Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 1 Jahrgang 1868 [Reprint 2020 ed.] 9783112357347, 9783112357330

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik i m V e r e i n mit a n d e r e n

Mathematikern

herausgegeben

von

Dr. Carl Ohrtmann und Dr. Felix Müller.

Erster Band.

J a h r g a n g 1868.

Berlin. Druck und Verlag von G e o r g 1871.

Reimer.

V o r r e d e .

Wir übergeben hiermit dem gelehrten Publikum das erste Heft unseres Jahrbuchs. Nicht weil wir uns für die Fähigsten zur Herausgabe desselben hielten, sondern weil wir selbst häufig den Mangel eines solchen empfunden, haben wir die Bearbeitung unternommen. Das Ziel, das uns vorschwebte, war einerseits: Demjenigen, der nicht in der Lage ist, alle auf dem umfangreichen Gebiete der Mathematik vorkommenden Erscheinungen selbstständig zu verfolgen, ein Mittel zu geben, sich wenigstens einen allgemeinen Ueberblick über das Fortschreiten der Wissenschaft zu verschaffen; andrerseits: dem gelehrten Forscher seine Arbeit bei Auffindung des bereits Bekannten zu erleichtern. Als Muster bei Erreichung dieses doppelten Zieles dienten uns die von der hiesigen physikalischen Gesellschaft herausgegebenen Fortschritte der Physik. Einzelne Abweichungen waren durch das Wesen der beiden Wissenschaften geboten. Dass wir unser Ziel in diesem Bande noch keineswegs erreicht, dass im Gegentheile noch manche AenFortsclir. d. Maih I. *

II

"Vorrede.

derung und Besserung für die Zukunft nothwendig sein dürfte, dessen sind wir uns wohl bewusst, hoffen indess mit Zuversicht, dass es uns mit der Zeit gelingen wird, die vielen Schwierigkeiten, die sich unserer Arbeit von Anfang an entgegenstellten, zu überwinden. Ein grosser Uebelstand, das verkennen wir nicht, ist das diesmalige späte Erscheinen. Trotzdem jedoch die Arbeit bereits zu Anfang des vorigen Jahres begonnen wurde, war es nicht möglich, das Erscheinen früher zu bewerkstelligen. Neben der langen Zeit, welche die Herbeischaffung des Materials in Anspruch nahm, führte auch der Krieg Zögerungen herbei, da einzelne der Herren Referenten zu den Fahnen einberufen wurden. Wir geben daher diesen Jahrgang nicht, wie ursprünglich beabsichtigt war, als vollen Band, sondern heftweise heraus,- der Art, dass das zweite Heft die Geometrie, das dritte die angewandte Mathematik enthalten wird. Diesem Uebelstande des späten Erscheinens hoffen wir für die Zukunft erfolgreich abzuhelfen. Zunächst werden wir die Jahrgänge 1869 und 1870 in einen Band zusammenfassen. Es scheint dies wegen der geringeren Zahl der Arbeiten im Jahre 1870 nicht ungerechtfertigt zu sein. Die Vorarbeiten zu diesem zweiten Bande sind auch bereits soweit gediehen, dass unmittelbar nach Vollendung des vorliegenden mit dem Druck des zweiten begonnen werden kann. Um das Erscheinen jedoch in d e r wünschenswerthen Weise ausführen zu können, dass bereits in der Mitte jedes Jahres der vorhergehende Jahrggang abgeschlossen werden kann, ist eine Aenderung in der dies Mal befolgten Art der Zusammenstellung erforderlich. Die Hefte werden daher in Zukunft nicht den Gegenständen , sondern der Zeit nach begrenzt werden; dem

Vorrede.

Iii

Uebelstande der dadurch bedingten geringeren Uebersichtlichkeit gedenken wir durch sorgfältige systematisch geordnete Register entgegenzutreten. Auf absolute Vollständigkeit können wir dies Mal noch keinen Anspruch erheben. Trotz aller Bemühungen ist es uns nicht gelungen, a l l e Journale, Abhandlungen, Berichte und selbstständigen Werke mathematischen Inhalts in das Bereich unserer Arbeit zu ziehen. Doch glauben wir, wenigstens nichts Wesentliches tibersehen zu haben. Wo es doch geschehen sein sollte, erbitten wir uns gefällige Notizen. Wir werden dieselben nach Möglichkeit zur Vervollständigung benutzen. Unsere Arbeit ist eben eine solche, die nur durch allgemeine Theilnahme, gewissermassen nur dadurch, dass Jeder an seinem Theile hilft, dem vorgesteckten Ziele zugeführt werden kann. Um diesem Mangel, wenigstens so viel an uns liegt, abzuhelfen, haben wir uijs mit Gelehrten des Auslandes in Verbindung gesetzt, welche die uns unzugängliche Litteratur ihres Landes zu bearbeiten sich gütigst bereit erklärt haben. Dadurch, wie durch eine grössere Zahl von Mitarbeitern, hoffen wir, wird sich auch das alleinige Anführen von Titeln an Stelle von Referaten vermeiden lassen. Dies Mal war es in Folge der oben besprochenen Schwierigkeit noch nicht zu umgehen. Was die Einordnung der Referate — die Verantwortlichkeit für den Inhalt tragen die Herren Referenten — in die einzelnen Abschnitte und Capitel betrifft, so dürfte auch diese trotz gewissenhaftester Berathung mit den Herren Bearbeitern noch mancher Verbesserung bedürfen. Wir bitten in dieser Beziehung um gütige Rathschläge. Eine Arbeit von Jacobi (S. 65) ist durch

IV

Vorrede.

Versehen leider an eine unrichtige Stelle gerathen, Sie stände wohl richtiger Capitel 2 Abschnitt III. Indem wir hiermit das erste Heft den geehrten Herren Mathematikern übergeben, können wir nur die Bitte um milde Beurtheilung und gütige allseitige Unterstützung unsers wahrlich nicht leichten Unternehmens mit, Rath und That hinzufügen. Je allgemeiner uns diese Unterstützung zu Theil wird, desto mehr dürfen wir hoffen, zur Förderung der Mathematik und gründlicher mathematischer Studien auch durch unsere Arbeit beizutragen. Wir können nicht schliessen, ohne der bereitwilligen Güte zu gedenken, mit welcher uns die Herren Borchardt, Kronecker und Weierstrass durch ihren Rath unterstützt haben. Sie haben uns dadurch zu dem herzlichsten Danke verpflichtet. Berlin, im Februar 1871.

Erklärung der Citate. Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu der der Band gehört. Im Allgemeinen ist nach der Bandzahl citirt; nur da, wo die Zeitschrift sich selbst nach Jahrgängen bezeichnet, ist diese Zahl benutzt. Bei selbststäudigen Werken ist das J a h r des Erscheinens nicht angeführt, da nur die im bearbeiteten J a h r e erschienenen Werke berücksichtigt sind. Ann. de l'Éc. Norm,.: Annales scientifiques de l'école normale supérieure publiées sous les auspices du minister de l'instruction publique par Mr. L e Pasteur avec un comité de rédaction compose de Mrs. les maitres de conférences. Paris. Ann. d. Mine» : Annales des Mines. Ann. d. Un. Tose.: Annali delle Università Toscana. Pisa. Arch. Néerl.: Archives Néerlandaises des sciences exaetes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences ä Haarlem. L a Haye. Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A. P . Peters. Altona. Astr. Viertjahr: Yierteljahrschrift d. Astron. Ges. herausg. von C. Bruhns. Leipzig. Atti di Torino : Atti della Beale Accademia delle Scienze di Torino. Torino. Basel. Verh.: Verhandlungen der naturforschenden Gesellschaft in Basel. Basel. Battagl. G.: Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicata per cura del Professore G. Battaglini. Napoli. Beri. Aih. : Mathematisch - physikalische Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. Beri. Monatsber. : Monatsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. Borchardt J. : Journal für die reine und angewandte Mathematik. Als Fortsetzung des von A. L. Creile gegründeten Journals herausgegeben unter Mitwirkung der Herren Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von C. W. Borchardt. Berlin. Brioschi Ann.: Annali di Matematica pura ed applicata diretti da F . Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Borna dal prof. Tortolini. Milano.

vr

E r k l ä r u n g der Citate.

Brünn. Yerh. : Verhandlungen des naturforschenden V e r e i n s zu Brünn. Brünn. Bull, de Bely. : Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. Bull, de Moscou: Bulletin de la Société Impériale des N a t u r a l i s t e s de Moscou. Moscou. Bull, de St. Pét.: Bulletin de l'Académie Impériale de St. P é t e r s b o u r g . P é t e r s b o u r g et L e i p z i g . Ball. d. I. S. Vaud.: Bulletin des séances de la Société V a u d o i s e des sciences naturelles. L a u s a n n e . Boncompagni Bull.: Bulletino di Bibliografia e di Storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni. E o m a . Carl Repert.: Repertorium für E x p é r i m e n t a l - P h y s i k herausgegeben von Dr. P h . Carl. München. C. B.: Comptes rendus h e b d o m a d a i r e s des s é a n c e s de l'Académie des sciences. P a r i s . Educ. Times.: Mathematical R e p r i n t of the Educational Times. L o n d o n . Forh. af Christ. : F o r h a n d l i n g a r i V i d e n s k a b s Selskabet i Christiania Christiania. Leipzig. Gôtt. Abh. : Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n zu Göttingen. Göttingen. G'ött. Nachr.: Nachrichten von der K g l . Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n und der G. A. Universität zu Göttingen. Göttingen. Gott. Anz.: Göttingische gelehrte A n z e i g e n . U n t e r der A u f s i c h t der K g l . Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n . Göttingen. Grunert Arch.: Archiv für M a t h e m a t i k und P h y s i k mit besonderer Rücksicht auf die B e d ü r f n i s s e der L e h r e r an höhern Unterrichtsanstalten. H e r a u s g e g e b e n von J o h a n n A u g u s t Grunert. Greifswald. Handl. Stockh.: Kongl. S v e n s k a V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s Handlingar. Stockholm. Jaarb. v. Amst.: J a a r b o c k van de koninkligke A k a d e m i e van W e t e n s c h a p p e n . Amsterdam. Inst.: L ' I n s t i t u t , J o u r n a l universel des sciences e t des sociétés savants en F r a n c e et à l'étranger. P r e m i e r section. Sciences mathématiques, physiques et naturelles. P a r i s . J. de l'Éc. Pol.: J o u r n a l de l'école impériale polytechnique publié p a r le conseil d'instruction de cet établissement. P a r i s . Leipz. Abh.: A b h a n d l u n g e n der Kgl- sächsischen Gesellschaft der W i s s e n schaften. Leipzig. Leipz. Ber.: Berichte ü b e r die Verhandlungen der K g l . sächsischen Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n zu L e i p z i g , Mathematisch-physikalische Classe. Leipzig. Liouville J.: J o u r n a l de mathématiques pures et appliquées ou recueil mensuel des mémoires sur les diverses parties de m a t h é m a t i q u e s , p a r J . Liouville. P a r i s . Mém. cour, de Belg, en 4° où 8°: Mémoires couronnés et mémoires des savans étrangers publiés p a r l'Académie Royale des sciences de Belgique. Bruxelles.

Erklärung der Citate.

VII

Mem. di Bologna: Memorie dell'Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna. Bologna. Mem. d. 1st. Lomb.: Memorie del R. Istituto Lombardo di scienze, lettere ed arti. Milano. Mem. of Manch.: Memoirs of the litterary and philosophical society of Manchester. Manchester. Mém. de Paris: Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. Paris. Mém. prés, de Paris: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de l'Institut impérial de Prance. Sc. math, et phys. Paris. Mém. de St. Pét.: Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg. St. Pétersbourg. Mem. di Torino: Memorie dell'Accademia delle scienze di Torino. Torino. Mem. di Vinez. : Memorie del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Venezia. Messenger: The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger, a j o u r n a i supported by junior mathematical students of three universities, edited by Whitworth, Casey, Challis, Mc. Dowell, Taylor and Turnbull. London and Cambridge. Mondes: Les Mondes, revue hebdomadaire des sciences et de leur application aux arts et â l'industrie par M. l'Abbé Moigno. P a r i s . Münch. Abh.: Abhandlungen der Kgl. bayrischen Akademie der Wissenschaften. Zweite Classe. München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. bayrischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. N. Act. Ups.: Nova Acta Regiae societatis scientiarum Upsaliensis. Upsala. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de Mathématiques. Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, rédigé par MM. Gerono et Bourget. Paris. N. Mém, de Belg.: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. N. Scliw. Denicschr.: Neue Denkschriften der allgemeinen Schweizerischen Gesellschaft für die gesammten Naturwissenschaften. Bern. Nyt Mag.: Nyt Magazin for Naturvidenskaberne, ved Sars og Kjerulf. Christiania. Ofv. of Forh. Stoclch.: Öfversigt of Kongl. V e t e n s k a p s - A k a d e m i e n s Forhandlingar. Stockholm. Overs, v. Kopenh.: Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Vorhandlingar. Af J . J . S. Steenstrup. Kopenhagen und Leipzig. Phil. Mag.: T h e L o n d o n , Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and Journal of science, by Brewster, Kane, Francis. London. Pogg. Ann.: Annalen der Physik und Chemie, herausgegeben zu Berlin von Poggendorff. Leipzig. Prag. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. P r a g . Prag. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. P r a g . Proc. ef Edinb.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh.

Vili

Frklärung der Citate.

Proc. of London: Proceedings of the Royal Society of London. London. Troc, of Manch.: Proceedings of the litterary and philosophical Society of Manchester. Manchester. Quart. J.: The Quarterly Journal of pure and applied mathematics. Edited by Sylvester and Ferrers. London. Rend, di Bologna: Rendiconti delle sessioni dell'accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna. Bologna. Rend. d. 1st. Lomb.: Reale Istituto Lombardo di scienze el lettere. Rendiconti. Classe di scienze mathematiche e naturali. Milano. Rend, di Nap oli: Rendiconti dell'accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli. Napoli. Rep. Brit. Ass.: Report of the meeting of the british Association for the advancement of science. London. Schi'ómilch Z. : Zeitschrift für Mathematik und Physik, herausgegeben unter der verantwortlichen Redaction von Schlömilch, Kahl und Cantor. Leipzig. Skrift. v. Kopenli.: Det Kongl. Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter. Kopenhagen. Trans, of Dublin: The Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. Trans, of Edinb.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. Trans, of London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. Tychsen Tidsshr.: Tidsskrift for Mathematik. Udgivet af C. Tychsen. Kopenhagen, Leipzig. Verh. v. Amst.: Yerhandlingen der Kongl. Akademie de Wetenschappen. Amsterdam. Versi, en Mededeel.: Yerslagen en Mededeelingen d. Kongl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Amsterdam. Wien. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch - naturwissenschaftlichen Klasse der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Zweite Abtheilung: Enthält die Abhandlungen aus dem Gebiete der Mathematik, Physik, Chemie, Physiologie, Meteorologie, physischen Geographie und Astronomie. Wien. Wien. Denkschr.: Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Wien. Wolf J.: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich von R. Wolf. Zürich. Z. dtsch. Ing.: Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure von Ziebarth.

Inhaltsverzeichniss. (Die mit einem f

versehenen Arbeiten sind ohne Referate.)

Erster Abschnitt. Capitel

Geschichte und Philosophie. 1.

Geschichte. Seile

J. M. W i l s o n . Euclide come testo di geometria elementare Wilkinson. Un some points in the restoration of Euclid's porism. . fMarianini. Settanta cinque porismi tratti quasi tutti dell' opera del Chasles intitolata „ L e s trois livres de porismes d'Euclide". . . . G. S p e z i . Nicomachi Geraseni Pythagorei introductiones arithmeticae libri I I G. F r i e d l e i n . De notis numerorum Romanis G. F r i e d l e i n . Beiträge zur Geschichte der Mathematik L. A m . S é d i l l o t . De l'astronomie et des mathématiques chez les Chinois L. Am. S é d i l l o t . De l'école de Bagdad et des travaux scientifiques des Arabes f L . A m. S é d i 1 l o t. De la détermination de la troisième inégalité lunaire ou variation par Aboul - W é f â et T y c h o Brahé E. M a i l l y . L'Espagne scientifique M. C u r t z e. Ueber die Handschrift E. 4"— 2. „Problematum Euclidis explicatio" fCurtze. Der Algorithmus proportionum d. Nicol. Oresme A. Marre. Manière de compter des anciens avec les doigts des mains, d'après un petit poëme inédit arabe E. B i t t e r . Introduction à l'art analytique par François Viète. . . . E. R i t t e r . Première série de notes sur la logistique spécieuse. . . . V . v . O i j e n . Notice sur Ludolphe van Colen G. N e u m ü l l e r . Elemente der praktischen Arithmetik d. Nicolaus Medier. + Ch. F r i s c h . Joannis Kepleri Astronomi opera omnia R. P e i n l i c h . Zwei Beiträge zur Biographie M. Johann Kepler's. . . E. R e i t l i n g e r . Johannes Kepler V. v. O i j e n . Eine historische Bemerkung B ar t h o 1 o m a e i . Erhard W e i g e l J. B e r t r a n d , F. T h o m a n . Sur la méthode de Huyghens pour calculer les logarithmes P. T a r d y . Intorno ad una formule del Leibniz Fr. S c h m i d t . Aus dem Leben zweier ungarischer Mathematiker Johann und W o l f g a n g Bolyai von Bolya

j 1 2 2 2 3 4 5 5 5 5 8 8 9 9 9 10 11 11 11 12 12 13 13 14

X

Inhaltsverzeichnis;;.

•(•Fr. S c h m i d t . ,,La science absolue de l'espace, indépendante de la vérité ou de la fausseté de l'axiome XI d'Euclide" par J . Bolyai. A. F o r t i . Nota intorno alla vita ed agli scritti di Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi f Notice sur J. A Timmermans f Notice sur Mathias Schaar •¡•Catalogue des travaux de Mr. Noël Germinal Poudra C. A. V a l s o n . La vie et les travaux du baron Cauchy C. J . M a t t h e s . Rehuel Lobatto + A. F o r t i . Intorno alla vita e alle opere di Luigi Lagrange. . . . -j-E. F a l l e x . Léon Lagrange D. P i a n i . Intorno al centro di gravità + P. B a s s a g et. Révolution dans l'astronomie en une leçon • ( • A l l é g r e t . Mélanges scientifiques et littéraires. . . . . . . . . . C a p i t e l 2.

14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15

Philosophie.

J . J . B a u m a n n . Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik in der neueren Philosophie nach ihrem ganzen Einfluss dargestellt und beurtheilt -j-L. A. N u y t z . De l'esprit métaphysique en géométrie f A . T. B l e d s o e . The philosophy of mathematics F. C. F r e s e n i u s . Die psychologischen Grundlagen der Raumwissenschaft. • ( D u h a m e l . Des méthodes dans les sciences de raisonnement. . . . P i e p e r . Einige Bemerkungen zum Unterricht in der Elementargeometrie. A. T a b u l s k i . Ueber den Einfluss der Mathematik auf die geschichtliche Entwickelung der Philosophie bis auf Kant L. v. P f e i l . Zur Theorie der geraden Linie B. R i e m a n n . Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen H e l m h o l t z . Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. A l l é g r e t. La liberté du calcul et nos géomètres de l'Institut. . . .

Zweiter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Seite

16 17 17 17 19 19 19 22 22 22 24

Algebra.

Gleichungen.

•j-J. A. S e r r e t . Handbuch der höheren Algebra •(•G. S a l m o n . Leçons d'algèbre supérieure A- C a y l e y . Note on the solvibility of equations by means of radicals. T h . P. K i r k m an. On the general solution of algebraic equations. . T h . P. K i r k m a n . On the resolution of algebraic equations T h. P. K i r k m a n . Note on: ,,An essay on the resolution of algebraic equations" by the late Judge Hargreave T h . P. K i r k m a n . On the solution of algebraic equations Th. P. K i r k m a n . Note on the correction of an algebraic solution. . R. B a l t z e r . Ueber die Auflösungen eines Systems von Gleichungen. E. P e l l e t . Solution d'une question (850) L i l l . Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires C. F. E. B j ö r l i n g . Sur la réalité des racines d'équations algébriques. A. T r a n s on. De la séparation des racines A. T r a n s on. Démonstration de deux théorèmes d'algèbre f A . G r i v e a u . Méthode théorique pour déterminer les conditions de réalité des racines d'une équation de la forme xn + P œ » - l + . . . + / S i = 0 .

25 25 25 26 26 26 26 26 26 29 29 29 30 31 31

Inhaltsverzeichniss.

XI Seite

F . D. T h o m s o n , C. W. M e r r i f i e l d , J . L. K i t s c h i n , Solution of a question (1920) R. R o b e r t s Solution of a question (2323) J . P r a n g h o f e r . Beiträge zu einer Abel'schen Gleichung und zu einem Satze von Parseval C. J o r d a n . Sur la résolution algébrique des équations primitives de degré ps (p étant premier impair) H. L a u r e n t . Sur la résolution des équations à plusieurs inconnues. . H. S c h r a m m . Les invariants et les covariants, en qualité de critères pour les racines d'une équation f P . A. G. C o l o m b i e r . Mémoire sur les symptômes d'imaginarité des racines des équations algébriques f j . H o r n e r . On certain criteria of imaginary and equal roots. . . . f j . H o r n e r . New version of Prof. Sylvester's theorem F. B r i o s c h i . La soluzione generale delle equazioni del quinto grado. M, R o b e r t s . Sur l'expression la plus simple de certaines fonctions des différences des racines d'une équation du cinquième degré. . . . | M . R o b e r t s . Note sur les équations du cinquième degré A. C a y l e y . On the conditions l'or the existence of three equal roots, or of two pairs of equal roots of a binary quartic or quintic. . . F. Un f e r d i n g e r . Ueber einen Casus irreducibilis in reellen Grössen. A Z i n n a . Sulla separazione delle radici delle equazioni numeriche. . f A . v. d. S c h u l en b u r g . Die Gleichungen der drei ersten Grade. . J. S i e v e r s . Entwickelung der Umformung der Gleichung fünften Grades in die dreigliedrige Form mittelst Tschirnhausen'scher Substitutionen. T. N. T h i e l e . Om den kubiske Lignings Loesning f S y l o w . Om Systemer af conjugerede Substitutioner der kunne tilhoere irréductible Ligninger, hvis Grad er Primtal f B r i o s c h i. Sopra le equazioni generali dell' 8° grado che hanno lo stesse groppo delle equazioni 'dell moltiplicatore corrispondente alla trasformazione dei 7" ordine delle funzioni ellittiche C a y l e y . A „Smith's P r i z e " Paper R. T u c k e r . Solution of a question (2469) S. R o b e r t s . Solution of a question (2479) R. T u c k e r . Solution of a question (2549) f V é r i o t . Problème de la trisection de l'arc. Propriétés de l'équation x 3 — 3 x - f - & = 0 . Nouvelle méthode de résolution de l'équation du troisième degré au moyen de tables de logarithmes J. J. W a l k e r . Solution of a question (2571) J . J . W a l k e r . Solution of a question (2568) F. L u c a s . Question algébrique F. Un f e r d i n g e r . Auflösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten. f S t r e h l k e . Verschiedene Bemerkungen J. J. W a l k e r . Solution of a question (25481 f E . B a r d e y . Algebraische Gleichungen + N. T r u d i . Intorno alle equazione binomie E. R o u c h é . Mémoire sur la série de Lagrange C a p i t e l 2. Symmetrische Functionen. F. M e r t e n s . Zur Theorie der symmetrischen Functionen B. V a n t i n . Due problemi sulle funzioni simmetriche delle radice delle equazioni algebriche C a p i t e l 3. Elimination und Substitution. C. J o r d a n . Sur la résolution algébrique des équations primitives de degré p 2 Fortsein-, cl. Malli. I. **

31 31 32 32 32 32 33 33 33 33 33 34 34 35 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39

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xri

Irihaltsverzeichniss. Seite

A. C a y l e y . Théorème relatif Si la théorie des substitutions •{•C. J o r d a n . Sur deux nouvelles séries de groupes A. C a y l e y . Addition to memoir on the résultant of a system of two équations B r i o s c h i . Il discriminante delle forme binarie del sesto grado. . . C. J o r d a n . The'orèmes généraux sur les substitutions O. H e s s e. Ein Determinantensatz . C. S a r d i . Un teorema sui determinanti M. D i e t r i c h . Ueber den Zusammenhang gewisser Determinanten mit Bruclifunetionen • ( • N e u m a n n . Eine mathematische Abhandlung G. A r m e n a n t e . Sui determinanti cubici E . P a d o v a . Sui determinanti cubici •{•A. d e G a s p a r i s . Sopra due teoremi dei determinanti a tre indice, ed un altra maniera di formazione degli elementi di un determinante ad m indice G. Z e h f u s s . Ueber eine Erweiterung des Begriffes der Determinante. Un A b o n n é . Exposé des principes élémentaires de la théorie des déterminantes P. G o r d a n . Sur les covariants et les invariants des formes binaires. . A r o n h o l d . Neuer und directer Beweis eines Fundamentalsatzes der Invariantentheorie A. C l e b s c h . Ueber eine Eigenschaft der Functionaldeterminanten. . . G o r d a n . Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Function mit numerischen Coefficienten einer endlichen Zahl solcher Formen ist J . D a l e and R. W. S y m e s . Solution of a question (2367) S. R o b e r t s . Solution of a question (2587) f ß r i o s c h i . Alcune proprietà degli invarianti di una forma del sesto grado.

Dritter Abschnitt. C a p i t e l 1.

40 40 40 41 41 42 42 43 43 43 44 44 44 45 45 45 45 46 46 46 46

Zahlentheorie.

Allgemeines.

C. W. M e r r i f i e l d and M. J e n k i n s . Solution of a question (2558). C. W. M e r r i f i e l d . Solution of a question (2536) C u r t z e . Notes diverses sur la série de Lambert et la loi des nombres premiers A n t o n . Die Elferprobe und die Proben für die Moduln 9, 13 und 101. O e t t i n g e r . Das Pell'sche Problem und einige damit zusammenhängende Probleme aus der Zahlenlehre f O e t t i n g e r . Ueber die Sätze von Wilson und Fermât und über die Theilbarkeit der Factorenfolgen und Facultäten E. L i o n n e t . Note sur les diviseurs d'un nombre entier f M e y e r . Ueber einige Sätze Lionnet's H a l p h é n . Sur le caractère biquadratique du nombre 2 L i o u v i l l e . Extrait d'une lettre adressée à M. Le Besgue • { • C a y l e y . Specimen table M = a" bß (Mod. N) for any prime or composite modulus L e B e s g u e . Sur une identité qui conduit à toutes les solutions de l'équation t2 = x* - f - ^ - J - z 2 L. M a t t h i e s s e n A u f l ö s u n g einer Aufgabe von Prinz Boncompagni. j ß r a s s m a n n . Lösung der Gleichung xi-\-y3-\-zi-\-u3=.Q in ganzen Zahlen

47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49

Inhaltsverzeichnis».

XXII Scile

N. T r u d i . Sulla forma quadratica de' fattori irreduttibili delle equazione binomie f T r u d i . Appendice alla memoria sulle equazione binomie G e n o c c h i . Intorno ad un teorema di Cauchy G. J u n g . Sopra alcuni teoremi di Gauss intorno alla teorica della repartizione del circulo F. P o l l o c k . On the mysteries of numbers alluded to by Ferinat. . . S t e r n . Ueber einige Eigenschaften der Trigonalzahlen G e n o c c h i . Intorno ad alcune forme di numeri primi C. T r a u b . Theorie der sechs einfachsten Systeme complexer Zahlen. . G r a s s m a n n . Verschiedene mathematische Bemerkungen. Bildung rationaler Dreiecke f H o r n e r . On triads of once-paired elements W a c k e r . Die Lehre von den Decimalbriichen f C a y l e y and J e n k i n s . Solution of a question (2743) W a l e n n . On unitation Capi tei

2.

50 50 51 51 51 52 53 53 53 53

Theorie der Formen.

C a n t o r . Zwei Sätze aus der Theorie der binären und quadratischen Formen • ( • B a t t a g l i l i i . Sulle forme ternarie di grado qualunque S t . S m i t h . On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminate» W e i e r s t r a s s . Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen. K r o n e c k e r . Bemerkungen zu der Arbeit von Weierstrass: „Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen" C l e b s c h e G o r d a n . Sulla rappresentazione tipica delle forme binarie. G o r d a n . Applicazione della memoria: „ S u l l a rappresentazione tipica delle forme binarie" all' equazione modulare della trasformazione di quinto ordine. B r i o s c h i . Il discriminante delle forme binarie del sesto grado. . . P. G o r d a n . Sur les covariants et invariants des formes binaires. . . G o r d a n . Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Function mit numerischen Coefficienten einer endlichen Zahl solcher Formen ist C a p i t e l 3.

54 54 54 54 57 58 59 59 59 60

Kettenbrüche.

J. L i e b l e i n . Zur Anwendung der Kettenbrüche C. G. J . J a c o b i . Allgemeine Theorie der kettenbruchähnlichen Algorithmen , in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird P. S e e l i n g . Ueber die Formen der Zahlen, deren Quadratwurzeln, in Kettenbrüchen dargestellt, Perioden von einer gewissen Anzahl Stellen haben C. G. J . J a c o b i . Ueber die Auflösung der Gleichung »1*1 + « 2 x 2 + . . . + «»*» —fu •(•F. S t r e h l k e . Bemerkungen zu der Aufgabe von Oettinger über die Näherungswerthe periodischer Kettenbrüche

Vierter Abschnitt.

49 50 50

61 62 64 65 68

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

~ — Problems supplementary to choice and chance W. L e a . Solution of a question (2244) C. T. H u d s o n . Solution of a question (2594)

69 69 69

XIV

Inhaltsverzeichniss. Seite

J W o l s t e n h o l m e . Solution of a question ;2414) J Wolstenholme. Solution of a question (2453) Wbitworth. Solution of a question (2627) A. R. C l a r k e . Solution of a question l 2614) J . J W a l k e r . Solution of a question (2647) M. W. C r o f t o n . Solution of a question (2680) S t . W a t s o n . Solution of a question (2695) J . W o l s t e n h o l m e and S t W a t s o n . Solution of a question (2612). A R. C l a r k e . Solution of a question (2646) J . W o l s t e n h o l m e . Solution of a question (2421) L B i l l s and T. S a v a g e . Solution of a question c o s x n d x innerhalb bestimmter Grenzen. Padova. Soluzione delle quistioni (49, 50, 66) R a j o l a . Soluzione delle quistione (66) . . Sbanks. Second and third supplementary paper on t h e calculation of t h e numerical value of Euler's Constant W e b e r . Ueber einige bestimmte Integrale A n d r a e . Om den approximative B e r e g n i n g af besternte Integraler. . . Tychsen. Nogle Anvendelser af Liouville's Theori om Differentiation og Integration med b r u t n e Indices Matthiessen. Sopra alcune proprietà degl' integrali euleriani di prima e seconda specie S c h l ä f l i . Sulle relazione tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazione di Riccati. . . . fEnneper. B e m e r k u n g e n über einige bestimmte Integrale Capitel

96 97 98

Integralrechnnng.

f G r i i h n . Ueber die IntegrabilitRt der Diflerentialfunctionen C o c k l e . Memorandum on t h e evaluation of integrals Cockle. On a certain rational fraction B. d. H a a n . On a theorem in t h e integral calculus H e r m i t e.

96

105 106 106 106 107 108 108 110 110 Ili 111

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

S. R o b e r t s . Solution of a question (2497) Cayley. On Riccati's equation S c h l â f l i . Sulle relazione tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazione di Riccati. . . . Cockle. On t h e integration of differential equations Kitchin. Solution of a question (2491) Walker. Solution of a question (2478' C o c k l e . On reversible symbolical factors ' . . . . 1 f S t e e n . Om Integration af Diflferentialligninger, der fore til Additionstheoremer for transcendente F u n c t i o n e r T y c h s e n . Om Integration af lineaere Differensligninger af I s t e og 2den Orden R a d a u . T h é o r è m e sur les équations différentielles du premier ordre. .

Ill 112 112 112 113 113 1 3 114 114 114

Inhalts verzeichniss.

XVII Seite

Capitel

6.

Partielle Differentialgleichungen.

Cookie. S o l u t i o n of a q u e s t i o n ( 2 5 5 1 ) T y c h s e n . Note ü b e r die Integration der partiellen Differentialgleichung dn

*

dx»

, p

d

"

z

| p*

d

"

2

|

U x o - ^ d y

1

d»z ^ ' " ^

dxdy«-l

d"z ^

" dy«

^ V

'

w o P , , P 2 , . . . Pii—l, P n , § g e g e b e n e F u n c t i o n e n d e r u n a b h ä n g i g e n Variabein x und y sind Boltzmann. U e b e r die Integrale linearer Differentialgleichungen mit periodischen Coefßcienten P . C. V. H a n s e n . L ö s n i u g af O p g a v e (201) Lipschitz. B e i t r a g z u r T h e o r i e der l i n e a r e n p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l gleichungen A. M a y r . D e r i n t e g r i r e n d e F a c t o r u n d die p a r t i c u l ä r e n I n t e g r a l e m i t besonderer A n w e n d u n g auf die linearen Differentialgleichungen. . S c h l ä f l i . S o p r a u n a c q u a z i o n e a difl'erenziali pai ziali dcl p r i m o o n l i n e . Laguerre. S u r l ' i n t e g r a t i o n d ' u n c c c r t a i n e e l a s s e d ' ^ q u a t i o n s diffe'rentielles d u s e c o n d ordre. . . . . . . •(•Moon. O n t h e I n t e g r a t i o n of t h e j>cneral l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n of t h e second order f M i 11 e r - H a u e n f e l s. A l l g e m e i n e I n t e g r a t i o n der l i n e a r e n D i f f e r e n t i a l gleichungen zweiter O r d n u n g und Ableitung von Differential-Roihen a u s den h ö h e r e n G l e i c h u n g e n d i e s e r A r t Capitel

7.

115 116 116 117 118 119 119 119

120

Variationsrechnung.

S t e r n . U e b e r d i e B e s t i m m u n g der C o n s t a n t e n in der V a r i a t i o n s r e c h n u n g . A. M e y e r . U e b e r d i e K r i t e r i e n des M a x i m u m s u n d M i n i m u m s . . . .

Siebenter Abschnitt. Capitel

115

1.

120 121

Functionentheorie.

Allgemeines.

J . P f e i f f e r . D i e E l e m e n t e der a l g e b r a i s c h e n A n a l y s i s S. R é a l i s . N o t e s u r le n o m b r e e Cayley. A „Smith's prize" paper. Question 1 A. L e m o n n i e r . D é m o n s t r a t i o n d i r e c t e de la f o r m u l e de M o i v r e , e x p r e s s i o n s de s i n ( o + è ) e t de c o s ( o + 6 ) t S p i n a . Sul n u m e r o dei v a l o r i d e l l e f u n z i o n i a l g e b r i c h e r a z i o n a l i l e q u a l i c o n t e n g o n o u n d a t o n u m e r o di l e t t e r e J. Me. D o w e l l . S o l u t i o n of a q u e s t i o n ( 2 4 4 9 ) Casorati. Un teorema fondamentale Synthetic evolution Casorati. T e o r i c a delle f u n z i o n i d i v a r i a b i l i c o m p l e s s e C. M. P i u m a . T e o r i c a d e l l e f u n z i o n i di v a r i a b i l i c o m p l e s s e fCremona. S u l l o p e r a del P r o f . C a s o r a t i : „ T e o r i c a delle f u n z i o n i d i variabili complesse" f A . S. G u l d b e r g De omvendte Functioner T . N. T h i e l e . En Fundamentalligning fA. Steen. O m I n t e g r a t i o n af D i f f e r e n t i a l l i g n i n g e r •f-A. P i o c h Mémoire sur les fonctions arbitraires R i e m a n n. U e b e r d i e D a r s t e l l b a r k e i t e i n e r F u n c t i o n d u r c h e i n e t r i g o n o metrische Reihe

127 127 127 127 128 128 128 128 128 130 130 130 130 131 131 131

Inhaltsverzeicbniss.

XVIII

Seile

Capitel

2.

Besondere

Functionen.

IC ci ii i g s b e r g e r. D i e T r a n s f o r m a t i o n , d i e M u l t i p l i c a t i o n u n d d i e Mod u l a r g l e i e h u n g e n der e l l i p t i s c h e n F u n c t i o n e n Allégret. Note relative à l'inte'gration d'une équation différentielle.. Serret. R e m a r q u e s s u r l a n o t e de M. A l l é g r e t Liouville. O b s e r v a t i o n s r e l a t i v e s à l a n o t e de M. A l l é g r e t . . . A." P i c a r t . Note relative à l'intégration d'une équation différentielle r e m a r q u a b l e , en r é p o n s e à l a n o t e de M . A l l é g r e t H e r mi te. S u r le d é v e l o p p e m e n t en s é r i e d e s i n t é g r a l e s e l l i p t i q u e s . . Jordan. N o t e s u r les é q u a t i o n s m o d u l a i r e s W i n c k 1er. Ueber die vollständigen Abel'schen Integrale M. R o b e r t s . Sur l'application du t h é o r è m e d'Abel à la comparaison d e s a r c s des l i g n e s de c o u r b u r e d ' u n e l l i p s o ï d e Neumann. T h e o r i e der B e s s e l ' s c h e n F u n c t i o n e n Lommel. Studien über die Bessel'schen F u n c t i o n e n Heine. Die Fourier-Bcssel'sche Function t B j ö r l i n g . L e s p r e m i è r e s n o t i o n s de l a t h é o r i e des f o n c t i o n s e l l i p t i q u e s .

Achter Abschnitt. Capitel

A.

2.

136 137 137 137 139 139 139 146 148

Analytische Geometrie. 1.

Allgemeines.

f K. K o p p e . A n f a n g s g r ü n d e der a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e u n d d e r L e h r o v o n den K e g e l s c h n i t t e n f L. P a i n v i n . P r i n c i p e s (le la g é o m é t r i e a n a l y t i q u e A. T r a n s o n . A p p l i c a t i o n de l ' a l g è b r e d i r e c t i v e à l a g é o m é t r i e . . . . AV. M a t z k a . Beiträge zur L e h r e von der universellen S u m m i r u n g von S t r e c k e n , d. i. i h r e r A n e i n a n d e r f ü g u n g m i t t e l s t P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g . J. L i e b l e i n . Zur A n w e n d u n g der K e t t e n b r ü c h e f A Dronke. U e b e r die V e r t a u s c h u n g der C o o r d i n a t e n D C h e 1 i n i. T e o r i a delle c o o r d i n a t e c u r v i l i n e e n e l l e s p a z i e e n e l l e s u p e r f i c i e . W. W a l t o n . N o t e on t r i g o n i c c o o r d i n a t e s A. S t e e n . Om trilineaere Koordinater 1'. C a s s a n i . Coordinate sferiche omogenee W. W a l t o n . On b i a n g u l a r - c o o r d i n a t e s H . M. J e f f e r y . O n c o n i c o i d s r e f e r r e d to B o o t b i a n t a n g e n t i a l - c o o r d i n a t e s . E. H a b i c h . S u r u n s y s t è m e p a r t i c u l i e r de c o o r d o n n é e s J. J. W a l k e r . S o l u t i o n of a q u e s t i o n (1971^ L e B e s g u e . F o r m u l e d o n n a n t le v o l u m e d u t é t r a è d r e m a x i m u m , c o m p r i s s o u s d e s f a c e s de g r a n d e u r s d o n n é e s Neil. Ueber e i n e n I r r t h u m , d e r s i c h i n m e h r e r e n L e h r b ü c h e r n der T r i gonometrie findet Analytisch-geometrische Aufgaben Capitel

134 136 136 136

149 149 149 150 151 151 151 151 152 152 153 154 155 156 156 157 157

G e o m e t r i e der E b e n e . Allgemeines.

F. U n f e r d i n g e r . D i e a l l g e m e i n e F o r m e l f ü r die S u m m e eines Polygons Watson. S o l u t i o n of a q u e s t i o n ( 2 4 0 7 ) Jenkins S o l u t i o n of a q u e s t i o n (2624) W o 1 s t e n h o 1 m e. S o l u t i o n of a q u e s t i o n ; 2 5 2 3 ) MerrifieHl. S o l u t i o n of a q u e s t i o n ' 2 5 1 9 ) .

der W i n k e l 158 158 158 159 159

Inhaltsverzeichniss.

XIX Seite

Clarke. Solution of a question ( 2 5 3 7 ) Wolstenholme. Solution of a question ( 2 5 7 6 ) Watson. Solution of a question { 2 3 1 8 ) L a i s ant. Solution d'une question ,,803). Maffiotti. Solution d'une question ( 7 4 5 ) K. E x n e r . Ueber die M a x i m a und M i n i m a der W i n k e l , unter welchen Curven von Radien durchschnitten werden F.Lucas. F o r m u l e s de g é o m é t r i e a n a l y t i q u e A. C h e m i n . R e l a t i o n s entre les r a y o n s de courbure de quelques systèmes de courbes. H. L a u r e n t . T h é o r i e des asymptotes J . G r i f f i t h s . I n v e s t i g a t i o n of the equations of the four pairs of circles, which pass through the s i x points common to three given c i r c l e s . fH. Herwig. Ueber T r a j e c t o r i e n zu den T a n g e n t e n e b e n e r Curven. . B

Algebraische

160 160 160 161 161 162

Curven.

C. N e u m a n n . S u l b a r i c e n t r o di curvatura delle curve a l g e b r i c h e . . . Cay ley. A „ S m i t h ' s P r i z e " paper. Question 7 C a y l e y. On the curves which satisfy given conditions Cay ley. On polyzomal c u r v e s , otherwise the curves ... = 0 . fS. Roberts. On the order of the conditions that four curves m a y have two points in common S. R o b e r t s . On the centres of mean distances of certain points of intersection of curves and surfaces E. B a r b i e r . R é c i p r o q u e d'une proposition sur les coniques homothétiques qui ont le m ê m e centre Cayley. On the c u b i c curves inscribed in a given pencil of s i x lines. C.

159 159 159 159 159

163 164 164 165 166 166 167 168

Kegelschnitte.

fPrestel. Die K e g e l s c h n i t t e in elementarer D a r s t e l l u n g G i g on. E x e r c i c e sur l'emploi des coordonnées polaires R . P . Note on trilinear coordinates E. d ' O v i d i o . Nuova esposizione della teoria generale delle curve di 2 " ordine in coordinate trilineari H . M. J e f f e r y . On conics, plane and spherical, referred to t h r e e - p o i n t tangential coordinates Laverty. Solution of a question ; 2 2 6 7 ) Salmon. Solution of a question ( 2 2 6 1 ) Thomson. Solution of a question ( 2 4 5 1 ) M c . C a y , M e r r i f i e l d , T a y l o r and W a l k e r . Solution of a question (2554) Neuberg. Solution d'une question ( 5 4 8 1 O . H e r m e s . Verallgemeinerung der F o c a l e i g e n s c h a f t e n der K e g e l s c h n i t t e . Grunert. A l l g e m e i n e a n a l y t i s c h e A u f l ö s u n g der A u f g a b e : Den K e g e l schnitt von gegebener C h a r a k t e r i s t i k und gegebenem B r e n n p u n k t e zu b e s t i m m e n , welcher eine der L a g e n a c h g e g e b e n e Gerade in einem in derselben gegebenen P u n k t e berührt A. R i b a u c o u r . S u r le rayon de courbure des coniques St. W a t s o n . Solution of a question ( 2 6 8 7 ) G. S a l m o n . On the l i m i t i n g cases of certain c o n i c s C. T a y l o r . On t h e l i m i t i n g cases of certain conics f H . G. Z e u t h e n . E l e m e n t a r - g e o m e t r i s k e B e v i s e r for H o v e d s a e t h i n g e r n e om Kegelsnittenes D i a m e t r e Huit mann. Komplettering af L ö s n i n g e n af O p g a v e 9

168 168 169 169 170 170 170 171 171 171 171

174 175 175 175 175 175 176

XX

Inhal tsverzeichniss. Seite

L a v e r t y . Solution of a question (27041 B u r n s i d e . Solution of a question (2630) Mo. C a y . Solution of a question (2676) S. H e r t z s p r u n g . Lösning af Opgave (66) L e m a i t r e . Solution d'une question (827) H. Gr. D a y . Investigation of the geometrical properties of the ellipse, from the definition by focus and directrix Laverty Solution of a question 2465). . G r e e r . Solution of a question (2482; S a v a g e , W a t s o n and H i l l s . Solution of a question (2733) . . . W a t s o n and W o 1 s t e n h o I m e. Solution of a question (2577). . . . G r u n e r t . Ueber einen Satz von der Ellipse Oh. H a n s e n . Lösning af Opgaverne (138. 38. 141) D. H o l d i t s c h . The equation to the chord joining two points on an ellipse S c h l ö m i l c h . Gelegentliche Bemerkung über die Ellipse W A. W h i t w o r t h . On the limiting cases of certain conics. . . . . D a l e . Solution of a question (2364) B r o a g e r . Vinklens Tredeling og den indskrevne Firkant A. S t e e n . En ny egenskab ved den ligesidede liyperbel anvendt til vinklens tredeling D a l e . Solution of a question (2344)

D.

Besondere

176 177 177 177 177 178 178 178 178 179 179 179 179 180

Curven.

E n n e p e r . Ueber die Bedingungen, dass vier P u n k t e auf einem Kreise und fünf P u n k t e auf einer Kugelfläche liegen C a y l e y . Démonstration nouvelle du théorème de M. Casey par rapport aux cercles qui touchent à trois cercles donnés M. R a n k i n e .

176 176 176 176 176

On curves fulfilling the equation

+

.

.

ax* dy% C a y l e y . On the cubic curves divergent parabolas •f-Fr. R u m m e r . Neue Sätze über eine krumme Linie f S. R o b e r t s . Note on the figure formed by sixteen cotangential chords of a curve of the third degree J . B o o t h . Sur la rectification de quelques courbes K. L . B a u e r . Ueber einige, auf die parabolischen Wurflinien bezügliche geometrische Oerter und deren Gebrauch zur Bestimmung der Wurfweite und W u r f h ö h e G. K o r n e c k . Ueber den geometrischen Ort der Mittelpunkte von Kegelschnitten , von denen drei Tangenten oder drei P u n k t e nebst der Fläche gegeben sind ^ . S. S p i t z e r . Merkwürdige Eigenschaft derjenigen Curve, welche vom Brennpunkte einer Ellipse beschrieben wird, wenn diese auf einer Geraden rollt L a j u d i e et S a l v y Solution d'une question (844) J . G r i f f i t h s . A short method of finding the equation to a certain enveloppe depending on a triangle inscribed in a circle L . D y r i o n . Note sur les courbes considérées comme enveloppes d'une droite • R i b a u c o u r . Sur les courbes enveloppes de cercles, et sur les surfaces enveloppes de sphères E c k a r d t . Ueber eine gewisse Classe von Curven dritten Grades. . . f A. S a r t i a u x . Sur les points d'inflexion des courbes du troisième ordre.

180 180 181 181 181 182 182 182 182 183 183 183 184 185 186 187

Inhaltsverzeiehniss.

XXI Seite

fH. Lemoniiier. Mémoire sur les points d'inflexion et les points Steiner dans les lignes du troisième ordre T h o m s o n . Solution of a question (2675) T h o m s o n . Solution of a question (2697) S t a n l e y . Solution of a question (2740) 6 . S a r d i . Nota sopra una rete di biquadratiche A. F. T o r r y . On the lemniscate C h r . H a n s e n . Lösning af Opgaverne (210. 211. 115) — — The catenary referred to the horizontal tangent and the catenary referred to an oblique tangent K ü l p . Ueber eine besondere Art von Conchoiden sin ff L. S t o e c k l y .

Bedeutung und Eigenschaften der aus r — a——

3. A.

189 189

ent-

springenden Curve G. A. O s k a m p . De polairen der cycloide F o u r e t . Sur les épicycloides B u r n s i d e . Solution of a question (2732) W o l s t e n h o l m e. Solution of a question (2579) W a t s o n and D a l e . Solution of a question (2415) E. H a b i c h . Sur un système particulier de coordonnées. Application aux caustiques planes W. D a h l . Beitrag zur Theorie der Epicykeln • . * . . . C. P l a g g e . Untersuchungen über die Cardioide G i g o n . Exercices sur les roulettes extérieurs et intérieurs dans les courbes planes Capitel

187 187 187 187 187 188 189

190 190 190 191 191 191 192 192 192 192

Geometrie des Baumes. Allgemeines.

K. P e t e r s o n . Ueber Curven und Flächen F. U n f e r d i n g e r . Ueber einige merkwürdige Formeln der sphärischen Trigonometrie F. U n f e r d i n g e r . Ableitung der Complanationsformel in Polarcoordinaten aus der Figur E. B e l t r a m i . Sulle teoria generale dei parametri differenziali. . . . J . P l ü c k e r . Neue Geometrie des Raumes J . P l ü c k e r . Théorie générale des surfaces réglées, ledr classification et leur construction f G . B a t t a g l i n i . Intorno ai sistemi di rette di primo grado, di secondo grado, di grado qualunque P. M o r i n . Théorèmes relatifs k la théorie des surfaces E. H a b i c h . Quelques remarques sur les lignes et sur les surfaces réciproques et caustiques . . . f C a y l e y . A memoir on the theory of reciprocal surfaces -(-Geiser. Sopra una quistione geometrica di massimo e suo estenzione ad uno spazio di n dimensione E. B e l t r a m i . Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante. E. B e l t r a m i . Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque. D. C o d a z z i . Sulle coordinate curvilinee d'una superficie e dello spazio. F. B r i o s c h i . Sulla teoria delle coordinate curvilinee A o u s t . Théorie des coordonnées curvilignes quelconques B. R i e m a n n . Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung +E. B el t r a m i. Memoria sulla teoria generale dei superficie d'area minima.

193 196 196 196 198 205 205 205 207 208 208 208 209 212 213 213 218 220

Inhaltsverzeichniss.

XXII

Seite

D. C h e 1 i n i. Della curvatura delle superficie, con metodo diretto ed intuitivo. 220 D. C h e l i n i . Theoria delle coordinate curvilinee nello spazio e nelle superficie 221 A o u s t . Sur la courbure des surfaces 221 A o u s t. De la courbure des surfaces 222 A o u s t . Sur un principe de la théorie des surfaces 222 A o u s t . Sur la théorie des surfaces 224 G i l b e r t . Sur la courbure des surfaces 225 G i l b e r t . Sur quelques propriétés des trajectoires 225 G i l b e r t . Lignes tracées sur une surface quelconque 226 G i l b e r t . Sur un mémoire concernant la théorie générale des lignes tracées sur une surface quelconque 226 E. C a t a l a n . Rapport s u r : Gilbert, Mémoire sur la théorie générale des lignes tracées sur une surface quelconque 226 •(•Aoust. Remarques et réclamation faites relativement au mémoire de Mr. Gilbert 226 f G i 1 b e r t. Réponse à M. Aoust relative aux remarques et réclamation. 227 + E. R o g e r . Note sur la courbure des surfaces 227 E n n e p e r . Analytisch geometrische Untersuchungen 227 E n n e p e r . Ueber ein geometrisches Theorem 229 E n n e p e r . Bemerkungen über den Durchschnitt der Flächen. . . 229 •j-S. R o b e r t s . On the centres of curves and surfaces 230 f C a y l e y . t ) n a singularity of surfaces 230 L a i s a n t. Note sur le plan tangent en un point d'une surface. . . . 230 H o u s e l . Intersection d'une surface par un plan 230 P. M o r i n . Note sur une classe des systèmes triples de surfaces orthogonales 231 G. D a r b o u x . Sur les systèmes de surfaces orthogonales 231 K. E x n e r . Ueber die Maxima und Minima der Winkel, unter welchen Curven von Radien durchschnitten werden 231 H. G. Z e u t h e n . Sur les singularités ordinaires des courbes géométriques à double courbure • 231 S. R o b e r t s . On the centres of mean distances of certain points of intersection of curves and surfaces " . . . 232 f E . C a t e l a n . Note sur les surfaces orthogonales 232 : f A . E n n e p e r . Ueber d e developpabele Fläche, welche zwei gegebenen Flächen umschrieben ist 232 A l l é g r e t . Mémoire sur la flexion des lignes géodésiques tracées sur une même surface quelconque 232 E. S c h e r i n g . Erweiterung des Gauss'schen Fundamentalsatzes für Dreiecke in stetig gekrümmten Flächen 232 L ü r o t h . Verallgemeinerung des Problems der kürzesten Linie. . . . 232 Wolstenholme. Solution of a question (2503) 233 T h o m s o n . Solution of a question (2461) 233 B. J. J. A. C. E.

Allgebraische Curven

und

Flächen.

B e r t r a n d . Études des surfaces algébriques B e r t r a n d . Études des surfaces algébriques C l e b s c h . Note sur les surfaces algébriques N e u m a n n . Sul baricentro di curvatura delle superficie algebriche. de J o n q u i è r e s . Propriétés des réseaux de courbes et de surfaces algébriques A. C l e b s c h . Intorno alla rappresentazione di superficie algebriche sopra un piano

233 234 234 234 235 235

Inhaltsverzeichniss.

XXIII Seile

f C a y l e y. On a certain sextic developpabel. •¡•Cay l e y . On a certain sextic surface f L a g u e r r e . Sur quelques propriétés générales des courbes algébriques et sur leur application à la théorie des courbes et des surfaces anallagmatiques C.

Curven und Flächen

zweiter

Besondere Curven und

236

Ordnung.

t D o s t o r . Nouvelle étude algébrique des lignes et surfaces du second degré f Z e u t h e n . Sur la détermination des caractéristiques des surfaces du second ordre f A o u s t. Recherches sur les surfaces du second ordre G a l l e n k a m p . Ueber die Flächen zweiten Grades G. S t a m m e r . Recherches sur les surfaces du second degré, qui se coupent suivant deux courbes planes G e i s e r . Zur Theorie der Flächen zweiten und dritten Grades. . . . J . C a s e y . Recherche des équations des couples de quadriques inscrites dans une quadrique donnée et tangentes à quatre quadriques inscrites aussi dans la même quadrique D a r b o u x . Sur les caractéristiques des systèmes de coniques et des surfaces du second ordre H. M J e f f e r y . On conicoids, referred to Boothian tangential coordinates. L. P a i n v i n . Discussion de l'intersection de deux surfaces du second ordre H. M. J e f f e r y . Ou conics, plane and spherical, referred to three-point tangential coordinates f H o i i e l . Quelques réflexions au sujet de la ligne de longueur minimum sur la sphère L. S o h n k e . Oberfläche und Inhalt der Körper, welche durch Rotation eines regulären Polygons um einen beliebigen Durchmesser entstehen. C h r . H a n s e n . Lösning af Opgave (205) J . J . W a l k e r . Notes on a paper „Messenger IV. 2 5 - 3 1 " G o r d a n . Ueber eine das Hyperboloid betreffende Aufgabe Liiroth. Ueber Polartetraeder und die Schnittcurve zweier Flächen zweiter Ordnung Enneper. Ueber die Bedingungen, dass vier P u n k t e auf einem Kreise und fünf P u n k t e auf einer Kugelfläche liegen P l a n t o n . Solution of a question (2521) W a l k e r . Solution of a question (2639) C a y l e y. Solution of a question (2553) D a l e and T o m l i n s o n . Solution of a question (2348) Mc. C a y . Solution of a question (2559) D.

236 236

236 236 236 236 236 237 238 241 241 242 243 243 243 244 244 244 245 245 245 245 245 246 246

Flächen.

• ( • C r e m o n a . Sopra una certa famiglia di superficie gobbe f B e l t r a m i . Sulla teoria delle cubiche gobbe •j-G. B r u n o . Intorno ad alcune proprietà dell' elicoide sghembo a piano direttore A. R i b a u c o u r . Sur une propriété des surfaces enveloppes de sphères. P a i n v i n . Étude analytique de la développable circonscrite à deux surfaces du second ordre C h r . H a n s e n . Lösning af Opgave (87,1 J . J. W a l k e r . Analogues in space to a property of the parallelogram.

246 246 246 246 246 247 248

XXIV

Inhaltsverzeichniss. Seite

A. S c h o n d o r f f . Ueber die Minimalfläche, die von einem doppeltgleichschenkligen räumlichen Vierecke begrenzt wird. . . . . . 248 f L e m o n n i e r . Mémoire sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques 249 U. D i n i . Sulle superficie che hanno le linee di curvatura piane. . . 249 A. C a y l e y . Note sur quelques torses sextiques, et addition à la note. 250 D e l a G o u r n e r i e . Sur les lignes spiriques 250 + D e l a S o u r n e r i e . Sur une involution spéciale du quatrième ordre et son application aux lignes spiriques 251 M a x w e l l . On the Cyclide 251 O. H e r m e s . Ueber eine Gattung von geradlinigen Flächen vierten Grades. 252 - ( • C r e m o n a . Sopra una certa curva gobbo di quart' ordine 253 C. N i v e n . On some theorems connected with tbe wave - surface. . . 254 E. H ü t t . Die Quadratur der parallelen Oberfläche der Elasticitätsoberfläche. 254 f E . N i e m t s c h i c k . Directe Beleuchtungs-Constructionen für Flächen, deren zu einer Axe senkrechte Schnitte ähnliche Ellipsen sind. . 255 R. H o p p e . Surfaces également illuminées 255 L. B u r m e s t e r . Ueber Jsophoten 255 D a l e . Solution of a question (2382) 255 C a p i t e l 4. Abbildung. K. v. d. M i i h l l . Ueber die Abbildung von Ebenen auf Ebenen. . . A. C l e b s c h . Ueber die Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve zweiten Grades besitzen L. C r e m o n a . Rappresentazione di una classe di superficie gobbe sopra un piano, e determinazione delle loro curve assintotiche J o n q u i è r e s . Réponse à une observation présentée dans le Giornale di Matematiche K. v. d. M i i h l l . Ueber ein Problem der Kartenprojection C a p i t e l 5. Strahlensysteme. T h . R e y e . Lehrsätze über das Strahlensystem erster Ordnung und erster Classe und den linearen Strahlencomplex

Neunter Abschnitt. C a p i t e l 1.

256 258 259 260 260

261

Synthetische Geometrie. Allgemeines.

M. R a n k i n e . On the approximate drawing of circular arcs of given lengths H. G r a s s m a n n . Angenäherte Construction von n f H i r s t . Parole sull' introduzione agli element! di geometria del prof. Wright E. B u c h w a i d . Lösning af Opgave (172) A. H o f f m e y e r . Lösning af Opgaverne (173. 180) W. W a l t o n . A demonstration of a proposition in Euclid's elements. . C a y l e y . A „Smith's Prize" paper. Questions 11. 12. 13. . . . . . f C u n n i n g h a m . Note on the history, method and technological importance of descriptive geometry • f - B e l l a v i t i s . Lezioni di geometria descrittiva f C h e l i n i . Compte rendu sur: „Catalan, Elements de gdome'trie". . . f D i e t r i c h . Ueber einige geometrische Constructionen f A . H ü l s e n . Die Elemente der harmonischen Theilung gerader Linien. 0 . S c h l ö m i l c h . Ein geometrisches Paradoxon

262 262 262 263 263 263 263 263 263 263 263 263 263

Inhaltsverzeichniss.

XXV

Stilo G t r u n e r t . Nachträge zu der Abhandlung: „Betrachtungen über das ebene Dreieck" • { • G r u n e r t. lieber zwei merkwürdige P u n k t e des Dreiecks F a s s b e n d e r . Les angles que les côtés du triangle forment avec leurs lignes de gravité respectives. . . P. H a c k e l . Zwei Beweise des Satzes von H. Fas'sbender E. S a c h s e . Ueber den im Archiv XLII, 229 von Grunert behandelten Lehrsatz E. S a c h s e . Ueber den Zusammenhang der Seiten des regelmassigen Fünfund Zehnecks und des Radius A. H a l l . Gauss' proof that the middle-points of the three diagonals of a complete quadrilateral lie in a right line L i o n n e t . Solution d'une question (701) f j . B a d o n G h y b e n . Beschouwing van den regelmatigen 2 5 7 - H o e k . f B o u r g e t et B a r b i e r . Hexagramme de Pascal G. D o s t o r . Propriétés nouvelles du quadrilatère en général avec application aux quadrilatères inscriptibles, circonscriptibles Hessel. Beweis des Satzes: Wenn n eine ganze Zahl ist, so ist

264 264 264 264 264 264 265 265 265 265 265

cos— 360° nur dann rational, wenn die Zahl n bei gradem Werthe n

nicht grösser als 3 ist •j-M. R a n k i n e . Sur les polygones réguliers isopérimètres •¡•H. P é r i g a l . Sections polygonales du cercle V. N i é b y l o w s k i . Solution d'une question (437) F. L u c a s . Deux théorèmes de géométrie f G . J u n g h a n n . Ueber Transversalebenen des Tetraeders V. J a n n i . Dimostrazione di un teorema di geometria elementare. . . H e i n z e. Die halbregelmässigen Körper A. B a u e r . Ueber den Obelisken und das Prismatoid B. L i s t i n g . Ueber einige Anwendungen des Census-Theorems. . . . f G i g o n . Bericht über: „Jacob Steiner's Vorlesungeu über synthetische Geometrie" K. v. O t t . Grundzüge der neueren Geometrie T h . R e y e . Die Geometrie der Lage H. G r e t s c h e l . Lehrbuch zur Einführung in die organische Geometrie. B a t t a g l i n i . Sur la géométrie imaginaire de Lobatchefsky D a r b o u x . Sur un mode de transformation des figures D a r b o u x . Construction de la surface du deuxième ordre déterminée par neuf points B e l t r a m i . Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. . B o l y a i . Sulla scienza dello spazio assolutamente vera f j . S m i t h . Euclid at Fault • ¡ • P o u d r a . Compléments de géométrie, fondés sur la perspective. . . {Schlesinger.. Darstellung der Collinear-Projectionen und projectivischen Grundgesetze G r e l l e . Lineare Construction des Punktepaares, welches zu zwei gegebenen Punktepaaren gleichzeitig harmonisch ist. Mit Bemerkung von Hertzer C a y l e y . On Pascal's theorem W o o l h o u s e . Solution of a question (2288) D a l e and O g i i v i e . Solution of a question (2404) C o t t e r i l l and T o w n s e n d . Solution of a question (2389) W o l s t e n h o l m e . Solution of a question (2411) S t a n l e y and T u c k e r . Solution of a question (2507) W a t s o n . Solution of a question (2569) J e n k i n s . Solution of a question (2100)

266 266 266 267 267 267 267 267 268 268 268 268 269 272 274 274 275 275 276 276 276 276 277 277 277 277 277 277 277 277 278

XXVI

Inhal tsverzeichniss. Seite

M c . C a y . Solution of a question (2234' D o b s o n , T u c k e r and L a v e r t y . Solution of a question (2485). T u c k e r and B i l l s . Solution of a question (2499) Watson. Solution of a question (2591) H o p p s . Solution of a question (2607) T o w D s e n d and W a l k e r . Solution of a question (2626) B i l l s . Solution of a question (2669) Polignac. Solution of a question (2682) B i l l s and W i l s o n . Solution of a question (2690) C a y l e y . Solution of a question (2756) B u r n s i d e and W a l k e r . Solutions of questions (2718, 2727,. . . L ö s u n g e n geometrischer Aufgaben Capitel

2.

.

. •

278 278 278 278 279 279 279 279 280 280 280 280

Besondere Curven.

V. T u r q u a n . Remarques sur les solutions d'un problème de géométrie. fBastian. Die Construction der wichtigsten geometrischen Oerter aus der elementaren Geometrie f B ö c k l . Theorie der Construction der Kreisgloichungen. . . . , . •j-Turnbull Loci of the centres of t h e escribed circles of a triangle whose base and vertical angle are constant E . W e y r . Studien aus der höheren Geometrie L . F. P a s a l a g u a . Sur le rayon de courbure de l'ellipse G r e l l e . Ueber das grösste einer Ellipse eingeschriebene « - E c k . . . G. D a y . Properties of conic sections, proved geometrically C a y l e y . Solution of a question (2493) Cotterill. Solution of a question (2358) L . M a t t h i e s s e n . Ueber die mechanische Construction einiger Curven, welche sich zur A u f l ö s u n g des Problems von der Duplication des W ü r f e l s anwenden lassen E. K o u t n y . Construction der Kegelschnittlinien aus P u n k t e n und Tangenten Lindmann. Problema geometrieum E . W e y r . E r w e i t e r u n g des Satzes von D e s a r g u e s nebst A n w e n d u n g e n . J . S m i t h . Observatio geometrica H . S i e b e c k . De triangulo c u j u s latera continent polos respectu quatuor sectionum conicarum c o n j u g a t e s fCayley. On a certain enveloppe depending on a triangle inscribed in a circle f F e r r e r s. On the enveloppe of the straight line, joining the feet of the perpendicular let fall of the sides of a triangle from a point in the circumference of the circumscribed circle f S t a u d i g l . D u r c h f ü h r u n g verschiedener die Curven zweiten Grades betreffender Constructionen mit H ü l f e von Kegel- und Cylinderflächen. T h . E e y e . Ueber Curvenbündel dritter O r d n u n g E. W e y r . Zur E r z e u g u n g der Curven dritter O r d n u n g B e y e . Sopra le curve gobbe di q u a r t ' ordine e prima specie, e i loro p u n t i d'intersezione con superficie di secondo grado f P . S c h o l z . Die projectivischen Eigenschaften der gewöhnlichen u n d ausgezeichneten Elemente ebener Curven f J . S y l v e s t e r . Note on successive involute to a circle W a l k e r . Solution of a question (2100). . . D a l e and L a v e r t y . Solution of a question (2383) Planton. Solution of a question (2518) Wolstenholme. Solution of a question (2535) C a y l e y . Solution of a question (2609)

281 281 281 281 282 283 283 284 284 284 284 285 286 286 287 287 288 288 288 289 289 290 291 291 291 291 292 292 292

Inhalts verzeiehniss.

XXVII Seite

L a v e r t y . Solution of a question (263T J e n k i n s . Solution of a question (2486) H i r s t . Solution of a question (2441)

Capitel

3.

292 293 293

Besondere Flächen.

f T o w n s e n d . On homographie systems of points, direct and inverse, on skew surfaces of the second ordre N i e m t s c h i c k . Einfaches Verfahren, Normalen zu Flächen zweiter Ordnung durch ausserhalb liegende Punkte zu ziehen E l l i s . Demonstration of two theorems in relation to a surface of the second order f S t a u d i g l . Anwendung der räumlichen Central- und Parallelprojection zur Lösung verschiedener die Flächen zweiter Ordnung betreffender Probleme D a r b o u x . Construction de la surface du deuxième ordre déterminée par neuf points . . fF. Matzek. Beitrag zur Construction von Berühruncsebenen an Rotationsflächen . . . H. P i c q u e t. Construction des axes d'une surface du second degré Th. R e y e . Einfache lineare Construction der Flächen zweiter Ordnung aus neun und ihrer Durchdringungscurv'en aus acht Punkten. . . . P. S e r r e t. Sur la détermination graphique des axes principaux des courbes et des surfaces du second ordre E. W e y r. Ueber Krümmungslinien der Flächen zweiten Grades und confocale Systeme solcher Flächen J. M. S o l in. Ueber die Normalenfläclie zum dreiaxigen Ellipsoid längs einer Ellipse eines Hauptsystems A. F. Material construction of the ruled quadrics C a y ley. Solution of a question (2590) f C r e m o n a . Sulle superficii gobbe di quarto grado f R e y e . Sugli assi delle coniche situate in una superficie del secondo ordine. G e i s e r . Sulle normali all' ellissoide f G . B r u n o . Alcune proposizioni sulla superficie conoide avente per direttrici due rette fG. B r u n o . Nota sulla superficie conoide, la direttrice curvilinea della quale è una linea piana di 2° grado ed interseca la direttrice rettilinea del conoide stesso . f R . Ni e m t s c h i c k . Studien über Flächen, deren zu einer Axe senkrechte Schnitte ähnliche Ellipsen sind f F . M a t z e k . Construction der Curven bestimmter Beleuchtungsintensität an Rotationsflächen mit Benutzung berührender Kugelflächen. L a g u e r r e . Sur les courbes gauches résultant de l'intersection de deux surfaces du second ordre L a g u e r r e . Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques. . . L a g u e r r e . Sections circulaires des surfaces anallagmatiques. . . . L a g u e r r e . Sur les courbes cassiniennes planes et sphériques. . . . f P e s c h k a und E. K o u t n y . Freie Perspective in ihrer Begründung und Anwendung. S c h l e s i n g e r . Die projectivischen Flächen f G . D o s t o r . Théorème sur le cône et sur le tronc de cône. . . . M a f f i o t t i . Solution d'une question (.814) W o l s t e n h o l m e . Solution of a question ^2413) . . . T. D o u c e t . Solution d'une question (847) j l'ortschr. il. Malli. I. 3. , ***

293 293 294 295 295 295 295 296 296 296 297 298 299 299 299 299 299 299 300 300 300 300 301 301 302 302 303 304 304 304

XXVIII

Inhaltsverzeichniss. Seite

Zehnter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Mechanik.

Lehrbücher.

J . R h e i n a u e r . Grundriss der Mechanik fester Körper f C o l l i g n o n . Cours élémentaire de mécanique C h . D e l a u n a y . Lehrbuch der analytischen Mechanik . f M o i g n o . Leçons de mécanique analytique W. S c h e l l . Theorie der Bewegung und Kräfte L i g o w s k i. Taschenbuch der Mechanik f D e g u i n . Précis de mécanique théorique et appliquée f E . B o u r . Cours de mécanique et machines f C . d e M a r s i l l y . Recherches mathématiques sur les lois de la matière. C a p i t e l 2.

Cinematik.

G i g o n . Exercices sur les roulettes extérieures et intérieures dans les conrbes planes C. J o r d a n . Mémoire sur les groupes des mouvements A. C a y l e y . A „Smith's P r i z e " paper. Question 15 M a n n h e i m . Sur le déplacement d'une figure de forme invariable. . . G. R. D a h l a n d e r . Om bestämningen af centralaxeln och den ögonblickliga rotationsaxeln vid en kropps rörelse C h . W i e n e r . Sul moto di una figura piana che, mantenendosi simile a sè stessa, scorre con tre delle sue rette sopra tre punti fissi. . E. H a b i c h . Sur le centre instantané de rotation et ses applications. . f T h e hodograph in Newton's law C a p i t e l 3.

305 305 305 305 305 306 306 306 306

306 306 307 307 307 308 309 309

Statik.

f G . S a l a d i n i . Sul principio della velocità virtuali W . S p o t t i s w o o d e . Note sur l'équilibre des forces dans l'espace. . . F a s s b e n d e r und H a c k e 1. Les angles, que les côtés du triangle forment avec leurs lignes de gravité respectives C. W e s t p h a l . Üeber die Beweise für das Parallelogramm der Kräfte J . W a l k e r . An analytical demonstration of the rectangle of forces. . J . W a l k e r . On an easy construction of the centre of gravity of the trapezium J . W a l k e r . Solution of a question (1496). M o s t . Ueber den Schwerpunkt der Doppelpyramide, des Pyramidalstumpfes und der schief abgeschnittenen Säule Most Ueber eine allgemeine Methode, geometrisch den Schwerpunkt beliebiger Polygone und Polyeder zu bestimmen Aufgaben über Scnwerpiinktsbestimmungen bei Curven fLaisant Sur le centre de gravité d'un certain système de poids. . C N e u m a n n . Sul baricentro di curvatura delle curve algebriche. . . C. N e u m a n n Sul baricentro di curvatura delle superficie algebriche. W. K r u m m e Mittheilungen aus: „Thomson and T a i t , Treatise ou natural philosophy" Grube Anziehung eines homogenen Ellipsoids F. M e r t e n s Bestimmung des Potentials eines homogenen Polyeders. . D a l e . Solution of a question (2400) J . W a l k e r . Solution of a question (2605) F. M i n d i n g . Démonstration d'un théorème de statique H. E g g e r s Auflösung einer statischen Aufgabe

310 310 310 310 311 311 311 311 312 312 312 312 312 313 313 314 314 314 314 315

Inhaltsverzeichniss.

XXIX Seite

G r u n e r t . V o l l s t ä n d i g e a n a l y t i s c h e E n t w i c k e l u n g der B e d i n g u n g e n , w e l c h e e r f ü l l t sein m ü s s e n , w e n n ein S y s t e m v o n P u n k t e n , a n d e m K r ä f t e w i r k e n , a s t a t i s c h sein soll Grunert. A l l g e m e i n e a n a l y t i s c h e E n t w i c k e l u n g der T h e o r i e der K r ä f t e paare Chr. H a n s e n . L ö s n i n g af O p g a v e r n e ( 1 5 1 . 152. 153) f j . B a d o n G h y b é n . Over eene bijzondere E i g e n s c h a p v a n evenwijdige k r a c h t e n , w i e r som reel is W. W a l t o n . On t h e e q u i l i b r i u m of an a g g r e g a t i o n of s p h e r u l e s . . . A. H i 11 C u r t i s. On t h e e q u i l i b r i u m of a h e a v y b o d y b o u n d e d b y a s u r f a c e of r e v o l u t i o n , a n d r e s t i n g on a r o u g h s u r f a c e also of r e v o l u t i o n . E. H i l l . O n t h e m e t a c e n t e r in a fluid of v a r y i n g d e n s i t y C. J o r d a n . M é m o i r e s u r la s t a b i l i t é de l ' é q u i l i b r e des c o r p s flottants. L. B o l t z m a n n S t u d i e n ü b e r d a s G l e i c h g e w i c h t der l e b e n d i g e n K r a f t zwischen bewegten materiellen I'unkten C a p i t e l 4.

316 316 316 317 317 317 317 318 318

Dynamik.

Cayley. A „Smith's Prize" paper. Q u e s t i o n s 8 . 9. 1 0 14 Folie. Mémoire sur u n e théorie nouvelle du mouvement d'un cdrps libre et d'un corps g é n é f C . M. G u l d b e r g . B i d r a g til L e g e m e r n e s M o l e k y l a r t h e o r i F. L u c a s . R e c h e r c h e s c o n c e r n a n t la m é c a n i q u e des a t o m e s R. R a d a u . S u r u n t h é o r è m e de m é c a n i q u e R. R a d a u . R e m a r q u e s s u r l e p r o b l è m e des t r o i s c o r p s R. R a d a u - S u r u n e t r a n s f o r m a t i o n o r t h o g o n a l e a p p l i c a b l e a u x é q u a t i o n s de l a d y n a m i q u e R. R a d a u . S u r l ' é l i m i n a t i o n d i r e c t e d u n œ u d d a n s le p r o b l è m e des t r o i s corps R Radau. S u r u n e t r a n s f o r m a t i o n des é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s de la d y namique F. B r i o s c h i . S u r n n e t r a n s f o r m a t i o n d e s é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s du p r o b l è m e des t r o i s c o r p s Külp. Beitrag zur L e h r e vom Stoss d e r Körper C. J . M a t t b e s . E l e m e n t a r e r B e w e i s des v o l l s t ä n d i g e n A u s d r u c k s f ü r d i e D a u e r der P e n d e l s c h w i n g u n g e n . L. B c h l t t f l i . Sul m o t o di u n p e n d o l o , q u a n d o l a r e t t a p a s s a n t e pel p u n t o di s o s p e n s i o n e e pel c e n t r o (Ii g r a v i t k E. P a g e . M o u v e m e n t s r e l a t i f s à la s u r f a c e de l a t e r r e A. H a i l l e c o u r t S u r la d é v i a t i o n d a n s la c h u t e des g r a v e s . . . . fE. Segnitz. U e b e r d i e G e w i c h i s v e r i i n d e r u n g , w e l c h e ein K ö r p e r a n der O b e r f l ä c h e der E r d e d u r c h die A n z i e h u n g des M o n d e s u n d d e r Sonne erfährt G. L e s p i a u l t . D é m o n s t r a t i o n é l é m e n t a i r e des lois de N e w t o n . . . . H. R é s a l . O b s e r v a t i o n r e l a t i v e îi la d é m o n s t r a t i o n é l é m e n t a i r e des l o i s de N e w t o n , d e M . G L e s p i a u l t H. d e l a G o u p i l l i è r e . T h é o r è m e s u r le t a u t o c h r o n i s m e des é p i c y c l o i d e s , q u a n d on a é g a r d a u f r o t t e m e n t Ch. H a n s e n . L o a n i n g af O p g a v e r n e (209. 2 1 3 2 1 4 ) F.Binder. C e n t r a i b e w e g u n g m i t g e r a d l i n i g f o r t s c h r e i t e n d e m , im e i n f a c h e n d i r e c t e n V e r h ä l t n i s s der E n t f e r n u n g a n z i e h e n d e m C e n t r u m . f S . A. S e x e . E n N o t i t s a n g a a e n d e F o r m t e n for F a i d r u m m e t . . . . H. am E n d e . D i e C e n t r i f u g a l k r a f t u n d ein P r o b l e m a u s der h ö h e r e n Mechanik H . V i e i l o f f . U e b e r ein m e c h a n i s c h e s P r o b l e m J o h B e r n o u l l i ' s . . . . A. C a y l e y . R e p r o d u c t i o n of E u l e r s M e m o i r of 1 7 5 8 on t h e r o t a t i o n of a solid b o d y

318 319 319 319 321 321 321 321 321 323 324 324 325 326 32f>

326 326 236 327 327 328 328 328 328 329

XXX

Inhaltsverzeichnis».

H. a m E n d e . Ueber die Bewegung eines materiellen Punktes auf einer rotirenden Geraden V o 11 h e r i n g. Betrachtung der Bewegung eines der Schwere unterworfenen P u n k t e s , der genötbigt ist, sich ohne Reibung auf einer Geraden zu bewegen, die mit gegebener Winkelgeschwindigkeit sich um eine feste horizontale Axe dreht H. a m E n d e . Bemerkung zu einer Aufgabe in „M. E. Bary's neuen physikalischen Problemen" E. J a c q u i e r . Note sur le mouvement d'un point matériel dans les sections coniques conformément au principe des aires K. L. B a u e r . Ueber einige auf die parabolischen Wurflinien bezügliche, geometrische Oerter Ph. B r e t o n . Similitude mécanique M. d e B r e t t e s . Application de la théorie de la similitude des trajectoires à la vérification de la loi de la résistance de l'air contre les projectiles de l'artillerie M. d e B r e t t e s . Note sur la similitude des trajectoires écrites par les projectiles initialement semblables et variables, même divisibles pendant leur trajet M. de B r e t t e s . P h é n o m è n e singulier dans le tir des projectiles oblongs par les canons réglés R a d a u . Remarques sur le tir des projectiles oblongs P. G a u t i e r . Mouvement d'un projectile dans l'air J . C. M a x w e l l On governors . L. N a t a n i . Ueber Zahnräder F o l i e . Note sur la théorie de la roue Poncelet C. J . M a t t h e s . Ueber eine Construction, durch welche man sich die Bewegungszustände einer Reihe von Punkten bei interferirender long i t u d i n a l « Wellenbewegung veranschaulichen kann M. R a n k i n e . On waves in liquids de S a i n t - V e n a n t . Probleme du remous ou des gonflements produits jusqu'à de grandes distances dans les cours d'eau par les barrages qu'on y élève S t o k e s . On the communication of vibration from a vibrating body to a surrounding gas T o u c h e . Sur la théorie du mouvement des liquides f C . W . M e r r i f i el d. Example of the application of a graphical method to the problem of rectilinear motion in a homogeneous resisting medium W. T h o m s o n . On vortex motion H e l m h o l t z . Ueber discontinuirliche Fliissigkeitsbewegungen. . . . B e r t r a n d . Théorème relatif au mouvement le plus général d'un fluide. H e l m h o l t z . Sur le mouvement le plus général d'un fluide J. B o u s s i n e s q . Mémoire sur l'influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides R. M o o n . On the theory of pressure in fluids H. T r è s c a . Mémoire sur l'écoulement des corps solides H. T r e s c a . Sur l'application des formules générales du mouvement permanent des liquides à l'écoulement des corps solides d e S a i n t - V e n a n t. Calcul du mouvement des divers points d'un bloc ductile de forme cylindrique, pendant qu'il s'écoule sous une forte pression par un orifice circulaire d e S a i n t - V e n a n t. Solution du problème des mouvements que peuvent prendre les divers points d'un solide ductile ou liquide contenu dans un vase pendant son écoulement par un orifice inférieur. . . B o l t z m a n n . Lösung eines mechanischen Problems '

Seite

329

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Inhaltsverzeichniss.

XXXI Seite

Elfter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Mathematische Physik.

Elasticität und Akustik.

A. C i p o l e t t i . Intorno ad alcune definizione della forza di restituzione dei corpi solidi f B r i o t . Sur les vibrations intérieures des molécules W i t t w e r . Beiträge zur Molecularphysik E. W i n k l e r . Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit P e s c h k a . Ueber die Form Veränderung prismatischer Stäbe durch Biegung. M. O k a t o w . Anwendung der allgemeinen Theorie der Bewegung eines elastischen Stabes A. W a l t e r . Ueber die Anwendung der Methode Hamilton's auf die Grundgleichungen der mathematischen Theorie der Elasticität. . . K i r s c h . Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elasticität fester Körper E. M a t h i e u . Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique de S t - V e n a n t . Formules de l'élasticité des corps amorphes que des compressions permanentes et inégales ont rendus bétérotropes. . . J. W a r r e n . Theorem with regard to the three axes of invariable direction in a strained elastic body de S t . - V e n a n t . Choc longitudinal de deux barres élastiques, dont l'une est extrêmement courte de S t . - V e n a n t. Solution en termes finis du problème du choc longitudinal de deux barres élastiques en forme de tronc, de cône ou de pyramide. fPhillipps. Calcul de l'influence de l'élasticité de l'anneau bimétalliquedu balancier compensateur des chronomètres, surl'isochronisme, indépendamment des variations de température f P h i 11 i p p s. Mémoire sur le spiral réglant des chronomètres et des montres. W. W a l t o n . On the debility of large animals and trees C a p i t e l 2.

351 352 354 354 356 359 359 359 359 360 360

Optik.

•j-E. K o u t n y . Theorie der Beleuchtung krummer Flächen vom zweiten Grade bei parallelen Lichtstrahlen •(•F. M a t z e k . Construction der Curven bestimmter Beleuchtungsintensitiit an Rotationsflächen mit Benutzung berührender Kugelflächen. f M . H o c k . Détermination de la vitesse avec laquelle est entraînée une onde lumineuse traversant un milieu en mouvement W. K l i n k e r f u e s . Ueber Anwendung der Differentialgleichung du ®

349 349 349 350 350

360 360 360

d il

-^=¡0? ^ g

auf Akustik und Optik bei Variation der Grenzbe-

dingungen J. F i n g e r . Studien aus der Physik B o u s s i n e s q . Mémoire sur les ondes dans les milieux isotropes déformés. B o u s s i n e s q . Théorie nouvelle des ondes lumineuses B o u s s i n e s q. Etude sur les vibrations rectilignes et sur la diffraction dans les milieux isotropes et dans l'éther des cristaux R. R a d a u . Ueber das Minimum der prismatischen Ablenkung. . . . M. C l a r k . Réfraction through a prism K i i l p . Zur Theorie der nicht interferirenden polarisirten Lichtstrahlen. C. N i v e n . On rotatory polarisation in isotropic media J S c o t t . On the burning mirrors of Archimedes

360 361 361 362 367 368 369 369 369 370

XXXII

Inhal tsverzeichniss. Seite C a p i t e l 3.

Elektricit&t.

C. N e u m a n n . Die Principien der Elektrodynamik C. N e u m a n n . Resultate einer Untersuchung über die Principien der Elektrodynamik C. N e u m a n n Theoria nova phaenomenis electricis applicanda. . . . W. S c h e i b n e r . lieber Neuniann's Principien der E l e k t r o d y n a m i k . . . C l a u s i u s . lieber die von Gauss angeregte neue Auffassung der elektrodynamischen Erscheinungen • C. N e u m a n n . Notizen zu einer kürzlich erschienenen Schrift über die Principien der Elektrodynamik. ? J. L o s c h m i dt. Ableitung des Potentials bewegter elektrischer Massen aus dem Potential für den Ruhezustand E. W e y r . Ueber magnetische Fernwirkung elektrischer Ströme und Stromringe . . . . T h . K ö t t e r i t z s c h . Die mathematische Bestimmung der Vertheilung der Elektricität auf Conductoren C a p i t e l 4.

371 371 371 371 371 375 376 378

Wärme.

f j . C. M a x w e l l . On the dynamical theory of gases + E. B e t t i. Sopra la determinazione delle temperature variabili di un cylindro f E . B e t t i . Sopra la determinazione delle temperature variabili di una lastra terminata • f C h r i s t o f f e l . Sul problema delle temperature stazionarie e la rappresentazione di una data superficie F r o s c h . Ueber den Temperaturzustand eines von zwei nicht concentrischen Kugelflächen eingeschlossenen Körpers B o u s s i n e s q . Sur les spirales que décrit la chaleur, en se répandant à partir d'un point intérieur dans un milieu homogène dissymétrique. J . M o u t i e r . Sur la relation qui existe entre la cohésion d'un corps composé et les cohésions de ses éléments f j . E i b e l . Beitrag zur mechanischen Theorie der W ä r m e C. M. G u l d b e r g . Kortfattet Fremstilling af den mekaniske Varmetheori. G r a s h o f f . Ueber die Grundbegriffe und die Terminologie der mechanischen Wärmetheorie + T l i . W a n d . Kritische Darstellung des zweiten Satzes der mechanischen Wärmetheorie C. M. G u l d b e r g . Sur la théorie moléculaire des corps

Zwölfter Abschnitt.

371

379 379 379 379 379 380 381 382 382 382 382 383

Geodäsie und Astronomie.

C a p i t e l 1.

Geodäsie.

f C . B r e y m a n n . Sammlung geodätischer Aufgaben E . B. C h r i s t o f f e l . Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. . f B e l t r a m i . Sulla teoría delle linee geodetiche I i i i r o t h . Verallgemeinerung des Problems der kürzesten Linie. . . . E . S c h e r i n g . Erweiterung des Gauss'sclien Fundamentalsatzes für Dreiecke in stetig gekrümmten Flächen P. A. H a n s e n . Fortgesetzte geodätische Untersuchungen A l l é g r e t . Mémoire sur la flexion des lignes géodésiques tracées sur une même surface quelconque

384 384 388 388 388 388 389

Inhaltsverzeichniss.

XXXIII Seite

H e l m e r t . Studien über rationelle Vermessungen iin Gebiete der höheren Geodäsie Y. V i l l a r c e a u . Nouveau théorème sur les attractions locales. . . . F i s c h e r . Untersuchungen über die Gestalt der Erde f A . S c h e l l . Geometrischer Beweis des Lehmann'schen Satzes über die Lage des Standortes in Bezug auf das Fehleldreieck A. S c h e l l . Allgemeine Theorie des Polarplanimeters F. U n f e r d i n g e r . Das Pendel als geodätisches Instrument f J . H ö l t s c h l . Das Pothenot'sche Problem in theoretischer und praktischer Beziehung C a y l e y . A „Smitli's Prize" paper. Questions 3. 4

C api tel

2.

389 390 390 391 391 391 392 392

Astronomie.

f M e r r i f i e l d and E v e r s . Navigation and nautical astronomy. . . . f L a b o r d e . Nouvelles découvertes astronomiques t S e g u i n . Mécanique céleste f H o e k . Sur le mouvement du système solaire dans l'espace M ä r c k e r . Zwei wichtige chronologische Regeln F r i s c h a u f . Theorie der Bewegung der Himmelskörper um die Sonne nebst deren Bahnbestimmung in elementarer Darstellung J. P l a n a . Mémoire sur les formules du mouvement circulaire et du mouvement elliptique, libre, autour d'un point excentrique par l'action d'une force centrale. f E . B o u c h o t t e . Sur la distance de la terre au soleil . M e y e r . Kosmische Messungen f L e s p i a u l t . Théorie géométrique de la variation des éléments des planètes G r u e y. Sur le calcul numérique des perturbations des petites planètes au moyen des quadratures R. d e l G r o s s o . Sulle perturbazione planetaric R. R a d a u . Sur un théorème de mécanique R. R a d a u . Remarques sur le problème des trois corps R. R a d a u . Sur une transformation orthogonale applicable aux équations de la dynamique R. R a d a u . Sur l'élimination directe du nœud dans le problème des trois corps . . . . R. R a d a u . Sur une transformation des équations différentielles de la dynamique | C h . D e l a u n a y . Théorie du mouvement de la lune J. T i s s é r a n d . Exposition, d'après les principes de Jacobi, de la méthode suivie par M. Delaunay dans sa théorie de la lune. . . . N e w c o m b . Comparaison de la théorie de la lune de M. Delaunay avec celle de M. Hansen H. G o d f r a y . Note on the lunar theory W. W a l t o n . Note ou the lunar theory f E . D e s m a r e s t. Preuve physique et mathématique de la rotation diurne de la terre C. M e n z z e r . Ueber den Zusammenhang der Rotation und Revolution, die dritte von Copernikus entdeckte Bewegung der Erde und das Rotationsgesetz G y l d é n . Zur Entwickelung der Störungsfunction D u f o u r . Mémoire sur une méthode pour déterminer la distance de quelques étoiles, ou du moins une limite supérieure de cette distance. •fH. v a n B l e n k e n . Einige opmerkingen over de Beweging van Kometen.

393 3\)3 393 393 393 393 394 394 394 394 394 394 395 395 395 395 395 395 395 396 397 395 398 398 398 399 399 400

XXXIV

Inhaltsverzeichniss. Seite

Th. Oppolzer. Ueber die Bestimmung einer Kometenbahn Schramm. Der Sternschnuppenfall auf der Sonne Gyld^n. Ueber eine allgemeine Refractionsformel E r m a n . Ueber den permanenten oder mittleren Zustand der Erdatmosphäre J. F i n g e r . Studien aus der Physik

400 401 401 402 403

A n h a n g . Wackerbarth. Femställiga L o g a r i t h m - T a b e l l e r D e f e r t . Tafeln zur Berechnung rechtwinkliger Coordinaten Borsch. Anleitung zur Berechnung der rechtwinkligen sphärischen Coordinaten der Dreieckspunkte R . K o h r . Tafeln zur Berechnung relativer Höhen

404 404 404 404

Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie. Capitel 1. G e s c h i c h t e . J . M. WILSON.

tare.

Euclide come testo di geometría elemen-

Battaglini G. VI. 361 - 368.

Der Verfasser erwähnt im Eingang, dass Euclid's Elemente, die vor mehr als 2000 J a h r e n geschrieben, fast durchweg in England gelehrt werden und ftir die einzige G r u n d l a g e der bekannten Geometrie gelten, — wogegen in j e d e m andern Z w e i g e der Mathematik mit dem Fortschreiten der Wissenschaft auch bessere Elementarbücher geschrieben u n d a n g e w a n d t w e r d e n . E r erklärt dies für einen Mangel und weis't auf d a s Beispiel a n d e rer Nationen hin, die nicht in derselben Weise, wie die Engländer, a n Euclid festhalten. Hierauf bespricht der Verfasser zwei P u ñ e t e , in denen Euclid's Elemente ihm besonders m a n g e l h a f t erscheinen. Erstens ist der Standpunct des ganzen Buches im Gegensatz gegen die w a h r e W i s s e n s c h a f t , insofern Alles mehr a u s Conventionellen Gesetzen (wie etwa Spielregeln) als aus den nothwendigen und unveränderlichen Denkgesetzen gefolgert wird. Zweitens giebt Euclid nicht zu denken. Es ist also eine Reform nöthig, wie die von Jussieu in der Botanik, und Euclid's Elemente als L e h r b u c h zu verbannen. Mz.

On some points in the restoration of Euclide's Porism. Proc. of Manch. V i r . 6 8 - 7 2 .

WILKINSON.

Herr Chasles hatte in seinem W e r k e : „Aperçu historique, Bruxelles 1837" u n d in „Les trois livres de porismes d'Euclide, P a r i s 1860" b e h a u p t e t , dass er zuerst auf die Natur der von Forlsclir. d. Math. 1.

^

2

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Diopbant citirten Porismen aufmerksam gemacht bätte. Herr Wilkinson vindicirt die Priorität dieser Entdeckung Herrn Charles Wildbore auf Grund eines Briefes desselben an Herrn Lawson vom 18. August 1775. 0. M a k i a n i n i . S e t t a n t a c i n q u e p o r i s m i t r a t t i q u a s i t u t t i doli' o p e r a del C h a s l e s i n t i t o l a t a „ L e s t r o i s l i v r e s d e p o r i s m e s d ' E u c l i d e " e d i m o s t r a t i la m a g g i o r p a r t e e o n m e t o d o che dietro certe considerazioni, sembra probabile essere stato usato da Euclide. Mem. di Moduna. (2) II. G . S p e z i . Nieoiuaclü G e r a s e m P y t h a g o r e i Introduet-iones A r i t h m e t i e a e libi-i I i . Recen.suit 1». H ^ c h e . Houcompagni Bull. I. 57-62.

Anzeige der bei Teubner 1860 erschienenen neuen Ausgabe der Arithmetik des bekannten Mathematikers Nicomachus aus Ger a s a , welche Hrn. ¡Spezi Gelegenheit bietet, einmal, auch hier, wie er es nach eigener Angabe auch sonst tlmt, auf das Geschick der Alten ihren Gedankenreichthuin in wenig umfangreichen Schriften zusammenzudrängen und auf ihre Kunst der Darstellung hinzuweisen, zwei Eigenschalten, die der modernen Zeit abhanden gekommen, — sodann, sich gegen die Alt und Weise zu erklären, wie neuere deutsche Philologen die Texte der Alten bearbeiteten. Mr. G. Friedlkin. De Notis l m m e r o r u m Romanis. Bull

Boncompagni

I. 48-50.

Die Zahlen in Plinius' Naturgeschichte haben den Herausgebern und Erklärern viel zu schaffen gemacht, einmal, weil Zahlen an und für sich leicht der Verderbniss durch eine Unachtsamkeit des Schreibers ausgesetzt sind, dann aber, weil uns die Methode der Römer nicht überliefert ist, grössere Zahlen als einige Tausende zu schreiben. Denn dann hätten ihre M in einer schwer zu Ubersehenden Anzahl an einander gereiht werden müssen. Sie mussten daher darauf ausgehen, eine solche lange Reihe in ein leicht fassliches Zahlenbild zusammenzufassen. Da-

Capitel I.

Geschichte.

3

her unterschieden sie die Hunderttausende und T a u s e n d e , zählten j e d e dieser Gruppen für sich und machten sie durch Zeichen kenntlich, . w i l l hiess 2 300 000, x v i l 17000, also 2 317 508 wurde geschrieben x x 111 x v i l DVlll. Nun finden sich aber bei Plinius auch Zahlen aus 2 Gruppen bestehend, bei welchen obige Regel, wie der Zusammenhang lehrt, unmögliche Zahlen ergeben würde. F ü r diese hat Herr Martin in ..Tortolini Ann. V. 2 9 5 " eine Erklärung gegeben, welche die Schwierigkeiten hebt. Die erste Gruppe bedeutet Tausende, wenn Hunderte nachfolgen; dagegen nur Hunderte, wenn keine Hunderte in der zweiten Gruppe enthalten sind. Herr Friedlein erkennt die Nothwendigkeit dieser Erklärung für die Interpretation des Plinius an, macht aber darauf aufmerksam, dass diese Art die Zahlen zu schreiben unmöglich von Plinius herrühren könne, der nicht von der gewöhnlichen Regel abgewichen sein werde, ohne wenigstens seine Leser darauf hinzuweisen. Es sei dieses Verfahren daher wohl für die Erfindung eines Abschreibers zu halten. Weitere Bemerkungen sind gegen Herrn M. Cantor gerichtet, welcher die Bedeutung der Gruppen von ihrer Stellung abhängig macht, während das hinzugefügte Zeichen nach d. V. allein den veränderten Werth bezeichnet. Herr Cantor hat sich auf eine Stelle des Julius Sextus Africanus gestützt, um nachzuweisen, dass die Alten durch die Stellen die Bedeutung der Ziffern verändert hätten. Die Stelle bezieht sich aber auf eine Bezeichnung der Buchstaben für eine Art nächtlicher Telegraphie bei den Griechen, nicht auf Schreibung von Zahlen; ein Analogon zu unseren Stellen dürfte aber doch in jener Telegrapheneinrichtung anzuerkennen sein. Mr.

G.

FRIEDLEIN.

Beitrüge zur Geschichte der Mathematik.

F r . d. S t . - A . H o f 1868.

Das vorliegende Programm ist ein Theil einer grösseren Arbeit, welche später unter dem Titel: „Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Römer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 13. Jahrhundert. Mit 11 Tafeln" bei

4

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Deichert in E r l a n g e n 1869 erschienen ist. In dem vorliegenden Theile werden die Darstellungsarten der Zahlen bei den Griechen und zum Theil auch die bei den Kölnern vorkommenden besprochen. Ausgehend von der einfachsten und allgemeinsten Darstellungsmethode der Zahlen, welche durch Hinzufügen gleicher Gegenstände die kleinen Zahlbegriffe liefert, zeigt die Untersuchung, wie die N o t w e n d i g k e i t der Darstellung grösserer Zahlen die Griechen zu Vereinfachungen führte. Als solche werden genannt und ausführlich besprochen: die Anwendung von Recheninstrumenten, die Verwendung bestimmter Biegungen und Stellungen der Finger, der Gebrauch zusammenfassender Zeichen, die Benutzung der Buchstaben als Zahlzeichen. Namentlich wird der letzte Punkt ausführlich erörtert und besonders hervorgehoben, dass sich nirgends in griechischen Schriften eine Spur vom Gebrauche der Null, nirgends besondere, nicht von Buchstaben ableitbare, Ziffern finden. Erst um das 14. Jahrhundert lernten die Griechen im byzantinischen Reiche die Zahlzeichen der Araber als indische Ziffern k e n n e n . Bei den Römern finden wir auch Belege für die einfachste Darstellung der Zahlen durch Hinzufügen desselben Zeichens, aber von den Arten der Vereinfachungen, die bei den Griechen vorkamen, finden sich nur deren drei wieder a n g e w a n d t ; es fehlt nämlich die Verwendung der Buchstaben, wenigstens ist sie nicht sicher festzustellen, d a sich zu wenig Spuren einer solchen Verwendung finden. Das Recheninstrument der Römer ist uns dagegen bekannt, sogar bekannter als das griechische. Die vorkommenden Arten und ihre Anwendung werden besprochen. Hier bricht die Arbeit ab. T.

L. A m . S e d i l l o t . De l'astronomie et des mathematiques chez les Chinois. Lettre ä D. B. Boncompagni. Boncompagni Bull. I. 161-166.

Hr. Sedillot protestirt in diesem Briefe sehr energisch gegen die v o r t e i l h a f t e Ansicht von den mathematischen u n d astronomischen Kenntnissen der Chinesen, welche in einem Aufsatze im Journal des arts et des industries von Florenz aufgestellt worden ist. Er zeigt durch Citation einer Reihe von Thatsaclien aus

Capitel I.

Geschichte.

5

seinem grösseren W e r k e „Matériaux pour servir à l'histoire comparée des sciences mathématiques chez les Grecs et les Orient a u x " , dass sämmtliche bei den Chinesen angetroffenen wissenschaftlichen Kenntnisse ausserchinesischen Ursprunges sind und seitens der Chinesen nicht die geringste selbständige Fortbildung erfahren h a b e n , und schliesst mit dem Urtheilsspruch: l'astronomie et les mathématiques ne doivent rien, en fait de découvertes, aux peuplades russes, indiennes ou chinoises. B.

L.

De l'école de Bagdad et des t r a v a u x scientifiques des Arabes. Lettre à M. D. B. Boncompagni. B o n c o m p a g n i B u l l . I. 2 1 7 - 2 2 2 . A M . SÉDILLOT.

Herr Sédillot b e k l a g t sich, dass in dem W e r k e des Herrn Guignant über die neuesten Fortschritte auf dem Gebiete der Geschichte der Wissenschaften der von ihm und a n d e r n Gelehrten angestellten Forschungen über die arabische Schule von B a g d a d keine E r w ä h n u n g geschehen. Er verbindet damit ein kurzes Résumé über das, was diese Schule auf dem Gebiete der Mathematik, Astronomie und mathematischen Geographie geleistet hat. 0.

De la détermination de la troisième inégalité lunaire ou variation par A b o u l - W é f â et Tycho Brahé. 0 . R. L X V I . 286. - j?«,,1. s/ - f 3.

L . AM. SKDILLOT.

E.

MAILLY.

L'Espagne scientifique.

nuaire de l ' O b s e r v a t o i r e R. d. Briix. 1868.

N o t i c e s e x t r a i t e s de l'anGruuert A r c h . X L V I I I .

376.

Neben einem Abriss der Geschichte der Mathematik, P h y s i k und Astronomie in Spanien von den Arabern an, enthält die Arbeit historische Notizen Uber die Sternwarten und liber die spanische Akademie der Wissenschaften. An der erst citirten Quelle finden sich zugleich Nachrichten über spanische Universitäten. 0. MAXIMILIAN CURTZK.

Ueber die Handschrift

„Problematum Euelidis explicatio" d e r k ö n i g l . thek zu T h o r n .

R.

4°-2.

Gymnasialbiblio-

S c h l ö m i l c h Z. X I I I . Suppl. 45-104.

Genauere Analyse des Inhalts der schon in einer Provincial-

6

I. A b s c h n i t t .

Geschichte und Philosophie.

Zeitschrift, dann in Grunert Arch. XLIV. angezeigten Handschrift aus dem XIV. Jahrhundert. Die Handschrift enthält 13 Stücke: 1) Euclidis liber de visu (lat. llebers. der Optik des Euklid.) von Herrn Curtze zuerst fälschlich für eine bisher unbekannte Perspective Bradvvardins gehalten. 2) Utrum visio corporis que fit per radiorum reflexionem et refractionem possit esse equalis visioni quc fit per rectain radiorum radiationem. Verf. unbekannt. 3) Joannis P e c k k a m i Archiepiscopi Cantuariensis Perspective communis libri fres. 4) Postrema duo Theoreniata libri de Speculis Euclidis. 5) Carastonis liber editus a Tliebith filio Thore. 6) Verba filioruin Moysi filii Scliyr. i Marmeti. llamcli. Hasen. (Behandelt die Messung von Flächen und Körpern, namentlich des Kreises und der Kugel.) 7) Demonstratio niagistri Oampani de figura sectore. 8) Algorisuius proportionum magistri Nicolay Orem (i. c. Oreme). 0) Theorica motus longitudinum Septem planetarum. 10) Geometria Bradwardini. 11) Tractatus de continuo Bradwardini. 12) Liber de ponderibus Jordani Nemorarii. 13) De latitudine formariun magistri Nicholai Hören (i. e. Oreme). Von diesen Stücken waren schon früher, theilweise bereits im 15. und IG. Jahrhundert, gedruckt No. 1, 3, 4, 7, 12, 13; 1, 4 und 12 weichen jedoch in eigenthümlicher Weise von bekannten Drucken ab, während die andern im wesentlichen mit bekannten Ausgaben übereinstimmen. Der Druck von No. 13 (aus dem J a h r e 1505) ist selten, und da es wichtig ist, weil es die Anfänge eines Coordinatensystems enthält und die Veränderung der Form als eine Function von Länge und Breite (so nennt er Abscisse und Ordinate) auffasst, wird der Inhalt von Herrn Curtze ausführlicher besprochen, llesultate dieser Idee treten hier aber nicht weiter hervor. No. 8 ist erst von Herrn Curtze zum 300jährigen Jubiläum des Thorner Gymnasiums gedruckt worden (Berlin 1868, bei Calvary). Geschichtsschreibern der Mathematik war es in den

Capitel I.

Geschichte.

Handschriften bekannt; es ist neben dem oben besprochenen No. J 3 das wichtigste Stück der ganzen Handschriften. E s enthält nämlich die Lehre von der Rechnung mit Potenzen mit gebrochenen Exponenten, deren erste Anwendung bisher auf den späteren Vieta zurückgeführt wurde (Oreme f 1382. Juli 11). Nur in Bruchstücken waren bekannt 5 und G. Ersteres Werkchen von Steinschneider in Tortolini Ann. V. ausführlich behandelt, wird vollständig mitgetheilt. Caraston ist eine arabische Ableitung von HEIQ und heist H a n d w a g e ; das Buch handelt von der Art Handwage, die wir schwedische Sehn eilwage nennen. Von No. ß (auch verba trium fratrum genannt und in der Geschichte der Geometrie von Bedeutung) finden sich die bisher veröffentlichten Stücke nicht in der Handschrift, was wohl darauf beruht, dass, wie die Vergleichung mit einem Basler Codex ergiebt (F. II. 33), die Handschrift nur ß von den 19 Sätzen enthält, aus denen das ganze W e r k besteht. Noch nicht gedruckt waren No. 2, 9 und 11. No. 2 ist eine eigenthiimliche Discussion katoptrischer und dioptrischer Sätze in der Art, dass die letzte Abtheilung die Ausstellungen der vorhergehenden vier umstösst. — Der Verfasser ist unbekannt; es ist frühestens aus dem Anfang des XIII. Jahrhunderts, wie sich aus einigen Citaten ergiebt. No. 9 ist nicht von besonderem Werth aber nicht ohne Interesse dadurch, dass es nach den (allerdings kaum verständlichen) Anfangs- und Schlussworten scheint, als ob 1—9 der Handschrift ein systematisch geordnetes Ganzes bilden sollten, so dass die optischen, geometrischen und arithmetischen Lehrsätze von 1—8 nur Vorbereitung zu 9 wären. — Herr Curtze hat hieraus geschlossen, dass der Verfasser von 9 überhaupt der Schreiber der Handschrift sei, was aber nur richtig ist, wenn der Codex Original ist. No. 11 war bisher gänzlich unbekannt, hat aber keine hervorragende Bedeutung. Es handelt über die Zusammensetzung des Stetigen und gipfelt in dem Satze: omnes scientias veras esse, ubi non supponitur, continuum ex indivisibilibus componi. Zum Scbluss folgen noch Notizen über eine andere Handschrift derselben Bibliothek K fol. 23, welche 1) eine Darstellung des decadischen Zahlensystems ohne Anwendung der 0 ent-

8

I. Abschnitt.

Geschichte und P h i l o s o p h i e .

hält, 2) Prognostica für die Zeichen des Zodiaker, und 3) ein Calendarium für 1328, darin quatuor cicli premacionis lune, goldene Zahl, Wochenbuchstaben, Tageslänge und Sonnenhöhe, — endlich ein Verzeichniss der mathematischen Handschriften, welche die Thorner Gymnasialbibliothek (gegründet 1594) ehemals besass, bis sie ihr 1729 bei den so blutig endenden Unruhen abhanden kamen. Mr. CXJRTZE.

Der Algorithmus proportionum d. Nicol. Oresme,

zum ersten Male nach der L e s a r t der Handschrift R. 4°. 2 der königl. Gymn.-Bibl. zu Thorn. Berlin, Calvary, 1868. (Siehe S. 6 unten.)

A.

Manière de compter des anciens avec les doigts des mains, d'après un petit poëme inédit arabe, de Chems-Eddin el Massoul et le Tratado de Mathematicas de Juan Perez de Moya, imprimé à Alcala de Henares, en 1573. Boncompaguì Bull. I. 309-318. MARRE.

Uebersetzungen 1) eines kleinen arabischen Gedichtes aus einer Handschrift der kaiserlichen Bibliothek in Paris (supplément arabe No. 1912) über die Art und Weise die Zahlen durch Bewegungen der Finger auszudrücken, — 2) eines Abschnittes aus dem Tratado de Mathematicas von J . Perez de Moya, welcher das Verfahren der alten Völker in derselben Beziehung auseinandersetzt. Die Araber bezeichneten die Zahlen bis 99 mit der linken Hand, durch dieselben Bewegungen der rechten das Hundertfache, 10000 wird wieder mit der linken bezeichn e t ; weiter geht das arabische Gedicht nicht. — Die alten Völker nahmen noch andere Theile des Körpers zu Hülfe und hatten auch andere Bewegungen als die Araber. Die spanischen Mathematiker leiten dieses Verfahren von den Aegyptern her, welche keine Freunde von viel Worten gewesen seien. — Herr Boncompagni hat die Citate, die in dem spanischen Werke angeführt werden, aufgesucht und vervollständigt, zugleich auch die Literatur angegeben, welche über jene Art und Weise der Alten, die Zahlen zu bezeichnen, vorhanden ist. Mr.

Capitel L

E.

RITTER.

Viète.

Geschichte.

9

Introduction à l'art analytique par François

Boncompagni Bull. I. 223-244.

Das Buch, dessen Uebersetzung vorliegt, bildet den ersten Theil von Vieta's „wiederhergestellter mathematischer Analysis". Es giebt einen Ueberblick über die Mathematik der zweiten Hälfte des 16- Jahrhunderts, ihre Zeichen und Sprechweise, ihre Begriffe und Ausdehnung. Den Hauptinhalt bildet das von Vieta sogenannte „Gesetz der Homogeneität", d. h. die Regel über die Behandlung von Aggregaten, deren Glieder verschiedene Potenzen enthalten. — Die unter dem Texte befindlichen Anmerkungen sind mit einer Ausnahme geschichtlichen oder sprachlichen Inhalts ; jene einzige mathematische Anmerkung S. 244 (2) ist unrichtig. No.

E.

KITTER.

spécieuse.

Première série de notes sur la logistique Boncompagni Bull. I. 245.

Wir würden diese Anmerkungen „Formelsammlung" nennen. Nur sind die Formeln wegen des noch imausgebildeten Zeichengebrauches in Worten ausgedrückt, also ziemlich weitläufig. Man findet unter ihnen die Formeln liber die Potenzen eines Binoms, Sätze über geometrische Reihen, den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz, sogar schon (S. 271) die Entwickelung von sin mx und cos mx nach Potenzen von sin x und cos x, freilich nur in geometrischer Form. No. VORSTERMAN v. OiJEN. Notice Boncompagni Bull. I. 141-157.

sur Ludolphe van Colen.

Einige Details aus dem Leben Ludolf van Ceulens, denen eine Analyse seiner beiden Hauptschriften (de Arithmetische en Geometrische fondamenten, Leyden 1595 und van den circkel, Leyden 1597) folgt. Jene sind, wenn auch nicht ganz neu, aus Ludolfs eigenen und anderen bekannten Schriften von Zeitgenossen geschöpft — doch wenig bekannt und betreffen seine Beziehungen zu andern Mathematikern und Gelehrten seiner Zeit: Gondaen, Simon van der Eycke (a Querca) und namentlich zu Scaliger, gegen den er die archimedische Berech-

10

I. A b s c h n i t t .

G e s c h i c h t e und P h i l o s o p h i e .

Illing der Zahl n durch seinen Freund Adrian van Koomen (Ro nianus; Luduli' selbst verstand nicht Latein genug) in Schutz nehmen liess. Die Analyse der oben angeführten Schriften giebt eine Uebersicht über Ludolph's mathematischen Standpunkt; auffallend ist, dass er sich der französischen Methode, die Zahlen zu lesen, noch nicht bediente und anstatt die Ausdrücke Million, Billion etc. zu gebrauchen, noch das Wort Tausend sehr oft wiederholen nmsste. In der Geometrie sieht man mit Interesse, dass Aufgaben wie: ein Dreieck von einem Punkte ausserhalb in einem gegebenen Verhältnis« zu theilen, oder: ein Kreis-Viereck aus den 4 Seiten zu construiren und ähnliche ihm und seinen Zeitgenossen noch Schwierigkeiten machten. Bekanntlich gaben sich die Mathematiker jener Zeit fortwährend gegenseitig geometrische Aufgaben, wozu sie den Hauptanstoss, wie sich auch aus dem von Herrn Vorsterman van Oijen Mitgetheilten ergiebt, aus der praktischen Feldiuesskunst erhielten. Mr.

Elemente der praktischen Arithmetik von D. Nicolaus Medier. W e i s s e u f e l s 1564. P r . d. h. B. N a u m -

CT. N E U M Ü L L E R . b u r g 1868.

Die Einleitung und den Schluss bilden kurze biographische Notizen Uber Medier, in denen das Verhältniss Mediers zu Melanchthon und namentlich die Bemühung des letzteren, dem mathematischen Unterrichte in den Schulen eine grössere Geltung zu verschaffen, ausführlicher erörtert wird. Die praktische Arithmetik von Medier ist wohl als ein Werk anzusehen, das diesem Streben Rechnung tragen sollte. Der erste Theil derselben hat dem Herrn Verfasser in einer Ausgabe vorgelegen, die später, im Jahre 15G4, von Laurentius Codomanus veranstaltet ist. Die Methode, welche in dem Werke befolgt wird, ist anerkennenswert!], weil sie zeigt, dass Medier bemüht gewesen, einen geordneten Lehrgang, vom Leichteren zum Schwereren fortschreitend, einzuführen. Im Uebrigen aber ist die Behandlung des Stoffes die im 16. Jahrhundert übliche. Regeln und Anweisungen flir die verschiedenen Rechnungsoperationen finden sich ohne Angabe einer Begründung oder eines Beweises ihrer Richtigkeit. Die aufgestellten Regeln werden an zahlreichen Beispielen eingeübt.

Capitel T.

Geschichte.

11

D i e Eintheilung des behandelten Stoffes ist folgende: Im ersten Abschnitt befindet sich eine Besprechung- der Grundrechnungsarten für unbenannte Zahlen, darauf folgt, ohne dass die Anwendung derselben auf benannte Zahlen zuvor besonders gezeigt wäre, die Regula de tri, die umgekehrte Regula de tri, die Gesellschaftsrechnung, im Anschluss daran einige Regeln über die Rechnung mit Brüchen. Der zweite Abschnitt behandelt die Grundrechnungsarten mit gebrochenen Zahlen und die Regula falsi. Der dritte ist der Sumination der arithmetischen und geometrischen Progressionen, den Verhältnissen und den Proportionen gewidmet. T. CH.

FKISCH.

Vol. V I I . R.

Joannis Kepleri Astrononii Opera omuia.

F r a n k f u r t a. M.

Zwei Beiträge zur .Biographie

PEINLICH.

Kepler's.

I l e y d e r Sc Z i m m e r .

Gruuert.

AJ.

Johann

A r c h . X L I X . 460-474.

I. Kepler's Dienstzeugniss bei seinem Abzüge aus den innerösterreichischen Erbländern 1600. II. Versuch zur Lösung der F r a g e , in welchem Hause M. Johann Kepler zu Graz wohnte. Eine „Nachschrift des Herausgebers" enthält einige Notizen über Kepler, die von demselben Verfasser im „Jahresbericht des k. k. Ober-Gymn. zu Graz" 1866 veröffentlicht sind. M. E. KEITLINGER.

Johannes Kepler.

V i e r B ü c h e r in drei

Theilen. Unter Mitwirkung von C. W. Neumann und dem Herausgeber C . Gruner. E r s t e r T h e i l . S t u t t g a r t 1868. Das erste Buch „ B e r u f e n " weist an der Jugendgeschichte und Entwicklung Kepler's nach, dass er berufen war und wozu er berufen war. Nachdem in den ersten beiden Capiteln über die Ahnen Kepler's, über seine Geburt (27. December 1571) und seine Kindheit berichtet worden, schildert das dritte Capitel seinen Aufenthalt in der Grammatisten-Klosterschule zu Adelberg und in der Klosterschule zu Maulbronn ( 1 5 8 4 - 8 9 ) , das vierte seine Studien auf der Universität Tübingen (bis 1594). Das fünfte Capitel ist seiner Thätigkeit als Landschafts-Mathematiker zu Graz gewidmet, woselbst er auch einen mit Prognosticis ver-

i. Abschnitt.

12

Geschichte und Philosophie.

sehenen K a l e n d e r herauszugeben genöthigt war. Hier stellte Kepler sich die A u f g a b e , das Copernikanische System fester zu begründen und legte seine k ü h n e n Versuche in dem „Mysterium cosmographicurn", dem ..Gelieimniss des Weltbaues" nieder, dessen Inhalt das sechste Capitel gibt. Die beiden letzten Capitel des ersten Buches erzählen Kepler's Heirath und seine Schicksale während der Protestantenverfolgung bis zu seiner Z u s a m m e n k u n f t mit Tycho bei P r a g im J a n u a r 1600. Die Beilagen I - X X X I I I . enthalten Stammtafeln, Briefe Zeugnisse und a n d r e U r k u n d e n . M. G . A . V O K S T E B M A N VAN O I J E N .

kung.

Eine historische Bemer-

Schlömilch Z XIV. 22-25.

Zu einer B e m e r k u n g des Herrn Baltzer, den G e b r a u c h und die Erfindung des Wortes Million betreffend, theilt der Herr Verfasser mit, dass aus französischen Lehrbüchern der Arithmetik von J e a n T r e n c h a n t und J a q u e s Pcletier du Mans hervorgeht, d a s s das Wort Million in der zweiten Hälfte des IG. J a h r h u n d e r t s in Frankreich allgemein üblich, ebenso auch schon am A n f a n g e des 17. J a h r h u n d e r t s einigen Rechenmeistern in den Niederlanden bekannt gewesen sei. Girard hat also wohl in seiner Prolation eine Methode, die schon in Frankreich üblich war, gegeben und nicht eine neue dargestellt. T.

Erhard Weigel. Ein Beitrag zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften auf den deutschen Universitäten im 17. Jahrhundert. Schlömilch

BARTHOLOMAEI.

Z. XIII. Suppl. 1-44.

Um dem Leser einen Einblick zu gewähren in die Art u n d Weise, wie die mathematischen Wissenschaften auf den deutschen Universitäten im 17. J a h r h u n d e r t behandelt w u r d e n , gibt der Herr Verfasser eine Uebersicht über die Lehren des „weltberühmt e n " E r h a r d W e i g e l , der zwar in den mathematischen Wissenschaften nichts Wesentliches geleistet hat, der aber als Professor der Mathematik zu J e n a (vom J a h r e 1654 a n ) einer der gefeiertsten L e h r e r war. In dem ersten Abschnitt erhalten wir n a c h

Capitel I.

Geschichte.

13

einigen historischen Notizen eine Darstellung der Philosophie Weigel's, eines entschiedenen Gegners der Scholastik, dem als Muster der Philosophie die Mathematik galt. Der Inhalt seiner Mathematik, mit dem wir im zweiten Abschnitt bekannt gemacht werden, ist höchst dürftig und armselig. Weder von seinem grossen Zeitgenossen Cartesius, noch von seinem grossen Schüler Leibnitz lernte Weigel etwas hinzu. Bemerkenswerth ist seine Tetractys oder das Kechnen mit der Grundzahl Vier. Vom Nutzen der Mathematik hatte Weigel einen sehr hohen Begriff; dem Rechnen schrieb er einen beinahe allmächtigen sittlichen Einfluss zu. Der dritte Abschnitt behandelt die Astronomie, welche durch ihren theologischen Anstrich noch armseliger erscheint als seine Mathematik. Hervorgehoben werden die Bestrebungen Weigel's den Kalender zu verbessern, über den bei seinen abergläubigen Zeitgenossen eine grosse Unwissenheit herrschte. Der vierte Abschnitt enthält die mechanische Physik und ein Verzeichniss der von Weigel erfundenen Apparate. M. J.

BERTRAND. Sur la méthode de Huyghens pour calculer les logarithmes. C. R. L X V I . 5G5-567. Nouv. Ann. (2) VII. 229.

Sur la méthode de Huyghens pour calculer les logarithmes. 0. R. L X V I . G61-6G4. Nouv.ANU. (2)

FÉDOR THOMAN.

VII. GGl 0(H mit einer Note von Bourget.

Nachrichten liber eine von Huyghens aus dem Jahre 1606 herrührende, bisher noch nicht publicirte Methode zur Berechnung der Logarithmen mittelst einfacher Wurzelausziehung. Herr Bourget macht in seiner Note auf eine sehr viel einfachere Methode durch Potenzirung aufmerksam, die sich in Briggs, Arithmetica logarithmica, London 1624, findet. 0. P.

TARDY.

Iritorno ad una formula del Leibnitz.

compagni Bull. I. 177-186.

Mondes i2) XVIII. 687.

Siehe Abschn. V, Cap.,}'.

Bon-

I. Abschnitt.

14

Geschichte und Philosophie.

FRANZ SCHMIDT. AUS d e m L e b e n z w e i e r u n g a r i s c h e r M a t h e m a t i k e r J o h a n n u n d Wolfgang B o l y a i v o n B o l y a . Gruuert Arch. X L V I I I . 217-228-

Die Arbeit enthält einige biographische Notizen und eine Aufzählung nebst Analyse der Werke W o l f g a n g Bolyai's, welcher bei den jetzt wieder a u f g e n o m m e n e n Versuchen, die Parallelentheorie ohne Euclid's Axiom X L zu begründen, vielfach im Verein mit Nicolaus Lobatschewsky genannt wird. Auch Wolfgang's Sohn, J o h a n n Bolyai, w a r ein tiefdenkender Mathematiker, dessen zahlreiche Arbeiten nur zum kleinen Theil veröffentlicht sind. M.

Notice sur la vie et les travaux des deux mathématiciens hongrois Wolfgang et Johann Bolyai de Bolya. Mém. Bord. V. 191-205. — ,.La science absolue de l'espace, indépendante de la vérité ou de la fausseté de l'Axiome XI d'Euclide (que l'on ne pourra jamais établir a priori); suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fausseté de l'axiome XI", par Jean Bolyai, Capitaine au Corps du Génie dans l'armée autrichienne; précédé d'une notice sur la vie et les travaux de W. et de J . Bolyai. Paris, Gauthier-Villars, 1868. FORTI. Nota intorno alla vita ed agli scritti di Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi. Boncompagui Bull. I. 277-299.

ANGELO

o F

Im Wesentlichen eine freie Uebersetzung der Arbeit von Schmidt, vermehrt durch eine Fülle literarischer Notizen. M.

Notice sur J . - A . Timmermans ( 1 8 0 1 - 6 4 ) .

A n n u a i r e de Belg.

1868. 99.

Notice sur Mathias Schaar ( 1 8 1 7 - 6 7 ) .

Anuuaire de Belg.

1868 99.

Catalogue des Travaux de Mr. Noël Germinal Poudra. Boncompagni Bull. I

302-308.

Capital 1.

Geschichte.

15

C.-A. V A L S O N . La vie et les travaux du baron Cauchy, membre de l'Académie des Sciences; avec une Préface de M. Hertnite, membre de l'Académie des Sciences.

—

2 vol. in 8.

Paris, Gauthiers-Villars.

D e r erste B a n d dieses Werkes enthält eine ausführliche Lebensbeschreibung,

der zweite eine A n a l y s e der zahlreichen Ar-

beiten Cauchy's. C. J .

MATTHES.

Rehuel

Lobatto,

eine

Lebensskizze.

Grunert Arch. X L I X . 332-334.

Eine

kurze Lebensbeschreibung

des

a m 9. Februar

1866

verstorbenen niederländischen Mathematikers Rehuel Lobatto, der ein chronologisches Verzeicliniss der von ihm herrührenden Arbeiten a n g e f ü g t ist.

Intorno alla vita e alle opere die Luige La-

A. FORTI.

grange. E.

Piatoja, Nistri, 18Ö8.

Léon Lagrange.'

FALLEX.

D . PIANI.

0.

Paris, Douniol.

Intorno al centro di gravità.

critiche.

Notice storico

Boncompagni Bull. I. 41-42.

Zusammenstellung der von verschiedenen Mathematikern geg e b e n e n Sätze Uber den Schwerpunkt.

0.

Révolution dans l'astronomie en une leçon. L'Astronomie de premiers âges jusqu'à nous et son progrès réel au XIX siècle. Paris, impr. Balitout, Que-

P . BASSAGET.

stroy u. Co.

Mélanges scientifiques et littéraires. Pascal, Viète, Newton et Leibnitz. Liberté du calcul. Clermout-

ALLÉGRET.

Ferraud, Thibaut 1868.

16

L Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Capitel 2. P h i l o s o p h i e .

J . J . Bacmann. Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik in der neuern Philosophie nach ihrem ganzen Einfluss dargestellt und beurtheilt. Berlin 1868. Der Hauptinhalt des umfangreichen Werkes ist eine Zusammenstellung der Aeusserungen von Suarez, Descartes, Spinoza, Ilobbes, Locke, Newton, Leibnitz, Clarke, Berkeley und Harne, welche sich auf Kaum, Zeit, Zahl, Mathematik beziehen, und derer, aus welchen ersichtlich ist, inwiefern die Mathematik auf die Richtung der Philosophie Einfluss übte. In Betreff der späteren Philosophie verweist der Verfasser namentlich auf Trendelenburg's logische Untersuchungen. Die Anordnung ist derart getroffen, dass bei jedem Autor von neuem erst die genannten mathematischen Begriffe, dann die Gegenstände der beeinflussten Philosophie einzeln nach einander behandelt werden. Den Aufführungen der Stellen folgt in geeigneten Abschnitten die Kritik, welche sich jedoch fast nur gegen das Einzelne richtet, wenn gleich mitunter daraus summarische Folgerungen gezogen werden. Zum Schlüsse entwickelt der Verfasser seine eigenen Ansichten. Die Kritik, sofern sie erläutert, ist ein unentbehrlicher Bes t a n d t e i l des Werkes zur Herstellung des gelösten Zusammenhangs; sofern sie Fehler rügt, ist sie gleichfalls dem Zweck der Darstellung in hohem Grade entsprechend und bietet kaum Anlass zu Einwänden. Was ihr aber mangelt, ist folgendes: 1) Das Falschc wird nur flüchtig abgewiesen, und das davon abhängige Urtheil Uber das Ganze nicht gehörig begründet. Eine grössere Sorgfalt in der Herausstellung der GrundirrthUmer hätte die Arbeit bedeutend erleichtert und erspriesslicher gemacht. Hierzu bot Descartes die vortrefflichste Gelegenheit, indem sich bei ihm eine grosse Zahl der lehrreichsten Gedanken und F r a g e n vorfinden, von denen derselbe aber jedesmal mit merkwürdigen Fehlschlüssen zur Seite ablenkt. Da seine Vorurtheile noch heut-

Capitel 2.'

17

Philosophie.

zutage sehr wirksam sind, so konnte mit einer eingehenden Verfolgung der gerügten Fehler viel geleistet werden. 2) D a s Genannte hat augenscheinlich seinen Grund in dein Mangel einer positiven, entschieden abschliessenden und einheitlichen Ansicht über den Gegenstand, was natürlich den Verfasser nicht insbesondere treffen soll. Die Folge davon aber ist, dass nirgends ein exactes Resultat, nirgends ein Fortschritt ersichtlich wird, vielmehr am Ende eine grössere Mannigfaltigkeit unentschiedener und ungeordneter Fragen übrig bleibt, als ursprünglich vorhanden war. 3) Es fehlt j e d e Voruberlegung, was Ausgang und Ziel der Wissenschaft sei, j e d e Auskunft darüber, was und warum es als gegeben betrachtet werde. Daher werden dann auch im Erklärungsacte die verschiedensten Richtungen mit einander vermischt und verwechselt. Die hiermit bezeichnete restirende Aufgabe des Werkes stellt den Werth des Gelieferten nicht in F r a g e , soll vielmehr den Standpunkt kenntlich machen, bis zu welchem das Unternehmen gefördert worden ist, und an welchen eine spätere Vollendung mit dein grossen Gewinn anknüpfen k a n n , dass sie die historische Entfaltung- des Stoffes in grösster Reichhaltigkeit vorfindet. H.

L.

A.

Nuytz.

D e l'esprit

Paris, Germer Baillière.

A. T. B l e d s o k .

The

métaphysique en

géométrie.

1868.

philosophy

oi' m a t h e m a t i c s .

Phi-

l a d e l p h i a 18G8.

F. C. F r k s h n i u s . Die psychologischen Grundlagen Kaumwissenschaft. W i e s b a d e n 1868.

der

In der Einleitung wird gezeigt, wie in jeder Wahrnehmung der umfassende Sinneseindruck von dein Sinnesbewusstsein, M eiches immer nur einen sehr kleinen Tlieil des Gesammtbildes enthält, zu unterscheiden ist. Bis hierher und nicht weiter geht die Schrift psychologisch zu Werke. Der erste Abschnitt handelt vom Ursprung der geometrischen Elementarbegriffe. Man durfte wohl F o r t s c h r . >1. Math. I.

O

18

I. A b s c h n i t t .

G e s c h i c h t e und P h i l o s o p h i e .

e r w a r t e n , d a s s die Schrift erst die N a t u r i h r e r A u f g a b e ins A u g e fassen,

ihren P l a n

darlegen und

Rechenschaft

darüber

geben

w ü r d e , w a s im S i n n e s e i n d r u c k unmittelbar g e g e b e n i s t ,

welche

Tränsformation

dessen

und

warum

sie vollzogen

schreitet sie sofort zu E r k l ä r u n g e n

wird.

des Punkts,

Statt

der Linie,

der

G e r a d e n , des W i n k e l s u. s. w., welche die fertigen Begriffe unmittelbar in A n w e n d u n g bringen.

Der I ,eser erfährt nichts Uber

deren psychischen U r s p r u n g , nicht einmal den Grund, w a r u m im einzelnen F a l l e die E r k l ä r u n g

auf das oder j e n e s gestützt wird.

Im zweiten Abschnitt, der von der Vergleichung handelt, tritt der M a n g e l a n psychischer B e o b a c h t u n g noch deutlicher hervor. Der V e r f a s s e r hat nicht d a r a n g e d a c h t , chung d a s S u b j e c t , a n d e r n gleich

welches

oder ungleich

dass vor j e d e r Verglei-

bleiben oder sich sein soll,

ändern,

erst als

einem

dasselbe

zu

charakterisircn w a r , dessen Identität auch bei Wechsel der Accidentien fortbesteht.

Ausdrücklich

behauptet er,

das

Subject

enthalte den n e u e n E i n d r u c k , d a s l ' r ä d i c a t allein den festgeword e n e n , u n d schneidet

hiermit den W e g zur Identität völlig a b .

N a c h seiner Auffassung w ü r d e ein M a a s s s t a b ,

an

verschiedene

Linien gelegt, j e d e s m a l ein a n d e r e r sein, mithin alle Vergleichung unmöglich

werden.

Eine n a m h a f t e L e i s t u n g bietet d a g e g e n der dritte Abschnitt, Uberschrieben „die M e t h o d e " dar, welcher f e r n von psychologischer B e o b a c h t u n g nur einen b e k a n n t e n und viel b e s p r o c h e n e n , vorwaltend

einseitig

und

oberflächlich b e u r t h e i l t c n

mit grösserer Umsicht und K l a r h e i t nach p u n k t e n darlegt.

aber

Gegenstand

praktischen

Gesichts-

D e r Verfasser spricht f ü r die A n w e n d u n g der

genetischen Beweise, mit der bestimmten F o r d e r u n g , dass sie die G e s a m m t b e l e u c h t u n g f ü r die schrittweisen F o l g e r u n g e n und Hulfsmittel der strengen Beweise bilden sollen.

Durch e r s t e r e w i r d

dem Geiste die F r e i h e i t und d a s B e w u s s t s e i n der Fälligkeit ertheilt, durch letztere die g e w o n n e n e Einsicht fest und w e n d u n g tauglich

gemacht.

die höhere M a t h e m a t i k a u s d e h n e n l a s s e n , die j e d o c h rührt ist.

zur Ver-

D a s G e s a g t e h ä t t e sich leicht auf nicht beH.

Capitel 2. DUHAMEL. 3 vol.

19

Philosophie.

Des méthodes dans les sciences de raisonnement. P a r i s , Gauthier-Villars 1865-68.

V. I. Des méthodes cominunes a toates les sciences de raisonnement. V. IL Application des méthodes äla science des nombres et a la science de l'étendue. V. III. Application de la science des nombres a la science de Tétendue. Einige Bemerkungen /.um Unterricht Elementargeometrie. Pr. d. Ii. P. P o d i u m 1868.

PIEPER.

in

der

Die Schrift giebt eine geordnete Zusammenstellung der in der elementaren Mathematik enthaltenen Logik, mit welcher der Unterricht die Schüler durch Lebung im Einzelnen bekannt macht, die jedoch nach Ansieht des Verfassers, auch nach Erreichung irgend einer Stufe, als besonderer Lehrgegenstiind, zum Bcwusstsein gebracht werden inuss. Der erste Abschnitt behandelt die Begriffe, Definitionen, Urthcile und Schlüsse im allgemeinen, der zweite deren Anwendung auf Geometrie, der dritte die Anweisung zur Lösung yon Aufgaben. Die Darlegung ist zwar nicht ganz erschöpfend, doch fast durchgehends mit grosser Klarheit ausgeführt. Eine Ausnahme hiervon möchte nur die Erklärung des Kauines mit Hinzuziehung einer nicht zum Verständniss genügenden Betrachtung des Unendlichen s e i n , abweichend von dem vorher aufgestellten, richtigen Grundsatz, die Urbegriffe durch Isolirung aus den gewohnten Vorstellungen abzuleiten. H.

A.

TABULSKI. Ueber den Einfluss der Mathematik auf die geschichtliche Entwickelung der Philosophie bis auf Kant. Leipzig. 1868.

Lassen wir vom Inhalte der Schrift beiseite, w a s vom ausgesprochenen Zwecke abschweift, so bleibt uns in der T h a t wenig zur Mittheilung übrig; denn die Mathematik spielt darin kaum mehr als durch ihren N a m e n und ihre Darstellungsform eine Kolle. Etwas eingehende Charakteristik ist nur am Schluss in einem Auszug aus Kant enthalten, der jedoch ohne Beuvtheilung bleibt. 2*

20

I. Abschnitt.

Geschichte und P h i l o s o p h i e .

P y t h a g o r a s u n d Plato w a r e n die B e g r ü n d e r exacter E r k e n n t uiss,

realisirt

auf

dem Gebiete der Zahl

und der

räumlichen

Grösse, in F o l g e dessen g e a h n t und erstrebt im g a n z e n Bereiche des Lebens.

Hier reicht a l l e r d i n g s die N e n n u n g der Mathematik

hin, um sich a u s eigner E r f a h r u n g y.u v e r g e g e n w ä r t i g e n , wie f ü r Beide die Kenntnis» derselben B e d i n g u n g der P h i l o s o p h i e m u s s t e . indem sie einerseits die Idee Wissens, kennen,

und F o r d e r u n g

sein

exaeten

a n d r e r s e i t s den Mutli in weitcrem K r e i s e e x a e t zu ernach

einmaliger W e c k u n g

bei der e i n f a c h e m A u f g a b e

i n n e r h a l b des gleichartigen Begriffs, von da an zum

dauernden

Besitz des Geistes macht. Um hingegen

den E n t w i c k e l u n g s g a n g

der Philosophie von

da a u s in B e z i e h u n g zur Mathematik zu setzen, w a r ein tieferer E i n b l i c k in d a s W e s e n m a t h e m a t i s c h e r E r k e n n t n i s s u n u m g ä n g l i c h . O h n e denselben vermochte scheinungen des

nur

Aristoteles,

der

Verfasser

einfach zu r e g i s t r i r e n . welche

in

beiderlei

die

historischen

namentlich

Hinsicht

das

die

Er-

Logik

Gegenlhcil

inathematischer E r k e n n t n i s s ist, einmal sofern sie d e n realen Begriffsinhalt, der in der Mathematik evident ist. u n b e s t i m m t lässt, damit also der F o r d e r u n g exacter E r k e n n t n i s s nicht G e n ü g e thut, d a n n sofern sie durch E n t l e h n u n g der F o r m

und Methode

den

gänzlichen Mangel an Mutli zur Produetion u n d A u f f i n d u n g der W e g e beweist. D e r gleiche Missgrift' ü b e r t r ä g t sich nach W i e d e r a u f l e b e n der W i s s e n s c h a f t e n auf Deseartcs.

Obgleich

dieser die Euklidische

F o r m , die er seinen Deductionen g a b , f ü r N e b e n s a c h e

erklärte,

so ist doch g e r a d e an den a n g e f ü h r t e n Beispielen recht sichtbar, wie da, wo keine F o l g e r u n g stattfindet, d a s m a t h e m a t i s c h e „folglich" den Schein erweckt, es sei etwas begründet, eine T ä u s c h u n g , von der w e d e r D e s c a r t e s kundet.

Doch wichtiger

folgende F e h l e r .

der V e r f a s s e r frei zu sein

be-

ist auf des D e s c a r t e s S t a n d p u n k t

noch

der

E r sagt, die m e t a p h y s i s c h e n Begriffe f ü g e n sich

nicht der mathematischen B e h a n d l u n g , weil sie mit Vorurtheilen streiten, die wir von den Sinnen e m p f a n g e n .

Während nun j e d e s

exaete V e r f a h r e n die T ä u s c h u n g und den W i d e r s p r u c h zur Q u e l l e verfolgen n i u s s , besehliesst

im Gegentlieil lJcscarles

dem T ä u -

schenden a u s dem W e g e zu g e h e n , und lässt so seine Vorurtheile

C a p i t e l 2.

unangetastet bestehen. eine Aehnlic-hkeit reinen

mit

Wenn

der V e r f a s s e r in diesem Schritte

K a n t s Methodenlehre

Vernunft entdeckt,

21

Philosophie.

so müssen wir

in der K r i t i k

der

diese nicht nur

be-

stätigen, s o n d e r n noch weit d a r ü b e r h i n a u s g e h e n .

Auf J a h r h u n -

derte w a r durch ihn die B a h n bezeichnet, welche nach D e s c a r t e s die P h i l o s o p h i e einschlug, indem sie die g e g e b e n e W i r k l i c h k e i t beiseite liess, und sie bis heute vergeblich wiederzufinden s u c h t e . A u s d r ü c k l i c h vertheidigt der Verfasser dies Beiseitelassen in d e r irrigen M e i n u n g , verdanke.

dass die Mathematik

d e m s e l b e n ihre

Erfolge

Im executiven R e c h n e n , w a s er allein v o r f ü h r t , trifft

freilich die B e m e r k u n g zu, aber nicht in der E r f i n d u n g u n d dem prineipi eilen Fortschritt. Die L e i s t u n g e n B a k o ' s sind

dem V e r f a s s e r

unverständlich.

In der T h a t ist seine M e t h o d e nicht der Mathematik Dass durch

sie gleichwohl

abgeborgt.

in deutlichen Schritten exaetes

und

mathematisch b e g r ü n d e t e s Wissen erzielt w i r d , wie es die f o r m a l e Logik zu erzielen nicht im S t a n d e ist. w i r d der V e r f a s s e r nicht in A b r e d e stellen k ö n n e n .

E s zu e r k l ä r e n hätte ihm o b g e l e g e n .

W i e weit die am Schluss a u f g e f ü h r t e u n m i t t e l b a r e Aeusser u n g K a n t ' s über den U n t e r s c h i e d der m a t h e m a t i s c h e n u n d philosophischen Erkenfltniss von einer exaeten A u f f a s s u n g e n t f e r n t ist, tritt am a u g e n f ä l l i g s t e n in dem M a n g e l an Klarheit über d e n Begriff des apriori h e r v o r , welches e i n g e f ü h r t wird in d e r t u n g der Allgemeinheit, a b e r stillschweigend

Bedeu-

den ¡Sinn u n d

die

B e h a u p t u n g der Ursprüngliclikeit involvirt, und in letzterni S i n n e wieder sich durch nichts u n t e r s c h e i d e t von d e m , w a s der A u t o r nach Inhalt u n d E n t s t e h u n g nicht zu e r k l ä r e n v e r m a g .

E s lässt

sich n u r a n n e h m e n , dass der V e r f a s s e r von der D a r l e g u n g K a n t ' s vollkommen befriedigt w a r . Zu e r w ä h n e n ist noch, dass a u c h ein Einfluss der P h i l o s o p h i e auf die Mathematik darin g e f u n d e n w i r d ,

dass Descartes

durch

erstcre auf die Erfindung d e r a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e geleitet w o r den sei.

Diese rein p e r s ö n l i c h e V e r k n ü p f u n g k a n n u n s

indess

den N a c h w e i s objectiver B e z i e h u n g nicht ersetzen. H.

22

I. A b s c h n i t t .

Graf

L.

v.

PFEIL.

Arch. X L I X .

G e s c h i c h t e und

Philosophie.

Zur T h e o r i e der g r a d e n Linie.

Grunert

178-192.

Raum, Länge, Breite, Dicke, Ort, Grösse und Richtung sind e i n f a c h e Begriffe; die grade Linie nicht. Mit Hülfe der Erklärungen: „Eine grade Linie ist eine solche, welche in allen ihren Thcilen dieselbe Richtung hat", und: „Parallele Linien sind grade Linien, welche die gleiche Richtung haben, ohne doch zusammen zu fallen", — wird eine Reihe bisher als Grundsätze bekannter Sätze über die grade Linie und zuletzt der XI. Euclidische Grundsatz hergeleitet. M.

Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie G r u n d e liegen. G o t t . A b h a n d l . X I I I 1868. 1-20.

RIEMANN. ZU

HKLMIIOLTZ.

Ueber die Thatsachen. die der Geometrie

zu G r u n d e liegen.

Gott. N a c h r .

1868.

193-221.

Beide Arbeiten behandeln die Frage nach dem Ursprung und dem Wesen unsrer allgemeinen Anschauung vom Raunte und suchen zu ermitteln, welche von den Sätzen der Geometrie objectiv gültigen Sinn haben, und wieviel nur Definition oder Folge aus Definitionen ist. Riemann sucht in die Frage einzudringen, indem er aus allgemeinen Grössenbegriffen den Begriff einer mehrfach ausgedehnten Grösse construirt, unter welchem die Raumgrössen als specieller Fall enthalten sind. Als wesentliches Kennzeichen einer «fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit stellt Riemann auf: 1) dass sich ein Punkt in derselben durch n veränderliche Grössen (Coordinaten) bestimmen lasse. 2) Als weitere Forderung wird hinzugefügt, dass die Länge einer Linie unabhängig sei von Ort und Richtung, dass also j e d e Linie durch j e d e andre messbar sei. o) Um die Maassverhältnisse in einer solchen Mannigfaltigkeit zu untersuchen, ist für jeden P u n k t das von ihm ausgehende Linienelement darzustellen durch die entsprechenden Differentialien der Coordinaten. Dies geschieht mittelst der Hypothese, dass das Längenelement der Linie gleich sei der Quadratwurzel aus einer homogenen Function zweiten Grades von den Differentialien der Coordinaten. Diese Hypothese begründet Riemann nur

C a p i t e l 2.

Philosophie.

23

als die einfachste, die den vorigen Bedingungen entspricht; er erwähnt insbesondere, dass auch eine vierte Wurzel aus einem homogenen Ausdruck vierten Grades oder andre noch complicirtere Ausdrücke für das Linienelement gesetzt werden könnten. — Einen besondern Fall bilden hierbei diejenigen Mannigfaltigkeiten, in welchen sich das Quadrat des Linienelements auf die Summe der Quadrate von vollständigen Differentialien bringen lässt; solche Mannigfaltigkeit nennt Riemann e b e n e . Aus dieser Hypothese zieht Riemann nur einige Folgerungen in allgemeinster Form. Er betrachtet namentlich das Krüminungstnaass einer beliebigen Fläche in einer »¿fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit und zeigt, dass sich die Maas Verhältnisse der Mannigfaltigkeit bestimmen lassen, wenn das Krlimmungsmaass n—1 in jedem Punkte in w —-— Flächenrichtungen gegeben ist. — In den oben definirten ebenen /¿fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten ist das Krümmungsmaass in j e d e r Richtung null. Diese sind zu betrachten als ein besonderer Fall derjenigen Mannigfaltigkeiten, deren Krümmung allenthalben constant ist, in denen sich also wfach ausgedehnte Gebilde von e n d l i c h e r Grösse ohne Dehnung bewegen lassen. Die Betrachtung dieser Mannigfaltigkeiten führt dann auf den Fall des wirklichen Raumes, der diese Forderung erfüllt. Es zeigt sich dabei, dass durch die zu Grunde gelegten vier Voraussetzungen die Unendlichkeit der Ausdehnungen des Raumes nicht gefordert wird, vielmehr könnte auch der Raum in Bezug auf eine vierfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit das sein, was für eine dreifache Mannigfaltigkeit eine Fläche mit constantem Krümmungsmaass ist. Helmholtz führt in seiner Arbeit die letzte Beschränkung, dass endliche Figuren ohne Formveränderung beweglich seien, von vorne herein ein. Die dritte Hypothese von Riemann ergiebt sich dann als eine nothvvendige Folgerung dieser Annahme. Helmholtz beweist nämlich, dass ein homogener Ausdruck zweiten Grades von den Differentialien existirt, welcher bei j e d e r Bewegung zweier unter sich fest verbundener Punkte von verschwindend kleinem Abstände ungeändert bleibt. Helmholtz legt demgemäss folgende Postulate zu Grunde:

I. Abschnitt..

24

Geschichte und Philosophie.

1) Ein P u n k t einer »¿fachen M a n n i g f a l t i g k e i t ist durch n Coo r d i n a t e n bestimmt (erstes P o s t u l a t von Kieinann). 2) Zwischen den 2n Coonlinaten

eines P u n k t p a a r e s

besteht

eine von der B e w e g u n g d e s letzteren u n a b h ä n g i g e Gleichung, welche ftir alle c o n g r u e n t e n P u n k t p a a r e dieselbe ist. 3) E s wird v o l l k o m m e n freie Beweglichkeit der festen Körper vorausgesetzt. 4) W e n n ein fester K ö r p e r von « Dimensionen sich um in - 1 j feste P u n k t e dreht, so f ü h r t die D r e h u n g ohne U m k e h r in die A n f a n g s l a g e zurück (Monodromie des Kaumes). Die Sätze 2) u n d o) w e r d e n bei der Ableitung ftir die L ä n g e des Linienelements n u r auf unendlich kleine Kaunielemente eingeschränkt.

Ks zeigt sieh

also, dass die dritte Voraussetzung

Kiemanns identisch ist mit der, dass der R a u m m o n o d r o m ist und unendlich kleine Kaunielemente, von der B e g r e n z u n g abgesehen, e i n a n d e r e o n g r u e n t sind. D i e beiden Arbeiten von Kieniann und Helmholtz zeigen also, dass die 4 von Helmholtz aufgestellten P o s t u l a t e z u s a m m e n mit folgenden 2 Sätzen: f>) der K a u m hat drei Dimensionen, (j) der Kaum ist u n e n d l i c h a u s g e d e h n t , die g e n ü g e n d e G r u n d l a g e zur E n t w i c k e l u n g der Geometrie geben. ALLKÜRET.

stitut.

ab-

Wg. H .

La liberté du calcul et nos géomètres de l'InClerniont-Furraiul.

Thibaut.

1868.

Zweiter Abschnitt. Algebra. C a p i t e l 1. Gleichungen. algebraische

(Allgemeine und

Theorie.

transcendente

Besondere

( Meicluingen.)

J. A . SERKKT. H a n d b u c h DER h ö h e r e n A l g e h r a . D e u t s c h b e a r b e i t e t , v o n (J. W e r t h e i m . 2 [Sande. Leipzig. B. G. Teubnor. 1868.

G.

Leçons d algèbre supérieure. Trad. de l ' a n g l a i s p a r M . B a z i n : a u g i n . d e n o t e s p a r M. H e r m i t e . SALMON.

P a r i s . G a n t h i e r - V i l l a r s . 1868. CAYLKY.

N o t e o n t h e S o l v i b i l i t y of E q u a t i o n s b y

of R a d i c a l s .

means

Phil. Mag. (4). X X X Y I . 386-387.

Die Unmöglichkeit, Gleichungen vom höheren als dem vierten Grade durch Wurzelzeichen aufzulösen, folgt aus den beiden Lemma's : I. Eine einwerthige (oder symmetrische) Function von n Grössen ist nur dann eine vollständige k'" Potenz, wenn die /cle Wurzel eine einwerthige Function der n Grössen ist. (Ausnahme: k — 2 für j e d e s n). II. Eine zweiwerthige Function von n Grössen ist nur dann eine vollständige W" Potenz, wenn die /cte Wurzel eine zweiwerthige Function der n Grössen ist. (Ausnahme: k — o für » = 3, 4.) M.

26

II. Abschnitt.

THOMAS

P.

On

KIRKMAN.

gebraic Equations. —

—

Note

Phil

Algehra.

the General Solution M a g . (4) X X X V I .

on the Resolution

P h i l . M a g . (4i. X X X V I .

of A l -

169-174.

of A l g e b r a i c

Equations.

264-266.

Der H. Verf. construirt ein P r o d u c t von der F o r m r„ rLi r j - i . . . i i n ftf;, wo Ji die Summe der Werthe bedeutet, welche die ¿l0 Potenz einer asymmetrischen Function von xt, x.2, ... xa bei P e n u u t a t i o n e n der x annimnit, lind r,n die Gruppe der m cyclischen P e n u u t a tionen d e r ersten m Elemente, wobei die übrigen n—m unguändert bleiben. Dieses Product ist eine rationale und symmetrische Function von xn x,, . . . x„ f ü r beliebige positive ganze ß, y, . . . v, a, i. Die A n w e n d u n g dieses Productes auf die Lösung der Gleichung («+1) 1 ''" Grades nach der des re1'" Grades ist für n ~> nicht richtig, wie der Verf. in der Note selbst bemerkt. Die Note enthält einen neuen Beweis dafür, dass die obige Function rational und symmetrisch ist. M. THOMAS

P.

solution

Note

KIRKMAN.

on

„An

of A l g e b r a i c E q u a t i o n s ,

Hargreave, L. L.

D.,

F.

R.

Essay by

S". —

the Proc.

on

the

late

Re-

Judge

of M a n c h . V I I .

133-137. — E d u c . T i m e s X. 70-74.

—

—

On the Solution

of M a n c h . V I I .

—

—

of A l g e b r a i c E q u a t i o n s .

Proc.

141-148.

N o t e o n t h e C o r r e c t i o n of a n A l g e b r a i c S o l u t i o n .

P r o c . of M a n c h . V I I . 221-222.

Ein Versuch, die Gleichungen vom f ü n f t e n u n d höherer Grade algebraisch zu lösen, der, wie der H. Verf. in der zweiten Note bemerkt, ein vergeblicher w a r . Die erste Note zeigt, dass auch H a r g r e a v e im Irrthum w a r . Die zweite enthält die Correction einer Stelle in der Lösung der Gleichung sechsten G r a d e s "(p. 147). M. RICHARD

von

BALTZKR.

G l e i c h u n go e n .

U e b e r die A u f l ö s u n g e n eines S y s t e m s I J r . d. G. z u m h e i l i g°e n K r e u z in D r e s d e n . 1868.

Nach allgemeinen B e m e r k u n g e n über die Bedingungen, welche das aufgestellte Gleichungssystem erfüllen muss, nach allgemeinen

C a p i t e ! 1.

Gleichungen.

L>7

Andeutungen über die Operationen, durch welche das gegebene System in das resolvirende zu transformiren ist, nach allgemeinen Erörterungen über die Vorsicht, die zur Sicherstellung des richtigen Umfangs des transformirten Systems nothwendig ist, erwähnt der Herr Verfasser das von Hudde angegebene Kriterium, nach welchem zu entscheiden ist, ob eine Wurzel einer Gleichung eine vielfache derselben ist; für dieses Kriterium giebt er den Beweis mit Hilfe des Taylorschen Satzes. Dann giebt er für das analoge, von Jacobi gegebene, Kriterium, nach welchem zu entscheiden ist, ob eine endliche Auflösung eines Gleichungssystems als eine mehrfache zu zählen ist, einen analogen Beweis. Die Anzahl der endlichen Lösungen eines binären Systems resp. vom m1'" und Grade kann nie grösser sein als die Anzahl der endlichen Werthe, welche eine der Unbekannten in den Auflösungen des Systems hat. Ist nun auf den angegebenen Wegen durch die Determinante oder die Minding'sche Kegel (Grelle J . X X I I . 178) ermittelt, dass die zur selbstständigen Berechnung von x oder y dienenden Gleichungen resp. pu" oder o d e r x : y — () bei u n e n d l i c h e m x oder y geben.

Zunächt

wird d u r c h diese M e t h o d e n u r d a s e r s t e

Glied d e r E n t w i c k e l u n g g e f u n d e n , sie ist a b e r a u c h g e s c h i c k t Auftindung der

f o l g e n d e n G l i e d e r ; Heispiele

Fall i h r e A n w e n d b a r k e i t . einem

binären

asynipiotische Richtung einer der

Gleichungen

erläutern für j e d e n

Hat m a u nun f ü r ein C u r v e n p a a r ,

Gleichungssystem

entspricht,

ermittelt und für j e d e n

eine

entwickelt

nach jener

zur das

gemeinsame

man

dann

aus

R i c h t u n g hin

sich

e r s t r e c k e n d e n Z w e i g d e r a n d e r n G l e i c h u n g y ( o d e r a-) n a c h f a l l e n d e n P o t e n z e n von x ( o d e r y) u n d s u b s t i t u i r t j e d e d e r g e f u n d e n e n R e i h e n in die e r s t e G l e i c h u n g , sieh

der

Grad

d a n n w e r d e n die C u r v e n ,

der Schlussgleichungen

um ¡.i, v, . ..

Einheiten

v e r r i n g e r t , ,« + " + ••• u n e n d l i c h f e r n e P u n k t e mit e i n a n d e r h a b e n , u n d d a s b i n ä r e G l e i c h u n g s s y s t e m h a t ¡.i-\-v u n d z w a r resp. ¡.t, v- f a c h e A u f l ö s u n g e n .

wenn gemein

. . . unendliche

Hat man nun das ana-

loge Verfahren für alle den beiden Curven gemeinsame asymptotische R i c h t u n g e n w i e d e r h o l t , so hat m a n a u c h a l l e

unendlichen

A u f l ö s u n g e n d e s b i n ä r e n G l e i e h u n g s s y s t e m s g e f u n d e n , die ü b r i g e n sind dann endliche.

Beispiele erläutern das Verfahren.

w i c k e l u n g e n von y n a c h s t e i g e n d e n mit

Benutzung

lassen erkennen,

des

Newtonschen

ob e i n e L ö s u n g

P o t e n z e n von x,

Parallelogramms eines

m e h r f a c h e i s t , u n d z e i g e n zugleich a n ,

binären

Die Entebenfalls

ausgeführt,

Systems

eine

w i e v i e l f a c h sie ist.

Ein

B e i s p i e l e r l ä u t e r t noch d i e s e M e t h o d e .

T.

C a p i t e l 1.

E . PKLLET.

Gleichungen.

29

Solution de la question 850.

Nom-. Ami. (2).

VII. 334-335. Bezeichnet man mit V, I 7 ,. I' 2 , . . . V„ die Reihe der Sturmschen Functionen,

so b a t ,

wenn eine der Gleichungen

Vr =

0

¡> imaginäre Wurzeln hat, die aufgestellte Gleichung wenigstens p imaginäre Wurzeln. LILL. qui

Résolution ont

des

graphique

des

équations

racines imaginaires.

algébriques

Nonv. Ami. (2), VII. 363.

Eine Construction, um sänuntliche Wurzeln einer beliebigen algebraischen Gleichung geometrisch darzustellen.

C. F . E. BJÖRLING. algébriques.

Br.

Sur la réalité dos racines d'équations

(ïninert Arch. X L V I I I .

363-370.

Die gegebene Gleichung fx — 0, als Function der Unbekannten betrachtet,

repräsentirt eine Curve;

Schnittpunkte mit

der Abscissenachse

aus

der Anzahl

ihrer

und aus der B e m e r k u n g ,

dass zwischen j e zwei Schnittpunkten ein Maximum oder Minimum der Curve liegen muss, folgt, dass f'x — 0 lauter reelle und verschiedene Wurzeln haben inuss, wenn fx —.- 0 solche Wurzeln hat. Die weitere Untersuchung zeigt d a n n , Beschaffenheit der Wurzeln

welchen Riickschluss die

der Gleichung f'x — 0 auf die An-

zahl der reellen Wurzeln von fx — 0 gestattet.

Dabei ist

aber

zu unterscheiden, ob die Wurzeln von f'x = 0 sämmtlich

reell

und verschieden sind, oder ob nur ein T h e i l derselben diese Bedingung erfüllt und die übrigen imaginär sind, vielfache Wurzeln sicli linden. folgender Coeflicientcn

oder ob endlich

Das Verschwinden auf einander

in der Gleichung fx - - 0 b e w i r k t ,

eine bestimmbare Anzahl ihrer Wurzeln imaginär wird.

dass

Die An-

wendbarkeit der entwickelten Kriterien wird an mehreren numerischen Beispielen gezeigt, die auch in der Algebra von Bourdon mit Hülfe des Sturm'schen findet sich

dann

Satzes behandelt sind.

die Untersuchung

der allgemeinen

Am Sehluss cubischen

Gleichung und eine vollständige T a b e l l e für die allgemeine Gleichung des fünften Grades. T.

30

II. Abschnitt.

ABEL TRANSON. D e LA Ann. (2 . VII. 25-3(3. 57-67.

Algebra.

Separation

des racines.

Nouv.

Versteht man in der Gleichung F ( s ) = 0 , die eine ganze algebraische Function von 3 mit beliebigen Coet'ficienten sein soll, unter z eine complexe Grösse 1 ist,

auch ein gemeinsamer T h e i l e r aller

U n t e r - D e t e r m i n a n t e n (m— / -j- 1 Aus den

Ordnung von \P, (>] sei.

so entwickelten Sätzen über bilineare F o r m e n er-

giebt sich eine Reihe analoger T h e o r e m e für quadratische F o r m e n . Aus diesen

sei nur e r w ä h n t ,

dass ^

und Sü

sich

gleichzeitig

unter der Form ¥ =

XJ + • • • +

a„ X * ,

C = 6, X i -1

darstellen lassen, wenn die Coefficienten von unter den Formen reellen Werthen

pf>--]r q£i irgend von xt

. . . xn

h

XI

£ } reell sind und

eine sich findet, welche bei

nur gleich

Null werden

wenn diese Grössen selbst sämmtlich verschwinden.

kann,

Unter diesen

Bedingungen besitzt die Determinante [^ß, £ } ] von pty - f — v

kennt. Denn, substituirt man in den 2 äquivalenten Systemen a;,, . . . xm und zn . . . a,„_i, v für v seinen Werth

v = u — a,nVlx,„i\

so sind

) ...

Zm—l , W,

anx„, . . . Xn

die verlangten neuen Variabeln. Die erste Lösung geht von dem Falle n = 2 aus. Hat man zwei ganze Zahlen ß, y gemäss der Gleichung

Fortschr. d. Math. I,

F.

66

HI- Abschnitt.

Zahlentheorie,

bestimmt, so giebt das System X ,

=

y u —

x

=

i

—

ßu

-f

^ j - Z

ganze Zahlen für v, z, und ersteres erfüllt die Gleichung J r

u

l

x .

—

l

f u .

Ist nun ft der Theiler von a. und cc,, f3 von ft und a3, u. s. f., fi der Theiler von f i und y-

fn — i y n—i

+

« ,

+

a „

a--,

f

:

X „

=

y , ,

f „ y „

äquivalente Systeme a;, ,

x

%

y

x

3

t

,

y

t

y ^

>

2/3-

•

•

•

•

•

•

x

2/—i y » - i ,

2..-I,-

» «

und braucht nur die gemeinsamen Elemente y wegzulassen. Die entwickelte Darstellung des ersten Systems im zweiten ist folgende: x „

—

a p „ - 1 M

—

H

,

f n - l S n - 1 j

,

I"

x„_, =

— F„_ 111 -\

_ X

n

_

2

=

O

f

)H

7. fn

X

—

rm—'

M

+

1

7

'

r " ' - 2 [ „ - 2

1 1

7 f n

V

,

fn-1 " « - l 8 « - ^ , 7 H 7 f n - l

/» _ Xr — Ur —J. ^ * " I" wo zur Abkürzung

X I

i

t

1

—

••

1 für alle a ausser a, existirt. Setzt mau A, Aj... h„ = H, «, — — mi, ht so ist m, eine ganze Zahl, und die gegebene Gleichung lässt sich schreiben r\Q^

m

>x
- — • n

S T E P H E N WATSON. T i m e s . IX.

Solution of the question

1934.

Educ.

70.

Zwei Urnen enthalten resp. m und n K u g e l n ; m a n nimmt aus j e d e r eine beliebige Anzahl (incl.- 0); wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der aus beiden Urnen genommenen Kugeln gleich einer bestimmten ganzen Zahl ist? W.

CROFTON and question 1977.

STEPHEN

WATSON.

Educ. Times. IX.

Solution

of the

45.

Die Wahrscheinlichkeit, d a s s sich aus drei Strecken von beliebiger Länge, aber mit gemeinsamer oberer Grenze, ein Dreieck construiren lässt, ist \ .

W. S. ß . WOOLHOUSE and S T E H E N WATSON. of the question 2420. E d u c . T i m e s . I X . 6 3 - 6 5 .

Solution

Ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus irgend welchen drei, unterhalb der g e r a d e n Zahl n liegenden Zahlen ein Dreieck con-

I V . Abschnitt.

74

Walirscheinlichkeitsrechtmnfr.

struiren lässt, gleich p„, p„+i,

so bilden die Wahrscheinlichkeiten

pn,

Pn+i eine arithmetische Progression.

S o l u t i o n o f the q u e s t i o n 2 4 3 4 .

SAMUEL R O B E R T S . Times. I X .

1. Zahl ^

Educ.

91 u. 1)2.

Von drei verschiedenen Personen nennt j e d e eine ganze n;

die W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,

dass die genannten Zahlen

proportional den Seiten eines reellen D r e i e c k s sind, ist J ( l - j - - i - ^ . 2.

J e m a n d nennt eine Combination von drei ganzen Zahlen,

die nicht nothwendig verschieden, aber nicht grösser a l s n sind; die Wahrscheinlichkeit,

dass

genannte Zahlen proportional

»Seiten eines reellen Dreiecks sind, ist .1 j I -I- — — 2«' + 4 » + l +

W. S . B . WooLHovsK. 2514

and 2 5 5 6 .

(-1)"!

Solution of the questions

Educ. T i m e s .

X.

den

2532,

24-27.

Der quadrirtc durchschnittliche Inhalt eines beliebigen Dreiecks in einer geschlossenen Curvc von beliebiger Gestalt ist 3 m a l so gross als der eines Dreiccks, dessen eine E c k e der Mittelpunkt der F l ä c h e

ist.

In

einer F l ä c h e ist das

sprechenden Tetraederinhalte gleich 4 : 1 .

Verhältniss

sich durch die Radien der Rotation einer convexen die Hauptaxen ausdrücken.

der ent-

Diese Inhalte

lassen

F l ä c h e um

Ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass

ein beliebiges in der F l ä c h e angenommenes H e x a e d e r zwei einspringende E c k e n hat.

Daran

schliesst sich die Lösung

einer

Aufgabe über Bestimmung gewisser Gruppen von 6 Punkten a u f 4 im Räume gegebenen F l ä c h e n von beliebiger Form. Ein zweiter Beweis dafür, dass die oben g e g e b e n e n Verhältnisse flir F l ä c h e n von beliebiger Form gelten, ist von J . Wolstenholme gegeben (p. 27 u. 28). A.

R.

CLARKE.

Times. X.

1.

Solution

o f the

question 2 5 6 1 .

Educ.

21 u. 22.

Die Wahrscheinlichkeit,

dass drei auf den Seiten eines

gleichseitigen Dreiecks beliebig angenommene P u n k t e winkliges D r e i e c k bilden, ist 1 — | l o g ( | | e ) .

ein spitz-

I V . Abschnitt.

75

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

?.. Die Wahrscheinlichkeit, dass der durch diese drei Punkte gehende Kreis jede Seite in einem zweiten Punkte schneidet, ist i . S.

S o l u t i o n of t h e q u e s t i o n 2 5 8 5 .

WATSON.

Educ.

Times.

X . 38 u. 39.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbindungslinien von 4 auf den 4 Seiten (a, b,c,d) eines Vierecks beliebig angenommenen Punkten sich schneiden, ist 2(afe + ac + ad + bc + bd + cd)2 — Sabcd 0 + 6 + c + rf)4 SCHIAPARELLI.

calcolo

dei

p r i n e i p i o della m e d i a a r i t h m e t i c a nel r i s u l t a t i delle o s s e r v a z i o n i . Rend. d. let.

SUL

Ijomb. (2). I. 771.

Sülle piii v a n t a g g i o s a c o m b i n a z i o n e delle osservazioni. Mem. d. Ist, L o m b . (3). II- 1—21.

FRISIANI.

Ziemlich ausführliche Begründung der Principien der Methode der kleinsten Quadrate auf Grundlage des Satzes vom arithmetischen Mittel. B. H.

G.

DAY.

P r o b l e m s in C h a n c e s .

Quart. J. I X . 354 u. 355.

On t h e T h e o r y of L o c a l P r o bability , a p p l i e d to S t r a i g h t Lines d r a w n at r a n d o m in a p l a n e ; t h e m e t h o d s u s e d b e i n g also e x t e n d e d to t h e p r o o f of c e r t a i n n e w T h e o r e m s in t h e I n t e g r a l Calculus. Trans, of London. C L V I I I . 181-199. — Proc. of LondoD.

MORGAN

W.

CROFTON.

X V I . 266-269.

Die erste Spur einer Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeit findet sich bereits in Buffon's Problem : Die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass ein Stab von gegebener Länge, welchen man auf eine mit aequidistanten Parallelen liniirte Ebene wirft, eine der Parallelen durchkreuzt. Mit diesen und einigen ähnlichen Problemen beschäftigte sich auch Laplace (Théorie analytique des probabilités). Ausgebildet wurde die Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeit aber erst vor kurzer Zeit durch

76

IY

Abschnitt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Sylvester und Woolhouse (Vgl. Rep. Brit. Ass. 1865 u. Educ. Times). Herr Crofton wendet diese Theorie auf gerade Linien an, welche ganz willkürlich im Räume gezogen sind. Einiges von seinen Resultaten findet sich schon im Jahrgang 1867 der Educ. Times. In dem vorliegenden Aufsatze legt der Verfasser zunächst die allgemeinen Principien der geometrischen Wahrscheinlichkeit dar, erklärt die Ausdrücke at random (an kein Gesetz gebunden) und assemblage (Gemeinschaft mehrerer gleichartiger Dinge), und hebt besonders das Laplace'sche Princip (chap. 3) hervor, wonach es gestattet ist, aus einer unendlichen Zahl gleich wahrscheinlicher Fälle eine geringere Unendlichkeit beliebig auszuwählen. Die Dichtigkeit der in einer Ebene beliebig zu wählenden Punkte kann als gleichförmig angesehen werden, so dass ein solcher Punkt einer unendlichen Menge symmetrisch über die ganze Ebene v e r t e i l t e r , oder auf einer Linie in gleichen Abständen befindlicher Punkte angehört. Um das Aggregat beliebig in einer Ebene zu wählender Linien zu erhalten, theile man den Winkelraum um einen Punkt herum in gleiche unendlich kleine Winkel SO und denke sich in jeder dieser Richtungen die Ebene von unendlich vielen äquidistanten Linien durchschnitten. Ebenso für den Raum. Jede ebene Fläche kann als das Maass für die Anzahl der in ihr willkürlich anzunehmenden Punkte angesehen werden. Für die Anzahl beliebiger Geraden aber ergiebt sich folgendes Fundamentaltheorem : Das Maass für die Anzahl beliebiger Geraden, welche eine gegebene geschlossene convexe ebene Curve schneiden, ist die Länge der Curve. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Gerade, welche eine geschlossene Curve von der Länge L schneidet, auch eine ganz in L liegende Curve l schneidet, gleich

.

Für eine nicht convexe Curve wird jenes

Maass durch die Länge eines fest um die Curve gezogenen Riemens bestimmt; ebenso für nicht geschlossene Curven. Schneidet die zweite Curve die erste, oder liegt sie ganz ausserhalb derselben, so werden die gemeinschaftlichen Tangenten zu Hülfe genommen.

IV. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

77

Die Wahrscheinlichkeit, d a s s zwei beliebige G e r a d e , welche eine g e g e b e n e geschlossene e b e n e Curve von der L ä n g e L durchschneiden, sich selbst i n n e r h a l b der von der Curve umschlossenen 2 nSi F l ä c h e Si schneiden, ist —r-j— • Wird eine unendliche Anzahl L von Linien willkürlich in e i n e r unendlichen E b e n e g e z o g e n , so ist die D i c h t i g k e i t i h r e s D u r c h s c h n i t t s ( d . h. d a s Maass f ü r die Anzahl der D u r c h s c h n i t t s p u n k t e in einer g e g e b e n e n F l ä c h e , dividirt durch die F l ä c h e s e l b s t ) g l e i c h f ö r m i g , u n d gleich n . Wenn unendlich viele willkürliche Linien eine g e g e b e n e F l ä c h e SI schneiden, so ist die Dichtigkeit i h r e r Durchschnitte in einem a u s s e r h a l b der F l ä c h e liegenden P u n k t e P gleich Q — s i n ö , wo 6 den W i n k e l bezeichnet, den die beiden von P a n die Begrenzungscurve L der Si g e l e g t e n T a n g e n t e n bilden. Die Z a h l der ausserhalb Si liegenden Durchschnitte wird also gemessen durch d a s Doppelintegral j*J(ß

~ smO)dS,

erstreckt Uber die g a n z e E b e n e

ausserhalb Si, wo dS d a s F l ä c h e n e l e m e n t ist. N u n ist a b e r die Anzahl der i n n e r h a l b Si liegenden Durchschnitte nSi, u n d die Summe aller ist { V . D a r a u s ergiebt sich d a s f o l g e n d e merkwürdige T h e o r e m : „Ist 0 der W i n k e l , welchen die beiden von einem P u n k t e (xf y) an eine g e g e b e n e convexe Curve g e z o g e n e n T a n g e n t e n bilden, ist L die L ä n g e dieser Curve und SI der Inhalt d e r von ihr umschlossenen F l ä c h e , so ist d a s über alle Punkte ausserhalb Si erstreckte D o p p e l i n t e g r a l : jy[0-sm0)dxdy

\V-nSi

D u r c h die Methoden d e r geometrischen Wahrscheinlichkeit ist a u f diese W e i s e ein Doppelintegral ermittelt, dessen Bestimmung in seiner Allgemeinheit auf a n d e r e m W e g e grosse Schwierigkeit haben würde. Lediglich um die F r u c h t b a r k e i t d e r a n g e w a n d t e n Methoden zu zeigen, w e r d e n n a c h d e n s e l b e n noch einige a n d e r e bestimmte I n t e g r a l e ermittelt. E i n e neue R e i h e bestimmter Integrale lässt sich durch die n u n f o l g e n d e n T h e o r e m e g e w i n n e n , in denen D o p p e l i n t e g r a l e von der F o r m

I V . Abschnitt.

78

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

j'J'ü dx dy, J'J*%\Vl 0 dx dy,

dx dy,

J^f^'^

^ dx dy

a u s g e w e r t e t werden, in denen r und r ' die an die Curve gezogenen, den Winkel 0 bildenden Tangenten und Q, Q' die Krümmungsradien der Curve in den Berührungspunkten bedeuten. Allein wenige Probleme Uber willkürliche Gerade führen auf so einfache und doch so allgemeine Resultate, wie die obigen. Im Allgemeinen können sie nur für besondere Curven gelöst werd e n ; doch geniigen die obigen Principien stets, die Aufgabe auf ein Problem der Integralrechnung zurückzuführen. Der Herr Verfasser erläutert dies an einigen Beispielen. Den Schluss der Arbeit bilden einige Andeutungen, wie die obigen Principien auf beliebig im Räume liegende gerade Linien und Ebenen übertragen werden könnten, was natürlich seine grosse Schwierigkeit hat. M.

W. S. B.

WOOLHOUSK. Times. X. 33.

Note on randoin lines.

RDUC.

Den Ausdrücken „Eine willkürlich angenommene (random) Linie, die durch einen willkürlich angenommenen Punkt geht", und „Eine willkürlich gezogene Linie, die 2 willkürlich angenommene Punkte verbindet", fehlt noch irgend eine beschränkende Bestimmung, unter der die willkürlichen Punkte angenommen werden müssen. Die von Crofton (Educ. Times VII, 85) gegebene Vorstellung der unendlich vielen Schaaren paralleler Linien um einen Punkt herum hat wenigstens den Vorzug, dass sie für mathematische Deductionen am geeignetsten ist. M.

L.

Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen PunkBOLTZMANN.

ten.

—

—

Wien. Ber. L V I I l . 517-560.

Lösung eines mechanischen Problems.

Wien.

Ber. L V I I I . 1035-1044.

Beide Arbeiten enthalten Theile eines Totalproblems, welches im Anfang der letztern folgendermassen bezeichnet wird: Eine

I V . Abschnitt.

79

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

A n z a h l materieller Punkte bewegt sich unter dem Einflüsse von Kräften, für die eine Kräftefunction existirt.

E s ist die Wahr-

scheinlichkeit zu finden, dass sich j e d e r derselben durch ein bestimmtes Raumelement mit einer bestimmten Geschwindigkeit und Gesellwindigkeitsrichtung bewegt.

Die erste Arbeit behandelt eine

Reihe vorbereitender Aufgaben, betreifend den Bewegungszustand eines Systems von Atomen nach Eintritt des Gleichgewichts unter der Annahme, dass die Atome nur in grosser Nähe auf einander W i r k u n g iibeu.

Unter Gleichgewicht wird der Zustand verstan-

den, wo j e d e Veränderung in umgekehrter Ordnung gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Die erste A u f g a b e beschränkt die B e w e g u n g auf die Ebene und setzt gleiche Massen und K r ä f t e der Atome voraus. giebt sich,

dass die Wahrscheinlichkeit

einer

E s er-

Geschwindigkeit

eines Atoms zwischen c und c + dc - - bce~~''"'dc ist, wo b unbestimmt bleibt,

weil

über die anfänglichen

Ge-

schwindigkeiten nichts festgesetzt ist. Die zweite A u f g a b e lässt die Atome längs einer Geraden sich bewegen

unter Anziehung eines festen Punkts gegen

mit einem Potential X(x) -\-A.

alle

Die Summe der Zeiten, während

welcher in der Zeiteinheit die nach jenem Zusanunenstoss geänderte Oonstante A zwischen A und ,1 -f- DA, und der Abstand x zwischen x und x -f dx liegt, ist

wo C die Geschwindigkeit des betreffenden Atoms ist. Dieselbe A u f g a b e wird dann für beliebig gerichtete Bewegung gelöst.

Die Wahrscheinlichkeit,

dass ein Atom innerhalb

des

Raumelements liegt, ist proportional ehX01ds.

Die vierte und fünfte A u f g a b e berücksichtigen die besondere gegenseitige Einwirkung der Atome. In der sechsten wird ein System von Punkten unter gegenseitiger Einwirkung in grosser N ä h e ohne weit wirkendes Centrum angenommen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter n - j - 1 Punkten

beliebige n eine lebendige K r a f t zwischen kt und ki -f dkt, kt und

IV. Abschnitt.

80

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

kt-\-8k% etc. k„ und kn + dk„ haben, erweist sich =

h dki dki .. . dkn,

die des letzten ist durch die Übrigen bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit einer lebendigen Kraft k für einen beliebigen von unendlich vielen Punkten ist =

i

— e x

- i . x

dk,

wo sc die mittlere lebendige Kraft bezeichnet. Das Gleiche ergiebt sieh, wenn die Bewegung zwischen Wänden stattfindet. Es sollen ausser den unter sich wirkenden Atomen eine Anzahl ohne gegenseitige Wirkung jedes von einem besondern festen Punkte angezogen sein. Die mittlere lebendige Kraft aller Punkte ist gleich. Als allgemeinste Aufgabe wird die aufgestellt, welche ein System von Atomen unter gegenseitiger und von festen Centris ausgeübter Anziehung voraussetzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Atom nach Eintritt des Gleichgewichts der lebendigen Kraft die Geschwindigkeit, nach Grösse und Richtung geometrisch dargestellt, von jedem Atom ausser einem in einem gegebenen Raumelement, und der Endpunkt der darstellenden Linie auf gegebenem Flächenelement liegt, ist gleich dem Product aller dieser Elemente dividirt durch die Geschwindigkeit jenes letzten Atoms. Als specielle Folgerung ergiebt sich, dass die mittlere lebendige Kraft eines Gasatoms gleich der progressiven Bewegung eines Molecüls ist. In der zweiten Schrift wird eine Anwendung der Principien auf den besondern Fall gemacht, dass die Atome von festen Punkten angezogen und von festen Linien reflectirt werden. Es wird zuerst eine specielle Kräftefunction und eine reflectirende Gerade angenommen, nachher - aber gezeigt, dass die Specialisirung von keinem Einfluss ist, vielmehr allgemein jede Geschwindigkeit und Richtung gleieh wahrscheinlich bleibt. H.

Beispiele durchgeführter Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung finden sich in Tychs. Tidsskr. nämlich auf

STATISTIK

VON L .

VON PULLICH

p. 1 7 — 2 4 ,

LORENZ p . 1 3 9 — 1 4 3 .

auf

LOTTERIE H.

Fünfter. Abschnitt. R e i h e n .

Capitel 1. Allgemeines. A. G. THEOHELL. N a g r a k o n s e q v e n s e r af Cauchys t h e o rem o m kontinuerliga funktioners diiFerenser. öfv. af Förh. Stockh. X X I V . 75-79.

Eine Reihe von Folgerungen, die sich vorkommenden Falls leichter und sicherer unmittelbar ziehen, als aus den an vielfache Bedingungen geknüpften Lehrsätzen entnehmen lassen, sich daher nicht zur Aufzeichnung eignen. H. N. JADANZA.

Sülle P r o g r e s s i o n i a due e a tre differenze.

Battaglini G. VI. 375-379.

Der vorliegende erste Theil der Arbeit behandelt Progressionen mit zwei Differenzen oder Reihen a,, «2, o 3 , ..., an . . . , worin an = «„_! + d = a„- 2 + J -f ö' ist. Nachdem der Ausdruck des ?«"" Gliedes durch das erste Glied und die beiden Differenzen gegeben ist, werden Gesetze für die Hümme am-\-a„-m^t hergeleitet, und die Summe der n ersten Glieder bestimmt. M. WILLIAM Quart. IX

WALTON.

ON

an Equation infinite Difference.

108-111.

Die zu lösende Gleichung gehört der Theorie partieller Differenzengleichungen an, es ist die folgende: eine spezielle Lösung ist: wo die rechte Seite den bekannten Binomialcoefficienten anzeigt. l'orlschr d M;itlj. I. Ö

82

V". Abschnitt.

Reihen.

Als allgemeine Lösung findet der Verfasser: un>y = íí(») + (»4-1»)i Jp(»-1)+ (»+*), W(v—2) + («+»), W(v-3) + - + (»+»),_, 1) + («+").

Sülle serie a termini positivi.

ULISSE D I N I . VI. 166-175.

W(-n) Ni.

Battagi. G.

Der von Gauss in seinen „Disquisitiones circa series infinitas" bewiesene Satz, dass, wenn u

- _ i l i i i , . . . m„+i ti n2 dargestellt werden kann, 2 u n convergirt oder divergirt, j e nachdem aL > 1 oder 1 ist, giebt dem Verfasser Anlass, um zu beweisen, dass, wenn die Entwickelung " " + ' M„+I n nln nln. ,.lr~'n nln...lr~l .an möglich ist, entweder Convergenz oder Divergenz der Reihensumme Statt findet, j e nachdem 1

hm.

n— oo ^n

> 1

oder

1

< 1

ist. Hierbei wird l'n = In = log.nat.w, l'n = l.lr~'n bezeichnet. Der der Beweisführung zu Grunde gelegte Satz, welcher mit Hülfe von Scalen abgeleitet wird, lautet: „Wenn sich stetig wachsend oder abnehmend einem l n Grenzwerthe nähert, so ist lim.[(«-}-1) Kn+1)•

• • l'~x(»+l).ff«+i—l*nV+ln...l'~l = lim

ULISSE D I N I .

lrn

Sui prodotti infiniti.

n- ff„] Wy.

Brioschi Ann. (2).

n.

28-38.

Es werden aus den als bekannt betrachteten Convergenzbedingungen der Reihensumme S u n diejenigen des Products 77(14-«») abgeleitet, und namentlich die Fälle berücksichtigt, in denen J?mod.w„ nicht convergirt, so dass eine Vertauschung der un eine Veränderung der Grenzwerthe zur Folge hat. Wy.

Capitel 1. H.

FLEURY.

en analyse. R.

HOPPE.

Allgemeines.

83

Note sur l'emploi des séries divergentes Paris, Noblet et Boudry 1868.

Sur les sommes des séries

divergentes.

N. Act. Ups. (3). VI.

Adoptirt man den Namen von Aequivalenten für solche Functionen, deren Quotient sich dem Grenzwerthe 1 nähert, so kann man die Aufgabe, welche der Verfasser sich gesteckt und in grosser Allgemeinheit gelöst hat, so aussprechen, dass f ü r die divergirenden Reihensummen positiver Glieder möglichst einfache Aequivalente gefunden werden sollen. Die Hauptgrundlage der Untersuchung bildet der aus der Taylor'schen Reihe abgeleitete Satz, dass bei unendlichein o) f'(k)):f{o>)=l ist, wenn f'{a):f(a) = 0, f{o>) = oo, und fix), in einem Sinne ändernde Functionen sind.

f'(x)

sich stetig Wy.

Ueber Erweiterung endlicher Reihen durch beliebige Parameter. Grunert Arch. XLVIII. 104.

MOST.

Der Verfasser nimmt aus der von Abel für ganze n bewiesenen Gleichung (Crelle J. X. 159)

Veranlassung, um auf inductorischem Wege für die Coefficienten der allgemeineren Identität Aö xn

Al x"-'

At x"~* + •• •

= B0 x" + Bi (x + «)»-' + Bt (x + 2«)"- 5 + • •• eine Berechnungsformel zu erhalten. pBP = "=£\-1>«

( p - M p

Die letztere lautet: a

y (in-pu+t*)

Ap.„.

Dann fuhrt er noch für einen zweiten Parameter die Rechnung aus, wendet seine Formel auf die hypergeometrische Reihe F {—n,ß,r,x) und ihren besondern Fall F (—n, ß, ß, x) = ( l—x)a an und zeigt, dass die Abel'sche Formel in der seinigen enthalten iSt. \\Ty 6 *

V. Abschnitt.

84 SCHNEIDEWIND.

Reihen.

Ueber die Convergenz unendlicher Reihen.

I n a u g . - D i s s . H e i d e l b e r g . 1868.

Neues bringt die Abhandlung nicht. Verfasser inüsstc sich weniger unvorsichtig ausdrücken, damit er nicht die Identität «

£

=

> ( F + T

+

- )

für jedes x zu behaupten scheint, wo er von der „wenig wissenschaftlichen Methode" früherer Zeiten spricht. Wy.

Capitel 2. Besondere Reihen. A.

WINCKLER.

Der Rest der Taylor'schen Reihe.

Wien.

D e n k s c h r . L I X , 2. Abtlil., W i e n bei K a r l Gerold'a S o h n . 18G8.

Der sog. Kcst der Taylor'schen Reihe ist in verschiedenen Formen zuerst von D'Alenibert, dann von L a g r a n g e , Cauchy, Roche und Sturm dargestellt worden. Will man sich von dem numerischen Werthe des Restes eine Vorstellung verschaffen, so ist es wünsebenswerth, ihn in möglichst enge Grenzen einzuschliessen. Verf. gelangt nun zu Restausdrlickcn, welche in dieser Beziehung die der oben genannten Mathematiker übertreffen. Er findet: Bleiben f(z), /"'(V), . . . /'«"^(Y) von z = x bis x+h endlich und stetig, behält ferner innerhalb dieses Intervalls von s das entgegengesetzte Zeichen von /(/•("+')(Y), so ist: f(x

+ A) = fix-) + hf' Gr) + • • • +

/•(») ( x + ^ j L ) ,

2)

behält dagegen /"("+ (z) das gleiche Zeichen mit hf (a), so ist f(x

+ A) = f ( x ) + Af O) + • • • + ^

f

w

4-

j ^ ) ,

worin 0 < « < 1 ist. Es liegt also in dem ersten Falle der Rest zwischen fW{x)

und f(x).r-Ay4),

F.(l-»,ß,r,±)

l y Der Beweis des Satzes, dass der Differentialquotient J" y die Grenze von - - - - - für /ix = 0 ist, wird aus einer Verallgezlx" m e i n e r u n g der Relation f(x-\-V) — f(x) = hf'(x-\-0h) hergeleitet.

Capitel 1.

Allgemeines (Lehrbücher etc.)

95

Sind h, ft,, . . . h„ die successiven Vergrösserungen, so ist entweder oder J»y

=

Aft,

O ^ i - ^ i »

» i)

(i

welche Formeln zugleich Ausdrücke für das Ergänzungsglied der Newton'schen Interpolationsformel liefern. M.

C. F.E. B j ö r l i n g . Elementerna af algebraiska analysen och differential-kalkylen, after Cauchy, Bertrand, Todhunter. Upsala, E d q u i s t 1868.

M.

Schets van de allei'iveste beginselen der differentiaal en integraal rekening. Hoofzadelijk naar anleiding van Tate's „Principles of the differential and integral calculus simplified" voor afgegaan door sen dit werkje goedheurend schryren van wijlen den hoogleeraar Dr. R. Lobatto. R o t t e r d a m , Altmann 1868. H. P i m e n t k l .

Rubini.

Elementi di calcolo infinitesimale.

2

v.

Napoli

1868.

Differential and Integral Calculus for High Schools and Collegs, edited by Quinly. New-York,

Robinson's

Jvison 1868. Schlömilch.

Analysis. H.

Uebungsbuch

zum Studium

der höhern

Leipzig, T e u b n e r 1868.

Aufgaben zur Differential- und IntegralRechnung nebst den Resultaten und den zur Lösung nöthigen theoretischen Erläuterungen. Glessen, Ricker, 1868. Dölp.

H. G. D o e r k . Erste Fortsetzung der Sammlung stufenmässig geordneter und vollständig berechneter Aufgaben aus der reinen Differentialrechnung. P r . G. Marienburg. Danzig 1868.

5 Beispiele zur Differentiation der inipliciten Functionen, und

96

VI. Abschnitt.

Differential- und Integral-Rechnung.

12 A u f g a b e n über das Maximum und Minimum der F u n c t i o n e n , mit vollständigen A u f l ö s u n g e n . W.

Note

WALTON.

M.

on t h e o p e r a t i o n

ex-j-.

Quart. J. i x .

355-357. W.

WALTON.

OD

tlie S y m b o l

of o p e r a t i o n

x ^ -

Quart.

1 8 - 2 2 . J. IX.

Capitel 2. Differentialrechnung (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima). CAYLEY. IV.

A „Sinith's Prize" Paper.

Q u e s t i o n 5.

Messenger

20G-208.

E s werden die Differentialgleichungen hergeleitet, die den drei Integralgleichungen ( r H 0 2 = *(*+!)(*+2), Q, + cy = x \ x - l ) , C y + c ) ' = ®' entsprechen, und die singulären Lösungen geometrisch gedeutet. M. TCHEBYCHEF.

posées

de

dérivées.

De,S m a x i m a e t m i n i m a

des

valeurs

entière

d'une

fonction

sommes et

de

comses

Liouville J. (2). XIII.

Die behandelte A u f g a b e ist die f o l g e n d e : Es soll der A u s d r u c k 2•••)

zum Maximum oder Minimum gemacht w e r d e n , wo x eine una b h ä n g i g e V a r i a b l e , y eine ganze rationale Function derselben von

gegebenem

Grade,

aber

mit

unbekannten

Coefficienten,

y' y" die Ableitungen derselben nach x, y 0 eine gegebene g a n z e

Capitel 2.

97

Differeutialrechuung.

rationale Function von x, y, y', y", . . . , die Summe dem Index i entspricht, welcher auzeigen soll, dass die Variable x eine beliebige und folglich auch den Functionen y, y', y", . . . die sich dadurch ergebenden Werthe beizulegen sind. In dem Falle, wo diese Werthe xt, x,x, . . . continuirlich auf einander folgen, sich die Summe 2, also in ein bestimmtes Integral verwandelt, enthält die Aufgabe eine gewisse Analogie mit der der Variationsrechnung, unterscheidet sich aber sehr wesentlich dadurch, dass nicht von allen Functionen y von x, sondern nur von den ganzen Functionen vom gegebenen Grade m die ermittelt werden soll, welche die Maximal- oder Miuimal-Eigenschaft hat. Ist y = A0+Aix + - + Amxm, so ergeben sich die Gleichungen, welche zu lösen sind, leicht durch Differentiiren der gegebenen Summe nach A0> An ... Am, wenn das Maximum oder Minimum ein absolutes sein soll. Wird die Aufgabe aber darin beschränkt, dass gewisse andere ähnlicheSummen wie die gegebenen, also von der Form verschwinden sollen, wo jedoch die Werthe der x in den verschiedenen Summen nicht dieselben s i n d , so wird die Lösung dadurch erschwert, dass sich die Bedingungen nicht auf Gleichungen von bekannter Gestalt, also z. B. nicht wie in der Variationsrechnung auf Differentialgleichungen zurückführen lassen. Dem Verfasser gelingt die Lösung des Problems jedoch durch diejenigen Reihen, die er in einer früheren Abhandlung (Développement des fonctions en séries à l'aide des fractions continues) bereits behandelt hat. Ni. KLEINFELLER. Wertlie.

Zur Theorie der Maximal- und Minimal-

Schlömilch Z. XIII. 5 1 5 - 5 2 1 .

Der Verfasser betrachtet diejenigen Fälle, wo einer der für das Critérium zu untersuchenden Differentialquotienten unendlich wird. Die Bemerkung im Anfange, dass ( x — f ü r j e d e s reelle x positiv bleibt, möchte doch wohl der Anfechtung unterliegen. Das Resultat der Untersuchung drückt der Verfasser so a u s : 1 ' o i l s c l i r . d. M a t h . I.

7

98

VI. Abschnitt.

D i f f e r e n t i a l - und

Integral-Rechnung.

..Um die Werthe der Variabein zu finden, welche eine gegebene Function F ( x ) , deren u erste Differentialquotienten für x = a Null sind und zugleich stetig bleiben, zu einem Maximum oder Minimum machen, braucht man nur die Werthe zu bestimmen, für welche bei geraden n F W ( : r ) , und bei ungeraden bezüglich ein Grösstes oder Kleinstes wird". Ni.

Ueber eine Aufgabe aus der Lehre vom Grössten u n d Kleinsten. Grunert Arch. IX. G8.

GRUNERT.

XI. Der Verfasser behandelt die Aufgabe, einen P u n k t einer gegebenen Geraden so zu bestimmen, dass die Differenz seiner Abstände von 2 gegebenen Punkten ein Minimum ist. Der Zweck dieser Arbeit ist nach dem Ausspruche des Verfassers, zu Nutz und Frommen derjenigen, welche die Bedeutung der Vorzeichen einer Quadratwurzel nicht gehörig berücksichtigen, ein Beispiel zu geben.

Ni.

Capitel 3. Int egralr e clmung. P H . A . GRÜHN.

funetionen. J.

COCKLE.

Ueber die Integrabilität der DifferentialPr. Meldorf. 1868.

Memorandum on the Evaluation of Integrals.

P r o c . of Manch. V I I . 67 u. 68.

Verallgemeinerung der vom Verfasser in Philos. Mag. (4). X X X I I I und XXXIV gefundenen Sätze.

0.

Capitol. 3.

Integralrechnung.

99

On a certain rational fraction.

COCKLE.

Messenger, IV".

168-177.

Sind xt und xt ganze rationale Functionen von x, so wird X[

zur Integration von

^x

im Allgemeinen die Auflösung der

Gleichung x t = 0 nöthig sein.

Der Verfasser führt einen beson-

deren Fall an, in welchem dies nicht erforderlich ist.

On a Theorem in the Integral Cal-

BIERENS DE H A A N .

culus.

No.

Rep. Brit. Ass. 1868.

Ableitung der Formel:

= J

f

f P

R

dxj

fi

f

fÍQ>x~)dx

r

f(Q,x)ilQ—J

fq dR

r —dQjf(ß,K)dQ

P

Wo

F(q, y) =

äy

ist.

,

® (e, y) = J k q , y) dQ 0. '

/

QßVl

,

155-158.

Brioschi Ann. (2). I.

yl—x* — = = - für ein ungerades « l71-^2 m rein algebraisch und von der Form P / l — x* — C, für ein gerades m aber transcendent und von der Form

%

y Hermite leitet für das Polynom P den Satz her: P ist, abgesehen von dem Factor ——m

— g l e öi c h

1.3...(/»—2) '

dem Aggregat der

100

VI. Abschnitt.

Differential- und I n t e g r a l - R e c h n u n g .

ersten — - — ' Glieder in der Entwicklung von (1 — a; 2 )-* nach steigenden Potenzen von x. B e m e r k e n s w e r t h ist, d a s s wenn man diese E n t w i c k l u n g i r g e n d w o in zwei Theile theilt, beide Theile ein und derselben Differentialgleichung zweiter O r d n u n g genügen. D a s a n d e r e Polynom hingegen ist, abgesehen von dem F a c t o r — i oder

1 • .3• ; " ) . . . ( ? « — ^ 2.4.0...»*

gig^

^ Glieder in der E n t w i c k l u n g von

w

jem

Aggregat der ersten

aiC8 n

' ^. steigenden ^ 1 — JO Als E r w e i t e r u n g ergiebt sich die Bestimmung

Potenzen von x.

von i in dem Integral / ^ ^ = rr (,-r) j / j — .r2 -(- e f—^—— J l ' l — xJ \ \ — x' wo F ( x ) und tf ( x ) g a n z e Polynome bedeuten, durch Entwicklung von F ( x ) . ( \

W.

M_

Solution of the question 2641.

CnOFTON.

Educ. Times.

X . 20 u. 21.

Der Werth von f f . . , , —l — , — 3 — 7 7 — 2 — „ . ••„. ist JJ [(a; -f- y -\- a — 6 2 )'— 4 ( a J — b2)x*\i , a-\-b x '! if nlog r , wenn — - f - ^ z r 1a—b a b J.

Sur la rectification

BOOTH.

Brioschi Ann.

de quelques

courbes.

2). II. 8 1 - 8 8 .

W i r führen die Gleichungen der reetificirten Curven a n : 1) = (*'+ y y , 2)

a ' x ' - b y

=(x< +

y

y,

No. i. LE

CÜRDCER.

707-710.

Sur une intégrale

double.

C. K. L X V I .

:

Ableitung der in Gauss' nachgelassenen Schriften ohne Beweis mitgetheilten F o r m e l : *)

In der A r b e i t s t e h t beide Male irrthiimlich m—1.

,

Capitel 3.

101

Integralrechnung.

4 nm — rr(x'-x)(dydz'-dzdy')+(i/'-y)(didx'-dxdz')-\

JJ

{(0/-®)'+ (y- y)M-

(z'-z)(dxdy'-dydx')

xyz, x'y'z' sind die Coordinaten zweier Punkte, deren jeder eine geschlossene Curve durchläuft. Die beiden Curven, längs welcher die Integration stattfindet, sollen sich nicht schneiden, in gieht an, wie oft sich die eine um die andere herumwindet, eine Zahl welche auf folgende Weise definirt ist: Man zähle wie oft die eine Curvc eine beliebige von der andern Curve vollständig begrenzte Fläche in einem bestimmten Sinne und dann im entgegengesetzten schneidet, der Unterschied beider Zahlen ist dann m. B.

P.

DU

B o i s REYMOND.

tegrale,

Ueber Fourier'sche Doppel-In-

Borchardt J. L X I X . (¡5-108.

Das Fourier'sche Integral dyj dxcos(y(.x—£))fx II —CO geht aus folgendem hervor:

= nfQ)

(I.) J d y j dxcos(x.y)fx = l i m f x d x = ii 0 ii (a bedeutet einen beliebigen positiven W e r t h , f x eine beliebige ev. auch gesetzlose Function). Die Kichtigkeit dieser identischen Gleichungen lässt sich genau in derselben Weise darthun, wie von Dirichlet (cf. Theorie d. Funkt, v. Cournot § 42R, oder Crelle J . XVII, 60) bewiesen wurde, d a s s : u wenn h ganz und ungrade, a < n gedacht wird. Die charakteristische Eigenschaft der Integrale (I.) und (II.), von a unabhängig zu werden, wurzelt darin, dass: ,TTT, /'"sinhx , . /'"sin/u; , (III.) / dx und / — dx J x J sina; ii u an der Grenze h = so von a unabhängig

sind.

Nach

der Untersuchung des Verfassers, welche nur reelle Integrationswege berücksichtigt, giebt es nun unzählig viele Integrale der

VI. Abschnitt.

102 Form

J

Differential- und I n t e g r a l - R e c h n u n g .

welche für

< t > { x , h ) d x ,

=

h

von

oc

a

unabhängige, von

Null verschiedene, endliche und bestimmte Werthe erhalten. Verfasser nennt dieselben Dirichlet'sche Integrale ( D . - I n t g r . ) und jedes

J

Doppelintegral

d y j d x q > ( x , y ) , welches nach der Ini) "u tegration in Bezug auf y auf ein D.-Integr. führt, ein Fourier'sches (F.-Integr.). Für alle diese F.- oder D.-Integrale besteht die der Relation (I.) oder (II.) analoge: 'h

/

f a dy

U

/

l

Pa d x . f x . c p ( x ,

y )

—

j I)

i)

=

f ( f i ) J '

a

< l > ( x

!

f x . (x,

K ) d x

h - ) d x .

I) Nach diesen Ergebnissen lässt sich eine ausgedehnte Klasse von Doppelintegralen auswerthen, welche für die Auflösung partieller linearer Differentialgleichungen von grosser Wichtigkeit wind. Uni F.-Integrale zu bilden, geht die Abhandlung vom unbestimmten Doppelintcgral aus. Ist: £2F so wird: ( V - )

f

'

j

y ) d x dy

=

F ( x , , y,

, y J - F ^ x , , y

t

y \ F ( x

0

,

y„).

y» möge nun folgende Bedingungen erfüllen: a ) F ( a , 1 i ) — F ( a , y ~) ist, wenn zuerst y — 0, dann h — oo gesetzt wird, bestimmt, unabhängig von a, von Null und Unendlich verschieden. ß ) F ( x , y ) erlangt v e r s c h i e d e n e Werthe, j e nachdem man erst x = 0, dann y — oo, oder erst y = oc, dann x = 0 setzt. Alsdann ist:

F ( x , y )

0

f

h

To

d

n

j

" f

(x>

y)

d x

=

0

F

(a>A)

~

F

(

a

> y ^ ~

P(.x

o , >0+*"(«« , 2/J

*»

ein Fourier'sches Integral, wenn man noch die Grenzen in folgender Reihenfolge bestimmt: 1) y0 = 0, 2) x0 — 0, 3) h — oo. Nach diesen beiden Kriterien lassen sich beliebig viele F.oder D.-Integrale bilden; von denselben soll hier die Gruppe an-

C a p i t e l 3.

Integralrechnung.

geführt werden, welcher die Integrale nämlich irgend ein Integral der Form:

103

(III.) angehören.

Hat

x J x• dx i)

einen endlichen, von Null verschiedenen Werth, ist (()) = 0 und bezeichnet man mit cpQ) die Ableitung

, so ergiebt sich

auf Grund obiger Kriterien, dass:

/'V dx.q>(x.y)

ein F.-Integral wird, sobald man nach einader y0 = 0, x0 = 0, h = co setzt. Man findet z. B. aus:

j* x'-e~xdx = r(v + l)

'o

das F.-Integral:

j dyJ'adx.xryve-x-y(v-\-

ii ii Nachdem somit die Existenz unzählig vieler D.-Integrale erwiesen ist, bleibt zu ermitteln, ob:

(VI.) m il h-^jUfx. u

vorausgesetzt dass

!

h)dx = mj" '0

u

J *l (x,K)dx II

ein D.-Integral ist. Den

des Verfassers hat Referent durch folgenden einfacheren ersetzt: Man theile das Intervall 0 bis a durch Zwischenwerthe f, . . . tp so, dass weder f(x) noch lP(x, h) innerhalb irgend eines TheilIntervalles i r e,-+i ihre Zeichen wechseln und untersuche den numerischen Werth von:

J,*r*1fQi0.h')dx. Wird fx in dem Intervall 0 bis a nicht cc, so erlangt es numerisch im Intervall erer+i einen endlichen grössten Werth M und einen kleinsten N, folglich ist dem numerischen Werthe nach:

fSr+' fx (D (^x, A) dx > N/tr+1

raiclat; und

= 0,

wenn

r > ( 2 n + l ) ( n + l). 66. Sind r und n ganze Zahlen, so ist für ein ungerades r 7t

J

cos5 z. cos5 3z... cos' (2r -f- i ) z. sin 2z. sin 4z... sin (2r + 2) z

"

H-l

—

x cos (3/,2-J- 7r -(- 4 — 2 i i ) z d z wenn n < 2 r - f 3 ein Quadrat ist, aber

= 0, wenn ? ? < 2 r + 3 kein Quadrat, oder wenn « > ( r - | - l ) ( 3 r + 4 ) . Für ein gerades r ist: 71 J " " — —

cos'z.cos"3z...cos 2 (2r-j-d)z.sin2z.sin4z.. .sin(2r-f 2) z r

C

X s i n ( 3 r 2 + 7 r + 4— 2w)z:+1 der dadurch resultirenden Differentialgleichung dx2

dx

F ü r die A„ und A„ ergeben sich die Relationen

= 0, \(_2>i-i)q+i}A'n^ + nq(_nq+i)A'n = 0. Die Reihen s, u n d z2 sind cndlich, w e n n (2i -f Ii) q resp. -f- 1 oder —1 ist, folglich auch die P u n d Q. M.

L.

Sulle relazione tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazione di Riccati. Brioschi Ann. (2). I. 232-242. SCHLAEFLI.

In der vorliegenden A b h a n d l u n g wird die A u f l ö s u n g der Riccati'schen Gleichung durch bestimmte Integrale von verschiedener Gestalt gegeben, und zwischen den letzteren einige Relationen festgestellt. Ni. COCKLE.

On the integration of differential equations.

Educ. Times. IX.

T h e o r e m I:

105-112.

Sind

die Coefficienten der beiden

Differentialgleichungen der zweiten O r d n u n g

linearen

Capitel 5.

G e w ö h n l i c h e Differentialgleichungen.

durch die Relation q*

doo

- r = Q*Jt- ~~—R dx

113

verbunden, so ist

= Y. (Die Functionen auf beiden Seiten der Bedingungsgleichung nennt der Verfasser criticoids.) T h e o r e m II: Die Gleichung d'y )! eine will^ Function. 1/ kürliche

Ist ß constant und dieselbe Bedingung erfüllt, so ist rfdx

f

, fdx

\ , , -/f-cu

f

rdx

\

wo yj eine andere willkürliche Function. OAMILLO

tiellen

TYCHSEN.

N o t e ü b e r die I n t e g r a t i o n

der

par-

Differentialgleichung:

d z d z d z " I P " I P1 " dar ^ dx"~l dy r dxn~! d

y

l- _i_p 1 ' "

(l z "' dxdy—1

d z | P " ^ " dy»

= Q, w o Pt, P2, . . . Pn_,, P„, Q g e g e b e n e F u n k t i o n e n d e r unabhängigen Variabein x und y sind. Schlömilch z. XIII. 441-445.

Der Verfasser fühl t in dem besonderen Fall, wo die Funktionen Pn P.n . . . P,t einer gewissen Bedingung genügen, die Aufgabe auf n lineare partielle Differentialgleichungen l , P r Ordnung zurück. Dieser Fall tritt namentlich ein, wenn Pt, P2, ... P„ constant sind. Obgleich die Aufgabe einer weit allgemeinern Lösung fällig, und das Resultat des Verfassers bekannt ist, so 8*

VI. Abschnitt.

116

Differential - und Integral-Rechnung.

empfiehlt sich die Methode durch ihre Kürze doch namentlich %r Lehrbücher geringeren Umfanges und zum Vortrage. Ni. L.

Ueber die Integrale linearer D i f f e r e n tialgleichungen mit periodischen Coefficienten. Wien. BOI-TZMANN.

Ber. L VIII. 34-39.

Inst. 1 sect. X X X V I . 384.

Die in der mathematischen Physik so häufig vorkommenden linearen Differentialgleichungen mit Constanten Coefficienten sind bekanntlich unter der Voraussetzung gebildet, dass die Körper homogen sind und den Raum continuiilich erfüllen. Geht man aber zu der Annahme getrennter Atome, welche nicht gleichförmig, aber periodisch gelagert sind, über, so treten an die Stelle der constanten Coefficienten periodische. Der Verfasser beschäftigt sich mit der Frage, in wiefern die aus der ersten Annahme gewonnenen Integrale als Näherungswerthe für die der zweiten entsprechenden betrachtet werden können, wenn die Periode, also die Strecke, in welcher identische Anordnungen der Atome an einander folgen, nur klein ist. D a s gewonnene Resultat ist, dass in diesem Falle, wenn der Coefficient der höchsten Ableitung gleich/ die übrigen endlichen continuirlich bleiben müssen. Der W e g der Lösung dieser F r a g e ist der Uebergang vorn Endlichen zum Unendlichen. Ni. P.

C. V.

Lösning af O p g a v e 201.

HANSEN.

Tidsakr. (2). IV. 54-57.

Die partielle Differentialgleichung 2 d ö2a „ö2z ( d * 2 z

dz \

geht durch die Substitution y = ux über in

, k= 0 die n-\-m Grössen y' und l als Functionen dyh

von y u n d v aus, so tritt a n Stelle des Systems (IV.), das System von 2n Gleichungen : (VI.) in welchen

H

dyi,

dH

dx

dm,'

die Form

annimmt, wenn für die yh v gesetzt werden.

(Ith dx

ÖH dyh

ist, welche der Ausdruck

11 2hy'h*>h

—

f

1 die äquivalenten Functionen von y und

Man nimmt nun an, die Differentialgleichungen

(IV.) sind integrirt

und bezeichnet

die allgemeinen

Lösungen

durch folgende Gleichungen: yh = [)//,]; h-= [**]; d a n n sind die L ö s u n g e n der Gleichung (VI.) (VIII.)

t/=[y*];

=

=

Unter den Symbolen [¡//,] etc. denkt man b e k a n n t e Functionen

Capitel 7.

Variationsrechnung.

123

von x, die nur noch von den durch die Grenzbedingungen völlig bestimmten Erscheint

Integrations - Constanten a , ,

a2, . . .

a2„

abhängen.

flir die F o l g e irgend eine Function von y/,, y'h1 h

der Klammer [

].

so denkt man

darunter

das Resultat,

in das

durch die Substitution der Wertlie [y/,] etc. erhalten wird. Die vorliegende Abhandlung ermittelt nun die Bedingungen, unter welchen 8"J von Null verschieden und beständig entweder positiv oder negativ ist, wie man auch die den m Gleieliungen (III.) unterworfenen, im Uebrigen aber völlig willkürlichen Functionen ja wählen mag, wenn in dem Ausdruck flir ö^J die y/, und ihre durch Gleichung ( V I I I . ) ermittelten Werthe erhalten.

Zu-

nächst zeigen die von Clebsch gegebenen und vom Verfasser reproducirten F o r m e l n , wie die zweite Variation 8*J

in dem

be-

sonderen F a l l e , dass y/, — [y/,\, A t ^ f A * ] wird, nicht von den Functionen 3/, und ihren Ableitungen einzeln genommen abhängt, sondern von n linearen und homogenen Functionen (i//,) derselben, welche m lineare füllen

haben.

präcisiren,

und homogene Bedingungsgleichungen

In

den Gleichungen,

welche

sind ausser den schon erklärten,

zu er-

diese Umformung noch folgende Be-

zeichnungen gebraucht worden: (X.)

=

+

+, ^ ^ 1j r b ^ 1 J » ,t dl£i

Ersetzt man in

()

2r

l

u. . r + fl'fi s ä i J, I,i •

die Grössen jA und ]'b durch die Function du[°)

und ihre Ableitungen

^

, die Grössen

durch r[°\

so sei

das Resultat symbolisch bezeichnet mit: Si2 (u) u n d cos ( a + fc) her.

T.

Sul numero dei valori delle funzioni algebriche l'azionali le quali contengono un dato numero di lettere. Atti Nuovi L i n c e i 18G8.

SPINA.

J . Me.

DOWELL.

Solution of the question 2449.

Educ.

Times. IX. 34 u. 35.

Entwickelt

man

w o f (x) u n d F(x)

quadratische Aus-

d r u c k e in x sind, nach P o t e n z e n v o n x, so k a n n kein G l i e d E n t w i c k l u n g v e r s c h w i n d e n , es sei d e n n log positive von

ganze Zahl

(a

und

ß

reelle

der e

-f-

und ungleiche

iue

Wurzeln

F(x~)).

Un t e o r e m a fondamentale nella teoria delle discontinuità delle funzioni. Reud. d. Ist. L o m b . (2). I. 123.

CASORATI.

S y n t h e t i c evolution.

Messenger. I V . 181-184.

E s wird gezeigt, wie aus dem der

zwischen

den Coefticienten

einfachen

einer Reihe

Zusammenhange, und

denen

ihrer

W u r z e l n besteht, die W u r z e l n a b g e l e i t e t w e r d e n k ö n n e n , u n d binomische Lehrsatz für Bruchexponenten. FKLICK

Teorica

CASORATI.

complesse.

Vol. I.

Der Verfasser geordneten

No.

finizioni di

variabili

P a v i a 1868.

b e g i n n t sein L e h r b u c h

Uebersicht

complexen Grössen.

delle

der

über

mit e i n e r m e t h o d i s c h

die Entwicklung

der T h e o r i e

der

Diese historische Einleitung, welche fast den

d r i t t e n T h e i l d e s v o r l i e g e n d e n B a n d e s a u s m a c h t , z e r f ä l l t in z w e i Theile.

D e r erste, e i n e G e s c h i c h t e d e r T h e o r i e d e r

und Abel'schen

Functionen,

beginnt

mit

Maclaurin, d'Alembert, Fagnani, Euler,

den

elliptischen

Vorarbeiten

Lagrange

des

und Landen,

h e b t d a n n die r e f o r m a t o r i s c h e n B e s t r e b u n g e n L e g e n d r e ' s

hervor

u n d analysirt die von verschiedenen A u s g a n g s p u n k t e n fortschreitenden Arbeiten Jacobi's und

A b e l s , die d u r c h E i n f ü h r u n g

des

Capitel 1.

Allgemeines.

129

complexen Arguments die Theorie zu neuer Fruchtbarkeit brachten. Bei Besprechung der 0-Functionen werden auch die vorzüglichsten Arbeiten von Cauchy, Cayley, Eisenstein und Hermite Uber die elliptischen Functionen erwähnt. Hierauf wird Abel's bedeutendste Entdeckung, das nach ihm benannte Theorem, und seine Untersuchungen über die Integration algebraischer Differentiale erörtert. An letztere schliessen sich die verwandten Arbeiten von Legendre, ßichelot, Aronhold, Brioschi, Weierstrass, Liouville und Tchebiclief u. A. Zum Schluss giebt der Verfasser eine Geschichte der Abel'schcu Functionen von Jacobi's Considerationes generales (Crelle J. IX) bis zu den neuesten Arbeiten über ihre Transformation. Der zweite Theil der historischen Notizen behandelt die complexen Variabeln und die Functionen derselben. Hier nehmen natürlich die Arbeiten Cauchy's den ersten Hang ein. Nachdem Gauss als sein Vorläufer erwähnt ist, wird die Analyse algebrique und die grosse Zahl der Untersuchungen über die complexen Functionen, ihr Begriff und ihre Darstellung analysirt. In Cauchy's Arbeiten, meint der Verfasser, müsse man den Keim suchen für die späteren Methoden von Briot und Bouquet, von Weierstrass und Riemann, und sieht die genialen Entdeckungen Riemann's fast wie eine unvermeidliche Folge der Vertiefung in Cauchy's Ideen an. •— Wir haben bei der Besprechung der Einleitung des Buches länger verweilt, weil eine historische Uebersicht über diesen Zweig der Analyse bisher in gleicher Ausführlichkeit noch nicht gegeben wurde. W a s den zweiten Theil des vorliegenden Bandes, die eigentliche Theorie, betrifft, so können wir uns mit einer Uebersicht seines Inhaltes begnügen. E r zerfällt in 4 Abschnitte. Der erste Abschnitt behandelt die arithmetischen Operationen, die Erweiterung des Begriffes der Zahl und den Begriff der Stetigkeit, giebt die geometrische Darstellung der Zahlen und die den arithmetischen Operationen entsprechenden Constructionen und schliesst mit den Functionen e - und Iz. Der zweite Abschnitt ist dem Begriff der Function gewidmet; es folgen aufeinander reelle Functionen einer reellen Variabein, reelle Functionen mehrerer reeller Variabein, complexe Functionen reeller Variabein und l'orlsclir.

il.

Mulli.

I.

9

130

VII. Abschnitt.

Functionen einer complexen Variabein (Cauchy und Riemann). Geometrische Interpretationen, welche aus dem allgemeinen Functionsbegriffe folgen, werden allgemein wie auch an speciellen Beispielen erläutert. Im dritten Abschnitt findet sich eine Uebersicht über die gebräuchlichen Classificationen der Functionen, eine Theorie der Reihen und der unendlichen Producte und der Integrale längs geschlossener Linien. Der letzte Abschnitt endlich behandelt das Verhalten der monodromen Functionen in der Nähe der verschiedenen Werthe der Variabelu. M.

C. M. PIUMA. Teorica dellc funzioni di variabili c o m plesse esposta d a l Dott. Feiice Casorati. B o u c o m p a g u i Bull. 1. 167-172.

Der Verfasser hebt die Bedeutung des W e r k e s von Casorati ftir die mathematische Literatur in Italien hervor und giebt d a n n eine Analyse desselben. M.

Sull opera del Prof. Casorati: „Teorica delle funzioni di variabili complesse". Bend d. Ist. Lomb. (2)

CUEMONA. I. 420.

De onivendte Functioner anvendte paa Theorien for algebrae.sk Ligninger. Nyt. Mag. XV. 135.

A . S . GULDBERG.

T . N . THIELE. (2). I V . 109-112.

En Fundamentalligning.

Tychsen

Tidsskr.

(Vgl. p. 129 K r i t i k und p. 180 E r w i d e r u n g . )

Die Aufgabe ist, die zwei Functionen (x) k a n n unter d e r Zi 0 in die Reihe

Bedingung

rp (x) = B 1 J"< (x) - f B, Jm ( 2 z ) - f B3 Jm ( 3 « ) + • • • verwandelt werden, w e n n n u r die Coefficienteu B vermittelst d e r Formel

10

V I I . Abschnitt.

146

und die Function /"(«) aus der Gleichung —d£=- =

*

bestimmt werden". E s ist für die Gültigkeit dieser Sätze j e d o c h nicht zu übersehn, dass der Beweis f ü r andere, als synektische Functionen in der T h a t nicht geführt wird und dass die C o n v c r g e n z b e t r a c h t u n g e n fehlen. Schliesslich v e r w e n d e t der Verfasser die Bessel'schen Functionen, um die Gleichungen 1)

-¿^'"y"

2)

die Bessel'sche Differentialgleichung,

4)

die Riccati'sche Gleichung cl" V die Gleichungen —¡-T-\-e-zy

5)

*>/, welche sie auf den Axen (vom Anfangspunkte gezählt) bildet, und nennt diese die Coordinaten der Linie. Dem Punkte gehört dann eine Gleichung zu; die nämlich, welche zwischen den Coordinaten ?? aller durch diesen Punkt gehenden Geraden besteht. Hierauf wird gezeigt, wie mau von der Gleichung einer Curve in Cartesischen Coordinaten zur entsprechenden in Tangential-Coordinaten (wo sie als Einhüllende ihrer Tangenten erscheint) tibergehen kann. Auf diese Weise lässt sich jede Gleichung in rj) doppelt interpretiren, j e nachdem man i, i] als solche Tangcntialcoordinaten, oder als gewöhnliche Cartesische Coordinaten ansieht. Hiervon werden zahlreiche Beispiele gegeben, nachdem die Brennpunkte, Asymptoten, Axen u. s. w. mittels dieses Booth'schen Coordinatensystems eingeführt sind. Die Resultate sind meist bekannt. Weiterhin geht der Verfasser auch zu sphärischen Kegelschnitten über. Als Coordinatendreieck wird die Begrenzung eines Kugeloctanten genommen. Sind nämlich a, ß, y die Sinus der Lothe, die von einem Punkte der Kugel auf die Coordinatenbogen gefällt sind, x, y die Tanct

genten der entsprechenden Coordinatenabschnitte, so ist: — = x,

ß

— = y.

r

Die Gleichung einer Linie la-\-mß-\-ny = 0 wird dann:

lx-{-my-\-n = 0; die Coordinaten ihres Quadrantenpoles werden: —

=

1 . - 1 .

I m n Zu Booth'schen Coordinaten geht nun der Verfasser folgendermassen über: Die Linie PQ schneide die Coordinatenbogen in P und Q; sind (i, r/'j die Cotangenten ihrer Coordinatenabschnitte,

Capitel

1. A l l g e m e i n e s .

155

so ist:

= — = — r, wo p, q, r von ähnlicher Bedeutung, wie S V oben a, ß, y (wahrscheinlich die Sinus der Lothe von den Ecken

des Coordinatendreiecks auf PO, an).

Es sind dann

der Verfasser g-iebt dies nicht

?] die Booth'schen Coordinaten einer Linie;

der sphärische Kegelschnitt wird

als Einhüllende aller

seiner

Tangentenbogen dargestellt. Die Behandlung dieser Kegelschnitte ist der der vorigen analog. HABICH.

Sur

un

système

Mz. particulier

Application a u x caustiques planes.

de

coordonnées.

J i r i o s c h i A n n . (2).

It.

134- 150.

Bedeutet s die Länge eines Curvenbogens, von einem bestimmten Punkt an gerechnet, d den Winkel, welchen eine Tangente in seinem Endpunkt mit einer festen Axe macht, lind r eine Länge, welche auf der Tangente in einem bestimmten Sinne vom Berührungspunkt aus abgetragen ist, so lassen sich s und r als Coordinaten einer neuen Curve ansehen, welche repräsentirt werden kann durch s = r -— \p(d). Die erste Gleichung stellt den Curvenbogen dar, eine Darstellungsform für Curven, welche zuerst von Euler angewendet ist; ihr gemäss stellt s — ad den Kreis, s = asin nO die Epicycloide dar etc. Nachdem die Curvenelemente als Functionen jener Coordinaten und deren Derivirten nach dem Parameter 0 entwickelt sind, wendet sich der Verfasser zu einer Beziehung zweier Curven, die seiner Betrachtung der Brennlinien zu Grunde liegen. Wenn die Tangente einer Curve E zwei Curven A und A' so trifft, dass die Tangenten in den Schnittpunkten mit jener bezüglich die Winkel fi und (i! bilden, so nennt er die Curve A' eine Transformation von A, wenn F(/a.,h') = 0 ist. Im Besondern behandelt er diejenige Transformirte, für welche n = diese heisst Reciproke in Beziehung auf Curve E. E s ist dies eine Verallgemeinerung der Linien, welche unter supplementären Winkeln die Leitstrahlen, welche von einem Punkt auslaufen, schneiden, und welche man reeiprok genannt hat. Mit diesen in Zusammenhang stehen die Brennlinien, welche durch Reflexion entstehen. Ist A diejenige Curve, welche die einfallenden Strahlen normal schneidet, (anti-

VIII. Abschnitt.

156

Analytische Geometrie.

caustique), D die reflektirende Curve (dirimante), so ist die anticaustique von reflektirten Strahlen A' eine Reciproke ] n Bezug auf eine Curve E, welche mit den Curven A und D in einfacher Relation steht. Nachdem der Verfasser wesentlich den Zusammenhang dieser Curven und einer allgemeineren Form von Fusspunktcurven, welche sich seinen Betrachtungen aufdrängt, verfolgt hat, entwickelt er einige Beziehungen zwischen der Brennlinie der einfallenden und derjenigen der reflektirten Strahlen. Schliesslich wendet er sich zu besonderen Fällen, auf welche er seine Entwicklungen anwendet. Seh. J. J. Walkkk.

Solution

of

tlic

question

1971.

Educ.

Times. X. G8 - 70

In ein Tetraeder soll ein System rechtwinkliger Axen so eingeschrieben werden, dass jede derselben durch zwei gegenüberliegende Kanten des Tetraeders geht. Der Anfangspunkt gehört drei Flächen ersten Grades an. F . V. A . l e

Besque.

Formule

donnant

le v o l u m e

du

t é t r a è d r e m a x i m u m , compris sous des faces de g r a n d e u r s données,

c. R. LXVI. 248-251.

Es mögen a, b, c, d die vier Seitenflächen des Tetraeders bezeichnen und es sei a~> b > r > d, während a < b + c -}- d. Ordnet man die Summen und Differenzen a+d, b + c, nach ihrer Grösse, so ist die Anordnung in zweierlei Weise möglich: 1 ) b — c = e, a — d — f , a-\-d = g, b -f c = h ; 2) b — v = e, a — d = f , b-\-c = g, a -f d — h. Bildet man nach diesen Annahmen qp ( 0 = y (< -