Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 3 Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, Abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung [4. Aufl. Reprint 2020] 9783112373484, 9783112373477

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LEHRBUCH DER

DARSTELLENDEN GEOMETRIE VON

DR. KARL RÖHN

UND DR. ERWIN PAPPERITZ

L. O. PROFESSOR D E R M A T H E M A T I K A N DER U N I V E R S I T Ä T LEIPZIG

I N

O. PROFESSOR DER M A T H E M A T I K A N D E R B E R G A K A D E M I E FRKIHKRG

D R E I

B Ä N D E N

DRITTER

BAND

KEGELSCHNITTE, FLÄCHEN ZWEITEN GLIADES, REGEL-, ABWICKELBARE UND ANDERE FLÄCHEN, FLÄCHENKRÜMMUNG

MIT 157 FIGUREN IM TEXT

VIERTE

AUFLAGE

B E E L I N UND L E I P Z I G 1923

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. VORMALS G. J. GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG - J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG — GEORG KEIMER — KARL J. TRÜBNER - VEIT & COMP.

Inhalt Erstes Kapitel,

Die Kegelschnitte.

Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Punk treiben und SrralilbUseliel. 2.

1. 3.

4 — 6. 7. 8. 0.

10. tl.

12. 18 — l und aeiue Spezialfälle. Konstruktion des Kegelschnittes aus fünf Punkten, oder ans vier Punkten' und der Tangente in einem von*.ihm 11, oder aus drei Punkten und den Tangenten in zweien von ihnen , Dureh fünf Tangenten u>f ein Kegelschnitt bestimmt . . . . Das B r i a n e h u n ' a o h e Sorhsnoit und seine Spezialfälle. Kon struktior, des Re^eisehnitles aus fünf Tangenten, oder aus vier Tangenten um! dem Berührungspunkt von einer unter ihnen, Oder aus drei Tangenten und den Berührungspunkten von aweieu unlcr ihnen Verwandlung des Kegelschnittes durch Perspektive in einen Kreis; zwei Methoden Verwandlung der Ellipse durch Affinität in einen Kreis . . .

t 3 5 6 7 ö 10

10 13

13 16 18

Pol und Polare eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser und Achsen. 25. 26. Pol und Polare, ihre Eigenschaften; Polardreieck 27 — 31. Harmonische Pole und harmonische-Polaren. Beschreiht der Pol eine Punktreihe, so besehreibt seine Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel . . . . . 82— H4. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der harmonische)! Polaren duveh eiuen Punkt 35 — 37. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes 3 8 — l t. Konjugierte Durchmesser und Achsen 42. Um und eingeschlichene Parallelogrammebot eiuem Kegelschnitt

1U 20 2U 23 '11 2ö

Inhalt.

IV

Seito

Einige Konstruktioii8aufgaben bei Kegelschnitten. Metrische Eigenschaften. 43 — 46, Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden und zwei projektive Striihlbüsehel mit demselben Scheitel. Konstruktion der Doppelelemente, Gegeupnnkte und ß echtwinkelst fahlen . 47. Punklreihen auf und Tangentenbiischel an einem Kegelschnitt . 48. 49. Die Puuktinvolution auf einem Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt. Die Strahleninvolution an einem Kegelschnitt; ihre Achse. . 50. Konstruktion der Doppel- und Reehtwinkelstralilen einer Strahleninvolution, sowie der Doppelpunkte und des Mittelpunktes einer Punktinvolntion 51 —59. Lösnng von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf Punkte AtiCDE oder fünf Tangenten abede gegeben sind. Schnittpunkte eines Kegelschnittes Li BODE mit einer Geraden und Tangenten an einen Kegelschnitt abede aus einem Puukte. Polare eines Punktes in bezug auf den Kegelschnitt ABC DE und Pol einer Geraden in beziig auf den Kegelschnitt abede. Konjugal Durchmesser, Achsen nnd Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte. Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt A B CDU und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt abede 60. Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte oder zweier Tangenten des Kegelschnittes 61. 62. Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes 63 — 66. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden

29 32 33 33

35 40 -10 42

Gesetz der Dualität. Reziprokttlligurcn in bezug auf «inen Kegelschnitt. Aufgaben.zweiten Grades. Imaginäre Losungen. 67 — 70. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren . . . . 71. 72. Reziprozität in bezug auf einen Kegelschnitt 73—76. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgaben zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imagiuiire Elemente . . 77. 78. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Puuktepaaren in harmonischer Lage. Gemeinsames lilementepaar zweier Involutionen auf demselben Träger 79. 80. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahlenhl volutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen 81 — 88. Konstruktion von Kegelschnitten au» teilweise imaginären Elementen . 84. 85. Involution rechter Winkel, imaginäre Kreispunkte der Ebene. Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen

86.

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes. Brennpunkte und Leitlinien der S e h n i t t k n r v e n eines Rotationskegels; erstere als Berührungspunkte zweier den Kegel be-

45 47 48 50 58 53 56

Inhalt. Seite

87. 88. 89.

90.

91 —03. 94. 95 — 98.

99.

100 — 1 0 2 .

r ü h r e n d e r K u g e l n . K o n s t a n t e s A b s t a n d s v e r h ä l l n i s d e r K u r v e np u n k t e von B r e n n p u n k t n n d L&itlinie . . D i e B r e n n p u n k t e als S c h e i t c ! r e e A i t w i n k l i e e r P o l a r e n i n v o l u l i o n e « T a n g e n t e u n d N o r m a l e i n e i n e m K u r v e n p u n k t h a l b i e r e n die Winkel der Brennstrahlen Porspcktivitat. dos K e g e l s c h n i t t e s mit e i n e m K r e i s « um einen d e r B r e n n p u n k t e . E i g e n s c h a f t e n , d i e sich d a r a u s e r g e b e n . O r t d e r F u f i p m i k t e a l l e r Von den B r e n n p u n k t e n a u f d i e T a n g e n t e n g e f ä l l t e n L o t e . TangenvenkoristAuktionen . . B r e n n s t r a h l e n und T a n g e n t e n a u s einem b e l i e b i g e n P u n k t d e r E b e n « schließen m i t e i n a n d e r g l e i c h e W i n k e l ein . . . . D i e h a r m o n i s c h e n r e c h t w i n k l i g e n P o l a r e n s c h n e i d e n auf den A c h s e n einen K e g e l s c h n i t t e » I n v o l u t i o n e n aus, d e r e n D o p p e l p u n k t e die B r e n n p u n k t e sind. Haupt- oder Brenupunktsachso. K o n s t r u k t i o n d e r reellen B r e n n p u n k t e . Die Verh ä l t n i s s e bei d e r P a r a b e l . Rrennstrnlilen und Tangenten a u s e i n e m b e l i e b i g e n P u n k t d e r Ebene, schließen m i t e i n a n d e r g l e i c h e W i n k e l ein O r t d e r S c h n i t t p u n k t e einer b e w e g l i c h e n T a n g e n t e m i t zwei f e s t e n T a n g e n t e n bei d e r P a r a b e l u n d mit d e n A s y m p t o t e n bei der Hyperbel K o n f o k a l e K e g e l s c h n i t t e . K u r v e n g l e i c h e r A r t s e h n e i d e n sich nicht, K u r v e n v e r s c h i e d e n e r A r t a b e r u n t e r r e c h t e n W i n k e l n KrUinninnpskreise der

108 — 1 0 5 .

106.

107. 108. 109.

110. 111. 113.

57 59 60 60 63 64

64

t!7 67

Kegelschnitte.

Osknlations- oder Kriimwnngskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskul i e r e n d e n K r e i s e . K o n s t r u k t i o n d e s K r i u n m n n g s k r e i s p s bei e i n e m d u r c h fiinf P u n k t e b e s t i m m t e n K e g e l s c h n i t t . . . . D i e Krürrimmi^i,kreist: in d e n S c h e i t e l p u n k t e n bei d e r E l l i p s e und Hyperbel K o n s t r u k t i o n d e s K r ü m m i m g s m i t i e l p u n k t e s auf d e r N o r m a l e n eines Punktes, wenn ihre Achsen der L a g e nach b e k a n n t sind K o n s t r u k t i o n des K r ü m m n n g s m i t t e l p u n k t c s a«f d e r N o r m a l e n e i n e s P u n k t e n , w e n n zwei k o n j u g i e r t e D u r c h m e s s e r d e r L a g e n a c h bekannt, sind K o n s t r u k t i o n der Kriimmungsimttelpnnkte f ü r die E n d p u n k t e k a n j n g i e r t e r D n r e h m e s s e r bei d e r E l l i p s e n n d H y p e r b e l . . B e s t i m m u n g des K r ü i n m u n g i m i t t e l p u n k t e s d u r c h G r e n z ü b e r g a n g Die Krümmungskrcise bei der Parabel ,

C.9 72 73

14 76 76 7 7

Gemeinsame Element« zweier Kegelschnitte. Büschel and Schuren von Kegelschnitten. Perspektive l ä g e zweier beliebiger Kegelschnitte. 113. J14.

118.

115. 117.

Kegelschnitte mit vier gemeinsamen P u n k t e n u n d solche mit vier gemeinsamen Tangente« Bei zwei K e g e l s c h n i t t e n ist d i e Z a h l d e r g e m e i n s a m e n P u n k t e oder T a n g e n t e n stets gerade Polvierseit u n d Polviereck . . . Zwei K e g e l s c h n i t t e besitzen auf je,der G e r a d e n zwei g e m e i n s a m e h a r m o n i s c h e P o l e u n d in j e d e m P n r i k t zwei g e m e i n same harmonische Polaren .

78 79 80

81

Inhalt.

VI

Seife

HB.

119.

Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. Mindestens eine Ecke and eine »Seite davon sind reell . . . 120 — 122. Jede Ecke dos Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahlenin volution, deren Doppels tvahlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Funkte tragen. Ajuf jeder Seile liegt eine PunktiuvolutioU: in ihren Doppelpunkten schneiden sieh die geraeinsamen Tangenten . . 128. 124. Eealitätsverhiiltnisse . . . . " •125 —180.. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen . 131 —133. Der KegelselmittbUsehcl. Beine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktiiivolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelsehnittschar. Die Tangeutenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkte eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen traf einer zweiten 184. 135. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. ssWei Gerade berühren und die dualen Aufgaben 186. Die perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte . . .

Zweites Kapitel.

81

82 88 85

90 92 94

Die Flächen 2. Grades.

P o l e und P o l a r ebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen. 137.

Definition. Jede Ebene schneidet die Flüche in einem Kegelschnitt , 138. 13!). Konjugierte oder harmonische Pole. Pol und Polarebene . 140. 141. Konjugierte oder harmonische Polaren 142. Je zwei ebene Schnitte liegen zweifach nerspektiv . . . . 143. Konjugierte oder harmonische Polarebeuen . . . . . . . 144. Je zwei Ttuigbutenkegel liegen üweifaeh perspektiv . . . . 145.- Das Polartetraeder . . 146. 147. Durchmesser uud konjugierte Diametralebonen: drei konjugierte Durchmesser 148. Flächen m i t und Flüchen o h n e Mittelpunkt . . . . . . 149. Parallelscbmite . , • . . '. 150. 151.. Die drei rechtwinkligen Achsen 152. Achsen einer Kegelfläehe. deren Gnmdkurve< ein beliebiger Kegelschnitt ist 153—155. Dualität; reziproke Kavunverwaudtschaft; involutorische Kollineation: das' gcschart-involntorisehc System

!>7 97 100 102 103 103 104 105 107. 108' 108 10!) 110

Einteilung der Fliiclien 2. Grades; I h r e Beziehung zu den Botationsflftche»; Kreisschnitte. 156 —158. 158. 160. 161. 162. 163.

Ellipsoid, Pai'abokiide; das- Hyperboloid uud sein Asymptotonkcgel . . . D i e Uegelflächen Das Hyperboloid, von dem drei Erzeugende gegeben sind . , Das hyperbolische Paraboloid Die Unterscheidung der Flächen nach ihren HaUptschnitten AffinitSt zwischen den allgemeinen Flächen 2. ßradea und den Rotationsflächen . . . . . . . . . . . . . . .

IIS 115 116 118 119 120

Inhalt.

vn Seile

164. 165. Die beiden Systeme von Parallelkreisen auf. einer Fläche 2. Grade« *. . . 166 — 16«. Di« Konstruktion der Kveiaschnitto

12t 122

Die Konstanten der Flüchen 2. Grades. Die Flüchen durch nenn, acht und sieben Punkte. 16». Die Zahl der Konstanten ist = 126 170. I I I . Existenzbeveis der Flüche 2. Grades durch drei Kegelschnitte, die sich paarweise in je zwei Punkten. schneiden . . . . 126 172. 178. Konatraktion der Fläche 2. Grades, durch nenn beliebige Punkte * 130 174. 175. Der Büschel von Flüchen 1 Grades durch 8 Punkte; ihre G-rundkurve 4. Ordnung 176. Zerfallend'? Sehnittkur'vo zweier Flächen 2. Grades . . . . 134 177— m . Die Kaumkurve 3. Ordnung als teil weiser Schnitt zweier Hyperboloide ' 135 180. Dia Schmiegnngsolieneu der Bsuimkurve 8. "Ordmmg . . . 137 181—183. Konstruktion der Baamkarve S. Ordnung als-Schnitt zweier Kcgfel mit gemeinsamer Mariteltiiiie; ihr scheinbarer Doppelpunkt . . ' 13« 184. 185, Der Büschel von Flächen •>. Grade« enthält vier Kegeliläehen; ihre Scheitel bilden ein gemeinsames Polivrtetraeder aller Flächen 142 186—191. Die verschiedenen Arten der Fliichenbüachel und ihrer Grundkurven 4. Ordnung; es gibt vier verschiedene FÜtelienbüschel 143 192. Die Doppclsekanteii. der Äauinkuiw«. 4. Ordnung . . . . . 11!) 193. Konstruktion.der Raumkurve 4. Ordnung durch acht gegebene, Punkte 150 194. Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich •noch in einem weiteren festen .Punkte; seine Konstruktion 1.51 195. Konstruktion des achten Schnittpunktes von drei Flächen 2. Grades , 152 136. I.Ö7, 198» 199. 200. 201.

Die sphärische« Kegelschnitte. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte Brennpunkte und ihre Eigenschaften Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte

154 155 157 159

Koustruktlonsanfgnbcii bei den Flächen 2. Gl 202. Den Umriß zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier ebener Schnitte der Fläelie bekannt ist 101 2ÖS. Drei konjugierte Durehmesser j;u zeichnen 16» 204—20?. Konstruktion der Achs.cn eines Kogels, von den» der Scheitel \iiid die Grmidkiirve bekannt aiiid. Die Spurpunkie der Achsen be.-itttiimcn »ich als Schnittpunkte eines Kreise* und einer gleichseitigen Hyperbel 164 2(18. Konstruktion der Achsen einer Fläche 2. Grades . . . . 169 209. Den UmriU eines Ellipsoidea zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugierter Durchmesser von ihm gegeben ist 170 210—212. Ähnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte mit reellem und m i t i m a g i n ä r e m S( recken Verhältnis

.

.

.

.

.

.

.

.

.

172

Inhalt.

vm

Seite 213.

21'4. 215.

216. 217. -18. 21.0. 220—224. 225. 226. 227. 228. 229.

Den Umriß eineB ein- oder zweischaligeu Hyperboloides zu zeichne», wenn eine Projektion dreier konjugierter DurchMesser von ihm gegeben ist. Bestimmung einer K u g e l , v e n u von ihr die schiefe Parallolprojektion dreier zueinander senkrechter Radien bekannt ist D i e Eigenscliatteugrenze eines EUipsoides zu linden, wenn man ¡¡einen Unn-iß und den Schatten eines Punktes auf die Uinrißebene kennt T a n g e n tenkegel und Berührimgskurve beim zweischaligeu Hyperboloid Die Tangentialebene in einem P u n k t e des EUipsoides . . . Die beiden Tangentialebenen an ein einsehaliges Hyperboloid durch eine feste Gerade Durch drei Puukte einer F l ä c h e 2. Grades einen auf ihr liegendeu Kegelschnitt zu konstruieren Einen Kegelschnitt durch drei Punkte zu lege«, der einen anderen zweimal beröhrt. Verschiedene F ä l l e Eigen- und Schlagschatten eities z w e i s e i t i g e n Hyperboloides zu zeichnen Dia gemeinsamen Sekanten von vier viudsebiefen Geraden . dtriktionsliiiien der liegeltliichen 2. Grades Dia Striktionsliuieii des Paraboloides Die Striktiou&lmieii des Hyperboloide»

Drittes Kapitel.

175 III

180 182 184 185 186 187 194 196 109 199 201

Verschiedene Flächen.

A b w i c k e l b a r e Flileheu. 230.

231. 282. 23H. 234. 235. 236. 231. 238.

Entstehung der abwickelbaren Flüchen D i e Schar von Fliieheu 2. Grades und die sie umhüllende abwickelbare Flüche 4. KIuh-'i! Die vern'hirili'iien Arten der abwickelbaren Flache 4. Klasü" 1,'ie abwickelbare Mnehe :t. Klasne I )ie Kcleuehluiig eim-i Oberlliiche durch eine leucbti udo Fläche D i « lleleuehtung einer K u g e l durch eine leuchtende kreisförmige ¡Scheibe • Flachen von gleichfürtniger Neigung 1 »iu Fläche von glc'Yht'ötmiger Moigung »Ihm der Ellipse . .

202 Ü04 20t> 207 20b 2(ib 212 213

Heselflüche«. 23».

240. 241. 242. 2iü.

244—246. 217. 248. SM.

ErKwifiim^;. Dj»s li'wgs einer Kr/uiigenden oslculirrend' Hyperboloid und din HmipHangeutei. l!iinilivuugspimkt £ = b X b v C=c X cv D = d X d v T=t X f, S = s x sv T—tx f j an. Auf jedem Strahl durch 8 liegen zwei Punkte des Kegelschnittes, nämlich der Punkt iS und der Schnittpunkt dieses Strahles mit dem entsprechenden des zweiten Büschels. Für den Strahl s fallen beide Punkte zusammen, so daß s zwei zusammenfallende Punkte mit dem Kegelschnitt gemein hat, also ihn in S berührt. Der durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugte K e g e l Fig. 3. s c h n i t t g e h t durch ihre S c h e i t e l . D e r V e r b i n d u n g s l i n i e der S c h e i t e l (t o d e r « J in dem einen B ü s c h e l e n t s p r i c h t die T a n g e n t e (£, bez. s) des K e g e l s c h n i t t e s im anderen. D a s . V e r h a l t e n des K e g e l s c h n i t t e s in den S c h e i t e l n der B ü s c h e l i s t d a b e i (vergl. 7) ganz das g l e i c h e wie in seinen ü b r i g e n P u n k t e n .

Fig. 4.

(i. Sind A und Av B und Bv C und C1 . . . entsprechende Punkte zweier projektiver Punktreihen auf den Geraden (Trägern) *

Die Kegelschnitte.

5

und tv so wird dem Schnittpunkt s x i , der beiden Träger, betrachtet als Punkt T der ersten Reihe, ein Punkt 1\ der zweiten und, betrachtet als Punkt S1 der zweiten Reihe, ein Punkt S der ersten entsprechen (Fig. 4). Dann sind die Geraden AAl, BBX, CC\, J)Bl, SS1 = s, TTX = tl Tangenten eines Kegelschnittes. Durch jeden Punkt -von * gehen zwei Tangenten desselben, nämlich die Gerade s und die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem entsprechenden der zweiten Reihe. Für den Punkt S fallen beide Tangenten zusammen, so daß S zum Berührungspunkt des Kegelschnittes mit der Tangente s wird. Der d u r c h zwei p r o j e k t i v e P u n k t r e i h e n e r z e u g t e Kegelschnitt berührt ihre Träger. Dem S c h n i t t p u n k t der T r ä g e r (T oder SJ in der einen R e i h e e n t s p r i c h t der B e r ü h r u n g s p u n k t (7^ bez. S) des K e g e l s c h n i t t s in der anderen. 7. Wird ein Kegelschnitt durch zwei projektive Strahlbüschel mit den Scheiteln S und T erzeugt, so k a n n man ihn auch d u r c h zwei p r o j e k t i v e S t r a h l b ü s c h e l e r z e u g e n , d e r e n S c h e i t e l i r g e n d w i e auf ihm ge^¿r w ä h l t werden. Sind Q, P, /• \ J 0 ,, P2, . . . irgendwelche £ \ / •'J Punkte des Kegelschnittes ' ^ ' ',' \ (Fig. 5), dann sind die Strahlbüschel S(STQPP1P2 . . .) und T{S?QPPXP3 . . . ) projektiv. Dabei bedeuten die vor der Klammer stehenden Buchstaben ;S* und T die Scheitel der Büschel und die in der Klammer stehenden Buchstaben die einzelnen Punkte, durch die ihre y Strahlen gehen. Insbesondere bedeutet SS den in S tan' P i g 5_ gierenden Strahl des ersten und TT den in T tangierenden Strahl des zweiten Büschels. Sind aber die vier Strahlen S(STQF) projektiv zu den vier Strahlen T(STQP), so sind sie nach 190 Bd. I auch projektiv zu den vier Strahlen T(TSPQ). Die erst- und letztgenannten Strahlen liegen sogar perspektiv, da sie den Strahl ST entsprechend gemein haben. Folglich liegen SS x TT = U, SQ x TP = L und SP x TQ = M in gerader Linie. Läßt man S, T, Q ungeändert, verändert aber die

c

Die Kegelschnitte.

Lage von P in Pv so liegen U, SQ X TPl und SPl x TQ = Mx in gerader Linie, u. s. f. Die vier Geraden SP, SQ, TP, TQ bilden die Seiten eines Vierscits, dessen Diagonalen LM, PQ und ST sind; deshalb werden S und T durch jV und J = ST x IM harmonisch geteilt. In gleicher Weise teilen und/j = STx XjM x die Strecke ST harmonisch, u. s.f. Nun ist der Büschel S (P, PJ,Pi...) prospektiv zur Reihe (M, Mv M.v...); diese Reihe ist von V aus perspcktiv zur Reihe ( / , / , , / 3 . . . ) und die letztere endlich nach 223 Bd. I involutorisch zur Reihe (N, X v N3, . . .), dabei sind S und T die Doppelpunkte der Involution; die beiden letztgenannten Reihen sind demnach ebenfalls projektiv, nur ist das Entsprechen ihrer Punkte ein vertauschbaree. Somit sind auch die Büschel. S (P, P,, . . .) uod Q (ä*, Nlt Nv . ..) oder Q (P, Pv Pv ...) projektiv; unser Kegelschuitt kann also auch durch diese beiden projektiven Büschel erzeugt werden. In der gleichen Weise können wir folgern, daß der Kegelschnitt sich auch durch zwei projektive Büschel mit den Scheiteln P und Q erzeugen läßt. 8. Wird ein Kegelschnitt durch zwei projektive Punktreihen mit den Trägern s und t erzeugt, so kann man ihn auch durch

ü ^

Fig. 6.

zwei projektive Punktreihen erzeugen, deren Träger zwei beliebige Tangenten an ihn sind. Sind q, p, pv p2,. . . irgendwelche Tangenten des Kegelschnittes (Mg. 6), dann sind die Punktreihen s(stqpplpt . .) und t{stqpplpi . .) projektiv. Die vor den

Die K&ielsehnitle. Klammern stehenden Buchstaben hedeuten die Träger « und t der Reihen und die in den Klammern stehenden 'Buchstaben die Tangenten, welche die einzelnen Punkte der Reihe ausschneiden. Insbesondere bedeuten * X « und t x t die Berührungspunkte S und T der Träger. Sind aber die Tier Punkte s(stqp) projektiv zu den vier Punkten t{stqp), so sind sie nach 190 Bd.I auch projektiv zu den vier Punkten t tapq). Die erst- und letztgenannten Punkte liegen ¡sogar perspektiv, da sie den Punkt s x t = U entsprechend gemein haben; folglich schneiden sich die Verbindungslinien von x x q mit t X J> und von s x p mit t X q in einem Punkte (f der Geraden ST. Läßt inan .