Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 18 Jahrgang 1886 [Reprint 2020 ed.] 9783112362785, 9783112362778

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet von

Carl Ohrtmann. Im Verein mit anderen Mathematikern und u n t e r b e s o n d e r e r M i t w i r k u n g der H e r r e n Felix Müller und Albert Wangerin herausgegeben von

Max Henoch und Emil Lampe.

Band XVm. Jahrgang

1 8 8 6.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r .

1889.

Erklärung der Citate.

E i n e eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu der der Band gehört. E i n i g e periodische S c h r i f t e n , in welcheu nur zuweilen eiue vereinzelte m a t h e m a t i s c h e A r b e i t erschienen ist, sind in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen worden; das bezügliche Citat im Texte ist dann in hinreichender Ausführlichkeit gegeben.

Acta Math.: A c t a Mathematica. Zeitschrift herausgegeben von G. MittagLeffler. Stockholm. 4°. VII, V i l i , IX. Almeida J.: J o u r n a l de physique théorique et appliquée. F o n d é p a r J . Ch. d ' A l m e i d a et publié par MM. E . Bouty, A. C'ornu, E . Mascart, A. P o tier. V. 1886 P a r i s . Au Bureau du Journal de P h y s i q u e . Amst. Jaarb.: J a a r b o e k vau de Eoninklijke Akademie van W e t e n s c h a p p e p . Amsterdam. Amst. Verh.: Verhandelingen der Eoninklijke Akademie vaD W e t e n s c h a p p e n . Amsterdam. Amst. Versi, en Meded.: Verslagen en Mededeelingen d e r E o n i n k l i j k e A k a d e m i e van Wetenschappen. Afdeeling Natuurkunde. Amsterdam. (3) II, I I I . Ann. d. Chim. et Phys.: Annales de Chimie et de P h y s i q u e p a r MM. Chevreul, Dumas etc. Paris. Masson. 8°. Ann. de VÊc. Norm.: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, publiées sous les auspices du Miüistre de l'instruction publique p a r un comité de rédaction composé de MM. les maîtres de conférences de l'École. P a r i s . Gauthier-Villars. 4°. (3) III. Ann. Hydr.: Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie. Berlin. 4°. Annals of Math.: Annals of Mathematics. Ormond S t o n e , editor. William M. T h o r n t o n , associate editor. Office of publication: University of V i r ginia. B. Westermann u. Co. New-York. Arch / . Art. : Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Officiere des D e u t schen Reichsheeres. Redaction: Schröder, Meinardus. 50. J a h r g a n g . B d . XC1II. Berlin. Mittler u. Sohn. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, b e g r ü n d e t von H . C. S c h u m a c h e r , herausgegeben von C. A. P. Peters. Altona. 4°. C X I V . A*

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Erklärung der Citate.

Astr. Yiertschr.: Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft. Herausgegeben von E. Schoenfeld in Bonn, H. Seliger. Leipzig. W. Engelmann. 8°. Batt. 0.: Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato per cura del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8°. XXIV. Belg. Annu.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, deB lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. F. Hayez. Belg. Ann : Annales de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique Bruxelles. Belg. Bull.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. 8°. (3) XI, XII. Belg. Mém.: Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Bruxelles. F . Hayez. X L V I . Belg. Mêm. C.: Mémoires couronnés et autres Mémoires publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Collection in 8°. Bruxelles. F. Hayez. X X V I I - X X I X . Belg. Mém. S. É.: Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beauxarts de Belgique. Bruxelles. F. Hayez. 4D. X L VII, XLVIII. Beri. Abk.: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1886. Beri. phys. Ges. Verh.: Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft in Berlin. Berlin. G. Reimer. 8°. 1886. Bern Mitt.: Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern aus dem Jahre 1886. Bern. Huber u. Co. Besso Per. mat.: Periodico di matematica per l'insegnamento secondario diretto da D. Besso. Roma. 8°. I. Bibl. Math.: Bibliotheca Mathematica, herausgegeben von G. Eneström. Stockholm 1886. Böhlen Mitt.: Mathematisch - naturwissenschaftliche Mitteilungen herausgegeben von Dr. 0 . Böklen. Tübingen. Fr. Fues. Bologna Mein.: Memorie dell' Accademia Beale di scienze dell' Istituto di BologDa. Bologna. 4°. (4) VI, VII. Bologna Rend.: Rendiconti dell' Accademia Reale di scienze dell' Istituto di Bologna. Bologna. Bone. Bull.: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni. Roma. 4°. XVIII, XIX. Bord. Mém.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Bordeaux. Paris. 8°. (3) II, III. Brioschi Ann. : Annali dì matematica pura ed applicata diretti dal prof. Francesco Brioschi colla cooperazione dei professori: L. Cremona, E. Beltrami, E. Betti, F. Casorati. Milano. 4°. (2) XIV. Brit. Ass. Rep.: Reports of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 8°. Brüx. Ann.: Annales de l'Observatoire Royal de Bruxelles, publiées a n i frais de l'État. Bruxelles. F . Hayez. 4°. Brüx. S. se.: Annales de la société scientifique de Bruxelles. Bruxelles. F. Hayez. (Doppelt paginirt, unterschieden durch A und B.). X.

Erklärung der Citate.'

V

Bull. Soc. Vaud. : Bulletin de la société vaudoise des sciences naturelles. Publié sour la direction du Comité par M. F . Roux. Lausanne. F . Bouge. (3) X X I I . Cam.br. Proc.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. Cambr. Trans.: Transactions of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. Oasop : Casopis; Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und P h y s i k , redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vom "Vereine böhmischer Mathematiker in P r a g . Prag. 8°. (Böhmisch.) X V . Centralb. d. Bauverw.: Centraiblatt der Bauverwaltung. H e r a u s g e g e b e n im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. Redacteure 0 . Sarrazin und K . Schäfer. Berlin. E r o s t u. Korn. VI. Chark. Ges.: Sammlung der Mitteilungen und Protokolle der mathematischen Gesellschaft in Charkow. (Russisch.) I, II Christiania Forh.: Forhaudlingar ¡ V i d e n s k a b s - S e i s k a b e t i Christiania. 8 o . Christ. G. d. W.: Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania. Christiania. Civiling.: Der Civilingenieur. Orgau des sächsischen Ingenieur- und Archit e k t e n - V e r e i n s . Unter Mitwirkung einer Redactions - Commissioo herausgegeben von Dr E. Hartig. Jahrg. 1886. (Der neuen F o l g e Bd. X X X I I . ) Leipzig. Arthur Felix. 4°. C. B.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4 o . C1I, CIII. Darb. Bull.: Bulletin des sciences mathématiques, rédigé par MM. G. Darboux, J . Hoiiel et J . Tannery avec la collaboration de MM. André, Battaglini etc., sous la direction de la Commission des H a u t e s É t u d e s . Paris. Gauthier-Villars. 8". (2) X. Delfi Ann. d. l'Éc. Polyi.: Anuales de l'École Polytechnique de Delft. Leiden. E. J . Brill. II. Dorpat. Naturforscher Ges. Ber. : Sitzungsberichte der D o r p a t e r N a t u r f o r s c h e r - G e s e l l s c h a f t . Dorpat. Dtsche Bauztg.: Deutsche Bauzeitung. V e r k ü n d i g u n g s b l a t t des V e r b a n d e s deutscher Architekten- und Ingenieurvereiiie. Redacteure K. E. O. F r i t s c h und E. W . Busing. Berlin. E. Toeche. XX. Dublin Trans.: Transactions of the Royal Irish Academy Dublin. X X V I I I . Edinb. M. S. Proc.: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. I V . Edinb. Proc.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8°. XIII. Edinb. Trans.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. E d i n burgh. 4°. Ed. Times: Mathematical questions, with their solutions from the „ E d u c a tional T i m e s " with many papers and solutions not published in the „ E d u c a t i o n a l Times." Edited by W . J . C. Miller. L o n d o n . 8°. F r a n c i s Hodgson. X L I V , X L V . Elektrot. Z.: Elektrotechnische Zeitschrift. H e r a u s g e g e b e n vom elektrotechnischen Verein. Berlin. 4". Erlang. Ber.: Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen S o c i e t ä t zu Erlangen. Erlangen. 8° X V I I I . Ermakow J.: Journal der elementaren Mathematik, herausgegeben von Ermakow. Kiew. (Russisch.)

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Erklärung der Citate.

Exner Rep.: Repertorium der Physik herausgegeben von Exner. München und Leipzig, gr. 8°. X X I I . Flammarion, Rev. d'Astr.: L ' A s t r o n o m i e . Revue d'astronomie populaire, de météorologie et de physique du globe, exposant les progrès de la science p e n d a n t l'année. Paris. Ganthier-Villars, gr. 8°. V. Franc. Ass.: Association F r a n ç a i s e pour l'avancement des sciences naturelles. Gen. Mém.: Mémoires de la société de physique et d'histoire naturelle de Genève. Genève. 4°. Librairie H. Georg. Genova G.: Giornale délia Società di letture e conversazioni scientifiche in Genova. 8°. 1886. Gött. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n zu Göttingen. Göttingen. 4°. Gott. N.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der G e o r g - A u g u s t - U n i v e r s i t ä t zu Göttingen. Güttingen. 8°. 1886. Hamb. Mitt.: Mitteilungen der H a m b u r g e r Mathematischen Gesellschaft. Hamburg. 8°. 1886. No. 6. Hannov Zeitschr.: Z e i t s c h r i f t des Architekten- und Iugenieurvereins zu H a n n o v e r , redigirt von Keck. Hannover. Schmorl u. Seefeld. X X X I I . Heising/. Vet. soc. Acta: Acta societatis scientiarum F e n n i c a e . 4°. X I V . Heisingf. Vetensk. soc. Ö/v. : Öfversigt af finska v e t e n s k a p s - s o c i e t e t e n s förhandliugar. Helsingfors. 8°. X X I X . Hoffmann Z.; Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. U n t e r Mitwirkung von F a c h l e h r e r n herausgegeben von J . 0 . V. Hoffmann. L e i p z i g . T e u b n e r . 8°. X V I I . Hoppe Arch.: Archiv der Mathematik und Physik mit b e s o n d e r e r Berücksichtigung der Bedürfnisse der L e h r e r an den höheren L e h r a n s t a l t e n , g e g r ü n d e t von J . A. G r u u e r t , f o r t g e s e t z t von R. H o p p e . Leipzig C. A Koch. 8". (2) III, IV. J. de l'Éc Pol.: J o u r n a l de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. P a r i s . Gauthier-Villars. 4°. Cah. LVI. J. Hopkins circ.: J o h n s H o p k i n s University Circulars. Baltimore. Jordan J.: Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J . Liouville. Publié de 1875 à 1884 par H . Resal. Publié par C. J o r d a n avec la collaboration de G. Halphen, E . L a g u e r r e , M. Lévy, A. Mannheim, É . Picard, H Resal. P a r i s . (4) II. Jordan Z. f V.: Zeitschrift für V e r m e s s u n g s w e s e n , h e r a u s g e g e b e n von W. Jordan. XV. Kazan Her.: Sitzungsberichte der mathematischen Section des N a t u r forschnnden Vereins zu Kazan. Kazan Ges : Sammlung der Mitteilungen der physikalisch-mathematischen Gesellschaft zu Kazan. (Russisch.) I V . Kazan Nachr.: Nachr. d e r Kaiserlichen Universität zu K a z a n . Kjob. Skrifi.: Schriften der K o p e n h a g e n e r Akademie. K o p e n h a g e n . Klein Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. N e u m a n n begründet durch R. F . A. Clebsch. U n t e r Mitwirkung der Herren P . Gordan, 0 . N e u m a n u , K . VonderMühll gegenwärtig herausgegeben von F . Klein und A. Mayer. L e i p z i g . T e u b n e r . 8°. X X V I , X X V I I , X X V I I I . Kopenh. Overs.-. Oversigt Over det Kongelige D a n s k e V i d e n s k a b e m e s S e l s t a b s Forhandlinger. Kopenhagen.

Erklärung der Citate.

VIT

Krak. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch - naturwissenschaftlichen Section der Krakauer Akademie. Krakau. (Polnisch.) Krak. Denkschr.-. Denkschriften der Krakauer Akademie der W i s s e n schaften. Krakau. (Polnisch.) XII. Kronecker J.: J o u r n a l für die reine und augewandte Mathematik. In zwanglosen Heften. Herausgegeben von L. K r o n e c k e r und K . W e i e r s t r a s s . Mit thätiger Beförderung hoher Königl. P r e u s s i s c h e r Behörden. Fortsetzung des von A. L. Creile (1826-1850) und C. W . B o r c h a r d t (1856-1880) herausgegebenen Journals. Berlin G. Reimer. 4°. IC, C. Leipz. Abh.: Abbandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. Leipz. Ber. : Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. 1886. Lie Arch.: Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. Christiania. 8°. Liege Mérn. : Mémoires de la Société Royale des sciences de Liège. (2) XII, XIII. Lisb. J.: J o r n a l de Sciencias Mathematicas, Physicas e Naturales publicados sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de L i s b o a . Lisboa. X I I . Lisb. Mera.: Memorias da Academia Real das Sciencias de L i s b o a . Lisboa. Lomb. 1st. Rend,.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8°. (2) X I X . Lond. M. S. Proc.: Proceedings of the L o n d o n Mathematical Society. L o n d o n . 8®. X V I I . Lond. Phil. Trans. : Philosophical Transactions of the Royal Society of L o n d o n . London. 4°. C L X X V I I . Lond. R. S. Proc.: Proceedings of the Royal Society of L o n d o n . L o n d o n . 8" XL, XLI. o Lund Arsskr.: Acta universitatis Lundensis. L u n d s Universitets Arsskrift. Lund. X X I I Manch. Mem.: Memoirs of the litterary and philosophical Society of Manchester Manchester. Mathesis: Mathesis, Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenne publié p a r P . Mansion e t J . Neoberg. Gand. Hoste, Paris. Gauthier-Villars 8°. V I . Mem. R. Astr. S. : Memoirs of the Royal Astronomical Society. L o n d o n . 4°. Mess.-. The Messenger of Mathematics, edited by M. Allen Whitworth, C. Taylor, R. Pendlebury, J . W . L. Glaisher. L o n d o n and Cambridge. Macmillan. 8°. (2) X V , X V I . Met. Zeitschr.: Meteorologische Zeitschrift. H e r a u s g e g e b e n von der Oestreich. Gesellschaft für Meteorologie und der deutschen Meteorol. Gesellschaft, redigirt von J . Hann u. W. Koeppen. Berlin. I V . Mitt. üb. Art. u. Genie: Mitteilungen über G e g e n s t ä n d e des Artillerie- and Genie-Wesens Herausgegeben vom K. K. technischen u. administrativen Militar-Comité. Wien. R. v. Waldheim. 8°. X V I I . Modena Mem.: Memorie della Accademia Reale di Modena. Modena. (2) I V . Monthl. Not.: Monthly Notices of t h e Royal Astronomical Society. L o n d o n . 8°. Moscou Mém.: Nouveaux Mémoires de la Société Impériale des Natnralistes d e Moscou.

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Erklärung der Citate.

Mosk. Math Samml. : Mathematische Sammlang herausgegeben von dew Mathematischen Gesellschaft in Moskau. (Russisch.) X I I , X I H . Mask. Sachr.: Nachrichten der Moskauer Universität. Moskau. (Russisch). Münch. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Bairischen Gesellschaft der W i s s e n schaften zu München. Zweite E l a s s e . München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Bairischen Akademie der W i s s e n schaften zu München. München. 8°. Nap. Send : Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Napoli. 4°. X X V . Nature: Nature, a weekly illustrated journal of science. London. X X X I V , XXXV. Nitri. Arch : Archivéis Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem. L a Have. H". XXI. Newcomb Am. J.: American Journal of Mathematics. Bditor S. Newcomb, Associate Editor Th. Craig. Published under the auspices of the J o h n s Hopkins University. Baltimore. V i l i , I X . Nieuw Arch.: Nieuw Archief voor wiskunde uitgegeven door het Wtakundig Genootschap. Amsterdam. 8°. XIII. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aus Écoles Polytechnique et Normale, rédigé par MM. Gerono e t Ch. Brisse. Paris. 8". (3) V. Odessa Oes.: Denkschriften der mathematischen Abteilung der neurussischen Gesellschaft der Naturforscher. (Russisch). VI, VII. Odessa Nachr.: Nachrichten von der Universität Odessa. Odessa. Palermo Rend.: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo. I. Padova Atti: Atti della Beale Accademia di scienze, lettere ed arti di Padova. P a d o v a . Paris Mém. prés.: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de l'Institut de France. Paris. Petersb. Abh : Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg. Petersburg. (Russisch). L I I . Pétersb. Mél. math.: Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg. Phys. Ges. St. Pet.: Journal der physiko-chemischen Gesellschaft zu St.Petersburg. Phys. Math. PPiss..- Die physiko-mathematischen Wissenschaften. Journal der reinen und angewandten Mathematik, Astronomie und Physik, herausgegeben von W . W . Bobynin. Moskau. II. Phil. Man.: T h e London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine aDd journal of scieuce, by Kane, Thomson, Francis. London. 8°. (5) XXI, X X I I . Phil. Trans.: = L o n d . Phil. Trans. Pr. = Programmabhandlung, Gymn. = Gymnasium, Realgymn. — Realgymnasium, etc. Prag. Abh.: Abhandlungen der Königl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. P r a g . Selbstverlag der Königl. Böhmischen Gesellschaft. 4°. Prag. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der W i s s e n schaften. P r a g . 8". 1885, 18á6. Quart. J. : The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London. 8". X X I , X X I I .

Erklärung der Citate. Bev. d'Art.: R e v u e d'Artillerie paraissant le 15 d e chaque moia. 8°. X X V I , X X V I I , X X V I I I . Rev. d. qu. sc.: Revue des questions scientifiques. Revista Scientifica: Revista scientifica do Porto

IX Paris.

Revue de Vinstr. p.: Revue de l'instruction publique de Belgique. Gand. 8°. Rom. Aie. L. Rend.: Atti della Reale A c c a d e m i a dei L i n c e i . Rendiconti. R o m a 4°. (4) II. Rom. Acc. L. Mem.: Memorie della Reale A c c a d e m i a dei L i n c e i Koma, gr. 4». (4) III. Rom. Acc. P. d. N. L.: Roma. 4». X X X V I I ,

Atti della A c c a d e m i a P o n t i f i c a d e i N n o v i L i n c e i . XXXVIII.

Schlömilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und P h y s i k , h e r a u s g e g e b e n unter verantwortlicher Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Teubner. 8°. X X X I . Hl. A.: Historisch-literarische Abteilung ( b e s o n d e r s paginirt). Sili. J.: T h e American Journal of science. E d i t o r s : J. D. and E. 8 . Dana. N e w - B a v e n . (3) X X X I . S. M. F. Bu.ll.: Bulletin de la Société M&thématique de F r a n c e publié par les secrétaires. Paris. 8°. X I V . Stockh. Handl.: Haudlingar af Kongl. S v e n s k a V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s . Stockholm. Stockh. Öfv. : Öfversigt af Kong], Svéfiska V e t e D e k a p s - A k a d e m i e n s F ö r handlingar. Stockholm. XLII, XLIII. Stockh. Vetensk. Bihang: Bihang tili Kongl. S v e n e k a V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s handlingar. Stockholm. 8°. XI. Techn. Inst. St. Pei.: Die Mitteilungen d e s T e c h n o l o g i s c h e n Instituts in St.-Petersburg. Teixeira J.: Jornal de Sciencias Mathematicas e A s t r o n o m i c a s publicado pelo Dr. F . G o m e s Teixeira. Coimbra. 8-°. VIII. Torino Atti: A t t i della Reale A c c a d e m i a di Torino. Torino. 8°. X X I . Torino Mem.: Memorie della Reale A c c a d e m i a delle s c i e n z e di Torino. Torino. Toul. Mém.: Mémoires de l'Académie des ¡sciences, inscriptions et b e l l e s lettres de T o u l o u s e . Toulouse. Doulado>ure-Privat. 8°. (8) V I I I . Ups. N. Act : N o v a A c t a Regiae Socieltatis Scientiarum U p s a l i e n s i s . U p s a l a . 4°. Ven. At. Atti: Atti dell' Ateneo Veneto. V e n e z i a . Cecchini. 8°. Ven. At. Riv.: L ' A t e n e o Veneto. Rivista mensile di s c i e n z e , lettere ed arti diretta da A . S. de Kiriaki e L Gamibari. V e n e z i a . Ven. Ist. Atti: Atti del Reale Istituto V e n e t o di s c i e n z e , lettere ed arti. Venezia. III, I V . Ven. Ist. Mem.: Memorie del Reale Istituto V e n e t o di s c i e n z e , lettere e d arti. Venezia. Wash. Bull.: Bulletin of the Philosophical S o c i e t y of Washington. Wiedemann Ann. : Annalen der P h y s i k und ißhemie. Unter Mitwirkung der und i n s b e s o n d e r e des Herrn P h y s i k a l i s c h e n Gesellschaft zu Berlin H . v. H e l m h o l t z herausgegeben VOD G. Wiiedemann. L e i p z i g . Barth. 8*. (2) X X V I I , X X V I I I , X X I X . Wiedemann Beibl.: Beiblätter zu den Anmalen der P h y s i k und C h e m i e . H e r a u s g e g e b e n unter Mitwirkung befreumdeter P h y s i k e r von G. und E . W i e d e m a n n . L e i p z i g . Barth. 8°. X , XI.

X

E r k l ä r u n g der Citate.

Wien. Ans.: A n z e i g e n der K a i s e r l i c h e n A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n zu W i e n . Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. W i e n . 8°. 1886. Wien. Bauzty.: Allgemeine Bauzeitung g e g r ü n d e t von Ohr. L . F ö r s t e r . Redigirt unter Mitwirkung der Architekten B. v. F ö r s t e r , Th. v. Hansen, Fr. Schmidt von A. Köstlin. W i e n . R. v. Waldheim. L I Wien. Ber.: Sitzungsberichte der m a t h e m a t i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Klasse der Kaiserl. Akademie der W i s s e n s c h a f t e n zu Wien. Zweite A b teilung. Wien. 8°. XCI1I, X C I V . Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiaerl. A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. W i e n . 4°. L1I1. Wochenbl. für Bank.: W o c h e n b l a t t für Bankunde. Organ der A r c h i t e k t e n u. Ingenieurvereine von Bayern, E l s a s s - L o t h r i n g e n , . . . Herausgegeben von F r . Scheck. F r a n k f u r t a. Main. V I I I . Wolf Z.: V i e r t e l j a h r s s c h r i f t der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. 8». X X X I . Z. f . Bauwesen: Zeitschrift für B a u w e s e n , herausgegeben im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. R e d a c t e u r e O. Sarrazin u. K. Schäfer. Berlin. E r n s t u. Korn. X X X V I . Z. Oestr. Ing. u. Arth.: Zeitschrift des Oestreichischen Ingenieur- u. Architekten-Vereins. Redacteur J . Melan. Wien. X X X V I I . Z. dtsch. Iny.: Zeitschrift des V e r e i n s deutscher Ingenieure, herausgegeben von Th. Peters. Berlin. 4°. X X X . Zeuthen T.: T i d s s k r i f t for Mathematik. Udgivet af J . P. Gram og H. G. Zeuthen. Kopenhagen. 8°. (5) IV.

Inhaltsverzeichnis. (Die mit. einem f versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

Erster Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

C a p i t e l 1. A.

Geschichte.

Biographisch-Literarisches. Seite

6. B o n c o m p a g n i Sur „l'histoire des sciences mathématiques et physiques" de M. Marie . f A . S t a r k o f f und W. H a b b e . Die russische Bibliographie der Mathematik etc. für das J a h r 18H5 fZebrawski. Ergänzungen zu der „Polnischen Bibliographie der Mathematik und Physik P . T a n n e r y . 6 . E n e s t r ö m . P . R i c c a r d i . Questions G. E n e s t r ö m . Notice sur les écrits mathématiques d ' a u t e u r s étrangers publiés en Suède P. T a n n e r y . L a tradition touchant Pyttaagore, Oenopide et Thalès P . T a n n e r y . L e s géomètres de l'Académie F r . H u l t s c h . Autolyei de sphaera quae movetur liber. — De ortibus e t occasibus libri duo E u c l i d i s O p e r a O m n i a . Ediderunt J . L . H e i b e r g et H Menge P . T a n n e r y . L a constitution des Éléments P. M a n s i o n . Sur Euclide . . . . P . T a n n e r y . Le résumé historique de Proclns M. S t e i n s c h n e i d e r . Euklid bei den Arabern P . T a n D e r y . Démocrite et A r c h y t a s . . . . P . T a n n e r y . Hippocrate de Chios G. E n e s t r ö m . Antecküingar om matematikern P e t r u s de Dacia och hans skrifter. III : A. F a v a r o . Appendice agli studi intorno alla vita ed alle opere di Prosdocimo de' Beldomandi L . d e M a r c h i . Sull' ortografia del nome del matematico messinese Maurolicio A. P r i n g s h e i m . Historische Notiz, betreffend die Originalausgabe von Chr. Rudolff's „Behend und hübsch Rechnung etc." . . . . A. F a v a r o . Intorno ad alcuni D U O V Ì studi sulla vita e sulle opere di Galileo Galilei A. F a v a r o . Intorno ad alcuDi documenti Galileiani

1 1 I 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 (5 7 7 7 7 8 8 8

xii

Inhaltsverzeichnis.

A. F a v a r o L a libreria di Galileo Galilei descritta ed illustrata . . C. A n a c h i i t z . Drei noch u n b e k a n n t e Briefe des Astronomen Joh. K e p l e r an Herwart von H o h e n b u r g . 1599 A. F a v a r o . Ricerche ulteriori intorno alla vita ed alle opere di B. Sovero D. B i e r e n s d e H a a n . Bouwstoffen voor de geschiedenis der wisen natuurkundige wetenschappen in N e d e r l a n d e n L i s t e alphabétique de la c o r r e s p o n d a n c e de Christiaan Huygens M o n c h a m p s . Histoire du Cartésianisme en Belgique Oh. H e n r y . Correspondance inédite de d'Alembert avec C r a m e r , L e s a g e , Clairault etc Ch. H e n r y . L e t t r e s inédites d'Euler à d ' A l e m b e r t P. R i c c a r d i . P e r una completa collezione delle opere m a t e m a t i c h e di L o r e n z o Mascheroni E. M a i l l y . L e s sociétés savantes e t littéraires établies à B r u x e l l e s sous la domination française . . . C h . H e n r y . L e t t r e s inédites de L a p l a c e Ch. H e n r y . Sur quelques billets inédits de L a g r a n g e J . H. G r a f . Der Mathematiker J . G. T r a l l e s (1763-1822) F r . P o r r o . Notizie intorno alla vila ed agli scritti di G. Z. L e o o e l l i S. R e a i i s . Giovanni P l a n a (1781-1864) . C. G. J . J a c o b i . Gesammelte W e r k e . A . F . M ö b i u s . Gesammelte W e r k e G. E n e s t r ö m . Carl .Tohan Malmsten E . do J o n q u i è r e s . Notice sur la vie et les travaux de LoiuisF r a n ç o i s - C l é m e n t Bréguet A. M a r r e . Notice sur la vie et les travaux de F r a n ç o i s - J o s e p h Lionnet W . D y c k . Zur Erinnerung au L u d w i g Scheeffer G. H . H a l p h e n . Notice sur les oeuvres de M. Bouquet ( J e a n Claude) Aug. Schmidt. Wilhelm U n v e r z a g t . E d . P h i l l i p s . Notice sur M. de S a i n t - V e n a n t et sur ses t r a v a u x . E d . W e y r . Dr L u d w i g Kraus, sein L e b e n und Wirken J. B e r t r a n d , L. T r o o s t . Discours prononcés aux o b s è q u e s d e M. Jamiu E. C a t a l a n . Savin Realis + . A. G e n o c c h i . Cenni sull' ingegnere Savino Realis A. G e n o c c h i . Brevi cenni della vita dell' ingegnere Savino Reailis D. P a d e l l e t t i . Ettore C a p o r a l i . . . .* J . B e r t r a n d , G. H. H a l p h e n . Discours prononcés aux o b s è q u e s de M. L a g u e r r e E. C a t a l a n . Mélanges mathématiques B. Geschichte einzelner Disciplinen. H o u z e a u . Coup d'oeil sur l'évolution scientifique . •(•John. Deber die Einführung der allgemeinen Zahlzeichen in (Sie Mathematik P . T a n n e r y . Sur la représentation des fractions chez les G r e c s . C. D e m r n e . Die Berechnung irrationaler Quadratwurzeln bei Arclhimedes und Hero E. M a h 1er. Zur talmudischen Mathematik A. G e n o c c h i . Intorno all' ampliazione d'un lemma del G a u s s .. . f P . N e k r a s s o f f . Die Bedeutung und die historische Entwickelurog der Theorie der Determinanten E. C a t a l a n . Une polémique entre Goldbach et Daniel Bernomlli . G. E n e s t r ö m . . Sur un théorème de Goldbach , . .

Seitœ

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G. P f e i f e r . Leonardo VOD Pisa (Fibonacci) und die von ihm zuerst aufgestellte recurrente Reihe G. P f e i f e r Die Beziehungen der mathematischen Verhältnisse musikalischer Intervalle zur recurrenten Reihe P . M a u s i o n et G. E n e s t r ö m . Notes historiques sur la formule générale d'interpolation de Newton + P. M. P o k r o w s k y . Historische Skizze der Theorie der ultraellipfischeo und Abel'schen Functionen f ' l ' h . R e y e . Die synthetische Geometrie im Altertum und in der Neuzeit C. D e m me. Bemerkungen zu den Regeln des Ahmes und des Baadhäyana über die Quadratur des Kreises P. B i e r g h . Seiten- und Diametralzahlen bei den Griechen J . S. M a c k a y . The ancient methods for the duplication of the cube S. G ü i n t t h e r . Albrecht Dürer, einer der Begründer der neueren Curventheorie B i a n c o . L'esagramma di Pascal, nota storica f V . P r o u . Les ressorts-battants de la chirobaliste d'Héron d'Alexandrie C W o l f . Sur le róle de Lavoisier dans la détermination de l'unité de poids du système métrique E. Girimi a u s . Lavoisier et la Commission des Poids et Mesures. . •f-Gowi. Di una lente per cannocchiale, lavorata da Ev. Torricelli . P . T a n n e r y . Autolycos de Pitane A. dia S c h i o . Di un astrolabio settentrionale degli Arabi G. B i l f ' i n g e r . Die Zeitmesser der antiken Völker C. A n s c h ü t z . Ueber die Entdeckung der Variation und der jährlicihen Gleichung des Mondes B e r t t a t u l d . Le nombre géométrique de Platon, par J . Dupuis . . . E. Miahiler. Untersuchung einer im Buche „Nahum" auf den Untergamg Ninive's bezogenen Finsternis A. F ' o r ti. Intorno alle macchie solari

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C a p i t e l 2. Philosophie und Pädagogik. A. P h i l o s o p h i e . Bau R. L i p s c h i t z . S u r u n e f o r m u l e d e M. H e r m i t e 396 L. K r o n e c k e r . Zur T h e o r i e der elliptischen Functionen 3915 . M o n t e s a n o . Su le correlazioni polari dello spazio rispetto alle quali una cubica gobba è polare a se stessa A. S c h i a p p a M o n t e i r o . Sur la génération du conoide circonscrit à une courbe plane au moyen de courbes du même ordre de celle-ci f W . H e s p e . Ueber einige windschiefe Flächen mit Directorebene, deren Generatricen zwei aufeinander und auf der Directorebene senkrechte Kegelschnitte treffen H. G. Z e u t h e n . Su le superficie di 4° ordine con conica doppia . E . S t u d y . Ueber die Raumcurven vierter Ordnung, zweiter Art . . J . C a r d i n a a l . Opmerkingen naar aanleiding eeniger Stellingen uit de leer van den bundel oppervlakken van de tweede orde . . . A. D e l R e . Nuova costruzione della superficie del quint' ordine, dotata di curva doppia del quint' ordine A. P e t o t . Construction de la courbe gauche du sixième ordre et du premier genre F r . M e y e r . Ueber die Projection einer Raumcurve von einem ihrer Punkte aus G. A. B o r d i g a . Studio generale della quartica n o r m a l e . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis. Seite

6. Bordiga. Di alcuDe superficie del 5° e del 6° o r d i n e c h e si d e d u c o n o dello s p a z i o a sei d i m e n s i o n i 607 6 . B o r d i g a . R a p p r e s e n t a z i o n e p i a n a della superficie r i g a t a n o r m a l e (311 G. B o r d i g a . L a s u r f a c e du sixième o r d r e a v e c six d r o i t e s . . . . 612 G. B o r d i g a . N o u v e a u x g r o u p e s de s u r f a c e s à deux d i m e n s i o n s d a n s les e s p a c e s à n d i m e n s i o n s 613 J . S. e t M. N . V a n ë c e k . S u r la g é n é r a t i o n d e s s u r f a c e s des courb e s g a u c h e s p a r les f a i s c e a u x d e s u r f a c e s 613 G. A f f o I t e r . U e b e r G r u p p e n g e r a d e r L i n i e n auf F l ä c h e n h ö h e r e r Ordnung 613 G. F o u r e t . S u r la r e c h e r c h e de d e u x c o u r b e s p l a n e s ou s u r f a c e s , d o n t les p o i n t s se c o r r e s p o n d e n t c h a c u n à chacun, à la fois p a r homologie et par polaires réciproques 614 A. M a n n h e i m . Mémoire d ' o p t i q u e g é o m é t r i q u e c o m p r e n a n t la t h é o r i e du p o i n t r e p r é s e n t a t i f d'un é l é m e n t de s u r f a c e r é g l é e e t c . . 615 J . T e s a r . D i e k o n i s c h e L o x o d r o m e als O s c u l a t r i x 617 G. S e g r e . R i c e r c h e sulle r i g a t e e l l i t t i c h e di q u a l u n q u e o r d i n e . . . 617 F . C h i z z o n i . S o p r a u n a c e r t a famiglia di superficie che s ' i n c o n t r a n o in u n a t r a s f o r m a z i o n e involutoria di t e r z o g r a d o nello s p a z i o . 621 F. C h i z z o n i . S o p r a u n a c e r t a famiglia di superficie che c o m p r e n d e u n a n u o v a famiglia di ciclidi 623 P . " V i s a i li. S o p r a u n a s e r i e di s u p e r f i c i e r a p p r e s e n t a b i l i p u n t o p e r p u o t o s o p r a un p i a n o . N o t e l e I I 624 D.

Abzählende

Geometrie.

A. L e g o u x . E t u d e s u r le p r i n c i p e de c o r r e s p o n d a n c e et la t h é o r i e des caractéristiques 625 K. B o b e k . D e b e r d a s v e r a l l g e m e i n e r t e ( J o r r e s p o n d e n z p r i n c i p . . . 625 A. H u r w i t z . U e b e r a l g e b r a i s c h e C o r r e s p o n d e n z e n und d a s verallgemeinerte Correspondenzprincip 626 E. S t u d y . U e b e r die G e o m e t r i e d e r K e g e l s c h n i t t e , i n s b e s o n d e r e deren Charakteristikenproblem 629 B . S t u d y . U e b e r die C r e m o n a ' s c h e C h a r a k t e r i s t i k e n f o r m e l 630 H . S c h u b e r t . L ö s u n g des Charakteristiken - P r o b l e m s für lineare B ä u m e beliebiger Dimension 631 H . S c h u b e r t . A n z a h l - B e s t i m m u n g e n für lineare R ä u m e b e l i e b i g e r Dimension 632 C. B u r a l i - F o r t i . S u i sistemi di c o n i c h e 633 C. B u r a l i - F o r t i . Sui s i s t e m i i-volte infiniti di q u a d r i c h e . . . . 634 M. P i e r i . S o p r a alcuni p r o b l e m i r i g u a r d a n t i i fasci di curve e di superficie algebriche 636 S e . B i n d i . A l c u n e p r o p r i e t à delle s u p e r f i c i e e dei s i s t e m i di s u p e r ficie 637 M. P i e r i . S u l l e n o r m a l i d o p p i e di u n a c u r v a g o b b a a l g e b r i c a . . . 638 M. P i e r i . S u l l e n o r m a l i d o p p i e di u n a superficie a l g e b r i c a . . . . 639 P . V i s a l l i . Sulle c o r r e l a z i o n i in d u e s p a z i a t r e d i m e n s i o n i . . . 640

Neunter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Analytische Geometrie.

Lehrbücher,

Coordinaten.

L . B i a n c h i . L e z i o n i di g e o m e t r i a d i f f e r e n z i a l e P. F r o s t . Solid g e o m e t r y . . . + C. P r e d i g e r . D i e E l e m e n t e d e r a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e des R a u m e s R. G e i g e n m ü l l e r . E l e m e n t e d e r h ö h e r e n M a t h e m a t i k II. A n a l y t i sche Geometrie der E b e n e . . .

648 649 650 650

Inhaltsverzeichnis.

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• ^ D e s c a r t e s . Géométrie (Réimpression) 651 •fE. G. M a l c o r . L e calcul g é o m é t r i q u e I I 651 I g . A. W e n t w o r t h . A n a l y t i c g e o m e t r y 651 | ï . H . B a g l e s . Constructive g e o m e t r y of p l a n e c u r v e s 651 J. K o e h l e r . E x e r c i c e s de g é o m é t r i e a n a l y t i q u e e t de g é o m é t r i e supérieure 651 P. J. H o i l m a n . Y e r z a m e l i n g van v r a a g s t u k k e n op h e t g e b i e d van de a n a l y t i s c h e m e e t k u n d e d e r ruinate 651 A. M u k h o p â d h y â y . Solutions of s o m e old q u e s t i o n s 651 M. F a l k . L ä r o b o k i plan analytisk g e o m e t r i 652 •fK. H a t t e n d o r f s E i n l e i t u n g in die a n a l y t i s c h e Geometrie . . . . 652 G. L o r i a . S t u d i sulla t e o r i a delle c o o r d i n a t e t r i a n g o l a r i e sulla g e o m e t r i a aDalytica di un p i a n o nello s p a z i o 652 M. F . D u m o n t . E x t r a i t d'une lettre 652 C. R e u s c h i e. L o g i s c h e E i n f ü h r u n g d e r L i n i e n c o o r d i n a t e n in d e r Ebene 653 W . S t o r y . A new method in analytic g e o m e t r y 653 E. C e s a r ò . S u r l'emploi des c o o r d o n n é e s i n t r i n s è q u e s 654 P . H. S c h o u t e . Ein R a u m c o o r d i n a t e n s y s t e m der K r e i s e in d e r Ebene 654 d e S a l v e r t . Mémoire sur l'emploi d e s c o o r d o n n é e s c u r v i l i g n e s d a n s les p r o b l è m e s de m é c a n i q u e e t les lignes g é o d é s i q u e s d e s surfaces isothermes 655 L A u t o n n e . R e c h e r c h e s sur les g r o u p e s d ' o r d r e fini c o n t e n u s d a n s l e g r o u p e C r e m o n a . II. G r o u p e s c u b i q u e s 655 J . B r i l l . On t h e application of t h e t h e o r y of complex q u a n t i t i e s t o plane geometry 657 E. R . N e o v i u s . Einige B e m e r k u n g e n ü b e r die D a r s t e l l u n g von P u n k t e n , deren beide c a r t e s i s c h e C o o r d i n a t e n i m a g i n ä r sind . . 657 H. G r a s s m a n n . A n w e n d u n g der A u s d e h n u n g s l e h r e auf d i e allgem e i n e T h e o r i e der Raumcurven und k r u m m e n F l ä c h e n . I R a u m curven 658 F. A s c h i e r i . Sullo spazio delle s f e r e E u c l i d e e 659 F. A s c h i e r i . S o p r a gli spazi composti di s p a z i lineari di uno s p a zio l i n e a r e di q u a r t a s p e z i e 660 A. B u e h h e i m . On t h e theory of s c r e w s in elliptic s p a c e 660 i J . K r a u s . Die geometrische D e u t u n g von I n v a r i a n t e n , w e l c h e bei e b e n e n Collineationen a u f t r e t e n 661 f O . M e y. U e b e r die D a r s t e l l u n g b i n ä r e r F o r m e n auf den N o r m c u r v e n 661 C a p i t e l 2. A.

Analytische Geometrie der E b e n e .

Allgemeine Theorie der e b e n e n

Curveo.

-fC. R e u s c h l e . P r a x i s der C u r v e n d i s c u s s i o n . 1 661 E. W . S y m o n s . A n a l y t i c i n v e s t i g a t i o n of formulae f o r radii of c u r vature etc 661 E. C e s a r o . S u r les lignes de p o u r s u i t e 662 C. N i e s . U n t e r s u c h u n g e n über C u r v e n , d e r e n B o g e n einer P o t e n z d e r A b s c i s s e proportional ist 664 A. B a s s a n i . Curve piane d e r i v a t e 664 G- P i r o n d i n i . Note géométrique 665 W . J . C. M i l l e r , A. H. C u r t i s , J . N e u b e r g . S o l u t i o n of a question 665 M. J e n k i n s . A proof of H o l d i t c h ' s t h e o r e m 665 O l . O l s s o n . Nâgra geometriska satzer 666 E . C e s a r o . S u r une condition d é f i n i s s a n t d e s familles de c o n r b e s . 666

XLII

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B. T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n C u r v e n . R. d e P a o l i a. Alcuoe applicazioni della teoria generale delle curve polari U. M a l s a n o . Sulle curve i m » H e s s i a n a , i m > S t e i n e r i a n a , £ m a Cayleyana J . C. M a l e t . Geometrical theorems M. d ' O c a g n e . Théorème sur les courbes algébriques et le cercle . C. W e l t z i e n . Zur Theorie der D o p p e l p u n k t e und D o p p e l t a n g e n t e n der ebenen rationalen Curven B. G u c c i a. Generalizzazione di un t e o r e m a di Nöthef B. G u c c i a . Sur une question concernant les points singuliers des courbes algébriques planes F. H o f m a n n . Notiz über die W e n d e p u n k t e einer algebraischen Curve sowie einen S a t z von Clebsch aus der Theorie der Curveu III. Ordnung J. J. S y l v e s t e r . Sur l'équation différentielle d'une courbe d ' o r d r e quelconque J . J . S y l v e s t e r . On the differential equation to a curve of any order C. T a y l o r . On the order of orthoptic loci M. d ' O c a g n e . On homological polar reciprocal curves C. G e r a d e L i n i e u n d K e g e l s c h n i t t e . F r . G r a e f e . Auflösungen und Beweise der Aufgaben und L e h r s ä t z e auB der analytischen Geometrie O. J a ni s ch. Aufgaben aus der analytischen Geometrie der E b e n e A. H o c h h e i m . Aufgaben aus der analytischen Geometrie der E b e n e É . L e m o i n e . Quelques questions se r a p p o r t a n t à l'étude des antiparallèles des côtés d'un triangle J . N e u b e r g . Sur le poiQt de T a r r y . A. G a y l e y. Analytical-geometrical note on the conic G. E g i d i . Sulle formole trigonometriche comuni alle sezioni coniche d o t a t e di c e n f r o H. M. T a y l o r . On a geometrical i n t e r p r e t a t i o n of the algebraical expression which equated to zero, r e p r e s e n t s a curve or a surface J . W ol s t e n h o lm e , G. B. M a t h e w s . Solution of a question . . . Genese. Correspondance R. G o d e f r oy. Sur le système d'une conique e t d'un cercle . . . . S. D a u t h e v i l l e . Sur l'hypercycle e t la théorie des cycles polaires M. d ' O c a g n e . Sur le cercle o r t h o p t i q u e J . B r i l l , S. A i y a r . Solution of a question R. G o d e f r o y . Sur les c e n t r e s de courbure de l'ellipse et de la parabole M. d ' O c a g n e . D e la déviation dans l'ellipse M. d ' O c a g n e . N o t e sur la déviation d a n s l'ellipse B. H o p p e . Der K r ü m m u n g s k r e i s der E l l i p s e R. T u c k e r , B. H. R a u , T . C. S i m m o n s . Solution of a question R. F . D a v i s . Geometrical note on an envelope in connexion with confocal conics A s p a r a g u s . Note R. A. R o b e r t s . On P o l y g o n s circumscribed about a conic and inscribed in a cubic • A. R é m o u d . Sur un système de c o n i q u e s , dont l'équation a ses coefficients fonctions linéaires de deux p a r a m è t r e s J. H a h n . U n t e r s u c h u n g der K e g e l s c h n i t t n e t z e , deren J a c o b i ' s c b e F o r m oder H e r m i t e ' s c h e F o r m identisch verschwindet Th. Krabi. U e b e r gemischte K e g e l s c h n i t t b ü s c h e l , welche durch zwei P u n k t e und zwei T a n g e n t e n b e s t i m m t sind

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Inhaltsverzeichnis.

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J H e l l e r . Kegelschnittbüschel uud Kegelschnittscharen f C B e r g m a os. Théorèmes sur la parabole f G . T a r r y . Représentation géométrique des coniques et quadriquee imaginaires D. A n d e r e s p e c i e l l e C u r v e n . F. D i n g e l d e y . Ueber Curven dritter Ordnung mit D o p p e l p u n k t . . F. D i n g e l d e y . Zur Construction der H e s s e ' s c h e n Curve der rationalen Curven dritter Ordnung P. H. S c h o u t e . Over het onderzoek naar krotnraen met een middelpunt in een krommenbuudel van den derden graad Rosenstock. Ueber eine Gruppe ebener Curven dritter O r d n u n g . F. P u r s e r , S i r c o m , R. F . D a v i s . Solution of a question . . . . J . W o l s t e n h o l m e , D. E d w a r d e s . Solutiou of a question . . . . Ph. G i l b e r t . Sur quelques théorèmes de Sluse Massau. Généralisation du premier théorème de Sluse . . . . . . C. L e P a i g e . Sur le théorème de Sluse Haub. Ueber die geometrischen Eigenschaften der Curve, deren Gleichung y2(2a — x)—x(a—x)2 = 0 lautet J. J . S y l v e s t e r . Sur une extension d'un théorème de Clebsch relatif aux courbes du quatrième degré G. F r o b e n i u s . Ueber die Beziehungen zwischen den 28 Doppeltangenten einer ebenen Curve vierter Ordnung G. L o r i a . Remarques sur la géométrie analytique des cercles du plan et sur son application à la théorie des courbes bicirculaires du 4 e ordre F. Z u m k l e y . Analytische Untersuchung einer G r u p p e verwandter Umbüllungslinien H. A r n s t e i n . Notice sur un théorème relatif aux podaires d'un certain système de coniques | H . W i l l i g . Beiträge zur Kenntnis der negativen Fusspunktscurven, insbesondere derjenigen der Kegelschnitte +Ph. F r i e d r i c h . Die rationale Plancurve vierter O r d n u n g im Zusammenhang mit der binären Form sechsten G r a d e s f E . D e w u l f . Tangente et foyer de la focale de Quetelet W. J . C. M i l l e r . Solution of a question E. M a r x . Ueber einige Trisectionscurven L a z z e r i e t H a b i c h . Division d'un angle en parties égales . . . . G. M a i s a n o . Sulle tangenti doppie e d'inflessione della curva generale del 5° ordine . . " J . W o l s t e n h o l n i e , D. E d w a r d e s , W . T . M i t c h e l l . Solutions of questions H. K r o p p . Erzeugnisse zweier eindeutig auf einander b e z o g e n e r Unicursal-Curven H. E k a m a . De figuren vau L i s s a j o n s R. A. R o b e r t s . On some properties of certain piain curves . . . . R. G o d e f r o y . Théorèmes sur les rayons de courbure d'une classe de courbes géométriques M. d ' O c a g n e . Sur l'enveloppe de certaines droites variables . . . A . B a s s a n i . Sulle curve r»»cosm0 = a'" G. F o u r e t . Sur une généralisation de la quadratrice M. d u C h â t e n e t . Sur les courbes dans lesquelles la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est avec lui d a n s un rapport constant H . B r o c a r d . E x t r a i t d'une lettre A. Y . L a c e . N o t e on a roulette E. H a b i c h . Sur une question de roulettes

690 690 691 691 691 692 694 694 695 695 695 695 695 695 696 698 698 699 700 700 700 700 700 701 701 702 703 704 705 705 705 706 706 707 707 707 708

Inhaltsverzeichnis.

XLIV

f W . R e i n h a r d t . Untersuchung einiger durch das Rollen von Kegelschnitten auf einer Geradeu e n t s t e h e n d e n Curven J. N e u b e r g . N o t e sur la strophoïde f P . M a n s i o n . L o n g u e u r de la boucle de la logocyclique ou strophoïde K. B o b e k . Ueber hyperelliptische Curven K . B o b e k . U e b e r hyperelliptische Curven. (Zweite M i t t e i l u n g . ) . . 6 . de L o n g c h a m p s . Sur la potentielle triangulaire C a p i t e l 8. A.

Seite

708 708 709 709 710 713

Analytische Geometrie des Raumes.

Allgemeine Theorie

der

Flächen

und

Raumcurven.

F . S c h u r . Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann'schen Krümmungsinasses mit den projectiven Räumen E. P i c a r d . Sur la transformation des surfaces algébriques en ellesmêmes E. P i c a r d . Sur la transformation des surfaces et sur une classe d'équations différentielles E. P i c a r d . Sur les surfaces algébriques susceptibles d'une double infinité de transformations birationnelles H. P o i n c a r é . Sur les transformations des Burfaces en elles-mêmes A. R. J o h n s o n . On Cayley's differential équation for orthogonal surfaces G. S. C a r r . P r o o f of the formula for the torsion of a geodesie . . H. l e P o n t . N o t e sur les lignes asymptotiques e t les lignes de courbure V. L a c d e B o s r e d o n . É t u d e sur les sections planes des surfaces. T h é o r i e nouvelle des plans cycliques et des ombilics Bioche. Sur un mémoire de P o i s s o n G. M o r e r a . Sui sistemi di superficie e le loro t r a j e t t o r i e ortogonali R. H o p p e . U e b e r Variation von G e r a d e n , die an eine F l ä c h e gek n ü p f t sind J . W e i n g a r t e n . . U e b e r die Deformationen einer biegsamen, unauBdehnbaren F l a c h e J. W e i n g a r t e n . U e b e r die unendlich kleinen Deformationen einer biegsamen, unausdehnbaren F l ä c h e M. P i e r i . Intorno ad un teorema dei sigg. Betti e Weingarten . . P. Adam. Démonstration analytique d'un théorème relatif aux surfaces orthogonales P. S e r r e t . Sur un théorème connu A. R. J o h n s o n . Extension of Cayley's differential équation for orthogonal surfaces L . B i a n c h i . Aggiunte alla memoria „ S o p r a i sistemi tripli ortogonali di W e i n g a r t e n " L B i a n c h i . Sopra i sistemi tripli di superficie ortogonali che contengono un Bistema di superficie pseudosferiche M. G e b b i a . Metodo per formare le equazioni a derivate parziali delle superficie che ammettono una generatrice di forma c o s t a n t e H. M o l i n s . Recherches sur les surfaces dont les t r a j e c t o i r e s sous un angle constant des sections planes p a s s a n t p a r u n e droite donnée, ont pour perspectives des spirales logarithmiques . . . E . C e s a r o . A proposito di un p r o b l e m a suite eliche G. O s s i a n - B o n n e t . Démonstration nouvelle des deux t h é o r è m e s d e M. Bertrand T. B r o d é n . Om Rotationsytors Déformation till nya Rotationsytor . E . B e u t e l . Sur les surfaces enveloppes de cônes du second degré, d a n s le cas où chaque cône touche son enveloppe suivant un cercle

713 714 716 716 717 718 718 718 719 719 720 720 721 721 723 724 725 725 725 726 727 728 730 731 731 732

Inhaltsverzeichnis.

XLV Seite

S. F i n s t e r w a l d e r . Ueber Brennflächen nnd die räumliche V e r t e i l u n g der Helligkeit bei Reflexion eines L i c h t b ü n d e l s an einer spiegelnden F l ä c h e R. v o n L i l i e n t h a l . Untersuchungen zur allgemeinen T h e o r i e der krummen Oberflächen und geradlinigen Strahlensysteme . . . . ß . H. v. D o r s t e n . Theorie der E r o m m i n g van L i j a e n op gebogen Oppervlakben f H . S i e v e r t . Ueber die Centraiflächen der B n n e p e r ' s c h e n F l ä c h e n constanten Krüuimungsmasses H. D o b r i n e r ' . Die Flächen constanter Krümmung mit einem System sphärischer Krümmungslinien dargestellt mit Hülfe von T h e t a functionen zweier Variabein

733 736 739 739 739

B. T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n F l ä c h e n u n d R a u m c n r v e n . A. V o s s . Beiträge zur Theorie der algebraischen Flächen. E r s t e r Teil: Zur Theorie der Steiner'sehen Kernfläche 739 M. N o e t h e r . Ueber die totalen algebraischen Differentialausdrücke erster Gattuug 740 M. N o e t h e r . Ueber die algebraischen Differentialausdrücke mit einer Variablen 741 V. M u r e r . Sülle serie raziouali di superficie algebriche 742 J . J . S y l v e s t e r , S. R o b e r t s . Solution of a question 743 E. P i c a r d . Sur les surfaces algébriques dont t o a t e s les sections planes sont unicursales 743 K . B o b u k . Ueber das Maximalgeschlecht von algebraischen Raumcurven gegebener Ordnung 744 M. N o e t h e r . Extension du théorème de R i e m a n n - R o c h aux surfaces algébriques 744 M. N o e t h e r . Ueber die reducibeln algebraischen Curven 745 St. J o l i e s . Die Theorie der Osculanten und das Sehnensystem der Raumcurve IV. Ordnung II. S p e c i e s 747 A. H u r w i t z . Zusatz zu der N o t e „Einige allgemeine S ä t z e über Raumcurven Kl. Ann. X X V . p. 287" : 748 V. P e t e r s s o n . Om Developpablers Medelpunktsytor 748 A. B r a m b i l l a . Intorno alle curve razionali in uno spazio lineare ad uno numéro qualunque di dimensioni 749 H . B. F i n e . On the singularities of curves of double curvature . . 749 F . M e y e r . Ueber die Projection einer Raumcurve von einem ihrer P u n k t e aus 751 C. R a u m g e b i l d e e r s t e n , z w e i t e n u n d d r i t t e n G r a d e s . P. S e r r e t . Sur l'octaèdre P . S e r r e t . Sur l'octaèdre et la construction de la droite associée . U r y s z . U e b e r einige aas der analytischen U n t e r s u c h u n g sich ergeb e n d e regelmässige Körper O. H e r n i e s . Das Sechsflach R. L a c h l a n . On systems of circles and spheres M. A z z a r e l l i . Equazioni delle superficie di 2° ordine d e d o t t e dalle loro genesi A . T a e r . Zur Entartung einer Fläche 2. Ordnung P . v a n G e e r . De Kegelsnede in de ruimte f ß a r b a r i n . Axes des sections planes des s u r f a c e s du second ordre O. S t a u d e . U e b e r neue Focaleigenschaften der Flächen zweiten Grades O . S t a u d e . Eine katoptrische E i g e n s c h a f t d e s Ellipsoids M a o g e o t . Note sur l'hyperboloïde A n c i e n é l è v e de l'École Polytechnique. Condition pour que quatre

752 752 752 753 753 753 754 754 755 755 755 758

Inhaltsverzeichnis.

XLVI

Seite

droites soient les génératrices d'un m ê m e système d'un hyperboloïde H. N o v a r e s e . S u r u n e p r o p r i é t é du p a r a b o l o i d e h y p e r b o l i q u e . . . H . G. Z e u t h e D . E n U d l e d e l s e af B e t i n g e l s e n f o r , a t e n F l a d e af anden Orden er udfoldelig P. R o g e l . Zur Theorie der Volumbestimmungen P. A u b e r t . Question p r o p o s é e au c o n c o u r s général pour la classe de mathématiques spéciales G. G a r b i e r i . S u i f a s c i e s u l l e s c h i e r e di s u p e r f i c i e G. G a r b i e r i . S u l l e s u p e r f i c i e p o l a r i c o v a r i a n t i e sui l o r o i n v a r i a n t i simultanei A. N o s k e . D i e k ü r z e s t e n L i n i e n auf d e m E l l i p s o i d A. R. J o h n s o n . N o t e on t h e q u a d r i c a n d t h e c u b i c A. C a n t o n e . T e o r e m i sulla c u b i c a g o b b a A. C a n t o n e . T e o r e m i sulla c u b i c a g o b b a , d e d o t t i dallo s t u d i o di una t r a n s f o r m a z i o n e involutoria nello spazio f A . VVitting. U e b e r eine der H e s s e ' s c h e n Configuration der e b e n e n C u r v e d r i t t e r O r d n u n g a n a l o g e C o n f i g u r a t i o n im R ä u m e , e t c . . .

759 760 760 760 760 760 761 761 761 762 763 765

D. A n d e r e s p e c i e l l e Raumgebilde. K. R ö h n . Die F l ä c h e n vierter O r d n u n g hinsichtlich ihrer K n o t e n punkte und ihrer Gestaltung 765 K. R ö h n . D i e v e r s c h i e d e n e n A r t e n d e r R e g e l f l ä c h e n v i e r t e r O r d n u n g 767 A. L e m a n . U e b e r eine b e s o n d e r e F l ä c h e vierter O r d n u n g mit D o p p e l g e r a d e und darauf liegendem dreifachen P u n k t e t c 768 A. S u c h a r d a . U e b e r d i e 16 G e r a d e n e i n e r R ü c k u n g s f i ä c h e v i e r t e r Ordnung 769 A. C a y l e y . O n a f o r m of q u a r t i c s u r f a c e w i t h t w e l v e n o d e s . . . 770 A. R. J o h n s o n . N o t e on t h e c y c l i d e 770 St. Jolies. Die Theorie der Osculanten und des Sehnensystems der R a u m c u r v e I V . O r d n u n g II. S p e c i e s 771 L. G e g e n b a u e r . U e b e r Raumcurven vierter Ordnung erster S p e c i e s 774 W. Wirtinger. U e b e r rationale R a u m c u r v e n vierter O r d n u n g . . . 774 i A. B r a m b i l l a . I n t o r n o a l l a q u a r t i c a g o b b a d o t a t a di d u e t a n g e n t i stazionarie 775 J Bergstedt. O m R e g e l y t o r af s j e t t e G r a d e n . I. U n i k u r s a l a Y t o r 775 f E . S c h u l z e . U e b e r die Parallelfläche des elliptischen P a r a b o l o i d s . 775 E. L a m p e . U e b e r ein A n a l o g o n im R ä u m e zu einer speciellen Hypocykloiden-Bewegung 775 J . S. F l e i s c h e r . E n F l a d e , fra hvilken Straaler, u d g a a e n d e fra et fast P u n k t , t i l b a g e k a s t e s parallelt m e d en given P l a n og g j e n n e m en g i v e n L i n i e v i n k e l r e t p a a P l a n e n 776 W. R u c h h ö f t . Zur K u b a t u r der Malus'schen Wellenflächen . . . 776 G. D a r b o u x . S u r la t h é o r i e d e s s u r f a c e s m i n i m a 778 C a p i t e l 4.

Liniengeometrie

^Complexe,

Strahlensysteme).

A. W e i l e r . Eine elementare Betrachtung über Strahlencongruenzen R. von L i l i e n t h a l . Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der k r u m m e n O b e r f l ä c h e n UDd g e r a d l i n i g e n S t r a h l e n s y s t e m e . . . . T . A. H i r s t . O n t h e C r e m o n i a n c o n g r u e n c e s w h i c h a r e c o n t a i n e d in a linear c o m p l e x T . A. H i r s t . S u r la c o n g r u e n c e R o c c e l l a , d u t r o i s i è m e o r d r e e t d e la troisième c l a s s e F. Machovec. B e i t r ä g e zu d e n E i g e n s c h a f t e n d e s A x e n c o m p l e x e s der F l ä c h e n zweiten G r a d e s und des allgemeinen t e t r a e d r a l e n Complexes

778 779 779 780

780

Inhaltsverzeichnis.

XLV

S. F i n s t e r w a l d e r . Ueber Brennflächen und die räumliche Verteilung der Helligkeit bei Reflexion eines Lichtbündels an einer spiegelnden F l ä c h e R. v o n L i l i e n t h a l . Untersuchungen zur allgemeinen T h e o r i e der krummen Oberflächen und geradlinigen Strahlensysteme . . . . R. H. v. D o r s t e n . T h e o r i e der Kromming van L i j n e n op gebogen Oppervlakken fH- S i e v e r t . U e b e r die Centraiflächen der Enneper'schen F l ä c h e n constanten Krüuimungsmassee H. D o b r i n e r . Die F l ä c h e n constanter Krümmung mit einem System sphärischer Krümmuugslinien dargestellt mit Hülfe von T h e t a functionen zweier Variabein B.

Theorie

der a l g e b r a i s c h e n

Flächen

und

Seite

733 736 731) 739 739

Raumcurven.

A. V o s s . B e i t r ä g e zur T h e o r i e der algebraischen Flächen. Erster T e i l : Zur T h e o r i e der S t e i n e r ' s c h e n Kernfläche M. N o e t h e r . Ueber die totalen algebraischen Differentialausdrücke erster Gattuug M. N o e t h e r . U e b e r die algebraischen Differentialausdrücke mit einer Variablen V. M u r e r . Sülle serie razionali di superficie algebriche J . J . S y l v e s t e r , S. R o b e r t s . Solution of a question E. P i c a r d . Sur les surfaces algébriques dont toutes les sections pianos sont unicursales K. B o b e k . Ueber das Maximalgeschlecht von algebraischen Raumcurven gegebener Ordnung M. N o e t h e r . E x t e n s i o n du théorème de R i e m a n n - R o c h aux surfaces algébriques M. N o e t h e r . Ueber die reducibeln algebraischen Curven St. J o l i e s . Die T h e o r i e der Osculanten und das Sehnensystem der Raumcurve I V . Ordnung I I . S p e c i e s A. H u r w i t z . Zusatz zu der N o t e „Einige allgemeine S ä t z e über Raumcurven Kl. A n n . X X V . p. 2 8 7 " : V. P e t e r s s o n . Om Developpablers Medelpunktsytor A. B r a m b i l l a . Intorno alle curve razionali in uno spazio lineare ad uno numéro qualunque di dimensioni H. B . F i n e . On the singularities of curves of double curvature . . F . M e y e r . U e b e r die P r o j e c t i o n einer Raumcurve von einem ihrer P u n k t e aus C. R a u m g e b i l d e e r s t e n , z w e i t e n u n d d r i t t e n G r a d e s . P. S e r r e t . Sur l'octaèdre P. S e r r e t . Sur l'octaèdre et la construction de la droite associée . U r y s z . U e b e r einige aus der analytischen Untersuchung sich ergebende regelmässige K ö r p e r 0. Hermes. Das Sechsflach R. L a c h l a n . On systems of circles and spheres M. A z z a r e l l i . Equazioni delle superficie di 2° ordine dedotte dalle loro genesi A . T a e r . Zur Entartung einer F l ä c h e 2. Ordnung P . v a n G e e r . De Kegelsnede in de ruimte fBarbarin. A x e s des sections planes des surfaces du second ordre 0. Staude. U e b e r neue Focaleigenschaften der Flächen zweiten Grades 0 . S t a u d e . E i n e katoptrische Eigenschaft des Ellipsoids Mangeot. Note sur l'hyperboloïde A n c i e n é l è v e de l'École Polytechnique. Condition pour que quatre

739 740 741 742 743 743 744 744 745 747 748 748 749 749 751 752 752 752 753 753 753 754 754 755 755 755 758

Iohaltsverzeichnis.

XLVIII

Seite

Zehnter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Allgemeines

Mechanik.

(Lehrbücher etc.).

L. G. J. T.

Henneberg. Statik der starren Systeme M. M i n c h i n . A treatise on statics with applications to physics I I . G r e a v e s . A treatise on elementary statics M. G o o d e v e . A manual of mechanics; an elementary text-book, designed for students of applied mechanics •(•J. B l a i k i e . Elementary dynamics (mechanics) f j . P. C h u r c h . Statics and dynamics . f E . Collignon. Traité de mécanique V | B . S c h n i t l e r . L a e r e b o g i Mathematik og Mekanik for Tekuikere f D . H. M a r s h a l ! . Introduction to the science of dynamics . . . . j j . A . B o c q u e t . Cours élémentaire de mécanique I I + W . K . C l i f f o r d . Lectures and essays. (Applied mathematics and mechanics) f H Diesener. Praktische Unterrichtsbücher für Bautechuiker . . F . R u d i o . Ueber einige Grundbegriffe der Mechanik T h . B e c k . Ueber einige Grundbegriffe der Mechanik E. N o v a r e s e . D i una analogia fra la teorica delle velocità e la teorica delle forze Pescheck. Der Kraftbegriff uud andere in der Mechanik übliche Ausdrücke M. K o e n e n . Ueber den Ausdruck „Trägheitsmoment" f F . A. Müller. Das Problem der Continuität in Mathematik und Mechanik L. Lange. Die geschichtliche Entwicklung des Bewegungsbegriffes und ihr voraussichtliches Endergebnis C. N e u m a n n . Ueber eine einfache Methode zur Begründung des Princips der virtuellen Yerrückungen Th. Beck. Historische N o t i z e n R. L e h m a n n - F i l h é s . Bemerkung über Jacobi's Vorlesungen über Dynamik -j-L. L a n g e . Der Bewegungsbegriff während der Reformation der Himmelskuode von Copernikus bis zu Newton Capitel2.

802 803 804 805 805 805 805 805 806 806 806 806 806 808 810 811 812 812 812 812 813 813 813

Kinematik.

L . B u r m e s t e r . Lehrbuch der Kinematik 814 J. T a n n e r y . Deux leçons de Cinématique 815 Ph. Gilbert. Sur l'accélération angulaire 816 A . S c h ö n f l i e s . Beweis eines Satzes über Bewegungsgruppen . . . 817 f A . Schön flies. Geometrie der Bewegung in synthetischer Darstellung . 817 Walker. On a theorem in Kinematics 817 Ed. Dewulf. Mémoire sur une transformation géométrique générale, dont un cas particulier est applicable à la cinématique . . . . 818 J. B. P o m e y . Enveloppes des côtés d'un carré invariable dont deux sommets décrivent deux droites rectangulaires 820 R. G o d e f r o y . Construction des tangentes aux courbes planes et détermination du point où une droite mobile touche son enveloppe 821 F. Roth. Ueber die Bahn eines freien Teilchens auf einer sich gleichmässig drehenden Scheibe 822 Kr. Birkeland. Antallet af fri Bevogelser i et leidet Stangsystem 822 A. Mannheim. Théorie géométrique de l'hyperboloïde articulé . . 822 A. M a n n h e i m . Sur le théorème d'Ivory et sur quelques théorèmes relatifs aux surfaces homofocales du second ordre 822

Inhaltsverzeichnis.

XLIX

A. J. F. D.

M a n n h e i m . Sur la polhodie et l'herpolhodie T e s a r . Die Contourevolute axialer Schraubenflächen S i a c c i . Sulla rotazione di un corpo intorno a un punto . . . . P ad e 1 l e t t i . Sulle superficie che rotolano una sull'altra nel moto di rotazione di un corpo intorno a un puoto W. H e s s . Ueber die Herpolodie W . H e s s . Nachtrag zu der Note über die Herpolodie W. H e s s . Sur l'herpolhodie J . N- F r a n k e . (Jeber die Drehung eines starren Körpers um einen festen PuBkt f A . T h é v e n e t . Étude analytique du déplacement infiniment petit d'un corps solide f j . N e u b e r g . Systèmes de tiges articulées. Trace mécanique des lignes W. H a r v e y . Kinematical theorems •j-B.Biel. Oeber Rollbewegungen unter der Voraussetzung, dass der erzeugende Punkt noch einer besonderen Eigenbewegung unterliegt . . . C a p i t e l 3. Statik. A. S t a t i k f e s t e r K ö r p e r . M. L é v y . L a statique graphique et ses applications aux constructions L . L e c o r n u . Sur le problème de l'anamorphose J . T e s a r . Zur graphischen Zusammensetzung der Kräfte und Drehungen im Räume M o h r . Eine Aufgabe der graphischen Statik . F . P . R u f f i n i . Della costruzione geometrica dell' asse centrale di un dato sistema di forze e di alcune proprietà delle rette che nel sistema dato sono caratteristiche di piani H. G. Z e u t h e n . Om Momentsätningen: Statiken E . O e s a r o . Les lignes barycentriques W . S. M c C a y , T. 0 . S i m m o n s , A. H. C u r t i s . Solution of questions H. R a i n y . Bifilar suspension treated by the method of contour lines H. R e s al. Note sur la balance de Roberval N. T h . M i c h a e l i s . De invloed van strekstangen op het opzetten vau draaibruggen F o r c h h e i m e r . Zur Beurteilung einer Construction nach ihrer Einaenkung H. Z i m m e r m a n n . Beurteilung einer Construction nach ihrer Einsenkung F o r c h h e i m e r . Die Gegenseitigkeit der Verschiebungen A . S c h n i r c h . Bestimmung der Verschiebungsmaxima und Minima iA Fachwerk und slarren Träger T h . L a n d s b e r g . Beitrag zur Theorie des Fachwerks F l e c k . Die Beanspruchung von Fachwerksträgern durch wagerechte Kräfte in der Trägerebene O . S t a n d e . Ueber Verallgemeinerungen des Graves'schen Theorems in der analytischen Mechanik F . A u g u s t . Ueber Körperketten H. R e s a l . Sur la vrille et le pieu à vis H. L é a u t é . Sur le pieu à vis H. R e s a l . Remarque H . G . Z e u t h e n . Om den mathematiske Behandling af Gnidrimgsmodstanden A. L o d g e . New geometrical représentation of moments and products ofinertia in a plane section Fortschr. d. Math. XVIII. 3.

D

Seite

822 824 825

825 826 82l> 827 827 828 828 828 828

828 829 829 830 830 831 831 833 833 833 833 834 834 835 836 836 836 837 838 838 838 839 839 840

I,

Inhaltsverzeichnis. Seite

A. L o d g e . D i a g r a m m a t a représentation of moments of inertia in a piane a r e a E. P a s c a l . Relazioni fra le ellissi centrali d'inerzia delle aree, ed i baricentri dei volumi generati d a q u e s t e E. P a s c a l . Teoremi bariceutrici R. H o p p e . Analytisch specifische Grössen des Vierecks V. F i e b i c h . Der graphische Calcul a n g e w e n d e t auf E r d t r a n s p o r t e C h r . N e h l s . ü e b e r graphische KectiQcatioaen von Kreisbögen und verwandte Aufgaben E. A. B r a u e r . B e r e c h n u n g verjüngter F ö r d e r s e i l e und dereö Spiralkörbe v o n P u s t a u . Bestimmung von F u t t e r m a u e r s t ä r k e n Li. U e b e r Querschnittsbestimmung bei Futtermauern . . .

840 840 840 841 842 842 842 843 843

B. Hydrostatik. Li. M a t t h i e s s e n . Sur l'équilibre d'une masse fluide en rotation . 844 H. P o i n c a r é . Sur l'équilibre d'une m a s s e fluide en rotation . . . 844 G. H. D a r w i u . On J a c o b i ' s figure of equilibrium for a rotating mass of fluid . . . . 844 C a p i t e l 4. A.

Dynamik

Dynamik.

fester

Körper.

G. K o e n i g s . Sur les intégrales algébriques des problèmes de la dynamique G. S a b i n i n e . Sur le minimum d'une intégrale G. F o u r e t . Sur une généralisation du théorème de Koenig, conc e r n a n t la force vive d'un système matériel A. V o s s. Ueber ein T h e o r e m der analytischen Mechanik C. F o r m e n t i . Dinamica dei sistemi che si muovono conservandosi affini a sé stessi G. L e s p i a u l t . Démonstration élémentaire des lois de Newton en p a r t a n t des lois d e Kepler H. T h u r e i n . Elementare Darstellung der P l a n e t e n b a h n e n A. M u k h o p â d h y â y , T . G a l l i e r s , G. G. S t o r r . Solution of a question D. J . K o r t e w e g . Sur la stabilité des trajectoires planes périodiques D. J . K o r t e w e g . Ucber Stabilität periodischer ebener Bahnen . . O. S t a u d e . Ueber periodische und bedingt, periodische Bewegungen fO. Liman. Die Bewegung zweier materiellen P u n k t e unter Zugrundelegung des Riemann'schen elektrodynamischen G e s e t z e s . F. F o l i e e t E. C a t a l a n . R a p p o r t s sur le Mémoire de M. Ch. L a grange intitulé: „Théorèmes de Mécanique céleste, i n d é p e n d a n t de la loi de l ' a t t r a c t i o n " J . d e T i l l y e t F . F o l i e . R a p p o r t s sur une réponse de M. L a g r a n g e aux critiques d'un rapport de M. Catalan Ch. L a g r a n g e . R é p o n s e aux critiques du R a p p o r t de M. Catalan . E. C a t a l a n . E x t r a i t d'une lettre à M. de Tilly G. S c h o u t e n . No. 5 der prysvragen voor het j a a r 1885 beantwoord C. N e u m a n n . Ausdehnung der Keppler'schen Gesetze auf den Fall, . dass die Bewegung auf einer Kugelfläche stattfindet U. D a i n e l l i . Sul movimento d'un punto p e s a n t e sopra r e t t e inclinate nel vuoto e senza attrito U. D a i n e l l i . Due casi di movimento tautocrono d'un punto nel vuoto sopra una curva levigata qualunque G.' F o u r e t . Sur certains problèmes dans lesquels on considère, sur

845 845 848 848 849 850 851 851 851 852 854 854 854 855 855 855 855 858 858 859

Inhaltsverzeichnis.

I.I Seite

une c o u r b e p l a n e , d e s a r c s de même origine p a r c o u r u s dans le même t e m p s q u e les c o r d e s c o r r e s p o n d a n t e s Q F o u r e t . Sur certains problèmes d'isochronisme G F o u r e t . M é m o i r e sur c e r t a i n s m o u v e m e n t s d a n s l e s q u e l s des a r c s d'une même c o u r b e p l a n e c o m p t é s à p a r t i r d ' u n e origine fixe sont p a r c o u r u s d a n s le même t e m p s que les c o r d e s c o r r e s p o n dantes . . . . . A d e S a i n t - G e r maiVi. S u r la d é t e r m i n a t i o n g é o m é t r i q u e des brachistochrones Werner. B e i t r ä g e zur T h e o r i e der B e w e g u n g e i n e s m a t e r i e l l e n P u n k t e s auf R o t a t i o n s f l ä c h e n mit s p e c i e l l e r A n w e n d u n g auf das Botationsparaboloid g Weihrauch. U e b e r I J e n d e l b e w e g u n g bei a b l e n k e n d e n K r ä f t e n , n e b s t A n w e n d u n g auf d a s F o u c a u l t ' s c h e P e n d e l K. W e i h r a u c h . E i n f l u s s d e s W i d e r s t a n d e s auf die P e c d e l b e w e g u n g bei a b l e n k e n d e n K r ä f t e n , mit A n w e n d u n g auf das F o u c a u l t ' s c h e Pendel N o u v e l . U e b e r die B e w e g u n g e i n e s F a d e n p e n d e l s , welches in einer Ebene schwingt G. K o b b . Om I n t e g r a t i o n e n af d i f f e r e n t i a l e q v a t i o n e r n a för en t u n g partikels r ö r e l s e pà en r o t a t i o n s y t a med v e r t i k a l a x e l j-N. W u i c h . L e h r b u c h der ä u s s e r e n Ballistik F. S i a c c i . Un p r o c é d é d'iiitégratiou d e s f o r m u l e s b a l i s t i q u e s . . . A. I n d r a . S y n t h e t i s c h e E n t w i c k e l n n g e i n e s allgemein g ü t i g e n L u f t widerstands-Gesetzes G. R e c k n a g e l . Ueber Luftwiderstand F. R i t t e r v o n R ï i h a . Die m e c h a n i s c h e Arbeit der S p r e n g s t o f f e . P. A l e x a n d e r . F o r m u l a e for t h e motion of p r o j e c t i l e s G. C r a n z . T h e o r e t i s c h e S t u d i e n zur Ballistik der g e z o g e n e n G e w e h r e C . C r a n z . T h e o r e t i s c h e U n t e r s u c h u n g e n ü b e r die r e g e l m ä s s i g e n Abweichungen der G e s c h o s s e und die v o r t e i l h a f t e s t e G e s t a l t der Züge v o n P f i s t e r . Ein b a l l i s t i s c h e r I r r t u m A. G. G r e e n h i l l and F . L . N a t h a n . R é d u c t i o n of B a s h f o r t h ' s e x p e r i m e n t s by i n t e r p o l a t i o n D e n o c k e . Ueber Tageseinflüsse v o n S c h e v e . T a f e l n f ü r d a s i n d i r e c t e und W u r f f e u e r b i s zu 41° A b g a n g s w i n k e l und fiir A n f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t e n von 240 m an abwärts M. P e r r i n . N o t e c o m p l é m e n t a i r e s u r le tir a u - d e s s u s d e l'horizon . Sigaut et Maurice. É t u d e sur le tir à la m e r d a n s les b a t t e r i e s basses N. M a y e v s k i . U e b e r die L ö s u n g der P r o b l e m e d e s d i r e c t e n und indirecten Scbiessens Braccialini Sulla p r a t i c a s o l u z i o n e dei p r o b l e m i di tiro c u r v o . . Cours d e s é c o l e s de tir. T . I I . A r m e m e n t e t feux d e l ' i n f a n t e r i e . E. P a d o v a . Sul m o t o di r o t a z i o n e di un c o r p o r i g i d o E Padova. P r o p r i e t à del m o t o di un c o r p o di r i v o l u z i o n e s o g g e t t o a f o r z e che hanno la f u n z i o n e p o t e n z i a l e H cos 2 .? F . E. N i p l i e r . T h e i s o d y n a m i c s u r f a c e s of t h e c o m p o u n d p e n d u l u m G. L o r e n t z e n . T h e o r i e dea G a u s s ' s c h e n P e n d e l s H. S a m t e r . T h e o r i e d e s G a u s s i s c h e n P e n d e l s mit R ü c k s i c h t auf die R o t a t i o n d e r E r d e A. L a m p e l . U e b e r D r e h s c h w i n g u n g e n einer K u g e l mit L u f t w i d e r s t a n d T . R. T e r r y , D. E d w a r d e s , N . S a r k a r . S o l u t i o n of a q u e s t i o n E. d e J o n q u i è r e s . Au s u j e t d e c e r t a i n e s c i r c o n s t a n c e s qui se p r é s e n t e n t dans le m o u v e m e n t de la t o u p i e D*

800 860

860 862 863 865 865 868 871 871 871 871 873 874 875 S75 87G 878 878 879 880 880 881 881 881 881 881 882 883 884 884 884 885 885

LU

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E . d e J o n q u i è r e s . Sur le mouvement d'un solide homogène, p e s a n t , fixé par un point de son axe de figure E . d e J o n q u i è r e s . Note sur un principe de Mécanique rationnelle et une démonstration dont Daniel Bernoulli s ' e s t servi en 1757 6 . H a u c k . E l e m e n t a r e Behandlung des Kreiselproblems durch Dualisirung mit der Centraibewegung P r a n k e . Zum Kreiselproblem A. S c h m i d t . Die elementare Behandlung des Krteiselprobleras . . J. B e r t r a n d . L e mouvement de la T e r r e . L é o n Foucault et le gyroscope A. L é v y . Explication sur le gyroscope D. E d w a r d e s . Solution of a question il. A. M a g g i . Sali' integrazione delle equazioni differenziali, del movimento oscillatorio di un filo flessibile ed inestendibile, intorno ad una configurazione d'equilibrio P. A p p e l l . Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe F . G r a s h o f . Theorie der Kraftmaschinen O. H e r r m a n n . Die graphische Untersuchung der Oentrifugalregulatoren J. T a u b e i e s . U e b e r die Beschleunigung des Kreuzkopfes eines Kurbelmechanismus L. B r e n n e c k e . Versuche über den W i d e r s t a n d von Schraubenpfählen gegen Herausreissen A. S e y d l e r . Ausdehnung der L a g r a n g e ' s c h e n Behandlung des Dreik ö r p e r - P r o b l e m s auf das V i e r k ö r p e r - P r o b l e m t O . B a c k l u n d . Dr. H a r z e r ' s Untersuchungen über einen speciellen Fall des P r o b l e m s der drei Körper B. Hydrodynamik. B. L i p s c h i t z . Beiträge zur Theorie der Bewegung einer elastischen Flüssigkeit N. M a i in. Sur le mouvement d'un fluide indéfini, p a r f a i t e m e n t élastique A B. B a s s e t . On the motion of a liquid ellipsoid under the influence of ils own attraction Hugoniot. Snr un théorème général relatif à la propagation du mouvement Hugoniot. Sur un théorème relatif au mouvement p e r m a n e n t et à l'écoulement des fluides . . . H u g o n i o t . Sur l'écoulement des fluides élastiques A. G. G r e e n h i l i . W a v e motion in Hydrodynamics W . V o i g t . Zur T h e o r i e der Flüssigkeitsstrahlen . . . . J . J 8 a a c k s e n . Ueber die Ablenkung von W a s s e r s t r a h l e n K. V o n d e r M ü h l l . U e b e r die Bewegung t r o p f b a r e r Flüssigkeiten in Gefä8sen, nach J o h a n n Rudolf Merian b e a r b e i t e t C. R a z z a b o n i . Sopra alcuni casi di efflussi laterali T h . V a u t i e r . Sur la vitesse d'écoulement des liquides Pn. Wassergeschwindigkeit in nicht voll laufenden kreisförmigen Kanälen A. F r a n k . Die B e r e c h n u n g der Kanäle und Rohrleitungen nach einem neuen einheitlichen System mittels logarithmo-graphischer Tabellen U e b e r die T h e o r i e der Abflussmenge über Ueberfallwehre J ' o h . T h i m e . Ueber die s a u g e n d e W i r k u n g conisch-divergenter Ansatzröhren H. J . S b a r p e . Motiou of compound bodies thro' liquida W , T h o m s o n . On stationary waves in flowing water

88(> 886 887 £87 888 888 889 889 889 891 892 892 893 893 894 894

894 899 899 900 901 901 902 903 903 903 904 904 905 905 906 906 90ti 906

Inhaltsverzeichnis.

un Seite

L . d e B u s s y . Détermination du mouvement angulaire que prend un navire sur une houle de vitesse et de grandeur données . . . . A. L e d i e u . Considérations sur le roulis à propos d'une communication récente de M. de Bussy L . d e B u s s y . Observations sur une note de M. L e d i e u , relative ù des considérations sur le roulis A. L e d i e u . Dernières objections aux formules de M. de Bussy sur le roulis B o u s s i n e s q . Sur un manuscrit de S a i n t - V e n a n t intitule : Résistance des fluides A. B. B a s s e t . On the motion, in an infinite liquid, of a cylinder whose cross section is the inverse of an ellipse with r e s p e c t to its centre + F . E l g a r . N o t e s on the straining of ships caused by r o l l i n g . . . E. G e r l a c h . Zur Theorie der Schiffsschraube E. G e r l a c h . A b l e i t u n g gewisser Bewegungsformeu geworfener Scheiben aus dem L u f t w i d e r s t a n d s g e s e t z e f H T o m l i n s o n . T h e coefficient of viscosity in air H. L é a u t é . Calcul des régulateurs. Marche rationnelle à suivre, en pratique, pour l'établissement d'un appareil de régulation à action indirecte Forcbheimer. Ueber die Ergiebigkeit von Brunnenanlagen und Sickerscblitzen B. B o s s e . D a s Ausfliessen von Sand C h . L a g a s s e . N o t e sur les j a u g e a g e s des cours d'eau par pertuis et par voie directe f l ' h L e n a r d . U e b e r die Schwingungen fallender T r o p f e n . . . . f ß . R e i f f . Zur Kinematik der P o t e n t i a l b e w e g u n g C a p i t e l ö.

907 !)07 907 9U7 909 910 910 910 913 916 916 916 918 918 918 919

Potentialtbeorie.

B o c k . Ueber P o t e n t i a l w e r t e verschiedener K r ä f t e und Folgerungen daraus 919 J . F r i s c h a u f . Beitrag zur Theorie der Poteutialfunction 919 A. H a r n a c k . E x i s t e n z b e w e i s e zur T h e o r i e des P o t e n t i a l e s in der E b e n e und im Baume 919 0 . C a l l a n d r e a u . Sur le développement en série du potentiel d'un corps homogène de révolution 923 E . L a g u e r r e . 8 u r le potentiel de deux ellipsoïdes 924 G. H. H a l p h e n . Sur le problème de Gauss, c o n c e r n a n t l'attraction d'un anneau elliptique 925 U. B i g l e r . P o t e n t i a l einer elliptischen W a l z e 926 + Chr. I b r i i g g e r . U e b e r die Anziehung eines homogenen schiefen Kreiscylinders 927 J . B. P o m e y . Sur un problème de potentiel 927 R. H o p p e . Anziehung eines der Kugel analogen Gebildes vou n Dimensionen auf einen P u n k t 928 K. W e i h r a u c h . U e b e r die dynamischen Centra des Rotationsellipsoids mit A n w e n d u n g auf die E r d e 928 J . W. H a e u s s l e r . Die S c h w e r e , analytisch d a r g e s t e l l t , als ein mechanisches P r i n c i p rotirender K ö r p e r 930 E. B e l t r a m i . Süll' uso delle coordinate curvilinee nelle teorie del potenziale et dell' elasticità 930 + R. d e B o n a v e n t u r a M a r t i n s P e r e i r a . L a rotation et le mouvement curviligne 931 tB, 0. Peirce. Newtonian potential function 931

Inhaltsverzeichnis.

UV

Seite

Elfter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Mathematische Physik.

Molecularphysik, Elasticität und Capillarität.

A. M o l e c u l a r p h y s i k . J . B o u s s i n e s q . Applications des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques E. B e l t r a m i . Süll* uso delle coordinate curvilinee nelle teorie de! Potenziale e dell' elasticità H. v. H e l m h o l t z . Ueber die physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung J. T o d h u u t e r . A history of the theory of elasticity acd of the strength of materials from Galilei to the present time G r o s . Sur la coefficient de contraction des solides élastiques . . . R. W e b e r . Sur une nouvelle méthode pour déterminer le coefficient de dilatation des solides B. É l i e . Des constantes d'élasticité dans les milieux anisotropes . W. V o i g t . Bestimmung der Elasticitäts-Constanten von Beryll und Bergkrystall T. A n d r e w s . On the properties of matter in the gazeous and liquid states under various conditions of temperature and pressure + H. T o m l i n s o a . On the influence of stress and BtraiD on the physical properties of matter f H . T o m l i n s o n . T h e coefficient of viscosity of the air 0 . R e y n o l d s . On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower's experiments P . d e H e e n . Note touchant la loi qui régit la dilatabilité des liquides + A. K ö h l e r . Ueber die hauptsächlichsten Versuche einer mathematischen Formulirung des psychopbysischeu Gesetzes von W e b e r B.

932 934 941 944 944 944 944 945 946 946 946 946 947 947

El a s t i c i t ä t s t h e o r i e .

A. O a s t i g l i a n o . Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme und deren Anwendung , . . . . H. M ü l l e r - B r e s l a u . Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Bauconstructionen ' M o h r . Ueber die Elasticität der Deformationsarbeit H. M ü l l e r - B r e s l a u . Zu dem Artikel: Ueber die Elasticität der Deformatiousarbeit E- B e l t r a i n i . S ü l l ' i n t e r p r e t a z i o n e meccanica delle formole di Maxwell P . Ü b l i c h . Die Festigkeitslehre und ihre Anwendung 0 . C h r e e . A new solution of the equations of an isotropic elastic solid, and its application to the theory of beams "W- J . I b b e t s o n . On the A i r y - M a x w e l l solution of the equations of equilibrium of an isotropic elastic solid, under conservative - ;. forces H. R e s a l . Snr la flexion des prismes B o u s s i n e s q . Observations relatives à une Note récente de M. - Resal sur la flexion des prismes H. R e s a l . Réponse : . . . G. J . M i c h a e l i s Sur l'équilibre d'un cylindre élastique dont l'axe ; -. est perpendiculaire à un plan principal d'élasticité J. T h o m a e . Weitere Untersuchungen über den elastischen Kreiscylinder ;W. Y o i g t . Gleichgewicht eines verticaleo Cylinders aus krystallinischer Substanz unter der Wirkung der Schwerkraft

947 950 952 952 955 959 959 960 960 960 960 961 961 962

Inhaltsverzeichnis.

W . V o i g t . Ueber die Elnsticitätsverhältnisse cylindrisch a u f g e b a u t e r Körper P. J a e r i s c h . Ueber das Gleichgewicht einer elastischen Kugel . . P . J a e r i s c h . Ueber das Gleichgewicht des elastischen Kreiscylinders V. C e r r u t i . Sulla deformazione d'uua sfera omogenea isotropa . . 0 . C h r e e . Solid sphere or spberical shell of varying elasticity under purely normal surface forces P. L a u r e n t . Théorie de l'équilibre élastique des surfaces coniques P . L a u r e n t . De la déformation de l'âme des canons dans le voisinage de l'obturateur et du déculassement •¡•P. L a u r e n t . Équilibre élastique des surfaces coniques. Application à la volée des bouches à feu U- M a s o ni. Delle sollecitazioni dinamiche nei sistemi elastici articolati C. C h r e e . Longitudinal vibrations of a circular bar J . L o S c h m i d t . Schwingungsznhlen einer elastischen Boblkugel . . A. G. G r e e n h i l l . T h e period équation for lateral vibrations - . . H. L o l l i n g . Berechnung und Construction der wichtigsten Mascbinenelemente auf Grund der neueren Festigkeitsvereuche M. L é v y . Formules directes pour le calcul «les moments de flezion dans les poutres continues de section c o n s t a n t e ou variable . . C. Z a I e s k i. Berechnung der Durchbiegung von T r ä g e r n mit wechselnden Querschnitten B. L a n d . Durchbiegung eines vollen T r ä g e r s mit veränderlichem Querschnitt G. R i c h e r t . Tabellen zur Berechnung der T r a g f ä h i g k e i t schmiedeeiserner Stäbe bei Beanspruchung auf Zerknicken E. W i n k l e r . Vorträge über Brückenbau T h e o r i e der Brücken . . R. B r e d t . Zerknickungsfestigkeit und excentrischer Druck H . Z i m m e r m a n n . Ueber den Sicherbeitsgrad der Bauconstructionen, insbesondere der auf Knicken b e a n s p r u c h t e n K ö r p e r F . P r i e l i n g h a u s . Einfache Ableitung der Formel für Knickfestigkeit M. M ö l l e r . Zur Ableitung von Formeln für Knickfestigkeit . . . . H . Z i m m e r m a n n . Zur Ableitung von Formeln für Knickfestigkeit . M. M ö l l e r . Zur Frage des V e r h a l t e n s gnsseiseroer und schmiedeeiserner Stützen W i e c h e l . Genauigkeit des geometrischen N ä b e r u n g s v e r f a b r e n s für Durchbiegungsberechnungen W . R i t t e r . Der elastische Bogen berechnet mit Hülfe der graphischen* Statik Curioni. Relazione ,Sülle curve delle pressioni negli archi e nelle volte" del sig. Ing. Prof. C. Guidi H. H a a s e . Die Theorie der parabolischen und elliptischen B ö g e n . M- W e s t p h a l . Festigkeit und elastische Durchbiegung eines Ringes H . M ü H e r - B r e s l a u . Elasticitätstheorie der nach der Stützlinie geformten Gewölbe L . v. W i l l m a n n . Beitrag zur B e r e c h n u n g der Rollvorrichtuogen für Brüekenver8chiebungen K . H a e s e i e r . Berechnung des TangentialgeleDkes und der Rollen eines Kipplagers F. Steiner. Theorie statisch unbestimmter Systeme unter Berücksichtigung der Anfangsspannungen H. M ü l l e r - B r e s l a u . Zur Theorie der B i e g u n g s s p a n n u n g e n in F a c h werkträgern L . D y r s 8 e n . Ermittlung von F u t t e r m a u e r q u e r s c h n i t t e n mit g e b o g e n e r oder gebrochener vorderer Begrenzungslinie G. M o c h . Des canons à fils d'acier , . ,

LV Seite

963 964 964 964 965 966 966 967 967 968 968 969 970 970 972 973 973 973 973 974 975 975 975 976 976 976 977 977 977 978 978 979 979 979 980 981

Inhaltsverzeichnis.

LVI

8eite

C.

Capillarität.

B. W e i n s t e i n . Untersuchungen über Capillarität R. E ö t v ö s . Ueber den Zusammenhang der Oberflächenspannung der Flüssigkeiten mit ihrem Molecularvolumen K. F u c h s . Ueber den Randwinkel einander berührender F l ü s s i g k e i t e n G. Y a n d e r M e n s b r u g g h e . Sur l'instabilité de l'équilibre de la couche superficielle d'un liquide J . D e l s u u x . Sur la tension superficielle dans la théorie de la capillarité f A . W. R e i n o l d and A. W. R ü c k e r . On the relation between the thickness and the surface tension of liquid films A. W . R i i c k e r . On the critical curvature of liquid surfaces of revolution Capitel

2. A.

984 985 986 986 986 987

Akustik und Optik. Akustik.

. . + P . S t a r k e . Die Messung von Schallstärken . G. A . H i ru. L e t t r e à M. L i a g r e W. E l s ä s s e r . Ueber Transversalschwingungen von Röhren . . . . R. G e r h a r d t . Ueber die Rohrflöte, ein Pfoifenregister der Orgel . J . L a h r . Die Grassmann'sche Vocaltheorie im L i c h t e des Experiments B.

983

Theoretische

987 987 987 987 988

Optik.

H. A. L o r e u t z . Over den invloed, dien de beweging der aarde op de lichtverschijnselen iutoefent H A. L o r e n t z . De l'influence du mouvement de la terre sur les phénomènes lumineux d e C o l n e t d ' H u a r t . Nouvelle théorie servant à calculer le mouvement de la lumière dans les cristaux biréfringents symétriques . E d . S a l l e s . Théorie de la double réfraction E. B e l t r a m i . Sulla teoria delle onde . . . . E. J a b l o n s k i . Sur une loi de Fresnel K. V o n d e r M ü h l l . Ueber Green's Theorie der Reflexion und B r e chung des L i c h t e s P . V o l k m a n n . Ueber MacCullagh's T h e o r i e der Totalreflexion für isotrope und atiisotrope Medien G. B a s s o . Sulla legge di ripartizione deil' intensilà luminosa fra i raggi birifratti da lamine cristalline fRayleiuh On the intensity of light reflected from certain surfaces at nearly perpendicular incidence C. S . p u r g e . On the effect of polish on the reflexion of light from the surface of Iceland spar J. Conroy. On the polarisation of light by reflexion from the surface of a chrystal of Iceland spar Note on this o b j e c t G. G. S t o k e s . E. K e t t e i e r . Eiu bemerkenswerter Grenzfall der Krystallreflexion ; seine Untersuchung mittels des vervollständigten Kohlrausch'schen Totalreflectometers E. K e t t e i e r . Nachtrag zur Totalreflexion von Krystalleu K . S c h m i d t . Ueber die Reflexion an der Grenze krystallinischer elliptisch polarisirender Medien w . V o i g t . Allgemeine Formeln fiir die Reflexion des L i c h t e s an dünuen Schichten isotroper absorbirender Medien A . R i g h i . Sulla velocità dei raggi polarizzati circolarmente Dell' interno d'un corpo dotato di potere rotatorio

989 989 990 991 991 993 996 997 998 1000 1000 1000 1000 1001 1001 1001 1002 1002

Inhaltsverzeichnis.

LVII Seite

L. S o h n c k e . E l e k t r o m a g n e t i s c h e Drehung des natürlichen L i c h t s . 1002 W . C. L . v a n S c h a i k . Sur la formule de Maxwell pour la dispersion électromagnétique des plans de polarisation 1003 M. S t e r n b e r g . Geometrische Untersuchung über die Drehung der P o l a r i s a t i o n s e b e n e im magnetischen F e l d e 1003 J . C. M c C o n n e l . An experimental investigation into the form of tbe wave-surface of quartz 1004 F. L a n g e r . U e b e r die A b s o r p t i o n des L i c h t e s in elektrisch leitenden Medien 1005 A. S c h r a u f . Ueber das Dispersionsäquivalent von Schwefel . . . . 1005 R a y l e i g h . On the colours of thin plates 100H fE. Lommel. Die Beugungserscheinungen geradlinig begrenzter Schirme 1007 + E. L o m m e l . U e b e r die Beugungserscheinungen geradlinig begrenzter Schirme 1007 f S t r u v e . U e b e r die allgemeine Beugungsfigur ia F e r n r o h r e n . . • 1007 + 0. C h w o l s o n . Photometrische U n t e r s u c h u n g e n über die innere Diffusion des L i c h t e s 1007 C. G e o m e t r i s c h e O p t i k . f M e i s e l . G e o m e t r i s c h e Optik 1007 H. v. H e l m h o l t z . B a n d b u c h der physiologischen Optik 1007 L a n g g n t h . B e i t r a g zur B e h a n d l u n g der Optik in der P r i m a des Realgymnasiums 1008 G. K i r c h h o f f . Sur la théorie des rayons lumineux 1009 A. M a n n h e i m . Mémoire d'optique géométrique etc 1009 S. F i n s t e r w a 1 d e r . Ueber. Brennflächen und die räumliche V e r teilung der Helligkeit etc 1009 E O e k i n g h a u s . U e b e r Refractionscurven 1009 F . A. F o r e l . Illusion de grossissement des corps submergés dans l'eau 1010 B. H a s s e l b e r g . U e b e r die A n w e n d u n g von Schwefelkohlenstoffprismen zu spectroskopischen B e o b a c h t u n g e n von hoher P r ä cision 1010 D e u b e l . B e i t r a g zur P r ü f u n g des W i n k e l p r i s m a s 1010 H ä b l e r . Geometrische Construction der Linsenformel 1011 K. E x n e r . Zur Linsenformel 1011 K. E x n e r . Gültigkeit der L i n s e n f o r m e l für nicht homogene L i n s e n . 1011 + S. E x n e r . Ueber Cylinder, welche optische Bilder entwerfen . . . . 1012 + S. E x n e r . N a c h t r a g zur A b h a n d l u n g über Cylinder, welche optische Bilder entwerfen 1012 fL. Matthiessen. Ueber den S t r a h l e n d u r c h g a n g durch coaxial continuirlich g e s c h i c h t e t e Cylinder etc 1012 W. P s c h e i d l B e s t i m m u n g der Brennweite einer Concavlinse mittels des z u s a m m e n g e s e t z t e n Mikroskops 1012 N. J a d a n z a Nuovo metodo per accorciare i cannocchiali terrestri 1012 + A. K u r z . Ueber Gesichtsfeld und V e r g r ö s s e r n n g eines F e r n r o h r s . 1013 R. F é r e t . Essai d'application du calcul à l'étude des s e n s a t i o n s colorées 1013 C a p i t e l 3.

E l e k t r i c i t ä t und Magnetismus.

E. G. G a l l o p . T h e distribution of electricity on the circular dise and spherical bowl 1014 J. N i e u we n huy z e u K r u s e m a n . Over de potentiaalfunctie van het elektrische veld in de nabijheid van een geladen bolvormige kom 1017

Inhaltsverzeichnis.

LVIII

Seite

J . J. H e r o l d . E l e k t r i c i t ä t s v e r t e i l u u g auf einer K u g e l - und oberfläche '.

Hohlkugel1018

C . H . C. G r i n w i s . D e l'influeuce d e s c o n d u c t e u r s sur la d i s t r i b u t i o n de l'énergie électrique 1018 + F. G a u g e r . U e b e r die Influenz eines elektrischen MasseDpunktes auf e i n e n C o n d u c t o r , d e r d i e G e s t a l t e i n e r F r e s n e l ' s c h e n E l a s t i c i t ä t s o b e r f l ä c h e hat 1019 f j . Buchanan. A g é n é r a l t h e o r e m in e l e c t r o s t a t i c i n d u c t i o n . . . . 1019 J . J. T h o m s o n . E l e c t r i c a l o s c i l l a t i o n s on c y l i n d r i c a l c o n d u c t o r s . . 1019 H. N i e b o u r . U e b e r V e r t e i l u n g und S t r ö m u n g d e r E l e k t r i c i t ä t a u f dem P a r a l l e l o p i p e d o n 1023 + F. B e n n e c k e . Untersuchung der stationären elektrischen Strömung in e i n e r u n e n d l i c h e n E b e n e e t c 1025 + J. H a u b n e r . U e b e r die Linien gleicher Stromdichte auf flächenförmigen Leitern 1025 G. B o b in. S u r l a d i s t r i b u t i o n d e l ' é l e c t r i c i t é à la s u r f a c e d e s c o n ducteurs fermés et des conducteurs ouverts 1026 À. R i g h i . Studi sulla p o l a r i z z a z i o n e r o t a t o r i a m a g n e t i c a 1028 P. Duhem. A p p l i c a t i o n d e la T h e r m o d y n a m i q u e aux p h é n o m è n e s thermo - électriques et pyro - électriques 1032 t F. S a l z m a n u . Ueber thermoeleklrische Massbestimmungen . . .1032 A . W a s s m u t h und G . A . S c h i l l i n g . U e b e r eine experimentelle Bestimmung der Magnetisirungsarbeit 1032 L. Boltzmann. Zur T h e o r i e des von Hall entdeckten elektromagnetischen P h ä n o m e n s 1033 F. E x n e r . U e b e r d i e U r s a c h e n und d i e G e s e t z e d e r a t m o s p h ä r i s c h e n Elektricität 1036 A . V a s c h y . S u r l a n a t u r e d e s a c t i o n s é l e c t r i q u e s d a n s un m i l i e u i s o l a n t 1037 J. B e r t r a n d . Sur les unités é l e c t r i q u e s A. V a s c h y L o i du r e n d e m e n t c o r r e s p o n d a n t vail utile dans une d i s t r i b u t i o n é l e c t r i q u e A. Y n s c h y . Conditions réalisant le maximum nne d i s t r i b u t i o n é l e c t r i q u e R. F e r r i n i .

Sulla c o m p o s i z i o n e

1039 au m a x i m u m

du

tra1042

du t r a v a i l

utile

dans 1043

d'uua pila voltaica

1044

tG.

Szarvady. Sur la t h é o r i e des machines d y n a m o - é l e c t r i q u e s fonctionnant c o m m e réceptrices + K. Schering. Das Deflectoren-Bifilarmagnetometer H. F . W e b e r . D i e Selbstinduction bifilar g e w i c k e l t e r Drahtspiralen I. K l e m e n c i ö . Untersuchungen über das Verhältnis zwischen dem e l e k t r o s t a t i s c h e n und e l e k t r o m a g n e t i s c h e n M a s s s y s t e i n . I I . . . It. C o l l e y . Ueber einige neue Methoden zur B e o b a c h t u n g elektrischer S c h w i n g u n g e n C. A . P o r g e s . H a e n t z s c h el.

U e b e r eine Iuductionserscheinung B e m e r k u n g zu B e s s e r „ U e b e r die

Elektricität auf e i n e m R. B e s s e r . Erwiderung

unbegrenzten

elliptischen

1045 1045 1045 1047 1048 1049

Verteilung

der

Cylinder" .

.

. 1049 1049

L. Sohncke. E l e k t r o m a g n e t i s c h e D r e h u n g n a t ü r l i c h e n L i c h t s . . . 1049 H. Jihn. U e b e r die B e z i e h u u g v o n c h e m i s c h e r E n e r g i e und S t r o m energie galvanischer Elemente 1050 H. Jibn. Ueber W . Hall wachs. W. Hallwachs.

die galvanische Polarisation Elektrometrische Untersuchungen P o t e n t i a l v e r s t ä r k e r für M e s s u n g e n

1051 1052 1053

Edm Hoppe. Zur T h e o r i e der unipolaren Induction 1054 E. Edlund. Bemerkungen zu der A b h a n d l u n g des H e r r n H o p p e : „Zur T h e o r i e der unipolaren Induction" 1054 fHinstedt. E r w i d e r u n g auf die B e m e r k u n g e n des L o r d R a y l e i g h über

meine Ohmbestimmung

1054

Inhaltsverzeichnis.

A. F o e p p l . Die Verteilung der elektrischen L a d u n g in L e i t e r n . R. L a m p r e c h t . Ueber die Einwirkung des Magnets auf elektrische Entladungen in verdünnten Gasen A. F o e p p l Oeber die absolute Geschwindigkeit des elektrischen Stroms G. K i r c h h o f f . Zur Theorie der G l e i c h g e w i c h t s - V e r t e i l u n g der Elektricität auf zwei leitenden Kugeln fv. W a l t e n h o f e n . Ueber die Formeln von Müller und l)ub für cylindrische B l e k t r o m a g n e l e Ii. K r ü g e r . U e b e r eine neue Methode zur Bestimmung der verticalen I n t e n s i t ä t eiues magnetischen F e l d e s K. B u d d e . Ein Mittel zur E n t s c h e i d u n g zwischen den elektrodynamischen P u n k t g e s e t z e n von W e b e r , Riemann und Clausius . . G. W i e d e m a n n . Magnetische Untersuchungen T. J S t i e l t j e s . Sur le nombre des pôles à la surface d'an corps magnétique fS. Bidwell. On the changes produced by magnetisation in the length of iron wires under tension • H. L o r b e r g . Bemerkung zu zwei Aufsätzen von H e r t z und Aulinger über einen G e g e n s t a n d der Elektrodynamik L. B o l t z m a n n . Bemerkung zu dem Aufsatz des Herrn L o r b e r g über einen Gegenstand der Elektrodynamik H . L o r b e r g . Erwiderung auf die Bemerkuugeu des H e r r n Boltzmann zu meiner Kritik zweier Aufsätze von H e r t z und Aulinger f R o h r b e c k . Vademecum für E l e k t r o t e c h n i k e r E. M a s c a r t . Handbuch der statischen E l e k t r i c i t ä t , deutsch von J . G. Wallentio + E. N e t o l i c z k a . Illustrirte Geschichte der E l e k t r i c i t ä t von den ältesten Zeiten bis auf unsere T a g e f H . E. A r m s t r o n g . Electrolytic conduction in regard to molecular composition, valency, and the nature of chemical c h a n g e : being an a t t e m p t to apply a theory of residual affinity Capiteli. A.

Mechanische

Lix Seite 1054 1056 1057 105S 1058 1058 105!) 1059 105!) 1059 1060 1060 1060 1062 1062 1063 1063

Wärmelehre. Wärmetheorie.

L. B o l t z m a n n . Neuer Beweis eines von Helmholtz aufgestellten T h e o r e m s betreffend die E i g e n s c h a f t e n monocyklischer Systeme L. B o l t z m a n n . U e b e r die mechanischen Analogien des zweiten H a u p t s a t z e s der Thermodynamik L. B o l t z m a n n . Ueber einige F ä l l e , wo die lebendige K r a f t nicht integrirender N e n n e r des Differentials der zugeführten E n e r g i e ist + E . C e s a r o . Intorno ad u n a p r e c i s a dimostrazione di termodinamica W . S i e m e n s . U e b e r die E r h a l t u n g der K r a f t im L u f t m e e r e der E r d e P. de H e e n . Détermination des variations que le coefficient de f r o t t e m e n t intérieur éprouve avec la t e m p é r a t u r e + G. P. G r i m a l d i . Sulla relazione teoretica t r o v a t a dal Dupré fra il volume, la t e m p e r a t u r a , ed i coefficienti di dilatazione e di compressibilità dei corpi fCh. Ed. Guillaume. Sur le coefficient de pression des thermomètres et la compressibilité des liquides + A. S c h r a u f . U e b e r die Ausdehnungscoefficienten des Schwefels . + H. L e C h a t e l i e r . Sur les lois numériques des équilibres chimiques . . t G . C h a p e r o n . Sur la théorie de la dissociation et quelques actions de présence

1063 1064 1064 1064 1065 10Ö5 1065 1066 1066 1066

LX

Inhaltsverzeichnis.

P . d e H e e u . Note sur un travail de M. Robert Schiff sur la chaleur spécifique des liquides t E . W a r b u r g . Bemerkungen über den Druck des gesättigten Dampfes + F . K o l â o e k . Ueber Dampfspannungen •j-Ch. A n t o i n e . D e la densité et de la compressibilité des gaz et des vapeurs + M. L a n g l o i s . Sur le calcul théorique de la composition des vapeurs, de leurs coefficients de dilatation et de leurs chaleurs de vaporisation f R . v. H e l m b o l t z . Untersuchungen über Dämpfe und N e b e l , besonders über solche von L ö s u n g e n + A. S c h r a u f . Ueber Dispersioc und axiale Dichte bei prismatischen Krystallen Uebec Ausdehnungscoefficienten, axiale Dichte und + A. S c h r a u f . Parameterverhältnisse trimetrischer Krystalle B. Gastheorie. + G. A. H i r n . Recherches expérimentales et analytiques sur les lois de l'écoulement et du choc des gaz en fonction de la température f G . A. H i r n . L'avenir du dynamisme dans les sciences physiques • + G. A. H i r n . Nouvelle réfutation générale des théories appelées cinétiques + G. A. H i m . Recherches expérimentales sur la limite de la vitesse que prend un gaz quand il p a s s e d'une pression à une autre plus faible f G. A. H i m . L a cinétique moderne et le dynamisme de l'avenir • R. C l a u s i u s . E x a m e n d e s objections faites par M. H i m à la théorie cinétique des gaz F o l i e . R a p p o r t sur le Mémoire intitulé: „ L a cinétique moderne e t le dynamisme de l'avenir", par G. A. Hirn G. A . H i m . Recherches expérimentales et analytiques sur leB lois de l'écoulement et du choc des gaz en fonction de la température G. A. H i m . L a cinétique moderne et le dynamisme de l'avenir. R é p o n s e s à diverses critiques faites par M. Clausius aux conclusions de mes travaux p r é c é d e n t s G. A. H i r n . L a cinétique moderne et le dynamisme de l'avenir . . f E . T o e p l e r . Zur Ermittlung des L u f t w i d e r s t a n d s nach der kinetischen T h e o r i e Ad. B l ü m c k e . Tabelle zu der von Clausius nach den Versuchen Andrews' entwickelten F o r m e l f ü r die ZuBtandsgleichung der Kohlensäure f S - v. W r o b l e w s k i . U e b e r die Darstellung des Zusammenhanges zwischen dem gasförmigen und flüssigen Z u s t a n d e der Materie durch die Isopykneu L. B o l t z m a n n . Ueber die zum theoretischen Beweise des Avogadro'schen G e s e t z e s erforderlichen V o r a u s s e t z u n g e n O s b o r n e R e y n o l d s . On the flow of gases . fHugoniot. Sur l'écoulement des gaz d a n s le cas d a régime permanent fG. A Him. Réflexions sur une critique de M. H u g o n i o t , relative aux lois d'écoulement des gaz f P a r e n t y . Sur les expériences de M. G. A. H i m , c o n c e r n a n t le d é b i t des gaz à travers les orifices f H n g o n i o t . Sur la pression qui existe dans la section contractée d'une veine gazeuse

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Inhaltsverzeichnis.

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| G . A. H i r n . R é p o n s e à une note de M. Hugoniot sur la pression qui existe dans la section c o n t r a c t é e d'une veine gazeuse . . . f H . d e l a G o u p i l l i è r e . É c o u l e m e n t varié des gaz •¡•Hugoniot. Sur l'écoulement, d'un gaz qui pénètre dans un récipient de capacité limitée f H . d e l a G o u p i l l i è r e . Remarque relative à une communication de M. Hugoniot sur l'écoulement d'un g a z , qui pénètre dans un récipient de capacité limitée • ( • H u g o n i o t . Sur le mouvement varié d'un gaz comprimé dans un réservoir qui se vide librement daus l'atmosphère f G . A. H i r n . Remarques au sujet des notes de M. Hugoniot sur l'écoulement des gaz f F. L u c a s . L e coefficient de dilatation et la température des gaz . 4 F . L u c a s . Sur le coefficient de d é t e n t e d'un gaz parfait

1074 1074 1074 1074 1074 1074 1074 1074

C. W ä r m e l e i t u n g u n d W ä r m e s t r a h l u n g . J, M a u r e r . Ueber die theoretische Darstellung des T e m p e r a t u r ganges während der N a c h t s t u n d e n 1075 fR. Fudzisawa. U e b e r eine in der W ä r m e l e i t u n g s t h e o r i e auftretende, nach den Wurzeln einer t r a n s c e n d e n t e n Gleichung fortschreitende unendliche Reihe 1076 • { • K i r s c h . Die Bewegung der W ä r m e in den Cylinderwandungen der Dampfmaschine 1076

Zwölfter Abschnitt.

Geodäsie und Astronomie.

C a p i t e l 1.

Geodäsie.

C. B o h n . Die L a n d m e s s u n g . Ein L e h r - und H a n d b u c h F . B a u r . L e h r b u c h der niederen G e o d ä s i e f Traité de géodésie, publié avec le concours d'officiers de toutes armes • j - V e l t m a n n und E o l i . F o r m e l n der niederen und höheren Mathematik sowie der T h e o r i e der B e o b a c h t u n g s f e h l e r etc H. B r u n s . Ueber eine Aufgabe der A u s g l e i c h u n g s r e c h n u n g . . . . E . C z u b e r . Zum S a t z e vom arithmetischen Mittel Jordan. Zur T h e o r i e der P o l y g o n z ü g e S t e if f. U e b e r die Genauigkeit des Detaildreiecksnetzes in W ü r t t e m b e r g C. G e n g e . Beiträge zu graphischen Ausgleichungen E. P u c c i . Sulle formole f o n d a m e n t a l i della G e o d e s i a geoidica . . . Th. S l o u d s k y . L a figure de la T e r r e d'après les o b s e r v a t i o n s du pendule F. K e l l e r . Sul metodo di Jolly per la determinazione della densità media della T e r r a A. M o r g h e n . Sull' influenza che produce la densità non uniforme dei corpi sulle misure relative alla c o m p o n e n t e orizzontale del magnetismo t e r r e s t r e e alla gravità K. W e i h r a u c h . U e b e r die Zunahme der Schwere beim Eindringen in das E r d i n n e r e H. H e n n e s s y . On the physical structure of the E a r t h Oh. M. S c h o l s . E e n e équivalente p r o j e c t i e met Minimum-afwijking voor een cirkelvormig terrain vau geringe uitgebreidheid . . . C h . M. S c h o l s . L a courbure de la projection de la ligne géodésique L ü r o t h . Eine Gleichung zwischen den Längen, Breiten und Azimuten dreier E r d o r t e N. J a d a n z a . Sul calcolo della d i s t a n z a di due punti le cui posizioni geografiche sono note Jordan. Flächenteilung nach Seitenverhältnissen

1077 1080 1081 1081 1081 1082 1082 1082 1083 1084 1084 1085 1085 1086 1087 1089 1089 1090 1091 1091

LXII

Inhaltsverzeichnis. Seite

Voigt. Flächenteilung Jordan. Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer pothenotischen B e stimmung Hatt. Emploi des coordonnées azimutales J o r d a n . Z u r Geschichte der Theodolit - Polygonzüge Jordan. Ueber die Genauigkeit der W i n k e l a b s t e c k u n g mit der Kreuzscheibe, dem Winkelspiegel und ähnlichen I n s t r u m e n t e n . Schreiber. Sinus- und Cosinus-Quadrant F e n n er. Einfache Vorrichtung zur Untersuchung der Teilungsfehler von Nivellirlatten n e b s t Mitteilung von Untersuchungsresultaten C. W a g n e r . Ueber die Hülfamittel der Tachymetrie O. F e n n e l . Die W a g n e r - F e n u e l ' s c h e n T a c h y m e t e r R. W a g n e r . Ueber die mit dem R e i c h e n b a c h ' s c h e n D i s t a n z m e s s e r erreichbare Genauigkeit B ö r 8 c h . Der Cerebotani'sche D i s t a n z m e s s e r f A . G r ü n z w e i g von E i c h e n s i e g . Die Teletopometrie von L . Cerebotani J. T o m s e . Distanzmesser des russischen General-Majors Martuscheff C a p i t e l 2.

1092 1092 1092 1093 1093 1093 1093 1094 1094 1095 1096 1096 1096

Astronomie.

J . M e r r i f i e l d . A treatise on nautical astronomy T h . d ' O p p o l z e r . T r a i t é de la détermination des orbites des comètes et des planètes G. P e i n . Die V e r b e s s e r u n g des Julianischen Kalenders A. S a p o r e t t i . Metodo analítico della determinazione delP equazione del tempo A . G ai I l o t . Détermination de l'erreur de la constante de la réfraction astronomique, par les observations méridiennes L o e w y . Nouvelle méthode pour la détermination des éléments de la réfraction L o e w y . Détermination des éléments de la réfraction Loewy. Nouvelles méthodes pour la détermination directe de la valeur absolue de la réfraction à divers d e g r é s de hauteur . . G r u e y . Sur les formules de M. Loewy pour la réduction des circompolaires P. H a r z e r . Ueber ein dreiflächiges, nach H e r r n S c h e i b n e r ' s Principien berechnetes Objectiv f F . Plato. Beiträge zur Behandlung der Distanzmessungen am Himmel unter besonderer Berücksichtigung der L ä n g e n b e s t i m mung durch Monddistanzen fC. Prilchard. R e s e a r c h e s in stellar photography. 1) In its relation to the photometry of the stars. 2) Its applicability to astronomical measurements of great précision L. B i r k e n m a j e r . U e b e r die durch die Fortpflanzung des L i c h t e s hervorgerufenen Ungleichheiten in der Bewegung der physischen Doppelsterne H o u z e a u et F o l i e . R a p p o r t sur un mémoire de M. Ch. L a g r a n g e intitulé: „Méthode pour la détermination des parallaxes par des observations continus. Application à la parallaxe solaire" . . H o u z e a u et F. F o l i e . R a p p o r t sur un travail de M. L . de Bail relatif à la détermination de la parallaxe relative à l'étoile principale du couple optique X 1516 A. B H o n z e au. R a p p o r t sur un travail de M. L de Bail concernant la planète (1S1) Eucharis f B . M a t t h i e s s e n . Ueber die Bahn des P l a n e t e n (107) Camilla . .

1097 1097 1098 1098 1098 1099 1099 1099 1099 1100 1100 1100 1100 1101 1101 1101 1102

Inhaltsverzeichnis.

Lxni Seite

-¡•J. B a h t s . B e r e c h n u n g der E l e m e n t e des T u t t l e ' s c h e n Coirieten für seine E r s c h e i n u n g im J a h r e 1885 fR. P o e n i s c h . Definitive Bahnbestimmung des Cometen 1877 I I I . B. B u s z c z y n s k i . Ueber die Bahnen der am 11. D e c e m b e r 1852 und am 3. December 1861 in Deutschland b e o b a c h t e t e n hellen Meteore fO. Jesse. Ueber die Bestimmung der Hohe der S t e r n s c h n u p p e n in bekannten Bahnen durch Beobachtungen von einem Orte aus G. D. E. W e y e r . E l e m e n t a r e Berechnung der Sternschnuppenbahnen um die Sonne A. S e y d l e r . Geschichte des D r e i k ö r p e r p r o b l e m s fO. Backlund. Dr. H a r z e r ' s U n t e r s u c h u n g e n über einen speciellen Fall des P r o b l e m s der drei Körper P. H a r z e r . Ueber eine von Herrn Tschebyscheff angegebene Interpolationsformel | A . W e i l e r . Ueber die Form der I n t e g r a l e in dem P r o b l e m der drei Körper B. B a i l l a u d . Mémoire sur le développement de la fonction perturbatrice B. B a i l l a u d . Sur le nombre des termes d'un certain d é v e l o p p e m e n t de la fonction perturbatrice O. C a l l a n d r e a u . Simplifications qui se p r é s e n t e n t d a n s le calcul numérique des p e r t u r b a t i o n s pour certaines valeurs de l'argument F. T i s s e r a n d . Sur un cas r e m a r q u a b l e du problème des perturbations T h . v o n O p p o l z e r . Eutwurf einer Mondtheorie G. W. H i l l . On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the meau motions of the Sun and the Moon . P. U b a g h s . F o r m u l e s de la nutation annuelle H. K e u t z e r . Berechnung von Finsternissen T h . W i t t r a m . Zur Berechnung der speciellen Störungen der kleinen Planeten fC. Mönnichmeyer. Eine genäherte B e r e c h n u n g der absoluteu Störungen der T h e m i s durch J u p i t e r G. L o r e n t z e n . T h e o r i e des Gaussischen P e n d e l s H. S a m t e r . Theorie des Gaussischen P e n d e l s mit Rücksicht auf die Rotation der E r d e : . . . W. W i s l i c e n u s . Beitrag zur B e s t i m m u n g der Rotationszeit d e s P l a n e t e n Mars F. T i s s e r a n d . Mémoire sur l'anneau de Saturne F. T i s s e r a n d . Sur les d é p l a c e m e n t s séculaires du plan de l'orbite du huitième satellite de S a t u r n e (Japhet) fF. Tisserand. Sur le mouvement, des a p s i d e s des satellites de Saturne et sur la détermination de la masse de l'anneau . . . A. S v e d s t r u p . L e s p e t i t e s planètes entre Mars et J u p i t e r . . . . H. C! r a n z . Zur geometrischen T h e o r i e der Dämmerung F. F o l i e . R a p p o r t sur un mémoire intitulé: Détermination de la direction et de la vitesse de t r a n s p o r t du système solaire dans l'espace, par M. C. U b a g h s F. U b a g h s . Détermination de la direction et de la vitesse du t r a n s p o r t du système solaire dans l'espace H. S e e l i g e r . U e b e r den neuen Stern im A n d r o m e d a n e b e l tWolf. Ueber die Bestimmung der Sonnenparallaxe mittelst der Vorübergänge der V e n u s vor der S o n n e n s c h e i b e , , f ü r die Schule zurecht gelegt f C . W o l f . L e s hypothèses cosmogoniques f H . G y l d é n . Om ett bevis für planetsystemeta st.abilitet

1102 1102 1102 1102 1102 1103 1103 1103 1103 1103 1104 1104 1105 1105 1106 1106 1106 1107 1107 1107 1107 1108 1108 1109 1109 1109 1109 1110 1110 1111 1111 1111 IUI

I.XIV

Inhal ta Verzeichnis. Seite

O. D i l l Der. Om I n t e g r a t i o n e n pare-problemet C a p i t e l 3S. G ü n t h e r .

af d i f f e r e n t i a l e q v a t i o n e r n a i N - k r o p -

M a t h e m a t i s c h e G e o g r a p h i e und

^ ^ Meteorologie.

Grundlehren der mathematischen G e o g r a p h i e und ele-

mentaren Astronomie

1112

G. E f f e r t . G r u n d r i s s d e r m a t h e m a t i s c h e n und p h y s i k a l i s c h e n G e o graphie 1112 C. S. C o r n e l i u s . G r u n d r i s s der p h y s i k a l i s c h e n G e o g r a p h i e 1113 K o z o n n - J a r z . Allgemeine G r u n d z ü g e für den e r s t e n g e o g r a p h i s c h e n Unterricht 1113 S. G ü n t h e r . E r d k u n d e und M a t h e m a t i k in ihren g e g e n s e i t i g e n B e ziehungen 1113 F . S. v. S e e f e l d . A s t r o n o m i s c h e A u f s ä t z e eines A m a t e u r s d e r Naturwissenschaft 1113 G u j o u . S u r un n o u v e a u s y s t è m e de p r o j e c t i o n de la s p h è r e . . . . 1114 Heymann. C o o r d i n a t e n zur D a r s t e l l u n g der E r d h a l b k u g e l in s t e r e o graphischer Aequatorealprojection 1115 + Chr. S a n d l e r . Johann Baptista Homann Ein B e i t r a g zur G e schichte der Kartographie III:*) G. E g i d i . L e t t e r a al R . P . F e r r a r i i n t o r n o ad un p r o b l e m a di gnomonica 1115 J. P l a s s m a n n . B e i t r ä g e zur A s t r o p h y s i k 1110 G . H . D a r w i n and H . H. T u r n e r . On t h e c o r r e c t i o n to t h e e q u i librium theory of t h e t i d e s for t h e c o n t i n e n t s 1117 G. H . D a r w i n . On t h e dynamical t h e o r y of t i d e s of l o n g p e r i o d . 1118 F . F o l i e . U n e simple r e m a r q u e fort utile p o u r la d é t e r m i n a t i o n en v o y a g e , de la déclinaison m a g n é t i q u e 1118 J . L i a g r e . De l'influence de l ' a t t r a c t i o n l u n a i r e sur le b a r o m è t r e à mercure 1118 F . F o l i e . R é p o n s e à la n o t e p r é c é d e n t e 1118 K. W e i h r a u c h . U e b e r die B e r e c h n u n g m e t e o r o l o g i s c h e r J a h r e s mittel 1119 S t r a c h e y . On t h e c o m p u t a t i o n of t h e h a r m o n i e c o m p o n e n t s etc. . 1120 fH. Wronski. A p p l i c a t i o n n a u t i q u e d e la n o u v e l l e t h é o r i e d e s marées 1120 Chr. Z e l l e r . Kalender-Formeln 1120 f F r i e d r i c h M a y e r . D a s B a r o m e t e r und s e i n e A n w e n d u n g . . .1120 A n h a n g . H . O. E . M a r t u s . M a t h e m a t i s c h e A u f g a b e n zum G e b r a u c h e ÍD den obersten Klassen höherer Lehranstalten J . P . G r a m . Om L o g a r i t h m e r o g A n t i l o g a r i t h m e r K . B r y k . U e b e r d i e f ü r d e n S c h u l g e b r a u c h z w e c k m ä s s i g s t e n logarithmischen Tafeln H. P r y t z . Tables d'anti - logarithmes H. G r a v e l i u s . Fünfstellige logarithmisch - trigonometrische Tafeln für die D e c i m a l t e i l u n g d e s Q u a d r a n t e n V. J a r o l i m e k . T a f e l d e r B r i g g , log. n! . . . Fenner. Beitrag zur Theorie des Rollplanimeters G ü n t h e r . Der Ma^s-Planimeter für schmale, langgestreckte Figuren Ch. L a l l e m a n d . S u r u n e n o u v e l l e m é t h o d e g é n é r a l e d e calcul g r a p h i q u e au moyen d e s a b a q u e s h e x a g o n a u x Hammer. Der d r e h b a r e R e c h e n s c h i e b e r

1121 1122 1122 1122 1123 1123 1124 1124 1124 1125

Inhaltsverzeichnis.

LXV

A. V. B ä c k l u n d . Bidrag tili theorien för vägrörelsen i ett gasartadt medium f G . D. B W e y e r . Heinrich Ferdinand Scherk •j-J. W o i s i n . Oe Graecorum notis numeralibus f j . K v a c s a l a . Ueber J . A. Uomenius' Philosophie, insbesondere Physik f K . S c h u l z e . Herbart's ABC der Anschauung f J . H e c k er. ü e b e r Ruffini's Beweis für die Unmöglichkeit der algebraischen Auflösung der allgemeinen Gleichung von einem höheren als dem vierten Grade

Seite

1125 1125 1125 1125 1125 1125

x

x' f H e i n r . M ü l l e r . Ueber die unendliche Potenzkette x 1126 f F . R i n e c k e r . Ueber Substitutionsfuuctiouen modulo 11 . . . . . 1126 f s . E i c h e n b e r g . Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz . .1126 -fj. S c h u b e r t . Ueber die Integration der Differentialgleichung - j ^ — I — - f - 1 / = 0 für Flächenstücke, die von confocalen Ellipsen uud Hyperbeln begrenzt werden f P . N i m s c h . Ueber die Pcriodeu der elliptischen Integrale I. und II. Gattung f F . R o h d e . Zur Transformation der Thelafunctionen M. N. T e p l o w . Die Schwingungsknoten - Theorie der chemischen Verbindungen

Fortschr. und einer Federzeichnung von der Hand König Friedrich Wilhelm's IV. von Preussen. Mit Einleitung und Ergänzungen von Friedrich Zöllner, weiland Professor an der Universität Leipzig. Die Seiten 5-51 sind ein wörtlicher Abdruck aus Zöllner's wissensch. Abhandl. Bd. II. 434-480. Lp.

HÜLLMANN.

Die

Gay - Lussac'sche

Formel.

Oldenburg.

H. H i n t z e n .

Hullmann verteidigt seine in der Schrift: „Der Raum und seine Erfüllung Berlin 1884" gegebene Kritik der Gay-Lussac'schen Formel, deren Verwendbarkeit zur Berechnung der Gasvolumina für nicht sehr ausgedehnte W ä r m e g r a d e er nicht leugnet, die aber, wie er nachweist, als exacte Formel genommen, zu widersinnigen Consequenzen fuhrt und durch eine andere Formel ersetzt werden muss, gegen die Kritik Oberbeck's in D. L. 84.41. 11. Oct. und Hoppe's in dessen Arch. f. Math. u. Phys. III., 1, 85. Der ruhige Ton der Polemik Hullmann's ist anzuerkennen, doch richten sich die Kritiken Oberbeck's und Hoppe's mehr gegen die letzten Ansichten Hullmann's vom Wesen der Materie als gegen seine Kritik der Gay-Lussac'schen Formel. Mi.

I. Abschnitt.

42

R . SCHELLWIEN. Peffer.

Geschichte uDd Philosophie.

Optische Häresien.

Halle a.

s. C. E.

M.

98 S.

In der mehr als die Hälfte der ganzen Schrift umfassenden Einleitung polemisirt der Verfasser gegen die naturwissenschaftliche Methode, insofern dieselbe eine Realität ausserhalb des sinnlichen Bewusstseins annehme. Was (iber die unmittelbare sinnliche Erfahrung hinausgehe, entziehe sich unserer Erkenntnis vollständig. Insbesondere seien die Lehren der Optik von den Schwingungen des Aethers, der Zerstörung der Wellen durch Absorption und Interferenz, sowie von der Zusammensetzung des weissen Lichtes blosse Hirngespinste. Räumliche Bewegung dürfe nicht als Ursache empirischer Erscheinungen betrachtet werden. Mathematische Anschauungen, Begriffe und Sätze könnten der Naturforschung nur dazu dienen, die empirischen Dinge und ihre Veränderungen zu messen und zu berechnen, niemals aber dazu, sie zu erklären oder abgesehen von ihnen Objecte vorzustellen. Obwohl die angeführten Sätze hinreichen, den Standpunkt des Verfassers zu charakterisiren, kann Referent es sich nicht versagen, einige der an Schelling erinnernden Phrasen mitzuteilen, durch die jener Standpunkt begründet wird. „In der Anschauung der Dinge an sich ist ursprünglich die Innerlichkeit des schlechthin auf sich zurückbezogenen Raumes und die innerräumliche Bewegung, durch die er ein Continuum ist, das sich zur Discontinuität entfaltet und aus dieser immer auch wieder in die Continuität zurückgeht. Dies ist die mathematische Anschauung" etc. Ferner: „Dunkelheit ist thätige Negation von Licht und Licht ist thätige Negation von Dunkelheit, beide die positiv - negativen Momente eines bewegten polaren Gegensatzes." Der eigentliche Inhalt der Schrift gehört der experimentellen, resp. der physiologischen Optik an, fällt also nicht in den Bereich des Jahrbuchs. Die hier verfochtenen Sätze sind etwa von der Art, wie die in der Göthe'schen Farbenlehre aufgestellten.

Wn.

Capitel 2.

43

Philosophie und Pädagogik.

F. A. M Ü L L E R . Das Problem der Continuität in der Mathematik und Mechanik. Marburg. Elwert.

A.

TÜRNER. Die Kraft und Materie im Räume. Grundlage einer neuen Schöpfungstheorie. Leipzig. Theodor Thomas. X L V I I I u. 218 S. nebst X Taf.

J. J.

SYLVESTER.

Music and Mathematics.

Nature,

xxxv. 132 Lp.

B. D.

Pädagogik.

BKSSO. Periodico di matematica per l'insegnamento secondario. I. Roma.

Man hat in Italien lebhaft das Bedürfnis nach einer Zeitschrift für die Elementar-Mathematik empfunden, worin Lehrer und Schüler die schwierigsten und höchsten Fragen des Lehrstoffes behandelt finden könnten. Wir begrüssen freudig das von Herrn Davide Besso unter dem obigen Titel gegründete Unternehmen und hoffen, dass der wohlthätige Einfluss desselben wachsen werde in dem Masse, wie die Sorgfalt in der Auswahl der Gegenstände und in der Behandlung des Stoffes sich in höherem Grade geltend machen wird. Die Hauptarbeiten werden in den verschiedenen Capiteln des Jahrbuches besprochen werden. An dieser Stelle wollen wir jedoch auf die reichen Sammlungen von Schüleraufgaben und auf die Berichte über Bücher hinweisen (G. Frattini über die Elementi di geometria di R. De Paolis; A. Lugli über J) den Compendio di geometria di F. Nicoli, 2) die Lezioni di geometria complementare di R. Badia, 3) die Primi elementi di geometria projettiva e descrittiva di V. Murer). La. (Lp.)

I. Abschnitt.

44

Geschichte nDd Philosophie.

Anleitung zum mathematischen Unterricht an höheren Schulen. Berlin, G. Grote, x u. 252 S. 8°.

FR.

REIDT.

Das Buch stellt sich die „Aufgabe, eine Anleitung zum Unterrichte des betreffenden Fachs und damit wenigstens dem strebsamen Anfänger einen Anhalt und Führer zu bieten". Der Verfasser, welcher mehrere g a n g b a r e Lehrbücher geschrieben hat, verwertet einerseits seine während eines Menschenalters im Unterrichte an einem Gymnasium gesammelten Erfahrungen, bringt aber auch andererseits dasjenige „in zusammenfassende Darstellung, was in der Gegenwart allgemein, oder doch von der Mehrzahl der Lehrer der Mathematik, als richtig anerkannt wird". Die Verteilung des Stoffes erhellt aus folgender Uebersicht: Einleitung. Teil I : Der mathematische Unterricht der höheren Schulen im allgemeinen. Capitel 1. Ueber Zweck und Aufgabe des mathematischen Unterrichts an höheren Lehranstalten. Capitel 2. Die Methode des mathematischen Unterrichts iiu allgemeinen. Capitel 3. Der Lehrplan und seine Hülfsmittel. Teil II. Die einzelnen mathematischen Disciplinen. Capitel 4. Die Arithmetik und Algebra, a) Der Rechenunterricht, b) Arithmetik, c) Algebra, d) Anfangsgründe der niederen Analysis. Capitel 5. Die Planimetrie, a) Der propädeutische Unterricht, b) Der wissenschaftliche Unterricht. Capitel 6. Die ebene Trigonometrie. Capitel 7. Die Stereometrie und die sphärische Trigonometrie. Schlusswort. Den einzelnen Capiteln sind Angaben über bezügliche Lehrbücher beigegeben. Ein alphabetisches Sachregister erleichtert das Auffinden von Einzelheiten. Da das tüchtige W e r k für pädagogische Erörterungen voraussichtlich in nächster Zeit zugrunde gelegt werden wird, so möchte Referent darauf hinweisen, dass in den sowohl auf die Methode als auf den Stoff bezüglichen Abschnitten manche Ergänzungen zu machen sind. Die Begrenzung des auf der Schule durchzunehmenden Stoffes ist für einen Kenner der Berliner Gymnasien zu eng; so ist die Bestimmung von grössten und kleinsten Werten nur bei den quadratischen Gleichungen angedeutet, die Anwendungen auf die Physik sind stets nur gestreift. Der Unterricht in den

Capitel 2.

Philosophie und Pädagogik.

45

Realgymnasien und Oberrealschulen ist zwar berücksichtigt, jedoch in einer Weise, welche den übrigens offen eingestandenen Mangel an eigener Erfahrung in diesen Anstalten bei dem Verfasser zeigt. Die neuere und die darstellende Geometrie, die analytische Geometrie, die Anfänge der höheren Analysis werden im Schlussworte auf noch nicht einer Seite abgethan. Das Verzeichnis der einschlägigen an dieser Stelle angeführten Lehrbücher ist sehr dürftig. Lp.

BEHRLE.

Der mathematische Unterricht am Gymnasium.

Pr. Gymn. Offenburg.

H.

Besitzt die heutige Schulgeometrie noch die V o r z ü g e des Euklidischen Originals ? Clausthal. Brauns. MÜLLER.

D i e planimetrische Constructionsaufgabe Gymnasialunterricht. Pr. Gymn. Mainz. 20 S. 4°.

VOGT.

im

Nach einer einleitenden pädagogischen Betrachtung über den Wert geometrischer Constructionen für den Unterricht und über die zu befolgende Methode werden I. Dreiecksconstructionen erörtert, bei denen ausschliesslich geometrische Oerter durch Anschauung zur Anwendung kommen, II. Dreiecksconstructionen, bei denen auch von Lehrsätzen abgeleitete geometrische Oerter angewandt werden. Ausser den durchgeführten Musterbeispielen sind Reihen von ähnlichen Aufgaben aufgezählt. Lp.

DIEKMANN.

Uebungen

und Aufgaben

sehen Unterrichts in der Geometrie.

J . VIOLA.

Mathematische Sophismen.

Gerold'ä Sohn. 24 S. 8°.

des propädeuti Breslau. Hirt.

2. Aufl.

Wien. Carl

I. Abschnitt.

46

Geschichte und Philosophie.

Das Werkchen stellt unter 16 Nummern diejenigen Trugschlüsse zusammen, welche von Schülern in der Arithmetik leicht gemacht werden, „als Dessert anzuwenden". Die Zahl derselben hätte vermehrt werden können; auch die Ausdehnung auf die Geometrie lag nahe. Lp.

Die Entwickelung des naturgeschichtlichen Unterrichts an höheren Lehranstalten. Berlin. Friedberg u. Mode.

E.SCHMIDT.

Die Schrift ist der 59. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte gewidmet von dem deutschen Realschulmännerverein (Section Berlin). Sie behandelt auf den ersten 21 Seiten Lehrkräfte und Zahl der Lehrstunden, auf den übrigen 31 Seiten Ziel, Umfang und Methode des Unterrichts während der verschiedenen Zeiten. Der Verfasser verfolgt die Aufnahme des naturgeschichtlichen Unterrichts in den Lehrplan von den Zeiten Franke's und Hecker's bis zur Gegenwart. Er weist dabei an der Hand der Schulprogramme nach, wie wenig meist die wirkliche Stundenzahl dieses Unterrichtsfaches an den Gymnasien lange Zeit den Forderungen des allgemeinen Lehrplanes, z. B. des von 1816, entsprach, und wie sich andererseits die aufkommenden Realschulen zu diesem Unterrichtsgegenstand verhielten. Aus den Schulschriften, Schulbüchern und pädagogischen Zeitschriften bringt er Belege dafür bei, wie allgemein der Mangel an wissenschaftlich vorgebildeten Lehrern für die Naturgeschichte bis nahe zur Gegenwart war, gleichzeitig auf einige sich noch heute geltend machende Uebelstände hinweisend. Eine richtigere Auffassung der Bedeutung des naturgeschichtlichen Unterrichts findet sich nach dem Urteil des Verfassers im vorigen Jahrhundert zuerst bei Rousseau und Salzmann, in den zwanziger Jahren unseres Jahrhunderts machen sich dann Harnisch, v. Raumer und Dinter um die Entwickelung desselben verdient. Grösseren Einfluss jedoch gewinnt bald darauf Lüben, dessen Ziele darauf erörtert werden ebenso wie die Stellung, welche Lehrer wie Eichelberg, Gabriel, J. H. Schulz, Leunis, Kützing, Kirschbaum zu den Lüben'schen Vorschlägen einnahmen. Die weitere, durch den

Capitel 2.

Philosophie and Pädagogik.

47

Gang der Wissenschaft veranlasste Entwicklung des naturgeschichtlichen Unterrichts durch Kirchhoff und H. Müller, wobei auch aus neuester Zeit v. Freyhold, Behrens, Junge Erwähnung finden, bildet den nächsten Teil der Schrift; die kurze Besprechung der Arbeiten von E. L o w , Vogel, Müllenhoff und Kienitz-Gerloff beschliesst das Ganze. Lg.

Der Unterricht in der mathematischen Geographie in ausgeführten Lectionen als Erläuterung ZU O. Bräunlich's Wandtafeln. Weimar. Hemmleb. 34 S.

0 . BRÄUNLICH.

Das Verfahren, mittels dessen hier Schüler der untersten Stufe mit den Erscheinungen der täglichen Bewegung, mit der Lehre von der Kugelgestalt der Erde u. s. w. vertraut gemacht werden, kann als ein durchaus zweckmässiges anerkannt werden. Doch verdient der Gerechtigkeit halber es jedenfalls hervorgehoben zu werden, dass die Methode, vom Leichten zum Schwereren aufzusteigen und jeden Schritt durch die Anschauung zu controlliren, keine neue, sondern im wesentlichen nur die gute alte Diesterweg'sche ist. Gr.

Zweiter Abschnitt. A l g e b r a .

Capitel 1. G l e i c h u n g e n . (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische Gleichungen.) A.

CAPELLI

Vol. I.

e G . GARBIERI. Corso di analisi algebrica. Teorie introduttorie. Padova. Sacchetto. YII u. 511 S.

Der inhaltreiche Band zerfällt in sechs Capitel. Capitel I. Operationen mit reellen Zahlen. — Einführung der Irrationalzahl nach dem Dedekind'schen Verfahren; elementare Operationen, Radicirung und Logarithmirung. Aufstellung des Grenzbegriffes; Kettenbrüche; Reihen von reellen Zahlen und Convergenzkriterien für dieselben. Capitel II. Operationen mit complexen Zähen. — Definition der imaginären Einheit i durch die Gleichung: i-i = —1. Gleichheit complexer Grössen und Elementaroperationen mit denselben. Geometrische Darstellung der complexen Grössen. Wurzelausziehung; deren Vieldeutigkeit. Einheitswurzeln. Reihen mit complexen Gliedern. Capitel III. Combinatorische Operationen. — Combinationstheorie. Substitutionen; Elemente der Substitutionstheorie, meistens nach Netto.

Capitel 1.

Gleichungen.

49

Capitel IV. Determinantentheorie. — Grundeigenschaften der Matrizen und der Determinanten. Unterdeterminanten. Multiplicationssatz. Anwendung der Theorie auf specielle Determinanten. In diesem Capitel (8. 301) wird der Begriff der „charakteristischen Zahl einer Matrize" (caratteristica di una matrice) eingeführt, durch welchen manche Resultate dieses und des nachfolgenden Capitels sich mit beträchtlicher Einfachheit und Allgemeinheit aussprechen lassen. Diese Zahl giebt die Minimalordnung der nicht verschwindenden Determinanten der Matrize an. Capitel V. Systeme von Linearformen. — Systeme linearer Gleichungen; ihre Zurückfiihrung auf Systeme linearer homogener Gleichungen. Behandlung solcher Systeme. Sätze über verschwindende Determinanten. Lineare und orthogonale Substitutionen. Capitel VI. Grundeigenschaften der ganzen rationalen Functionen. — Allgemeiner Functionsbegriff. Besondere Arten von Functionen. Bedingungen für das Identischwerden zweier ganzen Functionen einer und mehrerer Variabein. Teilbarkeit der gauzen Functionen. Primfunctionen. Grösster gemeinschaftlicher Teiler zweier Polynome. Resultante. Interpolationsformeln. Taylor'sche Entwickelung für ganze Functionen einer und mehrerer Variabein. Hier wird als die „Abgeleitete" eines Polynoms n n—1 ¿arxn~T das Polynom ( n — r ) a r x n - r - i definirt. Die Stetigkeit der ganzen Functionen wird auf Grund der Taylor'schen Formel bewiesen. Der Band schliesst mit der allgemeinen Definition der Abgeleiteten (als Verhältnis der einander entsprechenden Veränderungen der Function und des Arguments) und mit der Aufstellung der Sätze über die Derivation von Summen, Producten, Quotienten und Functionen von Functionen. Die Methode der Darstellung ist ganz streng und zugleich sehr klar. Der Stoff ist, wie sich aus der obigen kurzen Uebersicht ersehen lässt, ziemlich reichhaltig; über die W a h l und die Anordnung desselben müssen wir uns bis zur vollendeten Veröffentlichung des ganzen Werkes jedes Urteiles enthalten. Nur Eines wollen wir bemerken; dass es nämlich als ein Fehler und ein Uebergreifen in ein fremdes Gebiet zu bezeichnen ist, wenn die BeFortschr. d. Math. XV11I. 1.

4

Ii. Abschnitt.

50

Algebra.

griffe der Stetigkeit und der Derivation (ausgenommen etwa die Ableitung der Polynome, als diejenige Operation definirt, n—1 n durch welche ( « — r ) a r x n ~ r - 1 aus £arxn-r entsteht) in einem r= 1

r—1

Lehrbuche der „algebraischen" Analysis Platz

finden.

Um nun auf einige Einzelheiten einzugehen, müssen wir vor allem den, leider auch in einigen neueren deutschen Lehrbüchern eingeführten Gebrauch des Wortes „endlich" als gleichbedeutend mit „kleiner als eine endliche Grösse" (S. 106, 193) durchaus missbilligen. Eine unendliche Zahlenmenge kann lauter endliche Elemente enthalten und doch oo als Grenzwert haben; und eine convergente Reihe kann divergent werden, wenn sie gliederweise mit einer Zahlenreihe von der eben angeführten Art multiplicirt wird. — Die Benennung „semplicemente convergente" (S. 124, 187) für unbedingt convergente Eeihen ist unpassend; sie kann ferner zu Missverständnissen führen, da das Nebenwort „semplicemente", auf gleichmässig convergente Functionenreihen angewandt, schon längst einen ganz anderen Sinn erhalten hat (Vgl. Dini, Fondamenti etc. S. 103). — Die Bezeichnung ( ß ^ ! ) für diejenige Substitution, welche die Permutation abc in die Permutation bca überführt, scheint uns fremdartig und unnatürlich; so auch die Bezeichnung STf für die successive Anwendung der Substitutionen S und T auf /"; denn STf drückt natürlicherweise die Ausübung von S auf Tf, also die successive Anwendung von T und S auf f aus. Allerdings wurde die erste Bezeichnung von Serret, die zweite von Netto, Klein, Dyck gebraucht; man findet aber die der ersten entgegengesetzte bei Abel, Netto, Gordan, die der zweiten entgegengesetzte bei Serret. — Es ist nicht wahr, dass (S. 418) die Einteilung der Functionen in Functionen reeller und complexer Vaviabeln sich auf deren analytischen Ausdruck begründet. S. 379 Z. 2 v. u. muss es „inferiore od eguale" statt „inferiore 8 heissen. Vi.

Capitel 1.

Gleichungen.

51

Algebra; an elementary text-book for the higher classesofsecondaryschools and for Colleges. Parti.

G . CHRYSTAL. Edinburgh.

A. and C. Black.

X X u. 542 S.

Obschon im Titel als elementar bezeichnet, ist dies Lehrbuch augenscheinlich nicht für Anfänger in dem Gegenstande abgefasst; aber für solche, welche bereits einige Fortschritte in der Handhabung algebraischer Symbole gemacht und sich eine vorläufige Anschauung von algebraischer Allgemeinheit angeeignet haben, dürfte das Studium dieses Buches von bedeutendem Nutzen sein, indem es die Aufmerksamkeit auf die grundlegenden Sätze der Wissenschaft hinlenkt und die Gedanken bei der algebraischen Form festhält. Die Anordnung des Stoffes in dem Buche ist durchaus verschieden von der in englischen Lehrbüchern hergebrachten Folge. Der Band ist in zweiundzwanzig Capitel eingeteilt. Cap. I giebt eine klare Erörterung der drei Grundgesetze der Association, der Commutation und der Distribution; wie klar es indes auch sein mag, so ist es für den Anfänger nicht leicht lesbar. Cap. II ist kurz; es behandelt eingliedrige Ausdrücke und das Gesetz der Indices. Im Cap. III, das die Theorie der Quotienten behandelt, werden mehrere Anwendungen auf die Zahlentheorie gegeben. Cap. IV (Distribution von Producten und Elemente der Theorie rationaler ganzer Functionen) und Cap. V (Transformation des Quotienten zweier ganzen Functionen) sind in vielen Beziehungen die wichtigsten im Buche; ihre Behandlung ist durch grosse Frische und Durchsichtigkeit ausgezeichnet. Cap. VI bespricht das grösste gemeinschaftliche Mass und das kleinste gemeinschaftliche Vielfache. Die Erörterung der Zerlegung ganzer Functionen in Factoren in Cap. VII leitet über zur Einführung sowohl der imaginären Einheit als auch der irrationalen Wurzeln (surds), deren eingehende Betrachtung indes verschoben wird, bis die rationalen Brüche (Cap. VIII) und Zusatztheoreme aus der Zahlentheorie (Cap. IX) erläutert sind. Cap. X über irrationale Functionen und Cap. XI über die arithmetische Theorie der irrationalen Wurzeln sind erschöpfend und bereiten gut auf Cap. XII vor, welches die complexen Zahlen in einer für englische Lehrbücher ganz 4*

52

II. Abschnitt.

Algebra.

neuen Art behandelt. Die Darstellung ist klar, und das Capitel schliesst mit einem Beweise des Fundamentaltheorems, dass jede ganze rationale Gleichung eine Wurzel besitzt. Nach Erledigung des Verhältnisses und der Proportion in Cap. XIII wird das Thema der Bedingungsgleichungen in Cap. XIV vorgenommen und mit grosser Frische erledigt. Im Cap. XV wird die Aenderung einer Function recht vollständig mit Hülfe graphischer Methoden erläutert. Die Cap. XVI und XVII geben eine erschöpfende Behandlung der Gleichungen ersten und zweiten Grades. Die allgemeine Theorie ganzer Functionen, eingehender die der quadratischen Functionen bildet den Gegenstand von XVIII. Dieses Capitel enthält manche Sätze über Functionen der Wurzeln einer Gleichung, die gewöhnlich in englische Lehrbücher nicht Eingang gefunden haben. Cap. XIX berührt sehr kurz die Frage der Lösung von Aufgaben vermittelst der Gleichungen. Cap. XX handelt von arithmetischen, geometrischen und zusammengesetzten Reihen, Cap. XXI von Logarithmen und Cap. XXII von der Theorie der Zinseszins- und Renten - Rechnung als praktischer Anwendungen der Principien der beiden vorangehenden Capitel. Das Buch ist durchweg reich mit Uebungsaufgaben, sowohl durchgerechneten als ungelösten, versehen, und der Druck und die Ausstattung sind seinem wissenschaftlichen Werte angemessen. Diese „Algebra" bildet eine schätzenswerte Ergänzung der englischen mathematischen Lehrbücher. Gbs. (Lp.) J . W . GIBBS.

On multiple algebra.

AM.

Abs. X X X V . 32 S.

Diese an die Versammlung der Am. Assoc. in Buffalo gerichtete Denkschrift enthält eine lichtvolle und durch passend gewählte einfache Beispiele illustrirte Auseinandersetzung der mannigfachen Anwendungen, welche die Algebra der mehrfachen Einheiten (hyperimaginären Grössen) auf die verschiedensten Zweige der reinen und angewandten Mathematik gestattet, und der grossen Vorteile, welche diese Algebra äusserlich als „arbeitsparendes Werkzeug", innerlich dadurch gewährt, dass sie an die Stelle einer durch willkürlich gewählteSyinbole und sonstige Auskunftsmittel erzeugten künstlichen Einfachheit der Rechnungsausdrücke die wahre Ein-

Capitel 1.

Gleichungen.

53

fachheit setzt, welche aus der Wahl der dem Gegenstande der Untersuchung sich am natürlichsten anpassenden Methoden hervorgeht. Der Verfasser beginnt mit einer chronologischen Uebersicht der grundlegenden Arbeiten auf diesem Gebiete, verbunden mit kurzen vergleichenden Charakteristiken. Wir begegnen hier den Namen Möbius, Hamilton, Grassmann, St. Venant, Cauchy, Cayley, Hankel, Peirce, Sylvester. In dem zeitlichen Zusammentreffen der Arbeiten von Hamilton, Grassmann und St. Venant sieht der Verfasser ein Zeichen, dass schon damals (anfangs der vierziger Jahre) die Entwickelung der Geometrie dem Hülfsinittel zustrebte, welches ihr durch die Algebra der mehrfachen Einheiten geboten wird, während andrerseits der lange Zeitraum, welchen diese Methoden gebrauchten, um sich allgemeinere Anerkennung zu verschaffen, ihm beweist, dass die damalige Zeit für dieselben noch nicht reif war. In der Beachtung und Ausbildung, welche diese Methoden in der Gegenwart finden, erblickt der Verfasser den bedeutsamsten Fortschritt der Algebra und ein für unsere Zeit charakteristisches Merkmal derselben. Den hier und da noch dagegen bestehenden Widerstand erklärt der Verfasser durch die Einseitigkeit, mit der auch in geometrischen Dingen der Standpunkt der gewöhnlichen (double) Algebra festgehalten wird. Dieser Einseitigkeit gegenüber verweist er auf die Beispiele Cayley's mit seiner „Theory of matrices", und Sylvester's mit seinen „Lectures on the principles of Universal Algebra". — Im übrigen stellt er die Grassmann'schen Methoden als die umfassendsten in den Vordergrund, versäumt auch nicht, speciell für diese Methoden Autoritäten wie Hankel und Clebsch zu citiren und Beispiele anzuführen, wie Autoren, die diesen Methoden fernstehen, auf dem Wege der abkürzenden Symbolik von selbst zu Bezeichnungen und Operationen gelangt sind, die mit den Grassmann'schen ganz oder im wesentlichen übereinstimmen. Damit ist in der That das Vorhandensein der Kraft, mit welcher die Entwickelung der Wissenschaft von selbst diesen Methoden zustrebt, dargethan. Als Hauptbeispiele für den Nutzen der „Multiple Algebra" wählt der Verfasser das Multiplications-Theorem, sowie die sonstige Theorie der Determinanten,

54

II. Abschnitt.

Algebra.

eine Grundgleichung in Lagrange's Mécanique analytique und die homogenen Coordinaten. Manche von ihm als möglich und voraussichtlich fruchtbar angedeuteten weiteren Anwendungen sind übrigens thatsächlich schon ausgeführt, so die auf Invariantentheorie und symbolische Curvengleichungen bezüglichen durch den Referenten in seinem „System der Raumlehre". Auch die Anwendungen auf die neuerdings so sehr in den Vordergrund tretende w-dimensionale Geometrie hätten hier erwähnt werden können. An die obigen Beispiele schliesst sich eine eingehende Erörterung der verschiedenen Productbildungen der Ausdehnungslehre, wobei auf die Verschiedenheit der Anwendungsgebiete von Punkt- und Strecken-Rechnung aufmerksam gemacht wird. Den Schluss bildet ein kurzer Abschnitt über die Anwendungen auf Differential- und Integral-Rechnung. Die ganze Arbeitest ein neuer Beweis des regen Interesses, welches die transatlantischen Mathematiker den Arbeiten unseres berühmten Landsmannes entgegenbringen. Dass für die Geometrie, sobald sie das beengende Gebiet der reellen und imaginären Zahlen verlässt, um sich auf den ihrer Natur angemessenen Boden der vielfachen Einheiten zu stellen, der Gegensatz zwischen analytischer und synthetischer Behandlung seinen Ausgleich findet, hebt auch der Verfasser hervor. Und da in neuerer Zeit auch die Analysis sich von der Hülfe, welche ihr die Geometrie durch Veranschaulichung ihrer Methoden und Resultate gewähren k a n n , loszusagen beginnt, so dürfte eine ausgesprochenere Scheidung der Untersuchungsmethoden für Analysis und Geometrie nur noch eine Frage der Zeit sein. Schg. A. B. KEMPE.

ün

an

extension

of o r d i n a r y

algebra.

Mess. XV. 188-190.

In des Verfassers neuer Algebra bedeuten das Product ab und die Summe a-{-b der beiden Grössen a und 6, wenn sie in Ausdrücken der Operationen der gewöhnlichen Algebra wiedergegeben werden, bezüglich: ab(i-\-&—u) — (a-\-b)iz-\-uiz ab(2i—z) — (a-f-6)i®+i*z ab — (a-\-b)u-\-u(i-\-z)—i!s ab — (o-(-6)z+2iz— i ' '

Capitel 1.

Gleichungen.

55

wo z , i , u drei willkürliche Grössen sind, die den Werten 0, oo, 1 der gewöhnlichen Algebra entsprechen. Somit ist in der neuen Algebra zb = z, z-j-b = b, ib = i, ¿ + 6 == i, ub — b. Glr. (Lp.) A. BUCHHEIM.

On double algebra.

Mess.

xvi. 62-63.

A. BUCHHEIM. Note on triple algebra. Mess. xvi. 111-114. In der ersten Note löst der Verfasser für den Fall binärer Matrizen die Aufgabe, die n-ären Matrizen zu finden, welche in einer r-fältigen Algebra Einheiten sein können, wo r nicht grösser als n ist. In der zweiten Note wird ein besonderer Fall derselben Aufgabe für die dreifache Algebra betrachtet. Glr. (Lp.) TH. HARMUTH.

Textgleichungen geometrischen Inhalts.

Pr. Wilhelmsgymn. Berlin. 15 S. 4«.

225 Aufgaben aus der Planimetrie, 75 aus der Stereometrie, am Schlüsse die Auflösungen. Die Gleichungen zweiten Grades sind durch einen Stern gekennzeichnet. Trigonometrische Aufgaben fehlen. Lp.

H. W E B E R .

Theorie der Abel'schen Zahlkörper.

Acta Math.

193-263; IX. 105-130. Das Ziel der Untersuchungen ist, alle Abel'schen Zahlkörper vollständig zu bestimmen und darzustellen; an erster Stelle ist somit der Nachweis zu erbringen, dass dieselben Kreiskörper seien (Kronecker'scher Satz). Ein „Kreiskörper" ist jeder aus rationalen Zahlen und Einheitswurzeln bestehende Zahlkörper; ist r eine primitive mte Einheitswurzel, so heisst der Körper S2m, der aus sämtlichen rationalen Functionen von r besteht, ein „vollständiger Kreiskörper". Die erste der vier Abhandlungen beschäftigt sich mit der allgemeinen Theorie; in ihr wird gezeigt, dass alle Abel'schen Körper sich aus solchen regulären zusammensetzen lassen, deren Grad eine Primzahlpotenz ist, wobei das VIII.

56

II. Abschnitt.

Algebra.

Wort „regulär" angiebt, dass die Gruppe der Substitutionen des Körpers aus den Potenzen einer einzigen Substitution besteht. Der Kronecker'sehe Satz ist also nur für solche besonderen Körper nachzuweisen. Es wird ferner gezeigt, wie durch directe Verallgemeinerung der Gauss'schen Perioden alle Kreiskörper, und jeder nur einmal, dargestellt werden können; und dann wird die für die Folge notwendige Kummer'sche Zerlegung der Zahlen (r n , r[)m in ihre Primfactoren vollständig durchgeführt. Die zweite Abhandlung beschäftigt sich mit der Anzahl der Idealklassen und den Einheiten in den Kreiskörpern, deren Ordnung eine Potenz von zwei ist. Diese Untersuchung war notwendig, um einer bei Potenzen von zwei auftretenden Schwierigkeit im Beweise des Kronecker'schen Satzes zu begegnen. An Kesultaten heben wir aus diesem zweiten Teile hervor: A) Eine primitive Einheit eines vollständigen Kreiskörpers der Ordi nung 2 , die mit allen ihren Conjugirten einerlei Vorzeichen hat, ist, vorn Vorzeichen + abgesehen, das Quadrat einer primitiven Einheit; dabei ist angenommen. B) Jede Einheit des Körpers i i i - i lässt sich darstellen als das Product aus einer primitiven Einheit und dem Quadrat einer Einheit des Körpers Sil. C) Die Klassenzahl in £2^ ist eine ungerade Zahl. In der dritten Abhandlung wird zunächst gezeigt, wie es für den geforderten Hauptbeweis ausreicht, darzuthun, dass xpn — xu 4- rnxx + •••-fin den Kreiskörpern enthalten sei, wenn ®o, . . . , xm—i conjugirte Zahlen eines regulären Abel'schen Körpers sind. Es wird dann tfj„m in ideale Primfactoren zerlegt, und als Kern des Beweises zeigt sich nun, dass ein hierbei auftretendes Ideal als Hauptideal erkannt werde. Mit Hülfe des Satzes C) gelingt dies für die Ordnungen 2*; mit Hülfe eines zahlentheoretisch interessanten Theorems für diejenigen Ordnungen, welche Potenzen ungerader Primzahlen sind. Die vierte, im neunten Bande der Acta Mathematica enthaltene Abhandlung löst die Aufgabe, Abel'sche Körper von beliebig gegebener Gruppe durch Einheitswurzeln möglichst niedrigen Grades darzustellen. Die Gruppe wird dabei durch diejenigen Zahlen en e3, ..., ey charakterisirt, welche von den Herren Fro-

Gapitel 1.

Gleichungeo.

57

benius und Stickelberger als „Invarianten" der Gruppen vertauschbarer Elemente eingeführt wurden, und durch welche der Isomorphismus zweier Gruppen bedingt wird. Jeder in einer Abel'schen Gruppe 5JI enthaltenen Abel'schen Gruppe 21 kann man eine andere 33 als reciproken Divisor von 31 entsprechen lassen; 21 und 33 haben dieselben Invarianten elt e2,...,ey; das Product der Grade beider ist gleich dem Grade von Versteht man unter 91 die Gruppe der nach irgend einem Modul m genommenen, zu m teilerfremden Zahlen n, so lässt sich, um eine Gruppe 21 mit gegebenen Invarianten zu bilden, zunächst ein passender Modul m bestimmen; die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für denselben werden aufgestellt. Dann kann man hieraus 33 und endlich 21 selbst ableiten. No.

Zur Theorie der Gattungen rationaler Functionen von mehreren Variablen. Berl. Ber. 251-253.

L . KRONECKER.

Herr Kronecker stellt eine übersichtliche Darstellung und vollständige ßegründuDg seiner am 27. Juni 1861 der Akademie mitgeteilten Resultate aus der Theorie der algebraischen Gleichungen auf dem Boden seiner „Festschrift" in Aussicht. Ferner giebt er eine elegante und directe Ableitung derjenigen unter den zehnwertigen rationalen Functionen von fünf Grössen, welche bei allen cyklischen Permutationen j e dreier dieser Grössen nur fünf Werte annehmen, und dabei nur von zwei Functionen jener fünf Grössen abhängen. No.

Ueber einige Anwendungen der Modulsysteme auf elementare algebraische Fragen. Kroneoker

L . KRONECKER. J . IC. 329-371.

Im ersten Abschnitte der Abhandlung, „einleitende Bemerkungen über Congruenzen und Modulsysteme" betitelt, zeigt der Verfasser, wie die Einführung der Modulsysteme eine naturgemässe Erweiterung des Gauss'schen Congruenzbegriffes sei, welche bei dem Fortschritte von der gewöhnlichen Zahlentheorie zur arithmetischen Behandlung ganzzahliger Functionen von un-

II. Abschnitt.

58

Algebra.

bestimmten Variabein nicht nur nützlich, sondern notwendig wird. Der

Begriff

des

„Enthaltens

systemen" wird dargelegt geknüpft,

wie

und

und

Modulsysteme

Enthaltenseins

von

daran die wichtige mit

unendlich

vielen

Modul-

Bemerkung Elementen

durch solche mit einer endlichen Anzahl von Elementen ersetzt werden können;

dann

folgt

der Begriff der „Stufe" oder des

„Ranges", deren Bedeutung sich auch hier im zweiten Abschnitt zeigt; und endlich wird neu eingeführt die Bezeichnung „Primmodulsysteme" oder „Primformen" für diejenigen Modulsysteme oder Formen, welche nicht nur „nicht zerlegbar" sind, sondern auch keine anderen Modulsysteme oder Formen derselben Stufe unter sich enthalten. duct

nur dann

Für sie gilt dann der Satz, dass ein Pro-

für ein Primmodulsystem

congruent Null sein

kann, wenn einer der Factoren es ist. In den folgenden Abschnitten zeigt sich an der Behandlung einzelner algebraischer Fragen

die weittragende Bedeutung der

Modulsysteme, durch welche es gelingt, mathematische Resultate in

der Form

identischer Gleichungen

und allgemeiner zu fassen,

präciser,

übersichtlicher

als es j e m a l s bisher geschehen ist.

Von den Ergebnissen des zweiten Abschnittes, welcher sich mit linearen Congruenzen für Primmodulsysteme beschäftigt, heben wir hervor:

„Durch ein System von Congruenzen

"¿V$xk ==0 (modd. M, M', M", . . . ) ( i = 1, 2 , . . . , t'), k= 1 in welchem FW, M, M', M " , . . . beliebige Grössen eines natürlichen Rationalitätsbereichs bedeuten und die letzteren ein

Primmodul-

system bilden, wird die ¿'-fache Mannigfaltigkeit der Grössen X auf eine genau (/'—r)-fache eingeschränkt, wenn die Zahl r den Rang des Systems

in Beziehung auf das Modulsystem (M, M ' , . . . )

bezeichnet. Der dritte Abschnitt liefert die Darstellung des grössten gemeinsamen Teilers zweier ganzen Functionen von x für irgend ein Primmodulsystem

des Bereichs

ihrer Coefficienten.

Wenn

man hierbei S5(x)=0 u -J-0 1 a;H

f- t)n~i& n~ 1,

SS ( x ) : V(x)

t= toQ x- 1

V ( x ) = Vo+Vtx

-j

-(• wl x~ 2 -f- w2 x~ 3 -j

j-0„_ia;''- 1 + x n ,

Oapitel 1.

59

Gleichungen.

setzt, so ergiebt sich eine Reihe merkwürdiger Beziehungen für die Determinanten I®P+«I =

w"'+r

|»»+t|=F,

q = O, 1 , 2 , •••,m + r), (h, k = 0, 1, 2, •••, m— 1);

(P,

so z. B. dass eine Potenz jeder aus den w p + J zu bildenden Determinante, nach Multiplication mit einer genügend hohen Potenz von V,n, modd. Wm ..., W„_i congruent Null wird, also das aus den (n—m) Hauptdeterminanten ( P . I 1

=

O, ; , - . » + ' •

)

H

* ' \ r — 0, 1, •••, n — m— V zu bildende Modulsystem enthält. Die bis dahin abgeleiteten Resultate werden im vierten Abschnitt zur Auflösung des Systems von n Congruenzen "J? «>*+** = «>A0

(modd . « ' , * " , * ' " , . . . )

(h = 0, 1 , n — \ )

*=o verwendet, und die Bedingungen für die Lösbarkeit angegeben. Für den einfachen Fall des absoluten Rationalitätsbereichs = 1 und für — wh) „ = if° erhält man, wenn an di& Stelle des Primmodulsystems der Primmodul p tritt, die Bedingung, dass n—1 die Congruenz n—1 2 WkXn~l~l = 0 (modd. p,xn— 1, 2 tokxn-k~1) k=o fc=0 erfüllt sei; und findet dies statt, dann liefert n—1 n— 1 7!—1 s wlx*-*-1 = 2 q>kxk 2 Wkxn-k~1 (modd. p, xn— 1) i=0 k=l) k=0 die Grössen q>. Endlich wird der Satz abgeleitet: Die Irreductibilität von V(x) in Beziehung auf ein Modulsystem (JW', ili",...) ist dadurch charakterisirt, dass der Rang des Systems stets n ist, wenn für tom,beliebige ganze Grössen des Bereichs angenommen werden, dem die vm,..., e„_i angehören, und wenn die w n ,...,w2n~2 mittels n—1 »»+» + -£«>*«>*+* = 0 (Ä = 0, 1, ...) k=U bestimmt werden. No,

60 L.

II. Abschnitt. KRONECKER.

Algebra.

Ein Satz über Discriminan ten-Formen.

Kronecker J. 0 . 79-82.

Auf Grund der Principien, die Herr Kronecker in den „Grundzügen einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen" entwickelt hat, leitet er hier durch einfache Ueberlegungen die Sätze a b : 1) Die Discriminantenform einer jeden aus den verschiedenen Wurzeln einer Gleichung zu bildenden Gattung ist in einer Potenz der Discriminante der Gleichung selbst enthalten. 2) Die Discriminantenform einer Gattung (g,) k a n n zu einer hinreichend hohen Potenz erhoben werden, damit sie durch die Discriminantenform einer jeden aus den verschiedenen Conjugirten von zu bildenden Gattung teilbar werde. ' Wenn nun F(x), G(y) irreductible ganze Functionen eines und desselben Bereiches sind, und wenn die Coefficienten der höchsten Potenzen von a;, y gleich 1 angenommen werden, so kann eine der beiden Gleichungen F = 0, G = 0 nur dann unter Adjunction einer Wurzel der andern reductibel werden, wenn eine gewisse Gattung von rationalen Functionen der Wurzeln der einen Gleichung mit einer der zweiten Gleichung übereinstimmt. Die obigen Sätze zeigen: „Die Discriminantenform dieser Gattung ist gemeinsamer Teiler der Discriminanten von F und G." In diesem allgemeinen Satze ist als besonderer Fall enthalten, dass derjenige Factor von xn — 1, welcher nur für die primitiven « t e n Wurzeln der Einheit gleich Null wird, irreductibel ist, und zwar auch dann, wenn eine Wurzel einer ganzzahligen Gleichung adjungirt w i r d , deren Discriminante zu n relativ prim ist, wie es Herr Kronecker in Liouville J . (1854) bereits nachgewiesen hatte. No.

C H . BRISSE.

Démonstration du théorème de d'Alembert.

J. de l'fic. Polyt. Cah. L V I . 163-169.

Der Beweis für die Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen wird folgendermassen geliefert. Es wird eine Grösse y gesucht, für welche f(x) und f{xy) einen gemeinsamen Teiler haben. Die Resultante beider Functionen R(y) hat die F o r m t y — l ) m und

(Japitel 1.

61

Gleichungen.

Rt(y) = Oist eine r e c i p r o k e G l e i c h u n g d e s G r a d e s H ^ H Ü L — t wenn m den G r a d von f(x)

angiebt.

schiedenen

finden

Teiler

So k a n n man einen von f(x)

und f(x)

=

g(x)-h(x)

setzen.

verDie

G r a d e von g, h sind durch keine höheren Potenzen von 2 teilbar, als es bei f statthat;

gleichzeitig sind sie kleiner als m.

Die

Fortsetzung dieses Verfahrens liefert also schliesslich einen Teiler von f von geringerer Paarheit.

Somit ist

der Beweis

darauf

reducirt, zu zeigen, d a s s j e d e Gleichung u n g e r a d e n G r a d e s mit complexen

Coefficienten eine Wurzel

besitze.

Die dazu

ver-

wendete Methode ist der eben besprochenen durchaus ähnlich. No.

E . HOLST. Beweis des Satzes, dass eine jede algebraische Gleichung eine Wurzel hat. Acta Math. VIII. 155-IGO. G. LORIA. Sur une démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques. Acta Math. IX. 71-72.

Der Beweis ist einer von d e n j e n i g e n , Stetigkeit voraussetzen;

er geht von

welche geometrische

der Annahme

einer Zer-

legung der Functionen ( » — l ) t e n G r a d e s in lineare Factoren aus. Herr L o r i a macht d a r a u f a u f m e r k s a m , in seinem W e s e n lichten

dass dieser Beweis

mit einem 1828 von C. V. Mouret

übereinstimme.

veröffentNo.

A proof of the theorem: the equation •/"(z) = 0 has a root, where f(z) is any holomorphic function of a. Newcomb Am. J. VIII. 178-179.

J . C . FIELDS.

Einer der vielen geometrischen Beweise, welche Stetigkeit, Existenz

eines Minimums u. dergl.

voraussetzen.

Am Schlüsse

b e m e r k t Herr Fields, der Beweis sei schon von Hoüel gegeben. No.

II. Abschnitt.

62 E . CKSARO.

Algebra.

Théorème d'algèbre.

Mathesie

vi. 193-195.

Ist f(x) = 0 eine algebraische Gleichung, deren Wurzeln reell sind, so hat auch f1 (x) — f(x)-\-af'(x) = 0, falls a reell ist, reelle Wurzeln. Ebenso verhält es sich mit ft(x)

=

f , ( x ) + bf\(x)

=

0,

wofern b, c, . . . reell sind.

ft(x) =

f , ( x ) + cf'2(x)

=

0,

. .

Verschiedene Anwendungen. Mn. (Lp.)

J. T. SÖDERBKRG. Deduktion af nödvändiga och tillräckliga villkoret för möjligheten af algebraiska eqvationers solution med radikaler. Upsala Univ. Arsb. Eine Darstellung des wesentlichen Teils dieser Abhandlung wird in den Acta Math, erscheinen. M. L.

Zur Auflösung linearer Gleichungssysteme numerischen Berechnung von Determinanten.

E . JÜRGENS.

und

Festschrift. Aachen. Palm.

Der Auflösung linearer Gleichungssysteme geht eine Umformung derselben vorher, durch welche bewirkt wird, dass die Diagonalglieder sämtlich positiv und die übrigen ihrem absoluten Werte nach verhältnismässig sehr klein sind. Dadurch wird bewirkt, dass die Unbekannten bei hinlänglicher Kleinheit der absoluten Glieder auch hinlänglich klein werden. Die Berechnung wird dadurch wesentlich erleichtert. — Die Auswertung von Determinanten wird auf die Lösung von Systemen linearer Gleichungen zurückgeführt. No.

A. K O S T E N E C . von

Bemerkungen zur Ordnung und A u f l ö s u n g

Gleichungen.

Caeop. X V .

16. (Böhm.)

Für den Kreis der Mittelschule berechnet, enthält der Aufsatz Winke, wie man bei Transformationen von Gleichungen

C'apitel 1.

Gleichungen.

63

vorzugehen habe, um die ursprünglichen Wurzelbedingungen in Evidenz zu behalten. Std. Note relative à la résolution du cas irréductible de l'équation du troisième degré. 0. R. OUI. 774. Für x s + px -f- q = 0 und R — q* : p 3 wird

F . PRIVAT.

x = - - ^ ( l - Ä + 3ß2-12Ä5 P

+ 5 5 f i 4 - 2 7 3 ß 5 + 1428ß 6 -7752ß 7 H No.

).

Sur les équations du q u a t r i è m e d e g r é et les fonctions elliptiques, s. M. F. Bull. x i v . 90-93. Ordnen sich die Wurzeln einer Gleichung geraden Grades so an, dass sie zu je zwei und zwei eine Gleichung A.-E.

PELLET.

+ *») +6®,*» + o = 0 befriedigen, so kann man mittelst einer linearen Substitution die Gleichung in eine andere, reciproke, oder in eine solche umformen, welche nur gerade Potenzen der Unbekannten enthält. Von diesem Satze wird bei den Gleichungen vierten Grades Anwendung gemacht; diese lassen auf drei verschiedene Arten solche Umgestaltung zu. Eine zweite Anwendung bezieht sich auf die Transformation der elliptischen Integrale. No. Numerical Solution of a biquadratic Descartes' process. Meas. X V . 184-187.

EL W . L . T A N N E R .

equation

by

Die gegebene biquadratische Gleichung wird in der Gestalt angenommen x i-\-bx 3-\-cx 1-{-dx-{-e = 0, worin die Coefficienten ganz sind, und das Ziel ist die Zerlegung der linken Seite in quadratische Factoren (x 2 -\-px-f q)(x 3-{- p'x -f- q'). Des Verfassers Methode besteht in einem Verfahren zur Berechnung von p,p',q,q\ wenn dieselben ganz sind. Glr.(Lp.) J . J . SYLVESTER, R . F . DAVIS, G . B . M A T H E W S .

of question 8389.

Ed. Times

XLV.

70-71.

Solution

II. Abschnitt.

64

Algebra.

1) Sind die Wurzeln der Gleichung ax 4 +46x 3 +6c® 2 +4da;-|-e = 0 in harmonischen Intervallen angeordnet (d. h. so dass, wenn p, q, r, s diese Wurzeln sind, q—p, r—p, s—p in harmonischer Progression sich befinden), so verschwindet die kubische Invariante: a b c b c d — 0. c d e 2) Wenn die Wurzeln der Gleichungen Ax*+2Bx+C = 0, A'x2 + 2B'x-{-C' = 0, abwechselnd gestellt, in harmonischen Intervallen geordnet sind, so verschwindet die Invariante AC'—2BB'-\-CA'. 3) Diese Invariante ist als ein Teiler in der kubischen Invariante der biquadratischen Form (Ax*-^ 2Bx+C)(A'x*-\-2B'x+C') enthalten. Lp.

J.

RAHTS. Zur Reduction der allgemeinen Gleichung fünften Grades auf die Jerrard'sche Form — eine Weiterführung des von Hermite eingeschlagenen Weges. Klein Ann. XXVIII. 34-60.

Zunächst werden die Untersuchungen Hermite's über Invarianten der Form 5ter Ordnung nebst der Darstellung der ganzen Systeme durch 4 unter ihnen dargelegt. Daran schliesst sich die Anwendung behufs der Eeduction der allgemeinen Gleichung fünften Grades auf die Jerrard'sche Form. Mit Hülfe von zwei Beispielen bestimmt Herr Rahts drei hierzu nötige Grössen, während die vierte bei der Transformation auftretende in anderer Weise durch die Vergleichung specieller Fälle aufgefunden wird. No.

P.

GORDAN.

Ueber Gleichungen fünften Grades.

Kleiü

Ann. XXVIII. 152-166.

Es wird eine directe Methode angegeben, die allgemeine

Oapitel 1.

Gleichungen.

65

Gleichung fünften Grades in eine solche mit einem einzigen Parameter zu transformiren. Zwei Functionen vierten Grades q>, rp lassen sich so bestimmen, dass sie der Kegelschnittgleichung c11 genügt eine Function zweiten Grades; die Kegelschnittgleichung wird gebildet; die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung werden aus denen der Brioschi'schen Form berechnet. Es folgen invariantentheoretische Bemerkungen, aus denen hervorgeht, dass für die Brioschi'sche Form die Invariante B verschwindet. No.

P.

GORDAN.

Ueber Gleichungen fünften Grades.

Erlang.

Ber. XVIII. 81-83.

G . DAWSON.

Solution of question 7 4 7 2 .

Ed. Times X L I V .

83-84.

Sind a „ a „ . . . , o t die Wurzeln der Gleichung « 5 4 - P , ® 4 + P a ® ' + P , * , + i > 4 * + P s = 0, so kann die Gleichung, deren Wurzeln die zehn Producte «, a 2 , OjOtj, . . . sind, dadurch erhalten werden, dass man in der Gleichung abc+2fgh-af'—bg*-cht = 0 die Grössen a, b, c, f , g, h bezw. ersetzt durch

r,+

Fortschr. d. Math. XVIII. 1.

p

-f-»(i

+ t ) ,

r

T,+

f-

5

II. Abschnitt.

66

Algebra.

Uebei' eine Klasse von algebraisch auflösbaren Gleichungen fünften, sechsten und siebenten Grades. Wien. Ber. X C I V . 246-256.

M . MANDL.

Wenn drei Wurzeln einer algebraischen Gleichung «ten Grades mit einander eine arithmetische Progression bilden, so ist die Auflösung der Gleichung zurückführbar auf die Auflösung einer Gleichung vom höchstens (n—3)te" Grade. Die aufgestellte Bedingung wird durch das Bestehen einer einzigen Beziehung zwischen den Coefficienten erfüllt. No.

F. N. C O L E . A contribution to the theovy of the general equation of the sixth degree. N e w c o m b Am. J . V I I I . 265-286. Herr Cole giebt zunächst eine kurze historische Uebersicht über die Untersuchungen, welche sich auf die Lösung der Gleichungen beziehen, mit besonderer Berücksichtigung der Arbeiten des Herrn F. Klein. Der Verfasser befolgt in seiner Arbeit die von diesem gegebene Methode: „Eine Gruppe linearer Substitutionen zu suchen, welche isomorph zur allgemeinen Gruppe von n Elementen ist; Functionen der Wurzeln zu finden, die sich gemäss diesen linearen Substitutionen vertauschen; entsprechende Differentialgleichungen für diese Functionen aufzustellen und deren Lösungen zu untersuchen". Diese Vorschriften werden auf die allgemeinen Gleichungen sechsten Grades angewandt. Die gesuchte Gruppe ist die von drei Variabein, welche mit der Kummer'schen Fläche eng verbunden ist. Die weitere Bestimmung der Differentialgleichung ist mit ausserordentlichen Rechnungsschwierigkeiten verknüpft; es sind daher nur einige Resultate gegeben und weitere in Aussicht gestellt. No.

CH. A . SCOTT.

The binomial equation xv — 1 = 0.

N e w c o m b Am. J. V I I I . 261-264.

' Herr Cayley hat (Lond. Math. Soc. XI. 11-14; XII. 15-16; XVI. 61-63) die Gleichungen behandelt, deren Wurzeln die vier resp. fünf Perioden von

- resp. ^

* Gliedern von Ein-

Cspitel 1.

67

Gleichungen.

heitswurzeln sind. In der vorliegenden Arbeit wird ein Coefficient der ersteren Gleichung in vereinfachte Gestalt gebracht, die Form der zweiten Gleichung, wie sie von Herrn Cayley gegeben war, bewiesen. No.

A . BERGER. tions Ups. N

Sur une application de la théorie des équa-

binômes

à

la

sommation

de quelques

séries.

Act.

Die Arbeit schliesst sich an die F. d. M. XVI. 1884. 215-216 besprochene eng an. Beziehen wir uns auf die dortigen Ausführungen, so lässt sich der Inhalt der Arbeit kurz dahin angeben, dass die Reihen » / J \ , u n d, » / J \xm 771—1 v m 7 „,=is m summirt werden für alle reellen Werte von x , für welche Convergenz besteht. No. T H . BAUMGARDT.

Ueber

die

Bestimmung

W u r z e l n trinomischer Gleichungen.

der

reellen

Hoppe Arcb. (2) i v .

103-106.

Die Methode, welche Herrn Sanio (vgl. F. d. M. XVIL 1885. 74) zugeschrieben wird, ist bekannt und nicht allgemein gültig; die Behauptungen des Herrn Baumgardt, der sich auf geometrische Evidenz beruft, entbehren der Begründung. No.

W . HEYMANN.

Ueber

die Auflösung gewisser

algebrai-

scher Gleichungen mittels Integration von Differentialgleichungen.

Schlömilch Z. X X X I . 102-120; 129-146.

Es wird gezeigt, dass die Wurzeln der Gleichung (1) y"—ny—(n— \)x = 0 der Differentialgleichung Jn—1,, n—1 M tl

W

dx"-1

v

'

¡Tt,

d V 'd(lxy

5*

68

II. Abschnitt.

Algebra.

genügen, wobei die Grössen a definirt sind durch: = 0,

i=()

ll = k — »

— 1, (k=

1,2,...,(»-1)).

Ebenso genügen die Wurzeln der Gleichung (3) j?"-«^-(re-1) = 0 der Differentialgleichung

S c - 1 ) ' ß t v = o, i=o

h = (Ä-2)

n—i ( f t = 1 , 2 , . . . , ( » - 1 ) ) ; A„ = l .

+1,

Die Lösung der Differentialgleichungen (2), (4) wird durch ein vielfaches Integral geliefert; in dasselbe gehen Constanten ein, die vermittelst eines linearen Gleichungssystems so bestimmt werden können, dass die Integrale alle Wurzeln von (1), (3) geben. Diese Integrale lassen sich weiter in Aggregate einer endlichen Anzahl von Reihen entwickeln, die nach Potenzen.von x fortschreiten; für jedes x eonvergirt eine der Entwickelungen der beiden Integrale; und da (1) und (3) durch einfache Transformation in einander übergeführt werden können, so reicht diese E n t w i c k l u n g in Reihen stets aus. No.

W.

HEYMANN.

Theorie

der t r i n o m i s c h e n

Gleichungen.

Klein Ann. X X V I I I . 61-80. W.

HEYMANN. U e b e r die A u f l ö s u n g der a l l g e m e i n e n t r i n o m i s c h e n G l e i c h u n g t" + atn~s + 6 = 0. Schlömilchz. X X X I . 223-240.

In der ersten Arbeit wird tn + at-\-b = 0, in der zweiten l -\- atn-'~\-b = 0 studirt und den Principien gemäss behandelt, die in dem eben besprochenen Aufsatze dargelegt sind. Im allgemeinen Falle sind die drei Formen yn „|_ y n x _ Q( jjn ^ » - . _j_ I = 0, MC" + V~> + 1 = 0 , n

im speciellen nur die beiden ersten dieser drei Formen zu betrachten. Die m ten Potenzen ihrer Wurzeln werden mittels des Mac-Laurin'schen Theorems durch Reihen dargestellt. Aus der

Capitel 1.

Gleichungen.

69

Gestalt derselben lässt sich der Sehluss ziehen,

dass

dieselben

durch gewisse Doppelintegrale summirt werden, und diese D a r stellung durch Doppeliutegrale gilt dann also auch für die Wurzeln der trinomischen Gleichung. der

D e r Herr V e r f a s s e r geht w e i t e r

auf

die Herleitung

Differentialresolventen

«i ,en

ein,

denen

die

Potenzen der Wurzeln trinomischer Gleichungen geniigen.

No. A. WIENER. Die Berechnung der reellen Wurzeln der quartinomischen Gleichungen. (Auszug aus einer preisgekrönten Arbeit.) Schlömilch Z. X X X l . 65-87 u. 192. Mit Hülfe der Formel t a n g a tang/J-ftang/9 t a n g y + t a n g y t a n g o = 7t wobei a + /? + y = - £ -

zu

nehmen

ist,

lassen

!,

sich

diejenigen

quartinomischen Gleichungen auflösen, bei denen drei Vorzeichen einer Art, das vierte von entgegengesetzter Art ist.

Die Grenzen

und die Anzahl der reellen W u r z e l n werden abgeleitet, die F o r meln für die einzelnen Fälle g e g e b e n und die numerische B e r e c h nung an einigen Beispielen erläutert.

Sur

A. MARKOFF.

les

racines

No.

de certaines

¿quations.

Klein Ann. X X V I I . 143-150; 177-182.

Aus der Kettenbruch-Entwickelung der Function a

e

3

geht eine Functionenschar < M Z ) = /> die „Transformirte" einer ganz willkürlichen Function cp(t, a,b,c,...), d. h. ist g>(t, a, b,

c, ...) =

xp(T,

a,

ß, y,

•••),

so ist das Product q:tp eine Reciprocante (von geradem Charakter). Dagegen ist es, wie bewiesen wird, im allgemeinen unmöglich, eine Invariante in nicht-invariantive selbständige Factoren aufzulösen. Eine hervorragende Rolle (namentlich in den Anwendungen auf Geometrie) spielen die „orthogonalen" Reciprocanten, d. h. solche, die sich, abgesehen von einem Factor, bei einer auf die Variabein x, y ausgeübten orthogonalen Transformation nicht ändern. Vor einigen J a h r e n hat Herr Sharp, was der Verfasser nicht zu erwähnen scheint, in den Proceedings of the London M. S. eine fast vollständige Sammlung solcher Orthogonalreciprocanten geliefert, wie sie in der Geometrie und Mechanik überaus häufig auftreten und daselbst immer Fundamentalbegriffe repräsentiren. Von solchen gilt der elegante Satz: „Ist R sowohl wie

dt

eine Reciprocante, so ist R ortho-

gonal." Die einfachste Orthogonal - Reciprocante

erhält

man

durch

Capitel 2.

79

Theorie der Formen.

Dififerentiiren des Krümmungsradius einer ebenen Curve, nämlich (1 + ! • ) & _ Sa'i, die also, gleich Null gesetzt, einen Kreis darstellt. Der Verfasser wendet sich nunmehr zu den Beiträgen, die seine Anhänger Hammond, MacMahon, Elliott, Perrin zu seiner Theorie geliefert haben (v. die bez. Referate). Es lassen sich hier neue Vergleichungspunkte mit der Invariantentheorie finden. Vom Verfasser selber rührt ein älterer Satz her (der sog. Sylvester'sche „Aggregationssatz"), der lautet: „Ist ß der bekannte Annihilator der Invarianten, d. h ist ß./ = 0, wo \-jaH1daj

ß = a0öa, +2a1öaa + 3aJöa, H

und J eine Invariante, so ist QOJ ein Vielfaches von J, wenn

0 = a}düj-x +

1-ja, daa.u

00,-2

Deshalb heisst 0 der zu ß entgegengesetzte Operator oder der „Reversor" von ß . Die Frage nach dem Reversor von V (dem Annihilator der reinen Reciprocante ß ) hat MacMahon einfach dahin tet, dass derselbe mit ~

( V m

identisch sei.

beantwor-

Daraus folgt sofort a l s

dm \

jR ein numerisches Vielfaches von

amR

wird. In diesem Satze ist auch die Quelle der Perrin'schen „Residuentheorie" enthalten, die sowohl für Invarianten wie für Reciprocanten gilt. Des weiteren unternimmt es der Verfasser, seinen bekannten Hauptsatz flir Subinvarianten, „dass die Anzahl der linear unabhängigen Subinvarianten vom Typus vo : ij durch die Formel

(w.i,j)-(w-1; ij) geliefert wird", auf Reciprocanten zu übertragen.

Die analoge

Formel für reine Reciprocanten lautet: (w:i,j)-(w—

1; i + l j ) .

Dies gelingt in der That unter Aufbietung neuer Beweismittel; indem die Beziehung ij—2w = 0 (wo w das constante Gewicht

80

II Abschnitt.

Algebra.

bedeutet) als Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel gedeutet wird. Hiermit ist eine unmittelbare Verwertung des reichen Materiales gegeben, welches in der Theorie der „erzeugenden Functionen" aufgespeichert war. Der Schluss der Vorlesungen bezieht sich auf geometrische Anwendungen. Dieselben betreffen in erster Linie den mehrpunktigen Contact zweier Curven, wenn dieser noch in gewisser W e i s e vom Coordinatensystem abhängig ist. So z. B. stellt

die Bedingung dar, dass eine beliebige ebene Cuvve im Punkte x, y von einem Kegelschnitte zweipunktig berührt wird, wenn derselbe ein P a a r conjugirter Durchmesser besitzt., die mit den Coordinatenaxen zusammenfallen. Hierher gehört auch folgender, zuerst von Hammond aufgestellter Satz über Evoluten. Ist p der Krümmungsradius einer ebenen Curve im P u n k t e (x, y), und dcp der Winkel, unter dem das Bogenelement ds vom Krümmungscentrum aus erscheint, so dn o ist der Krümmungsradius der mten Evolute gleich • Es lassen sich ferner allgemeine Sätze aufstellen über das vollständige Integral einer Differentialgleichung, wenn deren linke Seite eine Reciprocante ist. Es werden dadurch Sätze bestätigt, die Halphen auf anderem Wege gewonnen hatte. Dies führt zu einer besonderen Gattung von Reciprocanten, den sog. „projectiven" Reciprocanten oder „Principianten". Eine Principiante ist dadurch definirt, dass sie nicht bloss bez. der Buchstaben o, 6, c, d, . . . invariant ist, sondern auch bez. der folgenden: a, B, C, D, . . . , wo B, C, D, . . . selbst Reciprocanten sind. Man kann für diese Principianten, ganz wie für die Reciprocanten überhaupt, gewisse Stammformen („Protomorphe") ermitteln, aus denen alle übrigen durch algebraische Processe abgeleitet werden können. Diese Stammformen

sind

einfach

dadurch

charakterisirt,

Capitel 2.

81

Theorie der Formen.

dass für sie das Gewicht w gleich der Ausdehnung j wird, sodass ihnen das Symbol j ; i,j zukommt. Die nächste Aufgabe der Zukunft besteht darin, für j e d e Reihe von Buchstaben a ; a, 6; o, b, c; etc. vollständige Tabellen von Stammformen auszurechnen. Man k a n n dieselben auch nach dem Wert von j klassificiren. Für die Werte j = 2 bis 8 findet sich eine solche Tabelle S. 35. Wegen der Ausdehnung der Reciprocantentheorie auf das Gebiet von n Variabein vergleiche das folgende Referat über die bez. Arbeit von Elliott. My.

B. ELLIOTT.

O n t e r n a r y a n d n- a r y r e c i p r o c a n t s .

Lond.

M. S. Proc. X V I I . 172-1%.

Die Sylvester'sehe Theorie der Reciprocanten wird hier auf Functionen von n Variabein ausgedehnt. Es genüge die Betrachtung des Falles n = 3. Eine „ternäre Reciprocante" ist eine Function der partiellen Differentialquotienten _

dz

_ dh «j ~ d x z ,

_

dz

_ 2 -

b

_ d*z

dx

d3z ,dy ,

_ c2 _

_ dh

d*z ,

, _ d2 -

_ d3z dyi

ö's etc.,

die sich nur j e um einen Factor ändert, wenn die Variablen z, x, y cyklisch vertauscht werden. Die Reciprocante ist eine „absolute", wenn der Factor ein bloss numerischer ist. Im ersten Falle hat der Factor einen Wert von der Form ± (pg)" (wo n eine ganze, positive Zahl), im zweiten ist er eine dritte Einheitswurzel. Im letzteren Falle giebt es drei wesentlich verschiedene Klassen von Reciprocanten mit den resp. „Charakteren" 0, 1, 2. Bezeichnet man durch einmalige resp. zweimalige Accentuirung das Resultat der Vertauschung von z, x, y mit x, y, z resp. y, z, x, und mit s eine imaginäre dritte Einheitswurzel, mit A die Reciprocante, so sind die drei Klassen repräsentirt durch: \A = A' = A", j 4 = sA' = eM", f A = e-A' = eA". Fortaphr. d. Math. XVIII. 1.

Q

II. Abschnitt.

82

Algebra.

Andererseits erweitert der Verfasser den Begriff der Reciprocante dahin, dass in einer solchen auch die Variabein x, y, z selbst explicite auftreten dürfen. Dieser Gedanke erweist sich als sehr fruchtbar. Denn nun kann man als die einfachsten Stammreciprocanten die aus der Algebra wohlbekannten Ausdrücke zugrunde legen: < z -f ex + e*y = e(x + ey +

=

£2(y + ez -f- c2«),

' z 4- e'x + ey — e*(x -f- s2y -)- sz) = e(y + «'z -f- er). Aus ihnen

gehen durch Addition, Subtiaction,

Multiplication

weitere Reciprocanten hervor. Mit Hülfe der Identitäten: dz =

pdx -+- qdy,

dx — p'dy 4' q'dz, dy =

p"dz-\-q"dx

gelangt man leicht zu einem ganzen System von absoluten Reciprocanten, die sich alle in der Formel: (pqyi'Sjp,

q,-\)

zusammenfassen lassen, wo Sr eine homogene, symmetrische Function rt(1" Grades der betreffenden Argumente bedeutet. Eine noch umfassendere Klasse geht hieraus wieder hervor, wenn man in der Function Sr die Argumente p, q, — 1 resp. ersetzt durch px, qy, —z. Eine transcendente Reciprocante wird z. B. geliefert durch: log p + e* log q + elog (— 1) und ähnliche. Ein sehr wichtiger Satz heisst: „Sind u, v zwei absolute Reciprocanten, so ist die Jacobi'sche Functionaldeterminante derselben bez. p, q eine Reciprocante, die nach Multiplication mit einer passenden Potenz von pq zu einer absoluten wird." Als Zeichen der Jacobi'schen Form dient Aus der Relation _ +, ip. Dies wird geometrisch interpretirt, und daraus ein zweiter Beweis für das Gesagte abgeleitet. Referat über diese Arbeit auch F. d. M. XVII. 1885. 93. My.

F.

Ueber die Invarianten dreier quadratischen Formen. Wien. Ber. XCIII. G2-77. MERTENS.

ternären

Der Verfasser zeigt, dass j e d e Invariante dreier ternären quadratischen Formen rational und ganz durch gewisse 11 Fundamentalinvarianten ausgedrückt werden kann. Setzt man nämlich eine der drei Grundformen als Product zweier Linearformen

II. A b s c h n i t t .

100

Algebra.

an, so verschwindet eine j e n e r F u n d a m e n t a l i n v a r i a n t e n , nämlich die

Discriminante

Übrigen

der

zerfallenden

10 F u n d a m e n t a l i n v a r i a n t e n

Grundform, sich

während

nunmehr

mit

eines geeigneten Z e r l e g u n g s v e r f a h r e n s als hinreichend

die

Hülfe

erweisen,

um eine j e d e I n v a r i a n t e des in der a n g e g e b e n e n Weise specialisirten Grundformensystems rational und ganz darzustellen.

Die

wiederholte A n w e n d u n g dieses Ergebnisses ermöglicht es,

auch

nach W e g l a s s u n g j e n e r einschränkenden A n n a h m e den erwähnten Satz als richtig zu erkennen. Auf

eine

ähnliche

Weise

gelingt

es,

die

bereits

durch

S. Gundelfinger auf a n d e r e m W e g e g e f u n d e n e T h a t s a c h e zu bestätigen, dass j e d e Combinante des Grundformensystems rational und

ganz durch gewisse zwei Combinanten

vierten

Grade

in

den

vom

zweiten

Coefficienten dargestellt

werden

und kann.

Zum Schlüsse folgt als Beispiel die B e r e c h n u n g der Resultante. Ht.

C.

CIAMBERLINI.

dratiche.

Sul sistema di tre forme ternarie qua-

Batt. G. XXIV. 141-157. das vollstän-

Nach Anleitung der Gordan'schen Methoden, dige System -Formen

der

Grundformen

aufzustellen, wird

vom Verfasser durchgeführt. von

256 F o r m e n .

f ü r zwei

ternäre

quadratische

das Entsprechende f ü r drei

solche

Zuvörderst ergiebt sich eine T a f e l

Durch die b e k a n n t e A n w e n d u n g von Identi-

täten gelingt eine Reduction des vollen Systems auf nur noch 127 F o r m e n , wovon 36 simultane Bildungen von n u r zwei resp. einer der ursprünglichen drei Formen sind.

Der Verfasser ver-

einigt sie in einer Tabelle, die übersichtlich nach G r u p p e n

ein-

geteilt ist. Den Schluss

bildet

eine Zusammenstellung

metrischer Bedeutungen f ü r das Verschwinden Formen. G.

der

angezeigten My.

Sui covarianti independenti di 6 H grado coefficienti della forma biquadratica ternaria.

MAISANO.

nei

einfacher geo-

Palermo R e n d . I. 5 4 - 5 6 .

Capitel 2.

101

Theorie der Formen.

D i e k u r z e N o t e e r g ä n z t einen P u n k t e i n e r A r b e i t d e s s e l b e n V e r f a s s e r s (Sistemi completi dei primi cinque g r a d i d e l l a

forma

t e r n a r i a b i q u a d r a t i c a e degli i n v a r i a n t i e c o n t r a v a r i a n t i di sesto grado,

sie

gipfelt

n ä m l i c h in d e m S a t z e : C o v a r i a n t e n sechsten G r a d e s e i n e r

B a t t . G. X I X . 1881,

biqua-

dratischen

ternären

Form

F . d. M. X I I I . giebt

es

zwei

110);

und

zwar

sechsten Ordnung.

von

der

L a . (I-p.)

A. Voss. Ueber eine Eigenschaft der kubischen Formen mit beliebig vielen Veränderlichen. Klein Ann. xxvil. 515-526.

I s t h die Hesse'sche C o v a r i a n t e d e r k u b i s c h e n F o r m f

von

p h o m o g e n e n V a r i a b l e n , so lässt sich die Hesse'sche C o v a r i a n t e H von h für p = 3

in

d e r Gestalt Pf+Qh und p — 4

als

g e g e n w ä r t i g e n Arbeit auf zahl p ausgedehnt. schem

darstellen.

gültig

Dieser bisher

e r k a n n t e Satz

wird

den Fall einer beliebigen

der

Variablen-

Der V e r f a s s e r zeigt z u n ä c h s t auf

u n d d a r n a c h auf rein a l g e b r a i s c h e m W e g e ,

nur

in

geometri-

dass H für

a l l e V a r i a b l e n w e r t e v e r s c h w i n d e t , w e l c h e f u n d h gleichzeitig zu Null machen.

Der Beweis j e n e s S a t z e s b e r u h t

dann

auf

der

A n w e n d u n g eines von M. N o e t h e r g e g e b e n e n T h e o r e m s ü b e r d i e a l l g e m e i n e n B e d i n g u n g e n f ü r die Möglichkeit von

der

in R e d e

stehenden Alt.

f a h r e n f ü h r t zu einer F o r m e l ,

einer D a r s t e l l u n g

Das rein algebraische

B e r e c h n u n g d e r F o r m e n P u n d Q vermittelt.

J.

Hammond.

Ver-

welche gleichzeitig die w i r k l i c h e Ht.

The cubi-quadric system.

N e w c o m b Am.

j.

V I I I . 138-155.

Die Arbeit den

untersucht

15 i n v a r i a n t e n F o r m e n ,

die R e l a t i o n e n

(syzygies)

zwischen

welche das

vollständige

Formen-

s y s t e m e i n e r q u a d r a t i s c h e n u n d einer k u b i s c h e n G r u n d f o r m bilden, aus

E i n e d e r a r t i g e Relation heisst i r r e d u c i b e l , w e n n sie n i c h t anderen

Relationen

dadurch

erhalten

werden k a n n ,

dass

102

II. Abschnitt.

Algebra.

man diese mit ganzen Functionen der 15 Fundamentalformen multiplicirt und dann addirt. Der Verfasser giebt unter anderem ein System von 44 irreduciblen Relationen für das in Rede stehende Formensystem an. Als Untersuchungsmittel dient die sogenannte „reale" erzeugende Function, welche nicht nur wie die „numerische" erzeugende Function die gesuchten Anzahlen der invarianten Bildungen, sondern diese selbst zu berechnen gestattet. Ht. G.

RICCI. Sui parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali. B r i o s c b i Ann. (2) X I V . l-ii.

Verstehen wir unter a n , a„, . . . , a„„ Functionen der «Variablen ¡r,, x 2 , . . . , xn, so heisst die über die Zahlen r,s= 1, ..., n ausgedehnte Summe: 2arsdx,dxs eine quadratische Differentialform jener n Variablen. Ein Differentialparameter /ct4r Ordnung dieser Form ist jeder Ausdruck, welcher die Coefficienten a„, eine oder mehrere willkürliche Functionetf von xn x.2,..., x,„ ferner die l ten , 2ten, . / c t c n Differentialquotienten dieser sämtlichen Functionen enthält und seinen Wert nicht ändert, sobald man an Stelle der Coefficienten an die Coefficienten der beliebig transfonnirten Differentialform und an Stelle der willkürlichen Functionen und ihrer Differentialquotienten die entsprechenden transformirten Grössen einsetzt. Enthält ein Differentialparameter keine willkürlichen Functionen, so heisst derselbe eine Differentialinvariante. Nach kurzer Darlegung der bereits bekannten Resultate über die Differentialparameter der Ordnungen 0 und 1 unterwirft der Verfasser die Differentialparameter der zweiten und dritten Ordnung einer eingehenderen Behandlung, durch welche er zeigt, dass die Bestimmung derselben sich auf die Ermittelung der gewöhnlichen Invarianten eines gewissen Systems von algebraischen Formen zurückführen lässt. Gleichzeitig folgt die Unmöglichkeit der Existenz von Differentialinvarianten für quadratische Differentialformen von der Klasse Null (vergl. F. d. M. XVI. 1884, p. 230). Ht.

Capitel 2.

103

Theorie der Formen.

Ueber die covarianten Bildungen der quadratischen Formen. Krakau. Denkschr. XII. (Polnisch.)

F. MERTENS.

Der Verfasser entwickelt hier ausführlich die allgemeine Theorie der invarianten Bildungen quadratischer Formen mit n Veränderlichen, ohne von der symbolischen Bezeichnung Gebrauch zu machen. In der Einleitung werden die Definitionen der zu der gegebenen Form fx — anx'+a^x>+ -f^is®!

\-annxi ®sH

+ •••

f- 2ai„x,

x„

-f 2a„_i >B a; n _iar„ gehörigen Discriniinante, der Contraform, der Contravariante, Covariante und der Zwischenform gegeben. Als Grundlage der ganzen Untersuchung dient die Lösung der Aufgabe: „Welche Gestalt muss die allgemeinste Function 0 der Elemente (Coefficienten) der gegebenen Form fx und der Veränderlichen SDSSJ, besitzen, damit sie der Identität genüge leiste. Es bedeuten hier: r eine ganze positive Zahl; — ¿j, L„ ganze Functionen der Elemente der Form fx und der Veränderlichen z„ z 2 , . . . , z„;

Die Lösung dieser Aufgabe führt zu den Kriterien der algebraischen Teilbarkeit einer ganzen Function der Elemente der gegebenen Form fx durch ihre Discriminante. Es werden zuerst die zu einer quadratischen Form fx gehörigen invarianten Bildungen untersucht, ihre Gestalt bestimmt und einige Anwendungen auf die Geometrie gezeigt; dann wendet sich der Verfasser zur Untersuchung der covarianten Bildungen zweier Formen fx und f'x. Nachdem der Begriff und der Ausdruck der sogenannten „Fundamentalinvarianten" und der „fundamentalen conjugirten Formen" aufgestellt ist, nachdem noch zwei neue invariante Formen von ungeraden Exponenten eingeführt s i n d , schreitet der Verfasser zur Darstellung aller cova-

II. Absclioitt.

104

Algebra.

rianten Bildungen der gegebenen Formen mittels der oben genannten Fundamentalbildungen. Im letzten Teile seiner Arbeit zeigt der Verfasser den Gebrauch einer speciellen Substitution, mittels welcher die gegebene Form in eine andere transformirt wird, deren Elemente ganze Functionen der Fundamentalbildungen sind. Dn.

Note sur la décomposltion d'une forme qua.dratique à m variables en une somme de m—n carré».

BKNOÌT.

Nuuv. Auo. (3) V. 30-36.

Damit eine quadratische Form von m Variablen als Summe von m — n Quadraten darstellbar sei, müssen alle (m — n -b 1)reihigen Unterdeterminanten ihrer Discriminante verschwinden. Der Verfasser zeigt, wie man aus den so erhaltenen überzähligen Bedingungsgleichungen gewisse + von der Beschaffenheit auswählen k a n n , dass die übrigen eine Folge derselben sind. Iit. DE PRESLE.

AU s u j e t d e la d é c o m p o s i t i o n

d'une

forme

q u a d r a t i q u e en une s o m m e de c a r i é s de formes linéaires et i n d é p e n d a n t e s ,

s.

M. F . Bull. x i v . 98-100.

Ein Satz über eine «-reihige Unterdeterminante der Discriminante einer quadratischen, in « Quadrate zerlegbaren Form mit m(>n)

R.

Variablen.

Ht.

HARLEY. On the explicit form of the complete cubic differential resolvent. Brit. A s s . Rep. 439-443.

Dieser Artikel giebt Nachträge zu Arbeiten über die Theorie der Differentialresolventen, die in den Brit. Ass. ß e p . für 1862, 1865, 1866, 1873 und 1878 entwickelt ist. Er enthält neben einigen Einzelheiten der Rechnung das Eesultat der Bestimmung der vollständigen kubischen Differentialresolvente durch Herrn Harley. Gbs. (Lp.)

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

105

Capitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen. C.

Zur Theorie der Elimination.

SCHMIDT.

Schlömilcü

z.

X X X I . 214-222.

Herr Schmidt erhebt gegen die gebräuchliche Schlussfolger u n g , aus der Lösbarkeit eines Systems linearer Gleichungen in einem speciellen Falle auf diejenige im allgemeinen Falle zu schliessen, wie es z. B. von Serret bei der Bezout'schen Eliminationstheorie gethan wird, einen ganz interessanten Einwurf. Er beseitigt denselben aber nur in dem behandelten Falle, während leicht und ganz innerhalb des Gebietes der Systeme linearer Gleichungen gezeigt werden konnte, dass j e n e r logisch mögliche Einwand sich nie verwirklichen kann. No.

F.

Ueber die bestimmenden Eigenschaften der Resultante von n Formen mit n Veränderlichen. MERTENS.

Wien. Ber. XC1II. 527-566.

Zum Zwecke einer systematischen Untersuchung der Resultante stellt sich der Verfasser die A u f g a b e , alle diejenigen ganzen Functionen 0 der Coefficienten von n Formen Fi,F1,Fn der n Variablen ®„ x3, ..., xn zu bestimmen, welche, ohne die letzteren zu enthalten, einer Identität von der Gestalt:

Qxrn = jPiF] + PaF2-i-... + />MFti genügen, wo Pt, P2, ..., Pn ganze Functionen der Coefficienten jener Formen Fl, F 2 , . . . , Fn und der Variablen bezeichnen. Nach ausführlicher Behandlung des Falles n = 2 gelingt es, die hierbei gefundenen Eigenschaften der Function Q mit Hülfe des Schlusses von n auf ra-f-1 Formen auch auf den allgemeinen Fall auszudehnen. Auf diese Weise entspringt die folgende von dem Begriff der Elimination unabhängige Definition der Resultante. Es giebt immer einen Ausdruck R von der oben bezeich-

II. Abschnitt.

106

Algebra.

neten Beschaffenheit, welcher allgemein in Bezug- auf die Coefficienten der Form F ; homogen und vom Grade v

p

p

v m,

ist

und

das Product a{"' a"' 3 . . . a™ n mit dem Zahlencoefficienten l enthält. Dabei bedeutet »ij die Ordnung der Form F h p das Product dieser sämtlichen n Ordnungszahlen und a ; den Coefficienten von x" li in der Form F { . Jeder andere der obigen Identität genügende Ausdruck © ist durch R teilbar. Der Ausdruck R ist daher eindeutig bestimmt und heisst die Resultante der n Formen F,, F „ . . ., F n . Von den weiteren Sätzen über die Resultante, welche der Verfasser ableitet, sei beispielsweise der folgende erwähnt. Bezeichnen ,, . . . , cpn Formen der m ie" Ordnung in den Variablen X,, X 2 , . . . , X n , so gehen die Formen F,, F 3 , . . . , F n nach Substitution der ipn q>.J} . . . , ¡+llVí+-.+lnq>n, wobei auch die l Polynome in . . . , xn bedeuten wie die q>, f , F einige Aehnlichkeit mit den Kronecker'schen „Modulsystemen", doch fehlt ihr die Allgemeinheit und die principielle Bedeutung der letzteren, wie z. B. schon daraus erhellt, dass die q>t = 0 , . • . , r/n = 0 genau /.i = m¡ . m.¿ . . . mn verschiedene und endliche Lösungen haben sollen, deren Determinante also von Null verschieden ist. Unter einer „rcducirten F o r m " wird eine solche verstanden, die nicht durch x'¡'>, x'¡¡', . . . teilbar ist. In (1) können die X so bestimmt werden, dass f die Reducirte von F wird. Bedeuten A, B zwei Reducirte, dann wird die Aufgabe gelöst, X durch AX = B zu bestimmen, und dadurch der Quotient B: A definirt. Dabei darf A nicht mit den tp gleichzeitig verschwinden; dies führt auf die Bestimmung der Resultanten von qp,, (¡p2, . . . , (pn, A, welche sich in dem besonderen Falle » = 1 recht eiufach gestaltet. Im zweiten Abschnitte wird die Aequivalenz Xf = 1 betrachtet, in der X ein reducirtes Polynom bedeutet; j e d e s andere f~l Polynom kann auf die Form A^x* gebracht werden. i=i) Man erkennt, wie diese Untersuchungen gegenüber den Kronecker'schen an der Oberfläche bleiben, ohne die hohe Wichtigkeit der Modulsysteme zu erkennen. No.

G.

FKOBENIUS.

Neuer Beweis des Sylow'schen Satzes.

Kronecker J. homogen geschriebene Gleichungen von Kegelschnitten sind, welche drei Punkte gemeinsam haben, werden in einfacher Art arithmetisch behandelt, und so die bekannten Resultate abgeleitet. Die Umkehrung wird gegeben; eine Methode zur Angabe von Kegelschnittgleichungen bei drei gemeinsamen Punkten derselben mitgeteilt und deren Tragweite untersucht. No.

C.

WELTZIEN.

Substitutionen. Bei den

Zur Theorie

der

homogenen

linearen

Berl. Pr. Friedr. W e r d . Oberrealsch. 20 S. 4°.

orthogonalen Substitutionen

von drei

Variablen

treten die Ausdrücke ^ c ^ c « sowie £ c i a c x p für a , ß , l = 1 , 2 , 3 i i auf; die Werte derselben sind bekanntlich ea,ß• Im allgemeinen Falle homogener linearer Substitutionen werden die Beziehungen dieser beiden Grössenreihen ergründet. — Die Coordinatenaxen zweier rechtwinkligen Systeme desselben Anfangspunktes liegen auf einem Kegel zweiter Ordnung; es wird untersucht, unter welchen Bedingungen dieser Satz auch für beliebige homogene lineare Substitutionen gilt. — Die erstere der beiden Untersuchungen wird endlich auch für den Fall von vier Variablen erledigt. No.

II. Abschnitt.

110 W.

Algebra.

VELTMANN. Auflösung linearer Gleichungen. milch Z. XXXI. 257-272.

Das g e g e b e n e Gleichungssystem

wird

in ein

Schlö-

sogenanntes

Dreieckssystem Gi =

a¥Xi -f ai)i+ixj+1

verwandelt,

welches

-|

\- aUnxn + ßf = 0

dem

gegebenen

(i =

1,2,...,«)

in sofern äquivalent ist,

als 2qkiGk

= 0

(i — 1, 2 , . . . , n)

gleich der ftte" Gleichung des gegebenen Systems wird.

G.

Estensione

FRATTINI.

d'aritraetica.

ed

inversione

d'un

No.

teorema

Rom. Acc. L. ReDd. (4) II. 132-135.

K a n n d a s System linearer Functionen £axixx (x = 1 , . . . , n ; l — 1 , . . . , m) X

ein

beliebiges

System

ä , , ä 2 , . . . , k„ ganzer

Zahlen

mod. a ,

m o d . ß, . . m o d . v darstellen,

so soll dieses System (S)

f o r m " zu ( a , ß,...,

Versteht man unter a', ß', ...,

die P r o d u c t e

v) heissen.

der einfachen Primfactoren von a, ß, . . . , v

reducirt man die Coefficienten von (S) mod. «', entsteht a\ ß', ...,

ein

neues

zu

(a,ß,...,v)

conformes

mod. ß\ . . . , System;

so und

No.

MUIR.

A

minants.

s u p p l e m e n t a r y list of w r i t i n g s o n

deter-

Quart. J. XXI. 299-320.

Herr Muir

hat

Liste der Schriften

im Quart. J . X V I I I . 110—149 (1881) über Determinanten

führt.

MUIR.

eine

veröffentlicht; dieselbe

wird hier vervollständigt und bis zum J a h r e 1885 incl.

TH.

v' und

v' bildet umgekehrt das einzige System dieser Eigen-

schaft.

TH.

„con-

fortgeLp.

T h e t h e o r y o f d e t e r m i n a n t s in t h e h i s t o r i c a l

order of its d e v e l o p m e n t .

Ediub. proc. X l l l . 547-590.

Uapitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten e t c .

1]1

Teil I. Determinanten im allgemeinen (1693—1779). Der Verfasser bezieht sich auf seine „Liste der Schriften über Determinanten" (Quart. J. XVIII. 1881. 110—149), welche 489 in chronologischer Folge von 1693 bis 1880 geordnete Nummern enthält, an denen er seit ihrer Veröffentlichung stetig gearbeitet hat, und er beabsichtigt nunmehr, das gesammelte Material zur Abfassung einer ins Einzelne gehenden Geschichte des Gegenstandes zu verwenden. Es liegt nicht im Plane, eine zusammenhängende Geschichte der Determinanten als ein Ganzes zu geben, sondern die Geschichte j e d e s der Abschnitte einzeln zu liefern, in welche der Gegenstand gesondert ist, nämlich zuerst von Determinanten im allgemeinen zu handeln, danach in gehöriger Folge von den verschiedenen besonderen Formen. Der vorliegende Teil enthält eingehende und sorgfältige Besprechungen (nebst kritischen Bemerkungen) früher Schriften: Leibniz (Brief vom ¿8. April 1693 an De L'Hopital), Gramer, Vandermonde, Laplace und Lagrange. Cly. (Lp.)

An overlooked discoverer in the theory of determinailts. Phil. Mag. (5) X V I I I . 416-427. (1884).

TH.

MUIR.

Der bezügliche Entdecker ist Ferdinand Schweins (geb. zu Fttrstenberg, Paderborn, 1780; Professor in Heidelberg von 1811 bis 1856), und seine Forschungen sind wiedergegeben in seiner „Theorie der Differenzen und Differenziale" (1825) unter dem Titel „Producte mit Versetzungen". Eine Darstellung der von Schweins erreichten Ergebnisse und eine Angabe der Punkte, in welchen er Resultate vorweggenommen hat, die andere Forscher erhalten haben, bilden den Gegenstand der Arbeit des Herrn Muir. (Hiernach ist die Litteraturangabe von F. d. M. XVII. 105 zu berichtigen.) Gbs. (Lp.)

Elemente der Theorie der Determinanten mit vielen Uebungsaufgaben. Zweite vermehrte AufInge. L e i p z i g . B. G. Teubner. X X I V u. 56 S. 8°.

P . MANSION.

II. A b s c h n i t t .

112

Algebra.

Die Seiten 1—49 bilden nur eine Titelausgabe; doch sind die Einleitung (S. VII—XXIV) und der Nachtrag (S. 50—5G) neu. Die Einleitung giebt für den Anfänger eine ganz elementare Darstellung der Grundeigenschaften der ein- und zweireihigen Determinanten. Der Nachtrag e n t h ä l t : 1) Die Besprechung der linearen Gleichungen in den Ausnahmefällen, 2) den Beweis der Grundeigenschaften der Nulldeterminanten, 3) eine strenge Darstellung der dialytischen Eliminationsmethode, in welcher sogar der directe Fundamentalsatz aufgestellt ist ohne Zuhlilfenahme des Theorems, dass j e d e algebraische Gleichung eine Wurzel hat. Mn. (Lp.)

H.

HANUS. An elementary treatise deteiminantS. BostoD. Ginn and Co.

ON

the theory of

Das W e r k ist in der Art der Text-Bücher geschrieben; es giebt eine klare und vollständig geordnete Einleitung in die Theorie und die Anwendung der Determinanten; die letztere ist hauptsächlich nach der Seite der Algebra hin durchgeführt. No.

A . SICKENBERGER.

handlung.

Pr.

Die Determinanten in genetischer Be(München. TL. Ackermann.)

Die vorliegende Arbeit soll nach der in einem kurzen Vorwort ausgesprochenen Absicht des Verfassers als kleine „methodische Monographie" angesehen werden. Die gewählte iMethode ist- „analytisch genetisch", wird aber hier strenger durchgeführt, als in anderen bekannten Elementarbüchern. Dabei ist besonderer Wert darauf gelegt, nicht nur die Anerkennung der fraglichen Sätze formal zu erzwingen, sondern eine wirkliche Einsicht in ihre innnere Notwendigkeit zu geben. — Bei der Auflösung eines Systems zweier linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten entsteht aus dem quadratischen Schema zweiten Grades die Determinante zweiten Grades, die nun zunächst ausführlich behandelt wird. — In ganz ähnlichem Aufbau ist der

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

] 13

II. Abschnitt den Determinanten dritten Grades gewidmet. Hier wird auch der Multiplicationssatz für den zweiten Grad nachgeholt und auf den dritten Grad übertragen. — Der dritte und letzte Abschnitt (S. 51—80) geht nun zu den Determinanten nleu Grades über, deren Haupteigenschaften durch den Schluss von n auf n-\-\ aus den vorher erkannten Specialfällen gefolgert werden. Hierbei wird der Begriff der Unterdeterminante zu dem der r ten Unterdeterminante erweitert, die ihrerseits mit der ursprünglichen Determinante nten Grades unter der Bezeichnung „correspondirende Determinanten" zusammengefasst wird. Den Schluss macht die Behandlung eines Systems linearer Gleichungen. — Die Brauchbarkeit des Büchleins (ein „zweiter Abdruck" des Programms erschien München 1887 bei Ackermann) wird sehr durch die 100 Uebungsaufgaben erhöht, mit denen es durchsetzt ist, und in die auch manches aus der Theorie verwiesen ist, wie z. B. der Begriff und die Haupteigenschaft der adjungirten Determinanten. H. S.

K.

HATTENDORFF.

Determinanten.

Einleitung in die Lehre Zweite Ausgabe. Hannover.

von

den

Scbmorl.

A. DE PRESLE. Multiplication de deux déterminants de même degré, s. M. F . Bull. x i v . 157-158. Einfacher Beweis der Multiplicationsregel für zwei Determinanten gleichen Grades. No.

G\ FOURET. minants.

Sur un mode de transformation des déterS. M. P. Bull. XIV. 146-151.

Der Wert einer Determinante wird mit 2M"1(2—m) multiplicirt, wenn man in n Parallelreihen derselben von den Elementen einer jeden Reihe die Summe der entsprechenden Elemente der (n— 1) anderen Reihen subtiahirt. No. Fortschr. d. Math. XVIII. 1.

8

114

I I . Abschnitt

T . C. SiMMONs.

An

a p p l i c a t i o n o f d e t e r m i n a n t s to t h e

of certain

Solution

Algebra.

types

of

simultaneous

equations.

Ed. Times. X L I V . 136-143.

Eine Reihe von Beispielen über Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbekannten,

bei denen

eine

resolvirende

Endgleichung aus einer Determinante gefunden wird. läuterung diene das folgende Beispiel.

Zur Er-

Gegeben seien die Glei-

chungen : axn a'

+

Setzt man

- f czn

4 - 6 ' y"

x"

a " x

byn

+

n

-f

=

c'

zn

b"yn-\-c"zn

kxn+mymzm,

=

k ' y

=

k " y

+

n

m

x

n + m

z

m

x

m

,

m

y

m

.

= p, so ist die fragliche Endgleichung:

xmymzm

a —

kp

b

a'

b' —

a"

c kp

c'

b"

c " -

0.

-kp

Der Verfasser zählt 25 Typen von Gleichungen auf, bei denen dieses Verfahren anwendbar ist; Meinung,

er irrt sich wohl aber in der

diese Anwendung der Determinanten sei bisher nicht

beachtet worden.

R. L a c h l a n .

Lp.

N o t e on a class of a l g e b r a i c a l

identities.

Mess. X V I . 21-22.

Die n Variabein ¡r,, ®„ ®3, . . . , xn

mögen das System von

Gleichungen befriedigen: 2 x

wo

2 a ? x

=

0,

=

S a x

fiir a f a ^ - f

0,

2 a

x =

i

-J-

a^x^

0,

.

aJ^Or

.,

=

gesetzt

\-a%x„

man ferner das Product (a r —

.

—

ist.

a2) ...

(ar

0,

Bezeichnet

—

a

n

)

mit

A

r

,

so ist 2APaixP+ x = =

0,

wenn

( 2 a

n

~

2

x ) P +

p - \ - q < n l

,

wenn

— p +

2, q

=

n

— 2.

Gir. (Lp.)

A. B u c h h e i m .

An

extension of a theorem of P r o f e s s o r

Sylvester's relating to matrices. Phil. Mag. (5) X X I I . 173-174.

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

Der bezügliche Sylvester'sche Satz lautet: trize von der Ordnung n,

und sind X,, ...,

J15

Ist m. eine MaX,t ihre latenten

Wurzeln, so ist, wenn 0 eine beliebige Function bezeichnet:

Dieser Satz gilt,

so lange die latenten Wurzeln ungleich sind.

Im vorliegenden Artikel wird er auf Matrizen ausgedehnt,

bei

denen unter den latenten Wurzeln Gleichheiten stattfinden. Gbs. (Lp.)

W.

W. JOHNSON.

alternants when

On

of the

divided

by

a geometrical

third

order and

. 4 ( 0 , 1, 2).

representation of their

of

quotients

x x i . 217-224.

Quart. J .

Der Ausdruck:

A(p,

q,...,t)

in welchem p, n

die

Summe der Potenzen und Producte dreier Grössen o, 6, c vom ( m + «) ten Grade unter Ausschliessung aller die Zahl m tiberschreitenden Exponenten, so ist: 4 ( 0 , P, q) =

4 ( 0 , 1, 2 ) F i _ J j , _ i +

o6c4(0,p-l,g-2).

Diese Recursionsformel beweist der Verfasser mit Hülfe geometrischer Anschauung, indem er die Exponenten der auftretenden Potenzen

von a, b, c als Coordinaten

zur Construction

Punktsystemen in der Ebene verwendet.

A.

H. ANGLIN.

Chi certain

with alternants.

theorems

mainly

connected

Edinb. P r o c . X I I I . 693-698.

Der Hauptpunkt besteht in Satzes h'n = hn— ahn^,

von

Ht.

einer Verallgemeinerung

des

wo hn die Summe homogener Producte

vom Grade n unter a, b, c, . . I

und h'n die

entsprechende 8*

116

Ii. Abschnitt.

Summe für 6, c,

l bedeutet. !

p+2

"î+l »i+2

Algebra.

Man hat z. B. 1

a

a

hp

hp+i

hp f2

hq

hq+i

ht+2

und ähnlich für eine Determinante von beliebiger Ordnung. Der Zusammenhang mit der Theorie der Alternanten entsteht aus der Thatsache, dass jedes h der Quotient einer Alternante durch die einfachste Alternante | a 0 6 ' c i d 3 . . . | oder das Differenzenproduct der a, b, c, d, ... ist. Cly. (Lp.)

J . J. S y l v e s t e r , T h . M u i r , S. S i r c o m .

tions 8275, 8321, 8394.

Solution of ques-

Ed. Times. X L V . 85-86.

Es ist /l+aa + aV ßa+ß'a' ya + y'a'

=

ab-\-a'b' X + ßb + ß'b' yb + y'b'

X»-2\r+X(A

ac + a V

. . .

ßc + ß'c'

. . .

X+yc

+ B) +

+ y'c'

. . •

AB-CD\,

wenn n die Ordnung der Determinante bedeutet, ferner: A = (a, b, c, ...Ja, ß, y, ...),

B = (a, ß, y, ...fa',

C = (a, b, c,

D = (a', b', c', ...Ja, ß, y,

ß\ / , ...),

Ist A = s =• B und C oder D = 0,

so wird

b', c', . . . ) ,

das

...). Resultat Lp.

F. J. S t u d n i c k a . Eine neue Anwendung der Kettenbruchdeterminanten. Prag. Ber. 3-6. Der Verfasser geht von der quadratischen Gleichung ¡r8-f aj®-{-a 2 = 0 aus, in der a, < d. h. complexe Wurzeln x „ x 2 vorausgesetzt werden, und benutzt die bekannte Relation:

Capite! 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

1

«1 2a,

ai

0

0

. . .

0

1

0

. ..

0

..

0

1

0 «? + ®ï =

zum Beweise

(-!)"•

folgender

o.

0

0

0

°!

«»

al

0

0

goniometrischen

• . .

0

..

a,

.

Formeln,

117

welche

für

alle ganzzahligen n Giltigkeit haben:

cosnp

=

cos Q

1

0

1

2cos Q

1

0

1

0 0 0

2 cos Q 0 =

2 (_iy2»-2i-1

*=0

2 cos

0 0 • 4 - • (n—k—

Q

cos"~ 2 *£.

K

Diese Summenformel, welche übrigens in der Abhandlung zweimal falsch gedruckt ist, findet sich schon in Euler's Introductio, während die Determinanten-Darstellung unmittelbar aus der Gleichung : c o s ( » — 1)^ + c o s ( « + l ) e =

2 cosragcosp

erschlossen werden kann.

H . POINCARÉ.

R. M.

Sur les d é t e r m i n a n t s

d'ordre

infini.

S. M. F. Bull. X I V . 77-90.

Herr Hill, Astronom, hatte die linearen homogenen Differentialgleichungen

zweiter Ordnung

auf

eine

besondere

Art

be-

handelt. Ist eine solche auf die Form gebracht:

so denke man sich & als Function von t in der Form gegeben: »

=

n~za»nenit

N=— oc

(i = 1/=I,

=

#-»)•

Dann erhält man zwei unabhängige particuläre Integrale

(und

II. Abschnitt.

118

Algebra.

damit die allgemeine Lösung) der gegebenen Gleichung

durch

die Formeln: to, =

2

6Ke("+c)",

n=—oo

w2 = ,

2

w——oo

6U _ ( M + c ) i ( -

Hier sind c und die bn passend gewählte Constante (b'n ist die zu bn conjugirte Grösse).

Die Reihe für wt muss zunächst con-

vergiren. Soll nun w, der Differentialgleichung geniigen, so führt dies auf die Relationen:

d. h. auf unendlich

viele lineare

Gleichungen

mit

unendlich

vielen Unbekannten. Herr Hill hatte diese Gleichungen unbedenklich nach der gewöhnlichen Methode behandelt, indem er zuvörderst für n, p endliche Zahlen nahm und dann zu den Grenzwerten der so erhaltenen Ausdrücke überging. Um die Legitimität dieses Verfahrens zu prüfen, legte sich der Verfasser die allgemeine Frage vor, wann eine unendliche Reihe von absolut convergenten und verschwindenden Summen, die nach den nämlichen linearen Unbekannten fortschreiten, nach letzteren aufgelöst werden könne. Seine Methode ist eine Art Variation von Constanten. Sind nämlich die Unbekannten bezeichnet mit A-, (i — 1, 2, ..., oo), und giebt es ein particuläres Lösungssystem Ai = B u so frage m a n : Wie lassen sich die Werte der Factoren k t bestimmen, sodass auch Ai =

hfBi

Lösungen repräsentiren? Es zeigt sich, dass man, solange die h unter gewissen Grenzen bleibende Constante sind, in der T h a t lauter Lösungen gewinnt, und wenn auch nicht bewiesen werden kann, dass damit alle Lösungen erhalten werden, so sind es doch für die Anwendungen hinreichend allgemeine Lösungen. Die ursprüngliche Frage nach der Erfüllung gewisser Gleich-

Capitel 3.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

HQ

heiten wird so zurückgeführt auf die gewisser Ungleichheiten. Der Beweis stützt sich auf zwei bekannte Theoreme von Weierstrass und Mittag-Leffler, nach denen man eine ganze, resp. meromorphe Function construiren kann, die an unendlich vielen vorgegebenen Stellen und nur an diesen Null, resp. mit vorgegebenen Residuen unendlich wird. Die Coefficienten der gegebenen Gleichungen müssen gewisse Bedingungen erfüllen, wenn überhaupt Lösungen existiren sollen. Der algebraische Teil des Beweises beschäftigt sich mit dem Nachweis, dass die Determinante, die man zunächst aus einer endlichen Zahl n von verticalen und horizontalen Coefficienten bildet, stets unter einer gewissen Grenze bleibt, auch wenn n beliebig wächst, und dass diese Eigenschaft der Determinante sich erhält, auch wenn eine gewisse Reihe ihrer Elemente gleich Null gesetzt wird. In dem von Herrn Hill untersuchten Falle sind die erforderlichen Bedingungen zur Auflösbarkeit der Gleichungen, sowie zur Ausführbarkeit der nötigen Grenzprocesse thatsächlich erfüllt. Eine frühere Arbeit von Herrn Kötteritzsch, die einen Teil der vom Verfasser gewonnenen Resultate enthält, ist offenbar dem Verfasser unbekannt geblieben. My.

P.

STASSANO.

Sülle funzioni isobariche.

Batt. G.

XXIV.

57-93.

Ist «1 + «t "1 1 . ei + 2 . 4 so heissen die Functionen

1- em = 9, 1- msm = n,

V„ = 2 xp (g) a{'. ü2... fl»,m. isobarische Functionen vom Gewichte n und vom Grade g. Es werden die Beziehungen der isobarischen Functionen zu den symmetrischen, vier verschiedene Darstellungen der V„, ihre Eigenschaften, ihre Beziehungen zu den Bernoulli'schen Func-

j 20

II. Abschnitt. . Algebra.

tionen

entwickelt.

Ferner Regeln

zur Berechnung

derselben,

Specialfälle, zahlentheoretische Anmerkungen.

P . A . MACMAHON.

The

law

of

Sn.

symmetry

t h e o r e m s in Symmetrie f u n e t i o n s .

and

other

Quart. J . X X I I . 74-81.

Die symmetrischen Functionen der Wurzeln xn

x2, ...,

xn

einer Gleichung werden als Functionen von Ht '

' 2xaxfi, H3 = IxaxßXr, («,/?,... - 1 , 2 , . . . , » ) aufgefasst; es wird gezeigt, wie jene Functionen sich durch die H darstellen lassen; und ein dem Cayley'schen Symmetrie-Gesetz ähnliches wird abgeleitet. No.

E . CESARO. Mathesis VI.

2xa,

tii

Remarque

sur

une

formule

de

Newton.

172-174.

E s seien c{ und s( bez. die Summen der Producte zu j e i und der i1611 Potenzen aus den Elementen ®„ x.t, ..., x„. Dann ist dei = c,_i ds1 — ^ Ci_2 dst

^ Ci _3 ds3

+ A- dsi,

eine Formel, aus welcher sich manche Verallgemeinerungen der Newton'schen Sätze über die symmetrischen Functionen ableiten lassen. Mn. (Lp.)

Begründung einiger wichtigen Abkürzungen der algebraischen Rechnung mittels einer näheren Untersuchung der algebraischen Division. Krak. D e n k -

ZMURKO.

schr. X I I . (Polnisch).

Inhalt: Darstellung der Potenzen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung m ten Grades durch Polynome mit m Glied e r n ; Zerlegung eines Polynoms in zwei Polynome, deren jedes durch ein gegebenes teilbar ist; Darstellung der Eliminationsgleichung zweier gegebenen algebraischen Gleichungen in drei verschiedenen Determinantenformen; allgemeine Methode der Zerlegung algebraischer Bruchfunctionen. Dn.

Capitel 3.

L.

SCHENDEL.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

121

Z u r T h e o r i e der s y m m e t r i s c h e n 1 F u n c -

t i o n e n . Schlömilch Z. X X X I . 316-320. Darstellung der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung durch ihre Potenzsummen und umgekehrt. Die eigentümlichen Bezeichnungen des Herrn Verfassers hätten eine Erklärung nicht überflüssig erscheinen lassen. No.

S.

DICKSTEIN. Ueber einige Eigenschaften der Functionen aleph. Krak. Deokschr. XII. (Polnisch). Die Note behandelt die Haupteigenschaften der Wronski'schen symmetrischen Functionen aleph, ihre Darstellung in Determinantenformen sowie ihren Zusammenhang mit den Potenzsummen der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Dn.

S.

DICKSTEIN.

U e b e r den Crocchi'schen Satz.

Krak. Denk-

schr. XII. (Polnisch).

Der Verfasser beweist hier einen Satz, der die Relation zwischen den Functionen aleph von Wronski und den Potenzsummen der Wurzeln algebraischer Gleichungen ausdrückt. Dn. S.

DICKSTEIN.

Beweis

zweier Formeln

von

Wronski.

Krak. Denkschr. XII. (Polnisch).

Der Verfasser beweist hier zwei von Wronski ohne Beweis gegebene, zur Berechnung der Functionen aleph einer algebraischen Gleichung dienende Formeln. Die Methode der Herleitung ist analog derjenigen, mittels welcher der Waring'sche Satz bewiesen wird. Dn.

R.

E.

ALLARDICE.

Dr. Muir.

Solution of a problem proposed by

Edinb. M. S. Proc. I V . 37.

Gbs.

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Capitel 1. Niedere Arithmetik. H. S C H U B E R T .

S a m m l u n g von arithmetischen und alge-

braischen Fragen und Aufgaben, verbunden mit einem systematischen

Aufbau

der

L e h r s ä t z e der A r i t h m e t i k . Potsdam.

A. Stein.

Begriffe, I. Heft.

Formeln Zweite

und

Auflage.

V I I I u. 224 S. 8°.

Die zweite Auflage des ersten Heftes des W e r k e s , das F. d. M. XV. 1883. 990 besprochen ist, erscheint hinsichtlich des Aufbaus der Arithmetik und der Anordnung des Uebungsmaterials ungeändert, nur durch kleine Verbesserungen und Hinzufügungen, besonders neuer Gleichungen vervollkommnet. Lp.

0.

REICHEL.

Die G r u n d l a g e n der A r i t h m e t i k unter E i n -

führung formaler Zahlbegriffe.

I. Teil.

Berlin.

Haude-

& Spener'scke Buchhandlung.

Der Verfasser steht mit dem Referenten (System der Arithmetik, Potsdam, 1885) auf dem Kronecker'schen Standpunkt, dass die negativen, die gebrochenen, die irrationalen und die imaginären Zahlen nur Zahlformen sind, behufs Rechnungsabkürzung erfunden und immer so definirt, dass die für Anzahlen

Capitel 1.

123

Niedere Arithmetik.

(Ergebnisse des Zählens) und schon definirte Zahlformen bewiesenen Rechenregeln auch für sie bestehen bleiben.

In dem vor-

liegenden ersten Teile gelangt der Verfasser nur bis zu den aus dem DifferenzbegrifF entspringenden algebraischen und den aus dem Quotientenbegriff hervorgehenden gebrochenen Zahlen.

Das

Biichelchen enthält nur die theoretische Entwickelung und keinen Stoff zur EiniibuDg der erkannten Gesetze oder des Rechnens mit den definirten Zahlformen.

W . FÜHRMANN.

W e g w e i s e r in der Arithmetik,

und niedeni Analysis. Ein

Lexikon

Seht.

Algebra

Leipzig. TeubDer.

der Begriffe,

Formeln

und Lehrsätze

der

Schularithmetik und einiger angrenzender Gebiete in systematischer Anordnung von einem alphabetischen Register der Begriffe und Sätze begleitet.

Seht.

JULING. A n f a n g s g r ü n d e der A r i t h m e t i k . Erster Teil: Pr. ßealsch. SchönLehrsätze. Zweiter T e i l : Aufgaben. berg i. Mecblb. 36 +

80 S. 8°.

Umfasst die vier Grundrechnungsarten.

„Die Lehrsätze sind

möglichst kurz gefasst, damit sie sich leicht dem Gedächtnis einprägen.

Die Beweise sind, wo es möglich war, nur angedeutet." LP-

P . MANSION.

Comptes rendus du „ T r a i t é

élémentaire",

d'arithmétique

du „ P r é c i s d ' a r i t h m é t i q u e "

et du

„Re-

cueil de problèmes d ' a r i t h m é t i q u e " de M. l ' a b b é Gelin. Mathesis V I .

Suppléai. I. 8 S.

Auszug aus der Revue de l'Instruction publique en Belgique X X I X . 38-45. E . BARDEY.

Mn. Methodisch g e o r d n e t e

Aufgabensammlung,

m e h r als 8 0 0 0 A u f g a b e n enthaltend, der E l e m e n t a r - A r i t h m e t i k . ner. X I V u. 330 S. 8°.

13 t e

Aufl.

über

alle Teile

Leipzig. B.G.Teub-

124 E.

III. Abschuitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Arithmetische Aufgaben nebst Lehrbuch der Arithmetik. Vierte Aufl. Leipzig. B. G. Teubner. I X BARDEY.

u. 268 S. 8».

Anweisungen zur Lösung der Textaufgaben in Dr. Bardey's Aufgabensammlung. Rastatt. Greiser.

PAULI.

Schlüssel zur Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra von E. Heis. Dritte Aufl. Zwei Bde.

MATTHIESSEN.

Köln. Du MoDt-Schaumburg. X V I u. 610, V I u. 546 S.

E M . SCHULTZE.

Die vierte Rechenstufe.

Hoppe Arch.

(2)

III. 302-314.

In denjenigen Lehrbüchern der Arithmetik, welche die Operationen derselben streng systematisch entwickeln, werden die Operationen vierter Stufe nicht allein erwähnt, sondern es wird auch die Berechtigung der Einführung derselben vom rein theoretischen Standpunkte aus eingeräumt. Zu solchen Lehrbüchern gehören z. B. die von Hankel, Grassmann, Scheffler, Ernst Schröder und vom Referenten. In Zeitschriften haben namentlich Eisenstein, Gerlach, Wöpcke über die directe Operation vierter Stufe geschrieben. Hier liegt eine neue Arbeit in dieser Richtung vor. Das Aufhören der Gültigkeit des Commutationsgesetzes bei der Potenzirung bedingt, dass bei der nächst höheren, der vierten Operationsstufe, zwei directe Operationen unterschieden werden müssen, nämlich: ([o a ] a ) it -, wo a p-mal vorhanden ist, und a(„[«•••])^ w o a p m a j vorhanden ist. Von diesen beiden Operationen ausgehend, geht der Verfasser der vorliegenden Abhandlung weiter bis zu den beiden Operationen der « teü Stufe. Er definirt die beiden Umkehrungen jeder derselben und giebt einige Eigenschaften an. Eine einigermassen

Capitel 1.

Niedere Arithmetik.

125

erschöpfende Behandlung der Operationen » ter Stufe liegt noch nicht vor. Natürlich miisate dabei das Hankel'sche Princip der Permanenz formaler Gesetze zur Anwendung gelangen, indem der Zahlbegriff immer so erweitert wird, dass jede der Operationen ausnahmslos ausführbar wird. Specieller geht der Verfasser dann auf diejenige Operation vierter Stufe ein, welche oben zuerst genannt ist, und sich als Potenz darstellen lässt, während er verspricht, in einem folgenden Aufsatze die zweite Operation vierter Stufe, die einen selbstständigeren Charakter hat, zu behandeln. Es handelt sich demgemäss hier im wesentlichen um die Eigenschaften der Functionen und Diese werden durch Reihenentwickelungen mit Benutzung der Vorstellung Riemann'scher Schraubenflächen aufgedeckt. Seht.

A. RAMSAY.

Lärobok i aritmetik.

Borg!. 151 S. 8°.

Lärobok i räknekonsten, med talrika ö f n i n g s - e x e m p e l . Lämpad efter raetersystemet, 0 tili skolornas behofs. Attonde omarbetade upplagan.

ZWEIBERGK-EKLÖF.

Holsingfors. 211 S. 8°.

E. BONSDORFF. Esimerkkiä ja problemia algebran alalta. Toinen lisätty painos. Helsiogfors. 171 S. 8°.

E.

KLEINPAUL.

12

te

Auflage.

Aufgaben

zum

praktischen

N e u bearbeitet von F. Mertens.

Rechnen. 4 Hefte.

Bremen. HeiDaius.

Das Buch besteht aus einer Vorstufe und drei Heften und ist für höhere Schulen bestimmt. Referent möchte es trotz der 12 Auflagen anderen bekannten Sammlungen derselben Art nicht vorziehen. — Die in grosser Anzahl sich findenden Aufgaben

126

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

mit kleinen zum Kopfrechnen bequemen Zahlen wird der Lehrer sich jeden Augenblick zweckentsprechend selber bilden und besser Auge in Auge, als das Buch in der Hand mit seinen Schülern bearbeiten. Grade die nicht berücksichtigten Aufgaben aus der gemischten Regeldetri haben, wenn auch nicht für das praktische Leben, so doch für die formale Bildung grossen Wert und gehören deshalb vorzugsweise in ein Rechenbuch für Gymnasien. Ganz fortbleiben könnten dagegen Aufgaben über Arbitrage, Wechselrechnung, Warencalculation, Quadrat- und Kubikwurzeln und solche mit planimetrischem und stereometrischem Inhalt. Dieselben liegen ausser dem Gesichtskreis der meisten Schüler oder gehören in höhere Klassen und können daher auf der Stufe, für welche das Rechenbuch sich eignet, nur mangelhaft erklärt und gelöst werden. E s scheinen überhaupt die Verhältnisse unserer See- und Handelsstädte besonders berücksichtigt zu sein. Lg. F . E . FELLER U. C. Gr. ODERMANN. D a s G a n z e der k a u f m ä n n i s c h e n Arithmetik. 15'® A u f l a g e . Leipzig. Otto Aug. Schulz. V I R u. 496 S. gr. 8°.

Das in fünfzehnter verbesserter Auflage vorliegende, zum achten Male von C. G. Odermann bearbeitete Buch behandelt alle Aufgaben des kaufmännischen Rechnens in achtzehn Abschnitten: Rechnen mit unbenannten Zahlen, mit benannten Zahlen, mit gemeinen Brüchen, Decimalbrüche, Verhältnisse und Proportionen, Alligationsrechnung, Procentrechnung, Zinsrechnung, Discontrechnung, Terminrechnung, Gold- und Silber-Rechnung, Münzrechnung, Berechnung des Gold- und Silber-Verhältnisses, Wechselrechnung, Berechnung der Effecten, der Masse uud Gewichte, Warenrechnung, Berechnung des Spiritus und Getreides. Am Schlüsse folgen Tabellen und die Resultate der Uebungsaufgaben. Die seit der vorigen Auflage (1881) in der kaufmännischen L a g e eingetretenen Veränderungen sind berücksichtigt worden. Ein alphabetischer Index erleichtert das Auffinden gesuchter Gegenstände. Lp.

Capitel 1.

A.

Niedere Arithmetik.

127

Metersystemet belyst af talrika exempel. handbok för skolan och till själfundervisning. ^

RAMSAY.

En

Helsingfors. 63 S. 8°.

Luvunlasktin oppikiija.

A.RAMSAY.

W . SPORER. Ueber Producte Arch, (2) IV. 332-336, 434-436.

152

s.

8°. 1887.

aus ganzen Zahlen.

Hoppe

Die Identitäten 2

( p

2

- «

S

) ( ? ' + (aq±ßPy

=

(pq±aß)\

ß W - f ) + iaßy + ccqr + ßrp + ypq,)2

(P - « W =

(pqr +ßyp

+ yaq +

aßry

w e r d e n in mannigfaltiger W e i s e specialisirt.

S.

DICKSTEIN. Verhältnisse Revue. (Polnisch).

Sn.

und Proportionalität

Pädag.

Methodologische B e m e r k u n g e n zuro Unterricht in der Arithmetik.

J.

"

Dn.

VERVAET.

zahlen.

Ueber

die Multiplication

von Decimal-

G'asop. XV. 24. (Böhmisch).

D i e betreffende R e g e l gründet sich auf die Identität MN

-- \Qn(M — b) + ab =

10" (N— a) + ab,

wofern M =

10"—o,

N =

10"—6. Std.

A . KOSTENEC.

dividiren?

Wie kann

man

leichter und sicherer

Casop. XV. 74. (Böhmisch.)

Unter H i n w e i s auf die v o r a n g e h e n d e R e g e l Yervaet's

zeigt

128

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

der Verfasser, wie man die dekadische Zahlenergänzung mit Vorteil auch bei der Division verwenden kann. Std.

Sali' i m p o s s i b i l i t à di certe divisioni e sull'e-

R . BETTAZZI.

q u i v a l e n z a delle e q u a z i o n i .

B e s s o Per. mat. I. 101-116, 129-143.

Selbstverständliche Betrachtungen über das Ergebnis der Einführung von Ausdrücken, die für gewisse Werte der Variabein bedeutungslos werden, in algebraische Functionen und Gleichungen. — „Aequivalent" heissen, nach dem Verfasser, zwei Ausdrücke, welche, solange als sie j e eine Bedeutung haben, einander gleich sind, und gleichzeitig bedeutungslos wei den. Das Addiren und Subtrahiren einer und derselben Grösse, die Zerlegung in Factoren, die Zurückführung von Brüchen auf ihren einfachsten Ausdruck, kann in einigen Fällen die ursprünglichen Grössen in nichtäquivalente Grössen überführen; sowie die Operationen, die man auf Gleichungen gewöhnlich ohne j e d e s Bedenken ausübt, die Anzahl der Wurzeln verändern können. Diese Ereignisse entspringen sämtlich aus der Unmöglichkeit (nach des Verfassers Ausdrucksweise) der Teilungen

-jj-;

man

kann aber in vielen Fällen j e d e Unbestimmtheit durch Grenzbetrachtungen aufheben. Vi.

F. V O R M U N G . wendung u. s. w.

D i e reducirten Q u e r s u m m e n u n d ihre A n zur Kontrolle von Rechnungs - Ergebnissen

mit einem

Vorworte von

Prof. D r .

Förster.

Eberswalde. P . Wolfram. 16 S. 8°.

Erläuterung

der Neunerprobe für das Zahlenrechnen.

So-

wohl die Neunerprobe als auch die Elferprobe sind sehr alt und jetzt nur von manchen nicht gekannt und geübt.

C. MORICONI.

ratrici.

Lp.

Frazioni decimali periodiche e loro gene-

B e s s o Per. mat. [. 117-122.

Capitel 1.

Niedere Arithmetik.

129

Der erste Satz ist unrichtig; der Beweis des dritten enthält eine sonderbare Behauptung, dass nämlich zwei Decimalbrüche, bei welchen die erste Decimale verschieden ist, um mehr als 0,1 von einander abweichen. Uebrigens sind die Sätze 3) und 4) von selbst klar, und der ganze Aufsatz ist der Begründung von Theoremen gewidmet, die man in jedem Lehrbuche der Arithmetik viel einfacher bewiesen findet. Vi. Die neueren Definitionsformen der irrationalen Zahlen und ihre Bedeutung f ü r die Schule. M.

RÖSLER.

S.

GATTI.

Sulla divisibilità di alcuni polinomi.

Besso

Per. mat. I. 184-191.

Die Resultate dieses Aufsatzes kann man in folgende Sätze zusammenfassen : 1) Sind n und m-f-1 relative Primzahlen, so ist (xmn + ®(m—')» 1_ as» + 1 ) : (xm -f ¡r"'-1 -f ¡- x + 1 ) eine ganze Function. 2) Ist ausserdem n ungerade, so ist auch (xmn— atm-11* H ( - l)mxn + (— l)m) : (xm - a:"- 1 -j (— l) m x -f (— 1 )m ) eine ganze Function. Vi. M. J . M. HILL. On the rule f o r contracting the process of finding the square root of a n u m b e r . Brit. Ass. Rep. 538. Gbs.

M.

AZZARELLI.

Trasformazione

del

binomio

ifa+Yb.

Rom. Acc. P. d. N. L. X X X V I I I . 227-242.

'

Eine Reihe elementarer Bemerkungen über die Umwandlung von Va-fVfe in V« + Vn. Fortsohr. d. Math. XVIII. 1.

No. 9

130

III. Abschnitt.

H . F . T H . BEYDA.

Niedere und höhere Arithmetik.

Das Ausziehen der W u r z e l n j e g l i c h e n

Grades s o w o h l aus d e n positiven als a u c h den negativen Zahlen.

Bonn. (Stuttgart. J. B. Metzler.) 42 S. gr. 8°.

„Unsere Berechner der imaginären Grössen scheinen nicht zu wissen, dass die Wurzel aus der negativen Grösse gleich ist dem Negativen der Wurzel aus der gleichen positiven Grösse, dass

+ |/-a2 = _(+]/+„•) = +a

ist." (S. 34.) Dieser voreulersche Standpunkt hat also noch immer Anhänger. Referent schrieb F. d. M. XV. 1883. 1000 über eine andere Schrift desselben Verfassers: „Nach der naiven Schreibweise könnte das Werk ein Jahrhundert zurückversetzt werden." Für die vorliegende Schrift muss es also heissen: „Zwei Jahrhunderte". Lp.

Capitel 2. Z a h l e n t h e o r i e . A. O.

Allgemeines.

STOLZ. V o r l e s u n g e n über a l l g e m e i n e Arithmetik. N a c h den neueren Ansichten bearbeitet. Erster T e i l : Allgemeines und Arithmetik der reellen Zahlen. Zweiter T e i l : Arithmetik der c o m p l e x e n Zahlen mit g e o m e t r i s c h e n A n w e n d u n g e n . Leipzig. Teubner. viu.344 S.; V I I I u. 326 S.

Der erste Teil dieses umfassenden Werkes beschäftigt sich mit dem Begriff der Grösse, der natürlichen Zahlen, der rationalen Zahlen und geht zu demjenigen der stetigen Grössen Uber, um so die Theorie der irrationalen Zahlen zu begründen. Es werden hierbei die Anschauungen von H. Grassmann, E. Schröder, Hankel, P. du Bois-Reymond, G. Cantor, J. Bertrand, R. Dedekind zur Geltung gebracht.

Capitel 2.

Zahlentheorie.

131

Die Untersuchungen über reelle Veränderliche und ihre Functionen führen zur Betrachtung der Grenze, der unendlich kleinen Grössen. Der Band schliesst mit der eingehenden Theorie der unendlichen Reihen mit reellen Gliedern, welche in grosser Vollständigkeit und mit ausserordentlicher Sorgfalt durchgeführt ist*). Hinsichtlich der Convergenz- und Divergenz-Kriterien sind die Forschungen des Herrn P. du Bois-Reymond massgebend gewesen; Potenzreihen und ihre Convergenzgebiete werden behandelt; die Umkehrung einer Reihe geliefert. Der letzte Abschnitt handelt von den elementaren Eigenschaften der Exponentialfunction, der Potenz und des Logarithmus. Im ersten Abschnitte des zweiten Bandes wird zunächst gezeigt, dass es ausser dem Systeme der gemeinen complexen Zahlen kein anderes giebt, für welches dieselben Rechnungsregeln gelten wie für die reellen Zahlen. Daran schliesst sich der Nachweis der Behauptung, dass Zahlensysteme mit vier und mehr Einheiten und gewöhnlicher Multiplication überflüssig sind. Im zweiten Abschnitte ist die Methode des Rechnens mit Strecken in der Ebene entwickelt, und daran sind einige geometrische Anwendungen geknüpft. Der dritte Abschnitt beschäftigt sich mit den Grundbegriffen über die complexen Veränderlichen, der vierte mit den ganzen rationalen Functionen, den arithmetischen Reihen und der Interpolation. Der fünfte Abschnitt ist der wichtigen Theorie der unendlichen Reihen mit complexen Gliedern gewidmet; als Ziel hat dem Verfasser die Erledigung der Fragen Uber den Giltigkeitsbereich der Entwickelungen gewisser Functionen in Potenzreihen vorgeschwebt; dies führt auf die Behandlung der Entwickelung monogener Functionen in Potenzreihen. Das bis dahin Gewonnene wird zur Begründung der Lehre von den Potenzen mit complexen Exponenten und den complexen Logarithmen benutzt; daran schliesst sich eine Theorie

*) Bemerkt sei, dass der Satz über die Anordnung der Glieder einer bedingt convergenten Reihe derart, dass jede Summe erreichbar ist, auf Dirichlet zurückgeführt wird, während er sich schon bei Ohm findet.

9*

III. Abschnitt.

132

Niedere und höhere Arithmetik.

der unendlichen Producte mit Anwendungen auf die üblichen Functionen und kurzem Discurse über Euler'sche und Bernoulli'sche Zahlen. Der achte und letzte Abschnitt beschäftigt sich mit der Theorie der Kettenbrüche, bei denen die vollständige Lösung der Frage nach der Convergenz oder Divergenz der periodischen Kettenbrüche gegeben wird. Die Anwendung der Kettenbrüche geht natürlich nicht nach der Seite der Zahlentheorie, sondern nach derjenigen der Functionentheorie. Hervorzuheben ist die ausserordentliche Sorgfalt und Genauigkeit, mit der das Buch verfasst ist; die Quellen sind ausführlich angegeben, die Forschungen, wie auch der Titel mit Recht hervorhebt, bis zu den neusten Ergebnissen berücksichtigt. No.

Zahlentheorie. Nach der dritten Auflage ins Deutsche übertragen von H. Maser. Leipzig. Teub-

LEGENDRE. ner. I. II.

Da die dritte Auflage des Originalwerkes 1830 erschien, so ist hier nichts darüber zu sagen. Die Uebersetzung ist angemessen; die Einführung der dreifachen Druckart, gewöhnliche, gesperrte und fette Schrift hätte dem Leser erspart werden können. No.

M.

Grundlagen zu einer rein arithmetischen Grössenlehre. Prag. Athenaeum. (Böhm.) LERCH.

Die Abhandlung beschäftigt sich mit einer rein arithmetischen Behandlung der negativen Zahlen, der Brüche, der irrationalen Zahlen und schliesst mit der Auseinandersetzung einer mündlichen Mitteilung des Herrn Runge in Hannover (damals Privatdocenten in Berlin). Um die negativen Zahlen einzuführen, betrachtet der Verfasser Zahlenpaare (alò) und bezeichnet zwei Zahlenpaare (alò), (cid) als äquivalent — (a| ò) ( c | d ) — , wenn a + d = b -j- c. Die" Gesamtheit aller mit einem gegebenen Zahlenpaare (alò) äquivalenten Zahlenpaare heisst eine Differente;

Capitel 2.

Zahleutheorie.

133

dieselbe heisst positiv, wenn a~>b, negativ, wenn a < 6, und wird als eine Nulldifferente 0 bezeichnet, wenn a = b. Nachdem der Verfasser die Fundamentaloperationen mit Differenten definirt und einige Eigenschaften derselben abgeleitet, ändert er die Nomenclatur und nennt die Differenten einfach „benannte Zahlen" (positive und negative). In ähnlicher Weise werden die gebrochenen Zahlen eingeführt. Die irrationalen Grössen werden auf folgende Weise definirt: Eine Wertfolge a0, an a 2 , . . . , ar,... heisst convergent, wenn sie im Sinne des Herrn G. Cantor eine Fundamentalfolge ist, und zwei solche convergenten Wertfolgen heissen äquivalent, wenn sie es im Cantor'schen Sinne sind. Die Gesamtheit aller (mit einer gegebenen) äquivalenten Wertfolgen heisst eine Convergente; sie ist den Begriff des Grenzwertes zu ersetzen bestimmt und geeignet. Hat die Wertfolge einen Grenzwert (der also ein Bruch sein wird), so heisst die Convergente rational, sonst aber irrational u. s. f. Die Runge'sche Mitteilung besteht aus folgendem Satze: Sind My, Ny(v = 0, 1 , 2 , . . . ) ganze Zahlen und so beschaffen, dass der Grenzwert lim y— o d i» y

= « existirt, und dass die Ungleichung 1 e JV»+ v V

Mv JV„

für unendlich viele v besteht, wofür ey oberhalb einer constanten kleinen Grösse bleibt, so kann die Zahl a nicht Wurzel einer ganzzahligen Gleichung wten Grades sein. Hieraus schliesst der Verfasser, dass alle Zahlen von der Form

00

c

*, , wobei die v=u l(r"

cy positive ganze Zahlen von 0 bis a bedeuten, transcendente Zahlen sind, vorausgesetzt, dass unter den cr unendlich viele von Null verschieden sind. (Lerch, Std.)

V.

GRÜNWALD.

Dei sistemi numerici a base imaginaria.

CommeDtari dell' Ateneo di Brescia. 43-54.

Dieser Aufsatz behandelt die Darstellung der ganzen complexen Zahlen durch Ausdrücke von der Form: (1)

m 1

Cm-1b

-

+ »-+c1b

+

c(n

III. Abschnitt.

134

wo 6 = ßi, ß

Niedere und höhere Arithmetik.

eine ganze

reelle Zahl bedeutet.

Die zur Dar-

stellung aller ganzen complexen Zahlen notwendigen und hinreichenden Ziffern sind 2/S*—1, nämlich: für die geraden Stellen:

0,

1, 2, 2 2 0, - 3 - , - 3 - ,

flir die ungeraden Stellen:

. . ., ....

R R

(die der Verfasser durch 0, 1, 2, . . . , ß'—l ist

übrigens

ganz

selbstverständlich;

ß'-l, j -^—5—

ßi

P

bezeichnet).

denn wird

eine

Das ganze

complexe Zahl z = x-\-iy unter die Form ( 1 ) gesetzt, so ist:

X = J5 C2n(-ßy, ()

y = 2(-iyCin+iß^ (J

=

0

£cin+1ß(-ßy.

Man sieht hieraus, dass die neugeschaffene Darstellung mit der Darstellung der reellen Bestandteile x, y nach der reellen Grundzahl — ß 1 identisch ist, und nichts Neues liefert, als die gegenseitige Verflechtung der x und y darstellenden Zahlen, die man aber bei jeder Operation wieder von einander trennen muss (bezüglich dieser letzten Behauptung siehe die Theorie der Operationen im Aufsatze selbst).

Z. B. die ganze complexe Zahl 12—14»

nimmt in dem Zahlensysteme mit der Grundzahl 3i die Form 1 2 8 4 3 an;

diese löst sich aber augenscheinlich auf in die zwei

Zahlen 183, 2 4 ,

welche 12 bezw. — 1 4 im Zahlensysteme

der Grundzahl — 9 darstellen.

Sulla p o t e n z a ad e s p o n e n t e i r r a z i o n a l e di

G . GIULIANI. un

von

Vi.

numero

irrazionale.

Beweis des Satzes:

Besso Per. mat. 1. 50-53.

Sind a, ß zwei durch die Paare von

Zahlenklassen (im Dedekind'schen Sinne) a l t a „ ... und al, a^ . . . bezw. 6,, 6 a , . . . und 61, 62, . . . bestimmte irrationale Zahlen, so wird die Zahl a ß durch das Elassenpaar bestimmt: 6, 62 01 , a 2 %

L . KRAUS.

. . .

, und

,61 ,62 ai , a'2 ,

. . .

Vi.

B e w e i s des Satzes, d a s s unendlich viele P r i m -

zahlen (£/> + l ) existiren, Casop. X V . 61. (Böhm.)

wenn p eine Primzahl ist.

Capite! 2.

Zahlentheorie.

135

Hat man M = ar-l und bezeichnet (ß) = 0 (mod. p). Enthält nun M die Primfactoren r, s, . . s o ist bekanntlich » W - ' O - T - X

1

- " ! - )

Ist daher r von der Form (fcp+1), so folgt, dass r—1 durch p teilbar, also r durch kp + 1 darstellbar ist. Aehnlich findet man pk und somit wenn man setzt M = (pptpt.-.pjp-l. Std.

Expression analytique du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers. Prag. Ber. 414-417.

M. L E R C H . (1885).

Der grösste gemeinsame Teiler von m und n wird in der Form e2fv

dargestellt, wobei v von 0 bis oo läuft und f„ eine

ganze ganzzahlige Function von s i n — r — , s i n — r — , . . . , l o g 2 , K ft log 3, . . . bedeutet, die in den Logarithmen linear ist. No.

Geometrie der Zahlen nebst einer Tabelle der Quadrate der vierziffrigen Zahlen.

P . W . PREOBRASCHENSKY.

Phys. math. Wiss. (A). I. 49-73, 171-187, 273-281. (Russisch).

Nach des Verfassers Definition betrachtet die Geometrie der Zahlen die in ein bestimmtes System eingeordneten Zahlen und studirt ihre Eigenschaften im Zusammenhange mit dem Platze, den sie im System einnehmen. Der Verfasser behandelt den einfachsten Fall, wenn die Zahlen regelmässig in Reihen, deren jede 100 Zahlen einschliesst, verteilt sind. Die Betrachtungen des Verfassers geben ihm dann z. B. die Methode, für jede Zahl bis 100 000 000 ihre zweiziffrigen Factoren zu finden. Wi.

III. Abschnitt.

136

S. DICKSTEIN.

Niedere und höhere Arithmetik.

Ueber die Teilbarkeit der Zahlen.

Lomberg.

Museum. (Polnisch).

Es wird die Zahl, deren Teilbarkeit durch eine andere untersucht wird, nach einer einfachen Regel, die für jedes Zahlsystem giltig ist, auf eine kleinere Zahl reducirt. Dn.

Teilbarkeitsregeln auf Grund Lemberg. (Poloisch.) der Coilgruenzen.

DZIWINSKI.

der Theorie Dn.

P. SEELHOFF. Die Auflösung grosser Zahlen Factoren. Schlömilch Z. XXXI. 166-174. P.

Die neunte v o l l k o m m e n e Zahl.

SEELHOFF.

in

ihre

Schlömilch

Z. X X X I . 174-178.

P. S E E L H O F F .

Ein neues Kennzeichen für die Primzahlen.

Schlömilch Z. X X X I . 306-310.

P. SEELHOFF. P. SEELHOFF.

Berichtigung. Schlömilch z. x x x i . 320. Zur A n a l y s e grosser Zahlen. Hoppe Arch.

(2) III. 325-329. P.

SEELHOFF.

Auflösung der Congruenz x2 = r (mod. N).

Schlömilch Z. X X X I . 378-380.

P. SEELHOFF.

Die

Zahlen

von

der

Form

k.

2*+L.

Schlömilch Z. X X X I . 380. G . VALENTIN.

Zahlen.

Einige Bemerkungen

über v o l l k o m m e n e

Hoppe Arch. (2) IV. 100-103.

Herr Seelhoff sucht seine Methode, über welche im vorigen Jahrgang berichtet wurde (vgl. F. d. M. XVII. 124-125), fortzubilden und auf die verschiedenen, in den obigen Titeln angegebenen Probleme anzuwenden. Herr Valentin berichtigt in Uebereinstimmung mit Herrn Seelhoff einige von dessen Angaben über vollkommene Zahlen, teilt historische Notizen in Betreff derselben mit, und macht eine Reihe von Angaben über die Factoren der Zahlen von der Form 2x — \. Sn.

Capitel 2.

137

Zahlentheorie.

U n nouveau uombre parfait.

P . SEELHOFF.

Mathesis.

vi.

100-101, 178.

Sur les nonibres parfaits.

Mathesis.

vi. 145-148.

Sur les nonibres paj-faits.

Mathesis.

vi. 248-250.

LUCAS.

A. S T E R N .

Liste der seit alter Zeit bekannten vollkommenen Zahlen. Die Zahl 2 60 (2 60 —1) ist eine vollkommene Zahl. Alle geraden vollkommenen Zahlen werden durch die Regel Euklid's gegeben. Der Beweis dafür, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen giebt, ist noch nicht geliefert. Wenn eine ungerade vollkommene Zahl vorhanden ist, muss sie die Form a ^ + l b ' l i c 2 r . . . haben. Andere Sätze über die vollkommenen Zahlen. Mn. (Lp.)

H. N O V A R E S E .

N o t e sur les nonibres

parfaits.

Teixeira

J. VIII. 11-16.

Der Verfasser beweist folgende zwei Sätze: Jede gerade vollkommene Zahl, 6 ausgenommen, ist ein um 1 vermehrtes Vielfaches von 9. Jede gerade vollkommene Zahl, deren letzte Ziffer nicht 6 ist, endigt mit den Ziffern 28. Darauf zieht er daraus folgende Schlüsse: Jede gerade vollkommene Zahl (6 ausgenommen), die mit der Ziffer 6 endigt, ist ein um 1 vermehrtes Vielfaches von 45 und jede gerade vollkommene Zahl, die mit 8 endigt, ein um 2 vermindertes Vielfaches von 30. Tx. (Hch.)

L.

L.

GEGENBAUER. D i e mittlere A n z a h l der Zerlegungen einer ganzen Zahl in zwei Factoren von vorgeschriebener Form. Wien. Ber. XOIII. 90-105. GEGENBAUER.

Arithmetische Notiz,

Wien. Ber.

xeni.

447-454. L.

GEGENBAUER.

Zahlentheoretische

Notiz.

Wien.

Ber.

XCIV. 35-40. L.

GEGENBAUER. XCIV. 611-612.

Ueber grösste g a n z e Zahlen.

Wien. Ber.

III. Abschnitt.

138

Niedere und höhere Arithmetik.

Eine Reihe von weiteren Folgerungen aus den Eigenschaften der Function vgl. F. d. M. XVI. 149-150; XVII. 130, 131, 144. Sn.

J.

S.

MACKAY.

On the divisibility of certain numbers,

Edinb. M. S. Proc. IV. 55-56.

J.

HACKS.

Gbs.

Einige Sätze über Summen von Divisoren.

Acta Math. IX. 177-181.

Im Anschluss an die Vorlesungen und Arbeiten von Herrn Lipschitz werden Entwickelungen der Functionen F(m), G(m), K(m), L(m) (vgl. F. d. M. XI. 142-143, XVII. 126-127), und besonders Untersuchungen angestellt, für welche Argumente m diese Functionen gerade oder ungerade Werte ergeben. Sn.

P.

SKELHOFF.

Ein Rechenfehler von J. Bernoulli.

Schlömilch

z. XXXI. 63.

J. Bernoulli hatte in der Zahl 10" + 1 nur die Primfactoren 11 und 23 entdeckt, während sie sich in II 3 . 23. 4093. 8779 zerlegen lässt. Lp.

P. A. MACMAHON.

Certain special partitions of numbers.

Quart. J. XXI. 367-373.

Die Zerlegung einer ganzen Zahl in Summanden wird hier eine vollkommene genannt, wenn in ihr auch eine, und nur eine Zerlegung aller kleineren Zahlen enthalten ist. Zahlen, welche nur eine vollkommene Zerlegung in diesem Sinne erlauben (die Zerlegung in Einheiten also), spielen hier die Rolle von Primzahlen. Es werden Typen von solchen aufgestellt. Minder vollkommene Zerlegungen heissen diejenigen, bei denen negative Grössen zugelassen werden müssen, um alle kleineren Zahlen herzustellen. Sn.

Capitel 2.

E.

CESABO. polygones.

139

Zahlentheorie.

Sur la distribution mutuelle des nombres Nouv. Ann. (3) V. 209-214.

Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Trigonalzahlen liegt mindestens eine Quadratzahl und höchstens deren zwei; u. dgl. m. Sn.

EVANS.

Solution of questions

3189,

Bd.

4473.

Times.

X L I V . 65-66, 68-69.

Das Product von fünf oder von sieben aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen kann keine Quadratzahl sein. Lp.

P . TANNERY.

Sur un problème de Fermât.

S. M. F. Bull.

XIV. 41-45.

Diophant hat die Aufgabe gestellt (V, 25), drei pythagoreische Dreiecke zu suchen, für welche das Product aus allen drei Hypotenusen in drei Katheten eine Quadratzahl sei. Fermât hat behauptet, die allgemeine Lösung dieses Problems zu besitzen; seine Andeutungen sind aber mit einem Rechenfehler behaftet, den er selbst zwar bemerkt, indes nicht weiter erörtert hat; wie er zu seiner Lösung in sehr grossen Zahlen, deren Entdeckung nicht dem Zufall zugeschrieben werden kann, gekommen sein mag, bleibt fraglich. Sn.

E.

CATALAN.

Sur

le

dernier

théorème

de

Fermât.

Belg. Bull. (3) XII. 498-500.

Sechzehn Sätze über Zahlen a, 6, c, für welche a" -\-bn = c \ Mn.

E.

CATALAN.

Quelques théorèmes d'arithmétique.

Belg. Mém. XLVI. 16 S.

Zahlreiche Sätze, ähnlich wie der von Lionnet: Wenn n eine Primzahl grösser als p + l ist, so ist sp = + f-W durch n teilbar. Einige andere beziehen sich auf die Zerlegung

III. Abschnitt.

140

Niedere und höhere Arithmetik.

mancher Zahlen in Quadrate.

So ist

die Summe aus vier Quadraten,

wenn pq ein Quadrat ist;

aus

zwei Quadraten, wenn auch noch a ' - j - f c ' + c 3 ein Quadrat ist. Mn. (Lp.)

S. REALIS.

Développements n o u v e a u x sur quelques

p o s i t i o n s de F e r m â t . Untersuchungen 2x +y i

über

Nouv. Ann. (3) v . 113-122.

die

Darstellungen

iu

den

Formen

und 3x'+y\

i

Sn.

E t u d e sur quelques formules d'analyse

TH. PÉPIN.

pro-

d a n s l a t h é o r i e des n o m b r e s .

utiles

Rom. Acc. P. d. N. L. x x x v m .

139-196.

Jacobi hat einen arithmetischen Ersatz für die Anwendung der

0-Keihen

zur Bestimmung

der

Anzahl

der

Darstellungen

einer Zahl als Summe von vier Quadraten gesucht (Crelle X I I ) . Seine

Methode,

wie auch

die Fortbildungen

derselben

durch

Dirichlet und Liouville (vgl. dessen Journal, 2. Série, I I I ) finden hier eine neue vollständige Darstellung, und werden a u f binäre und quaternäre Formen angewendet.

J . HERMES.

Sn.

S y m m e t r i s c h e und c o m p l e m e n t ä r e V e r t e i l u n g

d e r I n d e x s u m m e n r e s t e r für P r i m z a h l e n p =

23" +

1.

v o n der F o r m

Hoppe Arch. (2) I V . 207-218.

Für die Kreisteilung und besonders für die Zerlegung

von

p in eine Summe von Quadraten ist es wichtig, ob die Zahlen r =

ind.a-)-ind.(a-|-l)

mod.(p— 1)

ungerade, oder durch 2, 4, . . . , 2 teilbar sind. r

nische Hülfsmittel gegeben,

E s werden tech-

um diese Untersuchung zuverlässig

und möglichst expedit zu vollziehen.

Sn.

Capitel 2.

Zahlentheorie.

Ueber die Anzahl gegebenen Zahl A durch die die p gegebene, unter sich xn ganze positive Zahlen mit

MEISSEL.

141

der Darstellungen einer Form 2Epn x„, in welcher verschiedene Primzahlen, Ausschluss der Null sind.

Pr. Ob.-Realsch. Kiel.

Es werden für die Fälle n = 2, 3, 4, 5 Eigenschaften der Anzahl N solcher Darstellungen gesucht, wobei N als Function der darzustellenden Zahl A betrachtet wird. Ist S die Summe der p, P deren Product, so wird: fm(—Ä) = (-1 rylMA + S), f f i I v\ t fA\ dfm(A + nP) In der zweiten Formel ist der ( / » + l ) t e Parameter indes doppelt, als Factor und Summand, weggelassen. Sind alle Parameter = 1 , 8 0 ist die Anzahl der Darstellungen von m+l 2 xe = A gleich (A— l) m .

F . G . TEIXEIRA.

Sn.

Sur le théorème d'Eisenstein.

ADD.

de L'Éc.

Norm. (3) III. 389-390.

Elementarer Beweis für den Eisenstein'schen Satz, dass die möglichst reducirten Coefficienten in der Reihenentwickelung einer algebraischen Function nur eine endliche Anzahl von Primzahlen in den Nennern enthalten können. No.

F.

G.

TEIXEIRA.

Ueber

den

Eisenstein'schen

Satz.

Hoppe Arch. (2) III. 315-317.

Ein neuer Beweis des Ratzes: Die Reihe a„ + a1® + o2a:2 + --wo a 0 , a n a 2 , . . . auf den einfachsten Ausdruck reducirte Brüche darstellen, kann nicht die Entwickelung einer Wurzel y einer in x und y algebraischen Gleichung mit ganzen Zahlen als Coeffi-

142

III. Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

cienten sein, wenn die Nenner der a 0 , a n a 2 , . . . eine unendliche Anzahl von Primfactoren enthalten. Sn.

E.

CESARO.

Fonctions énumératrices.

Brioschi Ann. (2) X I V .

141-158.

Eine Function £3(x) habe die Werte 1 oder 0, j e nachdem die ganze Zahl x einem beliebig definirten System ß angehört, oder nicht angehört. Ist nun £2(x)P.(y) = P.(xy), so ist £1 eine geschlossene Gruppe und enthält auch alle Teiler ihrer Elemente. Dieser Satz lässt sich umkehren. Durch Summationen yon ii(x) lässt sich jede Anzahl irgend welcher Art im System fi bestimmen. — Die Anwendungen beziehen sich auf die Reihe der nach ihrer Grösse geordneten irreductibeln Brüche, deren Nenner unter einer festen Grenze liegen; auf die Reihe ihrer wte" Potenzen; auf die mittleren Werte und Wahrscheinlichkeitsbestimmungen für die Reihe der Trigonalzahlen; auf die Zahlenreihe, in welcher alle Quadrate fortgelassen sind; u. dgl. m. Sn.

R.

LIPSCHITZ. Propositions arithraétiques tirées de la théorie de la fonction exponentielle. Jordan J. (4)II. 219-238.

Im Anschluss an die Untersuchungen von Hermite, Lindemann und Weierstrass stellt sich Herr Lipschitz zunächst die Aufgabe, aus der Kettenbruchentwickelung der Exponentialfunction rein zahlentheoretische Ergebnisse zu ziehen. In dem Resultate, welches sich als Bestimmung einer Anzahl von Punkten einer gewissen Art innerhalb eines elliptischen oder hyperbolischen Sectors ergiebt, zeigt sich die Notwendigkeit, das fragliche Flächenstück für gewisse Fälle als mehrfach von jenen Punkten überdeckt anzusehen. — Es wird sodann eine allgemeine Gleichung (n + l) ,e " Grades an Stelle der quadratischen behandelt. Es ergiebt sich, dass die definirte Anzahl von Punkten hier um Eins grösser ist, als die Anzahl der Fundamental-

Capitel 2.

Zahlentheorie.

143

einheiten des Gebiets der aus den Wurzeln jener Gleichung gebildeten complexen Zahlen, im Sinne Dirichlet's. Sn.

E.

OESARO.

Le d&errainant de Smith et de Mansion.

Nouv. A d d . (3) Y . 44-47.

Weitere Untersuchungen über zahlentheoretische Determinanten (vgl. F. d. M. XVII. 136-137); die früher betrachteten Determinanten werden gerändert, und für gewisse zahlentheoretische Functionen der Randglieder wird der Wert der Determinante gegeben. No.

Ueber die Auflösung eines gleichungssystems. Prag. Ber. 1885. 63-68.

O T . JEZEK.

Functional-

Das Gleichungssystem lautet: /«(*)/«(?) = fa+i(* + y),

O = 1, 2, . . . , n; fn+1 = /",),

und seine Lösung ist: fa(x) = Aa . e™, wobei Aa = Al-t

und

2kjt . A, = e ™-1', 2

(* = 0, 1, 2 , ( 2 * - 2 ) )

gesetzt werden muss. Die Anzahl der von einander verschiedenen Lösungen des Systems steht im engsten Zusammenhange mit der F r a g e : „In wie viel Gruppen zu j e » Z a h l e n lassen sich die Zahlen 1, 2, 3, . . . , (2n—2) so ordnen, dass jede Zahl jeder Gruppe dem Doppelten der unmittelbar vorhergehenden Zahl derselben Gruppe nach dem Modul 2"—1 congruent sei, und dass die Zahlen je zweier Gruppen von einander verschieden sind?" Auch für diese Aufgabe wird die Lösung gegeben. No.

Sur les valeurs asymptotiques de quelques fonctions numériques. Kronecker J. IC. 324-328.

CH. HERMITE.

III. Abschnitt.

144

Niedere und höhere Arithmetik.

Der Beweis für die Identitäten qm V qn _ g^n"-+n) = "" 1 —q i n ~ 1 —qn 1 —qm wird auf zahlen theoretischem Wege gegeben; die drei Ausdrücke sind auch = 2F(N)qN, wo F(N) die Anzahl der ungeraden Teiler von N bezeichnet. Die Summe F(i) + F(2)+-+F(N) nähert sich asymptotisch dem Werthe: iJVlogJV+(C-|)JV, wo C die Euler'sche Constante. Analog erweist sich y,

« C - O ^ T Z ^ r

=

(m als identisch mit ybv

1, 3, 5, ...)

= Sf(M) yq»

(0=1,3,5,...),

wo f(M) =

4^(-l)«d-",

wenn die Summe auf alle Teiler von M bezogen wird.

Der

asymptotische Wert von f O ) + m + m + - + n " ) ergiebt sich gleich

• M.

Auf ähnliche Weise werden noch zwei andere Identitäten untersucht, welche aus den Thetareihen entspringen. Sn.

W.

J.

BUNIAKOFFSKY.

Function E(fix))

Ueber

eine

Modification

und über die A n w e n d u n g

der

des ver-

änderten Verfahrens zur Untersuchung einiger E i g e n schaften

der

quadratischen

und

nichtquadratischen

Reste der Zahlen von der Form 4 Ä + 1 .

Petersb.

Abh.

LII. (Russisch).

Im Anschluss an seine früheren Untersuchungen über die Function E(x) (S. Démonstration de quelques propositions rela-

C^pitel 2.

Zahleotheorie.

145

tives à la fonction numérique E(x), Mélanges math. V. VI) zeigt der Verfasser, wie die Eigenschaften der periodischen Brüche, welche bei der Zerlegung des Bruches

nach

dem

Zahlen-

system mit der Basis g (primitive Wurzel von q) entstehen, Hülfe leisten bei der Aufgabe, die Summe der quadratischen Reste der Zahl q zu ermitteln.

Diese mit R bezeichnete Summe ist,

wie aus den früheren Untersuchungen des Herrn Verfassers folgt, durch die folgende Formel ausgedrückt: _g-1 R

-

A

g*"'-

1

>

Am Ende der Abhandlung wird eine merkwürdige Eigenschaft der erwähnten periodischen Brüche gezeigt, nämlich dass in einer Periode die Summe der Ziffern, welche den Platz fi und

1

^

P.

+ fi einnehmen, immer dieselbe und gleich g ist.

GAZZANIGA.

Wi.

Sui r e s i d u i di o r d i n e q u a l u n q u e r i s p e t t o

i Man m o d uteile l i prilÄi. Ven.der Ist.arithmetischen Atti (6) IV. 1271-1280. die Reste Progression

P— 1 g,

2 q,

3 q,

JL

...,

j—q

in drei Kategorien, so dass

0 1 bedeuten. So z. B. ist der Wert von Ds ein Bruch mit dem Zähler N(A), dessen Nenner das Product von (i, -f l)(s, + l ) . . . (s„-Hl) in eine weitere einfache Norm ist. Weiter stellen sich die Quadrate ÄJ,

..., ^

234

, . . . nun-

mehr, abgesehen von dem gemeinsamen Factor ^ ^ f ^ , dar als die Determinanten D(s), wenn man eine gerade Anzahl von s durch negative, die übrigen durch positive Einheiten ersetzt hat. Eine Ausdehnung der Eigenschaften complexer Ausdrücke Ordnung wird erzielt, wenn man in dem Ausdrucke A = J-o+^MuH—4-MMiim+wo, wie oben erwähnt, sich die l 1 2 3 i etc. rational durch die Ä0 und l,k darstellen lassen, an Stelle der l ganz unabhängige complexe Ausdrücke « ter Ordnung einführt. My. nter

R.

LIPSCHITZ. Recherches sur la transformation, par des substitutions réelles, d'une somme de deux ou de trois carrés en elle-même. Jordan J. (4) il. 373-440.

In sehr interessanter Art verbindet Herr Lipschitz die Transformation von Summen aus zwei resp. drei Quadraten in sich selbst mit der Einführung der Gauss'schen complexen Grössen resp. der Hamilton'schen Quaternionen. In beiden Fällen werden die allgemeinen Substitutionen, welche jene Transformation ermöglichen, mit Hülfe eines_ resp. dreier Symbole in je eine Gleichung zusammengefasst, aus welcher einmal die Rechnungsregeln dieser Symbole abgelesen, andrerseits sämtliche reelle Substitutionen bestimmt werden können. Dies leitet in beiden

Capitel 2.

Zahlentheorie.

157

Fällen auf die Betrachtung der Normen der eingeführten Zahlen und dadurch zu der Aufgabe:

alle complexen Zahlen resp. alle

Quaternionen zu finden, deren Norm eine gegebene Zahl ist; in engste Verbindung hierzu treten die Congruenzen I* + g = 0 (mod. pr),

+ i = o (mod. p r )

resp. g j + |J + S = O (mod. pr),

u] + co] + 1 =

0 (mod. pr),

durch deren Lösungen die ganzen Zahlen hier wie dort in gewisse Klassen geteilt werden. der

Darstellung jeder

Im ersten Falle gelangt man zu

Primzahl

der Form 4&+1

als Summe

zweier Quadrate, wofür ein Beweis geliefert wird; im zweiten Falle wird die Zahl der Lösungen gleich ( p + l ) p r ~ 1 gefunden, mit Ausnahme des Falles p'„(z) den Nenner des « ten Näherungsbruches bezeichnet, so besteht die Frage, welche hier behandelt ist, in der Bestimmung der Anzahl der Wurzeln der •Gleichung g>n(z) = 0, welche in den Intervallen (— oc, a), (a,b), (6, c), (c, d), (d, + oc) liegen. Wi.

Sur quelques applications des fractions continues algébriques. St. Pétersbourg.

C. POSSÉ.

Die Theorie der algebraischen Kettenbrüche und ihrer Anwendungen hat sich in den letzten Jahren durch wichtige Resultate bereichert, besonders Dank den Arbeiten der russischen Mathematiker Tschebyscheff, Markoff, Posse u. a. Die meisten dieser Resultate in einem Buche zusammenzufassen und der mathematischen Welt zugänglicher zu machen ist der Zweck der Arbeit des Herrn Posse. Die Arbeit ist in fünf Capitel geteilt. Das erste Capitel enthält die Beweise der Grundeigenschaften Fortschr. cl. Math. XVIII. 1.

H

162

III. AbschDitt.

Niedere und höhere

der Näherungsbrüche der Form ' J

in der Zerlegung des Integrals von in einen Kettenbruch.

^^ ^

a

Arithmetik.

Dann folgen einige

^

Formeln, welche den Zusammenhang zwischen den Nennern der Näheruogsbrüche dieses Integrals einerseits und der Integrale f "

( y ~ a ) f ( y ) d y

n

Q > - y ) K y ) d y

/ r

( y — a)(b — y ) f ( y )d y * - y

andererseits entwickeln, und einige Theoreme über die gegenseitige Verteilung der Wurzeln der betrachteten ganzen Functionen. Das zweite Capitel enthält die Anwendung der Eigenschaften, welche in dem Capitel 1 bewiesen sind, auf die Bildung des Polynoms der Interpolation nach der Methode der kleinsten Quadrate und auf die Bildung des Restgliedes der Reihe für a

diese Reihe ist b

/

«

rb f ( x ) £2, ( x ) cpm ( x ) dx -J j a J '

m=0

b

f ( * ) f l , (®) l ( x ) d x

a

Für alle Anwendungen ist es sehr wichtig, den Ausdruck des Restgliedes der Reihe zu kennen. Der Herr Verfasser reproducirt hier die Analyse, die er schon früher veröffentlicht hat (Darboux Bull. (2) VII. 214, vgl. F. d. M. XV. 1883. 237). Der Ausdruck für das Restglied ist f =

'

( p l ( x ) f ( ; x ) d x ¡ L dx

m n

J

wo £ und rj zwei Zahlen zwischen a und b sind. Auf diesem Ausdrucke des Restgliedes beruht der Beweis der Tschebyscheff'-

Capitel 3.

sehen Ungleichheiten: J

Kettenbrüche.

163

udx• J^ vdx , wenn i) Functionen u, v gleichzeitig zu- oder abnehmen zwischen Grenzen 0 und 1 der Veränderlichen, und uvdx>

J^

i)

uvdx < f

J*

die

i>

udx •j

den

vdx

im entgegengesetzten Falle. Das dritte Capitel handelt von den Eigenschaften der Functionen T„, welche den Legendre'schen

r

ähnlich sind,

d. h. der

Nenner der Näherungsbrüche der Zerlegung des Integrals -+1

a+yr-'n-yy-

Alle diese Eigenschaften: Functionen genügen, n fache Derivirte,

1

dy.

z-y

die

Differentialgleichung,

der diese

der Ausdruck der Function Tn durch die

die Ausdrücke der erzeugenden Function für

7'n, der Discriminante und einiger anderer symmetrischen Functionen der Gleichung Tn{&) = 0 und das Theorem von Stieltjes Uber das Maximum der Function i / o , — + a o «

••• (i+^rci -

•••(i-»-y,

sind aus der Definitionsgleichung der Functionen

I

+'(1

+

(1 — z)' 5 - 1 Tn.6n-y

dz =

Tn: 0,

wo 0n-1 eine willkürliche .ganze Function des Grades ^ n — 1 ist, entwickelt. Das vierte Capitel enthält die Anwendung der Theorie des ersten Capitels

auf die angenäherte Berechnung der Integrale.

Man hat nämlich

"a

Pf(x)£l(x)dx

=

i

n

^ilß(

¿=1 „(a) = 0 sind und R„ eine lineare Function

der

Coefficienten

o 2 „, ain+i, . . . in der Ent-

w i c k l u n g der Function £2 in die unendliche Reihe: Man kann

immer zwei Grenzen bestimmen,

R n enthalten ist.

zwischen welchen

Für diesen Zweck benutzt der Verfasser 11*

die

164

III. A b s c h n i t t .

N i e d e r e und höhere Arithmetik.

Hermite'sche Interpolationsformel (Borchardt J . LXXXIV., F. d. M. IX. 1877. 312). Man erhält dann für R n den Ausdruck

OO) {£) fb

wo £ zwischen den Grenzen a und b liegt. Dieser Ausdruck ist zuerst von Herrn Markoff in seiner Arbeit gegeben: „Ueber einige Anwendungen der algebraischen Kettenbrüche''. (F. d. M. 1885. XVII. 168.) Dieselbe Hermite'sche Formel giebt jetzt dem Verfasser auch andere ähnliche Ausdrücke für die angenäherte Berechnung der Integrale, in welche die Functionen W„, Un, Vn, d. h. die Nenner der Näherungsbrüche der Integrale

f" f(y)(y-aXb-y)dy f" Jf(y)(y-a) , f f(y) z—y 'J z—y z—y y

Ja

a

a

eintreten. Auf diese Ausdrücke stützt sich der Beweis der vier Ungleichheiten, welche von Herrn Markoff in dem oben citirten Werke bewiesen sind. Das fünfte Capitel ist der Lösung des Problems gewidmet, das Maximum

und

das Minimum des Integrals

j

£2(y)f(y)dy

a

nach den gegebenen Werten der Integrale

ff(y)dy,

J'"yf(y)dy, ...,

a

a

/"rf(y)dy a

zu finden, wo x eine gegebene Zahl zwischen den Grenzen a und b ist, f(y) keine negativen Werte annehmen kann. Das Problem ist bekanntlich von Tschebyscheff gestellt für den Fall £î(y) — 1 in seiner Abhandlung: „Sur les valeurs limites des intégrales" (Journ. de Math. 1874); die erste ausführliche Lösung des Problems in seiner Allgemeinheit ist von Herrn Markoff in dem oben citirten W e r k e gegeben; die Ausnutzung der Eigenschaften der Functionen {/„, K„, Wn- gestattet jedoch Herrn Posse, die Beweise in einfacherer Gestalt zu liefern; er giebt auch einige neue Sätie in Bezug auf die Verteilung der Wurzeln verschiedener Gleichungen, welche zur Lösung der betrachteten F r a g e unentbehrlich sind. Weiter zeigt der Verfasser, wie seine Formeln für die Auf-

Capitel 3.

findung

165

Kettenbrüche.

des Maximums und Minimums d e s I n t e g r a l s

J'XSi(z)f(z)dz a

in die Formeln ü b e r g e h e n , der A b h a n d l u n g :

welche von H e r r n Tschebyscheff in

„Sur l a r e p r é s e n t a t i o n des v a l e u r s limites d e s

i n t é g r a l e s " für d e n speciellen F a l l Sì — I g e g e b e n .sind. Am E n d e sind einige F r a g e n d e r M a x i m a u n d Minima

be-

a n t w o r t e t , welche sich a u f die f r ü h e r gelöste A u f g a b e veduciren, z. B. die F r a g e , d a s Maximum und Minimum der Function zwischen den G r e n z e n 0 und 1 m

finden

«o = Jlf(.y)dy, (I

J1y"f(y)dy u

u n d d e m A u f a n g s w e r t e d e r Function /"(0).

P . MANSION.

f(x)

nach d e n g e g e b e n e n

Principe

fondamental

fractions continues périodiques.

Wi.

de

la

théorie

MatbeBis. VI. 80-84. Mn.

dea

Vierter Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. LAPLACE. Oeuvres completes. Tome VII. probabilités. PariB. Gauthier-Villars.

Théorie des

v. K R I E S . Die Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine logische Untersuchung. Freiburg i. Br.

JOH.

Mohr. 298 S.

Der Autor verfolgt, wie er im Vorwort bemerkt, bei dieser Veröffentlichung einen doppelten Zweck; er will zunächst die Aufmerksamkeit der Philosophen auf die Fundamental - Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lenken; in zweiter Reihe will er eine Scheidung des Richtigen und Falschen, des Wertvollen und Bedeutungslosen, welches nach seiner Auffassung in allen bisher erschienenen systematischen Darstellungen der Wahrscheinlichkeitstheorie unter einander gemischt enthalten ist, wenigstens in grossen Zügen vornehmen. Aus diesen Bemerkungen wie aus dem dem Titel beigefügten Zusatz „eine logische Untersuchung" geht bereits hervor, dass der Verfasser sich weniger an den Mathematiker als an den Philosophen wendet. Noch klarer wird dies aus folgendem gewissermassen entschuldigenden

IV. Abschnitt. Wahrscheiulichkeitsreciinung u. Combinationalehre.

167

P a s s u s des Vorworts: „Die Natur des Gegenstandes brachte es mit sich, daas einige Teile der Untersuchung sich in Gedankengängen bewegen, welche nur dem mit mathematischen Vorstellungen einigermassen vertrauten Leser ganz geläufig sein werden. Von diesen Abschnitten können einige (Cap. V und VIII) einfach Ubergangen werden, ohne dass das Verständnis der Hauptsachen dadurch beeinträchtigt wird. Nicht so die Expositionen S. 38—74, deren Inhalt fllr alles Folgende einigermassen wesentlich ist. Da vielleicht dem einen oder andern Leser das Verständnis gerade dieses Abschnitts schwierig erscheint, so mag hier die Bemerkung Platz finden, dass man die wichtigsten Ergebnisse sich wird aneignen können, auch wenn man die in jenen Teilen enthaltene strenge Exposition übergeht, und sich mit einer, ich darf wohl sagen, populären Auffassung begnügt." Der Inhalt dieses interessanten Buches ist wesentlich kritischer Natur, und es ist daher sehr schwierig, denselben auszugsweise anzugeben, will man dem Autor gerecht werden. Derselbe geht davon a u s , dass die die Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffende Literatur in Bezug auf die principiellen F r a g e n nur sehr Unzulängliches bietet, „dass die Mathematiker zwar den rechnenden Teil der Theorie in ausgezeichneterWeise entwickelt", „daneben aber die Grundlagen der ganzen Lehre meist in einer Weise behandelt haben, welche an grossen Unklarheiten leidet, und die mannigfaltigsten Zweifel bestehen lässt". Wir glauben, dass der Verfasser bei dieser Behauptung zu weit geht, und dass er selbst ohne die von ihm erstrebte Klarheit erreicht zu haben, die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie in zu enge Grenzen einschliessen will. Zwar sind wir völlig mit ihm darin einverstanden, dass man mit der Aufstellung von numerischen Wahrscheinlichkeiten vielfach Missbrauch getrieben, und die Rechnung häufig auch da angewendet hat, wo die zulässigen Bedingungen für dieselbe nicht vorhanden waren, und wir können ihm nur d a n k b a r sein, dass er immer und immer wieder die Notwendigkeit betont, die Grundlagen für die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf das sorgfältigste zu prüfen. Indes von gewissen Voraussetzungen über die „Constanz der allgemeinen

168

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. (Jombinationslehre.

Bedingungen, die Unabhängigkeit und Chancen - Gleichheit der Einzelfälle" (p. 147) können wir uns auch auf dem Gebiet der Zufallspiele, für welches der Verfasser die Wahrscheinlichkeitsrechnung im vollen Umfang gelten lassen will, nicht freimachen, und diese Voraussetzungen sind nach unserer Auffassung auch auf dem Gebiete der Massenerscheinungen der menschlichen Gesellschaft zulässig, wenn man nur wirklich eine genügend grosse Anzahl von Einzelbeobachtungen hat, so dass die Verschiedenheit der Einzelfälle verschwindet. Bezieht sich doch die Wahrscheinlichkeitsrechnung allemal auf einen gewissermassen ideellen Zustand, dem wir uns mehr und mehr nähern können, ohne ihn j e ganz zu erreichen. Dagegen haben wir uns zu hüten vor der Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf solchen Gebieten, auf denen uns nur eine kleine Zahl von Erfahrungen zu Gebote steht, wie z. B. bei Zeugenaussagen oder bei therapeutischen Erfolgen. Wir haben das vorliegende Buch bereits als ein hoch interessantes bezeichnet; der Verfasser liebt es, neue Wege einzuschlagen, auch wenn er zu Resultaten gelangen will, die wir sonst gewohnt sind, auf „schulmässigem" Wege zu erreichen. Aber gerade die Anregung, welche durch seine Darstellung gegeben wird, fordert auch andererseits gewissermassen den Widerspruch heraus. Dennoch wollen wir denselben unterdrücken, weil wir fürchten, wir könnten sonst bei denen, die das Buch noch nicht kennen, ein ungünstiges Vorurteil hervorrufen, und weil wir doch wünschen, dass dasselbe auch in mathematischen Kreisen zahlreiche Leser finden möge. Wenn der Verfasser in seinem Bestreben, das Falsche auszuscheiden, nach unserer Ansicht hier und da zu weit geht, und als falsch bezeichnet, was diese Bezeichnung keineswegs verdient, so halten wir das für wenig bedenklich. Die Folge wird nur die sein, dass man festere Begründungen und strengere Beweise als bisher für die mit Unrecht angegriffenen Sätze aufstellen wird. Ls.

N.

Uebersetzung des Werkes „ Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeiten" von P. S . de Laplace. Leipzig. Duncker & Hamblot. 198 S. SCHWAIGER.

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Corobinationslehre.

Jß9

Wie wir aus dem Vorwort des Uebersetzers erfahren, ist diese Schrift von Laplace bisher nur ein einziges Mal, und zwar im Jahre 1819 durch Tönnies ins Deutsche übersetzt worden. Diese Uebersetzung ist aber längst vergriffen, und wir können es Herrn Schwaiger nur Dank wissen, dass er eine neue Uebersetzung unternommen hat, zumal dies in höchst gelungener Weise geschehen ist. Wir haben eine Reihe von Stellen, bei denen es uns auffiel, wie absolut modern dieselben klingen, wie scheinbar den Anschauungen unserer Zeit entsprungen und keineswegs als ob sie im Anfang dieses Jahrhunderts geschrieben worden, mit dem Original verglichen, und können bezeugen, dass sie wirklich eine vollkommen genaue und getreue Wiedergabe dessen sind, was Laplace geschrieben. Darin bekundet sich ja der grosse Meister, dass seine Worte nicht veralten. Ueber den Inhalt des Werkes brauchen wir natürlich nichts zu bemerken. Der Uebersetzung ist die letzte Auflage des Essai philosophique, welche Laplace selbst besorgt hat, zu Grunde gelegt; der Uebersetzer hat auch einen kurzen erläuternden Anhang hinzugefügt und durch Noten an den betreffenden Stellen angemerkt, wo in der Théorie analytique des probabilités, Aufl. von 1812, die mitgeteilten Lehren ausführlicher begründet werden. Ls.

A.

ROBERTSON.

A problem in combinations.

Edinb. M. S.

Proc. IV. 78-87.

Folgendes ist die behandelte Aufgabe: Es seien Sätze von Bällen verschiedener Farbe gegeben; auf wie viel Arten können diese reihenweise so angeordnet werden, dass nie zwei Bälle derselben Farbe zusammentreffen? Drei Sätze, m weisse, n schwarze, p rote, werden betrachtet; zuerst wird die Aufgabe für besondere Werte von m, n, p gelöst, danach wird die allgemeine Lösung ermittelt. Gbs. (Lp.)

170

J V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

E. G e l i n .

Sur les combinaisons avec répétition,

VI. 175-178.

M. F r o l o w . Paris.

iiathesis

Mn.

Les carrés magiques.

Nouvelle

étude.

Gauthier-Villars. VI u. 46 S. gr. 8°. VII. Tuf.

Der Verfasser, dessen Schrift „Le problème d'Euler et les carrés magiques" wir in den F. d. M. XVI. 1884. 140 angezeigt haben, giebt in dem vorliegenden Hefte einen Nachtrag zur eisten Arbeit. Die Herren Éd. Lucas und V. Coccoz haben ihm einige dort gemachte Versehen angezeigt; ferner haben ihm die Herren Delannoy, Feisthamel und A. H. Frost literarische Mitteilungen gemacht, zum Teil Ergebnisse eigener Untersuchungen übergeben. Das erste Capitel (S. 1 —13), welches die Artikel XI und XII des älteren Buches zu ersetzen bestimmt ist, behandelt in gründlicher Weise die Eigenschaften der magischen Quadrate der Wurzel 4, Capitel II (14—17) magische Quadrate höherer Wurzeln als 4, Capitel III (22—26) die geränderten magischen Quadrate. In drei Noten erläutert der Verfasser sodann die von Herrn Delannoy benutzte Methode zur Auffindung der Anzahl der Quadrate der Wurzel 4; die von demselben Herrn angegebene Methode zur Aufzeichnung des Ganges des Springers auf beliebigem Schachbrette, wenn man die Aufgabe ftir Schachbrette mit 5, 6, 7, 8 Feldern in der Seite lösen kann; endlich die von Herrn Lucas aus seinen Principien der Geometrie des Gewebes abgeleitete Theorie der diabolischen Quadrate. Die Tafeln I bis VI geben Typen der magischen Quadrate mit 4 Feldern in der Seite, Tafel VII diabolische Quadrate mit 5 Feldern und zwei Schemata nach Herrn Frost für das Springerproblem auf einem Schachbrett von 100 Feldern unter zwei Annahmen Uber das Gesetz eines Sprunges. In der Vorrede erklärt der Verfasser, dass er in diese Studie nur solche Methoden aufgenommen hat, die ihm neu zu sein schienen, dass er es dagegen vermieden hat, solche zu verwenden, die schon andere Autoren benutzt haben. Lp.

I V. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung n. Combioationslehre.

J. B. K Ü R T E N . und Kreise.

171

Theorie der magischen Zahlenquadrate Köln. Heinrich Theissing. 7 2 S . 8°.

Der Verfasser giebt Methoden an, nach denen jeder ohne mathematische Vorbildung magische Quadrate ausfüllen kann. Im ersten Teile wird das bekannte Verfahren für Quadrate mit ungerader Felderzahl in der Seite erläutert, im zweiten dasjenige flir Quadrate mit gerader Felderzahl. Der dritte Teil lehrt magische Quadrate auf Grund einer vorgeschriebenen Summe zu bilden, der vierte behandelt magische Kreise und Rösselsprünge nebst der Berechnung der Schwingungen aller musikalischen Töne nach dem Quintenzirkel, ein Thema, dessen Zusammenhang mit dem Gegenstand des Buches nicht klar ist und das auch ohne Verbindung mit der bekannten akustischen Theorie der Temperatur geblieben ist. Der Verfasser ist offenbar mit der einschlägigen Litteratur nicht vertraut, da er den Inhalt seines Werkes für neu oder doch seine Methoden für unbekannt hält. Lp.

FR.

HOFMANN.

Sur la marche du Cavalier.

Nouv. A\nn.

(3) V. 224-226.

Es wird nachgewiesen, dass auf einem Schachbrett von n' Feldern, wo n eine ungerade Zahl sein soll, ein geschlossener Rösselsprung nicht möglich ist; d. h. auf einem solchen Schachbrett kann der Springer nicht so geführt werden, dass er alle Felder berührt und zu dem Ausgangsfeld zurückkehrt. Ls.

Das Skatspiel im Lichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hamburg. J. P. Richter.

H . SCHUBERT.

Der Verfasser hat die Wahrscheinlichkeitsbrüche für die wichtigsten im Skatspiel vorkommenden Chancen berechnet und zusammengestellt, um dem Skatspieler für sein auf Erfahrung beruhendes Urteil ein objectives Kontrollmittel an die Hand zu geben. Eine kurze Erläuterung über die Ableitung der Wahr-

172

IV- Abschnitt. WahrscheinlicbbeitsrechouDg u. Combinatiouslehre.

scheinlichkeitsbrUche ist beigefügt. Die in Betracht gezogenen Wahrscheinlichkeiten beziehen sich hauptsächlich auf die Verteilung der Karten unter die einzelnen Spieler und den Skat. Ls. M . DU CHATENKT. E t ü d e s u r les p a r i s d e c o u r s e s . Nonv. Aun. (3) V. 327-348, 380-396, 408-424, auch sep. bei Gauthier-Villars.

Paris.

Es ist dies eine längere Abhandlung, welche sich damit beschäftigt, die Regeln für solche Combinationen' von Wetten bei den Pferderennen aufzustellen, bei denen der Wettende, mag der Ausfall des Rennens sein, welcher er wolle, einen Gewinn realisirt. Da die Wetten nicht nur dahin gerichtet sind, dass dies oder jenes Pferd einen Preis gewinnt, sondern auch auf das Gegenteil, dass es nicht gewinnt, so lassen sich zahlreiche derartige Combinationen aufstellen. Nach den Aeusserungen des Autors handelt es sich keineswegs um eine lediglich theoretische Untersuchung; vielmehr scheinen in Paris diese Wetten vielfach vorzukommen. Die einzelnen Pferde haben eine Klasse (cote) a, 6, c, . . . , m, welche angiebt, wie vielmal der Einsatz von dem Verlierenden der Wette, der ausserdem den Einsatz zurückgeben muss, bezahlt werden soll. Diese Klasse wird nach dem Urteil, welches sich der Wettende über die P f e r d e gebildet hat, festgestellt, und ist für verschiedene Personen verschieden. Nennen wir den Einsatz P, so ist die mathematische Hoffnung auf die Summe, welche beim Gewinnen der Wette bezogen wird, (m-(-l)P, und ist ¡.i die Wahrscheinlichkeit zu g e w i n n e n , so folgt "

Es sollte also a-f-1

x

=

¿+1

-

T

¿

c+1

R

.

sein. Dies ist aber in Wirklichkeit fast niemals der F a l l , und darauf gründet sich die Möglichkeit, die Wetten so einzurichten, dass sie unter allen Umständen einen Gewinn geben. Ls.

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinatiooslehre.

M. WEILL.

Question d e probabilité.

173

S. M. P. Ball.

xiy.

158-159.

E s handle sich um k verschiedene Ereignisse, alle mit derselben Wahrscheinlichkeit; es werden p Versuche gemacht, und man f r a g t nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes der betrachteten Ereignisse in der Versuchsreihe mindestens zweimal hintereinander auftreten werde. Bezeichnen die Buchstaben a, b, c, . . . die k Ereignisse und sei X(p) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis a mindestens zweimal auftrete. Da die Anzahl der möglichen Fälle k? ist, so wird ftPX(p) die Anzahl der günstigen Fälle. Diese Anzahl wird andererseits gefunden, wenn man die Anzahl der bei (p—1) Versuchen auftretenden günstigen Fälle mit k multiplicirt, also k^XQp— 1), und die Anzahl der ungünstigen F ä l l e bei den (p— 1) Versuchen, welche mit a enden, hinzufügt. Diese ist gleich der Anzahl der ungünstigen Fälle überhaupt minus der Anzahl d e r j e n i g e n , die nicht mit a endigen, also gleich ^-'(l—XCp-l))-Äf-2(Ä-l)(L—X(p-2)). E s ergiebt sich

Ls.

E.

CESARO.

La

rottura del

Diamante.

Batt. G.

xxiv.

124-127.

Es handelt sich um die folgende Aufgabe: Ein Juwelier erhält die Nachricht, dass einer seiner rohen Diamanten in drei Stücke gebrochen sei. Man macht ihm den Vorschlag, diese Stücke zu v e r k a u f e n , ohne dass sie vorher besehen werden. Der Preis ist auf der Grundlage zu bestimmen, dass der W e r t eines rohen Diamanten proportional ist dem Q u a d r a t seines Volumens. Wird der Preis des ursprünglichen rohen Diamanten als Einheit g e n o m m e n , und sind x, y, z die Verhältnisse der Volumina der drei Stücke zu dem ungebrochenen Stein, so wird der Preis der

174

I V - Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. CombinatioDslehre.

- drei Stücke w = x*-\-y*-^*1. Da die Summe der drei Verhältnisse x, y, z gleich der Einheit ist, so können alle möglichen Arten, wie der Bruch, erfolgte, durch einen Punkt P bezeichnet werden, der in einem gleichseitigen Dreieck mit der Höhe 1 belegen ist. Die Entfernungen zwischen P und den Seiten ergeben die Verhältnisse x, y, z. Bezeichnet R die Entfernung zwischen P und dem Schwerpunkt des Dreiecks £?, so ergiebt sich w = Alle unzähligeu Möglichkeiten des Bruches, bei denen der Wert w derselbe bleibt, werden dargestellt durch die Punkte des Umfanges eines Kreises mit dem Radius i $ ( i o — d e s s e n Scheitel in G liegt, und es findet sich nach einigen weiteren Betrachtungen als der mittlere Wert des Preises so dass der Käufer die Hälfte des ursprunglichen Wertes anlegen darf. Sodann wird die Frage aufgeworfen, ob der Käufer ein gutes Geschäft macht, und es wird gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, die Stücke haben einen geringeren Wert, =

0,60460

wird, dass es also wahrscheinlicher ist, dass der Juwelier gutes Geschäft gemacht habe, dass damit aber das Gesetz Billigkeit nicht verletzt werde; denn während der mögliche winn des Käufers: sich auf 100 Procent steigern kann, wird selbe für den Juwelier niemals 50 Procent übersteigen.

ein der Geder-

Der Verfasser entwickelt weiter die Formeln für dieselben Fragen, wenn der Stein in n Stücke gebrochen ist, und fügt ausserdem eine Entwickelung bei für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, ob ein willkürlich genommenes Dreieck ein stumpfwinkliges oder ein spitzwinkliges ist. Er findet die Wahrscheinlichkeit des letzteren gleich Ls.

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre. E.

CATALAN.

Problèmes et théorèmes de

175

probabilité.

Belg. Métn. XLVI. 16 S.

Anwendung folgender Regel: „Die Wahrscheinlichkeit eines künftigen Ereignisses ändert sich nicht, wenn die Ursachen, von denen es abhängt, unbekannte Wandelungen erleiden. . Mn. (Lp.)

E. CATALAN. Rapport sur un mémoire intitulé: Sur l'étude des é v é n e m e n t s arithmétiques, par M. É . Cesaro. Belg. Bull. (3) XI. 139-145.

Bericht über eine Arbeit aus der asymptotischen Arithmetik; den Inhalt bildet die Lösung der folgenden Aufgabe : „ Ist X — F(xj, x 2 , . . . , x,„) eine beliebige Grösse, welche mittels gegebener Operationen aus den Zahlen as,, x3, ..., xm erzeugt ist, so soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass die Zahl X eine Eigenschaft £2 besitze". Die Noten des Berichtes enthalten eine Skizze der Lösung. Mn. (Lp.)

E. CESARO.

Sur l'étude des é v é n e m e n t s

arithmétiques.

Belg. Mém. S. É. XLVII. 13 S.

Dies ist die im vorstehenden Referate besprochene Arbeit, über welche Herr Catalan der Akademie berichtet hatte. Mn. (Lp.)

F. GALTON.

Family likeness in stature.

Lond. R. S. Proc.

XL. 42-63. J . D . H . DICKSON.

Appendix to family-likeness in stature.

Lond. B. S. Proc. XL. 63-73.

Es wird bezweckt, durch drücken, welche zwischen den und denen ihrer Verwandten steht, um die Vorgänge klar zu Familieneigentümlichkeiten der

Formeln die Beziehung auszuGestalten besonderer Menschen in jedem gegebenen Grade bestellen, durch welche allmählich Gestalt verschwinden, bis in

176

IV- Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

jedem entfernteren Grade der Verwandtschaft die Gruppe der Verwandten nicht unterscheidbar wird von einer nach Belieben aus der allgemeinen Bevölkerung ausgewählten Gruppe. Die Arbeit enthält Tabellen und Diagramme, der Appendix einige mathematische Forschungen hinsichtlich der Häufigkeitsfläche, des miltleren Fehlers u. s. w. Cly. (Lp.)

F.

GALTON.

Family likeness in eye-colour.

Proc. XL. 402-416.

F.

Y.

EDGEWORTH.

Lond. R.

s.

Cly. Problems in probability.

Phil. Mag.

(5) X X I I . 371-384.

Die in diesem Artikel behandelten Aufgaben sind dem Bankgeschäfte entnommen; es wird die Annahme gemacht, da'ss das Exponentialgesetz der Häufigkeit für die zu beliebiger Zeit an den Banquier gestellten Forderungen gilt. Folgendes ist das Hauptproblem: „Gegeben eine Reihe von Bankrimessen (z. B. Noten in Händen des Publikums oder der Reserve); die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die nächste Rimesse oder die Rimessen in nächster Zeit nicht gewisse Grenzen übersteigen werden". Gbs. (Lp.)

W . J . C. MILLER.

Infinitesimal or z e r o ?

Ed.

Times, XLIV.

24-27.

„Ein willkürlicher Punkt wird auf einer gegebenen Linie angenommen; welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass derselbe mit einem vorher bezeichneten Punkt zusammenfalle?" Diese Frage war gelegentlich einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe in Ed. Times XLIII. 86 erhoben worden; Herr Dodgson behauptete, die Wahrscheinlichkeit sei eine unendlich kleine Grösse, oder „angenähert" gleich Null, Herr Simmons dagegen, die gesuchte Wahrscheinlichkeit sei „absolut" gleich Null. Der Herausgeber der Ed. Times stellte daher diese im Grunde alte Frage nach

t V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

dem W e s e n

des Unendlichkleinen zur Erörterung.

i 1 ^?

Die beiden

genannten Geometer und ausserdem die Herren Biddle, Mac Coli, Knowles teilen ihre Gedanken Uber die Aufgabe mit, mit vielem Witz und Humor,

zuweilen

ohne jedoch den Kern der F r a g e

nach dem Wesen der unendlich kleinen G r ö s s e , r i a b l e n " mit der Grenze Null,

als einer „Va-

scharf zu kennzeichnen.

Ueber

eine von Herrn C. Simmons gestellte, ähnliche F r a g e (8200), ob, wenn

zwei Geraden in einer E b e n e beliebig gezogen

die Wahrscheinlichkeit klein

sei,

werden,

ihres Parallelismus Null oder unendlich

macht Herr D. Biddle

in E d .

Times X L V . 5 3

übrigen sehr verständige Bemerkungen.

Lp.

W . J . C. MILLER, C. SIMMONS, Ü . BIDDLE. questions

„Drei

8166,

7713.

im

Solutions

of

Ed. Times. X L I V . 69-76.

oder mehrere Münzen werden willkürlich a u f einen

rechtwinkligen Tisch geworfen.

Die Wahrscheinlichkeit zu fin-

den, dass sie alle auf einer beliebigen, zu einer Tischkante parallel

gezogenen Geraden liegen."

„Wenn

ein F l o r i n ,

(Gestellt von C. Simmons.)

ein Schilling und

ein Sixpence

auf einen rechteckigen Tisch geworfen werden,

willkürlich

durch eine all-

gemeine Lösung die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die drei Münzen alle auf einer zu einer Tischkante parallel Geraden

liegen."

Herrn Biddle

(Gestellt

von

W.

J.

C.

Miller.)

gegebene Lösung dieser Aufgaben

offenbar nicht genügend die Schwierigkeiten,

gezogenen Die

von

berücksichtigt

welche dann ent-

stehen, wenn die gezogene Parallele von der betreffenden K a n t e um weniger als den Halbmesser der Münze entfernt ist. sich

an

diese Lösung

anknüpfenden Discussion

In der

zwischen

den

Herren Biddle und Simmons wird der Streit durch eine Gegenrechnung des Letzteren zuletzt zum Stillstand gebracht, was seine nicht

immer

klaren

und

wohl auch nicht durchweg

Einwände nicht vermocht hatten.

Fortschr. d. Math. XVIII. 1.

richtigen Lp.

12

178

I V - Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Oorabinationslehre.

W . J.

C.

MILLER, D. BIDDLE.

Solution of question 8 2 8 2 .

Ed. Times X L V . 113-114.

Folgendes ist die von Herrn Miller gestellte, von Herrn Biddle gelöste Aufabe: Eine Münze falle beliebig auf ein Gitter, das aus parallelen, in gleichem Abstände stehenden Drähten in einer horizontalen Ebene gebildet wird. Jenachdem der Abstand zwischen den Drähten gleich 1) dem Radius, 2) dem Durchmesser, 3) dem Umfange der Münze ist, werden die bezüglichen Wahrscheinlichkeiten für das Durchfallen der Münze mit Anschlag an das Gitter gegeben durch W, = -s-t + TV^) I). BIDDLE.

»> = !•«>

W, =

Solution of question 8 1 0 0 .

LpEd. Times, XLIV.

76-78.

„Drei Kreise mit den Durchmessern 1, 2, 3 weiden völlig durch einen vierten vom Durchmesser 4 umschlossen, liegen aber sonst willkürlich in ihm. Die bezüglichen Wahrscheinlichkeiten zu finden, dass ein im grösseren Kreise willkürlich angenommener Punkt in 0, 1, 2, 3 der kleineren Kreise liegt." Zu der von Herrn Biddle gestellten und gelösten Aufgabe macht Herr Simmons folgende Bemerkung: „Herrn Biddle's Lösung ist so bewundernswert, dass ich nur äusserst ungern mein Bedenken äussere, dass dieselbe in Wahrheit zu einer anderen Aufgabe gehört, die etwa so auszusprechen ist: Ein Punkt werde willkürlich auf der Peripherie von einem Kreise aus einer Reihe von 20 concentrischen angenommen, so dass seine Wahrscheinlichkeit, auf einer Peripherie zu liegen, der Länge derselben proportional gesetzt ist; die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass er im Innern von 1, 2, 3, . . . Kreisen liege. Die genaue Lösung von Aufgabe 8100 kann ohne Integration nicht bewerkstelligt werden, und die erforderliche Integration ist von einer so abscheulichen Art, dass sie fast hoffnungslos erscheint." Lp.

M . W . CKOFTON, G . HEPPEL. Ed. Times. X L I V . 80-81.

Solution of question 8 1 1 9 .

I V . Abschnitt. WahrscheiolichkeitsrechDUDg u. Combinationslehre.

179

Der von Herrn Crofton vorgelegte, von Herrn Heppel bewiesene Satz lautet: Wenn drei beliebige Punkte innerhalb eines Dreiecks angenommen werden, so ist die Wahrscheinlichkeit daf ü r , dass der Schwerpunkt des Dreiecks innerhalb desjenigen liegt, welches die drei Punkte zu Ecken hat, gleich ^ + log2. Lp.

W . J . C. MILLER,

T . C. SIMMONS.

8318 and 8444.

Solutions of questions

Bd. Times. XLV. 103-104.

Die von Herrn Miller gestellten, von Herrn Simmons gelösten Aufgaben lauten: 1) Vier Punkte P, Q, fi, S seien beliebig auf j e einer Seite eines Vierecks ABCD angenommen; die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass der Inhalt von PQRS kleiner als ein Bruchteil n des Inhaltes von ABCD ist. 2) Das Resultat auf den Fall eines Rechtecks anzuwenden und 3) zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass PQRS kleiner als drei Viertel von ABCD ist, den Wert hat: i + |log2 =

0, 991434. LP:

Weitere Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, gestellt von B . E A S T O N , B . H . R A U , W. J . C . M I L L E R , A. MACFARLANE, T. C. SlMMONS, J . WOLSTENHOLME, B . CHAKRAVARTI, D . B I D D L E , M . W . CROFTON, F . MORLEY,

N . SARKAR,

A . MARTIN,

W . J . C. SHARP,

von

denselben

und

HEPPEL,

S. AIYAR,

HERVEY,

J.

J . O'REGAN,

von

H . MCCOLL

G . G . STORR,

A . CAYLEY,

BEYENS,

STEGGALL,

S . MARKS,

A. GORDON,

A. M. NASH,

L. TANNER,

A.

MATZ,

m i t Lösungen F. R.

G. J.

MUKHOPADHYAY

Stehen i n Bd. Times. XLIV. 39-40, 42-43, 48-50, 56-57, 60-61, 63-64, 84-85, 97-99, 102-103, 109, 116-117. XLV. 26-27, 30-31, 32, 36, 48, 53, 64-65, 71-72, 84-85, 88, 111-113, 123, 147, 148-150, 158. Lp. 12*

180

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

W. V E L T M A N N . Ausgleichung der Beobachtungsfehler nach dem Princip symmetrisch berechneter Mittelgrössen. Marburg. Blwert'sche Verl.-Buchhndlg. 43. S. Nachdem der Verfasser in den beiden ersten Abschnitten, gewissermassen als Einleitung zu seiner eigentlichen Aufgabe, verschiedene Sätze über Mittelgrössen und über Determinanten entwickelt und begründet hat, kommt er in Abschnitt III zu einer Kritik der herkömmlichen Begründung der Ausgleichungsrechnung mit Hülfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Methode der kleinsten Quadrate. Er erblickt die Schwierigkeiten, welche sich einer befriedigenden Theorie des gebräuchlichen AusgleichungsVerfahrens entgegenstellen, in den ungeeigneten Ausgangspunkten. Von einer so unsichern Sache, wie den sogenannten Fehlergesetzen dürfe die Ausgleichung nicht abhängig sein. Dass die gesuchte Grösse, in dem einfachsten Fall der Ausgleichungsrechnung, gleich dem arithmetischen Mittel aus den Beobachtungen werden muss, sei unmittelbar einleuchtend, auch liessen sich sachgemässe Gründe dafür angeben. Wenn es sich nur um diesen Fall handelte, so würde man nicht daran gedacht haben, die Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden, ebenso wenig würde man es erforderlich halten, nachzuweisen, dass die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum ist. Ganz ähnlich verhalte es sich aber auch bei den andern complicirteren Fällen der Ausgleichungsrechnung; die ausgeglichenen Werte seien allemal Mittelgrössen, deren Zweckmässigkeit ebenso unmittelbar einleuchtend oder ebenso einfach zu begründen sei, wie in dem einfachsten Falle des arithmetischen Mittels. Minimum von Quadratsummen, Wahrscheinlichkeitsbeziehungen etc. seien hier ebenso überflüssig wie dort. Die Eigenschaft der ausgeglichenen Werte der Unbekannten, Mittelwerte zu sein zwischen denjenigen Werten, welche man durch beliebige Combination der Fehlergleichungen erhält, habe deshalb auch als das wahre Prineip der Ausgleichung, das Minimum der Summe der Fehlerquadrate dagegen nur als secundäre Folgerung zu gelten. Dass Mittelgrössen sich auch zur Bestimmung mittlerer

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslebre.

Jgl

(nicht sogenannter wahrscheinlicher) Fehler eignen, das liege schon in dem Begriff derselben. Abschnitt IV behandelt die Bestimmung einer Grösse aus unmittelbaren Beobachtungen, bei welchen man durch Messung die Werte gefunden habe. Wären die Messungen genau gewesen, so würde man stets denselben Wert gefunden haben, die Differenz jedes dieser Werte von jedem vorhergehenden wäre immer gleich 0. Eine Mittelgrösse aus den absoluten Werten dieser Differenzen / ( F I ü r + ( / . - < , ) 3 + - - - + ( / , - u a + ( < a - < m y + ••• r \m(m— 1) würde also ein passendes Mass der durchschnittlichen Ungenauigkeit sein, und der gesuchte ausgeglichene Wert der beobachteten Grösse stellt sich auf +

— +

L

m

was noch weiter von dem Verfasser begründet wird. Diese Betrachtung bildet den Ausgangspunkt für die Begründung der complicirteren Fälle: Abschnitt V. Bestimmung einer Grösse aus nicht unmittelbaren Beobachtungen, Abschnitt VI. Bestimmung mehrerer Grössen. Es wird stets vorausgesetzt, dass die in Frage kommenden Gleichungen die zu bestimmenden Grössen in linearer Form enthalten. Die Ausgleichung wird auch^ hier auf die Bestimmung von Mittelgrössen zurückgeführt, nur treten Quotienten, bez. Determinanten an die Stelle der Grössen / des einfachsten Falles. Von denselben will der Verfasser kaum mehr behaupten, als dass die absoluten Werte derselben weder sämtlich zu gross, noch sämtlich zu klein sein werden, dass also der beste Wert innerhalb des von denselben umfassten Intervalls liegen werde. Der Hauptgrund bei der Ausgleichung nach Mittelgrössen bleibt die Vermeidung der Nachteile einer willkürlichen Auswahl von Beobachtungen, jede derselben trägt mit dem vollen ihr zukommenden Gewicht zur Bildung der Mittelgrösse bei. Dieser Mittelwert behält auch dann seine Geltung, wenn einseitig wirkende Fehlerursachen vorkommen. Auch in diesem Fall wird die Genauigkeit der Resultate der mittleren

182

IV- Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung n. Combinationslehre.

Genauigkeit der besseren Beobachtungen entsprechen, und somit durch die Ausgleichung das erreicht werden, was ohne nähere Kenntnis jener einseitig wirkenden Fehlerursachen erreicht werden kann. Von den erhaltenen Werten der Unbekannten wird gezeigt, dass sie mit denjenigen, welche sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben, übereinstimmen. Der allgemeine mittlere Fehler der Beobachtungsleihe stimmt mit dem Gauss'schen vollständig tiberein, der mittlere Fehler einer Unbekannten ist von dem Gauss'schen durch einen von der Zahl der Beobachtungen abhängenden Factor verschieden. Die Entwicklung der theoretischen Begründung lässt sich hier nicht weiter verfolgen, da dieselbe mit complicirten Formeln geführt werden muss. Im VII. Abschnitt endlich, dem letzten, zeigt der Verfasser die Ausführung der Rechnung, für welche die bei der Begründung benutzten Determinanten-Ausdrücke nicht geeignet sind. Die Rechnung schliesst sich eng an diejenige für die Methode der kleinsten Quadrate an, und ein davon abweichendes Verfahren, welches ebenfalls hier erläutert wird, würde auch bei der Methode der kleinsten Quadrate sehr zweckmässig zur Anwendung gebracht werden können. Ls.

Die wissenschaftliche Fehler-Ausgleichung in der Markscheidekunst nebst entsprechend ausgewählten Abschnitten aus der höhern Analysis.

B. HOMANN.

Freiberg.

Craz & Gerlach (Job. Stettner).

Die kleine Schrift (55 S.) ist ein Separatabdruck aus der Vereinsschrift des Rheinisch-Westfälischen Markscheidervereins, und ist, wie der Verfasser in der Vorbemerkung angiebt, auf Wunsch des genannten Vereins im Jahre 1884 geschrieben, dann aber im zweiten Teil „Ausgleichung" durch eine Anzahl von Rechnungsaufgaben vervollständigt worden. Der erste Teil enthält in kurzem Abriss: die Differentialwie die Integralrechnung, sowie die Auflösung der höheren alge-

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung a. Combinationslehre.

]g3

braischen Gleichungen, nebst einer grösseren Anzahl von Aufgaben, und es verdient anerkannt zu werden, dass es dem Verfasser gelungen ist, eine grosse Menge von Stoff in durchaus übersichtlicher und verständlicher Weise auf wenige Seiten zusammenzustellen, ohne durch diese Zusammendrängung zu ermüden. Selbstverständlich konnte auf Einzelheiten, auf strengere Beweisführung und Begründung nicht eingegangen werden. Die Schrift setzt nach unserer Meinung voraus, dass die betreffenden Disciplinen von dem Leser bereits früher mehr oder weniger eingehend studirt worden sind, und dass hier nur in aller Kürze recapitulirt werden soll, worauf es bei der praktischen Ausübung der Markscheidekunst ankommt. In dem zweiten Teil „Die Methode der kleinsten Quadrate" hätten wir freilich eine etwas eingehendere Begründung am Platze gefunden. Der Verfasser scheint anzunehmen, dass dieselbe denjenigen, für welche er die Schrift bestimmt hat, vollkommen geläufig ist. In dieser Annahme scheint uns indes ein Widerspruch zu liegen mit den vielen ganz elementaren Erläuterungen, welche gegeben werden. Ls.

S.

NEWCOMB. A generalized theory of the combination of observations, so as to obtain the best result. Newcomb Am. J . VIII. 343-366.

In den einleitenden Bemerkungen zu dieser Abhandlung weist der Verfasser darauf hin, dass man, ausgehend von dem bekannten Fehlergesetz, bei einer Reihe von Beobachtungea.erwarten dürfe, dass der wahrscheinliche Fehler nur bei einem Hundertstel der Zahl der Beobachtungen überschritten werde, während die Erfahrung lehre, dass es viel häufiger der Fall sei, auch dass es überhaupt zu den seltenen Ausnahmen gehöre, wenn die Verteilung der einzelnen Fehler ihrer Grösse nach jenem Fehlergesetz entspräche, und endlich, dass man fast jedesmal einige abnorm grosse Fehler finde, deren Behandlung stets grosse Schwierigkeiten bereite. Gewöhnlich empfehle man solche Beobachtungen als abnorm ganz auszuscheiden, aber es fehle

Ig4

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

an einem positiven Kriterium, an welchem man erkennen könne, ob eine Beobachtung als abnorm zu betrachten sei. Bei den Beobachtungen von Mercur- und Venus-Durchgängen durch die Sonnenscheibe seien die grossen Fehler verhältnismässig so zahlreich, dass sich eine Trennung zwischen abnorm und normal vollständig unausführbar erweise. Die übliche Betrachtungsweise gründe sich darauf, dass alle in Frage stehenden Beobachtungen in gleicher Weise als den Fehlern ausgesetzt angesehen würden, lediglich in den zufälligen Umständen, die die Fehler erzeugen, als verschieden; wenn das aber nicht der Fall sei, wenn wir ein System von Beobachtungen vor uns hätten, von denen ein Teil mit einem kleinen, ein Teil mit einem grössern, ein dritter Teil mit einem noch grössern wahrscheinlichen Fehler behaftet ist, dann würden sich die Fehler des ganzen Systems keineswegs nach dem Fehlergesetz ordnen lassen. Und ein solches Verhalten finde bei fast allen astronomischen und physikalischen Arbeiten statt. Daraus folge dann, dass aus einer Mischung von solchen Beobachtungen das arithmetische Mittel keineswegs den wahrscheinlichsten Wert liefere, vielmehr dass den vom Mittel weiter abweichenden Beobachtungen ein geringeres Gewicht beigelegt werden müsste. Es wird sodann gezeigt, dass durch die abnormen Beobachtungen die Gestalt der Wahrscheinlichkeits-Curve wesentlich geändert wird, und dass dieselbe sehr verschiedene Formen annehmen kann, so dass es verschiedene wahrscheinlichste Werte giebt. Da entsteht dann die Frage, ob auch in diesem Fall ein allgemeines Princip aufgestellt werden kann, mit dessen Hülfe sich ein bestimmter Wert berechnen lässt, der allen andern vorzuziehen wäre, und welche Hypothese gemacht werden muss, um uns bei der Wahl von Fehlern verschiedener Grösse zu leiten. Im praktischen Leben nehmen wir an, dass der Nachteil, welchen ein Fehler mit sich führt, sich zunehmend steigert, wenn der Fehler wächst, und daraus entwickelt der Verfasser, dass es am besten sei, anzunehmen, dass der Nachteil eines Fehlers proportional sei dem Quadrat der Grösse des Fehlers. Der Wert einer Beobachtung wird dahin definirt, dass er

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung a. Combinationslehre.

185

umgekehrt proportional ist der Totalsumme der Fehler-Nachteile, die dabei in Frage kommen, jeder Nachteil multiplicirt mit der Wahrscheinlichkeit des Fehlers, was auch mit der gewöhnlichen Fehlertheorie im Einklang steht. Derjenige Wert einer Beobachtung, für welchen diese Summe ein Maximum wird, verdient also den Vorzug, er tritt an die Stelle des wahrscheinlichsten Wertes und die Grösse des damit verbundenen Nachteils an die Stelle des wahrscheinlichsten Fehlers der gewöhnlichen Theorie. Der weitaus grösste Teil der Abhandlung beschäftigt sich nun mit der Aufstellung der Formeln, welche den vorhin erörterten Principien entsprechen, so wie mit der Umformung derselben, um sie für praktische Aufgaben verwendbar zu machen. An Beispielen wird die Entwickelung erläutert. Ls.

M. dans

CH.

SCHOLS.

Théorie des erreurs dans le plan et

l'espace.

Delft. Ann. de l'École Polyt. II. 123-178.

Uebersetzung einer früheren Abhandlung des Verfassers. (Siehe F. d. M. VII. 1875. 114.) G.

F . Y . EDGEWORTH.

nation of chance.

On the law of error and the elimiPhil. Mag. (5) XXI. 303-324.

Der Gegenstand dieser Abhandlung ist der besondere Fall in der Anwendung des Fehlergesetzes auf die Elimination des Zufalles (chance), wenn die Abweichung vom Mittelwerte sehr gross ist, „so gross, um den Zweifel zu erregen, ob das Fehlergesetz, um welches sich die ganze Theorie dreht, richtig erfüllt ist". Es wird der Nachweis versucht, dass die gewöhnliche Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Abweichung in einer angegebenen Richtung bloss vom Zufalle herrührt, nämlich X

/

]

X3

—=— e~T'dx, „im allgemeinen hinlänglich genau M^c ist, oder wenigstens darin zuverlässig, dass sie eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit des blossen Zufalls liefert, ein Beweisgrund a fortiori für das Gesetz; dass jedoch in einer gewissen a

186

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre

Klasse von Fällen eine Correction erforderlich und in einer gewissen Art innerhalb jener Klasse erreichbar ist". Gbs. (Lp.)

F. Y.

EDGKWORTH.

of errors.

On the determination of the modulus

Phil. Mag. (5) XXI. 500-507.

Da bei der Anwendung des Fehlergesetzes häufig die Bestimmung einer gewissen Constante verlangt wird, so wird zu ihrer schnellen Auswertung ein Verfahren angegeben. Die Constante kann als das „mittlere Fehlerquadrat" unter der Voraussetzung beschrieben werden, dass der Schwerpunkt der Punkt des Nullfehlers ist; kurz der Trägheitsradius flir die Leichtigkeitscurve (facility curve), unter welche eine gegebene Beobachtung sich einordnet. Gbs. (Lp.)

P.

PIZZETTI. Un teorema relativo all' errore medio di una funzione di quantitk determinate dall' esperienza. Rom. Acc. L. ReDd. (4) II. 597-602.

Wenn in der Function F = L . + L.aj + L.y + ••• + L,t die Werte x, y, •••, t aus directen Beobachtungen abgeleitet sind, so lässt sich der mittlere Fehler von F immer berechnen; sind aber x, y, t aus einem System indirecter Beobachtungen mit Hülfe der Methode der kleinsten Quadrate berechnet worden, und hat man die denselben zu Grunde liegenden Beobachtungen nicht a u f b e w a h r t , so ist man im allgemeinen nicht im Stande, den mittleren Fehler von F zu bestimmen. Dies wird von dem Verfasser nachgewiesen, und es wird gezeigt, dass sich in diesem Falle Grenzwerte für den mittleren Fehler angeben lassen. Ls.

W.

KÜTTNER. Zur mathematischen Statistik. Antwort auf die Angriffe des Herrn Dr. Zimmermann. Schlömilch Z. X X X I . 246.

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

187

Im Jahrgang XXV der Schlömilch'schen Z. p. 11-25 (F. d. M. XII. 1880. 166) hat Herr Küttner folgenden Satz veröffentlicht. „Wenn n Ereignisse, die von n von einander unabhängigen Ursachen bedingt werden, sich sämtlich oder teilweise ausschliessen, d. h. wenn das vorherige Eintreffen des einen oder des andern das Eintreffen mehrerer oder aller übrigen unmöglich macht, so kann bei einem unendlich kleinen Zeitintervall doch dieses Abhängigkeitsverhältnis nicht in Frage kommen, weil, wenn die Aufeinanderfolge zweier oder mehrerer Ereignisse von dem Zusammentreffen durch unsere Sinne unterschieden werden soll, immer ein endliches, wenn auch noch so kleines Zeitintervall zwischen denselben liegen muss. Für ein unendlich kleines Zeitintervall werden daher derartige abhängige Ereignisse unabhängig von einander, und die Sätze der unabhängigen Wahrscheinlichkeiten sind auf sie anwendbar." Herr Küttner hatte diesen Satz auf die Verhältnisse der Sterblichkeit und der Dienstuntauglichkeit der Activen angewendet, Herr Zimmermann jedoch erklärt denselben in seinem Werke: „Ueber Dienstunfähigkeits- und Sterbensverhältnisse" nicht nur in seiner Anwendung auf den vorliegenden Fall, sondern im allgemeinen für unrichtig, und deutet an, dass der Beweis nach der Grenzmethode geführt werden müsste, um zugelassen zu werden. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Beweis von Herrn Küttner geliefert. Ls.

F.

RONCHETTI.

. Saggio di aritmetica dei titoli di credito.

Batt. G. X X I V . 242-269.

Es werden Formeln entwickelt und Aufgaben gelöst für die Berechnung von Anleihepapieren, bei denen eine regelmässige Amortisation stattfindet. Ls.

C. KIHM. Die G-ewinnsysteme mit steigenden Dividenden bei der Lebensversicherung. Zürich. Oreli Füssli & Co. 91 s.

188

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

Besprechung dieser Veröffentlichung. sicherangen. ZILLMEK.

Besprechung dieser Veröffentlichung.

für Versicherungswesen. C.

Randschau

der

Ver-

X X X V I . 125-131.

Jahrgang 1886 No. 18.

Zeitschrift

II. Beilage. 224-225.

KIHM. Die Gewinnsysteme mit steigenden Dividenden bei der Lebensversicherung I und II. Zeitschrift für Versicherungswesen.

No. 34.

399-404 und No. 35. 409-411.

Eine Reihe von Lebensversicherungs-Gesellschaften hat die Bestimmung getroffen, dass die Dividenden, welche sie aus ihren Gewinnen an die Versicherten zurückzahlen, in ihrer Höhe abhängig sind von dem Alter der Versicherungen, so dass bei im übrigen gleichen Verhältnissen diejenigen Versicherten, deren Versicherung bereits seit längerer Zeit besteht, eine höhere Dividende beziehen, sei es nun, dass dieselbe der Anzahl der Versicherungsjahre (den überhaupt gezahlten Prämien), sei es, dass sie dem sogenannten Deckungskapital (der Prämien - Reserve) proportional gesetzt wird. Herr Kihm vermisst bei diesen Gesellschaften eine genaue Berechnung über die Höhe der Piocentsätze, und eine Reserveberechnung, welche darüber Aufschluss geben soll, ob der gewählte Procentsatz richtig ist. Er will in der vorliegenden Abhandlung zeigen, wie nach seiner Ansicht die Höhe der Dividenden ermittelt und die Berechnung der Reserve vorgenommen werden soll. Die erforderlichen Formeln werden abgeleitet und auf Grund der damit gewonnenen Resultate wird beispielsweise das Verfahren verschiedener Gesellschaften einer kritischen Besprechung unterzogen. In der Rundschau der Versicherungen wird die Arbeit des Herrn Kihm sehr abfällig beurteilt, und gezeigt, dass derselbe zu unrichtigen Resultaten kommen musste, weil er von irrigen Voraussetzungen ausgegangen ist. In ähnlicher Weise spricht sich auch Herr Zillmer in der Zeitschrift für Versicherungswesen aus. Er bemerkt, dass gegen die Formelentwickelung nichts einzuwenden sei, wenn man die Voraussetzungen zugiebt, er sucht indes nachzuweisen,

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung 11. Combinationslehre.

Ig9

dass die von Herrn Kihm gemachten Voraussetzungen nicht zutreffen. Herr Kihm nimmt sodann den Gegenstand in No. 34 und 35 der Zeitschrift für Versicherungswesen nochmals wieder auf, und führt aus, wie sich die Formeln ändern werden, wenn man andere Voraussetzungen macht, und welche Ergebnisse sich in diesem Falle herausstellen. Ls.

H . ZIMMERMANN.

verhältnisse.

Ueber Dienstunfähigkeits- und SterbensBerlin. Puttkaromer & Mühlbrecht. 109 S.

Diese verdienstvolle Veröffentlichung ist erfolgt, wie wir aus der dem Titel beigefügten Bemerkung ersehen, im Auftrage des Vereins Deutscher Eisenbahn - Verwaltungen, sie bildet gewissermassen die Fortsetzung der unter dem Titel: Statistik der Mortalitäts-, Invaliditäts- und Morbilitäts - Verhältnisse bei dem Beamten-Personal der deutschen Eisenbahn-Verwaltungen während der Jahre 1868-1873 mit Nachträgen für die Jahre 1874-1883 veröffentlichten Arbeiten des Herrn G. Behm. Herr Zimmermann hat sich der mühevollen Arbeit unterzogen, das gesamte Material der Dienstunfähigkeits- und Sterbens-Statistik Deutscher Eisenbahn-Verwaltungen, welches seit dem Jahre 1868 gesammelt worden ist, bis einschliesslich zum Jahre 1884 zur Aufstellung von Tafeln zu verwerten, und dadurch einen wesentlichen Beitrag geliefert für die Erforschung der Invaliditätsverhältnisse. Die vorliegende Schrift enthält nicht nur die Beobachtungszahlen selbst und die daraus abgeleiteten Tafeln, sie giebt auch bis im einzelnen davon Rechenschaft, wie dies geschehen, von welchen Grundsätzen der Verfasser ausgegangen, und welches Verfahren er dabei eingeschlagen, so dass ein jeder, welcher die Tafeln benutzen will, dies nicht kritiklos zu thun braucht, sondern sich selbst andere Zahlen aus dem Material ableiten kann, wenn er es für gut befindet. Gleich im Beginne seiner Arbeit erörtert Herr Zimmermann seine Auffassung über den Begriff der Sterbenswahrschein-

190

IVV Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung n. Combinationslehre.

lichkeit eines Diensttauglichen sowie über die Verbindung zwischen Sterbens- und Dienstunfähigkeitswahrscheinlichkeiten. haben sich auf diesem Gebiet abweichende Ansichten

Es

gebildet,

die daraus entstanden sind, dass das Eintreten des Todes bezw. der Dienstunfähigkeit,

wenn auch in gewissem Sinne von ein-

ander unabhängig, doch in ihrer Aufeinanderfolge der Beschränkung unterliegen, dass eine Person wohl erst dienstunfähig werden und dann sterben kann, einen Seite wird behauptet,

aber dass

nicht umgekehrt. man trotz

Von der

dieses Verhaltens

den Begriff einer, sagen wir „unabhängigen" Wahrscheinlichkeit, dienstunfähig zu werden, einführen dürfe, welche vorhanden sein würde,

wenn

die Activen

der Sterblichkeit

nicht

unterworfen

wären, und ebenso eine, sagen wir „unabhängige" Wahrscheinlichkeit des Sterbens der Activen, wenn dieselben nicht dienstunfähig, verhältnis

und in Folge dessen unter ein anderes Sterblichkeitstreten

würden.

Herr

Zimmermann

verwirft

die

Einführung dieses Begriffes als überflüssig und den thatsächlichen Verhältnissen nicht entsprechend, bestreitet auch die Richtigkeit der zur Begründung auch diejenige, geliefert hat.

derselben

gegebenen Beweise,

und u. a.

welche Herr Küttner in verschiedenen Arbeiten Da der Referent früher,

1876,

in diesem schon

alten Streit selbst Partei ergriffen hat, so würde es nicht passend sein, an dieser Stelle irgend ein Urteil auszusprechen und dadurch die Grenzen einer vollständig objectiven Berichterstattung irgendwie zu überschreiten. In dem Abschnitt: „Die Methode der Bearbeitung" wird das eingeschlagene Ausgleichungsverfahren eingehend erörtert,

und

bei dieser Gelegenheit werden auch Gesichtspunkte von allgemeinerer Bedeutung beleuchtet. einem Vergleich

zwischen

Wenn der Verfasser indes aus

der Ausgleichung

der

Sterbenstafel

H M (Healthy Males) der 20 englischen Gesellschaften durch

Woolhouse gegeben,

andererseits

einerseits

durch Wittstein

nach

der Methode der kleinsten Quadrate auf Grund einer von ihm aufgestellten Sterblichkeitsfunction

sich

zu Gunsten

der Wool-

house'schen Methode entscheidet, so können wir dieser Schlussfolgerung nicht zustimmen.

Das Resultat der Ausgleichung spricht

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung n. Combinationslehre.

191

vielleicht gegen die von Wittstein gewählte Function, aber keineswegs gegen die Anwendbarkeit der Methode der kleinsten Quadrate. Den Zahlentabellen ist auch eine Curventafel angefügt. Ls.

ROZMARYNOWICZ.

Die mathematischen Grundlagen der

Lebensversicherungsrechnung mit A n w e n d u n g auf die P e n s i o n s - K a s s e n , herausgegeben von B. Danielewicz. Warschau. (Polnisch).

Dn.

Fünfter Abschnitt. R e i h e n .

Capitel 1. Allgemeines. R.

GEIGENMÜLLER. Elemente der höheren Mathematik z u g l e i c h als S a m m l u n g v o n Beispielen u n d A u f g a b e n aus der algebraischen Analysis, analytischen Geometrie, Differential- u n d I n t e g r a l r e c h n u n g . F ü r t e c h n i s c h e L e h r a n s t a l t e n u n d z u m S e l b s t s t u d i u m . I. A l g e b r a i s c h e A n a l y s i s e n t h a l t e n d . Mittweida. Polyt. Buchhandl. (R. Schulze). 61 S. 8».

Für „Schüler, von welchen anfangs nur die Kenntnis der Hauptsätze der niederen Mathematik, sowie einige Geläufigkeit im algebraischen Rechnen und im Lösen von geometrischen Constructionsaufgaben vorausgesetzt werden darf", entwickelt der Verfasser in möglichst einfacher Weise im vorliegenden Hefte den binomischen Lehrsatz fttr beliebige Exponenten, die Lehre von den Gleichungen (kubische Gleichungen, Newton's Näherungsmethode fttr numerische Gleichungen), den Begriff der Function und des Grenzwertes einer Function, die Theorie der unendlichen Reihen mit Einschluss der Reihe fttr e, die Zerlegung rational gebrochener Functionen in Partialbrttche. Lp.

Capitel 1.

193

Allgemeines.

Sur le principe de substitution des infini-

P . MANSION.

ment petitS.

Brüx. S. sc. X. A. 47.

In einer Grenze einer arithmetischen Summe oder eines Verhältnisses unendlich kleiner Grössen kann man ein unendlich kleines a durch ein anderes ß ersetzen, dessen Grenzverhältnis v = ß:a die Einheit ist, „selbst wenn man alle Veränderlichen, von denen dieses Verhältnis abhängt, auf eine unabhängige Weise gleichzeitig oder nicht gleichzeitig sich ändern lässt". Mancher Schriftsteller hat die hier hervorgehobene Bedingung ausser Augen gelassen. Mn. (Lp.)

P.

MANSIÓN.

limites.

Principes généraux

de la théorie

des

Mathesis. VI. 205-272.

Mn.

M . D'OCAGNE.

Sur un problème de limite.

Mathesis. V I .

76-79.

Mn. .

L.

KÖNIGSBERGER.

Reihen.

Ueber eine Eigenschaft unendlicher

Klein Ann. X X V I I . 397-402.

Der Satz: „Wenn die unbeschränkt convergente Reihe: fÁx)+')pi(ig»')P-KigO]

=

< 1; im ersten Falle besteht die arithD

v—x>

f

Wr+l

j

aus den beiden Stellen (0, 00),

My

im zweiten dagegen a u s den Stellen (d, 00). Dadurch wird bewiesen, dass der auf dem Cauchy'schen Convergenzkriterium beruhende Beweis einer F u n d a m e n t a l e i g e n s c h a f t der Potenzreihen im allgemeinen falsch ist. — Schliesslich geht der Verfasser zum Begriffe des „Grenzwertsystems" über, dem man bei einem stetigen Grenzübergänge begegnet. Als Beispiele w e r d e n namentlich zwei Fälle a n g e f ü h r t : Die T a n g e n t e n m e n g e einer stetigen

Oapitel 1.

Allgemeine.«.

1Ô5

richtuDgslosen Curve und das Dichtigkeits-System eines Körpers in einem bestimmten Punkte.

A. G u t z m e r .

Std.

Sur une série considérée

par M.

Lerch.

Teixeira J. VIII. 33-36.

Es wird die Reihe untersucht: 2£uy = ¿ä"-^0^ . 0è(iog»')[i+(iog»o:i) V V in

der (logr)

den ganzen Teil des gewöhnlichen Briggs'schen

Logarithmus von v bedeutet und in welcher die Grössen ô und g positiv sind und zwar S < 1, g > 1, aber derart dass SYg < 1. Herr Lerch hat bewiesen, dass f ü r Werte von v von der Form I C — 1 der Quotient Uy+i'.tty beliebig gross wird, trotzdem die Reihe convergent ist. S. 194.)

(Siehe F . d. M. XVII. 1885. 207 und oben

Herr Gutzmer zeigt, dass man die vorliegende Reihe 2 u r

in eine andere 2v M transformiren k a n n , Pu+i :

immer < 1 ist.

in welcher der Quotient

Es ergiebt sich 1

JSur V

= 2»t, fi

= ^ " " - " . f f W ) . fA

JJO.llli" ° • 1 0 Tx. (Heb.)

V. M o l l a m k . Sopra una serie speciale per la rappresentazione d'una quantità reale variabile nell' intervallo (0 ... oc). Atti dell' Accademia Gioenia di Scienze Naturali di Catania. (3) XIX. 1886.

Bezeichnet

man

mit ink- d a s allgemeine Glied einer Reihe

von ganzen positiven Zahlen m n TO8, . . . , die den Bedingungen m, > 1,

mk+1 ¡=1 mk

genügen (wo aber das Gleichheitszeichen nicht durchgängig vorkommen d a r f ) ,

und ist x

eine veränderliche Grösse,

welche

sämtliche Werte eines positiven Intervalles 0 . . . a (die Grenzwerte ausgeschlossen)-annehmen k a n n ,

so lässt sich für j e d e n

Wert von x eine und nur eine Reihe m* derart angeben, dass 13*

V. Abschnitt.

196 » = ist.

Die Reihe

Reihen.

c ( — + —i—+

+ •••)

ist endlich oder unendlich, jenachdem

~

ra-

tional oder irrational ist. Sind n Reihen mk vorhanden, nämlich a ^ , a2,*, . . . , oM)i, so convergirt die Reihe 1

'

Œl,l

+ Ol,l l+e

u gegeben.

/'**> 1 nn p—'">

/'l—£

Setzt man a = n -f rh so wird

-

i r +1+i r ' ! ^ — .

l-A

wo h, k endliche Grössen bedeuten und die Integrale von 0 bis 1— h und von 1 -\-k bis oo unterdrückt werden durften. Setzt man jetzt ve~v — 1—v = t, so ist (1— t)e' = e - * 2 ; für hinreichend kleine Werte von x k a n n daher t (und e~i"') nach Potenzen von x entwickelt werden. Dadurch nimmt das erste Integral die Form:

¿Vi a n , worin L nur von h abhängt, An A2, ... Functionen von jj sind. Durch die F o r d e r u n g , dass die Eeihe 1 -\-Aix-srA1x,-\ zwischen den Grenzen des Integrals convergent sei, ergiebt sich für h eine numerische Constante. Addirt man hierzu das in ähnlicher Weise umgeformte zweite Integral, so w i r d : 2e-aJ'Le-n^\Ai-\Aix%-\-Aix*-\-:-)dx,

Rn = o und durch Integration:

Rn

= W - T - ^ - i + C K - i ^ + A i + dhr)-^

Der Wert von jj, für welchen R n = 0 wird, nach Potenzen von n entwickelt werden:

und da a = n - f

ist, so erhält m a n : 8

,

Iß

kann

daher

Capitol 1.

Allgemeines.

199

Beschränkt man sich bei der Berechnung auf a—i— 3

——, so 405a'

ist der für n begangene Fehler eine Grösse von der Ordnung derjenige für li(ea) von der Ordnung In analoger Weise weiden die Functionen: "sinaw . r * u cos au , « 1 ./ J 1 » 0 ea_l behandelt. Dagegen führen log T(o) und die beiden Integrale J(a), K(a) der Differentialgleichung: d'z , 1 dz da1 + a da +Z ~ nämlich: 1 /"+ 1 cosaw , rrf \ 2 r coso« , J aN ( )= — = —« ^/ w - T — , d•u l|/1 7 - — w ff(a) n 1/«"—1 zu Reihen erster Art. Der Herr Verfasser zeigt nun, wie man \ogF(ai), J(at), K(ai) definiren kann, und gelangt dadurch zu Reihen zweiter Art, die er eingehend behandelt. Wz.

CAHEN.

Note sur Ia theorie des series.

Nouv. Ann. (3)

v.

535-538.

In einer Reihe, deren Glieder positiv sind, gehe

u

n

bei

unendlich wachsendem n durch kleinere Werte in den Grenzwert 1 über.

Man setze i i i ü = —^— und suche die Grenze

Un l+a„ von nctn. J e nachdem diese Grenze > 1, resp. < 1 ist, convergirt, resp. divergirt die Reihe. Dieses von Duhamel aufgestellte Kriterium vervollständigt der Herr Verfasser: Setzt man nan = l + / ? n , so divergirt die Reihe, wenn die Grenze von tißn von + 0 0 verschieden ist. Wz. ED.

WEYR.

Deux

remarques

relatives

aux

séries.

Teixeira J. VIII. 97-100.

Zuerst zeigt der Verfasser, dass man in einer convergenten

V. Abschnitt.

200 Reihe

mit

positiven Gliedern

Reihen.

von

einem

beliebigen Gliede an

die G l i e d e r i m m e r so z u s a m m e n f a s s e n k a n n , zweier auf einander

dass der

Quotient

folgender Glieder der neuen Reihe kleiner

ist a l s e i n e b e l i e b i g e p o s i t i v e Z a h l , d i e k l e i n e r a l s 1 ist. D i e z w e i t e B e m e r k u n g bezieht sich a u f R e i h e n m i t c o m p l e x e n Gliedern.

Herr W e y r

zeigt,

dass

man

in j e d e r

R e i h e die G l i e d e r so in G r u p p e n v e r e i n i g e n k a n n , g e b i l d e t e n e u e R e i h e a b s o l u t c o n v e r g e n t ist.

T . J . STIELTJES. les

puissances

Ist

f(x)

=

les

Sur d'une

oo £a„x" ii

séries

qui

variable,

f(x)

=

d a s s d i e so

T x . (Hell.)

procèdent

suivant

c . R. c m . 1243-1246.

convergent

f'( 1) n i c h t n o t w e n d i g , w i e d a s

convergenten

für

so

existirt

Beispiel:

(i_x)sin(logy-i^-)

zeigt. Ob

aus

endlichen

der Voraussetzung,

Wert

l i n i / ' ( a ; ) a . = i = f'(\) ÛC

£sn 1

hat,

allein

ist,

bleibt

c o n v e r g i r t , w o sk =

GC

2>an k

d a s s f ( 1) e x i s t i r t gefolgert

werden

und

einen

darf,

dass

z w e i f e l h a f t (ist b e r e c h t i g t ,

wenn

g e s e t z t ist).

Wz.

les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. Acta Math. IX. 182-184.

P . TCHËBYCHEFF.

Sur

F ü r die b e i d e n b e g r e n z t e n 2

.*=0

Reihensummen

1 Akxk,

k—n i=l

sollen Grenzen g e f u n d e n werden, liegen.

U e b e r d i e L ö s u n g ist

S t e h e n F(z)

u n d © ( a ) in d e r ©(/)

= j 0

2Bkk-*

zwischen denen sie j e d e n f a l l s

hier

nur

folgendes

Beziehung e~"F(z)dz,

angegeben.

Capitel 1.

wo F(z)

Allgemeines.

201

beständig positiv, so ist

0

Erfüllen nun ^ . u n d a für ein beliebiges u die Bedingungen ^ u\

— log „ . , .

- u,

so hat man eine obere und eine untere Grenze für fUF(z)dz. ii U m dies auf j e n e beiden Reihensummen anzuwenden,

hat man

bezw. zu setzen: ®(0

= 2 Ake~kt] *=ii

u = 7i— 1,

©(-, k~ 1

F . DU B O I S - R E Y M O N D .

variabelu

Reihen

und

'

Ueber

u = log n. H.

den

Convergenzgrad

den S t e t i g k e i t s g r a d

tionen zweier A r g u m e n t e .

der

der

Func-

Kronecker J . C. 331-358.

Siehe Abschnitt VII, Capitel 1.

L.

W.

THOME.

Ueber

Potenzreihe auf dem 167-178. Eine Potenzreihe F(x)

Convergenz

und Divergenz

Convergenzkreise. 00 ' = £aLxl u

Kroneeber J .

der o.

sei über den Convergenz-

kreis hinaus in einem endlichen Gebiete, welches singulare Punkte, die in endlicher Anzahl vorkommen sollen,

nicht enthält,

als

einwertige und stetige analytische Function fortsetzbar, bei einem

202

V. Abschnitt.

Reihen.

singulären Punkte dagegen sei F(x)

gleich

c

, ü, + c3 y2 H h wo die c Constanten, die y Ausdrücke von der Form: (1)

(x-ayicp^

+ p^x)

\og(x-a)

+ •••+ y,(x) ( l o g ^ - a ) ) * - ' } ,

(A^l)

co

bezeichnen, in denen die q>(x) Potenzreihen j£cxxl bedeuten und i) die Exponenten von x—a sich nicht um ganze Zahlen unterscheiden; dann beweist der Herr Verfasser im Anschluss an frühere Abhandlungen folgende Sätze: Wenn in den Entwickelungen (1) der niedrigste reelle Teil der Exponenten von x—a grösser als — 1 ist, so convergirt die Potenzreihe in allen nichtsingulären Punkten des Convergenzkreises und in denjenigen singulären, in welchen nach Abzug des constanten Gliedes der Entwickelung der reelle Teil der Exponenten von x—a grösser als Null ist, gegen den Wert der erzeugenden Function. Die Function F(x) habe in einem Punkte a des Convergenzkreises eine Entwickelung von der Form (1) und in dieser sei der niedrigste reelle Teil der Exponenten von x—a gleich oder kleiner als —2, während über das Verhalten von F(x) bei Annäherung an andere Punkte des Convergenzkreises nichts vorausgesetzt zu werden braucht, alsdann divergirt die Reihe in allen Punkten des Convergenzkreises. Wz.

S.

PINCHERLE.

prof. A p p e l l .

Alcune

osservazioni

sui

polinomi

del

Rom. Acc. L. Rend. (4) II2. 214-217.

Als das ( « + l ) t e Appell'sche Polynom wird der Ausdruck g)«^"'2

An(x) = aax»-\bezeichnet.

(X Ist A(z) = T — e i n e 30

+ -

+ «.

Potenzreihe, welche für

| s | > R convergirt, so ist für alle Werte von x, y die den Bedingungen: M

l « / l > ß +