Nullstellenverteilung ganzer Funktionen [Reprint 2022 ed.] 9783112646885

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B. J . L E W I N

NULLST ELLENVERTEILUNG

GANZER

FUNKTIONEN

M A T H E M A T I S C H E L E H R B Ü C H E R UND

MONOGRAPHIEN

H E R A U S G E G E B E N VON D E R D E U T S C H E N A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU B E R L I N INSTITUTE FÜR

MATHEMATIK

II. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE

MONOGRAPHIEN

BAND XIV

NULLSTELLENVERTEILUNG GANZER F U N K T I O N E N VON

B. J. L E W I N

AKADEMIE-VERLAG.BERLIN 1962

B. J . L E W I N

NULLSTELLENVERTEILUNG GANZER FUNKTIONEN

In d e u t s c h e r S p r a c h e h e r a u s g e g e b e n von

R.DOLINSKY

Mit 12 Abbildungen

AKADEMIE-VERLAG•BERLIN 1962

B . H . JleBini PacnpeAejieHne Kopneß n e j i t i x (jiyiiKmitt Erschienen im Staatsverlag für phya.-math. Literatur, Moskau 1956 Übersetzung aus dem Russischen: Studienrat K. Dolinsky, Grevenbroich-ElBen

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin W 8, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1962 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 • 100/545/62 Gesamtherstellung: V E B Bruckerei,,Thomas Müntzer" Bad Langensalza Bestellnummer: 5458 • E S 19 B 4

VORWORT ZUR DEUTSCHEN AUSGABE Dieses Buch des sowjetischen Funktionentheoretikers B. J. LEWTN gibt eine umfassende Darstellung der Theorie ganzer Funktionen. Über ganze Funktionen, ihre Nullstellen und ihr Wachstinn sind Darstellungen in den bekannten Lehrbüchern der Funktionentheorie enthalten. Jedoch beschränken sich diese Ausführungen auf das Wesentlichste. Eine Reihe von Arbeiten, verstreut in verschiedenen Fachzeitschriften, geht tiefer auf einzelne Fragen ein. Zusammenfassende Darstellungen der Theorie ganzer Funktionen sind nicht zahlreich. Vor allem ist hier das 1 9 5 4 in den USA erschienene Buch von R . P H . BOAS J B . „Entire functions" und das 1 9 5 6 in Oxford erschienene Buch von M . L . CARTWRIGHT „Integral functions" zu nennen. Die beiden Werke ergänzen einander in vielfacher Hinsicht. Eine ähnliche zusammenfassende Darstellung in deutscher Sprache fehlte bisher. Das vorliegende Buch B. J . L E W I N wird hier eine Lücke schließen helfen. Auch in ihm wird eine umfassende Darstellung der Theorie ganzer Funktionen geliefert, wobei die Werke von R . P H . BOAS J R . und von M . L. CARTWRIGHT eine bedeutende Ergänzung erfahren. Viele Ergebnisse der Forschungen mehrerer sowjetischer Mathematiker, welche bisher nur den Lesern zugänglich waren, die die russische Sprache beherrschen, werden jetzt einem weiteren Kreise von Mathematikern zugänglich gemacht. Das Buch setzt die Kenntnisse der allgemeinen Funktionentheorie etwa im Rahmen einer Universitätsvorlesung voraus; es ist also für Studierende höherer Semester und für Wissenschaftlei bestimmt. Bei der russischen Ausgabe von 1956 hatte der „Druckfehlerteufel" arg mitgespielt. Diese Druckfehler wurden vom Verfasser und vom Herausgeber in Zusammenarbeit mit dem Verfasser beseitigt. Der Verfasser hat außerdem zahlreiche Verbesserungen, Abänderungen und Ergänzungen vorgenommen, so daß die deutsche Ausgabe keine einfache Übersetzung der russischen Ausgabe von 1956 darstellt, sondern eine neue, vom Verfasser ergänzte und berichtigte Ausgabe ist. Der Herausgeber hat sich auf wenige Anmerkungen und Hinweise beschränkt. Allen, die mir bei der Übersetzung und der Durchsicht des Textes und der Formeln geholfen haben, möchte ich an dieser Stelle meinen Dank ausdrücken. Besonders sei dem Verfasser gedankt, der eine lange Reihe von Berichtigungen und Ergänzungen geschickt und durch die ausführliche und schnelle Beantwortung aller Rückfragen die pünktliche Herstellung der Übersetzung ermöglicht hat;

VI

Vorwort zur deutschen Ausgabe

ferner sei hier Herrn Prof. Dr. H. I^EHNKE (Münster) gedankt, der eine entstandene Schwierigkeit bei der Übersetzung eines wichtigen Begriffes durch seinen Rat beheben konnte, sowie meiner Frau Charlotte DOLTNSKY, die den ganzen übersetzten Text und den Korrekturdruck durchgesehen und verglichen hat. Grevenbroich, im März 1962

Der Herausgeber

VORWORT ZUR RUSSISCHEN AUSGABE Als eine der wichtigsten Fragen der Theorie ganzer Funktionen erscheint das Problem des Zusammenhanges zwischen dem Wachstum einer ganzen Funktion und der Verteilung ihrer Nullstellen. Viele Aufgaben aus verschiedenen Gebieten, die an die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen angrenzen, werden auf dieses Problem zurückgeführt. Der Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer ganzen Funktion und der Verteilung ihrer Nullstellen ist in den klassischen Arbeiten von B O E E L , H A D A MAR D , L I N D E L Ö F und anderer Autoren Ende des vorigen und Anfang des laufenden Jahrhunderts untersucht worden. Feinere Kennzeichnungen des Wachstums und der Verteilung der Nullstellen ganzer Funktionen haben es ermöglicht, genauere Zusammenhänge festzustellen. Dabei ergaben sich analoge Zusammenhänge für eine breitere Klasse von Funktionen, die im Inneren eines Winkels holomorph sind. Besonders genaue Zusammenhänge ergeben sich für eine spezielle Klasse von Funktionen, welche man naturgemäß als Funktionen von vollkommen regulärem Wachstum bezeichnen kann. In diesem Buch wird die Theorie der Funktionen von vollkommen regulärem Wachstum systematisch bei der Untersuchung verschiedener Fragen der Theorie ganzer Funktionen angewandt. Dem Aufbau der Theorie der Funktionen von vollkommen regulärem Wachstum sind die Kapitel I I und I I I gewidmet. Darauf werden in den Kapiteln IV, V, VI verschiedene Anwendungen dieser Theorie auf das Studium der Fragen der Vollständigkeit, der Eindeutigkeit, der Interpolation, der Verteilung der Nullstellen von Exponentialsummen, der Eigenschaften ganzer Funktionen, die auf der reellen Achse begrenzt sind usw., angegeben. I n den weiteren Kapiteln wird eine Reihe von Fragen behandelt, die mit der Übertragung einiger Eigenschaften der Polynome auf ganze Funktionen zusammenhängen. Hierzu gehören die Verallgemeinerungen des Lehrsatzes von HERM I T E - B I E H L E R , deren Anfänge sich in den Arbeiten von N . G . T S C H E B O T A R E W finden, und die in den Arbeiten anderer sowjetischer Mathematiker weiterentwickelt wurden (Kap. VII), die Darstellung der Ergebnisse von L A G U E R R E - P Ö L Y A , S C H U R über algebraische Eigenschaften ganzer Funktionen (Kap. VIII) und weitgehende Verallgemeinerungen der Ungleichungen von A. A. M A R K O W , B . A. M A R KOW u n d S. N . BERNSTEIN ( K a p . I X ) .

VITI

Vorwort zur russischen Ausgabe

Obgleich die Hilfsmittel der Theorie der Funktionen von vollkommen regulärem Wachstum in diesen Kapiteln keine grundlegende Rolle spielen, erleichtern sie jedoch die Untersuchungen, indem sie einige Beweise vereinfachen. Insofern ich kein Handbuch angeben kann, in welchem die allgemeine Theorie ganzer Funktionen mit genügender Vollständigkeit und in der für meinen Aufbau nötigen Form dargestellt wäre, hielt ich es für notwendig, die ursprünglich geplante Einleitung zu erweitern und in ein ziemlich umfangreiches Kapitel zu verwandeln, welches der Darstellung der allgemeinen Theorie ganzer Funktionen gewidmet wird. Das V. Kapitel kann unabhängig vom Kapitel IV gelesen werden, und das VII., das VIII. und das IX. Kapitel unabhängig von den Kapiteln IV und VI. Dem Buch ist ein Anhang beigefügt, welcher Anwendungen der im Buch dargestellten Ergebnisse und Methoden auf benachbarte Gebiete enthält. Der Kreis der in dieses Buch aufgenommenen Fragen wird naturgemäß durch persönliche Interessen des Verfassers und durch die Richtung seiner Forschungen bestimmt. Am Ende des Buches befindet sich eine Zusammenstellung der wichtigsten Begriffe und Lehrsätze. Unter Benutzung dieser Zusammenstellung kann der Leser nicht nur die Definition eines Begriffes, sondern auch die sich auf ihn beziehenden Grundtatsachen schnell ins Gedächtnis zurückrufen. Klassische Begriffe und Lehrsätze sind in dieser Zusammenstellung nicht enthalten. Meinen Dank drücke ich M. G. K R E I N aus, der mich zum Schreiben dieses Buches angeregt, das Manuskript durchgesehen und eine Reihe wesentlicher Bemerkungen gemacht hat. Ebenso danke ich N . I . ACHIESER, der von meinem Manuskript im Verlauf seiner Entstehung Kenntnis nahm und mir eine Reihe von Ratschlägen gab, die ich verwendet habe. Sehr dankbar bin ich auch N. S. LANDKOF, welcher das ganze Manuskript aufmerksam durchgelesen und viele Bemerkungen gemacht hat, die zur besseren Gestaltung des Buches beigetragen haben.

INHALTSVERZEICHNIS K a p i t e l I. A l l g e m e i n e T h e o r i e des W a c h s t u m s g a n z e r F u n k t i o n e n

. . .

§ 1. Die Wachstumsskala § 2. Der Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer ganzen Funktion und der Schnelligkeit der Abnahme der Koeffizienten ihrer Potenzreihe . . . . § 3. Die Zerlegung einer ganzen Funktion in ein unendliches Produkt § 4. Die Abschätzung des kanonischen Produktes § 6 . Der Lehrsatz von J E N S E N § 6. Der Zusammenhang zwischen dem Maximum des absoluten Betrages einer holomorphen Funktion und dem Maximum ihres Realteiles § 7. Abschätzung des absoluten Betrages eines Polynoms nach unten . . . . § 8. Abschätzung des absoluten Betrages einer holomorphen Funktion nach unten § 9. Das Wachstum des Produktes zweier ganzen Funktionen § 1 0 . Der Lehrsatz von H A D A M A B D § 11. Ganze Funktionen ganzzahliger Ordnung § 12. Die verfeinerte Ordnung § 13. Ausdehnung klassischer Lehrsätze auf den Fall der verfeinerten Ordnung § 1 4 . D a s P r i n z i p v o n PHBAGMEN u n d LINDELÖF

1 1 3 5 8 12

15 18 20 21 23

26 30 41 47

§ 15. Der Indikator einer Funktion § 16. Die Grundbeziehung für den Indikator und die analytischen Eigenschaften des Indikators § 17. Hilfsfunktionen § 18. Der verallgemeinerte Indikator § 19. Ebene konvexe Mannigfaltigkeiten § 20. Ganze Funktionen endlichen Grades

54 61 70 74 84

K a p i t e l II. Ganze F u n k t i o n e n , deren Nullstellenmenge eine Winkeldichte hat

88

§ 1. Darstellung der Grundergebnisse -. § 2. Ganze Funktionen nichtganzzahliger Ordnung mit regelmäßiger Nullstellenverteilung (Beweis des Lehrsatzes 1) § 3. Ganze Funktionen ganzzahliger Ordnung mit regelmäßiger Nullstellenverteilung (Beweis des Lehrsatzes 2) § 4. Konstruktion einer ganzen Funktion mit vorgegebenem Indikator (Beweis des Lehrsatzes 3) § 5. Asymptotische Darstellung ganzer Funktionen mit regelmäßiger Nullstellen Verteilung (Beweis des Lehrsatzes 4) § 6. Ganze Funktionen mit regulärer Nullstellenmenge (Beweis des Lehrsatzes 5) § 7. Lehrsätze über die gleichgradige Stetigkeit (Beweis der Lehrsätze 6 und 7)

51

88 96 106 114 120 123 126

X

Inhaltsverzeichnis

K a p i t e l III. F u n k t i o n e n von vollkommen regulärem Wachstum

137

§ 1. Strahlenmenge von vollkommen regulärem Wachstum § 2. Die verallgemeinerte jEirsENsche Formel. Untersuchung der Funktion JrF (6) § 3. Der Fundamentalsatz über Funktionen von vollkommen regulärem Wachstum § 4. Der Indikator des Produktes zweier Funktionen § 5. Einige Folgerungen aus der verallgemeinerten JENSENschen Formel. Der Fall des trigonometrischen Indikators K a p i t e l IV. E i n d e u t i g k e i t , I n t e r p o l a t i o n u n d V o l l s t ä n d i g k e i t

K a p i t e l V. F u n k t i o n e n d e r K l a s s e A 1.

§ 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

Die Formel von C A R L E M A N . Ein Kriterium für die Zugehörigkeit einer ganzen Funktion endlichen Grades zur Klasse A Darstellung einer in einer Halbebene harmonischen Funktion Darstellung einer Funktion endlichen Grades und der Klasse A in der oberen Halbebene Funktionen der Klasse A von vollkommen regulärem Wachstum Das Indikatordiagramm einer ganzen Funktion endlichen Grades und der Klasse A Lehrsatz von M. G. K R E I N über die Zerlegung der Reziproken einer ganzen Funktion

Der L e h r s a t z von

HERMITE-BIEHLER

168 173 189 193

201 210 214

für ganze F u n k t i o n e n .

224 229 235 242 251 257 263

§ 1. Einige Informationen aus der Theorie fastperiodischer Funktionen . . . . § 2. Nullstellen einer fastperiodischen Funktion mit beschränktem Spektrum . . § 3. Ein allgemeiner Lehrsatz über die Nullstellen und die mittlere Bewegung für holomorphe, fastperiodische Funktionen § 4. Lehrsatz über die mittlere Bewegung für fastperiodische Funktionen mit halbbegrenztem Spektrum § 5. Funktionen, welche durch Exponentialpolynome approximiert werden . . . § 6. Das Wachstum einer Funktion der Klasse Ej bei einem normierenden Gebiet in Gestalt eines Polygons § 7. Das Wachstum einer Funktion der Klasse Ej bei beliebigem normierenden Gebiet / VII.

158

222

K a p i t e l VI. N u l l s t e l l e n v o n E x p o n e n t i a l s u m m e n

Kapitel

150 157

166

§ 1. Eindeutigkeitssätze für ganze Funktionen endlicher Ordnung § 2. Eindeutigkeitssätze für Funktionen endlicher Ordnung, welche im Innern eines Winkels holomorph sind § 3. Funktionen, welche auf einer Menge mit einer Winkeldichte verschwinden § 4 . Darstellung ganzer Funktionen durch die Interpolationsreihe von L A G B A N G E § 5. Einige Anwendungen der Interpolationsreihe von LAGRANGE § 6. Die Vollständigkeit eines Funktionensystems. Der Zusammenhang zwischen der Vollständigkeit und der Eindeutigkeit § 7. Lehrsätze über die Vollständigkeit einiger Systeme ganzer Funktionen . . .

§

138 141

.

263 267 272 278 286 293 300 305

§ 1. Darstellung einer reellen meromorphen Funktion, welche die obere Halbebene auf die obere abbildet 307 § 2 . Verallgemeinerung des Lehrsatzes von H E S M I T E - B I E H L E B für beliebige ganze Funktionen 311 § 3. Darstellung einer Funktion der Klasse HB 317 § 4 . Der Lehrsatz von H E B M I T E - B I E H L E R für ganze Funktionen endlichen Grades 3 1 9

XI

Inhaltsverzeichnis K a p i t e l VIII. A p p r o x i m a t i o n g a n z e r P u n k t i o n e n d u r c h P o l y n o m e Nullstellen in einem vorgegebenen Gebiet

mit 328

§ 1. Punktionen, welche durch Polynome approximiert werden, von denen alle Nullstellen im Inneren eines Winkels liegen 328 338 § 2. Lehrsätze über die Komposition von Polynomen § 3. Faktorenfolgen 342 K a p i t e l IX. O p e r a t o r e n , welche U n g l e i c h u n g e n zwischen g a n z e n P u n k tionen unverändert lassen 350 § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

Majoranten und zulässige Klassen Einige Eigenschaften der Klasse P* Operatoren, welche die Unterordnung erhalten (SBy-Operatoren) Die Klasse P und die Ungleichungen auf der reellen Achse Klassen von Funktionen mehrerer Veränderlicher Allgemeine Gestalt der Operatoren 33 und © * Einige extremale Eigenschaften ganzer Funktionen

353 355 358 364 369 375 383

A n h a n g I. Einige zusätzliche Fragen der allgemeinen Theorie 1. 2. 3. 4. 5.

386

Die Unmöglichkeit, eine genaue Wachstumsskala zu konstruieren 386 Konvergente und divergente Typen 387 Die Lehrsätze von P A L E Y und W I E N E R 389 Die Polynome von L E V I T H A N 393 Potenzreihen mit Koeffizienten, welche mit Hilfe einer ganzen Funktion endlichen Grades interpoliert wurden 395

A n h a n g I I . Anwendung der Eindeutigkeitssätze auf die quasianalytischen Funktionenklassen 398 1. Funktionen, welche durch ihre Werte auf einem Intervall definiert werden . . 398 2. Quasianalytische Klassen fastperiodischer Funktionen 409 A n h a n g I I I . Vollständigkeit und lineare Unabhängigkeit des Funktionensystems in einem endlichen Intervall 416 1. Vollständigkeitssätze 2. Die Minimalität (verstärkte systems {e a * x }

416 lineare Unabhängigkeit)

eines

Funktionen423

A n h a n g IV. Anwendung der Eindeutigkeitssätze auf einige Fragen der Theorie der Differentialgleichungen 428 1. Vollständigkeit eines Lösungssystems einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in Gebieten der komplexen Ebene 428 2. Über die inverse Aufgabe für die STUBM-LiouviLLEschen Gleichungen . . . . 434 A n h a n g V. Darstellung einer positiven ganzen Funktion endlichen Grades als Quadrat des absoluten Betrages einer ganzen Funktion 441 A n h a n g VI. Fastperiodische Funktionen mit begrenztem Spektrum

448

1. Ein Ausdruck f ü r den Realteil einer Nullstelle einer Funktion der Klasse [A] . 448 2. Die Charakteristik der Nullstellenmenge einer fastperiodischen Funktion 453 der Klasse [A ] 3. Der Zusammenhang zwischen den FouRiEBreihen der Funktionen yi(x) und f(x) 464

XII

Inhaltsverzeichnis

A n h a n g VII. Einzelne Lehrsätze und Aufgaben

469

Z u s a m m e n s t e l l u n g der wichtigsten Begriffe und L e h r s ä t z e

476

A n m e r k u n g e n des H e r a u s g e b e r s

493

Literaturverzeichnis

498

Ergänzung zum Literaturverzeichnis

508

Namen- und Sachregister

509

KAPITEL I

A L L G E M E I N E T H E O R I E D E S WACHSTUMS GANZER F U N K T I O N E N

In diesem Kapitel legen wir die Grundlagen der allgemeinen Theorie des Wachstums ganzer Funktionen dar. Unter einer ganzen Funktion verstehen wir eine Funktion einer komplexen Veränderlichen, welche in der ganzen Ebene holomorph ist und folglich durch eine überall konvergente Potenzreihe f(z) = a0 + alZ + a 2 z 2 + • • • + a„zn + • • • (1.00) darstellbar ist. Diese Funktionen erscheinen als eine natürliche Verallgemeinerung der Polynome und stehen den Polynomen in bezug auf ihre Eigenschaften besonders nahe. Der Lehrsatz von W E I E R S T R A S S über die Zerlegung einer ganzen Funktion in ein unendliches Produkt gab das grundlegende Mittel zur Untersuchung der Eigenschaften ganzer Funktionen und bildet den Ausgangspunkt zu ihrer Klassifizierung. Ungefähr in die gleiche Zeit wie die Arbeit von W E I E R S T R A S S fallen auch die Arbeiten von L A G U E R R E , in welchen der Zusammenhang zwischen den ganzen Funktionen und den Polynomen studiert und der wichtige Begriff des Geschlechts einer ganzen Funktion eingeführt werden. In den klassischen Arbeiten von B O R E L , H A D A M A R D und L I N D E L Ö F wird der Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer ganzen Funktion und der Verteilung ihrer Nullstellen untersucht. Die Schnelligkeit des Anwachsens eines Polynoms bei der Annäherung der unabhängigen Veränderlichen an den unendlich fernen Punkt wird offensichtlich durch seinen Grad bestimmt. Anderseits aber ist die Anzahl seiner Nullstellen gleich seinem Grad. Auf diese Weise ist das Wachstum eines Polynoms um so größer, je größer die Anzahl seiner Nullstellen ist. Dieser Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen einer Funktion und ihrem Wachstum wird auf beliebige ganze Funktionen verallgemeinert. Der Inhalt eines großen Teils der klassischen Lehrsätze der Theorie ganzer Funktionen besteht in der Feststellung eines Zusammenhanges zwischen der Verteilung der Nullstellen einer ganzen Funktion und ihrem asymptotischen Verhalten bei z - > oo. Zur Messung des Wachstums einer ganzen Funktion und der Dichte der Menge ihrer Nullstellen wird eine besondere Wachstumsskala eingeführt. § 1. Die Wachstumsskala Zur Charakteristik des Wachstums einer ganzen Funktion /(z) wird die Funktion M¡{r) = max |/(z)| eingeführt. (Bisweilen werden wir einfach M{r) schreiben.) 1*1-r 1

Lewin, NullateUenverteilung

2

I. Allgemeine Theorie des Wachstums ganzer Funktionen

Aus dem Maximumprinzip des absoluten Betrages folgt, daß bei wachsendem r die Größe Mf(r) monoton zunimmt. Die Schnelligkeit des Anwachsens der Funktion Mt(r) ist eine wichtige Charakteristik für das Verhalten der ganzen Funktion. Wir wollen zeigen, daß für jede von einem Polynom verschiedene ganze Funktion Mf(r) schneller wächst als jede beliebige positive Potenz von r. L e h r s a t z 1. Wenn es eine positive ganze Zahl n gibt, so daß Mi (r) lim-^

i)

f—>00

ist, so ist f(z) ein Polynom, von höchstens n-tem Grade. Beweis. Ist f(z) = a0 -f ax z + a2 + ' • • + an z" + an + l z" + 1 + • • * u n ( i Pn(z) — a0 + % z + • • • + an zn, so ist die Funktion 0 ist. Eine ganze Funktion f(z) nennt man eine Funktion endlicher Ordnung, wenn es eine positive Zahl k gibt, so daß die Ungleichung Mj(r) < e^ für alle genügend großen r (r > r0(k)) erfüllt ist. Die untere Grenze dieser Zahlen k nennt man die Ordnung der ganzen Funktion f(z). Aus dieser Definition folgt, daß, wenn Q die Ordnung der ganzen Funktion f{z) ist, und s eine beliebige positive Zahl ,dann (1.01)

ere~e 0 und oi > 0 ist. Nach der bekannten STiRLiNGschen Formel ist JK«» + 1) = (")*"• \/2n