Mitteilungen des Hydraulischen Instituts der Technischen Hochschule München: Heft 9 Mitteilungen des Hydraulischen Instituts der Technischen Hochschule München [Reprint 2019 ed.] 9783486771008, 9783486770971

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Mitteilungen des Hydraulischen Instituts derTechnischen Hochschule München Herausgegeben vom Instilutsvorstand

D. Thoma Dr.-Ing., o. Professor

Heft 9

München und Berlin 1939

Verlag von R. Oldenbourg

Inhaltsverzeichnis. Seite

D i p l . - I n g . A u g u s t M e i e r - W i n d h o r s t , F l a t t e r s c h w i n g u n g e n von Z y l i n d e r n im gleichmäßigen keitsstrom

Flüssig3

D. T h o m a , W a r u m f l a t t e r t die F a h n e ?

30

Ivo V u s k o v i c , D e r S t r ö m u n g s w i d e r s t a n d von g e r a d e n G a s r o h r e n

35

Ivo V u s k o v i c , Der S t r ö m u n g s w i d e r s t a n d von F o r m s t ü c k e n f ü r G a s r o h r l e i t u n g e n ( F i t t i n g s )

Die D e u t s c h e F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t h a t die U n t e r s u c h u n g e n von M e i e r - W i n d h o r s t u n d V u s k o v i c w i r k s a m u n t e r s t ü t z t ; der H e r a u s g e b e r u n d seine M i t a r b e i t e r d r ü c k e n a u c h an dieser Stelle ihren D a n k f ü r die U n t e r s t ü t z u n g a u s .

C o p y r i g h t 1939 b y R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin. D r u c k von R. O l d e n b o u r g in M ü n c h e n .

. . .

51

Flatterschwingungen v o n Zylindern im gleichmäßigen Flüssigkeitsstrom. Von Dipl.-Ing. August Meier-Windhorst.

1. A b g r e n z u n g g e g e n das B e k a n n t e . Man

spricht

von

Flatterschwingungen,

F l ü s s i g k e i t s s t r o i n e s ein v o n i h m u n i s p ü l t e r

s i n d sie bei B a u t e i l e n , d a sie s c h ä d l i c h e , u n t e r chungen

wenn

unter

der

Einwirkung

K ö r p e r in S c h w i n g u n g e n

gerät.

eines Sehr

Umständen sogar zerstörende

Luft-

oder

unerwünscht

Wechselbeanspru-

hervorrufen.

B e k a n n t , a u c h h i n s i c h t l i c h i h r e r E n t s t e h u n g s u r s a c h e , s i n d die F l a t t e r s c h w i n g u n g e n

flügei-

f ö r m i g e r K ö r p e r , i n s b e s o n d e r e d e r T r a g f l ä c h e n u n d S t e u e r o r g a n e d e r F l u g z e u g e sowie d e r P r o p e l l e r f l ü g e l . Ü b e r d i e s e n G e g e n s t a n d liegen b e r e i t s e i n g e h e n d e e x p e r i m e n t e l l e u n d t h e o r e t i s c h e

Unter-

s u c h u n g e n v o r . S t u d e r 1 ) f i n d e t auf G r u n d v o n B e o b a c h t u n g e n , d a ß zwei wesentlich v e r s c h i e d e n e S c h w i n g u n g s f o r m e n a u f t r e t e n , d i e er als d i e A- u n d ß - S c h w i n g u n g b e z e i c h n e t . B e i d e S c h w i n g u n g s f o r m e n e r g e b e n sich a u s e i n e r Ü b e r l a g e r u n g e i n e r P a r a l l e l - u n d e i n e r D r e h s c h w i n g u n g d e s F l ü g e l s , w o b e i d i e S c h w i n g u n g e n bei d e r / ^ - S c h w i n g u n g g l e i c h p h a s i g , bei d e r ß - S c h w i n g u n g u m 9 0 ° p h a s e n verschieden

sind.

Die d e r t h e o r e t i s c h e n U n t e r s u c h u n g e i n f a c h e r z u g ä n g l i c h e S c h w i n g u n g ist d i e ß - S c h w i n g u n g . Sie e n t s t e h t bei d e n g e w ö h n l i c h e n A n s t e l l w i n k e l n u n d z e i g t als w e s e n t l i c h e s M e r k m a l ein d a u e r n des Anliegen d e r S t r ö m u n g . Auf

G r u n d d e s U m s t a n d e s , d a ß d i e B e w e g u n g z y k l i s c h ist —

Hin-

u n d R ü c k g a n g v e r s c h i e d e n — , k a n n eine e i n f a c h e E r k l ä r u n g f ü r d e n A n t r i e b g e g e b e n w e r d e n ; d a b e i b r a u c h t m a n bei d e r B e u r t e i l u n g d e r v o n d e r S t r ö m u n g a u s g e ü b t e n K r ä f t e n i c h t z u b e a c h t e n , d a ß die S t r ö m u n g n i c h t s t a t i o n ä r

ist.

Die ^ - S c h w i n g u n g o d e r A b r e i ß s c h w i n g u n g t r i t t n u r bei g r o ß e n A n s t e l l w i n k e l n a u f ; sie e r f ä h r t ihren A n t r i e b d a d u r c h , d a ß die S t r ö m u n g w ä h r e n d

einer S c h w i n g u n g s p e r i o d e

abwechselnd

am

P r o f i l a n l i e g t u n d a b r e i ß t . Die U n t e r s u c h u n g e n v o n S t u d e r h a b e n a u c h f ü r diese y \ - S c h w i n g u n g die U r s a c h e d e s A n t r i e b e s g e k l ä r t . S t u d e r h a t b e o b a c h t e t , d a ß sie a u c h als r e i n e bestehen

Drehschwingung

kann.

F ü r d i e E r k l ä r u n g d e s A n t r i e b e s bei d i e s e n S c h w i n g u n g s f o r m e n ist d i e D r e h b e w e g u n g

des

Flügels w e s e n t l i c h ; die E r k l ä r u n g versagt, w e n n das Profil keine D r e h b e w e g u n g a u s f ü h r t .

Unab-

h ä n g i g d a v o n , o b t a t s ä c h l i c h e i n e D r e h b e w e g u n g b e s t e h t o d e r n i c h t , v e r s a g t sie a b e r a u c h

dann,

w e n n d a s P r o f i l k r e i s f ö r m i g ist. D e n n d a b e i m K r e i s alle D u r c h m e s s e r g l e i c h w e r t i g s i n d , h ä n g e n d i e zwischen der Flüssigkeit und dem

Körper ausgetauschten

K r ä f t e nicht von der

Winkelstellung

d e s K ö r p e r s a b , u n d eine D r e h u n g d e s K ö r p e r s (bei d e n h i e r in F r a g e k o m m e n d e n k l e i n e n geschwindigkeiten) kann keinen steuernden

E i n f l u ß auf d i e S t r ö m u n g

G l e i c h w o h l t r e t e n a u c h bei K ö r p e r n m i t

Kreisquerschnitt

Dreh-

ausüben.

Flatterschwingungen

auf,

deren

A n t r i e b a l s o e i n e r a n d e r e n U r s a c h e e n t s p r i n g e n m u ß als bei d e n ß - u n d A - S c h w i n g u n g e n f l ü g e i f ö r m i g e r K ö r p e r . D e r e i n f a c h s t e u n d z u g l e i c h h ä u f i g s t e Fall ist die S c h w i n g u n g e i n e s z y l i n d r i s c h e n S t u d e r , Diss., Mitteilungen aus d e m I n s t i t u t f ü r A e r o d y n a m i k , E. T . H. Zürich, 1936. 1*

4

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n im g l e i c h m ä ß i g e n

Flüssigkeitsstrom.

S t a h e s ( u n t e r „ Z y l i n d e r " wird liier u n d im f o l g e n d e n s t e t s ein K r e i s z y l i n d e r v e r s t a n d e n ) . E r w ä h n t sei d a s F l a t t e r n v o n V e r s t e i f u n g s b o l z e n in R o h r l e i t u n g e n , v o n S p a n n s e i l e n bei F l u g z e u g e n u n d v o n L e i t u n g s d r ä h t e n im W i n d e . T r o t z der H ä u f i g k e i t dieser S c h w i n g u n g e n , die in A n g l e i c h u n g an die B e z e i c h n u n g s w e i s e v o n S t u d e r als C - S c h w i n g u n g e n b e z e i c h n e t w e r d e n sollen, h a t sich die w i s s e n s c h a f t l i c h e F o r s c h u n g b i s h e r k a u m m i t i h n e n b e f a ß t . E r s t in n e u e s t e r Zeit h a t D. T h o m a in einer A b h a n d l u n g 2 ) die F r a g e n a c h der U r s a c h e dieser S c h w i n g u n g e n a u f g e r o l l t . D a b e i w u r d e die F r a g e e r ö r t e r t , ob d e r A n t r i e b d e r S c h w i n g u n g e n d u r c h die R ü c k w i r k u n g der a u c h bei r u h e n d e m K ö r p e r sich a b l ö s e n d e n K ä r m ä n s c h e n W i r b e l e r z e u g t w i r d , also eine „ R e s o n a n z " auf einen m i t v o r g e g e b e n e r F r e q u e n z a b l a u f e n d e n S t r ö m u n g s v o r g a n g v o r l i e g t , o d e r ob die S t r ö m u n g d u r c h die S c h w i n g u n g s b e w e g u n g s e l b s t d e r a r t g e s t e u e r t w i r d , d a ß ein A n t r i e b e n t s t e h t . G e l e g e n t l i c h g e m a c h t e B e o b a c h t u n g e n s p r a c h e n f ü r die z w e i t e dieser b e i d e n M ö g l i c h k e i t e n ; D. T h o m a h a t a u c h g r u n d s ä t z l i c h e i n e n mec h a n i s c h e n Z u s a m m e n h a n g a u f g e z e i g t , d e r die S t e u e r u n g d e r S t r ö m u n g u n d 'das E n t s t e h e n des A n t r i e b e s b e w i r k t . Die e n d g ü l t i g e K l ä r u n g d e r F r a g e m u ß t e d a m a l s e i n g e h e n d e n e x p e r i m e n t e l l e n U n t e r s u c h u n g e n v o r b e h a l t e n b l e i b e n . In der v o r l i e g e n d e n A r b e i t w i r d ü b e r diese U n t e r s u c h u n g e n berichtet. Die U n t e r s u c h u n g e n d u r f t e n sich n i c h t auf die F e s t s t e l l u n g des ä u ß e r e n Z u s a m m e n h a n g e s z w i s c h e n S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t u n d A m p l i t u d e und F r e q u e n z d e r S c h w i n g u n g e n b e s c h r ä n k e n . Es w a r d a r ü b e r h i n a u s n o t w e n d i g , die S t r ö m u n g s f o r m a u f z u k l ä r e n . Diese F o r d e r u n g m a c h t e es w ü n s c h e n s w e r t , die U n t e r s u c h u n g m i t W a s s e r als S t r ö m u n g s m i t t e l d u r c h z u f ü h r e n ; d e n n dabei w a r es v e r h ä l t n i s m ä ß i g leicht m ö g l i c h , ü b e r die S t r ö m u n g selbst d u r c h B e o b a c h t u n g o d e r A u f n a h m e n A u f s c h l u ß zu g e w i n n e n . Die V e r s u c h e w u r d e n i m H y d r a u l i s c h e n I n s t i t u t d e r T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e M ü n c h e n in e i n e m d a f ü r k o n s t r u i e r t e n G e r i n n e d u r c h g e f ü h r t . Es g e l a n g d a b e i , S c h w i n g u n g e n v o n b e t r ä c h t l i c h e r A m p l i t u d e zu e r z e u g e n , die bei g e r i n g e r F r e q u e n z u n d W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t eine a u s g e z e i c h n e t e B e o b a c h t u n g e r m ö g l i c h t e n . U n t e r s u c h t w u r d e im w e s e n t l i c h e n als e i n f a c h s t e r u n d h ä u f i g s t e r Fall die S c h w i n g u n g eines K r e i s z y l i n d e r s . E r s c h ö p f t ist die F r a g e d a d u r c h a l l e r d i n g s noch n i c h t . Bei K ö r p e r n m i t n i c h t k r e i s f ö r m i g e m Q u e r s c h n i t t (z. B. v o n s o g e n a n n t e r S t r o m l i n i e n f o r m ) , die so g e l a g e r t sind, d a ß D r e h u n g e n des P r o f i l s a u s g e s c h l o s s e n s i n d , k ö n n e n — wie v o r l ä u f i g e V e r s u c h e gezeigt h a b e n — e b e n f a l l s F l a t t e r s c h w i n g u n g e n a u f t r e t e n . A u c h diese S c h w i n g u n g e n sind C - S c h w i n g u n g e n , d e n n d e r M e c h a n i s m u s des A n t r i e b e s d e r B- u n d / l - S c h w i n g u n g e n ist an eine D r e h u n g des P r o f i l s g e k n ü p f t . Die U n t e r s u c h u n g d e r C - S c h w i n g u n g bei n i c h t k r e i s f ö r m i g e m Profil w u r d e j e d o c h z u r ü c k g e s t e l l t . 2. Versuchsanordnung.

r

; X

JK "1

6 Versuchsgerinne Z Zylinder A Abdedcplatte B Beruhigungsgitter

\

\ A b b . 1. 2

) T h o m a - M i t t e M u n g c n , H e f t 8, S. 93.

Versuchsanlage.

S Schnen/tarm L Lagerung u. Aufhängung von S N Nadel-oder Regulier wehr M Meßüberfall

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n von Zylindern im gleichmäßigen

Flüssigkeitsstrum.

5

A b b . 1 zeigt die V e r s u c h s a n l a g e . In dem u n g e f ä h r 1 m b r e i t e n V e r s u c h s g e r i n n e k a n n eine W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t bis zu 0 , 5 m / s bei einer W a s s e r t i e f e bis zu 25 cm erreicht w e r d e n . Der zu u n t e r s u c h e n d e Z y l i n d e r t a u c h t v o l l k o m m e n in das W a s s e r ein. Er h ä n g t s c h w i n g u n g s f ä h i g an e i n e m n a h e z u r e i b u n g s f r e i in S c h n e i d e n gelagerten S c h w e n k a r m von 1,3 m Länge. Es blieb so d a s V e r h ä l t n i s S c h w i n g u n g s a m p l i t u d e zum S c h w e n k r a d i u s klein. Es k o n n t e daher die S c h w i n g u n g als s e n k r e c h t z u r S t r ö m u n g s r i c h t u n g a n g e n o m m e n w e r d e n . Um einen D r u c k a u s g l e i c h u m das obere u n d u n t e r e Z y l i n d e r e n d e h e r u m zu v e r h i n d e r n u n d d a m i t den ebenen S t r ö m u n g s z u s t a n d zu e r h a l t e n , sind an den E n d e n des Zylinders E n d s c h e i b e n v o n d o p p e l t e m Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r a n g e b r a c h t . Die W a s s e r o b e r f l ä c h e ist zur V e r m e i d u n g von O b e r f l ä c h e n w e l l e n a b g e d e c k t ; lediglich im S c h w i n g u n g s b e r e i c h des Haltebolzens des Z y l i n d e r s ist ein Schlitz. Die E l a s t i z i t ä t der A u f h ä n g u n g wird d u r c h eine D o p p e l f e d e r a n o r d n u n g erreicht (s. A b b . 23). V e r ä n d e r l i c h e Größen der V e r s u c h s a n o r d n u n g sind die W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t im Gerinne ( d u r c h R e g u l i e r u n g eines Schiebers im Zufluß), die g e s a m t e s c h w i n g e n d e Masse ( d u r c h Ä n d e r u n g d e r S c h r o t f ü l l u n g des Zylinders) u n d die Größe der elastischen K o n s t a n t e (durch A u s w e c h s e l n der Federn). Die sich einstellenden V e r s u c h s w e r t e sind A m p l i t u d e u n d F r e q u e n z der S c h w i n g u n g . Sie w e r d e n d u r c h d i r e k t e A b l e s u n g an einer M i l l i m e t e r t e i l u n g u n d d u r c h Messung mit einer g e n a u e n Stoppuhr bestimmt. Eine g e n a u e r e B e s c h r e i b u n g der V e r s u c h s e i n r i c h t u n g im A n h a n g . Als nach F e r t i g s t e l l u n g der A p p a r a t u r e n u n d nach B e h e b u n g der z u n ä c h s t a u f g e t r e t e n e n Mängel die V e r s u c h s a n o r d n u n g eine Z y l i n d e r s c h w i n g u n g mit erheblichen A m p l i t u d e n lieferte, m u ß t e ein zielmäßiger A u f b a u - i n den möglichen U n t e r s u c h u n g e n und A u f g a b e n g e f u n d e n w e r d e n . E s w u r d e z u n ä c h s t v e r s u c h t , die allgemeine A b h ä n g i g k e i t der a u f t r e t e n d e n S c h w i n g u n g von der S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t f e s t z u s t e l l e n u n d sie mit der K ä r m ä n s c h e n W i r b e l a b l ö s u n g bei s t e h e n d e m Z y l i n d e r zu vergleichen. Dabei w u r d e v o r e r s t die U n t e r s u c h u n g auf die S c h w i n g u n g ohne ä u ß e r e D ä m p f u n g b e s c h r ä n k t , also auf den Fall der S c h w i n g u n g , bei d e m die g e s a m t e v o m W a s s e r a u f g e n o m m e n e E n e r g i e wieder an das W a s s e r a b g e g e b e n w u r d e . A u s diesen Versuchen e r g a b e n sich n e u e P r o b l e m e u n d zu ihrer L ö s u n g die N o t w e n d i g k e i t von n e u e n A p p a r a t u r e n u n d M e ß v o r r i c h t u n g e n . Schließlich w u r d e der E i n f l u ß einer ä u ß e r e n D ä m p f u n g u n t e r s u c h t und d a m i t die mögliche m a x i m a l e L e i s t u n g s a b g a b e an eine m e c h a n i s c h e B r e m s e b e s t i m m t . D a m i t w a r e n die k i n e m a t i s c h e n u n d d y n a m i s c h e n E r s c h e i n u n g e n der Z y l i n d e r s c h w i n g u n g f e s t g e s t e l l t . A u f g a b e von B e o b a c h t u n g e n u n d p h o t o g r a p h i s c h e n A u f n a h m e n w a r es d a n n , die S t r ö m u n g s v o r g ä n g e selbst u n d d a m i t die U r s a c h e des A n t r i e b s zu k l ä r e n . Bei der D a r s t e l l u n g der E r g e b n i s s e w u r d e die Reihenfolge b e i b e h a l t e n , in der sie g e w o n n e n w u r d e n . Es ist d a m i t gleichzeitig A u f b a u und E n t w i c k l u n g der A r b e i t gegeben. 3. Das Schwingungsbild, insbesondere bei Abwesenheit einer äußeren Dämpfung. Als Versuchsreihe wird die Messung der k i n e m a t i s c h e n G r ö ß e n der S c h w i n g u n g bei s t u f e n weiser V e r ä n d e r u n g der W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t b e z e i c h n e t , wobei die schwingende Masse u n d die F e d e r s t ä r k e k o n s t a n t bleiben. Die D a r s t e l l u n g einer solchen Versuchsreihe soll „ S c h w i n g u n g s b i l d " h e i ß e n (Abb. 2). Es sind ü b e r der W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t die A m p l i t u d e n und die F r e q u e n z e n der S c h w i n g u n g a u f g e t r a g e n . Die E i g e n s c h w i n g u n g s f r e q u e n z des s c h w i n g e n d e n S y s t e m s in r u h e n d e m W a s s e r wird d a r g e s t e l l t d u r c h eine h o r i z o n t a l e G e r a d e . Die F r e q u e n z e n der sich bei f e s t g e s t e l l t e m Z y l i n d e r a b l ö s e n d e n K ä r m ä n s c h e n Wirbel sind p r o p o r t i o n a l d e r W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t u n d ers c h e i n e n d a h e r als G e r a d e d u r c h den N u l l p u n k t . Die A b b . 2 zeigt ein solches S c h w i n g u n g s b i l d f ü r einen Z y l i n d e r von 10 cm D m r . und 18 cm H ö h e u n d 6,5 kg Gewicht, bei A b w e s e n h e i t ä u ß e r e r D ä m p f u n g . Sie zeigt allgemein f o l g e n d e s : Der eigenartige Verlauf der A m p l i t u d e n k u r v e l ä ß t drei wesentliche G e s c h w i n d i g k e i t s b e r e i c h e h e r v o r t r e t e n , einen Bereich der H a u p t s c h w i n g u n g in der Mitte des Feldes und zwei Bereiche m i t

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n im g l e i c h m ä ß i g e n

!

Frequenzen der Karman'scht n , Wirde/

Flüssigkeitsstrom.

/

^

/ ^ Eigenschwinguhgs freguenz \

Frequenzen

120

I n

HO

i

\\

/ i 1

60

/ /Nullinie

\ V

i

Amplituden

der Frequenzen

20

J

i i 1

Bereich Nullinie der Amplituden

A b b . 2.

kritischerBereich

i v

\

1 1 . 1 ü.)erkritischer Bereich

V

\

«- m/s

D a s S c h w i n g u n g s b i l d e i n e r V e r s u c h s r e i h e bei k o n s t a n t e m konstanter Masse und Federstärke.

Zylinderdurchmesser,

S c h w i n g u n g e n m i t t l e r e r u n d k l e i n e r e r A m p l i t u d e . Der m i t t l e r e Bereich der m a x i m a l e n o d e r k r i t i schen S c h w i n g u n g werde mit „kritischer Bereich" bezeichnet; d a n n entspricht der „unterkritische B e r e i c h " den k l e i n e r e n u n d d e r „ ü b e r k r i t i s c h e B e r e i c h " den g r ö ß e r e n G e s c h w i n d i g k e i t e n . Im u n t e r k r i t i s c h e n Bereich sind die A m p l i t u d e n d e r a u f t r e t e n d e n S c h w i n g u n g e n klein. Ihre G r ö ß e s c h w a n k t d a u e r n d ; d e r in d e r D a r s t e l l u n g e i n g e z e i c h n e t e M i t t e l w e r t n i m m t m i t d e r W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t s t a r k zu. Die F r e q u e n z e n e n t s p r e c h e n u n g e f ä h r d e n K ä r m a n s c h e n W i r b e l f r e q u e n z e n . E r s t bei A n n ä h e r u n g d e r W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t an den k r i t i s c h e n Bereich v e r s c h w i n d e n die S c h w a n k u n g e n u n d es e r g e b e n sich n a h e z u k o n s t a n t e F r e q u e n z e n u n d A m p l i t u d e n . D e r B e g i n n des k r i t i s c h e n B e r e i c h s ist n i c h t e i n d e u t i g . Mit s t e i g e n d e r G e s c h w i n d i g k e i t s e t z t bei e i n e m b e s t i m m t e n W e r t — v k r — d a s A u f s c h a u k e l n d e r S c h w i n g u n g ein. G e h t m a n j e t z t m i t d e r . G e s c h w i n d i g k e i t w i e d e r h e r u n t e r , d a n n h ä l t sich diese H a u p t s c h w i n g u n g n o c h bis zu e i n e m bes t i m m t e n P u n k t , u m d a n n p l ö t z l i c h w i e d e r a b z u k l i n g e n . Es e n t s t e h t so im D i a g r a m m eine A r t Schleife, die ein m e h r d e u t i g e s G e b i e t u m s c h l i e ß t . In ihm l ä ß t sich j e d e S c h w i n g u n g m i t b e s t i m m t e r A m p l i t u d e a n s c h l a g e n , die d a n n so e r h a l t e n b l e i b t . Die gleiche Schleife zeigt die F r e q u e n z k u r v e . Beim E i n s e t z e n d e r H a u p t s c h w i n g u n g s p r i n g t sie v o n e i n e m W e r t u n t e r h a l b d e r K ä r m a n s c h e n G e r a d e n auf e i n e n W e r t , d e r h ö h e r liegt u n d d e r dem W e r t der Eigenschwingung entspricht. Dieser P u n k t ist b e m e r k e n s w e r t . B e s t i m m t m a n n ä m l i c h f ü r diesen P u n k t die m i t t l e r e R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t des W a s s e r s z u m Z y l i n d e r (diese ist w e g e n d e r S c h w i n g u n g s b e w e g u n g d e s Z y l i n d e r s g r ö ß e r als die a b s o l u t e W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t ) u n d v e r g l e i c h t den W e r t d e r K ä r m a n s c h e n A b l ö s u n g s f r e q u e n z f ü r diese G e s c h w i n d i g k e i t mit d e r F r e q u e n z d e r S c h w i n g u n g , d a n n erg e b e n sich gleiche B e t r ä g e . E s sind also in d i e s e m P u n k t die E i g e n s c h w i n g u n g s f r e q u e n z , die F r e -

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n im g l e i c h m ü t i g e n

Flüssigkeitsstrom.

7

q u e n z der S c h w i n g u n g u n d die der R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t e n t s p r e c h e n d e K ä r m ä n s c h e A b l ö s u n g s f r e q u e n z gleich. In diesem P u n k t l ä ß t sich also die S c h w i n g u n g s e r s c h e i n u n g als reine R e s o n a n z w i r k u n g d e u t e n . Diese D e u t u n g k a n n j e d o c h n u r f ü r diesen P u n k t , der a n der u n t e r e n Grenze des kritischen Bereichs liegt, z u t r e f f e n . F ü r den ü b r i g e n Bereich ( A b b . 2 zeigt ein noch langes A n h a l t e n , ja sogar A n w a c h s e n der A m p l i t u d e n der H a u p t s c h w i n g u n g ) p a ß t sie n i c h t . W ä h r e n d die A m p l i t u d e n der H a u p t s c h w i n g u n g z u n ä c h s t f ü r jede Geschwindigkeit einen b e s t i m m t e n W e r t h a b e n , bleiben sie bei g r ö ß e r e n G e s c h w i n d i g k e i t e n n i c h t mehr k o n s t a n t . Von e i n e m b e s t i m m t e n G e s c h w i n d i g k e i t s w e r t a b mischen sich u n t e r die M a x i m a l a m p l i t u d e n (in der A b b i l d u n g oberer K u r v e n a s t ) z u n ä c h s t wenige, bei g r ö ß e r e n G e s c h w i n d i g k e i t e n i m m e r z a h l r e i c h e r e S c h w i n g u n g e n m i t k l e i n e r e r A m p l i t u d e ( u n t e r e r K u r v e n a s t ) . W ä h r e n d die A m p l i t u d e n dieser K u r z s c h w i n g u n g e n um so kleiner w e r d e n , je h ö h e r die W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t ist, werden ihre F r e q u e n z e n i m m e r h ö h e r . Den Verlauf dieser F r e q u e n z e n gibt die g e s t r i c h e l t e Linie wieder. Der voll g e z e i c h n e t e Ast d e r F r e q u e n z k u r v e g i b t den M i t t e l w e r t der F r e q u e n z e n (bei kleinen u n d großen A m p l i t u d e n ) a n . Die F r e q u e n z e n d e r M a x i m a l s c h w i n g u n g sind n i c h t eingezeichnet. An der oberen G r e n z e des k r i t i s c h e n Bereichs v e r s c h w i n d e n die M a x i m a l a m p l i t u d e n v o l l k o m m e n . Diese E r s c h e i n u n g e n der w e c h s e l n d e n A m p l i t u d e n u n d F r e q u e n z e n sind d a d u r c h v e r u r s a c h t , d a ß eine S t r ö m u n g s f o r m von einer a n d e r e n abgelöst wird. Die s p ä t e r e n U n t e r s u c h u n g e n , v o r allem die S t r ö m u n g s b i l d e r , h a b e n diese Frage g e k l ä r t . Es w i r d d a h e r an a n d e r e r Stelle darauf z u r ü c k g e k o m m e n w e r d e n . Der ü b e r k r i t i s c h e Bereich zeigt n u n die F o r t f ü h r u n g der sich d a n n einstellenden S c h w i n g u n g s f o r m mit h o h e n F r e q u e n z e n . Es bleiben F r e q u e n z e n u n d A m p l i t u d e n n a h e z u k o n s t a n t . Bei einer G e s c h w i n d i g k e i t (bei v o r l i e g e n d e m Fall u n g e f ä h r 2 vkl.) t r i t t ein e n d g ü l t i g e r Abfall auf einen Minii n a l w e r t der A m p l i t u d e n ein. Es bleibt lediglich ein schnelles P e n d e l n im u n g e f ä h r e n T a k t der j e t z t sehr h o h e n K ä r m ä n s c h e n F r e q u e n z . 4. Ähnlichkeitsgesetze. Die A u f n a h m e einer Versuchsreihe gibt wohl A u f s c h l u ß ü b e r den allgemeinen Verlauf der F r e q u e n z e n u n d A m p l i t u d e n , auch zeigt sie einiges ü b e r die Beziehungen der K ä r m ä n s c h e n Freq u e n z e n zu den W i r b e l f r e q u e n z e n , doch k a n n ein t i e f e r e r Einblick von ihr nicht e r w a r t e t w e r d e n . E r s t aus einer großen A n z a h l von V e r s u c h s r e i h e n mit v e r s c h i e d e n s t e n W e r t e n der s c h w i n g e n d e n Masse, der elastischen K o n s t a n t e n u n d der Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r k ö n n e n E r k e n n t n i s s e ü b e r den E i n f l u ß der V e r ä n d e r u n g d e r V e r s u c h s k o n s t a n t e n auf den Verlauf der F r e q u e n z - u n d A m p l i t u d e n k u r v e n , auf Lage u n d G r ö ß e des k r i t i s c h e n Bereiches usw. g e w o n n e n werden. . B e v o r n u n die E r g e b n i s s e w e i t e r e r Versuche b e h a n d e l t w e r d e n , w e r d e z u n ä c h s t v e r s u c h t , a u s rein t h e o r e t i s c h e n Ü b e r l e g u n g e n gewisse g r u n d l e g e n d e Schlüsse zu ziehen. Es w e r d e dabei die F r a g e gestellt, wie w e i t es nach den Gesetzen der m e c h a n i s c h e n Ähnlichkeit möglich ist, a u s einer a u f g e n o m m e n e n Versuchsreihe — hierbei sind Masse, Feder u n d Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r kons t a n t — das S c h w i n g u n g s b i l d eines S y s t e m s mit a n d e r e r Masse oder Feder oder m i t a n d e r e m Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r zu k o n s t r u i e r e n . W i r stellen u n s d a m i t die A u f g a b e , das Ä h n l i c h k e i t s g e s e t z f ü r d a s hier b e h a n d e l t e S c h w i n g u n g s p r o b l e m zu f i n d e n . V o r a u s s e t z u n g f ü r volle m e c h a n i s c h e Ä h n l i c h k e i t ist, d a ß d a s V e r h ä l t n i s aller a u f t r e t e n d e n w e s e n t l i c h e n K r ä f t e bei allen ä u ß e r e n V e r ä n d e r u n g e n jeweils gleich b l e i b t . Welche K r ä f t e sind n u n bei u n s e r e r S c h w i n g u n g s f o r m von w e s e n t l i c h e m E i n f l u ß ? W e n n m a n sich z u n ä c h s t auf den Fall b e s c h r ä n k t , d a ß keine (absichtliche) ä u ß e r e D ä m p f u n g a n g e b r a c h t ist, sind es f o l g e n d e : 1. 2. 3. 4.

die die die die

T r ä g h e i t s k r ä f t e der s t a r r e n Massen, von d e r Flüssigkeit auf den Zylinder a u s g e ü b t e n K r ä f t e , elastischen K r ä f t e , R e i b u n g s k r ä f t e in der L a g e r u n g des Z y l i n d e r s c h w e n k a r m e s .

8

Flatterschwingungen von Zylindern im gleichmäßigen

Flüssigkeitsstrom.

Die l e t z t e K r a f t g r u p p e k a n n Iiier v e r n a c h l ä s s i g t w e r d e n , d a die A u f h ä n g u n g des Z y l i n d e r s p r a k t i s c h r e i b u n g s f r e i ist. E s bleiben d a h e r die ersten drei K r ä f t e g r u p p e n . F ü r diese ist z u r Bes t i m m u n g d e r B e d i n g u n g e n f ü r die m e c h a n i s c h e Ä h n l i c h k e i t jeweils das V e r h ä l t n i s zu b i l d e n , in d e m sie in zwei v e r s c h i e d e n e n S c h w i n g u n g s s y s t e m e n a u f t r e t e n . Es werde zunächst das Verhältnis der T r ä g h e i t s k r ä f t e gebildet. s y s t e m sei die r e s u l t i e r e n d e T r ä g h e i t s k r a f t

Bei e i n e m

Schwingungs-

M ist z u n ä c h s t die Masse des Z y l i n d e r s z u z ü g l i c h der auf d a s Z y l i n d e r m i t t e l r e d u z i e r t e n Masse des S c h w e n k a r m e s . Auf G r u n d f o l g e n d e r Ü b e r l e g u n g e n w e r d e hier j e d o c h eine a n d e r e G r ö ß e eingeführt. Bei P o t e n t i a l s t r ö m u n g u m einen Z y l i n d e r k a n n m a n die von der F l ü s s i g k e i t auf den Z y l i n d e r a u s g e ü b t e n K r ä f t e e i n f a c h d a d u r c h m i t den T r ä g h e i t s k r ä f t e n e r f a s s e n , d a ß m a n in d e r B e w c g u n g s g l e i c h u n g an Stelle d e r s t a r r e n Massen die S u m m e aus d e n s t a r r e n Massen u n d d e r Masse d e r v o m Zylinder verdrängten Flüssigkeit setzt. Dieses V o r g e h e n e r w e i s t sich a u c h bei d e r v o r l i e g e n d e n S c h w i n g u n g s b e w e g u n g als z w e c k m ä ß i g . Es w i r d d a d u r c h ein Teil v o n den v o n d e r F l ü s s i g k e i t auf den Z y l i n d e r a u s g e ü b t e n K r ä f t e n a b g e s p a l t e n u n d zu den T r ä g h e i t s k r ä f t e n g e s c h l a g e n . Diese A b s p a l t u n g ist bei d e r v o r l i e g e n d e n , von d e r P o t e n t i a l s t r ö m u n g s t a r k a b w e i c h e n d e n S t r ö m u n g a l l e r d i n g s w i l l k ü r l i c h . Sie f ü h r t a b e r n i c h t zu e i n e m Fehler, d a alle E r w ä g u n g e n sich auf m e c h a n i s c h ä h n l i c h e B e w e g u n g e n b e z i e h e n . A n d e r e r s e i t s g e w i n n t m a n a b e r d u r c h die A b s p a l t u n g den V o r t e i l , d a ß bei S c h w i n g u n g e n in r u h e n d e r F l ü s s i g k e i t bei s e h r k l e i n e r A m p l i t u d e die K r ä f t e d e r G r u p p e 2 f o r t f a l l e n u n d diese B e w e g u n g als E i g e n s c h w i n g u n g des Z y l i n d e r s b e z e i c h n e t w e r d e n k a n n . In d e r o b i g e n G l e i c h u n g soll d e s w e g e n u n t e r M die G e s a m t s c h w i n g u n g s m a s s e w e r d e n , die sich e r g i b t als Ai------- Masse des Z y l i n d e r s keitsmasse.

| r e d u z i e r t e Masse d e s S c h w e n k a r m e s - j

verstanden

verdrängte

Flüssig-

Dieser S c h w i n g u n g s m a s s e e n t s p r i c h t eine spezifische Masse i \ des S y s t e m s , die m a n e r h ä l t , w e n n m a n M d u r c h das v o m Z y l i n d e r v e r d r ä n g t e V o l u m e n d i v i d i e r t . E b e n s o wie n u n M gleich der S u m m e a u s der s t a r r e n Masse u n d der v e r d r ä n g t e n F l ü s s i g k e i t s m a s s e ist, ist r 1 gleich der S u m m e der d e r s t a r r e n Masse e n t s p r e c h e n d e n D i c h t e des Z y l i n d e r v o l u m e n s r. u n d d e r D i c h t e der v e r d r ä n g t e n F l ü s s i g k e i t r 2 . Also r x r. j - r.2.

Da nun M

r1 • V ist, wird

Bei e i n e m S y s t e m m i t a n d e r e r Masse in a n d e r e r F l ü s s i g k e i t u s w . e r h ä l t m a n die T r ä g h e i t s k r a f t zu

Es e r g i b t sich d a r a u s d a s V e r h ä l t n i s d e r T r ä g h e i t s k r ä f t e b e i d e r S y s t e m e zu '.'i • T2

(1)

H i e r ist d a s V e r h ä l t n i s d e r s p e z i f i s c h e n M a s s e n -= b e i d e r S y s t e m e , /, d a s L ä n g e n v e r h ä l t nis, z. B. d a s V e r h ä l t n i s d e r Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r --- d/d', r d a s V e r h ä l t n i s d e r c h a r a k t e r i s t i s c h e n Z e i t e n = t/t' u n d /,/'t d a s V e r h ä l t n i s d e r G e s c h w i n d i g k e i t e n = v/v. Bei d e n v o n d e r F l ü s s i g k e i t auf d e n Z y l i n d e r a u s g e ü b t e n K r ä f t e n ü b e r w i e g e n a u g e n s c h e i n lich die d u r c h T r ä g h e i t s w i r k u n g e n h e r v o r g e r u f e n e n K r ä f t e ü b e r die Z ä h i g k e i t s k r ä f t e . Die l e t z t e r e n

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n von Zylindern im gleichmäßigen sollen

daher

zunächst

vernachlässigt

T a t s a c h e zu b e r ü c k s i c h t i g e n , in d e r

werden.

d a ß die

Weiter

Strömung

Form

ist

ähnliche

Bestimmung ist.

Die

9

dieser

Kräfte

K r a f t e r g i b t sich

die

daher

. s

( w A und ß sind f ü r geometrisch

bei d e r

nicht stationär

,

Flüssigkeitsstrom.

' /•'•«'•

¡ J ' V F .

Bewegungen

Konstante,

v ist die

Wassergeschwindigkeit,

d d e r Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r , r2 d i e D i c h t e d e r F l ü s s i g k e i t u n d F d i e p r o j i z i e r t e F l ä c h e d e s Z y l i n d e r s . Der zweite Abweichung

Summand der

in d e r K l a m m e r e n t s p r i c h t

Strömung

In e i n e m a n d e r e n erhält

man

die

von

Falle

der stationären

demjenigen Anteil Strömung

— es k a n n s i c h j e t z t a u c h

K r a f t zu

,

d e r K r a f t , d e r sich a u s

der

ergibt.

um

eine a n d e r e

Flüssigkeit handeln

, ,

k«'

E s ist n u n

c gb l e i c h

>• , . r • v ; a ----- /. • d

und

, ä v dt. .

/. r-

d V dt

D a r a u s ergibt sich das Verhältnis der von den Flüssigkeiten

W

k>_

" V -

• '' *

' d l ' 7"

,., , .1 A

Da

p

--

' " "+

auf die Z y l i n d e r a u s g e ü b t e n K r ä f t e zu

,,

,..

du'

f

''

/••

r.,'

F'~

dV

und das Verhältnis der Dichten der Flüssigkeiten

gesetzt werden kann, erhält

m a n d a r a u s das V e r h ä l t n i s dieser K r ä f t e zu

^ Das

Verhältnis

der

elastischen

Kräfte läßt

sich

in e i n f a c h s t e r

/•V. H i e r i s t 2 • t 2 = Daraus

ergibt

sich

als erste

B e d i n g u n g f ü r die m e c h a n i s c h e ri _ r{

(4)

= konst. erfüllt ist. Es wird im späteren gezeigt, wie u n t e r b e s t i m m t e n Voraussetzungen eine U m g e h u n g obiger Bedingung doch möglich ist. Als zweite Beziehung folgt aus Gl. (4)

Diese Gleichung e n t s p r i c h t dem Cauchyschen

9 Ähnlichkeitsgesetz.

Setzt m a n ¡p1 • X3 = = dem Verhältnis der Schwingungsmassen, dann erhalten wir obige Gleichung in der b e k a n n t e n F o r m

Bei der Mannigfaltigkeit der Beziehungen und Bedingungen der hier b e h a n d e l t e n mechanischen Ähnlichkeit soll nun v e r s u c h t werden, aus den obigen Ergebnissen solche Größen zu f o r m e n , die 1. das System charakterisieren, 2. die Schwingung des S y s t e m s in ihrer äußeren Form bes t i m m e n . Sie ergeben sich als dimensionslose P a r a m e t e r , mit denen m a n alle schwingenden Systeme erfassen k a n n . Der erste P a r a m e t e r war schon in der F o r m yj = konst. g e f u n d e n . Er besagt, d a ß bei ä h n lichen Systemen das Verhältnis der spezifischen schwingenden Masse zur Dichte der Flüssigkeit k o n s t a n t sein m u ß . Er werde bezeichnet als spezifische Massenzahl

V=

•

W e n n man Zähler und Nenner mit dem v e r d r ä n g t e n Volumen multipliziert, sieht man, d a ß man auch schreiben k a n n starre Masse + Masse der v e r d r ä n g t e n Flüssigkeit ^ ~~ Masse der v e r d r ä n g t e n Füssigkeit ' ' (Bei der A u s w e r t u n g der s p ä t e r zu beschreibenden Versuche w u r d e zu der Masse der v e r d r ä n g t e n Flüssigkeit ein kleiner Zuschlag g e m a c h t im Hinblick auf die Anwesenheit der Endschreiben.) Einen zweiten P a r a m e t e r f i n d e t man durch U m f o r m u n g aus Gl. (7). Die Beziehung T--

I ---- oder r • "]/—-\ u n d -rj sind alle B e w e g u n g e n ä h n l i c h . E s f e h l e n n u n n o c h B e i w e r t e d e r S c h w i n g u n g s g r ö ß e n , d u r c h die die A m p l i t u d e n u n d F r e q u e n z e n m a ß s t a b u n a b h ä n g i g a u s g e d r ü c k t w e r d e n k ö n n e n . E i n e n s o l c h e n B e i w e r t liefert eine w e i t e r e

M

U m f o r m u n g d e r Gl. (9). N a c h dieser G l e i c h u n g gilt a u c h / • j/—- = proportional

! . D a m i t e r h ä l t m a n den die F r e q u e n z

U

F requ enzenb eiwert

£ =

iM

k o n s t . N u n ist w i e d e r u m j/ ^

kennzeichnenden (11)

Je

A u s der B e d i n g u n g , d a ß bei ä h n l i c h e r B e w e g u n g das V e r h ä l t n i s d e r A m p l i t u d e A z u m Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r d k o n s t a n t sein m u ß , e r g i b t sich d e r z w e i t e S c h w i n g u n g s b e i w e r t . E r w e r d e m i t £ b e z e i c h n e t u n d b e s t i m m t die r e l a t i v e G r ö ß e d e r A m p l i t u d e n . Es ist also der Amplituden beiwert

£ =

A

(12)

W e n n es n u n gelingt ; u n d | f ü r alle p r a k t i s c h m ö g l i c h e n W e r t e v o n yj u n d rj zu b e s t i m m e n , d a n n ist m a n in d e r Lage, f ü r j e d e s S y s t e m eines s c h w i n g u n g s f ä h i g e n z y l i n d r i s c h e n K ö r p e r s in b e l i e b i g e r F l ü s s i g k e i t d a s S c h w i n g u n g s b i l d zu k o n s t r u i e r e n , d e n n m a n k a n n d a n n f ü r j e d e n G e s c h w i n d i g keitswert A m p l i t u d e u n d F r e q u e n z der Schwingung angeben. D a b e i ist a l l e r d i n g s v o r a u s g e s e t z t , d a ß die Z ä h i g k e i t o h n e E i n f l u ß ist. W e n n m a n sich v o n d i e s e r V o r a u s s e t z u n g b e f r e i e n will, m u ß m a n zu den b e i d e n z u r A n g a b e d e r B e w e g u n g s b e d i n g u n g e n b e n ü t z t e n P a r a m e t e r y> u n d r) n o c h einen d r i t t e n , d e r R e y n o l d s s c h e n Z a h l e n t s p r e c h e n d e n P a r a m e t e r h i n z u n e h m e n , d e r in d e r F o r m R

(l

(13) eingeführt werden kann. I m R a h m e n d e r o b e n b e h a n d e l t e n U m r e c h n u n g v o n d e r a l l g e m e i n e n F o r m des Ä h n l i c h k e i t s g e s e t z e s auf die u n t e r U m s t ä n d e n p r a k t i s c h e r e D a r s t e l l u n g d e r A b h ä n g i g k e i t e n d u r c h P a r a m e t e r w e r d e a n s c h l i e ß e n d eine A r t v o n F l a t t e r s c h w i n g u n g e n b e h a n d e l t , auf die erst im z w e i t e n Teil dieser A r b e i t n ä h e r e i n g e g a n g e n w i r d . D e r b i s h e r b e h a n d e l t e F a l l , d a ß die g e s a m t e v o n d e r S t r ö m u n g a u f g e n o m m e n e E n e r g i e w i e d e r an d a s W a s s e r a b g e f ü h r t w i r d , ist n ä m l i c h in d e r P r a x i s n i c h t so h ä u f i g . E s wird m e i s t e n s ein m e h r o d e r w e n i g e r g r o ß e r Teil dieser E n e r g i e e n t w e d e r d u r c h u n v o l l k o m m e n e E l a s t i z i t ä t des z y l i n d r i s c h e n K ö r p e r s o d e r seiner E i n s p a n n u n g v e r n i c h t e t , o d e r a u c h in F o r m v o n Schall- o d e r E r s c h ü t t e r u n g s wellen n a c h a u ß e n a b g e g e b e n . D a d u r c h w i r k t auf den Z y l i n d e r eine seine B e w e g u n g h e m m e n d e K r a f t , die Z y l i n d e r s c h w i n g u n g e r l e i d e t eine ä u ß e r e D ä m p f u n g . Die W i r k u n g dieser D ä m p f u n g ist m e i s t e n s g l e i c h w e r t i g d e r W i r k u n g einer d e r G e s c h w i n d i g k e i t p r o p o r t i o n a l e n D ä m p f u n g s k r a f t . Bez e i c h n e t m a n m i t B die K o n s t a n t e dieser D ä m p f u n g , d a n n w i r d diese K r a f t

K" ~ B • oZ;ll. Diese K r a f t k a n n zu i r g e n d e i n e r d e r s c h o n b e h a n d e l t e n , auf den Z y l i n d e r w i r k e n d e n K r ä f t e in B e z i e h u n g g e s e t z t w e r d e n . M a n e r h ä l t d a r a u s ein V e r h ä l t n i s , d a s d a n n bei m e c h a n i s c h ä h n l i c h e n

12

l - ' l a t t e r s c h w i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n im g l e i c h m ä ß i g e n

l-'lüssigkeitsstrum.

Systemen gleich sein m u ß . Als Vergleicliskraft wähle man hier eine b e s t i m m t e elastische K r a f t Und zwar werde der Vergleich f ü r folgenden Fall aufgestellt. Es schwinge das System mit der Eigenschwingungsfrequenz /„ und der Amplitude A = dem Zylinderdurchmesser d. Dann ist die m a x i m a l e B r e m s k r a f t beim D u r c h g a n g durch die Mittellage K = B • d • 2n • }r. Die maximale elastische K r a f t ist K „ = d • c. Das Verhältnis dieser beiden K r ä f t e muß f ü r ähnliche S y s t e m e k o n s t a n t sein und werde mit e bezeichnet. Es ist dann der Bremsparameter

e =

^

(14)

Hierbei ist nun 2 . i • B • /,. die maximale B r e m s k r a f t und c die maximale elastische K r a f t bei einer Schwingung mit einer der Längeneinheit entsprechenden .Amplitude und einer Frequenz gleich der Eigenfrequenz. Bei allgemeinster Schwingung — d. h. bei Einfluß der Zähigkeit der Flüssigkeit und bei Energieabgabe der Schwingung nach außen — ergibt sich also eine Abhängigkeit der Schwingungsbeiwerte £ und | von den vier P a r a m e t e r n y , R und ], R und e sind auch die Schwingungsbeiwerte ; und | die gleichen. Es soll dabei aber z u n ä c h s t von dem Einfluß der P a r a m e t e r R und e abgesehen werden.

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n von Zylindern im gleichmäßigen

Flüssigkeitsstrom.

13

5. Ergebnisse der Versuche ohne äußere D ä m p f u n g ; Übereinstimmung mit dem Ähnlichkeitsgesetz. Aus den im vorigen K a p i t e l g e f u n d e n e n Ä h n l i c h k e i t s b e z i e h u n g e n w u r d e n die P a r a m e t e r yi u n d •)-) u n d die S c h w i n g u n g s b e i w e r t e C u n d £ e n t w i c k e l t . Sie besagen, d a ß bei k o n s t a n t e m y> u n d r/ sich die gleichen S c h w i n g u n g s b e i w e r t e f u n d | e r g e b e n . Man k a n n ; u n d £ a b h ä n g i g von y> u n d i] b e s t i m m e n . Das geschieht a m besten so, d a ß m a n f ü r eine g r ö ß e r e Zahl von y>-Werten je £ u n d £ a b h ä n g i g von rj g r a p h i s c h d a r s t e l l t . Man k a n n d a n n f ü r ein beliebiges S y s t e m und beliebige ä u ß e r e Bedingungen das Schwingungsverhalten angeben. In einer G r u p p e von V e r s u c h s r e i h e n sollte festgestellt w e r d e n , ob die t h e o r e t i s c h a u f g e stellten Ä h n l i c h k e i t s g e s e t z e erfüllt sind. Es w u r d e dabei bei k o n s t a n t e r G e s a m t m a s s e M u n d gleichem Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r d jeweils die F e d e r s t ä r k e des F e d e r p a a r e s g e ä n d e r t . Die V o r a u s s e t z u n g y> = k o n s t a n t w a r s o m i t erfüllt, da die spezifische s c h w i n g e n d e Masse u n d die Dichte der s t r ö m e n d e n Flüssigkeit k o n s t a n t blieben. F ü r jedes einzelne S y s t e m w u r d e d a n n m i t einer solchen Versuchsreihe das S c h w i n g u n g s b i l d b e s t i m m t . A b b . 3 zeigt n u n die a u f g e n o m m e n e n S c h w i n g u n g s b i l d e r von 5 solchen V e r s u c h s r e i h e n . Sie w e r d e n noch in der alten D a r s t e l l u n g s f o r m gezeigt. Man e r k e n n t schon in der allgemeinen F o r m der einzelnen F r e q u e n z k u r v e n eine augenscheinliche Ähnlichk e i t . Es ä n d e r t sich j e d e n f a l l s n u r der M a ß s t a b der K u r v e n p r o p o r t i o n a l der E i g e n f r e q u e n z . Es w e r d e aber n u n an H a n d einer Z a h l e n t a f e l eine Ü b e r s i c h t ü b e r die G e s c h w i n d i g k e i t s p a r a m e t e r u n d S c h w i n g u n g s b e i w e r t e an den Grenzen des k r i t i s c h e n Bereiches gegeben.

System

1,

fl.r

f l r

1

1 s ms

ls

~kr

m/s

f r

A i r Skr

1/s

cm

2

3

4

5

0,50

5,50

5,50

5,50

5,50

0,300

0,411

0,485

0,(510

0,719

0.142

1,194

0,231

o.2s;

0,347

4,73

4,72

4.70

4.85

4,83

0,300

0.413 1,005

0,488

(>,(.12

1,00

1,007

1,003

0,715 0,995

0,204

0,281

0,328

0,407

0,480

(¡,80

,7(>

,08

(¡,0

0,495

0,585

0,735

0,800

1,200

1,203

1.207

l,20(i

1,198

9,7

9,9

0,97

(),!'. 9

10,3 1/13

10,(5 1,0(5

10,8 1,08

rjkr e n t s p r i c h t dabei d e m vkr, der G e s c h w i n d i g k e i t am A n f a n g des kritischen Bereichs. /,„. ist die F r e q u e n z bei vkr u n d £ k r der e n t s p r e c h e n d e F r e q u e n z e n b e i w e r t f ü r rjkr-, vF ist die Geschwindigkeit am E n d e des k r i t i s c h e n Bereichs. Ihr e n t s p r i c h t r j r F e r n e r ist die F r e q u e n z a m E n d e des kritischen Bereichs, ihr e n t s p r i c h t Akr ist die A m p l i t u d e bei vkr u n d £ k r der A m p l i t u d e n b e i w e r t f ü r rjkr. Die Z a h l e n t a f e l zeigt, d a ß f a s t alle e i n a n d e r e n t s p r e c h e n d e n W e r t e von rj und £ bis auf geringe U n g e n a u i g k e i t e n , die in der schwierigen g e n a u e n B e s t i m m u n g von vkr und v b e g r ü n d e t sind, e i n a n d e r gleich sind. Das b e d e u t e t , d a ß v o r allem die F r e q u e n z k u r v e n sich in der P a r a m e t e r d a r stellung genau decken würden.

14

Flatterschwingungen von Zylindern im gleichmäßigen

Flüssigkeitsstrom.

M e r k l i c h e A b w e i c h u n g e n zeigt lediglich d e r A m p l i t u d e n b e i w e r t . Den B e d i n g u n g e n d e r ä h n lichen B e w e g u n g w ü r d e es e n t s p r e c h e n , d a ß die A m p l i t u d e n k o n s t a n t b l e i b e n . D a ß sie hier ihre G r ö ß e ä n d e r n , k a n n n u r auf e i n e n hier z u m e r s t e n m a l o f f e n b a r w e r d e n d e n E i n f l u ß d e r Z ä h i g k e i t s k r ä f t e z u r ü c k z u f ü h r e n sein, d e n n die n o c h in F r a g e k o m m e n d e S c h n e i d e n r e i b u n g in d e r A u f h ä n g u n g des S c h w e n k a r m e s ist zu g e r i n g , u m w i r k s a m zu sein. Als w e s e n t l i c h e s E r g e b n i s dieser V e r s u c h e ist schließlich f e s t z u s t e l l e n , d a ß die F o l g e r u n g e n a u s d e n im v o r i g e n K a p i t e l e n t w i c k e l t e n Ä h n l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n bis auf g e r i n g e A b w e i c h u n g e n bei d e n W e r t e n des A m p l i t u d e n b e i w e r t e s v e r s u c h s m ä ß i g b e s t ä t i g t w e r d e n . E s k a n n d e m n a c h a u s d e r A u f n a h m e e i n e r V e r s u c h s r e i h e j e d e s S c h w i n g u n g s b i l d eines a n d e r e n S y s t e m s e r r e c h n e t w e r d e n , w e n n es die gleiche s p e z i f i s c h e M a s s e n z a h l y> b e s i t z t . 6. Der Einfluß der Massenzahl y

auf das Schwingungsbild.

Die B e d i n g u n g , d a ß bei d e r r e c h n e r i s c h e n E r m i t t l u n g eines S c h w i n g u n g s b i l d e s eines S y s t e m s a u s d e m eines a n d e r e n S y s t e m s die M a s s e n z a h l y> beider S y s t e m e gleich sein m u ß , s t e l l t eine s t a r k e B e s c h r ä n k u n g in d e r Zahl d e r S y s t e m e d a r , d e r e n S c h w i n g u n g s v e r h a l t e n d u r c h U m r e c h n u n g a u s e i n e m g e g e b e n e n S c h w i n g u n g s b i l d b e s t i m m t w e r d e n k a n n . E s soll d a h e r im f o l g e n d e n u n t e r s u c h t werden,

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n im g l e i c h m ä ß i g e n

Flüssigkeitsstrom.

15

1. ob eine e r h e b l i c h e A b h ä n g i g k e i t der S c h w i n g u n g s v o r g ä n g e v o n tp b e s t e h t , 2. ob in d i e s e m Fall d o c h eine M ö g l i c h k e i t g e f u n d e n w e r d e n k a n n , S c h w i n g u n g s b i l d e r bei verschiedenen Werten von y umzurechnen. U m die e r s t e F r a g e zu k l ä r e n , w u r d e n drei V e r s u c h s r e i h e n a u f g e n o m m e n , bei der bei g l e i c h b l e i b e n d e r e l a s t i s c h e r K o n s t a n t e n u n d g l e i c h e m Z y l i n d e r d u r c h m e s s e r jeweils die G e s a m t m a s s e M g e ä n d e r t w u r d e . D a m i t w a r xp bei d e n e i n z e l n e n S y s t e m e n v e r s c h i e d e n . A b b . 4 zeigt die E r g e b n i s s e dieser drei V e r s u c h s r e i h e n . W ü r d e die M a s s e n z a h l y die V o r g ä n g e n i c h t s e h r b e e i n f l u s s e n , d a n n m ü ß t e diese A b b i l d u n g u n g e f ä h r die gleichen E r g e b n i s s e zeigen, wie die A b b . 3, d e n n es w ü r d e d a n n eine A b n a h m e d e r G e s a m t m a s s e dieselbe W i r k u n g h a b e n wie die Z u n a h m e d e r F e d e r k o n s t a n t e n . Die D a r s t e l l u n g zeigt jedoch abweichende Grundformen der Frequenzkurven und unverhältnismäßige Änderungen der Geschwindigkeitsbereiche. E s seien zwei b e s o n d e r s d e u t l i c h e Beispiele h e r a u s g e g r i f f e n . Es e r g e b e n sich f ü r rj E u n d die W e r t e zu System

1

2

3

V

8,80

5,50

3,95

Vi:

6,05

(5,76

7,17

" !

1,115

1,207

1,375

16

Flüssigkeitsstrom.

F l a t t e r s c h w i n g u n g e n von Z y l i n d e r n im g l e i c h m ä ß i g e n

Es ergibt sich also eine s t a r k e A b h ä n g i g k e i t der S c h w i n g u n g s g r ö ß e n u n d d a m i t auch des S c h w i n gungsbildes von d e m W e r t von y>. U m diese A b h ä n g i g k e i t noch s t ä r k e r h e r v o r t r e t e n zu lassen, w u r d e eine G r u p p e von Versuchsreihen a u f g e n o m m e n , bei denen jeweils die E i g e n f r e q u e n z k o n s t a n t g e h a l t e n w u r d e . Geä n d e r t w u r d e n i m m e r bei gleichem V e r h ä l t n i s z u e i n a n d e r die G e s a m t m a s s e M u n d die F e d e r s t ä r k e . D a m i t w a r e n w i e d e r u m f ü r die einzelnen S y s t e m e die M a s s e n z a h l e n y> v e r s c h i e d e n . Da n u n d u n d /,. k o n s t a n t bleiben, sind in d e r D a r s t e l l u n g a n den O r d i n a n t e n - u n d Abszissenachsen n e b e n den e n t s p r e c h e n d e n M a ß s t ä b e n f ü r v, / u n d A auch die M a ß s t ä b e d e r P a r a m e t e r ?7, £ u n d £ a n g e g e b e n ; denn es bleibt i m m e r r\ p r o p o r t i o n a l v 0 , £ p r o p o r t i o n a l / u n d £ p r o p o r t i o n a l A. Die S c h w i n g u n g s bilder ergeben sich also d a m i t gleichzeitig in der P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g . A b b . 5 zeigt n u n die Ergebnisse dieser Versuche. Man e r k e n n t eine a u ß e r o r d e n t l i c h e Vers c h i e d e n h e i t der einzelnen S c h w i n g u n g s b i l d e r und d a m i t die große A b h ä n g i g k e i t der S c h w i n g u n g s v o r g ä n g e von d e m W e r t y . Es k a n n d a h e r der E i n f l u ß dieser Zahl in k e i n e m Fall v e r n a c h lässigt w e r d e n . Diese gungsbilder Ermittlung Weg wurde

E r k e n n t n i s z w i n g t d a z u , e n t w e d e r f ü r alle p r a k t i s c h möglichen W e r t e von yj die S c h w i n v e r s u c h s m ä ß i g zu b e s t i m m e n , oder n a c h einem W e g zu s u c h e n , der doch eine r e c h n e r i s c h e der einzelnen S c h w i n g u n g s b i l d e r m i t v e r s c h i e d e n e m W e r t e von y e r m ö g l i c h t . Dieser g e f u n d e n u n d soll im folgenden beschrieben w e r d e n . 7. Umrechnung von Schwingungsbildern für geänderte Massenzahlen. Z u r L ö s u n g der j e t z t gestellten A u f g a b e f ü h r t eine von P r o f e s s o r D. T h o r n a s t a m m e n d e Ü b e r l e g u n g , die sich den U m s t a n d z u n u t z e m a c h t , d a ß die b e o b a c h t e t e n S c h w i n g u n g e n einen rein s i n u s f ö r m i g e n Verlauf h a b e n . Diese Ü b e r l e g u n g soll m i t Hilfe einer Skizze n ä h e r e r l ä u t e r t werden. In der A b b . 6 f i n d e t m a n in I das Bild eines S c h w i n g u n g s s y s t e m s I mit der G e s a m t m a s s e M f — n m z und der auf das Z y l i n d e r m i t t e l bezogenen F e d e r k o n s t a n t e n cv Es sei b e o b a c h t e t w o r d e n , d a ß dieses S y s t e m u n t e r dem E i n f l u ß der Flüssigkeitsg e s c h w i n d i g k e i t r ; eine S c h w i n g u n g mit der F r e q u e n z / ( a u s f ü h r t . Man ä n d e r t n u n n i c h t s an den S c h w i n g u n g s v o r g ä n g e n , w e n n m a n sich aus der Masse m1 eine beliebige Größe m3 a b g e s p a l t e t u n d diese, wie in Fig. II der A b b . 6 d a r g e s t e l l t , ü b e r der z u r ü c k b l e i b e n d e n Masse m i an einem eigenen S c h w e n k a r m b e f e s t i g t d e n k t . Bei diesem System II ist d a n n "h und Mn

=

+

nh

:

"h

m, -f ma + m. -

M

r

A u ß e r d e m d e n k t m a n sich s t a t t des f r ü h e r e n einzigen F e d e r p a a r e s n u n zwei F e d e r p a a r e a n g e o r d n e t u n d die F e d e r k o n s t a n t e ca des a m oberen A r m a n g r e i f e n d e n F e d e r p a a r e s so g e w ä h l t , d a ß bei A u f h e b u n g der V e r b i n d u n g zwischen den Massen tn2 u n d m 3 d a s obere S y s t e m eine E i g e n s c h w i n g u n g a u s f ü h r e n w ü r d e , deren Freq u e n z gleich d e r F r e q u e n z ist, mit der das S y s t e m I bei der b e t r a c h t e t e n G e s c h w i n d i g k e i t v t g e s c h w u n g e n h a t . Die F e d e r k o n s t a n t e c.2 des u n t e r e n F e d e r p a a r e s wird gleich q — c3 g e m a c h t . Die S u m m e der F e d e r k o n s t a n t e n in S y s t e m II ist somit gleich der F e d e r k o n s t a n t e n des S y s t e m s I. L ä ß t m a n die Massen m 2 u n d m 3

Flatterschwingungen von Zylindern im gleichmäßigen Flüssigkeitsstrom. in d e r bei II g e z e i c h n e t e n A r t g e k u p p e l t , d a n n ist d a s S y s t e m mit dem System erscheinung.

17

II d e s w e g e n o f f e n b a r g l e i c h w e r t i g

I, z e i g t also bei g l e i c h e r W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t g e n a u d i e gleiche

Schwingungs-

I n f o l g e d e r A b s t i m m u n g d e s a b g e s p a l t e t e n S y s t e m s w e r d e n bei e i n e r s i n u s f ö r m i g e n

G e s a m t s c h w i n g u n g in d e r V e r b i n d u n g d e r M a s s e n m 2 u n d m 3 k e i n e K r ä f t e ü b e r t r a g e n . M a n ä n d e r t daher nichts an den Schwingungsvorgängen,

w e n n m a n diese V e r b i n d u n g

löst.

D a m i t ist i m u n t e r e n S y s t e m d e s G e s a m t s y s t e m s II, d a s in I I I g e s o n d e r t a b g e b i l d e t i s t , ein S y s t e m m i t d e r G e s a m t m a s s e Mni=m2-\-mz u n d d e r F e d e r k o n s t a n t e n c2 g e f u n d e n w o r d e n , d a s bei d e r b e t r a c h t e t e n S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t die g l e i c h e S c h w i n g u n g v o l l f ü h r t , w i e d a s S y s t e m I m i t d e r M a s s e n^ -¡- mz u n d d e r F e d e r k o n s t a n t e n cx. der mit der der

E s ist d a m i t d e r Fall g e g e b e n , d a ß m a n zu e i n e m A u s g a n g s s y s t e m I m i t d e r M a s s e Mr u n d F e d e r k o n s t a n t e n cl f ü r e i n e n b e l i e b i g g e w ä h l t e n G e s c h w i n d i g k e i t s w e r t v: ein a n d e r e s S y s t e m d e r b e l i e b i g e n M a s s e Mni u n d e i n e r b e s t i m m t e n F e d e r k o n s t a n t e n c2 f i n d e n k a n n , d a s bei g l e i c h e n G e s c h w i n d i g k e i t d i e g l e i c h e S c h w i n g u n g a u s f ü h r t . D a m i t ist a u c h ein W e g g e f u n d e n , e i n e B e r e c h n u n g v o n S c h w i n g u n g s b i l d e r n m i t u n g l e i c h e r M a s s e n z a h l \p e r m ö g l i c h t .

M a n k a n n n ä m l i c h bei d i e s e m n e u e n S y s t e m a u s d e n a b s o l u t e n G r ö ß e n vt u n d / ; die d i m e n s i o n s l o s e n P a r a m e t e r >/ u n d C a u s r e c h n e n , w o b e i m a n die ( a u s Miu u n d c2 sich e r g e b e n d e ) E i g e n f r e q u e n z d i e s e s n e u e n S y s t e m s z u g r u n d e zu legen h a t . M a n e r h ä l t d a d u r c h f ü r dieses n e u e S y s t e m d e n zu e i n e m b e s t i m m t e n W e r t v o n ?y g e h ö r i g e n W e r t v o n Der W e r t des A m p l i t u d e n b e i w e r t e s bleibt dabei u n v e r ä n d e r t . Diese U m r e c h n u n g k a n n m a n n u n f ü r j e d e n G e s c h w i n d i g k e i t s w e r t des u r s p r ü n g l i c h e n S c h w i n g u n g s b i l d e s v o r n e h m e n . W e n n d a b e i i m m e r die g l e i c h e M a s s e a b g e s p a l t e t w i r d , ist f ü r die u m g e r e c h n e t e n W e r t e v o n t] u n d £ d ie M a s s e n z a h l jp k o n s t a n t . M a n e r h ä l t also d a m i t d a s S c h w i n g u n g s bild f ü r diese n e u e M a s s e n z a h l . D a d i e a b z u s p a l t e n d e M a s s e m 3 e b e n f a l l s b e l i e b i g g e w ä h l t w e r d e n k a n n , ist es g r u n d s ä t z l i c h m ö g l i c h , a u s e i n e m e i n z i g e n S c h w i n g u n g s b i l d alle a n d e r e n S c h w i n g u n g s b i l d e r zu b e r e c h n e n . E i n e w e s e n t l i c h e V o r a u s s e t z u n g f ü r die M ö g l i c h k e i t d e r A n w e n d u n g d e s o b i g e n U m r e c h n u n g s v e r f a h r e n s ist d i e , d a ß die S c h w i n g u n g r e i n s i n u s f ö r m i g v e r l ä u f t . Diese A n nahme mußte versuchsmäßig geprüft werden. Es w u r d e n d a h e r mit Hilfe eines mit k o n s t a n t e r Drehzahl l a u f e n d e n B a n d s c h r e i b e r s g e n a u e W e g k u r v e n d e r v e r s c h i e d e n s t e n S c h w i n g u n g e n a u f g e n o m m e n . D a b e i w u r d e n l a u f e n d alle G r ö ß e n d e s S c h w i n g u n g s s y s t e m s v e r ä n d e r t . Die A u s w e r t u n g d i e s e r K u r v e n e r g a b k e i n e m i t S i c h e r h e i t feststellbaren A b w e i c h u n g e n der S c h w i n g u n g s f o r m e n von der reinen Sinusform. Es w a r somit diese V o r a u s s e t z u n g f ü r die A n w e n d u n g o b i g e n U m r e c h n u n g s v e r f a h r e n s e r f ü l l t . Zalilcnbeispicl. Durch ein zahlenmäßig durchgerechnetes Beispiel soll die oben beschriebene Methode der Umrechnung von einem System auf ein beliebiges anderes auf seine Anwendbarkeit geprüft werden. Abb. 5 zeigt die Schwingungsbilder von vier Schwingungssystemen mit verschiedenen Werten von y>. Es sei nun einmal angenommen, daß nur das Schwingungsbild des Systems mit dem Schwingungsgewicht G = 13,01 kg bekannt sei. Aus diesem Schwingungsbild müßten sich die Schwingungsbilder der anderen Systeme nach obiger Umrechnungsmethode errechnen lassen. Die Rechnung werde daher ausgehend von dem System mite; = 13,01 kg für einen beliebig gewählten Geschwindigkeitswert durchgeführt. Dieses System, das analog der obigen Ableitung mit System 1 bezeichnet werde, führt bei der Geschwindigkeit vT = 0,28 m/s eine Schwingung mit / r = 0,515 I/s und A, = 10,8 cm aus (s. Abb. 5). Seine elastische Konstante ist c1 = 12,32 kg/m. Aus diesen Ausgangswerten sollen die dimensionslosen Beiwerte für das System III mit G = 5,89 kg als das in seinem Schwingungsverhalten unbekannte System gefunden werden. Das abzuspaltende, der Masse nij entsprechende Gewicht ist: «3 = m j g =

13,01 — 5 , 8 9 = 7,12 kg;

danach wird c 3 = 4 • • f, 2 • ra, = 4 • ji 2 • 0,515 2 • 7,12/9,81 =

7,60 kg/m.

Daraus C2 == T l i o m a , Mitteilungen 9.

Cl

— r3 =

12,32 — 7,60 = 4,72 kg/m. 2

18

Flatterschwingungen von Zylindern im gleichmäßigen Flüssigkeitsstrom.

Man erhält damit ein System mit G = 5,89 kg und c., — 4,72 kg/m, das bei der Geschwindigkeit v , — 0,28 m/s die gleiche Schwingung wie das System I mit /, = 0,515 I/s und A , — 10,8 cm ausführt. Aus diesen Werten ergeben sich nun folgende dimensionslosen Beiwerte. Es wird zunächst f e für dieses System

und damit wird

'oben = 1 , 5 x + b [e~h0:' " • cos (1,05 x — 1,0251) — 0,9043 • e~ °' 93 " • cos (0,95 x — 0,975*)]

• (2)

a n g e n o m m e n w e r d e n u n d f ü r den R a u m u n t e r h a l b d e r T r e n n u n g s f l ä c h e d a s P o t e n t i a l Junten = \ ,5 x + b [— e 1 ' 0 5 " cos (1,05 x — 1,0251) + 0,9043 • e 0 ' 9 5 " cos (0,95 x — 0,975 /)] D e r B e w e i s dieses S a t z e s Mechanik erscheinen.

wird

demnächst

in

der

Zeitschrift

für

angewandte Mathematik

• (3) und

Warum flattert die Fahne?

32

Der B e i w e r t v o r den z w e i t e n Gliedern in den K l a m m e r n |^),9043... = 209"/

willkürlich,

sondern durch die anderen B e i w e r t e b e s t i m m t , w e n n die T r e n n u n g s f l ä c h e stationäre P u n k t e haben soll. D i e A n s ä t z e genügen d e r K o n t i n u i t ä t s b e d i n g u n g ; sie stellen S t r ö m u n g e n dar, die aus einer G r u n d s t r ö m u n g v o n d e r G e s c h w i n d i g k e i t 1,5 in R i c h t u n g d e r positiven x - A c h s e u n d aus überlagerten S t ö r u n g s s t r ö m u n g e n bestehen, die in großem A b s t ä n d e v o n d e r x - A c h s e v e r s c h w i n d e n ; die Grüße d e r S t ö r u n g e n h ä n g t v o n dem B e i w e r t b ab, d e r f ü r d i e folgenden Berechnungen als klein a n g e n o m m e n w e r d e n m u ß (so daß ft2 gegen b vernachlässigt w e r d e n d a r f ) . D i e O r d i n a t e n der zeitlich veränderlichen T r e n n u n g s f l ä c h e seien m i t y 0 bezeichnet. A u s der B e d i n g u n g , d a ß ( f ü r y — 0)

t//° ~ " "

Se'n

c ' ' e a i l s t1,5

Ich h a b e eine B e z i e h u n g ges u c h t , w e l c h e die v o n m i r g e f u n d e nen W i d e r s t a n d s z a h l e n a a b h ä n g i g von den einflußreichsten Größen, n ä m l i c h der R e y n o l d s s c h e n Z a h l Re und

der

relativen

Rauhigkeit

^

in d e m u n t e r s u c h t e n B e r e i c h R e y noldsscher Zahlen zwischen 10000 u n d 4 0 0 0 0 0 d a r s t e l l t (e = R a u h i g keitsmaß, d = mittlere Lichtweite des R o h r e s , b e i d e im gleichen M a ß £ g e m e s s e n , so d a ß , eine u n b e n a n n t e Z a h l wird). Diese B e z i e h u n g h a t die F o r m : 2

/.• l 0 = nur

A • (5,6 — l o g / ? „ ) " +

Die G r ö ß e n A, a b h ä n g i g von

Rauhigkeit Gleichungen

£

B

(l)

B u n d n sind der relativen

^ u n d k ö n n e n a u s den

Der Strömlingswiderstand von geraden Oasrohren.

49

A b b . 14.

A = 0,755 — 0,081 • v

d

B = 0 , 0 9 9 + 1 , 5 0

(2)

n = 0,122.(1) +1,67 b e r e c h n e t o d e r a u s d e r A b b . 13 e n t n o m m e n w e r d e n . G a s r o h r e h a b e ich dabei willkürlich den W e r t s = ist e =

0 — u n d h i e r m i t die F e s t w e r t e

Für das R a u h i g k e i t s m a ß der feuerverzinkten 100 m m g e s e t z t — f ü r d a s g l a t t e M e s s i n g r o h r

in d e n G l e i c h u n g e n

(2) in d e r a n g e g e b e n e n

Größe

stimmt. T h o m a , Mitteilungen 9.

4

be-

50

Der Strömungswiderstand von geraden Oasrohren.

W e n n man d i e Gleichung ( 2 ) in die B e z i e h u n g (1) einsetzt, erhält man als E n d f o r m e l f ü r die W i d e r s t a n d s z a h l X: 10 ä -A = (0,755 — 0 , 0 8 1 - ^ j • (5,6 — log Z?,)"'1'22 •

-I-«,«7

0,099 -

j

f

1,50 . . ( 3 )

welche — w i e schon erwähnt — gültig ist f ü r R e y n o l d s s c h e Zahlen 10000 < 7 ? , < 400000. Die nach dieser F o r m e l berechneten W i d e r s t a n d s z a h l e n sind in A b b . 14 dargestellt. Für die L i c h t w e i t e d in m m w u r d e n in d i e R e c h n u n g die in d e r Z a h l e n t a f e l I I z u s a m m e n g e s t e l l t e n (einer R ö h r e n t a f e l e n t n o m m e n e n ) n o r m a l e n L i c h t w e i t e n f e u e r v e r z i n k t e r Gasrohre e i n g e s e t z t : Zahlentafel engl. Zoll

»'«"

ca. m m

8,75

,

»„"

12,75

j

1"

'/."

15,75

21,25

27,0

, ;

II.

VI."

VI,"

2"

2'/,"

3"

35,75

41,25

52,5

68,0

80,25

4"

105

Man erkennt, d a ß d i e berechneten K u r v e n die aus d e r Messung b e s t i m m t e n so g u t wiedergeben, als bei der Z u v e r l ä s s i g k e i t der M e ß w e r t e überhaupt e r w a r t e t w e r d e n kann. D i e W i d e r s t a n d s zahlen f ü r das g l a t t e R o h r w e r d e n durch die F o r m e l ( 3 ) sehr g u t w i e d e r g e g e b e n . A u f f a l l e n d ist der Verlauf d e r berechneten W i d e r s t a n d s z a h l e n f ü r das ^ " - G a s r o h r , der d e m eines statistischg l e i c h m ä ß i g rauhen R o h r e s ähnlich ist. D i e f ü r Gasrohre m i t Nennlichtweite angegebenen W i d e r s t a n d s z a h l e n sind z w a r nicht durch M e ß w e r t e b e l e g t ; t r o t z d e m können auch diese W e r t e zur B e s t i m m u n g des W i d e r s t a n d e s solcher Gasrohre dienen. Denn die R a u h i g k e i t sehr enger feuerv e r z i n k t e r Gasrohre — unter N e n n l i c h t w e i t e — ist der statistisch g l e i c h m ä ß i g rauher R o h r e sehr ähnlich, f ü r w e l c h e N i k u r a d s e einen so gearteten Verlauf der W i d e r s t a n d s z a h l e n gemessen hat.

Der Strömungswiderstand v o n Formstücken für Gasrohrleitungen (Fittings).*) Von Ivo Vuäkovii.

I. Vorbemerkung. Die in d e r v o r a u s g e h e n d e n

Arbeit1)

mitgeteilten

Ergebnisse

der Messungen an

Gasrohren

g e w i n n e n e r s t d e n r e c h t e n W e r t , w e n n a u c h f ü r d i e F o r m s t ü c k e — F i t t i n g s — die z u m A u f b a u v o n Leitungen aus solchen Gasrohren b e n u t z t werden, der W i d e r s t a n d zuverlässig angegeben werden k a n n . B r a b b e e 2 ) h a t f ü r v i e l e h a n d e l s ü b l i c h e F o r m s t ü c k e W i d e r s t a n d s z a h l e n v e r ö f f e n t l i c h t ; er ist j e d o c h auf d e n E i n f l u ß d e r R e y n o l d s s c h e n Zahl u n d d e r O b e r f l ä c h e n b e s c h a f f e n h e i t n i c h t e i n g e g a n g e n ; insb e s o n d e r e h a t er n i c h t a n g e g e b e n , w i e s e h r d e r W i d e r s t a n d v o n d e r A u s f ü h r u n g d e r V e r s c h r a u b u n g m i t d e m G a s r o h r a b h ä n g i g ist. W i n k e l s t ü c k e u n d B o g e n s t ü c k e v e r s c h i e d e n e r G e s t a l t u n d R a u h i g k e i t h a b e n a u c h a n d e r e Forscher u n t e r s u c h t , vor allen W e i s b a c h .

H o f m a n n 3 ) hat für Rohrkrümmer

v e r s c h i e d e n e r G r ö ß e W i d e r s t a n d s b e i w e r t e in A b h ä n g i g k e i t v o n d e r R e y n o l d s s c h e n Z a h l a n g e g e b e n , u n d z w a r s o w o h l f ü r g l a t t e O b e r f l ä c h e als a u c h f ü r s o l c h e , d i e m i t S a n d a n g e r a u h t w o r d e n w a r e n . Die von H o f m a n n u n t e r s u c h t e n K r ü m m e r w a r e n d u r c h besondere Arbeitsvorgänge peinlich genau hergestellt u n d ebenso genau an die geraden Anschlußrohre angeschlossen.

Bei a u s g e f ü h r t e n Lei-

t u n g e n g r o ß e n D u r c h m e s s e r s sind die A b w e i c h u n g e n g e g e n ü b e r d e r g e o m e t r i s c h e n I d e a l f o r m verh ä l t n i s m ä ß i g n u r k l e i n , so d a ß d i e H o f m a n n s c h e n

E r g e b n i s s e bei i h n e n eine B e u r t e i l u n g

Verluste

Formstücken4)

sind

möglich

machen.

Bei

den

handelsüblichen

die v e r h ä l t n i s m ä ß i g e n A b w e i c h u n g e n

von

der geometrischen

f ü r sog.

der

Gasrohrleitungen

Idealform jedoch

bedeutend,

u n d es w a r z u e r w a r t e n , d a ß d a d u r c h d i e V e r l u s t e g a n z a n d e r s a u s f a l l e n . D e n n o c h s i n d d i e A n g a b e n d i e s e r F o r s c h e r f ü r die v o r l i e g e n d e U n t e r s u c h u n g w e r t v o l l .

D e n n z u m Teil k ö n n e n sie d i e R i c h t i g -

k e i t m e i n e r E r g e b n i s s e e r h ä r t e n , z u m a n d e r e n Teil e r l a u b e n sie d i e A n t e i l e d e r e i n z e l n e n V e r l u s t q u e l l e n a b z u s c h ä t z e n , z. B. d i e V e r s u c h e v o n H o f m a n n d e n E i n f l u ß d e r K r ü m m u n g u n d d e r U m lenkung. E s d a r f a n g e n o m m e n w e r d e n , d a ß s i c h alle d i e g e n a n n t e n E i n f l ü s s e bei d e n F o r m s t ü c k e n im s e l b e n S i n n e a u s w i r k e n .

verschiedenen

D a h e r wird die p l a n m ä ß i g e U n t e r s u c h u n g dieser

Ein-

f l ü s s e bei e i n i g e n A r t e n v o n F o r m s t ü c k e n — g l e i c h e B e d i n g u n g e n v o r a u s g e s e t z t — w e r t v o l l e S c h l ü s s e auch f ü r das Verhalten der übrigen

ermöglichen.

Die V e r s u c h e , ü b e r d i e i m f o l g e n d e n b e r i c h t e t w i r d , b e s c h r ä n k e n sich a u f B ö g e n u n d W i n k e l s t ü c k e , weil d i e s e F o r m s t ü c k e a m h ä u f i g s t e n b e n u t z t w e r d e n ; sie l i e f e r n z u d e m übersichtliche Ströme

verhältnismäßig

Ergebnisse; d e n n bei ihnen f i n d e t keine T e i l u n g o d e r Vereinigung

verschiedener

statt.

I. V u s k o v i c , „ D e r S t r ö m u n g s w i d e r s t a n d von geraden G a s r o h r e n " . ) B r a b b e e , Reibungs- u n d Einzelwiderstände in Warmwasserheizungen. H e f t "5 der Mitteilungen der P r ü f u n g s a n s t a l t f ü r Heizung u n d L ü f t u n g , Berlin 1913. 3 ) A. H o f m a n n , Der Verlust in 9 0 ° - R o h r k r ü m m e r n m i t gleichbleibendem Kreisquerschnitt. H e f t 3 der Mitteilungen des Hydr. Inst, der T. H. München, 1929. 4 ) W e n n im folgenden einfach von „ F o r m s t ü c k e n " gesprochen wird, so sind d a m i t die handelsüblichen F o r m s t ü c k e f ü r Gasrohrleitungen ( „ T e m p e r g u ß f i t t i n g s " ) gemeint. 2

*) D 91. 4*

Der Strömlingswiderstand v o n Formstücken f ü r Gasrohrleitungen (Fittings).

52

II. Untersuchte Formstücke (Fittings). 1. Die H e r s t e l l u n g der F o r m s t ü c k e . Eiie die E r g e b n i s s e d e r V e r s u c h e m i t g e t e i l t w e r d e n , soll k u r z auf die H e r s t e l l u n g d e r F o r m stiicke eingegangen

werden.

N a c h A n g a h e d e s W e r k e s , w e l c h e s die F o r m s t i i c k e h e r g e s t e l l t h a t , w e r d e n d i e s e a u s T e m p e r guß folgender

Zusammensetzung Fe

C

Mn

Si

P

S

95,47

3,20

0,40

0,60

0,08

0,25

h e r g e s t e l l t , d e r l e i c h t f l ü s s i g u n d g u t v e r g i e ß b a r ist.

Formen und

vH

Kerne werden

auf

Maschinen

h e r g e s t e l l t , die so e i n g e r i c h t e t s i n d , d a ß die K e r n m a s c h i n e die f e r t i g e n K e r n e s e l b s t t ä t i g in die F o r m einlegt.

Die Abgüsse w e r d e n nach d e m P u t z e n „ g e t e m p e r t " .

Nach dem Tempern

die F o r m s t ü c k e e r n e u t g e p u t z t , s o w e i t e r f o r d e r l i c h g e r i c h t e t u n d b l a n k

werden

gescheuert.

E i n g r o ß e r Teil d e r F o r m s t i i c k e w i r d f e u e r v e r z i n k t , u m sie v o r R o s t zu s c h ü t z e n .

Zu d i e s e m

Z w e c k e w e r d e n d i e in S a l z - u n d F l u ß s ä u r e g e b e i z t e n F o r m s t i i c k e , d i e auf G a b e l n a u f g e s t e c k t s i n d , k u r z e Z e i t in ein F l u ß m i t t e l u n d d a n n in d a s 4 5 0 ° C w a r m e Z i n k b a d e i n g e t a u c h t . Verlassen des Z i n k b a d e s w e r d e n Zinküberzug blank

d i e S t ü c k e in k a l t e m

Sofort nach dem

Wasser kurz abgeschreckt, wodurch

der

wird.

Die R a u h i g k e i t f e u e r v e r z i n k t e r F o r m s t i i c k e ist w e s e n t l i c h g e r i n g e r als die d e r f e u e r v e r z i n k t e n G a s r o h r e g l e i c h e r N e n n l i c h t w e i t e , d a die v e r h ä l t n i s m ä ß i g k u r z e n F o r m s t i i c k e v o r d e m

Verzinken

viel b e s s e r g e r e i n i g t w e r d e n k ö n n e n als die l a n g e n G a s r o h r e ; i n s b e s o n d e r e t r i t t bei d e n F o r m s t ü c k e n keine Verzinkungsspur1)

auf. 2. B e s c h r e i b u n g der u n t e r s u c h t e n

Formstücke.

D a s g e s c h i l d e r t e H e r s t e l l u n g s v e r f a h r e n d e r F o r m s t i i c k e b r i n g t es m i t sich, d a ß d i e S t ü c k e d e r s e l b e n A r t u n d G r ö ß e u n t e r sich e r h e b l i c h e , j e d e m S t ü c k e i g e n t ü m l i c h e V e r s c h i e d e n h e i t e n (z. B. d e r R a u h i g k e i t , A b w e i c h u n g e n v o n d e n S o l l m a ß e n ) a u f w e i s e n . D e s w e g e n h a b e ich v o n j e d e r A r t u n d G r ö ß e d e r F o r m s t i i c k e , d i e ich u n t e r s u c h e n w o l l t e , a u s d e n B e s t ä n d e n e i n e r G r o ß h a n d e l s f i r m a je vier f e u e r v e r z i n k t e S t ü c k e a u s g e w ä h l t , deren B e s c h a f f e n h e i t u n d R a u h i g k e i t m i t t l e r e n V e r h ä l t n i s s e n zu e n t s p r e c h e n s c h i e n . D a b e i fiel m i r a u f , d a ß d i e f e u e r v e r z i n k t e n F o r m s t i i c k e erh e b l i c h g l e i c h m ä ß i g e r e O b e r f l ä c h e z e i g t e n als die G a s r o h r e . N a c h A n g a b e des L i e f e r e r s e n t s p r e c h e n alle F o r m s t i i c k e d e n D I N - N o r m e n f ü r T e m p e r g u ß - F i t t i n g s . In d e r Z a h l e n t a f e l 1 s i n d f ü r die g e n a n n t e n A r t e n die h a u p t s ä c h l i c h e n A b m e s s u n g e n j e d e r u n t e r s u c h t e n G r ö ß e z u s a m m e n g e s t e l l t . Als N e n n l i c h t w e i t e w i r d b e i m F o r m s t i i c k d i e g l e i c h e A n g a b e g e m a c h t wie bei d e m G a s r o h r , m i t d e m es v e r s c h r a u b t w i r d , also z. B. l a n g e r B o g e n 9 0 ° m i t zwei M u f f e n 1" h a t in d e n M u f f e n M u t t e r g e w i n d e R 1", w ä h r e n d auf d a s G a s r o h r A u ß e n g e w i n d e R 1" aufgeschnitten wird.

A b b . 1.

Untersuchte

Formstiicke.

In d e r A b b . 1 s i n d s ä m t liche u n t e r s u c h t e n Formstiicke ( v o n j e d e r G r ö ß e j e ein S t ü c k ) dargestellt. Die aufgemalten Pfeile dienten zur U n t e r s c h e i d u n g der beiden S t r ö m u n g s r i c h t u n g e n bei d e n V e r s u c h e n .

Die G e w i n d e l ä n g e d a r f n a c h d e r N o r m bis 15 v H k ü r z e r sein als in d e r Z a h l e n t a f e l a n g e g e b e n ist. D a s G e w i n d e r e i c h t n i c h t g a n z bis a n d e n G r u n d d e r M u f f e . S c h r a u b t m a n in eine M u f f e ein G a s r o h r ein, so e n t s t e h t a m ') 1. V u s k o v i e ,

a. a. O.

Der

Stninuingswklerstaiul

vun Formsliickeii

für üasrolirleitungen

Zahlentafcl

l 7 i) r i u

Bezeichnung DIN

Langer Bogen mit

Innengew. ü 1

DIN

2959

55

32

2,13

16

25

27,0

85

52

2,08

22

40

41,25

MG

80

2,00

25

50

52,5

140

100

2,00

28

15

15,75

45

25

1,67

16

35

1,40

22

55

1,37

25

08

1,36

28

40

41,25

50

25

50

52,5

58

28

15

15,75

30

32

2,13

16

25

27,0

44

52

2,08

22

40

41,25

56

80

2,00

25

50

52,5

66

100

2,00

28

15

15,75

36

32

2,13

16

25

27,0

52

52

2,08

22

40

41,25

68

80

2,00

25

50

52,5

81

100

2,00

28

15

15,25

38

19

1,27

16

1"

25

27,0

102

51

2,04

22

Ì Va"

40

41,25

102

51

1,27

25

2"

50

52,5

127

63,5

1,27

28

2959 2" i

It

"

Kb 1 2960

15,75

22

G 1/45»

DIN

15

33

Bogen

offen

2999

27,0

2959

Doppelbogen

mm

25

Innengew.

DIN

mm

16

V Langer

Dilli

28

0 1/30°

mit

H

15,75

Innengew.

DIN

" '

Gewindelänge b mm DIN

a

15

Langer Bugen ! mit

I.

NennM i t t l . tat säe hl. licht- i Lichtweite weite Forinzugeh. engl. stück Uk Gasr. du Zoll mm min

1 /.

53

(Eittings).

54

Der S t r ü m u n g s w i d e r s t a n d

v o n F o r m s t ü c k e n für G a s r o h r l e i t u i i g e n ( H t t i n g s ) .

G r u n d der M u f f e ein Z w i s c h e n r a u m , dessen W e i t e je n a c h Zufall v e r s c h i e d e n ist. In d e r Zalilentafel II ist a n g e g e b e n , uin welche B e t r ä g e d a s M u f f e n g e w i n d e k ü r z e r sein darf als in d e r Z a h l e n tafel I a n g e g e b e n ist. U m e t w a den gleichen B e t r a g wird d a n n der Z w i s c h e n r a u m am M u f f e n g r u n d vergrößert. Zahlentafel

II.

Nennlichtweite e n g l . Zoll

N o r m a l e Gewindelänge b mm

Z u l ä s s i g e Gewinde-Kürzung 0,15-ft mm

¡1 1"

16

2,4

22

3,3

17 2 "

25

3,75

28

4,2

2"

III. Begriffsbestimmung des Widerstandsbeiwertes von Krümmern. Der W i d e r s t a n d s b e i w e r t eines K r ü m m e r s darf n i c h t e i n f a c h a u s d e m D r u c k u n t e r s c h i e d Ap in d e r R o h r l e i t u n g u n m i t t e l b a r v o r u n d h i n t e r d e m K r ü m m e r b e s t i m m t w e r d e n ( e t w a als V e r h ä l t nis dieses D r u c k u n t e r s c h i e d e s zu d e m der m i t t l e r e n G e s c h w i n d i g k e i t im g e r a d e n R o h r gleicher A D L i c h t w e i t e e n t s p r e c h e n d e n S t a u d r u c k , also f = — — ) ; d e n n bei diesem Vorgehen w ä r e keine Riick? „2

2

v

sieht d a r a u f g e n o m m e n , d a ß die S t r ö m u n g in der R o h r l e i t u n g d u r c h die U m l e n k u n g s c h o n in der g e r a d e n S t r e c k e v o r d e m K r ü m m e r u n d erst r e c h t in d e m an den K r ü m m e r a n s c h l i e ß e n d e n Teil v e r ä n d e r t wird g e g e n ü b e r d e r S t r ö m u n g im geraden R o h r o h n e K r ü m m e r ; dieser als Vor- bzw. N a c h w i r k u n g des K r ü m m e r s b e z e i c h n e t e E i n f l u ß m u ß d e m K r ü m m e r zur Last gelegt w e r d e n . Es ist d a h e r n o t w e n d i g , die D r u c k m e ß s t e l l e n v o m K r ü m m e r weg in die g e r a d e n Z u l e i t u n g s - bzw. A b l e i t u n g s r o h r e zu legen, u n d z w a r sollt« — n a c h V o g e l 1 ) u n d H o f m a n n 2 ) — die v o r d e m K r ü m m e r liegende Meßstelle (1), e t w a eine S t r e c k e L x gleich der l O f a c h e n L i c h t w e i t e des g e r a d e n A n s c h l u ß r o h r e s v o m E i n t r i t t s q u e r s c h n i t t des K r ü m m e r s e n t f e r n t sein, die h i n t e r d e m K r ü m m e r a n g e o r d n e t e Meßstelle (2) m i n d e s t e n s u m eine S t r e c k e L 2 gleich der 5 0 f a c h e n L i c h t w e i t e des g e r a d e n R o h r e s von A u s t r i t t des K r ü m m e r s e n t f e r n t sein. Auch bei diesem V e r f a h r e n darf m a n nicht e r w a r t e n , d a ß der g e m e s s e n e D r u c k u n t e r s c h i e d den K r ü m m e r w i d e r s t a n d richtig w i e d e r g i b t ; v i e l m e h r ist in diesem U n t e r s c h i e d d e r R e i b u n g s v e r l u s t in den A n s c h l u ß r o h r e n zwischen den Meßstellen e n t h a l t e n . Dieser m u ß g e s o n d e r t gemessen u n d in R e c h n u n g gestellt w e r d e n . Es ergibt sich s o n a c h f o l g e n d e B e z i e h u n g f ü r den g e s a m t e n D r u c k u n t e r s c h i e d zwischen den beiden Meßstellen (1) u n d (2): A p 1,2 y

/; I i y ' ; .A? . 2 J

big Re b) W i d e r s t a n d s l i n i e n d e s kurzen Bogens von 1" Nennlichtweite. A b b . 5 a — 5 b.

i

5

Der S t r ö m u n g s w i d e r s t a n d

von F o r m s t ü c k e n für Qasrohrleitungeii ( F i t t i n g s ) .

eingedrückt

nicht ausge füllt

S S

30

1 2 3

«

S

6

7 8 9 w

1 2

3 0 S

6

7 8 9 so

1 2

log R e c) Widerstandslinicn des

kurzen Bogens

von

IV,"

Nennlichtweite.

d) Widerstandslinien des kurzen B o g e n s von 2 "

Nennlichtweite.

log Re

Abb.

5c—5d.

3

* S

59

Der S t r ü i n u n g s w i d e r s t a n d

üO

vun l'orinstücken für Uasroliileitiingen (l'itlings). Der W i d e r s t a n d

\

•fj"

H

eines

Bogens

mit „ausgefülltem Übergang"

—•

n

scheidet

\

"dem

Kur/. •p ßn yen

//

r

k \

springenden

\

• w

..

eines

von

Kreiskriim-

Kanten

mit

gleicher

Lichtweite

flanscht

ist

mit

kriimmer

oder

La nqet loqen

sind

Hofmann1)

Vä

0,5

\

\

-

. . .— . h— -1 V

-

1"

...

—

-

- -

-

••1

i>f

Z"

3

3iS

1 i C 7 S 9 w

1 2

3 « „j 6

7 8 9

1 2 3 *

i 0

S.S

3 f

'

3S

S

7 8 9

%01

.....

2 3 t 45 6

log Re

7 8 9

I M

1 2 3 « ¿¡s 6

log

d ) 30°-Bögen.

e) 45°-Bögen.

\

\ \

\

\

\ --1 4"

\

\ "0 'S \

i

•v

1"

I

Vz" 2"

A b b . 16d — 16f. Mittlere W i d e r standslinien d e r u n t e r s u c h t e n Formstücke.

f) 180°-Doppelbögen.

3

1

35

6

I i 7 S 9 ¡,0 1 2 3 1 t,5 6 7 8 9 5ß log De

1 2 3

4 s.S

6

Der Strömungswiderstand von Formstücken für Gasrohrleitungen (Fittings). 22

$0•w

Ab k ü r z u n g e n : 90°L B =c langer 90»-Bogen 90» K B = k u r z e r 90°-Bogen 90» W = 90»-Winkel 30» B = 3 0 » - B o g e n 45» B