Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 8 Jahrgang 1876 [Reprint 2020 ed.] 9783112362747, 9783112362730

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern herausgegeben von

C a r l O h r t m a n n , F e l i x Müller, A l b e r t W a n g e r i n .

Achter Band. J a h r g a n g 1876.

Berlin. Druck und Verlag von G. ß e i m o r .

1878.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), za der der Band gehört. Acc. P. N. L.: Atti della Accademia Pontifie» dei Nuovi Lincei Borna. 4'. Ate. R. d. L.: Atti della Accademia Beale dei Lincei. Roma 4°. Alla. J. f . Uhrmacherhunst: Allgemeines Journal für Ohrmacherkunat. Naumburg a. 8. 4°. Almeida J.: Journal de physique théorique et appliquée, publié par J . Oh. d'Almeida. Paris. 8°. Analyst: The Analyst, a monthly journal of pure and applied mathematics. Edited and published by J . E. Hendricks. Des Moines, Jowa. gr. 8®. Ann. de VÊc. ä . : Annales scientifiques de l'école normale supérieure, publiées sous les auspices du ministre de l'instruction publique par Mr. L e Pasteur. Paris. Gauthier-Villars. 4°. Ann. d. Mines: Annales des Mines ou Becueil de mémoires snr l'emploitation des mines et sur les sciences et les arts qui s'y rapportent, rédigées par les Ingénieurs des Mines et publiées sous l'autorisation du Ministre des travaux publics. Paris. 8°. Ann. d. Fob», de Brüx.: Annuaire de l'observatoire royal de Bruxelles. Bruxelles. 8°. Ann. d. P. et d. Ch.: Annales des ponts et dos chausséeB. Mémoires et documents relatifs à l'art de construction et en service de l'ingénieur. Paris. 8«. Ann. 8oe. scient. Brüx.: Annales de la société scientifique de Bruxelles. Bruxelles. F . Hayez. (Mit doppelter Paginirung, unterschieden durch die Buchstaben A und B.) Arch. f . Math, og Nat.: Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Christiania. Arch. Néerl.: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem. L a Haye. 8*. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A. F. Peters. Altona. 4°. Atti di Torino: Atti della Reale Accademia di Torino. Torino. Augsh. allg. Zeitung: Augsburger Allgemeine Zeitung. Augsburg. Battaglimi 0. : Giornale matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato per cura del Prof. G Battaglini. Napoli, gr. 8*. Bayr. Bl.: Blätter für das bayrische Gymnasial- und Realschulwesen redigirt von W . Bauer und A Kurz. München. 8". Beri. Abh.: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. MowUsber.: Monatsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. A*

IV

Erklärung der Citate.

Boneompagni Bull.: Balletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boneompagni. Borna. 4*. Borchardt J.: Journal fur reine und angewandte Mathematik. Als Fortsetzung des von A. L. Creile gegründeten Journals, herausgegeben unter Mitwirkung der Herren Schellbach, Kummer, Eronecker, Weierstrass von C. W . Borchardt. Berlin. G. Reimer. 4*. Brioseki Ann. : Annali di matematica pura ed applicata diretti da F. Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma da Prof. Tortolini. Milano. 4°. Bull, de Belg.-. Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles 8°Bull, de St. Pétertb.: Bulletin de l'Académie Impériale de St. Pétersbourg. Pétersbourg et Leipzig. Folio. Bull. 8. M. F.: Bulletin de la Société Mathématique de France publié par les secrétaires. Paris. 8°. Bull. d. I. S. de Pau: Bulletin de la Société des Sciences de Pau. Cari Reperì. : Repertorium für Expérimental-Physik herausgegeben von Ph. Carl. München, gr. 8". Casopis: Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnioka, herausgegeben vom Vereine böhmischer Mathematiker in Prag. Prag. 8°. Clebsch Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. F. A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren P. Gordan, C. Neumann, K. v. d. Mühll, gegenwärtig herausgegeben von F. Klein und A. Mayer. Leipzig. Teubner. 8°. Coma. d. temps: Connaissance des temps ou des mouvements célestes. Paris. Gauthier-Villars. 8°. C. B.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4*. Darboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par Mrs. G. Darboux et J. Hoûel avec la collaboration des Mrs. André, Lespiault, Fainvin et Radau, sous la direction de la commission des Hautes Etudes. Paris. Gauthier-Villars. 8*. Denhschr. d. Par. Gei.: Denkschriften der Pariser Gesellschaft der exaeten Wissenschaften. (Polnisch.) Paris. 4°. Edue. Time»: Mathematical questions, with their solutions from the „Educational Times" with many papera and solutions not published in the „Educational Times." Edited by W. J . C. Miller. London. 8°. 0. F . Hodgson and Son. Erl. Ber.: Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. Erlangen. 8°. Freiburg. Ber.: Berichte der naturforschenden Gesellschaft in Freibarg i.Br. Freiburg i. Br. 8°. Oött. Anz : Gottingisehe gelehrte Anzeigen. Unter der Aufsicht der KglGesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Göttingen. 12*. Oött. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft d i r Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen. Göttingen. 12°. Grunert Arth. : Archiv für Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Unterrichtsanstalten gegründet von J. A. Granert, fortgesetzt von R. Hoppe. Greifswald. 8°. Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J . C. V Hoffmann Leipzig. 8°. Krale. Denkichr. : Denkschriften der Krak. Akademie der Wissenschaften Krakau. (Polnisch.)

Erklärung der Citate.

v

Leipt.Abh.: Abhandlangen der Sgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zn Leipzig. Leipzig. Liouoille J.: Journal de mathématiques purea et appliquées fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J. Liouville. Publié par H. Résal avec la collaboration de plusieurs savants. Paris. 4°. » Mém. in 8* de Belg.: Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des Sciences de Belgique. Bruxelles. 8*. Mem. di Bologna: Memorie dell' Accademia Reale di scienze del' Istituto di Bologna. Bologna. 4°. Mèra, de Bord.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles à Bordeaux. Bordeaux. Paris. 8° Mém. cour, de Belg.: Mémoires couronnes de l'Académie Royale de Belgique. Bruxelles. 4*. Mem. di Modena: Memorie della Accademia Reale di Modena. Modena. Mém. prêt, de Parii: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences de l'Institut de France. Paris. Mem. di Torino: Memorie dell' Accademia di scienze di Torino. Torino. Messenger: The Messenger of mathematics, edited by M. Allen Whitworth, C. Taylor, R. Pendlebury, J W. L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan. 8*. Monde»: L e s Mondes, revue hebdomadaire des sciences et de leur application anx arts et à l'industrie par l'Abbé Moigno. Paris. 8°. Monthl. Not.: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4*. Motk. Math. Samml.: Mathematische Sammlung, herausgegeben von der Moskauer mathematischen Gesellschaft. Moskau. Salvoréff. Münch. Abh.: Abhandlungen der Egl. Baierschen Akademie' der Wissenschaften za München. Zweite Elasse. München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Egl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8". Nachr. ». Kiew: Nachrichten der Kaiserlichen Universität zu Eiew. Eiew N. C. M.: Nouvelle correspondance de mathématiques, publiée par E. Catalan et P. Mansion. Möns, Manceaux. Paris, Gauthier-Villars. 8°. Niederrhein. Oes. f . Natur- u. Heilh. : Verhandlungen des Niederrheinischen Vereins für Natur- und Heilkunde. Nieuto Arch.: Nieuw Archief voor wiskunde. Amsterdam. 8°. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, rédigé par Mrs. Gerono et ..Ch. Brisse. Paris 8". Öfv. v. Stoekh.: öfversigt af Eongl. Svenks Wetenskabs Akademien s Forhandlingar. Stockholm. Overs, v. Kopenh.: Oversigt over Videnskabs Selskabet Forhandlingar. Kopenhagen. Phil. Mag.: The London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and journal of science, by Brewster, Kane, Francis. London. 8°. Phil. Tram.: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4°. Pogg. Ann.: Annalen der Physik und Chemie herausgegeben zu Berlin von Poggendorff. Leipzig. 8°. Polit. : Il Politecnico. Prag. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prag. 8". Prae. Am. Acc.: Proceedings of the American philosophical Society. Philadelphia. Proc. of Cambr.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge.

VI

Brklirang der Citate.

Prot, of Edmb.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8*. Proe. L. M. S.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. 8*. Pmoe. of London: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8°. Quart. J. : The Quarterly Journal of pure and applied mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London. 8". Quart. J. of Scient» : The Quarterly Journal of Science and Annales of Mining, Metallurgy, Engineering, Industrial Arts and Technology. Edited by William Crookes. London. 8*. Rend, di Bol.: Rendiconti dell' Accademia Reale di scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. Rend. Ist. Lomb.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano- 8*. Rep. Brit. Ass. : Reports of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 8°. Rev. iE Art.: Revne d'Artillerie paraissant le 15. de chaque mois. Paris. Schtômilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter verantwortlicher Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Teubner. 8°. Hl. A.: Historisch-literarische Abtheiluug (besonders paginirt). Soe. de Keuch.: Société des sciences naturelles de Neufchâtel. Stockholm Handl. : siehe Öfv. v. Stockholm. Trans, of Conn.: Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences. New-Haven. Tran», of Dublin: Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. Trans, of Edinb.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 4°. 0 Ups. Un. Antler-. Upsala Universitets Arsskrift. Upsala. 8°. Verh. d. naturf. Ver. zu Karlsruhe: Verhandlungen des naturforschenden Vereins zu Karlsruhe. Karlsruhe. Verh. d. naturf. Ver. d. pr. Bheinl. u. Westph.: Verhandlungen des naturforschenden Vereins der preussischen Rheinlande und Westphalens. • Versl en Mededeel: Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschapen. Afdeeling Natuurkunde. Amsterdam. Wien. Anz. : Anzeigen der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Wien. 8°. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathem.-naturwissenschaftlichen Klasse der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abtheilung. Wien. 8". Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Wien. 4*. Wiener Presse: WienerPresse. Wien. Wolf J. : Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 84. Z. dtsch. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure herausgegeben von Ziebarth. Berlin. 4°. Z. f . Verm.: Zeitschrift für Vermessungswesen, herausgegeben von W. Jordan. Zeuthen Tidsskr.: Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af Zeuthen. Kopenhagen. 8°.

Inhaltsverzeichniss, (Die mit einem f versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

E r s t e r Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e i 1. Geschichte. L. H u g o Brani di lettere a. D. B. Boncompagni H. 6 . Z e u t h e n . F r a Mathematikers Historie. I. Brahmegupta's Trapez £. L a c a s . Sor nn théorème de i'arithmétique indienne +F. H r o m ä d k o . Proben aus der gemeinen indischen Arithmetik A. S c h m i t t . Zu Pytheaa von Massilia M. T a n n e r y . Note aar le systéme astronomiqne d'Eudoxe . . F. H a l t s eh. Pappi Alexandrini collectiones qaae supersunt . . . C. J . G e r h a r d t . Die Sammlang des Pappas von Alexandrien, nebst Becension von Cantor G. V. S c h i a p a r e l l i . Die Vorläufer des Copernicus im Altertham M. C a n t o r . Die römischen Agrimensoren F. J . S t a d n i ò k a . . Die Bruchrechnung bei den Römern E. W i e d e m a n n . Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften F. J . S t u d n i ö k a . Ueber die Art, wie die Araber gewisse cabische Gleichungen lösten V. A. Le B e s g n e . Notes sur les opuscnles de Léonard de Pise . A. F a v a r o . Intorno ad ano scritto su Andalò di Negro M. S t e i n s c h n e i d e r . Prophatii Judaei Montepessulani Maesiliensis prooemium C o p e r n i c o in Italia F . H i p l e r . Copernico in Bologna M. C a n t o r . Sulla nazionalità del Copernico F . H i p l e r . Die Chorographie des Joachim ßheticus B. B o n c o m p a g n i . Intorno ad un trattato d'aritmetica di Giovanni Widmann di Eger F. N a p o l i . Intorno alla vita ed ai lavori di Maurolico F. R. F r i i s . Tychonis Brahei epistolae D. B e r t i . Copernico e le vicende del sistema Copernicano in Italia E . v. G e b l e r . Galileo Galilei und die römische Curie E. H e i s . E £ur si muove . . . F. J. S t a d n i ò k a . Ueber Marcus Marci S. G ü n t h e r . Note sur Jean-André Segner P . v a n G e e r . Johannes Bernoulli en zyn strijd over het beginsel der levendige krachten . . . .'

Seile

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Vili

Inhaltsverzeichmss. Seite

O. B e r t h o l d . Daniel Bernonlli's Gastheorie 18 W. L. O l a i s h e r . Biographie de Jean Wilson 19 6 . B. Biadego. Intorno alla vita ed agli scritti di Malfatti, nebst Catalogo dei lavori di Malfatti, and Catalogo dei lavori relativi al problema di Malfatti 19 t f j . H e r s c h p l . Memoir and correspondance of Caroline Herschel . 20 W. v. Z a h n . Commemorazione di Ermanno Hankel, nebst Catalog seiner Arbeiten 20 C. E. S é d i l l o t . Lettre á D. B. Boncompagni snr la vie et les travaux de L. A. Sédillot 20 F. K l e i n . Notice snr la vie et les travaux de Hesse 20 P. Zech. C. 6 . Reuschle_ 21 J . J . B. A b r i a et J . H o fiel. Notice snr la vie et les travaux de V. A. Le Besgne 21 M. C a n t o r . 6 . Friedlein, nebst Catalog seiner Arbeiten 22 F. v. Kob-eli. F. J. Eichelot 22 F. v. K o b eil. H. L. d'Arrest 22 F. v. K o b eli. Ch. Wheatstone 23 A. Nekrologie 23 Nekrolog von Johann Müller 23 Todesanzeige 24 A. S c h l e n k r i c h . Nekrolog Gernerth's 24 Oppel. Fresenius 24 S. G ü n t h e r . Zeising als Mathematiker 25 D. B. de H a a n . Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis- en natnurkundige wetenschappen in de Nederlanden 25 E. Mailly. Histoire des sciences et des lettres en Belgique . . . 26 F. J. S t u d n i c k a . Ueber die Entwickelnng der böhmischen physikalischen Literatur 27 H. Stoy. Zur Geschichte des Rechenunterrichts 27 ,en M. C a n t o r . Die Rechenknnst im 16 Jahrhundert von A. Kuckuck 28 F. J- S t u d n i c k a . Ueber den Ursprung und die Entwickelnng der Zablentheorie 29 S. G ü n t h e r . Mathematisch-historische Miscellen 29 S. Günther. Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der Mathematik 30 H. H a n k e L Prospetto storico dello sviluppo della geometria moderna 30 V. L i g n i n e . Note snr l'origine de l'idée de la cinématiqne . . . 30 F. Klein. Ist Oârstedt oder Schweigger der Entdecker des Elektromagnetismus? 31 J . 0. Houzeau. Table chronologique des découvertes astronomiques 31 S. G ü n t h e r . Ziele und Resultate der neueren mathematisch-historischen Forschung 32 Capitel 2. Philosophie. E. D ü h r i n g . Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik J. Hoüel. Ueber die Rolle der Erfahrung in den exacten Wissenschaften H. S c h e f f l e r . Die Naturgesetze und ihr Zusammenhang mit den Principien der abstracten Wissenschaften F u n c k e . Grundgedanken der mechanischen Naturerklärung . . . . S t e i c h e n . Rapport sur une thèse de M. Ch. Savez d e S a i n t - V e n a n t . Philosophie et enseignement des mathématiques J . Beloviç. Das Beweisverfahren in den inversen Rechnungsarten .

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Inhaltsverzeichnis«.

IX Seile

6 . Dill n e r . Om Matematikens Studium rid nigra af de Tyske Universiteten P . M a n s i o n . Note sur l'enseignement des mathématiques dans les collèges S c h n i t z e n . Der erste geometrische Unterricht B ö r n e r . Geometrische Propädeutik F . H e i d t . Soll beim trigonometrischen Unterricht das geometrische oder arithmetische Princip vorherrschen? E r l e r . Das geometrische und das arithmetische Princip beim trigonometrischen Unterricht S. G ü n t h e r . Zorn Unterricht in der höheren Analysis

Zweiter Abschnitt. Ca p i t e l 1.

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Algebra.

Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische nnd transcendente Gleichungen.)

G. B e l l a v i t i s . Riassunto delle lezioni di algebra J . M. J . S a c h s e . Allgemeine Arithmetik and à l g e b r a E. S c h r ö d e r . Ueber v. Staudt'8 Rechnung mit Würfen und verwandte Operationen G. B i a s i . Il calcolo sulle incognite delle equazioni algebriche . . . P . G o r d a n . Fundamentalsatz der Algebra Bouquet. Note sur la continuité des racines deB éqnations algébriques f S . R. M i n i c h . Sali' uso analitico delle differenze tra le radici nella teorìa delle equazione algebriche H u n r a t h . Algebraische Untersuchungen nachTschimhausen'sMethode E . C a t a l a n . Sur la transformation des équations H. N ä g e l s b a c h . Studien zu Fürstenau^ neuer Methode der Darstellung und Berechnung der Wurzeln algebraischer Gleichungen dnreh Determinanten der Coefficienten X. H. S t o l l . Mathematisch-physikalische Miscellen II H. B r o c a r d . Solution d'une question H E g g e r s . A new method of solving numerical équations . . . . J . K ö n i g . Ein allgemeiner Ausdruck für dia ihrem Betrage nach kleinste Wurzel der Gleichung n'e» Grades Peiffer. Die Geometrie als Hülfsmittel zur Auflösung höherer algebraischer Gleichungen L. L a i a n n e . Exposé d'une nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques de tous les degrés f F . V a l l è s . Des formes imaginaires en algèbre A. Z i e l i n s k i . Solution of numerical équations of higher degrees with secondary imaginary roots N. B o n g a ï e f f . Numerische Gleichungen zweiten Grades | E . J ç é . N o t a di calcolo grafico sulla risoluzione delle equazioni di primo grado S. L e v i . Quistioni F . H r o m à d k o . Ueber die quadratischen Gleüchungen F. J. B r o c k m a n n Die quadratischen und höiheren Gleichungen . 0 . C h a k r a v a r t i , N. L a i D e y . Solution of ai question X. H. S t o l l . Mathematisch-physikalische Probleme E. L i e b r e c h t . Ueber kubische Gleichungen A. G G r e e n h i l l . Mechanical solution of a embie by a quadrilatéral linkage J . J . W a l k e r , L. T a n n e r , C. M o r e a u . Löisnog von Aufgaben .

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Inhaltsverzeichnis«.

X

Heilermann. Bemerkung zu der Auflösung der biquadratischen Gleichungen J . D i e k m a n n . Zur Theorie der biquadratischen Gleichungen . . . W e i c h o l d . Nouvelle solution des équations générales da quatrième degré N. F i t z . Solution of the general biquadratic équation F . K l e i n . Weitere Untersuchungen aber das Ikosaeder A. v. d. S c h u l e n b ü r g . Solution of the general équation of the fifth degree C a p i t e l 2.

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Theorie der Formen.

F . F a i d e B r u n o . Théorie des formes binaires C. J o r d a n . Mémoire sur les covariante des formes binaires . . . C. J o r d a n . Covariante des formes binaires E . B e r t i n i . Sistema simultaneo di due forme biquadratiche binarie 6 . B a t t a g l i n i . Nota sulla quintica binaria L . W e d e k i n d . Studien im binären Werthgebiet A . C l e b s c h . Sulla teoria delle forme binarie del seist' ordine . . . W a s c h t s c h e n k o - Z a c h a r t s c h e n k o . Theorie der binären Formen M. A. B a r a n i e c k i . Geometrische Folgerungen aus der algebraischen Theorie der binären quadratischen Formen E . B o n s d o r f f . Harledning och geometrisk tydning af de vigtigaste kombinanterna i det temara kubiska systemet J . T a n n e r y . Sur les substitutions linéaires par lesquelles une forme quadratique ternaire se reproduit elle-même . B. J g e l . Ueber die Discriminante der Jacobi'schen Covariante dreier temaren quadratischen Formen F . B r i o s c h i . Studi analitici sulle curve del quarto ordine . . . . f F . R r i o s c h i . Sulle condizioni che dovono essere verificate dai parametri di una curva del 4° ordine P . G o r d a n . Ueber einen Satz von Hesse M. N ö t h e r . Ueber die algebraischen Formen mit identisch verschwindender Hesse'scher Determinante P . G or d a n und M. N ö t h e r . Ueber die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante identisch verschwindet . . . . F . B r i o s c h i . Sulle condizioni per la decomposizione di una cubica in una conica ed in una retta F. B r i o s c h i . Sopra una proprietà dei piani tritangenti ad una superficie cubica C. F . E. B j o r i i n g . Om simultaua covarianter a f 4 d e ordningen och 4 d e klassen tili two kagelBnitt A. C a y l e y . On the analytical forms called factions C a p i t e l 3.

Seite

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Elimination und Substitutioc, Determinanten, symmetrische Functionen.

C a u c h y . Mémoire sur l'élimination d'une variable entre deux équations algébriques G. D a r b o u x Sur la théorie de l'élimination entre deux équations à une inconnue G. B a r d e l l i . Alcune proprietà dei coefficienti di una sostituzione ortogonale A. C a p e l l i . Intorno ai valori di una funzione lineare di più variabili W. V e i t m a n n . Ueber eine besondere Art von successiven linearen Substitutionen A. C a p e l l i . Dimostrazione di due proprietà numeriche offerte delle sostituzioni

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Inhaltsverzeichniss.

XI Seile

F. J. StudniCka. Ueber den Ursprung and die Entwickelang der Determinantenlehre B. J. M e i l b e r g . Teorie for Determinant-Kalkylen P. M a n s i o n . Introduction à la théorie des déterminants J . - D i e k m a n n . Einleitung in die Lehre von den Determinanten . . M. F a l k . Lärobok i Determinant teoriens D. K e m p e r . Determinants F. C a s o r a t i . Soi determinanti J. W . L . G l ai a her. Theorem relating to the differentiation of a symmetrical determinant W- S p o t t i s w o o d e . On determinants of alternate numbers . . . . F. H o z a . Ueber das Mulliplicationstheorem zweier Determinanten n«e° Grades S- G ü n t h e r . Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten F . H o z a . Ueber Unterdeterminanten einer adjangirten Determinante F. H o z a . Beitrag zor Theorie der Unterdeterminanten K- W e i h r a u c h . Znr Construction einer animodularen Determinante •J-E. d ' O v i d i o . Nota sui determinanti di determinanti R. F . S c o t t Solution of a question H. S. S m i t h . On the vaine of a certain arithmetical determinant . Kostka. Ueber Bestimmung von symmetrischen Functionen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch ihre Coefficienten G. B i a s i . Il calcolo sulle incognito delle eqnazioni algebriche . . J. P e t e r s e n . T o Formler, henhörende til de symmetriske Funktioners Theori G. v. E s c h e r i c h . Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme und der Resultante simultaner Gleichungen M o r e t - B l a n c . Solution d'une question

D r i t t e r Abschnitt. C a p i t e l 1.

69 69 70 70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 74 74 74 74 75 7§ 78 79

Zahlentheorie.

Allgemeines.

F . J. S t u d n i c k a . Die Grundlehren der Zahlentheorie R. J a e n s c h . Die schwierigeren Probleme der Zahlentheorie . . . G. D o a t o r . Détermination du chiffre qui termine les puissances successives des nombres entiers E. L u c a s . Sur les rapports qui existent entre la théorie des nombres et le calcul intégral E. L u c a s . Note sur nouveaux théorèmes d'arithmétique supérieure E. L u c a s . Note sur l'application des séries• récurrentes ä la recherche de la loi de la distribution des nombres premiers . . . P . O t t e . Ueber die Theilbarkeit der Zahlen V . S c h l e g e l . Theilbarkeit einer gegebenen Zahl durch eine andere D. M. S e n s e n i g . Divisibility by prime numbers P . J. V e r v a e t . Zwei allgemeine Regeln für die Theilbarkeit decadischer Zahlen L . L . H a m m e l . Om Tals Delelighed med hvilkesomhelst Primtal . F . P r o t h . Énonces de divers théorèmes sur les nombres J. W. L . G l a i s h e r . On formulae of verification in the partition of numbers A . C a y l e y . Theorem in partitions W . Si m e r k a. Summen der in einer gebrochenen arithmetischen Progression enthaltenen Ganzen C. A . L a i s a n t . Théorèmes sur les nombres L . S a n c e r y . De la répartition des nombres

80 80 80 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 85 86 86 86

xn

Inhaltsverzeichniss. «

X . S c h l e g e l . Sätze über die Darstellbarkeit einer Zahl als Somme von Qoadratzahlen J . W. L. G l a i s h e r . On the representation of an uneven number as the snm of fonr squares D. U . S e n s e n i g . Perfect cnbes « E x n e r . Der Rösselsprung als Zanberqnadrat 5 . H a r t m a n n . Ceber magische Quadrate P . M a n s i o n . Sur les carrés magiqnes E . L u c a s . Sur on problème d'Enler, relatif aux carrés magiques . F . M ü l l e r . Ueber eine zahlentheoretische Spielerei 6 . D o s t o r . Propriétés des nombres G. A . L a i s a n t . Remarque sur on théorème d'arithmétique . . . . A. B. E v a n s , M o r e t - B l a n c . Lösungen von Aufgaben C. A . L a i s a n t . Sor nn problème d'arithmétique E . C a t a l a n . Sor nn théorème d'arithmétique E. B. E l l i o t t , L. T a n n e r , R. T u c k e r . Solutions of a question . W . S h a n k s . Remarks chiefly on 487* = 486 f W . H . W a h l e n . On division remainders in arithmetic M a r c h a n d . Problèmes d'arithmétique f A . G e n o c c h i . Intorno aile problemi aritmetici M. J e n k i n s , H a r t , A. M a r t i n . Lösungen von Aufgaben . . . P . M a n s i o n . On the law of reciprocity of quadratic residues . . . E. S c h e r i n g . Verallgemeinerung des Gauss'schen Kriteriums für den quadratischen Restcharacter einer Zahl in Bezug auf eine andere, nebst Bemerkung von L. Eronecker V . B o u n i a k o f f s k y . Sur quelques propositions nouvelles relatives au symbole de Legendre

87 87 87 88 90 90 90 91 91 91 91 92 92 92 92 92 92 93 93 93 93 95

P é p i n . Étude sur la théorie des résidus cubiques C. A. L a i s a n t . Théorèmes sur les nombres premiers H. B r o c a r d . Solution d'une question t A - G e n o c c h i . Cenni di ricerche intorno ai numeri primi . . . . f E . L n c a s . Sur la théorie des nombres premiers P . S. et J . N e u b e r g . Théorème d'arithmétique E. C a t a l a n , S. R é a l i s , M. de T i l l y . Sur on mémoire de Libri . R. D e d e k i n d . Sur la théorie des nombres entiers algébriques . . J . C. H o n z e a u . Fragments sur le calcul numérique V. N. B o u g a ï e f . Théorie des dérivées numériques K. D e m b s c h i c k . Unbestimmte Gleichungen ersten und zweiten Grades F . J . S t u d n i ë k a . Auflösung eines Systems von linearen Congruenzen f H . J . S. S m i t h . The Pellian equation H . . J . S. S m i t h . On a problem of Eisenstein S. G ü n t h e r . Résolution de l'équation indéterminée, nebst Note von P . Mansion E L u c a s . Solution d'un problème de Behâ-Eddin E. L u c a s . Sur la résolution d'un système d'équations en nombres entiers H . B r o c a r d . Sur un théorème de Diophante D. S. H a r t , A. M a r t i n , A. B. K v a n a . Solutions of questions • • A. G e n o c c h i . Généralisation du théorème de Lamé P é p i n . Impossibilité de l'équation x7y* + z7 = 0 M é y l , M o r e t - B l a n c . Solutions de questions W . S h a n k s . On the numbers of figoreB in the period of each reciprocal of a prime C a p i t e l 2.

Setîe

Theorie der Formen.

96 97 97 97 97 97 97 98 98 100 101 102 102 102 102 103 103 104 104 105 105 105 106

Inhaltsverzeíchniss. Capitel 3.

Kettenbrücbe.

xni Seite

H. Eggers. Calculation of radicals 106 A. Evans. Extraction of roots 106 H. J. S. Smith Note on continued fractions 107 Th. Muir. New general formula for the transformation of infinite series into continued fractions . . . 108 S. Günther. Ueber aufsteigende Kettenbrüche 108 Th. Mnir. On convergent» 109 V i e r t e r A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combination8lehre. D. André. Mémoire Bar les combinaisons régulières A. Vachette. Permutations rectilignes de 3? lettres J. W. L. Glaisher. On the n»> roots of unity f V e n n . The logic of chance C. Tychsen. En Note til et vanakeligt Punkt • Laplace's „Théorie des probabilités" E- J. Stone. Sar le principe de la moyenne arithmétique J. V. Schiaparelli. Sur le principe de la moyenne arithmétique • R. A. Me es. Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Zahl von Beobachtungen R. Helmert. Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler R. Helmert. Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit C. H. Rummel. New investigation of the law of errors of observations O. and F. Chambers. On the mathematical expression of observations of complex periodical phenomena L . Seidel. Ueber die Probabilitat solcher Ereignisse, welche nur selten vorkommen, obgleich sie unbeschränkt oft möglich sind . E. J. Stone. On the most probable result, which can be derived from a number of direct determinations A . Pànek. Das Binomialtheorem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung f A . Pânek. Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung L . L o r e n z . Om Udförelsen af Beregningerne efter de mindste Evadraters Methode 0. J. J. Ninck Blok. 0verzieht van de methode der kleinste kvadraten f F e r r e r o . Esposizione del metodo dei minimi quadrati f S afford. On the method of least squares f S k i n n e r . Principles of approximate computations D. J. K orte weg. Over de waarschynlijkheid van de verschillene mogelijke nitkomsten eener verkiezing H. Westergaard. Den moralske Fornral og det moralske Haab . J. Lewin. Ueber die Berechnung von Sterbetafeln : . . +H. M. T a vi or. Contribution to the mathematics of the checs board H. M. Taylor. On the relative values of the pieces in checs . . . J. W. L. Glaisher. On the problem of the eight queens A . Martin, H. G. Day, S. T e b a y , R. F. S c o t t , E. B. E l l i o t t , C. L e u d e s d o r f , St. J. Stephen, E. B. S e i t z , R. J. Adc o c k , J. E. Hendricks, H. H e a t o n , Nash, J. W o l s t e n holme, L. Tanner. Lösungen von Aufgaben

110 111 Ill Ill Ill 113 112 113 113 114 IIS 115 115 116 116 116 116 117 117 117 117 117 117 118 118 118 120

120

XIV

Inhaltsverzeichniss. Seite

Fünfter Abschnitt.

Reihen.

C a p i t e l 1. Allgemeines. A. B e n t h e m . Convergentie van reeksen met complexe termen . . 0 . F a b i a n . Sommirang der unendlichen und zwar schwach convergenten Reihen G. D a r b o u x . Sur le développement en série des fonctions d'une senle variable P . du B o i s - B e y m o n d . Ueber den Gültigkeitsbereich der Taylor'sehen Beihenentwickelung P . du B o i s - B e y m o n d . Recherches sur la convergence et la divergence des formules de représentation de Fourier P . dn B o i s - B e y m o n d . Notiz ober infinitäre Gleichheiten . . . . P . du B o i s - B e y m o n d . Beweis eines Satzes über die Coefficienten einer trigonometrischen Beibe A. T ö p l e r . Bemerkenswerte Eigenschaft der periodischen Beihen L. S e h e n d e l . Die Bernoulli'schen Functionen und das Taylor'sche Theorem D. J. K o r t e w e g . Over benaderingsformulen voor de som van reeksen G. Z o l o t a r e f f . Snr la série de Lagrange L. W. Meech. New demonstration and forms of Lagrange's theorem J. W o l s t e n h o l m e . Solution of a question C a p i t e l 2. Besondere Beihen. B. Igel. Ueber einige elementare unendliche Beihen A. P&nek. Ueber die geometrische Progression F. T i re Ili. Alcune proprietà dei coefficienti binomiali . . . . . L. B o u r g u e t . Solution d'une question 0 . C h a r l i e s . Sur les nombres polyédraux A. C a y l e y , W. S. B. W o o l h o u s e . Solution of a question . . . . J. W. L. G l a i s h e r . Miscellaneous theorems J. W. L. G l a i s h e r . On a numerical continued product l ' c h é b y c h e f f . Sur la généralisation d'une formule de Mr. Catalan J . H a m m o n d , L. T a n n e r , L. W. J o n e s , L. B a r b a r i n , B. W. G e n e s e , D. T r o w b r i d g e . Lösungen von Aufgaben . . . . A. M a r t i n . Extraction of roots by logarithms L. P. S h i d y . On the sum of the cubes of any number of terms of any arithmetical series E. L u c a s . Théorie nouvelle des nombres de Bernoulli et d'Euler . E. L u c a s . Sur les rapports qui existent entre le triangle arithmétique de Pascal et les nombres de Bernoulli M. F a l k . Sommation de quelques séries J . H a m m o n d . On the relation-between Bernoulli's numbers and the binomial coefficients J. H a m m o n d . On the sum of thejproducts of r different terms of a series " W o r o n t z o f f . Sur les nombres de Bernoulli S t e r n . Ueber eine Eigenschaft der Bernoulli'schen Zahlen . . . . G. L e P a i g e . Sur les nombres de Bernoulli et sur quelques fonctions qui s'y rattachent 0. L e P a i g e . Belation nouvelle entre les nombres de Bernoulli. . E- C a t a l a n . Note sur le mémoire de Mr. le Paige D o b i c i e c k i . Product einer unendlichen Factorenreihe

124 124 124 127 128 128 128 133 133 134 135 136 136

136 137 137 137 138 138 138 139 139 140 142 142 143 143 144 144 145 146 146 147 147 147 149

Inhaltsvèrzeichniss. G. P. P. E.

S. Carr. Solution of a question M a n s i o n . Sur une formule analogue à celle de Leibniz . . . M a n s i o n . Sur le développement de arc tang x L u c a s . Note sur le triangle arithmétique de Pascal et sur la série de Lamé E. L u c a s . Sur l'emploi du calcul symbolique dans la théorie des séries récurrentes E. L u c a s et E. C a t a l a n . Sur le calcul numérique des nombres de Bernoulli fG. A s c o l i .

n

Sulla serie 2unz

. . .

»

Sechster Abschnitt. J. R. P. S.

n

xv Seile

149 150 150 150

150 150 151

Differential- und Integralrechnung.

C a p i t e l 1. Allgemeines (Lehrbücher etc.). M. C. D u h a m e l . Calcul infinitésimal R u b i n i . Calcolo infinitesimale M a n s i o n . Leçons d'analyse infinitésimale. 1 W. S a l m o n . First principles of the differential calculus . . . .

152 153 153 154

C a p i t e l 2. Differentialrechnung. (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima). J. B. M o t t . Differentiation G. S t e i n b r i n k . Theoria derivatarum altiorum ordinum J. N. H. d e l a G o u p i l l i è r e . Méthode de la transformation fondée sur la conservation d'une relation invariable entre les dérivées de même ordre J . W. L. G l a i s h er. Note in regard to multiple differentiation . . Ch. H e r m i t e . Sur une formule de Mr. Delaunay J . W. L. G l a i s h e r . Relation connecting the derivatives of el'* . . W. W. J o h n s o n . On the expression 0° A. M a t e r n . Probleme aus der Theorie der Maxima und Minima . H. W e s t e r g a a r d . En opgave fra Operationsregningen F. B u c h w a l d t . Tilföjelse III. til „ny Methode for Differentiation med hvilkesomhelst Indices" Ch. H e r m i t e . Lettre à M. Gordan H. W. H a r r i s , J. W o l s t e n h o l m e . Solutions of questions. . . . C a p i t e l 3.

154 154 158 159 159 160 160 160 161 161 162 162

Integralrechnung.

N. A l e x é i e f . Integralrechnung 163 -¡•A. G e n o c c h i . Studi intorno ai casi d'integrazione sotta forma finita 163 A. M a r t i n . Integration of some differentials 163 J . W. L. G l a i s h e r , A. C a y l e y . Note on the foreging paper . . 163 G. S c h m i d t . Theorie des Amsler'schen Planimeters 164 C a p i t e l 4. Bestimmte Integrale. J. T h o m a e . Zur Definition des bestimmten Integrals durch den Grenzwerth einer Summe F. M e r t e n s . Ueber die Kriterien der Maxima und Minima bestimmter Integrale L. Zmurko. Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale L. C- S t u a r t . Sur un cas de discontinuité

164 165 165 165

Inhaltsverzeichniss.

XVI

W . L i g o w s k i . Beitrag zur mechanischen Qnadratnr B. F é a u x . Recherches d'analyse F . E. P r y m. Zar Theorie der Gammafunction F. H o ë e v a r . Ueber die anvollständige Gammafunction F . H o ë e v a r . Ueber die Ermittelung des Werths einiger bestimmter Integrale J. W o l s t e n h o l m e . Investigation of the value of an integral . . . E. L i e b r e c h t . Ueber einige bestimmte Integrale J. W . L . G l a i s h e r . On a formula of Canchy K . Z a h r a d n i k . Eine Qnadratnr M o r e t - B l a n c , J. G r a i n d o r g e . Solution d'nne question S. S p i t z e r . Transformation der Function x*el* ) W . H. L . R u s s e l l . On certain integrals E. B. E l l i o t t . Note on a class of definite integral J. W . L . G l a i s h e r . On an integral J. W . L . G l a i s h e r . Expression for 8(x) as a definite integral . . J. W . L . G l a i s h e r Note on Fourier's theorem T . P a r m e n t i e r . Simplification de la méthode de l'interpolation de Simpson J. T h o m s o n . On an integrating machine having a new kinematic principle W. T h o m s o n . On an instrument for calculating f 7-64

- historische Miscellen.

I. Die geometrischen Progressionen bei den Arabern. Der Verfasser bemerkt, dass bei den Arabern sich Spuren Uber die Kenntniss der geometrischen Reihen bisher nur bei Albiruni gefunden haben. Dieser knUpft an das Schachspiel an und giebt die bekannte Zahl für die Summe der Weizenkörner richtig an-, auch kennt er noch einige weitere Eigenschaften derselben, die sich in seinem chronologischen Werke „Aläthar Alhäkiya- finden.

30

Abschnitt I. Geschichte und Philosophie.

Die allgemeine Summenformel bat Albiruni indess wahrscheinlich noch nicht gekannt, sondern die Zahl mit Hftlfe von Kunstgriffen, die er griechischen Ueberlieferungen verdankt, bestimmt. II. Die magischen Quadrate bei Gauss. Ergänzung zu der grösseren Arbeit des Verfassers : „Historische Studien über magische Quadrate". Aus dem Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher ergiebt sich, dass sie in Correspondenz Uber magische Quadrate gestanden haben und zwar aus Veranlassung von Arbeiten, die Clausen, Schumachers Assistent, ihm vorgelegt hatte. 0.

S. Günther. Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Leipzig. Teubner. Das Referat selbst wird im nächsten Bande nachgeholt werden. Vorläufig möge auf die eingehende Besprechung von Ca'ntor in Schlömilch Z. XXI Hl. A. 99-103 verwiesen werden. 0.

H. Hankel. Prospetto storico dello sviluppo della geometria moderna; scritto postumo. Traduzione dal Tedesco del Alfonso Sparagna. Boncompagni Bull. IX. 267-289. Uebersetzung der Einleitung von Hankel's „Elemente- der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung „s. F. d. M. VII. p. 353. 0.

V. Liguine. Note sur l'origine de l'idée de la cinématique. Nouv. Ann. (2) XV. 499-501. Der Verfasser bemerkt, gegenüber den Ausführungen von Transon und Lucas, dass schon Euler den Gedanken der reinen Bewegungslehre gefasst habe, und citirt zum Beweise eine Stelle der Schrift: Fonnulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum (N. Connu, i. Ac. Petrop. XX. p. 189.). 0.

Capitelli. Geschichte. F.

KLEIN.

31

Ist Oerstedt oder Schweigger der Entdecker

des Elektromagnetismus?

Pogg. Ann. CLVll. G47-64&

Im ftlnften Baude des Jahrbuches p. 9 war Uber eine anonyme Brochure mit dem obigen Titel referirt worden, in welcher die Priorität der Entdeckung des Elektromagnetismus für Schweigger in Anspruch genommen wurde. Der Verfasser der vorliegenden Notiz bemerkt, dass diese Behauptung unrichtig sei. 0.

J.

C . HOUZEAU.

Table chronologique des découvertes

astronomiques. 1876. 52-124.

Ann. de l'obg. de Brüx. 1877. Bruxelles. Hayez

Diese Tafel ist in 3 Theile getheilt, welche sich mit den Beobachtungen, den Methoden und den Instrumenten beschäftigen. Diese Eintheilung ist etwas künstlich, denn die Hypothesen, die Beobachtungen, die Instrumente und die Theorien stehen in einer zu engen Verbindung, um sie in einer historischen Uebersicht mit Nutzen zu trennen. Der Verfasser hat sich auch genöthigt gesehen die Analyse verschiedener Theile von Werken, wie vom Almagest, in verschiedene Theile zu setzen. Herr Houzeau hatte sich vorgenommen, in seiner chronologischen Tafel, nicht die besten Arbeiten Uber jede Frage anzugeben, sondern die ersten Untersuchungen, die, welche eineu neuen Weg eröffneten. Er ist dadurch gezwungen gewesen, manchen Schriftstellern, welche jeder Kritik ermangeln, wie Höfer und Bailly, die die Existenz einer wissenschaftlichen Astronomie in sehr entlegenen Zeiten annehmen, zu viel Vertrauen zu schenken. Man wird daher schwerlich dem, was er von den Indern und Chinesen sagt, viel Glauben schenken, oder gar solcher Aeusserung wie die folgende: „XIV. Jahrhundert: Chiron, der Führer der Argonauten construirt eine Himmelskugel". Den ersten astronomischen Schriftsteller Indiens, Aryabatta, stellt er 800 Jahre zu früh (300 vor Christus, statt 500 nach). Auch zeigen sich einige Lücken. So ist die erste Beobachtung des Neptun (23. VIII. 1846) nicht bemerkt. Trotz dieser Ausstellungen jedoch scheint dem Referenten die

32

I- Abschnitt

Geschichte nnd Philosophie.

chronologische Tafel des Herrn Houzeau ein in seiner Art vortrefflicher Versuch. Mn. (0.)

S.

Ziele und Resultate der neueren mathematisch-historischen Forschung. Erlangen. Begold. GÜNTHER.

Der in der Grazer Naturforscherversammlung unter obigem Titel gehaltene Vortrag erscheint hier umgearbeitet zugleich mit Noten, welche die einzeln berührten Themata weiter verfolgen und so einer durch die Umstände auferlegten Kurze nachträglich abhelfen sollen. Die gegenwärtige Schrift nicht weniger als der Vortrag ist zugleich auch für Nichtmathematiker bestimmt. (Kurz besprochen in Hoifmann Z. VII. 474 und Grunert Arch. LIX. litt. B. 36. Der Vortrag ist in Hoffmann Z. VII. 159-165 abgedruckt). H.

Capitel 2. Philosophie. E.

Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik. Zweite theilweise umgearbeitete und mit einer Anleitung zum Studium der Mathematik vermehrte Auflage. Leipzig. Fues. 8. DÜHRING.

Ueber die erste Auflage dieses Werkes ist bereits in eingehender Weise F. d. M. V. p. 59-70 berichtet worden. Auch später hat Ref. noch Gelegenheit ¡gehabt, aus Anlass eines Berichtes von Bertrand (s. F. d. M. VII. p. 22) auf das Werk zurückzukommen. Schon in der ersten Auflage hatte sich die Vorliebe des Verfassers, überall zu kritisiren, in nicht eben angenehmer Weise geltend gemacht. In der neuen Auflage sind Anmerkungen und eine Anleitung zum Studium der Mathematik hinzugekommen, in denen dies noch mehr hervortritt. Namentlich ist dort die Art und Weise, so wie die 'Sprache, in welcher der Verfasser

Capltel 2. Philosophie.

33

seine absprechenden Urtheile über Alles,, was bisher eines Namens genoss, abgiebt, eine so schroffe und das gewöhnliche Maass wissenschaftlicher Kritik Überschreitende, dass dieselbe fast unlesbar wird. 0.

J.

HOÜEL. Ueber die Rolle der Erfahrung, in exacten Wissenschaften. Grunert Arch. LIX. 65-75.

den

Die Abhandlung des Herrn J. Hoüel, über welehe F. d. M. VII. 28 berichtet wurde, ist hier von F. Müller in's Deutsche übersetzt und mit einigen literarhistorischen Anmerkungen versehen. M.

H. SCHEFFLER. Die Naturgesetze und ihr Zusammenhang mit den Principien der abstracten Wissenschaften. Erster Theil. Die Theorie der Anschauung oder die mathematischen Gesetze. Leipzig. Fr. Förster. Der Verfasser entfaltet eine bewundernswerthe Erfindsamkeit an Namen für erdachte Beziehungen zwischen mathematischen Gegenständen, welche den Eindruck neuer philosophischer, das ganze Gebiet verbindender Auffassung hervorzubringen geeignet sind. Wissenschaftlicher Inhalt, von einigem Reproducirten abgesehen, ist nicht vorhanden. H.

Grundgedanken erklärung. Pr. Neumünster.

FUNCKE.

der

mechanischen

Natur-

Die Schrift handelt der Reihe nach vom Wesen der Natorerklärung, vom Causalitätsprincip und Naturgesetz, von Stoff und Kraft, von Arten und Constitution der Materie, von Valenz, von Grösse der Molecule und Atome, von Aggregatzuständen und von physikalischen Agentien und Chemismus. Der Anfang zeigt grössere Gründlichkeit und haltbarere, klarere Gedanken als im weiteren Fortgang zur Ausführung gelangen, wo der Vortrag Fortachr. d. Math. VIII. 1.

3

34

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

mehr und mehr in eine blosse Musterung und Zusammenstellung vorgefundener Ideen ohne logische Kritik abergeht. Letztere yermi8st man z. B., wenn der Verfasser Stösse der Molecale als einfache, keiner Erklärung bedürftige Vorgänge behandelt, während er Wirkung in die Ferne (die er freilich zulassen zu müssen glaubt) für eine schwer zu begreifende Sache ansieht ohne an die Frage .zu denken, was man unter einer Wirkung verstehen soll, die nicht Wirkung in die Ferne sei. Eine formulirte Angabe des Grundgedankens der Naturerklärung kommt nicht vor; dem Verfahren zufolge scheint jedoch der Verfasser Ober die unter Laien übliche Auffassung nicht hinauszugehen, der gemäss von der Erklärung nichts weiter als Reduction auf geläufige Vorstellungen verlangt wird, mögen diese auch noch so unentwickelt und vag sein. Im ersten Abschnitt wird die psychische Genesis der Grundbegriffe mebr angedeutet als ausgeführt; der Versuch eines weiteren Verfolges vom richtig Begonnenen führt den Verfasser meist auf Abwege und nur darum auf Schwierigkeiten. Es ist richtig, dass die Erkenntniss, hervorgehend aus dem Bedürfniss sich in der Erscheinungswelt zurecbt ¿b finden, an die Stelle der natürlichen Einheit des Sinneneindrucks die künstliche Einheit der Substanz setzt. Dass aber beide ähnliche, soweit möglich übereinstimmende Bilder liefern sollen, ist eine unnöthig herbeigezogene, irrige Forderung (der Aether ist der Farbe nicht ähnlich). Diese Täuschung hindert den Verfasser entschiedene Principien in der Genesis der Begriffe aufzufinden. Er hat die andere wichtigere Forderung übersehen, dass das Substrat den Wechsel der Erscheinung überdauern muss. Ebenso ist die Bemerkung richtig, dass wir die Art leichter erkennen als das Individuum z. B. eine Fliege. Der Verfasser findet keine andere Erklärung als Mangel an geistiger Kraft. Dennoch liegt die ausreichende nicht weit; er brauchte nur in Betracht zu ziehen, wie durch das hinzutretende Erkennen der Art (Vergleichung der zweiten Fliege mit der ersten) die, zwar jederzeit vorausgehende, aber unvollendete Erkenntniss des Individuums fortentwickelt und als dauernde Fähigkeit erst zum Bewusstsein gebracht wird. Auch scheint er die Identitätsfrage nicht als ge-

Capitel 2.

Philosophie.

35

sonderte aufzufassen, vielmehr mit einzumischen. Bei Besprechung des Causalitätsbegriffes vermiast man sehr die Vergegenwärtigung der bei der Causalität in Betracht kommenden Elemente oder Factoren. Obgleich der Verfasser die vulgäre Auffassung nicht ohne Gorrectiön lässt, wird er doch durch sie dazu verleitet, Ursache und Wirkung als gleichartige Dinge anzusehen. Es findet sich kein Wort der Beachtung, dass die exacte Wissenschaft nur dauernde Ursachen (Ursachen wohl zu unterscheiden von momentanen Umständen) und nur Veränderungen als Wirkung kennt, während im vulgären ungenauen Gebrauch der Vorgang Ursache des Vorgangs ist, so dass die Erklärung im Grunde keinen Schritt weiter kommt. Indem der Verfasser sich in der mannichfaltigen Anwendung des Causalitätsbegriifs umsieht, ergeben sich allerdings einige anzuerkennende Scheidungen, z. B. zwischen dem Naturproduct und Artefact, doch wird keine einzige Bemerkung zu einem exacten Abschluss geführt. Das Folgende, welches sich eklektisch zwischen vielbesprochenen Aufstellungen bewegt, bietet keinen besonderen Anlass zum näheren Eingehen. H.

Rapport sur une thèse de M. Ch. Savez: La matière est-elle inerte? Bull, de Belg. (2) XLI. 1153-1155.

STRICHEN.

Der Berichterstatter kritisirt die These des Herrn Savez (Die Materie ist nicht träge, denn die Bewegung gehört zu ihrem Wesen), ohne tief in die Frage einzugehen und ohne die Arbeit zu analysiren, in der man unter anderen folgende Behauptung findet: Es giebt keine gleichförmige Bewegung. Die Newton'sche Attraction ist eine falsche Induction. Mn. (0.)

Philosophie et enseignement des mathématiques. Sur la réduction des démonstrations à leur forme la plus simple et la plus directe.

DE S A I N T - V E N A N T .

C. R. LXXXIII. 102-106, 256-267.

3*

I. Abschnitt.

36

Geschichte and Philosophie.

Um die einfachsten Beweise fflr elementare Sätze aufzufinden, rätb der Verfasser die beim gewöhnlichen Beweise zu Hülfe gezogenen Sätze wieder aufzulösen und deren Beweise als Theile in den Gesammtbeweis einzufügen. Indem er so mit dem Euklid'Beben Beweise für den Pythagoräischen Satz verfahrt, gelangt er zu einem solchen, der durch blosse Verschiebung der Thüle des Quadrats zustande kommt. Er bespricht ferner mit ausschliesslicher Bezugnahme auf die französischen Unterrichtsanstalten das Verhalten zur Infinitesimalrechnung, welches, entgegen bestimmten Verordnungen, die unendlichen Grössen durch künstliche Auskunftsmittel zu umgehen gesucht habe, und befürwortet ein directes Eingeben des Unterrichts auf die Infinitesimaltheorie, sieht jedoch dieselbe noch für schwierig und geheimnissvoll an. Beide Auslassungen ignoriren Bekanntes in grossem Umfang und zeigen eben nur die Anfänge von Ideen, die anderweit längst Platz gegriffen haben. H.

J.

Das Beweis verfahren in den inversen Rechnungsarten betrachtet vom Standpunkte der genetischen Methode. Hoffmanu Z. VII. 345-355. BELOVIC.

Der Artikel wendet sich gegen Ausführungen von Zerlang und Börner. Er macht auf Täuschungen aufmerksam, in denen ein vermeintlich genetisches oder heuristisches Verfahren befangen ist, namentlich wenn dasselbe Prämissen und Resultat, beide unbekannt, entwickeln zu können vorgiebt. Der besonders zur logischen Gorrection dienende Gesichtspunkt ist die Auffassung der algebraischen Transformation, z. B. a-\-b _ a b als Lehrsatz, welcher den Rechnungsgang in die Wahl des Schülers stellt, nicht als Aufgabe der Division oder Addition. Nicht der Satz, sondern aus dem Satze die Anwendung ist entwickelungsföhig. H.

Capitel 2.

G.

Philosophie.

37

DILLNER. Om Matematikens Studium vid nägra af den Tysken Universiteten. Reseberättelse.. Upsala UnivereitetB-^rskrift 1876.

Matematik och NaturyeteDBkap.

Enthält hauptsächlich ein Referat über die Statuten der mathematischen Seminarien zu Göttingen, Halle, Berlin, Königsberg, Breslau und Bonn. Der Verfasser theilt auch den Jahresbericht 1850-1851 des Seminars zu Göttingen mit, sowie den Bericht des Herrn Schering über die Wirksamkeit desselben Seminars während des Jahres 1874-1875- Auf. Grund eigener Beobachtung giebt der Verfasser einen Bericht über die Arbeiten des Göttinger Seminars während des Wintersemesters 1875-1876. Herr Weierstrass hat dem Verfasser gütigst ein interessantes Verzeichniss über einen Theil der Fragen mitgetheilt1, die unter seiner Leitung im Berliner-Seminar behandelt worden sind. Auch der Bericht des Herrn Weber über die Wirksamkeit des Seminars zu Königsberg 1875-1876 wird angeführt. Endlich wird ein Vergleich zwischen den mathematischen Studien in Deutschland und im Vaterlande des Verfassers aufgestellt, der für letzteres sehr unvortheilhaft ausfällt. Als Hauptgrund wird die Anordnung der Examina an den schwedischen Universitäten angegeben, die sehr nachtheilig und hinderlich für das Studium von rein wissenschaftlichen Fragen sei. Der Verfasser schliesst mit folgenden Worten: „Ein wissenschaftliches Examen, in der Hauptsache unserem Licentiatexamen entsprechend, aber unabhängig von jedem anderen vorbereitenden Examen ausser dem Maturitätsexamen auf den klassischen oder realen Schulen, sowie eine entsprechend vermehrte Zahl von akademischen Lehrern würde dem schwedischen Studenten Gelegenheit bieten, sich unter gleichen Bedingungen mit dem deutschen zu messen, sowohl in Bezug auf den Umfang der wissenschaftlichen Kenntnisse als auf die Zeit, die zur Aneignung dieser Kenntnisse verwendet wird; und ich glaube, dass der Vergleich in solchem Falle fttr uns vollkommen befriedigend ausfallen würde," M. L.

I. Abschnitt.

38

Geschichte and Philosophie.

Note sur l'enseignement des mathématiques dans les collèges. Ann. Soc. scient. Brüx. I. A. 160-170.

P . MANSIÓN.

Jeder Unterrichtszweig muss zur Erziehung beitragen, muss den übrigen wichtigen Zweigen ntttzlich, nicht schädlich sein. Die Fähigkeiten für Zahlen und Geometrie treten bei den Kindern etwa im zehnten Jahre, manchmal sogar früher auf. Die Fähigkeit der logischen Déduction dagegen erst im 15. und die Fähigkeit zur Kritik und Mechanik noch später. Man sollte daher vor dem fünfzehnten Jahre die Kinder nur in den Elementen der Mathematik und des Zeichnens in praktischer and anschaulicher Form unterrichten und den speculativen und abstracten Unterricht erst später beginnen. Man muss daher speciell alle die geometrischen Gegenstände, welche die Theorie der Grenzen voraussetzen, Boweit als möglich verschieben. Ebenso sollte man in engster Weise die Algebra der Arithmetik, die Trigonometrie der Geometrie anschliessen. Der pädagogische Einfluss der Mathematik kommt hauptsächlich der Fähigkeit der Déduction im Bereich der Grössenidee zu Statten. Mn. ( 0 . )

SCHULTZEN.

Der erste geometrische Unterricht.

Pr. Goslar.

Der Verfasser verlangt, dass man dem Anfänger in der Geometrie durch eine vorausgehende Orientirung in den Kaumgebilden zu Hülfe komme. Die Schrift geht das Pensum für Quarta durch und sucht durch angeknüpfte Fragen der Forderung zu genügen. H.

BÖRNER.

Geometrische Propädeutik.

Pr. Ruhrort.

Die vorliegende Schrift stellt zuerst die Grundsätze, dann den Entwurf einer geometrischen Propädeutik, letztere in abgekürzter Form, auf. Sie zeichnet sich dadurch auB, dass sie die strenge mathematische Methode in vollem Maasse würdigt und als das nothwendig zu erreichende Ziel betrachtet, nach welchem die Propädeutik unmerklich hinführen soll. Daher verwirft sie

Capitel 2.

Philosophie.

39

principielle Entgegensetzung und Abweichungen, die nicht im einzelnen Falle zweckentsprechend sind. Die stereometrische Betrachtung wird zugezogen, doch soll sie kein blosses formelles Mittel zur Herleitung der Begriffe sein, sondern das Interesse durch Darbietung von Fähigkeiten wach erhalten. Der Fortschritt ist vom Besondern zum Allgemeinen, vom Würfel, Quadrat durch das rechtwinklige Viereck und Dreieck zum beliebigen Dreieck. Der Verfasser hebt folgende Grundsätze hervor: Der ÜAterricht soll an bekannte Begriffe anknüpfen, aber nicht bei diesen und bei dem inductiven Verfahren stehen bleiben, sondern allmählich die. Methode ausbilden und sich mehr und mehr der mathematischen Form anschliessen. Das Ganze soll systematisch geordnet sein und darf in der Begründung keine Lacke enthalten. H.

Soll beim trigonometrischen Unterrichte das geometrische oder das arithmetische Princip vorherrschen ? HoffmanD Z. VII. 1-12.

F . REJDT.

Das geometrische und das arithmetische Princip beim trigonometrischen Unterrichte. Hoffmann z. VII.

ERLER.

435-439.

Das letztere Princip-wird im Text zutreffender das analytische' genannt; denn es wird damit die Methode bezeichnet, welche von Anfang an die Totalität der Dreiecksaufgaben in's Auge fasst und systematisch löst. Mit dem Entgegengesetzten ist kein Princip kenntlich gemacht; es kann damit nur das gewöhnliche, synthetische Verfahren gemeint sein, das jede Aufgabe fttr sich betrachtet. Der Verfasser der ersten Schrift räth beides zu verbinden, weil jedes in einer Hinsicht unzureichend sei. Wie sich in der That der der analytischen Methode zugeschriebene Nachtheil, dass das Kennenlernen einer Universalmethode zur Gedankenlosigkeit führt, durch jene Verbindung abwenden lässt, ohne das Princip zu verdunkeln, würde weit deutlicher an's Licht getreten sein, wenn die Bedingung, unter der allein die analytische

40

I. Abschnitt.

Geschichte nod Philosophie

Idee auf der Schule, wo sie nicht heimisch ist, Berechtigung hat, in Betracht gezogen wäre, die nämlich* dass jene Methode auf Anwendung der erworbenen Fertigkeit hinzielt, welche das erneute Nachdenken erfordert und das Bewusstsein der Bedeutung der Rechnungselemente rege erhält. Die eigentliche Frage der Ueberschrift bleibt unbeantwortet Gerade auf dieBe Frage geht aber der zweite Aufsatz von Erler ein und entscheidet sie nach vergleichender Charakterisirung beider Methoden dahin, dass zuerst und so lange die analytische vorherrschen soll, bis der Schfiler zum Bewusstsein erlapgter Fertigkeit gelangt ist und deren Früchte kennen gelernt hat. H.

S . GÜNTHER.

Zum Unterricht in der höhern Analysis.

Hoflmann Z. VII. 356-369.

Der Verfasser mustert die vorhandenen Lehrbtteher der höheren Analysis, deren Nachweis am Schlussc gegeben wird, grösstenteils nach subjectiven Gesichtspunkten. Nur im Anfang wird die Scheidung der Methoden, wiewohl ziemlich flüchtig, in Angriff genommen, dieselben jedoch sogleich in ein verkehrtes Yerhältniss gebracht. Nach vorliegender Darstellung war Hoppe's Infinitesimaltheorie der erste Fortschritt über die verurtheilte Lagrang e'sche Ableitung aus Reihen und über die vagen Begriffe vom Unendlichkleinen nebst mannichfaltigen Auskunftsmitteln, ward aber nachher vollkommen ersetzt durch die Grenzmethode. Der Verfasser überspringt also gänzlich die methodischen Leistungen Cauchy's, den er nur als Kritiker Lägrange's kurz erwähnt; er weiss nichts davon, dass eben jene von ihm gerühmte Grenzmethode durch Cauchy's Arbeiten ihre Ausbildung erhielt, und übersieht, dass die neue Infinitesimaltheorie gerade die Bestimmung hat, die Mängel dieser vorher herrschenden Grenzmethode, bestehend in vielfachen Lücken der Bündigkeit, unnöthiger Einengung des Rechnungsverfahrens und unnatürlicher Verhüllung der logischen Beziehungen, zu beseitigen. Dass etwa die neueren Lehrbücher, denen er schlechthin die Grenzmethode

Capitel 2.

Philosophie.

41

zuschreibt, einen solchen Standpunkt beanspruchten und eine Verbesserung der alten zum Ziele nahmen, dafür fehlt jede Erklärung. Der Verfasser hat also den Fortschritt der Methode völlig ignorirt. Die Uebergehung von Cauchy's Schriften findet sich auch im literarischen Nachweis, und wird hier durch Nachtrag der Redaction corrigy-t. H.

Zweiter Abschnitt. A l g e b r a .

Capitel 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.) G.

BKLLAVITIS. Padova.

ßiassunto delle lezioni di algebra.

8.

Das Buch soll eine Einführung in die sogenannte „Algèbre complémentaire" sein. Cap. I. behandelt die numerische Auflösung der algebraischen Gleichungen mit einer Unbekannten, Cap. II. die algebraische Lösung der Gleichung 3" n und 4 len Grades und einiger algebraisch auflösbarer Gleichungen vom höheren Grade. In Cap. III. folgen auf die Entwickelung der Binomialformel die Sätze von Hudde, Rolle, Sturm und Sylvester; darauf Einiges Uber den Gebrauch der Decimalfactoren bei der Auflösung von Gleichungen und die Zerlegung gebrochener Functionen. Cap. IV. enthält die Factoriellen, die Combinationen und einiges Allgemeine über Wahrscheinlichkeitsrechnung. Cap. V. giebt einen Abriss der Determinantentheorie und der Elimination aus Gleichungen beliebiger Grade. Cap. VI. enthält eine Einleitung in die Zahlentheorie bis zu den Congruenzen 2'"" Grades, Cap. VII. die Anwendung der Logarithmen, auch der Gauss'schen, die Exponential- und hyperbolischen Functionen. In Cap. VIII. zeigt der Verfasser die Verwerthung seiner Methode der AequU

Capitel 1.

Gleichungen.

43

pollenzen in der Theorie des Imaginären, woran sich die cyklometrischen und die trigonometrischen Functionen schliessen. Im folgenden Cap. IX. werden die Interpolation, die abgeleiteten Functionen, die unendlichen Reihen, die Näherungsmetboden behandelt, und es wird die Functionentheorie fortgesetzt bis zu der Einführung der elliptischen Functionen. Das Schlusscapitel'X. enthält die symmetrischen Functionen, die Theorie der linearen Substitutionen, die Theorie der algebraischen Formen mit Anwendung der Discriminanten, Invarianten und Govarianten. Ein ausführliches Referat Uber das Buch findet sich Darboux Bull. X. 6.-61); ebenso Mondes (2) XL. 619. M.

J.

M.

J.

SACHSE.

Allgemeine Arithmetik und Algebra.

Cobleoz. J. Hölscher.

Dieses, als III." Theil des „Allgemeinen Deutschen Rechenbuches" erschienene, Lehrbuch ist bestimmt zum Gebrauche in den mittleren und oberen Klassen von Gymnasien, Real- und Gewerbeschulen und an Schullehrer-Seminarien. In dem ersten, dem theoretischen Theile werden die Hauptgesetze fttr die 7 arithmetischen Operationen gegeben; daran schliessen sich die quadratischen und Exponentialgleichungen, die Progressionen, Kettenbrttche, diophantischen und cubischen Gleichungen, und den Schluss bildet die sogenannte „Syntaktik", nämlich die Permutationen, Gombinationen, Variationen uucl der binomische Satz. Der zweite, der praktische Theil, enthält circa 5700 Uebungsbeispiele, praktische Aufgaben aus der Physik etc., Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung etc. Ein Anhang giebt physikalische Tabellen, Epacten -Tafeln und andere in der praktischen Arithmetik vorkommende Tabellen. M.

E.

Ueber v. Staudts Rechnung mit Würfen und verwandte Operationen. Clebsch Ann. x. 269-317. SCHRÖDER.

Mit Staudt's Wurfrechnung (Beitr. zur Geom. der Lage § 19-21, 27-29) haben sich neuerdings Lilroth und der Referent

II. AbBchaitt.

44

Algebra.

in geometrischer Weise beschäftigt (Gott. Nachr. 1873 S. 767; Clebsch Ann. VIII. 1; IX. 333; cfr. Jahrb. V. 307; VI. 301; VII. 357); der Verfasser behandelt dieselbe von der algebraischen Seite. Die homogenen Coordinaten der Punkte eines Kegelschnitts können als ganze rationale Functionen 2 ,en Grades eines Parameters dargestellt werden; wenn tQ, (x) = q seien alle Coefficienten, auch q, positive ganze Zahlen. Ist dann t eine positive ganze Zahl und hat man und macht man q-

4p;

Solution of a question (5029). 3px

0.

Educ. Times

+ q = 0 nur eine reelle Wurzel a,

sind dagegen alle drei Wurzeln reell,

numerisch kleiner sein als 2 p*.

so ist

so muss eine 0.

C. MOREAU. Solution d'une question. Nou? aud. (2» xv. ist;. Ueber eine Gleichung dritten Grades.

0.

Capitel 1

GleichoDgen.

53

Bemerkung zu der Auflösung der biqua-

HEILERMANN.

dratischen Gleichungen. Schlömilch Z. XXI.-3G4-3Ü5. In einer ioi Jahre 1 s.Y> erschienenen- Programmabhandlung hat der Herr Verfasser eine Methode zur Zerlegung der quadratischen, cubischen und biquadratischen Functionen veröffentlicht, welche zur Auflösung der entsprechenden Gleichungen führt. Diese Methode wird hier für die biquadratischen Gleichungen noch einmal kurz angedeutet. Sie beruht d a r a u f , dass die biquadratische Function f(x) = ax* + ibx3y+6cx'y* + 4dxyi durch die Substitution x^ag + ßr), y = yi + dtj in eine quadratische Function der Variabein wird.

J.

DIEKMANN.

chungen.

+ ey*

tj* verwandelt M.

Zur Theorie der biquadratischen Glei-

HoffmaanZ. VII. 100-106.

Der Aufsatz schliesst sich an diejenige Lösungsweise an, nach welcher die 3 höchsten T e n n e zum Quadrat eines Trinoms ergänzt werden, während der Rest — fx* — 2Rx — S* durch die Bedingung TS* — R* als negatives Quadrat bestimmt wird. Es werden nun die 2 Fälle T = fi = (); S = R = 0 discutirt, in welchen die cubische Bedingungsgleichung nicht in Anwendung kommt, und zwar die Coefficienten der Urgleichung sogleich in deren 4 Wurzeln dargestellt. So ergiebt sich, dass die biquadratische Gleichung ohne Resolvente lösbar ist, wenn die Wurzeln arithmetisch oder geometrisch proportionirt, oder äquianharmonisch oder harmonisch zugeordnet sind. Die Bedingung in Coefficienten ausgedrückt lautet (nach Elimination des 5 " n ) :

ist also durch c und durch d erfüllbar.

H.

54

II. Abschnitt.

Algebra.

Nouvelle solution de l'équation générale du quatrième degré. C. R. LXXXII. 1093-1095, Mondes (2) XL.

WKICHOLD. 282-283.

Mit einer geringen, nicht sehr vortheilhaften Âeuderung ist es die Lagrange'sche Methode, welche vorgetragen wird. No.

N.

FITZ.

Solution of the général biquadratic équation.

Analyst III. 50-51.

Methode zur Lösung der Gleichungen 4 , e n Grades. Glr. (0.)

F.

KLEIN.

saëder.

Weitere Untersuchungen

über

das

Iko-

Erl. Ber. 1876. Heft 9. 16-29.

Die Gleichung 12le" Grades, auf welche das Ikosaëder führt (8. Jahrb. VII. p. ö3), war mittelst einer Gleichung ô le " Grades in quadratische Faktoren zu zerlegen, also mit deren Hülfe zu lösen. Der Verfasser beginnt nun mit dieser Note die umgekehrte Untersuchung, durch die Betrachtung der Ikosaëdergleichung die Auflösung der Gleichungen .V" Grades zu fördern. Sei die Ikosaëdergleichung, in der kanonischen F o r m : f(ji) = , ( , « » + 1 1 ^ - 1 ) = 0 , H deren Hesse'sche Form, T die Functionaldeterminante von f und H, so wird, als allgemeinste Govariante von f , die Gleichung 60 , e n Grades: (I.) 1728. IPÇrj) — xp^rf) = 0 betrachtet, welche den willkürlichen Parameter x enthält. Diene Gleichung definirt die Ikosaëderfunctiott j), eine Function von x, die hier als die fundamentale Irrationalität betrachtet wird. Durch irgend eine Wurzel von (I.) und" durch 5'" Wurzeln der Einheit drücken sich die übrigen 59 Wurzeln rational und linear auf einfache Weise aus. Die Darstellung von rj geschieht hier nach Schwarz mit Hülfe hypergeometrischer Reihen. Seien diese nämlich:

Capitel 1

so wird

= n u , F* = KU,

Gleichungen.

55

i . *), - A , i, 1-®),

. . —1,785...F, + 2 , 8 5 8 . . . F , 6,101...F, — 5,658...F t ' Die Function r¡ steht nun im Zusammenhang mit den von Kronecker und Brioschi studirten Resolventen tí"'" Grades der Gleichungen ñ le " Grades. Eine solche Besolvente, mit den 6 Wurzeln s„ bat die Eigenschaft, dass die / z ; lineare Functionen von 3 Parametern At,AnAs sind. Hier handelt es sich zunächst um die sogenannte specielle Resolvente, die linear in die Form übergeht: (II.) 3'6 + 10a'3— 12 fez' + 5 = 0, und fttr welche zwischen den Parametern eine quadratische homogene Relation existirt: A\ -f- A, At = 0Die Auflösung von (II.) wird nämlich direct durch die von (I.) gegeben, indem die sich linear und homogen zusammensetzen aus den Ausdrucken: n ^ -i nK X)

welches die Parameter Au, At, At sind. Man sieht das direct so ein: Die Beziehungen zwischen den /z, und den Aa, Ax, At zeigen, dass alle 60 Werthe der Verhältnisse A0:A1:Ai als lineare Oombinationen der ursprunglichen Aa, An A3 erscheinen; so dass man ein geschlossenes System von 60 linearen Transformationen hat, die ' A\-\-A,

in sich überfuhren.

A2 = 0

Dies giebt für die Parameter

eine endliche Gruppe von 60 linearen Transformationen, was nach dem früheren Aufsätze des Verfassers auf eine Ikosaedergleichung für tj führt. Diese geometrische Auffassung führt den Verfasser auch, was die Hauptsache ist, zur Behandlung der oben genannten allgemeinen Gleichung 6 ,e " Grades, für welche At * -j- A, At

56

II. Abschobt.

Algebra.

nicht irleich o ist. Es werden, geometrisch zu reden, dem Punkte At:A,:At die beiden Punkte des Kegelschnitts A\-\- At A, — ü zugeordnet, in welchen derselbe von der Polare des Punktes geschnitten wird. Die Parameter t j n tjt dieser beiden Schnittpunkte hängen von je einer Ikosaedergleichung ab, deren Parameter xl und x3 von den Coefficienten A, B, C der gegebenen Gleichung durch eine quadratische Gleichung abhängen. Diese Gleichung wird hier explicite angegeben. Dabei müssen freilich noch die j e 60 Wurzeln der beiden Gleichungen für 17, und 17, einander eindeutig zugeordnet werden, was hier nicht vollständig ausgeführt scheint. Dann aber ergeben sich A0, At, A3 und somit die Wurzeln der Gleichung Ii""" Grades unmittelbar. Zum Schluss sei noch bemerkt, dass alle in diese Entwickelungen eingehenden ganzen Functionen von A0, At, At, die bei den 60 Substitutionen unverändert bleiben, sich auch als simultane Invarianten der Ikosaederform f und der quadratischen Form (von den Wurzeln tj t , t]t) auffassen lassen und ganze Functionen der 3 Coefficienten A, B, C der Gleichung 6 ,en Grades und einer vierten Invariante D werden. Nr. A.

v. D. SCHULKNBURG. of the fifth degree.

Solution of the general equation Analyst. III. Hl-148. 173-178.

Uebersetzung der .Arbeit: „Die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Halle, Schmidt 1861" durch Herrn A. B. Nelson, ohne Kritik. Glr. (0.)

Capitel 2.

Theorie der Formen. F.

F A A DE BRUNO.

Théorie des formes binaires.

TUI-ÌD,

Librairie Brero Suce, de F . Marietti. 1876.

Zur Einführung in das weite Gebiet der invarianten-theoretischen Forschungen, die in rascher Entwickelung jetzt schon alle

Capitel 2

T h e o r i e der F o r m e o

57

Zweige der Mathematik durchdringen, hat bisher nur das Salnion'sche Werk „Algebra der linearen Transformationen- (übersetzt von Fiedler) dienen können. Auch dieses ist mehr Hand- als Lehrbuch und wird vom Anfänger mit Vortheil nur in Verbindung mit den Fiedler'selieu „Elementen der neuereu Geometrie" benutzt werden. Die hiernach bestehende Llicke sucht das vorliegende Lehrbuch auszufallen. Dem Salmon'schen Buche gegenüber ist es viel elementarer gehalten, indem es sich darauf beschränkt, den Leser nur bis zu den Originalarbeiten hinzugeleiten. Freilich setzt es auf der anderen Seite wieder die Theorie der Determinanten voraus. Der Inhalt ist die Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung und der wesentlichsten Eigenschaften der Invarianten und Covarianten. Wir bezeichnen den Inhalt der einzelnen Kapitel genauer: In Kapitel 1 werden neben den einfacheren Eigenschaften der symmetrischen Functionen die partiellen Differentialgleichungen (von Brioschi und Cayley aufgestellt) mitgetheilt, welchen die Functionen genügen und welche erlauben, ihren Ausdruck in den Coefflcienten der Form nach zu bilden. Dieser Methode werden am Schlüsse des Buches Tafeln der symmetrischen Functionen bis zur Ordnung 11 incl. angehängt. Auch die Borchardt'sche Darstellung durch die „erzeugende Function" wird wiedergegeben. Kapitel 2 und 3 Uber die „Resultanten" und „Discriminanten" sind etwas knapp gehalten, wohl desshalb, weil der Verfasser in einem früheren Buche diese Theorie auseinandergesetzt hatte. Auch wird es bei einigen dieser Sätze, wie bei (50), p. 93 (auch nach Correctur des Druckfehlers) für den Anfänger nicht leicht sein, zu verstehen, ob die Theoreme für 2 Gleichungen von gleichem Grade oder auch für solche von ungleichem Grade gelten sollen. Kapitel 4 enthält die Ueberführung der Formen ungraden Grades und vom Grade 4 und 8 in die kanonische Form, die Summe von Potenzen. Kapitel 5 beschäftigt sich mit den Invarianten, hauptsächlich nach den Methoden und auch nach der Bezeichnungsweise der

58

II. Abschnitt.

Algebra.

Engländer. Zunächst werden die Eigenschaften in Bezug auf die Coefficienten der Forin abgeleitet, die partiellen Differentialgleichungen, die Berechnung der Zahlencoefficienten der Invariante bei gegebener Gestalt derselben. Sodann die analogen Eigenschaften der Invarianten in Bezug auf die Wurzeln der Forin. Am Schlüsse des Buches finden sich auch noch Tafeln der Invarianten der Formen 2,e" bis o'"11 Grades, in den Ausdrücken durch die Wurzeln sowohl als durch die Coefficienten. Kapitel 6 handelt ähnlich von den Covarianten und giebt weiter auch die directere Aufstellung einer Reihe solcher durch verschiedene Operationen, wie Polarenbildung (Emananten) etc.; als Beispiel die Aufstellung der kanonischen Form der Formen graden Grades. Von den Anwendungen erwähnen! wir weiter die Lösungen der Gleichungen 3"1" und 4,e" Grades; aber zu diesen dem Anfäuger doch interessantesten Anwendungen ist zu bemerken, dass die Durchführung der Lösung fttr die Gleichung 3len Grades nicht gegeben, vielmehr mit einem Citat auf Cayley erledigt wird (No. 136), uud dass adch fttr die Lösung der Gleichung 4""" Grades in der Form (2M) No. 138 auf den n o t wendigen Zusammenhang zwischen den Vorzeichen der 3 Quadratwurzeln uicht ausdrücklich aufmerksam gemacht wird. Kapitel 7 enthält specicllere Untersuchungen: die Hermite'sche Theorie der associirten Formen, ferner das von Hermite gegebene Gesetz der Reciprocität, nach welchem jeder Covariante r"'r Ordnung (in den Coefficienten) von einer Form n""" Grades eine Covariante r" r Ordnung von einer Form r ,e " Grades entspricht; weiter «in Beispiel einer typischen Darstellung, derjenigen der Form .V" Grades durch Einführung zweier linearer Covarianten; und endlich Einiges über die Tschirnhausen'sche Transformation. Am Schlüsse ist noch eine Einführung in die symbolische Darstellungsweise, die nach den Arbeiten von Clebsch und Gordan sich als die angemessenste gezeigt hat, gegeben. Vielleicht würde das wichtige Gesetz der Reciprocität des Kapitel 7 bei einer Anwendung dieser Darstellungsweise klarer hervorgetreten sein. Wenn somit, wie diese Inhaltsangabe zeigt, auch einige Lücken vorhanden sind, so ist doch das Buch, bei dem methodisch

Capitel 2

Theorie der Formen.

59

geordneten und fast überall sehr klar dargestellten Stoff, auch bei uns zu einer Einführung in die Oisciplin der neueren Algebra sehr wohl geeignet, insbesondere auch für das Selbststudium. Für eine Uebersetzung wäre aber zu wünschen, dass die Kapitel 2 und etwa auf Kosten des ersten Kapitels, weiter ausgeführt würden. Eis ist noch zu bemerken, dass die Brauchbarkeit des Ruches in einem demselben vorangedruckten Briefe von H. Gordan anerkannt wird. (Ein Referat über das Buch findet sich auch in Darboux Bull. X. 166 ) Nr.

C. C.

JORDAN.

Memoire sur les oovariants des forme«

binaires.

Liouvilie J (3- Ii

JORDAN. 269-270.

Covariants des fonues binaires.

177-233. C R LXXXII.

Herr Jordan giebt, in Ausführung der im 7. Band des Jahrbuchs, p. 58 erwähnten Note, die ausführliche Darstellung zunächst der symbolischen Rechnungsmethode in der Formentheorie, sodann des von Gordan gegebenen Beweises der Endlichkeit des den binären Formen zugehörigen System. Die letztere Darstellung geschieht auf Grundlage von Gordan's früheren Arbeiten, nicht nach dessen neueren Entwickelungen (s. F. d. M. VII. p. 50). Die Absicht ist, das System von Grundformen, das zu einer binären Form gehört, enger zu begrenzen. Zu diesem Zwecke werden die bei Gordan auftretenden Relationen, welche zwischen den Formen dritter Ordnung (in den Coefficienten) existiren, sowie dessen Zahlengleichungen einer specielleren Discussion unterworfen, was den Verfasser zu gewissen oberen Grenzen für Grad und Ordnung der Grundformen führt. Nr.

Sistenia sinmltaneo di due tonne biquadratiche binarie. Battagliui G. xiv. 1-14.

E . BKRTINI.

Das simultane vollständige System zweier binärer biquadratischer Formen wird nach den in Clebsch's „Binäre Formen"

II Abschnitt.

60

Algebra.

mitgetheilten Methoden aufgestellt. Es ergeben sich, wie schon von Gordan, (Clebsch Ann. II.i gezeigt ist, ausser den Systemen der beiden einzelnen Formen, uoch 20 simultane Formen, nämlioh 4 Invarianten, 8 quadratische Covarianten, 4 biquadratische und 4 vom (j"" Grade, im Ganzen also 30 Formen, wovon indess einige möglicherweise überflüssig sind. Nr

G.

BATTAGLINI.

Nota sulla quintica binaria. Battaglmi G

XIV. 54-66.

Eine eingehende geometrische Interpretation des Systems der binären Form 5"" Grades, indem die bekannte geometrische Bedeutung des Systems der Formen niedrigeren Grades auf die Polaren jener Form augewandt wird. Nr.

L . WEDEKIND.

Studien im binären Werthgebiet.

Habilitatiousschrift (Jarlaruhe. Es werden dreierlei Gegenstände behandelt. Zuerst wird der Begriff des Doppelverhältnisses von 4 auf einer reellen Fläche 2 , t n Grades gelegenen Punkten (siehe F. d. M. VII. p. 57) analytisch entwickelt in den Ausdruck 12 (aga, b^b-t — a^a^b^b^ — 24 a9 bn b;

¿(jfyffi)6(acd)9

wo al=b2x = 0 die Gleichung der gegebenen Fläche, /¡, 9 die 4 betreffenden Punkte derselben sind. Derselbe wird mit den projectivischeu Massrelationen zwischen einem diese Punkte verbindenden Geradenpaare, wie sie von anderer Seite gegeben sind, verglichen. Sodann werden geometrische Betrachtungen über solche Punktgruppen, insbesondere über die Construction eines das Doppelverhältniss darstellenden Punktes und der Hesse'schen Covariante gegeben. Endlich wird die Bedeutung verschiedener Covarianten einer binären Form f untersucht. Der Weg ist der einer directen Betrachtung der bezüglichen Coefficientenrelationen. Die behandelten

Capitel 2.

Theorie der Formen.

61

Fälle sind: 1) H(=(jf)*) = 0; 2) B besteht aus einem einzigen Term; 3) ( f f ) * = 0 . Das letztere sagt im Allgemeinen .aus, dass die binäre Form n'"" Grades einen (»—l)-fachen Factor hat; und ausserdem werden die drei bekannten Ausnahmefälle, die Formen 4"'n, 6 ,e " und 12,pn Grades, welche durch die regulären Körper dargestellt werden können, wiedergefunden (vgl. das Referat über Klein's Arbeit, F. d. M. VII. p. 53). Nr.

Sulla teoria delle forme binarie del sesto ordine e la trisezione delle funzione ipperellittiche.

A . CLKBSCH.

Brioschi Ann. ;2) VII. 247-258.

Fortsetzung der F. d. M. VII. 59 angezeigten Uebersetzung. Nr.

WASCHTSCHENKO-ZACHARTSCHENKO.

Formen.

Nachr.

V.

Theorie der binären

Kiew. 1876-1877. (Russisch.)

Fortsetzung der von demselben Verfasser in derselben Sammlung (1875-1876) veröffentlichten „Theorie der Determinanten." P. M . A. BARANIECKI. . Geometrische Folgerungen aus der

algebraischen Theorie der binären quadratischen Formen.

Eine Formen.

E.

Denkschr. d. P. U. VIII. (Polnisch.)

kurze Darstellung

bekannter

Eigenschaften

dieser Dn.

Härledning och geometrisk tydning af de vigtigaste kombinanterna i det ternara kubiska systemet. Heisingfora. 8. BONSDORFF.

Die Theorie der ternären cubischen Formen hat bekanntlich in der letzten Zeit, hauptsächlich durch Arbeiten deutscher Mathematiker bedeutende Fortschritte gemacht. Herr Aronhold zeigte

62

II. Abschnitt.

Algebra.

zeigte in der classischen Abhandlung, Crelle J. LV. 1858, dass alle % zu einer solchen Grundform gehörigen abgeleiteten Formen mit Invarianten-Eigenschaft (die Covarianteu, Contravarianten und Zwiscbenformen mit einbegriffen) ein in sieh abgeschlossenes System bilden und dass es im Ganzen nur 34 solche unabhängige Invarianten giebt, durch welche sich alle übrigen algebraisch ausdrücken lassen. Später haben Clebsch und Gordan (in Clebsch Ann. 1.56 und VI. 436) zusammen werthvolle Arbeiten ttber diesen Gegenstand geliefert, worin auch die Combinanten der teraären cubischen Formen untersucht werden. Neulich hat Gundelfinger (Clebsch Ann. VIII. 136) sich mit der geometrischen Deutung dieser Combinanten beschäftigt. Die gegenwärtige Abhandlung des Herrn Bonsdorff ist hauptsächlich eine Bearbeitung der beiden letztgenannten Untersuchungen mit besonderer Rücksicht auf den im Titel angegebenen Zweck. Die von Herrn Lindemann herausgegebenen Vorlesungen Uber Geometrie von Clebsch scheinen dem Verfasser damals nicht bekannt gewesen zu sein. Die in Bede stehende Abhandlung zerfällt in flrei Tbeile. Im ersten werden einige (im Ganzen 15) zum ternären cubischen System gehörige Formen, welche später in Anwendung kommen, abgeleitet und ihr Bildungsgesetz näher untersucht. Der zweite Theil enthält einige allgemeine Sätze über Combinanten und behandelt eingehender den speciellen Fall,' wo das System, auf welches die Combinante sich bezieht, aus zwei Formen besteht, nämlich aus der Grundform (f) und ihrer Hesse'schen Covariante(^). Zur Auffindung solcher Combinanten werden zwei Methoden angegeben, und einige von diesen Bildungen werden in ihrer Beziehung zu den früher betrachteten Invarianten untersucht. Im dritten Theil beschäftigt der Verfasser sich mit der geometrischen Deutung der ternären cubischen Formen. Da die Grundform selbst, gleich Null gesetzt, die allgemeine Gleichung einer Curve dritter Ordnung giebt, so ist jede Invariante als der . analytische Ausdruck einer Eigenschaft anzusehen, welche der Curve wesentlich, d. h. unabhängig vom Coordinatensystem, angehört. All» Curven dritter Ordnung, welche dieselben neun Wendepunkte be-

Capitel 2.

Theorie der Formen.

63

sitzen, bilden einen sogenannten syzygetiscben Büschel, welcher durch die Gleichung «/"-f- l/J = 0, wo n und X unbestimmte Parameter sind, allgemein dargestellt wird. Auf solche Büschel beziehen sich die von Herrn Bonsdorff betrachteten Combinantes Bei Untersuchungen dieser Art hat man sich gewöhnlich der vereinfachten sogenannten kanonischen Form bedient, auf welche wie Hesse und Cayley gezeigt haben, die Gleichung dritten Grades durch geeignete Wahl von Goordinaten sich immer zurückfahren lässt. Statt dessen zieht Herr Bonsdorff es vor, die aus der allgemeinen Form abgeleiteten Bildungen unmittelbar zu discutiren. Von den hier gegebenen Deutungeo waren die meisten schon früher bekannt; nur einige neue sind hinzugefügt worden; die so gefundenen geometrischen Sätze sind aber zu complicirt, um wirkliches Interesse darzubieten. Lf.

J. Tannery. Sur les substitutions linéaires par lesquelles une forme quadratique ternaire se reproduit elle-même. Darboux Bull. XI. 221-233. Die von- Herrn Hermite gegebenen, zum Theil nur a posteriori bewiesenen Resultate werden im Zusammenhange analytisch abgeleitet.

Der erste Abschnitt beschäftigt sich mit der Auf-

stellung der Form der Substitutionen selbst, der zweite mit der Aufeinandersetzung zweier derartiger Substitutionen.

No.

B. Igkl. Ueber die Discriminante der Jacobi'schen Covariante dreier ternären quadratischen Formen. Wien Ber. LXXIV.

Es wird der Factor, um den sich diese Discriminante von der Resultante der drei quadratischen Formen unterscheidet, ausgerechnet, was zu einem lange bekannten Resultate führt. Nr.

II. Abschnitt.

64 F.

BRIOSCHI.

ordine.

Algebra.

Studi analitici sulle curve del quarto

Brioscbi Ann. V2) VII. 202-216.

An die früheren Arbeiten anschliessend, hat diese den Zweck, die Covarianten einer ternären biquadratischen Form axl+6yxl+4ßx3

+ a

auszudrucken als ganze Functionen von x-,, deren Coefficienten ganze Functionen von a und dem simultanen System der binären Formen a,ß,y vom Grade 4,3,2 sind. Zunächst für ß = 0, wobei die Aufsuchung der Doppeltangenten auf Gleichungen 4"" und 3 len Grades zurückkommt. Nach der noch zu erwartenden Fortsetzung der Arbeit wird eingehender darüber referirt werden. Nr.

Sulle condizione che devono essere verificate dai parametri di una curva del 4° ordine perchè la medesima sia una conica ripetato. Acc. R. d. L. 2)

F . BRIOSCHI.

III. 91-92.

P.

GORDAN. 89-95.

Nr.

Ueber einen Satz von Hesse.

Erl. Ber. 1876.

M. NÖTHER. Ueber die algebraischen Formen mit identisch verschwindender Hesse'scher Determinante. Erl. Ber. 1876. 51-56.

P.

und M. NÖTHER. Ueber die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante identisch verschwindet. Clebsch Ann X. 547-568 GORDAN

Die Bedeutung des Verschwindens der Hesse'schen Determinante war bisher nur in den einfachsten Fällen festgestellt worden, und noch existirte keine Methode, um die von Hesse aufgestellte Behauptung: „Beim identischen Verschwinden jener Determinante lasse sich die Form von n Variabein linear in eine solche von weniger Variabein transformiren" zu untersuchen (vgl. F. et M. VII. > 79). In der ersten der genannten Arbeiten wird nun hauptsächlich durch Betrachtung des Verhaltens der Determinante einer

Capitel 2.

T h e o r i e der FormeD.

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reducibeln Form in Bezug auf deren Factoren und der zwischen den Polaren bestehenden Relation — auf einem, etwas weitläufigen Wege der Satz für alle teruären Formen als richtig erwiesen. In der letzten Arbeit, von der die zweite Note ein Auszug ist, wird dagegen die allgemeinste Frage gestellt und mit neuen Methoden behandelt. die ternären

Das Resultat ist, dass der Satz wohl für

und quaternären,

nicht aber für die Formen von

mehr als n Variabein gültig ist; dass vielmehr für diese höheren Fälle ganze Klassen von Formen mit verschwindender Hesse'scher Covariante existiren, ohne dass zwischen ihren Polaren lineare Relationen stattfinden. Die Methode der Untersuchung besteht aus mehreren Schritten. Es werden lineare

partielle Differentialgleichungen

untersucht,

deren Coefficienten erst selbst wieder durch ein System solcher definirt werden.

Um sodann die rationalen ganzen Lösungen

derselben zu finden, werden Betrachtungen angestellt Uber rationale Transformationen bei mehreren Variabein, die aber unbestimmter Art sind, nämlich mit identisch verschwindender Substitutionsdeterminante. Für die ternären Formen genügt hier Übrigens schon der erste Schritt, und fllr diese liegt der Beweis in folgendem Schluas: Es seien A die Hesse'sche Determinante von f(x0 xjt x3),

Jik

die ersten Unterdeterminanten von J , und J ik nicht = 0, so hat man für J = 0 zunächst: dik = Q k A*i

Für diese Grössen ht ( « , , xt, x3) wird die Gleichung hi (A,, A2, Ä3) =

0

aufgestellt, die aber nicht für variable h{ bestehen kann, da die hi keinen Factor gemein haben sollen.

Daher sind die A< constant,

was der Satz Hesse's ist. EB werden alle quinären Formen mit J — 0 aufgestellt; die Formen von mehr als 5 Variabein nur für den Fall, dass die entsprechenden hi ein einfach unendliches Gebiet füllen. Fortschr. d. Math. VIII. 1.

5

Nr.

II. Abschnitt. Algebra.

66

Sulle condizioni per la decomposizione di una cubica in una conica ed in una retta. Acc.R.d.L.

F . BRIOSCHI.

(2i Ili. 89-90.

Aus der Gleichungsform x\—4«®j + 2o = 0 werden die beiden Bedingungen des Zerfallens der Curve 3,