Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 1 Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schraubenflächen [4., erw. Aufl. (Neudruck). Reprint 2020] 9783112373422, 9783112373415

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LEHRBÜCH DER

DARSTELLENDEN GEOMETRIE VON

DR. KARL RÖHN

UND DR. ERWIN PAPPERITZ

>. p m o n s s o R D B H M A T H E M A T I K LI D U TNMNRIRRÄT LEIPZIG

O. RAONAOI DIR MATHEMATIK AH D I R B E E Q A K A D K M I K F E K I B E R Q

IN DREI ERSTER

BÄNDEN BAND

ORTHOGONALPROJEKTION VIELFLACHE, PERSPEKTIVITÄT EBENER FIGUREN, KURVEN, ZYLINDER, KUGEL, KEGEL, ROTATIONSUND SCHR AUBENFL Ä.CHEN MIT 351 FIGUREN IM TEXT

VIERTE, ERWEITERTE AUFLAGE NEUDRUCK

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. TORHALS O. J. GÖSCHENSCHE VERLAGSHANDLL'NG J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG • GEORG REIMER • KARL J. TRÜBNER • VEIT & COMP.

BERLIN W 10 UND LEIPZIG 1932

Archiv-Nr. 120232

Rodârdrnck von C. 0 . Röder A.-G, Leipiig

Vorwort zur ersten Auflage. Für die Studierenden der exakten Wissenschaften liegt die Notwendigkeit vor, sich eine geläufige Raumanschauung zu erwerben. Ohne diese ist ein tieferes Eindringen in die einzelnen Naturwissenschaften und technischen Fächer unmöglich. Die praktische Erfahrung hat aber gelehrt, daß genaue Raum Vorstellungen schwer zu erlernen sind. Das einzige Mittel hierzu bietet die bildliche Wiedergabe räumlicher Objekte nach mathematischer Methode, also die darstellende Geometrie. Durch sie und nur allmählich unter Behandlung zahlreicher Beispiele wird der Studierende dahin gebracht, sieb in den Fragen, welche die räumlichen Formen betreffen, mit Sicherheit zurecht zu finden. Die darstellende Geometrie hat die Methoden zur Abbildung aller der geometrischen Gebilde zu entwickeln, die als Formelemente an den praktisch vorkommenden komplizierteren Objekten wiederkehren. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes ist aber vor allem als Ziel die Entwickelung der Raumanschauung ins Auge zu fassen. Von diesem Gesichtspunkt aus erscheint es zweckmäßig, auch bei den ebenen Figuren zur Erklärung ihrer Eigenschaften und ihrer Abhängigkeit voneinander die sich im Räume vollziehende Projektion zu benutzen und die letztere überhaupt, wo es nur angeht, in den Vordergrund zu stellen. Dies gilt beispielsweise von der Erklärung der Kollinearverwandtschaften ebener Figuren und von der Theorie der Kegelschnitte; bei den letzteren ist die Entstehung aus der Zentralprojektion des Kreises als Ausgangspunkt geeigneter, als die Erzeugungsweise durch projektive Büschel und Reihen, die der mehr formalen Methode der Geometrie der Lage entspricht Das vorliegende Buch soll nach der Meinung der Verfasser vornehmlich dem Zwecke dienen, durch die Lösung der Darstellungsprobleme dem Leser die klare Erfassung geometrischer Fragen und die Bildung präziser Raumvorstellungen zu vermitteln. Es setzt

Vorwort.

IV

n u r die einfachsten geometrischen Kenntnisse voraus, schreitet systematisch vom Leichten zum Schwereren fort und bezieht viele solche stereometrische Aufgaben in den Lehrbereich ein, die zur Erreichung des oben bezeichneten Zieles geeignet erscheinen. Hierdurch dürfte es besonders den Bedürfnissen des Studierenden Rechnung tragen. Dem mit dem Stoff vertrauten Leser wird neben dem Bekannten gewiß manches Neue, manche Vereinfachung von Konstruktionen und Beweisen entgegentreten. Der Wunsch, die Ergebnisse der darstellenden Geometrie durchweg auf die Projektionsmethoden begründet zu sehen, mag das Erscheinen dieses Buches rechtfertigen. Möge es sich im dargelegten Sinne als nutzbringend erweisen! Im August 1893. Karl Hohn.

Erwin Papperitz.

Vorwort zur dritten und vierten Auflage. Bevor wir eine Neubearbeitung des seit längerer Zeit vergriffenen zweiten Bandes vornehmen konnten, hatte sich die Veranstaltung einer dritten Auflage des ersten Bandes unseres Lehrbuches notwendig gemacht. W i r haben uns bei diesem Anlaß entschlossen, den ganzen Stoff neu anzuordnen und ihn statt auf zwei auf drei Bände zu verteilen. Maßgebend für die neue Einteilung war die gebotene Rücksichtnahme auf die Bedürfnisse der Studierenden. Unser oberstes Ziel war und ist die methodische Schulung der geometrischen Vorstellungskraft, deren kein Studierender exakter Wissenschaften entraten kann. Und als das einzig und allein geeignete Mittel zur Erreichung dieses Zieles betrachten wir das intensive Studium der darstellenden Geometrie. Man muß indessen klar und scharf unterscheiden zwischen den Bedürfnissen, welche die Studierenden der technischen Wissenschaften und die der Mathematik haben. Die Studierenden der technischen Hochschulen, die künftigen Ingenieure, brauchen die

Vorwort.

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n u r die einfachsten geometrischen Kenntnisse voraus, schreitet systematisch vom Leichten zum Schwereren fort und bezieht viele solche stereometrische Aufgaben in den Lehrbereich ein, die zur Erreichung des oben bezeichneten Zieles geeignet erscheinen. Hierdurch dürfte es besonders den Bedürfnissen des Studierenden Rechnung tragen. Dem mit dem Stoff vertrauten Leser wird neben dem Bekannten gewiß manches Neue, manche Vereinfachung von Konstruktionen und Beweisen entgegentreten. Der Wunsch, die Ergebnisse der darstellenden Geometrie durchweg auf die Projektionsmethoden begründet zu sehen, mag das Erscheinen dieses Buches rechtfertigen. Möge es sich im dargelegten Sinne als nutzbringend erweisen! Im August 1893. Karl Hohn.

Erwin Papperitz.

Vorwort zur dritten und vierten Auflage. Bevor wir eine Neubearbeitung des seit längerer Zeit vergriffenen zweiten Bandes vornehmen konnten, hatte sich die Veranstaltung einer dritten Auflage des ersten Bandes unseres Lehrbuches notwendig gemacht. W i r haben uns bei diesem Anlaß entschlossen, den ganzen Stoff neu anzuordnen und ihn statt auf zwei auf drei Bände zu verteilen. Maßgebend für die neue Einteilung war die gebotene Rücksichtnahme auf die Bedürfnisse der Studierenden. Unser oberstes Ziel war und ist die methodische Schulung der geometrischen Vorstellungskraft, deren kein Studierender exakter Wissenschaften entraten kann. Und als das einzig und allein geeignete Mittel zur Erreichung dieses Zieles betrachten wir das intensive Studium der darstellenden Geometrie. Man muß indessen klar und scharf unterscheiden zwischen den Bedürfnissen, welche die Studierenden der technischen Wissenschaften und die der Mathematik haben. Die Studierenden der technischen Hochschulen, die künftigen Ingenieure, brauchen die

Vorwort.

v

Theorie in geringerem Umfang, dafür aber um so mehr Einübung der graphischen Methoden, denn die exakte Zeichnung ist die „Sprache der Ingenieure". Sie sollen das Greifbare in der Geometrie beherrschen und verwerten lernen. Anders bei den Studierenden der reinen Mathematik; für diese bildet die beschreibende Geometrie gewissermaßen nur ein Durchgangsstadium, das sie von der grobsinnlichen Auffassung der Raumformen zu einer verfeinerten begrifflichen Erkenntnis ihrer Gesetze hinführt. Auch sie sollen die Anwendbarkeit ihrer Wissenschaft kennen und nicht vernachlässigen; sie sollen aber andererseits in theoretischer Beziehung weiter vorwärts schreiten und selbst komplizierte räumliche Gebilde erforschen lernen, wenn auch die hier zu gewinnenden Kenntnisse nicht immer eine unmittelbare Anwendung auf andere Wissenszweige zulassen; denn die darstellende Geometrie bezweckt für den Mathematiker in erster Linie die Schulung der Kaumvorstellung. Im Übrigen war unser Bestreben darauf gerichtet, die Darlegung der Methoden, die Konstruktionen und die Beweise so einfach wie möglich zu gestalten. Die Anwendungsbeispiele, die Literaturnachweise und historischen Anmerkungen sind vermehrt worden. Der e r s t e B a n d behandelt vorbereitend die notwendigen G r u n d l a g e n der d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e , d. h. die K o l l i n e a r v e r w a n d t s c h a f t e n d e r e b e n e n F i g u r e n (Ähnlichkeit, Affinität und Perspektivität), sowie unter tunlichster Beschränkung auf das Notwendige die konstruktive Theorie der K e g e l s c h n i t t e und die Hauptsätze Uber die e b e n e n K u r v e n , R a u m k u r v e n und F l ä c h e n . Im wesentlichen aber ist dieser Teil der M e t h o d e d e r o r t h o g o n a l e n P r o j e k t i o n , also dem Grund- und Aufrißverfahren, und seiner A n w e n d u n g auf e b e n f l ä c h i g e G e b i l d e , K u g e l , Z y l i n d e r , Kegel, Rotationsflächen, zyklische Kurven, Schraubenlinien und S c h r a u b e n f l ä c h e n gewidmet. Die S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n e n sind allenthalben berücksichtigt. Dieser Band umfaßt sonach diejenigen Teile der darstellenden Geometrie, die nicht nur jeder Mathematiker, sondern auch jeder Ingenieur unbedingt kennen muß. Der zweite B a n d enthält die A x o n o m e t r i e , die f r e i e und a n g e w a n d t e P e r s p e k t i v e , sowie die B e l e u c h t u n g s l e h r e . Wie wichtig die axonometrischen Darstellungsverfahren für Ingenieure sind, denen sie die beste Methode des Skizzierens liefern, und welche Bedeutung die Kenntnis der Perspektive für Architekten und bildende Künstler besitzt, braucht hier nicht besonders hervorgehoben zu werden. Der d r i t t e B a n d ergänzt die beiden ersten durch die Weiterftthrung der Theorie und ihre Anwendung auf allerlei dem Techniker

Vorwort.

VI

ferner liegende geometrische Fragen, um so die Raumanschauung noch zu vertiefen. Er bringt — immer in konstruktiver, der projektiven Geometrie angepaßter Behandlangsweise — d i e a l l g e m e i n e T h e o r i e d e r K u r v e n u n d F l ä c h e n z w e i t e n G r a d e s , vieler R a u m k u r v e n and F l ä c h e n h ö h e r e r A r t (darunter vorzugsweise der Regelflächen), sowie die Hauptsätze über die K r ü m m u n g d e r Flächen. Die drei Bände sind in der neuen Bearbeitung gleichzeitig erschienen. Um die Neubearbeitung auch äußerlich als ein einheitliches Ganzes zu kennzeichnen, ist sie durchgängig als d r i t t e A u f l a g e bezeichnet worden, obgleich nur diejenigen Teile, die früher im ersten Bande vereinigt waren, tatsächlich eine dritte Auflage darstellen. Zur v i e r t e n A u f l a g e d e s e r s t e n B a n d e s sei nur bemerkt, daß die s t e r e o g r a p h i s c h e P r o j e k t i o n ausführlicher behandelt wurde und daß in einem A n h a n g Erwägungen über die E i n f a c h h e i t u n d G e n a u i g k e i t g r a p h i s c h e r K o n s t r u k t i o n e n beigefügt sind, die für einen jeden, der möglichst genaue Zeichnungen auszuführen hat, von Wert sein dürften. Wir hoffen durch die vorgenommene Umarbeitung die Brauchbarkeit unseres Lehrbuches erhöht zu haben. Möge es wiederum freundliche Aufnahme bei den Fachgenossen finden und den Lernenden zum Nutzen dienen! Im August 1912.

Karl Röhn.

Erwin Papporitz.

Inhalt. Salt« 1

Einleitung

Erstes Kapitel.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. Ihnliehkeit ebener Figuren.

1.

2. Zentralprojektion einer Ebene auf eine zweite parallele Ebene. Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage. . 7 3. Parallelverschiebung der Bildebene. Ähnlichliegende Figuren einer Ebene 8 4. Drei paarweise ähnlichliegende Figuren 9 6. Ähnlichkeitszentra zweier Kreise 10 Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene. 6. Parallelprojektion einer Ebene auf eine zweite. Affinität bei affiner Lage 7. Eigenschaften affingelegener Figuren 8. Drei paarweise affinliegende Figuren • 9. Affingelegene Figuren in einer Ebene (Indirekte Definition) 10. Drehung der einen Figur um die Affinitätsachse . . . .

10 11 12

13 13

Affine und affingelegene Figuren einer Ebene. 11. 12. 18. 14.

Affingelegene Figuren in einer Ebene (Direkte D e f i n i t i o n ) . . . Affingelegene rechte Winkel Affingelegene gleiche Winkel Verhältnis affiner Strecken

13 15

15

16

Die Ellipse als affine Kurre zum Kreise und ihre Konstruktion. 15. 16. Ellipse; konjugierte Durchmesser, Achsen 17. Der zu einer Ellipse affine Kreis bei gegebener Affinitätsachse 18. 19. Konstruktion der Ellipse aus konjugierten Durchmessern (Zwei Verfahren) 20. 21. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Tangente und Normale 22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern 23. Mechanische Erzeugung der Ellipse 24. Konstruktion der Ellipse aus fünf Punkten

17 19 20

21 22

23 26

vm

Inhalt.

Zweites Kapitel. Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in Grand- und Aafrifi. Bestimmung der einfachen Beziehlingen dieser Grandgebilde zueinander.

Seit*

Das Grund- und AufrlßTerfahren. 25. Orthogonalprojektion 26. Grundriß- nnd Aufrißverfahren. Zwei-Tafel-System . . . . 27. Projektionen nnd Tafelabstände eines Punktes 28—30. Projektionen und Spurpnnkte einer Geraden 31. Spnrlinien einer Ebene 32 — 34. Drei-Tafel-System Seitenriß 35. 36. Besondere Lagen einer Geraden oder Ebene. Hilfsprojektion 37. 38. Vereinigung der Tafeln mit der Zeichnungsebene. Zeicbnungsregeln Darstellung der Grundgebilde: P u n k t , Gerade, Ebene In Tersebledenen Lagen. 39 — 41. Der Punkt 42—44. Die Gerade 45. Die Ebene Pnnbte, Gerade nnd Ebenen in vereinigter Lage. Verblndungsund Schnittelemente. Parallelismus. 46—51. Kriterien für die vereinigte Lage und den Parallelismus zweier Orundgebilde 52. Haupt- oder Streichlinien einer Ebene . . . 53—65. Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen die durch Bedingungen (nämlich als Schnitt-, Verbindungs- oder Parallelelemente) bestimmt sind Gerade und Ebenen In rechtwinkliger Stellung. AbstUude und Winkel. Die Umlegung in eine Tafel nnd die Drehung um die Parallele zu einer Tafel. 66. Projektion eines rechten Winkels in einen rechten W i n k e l . . . 67 — 70. Normalen einer Ebene. Falllinien. Lot aus einem Punkt auf eine Ebene. Normalebene zu einer Geraden durch einen Punkt 71 — 73. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke 74. Teilung einer Strecke 75. 76. Tafelneigungen einer Geraden. Eine Gerade mit gegebeneu Tafelneigungen zu zeichnen . 77. 78. Tafelneigungen einer Ebene. Eine Ebene mit gegebenen Tafelneigungen zu zeichnen 79. Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . 80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine Tafel 81. Affinitfit zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur . . . 82 — 84 Winkel zweier Geraden, zweier Ebenen, einer Geraden und einer Ebene 85. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Paralleldrehung zu einer Tafel 86. Abstand eines Punktes von einer Geraden 87. Errichtung einer Normalen von gegebener Länge in einem Punkte eines Dreieckes

26 27 28 28 29 30 31 32

34 35 38

39 42 43

50 51 52 53 54 55 56 57 58 ")9 61 62 63

Inhalt.

IX Seit*

SS. Drehung eines Punktes um eine Tafelparallele durch einen gegebenen Winkel 64 89 — 91. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden . . . . 65 Lösung verschiedener stereometrlschcr Aufgaben durch Projekt! onsmethoden. 92—94. Rotationskegel. Zwei Kegel mit gemeinsamer Spitze. Polarkegel 95. Rotationszylinder 96. Neigungskreis in einer Ebene für Gerade and Ebenen durch einen außerhalb gelegenen Punkt 97. Gerade von gegebener Tafelneigung in einer Ebene . . . . 98. Ebenen von gegebener Tafelneigung darch eine Gerade . . 99. Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze 100. Gemeinsame Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze 101. 102. Anwendung auf Gerade und Ebenen mit gegebenen Tafelneigungen 103. Gerade, die zwei windschiefe Gerade unter gegebenen Winkeln schneiden 104. Ebenen durch einen Punkt, die mit zwei Geraden gegebene Winkel einschließen 105. Gerade in einer Ebene, die von zwei festen Punkten außerhalb gegebene Abstände haben 106. Gerade durch einen Punkt, die von zwei Geraden vorgeschriebene Abstände haben 107. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form der andern gegeben ist 108. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form gegeben ist. 109. Schiefe Parallelprojektion eines Kreises in eine gegebene Ellipse

Drittes Kapitel. 110. 111. 112. 113—120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135.

68 70 70 71 71 72 73 75 75 76 76 77 79 79 81

Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant Das »-Kant und seine Bestimmungsst&cke Seiten- und Winkelsumme des konkaven » Kants, Polar-n-Kant Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln . . . . Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck Konstruktion eines Dreikants aus andern Bestimmungsst&cken Allgemeines Uber Yielilache; repulilre Vielflache. Das Vielflach oder PolySder. Satz von E u l e r Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs Folgerungen aus dem Eulersehen Satze Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyeders Regulfire Polyeder. Konstruktion des Achtflachs Konstruktion deB Zwölfflachs Konstruktion des Zwanzigflachs Reguläre Sternpolygder Tetraeder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind Konstruktion des Würfels aus der Kantenlänge und den Richtungen der ersten Kantenprojektionen

83 84 85 86 93 95 96 98 99 100 101 102 105 108 108 110

x

Inhalt. Seite

136.

KoDBtraktion des Würfels aus den Längen der ersten Kanten-

13". 138.

Die einem Vierflach umschriebene Kugel Die einem Vierflach eingeschriebene Kugel

projektionen

141.

111

112 113

Ebene Schnitte und Netze Ton Yielflaehen, Inabesondere Prismen und Pyramiden. 139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche. Netz des Vielflachs 114 HO. Prismen und Pyramiden . . . . 115 142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma 116 143. Schnitt und Netz einer Pyramide 119 144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basisund Schnittfläche und deren Neigungswinkel 121

Durchdringung: zweier Yielflache. 143. Allgemeines über die Durchdringungsfigur 122 146. Durchdringung von Würfel und TetraeJer 122 147. Durchdringung von Prisma und Pyramide in spezieller Lage 125 148 —150. Durchdringung von Prismen und Pyramiden in allgemeiner Lage 126 Seh lagseh atten nnd Eigenschaften bei Yielflaehen. 151. Schlag- und Eigenschatteobegrenzung bei parallelen Lichtstrahlen 128 152. Eigenschatten eines Zwölfflachs und Schlagschatten auf die Tafeln 129 153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte Pyramide und Achtflach) 130 Beispiele f ü r angewandte Schattenkonstruktion. 154. Freitreppe 155. Fenster 156. Dachfläche mit Schornstein

Viertes Kapitel.

Perspektivität ebener Figuren. Gebilde.

132 133 135

Harmonische

Zentralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene. 136 157. Zentralprojektion einer ebenen Figur 158. Spezialfälle: Affine, ähnliche, kongruente Figuren . . . . 137 159. Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und Verschwinduogslinie einer Ebene 137 160. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung der Ebene 138 161. Bestimmung der Zentralprojektion bei gegebener Original133 und Bildebene 138 162. Drei paarweise perspektive Figuren 163. Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Achse 139 164. Vereinigung von Original- und Bildebene durch Drehung . . 140 165. Perspektive Beziehungen zwischen Grund- nnd Schnittpolygon 141 einer Pyramide

Inhalt.

166. 167. 16S. 169. 170. 171.

Perspektive In der Ebene. Eigenschaften perspektiver oder zentrisch-kollinearer Figuren einer Ebene Übergang von der ebenen zur räumlichen Perspektive . . Bestimmungestücke der Perspektive, Gegenachsen (Flacht- und Verschwindungslinie) und Gegenpunkte (Flucht- und Ver schwindungspunkt) Verwandlung der räumlichen Perspektive durch Parallel Projektion in eine ebene Winkelrelation bei perspektiver Abbildung

Perspektive Urnndgebilde. 173. Die einförmigen Grandgebilde: Punktreihe, Strahlb&schel, EbenenbÜBchel. Perspektive Lage zweier Grnndgebilde 174. Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte 175—180. Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Geraden zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller Punkte der beiden Reihen ist hierbei stets das gleiche. Folgerungen hieraus 181. 182. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines B&8chel8 mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive Beziehung ist dadurch bestimmt 183. Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen 184. Folgerangen 185. Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln 186. Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonalprojektion des andern angesehen werden 187. 188. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines Büecbels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen 189. Projektivität von einförmigen Grundgebilden 190. ABCD, BADO, CD AB und DCBA sind projektiv . . . 191—193. Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage 172.

XI

Seit* 141 142 142 144 144

145 146

146 149 150 151 151 152

152 154 154 154

Harmonisehe Grandgebilde. Vierselt nnd Tiereek. 194. Das vollständige Vierseit 157 195—198. Definition der harmonischen Lage von vier Punkten. Harmonische Beziehungen am Vierseit 158 199. Acht verschiedene projektive Anordnungen von vier harmonischen Punkten 160 200. Vier harmonische Strahlen oder Ebenen 160 201. Konstruktion des vierten harmonischen Punktes 161 202. 203. Das vollständige Viereck; harmonische Beziehungen an ihm. Konstruktion des vierten harmonischen Strahles . . . . 161 204. Spezielle harmonische Punkte and Strahlen 162 205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat 164 Metrlsehe Beziehungen zwischen perspektiven Grnndgebllden. 206. 207. Verhältnisgleichung zwischen ahnlichen und affinen Strecken 208. 209. Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) . . .

164 165

Inhalt.

XII

Seite

210.

211.

212. 213. 214 — 217. 218.

Bestimmung jedes Elementes in einer Panktreihe, einem Strahloder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis . . . . 166 Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen 167 Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grundgebilden. Umkehrung 168 Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten . . . 170

InTolutorisehe Grundpebilde. 219 — 221. 222.

223. 224.

227.

225. 226. 228. 229. 230. 231. 232. 233. 234. 235. 236.

Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen. Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen. Letztere besitzen Doppelpunkte; ihre harmonische Lage zu den Punktepaaren Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion der Paare mittels eines vollständigen Vierecks Herstellung der involutorischen Luge Metrische Beziehungen Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder Ebenenbüscbeln; Doppelstrahlen, ihre harmonische Lage zu den Strahlenpaaren Zwei Strahlenpaare bestimmen eine Involution. Konstruktion der Paare mittels eines Vierseits Das Rechtwinkelpaar. Metrische Beziehungen Die Involution rechtwinkliger Strahlenpaare Die Punktinvolution als Schnitt kongruenter Strahlbiiscliel, deren entsprechende Strahlen rechtwinklig sind . . . . Konstruktion der Doppelpunkte einer Punktinvolution . . . Schnitt einer Strahleninvolution mit einem Kreis durch ihren Scheitel Konstruktion der Rechtwinkel- und Doppelstralilen einer Strahleninvolution Die Punktinvolution ohne Doppelpunkte als Schnitt einer Involution rechter Winkel

Fünftes Kapitel.

171 172 173 174 175 175 176 176 177 178 178 179 180 181

Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

PerspektivitUt zweier Kreise Im Banme und In der Ebene. Pol und Polare beim Kreise. 237. 238. Schiefer Kreiskcgel 239 — 241. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise einer Kugel sind perspektiv. Umkehrung 242. Symmetrieebenen und Achsen des schiefen Kreiskegels . . 243—245. Räumliche und ebene Perspektive zweier Kreise 246. Der Kreis und die unendlich ferne Gerade als Bild eines Kreises und einer ihn nicht schneidenden Geraden . . . 247. Der Kreis und sein Mittelpunkt als Bild eines Kreises und eines von ihm eingeschlossenen Punktes 248. Der Kreis und drei Punkte seiner Peripherie als Bild eines Kreises und dreier Peripheriepunkte 249. 250. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Zentrum ist dabei beliebig

181 183 185 185 189 190 191 192

Inhalt.

XIII Salt«

251. 252. Definition und Eigenschaften von Pol und Polare beim Kreise 191 253 — 255. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebeneu Viereck beim Kreise; seine Bedeutung für Pol und Polare; Polardreieck 196

Ellipse, Parabel und Hyperbel als perspektiTe Bilder des Kreises. 256 — 258. 259 — 261. 262. 263.

264.

265.

266.

267 — 269. 270.

271.

272—274.

Definition der Kegelschnitte als perspektiver Bilder eines Kreises; Polareigenschaften; umgeschriebenes Vierseit und eingeschriebenes Viereck; Polardreieck Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel Die Parabel als perspektives Bild des Kreises; Durchmesser und Achse Eigenschaften der Parabel; ihre Gleichung; ihr Kr&mmungskreis im Scheitel Die Hyperbel als perspektives Bild des Kreises; konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten Eigenschaften der Hyperbel; ihre Gleichung bezogen auf die Asymptoten; ihr Krümmungskreis im Scheitel Die Ellipse als perspektives Bild des Kreises; sie kann stets auch als affines Bild eines Kreises erhalten werden . . . Eigenschaften der Ellipse; ihre Gleichung; ihre Krümmungskreise in den Scheiteln

Sechstes Kapitel.

198 200 202 204 206 208 211 212

Ebene Kurven and BaumkurTea.

Begriff des Unendllehklelnen in der Geometrie. 275. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Vergleichung endlicher Größen 215 276. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen derselben 216 277. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter Grenzwert f ü r das Verhältnis zweier und f ü r die Summe unendlich vieler unendlich kleiner Größen 217 278 — 280. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen verschiedener Ordnungen 218

Erzeugung ebener Karren.

282.

281. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement Stetigkeit. Sekante, Tangente. Stetigkeit in beeug auf die Tangente . 283. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbartangenten, Kontingenzwiukel, Berührungspunkt Die Stetigkeit als projektive Eigenschaft. Asymptoten 284. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. ForUchreitungsund Drehungssinn des Punktes bzw. der zugehörigen Tangente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, RQckkehrpunkt, Schnabclspitzc, Doppelpunkt, isolierter Punkt .

219 220

221

Konstruktion von Tangenten und Normalen. 285. Zeichnung einer Kurve ans Punkten und Tangenten derselben 286. Taogente einer gegebenen Kurve aus gegebenem Punkte und ihr Berührungspunkt

222 223

XIV

Inhalt. Seit«

287.

288. Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeichneten Kurve 224 289. Normale an« gegebenem Punkte zu einer gezeichneten Kurve 225 290. Tangentenkonstruktion mittel« der zur Konstruktion der Kurve selbst dienenden Hilfskurven 226 291—295. Beispiele: Ellipse, C a s s i n i s c h e Kurve, Konchoide, P a s c a l sche Schneckenlinie 227

K r t u r n ; der Karren, Evoluten. 296.

297. KrflmmungsmaB. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens, Krümmung einer Kurve in gegebenem Punkte. Stetigkeit in bezug auf die Krümmung. Die f ü r da« Krümmungsmaß in Betracht kommenden unendlich kleinen Größen . . . 298. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und konvexe Seite einer Kurve, Krümmungswechsel . . . . 299 — 301. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Dreipunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve. Krümmungsmittelpunkt als Schnitt benachbarter Kurvennormalen 302. Evolute und Evolventen einer Kurve 303. Vierpunktige Berührung des KrümraungBkreises mit der Kurve, Scheitelpunkte. Verhalten der Evolute 304. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, Rückkehrpunkte und bei der Schnabelspitze S05. Konstruktion des KrümmungskreiseB f ü r einen Punkt einer gezeichneten Kurve 306. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und der ihres perspektiven Bildes

230 231

232 234 234 235 236 237

Rektifikation von Kurven. 307. Regel.zur nfiherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines Kreises

239

Ranmkurren and Ikre Projektionen; abwickelbare Fitlehen. 308. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente, Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnonnale, Binormale, Rektifizierende Ebene 809. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan gente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenz und ToraionBwinkel. Krümmung, Toraion 310. Die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche. Ihre Er zeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen 311. Die Raumkurve als Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 312. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven 313. Elemente, die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogen längen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden Kontingenzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rück kehrkurve 314. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechende! Punkte einer Kurve der abwickelbaren Fläche und der ah gewickelten Kurve

240 240 241 242 242

243 244

Inhalt.

XV Seit«

315. Geodätische Linien auf der abwickelbaren Fläche . . . . 244 316. Der Richtkegel einer Raumkurve 245 317. Evolutenfläche und Evolventen 245 318. Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und Wendepunkte, die den Tangenten, Sehnen und Schmicgungsebenen durch das Projektionszentrum entsprechen . . . . 245 319. Singularitäten bei den Raumkurven. Stationäre Ebene, Streckungapunkt, Rückkehrpunkt 246 320. Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem Punkte einer Raumkurve 246 Krumme Oberflächen. 321. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes Kurvensystem, Nachbarknrven. Erzeugung darch stetige Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 322. 323. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte 324. 325. Fltcbennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tangentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische Krümmung. Haupttangenten. Spezialfälle der akwickelbaren, der Kegel- und Zylinderflächen 326. Tangentenkegel einer Fläche aus einem Raumpunkte . . .

Siebentes Kapitel.

248 248

249 251

Kugel, Zylinder, Kegel.

Kogel, Zylinder und Kegel, ihre Projektionen, Eigen- und Schlagschatten. 327. 328. Bestimmung der Projektionen eines Flächenpunktes. Sichtbare und unsichtbare Flächenteile. Doppelkurven, wahrer und scheinbarer UniriB. Projektion einer auf der Fläche liegenden Kurve. Projizierender Zylinder, zur Projektionsrichtung parallele Tangentialebenen 329. Lichtstrahlenzylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächenteile im Lichte, im Eigen- und Schlagschatten 330. Darstellung der Kugel, der Lichtgrenze auf ihr und ihres Schlagschattens 331. Zylinderflächen. Ihre Entstehung, Mantellinien. Tangentialebenen 332. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Zylinderfläche. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 333. Darstellung des elliptischen Zylinders, Lichtgrenze, Sehlagschatten 334. Hohlzylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche 335. Tangentialebenen eines Zylinders aus gegebenem Raumpunkte 336. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangentialebenen 337. Wahrer und scheinbarer UmriB einer Kegelfläche. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 338. Darstellung des geraden Kreiskegels in beliebiger Lage. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 339. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangentialebenen des Kegels aus gegebenem Raumpnnkte . . . .

252 258 254 256 256 258 259 2W 260 261 262 264

Inhalt.

XVI

Kugel, Zylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 340. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene 341. Schnitt eines beliebigen Zylinders mit gegebener Ebene: Abwickelung 342. 343. Ebener Schnitt eines geraden Kreiszylinders; Abwickelung . 844. 345. Ebener Schnitt eines schiefen Kreiszylinders; Abwickelung . 346. 347. Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels . 348. 349. Ebeuer Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels . 350. 351. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel . . . Durchdringung von Kugel-, Zylinder- und Kegelflächen. 353. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Zylinder- und Kegelflächcn 354. 355. Durchdringung zweier Zylinderflächen, deren Grundkurven Kegelschnitte sind 356. 357. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden Kreiszylinder 358. 359. Durchdringung von Kugel und Kegel 360. Konjugierte Durchmesser und Diametralebenen einer Kegelfläche 361. Zwei Kegelflächen mit einem gemeinsamen Kegelschnitt . 352.

362. 863 — 365. 366. 367. 368. 369. 370. 371. 372. 373. 374. 375. 376. 377. 378. 379. 380.

Die stenographische Projektion. Zweck der stereographischen Projektion Abbildung des Kreises als Kreis. Konzentrische Kreise . . Das stenographische Bild ist konform . . . Orthogonale Kreisbüschel Verhältnis von wahrer Länge zur Bildlängt' Pol und Poldietanz, Meridiane und Parallelkreise, geographische Länge und Breite Bilder der Meridiane und Parallelkreise . . . . . . . Bildkreise durch gegebene Punkte . Die wahre Größe eines Bildkreisbogens Bildnetz für eine Landkarte Abbildung der Kugel auf einen Zylinder. Mercatorprojektion und Loxodromie . . . Projektion von D e la H i r e

8«it« 265 26."> 267 26s 273 275 279

231 282 285 289 291 292 293 293 296 297 298 2Q9 301 302 303 305 307 309

Schlagschatten auf Kegel- und ZyllnderflUchen. 381. Bildung der Schlagschatten einer Fläche auf eine andere. Darstellungsverfahren 382. Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel . . . .

309 310

Beispiele f ü r Anwendungen. Bemerkungen über Schattenkonstruktion an zusammengesetzten Gebilden . . • Allgemeines Uber Steinschnitt Runder Eckturm. Schatten Gewölbte Mauernische. Schatten und Steinschnitt . . . Dorischc Säule. Schatten Kuppelgewölbe mit Stichkappenfeustern

312 313 314 315 317 319

%

383. 384. 385. 386. 387. 388.

Inhalt.

XVII Seite

Achtes Kapitel.

Rotationsflächen.

Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten. 389. Eut.stehung der Rotationsfläche durch Rotation einer Kurve . 321 390. Die Rotationsfläche als Hüllfläche einer rotierenden Fläche . 321 391. Definition des Kegel , Zylinder- und Kugelvcrfahrens bei der Bestimmung von Umriß oder Lichtgrenze 322 392. Die gemeinsamen Punkte der Eigen- und Schlagschattengrenze 323 393. Eigen- und Schlagschatten an einer Rand kurve 323 394. Die Punkte der Lichtgrenze mit tangierendem Lichtstrahl . 325 395. Wahrer und scheinbarer Umriß 326 Allgemeine BotationsflSehen, Schnitte, Durchdringung, Eigen- und Schlagschatten. 396. Tangentialebene und Schnittkurve 326 397. Durchdringung von Rotationsflächen 328 398. 399. Eigen- qnd Schlagschatten einer Rotationsfläche 328 400. Lichtgrenze bei Zentralbeleuchtung 332 401. 402. 403. 404. 405. 406. 407. 408. 409. 410. 411. 412. 413. 414. 415. 416. 417. 418. 419.

Die BlngflXehe. Parallel- und Meridiankreise Die anderen Kreise auf der Fläche Umriß bei geneigter Achse Konstruktion der Lichtgrenze Eigen- und Schlagschatten bei vertikaler Achse

332 333 334 336 337

Das Rotationshyperboloid und seine Anwendung. Die beiden Scharen von Erzeugenden Konstruktion aus gegebenen Elementen Asymptotenkegel . * . . . Die Schnittpunkte einer Geraden mit der Fläche und ihrem Asymptotenkegel Die Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene und ihre Konstruktion Eigen- und Schlagschatten bei Parallelbeleuchtung . . . . Tangentialkegel nnd Berührungskurve Das Hyperboloid, das die Riogfläche längs eines Parallelkreises oskuliert Die Haupttangenten einer beliebigen Rotationsfläche . . . Die Tangenten der Lichtgrenze einer Ringfläche Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrcnze Die Tangenten der Licbtgrenze einer Rotationsfläche bei Zentralbeleuchtung Die Punkte der Lichtgrenzc einer Ringfläche mit tangierendem Lichtstrahl

339 340 342 342 344 347 349 350 351 852 354 856 357

Die Rotatlouslliichen 2. Grades. 420. 421. Schnitte. Tangentenkegel 359 422. Durch zwei beliebige ebene Schnitte der Fläche gehen zwei Kegelflfichen 362 423. Die beiden Tangentialebenen durch eine feste Gerade . . . 363 Reim U. PAPPERITZ. I. 4. Aufl.

b

xvni

Inhalt. Seite

Rotationsflächen, die sich lilnrs einer Karre berllhren. 424. Aus der Meridiankurve der einen Fläche die der anderen zu konstruieren 425. Die Hüllfläche des geraden Kreiszylinders 426. Zwei Hyperboloide, die sich längs einer Erzeugenden berühren

365 366 367

Beispiel für Anwendungen. 427. Elliptisch gewölbte Kuppel mit Rundbogenfenstern . . .

37 t

Neuntes Kapitel.

Zyklische Linien and Schraubenlinien. Rollknnren.

428—430.

Erzeugung der Rollkurven in der Ebene. Normale und Taugente der Rollkurve. Momentanzentrum (Pol). Bewegung einer starren Figur in der Ebene. Polbahn, Polkurve . . 431—433. Krümmungszentra einer Rolllinie. Beziehung zwischen Jen Krümmungszentren von Polbahn, Polkurve und Rolllinii-. Spitzen, Wendepunkte 434. Hfillkurve einer rollenden Kurve Zyklische Linien. 435. Entstehung von zyklischen Linien. Aufzählung der Arten . 436. Radlinien, Sinuslinie, Spiralen. Ursprungspunkt, Gang, Windung 437. Gespitzte Zykloide 438. Gestreckte Zykloide 439. Verschlungene Zykloide 440 — 442. Epizykloiden 433. Hypozykloiden 444. Gespitzte Kreisevolvente 445. Gestreckte und verschlungene Kreisevolvente 446. Archimedische Spirale 447. 448. Sinuslinien l)ie Schraubenlinie. 419 — 451. Schraubenlinie und Schraubenbewegung. Achse und Steigwinkel der Schraubenlinie. Rechts- und linksgängige Windung. Ganghöhe, reduzierte Ganghöhe 452. Schniiegungsebene, Krümmungsradius. Reziproke Schraubenlinien 453. Tangenten der Schraubenlinie, ihre abwickelbare Fläche, Richtungskegel 454. Die verschiedenen Formen der Parallelprojektion einer Schraubenlinie . . . 45ü. Die Schraubenlinie in orthogonaler Projektion . . . . 456. Tangenten und Schmiegungsebencn der Schraubenlinie . . 457 — 460. Bestimmungsstücke einer Schraubenbewegung. Erklärung der Bewegung eines Körpers im Räume durch sukzessive Verschraubungen. Momentanachse. Kongruente und affine Parallelprojektionen kongruenter Raumfiguren. Bedingung für die augenblicklichen Bewegungsrichtungefi dreier Punkte eines Körpers

373 375 37 8 370 380 380 382 383 384 387 388 389 390 391

393 395 396 307 398 400

401

Inhalt.

461. 462. 463. 464. 465. 466.

Anwendungen aus der Theorie der Zahnräder. Methode der Hilfspolbahnen Metbode der sekundären Polbahnen Methode der Ärjuidistanten Zykloidenverzahnung Evolventen Verzahnung Triebstock Verzahnung . . . .

Zehntes KapiteL 467.

468. 469. 470. 471 — 474.

475. 476. 477. 478.

479. 480. 481. 482. 483.

484.

xrx Seite

406 408 409 410 411 413

Schraubenflächen.

Allgemeines Uber Sehraubenfliichen. Erzeugung einer Schraubenflache als Bahn einer verschraubten Kurve. Achse, Erzeugende, Meridian- und Nornialschnitte. Geschlossene und offene Schraubenflfichen. Kehlscbraubeulinie Erzeugung einer Schraubenfläche als Hüllfläche einer verschraubten Fläche. Charakteristik. Rückkehrkante . . . Tangentialebenen und Normalen Wahrer und scheinbarer UmriB der Schraubcnfläche für orthogonale Projektion und bei vertikaler Achse Methoden zur Bestimmung des wahren Umrisses bzw. der Lichtgrenze einer Schraubenfläche für eine beliebige Parallclprojektion. Pol und Polachse einer Geraden in bezug auf eine Verschraubung. Die Lichtgrenzpunkte auf den Schraubenlinien oder auf den Erzeugenden. Die Lichtgrenzpunkte auf den XormaUchnitteu und bei Regelflächen auf den erzeugenden Geraden Allgemeines Uber RegelschraubenflUcbeu. Abwickelbare Regelflächen. Erzeugende, Tangentialebene, Rückkehrkurve. Hüllfläche einer bewegten Ebene. Richtungskegel Windschiefe Regelflächen. Zentralpunkt einer Erzeugenden, Striktionslinie. Tangential- und asymptotische Ebene. Asymptotische abwickelbare Fläche, Richtungskegel Einteilung der Regelschraubenflächen Verschraubung einer Ebene. Formen des Normalschnittes einer Regelschraubenfläche Die abwickelbare Scliraubenfläche. Die abwickelbare Schraubenfläche in orthogonaler Projektion Meridianschnitt. Schnitt mit einer beliebigen Ebene . . . Gleiten und Rollen der erzeugenden Geraden als Tangente an der Rückkehrschraubenlinic. Schnittpunkte der Fläche mit einer Geraden Abwickelung der Flächc und der Kurven auf ihr . . . . Eigen- und Schlagschattengrenzen der Flächc bei Parallclbeleuchtung Windschiefe Regelschraubenfliiehe. Geschlossene gerade Schraubenfläche in orthogonaler Projektion. Schnittpunkte mit einer Geraden, Schnitt mit einer Ebene b*

414 415 41C 416

417

422 423 423 424 426 428 429 430 433

435

XX Seil»

485.

486. 487. 488. 489. 490. 491. 492. 493. 494. 495 — 498. 499. 500. 501. 502. 503 — 505.

507.

Eigen- and Schlagschattengrenzen derselben Offene gerade Schraubenfläche. Entstehung und Darstellung Lichtgrenze and Schlagschattengrenzen derselben . . . . Geschlossene schiefe Schraabenfläche. Richtungskegel . . Meridianschnitt,Doppelkurven, Normalschnitt. Tangentialebene Wahrer und scheinbarer Umritt der Fläche für die zweite Projektion Eigen- and Schlagschattengrenzen derselben Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß ihrer Lichtgrenze bilden Offene schiefe Schraabenfläche. Richtungskegel. Kehlschraabenlinie. Normalschnitt, Doppelkurven, Meridianschnitt Asymptotische abwickelbare Fläche. Striktionslinie . . . Wahrer and scheinbarer Umriß für die erste and zweite Projektion Eigen- und Schlagschattengrenzen Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß der Lichtgrenze bilden

Zyklische Sehraubenfläehen. 506. Die Schraabenfläche von kreisförmigem Normalschnitt. Eigenund Schlagschatten 508. Die Schlangenrohrfläche (Serpentine). Lichtgrenze und Schlagschatten

436 439 440 443 445 445 448 451 456 458 458 459 461

468 471

Schrauben. 509. Schraube und Schraubenmatter. Kern, Gewinde, Schraubenprofil. Scharfgängiges, flachgängiges and mehrfaches Gewinde 476 510. Flachgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten . . . . 476 511. Scbarfgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten . . 478 512. Die Schraubenmutter einer scbarfgfingigen Schraube, Eigenund Schlagschatten 481 Anwendungsbeispiel. 513. Zerlegbare Wendeltreppe

. .

483

Einfachheit und Genauigkeit graphischer Konstruktloneo. 514—517. Postulate der Konstruktion. Werkzeuge des Geometers. Graphische Charaktere und Operationen. Ihre Bewertung in der Geometrographie. Maß der Einfachheit einer Konstruktion. 518 — 525. Theorie der graphischen Konstruktionsfehler . . .

486 489

Anhang.

Literaturnachweise und historische Anmerkungen

. .

• 494

EINLEITUNG. Alle Zweige der G e o m e t r i e haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die G e o m e t r i e d e r Lage und die a n a l y t i s c h e G e o m e t r i e das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e , wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der D a r s t e l l u n g o d e r K o n s t r u k t i o n der F i g u r e n , die für die vorgenannten beiden Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e ist eine a n g e w a n d t e m a t h e m a t i s c h e D i s z i p l i n : sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker und Techniker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen sie bei der Behandlung räumlicher geometrischer Fragen allenthalben bedürfen, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln. D e r Z w e c k d e r d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e ist die Bes t i m m u n g d e r R a u m g e b i l d e nach G e s t a l t , G r ö ß e u n d L a g e d u r c h die K o n s t r u k t i o n . Sie bedient sich dabei in der Hauptsache e b e n e r B i l d e r derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden einerseits von den irgendwie definierten räumlichen Objekten ihre Bilder gewinnen, andererseits wie man von diesen ausgehend auf die Eigenschaften der dargestellten Gebilde zurückschließen kann. In dieser letzteren Beziehung dient sie also dazu, geometrische Eigenschaften räumlicher und ebener Gebilde aufzufinden und zu beweisen. Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer M e t h o d e n auch auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen sich sämtlich auf die Konstruktion der ebenen Bilder durch P r o j e k t i o n . RÖHN U. PAPPBRITZ.

I.

4 . Aufl.

1

2

Einleitung.

Die M e t h o d e d e s P r o j i z i e r e n s ist aus den Vorgängen beim Sehen der Gegenstände abstrahiert. Die Z e n t r a l p r o j e k t i o n entsteht, wenn man aus einem gegebenen Projektionszentrum (Augpunkt) durch die Punkte des Objektes projizierende Strahlen (Sehstrahlen) zieht und diese mit einer Ebene, der Bildebene, schneidet. Statt des Projektionszentrums kann auch eine feste Richtung für die projizierenden Strahlen gegeben werden, so daß sie gegen die Bildebene gleiche Neigung erhalten, insbesondere zu ihr rechtwinklig werden; hierbei ergibt sich die s c h i e f e oder speziell die o r t h o g o n a l e P a r a l l e l p r o j e k t i o n . Diese Methoden empfehlen sich vor anderen durch die Bildlichkeit der Darstellungen, d. h. dadurch, daß die Gesichtseindrücke, die wir von letzteren haben, in allem Wesentlichen mit denen übereinstimmen, wie sie die dargestellten Objekte selbst hervorrufen würden. Hiermit ist der weitere Vorteil verknüpft, daß bei ihrer Zugrundelegung die Entwickelung der geometrischen Beziehungen an den räumlichen Objekten sich am durchsichtigsten gestaltet. Mit Rücksicht auf die Anwendungen sucht man die Anschaulichkeit der Darstellungen räumlicher Objekte dadurch zu erhöhen, daß man ihnen die W i e d e r g a b e d e r B e l e u c h t u n g s v e r h ä l t n i s s e für eine geeignet angenommene Lichtquelle, namentlich die E i g e n und S c h l a g s c h a t t e n in genauer Konstruktiou hinzufügt. Die Lichtquelle wird entweder durch einen leuchtenden Punkt im Endlichen vertreten, oder man nimmt sie in unendlicher Ferne an, so daß die Lichtstrahlen parallel werden. Die T h e o r i e d e r S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n e n ist in der Projektionslehre enthalten; die T h e o r i e der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Oberflächen schließt sich eng an die erstere an, bedarf aber besonderer Auseinandersetzungen. In letzter Linie kommen für die darstellende Geometrie Methoden in Betracht, welche auf die K o n s t r u k t i o n r ä u m l i c h e r A b b i l d e r o d e r M o d e l l e der Raumfiguren abzielen. Hierbei bedarf die Konstruktion von Modellen, insoweit sie mit den gegebenen Objekten kongruent oder (bei verändertem Maßstäbe) in allen Teilen ähnlich sind, ihrer unmittelbaren Faßlichkeit wegen, keiner näheren Erläuterung. Daneben kommt die sogenannte Reliefperspektive gelegentlich zur Anwendung. Ihre Theorie läßt sich als eine Verallgemeinerung der Projektionsmethode an deren Darlegung ohne Schwierigkeit anfügen. Die darstellende Geometrie bedarf zu ihrer Entwickelung keiner anderen theoretischen Voraussetzungen als der B e g r i f f e und L e h r -

Einleitung.

3

s ä t z e d e r e l e m e n t a r e n P l a n i m e t r i e u n d S t e r e o m e t r i e . Diese bezeichnen daher auch das Maß der mathematischen Vorkenntnisse, die zum Verständnisse dieses Lehrbuches erforderlich sind und auf die Bezug genommen wird, ohne Erklärungen oder Beweise hinzuzufügen. An die Elemente der Baumlehre anknüpfend bildet die darstellende Geometrie selbständig die L e h r e von d e n P r o j e k t i o n e n aus. Das Verfahren des Projizierens aber, das in erster Linie benutzt wird, um die Darstellung gegebener Raumfiguren zu gewinnen, soll gleichzeitig dazu dienen, Eigenschaften derselben zu erkennen und zu beweisen. Auch sollen die Projektionsmethoden auf höhere stereometrische Fragen angewandt und diese durch Konstruktion gelöst werden. Dann erst wird dem Zwecke der mathematischen Schulung der Anschauung genügend Rechnung getragen; denn jede konstruktive Lösung besteht in einer methodisch geordneten Folge von Operationen, deren geometrische Bedeutungen, im Gegensatz zu denen der rechnenden Operationen, einzeln anschaulich erfaßt, in ihrer Gesamtheit aber bei der graphischen Ausführung überblickt werden können. Durch ihre Methode wird unsere Wissenschaft naturgemäß auch zur Untersuchung solcher Eigenschaften der Figuren geführt, die sich bei den durch Projektion gewonnenen Bildern wiederfinden. Diese d u r c h P r o j e k t i o n u n z e r s t ö r b a r e n o d e r p r o j e k t i v e n E i g e n s c h a f t e n der Raumgebilde sind es, die in allgemeinster Weise aufgefaßt die Grundlagen der G e o m e t r i e d e r L a g e ausmachen. Bei letzterer fällt die Rücksicht auf Darstellbarkeit fort; sie operiert lediglich mit Begriffen. Die darstellende Geometrie aber bereitet die Bildung dieser Begriffe vor, indem sie alle geometrischen Gesetze untersucht, die durch den w i r k l i c h e n Vorgang der Projektion direkt begründet werden. Steht also die darstellende Geometrie zur Geometrie der Lage in näherer Beziehung als zur a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e , da diese die Gebilde und ihre Eigenschaften durch Gleichungen zwischen Maßzahlen bestimmt, so kann sie doch auf den Gebrauch von Maßrelationen nicht völlig verzichten, weil die Bestimmung der Größenverhältnisse, ebensogut wie die der Lagebeziehungen, in ihrer Aufgabe liegt. Aber sie verwendet nur die einfachsten Formen derselben, wobei an die Stelle der Rechnung mit analytischen Größen sogleich die Konstruktion treten kann. Irgend eine Aufgabe der darstellenden Geometrie ist als gelöst zu betrachten, wenn sie zurückgeführt ist auf solche E l e m e n t a r o p e r a t i o n e n , die man ohne weiteres mit bekannten Hilfsmitteln i

4

Einleitung.

durchführen kann. Unter jenen Elementaroperationen aber sind lediglich die folgenden, die sich sämtlich auf eine ebene Zeichnungsfläche beziehen, zu verstehen: das Ziehen gerader Linien durch gegebene Punkte; insbesondere das Ziehen gerader Linien, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, oder auf ihr rechtwinklig stehen; das Schlagen von Kreisen um ein gegebenes Zentrum und mit gegebenem Radius. Bezüglich des E n t w i c k e l u n g s g a n g e s mag folgendes im voraus bemerkt werden. Mit dem Einfachsten wird begonnen; so geht bei der Darstellung räumlicher Objekte die orthogonale der schiefen Parallel- und der Zentralprojektion voraus. Zuerst werden durch diese Projektionen e b e n e F i g u r e n abgebildet Vereinigt man dann Bild und Originalebene in geeigneter Weise, so ergeben sich mittelbar geometrische Abhängigkeiten, die zwischen Figuren ein und derselben Ebene stattfinden; sie werden K o l l i n e a r v e r w a n d t s c h a f t e n oder Kollineationen genannt, weil dabei geraden Linien stets wieder Geraden entsprechen. Bei paralleler Lage von Bild- und Originalebene liefert die schiefe Parallelprojektion k o n g r u e n t e F i g u r e n , die Zentralprojektion aber ä h n l i c h e F i g u r e n b e i ä h n l i c h e r L a g e . Ist dagegen die Bildebene beliebig gegen die Originalebene gelegen, so erhält man eine Verwandtschaft ebener Figuren, die bei Parallelprojektion als A f f i n i t ä t bei a f f i n e r L a g e und bei Zentralprojektion als z e n t r i s c h e K o l l i n e a t i o n ebener Systeme oder gewöhnlich als P e r s p e k t i v i t ä t bezeichnet wird. Gerade deshalb, weil die genannten Verwandtschaften ebener Gebilde aus Projektionen im Saume entstanden gedacht werden können, haben sie für die darstellende Geometrie eine prinzipielle Wichtigkeit; die bei der Darstellung räumlicher Objekte auftretenden Probleme führen immer wieder auf sie zurück. Es erschien daher zweckmäßig, sie an geeigneter Stelle ausführlich zu behandeln. Wir beginnen also die Darlegung der Methoden der P a r a l l e l p r o j e k t i o n mit einem Kapitel über Ähnlichkeit und Affinität bei ebenen Figuren. Dementsprechend würde ein Kapitel über Perspektivität ebener Figuren vor der Behandlung der P e r s p e k t i v e räumlicher Figuren seinen natürlichen Platz finden. Wir ziehen es aber vor, ein solches bereits an einer früheren Stelle einzuschalten und später darauf zurück zu verweisen, weil für gewisse Gebilde schon an und für sich die Gesetze der Perspektivität in Betracht kommen, namentlich für Pyramiden und Kegel und ihre ebenen Schnitte.

Einleitung.

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Bei der Entwickelung der Projektionsmethoden für beliebige (nicht ebene; Objekte wird jedesmal mit der Darstellung der einfachen G r u n d g e b i l d e : Punkt, Gerade, Ebene und der Lösung der aus ihren möglichen Beziehungen sich ergebenden F u n d a m e n t a l a u f g a b e n begonnen, um daran die D a r s t e l l u n g und U n t e r suchung der k o m p l i z i e r t e r e n Gebilde in angemessener Ordnung anzuschließen. Schließlich mögen noch einige Bemerkungen über die hauptsächlichsten, zum Teil am gehörigen Orte noch näher zu erläuternden Bezeichnungen und Abkürzungen Platz greifen. Wir werden durchgängig: P u n k t e mit großen lateinischen Buchstaben: A, B, ... P, ..., G e r a d e mit kleinen lateinischen Bachstaben: a, b, ... g, ..., E b e n e n mit großen griechischen Buchstaben: A, B, . . . E, . Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben: a, /?, ... als W i n k e l z e i c h e n ¿_, so daß A ABC das Dreieck mit den Ecken A, B, C, a = L. ABC den Winkel, welchen die Schenkel B A und BC am Scheitel B einschließen, ß = ¿_ ab den Winkel der Geraden a and ¿>, -/ * L. aE den Neigungswinkel der Geraden a gegen die Ebene E, tf = ¿_ E A den Winkel der Ebenen E und A bezeichnet. R ist das Symbol für den rechten Winkel oder 90°, 2 R für den gestreckten Winkel usf. Neben den bereits üblichen Abkürzungen ||, 1 , —, = für p a r a l l e l , p a r a l l e l und g l e i c h , s e n k r e c h t , ä h n l i c h und k o n g r u e n t , führen wir noch ein neues Symbol für den s e n k r e c h t e n A b s t a n d ein; es soll nämlich (P -\ g) die Entfernung des Punktes P von der Geraden «y, (P —1 E) die des Punktes P von der Ebene E repräsentieren. Übrigens wird für die geometrischen Beziehungen keineswegs ausschließlich die symbolische Schreibweise angewendet werden. Dieselbe soll nur bei Beweisen die Übersicht erleichtern und bei der unvermeidlichen Wiederholung geläutiger Operationen die Möglichkeit der Kürzung gewähren. Im besonderen sind folgende feststehende Bezeichnungen zu nennen: TT,, TT, für die beiden r e c h t w i n k l i g e n P r o j e k t i o n s e b e n e n bei o r t h o g o n a l e r P r o j e k t i o n , x für ihre Schnittlinie oder A c h s e . F', P" für die P r o j e k t i o n e n e i n e s P u n k t e s P, ü', g" für die P r o j e k t i o n e n einer G e r a d e n g, Gx, G2 ftlr die S p u r p u n k t e e i n e r G e r a d e n ^ , e x , e i für die S p u r l i n i e n e i n e r E b e n e E. S c h i e f e P a r a l l e l p r o j e k t i o n e n werden durch Anhängung des unteren Index s, Z e n t r a l p e r s p e k t i v e B i l d e r durch die des Index c bezeichnet. Die U m l e g u n g e i n e r e b e n e n F i g u r in eine andere Ebene um die zu beiden gehörige Spurlinie charakterisieren wir durch den unteren oder oberen Index o, Elemente, die durch D r e h u n g um irgendeine Gerade eine neue Lage erhalten haben, ebenso durch den Index a , endlich S c h a t t e n durch den unteren oder oberen Index oder *. Ziffern auf halber Höhe, z. B. '), verweisen auf die Literaturnachweise am Ende des Bandes.

EKSTES

KAPITEL.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. 1. Bevor wir die allgemeinen Gesetze der orthogonalen Parallelprojektion entvickeln und sie auf r ä u m l i c h e G e b i l d e anwenden, betrachten wir die e b e n e n G e b i l d e fiir sich. Hierbei beschränken wir uns nicht auf die orthogonale Parallelprojektion, sondern behandeln zuerst — gewissermaßen als Vorstufe — die einfachste Form der Zentralprojektion, bei welcher Original- und Bildebene parallel liegen, hierauf aber sogleich die schiefe Parallelprojektion. Aus diesen beiden im Räume zu Tollziehenden Projektionsarten werden die Ä h n l i c h k e i t und die A f f i n i t ä t zwischen Figuren einer Ebene abgeleitet; ihre Kombination ergibt eine allgemeinere Verwandtschalt, die A f f i n i t ä t im w e i t e r e n S i n n e , die uns jedoch hier nicht beschäftigen soll.1) Ähnlichkeit ebener Figuren. 2 . Es sei eine Ebene E im Räume gegeben. Zu ihr parallel werde eine zweite Ebene E, und außerhalb beider ein Punkt 0 nach Willkür festgelegt ? •— Zieht man durch alle Punkte einer in E ge- legenen Figur von dem Z e n t r u m 0 ausgehende, projizierende Strahl e n , ebenso durchalleGeß raden dieser Figur p r o j i z i e r e n d e E b e n e n , so liefern diese Strahlen und Ebenen in ihrem Fig. 1. Schnitt mit der Ebene E, als B i l d e b e n e eine zweite Figur, deren Punkte und Geraden denen der gegebenen Figur eindeutig entsprechen. Beispielsweise geht (Fig. 1) aus dem Dreieck ABC in E ein Dreieck A1£1C1 in Ej als

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Ähnlichkeit

und Affinität

ebener

Figuren.

Bild hervor. Die Beziehung, in welcher die einander entsprechenden Figuren stehen, heißt Ä h n l i c h k e i t bei ä h n l i c h e r L a g e und besitzt folgende Eigenschaften: a) E n t s p r e c h e n d e G e r a d e sind p a r a l l e l ; also: ß) P a r a l l e l e n G e r a d e n g u n d h e n t s p r e c h e n p a r a l l e l e G e r a d e gx u n d hx u n d e i n e m W i n k e l tp ein ihm g l e i c h e r W i n k e l