zusammengestellt. Die Kräfte, die für die Bindung der Kerne verantwortlich sind, gehören zur Kategorie der „starken Wechselwirkungen". Diese umfaßt die Wechselwirkungen zwischen Nukleonen, Mesonen und Hyperonen, die insgesamt als Hadronen bezeichnet werden. Es liegt in der Natur der starken Wechselwirkungen, daß die Struktur jedes Hadrons und die Kräfte zwischen einem beliebigen Teilchenpaar mehr oder weniger durch das Zusammenspiel aller Hadronen bedingt sind. Die Komplexität dieser Phänomene offenbart sich besonders bei Stößen mit Energien, die groß im Vergleich zur Ruhemasse der Teilchen sind. So besteht beim Stoß zwischen zwei Nukleonen mit Energien im GeV-Bereich eine beträchtliche Wahrscheinlichkeit für die Erzeugung einer Vielzahl stark wechselwirkender Teilchen. Obwohl einige allgemeine Merkmale der starken Wechselwirkungen verstanden werden, bleiben der grundlegende Charakter dieser Phänomene und der Zusammenhang zu anderen bekannten Wechselwirkungen ein offenes Problem. In der Kernstruktur kommt die volle Kompliziertheit der starken Wechselwirkungen gewöhnlich nicht ins Spiel, da Kerne relativ schwach gebundene Systeme sind. Die Energie, die notwendig ist, um ein Nukleon vom Kern abzutrennen, liegt bei etwa 5 bis 10 MeV. Die mittlere kinetische Energie der Nukleonen im Kern beträgt etwa 25 MeV. Diese Energien sind klein gegenüber den Ruheenergien nicht nur der Nukleonen selbst (Mc2 ¡=» 1000 MeV), sondern auch der leichtesten Hadronen, der 7>Mesonen (m„ c 2 137 MeV). In der Analyse von gebundenen Kernzuständen und von Reaktionen bei nicht zu hohen Energien ist es deshalb eine gute erste Näherung, sich den Kern aus einer bestimmten Anzahl von Nukleonen aufgebaut zu denken, die ähnliche Eigenschaften wie freie Nukleonen besitzen und sich mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten (v2jc2 < 0,1) bewegen. Die virtuelle Anwesenheit anderer Teilchen kann näherungsweise durch Kräfte, die zwischen den Nukleonen wirken, berücksichtigt werden. Es stellt sich heraus, daß die Hauptmerkmale der Kernbindung Zweikörperkräften zugeschrieben werden können, die in Nukleon-Nukleon-Streuexperimenten bei geeigneten Energien sowie an den Eigenschaften des Grundzustandes des Deuterons unmittelbar untersucht werden können. Die verfüg2

Struktur der Atomkerne. I

2

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

baren Daten erlauben eine ziemlich ausführliche Charakterisierung dieser Kräfte, die sich als sehr kompliziert erweisen. (Siehe die Diskussion in Abschnitt 2 - 5 . ) Gegenwärtig ist kaum etwas über Mehrkörperkräfte zwischen Nukleonen bekannt. Dieses Problem kann bei der Streuung und den Eigenschaften der gebundenen Zustände von Drei- oder Vier-Nukleonen-Systemen unmittelbar untersucht werden. Nukleonen unterliegen außer starken Wechselwirkungen auch elektromagnetischen Effekten und dem noch schwächeren Typ von Wechselwirkungen, die sich in ß-Zerfallsprozessen äußern und zur Kategorie der „schwachen Wechselwirkungen" gehören. Obwohl diese zusätzlichen schwächeren Wechselwirkungen eine relativ untergeordnete Rolle für die Kernstruktur selbst spielen, sind sie für das Studium von Kernphänomenen von entscheidender Bedeutung. So bestimmen sie den Grad der Stabilität gebundener Kernzustände, das heißt von Zuständen, die kein Nukleon emittieren können und die deshalb vollständig stationär wären, falls nur starke Wechselwirkungen existieren würden. Außerdem ist das Studium der Kernumwandlung durch elektromagnetische Prozesse ein besonders wichtiges Mittel zur Erforschung der Kernstruktur, da diese Wechselwirkung verhältnismäßig einfach ist und gut bekannte Eigenschaften besitzt. E s ist auch zu bemerken, daß unsere Information über nukleare Erscheinungen letzten Endes vollständig aus elektromagnetischen Signalen herrührt, die durch Kernteilchen erzeugt werden. Wegen der Komplexität der Kernkräfte und der Schwierigkeiten, die einer eingehenden Beschreibung von Systemen mit einer großen Zahl von Freiheitsgraden eigen sind, spielen bei der Analyse von Kernerscheinungen die Charakterisierung der Kernzustände durch Symmetrieeigenschaften sowie die Anwendung von Erhaltungssätzen eine hervorragende Rolle. Die Symmetriesätze der Kernphysik rühren zum Teil von der Invarianz der Wechselwirkung bei Transformationen des Raum-Zeit-Koordinatensystems her. Während jedoch die Invarianz gegen kontinuierliche Transformationen (Translationen, Drehungen und LoEENTZ-Transformationen) eine universelle Gültigkeit besitzen, sind Spiegelsymmetrien nur teilweise erfüllt. Das Studium von Kernphänomenen hat bedeutend zur Aufklärung des Gültigkeitsbereiches dieser Symmetrien beigetragen. Kernprozesse werden von zusätzlichen Symmetrien beherrscht, für die es keinen offensichtlichen Zusammenhang mit Invarianzeigenschaften gegen Raum-Zeit-Transformationen gibt. So ist die Stabilität der Kerne auf die Erhaltung der Baryonenzahl (siehe Tab. 1-1) zurückzuführen, die das Gegenstück zur Erhaltung der elektrischen Ladung darstellt. Das Studium der ß-Prozesse offenbarte einen analogen Erhaltungssatz für die Leptonenzahl (siehe Abschnitt 3D-1). Ein anderer Symmetrietyp ist mit der Existenz zweier Zustände des Nukleons mit eng verwandten Eigenschaften (Neutron und Proton) verknüpft. Diese Entartung rührt von Invarianzeigenschaften der starken Wechselwirkungen her, die als isobare Symmetrie bezeichnet werden. Ein zentrales Thema der

1-1. Kernaufbau. Beispiele

3

Elementarteilchenphysik besteht gegenwärtig darin, diese Symmetrie zu verallgemeinern, um zusätzliche näherungsweise Entartungen, die im Hadronenspektrum entdeckt wurden, einzuschließen. Die Nukleonen sind Eermionen und befolgen daher das Ausschließungsprinzip. Dieses Prinzip (PAULi-Prinzip) verlangt Wellenfunktionen, die gegenüber Vertauschung identischer Teilchen antisymmetrisch sind. Die Konsequenz der isobaren Symmetrie für die Kernstruktur hängt eng mit der Permutationssymmetrie zusammen, die durch das Ausschließungsprinzip gefordert wird. Das vorliegende Kapitel behandelt die verschiedenen Typen von Symmetrien, die für die Beschreibung von Kernphänomenen wichtig sind. Dieser Gegenstand umfaßt ein sehr weites Gebiet und ist Bestandteil der Untersuchungen elementarer Wechselwirkungen. Die systematische Behandlung der Kernstruktur beginnt mit Kapitel 2. Einige Leser dürften es vorziehen, Kapitel 1 nur kurz durchzusehen und erst darauf zurückzukommen, wenn es im Zusammenhang mit späteren Anwendungen notwendig ist.

Beispiele zu Abschnitt 1 - 1

Eigenschaften der Nukleonen {Tab. 1-1) Die kinematischen Eigenschaften eines Teilchens werden durch die Masse und den Spin charakterisiert. Diese beiden relativistischen Invarianten kennzeichnen die Transformationseigenschaften der Einteilchenzustände bezüglich Raum-Zeit-Translationen, Drehungen und LoRENTZ-Transformationen. (Masse und Spin können als Quantenzahlen angesehen werden, welche die Darstellungen der LoRENTZ-Gruppe charakterisieren.) Zustände mit mehreren identischen Teilchen werden weiterhin durch die Statistik charakterisiert. Die Statistik kommt selbst dann zum Ausdruck, wenn sich die Teilchen außerhalb der Reichweite der gegenseitigen Wechselwirkung befinden. (Die Statistik kennzeichnet die Darstellungen der Permutationsgruppe; siehe Anhang IC.) Für Proton und Neutron sind Masse, Spin und Statistik in Tab. 1-1, Seite 4 zusammengestellt. Die nächste Zeile in Tab. 1-1 betrifft die Lebensdauer. Ein instabiles Teilchen ist strenggenommen ein Übergangszustand bei einem Stoßprozeß. Wenn jedoch die Lebensdauer r so groß wird, daß F = %\T klein im Vergleich zur Masse oder anderen charakteristischen Energien der inneren Struktur ist, kann das zerfallende Teilchen näherungsweise als ein Gebilde behandelt werden, dessen Eigenschaften von der Art und Weise seiner Entstehung unabhängig sind. (Die Zerfallskonstante T kann als imaginäre Komponente der Masse betrachtet werden; siehe Anhang 3F.) 2*

4

1. S y m m e t r i e n u n d

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Erhaltungssätze

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60 , für den = \AS).

1-2. Symmetrieeigenschaften des Kerns

17

Die Zeitumkehr ist jedoch eine Operation mit definierter physikalischer Bedeutung und daher unabhängig von der Darstellung, in der ihre Eigenschaften berechnet werden. Die Abhängigkeit von K von der Darstellung wird deshalb durch eine entsprechende Abhängigkeit des unitären Operators in Gl. (1-31) kompensiert. Beispiele enthält Anhang 1 B .

Für eine antiunitäre Transformation gilt \A'} = (B\A)

UK\£), (1-33)

= = 2 Re {c (El) c ( i i l ) } ) . Er verschwindet, wenn c(El) und c(Ml) um 90° außer Phase sind (maximale Verletzung von 7/2) «s 10- 42 e2 cm2 entspricht. (Siehe Gl. (3C-18).) Der Grundzustand und das 482 keV-Niveau in m T a können durch verschiedene Einteilchenzustände des letzten Protons, das sich in einem ellipsoidischen Potentia^ bewegt, beschrieben werden. Der beobachtete B(E\)-Wert ist daher mit dem für einen .El-Einteilchenübergang in einem solchen Kern erwarteten Wert vergleichbar. Das 482 keV-Niveau hat die Quantenzahlen [402 5/2] (siehe Kapitel 5) und ist mit dem Niveau [503 7/2], I = 7/2, das die gleichen K- und /-Werte wie der Grundzustand besitzt, durch einen ungehinderten iJl-Übergang verbunden. Die Stärke dieses Übergangs besitzt für die Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators den Wert B(E 1; [402 5/2], I = 5/2 -> [503 7/2], I = 7/2) ^ 10- 26 e2 cm2 (siehe Kapitel 4 und 5). Ein B(E1)-Wert des 482 keVÜbergangs der angegebenen Größe entspricht daher einem Verzögerungsfaktor von etwa 10 - 1 8 . Man kann versuchen, die Wirkung paritätsverletzender Kräfte durch ein mittleres pseudoskalares Feld zu beschreiben. Wenn man Invarianz gegen Zeitumkehr fordert, muß ein solches Einteilchenfeld geschwindigkeitsabhängig sein (da o • r gegen 3~ ungerade ist). Bei Beschränkung auf Glieder erster Ordnung in der Geschwindigkeit hat dieses Feld die Form (Mc)~ x {m'f) = a(L; - m t - + — m ' s ) . (1-45) Bei unpolarisiert einfallendem Strahl beträgt die Polarisation der gestreuten Teilchen Z a(R; ms ->- 1/2) -

Z a (B; ms -> -

1/2)

P =

(1—46) Z a (R; ms 1/2) + Z a (R; ms - 1/2) m# mt Sie ist infolge der Beziehungen (1-44) und (1-45) gleich der Azimutal-Asymmetrie, die durch E Erhaltung folgt. Tatsächlich liefert eine Spiegelung in der Streuebene für jedes an der Reaktion beteiligte Teilchen eine Phase (— l)" 1 '; für Targetspin 0 bedeutet die ^-Erhaltung folglich (— l) m '" m « = + 1 , so daß für s = 1/2 nur Prozesse erlaubt sind, bei denen der Spin nicht umklappt, m, = m's. Wegen dieser Einschränkung folgt die Beziehung (1-44) aus der Beziehung (1-45). Sie ist daher eine Folge der Drehsymmetrie. F ü r den Kern 7 Li, dessen Spin hauptsächlich durch das letzte Proton bestimmt ist, liefert nur der Beitrag dieses Teilchens zur Streuung einen Test der cT-Symmetrie, wenn ¿^-Symmetrie vorausgesetzt wird. Die Ergebnisse

1-3. Isobare Invarianz

31

in Abb. 1-6 liefern deshalb nur unsichere Grenzen für das Verhältnis der 3~-verletzenden zu c7"-erhaltenden Kernfeldern. Die Polarisation-AsymmetrieBeziehung wurde auch bei anderen Streuprozessen einschließlich der p-pStreuung getestet (siehe zum Beispiel HELLMAN U. a., a. a. 0 . , Abb. 1-6).

1-3

Isobare Invarianz

1-3 a

Isospinsymmetrie Isospin der Nukleonen

Eine fundamentale Eigenschaft der Kernstruktur ist mit dem Vorhandensein zweier Sorten von Nukleonen, Neutronen und Protonen, verknüpft. Die annähernde Gleichheit der Masse dieser beiden Teilchen (AMjM = 1,4- 10—3; siehe Tab. 1-1, Seite 4) legt sofort eine tiefe Ähnlichkeit zwischen ihnen nahe (HEISENBERG, 1932). Das eingehende Studium ihrer Rolle bei Kernprozessen offenbarte eine grundlegende Symmetrie zwischen Neutron und Proton bei allen Kernwechselwirkungen. Die Symmetrie in der Wechselwirkung wurde zuerst als Ergebnis der Analyse der niederenergetischen np- und pp-Streuung festgestellt (BREIT U. a., 1936). Bei niederen Energien (E

(1_66)

darzustellen wäre (siehe zum Beispiel Gl. (3-19 c)). Dieser Zustand ist eine Linearkombination der Zustände P r o t o n + Target ( U 6 Sn) u n d N e u t r o n -f- T a r get-Analogzustand (niedrigster Zustand T = 8 in 116 Sb). D a s Coulomb-Feld koppelt den Zustand (1-66) u n d den Zustand T — T0 — 1/2 mit derselben Einteilchenkonfiguration

\T = T0-

1/2,

Mt = T0-

~ (2r01+i)1/2

; T

°'

1/2)

M t

=

T

° -

x

>'

(1

"67)

Infolge der Coulomb-Wechselwirkung ist der Protonenkanal offen, während der Neutronenkanal geschlossen ist. (Wie aus Abb. 1 - 9 ersichtlich, liegt die Protonenenergie unter der Schwelle der (p, n)-Reaktion, bei welcher der Analogzustand des Targets angeregt wird.) Diese Asymmetrie zwischen Protonenu n d Neutronenkanälen f ü h r t zu einer starken Kopplung der Zustände (1-66) u n d (1-67), wenn sich das Nukleon außerhalb des K e r n s befindet (Robson, 1965). Die Einteilchenbreiten f ü r Protonen in T a b . 1 - 2 folgten aus einer Rechnung, wobei eine Kopplung zwischen den beiden K a n ä l e n (1-66) und (1-67) 6

Struktur der Atomkerne. I

50

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

berücksichtigt und das Potential Y = Vü(r) + M

(t. T 0 ) + FCoul(r)

- i2) + A$COUL ( i + f 2 ) (1-68)

benutzt wurde. Die ersten beiden Terme stellen die isoskalaren und isovektoriellen Kernpotentiale (siehe Gl. (2-29)) dar, F Coul (r) ist das CouLOMB-Potential. Das Verhältnis zwischen der beobachteten Breite /" p und der Einteilchenbreite liefert ein Maß für den Einteilchencharakter der spektroskopischen Amplitude (siehe Abschnitt 3-5 b und Anhang 3F). Es kann mit der spektroskopischen Amplitude verglichen werden, die man in Neutronen-Transferreaktionen (116Sn(d, p)117Sn) zu den MT = 17/2-Komponenten der Zustände mit T = 17/2 beobachtet. (Siehe Abschnitt 3-5a und Anhang 3E.) Die in Tab. 1-2 gezeigte Übereinstimmung zwischen dem Verhältnis von zu (Tv)sp für Protonenreaktionen und dem Verhältnis von ÄZ+

176,0 MeV -

BA ,

A

i Z - > { Z + 1) + s r - + 37,7 MeV -

'

zerfallen. Das verfügbare Material über A-Bindungsenergien in Hyperkernen ist in Tab. angegeben. Es ist ersichtlich, daß die Bindungsenergien für A-Teilchen etwa so groß wie die Bindungsenergien für Nukleonen in Systemen mit S = 0 Tab. 1 - 4 Die experimentellen Daten wurden der Zusammenstellung von R . L E V I - S E T T I , Proc. Int. Conf. on Hyperfragments, St. Cergue, März 1963 (CERN 64-1) und aus C . M A Y E U B , J . SACTON, P . V I L A I N , G . WILQTTET, D . S T A N L E Y , P . A L L E N , D . H . DAVIS, E . R . F L E T C H E R , D . A . GARBUTT, M . A . SHATJKAT, J . E . A L L E N , V . A . B U L L , A. P . CONWAY und P . V . MARCH, Université Libre de Bruxelles, Bulletin

No. 24, Dezember 1965 entnommen. Bei der Bezeichnung \ Z für Hyperkerne bedeutet Z die Atomart (gesamte Kernladung Z) in der üblichen chemischen Bezeichnungsweise, A ist die gesamte Baryonenzahl. Der Index A weist darauf hin, daß die Strangeness-Quantenzahl S = — 1 ist. Die angenommene Quantenzahl T ist der niedrigste Wert, der mit dem beobachteten Wert M? = (N — Z) verträglich ist. Kern ÌH XH AHe XHe XLi XBe %U %Be XLi %Be X°Be X°B SB A® A3C Äc \4N

T

MT

0 1/2 1/2 0 1 0 1 1/2 1/2 1 0 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2

0 1/2 -1/2 0 1 0 -1 1/2 -1/2 1 0 1/2 -1/2 0 1/2 0 1/2 -1/2

£ A (MeV) 0,32 1,95 2,07 3,04 4,4 5,42 5,9 6,60 6,57 8,24 6,24 8.9 8,8 10,0 11,09 10,6 13,2 11,7

± 0,17 ± 0,14 ± 0,09 ± 0,03 ±0,7 ±0,11 ±0,8 ± 0,13 ± 0,20 ± 0,28 ± 0,25 ±0,5 ± 0,5 ±0,3 ± 0,21 ±0,4 ±0,7 ±0,5

In 1/2+ 0+ 0+

1-

56

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

sind (Kerne mit Strangeness Null; siehe zum Beispiel Abb. 2-4). Im Unterschied zur Nukleonenbindungsenergie wächst die A-Bindungsenergie beständig mit A, da das gebundene A-Teilchen hinsichtlich der Nukleonen das Ausschließungsprinzip nicht erfüllen muß. Die niedrigste A-Bahn ist der 1 s^-Zustand. Für diese beträgt unter Annahme von A 1 und R = 1,2 A1!3 fm die kinetische Energie Eki

* ~nijB*

=

118 Ä

~2IS

M e V

•

(1_74)

Für 13C (in Tab. 1-4 das schwerste Hyperfragment mit geradem Z und geradem N) erhält man Ekin & 20 MeV. Aus dem beobachteten _ßA-Wert erhält man die grobe Abschätzung V = BA + Ekin ^ 30 MeV für das Potential, welches auf das A-Teilchen wirkt. Dieser Wert des Bindungspotentials stimmt überein mit den Daten über den Zerfall von schweren Hyperfragmenten, die beim Einfang von K~-Mesonen in Ag- und Br-Kernen von Photoemulsionen gebildet werden (siehe zum Beispiel L e m o n n e u. a., 1965). Der geschätzte Wert von 30 MeV für die potentielle Energie eines A-Teilchens in Kernen ist etwa die Hälfte des mittleren Potentials, das auf ein Nukleon an der FERMI-Grenze wirkt (siehe Abschnitt 2-1 g). Aus der Tab. 1-4 kann man einige Hinweise auf die Ladungsunabhängigkeit der Wechselwirkung von A-Teilchen mit Nukleonen entnehmen. Es gibt mehrere Paare, wie (^H, ^He) und (^Li, £Be), die ein isobares Dublett bilden, während A0e und ^Be zu einem isobaren Triplett gehören. Die Isobar-Analogzustände haben annähernd die gleichen Bindungsenergien. (^He weist anscheinend eine geringere Bindungsenergie als der Isobar-Analogzustand ^Be auf. Dies kann möglicherweise darauf zurückgeführt werden, daß bei den Hyperkernzerfällen, aus denen BA bestimmt wurde, XHe in einem angeregten Zustand auftritt (siehe P n i e w s k y und D a n y s z , 1962).) Die Werte für Spin und Parität in der Tabelle (A wird die innere Parität + 1 zugeschrieben) stammen aus Winkelkorrelationsmessungen und aus der Bestimmung der Verzweigungsverhältnisse für verschiedene Zerfallsarten (siehe zum Beispiel die Übersicht von L e v i - S e t t i , 1964). Aus den Spin werten sowie der Variation der Bindungsenergien in den leichtesten Hyperkernen kann man schließen, daß die A-Nukleon-Wechselwirkung eine ziemlich starke Spinabhängigkeit besitzt, die den Singulettzustand ( 1 ä) bevorzugt. Im Gegensatz dazu ist bei der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung die Anziehung im Triplettzustand ( j ä) am stärksten; siehe Abschnitt 2-5. Die Spinabhängigkeit der A-NukleonKraft scheint auch für die Fluktuationen von i? A um den mit A stetig wachsenden Mittelwert verantwortlich zu sein. Die relativ schwache Bindung in £Be und "C hängt vermutlich damit zusammen, daß die Neutronen und Protonen in diesem System danach streben, einen Zustand mit / = 0 zu bilden, der keine Spinkorrelation mit dem A-Teilchen erlaubt. (Eine Diskussion der Aussagen über die A-Nukleon-Kraft aus Untersuchungen der Hyperkerne findet man bei D a l i t z , 1963.)

1-3. Isobare Invarianz. Beispiele

57

Einige Hyperkerne mit zwei A-Teilchen wurden beobachtet: A A H ( P B O W S E , 1966) und A A ® 0 ( D A N Y S Z U. a., 1963). Die gesamte Bindungsenergie der beiden A-Teilchen übertrifft in beiden Fällen den doppelten Wert von BA (für ^He bzw. ABC) um 4,5 + 0,5 MeV. Dieser Betrag stellt somit die Wechselwirkungsenergie der A-Teilchen dar. Multipletts im Baryonenspektrum

(Abb. 1-11 und Tab. 1-5)

Die Abb. 1-11 zeigt einige der gesicherten Zustände im niederenergetischen Anregungsspektrum des Nukleons (Zustände mit der Baryonenzahl A = 1). Die Zustände sind durch Drehimpuls und Parität I n, Strangeness 8 und Isospin T charakterisiert. Die Quantenzahl T wird als Multiplizität 2 T + 1 der Zustände angegeben. In vielen Fällen ist die Zuordnung unvollständig und — wie später noch besprochen wird — zum Teil auf der Möglichkeit aufgebaut, die Zustände in S i73-Multipletts einzuordnen. Es muß auch hervorgehoben werden, daß zusätzlich zu den in der Abbildung angegebenen Zuständen zahlreiche höher angeregte Baryonenzustände beobachtet wurden, deren Zuordnungen meist sehr unsicher sind. (Einige höhere Zustände sind in Abb. 1-13 enthalten; einen umfassenden Überblick über die experimentellen Daten findet man in der Arbeit v o n R O S E N F E L D U. a . , a . a . 0 . , A b b .

1-11.)

Die Baryonenniveaus in Abb. 1-11 sind in Multipletts zusammengefaßt, die einer Klassifizierung nach der S t73-Symmetrie entsprechen. Diese Multipletts werden durch die Quantenzahlen (k/j.) charakterisiert. Die in einem gegebenen Multiplett enthaltenen (8, 7')-Komponenten findet man nach den allgemeinen Regeln, die in den Abschnitten 1C-2 und 1C-3 diskutiert werden. Dabei ist es zweckmäßig, sich die Baryonen aus drei Quarks zusammengesetzt zu denken. Jedes Quarkteilchen kann sich in drei verschiedenen Zuständen befinden, die ein isobares Dublett mit Strangeness Null und einen Isoskalar mit Strangeness — 1 bilden. Daher entsprechen die Multipletts Q. fi) = (11) und (1 ¡u) = (30) den Diagrammen (Aa0 =

(11)

und

| | I

J

( ¿ ^

=

(30).

Die verschiedenen Komponenten der Multipletts erhält man, indem man unter Beachtung der in Abschnitt l C - 2 b genannten Einschränkungen jedes Kästchen durch den Satz der Quantenzahlen der Quarkzustände kennzeichnet. Auf diese Weise lassen sich die möglichen (S, MT)-Werte und damit die (S, 27)-Komponenten unmittelbar durchnumerieren. Zum Beispiel ist das (ll)-Multiplett ein Oktett, das die (S, T)-Komponenten (0, 1/2), (—1, 0), (—1, 1) und (—2, 1/2) enthält, während das (30)-Multiplett ein Dekuplett darstellt, das aus den (S, T)Komponenten (0, 3/2), (—1, 1), ( - 2 , 1/2) und (—3, 0) besteht. Aus Abb. 1-11 ist ersichtlich, daß die niedrigliegenden Niveaus In = 1/2+ ein Oktett bilden, während die Niveaus 3/2+ zu einem Dekuplett zusammen-

58

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

1800

Att 1768(89) Y"

1600

• 1700 liO) A 1670118) 1660(50)

1570? (1301)

AT

S*** 1529 ( 7.3)

1525 (105)

V» •

'

7405 ( 3 i )

1382 (37) S oo 7378

5o

I

i2 • 767«

WO

/>/*•••• 1236(120) Z °o° 1193 IX

A o 7775

0

•

•

1000

A

W oo 939

0

•

-7

-,?

(ty)

1/2

+ (11) •%> + (30) Vz- (00) (11) Vf3/2- (11)

-i

Abb. 1—11 Angeregte Zustände des Nukleons. Die experimentellen Daten wurden der Übersicht von A. I L R O S E N F E L D , A. BAKBABO-GAXTIERI, W . J . PODOLSKY, L . R . P R I C E , P. SODING, E . G . W O H L , M . ROOS und W . J . W I L L I S , Rev. Mod. Phys. 3 9 , 1 ( 1 9 6 7 ) , entnommen. Die Zahlenangaben bedeuten Massen in MeV. Bei Zuständen, die durch starke Wechselwirkung zerfallen, wurde die Halbwertsbreite in Klammern hinzugefügt. Die Zahlenangaben bei den T-Multipletts sind Mittelwerte der beobachteten Jf r -Komponenten. Die (I n)-Zuordnung für das Y* Teilchen mit der Masse 1768 MeV wurde auf der Grundlage einer möglichen Gruppierung in .l—13 Baryonen-Trajektorien. Die experimentellen Daten wurden der Übersicht von R O S E N F E L D U. a., a. a. O . , Abb. 1 - 1 1 entnommen. Ein Fragezeichen weist darauf hin, daß die Zuordnung von Spin und Parität für den beobachteten Resonanzzustand nicht gesichert ist. Die Quantenzahl I gibt den Drehimpuls an. (Diese in der Kernphysik übliche Bezeichnungsweise weicht von der in der Elementarteilchenphysik benutzten ab. In der Elementarteilchenphysik ist es üblich, für den Isospin I und für den Gesamtdrehimpuls J zu schreiben.) 6

Struktur der Atomkerne. I

66

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

Familien von Baryonenzuständen (Abb. 1-13)

mit gleicher isobarer Symmetrie

Es gibt einige Hinweise darauf, daß Hadronenzustände mit der gleichen isobaren Symmetrie (sowohl T, S, (A fi) als auch A} in Familien zusammengefaßt werden können. Diese bestehen aus einer Folge von Zuständen, deren Masse mit steigenden Werten von I stetig wächst. Die Abb. 1-13 zeigt Beispiele für solche vorgeschlagenen Familien oder Trajektorien im Baryonenspektrum. Die Glieder dieser Familien haben die gleiche Parität, und die Werte I unterscheiden sich jeweils um Zwei ( / = 1/2, 5/2, 9/2, . . . oder I = 3/2, 7/2, 11/2, . . .). Diese Zustände werden in der rc-Nukleon-Streuung als Resonanzen beobachtet. Für höhere Resonanzen ist die Zuordnung von Spin und Parität jedoch sehr unsicher und hauptsächlich auf die Systematik gegründet, die durch die Trajektorien selbst nahegelegt wird. Familien von Zuständen, wie sie in Abb. 1-13 betrachtet werden, lassen einen Zusammenhang vermuten, wie er zwischen den Niveaus einer Rotationsbande besteht. Bis jetzt gibt es jedoch wenig Hinweise auf den dynamischen Freiheitsgrad, der zu den Anregungen längs der Trajektorie gehört.

1-4

Invarianzbedingungen für Kernkräfte

Durch die Invarianzgesetze, die in den vorangegangenen Abschnitten dieses Kapitels betrachtet wurden, werden der Struktur der Kernkräfte Beschränkungen auferlegt. In diesem Abschnitt betrachten wir die allgemeinste Abhängigkeit dieser Kräfte von den Nukleonen variablen. (Eine solche Analyse wurde zuerst von EISENBTJD und W I G N E R , 1941, vorgenommen.) 1-4 a

Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte

Die Kräfte zwischen Nukleonen ergeben sich aus dem Austausch anderer Teilchen (insbesondere 7r-Mesonen) mit einer Ruheenergie, die verglichen mit der kinetischen Energie der Nukleonen im Kern ziemlich groß ist. Man kann deshalb erwarten, daß die Kräfte annähernd statisch sind. Es werden daher zuerst Kräfte betrachtet, die von der Geschwindigkeit der Nukleonen unabhängig sind. Eine statische Kraft, die zwischen zwei Nukleonen wirkt, kann von den Spinund Isospinvariablen sowie von den Koordinaten Vj und r2 abhängen. Wegen der Translationsinvarianz geht nur der Relativabstand r = rx — r 2 ein. Man unterscheidet zwischen Zentralkräften, die nur vom Betrag, nicht von der Richtung von r abhängig sind, und Nichtzentralkräften, die auch von der Richtung von r relativ zu den Spin Vektoren abhängen.

1-4. Invarianzbedingungen für Kernkräfte

67

Das allgemeinste statische Zentralpotential, das Drehinvarianz u n d isobare Symmetrie erfüllt, k a n n in der Form Z e n t r a l = V0(r)

+ (O, • 0 2 ) Va(r)

+ ( t , • T t ) Vr(r)

+ (O, • ö 2 ) ( t , • T2) V

a r

(1-84)

geschrieben werden. (Hier wurden die Spin- u n d Isospinoperatoren o = 2 s und T = 2 t benutzt, die in diesem Zusammenhang üblicherweise verwendet werden.) Die Abhängigkeit der Wechselwirkung von den Spin- u n d Isospinkoordinaten läßt sich auch in anderer, mitunter besser geeigneter F o r m erfassen. U n t e r Benutzung des Ortsaustauschoperators PT, des Ladungsaustauschoperators PT (Gl. (1-57)) und des Spinaustauschoperators

sowie der Beziehung (1-55), die das verallgemeinerte Ausschließungsprinzip zum Ausdruck bringt, k a n n das Potential (1-84) mit Hilfe von drei Austauschoperatoren dargestellt werden. E s ist üblich, die Schreibweise Zentral =

V

{r) +

w

VM{r)

P'

+

V B(r)

P°

-

VH(r)

I"

(1-86)

zu benutzen und die Anteile als W I G N E K - , M A J O R A N A - , B A E T L E T T - u n d H E I S E N BEEG-Kräfte zu bezeichnen. Man k a n n die K r a f t auch durch Projektionsoperatoren charakterisieren, die bestimmte Kanäle des Zweinukleonensystems auswählen, Zentral

(T = 1, 8 =

L gerade)

31

F(r)

+

13

F(r) ¿P (T = 0, 8 = 1, L gerade)

+

11

F(r) P (T = 0, 8 = 0, L ungerade)

+

33

F(r) (T = 1, S = 1, L ungerade),

=

c7>

0,

(1-87)

wobei 3> (S — 0, T = 1, L gerade) der Projektionsoperator f ü r den K a n a l „Spin-Singulett, Drehimpuls L gerade" ist u n d so weiter. Die in den Gl. (1-84), (1-86) und (1-87) benutzten Potentiale sind linear miteinander v e r k n ü p f t .

Vw = V0-Va-Vt+ vM = - 4 f ; t , VB = 2 Va - 2 Vaz , Fä = - 2 F

t

+

var,

2F„t,

3i

v = vw + vM - rB - rH = v0 - 3 va + f t - 3 raz,

13

v = vw + vM + rB + vH = f 0 + va - 3 vT - 3 var,

UF = Vw - VM - VB + VH = F 0 - 3 Va- 3 F r + 9 Vaz , 33F =

V w

- vM + vB-rH

= v0+va+vT+

var.

(1_88)

68

1. Symmetrien und Erhaltungssätze

Nichtzentrale Kräfte können zusätzliche Skalare (r • ox) und (r • o2) enthalten. Sie können aber nicht linear von ihnen abhängen, ohne sowohl die 3*- als auch die c7~-Symmetrie zu verletzen1) (siehe Gl. (1-22) und (1-29)). Die einzig mögliche Kombination ist das Produkt (r • Oj) (r • o2), das üblicherweise durch den Operator r

i

eingeführt wird. Eine zum Operator (1-89) proportionale Wechselwirkung wird als Tensorkraft bezeichnet. Sie ähnelt dem Potential zwischen zwei magnetischen Dipolen. Die Tensorkraft wirkt nur in Triplett-Zuständen (S = 1), so daß die allgemeine statische Tensorkraft aus zwei Teilen besteht,

^Tensor = { F

•

(1A-11) I m Spezialfall einer Kopplung zum Gesamtdrehimpuls j3 — 0 erhält m a n

O'i m i jz w2|00> = ( -

(2 j2 + 1)~V*

^ 00|j2 - m2>

= ( _ l ) i i — i (2 j , + l ) " ' ö ( j i , j z ) ( -

™z\j3 -

1

i

k

">l>»2m3 y>h

ji

Z

m

(2 j

3

+

l)-1'2!^ mj,

M |Ji m i , jz m2> jä ma)>

m2,j3

m3>

(1A-13)

9/

m

wobei die Größe / h

\mx

h

m2

h\ ^

rn3)

(

_

1)h

-h-m3(2 .

+

!)-i/2

(1A-14) als 3 /-Symbol oder WiGNER-Symbol bezeichnet wird. Die Symmetrierelationen (1A-10) und (1A-11) nehmen eine besonders einfache Form an, wenn sie durch 3 /-Symbole ausgedrückt werden. So ist das 3 /-Symbol invariant gegen gerade Permutationen der Spalten; bei ungeraden Permutationen oder bei Vorzeichenwechsel aller m-Werte wird das 3 /-Symbol mit dem Phasenfaktor (— l ) h + h + h multipliziert. Geschlossene Ausdrücke u n d Rekursionsformeln für die Vektoradditionskoeffizienten k a n n man in Lehrbüchern über die Theorie der Drehimpulse finden.

1A-3. Umkopplungskoeffizienten

73

Ausführliche Tabellen (siehe das Literaturverzeichnis von Way und H u k l e y , 1966) und Rechenprogramme zur numerischen Berechnung dieser Koeffizienten liegen ebenfalls vor. Bei vielen Anwendungen ist einer der j-Werte klein (j 2). In solchen Fällen nehmen die Vektoradditionskoeffizienten eine ziemlich einfache Form an und können in vielen Lehrbüchern, welche die Anwendung der Theorie des Drehimpulses behandeln, nachgeschlagen werden.

1A-3

Umkopplungskoeffizienten

lA-3a

Kopplung

von drei

Drehimpulsen

Drei Drehimpulse jlf j2 und j3 können in verschiedener Weise zu einem Gesamtdrehimpuls J gekoppelt wercen. So kann man zunächst die Kopplung + j2 = J12 und anschließend J12 j3 = J ausführen; eine andere Möglichkeit wäre, zuerst j2 + j3 = J23 und dann jx + J23 = J zu koppeln. Die Entwicklungskoeffizienten für die Transformation zwischen diesen beiden Kopplungsschemata Ül k ia>0"i J2) J12, i3\JM =

U

= 1

O i . Ü*ja) J23 =ji,J

(1A-22)

entspricht. 1 A-3b

Kopplung

von vier

Drehimpulsen

Vier Drehimpulse können auf viele verschiedene Arten gekoppelt werden, wie z. B. Ji + h = Ji2 > i l + i s = «*13 .

3a + ji =«^34. ia + Ji = um die neue z-Achse (z'"). Die EuLERSchen Winkel (

,

(1A-30)

M"

|7 M">x„

= E\I

M}x

I,)\I

M"}

M

und für die Gesamttransformation |J M")x.

= E

\I M}x

SfV(9». ö, V) = ( - 1 ) * - " " Z*-M,-M-(mm2(co) = Wi>

Mt),

(1A—39) ^ K2m) . Die .©-Funktionen bilden im qj, 0, y-Raum einen vollständigen orthogonalen Satz von Basisfunktionen mit der Normierung /sin 0 dB fd

W") = ( s T T T ) 1 ' 2

¥im{6'

^ '

2&(o>) = P,(cos 0 ) . Betrachtet man die Beziehung (1A-34) für ein gekoppeltes System (I1 I2) I M, so erhält man das Additionstheorem für ©-Funktionen, das im folgenden häufig benutzt wird, S ( h M1 /2 Mt\I M> Z^m^-O) ilij M2 =

= =

1 ) 1 / 2 - J 2 , bei dem ein Drehimpuls A übertragen wird, k a n n durch einen Übergangsoperator TX/i so beschrieben werden, daß die Übergangsamplitude dem Matrixelement (1A-60) proportional ist. Die gesamte Übergangswahrscheinlichkeit, summiert über die Projektionen fi u n d über die Polarisation M2 des Endzustandes, ist unabhängig von M 1 u n d wird durch die reduzierte Übergangswahrscheinlichkeit B(TX;

I,

I2)

s

Z

| / , ) =

I,

M ¿ |

2

i)-i K / J i r J l W

gegeben. F ü r den inversen Übergang I 2 —> B(TX

|TXfl\

B(Tx

(ia-67)

erhält m a n (1A-68)

da der Absolutwert des reduzierten Matrixelements invariant gegen die Vertauschung von u n d J 2 ist (siehe 61. (1A-79); f ü r Prozesse, bei denen L a d u n g oder Nukleonen übertragen werden, enthält die linke Seite von 61. (1A-68) den a d j u n gierten Tensor Tx). Die Beziehung (1 A-68) drückt das detaillierte 61eichgewicht f ü r Reaktionswahrscheinlichkeiten aus, die über Polarisationen gemittelt sind.

1A-5. Sphärische Tensoren und reduzierte Matrixelemente

85

Es ist oft vorteilhaft, die gesamte Übergangswahrscheinlichkeit durch die Größe B (anstatt durch das reduzierte Matrixelement) auszudrücken, da viele Experimente B direkt liefern, während die Bestimmung des reduzierten Matrixelements die Kenntnis des Spins des Anfangszustandes erfordert. lA-5c

Reduzierte Matrixelemente für gekoppelte Systeme

Wenn ein dynamisches System aus zwei Teilen 1 und 2 (zwei Teilchen oder Gruppen von Teilchen, Spin und Bahn eines Teilchens usw.) besteht, lassen sich die Operatoren nicht nur durch den (mit Drehungen des Gesamtsystems verknüpften) totalen Tensorrang, sondern auch durch die Tensoreigenschaften bezüglich der beiden getrennten Teile charakterisieren. So kann man Operatoren, die von den Variablen xx und x2 der beiden Teilsysteme abhängen, nach Komponenten der Form (1A-69)

x2) = {Fh(xGh(x2))iWlß

entwickeln. Das reduzierte Matrixelement dieses gekoppelten Tensors zwischen den Zuständen (I1 l2) I und (l[ I'2) I' kann nach einer Umkopplung vom Typ (1A-24) durch die reduzierten Matrixelemente von FXl und G^ ausgedrückt werden, wobei sich I 1 ; l [ auf Teil 1 und I 2 , I ' 2 auf Teil 2 des Systems beziehen; I und /' sind die Gesamtdrehimpulse. Das reduzierte Matrixelement wird in der Form (1A-61) geschrieben. Nach der Umkopplung wendet man Gl. (1A-58) und die Orthogonalitätsrelationen (1A-7) für die Vektoradditionskoeffizienten an. Benutzt man noch einmal Gl. (1A-61) und drückt die Umkopplungskoeffizienten durch 9 /-Symbole aus (siehe Gl. 1A-25)), so erhält man schließlich «Ii I'z) I'\\(Fh(Xi) Gh(x2))iW,\\ (I, I2) 1} = (2 I' + 1)V2 .

(1A-75)

Daher bedeutet eine Phasenwahl, die auf Cy = + 1 führt, daß alle Matrixelemente reell sind. (Zum Beispiel ergibt sich im Falle der elektromagnetischen Multipole Cj- = + 1, wenn man die elektrischen Momente mit ¿A und die magnetischen Momente mit ¿ A _ 1 multipliziert; siehe Gl. (3C-10).) Die Symmetrie des reduzierten Matrixelements bei Vertauschung von Anfangs- und Endzustand hängt mit dem Verhalten von TXß bei hermitescher Konjugation zusammen. Der zu einem sphärischen Tensor hermitesch konjugierte Operator T\ß entfernt aus dem Zustand, auf den er wirkt, den Drehimpuls X ¡x. Der Operator T?„ = ( - !?+>> ( T ^ J

(1A-76)

ist daher wiederum ein sphärischer Tensor, was sich aus Gl. (1A-53) sowie der Symmetrierelation (1A-38) formal zeigen läßt. Mit den Gl. (1A-10) und (1 A - l l ) erhält man deshalb aus Gl. (1A-60) iI,\\Tf ||/a> =

* .

(1A-77)

Wenn TXß selbstadjungiert ist, d. h. Tx, = c „ T ? m ,

(1A-78)

so läßt sich die Beziehung (1A-77) in der Form = c H ( -

a.H^llA)*

(1A-79)

schreiben. Kombiniert man Gl. (1 A - 7 9 ) und Gl. (1A-75), so ergibt sich ^H^H/2> = -

c (-1/1+*-'. ^.II^HA) ,

(1A-80)

mit c = — Cj-CH .

(1A-81)

Während cg- und cB von der Phase des Operators TXß abhängen und komplexe Werte annehmen können, ist c von der Gesamtphase von TXß unabhängig und gleich + 1 oder —1. Der Phasenfaktor c charakterisiert auch die Teilchen-LochKonjugation des Operators TXfi (siehe Gl. (3-13)). Werte von c für Einteilchenoperatoren sind in Gl. (3-15) angegeben.

88

1A. Drehinvarianz

lA-5e Tensoreigenschafterl von Erzeugungsoperatoren Der Operator m), der ein Teilchen im Zustand j m erzeugt, ist die m-Komponente eines Tensors vom Rang j, wie unmittelbar aus der Definition der Tensoroperatoren folgt. Der Formalismus, der auf Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren aufbaut, wird im Anhang 2 A diskutiert. Die Transformation von a t (/ m) bei Zeitumkehr ist gegeben durch

cTa\j m) cT-1 = a\Jm) =

( _ 1 y+m a t ( j _

m

).

(1A-82)

Diese Beziehung wird ersichtlich, wenn man cT auf einen Zustand | j m) = m) |0) anwendet. Der Phasenfaktor cj- ist daher gleich Eins, und die Matrixelemente von a*(j m) sind in einer Darstellung mit der Phasenkonvention (1-39) reell. Der zu aì(j m) hermitesch konjugierte Operator ist der Vernichtungsoperator a(j m), aus dem man den Tensor b\jm) = a(jm) = ( - 1 y + m a{j - m)

(1A-83)

konstruieren kann (siehe Gl. (1A-76)). Der Operator W(j m) läßt sich auch als Erzeugung eines Lochzustandes interpretieren (siehe Abschnitt 3-1 b). Aus Gl. (1A-77) erhält man daher =

< J # W i >

= (_ 1)/, +i-h .

(1A-84)

Aus Produkten von Operatoren at und a kann man die sphärischen Tensoren =

a

\ k ) a Ui\j l j 2 )x ß

= Ah) bHji)(jlj2n»

(1A-85)

bilden. Diese Größen sind Einheitsoperatoren, aus denen sich beliebige Einteilchenoperatoren konstruieren lassen. So ergibt sich aus den Gl. (2A-24), (1A-60) und (1A-11)

Tx„ = Zm (2 j, + 1)- 1 / 2 Oi m^MÌh ™2> OMÌJÙ « U -»h) «(Ìi ii t Ì2m2 = E (-l)ii+i»- 4 (2 A + 1)- 1/2 0211^11^) a*(jt) a{l\hh)>.ß. (1A-86) hh

Der Operator /u), der Vibrationsquanten erzeugt, kann mit einer Phasenregel entsprechend Gl. (1A-82) gewählt werden,

) ' )

( 1 A - 1 0 5 )

f'

oder nach Gl. (1A-99), die für alle Werte von ¡i gilt, ^ U

r

)

31

= 2 K M )

•

(1A-106)

In ähnlicher Weise läßt sich die Transformation von Tensorfeldern höheren Ranges ausdrücken. Das Feld d*(r, me ), das die Erzeugung eines Nukleons (Teilchen mit dem Spin 1/2) am Punkt r mit der Polarisation ms darstellt (siehe Abschnitt 2A-6), ist ein Spinorfeid vom Rang 1/2. Seine Transformation ist gegeben durch J l -

1

a ! { r , m , ) 3 l

=

E

2)^m :(co)

aV >

m '

s

(1A-107)

) .

m,

Man kann Felder auch durch ihre Transformationseigenschaften bei der Paritätsoperation charakterisieren, S>

e(r) c =

n

e

e ( - r) ,

< ? j ( r ) ^

=

n , j ( -

r )

,

(1A-108)

94

1A. Drehinvarianz

mit ne =

71} =

+ 1

skalares Feld,

— 1

^ pseudoskalares Feld,

-f- 1

axiales Vektorfeld,

— 1

polares Vektorfeld.

(1A-109)

Das Spinorfeid erfüllt die Beziehung $> a\r, m,) c?"1 =

r, m,),

(1A-110)

die der geraden inneren Parität der Nukleonen entspricht (siehe Seite 13). 1A-8

Kopplung von Feldern und Entwicklung nach Multipolmomenten

Die Wechselwirkung des Kerns mit „äußeren" Systemen, wie elektromagnetischen oder ß-Feldern sowie Geschoßteilchen bei direkten Kernreaktionen, wird oft durch eine lokale Wechselwirkung von Feldern ausgedrückt. Das Potential für diese Feldkopplung besteht an jedem Raumpunkt r aus dem Produkt einer Dichtefunktion (einem Feld), die von den Kernvariablen abhängt, und einer Dichtefunktion, welche die Variablen des äußeren Systems enthält. Durch Entwicklung einer solchen Wechselwirkung nach sphärischen Tensoren läßt sich die Kopplung durch Multipolmomente des Kerns ausdrücken. lA-8a

Skalares

Feld

Eine skalare Kopplung hat die Form H' = Jq(t)

= ( - I)i+M+T+Mr\i

-

MT

-

MTy

(1B-16)

gegeben. In der vorigen Diskussion haben wir die 3~-Transformation mit der Drehinvarianz verknüpft. Für -invariante Systeme, die bezüglich Jl nicht invariant sind, kann man Basiszustände verwenden, die Eigenzustände von bezeichnet, wobei die Quantenzahlen A die Impulse, die Spinpolarisation und die innere Struktur der einlaufenden Teilchen festlegen. Für t ->• — oo stellt der Zustand | A in) freie einlaufende Teilchen dar. Diese Teilchen können durch so breite Wellenpakete beschrieben werden, daß die Unbestimmtheit von Impuls und Energie vernachlässigbar ist. Analysiert man den Stoßzustand mit Hilfe von Kugelwellen, welche die Relativbewegung der stoßenden Systeme und der Stoßprodukte beschreiben, so läßt sich der Zustand |A in) auch durch die asymptotische Randbedingung charakterisieren, daß einlaufende Kugelwellen nur im Eingangskanal A vorhanden sind. In die Analyse eines Stoßprozesses geht ein konjugierter Satz von Zuständen \B out) ein. Diese gehen für t oo in breite Wellenpakete über, die mit den auslaufenden Stoßprodukten B verknüpft sind. Der Nachweis der Endteilchen B entspricht der Bestimmung der Komponenten | B out) im Stoßzustand | A in). Die Übergangsamplitude der Reaktion A B ist deshalb = (— l)«+m» | — p — m,}, usw.). Aus Gl. (1B-28) ergibt sich (siehe Gl. (1-33))