Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 1 Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations und Schraubenflächen [4., erw. Aufl. Reprint 2020] 9783112381243, 9783112381236

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LEHRBÜCH DER

DARSTELLENDEN GEOMETRIE VON

DR. KARL RÖHN

UND DR. ERWIN PAPPERITZ

O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT L E I P Z I G

0 . PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER BERGAKADEMIE FREIBERG

IN D R E I

BÄNDEN

ERSTER

BAND

ORTHOGONALPROJEKTION. VIELFLACHE, PERSPEKTIVITÄT EBENER FIGUREN, KURVEN, ZYLINDER, KUGEL, KEGEL, ROTATIONSUND SCHR AUBENFL Ä.CHEN. MIT 351 FIGUREN IM TEXT.

VIERTE, ERWEITERTE AUFLAGE

LEIPZIG Y E R L A G VON V E I T & COMP. 1913

D r u c k von Metzger & W i t t i g in Leipzig.

Vorwort zur ersten Auflage. F ü r die Studierenden der exakten Wissenschaften liegt die Notwendigkeit vor, sich eine geläufige Raumanschauung zu erwerben. Ohne diese ist ein tieferes Eindringen in die einzelnen Naturwissenschaften und technischen Fächer unmöglich. Die praktische Erfahrung hat aber gelehrt, daß genaue Raumvorstellungen schwer zu erlernen sind. Das einzige Mittel hierzu bietet die bildliche Wiedergabe räumlicher Objekte nach mathematischer Methode, also die darstellende Geometrie. Durch sie und nur allmählich unter Behandlung zahlreicher Beispiele wird der Studierende dahin gebracht, sich in den Fragen, welche die räumlichen Formen betreffen, mit Sicherheit zurecht zu finden. Die darstellende Geometrie hat die Methoden zur Abbildung aller der geometrischen Gebilde zu entwickeln, die als Formelemente an den praktisch vorkommenden komplizierteren Objekten wiederkehren. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes ist aber vor allem als Ziel die Entwickelung der Raumanschauung ins Auge zu fassen. Von diesem Gesichtspunkt aus erscheint es zweckmäßig, auch bei den ebenen Figuren zur Erklärung ihrer Eigenschaften und ihrer Abhängigkeit voneinander die sich im Räume vollziehende Projektion zu benutzen und die letztere überhaupt, wo es nur angeht, in den Vordergrund zu stellen. Dies gilt beispielsweise von der Erklärung der Kollinearverwandtschaften ebener Figuren und von der Theorie der Kegelschnitte; bei den letzteren ist die Entstehung aus der Zentralprojektion des Kreises als Ausgangspunkt geeigneter, als die Erzeugungsweise durch projektive Büschel und Reihen, die der mehr formalen Methode der Geometrie der Lage entspricht. Das vorliegende Buch soll nach der Meinung der Verfasser vornehmlich dem Zwecke dienen, durch die Lösung der Darstellungsprobleme dem Leser die klare Erfassung geometrischer Fragen und die Bildung präziser Raumvorstellungen zu vermitteln. Es setzt

iv

Vorwort.

nur die einfachsten geometrischen Kenntnisse voraus, schreitet systematisch vom Leichten zum Schwereren fort und bezieht viele solche stereometrische Aufgaben in den Lehrbereich ein, die zur Erreichung des oben bezeichneten Zieles geeignet erscheinen. Hierdurch dürfte es besonders den Bedürfnissen des Studierenden Rechnung tragen. Dem mit dem Stoff vertrauten Leser wird neben dem Bekannten gewiß manches Neue, manche Vereinfachung von Konstruktionen und Beweisen entgegentreten. Der Wunsch, die Ergebnisse der darstellenden Geometrie durchweg auf die Projektionsmethoden begründet zu sehen, mag das Erscheinen dieses Buches rechtfertigen. Möge es sich im dargelegten Sinne als nutzbringend erweisen! Im August 1893. Karl Röhn.

Erwin Papperitz.

Vorwort zur dritten und vierten Auflage. Bevor wir eine Neubearbeitung des seit längerer Zeit vergriffenen zweiten Bandes vornehmen konnten, hatte sich die Veranstaltung einer dritten Auflage des ersten Bandes unseres Lehrbuches notwendig gemacht. Wir haben uns bei diesem Anlaß entschlossen, den ganzen Stoff neu anzuordnen und ihn statt auf zwei auf drei Bände zu verteilen. Maßgebend für die neue Einteilung war die gebotene Rücksicht^ nähme auf die Bedürfnisse der Studierenden. Unser oberstes Ziel war und ist die methodische Schulung der geometrischen Vorstellungskraft, deren kein Studierender exakter Wissenschaften entraten kann. Und als das einzig und allein geeignete Mittel zur Erreichung dieses Zieles betrachten wir das intensive Studium der darstellenden Geometrie. Man muß indessen klar und scharf unterscheiden zwischen den Bedürfnissen, welche die Studierenden der technischen Wissenschaften und die der Mathematik haben. Die Studierenden der technischen Hochschulen, die künftigen Ingenieure, brauchen die

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Vorwort.

nur die einfachsten geometrischen Kenntnisse voraus, schreitet systematisch vom Leichten zum Schwereren fort und bezieht viele solche stereometrische Aufgaben in den Lehrbereich ein, die zur Erreichung des oben bezeichneten Zieles geeignet erscheinen. Hierdurch dürfte es besonders den Bedürfnissen des Studierenden Rechnung tragen. Dem mit dem Stoff vertrauten Leser wird neben dem Bekannten gewiß manches Neue, manche Vereinfachung von Konstruktionen und Beweisen entgegentreten. Der Wunsch, die Ergebnisse der darstellenden Geometrie durchweg auf die Projektionsmethoden begründet zu sehen, mag das Erscheinen dieses Buches rechtfertigen. Möge es sich im dargelegten Sinne als nutzbringend erweisen! Im August 1893. Karl Röhn.

Erwin Papperitz.

Vorwort zur dritten und vierten Auflage. Bevor wir eine Neubearbeitung des seit längerer Zeit vergriffenen zweiten Bandes vornehmen konnten, hatte sich die Veranstaltung einer dritten Auflage des ersten Bandes unseres Lehrbuches notwendig gemacht. Wir haben uns bei diesem Anlaß entschlossen, den ganzen Stoff neu anzuordnen und ihn statt auf zwei auf drei Bände zu verteilen. Maßgebend für die neue Einteilung war die gebotene Rücksicht^ nähme auf die Bedürfnisse der Studierenden. Unser oberstes Ziel war und ist die methodische Schulung der geometrischen Vorstellungskraft, deren kein Studierender exakter Wissenschaften entraten kann. Und als das einzig und allein geeignete Mittel zur Erreichung dieses Zieles betrachten wir das intensive Studium der darstellenden Geometrie. Man muß indessen klar und scharf unterscheiden zwischen den Bedürfnissen, welche die Studierenden der technischen Wissenschaften und die der Mathematik haben. Die Studierenden der technischen Hochschulen, die künftigen Ingenieure, brauchen die

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Theorie in geringerem Umfang, dafür aber um so mehr Einübung der graphischen Methoden, denn die exakte Zeichnung ist die „Sprache der Ingenieure". Sie sollen das Greifbare in der Geometrie beherrschen und verwerten lernen. Anders bei den Studierenden der reinen Mathematik; für diese bildet die beschreibende Geometrie gewissermaßen nur ein Durchgangsstadium, das sie von der grobsinnlichen Auffassung der Eaumformen zu einer verfeinerten begrifflichen Erkenntnis ihrer Gesetze hinführt. Auch sie sollen die Anwendbarkeit ihrer Wissenschaft kennen und nicht vernachlässigen; sie sollen aber andererseits in theoretischer Beziehung weiter vorwärts schreiten und selbst komplizierte räumliche Gebilde erforschen lernen, wenn auch die hier zu gewinnenden Kenntnisse nicht immer eine unmittelbare Anwendung auf andere Wissenszweige zulassen; denn die darstellende Geometrie bezweckt für den Mathematiker in erster Linie die Schulung der Raumvorstellung. Im übrigen war unser Bestreben darauf gerichtet, die Darlegung der Methoden, die Konstruktionen und die Beweise so einfach wie möglich zu gestalten. Die Anwendungsbeispiele, die Literaturnachweise und historischen Anmerkungen sind vermehrt worden. Der e r s t e B a n d behandelt vorbereitend die notwendigen G r u n d l a g e n der d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e , d. h. die K o l l i n e a r v e r w a n d t s c h a f t e n der e b e n e n F i g u r e n (Ähnlichkeit, Affinität und Perspektivität), sowie unter tunlichster Beschränkung auf das Notwendige die konstruktive Theorie der K e g e l s c h n i t t e und die Hauptsätze über die e b e n e n K u r v e n , R a u m k u r v e n und F l ä c h e n . Im wesentlichen aber ist dieser Teil der M e t h o d e der o r t h o g o n a l e n P r o j e k t i o n , also dem Grund- und Aufrißverfahreji, und seiner An w e n d u n g a u f e b e n f l ä c h i g e G e b i l d e , K u g e l , Z y l i n d e r , Kegel, Rotationsflächen, zyklische Kurven,Schraubenlinien und S c h r a u b e n f l ä c h e n gewidmet. Die S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n e n sind allenthalben berücksichtigt. Dieser Band umfaßt sonach diejenigen Teile der darstellenden Geometrie, die nicht nur jeder Mathematiker, sondern auch jeder Ingenieur unbedingt kennen muß. Der zweite B a n d enthält die A x o n o m e t r i e , die f r e i e und a n g e w a n d t e P e r s p e k t i v e , sowie die B e l e u c h t u n g s l e h r e . Wie wichtig die axonometrischen Darstellungsverfahren für Ingenieure sind, denen sie die beste Methode des Skizzierens liefern, und welche Bedeutung die Kenntnis der Perspektive für Architekten und bildende Künstler besitzt, braucht hier nicht besonders hervorgehoben zu werden. Der d r i t t e B a n d ergänzt die beiden ersten durch die Weiterführung der Theorie und ihre Anwendung auf allerlei dem Techniker

VI

Vorwort.

ferner liegende geometrische Fragen, um so die Raumanschauung noch zu vertiefen. Er bringt — immer in konstruktiver, der projektiven Geometrie angepaßter Behandlungsweise — die a l l g e m e i n e T h e o r i e der K u r v e n und F l ä c h e n z w e i t e n G r a d e s , vieler R a u m k u r v e n und F l ä c h e n h ö h e r e r A r t (darunter vorzugsweise der Regelflächen), sowie die Hauptsätze über die K r ü m m u n g der Flächen. Die drei Bände sind in der neuen Bearbeitung gleichzeitig erschienen. Um die Neubearbeitung auch äußerlich als ein einheitliches Ganzes zu kennzeichnen, ist sie durchgängig als d r i t t e A u f l a g e bezeichnet worden, obgleich nur diejenigen Teile, die früher im ersten Bande vereinigt waren, tatsächlich eine dritte Auflage darstellen. Zur v i e r t e n A u f l a g e d e s e r s t e n B a n d e s sei nur bemerkt, daß die s t e r e o g r a p h i s c h e P r o j e k t i o n ausführlicher behandelt wurde und daß in einem A n h a n g Erwägungen über die E i n f a c h h e i t und G e n a u i g k e i t g r a p h i s c h e r K o n s t r u k t i o n e n beigefügt sind, die für einen jeden, der möglichst genaue Zeichnungen auszuführen hat, von Wert sein dürften. Wir hoffen durch die vorgenommene Umarbeitung die Brauchbarkeit unseres Lehrbuches erhöht zu haben. Möge es wiederum freundliche Aufnahme bei den Fachgenossen finden und den Lernenden zum Nutzen dienen! Im August 1912.

Karl Röhn.

Erwin Papperitz.

Inhalt. Helte 1

Einleitung

Erstes Kapitel.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. Ähnlichkeit ebener

1.

Figuren.

2. Zentralprojektion einer Ebene auf eine zweite parallele Ebene. Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage 7 3. Parallelverschiebung der Bildebene. Ähnlichliegende Figuren einer Ebene 8 4. Drei paarweise ähnlichliegende Figuren 9 5. Ähnlichkeitszentra zweier Kreise 10 Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene. 6. Parallelprojektion einer Ebene auf eine zweite. Affinität bei affiner Lage 10 7. Eigenschaften affingelegener Figuren 11 8. Drei paarweise affinliegende Figuren 12 9. Affingelegene Figuren in einer Ebene (Indirekte Definition) . . 13 10. Drehung der einen Figur um die Affinitätsachse 13 Affine und affingelegrene Figuren einer Ebene. 11. 12. 13. 14.

Affingelegene Figuren in einer Ebene (Direkte Definition), Affingelegene rechte Winkel Affingelegene gleiche Winkel Verhältnis affiner Strecken

. .

13 15 15 16

Die Ellipse als affine Kurve zum Kreise und ihre Konstruktion. 15.

16. Ellipse; konjugierte Durchmesser, Achsen 17. Der zu einer Ellipse affine Kreis bei gegebener Affinitätsachse 18. 19. Konstruktion der Ellipse aus konjugierten Durchmessern (Zwei Verfahren) 20. 21. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Tangente und Normale 22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern 23. Mechanische Erzeugung der Ellipse . 24. Konstruktion der Ellipse aus fünf Punkten

17 19 20 21 22 28 25

vni

Inhalt.

Zweites Kapitel. Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in Grund- und Aufriß. Bestimmung der einfachen Beziehungen dieser Grundgebilde zueinander. 25. 26. 27. 28 — 30. 31. 32 — 34. 35. 36. 37. 38.

Seite

Das Grund- und Aufrißverfahren. Orthogonalprojektion 26 Grundriß- und Aufrißverfahren. Zwei-Tafel-System 27 Projektionen und Tafelabstände eines Punktes 28 Projektionen und Spurpunkte einer Geraden 28 Spurlinien einer Ebene 29 Drei-Tafel-System. Seitenriß 30 Besondere Lagen einer Geraden oder Ebene. Hilfsprojektion . 31 Vereinigung der Tafeln mit der Zeicbnungsebene. Zeichnungsregeln 32

Darstellung der Grundgebilde: Punkt, Gerade, Ebene In verschiedenen Lagen. 39 — 41. Der Punkt 42 — 44. Die Gerade 45. Die Ebene

34 35 38

Punkte, Gerade und Ebenen iu vereinigter Lage. Yerbindungsund Schnittelemente. Parallelismus. 46—51. Kriterien für die vereinigte Lage und den Parallelismus zweier Grundgebilde 39 52. Haupt- oder Streichlinien einer Ebene . . . 42 53 — 65. Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen die durch Bedingungen (nämlich als Schnitt-, Verbindungs- oder Parallelelemente) bestimmt sind 43 Gerade und Ebenen in rechtwinkliger Stellung. AbstMnde und 'Winkel. S i e Umlegung in eine Tafel und die Drehung um die Parallele zu einer Tafel. 66. Projektion eines rechten Winkels in einen rechten W i n k e l . . . 67 — 70. Normalen einer Ebene. Falllinien. Lot aus einem Punkt auf eine Ebene. Normalebene zu einer Geraden durch einen Punkt 71 — 73. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke 74. Teilung einer Strecke 75. 76. Tafelneigungen einer Geraden. Eine Gerade mit gegebenen Tafelneigungen zu zeichnen . • 77. 78. Tafelneigungen einer Ebene. Eine Ebene mit gegebenen Tafelneigungen zu zeichnen 79. Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . 80. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Umlegung in eine Tafel 81. Affinität zwischen Grund- und Aufriß einer ebenen Figur . . . 82 — 84 Winkel zweier Geraden, zweier Ebenen, einer Geraden und einer Ebene 85. Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur durch Paralleldrehung zu einer Tafel 86. Abstand eines Punktes von einer Geraden 87. Errichtung einer Normalen von gegebener Länge in einem Punkte eines Dreieckes

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63

IX Seite

88.

Drehung eines Punktes um eine Tafelparallele durch einen gegebenen Winkel 89 — 91. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden . . . .

64 65

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch Projektionsmethoden. 92 — 94. Rotationskegel. Zwei Kegel mit gemeinsamer Spitze. Polarkegel 68 95. Rotationszylinder 70 96. Neigungskreis in einer Ebene f ü r Gerade und Ebenen durch einen außerhalb gelegenen Punkt 70 9". Gerade von gegebener Tafelneigung in einer Ebene . . . . 71 98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine Gerade . . 71 99. Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze . 72 100. Gemeinsame Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze 73 101. 102. Anwendung auf Gerade und Ebenen mit gegebenen Tafelneigungen 75 103. Gerade, die zwei windschiefe Gerade unter gegebenen Winkeln schneiden 75 104. Ebenen durch einen Punkt, die mit zwei Geraden gegebene Winkel einschließen 76 105. Gerade in einer Ebene, die von zwei festen Punkten außerhalb gegebene Abstände haben 76 106. Gerade durch einen Punkt, die von zwei Geraden vorgeschriebene Abstände haben 77 107. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form der andern gegeben ist 79 108. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form gegeben i s t . 79 109. Schiefe Paiallelprojektion eines Kreises in eine gegebene Ellipse 81

Drittes Kapitel. 110. 111. 112. 113 — 120. 121. 122.

125. 129. 131.

123. 124. 126. 127. 128. 130. 132. 133. 134. 135.

Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Sreikant. Das ra-Kant und seine Bestimmungsstücke Seiten- und Winkelsumme des konkaven « K a n t s , Polar-n-Kant Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln . . . . Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck ' . ' . ' . . . Konstruktion eines Dreikants aus andern Bestimmungsstücken Allgemeines Uber Vielflache; reguläre Yielflache. Das Vielflach oder Polyeder. Satz von E u l e r Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs Folgerungen aus dem E u l e r s c h e n Satze Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyeders Reguläre Polyeder. Konstruktion des Achtflachs Konstruktion des Zwölfflachs Konstruktion des Zwanzigflaehs Reguläre Sternpolyeder Tetraeder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind Konstruktion des Würfels aus der Kantenlänge und den Richtungen der ersten Kantenprojektionen

83 84 85 86 93 95 96 98 99 100 101 102 105 108 108 110

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Inhalt. Seite

136.

Konstruktion des Würfels aus den Längen der ersten Kantenprojektionen 111 137. Die einem Vierflach umschriebene Kugel 112 138. Die einem Vierflach eingeschriebene Kugel 113

141.

Ebene Schnitte und Netze von Vielflaclien, insbesondere Prismen und Pyramiden. 139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche. Netz des Vielflachs 140. Prismen und Pyramiden 142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma . . . 143. Schnitt und Netz einer Pyramide 144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basisund Schnittfläche und deren Neigungswinkel

114 115 116 119 121

Durchdringung' zweier Vielflache. 145. Allgemeines über die Durchdringungsfigur 122 146. Durchdringung von Würfel und Tetraeder 122 147. Durchdringung von Prisma und Pyramide in spezieller Lage 125 148 —150. Durchdringung von Prismen und Pyramiden in allgemeiner Lage . 126 Schlagschatten und Eigenschatten bei Vielflachen. Schlag- und Eigenschattenbegrenzung bei parallelen Lichtstrahlen 128 152. Eigenschatten eines Zwölfflachs und Schlagschatten auf die Tafeln 129 153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte Pyramide und Achtflach) 130 151.

Beispiele für angewandte Schattenkonstruktion. 154. Freitreppe . . 155. Fenster 156. Dachfläche mit Schornstein

Viertes Kapitel.

Ferspektivität ebener Figuren. Gebilde.

132 133 135

Harmonische

Zentraiprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene. 157. Zentralprojektion einer ebenen Figur 136 158. Spezialfälle: Affine, ähnliche, kongruente Figuren . . . . 137 159. Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und Verschwindungslinie einer Ebene . . . . 137 160. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung der Ebene 138 161. Bestimmung der Zentralprojektion bei gegebener Originalund Bildebene 138 162. Drei paarweise perspektive Figuren 138 163. Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Achse 139 164. Vereinigung von Original- und Bildebene durch Drehung . . 140 165. Perspektive Beziehungen zwischen Grund- und Schnittpolygon einer Pyramide 141

XI

Perspektive in der Ebene. 166. 168.

167. 169. 170. 171.

Seite

Eigenschaften perspektiver oder zentrisch-kollinearer Figuren einer Ebene . 141 Ubergang von der ebenen zur räumlichen Perspektive . . . 142 Beatimmungsstücke der Perspektive, Gegenachsen (Flucht- und Verschwindungslinie) und Gegenpunkte (Flucht- und Versch windungspunkt) 142 Verwandlung der räumlichen Perspektive durch Parallelprojektion in eine ebene 144 Winkelrelation bei perspektiver Abbildung 144 Perspektive Grundgebilde.

172.

173.

174. 175—180.

181.

182. 183. 184. 185. 186.

187.

188.

189. 190. 191 —193.

Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüsehel, Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde . Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Geraden zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller Punkte der beiden Reihen ist hierbei stets das gleiche. Folgerungen hieraus Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines Büschels mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive Beziehung ist dadurch bestimmt Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen Folgerungen Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonalprojektion des andern angesehen werden Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines Büschels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen Projektivität von einförmigen Grundgebilden ABCD, BADC, CD AB und DGB A sind projektiv . . . Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage Harmonische Grandgebilde.

146 149 150 151 151 152

152 154 154 154

Vierseit und Viereck.

194. 195 —198.

202.

145 146

Das vollständige Vierseit ! ! . ' . ' . . \ \ ! Definition der harmonischen Lage von vier Punkten. Harmonische Beziehungen am Vierseit 199. Acht verschiedene projektive Anordnungen von vier harmonischen Punkten 200. Vier harmonische Strahlen oder Ebenen 201. Konstruktion des vierten harmonischen Punktes 203. Das vollständige Viereck; harmonische Beziehungen an ihm. Konstruktion des vierten harmonischen Strahles . . . . 204. Spezielle harmonische Punkte und Strahlen 205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat

Î57* 158 160 160 161 161 162 164

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden. 206. 208.

207. 209.

Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen und affinen Strecken Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) . . .

164 165

XII Seite

210. 211. Bestimmung jedes Elementes in einer Punktreihe, einem Strahloder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis . . . . 212. 218. Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen 214 — 217. Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grundgebilden. Umkehrung 218. Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten . . . Involutorisclie Grundg-ebilde. 219 — 221. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen. Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich 222. 223. Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen. Letztere besitzen Doppelpunkte; ihre harmonische Lage zu den Punktepaaren 224. Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion der Paare mittels eines vollständigen Vierecks 225. Herstellung der involutorischen Lage 226. Metrische Beziehungen 227. 228. Vert.auschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder Ebenenbüscheln; Doppelstrahlen, ihre harmonische Lage zu den Strahlenpaaren 229. Zwei Strahlenpaare bestimmen eine Involution. Konstruktion der Paare mittels eines Vierseits 230. Das Rechtwinkelpaar. Metrische Beziehungen 231. Die Involution rechtwinkliger Strahlenpaare 232. Die Punktinvolution als Schnitt kongruenter Strahlbüschel, deren entsprechende Strahlen rechtwinklig sind . . . . 233. Konstruktion der Doppelpunkte einer Punktinvolution . . . 234. Schnitt einer Strahleninvolution mit einem Kreis durch ihren Scheitel 235. Konstruktion der Rechtwinkel- und Doppelstrahlen einer Strahleninvolution 236. Die Punktinvolution ohne Doppelpunkte als Schnitt einer Involution rechter Winkel

Fünftes Kapitel.

166 167 168 170

171 172 173 174 175 175 176 176 177 178 178 179 180 181

Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Perspektivität zweier Kreise im Baume und in der Ebene. Pol und Polare beim Kreise. 237. 238. Schiefer Kreiskegel 239 — 241. Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise einer Kugel sind perspektiv. Umkehrung 242. Symmetrieebenen und Achsen des schiefen Kreiskegels . . 243 — 245. Räumliche und ebene Perspektive zweier Kreise 246. Der Kreis und die unendlich ferne Gerade als Bild eines Kreises und einer ihn nicht schneidenden Geraden . . . 247. Der Kreis und sein Mittelpunkt als Bild eines Kreises und eines von ihm eingeschlossenen Punktes 248. Der Kreis und drei Punkte seiner Peripherie als Bild eines Kreises und dreier Peripheriepunkte 249. 250. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Zentrum ist dabei beliebig

181 183 185 185 189 190 191 192

XIII Seite

251. 252. Definition und Eigenschaften von Pol und Polare beim Kreise 194 253 — 255. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck beim Kreise; seine Bedeutung für Pol und Polare; Polardreieck 196 Ellipse, Parabel und Hyperbel sls perspektlve Bilder des Kreises. 256 — 258. Definition der Kegelschnitte als perspektiver Bilder eines Kreises; Polareigenschaften; umgeschriebenes Vierseit und eingeschriebenes Viereck; Polardreieck 198 259 — 261. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel . 200 262. Die Parabel als perspektives Bild des Kreises; Durchmesser und Achse 202 263. 264. Eigenschaften der Parabel; ihre Gleichung; ihr Krümmungskreis im Scheitel 204 265. 266. Die Hyperbel als perspektives Bild des Kreises; konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten 206 267 — 269. Eigenschaften der Hyperbel; ihre Gleichung bezogen auf die Asymptoten; ihr Krümmungskreis im Scheitel 208 270. 271. Die Ellipse als perspektives Bild des Kreises; sie kann stets auch als affines Bild eines Kreises erhalten werden . . . 211 272 — 274. Eigenschaften der Ellipse; ihre Gleichung; ihre Krümmungskreise in den Scheiteln 212

Sechstes Kapitel.

Ebene Kurven und Raumkurven.

Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie. 275. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Vergleichung endlicher Größen 276. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen derselben 277. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter Grenzwert f ü r das Verhältnis zweier und f ü r die Summe unendlich vieler unendlich kleiner Größen 278 — 280. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen verschiedener Ordnungen

282.

215 216 217 218

Erzeugung ebener Kurven. 281. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten Punktes. Nachbarpunkte, Kurpenelement. Stetigkeit. Sekante, Tangente. Stetigkeit in bezug auf die Tangente . 219 283. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbartangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetigkeit als projektive Eigenschaft. Asymptoten 220 284. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungsund Drehungssinn des Punktes bzw. der zugehörigen Tangente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, Rückkehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt, isolierter Punkt . 221 Konstruktion von Tangenten und Kormalen. 285. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben 286. Tangente einer gegebenen Kurve aus gegebenem Punkte und ihr Berührungspunkt

222 223

XIV Seit e

287.

288. 289. 290.

291—295.

Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeichneten Kurve Normale aus gegebenem Punkte zu einer gezeichneten Kurve Tangentenkonstruktion mittels der zur Konstruktion der Kurve selbst dienenden Hilfskurven Beispiele: Ellipse, C a s s i n i s c h e Kurve, Konchoide, P a s c a l sche Schneckenlinie

Krümmung' der Kurven, Evoluten. Krümmungsmaß. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens, Krümmung einer Kurve in gegebenem Punkte. Stetigkeit in bezug auf die Krümmung. Die f ü r das Krümmungsmaß in Betracht kommenden unendlich kleinen Größen . . . 298. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und konvexe Seite einer Kurve, Krümmungswechsel . . . . 299 — 301. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Dreipunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve. Krümmungsmittelpunkt als Schnitt benachbarter Kurvennormalen . . . 302. Evolute und Evolventen einer Kurve 303. Vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve, Scheitelpunkte. Verhalten der Evolute 304. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, Rückkehrpunkte und bei der Schnabelspitze 305. Konstruktion des KrümmuDgskreises f ü r einen Punkt einer gezeichneten Kurve 306. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und der ihres perapektiven Bildes 296.

224 225 226 227

297.

Rektifikation von Kurven. 307. Regel zur näherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines Kreises

230 231

232 234 234 235 236 237

239

Ranmknrven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen. 308. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente, Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnormale, Binormale, Rektifizierende Ebene 240 309. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tangente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenzund Torsionswinkel. Krümmung, Torsion 240 310. Die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche. Ihre Erzeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen . . 241 311. Die Raumkurve als Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 242 312. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven . 242 313. Elemente, die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogenlängen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden, Kontingenzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rückkehrkurve 243 314. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender Punkte einer Kurve der abwickelbaren Fläche und der abgewickelten Kurve 244

XV Seite

315. 316. 317. 318. 319. 320.

321. 322. 324.

323. 325.

32G.

Geodätische Linien auf der abwickelbaren Fläche . . . . Der Richtkegel einer Raumkurve Evolutenfläche und Evolventen Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und Wendepunkte, die den Tangenten, Sehnen und Schmiegungsebenen durch das Projektionszentrum entsprechen . . . . Singularitäten bei den Raumkurven. Stationäre Ebene, Streckungspunkt, Rückkehrpunkt Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem Punkte einer Raumkurve

244 245 245 245 246 246

Krumme Oberflächen. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes Kurvensystem, Nachbarkurven. Erzeugung durch stetige Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 248 Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte 248 Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tangentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische Krümmung. Haupttangenten. Spezialfälle der akwickelbaren, der Kegel- und Zylinderflächen 249 Tangcntenkege! einer Fläche aus einem Raumpunkte . , . 251

Siebentes Kapitel.

Kugel, Zylinder, Kegel.

Kugel, Zylinder und Kegel, Ihre Projektionen, Eigen- und Schlagschatten. 327. 328. Bestimmung der Projektionen eines Fläehenpunktes. Sichtbare und unsichtbare Flächenteile. Doppelkurven, wahrer und scheinbarer Umriß. Projektion einer auf der Fläche liegenden Kurve. Projizierender Zylinder, zur Projektionsrichtung parallele Tangentialebenen 329. Lichtstrahlenzylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächenteile im Lichte, im Eigen- und Schlagschatten 330. Darstellung der Kugel, der Lichtgrenze auf ihr und ihres Schlagschattens 331. Zylinderflächen. Ihre Entstehung, Mantellinien. Tangentialebenen 332. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Zylinderfläche. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 333. Darstellung des elliptischen Zylinders, Lichtgrenze, Schlagschatten 334. Hohlzylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche 335. Tangentialebenen eines Zylinders aus gegebenem Raumpunkte 336. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangentialebenen 337. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Kegelfläche. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 338. Darstellung des geraden Kreiskegels in beliebiger Lage. Lichtgrenze, Eigen- und Schlagschatten 339. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangentialebenen des Kegels aus gegebenem Raumpunkte . .

252 253 254 256 256 258 259 260 260 261 262 264

Inhalt.

XVI

Seite

Kugel, Zylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 340. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene 34). Schnitt eines beliebigen Zylinders mit gegebener Ebene; Abwickelung 342. 343. Ebener Schnitt eines geraden Kreiszylinders; Abwickelung . 344. 345. Ebener Schnitt eines schiefen Kreiszylinders; Abwickelung . 346. 347. Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels . 348. 349. Ebener Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels . 350. 351. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel . . . Durchdringung von Kugel-, Zylinder- und Kegelflächen. 352. 353. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Zylinder- und Kegelflächen 354. 355. Durchdringung zweier Zylinderflächen, deren Grundkurven Kegelschnitte sind 356. 357. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden Kreiszylinder 358. 359. Durchdringung von Kugel und Kegel 360. Konjugierte Durchmesser und Diametralebenen einer Kegelfläche 361. Zwei Kegelflächen mit einem gemeinsamen Kegelschnitt . . 362. 363 — 365. 366. 367. 368. 369. 370. 371. 372. 373. 374. 375. 376. 377. 378. 379. 380.

Die stereographische Projektion. Zweck der stereographischen Projektion Abbildung des Kreises als Kreis. Konzentrische Kreise . . Das stereographische Bild ist konform Orthogonale Kreisbüschel Verhältnis von wahrer Länge zur Bildlänge Pol und Poldistanz, Meridiane und Paralielkreise, geographische Länge und Breite Bilder der Meridiane und Parallelkreise Bildkreise durch gegebene Punkte Die wahre Größe eines Bildkreisbogens Bildnetz für eine Landkarte Abbildung der Kugel auf einen Zylinder. Mercatorprojektion und Loxodromie Projektion von De la H i r e

265 265 267 268 273 275 279

281 282 285 289 291 292 293 293 296 297 298 299 301 302 303 305 307 309

Schlagschatten auf Kegel- und Zylinderflächen. 381. Bildung der Schlagschatten einer Fläche auf eine andere. Darstellungsverfahren 309 382. Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel . . . . 310 Beispiele fUr Anwendungen. 383. Bemerkungen über Schattenkonstruktion an zusammengesetzten Gebilden. . • 384. Allgemeines über Steinschnitt 385. Runder Eckturm. Schatten 386. Gewölbte Mauernische. Schatten und Steinschnitt . . . . 387. Dorische Säule. Schatten 388. Kuppelgewölbe mit Stichkappenfenstern

312 313 314 315 317 319

XVII Seite

Achtes Kapitel.

Rotationsflächen.

Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten. 389. Entstehung der Rotationsfläche durch Rotation einer Kurve . 321 390. Die Rotationsfläche als Hüllfläche einer rotierenden Fläche . 321 391. Definition des Kegel-, Zylinder- und Kugelverfahrens bei der Bestimmung von Umriß oder Lichtgrenze 322 392. Die gemeinsamen Punkte der Eigen- und Schlagschattengrenze 323 393. Eigen- und Schlagschatten an einer Randkurve 323 394. Die Punkte der Lichtgrenze mit tangierendem Lichtstrahl . 325 395. Wahrer und scheinbarer Umriß 326 Allgemeine Rotationsflächen, Schnitte, Durchdringung, Eigen- und Schlagschatten. 396. Tangentialebene und Schnittkurve 397. Durchdringung von Rotationsflächen 398. 399. Eigen- und Schlagschatten einer Rotationsfläche 400. Lichtgrenze bei Zentralbeleuchtung

326 328 328 332

Die Ringfläche. 401. Parallel- und Meridiankreise 402. Die anderen Kreise auf der Fläche 403. Umriß bei geneigter Achse 404. Konstruktion der Lichtgrenze 405. Eigen- und Schlagschatten bei vertikaler Achse 406. 407. 408. 409. 410.

411. 412. 413. 414. 415. 416. 417. 418. 419.

332 333 334 336 337

Das Rotationshyperboloid und seine Anwendung. Die beiden Scharen von Erzeugenden 339 Konstruktion aus gegebenen Elementen 340 Asymptotenkegel . ' . . . • 342 Die Schnittpunkte einer Geraden mit der Fläche und ihrem Asymptoterfkegel . ! 342" Die Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene und ihre Konstruktion 344 Eigen- und Schlagschatten bei Parallelbeleuchtung . . . . 347 Tangentialkegel nnd Berührungskurve 349 Das Hyperboloid, das die Ringfläche längs eines Parallelkreises oskuliert 350 Die Haupttangenten einer beliebigen Rotationsfläche . . . 3 5 1 Die Tangenten der Lichtgrenze einer Ringfläche 852 Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrenze 354 Die Tangenten der Lichtgrenze einer Rotationsfläche bei Zentralbeleuchtung 356 Die Punkte der Lichtgrenze einer Ringfläche mit tangierendem Lichtstrahl 357

Die Rotationsflächen 2. Grades. 420. 421. Schnitte. Tangentenkegel 359 422. Durch zwei beliebige ebene Schnitte der Fläche gehen zwei Kegelflächen 362 423. Die beiden Tangentialebenen durch eine feste Gerade . . . 363 R Ö H N U. P A P P E R I T Z . I .

4. A u f l .

b

XVIII Seite

Rotationsflächen, die sich längs einer Kurve berühren. 424. Aus der Meridiankurve der einen Fläche die der anderen zu konstruieren 425. Die Hiillfläche des geraden Kreiszylinders 426. Zwei Hyperboloide, die sich längs einer Erzeugenden berühren 427.

Beispiel fUr Anwendungen. Elliptisch gewölbte Kuppel mit Rundbogenfenstern . . . .

Neuntes Kapitel.

365 366 367 371

Zyklische Linien und Schraubenlinien.

Bollkurven. 428 — 430. Erzeugung der Rollkurven in der Ebene. Normale und Tangente der Rollkurve. Momentanzentrum (Pol). Bewegung einer starren Figur in der Ebene. Polbahn, Polkurve . . 373 431 — 433. Krümmungszentra einer Rolllinie. Beziehung zwischen den Krümmungszentren von Polbahn, Polkurve und Rolllinie. Spitzen, Wendepunkte 375 434. Hüllkurve einer rollenden Kurve 378 Zyklische Linien. 435. Entstehung von zyklischen Linien. Aufzählung der Arten . 436. Radlinien, Sinuslinie, Spiralen. Ursprungspunkt, Gang, Windung 437. Gespitzte Zykloide 438. Gestreckte Zykloide 439. Verschlungene Zykloide, 440 — 442. Epizykloiden 433. Hypozykloiden 444. Gespitzte Kreisevolvente 445. Gestreckte und verschlungene Kreisevolvente 446. Archimedische Spirale 447. 448. Sinuslinien Die Schraubenlinie. 449 — 451. Schraubenlinie und Schraubenbewegung. Achse und Steigwinkel der Schraubenlinie. Rechts- und linksgängige Windung. Ganghöhe, reduzierte Ganghöhe 452. Schmiegungsebene, Krümmungsradius. Reziproke Schraubenlinien 453. Tangenten der Schraubenlinie, ihre abwickelbare Fläche, Richtungskegel 454. Die verschiedenen Formen der Parallelprojektion einer Schraubenlinie 455. Die Schraubenlinie in orthogonaler Projektion 456. Tangenten und Schmiegungsebenen der Schraubenlinie . . 457 — 460. Bestimmungsstücke einer Schraubenbewegung. Erklärung der Bewegung eines Körpers im Räume durch sukzessive Verschraubungen. Momentanachse. Kongruente und affine Parallelprojektionen kongruenter Raumfiguren. Bedingung für die augenblicklichen Bewegungsrichtungen dreier Punkte eines Körpers

379 380 380 382 383 384 387 388 389 390 391

393 395 396 397 398 400

Inhalt.

461. 462. 463. 464. 465. 466.

Anwendungen ans der Theorie der Zahnräder. Methode der Hilfspolbahnen Methode der sekundären Polbahnen Methode der Äquidistanten Zykloidenverzahnung Evolventenverzahnung Triebstockverzahnung

Zehntes Kapitel. 467.

468. 469. 470. 471 — 474.

xix Seite

406 408 409 410 411 413

Schraubenflächen.

Allgemeines Uber Schraubenflächen. Erzeugung einer Schraubenfläche als Bahn einer verschraubten Kurve. Achse, Erzeugende, Meridian- und Normalschnitte. Geschlossene und offene Schraubenflächen. Kehlschraubenlinie Erzeugung einer Schraubenfläche als Hüllfläche einer verschraubten Fläche. Charakteristik. Bückkehrkante . . . Tangentialebenen und Normalen Wahrer und scheinbarer Umriß der Schraubenfläche für orthogonale Projektion und bei vertikaler Achse Methoden zur Bestimmung des wahren Umrisses bzw. der Lichtgrenze einer Schraubenfläche für eine beliebige Parallelprojektion. Pol und Polachse einer Geraden in bezug auf eine Verschraubung. Die Lichtgrenzpunkte auf den Schraubenlinien oder auf den Erzeugenden. Die Lichtgrenzpunkte auf den Normalschnitten und bei Segelflächen auf den erzeugenden Geraden

414 415 416 416

417

Allgemeines über Regelschraubenflächen. Abwickelbare Regelflächen. Erzeugende, Tangentialebene, Rückkehrkurve. Hüllfläche einer bewegten Ebene. Richtungskegel 422 «470. Windschiefe »RegeMäohea. »Zeatralpunkt eine» Erzeugende«, « v Striktionslinie. Tangential- und asymptotische Ebene. Asymptotische abwickelbare Fläche, Richtungskegel 423 477. Einteilung der Regelschraubenflächen 423 478. Verschraubung einer Ebene. Formen des Normalschnittes einer Regelschraubenfläche 424 475.

'

479. 480. 481. 482. 483.

484.

Die abwickelbare Schraubenfläche. Die abwickelbare Schraubenfläche in orthogonaler Projektion Meridianschnitt. Schnitt mit einer beliebigen Ebene . . . Gleiten und Rollen der erzeugenden Geraden als Tangente an der Rückkehrschraubenlinie. Schnittpunkte der Fläche mit einer Geraden Abwickelung der Fläche und der Kurven auf ihr . . . . Eigen- und Schlagschattengrenzen der Fläche bei Parallelbeleuchtung Windschiefe Regelschraubenflilche. Geschlossene gerade Schraubenfläche in orthogonaler Projektion. Schnittpunkte mit einer Geraden, Schnitt mit einer Ebene b*

426 428 429 430 433

435

XX Seite

485.

486. 487. 488. 489. 490. 491. 492. 493. 494. 495 — 498. 499. 500. 501. 502. 503 — 505.

507.

Eigen- und Schlagschattengrenzen derselben Offene gerade Schraubenfläche. Entstehung und Darstellung Lichtgrenze und Schlagschattengrenzen derselben . . . . Geschlossene schiefe Schraubenfläche. Richtungskegel . . Meridianschnitt,Doppelkurven,Normalschnitt. Tangentialebene Wahrer und scheinbarer Umriß der Fläche für die zweite Projektion Eigen- und Schlagschattengrenzen derselben Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß ihrer Lichtgrenze bilden Offene schiefe Schraubenfläche. Richtungskegel. Kehlschraubenlinie. Normalschnitt, Doppelkurven, Meridianschnitt Asymptotische abwickelbare Fläche. Striktionslinie . . . Wahrer und scheinbarer Umriß für die erste und zweite Projektion Eigen- und Schlagschattengrenzen Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß der Lichtgrenze bilden

436 439 440 443 445 445 448 451 456 458 458 459 461

Zyklische Schraubenflächen. 506. Die Schraubenfläche von kreisförmigem Normalschnitt. Eigenund Schlagschatten 468 508. Die Schlangenrohrfläche (Serpentine). Lichtgrenze und Schlagschatten 471 Schrauben. 509. Schraube und Schraubenmutter. Kern, Gewinde, Schraubenprofil. Scharfgfingiges, flachgängiges und mehrfaches Gewinde 476 510. Flachgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten . . . . 476 511. Scharfgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten . . . 478 512. Die Schraubenmutter einer scharfgängigen Schraube, Eigenund Schlagschatten 481 Anwendungsbeispiel. 513. Zerlegbare Wendeltreppe

483

Anhang. Einfachheit und Genauigkeit graphischer Konstruktionen. 514 — 517. Postulate der Konstruktion. Werkzeuge des Geometers. Graphische Charaktere und Operationen. Ihre Bewertung in der Geometrographie. Maß der Einfachheit einer Konstruktion. 486 518 — 525. Theorie der graphischen Konstruktionsfehler 489 Literaturnachweise und historische Anmerkungen

. .

. 494

EINLEITUNG. Alle Zweige der G e o m e t r i e haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die G e o m e t r i e d e r L a g e und die a n a l y t i s c h e G e o m e t r i e das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e , wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der D a r s t e l l u n g o d e r K o n s t r u k t i o n d e r F i g u r e n , die für die vorgenannten beiden Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e ist eine a n g e w a n d t e m a t h e m a t i s c h e D i s z i p l i n : sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker und Techniker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen sie bei der Behandlung räumlicher geometrischer Fragen allenthalben bedürfen, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln. D e r Zweck der d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e ist die Bes t i m m u n g der R a u m g e b i l d e nach G e s t a l t , Größe und L a g e dufrcfi die' K W s t t u k t i ' o n ! Sit? b'edfent slchv dkbdi fh Sei* Hau^t-' sache e b e n e r B i l d e r derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden einerseits von den irgendwie definierten räumlichen Objekten ihre Bilder gewinnen, andererseits wie man von diesen ausgehend auf die Eigenschaften der dargestellten Gebilde zurückschließen kann. In dieser letzteren Beziehung dient sie also dazu, geometrische Eigenschaften räumlicher und ebener Gebilde aufzufinden und zu beweisen. Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer M e t h o d e n auch auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen sich sämtlich auf die Konstruktion der ebenen Bilder durch P r o j e k t i o n . R Ö H N U. P A P P E K I T Z .

I.

4. A u f l .

1

Einleitung.

Die M e t h o d e des P r o j i z i e r e n s ist aus den Vorgängen beim Sehen der Gegenstände abstrahiert. Die Z e n t r a l p r o j e k t i o n entsteht, wenn man aus einem gegebenen Projektionszentrum (Augr punkt) durch die Punkte des Objektes projizierende Strahlen (Sehstrahlen) zieht und diese mit einer Ebene, der Bildebene, schneidet. Statt des Projektionszentrums kann auch eine feste Richtung für die projizierenden Strahlen gegeben werden, so daß sie gegen die Bildebene gleiche Neigung erhalten, insbesondere zu ihr rechtwinklig werden; hierbei ergibt sich die s c h i e f e oder speziell die o r t h o gonale P a r a l l e l p r o j e k t i o n . Diese Methoden empfehlen sich vor anderen durch die Bildlichkeit der Darstellungen, d. h. dadurch, daß die Gesichtseindrücke, die wir von letzteren haben, in allem Wesentlichen mit denen übereinstimmen, wie sie die dargestellten Objekte selbst hervorrufen würden. Hiermit ist der weitere Vorteil verknüpft, daß bei ihrer Zugrundelegung die Entwickelung der geometrischen Beziehungen an den räumlichen Objekten sich am durchsichtigsten gestaltet. Mit Rücksicht auf die Anwendungen sucht man die Anschaulichkeit der Darstellungen räumlicher Objekte dadurch zu erhöhen, daß man ihnen die W i e d e r g a b e der B e l e u c h t u n g s v e r h ä l t n i s s e für eine geeignet angenommene Lichtquelle, namentlich die E i g e n und S c h l a g s c h a t t e n in genauer Konstruktion hinzufügt. Die Lichtquelle wird entweder durch einen leuchtenden Punkt im Endlichen vertreten, oder man nimmt sie in unendlicher Ferne an, so daß die Lichtstrahlen parallel werden. Die T h e o r i e der S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n e n ist in der Projektionslehre enthalten; die T h e o r i e der B e l e u c h t u n g g e s e t z m ä ß i g g e s t a l t e t e r O b e r f l ä c h e n schließt sich eng an die erstere an, bedarf aber besonderer Auseinandersetzungen. In letzter Linie kommen für die darstellende Geometrie Methoden in Betracht, welche auf die K o n s t r u k t i o n r ä u m l i c h e r A b b i l d e r o d e r Modelle der Raumfiguren abzielen. Hierbei bedarf die Konstruktion von Modellen, insoweit sie mit den gegebenen Objekten kongruent oder (bei verändertem Maßstabe) in allen Teilen ähnlich sind, ihrer unmittelbaren Faßlichkeit wegen, keiner näheren Erläuterung. Daneben kommt die sogenannte Reliefperspektive gelegentlich zur Anwendung. Ihre Theorie läßt sich als eine Verallgemeinerung der Projektionsmethode an deren Darlegung ohne Schwierigkeit anfügen. Die darstellende Geometrie bedarf zu ihrer Entwickelung keiner anderen theoretischen Voraussetzungen als der B e g r i f f e und L e h r -

Einleitung.

3

s ä t z e d e r e l e m e n t a r e n P l a n i m e t r i e u n d S t e r e o m e t r i e . Diese bezeichnen daher auch das Maß der mathematischen Vorkenntnisse, die zum Verständnisse dieses Lehrbuches erforderlich sind und auf die Bezug genommen wird, ohne Erklärungen oder Beweise hinzuzufügen. An die Elemente der Raumlehre anknüpfend bildet die darstellende Geometrie selbständig die L e h r e von d e n P r o j e k t i o n e n aus. Das Verfahren des Projizierens aber, das in erster Linie benutzt wird, um die Darstellung gegebener Raumfiguren zu gewinnen, soll gleichzeitig dazu dienen, Eigenschaften derselben zu erkennen und zu beweisen. Auch sollen die Projektionsmethoden auf höhere stereometrische Fragen angewandt und diese durch Konstruktion gelöst werden. Dann erst wird dem Zwecke der mathematischen Schulung der Anschauung genügend Rechnung getragen; denn jede konstruktive Lösung besteht in einer methodisch geordneten Folge von Operationen, deren geometrische Bedeutungen, im Gegensatz zu denen der rechnenden Operationen, einzeln anschaulich erfaßt, in ihrer Gesamtheit aber bei der graphischen Ausführung überblickt werden können. Durch ihre Methode wird unsere Wissenschaft naturgemäß auch zur Untersuchung solcher Eigenschaften der Figuren geführt, die sich bei den durch Projektion gewonnenen Bildern wiederfinden. Diese d u r c h P r o j e k t i o n u n z e r s t ö r b a r e n o d e r p r o j e k t i v e n E i g e n s c h a f t e n der Raumgebilde sind es, die in allgemeinster Weise aufgefaßt die Grundlagen der G e o m e t r i e d e r L a g e ausmachen. Bei letzterer fällt die Rücksicht auf DatstfellBarkeit 'fort; sie operiert lediglich mit Begriffen. Die darstellende Geometrie aber bereitet die Bildung dieser Begriffe vor, indem sie alle geometrischen Gesetze untersucht, die durch den w i r k l i c h e n Vorgang der Projektion direkt begründet werden. Steht also die darstellende Geometrie zur Geometrie der Lage in näherer Beziehung als zur a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e , da diese die Gebilde und ihre Eigenschaften durch Gleichungen zwischen Maßzahlen bestimmt, so kann sie doch auf den Gebrauch von Maßrelationen nicht völlig verzichten, weil die Bestimmung der Größenverhältnisse, ebensogut wie die der Lagebeziehungen, in ihrer Aufgabe liegt. Aber sie verwendet nur die einfachsten Formen derselben, wobei an die Stelle der Rechnung mit analytischen Größen sogleich die Konstruktion treten kann. Irgend eine Aufgabe der darstellenden Geometrie ist als gelöst zu betrachten, wenn sie zurückgeführt ist auf solche E l e m e n t a r o p e r a t i o n e n , die man ohne weiteres mit bekannten Hilfsmitteln l*

4

durchführen kann. Unter jenen Elementaroperationen aber sind lediglich die folgenden, die sich sämtlich auf eine ebene Zeichnungsfläche beziehen, zu verstehen: das Ziehen gerader Linien durch gegebene Punkte; insbesondere das Ziehen gerader Linien, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, oder auf ihr rechtwinklig stehen; das Schlagen von Kreisen um ein gegebenes Zentrum und mit gegebenem Radius. Bezüglich des E n t w i c k e l u n g s g a n g e s mag folgendes im voraus bemerkt werden. Mit dem Einfachsten wird begonnen; so geht bei der Darstellung räumlicher Objekte die orthogonale der schiefen Parallel- und der Zentralprojektion voraus. Zuerst werden durch diese Projektionen ebene F i g u r e n abgebildet. Vereinigt man dann Bild und Originalebene in geeigneter Weise, so ergeben sich mittelbar geometrische Abhängigkeiten, die zwischen Figuren ein und derselben Ebene stattfinden; sie werden K o l l i n e a r v e r w a n d t s c h a f t e n oder Kollineationen genannt, weil dabei geraden Linien stets wieder Geraden entsprechen. Bei paralleler Lage von Bild- und Originalebene liefert die schiefe Parallelprojektion k o n g r u e n t e F i g u r e n , die Zentralprojektion aber ä h n l i c h e F i g u r e n bei ä h n l i c h e r L a g e . Ist dagegen die Bildebene beliebig gegen die Originalebene gelegen, so erhält man eine Verwandtschaft ebener Figuren, die bei Parallelprojektion als A f f i n i t ä t bei a f f i n e r L a g e und bei Zentralprojektion als z e n t r i s c h e K o l l i n e a t i o n ebener Systeme oder gewöhnlich als P e r s p e k t i v i t ä t bezeichnet wird. Gerade deshalb, weil die genannten Verwandtschaften ebener Gebilde aus Projektionen im Räume entstanden gedacht werden können, haben sie für die darstellende Geometrie eine prinzipielle Wichtigkeit; die bei der Darstellung räumlicher Objekte auftretenden Probleme führen immer wieder auf sie zurück. Es erschien daher zweckmäßig, sie an geeigneter Stelle ausführlich zu behandeln. Wir beginnen also die Darlegung der Methoden der P a r a l l e l p r o j e k t i o n mit einem Kapitel über Ähnlichkeit und Affinität bei ebenen Figuren. Dementsprechend würde ein Kapitel über Perspektivität ebener Figuren vor der Behandlung der P e r s p e k t i v e räumlicher Figuren seinen natürlichen Platz finden. Wir ziehen es aber vor, ein solches bereits an einer früheren Stelle einzuschalten und später darauf zurück zu verweisen, weil für gewisse Gebilde schon an und für sich die Gesetze der Perspektivität in Betracht kommen, namentlich für Pyramiden und Kegel und ihre ebenen Schnitte.

Einleitung.

5

Bei der Entwickelung der Projektionsmethoden für beliebige (nicht ebene) Objekte wird jedesmal mit der Darstellung der einfachen G r u n d g e b i l d e : Punkt, Gerade, Ebene und der Lösung der aus ihren möglichen Beziehungen sich ergebenden F u n d a m e n t a l a u f g a b e n begonnen, um daran die D a r s t e l l u n g u n d U n t e r s u c h u n g d e r k o m p l i z i e r t e r e n G e b i l d e in angemessener Ordnung anzuschließen. Schließlich mögen noch einige Bemerkungen über die hauptsächlichsten, zum Teil am gehörigen Orte noch näher zu erläuternden B e z e i c h n u n g e n u n d A b k ü r z u n g e n Platz greifen. Wir werden durchgängig: P u n k t e mit großen lateinischen Buchstaben: A, B, ... F, ..., G e r a d e mit kleinen lateinischen Buchstaben: a, b, ... g, ..., E b e n e n mit großen griechischen Buchstaben: A, B, . . . E, W i n k e l mit kleinen griechischen Buchstaben: a, ß, . . . cp, ..., bezeichnen, und zwar verwenden wir meist die ersten Buchstaben des betreffenden Alphabets für gegebene oder bekannte Elemente, für variable oder unbekannte aber die später folgenden Buchstaben. Als Z e i c h e n d e r V e r b i n d u n g mehrerer Elemente durch ein neues Grundgebilde, welches sie zusammengenommen bestimmen, dieut die bloße Nebeneinanderstellung der sie bezeichnenden Buchstaben. E s bedeutet also: g = AB die gerade Verbindungslinie der Punkte A und B, E = ABC die Verbindungsebene der drei Punkte A, B, C, A — Ab die Verbindungsebene des Punktes A und der Geraden b, r — ab die Verbindungsebene der sich schneidenden Geraden a und b. Zur B e z e i c h n u n g d e r S c h n i t t e l e m e n t e wählen wir das zwischen die betreffenden Buchstaben einzufügende Symbol X • Hiernach bedeutet: P = y X A den Schnittpunkt der in einer Ebene liegenden Geraden g und h. Q = g x E den Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene E, g — E X A die Schnittlinie der Ebenen E und A. Wie gebräuchlich, legen wir parallelen Geraden einen u n e n d l i c h f e r n e n S c h n i t t p u n k t (Richtungspunkt, Richtung), parallelen Ebenen eine u n e n d l i c h f e r n e S c h n i t t l i n i e (Stellungsgerade, Stellung) bei. Diese Bezeichnungen werden miteinander nach Bedürfnis kombiniert; z. B. würde AB x PQB, den Schnittpunkt der Verbindungslinie der P u n k t e A, B mit der Verbindungsebene der Punkte P, Q, R darstellen, usf.

Einleitung. Als D r e i e c k s z e i c h e n dient A , als W i n k e l z e i c h e n ¿_, so daß A ABC das Dreieck mit den Ecken A, B, C, u = {_ ABC den Winkel, welchen die Schenkel BA und BC am Scheitel B einschließen, ß = /_ ab den Winkel der Geraden a und b, -/ — /_ a E den Neigungswinkel der Geraden a gegen die Ebene E, (f = z_ E A den Winkel der Ebenen E und A bezeichnet. R ist das Symbol für den rechten Winkel oder 90°, 2 R für den gestreckten Winkel usf. Neben den bereits üblichen Abkürzungen ||, J_, = für parallel, p a r a l l e l und g l e i c h , s e n k r e c h t , ähnlich und kong r u e n t , führen wir noch ein neues Symbol für den s e n k r e c h t e n A b s t a n d ein; es soll nämlich (P H g) die Entfernung des Punktes P von der Geraden^, ( P - | E) die des Punktes P von der Ebene E repräsentieren. Übrigens wird für die geometrischen Beziehungen keineswegs ausschließlich die symbolische Schreibweise angewendet werden. Dieselbe soll nur bei Beweisen die Übersicht erleichtern und bei der unvermeidlichen Wiederholung geläufiger Operationen die Möglichkeit der Kürzung gewähren. Im besonderen sind folgende feststehende Bezeichnungen zu nennen: TT^ TT2 für die beiden r e c h t w i n k l i g e n P r o j e k t i o n s e b e n e n bei o r t h o g o n a l e r P r o j e k t i o n , x für ihre Schnittlinie oder A c h s e . P', P" für die P r o j e k t i o n e n e i n e s P u n k t e s P, g', g" für die P r o j e k t i o n e n e i n e r G e r a d e n g, Glt G2 für die S p u r p u n k t e e i n e r G e r a d e n ^ , ex, e2 für die S p u r l i n i e n e i n e r E b e n e E. S c h i e f e P a r a l l e l p r o j e k t i o n e n werden durch Anhängung des unteren Index s, Z e n t r a l p e r s p e k t i v e B i l d e r durch die des Index c bezeichnet. Die U m l e g u n g e i n e r e b e n e n F i g u r in eine andere Ebene um die zu beiden gehörige Spurlinie charakterisieren wir durch den unteren oder oberen Index o, Elemente, die durch D r e h u n g um irgendeine Gerade eine neue Lage erhalten haben, ebenso durch den Index a , endlich S c h a t t e n durch den unteren oder oberen Index ^ oder *. Ziffern auf halber Höhe, z. B. ^ nachweise am Ende des Bandes.

verweisen auf die Literatur-

ERSTES

KAPITEL.

Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. 1. Bevor wir die allgemeinen Gesetze der orthogonalen Parallelprojektion entwickeln und sie auf r ä u m l i c h e G e b i l d e anwenden, betrachten wir die e b e n e n G e b i l d e für sich. Hierbei beschränken wir uns nicht auf die orthogonale Parallelprojektion, sondern behandeln zuerst — gewissermaßen als Vorstufe — die einfachste Form der Zentralprojektion, bei welcher Original- und Bildebene parallel liegen, hierauf aber sogleich die schiefe Parallelprojektion. Aus diesen beiden im Räume zu vollziehenden Projektionsarten werden die Ä h n l i c h k e i t und die A f f i n i t ä t zwischen Figuren einer Ebene abgeleitet; ihre Kombination ergibt eine allgemeinere Verwandtschaft, die A f f i n i t ä t im w e i t e r e n Sinne, die uns jedoch hier nicht beschäftigen soll.1) Ähnlichkeit ebener Figuren.

2. Es sei eine Ebene E im Räume gegeben. Zu ihr parallel werde eine zweite Ebene E,i und außerhalb beider ein Punkt 0 nach Willkür festgelegt. Zieht man durch alle Punkte einer in E gec legenen Figur von dem Z e n t r u m 0 ausgehende, projizierende Strah. A \ " len, ebenso durchalleGeraden dieser Figur p r o j i z i e r e n d e E b e n e n , so liefern diese Strahlen und Ebenen in ihrem Fig. 1. Schnitt mit der Ebene Et als B i l d e b e n e eine zweite Figur, deren Punkte und Geraden denen der gegebenen Figur eindeutig entsprechen. Beispielsweise geht (Fig. 1) aus dem Dreieck ABC in E ein Dreieck vl1 B1 Cl in E t als - -

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Ähnlichkeit

und Affinität

ebener

Figuren.

Bild hervor. Die Beziehung, in welcher die einander entsprechenden Figuren stehen, heißt Ä h n l i c h k e i t bei ä h n l i c h e r L a g e und besitzt folgende Eigenschaften: «) E n t s p r e c h e n d e G e r a d e sind p a r a l l e l ; also: ß) P a r a l l e l e n G e r a d e n g und h e n t s p r e c h e n p a r a l l e l e G e r a d e gl und hx u n d einem W i n k e l cp ein ihm gleic h e r W i n k e l cpv y] D a s V e r h ä l t n i s irgend zweier entsprechenden S t r e c k e n AB und A1 B1 i s t k o n s t a n t = e: ex, wenn « = (OH E), e1 = [0 -\ EJ g e s e t z t wird. Offenbar ist: AB-.AlBl

= OA:OAl

= e-.e1

und folglich auch: AB:A1B1

= BC:Bl

Cl usf.

Ist für irgend zwei ebene Figuren eine der beiden letzten Eigenschaften und folglich auch die andere erfüllt, so sind sie nur als ä h n l i c h zu bezeichnen. Kommt aber die erste Eigenschaft hinzu, so befinden sie sich in ä h n l i c h e r Lage. In der Tat braucht man nur zwei einander entsprechende parallele Strecken A B und Ax By zu kennen, um das Ahnlichkeitszentrum 0= A Axx B Bx zu finden. Hieraus folgt weiter, daß je zwei ähnliche Figuren auf unendlich viele Arten in ähnliche Lage gebracht werden können. 3. Die ä h n l i c h e n Figuren bleiben in ä h n l i c h e r L a g e , wenn die B i l d e b e n e Ej sich A selbst parallel verFig. 2. s c h o b e n wird. An Stelle von 0 tritt dabei ein neues Zentrum 0'. Die Strecke 0 0', d.i. die Verschiebung des Zentrums, ist mit derjenigen der Bildebene parallel und gleichgerichtet oder ihr entgegengesetzt, je nachdem 0 und Ej auf derselben oder auf verschiedenen Seiten von E liegen; der Größe nach ist sie durch die Relation: 0 0'= a•

e¡-e

Ähnlichkeit

und Affinität

ebener Figuren.

bestimmt, wobei a die Größe der Verschiebung der P u n k t e von Ej bezeichnet. Geht nämlich (Fig. 2) A^, das Bild eines beliebigen Punktes A, bei der im R ä u m e vollführten Parallelverschiebung von Ej in A, über, so schneidet die Gerade A2 A die durch 0 gezogene Parallele zu A1 A2 in einem P u n k t e 0', welcher durch die obigen Angaben bestimmt ist; dies gilt f ü r jedes P a a r entsprechender Punkte. — Insbesondere bleibt der Charakter unserer Abbildung erhalten, wenn durch eine geeignete Parallelverschiebung mit E selbst zur Deckung gebracht wird. Diese Operation, bei der ein bestimmter P u n k t von Ej in einen beliebigen P u n k t von E verschoben wird, liefert ä h n l i c h e und ä h n l i c h l i e g e n d e G e b i l d e i n e i n e r E b e n e . In die Ebene E fällt auch das Zentrum 0 ' und die projizierenden Strahlen. Die drei oben genannten Eigenschaften bleiben f ü r die so erhaltene ähnliche Beziehung in der Ebene unverändert bestehen. Sie ist eindeutig bestimmt durch Angabe des Zentrums und zweier einander entsprechender Punkte, oder durch ein Paar paralleler entsprechender Strecken. 4 . D e r vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden: S i n d i m R ä u m e zwei F i g u r e n zu e i n e r dritten ähnlich und ähnlich gelegen, so s i n d s i e es a u c h z u e i n ander. Das neue Ahnl i c h k e i t s z e n t r u m liegt m i t d e n b e i d e n g e g e b e n e n i n g e r a d e r L i n i e . Sind nämlich A, B und A1, Bl (Fig. 3) entsprechende P u n k t e zweier ähnlicher und ähnlich gelegener Figuren, sowie 0 das zugehörige Ahnlichkeitszentrum, gilt ferner dasselbe von A, B, A2, B2 und 0', so liegen Al A0 und B1B2 in einer Ebene, weil Al B1\\AB || A2 B2 ist. W e i t e r liegt der Strahl Al A, in der E b e n e AOO' und schneidet 0 0' in einem Punkte 0". In demselben Punkte wird 0 0 ' von B x B 2 ge-

10 schnitten; denn B l B% und 0 0 ' müssen sich in einem Punkte schneiden, da sie in einer Ebene liegen; das muß aber der Schnittpunkt von 0 0' mit der Ebene Ax Bl A2 B2, also 0" sein. 0" ist das neue Ähnlichkeitszentrum. Der Satz gilt auch für Figuren in einerlei Ebene. 5. Von den Folgerungen, die man unmittelbar aus diesen Betrachtungen ziehen kann, mag als beachtenswert hervorgehoben / werden, daß jede zu einem Kreise ähnliche Figur wiederum ein Kreis ist, und daß je zwei Kreise einer Ebene in doppelter Weise als in ähnlicher Lage befindlich angesehen werden können. Läßt man nämlich die Mittelpunkte M und J / j (Fig. 4) und je zwei parallele und gleich oder entgegengesetzt gerichtete Radien einander entsprechen, so ergeben sich auf M z w e i Ahnlichkeitszentren 0 und 0' (ein äußeres und ein inneres), für welche die Verhältnisgleichung 0 M-.O Ml = ?•: »-j = 0' M: 0' Mx besteht. Die Verbindungslinien der Endpunkte von parallelen, gleichgerichteten Radien gehen durch 0, von entgegengesetzt gerichteten Radien aber durch 0'. Durch 0 und 0' gehen auch die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise, deren es im allgemeinen vier gibt. Parallelprojektion einer ebenen Figur auf eine andere Ebene.

6. Die zu projizierenden Gebilde seien in der Ebene E gelegen; als B i l d e b e n e nehmen wir irgend eine zweite Ebene Ej an. Werden durch die Punkte und Geraden einer in der Ebene E befindlichen Figur in einer festgewählten Richtung p r o j i z i e r e n d e S t r a h l e n resp. E b e n e n gezogen und mit Ej geschnitten, so entsteht eine zweite Figur, die mit ihren Punkten und Geraden der vorgelegten eindeutig entspricht. Das Dreieck Al B1 Cx in Ej geht z. B. auf diese Weise aus dem Dreieck A BC in E hervor (Fig. 5). Das benutzte Verfahren wird im allgemeinen als s c h i e f e , im besonderen, wenn die Projektionsrichtung zur Bildebene E, senkrecht steht, als o r t h o g o n a l e oder n o r m a l e P a r a l l e l p r o j e k t i o n bezeichnet. Die geometrische Abhängigkeit zwischen den entsprechenden Figuren

Ähnlichheit und Affinität ebener Figuren.

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heißt A f f i n i t ä t bei a f f i n e r L a g e ; die projizierenden Strahlen werden A f f i n i t ä t s s t r a h l e n , ihre Richtung A f f i n i t ä t s r i c h t u n g , die Schnittliniea=ExE 1 E wird A f f i n i t ä t s a c h s e genannt. 7. Aus der Definition ergeben sich die E i g e n s c h a f t e n affiner und a f f i n g e l e g e n e r ebener Figuren. a) J e d e r Punkt der A ffi n i tätsachse a e n t s p r i c h t sich selbst; entsprechende G e r a d e g und Fig. 5. g1 schneiden sich auf a, und i n s b e s o n d e r e ist