Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel. Zweiter Band: Wissenschaftlicher Briefwechsel: Zweiter Band der "Nachgelassenen Schriften ... und wissenschaftlicher Briefwechsel) 3787303316, 9783787303311

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GOTTLOB FREGE ·WISSENSCHAFTLICHER BRIEFWECHSEL

GOTTLOB FREGE

Nachgelassene Schriften und

Wissenschaftlicher Briefwechsel Herausgegeben von

HANS HERMES FRIEDRICH KAMBARTEL FRIEDRICH KAULBACH

ZWEITER BAND

Wissenschaftlicher Briefwechsel

FELIX MEINER VERLAG HAMBURG

GOTTLOB FREGE

Wissenschaftlicher Briefwechsel Herausgegeben, bearbeitet, eingeleitet und mit Anmerkungen versehen von

GOTTFRIED GABRIEL HANS HERMES FRIEDRICH KAMBARTEL CHRISTIAN TRIEL ALBERT VERAART

FELIX MEINER VERLAG HAMBURG

F E L I X M E I N E R V E R L AG

Im Digitaldruck »on demand« hergestelltes, inhaltlich mit der ursprüng lichen Ausgabe identisches Exemplar. Wir bitten um Verständnis für unvermeidliche Abweichungen in der Ausstattung, die der Einzelfertigung geschuldet sind. Weitere Informationen unter: www.meiner.de/bod

Bibliographische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliogra­phi­­sche Daten sind im Internet über ‹http://portal.dnb.de› abrufbar. isbn 978-3-7873-0331-1 ISBN eBook: 978-3-7873-2549-8

© Felix Meiner Verlag GmbH, Hamburg 1976. Alle Rechte vorbehalten. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übertragungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen, soweit es nicht §§  53 und 54 URG ausdrücklich gestatten. Gesamtherstellung: BoD, Norderstedt. Gedruckt auf alterungsbeständigem Werkdruck­papier, hergestellt aus 100 % chlor­frei gebleich­tem Zellstoff. Printed in Germany. www.meiner.de

INHALTSVERZEICHNIS Verwendete Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII Symbolverzeichnis .................................................... XIII Einleitnng der Herausgeber: Geschichte des brieflichen Nachlasses nnd Grundsätze für seine Edition .............................................. XIX

Gottlob Frege, Wissenschaftlicher BriefwechseP) I.

RICHARD AVENARIUS

I/I

Avenarius an Frege 20. 4. 1882

li.

L.

II/1 II/2 II/3 II/4 II/5

Ballue an Ballue an Ballue an Ballue an Ballue an

EuGENE BALLUE

Frege Frege Frege Frege Frege

20. I. 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2. 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 10. 1896 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3. I. 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 4. 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 6 7

III.

BRUNO BAUCH

IIIfl III/2 III/3 III/4 III/5 III/6 III/7 III/8

Bauch an Frege 8. 9. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 11. 9. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 25. 4. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 31. 10. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 26. I. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 30. I. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 7. 4. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauch an Frege 29. 4. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 9 9 9 9 9 9

c. G. BRIX

IV.

WALTER

IVfl IV/2 IV/3 IV/4

Brix an Frege Frege an Brix Brix an Frege Brix an Frege

V.

15. 11. 1890 nndatiert ......................................... . 30. 5. 1891 ........................................ . 9. 5. 1892 ......................................... .

lO 12 13 13

Huao BucHHOLZ

Vfl V/2 V/3 V/4

Frege an Buchholz Frege an Buchholz Frege an Buchholz Buchholz an Frege

VI.

RUDOLF CARNAP

VI/I Camap an Frege

I) Ein

19. 9. 1905• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datum unbekannt• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datum unbekannt• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 6. 191 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 15 15

30. 11. 192h .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

16

* zeigt an, daß der Wortlaut des jeweiligen Schreibens nicht überliefert ist.

VI

Inhaltsverzeichnis

VII.

Loms GouTURAT

VII/I VII/2 VII/3 VII/4 VII/5 VII/6 VII/7

Gouturat an Frege 1. 7. 1899 ................................... . Gouturat an Frege 8. 7. 1899 ................................... . Gouturat an Frege 6. 1. 1901 ................................... . Gouturat an Frege 18. 6. 1901 .................................. . Gouturat an Frege 13. 10. 1901 ................................. . Gouturat an Frege 11. 2. 1904 .................................. . Gouturat an Frege 21. 10. 1906 ................................. .

VIII.

LUDWIG DARMSTAEDTER

VIII/I Frege an Darmstaedter 27. 7. 1919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX.

Huao DINGLER

IX/I IX/2 IX/3 IX/4 IX/5 IX/6 IX/7 IX/8 IX/9 IX/10 IX/11 IX/12 IX/13 IX/14 IX/15 IX/16

Frege an Dingler Frege an Dingler DingleranFregc Frege an Dingler Dingler an Frege Dingler an Frege Frege an Dingler Dingler an Frege Frege an Dingler Frege an Dingler Dingler an Frege Frege an Dingler Frege an Dingler Dingler an Frege Frege an Dingler Frege an Dingler

X.

HORST ENGERT

X/1

Engert an Frege

17 19 20 21 23 25 26 27

2. 10. 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 1. 191 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1917 ..................................... 6. 2. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 2. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 6. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 7. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 7. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 7. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 8. 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 12. 1917• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2. 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 9. 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 11. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 11. 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 4. 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 31 33 37 39 41 42 43 43 43 44 44 44 44 45

9. 12. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

XI.

RunoLF EucKEN

XI/I

Eucken an Frege 8. 11. ?• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

XII.

RICHARD FALCKENBERG

XII/I

Falckenberg an Frege

XIII.

GEoRG GoETZ

16. 6. 1890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

XIII/I Goetz an Frege 7. 11. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII/2 Goetz an Frege 22. 11. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 50

XIV.

RoBERT HAussNER

XIV/I XIV/2 XIV/3 XIV/4 XIV/5 XIV/6 XIV/7 XIV/8

Haußner an Frege 27. 8. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 10. 6. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 3. 11. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 23. 12. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 22. 1. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 31. I. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 10. 2. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haußner an Frege 9. 8. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 51 51 52 52 52 52

Inhaltsverzeichnis XIV/9 XIV/10 XIV/11 XIV/12 XIV/13 XIV/14 XIV/15 XIVj16

Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege Haußner an Frege

XV.

DAVID HILBERT

XV/1 XV/2 XV/3 XV/4 XV/5 XV/6 XV/7 XV/8 XV/9

Frege an Hi1bert Hi1bert an Frege Frege an Hi1bert Hilbert an Frege Frege an Hilbert Hilbert an Frege Frege an Hilbert Hilbert an Frege Hilbert an Frege

XVI.

ARTHUR HoFFMANN

XVI/I XVI/2 XVI/3 XVI/4 XVI/5

Hoffmann Hoffmann Hoffmann Hoffmann Hoffmann

XVII.

RICHARD HöNIGSWALD

XVII/1 XVII/2 XVII/3 XVII/4 XVII/5 XVII/6

Hönigswald an Frege Frege an Hönigswald Hönigswald an Frege Hönigswald an Frege Frege an Hönigswald Hönigswald an Frege

VII

25. 8. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2. 192h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 10. 192h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 12. 192h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 11. 1922• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 12. 1922• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 11. 1924• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 5. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 53 53 53 53 54 54

1. 10. 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 10. 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 12. 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 12. 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 1. 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1. 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 9. 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 9. 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 11. 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 60 65 70 76 77 79 79

an Frege an Frege an Frege an Frege an Frege

28. 10. 1918• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 9. 1919• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 1. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 12. 1920• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 12. 1922• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 2. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 2. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 4. 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 4.- 4. 5. 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 5. 1925• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81 82 82

83 83 84 84 85 87

XVIII. EDWARD V. HUNTINGTON XVIII/1 Frcge an Huntington

undatiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

XIX.

EDMUND HUSSERL

XIX/1 XIX/2 XIX/3 XIX/4 XIX/5 XIX/6 XIX/7

Frege an Husserl 24. 5. 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Husserl an Frege 18. 7. 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 FregeanHusserl 30.10.-1.11.1906 ........................... 101 Husserl an Frege 10. 11. 1906• ................................. 105 Husserl an Frege 16. 11. 1906• ................................. 105 Frege an Husserl 9. 12. 1906 ................................... 105 Husser1 an Frege 21. 12. 1906- 13. 1. 1907• ...................... 107

XX.

E. E. CONSTANCE jONES

XX/1 XX/2 XX/3

Jones an Frege 29. 10. 1910• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Frege anjones 26. 3. 191h .................................... 108 Jones an Frege 1. 4. 191 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VIII

Iohaltsverzeichnis

XXI.

PHILIP E. B.jOURDAIN

XXI/I XXI/2 XXI/3 XXI/4 XXI/5 XXI/6 XXI/7 XXI/8 XXI/9 XXI/10 XXI/11 XXI/I2 XXI/I3 XXI/I4

Jourdain an Frege Frege anJourdain Frege anJourdain Jourdain an Frege Jourdain an Frege Jourdain an Frege Jourdain an Frege Jourdain an Frege Frege an Jourdain Jourdain an Frege Jourdain an Frege Frege anJourdain Frege anJourdain Jourdain an Frege

XXII.

FELIX KLEIN

XXII/I

Klein an Frege

7. 9. I902 . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . .. .. .. . .. . . . . 23. 9. I902 ................................ 2I[?]. 3. I904 ............................. 22. 3. I904 .. .. .. .. . .. . . . .. .. . .. .. .. . .. .. . . 28. 1. 1909 .. . .. . .. . . . . . . .. . . . .. .. . .. . . .. . . I5. 2. 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I6. 4. 19IO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. 19IO .. .. .. .. .. .. . .. . . . . . .. . . . . .. .. .. ohne Datum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3. I9I3 . . .. . . .. .. .. .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . I5. 1. I9I4 . .. .. .. . . .. .. . . . . . . .. . .. .. . .. .. . undatiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 1. I9I4 ................................ I8. 4. I9I4• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I4. 8. I88I

110 11I 112 112 113 II3 II4 114 II4 I24 I25 I26 I29 I33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I34

XXIII.

EDUARD KNOCH

XXIII/I XXIII/2

Knoch an Frege 28. 6. I893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Knoch an Frege Il. 7. I893 .................................. 137

XXIV.

WILHELM KoEBNER

XXIV/I XXIV/2 XXIV/3 XXIV/4

Koebner an Frege Frege an Koebner Koebner an Frege Frege an Koebner

XXV.

ALWIN REINHOLD KoRSELT

XXV/I XXV/2 XXV/3 XXV/4 XXV/5

Korseit an Frege Frege an Korseit Korseit an Frege Korseit an Frege Korseit an Frege

23. 1. I89I• .............................. . 8. 2. 1891• ............................... . I8. 2. I89I ............................... . undatiert 21. 6. I903 ................................. 26. 6. I903• ................................ 27. 6. 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 6. I903 ................................. 5. 1. I920• .................................

138 I38 I38 I39 14I 142 I42 I44 I#

XXVI.

XAvmR LioN

XXVI/I

Leon an Frege 4. I2. I894 . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . . . . . . . .. . . .. .. . 145

XXVII.

HEINRICH LIEBMANN

XXVII/I XXVII/2

Frege an Liebmann 29. 7. I900 Frege an Liebmann 25. 8. I900

XXVIII.

PAUL LINKE

147 149

XXVIII/I Linke an Frege 2. 8. I916• .................................. 152 XXVIII/2 Frege an Linke 24. 8. 1919 . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. . . I53 XXIX.

LEOPOLD LÖWENHEIM

XXIX/I XXIX/2 XXIX/3 XXIX/4

Löwenheim an Frege Datum unbekannt• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frege an Löwenheim I6. 9. I908• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frege an Löwenheim 29. Il. I908• ........................... Löwenheim an Frege 6. I2. I908• ............................

159 160 160 160

Inhaltsverzeichnis XXIX/5 XXIXJ6 XXIX/7 XXIX/8 XXIXJ9 XXIX/10 XXIX/I I XXIX/I2 XXIX/I3 XXIX/I4 XXIXJI5 XXIXJI6 XXIX/I7 XXIXJI8 XXIX/I9 XXIX/20

Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege Frege an Löwenheim Löwenheim an Frege

21. I2. I908• .......................... 23. I2. I908• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 12. 1908• .......................... 3. 1. 1909• ............................ 24. 1. 1909• ........................... Datum unbekannt• ..................... 13. 2. 1909• ........................... 18. 2. 1909• ........................... 12. 3. 1909• ........................... Datum unbekannt• ..................... 26. 3. 1909• ........................... 5. 4. 1909• ............................ 16. 5. 1909• ........................... 29. 5. 1909• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 4. 1910• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 5. 1910• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 I6I 161

XXX.

ANTON MARTY

XXX/I

Frege an Marty 29. 8. 1882 ................................. 163

XXXI.

ADOLPH MAYER

XXXI/I XXXI/2

Mayer an Frege 9. 6. 1896 .................................. I66 Mayer an Frege 6. 7. 1896 .................................. 167

XXXII.

CHARLES KAY ÜGDEN

XXXII/I

Ogden an Frege

27. 11. 1921• ............................... 168

XXXIII.

MoRITZ PASCH

XXXIIIfl XXXIII/2 XXXIII/3 XXXIII/4 XXXIII/5 XXXIII/6 XXXIII/7 XXXIII/8

Pasch an Frege 11. 2. 1894 .................................. Frege an Pasch 13. 10. 1896• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pasch an Frege I4. 10. 1896 ................................. Pasch an Frege 14. 11. 1899 ................................. Pasch an Frege I8. 1. I903 .................................. Frege an Pasch 18. 4. I904• ................................. Pasch an Frege 7. 1. I905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pasch an Frege I3. 11. I906 .................................

XXXIV.

GIUSEPPE PEANO

XXXIV/I XXXIV/2 XXXIV/3 XXXIV/4 XXXIV/5 XXXIV/6 XXXIV/7 XXXIV/8 XXXIV/9 XXXIV/10 XXXIV/li XXXIVJI2

Frege an Peano Peano an Frege Peano an Frege Peano an Frege Peano an Frege Peano an Frege Frege an Peano Peano an Frege Peano an Frege Peano an Frege Frege an Peano Peano an Frege

undatiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 1. 1894 ................................. 10. 2. I894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 8. I895 ................................. 24. 10. I895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 4. I896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 9. 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . undatiert ................................... 3. 10. I896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I4. 10. I896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ohne Datum ............................... 7. 1. 1903 ..................................

XXXV.

HEINRICH R.JCKERT

XXXV/I

Rickert an Frege

169 170 170 17I 172 172 I73 I74 I76 I77 I78 I79 I80 I80 18I I86 I88 I88 I94 198

28. 6. 1911• •.•...........•................ 199

X

Inhaltsverzeichnis

XXXVI.

BERTRAND RussELL

XXXVI/I XXXVI/2 XXXVI/3 XXXVI/4 XXXVI/5 XXXVI/6 XXXVI/7 XXXVI/8 XXXVI/9 XXXVI/10 XXXVI/li XXXVI/12 XXXVI/13 XXXVI/14 XXXVIfiS XXXVI/16 XXXVI/17 XXXVIfiS XXXVI/19 XXXVI/20 XXXVI/21

Russen an Frege Frege an Russen Russen an Frege Frege an Russen Russen an Frege Russell an Frege Frege an Russell Frege an Russell Russell an Frege Frege an Russell Russell an Frege Frege an Russell Russell an Frege Frege an Russell Russell an Frege Frege an Russell Russell an Frege Frege an Russell Russell an Frege Russell an Frege Frege an Russell

I6. 6. I902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 6. I902 ................................ 24. 6. I902 ................................ 29. 6. I902 ................................ IO. 7. I902 ................................ 24. 7. I902 ................................ 28. 7. I902 ................................ 3. 8. I902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 8. I902 ................................. 23. 9. I902 ................................ 29. 9. I902 ................................ 20. 10. I902 ............................... I2. I2. I902 ............................... 28. I2. I902 ............................... 20. 2. I903 ................................ 21. 5. I903 ................................ 24. 5. I903 ................................ I3. Il. I904 ............................... I2. 12. I904 ............................... I6. 3. [I9I2]• ............................. 9. 6. I9I2 .................................

XXXVII.

SCHEFFER

XXXVII/I

Scheffer an Frege

XXXVIII.

OscAR ScHLÖMILCH

I7. 7. I9I h

XXXVIII/I Schlömilch an Frege

2II 2I2 2I5 2I7 2I9 22I 222 225 226 227 230 23I 233 234 237 239 24I 243 243 25I 252

.............................. 253

22. 6. I88I

............................ 254

XXXIX.

HANS SPIESER

XXXIX/I XXXIX/2 XXXIX/3

Frege an Spieser ... Il. I9I4• .............................. 255 Spieser an Frege 7. I2. I9I4• ............................... 255 Spieser an Frege 29. I2. I9I4• .............................. 255

XL.

CARL STUMPF

XL/I

Stumpf an Frege 9. 9. I882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

XLI.

jOHANNES THOMAE

XLI/I

Thomae an Frege

XLII.

HERMANN ULRICI

XLII/I

Ulrici an Frege

XLIII.

GIOVANNI VAILATI

XLIII/I XLIII/2 XLIII/3

Vailati an Frege I7. 3. I904 ................................ 260 Vailati an Frege 5. 5. I906 ................................. 262 Frege an Vailati Datum unbekannt• ........................ 262

XLIV.

NoRBERT WrnNER

XLIV/I

Wiener an Frege

10. I2. I920• ............................. 258

I8. 9. I88I ................................. 259

29. 5. I9I4• ............................... 263

Inhaltsverzeichnis XLV.

LuowiG

XLV/1 XLV/2 XLV/3 XLV/4 XLV/5 XLV/6 XL V/7 XLV/8 XLV/9 XLV/10 XLV/11 XLV/12 XLV/13 XLV/14 XLV/15 XLV/16 XLV/17 XLV/18 XLV/19 XLV/20 XLV/21 XLV/22 XLV/23 XLV/24

Wittgenstein an Frege 22. 10. 1913• ............................ Frcge an Wittgenstein Datum unbekannt• ....................... Wittgenstein an Frege 29. 11. 1913• ............................ Wittgenstein an Frege Datum unbekannt• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frege an Wittgenstein Datum unbekannt• ....................... Wittgenstein an Frege 25. 8. 1915• ............................. Frege an Wittgenstein Datum unbekanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wittgenstein an Frege Datum unbekannt• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wittgenstein an Frege 12. 10. 1918• ............................ Wittgenstein an Frege 26. 10. 1918• ............................ Wittgensteins Schwester an Frege 24. 12. 1918• ................... Wittgenstein an Frege 23. 2. 1919• ............................. Wittgensteins Schwester an Frege 19. 3. 1919• ................... Wittgensteins Schwester an Frege 28. 3. 1919• ................... Wittgenstein an Frege 10. 4. 1919• ............................. Wittgenstein an Frege 9. 6. 1919• .............................. Wittgensteins Schwester an Frege 7. 7. 1919• .................... Wittgensteins Schwester an Frege 17. 7. 1919• ................... Wittgenstein an Frege 3. 8. 1919• .............................. Wittgensteins Schwester an Frege 28. 8. 1919• ................... Wittgenstein an Frege 6. 9. 1919• .............................. Wittgenstein an Frege 16. 9. 1919• ............................ Wittgenstein an Frege undatiert• .............................. Wittgenstein an Frege 29. 12. 1919• ............................

XLVI.

KARL ZsrGMONDY

XI

WrrrGENSTEIN

XLVI/I Frege an Zsigmondy

265 265 266 266 266 266 266 266 266 266 266 267 267 267 267 267 267 267 267 267 267 268 268 268

undatiert ................................. 269

Anhang Zu XXI/10: Kapitel Gottlob Frege aus Philip E. B. Jourdain: The development

of the theories of mathematicallogic and the principles of mathematics. . . . . . . . 275

Sach- und Personenregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

VERWENDETE ABKÜRZUNGEN Ziffern in Winkelklammern () beziehen sich auf die Nummern der Bibliographie, die in NSchrWB I, pp. 305-312, abgedruckt ist. Begriffsschrift ( 4) Ueber Begriffund Gegenstand (17) FB Function und Begriff (14) GGAI Grundgesetze der Arithmetik I (19) ]] Grundgesetze der Arithmetik li (26) GLA Die Grundlagen der Arithmetik (9) GLGI Über die Grundlagen der Geometrie (27) ]] Über die Grundlagen der Geometrie (28) IIIl Über die Grundlagen der Geometrie (30) III2 Über die Grundlagen der Geometrie (31) 1113 Über die Grundlagen der Geometrie (32) NSchrWBI = Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel: Nachgelassene Schriften 11= Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel: Wissenschaftlicher Briefwechsel SB Über Sinn und Bedeutung (16) SchArch Scholz-Archiv (das von Heinrich Scholz zum Zwecke der Edition angelegte Frege-Archiv) SchLl-3 Scholz-Listen (die von Scholz und seinen Mitarbeitern angefertigten Verzeichnisse des Vorkriegsbestandes des SchArch, die überwiegend Angaben zum Inhalt der Briefe enthalten) SchNachl Nachlaß von Scholz (im Besitz des Instituts für mathematische Logik und Grundlagenforschung der Universität Münster und von Frau Erna Scholz in München) SlgDarmst Sammlung Darmstaedter. (Umfangreiche Autographensammlung im Besitz der Staatsbibliothek Preussischer Kulturbesitz (Berlin). Cf. dazu p. 27. Die einzelnen Schreiben sind in der SlgDarmst jeweils unter dem Absender eingeordnet. Nach Auskunft der Staatsbibliothek vom 16. 9. 1971 setzen sich die Signaturen zusammen aus Großbuchstaben oder arabischen Ziffern mit kleinem Buchstaben, die für ein bestimmtes Wissenschaftsgebiet stehen (z. B. "H" für Mathematik), und der Ziffer für das .Jahr, in dem der betreffende Forscher zum ersten Male wissenschaftlich hervorgetreten ist.) BS BuG

SYMBOLVERZEICHNIS Das Symbolverzeichnis erläutert die von den Herausgebern und den Briefautoren verwendeten logisch-rnathematischen Symbole. Gebräuchliche mathematische Symbole wie z. B. "y" oder ">" werden nicht erklärt. Die von Frege eingeführten Symbole werden nur dann noch eigens erläutert, sofern dies nicht bereits in NSchr WB I, pp. XXV geschehen ist. Die von den Herausgebern zu Erläuterungszwecken verwendeten modernen Symbole werden von denen der Briefautoren getrennt aufgeführt. Alle Symbole werden in der Reihenfolge ihres ersten Auftretens erläutert. Die Stelle ihres ersten Vorkommens wird durch Angabe der entsprechenden Seitenzahl, die vor dem entsprechenden Symbol steht, kenntlich gemacht. Kommen mehrere Symbole auf derselben Seite zum erstenmal vor, so wird die entsprechende Seitenzahl nicht wiederholt angeführt. Für die Bestimmung des ersten Auftretens der von den Briefautoren verwendeten Symbole werden nur die Schreiben selbst, nicht aber die Herausgebertexte berücksichtigt.

I. Die von den Herausgebern verwendeten Symbole

143

{P}

Zeichen für die Klasse, die als einziges Element P enthält

190

-+

Subjunktor

1\

Konjunktor

~

Bisubjunktor

c

203

Inklusionszeichen

...,

Negator

1\

Allquantor

!::;;

Zeichen für "enthalten oder gleich sein"

E

Heutiges Elementzeichen (Element von)

$

Zeichen des Nichtbesteheus der Elementbeziehung, so daß "x$M" bedeutet:"-, xeM" (nicht Element von)

E..,

Mengenabstraktor ("E..,A (x)" bedeutet die durch die Aussageform "A (x)" dargestellte Menge der x, die die durch "A (x)" ausgedrückte Bedingung erfüllen)

207

~

225

E..,,"

Zeichen der Definitionsgleichheit Relationsabstraktor ("e..,,"B (x,y)" bedeutet die durch die Aussageform "B (x,y)" dargestellte Beziehung zwischen Elementen, die die durch diese Aussageform ausgedrückte Bedingung erfüllen)

XIV 250

Symbolverzeichnis lA

Indefiniter Allquantor (zur Quantifikation über Bereiche von Zeichen, die nicht durch einen Kalkül erfaßt werden können)

..A..

Zeichen für "Falsum", d. h. schematische Konstante, die eine beliebige falsche Aussage vertritt

2. Die von den Briefautoren verwendeten Symbole 20

A+B

Adjunktion (Alternative) von A und B

't"

wahr falsch

e

gewiß

6

veränderlich (zeitweilig, bezogen auf bestimmte Umstände, wahr)

7j

unmöglich

A:B

MacColls Implikation

A=€B

Schröders Implikation

A->Les unites arithmetiques ne sont pas, dans leur essence, des objets, mais jouent neanmoins le röle d'objets. On pourrait les appeler des objets fictifs>Italo Zignago (Genes)>Newton de Ia Logique mathematique I, so a2 > I). Der ganze Satz erhält dadurch den Charakter eines Gesetzes, nämlich Allgemeinheit des Inhalts. Aber nehmen wir erst einmal an, dass die Buchstaben l>AB>AA. 2

146

Xavier Leon

L'article que vous m'avez adresse est tres bien ecrit en franc;ais et les fautes que vous me priez de corriger sont bien rares. Je comprends pourtant la difficulte que vous devez eprouver a ecrire dans une Iangue qui n'est pas la vötre et je souscris a votre proposition d'ecrire en allemand les articles que vous voudrez bien nous confier a l'avenir; je les ferai traduire et vous enverrai la traduction. Peut etre seulement causera-t-il quelque retard dans leur publication. Je vous prie, Monsieur, de bien vouloir transmettre a Mr R. Eucken 3 ) mes compliments respectueux, et d'agreer pour vous, avec tous mes remerciements, l'assurance de ma haute consideration. Xavier Leon 3

Der Philosoph Rudolf Eucken lehrte seit 1874 an der Universität Jena.

XXVII. FREGE- LIEBMANN Einleitung des Herausgebers Der Mathematiker Heinrich Liebmann (1874--1939), zwischen 1920 und 1935 Ordinarius der Mathematik an der Universität Heidelberg, war 1897-1899 Assistent an der Mathematischen Modellsammlung der Universität Göttingen. Er hatte im Wintersemester 1898/99 Hilberts Vorlesung Elemente der Euklidischen Geometrie gehört, deren von Hilberts Assistent H. von Schaper besorgte, in 70 autographierten Exemplaren ausgegebene Ausarbeitung einen Vorläufer von Hilberts Grundlagen der Geometrie darstellt. H. Liebmann reichte die Ausarbeitung an den ihm als Kollegen seines Vaters, des Jenaer Philosophen Otto Liebmann, verbundenen Frege weiter. Daraus ergab sich ein brieflicher Kontakt, der, soweit bekannt, auf das Jahr 1900 beschränkt blieb und in zwei Schreiben Freges an Liebmann bestanden hat. Freges erster Brief (XXVII/I) ist ein der Rücksendung der Hilbertschen Vorlesung beigefügtes Begleitschreiben, das vor allem auf die Vermischung von Axiomen und Definitionen in den von Hilbert seiner Axiomatik der Geometrie beigegebenen Erklärungen kritisch eingeht und starke Übereinstimmungen mit Freges Brief an Hilbert vom 6. 1. 1900 (XV/5) zeigt. Frege führt gegenüber Liebmann insbesondere ein bereits Hilbert (cf. oben p. 71) angedeutetes Bedenken näher aus, wonach (wenn der Herausgeber Frege richtig versteht) aus der Existenz eines Modells für ein formal verstandenes Axiomensystem nicht auf die Widerspruchsfreiheit einer anderen Interpretation geschlossen werden darf (cf. auch gleich unten p. 149, Anm. 6).Zur weiteren Erläuterung der Einwände gegen Hilberts Axiomatikverständnis übermittelt Frege Liebmann dann mit einem zweiten Brief (XXVII/2) Abschriften der wesentlichen Teile von drei mit Hilbert um die Jahreswende 1899/1900 gewechselten Briefen (XV/3-5). Der Brief beschäftigt sich fast ausschließlich mit der Erläuterung der Fregeschen These, Hilbert wolle durch seine axiomatischen Definitionen Begriffe 2. Stufe definieren. Der bekannte Teil des Briefwechsels beschränkt sich auf die beiden genannten Briefe Freges an Liebmann. Die Briefe sind bereits von M. Steck 1940 bzw. 1941 in " knüpften, cf. außer den in Anm. 2 genannten Publikationen Freges auch vor allem die nachgelassene Schrift Begründung meiner strengeren Grundsätze des Definierens, NSchrWB I, pp. 164-170, ferner den Briefwechsel XXXIV Frege-Peano.

171

Moritz Pasch

XXXIII/4

PASCH an FREGE

14. 11. 18991) Gießen, 14. November 1899.

Sehr geehrter Herr Kollege! Sie haben die Freundlichkeit gehabt, mir Ihre Schrift über die Schubert'sehen Zahlen2 ) zu übersenden. Ich habe dieselbe mit um so größerem Interesse gelesen, als ich die Empfindungen, die Sie gegenüber gewissen Erscheinungen in der mathematischen Litteratur hegen, durchaus theile. Aber wie schwer ist es, diesem Zustande abzuhelfen! Wenn in unsernmathematischen Büchern fast über keine Grundfrage befriedigender Aufschluß zu finden ist, so liegt das meines Erachtens nur zum Theil an der Unfähigkeit oder Gleichgültigkeit der Verfasser. Es hat sich allzuviel Stoff angesammelt, und wenn man zu sichten versucht, so bleibt man auf Schritt und Tritt stehen. Der Einzelne kann demgegenüber nur wenig thun. Wenn Sie ironisch ausrufen: Wieviel Kräfte werden durch solche Fragen von den Hauptsachen abgelenkt! 3), so ist in diesem Gedanken doch auch Wahres enthalten. Wessen Blick sich durch Betrachtungen, wie Sie sie anstellen, und wie ich nicht anstehe, sie für dringend wünschenswerth zu halten, für Lücken in Definitionen und Beweisen geschärft hat, der wird zum Nachdenken über tiefere Fragen immer wieder hingedrängt und muß dem eigentlichen Stoffe Zeit entziehen. Was wird aber dann aus der Lehrthätigkeit? Die Bücher, in denen so recht ohne Bedenken vorwärtsgegangen wird, bewähren sich bei den Lernenden am meisten,viel lrrthum und ein Fünkchen Wahrheit. Diese Erkenntniß mag schmerzlich sein, aber der Thatsache kann man sich nicht verschließen. Viele stellen sich auf den Standpunkt, die Mathematik habe nur Folgerungen zu ziehen aus einem gewissen Material (etwa dem Inhalt der Elementarmathematik), dessen Kritik den Mathematiker nichts angehe. Das ist wenigstens ein deutlicher Standpunkt. Vielleicht ist es dieser Standpunkt, von dem aus Mathematiker von Ruf es fertig bringen, Schriften anzuerkennen, von denen man sich schaudernd abwenden möchte. Ihrem Unternehmen, kräftig für die echte Wissenschaft einzutreten, wünsche ich den größten Erfolg. Die Schwierigkeit, die der Gegenstand bietet, haben Sie, wie mir scheint, durch die Klarheit und Faßlichkeit Ihrer Darstellung glücklich überwunden. Indem ich Sie bitte, für die geschätzte Sendung meinen aufrichtigsten Dank anzunehmen, bleibe ich in vorzüglicher Hochachtung Ihr ergebener M. Pasch. 1 2 3

Das Original befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. Ueber die Zahlen des Herrn H. Schubert (25). Cf.l.c. p. IV.

Moritz Pasch

172 XXXIII/5

PAScH an FREGE

18. 1. 19031 ) Gießen, 18. Januar 1903.

Sehr geehrter Herr Kollege! Die freundliche Sendung, mit der Sie mich beehrt haben2), hat mich zu einer Zeit erreicht, wo ich mit dem Gegenstande Ihrer Untersuchungen eingehend beschäftigt bin, weil ich mich in einer Vorlesung darüber auszusprechen habe. Schon aus diesem Grunde habe ich sofort Ihr Buch vorgenommen und gelesen, soweit dies möglich ist, ohne Ihre Begriffsschrift zu beherrschen; das Letztere ist mir in meinen Jahren und bei der starken Inanspruchnahme der Zeit nicht möglich. Das Gefühl, daß die Grundlagen der Analysis der Klarlegung bedürfen, ist wohl verbreitet, aber mit der Ausführung ist es nicht gut bestellt. Und doch kann das Entsprechende für die Geometrie und die Mechanik nicht eher mit Erfolg unternommen werden. Sie, geehrter Herr Kollege, sind einer der Wenigen, welche die Aufgabe in ihrer ganzen Tiefe erfassen, vielleicht der Einzige, der sich von Redensartliehern streng fernhält. Ihre Kritik an dem Vorhandenen erscheint mir durchaus berechtigt, wenn ich auch theilweise den von Ihnen geltend gemachten Gegengründen nicht zustimmen kann. Überhaupt glaube ich, Ihren positiven Aufstellungen mich nicht oder nicht ohne Weiteres anschließen zu können. Dies näher darzulegen, ist mir im Rahmen eines Briefes und bei der augenblicklich mir arg beschränkten Zeit leider unmöglich. Ich möchte aber wenigstens, gegenüber den Forderungen, die Sie an Definitionen stellen, Seite 69ff., die Frage aufwerfen, wie dann z.B. die unendlich fernen Punkte erklärt werden sollen. Empfangen Sie meinen aufrichtigsten Dank für die gütige Übersendung Ihres so werthvollen Buches und verzeihen Sie freundlichst, wenn mein Brief nicht näher auf den reichen Inhalt eingeht. Ich würde mich sehr freuen, wenn ich das bei späterer Gelegenheit wieder gut machen könnte. Mit dem Wunsche, daß Ihr Werk viele ernste Leser finden möchte, bin ich Ihr ergebener M. Pasch. XXXIII/6

FREGE an PASCH

18. 4. 19041 )

Hrsg.: SchLJ verzeichnet zum Inhalt des dem Brief zugrunde liegenden Entwurfes: Ober die Einführung der unendlich fernen Punkte. Frege ist in diesem Brief (cf. auch den

folgenden Brief von Pasch aus dem Jahre 1905) mit über einem Jahr Verspätung Das Original befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. Frege hatte Pasch GGA Il geschickt. 6 1 Das Original ist wahrscheinlich von Pasch vernichtet worden. SchLl-3 weisen einen fragmentarischen Entwurf Freges zu diesem Briefe aus, der sich im SchArch befand und verlorengegangen ist. 1

2

Moritz Pasch

173

auf die Frage in Paschs Brief vom 18. 1. 1903 zurückgekommen, wie man angesichts der Fregeschen Anforderungen an Definitionen z.B. die Rede von den unendlich fernen Punkten in der Geometrie ordnungsgemäß einführen könne. Offenbar hat Frege zu diesem Problem vorgeschlagen, die unendlich fernen Punkte durch Abstraktion zu definieren, nämlich als Klassenjeweils aller zu einer bestimmten Geraden parallelen Geraden. Diese Einführung entspräche praktisch der Definition der Geradenrichtungen in GLA, § 68: "die Richtung der Gerade a ist der Umfang des Begriffes ,parallel der Gerade a' ". Faßt man die Begriffsumfänge als Klassen auf, so ist "der unendlich ferne Punkt der Geraden a" nur eine andere fa~on de parler für "die Richtung von a".

XXXIII/7

PASCH

an FREGE

7. 1. 19051) Gießen, 7.Januar 1905.

Sehr geehrter Herr Kollege! Sie waren so freundlich, auf eine Bemerkung, die ich am 18.Januar 1903 gemacht hatte2), zurückzukommen und sich über die Einführung der unendlich fernen Elemente eingehend auszusprechen, und doch habe ich Ihren Brief vom 18. April 1904 noch nicht erwidert. Es ging mir ähnlich, wie Sie von sich schreiben. Andere Dinge beschäftigten mich lebhaft, und da reißt man sich so schwer heraus. Überdies kann ich Ihnen nichts Befriedigendes schreiben. Die Art, wie Sie vorgehen, ist in sich folgerichtig und abgeschlossen; ich kann sie aber mit meinem Standpunkt nicht vereinigen. Mir scheint schon der Begriff "Klasse", z.B. Klasse der einer euklidischen Geraden parallelen eukl. Geraden, einer Definition bedürftig3 ), und ich weiß nicht, wie man sie definieren soll, ohne von dem Recht Gebrauch zu machen, eine ganze Redewendung definieren zu dürfen. In diesem Sinn habe ich die idealen Elemente in meiner Geometrie 1882 definiert4), und zwar auch für den Fall Nichteuklidischer Geometrie. Ich halte zwar heut meine damalige Darstellung nicht mehr für genau genug im Einzelnen, möchte sie aber im Ganzen aufrecht erhalten. Für den Fall Nichteuklidischer Geometrie müßten Ihre Definitionen wohl erhebliche Änderungen erfahren. Für den Fall der EuklidiDas Original befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. Cf. XXXIII/5. 3 Offenbar hatte Frege in seinem Briefvom 18. 4. 1904 (XXXIII/6) vorgeschlagen, die unendlich fernen Punkte mit den Klassen der einer bestimmten Geraden parallelen Geraden zu identifizieren. 4 Pasch gewinnt die unendlich fernen Punkte ähnlich, wie Frege es vorschlägt: Er ordnet Aussagen über einen Punkt Aussagen über das "Strahlenbündel" der Geraden durch diesen Punkt zu und setzt diese Zuordnung über die fa~on de parler von den unendlich fernen Punkten auch für die "uneigentlichen" Strahlenbündel von zueinander parallelen Geraden fort. Entsprechend dem oben im Brief Gesagten vermeidet er es dabei, die Strahlenbündel als abstrakte Gegenstände aufzufassen, sondern beschränkt sich weitgehend auf die Redeweise , , ... ist ein Strahl des durch zwei Geraden e,jbestimmten Strahlenbündels". 1

2

174

Moritz Pasch

sehen Geometrie wird bei Ihnen der unendlich ferne Punkt Kund die Klasse K der einer gewissen euklidischen Geraden parallelen eukl. Geraden ein- und dasselbe Ding; m.a.W.: die Klasse der durch K gehenden euklidischen Geraden ist K selbst. Daraus dürften U nzuträglichkeiten entstehen können. Sie wollen, daß von "Punkten" zunächst nicht gesprochen wird, weil man darunter später etwas Weiteres versteht, nicht bloß den euklidischen Punkt. Aber auch nach der Einführung der euklidischen und der unendlich fernen Punkte ist die Sache nicht abgeschlossen; es kommen noch imaginäre Punkte. Ich denke, daß Ihre, mir vollkommen einleuchtende Absicht auch erreicht wird, wenn man zunächst von "Punkten" ohne Beiwort spricht, dann die Anwendung des Wortes "Punkt" ausdehnt und dabei ausspricht, daß in allen vorangegangenen Sätzen und Definitionen das Wort "Punkt" nur in dem ursprünglichen Sinn zu verstehen ist. So habe ich es a.a.O. gemacht, und so machen es Andere, wenn auch nicht immer mit der nöthigen Schärfe. Wie sehr es in der mathematischen Litteratur an Schärfe fehlt, haben Sie ja mehrfach ausgesprochen. Die Abneigung gegen wahre Klarheit ist groß, was eigentlich unbegreiflich ist, aber offenbar in der menschlichen Natur begründet. Um so werthvoller waren mir Ihre Darlegungen, für die ich Ihnen bestens danke. Ihr hochachtungsvoll ergebener M. Pasch. XXXIII/8

PASCH

an

FREGE

13. 11. 19061) Gießen, 13. November 1906.

Hochgeehrter Herr Kollege! Mit Interesse verfolge ich die Meinungsäußerungen zu den Grundfragen der Mathematik, die in neuester Zeit wieder lebhaft ausgetauscht werden. Durch Ihr Eingreifen, von dem auch die mir gütigst zugesandte Schrift2) Zeugniß ablegt, erfahren jene Fragen dankenswerthe Förderung. Die Gewissen, die in dieser Hinsicht etwas lau zu sein pflegen, werden dadurch geschärft. Ich glaube zwar, daß ich nicht in Allem auf Ihrem Standpunkt stehe, muß mir aber aus Mangel an Zeit versagen, dies näher zu untersuchen und darzulegen. Vielmehr muß ich mich auf den Ausdruck herzlichen Dankes beschränken, mit dem ich bin Ihr hochachtungsvoll ergebener M. Pasch. Das Original befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. In Frage kommen Freges Abhandlung GLG //11-3 und seine Antwort arif die Ferienplauderei des Herrn Tlwmae x,y, =x,y) 2 ) einzuführen und geben damit unser "es giebt" (esistono degli) wieder. Vergleichen Sie damit rnein"~a2 =1" (esgiebtQuadratwurzeln aus Eins). Diese Übereinstimmung in der Sache bei aller Verschiedenheit in der Form ist mir um so werthvoller, als bei den meisten Logikern grosse Unklarheit über das Wesen dieser Existentialurtheile zu herrschen scheint, und zwar bei den Nachfolgern Booles ebenso wie bei den psychologischen Logikern, obwohl schon Kant in seiner Kritik des ontologischen Beweises vorn Dasein Gottes auf der richtigen Fährte gewesen zu sein scheint. Ihre Allgerneinheitsbezeichnung hilft einem wesentlichen Mangel der booleschen Logik ab; doch ist sie vielleicht weniger allgemein anwendbar als meine, und ich weiss nicht, ob man in allen Fällen das Gebiet der Allgemeinheit sicher wird abgrenzen können. Die Buchstaben x und y gebrauchen Sie, um die Allgemeinheit auf einen Theil des Satzes zu beschränken, also wo ich deutsche Buchstaben verwende. Wenn aber das Gebiet der Allgemeinheit den ganzen Satz umfassen soll, bedienen Sie sich der andern lateinischen Buchstaben ebenso wie ich. So soll z.B. Ihr Satz § 2 P6 in "Sul concetto di numero" 3) allgemein gelten, was auch a sei. Da, wo Sie Ihre Zeichen erklären, aber noch keine Anwendung von ihnen machen, gebrauchen Sie die lateinischen Buchstaben freilich noch in anderer Weise, nämlich so wie ich die grossen griechischen, aber das ist nebensächlich.

1 Das Original dieses Entwurfs eines Briefes von Frege an Peano befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1884. In dem Entwurf wird die Schrift Peanos Sul concetto di numero in Rivista di matematica 1 (1891), pp. 87-102, 256-267 erwähnt. Damit ist der Entwurffrühestens im Jahre 1891 zu datieren. Andererseits legt Freges Bemerkung, daß er der italienischen Sprache unkundig sei, es nahe zu vermuten, daß dies der erste Brief Freges an Peano ist. 2 Das Zeichen":::>" ersetzt in der Druckfassung dieses Briefwechsels das in den Originalen von Frege und Peano verwendete Zeichen":]", den auf dem Kopf stehenden großen Anfangsbuchstaben des Wortes "contient". Diese Ersetzung steht in Einklang mit Peanos späterer Einführung von,,::>" für":]". 3 Cf. Anm.1.

Giuseppe Peano

177

Mit der Allgemeinheit hängt meine erweiterte Anwendung der Functionsandeutung mittels der Buchstaben/, F u.s.w. eng zusammen, und ich glaube, dass auch Sie dahin kommen werden, sich ihrer zu bedienen, wenn Sie es nicht etwa schon thun. Dann würde Ihr "J(x):Jz F(x)" etwa meinem

F(a)" "l j(a) entsprechen. 11

Es scheint mir sehr wichtig, dass Sie die proposizioni singolari von den proposizioni universali mittels der Zeichen e und :J streng unterscheiden, da in der That die Beziehungen eines Gegenstandes (individuo) zu einem Begriffe, unter den er fällt, und zu einer Klasse, zu der er gehört, ganz verschieden sind von der eines Begriffes zu einem übergeordneten oder der einer Klasse zu einer umfassenden. Dieser Unterschied wird von manchen Schriftstellern übersehen, so auch von Herrn Dedekind in seiner Schrift "Was sind und was sollen die Zahlen?" 4). Seine Wichtigkeit tritt besonders hervor, wenn man leere Begriffe und Klassen in Betracht zieht. Solche müssen ja anerkannt werden, was auch Sie thun, indem Sie das Zeichen A gebrauchen. Dann darf man freilich als das, was die Klasse ausmacht, nicht die Gegenstände (individui, enti) ansehen, die zu ihr gehören; denn dann würde mit diesen Gegenständen zugleich die Klasse aufgehoben, die aus ihnen bestände. Sondern als das, was die Klasse ausmacht, muss man die Merkmale ansehen, das sind die Eigenschaften, die ein Gegenstand haben muss, um ihr anzugehören. Dann kann es vorkommen, dass diese Eigenschaften einander widersprechen, oder dass doch kein Gegenstand vorkommt, der sie in sich vereinigt. Die Klasse ist dann leer, ohne aber darum logisch verwerflich zu sein. Nun kann man zwar aus der proposizione singolare "Eins ist eine vierte Wurzel aus Eins" ( t-- I'= I) schliessen: "es giebt vierte Wurzeln aus Eins" ( ~ a 4 = 1), aber aus der proposizione universale "alle Quadratwurzeln aus Eins sind vierte Wurzeln aus Eins" kann 6)

XXXIV/2

PEANO

Turin 30. I. 94.

an

FREGE

30. I. I8941) Monsieur et eher collegue,

Je vous remerde des notes que vous m'avez envoye.J'ai achete il y a quelque temps vos Die Grundlagen der Arithmetik2 ), et j'ai fait acheter par notre bibliotheque vos recents Grundgesetze der Arithmetik3 ). Je trouve quelque difficulte a Iire vos symboles; mais je les lirai mieux, et si je trouverai encore des difficultes, je me permettrai d'adresser a vous. Des notes que j'ai vous envoye, et

R. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen. Braunschweig 1888. An dieser Stelle bricht der Entwurf ab. 2 1 Daa Original der Postkarte befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. 2 = (9). 8 = (19).

4 5

178

Giuseppe Peano

d'une qui est sous presse, et que vous allez recevoir entre quelques jours, vous voyez que nous sommes sur Ia meme route scientifique. Si vous trouvez quelque difficulte dans mes notes, me ferez un plaisir a me les communiquer. Veuillez, Monsieur, agreer l'assurance de ma consideration. G. Peano, prof. a l'Universite.

XXXIV/3

PEANO

an

FREGE

10. 2. 18941)

Turin, 10-2-94.

Monsieur et eher collegue,

Je vous envoye ma nouvelle publication Notations de Logique mathimatique2 ), et j'y joins Ies Arithmetices principia 3 ), dont j' ai encore pu trouver des copies. Dans ma nouvelle publication, qui sert d'Introduction au formulaire de Mathematique4 ), je me propose d'exposer sous uneforme claire et simple les notations de Logique, ou, si vous desirez, le Begriffsschrift. J'espere qu'elle servira a faire connaitre ces nouvelles theories, qui malheureusement sont encore peu connues, et dedaignees. Vous, qui avez tant contribue a Ia formation et developpement de ces theories, pourrez aussi contribuer a leur diffusion, en publiant une critique, ou recension, de mon ouvrage. Vous trouverez dans mon article beaucoup d'idees que vous avez publie dans votres travaux. Mais sur plusieurs points nos vues sont differentes. Je lis avec plaisir toujours croissant vos articles; mais lentement, car je suis tres occupe dans mon enseignement, et dans quelques autres travaux; et je ne connais pas encore toutes les notations que vous avez adoptees dans votre dernier Iivre. Je vous demande toutefois une explication. Comment ecrivez vous Ies propositions suivantes: }o. 11 y a de nombre entier positif x qui satisfait

2+3x=5

a l'equation

(xeN.2+3x=5. ,....,=z A)

2. 11 n'y a pas de nombre entier positif qui satisfait

2+3x=6

a Ia condition

(xeN.2+3x=6. =x A)

3. 11 y a de nombre rationnel qui satisfait

a Ia condition ci-dessus

(xeR.2+3x=6.,....,=z A)

etc.

Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. G. Pearw: Notations de logique mathematique. lntroduction au Formulaire de Mathlmatique. Turin 1894. 8 G. Peano: Arithmetices principia, nova methodo exposita. Turin 1889. 4 G. Peano: Formulaire de mathimatiques I. Turin 1895. 1

2

179

Giuseppe Peano

Les propositions entre parentheses sont ecrites avec 1es symboles que je propose. Je n' ai pas trouve dans votre Iivre quelque signe pour indiquer que x est entier, Oll rationnel, Oll reel, OU imaginaire, etc. Veuillez, Monsieur, et eher collegue, agreer l'attestation de ma consideration la plus distinguee. G. Peano prof. a 1'Universite de Turin, Corso Valentino, N. 1. 6) XXXIV/4

PEANO an FREGE

14. 8. 18951)

Pilonetto (Turin) 14-8-95

Monsieur,

J'ai vous envoye, il y a quelques mois, le 1er volume du Formulaire2); et ensuite quelques mes articles sur Ia logique mathem. ~ J'ai termine Ia 1ecture de votre livre 3 ), et j'en prepare une recension. Le 2ieme tome de votre ceuvre est-il sous presse? Veuillez agreer, Monsieur, l'assurance de ma consideration G. Peano 6 Antworten Freges auf die von Peano gestellten Fragen finden sich in den folgenden Zeilen, welche Frege auf der letzten Seite des Peanoschen Briefes notiert hat:

tT&rr 0,.., (a,-,.t.de (a= e+ l)) L2+3·a=5

t-0-rr 0,.., (a ,..,.t.de (a = e + l)) L2+3·a=6

x=b:a

0 ,.., (b,.., .t. de ( a = e + 1)) b,... (0,-,.t.d e(a = e + 1)) l,..,(a,..,.t.de(a=e+l))

11-- 0,-,.t..de(e=a+ 1) =~

4 1 Das Original der Postkarte befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. 2 Cf. Anm. 4 zu XXXIV/3. a = (19). Die Rezension erschien in Rivista di matematica 5 (1895), pp. 122-128.

180

Giuseppe Peano

XXXIV/5

PEANO an FREGE

24. 10. 18951 )

Merci de votre article dans 1'Archiv2 ). Vos raisons me semblent bonnes, et je lirai avec attention tout votre travail. Cette question, qui regarde 1a distinction entre les signes :::> et e, tauche aussi a l'introduction du signe t (lao: xea.=. tx::>a Vous m'avez aussi envoyeun numero de laRevue de Metaph. 3 ), maisje n'ai pas compris la raison de cet envoie. Avez vous rec;u les fascicules de la Rivista4 ), contenants la recension de votre livre? Vous m'avez annonce, il y a quelque mois, une recension, ou travail de nature quelconque, sur le Formulaire que nous publions. Jusqu'a present je n'ai rien rec;u. 6 ) Votre collaboration a la Rivista di matematica nous serait tres precieuse, quelque soit la forme. Agreez, Monsieur, l'assurance de ma consideration

G. Peano

Pilonetto. Torino: 24-10-95.

XXXIV/6

PEANO an FREGE

Pilonetto (Turin) 5-4-96

5. 4. 18961 ) Cher collegue,

Vous avez parle a 1'Association allemande des sciences mathematiques sur nos symbolismes, comme vous me l'avez ecrit, et comme je vois annonce.2) Mais a present je n'ai pas encore pu lire votre article. En voulez-vous m'en envoyer une copie? Les questions clont il s'agit sont d'un cote tres interessantes, et de l'autre bien difficiles. Le desir de les eclaircir, de les discuter, et de faire avancer leurs solutions est en tous. Veuillez agreer, M. et eher collegue, l'assurance de ma consideration

G. Peano prof. a l'U niversite de Turin

1 Das Original der Postkarte befindet sich m der SlgDarmst unter der Signatur H 1887. Die Karte trägt keine Anrede. 2 = . Quindi il sistema del Formulario corrisponde ad un'analisi piu profonda,>. Das Letzte möchte ich nicht zugeben. Ich bezweifele zunächst, dass Sie wirklich Alles, was an rein logischen Gebilden gebraucht wird, mit jenen drei Zeichen bezeichnen können. Schon bei der Gleichheit habe ich Bedenken. Für das Zeichen = finden wir eine Definition im Formulario I, §I, 3 in der Form a = b .=. a::>b. b::>a. Aber hierbei ist offenbar die Bedeutung des zu Definirenden schon vorausgesetzt. Denn im Vorworte S. IV heisst es: " .fx=gx>>, wenn die Bedeutung dieses Ietztern Ausdruckes von «a>> unabhängig wäre. Aber auch abgesehen hiervon werden Sie zugeben müssen, dass jede Ihrer Definitionen des Gleichheitszeichens einzeln unvollständig ist; aber Sie werden vielleicht für ihre Gesammtheit Vollständigkeit behaupten wollen. Dann müsste diese Gesammtheit sich auch äusserlich als solche darstellen. Bei der Anordnung im Formulario weiss man nach keiner dieser Definitionen, ob es die letzte sei, oder ob noch andere zur Ergänzung folgen werden. Nehmen wir an, dieser Fehler sei verbessert, die verschiedenen Definitionen des Gleichheitszeichens seien zu einem geschlossenen Ganzen vereinigt; dann wäre zu fragen, ob nun dieses Ganze eine vollständige Definition darstellte, ob die in Betracht gezogenen Fälle die gesammte Möglichkeit erschöpften, dann aber auch, ob nicht für einige Fälle Doppelbestimmungen vorlägen. Wir erkennen nun leicht, dass auch diese Gesammtheit nicht vollständig ist; denn über die Fälle, wo auf der einen Seite des Gleichheitszeichen das Zeichen eines Gegenstandes steht, der nicht eine Klasse ist, während auf der andern ein Klassenzeichen steht, ist nichts gesagt, ebensowenig über die Fälle, wo links etwa ein Satz, rechts ein Klassenzeichen oder Eigenname steht. Natürlich meinen Sie, dass in diesen Fällen die Gleichung falsch wäre; aber aus Ihren Definitionen ist es nicht zu entnehmen. Die Gründe, weshalb ich nicht zugeben kann, dass Sie das Gleichheitszeichen mittels der Zeichen n, '::),- definirt haben, sind in der Hauptsache folgende: I. jede einzelne von diesen Definitionen ist unvollständig; 2. auch alle zusammen sind noch unvollständig, sofern sie nicht in jedem Falle entscheiden, ob Gleichheit bestehe; 3. sie erklären das Gleichheitszeichen mittels seiner selbst.

Giuseppe Peano

185

Ich habe hierbei so lange verweilt nicht so sehr des Gleichheitszeichens wegen, als vielmehr der Grundsätze des Definirens halber, die auch sonst vielfach in Betracht kommen. Ich finde überhaupt, dass Sie hierin nicht streng genug sind, und dass daher Ihre Zurückführungen logischer Gebilde auf einfachere der überzeugenden Kraft vielfach entbehren. Wo steht ferner die Definition, durch die das Zeichen ,-gar nicht darin vor. Auch kommt hier wieder in Betracht, was ich über die Vielfachheit der Definitionen gesagt habe. Die Sache liegt hier aber etwas anders als vorhin, indem hier gar keine Fälle zu unterscheiden sind und keine von beiden Erklärungen unvollständig ist. Es bleiben hier nur die Möglichkeiten übrig entweder dass diese Erklärungen einander widersprechen, oder dass der Inhalt der einen eine Folge der andern ist, wo dann jene als Lehrsatz bewiesen werden müsste. Wenn es sich übrigens darum handelt, alle Urzeichen aufzuführen, so ist auch das Beziehungszeichen a plusieurs significations. Je represente mieux mon idee en disant que le signe :::> a une seule signification; mais dans le Iangage ordinaire on represente cette signification par plusieurs mots differents, selon les circonstances. Analoguement du signe A. Les formules telles que

(3 (7 2 =0) (7 2 =0)=A ne se rencontrent pas dans le Formulaire. Je les ai mentionnees dans l'Introduction7), puisqu'elles pourraient se presenter dans quelques demonstrations. Mais on pourrait aussi conduire les demonstrations de fac;on a ne les rencontrer jamais. Le signe :::> est toujours ecrit entre des propositions conditionnelles; il a toujours des indices x,y, ... ecrits ou sousentendus; il faut excepter l'usage qu'on en peut faire par la Dijinition 5 des epreuves typographiques 8 ), usage qu'on pourrait supprimer, en ne faisant pas usage de cette definition. J'ai lu de nouveau vos livres Begriffsschrift und Grundgesetze9 ), avec nouveau plaisir, car je les entends toujours mieux. Mais j'y trouve encore des points obscurs.

4 G. Peano: Notations de logique mathematique. Introduttion au Formulaire de Mathimatique. Turin 1894. 5 Op. cit. 6 Op. cit. ' Op. cit., cf. e.g. § 15. s Es handelt sich offenbar um den Entwurf für Formulaire I!, welcher Frege mit :XXXIV/9 zur Begutachtung vorgelegt wurde. Die endgültige Fassung scheint wesentlich von dem Entwurf abzuweichen. Cf. Anm. 10. u = (4) und (19).

190

Giuseppe Peano

La prop. 2 pag. 26 du Begriffsschr. coincide avec la P29 du Form. t II; et je Ia fairai figurer avec votre nom.10)11).

P23 du Form.

Votre prop. 1 coincide avec ---5 ----- - - 28 - - - - ---29 - - 3 1 et41 - - - 36 Votre prop. 52 est-elle identique (J'ajouteraijs K).

P26 - - P77 - - P74'--P73 - - P80 - - -

a ma P64?

c = d. c ef. ::::>. d ef

10 Frege hat (c-+(b -+a)) -+((c-+b) -+(c-+a)), Peano dagegen (a11b -+c)ll(a-+b) -+(a -+c) (beides in neuerer Notation). Die hier festzustellende Ersetzung gewisser Implikationen durch Konjtmktionen findet sich auch in späteren Fällen. Peano hat übrigens Frege bei P29 von Formulaire II (cf. Anm. 2 zu XXXIV/7) erwähnt. n In der folgenden Aufstellung werden die Fregeschen und Peanoschen Versionen einander gegenübergestellt. Peano bezieht sich auf seinen Entwurf, der jedoch offenbar später wesentlich überarbeitet wurde, so daß die entsprechenden Formeln unter einer anderen Nummer in Formulaire II erscheinen. Bei der Wiedergabe der Fregeschen Formeln wird auf das Behauptungszeichen "1-" verzichtet. Bei der Wiedergabe der Peanoschen Formeln werden Prämissen wie "aeK" fortgelassen; ferner wird gelegentlich"=" durch" ..... " wiedergegeben und"::::>" durch "C".

Frege (Begriffsschrift)

Peano Nr. (Form. 11)

Formel 1 5 28 29 31 41 36 52 54 55 nach 58 nach62 65

a--+-(b--+-a) (b--+-a )--+-( (c--+-b )--+-(c--+-a)) (b--+-a )--+-(1 a--+-1 b) (c--+- (b--+-a))-+ (c--+-(•a--+--,b)) ..., la--+-a a--+-• •a a--+-( •a--+-b) C= d--+-(f( C)--+-f(d)) C=C c=d--+-d=c 1\ a(g(a)--+-f(a) )--+-(g(b)--+-f(b)) g(x)--+-( 1\ a(g(a)--+-f(a)) --+-J (x)) 1\a(h(a)--+-g(a)) --+-( 1\ a( (g(a)--+-f(a)) --+-(h(x)--+-f(x)))

}

Formel

P23 P26 P77 P74'

P23 P26 P111 P108

allb--+-a (a--+-b) 11 ( b--+-c)--+-(a--+-c) (a--+-b )--+-(..., b--+-..., a) (allb--+-c) --+-(aA•c-+•b)

P73

P106

..,..,a .....a

P80 P64 P61 P62 P25 P25 P26

Pl14 P80 P41 P45 P25} P25 P26

a11 1a--+-b x=yll (xea--+-a)lta) a=a a=h--+-b=a a C bllxeq--+xeb aCbllbCc--+-aCc

Bemerkung: Die Analogien bei den Nummern P 25, P 26 werden deutlicher, wenn man beachtet, daß Peano in seiner Definition 12 (Formulaire 11) a ::::> b erklärt durch 1\,.(xea--+-xeb). Hier wird also das Peanosche "::::>" durch "c" übersetzt, während in der zweiten Zeile"::::>" durch"--+-" übersetzt ist.

Giuseppe Peano

191

Votre 54 avec ma 61, --55---62 La proposition qui suit votre 58 est

a peu pres ma 25?

62 - - - - - - 25?12)

(g,js K) .xsg: g -::>f. ":).xsf V otre 65 = ma P26 Comme vous l'avez bien dit, mon but principal c'est de publier le formulaire, et non pas de m'occuper exclusivement de Logique, ou d'un sujet particulier. Mon travail est de couper, avec des ciseaux, l'ancienformulaire, et de reunir ces parties, avec de la gomme, en y inserant toutes les nombreuses additions et corrections qu'ont envoye les collaborateurs. Donc je n'ai pas malheureusement le temps d'examiner tous les points; et je ne peux pas tirer de vos livres tout le profit desirable. Vous pourrez vous meme corriger ces epreuves typographiques, mettre votre nom a toutes les formules dont vous avez la priorite, ajouter les nouvelles formules que vous avez trouve, et ainsi completer cette partie du Formulaire13). Des epreuves typographiques vous voyez aussi que le nombre des idees primitives, par lesquelles on exprime toutes les autres, sont en nombre relevant. Elles sont environ 10 de logique pure, 2 d'arithmetique, etc. Parmi ces idees primitives je considere celles representees par les signes s, K, etc. Dans ma recension au tome V de la Rivist. 14) p. 125 j'ai voulu dire que l'on exprime par les signes n, ""'•-:::> toutes les relations entre propositions. Mais il faut naturellerneut ajouter le signe s pour representer une relation entre un individu et une classe, etc. Je donne effectivement plusieurs definitions de l'egalite a=b; quelquefois cette relation est consideree comme primitive. Dans Ia formule a,b s K. -:::>: a=h.=.a-:::> b. b-:::> a

le signe

Def.

16)

.=. est uni au signe Def; on pourrait ecrire - - - - - - . ":): - - - - - - . = Def• - - - - - -

et l'on definit une nouvelle signification, ou un nouveau cas de signification, du signe =. Dans Ia suite on donne toujours de nouvelles significations au signe =; on definit l'egalite entre deux nombres rationnels, entre deux irration12 Statt der von einem Fragezeichen gefolgten Ziffer 25 steht bei Peano hier ein Pfeil, der auf die von einem Fragezeichen gefolgte Ziffer 25 der vorangehenden Zeile verweist und wohl als Wiederholungszeichen zu deuten ist. 13 In Formulaire 11 § 1 wird Frege explizit nur erwähnt bei P29 (cf. Anm. 10) und P121 sowie in den Notes auf pp. 36 u. 46. u Rivista di matematica 5 (1895), pp. 122-128. 15 Dies ist Formel P16 von Formulaire II.

192

Giuseppe Peano

nels, entre deux nombres complexes, entre deux vecteurs, entre deux quaternions, etc. Toutes ces definitions contiennent une hypothese, qui exprime Ja signification des Jettres variables; car on n'a jamais fini de definir des egalites. De Ia meme fac;:on on definit a+b lorsque a et b sont des N (Form.t.II § 2 P2P 6 ) et 31) puis lorsqu'ils sont des n (id. P115) 17 ); ensuite Jorsqu'ils sont des rationnels, des irrationnels, des vecteurs, des quaternions, et J'on n'ajamais fini de definir des additions. Mais je crois que toute cette divergence se reduise a une simple question de notations. J'ai classifie les definitions du Formulaire en 4 especes: 1°. Definition d'un signe Introduct. § 3618 ). 11 n'y a pas d'Hypothese. 2°. Definition d'une expression contenant des Jettres variables (id. § 37). 11 y a toujours une hypothese. 3°. Definitionpar abstraction (id. § 38). 4°. Enfin iJ y a des idees, que j'appelle idees primitives, qu'on determine, ou si l'on veut, qu'on definit au moyen de leur proprietes. (id. § 42). Ces distinctions se presentent si J'on fait usage de symboles, ou mieux, de mes symboJes. Mais elles se confondent en faisant usage du Iangage ordinaire. En adoptant d'autres symboles, peut-etre, se presentera une classification differente. Selon moi, une proposition, ayant signijication, est vraie ou fausse. Mais il faut qu'elle aye une signification. Car on peut ecrire des propositions sans significa tion. Exemple a, b s Points.:::>. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 n'a pas de signification, dans Jes cours ordinaires des ecoJes. Elle a une signification, et est juste, si l'on prend une multiplication commutative. Elle a une signification, et est fausse, si Ia multiplication n'est pas commutative. Dans Je Form. t. I § 5 les prop. 1 et 2, ensembJe, constituent une definition seule; inexactement ecrite sur deux lignes. 11 faut Ia Jire19) a,bsK.:::>.·.fsbJa.=:xsa.:::>~.fxsb:

x,y s a. x = y. =>• fx

= ry

}

PP} erwachsen, jetzt aber durch die Anwendung eines Fregeschen Satzes aus dem "Nachwort" überwunden (cf. XXXVI/17, Anm. 3). Der Brief XXXVI/18 ist Freges erst nach anderthalb Jahren erfolgte Antwort auf Russells Brief XXXVI/17. Den dort skizzierten Vorschlag zur Vermeidung der Klassenzeichen lehnt Frege "wegen des isolirenden Gebrauchs der Functionsbuchstaben" ab. Er verweist dazu auf GGA II, p. 148, Anm. 2, trägt jedoch ganz unabhängig davon seine Einwände mit Bezug auf die von Russell ins Auge gefaßten Anwendungen ausführlich vor. Der Grundgedanke dieser Kritik ist, daß das bei Russells Vorschlag selbst als Funktionszeichen gebrauchte Klassenzeichen "als Functionszeichen erklärt und als Eigenname gebraucht" würde. Die diesen ersten Teil des Briefes beschließenden Argumente sind als ein Versuch Freges interpretierbar, eine auf eben dieser Vermengung beruhende Herleitung der Russellschen Antinomie zu konstruieren und Russells Vorschlag als schon aus diesem Grunde indiskutabel zu erweisen. Es folgen Ausführungen zunächst über Vorstellung und Urteil, dann über den Wahrheitsbegriff und die Beziehungen zwischen Zeichen, Sinn, Bedeutung, Satz, Gedanke, Wahrheitswert und Erkenntniswert. Sie gehen inhaltlich nicht über das in (16) Gesagte hinaus, leiten jedoch unmittelbar in Fragen der Definitionslehre über, wobei Frege Russells Einführung der !'-Beziehung in XXXVI/17 kritisiert. Am Schluß des Briefes bekundet Frege sein Interesse für Russells Definition der Negation durch",..., p. =: p . ::>. (r) .r", verweistjedoch darauf, daß dann die Hinzunahme neuer Urgesetze (d.h. Axiome) der Negation erforderlich würde. In XXXVI/19 dankt Russell für den "sehr wichtigen Brief" XXXVI/18 und teilt Frege mit, daß er den dort kritisierten Versuch zur Vermeidung der Klassenzeichen schon seit ungefähr einem Jahr als verfehlt aufgegeben habe, "aus wesentlich denselben Gründen die Sie angeben". Dennoch ist Russell nicht davon überzeugt, daß der isolierende Gebrauch von Funktionsbuchstaben unzulässig sei. Die Entstehung des Widerspruchs führe er nicht auf die "Natur der Klassen" zurück, sondern darauf, daß gewisse als Funktionsnamen gedachte Ausdrücke in Wahrheit gar keine Funktion darstellen. Er erläutert dies an einem Beispiel und weist schließlich darauf hin, daß man zur Vermeidung des Widerspruchs wohl "Urgesetze annehmen muss die gar nicht einleuchtend sind". Von dieser Art sei auch das von ihm verwendete (heute als "Peircesche Aussage" bezeichnete) Urgesetz der Negation, dem er anschließend die übrigen von ihm benützten, allein die Subjunktion als Verknüpfung enthaltenden Axiome der klassischen Junktorenlogik und die Definitionen von Konjunktion, Adjunktion und Negation auf dieser Basis zur Seite stellt. Der Fregeschen Lehre von Sinn und Bedeutung könne er sich noch immer nicht anschließen; er versucht, seine Gründe dafür darzulegen. Die von Frege in XXXVI/18 kritisierte Gleichheitsdefinition sei "mit der ganzen Ansicht der sie zugehört gefallen".

210

Bertrand Russell

Er definiere jetzt "x = y. = . q; x-;:::) q;y Df.", wobei das definitorische ". = . .. . Df." keinen unzulässigen Vorgriff be;üglich des einzuführenden Gleichheitszeichens darstelle, sondern eine typographische Festsetzung zum Ausdruck bringe. Mehr als sieben}ahre liegen zwischen dem BriefXXXVI/19 und dem BriefXXXVIf 21, den Frege in seinem einleitenden Satz als Antwort auf einen Brief Russells vom 16.III.[l912?] (XXXVI/20) bezeichnet, über dessen Verbleib und Inhalt heute nichts mehr bekannt ist. Frege dankt für die Einladung zu einem Vortrag auf dem Mathematiker-Kongreß in Cambridge und bittet in eindringlichen Worten um wohlwollendes Verständnis für seine ablehnende Entscheidung. Frege dankt abschließend für die Zusendung des zweiten Bandes der Principia, den er verspätet erhalten und erst flüchtig gelesen habe; er hoffe aber "Zeit für ein gründlicheres Studium zu finden". Sieht man die Fragen nach der Lösung der Russellschen Antinomie, nach dem Verhältnis von Begriff und Gegenstand sowie von Sinn und Bedeutung als die im Briefwechsel erörterten Hauptfragen an, so muß festgestellt werden, daß über diese Hauptfragen zwischen Frege und Russell letztlich keine Einigkeit erzielt worden ist. Für die Geschichtsschreibung der mathematischen Grundlagenforschung, der formalen Logik und der formalen Semantik ist der Briefwechsel jedoch ein unersetzliches Dokument. Er liefert nicht nur über die einschlägigen Auffassungen Freges und Russells wichtige Aufschlüsse, die ihren veröffentlichten Schriften nicht unmittelbar zu entnehmen sind, er erlaubt auch, den Einfluß der beiden Klassiker der mathematischen Grundlagenforschung auf die Entwicklung dieser Disziplin in unserem Jahrhundert besser zu untersuchen und zu würdigen. Die Edition des Briefwechsels zwischen Frege und Russell war bereits um 1936 von Friedrich Bachmann und seiner Mitarbeiterin Marga Titz in Münster i.W. durch Vorarbeiten in Angriff genommen worden, von denen ein "Kommentar von Bachmann zum Briefwechsel Frege-Russell" (11 Manuskriptseiten) sowie "Anmerkungen der Herausgeber zu den ersten 4 Wechseln" (2 Manuskriptseiten) und "Anmerkungen der Herausgeber zur zweiten Hälfte des Briefwechsels" (3 Manuskriptseiten) erhalten geblieben sind. Ein einschlägiges, von Bachmann und Titz gemeinsam verfaßtes weiteres Manuskript, auf das sich mehrere der letztgenannten Anmerkungen beziehen, ist verlorengegangen. Stärker als die vorliegende Einleitung trennt der Kommentar Bachmanns "die vier ersten Wechsel, für die die Antinomien nur vorliegen, ohne daß bereits Wege zur Lösung oder Ausschließung diskutiert werden, von den übrigen ab, in denen mit Russells fünftem Brief die Diskussion der Typentheorie und der damit zusammenhängenden Fragen einsetzt" (p.l des Ms.). Aufgrund der ganz anderen, weithin durch Carnaps Logische Syntax der Sprache (Wien 1934) und Tarskis Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (Studia Philosophica 1, 1935, pp. 261-406) bestimmten Diskussionslage vor 40 Jahren ergab sich für Bachmann trotz der gleichen Einschätzung der Ergebnisse des Briefwechsels eine andere Gewichtung der in ihm behandelten Themen. Umfassender erörtert werden z.B. die epistemologischen Paradoxien und die von Frege bei ihrer Diskussion vorgenommene, von Carnap später (op. cit.) als Trennung von "inhaltlicher" und "formaler Redeweise" terminologisch festgehaltene Unterscheidung von Sprachebenen (mit Bezug auf Russells ohne diese konsequente Trennung erfolgte Kritik der Fregeschen Ausführungen, die sich streng der formalen Redeweise bedienen und so den epistemologischen Paradoxien entgehen, cf. insbesondere die Diskussion der Aussageform "pem. -:::JP. p" in XXXVI/14). Größeres Interesse finden bei Bachmann auch Einzelheiten der Fregeschen Begriffsschrift, z. B. im Kommentar zu XXXVI/16, ferner Russells später (in The Theory of lmplication,

Bertrand Russen

211

cf. Anm. 3 zu X:XXVI/19) aufgegebener Vorschlag zum Aufbau der klassischenJunktoren1ogik mittels Subjunktion und Allquantor. Während einige Bemerkungen des Kommentars durch inzwischen erzielte Ergebnisse (z.B. die Unhaltbarkeit des Fregeschen Vermeidungsversuchs für die Russellsche Antinomie im "Nachwort" zu GGA II) überholt sind, waren nicht nur die in ihm enthaltenen Hinweise auf heranzuziehende Literatur und Parallelstellen im Werk Freges überaus hilfreich, es konnten auch einzelne Anmerkungen (z.B. Anm. 4 zu X:XXVI/3, Anm. 2 zu X:XXVI/6 sowie Anm. 3 und 4 zu X:XXVI/15) ohne wesentliche Änderungen berücksichtigt werden. Für diese durchwegs wertvollen Vorarbeiten, die den vorliegenden Kommentar vielfach in der Form von Anregungen beeinflußt, gelegentlich auch direkt in ihn Eingang gefunden haben, möchte der jetzige Herausgeber den früheren Bearbeitern wärmstens danken.

XXXVI/I

RussELL an FREGE

16. 6. 19021) Friday's Hill. Haslemere. 2)

Sehr geehrter Herr College!

Den 16Juni 1902

Seit anderthalb Jahren kenne ich Ihre "Grundgesetze der Arithmetik", aber jetzt erst ist es mir möglich geworden die Zeit zu finden für das gründliche Studium das ich Ihren Schriften zu widmen beabsichtige. Ich finde mich in allen Hauptsachen mit Ihnen in vollem Einklang, besonders in der Verwerfrmg jedes psychologischen Moments von der Logik, und in der Schätzung einer Begriffsschrift für die Grundlagen der Mathematik und der formalen Logik, welche übrigens kaum zu unterscheiden sind. In vielen einzelnen Fragen finde ich bei Ihnen Discussionen, Unterscheidungen, rmd Definitionen, die man vergebens bei anderen Logikern sucht. Besonders über die Funktion (§ 9 Ihrer Begriffsschrift) bin ich bis ins Einzelne selbständig zu denselben Ansichten geführt worden. Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schliessen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet. Ich bin im Begriff ein Buch über die Prinzipien der Mathematik zu vollenden, und ich möchte darin Ihr Werk sehr ausführlich besprechen. Ihre 1 2

Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1897. Im sonst handschriftlichen Original ist der Briefkopf vorgedruckt.

212

Bertrand Russell

Bücher habe ich schon, oder ich kaufe sie bald; aber ich wäre Ihnen sehr dankbar wenn Sie mir Sonderabdrücke Ihrer Artikel in verschiedenen Zeitschriften schicken könnten. Falls dies aber unmöglich sein sollte, so schaffe ich sie mir aus einer Bibliothek. Die exacte Behandlung der Logik, in den Fundamentalfragen, wo die Symbolen versagen, ist sehr zurückgeblieben; bei Ihnen finde ich das Beste, was ich aus unserer Zeit kenne, und deshalb habe ich mir erlaubt, Ihnen mein tiefes Respekt auszudrücken. Es ist sehr zu bedauern, dass Sie nicht dazu gelangt sind, den zweiten Band Ihrer Grundgesetze zu veröffentlichen; hoffentlich wird das doch noch geschehen. Mit hochachtungsvollem Grusse, Ihr ergebenster Bertrand Russell. Obiger Widerspruch drückt sich in Peano's Begriffsschrift wie folgt aus: w = cls n x 3 ( x ~ s x) . :J : w e w . = . w ~ s w . 3 ) Ich habe darüber an Peano geschrieben, aber er bleibt mir eine Antwort schuldig. XXXVI/2

FREGE an RussELL

22. 6. 19021)

Sehr geehrter Herr College!

Jena, den 22.Juni 1902.

Besten Dank für Ihren interessanten Briefvom 16.Juni! Ich freue mich dass Sie in Vielem mit mir einverstanden sind, und dass Sie die Absicht haben, mein Werk ausführlich zu besprechen. Auf Ihren Wunsch sende ich Ihnen die folgenden Drucksachen I. Kritische Beleuchtung etc. 2. Ueber die Begriffsschrift des Herrn Peano etc. 3. Ueber Begriffund Gegenstand, 4. Ueber Sinn und Bedeutung, 5. Ueber formale Theorien der Arithmetik. 2) 3 Diese Formel drückt aus, daß, wenn w die Klasse der x mit x $ x ist, w E w ~ w $ w gilt. Russell übernimmt die Notation im wesentlichen unverändert aus G. Peano, Formulaire de Mathematiques, Tome li, § 2 (Arithmetique), Turin 9. VIII. 1898, cf. Formel450 auf p. VII: u e Cis. :;) . Cis u = Cis n x 3 (x :;) a) = "classe de u" Df. Dabei ist das "a" in "u" zu berichtigen, cf. op. cit., § 1 (Logique Mathematique), Turin 11. VIII. 1897, p. 15, Formel450, deren Schreibung dort von der in§ 2 gewählten durch die Verwendung des Buchstabens "K" statt "Cis" und der Notation statt "x :1" abweicht. 2 1 Das Original des Briefes befand sich nach SchLJ im SchArch und ist verlorengegangen. Fotokopien befinden sich im Frege-Archiv und im Russeli-Archiv in Hamilton, Ontario. 2 Das sind, in der angegebenen Reihenfolge: , , , und .

"xe"

Bertrand Russell

213

Ich habe einen leeren Umschlag erhalten, dessen Aufschrift von Ihrer Hand zu sein scheint. Ich vermuthe, dass Sie die Absicht gehabt haben, mir etwas zu schicken, was durch einen Zufall verloren gegangen ist. Ist dies der Fall, so danke ich Ihnen für die liebenswürdige Absicht. Die Vorderseite des Umschlags lege ich bei. Wenn ich meine Begriffsschriftjetzt wieder lese, finde ich, dass ich in manchen Punkten anderer Ansicht geworden bin, wie Sie aus einer Vergleichung mit meinen Grundgesetzen d. A. ersehen werden. Den mit "Nicht minder erkennt man" anfangenden Absatz aufS. 7 meiner Begriffsschrift bitte ich zu streichen, da er fehlerhaft ist, was übrigens ohne nachtheilige Folgen für den übrigen Inhalt des Büchleins geblieben ist. 3) Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf's Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in's Wanken geräth. Es scheint danach, dass die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit (§ 9 meiner Grundgesetze) nicht immer erlaubt ist, dass mein Gesetz V (§ 20. S. 36) falsch ist und dass meine Ausführungen im § 31 nicht genügen, in allen Fällen meinen Zeichenverbindungen eine Bedeutung zu sichern. Ich muss noch weiter über die Sache nachdenken. Sie ist um so ernster, als mit dem Wegfall meines Gesetzes V nicht nur die Grundlage meiner Arithmetik, sondern die einzig mögliche Grundlage der Arithmetik überhaupt zu versinken scheint. Und doch, sollte ich denken, muss es möglich sein, solche Bedingungen für die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit aufzustellen, dass das Wesentliche meiner Beweise erhalten bleibt. Jedenfalls ist Ihre Entdeckung sehr merkwürdig und wird vielleicht einen grossen Fortschritt in der Logik zur Folge haben, so unerwünscht sie auf den ersten Blick auch scheint. Uebrigens scheint mir der Ausdruck "Ein Praedicat wird von sich selbst praedicirt" nicht genau zu sein. Ein Praedicat ist in der Regel eine Function erster Stufe, die als Argument einen Gegenstand verlangt und also nicht sich selbst als Argument (Subject) haben kann. Ich möchte also lieber sagen: "Ein Begriff wird von seinem eigenen Umfange praedicirt". Wenn die Function W(~) ein Begriff ist, so bezeichne ich dessen Umfang (oder die zugehörige 3 Fehlerhaft ist in dem genannten Absatz der erste Satz, in dem Frege erklärt, daß die Formel " ~ ~" "den Fall leugnet, wo B bejaht wird, A und r aber verneint

werden" (BS, p. 7). Der Fehler wurde bereits von Ernst Sehröder auf p. 88 seiner Rezension von BS (Zeitschrift für Mathematik und Physik 25, 1880, pp. 81-94) berichtigt, mit der plausiblen Vermutung, Frege habe bei der Umformung des Begriffsschriftausdrucks, die korrekterweise zu "non(non(B et non A)) et non F" führt, das zweite Negationszeichen versehentlich übersprungen. Weniger deutlich sind Husserls Bemerkungen zu der Stelle, die I. Angelelli mitgeteilt hat, cf. Anhang Il: Busserls Anmerkungen zur "Begriffsschrift" in Gottlob Frege, Begriffsschrift und andere Aufsätze, Zweite Auflage. Mit E. Husserls und H. Scholz' Anmerkungen herausgegeben von Ignacio Angelelli, Bildesheim 1964.

214

J.

Bertrand Russell

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.,.·~ ~-k·~ ~44. ~ ~; #/~ p~/(. {, s(/J(s)(/J(ß([J(s))ß(/J(s)"e(/J(s)" zwischen Klassenzeichen wird wie bei Peano als Inklusionszeichen, d. h. wie das heutige "s;;;" verwendet. Die Formel besagt dann, daß die Mächtigkeit der Potenzklasse einer Klasse(! größer ist als die Mächtigkeit von (! selbst, weil bei jeder eineindeutigen Abbildung R von!? auf eine Klasse von Teilklassen von e (insbesondere auf die Klasse aller Teilklassen von e) die Klasse w aller Elemente von f!, die nicht Element ihres Bildes unter R sind, nicht als Bild unter R auftritt. Träte w nämlich als Bild eines Elements x von(! auf, so führte einerseits die Annahme x E w aufgrund der definierenden Bedingung von w zu x EI; Rx und damit wegen der Annahme w = Rx zu x EI; w (also zu ihrem eigenen Gegenteil), andererseits aber die Annahme x EI; w aufgrundvon w = Rx zunächst zu x EI; Rx und zusammen mit dem jedenfalls gültigen x E e aufgrund der definierenden Bedingung von w zu x E w, also wiederum zum Gegenteil der Annahme und somit insgesamt zu einem Widerspruch. Trifft diese Rekonstruktion zu, so ist in Russells Formel zwischen den beiden Subjunktionszeichen statt "w ~ e e" allerdings "w ~ e §" ZU lesen. Cf. im übrigen die Erläuterungen des Hrsg. in der Einleitung zu diesem Briefwechsel.

Bertrand Russell

217

ausser für den Fall wo der fragliche Werthverlauf Alles oder Nichts umfasst. Ich glaube Sie aber in diesem Punkte nicht richtig verstanden zu haben4). Bis jetzt habe ich nur Ihre Begriffsschrift und Ihre Grundgesetze gelesen: die anderen Werke werde ich sogleich studiren. Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebenster Bertrand Russell. XXXVI/4

FREGE an RussELL

29. 6. 19021)

Sehr geehrter Herr College!

Jena, den 29.Juni 1902.

Ich habe Ihren Brief vom 24. und Ihre Drucksachen erhalten und danke bestens dafür. Was den von Ihnen aufgefundenen Widerspruch betrifft, so verstehe ich vielleicht nicht ganz, was Sie darüber sagen. Sie wollen, wie es scheint, Formeln wie l>!p(s!p(e))e(e2 = 2)>( ) · 3+4>( ) · 3+4>~~>( )· 3+4>>( )·3+4ip( )F= Lf. 8 Cf. (25>. 5 1 Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1897.

220

Bertrand Russell

scheint mir aber keine Denknothwendigkeit zu sein, doch ist eben das wesentlich wenn man die Klasse als Eigennamen gebrauchen will. Ich glaube deshalb ohne Widerspruch sagen zu dürfen dass gewisse Klassen (näher, solche die durch quadratische Formen definirt werden) nur Vielheiten sind, und überhaupt kein Ganzes bilden. Deshalb entstehen falsche Sätze und sogar Widersprüche wenn man sie als Einheiten ansieht. Ich verbiete nicht Formeln wie tp{etp(e) }, in den Fällen wo etp(e) einen wirklichen Gegenstand bedeutet; doch darf man in einem solchen Ausdruck tp nicht als variabel ansehen, weil dann Werthe von tp in Betracht kommen für welche dies nicht der Fall ist. Diese Ansicht beruht auf die Behauptung dass Werthverläufe eigentlich Klassen sind, in dem Sinne in welchem eine Klasse aus einer Summe von Gegenständen besteht. Und dies scheint mir nothwendig weil etp(e) und bp(e) identisch sind wenn tpx & 'ljJX für alle Werthe von x aequivalent sind.*) Was die Funktionsnamen betrifft, so scheint mir noch immer eine Schwierigkeit zu bestehen. Wenn man die Namen ganz bei Seite lässt, und blass von dem was sie bedeuten spricht, so muss man zugestehen dass es kein Satz giebt wo eine Funktion die Stelle des Subjekts einnimmt. Aber der Satz "eine Funktion nimmt niemals die Stelle des Subjekts ein" widerspricht sich: und dieser Widerspruch beruht, wie mir scheint, aufkeiner Verwirrung des Namens mit dem was er bedeutet. Ihre Schrift über die Zahlen des Herrn Schubert3 ) ist mir nicht bekannt. Die andere Schrift, über Raum u. Zeit, 4 ) werde ich wohlleicht in der Zeitschrift finden können. Meine Schrift habe ich Ihnen geschickt weil sie eine scharfe Kritik des Psychologismus u. Kautismus enthält. Mein Buch ist schon im Druck: ich werde Ihr Werk in einem Anhang behandeln, weil es jetzt zu spät ist darüber im Text ausführlich zu sprechen 5 ). Als ich Ihre Grundgesetze zum ersten Male las, konnte ich die Begriffsschrift nicht verstehen: erst als ich anfing die Lücken in Peano's Schrift zu merken ist es mir gelungen. Leider war mein Buch dann schon vollendet. Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebenster Bertrand Russell. *Was Sie über die Null-Klasse sagen scheint mrr ganz richtig, und für diesen Fall muß ich einen Umweg gebrauchen. 2 ) 2 Der Umweg wird von Russell nicht erläutert. Cf. jedoch The Principles of Mathematics, Cambridge 1903, 2. Auf!. London 1937, § 73 (pp. 73-76), wo Russell ebenfalls eine extensionale Auffassung der Klassen (als "Summe von Gegenständen") vertritt und einem Begriff, unter den kein Gegenstand fällt, statt der Nullklasse (die es bei der extensionalen Auffassung nicht geben kann) die Klasse der Begriffe zuordnet, die zu dem gegebenen leeren Begriff "gleich" sind in dem Sinne, daß die darstellenden Aussageformen aller dieser Begriffe logisch äquivalent sind. 3 Cf. (25). 4 G. Frege, Über das Trägheitsgesetz (15). 5 Cf. B. Russell, The Principles of Mathematics, Cambridge 1903, 2. Auf!. London 1937, Appendix A. The Logical and Arithmetical Doctrines ofFrege (pp. 501-522).

Bertrand Russell

XXXVI/6

RussELL

an

FREGE

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24. 7. 19021 ) Trinity College Garnbridge den 24sten J uly 1902

Sehr geehrter Herr College! In der Theorie der Werthverläufe giebt es eine Schwierigkeit die mich lange beschäftigt hat, zu der ich in Ihren Schriften keine befriedigende Antwort finde. Vielleicht können Sie meine Bedenken beseitigen. Wenn u, v keine Werthverläufe sind, so hat man ~a"u = a"v weil a"u und a"v beide immer das Falsche bedeuten. Daraus kann man aber nicht schliessen u = v, denn dann wären irgend zwei Gegenstände identisch sobald sie nicht Werthverläufe wären. Es folgt daraus dass u nicht allgemein der Werthverlauf der Funktion -a"u2 ) ist, sondern nur wenn u ein Werthverlauf ist. Aus ~a"u = a"v kann man nur schliessen u = v wenn man schon weiss dass u und v Werthverläufe sind. Es fragt sich aber, wie man dies wissen kann. Und überhaupt, wenn man den Werthverlauf dem Begriffe nahe stellt, wie Sie es thun, so scheint es zweifelhaft ob zwei Begriffe, die denselben Umfang haben, denselben Werthverlauf haben, oder nur äquivalente Werthverläufe. Was eigentlich eine Klasse sei, wenn sie nicht aus Gegenständen besteht, und doch dieselbe sein soll für zwei Begriffe die denselben Umfang haben, ist mir schwer einzusehen. Doch gestehe ich zu, dass der Grund den Sie gegen die extensive Ansicht geltend machen (Archiv f. syst. Phil. I, S. 444) 3 ) unwiderlegbar zu sein scheint. Was überhaupt "Umfang eines Begriffes" bedeute, verstehe ich jeden Tag weniger. Ich möchte aber in meiner Besprechung Ihrer Ansichten keine ungerechtfertigten Einwände zu Tage treten lassen, und deshalb erlaube ich mir Ihnen über die schwierigsten Punkte Fragen zu stellen. Es ist leicht zu beweisen (was den Widerspruch betrifft) dass es keine Eindeutige Beziehung zwischen allen Gegenständen und allen Funktionen giebt. Denn wenn fPx auf x bezogen ist, so ist -rrpx(x) für variables x eine Funktion welche durch die betrachtete Beziehung auf kein x bezogen ist. Deshalb kann man nicht alle Funktionen in der Form x"u ausdrücken. 4) Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebenster Bertrand Russell

Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1897. Russell meint offenbar nicht -ar-.u, sondern ar-.u. Im Original ist jedoch der Wagerechte "-" nachträglich vor "a"u" gesetzt. 3 Russell bezieht sich hier auf Hp(lcp(e))>ecp(e)>ecp(e)p .p. Dann hat man r e w . r "' e w. Hier muss man den Inhalt der Sätze betrachten, nicht deren Bedeutung; und äquivalente Sätze müssen nicht schlechthin als identisch genommen werden. Was die Beziehungen betrifft, so setze ich t-(R)-R(R) ·=R· (R)T(R): ::>:(T)-T(T).= (T)T(T) Dies zeigt bloss dass die Hypothese nicht erlaubt ist. Um den Satz in Ihrer Begriffsschrift umzusetzen, stelle man R = al(/!(a, e) Dann besagt (R) -R(R) folgendes: -r-(/1 {al (/! (a, e), ae (/! (a,e)} Hier betrachte man (/! als veränderlich; man betrachte die Funktion -rrVi{ae(/!(a, e), ß} Lß= al(/!(a, e) oder besser (/! (ß,y) Tfep = ae (/! (a,e) Ly=al(/!(a,e) Man zieht in Betracht den Doppelwerthverlauf T derjenigen Werthe von ß & y für welche obige Funktion für irgendeinen Werth von(/! das Wahre ist, das heisst

=.

T=/Jy

t"'

Vi(ß, y) ß=ae(/!(a, e) y=al(/!(a, e)

Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1897. Im sonst handschriftlichen Original ist der vor "London" stehende Teil des Briefkopfes vorgedruckt. Darüber ist vermerkt "Meine Adresse bis März". 3 Zu Russells Analyse der Cantorschen Diagonalkonstruktionen cf. The Principles of Mathematics, op. cit., Ch.XLIII, insbes. §§ 344--350 (pp. 362sqq.); zu der hier beschriebenen Antinomie die detaillierteren Ausführungen im§ 500 (pp. 527sq.). 1

2

Bertrand Russell

d.h.

T=

/Jy

231

; < p (ß, y) [ß =

NM>M>N>M>M P .p). =>· w I' m (2) (1).(2).::::>: (qew.::::>q.q)ew.::::>.(qew.::::>q·q) "'BW (3) Ähnlich: (qe w. ::::>q. q) "'e w. ::::>. (qe w. ::::>q. q) e w. Daher der Widerspruch. Mit besten Wünschen, Ihr ergebenster Bertrand Russell. und Integralrechnung (Leipzig 1882) "Zahlenstrecken" als Gruppen [ = Mengen] rationaler Zahlen einführt, die folgende Bedingungen erfüllen: "1. die Gruppe [von Zahlen] umfasst nicht alle Zahlen; 2. wenn die Zahl x zur Gruppe gehört, so gehören zu ihr auch alle kleineren Zahlen; 3. es giebt keine grösste Zahl in der Gruppe" (l.c., pp. 2-3). Pasch betrachtet die Verwendung dieser Zahlenstrecken zur Einführung der irrationalen Zahlen als Weiterentwicklung des Dedekindschen Verfahrens: "Die nachstehende Einführung der irrationalen Zahlen beruht auf den Anschauungen, welche R. Dedekind in seiner Schrift: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872, entwickelt hat." (l.c., p.l, Anm.) 4 Diese Frage ist vermutlich durch den folgenden Satz Freges im "Nachwort" angeregt worden: "Man könnte zunächst befürchten, dass Begriffe von demselben Umfange nach unsern Festsetzungen dieselbe Anzahl erhalten müssten, obwohl unter den einen ein Gegenstand mehr, als unter den andern, nämlich der Begriffsumfang selbst fiele, sodass man schließlich nur eine einzige endliche Anzahl erhielte" (GGA II, p. 264b). Dieses Bedenken wird dort durch Hinweis auf die genaue Formulierung der Anzahldefinition ausgeräumt. Auf Russells Frage antwortet Frege in XXXVI/16, daß eine Klasse bei Hinzufügung irgendeiner Unterklasse im allgemeinen nicht unverändert bleibe, daß jedoch der Umfang eines Begriffs q. q :::> p

L;) .

x"e

Df. ("= ... Df" ist nur ein Symbol). p Ctp.=. px =>x"PX Df[;] p[[[tp. =. px=x tpx Df. [;] xl'y. =. px :>'I' py Df (I'= Identität). "Indiv(x)" heisst "x ist ein Gegenstand, d.h. keine Funktion." "'P· = :p .:::>. (r). r Df (Mit "(x).p (x)" bezeichne ich den Gedanken dass p(x) für alle Werthe von x wahr sei. Mithin bezeichnet "'P "p is[t] nicht wahr".) u = v. =:. lndiv(u) .::>.ul'v:"'lndiv(u). ::>."'Indiv(v).u[[[v Df[.] Mit der so definirten Gleichheit kann man zählen ebenso wie mit der Identität. Man hat z.B. 2) (Nc~l)(f). (was Sie mit "If" bezeichnen.)= :f(x,y).f(x,z). :::>x,y,z·Y=zDf (l~Nc)(f) = :f(x, z) .f(y, z). ::>x, y, z. x = y Df (l~l)(J). =. (Nc~l)(f). (l~Nc)(f) Df (ax).p (x). = . "' { (x). "'p (x)} Df p sim tp.=. (af). ((l~l)f:px.::>. (ay).{J(x,y).tpy}:tpy.:::>. (ax). {f(x,y). px}) Df Ne( p) = tp' ( p sim tp) Df Hier bedeutet Nc(p) die Kardinalzahl von p. Man hat 1-: p sim tp. =. Nc(p) =Ne (tp) Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1897. Die jetzt folgenden sechs Definitionen schließen im Original ohne Zeilenwechsel unmittelbar aneinander an. 1

2

242

Bertrand Russell

Nach dieser Weise kann man ohne Klassen die Arithmetik treiben. Damit, aber, scheint mir der Widerspruch vermieden zu sein. Ueber Sinn und Bedeutung bin ich noch immer nicht ganz Ihrer Meinung. Darüber möchte ich folgendes sagen. Vorstellung und Urtheil habenbeidein allen Fällen einen Gegenstand: was ich eine "Proposition" nenne kann Gegenstand eines Urtheils sein, kann ebensowohl Gegenstand einer Vorstellung sein. Es giebt also zwei Weisen auf denen man an ein Gegenstand denken kann, falls dieser Gegenstand ein Komplex ist: man kann ihn vorstellen, oder man kann ihn urtheilen; doch ist der Gegenstand in beiden Fällen derselbe (z.B. wenn man sagt "der kalte Wind" und wenn man sagt "der Wind ist kalt"). Also bedeutet für mich der Urtheil[s]strich eine verschiedene Weise des Gerichtetseins auf ein Objekt. Komplexe sind wahr oder falsch: wenn man urtheilt, meint man einen wahren Komplex zu treffen; doch kann man sich natürlich irren. Aber Wahrheit ist nicht Bestandtheil des wahren, wie grün Bestandtheil eines grünen Baumes ist. Zwischen zwei Sätzen die beide wahr oder beide falsch sind besteht für mich nichts identisches; ich schreibe p- q .=. p :.> q . q :.> p Df. Diese Relation besteht demnach zwischen irgendzwei Gegenständen die nicht Bedeutungen von Sätzen sind. Was "p B m • :.> P • p" betrifft, so schreibe ichjetzt dafür "q;(p) :.>pp"; d.h. "die Eigenschaft q; gehört keinen Gegenständen die nicht wahr sind". Wenn man bei "p = q" keine Identität verlangt, so besteht darin, wie mir scheint, keine Schwierigkeit. Die Funktion aus der für mich Schwierigkeiten wuchsen ist "' q; { q;(p) :.> Pp}. Jetzt aber sind diese Schwierigkeiten überwunden, durch Ihr Theorem in Ihrem Anhange, nach dem 3) 1- : 3: ( q;, "P) • (( q;(p) :.>PP) I' ("P (p) :.>pp) . "' q; { q;(p) :.>pp} . "P {"P (p) :.>pp}) In den ersten zwei Theilen meines Buches giebt es viele Sachen die nicht gründlich behandelt sind, und viele Meinungen die mir nicht mehr richtig scheinen. Doch in den späteren Theilen, wenn man Funktionen überall an die Stelle von Klassen setzt, scheint mir das Meiste richtig zu sein. Im zweiten Bande4) hoffe ich das Ganze symbolisch auszuführen. Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebener Bertrand Russell. a Im Original "nachdem". Russell bezieht sich offenbar auf GGA 11, p. 261. Frege leitet dort zunächst einen Satz ( w ab und erhält dann aus diesem auf dem Wege der Ersetzung von "a" durch die (mit einer dazu eingeführten Abkürzung "'P( /;)" gebildete) Zeichenverbindung "Mp('P(ß))" den von ihm nicht begriffsschriftlich ausgedrückten Satz über die Existenzzweier Begriffe "der Art, dass sie, als Argumente der Function zweiter Stufe genommen, denselben Werth ergeben, der nun unter den zweiten dieserBegriffe fällt, nicht aber unter den ersten" (op. cit., p. 261 b). Um eine Verwechslung mit Russells an dieser Stelle benutztem "rp" zu vermeiden, ersetzen wir Freges in GGA I, p. 42 verwendete Standardnotation ,,Mp( rp(ß))'' durch ,,Mp(x(ß))". Für Mp(x(ß)) setztRussell die Funktion x(P) :.>pP ein; sein "rp" entspricht dann Freges "'P", sein "1p" der in Freges Folgerung aus Satz ( w als existent behaupteten, durch "g" angedeuteten Funktion. • Der hier angekündigte zweite Band der Principles of Mathematics, zu welchem Russell den ersten laut Vorwort nur als "Kommentar oder Einführung" aufgefaßt

243

Bertrand Russell

XXXVIJ18

FREGE

an

RussELL

13. 11. 19041) Jena, den 13. XI. 04

Sehr geehrter Herr College! Entschuldigen Sie, dass ich durch vielerlei Ablenkungen verhindert erst jetzt dazu komme, Ihren Brief vom 24. Mai vorigen Jahres zu beantworten. Ihren Versuch, die Klassen ganz entbehrlich zu machen, kann ich doch nicht als gelungen ansehen, und zwar wegen des isolirenden Gebrauchs der Functionsbuchstaben. Ich habe mich darüber in der 2. Anm. aufS. 148, Bd. II meiner Grundgesetze geäussert. Die Isolirung des Functionszeichens widerspricht dem Wesen der Function, die [sie] in ihrer U ngesättigtheit besteht. Dadurch eben unterscheidet sich die Function vom Gegenstande. Darum müssen sich auch die Functionsnamen von den Eigennamen wesentlich unterscheiden, und zwar dadurch, dass sie mindestens eine leere Stelle - Argumentstelle-mit sich führen. Und diese Argumentstellen müssen bei einem Functionsnamen immer erhalten und als solche kenntlich bleiben; sonst wird der Functionsname zu einem bedeutungslosen Eigennamen. Dasselbe muss von den Functionsbuchstaben wenigstens überall da gelten, wo sie durch Functionsnamen ersetzbar sein sollen. Ich lasse daher auf den lateinischen Functionsbuchstaben immer eine Klammer folgen, deren Innenraum die Argumentstelle enthält. Nur die deutschen Functionsbuchstaben kommen bei mir auch isolirt vor, aber nur da, wo sie über der Höhlung stehen, weil sie in dieser Stellung nie durch Functionsnamen ersetzt werden sollen. Dies ist aber auch der einzige Fall, wo diese Ersetzbarkeit nicht statt hat. Mit Ihren Bezeichnungen ))f{J C 1p>(Nc-+1) (j)>2+3 = 53+4 "'A bzw. "'A :::> A, also .vom Typ der Russellschen Antinomie entstehen. Man vergleiche diese Widerlegung des Russellschen Vorschlags mit der formal verwandten Herleitung der Russensehen Antinomie im Nachwort zu GGA 11, p. 257, linke Spalte. & Im Briefentwurffolgt an dieser Stelle: "Der Gedanke kann nicht die Bedeutung des Satzes sein; denn die Sätze >>2 3 -1>2>3+4>2>42- 32> 2 (< haben dieselbe Bedeutung weil >>2 3-1>3+4>42-327-1« bezeichnet eine Zahl; ebenso bezeichnen >>7>1>7-1>7>7>4+3>4+3-1>7-1 «,weil >>4 + 3« dieselbe Zahl bezeichnet wie >> 77>4 + 3« >>42-3 2 6 ansehen für das Argument 7; denn wir erhalten einen andern Gedanken, wenn wir statt >> 7 742-3 2 =7> 7 = 742- 32 . ~ px,der ja eine Abkür'1'

zungfür ( p): x = g(p~). ::>. ~ px ist (und in dem "g (p~)" Freges Wertverlaufsbezeichnung entspricht). Ist dies überhaupt ein zulässiger Ausdruck, so ist er, wie der Allquantor am Beginn anzeigt, eine Aussageformfx. Bei Einsetzung von "t(J~)" für "x" ergibt sich also die (wahre oder falsche) Aussage ( p): t(J;) = t ( p~). ::>. ~ p(t (fm. Wäre diese Aussage wahr, so müßte speziell für f gelten: tU~)= t(f~). ::>. ~J(t(R)), also, da g(j;) = g(jg) wahr ist, ~ f( g(jg)). Dies widerspräche jedoch der unter unserer Annahme ebenfalls wahren Aussagef(t(f~)). Also mußj(t(fm bzw. (rp):t(R)= g(rp~) . ::>. ~ rp( g(f~)) falsch sein. Daraus folgt jedoch kein Widerspruch; es folgt nur, daß der angegebene Ausdruck eine Aussageform ist, die von ihrem eigenen Wertverlauf nicht erfüllt wird. Den Ausdruck "x = rp ~. ::>. ~ 'rpx" betrachtet Russell nur wegen der darin verwendeten (von Frege abgelehnten) Notation "p~" statt der Wertverlaufsnotation "g (rp~)" als "ein noch einfacheres Beispiel"; die eben angestellte Überlegung gilt ganz entsprechend.

250

Bertrand Russen

werden für jedes x diejenigen Funktionen behauptet für die x - j ( rp~) besteht. Diese Funktionen sind gewöhnlich für verschiedene Werthe von x verschieden; deshalb ist es nichts Selbstverständliches dass es eine Funktion gebe die immer behauptet wird. Wenn wir hier den richtigen Weg zur Beseitigung des Widerspruchs anerkennen, so besteht das U rgesetz

1- :. (x) .Jx = gx. - .

$ (f~)

=

i (g~),

aber man bedarf mehrerer sehr verwickelter Urgesetze über die Fälle wo die Funktionalität eines Ausdrucks besteht welches von der Form ( rp) . F (x, rpx, rp~) ist. Es ist aber fast sicher dass man, um den Widerspruch zu vermeiden, Urgesetze annehmen muss die gar nicht einleuchtend sind. Für die Negation gebrauche ich als Urgesetz I- :. p ::::> q. ::::> • p: ::::> • p welches kaum einleuchtend ist. 3 ) Es ist aber von derselben Form wie die anderen Urgesetze über die Deduktion. Diese sind nach mir

J-.p ::::>P 't-:p.::::>.q::::>P J- :.p. ::::>. q ::::> T: ::::> : q. ::::> .p ::::> J- :. p ::::> q. ::::> : q ::::> T. ::::> , p ::::> T.

T

und das obige. Ich habe diese anstatt andere gewählt, weil es mir schien dass ihre Anzahl die kleinste war die ausreichen würde. Ich stelle ferner p . q . = :. (r) :. p . ::::> • q ::::> r : ::::> • r Df p v q . = : p ::::> q. ::::> • q Df (Disjunktion) ~ p . = : p . ::::> • (r) . r Df. Ueber Sinn und Bedeutung sehe ich lauter Schwierigkeiten, die ich nicht zu überwinden vermag. Ueber die Gründe die mich verhindern, Ihre Ansicht im Ganzen anzunehmen, habe ich mich im Anhang meines Buches geäussert, und ich stimme noch immer dem zu, was ich da geschrieben habe. Ich glaube dass der Mont Blanc selbst, trotzaller seiner Schneefelder, Bestandtheil desses ist was eigentlich behauptet wird im Satze "Der Mont Blanc ist mehr als 4000 Meter hoch". Man behauptet nicht den Gedanken, der ja psychologische 3 Dieses Gesetz wird von Russell in The Principlesof Mathematics, London 1903,2. Aufl. 1937, § 18 (pp. 16-17) unter der Bezeichnung "the princip1e ofreduction" als Axiom (10) aufgeführt. Heute bezeichnet man es als "Peircesche Aussage" oder "Peirce's 1aw" nach Charles S. Peirce, On the algebra of logic. A contribution to the philosophy of notation, American Journal of Mathematics 7 (1885), pp. 180-202. Zu dem von Russen intendierten Zusammenhang mit der Negation cf. B. Russell, The Theory of Implication, American Journal of Mathematics 28 (1906), pp. 159-202, insbes. die Note auf pp. 200sq. Da beidiesemAufbau miteinerdurch ,p=:;p-+JAqq definiertenNegation die Aussage /Aq q eigens als falsch festgesetzt werden muß, kann man statt dieser Allaussage auch gleich eine Aussagenkonstante .A. ("falsum") wählen und die Negation entsprechend durch , p =::; p -+ .A. definieren. Über weitere einschlägige Eigenschaften der Peirceschen Aussage cf. den Artikel Aussage, Peircesche in Joachim Ritter (ed)., Historisches Wörterbuch der Philosophie, Bd. 1, Basel/Stuttgart 1971, col. 672, und die dort genannte Literatur.

Bertrand Russen

251

Privatsache ist: man behauptet das Objekt des Gedankens, und dies ist meines Erachtens ein gewisser Complex (ein objektiver Satz, könnte man sagen) worin der Mont Blanc selber ein Bestandtheil ist. Wenn man dies nicht zugesteht, so bekommt man zum Schluss dass wir über den Mont Blanc selbst überhaupt nichts wissen. Deshalb ist mir die Bedeutung des Satzes nicht das Wahre, sondern ein gewisser Complex der (im gegebenen Falle) wahr ist. Im Falle eines einfachen Eigennamens wie "Sokrates" kann ich zwischen Sinn und Bedeutung nicht unterscheiden; ich sehe nur die Idee, die psychologisch ist, und das Objekt. Besser gesagt: Ich gestehe den Sinn garnicht zu, sondern nur die Idee und die Bedeutung. Den Unterschied zwischen Sinn und Bedeutung erblicke ich nur im Falle vom Complexen die ein Objekt bedeuten, z.B. den Werthen der gewöhnlichen mathematischen Funktionen wie~+ I, ~2 etc. Doch gestehe ich zu dass in dieser Ansicht gewisse Schwierigkeiten liegen. Von dem was ich über den Mont Blanc gesagt habe, werden Sie einsehen, dass ich die Identität aller wahren Sätze nicht einräumen kann. Denn der Mont Blanc ist m.E. Bestandtheil des schon besprochenen Satzes, nicht aber des Satzes dass alle Menschen sterblich sind. Dadurch schon sind diese beiden Sätze als von einander verschieden bewiesen. Die Definition des Gleichheitszeichens die Sie kritisieren ist natürlich mit der ganzen Ansicht der sie zugehört gefallen. Ich stelle jetzt x = y . = . q;x :::> tp

q;y Df. (Dem Einwand, dass hier das Gleichheitszeichen, welches zu definiren ist, schon als bekannt vorkommt, antworte ich, mit Peano, dass "= .•. Df" für mich als ein Symbol gilt, welches nicht dasselbe ausdrückt wie"=". Die Definitionen sind eigentlich kein Theil der Lehre, sondern typographische Festsetzungen."= ... Df" ist nicht eine der primitiven Ideen der Mathematik, sondern drückt bloss meinen Willen aus.[)] Ich glaube dass (42-3 2 = 7). =. (7-7) falsch ist. Denn m.E. muss 4) man in einem Complex kein Bestandtheil durch ein anderes von derselben Bedeutung aber von verschiedenem Sinne ersetzen, wenn man die Identität beibehalten will. Denn ich glaube dass der Sinn von "42-32 " dem Satze wesentlich ist, d.h. Bedeutung der Bestandtheile bestimmt allein den Satz nicht. Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebener Bertrand Russell. XXXVI/20

RussELL an FREGE

16. 3. [1912] 1 )

Hrsg: Russen fordert Frege auf, mit einem Vortrag am Mathematiker-Kongreß in Cambridge teilzunehmen.

Im Sinne von ,darf [man kein]'. 20 1 Der Nachweis dieses Schreibens, über dessen Verbleib nichts bekannt ist, und Andeutungen zu seinem Inhalt finden sich in XXXVI/21. 4

252

Bertrand Russell

X:XXVI/21

FREGE

an

RussELL

9. 6. 19121) Jena, den 9. VI. 12.

Sehr geehrter Herr Kollege! Schon lange liegt es mir schwer auf der Seele, dass ich Ihr freundliches Schreiben vom 16. 111. noch nicht beantwortet habe. Ich weiss die Ehre ganz zu schätzen, die Sie mir durch die Aufforderung erwiesen haben, am Mathematiker-Kongresse teilzunehmen und dort einen Vortrag zu halten, und doch kann ich mich nicht entschliessen, ihr Folge zu leisten. Ich sehe ein, dass ich gewichtige Gründe habe, nach Garnbridge zu gehen, und doch fühle ich etwas wie ein unüberwindliches Hindernis. Und das macht es mir so schwer, Ihren liebenswürdigen Brief zu beantworten. Bitte, zürnen Sie mir deswegen nicht! Und nun habe ich Ihnen noch meinen herzlichen Dank zu sagen, das Sie und Ihr Herr Mitverfasser mir mit dem zweiten Bande Ihrer Principia Mathematica gemacht haben [sic] 2). Weil ich verreist war, hat das Paket hier einige Wochen auf dem Steueramte gelegen, ohne dass ich seinen Inhalt kannte. Andere Beschäftigungen und Mangel an Kraft haben mich bis jetzt nur einige flüchtige Blicke in das Buch tun lassen; aber ich hoffe Zeit für ein gründlicheres Studium zu finden. Also nochmals herzlichen Dank! Mit hochachtungsvollem Grusse Ihr ergebener G. Frege. Das Original des Briefes befindet sich im Russeli-Archiv in Hamilton, Ontario. In diesem syntaktisch mißglückten Satz scheint Frege zwei verschiedene von ihm erwogene Formulierungen vermengt zu haben. Ob er seine "Freude über das Geschenk" zum Ausdruck bringen wollte, das ihm Russell und Whitehead mit dem zweiten Band der Principia gemacht hatten, oder ob er einfach dafür danken wollte, daß sie ihm diesen Band "zum Geschenk gemacht haben", dürfte kaum noch rekonstruierbar sein. 1

2

XXXVII. FREGE- SCHEFFER Einleitung des Herausgebers

SehLJ gibt als Namen des Briefautors nur "Scheffer" an. Nähere Angaben konnten nicht ermittelt werden. - In einer von Scholz und seinen Mitarbeitern angefertigten Übersicht über Freges Nachlaß befindet sich auch ein Hinweis auf ein inzwischen verlorengegangenes Manuskript Freges, das sich u.a. mit Georg Schejfers' Geometrie befaßt. Georg Wilhelm Seheffers (1866-1945) lehrte von 1907-1935 als ordentlicher Professor der Mathematik an der Technischen Hochschule in Berlin-Charlottenburg. Daß Scheffers der in der SehLl genannte "Scheffer" ist, läßt sich weder ausschließen noch nachweisen. - Die Vermutung, daß es sich bei "Scheffer" um den amerikanischen Logiker Henry M. Shejfer ( 1883-1964) handelt, ließ sich nicht erhärten.

XXXVII/I

ScHEFFER an FREGE

17. 7. 19111)

Hrsg.: Scheffer bittet Frege um ein Treffen. 1 Der Inhalt des Briefes ist durch SehLJ überliefert. Das Original befand sich im SeMreh und ist verlorengegangen.

XXXVIII. FREGE- SCHLÖMILCH Einleitung des Herausgebers Oscar Schlömilch (1823-1901) war nach seiner Lehrtätigkeit, zuletzt als ordentlicher Professor der Mathematik am Polytechnikum in Dresden, zur Abfassungszeit von XXXVIII/I Geheimer Schulrat im sächsischen Kultusministerium. Er war einer der Herausgeber der Zeitschrift für Mathematik und Physik.

XXXVIII/I

ScHLÖMILCH

an

FREGE

22. 6. 18811)

Hochgeehrter Herr Professor! Es ist mir leider unmöglich, Ihren Wunsch nach baldigem Abdruck der eingesendeten Arbeit2) zu erfüllen, denn in der Manuscriptmappe meiner Zeitschrift3) herrscht jetzt ein solcher Überfluß an größeren Artikeln, daß ich Sie ein volles Jahr auf das Erscheinen Ihrer Abhandlung warten lassen müßte. Unter diesen Umständen glaube ich die Annahme Ihres Manuscripts nicht verantworten zu können. Mit besonderer Hochachtung habe ich die Ehre zu zeichnen Ihr Dresden ergebenster 22.Juni 1881. Dr. 0. Schlömilch Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1845. Gemeint ist Freges Abhandlung Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift, zuerst gedruckt in NSchrWB I, pp. 9--52. Cf. dazu auch XXII/I u. XLII/I. 3 Dabei handelt es sich um die Zeitschriftfür Mathematik und Physik. 1

2

XXXIX. FREGE -SPIESER Einleitung des Herausgebers

Hans Spieser (1862-1922) war von 1889 bis 1914 evangelischer Pastor in Waldharnbach im Elsaß (Bas-Rhin).I) Neben pädagogischen Schriften verfaßte er auch nationalpolitische Pamphlete. Nach SchLl kam der Briefwechsel durch Wilhelm Rein (1847-1929) zustande. Rein war seit 1886 ordentlicher Professor der Pädagogik an der Universitätjena und Direktor des dortigen Pädagogischen Seminars. Rein erhielt von Spieser einen Brief vom 24. 10. 1914, den Rein mit Empfehlung an Frege weiterleitete. Der Briefwechsel ( .. . 11. 1914-29. 12. 1914) betrifft nach SchLl "pädagogische Bestrebungen mit der Begriffsschrift". Er beläuft sich auf 1 Brief Freges an Spieser und 2 Schreiben Spiesers an Frege. Die Originale befanden sich im SchArch und sind verlorengegangen.

XXXIX/I

FREGE an SPIESER

... 11. 19141)

Hrsg.: SchLJ vermerkt zum Inhalt: "zur Begriffsschrift".

XXXIX/2

SPIESER an FREGE

7. 12. 19141 )

XXXIX/3

SPIESER an FREGE

29. 12. 1914I)

EI Nach Auskunft der Bürgermeisterei von Waldharnbach (Oktober 1972). I I Das Original des unvollständig datierten Briefentwurfs befand sich nach SchLJ im SchArch und ist verlorengegangen. SchLJ vermerkt ferner unmittelbar im Anschluß an "Entwurf Fr. an Sp. November 1914": "und Anfang des Briefes". 2-3I Der Brief XXXIX/2 und die Karte XXXIX/3 sind nachgewiesen durch SchLJ. Ihr Inhalt ist nicht überliefert. Die Originale befanden sich im SchArch und sind verlorengegangen.

XL. FREGE- STUMPF Einleitung des Herausgebers Der Briefpartner Carl Stumpf ( 1848 -1936) promovierte 1868 in Göttingen bei H. Lotze, bei dem auch Frege hörte. Er war ein Schüler F. Brentanos, wurde 1873 Professor für Philosophie in Würzburg und war zum Zeitpunkt seines Briefwechsels mit Frege Professor der Philosophie in Prag. In dem einzigen überlieferten Brief von Stumpf an Frege, dessen Original sich in der SlgDarmst befindet, nimmt Stumpf Bezug auf ein vorausgegangenes Schreiben Freges. Die von Stumpf erörterten Inhalte, nämlich Freges Veröffentlichungspläne, die Besprechung seiner Schriften, Begründungsprobleme der Mathematik und die Auffassung des partikulären Urteils, lassen es als möglich erscheinen, daß Stumpfs Brief eine Antwort auf Freges Brief XXX/1 ist, der dem Adressaten Marty zugesprochen wurde. Cf. die Einleitung des Herausgebers zum Briefwechsel XXX mit Marty. Nach der freundlichen Auskunft von Herrn Carl Aifred Stumpf, Stuttgart (Schreiben vom 5. 12. 71) und Frau Erna Stumpf, Göttingen (Schreiben vom 19. 12. 71) befinden sich im Nachlaß Stumpfs keine Briefe von Frege an Stumpf.

XL/I

STUMPF an FREGE 9. 9. 18821) Dippmannsdorf bei Belzig 9 Sept 82 Sehr geehrter Herr College

Mit Vergnügen würde ich Ihrem Wunsche, über die in Ihrem Briefe mitgeteilten Ansichten mich auszusprechen, willfahren, wenn ich Ihre "Begriffsschrift" zur Hand hätte, deren Einzelheiten mir leider nicht ganz im Gedächtniß sind, u. welche zum vollständigen Verständniß Ihrer Ansichten doch nötig wären; und wenn ich 2tens nicht selber im Begriffe wäre, eine seit 7 Jahren gepflogene Untersuchung zum endlichen Ende und zum Druck zu bringen, was mich noch aufmehrere Monate ganz in Anspruch nimmt2). Ich verspreche Ihnen aber, sobald es irgend möglich ist, zu antworten u. hoffe auch in einer Zeitschrift mich äußern zu können - vielleicht ließe sich die neue Schrift mit der "Begriffsschrift" zusammen besprechen? - Einstweilen erlauben Sie mir meine Freude auszudrücken über Ihre Theilnahme an logischen Problemen, in Bezug auf welche ein Zusammenwirken mathematischnaturwißenschaftlicher und philosophischer Kräfte so sehr notwendig ist. Es ist übrigens meine Meinung, daß nicht blos die arithmetischen u. algebraischen sondern auch, trotz Riemann-Helmholtz u. allen Engländern, die

I Das Original dieses Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur 2a 1883. ' 2 Die genannte Untersuchung ist Stumpfs Tonpsychologie. 2 Bde., Leipzig, 1883 u. 1890.

Carl Stumpf

257

geometrischen [Urteile] analytisch sind; 3) u. sobald meine Arbeit fertig ist will ich zu diesem Thema übergehen. Ebenso scheint es mir (mit Brentano), daß nicht blas jedes particulare sondern auch jedes allgemeine Urteil ein Existenzialurteil sei (letzteres ein negatives). 4) Hinsichtlich Ihrer Arbeit, auf welche ich mich außerordentlich freue, bitte ich mir die Frage nicht übel zu nehmen, ob es nicht zweckmäßig wäre, deren Gedankengang zunächst in der gewöhnlichen - und vielleicht getrennt davon ein andermal 5) oder auch im seihen Buche in der Begriffsschrift darzulegen; was, dächte ich, der Aufnahme beider Materien günstig sein müßte. Doch kann ich natürlich nicht aus der Ferne darüber urteilen. Hochachtungsvollst Ihr ganz ergebener C Stumpf. 3 Ausgehend von Untersuchungen B. Riemanns u.a. zur nicht-euklidischen Geometrie vertrat H. v. Heimholt;: die Ansicht, daß die Axiome der Geometrie zwar synthetische, aber empirische Urteile seien. Dieser Auffassung war z.B. auch J. St. Mill. 4 "Alle Menschen sind Lebewesen" z.B. läßt sich (übrigens auch in Freges Begriffsschrift) umformulieren in "es gibt keinen Menschen, der nicht ein Lebewesen ist". 5 Diesem Vorschlag Stumpfs ist Frege gefolgt, indem er den GGA die Veröffentlichung der GLA voranschickte und damit zunächst auf eine begriffsschriftliche Darstellung verzichtete.

XLI. FREGE- THOMAE Einleitung des Herausgebers

Johannes Thomae (1840-1921) war seit 1879 ordentlicher Professor der Mathematik an der Universität Jena. Mit Thomae setzte sich Frege in seinen Schriften (33), (34), und (35) polemisch auseinander.

XLI/1

THOMAE

an

FREGE

10. 12. 19201)

Hrsg.: Thomae dankt Frege für dessen Glückwunsch zum 80. Geburtstag. 1 Der Inhalt des Briefes ist überliefert durch SchLl, die aber keine Angaben über die Aufbewahrung des Originals enthält. Über dessen Verbleib ist nichts bekannt, ebenso nichts über den Verbleib des Glückwunschschreibens Freges an Thomae zu dessen 80. Geburtstag am 11. 12. 1920.

XLII. FREGE- ULRICI Einleitung des Herausgebers

Herrruznn Ulrici (1806-1884) war seit 1861 ordentlicher Professor der Philosophie in Halle.

XLII/I

ULRICI an FREGE

18. 9. 188P) Halle 18. 'Septbr. 1881

Geehrter Herr College! Empfangen Sie meinen verbindlichsten Dank für die freundliche Übersendung Ihrer interessanten Abhandlung über "Begriffsschrift" 2) und Ihres darauf bezüglichen Artikels 3) für meine Zeitschrift'). Auch dieser Artikel ist für den Logiker von Profession sehr interessant. Dennoch muß ich ihn Ihnen zu meinem Bedauern zurücksenden, vornehmlich aus dem ganz äußerlichen, aber zwingenden Grunde, weil er für einen Journalartikel zu lang ist. Auch setzt er die Bekanntschaft nicht nur Ihrer Abhandlung, sondern auch von Boole's "rechnender Logik" voraus,- eine Voraussetzung, die bei der großen Mehrzahl meiner Leser nicht zutreffen dürfte. In aufrichtiger Hochachtung Ihr ergebenster H. Ulrici Das Original des Briefes befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur 2 a 1854. Dabei kann es sich nur um die BS handeln. 3 Gemeint ist die später nachgelassene Schrift Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift. Sie wurde zuerst abgedruckt in NSchrWB I, pp. 9-52. Cf. auch dazu XXII/I u. XXXVIIIfl. ' Ulrici wirkte seit 1847 als Mitherausgeber der Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik. 1

2

XLIII. FREGE-VAILATI Einleitung des Herausgebers Giovanni Vailati (1863-1909) war Schüler und, von 1892 bis 1899 als Assistent an der Universität Turin, Mitarbeiter G. Peanos. Danach ging er als Mathematiklehrer an verschiedene italienische Gymnasien und technische Schulen. Im November 1905 wurde er Mitglied einer Kommission zur Reform des Gymnasialunterrichtes in Italien. Über seinen engeren wissenschaftlichen und pädagogischen Wirkungskreis hinaus entfaltete Vailati eine weitgespannte schriftstellerische und bildungspolitische Aktivität, die ihn durch Briefwechsel, Reisen und Kongressbesuche mit vielen bekannten Zeitgenossen, u.a. mit Franz Brentano, Ernst Mach, Benedetto Croce, George Sorel, in Verbindung brachte. Dokument dieser Wirksamkeit sind die Scritti di G. Vailati (Leipzig und Florenz 1911), ferner die in dem Band G. Vailati: Epistolario 1891-1909 (Turin 1971) von G. Lanaro herausgegebenen Briefe. Eine kurze biographische Information zur wissenschaftlichen Bedeutung von Vailati enthält der Ricordo di Giovanni Vailati von Luigi Einaudi in dem genannten Briefwechselband Epistolario 1891-1909, pp. 19-26. Man kann annehmen, daß Vailati im Peanokreis bereits früh eine Kenntnis der Ansätze Freges erworben hat. Er wird auf Frege erneut aufmerksam durch Russells Hinweise in The Principles of Mathematics (1903), wie ein Brief an Giovanni Vacca vom 7. 11. 1903 (cf. Epistolario 1891-1909, p. 226) belegt. Daß Frege an Vailati einige Publikationen schickt, führt dann 1904 zu einem ersten brieflichen Kontakt. Mit einem zweiten Schreiben aus dem Jahre 1906 versucht Vailati anläßlich einer Deutschlandreise ein Treffen in Jena zu arrangieren. Offenbar hat das Treffen stattgefunden. Prof. Feruccio Rossi-Landi (Rom) versichert in einem Schreiben vom 14. 11. 1969 an Dr. Nicola De Domenico, eigenhändig eine Karte Freges an Vailati aus einer Regenwasserpfütze im Palazzo Vailati geborgen zu haben. Die Karte hat nach seiner Erinnerung eine Einladung zu einem Mittagessen bei Frege enthalten. Außerdem erwähnt Vailati in einem Brief an Vacca vom 20. 5. 1906 eine Frege-Akte (incartamento Frege) und macht den Vorschlag, dazu einen Artikel schreiben zu lassen. Man kann annehmen, daß Vailati sich das Material für den vorgesehenen Artikel in Jena verschafft hat. Die beiden Briefe Vailatis sind in der SlgDarmst erhalten geblieben. Nach einer Dr. De Domenico mit einem Schreiben vom 16. 12. 1969 gegebenen Auskunft von Prof. MarioDal Pra (Mailand) sind Briefe Freges an Vailati im Nachlaß Vailatis nicht mehr vorhanden.

XLIII/I

VAILATI an

Honore Professeur

FREGE

17. 3. 19041 )

Corno 17 Mars '04

Je viens de lire avec extreme interet les opuscules que vous avez bien voulu me communiquer2) et je me permets de vous transcrire aussitöt quelqu'unes Das Original befindet sich in der SlgDarmst unter der Signatur H 1904. In einem Brief vom 22. 3. 1904 an Giovanni Vacca erwähnt Vailati, daß er von Frege dessen Schrift Was ist eine Funktion? bekommen habe, ferner "zwei weitere kleine Publikationen", die eine "nicht sehr glücklich" geratene Kritik an Hilberts Grundlagen der Geometrie entllielten. Offenbar handelt es sich dabei um Freges Aufsatzreihe GLG III 1-3 oder die ersten Teile davon. 1

2

Giovanni Vailati

261

des reflexions qu'ils m'ont suggeres, en particulier pour ce qui a rapport a vos remarques critiques sur l'ouvrage de Mr.Hilbert Über die Grundlagen der Geometrie. J'admets que vous avez pleinement raison de regarder comme absolument incoherente l'exposition de Mr. relativerneut aux axiomes. Sa pretention de Ies qualifier comme exprimant des I' express quite different thoughts; but also '2'=42' and '4.4=42' express different thoughts, and yet we can replace '2'' by '4.4' because both signs have the same signification. Consequently '2'=42' and '4.4=42 ' have the same denotation. Hence we see that equality ofthought does not follow from equality of denotation. If we say: 'the evening-star is a planet whose period of revolution is less than that of the earth,' we have expressed another thought than that expressed in the sentence: 'the moming-star isaplanet whose period of revolution is less than that of the earth;' for he who does not know that the momingstar is the evening-star could hold that one was true and the other false; and yet the denotation ofboth propositions must be the same, because only the words 'moming-star' and 'evening-star' are interchanged, and they have the same denotation, that is to say, they areproper names of the same celestial body. We must distinguish meaning (Sinn) and denotation (Bedeutung) ;* 16a) '2'' and '4.4' have the same denotation, that is to say, they areproper names of the same number, but they have not the same meaning; and on this account '2'=42 ' and '4.4=4 2 ' have the same denotation, but not the same meaning; that is to say, in this case they do not contain the same thought." *151 For the sake of shortness, Frege said "'2 2 =4' denotes the true" and "'2 2 = I' denotes the false." *1511 Like Frege (cf. Gg., i., p. 4), we here use inverted commas to denote that we are speaking of the sign, and we do not use them when we speak of its denotation. * 15a Here and elsewhere I have translated bedeuten and Bedeutung by denote and denotation respectively; Russell (op. cit., p. 502) translated Bedeutung by indication. Frege developed this distinction at length in an essay "Über Sinn und Bedeutung" (Zeitschr. für Philos. und phil. Kritik, C., 1892, pp. 25-50; cf. Gg., i., pp. x., 6-7). Fora critical account of this distinction, and of Frege's analysis of judgment into (I) recognition of truth, (2) Gedanken, (3) truth-value, see R.Pr., pp. 502-505. Venn (op. cit., Ist ed., p. xxv., 2nd ed., p. xxvi.) asserted that the distinction between denotation and connotation and the doctrine of definition are found to be of necessity passed by, by symbolic logic. That this statement is mistaken with regard to the doctrine of definition, we leam from the work ofFrege and Peano (see above, and the section on Peano below); that it is also mistaken with regard to the distinction between connotation and denotation, and the closely-allied distinctions between "indication by form of the nature of operations" 11 ) and denotation of signs (Venn, op. cit., Ist ed., pp. 32-33; 2nd ed., pp. 33-34) also appears. Cf. MissE. E. C.Jones's distinction between a name's signification (or attribution) of some characteristics ofthat to which it applies and its application (or denomination) to some thing or group of things (Elements of Logic as a Science of Propositions, Edinburgh, 1890, pp. 8, 8n, 196-197; An lntroduction to General Logic, London, 1892, p. 5; cf. J. N. Keynes, Studies and Exercises in Formal Logic, •.. ,4th ed., London, 1906, pp. 43, 189-190), and Mrs. Sophie Bryant's distinc11 Hierbei handelt es sich entgegen der Jourdainschen Konvention nicht um ein Zitat aus Venn: Symbolic Logic, l. Aufl., sondern um eine Paraphrase von "We must

understand xy, ~ & c strictly to denote mere classes, but to indicate by their form the y

nature of the Operation by which the classes in question are to be justified or obtained [ ...]" (p. 33, Anm.).

Philip E. B.Jourdain: Gottlob Frege

297

19. A concept (Begriff) in logic is a function whose value is always a truth-value, * 151 ) and the extension of a concept is the range of a function whose value for every argument is a truth-value. *155) For argument we have considered not merely numbers but all objects; while for function-values we have introduced the two truth-values. But* 156) "we must go further, and permit objects without Iimitation to be function-values." For example, 'the capital town of x' was called by Frege* 157) the expression of a function, since it is incomplete but is completed when the empty place marked by x is filled by a word denoting something complete, like 'the German empire.' When this particular argument is used, the function-value is Berlin. Thus objects without Iimitation were permitted both as arguments and as function-values, and, with Frege, * 158) an object (Gegenstand), though a formal definition of what is meant is impossible because it cannot be decomposed logically, may be described as: everything which is not a function, and consequently whose expression has no empty place. More accurate settlements about the denotations of the usual signs must now be made. *159) As long as whole numbers alone of objects are considered, the plus-sign need only be defined when it stands between whole numbers; but every extension of the dass of objects considered necessitates a new definition of this sign. "To make arrangements that an expression should never become devoid of signification, in order that we may never, without remarking it, calculate with empty signs while thinking that we are dealing with objects, appears tobe a commandment of scientific rigour." In the requirement that a combination of signs shall never become devoid of signifi-

tion between a symbol representing the operation of the mind on a certain subject-matter, and its denoting the result ofthat operation (Proc. Aristot. Soc., ii., N.S., 1901-1902 [Sophie Bryant: The Relation of Mathematics to General Formal Logic, pp. 105-134; anschließend Discussion on Mrs. Bryant's Paper, "The Relation of Mathematics to General Logic." [sie], pp. 134-143.], pp. 108, 139-140 [Diskussionsvotum von E. C. Benecke], 143). In his Bs., Frege supposed that identity is a relation between names of objects, but when he had distinguished meaning and denotation, so that, for example, "the meeting point of the lines a and b" may have the same denotation as "the meeting point of the lines c and d (which aredifferent from a and b)," but a different meaning (be obtained by different constructions), he expressed his view on identity as follows (S.u.B., p. 50): If a=b, the denotation (truth-value) of 'b' is the sameasthat of 'a,' and thus the truthva1ue of 'a=b' is the sameasthat of 'a=a.' Neverthe1ess the meaning of 'b' can differ from that of 'a,' and accordingly the thought expressed by 'a=b' can be different from that expressed by 'a=a.' Of the samenature was Miss Jones's treatment of identica1 propositions (Elements, p. 46; Gen. Logic, pp. 20, 27-28). Cf. also R.Pr., p. 64. *154 F.u.B., p. 15. *155 lbid., p. 16. *158 lbid., p. 17. *157 lbid., p. 18. This is what Russell called a 'denoting function.' *158 F.u.B., p. 18. Cf. also Frege's reply ("Ueber Begriff und Gegenstand," Vierteijahrsschr. für wiss. Philos., xvi., 1892, pp. 192-205) to Benno Kerry's criticisms. For Russell's criticisms on Frege and Kerry, see R.Pr., pp. 505-510, 520-522. *ts9 F.u.B., p. 19.

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Philip E. B. Jourdain: Gottlob Frege

cation, whatever objects some or all of those signs may represent, "we have, *160) for concepts, the requirement that they have a trutlt-value for each argument, that for every object it is determined whether it falls under tlte concept or not; in otlter words: they must be sharply bounded, otherwise it would be impossible to set up Iogicallaws about them. For every argument x, for which 'x+ 1' were devoid of signification, tlte function x+ 1= 10 would have no value, and therefore no truth-value, so that tlte concept 'what, when increased by 1, gives 10' wou1d not have a sharp boundary. The requirement of tlte sharp bounding of concepts necessitates, tlterefore, that functions in general have a value for every argument."* 161) Frege tlten introduced what, in tlte Begriffsschrift, he called the "line of content," but here simply "horizontalline," as a function whose value is the true ifthe argument (represented by the signs following the line) is tlte true, but tlte false if tlte argument is tlte false or no truth-value at all;* 162) and tlten tlte vertical line of assertion. * 163) That function represented by the short vertical line of denia1 combined with the horizontal line was introduced, U 64 ) and the representation of generality and the combination of hollowing witlt a line of denial at one or both sides of it, the whole bearing or not the sign of assertion, *165 ) were explained in a manner essentially tlte same as in the Begriffsschrift. The form f(a) preceded by a hollowed out horizontal line, in the hollow of which an a stands, and on botlt sides of which hollow are lines of denial, occurs in tlte expression of existence-theorems, and Frege* 166) regarded it as the expression of a function whose argument is indicated by 'f.' "Such a function is obviously fundamentally different from tltose considered hitherto; for as its argument only a function can occur." Frege called tlte new functions functions of the second stage (Stufe), and, correspondingly, distinguished concepts ofthefirst and second degree.* 167 ) *16° F.u.B., p. 20; cf. Gg., i., p. 2; and ii., pp. 69-72. *161 Cf. article 12 above and the section on Peano below. Frege did not say how a+b (for example) is tobe defined witltout a hypothesis that a and b are numbers, and Russell appears to have been tlte first to give such a definition, 'a+b' denoting tlte null-elass except when a and b are numbers. *162 F.u.B., p. 21; Gg., i. p. 9. Thus '1+3=4,' '1+3=5,' and '4,' each preceded by a horizontalline, denote the true, the false, and the false respectively. *163 F.u.B., pp. 21-22; Gg., i., p. 9. The line of judgment cannot be used for the formation of a functional expression, because it does not serve, in combination with other signs, for pointing out an object. An assertion indicates (bezeichnet) nothing, but asserts something. * 164 F.u.B., pp. 22-23. *165 lbid., pp. 23-26. * 166 lbid., pp. 26-27. * 167 Cf. Gl., p. 65, where Ordnung replaced Stzife. The ontological proof of the existence of God treats existence as if it were a concept of the first degree. In analysis, definite integrals are functions of the second degree (functions of functions). "The sign

'JI 1-d~ 2 ' 0

+~

denotes a nurober,

'J~ -1d~ -' 0

+~

denotes a function of the first stage

if tlte Ietter 'C' holds the argument-place open, and

I

'J rp(~)d~' 0

denotes a function of

tlte second stage if tlte Ietter 'q;' holds tlte argument-place open.

:C

I

d~

J0 -1+~2

is tlte value

of this function of the second stage for tlte function 1 2 as argument. The expression 'function of a function' is already used in another sense. But, properly speaking, tltis

Philip E. B.Jourdain: Gottlob Frege

299

Corning to functions of two arguments, Frege* 168) called those functions whose value is always a truth-value, relations (Beziehungen); considered* 169) the function of two truth-values which we know as implication (the false if the true is the y-argument and an object which is not the true is the x-argument; and otherwise the true); and distinguished degrees with functions of two arguments. *170) 20. vVe may sum up tl1e advances marle by Frege from 1879 to 1893 as follows:Firstly, the hypothesis as to the judicability of contents was dropped. Wehave seen, for example, how, in Function und Begriff, the relation of implication between p and q may hold when they are not propositions at all. And we there had the evils of definition under an hypothesis stated. Secondly, Frege recognized (first in the Grundlagen) that equality in mathematics is always expressible by a logical identity; and hence that the sign '=' of the Begriffsschrift could be replaced by the usual '=.' Thirdly, the traces of formalism in the Begriffsschrift vanished: a function ceased to be called a name or expression. Fourthly, the sign '=' ceased to be considered as the expression of a relation between names, and the distinction between the meaning and denotation of a name had further consequences in such fundamental matters as the analysis of judgment. And the three most conspicuous advances marle in the Grundgesetze, ofwhich we are about to speak, seem to have been the emphasis on the distinction between all and a1!JI, the full import of which hardly appears in Frege's earlier writings on the subject of generality; the introduction of a sign for expressing the definite article; and the discussion of the doctrine of definition. 21.

Frege's logical and arithmetical doctrines were the most fully exposed in his Grundgesetze der Arithmetik, the first part of which was published in 1893.* 171) It was his

fC

usage is false. Out of the functions and 1 + C2 we can form the function y(I+C 2 )~ Here the value of the function I+ C2 enters for an argument which, for its part, is an argument of the function this value is a number and not a function. Thus the argument of the function is by no means a function, but a number. Since the function is of the first stage, it can never have a function as an argument. Many mathematical writers use the word 'function' where what they mean is the value of the function for a certain argument. Hence the false manner of using the expression 'function of a function.' In tp( C) we have a function of the second stage, if the Ietter 'tp' holds open the argument-place12 ). Let us take, in succession, as arguments, the functions l+C 2 , l-C 2 , IJC; then we get as values ofthe function ofthe second stage the values }"(l--t.::T2); }" (1-12), Jl(i/Tf respectively. But it is clear that this function of the second stage is quite different from the function of the firststage }"C." (F., 1910.) *168 F.u.B., p. 28. *169 Ihid., p. 28. * 170 Ihid., pp. 28---30. *171 Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet von Dr. G. Frege, Bd. i., Jena, 1893, xxxii., 254 pages; Bd. ii., Jena, 1903, xvi., 266 pages. Frege (Gg., i., p. xi.) referred to the neglect ofhis work by mathematicians-a state of things which is fortunately changed at the present time.

yC

yc;-But yC

V

12

Statt .. ~~T' sollte "Vtp(I)" stehen. Cf. Anm. 16 zu XXIf9, p. 123.

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intention* 172) to establish the view on the concept of enumeral which he had stated in the Grundlagen, and which rested on the result* 173) that the number-datum contains a statement about a concept. The fundamental signs used in the Begriffsschrift occur again in the Grundgesetze, with one exception: instead of the three parallel lines, Frege chose the usual sign of equality, since he had convinced hirnself that the words 'equal to' in arithmetic have the same denotation as the words 'identical with.'*1 74 ) To the fundamental signs of the Begriffsschrift were here added a smooth breathing, referred to above, to denote the range of a function, * 176) and a sign to represent the definite articles of language. *176) Development of Frege's logical views necessitated different explanations of the original signs, whose form and algorithm remained unaltered or nearly so. *177 ) The proofs* 178 ) contained in the Grundgesetze contained no words, but were carried through with Frege's signs alone, and the progress from one theorem to the next was according to definite rules. *179) The theorems - which there must be - which cannot be deduced from others are the fundamentallaws, *180) and, besides these, definitions* 181) also form part of the irreducible residuum. The need of definitions appears constantly as such an investigation as this progresses; they are not creative but merely nominal, and introduce shorter names with which we can theoretically dispense. *182) Frege's aim in this work was, firstly, to denote all the theorems which are used without their being proved, expressly as such, in order to see clearly on what the whole structure rests; secondly, to reduce the number ofthese primitive laws as much as possible, by proving all that is provable;* 183) thirdly, to enumerate in advance all the manners ofreduction used. *184 ) In this way, for the first time, the necessary material for judging that arithmetic is only a further developed logic was brought together. *185)

22. One great merit of the ideography ofFrege was that every sign occurring in it was explicitly defined or explained. Thus the ideas made use of in alllanguages, which are represented by commas and other marks of punctuation, were implicitly pre-supposed in practically all mathematical literature, even in so fundamental a work as Dedekind's Was sind und was sollen die Zahlen?; and Frege* 186) called attention to this. Short* 172 Gg., i., pp. viii.-ix.; cf. p. l. The Grundgesetze had as purpose to prove the thesis made probable in the Gnmdlagen, that arithmetic is merely a branch of logic. *173 Gl., p. 59. * 174 Gg., i., p. ix.; ii., p. 7ln. Cf. Gl., pp. 73, 74, 76; S.u.B., p. 25. *176 Gg., i., PP· ix.-x., 14. *176 lbid., pp. ix., 19. *177 lbid., p. X. *178 lbid., pp. v.-vi. *179 Collected in Gg., i., pp. 61-64. *180 Collected in Gg., i., p. 61 (they are six in number). *181 Collected in a table on pp. 240-241 of Gg., i. *182 On definitions and the rules for definition, see Gg., i., pp. vi., xiii.-xiv., 51-52; ii., pp. 69--80. Cf. above. *183 Cf. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? [Braunschweig 1888. Dedekinds Vorwort zur ersten Auflage beginnt mit den Worten: "Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden" (l.c., p. 111).] •184 Gg., i., p. vi. *186 Gg., i., p. vii.; cf. Gl., pp. 99, 102-103; F.u.B., p. 15. *186 Gg., i., pp. vii.-viii.

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ness may be attained in an ideography at the expense of completeness, but such shortness was not aimed at by Frege. Frege's work thus differed, by its thoroughness, from the work of all his predecessors. He said:* 187) "Wenn ich die Arithmetik mit einem Baume vergleiche, der sich oben in eine Mannichfaltigkeit von Methoden und Lehrsätzen entfaltet, während die Wurzel in die Tiefe strebt, so scheint mir der Wurzeltrieb, in Deutschland wenigstens, schwach zu sein. Selbst in einem Werke, das man dieser Richtung zuzählen möchte, der Algebra der Logik des Herrn E. Schröder, gewinnt doch bald der Wipfeltrieb wieder die Oberhand, bevor noch eine grössere Tiefe erreicht ist, bewirkt ein Umbiegen nach oben und eine Entfaltung in Methoden und Lehrsätze." Frege* 188 ) criticized the notion which mathematicians denote by the word 'aggregate' (Menge), and particularly the views ofDedekind and Schröder. Neither ofthese authors distinguished the subordination of a concept under a concept from the falling of an object under a concept;* 189) a distinction upon which Peano rightly laid so much stress, and which is, indeed, one of the most characteristic features of Peano's system of ideography.

23. Frege's undertaking was, to a certain extent, analogous to Dedekind's, but was carried out with far greater accuracy and profundity. Thus, while Dedekind, at least in intention, made 'System' and 'Imaging' the two foundation-stones of his theory of arithmetic, those of Frege's theory were* 190) the more precisely expressed 'Concept' (Begriff) and 'Relation' (Beziehung). In his explanation of what is meant by the words 'Function,' 'Concept,' and 'Relation' ;* 191) Frege's point of view was that of his Function und Begriff of 1891 and his Begriff und Gegenstand of 1892, and was different from that of the Begriffsschrift. The analysis of Frege's Grundgesetze will be continued later. 13 )

Ibid., p. xiii. Ibid., PP· 1-3. *189 Ibid., p. 2; cf. Frege's article "Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröder's Vorlesungen über die Algebra der Logik", Archiv für systematische Philosophie, i., 1895, pp. 433-456; B.P., p. 371; and the section on Peano below. Peano introduced his relation e: in 1889, and seems to have anticipated Frege. The notein Russell's Principles, p. 19, stating that Frege distinguished, in his Bs., between what Peano denoted by e: and '-:J,' appears to be a mistake. *19o Gg., i., p. 3. *191 Ibid., PP· 5-8. *187 *188

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Die hier angekündigte Fortsetzung ist nicht mehr erschienen.

SACH- UND PERSONENREGISTER Dieses Stichwortregister erfaßt Freges und seiner Briefpartner Schreiben sowie die Herausgeberkommentare; nicht erfaßt sind die Einleitung der Herausgeber und der Anhang. Kursive Ziffern zeigen an, daß das Stichwort nur in den Herausgeberkommentaren erscheint. Die Rechtschreibung wurde der heutigen angeglichen. Nicht im Text vorkommende erläuternde Zusätze stehen in eckigen Klammern. Kommata in Verweisen trennen Oberstichwörter von Unterstichwörtern, Semikola in Verweisen trennen selbständige Stichwörter. Abbe, E. 52 Abbildung -eindeutig-umkehrbare 143 - Prinzip der logischen A. verschiedener Wissenschaften aufeinander 38 Acervus 183 Additionszeichen 194 affirmation 20, 22 Aggregat 111, 223, 225sq. cf. Ganzes; Haufe; System algebraisches Urteil 256 Allaussage (Form mit ,Alle') 93, 106 cf. universal alle 150 allgemein (Gedanke, proposition, Urteil) 20, 22, 34sq., 257 - Übergang vom A.en zum Besonderen 35sq. Allgemeinheit 35, 90, 103sq., 116sq., 176sq., 227 Allgemeinheitsbezeichnung 176 alternative 20, 22 Analyse [logische etc.] 102, 105, 181, 185sq. Analysis 3, 172 analytisches Urteil 25, 163, 257 andeutend (Bestandteil, Buchstabe, Zeichen; Funktionsandeutung) 34sq., 90, 103, 117, 177 cf. Buchstabe; Variable anerkennen cf. wahr, einen Gedanken als w. anerkennen Anführungszeichen 133, 197, 217 Angelelli, I. 91, 213 Anscombe, G. E. M. 264sq. Anzahl 89, 140, 163, 215sq., 223, 238, 239 cf. Kardinalzahl; Mächtigkeit Äquipollenz (äquipollente Sätze, Äquivalenz) 102sqq., 105

Archimedisches Axiom 65, 68, 88 Aristoteles 261 Arithmetik 4, 70, 89, 100, 111, 12lsq., 159, 163sq., 170, 213, 223, 225, 239 -formale 100, 142, 158sq., 161 arithmetisch (Satz, Urteil) 25, 164, 256 Artikel - bestimmter 89, 154sq. - unbestimmter 150, 155 ausdrücken 33sq., 41, 119sq., 232, 239sq., 246 cf. Gedankenausdruck Avenarius 151 Axiom 36sqq., 39, 61-75, 77, 79, 84, 119, 144, 148, 149, 159, 261 cf. wahr, Wahrheit der Axiome; Unabhängigkeit; Widerspruchslosigkeit Bachmann, F. 158sq., 161, 210 Bachmann, P. 53 Baldwin 19 Ballue, E. 145 Bar-Hillel, Y. 158 Barth, P. 8sq. Bauch, B. 81, 83, 84, 268 Bauch, M. 8 bedeuten 41, 90 Bedeutung 38, 93, 96, 117, 156, 183, 196, 224, 231, 233-236, 239sq., 242, 245sqq., 250sq. - eines Begriffswortes 96 -bestimmte u. nicht bestimmte 129-132 - eines Funktionsnamens 219 - eines Klassennamens 222 -eines Namens (Eigennamens) 96, 126sqq., 196sq. -eines Satzes 96, 231-235, 240sqq., 245, 246, 247, 251

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Sach- und Personenregister

- ungerade 236, 240 Bedingungssatz 34sqq. Begriff 12, 22, 24, 77, 79sq., 85sq., 96, 98, 102, 111, 12lsq., 137, 141-144, 150sq., 154sq., 164sq., 177, 182sq., 213, 215, 221, 224sq., 229, 233, 238, 239sq. cf. Funktion; notion; Unterordnung, U. eines Begriffes unter einen andern - Fallen eines Gegenstandes unter einen B. cf. Subsumtion - Klarheit u. Deutlichkeit eines B.es 144 - populäre B.e 37 - erster, zweiter, nter Stufe 73sq., 102, 142, 148, 150sq., 165, 218 - Verwandlung eines B.es in einen Gegenstand (Übergang von B.en zu Begriffsumfangen resp. Klassen) 85, 87, 12lsq. Begriffskalkül 22, 24, 31, 122 Begriffsschrift (systeme de notations logiques, sistemi di notazioni) 4sq., 7, 41, 58,98-101, 111, 124, 163sqq., 178, 181, 183, 186, 211, 255 Begriffsumfang 22, 74, 86, 111, 121, 14lsq., 144, 213, 215, 217, 221, 223, 225, 229, 233, 238, 239 cf. Extension; Klasse; Menge; Wertverlauf Begriffswort (Begriffsname, Gemeinname, nomen appellativum) 86, 96, 98, 150, 154sq., 164, 219 cf. Funktionsbuchstabe; Funktionsname -Verwandlung eines B.es in einen Eigennamen 86,89 behauptende Kraft 34, 102, 122sq., 127 Behauptung (behaupten) 33sq., 119, 126sq., 185sq., 250sq. Bernays, P. 158 Bernstein 140, 143 besagen 120, 122 bezeichnen 34sq., 119sq., 232, 239sq., 246 bezeichnendes Zeichen 35, 90, 117sq. Beziehung 77, 79, 121, 181, 186, 191, 226-230,232,261 Blumenthal, 0. 55, 80 Boehme 45 Bolzano 105 Boole, G. 5, 59, 95, 99, 124, 164, 176, 259 Bore!, E. 143 Brentano, F. 152, 162, 256, 257, 260 Brix, P. W. 10 Buchstabe 103sq., 117sq., 130sqq., 177 cf. andeutend; Funktionsbuchstabe; Variable -deutscher 120, 123, 176, 186, 249 - griechischer 120, 176, 186

-lateinischer 116sq., 120, 176, 186 Bücker 49 Burali-Forti, C. 110, 187 Burali-Forti's contradiction 112 calculus ratiocinator 100, 124 Camilla 175 Cantoni 19 Cantor, G. 66, 80, 110, 113, 143, 157, 202sq., 207, 215sq., 230, 237 Cantor, M. 19 Carnap, R. 210 Carus, P. 109, 125 Church, A. 95, 141 Couturat, Mme 17 Croce, B. 260 Dante 24 Dedekind, R. 10, 12, 80, 110, 177, 238 Deduktion 250 Definition (definieren) 61-66, 68sq., 72sqq., 77, 79, 93, 95, 144, 148, 172, 173, 184-187, 192, 195, 197sq., 251, 26lsq. cf. Kontextdefinition -durch Abstraktion 173, 192, 224 -bedingte 182sq., 187, 192, 194 - eigentliche 63, 150, 224 - Einfachheit der D.en 95 -schöpferische 95, 153, 198 - Vielfachheit der D.en 182, 185, 194 - vollständige 66, 68, 95, 182, 184 Dehn, M. 65, 169 Demonstrativ(pronomen) 154, 164 denken 33, 102 denotation 120 denote 122 Deussen 19 Dichtung (dichterisch) 96, 128, 235, 247 Dingler, M. 29, 31, 33, 37, 39, 41-45 Disjunktion 250 Domenico, N. De 260, 262 Dualitätsprinzip 67 Eigenname (Gegenstandsname, Einzelname) 86, 89sq., 96, 98, 150, 154sqq., 164, 217, 238, 243, 271 cf. Bedeutung, B. eines Namens; Sinn, S. eines Namens Eigenschaft 150, 154sqq., 271 Einaudi, L. 260 einige 150 Eins -[arithmetisch] 140, 234 - [Allklasse bei Schröder] 94sq., 122

Sach- und Personenregister Elementzeichen [Peanos] 177, 180, 185, 189, 191 Eley, L. 57, 92 Endlos 89, 140 Engel, F. 169 Erklärung 60sq., 64sqq., 68, 72sq. Erläuterungssatz 63 Erwähnung (u. Gebrauch) 204 cf. Anführungszeichen es [Pronomen] 35 etwas 35, 216, 218sq. Eucken, R. 19, 146, 152 Euklid 65, 74 Euler-Diagramme 96 Existentialurteil 165, 176, 257 Existenz 66, 68, 73sqq., 78, 93, 106, 150sq., 165, 176, 262 Extension 22, 238 cf. Begriffsumfang; Klasse; Menge Färbung cf. Gedanke, Färbung des G.ns Festsetzung (festsetzen, setzen) 39, 62sq., 66, 68, 159, 251 Fine, H. B. 101 Fischer, K. 19 Folgerung 30, 35sq., 118 cf. Schluß Folgesatz 34sqq. Fellesdal, D. 92 formal 153 cf. Arithmetik, formale A.; Logik, formale L.; Redeweise, formale Formelmechanismus 58sq. Foucher,J. 2 Fraenkel, A. 158 Fragesatz 34 Frege, A. 51-54 Frege, C. 51 Frege's Way Out 201, 208 Freudenthal, H. 56 Fundament, logisches 38 Funktion (correspondance) 84, 121, 123, 126, 130, 184, 188, 192, 211, 218, 221, 224-227, 229, 231, 242sq., 249sq., 266 cf. andeutend; Begriff; propositional function; Wahrheitsfunktion - erster u. zweiter Stufe 123, 126, 129, 224,226,229 -als Gegenstand 218, 249 - an Stelle eines Subjekts 220, 224 -variable function 130 Funktionsbuchstabe 90, 243sq., 248 cf. Buchstabe Funktionsname (Funktionszeichen) 184, 219sq., 243sq. cf. Begriffswort

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- an Stelle eines Eigennamens (Gebrauch eines F.ns als Eigenname) 216-219, 244 - isolierte F.n 243, 248 Ganzes 211, 219sq., 222sq., 225 cf. Aggregat; Haufe; System Gauss 72,89 Geach, P. T. 264 Gedanke 20, 33sq., 96, 102, 105sq., 118sqq., 127sq., 130, 156, 196sq., 224, 231sq., 235-240, 245sqq., 250sq. cf. Nebengedanke; Synonymi tätskriterium für Sätze - Färbung (u. Beleuchtung) des G.ns 102, 105 - unvollständiger (pensee incomplete resp. indeterminee) 24 Gedankenausdruck 34, 118, 120, 23lsq. Gedankeninhalt 34, 121 Gegenstand (Einzelnes, Individuum) 85sq., 96, 98, 102, 121, 137, 142sq., 150sq., 154sq., 156, 164sq., 177, 271 - eigentlicher u. uneigentlicher 228sq. - Fallen eines G.es unter einen Begriff cf. Subsumtion -logischer 223 -erster, zweiter, nter Stufe 142 Gemeinname cf. Begriffswort Gentzen, G. 57sq., 60, 70, 77 Geometrie 63, 65, 70, 74, 75, 119, 163, 170, 172 - archimedische u. nicht-archimedische 66sq., 69 -euklidische 64, 66, 69, 71, 148sq., 173sq. -nicht-euklidische 66, 69, 173 geometrisches Urteil 25, 257 Gerade 61, 63-66, 68sqq., 73sq., 148sq., 173sq. Gesetz -des ausgeschlossenen Dritten cf. tertium non datur - logisches 30 gewiß cf. proposition, p. certaine; Urteil, jugement certain Gleichheit 152, 153sq., 156, 18lsq., 187, 19lsq., 223, 225, 228, 241 cf. Identität; Wertverlaufsgleichheit, Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine - von Begriffen 226 Gleichheitszeichen 41, 62, 122sq., 153sq., 156, 181-184, 191, 193-197, 228, 235, 247sq., 251

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Sach- und Personenregister

Gödel, K. 157 Gottesbeweis, ontologischer 165, 176 Grassmann, H. 74, 134sq. Grassmann, R. 134 Grattan-Guinness, I. 110, 115 Gregory, D. F. 101 Größe, Definition der 74 Größengebiet 89 Grundlagenprobleme [der Mathematik] 31,33 Grundgesetze 62 Gruppensymbol 90 Gültigkeitsbereich [einer Proposition resp. eines Urteils] 20, 22, 24 Gutzmer, C. F. A. 60, 149 Gylden 15 Haeckell9 Hanke!, H. 100 Hattendorf, K. 52 Haufe 111, 183, 270sq. cf. Aggregat; Ganzes; System Heijenoort, J. v. 201 Reine, E. 158 Heinze, M. 1 Helmholtz, H. v. 6sq., 10, 12, 256, 257 Hermes, H. 200, 263 Hilbert, D. 26, 28, 29, 31, 85, 92, 112, 140, 147-151, 260, 261 Höff'ding 19 Hoffmann, A. 8sq., 46, 268 Homer 24 Hönigswald, R. 8sq. Hübscher, A. 28 Husserl, E. 18, 57, 152, 162, 213 Hypothese 118sq., 192 hypothetisch (Gedankenverbindung, Gefüge, Satzverbindung) 103, 107, 119 Ibsen 24 Identität 122, 152, 153-156, 195sq., 223, 225, 228, 24lsq., 245, 247, 251 cf. Gleichheit - von Begriffen 155 - von Funktionen 226 Identitätszeichen 41, 62, 195, 197, 247sq. Imaginäres 215 cf. Zahl, imaginäre Z. Implikation 20, 103sq. Inbegriff 22, 24 cf. Menge Individuum cf. Gegenstand Induktion, vollständige 20, 143 Inhalt cf. Gedankeninhalt - beurteilbarer 96, 120, 162, 164 - (Intension) [eines Begriffes] 22, 238

-[eines Satzes] 33, 39, 128 Inklusionszeichen [Peanos] 170, 176sq., 180, 189, 191, 232, 240sq. Intension cf. Inhalt Irrationales, Irrationalzahl cf. Zahl, irrationale Z. ist [als Ausdruck der Gleichheit u. als Kopula] 155sq. Jourdain, L. 109 Jourdain, M. 109 Kalkül cf. calculus ratiocinator - u. Sprache 100 Kambartel, F. 56 Kant 25, 163, 165, 176, 220, 261 Kardinalzahl 216, 223, 234, 241, 269 cf. Anzahl; Mächtigkeit Katkov, G. 162 Keller, E. 8 Kennzeichnung 93 cf. Artikel, bestimmter A.; Begriffswort, Verwandlung eines B.es in einen Eigennamen; Demonstra tiv(pronomen) Kerry, B. 10, 12 Killing-Stolzsches Axiom 68 Klarheit u. Deutlichkeit cf. Begriff, Klarheit u. Deutlichkeit eines B.es Klasse 22, 74, 86, 89, 95, 111,112, 121sq., 141-144, 154, 173, 177, 211, 215, 217, 219-223,225,228sq.,233,236,238-243, 248sq., 261, 269, 271 cf. Begriffsumfang; Extension; Menge -Beziehungen zwischen K.n 181, 186 -Rechnung mit K.n 22, 24, 122 - Oter, erster, nter Stufe 142 Klassenname 222, 228, 236, 240 Koebe, P. 153 Kombinationsregel (rule of combination) 89sq. kommutatives Prinzip 88sq. Komplex 242, 251 Komprehensionsprinzipien 225 Kongruenz (kongruente Sätze) 102, 103, 105 Konrad, A. v. 152 Konstante 117sq., 130sq. Kontextdefinition 93 Konventionalismus 153 Kopula 154sqq. Korselt, A. 57 Korteweg 19 Krampf, W. 28 Krause 167 Kreiser, L. 141

Sach- und Personenregister Kronecker, L. 7, 10, 12, 269 Kutschera, F. v. 208 Labriola 19 Lampe, E. 10 Lang, M.100 Lange, L. 48sq. Iangue auxiliaire internationale 21, 22, 23 Lausbrachter 4 Leau, L. 22, 23 Lechalas 2 Lehmann, G. 28 Lehrsatz 62, 70, 148 Leibniz 4sq., 25, 124, 163 Lemmer 167 Leth 19 Liebmann, H. 55, 57, 60, 70, 73, 78 Liebmann, 0. 55, 147 Liebmann, Wwe. 57, 60, 70, 147 Lindner 152 lingua characterica (specieuse generale, Iangue resp. ecriture universelle) 5, 100, 124 Linke, P. F. 92 Lipps, T. 152 Logik 5, 25, 38, 39, 105, 106, 121sq., 127, 170, 182sq., 194, 212, 225, 266 cf. Abbildung, Prinzip der logischen A. verschiedener Wissenschaften aufeinander; Analyse; Fundament, logisches; Gegenstand, logischer G.; Gesetz, logisches G.; Typentheorie; Urgesetze, logische; wahr, logisch w. - logique algorithmique 24sq. - formale 211 - u. Psychologie 10 1sq., 211 cf. Psychologismus -symbolische 124 Lorenz, K. 28 Lorenzen, P. 159 Latze, H. 106, 256 Löwenheim, L. 140 Lyndon 140 MacColl, H. 17, 18, 20sqq. Mach, E. 19, 260 Mächtigkeit 66, 68, 216 cf. Anzahl; Kardinalzahl Malcolm, N. 264 Mannigfaltigkeit 22 Marty, A. 103,256 Mathematik 3sqq., 31, 38, 39, 58, 169, 171, 211 Maxwellsehe Elektrizitätstheorie 68sq.

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Mayer-Hillebrand, F. 162 McGuinness, B. F. 265 mehrdeutig 132sq. Menge 29, 74, 85sq., 143, 211, 222 cf. Extension; Inbegriff; Klasse -Äquivalenz (Gleichmächtigkeit) von M.n269 Mengenlehre cf. Paradoxie, P.n der Mengenlehre Merkmal 61, 65sq., 68, 150sq., 154sqq., 261 - erster u. zweiter Stufe 148 Methode, axiomatische u. genetische 71sq. Mill,j. S. 257 Mittelstraß, J. 28 Mortan, G. 92 Nationalökonomie 45 Natorp 19 Nebengedanke 106 Negation (Verneinung) 9, 124, 162, 250 Newton 109 Nominalismus 24, 155 Normalsatz 102 notion 118 Null -[arithmetisch] 136 - [das Falsche bei MacColl] 20 - [Nullklasse bei Schröder] 94, 95, 96, 124 Nullklasse 220 Osborn, A. D. 92 Ostwald 19 Padoa 20 Paradoxie 105, 107 cf. Burali-Forti's contradiction; Russellsche Antinomie; Schrödersches Sophisma; Widerspruch - epistemologische P.n 208, 210 - P.n der Mengenlehre 84-87 - Peano-Ramseysche Einteilung der P.n 207 Parallelenaxiom 65, 68, 119 partikulär (Urteil) 165, 257 Pasch, M. 237sq. Patzig, G. 124 Paulsen 19 Peacock, G. 100 Peano, G. 2, 4sq., 7, 18sq., 21, 59, llOsq., 113sq., 158, 170,201, 203,208, 212,216, 220, 232, 237, 241, 251, 260 cf. Paradoxie, Peano-Ramseysche Einteilung der P.n

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Sach- und Personenregister

Peirce, C. S. 20, 209 Peircesche Aussage 209 Philosophie 38 Pieri, M. 187 Pietersma, H. 92 Pohle, H. 42, 113, 139 Poincare, H. 2, 15, 18, 26 Politik 45 Pra, M. Dal 260 Prädikat 211,213 - u. Subjekt 103, 162, 164 Prämisse 35sq., 118sq. cf. Voraussetzung; wahr, Wahrheit der Prämissen Präsupposition cf. Voraussetzung, V. (Präsupposition) primitive Idee 186sq., 191sqq., 251 Produkt, logisches [bei Schröder] 94, 95 proposition 118, 120, 126, 130sqq., 192, 232, 24lsq. cf. allgemein; Gültigkeitsbereich; singulär; universal - calcul des p.s 22 - certaine 20 - impossible 20 - relationsentre p.s 181, 186, 191 -variable 20, 130 propositional function 130-133 Prym, F. 53 Psychologismus 92, 220 cf. Logik, L. u. Psychologie Punkt 61, 63, 65-70, 72sqq., 148sq., 174, 261 - unendlich ferner 172sqq. Pyntzmer 88 Quine, W. V. 0. 95 Rahn 167 Ramsey cf. Paradoxie, Peano-Ramseysche Einteilung der P.n Raspe, R. E. 124 Raumanschauung 63, 70 Redeweise, formale 210 Reid, C. 55, 80 Reihe 270 Rein, W. 255 Relation 228sq. Richards, I. A. 168 Riehl 19 Riemann, B. 5lsqq., 256, 257 Riquier 2 Ritchie 19 Rossi-Landi, F. 28, 260, 262 Russell, B. 25, 42, 80, 85, 93, 104, 109, lllsqq., 115, 116sq., 120, 124, 126, 129, 13lsqq., 144, 158, 175, 260, 263sq., 267sq.

Russellsche Antinomie (Paradoxie, Paradoxon, Sophisma, Widerspruch) 32, 80, 83, 105, 112, 121, 124, 140, 141, 143sq., 159, 203, 211sqq., 215sqq., 219, 221, 223, 225-229, 232sq., 238, 242, 244, 245, 249sq. Sammlung Darmstaedter 27 Sarton, G. 109 Satz 33, 37sq., 96, 120, 127, 130sqq., 224, 231sqq., 236, 239sq., 245sqq. cf. Bedeutung, B. eines Satzes; Inhalt, I. [eines Satzes]; Normalsatz; Sinn, S. eines Satzes - des ausgeschlossenen Dritten cf. tertium non datur -eigentlicher u. uneigentlicher 34-37 Satzform 38 Satzgefüge 34sq., 38, 103 Schaper, H. v. 55, 147 Scheffers, G. W. 253 Scheler, M. 152 Schluß (schließen, Schlußverfahren) 30sq., 34sqq., 118sq., 127, 183 cf. allgemein, Übergang vom A.en zum Besonderen Schlußregel I 59 Schlußsatz 35sq., 119 Schlußurteil 36, 118sq. Schmid, T. 269 Scholz, H. 51, 56sqq., 60, 65, 70, 77, 87, 92sqq., 104, 140, 153, 158sq., 161sq., 169, 200, 253, 265, 269 Schröder, E. 5, 13, 18, 20, 24, 48, 59, 93, 94sqq., 98, 100, 122sqq., 140, 143sq., 158,213 Schrödersches Sophisma 143 Schuhmann, K. 94 Schweiger, K.-F. 136sq. Shakespeare 24 Sheffer, H. M. 253 Simmel94 singulär (proposition) 20, 177 Sinn 37, 90, 93, 96, 117, 126sqq., 130, 156, 183, 196, 231, 233-236, 239sq., 242, 245, 247, 250sq. - eines Begriffswortes 96, 98 -eines Namens (Eigennamens) 96, 126129, 196sq. -eines Satzes 33-37, 90, 96, 127sq., 130, 156, 192, 196sq., 23lsq., 235sq., 240,247 Sko1em, T. 157 Sluga, H.-D. 201 Solomon, R. C. 92 Sore!, G. 260

Sach- und Personenregister Spire, G. 145 Sprache cf. Iangue auxiliaire internationale; Iingua characterica - (Volks-, Wortsprache) 58, 59, 89, 183 - u. Kalkül 100 - u. Logik 10lsqq. - der Wissenschaft 34 Stachelroth, J. 125 Stahl, H. 52sq. Steck, M. 57, 60, 147sq. Stein 19 Steiner, H. G. 56 Steuerrecht 54 Stolz, 0. 74 cf. Killing-Stolzsches Axiom Strawson, P. F. 93 Stumpf, C. 162sq. Stumpf, C. A. 256 Stumpf, E. 256 Sturm, R. 135 Subjekt u. Prädikat 103, 162, 164 Subjunktion 103 Subjunktionszeichen [Peanos] cf. Inklusionszeichen Subsumtion (Fallen eines Gegenstandes unter einen Begriff) 24, 85, 103, 150sq., 155sq., 164, 271 Summe, logische 20, 94sq. Symbolik 58sqq. Synonymitätskriterium für Sätze (derselbe Gedanke) 93, 105sq. synthetisches Urteil 25, 163, 257 System 74, 86, 111, 222sq., 225sq. cf. Aggregat; Ganzes; Haufe Tannery, J. 18 Tarski, A. 140, 158sq., 210 Teichert, J. 159 term 118 tertium non datur (Gesetz resp. Satz des ausgeschlossenen Dritten) 120, 141, 183, 217, 228, 233 Thaer, C. 169 Theorie 67sqq., 76 theory of orders 126, 129 cf. Typentheorie Thiel, C. 93, 124, 202 Thomae,J. 40, 60, 135, 158, 166sq. Titz, M. 210 Tolstoi 24 Typentheorie (logischer Typus) 95, 227, 229sqq. cf. theory of orders Umstand 98, 120 Unabhängigkeit (der Axiome) 64, 67, 69sqq., 148

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unbestimmt cf. andeutend; Artikel, unbestimmter A.; Gedanke, unvollständiger G.; Urteil, unvollständiges U.; Variable; Zahl, nombre indetermine und 103, 106 ungerade cf. Bedeutung, ungerade B. -Rede (oratio obliqua) 232, 236, 240, 246 universal (proposition, Urteil) 22, 177 cf. Allaussage unmöglich cf. proposition, p. impossible Unterordnung -eines Begriffes unter einen andern 77, 103, 150sq., 164 -[von Klassen, bei Schröder] 94sq. unvollständig cf. Gedanke, unvollständiger G.; Urteil, unvollständiges U. Urgesetze, logische 121 Urteil (urteilen) 24, 33sqq., 96, 101, 119sq., 126, 165, 238, 242, 245 cf. allgemein; analytisches Urteil; Existentialurteil; Gültigkeitsbereich; partikulär; synthetisches Urteil; universal - unvollständiges (jugement incomplet resp. indetermine) 22, 24 - calcul des jugements 24, 122 - jugement certain 24 - jugement probable 24 - jugement variable 22 Urteilsstrich 35, 119, 123, 127, 162, 185, 242 Urzeichen 18lsq., 185sq., 248 Vacca, G. 260 Vaihinger 19 variabel cf. Funktion, variable function; proposition, p. variable; Urteil, jugement variable Variable 22, 116sq., 126, 129-133, 187, 192 cf. andeutend; Buchstabe Vergil 24 Verneinung cf. Negation viele 150 Voraussetzung 33, 37sq., 70, 122, 170 cf. Prämisse - (Präsupposition) 93, 106 Vorstellung 37, 102, 106, 119, 242, 245 cf. notion Vorstellungsverbindung 119 Wahlgesetz 45 wahr (Wahrheit) 20, 22, 24, 32, 38, 39, 66, 68, 74sq., 105sq., 120sq., 126, 128, 130, 192, 242, 245, 247, 266

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Sach- und Personenregister

-Wahrheit der Axiome 63, 66, 68 -einen Gedanken als w. anerkennen (hinstellen) 33sqq., 119sq., 126sq., 245 -logisch 39 - im metaphysischen Sinne 32 - im populären Sinne 39 -Wahrheit der Prämissen 30sqq., 34sq., 118sq., 127 Wahrheitsbegriff31sq., 38,39 Wahrheitsfunktion 264 Wahrheitskalkül 31 cf. Wahrheitswert, Rechnung mit W.en Wahrheitswert (das Wahre, das Falsche) 96, 98, 119, 121,216,217,219,231-238, 240, 246, 248, 251, 264 - Rechnung mit W.en 122 cf. Wahrheitskalkül Wahrscheinlichkeit 22 cf. Urteil, jugement probable weder - noch 103 Wertverlauf 217, 220sq., 223, 225-229, 231, 233, 238, 244 Wertver laufsgleichbei t, Umwandlung (Umsetzung) der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine 201sq., 213, 224 Whitehead, A. N. 109, 125, 129, 158, 175, 208, 234, 243, 252 Widerspruch 30, 32, 80, 105, 128, 220, 222, 230 cf. Paradoxie Widerspruchslosigkeit (-freiheit) 32, 38, 39, 61, 63, 66, 68, 70sq., 75sq., 78, 80, 148, 149, 158sq.

Wik, A.112 Wissenschaft 37sq., 39 cf. Sprache, S. der Wissenschaft Wittgenstein, L. 8sq., 81, 109, 124, 126, 129, 133 Woodward, B. 200 Wortsprache cf. Sprache, S. (Volks-, Wortsprache) Wright, G. H. v. 264, 268 Wundt, W. 1, 11, 152 Zahl 12, 111, 121, 136, 163, 217, 228, 269sqq. cf. Anzahl; Kardinalzahl; Mächtigkeit - ganze 2sq., 20, 110sq., 178sq. - imaginäre 100, 179 -irrationale 78, 124, 237, 238, 239 - komplexe 194 - natürliche 71, 74 - rationale 178sq., 237, 238, 239 -reelle 66, 68, 71, 78, 89, 179, 194,237, 239 - nombre indetermine 24 Zahlbegriff 10sqq., 37, 84, 110 Zahlenlehre 39, 87 Zahlwörter 270sq. Zeichensprache, mathematische 58sq. Zeller 19 Zermelo, E. 80, 85, 158 Zignago, I. 7 zwischen [geometrische Relation] 61, 63sqq., 67, 69, 73, 261