Automorphe Funktionen [Reprint 2011 ed.] 9783111337609, 9783110989175

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GÖSCHENS LEHRBÜCHEREI I. G R U P P E

REINE MATHEMATIK BAND 5

AUTOMORPHE FUNKTIONEN VON

LUDWIG S C H L E S I N G E R

WALTER DE G R U Y T E R & CO. VORMALS G . J . G Ö S C H E N ' S C H E VERLAGSHANDLUNG J . GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG — G E O R G REIMER — KARL J . T R Ü B N E R — VEIT & C O M P .

B E R L I N W. 10 UND LEIPZIG 1924

AUTOMORPHE FUNKTIONEN VON

LUDWIG SCHLESINGER ord. Professor der Mathematik an der Universität GieOen

MIT

53

FIGUREN

.V, WALTER DE G R U Y T E R & CO. VORMALS G . J . G Ö S C H E N ' S C H E V E R L A G S H A N D L U N G J . GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG — G E O R G REIMER — KARL J . T R Ü B N E R — VEIT & C O M P .

BERLIN W. 10 UND LEIPZIG

1924

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W. 10

Vorwort.

M

it dem vorliegenden kleinen Buche möchte ich den Studierenden der Mathematik einen Leitfaden an die Hand geben, der sie instand setzt, sich in die Lehre von den automorphen Funktionen einzuarbeiten. Die Bedeutung dieser Lehre braucht nicht besonders betont zu werden; trotzdem nimmt sie zurzeit im Universitätsunterricht noch nicht den ihr gebührenden Platz ein. In den Vorlesungsverzeichnissen deutscher Universitäten findet man noch wie vor 70 Jahren die einst von J a c o b i in Königsberg eingeführte große Vorlesung über elliptische Funktionen; es ist, als wollte man in der Geographie von Amerika sich auf die von K o l u m b u s entdeckten Landstriche beschränken und so tun, als ob man das übrige nicht sähe. Auch die großen französischen Lehrgänge der Analysis ( J o r d a n , P i c a r d , G o u r s a t ) geben von unserer Theorie kaum mehr als die Grundbegriffe. An Monographien ist ja allerdings kein Mangel (siehe das weiter unten folgende Literaturverzeichnis). Aber die ausführliche Darstellung von F r i c k e - K l e i n ist für den Anfänger zu umfangreich, die in meinem „Handbuch der linearen Differentialgleichungen" gegebene ist allzusehr an Untersuchungen gebunden, die nur lose mit dem eigentlichen Gegenstande zusammenhängen, die trefflichen Bücher von F u b i n i und G i r a u d erschweren den Zugang zu der Theorie der Fuchsschen Funktionen durch das dieser Theorie vorgelagerte Bollwerk der automorphen Funktionen von beliebig vielen Veränderlichen. So hoffe ich mit diesem Büchlein einem Bedürfnis entgegenzukommen, sofern es mir gelungen sein sollte, meiner Absicht gemäß, eine bequem lesbare Einführung in die Lehre von den elliptischen und den Fuchsschen Funktionen zu geben. Als Ausgangspunkt dient mir das Problem der Uniformisierung einer mehrdeutigen Funktion mit einer endlichen Zahl von Verzweigungs-

VI

Vorwort.

punkten. Einleitend werden die elementaren Fälle von zwei Verzweigungspunkten behandelt und ein Abriß der Lehre von den elliptischen Funktionen gegeben, wobei nicht die doppelte Periodizität, sondern der Automorphismus für gewisse Drehungen um 180 Grad in den Vordergrund gestellt wird. Heuristische Überlegungen führen dann im allgemeinen Falle einer beliebigen Anzahl von Verzweigungspunkten zu gewissen Normalpolygonen und den daraus entstehenden Verschiebungsgruppen vom Geschlecht Null der Bolyai-Lobatscheffskij sehen Ebene. Das erforderliche Rüstzeug aus der nichteuklidischen Geometrie wird mit differentialgeoinetrischen Methoden entwickelt und dann zunächst im engsten Anschluß an P o i n c a r e die Lehre von den Fuchsschen Funktionen vom Geschlechte Null aufgebaut. Die Frage der Uniformisierung führt dann weiter zu dem Fundamentalproblem; zu seiner Lösung dient die Methode der Ausschöpfung der Überlagerungsfläche, die auch im Anschluß an P o i n c a r e s ursprünglichen Gedankengang, aber mit Benutzung moderner Methoden entwickelt wird. Dabei wurde Wert gelegt auf eine möglichst wenig Vorkenntnisse erheischende Darstellung und demgemäß auch ein vollständiger Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes gegeben. In den letzten Nummern wird dann die Uniformisierung der algebraischen Funktionen durch Fuchssche Funktionen von höherem Geschlecht behandelt. Auf eine allgemeine Theorie der Fundamentalpolygone habe ich verzichtet und immer nur eine bestimmte Form solcher Polygone zugrunde gelegt. Auch habe ich mich auf diejenigen Fuchsschen Funktionen beschränkt, die in der Terminologie von P o i n c a r e der 1., 2. und 6. Familie angehören (Funktionen mit Grenzkreis bei Fr i c k e - K l e i n ) . Wer sich erst mit der Theorie dieser Funktionen vertraut gemacht hat, wird auch beim Studium der allgemeinsten automorphen Funktionen keine grundsätzlichen Schwierigkeiten mehr finden. Die Darstellung ist systematisch gehalten; auf die historische Entwicklung ist nur insoweit eingegangen, als es zum Verständnis der sachlichen Zusammenhänge erforderlich schien. Diese Beschränkung durfte um so eher Platz greifen, als gerade in der letzten Zeit einerseits durch die Herausgabe der gesammelten Abhandlungen von F u c h s P o i n c a r 6 und K l e i n , andererseits durch die Veröffentlichung der Briefwechsel zwischen F u c h s - P o i n c a r e und K l e i n - P o i n c a r 6 sowie der ersten bisher ungedruckten Arbeit P o i n c a r e s in den Bänden 38 und 39 der Acta Mathematica das historische Material in fast lücken-

ΥΠ

Vorwort.

loser Vollständigkeit zugänglich gemacht worden ist. So sind denn auch in den Zitaten in erster Linie diejenigen Schriften genannt, die mir bei der Ausarbeitung unmittelbar vorgelegen haben, und in zweiter Linie diejenigen, deren Lektüre dem Leser zum weiteren Studium zu empfehlen ist. Zur Orientierung soll das unten folgende Literaturverzeichnis der wichtigsten Monographien über unseren Gegenstand dienen. Das vorliegende Buch ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Wintersemester 1920/1 gehalten habe; neu bearbeitet wurde nur der in den Nummern 45—51 enthaltene Beweis für den Fundamentalsatz, bei dem ich mich der neuerdings beliebt gewordenen rein funktionentheoretischen d. h. vektoriellen Methoden bedient habe, während in der Vorlesung selbst die potentialtheoretische Behandlung zur Anwendung gelangt war. Für die mündliche Mitteilung eines geistvollen Beweisprinzips für den Riemannschen Abbildungssatz schlichter, einfach zusammenhängender Bereiche möchte ich L. F e j e r auch an dieser Stelle bestens danken. Bei der Abfassung des Manuskripts haben mir Ausarbeitungen der Vorlesung von 1920/1 und auch der neu hinzugekommenen Teile vorgelegen, die unser Assistent H. F u h r mit Sachkenntnis und eindringendem \ 7 erständnis angefertigt hat; auch die Zeichnung der Figuren und die Herstellung des Registers ist ihm zu verdanken. An die eingehenden Besprechungen vor und während der Drucklegung mit F u h r und A. P l e ß n e r in unserem Seminar denken wir alle gern zurück. — Herzlich gedankt sei auch F. E n g e l , H. F a l c k e n b e r g und Ε. IIi 1 b für freundliche Mitwirkung und Kritik bei der Korrektur. G i e ß e n , den 24. März 1924.

L. Schlesinger.

Literaturübersicht. Gesammelte Werke, Briefwechsel. L. F u c h s , Gesammelte mathematische Werke, Berlin, I (1904), II (1906), III (1909). F. K l e i n , Gesammelte mathematische Abhandlungen, Berlin, I (ί921), II (1922). III (1923). H. Ρ ο i n c a r e , Oeuvres, Paris, II (1916). Η. A. S c h w a r z , Gesammelte mathematische Abhandlungen, Berlin, I, II (1890). Briefwechsel F u c h s - P o i n c a r e , Acta Mathematica Bd. 38 (1921), S. 176—187. Briefwechsel K l e i n - P o i n c a r e , Acta Mathematica Bd. 39 (1923), S. 94—132.

Monographien, Enzyklopädieartikel u. dgl. L. R. F o r d , An Introduction to the Theory of Automorphic Functions, London, 1915. R. F r i c k e und F. K l e i n , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Leipzig, I (1897), II (1901—1912). R. F r i c k e , Automorphe Funktionen mit Einschluß der elliptischen Modulfunktionen, Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, II, 2, Leipzig, 1901—1921, S. 349—470. Guido F u b i n i , Introduzione alia Teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe, Pisa, 1908. Georges G i r a u d , Lemons sur les Fonctions automorphes, Paris, 1920. F. K l e i n , Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Leipzig, 1884. F. K l e i n und R. F r i c k e , Vorlesungen über die Theorie der Modulfunktionen, Leipzig, I (1890), II (1892). L. S c h l e s i n g e r , Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Leipzig, I (1895), II, 1 (1897), II, 2 (1898). —, De nonnullis absolutae geometriae ad complexae variabilis functionum theoriam applicationibus, Joannis Bolyai in Memoriam, Claudiopoli, 1902. —, Über einige Anwendungen der absoluten (nichteuklidischen) Geometrie auf die Lehre von den Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Anhang zu R. B o n o l a - H . L i e b m a n n , Die Nichteuklidische Geometrie, 2. Aufl., Leipzig, 1919, 3. Aufl., ebenda, 1923.

Inhaltsverzeichnis. I . A b s c h n i t t : Einleitendes. Beispiele. Elliptische Funktionen.

Seite

1. Automorphe Funktionen. Uniformisierung. Beispiel 2. Die Uberlagerungsfläche von (a; — α)» und ihre Abbildung auf die »j-Ebene 3. Verschiebungen der Euklidischen Ebene in sich 4. Potenzen einer Transformation. Gruppe. Fundamentalbereich . . 5. Die Uberlagerungsfläche von log (α;—α) · . . 6. Das elliptische Integral · 7. Die Umkehrung des elliptischen Integrals erster Gattung . . . . 8. Die Unendlichvieldeutigkeit des Integrals erster Gattung . . . . 9. Periodenumläufe. Zweiblättrige Fläche 10. Relationen zwischen den Perioden. Ihr Verhältnis ist imaginär . 11. Die Jacobische Thetafunktion. Der Eindeutigkeitsbeweis . . . . 12. Abbildung der Fläche T(°) auf das Fundamentaldreieck 13. Aufbau des Dreiecksnetzes und der Überlagerungsfläche . . . . 14. Sätze über automorphe Funktionen, die zu der Dreiecksteilung gehören · 15. Darstellung der allgemeinsten automorphen Funktion durch x. Darstellung von χ=φ(η) durch die Thetafunktion 16. Die Dreiecksteilung als Ausgangspunkt 17. Die Modulfunktion 18. Das hyperelliptische Gebilde. Das Jacobische Paradoxon . . . . II. A b s c h n i t t : Die geometrischen automorphen Funktionen. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Grundlagen

der Lehre

τοη

4 6 8 10 12 14 16 19 21 23 27 30 33 37 40 43 45

den

Die Überlagerungsfläche für eine endliche Anzahl von Verzweigungspunkten Notwendige Bedingungen für die Verzweigungszahlen. Die Fälle der Euklidischen Ebene und der Kugel Kreisbogenpolygone im Euklidischen Fall. Die zugehörigen Transformationen und Invarianten Geometrie der Kreisnetze. Orthogonalkreis Transformationen einer Kreisscheibe in sich Projektive Transformationen, die einen Kreis in sich selbst überführen. Differentialinvariante Metrik. Absolute Geometrie

S c h l e s i n g e r , Automorphe Funktionen.

1

b

49 51 64 57 60 63 67

X

Inhaltsverzeichnis. 26. 27. 28. 29. 30.

Verschiebungen der absoluten Ebene in sich selbst Geometrisches über Verschiebungen. Zyklen Normalpolygone. Die beiden Fundamentalprobleme Konstruktion von Normalpolygonen Der Diskontinuitätsbeweis

III. A b s c h n i t t : Analytische Theorie der automorphen Funktionen. 31. Die automorphen Funktionen in der Riemannschen und in der Euklidischen Ebene 32. Die Fuchsschen Funktionen und Thetareihen von Poincare . . . 33. Der Konvergenzbereich der Thetareihen 34. Verhalten der Thetareihen in den Ecken des Fundamentalbereichs 35. Nullstellen und Pole Fuchsscher Funktionen 36 Existenz ganzer Thetafunktionen 37. Existenz automorpher Funktionen 38. Die Umkehrung der automorphen Funktion ersten Grades . . . . 39. Die Überlagerungsfläche und die Differentialgleichung für die Umkehrungsfunktion 40. Die Schwarzschen Dreiecksfunktionen 41. Die Modulfunktion als Umkehrung einer Dreiecksfunktion . . . . 42. Fuchssche Funktionen mit symmetrischen Fundamentalbereichen . IV. A b s c h n i t t : Lösung des Fundamentalproblems. Uniformisierung. 43. Das Fuchssche Beispiel. Fundamentallemma von Poincare . . . 44. Kontinuitätsmethode. Die Liouvillesche Differentialgleichung. Methode der Ausschöpfung der Überlagerungsfläche 45. Der Abbildungssatz für schlichte, einfach zusammenhängende Gebiete 46. Die Ränderzuordnung bei Jordanscher Begrenzungskurve . . . . 47. Analytische Randstücke. Randpunkte mit Tangenten. Verhalten an Ecken 48. Abbildung von Bereichen mit einer endlichen Blätterzahl . . . . 49. Ausschöpfung der Überlagerungsfläche. Die Greenschen Konstanten 50. Der Konvergenzbeweis. Abbildung der Überlagerungsfläche auf den Einheitskreis 51. Eigenschaften der abbildenden Funktion. Zusammenfassung . . . 52. Der symmetrische Fall; algebraischer Algorithmus. Verallgemeinerungen 53. Uniformisierung algebraischer Funktionen. Hyperelliptische Gebilde 54. Fuchssche Gruppen und Funktionen von höherem Geschlecht . . 55. Die auf der Riemannschen Fläche unverzweigten Funktionen . . . 56. Die allgemeinste Klasse Fuchsscher Funktionen in der B.-L. sehen Ebene Sach- und Namenverzeichnis

Seite 70 72 77 81 84

90 94 99 102 106 108 112 115 121 126 129 133 139 142 147 153 156 161 165 170 174 179 183 189 194 198 203

I. A b s c h n i t t .

Einleitendes. Beispiele. Elliptische Funktionen 1. Automorphe Funktionen. Uniformisierung. Beispiel. Unter den monogenen Funktionen einer komplexen Veränderlichen nehmen die eindeutigen Funktionen eine bevorzugte Stelle ein, namentlich weil sich für solche Funktionen in sehr allgemeinen Fällen analytische Ausdrücke angeben lassen, die die Funktion in ihrem ganzen Existenzbereiche darstellen. Die sogenannten elementaren Transzendenten (Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen) besitzen überdies die Eigenschaft der Periodizität, d. h. sie ändern ihren Wert nicht, wenn die unabhängige Veränderliche η um ganzzahlige Vielfache einer konstanten Größe co, der sogenannten Periode vermehrt wird. Die Transformationen η + kco, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet, bilden eine Gruppe, indem je zwei von ihnen hintereinander angewandt eine Transformation derselben Form ergeben. Man sagt, die Funktion mit der Periode ω sei in bezug auf diese Gruppe automorph. Die Transformation η -f kco kann als besonderer Fall der linear gebrochenen oder projektiven Transformation

αΎ

) ß (α{t), ip{t) definiert sind, durchläuft, alle Wertepaare x, y zum Vorschein kommen, die durch die mehrdeutige Beziehung V

=

/ ( » )

miteinander verbunden sind. Es hat sich nun gezeigt, daß die Uniformisierung solcher mehrdeutiger Funktionen, die nur eine e n d l i c h e A n z a h l v o n V e r z w e i g u n g s p u n k t e n besitzen, stets so vollzogen werden kann, daß man t als die inverse Funktion einer eindeutigen automorphen Funktion χ = ψ{ί) wählt. Die Durchführung dieser Uniformisierung soll das vornehmste Ziel der nachfolgenden Erörterungen bilden. Wir beginnen mit dem einfachsten Falle einer Funktion, die im Endlichen nur e i n e η Verzweigungspunkt aufweist. Dabei verstehen wir unter einem Verzweigungspunkte eine isolierte, d. h. von lauter regulären Punkten umgebene Stelle, bei deren Umkreisung die Funktion eine Wertänderung erfährt. Daraus folgt ohne weiteres, daß für eine Funktion y -

/(®),

die im Endlichen nur den einen Verzweigungspunkt α besitzt, auch noch der unendlich ferne Punkt als Verzweigungspunkt zu gelten hat. Denn ein geschlossener Weg, der den Punkt α umschlingt, kann auch als den unendlich fernen Punkt umschließend betrachtet werden. Statt zu sagen, wir umkreisen α im positiven Sinne, d. h. entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn, kann man auch sagen, wir umkreisen den unendlich fernen Punkt im negativen Sinn. Wollen wir nun unsere Funktion y zu einer eindeutig bestimmten machen, so legen wir (Fig. 1) längs des von α in Richtung der positiven reellen Achse auslaufenden Strahls einen Schnitt l, der die beiden Ver-

1. Automorphe Funktionen.

Uniformisierung.

zweigungspunkte α und oo verbindet.

Beispiel.

3

Die beiden Ufer dieses Schnitte

+

_

unterscheiden wir als positives l und negatives l, so daß ein Weg, der von einem Punkte des positiven Ufers in der zerschnittenen Ebene nach dem gegenüberliegenden Punkte des negativen hinführt, den Punkt α im positiven Sinne umkreist. In der so zerschnittenen z-Ebene, die wir als Fläche Γ (0) bezeichnen wollen 1 ), legen wir unserer Funktion y in einem von a ver1 schiedenen Punkte x0 einen bestimmten ihrer verschiedenen Werte y0 bei, dann ist bei stetiger ^ 1 Fortsetzung y innerhalb 71(0) eindeutig festgelegt, d. h. wir haben einen in T ^ eindeutigen Zweig der mehrdeutigen Funktion y ausgesondert. Existiert ein positives ganzzahliges n, so daß jeder Zweig von y nach re-maliger Umkreisung von α zu seinem Ausgangswerte zurückkehrt, so nennen wir η die zu α gehörige V e r z w e i g u n g s z a h l und sagen, diese Verzweigungszahl sei unendlich groß, wenn ein solches η nicht vorhanden ist. Ζ. B. ist für (1)

y = V(x - af + V(x - α)'

τι = 6, während für (2)

y = ( x - a ) ^ + ( x - a r

die Verzweigungszahl unendlich groß ist. Für den Fall einer endlichen Verzweigungszahl η ist y eine re-deutige Funktion von x, die Uniformisierung wird durch Einführung von ι n η — {χ — a) geleistet, also im Beispiele (1) durch ι (χ — α) 6 in der Form χ = α + η6, y = rf + η*1; für den Fall einer unendlich großen Verzweigungszahl ist die uniformisierende Veränderliche2) Die Punkte des Schnittes l werden auch als zu T(°) gehörend angesehen und mit Ausnahme von χ = α, χ = oo doppelt gezählt, je nachdem wir sie auf dem positiven oder negativen Ufer von l gelegen denken. Die analoge Festsetzung gilt auch stets im folgenden. s

ι

) Die Beziehung log (χ — α) = lim n ((x — o) " — 1) zeigt, wie dieser Fall

η -*• oo

aus dem eines endlichen n hervorgeht.

1*

4

I. Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

log

η =

(χ

— α),

=

e ^ ' i

Elliptische Funktionen.

die für das Beispiel (2) χ =

ei

-f

a,

y

e2ir>

+

liefert. Wir wollen nun genauer zusehen, welchem Umstände es zuzuschreiben ist, daß diese Veränderliche η die Uniformisierung vermittelt.

2. Die Überlagerungsfläche τοη {χ— a)n und ihre Abbildung auf die 77-Ebene. Die Funktionen η besitzen im Endlichen auch nur den einen Verzweigungspunkt χ = a. Um für sie nach dem in der Nr. 1 beschriebenen Verfahren einen Zweig auszusondern, ordnen wir einem Werte χ = x0, für den x0 — α reell positiv ist und den wir uns auf dem positiven Ufer des Schnittes l gelegen denken, den positiven reellen Wert η0 von η zu und nennen den so innerhalb !T(0) eindeutig definierten Zweig η d e n H a u p t z w e i g der Funktion η. Indem wir zunächst den Fall einer e n d l i c h e n Verzweigungszahl n behandeln, setzen wir χ — a = re6\ also

r > 0, θ reell,

1 η(0)

=

ei

1

rn

rn

>

^

1-

+

dann ist auf dem positiven Ufer Z, 0 = 0, η(0) = rn und auf dem negativen Ufer l, θ = 2π,

1 η{0

)

=

r

2Tii

n .

n ^

e

d. h. in gegenüberliegenden Punkten der beiden Schnittufer unterscheiden sich die Werte von η(0) durch den Faktor 2 ni ε —

e

n

.

In der Abbildung, die durch den Hauptzweig η v o n der Fläche T ^ +

in der τ^-Ebene entworfen wird, entspricht also dem Ufer l die positive reelle η-Achse A(0), dem Ufer l der Strähl A(1), der aus A(0) durch eine 2π Drehung mit dem Winkel — um den Nullpunkt hervorgeht; die ganze Tb

Fläche T (0) erscheint auf den von λ(0), λ (1) gebildeten Winkelraum H{0)

2. Die Uberlagerungsfläche von (x—a) n und ihre Abbildung auf die η-Ebene.

gegenseitig eindeutig und im Innern konform abgebildet (Fig. 2). Nun gehören zu dem Punkte x0 außer dem positiven Werte η0 von η noch die Werte

y3)


rf2)

JL*>

%ε> · · ·> Vo£n 1 > ordnen wir dem Punkte x0 irgendeinen dieser Werte zu, so erhalten wir immer wieder Zweige der Funktion 77, die innerhalb von Τ ^ eindeutig bestimmt sind, und die aus dem Hauptzweige η ^ durch Multiplikation mit einer Potenz von ε hervorgehen.

5

\ ·/

Hn,

Απn

H(k)ry

/λ(1> Hro>

ff(n-i)

Fig. 2.

Wir setzen

(& = 1, 2, . . ., re — 1)

und bilden+ die Fläche T ^ auch durch diese Zweige auf die »y-Ebene — ab. (1 Dem Ufer l entspricht dann vermöge η ^ der Strahl λ \ dem Ufer l der aus A(1) durch Drehung mit dem Winkel - - hervorgehende Strahl +

ebendieser Strahl entspricht wieder l vermöge η ^ usw., endlich entspricht vermöge

1>

+

dem Ufer l der Strahl

eine Drehung mit dem Winkel

(y.

A \ O^J·

—

1)

, der aus Λ(0) durch —

entsteht, und dem Ufer l

n wieder λ {0 \ Die ganze Fläche T ^ erscheint somit vermöge η ^ auf den von λ ^ und X^+V (wo λ ^ gleich zu nehmen ist) begrenzten Winkelraum Η w gegenseitig eindeutig und im Innern konform abgebildet. Die Winkelräume H(0\ ..., H{n~l) lagern sich schlicht, d. h. ohne sich zu überdecken, aneinander und bedecken die ^-Ebene lückenlos (siehe Fig. 2). Jeder dieser Winkelräume entsteht aus jedem andern durch eine Drehung 2 71 um den Nullpunkt mit einem Winkel, der ein Vielfaches von — ist. Wir wollen nun diese Teilung der ^-Ebene wieder auf die x-Ebene übertragen. Um ein geometrisches Gebilde zu erhalten, das der »y-Ebene Punkt für Punkt g e g e n s e i t i g e i n d e u t i g entspricht, müssen wir entsprechend jedem Winkelraume H{k) (k = 1, 2, . . ., re — 1) ein mit T^ kongruentes Blatt T'-i] herstellen; dabei entspricht dann das Ufer l in T{lc\ ebenso wie das Ufer l in dem Strahl Wollen wir also auch die S t e t i g k e i t der Abbildung gewahrt wissen, so müssen wir die Ufer l in Tl*> und l in T{k+1) für k = 0 , . . . , n — 2 miteinander ver-

6

I. Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

schmelzen und endlich das Ufer l in Τ (η mit I in 7*(0) vereinigen. Das so entstehende n-blättrige geometrische Gebilde Τ ist dann ver1 n möge der Funktion η = (χ — a) gegenseitig eindeutig, stetig und konform auf die jy-Ebene abgebildet; wir nennen es die zu dieser Funktion gehörige Ü b e r l a g e r u n g s f l ä c h e oder R i e m a n n s c h e F l ä c h e 1 ) . Die A n a l y s i s s i t u s betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Gebilde, die bei gegenseitig eindeutiger und stetiger Abbildung erhalten bleiben. Zu diesen sogenannten t o p o l o g i s c h e n Eigenschaften gehören insbesondere die Zusammenhangsverhältnisse. Gebilde, die durch gegenseitig eindeutige und stetige Abbildung auseinander hervorgehen, also vom Standpunkt der Analysis situs aus äquivalent sind, heißen (nach Poincare) homöomorph. Unsere Überlagerungsfläche ist mit der 77-Ebene homöomorph, also wie die ^-Ebene e i n f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d , d . h . jede geschlossene Kurve läßt sich durch stetige Deformation innerhalb der Fläche auf einen Punkt zusammenziehen. Hat man nun eine Funktion y von χ mit dem einzigen Verzweigungspunkte α im Endlichen und der zugehörigen endlichen Verzweigungszahl n, so ist y in der Überlagerungsfläche Τ eine eindeutige Funktion des Orts, und da Τ und die »y-Ebene gegenseitig eindeutig aufeinander bezogen sind, eine eindeutige Funktion von η. Da ferner die Beziehung wischen Τ und der »7-Ebene nicht nur eine homöomorphe, sondern auch eine konforme, d. h. in den kleinsten Teilen ähnliche, also, wie wir sagen wollen, h o m ö o m e t r i s c h e 2) ist, so folgt, daß y eine monogene Funktion von η sein muß, und damit haben wir ergründet, weshalb durch die Hilfsveränderliche η die Beziehung zwischen y und χ uniformisiert wird.

3. Verschiebungen der Euklidischen Ebene in sich. Ehe wir uns dem Falle einer unendlich großen Verzweigungszahl zuwenden, haben wir einige elementar-geometrische Betrachtungen einzuschalten, die uns eine bequeme Terminologie vermitteln werden. Wir haben gesehen, daß die Bereiche H(k) durch Drehungen der »j-Ebene auseinander hervorgehen, die um den Nullpunkt mit einem 2π

Winkel erfolgen, der ein ganzzahliges Vielfaches von — ist. Tb

!) Wir bezeichnen hier eine mehrblättrige Fläche nur dann als Riemannsche, wenn sie zu einer a l g e b r a i s c h e n Funktion gehört; für die im Text betrachtete Fläche trifft dies zu, weil η algebraisch von χ abhängt. 2 ) H o m ö o m e t r i s c h nennen wir eine gegenseitig eindeutige, stetige und konforme Abbildung.

3. Verschiebungen der Euklidischen Ebene in sich.

7

Drehungen der Ebene gehören zu den Transformationen der Ebene in sich selbst, bei denen jede Figur in eine ihr kongruente übergeführt wird. Um alle diese Transformationen, die sogenannten V e r s c h i e b u n g e n (oder Bewegungen) der »y-Ebene in sich zu erhalten, setzen wir η = ρ + qi und bedenken, daß diese Transformationen i s o m e t r i s c h e sind, d . h . das Linienelement der Ebene \άη\ = Vdp2 + dg2 ungeändert lassen 1 ). Es muß deshalb, wenn ηχ aus η durch eine solche Verschiebung entsteht, \άηχ\ = \άη\ sein. Daraus ergibt sich (3) ηχ — αη + β, oder (3a) ηχ = αη + β, wo η = ρ — qi der konjugierte Wert von η, β eine beliebige Konstante und |a| = 1, also α = e^ ist. Die Transformationen (3a) entstehen, indem man die Transformationen (3) mit dem Übergang von η zu η, d. h. mit einer S p i e g e l u n g an der reellen jy-Achse kombiniert; bei diesen Transformationen (3a), wo η1 keine monogene Funktion der komplexen Veränderlichen η ist, erfolgt Umlegung der Winkel, so daß also jede Figur nicht in eine kongruente, sondern in eine symmetrische übergeführt wird. Die Transformationen (3a) sind also keine Verschiebungen, wir lassen sie darum außer Betracht. Die Formel (3) stellt somit die allgemeinste kongruente Transformation oder Verschiebung der ^-Ebene in sich selbst dar. Für β — 0 ist sie eine D r e h u n g um den Nullpunkt mit dem Winkel φ, für Wir sind damit zu der dritten und speziellsten der Transformationen zweifach ausgedehnter geometrischer Gebilde geführt worden, die funktionentheoretisch von Bedeutung sind; es sind dies: I. Die homöomorphe, d. h. gegenseitig eindeutige und stetige Transformation (Analysis situs). II. Die homöometrische, d. h. homöomorphe und konforme Transformation, die das Linienelement mit einem Faktor multipliziert (Funktionentheorie). III. Die isometrische Transformation (Verschiebung, allgemeiner Verbiegung), die das Linienelement ungeändert läßt (Differentialgeometrie). Diese Gliederung ist, wie wir sehen werden, für die Systematik unserer Darlegungen von grundsätzlicher Wichtigkeit.

8

I. Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

α = 1 eine P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g der Ebene um den Vektor ß. man ζ = αη, so wird

Setzt

Vi = ζ + ß, wir können also jede Transformation (3) aus einer Drehung um den Nullpunkt und einer Parallelverschiebung zusammensetzen. Schreibt man (3) für α φ 1 in der Form (4)

Vl

- λ = α(η - λ), λ =

JL-,

so erscheint diese Transformation als eine Drehung um den Punkt λ. Da λ bei der Transformation in sich selbst übergeht, so bezeichnet man ihn als D o p p e l p u n k t oder Fixpunkt. Neben diesem im Endlichen gelegenen Doppelpunkt besitzt unsere Transformation auch den unendlich fernen Punkt als Doppelpunkt. Sie kann nicht auf die Form (4) gebracht werden, wenn α = 1 ist, also eine Parallelverschiebung der Ebene vorliegt. Es gibt dann keinen im Endlichen gelegenen Doppelpunkt, und wenn wir die Vorstellung festhalten wollen, daß jede Transformation (3) zwei Doppelpunkte hat, so müssen wir uns vorstellen, daß in diesem Fall, der im allgemeinen im Endlichen gelegene Doppelpunkt mit dem unendlich fernen zusammengefallen ist. Die Parallelverschiebung kann daher auch als eine Drehung um den unendlich fernen Punkt aufgefaßt werden. Diese für die E u k l i d i s c h e E b e n e 1 ) geltenden Bemerkungen finden, wie wir sehen werden, in der N i c h t e u k l i d i s c h e n E b e n e ihr Analogon. Der Vollständigkeit halber weisen wir noch auf die Transformationen (3) mit |α| Φ 1 hin; bei ihnen wird das Linienelement mit dem k o n s t a n t e n Faktor |a| multipliziert, alle Figuren der Ebene gehen in ähnliche über. Diese Ä h n l i c h k e i t s t r a n s f o r m a t i o nen haben in der Nichteuklidischen Geometrie kein Analogon.

4. Potenzen einer Transformation. Gruppe. Fundamentalbereich. Wir wenden uns wieder unserem Beispiele zu, um eine für das folgende wichtige Symbolik einzuführen. Wir hatten dort bei der Abbildung der zerschnittenen x-Ebene T ^ auf die ^-Ebene, je nachdem wir den Zweig der Funktion η wählten, n Bereiche *) Die Ebene der komplexen Veränderlichen η wird als Euklidische Ebene bezeichnet, weil das Parallelenaxiom für sie gilt. Sie unterscheidet sich von der Euklidischen Ebene der p r o j e k t i v e n G e o m e t r i e dadurch, daß ihre unendlich fernen Elemente nicht als auf einer Geraden gelegen, sondern in einem Punkte vereinigt gedacht werden.

4. Potenzen einer Transformation.

bekommen, wo jedes Η a u s 2jt

Gruppe.

Fundamentalbereich.

9

^ durch eine Drehung um den Null-

punkt mit dem Winkel — hervorging. Eine solche Drehung hat die Form (3), nämlich Vi - ZVWir wollen sie symbolisch durch (5) = Sn bezeichnen; sie entspricht einem einmaligen Umlauf um χ = α in positivem Sinne, der von einem Blatte T ^ der Überlagerungsfläche Τ in das Blatt T{k+X) hinüberführt. Einem zweimaligen positiven Umlauf um χ = a, der also von T^ nach T , ( f t + 2 ) führt, entspricht dann die Transformation iSiSi? oder δ 2 η. Allgemein setzen wir iS^jy = Ein w-maliges Umlaufen von χ = α führt η in das Ausgangsblatt von Τ zurück, erleidet dabei die identische T r a n s f o r m a t i o n ; es ist £"»7 = η oder symbolisch Sn = 1. Einem Umlauf um χ = α im negativen Sinne, der also von dem Blatte T ^ der Überlagerungsfläche Τ in das Blatt T^-V führt, entspricht die inverse Transformation ηι = ε—1η, die wir durch Vi = S-1V bezeichnen. Es ist in unserem Falle Die n Drehungen

S, S . . S " -

1

,

Sn = 1

bilden eine Gruppe, weil jede aus zweien dieser Transformationen zusammengesetzte Transformation wieder unter ihnen vorkommt. Die eindeutige Funktion χ = α + ν" bleibt ungeändert, wenn η eine Transformation dieser Gruppe erfährt, sie ist also eine zu dieser Gruppe gehörige automorphe F u n k t i o n . Einen abgeschlossenen Bereich der //-Ebene, in dessen Innerem keine zwei ^-Werte liegen, die durch Transformationen der Gruppe auseinander hervorgehen, nennt man einen F u n d a m e n t a l b e r e i c h der Gruppe oder der zugehörigen automorphen Funktion. In unserem Falle zerfällt die ?7-Ebene in n solche Fundamentalbereiche . . ., die durch die Transformationen der Gruppe ineinander übergeführt werden. Hat man irgendeine eindeutige Funktion die sich in der ganzen ?j-Ebene meromorph, d. h. wie eine rationale Funktion, verhält und bei den Transformationen der Gruppe ihren Wert nicht verändert, so nennt man Ρ(η) im engeren Sinne eine zu dieser Gruppe gehörige automorphe Funktion. Eine solche Funktion ist in χ eindeutig und allenthalben meromorph, also rational.

10

I· Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

5. Die Überlagerungsfläche von log (oc—a). Wir wenden uns nun zu dem Falle einer unendlich hohen Verzweigungszahl, wo die uniformisierende Veränderliche durch (6)

η -

log (x — a)

gegeben wird. In der zerschnittenen rr-Ebene sind y sowohl wie η eindeutig bestimmt, wenn wir ihre Werte in einem Punkte x0 fixieren. Den H a u p t z w e i g η(0) von log (x — a) wählen wir gemäß der Festsetzung in der Nr. 2 (S. 4), also für χ — a = reet η(ί°> = logr + ίθ, 0^0 wo jetzt logr den reellen Logarithmus der positiven Größe r bedeutet, und untersuchen wieder die Abbildung, die durch diesen Zweig ?/0) von der Fläche Τ (0) auf die »?-Ebene entworfen +

jl(2> Hm

H(0)

> ffhl>

wird. Dem Ufer Z, wo θ = 0 ist, entspricht die reelle ^-Achse dem Ufer Z, wo θ = 2π ist, die zu der reellen j^-Achse Parallele im Abstände Tat. Als Abbild Η(0> von T^ durch den H a u p t z w e i g rf^ erhalten wir also das von diesen beiden Parallelen begrenzte Band von der Breite 2π (Fig. 3). Es ist gewissermaßen der Winkelraum mit dem 2π

Scheitel η = oo und der Öffnung 0 = lim — 1 ). n — o o

Fij5. 3 .

Die verschiedenen Zweige sind in der Formel η(*> =

rff» +

n

von log (χ — α) 2 km

enthalten, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet, die Abbildung, die von T^ durch entworfen wird, ist ein Parallelstreifen H{k\ der aus Η(0) durch die Parallelverschiebung η + 2faii hervorgeht. Diese Parallelstreifen lagern sich schlicht nebeneinander und bedecken die 77-Ebene lückenlos. Eine Begrenzung die für den Parallelstreifen Η d e m negativen Ufer Ζ des Schnittes von T ^ entspricht, fällt stets mit der Begrenzung des Nachbarbereichs Η z u s a m m e n , die dem positiven Ufer des Schnittes in 7,(0) entspricht. Um die zu (6) gehörige Überlagerungsfläche Τ aufzubauen, übertragen wir die in die angegebenen Bereiche zerlegte ^-Ebene mit Hilfe der Funktion (6) auf die z-Ebene. Wir haben zunächst, um gegenseitig eindeutiges Entsprechen zu erzielen, den unendlich vielen Bändern H{k) gemäß unendlich viele mit 71(0) kongruente Exemplare T{k) übereinander ») Vergl. die Fußnote 2 ) auf S . 3 .

5. Die Uberlagerangsfläche von log (ζ—a).

11

zu schichten. Um dann wieder ein Gebilde zu erhalten, das die 77-Ebene nicht nur gegenseitig eindeutig, sondern auch stetig abbildet, sind +

in je zwei aufeinanderfolgenden Blättern die Ufer l und l miteinander zu verschmelzen. Das so entstehende Gebilde Τ ist als die zu log (χ — a) gehörige Überlagerungsfläche anzusprechen, und da Τ mit der »y-Ebene homöomorph ist, so folgt, daß Τ einfachen Zusammenhang besitzt. Ein jeder Umlauf um χ = α oder χ = oo führt in Τ in immer andere Blätter. Es ist folglich jede Funktion y in Τ eine eindeutige Funktion des Orts, also auch eine eindeutige Funktion von η und damit ist auch in diesem Falle ergründet, weswegen die Uniformisierung durch η gelingt. Die Parallelverschiebungen η + 2km, die die verschiedenen Bänder Η i n e i n a n d e r überführen, bilden wieder eine Gruppe G, deren sämtliche Transformationen als P o t e n z e n (mit positiven und negativen ganzzahligen Exponenten) von η + 2πί aufgefaßt werden können, die aber jetzt aus unendlich vielen Transformationen besteht. Ein jedes dieser Bänder gilt als F u n d a m e n t a l b e r e i c h der Gruppe oder der zu ihr gehörigen a u t o m o r p h e n F u n k t i o n χ

=

α

+

βη.

Wenn wir auch hier jede eindeutige Funktion Ρ(η) von η, die bei den Transformationen von G ungeändert bleibt, d. h. die Periode 2πί besitzt, als automorphe Funktion bezeichnen, sofern sie in jedem Bande der η· Ebene nur eine endliche Anzahl von Polen hat, so wird eine solche Funktion in χ zwar eindeutig, aber allgemein zu reden nicht notwendig rational sein. Hierzu ist vielmehr noch eine Bedingung erforderlich, die sich auf das Verhalten der Funktion F{r}) im Unendlichen, d. h. in der Nähe des Doppelpunktes der Parallelverschiebung η + 2πϊ bezieht. Für χ selbst gilt bekanntlich, daß es dem absoluten Betrage nach größer wird als eine beliebig große positive Zahl, wenn η etwa innerhalb des Streifens Η(ϋ) verbleibend sich in der Richtung der positiven reellen Achse dem Unendlichen nähert, und daß \x — a\ beliebig klein wird, wenn die Annäherung von η an das Unendliche in der Richtung der negativen reellen Achse erfolgt. Damit nun unsere Funktion r a t i o n a l durch χ darstellbar sei, ist notwendig und hinreichend, daß sie in der ^-Ebene rechts von einer Parallelen zur lateralen Achse entweder stets beschränkt ist oder dem absoluten Betrage nach größer gemacht werden kann als eine beliebige große positive Zahl, und daß sie auch links von einer solchen Parallelen die eine oder die andere dieser beiden Eigenschaften besitzt. Daß diese Bedingungen notwendig sind, liegt auf der Hand, da sie für jede rationale Funktion von χ erfüllt sind; daß sie auch hinreichend sind, folgt daraus, daß eine diesen Bedingungen genügende Funktion F(r/) als Funktion von χ be-

12

I. Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

t r a c h t e t weder für χ = α noch für χ — oo eine wesentlich singulare Stelle haben kann. F ü r alle andern x-Werte ist sie sicher meromorph, weil sie j a im B a n d e Η ( 0 ) und folglich in der x - E b e n e nur eine endliche Anzahl von Polen h a t ; also ist Ρ ( η ) als F u n k t i o n von χ allenthalben meromorph und folglich rational in χ. Die allgemeine Bedeutung der in den Nummern 2 und 5 behandelten Beispiele beruht darauf, daß mit Hilfe der hier betrachteten Funktionen ?7, jede mehrdeutige Funktion von χ in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Verzweigungspunktes ( l o k a l ) uniformisiert werden kann.

6. Das elliptische Integral. Nach den bis j e t z t behandelten elementaren Fällen wenden wir uns nun zu einem historisch wichtigen Beispiel, bei dem die uniformisierende Veränderliche nicht mehr so unmittelbar gegeben ist. Wir wollen uns nämlich die Aufgabe stellen, die Beziehung

(7)

y =

f

V(a; — ax) (χ — a 2 ) (x — az) dx

zu uniformisieren, wo x0, a2, az voneinander verschiedene Konstanten bedeuten. W i r behaupten, daß dies durch Einführung der Hilfsveränderlichen _ ^

η

~ J

Γ

dx — ai) (x — aa) (x — as)

möglich ist, d. h. also, daß χ und y eindeutige Funktionen von η sind. W ä h r e n d aber in den Fällen der Nummern 2. und 5. die Eindeutigkeit von χ als Funktion von η unmittelbar einleuchtete, werden wir hier einen besonderen Beweis für diese T a t s a c h e erbringen müssen. Sowohl y wie η haben zu Verzweigungspunkten die Stellen α2, a 3 im Endlichen und überdies den unendlich fernen Punkt. Wir zerschneiden die a;-Ebene deshalb durch drei von den o,. oo Punkten α ΐ5 a 2 , a 3 nach a 4 = co hin gelegte, getrennt verlaufende Schnitte l v Z2, Z3, die wir uns ζ. B . geradlinig gewählt denken können. Auf diese Weise erhalten wir einen Bereich oder eine F l ä c h e Γ ( 0 ) , _ + die durch die beiden Ufer ZÄ, l t der drei Schnitte l k (k = 1, 2, 3 ) begrenzt wird (siehe Fig. 4 1 )). D a wir die gesamte BeFig. 4. *) Die Bezeichnung denken wir uns so gewählt, daß bei einer Umkreisung von χ = oo im positiven Sinne die Schnitte in der zyklischen Reihenfolge 1%, lt und zwar ihre positiven Ufer zuerst getroffen werden.

6. Das elliptische Integral.

13

grenzung von T ^ in einem kontinuierlichen geschlossenen Zuge durchlaufen können (ζ. B . von oo ausgehend im positiven Sinne in der Reihen+

—

+

_

+

folge Z3, Z3, Z2, l 2 , ist T ( 0 ) einfach zusammenhängend. Zunächst ist in T{0) die Quadratwurzel eindeutig definiert, wenn wir ihr Vorzeichen in einem von av a2, a3, oo verschiedenen Punkte x0 festlegen; wir setzen ζ. B . (9)

l/(x 0 ~

a

i)

— «2) (*o — äz) =

e i

l o g { x

° ~

a

> \

wo für den Logarithmus der Hauptwert 1 ) zu nehmen ist. Umkreisen wir einen der singulären Punkte a 2 , a 3 , oo in der unzerschnittenen z-Ebene, so ändert die Quadratwurzel ihr Vorzeichen, zweimaliges Umlaufen eines singulären Punktes aber führt sie zum Ausgangswert zurück. Bei stetiger Fortsetzung von x0 aus besitzt folglich die Quadratwurzel Ϋ (x — ßj) {χ — a 2 ) (x — a3) in gegenüberliegenden Punkten der Schnittufer l k , l k gleiche und entgegengesetzte Werte. In der Umgebung eines jeden Punktes ak (k = 1, 2, 3) läßt sich der in (8) unter dem Integralzeichen auftretende Ausdruck in der Form darstellen: ./,

V(x—

1

w

- = F = (s -

w

αχ) (χ — α2) (χ — α3)

β»)

_

—

worin ίβ (χ — ak) eine gewöhnliche, nach positiven ganzen Potenzen von {x — ak) fortschreitende Reihe bedeutet, die in einer gewissen Umgebung von χ = ak konvergiert. Die Integration dieses Ausdrucks ergibt also in der Umgebung von ak η =

c +

(x — at)*]ß (x — ak),

wo c eine Konstante, wieder eine gewöhnliche Potenzreihe ist; η besitzt also an den Stellen α1? α2, a 3 endliche Werte. Um die Stelle χ = oo zu untersuchen, setzen wir (10)

χ =

-ξ,

wodurch = V

_

Γ J

άξ Si 1/(1 -

Ιαι) (1 - Sa*) (1 -

Μ

wird. Dies zeigt, daß η auch an der Stelle ξ = 0, d. h. an der Stelle χ = co endlich ist. Das Integral (8) ist also eine in der ganzen z-Ebene endliche Funktion, ein elliptisches Integral e r s t e r Gattung. Von dem Integral Der Hauptwert von log (ref») = log r + x + 2g3a)3, wo g l5 g3 beliebige ganze Zahlen bedeuten. Die Gesamtheit aller dieser Parallelverschiebungen ist in der aus den drei Drehungen S k zusammengesetzten Gruppe G enthalten, und zwar bilden die Transformationen (21) ihrerseits auch wieder eine Gruppe Γ , also eine U n t e r g r u p p e von G. Offenbar sind die nicht in Γ enthaltenen Transformationen von G in der Form 2ax — η + 2 giCOj + 2g3ö)3 darstellbar. Alle Parallel Verschiebungen (21) entsprechen gewissen Umläufen von χ in der unzerschnittenen Ebene, und zwar sind dies, wie aus (19) hervorgeht, alle und nur diejenigen Umläufe von x, die einer geraden Anzahl von Drehungen 6'2, S3 entsprechen, d. h. also Umläufe um eine gerade Anzahl der Punkte α2, a 3 , oo, oder noch anders ausgedrückt Umläufe, die den Wert der Quadratwurzel }/ (χ — α χ ) {χ — a 2 ) (x — a3) nicht verändern. Eine Darstellung der Grundzüge der Theorie der elliptischen Funktionen von dem hier befolgten Gesichtspunkte aus gibt die Dissertation von H. A x e l , Mitteilungen des Mathem. Seminars der Univ. Gießen, Heft VIII, 1923. 9*

20

Ι· Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

Die große Bedeutung, die dieser Art von Umläufen für unser Problem zukommt, veranlaßt uns, neben der Fläche T ^ noch eine zweite Fläche Τ einzuführen. Während nämlich in Τ { ύ ) alle Umläufe von χ ausgeschlossen sind, die eine Wertänderung von η bewirken, sollen in Τ alle diejenigen Umläufe unmöglich sein, die eine Vermehrung von η um ganzzahlige Vielfache der Perioden nach sich ziehen, so daß also eine Wertänderung der Quadratwurzel stattfinden kann. CO

Fig. 8. zu

liegen

kommen.

T ' herzustellen,

Um

einen

Es soll also Τ ebenso der Gruppe Γ entsprechen wie !Γ(0) der Gruppe G. Wir erhalten eine solche Fläche Τ in einfachster Weise, indem wir uns ein zweites Exemplar 7" von T ^ vorstellen und jedem x-Werte in T ' den entgegengesetzten Wert der Quadratwurzel entsprechen lassen wie in T({)\ Γ ί 0 ) und T ' denken wir uns dann so gelegt, daß die gleichen x-Werten entsprechenden Punkte übereinander Zusammenhang zwischen T ^ und

verschmelzen wir

ζ. B. das

+

negative

Z2 in Γ ( 0 ) mit dem positiven 1'2 des entsprechenden

Ufer l2 von

Schnittes in

Τ'

und das positive Ufer Z2 in T ^ mit dem- negativen 1'2 in T', während + - + — + —die HSchnitte

und l3 mit ihren beiden Ufern Z1? Zl5 Z3, Z3 in Γ ( 0 ) und

in T ' unverändert gelassen werden.

1'3, l 3

Das so entstehende Gebilde Τ ist

wieder einfach zusammenhängend, da es von dem in sich zurücklaufenden Linienzuge Z3, Z3, l3,Z3, Zx, Zx begrenzt wird (vgl. die Fig. 8, wo die in T ' verlaufenden Linien punktiert sind). Betrachten wir dann ζ. B. zwei +

einander gegenüberliegende Punkte χ auf Z3 und x' auf Z3, so ist der Unterschied zwischen den Integralwerten in diesen Punkten

— /·*'

η{χ') — η(χ) = (T)J x und da ist,

+ rat

= l3j z

- /* _ r* l3j + z; j = 0

+ r3 besteht die Relation (20). Es ist für die weitere Untersuchung von Bedeutung zu fragen, ob außer (20) noch andere lineare Relationen zwischen den ω ΐ5 α>2, ω3 mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen. Eine solche Relation ließe sich stets auf die Form (22)

o»! + m2a>3 = 0

bringen, wo m1, m2 teilerfremde ganze Zahlen bedeuten. lösung der diophantischen Gleichung m^x — mg) = 1 ergeben sich ganze Zahlen n v n2, für die

Durch Auf-

22

I. Abschnitt.

Einleitendes.

(23) ist. Bilden wir dann

Beispiele.

m1n2 — m2n1 ω — η1ω1

Elliptische Funktionen.

1

=

-f-

η2ω3,

so ergibt sich mit Rücksicht auf (22) und (23) a)j =

—

ra2a>,

ω3 =

/η1ω,

es würde also aus dem Bestehen der Relation (22) folgen, daß colt co3 ganzzahlige Vielfache von ω sind. Alle Werte des Integrals η wären dann in der Form i?(0> +

2ρω,

2«j

-

η^

+2ρω

darstellbar, wo ρ eine ganze Zahl bedeutet. Die Funktion 2πίη 2m'(2ai — η) (24)

e

+ e

»s

bliebe also bei allen Umläufen von χ ungeändert und wäre demnach eine eindeutige Funktion von x. Da η überdies in der ganzen z-Ebene endlich ist, so wäre die Funktion (24) in der ganzen x-Ebene holomorph, also notwendig konstant. Damit sind wir auf einen Widerspruch geführt, denn ev· kann nicht konstant sein, also auch nicht (24). Es kann also eine Beziehung von der Form (22) nicht bestehen oder mit andern Worten, das Periodenverhältnis ω1 : ω3 kann keinen rationalen Wert haben. Unser Beweis stützt sich wesentlich auf die Endlichkeit von η in der ganzen Ebene, also auf die Voraussetzung, daß die Verzweigungspunkte α1? a2, az endlich und voneinander verschieden sind. Wir werden nun weiter zeigen, daß das Periodenverhältnis ω1 : ω3 überhaupt nicht reell sein, also auch keinen irrationalen reellen Wert annehmen kann. Dazu werden wir au a2, a3f a4 als Funktionen des einen der singulären Punkte, etwa a x , betrachten 1 ). Wir setzen für einen Augenblick in unseren Formeln ζ an die Stelle von ατ und denken uns in rx V

=

J

dx V{x

— z ) ( x — a2) (x —

a3)'

wo wir, wie auch stets im folgenden, die untere Integralgrenze x0 gleich 0 genommen haben, ζ veränderlich. Die α2, α3, a 4 sind dann holomorphe Funktionen von z, wenn ζ auf eine gewisse Umgebung von ζ = beschränkt wird, wo Oj endlich und von a2, a 3 verschieden ist; wir können ja ζ. B. in fa> a 2 =

J

dx 1 / ( x - z ) (χ -

a2) (x

- ^ 3 )

Vgl. E. P i c a r d , Traite d'Analyse II (1905), S. 232.

11. Die Jacobische Thetafunktion.

Der Eindeutigkeitsbeweis.

23

den Integrationsweg so wählen, daß er stets in geeigneter Entfernung von ax verläuft. Dann folgt aber aus der Beziehung (17) oder = «2 — «3 + «4, daß auch ax in der Umgebung von ζ = ax holomorph ist. Also sind auch ft>! und ω3 in der Umgebung von ζ = ax holomorph und es kann auch für ζ = ax weder cox noch ω3 verschwinden, da in diesem Falle eine Relation (22) mit m2 = 0 bzw. mx = 0 bestünde. Also ist auch ojx

=

V[z)

eine in der Umgebung von ζ = ax holomorphe Funktion von z. Wäre nun ψ(αχ) gleich einer reellen Zahl μ, so müßte μ notwendig irrational sein. Dann ließe sich aber stets eine rationale Zahl μ' so angeben, daß \μ' — μ\
+ l)u—ο—u in——oo

+» _ g—a—u £ em*a+mu^ m=—oo Endlich kann man die Nullstellen der Thetafunktion in einfacher Weise bestimmen. Für u = ni + α ergibt sich nach (III)

θ(πί — a) = — θ{πί + «) und wegen (I) und (II) ist weiter

0(ni — α) = θ{α — πί) = θ(α + ni), also

θ(α + ni) = — θ(α + πί). Da 0(u) eine ganze transzendente Funktion, also im Endlichen nirgends unendlich groß ist, folgt aus dieser letzten Gleichung

θ(α + ni) = 0, also nach (II) und (III) allgemein

θ{(2k + 1 )ni + (21 + 1) α) = 0

(IV)

für alle ganzzahligen Werte von k und l. Es fragt sich nun, ob dies auch alle Nullstellen der Thetafunktion sind. Um dies zu entscheiden, betrachten wir in der «-Ebene das Parallelogramm mit den Ecken 0, 2πί, 2ni -f 2a und 2a,das sogenannte P e r i o d e n p a r a l l e l o g r a m m der Thetafunktion (Fig. 9). In diesem liegt die eine Nullstelle u = α + ni. Da bei Vermehrung von u um ganzzahlige Vielfache von 2ni und 2α zufolge der Eigenschaften (II) und (III) die Nullstellen der Thetafunktion in Nullstellen übergehen, so kommt unsere Frage darauf hinaus, ob

Fig. 9.

außer a -{-ni noch andere Nullstellen der Thetafunktion vorhanden sind. Um

11. Die Jacobische Thetafunktion.

Der Eindeutigkeitsbeweis.

25

dies zu entscheiden, bilden wir

das Integral im positiven Sinne erstreckt über die Begrenzung des Periodenparallelogramms. Gemäß der Eigenschaft (II) zerstören sich die Teile des Integrals, die sich auf die beiden in der Richtung des Vektors 2a liegenden Seiten des Parallelogramms beziehen, während die auf die beiden andern Seiten bezüglichen Teile mit Rücksicht auf (III) den Wert 1 ergeben. Da / die Anzahl der Nullstellen von 6.{u) im Innern des Parallelogramms liefert, so ist also gezeigt, daß α + πί die einzige Nullstelle der Thetafunktion im Periodenparallelogramm ist, und damit zugleich, daß die Formel (IV) alle Nullstellen der Thetafunktion umfaßt. Wir betrachten nun an Stelle von η das Integral (25)

"

=

πί fx «Ϊ J )/{x-ax)

dx (x-a2)

(x - ^ 3 ) '

dann treten an die Stelle der Perioden 2 ω ν 2co2, 2 co3 die Größen 2πί,

2πί —2,

2πί — ,

Durch geeignete Wahl der Bezeichnung läßt sich stets erreichen, daß der Koeffizient von i in a>3 : w, positiv, also der reelle Teil von πί -ω1 negativ ausfällt. Wir können folglich mit . ω* α = πι —0>1 die Thetafunktion bilden und denken uns dann in dieser an die Stelle von u den Ausdruck ν — e eingesetzt, wo e eine beliebige Konstante bedeutet. Das so entstehende /

(fa

J J J

(26) 0{* - e ) = 6 [ - J

^

ά

^

Ξ

^

\

Τ

^

)

~ V

wollen wir nun als Funktion von χ betrachten und insbesondere die Nullstellen dieser Funktion aufsuchen. Wenn χ geschlossene Wege beschreibt, bei denen die Quadratwurzel V(x — ax) (x — a2) (x — a 3 ) ihren Wert nicht verändert, so vermehrt sich ν um ganzzahlige Vielfache von 2πϊ und 2a. Beschränken wir nunmehr χ auf die in der Nummer 9 konstruierte zweiblättrige Fläche Τ, so gehört zu jedem Punkte von Τ ein Wert von χ mit einem wohlbestimmten Vorzeichen der Quadratwurzel, also auch ein ganz bestimmter Wert

26

Ι· Abschnitt.

Einleitendes.

Beispiele.

Elliptische Funktionen.

des Integrals c. Es ist folglich auch — e) in Τ eine eindeutige Funktion des Orts, die überdies in Τ allenthalben endliche Werte annimmt. Um die Anzahl der Nullstellen von θ(ν — e) in der Fläche Τ zu bestimmen, bilden wir das Integral j

,'rilogfl(f — e) 7 dx - J1 f' 2jti dx (T) erstreckt über die Begrenzung von T. Beim Durchlaufen dieser Begren1 = =

zung (siehe Fig. 8) werden die Stücke l3, l'3\ l3,13; l[·, l[ jeweils in entgegengesetzter Richtung beschrieben; nach Nummer 9 gehen die -

+

+

-

Werte von η in gegenüberliegenden Punkten von l3, l'z und von Z3, l's durch die Parallel Verschiebung η — 2ω 1} also die entsprechenden Werte von ρ durch die Transformation ν — 2πί auseinander hervor, gleichermaßen die Werte von η bzw. ν in gegenüberliegenden Punkten von l[ und -

+

+

-

ij, l'i durch die Parallelverschiebung η + 2ω3 bzw. ν -f 2a. Es ergibt sich also mit Rücksicht auf die Eigenschaften (II) und (III) der Thetafunktion l _ 1 ^ ni Γ dx ~~ 2πί α>! J ]ί(χ — ßl) (χ — α2) (χ — α3γ _ +

wo das Integral auf der rechten Seite über l[, zu erstrecken ist. Der Wert dieses Integrals ist aber, wie wir schon in der Nummer 9 ausgerechnet haben, gleich — 2 ω1} es ist folglich /=1, d. h. 0(i> — e) verschwindet nur an einer einzigen Stelle der Fläche T, also für einen bestimmten Wert χ — ξ, dem noch ein bestimmter Wert der Quadratwurzel zuzuordnen ist; dabei ist ξ natürlich eine Funktion von e. Stelle (I, ß) von Τ ist nunmehr θ

Für diese

[(ξ'α) ^ — _ ^ = 0 \ ι J V(x — «ι) (x — aa) (x — a3) 1 ω

und folglich, abgesehen von ganzzahligen "Vielfachen von 2a und 2πί, πί — Ι o>i J

Γ d x , = --— e = a -j- πί. V(x — αχ) {x — a2) (x — a3)

Dies besagt aber, daß, wenn der Wert von e + α + πί willkürlich vor

12. Abbildung der Fläche T ( 0 ) auf das Fundamentaldreieck.

27

geschrieben wird, wobei noch von ganzzahligen Vielfachen von 2a und 2πί abgesehen werden kann, die zugehörige Stelle (£, α) eindeutig bestimmt ist, d. h. daß ξ und er eindeutige Funktionen des Integralwertes sind. Dadurch ist nicht nur bewiesen, daß χ eine eindeutige Funktion des Integrals erster Gattung η ist, sondern zugleich dargetan, d a ß d i e B e z i e h u n g z w i s c h e n χ u n d Y(x — α χ ) {x — ö 2 ) (x — a3) d u r c h η u n i formisiert wird.

12. Abbildung der Fläche T ^ auf das Fundamentaldreieck. Wir wollen nun untersuchen, wie die Fläche T ^ durch das Integral erster Gattung auf die ^-Ebene abgebildet wird. Die Abbildung ist konform an allen Stellen, wo η holomorph ist, d. h. überall in der x-Ebene mit Ausnahme der Punkte a v a 2 , a 3 , a 4 = oo. In der Umgebung von ak (k = 1, 2, 3) beginnt die Entwicklung von η nach Potenzen von (χ — ak) mit {x — = a Ί+ b, ζ —μ ζ— μ wo α, b Konstanten bedeuten. "Wäre α ψ 1, so bekämen wir außer dem Doppelpunkte ζ = μ noch einen zweiten, von μ verschiedenen Doppelpunkt der Transformation, das ist aber nicht möglich, weil ja für die Parallelverschiebung der »y-Ebene die beiden Doppelpunkte im Unendlichen vereinigt liegen. Es muß also a = 1 sein und die den Parallelverschiebungen entsprechenden Transformationen der £-Ebene haben demnach die Form 1 1 (4) w = j + b. ' ζ —μ ζ —μ 1 Man nennt die Transformation (3a) eine e l l i p t i s c h e , die Transformation (4) eine p a r a b o l i s c h e . Bei den Verschiebungen der 77-Ebene bleibt jede Länge invariant. Wir können dies auch etwas anders formulieren. Setzen wir η = ρ + so ist | άη |a = dp* + dq2 das Quadrat des Linienelements der 97-Ebene.

Aus (3) folgt nun

2

(5) \άη'\ =\άη\*, d. h. die Verschiebungen der »7-Ebene lassen das Linienelement ungeändert. Nun folgt aus (2) άζ αη ~ iyC + dr wenn wir annehmen, was ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich ist, daß α