Stammfunktionen komplexwertiger Funktionen [Reprint 2021 ed.] 9783112584286, 9783112584279


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Stammfunktionen komplexwertiger Funktionen [Reprint 2021 ed.]
 9783112584286, 9783112584279

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S I T Z U N G S B E R I C H T E DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G M a thematisch-na

tur Wissenschaft

Band

109 • Heft

WOLFGANG

liehe

Klasse

2

TUTSCHKE

STAMMFUNKTIONEN KOMPLEXWERTIGER FUNKTIONEN

AKADEMIE-VERLAG 1970

BERLIN

V o r g e l e g t d u r c h H e r r n Maier a m 9. O k t o b e r 1969 M a n u s k r i p t eingeliefert a m 15. N o v e m b e r 1969 D r u c k f e r t i g erklärt a m 30. A u g u s t 1970

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 Copyright 1970 by Akademie-Verlag GmbH Lizenzmimmer: 202 • 100/590/70 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 2027/109/2 • ES 19 B 4 EDV 761 374 4 3,70

B e k a n n t l i c h existiert zu einer holomorphen Funktion / lokal stets eine Stammfunktion F, für die in einem Punkt z0 der Wert F(z0) vorgeschrieben werden kann. Ist / nicht holomorph, so soll unter einer Stammfunktion F von f eine Funktion verstanden werden, für die 8F

— =/

*

j

i

* 8F

oder auch

8F

X— + a—

+

xF=f

.

ist {X, a, k sind vorgegebene Funktionen). Dabei wird i. allg. F nicht holomorph sein. Es ist (z = x + * y) 8F _ 1 /8F Hz Y \8x

. 8F\ ~8y]

%

~

und analog (z* = x — i y) 8F _ 1 / 8F ~8z* ~ Y \8x

.8F\ '8yj '

l

Eine spezielle Stammfunktion in diesem allgemeinen Sinn wird (vgl. [3]) durch w

-

i

/

J

^

a

,

gegeben, £ = £ + % rj : Man kann (unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) zeigen, daß zu / stets eine Stammfunktion im allgemeinen Sinn existiert, die auf einer (analytischen) Kurve y vorgeschriebene Werte annimmt. 8F

Insbesondere gibt es F, so daß / = —— für alle z und F = 0 auf y ist. 8z

8F

Man kann aber auch zu / eine Funktion F angeben, so daß / = — überall in einer Umgebung eines Punktes z„ gilt, während auf y die Nebenbedingung ^

8z*

erfüllt ist (z0 soll auf y liegen).

= 0

4

WOLFGANG T Ü T S C H K E

Genügt F überall einer Nebenbedingung 8F

8F

,

_

so kann — wie im holomorphen Fall — für F nur der Funktionswert in einem Punkt vorgeschrieben werden. Zur Herleitung der hier gewonnenen Resultate wird — wie in [2] — die Theorie der vollständigen partiellen Differentialgleichungssysteme für mehrere zu bestimmende Funktionen herangezogen. Bei pseudoholomorphen Funktionen mehrerer komplexer Variabler sichert die Vollständigkeitsforderung, daß die betrachteten pseudo-holomorphen Funktionen in enger Beziehung zu holomorphen Funktionen mehrerer komplexer Variabler stehen. In der vorliegenden Arbeit werden nun pseudoholomorphe Funktionen einer komplexen Variablen unter dem Gesichtspunkt vollständiger Differentialgleichungssysteme betrachtet. Alle im folgenden auftretenden Funktionen sind in offenen Mengen der z-Ebene definiert. Sie sollen (lokal) Potenzreihendarstellungen in x, y besitzen (x + i y = z). 1. Stammfunktionen ohne Nebenbedingungen I n einer Umgebung von z0 = x0 -}- i y0 sei die komplexwertige Funktion / gegeben, / = u + i v. Gesucht wird F so, daß f(z)=Hz)8J^

+ o ( z ) ^ + x ( z ) F

{

z )

(1)

gilt 1 ). Dabei sind X, a und % in der betrachteten Umgebung von z0 definierte komplexwertige Funktionen. Setzt man F

=

U + i V ,

A

=

~

Y

\dx

Y

\8x

+ i

,

x =

+ i x2,

a = ffx + i a2 ,

(2)

so folgt wegen Hz

I L — 8z* ~~

+

_

Oy)

+ Y

4 . i. ~8y) "f" Y

\8x

\"0äT +

~&y)

'

?E\ 8y }

1

) Man könnte anstelle von (1) natürlich auch von dem noch allgemeineren Ansatz J

ausgehen.

dz

dz*

\8zJ

\dz*l

4

WOLFGANG T Ü T S C H K E

Genügt F überall einer Nebenbedingung 8F

8F

,

_

so kann — wie im holomorphen Fall — für F nur der Funktionswert in einem Punkt vorgeschrieben werden. Zur Herleitung der hier gewonnenen Resultate wird — wie in [2] — die Theorie der vollständigen partiellen Differentialgleichungssysteme für mehrere zu bestimmende Funktionen herangezogen. Bei pseudoholomorphen Funktionen mehrerer komplexer Variabler sichert die Vollständigkeitsforderung, daß die betrachteten pseudo-holomorphen Funktionen in enger Beziehung zu holomorphen Funktionen mehrerer komplexer Variabler stehen. In der vorliegenden Arbeit werden nun pseudoholomorphe Funktionen einer komplexen Variablen unter dem Gesichtspunkt vollständiger Differentialgleichungssysteme betrachtet. Alle im folgenden auftretenden Funktionen sind in offenen Mengen der z-Ebene definiert. Sie sollen (lokal) Potenzreihendarstellungen in x, y besitzen (x + i y = z). 1. Stammfunktionen ohne Nebenbedingungen I n einer Umgebung von z0 = x0 -}- i y0 sei die komplexwertige Funktion / gegeben, / = u + i v. Gesucht wird F so, daß f(z)=Hz)8J^

+ o ( z ) ^ + x ( z ) F

{

z )

(1)

gilt 1 ). Dabei sind X, a und % in der betrachteten Umgebung von z0 definierte komplexwertige Funktionen. Setzt man F

=

U + i V ,

A

=

~

Y

\dx

Y

\8x

+ i

,

x =

+ i x2,

a = ffx + i a2 ,

(2)

so folgt wegen Hz

I L — 8z* ~~

+

_

Oy)

+ Y

4 . i. ~8y) "f" Y

\8x

\"0äT +

~&y)

'

?E\ 8y }

1

) Man könnte anstelle von (1) natürlich auch von dem noch allgemeineren Ansatz J

ausgehen.

dz

dz*

\8zJ

\dz*l

Stammfunktionen

5

aus (1) für die Funktionen U, V das Differentialgleichungssystem _

, (au

, 8V\

, (8V

_

. (8V

8U\

feu

¡8U

am

(dU

av\

. 8V\

(8V

8U\

8V\

Diese beiden Gleichungen werden als lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von

, ^

aufgefaßt:

(A2 — . 8y 8y Die Koeffizientendeterminante ist 1 0 0 1 1 _ (U2 + „.) = _ |/| 2 = 0 u • V 0 u 0 V 0 sie ist also unter der Voraussetzung / =)= 0 von Null verschieden. I n diesem Fall ist (30) ein Catjchy-KoWALEWSKAJA-System für blt bs, vlt v2, es sind also blt b2 (also /ult/j,2) und vv v2 durch ihre Werte auf einer Parallelen zur x-Achse eindeutig festgelegt. Ist y wieder eine analytische Kurve, so erhält man durch Zurückrechnung von (7), (8) in die f-Ebene .

. dt 8F 8z öC

8F

8£*

SC wegen X 4= 0 ist also auch X — — 4= 0 . 8z

IL 8z

8F



1

F

(31)

Stammfunktionen

19

Damit ist gezeigt S a t z 7. Es seif =j= 0 vorgegeben. Wie auch X 4= 0 und x gewählt werden, es gibt stets eine Funktion F (für die F(zü) noch willkürlich gewählt werden kann), so daß 8F

ist. Die Funktion F erfüllt auf y die vorgegebene Nebenbedingung 8F

8F

,

Wählt man speziell /i(z) = 0, v(z) = 0, Vz 6 y und A(z) = 1, x(z) = 0, Vz, so erhält man F o l g e r u n g . Zu gegebenern f =f= 0 existiert (lokal) F mit vorschreibbarem F(z0) so, daß f —

8F

gilt, wobei auf y die dz*

erfüllt ist.

Nebenbedingung

0

IV. Schließlich seien fi, v vorgegeben. Die Gleichungen (16), (17), (18), (19) werden jetzt als Differentialgleichungssystem für a1, a2, xlt x2 aufgefaßt : da, da„ , 8x, , , . dx2

-

-w da,

*

2

W

~

K

da»

.

+

6 l )

-

K

, . öx, , ,

=

~

' ' '

, . 8x,

8a, 8a„ v 8y + 8y = 8a, 8a, v -—— — u-~ = • • • 8y 8y

(32)

u

Auf den rechten Seiten stehen alt a2, x±, x2 und die partiellen Ableitungen erster Ordnung bezüglich x dieser Funktionen. Das System (31) ist ein lineares Gleichungssystem für

Die Koeffizientendeter-

minante ist - («• +t*)

( f a + 6J2 + (a2 - b t f ) = - |/|»

11

.

Unter der Voraussetzung / =j= 0, // 4= — 1 kann man aus den Werten X, x auf einer Parallelen zur »-Achse (X 4= 0) die Funktionen A, x so bestimmen, daß Satz 2 anwendbar wird. Es gibt also zu / eine Funktion F (mit vorgebbarem F(z0f), so daß (7), (8) gilt.

20

Wolfgang Tutschke

Um den Fall einer analytischen Kurve mit zu erfassen, rechne man (7), (8) in die ¿[-Ebene um; man erhält wieder (31). Setzt man \[i\ 4= 1 voraus, so ist

IL 8z

-

1

'

man kann den Fall einer analytischen Kurve dann also auf den Fall einer zur ¡c-Achse parallelen Strecke zurückführen. Es ist somit gezeigt: S a t z 8. Es sei f =(= 0 gegebene Funktion. Sind weiter ¡x, v vorgegeben (1^1 4= 1)> 50 9ibt es eine Funktion F (mit beliebig zu wählendem, F(z0)). die Lösung der Differentialgleichung 8F

8F

_

ist, und wobei die Funktion f auf y die Darstellung 8F besitzt (X =|= 0 und v sind auf y beliebig vorgebbar). Es sei bemerkt, daß die Folgerung von Satz 3 auch aus Satz 8 folgt, wenn man ¡i{z) = 0, v(z) = 0, V z, setzt.

LITERATURVERZEICHNIS [1] E . Gotjbsat, Leçons sur l'intégration des équations a u x dérivées partielles du premier ordre. 2. éd., Paris 1921. [2] W. T u t s c h k e , Das Reziprozitätstheorem f ü r eine Klasse pseudoholomorpher Funktionen mehrerer komplexer Variabler. Sitzunsgberichte d. Sachs. Akad. d. Wiss. zu Leipzig, Math-naturw. Klasse, Bd. 108, H e f t 5, 1969. [3] I . N . Vekua, Verallgemeinerte analytische Funktionen. Berlin 1963 (Übers, aus dem Russ.).

20

Wolfgang Tutschke

Um den Fall einer analytischen Kurve mit zu erfassen, rechne man (7), (8) in die ¿[-Ebene um; man erhält wieder (31). Setzt man \[i\ 4= 1 voraus, so ist

IL 8z

-

1

'

man kann den Fall einer analytischen Kurve dann also auf den Fall einer zur ¡c-Achse parallelen Strecke zurückführen. Es ist somit gezeigt: S a t z 8. Es sei f =(= 0 gegebene Funktion. Sind weiter ¡x, v vorgegeben (1^1 4= 1)> 50 9ibt es eine Funktion F (mit beliebig zu wählendem, F(z0)). die Lösung der Differentialgleichung 8F

8F

_

ist, und wobei die Funktion f auf y die Darstellung 8F besitzt (X =|= 0 und v sind auf y beliebig vorgebbar). Es sei bemerkt, daß die Folgerung von Satz 3 auch aus Satz 8 folgt, wenn man ¡i{z) = 0, v(z) = 0, V z, setzt.

LITERATURVERZEICHNIS [1] E . Gotjbsat, Leçons sur l'intégration des équations a u x dérivées partielles du premier ordre. 2. éd., Paris 1921. [2] W. T u t s c h k e , Das Reziprozitätstheorem f ü r eine Klasse pseudoholomorpher Funktionen mehrerer komplexer Variabler. Sitzunsgberichte d. Sachs. Akad. d. Wiss. zu Leipzig, Math-naturw. Klasse, Bd. 108, H e f t 5, 1969. [3] I . N . Vekua, Verallgemeinerte analytische Funktionen. Berlin 1963 (Übers, aus dem Russ.).

SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE KLASSE Band 107 Heft

Prof. Dr.

Die Homologiegruppen der Flächen 3 . Ordnung 1966. 15 Seiten - 8° - M 2,30 Prof. Dr. F R A N Z B U N G E , Grignard und die naoli ihm benannte Synthese 1966. 17 Seiten - 3 Abbildungen - 8° - M 2,30 Prof. Dr. K A H L S C H M A L F U S S , Zur Kenntnis der Bodenbildung 1966. 13 Seiten - 4 Tabellen - 8° - M 1,40 Dr. B O D O R E N S C H U C H , Verallgemeinerungen des Bezoutschen Satzes 1966. 41 Seiten - 8° - M 4,50 Prof. Dr. med. E o i r E M M R I C I I , Realität und Theorien des Alterns 1966. 20 Seiten - 9 Abbildungen - 8° - M 2,60 Prof. Dr. W I L H E L M M A I E R , Nichteuklidische Volumina 1967. 20 Seiten - 16 Abbildungen - 8° - M 2,80 Dr. L O T H A R VON W O L F E R S D O R F , Zur Berechnung optimaler Strategien für Spiele über dein Einheitsquadrat mit an der Hauptdiagonalen unstetigen Auszahlungsfunktionen 1968. 53 Seiten - 8° - M 5,70

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Heft 3

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