Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 1 Affinität und Perspektive ebener Figuren [Reprint 2019 ed.] 9783111441368, 9783111075129

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Lehrbuch der

Darstellenden Geometrie für

den Gebrauch an technischen Hochschulen, mittleren gewerblichen und technischen Lehranstalten, Kunstgewerbeschulen, Fortbildungsschulen usw. und für das Selbststudium bearbeitet von

Prof. Erich Geyger, Oberlehrer an der Kgl. Baugewerkschule in Kassel

I. Teil Affinität undPerspektivität ebener Figuren. Perspektive, involutorische und harmonische Grundgebilde. Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Die orthogonale axonometrische und schiefe Projektion. Zylinder, Kegel, Kugel; ebene und Raumkurven. Schnitte und Abwickelungen. Durchdringungen.

Mit zahlreichen angewandten Beispielen und 290 Figuren

Leipzig G. J. Gôschèn'sche Vörlagshandlung 1906

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Spamersche Buchdruckerei in Leipzig-R.

Vorwort. Die Herausgabe des vorliegenden Buches wurde durch den an mich ergangenen, ehrenden Auftrag der Verlagsfirma veranlaßt, das gleichfalls von ihr verlegte Werk einer darstellenden Geometrie des Herrn Dr. S c h r o e d e r in Hamburg (von welchem nur der erste Band erscheinen konnte) fortzusetzen. In unserem technisch induktiven Zeitalter braucht kaum noch darauf hingewiesen zu werden, daß für alle Zweige der Technik und des Handwerks die Notwendigkeit vorliegt, in ausgedehntester Weise die Zeichenkunst zu verwerten, wenn Erdachtes festgehalten und ein Ideenaustausch vermittelt werden soll. Soll das Zeichnen ein Entwerfen sein, so ist das nur auf Grund einer geübten Raumanschauung möglich. Ein erfolgreiches Eindringen in die Gebiete der Naturwissenschaften und der technischen Fächer geht Hand in Hand mit der Ausbildung des BaumanschauungsVermögens, das vielen, namentlich denen, die sich zum Studium der naturwissenschaftlich-mathematischen Disziplinen hingezogen fühlen, von Natur aus eigen ist, bei anderen aber erst gehörig entwickelt und geschärft werden muß. Das einzige Mittel hierzu aber ist die Wiedergabe von Körpern auf Grund geometrischer Gesetze, d. h. ,,die darstellende Geometrie". Jeder, der die Ideen des Entwerfenden richtig erfassen, das nach geometrischen Grundsätzen richtig Entworfene auch richtig verstehen will, muß Beherrscher dieser Wissenschaft sein. Die Erkenntnis, daß auch für das Handwerk die Kunst des Zeichnens nicht nur nutzbringend und förderlich, sondern für die meisten Zweige desselben unbedingt notwendig sei, erklärt die in den letzten Jahren vollzogenen zahlreichen Gründungen von gewerblichen Fortbildungs- und Handwerkerschulen aller Art. An letzteren Anstalten und den technischen Mittelschulen bilden die zeichnerischen Fächer die größere Zahl von

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Vorwort.

Lehrgegenständen; an diesen Schulen tritt die formale bzw. allgemeine Bildung fast gänzlich zurück, die direkte Vorbereitung für das praktische Leben, für den zu ergreifenden oder schon ergriffenen Beruf bildet hier die Unterrichtsmaxime. Daher kann und darf an diesen Anstalten die darstellende Geometrie, ohne die kein richtiges Zeichnen denkbar ist, niemals Nebenfach, sondern nur Hauptlehrgegenstand sein, denn diese ist das vermittelnde Element, die verbindende Brücke zwischen Theorie und Praxis. Die darstellende Geometrie darf daher niemals rein theoretisch, sie muß praktisch anschaulich vorgetragen werden. Das soll aber nicht heißen ohne jede Theorie; diese kann im gründlichen Unterrichte nicht entbehrt werden, ihr Wert und ihre Bedeutung sind den Schülern sofort durch Anwendung derselben auf praktische Beispiele zweckmäßig vor Augen zu führen. Die Hauptaufgabe der darstellenden Geometrie ist hiernach, die Gesetze für das Abbilden solcher Gebilde zu lehren, denen wir später als Formenelemente bei den praktisch vorkommenden Gegenständen begegnen. Da das Schülermaterial hierzu mathematisch nicht vorgebildet ist, sind bei der Durcharbeitung von Aufgaben die analytischen Lösungen möglichst auszuschließen und, wo es nur angeht, die graphischen in den Vordergrund zu stellen. Es empfiehlt sich dies auch schon aus dem Grunde, weil größere algebraische Operationen keineswegs die Vorstellungskraft beanspruchen, deren Verständnis vielmehr ein größeres mathematisches Wissen und eine Gewandtheit im Rechnen voraussetzt, die für das Studium der darstellenden Geometrie entbehrlich ist. Die Kenntnis der grundlegenden Lehrsätze der Planimetrie und Stereometrie, einschließlich des Begriffes der trigonometrischen Funktionen, der variablen und konstanten Größen wie des Verfahrens der Festlegung eines Punktes durch seine Koordinaten genügt, um die Darlegungen dieses Buches zu verstehen. Um aber dem Leser die Eigenschaften der Figuren, die durch das Projizieren von ebenen Figuren und Baumgebilden erhalten werden, beweisen zu können, war es erforderlich, auf die fundamentalen Sätze und Begriffe der Geometrie der Lage einzugehen. Mit der schon erwähnten Schaffung von gewerblichen Fortbildungsschulen, Handwerkerschulen und technischen Mittelschulen ist allerdings ein bedeutender Schritt getan, doch das zu erstrebende Ziel ist noch nicht erreicht. Die Erfolge blieben weit hinter den gehegten Erwartungen zurück; es fehlten offenbar geeignete Lehrkräfte. Das beweisen die lebhaften Debatten und Erörterungen

Vorwort.

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auf den in den letzten Jahrzehnten abgehaltenen Versammlungen der berufenen Vertreter dieser Anstalten über den Zeichenunterricht und die Beschaffung von Lehrkräften. Die Lösung der gekennzeichneten Aufgabe bietet eben dem Lehrenden, der kein volles mathematisches bzw. Fachstudium aufzuweisen vermag, doch mehr Schwierigkeiten, als man gemeiniglich annimmt. Erfahrungsgemäß hat dies seinen Grund darin, daß hier das durch die verschiedenen Lehrbücher Gebotene zum größten Teile versagt, obgleich die Zahl der dieses Gebiet behandelnden Lehr- und Lernbücher nicht gering ist. Der erfahrene Lehrer wird unter der großen Menge selten eins finden, das ihn vollauf befriedigt. Das eine behandelt den Stoff völlig abstrakt, es bringt die Grundkörper, sonst nichts, gibt einige Konstruktionen, umgeht aber deren Beweis; ein anderes sucht fast ausschließlich an angewandten Beispielen die Konstruktionsverfahren klarzulegen, eine Erklärung des Ergebnisses der Konstruktion aber fehlt. Kreisprojektionen finden sich in jedem Lehrbuch über darstellende Geometrie, aber auf die projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte wird in der Regel nicht eingegangen. Durchdringungen von Zylinder- und Kegelflächen werden auch stets vorgetragen, das Ergebnis der Konstruktion wird aber nicht erklärt. Kann ein solches Buch den strebenden Lehrer zufrieden stellen, wenn es ihm nicht beweist, daß das Ergebnis nur eine Baumkurve, in diesem besonderen Falle aber eine ebene Kurve sein kann? Will aber der Leser auf solche und ähnliche Fragen Antwort haben, so heißt es für ihn, sich durcharbeiten durch umfangreiche Bände, die diese Gebiete behandeln. Dem Lehrenden und Lernenden hier zu Hilfe zu kommen, war bei der Abfassung dieses Buches mein Bestreben. Das Gebotene umfaßt im Verein mit dem Dr. Schroederschen Bande sowohl den Lehrstoff aller technischen Mittelschulen wie den für die Studierenden an technischen Hochschulen in den ersten Semestern ihres Studiums. Bei Durcharbeitung desselben war entsprechend den vorausgeschickten Erwägungen allein der Gesichtspunkt maßgebend, ihn unter Wahrung seines wissenschaftlichen Charakters möglichst für den Unterricht verwertbar zu gestalten und jedem, auch dem, der der höheren Mathematik nicht kundig ist, verständlich zu werden. Von der Aufnahme der Schattenkonstruktionen, Beleuchtungslehre und der Zentralperspektive ist im vorliegenden Buche abgesehen, für die Behandlung dieser Kapitel der darstellenden Geometrie vielmehr ein zweiter

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Vorwort.

Band vorgesehen worden, damit das Buch nicht zu unhandlich werde. Beabsichtigt wird, in einem dritten Bande die zyklischen Linien, Schraubenlinien und Schraubenflächen, die Flächen zweiten Grades, Regelflächen usw. zu behandeln. Es drängt mich, an dieser Stelle meinem hochgeschätzten Kollegen, Herrn Architekt und Königl. Oberlehrer Baumann in Kattowitz, der mir mit seinen reichen Erfahrungen bei der Auswahl und Lösung der behandelten Aufgaben stets hilfsbereit zur Seite stand, hiermit meinen herzlichsten Dank auszusprechen, und mit diesem Danke verbinde ich zugleich die dringende Bitte an die Herren Fachkollegen, mir etwaige Wünsche auf Änderungen ohne Bückhalt anzuzeigen, damit dieselben bei einer späteren Auflage berücksichtigt werden können. Möge das Buch an seinem Teile dem gewerblichen Schulwesen wie der gewerblichen Praxis zugute kommen. K a s s e l , im Juli 1906. Der Verfasser.

Inhalts-Verzeichnis. I. Kapitel. Kongruenz, Ähnlichkeit, Affinität und Perspektivität ebener Figuren.

Seite

1. Zentralprojektion einer Ebene auf eine zweite Ebene 1 2. Das Projektionszentrum ändert seine Lage. Die schiefe und die orthogonale Parallelprojektion, die Affinität bei affiner Lage . . "2 3 Die Bildebene ändert ihre Lage; Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage . Projektionszentrum und Achse liegen im Unendlichen; kongruente Figuren 3 3. Kongruenz der Figuren; homologe Stücke kongruenter Figuren. Kongruente Figuren in perspektiyer Lage -i Kongruente Figuren in einer Ebene. Kongruente Dreiecke . . . ".> 4. Ähnlichkeit ebener Figuren, Ähnliche Figuren in ähnlicher Lage. Bestimmung des Ähnlichkeitszentrums nach einer Parallelverschiebung der Bildebene "> 7 Vereinigung von Bild- und Originalebene. Ähnlichkeitszentra zweier bzw. dreier Kreise. Satz des M o n g e 7 —i) Drei paarweise ähnlich liegende Figuren im Räume lu

A f f i n i t ä t ebener Figuren. 5. Schiefe und orthogonale Parallelprojektion. Affinität bei affiner Lage. Affine und affin gelegene Figuren im Räume 10- 11 Das Verhältnis je zweier Strecken einer Geraden, bzw. je zweier paralleler Strecken ist dem ihrer Bilder gleich 11 Affin gelegene gleiche Winkel; drei paarweise affin liegende Figuren. Drehung der Bildebene u m die Affinitätsaclise 12--14

A f f i n e und a f f i n g e l e g e n e F i g u r e n einer E b e n e ; die E l l i p s e . 6. Eigenschaften der affinen und affin gelegenen Figuren einer Ebene. Konstruktion einer affinen und affin gelegenen Figur zu einer gegebenen Figur. Affin gelegene gleiche Winkel. Die affine Figur eines Kreises: Die Ellipse. Die Achsen, die Scheitel und die konjugierten Durchmesser einer Ellipse 14 -17 Die entsprechenden Geraden der Kreistangenten sind Ellipsentangenten. Die Konjugierten-Parallelogramme 17 Die Hauptellipse eines Parallelogramms 18

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A f f i n e Figuren einer Ebene, die sich nicht in affiner Lage befinden. Seite

7. Die allgemeinen Gesetze der Affinität 18 Die Affinität ist durch drei Paare entsprechender Punkte bestimmt Darstellung affiner Parallelensysteme 19—21 Ermittlung des sich selbst entsprechenden Punktes 21 22 Herstellung der affinen Lage zweier affiner Figuren Das Verhältnis der Flächen irgend zweier affiner Figuren ist konstant 23—24

E l l i p s e n k o n s t r u k t i o n e n . Metrische Beziehungen zwischen den Achsen und den konjugierten Durchmessern einer Ellipse. 8. Kreis und Ellipse einer Ebene können immer als affine Figuren angesehen werden 24 a) Vier Konstruktionen der Ellipse aus den Achsen 24—25 b) Konstruktion der Tangente einer Ellipse: 1. Aus einem Punkte der Achse 26 2. Aus einem beliebigen Punkte der Ellipsenebene . . . . 26 3. Konstruktion der Tangente und Normalen eines Ellipsenpunktes 26 Inhalt einer Ellipse 26 c) Konstruktion der Ellipse aus konjugierten Durchmessern . . 27 Tangente und Normale in einem Ellipsenpunkte . . . . . . 28 Ellipsentangente aus einem beliebigen Punkte der Ellipsenebene. Ermittlung der Achsen der Ellipse 28 d) Metrische Beziehungen zwischen konjugierten Durchmessern und den Achsen einer Ellipse 29 Konjugierte Durchmesser, die den kleinsten Winkel einschließen; komplementäre Sehnen 30—31 Das Produkt der Abschnitte einer Ellipsentangente ist gleich dem Quadrate des parallelen Halbmessers 31 Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern 32 e) Zwei weitere Konstruktionen der Ellipse aus konjugierten Durchmessern 32—34

P e r s p e k t i v i t ä t ebener Figuren. 9. Zentralprojektion einer ebenen Figur 34 Der unendlich ferne Punkt einer Oeraden und eines Parallelensystems; Fluchtpunkt und Fluchtlinie 35 Die unendlich ferne Gerade einer Ebene 36 Verschwindungspunkt und Verschwindungslinie 36 Bestimmung der Perspektivität zweier Ebenen 36 Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Projektions37 achse; drei paarweise Perspektive Figuren Vereinigung der Original- und Bildebene 38 10. Die Zentralprojektion oder Zentralkollineation in der Ebene . . . 39 Eigenschaften perspektiver Figuren; Bestimmungsstücke der Zentralkollineation in der Ebene 39—40 Fundamentalkonstruktionen 41—42

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II. Kapitel. Perspektive, involutorische und harmonische Grundgebilde. Seite

11. Die einförmigen Grundgebilde. Die perspektive Lage zweier Grundgebilde; projektive Gebilde 43—44 Das Doppelverhältnis oder das anharmonische Verhältnis von vier Punkten bzw. vier Strahlen 45 12. Der Wert eines anharmonischen Verhältnisses; Vertauschbarkeit der Punkte in einem Doppelverhältnis ohne Änderung seines Wertes 46—47 13. Die verschiedenen Werte eines Doppelverhältnisses bei Änderung der Lage eines Elementes; harmonische Punkte 47—4!> 14. Die projektive Beziehung zweier Grundgebilde ist durch drei Paare entsprechender Elemente bestimmt 49—5o Herstellung der perspektiven Lage zweier projektiven Gebilde . . 51 15. Perspektive Punktreihen; die Gegenpunkte 52 Projektive Punktreihen. Die perspektive Beziehung zweier Punktreihen ist bestimmt, wenn man drei Paare von Elementen willkürlich als entsprechend annimmt 52—53 Projektive Punktreihen können in die perspektive Lage gebracht werden; die perspektive Lage zweier Punktreihen wird nicht aufgehoben, wenn man die eine um den gemeinsamen P u n k t dreht 53—54 Die Potenz der projektiven Beziehung; die Potenzpunkte . . . 54—56 Gleiche Strecken in perspektiven Punktreihen 56—5S 16. Perspektive Strahlbüschel. Perspektivitätsachse 58 Projektive Strahlbüschel. Zwei Strahlbüschel, bestehend aus drei willkürlich gewählten Strahlen, können in eine solche Lage gebracht werden, daß die Schnittpunkte entsprechender Strahlen auf einer Geraden liegen bzw. drei Paare entsprechender Strahlen bestimmen die Perspektivität der Büschel 5!l Kongruente Strahlbüschel. Die Rechtwinkelpaare projektiver Strahlbüschel; die Potenz der projektiven Beziehung 6U—(¡1 Potenzstrahlen tj-> Systeme entsprechender gleicher Winkel (¡3 17. Die Doppelelemente der aufeinander liegenden projektiven Gebilde Gleichlaufende und ungleichlaufende Punktreihen (¡3—(¡7 Konstruktion der Doppelpunkte 66—(iS Aufeinander liegende ungleichlaufende und gleichlaufende Strahlbüschel 69 18. Involutorische Punktreihen; gleichlaufende und ungleichlaufende Involution 69—71 Die Potenz und Potenzpunkte der gleichlaufenden oder elliptischen Involution 71 70 Die Doppelpunkte der ungleichlaufenden oder hyperbolischen Involution -•> Konjugierte Punkte einer hyperbolischen Involution werden durch die Doppelpunkte harmonisch getrennt 72 Die parabolische Involution 73 19. Involutorische Strahlbüschel; Potenzstrahlen; Doppelstrahlen . 73—75

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20. Harmonische Punkte und harmonische Strahlen; Vertauschbarkeit der Punkte der harmonischen Reihe 75—76 Lehrsätze 76 Harmonische Punkte und Strahlen bei Dreiecken und Vierecken 76—80

III. Kapitel. Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Die Potenz eines P u n k t e s in bezug auf e i n e n Kreis; P o t e n z l i n i e zweier Kreise. 21. Die Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis 81 Die Potenzlinie oder Chordale zweier Kreise; die Chordale sich schneidender, sich berührender und konzentrischer Kreise . . 82—83 Der Chordalpunkt dreier Kreise 83 Der Potenz- oder Orthogonal kreis dreier Kreise 84 Der eine von zwei Kreisen einer Ebene kann immer als Zentralprojektion des andern angesehen werden j Perspektivitätsaclise ist die Chordale, Projektionszentrum der Ähnlichkeitspunkt . 84—86 22. P r o j e k t i o n e i n e s K r e i s e s i n s i c h s e l b s t . Polare eines Punktes und Pol einer Geraden in bezug auf einen Kreis. Ein gegebener Kreis wird durch eine involutorische Zentralprojektion, der Zentrum 0 und deren Achse als Pol und Polare des Kreises entsprechen in sich selbst übergeführt 86—88 Folgerung; Kreisbüschel 88—89 23. Eine Involution ist durch zwei Paare konjugierter Punkte bestimmt. Ermittlung des Mittelpunktes und der Doppelpunkte einer ungleichlaufenden Involution, desgleichen neuer Punktepaare. Ermittlung des Mittelpunktes und weiterer Punktepaare einer gleichlaufenden Involution. Involution rechter Winkel . 90—91 24. Harmonische Pole und Polaren eines Kreises 91 Polare eines Punktes und Pol einer Geraden in bezug auf einen Kreis 91—94 25. Polardreiecke eines Kreises. Satz vom Tangentenvierecke . . . 94—95 Lehrsatz des P a s c a l 06—97 Satz von Sehnenfünfeck und Dreieck. Kongruente Strahlbüschel und Punktreihen am Kreise 98—100 Satz des B r i a n c h o n .. 100 Satz von den Ecktransversalen nach den Berührungspunkten des eingeschriebenen Kreises eines Dreiecks 101

E n t s t e h u n g der K e g e l s c h n i t t e aus der Zentralp r o j e k t i o n des Kreises. 26. Wiederholung. Die Kegelschnitte sind Zentralprojektionen des Kreises. Ellipse, Parabel, Hyperbel; jeder Kegelschnitt ist eine geschlossene Kurve 102—104 27. Eigenschaften des Kreises sind auch Eigenschaften der Kegelschnitte. Pole und Polaren der Kegelschnitte . ' 105 Konjugierte Pole und Polaren der K e g e l s c h n i t t e 1 0 6 — 1 0 7

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28. Jede Gerade der Ebene eines Kegelschnittes ist Träger einer Involution harmonischer Pole, jeder P u n k t Scheitel einer I n v o l u t i o n harmonischer Polaren 107—lOi Konstruktion harmonischer Pole 109—110 Uli Hyperbolische, parabolische u n d elliptische I n v o l u t i o n Durchmesser u n d Mittelpunkt des Kegelschnittes 1 lu—Iii Konjugierte Durchmesser eines Kegelschnittes 112 Die P a a r e konjugierter Durchmesser bilden a m Mittelpunkt des Kegelschnittes zwei involutorische S t r a h l b ü s c h e l ; die Durchmesser der Parabel 112 Die oo ferne Gerade einer Ebene k a n n keine Gerade von bes t i m m t e r R i c h t u n g sein 112 Vom ein- u n d umgeschriebenen P a r a l l e l o g r a m m eines Kegelschnittes Die T a n g e n t e n von den P u n k t e n einer Geraden an e i n e n Kegelschnitt schneiden eine beliebige K e g e l s c h n i t t t a n g e n t e in P u n k t e n einer Involution 118 Die Achsen eines Kegelschnittes sind die K e c h t w i n k e l s t r a h l e n der Involution, die zwei P a a r e k o n j u g i e r t e r Durchmesser b e s t i m m e n : die Asymptoten sind Doppelstrahlen dieser I n v o l u t i o n 114

Erzeugung der K e g e l s c h n i t t e durch p r o j e k t i v i s c h verwandte Punktreihen und Strahlbüschel. 29. E n t s t e h u n g einer ebenen K u r v e . P u n k t k u r v e von beliebiger Ordnung, P u n k t - oder O r d n u n g s k u r v e . Strahlbüschel von beliebiger Klasse, Strahlen- oder K l a s s e n k u r v e 114—IIS 30. Die entsprechenden S t r a h l e n zweier projektiver Strahlbüschel erzeugen durch ihren S c h n i t t eine P u n k t r e i h e zweiter O r d n u n g 118—119 Zwei Konstruktionen dieser P u n k t r e i h e . Eine P u n k t k u r v e zweiter Ordnung ist d u r c h fünf P u n k t e vollständig bestimmt. Die P u n k t r e i h e n zweiter O r d n u n g müssen Kegelschnitte sein. Erzeugung einer Ellipse u n d eines Kreises. E r z e u g u n g einer Parabel u n d H y p e r b e l , E r z e u g u n g einer gleichseitigen H y p e r b e l . H a u p t a c h s e u n d Nebenachse der H y p e r b e l 119—127 31. Konstruktion der Doppel- u n d K e c h t w i n k e l s t r a h l e n zweier aufeinanderliegender, projektiver S t r a h l b ü s c h e l 127—129 32. Das Erzeugnis zweier projektiver P u n k t r e i h e n - eine K u r v e zweiter Klasse 129- 132 Eine T a n g e n t e n k u r v e ist d u r c h fünf Gerade vollständig bestimmt K u r v e n zweiter Klasse m ü s s e n Kegelschnitte sein 132 Erzeugung einer Ellipse u n d eines Kreises d u r c h projektive P u n k t reihen 138 Erzeugung von P a r a b e l n 134 Erzeugung von H y p e r b e l n 134—135 Eigenschaften der Hyperbel 135—138 33. K o n s t r u k t i o n der D o p p e l p u n k t e u n d G e g e n p u n k t e zweier aufeinanderliegender projektiver P u n k t r e i h e n 138—139 34. Aufgaben : a) Ein Kegelschnitt sei d u r c h f ü n f P u n k t e A, B, C, D, E gegeben, es sollen seine S c h n i t t p u n k t e m i t einer Geraden g e r m i t t e l t w e r d e n , o h n e daß der d u r c h die f ü n f P u n k t e definierte Kegelschnitt selbst gezeichnet wird 139

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b) Ein Kegelschnitt sei durch fünf Tangenten a, b, c, d, e gegeben; es sollen von einem Punkte S zwei Tangenten an denselben gelegt werden, ohne daß er selbst gezeichnet wird 139—140 L e h r s a t z . Sind zwei Punktreihen auf einem Kegelschnitt projektiv bzw. involutorisch, so sind es auch die Tangentenbüschel, deren Berührungspunkte sie bilden; Umkehrung 140—141 Aufgaben: 1. Auf einer Geraden ist eine Involution von Punkten sich doppelt entsprechender Punkte A und At, B und Bl gegeben ; es sind weitere Punktepaare, die Doppelpunkte und der Mittelpunkt der Involution zu bestimmen 142 2. Der Punkt O ist Träger einer Strahleninvolution, die durch zwei Paare sich doppelt entsprechender Strahlen a und a , , b und 6, bestimmt ist; es sind weitere Paare konjugierter Strahlen, die Doppelstrahlen und die Rechtwinkelpaare der Involution zu konstruieren 142 3. Noch einmal Aufgabe a) dieses Abschnittes 143 Zweite Lösung 143 4. Noch einmal Aufgabe b) dieses Abschnittes 144 Zweite Lösung 144—145 5. Ein Kegelschnitt liegt a) gezeichnet vor, b) ist durch fünf Punkte, c) durch fünf Tangenten gegeben — zu konstruieren die A c h s e n des Kegelschnitts 145—146 35. Die Sätze von P a s c a l und B r i a n c h o n 146 Die Umkehrungen dieser Sätze 148 Anwendungen dieser Sätze 148—150 36. Ein- und umgeschriebene Polygone der Kegelschnitte 150 Vom eingeschriebenen Fünfeck 151 Vom umgeschriebenen Fünfeck 151 Von den ein- und umgeschriebenen Vierecken und Dreiecken 151—153

K e g e l s c h n i t t b ü s c h e l und K e g e l s c h n i t t s c h a r . 37. Entstehung eines Kegelschnittbüschels; zwei Entstehungsarten . . 153 Gemeinsam eingeschriebenes Viereck, gemeinsames Polardreieck . 154 Die Tangenten der Kegelschnitte des Büschels in irgend zweien der vier Grundpunkte bilden projektive, perspektiv liegende Strahlbüschel 155 38. Entstehung einer Kegelschnittschar 155 Sämtliche Kegelschnitte einer Schar von vier gemeinsamen Tangenten . . . . 156 Die Berührungspunkte der Kegelschnitte der Schar auf irgend zweien der vier Grundstrahlen bilden projektive, perspektiv liegende Punktreihen 158 Das allen Kegelschnitten der Schar umgeschriebene Vierseit, gemeinsames Polardreiseit 158 39.Sämtliche Kegelschnitte der Kegelschnittbüschel, die durch Annahme von vier festen Punkten erzeugt werden 158—163 40. Lehrsätze: 1. Jede Gerade in der Ebene eines Kegelschnittbüschels, die durch keinen Grundpunkt geht, wird von den Kegelschnitten desselben in Punktepaaren einer Involution geschnitten . . 163

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2. Die von einem Punkte P der Ebene einer Kegelschnittschar, der auf keinem Grundstrahle liegt, an die Kegelschnitte gelegten Tangentenpaare bilden eine Involution 3. Die Gegenseitenpaare eines vollständigen Vierecks werden von jeder Geraden, die durch keine Ecke geht, in Punktepaaren einer Involution geschnitten 4. Die Gegeneckenpaare eines vollständigen Vierseits werden mit jedem Punkte der Ebene, der auf keiner Seite liegt, durch Strahlenpaare einer Involution verbunden A u f g a b e : Einen Kegelschnitt zu konstruieren, der durch vier gegebene Punkte geht und eine gegebene Gerade b e r ü h r t . 5. Die Polaren eines Punktes P in bezug auf die Kegelschnitte eines Büschels mit vier festen Grundpunkten gehen durch einen festen Punkt Q und umgekehrt liegt P auf allen Polaren von Q, so daß P und Q in bezug auf die Kegelschnitte des Büschels konjugiert sind 6. Die Pole einer Geraden in bezug auf die Kegelschnitte einer Schar liegen auf einer Geraden b; und umgekehrt liegen die Pole der Geraden b auf a oder a geht durch alle Pole von b. Die Geraden a und 6 heißen konjugiert in bezug auf die Kegelschnittschar 7. Zwei konjugierte Punkte eines Büschels liegen zu den Schnittpunkten der sie verbindenden Geraden und jedem Kegelschnitt des Büschels harmonisch 8. Zwei in Bezug auf eine Kegelschnittschar konjugierte Geraden liegen harmonisch zu den Tangenten aus ihrem Schnittpunkt an jeden einzelnen Kegelschnitt

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Brennpunkte und L e i t l i n i e n der K e g e l s c h n i t t e . Krümmungshalbmesser der K e g e l s c h n i t t e . K o n struktion von K e g e l s c h n i t t e n , ihren T a n g e n t e n und Normalen. 41. Satz. Durch jeden gegebenen Kegelschnitt lassen sich unendlich viele Rotationskegel legen 169 Der Schnitt eines Kreiskegels ist eine Ellipse bzw. Hyperbel bzw. Parabel 170 Brennpunkte und Brennstrahlen 171 Definitionen der Kegelschnitte, Umkehrungen 171—173 Leitlinie der Parabel 173 42. Die Brennpunkte sind Träger orthogonaler Involutionen . . . 173—176 Die Achsen eines Kegelschnittes sind Träger von Involutionen, der sogenannten Fokal- oder Brennpunktsinvolutionen 176 Die Exzentrizität des Kegelschnittes 176 43. Beziehungen zwischen den Halbachsen und der Exzentrizität des Kegelschnittes 176—177 Die Hauptachse der Ellipse und der Hyperbel; 177 Konstruktion der Brennpunkte 178 Leitlinien der Ellipse und Hyperbel 178 Die Tangenten von den Punkten der Leitlinie einer Parabel stehen aufeinander senkrecht 179 Brennpunkte und Leitlinien des Kreises 179

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44. Lehrsätze: 1. Die Tangente (und Normale) in einem Punkte eines Kegelschnittes bildet gleiche Winkel mit den Brennstrahlei . . 2. Tangentenstrecken, die aus einem Brennpunkte unter einem rechten Winkel erscheinen 3. Bas Verhältnis der Entfernungen eines Kegelschnittpuiktes von einem Brennpunkte und der Leitlinie ist konstant; die numerische Exzentrizität 4. Der Ort der Punkte, deren Abstände von einem festen Punkte und einer Geraden in einem gegebenen Verhältnis stehen, ist ein Kegelschnitt 5. Die Tangenten von einem Punkte 0 und seine Verbinduigsgeraden mit den Brennpunkten des Kegelschnitts blden Winkel, deren Halbierungslinien zusammenfallen 6. Ein Kegelschnitt ist durch seine beiden Brennpunkte und eine Tangente vollständig bestimmt . . . 7. Ort der Fußpunkte der aus den Brennpunkten auf die Tangenten gefällten Lote Bewegt sich ein rechter Winkel mit seinem Scheitel aui der Peripherie eines Kreises derart, daß der eine Schenkel durch einen festen Punkt geht, so umhüllt der andere Schenkel einen Kegelschnitt ... 8. Tangentenstrecken, die unter gleichem Winkel erscheine! . 9. Tangentenstrecken, die aus einem Brennpunkte unter konstantem Winkel erscheinen 45. Konfokale Kegelschnitte . . 46. Krümmungskreise der Kegelschnitte Krümmungsmittelpunkt und Krümmungskreis Die Evolute einer Kurve . Krümmung oder Krümmungsmaß Schneidet die Normale eines Ellipsenpunktes A die Achsen in den Punkten E und F,

so ist ^ ^ = konst. = AJi ci in zwei Ellipsenpunkten, clie zugehörige Sehne und der Ellipse umhüllen eine Parabel des Krümmungsmittelpunktes für einen Ellipen. des Krümmungsmittelpunktes für einen Hypeibel-

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Die Normalen die Achsen 186 Konstruktion punkt 186 Konstruktion punkt 187 Die Normalen in zwei Parabelpunkten, die zugehörige Parabelsthne und die Achse der Parabel umhüllen eine neue P a r a b e l . . . . 188 Die Subnormale der Parabel ist gleich dem Parameter 188 Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes für einen Parabelpinkt 189 Weitere Konstruktionen von Krümmungsmittelpunkten für Ellipsenpunkte unter der Annahme, daß der Krümmungskreis aus lern Kegelschnitt durch Zentralprojektion entstanden sei . . . . 190—192 47. Konstruktion der Parabel; Gleichung der Parabel 193 Die Abszissen der Parabelpunkte verhalten sich wie die Quad-ate ihrer Ordinaten. Parabelkonstruktion 194 Gleichung der Tangente, Subtangente und Subnormale . . . . 194—195 Gleichung der Parabel, wenn man zu Achsen des Koordinsensystems eine Tangente und den durch den Berührungspinkt gehenden Parabeldurchmesser wählt . . . » 195—196

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Die Strecke zwischen dem Halbierungspunkt einer Sehne und ihrem Pol wird durch den Parabelpunkt halbiert 195 Gewisse Strecken zweier Parabeltangenten werden von einer dritten Tangente nach demselben Verhältnis geteilt 196 Satz von den Koordinaten der Parabelpunkte, wenn Tangente und zugehörige Achse die Koordinatenachsen bilden 196 Quadratur der Parabel 196—197 48. Ellipsenkonstruktionen: 1. aus den Brennpunkten und der Achse a 197 2. Fadenkonstruktion. Tangente und Normale in einem Ellipsen198 punkt Mittelpunktsgleichung der Ellipse 199 Die Ordinate im Brennpunkt ist gleich dem Krümmungsradius der auf der Hauptachse gelegenen Scheitelpunkte 201 Krümmungsmittelpunkt des Scheitelpunktes der kleinen Achse . . 201 Gleichung der Tangente, Berechnung der Abszisse ihres Schnittpunktes mit der Abszissenachse 201—202 Gleichung der Normalen und Bestimmung der Abszisse ihres Schnittpunktes mit der Abszissenachse 202 Noch zwei Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktes für einen beliebigen Ellipsenpunkt 202—203 Die Projektionen der normalen Strecke vom Kurvenpunkt bis zum Schnittpunkt mit der Abszissenachse auf die zugehörigen Brennb* strahlen sind gleich — = P 203 Gleichung der Ellipse bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser . 204 49. Zwei Konstruktionen der Hyperbel 205 Konstruktion der Asymptoten; die gleichseitige Hyperbel . . . . 206 Eine dritte Hyperbelkonstruktion 206 Tangente und Normale eines Hyperbelpunktes 207 Die von einem Punkte an die Hyperbel gelegten Tangenten . . . 207 Mitte]pUllkt§gleichung der Hyperbel 208 Gleichung der Asymptoten und der gleichseitigen Hyperbel . . . 208 Konstruktion der Hyperbel aus den Asymptoten und einem Kurvenpunkt 208 Konjugierte Durchmesser der Hyperbel 209 Relationen zwischen den Achsen und konjugierten Durchmessern der Hyperbel 209 Die Konjugierten-Parallelogramme haben sämtlich denselben Inhalt Gleichung der Hyperbel bezogen auf die Asymptoten 210 Gleichung der Hyperbel bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser 210—212 50. Die Scheitelgleichungen der Kegelschnitte 212—214

IV. Kapitel. Die orthogonale axonömetrische und schiefe Projektion. 51. Einleitung. Bestimmung der Lage eines Punktes mittels des räumlichen Koordinatensystems Begriff der Axonometrie 52. P o h l k e s Pundamentalsatz Zwei Aufgaben: 1. Darstellung der Projektionen eines Würfels aus der Kantenlänge und den Richtungen der ersten Kantenprojektionen .

215 217 217 217

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2. Ermittlung des Würfels aus den Längen und Richtungen der ersten Kantenprojektionen 53. Das Entwerfen von rechtwinkligen, axonometrischen Projektionen Zwei Verfahren Die Verkürzungs- oder Achsenmaßstübe Die trimetrische, isometrische und dimetrische Projektion . . . . Die hypothetische Vergrößerung • . . . . Darstellung einer Treppe

219 221 223 226 227 228

Die Bchiefe Projektion. 230 54. Die XZ-Ebene oder eine Parallelebene als Bildebene Sehstrahlen; das Verkürzungsverhältnis 231 Das Projektionsdreieck; die schiefe Projektion ist bestimmt durch Angabe der x-Achse und eines beliebigen Projektionsdreiecks . 232 Wahl der Verkürzungsverhältnisse; die Kavalierperspektive . . . . 232 55. Darstellung von Punkten 232 56. Darstellung von Geraden 238 Ermittlung der wahren Größe einer durch ihre Projektionen gegebenen Geraden 235 Mehrere Lösungen 235—236 57. Darstellung einer Ebene 236 Ermittlung der Spurgeraden einer Ebene 237 Ermittlung der wahren Größe einer Ebene 238 Zwei Lösungen 238—240 58. Lot aus einem gegebenen Punkt auf eine Ebene gefällt bzw. Senkrechte in einem Punkte einer Ebene 240 241 Bestimmung der wahren Länge des Lotes 59. Darstellung von Körpern 242 Darstellung eines prismatischen Körpers und eines geraden Kreiskegels in schräger Lage zur Grundriß- und Bildebene 244 Darstellung eines sechsseitigen Prismas 244 Darstellung eines geraden Kreiskegels 244 Darstellung einer fünfseitigen Pyramide 245 Darstellung eines Ikosaeders 246 60. Darstellung eines scheitrechten Bogens 247 61. Darstellung eines Haussockels mit Kellerfenster 250 62. Projektion eines schiefen kreiszylindrischen Bogens in einer freistehenden, geradflüchtigen Mauer 251 63. Projektion einer Kugelnische in einer geradflüchtigen Mauer . . . 255 64. Projektion eines kugelförmigen Hängkuppelgewölbes von quadratischer Grundform257 65. Projektion des Portals einer Unterführung mit schrägen, lotrechten Böschungsflügeln 261

V. Kapitel. Orthogonale Projektionen von Ebenen nnd Körpern. Zylinder, Kegel, Kugel. Ebene-und Raumkurven. Durchdringungen ron Kugel-, Zylinder- und Kegelflächen. 66. Darstellung einer Ebene. Darstellung von in der Ebene gelegenen Punkten, Falllinien und Hauptlinien Die wahre Größe einer gegebenen Ebene

263 264

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Die Projektionen von Geraden, die senkrecht auf einer gegebenen Ebene stehen 67. Darstellung eines Körpers; der -wahre und der scheinbare Umriß eines Körpers Der wahre Umriß ist der Ort derjenigen Punkte, deren Tangentialebenen der Projektionsrichtung parallel sind Die Generatrix oder Erzeugende und die Leitlinie 68. Der gerade Kreiszylinder, ebener Schnitt desselben Abwicklung des Zylinders; Rektifikation einer Kurve, insbesondere des Kreises Abwicklung der Schnittkurve; Eigenschaften derselben 69. Entstehung einer ebenen Kurve Benachbarte oder konsekutive Punkte: Kurvenelement Stetige und unstetige Kurven Benachbarte oder konsekutive Tangenten; Kontingenzwinkel . . . Gewöhnlicher Kurvenpunkt; Wendepunkt Rückkehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt 70. Krümmung einer Kurve in einem Punkte Die mittlere Krümmung eines Kurvenbogens Berührung zweiter Ordnung Evolute und Evolvente Verhalten der Krümmung im Wendepunkt, Rückkehrpunkt und der Schnabelspitze 71. Entstehung einer Baumkurve Tangente und Normalebene Maß der ersten Krümmung, Biegung oder Flexion der Kurve . . Badius der ersten Krümmung Die Schmiegungsebene Hauptnormale und Binormale Die zweite Krümmung oder die Torsion der Kurve Torsionsradius 72. Die Enveloppe; abwickelbare Flächen Die Charakteristik einer Fläche Die Enveloppe — der Ort aller Charakteristiken Die Bückkehrkante der Enveloppe Die abwickelbare Fläche Die Erzeugenden der abwickelbaren Fläche Größen, die bei der Abwicklung erhalten bleiben Salz vom Krümmungsradius einer abgewickelten Kurve 73. Die geodätischen Linien einer abwickelbaren Fläche 74. Fortsetzung des Abschnitts 68 Eigenschaften der abgewickelten Schnittkurve Ermittlung von Krümmungsradien derselben Konstruktion der Tangenten dieser Kurve 75. Projektionen, Schnitte und Abwicklung eines schiefen Kreiszylinders Ermittlung der Schnittkurve Die wahre Größe des Schnittes Der Mantel des Zylinders Übertragung der Schnittfigur in den Mantel Inhalt der Mantelfläche . 76. Projektion, ebener Schnitt und Abwicklung des geraden Kreiskegels

265 265 266 266 266 268 269 269 270 270 271 272 272 272 273 274 275 276 277 277 278 278 278 278 279 279 280 280 280 280 281 281 282 283 283 284 284 284 284 284 285 286 287 288 289 289

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Inhalts -Verzeichnis.

Ermittlung der Schnittkurve Die wahre Größe der Schnittfläche Der Mantel des Kegels Übertragung der Schnittkurve in den abgewickelten Mantel; Eigenschaften derselben Die geodätische Linie auf der Kegelfläche 77. .Projektion, Schnitt und Abwicklung eines schiefen Kreiskegels . . "Wahre Größe des Schnittes Die Mantelfläche des schiefen Kegels Übertragung der Schnittkurve in den Mantel Eigenschaften der abgewickelten Ellipse 78. Die Achsen und Wechselschnitte eines schiefen Kreiskegels . . . Darstellung eines Wechselschnittes mittels einer Kugel Lehrsatz 79. Ebener Schnitt einer Kugel

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289 291 292

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Durchdringungen von Zylinder-, Kugel- und Kegelflächen. 80. Allgemeines über Durchdringungen 81. Durchdringung zweier schiefen Kreiszylinder, deren Grundkreise in der Grundrißebene liegen 82. Durchdringung eines schiefen Kreiskegels mit einem schiefen Kreiszylinder 83. Durchdringung zweier Kegelflächen L e h r s a t z : Haben zwei Kegelflächen einen Kegelschnitt gemein, so schneiden sie sich noch in einem weiteren Kegelschnitt . . Durchdringung eines schiefen Kreiskegels mit einem aufrechten Kreiszylinder von gleicher Grundfläche 84. Ein schiefer Kreiskegel durchdringt eine Kugel 85. Durchdringung eines schräg stehenden geraden Kreiszylinders mit einer Kugel 86. Projektion eines Tonnengewölbes mit einer zylindrischen Stichkappe 87. Projektion einer Kreuzkappe über einer Veranda 88. Projektion eines Oberlichtes in einem '/» Stein starken Tonnengewölbe 89. Projektionen von Kernbögen

300 300 303 304 306 307 308 309 312 316 316

I. Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit, Affinität und Perspektivität ebener Figuren. 1. Außerhalb der Ebene (5 einer im Baume willkürlich gelegenen Figur sei ein Punkt 0 festgelegt und dieser mit allen Punkten ihres Umrisses durch gerade Linien verbunden; wird dieses Eündel von Linien, die wir uns unendlich lang denken, durch eine zweite Ebene , die sich nicht mit S decken, sonst aber beliebig im Baume festgelegt sein mag, geschnitten, so wird hieraus auf der Ebene eine neue Figur resultieren, deren Punkte, Gerade und Winkel denen der gegebenen eindeutig entsprechen. Die Figur in bezeichnen wir als zentrale P r o j e k t i o n der Figur in (5, den Punkt 0 als Projekt i o n s z e n t r u m , die Schnittgerade © der beiden Ebenen, der Originalebene 6 und der P r o j e k t i o n s ebene als Projektionsachse und die durch das Zentrum gehenden Strahlen als projizierende Strahlen. Die Figur in ist Fig. 1. aus der in Ü abgeleitet worden oder, wie wir auch sagen können, die Originalfigur in (5 ist abgebildet worden; das hierbei zur Anwendung gelangte Verfahren heißt Zentralproj e k t i o n ; Originalfigur (vgl. Fig. 1) ABC und Abbildung A'B'C sind projektive Figuren in perspektiver Lage oder Perspektive Figuren. Beide Figuren entsprechen sich in der Weise, daß jedem Eckpunkt ein Eckpunkt, jeder Seite eine Seite und G e y g e r , Darstellende Geometrie. L

1

2

I. Kapitel. Kongruenz, Ähnlichkeit, Affinität usw. ebener Figuren.

jedem Winkel der Originalfigur ein Winkel entspricht, doch sind im allgemeinen die Längen und Winkel in der Projektionsebene von den bezüglichen Längen und Winkeln der Originalebene verschieden. Was von den Punkten und Geraden der Figur gesagt worden ist, gilt zugleich auch von den übrigen Punkten und Geraden der Ebenen. Auch die Ebenen entsprechen sich, d. h. jedem Punkte P der Originalebene entspricht ein Punkt P' der Projektionsoder Bildebene, jeder Geraden l eine Gerade l' und umgekehrt. Nur die Projektionsachse entspricht sich selbst und ebenso jeder Punkt derselben, auch müssen sich zwei entsprechende Gerade auf der Achse schneiden. Einer Parallelen zur Achse entspricht in der Bildebene wieder eine Parallele, der Schnittpunkt mit der Achse liegt in diesem Falle im Unendlichen. Daß das Entsprechen der Ebenen ebenfalls ein eindeutiges ist, wird später bewiesen werden.

2. Es drängt sich uns die Frage auf: Ist nicht zu einer gegebenen Figur der Originalebene S für eine gewisse Lage des Projektionszentrums und der Bildebene das Bild derselben konstruierbar? Ehe wir zur Beantwortung dieser Frage schreiten, seien einige andere einfachere Aufgaben behandelt, durch deren Erledigung das Verständnis für jene bedeutend gefördert werden wird. Die Beziehungen zwischen den beiden Ebenen hören auch dann nicht auf zu bestehen, wenn wir die Lage der Bildebene oder die des Projektionszentrums zur Originalebene ändern. Möglich sind folgende Lagen: a) Behalten die Ebenen @ und ihre Lagen bei, ändert sich aber die des Projektionszentrums, indem letzteres sich immer

Einleitendes.

3

mehr und mehr von der Originalebene entfernt, so werden die projizierenden Strahlen in ihrer Richtung immer weniger voneinander abweichen; ist schließlich das Zentrum ins Unendliche gerückt, dann sind die projizierenden Strahlen parallel, aus der Zentralprojektion ist eine Parallelprojektion geworden. Dieses Abbildungsverfahren ist dasjenige, welches allgemein in fast allen Zweigen der Technik bei der Darstellung von Körpern angewandt wird. Wir erkennen, daß von dem ursprünglichen Gebilde in (5 und dem abgeleiteten in (Fig. 2) das gleiche gilt, was unter 1. von den Figuren ABC und A'B'C' gesagt wurde: „Die eine Figur ist der anderen eindeutig zugeordnet." Dieses Abbildungsverfahren wird als schiefe Parallelprojektion bezeichnet, wenn die projizierenden Strahlen die Projektionsebene unter einem spitzen Winkel schneiden, als orthogonale oder rechtwinklige Parallelprojektion oder P r o j e k t i o n , wenn der Neigewinkel der projizierenden Strahlen gegen die Projektionsebene = 90° ist. Die geometrische Abhängigkeit der Figuren heißt A f f i n i t ä t bei affiner Lage (perspektive Affinität), die Schnittgerade © der Ebenen 6 und $ heißt Affinitätsachse. b) Wir kehren wieder zu Figur 1 zurück und machen folgende Annahmen: Belassen wir das Zentrum an seiner Stelle, ändern aber jetzt die Neigung der beiden Ebenen 6 und Sß, so wird unter den unendlich vielen möglichen Lagen der Ebenen sich eine besonders auszeichnen, nämlich die, bei der die Schnittgerade beider im Unendlichen liegt; die Ebenen @ und sind in diesem Falle parallel (Fig. 3). Auch in dieser Lage der Ebenen und des Zentrums entsprechen sich die Ebenen bzw. zugeordnete Figuren eindeutig. Die Fig. 3. Abhängigkeit, die zwischen zwei sich entsprechenden Figuren obwaltet, heißt Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage (perspektive Ähnlichkeit). c) Schließlich ist noch eine Lage denkbar, bei der das Projektionszentrum und die Schnittgerade der beiden Ebenen zugleich im Unendlichen liegen; auch in diesem Falle entsprechen sich die Figuren, die in Figur 4 dargestellt sind, eindeutig. Wie auch die projizierenden Strahlen, die parallel laufen, zur Ebene gerichtet

4

I- Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit, Affinität usw. ebener Figuren.

sein mögen, immer ist die abgeleitete Figur der ursprünglichen kongruent. Auch bei dem unter a) geschilderten Abbildungsverfahren ist für eine bestimmte Richtung der projizierenden Strahlen die abgeleitete Figur der abzubildenden kongruent. Dies trifft zu bei der Annahme, daß die projizierenden Strahlen senkrecht zu einer der Ebenen stehen, die den Winkel der Ebene © und $ und dessen Nebenwinkel halbieren. Ähnliche Figuren, wie auch kongruente Figuren können daher ebenso wie affine und Perspektive Figuren als projektiv bezeichnet werden und ihre gegenseitige Lage als perspektiv, wenn sie nach den unter b) und a) erläuterten Annahmen ähnlich oder a f f i n ist. 3. K o n g r u e n z ebener Figuren. Bei Betrachtung derFigur4, die das Abbildungsverfahren veranschaulicht, bei welchem das Bild in Sß der ursprünglichen Figur in @ stets kongruent sein muß, lassen sich ohne weiteres die Eigenschaften von zwei einander entsprechenden Figuren angeben: 1. Entsprechende Gerade sind parallel und gleich. 2. Parallelen Geraden a und b entsprechen wieder parallele Gerade a! und V, mithin auch: 2 a. Einem Winkel , d.i. -£9? seinen größten Wert erreicht. Seine Schenkel laufen den Schenkeln des Winkels AC'B parallel, der der entsprechende des Winkels ACB ist. Für irgend einen andern rechten Winkel über A B im Halbkreis ist der entsprechende Winkel 9^ kleiner als

/a.

Hieraus folgt, daß

man die konjugierten Durchmesser, die den kleinsten Winkel y einschließen und einander gleich sind, erhält, wenn man in B zu AB nach oben und unten die Senkrechte = b errichtet und die Endpunkte dieser Senkrechten mit 0 verbindet. Die Sehnen AG' und BC', ACi und BC[ nennt man komplementäre Sehnen. Das P r o d u k t der A b X schnitte u' und if einer E l l i p s e n t a n g e n t e od y[ in P' ist gleich dem Quadrate des Halbmessers, der dem Halbmesser / \ nach dem Berührungs's ' 1 1 > punkte k o n j u g i e r t ist, j\r o y also mit der Tangente Fig. 30. parallel l ä u f t (Fig. 30). xf yf entspricht der Kreistangente xrf, deren Abschnitte u und v sein mögen. Es ist = OQ2, u.v==OP2 Vi • cosß • v cosß = OQ2- cos2/?, PU-XZ = QN>, bjaPU • b/aXZ = (b/aQN)2, P'U • X'Z' = (tfN2, p'u X'Z' _/Q'N y cosß'' cosß' ~ \cosß') ' u'v'= b"'.

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I. Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit usw. ebener Figuren.

Aufgabe. Es sind zwei konjugierte Halbmesser einer Ellipse a'V gegeben, zu konstruieren die Achsen dieser Ellipse. Zieht man durch A die Parallele AE zu V (Fig. 31), die Tangente der Ellipse ist, und errichtet man in A zu AE die Senkrechte A C = V, dann sind die Linien OE und OF, die 0 mit den Schnittpunkten der Geraden AE und desjenigen Kreises verbinden, der durch 0 und C geht und seinen Mittelpunkt auf AE hat, die gesuchten Lagen der Achsen. Aus den bekannten Be-

ziehungen, die zwischen zwei konjugierten Durchmessern und den Achsen einer Ellipse bestehen, folgt:

daher

mithin

a'2 -f V2 = a2 + b2, 2a'Vsiny = 2ab , 2 (a + b) = «'J + ^ + 2 a' V sin y = a'2 -(- V2 - 2 a' V cos (JT/2 + y>) = OH2, (a - b)2 = a'2 + V2 - 2 a' V siny = a'2 + V2 - 2 a'V cos [n - xp) = OC2, a + b = OH , a — b = OC 2a = HI 2b=

HK.

e) Aus zwei konjugierten Halbmessern die Ellipse zu konstruieren. K o n s t r u k t i o n 6. Das von den konjugierten Durchmessern gebildete Dreieck A'O'B' (Fig. 32) betrachten wir als affine Figur des rechtwinkligen Dreiecks A O B , dann können wir auch die gesuchte Ellipse als affine Figur des um 0 mit OA beschriebenen

Ellipsenkonstruktionen.

G e y g e r , Darstellende Geometrie. I.

Metrische Beziehungen usw.

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3

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I. Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit usw. ebener Figuren.

Kreises ansehen. Auf Grund des im Abschnitt 7 hergeleiteten Satzes von den affinen Parallelensystemen läßt sich die gesuchte Ellipse punktweise als affine Figur des Kreises konstruieren. Konstruktion 7. (Fig. 33.) Zieht man durch den Endpunkt A des Durchmessers AAt zum andern Durchmesser BBl die Parallele aa und konstruiert den Kreis, der OB zum Radius hat und Linie aa in A tangiert, dann ist dieser Kreis zu der verlangten Ellipse affin und affin gelegen. Die Affinitätsachse ist aa, zugleich ist sie Tangente der Ellipse in A . Affinitätsstrahlen sind 00", BB', BXB[. Nach den im Abschnitt 6 gegebenen Konstruktionen lassen sich beliebig gewählte Kreispunkte in Ellipsenpunkte abbilden. Perspektivität ebener Figuren.

9. Um eine in einer Ebene (5 angenommene Figur abzubilden, wählen wir eine zweite Ebene Sß (Fig. 34), die die Ebene @ unter einem beliebigen Winkel in einer beliebigen Geraden St schneiden

mag, und einen Punkt 0 , der weder in 5ß noch iE ® liege. Zieht man von 0 nach allen Punkten der in 6 gelegenen Figur Strahlen, so schneiden diese Strahlen die Ebene $ , die Projektionsebene, in einer zweiten Figur, die der gegebenen eindeutig entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt Zentralprojektjon, die Schnittgerade 21 der Originalebene @ mit der Projektbns- oder Bildebene Sß die Projektionsachse und der Punlt 0 das P r o jektionszentrum. Jedem Punkt P der Originaletene (S entspricht ein Punkt P' der Bildebene, jeder Geraden g eine Oerade tf. Zwei sich entsprechende Figuren werden als projektiv in perspektiver oder zentraler Lage oder kurz als perspectiv bezeichnet. Die Punkte der Projektionsachse entsprechen seh selbst; zwei sich entsprechende Gerade müssen sich stets in einem Punkte der Projektionsachse schneiden. Einer Parallelen zu 21 in @ entspricht wieder eine Parallele zur Projektionsaclse in iß, der

Perspektivität ebener Figuren.

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Schnittpunkt dieser Geraden mit der Projektionsachse liegt im Unendlichen. Wenn auf einer Geraden g in @ sich ein Punkt nach der einen oder andern Richtung bis ins Unendliche bewegt, so dreht sich der ihn mit 0 verbindende Projektionsstrahl um 0 in entsprechendem Sinne und nähert sich jedesmal derselben Grenzlage, nämlich der Parallelen zu g. Dieser Vorgang ist in Figur 34 dargestellt. Dreht sich der projizierende Strahl im entgegengesetzten Sinne, der Bewegung des Uhrzeigers, so rückt der Schnittpunkt immer mehr nach rechts. In der parallelen Lage der beiden Geraden liegt der Schnittpunkt im Unendlichen; drehen wir aber den Strahl darüber hinaus, so tritt der Schnittpunkt links wieder zutage. Es kann nun nicht angenommen werden, daß in der Parallellage der Projektionsstrahl mit der Geraden g zwei Schnittpunkte hat, g kann nur einen unendlich entfernten Punkt haben, daher sehen wir uns veranlaßt, jede Gerade als eine geschlossene Linie anzusehen, da jeder Punkt, der sie durchläuft, sich diesem Punkte nähern muß, gleichviel in welchem Sinne er sich bewegt; wir verbinden einen Punkt einer Ebene mit dem unendlich entfernten Punkt einer Geraden, indem wir durch den Punkt die Parallele zur Geraden ziehen. Dieser unendlich ferne Punkt gehört nicht nur diesen beiden Geraden an, sondern zugleich auch allen denen, im Raum und in der Ebene, die zu ihnen parallel laufen. Ein System von parallelen Geraden hat nur einen unendlich fernen Punkt, und wir bezeichnen daher auch solche Linien als gleich gerichtete Linien, sie sind alle nach einem bestimmten Punkte im Unendlichen gerichtet, sie haben also gleiche Richtung. Der Schnittpunkt dieses ausgezeichneten Projektionsstrahls mit der Projektionsebene Sß, d. h. sein Spurpunkt 8 , ist daher das Bild des unendlich fernen Punktes auf g und der unendlich fernen Punkte der Geraden, die mit g parallel laufen. Wenn sich hiernach auf g und den hierzu parallel gedachten Geraden Punkte bis ins Unendliche bewegen oder dahin fliehen, so bewegen sich die Bilder dieser Punkte in 5)3 auf verschiedenen Geraden, aber alle diese müssen sich in 8 schneiden, daher heißt Punkt 8 der Fluchtpunkt der Geraden g bzw. der zu g parallelen Geraden. Ändert jetzt g in © die Richtung, oder denken wir uns ein Parallelensystem von anderer Richtung, so ändert sich auch der zu diesem Parallelensystem durch das Projektionszentrum gezogene Parallelstrahl, doch bleibt er der Ebene Qs parallel. Zu jedem Parallelensystem gehört hiernach ein Fluchtpunkt und letzterer bildet jedesmal den Spurpunkt einer durch das Projektionszentrum gezogenen Geraden, die den Geraden des Parallelensystems und der Originalebene parallel ist; daher müssen alle Fluchtpunkte von in (§ gelegenen Parallelensystemen auf einer Geraden in liegen, die zur Projektionsachse 31 parallel läuft und die zugleich angesehen werden kann als die Spurgerade einer durch das Projektionszentrum 0 parallel zur Originalebene gelegten Ebene. Diese Linie ist die Fluchtlinie F der Ebene denn die Bilder aller 3*

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I- Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit usw. ebener Figuren.

unendlich fernen Punkte der Ebene 6 sind auf ihr gelegen. Von den unendlich fernen Punkten einer Ebene müssen wir aber annehmen, daß sie sämtlich auf einer Geraden liegen, nämlich auf der u n e n d l i c h f e r n e n G e r a d e n der Ebene ©; denn, da ihre Bilder in Sß bestimmt werden durch eine und dieselbe Ebene, nämlich durch die Parallelebene, die das Projektionszentrum enthält, so können sie nur da gesucht werden, wo sich diese beiden Ebenen schneiden. Wie sich parallele Gerade nur in einem unendlich fernen Punkte schneiden, so können parallele Ebenen sich auch nur in e i n e r Geraden, in der unendlich fernen Geraden schneiden. Diese unendlich ferne Gerade gehört offenbar allen Ebenen an, die zu © parallel liegen. Von den Punkten einer Geraden g in 6 ist außer dem oo fernen Punkt, der sein Bild auf der Fluchtlinie der Ebene © hat, und dem Schnittpunkt mit der Projektionsachse, der sich selbst entspricht, noch ein dritter Punkt bemerkenswert. Auf jeder Geraden g befindet sich ein Punkt, dessen projizierender Strahl zu parallel ist und dessen Bild also der unendlich ferne Punkt auf g' ist. Die Punkte der Ebene © , deren Bilder ins Unendliche fallen, also verschwinden, liegen offenbar auf der Schnittlinie, die die durch das Projektionszentrum parallel zur Ebene ^ß gelegte Ebene mit (5 erzeugt; diese Gerade heißt V e r s c h w i n d u n g s l i n i e der Ebene © , sie sei für die Folge mit V bezeichnet. Das Bild dieser Linie fällt ins Unendliche und jede Gerade g , die diese Linie schneidet, hat daher in diesem Schnittpunkt einen Punkt, dessen Bild nicht konstruierbar ist, da es im Unendlichen liegt; darum heißt dieser Punkt der V e r s c h w i n d u n g s p u n k t der Geraden g . Aus d i e s e n B e t r a c h t u n g e n f o l g t n u n : P a r a l l e l e n G e r a d e n in © e n t s p r e c h e n in $ G e r a d e , die alle d u r c h einen P u n k t der F l u c h t l i n i e F g e h e n , n ä m l i c h durch den z u g e h ö r i g e n F l u c h t p u n k t des P a r a l l e l e n s y s t e m s . — E i n e m S y s t e m v o n G e r a d e n in ©, die sich in einem P u n k t e der V e r s c h w i n d u n g s l i n i e V s c h n e i d e n , e n t s p r i c h t in ^ß ein S y s t e m p a r a l l e l e r Geraden. Zu zwei Ebenen © und ist die Perspektivität definiert, d. h. das Projektionszentrum konstruierbar, wenn man zwei sich e n t s p r e c h e n d e P u n k t e p a a r e k e n n t , z. B . A und A ' , B und B'. Diese sind so zu wählen, daß die Linie AB in © sich mit der Linie A'B' in in einem Punkt der Schnittgeraden 9t von © und , der Projektionsachse, schneidet, denn dann schneiden sich auch A A' und B B ' , da diese Geraden in der durch A A' und BB' bestimmten Ebene liegen; ihr Schnittpunkt 0 ist das Projektionszentrum. Zu jedem weiteren Punkte in © kann jetzt der entsprechende in Sß ermittelt werden. Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' (Fig. 35) befinden sich in perspektiver Lage, wenn sich die homologen Seiten AB und A ' B ' , AG und A ' C ' , BC und B'C' auf der Schnittgeraden der Dreiecksebenen schneiden. In dieser Lage gehen nämlich auch die Verbindungsgeraden der entsprechenden Eckpunkte der Dreiecke durch

Perspektivität ebener Figuren.

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einen Punkt 0 , das Zentrum der Projektion, denn sie sind die Schnittgeraden der Ebenen, die sich durch die entsprechenden Dreiecksseiten legen lassen. Drei Ebenen schneiden sich aber stets in einem Punkte. Die perspektive Lage der Dreiecke wird nicht aufgehoben, wenn wir den Winkel der Ebenen @ und ändern, also (5 um die Projektionsachse drehen; in der neuen Lage der Figuren schneiden sich die durch die entsprechenden Seiten bestimmten Ebenen nur in einem anderen Projektionszentrum. Tritt der Fall ein, daß die Schnittgeraden dieser drei Ebenen parallel werden, so liegt das Projektionszentrum im Unendlichen. Eine solche Lage kann leicht hergestellt werden. Man hat nur nötig, der Ebene (5 eines Dreiecks oder einer anderen Figur durch Drehung um eine ihrer Geraden als Achse eine andere Lage zu geben, dann ist die Figur in der ursprünglichen Lage der in der neuen

Fig. 35.

Lage affin, d. h. projektiv und in perspektiver Lage in bezug auf ein unendlich fernes Zentrum. Weiter folgt aus diesen Betrachtungen: Wenn ein Dreieck ABC in ©'dem Dreieck A'B'C' in $ perspektiv ist, und es ist A A B C in © auch einem Dreieck AlBlC1 in der Ebene G^ , die ebenfalls durch die Achse 21 geht, perspektiv, dann ist auch AA'B'C' dem Dreieck AiBlCl perspektiv und die drei Projektionszentren liegen in einer Geraden. Die erstere Behauptung bedarf keines weiteren Beweises. Zum Beweise der zweiten Behauptung dienen die folgenden Überlegungen. Gehört den Dreiecken ABC und A'B'C' das Zentrum 0 an und schneiden sich AB und A'B' in einem Punkt L der Achse, so liegt 0 in der Ebene LAA' auf den Strahlen AA' und BB'. In L schneiden sich aber auch die Geraden A B und A1 Bi, mithin liegt das zu ABC und A1BlC1 gehörige Zentrum 0t in der Ebene LAAy auf den Strahlen A Al und BBl. Das dritte Zentrum 0,, das zu den

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I. Kapitel. Kongruenz, Ähnlichkeit usw. ebener Figuren.

Dreiecken AlBlCi und A'B'C' gehört, liegt offenbar in der Ebene LA^A' auf A1A' und BlB'. Die drei Zentren liegen daher sowohl in der Ebene AA'AX wie in der Ebene BB'Bl, d. h. in der Schnittgeraden beider, durch die auch die Ebene CC'C1 geht; mithin liegen sie in einer Geraden. Alles aber, was von Dreiecken bewiesen worden ist, gilt auch von anderen, ebenen Figuren, die projektiv und in perspektiver Lage sind. Von Wichtigkeit ist noch ein Satz, der sich ohne weiteres aus dem Vorhergehenden ergibt: „Wird e i n e F i g u r f in die zu f in perspektiv i s t , um die P r o j e k t i o n s a c h s e b e l i e b i g g e d r e h t , so ist sie a u c h in der n e u e n L a g e der F i g u r f' in perspektiv." Durch eine solche Drehung wird also die perspektive Lage der Figuren nicht aufgehoben, nur ist das Zentrum 0 für die neue Lage der Ebene 6 nicht mehr Projektionszentrum. Diese Eigenschaft von projektiven Figuren in perspektiver Lage gestattet uns aber, von den ebenen Gebilden im Räume auf solche in der Ebene zu schließen und insbesondere die Aufgabe zu lösen, zu einer gegebenen Figur das perspektive Bild in einer und derselben Zeichenebene zu konstruieren, also von der räumlichen Zentralprojektion zur Z e n t r a l p r o j e k t i o n in der E b e n e überzugehen, denn die Ebene (£ kann so weit gedreht werden, daß sie mit der BildFig. 36. ebene zur Deckung kommt. Es soll zunächst festgestellt werden, wie man nach einer beliebigen Drehung der Ebene © das Projektionszentrum bestimmen kann. Ist die projektive Beziehung der Ebenen © und $ durch die Wahl eines Projektionszentrums definiert, so sind auch damit Verschwindungslinie der Ebene (£ und Fluchtlinie der Ebene in ^S gegeben (vgl. Fig. 34 und 36). In Figur 36 ist die Zeichenebene normal zur Projektionsachse 91 angenommen, die Ebenen 6 und ^ß projizieren sich als Linien, ebenso die durch O parallel zu und @ gelegten Ebenen, die die ersteren bzw. in der Verschwindungs- und Fluchtlinie schneiden; die Achse 2t, die Verschwindungslinie V und die Fluchtlinie F projizieren sich als Punkte. Das Zentrum 0 bei dieser Darstellung wird umgekehrt erhalten, wenn man durch V zu $ und durch F zu 6 Parallele zieht; der Schnittpunkt beider ist das Projektionszentrum 0 . Es ist also immer der lotrechte Abstand der Linien 2t und F in S gleich dem lotrechten Abstand des Zentrums 0 von der in Sß gelegenen Fluchtlinie F . Wird jetzt (£ um einen beliebigen Winkel gedreht und das neue Zentrum O^, wie eben angegeben, konstruiert, so erkennt man leicht, daß bei der Drehung nicht nur jeder Punkt der Ebene (5 einen Kreisbogen beschreibt, sondern auch der Punkt 0 ; der Mittelpunkt des letzteren Bogens liegt in F . Wird nun Ebene (£ mit iß durch Drehung um 2t zur

Perspektivität ebener Figuren.

39

Deckung gebracht, entweder dadurch, daß sich Ebene (5 im Sinne der Uhrzeigerbewegung oder im entgegengesetzten Sinne drehe, so fällt auch jedesmal das Projektionszentrum in Sß hinein. In Figur 37 und 38 sind die zu einer Ebene vereinigten Ebenen 6 und dargestellt; nach der vollzogenen Vereinigung wurde die Ebene ^ß in die Zeichenebene umgelegt und dann jedesmal um 90° gedreht, so daß die Achse 2t und die zu ihr parallelen Geraden V und F horizontal liegen. 10. Die Z e n t r a l p r o j e k tion bzw. Z e n t r a l k o l l i n e a t i o n in der E b e n e . Durch die Vereinigung der Ebenen @ und sind die projektiven Figuren keiner ihrer Eigenschaften verlustig gegangen. Ist nämlich bei zwei Figuren, von denen die eine als Bild der anderen angesehen werden kann,

Fig. 88.

a) die Verbindungsgerade zweier entsprechender Punkte eine durch das Zentrum 0 gehende Linie, b) jeder Punkt der Achse ein sich selbst entsprechender Punkt, c) der Schnittpunkt zweier entsprechender Geraden stets auf der Achse gelegen und schließlich d) eine durch O gehende Gerade eine sich selbst entsprechende, so läßt sich zeigen, daß eine derartige Abhängigkeit der-

40

Kapitel.

Kongruenz, Ähnlichkeit usw. ebener Figuren.

jenigen der zentralen Projektion ebener Raumfiguren durchaus entspricht. Man pflegt die projektive Verwandtschaft zweier Figuren einer Ebene, die durch die ebengenannten Eigenschaften definiert ist, „ Z e n t r a l k o l l i n e a t i o n in der E b e n e " zu nennen. d) ist offenbar ein Korrelat der unter a) bis c) aufgeführten Eigenschaften, die auch für die Zentralprojektion des Raumes gelten und tatsächlich bestehen bleiben, wenn umgekehrt eine der Figuren durch Drehung ihrer Ebene um die Projektions- oder Kollineationsachse in eine räumliche Lage übergeführt wird. Weiter folgt daraus, daß die Zentralkollineation in der Ebene vollständig mit der Zentralprojektion im Räume übereinstimmt, mithin solche Figuren mit Recht auch als „perspektive F i g u r e n in der E b e n e " bezeichnet werden dürfen. Die Zentralkollineation in der Ebene ist definiert, d. h. es kann zu jedem Punkte der Ebene der entsprechende bestimmt werden und ebenso die Gegenachsen, worunter die Flucht- und Verschwindungsliilie verstanden werden, wenn man 1. das P r o j e k t i o n s z e n t r u m , die P r o j e k t i o n s a c h s e und eine der Gegenachsen, d. h. entweder die F l u c h t linie oder die Verschwindungslinie kennt; 2. das P r o j e k t i o n s z e n t r u m , die Achse und ein P a a r einander e n t s p r e c h e n d e r P u n k t e . Ist also in Figur 37 Punkt 0 das Projektionszentrum, 31 die Projektionsachse und die auf der durch O willkürlich gezogenen Geraden gewählten Punkte A und A' ein entsprechendes Punktepaar, so finde ich zu dem beliebig gewählten Punkt B der Ebene den entsprechenden B', indem ich A B ziehe und verlängere bis zum Schnitt 21 in C und die Gerade CA' durch BO in dem gesuchten Punkt B' schneide. Der Geraden AB = g entspricht mithin A'B' = ¡7'. Auch die Gegenachsen sind konstruierbar. Betrachten wir noch einmal Figur 36. Bei der Vereinigung der Ebene © mit Sß wird die Parallelität gewisser Linien nicht aufgehoben. Gemeint sind folgende: Ist in der Bildebene © eine Gerade g gezeichnet, so kann das Bild dieser Geraden entweder als die Verbindungslinie der Spurpunkte der Strahlen angesehen werden, die sich von O nach den Punkten der Geraden g ziehen lassen, oder als Spurlinie der durch 0 und g bestimmten Ebene, der projizierenden Ebene von g. Bekanntlich werden zwei parallele Ebenen von einer dritten Ebene in parallelen Linien geschnitten. Die projizierende Ebene schneidet mithin die Projektionsebene Sß und die durch 0 parallel zu Sß gelegte Ebene in Linien, die in jeder Lage von 6 parallel sind und es auch dann sein müssen, wenn G mit zusammenfällt. Die Schnittlinie der durch 0 gelegten Ebene und der projizierenden Ebene ist aber der von 0 nach dem Verschwindungspunkt von g führende Strahl, der mithin g' parallel ist. Folglich: Der Verschwindungspunkt auf g wird gefunden, indem ich d u r c h 0 zu tf die P a r a l l e l e ziehe, die die L i n i e g in dem

Perspektivität ebener Figuren.

41

gesuchten Verschwindungspunkt

zu 2t gezogene Parallele ist die Verschwindungslinie V. Die projizierende Ebene schneidet auch Bildebene G und die durch 0 gehende Parallelebene in parallelen Geraden, von denen die letztere das Zentrum 0 mit dem auf g' gelegenen Fluchtpunkte verbindet. Auch die Parallelität dieser Geraden bleibt bei einer Lageveränderung von © erhalten, daher ist auch in der Ebene der Fluchtpunkt f der Schnittpunkt der Geraden g' mit durch 0 zu g gehenden parallelen Geraden; die Parallele durch / zur Achse 2t ist die Fluchtlinie F . Der Zeichnung (Fig. 37) entnehmen wir unmittelbar ein Verfahren zur Auffindung von Bildern gegebener - gerader Linien auch ohne Zuhilfenahme von in der Zeichenebene befindlichen, einander entsprechenden Punkten dieser Geraden. Dem Punkt A auf g entspricht A' auf

V* Fie-

ßJJ

'

b

2 CD = 3

und verstehen wir unter AB, BC, usw. nicht bloß die Strecken, sondern auch zugleich den Richtungssinn, in dem diese Strecken gemessen bzw. durchlaufen wurden, und der in diesem Falle durch ein -f = Zeichen gekennzeichnet sei, dann ist (ABCD)

= k = «/,: % =

/i8 = 1,66 . . . .

8ü

Durch eine beliebige Änderung der Reihenfolge dieser Buchstaben in der Klammer wird im allgemeinen der Wert des Doppelverhältnisses geändert, z . B . vertausche ich C und D, dann ist: V

B D 0

> - Ü

'W =

V. = V, =

/so = ^

18

=

1/Ä

*

Es treten jedoch, wie schon erwähnt, nicht 24 verschiedene Werte auf, sondern nur sechs. Gewisse Doppelverhältnisse haben den gleichen Wert; es ist nämlich: (11)

(ABCD)

= (DCBA)

= (BADC)

z. B .

(DCBA)

=

(12)

(ABDC)

= (CDBA)

z.B.

(BACD)

= % : * ^ = »/« : % = «/ 80 = 1/k .

= = (BACD)

= (CDAB)

= k ,

= » / „ = 1,66 . . . - * ; = (DCAB) = 1/k ,

47

Einleitendes.

Aus den Gleichungen (11) und (12) ist zu ersehen, wie man zu einem gegebenen Doppelverhältnis die übrigen drei von gleichem Werte bilden kann. Man kann das Bildungsgesetz leichter übersehen, wenn man die beiden ersten Buchstaben und die beiden letzten Buchstaben zu je einem Paare zusammenfaßt, so daß das Doppelverhältnis aus zwei Punktepaaren besteht. Bei einem Doppelverhältnis tritt keine Änderung des Wertes ein, wenn man 1. die Punkte in der Klammer in umgekehrter Reihenfolge schreibt, d. h. die Punkte jedes Paares und die Paare vertauscht, 2. nur die Punkte jedes Paares miteinander vertauscht, 3. die Punktepaare miteinander vertauscht. Neben den Werten h und l/Jc treten noch die folgenden auf: {ACBD) = 1 -fc; (ADBC) = —jr— ;

(ACDB)--=y^I> (ADCB)--^.

Dieselben Beziehungen lassen sich auf Grund der Gleichung (10) für die vier Strahlen eines Strahlbüschels herleiten. 18. Um festzustellen, welche Werte überhaupt ein Doppelverhältnis annehmen kann, nehmen wir an, daß die drei Elemente ABC desselben sich in unveränderlicher Lage zueinander befinden, das vierte aber, D , alle möglichen Lagen nacheinander auf der Punktreihe einnehme. Nun ist: ATI AT) (13) Der Quotient

AC x> C

hat, wenn die Lage der Punkte A , B, C auf

der Punktreihe unveränderlich ist, einen konstanten Wert, dagegen AD ist der Wert des Quotienten -g^- von der Lage des Punktes D abhängig, und dieser ändert sich fortwährend, wenn D sich auf der Geraden von A aus über B und C ins Unendliche bewegt und von dort, von links her, nach A zurückkehrt. Diese Bewegungsrichtung sei als positive bezeichnet, dementsprechend wir auch alle in diesem Sinne durchlaufenen Strecken als positive und alle im entgegengesetzten Sinne durchlaufenen als negative Strecken bezeichnen. Aus Gleichung (13) folgt: AC BD = k BC AD d. h.: Den Wert eines Doppelverhältnisses erhält man, wenn man den konstanten Wert des Verhältnisses AC mit dem AD reziproken Werte des veränderlichen Verhältnisses p ^ BD

48

II. Kapitel.

Perspektive, involut. und harmon. Grundgebilde.

(veränderlich, weil D fortwährend seine Lage auf der Punktreihe verändern soll) m u l t i p l i z i e r t . Nach Figur 43 ist AC:BC eine reelle positive Zahl = Jcf. Liegt z. B. D zwischen A und B, so ist AD positiv, BD negativ, daher auch ^ ¡ ^ negativ; es wird ^ ^ = 0 , wenn D mit A zuBD

BD

sammenfällt, = — 1 , wenn D die Strecke A B halbiert, d. h. mit dem Halbierungspunkt m von A B zusammenfällt, und

AD wächst BD

jetzt von —1 bis oo, wenn D sich von m nach B bewegt; fällt AD

D mit B zusammen, so -g-=r = oo. Der reziproke Wert des Ver-

hältnisses AD ist daher für den Fall, daß D in A liegt, = ^ = oo, und wird dieser Wert mit ¥ multipliziert, so erhält man den Wert des Doppelverhältnisses, der ebenfalls = oo ist. Liegt D zwischen AD

A und m, so ist -ßp > wie oben gesagt, eine negative Zahl und zwar < 1 , daher der reziproke Wert negativ und > 1 , was auch für den Wert des Doppel Verhältnisses gilt; fällt D mit m zusammen, ] ) B C F i g . 4:1.

AD

so ist der reziproke Wert des Verhältnisses ~ ß j ) der Wert des Doppelverhältnisses = — k'. ^J^- = 00, also BD

=

—

* '

Liegt D in B,

a

^so

so ist

= — = 0 , also auch k = 0 . Hiernach durch-

AD

00

läuft k, wenn sich D von A nach B bewegt, alle negativen Werte von 00 bis 0 . Ein Punkt D auf der Strecke m B zeichnet sich noch besonders aus, nämlich der, für welchen ADjBD = —hf ist, BD

1

JL JJ

K

dann ist -j-=- = — 77, also k = — 1 .

In dieser Lage bilden oder

heißen die vier Punkte h a r m o n i s c h e P u n k t e , das anharmonische Verhältnis ist also in ein harmonisches Verhältnis übergegangen. Geht jetzt D nach C, so ist

AD

eine + Z a h l , mithin auch der

AD

reziproke Wert von D ^ , also auch der Wert des Doppelverhältnisses (ABCD). DieBDLagen, die Punkt D einnehmen kann, wie AD

auch die Werte des Verhältnisses -5-=- und des reziproken VerBD

hältnisses - r y r , sowie die des Doppelverhältnisses (ABCD), wenn AG BCi = kf gesetzt wird, ergeben sich aus folgender ZusammenStellung:

49

Einleitendes. Wert des Verhältnisses

Wert des reziproken Verhältnisses

AD\BD

BD AD

2. D liegt in A

eine negative Zahl < 1 0

eine negative Zahl > 1 oo

3. D liegt in m

— 1

— 1

Lage von D 1. D zwischen A und m

Wert des Doppelverh<nisses (ABCD) = k

eine negative Zahl >1 oo

-

-

A C

V

4. D liegt zwischen m eine — Zahl > 1 eine — Zahl < 1 eine —Zahl, zuerst > 1 , später < 1 und B 5. In einer bestimmten Lage von D zwischen m und B

— f

—

w

00 0 6. D liegt in B 7. D liegt zwischen B eine + Zahl > 1 eine + Zahl < 1 und C 8. D liegt in C k' VW 9. D geht von C bis ins eine + Z a h l > 1 Unendliche eine + Zahl < 1 10. D im Unendlichen 1 11. D geht vom Unend- eine + Zahl < 1 lichen nach A eine + 1Zahl > 1

— 1

A,B,C,D

heißen harmonische Punkte

0 eine + Z a h l

als UZ, d. h. als der A b s t a n d zweier P o t e n z p u n k t e ist ¡die S t r e c k e n Z^FUX und UVZ, schließen sich gegenseitig aus und decken sich also in keinem Teile); sie liegen symmetrisch zum H a l b i e r u n g s p u n k t der S t r e c k e FV. Ist FV = UZ, stoßen die S t r e c k e n Z^U^ und UZ a n e i n a n d e r , so f i l l e n die Doppelpunkte zusammen, es g i b t nur einen Doppelpunkt im H a l b i e r u n g s p u n k t von FV. Ist schließlich FV < als UZ, bzw. greifen ZiU1 und UZ i n e i n a n d e r übei, so gibt es keinen D o p p e l p u n k t , e n t s p r e c h e n d e Punkte fallen dann n i c h t zusammen, sie sind, wie man auch s a g t , imaginär. Bei zwei u n g l e i c h l a u f e n d e n , projektiven Punktreihen, wie sie Pigur I b zeigt, sind dagegen in allen Lagen Doppelpunkte vorhanden und zwar außerhalb der Strecke F V, denn nur da decken sich entsprechende Hälften. Dem oo fernen Punkt auf g (vgl. Fig. 59) entspricht auf g1 Punkt F. Wenn also auf g ein Punkt aus dem Unendlichen kommt, und sich auf der Linienhälfts 9) über A , B, C nach V bewegt, so muß der entsprechende 5*

68

II. Kapitel.

Perspektive, involut. und harmon. Grundgebilde.

Punkt auf die Hälfte von F aus über Al, Ct bis ins Unendliche durchlaufen, d. h. die beiden Punkte laufen sich entgegen und müssen sich daher auch begegnen; die gleiche Überlegung gilt auch für die Linienhälften Si und . Daher gibt es zwei Doppelpunkte, die wegen der Eigenschaft der konstanten Potenz von den Punkten F und V gleichen Abstand haben müssen. Sie sind auch leicht konstruierbar (Fig. 62); man errichte in F (oder V) die Senkrechte und trage darauf nach beiden Richtungen die Strecke VU oder FU1 ab und beschreibe den Kreis, der durch

die Endpunkte dieser Senkrechten geht und seinen Mittelpunkt in der Mitte von F V hat, dann sind die Schnittpunkte des Kreises mit den Trägern der Punktreihen die gesuchten Doppelpunkte. Es ist nämlich SF = Vd', also SV = FS', ferner ist 8F • Fd' = (F U)2, also auch 6F • 6 V = (F U), d. h. d ist ein sich selbst entsprechender Punkt; ebenso ist Vd'- F ö ' = (FU) 2 , also auch 6' ein sich selbst entsprechender Punkt. Mithin gilt folgender Satz: „Bei zwei aufeinanderliegenden, ungleichlaufenden, projektiven Punktreihen gibt es immer zwei Doppelpunkte, die außerhalb der von den Gegenpunkten begrenzten Strecke des Trägers der Punktreihen, aber in gleichen Abständen von diesen, also symmetrisch zur Mitte m der genannten Strecke liegen." Auch für zwei aufeinanderliegende, d.h. konzentrische, projektive Strahlbüschel würden sich der letzteren analoge Untersuchungen anstellen lassen. Wenn zwei solche Strahlbüschel durch eine beliebige Gerade, die als Doppellinie dargestellt sei, geschnitten und auf der einen Geraden nur die Schnittpunkte des einen Büschels, auf der anderen nur die des anderen projektiven Büschels angegeben werden, so haben wir offenbar beide Büschel in pro-

Involutorische Punktreihen.

69

jektiver Lage mit zwei aneinanderliegenden Punktreihen, daher müssen durch die Doppelpunkte der letzteren auch offenbar die Doppelstrahlen der beiden Strahlbüschel gehen (vgl. Fig. 62). Selbstverständlich haben wir auch ungleichlaufende und gleichlaufende Strahlbüschel zu unterscheiden, für erstere gilt folgender Satz: Bei zwei aufeinanderliegenden (konzentrischen), projektiven, ungleichlaufenden Strahlbüscheln gibt es immer zwei reelle, zusammenfallende, entsprechende Strahlen, sog. Doppelstrahlen. Nicht so einfach gestalten sich die Untersuchungen über die Möglichkeit von Doppelstrahlen bei zwei aufeinanderliegenden, gleichlaufenden, projektiven Strahlbüscheln. Da diese für die weiteren Darlegungen nicht von Belang sind, sei nur kurz der Gang der Lösung angedeutet. Wir nehmen an, daß in beiden Büscheln die Rechtwinkelpaare xy und x1y1 konstruiert seien, außerdem auch die Potenzstrahlen u, z und Mx, zt (vgl. Fig. 55). Die in Figur 55 dargestellten Büschel sollen jetzt konzentrisch liegen. Schneidet man dann beide Büschel durch eine Transversale, die entweder der Winkelhalbierenden von (xl T/J) oder der seines Nebenwinkels parallel läuft, so läßt sich beweisen, daß die auf ihr gelegenen projektiven Punktreihen gerade in den Punkten U, Z, Ui, Zt ihre Potenzpunkte haben, in denen sie von den Potenzstrahlen u, z, ul, z1 der beiden Büschel geschnitten wird. Von dem Beweise für die Behauptung soll jedoch abgesehen werden. Es gilt nun folgender Satz: Bei zwei aufeinanderliegenden, gleichlaufenden, projektiven Strahlbüscheln gibt es im allgemeinen zwei Doppelstrahlen; sie sind reell vorhanden, wenn die Potenzstrahlen u und z von den Potenzstrahlen ut und zl nicht getrennt werden. Stoßen die Winkel aneinander (fällt also u mit ttj oder z mit zi zusammen), dann fallen auch die Doppelstrahlen zusammen, es gibt also nur einen Doppelstrahl; wird schließlich Winkel (uz) durch die Schenkel des anderen Winkels (% zt) getrennt, fällt also tix in den Winkel (uz), so gibt es keinen Doppelstrahl, die Doppelstrahlen sind imaginär. 18. Involutorische Punktreihen. Wir haben schließlich noch die Lagen zweier projektiver Punktreihen zu untersuchen, die in Figur 59 unter I I c) und d) dargestellt sind, und die sich von den eben betrachteten Fällen dadurch unterscheiden, daß die Flucht- oder Gegenpunkte nicht getrennt sind, sondern zusammenfallen, also ihr Abstand = Null angenommen wird. Bei den aufeinanderliegenden, ungleichlaufenden, projektiven Punktreihen, dargestellt in Figur 59, Ild), bei denen entsprechende Hälften aufeinanderliegen, gibt es analog dem Falle Ib) in Figur 59 stets zwei Doppelpunkte; diese sind hier die Potenzpunkte U, Z , Ut, Zlt es fallen Z und Z, , U und Ul zusammen. Sind aber die aufeinanderliegenden, projektiven Punktreihen gleichlaufend (Fig. 59, IIc), decken sich also nicht entsprechende

70

II. Kapitel. Perspektive, involut. und harmon. Grundgebilde.

Hälften, so gibt es keine Doppelpunkte, denn es ist F V = 0 geworden, wohl aber fällt U auf Zx und Z auf U1. Im Abschnitt 15 ist nachgewiesen, daß bei zwei perspektiven Punktreihen nicht bloß die Abstände der Potenzpunkte von den Gegenpunkten auf der einen Geraden denen der anderen gleich sind, sondern daß es überhaupt zwei Systeme gleicher Strecken gibt. Dann liegen die gleichen Strecken des einen Systems stets auf entsprechenden Hälften der Träger, z. B. A B = A1Bl, CD = C1Dl (Fig. 63), die Strecken des anderen Systems liegen dagegen mit ihren Endpunkten auf entgegengesetzten Hälften der Träger, z. B. DE = D1E1. Werden die Punktreihen jetzt so vereinigt, daß sich entsprechende Hälften decken, dann fallen auch die gleichen

Strecken des ersten Systems aufeinander, aber verkehrt, d.h. es fällt AB auf BxAlt also Punkt A auf Bi, B auf At und CD fällt auf D1Cl (Fig. 64a). Die Strecken des anderen Systems decken sich dagegen nicht. Bei dieser Lage der Punktreihen haben entsprechende Strecken entgegengesetzte Richtung, die Punktreihen sind also ungleichlaufend. Bei der anderen Vereinigung, d. h. bei gleichlaufenden, projektiven Punktreihen decken sich die gleichen Strecken des ersten Systems nicht, wohl aber die des zweiten Systems und zwar ebenfalls verkehrt: Dt Et deckt sich mit ED, Dl fällt auf E, Et auf D (Fig. 64 b). Die gleichen sich deckenden Strecken sind hier aber gleich gerichtet; jeder gleichen Strecke der einen Geraden entspricht jedoch auf der anderen Geraden nicht die, mit der sie sich deckt, sondern der Teil, der wohl die gleichen Endpunkte hat, zugleich aber den oo fernen Punkt enthält (vgl. Abschnitt 15).

Involutorische Punktreihen.

71

In beiden Fällen gibt es mithin Punkte, zwischen denen offenbar ein vertauschbares Entsprechen stattfindet; wenn z. B. einem Punkt A als Original der Punkt At entspricht, so entspricht dem mit Al sich deckenden Punkt B als Bild der Punkt By, der mit A vereint ist. Zwei in dieser Lage befindliche, projektive Punktreihen heißen involutorisch, und ihre Vereinigung eine Involution von Punkten. Die beiden zu einem Punkte vereinten Fluchtpunkte F und V bilden den Mittelpunkt der Involution. Die Punkte eines Paares, von denen jeder dem anderen in beiderlei Sinne entspricht, heißen konjugiert. Wir unterscheiden ungleichlaufende und gleichlaufende involutorische Punktreihen. Aus diesen Erörterungen folgt: Zwei projektive Punktreihen liegen involutorisch, wenn es ein Paar getrennter Punkte gibt, die einander vertauschbar entsprechen. Eine Punktinvolution ist ein projektives Gebilde von der Art, daß, wenn man von jedem Paare konjugierter Punkte AAlt BB, ,

l)

JD

a Z

C

$

A u ,

g

zt

n,

>

&

%&

4

m

£

»

-g „ "i

2d

^

% M^r

Fig. 64 a und b.

C'C\ , DDy usw. einen herausnimmt und diese herausgenommenen als eine Punktreihe A, B, C, D auffaßt, die konjugierten Punkte Ay, Bt, Cj, . . . eine mit der ersten projektive Punktreihe bilden und diese beiden Punktreihen in angegebener Weise aufeinanderliegen; ursprünglich befanden sich diese Punktreihen in perspektiver Lage. Man kann auch die konjugierten Punkte eines Paares miteinander vertauschen, ohne hierdurch jene projektive Beziehung zu ändern. Bei zwei gleichlaufenden involutorischen Punktreihen liegen zwei konjugierte Punkte immer auf entgegengesetzten Seiten vom Mittelpunkte (Fig. 64 b); die gleichlaufenden involutorischen Punktreihen heißen auch elliptische Punktreihen. Es muß für jedes Paar konjugierter Punkte E und Ev sein, wenn M der Mittelpunkt der Involution ist: ME' MEV = konst. = einer negativen Zahl. Dieses konstante Produkt ist die Potenz der elliptischen Involution. Ein Paar konjugierter Punkte zeichnet sich vor den anderen dadurch aus, daß sie vom Mittelpunkte M gleichen Abstand haben. Diese Punkte sind die Potenzpunkte U, Z, Uy und Zl; es

72

II. Kapitel.

Perspektive, involut. und harmon. Grundgebilde.

decken sich U und Zt und Z und U1, ihr Abstand vom Mittelpunkt ist gegeben durch die Gleichung MU = MZ = \'ME • MEX oder = ^FO • OV, wie im Abschnitt 15 gezeigt worden ist (vgl. Fig. 64 b). Bei ungleichlaufenden involutorischen Punktreihen liegen aber die Endpunkte sich deckender Strecken, d. h. zwei konjugierte Punkte immer auf derselben Seite des Mittelpunktes, man nennt sie hyperbolische Punktreihen. Auch hier besteht die Relation: MA • MAX = konst., doch ist diese konstante Zahl eine positive Zahl. Wird das konstante Rechteck wieder wie vorhin zum Quadrat, so fallen zweimal zwei konjugierte Punkte zusammen, es fällt nämlich U auf U^ , Z auf 2 , (vgl. Fig. 64a). Diese Punkte sind die sich selbst entsprechenden Punkte oder die Doppelpunkte der Involution, die es mithin bei gleichlaufenden involutorischen Punktreihen nicht gibt. Denken wir uns diese Doppelpunkte, deren Abstand vom Mittelpunkt der Involution durch die Relation MU = MZ = yMA • MA\ = yFO-OV gegeben ist, und ebenso ein Paar konjugierter Punkte A(Bl), A^B) konstruiert, so besteht die Gleichung: (BUAZ) = (BtUA1Z) , (UZBA) = (UZBtAJ , ÜB UA = UB^ UJ^ ZB'ZA~ ZBi : ZAl ' UB ZB

:

ÜBi^UA^ ZBt ~ ZA

:

UA± ZAt '

(UZBBy) = (UZAAJ

,

d. h.: Das Doppelverhältnis, das die Doppelpunkte zweier ungleichlaufender, aufeinanderliegender, projektiver Punktreihen mit irgend einem Paare entsprechender Punkte bilden, ist konstant. Das gleiche Gesetz muß auch für ungleichlaufende involutorische Punktreihen gelten, für diese ist aber (UZBBJ daher auch

= (XJZAxA) ,

(UZA t A) = (UZAAJ

.

Wenn aber der Wert des einen Doppelverhältnisses h ist, so ist nach Abschnitt 11 der des anderen 1 ¡k, es muß also auch k= l 'k sein, was nur möglich ist, wenn 7; = 4-1 oder = — 1 ist. Der Wert + 1 tritt bei letzterem Doppelverhältnis aber nur dann ein, wenn A mit A1 zusammenfällt, was hier jedoch ausgeschlossen ist, daher muß k — — 1 sein, d.h.: S a t z : Bei zwei ungleichlaufeiiden involutorischen Punktreihen (oder einer hyperbolischen Involution) werden zwei konjugierte Punkte A und B durch die Doppelpunkte U und Z harmonisch getrennt, und umgekehrt:

73

Involutorische Strahlbüschel.

Alle P a a r e von P u n k t e n , die zwei festen Punkten einer Geraden harmonisch zugeordnet sind, bilden eine hyperbolisohe I n v o l u t i o n , deren Doppelpunkte die festen P u n k t e sind. Es ist also (IJZAAX) = (UZÄB) = (ZUBA) = -1 ....

mithin

oder

oder

ZB ZB ÜB -ZÄ = -üa>

,

ZA , oder

ÜB

ZB ÜÄ^ZÄ'

UB: UA = ZB: ZA ,

schließlich AZi AU = BZ'.BU. Die vier Punkte Z A U B liegen mithin in solcher Folge, daß der Abstand der Punkte U und Z von den anderen Punkten A und B innen und außen nach gleichem Verhältnis geteilt wird; solche vier Punkte heißen bekanntlich harmonische Punkte. Wenn in der perspektiven Lage der Geraden g und gx (Fig. 63) Punkt A nach V rückt, fällt zugleich Bl nach F und die Bilder beider Punkte liegen im Unendlichen. Liegt mithin in der involutorischen Lage der Punktreihen A in M, so liegt auch Bl in M, die entsprechenden Punkte, d. h. B und Al liegen aber im Unendlichen , mithin sind die Punkte Z, M, XJ und der oo ferne Punkt harmonische Punkte. Bei solchen harmonischen Punkten besteht die Beziehung MA • MB = MZ2 = MZJ2 = konst. Das Produkt MA-MB ist bekanntlich die Potenz; fallen Z und U zusammen mit M , so wird die Potenz = 0 ; damit aber das konstante Rechteck = 0 wird, muß mindestens auch einer der Punkte A oder B mit M zusammenfallen. Diese besondere Lage der vier harmonischen Punkte, bei der also die Doppelpunkte zusammenfallen, d. h. mit M vereinigt sind und der konjugierte Punkt irgend eines anderen Punktes der Punktreihe in M liegt, heißt parabolische Involution. Für die elliptische Involution ist mithin die Potenz eine negative, für die hyperbolische eine positive Größe, für die parabolische ist sie = 0 . Eine involutorische Punktreihe bzw. Strahlbüschel ist bestimmt, wenn man zwei Paare konjugierter Elemente, die einander vertauschbar entsprechen, kennt. Alsdann lassen sich die Doppelelemente der Involution konstruieren. Diese Aufgabe ist im Abschnitt 23 bzw. im Abschnitt 34 des III. Kapitels gelöst. 19. Involutorische Strahlbüschel. Verbindet man zwei involutorisch liegende Punktreihen mit einem außerhalb des Trägers gelegenen Zentrum, so erhält man zwei involutorische S t r a h l büschel oder eine Involution von Strahlen. In diesen projektiven, konzentrischen Strahlbüscheln decken sich offenbar samt-

74

II. Kapitel.

Perspektive, involut. und harmon. Grundgebilde.

liehe Paare gleicher Winkel, also auch die rechten Winkel, und zwar so, daß die Schenkel eines solchen Paares, z. B. (ab) und b{), verkehrt aufeinanderliegen, d.h. a auf bl und «t auf b. Dieses gilt offenbar für beide Systeme gleicher Winkel, je nachdem die Strahlbüschel gleichlaufend oder ungleichlaufend sind. Gleiche rechte Winkel, (xy) und (x1yi), treten jedoch nur einmal auf, sie liegen in beiden Fällen so aufeinander, daß x mit yl, y mit xi sich deckt. Die Schenkel irgend eines Paares verkehrt aufeinanderfallender, entsprechender, gleicher Winkel bilden ein Paar konjugierter Strahlen, die Schenkel der sich deckenden rechten Winkel die Achsen der Involution. Sind die die Involution erzeugenden Strahlbüschel gleichlaufend, so heißt sie eine elliptische; bei einer solchen entspricht einem Winkel des einen Systems sein Supplementwinkel im anderen Büschel. In dieser Lage fallen also die Schenkel von solchen gleichen Winkeln, die sich jedoch nicht entsprechen, verkehrt aufeinander, z. B. Strahl 2 und E1, und n u r e i n m a l d u r c h eine P a r a b e l . Ist k einer von den vielen Kegelschnitten (Fig. 154b), die zu Tangenten die Geraden g , , © und b haben, und sind die Punkte c, eL, x und y die Berührungspunkte der Seiten, die wir auch auffassen können als die Ecken eines dem Kegelschnitte eingeschriebenen Vierecks, dann gelten bekanntlich die in den Abschnitten 25 und 36 angeführten Sätze. Hiernach z. B. schneiden sich die Diagonalen beider Vierecke in einem Punkte, nämlich P, und jede Diagonale des umgeschriebenen Vierecks enthält einen Gegenseitenschnittpunkt des eingeschriebenen Vierecks, dessen Ecken die Berührungspunkte des umgeschriebenen Vierecks sind. Nun liegen fest das umgeschriebene Viereck und seine Diagonalen bzw. sein Diagonaldreiseit p , q , r . Wird jetzt ein neuer Kegelschnitt kL gedacht, so müssen diese erwähnten Eigenschaften für das neue eingeschriebene Viereck ebenfalls bestehen, mithin stellen die Berührungspunkte auf den festliegenden Seiten projektive Punktreihen dar, die perspektiv liegen, denn die Verbindungsgeraden der Berührungspunkte, gleichviel, ob diese Geraden die Berührungspunkte von gegenüberliegenden oder anliegenden Seiten verbinden, schneiden sich stets in einem Punkte, nämlich in einem Diagonalpunkte des vollständigen Vierseits. Wir können mithin folgenden Satz aussprechen: D u r c h l ä u f t ein K e g e l s c h n i t t d i e g a n z e K e g e l s c h n i t t s c h a r , so b i l d e n d i e B e r ü h r u n g s p u n k t e auf i r g e n d zweien der vier festen T a n g e n t e n p r o j e k t i v e , p e r s p e k t i v liegende P u n k t r e i h e n . D a s P e r s p e k t i v i t ä t s z e n t r u m i s t einer d e r d r e i D i a g o n a l p u n k t e d e s v o n den v i e r f e s t e n T a n g e n t e n gebildeten, v o l l s t ä n d i g e n Vierseits und zwar desjenigen, d a s der D i a g o n a l e g e g e n ü b e r l i e g t , die durch den Schnittp u n k t d e r b e i d e n T a n g e n t e n g e h t . Den Ausführungen entnehmen wir noch folgenden Satz: D a s D i a g o n a l d r e i s e i t d e s a l l e n K e g e l s c h n i t t e n d e r S c h a r u m g e s c h r i e b e n e n , von d e n G r u n d s t r a h l e n g e b i l d e t e n V i e r s e i t s i s t ein a l l e n g e m e i n sames Polardreiseit. 39. Um zu entscheiden, in welcher Lage vier feste Punkte im Verein mit einem fünften Punkte eine Ellipse, Hyperbel usw. erzeugen, sei kurz die Entstehung eines Kegelschnittbüschels aus zwei perspektiven Strahlbüscheln erklärt. (Vgl. S t e i n e r s Vorlesungen über synthetische Geometrie, Abschnitt 162.)

Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschar.

159

Es seien 0 und Ol die Zentren zweier perspektiver Strahlbüschel und a die Perspektivitätsachse (Fig. 155). Wir bestimmen zwei neue Strahlbüschel mit denselben Zentren, indem wir eine neue Achse a! ziehen; der Schnittpunkt beider Achsen sei P. Wir können auch sagen, die neue Achse a' sei eine besondere Lage von a, Achse a sei um P durch Drehung in die Lage a! gebracht worden. Jeder Lage von a, die sich durch Drehung um P herstellen läßt, entsprechen mithin zwei perspektive Strahlbüschel; alle diese Strahlbüschel zeichnen sich aber dadurch aus, daß sie in der Verbindungsgeraden der Zentren zwei sich entsprechende Strahlen q und qY enthalten, und daß ebenso die von den Zentren nach P gezogenen Strahlen p und pl sich ebenfalls in jedem Büschel entsprechen. Wir wissen, werden zwei perspektive Strahlbüschel aus der perspektiven Lage gebracht, so wird aus der Perspektivitätsachse ein Kegelschnitt. Werden die erwähnten Strahlbüschel durch Drehung um ihre Zentren zu projektiven Büscheln gemacht, und ist jedesmal der Drehwinkel für den Büschel mit dem Zen& trum 0 der < a , für j^lJ^-s^ den mit dem Zentrum Ay^rvV/S^^ 0 ' der pj> ist, das trifft in diesem Falle auch zu; ein anderes mögliches Verhältnis ist z. B. p: q: r = 9 : 5 :10; unmögliche Verhältnisse aber sind p:q:r = 6 : 3 : 2 oder = 6 : 4 : 3 ; in diesen Fällen ergibt sich für die Würfelkante a eine

Das Entwerfen von axonometrischen Projektionen.

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jektionsebene bestimmt sich aus der Gleichung cosj» = —.

Die

zur Zeichenebene in O'Z' lotrecht stehende Ebene enthält die Würfelkante OC; in diese Ebene seien auch die beiden anderen von 0 aufsteigenden Würfelkanten, und zwar um den projizierenden Strahl von 0 gedreht, nach der Drehung aber umgelegt. Diese umgelegten Kanten sind offenbar OA0 und OB 0 , und ihre Neigungen oc und ß bestimmen sich aus den Gleichungen rp

cosa = —, cosß=q/a. 0>

Um nun die Punkte B' und A' zu finden, müssen wir uns die Kanten O,A0 und O'S 0 wieder aufgerichtet und dann in ihre natürliche Lage gedreht denken. In dieser Lage liegen sie in der auf OCinO senkrecht stehenden Ebene, die die OC projizierende Ebene in einer Geraden schneidet, die umgelegt die Senkrechte von (yC0 in C bildet. Da sich außerdem bei der Drehung der Strahlen die Abstände der Punkte A und B von der Projektionsebene nicht ändern, so sind die geometrischen örter Fig. 192 b. für A'\ der Kreis mit p um (y und die durch A, zu OC' gezogene Senkrechte, für B': der Kreis mit q um O und die durch Bt zu O'C' gezogene Senkrechte. Die Geraden OB' und O'A' sind die Projektionen der Koordinatenachsen Y und X. Diese Achsen sind in Figur 192 b noch einmal gezeichnet und darauf mittels der Achsenmaßstäbe und KoLänge, die kleiner ist als die größte der drei Zahlen, was aber bei der orthogonalen Projektion nicht möglich ist; denn es ist bei dieser die Projektion einer Geraden immer kleiner als die Gerade selbst. G e y g e r , Darstellende Geometrie. L

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IV. Kapitel. Die orthogonale, axonometrische u. die schiefe Projektion.

ordinatenzüge die Abbildungen der Eckpunkte des in Figur 191 dargestellten Körpers ermittelt worden. Die drei Verhältnisse V cos« = — , et

cos/8 = q/a ,

cosy = rja

heißen die Verkürzungsverhältnisse, da sie für jede in der Achsenrichtung gezogene Strecke das Verhältnis der Bildlänge zur wahren Länge angeben. Da p2 +