Mitteilungen des Instituts für Strömungsmaschinen der Technischen Hochschule Karlsruhe: Heft 1 [Reprint 2019 ed.] 9783486759853, 9783486759846

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Mitteilungen des Instituts für Strömungsmaschinen der Technischen Hochschule Karlsruhe Herausgegeben vom Institutsvorstand

W. Spannhake o.Professor

Hefti mit 74 Abbildungen im Text und 13 Bildtafeln

V e r l a g v o n R. O l d e n b o u r g

M ü n c h e n und Berlin

1930

Alle R e c h t e , insbesondere das der Übersetzung, v o r b e h a l t e n . C o p y r i g h t 1930 b y R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin.

D r u c k von R. O l d e n b o u r g , München u n d Berlin.

Vorwort. D a s v o r l i e g e n d e erste H e f t der „ M i t t e i l u n g e n " e n t h ä l t a u ß e r einer k u r z e n B e s c h r e i b u n g des I n s t i t u t s eine rein t h e o r e t i s c h e u n d zwei t h e o r e t i s c h - e x p e r i m e n t e l l e

Arbeiten.

D i e erste u n d z w e i t e A r b e i t h ä n g e n sehr e n g m i t e i n a n d e r z u s a m m e n .

Sie g e h ö r e n e i n e m G e b i e t

an, d a s i c h i m J a h r e 1925 auf der H y d r a u l i k e r - T a g u n g in G ö t t i n g e n , w i e i c h g l a u b e , e r s t m a l i g bet r e t e n h a b e 1 ) u n d d a s i n z w i s c h e n m e h r f a c h v o n a n d e r e r S e i t e 2 ) m i t d e n in G ö t t i n g e n v o n mir vorg e t r a g e n e n M e t h o d e n b e a r b e i t e t w o r d e n ist. E r f o r s c h u n g der t a t s ä c h l i c h e n

D i e s e s A r b e i t s g e b i e t g l i e d e r t sich in d a s größere der

S t r ö m u n g d u r c h Kreiselräder e i n ; es u m f a ß t speziell die

Unter-

s u c h u n g der t h e o r e t i s c h e n P o t e n t i a l s t r ö m u n g d u r c h Kreiselräder s o w i e ihren V e r g l e i c h m i t wirklichen S t r ö m u n g e n .

Mein e i g e n e r , in d i e s e m H e f t v o r l i e g e n d e r A u f s a t z ist eine E r w e i t e r u n g m e i n e s

Göttinger Vortrages.

Er b e s c h r ä n k t sich z w a r auf d a s gleiche Beispiel wie dieser, b e h a n d e l t aber

a u s f ü h r l i c h n i c h t nur d e n Fall v o n K r e i s e l p u m p e n , s o n d e r n a u c h d e n v o n T u r b i n e n u n d d r i n g t erstm a l i g zur B e r e c h n u n g v o n G e s c h w i n d i g k e i t s - u n d D r u c k v e r t e i l u n g an der S c h a u f e l v o r .

Außerdem

ist er in der A b s i c h t g e s c h r i e b e n , die m a t h e m a t i s c h e n M e t h o d e n p h y s i k a l i s c h a n s c h a u l i c h zu m a c h e n ; i c h h a b e m i c h d a h e r b e m ü h t e t w a s „ d i d a k t i s c h " zu sein.

S c h o n aus diesen G r ü n d e n g l a u b t e ich eine

f r ü h e r e A r b e i t in e r w e i t e r t e r F o r m n o c h m a l s b r i n g e n zu d ü r f e n , o b g l e i c h andere das P r o b l e m m i t d e n g l e i c h e n M e t h o d e n bereits f ü r a l l g e m e i n e r e S c h a u f e l f o r m e n g e l ö s t h a b e n 2 ) .

Ich g l a u b t e m i c h

u m so m e h r d a z u b e r e c h t i g t , ein mir zur a n s c h a u l i c h e n u n d „ l e h r h a f t e n " B e h a n d l u n g b e s o n d e r s g e e i g n e t e r s c h e i n e n d e s Beispiel n o c h m a l s h e r v o r z u h o l e n , als ich s e l b s t z u s a m m e n m i t d e m V e r f a s s e r der z w e i t e n A r b e i t dieses H e f t e s eine M e t h o d e a n g e g e b e n habe, die v o n der m e i n e r - u n d a n d e r s e i t s bisher b e f o l g t e n w e s e n t l i c h a b w e i c h t 3 ) . Die z w e i t e A r b e i t b e f a ß t sich m i t der U n t e r s u c h u n g der reinen V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g .

Die

Z e r l e g u n g der G e s a m t s t r ö m u n g in T e i l s t r ö m u n g e n , v o n d e n e n die V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g eine ist, wird i m e r s t e n A u f s a t z a u s f ü h r l i c h b e s p r o c h e n .

D o r t wird aber a u c h darauf h i n g e w i e s e n , d a ß die

t h e o r e t i s c h e V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g für sich allein n i c h t b e s t e h e n k a n n , s o n d e r n in eine andere u m schlägt.

D e r e n E r f o r s c h u n g u n t e r s t a r k v e r s c h i e d e n e n V e r h ä l t n i s s e n s o w i e der D a r s t e l l u n g

der

b e o b a c h t e t e n S t r o m b i l d e r w i e d e r u m d u r c h A n s ä t z e der P o t e n t i a l t h e o r i e ist die z w e i t e A r b e i t gewidmet. D i e d r i t t e A r b e i t l e g t d e n S c h w e r p u n k t auf K o n s t r u k t i o n u n d V e r w e n d u n g e i n e s n e u e n r ä t e s z u r Messung von K r ä f t e n an den S c h a u f e l n eines Kreisgitters.

Ge-

Die sehr w e i t g e h e n d e V a r i a t i o n

v o n S c h a u f e l z a h l u n d S c h a u f e l w i n k e l in d e n m i t d e m M e ß g e r ä t d u r c h g e f ü h r t e n V e r s u c h e n d ü r f t e b i s h e r n i c h t e r r e i c h t sein u n d a u c h d e n p r a k t i s c h e n T u r b i n e n b a u e r u n m i t t e l b a r Z u r Z e i t l a u f e n i m I n s t i t u t die f o l g e n d e n Die t u r b u l e n t e Verschiedene

Geschwindigkeitsverteilung

Kombinationen

interessieren.

Arbeiten: in

Rotationshohlräumen.

v o n D u r c h f l u ß - u n d V e r d r ä n g u n g s s t r ö n i u n g (im A n s c h l u ß

die z w e i t e A r b e i t d i e s e s H e f t e s ) . ') Litßrahirvurzeichnis zum ersten Aufsatz Nr. 11. ) » » » .. » 13, 14, 15. 8) » " » » 16. 2

]*

an

—

IV

—

D r u c k v e r t e i l u n g an den Schaufeln einer K a p l a n t u r b i n e mit verschiedener Schaufelzahl. Vergleich von S a u g r o h r f o r m e n nach bautechnischer, strömungstechnischer u n d w i r t s c h a f t licher Seite hin (gemeinsam mit dem Bautechnischen Institut des Herrn Prof. Dr. Probst). Die veröffentlichten u n d ein großer Teil der noch laufenden Arbeiten sind durch U n t e r s t ü t z u n g seitens der N o t g e m e i n s c h a f t der deutschen Wissenschaft z u s t a n d e g e k o m m e n . Ich spreche auch an dieser Stelle der N o t g e m e i n s c h a f t herzlichsten D a n k aus. Die Arbeiten geben Zeugnis von den Zielen u n d Methoden des Instituts. J e d e W a f f e ist uns recht, die zur f o r t s c h r e i t e n d e n E r k e n n t n i s f ü h r t . W ü r d e n die v e r w e n d e t e n Methoden an sich u n d durch die Art der Darstellung auch dem in der Praxis stehenden Ingenieur Anregungen geben, so würde dies dem I n s t i t u t s v o r s t a n d besondere G e n u g t u u n g bereiten. K a r l s r u h e , N o v e m b e r 1929.

W. Spannhake.

Inhaltsverzeichnis. Seite

1.

Kurze Beschreibung maschinen

des

Laboratoriums

2.

E i n e s t r ö m u n g s t e c h n i s c h e A u f g a b e der u n d ein A n s a t z zu i h r e r Lösung

für

Strömungs1

Kreiselradforschung 4

Von W . S p a n n h a k e . 3.

V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g e n bei R o t a t i o n zylindrischer S c h a u f e l n in einer Flüssigkeit mit f r e i e r O b e r f l ä c h e

39

Von W . B a r t h . 4.

K r ä f t e m e s s u n g a n einem K r e i s g i t t e r aus zylindrischen Schaufeln bei r a d i a l e r Z u s t r ö m u n g Von E. B a u e r .

63

Kurze Beschreibung des Laboratoriums für Strömungsmaschinen. Die S o n d e r e i n r i c h t u n g e n z u r E r f o r s c h u n g v o n E i n z e l h e i t e n d e r S t r ö m u n g e n in d e n M a s c h i n e n w e r d e n bei j e d e m A u f s a t z f ü r sich b e s p r o c h e n .

H i e r m ö g e n n u r die M o d e l l v e r s u c h s a n s t a l t f ü r T u r -

binen und P u m p e n beschrieben werden1). Das Schema

der

Modellversuchsanstalt für Turbinen zeigt A b b . 1. Die T u r b i n e t ist d o r t m i t s e n k r e c h t e r W e l l e u n d g e r a d e m , k e g e l f ö r m i g e m S a u g r o h r g e z e i c h n e t ; es k ö n n e n a b e r a u c h w a a g e r e c h t e W e l l e n u n d S a u g r o h r k r ü m m e r e i n g e b a u t w e r d e n . Die T u r b i n e s i t z t in e i n e m D r u c k k e s s e l kv Ihre W e l l e t r i t t d u r c h eine S t o p f b ü c h s e a u s d e m Kessel h e r a u s u n d t r ä g t eine B r e m s s c h e i b e b m i t P r o n y s c h e m Z a u m . D a s M o m e n t w i r d d u r c h H e b e l d r u c k auf eine W a a g e g e m e s s e n . Die B r e m s e w i r d s e l b s t t ä t i g g e r e g e l t , i n d e m die g e r i n g e n A u s s c h l ä g e d e r W a a g e einen E l e k t r o m o t o r steuern, der am B r e m s b a n d zieht.

D e r D r u c k k e s s e l w i r d d u r c h die P u m p e p x u n t e r D r u c k g e s e t z t , die a u s d e m P u m p e n s u m p f u W a s s e r a n s a u g t u n d es d e r T u r b i n e t z u d r ü c k t . Im D r u c k k e s s e l s i n d B e r u h i g u n g s v o r r i c h t u n g e n u n d G l e i c h r i c h t e r v v o r g e s e h e n . Von d e r T u r b i n e s t r ö m t d a s W a s s e r d u r c h d a s S a u g r o h r s in e i n e n S a u g k e s s e l k2, a u s d e m d a s W a s s e r m i t t e l s d e r W a s s e r p u m p e p.2 u n d die L u f t m i t t e l s d e r L u f t p u m p e p z nach Belieben abgesogen werden. Die P u m p e p2 f ö r d e r t d a s W a s s e r in den M e ß k a n a l m, wo seine M e n g e d u r c h die Ü b e r f a l l h ö h e /? ü b e r d e r K a n t e d g e m e s s e n w i r d . H i n t e r d e m Ü b e r f a l l f ä l l t d a s W a s s e r in d e n P u m p e n s u m p f u, von d e m a u s d e r K r e i s l a u f von n e u e m b e g i n n t . D u r c h R e g e l n d e r D r u c k - u n d S a u g p u m p e n m i t Hilfe i h r e r A n t r i e b m o t o r e n u n d d u r c h Drosseln d e r L e i t u n g e n k a n n m a n i n n e r h a l b der L e i s t u n g s ') Vgl. Zeitschrift Ti-clinischen Hochschule

des VD l. 1920. Nr. 36, Karlsruhe«.

S. 1280,

»Das Institut

für

Stronuingsmaschineu

di-r

—

2

—

f ä h i g k e i t der P u m p e n jedes Gesamtgefälle und dieses beliebig aufgeteilt in die Anteile des D r u c k u n d Sauggefälles bei gegebener W a s s e r m e n g e herstellen. Gerade diese Eigenschaft der Versuchsa n s t a l t ist besonders wertvoll. Nebenbei b e m e r k t , k a n n m a n von einer A u f t e i l u n g des Gesamtgefälles in eine andre in e t w a 10 min übergehen. Da sich kleinere S c h w a n k u n g e n des B e h a r r u n g s z u s t a n d e s und d a m i t auch der D u r c h f l u ß m e n g e an der T u r b i n e nicht vermeiden lassen, so m u ß m a n den Druck im Druckkessel und die Luftleere im Saugkessel durch Druckregelungen selbsttätig k o n s t a n t halten. Diese bestehen aus zusätzlichen Nebenkreisläufen, die Wasser d u r c h eine Leitung r1 aus dem Druckkessel in den P u m p e n s u m p f u oder durch eine Leitung r2 aus d e m Meßkanal m in den Saugkessel k2 zurücklassen. Diese Nebens t r ö m u n g e n werden bei sinkendem Druck im Kessel kt oder steigendem in k2 schwächer und im u m gekehrten Fall s t ä r k e r angestellt. Z u m Teil sind im Druckkessel kv der in zwei Stockwerken a u s g e f ü h r t ist, die Druckregelungen durch Streichwehre ersetzt. Über diese fällt das nicht von der T u r b i n e geschluckte Wasser u n t e r E i n h a l t u n g eines freien Oberwasserspiegels in Seitenräume, aus denen es durch Ü b e r l a u f r o h r e in den P u m p e n s u m p f z u r ü c k l ä u f t . Zwei solche Streichwehre sind v o r h a n d e n , mit denen sich Druckgefälle von 4,5 und 2 m einhalten lassen. Alle andern Druckgefälle werden mit geschlossenem Druckkessel und der beschriebenen Druckregelung u n t e r s u c h t . Sämtliche wichtigen Schieber werden elektrisch bewegt und vom B e o b a c h t u n g s s t a n d aus durch D r u c k k n ö p f e eingestellt. Für F r e i s t r a h l t u r b i n e n v e r e i n f a c h t sich n a t u r g e m ä ß die Versuchseinrichtung, da es hier keine Sauggefälle gibt. Die D ü s e n k o n s t r u k t i o n des Peltonrades wird mittels einer Rohrleitung an den Druckkessel /cL angeschlossen, und das Wasser fließt vom L a u f r a d u n m i t t e l b a r in den Meßkanal m.

Modellversuchsanstalt für Pumpen. Auch zur U n t e r s u c h u n g von P u m p e n b e n u t z t m a n nur den P u m p e n s u m p f u, Abb. 2, und den Meßkanal m und b r a u c h t das D r u c k r o h r r der P u m p e n u r vor der B e r u h i g u n g s v o r r i c h t u n g v in diesen zu leiten. Große Saughöhe erhält m a n d u r c h Drosseln der Saugleitung, große D r u c k h ö h e durch Drossel n der Druckleitung. Dabei ist darauf geachtet, d a ß die Drosselteile b genügend weit von

der P u m p e e n t f e r n t sind und zentrisch in den Rohrleitungen sitzen, d a m i t die u n m i t t e l b a r e Zu- und A b s t r ö m u n g an der P u m p e nicht gestört wird. Die z u g e f ü h r t e Leistung wird durch den Torsionsk r a f t m e s s e r a, B a u a r t Bamag, zwischen A n t r i e b m o t o r und P u m p e gemessen, wenn die Messung der Motorleistung auf elektrischem Wege nicht genügt. Die r ä u m l i c h e

Anordnung

b i l d u n g e n 1 u n d 2 zu sein s c h e i n t .

ist w e s e n t l i c h

gedrängter,

als sie n a c h

u n d a n S t e l l e e i n e r S ä u g p u m p e zwei v o n g l e i c h e r L e i s t u n g v o r h a n d e n . von Gleichstrommotoren geändert werden können. Gefällen möglich.

den

schematischen

An Stelle einer D r u c k p u m p e sind drei v o n v e r s c h i e d e n e r Sämtliche Pumpen

m i t F e l d r e g e l u n g a n g e t r i e b e n , so d a ß d i e D r e h z a h l e n in w e i t e n

werden Grenzen

Auf diese Weise sind die s t ä r k s t e n Ä n d e r u n g e n von W a s s e r m e n g e n

Die M o t o r e n d e r D r u c k p u m p e n

der T u r b i n e n v e r s u c h s a n s t a l t

5 5 P S , d i e L e i s t u n g d e r b e i d e n S ä u g p u m p e n ist u n g e f ä h r che g l e i c h e .

Für den

leisten

Ab-

Leistung

und

insgesamt

Punipeuversuchstand

s t e h t v o r l ä u f i g ein M o t o r v o n e t w a 2 5 P S L e i s t u n g z u r V e r f ü g u n g , d o c h ist a u c h h i e r e i n e S t e i g e r u n g vorgesehen.

S ä m t l i c h e P u m p e n h a t die F i n n a K l e i n . S c h a n z l i n & B e c k e r . F r a n k e n t h a l ,

hergestellt.

—

3

—

D u r c h b e s o n d e r e A n o r d n u n g d e r R o h r l e i t u n g e n ist es m ö g l i c h , die v o r h a n d e n e n P u m p e n bei u n g e w ö h n l i c h e n B e t r i e b s z u s t ä n d e n l a u f e n zu l a s s e n , d e r e n U n t e r s u c h u n g u n t e r U m s t ä n d e n z u r K l ä r u n g v o n S t r ö m u n g s v o r g ä n g e n d i e n t . So k ö n n e n z. B. die a u f g e s t e l l t e n D r u c k p u m p e n u m g e k e h r t als T u r b i n e n l a u f e n ; m a n k a n n f e r n e r d u r c h eine P u m p e d a s W a s s e r in u m g e k e h r t e r R i c h t u n g s t r ö m e n lassen u n d d a m i t die g e w ö h n l i c h e P u m p e n c h a r a k t e r i s t i k ü b e r die F ö r d e r m e n g e null h i n a u s e r w e i t e r n . So e r g a b sich f ü r eine K r e i s e l p u m p e v o n 2 0 0 m m S t u t z e n w e i t e bei 35 1/s W a s s e r m e n g e u n d 3,2 m F ö r d e r h ö h e ein W i r k u n g s g r a d v o n 7 1 % . Lief d a s gleiche R a d als T u r b i n e m i t u m g e k e h r t e r D r e h r i c h t u n g bei 4 m Gefälle u n d 5 0 1/s W a s s e r m e n g e , so e r g a b sich 7 9 % W i r k u n g s g r a d . A u c h f ü r K a v i t a t i o n s v e r s u c h e w e r d e n die a n g e g e b e n e n S c h a l t u n g s m ö g l i c h k e i t e n v e r w e n d e t .

Der Modellmaßstab. Die F r a g e d e r G r ö ß e d e r M o d e l l r ä d e r ( u n d d a m i t d e r L e i s t u n g e n u n d D r e h z a h l e n ) m u ß t e sorgf ä l t i g e r w o g e n w e r d e n . H e u t e liegen u n t e r a n d e r n zwei w i c h t i g e E r f a h r u n g e n v o r : Ein M o d e l l r a d m i t e i n e r s p e z . D r e h z a h l ns — 305 U / m i n u n d 180 m m D m r . e r g a b bei 5 m Gefälle u n d e t w a 5,5 P S L e i s t u n g e i n e n W i r k u n g s g r a d v o n 8 4 , 5 % , w ä h r e n d ein g e n a u ä h n l i c h e s R a d v o n 460 m m D m r . bei 4,5 m Gefälle u n d 50 P S L e i s t u n g in d e r V e r s u c h s a n s t a l t d e r e h e m a l i g e n F i r m a Briegleb, H a n sen & Co., e i n e n W i r k u n g s g r a d v o n 8 5 , 5 % e r g e b e n h a t t e . Ein K a p l a n - M o d e l l r a d v o n 230 m m D m r . h a t t e bei 4 , 8 m Gefälle u n d e t w a 10 P S L e i s t u n g bei A n o r d n u n g eines s e n k r e c h t e n , g e r a d e n S a u g r o h r e s 8 7 , 5 % W i r k u n g s g r a d . Die M o d e l l v e r s u c h e w u r d e n f ü r die T u r b i n e n des O b e r r h e i n i s c h e n K r a f t w e r k e s R y b u r g - S c h w ö r s t a d t , die 7 m D m r . e r h a l t e n u n d v o n d e n e n m a n ü b e r 9 0 % W i r k u n g s g r a d e r w a r t e t , a u s g e f ü h r t . Diese Z i f f e r n d ü r f t e n z u r G e n ü g e b e w e i s e n , d a ß die A b m e s s u n g e n der Versuchsanstalt und der Versuchsgegenstände f ü r Modellversuche ausreichen.

Eine strömungstechnische Aufgabe der Kreiselradforschung und ein Ansatz zu ihrer Lösung. Von W. S p a n n h a k e .

1. Anlaß und Möglichkeiten für die Untersuchung der Potentialströmung in Kreiselrädern. Die eindimensionale (Eulersche) Kreiselradtheorie ist für den Ingenieur unentbehrlich, w e n n es sich darum handelt, die H a u p t a b m e s s u n g e n und Schaufelwinkel sowie die Drehzahl einer Kreiselradmaschine festzulegen, die einem gegebenen Betriebsfall mit großer A n n ä h e r u n g entspricht, und darüber hinaus das Verhalten der so f e s t g e l e g t e n Maschine bei Betriebszuständen, die v o n d e m ursprünglich gegebenen abweichen, schnell zu überblicken. Sie rechnet dabei nur mit den Anfangs- und Endwerten des S t r ö m u n g s z u s t a n d e s am Ein- bzw. Austritt der Leit- und Laufschaufelkanäle sowie der Zu- und Ableitungsorgane und m a c h t z u m Bes t i m m e n dieser W e r t e aus den Strömungsquer-

I

Abb. 1

Abb. 2.

s c h n i t t e n v e r e i n f a c h e n d e A n n a h m e n , wobei sie als w e s e n t l i c h e V o r s t e l l u n g die einer a u s g e p r ä g t e n D u r c h f l u ß s t r ö m u n g d u r c h die M a s c h i n e z u g r u n d e legt. Die e i g e n t l i c h e F o r m g e b u n g d e r S t r ö m u n g s r ä u m e ( S c h a u f e l k a n ä l e , S a u g r o h r e , S p i r a l g e h ä u s e ) ü b e r l ä ß t sie a n d e r e n Ü b e r l e g u n g e n , die im w e s e n t lichen d a r a u f h i n a u s l a u f e n , die E r f a h r u n g e n ü b e r „ g u t " u n d „ s c h l e c h t " , die z u n ä c h s t an a l l g e m e i n e n F o r m e n f ü r S t r ö m u n g s f ü h r u n g ( R o h r e n , K r ü m m e r n ) , d a n n a b e r a u c h im b e s o n d e r e n an A u s f ü h r u n gen von K r e i s e l r a d m a s c h i n e n g e w o n n e n sind, zu v e r w e r t e n und n a c h i h n e n die u n v e r m e i d l i c h e n E n e r g i e v e r l u s t e a b z u s c h ä t z e n b z w . die f ü r einen g e g e b e n e n K o n s t r u k t i o n s f a l l p a s s e n d e n F o r m e n zu

—

wählen.

5

—

D i e so a u f g e b a u t e T h e o r i e l e i s t e t e r s t a u n l i c h v i e l .

So k a n n m a n m i t i h r e r Hilfe z. B. d a s

c h a r a k t e r i s t i s c h e V e r h a l t e n g a n z v e r s c h i e d e n e r K r e i s e l r a d t y p e n wie T u r b i n e n - L a n g s a m - u n d Schnelll ä u f e r in prinzipiell ü b e r a u s t r e f f e n d e r W e i s e v o r a u s b e r e c h n e n .

A b b . 1 i s t d a s so e r m i t t e l t e D i a g r a m m

einer langsamläufigen, A b b . 2 das einer schnelläufigen Turbine.

Beide zeigen im allgemeinen Aus-

sehen v o r z ü g l i c h e Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t b e k a n n t e n B r e m s r e s u l t a t e n . S o g a r die a l l g e m e i n e n E i g e n s c h a f t e n v o n P r o p e l l e r - u n d K a p l a n t u r b i n e n u n d i h r V e r h a l t e n bei s t a r k v e r s c h i e d e n e n

Betriebs-

z u s t ä n d e n g e l i n g t es m i t d i e s e r T h e o r i e z u e r f a s s e n . Auf d i e s e m w i c h t i g e n G e b i e t d e r V o r a u s b e r e c h n u n g des V e r h a l t e n s der M a s c h i n e n v e r s a g t die e i n d i m e n s i o n a l e T h e o r i e e r s t g e g e n ü b e r s o l c h e n B e t r i e b s z u s t ä n d e n , bei d e n e n die e i g e n t l i c h e D u r c h f l u ß s t r ö m u n g d u r c h die K r e i s e l r a d m a s c h i n e s t a r k v o n S e k u n d ä r s t r ö m u n g e n ü b e r l a g e r t oder vollständig von ihnen verdrängt wird. bei T u r b i n e n .

Diese Z u s t ä n d e spielen bei P u m p e n e i n e w e i t s t ä r k e r e Rolle, als

U m dies e i n z u s e h e n , b r a u c h t m a n n u r z u b e d e n k e n , d a ß W a s s e r t u r b i n e n bei L e e r l a u f

m i t K o n s t r u k t i o n s d r e h z a h l i m m e r n o c h e i n e (bei S c h n e l l ä u f e r n s o g a r e r h e b l i c h e ) D u r c h f l u ß s t r ö m u n g h a b e n , d a ß hier also ein B e t r i e b mit gefüllter Maschine, a b e r o h n e D u r c h f l u ß s t r ö m u n g gar n i c h t v o r k o m m t , d a ß d a g e g e n bei P u m p e n die F r a g e des K r a f t b e d a r f e s bei g e f ü l l t e r M a s c h i n e , a b e r geschlossen e m Druckschieber eine wesentliche Rolle spielt.

N a t u r g e m ä ß k a n n m a n der Lösung solcher

gen m i t einer T h e o r i e , die sich g a n z w e s e n t l i c h auf die V o r s t e l l u n g einer a u s g e s p r o c h e n e n flußströmung stützt, nicht beikommen.

A b e r a u c h s o n s t v e r s a g t die T h e o r i e , u n d z w a r d a d u r c h , d a ß

sie a u f S c h a u f e l z a h l u n d S c h a u f e l f o r m g a r n i c h t e i n g e h t , g e g e n ü b e r e i n i g e n w i c h t i g e n gaben.

Fra-

Durch-

Sie e r g i b t f ü r d i e L e i s t u n g s a u f n a h m e b z w . - a b g a b e z u h o h e W e r t e .

Sonderauf-

Sie m a c h t f ü r d a s H e r -

stellen h y d r o d y n a m i s c h s t o ß f r e i e n Ü b e r g a n g e s d e r S t r ö m u n g in ein f e s t s t e h e n d e s o d e r r o t i e r e n d e s Schaufelgitter nur angenähert richtige Angaben.

Sie g i b t k e i n e n g e n a u e n , b i s z u r K e n n t n i s e i n z e l -

ner lokaler W e r t e v o r d r i n g e n d e n A u f s c h l u ß ü b e r die D r u c k v e r t e i l u n g .

V o n d i e s e r g e s t a t t e t sie n u r

Mittelwerte zu errechnen, und zwar z u n ä c h s t n u r solche a m Ein- bzw. A u s t r i t t der verschiedenen S c h a u f l u n g e n ; erst, w e n n m a n die T h e o r i e zu einer a u s g e s p r o c h e n e n S t r o m f a d e n t h e o r i e i n d e m m a n die R e l a t i v s t r ö m u n g in e i n e m m i t t l e r e n F a d e n e r f o l g e n d d e n k t , d e m m a n

erweitert,

Querschnitte,

Winkel gegen und A b s t ä n d e von der Achse entsprechend den K a n a l f o r m e n zwischen den Schaufeln zuschreibt, k a n n m a n auch Mittelwerte des Druckes innerhalb der S c h a u f l u n g errechnen.

A b e r diese

K e n n t n i s genügt n i c h t ; denn lokal an den Schaufeln selbst müssen, w e n n ü b e r h a u p t Leistung aufg e n o m m e n oder abgegeben wird, von den mittleren Drucken abweichende — kleinere und größere — h e r r s c h e n . W i c h t i g ist d i e E r m i t t l u n g d i e s e r U n t e r s c h i e d e f ü r d i e K e n n t n i s d e r t i e f s t e n v o r k o m m e n den D r u c k e u n d d a m i t f ü r die B e u r t e i l u n g der K a v i t a t i o n s g e f a h r , oder a n d e r s b e t r a c h t e t , f ü r die K e n n t n i s d e r m i t R ü c k s i c h t auf K a v i t a t i o n z u l ä s s i g e n

Gefälle, F ö r d e r h ö h e n u n d

Drehzahlen.

A l l e d i e s e F r a g e n h ä n g e n s t a r k m i t e i n a n d e r z u s a m m e n ; sie k ö n n e n n u r b e a n t w o r t e t w e n n e i n m a l d a s eigentlich h y d r o d y n a m i s c h e P r o b l e m d e r K r e i s e l r a d t h e o r i e in Angriff

werden,

genommen

w i r d , d a s d a r i n b e s t e h t , d i e w a h r e S t r ö m u n g d u r c h e i n e in A b m e s s u n g e n , S c h a u f e l f o r m e n u n d S c h a u f e l z a h l e n g e g e b e n e K r e i s e l r a d m a s c h i n e b i s in i h r e l o k a l e n E i n z e l h e i t e n h i n e i n z u e r m i t t e l n . W i e w e i t d i e s Ziel f ü r S t r ö m u n g e n w i r k l i c h e r F l ü s s i g k e i t e r r e i c h t w e r d e n w i r d , soll h i e r n i c h t v o r a u s g e s a g t w e r d e n ; es i s t a u c h n o c h d i e F r a g e , w i e w e i t m a n s i c h i h m a n n ä h e r n m u ß , u m g e g e n ü b e r d e m h e u t i gen S t a n d d e r E r k e n n t n i s u n d K o n s t r u k t i o n n o c h w e s e n t l i c h e F o r t s c h r i t t e zu erzielen. s c h e i n t es, als o b es s i c h w e n i g e r d a r u m h a n d e l t , d a s b i s h e r a n W i r k u n g s g r a d e n

Zunächst

Erreichte

noch

z u ü b e r t r e f f e n , als v i e l m e h r d a r u m , d i e G r u n d l a g e n s i c h e r e r z u s t e l l e n u n d d i e M ö g l i c h k e i t v o n F e h l schlägen mehr und mehr auszuschließen.

A b e r d u r c h d i e s e B e s c h r ä n k u n g w i r d d i e A u f g a b e a n sich

n i c h t l e i c h t e r , es ist d a h e r d a s R i c h t i g s t e , sie z u n ä c h s t v o m , , r e i n t h e o r e t i s c h e n 1 ' S t a n d p u n k t a n z u f a s s e n , u m so m e h r als sie ü b e r h a u p t n u r e i n e V o r s t u f e ist zu d e m w e i t e r g e h e n d e n auf

rationellen,

die

gegenüber

hydrodynamischen den

heutigen

aus

Problem,

V o r s t e l l u n g e n b a s i e r e n d e K o n s t r u k t i o n s v o r s c h r i f t e n zu l i e f e r n ,

größeren Anspruch

auf

Eindeutigkeit

und Treffsicherheit

machen

k ö n n e n u n d die i n s b e s o n d e r e a u c h g e s t a t t e n , S c h a u f e l f o r m e n a u s z u b i l d e n , die n i c h t n u r g u t e W i r k u n g s g r a d e l i e f e r n , s o n d e r n a u c h mit R ü c k s i c h t auf die e b e n b e r ü h r t e n F r a g e n , / . B. die d e r D r u c k verteilung besonders günstige Eigenschaften aufweisen.

Nun kann man ohne weiteres voraussagen,

d a ß d i e s e s Ziel im E i n z e l f a l l e m i t S i c h e r h e i t n u r e r r e i c h t w e r d e n w i r d , w e n n d a s V e r h a l t e n w i r k l i c h e r

—

6

-

Flüssigkeiten in B e t r a c h t gezogen wird und d a ß anderseits N ä h e r u n g s m e t h o d e n als Arbeitsverf a h r e n genügen werden. Dies alles setzt aber nicht den W e r t solcher theoretisch strenger Lösungen herab, die mit der reibungsfreien Flüssigkeit rechnen, also „ P o t e n t i a l s t r ö m u n g e n " voraussetzen. Denn diese Lösungen zeigen das Grundsätzliche des Unterschiedes gegenüber der eindimensionalen Theorie und liefern erstmalig Zahlenwerte f ü r den Einfluß der bisher vernachlässigten Schaufelformund -zahl; a u ß e r d e m liefern sie durch die e r m i t t e l t e n theoretischen Strombilder mit ihren Geschwindigkeits- und Druckverteilungen auch gute A n h a l t s p u n k t e f ü r die weitere U m b i l d u n g der P o t e n t i a l s t r ö m u n g in diejenige der „Flüssigkeit mit geringer R e i b u n g " . Voraussagen über deren Aussehen, über E n t s t e h e n von Wirbeln, S e k u n d ä r s t r ö m u n g e n und Ablösungen lassen sich nach K e n n t n i s der P o t e n t i a l s t r ö m u n g auf Grund allgemeiner E r f a h r u n g und theoretischer Einsicht, die den Inhalt der modernen Strömungslehre bilden, in mindestens qualitativer, gelegentlich auch q u a n t i t a t i v e r Weise machen. Im folgenden soll d a h e r gezeigt werden, wie die m a t h e m a t i s c h e H y d r o d y n a m i k Mittel dazu liefert, um P o t e n t i a l s t r ö m u n g e n d u r c h K r e i s e l r ä d e r m i t e n d l i c h e r S c h a u f e l z a h l zu berechnen. Freilich ist dies bisher f ü r R ä d e r mit räumlich ausgebildeten Schaufeln noch nicht geleistet w o r d e n ; die Lösungen sind vielmehr auf p a r a l l e l k r ä n z i g e R a d i a l r ä d e r m i t z y l i n d r i s c h e n S c h a u f e l n b e s c h r ä n k t . Dies b e d e u t e t im wesentlichen, d a ß e b e n e S t r ö m u n g e n b e h a n d e l t werden. Dem grundsätzlichen W e r t der Lösungen t u t diese B e s c h r ä n k u n g keinen A b b r u c h , f ü r Hochdruckkreiselräder mit einem R a d i e n v e r h ä l t n i s ausgesprochen größer als 1 sind die Ergebnisse sogar q u a n t i t a t i v von W e r t . Die B e s c h r ä n k u n g auf ebene S t r ö m u n g e n m a c h t es möglich, die R e c h n u n g mit komplexen Zahlen und die sog. k o n f o r m e A b b i l d u n g hier genau so anzuwenden, wie dies durch K u t t a und J o u k o w s k y bei der zweidimensionalen B e h a n d l u n g des Tragflügelproblems geschehen ist. Bei der Bea r b e i t u n g unseres Problems werden sogar K u t t a s c h e Ergebnisse über die S t r ö m u n g durch Gitter als Sonderergebnisse mitgewonnen, die zugleich den Unterschied der S t r ö m u n g durch ein feststehendes Radialrad gegenüber derjenigen durch das gleiche, jedoch sich drehende Rad hervorheben 1 ).

2. Stellung der besonderen Aufgabe. Abb. 3 stellt eine Kreiselradmaschine dar, die aus dem L a u f r a d /?, dem Saugrohr Sr, dem Leitrad L und dem Spiralgehäuse Sp besteht. Das L a u f r a d sei von vornherein parallelkränzig mit zylindrischen Schaufeln vorgesehen. Die Maschine k a n n grundsätzlich als T u r b i n e oder als P u m p e

; ) B e z ü g l i c h d e r m a t h e m a t i s c h e n G r u n d l a g e n d e r R e c h n u n g m u ß auf d i e e i n s c h l ä g i g e L i v c r a r u r v e r w i e s e n w e r d e n ; h i e r k a n n n u r d a s b e s o n d e r e B e i s p i e l in g r o ß e n Z ü g e n u n d in s e i n e n E r g e b n i s s e n vorgeführt werden. S i e h e a u c h die L i t e r a t u r a n g a b e n a m S c h l ü s s e des A u f s a t z e s .

—

7

—

arbeiten, und zwar bestehen diese beiden Möglichkeiten f ü r jede der beiden D u r c h f l u ß r i c h t u n g e n : von außen nach innen oder u m g e k e h r t . Im ersten Falle zwingt die Spirale der S t r ö m u n g einen bes t i m m t e n mittleren „ D r a l l " ( c u • r)a auf, mit d e m die Flüssigkeit d e m R a d e z u s t r ö m t , dieses verä n d e r t ihn und e n t l ä ß t die Flüssigkeit mit einem mittleren Drall (cM • In diesem Falle der S t r ö m u n g s r i c h t u n g möge der L e i t a p p a r a t L fortfallen, so d a ß die Flüssigkeit frei mit dem angegebenen Drall durch das Saugrohr a b s t r ö m t . Im zweiten Falle s t r ö m t die Flüssigkeit dem R a d e d u r c h das Saugrohr und den L e i t a p p a r a t z u ; dieser ist es jetzt, der der S t r ö m u n g einen b e s t i m m t e n Drall (cM • r)i aufzwingt. Das Rad v e r ä n d e r t j e t z t den Drall ( c u • r){ in einen andern (ca • r ) a , mit dem die S t r ö m u n g die Spirale durchfließt. — In allen Fällen üben Spirale u n d L e i t a p p a r a t R ü c k w i r k u n g e n Schaufe/naum des Rades

A b b . 4.

Schema einer R a d i a l p u m p e .

Ebene

Ersatzströmung.

auf die S t r ö m u n g im R a d e aus, die p e r i o d i s c h e r N a t u r sind u n d d e r e n zahlen

und

der

Drehzahl

abhängen.

Diese

sind

bisher

nicht

in

Frequenz von den

die theoretischen

Schaufel-

Bearbeitungen

e i n b e z o g e n , d a s P r o b l e m ist v i e l m e h r in f o l g e n d e r W e i s e i d e a l i s i e r t w o r d e n (s. A b b . 4 ) : A n S t e l l e d e s Spiralgehäuses d e n k t m a n sich eine parallelkränzige Zu- bzw. A b l e i t u n g v o m

Unendlichen her

bzw.

ins U n e n d l i c h e h i n a u s . D e s g l e i c h e n t r e t e n a n Stelle d e r S a u g r o h r e zwei p a r a l l e l e bis z u r A c h s e g e f ü h r t e Wände.

Die ganze S t r ö m u n g v e r l ä u f t n u n zwischen den beiden, s e n k r e c h t zur Achse

von dieser nach allen

Seiten ins U n e n d l i c h e e r s t r e c k t e n

Ebenen

und

wird

angeordneten,

d a h e r als eine e b e n e

be-

handelt.

Bei S t r ö m u n g v o n i n n e n n a c h a u ß e n m u ß m a n s i c h d i e F l ü s s i g k e i t in d e r A c h s e e n t s p r i n g e n d

und

einem

mit

Leitapparates

vorgegebenen mit

Drall

zu e r f a s s e n ! ) .

(cu-r),

begabt

In u n m i t t e l b a r e r

denken Nähe

(dieses,

der

Achse

um

den

allgemeinen

verlauft

Fall

eine?

d a n n d i e S t r ö m u n g in

l o g a r i t h m i s c h e n Spiralen, die A c h s e spielt die Rolle eines , , W i r b e k | u e l l f a u e n s " (kürzer einer ..Wirbelquellc").

Nach

der A b s t r ö m u n g

vom

U n e n d l i c h e : in g e n ü g e n d e r E n t f e r n u n g in l o g a r i t h m i s c h e n

R a d e entfernt: sich die -

streng genommen

Flüssigkeit

mit

dem

„im Unendlichen"

S p i r a l e n , die einen a n d e r e n S t e i g u n g s w i n k e l

als die u m

D r a l l ( r , • r ) , . in« strömt

sie w i e d e r

die A c h s e h e r u m

haben.

—

8

-

D a s u n e n d l i c h Ferne spielt die R o l l e einer „ W i r b e l s e n k e " .

Bei S t r ö m u n g v o n a u ß e n n a c h i n n e n

m ü s s e n wir in g e n ü g e n d e r E n t f e r n u n g v o m R a d e e i n e n L e i t a p p a r a t d e n k e n , der eine S t r ö m u n g in l o g a r i t h m i s c h e n S p i r a l e n m i t d e m Drall (cu • r)a e r z w i n g t ; m a t h e m a t i s c h g e s p r o c h e n : J e t z t ist d a s u n e n d l i c h Ferne W i r b e l q u e l l e . V o m R a d e n a c h der A c h s e s t r ö m t die F l ü s s i g k e i t m i t d e m Drall ( c u - r ) ( in B a h n e n , die in der N ä h e der A c h s e w i e d e r m e h r u n d m e h r zu l o g a r i t h m i s c h e n S p i r a l e n w e r d e n : die A c h s e ist j e t z t W i r b e l s e n k e . Bei d e n f e s t g e s e t z t e n V e r e i n f a c h u n g e n ist z u n ä c h s t die S t r ö m u n g r e l a t i v z u m R a d e s t a t i o n ä r , weil k e i n e S t e l l u n g des R a d e s zu s e i n e r U m g e b u n g v o r einer a n d e r e n e t w a s v o r a u s h a t , alle R a n d b e d i n g u n g e n f ü r die S t r ö m u n g d a h e r in j e d e m A u g e n b l i c k die g l e i c h e n s i n d . D i e R e l a t i v s t r ö m u n g w o l l e n wir aber n i c h t b e h a n d e l n , d a sie k e i n e P o t e n t i a l s t r ö m u n g ist u n d die e r w ä h n t e n m a t h e m a t i s c h e n M e t h o d e n d a h e r n i c h t auf sie a n g e w e n d e t w e r d e n k ö n n e n . W i r l e g e n v i e l m e h r d a s S t r o m l i n i e n b i l d d e r m o m e n t a n e n A b s o l u t s t r ö m u n g z u g r u n d e . D i e s erhält m a n , w e n n m a n die R i c h t u n g e n der A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t e n m o m e n t a n zu K u r v e n z ü g e n z u s a m m e n s e t z t (durch ein M o m e n t l i c h t b i l d v o m f e s t e n R a u m aus) o d e r a u c h , in d e m m a n zu d e n R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t e n w die U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t des b e t r e f f e n d e n R a u m p u n k t e s u = r • co g e o m e t r i s c h a d d i e r t . S c h o n hieraus f o l g t , da ein b e s t i m m t e r R a u m p u n k t zu j e d e r Z e i t das gleiche u hat, d a ß bei s t a t i o n ä r e r R e l a t i v s t r ö m u n g auch das m o m e n t a n e Absolutbild seinem Aussehen nach zeitlich unveränderlich ist u n d d a ß es sich nur m i t d e m R a d e u m die A c h s e d r e h t (als o b es m i t i h m f e s t v e r b u n d e n w ä r e , w a s übrigens das R e l a t i v s t r o m b i l d a u c h t u t ) . Im ü b r i g e n f o l g t die U n v e r ä n d e r l i c h k e i t der m o m e n t a n e n A b s o l u t s t r ö m u n g g e n a u w i e die der R e l a t i v s t r ö m u n g aus der G l e i c h h e i t der R a n d b e d i n g u n g e n der S t r ö m u n g f ü r jede S t e l l u n g des R a d e s . Die A b s o l u t s t r ö m u n g e n t s t e h t aus der R u h e h e r a u s u n t e r d e m E i n f l u ß der S c h w e r e , sie ist d a h e r eine P o t e n t i a l s t r ö m u n g .

Sie ist i m g a n z e n g e n o m m e n z e i t l i c h v e r ä n d e r l i c h ; die g a n z e Ä n d e r u n g ist

aber eine p e r i o d i s c h e , die g e r a d e d u r c h die e b e n b e s c h r i e b e n e D r e h u n g des u n v e r ä n d e r l i c h e n S t r o m l i n i e n b i l d e s m i t der W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t co des R a d e s u m die A c h s e b e s c h r i e b e n wird. A u c h die m e h r f a c h e r w ä h n t e n i n n e r e n u n d ä u ß e r e n l o g a r i t h m i s c h e n Spiralen k a n n m a n d i e s e m r o t i e r e n d e n Strombild zurechnen.

Sie sind a n d e r s e i t s in g e n ü g e n d e r E n t f e r n u n g v o m R a d e a u c h „ w a h r e B a h n e n

v o n F l ü s s i g k e i t s t e i l c h e n " , w a s die ü b r i g e n K u r v e n des m o m e n t a n e n A b s o l u t b i l d e s d u r c h a u s n i c h t sind Die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g dieses B i l d e s h a t ein P o t e n t i a l F (r, # ) , w e n n u n t e r r u n d # die P o l a r k o o r d i n a t e n e i n e s m i t d e m R a d e f e s t v e r b u n d e n e n und m i t r o t i e r e n d e n S y s t e m s v e r s t a n d e n sind.

A u s i h m g e h t das P o t e n t i a l der w a h r e n A b s o l u t s t r ö m u n g d a d u r c h hervor, d a ß m a n

Z u s a m m e n h a n g der r e l a t i v e n W i n k e l k o o r d i n a t e m i t der des f e s t e n R a u m e s b e r ü c k s i c h t i g t , w o b e i t die Zeit b e d e u t e t .

Es l a u t e t also F (r, •&' —

nämlich

= ft - f

den cot,

cot).

Auf das m o m e n t a n e A b s o l u t b i l d w e n d e n wir die k o m p l e x e n R e c h e n m e t h o d e n

an.

3. Die Randbedingungen der momentanen Absolutströmung. a) I n d e r N ä h e d e r A c h s e u n d i m u n e n d l i c h

F e r n e n v e r h ä l t sich die S t r ö m u n g wie d i e

e i n e r W i r b e l q u e l l e o d e r - s e n k e ; ein s o l c h e s G e b i l d e e n t h ä l t die r e i n r a d i a l e S t r ö m u n g e i n e r e i n fachen Quelle oder Senke nach d e m Gesetze

y— = cr- r = k o n s t ( A b b . 5) u n d die r e i n k r e i s e n d e 71 ^ S t r ö m u n g m i t d e r Z i r k u l a t i o n o d e r W i r b e l s t ä r k e n a c h d e m G e s e t z e -----• = cu • r == k o n s t u m d e n 2 n Q u e l l f a d e n , d e r g l e i c h z e i t i g W i r b e l f a d e n ist ( A b b . 6). I h r e Ü b e r e i n a n d e r l a g e r u n g l i e f e r t S t r ö m u n g

n a c h l o g a r i t h m i s c h e n S p i r a l e n . Die Q u e l l - o d e r S e n k s t ä r k e m u ß f ü r die U m g e b u n g d e r A c h s e d i e g l e i c h e sein wie f ü r d a s u n e n d l i c h f e r n e G e b i e t ( K o n t i n u i t ä t s b e d i n g u n g ! ) ; d a g e g e n s i n d die Z i r k u l a t i o n e n bzw. W i r b e l s t ä r k e n e n t s p r e c h e n d dem Unterschiede der Drallwerte verschieden.

Wir unterscheiden

die i n n e r e Z i r k u l a t i o n F, --•••- 2 . t • (cu • r)- u n d die ä u ß e r e F., - - 2 . 7 • (f„. • r)„ u n d r e c h n e n b e i d e posit i v , w e n n d e r U m k r e i s u n g s s i n n ( R i c h t u n g s s i n n v o n c„) m i t d e m D r e h s i n n des R a d e s ü b e r e i n s t i m m t . Die D u r c h f l u ß m e n g e ( Q u e l l - o d e r S e n k s t ä r k e im o b i g e n S i n n ) z ä h l e p o s i t i v , w e n n die v o n i n n e n n a c h a u ß e n s t r ö m t ( Q u e l l e in d e r A c h s e ) .

Flüssigkeit

—

9

—

b) Wenn die Zirkulation im Außengebiet des Rades von der im Innengebiet verschieden ist, so müssen nach allgemeinen Sätzen zwischen den beiden Gebieten solche liegen, die weitere Zirkulationen aufweisen. Zirkulation ist mathematisch das Linienintegral J c- cos (c, ds) ds über eine geschlossene Kurve. Für kann als geschlossene Kurve irgendein Kreis um die Achse innerhalb des innersten Radschaufelkreises, für r a irgendeiner um die Achse außerhalb des äußersten Radschaufelkreises dienen.

¿-Ebene.

Z-Ebene¡Z-xtiy

Reine Zirkuiotionsströmung

Reine Quellströmung

mit dem Potential

mit dem Potential

A.

Cu-r *

~ 2 TT

Abb. 5.

const*

r

Abb. 6.

Die zwischen diesen beiden Kreisen liegenden Zirkulationen zählen auf Kurven, welche die Schaufeln umschlingen (s.Abb.6); für eine einzelne Schaufel ist die Zirkulation auf j e d e r Kurve, die nur diese Schaufel umschlingt, die gleiche, außerdem ist der Achsensymmetrie wegen die Zirkulation um jede Schaufel die gleiche. Sie möge mit Ys bezeichnet und ebenfalls positiv gerechnet werden, wenn der Sinn ihres Umlaufes um die Schaufel mit dem Drehsinn des Rades übereinstimmt. Physikalisch ist die E x i s t e n z e i n e r Z i r k u l a t i o n u m j e d e S c h a u f e l dadurch zu erklären, daß durch ra

der

A b b . 7. Beziehung

/ ;, = . /

die a b l e n k e n d e W i r k u n g der S c h a u f e l n auf die S t r ö m u n g

Druckunterschiede

G e s c h w i n d i g k e i t s u n t e r s c h i e d e zu beiden Seiten d e r S c h a u f e l b e s t e h e n .

und

in d e r e n

Z i e h t m a n also eine

k u r v e d i c h t u m die S c h a u f e l u n d b i l d e t d a s o b i g e L i n i e n i n t e g r a l , so m u ß sich ein v o n N u l l

Gefolge Kontroll-

verschie-

d e n e r W e r t e r g e b e n . G e n a u w i e in d e r e b e n e n T r a g f l ü g e l t h e o r i e i s t a l s o d i e E x i s t e n z e i n e r Z i r k u l a t i o n u m jede Schaufel das kinematische Äquivalent Strömung ablenken.

f ü r die d y n a m i s c h e T a t s a c h e , d a ß die S c h a u f e l n

A u s A b b . 7 liest m a n a b e r , w e n n

m a n die Z u s a m m e n s e t z u n g der

die

Integration*-

—

10

—

wege für und r a aus Teilstücken der Integrationswege um die einzelnen Schaufeln beachtet, unmittelbar ab, daß

ra = r{ + zr. = rt + n-r.

i)

ist, wenn n die Schaufelzahl ist. Die Zirkulation um jede Schaufel kann für sich allein natürlich nicht bestehen, sie kann nur rein kinematisch als ein Anteil der Gesamtströmung aus dieser ausgesondert und ihre Größe durch eine noch zu besprechende physikalische Bedingung bestimmt werden. Diese Größe steht aber in direkter Beziehung zum Drehmoment des Kreiselrades, wie in Abschn. 5 noch gezeigt wird. c) Die Gesamtströmung unterliegt ferner noch e i n e r R a n d b e d i n g u n g an d e n S c h a u f e l n . Die Relativströmung hat an den Schaufeln nur tangentiale Geschwindigkeiten, die Absolutströmung aber besitzt außerdem Normalkomponenten, wie aus dem Geschwindigkeitsdreieck der Abb. 4 hervorgeht. Jede Normalkomponente cn muß aber übereinstimmen mit der Komponente un der Umfangsgeschwindigkeit u = reo, die das betreffende Schaufelelement besitzt. Denn wenn dies nicht der Fall wäre, würde das Schaufelelement eine andere Elementarwassermenge vor sich herschieben oder nach sich ziehen, als die Strömung an der gleichen Stelle wegsaugt oder nachdrückt und es würde die Kontinuität nicht gewahrt bleiben 1 ). d) Schließlich bleibt n o c h e i n e p h y s i k a l i s c h e B e d i n g u n g übrig, die für die Strömung mit bestimmend ist. Wenn man nämlich beliebige Quellstärken und Zirkulationen bei einer bestimmten Drehgeschwindigkeit kombiniert, so liefert die resultierende Potentialströmung bei scharfen Schaufelkanten im allgemeinen eine Umströmung derselben mit unendlich hohen Geschwindigkeiten, und zwar naturgemäß sowohl im Relativ- wie im Absolutstrombild. Unendlich hohe Geschwindigkeiten sind aber eine physikalische Unmöglichkeit. Seit dem Bestehen des Kreiselradbaues weiß man überdies, daß die Flüssigkeit von den Schaufeln relativ tangential abfließt — wenigstens bei nicht ganz abnormen Betriebszuständen. Eine wesentliche Näherung der elementaren Theorie besteht ja gerade darin, daß man die Richtung der relativen Austrittsgeschwindigkeit aus einem Schaufelsystem der Richtung der Schaufeltangenten durchaus gleich setzt. Für unsere Theorie behalten wir nur die Forderung bei, daß unmittelbar an den Schaufeln selbst die Strömung tangential abgeht, die Relativ- und Absolutgeschwindigkeit also endlich bleibt. Diese Bedingung genügt, u m T j zu bestimmen, wenn.T a oder/ 1 ,, dazu Q und co gegeben sind. Das Schaufeleintrittsende wird dann im allgemeinen bei unendlich dünnen Schaufeln theoretisch mit unendlich großer Geschwindigkeit umströmt. Diese physikalische Unmöglichkeit muß man durch Verdickung der Schaufel und Abrundung der Eintrittskante behoben denken. Das Abflußende dagegen muß nach wie vor scharf zugespitzt bleiben. In unserer Untersuchung wollen wir die Schaufeln als unendlich dünn und beiderseitig scharfkantig voraussetzen, um die gleichen Formeln für Strömung von innen nach außen und umgekehrt verwenden zu können (vgl. hierzu Abschn. 14). W e n n man außer über_T s auch noch über eine der anderen 3 Größen, n ä m l i c h / 1 i b z w . / 1 0 , sowie Q und co verfügen k a n n , so ist es möglich, im theoretischen Strombild endliche Geschwindigkeiten an beiden Schaufelenden, d. h. relativ tangentiales An- und Abströmen herzustellen. In der Sprache der elementaren Kreiselradtheorie spricht man d a n n vom „stoßfreien E i n t r i t t " . Ü b e r h a u p t haben alle diese Überlegungen ihre vollständigen Gegenstücke in der elementaren Theorie. F s allein so zu bes t i m m e n , d a ß t a n g e n t i a l e r E i n t r i t t , aber kein tangentiales Abströmen vorliegt, hat natürlich keinen physikalischen Sinn. Die E r m i t t l u n g d e r Z i r k u l a t i o n e n w i e in d e r e b e n e n T r a g f l ü g e l t h e o r i e .

v e r l ä u f t n a c h den g l e i c h e n

physikalischen

Grundsätzen

4. Zerlegung der Gesamtströmung in passend gewählte Teilströmungen. In j e d e m Augenblick k a n n d a s Geschwindigkeitsfeld d e r Absolutströmung i n z w e i /.eriegt !

Anteile

Würden.

) D i e B e d i n g u n g besagt kontponenfen an den S c h a u f e l n

übrigens hat.

nichts

weiter,

als

daß

die

Relativströmung

nur

Tangential-

—

11

—

a) Der erste Anteil werde „Durchflußströmung" genannt. Er rührt von der Wirbelquelle in der Achse bzw. im Unendlichen her. Da es sich auch für diesen Anteil um ein unveränderliches mit dem Rade rotierendes Strombild handelt, so ist es unmittelbar identisch mit dem der Durchflußströmung durch das stillstehende Rad. Gegeben ist es zunächst durch rt bzw. Ta und ± Q. Damit würden aber an beiden Schaufelenden schon bei der reinen Durchflußströmung unendlich hohe Geschwindigkeiten auftreten. Da aber auch beim stillstehenden Rade tangentiales Abströmen anzunehmen ist, so kann man auch hier ein Vs so bestimmen, daß dies eintritt, wenn dieses Ts auch einen anderen Wert annimmt als bei rotierendem Rade. Daher ist es vorteilhaft, auch im a l l g e m e i n e n F a l l e d i e S c h a u f e l z i r k u l a t i o n z u r D u r c h f l u ß s t r ö m u n g h i n z u z u r e c h n e n , um so mehr, als sie an den Schaufeln die gleichen Randbedingungen hat, wie die von der Wirbelquelle (im Unendlichen oder der Achse) herrührende Strömung, nämlich nur tangentiale Geschwindigkeiten. Beide Strömungen, also auch die „ D u r c h f l u ß s t r ö m u n g m i t S c h a u f e l z i r k u l a t i o n " bestimmt durch die Elemente r t bzw. r a sowie Q und r s hat die S c h a u f e l n z u S t r o m l i n i e n . b) Der zweite Anteil heiße V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g . Er rührt von der Drehung des Schaufelsystems um die Achse her und ist so zu bestimmen, daß kein dauernder Transport von Flüssigkeit durch das Rad hindurch stattfindet, sondern nur einzelne Flüssigkeitsmassen verschoben oder verdrängt werden. Die Schaufeln schieben auf der Vorderseite die Flüssigkeit vor sich her und ziehen sie auf der Rückseite hinter sich nach. Die Schaufelenden werden bei dieser theoretischen Teilströmung mit unendlich hohen Geschwindigkeiten umströmt. Nach außen hin klingen die Verdrängungswirkungen der Schaufeln mit zunehmender Entfernung vom Rade sehr rasch ab; in der Radachse heben sie sich, wenn mehr als eine Schaufel vorhanden und diese achsensymmetrisch angeordnet sind, gegenseitig auf. Die Verdrängungsströmung ist es nun gerade, die an den Schaufeln außer den tangentialen auch Normalgeschwindigkeiten cn besitzt und für sie gilt daher allein die (in Abschn. 3c) in diesen Komponenten ausgedrückte Randbedingung. c) D a ß d i e G e s a m t s t r ö m u n g a u s d e n b e i d e n g e n a n n t e n T e i l s t r ö m u n g e n r i c h t i g z u s a m m e n g e s e t z t i s t , ergibt sich daraus, daß alle Teilströmungen Potentialströmungen sind und übereinandergelagert wieder solche liefern, daß ferner die Randbedingungen der Gesamtströmung aus den Randbedingungen der Teilströmungen richtig resultieren, ohne daß sich diese gegenseitig stören. Ti bzw. Fa schreibt zusammen mit Q den durch irgendeine Leitvorrichtung gegebenen Anfangszustand des Rades vor, r s mißt die Wirkung des Rades auf die Strömung. Die Verdrängungsströmung, deren Geschwindigkeiten mit m proportional sind, bringt die wesentliche Randbedingung der absoluten Gesamtströmung an den Schaufeln herein. Wählt man alle Bestimmungsstücke beliebig, so herrschen an beiden Schaufelenden unendliche Geschwindigkeiten; durch geeignete Kombinationen kann man mindestens am Abströmende, im Sonderfall auch am Anströmende endliche Geschwindigkeiten herstellen.

5. Drehmoment und ausgetauschte Strömungsenergie des Kreiselrades. Das Drehmoment ist bekanntlich

Dafür kann man aber schreiben:

D a s D r e h m o m e n t ist also m i t der S c h a u f e l z i r k u l a t i o n p r o p o r t i o n a l .

F e r n e r ist die t h e o r e t i s c h zwi-

schen S t r ö m u n g u n d R a d a u s g e t a u s c h t e Energie pro kg s t r ö m e n d e r Flüssigkeit (theoretische spezif i s c h e S c h a u f e l a r b e i t , t h e o r e t i s c h e F ö r d e r h ö h e o d e r G e f ä l l e b e i m W i r k u n g s g r a d e 1) i h r e m a b s o l u t e n Betrage

nach:

S p a n n Ii a k e . M i t teil im sei

—

oder:

12

co //th

" V

—

n-Ts 5)

2 :r

U n t e r d e m D r e h m o m e n t e n - b z w . F ö r d e r h ö h e n v e r h ä l t n i s v e r s t e h t m a n d a s V e r h ä l t n i s dieser W e r t e f ü r eine e n d l i c h e S c h a u f e l z a h l n zu d e n e n t s p r e c h e n d e n f ü r u n e n d l i c h g r o ß e s n, die m i t d e r a u s d e r E u l e r s c h e n e r r e c h n e t e n ü b e r e i n s t i m m e n , w e n n bei d e r Z u n a h m e d e r S c h a u f e l z a h l die S c h a u felform und -winkel u n v e r ä n d e r t bleiben. Man hat d a h e r : p D r e h m o m e n t e n - bzw. Förderhöhenverhältnis =

„

n=u

6)

1 S

M = CO

6. Die Anwendung der komplexen Rechnung 1 ) und der konformen Abbildung auf die Hydrodynamik ebener Strömungen. J e d e F u n k t i o n F (2) einer k o m p l e x e n V e r ä n d e r l i c h e n z = x-\- iy (x u n d y r e c h t w i n k l i g e K o o r d i n a t e n d e r G a u ß s c h e n Z a h l e n e b e n e ! ) s t e l l t d a s sog. k o m p l e x e P o t e n t i a l e i n e r e b e n e n S t r ö m u n g d a r . Die A b l e i t u n g F' (z) l i e f e r t n a c h A u f s p a l t e n in e i n e n reellen u n d i m a g i n ä r e n Teil die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n cx u n d cy n a c h d e r B e z i e h u n g cx — ic.y = F'{z) 7) (Minuszeichen beachten.) S t a t t d e s s e n k a n n m a n a u c h , w e n n m a n s t a t t x u n d y P o l a r k o o r d i n a t e n r, # d u r c h x = / ' c o s # , y = r s i n $ e i n f ü h r t u n d die G e s c h w i n d i g k e i t c in die R a d i a l k o m p o n e n t e cr u n d die U m f a n g s k o m p o n e n t e cu zerlegt, (cr-icu)-e~i:> = F'(z) 8) schreiben. A n d e r e r s e i t s v e r m i t t e l t j e d e F u n k t i o n w ( z ) die sog. k o n f o r m e A b b i l d u n g e i n e r z - E b e n e m i t d e n K o o r d i n a t e n x u n d y auf eine w - E b e n e ( e t w a m i t d e n K o o r d i n a t e n x' u n d y'). M a n k a n n a u c h s a g e n : die z - E b e n e w i r d v e r z e r r t auf eine w - E b e n e a u s g e b r e i t e t . In d e n k l e i n s t e n T e i l e n b l e i b e n d a s z-Original u n d d a s w-Bild ä h n l i c h ; zwei L i n i e n , die sich in d e r z - E b e n e in e i n e m gewissen P u n k t e z 0 u n t e r d e m W i n k e l « s c h n e i d e n , t u n dies n a c h d e r V e r z e r r u n g in d e r w - E b e n e in e i n e m e n t s p r e c h e n den P u n k t e w 0 = w(z 0 ) u n t e r d e m gleichen W i n k e l , sie sind a b e r b e i d e gegen die A c h s e n u n t e r e i n e m W i n k e l y v e r d r e h t , d e r gleich d e m sog. A r g u m e n t d e r A b l e i t u n g w' (z) d e r A b b i l d u n g s f u n k t i o n i s t . [ J e d e k o m p l e x e G r ö ß e £ = f + i i ] h a t einen a b s o l u t e n B e t r a g C = + i f u n d ein A r g u m e n t & = a r c t g | ; dies e r h e l l t a u s d e r z w e i t e n D a r s t e l l u n g k o m p l e x e r Z a h l e n £ = r • ei:> = r (cos

'J

+ / sin .9], H a t m a n in einer E b e n e z d a s S t r o m b i l d e i n e r P o t e n t i a l s t r ö m u n g e r m i t t e l t , so w i r d es d u r c h die A b b i l d u n g s f u n k t i o n w ( z ) in d e r w - E b e n e v e r z e r r t d a r g e s t e l l t , ist a b e r w i e d e r d a s Bild einer Pot e n t i a l s t r ö m u n g . Die P o t e n t i a l w e r t e sind in e n t s p r e c h e n d e n P u n k t e n e i n a n d e r gleich. A u s d i e s e m G r u n d e sind a u c h die L i n i e n i n t e g r a l e auf e n t s p r e c h e n d e n L i n i e n s t ü c k e n z w i s c h e n e n t s p r e c h e n d e n P u n k t e n u n d s o m i t a u c h die Z i r k u l a t i o n e n auf e n t s p r e c h e n d e n g e s c h l o s s e n e n K u r v e n e i n a n d e r gleich. Infolge d e r V e r z e r r u n g d e r S t r o m b i l d e r ist a b e r die G e s c h w i n d i g k e i t in e i n e m w - P u n k t v o n d e r in d e m e n t s p r e c h e n d e n z - P u n k t n a c h G r ö ß e u n d R i c h t u n g v e r s c h i e d e n , u n d z w a r w e r d e n beide V e r ä n d e r u n g e n d u r c h die A b l e i t u n g d e r A b b i l d u n g s f u n k t i o n g e m e s s e n . Ist n ä m l i c h d u r c h cx — icy = F'(z) die G e s c h w i n d i g k e i t i n d e r z - E b e n e g e g e b e n , so gilt f ü r die i n e n t s p r e c h e n d e n

Punkten der n'-Ebene c,' •>•

dz | i c,/ • w — | J = F' (W) = /-'' w \(z)) = F' w(z) rf = r,:,.

') Diese k a n n hier n u r o h n e B e w e i s des A u f s a t z e s ( i n s b e s o n d e r e N r . 1 —5).

' d ir d:

beschrieben

^ '

w e r d e n , sieiie d e n

Literaturnachweis

am S c h l ü s s e

—

13

-

B e f i n d e n sich in d e r S t r ö m u n g r u h e n d e K ö r p e r , so sind d e r e n K o n t u r e n S t r o m l i n i e n , die m i t a b g e b i l d e t w e r d e n , w o d u r c h die R a n d b e d i n g u n g t a n g e n t i a l e n U m f l i e ß e n s d e r K ö r p e r in b e i d e n E b e n e n e r f ü l l t i s t . S o l c h e S t r ö m u n g e n sind i m w e s e n t l i c h e n d a s , w a s w i r i m Beispiel d e r K r e i s e l r a d s t r ö m u n g als D u r c h f l u ß s t r ö m u n g b e z e i c h n e t h a b e n . W i r k ö n n e n also s a g e n : F ü r D u r c h f l u ß s t r ö m u n g e n b l e i b e n d u r c h die k o n f o r m e A b b i l d u n g die R a n d b e d i n g u n g e n r i c h t i g e r h a l t e n . ( N a t ü r l i c h w e r d e n die K ö r p e r k o n t u r e n m i t v e r ä n d e r t . ) A n d e r s ist es m i t V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g e n . H i e r s e t z e n die A b s o l u t s t r o m l i n i e n u n t e r b e s t i m m t e n W i n k e l n auf die K ö r p e r k o n t u r a u f . Diese W i n k e l sind i m k o n f o r m e n A b b i l d , d a s v e r ä n d e r t e K ö r p e r k o n t u r e n u n d v e r ä n d e r t e s S t r o m b i l d h a t , an e n t s p r e c h e n d e n Stellen die g l e i c h e n . Dies h ä n g t d a m i t z u s a m m e n , d a ß i m O r i g i n a l u n d i m Bild die N o r m a l - u n d T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n an d e n K o n t u r e n i m gleichen V e r h ä l t n i s z u e i n a n d e r s t e h e n , b e i d e also d u r c h die A b b i l d u n g die gleiche G r ö ß e n ä n d e r u n g e r l e i d e n , wie die G e s a m t g e s c h w i n d i g k e i t . Die V e r ä n d e r u n g d e r a b s o l u t e n W e r t e d e r G e s c h w i n d i g k e i t e n ist a b e r d u r c h d e n A b s o l u t w e r t d e r A b l e i t u n g d e r A b bildungsfunktion gegeben, und zwar ist:

dz

dz

w e n n cn u n d ct b z w . cn' u n d ct' die K o m p o n e n t e n n o r m a l u n d t a n g e n t i a l zu d e n K ö r p e r k o n t u r e n s i n d . D u r c h diese B e z i e h u n g ist die V e r ä n d e r u n g d e r R a n d b e d i n g u n g bei d e r k o n f o r m e n A b b i l d u n g von V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g e n gegeben. Die A b b i l d u n g s f u n k t i o n u n t e r l i e g t gewissen B e d i n g u n g e n : Sie m u ß die A u ß e n g e b i e t e d e r u m s t r ö m t e n K ö r p e r e i n d e u t i g P u n k t f ü r P u n k t e i n a n d e r z u o r d n e n . Im O r i g i n a l u n d Bild m u ß d a s u n e n d l i c h f e r n e G e b i e t e i n a n d e r e n t s p r e c h e n ; i m a n d e r e n Falle w ü r d e , d a d a s u n e n d l i c h F e r n e i m m e r als Quelle o d e r S e n k e a n z u s e h e n ist, wo F l ü s s i g k e i t e n t s p r i n g t o d e r v e r s c h w i n d e t (s. A b s c h n . 3 a ! ) i m A b b i l d i m E n d l i c h e n eine Quelle o d e r S e n k e e r s c h e i n e n , die m i t d e m p h y s i k a l i s c h e n P r o b l e m n i c h t s zu t u n h a t . F e r n e r darf i m A u ß e n g e b i e t d e r u m s t r ö m t e n K ö r p e r die A b l e i t u n g d e r A b b i l d u n g s f u n k t i o n w e d e r 0 n o c h co w e r d e n , d a s o n s t p h y s i k a l i s c h u n m ö g l i c h e S t a u p u n k t e ( G e s c h w i n d i g k e i t = 0!) o d e r w i e d e r u m Quellen b z w . S e n k e n e r s c h e i n e n . D a g e g e n d ü r f e n auf d e n K ö r p e r k o n t u r e n solche Stellen v o r k o m m e n , wie wir an u n s e r e m Beispiel s e h e n w e r d e n .

7. Anwendung der konformen Abbildung auf die Strömung durch Kreiselräder. Von W e r t ist die A b b i l d u n g n a t u r g e m ä ß n u r d a n n , w e n n es d u r c h sie g e l i n g t , die v e r l a n g t e S t r ö m u n g u m einen o d e r m e h r e r e K ö r p e r in eine solche u m a n d e r e , g e g e b e n e n f a l l s u m w e n i g e r , j a s o g a r u m n u r e i n e n K ö r p e r zu v e r w a n d e l n , f ü r die m a n die k o m p l e x e n P o t e n t i a l e l e i c h t e r a n g e b e n k a n n o d e r v o r r ä t i g h a t . Dies ist n u n f ü r die m a n n i g f a c h s t e n S t r ö m u n g s f o r m e n u m e i n e n einzigen Kreis u n d f ü r die v e r s c h i e d e n e n B e w e g u n g s f o r m e n eines Kreises in u m g e b e n d e r , i m U n e n d l i c h e n r u h e n d e r F l ü s s i g k e i t s - , d . h . f ü r D u r c h f l u ß s t r ö m u n g e n u n d V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g e n , wobei die in die S t r ö m u n g e i n g e t a u c h t e K o n t u r ein K r e i s ist, t a t s ä c h l i c h d e r Fall. W i r m ü s s e n also d a n a c h t r a c h t e n , die G e s a m t s t r ö m u n g o d e r besser die b e i d e n T e i l s t r ö m u n g e n m i t den e i n g e l a g e r t e n S c h a u feln in e n t s p r e c h e n d e zu v e r w a n d e l n , in d e r n u r ein einziger K r e i s als K o n t u r e i n g e l a g e r t ist. Die S c h a u f e l n sind d a b e i als D o p p e l k o n t u r e n ( u n d u r c h d r i n g l i c h f ü r die S t r ö m u n g ) a u f z u f a s s e n , d e r e n j e d e d u r c h die V e r z e r r u n g bei d e r A b b i l d u n g zu e i n e m Kreise a u f g e b l ä h t u n d auf den A b b i l d u n g s k r e i s g e d e c k t w i r d . D a s A u ß e n g e b i e t des Kreises e n t s p r i c h t d a n n d e m A u ß e n g e b i e t u m die S c h a u f e l n 2tt in f o l g e n d e r W e i s e . D a s S t r o m b i l d d e s K r e i s e l r a d e s h a t e i n e P e r i o d e , d i e g l e i c h d e r W i n k e l t e i l u n g ist.

A m A n f a n g u n d a m E n d e einer solchen T e i l u n g f i n d e t m a n auf e i n e m Kreis u m die A c h s e

•

den

2 r 7i gleichen S t r ö m u n g s z u s t a n d

wieder.

D u r c h Linien, die auf

jedem

Kreise um

die

Peilung

—-

von-

e i n a n d e r a b s t e h e n u n d v o n d e n e n je zwei eine S c h a u f e l e i n s c h l i e ß e n , die s o n s t a b e r b e l i e b i g a u s d e r A c h s e i n s U n e n d l i c h e v e r l a u f e n , w i r d d a s S t r o m b i l d in / / - S e k t o r e n g e t e i l t (s. A b b . 1 1), in d e n e n

das

S t r o m b i l d s i c h p e r i o d i s c h w i e d e r h o l t . J e t l e r s o l c h e S e k t o r w i r d n u n a u f d e n g a n z e n W i n k e l r a u m 2 rr der

Kreisebene

abgebildet.

-

14

—

Wie müssen nun die Strombilder in der Kreisebene a u s s e h e n ? a) D i e D u r c h f l u ß s t r ö m u n g (s. Abb. 8). Sie hat eine Wirbelquelle bzw. -senke in einem P u n k t C, der d e m D r e h z e n t r u m des R a d e s entspricht, u m s t r ö m t den Kreis, der Stromlinie ist und besitzt im Unendlichen eine Wirbelsenke bzw. -quelle ( S t r ö m u n g nach bzw. v o n außen). U m den P u n k t C besteht auf Kreisen, die zwischen i h m und d e m Abbildungskreis K liegen, eine Zirkulation r 0 um den Kreis K selbst eine solche und auf Kreisen u m C, die den Kreis K mit einschließen, eine solche ra. Es b e s t e h t die B e z i e h u n g / 1 , , = Tt - f f s . Die D u r c h f l u ß m e n g e Q ist positiv bei Strö-

m u n g v o n i n n e n n a c h a u ß e n . A b b . 8 gilt f ü r beide Fälle, w e n n diese gleiche u n d g l e i c h g e r i c h t e t e / 1 , b z w , T a h a b e n . In a u s r e i c h e n d e r E n t f e r n u n g v o n d e r Achse u n d in i h r e r n ä c h s t e n U m g e b u n g v e r l ä u f t die S t r ö m u n g in l o g a r i t h m i s c h e n S p i r a l e n m i t v e r s c h i e d e n e r S t e i g u n g e n t s p r e c h e n d den b e i d e n Zirk u l a t i o n e n r i u n d ra. b) D i e V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g (s. A b b . 9). Die N o r m a l k o m p o n e n t e n an den S c h a u f e l n sind g e g e b e n . Mit Hilfe d e r A b l e i t u n g d e r A b b i l d u n g s f u n k t i o n k a n n m a n die e n t s p r e c h e n d e n Norm a l k o m p o n e n t e n a m A b b i l d u n g s k r e i s e K a u s r e c h n e n . M a n m u ß n u n d a s P o t e n t i a l einer S t r ö m u n g a u f s t e l l e n , die a m Kreise die e r r e c h n e t e n N o r m a l k o m p o n e n t e n b e s i t z t u n d i m U n e n d l i c h e n r u h t . Ein Teil des K r e i s u i n f a n g e s e n t s p r i c h t d e r V o r d e r s e i t e d e r S c h a u f e l , dieser h a t p o s i t i v e N o r m a l k o m p o n e n t e n , die v o m U m f a n g n a c h a u ß e n zeigen, d e r a n d e r e Teil e n t s p r i c h t der R ü c k s e i t e der S c h a u f e l u n d h a t n e g a t i v e N o r m a l k o m p o n e n t e n , die v o m U m f a n g n a c h i n n e n zeigen. Die S t r ö m u n g v e r h ä l t sich d e m n a c h so, als ob ein Teil des U m f a n g e s m i t Quellen b e s e t z t sei, die F l ü s s i g k e i t auss t o ß e n , w ä h r e n d d e r a n d e r e S e n k e n h a t , die F l ü s s i g k e i t v e r s c h l u c k e n . Auf dieser V o r s t e l l u n g b e r u h t in der T a t eine A r t d e r D a r s t e l l u n g des S t r ö m u n g s p o t e n t i a l s d u r c h f i n g i e r t e Quellen u n d S e n k e n auf d e m K r e i s u m f a n g . Da im g a n z e n d u r c h die V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g keine F l ü s s i g k e i t s m e n g e ins Une n d l i c h e t r a n s p o r t i e r t w i r d , m u ß die E r g i e b i g k e i t d e r Quellen gleich d e r d e r S e n k e n s e i n ; a n d e r s ausg e d r ü c k t , jeder Quelle m u ß eine gleich s t a r k e S e n k e g e g e n ü b e r s t e h e n . H i e r a u f u n d auf der T a t -

—

15

—

sache, d a ß der Kreis für jedes solche Q u e l l - S e n k e n - P a a r selber Stromlinie ist, Quelle und S e n k e also nur an ihren eigenen S i t z e n N o r m a l k o m p o n e n t e n erzeugen, b e r u h t die Folgerung, d a ß die QuellS e n k e n - V e r t e i l u n g a m Kreise der g e g e b e n e n cn-Verteilung u n m i t t e l b a r proportional ist. Man hat also lauter E l e m e n t a r q u e l l e n 2 cn • ds auf d e m Kreise a n z u o r d n e n , u m die g e s u c h t e S t r ö m u n g mit der g e g e b e n e n cn-Verteilung zu e r z e u g e n ; der F a k t o r 2 ist n o t w e n d i g , weil die Quellen und S e n k e n auch in das Innere des Kreises wirken 1 ). Eine andere D a r s t e l l u n g der S t r ö m u n g beruht darauf, d a ß m a n i m M i t t e l p u n k t des Kreises ein Gebilde a n o r d n e t , das g e w i s s e r m a ß e n alle Quellen und Senken des U m f a n g s dort konzentriert, j e d o c h so, daß sie sich in ihrer W i r k u n g nicht sofort wieder

Abb. 9. c„-Verteilung

und V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g am Kreis.

a u f h e b e n , s o n d e r n ein S t r o m l i n i e n s y s t e m e r z e u g e n , d a s a m K r e i s u m f a n g die v e r l a n g t e

cn-Verteilung

besitzt.

M a t h e m a t i s c h spricht m a n von einem System von Doppelquellen höherer Ordnung, das A Ao d u r c h eine R e i h e n e n t w i c k l u n g + + d a r g e s t e l l t w i r d . Diese D a r s t e l l u n g ist d e r o b i g e n , die auf b e s t i m m t e I n t e g r a l e f ü h r t , v o l l k o m m e n g l e i c h w e r t i g 2 ) .

A b b . 9 s t e l l t die cn-Verteilung

an

S c h a u f e l n u n d K r e i s f ü r d a s Beispiel 4 r a d i a l e r S c h a u f e l n d a r u n d g i b t ein u n g e f ä h r e s Bild d e r V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g in der K r e i s e b e n e . Die c„ z - V e r t e i l u n g ist a m K r e i s als P o l a r d i a g r a m m , a u ß e r d e m a b e r in d e r w - E b e n e ü b e r d e n zu d e n K r e i s p u n k t e n g e h ö r i g e n S c h a u f e l p u n k t e n a u f g e t r a g e n . Durchführung

der Aufgabe

an e i n e m

Beispiel.

8. Abbildung eines radialen Schaufelsterns auf den Kreis. D a die R e c h n u n g e n b e s o n d e r s e i n f a c h w e r d e n , w e n n die S c h a u f e l n des K r e i s e l r a d e s r a d i a l e ü e r a d e zu S p u r e n h a b e n , u n d d a z w i s c h e n e i n e m s o l c h e n „ r a d i a l e n K r e i s g i t t e r " u n d d e m K u t t a s c h e n . . P a r a l l e l g i t t e r " e i n f a c h e B e z i e h u n g e n b e s t e h e n , so soll ein s o l c h e r L ä u f e r der R e c h n u n g z u g r u n d e •l) N u r d e r K r e i s u n d i m O r e n z f a l l d i e u n e n d l i c h a u s g e d e h n t e ü e r a d e h a b e n d i e E i g e n s c h a f t , d a ß Quellverteilung und V e r t e i l u n g e i n a n d e r p r o p o r t i o n a l s i n d . Bei a n d e r e n K o n t u r e n e r z e u g t j e d e E l e m e n t a r quelle nicht n u r an i h r e m eigenen Sitz, s o n d e r n auch an allen a n d e r e n Stellen der K o n t u r Geschwind i g k e i t e n , d i e n i c h t t a n g e n t i a l z u i h r s i n d ; d a d u r c h w i r d d a n n d i e A u f g a b e viel v e r w i c k e l t e r . 2 ) in m e i n e r e r s t e n A r b e i t ( s i e h e L i t e r a t u r a n g a b e ) h a b e ich d i e s e n R e i h e n a n s a t z g e m a c h t : n a c h s t e h e n d g e b e ich d i e D a r s t e l l u n g d u r c h b e s t i m m t e I n t e g r a l e .

—

1 6

-

gelegt werden. Um zwischen ihm und einem gewissen „Abbildungskreis" K die Abbildungsbeziehungen aufzustellen, gehen wir von der z-Ebene dieses Kreises (Kreisebene) aus. In dieser sei also (siehe Abb. 10) um den Nullpunkt 0 des Koordinatensystems ein Kreis mit dem Radius q geschlagen und auf der negativen x-Achse ein Punkt C i m Abstand zc= — hq von 0 markiert, der dem Drehzentrum des Rades entsprechen ¿ - u n d f Ebene soll. Die z-Ebene werde nun zunächst auf eine f - E b e n e nach der Beziehung Z-

-Xq

S'-A-q t

10)

: Z

,

abgebildet. Die der Kreiskontur entsprechende ergibt sich, wenn in Gl. 10) für z die Werte des Kreisumfanges, also

A b b . 10.

z

=

q • e

i : l

—

q

(cos # +

i •

sin •&)

eingesetzt werden. Dann wird: =

- ^ q { e

i :

' - i

r

e -

i i

' ) = ^ q -

c o s t ì

11)

Den Kreispunkten entsprechen also ihre Projektionen auf den in der x-Achse liegenden Durchmesser, der doppelt bedeckt erscheint. Die ganze z-Ebene außerhalb des Kreises wird auf die gesamte f - E b e n e eindeutig abgebildet, jedem z-Punkt außerhalb des Kreises entspricht ein einziger f - P u n k t . Aber auch jedem z-Punkt innerhalb des Kreises entspricht ein solcher; das Kreisinnere wird ebenfalls eindeutig auf die f - E b e n e abgebildet. Wir haben uns demnach die f - E b e n e von zwei Blättern bedeckt vorzustellen, von denen das eine dem Kreisäußern, das andere dem Kreisinnern entspricht. Beide hängen längs des Durchmessers in der x-Achse zusammen. Diese kann als Schlitz aufgefaßt werden, durch den das Kreisinnere bei der Verzerrung hindurchgezogen wird, um dann über die £-Ebene ausgebreitet zu werden. Um dieses zweite Blatt brauchen wir uns aber nicht zu kümmern, da uns nur die Strömung im Außengebiet des Kreises interessiert. In den beiden Ebenen entsprechen sich das Unendlichferne gegenseitig. Der Punkt C rückt in der f - E b e n e näher an den Nullpunkt heran, es wird nämlich Cc = —

j

+ } ) = — f«p.j

l

— F ,lw =

Für ii — x wird X - 1; a -- 1,

45) j — 0, q — ra (vgl. Abschn. 9), das Integral wird -

somit wird : V„

44)

2 er r,- • o>.

U d o

-----

TT.

D i e s g e s c h i e h t e i n f a c h d u r c h M u l t i p l i k a t i o n m i t (1 — < r ' ; ' ) ( d e m z u 1 — e ~ r i : ' ) » k o n j u g i e r t e n « W e r t ) im Zähler und Nenner. 2 ) D i e s f o l g t d a r a u s , d a ß d e r I n t e g r a n d e i n e u n g e r a d e F u n k t i o n m i t d e r P e r i o d e 2 ,T i s t .

—

23

—

Das ist a b e r g e n a u der n a c h der alten E u l e r s c h e n T h e o r i e b e r e c h n e t e W e r t (c»a =

u

a = r« • W

r

= 2 nra2 • (o).

a = 2ran-cUa

Ist F i w = 0 ( Z u s t r ö m u n g o h n e Drall, kein L e i t a p p a r a t i m I n n e r n , wie bei n o r m a l e n P u m p e n ) , so v e r s c h w i n d e t j e d e r E i n f l u ß der D u r c h f l u ß s t r ö m u n g u n d Ta u n d r s sind v o n Q v o l l s t ä n d i g u n a b h ä n g i g . A u ß e r d e m liegt d a n n auf alle Fälle eine P u m p e v o r , d a eine D r a l l s t e i g e r u n g erzielt w i r d . Dies ist hier g e n a u wie in der e l e m e n t a r e n T h e o r i e , n a c h der j a P u m p e n m i t rein r a d i a l e n S c h a u f e l n bei d r a l l o s e m Z u s t r o m eine spezifische S c h a u f e l a r b e i t u n a b h ä n g i g von der W a s s e r m e n g e Q h a b e n . Ist F i m von Null v e r s c h i e d e n , so m a c h t sich die D u r c h f l u ß s t r ö m u n g d u r c h ihren A n f a n g s d r a l l b e m e r k b a r ; dieser k a n n n a t ü r l i c h u n a b h ä n g i g von Q k o n s t a n t g e h a l t e n w e r d e n . D a z u g e h ö r t a b e r bei v e r ä n d e r licher W a s s e r m e n g e ein mit Q v e r ä n d e r l i c h e r L e i t a p p a r a t . Ein u n v e r ä n d e r l i c h e r L e i t a p p a r a t liefert einen m i t Q p r o p o r t i o n a l e n Drall, w e n n er n ä h e r u n g s w e i s e als ein S c h a u f e l k r a n z m i t oo vielen S c h a u f e l n a n g e s e h e n w e r d e n k a n n (vgl. d a s d u r c h g e r e c h n e t e Beispiel; A b s c h n . 14b). W e n n F i w von Null v e r s c h i e d e n ist, so m u ß noch u n t e r s u c h t w e r d e n , ob d a s R a d als P u m p e oder T u r b i n e a r b e i t e t . Im e r s t e n Fall ist r s positiv, im zweiten n e g a t i v . Das R a d l ä u f t also als P u m p e , n e u t r a l oder als T u r b i n e je n a c h d e m : < 2 mnq2 1 46 ¿ i -Ji ) 1

~

T + T

ist.

Schließlich k a n n m a n noch n a c h den B e d i n g u n g e n des „ s t o ß f r e i e n E i n t r i t t s " f r a g e n . Soll dieser vorliegen, so m u ß in der w - E b e n e die G e s c h w i n d i g k e i t a u c h an den i n n e r e n S c h a u f e l e n d e n endlich bleiben, in der z - E b e n e m u ß sie d e m e n t s p r e c h e n d a u c h f ü r z = — q Null sein. Dies liefert eine Bedingung f ü r das bzw. T i w des s t o ß f r e i e n E i n t r i t t s , d a s mit bzw. A „ ° b e z e i c h n e t sei. Die Bed i n g u n g s g l e i c h u n g ist Gl. (39) m i t d e m Minuszeichen. F a ß t m a n in dieser d i e / " ¿ - P o s t e n z u s a m m e n u n d e r w e i t e r t d a s Integral m i t 1 + e~li', w o d u r c h es in Reell u n d I m a g i n ä r a u f g e s p a l t e n w i r d , so e r g i b t sich, da der Realteil des Integrals = Null w i r d :

l

i-'j

J

0

S e t z t m a n hier f ü r r a ° seinen W e r t aus Gl. (42) ein, so f o l g t :

also

1

' ~r

/? =

/? — 1 21

2ft> n

M

V i

/

d J . . . , 3„ COS

y ,—

— — n n

schließlich:

co jx n

d9 c o s tf \ > - -

:

,u oder

r ')

Die

ant

dem

mit

J|

hier

für

Fmweg

und

/.,

wie

stoßfreien Eintritt

über folgt

die

' - ^ . A ' ) entwickelten

Fourier-Fmfwicklung

stimmen überein.

mit: d e n in m e i n e r Die

dortigen

früheren

Ausdrücke

zusammen:

ii iim>erade

Formeln

gewonnenen

48

rr

> ' «trade

a

/'.,"

-j

2 ~r

sr." 2 .7

Arbeit hängen

24

—

mit dfh h

=

1+

4 8 a)

COS&X1 —

D a s z u g e h ö r i g e T a w i r d n a c h Gl. 42) Z V -

.

49)

.

50)

Endlich wird: = ra° —1\° In d e r w - E b e n e g e l t e n e i n f a c h d i e Für n = wird.

=

rc-fachen

1 1 y2 +

_

y2J

Werte.

oo e r s c h e i n t /"/> z u n ä c h s t in d e r u n b e s t i m m t e n F o r m 0 • -v, d a ?. --> 1 u n d

J2-

N a c h d e r p h y s i k a l i s c h e n A n s c h a u u n g e r g i b t sich a b e r s o f o r t : 2 n r,-2 • i

r r

t

=

2nra 2-co

herzustellen, wir haben daher zunächst

D i e s e r g e h t in P u m p e n b e t r i e b in d e m M o m e n t ü b e r , w e n n T a = r

{

geworden ist.

A b b . 14 z e i g t d a s l i n e a r e A n s t e i g e n der e r z i e l t e n Z i r k u l a t i o n s o w i e

den

Übergang v o m Turbinen- zum P u m -

Radienverhältnis

P'fi 1'^

penbetrieb.

D a s D i a g r a m m gilt für

Strömung von innen nach außen.

eine

beaufschlagte

Eintrittsdrall /¿- Q-ctga. --const.

innen

radmaschine

mit

Kreisel-

festem

Leitrad

z w i s c h e n A c h s e u n d R a d bei u n v e r änderlicher mit

Durchflußmenge,

oder

veränderlichen

Leit-

einem

apparat

und =

derart

daß

r

Alle

Zirkulationen

(

variierten

Q ctg a

konstant sind

in r

t

als

hier

er-

Einheit

gemessen.

Auch

scheint

wieder

Tatsache,

die

Q, ist.

daß

bei s t o ß f r e i e m E i n t r i t t die A n f a n g s zirkulation

für n = r ao -t =

nämlich d) D i e

oc k l e i n e r

A b b . 14.

ist

als f ü r e n d l i c h e

Strömung

von

außen

Schaufelzahl nach

n ä m l i c h f ü r n = 2 : Z1,0

_r a °

n n e n w o l l e n w i r so u n t e r s u c h e n , w i e es g e w ö h n l i c h

bei T u r b i n e n der Fall i s t . D i e s e w e r d e n bei k o n s t a n t e m G e f ä l l e u n d m e h r e r e n f e s t e n L e i t r a d s t e l l u n g e n m i t v e r s c h i e d e n e n D r e h z a h l e n a b g e b r e m s t ; d a n n w i r d z u n ä c h s t die M o m e n t e n k u r v e a u f g e t r a g e n u n d a u s d i e s e r alles W e i t e r e a b g e l e i t e t . H ä u f i g a b e r w i r d j e d e s f ü r e i n e f e s t e L e i t r a d s t e l l u n g s o g e w o n n e n e D i a g r a m m auf ein k o n s t a n t e s Q u m g e r e c h n e t , w o b e i s i c h die M o m e n t e n l i n i e ä n d e r t u n d d a s z u m B e t r i e b der T u r b i n e n o t w e n d i g e G e f ä l l e m i t co v e r ä n d e r l i c h w i r d . W i r n e h m e n d a h e r in g e n ü g e n d e r E n t f e r n u n g a u ß e n u m d a s R a d h e r u m e i n e n L e i t a p p a r a t an, der die S t r ö m u n g bei k o n stanter

Durchflußmenge

derlicher Zirkulation r endlicher mit = T

der a

a

mit

Schaufelzahl das

Moment

unverän-

e n t l ä ß t . Bei u n ist

dann

ZTS,

proportional

ist,

Radien verhältnis p - -¡hj

— 2 7i r? co. B e i m Z w e i s c h a u f e l r a d

Strömung von außen nach innen a = const.

t r i t t an S t e l l e d e s s e n Gl. ( 5 4 )

zr„

=

1

ra

•— "

¿ + 1

•

F„,

• -- • 2 CO =

i

—

2

ra

( 0 , 9 5 rtf

•

— 0 , 7 5 • 2 7i r » co.

D e r s t o ß f r e i e G a n g t r i t t f ü r n = -x. e i n , wenn r „ --•- 2 7i

o)

— 4 - 2 7i /'¿2 co

ist, f ü r n --- 2 a b e r , w e n n Gl. (49) V a - - oj ( 0 , 9 5 • r j In A b b . 15 s i n d die V e r h ä l t n i s s e

'8

7i +- 2 n

,5 • 2 7i / ,-

d a r g e s t e l l t . Als E i n h e i t d e r Z i r k u l a t i o n i s t / ' , , g e w ä h l t . Bei d i e s e r S t r o m r i c h t u n g ist d i e E i n t r i t t s z i r k u l a t i o n f ü r s t o ß f r e i e n E i n t r i t t bei n 2 k l e i n e r als bei n ^ ( n ä m l i c h i m V e r h ä l t n i s 2 , 5 : 4 ) . D i e s ist w i e d e r v e r s t ä n d l i c h . D e n n hier e r z e u g t die Z i r k u l a t i o n / S p a n n h a ke , Mitteilungen. 3

-

28

—

vonT

an d e n ä u ß e r e n S c h a u f e l e n d e n b e i m T u r b i n e n b e t r i e b G e s c h w i n d i g k e i t e n , die m i t d e n s erzeugt e n g l e i c h g e r i c h t e t s i n d . Bei u n e n d l i c h e r S c h a u f e l z a h l f a l l e n diese w e g , u n d r o m u ß d e n v o l l e n B e t r a g cu — r • co auf d e m Kreise r = ra liefern.

15. Die Strömung bei stillstehendem Rade. D i e s e ist in u n s e r e n F o r m e l n m i t e n t h a l t e n .

Sie ist g e k e n n z e i c h n e t d u r c h d e n Z u s a m m e n h a n g

1—1

k+ i bei S t r ö m u n g v o n i n n e n n a c h a u ß e n u n d

42)

i— i • r„ r, x+\

51)

bei S t r ö m u n g v o n a u ß e n n a c h i n n e n .

D a s radiale K r e i s g i t t e r v e r w a n d e l t also u n a b h ä n g i g v o n der 2 ] R i c h t u n g der D u r c h f l u ß s t r ö m u n g eine E i n t r i t t s z i r k u l a t i o n r i in eine i m V e r h ä l t n i s , . ver1 kleinerte A u s t r i t t s z i r k u l a t i o n r2. F ü h r e n wir R a d i e n v e r h ä l t n i s u n d S c h a u f e l z a h l ein, so ist

- 1\ I P"

57)

D e r a b s o l u t e B e t r a g der D i f f e r e n z i s t : 58)

r ^ r a i - r r )

D a s V o r z e i c h e n ist p o s i t i v bei S t r ö m u n g v o n a u ß e n n a c h i n n e n , n e g a t i v bei u m g e k e h r t e r S t r ö m u n g .

In

j e d e m Fall aber ist | Z T 0 | m i t d e m D r e h m o m e n t des Gitters u m die A c h s e p r o p o r t i o n a l . Bei n = 2TJ =r

i t

weil die E i n t r i t t s z i r k u l a t i o n

d i g v e r n i c h t e t wird ( T 2 = 0). l

D a h e r ist

fr'il""n

; ^

i

s

oo wird vollstän-

!n-=>

=[~fPn'

u n d dieser A u s d r u c k m i ß t a u c h gleich d a s

•

59

>

Dreh-

momentenverhältnis. A b b . 16 zeigt d e n Verlauf der F u n k t i o n 1 — ] I p n .

16. Strömung durdi ein Parallelgitter mit Schaufeln senkrecht zur Gitterachse (Kuttasche Jalousieströmung) 1 ). D u r c h die T r a n s f o r m a t i o n w = u q y gitter mit n radialen Schaufeln. und

S e t z e n w i r a n d e r e n S t e l l e die T r a n s f o r m a t i o n

schreiben

so f i n d e n

erhielten wir aus einer radialen Schaufel das Kreis-

wir

also

w :C w = x' + i y', C = 9 • e* '•' x' 4- i y' = In o + i y> x' = In o ; y' — y

60)

61)

D e n K r e i s e n q ~ k o n s t e n t s p r e c h e n die P a r a l l e l e n d e r i m a g i n ä r e n A c h s e , d e n H a l b s t r a h l e n y ••-k o n s t diejenigen der reellen Achse.

Da a b e r der gleiche H a l b s t r a h l den W e r t y

& --}- 2

k (k -

1,

2, 3 — 1, — 2, . . .) h a b e n k a n n , so e n t s p r i c h t die g a n z e ¿"'-Ebene z u n ä c h s t e i n e m S t r e i f e n d e r wJ

) Siehe Literaturnachweis Nr. 9 und 10.

—

29

—

E b e n e von y' = 0 bis y' = 2 n, d a n n a b e r a u c h allen a n d e r e n S t r e i f e n gleicher Breite. Die f ' - E b e n e u n d d a m i t die u n d z - E b e n e sind d a h e r u n e n d l i c h v i e l b l ä t t r i g a u f z u f a s s e n . U m g e k e h r t wird j e d e r S t r e i f e n v o n d e r Breite Ay' = 2TT u m eine S c h a u f e l der w - E b e n e e i n d e u t i g auf ein B l a t t der a n d e r e n E b e n e n a b g e b i l d e t . D e r einen S c h a u f e l der £ ' - E b e n e e n t s p r i c h t ein u n e n d l i c h a u s g e d e h n t e s G i t t e r m i t d e r S c h a u f e l t e i l u n g t = 2n. Den P u n k t e n £' = q ± 1) e n t s p r e c h e n die P u n k t e w — In q (jli 1); die L ä n g e der S c h a u f e l n in der w - E b e n e ( = G i t t e r h ö h e h) ist d e m n a c h : t ± l = f.1 — 1

h = [ n

2 l n

p z l A— 1

62)

D a s G i t t e r v e r h ä l t n i s - r wird d e m n a c h

oder u m g e k e h r t :

h

S t - « '

7

«>

Die A u f e i n a n d e r f o l g e der T r a n s f o r m a t i o n e n v o n der z- auf die w - E b e n e ist i m ü b r i g e n die gleiche wie f r ü h e r . Den S c h a u f e l e n d e n e n t s p r e c h e n w i e d e r die P u n k t e z = ± diesen wird dz zu Null.

~

dZr

d£

' dz

' 2 l1

'

z21

b5)

Die Folge ist auch hier, d a ß an den S c h a u f e l e n d e n der w - E b e n e die G e s c h w i n d i g k e i t dF __ dF d ii' ' dz

u n e n d l i c h wird, w e n n n i c h t gleichzeitig

d F

\ ' dw_ d z

= Null wird. Die S t r ö m u n g in der z - E b e n e wird d u r c h

die T r a n s f o r m a t i o n f o l g e n d e r m a ß e n v e r ä n d e r t . D e r Sitz der W i r b e l q u e l l e z = — 1 q ist in der f E b e n e in den P u n k t f = 0 g e l a n g t ; d e m e n t s p r i c h t in der w - E b e n e d a s G e b i e t x! — — oc; die W i r b e l q u e l l e ist also ins U n e n d l i c h e a b g e r ü c k t . W ä h r e n d sie in der z - E b e n e in i h r e r n ä c h s t e n U m r, g e b u n g S t r ö m u n g n a c h l o g a r i t h m i s c h e n Spiralen u n t e r d e m W i n k e l yt | m i t t g y 1 = gegen die R a dien e r z e u g t e , v e r l ä u f t die t r a n s f o r m i e r t e S t r ö m u n g in der w - E b e n e u n t e r d e m gleichen W i n k e l gegen die reelle Achse, ist also in eine P a r a l l e l s t r ö m u n g v e r w a n d e l t .

F e r n e r v e r l ä u f t f ü r z—> cc die

a n g e s e t z t e S t r ö m u n g wie die einer W i r b e l s e n k e n a c h l o g a r i t h m i s c h e n Spiralen u n t e r d e m W i n k e l ^ g 7z =

gegen die R a d i e n . D e m e n t s p r i c h t in der w - E b e n e im Gebiete x' = + ^ eine Parallel-

s t r ö m u n g m i t d e m W i n k e l y2 gegen die reelle Achse.

Die W i r b e l q u e l l s t r ö m u n g in der z - E b e n e von

i n n e n n a c h a u ß e n mit der Z i r k u l a t i o n u m den Kreis ist also in eine d u r c h das G i t t e r aus ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkte Parallelströmung verwandelt.

U m jede Schaufel e x i s t i e r t eine t Z i r k u l a t i o n Fs. Den Z i r k u l a t i o n e n 71,- bzw. Fa e n t s p r e c h e n die L i n i e n i n t e g r a l e \cydv über eine ö S c h a u f e l t e i l u n g gemessen vor bzw. h i n t e r d e m G i t t e r . Der Z u s a m m e n h a n g zwischen /'«„. und f i v . ist a b e r u n t e r der B e d i n g u n g t a n g e n t i a l e n A b s t r ö m e n s der gleiche wie bisher, nämlich P

~

p -

J

&— 1 % IL \ '

Man k a n n a b e r f i i r 2 1 a u n d / 1 , ; in g e n ü g e n d ( s t r e n g g e n o m m e n u n e n d l i c h ) w e i t e r E n t f e r n u n g vor und h i n t e r d e m G i t t e r auch s c h r e i b e n : r

und erhält

°.„: == 6V„.co • z

dann: C

», l 3 : =

u n d

/ •-1 ; I I

i-y• / ,

I • J,

M)

,/

e

3*

'

— Die Ä n d e r u n g A cy der y-Komponente

30

—

der w - E b e n e b e s t e h t in einer V e r k l e i n e r u n g ; ihr a b s o l u t e r

Betrag ist:

h A

£

y I=

h J' T

67)

C

ViOo

W e n n die S c h a u f e l n u n e n d l i c h d i c h t s t e h e n , wird der G r e n z w e r t des B r u c h e s 1 u n d \Ac v \ =

c» i = 0 .

D i e s e n t s p r i c h t a u c h der V o r s t e l l u n g , d a ß ein u n e n d l i c h d i c h t e s S c h a u f e l g i t t e r eine v o l l k o m m e n e P a r a l l e l s t r ö m u n g parallel der x - A c h s e e r z e u g t , also die cyK o m p o n e n t e der v o r d e m G i t t e r a n k o m m e n d e n vollkommen aufhebt.

Strömung

Die v e r h ä l t n i s m ä ß i g e W i r k u n g des

G i t t e r s wird also d u r c h : | A Cy U

68) \ACy\h 01

02

06

0,8

10

gemessen.

1ß

\Acy\-t

h

/t

ist =

der S c h a u f e l z i r k u l a t i o n und proportio-

nal m i t der durch die S t r ö m u n g in R i c h t u n g des G i t t e r s h :t — e l '—1 A b b . 17 z e i g t d e n Verlauf der F u n k t i o n - — . Die e n t -

Abb. 17.

ausgeübten

'

Kraft (Tangentialschub).

w i c k e l t e B e z i e h u n g ist s c h o n v o n K u t t a d u r c h a n d e r e T r a n s f o r m a t i o n e n g e f u n d e n . 1 )

17. Die allgemeine Strömung durch das rotierende Rad. W e n n in Gl. 36) alle G r ö ß e n Q, w-Ebene vollständig bestimmt.

u n d co b e k a n n t sind, so ist die S t r ö m u n g in der z- o d e r

Im w e s e n t l i c h e n k o m m t es auf die B e s t i m m u n g v o n ,TS b z w .

2TS

an, da m a n Q, r { u n d co als b e k a n n t — e n t w e d e r k o n s t a n t oder in b e k a n n t e r v o r g e g e b e n e r W e i s e variiert — a n z u s e h e n h a t .

D i e Gl. 45) u n d 55) l e i s t e n diese B e s t i m m u n g . M a n s i e h t , d a ß sich

a u s zwei T e i l e n z u s a m m e n s e t z t .

ZTS

D e r erste rührt v o n der D u r c h f l u ß s t r ö m u n g d u r c h d a s s t i l l s t e h e n d e

R a d her; dieser ist für beide D u r c h f l u ß r i c h t u n g e n s e i n e m a b s o l u t e n B e t r a g e n a c h gleich u n d m i t der g e g e b e n e n A n f a n g s z i r k u l a t i o n p r o p o r t i o n a l .

D e r z w e i t e k o m m t v o n der R o t a t i o n des R a d e s u n d

w ä c h s t linear m i t co; er ist f ü r die b e i d e n D u r c h f l u ß r i c h t u n g e n v e r s c h i e d e n .

D a die A n f a n g s z i r k u l a -

t i o n bei f e s t e n L e i t v o r r i c h t u n g e n m i t Q p r o p o r t i o n a l ist, so wird 2 T S in Q u n d co linear n a c h der allgemeinen

Formel E rs =

a • Q +

b • co

69)

D e r B a u d i e s e r F o r m e l ist g e n a u d e r g l e i c h e wie in d e r E u l e r s c h e n T h e o r i e ; j e d o c h h a b e n a u n d b nur für n =

-v die g l e i c h e n W e r t e wie d o r t .

D e r K o e f f i z i e n t a ist s e i n e m a b s o l u t e n B e t r a g e n a c h f ü r d i e rein r a d i a l e n S c h a u f e l n u

• (1

i />" ! c o t g « ;

70.)

("

+P"Y

•./i • r„*

71)

—

31

—

F ü r S t r ö m u n g von a u ß e n n a c h i n n e n : 72, Die F u n k t i o n e n in p k ö n n e n f ü r jedes W e r t e p a a r p, ti leicht a u s g e r e c h n e t w e r d e n . Die Integrale sind e b e n f a l l s F u n k t i o n e n von p u n d n, d a ¡x eine solche ist (vgl. die D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n 24), 41), 4 8 a ) ) u n d lassen sich d u r c h geeignete S u b s t i t u t i o n e n auf die F o r m b r i n g e n 1 ) .

Ji =

En

Geschwindig-

d H' ~d z \

Für r a , F i u n d F „ müssen die gegebenen, bzw. die aus den b e s o n d e r e n An- und A b s t r ö m b e d i n g u n g e n e r r e c h n e t e n W e r t e der z - E b e n e e i n g e s e t z t w e r d e n . b) D i e V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g h a t an den S c h a u f e l n N o r m a l - (c,^„) und T a n g e n t i a l K o m p o n e n t e n . Die e r s t g e n a n n t e n sind a o e r b e k a n n t , aus ihnen ist j a das P o t e n t i a l der Verd r ä n g u n g s s t r ö m u n g g e r a d e b e r e c h n e t w o r d e n . E r m i t t e l n müssen wir also n u r noch die T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n : dazu begeben wir uns wieder in die z - E b e n e und b e r e c h n e n die T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n c„„, am Kreise. Zu diesem Zwecke m u ß das Integral in Gl. 37) in Reell und I m a g i n ä r gespalten w e r d e n . Es darf a b e r nicht e t w a sofort z = q • e'" gesetzt w e r d e n , s o n d e r n es m u ß zwischen der

(c'tl0)

—

33

—

Integrationsvariabein # und der laufenden Koordinate .,, , , , , ... I atel X , 71 ein B i l d , w e l c h e s r a s t g e n a u m i t d e m m i t A l u m i n i u n i

"

' ' 14 ' , a) Verlauf der Sekundarstronum^. M Schätzungsweiser verlauf der Radialkoinponenten der Geschwmdigkeit.

—

50

—

s i c h t b a r g e m a c h t e n Bild T a f e l X , 7 0 ü b e r e i n s t i m m t . niumpulver

die s t ö r e n d e

Sekundärströmung

D a m i t f i n d e n wir b e s t ä t i g t , d a ß d a s A l u m i -

vernachlässigt,

d a ß sie aber die

zweidimensionale

Grundbewegung hinreichend genau wiedergibt. Die Bilder V I I , 5 4 u n d 55 z e i g e n S t r o m b i l d e r einer e i n z i g e n radial g e r i c h t e t e n Schaufel.

rotierenden

In Bild V, 2 ist d a s S t r o m b i l d d u r c h E i n w e r f e n v o n P a p i e r , in B i l d V I I , 54 das g l e i c h e

Strombild durch Aluminiumpulver sichtbar gemacht. W i e bereits bei der U n t e r s u c h u n g des A n f a h r z u s t a n d e s f e s t g e s t e l l t , h a t der innere W i r b e l die T e n d e n z , sich m ö g l i c h s t l a n g e in der N ä h e der S c h a u f e l zu h a l t e n . B e i m A n f a h r e n wird der W i r b e l i m m e r w i e d e r h i n w e g g e s c h w e m m t . Im B e h a r r u n g s z u s t a n d l ä u f t er j e d o c h der S c h a u f e l n a c h u n d b e h ä l t r e l a t i v zu ihr d a u e r n d die gleiche Lage. W o h l p e n d e l t er u m diese b i s w e i l e n hin u n d her, u n d es k o m m t a b u n d zu v o r , d a ß er w e g s c h w i m m t u n d d a d u r c h die B i l d u n g eines n e u e n W i r b e l s v e r a n l a ß t , der die Rolle des e r s t e n ü b e r n i m m t . Im D u r c h s c h n i t t aber ist eine s t a b i l e Lage des W i r b e l s g e g e n die S c h a u f e l u n v e r k e n n b a r . Auf d e m Bild sind n o c h ein b z w . zwei kleine W i r b e l zu e r k e n n e n , die z. T. durch die A c h s e v e r d e c k t w e r d e n . D i e s e rühren d a v o n her, d a ß in der M i t t e des G e f ä ß e s a,j eine Schaufel

ein z y l i n d r i s c h e s R o h r u m die W e l l e g e l e g t ist. D a d i e s e s R o h r d u r c h die F l ü s s i g k e i t u m s t r ö m t wird, bilden sich kleinere W i r b e l aus, die g l e i c h falls r e l a t i v zur S c h a u f e l eine s t a b i l e Lage a n n e h m e n . A u ß e r diesen W i r b e l n ist n o c h eine andere r e l a t i v e B e w e g u n g zu b e o b a c h t e n , u n d z w a r s t r ö m t das W a s s e r , w i e es in A b b . 15 s c h e m a t i s c h d a r g e s t e l l t ist, d. h. r e l a t i v in größerer E n t f e r n u n g v o m D r e h p u n k t e n t g e g e n g e s e t z t zur D r e h r i c h t u n g , in D r e h p u n k t n ä h e in der D r e h r i c h t u n g , auf der S c h a u f e l v o r d e r s e i t e n a c h i n n e n , auf der S c h a u f e l r ü c k s e i t e n a c h außen.

Diese S t r ö m u n g ist n i c h t s anderes als der n e u e r d i n g s so b e z e i c h -

nete „relative Kanalwirbel".

Es ist ja b e k a n n t , d a ß eine ä h n l i c h e B e -

w e g u n g e n t s t e h t , w e n n m a n sich e i n e n a b g e s c h l o s s e n e n S c h a u f e l r a u m in R o t a t i o n v e r s e t z t d e n k t . D i e W a s s e r t e i l c h e n , die i n f o l g e ihrer T r ä g h e i t i m a b s o l u t e n R a u m in R u h e b l e i b e n , b e s c h r e i b e n r e l a t i v z u m b e w e g t e n S y s t e m ä h n l i c h e B a h n e n wie in A b b . 1 5 b d a r g e s t e l l t . A b b . 15.

E i n e r o t i e r e n d e s c h r ä g g e s t e l l t e S c h a u f e l z e i g t Bild V I I , 5 6 . Der h i n t e r

Relativstrombild.

der S c h a u f e l m i t l a u f e n d e W i r b e l ist w i e d e r zu e r k e n n e n , a u c h die v o r h i n b e s c h r i e b e n e U m s t r ö m u n g ist f e s t z u s t e l l e n , w e n n m a n d e n A n t e i l der S e k u n d ä r s t r ö m u n g v o n der ü b r i g e n S t r ö m u n g t r e n n t . D i e S t r o m l i n i e n v e r l a u f e n g e g e n den v o r i g e n Fall e t w a s verzerrt. D e n Fall z w e i e r S c h a u f e l n z e i g e n die Bilder V I I I u n d IX. w i e d e r ein m i t u m l a u f e n d e r W i r b e l aus.

H i n t e r jeder S c h a u f e l b i l d e t sich

D e r r e l a t i v e K a n a l w i r b e l ist a u c h hier zu e r k e n n e n ; auf

den A l u m i n i u m b i l d e r n t r i t t er s o f o r t in E r s c h e i n u n g , w ä h r e n d er auf den a n d e r n Bildern i n f o l g e der S e k u n d ä r s t r ö m u n g n i c h t so l e i c h t zu e r k e n n e n , aber in g e n a u derselben W e i s e v o r h a n d e n ist. E i n A b s o l u t b i l d für zwei S c h a u f e l n z e i g t Tafel V I I I , 6 1 ;

man erkennt

a u c h hier

die h i n t e r den

S c h a u f e l n sich a u s b i l d e n d e n u n d m i t l a u f e n d e n Wirbel, der eine ist durch die W e l l e z u m

großen

Teil v e r d e c k t . T a f e l I X g i b t die S t r o m b i l d e r v o n 4 r a d i a l e n S c h a u f e l n w i e d e r , w ä h r e n d in d e n B i l d e r n d e r Tafel X

die 4 S c h a u f e l n g e g e n

die

U m f a n g s r i c h t u n g geneigt

sind.

Bei d e n r a d i a l e n

Schaufeln

b e o b a c h t e t m a n n o c h d e u t l i c h h i n t e r j e d e r S c h a u f e l die c h a r a k t e r i s t i s c h e n n a c h l a u f e n d e n bei d e n s c h i e f g e s t e l l t e n S c h a u f e l n w i r d diese E r s c h e i n u n g w e s e n t l i c h u n d e u t l i c h e r .

Wirbel,

D a g e g e n ist in

b e i d e n F ä l l e n z w i s c h e n d e n 2 S c h a u f e l n d e r r e l a t i v e K a n a l w i r b e l zu e r k e n n e n . Bei 8 u n d 16 S c h a u f e l n ist d a s Bild g e g e n ü b e r d e n v o r h e r g e h e n d e n v e r ä n d e r t ( T a f e l X bis X I I V Die g r o ß e n m i t l a u f e n d e n W i r b e l s i n d v e r s c h w u n d e n u n d a n i h r e S t e l l e h ä u f i g k l e i n e r e W i r b e l get r e t e n , die a b u n d zu v o n d e n S c h a u f e l e n d e n a b s c h w i m m e n . F e r n e r b i l d e t sich in vielen F ä l l e n eine S t r ö m u n g u m i r g e n d e i n e n a b s o l u t g e g e n d a s G e f ä ß f e s t l i e g e n d e n P u n k t a u s . M a n b e t r a c h t e z. B. d a s A b s o l u t b i l d X I I , 79. In d e r m i t d e m Pfeil b e z e i c h n e t e n S t e l l e . 4 liegt d a s Z e n t r u m e i n e r s o l c h e n Drehströmung.

—

51

—

In den R e l a t i v b i l d e r n ist d a s D r e h z e n t r u m m e i s t e n s d u r c h A n h ä u f u n g v o n P a p i e r zu e r k e n n e n . M a n vgl. Bild X I , 73. Die P a p i e r s c h n i t z e l b e w e g e n sich h a u p t s ä c h l i c h i n n e r h a l b eines d e u t l i c h s i c h t baren und v e r h ä l t n i s m ä ß i g s c h a r f b e g r e n z t e n Bereiches, der d u r c h einen Kreis ersetzt werden k a n n u n d in dessen M i t t e d a s D r e h z e n t r u m liegt. A u ß e r h a l b dieses B e r e i c h e s sind die G e s c h w i n d i g k e i t e n d e r S t r ö m u n g v e r h ä l t n i s m ä ß i g klein u n d v e r m ö g e n d a s H e r a b s i n k e n des P a p i e r e s z u m B o d e n n i c h t zu v e r h i n d e r n . Von d o r t w i r d es a b e r d u r c h S e k u n d ä r s t r ö m u n g w i e d e r in d a s B e w e g u n g s z e n t r u m zurückgeführt. E s zeigt sich also, d a ß d e r M i t t e l p u n k t d e r B e w e g u n g in vielen F ä l l e n n i c h t im W e l l e n m i t t e l liegt. Die S e k u n d ä r s t r ö m u n g l ä u f t in d i e s e m P u n k t z u s a m m e n b z w . a u s e i n a n d e r . In d e r N ä h e dieses P u n k t e s f i n d e n a n d e n S c h a u f e l n die m e i s t e n W i r b e l a b l ö s u n g e n s t a t t . D a er n i c h t m i t den S c h a u f e l n u m l ä u f t , ist d e r Z u s t a n d z w i s c h e n den e i n z e l n e n S c h a u f e l n n i c h t v o l l k o m m e n , s o n d e r n n u r perio d i s c h s t a t i o n ä r . Z w i s c h e n d e n e i n z e l n e n S c h a u f e l n b i l d e t sich w i e d e r d e r sog. r e l a t i v e K a n a l w i r b e l a u s . In den m i t A l u m i n i u m p u l v e r s i c h t b a r g e m a c h t e n S t r o m b i l d e r n ist dies d e u t l i c h zu e r k e n n e n , in den m i t P a p i e r s i c h t b a r g e m a c h t e n ist d e r E i n f l u ß d e r S e k u n d ä r s t r ö m u n g zu e l i m i n i e r e n , u m diese S t r ö m u n g i m „ S c h a u f e l k a n a l " f e s t z u s t e l l e n . Infolge des e x z e n t r i s c h l i e g e n d e n M i t t e l p u n k t e s d e r S t r ö m u n g u n d s o n s t i g e r U n r e g e l m ä ß i g k e i t e n f i n d e t h ä u f i g ein D u r c h s t r ö m e n einiger K a n a l z e l l e n in v e r s c h i e d e n e r R i c h t u n g s t a t t (vgl. T a f e l X , 71). Dies ist h a u p t s ä c h l i c h bei r a d i a l e n S c h a u f e l n d e r Fall. S c h a u f e l n , die u n t e r e i n e m gewissen W i n k e l gegen die U m f a n g s r i c h t u n g g e n e i g t sind, b i e t e n e i n e n viel g r ö ß e r e n W i d e r s t a n d gegen d a s D u r c h s t r ö m e n v o n i n n e n n a c h a u ß e n , so d a ß d e r S t r ö m u n g s z u s t a n d in diesen F ä l l e n ein viel s t a b i l e r e r ist. D r e h p u n k t u n d M i t t e l p u n k t d e r B e w e g u n g fallen hierbei in d e r Regel z u s a m m e n .

B. Theoretischer Teil. IV.

Abschnitt.

Allgemeines über die Rechenmethoden. (Vgl. den ersten Aufsatz dieses Heftes.)

Die Schaufeln sind als Schlitze in der f - bzw. w-Ebene (Verzweigungsschnitte in der n - b l ä t t rigen f - bzw. w-Ebene) a u f g e f a ß t u n d auf einen Kreis um den N u l l p u n k t der z-Ebene abgebildet. D u r c h g e f ü h r t ist die R e c h n u n g f ü r den A n f a h r z u s t a n d mit einer radialen und f ü r den B e h a r r u n g s z u s t a n d mit zwei radialen Schaufeln. Als G r u n d s t r ö m u n g ist in allen Fällen die theoretische, zirkulationslose V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g angesetzt, die an der inneren u n d äußeren S c h a u f e l k a n t e unendlich hohe Umströmungsgeschwindigkeiten liefert. Diese S t r ö m u n g ist bereits in Abschn. II bei der Besprechung der W i r b e l b a h n e n erw ä h n t und f ü r eine radiale Schaufel in A b b . 10 gezeichnet. Durch Überlagern zweier Zirkuz Ebene lationen (oder W i r b e l s t ä r k e n ) um gewisse z~qe „ Z i r k u l a t i o n s k e r n e " oder „ W i r b e l p u n k t e " werden die unendlich hohen Geschwindig-

z-qe

co *°q-cos (i +u

-hq , . i C Ebene l >- ••-f-io ' -i-/ I ¡ y \ ^-^cüsf-iU}

fr\-iq A b b . 16.

A b b . 17. B e s t i m m u n g v o n P u n k t e n d e r z-Ebene aus P u n k t e n der w-Ebene.

—

53

—

keiten an den Schaufelenden beseitigt, also dort endliche (und relativ tangentiale) Geschwindigkeiten hergestellt. Die Lage der Wirbelpunkte in der Flüssigkeit ist den Bildern entnommen; dann bleiben nur noch die Wirbelstärken zu bestimmen, wofür die beiden Bedingungsgleichungen für die Geschwindigkeiten an den Schaufelenden zur Verfügung stehen. Um die Schaufel selbst ergibt sich dann eine Zirkulation von solcher Größe und solchem Drehsinn, daß die Gesamtzirkulation in einer Kurve, welche die Schaufel und die beiden Wirbelkerne umschlingt, gleich Null ist. In den Rechnungen zum Beharrungszustand tritt an Stelle der Zirkulation um einen in der Flüssigkeit orientierten Wirbelpunkt eine Zirkulation um die Schaufel selbst.

Die Zirkulation in

einer Schaufel und Wirbelzentrum umschlingenden Kurve ist jetzt von Null verschieden. Die Wirbel in der Flüssigkeit sind als Potentialwirbel betrachtet. Die allgemeine Abbildungsfunktion, die n radial gestellte Schaufeln der f - E b e n e auf den Kreis in der z-Ebene abbildet, ist durch die Aufeinanderfolge der 2 Gleichungen C= f i r + T 7 ;

w =

+

1)

gegeben; sie wird durch die Abb. 16 erläutert. Zwischen den Größen des Schaufelsterns und den Konstanten Ä und q bestehen folgende Beziehungen 1 ) (s. Abb. 16): I» = l / Ä + J — ri ' 1—1 ^=

? 7 { i

f

q

— JlL 1_ ~ 2 -> - l >

2

)

I + f - y i - i }

Die Umkehrung der Formeln (1) liefert w = Cn — l q\ z = w ± ]

w-\-q • / w — q

la)

Diese Formeln gestatten, zu Punkten der £-Ebene die entsprechenden der w-Ebene und zu diesen wieder die der z-Ebene zu ermitteln. Für die Beziehung zwischen z und w ergibt sich eine einfache graphische Konstruktion, die aus Abb. 17 ersichtlich ist; sie gründet sich auf die Darstellung komplexer Zahlen als Vektoren in der x-, y-Ebene. Vgl. auch S p a n n h a k e : „ A n w e n d u n g der konformen Abbildung auf die B e r e c h n u n g von S t r ö m u n g e n in K r e i s e l r ä d e r n " . Hydraulische P r o b l e m e , V D I - V e r l a g 1926.

V.

Abschnitt.

Theoretisches über den Anfahrzustand. D e n f o l g e n d e n R e c h n u n g e n ist die a u s d e n A u f n a h m e n als M i t t e l b i l d e n t n o m m e n e A b b . 9 a z u g r u n d e g e l e g t , w e l c h e die v e r s c h i e d e n e n L a g e n des i n n e r e n u n d ä u ß e r e n W i r b e l s bei R o t a t i o n einer r a d i a l e n S c h a u f e l w i e d e r g i b t . In diesen L a g e n sind P o t e n t i a l w i r b e l a n g e n o m m e n u n d i h r e W i r b e l s t ä r k e n so b e s t i m m t , d a ß sie i m Z u s a m m e n w i r k e n m i t d e r z i r k u l a t i o n s l o s e n V e r d r ä n g u n g s s t r ö m u n g a m i n n e r e n u n d ä u ß e r e n S c h a u f e l e n d e in j e d e r Lage e n d l i c h e G e s c h w i n d i g k e i t e n liefern. Die R e c h n u n g v e r l ä u f t in f o l g e n d e r W e i s e . E r m i t t e l t w i r d z u n ä c h s t die m o m e n t a n e V e r t e i l u n g d e r A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t e n , die ein m o m e n t a n e s A b s o l u t s t r o m l i n i e n b i l d liefert, d a s e b e n s o wie d a s R e l a t i v bild m i t d e r S c h a u f e l u m l ä u f t . Die S c h a u f e l w i r d auf e i n e n K r e i s d e r z - E b e n e u m d e r e n N u l l p u n k t m i t d e m R a d i u s q so a b g e b i l d e t , d a ß d e n S c h a u f e l e n d e n die K r e i s p u n k t e z = i q e n t s p r e c h e n (s. A b b . 16, A b b i l d u n g s f u n k t i o n Gl. (1)). Die W i r b e l p u n k t e d e r S t r ö m u n g s e b e n e ( f - E b e n e ) m ö g e n sich d a n n in d e n P u n k t e n za u n d zt a b b i l d e n ( Ü b e r t r a g u n g in die z - E b e n e n a c h A b b . 17). In diesen P u n k t e n werden Wirbel mit den S t ä r k e n £a und ^ (m2/s) angesetzt. D a m i t der Kreis Stromlinie w i r d , m ü s s e n in d e n S p i e g e l b i l d e r n die W i r b e l p u n k t e , also in den P u n k t e n gesetzt drehende Wirbel z-Ebene heißt dann

0

rI

=

0 ¿71

angesetzt werden.

{in ( z - z j -

in (

Z« =

Xa +

i ya;.Za

Zi

Xi

i y

=

+

{

Das

z

— = x

;

z

-.-- u n d — e n t g e g e n Za komplexe Strömungspotential der Wirbel der

=

i

+

in ( z - z , ) + In (z -

a

—

i y

xi

—

i y

a

;

i

.

i =

y —

0

. . .

3)

1

D u r c h D i f f e r e n z i e r e n f i n d e t m a n die „ k o m p l e x e G e s c h w i n d i g k e i t " c =

d

= cx — icv.

Bezeichnet

m a n die in d e n E n d p u n k t e n des D u r c h m e s s e r s z = ±