Struktur der Atomkerne: Band 2 Kerndeformationen [Reprint 2021 ed.] 9783112535165, 9783112535158

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Struktur der Atomkerne Band II

Kerndeformationen

AAGE B O H R

Niels-Bohr-Institut der Universität Kopenhagen

B E N R. M O T T E L S O N

NORDITA, Kopenhagen

STRUKTUR DER ATOMKERNE Band I i

Kerndeformationen In deutscher Sprache herausgegeben von

H. R. Kissener Zentralinstitut für Kernforschung der Akademie der Wissenschaften der DDR Rossendorf bei Dresden

R. Reif Technische Universität Dresden

Mit 117 Abbildungen und 58 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1980

Titel der Originalausgabe: Aage Bohr and Ben R. Mottelson, NUCLEAR STRUCTURE Vol. II. Nuclear Déformations. Copyright © 1975 by W. A. Benjamin, Inc., Advanced Book Program Reading, Massachusetts London. Amsterdam. Don Mills, Ontario. Sydney. Tokyo

Übersetzer: Stefan Frauendorf Hans-Rainer Kissener Zentralinstitut für Kernforschung in Rossendorf Roland Reif Technische Universität Dresden

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR -1080 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © der deutschsprachigen Ausgabe Akademie -Verlag Berlin 1980 Lizenznummer: 202 • 100/424/80 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg Bestellnummer: 761 844 9 (5861/11) • LSV 1175 Printed in GDR DDR 1 2 0 , - M

VORWORT

Der erste Band der vorliegenden Monographie befaßt sich vorwiegend mit Kerneigenschaften, die mit der Einteilchenbewegung zusammenhängen. Der zweite Band behandelt Aspekte der Kerndynamik, die mit den verschiedenen im Atomkern auftretenden kollektiven Deformationen verknüpft sind. Sowohl die kollektiven als auch die Einteilchenfreiheitsgrade bilden Elementaranregungen. Ein zentrale Rolle beim zunehmenden Verständnis der Kernstruktur spielte das Bemühen, bei der Verwendung der Konzeptionen, die sich auf diese beiden gegensätzlichen Aspekte der Kerndynamik beziehen, ein ausgewogenes Verhältnis zu erreichen. Die ersten Diskussionen der Kerne als Systeme aus Neutronen und Protonen beruhten auf der Bewegung unabhängiger Teilchen in einem kollektiven Zentralfeld, in Analogie zu der Vorstellung, die sich bei der Beschreibung der Atomstruktur bewährt hatte.1) Mit der Entdeckung des Spektrums dicht benachbarter schmaler Resonanzen in neutroneninduzierten Reaktionen nahm die Entwicklung eine neue Richtung. Sie lenkte die Aufmerksamkeit auf die starke Kopplung zwischen der Bewegung der einzelnen Nukleonen im Kern (siehe Band I, S. 163) und führte zu einer Beschreibung der Kerndynamik durch kollektive Freiheitsgrade ähnlich den Schwingungen eines Flüssigkeitstropfens (BOHR und KALCKAR, 1937). Einige Jahre später bot die Entdeckung der Spaltung ein herausragendes Beispiel für solche Kollektivbewegungen. Eine neue grundlegende Wende in der Entwicklung resultierte aus der Analyse der gesammelten Daten über Bindungsenergien und Momente, die die Existenz einer Schalenstruktur im Atomkern überzeugend demonstrierten (HAXEL, JENSEN und SUESS, 1949; MAYEB, 1949; siehe auch Band I, S. 199ff.). Damit stand man vor dem Problem, das gleichzeitige Auftreten von Einteilchen- und Kollektivfreiheitsgraden in Einklang zu bringen und die aus dem Wechselspiel dieser Freiheitsgrade herrührende Vielfalt von Erscheinungen zu untersuchen (RAINWATER, 1950; BOHR, 1952; HILL und WHEELER, 1953; BOHR und MOTTELSON, 1953). Bei der Ausarbeitung eines geeigneten Rahmens zur Beschreibung der Kernstruktur bildete das Konzept einer Deformation der Kerndichte und des Kernpotentials das einigende Element. Die Deformationen stellen die kollektiven Freiheitsgrade dar und beeinflussen gleichzeitig die Bewegung der einzelnen Nukleonen. Sie liefern damit die treibende Kraft, die für die Kollektivbewegung selbst verantwortlich ist. Die

J)

Einen lebendigen Eindruck von dieser Anfangsphase der Erforschung der Kernstruktur vermitteln die Diskussionen auf dem 7. SoLVAY-Kongreß (GAMOW, 1934; HEISENBERG, 1934).

VI

Vorwort

Rolle der vielen verschiedenen Typen von Deformationen, die in den Atomkernen auftreten können, bildet den Gegenstand des vorliegenden Bandes. Die Untersuchung der Rotationen war wegen der außerordentlichen Einfachheit dieser Freiheitsgrade für die Analyse der Kollektivbewegung im Kern von besonderer Bedeutung. (Die Response auf die Rotationsbewegung war tatsächlich ein Schlüssel zur Entwicklung dynamischer Konzeptionen, die von der Himmelsmechanik bis zu den Spektren der Elementarteilchen reichen.) Die Sonderstellung der Rotationen und die umfangreichen empirischen Daten über Rotationsspektren motivieren die Behandlung dieser Anregungsform als erstes Thema des vorliegenden Bandes (Kapitel 4). Das Auftreten von Rotationsspektren ist ein Merkmal von Kernen, deren Gleichgewichtsform von der sphärischen Symmetrie abweicht (kollektive Anregung, die mit einer spontan gebrochenen Symmetrie verknüpft ist). Die einfachen quantitativen Beziehungen, die für diese Spektren gelten, erlaubten eine detaillierte Untersuchung der Einteilchenbewegung in nichtsphärischen Kernen. Diese in Kapitel 5 dargelegte Analyse bildet eine grundlegende Erweiterung der Aussagen über die Einteilchenbewegung aus der Untersuchung sphärischer Kerne. Gleichzeitig liefert sie eine Basis zur Untersuchung der Kopplung von Rotationen und Einteilchenbewegung. Kapitel 6 enthält eine Diskussion der großen Vielfalt kollektiver Vibrationen und der zahlreichen Kopplungen zwischen den verschiedenen Elementaranregungen. Mit zunehmender Einsicht in die gewaltige Breite der Thematik und die Möglichkeit einer einheitlichen theoretischen Beschreibung auf der Grundlage der Teilchen-Vibrationskopplung wurde dieses Kapitel mehrfach überarbeitet. Der ursprüngliche Plan sah vor, die Analyse der Kollektivanregungen aufgrund der Bewegung einzelner Nukleonen im Band III darzustellen, der mit der Untersuchimg von Wechselwirkungseffekten in Konfigurationen mit wenigen Nukleonen eingeleitet werden sollte. Bei der Ausarbeitung von Band II wurde jedoch die mikroskopische Theorie der Kollektivbewegung, die direkt aus der Analyse der Teilchen-Vibrationskopplung folgt, einbezogen. Mit dieser Änderung des Planes sind die ersten beiden Bände in sich abgeschlossen, und sie bieten gleichzeitig eine umfassendere Sicht der Kerndynamik, als ursprünglich vorgesehen war.1) Wie im Band I wurde der Stoff von Band II in Haupttext, Beispiele und Anhänge aufgeteilt. Die Beispiele, vor allem in Kapitel 6, sind etwas umfangreicher, da wir es für wünschenswert hielten, diese Dimension auszunutzen, um eine Reihe von Themen zu entwickeln, ohne die zusammenhängende Darstellung im Haupttext zu unterbrechen. Bei der Vorbereitung dieses Bandes konnten wir uns auf kritische Hinweise, Diskussionen und direkte Hilfe vieler Kollegen stützen. Besonderer Dank gebührt P E T E R A X E L , ohne dessen geduldige und phantasiereiche Anregungen die Darstellung noch schwerer zugänglich gewesen wäre, sowie IKTJKO HAMAMOTO, deren gründliche Prüfung des gesamten Materials sowohl eine Inspiration als auch ein wesentlicher Beitrag zur Klarheit und Konsistenz der Darlegungen war. Wir möchten ferner B E B T E L LOHMANN A N D E R S E N , SVEN BJOBNHOLM, R I C A R D O BBOGLIA, SVEN G Ö S T A N I L S S O N , D A V I D P I N E S ,

und sionen und Anregungen herzlich danken. J O H N RASMUSSEN, V I L E N STBTJTINSKY

W L A D E K SWIATECKI

für wertvolle Diskus-

*) Bei den im Band I vorkommenden Verweisen auf Band III sollte der Leser das Sachverzeichnis von Band II benutzen, um eine Diskussion der betreffenden Fragen zu finden.

Vorwort

VII

Es war unser überaus großes Glück, daß wir in der mehr als fünfzehn Jahre währenden Auseinandersetzung mit diesem Buch die ständige Unterstützung des hervorragenden Teams L I S E MADSEN, H E N B Y OLSEN und SOPHIE HELLMANN hatten. Unsere besondere Hochachtung gebührt SOPHIE HELLMANN, die mit unverminderter Kraft und Enthusiasmus ihre einzigartige Rolle ausgefüllt hat, obwohl dieses Unternehmen bis über ihr achtzigstes Lebensjahr hinausreichen sollte. Unserer Dankbarkeit und Bewunderung möchten wir unsere tiefe Wertschätzung für die Freude und Inspiration, die uns die Zusammenarbeit mit ihr brachte, hinzufügen. Kopenhagen Juni 1975

AAGE BOHR B E N R . MOTTELSON

INHALTSVERZEICHNIS

B A N D II

Vorwort

V

Inhaltsverzeichnis Band I Einteilchenbewegung Kapitel

4

4-1 4-2 4-2 a 4-2 b 4-2 c 4-2 d 4-2 e 4-2f 4-2g 4-3 4-3 a 4-3b 4-3 c 4-3 d

Rotationsspektren

XI

1

Auftreten von kollektiver Rotationsbewegung in Quantensystemeii Symmetrien der Deformation. Rotationsfreiheitsgrade Freiheitsgrade bei räumlichen Drehungen Folgerungen aus der Axialsymmetrie ^-Invarianz und ^-Symmetrie Deformationen, die die SP- oder ^"-Symmetrie verletzen Kombinationen von Rotations- und Spiegelungssymmetrien Rotation im Isospinraum Energiespektren und Intensitätsbeziehungen für axialsymmetrische Kerne . Rotationsenergien _E2-Matrixelemente innerhalb einer Bande M 1-Matrixelemente innerhalb einer Bande Allgemeine Struktur von Matrixelementen Beispiele zu Abschnitt 4-3 Kopplung zwischen Rotation und innerer Bewegung bei axialsymmetrischen Kernen Beispiele zu Abschnitt 4-4 Rotationsspektren für Systeme ohne Axialsymmetrie Symmetrieklassifizierung für gerade A Energiespektren Systeme mit kleiner Asymmetrie Symmetrieklassifizierung für ungerade A Zustände mit großem / Beispiele zu Abschnitt 4-5

124 131 150 151 155 159 161 163 166

Anhang4A

Teilchen-Rotor-Modell

171

4A-1 4A-2 4A-3

Gekoppeltes System Adiabatische Näherung Nichtadiabatische Effekte

171 172 175

4—4 4-5 4-5 a 4-5 b 4-5 c 4-5 d 4-5 e

Kapitel 5-1 5-1 a

5

1 3 4 5 6 10 11 12 16 17 18 35 43 47 50

Einteilchenbewegung in nichtsphärischen Kernen

183

Stationäre Zustände der Teilchenbewegung in einem sphäroidalen Potential . Symmetrie und Form der Gleichgewichtsdeformation des Kerns

184 184

X

Inhaltsverzeichnis Band I I

5-1 b 5-1 c

Deformiertes Potential Struktur der Einteilchenwellenfunktionen Beispiele zu Abschnitt 5-1 Klassifizierung der Spektren von Kernen mit ungerader Massenzahl Momente und Übergänge Einteilchentransfer Einteilchenmomente und -Übergänge Paartransfer und a-Zerfall Kopplung von Teilchen an die Rotationsbewegung Beispiele zu Abschnitt 5-3

5-2 5-3 5-3 a 5-3 b 5-3 c 5-3 d

Anhang

5 A Streuung an nichtsphärischen Systemen

5A-1 5A-2

Kapitel 6-1 6-2 6-2 a 6-2 b 6-2 c 6-3 6-3 a 6-3 b 6-3 c 6-3 d 6-3 e 6-3 f 6-4 6-4 a 6-4 b 6-4 c 6-4 d 6-5 6-5 a 6-5 b 6-5 c 6-5 d 6-5 e 6-5 f 6-5 g 6-5 h 6-6 6-6 a 6-6 b 6-6 c

. . . .

6

184 186 189 208 211 211 213 215 216 220

275

Behandlung durch gekoppelte Kanäle Adiabatische Näherung

275 278

Vibrationsspektren

281

Einleitung Quantentheorie harmonischer Schwingungen Erzeugungsoperatoren für Anregungsquanten Schwingungsamplituden Kollektivbewegung infolge eines schwingenden Einteilchenpotentials . . . . Normalschwingungen des Kerns Formschwingungen. Sphärische Gleichgewichtsform Schwingungen um einen sphäroidalen Gleichgewichtszustand Kollektivbewegung beim Spaltprozeß Isospin von Schwingungen. Polarisations- und Ladungsaustauschschwingungen Kollektive Schwingungen mit Spinfreiheitsgraden Zweinukleonentransfer. Paarschwingungen Summenregeln für Multipol-Oszillatorstärken Klassische Oszillatorsummen Vibrationsoszillatorstärke in Einheiten der Summenregel Tensorsummen Ladungsaustauschbeiträge zur EX- Oszillatorsumme Teilchen-Vibrationskopplung Kopplungsmatrixelemente Effektive Momente Matrixelemente für Einteilchentransfer Teilchen-Phonon-Wechselwirkungsenergie Selbstenergien Polarisationsbeiträge zu effektiven Zweiteilchen Wechsel Wirkungen Effekte höherer Ordnung Durch Teilchen-Vibrationskopplung angeregte Normalschwingungen . . . . Anharmonische Effekte bei Vibrationsbewegung. Kopplung verschiedener Anregungen Anharmonische Effekte bei niederfrequenten Quadrupolschwingungen . . . Kopplung von Quadrupol- und Dipolschwingungen Rotations-Vibrationskopplung Beispiele zu Kapitel 6 Responsefunktion Eigenschaften von Dipolschwingungen {fai = 1~) Eigenschaften von Quadrupolanregungen in sphärischen Kernen Eigenschaften von Quadrupolschwingungen in deformierten Kernen Eigenschaften der Oktupolanregungen Schalenstruktur in Einteilchenspektren

281 284 284 285 287 293 294 309 313 321 328 330 341 341 346 349 352 355 356 359 362 363 366 368 369 371 381 382 386 392 395 395 404 434 472 479 499

Inhaltsverzeichnis Band I Schalenstruktureffekte in der Energie des Kerns Eigenschaften der Kernspaltung Eigenschaften von Spinanregungen Eigenschaften der Paarkorrelationen

XI 517 532 551 556

Anhang 6 A T r ö p f c h e n m o d e l l f ü r V i b r a t i o n e n u n d R o t a t i o n e n

569

6A-1 6A-2 6A-3 6A-4 6 A-5

569 576 582 585 589

Oberflächenschwingungen um die sphärisch symmetrische Gleichgewichtsform Deformationen mit großer Amplitude. Spaltung Kompressionsschwingungen Polarisationsschwingungen im Zwei-Flüssigkeiten-System Rotationsbewegung einer wirbelfreien Flüssigkeit

Anhang 6 B F ü n f d i m e n s i o n a l e r Q u a d r u p o l o s z i l l a t o r

591

6B-1 6B-2 6B-3 6B-4

591 596 597 601

Form- und Winkelkoordinaten. Vibrations- und Rotationsfreiheitsgrade . . . Schwingungen um eine sphärische Gleichgewichtsform Yrast-Bereich für harmonische Schwingungen Vielphononenzustände

Literatur (Band I und II)

607

Sachverzeichnis (Band I und II)

636

Inhaltsverzeichnis Band I Einteilchenbewegung Vorwort

V

Kapitel 1

Symmetrien und Erhaltungssätze

1-1

Kernaufbau Beispiele zu Abschnitt 1 - 1 Symmetrieeigenschaften des Kerns und Raum-Zeit-Invarianz Kontinuierliche Transformationen Raumspiegelung Zeitumkehr Beispiele zu Abschnitt 1-2 Isobare Invarianz Isospinsymmetrie Erweiterung der isobaren Symmetrie Beispiele zu Abschnitt 1 - 3 Invarianzbedingungen für Kernkräfte Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte Geschwindigkeitsabhängige Kräfte

1-2 1-2 a 1-2 b 1-2 c 1-3 1-3 a 1-3 b 1-4 1-4 a 1-4 b

1 1 3 6 6 12 15 20 31 31 37 41 66 66 68

Anhang 1A Drehinvarianz

70

1A-1 1A-2 1A-3 1A-4 1A-5 1A-6 1A-7 1A-8 1A-9

70 71 73 76 81 89 92 94 98

Drehimpulsmatrizen Kopplung von Drehimpulsen Umkopplungskoeffizienten Drehmatrizen. ^-Funktionen Sphärische Tensoren und reduzierte Matrixelemente Transformation in das innere Koordinatensystem Transformation von Feldern Kopplung von Feldern und Entwicklung nach Multipolmomenten Tensoren im Isospinraum

XII

Inhaltsverzeichnis Band I

Anhang 1B Zeitumkehr 1B-1 1B-2 1B-3 1B-4

99

Einteilchenzustände Vielteilchenzustände (gebundene Systeme) Stoßprozesse Zerfallsprozesse

99 101 103 105

Anhang I C Permutationssymmetrie

108

1C-1 1C-2 1C-3

Symmetriequantenzahlen (Partitionen) 109 Symmetrieklassifizierung von Wellenfunktionen im Raum der Besetzungszahlen 122 Unitäre Symmetrie 127 Beispiele zu Anhang I C 134

Kapitel 2

Bewegung unabhängiger Teilchen

145

2-1 2-1 a 2-1 b 2-1 c 2-1 d 2-1 e 2-1 f 2-1 g 2-1 h 2-1 i

Allgemeine Eigenschaften der Atomkerne Größe des Kerns Mittlere freie Weglänge der Nukleonen Impulsverteilung (FERMi-Gas-Näherung) Bindungsenergien der Kerne Paarungsenergie Isospinquantenzahl Kernpotential Antisymmetrische Wellenfunktionen des FBEMi-Gases Statistische Eigenschaften des Anregungsspektrums Beispiele zu Abschnitt 2-1 Schalenstruktur des Kerns Bindungsenergien Anregungsenergien von gerade-gerade Kernen Niveaudichten Beispiele zu Abschnitt 2-2 Kernarten und Häufigkeiten Stabilität der Kerne Relative Häufigkeiten und die Entstehung der Kernarten Beispiele zu Abschnitt 2-3 Mittleres Kernpotential Reihenfolge der Einteilchenniveaus. Spinbahnkopplung Einteilchen-Stärkefunktion Optisches Potential Beispiele zu Abschnitt 2-4 Nukleonenwechselwirkungen und Kernpotential Hauptmerkmale der Nukleonenwechselwirkung Beziehung zwischen Kernpotential und Nukleonenwechselwirkungen Theorie der Kernmaterie Beispiele zu Abschnitt 2-5

145 145 146 147 148 150 151 154 157 160 166 199 199 200 200 201 208 208 209 213 219 219 222 224 231 253 253 264 275 276

2-2 2-2 a 2-2 b 2-2 c 2-3 2-3 a 2-3 b 2-4 2-4a 2-4 b 2-4 c 2-5 2-5 a 2-5 b 2-5 c

Anhang 2A Antisymmetrisierte operatoren 2A-1 2A-2 2A-3 2A-4 2A-5 2A-6 2A-7 2A-8

Produktfunktionen.

Erzeugungs-

Antisymmetrische Wellenfunktionen Eigenschaften der Erzeugungsoperatoren für Ferraioncu Einteilchenoperatoren Zweiteilchenoperatoren Teilchentransferoperatoren ¡r-Darstellung Dichtematrizen Erzeugungsoperatoren für Bosonen

und

. . . .

Vernichtungs286 286 287 290 291 292 292 293 294

Inhaltsverzeichnis Band I

XIII

Anhang 2 B

Statistische Berechnung von Niveaudichten

2B-1 2B-2 2 B-3 2B-4 2B-5 2B-6

Niveaudichtefunktion und ihre LAPLACE-Transformierte 296 Inversion der LAPLACE-Transformation 298 Mittlere Besetzungszahlen für Einteilchenzustände 300 Beschreibung des Spektrums durch Quasiteilchenanregungen 301 Thermodynamische Deutung der Niveaudichteberechnung 303 Berechnung von Niveaudichten, die durch zusätzliche Quantenzahlen bestimmt werden 304

Anhang 2C Beschreibung von Schwankungen mit Hilfe stochastischer Matrizen 2C-1 2C-2 2C-3

Stochastische Verteilung der Elemente einer zweidimensionalen Matrix Verteilung der Eigenwerte und Eigenvektoren Matrizen großer Dimension

296

310 . . . 310 312 314

Anhang 2 D Modell für Eigenschaften der Stärkefunktion

318

2D-1 2D-2 2D-3 2D-4 2D-5 2D-6 2D-7

Wahl der Darstellung Diagonalisierung Stärkefunktion für konstante Matrixelemente Zeitabhängige Beschreibung des Kopplungsprozesses Moment zweiter Ordnung der Stärkefunktion Zwischenstadien der Kopplung Berechnung der Stärkefunktion für nichtkonstante Matrixelemente

318 319 319 320 321 321 322

Kapitel 3

Einteilchenkonfigurationen

325

3-1 3-1 a 3-1 b 3-1 c

Quantenzahlen und Wellenfunktionen. Teilchen-Loch-Symmetrie Einteilchenzustände Lochzustände. Teilchen-Loch-Konjugation Isospin für Teilchen- und Lochzustände Beispiele zu Abschnitt 3-1 Energiespektren Beispiele zu Abschnitt 3-2 Matrixelemente elektromagnetischer Momente Quadrupolmomente und JJ2-Übergangswahrscheinlichkeiten Magnetische Momente Andere elektromagnetische Momente Beispiele zu Abschnitt 3 - 3 Matrixelemente für ß-Zerfall Erlaubte Übergänge Verbotene Übergänge Beispiele zu Abschnitt 3-4 Reaktionen. Spektroskopische Amplituden Einteilchen-Transferreaktionen Resonanzreaktionen Beispiele zu Abschnitt 3-5

325 325 327 329 330 332 334 348 348 351 356 356 360 360 364 365 370 370 371 372

3-2 3-3 3-3 a 3-3 b 3-3 c 3-4 3-4 a 3-4 b 3-5 3-5 a 3-5 b

Anhang 3A Einteilchenwellenfunktionen und -matrixelemente

376

3A-1 3A-2

376 379

Kopplung von Spin und Bahnbewegung Berechnung der Matrixelemente von Einteilchenoperatoren

Anhang 3 B Teilchen-Loch-Konjugation 3B-1 3B-2 3 B-3

Beschreibung von Fermionensystemen durch Teilchen- und Lochzustände Matrixelemente von Einteilchenoperatoren Matrixelemente von Zweiteilchenoperatoren

384 . . 384 388 391

XIV

Inhaltsverzeichnis Band I

Anhang 3C Matrixelemente für elektromagnetische Wechselwirkungen

398

3C-1 3C-2 3C-3 3C-4 3C-5 3C-6

398 399 402 404 407 410

Kopplung von Feld und Strom Strahlungsprozesse Wechselwirkungen mit geladenen Teilchen Ladungs-und Stromdichte für freie Nukleonen Einteilchenmatrixelemente Wechselwirkungseffekte im Strom

Anhang 3D Beta-Wechselwirkung

417

3D-1 3D-2 3D-3 3D-4 3D-5

417 421 426 429 434 439

Prozesse mit schwacher Wechselwirkung und schwacher Strom Symmetrieeigenschaften des ß-Stromes Nichtrelativistische Form des ß-Stromes Multipolmomente /«-Werte Beispiele zu Anhang 3D

Anhang 3E Nukleon-Transferreaktionen

445

3E-1 3E-2

446 451

Einteilchen- Transferreaktionen Zweiteilchen-Transferreaktionen

Anhang 3F Resonanzreaktionen

454

3F-1 3F-2

454 465

Allgemeine Merkmale der Resonanzstreuung Resonanzparameter für die Einteilchenbewegung

Literatur

477

Sachverzeichnis

491

KAPITEL

4

Rotationsspektren

4-1

Auftreten von kollektiver Rotationsbewegung in Quantensystemen1)

Ein gemeinsames Merkmal von Systemen, die Rotationsspektren besitzen, ist die Existenz einer „Deformation", das heißt einer Anisotropie, die es ermöglicht, eine Orientierung des Systems als Ganzes festzulegen. In einem Molekül oder einem Festkörper spiegelt die Deformation die stark anisotrope Massenverteilung wider, bezogen auf das innere Koordinatensystem, das durch die Gleichgewichtslagen der Kerne definiert ist. Beim Atomkern sind die Rotationsfreiheitsgrade verknüpft mit den Deformationen seiner Gleichgewichtsform, die sich aus der Schalenstruktur ergeben. (Hinweise auf diese Deformationen werden auf S. 113 ff. (¿¿^-Momente) und in Kapitel 5 (deformiertes Einteilchenpotential) diskutiert.) Rotationsähnliche Serien werden auch in den Hadronenspektren beobachtet und als REGGE-Trajektorien bezeichnet (siehe z. B. Abb. 1-13, Band I, S. 65), aber die Natur der zugehörigen Deformationen ist noch unklar. Kollektive Bewegung mit einer Struktur ähnlich räumlichen Drehungen kann auch in anderen Dimensionen, darunter dem Isospinraum und dem Raum der Teilchenzahl, auftreten, wenn das System eine Deformation besitzt, die eine Orientierung in diesen Räumen definiert. Die Rotationsbanden enthalten dann Folgen von Zuständen, die sich in den entsprechenden drehimpulsartigen Quantenzahlen wie Isospin und Nukleonen*) Spektren, die einer quantisierten Rotationsbewegung entsprechen, wurden zuerst bei der Absorption von infrarotem Licht durch Moleküle beobachtet ( B J E R R U M , 1 9 1 2 ) . Die Möglichkeit einer Rotationsbewegung in Kernen wurde bereits in frühen Versuchen zur Interpretation der Anregungsspektren von Kernen in Betracht gezogen (siehe z. B. T E L L E R und W H E E L E R , 1 9 3 8 ) . Die verfügbaren Daten z. B. aus der Peinstruktur des a-Zerfalls schienen gegen das Auftreten niedrigliegender Rotationsanregungen zu sprechen, aber die Diskussion wurde beeinträchtigt durch die Vorstellung, daß die Rotationsbewegung entweder bei allen Kernen vorkommen sollte oder generell ausgeschlossen sei wie in Atomen, sowie durch die Annahme, daß das Trägheitsmoment den klassischen Wert wie für starre Rotation haben sollte. Die Konzeption der Rotationsanregung in Kernen setzte sich erst nach der Erkenntnis durch, daß eine solche Bewegungsform eine notwendige Folge der Existenz stark deformierter Gleichgewichtsformen ist ( B O H R , 1 9 5 1 ) ; das Auftreten solcher Deformationen war schon früher aus der Bestimmung von Kernquadrupolmomenten aus der Hyperfeinstruktur von Atomspektren gefolgert worden (CASIMIR, 1 9 3 6 ) . Die Analyse von 2?2-Übergängen gab weitere Hinweise auf kollektive Effekte, die Deformationen der Kernform entsprechen (GOLDHABER und SUNYAR, 1 9 5 1 ; B O H R und MOTTELSOK, 1953a). Die Identifizierung von Rotationsanregungen erfolgte aufgrund der Beobachtung von Niveauabständen proportional zu 1(1 + 1) (BOHR und MOTTELSON, 1 9 5 3 b ; ASARO und PERLMAN, 1 9 5 3 ) . Sie wurde bestätigt durch die Daten über Intensitätsverhältnisse in den Rotationsübergängen (ALAGA U. a., 1 9 5 5 ) . Die COULOMB-Anregung lieferte eine wirksame Methode zur systematischen Untersuchung der Rotationsspektren (Huus und ZTJPANÖIÖ, 1 9 5 3 ; siehe auch die Übersichtsarbeit von ALDBR U. a., 1 9 5 6 ) .

2

4. Rotationsspektren

zahl unterscheiden. (Solche Folgen erscheinen in suprafliissigen Systemen (siehe S. 336ff.) und können auch als Anregungen des Nukleons auftreten (siehe S. 16ff.).) Die Deformation kann bezüglich einer Untergruppe von Drehungen des Koordinatensystems invariant sein, wie zum Beispiel im Fall axialsymmetrischer Deformationen. In einer solchen Situation legt die Deformation die Orientierung des inneren Koordinatensystems nur teilweise fest, und die Rotationsfreiheitsgrade sind dementsprechend eingeschränkt. Ein erster Schritt bei der Analyse der Rotationsspektren ist daher die Untersuchung der Symmetrie der Deformation und der resultierenden Rotationsfreiheitsgrade. Dieses Thema wird in Abschnitt 4-2 für den Fall axialsymmetrischer Systeme behandelt, die für die Kernspektren besonders wichtig sind; Systeme ohne Axialsymmetrie werden in Abschnitt 4-5 betrachtet. (Die Folgerungen aus der Symmetrie der Deformation sind eine Verallgemeinerung der bekannten, durch die Identität der Kerne bedingten Einschränkung für Molekülrotationszustände; siehe S. 9 und 154.) Das Auftreten von Rotationsfreiheitsgraden kann daher als Folge der Brechung der Drehinvarianz bezeichnet werden. Analog basieren die Translationsfreiheitsgrade auf der Existenz einer lokalisierten Struktur. Während jedoch die verschiedenen Zustände der Translationsbewegung eines gegebenen Objekts über die LoRENTZ-In varianz zusammenhängen, gibt es keine entsprechende Invarianz für rotierende Koordinatensysteme. Die CORIOLIS- und Zentrifugalkräfte in solchen Bezugssystemen ändern die Struktur eines rotierenden Objekts. In einem Quantensystem kann die Frequenz sogar der niedrigsten Rotationsanregungen so groß sein, daß die CORIOLIS- und Zentrifugalkräfte die Struktur maßgeblich beeinflussen. Die Bedingung, daß diese Störungen klein sein sollen (Adiabatizitätsbedingung), ist eng verknüpft mit der Bedingung, daß die Nullpunktsschwankungen in den Deformationsparametern klein sind gegenüber den Gleichgewichtswerten dieser Parameter. Die Bedingung für adiabatisches Verhalten stellt eine andere Formulierung des Kriteriums für das Auftreten von Rotationsspektren dar ( B O R N und O P P E N H E I M E R , 1927; CASIMIR, 1931). Eine einfache Illustration dieser Äquivalenz bietet ein System aus zwei Teilchen, die durch ein Potential mit einem Minimum beim Abstand R (dem Gleichgewichtsabstand) gebunden sind. Die Bewegung des Systems läßt sich durch Rotationen und radiale Vibrationen beschreiben. Für die niedrigsten Zustände beträgt die Rotationsfrequenz «ROT ~

,

(4-1)

wobei M 0 die reduzierte Masse ist. Die Frequenz der Vibrationsbewegung hängt von der Amplitude AR der Nullpunktsschwingung ab, «vib

M0(ARf

•

(4-2)

Die Bedingung, daß die Fluktuationen der Form klein sein sollen im Vergleich zur mittleren Deformation, AR R, ist daher der Adiabatizitätsbedingung ojrot eovlb äquivalent. Dieses einfache System veranschaulicht die Art, in der die Rotationsanregungen als ein niederfrequenter Zweig im Vibrationsspektrum erscheinen, wenn die potentielle Energie der Schwingung ein Minimum für eine anisotrope Form besitzt.

4-2. Symmetrien der Deformation. Rotationsfreiheitsgrade

3

Die Beziehung zwischen Niveaus einer Rotationsbande zeigt sich in den Gesetzmäßigkeiten der Energiespektren und in den Intensitätsregeln für die Übergänge zu verschiedenen Niveaus einer Bande. Bei genügend kleinen Werten des Rotationsdrehimpulses kann man von einer Entwicklung der Energien und Übergangsamplituden nach Potenzen der Rotationsfrequenz oder des Drehimpulses ausgehen. Diese Ausdrücke werden für Systeme mit axialsymmetrischer Form besonders einfach und erweisen sich in dieser Gestalt als Grundlage für die Interpretation einer großen Menge von Daten über Kernspektren (Abschnitt 4-3). Die Drehimpulsabhängigkeit von Matrixelementen spiegelt die Response der inneren Bewegung auf die COBIOLIS- und Zentrifugalkräfte wider und läßt sich durch die Kopplung zwischen Rotationsbanden über unterschiedlichen inneren Strukturen ausdrücken (siehe Abschnitt 4 - 4 sowie S. 94ff. und S. 111 ff.). Für große Werte des Drehimpulses können die Störungen infolge der Rotation die innere Struktur des Systems stark verändern. Die Struktur der Kernmaterie unter diesen extremen Bedingungen wird zur Zeit intensiv untersucht (siehe S. 33ff.). Die Diskussion von Rotationsbanden im vorliegenden Kapitel basiert auf der Geometrie der deformierten inneren Struktur. Die Zustände einer Rotationsbande können auch durch Darstellungen von Symmetriegruppen charakterisiert werden; die Gruppenstruktur bringt dann die Symmetrie des rotierenden Objekts zum Ausdruck. Die Banden, die durch Darstellungen kompakter Gruppen beschrieben werden, brechen nach einer endlichen Zahl von Zuständen ab. So wurde die für die Teilchenbewegung in einem harmonischen Oszillatorpotential gültige Symmetriegruppe U3 benutzt, um Eigenschaften von Kernrotationsspektren zu erklären, die mit der Endlichkeit der Zahl der Nukleonen, die zur Anisotropie beitragen, zusammenhängen (ELLIOTT, 1958; siehe auch die Diskussion auf S. 78ff.). Banden, die sich bis zu unbegrenzt großen Werten des Drehimpulses fortsetzen, können den Darstellungen nichtkompakter Symmetriegruppen zugeordnet werden (siehe Kapitel 6, S. 351).

4—2

Symmetrien der Deformation. Rotationsfreiheitsgrade

Eine Separation der Bewegung in innere und rotationsartige Komponenten entspricht einem HAMILTON-Operator der Form H =

Hmt[(q,

p) +

H ^ P » ) .

(4-3)

Die innere Bewegung wird durch die Koordinaten q und die konjugierten Impulse p beschrieben, die relativ zum körperfesten Koordinatensystem gemessen werden und daher Skalare bezüglich Drehungen des äußeren Koordinatensystems sind. Die Orientierung des körperfesten Bezugssystems, die durch die Deformation des Systems (siehe S. 1) definiert ist, wird durch Winkelvariable m beschrieben. Der HAMILTONOperator der Rotation hängt nicht von der Richtung oj ab (wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken) und ist eine Funktion der konjugierten Drehimpulse Pa. Die Indizierung des Rotations-HAMILTON-Operators in Gl. (4r-3) deutet an, daß die Rotationsbewegung von den Quantenzahlen (siehe Abb. 1A-1; Band I, S. 77), und drei Quantenzahlen sind erforderlich, um den Bewegungszustand zu kennzeichnen. Zwei davon sind der Gesamtdrehimpuls I und seine Komponente M = Iz längs einer raumfesten Achse; die dritte kann durch Betrachtung der Komponenten von I bezüglich eines inneren (körperfesten) Koordinatensystems mit der Orientierung w gefunden werden (siehe Abschnitt lA-6a). Die inneren Komponenten / 1-2>3 kommutieren mit den äußeren Komponenten I . y , z > da die Größen / 1 2 3 unabhängig von der Orientierung des äußeren Systems (Skalare) sind. Die Vertauschungsrelationen der inneren Komponenten untereinander sind denen für I x , v , z ähnlich, enthalten aber ein umgekehrtes Vorzeichen (siehe G1.(1A-91)). Als einen kommutierenden Satz von Drehimpulsvariablen kann man daher die Größen I 2 , I z und I 3 wählen. Die Eigenwerte von I3 werden mit K bezeichnet (siehe Abb. 4—1) und haben denselben Wertebereich wie M, x

K

=

I ,

I

-

(4-6)

1 , . . . , - / .

Bei vorgegebenen Werten der drei Quantenzahlen 1, K und M ist die Rotationswellenfunktion gegeben durch (siehe Gl. (1A-97)) (4-7) Die Funktionen sind die Drehmatrizen. Das Ergebnis (4—7) läßt sich durch eine Transformation von dem festen Koordinatensystem zu einem gedrehten System erhalten, das mit dem inneren Bezugssystem übereinstimmt (siehe Band I, S. 91). Für K = 0 reduzieren sich die ¿^-Funktionen auf Kugelfunktionen (siehe Gl. (1A—42)): < P I . K

=

O . M ( c o )

=

( 2 x ) ~

1 1 2

r

/

M

( 0 ,

4>).

(4-8)

4-2. Symmetrien der Deformation. Rotationsfreiheitsgrade

5

Die Wellenfunktion (4—8) ist unabhängig von y>, aber ebenso wie die Funktion (4-7) bezüglich Integration über alle drei E i J L E B S c h e n Winkel normiert. Für K = 0 ist die Rotationswellenfunktion dieselbe wie für die Winkelbewegung eines spinlosen punktförmigen Teilchens. Für endliche K entspricht die Rotationsbewegung der Winkelbewegung eines Teilchens mit der Helizität h = Ä'(sieheGl. (3 A-5)). z

körperfesten Koordinatensystem (vgl. die Systeme X' und J f in Abb. 1 A - l , Band I, S. 77).

Während J 2 und I z für jeden drehinvarianten HAMiLTON-Operator Erhaltungsgrößen sind, hängt der Kommutator von I 3 mit dem HAMiLTON-Operator von inneren Eigenschaften des Systems ab. Die stationären Zustände enthalten daher im allgemeinen eine Superposition von Komponenten mit Unterschiedlichen Werten K, -

I 4- 1\ 1/2 ¿

H

®MK(O>)-

(4-9)

Die dritte Rotationsquantenzahl wird mit r bezeichnet. Die Amplituden c,j(K) hängen vom relativen Betrag der Trägheitsmomente ab (siehe Abschnitt 4-5). 4-2 b

Folgerungen aus der Axialsymmetrie

Besitzt das System Axialsymmetrie, so ergeben sich zwei Folgerungen: a) die Projektion / 3 auf die Symmetrieachse ist eine Erhaltungsgröße, b) es gibt keine kollektiven Rotationen um die Symmetrieachse. Die erste Folgerung ist aus der klassischen Mechanik gut bekannt; sie drückt die Invarianz des HAMILTON-Operators bei Drehungen um die Symmetrieachse aus. Allgemeiner ist I 3 eine Erhaltungsgröße, wenn die Achse 3 eine Symmetrieachse des Trägheitstensors ist. 2»

6

4. Rotationsspektren

Die Folgerung b) ist eine Eigenschaft der quantenmechanischen Beschreibung und drückt die NichtUnterscheidbarkeit von Orientierungen des inneren Systems aus, die sich nur durch eine Drehung um die Symmetrieachse des Systems unterscheiden. Dies ist dem Fehlen kollektiver Rotationen bei einem sphärischen System analog. Die Quantenzahl K stellt daher den Drehimpuls der inneren Bewegung dar und besitzt f ü r die Rotationsbande über einem vorgegebenen inneren Zustand einen festen Wert. (In zweiatomigen Molekülen ist der Drehimpuls der kollektiven Rotationsbewegung senkrecht zur Symmetrieachse, weil die Kerne als Massenpunkte behandelt werden können und die Elektronen keine kollektive Rotation in dem axialsymmetrischen Bindungsfeld ausführen.) Die aus der Axialsymmetrie folgende Begrenzung für die Rotationsfreiheitsgrade entspricht der Einschränkung I3=J3,

(4-10)

wobei J3 der Operator ist, der die Komponente des inneren Drehimpulses darstellt. Aus der Bedingung (4-10) folgt, daß die Operationen, die den durch I a erzeugten Drehungen um die Symmetrieachse zugeordnet sind, vorgeschriebene Werte besitzen, die durch die innere Struktur bestimmt sind. Da die Axialsymmetrie es unmöglich macht, Orientierungen zu unterscheiden, die nur im Wert des dritten EtTLBRschen Winkels yi voneinander abweichen, ist diese Variable überzählig. Die Bedingung (4-10) sorgt dafür, daß die gesamte Kernwellenfunktion, die ein Produkt von inneren und Rotationswellenfunktionen ist (siehe Gl. (4-4)), nicht von dem Wert von y> abhängt. Bei einer Drehung des inneren Bezugssystems um den Winkel Ay> um die Achse 3 wird die innere Wellenfunktion mit dem Faktor exp {—iJ3Ay>] und die Rotationswellenfunktion mit dem Faktor exp (ily/hp) multipliziert; für J3 = I3(= K) ist die Gesamtwellenfunktion daher invariant. Anstatt den EuLERsehen Winkel y> als eine überzählige Variable zu behandeln, kann man y> auf einen bestimmten Wert festsetzen, zum Beispiel y> = 0 oder tp = —; siehe die Bemerkung über die Helizitätswellenfunktion im Anhang 3A, Band I, S. 377. Wird y> festgehalten, so hat man die Normierungskonstanten in den Gin. (4-7) und (4-8) mit (27t)1/2 zu multiplizieren.

4-2 c

^-Invarianz

Eine weitere Einschränkung in den Rotationsfreiheitsgraden ergibt sich, wenn der innere HAMILTON-Operator bezüglich einer Drehung von 180° um eine zur Symmetrieachse senkrechte Achse invariant ist. Drehungen um verschiedene zur Symmetrieachse senkrechte Achsen sind äquivalent; der Bestimmtheit wegen wählen wir eine Drehung M = ¿%2(n) um die Achse 2. (Für Systeme, die Axialsymmetrie, aber keine Kugelsymmetrie besitzen, ist die ^-Invarianz die einzig mögliche zusätzliche Drehinvarianz; Invarianz gegen eine beliebige andere Drehung würde eine unendliche Vielfalt von Symmetrieachsen und somit Kugelsymmetrie bedeuten.) Aus der ^-Invarianz folgt, daß die Drehung 3$ zu den inneren Freiheitsgraden gehört und deshalb nicht zu den Rotationsfreiheitsgraden zu zählen ist. Diese Einschränkung läßt sich durch die Forderung ausdrücken, daß der Operator der die Drehung -j- n), und man erhält 4>) = ( - 1 ) 1

Die Beschränkung

YIM(6,

(4-13)

4>).

= ¿%e bedeutet daher

( - l ) ' = r,

(4-14)

und das Rotationsspektrum enthält Zustände mit nur geradzahligen oder nur ungeraden Werten von I , ¥r.K=o.TM

=

(2n)-^0riK=o(q)

Y

i m

( 6 , 4>),

7 = 0,2,4,...,

r = + l ,

7=1,3,5,...,

r — —1.

(4-15)

Die Bedingung = r schränkt den Bereich unabhängiger Orientierungswinkel um die Hälfte ein und schließt jeden anderen Wert 7 vom Rotationsspektrum aus. Die inneren Zustände mit K 4= 0 sind wegen der ^-Invarianz zweifach entartet. Wir werden eine solche Bezeichnungsweise verwenden, daß K positiv genommen wird; die gedrehten Zustände mit negativen Eigenwerten von J3 werden mit K bezeichnet, = «T^Cff).

(4-16)

Entwickelt man die inneren Zustände nach Eigenfunktionen des Gesamtdrehimpulses J, so folgt aus der Phasenkonvention (4-16) (siehe Gl. (1A—47)) * K = Z C J 0 J 4>k

=

j

,

k

(4-17)

e x p [inJ,]

&K

=

£

(-!)'+*

Cj0j^K,

wobei die Größen & j , ± k Komponenten eines J-Multipletts mit J3 — ±K sind. Die Anwendung von auf die Rotationswellenfunktion ergibt =

exp

=

(

{-inlt}

&MK(m)

_ 1 y+*& M _ K (a>).

(4-18)

Bei der Ableitung der Gl. (4-18) haben wir die Beziehung (1A-47) sowie den Umstand benutzt, daß die Matrixelemente von 7 2 das umgekehrte Vorzeichen wie die Matrix-

8

4. Rotationsspektren

demente /„ haben (siehe Gin. (1A-93)). Um die Bedingung (4-11) zu erfüllen, müssen die Kernwellenfunktionen daher die Form fW

= 2^2(1

(

21

/27 -L. 1\l/2 \ 0K{q)

+

tM

1 \ 1/2 +

I = K, K + 1 , . . .

(4-19)

(#>0),

haben. (Man beachte, daß = ^ = (— l) 2 i gilt.) Aus den beiden inneren Zuständen 0K und 0K läßt sich somit für jeden Wert von I nur ein einziger Rotationszustand bilden. Dies ist eine Folge der Einschränkungen in den Rotationsfreiheitsgraden, die sich aus der ^-Invarianz der Deformation ergeben. Die Wellenfunktion (4-19) hat nicht die einfache Produktform (4-4), sondern ist eine Summe zweier solcher Terme, die den entarteten inneren Zuständen entsprechen. Die Überlagerung der beiden Komponenten stellt eine Verflechtung von inneren und Rotationsfreiheitsgraden dar, die zu Interferenzeffekten führt, für die es in einem klassischen System keine Entsprechung gibt. Die Matrixelemente eines Operators F zwischen symmetrisierten Zuständen des Typs (4-19) lassen sich in der Form (K2I,Ms

1^1

= (K,I,M2

K^Mt)

\F\ KJ.M^yu,

+ ( - l ) i l + K l (KJ2M,

\F\ ^ 1 / 1 ^ 1 ) u n s y m

(4-20)

(K 1 > 0 , K 2 > 0) durch Matrixelemente mit nichtsymmetrisierten Zuständen

( (

21 4- l \ x ' 2

- ¿71 H

0

K(q)^!MKH>

- ¿ - J

®K(q)®M-KH

21 4- l\i/2

(4-21)

ausdrücken. Bei der Herleitung der Gl. (4-20) wurde die Relation ^r^e^r^i = F (4-22) verwendet, die die Bedingung ausdrückt, daß sich jeder beliebige physikalische Operator unter den äquivalenten Operationen iMe und Säi in derselben Weise transformieren muß. Der zweite Term in Gl. (4-20) enthält den Phasenfaktor - und ^"-Symmetrie

Wenn der innere HAMILTON-Operator invariant gegen Raumspiegelung und Zeitumkehr ist, dann wirken die Operationen SP und auf die innere Bewegung, beeinflussen aber nicht die Orientierungswinkel. Da SP mit J3 kommutiert, können die inneren Zustände durch die Paritätsquantenzahl charakterisiert werden, m>K(q) =

n0K(q),

(4-26)

71 = ± 1 ,

und alle Zustände der Bande haben die Parität n. Für Banden mit K — 0 sind die Quantenzahlen n und r nicht verknüpft; jede kann unabhängig von der anderen den Wert + 1 oder —1 annehmen. Für einen und ^-invarianten inneren HAini/roN-Operator lassen sich die Phasen der inneren Zustände so wählen, daß = 1 gilt (siehe Gl. (1-39)). Aus Gl. (4-16) folgt dann y&K{q)

=

r*k(Q)

= ( - i ) 2 * nicht beeinflußt, transformiert sich die Rotationswellenfunktion in ihre komplex-konjugierte, und man erhält (siehe Gin. (1A-38) und (4-19)) MKÜ)

®'MK( —IK ist.) In den folgenden Abschnitten 4-2 e und 4-2 f werden Rotationsspektren betrachtet, sind. Abdie Deformationen entsprechen, die nicht invariant gegen 01, SP und schnitt 4-2 g beschäftigt sich mit Rotationsbewegung, die von einer Deformation, welche Spin und Isospin koppelt, herrührt. Die in Atomkernen beobachteten Rotationsspektren besitzen jedoch in der überwiegenden Mehrheit die oben betrachtete volle Symmetrie, und manche Leser werden es daher vielleicht vorziehen, direkt zur Diskussion in den Abschnitten 4-3 und 4-4 überzugehen. 4r-2e

Deformationen, die die SP- oder ^"-Symmetrie verletzen

In einem System mit SP- und ^"-Invarianz ist das Auftreten einer Deformation, die eine dieser Symmetrien verletzt, verbunden mit einem zweiwertigen kollektiven Freiheitsgrad, der der Äquivalenz von Konfigurationen mit entgegengesetztem Vorzeichen der Deformation entspricht. Das Spektrum bekommt daher eine Dublettstruktur. Ein Beispiel einer paritätsverletzenden Deformation ist eine zu s • r proportionale pseudoskalare Komponente im Einteilchenpotential und in der Einteilchendichte. (Die Möglichkeit einer pseudoskalaren Deformation im Kernpotential wurde von B L E U L E R , 1966, untersucht; siehe auch B U K E U. a., 1969.) Das Potential s • r ist drehinvariant. In einem nichtsphärischen, aber axialsymmetrischen Kern würde das entsprechende Potential zwei Terme proportional zu s3x3 bzw. s^ -f- s2x2 enthalten. Paritätsverletzende Potentiale des betrachteten Typs verletzen auch die ^"-Symmetrie, erhalten aber SP,9~. Die Annahme der Erhaltung von SP als auch von ST bedeutet, daß Deformationen mit entgegengesetzten Vorzeichen dieselbe Energie haben und alle Zustände daher in zwei Formen W+ und W_ = 0>XF+ auftreten. Die beiden Sätze von Zuständen lassen sich zu Eigenzuständen von SP kombinieren, r V,n = 2-1/2

"

T

(4-32)

(Wir haben angenommen, daß die Phasen der Zustände W± so gewählt wurden, daß diese Zustände den Eigenwert + 1 für den Operator S&SP.T haben; die Zustände (4-32) besitzen dann die Standardphasen, 91.T = +1.) Somit besteht das Spektrum aus Paritätsdubletts. Zwischen den Dublettzuständen gibt es kollektive Übergänge mit In = 0", deren Matrixelemente proportional zur pseudoskalaren Deformation sind. Die Konfigurationen mit entgegengesetzten Vorzeichen der Deformation sind durch einen Potentialwall getrennt. In einem Quantensystem kann sich jedoch die Deformation durch Tunneleffekt umkehren. Die Frequenz mt dieser Inversion liefert den Energieabstand AE = ha>t zwischen den Paritätsdubletts. Die Behandlung des Tunnel-

12

4. Rotationsspektren

effekts erfordert eine Kombination der konjugierten inneren HAMiLTON-Operatoren zu einem und ^"-erhaltenden HAMH/roN-Operator, der den Freiheitsgrad der Tunnelbewegung enthält. Auf diese Weise erscheint der mit der Dublettstruktur verknüpfte kollektive Freiheitsgrad als eine Beschränkung des Vibrationsspektrums f ü r eine Potentialfunktion mit zwei Minima, die durch eine Barriere getrennt sind. I n der Näherung, in der man die Überlappung der Zustände W+ und vernachlässigen kann, sind die Eigenzustände durch Gl. (4—32) gegeben. Ähnliche Betrachtungen gelten f ü r Deformationen, die andere Kombinationen von SP und verletzen. Ein zu s • p proportionales Einteilchenpotential verletzt aber nicht ST und f ü h r t zu Paritätsdubletts wie im oben betrachteten Fall. Ein Beispiel einer IT-, aber nicht ^"-verletzenden Deformation ist ein zu r • p + p • r proportionales Potential. Eine solche Deformation erzeugt ein Spektrum, das aus Dubletts mit den gleichen Quantenzahlen In besteht.

4-21

Kombinationen von Rotations- und Spiegelungssymmetrien

Tritt eine 8P- oder ^"-verletzende Deformation in einem nichtsphärischen System auf, so erhält man eine Verdopplung aller Zustände in der Rotationsbande (siehe Abschnitt 4 - 2 e). Ein Zusammenhang zwischen der Rotationsbewegung und den mit 3fund ^"-verletzenden Deformationen verbundenen Freiheitsgraden tritt auf, wenn das System zwar die ^ - S y m m e t r i e verletzt, aber gegen eine Kombination der ä?-Symmetrie mit der 0>- oder ^"-Symmetrie invariant ist.

SP-Invarianz Ein Beispiel hierfür bietet eine axialsymmetrische Deformation der Kernform, die Komponenten mit ungerader Multipolordnung enthält. Eine solche Deformation verletzt die St- und die ¿^-Symmetrie, erhält aber StS*, was aus der Tatsache ersichtlich ist, daß diese kombinierte Operation eine Spiegelung in einer Ebene darstellt, die die Symmetrieachse enthält. (Zweiatomige Moleküle mit Kernen unterschiedlicher Ladung besitzen Deformationen dieser Art; die Möglichkeit der Existenz von Kernen mit stabilen Deformationen, welche Oktupolkomponenten enthalten, wird auf S. 483 diskutiert.) Die Invarianz gegen Spiegelung in einer Ebene, die die Symmetrieachse enthält, wird zweckmäßig durch die Operation SP =

(4-33)

ausgedrückt. Eine solche Invarianz der Deformation bedeutet, daß SP eine innere Variable ist. Die Parität 0> = SP0t

(4-34)

ist daher ein Operator, der durch SP (= SP i) auf die inneren Variablen und durch 0t ( = 0j?e) auf die Rotationsvariablen wirkt. Die inneren Zustände mit K = 0 sind Eigenzustände von SP-, u n d (unter der Annahme, daß der innere HAMILTON-Operator wie im Falle der Formdeformationen

4-2. Symmetrien der Deformation. Rotationsfreiheitsgrade

13

gegen i f invariant ist), o(q) = S®S.k=0(g),

(4

35)

Die zweite Beziehung bestimmt die Phase von 0. Die Wirkung von auf die Rotationswellenfunktion ist durch Gl. (4-13) gegeben. Die Beziehung (4-34) liefert daher ^ = «(-1)'.

(4-36)

Somit enthält die Bande die Zustände Y.JC-MU

=

(2^)- 1/2

03,*=o(?)

In = 0+, 1-, 2+, ..., In

f 1, Y

i m

( 6 , ) [I i,

w=+l, n7f — =

—1, —1,

«=+1,

= 0-, 1+, 2-, ...,

(4_37)

— 1.

s =

Der Faktor i für n — — 1 gewährleistet die Standardtransformation (4-28) bei Zeitumkehr. Für K 4= 0 sind die inneren Zustände wegen der if- (oder .T-) Symmetrie zweifach entartet. Wir können die Phasen der inneren Zustände so wählen, daß gilt: '

(K>0)

K

(4-38)

(vgl. Gin. (4-16) und (4-27)). Aus der Beziehung (4-34) folgt, daß die Gesamtzustände des Kerns mit definierter Parität die folgenden Kombinationen von & K und 0K enthalten:

(

21 -+-

1\ 1' 2

112 I ^^ _~~ \(?L±1\ 16:7t / \ i { 0 & 2

K

+ M K

1)I+K - ( - l ) ' + * 0

S

&

M

'_

K

= =+- 1l'.

) ,

n

( 4 _ 3 9 )

Die Phase das sich bei und aber nicht bei ändert. Die Multiplizität von Zuständen im Rotationsspektrum wird in Abb. 4 - 2 b für die verschiedenen in Abb. 4 - 2 a aufgeführten Symmetriekombinationen dargestellt. Symmetrie von H i n t r

K = 0

0

6

1, J t . r p , iT

A

$.9,7

1

K * 0

K

i , £p,

i.n.pj'

3 1 9

1

9

%y

Ä

v 31,9

319 •/.Jt

K +2

2 jt r =+1

•U+ •3 2 +

s = +1

.1 0+

s = —1

M ? ? f

319

93

31 4^2 a

Jt

K>0, Jt U-

K +3 ±

3+

K+2±

1~ + 0-

K+ 1 ±

K ± K>0 (K + 3 ± ) 2

• L±

(K + 2 + ) 2 , (K + 1 ±) 2 (K±) 4-2b

3+ 2+ 1+ 0± K=0

9.T

%9y

Kit

2

K=0

^

9

319,T

K + 1 Jt

1, J Jt l

0 3t

r =-1 K = 0, Jt

319,f

JIPJ1 K + 3 Jt

3Jt

Ä.jp.jr

V