Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 3 Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, regel-, abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung [3., umgearb. Aufl. Reprint 2020] 9783112383742, 9783112383735

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LEHRBUCH DER

DARSTELLENDEN GEOMETRIE VON

Dr. KARL RÖHN

UND DR. ERWIN PAPPERITZ O. P R O F E S S O R DKR M A T H E M A T I K AN DER HERGAKADEMIE PRBIBERO

O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER U N I V E R S I T Ä T L E I P Z I G

DRITTE, U M G E A R B E I T E T E A U F L A G E IN DREI BÄNDEN DRITTER

BAND

KEGELSCHNITTE, FLÄCHEN ZWEITEN GRADES, REGEL-, ABWICKELBARE UND ANDERE FLÄCHEN, FLÄCHENKRÜMMUNG. MIT 157 FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG V E R L A G VON V E I T & COMP. 190G

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Inhalt. Erstes Kapitel.

Sie Kegelschnitte.

Die Erzeugung' der Kegelschnitte durch projektive l'uiiktreiheii und Strahlbtlscliel. 1. ;.!.

Einleitung 2. 1 )er Kreis als Erzeugnis k o n g r u e n t e r Strahlbüschel oder projektiver i'unktreilien 4 — 6. Definition des K e g e l s c h n i t t e s als E r z e u g n i s p r o j e k t i v e r Strahlbüseliel oder P u n k t r e i h e n 7. Die P u n k t e eines Kegelschnittes projizieren sich aus irgend zwei festen P u n k t e n auf ihm durch projektive S t r a h l b ü s c h e l . . . 8. D i e T a n g e n t e n eines Kegelschnittes schneiden irgend zwei feste T a n g e n t e n an ihn in projektiven P u n k t r e i h e n 9. 10. Zwei Vierecke, die einein K e g e l s c h n i t t in den n ä m l i c h e n P u n k t e n ein- und umgeschrieben sind 11. J e d e r Kegelschnitt k a n n sowohl d u r c h projektive ¡Strahlbüschel als durch projektive Punktreilien erzeugt w e r d e n 12. D u r c h f ü n f P u n k t e ist ein K e g e l s c h n i t t b e s t i m m t 13—16. D a s P a s c a l ' s c h e Sechseck u n d seine Spezialfälle. K o n s t r u k t i o n des Kegelschnittes aus f ü n f P u n k t e n , oder aus vier P u n k t e n und der T a n g e n t e in einem von ihnen, oder a u s drei P u n k t e n u n d den T a n g e n t e n in zweien von ihnen 17. D u r c h fünf T a n g e n t e n ist ein K e g e l s c h n i t t b e s t i m m t . . . . 18 — 21. Das B r i a n c h o n ' s c h e Sechsseit u n d seine Spezialfälle. Konstruktion des K e g e l s c h n i t t e s aus f ü n f T a n g e n t e n , oder aus vier T a n g e n t e n und dem B e r ü h r u n g s p u n k t von einer u n t e r ihnen, oder aus drei T a n g e n t e n und den B e r ü h r u n g s p u n k t e n von zweien unter ihnen 22. 23. V e r w a n d l u n g des Kegelschnittes durch P e r s p e k t i v e in einen K r e i s ; zwei M e t h o d e n . 24. V e r w a n d l u n g der Ellipse durch Affinität in einen K r e i s . . .

öoitu 1 1 3 5 0 7 8 10

10 13

13 16 18

Pol und Polare eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser und Achsen. 25. 26. 27 — 31.

32 — 34. 35 — 37. 38 — 41. 42.

Pol und Pulare, ihre E i g e n s c h a f t e n ; P o l a r d r e i e c k H a r m o n i s c h e Pole und harmonische Polaren. Besehreibt der Pol eine l ' u n k t r e i h c , so beschreibt seine P o l a r e einen dazu proj e k t i v e n Strahlbüschel Involution der h a r m o n i s c h e n Pole auf einer G e r a d e n u n d der harmonischen P o l a r e n d u r c h einen P u n k t D u r c h m e s s e r und M i t t e l p u n k t eines Kegelschnittes K o n j u g i e r t e D u r c h m e s s e r u n d Achsen Um- und eingeschriebene P a r a l l e l o g r a m m e bei einem K e g e l s c h n i t t

19

20 23 25 27 28

Inhalt.

IV

Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Eigenschaften. 43 — 46.

48.

47. 49. 50.

51 — 59.

60. 61.

62.

63 — 66.

Metrische

Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geradeu und zwei projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel. Konstruktion der Doppelelemente, Gegenpunkte und Rechtwinkelstrahlen . Punktreihen auf und Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt . Die Punktinvolution auf einem Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt. Die Strahleninvolution an einein Kegelschnitt; ihre Achse. . Konstruktion der Doppel- und Rechtwinkelstrahlen einer Strahleninvolution, sowie der Doppelpunkte und des Mittelpunktes einer Punktinvolution Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf Punkte ABODE oder fünf Tangenten abede gegeben sind. Schnittpunkte eines Kegelschnittes ABODE mit einer Geraden und Tangenten an einen Kegelschnitt abede aus einem Punkte. Polare eines Punktes in bezug auf den Kegelschnitt ABC DE und Pol einer Geraden in bezug auf den Kegelschnitt abede. Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte. Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt ABODE und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt abede Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte oder zweier Tangenten des Kegelschnittes Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden

Seile

'29 32 33 33

35 40 40 42

Gesetz der Dualität. Reziproknlfiguren in bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen. 67 — 70. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren . . . . 71. 72. Reziprozität in bezug auf einen Kegelschnitt . 73 — 76. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente . . 77. 78. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in harmonischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier Involutionen auf demselben Träger 79. 80. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen 81 — 83. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen 84. 85. Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene. Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes. 86.

Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurven eines Rotationskegels; erstere als Berührungspunkte zweier den Kegel be-

45 47 48 50 52 53 56

Inhalt.

v Keife

rührender Kugeln. Konstantes Abstandsverhältnis der Kurvenpunkte von Brennpunkt und Leitlinie 87. Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkliger Polareninvolutionen 88. Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die Winkel der Brennstrahlen 80. 90. Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben . 91 — 93. Ort der Fußpunkte aller von den Brennpunkten auf die Tangenten gefüllten Lote. Tangentenkonstruktionen . . . . 94. Bremistrahlen und Tangenten ans einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein . . . . 95 — 98. Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppelpunkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunktsachse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Verhältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein 99. Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei festen Tangenten bei der Parabel und mit den Asymptoten bei der Hyperbel 100 —102. Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich nicht, Kurven verschiedener Art nber unter rechten Winkeln

57 59 60 60 63 64

04 67 (¡7

Krümnningskreise der Kegelschnitte. 103—105.

106.

107. 108. 109. 110. 111. 112.

Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einein ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises bei einem durch fünf Punkte bestimmten K e g e l s c h n i t t . . . . Die Kriiinmungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse und Hyperbel Konstruktion des Kriimmungsmittelpunktes auf der Normalen eines Punktes, wenn ihre Achsen der Lage nach bekannt sind Konstruktion des Kriimmungsmittelpunktes auf der Normalen eines Punktes, wenn zwei konjugierte Durchmesser der Lage nach bekannt sind Konstruktion der Krümmungsmittelpnnkte für die Endpunkte konjugierter Durchmesser bei der Ellipse und Hyperbel. . Bestimmung des Kriimmungsmittelpunktes durch Grenzübergang Die Krümmungskreise bei der Parabel

Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte. 113. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit vier gemeinsamen Tangenten 114. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte oder Tangenten stets gerade 115. Polvierseit und Polviercck . . . • 116. 117. Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemeinsame harmonische Pole und in jedem Punkt zwei gemeinsame harmonische Polaren .

69 72 73 74 76 76 77

78 79 80 81

Inhalt.

VI

Seite

118.

119.

120—122.

123. 124. 125— 130. 131 —133.

134.

135. 136.

Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. Mindestens eine Ecke und eine Seite davon sind reell . . . Jede Ecke des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die den Kegelschnitten gerneinsamen Punkte tragen. A u f jeder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten schneiden sich die gemeinsamen Tangenten Realitätsverhältnisse Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen L a g e zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen . Der Kegelschnittliüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei Gerade berühren und die dualen Aufgaben Die perspektive L a g e zweier beliebiger Kegelschnitte . . . Z w e i t e s Kapitel.

81

82 83 85

90 92 91

Die Flächen 2. Grades.

Pole und Polarebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen. 137. 138. 140.

146.

150.

139. 141. 142. 143. 144. 145. 147. 148. 149. 151. 152.

153 — 155.

Definition. Jede Ebene schneidet die Fläche in einem Kegelschnitt Konjugierte oder harmonische Pole. Pol und Polarebene . Konjugierte oder harmonische Polaren Je zwei ebene Schnitte liegen zweifach perspektiv . . . . Konjugierte oder harmonische Polarebenen Je zwei Tangentenkegel liegen zweifach perspektiv . . . . Das Polartetraeder Durchmesser und konjugierte Diametral ebenen; drei konjugierte Durchmesser Flächen m i t und Flächen o h n e Mittelpunkt Parallelschnitte Die drei rechtwinkligen Achsen Achsen einer Kegelfläche, deren Grnndkurve ein beliebiger Kegelschnitt ist Dualität; reziproke Kaumverwandtschaft; involutorische Kollineation; das geschart-involutorisehe S3'stein

97 97 100 102 103 103 104 105 107 108 108 109 110

Einteilung' der Flächen 2. Grades; ihre Beziehung1 zu deu Rotationsflächen; Kreisschnitte. 156 —158. 159. 160. 161. 162. 163.

Ellipsoid, Paraboloide; das Hyperboloid und sein Asymptotenkegel Die Regelflächen Das Hyperboloid, von dem drei Erzeugende gegeben sind . Das hyperbolische Paraboloid Die Unterscheidung der Flächen nach ihren Hauptschnitten Affinität zwischen den allgemeinen Flächen 2. Grades und den Rotationsflächen

113 115 116 118 119 120

Inhalt.

VII Seite

164.

165.

Die beiden Systeme von Parallel kreisen auf einer Fläelie 2. Grades 106 — 1G8. Die Konstruktion der Kreisschnitte

121 122

Die Konstanten der Flächen 2. Grades. Die Flächen durch nenn, acht und sieben Punkte. Die Zahl der Konstanten ist = 9 Existenzbeweis der Fläche 2. Grades durch drei Kegelschnitte, die sicli paarweise in je zwei Punkten schneiden . . . . 172. 173. Konstruktion der Flüche 2. Grades durch neun beliebige Punkte 174. 175. Der Büschel von Flüchen 2. Grades durch 8 Punkte; ihre Grundkurve 4. Ordnung 176. Zerfallende Schnittkurve zweier Flächen 2. Grades . . . . 177 —17S. Die Raumkurve 8. Ordnung als teilweiser Schnitt zweier Hyperboloide 180. Die Schmieguugsebeneu der Kaumkurve 3. Ordnung . . . 181 —183. Konstruktion der Raumkurve 3. Ordnung als Schnitt zweier Kegel mit gemeinsamer Mantellinie; ihr scheinbarer Doppelpunkt 184. 185. Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält vier Kegeltlüchen; ihre Scheitel bilden ein gemeinsames Polartetraeder aller Flächen ISS- 19!. Die verschiedenen Arten der Flüchenbüsche! und ihrer Grundkurven 4. Ordnung; es gibt vier verschiedene Flächenbüschel 192. Die Doppelsekanten der Raumkurve 4. Ordnung 193. Konstruktion der Raumkurve 4. Ordnung durch acht gegebene Punkte 194. Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich noch in einem weiteren festen Punkte; seine Konstruktion 195. Konstruktion des achten Schnittpunktes vou drei Flächen 2. Grades

152

Die sphärischen Kegelschnitte. 196. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte 197. Brennpunkte und ihre Eigenschaften 199. Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion 201. Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte

154 155 157 159

170.

198. 200.

169. 171.

202. 203. 204 — 207.

208. 209. 210 — 212.

Konstruktiousaufg'abeii bei den Flächen 2. Grades. Den Umriß zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier ebener Schnitte der Fläche bekannt ist Drei konjugierte Durchmesser zu zeichnen Konstruktion der Achsen eines Kegels, von dem der Scheitel und die Grundkurve bekannt sind. Die Spurpunkte der Achsen bestimmen sich als Schnittpunkte eines Kreises und einer gleichseitigen Hyperbel Konstruktion der Achsen einer Fläche 2. Grades Den Ilmriß eines Ellipsoides zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugierter Durchmesser von ihm gegeben ist Ähnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte mit reellem und mit imaginärem Streckenverhältnis

126 126 130 133 134 135 137 138 142 143 149 150 151

1(!1 Hi3

104 169 170 112

Inhalt

VIII

Seite

213. Den Umriß eines ein- oder zweischaligen Hyperboloides zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugierter Durchmesser von ihm gegeben ist 214. Bestimmung einer Kugel, wenn von ihr die schiefe Parallelprojektion dreier zueinander senkrechter Radien bekannt ist 215. Die Eigenschattengrenze eines Ellipsoides zu finden, wenn man seinen Umriß und den Schatten eines Punktes auf die Umrißebene kennt 216. Tangentenkegel und Berührungskurve beim zweischaligen Hyperboloid 217. Die Tangentialebene in einem Punkte des Ellipsoides . . . 218. Die beiden Tangentialebenen an ein einschaliges Hyperboloid durch eine feste Gerade 219. Durch drei Punkte einer Fläche 2. Grades einen auf ihr liegenden Kegelschnitt zu konstruieren . 220 — 224. Einen Kegelschnitt durch drei Punkte zu legen, der einen anderen zweimal berührt. Verschiedene Fälle 225. Eigen- und Schlagschatten eines zweischaligen Hyperboloides zu zeichnen 226. Die gemeinsamen Sekanten von vier windschiefen Geraden . 227. Striktiouslinien der Regelflächen 2. Grades 228. Die Striktionslinien des Paraboloides 229. Die Striktionslinien des Hyperboloides

Drittes Kapitel.

175 117 180 182 184 185 186 187 194 196 199 199 201

Verschiedene Flächen.

Abwickelbare Flüchen. 230.

239.

231. Entstehung der abwickelbaren Flächen 232. Die Schar von Flächen 2. Grades und die sie umhüllende abwickelbare Fläche 4. Klasse 233. Die verschiedenen Arten der abwickelbaren Fläche 4. Klasse 234. Die abwickelbare Fläche 3. Klasse 235. Die Beleuchtung einer Oberfläche durch eine leuchtende Fläche 236. Die Beleuchtung einer Kugel durch eine leuchtende kreisförmige Scheibe 237. Flächen von gleichförmiger Neigung 238. Die Fläche von gleichförmiger Neigung über der Ellipse . .

240. 241. 242. 243.

244 — 246. 247. 248. 249.

Begrelfläclien. Erzeugung. Das längs einer Erzeugenden oskulierende Hyperboloid und die Haupttangenten Berührungspunkte und Tangentialebenen längs einer Erzeugenden; das Normalenparaboloid Der Richtungskegel der Regelfläche; die Striktionslinie . . Die Doppelkurve; ihre Kuspidalpunkte und die zugehörigen Torsallinien Verschiedene Erzeugung von Regelflächen Das Konoid, sein Umriß und Eigenschatten Das gerade Kreiskonoid; die oskulierenden Paraboloide; sein Eigenschatten . . . .

202 204 205 207 208 208 212 213

216 218 219 219 220 224 225

Inhalt.

IX Seite

250.

251.

252. 254.

253. 255.

256. 257. 258 — 260. 261. 262. 263 — 265.

266. 267. 268. 269. 270 — 273. 274. 275. 276. 277. 278 — 281. 282.

283.

284 — 286. 287. 288. 289-291. 292 — 294.

Das schiefe Kreiskonoid; seine Striktionslinie; dag System von Kegelschnitten auf ihm Das P l ü c k e r ' s c h e Konoid; die Kegelschnitte auf ihm . . Haupttangenten, oskulierende Paraboloide und Haupttangentenkurven des P l i i c k e r ' s c h e n Konoides Eigen- und Schlagschatten des P l i i c k e r ' s c h e n Konoides . . Regelflächen 3. Grades und ihre Eigenschaften Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen auf einer Geraden und einem Kegelschnitt bilden eine Regelfläche 3. Grades Doppel-, Leitgerade und fünf beliebige Erzeugende bestimmen eine Regelfläche 3. Grades Definition der projektiven Beziehung zwischen einer einfachen Punktreilie und den Punktepaaren einer Involution. Sind die Träger der Reihen windschief, so bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte eine Regelfläche 3. Grades Dualität der Eigenschaften der Regelfläche 3. Grades . . . Die C a y l e y ' s c h e Regelfläche 3. Grades Die oskulierenden Hyperboloide der Regelfläche 3. Grades Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen zweier Kegelschnitte bilden eine Regelfläche 4. Grades. Sie besitzt eine Doppelkurve 3. Ordnung • . . . . Regelfläche 4. Grades mit Doppelgerade und Doppelkegelschnitt; ihre Erzeugung Regelfläche 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und einer Doppelerzeugenden; ihre Erzeugung Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden Die Normalenflächen einer Fläche 2. Grades Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung in einem beliebigen Schnitt; ihre Eigenschaften Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Hauptebene senkrechten Schnitt Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Achse normalen Schnitt Tangentialebenen und Haupttangenten der Normalenfläche . Das Cylindroid; Umriß; Haupttangenten Die Wölbfläche des schiefen Durchganges; Umriß; Haupttangenten

229 233 236 238 241 244 244

245 247 248 249 251 254 256 258 259 260 264 267 270 272 276

HttllflKcheii. 295.

Erzeugung der Hüllflächen; Charakteristik, Rückkehrkante; Beispiele 296. Ähnlichkeitszentren und Punkte gleicher Potenz bei zwei oder mehr Kugeln 297. Die Kugeln, die drei feste Kugeln berühren 298. 299. Die D u p i n ' s c h e Zyklide und ihre Kreise

281 283 285 288

Topographische Flächen. 300. Definition, Niveaulinien 301. Falllinien, Talweg, Kammlinie 302. Die Falllinien des Ellipsoides

289 291 293

Inhalt.

X

Seite

303. Die Falllinien des einschaligen Hyperboloides 304. Linien von konstantein Gefälle .

Viertes Kapitel.

295 296

Die Krümmung der Flächen.

305 — 307. Berührung und Oskulation von Flächen 308. Die Involution konjugierter Tangenten bei Flächen 2. Grades und bei beliebigen Flächen 309. Die Dupin'sche Indikatrix 310. Punkte elliptischer und hyperbolischer Krümmung; ihre Hauptkrümmungsradien 311. Punkte parabolischer Krümmung 312. Satz von M e u s n i e r über die Krümmung schiefer Schnitte . 313. Die Krümmung bei Rotations- und Regelflächen 314. Die Tangenten der Schnittkurve einer Tangentialebene im Berührungspunkte 315. Die Tangente der Lichtgrenze ist zum tangierenden Lichtstrahl konjugiert 316. Die Involution der konjugierten Tangenten bei der Regelschraubenfläche 317. Die Tangenten der Lichtgrenze der Regelschraubenfläche bei Parallelbeleuchtung 318. Die Tangenten der Lichtgrenze der offenen, schiefen Regelschraubenfläche bei Zentralbeleuchtung 319. Die gleiche Aufgabe bei der offenen, geraden Schraubenfläche 320. Haupttangenten und Tangenten der Lichtgrenze der zyklischen Schraubenfläche 321. Krümmungslinien und Haupttangentenkurven Die Krttmmungsliiiien der Flächen 2. Grades. 322. Durch jeden Raumpunkt gehen drei konjugierte Normalen einer Fläche 2. Grades 323. Zwei Flächen 2. Grades, die jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen, schneiden sich in einer Krümmungslinie 324 — 326. Das System konfokaler Flächen 2. Grades; ihre Fokalkurven 327. Die drei Arten konfokaler Flächen 328. 329. Die Projektionen der Krümmungslinien des Ellipsoides . . 330. Konfokale Kegelschnitte; ihre Achsen 331. Die Schnittpunkte zweier konfokaler Kegelschnitte . . . . 332. Die Projektionen der Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides Literaturnachweise und historische Anmerkungen

297 300 300 302 304 304 305 305 306 306 307 308 309 310 312

313 314 315 317 319 323 324 326

. . . 329

ERSTES

KAPITEL.

Die Kegelschnitte. Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Punktreihen und Strahlbüschel. 1. Schon im V. Kapitel des ersten Bandes wurden die Kegelschnitte behandelt; sie wurden daselbst definiert als die Schnittkurve eines geraden oder schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, oder auch — was auf dasselbe hinauskommt — als Zentralprojektionen oder Perspektive Bilder eines Kreises (257 Bd. I). Von dieser Definition aus gelangten wir auf natürlichem Wege zu den Polareigenschaften des Kreises und der Kegelschnitte und weiter zu den Eigenschaften des Mittelpunktes, der konjugierten Durchmesser, der Achsen und einiger weiterer Beziehungen, die uns in den Stand setzten die Kurven zu konstruieren. Hier werden wir eine neue Definition der Kegelschnitte geben; sie soll dann auch für die weiteren Untersuchungen als Grundlage dienen. 1 ) Gleichwohl wird auch hierbei die perspektive Beziehung zwischen Kegelschnitt und Kreis einen Hauptfaktor und ein besonders geeignetes Hilfsmittel für das genaue Studium der Kegelschnitte bilden. 2 . W i r gehen zunächst von zwei einfachen Eigenschaften des Kreises aus, die sich unmittelbar auf seine perspektiven Bilder übertragen lassen. E i n e E e i h e b e l i e b i g a u f e i n e m K r e i s g e g e b e n e r P u n k t e A, B, C, D, . . . w i r d a u s i r g e n d z w e i f e s t e n P u n k t e n ^ u n d S} d e s s e l b e n d u r c h k o n g r u e n t e S t r a h l b ü s c h e l p r o j i z i e r t (Fig. 1). Denn je zwei Strahlen des einen Büschels, etwa SA und SB, schließen den gleichen Winkel ein, wie die entsprechenden Strahlen S1A und StB des anderen (Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen AB). Dabei entspricht dem Strahl SS 1 des ersten Büschels im zweiten Büschel die Kreistangente in Sl und dem Strahl S:S des zweiten Büschels im ersten Büschel die Kreistangente in S. R O I I N U. P A P P E R I T Z . I I I .

S. A u f l .

1

2

Die Kegelschnitte.

Verwandelt man den Kreis durch perspektive Abbildung in einen Kegelschnitt, so gehen die kongruenten Strahlbüschel der Kreisfigur — da die Kongruenz ein spezieller Fall der Projektivität ist — in projektive Büschel beim Kegelschnitt über (Bd. I, 189), und wir habenden Satz: E i n e R e i h e b e l i e b i g auf e i n e m K e g e l s c h n i t t g e g e b e n e r P u n k t e A, B, C, D, . . . wird aus i r g e n d zwei f e s t e n P u n k t e n S und desselben durch p r o j e k t i v e S t r a h l b ü s c h e l proj i z i e r t . Der Tangente in S (resp. £,) entspricht dabei der Strahl SXS (resp. SSJ. Für den Kreis gilt offenbar auch die Fig. 1. Umkehrung des obigen Satzes: Z w e i kongruente Strahlbüschel erzeugen e i n e n K r e i s , d. h. ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in den Punkten eines Kreises, der durch die Scheitel der beiden Büschel hindurchgeht. Dagegen wissen wir noch nicht, ob zwei beliebig gegebene projektive Strahl büschel einen Kegelschnitt erzeugen. Daß dies in der Tat der Fall ist, wird später nachgewiesen werden. 3. Z i e h t man an e i n e n K r e i s i r g e n d w e l c h e T a n g e n t e n a, b, c, d, . . . , so s c h n e i d e n sie auf zwei b e l i e b i g g e w ä h l t e n festen Kreistangenten t u n d tx p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n aus. B e i d e P u n k t reihen werden vomKreismittelpunkt M durch kongruente Strahlb ü s c h e l p r o j i z i e r t (Fig. 2). Bezeichnen wir die auf t undij ausgeschnittenen Punktreihen mit A, B, C, D, bez. Av Bv Cv Dv . . ., so brauchen wir nur zu zeigen, daß die Strahlen MA, MB, MC,... in die Strahlen MAV MBV MCV . . . durch Drehung um den gleichen Winkel und in dem gleichen Sinne übergehen. Dann sind die Strahlbüschel kongruent und schneiden auf t und tl projektive Punktreihen aus. Nun bilden t und tx mit jeder der Tangenten a, b, c, . . . ein Dreieck und alle diese Dreiecke haben -¿¡z. ttx gemein. Folglich ist: -¿p. CA Ax + CXAXA = CBBy + C\ BXB, oder wenn

Die Kegelschnitte.

3

man alle Winkel der Gleichung halbiert: MA Ax + MA1A = MBBX + ^ MBX B, was die Relation ¿pAMAx=^BMBx nach sich zieht. Eine Drehung um diesen Winkel führt MA und MB in MAX und MBl über. Man erkennt ebenso, daß ^pC'MC^ = 2R — -¿fi AÄfAy ist; ¿p. CMC\ ist aber in entgegengesetztem Sinne gerechnet wie AMAV Dreht man also MCm gleichem Sinne und um den gleichen Winkel wie vorher bei der Drehung von MA nach MAV so fällt die gedrehte Gerade mit der verlängerten MC^ zusammen, w. z. b. w. Aus dem Satz für den Kreis folgt unmittelbar die Richtigkeit des folgenden: Z i e h t m a n an e i n e n K e g e l s c h n i t t i r g e n d w e l c h e T a n g e n t e n a, b, c, d, . . so s c h n e i d e n sie auf zwei b e l i e b i g gewählten festen Tangenten t und desselben projektive P u n k t r e i h e n aus. Auch hier ist zu bemerken, daß die Umkehrung dieses Satzes noch später zu beweisen ist. 4. Wir haben schon gesehen, daß Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel oder auch durch projektive Punktreihen erzeugt werden können. Von jetzt ab wollen wir die projektiven Strahlbüschel und Punktreihen zum Ausgangspunkt nehmen und die Kurven studieren, die durch solche Strahlbüschel und Punktreihen erzeugt werden können. An die Spitze unserer Betrachtungen stellen wir die Definitionen: Zwei projektive Strahlbüschel erzeugen einen Kegelschnitt als Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen. Zwei projektive Punktreihen erzeugen einen Kegelschnitt als Hüllkurve der Verbindungslinien entsprechender Punkte. Diese Definitionen decken sich zunächst nicht mit der in Bd. I , 257 aufgestellten Definition; doch haben wir vorhin nachgewiesen, daß die früher als perspektive Bilder des Kreises definierten Kurven auch als Erzeugnisse von projektiven Strahlbüscheln oder projektiven Punktreihen erhalten werden können. Es erübrigt noch zu zeigen, daß die b e i d e n voranstehenden Definitionen zu den n ä m l i c h e n Kurven führen, und daß diese Kurven mit den Perspektiven Bildern eines Kreises, d. h. mit den im fünften Kapitel des ersten Bandes behandelten Kegelschnitten identisch sind. Zunächst müssen wir einige Sätze ableiten, die für die soeben definierten Kurven gelten; mit ihrer Hilfe wird uns alsdann der geforderte Nachweis gelingen, daß die von zwei projektiven Strahlbüscheln oder Punktreihen erzeugten Kurven in der Tat nichts anderes sind als die in Band I Kapitel V behandelten Kurven. 5. Sind a und av b und bv c und cv . . . entsprechende Strahlen zweier projektiver Strahlbüschel mit den Scheiteln S und Tv so wird der Verbindungslinie S'l\ der beiden Scheitel, betrachtet als Strahl t l*

4

Die Kegelschnitte.

des ersten Büschels, ein Strahl tx im zweiten und, betrachtet als Strahl äj des zweiten Büschels, ein Strahl s im ersten entsprechen (Fig. 3). Dann gehören dem Kegelschnitt die Punkte A = a X , B = b X bv

C—c X cv J) = d X dv

S = s x sv T=t x ^ an. Auf jedem Strahl durch S liegen zwei Punkte des Kegelschnittes, nämlich der Punkt 5 und der Schnittpunkt dieses Strahles mit dem entsprechenden des zweiten Büschels. Für den Strahl s fallen beide Punkte zusammen, so daß s zwei zusammenfallende Punkte mit dem Kegelschnitt gemein hat, also ihn in S berührt. Der durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugte KegelFig. 3. schnitt gehtdurch ihre Scheitel. Der Verbindungslinie der Scheitel (i oder s j in dem einen Büschel entspricht die Tangente (^ bez. s) des Kegelschnittes im anderen. Das Verhalten des K e g e l s c h n i t t e s in den Scheiteln der Büschel i s t dabei (vergl. 7) ganz das gleiche wie in seinen übrigen Punkten.

Fig. 4.

6. Sind A und Av B und Bv C und C1 . . . entsprechende Punkte zweier projektiver Punktreihen auf den Geraden (Trägern) s

Die Kegelschnitte.

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und tv so wird dem Schnittpunkt ,1 x tx der beiden Träger, betrachtet als Punkt T der ersten Keihe, ein Punkt 1\ der zweiten und, betrachtet als Punkt Sj der zweiten Reihe, ein Punkt 8 der ersten entsprechen (Fig. 4). Dann sind die Geraden AAX, BBX, CCX, DI)^ S>\ = s, T]\ = /j Tangenten eines Kegelschnittes. Durch jeden Punkt von .t gehen zwei Tangenten desselben, nämlich die Gerade s und die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem entsprechenden der zweiten Reihe. Für den Punkt S fallen beide Tangenten zusammen, so daß S zum Berührungspunkt des Kegelschnittes mit der Tangente s wird. D e r d u r c h zwei p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n e r z e u g t e Kegelschnitt berührt ihre Träger. Dem S c h n i t t p u n k t der T r ä g e r (T oder 8^) in der einen R e i h e e n t s p r i c h t der B e r ü h r u n g s p u n k t (![ bez. S) des K e g e l s c h n i t t s in der anderen. 7. Wird ein Kegelschnitt durch zwei projektive Strahlbüschel mit den Scheiteln S und T erzeugt, so k a n n m a n ihn auch d u r c h zwei p r o j e k t i v e S t r a h l b ü s c h e l e r z e u g e n , d e r e n S c h e i t e l i r g e n d w i e auf ihm gew ä h l t werden. Sind Q, P, P p P a , . . . irgendwelche Punkte des Kegelschnittes (Fig. 5), dann sind die Strahlbüschel 8{STQPP,P2 . . .) und T{STQPPvP2 . . .) projektiv. Dabei bedeuten die vor der Klammer stehenden Buchstaben 8 und T die Scheitel der Büschel und die in der Klammer stehenden Buchstaben die einzelnen Punkte, durch die ihre Strahlen gehen. Insbesondere bedeutet 88 den in 8 tangierenden Strahl des ersten und TT den in T tangierenden Strahl des zweiten Büschels. Sind aber die vier Strahlen 8(STQP) projektiv zu den vier Strahlen T[8TQP), so sind sie nach 190 Bd. I auch projektiv zu den vier Strahlen T(T8PQ). Die erst- und letztgenannten Strahlen liegen sogar perspektiv, da sie den Strahl ST entsprechend gemein haben. Folglich liegen SS X TT = U, SQ x TP = L und SP xTQ = M in gerader Linie. Läßt man 8, T, Q ungeändert, verändert aber die

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Die Kegelschnitte.

Lage von P in Pv so liegen U, SQ x TPX =LX und SP1 X TQ = 3ft in gerader Linie, u. s. f. Die vier Geraden SP, SQ, TP, TQ bilden die Seiten eines Viersens, dessen Diagonalen LM, PQ und ST sind; deshalb werden S und T durch N und J = ST x LM harmonisch geteilt. In gleicher Weise teilen Nl u n d / j = STxLlMl die Strecke ST harmonisch, u. s. f. Nun ist der Büschel S (P, Pv P2...) perspektiv zur Reihe (M, Mv M2,...); diese Reihe ist von U aus perspektiv zur Reihe (/, Jv J2 . . .) und die letztere endlich nach 223 Bd. I involutorisch zur Reihe (JV", iVj, . . .), dabei sind S und T die Doppelpunkte der Involution; die beiden letztgenannten Reihen sind demnach ebenfalls projektiv, nur ist das Entsprechen ihrer Punkte ein vertauschbares. Somit sind auch die Büschel S (P, P,, P 2 , . . .) und Q (JV, iVj, Nv . . .) oder Q {P, Pv P2,. . .) projektiv; unser Kegelschnitt kann also auch durch diese beiden projektiven Büschel erzeugt werden. In der gleichen Weise können wir folgern, daß der Kegelschnitt sich auch durch zwei projektive Büschel mit den Scheiteln P und Q erzeugen läßt. 8. Wird ein Kegelschnitt durch zwei projektive Punktreihen mit den Trägern s und t erzeugt, so k a n n m a n i h n a u c h d u r c h

Fig. 6.

zwei p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n e r z e u g e n , d e r e n T r ä g e r z w e i b e l i e b i g e T a n g e n t e n a n i h n sind. Sind q, p, pv pv . . . irgendwelche Tangenten des Kegelschnittes (Fig. 6), dann sind die Punktreihen s{stqppxp2 . .) und t(stqpp1p2 . .) projektiv. Die vor den

Die

Kegelschnitte.

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Klammern stehenden Buchstaben bedeuten die Träger s und t der Reihen und die in den Klammern stehenden Buchstaben die Tangenten, welche die einzelnen Punkte der Reihe ausschneiden. Insbesondere bedeuten s x s und t X t die Berührungspunkte S und T der Träger. Sind aber die vier Punkte s{stqp) projektiv zu den vier Punkten t{stqp), so sind sie nach 190 Bd.I auch projektiv zu den vier Punkten t(tspq). Die erst- und letztgenannten Punkte liegen sogar perspektiv, da sie den Punkt s x t = U entsprechend gemein haben; folglich schneiden sich die Verbindungslinien von .1 x q mit t X p und von s x p mit t x q in einem Punkte G der Geraden ST. Läßt man .«.-, t, q ungeändert, verändert aber die Lage von p in pv so schneiden sich die Verbindungslinien von s X q mit t x px und von s x py mit t x q in einem Punkte Gl von ST, u. s. f. Die vier Punkte s x p, s X j , t x p, t x q bilden die Ecken eines Vierecks, dessen Diagonalpunkte U, G und H—pXq sind, deshalb liegen U G und UH zu s und t harmonisch, in gleicher Weise liegen UG1 und UHy (IJl = pl X q) zu s und t harmonisch, u. s. f. Nun ist die Reihe s (p, pv pv .. .) perspektiv zur Reihe {G, G1, Gv . . .) aus dem Punkt q X t\ diese ist perspektiv zu dem Büschel U(G, Gx, G2, . . .) und der letztere nach 228 Bd I involutorisch zum Büschel U (Ii, 1IV Hv . . .), dabei sind s und t die Doppelstrahlen der Involution; beide Büschel sind also projektiv, nur entsprechen sich ihre Strahlen vertauschbar. Somit sind auch die Reihen s{p, pv p2, . . .) und (H, Hv JI2,. . .) oder q(p, px, p2, . . .) projektiv; unser Kegelschnitt kann demnach auch durch zwei projektive Punktreihen auf den Trägern s und q erzeugt werden. 9. Wir können nun leicht nachweisen, daß auch der Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck (253 u. 256 Bd. I) für die durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugten Kegelschnitte gilt (Fig. 7). Ist AliCB das eingeschriebene Viereck mit den Diagonalpunkten L, M, N und sind SAP, PBQ, QCR, EDS Tangenten des Kegelschnitts, so sind nach 7 die beiden Strahlbüschel B{BCDA) und C(BCDA) projektiv. Der zweite ist aber auch projektiv zu C(CBAD), so daß hieraus die Projektivität des ersten und letzten Büschels folgt; diese bedingt ihrerseits, da beide Büschel einen Strahl entsprechend gemein haben, daß die Punkte Q, M und L in gerader Linie liegen. Ganz ebenso erschließt man die geradlinige Lage der Punkte L, M und 5; d. h. die Gegenecken Q und S des umgeschriebenen Vierseits liegen auf der Geraden L M. In gleicher Weise findet man, daß P und R auf der Geraden MN, sowie daß U und T auf der Geraden LN liegen. S c h r e i b t m a n einem

Die Kegelschnitte.

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von zwei p r o j e k t i v e n S t r a h l b ü s c h e l n e r z e u g t e n K e g e l s c h n i t t in d e n n ä m l i c h e n vier b e l i e b i g g e w ä h l t e n P u n k t e n ein volls t ä n d i g e s V i e r e c k ein und ein Y i e r s e i t um, so v e r b i n d e n die D i a g o n a l e n des l e t z t e r e n die D i a g o n a l p u n k t e des e r s t e r e n . /

//

*

I I

'

Fig. 7.

10. D i e s e r S a t z g i l t in g l e i c h e r Weise f ü r einen d u r c h zwei p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n e r z e u g t e n K e g e l s c h n i t t . Sind PR = l, QS = n und TU = m die Diagonalen des Vierseits (Fig. 7), so sind nach 8 die beiden Punktreihen (Q, B, P, T) und (C, Q, U, Ii) projektiv und also die Reihen (Q, B, P, T) und (Q, C, R, U) perspektiv. Demgemäß schneiden sich die Geraden PR, TU und BC in einem Punkt; in gleicher Weise zeigt man, daß auch AB durch diesen Punkt geht. Durch analoge Schlüsse findet man, daß die Geraden AB, CD, QS, TU sich in einem Punkte schneiden und ebenso die Geraden AC, BB, PR, QS. 11. Der vorausgehende Satz soll nun benutzt werden um zu beweisen, daß jeder durch projektive Strahlbüschel erzeugte Kegelschnitt auch durch projektive Punktreihen erzeugt werden kann und umgekehrt. Es seien A, B, C irgendwelche feste Punkte eines Kegelschnittes und AP, PQ, QC die zugehörigen Tangenten, während wir einem weiteren Punkt B verschiedene Lagen I), Bv I)v . . . auf dem Kegelschnitt erteilen (Fig. 8). Die Tangenten in diesen Punkten schneiden auf PA eine Punktreihe S, Sl, S2, . . . und auf QC eine Punktreihe R, Rv Rv . . . aus; beide sind unter sich und mit dem Strahlbüschel B {!), Bv Bv . ..) projektiv. Denn nach dem voran-

Die Kegelschnitte.

9

stehenden Satz schneiden sich PR, QS, BD und AC in einem Punkte M, ebenso PRV QSV BDX und AC in einem Punkte Ml u. s.f. Die Punkte M, Mv M2, . . . bilden eine auf AC liegende Punktreihe, die somit von P aus gesehen mit der Reihe R, Rv ü"2, . . . auf QC und von Q aus gesehen mit der Reihe S, Slf S2, . . . auf PA perspektiv liegt; zugleich gehen die Strahlen des Büschels B {D, Dv D 2 . . .) durch die bezüglichen Punkte jener Reihe. Alle diese Reihen und Büschel sind projektiv. Auch die Geraden TU, QS, BA und CI) schneiden sich in einem Punkte N, analog die Geraden Ul\, QSJf BA und CD 1 in einem Punkte N l t u. s. f. Die Punkte N, Nv Ns>... bilden eine auf A B liegende Reihe, die somit von U aus gesehen mit der Reihe T, 1\, rl\, . . . auf QB und von Q aus gesehen mit der Reihe S, S2,. . . Fig. 8. auf PA perspektiv liegt; zugleich gehen die Strahlen des Büschels C (D, l)v Dv . . .) durch die bezüglichen Punkte jener Reihe, und wieder sind alle Reihen und Büschel projektiv. Fassen wir unsere Resultate zusammen, so erhalten wir die Projektivität der Reihen B, Bv Ä 2 , . . ., S, Sv S2, . . . und 1\ Tv Tv . . . unter sich und mit den Büscheln B (D, Bv Dv . . .) und C {]), Bv B2, . . .). Dabei ist zum Beweis nur der Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck verwendet worden, der sowohl f ü r die durch projektive Punktreihen wie auch für die durch projektive Strahlbüschel erzeugten Kurven Gültigkeit hat. Daher der Satz: N i m m t m a n a u f e i n e m K e g e l s c h n i t t e i n e R e i h e von P u n k t e n a n u n d z i e h t d i e z u g e h ö r i g e n T a n g e n t e n , d a n n i s t der S t r a h l b ü s c h e l , d e s s e n S t r a h l e n jene P u n k t e mit einem beliebigen aber festen P u n k t des K e g e l s c h n i t t e s v e r b i n d e n , p r o j e k t i v zu d e r P u n k t r e i h e , d i e j e n e T a n g e n t e n auf e i n e r b e l i e b i g e n a b e r f e s t e n T a n g e n t e d e s K e g e l s c h n i t t e s a u s s c h n e i d e n . Sonach kann jeder Kegelschnitt sowohl durch zwei projektive Strahlbüschel als auch durch zwei projektive Punktreihen erzeugt werden. Dabei darf man noch zwei be-

10

Die

Kegelschnitte.

liebige Punkte des Kegelschnittes als Scheitel der Büschel und ebenso zwei beliebige Tangenten desselben als Träger der Punktreihen wählen. 1 2 . Die doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte gibt uns auch die Mittel an die Hand, beliebig viele Punkte und Tangenten desselben in einfachster Weise zu zeichnen. Zunächst gilt der Satz: F ü n f P u n k t e e i n e r E b e n e , von d e n e n k e i n e d r e i in e i n e r G e r a d e n l i e g e n , b e s t i m m e n e i n e n K e g e l s c h n i t t , der sie e n t . h ä l t . Die aus zweien der gegebenen Punkte, etwa A und B, nach den übrigen C, 1), E gezogenen Strahlen bestimmen nämlich zwei projektive Strahlbüschel, und diese erzeugen einen durch die fünf Punkte verlaufenden Kegelschnitt. Den nämlichen Kegelschnitt muß man nach 7 auch erhalten, wenn man irgend zwei andere unter den gegebenen Punkten als Scheitel zweier projektiver Strahlenbüschel wählt, deren entsprechende Strahlen sich wieder in Punkten der Kurve schneiden. Ist F irgend ein weiterer Punkt des Kegelschnittes, so sind die Strahlenbüschel A (C, D, E,F,.. .) und B (i0, D, E, F, . . .) projektiv (Fig. 9). Den ersteren schneiden wir mit CD, den letzteren mit CE, dann erhalten wir Fig. 9. perspektive Punktreihen (C, ]), Ev Fv ...) und (C, DVE, F2>.. .}. Sonach geht FlF2 durch den Schnittpunkt 0 = DD2 X E1E. Man erhält also jedesmal einen Punkt des Kegelschnittes, indem man eine beliebige Gerade durch 0 zieht, ihren Schnittpunkt auf CD mit A und ihren Schnittpunkt auf CE mit B verbindet; beide Verbindungslinien schneiden sich auf der Kurve. Da insbesondere dem Strahl A B des ersten Büschels im zweiten die Tangente in B entspricht, so verbinde man i?, = AB X CD mit 0, dann geht die in B berührende Tangente durch B2 = BxO x CE. 13. Die G e g e n s e i t e n eines einem K e g e l s c h n i t t e eing e s c h r i e b e n e n S e c h s e c k e s s c h n e i d e n sich in drei P u n k t e n e i n e r G e r a d e n . Dieser Satz heißt der P a s c a l ' s c h e S a t z und die Gerade die zu dem Sechseck gehörige P a s c a l ' s c h e Gerade. 2 ) Denn in Fig. 9 ist AFBDCE ein eingeschriebenes Sechseck, dessen Ecken auf dem Kegelschnitt völlig willkürlich gewählt sind, und es liegen die Punkte AF x DC = Fx, FB x CE = Ft und BD x EA^O auf

Die Kegelschnitte.

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einer Geraden. Der Pascal'sche Satz ist also eine unmittelbare Folge der Erzeugungsweise eines Kegelschnittes durch zwei projektive Strahlbüschel. "Während aber bei dieser zwei Punkte desselben als Scheitel der Büschel vor den anderen hervortreten, sind beim rascal'schen Satz alle Punkte gleichberechtigt. Wir haben ja auch bereits gesehen, daß die Scheitel der Büschel sich nicht vor den anderen Punkten des Kegelschnittes auszeichnen. Kennt man fünf Punkte BDCEA des Kegelschnittes, so findet man einen weiteren, wenn man durch A einen beliebigen Strahl zieht, seinen Schnittpunkt auf CD mit 0 verbindet, diese Linie mit CE schneidet und dann von B aus einen Strahl durch diesen Schnittpunkt zieht. Die Strahlen durch A und B liefern einen neuen Punkt des Kegelschnittes. Aus unserer Figur erkennt man auch, daß die Umkehrung des Pascal'schen Satzes Geltung hat. Die E c k e n eines S e c h s e c k s , d e s s e n d r e i P a a r G e g e n s e i t e n sich in d r e i P u n k t e n e i n e r G e r a d e n s c h n e i d e n , liegen s t e t s auf einem K e g e l s c h n i t t . Sechs Punkte ABCDEF geben je nach der Reihenfolge, in der man sie anordnet, zu 80 verschiedenen Sechsecken Veranlassung, so daß im ganzen 60 verschiedene Pascal'sche Gerade auftreten, und auf jeder von ihnen schneiden sich dreimal je zwei der fünfzehn Verbindungslinien jener sechs Punkte. 14. Der Pascal'sche Satz läßt eine Reihe von Spezialisierungen zu, auf die wir noch etwas näher eingehen müssen. Rücken zwei Ecken des Sechsecks einander unendlich nahe, so wird ihre Verbindungslinie zur Tangente; das Sechseck geht in ein Fünfeck über. Ist ABDCE dieses Fünfeck und a die Tangente in A, so liegen die Schnittpunkte ABXCE=A2, BD X Eä = 0 und DCXA = A1 auf einer Geraden (Fig. 9). S c h r e i b t man einem K e g e l s c h n i t t ein F ü n f e c k ein, so liegen die S c h n i t t p u n k t e der e r s t e n und v i e r t e n S e i t e , d e r zweiten und f ü n f t e n S e i t e , sowie der d r i t t e n S e i t e m i t der T a n g e n t e in d e r g e g e n ü b e r l i e g e n d e n E c k e auf einer G e r a d e n . Dieser Satz liefert, falls man fünf Punkte eines Kegelschnittes A, B, D, C, E kennt, die zugehörigen Tangenten. So schneidet die Verbindungslinie von AB X CE und BD X EA auf DC einen Punkt der Tangente im Punkte A aus. Er liefert aber auch, falls von einem Kegelschnitt vier Punkte A, B, D, C und in einem von ihnen, etwa A, die Tangente a bekannt ist, beliebig viele weitere Punkte. Man ziehe durch C irgend einen Strahl, schneide ihn mit AB und verbinde den Schnittpunkt mit DC X a; diese Gerade trifft BD in

12

Die Kegelschnitte.

einem Punkt, den wir mit A verbinden. Die Strahlen durch C und A schneiden sich dann auf dem Kegelschnitt. D u r c h v i e r P u n k t e und die T a n g e n t e in einem d e r s e l b e n i s t ein K e g e l s c h n i t t völlig b e s t i m m t . 15. Rücken von den sechs Ecken des Pascal'schen Sechsecks zweimal zwei zusammen, so entsteht ein Viereck mit zwei Tangenten in zwei seiner Ecken. Sei etwa AB CD in Figur 7 dieses Viereck, das zusammen mit den Tangenten in A und C ein Pascal'sches Sechseck vorstellt, dann liegt der Schnittpunkt U der letzteren mit L =•• AB x CD und iV = BC X DA in gerader Linie. Fügt man dagegen dem Viereck die Tangenten in B und D hinzu, dann folgt aus dem so gebildeten Pascal'schen Sechseck, daß die Punkte T, L und N einer Geraden angehören. S c h r e i b t m a n einem K e g e l s c h n i t t ein g e w ö h n l i c h e s V i e r e c k ein, so s c h n e i d e n sich die T a n g e n t e n in s e i n e n G e g e n e c k e n in zwei P u n k t e n , d e r e n V e r b i n d u n g s l i n i e auch die S c h n i t t p u n k t e s e i n e r Gegenseiten e n t h ä l t . Die vier Punkte des Kegelschnittes geben noch zu zwei weiteren Vierecken Veranlassung, nämlich zu ABDC und ADBC. Führt man die gleiche Überlegung wie vorher aus, so erkennt man, daß einerseits L, M, Q, S und andererseits N, M, P> Ii auf einer Geraden liegen. Hiernach erscheint der Satz in 9 als eine Folgerung aus dem Pascal'schen Satz. Zugleich ergibt sich der Satz: D u r c h d r e i P u n k t e und die T a n g e n t e n in zweien von i h n e n ist ein K e g e l s c h n i t t bes t i m m t . Sind (Fig. 7) A, B, C drei Punkte und AU und CU zwei Tangenten des gesuchten Kegelschnittes, dann ziehe man durch C irgend einen Strahl, der AB in L schneiden möge, und durch A einen Strahl nach dem Punkte N = UL X BC, so schneiden sich die Strahlen durch C und A auf dem Kegelschnitt. 16. Rücken die sechs Ecken des Pascal'schen Sechsecks paarweise zusammen, so entsteht ein eingeschriebenes Dreieck mit p den Tangenten in seinen drei Ecken. Das liefert unFig. 10.

Die

Kegelschnitte.

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mittelbar den Satz: Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreieck ein, so schneiden die Tangenten in seinen Ecken die gegenüberliegenden Seiten in drei P u n k t e n einer Geraden. In Figur 10 sind dies die drei Punkte J, K, L. 17. Fünf Gerade einer Ebene, von denen keine drei durch einen P u n k t gehen, bestimmen einen Kegelschnitt, der sie berührt. Die auf zwei von den gegebenen Geraden, a und b, durch die übrigen c, d, e ausgeschnittenen Punkte bilden nämlich zwei projektive Punktreihen, und diese erzeugen einen die fünf Geraden berührenden Kegelschnitt. Ist f irgend eine von seinen weiteren Tangenten (Fig. 11), so sind die von den Tangenten auf a und b ausgeschnittenen Punktreihen (Cj, Bj, EX, ]. z. b. w. E i n K e g e l s c h n i t t l ä ß t s i c h s t e t s d u r c h P e r s p e k t i v e in einen K r e i s verwandeln, wobei man einen beliebigen P u n k t a u f i h m zum Z e n t r u m w ä h l e n k a n n . Diese perspektive Beziehung zwischen Kreis und Kegelschnitt läßt sich auch zur Konstruktion des letzteren verwenden. Zu jedem Strahl durch S gibt es einen entsprechenden durch S2 und einen entsprechenden durch ^ ; der erste und zweite schneiden sich auf k2, der zweite und dritte auf e, der dritte und erste auf k. Sucht man insbesondere die Verschwindungslinie und ihren Pol in bezug auf den Kreis auf, so erhält man als entsprechenden Punkt zu diesem Pole den Mittelpunkt des Kegelschnittes (vergl. 265 u. 270 Bd. I). Die Punkte der Yerschwindungslinie bilden paarweise mit ihrem Pol ein Polardreieck des Kreises; den durch den Pol gehenden Seiten eines solchen Dreiecks entsprechen in der Perspektive zwei konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes. Wir kommen im nächsten Abschnitt auf diese Eigenschaften zurück. 23. Einen Kegelschnitt k durch fünf Punkte J , B, G, I), E kann man auch in folgender Weise in einen dazu perspektiven Kreis k, R Ö H N U. P A P P E R I T Z . I I I .

3. A u f l .

O'y' Fig. 14.

18

Die

Kegelschnitte.

überführen. Man zeichne nach 14 die Tangenten AJ und BJ in A und B\ dann lege man durch diese beiden Punkte einen beliebigen Kreis h2 und ziehe seine Tangenten AJ2 und BJ2 (Fig. 14). Sollen k und k2 perspektiv sein, und ist e = AB die Achse der Perspektive, so müssen sich J und J2 dabei entsprechen. Zugleich entspricht dem Punkt C von k ein Punkt 6'2 von h2, und zwar liegt C2 auf der Verbindungslinie von J2 mit dem Punkte e X JG. Die Geraden JJ2 und CC2 schneiden sich aber im Zentrum 0 der Perspektive. In der Tat bildet die Perspektive, die e zur Achse, 0 zum Zentrum und C2 und C zu entsprechenden Punkten hat, den Kreis k2 in einen Kegelschnitt ab, der AJ in A, BJ in B berührt und durch C geht. Da es aber nur einen derartigen Kegelschnitt gibt (15), so muß er mit dem Kegelschnitt h durch die fünf gegebenen Punkte identisch sein. 24. Dem unendlich fernen Punkt von CJ entspricht der Fluchtpunkt F auf C2J2 (OjF|| CJ) und der unendlich fernen Geraden die Fluchtlinie^ durch F {em || e). Ist k eine Ellipse, so schneidet den Kreis k2 nicht. Dann läßt sich eine neue perspektive Beziehung angeben, die den Kreis h2 in einen neuen Kreis ky überführt, wobei e wiederum die Achse, aber e^ die Yerschwindungslinie ist, während das neue Zentrum 0 ' auf der Mittelsenkrechten von AB liegen muß (246 Bd. I). Schneidet dieselbe em in U und legt man von U eine Tangente t2 an h2, so entspricht ihr bei der neuen Perspektive eine zu e senkrechte Tangente tx an kl [t2 x tx auf e). Es läßt sich also kl als einer der beiden Kreise durch A und B zeichnen, die tl berühren; das Zentrum 0 ' ist ein Ahnlichkeitspunkt der beiden Kreise h2 und ^ (244 Bd. I). Nach 162 Bd. I liegt nun der Kegelschnitt k auch zu dem Kreise k1 perspektiv; hierbei ist e wiederum die Achse und das Zentrum liegt mit 0 und 0 ' in gerader Linie. Aber die Perspektive, welche k in h2 verwandelt, führt die unendlich ferne Gerade in e x über, während die Perspektive, welche k2 in kl verwandelt, die Gerade c„ wieder in die unendlich ferne Gerade überführt. Bei der Perspektiven Beziehung zwischen k und kx gehen somit unendlich ferne Punkte wieder in unendlich ferne Punkte, also parallele Gerade wieder in parallele Gerade über. Das will sagen, daß k und ^ affin sind; e ist die Achse und 00' die Sichtung der Affinität. Der zu e normale Durchmesser von kx geht dabei in einen Durchmesser der Ellipse k über, dessen Verlängerung den Punkt J trägt. Das in 270 u. 271 im I. Band abgeleitete Resultat wird hier bestätigt. J e d e Ellipse l ä ß t sich als affines Bild eines Kreises darstellen. CD

Die Kegelschnitte.

19

Schon in 24 Bd. I haben wir die Aufgabe gelöst: eine Ellipse durch fünf gegebene Punkte zu zeichnen, indem wir sie dort als eine zum Kreis affine Kurve definierten. Hier sind wir von der Definition ausgegangen, wonach die Ellipse das Erzeugnis zweier projektiver Strahlbüschel ist, und haben gezeigt, daß auch die so definierte Ellipse stets als Parallelprojektion eines Kreises oder als sein affines Bild gewonnen werden kann. Pol

und

Polare

eines

Kegelschnittes; Mittelpunkt, und Achsen.

Durchmesser

25. Wir "haben in 9 und 10 den Satz abgeleitet: S c h r e i b t m a n e i n e m K e g e l s c h n i t t in d e n n ä m l i c h e n v i e r b e l i e b i g g e w ä h l t e n P u n k t e n ein v o l l s t ä n d i g e s V i e r e c k ein u n d ein V i e r s e i t u m , so v e r b i n d e n die D i a g o n a l e n d e s l e t z t e r e n die D i a g o n a l p u n k t e d e s e r s t e r e n . Schon in 251 u. ff. Bd. I hatten wir den engen Zusammenhang zwischen diesem Satz und den Eigenschaften von Pol und Polare bemerkt, hier wollen wir diesen Satz zum Ausgangspunkt der Polarentheorie der Kegelschnitte machen. In Figur 7 liegen auf der Geraden MN noch die vier weiteren Punkte P, B, II, J. Durch zwei von ihnen, etwa P und J, ist diese Gerade bestimmt. Die Wahl des Punktes L und der Sehne AB durch L genügt aber, um P als Schnitt der Tangenten in A und B, sowie J als vierten harmonischen Punkt zu A, B und L zu konstruieren. Hält man also den Punkt L und die eine Sehne durch ihn, nämlich AB, fest, während man die andere Sehne CD sich um L drehen läßt, so bewegen sich zwar auch die Punkte H, B, M und N auf der Geraden PJ, die Lage der Geraden selbst aber bleibt ungeändert. Hält man dagegen die Sehne CD fest und läßt die Sehne AB sich um L drehen, so bleiben B, und H fest und damit wiederum die Lage der Geraden. Demnach kann man beide Sehnen nacheinander Drehungen um L ausführen lassen, was auch eine Bewegung der sechs Punkte M, N, P, B, H, J nach sich zieht, ohne daß der Träger dieser Punkte seine Lage verändert. Das will aber doch sagen, daß die Gerade MN nur von der Wahl des Punktes L, nicht aber von der Wahl der durch L gezogenen Sehnen abhängt. M a n n e n n t MN die P o l a r e des P u n k t e s L u n d L d e n P o l d e r G e r a d e n MN.4) Aus der Figur können wir nun unmittelbar die schon früher aufgezählten Eigenschaften von Pol und Polare hinsichtlich des Punktes L und der Geraden l ablesen. 2*

20

Die Kegelschnitte.

u) J e zwei b e l i e b i g e S e h n e n d u r c h den P o l b e s i t z e n vier E n d p u n k t e , d e r e n vier V e r b i n d u n g s l i n i e n sich z w e i m a l zu zwei auf der P o l a r e s c h n e i d e n (woraus ihre Konstruktion folgt). ß) J e d e S e h n e d u r c h den P o l b e s t i m m t in i h r e n E n d p u n k t e n zwei T a n g e n t e n , die sich auf der P o l a r e s c h n e i d e n . y) J e d e S e h n e d u r c h den P o l wird von diesem u n d s e i n e r P o l a r e h a r m o n i s c h geteilt. d) Die T a n g e n t e n a u s dem P o l — f a l l s es s o l c h e gibt — h a b e n i h r e B e r ü h r u n g s p u n k t e auf der P o l a r e . Eine aus L an den Kegelschnitt gezogene Tangente ist nämlich als unendlich kleine Sehne aufzufassen, und da L außerhalb der Sehne liegt, muß der vierte harmonische Punkt auf ihr liegen, d. h. er fällt mit dem Berührungspunkt'der Tangente zusammen. 26. Die Fig. 7 läßt uns erkennen, daß nicht nur MN die Polare von L ist, sondern daß auch LM die Polare von N und L N die Polare von M ist. Denn SC und AB sind zwei Sehnen durch iV; deshalb schneiden sich die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte paarweise auf der Polare von N, nämlich BD und A C in Mund AB und CD in L. Das Dreieck LMN hat die besondere Eigenschaft, daß jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke ist. Ein solches Dreieck nennt man ein P o l a r d r e i e c k des K e g e l s c h n i t t e s . Der Anblick unserer Figur lehrt uns sofort die beiden Sätze: Die D i a g o n a l p u n k t e eines e i n e m K e g e l s c h n i t t e e i n g e s c h r i e b e n e n v o l l s t ä n d i g e n V i e r e c k s ABCB b i l d e n die E c k e n eines P o l a r d r e i e c k s . Die D i a g o n a l e n eines dem K e g e l s c h n i t t e u m s c h r i e b e n e n V i e r s e i t s PQBS b i l d e n die S e i t e n eines Polardreiecks. 27. Der wichtigste Satz der Polarentheorie lautet nun: G e h t die P o l a r e eines P u n k t e s B d u r c h einen P u n k t N, so g e h t a u c h u m g e k e h r t die P o l a r e von N d u r c h den P u n k t B. Zieht man nämlich durch N eine beliebige Sehne BC (Fig. 7) und verbindet ihre Endpunkte B und C mit B, so schneiden diese den Kegelschnitt noch je in einem Punkte A resp. D. AB und CD sind aber zwei Sehnen durch Z; die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte schneiden sich somit paarweise in zwei Punkten der Polare von L. So wird BC von AD in einem Punkte der genannten Polare getroffen; dies kann jedoch nur der Punkt N sein, da nach der Voraussetzung N ein Punkt dieser Polare ist. Nun gehen BC und AD durch N, folglich liegt L = AB x CD auf der Polare n von N. Zwei P u n k t e , von d e n e n j e d e r auf der P o l a r e des a n d e r n l i e g t , h e i ß e n h a r m o n i s c h e oder k o n j u g i e r t e P o l e in b e z u g auf

Die Kegelschnitte.

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d e n g e g e b e n e n K e g e l s c h n i t t . Die Beziehung zwischen beiden ist wechselseitig, und falls ihre Verbindungslinie den Kegelschnitt schneidet, l i e g e n sie zu d i e s e n S c h n i t t p u n k t e n h a r m o n i s c h . Das folgt unmittelbar aus den Eigenschaften von Pol und Polare. 2 8 . Die soeben gewonnenen Resultate kann man noch in anderer Form aussprechen. B e w e g t sich ein P u n k t L a u f e i n e r G e r a d e n n, so d r e h t s i c h s e i n e P o l a r e l um d e n P o l A' d i e s e r G e r a d e n u n d u m g e k e h r t . Da nämlich hierbei L stets auf n liegt, oder mit andern Worten die Polare n von N stets durch L geht, so muß auch die Polare l von L stets durch A' gehen, w. z. b. w. Hieraus ergibt sich auch die Konstruktion des Poles L einer Geraden 1. Man nehme dazu auf l zwei beliebige Punkte J und K an und bestimme ihre Polaren i und k nach 25«. Der Punkt i X k ist dann der Pol von /; denn die Polare eines jeden Punktes von l geht j a durch den zu l gehörigen Pol L. 2 9 . L i e g t d e r P o l e i n e r G e r a d e n l auf e i n e r G e r a d e n n, so l i e g t a u c h u m g e k e h r t d e r P o l von n a u f d e r G e r a d e n l. Denn ist L der Pol von l und N der Pol von n, so liegt L nach der Voraussetzung auf n. Da somit die Polare von iV durch L geht, muß nach dem Satze in 27 auch die Polare von L, also 1, durch M gehen. Zwei G e r a d e , von d e n e n j e d e d u r c h d e n Pol der andern geht, heißen harmonische oder k o n j u g i e r t e P o l a r e n in b e z u g auf d e n g e g e b e n e n K e g e l s c h n i t t . K a n n man vom S c h n i t t punkt zweier k o n j u g i e r t e r P o l a r e n T a n g e n t e n an d e n gegebenen Kegelschnitt l e g e n , so t e i l e n sie d e n Winkel dieser Tangenten h a r m o n i s c h . Sind l und m die konjugierten Polaren, L auf m und M auf l die zugehörigen Pole, so ist LM die Polare von N = / x m nach der vorigen Nummer (Fig. 15). Die Berührungspunkte 1\ und '1'2 der von N an den Kegelschnitt gelegten Tangenten t1 und t2 liegen auf der Polare von JV, d. h. auf LM. L und M sind aber konjugierte Pole und teilen deshalb die Sehne TXT2 harmonisch, und somit teilen auch l und m den Winkel der Tangenten t1 und t2 harmonisch. Die

30. Nach dem Vorausgehenden gelten offenbar auch die Sätze: h a r m o n i s c h e n P o l e zu e i n e m g e g e b e n e n P o l e P in

22

Die Kegelschnitte.

bezug auf einen K e g e l s c h n i t t l i e g e n auf einer Gera'den p, d e r P o l a r e von P. Die h a r m o n i s c h e n P o l a r e n zu e i n e r geg e b e n e n P o l a r e p in b e z u g auf einen K e g e l s c h n i t t gehen d u r c h einen P u n k t P, den P o l von p. Ferner ist klar: Ber ü h r t die P o l a r e den K e g e l s c h n i t t , so ist ihr P o l der Ber ü h r u n g s p u n k t , und u m g e k e h r t . In Fig. 15 teilen M und L die Sehne TXT2 harmonisch. Nähert sich nun L dem Punkt 1\, so nähert sich auch M diesem Punkt, und rückt L in Tx hinein, so tut dies auch M. Es ist aber M der Pol von LN\ rückt also der Pol auf den Kegelschnitt, so wird seine Polare zur Tangente in ihm. E i n P u n k t in der E b e n e eines K e g e l s c h n i t t e s h e i ß t ä u ß e r e r oder i n n e r e r P u n k t , j e n a c h d e m seine P o l a r e d e n selben s c h n e i d e t oder n i c h t (vergl. 258 Bd. I). 31. Der in 28 aufgestellte Satz kann noch in folgender Weise erweitert werden: B e s c h r e i b t ein P u n k t eine P u n k t r e i h e , so b e s c h r e i b t die ihm in — b e z u g auf einen gegebenen K e g e l s c h n i t t zugehörige Polare einen Strahlbüschel, der projektiv zur Punktreihe ist und u m g e k e h r t . Bewegt sich der Punkt L auf einer Geraden m, so dreht sich seine Polare l um den Pol M Fig. 16. von m. Die Konstruktion der Polare des Punktes L in seinen verschiedenen Lagen, die wir mit L, Lv L2,. . . bezeichnen, führen wir folgendermaßen aus (Fig. 16). Durch M legen wir irgend eine Sehne AC, die wir für alle Konstruktionen festhalten. Die Geraden LA und LC schneiden den Kegelschnitt noch in je einem Punkte D resp. B. Nach 2 5 « liegen dann die Punkte AC y. BD und AB x CD auf der Polare l von L. Da aber l durch den Punkt M von AC geht, so schneiden sich AC und BD in M, während sich AB und CD in einem Punkte N der Geraden m schneiden müssen (man konstruiert ja geradezu die Polare m von M als Verbindungslinie der Punkte AB x CD = N und AI) x BC — L). Ganz ebenso verbindet die Polare des Punktes Ll die Punkte M und JVj = ABX x CD1, wobei M als Schnittpunkt der Sehnen AC und i^-Dj erscheint. Wir können uns noch weitere Polaren konstruiert

Die Kegelschnitte.

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denken; dabei wird allgemein die Polare von L. als Verbindungslinie der Punkte M und N. = AB. x CD. erhalten. Auf der Geraden m befinden sich nun zwei projektive Punktreihen (L, Lv Lv . . .) und (TV, N2, . . .). Denn zieht man von C aus Strahlen nach den Punkten der ersten Reihe und von A aus Strahlen nach denen der zweiten, so erhält man zwei Strahlbüschel, deren Scheitel auf dem Kegelschnitt liegen und deren entsprechende Strahlen sich in Punkten B, Bi, B2, . . . desselben schneiden. Solche Büschel sind aber nach 5 u. 7 projektiv. Aus der Projektivität jener Reihen können wir sofort schließen, daß auch die Punktreihe (L, Lv Lv . . .) und der Strahlbüschel M [N, Nv iV2,. . .) projektiv sind, w. z. b. w. 32. Die beiden Punktreihen (L, Ll, Z 2 , . . .) und (N, A^, JV2, . . .) sind indessen nicht nur projektiv, sondern sogar involutorisch. Um dies zu beweisen, haben wir nach 220 Bd. I nur zu zeigen, daß dem Punkte N als einem Punkt der ersten Reihe in der zweiten Reihe wiederum der Punkt L entspricht. Von einem Punkte L. der ersten Reihe gelangt man aber zu dem entsprechenden iV. in der zweiten, indem man Li mit C verbindet, diese Gerade mit dem Kegelschnitt in Bi schneidet; dann liegt N. auf der Verbindungslinie von Bt mit J. Fällt L. mit N zusammen, so rückt B. nach I) und DA schneidet auf m den entsprechenden Punkt iV; aus, der sich also mit L deckt. Die Punktepaare LN, LxNlt L%Nit. . . sind harmonische Pole in bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Das gibt den Satz: Auf e i n e r j e d e n G e r a d e n b i l d e n d i e P a a r e h a r m o n i s c h e r P o l e eine I n v o l u t i o n . S c h n e i d e t die G e r a d e den K e g e l s c h n i t t , so s i n d i h r e S c h n i t t p u n k t e die D o p p e l p u n k t e d e r I n v o l u t i o n . Das letztere ist ohne weiteres klar, da diese Schnittpunkte zu jedem Paar harmonischer Pole harmonisch liegen (223 Bd. I). Betrachtet man in Fig. 16 die harmonischen Polaren durch den Punkt M, so erkennt man sofort, daß sie involutorische Strahlbüschel bilden, da sie die Gerade m in den Punktepaaren L N , B2N2 . . . einer Involution schneiden. A l l e d u r c h e i n e n P u n k t g e h e n d e G e r a d e n o r d n e n s i c h in b e z u g auf e i n e n K e g e l s c h n i t t in P a a r e h a r m o n i s c h e r P o l a r e n z u s a m m e n u n d diese b i l d e n e i n e I n v o l u t i o n . K a n n m a n von dem P u n k t a u s T a n g e n t e n an d e n s e l b e n l e g e n , so s i n d sie die D o p p e l s t r a h l e n der I n v o l u t i o n . 33. Aus der Fig. 10 können wir noch weitere Schlüsse ziehen. Indem wir von den einzelnen Punkten des Kegelschnittes aus Strahlenpaare nach den festen Punkten A und C ziehen, schneiden diese auf der

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Die Kegelschnitte.

Geraden m die Punktepaare einer Involution aus, welche harmonische Pole bilden. Dabei ist nur die Voraussetzung gemacht, daß A C durch den Pol M von m geht, daß also m und A C harmonische Polaren sind. D i e V e r b i n d u n g s l i n i e n b e l i e b i g e r P u n k t e B , B j , . . . e i n e s K e g e l s c h n i t t e s mit zwei f e s t e n P u n k t e n A und C d e s s e l b e n s c h n e i d e n j e d e G e r a d e m, die d u r c h den P o l von AG g e h t , in h a r m o n i s c h e n P o l e n L und N, Lx und Nx, . . . 3 4 . Die Resultate der letzten Nummern haben wir aus der Fig. 16 mit Hilfe des eingeschriebenen Vierecks abgeleitet. Wir können sie aber auch aus den Eigenschaften des umgeschriebenen Vierseits gewinnen (Fig. 17). Lassen wir hier den Punkt M und

U

m

L

T,

T

Fig. 17.

somit auch seine Polare m ungeändert und halten ferner den Punkt U und die durch ihn gehenden Seiten a und c des Vierseits fest, während wir dem Punkte T verschiedene Lagen T, Tv Tv . . . auf m erteilen. Dann nehmen auch die Seiten b und d des Vierseits verschiedene Lagen an und ebenso seine Diagonalen l = P R und n = QS. Doch gehen diese letzteren in allen ihren Lagen l und n, Zj und nv l2 und » 2 . . . durch den Punkt M und bilden harmonische Polaren. Man erhält je zwei harmonische Polaren durch M dadurch, daß man die festen Tangenten a und c mit einer beliebigen weiteren Tangente, etwa b, schneidet und die Schnittpunkte P und Q mit M verbindet. Da verschiedene Tangenten b, b1, b2, . . . auf a und c projektive Eeihen P, Px, P 2 , . . . und Q, Qlt Q2, . . . ausschneiden, so sind auch die Strahlbüschel M{P, Pv P2,...) und M{Q, Qlt (¿2,...)

Die

Kegelschnitte.

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projektiv und sogar involutorisch. Denn dem Punkt S der ersten Reihe entspricht der Punkt Ii der zweiten; die Strahlen MP = MR und MQ = MS entsprechen sich also vertauschbar. Hiermit sind aber die Sätze in 31 und 32 aufs neue bewiesen. Auch erkennen wir aus diesen Darlegungen den Satz: D i e Schnittpunkte beliebiger Tangenten eines Kegelschnittes mit zwei festen Tangenten a und c desselben liefern mit irgend einem P u n k t M, d e r h a r m o n i s c h e r P o l zu V = a X i s t , v e r b u n d e n h a r m o n i s c h e P o l a r e n l u n d n, und T ) 1» 35. Der Mittelpunkt und der unendlich ferne Punkt auf jeder Sehne eines Kegelschnittes sind harmonische Pole. Hieraus folgt: D i e M i t t e l p u n k t e paralleler Sehnen eines K e g e l s c h n i t t e s l i e g e n auf einer Geraden, der Polare ihres unendlich fernen P u n k t e s (ihrer R i c h t u n g ) ; dieselbe heißt ein D u r c h m e s s e r des K e g e l s c h n i t t e s . Der Durchmesser enthält die Pole aller der gedachten Sehnen, insbesondere also die Berührungspunkte der zu ihnen parallelen Tangenten des Kegelschnittes (Figg. 18, 19, 20). Liegt die Kurve gezeich19t net vor, so wird ein Durchmesser AB mit Hilfe zweier paralleler Sehnen PQ und RS konstruiert, indem man ihre Endpunkte wechselseitig verbindet und den Durchmesser durch die Punkte U = PR x QS und V=PS X QR legt,

26

Die Kegelschnitte.

36. A l l e D u r c h m e s s e r e i n e s K e g e l s c h n i t t e s g e h e n als P o l a r e n u n e n d l i c h f e r n e r P u n k t e d u r c h den P o l d e r u n e n d l i c h f e r n e n G e r a d e n ; d i e s e r h e i ß t M i t t e l p u n k t des K e g e l s c h n i t t e s . Man übersieht diese Verhältnisse am besten, wenn man sich vom Kegelschnitt zum Kreise, dessen perspektives Bild er darstellt, zurückwendet. Der Yerschwindungslinie und ihrem Pol in bezug auf den Kreis entsprechen in der Bildfigur die unendlich ferne Gerade und der Mittelpunkt des Kegelschnittes, der den Pol der unendlich fernen Geraden bezüglich des Kegelschnittes bildet.

Fig. 20.

Je nachdem der Kegelschnitt die unendlich ferne Gerade nicht schneidet, schneidet oder berührt, wird er als E l l i p s e , H y p e r b e l oder P a r a b e l bezeichnet. Der Mittelpunkt d e r E l l i p s e liegt in ihrem Innern, weil sie von der unendlich fernen Geraden nicht getroffen wird. Für die H y p e r b e l ist

der Mittelpunkt ein äußerer Punkt, denn es gibt von ihm aus zwei Tangenten. Ihre Berührungspunkte sind die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Polare des Mittelpunktes, d. h. mit der unendlich fernen Geraden. Die Hyperbel besitzt ja zwei unendlich ferne Punkte und die Tangenten in diesen Punkten, die A s y m p t o t e n , schneiden sich im Mittelpunkte (vergl. 265 Bd. I). Der Mittelpunkt der P a r a b e l fällt mit ihrem unendlich fernen Punkte zusammen, weil dieser als Berührungspunkt der unendlich fernen Geraden zugleich deren Pol ist. Man erkennt dies auch sofort daraus, daß die Parabel als perspektives Bild eines Kreises erhalten wird, wenn die Verschwindungslinie den Kreis berührt; der Pol der Verschwindungslinie bezüglich des Kreises ist dann eben ihr Berührungspunkt. Die Parabeldurchmesser sind nämlich nach dem unendlich fernen Punkt der Parabel gerichtet, also unter sich parallel. Bei der Parabel sagt man auch, sie habe keinen Mittelpunkt, da er ja nicht mehr im Endlichen liegt und also die Durchmesser nicht mehr halbiert (vergl. 37). 37. Ein D u r c h m e s s e r schneidet entweder den Kegelschnitt und wird dann durch die Schnittpunkte b e g r e n z t (reeller Durch-

Die Kegelschnitte.

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messer), oder er trifft den Kegelschnitt nicht und ist u n b e g r e n z t (imaginärer Durchmesser). Im ersten Falle ist sein unendlich ferner Pol ein äußerer, im zweiten ein innerer Punkt des Kegelschnittes (vergl. oO). Die Durchmesser der E l l i p s e sind sämtlich begrenzt, weil die unendlich fernen Punkte ihrer Ebene alle außerhalb der Kurve liegen. Unter den Durchmessern der H y p e r b e l gibt es begrenzte und unbegrenzte, weil die Punkte der unendlich fernen Geraden durch die unendlich fernen Punkte der Hyperbel in äußere und innere Punkte geschieden werden. Zwischen beiden Arten von Durchmessern bilden die Asymptoten den Ubergang. Bei der E l l i p s e und H y p e r b e l w e r d e n die b e g r e n z t e n D u r c h m e s s e r vom M i t t e l p u n k t der K u r v e h a l b i e r t ; denn die Endpunkte eines jeden Durchmessers werden vom Mittelpunkt und seiner Polare, der unendlich fernen Geraden, harmonisch geteilt. Die Durchmesser der P a r a b e l sind einerseits durch einen Punkt im Endlichen begrenzt und erstrecken sich andererseits bis zu ihrem unendlich fernen Punkte. Alle hier erwähnten Eigenschaften ergeben sich auch aus den Polareigenschaften des Kreises durch perspektive Abbildung. 38. Zwei D u r c h m e s s e r eines K e g e l s c h n i t t e s h e i ß e n k o n j u g i e r t , wenn j e d e r den u n e n d l i c h f e r n e n Pol d e s a n d e r n e n t h ä l t . Jedes Paar konjugierter Durchmesser bildet mit der unendlich fernen Geraden zusammen ein Polardreieck, dessen eine Ecke im Mittelpunkt des Kegelschnittes liegt. Bei der Zentralprojektion des Kreises gehen nämlich alle Polardreiecke, deren eine Seite mit der Verschwindungslinie und deren eine Ecke mit ihrem Pol zusammenfällt, in die vorher erwähnten Polardreiecke des Kegelschnittes über. Es folgen hieraus noch weiter die Sätze: Von zwei k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r n h a l b i e r t j e d e r die zum a n d e r n p a r a l l e l e n Sehnen. Die T a n g e n t e n in den E n d p u n k t e n e i n e s D u r c h m e s s e r s sind zum k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r p a r a l l e l . Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind zueinander rechtwinklig. 39. Zu irgend einem Durchmesser der Parabel ist als konjugierter stets die unendlich ferne Gerade zu rechnen, so daß man hier eigentlich nicht von konjugierten Durchmessern reden kann. Beim Kreise, dessen Bild die Parabel ist, entsprechen den Parabeldurchmessern alle Kreissehnen, die durch den nämlichen Punkt des Kreises gehen, in dem er von der Verschwindungslinie berührt wird. Zu allen Sehnen durch den nämlichen Punkt eines Kreises ist aber

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Die Kegelschnitte.

die Tangente in diesem Punkte eine konjugierte Polare; dagegen können zwei derartige Sehnen nicht konjugierte Polaren sein, da nicht eine den Pol der andern enthalten kann. Jeder Parabeldurchmesser halbiert ein System paralleler Sehnen, zu dem auch die Tangente in seinem Endpunkte parallel ist. Auch die Parabelsehnen, die zu der Richtung aller Durchmesser senkrecht stehen, werden von einem bestimmten Durchmesser halbiert. Die P a r a b e l b e s i t z t eine S y m m e t r i e l i n i e oder A c h s e , die alle zu i h r n o r m a l e n S e h n e n h a l b i e r t . D e r E n d p u n k t der A c h s e h e i ß t S c h e i t e l , die zugehörige Tangente ist normal zur Achse. 40. Die P a a r e k o n j u g i e r t e r D u r c h m e s s e r eines K e g e l s c h n i t t e s b i l d e n an seinem M i t t e l p u n k t e eine I n v o l u t i o n ; denn sie sind harmonische Polaren (32, 38). Bei der Ellipse hat die Involution der konjugierten Durchmesser keine Doppelstrahlen. Dagegen hat diese Involution bei der Hyperbel Doppelstrahlen; es sind die vom Mittelpunkt an die Hyperbel gelegten Tangenten oder A s y m p t o t e n (32). J e d e s P a a r k o n j u g i e r t e r D u r c h m e s s e r der H y p e r b e l liegt zu i h r e n Asymptoten harmonisch. 41. U n t e r d e n k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r n e i n e r E l l i p s e oder H y p e r b e l gibt es s t e t s zwei z u e i n a n d e r r e c h t w i n k l i g e ; sie h e i ß e n A c h s e n u n d i h r e E n d p u n k t e die S c h e i t e l . Die A c h s e n sind S y m m e t r i e l i n i e n des Kegels c h n i t t e s (vergl. 230 Bd. I). Die Achsen der Ellipse endigen in vier Scheiteln. Die A c h s e n der H y p e r b e l h a l b i e r e n die W i n k e l zwischen i h r e n A s y m p t o t e n ; die eine trägt die beiden Scheitel der Hyperbel, die andere ist unbegrenzt. Von der Konstruktion der Achsen wird weiterhin noch die Rede sein. 42. Nach früherem (26) erhält man ein Polardreieck eines Kegelschnittes entweder als Diagonaldreieck eines eingeschriebenen Vierecks oder als Diagonaldreieck eines umgeschriebenen Yierseits. Geht nun das Viereck oder Vierseit in ein Parallelogramm über, so erhält das von ihm abhängige Polardreieck eine unendlich ferne Seite und die beiden andern werden zu konjugierten Durchmessern des Kegelschnittes. Hieraus folgen die Sätze: Die D i a g o n a l e n eines dem K e g e l s c h n i t t e e i n b e s c h r i e b e n e n P a r a l l e l o g r a m m e s s c h n e i d e n sich im M i t t e l p u n k t e ; s e i n e S e i t e n geben die R i c h t u n g e n k o n j u g i e r t e r D u r c h m e s s e r an. Die D i a g o n a l e n eines dem K e g e l s c h n i t t e um-

Die

29

Kegelschnitte.

s c h r i e b e n e n P a r a l l é l o g r a m m e s sind k o n j u g i e r t e D u r c h messer. In den Figg. 21 und 22 sind diese beiden Sätze veranschaulicht unter der Annahme, daß das umschriebene Parallelogramm AB CD B

den Kegelschnitt in den Ecken des eingeschriebenen Parallelogrammes PQRS berühre. Es werden dann die Diagonalen AC und BD des ersteren den Seiten des letzteren parallel, wie aus dem Satze in 26 folgt. Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Eigenschaften.

Metrische

43. Die Kegelschnitte — mag man sie als Erzeugnisse projektiver Strahlbüschel und Punktreihen oder als perspektive Bilder eines Kreises auffassen — sind nach dem Früheren konstruierbar. Auf jedem Strahl, der durch einen seiner Punkte gezogen wird, kann man einen zweiten zeichnen (13), durch jeden Punkt, der auf einer seiner Tangenten liegt, kann man eine zweite ziehen (18). Aber die Frage nach den beiden Tangenten an einen Kegelschnitt aus einem beliebigen Punkt, oder nach den beiden Schnittpunkten mit einer beliebigen Geraden ist noch nicht gelöst, ebensowenig wie gewisse Fragen, die an die Polarentheorie anknüpfen. Solche Fragen sollen nun hier behandelt werden. Sie führen uns zu p r o j e k t i v e n S t r a h l b ü s c h e l n mit dem n ä m l i c h e n S c h e i t e l , zu p r o j e k t i v e n

30

Die Kegelschnitte.

P u n k t r e i h e n a u f d e r s e l b e n G e r a d e n , sowie zu i n v o l u t o r i s c h e n P u n k t r e i h e n und S t r a h l b ü s c h e l n , und erfordern die Konstruktion von Doppelelementen, von entsprechenden rechten Winkeln, von Gegenpunkten. Diese Konstruktionen werden aber selbst am besten mit Hilfe eines Kegelschnittes und zwar eines K r e i s e s durchgeführt und sollen zunächst ihre Erledigung im folgenden finden. 4 4 . Zwei p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n a u f e i n e r G e r a d e n h a b e n e n t w e d e r k e i n e n , oder e i n e n oder zwei D o p p e l p u n k t e , d. h. Punkte, die sich selbst entsprechen. Daß solche Punktreihen e i n e n Doppelpunkt haben können, ist ersichtlich; denn durch Verschiebung der einen Reihe auf dem gemeinsamen Träger können zwei entsprechende Punkte zur Deckung gebracht werden. Daß ferner den beiden Reihen nicht drei oder mehr Doppelpunkte zukommen können, ohne daß sie sich Punkt für Punkt decken, folgt aus 180 Bd. I. Zwei e n t g e g e n l a u f e n d e p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n a u f d e r s e l b e n G e r a d e n b e s i t z e n s t e t s zwei D o p p e l p u n k t e ; denn die sie durchlaufenden, entsprechenden Punkte müssen sich auf ihrem Wege zweimal begegnen. Aus gleichen Gründen besitzen zwei projektive, konzentrische S t r a h l b ü s c h e l keinen, einen oder zwei D o p p e l s t r a h l e n . Sind diese Strahlbüschel entgegenlaufend» so sind stets zwei Doppelstrahlen vorhanden. Sind die genannten Punktreihen oder Strahlbüschel gleichlaufend, so können noch alle drei Fälle eintreten. 4 5 . Zwei p r o j e k t i v e S t r a h l b ü s c h e l m i t dems e l b e n S c h e i t e l S seien durch die sich entsprechenden Strahlen a, b, c und av bv Cj gegeben (Fig. 23). Man lege durch S einen beliebigen Hilfskreis k, der die gegebenen Strahlen in A, B, C resp. Ax, £lt Cx schneiden mag. Der Strahlbüschel mit dem Scheitel J l ist zu dem ersteren Büschel projektiv, wenn sich j e zwei entsprechende Strahlen auf k schneiden. Ebenso ist der Strahlbüschel mit

Die Kegelschnitte.

81

dem Scheitel A zu dem letzteren Büschel projektiv, wenn ihre entsprechenden Strahlen sich auf k schneiden. Demnach sind auch die Büschel Al {A, B, C, ... ) und A (A1, Bx, Cl, . . . ) projektiv und sogar perspektiv, weil sie A1A entsprechend gemein haben. Ihre Perspektivitätsachsep verbindet die Punkte ABl x Ay B und AC\x A^C. Entsprechende Strahlen der Büschel A und Al schneiden den Kreis k in Punkten, die mit S e n t s p r e c h e n d e S t r a h l e n der gegebenen Büschel bestimmen. Schneidet daher die Achse p den Hilfskreis k in den Punkten U und V, so sind u = SU und v = SV die gesuchten D o p p e l s t r a h l e n . Dieselben fallen in einen zusammen, wenn p den Hilfskreis k berührt; es existieren keine Doppelstrahlen, wenn p außerhalb k liegt. Um die sich e n t s p r e c h e n d e n R e c h t w i n k e l p a a r e x, y und xv ?/j zu linden, bestimme man in den perspektiven Strahlbüscheln A und /ij die sich entsprechenden rechten Winkel (nach 183 Bd. I.) mittels eines zweiten Hilfskreises k0 der durch A und A1 geht und dessen Zentrum Ä 0 auf der Achse p liegt, Die fraglichen rechten Winkel sind X0A1Y0 und X0dY0, wenn X0 und Yn die Schnittpunkte von ka mit p bedeuten. Schneiden ihre Schenkel BV-. den Kreis k resp. in X, Y O tund Xv Ylt so sind x = SX, B' y = S Y und x1 = S Xv yj = SYj die entsprechenden Rechtwinkelpaare der gegebenen Strahlbiischel. 4 6 . Sind zwei projektive Punktreihen auf derselben Ger a d e n 'j konstruieren und erhält so in p = QlR1 Fig. 43. die Polare von P (Fig. 43). P liegt außerhalb des gesuchten Kegelschnittes, da die Geraden g und h ihn nicht schneiden; demnach muß seine Polare p zwei reelle Punkte Q und R mit demselben gemein haben. Ist nun A der gegebene reelle Punkt des Kegelschnittes, so schneiden die Strahlen AQ = q und AR = r nach 33 sowohl auf g als auf h harmonische

Die Kegelschnitte.

55

Pole aus, da ja g und h beide harmonische Polaren zu p sind. Projiziert man also die Punktinvolutionen auf g und h von A aus, so erhält man zwei Strahleninvolutionen, deren gemeinsames Strahlenpaar die gesuchten Strahlen q und r sind. Zur Konstruktion lege man durch A einen Hilfskreis, auf diesem schneiden die genannten Strahleninvolutioneu zwei Punktinvolutionen aus; das gemeinsame Punktepaar der letzteren liegt auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte (78) und bestimmt die Strahlen q und r. Sind so auf' p die Punkte Q und Ii des Kegelschnittes gefunden, so sind QP und JiP die zugehörigen Tangenten. Sind Bl und B2 harmonische Pole auf g, so sind (nach 33) B' = QBt x RB2 und B = QB2x B£1 zwei Punkte des Kegelschnittes u. s. f. Durch das Dualitätsprinzip ergibt sich hieraus der Satz: Ein Kegelschnitt ist k o n s t r u i e r b a r aus einer r e e l l e n u n d zwei P a a r e n k o n j u g i e r t i m a g i n ä r e r T a n g e n t e n (die d u r c h die g l e i c h l a u f e n d e n I n v o l u t i o n e n harmonischer P o l a r e n an zwei S c h e i t e l n S u n d T v e r t r e t e n werden). 83. E i n K e g e l s c h n i t t i s t b e s t i m m t d u r c h e i n e n r e e l l e n P u n k t A u n d zwei ? konjugiert imaginäre P u n k t e mit den zugehörigen konjugiert imaginären Tangenten. Zur Bestimmung der imaginären Elemente denke man sich eine reelle Gerade g (als Verbindungslinie der Berührungspunkte) und ihren Pol G (als Schnittpunkt der Tangenten) gegeben und überdies entweder die gleichlaufende Involution der harmonischen Pole des Fig. 44. Kegelschnittes auf g oder die seiner Polaren am Scheitel G. Von dieser Involution liefert eine die andere, weil sie perspektiv sind. Ist G' der Schnittpunkt der Geraden AG mit g (Fig. 44), so findet man ihren zweiten Schnittpunkt A' mit dem Kegelschnitt als denjenigen, der zu A in bezug auf G und G' harmonisch liegt. Sind

56

Die

Kegelschnitte.

ferner Bl und Bv C1 und C2,. . . Punktepaare der Involution auf ff, so sind B = ABxx A'B^ B' = AB2 x A'BX, C = AC^ x A'C2, C' = AC2 X A'CX, . . . neue Punkte des gesuchten Kegelschnittes. 84. Wenn eine Strahleninvolution zwei Paare rechtwinkliger Strahlen enthält, so ist sie eine Involution rechter Winkel. Denn schneidet man die gegebenen Strahlen mit einem durch den Scheitel gelegten Hilfskreis, so erhält man Paare einer Punktinvolution und als Mittelpunkt der letzteren den Kreismittelpunkt. Jeder Durchmesser bestimmt ein neues Punktepaar auf dem Kreise und das zugehörige Strahlenpaar schließt wieder einen rechten Winkel ein. Betrachtet man irgend zwei Eechtwinkelinvolutionen in derselben Ebene, so liegt zu jedem Strahlenpaar der einen ein Strahlenpaar der andern parallel, oder beide bestimmen auf der unendlich fernen Geraden dieselbe gleichlaufende Punktinvolution. Die imaginären Doppelstrahlen zweier Rechtwinkelinvolutionen sind daher parallel; sie. gehen durch dieselben beiden imaginären Punkte der unendlich fernen Geraden, die Doppelpunkte der gedachten Punktinvolution. Man bezeichnet sie als die i m a g i n ä r e n K r e i s p u n k t e d e r E b e n e und zwar deshalb, weil sie allen Kreisen der Ebene angehören. In der Tat bilden alle rechten Winkel mit gemeinsamem Scheitel die Involution der konjugierten Durchmesser für jeden um den Scheitel als Zentrum beschriebenen Kreis und ihre imaginären Doppelstrahlen sind die TanD genten des Kreises, deren Berührungspunkte unendlich fern liegen. 85. Wenn man beachtet, daß alle Kreise einer Ebene durch die imaginären Kreispunkte gehen, so erscheinen die beiden nachfolgenden Sätze als Spezialfälle des Satzes in 12. Drei reelle Punkte, die n i c h t in e i n e r G e r a d e n l i e g e n , o d e r ein r e e l l e r P u n k t und zwei k o n j u g i e r t imaginäre bestimmen einen Kreis. Wir geben für Fig. 45. den zweiten Fall noch kurz die Konstruktion des Kreises an. Es sei A der gegebene reelle Punkt, B1 und B2, Cx und C2 Paare harmionischer Pole des Kreises

Die Kegelschnitte.

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auf der reellen Geraden g (Fig. 45). Zieht man durch den Schnittpunkt S der beiden über den Durchmessern B1B2 und CXC2 geschlagenen Kreise die Senkrechte zu g, so schneidet sie den Mittelpunkt M der Involution auf g aus und stellt als Polare des unendlich fernen Punktes von ff einen Durchmesser des gesuchten Kreises dar. Sind D und E die Endpunkte dieses Durchmessers, so schneiden ihre Verbindungslinien mit dem Punkte A nach 33 auf g ein Paar harmonischer Pole aus, da g und EL konjugierte Polaren sind. Zieht man umgekehrt von A aus Strahlen nach den harmonischen Polen auf ff, so entsteht eine Strahleninvolution, deren rechtwinklige Strahlen durch B und E respektive gehen. Ein Hilfskreis k durch A schneidet aber die Strahleninvolution in einer Punktinvolution mit dem Mittelpunkt i\7; die Endpunkte X, Y seines durch N gezogenen Durchmessers liegen dann auf den gesuchten Rechtwinkelstrahlen. Man kann auch einen Kreis durch 8 und A zeichnen, dessen Mittelpunkt auf g liegt; er schneidet auf g zwei harmonische Pole aus, deren Verbindungslinien mit A zueinander rechtwinklig sind, also durch I) und E resp. gehen. Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

86. Wir haben früher den Kegelschnitt als perspektives Bild eines Kreises definiert und später gezeigt (23), wie ein Kegelschnitt zu jedem Kreise seiner Ebene, der ihn in zwei Punkten schneidet, in perspektiver Beziehung steht. Wir haben aber auch gesehen, daß jeder Kegelschnitt aus einem Rotationskegel ausgeschnitten werden kann (63—66). Aus beiden Erzeugungsweisen des Kegelschnittes können die Eigenschaften seiner Brennpunkte und Leitlinien leicht gewonnen werden, wie das im folgenden dargelegt werden soll.7) Wir gehen zunächst vom Rotationskegel mit dem Scheitel S aus und legen durch seine Achse senkrecht zur Ebene des Kegelschnittes c die Aufrißebene, während wir jene als Grundrißebene benutzen. In den Figg. 46a), b) und c) sind dann der elliptische, der hyperbolische und der parabolische Schnitt dargestellt. Im ersten Falle enthält die x-Achse die große Achse AB der Ellipse, im zweiten die Hauptachse AB der Hyperbel und im dritten die Parabelachse mit dem Scheitel Ä. Jeder Punkt der Kegelachse kann als Mittelpunkt einer Kugel gewählt werden, die den Kegelmantel längs eines Kreises mit zur Achse normaler Ebene berührt. Unter diesen berührenden Kugeln gibt es zwei (beim Parabelschnitt nur eine), die außerdem die Ebene des Kegelschnittes c berühren. Sie schneiden

58

Die

Kegelschnitte.

die Aufrißebene in Kreisen, die außer den Mantellinien SA und SB auch noch die .r-Achse tangieren. Es seien nun K1 und K% die Mittelpunkte dieser Kugeln und zugleich der ebengenannten Kreise. Sie mögen die Ebene des Kegelschnittes c in den Punkten Fl resp. F2 (auf x) berühren und den Kegelmantel in den Kreisen Aj und k2, deren Aufrisse mit den Durchmessern Tx Ul resp. T2 U2 zusammenfallen. Die Ebenen dieser Kreise Aj und k2 haben zwei auf x senkrecht stehende Gerade dx resp. d2 zu Grundrißspuren und Tx £7, resp. Tt U2 zu Aufrißspuren. Eine beliebige Mantellinie des Kegels mag k, kl und k2 in P, P1 und P 2 respektive schneiden und der durch P gehende Kegelkreis k mag sich als Durchmesser TU im Aufriß projizieren. Dann gelten die Beziehungen: PFl = P P j und PF2 = PP2,

Daher ist bei der E l l i p s e (Fig. 46a) die Summe: PF1 + PF2 = PPX + PP2 = PXP2 = Tx T2,

also konstant und zwar =AFl+AF2 — AB. Analog ist bei der H y p e r b e l (Fig. 46b) die Differenz: PF,

-

PF2 = PPX -

PP2 = P,P2 =

TJ2,

also konstant und zwar = BFX — BF2 = AB. Ferner haben wir bei beiden Kurven: PF2 = P P 2 = TT2

u n d TT2\AT2

=

mithin: PF2:P"D2= AT2:AD2, also konstant. PF1:P"Bl = AT1:AD1, also konstant.

P"B2:AD2,

Ebenso ergibt sich:

Die Kegelschnitte.

59

F ü r die Parabel (Fig. 4(3c) folgt insbesondere: PP1 = Tl\ = P"DV Die Punkte Fl und bezeichnet man als die B r e n n p u n k t e des Kegelschnittes c und die Geraden dx und d2 als seine L e i t l i n i e n . Nach dem letzten Kesultat Ä 1 1. — — 87. Aus diesem Satze können wir J ! \ leicht noch eine weitere charakteristische Eigenschaft der Brennpunkte ableiten. \ / / AZfrVv K 1 -„ \ Ziehen wir durch einen Brennpunkt F1 "s \ eine Sehne J K parallel zu der zu\ gehörigen Leitlinie dl (d1 Polare von 2?) und eine beliebige andere Sehne GH, = Z_ AÜB, woraus die Behauptung folgt (Fig. 56). Sind A und B die Schnittpunkte einer Tangente der Hyperbel mit ihren Asymptoten, so gelten infolge des Satzes in 90 die Gleichungen: ¿_ AFB = z_ MFU und /_ A F'B = ¿_ MF' U, wenn U der unendlich ferne Punkt auf einer Asymptote ist (Fig. 57). Die Summe der Wrinkel AFB und AFB beträgt sonach 180°, und es gilt der Satz: Die b e i d e n S c h n i t t p u n k t e e i n e r T a n g e n t e d e r H y p e r b e l m i t i h r e n A s y m p t o t e n l i e g e n m i t den b e i d e n B r e n n p u n k t e n auf e i n e m K r e i s e . 100. H a b e n zwei K e g e l s c h n i t t e b e i d e r e e l l e n u n d f o l g l i c h a u c h a l l e i m a g i n ä r e n B r e n n p u n k t e g e m e i n , ' so h e i ß e n 5*

68

Die Kegelschnitte.

sie konfokal. 8 ) Die Schenkel der rechten Winkel in einem reellen Brennpunkt F schneiden ja die Nebenachse in den Punktepaaren einer Involution, deren konjugiert imaginäre Doppelpunkte nach der Definition ebenfalls als Brennpunkte zu gelten haben. Auch auf der unendlich fernen Geraden bestimmen die genannten Rechtwinkelstrahlen eine Involution, deren konjugiert imaginäre Doppelpunkte als Brennpunkte anzusehen sind. Die nämliche Involution wird von den rechtwinkligen Durchmessern eines jeden Kreises auf der unendlich fernen Geraden ausgeschnitten; ihre Doppelpunkte sind deshalb die allen Kreisen gemeinsamen konjugiert imaginären, unendlich fernen Punkte (vergl. 84). Die Gesamtheit aller Kegelschnitte mit denselben Brennpunkten bezeichnet man als konfokale Kegelschnittschar. Liegen beide Brennpunkte F und F' im Endlichen (Fig. 58), so besteht die konfokale Schar aus E l l i p s e n und Hyperbeln, deren Achsen zusammenfallen. Durch jeden Punkt P der Ebene geht eine Ellipse und eine Hyperbel dieser Schar, die sich rechtwinklig schneiden. Denn die Tangente der Ellipse halbiert a den z. FPF', die Tangente der Hyperbel aber dessen Nebenwinkel (Fig. 46). Aus den Achsen, einem Punkt und der zugehörigen Tangente lassen sich aber von der Ellipse und der Hyperbel leicht beliebig viele Punkte Fig. 58. und Tangenten zeichnen. Legt man um die Brennpunkte F und F' Systeme konzentrischer Kreise, deren Radien Vielfache einer und derselben Strecke sind, so gehören die Schnittpunkte solcher Kreise der beiden Systeme, für welche die Summe oder Differenz der Radien gleich groß ist, je einer Kurve der konfokalen Schar an. 101. Liegt ein Brennpunkt F im Endlichen, der andere F' unendlich fern (Fig. 59), so enthält die konfokale Schar nur Parabeln, deren Achsen zusammenfallen und deren Scheitel auf beiden Seiten des Brennpunktes liegen. Durch jeden Punkt P der Ebene gehen zwei Parabeln der Schar, die sich rechtwinklig schneiden und deren

Die Kegelschnitte.

69

Scheitel durch F getrennt werden. Die Tangente der einen P a r a b e l halbiert den Winkel FPF', die der andern seinen Nebenwinkel. L e g t man um F ein System konzentrischer Kreise, deren E a d i e n Vielfache derselben Strecke sind, und zieht ein System von Parallelen senkrecht zur Achse, deren Abstände von F ebenfalls Vielfache der nämlichen Strecke sind, so kann jede von diesen Parallelen einer Parabel als Leitlinie dienen. Die Schnittpunkte der konzentrischen Kreise mit den Fig. 59. Parallelen, deren Abstand von der gewählten Leitlinie dem betreffenden Kreisradius gleich ist, liegen jedesmal auf einer Kurve der Schar. 102. In beiden konfokalen K e g e l s c h n i t t s c h a r e n schneiden sich die K u r v e n der gleichen A r t nicht, die K u r v e n verschiedener Art aber unter rechten Winkeln. Aus 96 folgt noch, daß j e zwei rechtwinklige Strahlen, welche harmonische Polaren für einen Kegelschnitt der konfokalen Schar sind, die gleiche Eigenschaft in bezug auf alle Kegelschnitte der Schar besitzen. Denn die von solchen Strahlen auf einer Achse ausgeschnittene Involution ist durch die gegebenen Brennpunkte bestimmt. Insbesondere folgt: Die Winkel der T a n g e n t e n p a a r e aus einem beliebigen P u n k t e d e r E b e n e an die K e g e l s c h n i t t e e i n e r k o n f o k a l e n Schar haben dieselben Halbierungslinien. Krümmungskreise der Kegelschnitte. 1 0 3 . E s gibt unendlich viele K r e i s e , die einen Kegelschnitt k in einem gegebenen Punkte 0 berühren; sie berühren alle die Tangente t im Punkte 0 von k, und ihre Mittelpunkte liegen auf der zugehörigen Normalen n des Kegelschnittes. Man wähle nun einen Kreis, der den Kegelschnitt k noch in einem Punkte P schneidet und lasse P sich allmählich dem Berührungspunkte 0 nähern. D a n n

70

Die Kegelscknitte.

ändert sich auch der Kreis, der k in 0 berührt und in P schneidet. Läßt man schließlich P nach 0 rücken, so wird der bezügliche Kreis den Kegelschnitt in 0 gleichzeitig berühren und schneiden, d. h. er wird k in 0 berühren und dort zugleich von der einen Seite von k auf die andere übertreten. Ein solches Verhalten eines Kreises gegen einen Kegelschnitt wird als O s k u l a t i o n bezeichnet, der Kreis selbst heißt O s k u l a t i o n s - oder K r ü m m u n g s k r e i s . 0 ) Während also die Berührung zweier Kurven durch Zusammenrücken zweier Schnittpunkte entsteht, entsteht die Oskulation durch Zusammenrücken eines Berührungs- und eines Schnittpunktes, oder dreier Schnittpunkte. Der Krümmungskreis schmiegt sich also im Punkte 0 enger an den Kegelschnitt an, als die andern berührenden Kreise. Berührt insbesondere der Kreis den Kegelschnitt in einem Scheitel, so schneidet er ihn noch in zwei zur Achse symmetrischen Punkten; diese rücken gleichzeitig in den Scheitel, wenn der Kreis in den Krümmungskreis übergeht. 104. Es seien jetzt kx und k2 irgend zwei Kreise, die h in 0 berühren. Nach den Ausführungen in 22 bestehen dann sowohl zwischen k und kv als zwischen k und k2 perspektive Beziehungen, deren Zentren in 0 liegen. Sei iß' die Perspektive zwischen k und kl, d ihre Achse und P, Px ein Paar entsprechender Punkte; sei ferner iß" die Perspektive zwischen k und k2, a" ihre Achse und P, P2 ein Paar entsprechender Punkte. Die Punkte P, Px, P2 liegen auf einem Strahl durch 0, dem Zentrum von iß' und iß". Es ist aber offenbar 0 auch ein Ähnlichkeitszentrum für die beiden Kreise kx und k2, und es sind Px und P2 entsprechende Punkte einer zwischen ihnen bestehenden ÄhnlichkeitsFig. 60. beziehung 31. Wendet man auf k zunächst die Perspektive an, so erhält man k2, und von h2 gelangt man zu durch Dabei geht P zunächst in P 2 und dieser Punkt dann in Pl über (Fig. 60); ebenso gehen zwei durch P gelegte Gerade g und h vermöge iß" in die Geraden g2 und k2 durch P2 und die letzteren vermöge 91 in gx und hx durch P1 über [gx \\g2, ||A2). Durch die Perspektive iß' wird aber k direkt in kx und ebenso werden P, g, h direkt in Pv glt hx übergeführt; deshalb müssen die Punkte g X g2 und h x / sind tv nl und ebenso tv n2 rechtwinklige harmonische Polaren des Kegelschnittes (96). Sie schneiden die Achsen in Punktepaaren, die so beschaffen sind, daß je zwei Strahlen, die ein Punktepaar der einen und der andern Achse miteinander verbinden, aufeinander senkrecht stehen (95). Deshalb ist 1\U2 _L die Dreiecke T / J l ^ und RlJliQ2 sind sonach ähnlich und liefern die Beziehung 01\:0 U2 = MRX: MQr Nähert sich jetzt Fig. 71. 02 dem Punkt 01 beliebig, so fallen 02, T2, U2, Q2, R2 resp. Tx, Ult Qv R1 zusammen, und auch 0 rückt nach Ov während M zum Mittelpunkt des in Ol oskulierenden Kreises wird. F ü r diesen Mittelpunkt gilt dann die Relation MRx: MQj = 0,1\ :01U1\ sie liefert die schon in 108 zuerst gegebene Konstruktion. Denn unsere Relation lehrt, daß die Strecke /¡\ l\ sowohl von einer Parallelen zu y durch 01 wie von einer Parallelen zu x durch M in dem nämlichen Punkt getroffen wird. 1 1 2 . D i e K r ü m m u n g s k r e i s e der P a r a b e l . E s sei d ein Durchmesser, S sein Endpunkt, s die zugehörige Tangente und 0 ein beliebiger Punkt der Parabel k (Fig. 72). Die Parabeltangente t in 0 schneidet d in einem Punkte T, und dieser ist der Pol von OP in bezug auf k (0P||*, QO = QP, Q auf d, ST = SQ). T ist auch der Pol vou O P in bezug auf einen Kreis k 2 , dessen Mittelpunkt M2 aus n durch das von T auf OP gefällte Lot ausgeschnitten wird und dessen Peripherie durch 0 geht. In der zwischen k und h2 bestehenden Perspektive entspricht OP sich selbst und folglich ist das gleiche bei T der Fall, so daß T auf der Achse a" von iß" liegt. Nun ziehe man durch 0 eine Parallele u zu d und bezeichne mit U, U2 und Ux ihre Pole in bezug auf h, h2 und den Krümmungskreis kv Dann liegen U, U2 und auf t, und zwar ist U unendlich fern, während M2 U2 und Ml L\ auf d senkrecht stehen. In den Perspektiven Beziehungen iß" zwischen k und k2, sowie iß' zwischen k und entspricht u sich selbst, sonach sind U und Ut entsprechende Punkte von und U und solche von Da a" durch T und a durch 0 geht, gilt die Relation TU: TU2 = OU\OUl oder,

78

Die

Kegelschnitte.

da. TU: OU = 1 ist, TUt = Oh\ und TO = U2UV Daraus folgt weiter MiM1 = 0M3, wenn eine in T auf d errichtete Normale durch M3 auf n geht, und schließlich 0Ml = M2M3.

X

Fig. 72.

Fig. 73.

Daher folgende Konstruktion. Ist d ein beliebiger Durchmesser der Parabel und s seine Tangente im Endpunkt, sind ferner t und n Tangente und Normale in einem Punkte 0, so errichte man in T = t x d eine Normale auf d und fälle von T ein Lot auf s, dann schneiden diese beiden Geraden auf n die Länge des Krümmungsradius ab. Ist insbesondere d die Achse und s die Scheiteltangente (Fig. 73), so liegt M2 auf d, und es ist OMz = 20R {R = s x n). Auf jeder Parabelnormalen gibt die vom Parabelpunkt und der Achse begrenzte Strecke, vermehrt um die doppelte vom Parabelpunkt und der Scheiteltangente begrenzte Strecke, die Länge des betreffenden Krümmungsradius. Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte.

113. Vier Punkte einer Ebene Vier Gerade einer Ebene bebestimmen mit jedem beliebigen stimmen mit jeder beliebigen fünffünften Punkte einen Kegelschnitt, ten Geraden einen Kegelschnitt. Daher gelten die dualen Sätze: D u r c h vier G r u n d p u n k t e Vier G r u n d l i n i e n a, b, c, d A, B, C, I) e i n e r E b e n e , von e i n e r E b e n e , von denen keine d e n e n k e i n e d r e i in e i n e r d r e i sich in einem P u n k t e

Die Kegelschnitte.

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Geraden liegen, gehen unschneiden, werden vonunendendlich viele K e g e l s c h n i t t e ; lieh v i e l e n K e g e l s c h n i t t e n b e ihre G e s a m t h e i t h e i ß t K e g e l rührt; ihre Gesamtheit heißt schnittbüschel. Durch jeden K e g e l s c h n i t t s c h a r . J e d e GeP u n k t d e r E b e n e g e h t ein r a d e d e r E b e n e w i r d von e i n e m u n d n u r ein K e g e l s c h n i t t des u n d n u r von e i n e m K e g e l Büchels. schnitt der Schar berührt. Hiernach ist klar, daß zwei Kegelschnitte k und hx vier Schnittpunkte und vier gemeinsame Tangenten besitzen können; daß sie aber auch immer wirklich vier gemeinsame Punkte und vier gemeinsame Tangenten haben müssen, wird weiterhin gezeigt werden. Zunächst ist hervorzuheben, daß die vier Schnittpunkte (und ebenso die gemeinsamen Tangenten) teilweise oder alle vier imaginär werden können, denn nach 82 kann man stets einen Kegelschnitt konstruieren, der durch zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte und einen reellen Punkt geht, oder der zwei Paare konjugiert imaginärer Geraden und eine reelle Gerade berührt. 10 ) 114. Z w e i K e g e l s c h n i t t e b e s i t z e n s t e t s e i n e g e r a d e Z a h l (0, 2 o d e r 4) von r e e l l e n S c h n i t t p u n k t e n u n d von r e e l l e n g e m e i n s a m e n T a n g e n t e n . Wir beweisen nur den ersten Teil des Satzes, der zweite folgt dann daraus durch Anwendung des Prinzipes der Dualität, In bezug auf einen Kegelschnitt k liegen nun die Punkte einer Ebene teils innerhalb und teils außerhalb (258 Bd. I). Der Kegelschnitt k schneidet also die ganze Ebene in zwei Gebiete, von denen das eine die inneren, das andere die äußeren Punkte umfaßt. Bei der Hyperbel gibt es scheinbar zwei getrennte Gebiete innerer Punkte, dieselben hängen aber iin Unendlichen zusammen. Denn schneidet eine Gerade beide Hyperbeläste, so liegen die Punkte der von der Hyperbel begrenzten endlichen Strecke außerhalb, die andern Punkte innerhalb der Kurve ; die beiden unendlichen Strecken der Geraden hängen aber im Unendlichen zusammen. Das zeigt sich auch, wenn man die Hyperbel als perspektives Bild eines Kreises betrachtet, wobei die innern Punkte der Hyperbel aus den innern Punkten des Kreises hervorgehen. Schneidet daher ein Kegelschnitt den Kegelschnitt k in einem reellen Punkte A und durchläuft ein Punkt den Kegelschnitt /' » ^ ^ >> ^D P\Pq> ^2^7' "^3^6' ^4^5 " » AD „ SC „ „ Auch für die Tangentialebenen in diesen acht Punkten finden ähnliche Beziehungen zu dem Polartetraeder statt. Geht P ; Pk durch eine Ecke des Tetraeders, so liegt die Schnittlinie der zugehörigen Tangentialebenen TT,, und T T Ä auf der Gegenseite. Trifft PfP k zwei Gegenkanten, so trifft auch die Schnittlinie von T T ; und T T k diese Gegenkanten. 146. Jede Sehne der Fläche 2. Grades wird durch ihren Mittelpunkt und den unendlich fernen Punkt harmonisch geteilt. D i e M i t t e l p u n k t e a l l e r p a r a l l e l e n Sehnen der F l ä c h e 2. Grades l i e g e n in einer Ebene, der P o l a r ebene ihres gemeinsamen unendlich f e r n e n P u n k t e s (ihrer R i c h tung); sie heißt D i a m e t r a l e b e n e der F l ä c h e . Auf ihr liegen auch die Berührungspunkte aller, zu den genannten Sehnen parallelen Tangenten der Fläche. Es folgt das einfach aus der Beziehung zwischen Pol und Polarebene. Der Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist der Pol der unendlich fernen Geraden seiner Ebene. D i e M i t t e l p u n k t e a l l e r p a r a l l e l e n Schnitte der F l ä c h e 2. G r a d e s l i e g e n auf einer G e r a d e n , der harmonischen P o l a r e n zu der den p a r a l l e l e n E b e n e n gemeinsamen unendlich f e r n e n Geraden ( i h r e r S t e l l u n g ) ; sie heißt Durchmesser der F l ä c h e . Auf ihr liegen auch die Berührungspunkte der beiden Tangentialebenen, die zu jenen Schnitten parallel sind. Sind nämlich gx und g2 zwei harmonische Polaren unserer Fläche,

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Die Flächen zweiten Grades.

so schneidet jede Ebene durch gx die Gerade g2 in dem Pole von gl in bezug auf den in ihr liegenden Kegelschnitt der Fläche. Ist in Fig. 86 E eine beliebige Ebene, v ihre Schnittkurve mit der Fläche und sind p und q ein Paar konjugierte Durchmesser von v, so bestimmen wir die Diametralebenen A und B, von denen erstere alle zu p, letztere alle zu q parallelen Sehnen halbiert, also geht A durch q und B durch p. Die Gerade c = A X B ist ein Durchmesser der Kurven l und A, in denen die Fläche von A resp. B geschnitten wird; denn sie halbiert sowohl die zu p wie die zu q parallelen Sehnen. Ist nun a der konjugierte Durchmesser zu c in bezug auf k [a || p) und b der konjugierte Durchmesser zu c in bezug auf l [b || q), so halbiert die Ebene r = ab die zu c parallelen Sehnen der Fläche, denn a und b halbieren die zu c parallelen Sehnen, die sie treffen; V ist also eine Diametralebene. Die Geraden a, b und c sind aber Durchmesser unserer Fläche, indem sie die Mittelpunkte der Parallelschnitte zu A resp. B resp. r tragen. Denn ist z. B. Q ein Punkt von a, so halbiert er die beiden Sehnen, die man durch ihn parallel zu b resp. c legen kann; diese Sehnen sind also konjugierte Durchmesser eines zu A parallelen Schnittes und Q ist sein Mittelpunkt. Wir können hiernach die folgenden Sätze aussprechen, wenn wir a und A, b und B, c und T als k o n j u g i e r t bezeichnen. E i n D u r c h m e s s e r d und eine D i a m e t r a l e b e n e A h e i ß e n k o n j u g i e r t , wenn A die zu d p a r a l l e l e n S e h n e n h a l b i e r t , oder w e n n d die M i t t e l p u n k t e der zu A p a r a l l e l e n S c h n i t t e t r ä g t ; die e i n e E i g e n s c h a f t i s t eine n o t w e n d i g e F o l g e der a n d e r e n . Z w e i D u r c h m e s s e r h e i ß e n k o n j u g i e r t , wenn j e d e r in d e r dem a n d e r e n k o n j u g i e r t e n D i a m e t r a l e b e n e liegt. E s g i b t d r e i f a c h u n e n d l i c h v i e l e D r e i k a n t e von der B e s c h a f f e n h e i t , d a ß i h r e K a n t e n D u r c h m e s s e r und i h r e S e i t e n D i a m e t r a l e b e n e n s i n d , und d a ß j e d e K a n t e zur G e g e n seite k o n j u g i e r t ist; drei solche Durchmesser heißen kurzweg k o n j u g i e r t . A l l e D u r c h m e s s e r und D i a m e t r a l e b e n e n s c h n e i d e n s i c h in e i n e m P u n k t e , dem M i t t e l p u n k t e d e r F l ä c h e ; er ist zugleich Mittelpunkt aller Diametralschnitte und der von der Fläche begrenzten Durchmesser. Ist nämlich a ein Durchmesser der Fläche, A die zu ihm konjugierte Diametralebene und l ihre Schnittkurve mit der Fläche, sind ferner b und c zwei beliebige konjugierte Durchmesser von l, so ist V — ab die zum Durchmesser c konjugierte Diametralebene. Die Ebene T kann nun so gewählt werden, daß sie eine beliebige Gerade d durch 0 = « x A enthält

Die Flächen zweiten Grades.

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da b irgend ein Durchmesser von l sein kann. Bestimmt man aber zu d den konjugierten Durchmesser e in bezug auf die in T liegende Kurve der Fläche, so ist ce diejenige Diametral ebene, welche die zu d parallelen Sehnen halbiert, während d der zu ihr konjugierte Durchmesser ist, q. e. d. Da zu jedem Punkte eine Polarebene gehört, spricht man von einer u n e n d l i c h f e r n e n E b e n e , der Polarebene des Mittelpunktes. 147. Die Beziehungen zwischen den Durchmessern und Diametralebenen einer Fläche 2. Grades ergeben sich auch durch Spezialisierung des Polartetraeders. Wird eine seiner Seitenflächen unendlich fern, so wird die Gegenecke zum Flächenmittelpunkte, der als Pol der unendlich fernen Ebene erscheint. Zugleich rücken drei Kanten ins Unendliche, während die drei übrigen zu Durchmessern werden, und jeder enthält die Mittelpunkte der Schnitte, deren Ebenen den beiden anderen parallel laufen. Auch hier gruppieren sich die Punkte der Fläche wieder zu je acht zusammen; sie liegen zu je zwei auf vier Durchmessern der Fläche und bilden die Ecken eines Parallelepipedons, dessen Kanten jenen drei Durchmessern parallel sind (145). 148. Bei den voranstehenden Betrachtungen gingen wir von einem beliebigen Kegelschnitt v unserer Fläche und zwei konjugierten Durchmessern p und q desselben aus. Die zu p parallelen Sehnen werden dabei von einer Diametralebene A, die zu q parallelen Sehnen von einer Diametralebene B halbiert; die Schnittkurven von A und B mit der Fläche waren l resp. h. Die weiteren Schlüsse basierten dann darauf, daß zu c = A X B konjugierte Durchmesser in bezug auf ä resp. / existierten; sie werden hinfällig, w e n n k u n d l P a r a b e l n sind. Offenbar ist auch hier c ein Durchmesser, indem er die Mittelpunkte aller Parallelschnitte zu v trägt; alle Ebenen durch c schneiden die Fläche in Parabeln. In diesem Falle kann die Fläche einen Mittelpunkt im Endlichen nicht haben, da sonst alle Diametralebenen durch ihn gehen und die Diametralschnitte ihn zum Mittelpunkte haben müßten. Deshalb werden hier alle Durchmesser und alle Diametralebenen zu c parallel; zu jeder Diametralebene gibt es eine konjugierte Richtung, die Richtung der von ihr halbierten Sehnen; zu jedem Durchmesser gibt es eine konjugierte Stellung, die Stellung der Ebenen aller Schnitte, deren Mittelpunkte er trägt. Diese Fläche berührt die unendlich ferne Ebene im unendlich fernen Punkte von c, der als Pol dieser Ebene zugleich Flächenmittelpunkt ist.

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Die Flächen zweiten Grades.

D i e F l ä c h e n 2 . G r a d e s können d e m n a c h e i n g e t e i l t werden in solche mit M i t t e l p u n k t und solche ohne M i t t e l p u n k t . I m e r s t e r e n F a l l e gehen die D u r c h m e s s e r und D i a m e t r a l e b e n e n d u r c h den M i t t e l p u n k t ; j e d e m D u r c h m e s s e r ist eine D i a m e t r a l e b e n e k o n j u g i e r t und u m g e k e h r t . Im l e t z t e r e n F a l l e sind alle D u r c h m e s s e r und alle D i a m e t r a l e b e n e n zu e i n e r R i c h t u n g p a r a l l e l . Alle D i a m e t r a l e b e n e n s c h n e i d e n diese F l ä c h e n in P a r a b e l n , man b e z e i c h n e t sie d e s h a l b als Paraboloide. 149. Die Mittelpunkte paralleler Schnitte liegen, wie wir gesehen haben, auf einem Durchmesser. Auf ihm liegen auch die Scheitel aller Tangentenkegel, deren Berührungskurven diese Parallelschnitte sind (vergl. Fig. 86); ferner liegen auf ihm die Scheitel der beiden Kegel, die man durch je zwei Parallelschnitte legen kann. J e zwei Parallelschnitte sind deshalb ähnlich gelegene Kurven. Der Beweis für diese Sätze liegt darin, daß die den Parallelebenen gemeinsame unendlich ferne Gerade den bezüglichen Durchmesser zur harmonischen Polaren hat (142). 150. H a l b i e r t eine E b e n e die zu ihr n o r m a l e n S e h n e n , so h e i ß t sie H a u p t e b e n e ; t r ä g t ein D u r c h m e s s e r die M i t t e l p u n k t e der zu ihm n o r m a l e n S c h n i t t e , so h e i ß t er Achse. Bei den P a r a b o l o i d e n gibt es o f f e n b a r n u r eine Achse, sie t r ä g t die M i t t e l p u n k t e a l l e r S c h n i t t e , d e r e n E b e n e n zur g e m e i n s a m e n R i c h t u n g aller D u r c h m e s ser n o r m a l sind. D u r c h diese Achse gehen zwei z u e i n a n d e r s e n k r e c h t e H a u p t ebenen, die die Achsen j e n e r N o r m a l s c h n i t t e e n t h a l t e n . Denn jede dieser beiden Ebenen halbiert die Sehnen, die auf ihr senkrecht stehen. Andere Hauptebenen kann es im allgemeinen nicht geben, da jede die genannten Normalschnitte in Achsen schneiden müßte. Eine Ausnahme tritt nur ein, wenn die zur Achse normalen Schnitte Kreise sind, die Fläche also eine Rotationsfläche ist; hier ist jede Ebene durch die Achse eine Hauptebene. 151. Bei den F l ä c h e n mit M i t t e l p u n k t gibt es drei zue i n a n d e r s e n k r e c h t e Achsen; j e zwei Achsen liegen in e i n e r H a u p t e b e n e . Zu jedem Durchmesser gibt es einen k o n j u g i e r t e n r e c h t w i n k l i g e n Durchmesser; er erscheint als Schnitt zweier Ebenen, von denen die eine zu jenem Durchmesser konjugiert ist und die andere auf ihm im Mittelpunkt senkrecht steht. Beschreibt nun ein Durchmesser einen Strahlbüschel, dessen Scheitel der Flächenmittelpunkt ist und dessen Ebene wir mit A bezeichnen, so beschreibt der konjugierte rechtwinklige Durchmesser eine Kegelfläche

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2. Grades. Denn zu jenem Büschel von Durchmessern ist sowohl der Büschel der zu ihnen konjugierten, wie auch der Büschel der zu ihnen normalen Diametralebenen projektiv. Beide Ebenenbüschel erzeugen eine Kegelfläche A2; ihre Mantellinien sind aber zu den bez. Durchmessern jenes Büschels konjugiert und rechtwinklig. Diese Kegelfläche enthält die Achsen der beiden erzeugenden Ebenenbüschel, nämlicli den zu A konjugierten und den zu A normalen Durchmesser, und wird von einer beliebigen Ebene in einem Kegelschnitt geschnitten, da sie ja die projektiven Ebenenbüschel in projektiven Strahlbüscheln schneidet. Wie zu der Diametralebene A eine Kegelfläche A2 gehört, deren Mantellinien konjugiert und rechtwinklig zu den Durchmessern der Ebene A sind, so gehört auch zu einer weiteren Diametralebene M eine Kegelfläche M3. Der Schnittgeraden von A und M entspricht eine gemeinsame Mantellinie von A2 und M 2 ; beide Kegelflächen haben sonach m i n d e s t e n s noch eine weitere Mantellinie gemein. Es folgt das unmittelbar daraus, daß ihre Schnittkurven mit einer beliebigen Ebene einen und folglich mindestens noch einen weiteren Punkt gemein haben (114). Zu dieser gemeinsamen Mantellinie gibt es in jeder der beiden Ebenen A und M einen konjugierten rechtwinkligen Durchmesser; die Ebene dieser beiden Durchmesser ist deshalb die konjugierte Diametralebene zu dem als gemeinsame Mantellinie auftretenden Durchmesser und steht auf ihm senkrecht. Mithin ist die gemeinsame Mantellinie eine A c h s e unserer Fläche und ihre konjugierte Diametralebene eine H a u p t e b e n e derselben. Die konjugierten rechtwinkligen Durchmesser in dieser Hauptebene bilden die beiden anderen Achsen unserer Fläche und die Ebenen durch je zwei Achsen die Hauptebenen, was unmittelbar klar ist. Die vorher bestimmten Kegelflächen 2. Grades A2 und M2 haben — abgesehen von der Mantellinie, der nur ein konjugierter rechtwinkliger Durchmesser A X M entspricht — noch drei zueinander rechtwinklige Strahlen gemein; es sind dies die drei Achsen der Fläche 2. Grades. 152. Als eine spezielle Fläche 2. Grades mit Mittelpunkt ist die K e g e l f l ä c h e anzusehen, d e r e n G r u n d - oder L e i t k u r v e u eine E l l i p s e , P a r a b e l oder H y p e r b e l ist; ihr Scheitel S ist zugleich ihr Mittelpunkt. In der Tat haben wir in 360 Bd. I gesehen, daß die Strahlen und Ebenen durch den Kegelscheitel S die gleichen Eigenschaften besitzen, wie die Durchmesser und Diametralebenen einer Fläche 2. Grades mit Mittelpunkt; deshalb wurde bereits an der zitierten Stelle für sie die Bezeichnung Durchmesser und Diametralebenen eingeführt. Insbesondere g i b t es zu j e d e m D u r c h -

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Die Flächen zweiten Grades.

messer der K e g e l f l ä c h e eine k o n j u g i e r t e D i a m e t r a l e b e n e derart, daß letztere alle zu ersterem parallelen Kegelsehnen halbiert und ersterer durch die Mittelpunkte aller zur letzteren parallelen Kegelschnitte geht (360 Bd. I). Das ist aber auch bei den allgemeinen Flächen 2. Grades die charakteristische Eigenschaft für jeden Durchmesser und seine konjugierte Diametralebene (146). Ganz ebenso wie bei den Flächen 2. Grades mit Mittelpunkt wird man auch bei einer Kegelfläche von k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r n reden, wenn jeder in der dem andern konjugierten Diametralebene liegt; die Durchmesser bilden ferner hier wie dort dreifach unendlich viele Dreikante, deren Kanten paarweise konjugiert sind, und die wir wieder kurz als drei k o n j u g i e r t e D u r c h m e s s e r bezeichnen. Aus den gleichen Gründen, wie wir sie in 151 dargelegt haben, besitzt jede Kegelfläche 2. Grades drei zueinander r e c h t w i n k l i g e A c h s e n und drei z u e i n a n d e r rechtwinklige Haupt- oder S y m m e t r i e e b e n e n , die je zwei Achsen miteinander verbinden. Wir werden weiterhin in 198 u. ff. die Aufgabe: die drei Achsen konstruktiv zu bestimmen, sowohl für die Kegelfläche als für die allgemeine Fläche 2. Grades behandeln. 153. Die Polareigenschaften der Flächen 2. Grades geben uns Veranlassung, einige Beziehungen des Raumes auf sich selbst kennen zu lernen. Indem man bei allen geometrischen Beziehungen räumlicher Figuren, die sich nur auf L a g e v e r h ä l t n i s s e stützen, die Begriffe P u n k t und E b e n e , und infolgedessen P u n k t r e i h e und E b e n e n b ü s c h e l , sowie Gerade und Gerade, miteinander vertauscht, erhält man zu der ursprünglichen Figur die duale F i g u r , die duale E i g e n s c h a f t e n zu jener aufweist (vergl. 69). So stellt sich jedem Satze, der sich über L a g e b e z i e h u n g e n ausspricht, ein dualer gegenüber. Dem Gesetze der D u a l i t ä t sind insbesondere die Pole und Polarebenen jeder Fläche 2. Grades unterworfen, und diese besondere Beziehung heißt R e z i p r o z i t ä t oder reziproke R a u m v e r w a n d t s c h a f t in bezug auf die Fläche 2. Grades als Leitfläche. Zu jeder Figur kann eine reziproke Figur %2 entworfen werden, indem man die Punkte, Ebenen und Geraden der einen durch Polarebenen, Pole und konjugierte Geraden in der anderen ersetzt. Vereinigte Elemente — Punkt auf einer Geraden oder einer Ebene, sowie Gerade in einer Ebene — gehen dabei wieder in vereinigte Elemente über. Den Punkten der Leitfläche 2. Grades entsprechen bei dieser Reziprozität die Tangentialebenen in den betreffenden Punkten, so

Die Flächen zweiten Grades.

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daß diese Fläche — als Ort von Punkten — zu sich selbst reziprok ist — als Hüllfläche von Ebenen. Zu jedem Satze über Flächen 2. Grades, bei dem Lagebeziehungen maßgebend sind, gibt es also einen dualen Satz', wie auch die vorangehenden Sätze zeigen. Jeder Fläche 2. Grades entspricht eine andere Fläche 2.Grades als R e z i p r o k a l f l ä c h e ; einem ebenen Schnitte der ersteren entspricht ein Tangentialkegel der zweiten und umgekehrt, den beiden Schnittpunkten mit einer Geraden entsprechen die beiden Tangentialebenen durch die reziproke Gerade. Den Tangenten der einen Fläche entsprechen also die Tangenten der andern Fläche; umhüllen die Tangenten bei der einen Fläche einen Kegelschnitt, so beschreiben sie bei der andern einen Kegel. Als Reziprokalfläche einer Kugel in bezug auf eine zweite als Leitfläche erhält man eine Rotationsfläche. 154. Wir haben in der Ebene die Zentralprojektion kennen gelernt, bei der die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch ein festes Zentrum gehen und die Schnittpunkte entsprechender Geraden auf einer festen Achse liegen. Speziell kann die Beziehung zwischen den sich entsprechenden Figuren vertauschbar sein, indem je zwei entsprechende Punkte durch das Zentrum und die Achse harmonisch getrennt werden. Ganz ebenso können wir im Räume die Punkte sich wechselseitig entsprechen lassen, indem wir je zwei Punkte einander zuordnen, deren Verbindungslinie durch einen festen Punkt, das Zentrum, geht und durch dieses und eine feste Ebene harmonisch geteilt wird. Diese Beziehung führt den Namen: involutorische Z e n t r a l p r o j e k t i o n oder involutorische K o l l i n e a t i o n des Raumes. Eine Fläche 2. Grades entspricht sich selbst in bezug auf jede i n v o l u t o r i s c h e Z e n t r a l p r o j e k t i o n , deren Zentrum ein beliebiger Punkt und deren f e s t e E b e n e seine Polarebene ist; dabei entsprechen sich die Punkte der Fläche und ebenso ihre Ebenen paarweise, die Verbindungslinie jener geht durchs Zentrum, die Schnittlinie dieser liegt in der festen Ebene. Im allgemeinen entspricht bei der genannten Beziehung jeder Fläche 2. Grades wieder eine solche. 155. Ist Ox das Zentrum und E t die feste Ebene einer involutorischen Zentralprojektion und spielen 02 und E2 die gleiche Rolle für eine zweite derartige Projektion, wobei zugleich Ot in E3 und 02 in E t liegen soll, so können wir jedem Punkte des Raumes denjenigen entsprechen lassen, der aus ihm hervorgeht, wenn wir beide Projektionen hintereinander auf ihn anwenden. Dabei wird sich zeigen, daß die Reihenfolge, in der wir diese Projektionen an-

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wenden, gleichgültig ist. Sei in Fig. 87 P ein beliebiger Punkt, und schneidet die Ebene Ox 02 P die Gerade E, X E 8 = s im Punkte J, so geht aus P durch die erste Projektion Px hervor, wenn PP101K harmonisch liegen und K = P01 X 02J ist, und aus Pl geht durch die zweite Projektion P' hervor, wenn P1P'02Z harmonisch liegen und L = P102 X O j / i s t . Die Punkte 01 KPjP projizieren wir von J auf die Gerade L 02P1 und erhalten vier harmonische Punkte, von denen drei mit L, 02, P1 resp. sich decken, so daß P' als vierter harmonischer Punkt zu ihnen auf JP liegt. Ist M = 0102 x PF, so liegen auch PP'JM harmonisch, denn sie liegen auf den harmonischen Strahlen 01P1, 01P', 01L, 0102. Der entsprechende Fig. 87. Punkt P' zu P wird also gefunden, indem man durch P eine gemeinsame Sekante zu s und Ol02 zieht (sie ist die Schnittlinie der Ebene Oj 02P und sP) und auf ihr den Punkt P' sucht, der mit P in bezug auf s und Ox 02 harmonisch liegt. Offenbar gelangt man zu demselben Punkte, wenn man erst den Punkt P2 konstruiert, der mit P harmonisch zu 02 und E 2 liegt, und dann den Punkt P', der mit P2 harmonisch zu 01 und liegt. Wir erhalten somit das Resultat: Sind a u n d b zwei f e s t e A c h s e n , u n d l ä ß t m a n j e zwei P u n k t e sich g e g e n s e i t i g e n t s p r e c h e n , die d u r c h die A c h s e n h a r m o n i s c h g e t r e n n t w e r d e n , deren Verbindungslinie also die Achsen schneidet, so e n t s t e h t d a s g e s c h a r t - i n v o l u t o r i s c h e System. Die h i e r d e f i n i e r t e Z u o r d n u n g d e r P u n k t e p a a r e l ä ß t sich a u c h d u r c h A n w e n d u n g zweier i n v o l u t o r i s c h e r Z e n t r a l p r o j e k t i o n e n h i n t e r e i n a n d e r e r z i e l e n . Die Zentren dieser Projektionen liegen dabei auf einer der Achsen, ihre festen Ebenen gehen durch die andere, und zwar muß die feste Ebene jeder Projektion das Zentrum der andern enthalten. E n t s p r e c h e n d e E b e n e n im g e s c h a r t - i n v o l u t o r i s c h e n S y s t e m w e r d e n d u r c h die A c h s e n a u n d b h a r m o n i s c h get r e n n t , d. h. ihre Schnittlinie trifft beide Achsen und bestimmt mit ihnen Ebenen, die zu jenen Ebenen harmonisch liegen. Denn verbindet man einen Punkt der einen Ebene mit dem entsprechenden Punkte der entsprechenden Ebene, so wird diese Verbindungslinie durch die Achsen harmonisch geteilt. J e zwei k o n j u g i e r t e P o l a r e n e i n e r F l ä c h e 2. G r a d e s b i l d e n die A c h s e n e i n e s g e s c h a r t -

Die Flächen zweiten Grades.

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i n v o l u t o r i s c h e n S y s t e m s , in dem sich die F l ä c h e s e l b s t e n t s p r i c h t . Die Punkte der Fläche, wie ihre Tangentialebenen, liegen paarweise harmonisch zu den konjugierten Polaren und entsprechen sich im System. Einer Fläche 2. Grades entspricht in dem genannten System stets wieder eine Fläche 2. Grades. Einteilung der Flächen zweiten Grades; ihre Beziehung zu den Rotationsflächen; Kreisschnitte. 1 5 6 . Wir haben bereits eine Einteilung der Flächen in solche m i t und solche o h n e Mittelpunkt getroffen und haben den letzteren den Namen: P a r a b o l o i d e beigelegt. Das Verhalten der Flächen m i t Mittelpunkt gegen die unendlich ferne Ebene gestattet uns diese noch weiter einzuteilen, ganz wie das bei den Kegelschnitten der Fall war. Eine Ebene durch den Mittelpunkt der Fläche schneidet sie entweder gar nicht oder in einem Kegelschnitte, dessen Mittelpunkt mit dem der Fläche zusammenfällt. Sind alle solche Schnitte Ellipsen, so liegt die Fläche ganz im Endlichen und führt den Namen: E l l i p s o i d . Sind Hyperbeln unter den Diametralschnitten, so verläuft die Fläche ins Unendliche, und wir haben es mit Flächen zu tun, die den Namen: H y p e r b o l o i d e führen. Das Verhalten dieser Flächen gegen das unendlich Ferne ist nun noch näher zu ergründen. 13 ) Seien a, b, c drei konjugierte Durchmesser der Fläche, so daß a zur Diametralebene A = bc, b zu B = ac und c zu V = ab konjugiert ist, sei feiner dem Durchmesser d die Diametralebene A konjugiert, so kann man zu jedem weiteren Durchmesser e die konjugierte Diametralebene E konstruieren. Den vier Ebenen B, f", ad, ae durch a gehören ja als konjugierte Durchmesser vier Strahlen in A zu, nämlich b, c, A X A und A X E ; die ersten drei sind bekannt, und der vierte bestimmt sich durch das Doppelverhältnis dieser vier Strahlen, das demjenigen der vier Ebenen gleich ist. Damit ist die Schnittlinie von E mit A gefunden und analog finden sich die Schnittlinien von E mit B resp. f". Zwei konjugierte Durchmesser der Fläche sind auch konjugierte Durchmesser der in ihrer Ebene liegenden Schnittkurve. Die konjugierten Durchmesser eines Diametralschnittes bilden die Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen seine Asymptoten sind; die Asymptoten der Diametralschnitte (Hyperbeln) sind auch A s y m p t o t e n d e r F l ä c h e 2. G r a d e s , d. h. sie berühren sie im Unendlichen. Alle von dem Mittelpunkte 0 einer Fläche 2. Grades an sie gelegten Tangenten RÖHN

U. P A P P E R I T Z .

III.

3. Aufl.

8

114

Die Flächen zweiten Grades.

sind Asymptoten, d. h. sie berühren sie im Unendlichen; denn es ist dies für alle Diametralschnitte der Fall. Das kann auch daraus, gefolgert werden, daß alle zu 0 konjugierten Punkte unendlich fern liegen. 157. Die A s y m p t o t e n a l l e r D i a m e t r a l s c h n i t t e b i l d e n e i n e n Kegel, den A s y m p t o t e n k e g e l d e r F l ä c h e . Die Wahrheit dieses Satzes ergibt sich schon daraus, daß die Flächentangenten aus einem beliebigen Raumpunkte einen Kegel bilden; wir wollen indes die Sache noch etwas weiter verfolgen. Schneiden wir die Durchmesser a, b, c, d und ihre konjugierten Diametralebenen A, B, A mit einer beliebigen Ebene TT, und sind Av Bv C\, D1 die zugehörigen Spurpunkte und alt bv Cj, dx die zugehörigen Spurlinien (Fig. 88), so läßt sich, analog wie vorher, zum Spurpunkte Jf von e die Spurlinie e1 der konjugierten Diametralebene E finden. Es existiert nun in TT ein Kegelschnitt u, für den der Spurpunkt eines jeden Durchmessers der Fläche der Pol der Spurlinie seiner konjugierten Fig. 88. Diametralebene ist; es braucht das nur für Av Bv Cv Dv JSi und av bv cv dv e1 gezeigt zu werden, da Ex beliebig angenommen worden ist. Um nun den Kegelschnitt u zu konstruieren, für den Al £l Cj ein Polardreieck und Dx der Pol von dl ist, bedenke man, daß A1 und A2 — axx A1 I>x und ebenso Dx und D, = d, x Ar D1 harmonische Pole von u sind; die Doppelpunkte J und K der Involution, der die Punktepaare Bv und Av A2 angehören, sind also Punkte von u, und SlJ, S1K sind die zugehörigen Tangenten, wenn Sj = x dx ist. Der Kegelschnitt w kann also auch definiert werden durch einen Punkt J, die zugehörige Tangente SXJ und das Polardreieck; durch ein Polardreieck und zwei Punkte ist aber ein Kegelschnitt eindeutig bestimmt. Den Geraden bv c x , Axund A1E1 gehören als Pole bezüglich u vier Punkte von ax zu, nämlich Bx, Cv Sv Tx, wobei das Doppelverhältnis dieser vier Punkte gleich dem der Geraden ist. Die Polare von Ex geht also durch den Punkt T1 von av ebenso findet man ihre Punkte auf bx und c x ;

Die Flächen zweiten

Grades.

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diese Gerade ist aber Dach der vorangehenden Definition nichts anderes als ev u ist somit die Spurkurve des Asymptotenkegels in TT, da ja jeder Durchmesser und seine konjugierte Diametralebene aus TT Pol und Polare von u ausschneiden. Offenbar existiert k e i n e Kurve u und damit auch k e i n Asymjstotenkegel, wenn die Involutionen harmonischer Pole auf den drei Geraden Ax Dl, Bx I)x und C J D J gleichlaufend, d . h . ohne Doppelpunkte sind. Denn eine Ecke des Polardreiecks Jl Cx muß im Innern von u liegen, falls u reell ist, und eine jener drei Geraden muß dann n in zwei reellen Punkten treffen. 158. Ein Hyperboloid und sein A s y m p t o t e n k e g e l werden v o n j e d e r E b e n e in k o n z e n t r i s c h e n , ä h n l i c h e n u n d ä h n l i c h gelegenen Kegelschnitten geschnitten. Denn jeder Durchmesser und seine ihm in bezug auf die Fläche konjugierte Diametralebene sind auch hinsichtlich des Kegels konjugiert. Daraus folgt, daß eine zu einer Diametralebene parallele Ebene Fläche und Kegel in Kurven schneidet, deren gemeinsamer Mittelpunkt auf dem konjugierten Durchmesser liegt, und daß zwei Durchmesser dieser Kurven, die zu zwei konjugierten Durchmessern in der Diametralebene parallel sind, für beide Kurven konjugiert sind, woraus sich die Ähnlichkeit ergibt. Unmittelbar fließt hieraus der weitere Satz: Auf jeder Geraden liegen zwei g l e i c h e Strecken, die einers e i t s von dem H y p e r b o l o i d , a n d e r e r s e i t s von s e i n e m A s y m p t o t e n k e g e l b e g r e n z t werden. D i e A c h s e n des Hyperboloides sind zugleich die Achsen seines Asymptotenkegels. 1 5 9 . Die Einteilung der Flächen 2. Grades in Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide basiert auf ihrem Verhalten gegen die unendlich ferne Ebene. Einen zweiten Einteilungsgrund bildet ihr Verhalten gegen die Tangentialebenen; denn sie hat nach 141 mit jeder Tangentialebene entweder zwei reelle Gerade oder nur einen reellen Punkt (zwei konjugiert imaginäre Gerade) gemein. L i e g t a u f e i n e r F l ä c h e 2. G r a d e s e i n e r e e l l e G e r a d e , so g e h e n durch jeden ihrer P u n k t e zwei Gerade oder Erzeugende; sie bilden zwei Scharen, deren Geraden sich g e g e n s e i t i g s c h n e i d e n , w ä h r e n d die G e r a d e n der n ä m l i c h e n S c h a r zue i n a n d e r w i n d s c h i e f sind. S o l c h e F l ä c h e n nennt man R e g e l f l ä c h e n ; die E r z e u g e n d e n einer j e d e n Schar k ö n n e n als Schnittlinien entsprechender Ebenen zweier projektiver E b e n e n b ü s c h e l e r h a l t e n w e r d e n . In der Tat ist gx eine Gerade unserer Fläche, so schneiden die Ebenen durch gx die Fläche je in einer weiteren Geraden, etwa hv h2, hv . . .; alle diese Ge8*

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Die Flächen zweiten Grades.

raden treffen gv Die Ebenen durch Ax schneiden unsere Fläche auch in je einer weiteren Geraden, etwa gv g2, g3, git . . ., die alle die Gerade hx treffen. Aber jede dieser Geraden g schneidet jede der Geraden h, so schneiden sich g. und hk; denn g.h1 und hkg1 sind zwei ebene Schnittkurven der Fläche, beide müssen sich in zwei Punkten schneiden, das sind offenbar die Punkte gx x ht und g. X hk, da gl, gi und ebenso hv hk sich nicht treffen. Legt man nun sowohl durch gx wie durch g2 Ebenen, die der Reihe nach die Erzeugenden Ax, h2> h3, ht . . . enthalten, und läßt je zwei Ebenen durch die nämliche Gerade h. sich entsprechen, so sind die beiden Ebenenbüschel projektiv, denn sie schneiden die Gerade g3 in der nämlichen Punktreihe. Da diese Ebenenbüschel projektiv sind, schneiden sie alle Geraden g in -projektiven Punktreihen, d. h. die E r z e u g e n d e n j e d e r Schar t r e f f e n die der anderen Schar in projektiven Punktreihen. Der Berührungspunkt einer Ebene durch g mit dem Hyperboloid ist der Schnittpunkt von g mit der in ihr liegenden Erzeugenden der anderen Schar. Deshalb gilt der Satz: D i e E b e n e n durch eine E r z e u g e n d e eines H y p e r b o l o i d e s berühren dasselbe in P u n k t e n dieser E r z e u g e n d e n , d a b e i ist der B ü s c h e l der E b e n e n zu der R e i h e der B e r ü h r u n g s p u n k t e p r o j e k t i v . 160. E i n e R e g e l f l ä c h e 2. G r a d e s ist durch drei E r z e u g e n d e glgig3 e i n e r Schar v ö l l i g bestimmt. Denn legt man durch gx und g2 Ebenenbüschel und läßt man je zwei Ebenen dieser Büschel durch den nämlichen Punkt von g3 sich entsprechen, so schneiden sie sich in Erzeugenden der Regelfläche. Jede dieser Geraden trifft ja gx, g2 und g3, hat also mit der Fläche drei Punkte gemein und liegt ganz auf ihr. Jede Ebene schneidet die projektiven Ebenenbüschel durch gx und g2 in projektiven Strahlbüscheln, deren entsprechende Strahlen sich in Fig. 89. den Punkten eines Kegelschnittes treffen; dieser ist die Schnittkurve der Ebene mit der Regelfläche, D i e gemeinsamen Sekanten d r e i e r b e l i e b i g e r G e r a d e n b i l d e n eine Schar von E r z e u g e n d e n einer R e g e l f l ä c h e 2. Grades. Die Regelflächen verlaufen ins Unendliche, gehören also zu den

Die Flächen

zweiten

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Grades.

Paraboloiden und Hyperboloiden. Um nun zu unterscheiden, welcher von beiden Flächengattungen eine Regelfläche angehört, bedenken wir, daß die Durchmesser eines Hyperboloides sich in seinem Mittelpunkte schneiden, und daß die Durchmesser eines Paraboloides zueinander parallel laufen. Sind gv gv g3 drei Erzeugende, die nicht der nämlichen Ebene parallel laufen, so gibt es zu jeder von ihnen eine parallele Erzeugende der anderen Schar, A J I ^ , h2\\g2, As||^3. Die Erzeugenden h schneiden j a die g in projektiven Punktreihen, h1 verbindet also diejenigen Punkte von g2 und g3, die hierbei dem unendlich fernen Punkte von g1 entsprechen; analog finden sich h2 und h3. In Fig. 89 sind die ersten Projektionen dieser Geraden dargestellt, Gv G2, Gs, H v H 2 , Hs seien ihre ersten Spurpunkte und G\ G 2, G 3, H\ H 2 , H 3 ihre Spurpunkte in einer Parallelebene. Macht man G 1 J - i ^ . G i G i , so ist GXJ die erste Spur einer Ebene durch gv die parallel zu g2 liegt, ebenso ist G 3K(G SK ^ G 2G2) die erste Spur einer Ebene durch g3, die parallel zu g2 liegt. GXJ X