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German Pages 207 [203] Year 2009
LLi
Fibonacci und die Folge(n) von
Apl. Prof. Dr. Huberta Lausch
Unter Mitarbeit von Dino Azzarello
Oldenbourg Verlag München
Apl. Prof. Dr. Huberta Lausch ist seit vielen Jahren Dozentin für Mathematik mit den Arbeitsgebieten Algebra, Zahlentheorie und Geometrie an der Universität Würzburg. Außerdem arbeitete sie als Lektorin für Mathematik, Physik und Informatik bei verschiedenen Schulbuchverlagen. Zurzeit ist sie als Lehrkraft an einem Gymnasium tätig. Der Brückenschlag zwischen Schulmathematik und Fachwissenschaft ist ihr ein großes Anliegen.
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
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© 2009 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089)45051-0
oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Dr. Rolf Jäger Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN 978-3-486-58910-8
Vorwort Einer einfachen Zahlenfolge gelingt es, seit Jahrhunderten die Menschen zu faszinieren, obwohl zunächst einmal nichts an ihr spektakulär zu sein scheint: Beginnend mit zwei Einsen, ist jedes weitere Folgenglied Summe der beiden vorangegangenen Folgenglieder. Dieses Bildungsgesetz das Bildungsgesetz der Fibonaccifolge entpuppt sich bei näherem Hinsehen jedoch als eine Art Naturgesetz: Die Blattrosetten vieler Pflanzen richten sich danach, und wer sich die Mühe macht, eine Sonnenblume oder ein Gänseblümchen genauer anzuschauen, wird feststellen, dass die Einzelblüten Spiralen bilden, deren Mitgliederzahl jeweils eine Fibonaccizahl ist. Auch die Schuppen von Tannenzapfen oder Ananasfrüchten folgen diesem Gesetz. Unter dem Stichwort Phyllotaxis findet jeder Interessierte (z. B. im Internet) viele Beispiele dafür. -
-
In diesem Buch soll es jedoch nicht um das Vorkommen der Fibonaccifolge in der Natur oder um ihre Anwendung in der Wirtschaft Fibonacci Trading ist hier das Schlagwort gehen, sondern um die herbere und eher verborgene Schönheit ihrer vielfältigen Verflechtungen mit vielen Teilgebieten der Mathematik. Der Schwerpunkt dieses Buchs liegt auf der Zahlentheorie und der Algebra. Aus diesem Grund tritt neben der Fibonaccifolge auch sofort ihre Gegenspielerin und Gefährtin, die Lucasfolge, auf den Plan. Das erste Kapitel stellt einfache Folgerungen aus dem Bildungsgesetz der beiden Folgen vor. Für die Leserinnen und Leser bedeutet dies jedoch harte Rechenarbeit, denn die Beweise sind zwar elementar, aber gelegentlich recht trickreich, und sollten zumindest teilweise von jeder/jedem durchgerechnet werden. Das zweite Kapitel schlägt die Brücke zur Linearen Algebra und wendet sich eher an mathematisch vorgebildete Leserinnen und Leser; es kann getrost übersprungen werden. Das Herzstück des Buchs stellt das umfangreiche Kapitel drei dar: Hier werden Teilbarkeitsfragen untersucht Teilbarkeit der Fibonacci- oder Lucaszahlen untereinander oder durch bestimmte Primzahlen -, die beiden Folgen modulo m betrachtet und die Frage nach dem Vorkommen von Quadratoder Kubikzahlen unter den Folgengliedern geklärt. In Kapitel vier kommt schließlich noch die Analysis und in Kapitel fünf die Geometrie zu Wort: Es ist undenkbar, ein Buch über die Fibonaccifolge zu schreiben, ohne zumindest ihren Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt zu erwähnen. Kapitel sechs greift nun nochmals durch die Konstruktion eines Zahlensystems mithilfe der Fibonaccizahlen auf das Leitmotiv Zahlentheorie zurück, aber angewendet wird all diese Theorie, um zwei besondere Nim-Spiele zu analysieren. In Kapitel sieben gibt es einen kleinen Abstecher in die Informatik. Kapitel acht eröffnet den Blick zu neuen Ufern: Es zeigt sich nämlich, dass die Fibonaccifolge nur ein Anfang war zu einer viel umfassenderen Theorie, der Theorie der Lucasfolgen. Auch andere Verallgemeinerungen der Fibonaccifolge, wie die Tribonaccifolge, die sehr interessante! Padovanfolge und Fibonacci- und Lucaspolynome werden angesprochen. Im Anhang sind jeweils die ersten 60 Folgenglieder von Fibonacci-, Lucas-, Padovan-
-
-
-
-
Vorwort
VI und Perrinfolge angegeben, damit sich jede(r) die schaulich klar machen kann.
Eigenschaften
dieser
Folgen auch an-
Da dieses Buch sich nicht nur an Studierende der Mathematik, sondern hauptsächlich an interessierte Schülerinnen und Schüler wendet, habe ich versucht, alle erforderlichen Hilfsmittel im Buch selbst bereitzustellen. Das ist nicht an allen Stellen gelungen, etwa bei der Linearen Algebra, doch wurden stets die verwendeten Sätze zitiert und Quellen dafür angegeben, sodass es immer möglich ist, der Argumentation zu folgen. Am Ende eines jeden Kapitels findet sich ein Abschnitt mit Aufgaben, der meist in die Teile „Übungsaufgaben" und „Arbeitsaufträge" untergliedert ist. Bei den Arbeitsaufträgen handelt es sich um umfangreichere Aufgaben, die etwa im Rahmen einer Facharbeit bearbeitet werden könnten. Literaturhinweise am Ende eines jeden Kapitels erlauben ein vertieftes Studium.
Nun ist es aber an der Zeit, denjenigen zu danken, ohne die dieses Buch nicht entstanden wäre. Mein ganz besonderer Dank gilt meinem Freund Dino Azzarello, dessen exzellente Facharbeit die Keimzelle dieses Buches darstellt und sich insbesondere in Kapitel 1 und den Abschnitten 3.1, 3.2 sowie 6.1 wiederfindet. Seine klare und perfekte Darstellung hat ein Vorbild geschaffen, an dem sich der Rest des Buchs messen lassen muss. Meinem Würzburger Kollegen Manfred Dobrowolski danke ich für die Unterstützung sowie für seine Verbesserungvorschläge, insbesondere zu den Kapiteln 4 und 8. Ohne ihn hätte dieses Werk niemals seine Geburt sprich: sein Erscheinen erlebt. Schließlich sei auch Frau Kathrin Mönch vom Oldenbourg Wissenschaftsverlag gedankt, der das Thema Fibonaccifolge ein persönliches Anliegen war. -
Grafing
-
Huberta Lausch
Inhaltsverzeichnis 1
Fibonacci- und
1
Lucasfolge
1.1
Grundlegende Eigenschaften Einführung und Definitionen
.
1
1.2
Einfache Summenformeln.
3
1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3
Weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge. Das Prinzip der vollständigen Induktion. Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen. Beziehungen zwischen Lucaszahlen.
8 8 9 13
1.4 1.4.1 1.4.2
Lineare Rekursion und die Formel von Binet. Die Formel von Binet. Lineare Rekursion die Herleitung der Formel von Binet.
15 15 18
1.5 1.5.1 1.5.2
der Formel von Binet. Folgerungen für die Folgerungen Fibonaccifolge. Beziehungen zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen.
20 21 26
1.6
Fibonacci- und Lucaszahlen mit negativen Indizes.
28
1.7
Aufgaben.
30
2
Fibonaccizahlen und Lineare Algebra
31
2.1
Die
31
2.3
Herleitung der Formel von Binet mithilfe der Eigenwertrechnung. Die Darstellung der Fibonaccizahlen als Determinanten von Matrizen Herleitung von Fibonacci-Identitäten mithilfe der Matrizenrechnung.
2.4
Fibonacci- und Lucasvektoren.
41
2.5 2.5.1 2.5.2
Aufgaben. Arbeitsaufträge
48 48 48
3
Zahlentheoretische
von
-
2.2
3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5
aus
....
Übungsaufgaben
. .
35 38
Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge 49 Zahlentheoretische Grundlagen. 49
Teiler und Vielfache. 49 Der euklidische Algorithmus und Eigenschaften von ggT und kgV. 51
Binomialkoeffizienten. 54
Gruppen, Ringe, Körper. Kongruenzen und Restklassen
.
56 59
VIII 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.6 3.6.1 3.6.2
_Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitsaussagen. Teilbarkeitsaussagen für Fibonaccizahlen. Quotienten von Fibonaccizahlen. Teilbarkeitsaussagen für Lucaszahlen Die Fibonaccifolge modulo m. Die Periodenlänge der Fibonaccifolge modulo m Die Fibonaccifolge modulo p, p prim. .
.
Die
Verteilung der Fibonaccizahlen modulo m Summenformeln modulo m. .
Fibonaccizahlen und Binomialkoeffizienten. Summenformeln mit Binomialkoeffizienten.
Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten. Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge. Aufgaben.
Übungsaufgaben Arbeitsaufträge
. .
64 64 70 74 78 78 82 89 90 91 92 95 97 100 100 101
4
Fibonaccizahlen in der
4.1 4.1.1 4.1.2
Folgen
4.2
Potenzreihen mit Fibonaccizahlen
.
112
4.3
Aufgaben.
115
5
Fibonaccizahlen in der Geometrie
117
5.1
Rechtwinklige Dreiecke. Der goldene Schnitt. Teilung einer Strecke. Konstruktionsverfahren für den goldenen Schnitt.
117
5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.5 5.5.1 5.5.2
103 Analysis Einige spezielle Folgen. 103
mit dem Grenzwert $. 105 Reihen mit Fibonaccizahlen. 108
119 119 121
Goldene Dreiecke. 125 Die Winkel im goldenen Dreieck. 125 Das Das
regelmäßige Zehneck. regelmäßige Fünfeck. Fibonaccispirale und goldene Spirale. Aufgaben .
Übungsaufgaben Arbeitsaufträge
6
Das
6.1
Die
.
.
Fibonaccizahlensystem
und
Nim-Spiele
Darstellung natürlicher Zahlen durch Fibonaccizahlen.
127 128
133 137 137 138 139
139
Inhaltsverzeichnis_ 6.1.1 6.1.2 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.3.1 6.3.2
Stellenwertsysteme. Der Satz von Zeckendorf. Nim-Spiele. Das Spiel „Euklid". Das Spiel von Wythoff. Das Spiel von Wythoff und das Fibonaccizahlensystem. Aufgaben.
Übungsaufgaben Arbeitsaufträge
.
.
139 142 146 146 148 152 155 155 156
7
Die Fibonaccizahlen in der Informatik
157
7.1
Binäre Suchbäume
157
7.2
Fibonacci-Heaps. Aufgaben .
7.3 7.3.1 7.3.2 8 8.1 8.1.1 8.1.2
8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.3
8.4 8.5 8.5.1 8.5.2
Übungsaufgaben Arbeitsaufträge
.
.
.
160 162 162 162
163 Verallgemeinerungen der Fibonaccizahlen Lucasfolgen. 163 163 Einführung und Definitionen Eigenschaften von Lucasfolgen. 166 Die Padovanfolge. 170 Definition und Eigenschaften. 170 .
Rekursions- und Summenformeln. 171 Kombinatorische Deutung der Padovanzahlen. 174 Padovan- und Perrinfolge. 174 Die Die
Plastikzahl. Padovanspirale. Die Tribonaccifolge. Fibonacci- und Lucaspolynome. Aufgaben .
Übungsaufgaben Arbeitsaufträge
.
.
A
Tabellen der
A.l
Die ersten 60
A.2
Die ersten
A.3
Die ersten 60 Padovanzahlen
A.4
Die ersten 60
Zahlenfolgen
176 177 178 180
183 183 184 185
Fibonaccizahlen. 185 60 Lucaszahlen. 186 .
187
Perrinzahlen.
188
Inhaltsverzeichnis
X B
Die Formeln
von
Cardano
189
Literaturverzeichnis
191
Index
195
Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge
1
In diesem Kapitel werden Folgen im Allgemeinen und speziell die Fibonaccifolge und die Lucasfolge als Beispiele rekursiver Folgen vorgestellt. Zunächst bringen wir einfache Summenformeln, die man unmittelbar aus der Rekursionsformel herleiten kann. Das Prinzip der vollständigen Induktion wird benutzt, um weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge und insbesondere die Formel von Binet zu beweisen. Diese Formel erlaubt eine explizite Berechnung des n-ten Folgenglieds in Abhängigkeit von n und führt auf weitere Resultate. Außerdem werden verschiedene Zusammenhänge zwischen Fibonacci- und Lucasfolge aufgezeigt. Schließlich definieren wir beide Folgen auch für negative Indizes.
1.1
Einführung und Definitionen
Die erste
Spur der Fibonaccifolge findet sich bereits um 450 v. Chr. in einem Werk des Sanskrit-Grammatikers Pingala. Als erster in Europa beschrieb sie jedoch der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa (etwa um 1170 bis ungefähr 1240), bekannter als Fibonacci, abgeleitet von Filius Bonaccii oder Figlio di Bonacci (Sohn des Bonacci), in seinem Buch Liber Abaci. Zunächst müssen wir jedoch klären, was eine Folge überhaupt ist. Daher beginnen wir mit einer formalen Definition des Folgenbegriffs. Definition 1.1 Eine
Folge ist eine Abbildung
2 kann
man
die linke Seite in der
Z~2™=2(f2i /2i-2) f2n darstellen, und dies ist gerade die Behauptung. —
=
—
(c)
Die
gesuchte Summe erhält 2n
n
£ i=l
wobei
(a), (b)
und
man
n
f*
=
als Differenz
f2i-l ~
i=l
/2„+i
=
=
1
/2n+2 —
/2n
=
/2n+l
~
1,
—
i=l
/2n+2
/2n
verwendet wurden.
0
-
Mithilfe der Teile (b) und (c) des vorigen Satzes kann der ersten n Fibonaccizahlen berechnen.
man
die alternierende Summe
1.2 Einfache Summenformeln
5
Beweis: Für gerades n 2k subtrahiert man die Summe der ersten k Fibonaccizahlen mit geradem Index von der Summe der ersten k Fibonaccizahlen mit ungeradem Index: =
k
k
£ fii-l £ hi
=
-
f2k
-
/bfc+l + 1
=
—fik-l + 1)
i=l
;-l
Die
Aussage für ungerades n Gleichung fok+i hk + hk-l =
2k + 1 addiert:
=
ergibt sich,
wenn man
auf beiden Seiten der
2k
+w
=
/2fc
+i
i=l
Damit ist der Satz
vollständig bewiesen. 0
Bisher haben wir mithilfe der Rekursionsformel verschiedene Summen von Fibonaccizahlen bestimmt. Mit einem kleinen Trick gelingt es sogar, die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen zu berechnen.
Beweis: Der Trick besteht darin, ff mithilfe der Rekursionsformel geschickt darzustellen. Es gilt nämlich ff fifi+i fi-ifi für i 2,n. Beachtet man ff fif2 und setzt dies in Y!i=i fn eini ergibt sich fif2 + £™=2(/i/i+i /i-i/i) /n/n+i- 0 =
=
=
—
=
-
Quadrate von Fibonaccizahlen können als Summen von Produkten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen dargestellt werden. Auch bei diesem Beweis wird die Rekursionsformel mehrfach verwendet.
Grundlegende Eigenschaften
1
Fibonacci- und
von
Lucasfolge
Satz 1.6
i=l
Sei zunächst
Beweis:
n
ungerade,
2m+l
22
für
fn+i fn+i n
=
ungerades n für gerades n
1 ~
2m + 1. Es
ergibt
sich:
m
/»/»+!
=
Z1/2
+
£(/2i/2i
+/2i+l/2i+2)
+l
i=l
i=l
m =
/l/2
+
£ /2i+l(/2i + /2i+2) i=l m
=
/l/2
+
£(/2i+2
—
/2i)(/2i+2 + /2i)
i=l m
=
/l/2
+
£(/|i+2 /Ii) ~
i=l
=
Nun sei
n
gerade,
n
=
/1/2
+
/lm+2 /! /lm+2 /n+1 =
2m. Dann erhält
2m
=
~~
man:
m
fifi+l
—
i=l
m
£(/2i-l/2i + /2i/2i+l) i=l
/2i(/2i + l + /2i-l)
=
i=l m
m =
£(/2i+l
-
/2»-l)(/2/fe £/*+!>+•••+ E /*+£/* =
fc = l
k—l
k=2
k=n
l
k=n
—
=
(fn+2 1) + (fn+2
"
1
~
"
^
•
(/n+2
+
^
•••
+
-
"
£ A) 7
fc=l
(/»+!• -i
^/fc-(n-2).l
n(/n+2 1)
1
fc=l
fc=l
•n+1 =
"
n-1
-[/i + (/4-l) +
n(/n+2"
•
2
/
n(/n+2
fl) +
+
/1
fc=4 =
n(/n+2 1) [(/n+3 1) h h fl nfn+2 /n+3 + 2;
=
-
-
-
-
-
-
-
(n 2) + /i] -
—
dabei wurden
/i
=
/2
=
1 und
f$
=
2 benutzt.
Für Lucaszahlen kann man aus der Rekursionsformel (1.1) in ähnlicher Weise verschiedene einfache Summenformeln herleiten. Da die Beweise der Sätze 1.3, 1.4, 1.5 und 1.7 fast wörtlich übernommen werden können, ist der Beweis der entsprechenden Aussagen der Leserin/dem Leser überlassen, s. Aufgabe 1.7.1. Satz 1.8 Für Lucaszahlen
(a) (b) (c) (d)
gelten folgende Beziehungen:
Summe der ersten
n
Lucaszahlen:
=
^«+2
^ ~~
YÜl=i ^i-i tan Summe der ersten n Lucaszahlen mit geradem Index: Yl7=i fe» ^2n+i 1 Summe der Quadrate der ersten Lucaszahlen: $7J"=1 lf lnln+i 2 Summe der ersten
n
Lucaszahlen mit
ungeradem
Index:
=
-
=
—
n
=
—
2
1
8
Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge
Weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge
1.3
Das Prinzip der vollständigen Induktion zwischen Fibonacci- oder Lucaszahlen.
1.3.1
Das
Prinzip
der
ermöglicht den Nachweis weiterer Beziehungen
vollständigen
Induktion
Bei vielen Beweisen aus der elementaren Zahlentheorie spielt das Prinzip der vollständigen Induktion eine wichtige Rolle. Es nutzt die Tatsache aus, dass man von jeder noch so großen natürlichen Zahl aus stets um eins weiter zählen kann. Damit gelingt es häufig, die Gültigkeit einer Aussage für alle natürlichen Zahlen nachzuweisen. Genauer gesagt nutzt das Prinzp der vollständigen Induktion das fünfte Peano-Axiom (nach Giuseppe
Peano, 1858-1932)
aus:
Enthält eine Menge M die natürliche Zahl 1 (oder 0) und enthält M für jede natürliche Zahl m £ M auch den Nachfolger m + 1, so ist N* (bzw. N) die kleinste derartige Menge, d.h. es gilt N* C M (bzw. N C M). der vollständigen Induktion: Es sei no € N* (meist ist no 0 oder no 1) und für jede natürliche Zahl n > no sei eine ist Falls wahr und für jedes n > no aus der Richtigkeit von A(n) Aussage. ^4(no) A(n) die Richtigkeit von A{n + 1) folgt, dann gilt A(n) für alle n > n0.
Prinzip
=
Das Beweisverfahren 1.
gliedert
=
sich also in
folgende Schritte:
Induktionsanfang (Induktionsverankerung):
Es wird
ist. 2.
Induktionsvoraussetzung (Induktionsannahme): A(n)
3. Induktionsschluss
(Schluss
von n
auf n +
1):
gezeigt, dass A(no) richtig ist
Man weist
tigkeit von A(n) die Richtigkeit von A(n + 1) folgt.
richtig. nach, dass
aus
der Rich-
Jedes Folgenglied von Fibonacci- und Lucasfolge hängt von den beiden vorhergehenden Folgengliedern ab. Daher ist für Beweise in diesem Zusammenhang die folgende modifizierte Version des Beweisverfahrens besser geeignet: 1. 2.
gezeigt, dass ^4(no) und A(no + 1) richtig sind. Induktionsvoraussetzung: Es seien A(n) und A(n + 1) richtig.
Induktionsanfang:
(Schluss von n und n + 1 auf n + 2): Man zeigt, dass A(n) und A(n + 1) die Richtigkeit von A(n + 2) folgt.
3. Induktionsschritt
Richtigkeit
von
Es wird
aus
der
9
Lucasfolge
1,3 Weitere
Eigenschaften von Fibonacci-
1.3.2
Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen
Das
und
Induktion gestattet es meist in seiner modifizierten Form, (oder für n 0 und n 1) verankert werden muss eine Vielzahl von Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen zu beweisen. Viele dieser Formeln werden später bei der Herleitung weiterer Beziehungen nützlich sein.
Prinzip der vollständigen wo
für
n
=
1 und
n
2
=
-
=
=
-
Beweis durch vollständige Induktion nach m. Die Induktionsverankerung ist für m und m 2 gegeben durch
=
1
=
/n+1 fn+2
=
=
/n-l/l + /n/2 /n-l/2 + /n/3
/n-1 /n-1
=
=
1+
/n 1 /n-1 + fn, + 2/n (/n-1 + /n) + fn -
=
'
=
=
/n+1
+
/n,
nach der Rekursionsformel der Fibonaccifolge für beliebiges n G N* richtig ist. Als nächstes zeigen wir den Induktionsschritt (Schluss von m und m + 1 auf m + Nach Induktionsvoraussetzung gilt für ein m G N* und für m + 1:
was
fn+m /n+m+1
=
2).
fn lfm ~t~ fnfm+l fn lfm+l /n/m+2? —
=
—
durch Addition
ergibt
sich daraus
fn+m ~t~ /n+m+1
fn +m+2 /n-l(/m + fm+l) /n-l/m+2 + /n/m+3-
+
/n(/m+l + fm+2)
—
=
Die m.
Behauptung gilt
Setzt
man
in Satz 1.9
/2n
=
fn+m+2
also auch für
m
=
/n-l/n
n,
+
so
erhält
/n/n + 1
=
und damit für alle natürlichen Zahlen
man
/n(/n-l
+
/n + l)i
(1-2)
/„ ist also ein Teiler von /^n- Weiter sieht man aus (1.2), dass die Differenz der Quadrate zweier Fibonaccizahlen fn-\ und /ra+i wieder eine Fibonaccizahl ist, es gilt nämlich: /2n
=
/n(/n-l+/n + l)
=
(/n+1 /n-1) {fn- 1 + /n+1) ~
=
fn + l~fn-l
(1-3)
10
1
Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci-
und
Lucasfolge
Außerdem ist die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen wieder eine Fibonaccizahl. Das sieht man ein, wenn man in Satz 1.9 m n + 1 setzt: =
/2n + l
=
=
(1-4)
/n+(„ + l) fn-lfn + 1 + fnfn+2 (fn+l fn)fn+l + fn(fn + fn+l) =
—
=
fn + l
fnfn + 1
+
fn
+
~
Der nächste Satz liefert eine interessante Fibonaccizahlen:
fnfn+1
=
fn + fn + l
Beziehung zwischen vier aufeinanderfolgenden
Satz 1.10
Beweis durch
vollständige Induktion
nach
=
=
fn+2fn+3
~
fn+lfn+4
=
n:
(-l)1
L /2/3-/i/4 = l-2-l-3 Für ein beliebiges n£f gelte nun die mithilfe der Rekursionsformel (1.1): n
obige Beziehung. Dann erhalten
wir für
n
+1
fn+2fn+3 fn+l{fn+2 + /n+3) /n+2/n+3 fn+lfn+2 fn + l fn+3 (fn+2 fn+l)fn+3 fn+lfn+2 fnfn+3 fn+lfn+2 (-l)(/n+l/n+2 fnfn+3) ~
=
—
~
—
=
—
—
—
=
—
=
(-l)"+\
wie behauptet, wobei wir im letzten Schritt die ben. 0
Induktionsvoraussetzung verwendet ha-
Wir zeigen nun die Identität von d'Ocagne (nach dem französischen Mathematiker Maurice d'Ocagne, 1862-1938). Sie ist eine Verallgemeinerung von Satz 1.10: Setzt man in Satz 1.11 nämlich m n + 2, so erhält man die Aussage von Satz 1.10. =
Satz 1.11
fmfn + l -
Im Spezialfall Beweis: Identität ist richtig.
m
=
fnfm + 1 n
=
(-1)™fm-n (™ > ")
ergibt sich fmfm+i
fmfm+i —
=
0
=
(—l)°/o und die
1.3 Weitere
Eigenschaften von Fibonacci-
Nun nehmen wir n
E
Ti
2:
/m/2 fmfz
—
m
>
n an
/l/m+l /2/m+l
und
fm /m+1 2/m /m+l
=
(-l)2/m-2
Für es
passende m und gelten also
—
Damit erhalten wir für
n
+ 1
J Damit lässt sich die
1
\
#2 \rtd-l J
folgende Verallgemeinerung der
Formeln
von
Binet
zeigen:
Satz 2.6 Für alle ganzen Zahlen
(a)
n
gilt
für Fibonaccivektoren
V5
(b)
für Lucasvektoren
Beweis: Verwendet man sowie die Formel von Binet (Satz 1.17 bzw. Satz 1.20), so liefert komponentenweises Vergleichen der linken und der rechten Seiten der Gleichungen die Behauptung.
Geometrisch bedeutet Satz 2.6, dass alle Fibonaci- und Lucasvektoren der Länge d in liegen, nämlich in der von den Vektoren $ und * aufgespannten Ebene.
einer Ebene
Für die Vektoren $ und * kann man nun wie üblich Skalarprodukte berechnen. Wir stellen die Ergebnisse im folgenden Lemma zusammen:
2 Fibonaccizahlen und Lineare
42
Algebra
Lemma 2.7
f Vh~fd $d"x für gerades d,
für ungerades d [ ld f -v^/d*^1 für gerades d, 1
Z^ *d
{
=
Beweis: (1.17) für
0 für 1 für
für
gerades d, ungerades
ungerades eZ
d
Wegen $* -1 gilt geometrische Folgen ergibt sich =
=
d-l
«.«
E*2l
.
=
2=0
(UT)
=
Mithilfe der Summenformel
E(-§) i=0
l-(-f)« l-(-|)
(1.6)
also 2
#d -
1+
(-l)d$d
\T/d-l
(-l)^-1^^-^^^ (-l)d$d] (fW"1^-!)«^1^ _|_ $
_
(2.10)
Vektors
/„. Für n 0 erhält man aus (2.10) den in Kapitel 1 bewiesenen Satz 1.5; dabei muss man für ungerades d ein wenig rechnen, um die Gleichheit einzusehen. n gesetzt und berücksichtigt man /_„ Wird in Satz 2.8 dagegen m (-l)n+1/n =
=
und l-n
=
(-1)"/
n,
so
erhält
=
die Summenformel
—
man
f
d_i
£(-l)7n-i/„-H {I *=o
Wählt
man
in Satz 2.8
n
=
1 und
(-l^+Vd/d-i 1 g [(-1)
=
m
=
—
t,
Wd-i so
+
fen]
für
gerades d,
für
ungerades
d
(2.11)
ergibt sich
f fdft-d ±^ 1,. Y/(-lYfi+ift-i={ I jr (Wt-d + «t+i) ~£ ,
.
für ...
mr
gerades d, ungerades ...
d
(2.12)
.
Entsprechende Spezialisierungen kann man natürlich auch auf die Sätze 2.9 und 2.10 anwenden; die Leserin/der Leser ist hiermit dazu eingeladen, selbst verschiedene Spezialfälle auszuprobieren, s. die Arbeitsaufträge 2.5.2.1 und 2.5.2.2. Vergleicht man Satz 2.8 mit Satz 2.9, so kann man das folgende Ergebnis festhalten:
C-C Aus von
=
{54'4 [ 5/„ fm •
+2
•
(-l)nZm_n
für für
gerades d, ungerades
d.
(2.10) ergeben sich interessante Formeln für Summe und Differenz zweier Fibonaccizahlen. Es gilt nämlich für alle m, n € Z
Quadrate
2.4 Fibonacci- und Lucasvektoren
45
Korollar 2.11
fn
Beweis:
Mit
fm-nfm+n,
fit
m
falls
m
ungerade, gerade
n -
-{lm-nlm+n n
=
+d
1
gilt
+
fm
4
•
-
(-1)71),
falls
m-n
—
d-l
fn
d-3
z2 f(n+l)+i-
/«+*
—
i=0
Ist
m
n
d wird
gerade, also d ungerade,
1
=
angewandt —
i=0
—
/« + /m
=
\[ldhn+d-l (-1)" \{(ld ld-2)hn+d-l 2
~
0 =
-
nln+m ~z\lm 0
(2.10) +2
"
auf beide Summen
(-l)n+1]
(-1)"]
4 •
~
=
wenn
ld-2hn+d-l
•
~
=
gilt,
so
4-(-l)n]
4 •
( 1) ],
—
wobei im letzten Schritt m n + d Für ungerades m n = d 1, d. h.
1 benutzt wurde.
=
—
fn + frn
gerades d, —
=
fdf2n+d-l
fd-2f2n+d-l ~
Damit ist alles
erhält
man
nach
—
=
fd-lf2n+d-l
Quadrate
zweier Fibonaccizahlen
ergibt
Korollar 2.12
Sei
=
fm-nfm+n-
gezeigt.
Für die Differenz der
Beweis:
(2.10) analog zu oben
m
=
n
+ d. Dann können wir schreiben d-l
f2 Jm
f2 Jn -
=
d-l
V _Vf2 f2 / Jn-\-l-\-i / J n+i' _j
^
sich für m, n € Z
2 Fibonaccizahlen und Lineare
46 Mithilfe
fm~fn Für
(2.10) ergibt
von
=
fdf2n+d+l
ungerades
m
n
~
=
sich für
gerades
fdf2n+d-l
m
n
d erhalten wir
d:
=
-
fd{f2n+d+l
=
Algebra
f2n+d-l)
=
fdf2n+d
=
fm-nfm+n-
~
entsprechend:
—
f2 Jm
f
{ldhn+d+l
Jn _
2
{ld(hn+d+l
(im-Jm+n folgt eine weitere verallgemeinert:
ldhn+d-1
+2
•
( 1)™) —
-
hn+d-l) + 4 ( 1)™) •
—
Aus Satz 2.8
( —l)n + 1
•
-
—
+4
•(-!)").
interessante
0
die Resultate
Beziehung,
aus
Abschnitt 1.3
Korollar 2.13
fn+k-2fn-m+k-l fk-lhn m+k—2
l:{lk~ihn-m+k-2 —
Beweis:
Sei zunächst k > 0. Es
2 -
•
(-l)n~~mlm-i)
m+k l ~t~
fn lfn
m —
—
—
—
—
ungerades
k
gilt fc-i
fn-rk 2fn
für
—
fc-3
^ ^ fn i=0
l+ifn —
m+i —
x
] fn+ifn
m+l i —
—
Auf die beiden Summen wenden wir jetzt Satz 2.8 an. Dabei ist bei der ersten Summe in Satz 2.8 d durch k, n durch n 1 und m durch n m zu ersetzen. Bei der zweiten Summe ist in Satz 2.8 k 2 anstelle von d und n m + 1 anstelle von m einzusetzen. Für gerades k (und damit gerades k 2) ergibt sich —
—
—
—
—
fkf2n-m+k-2
fk-lf2n-m+k-2
fk-2f2n-m+k-2 ~ —
als Wert der Differenz der beiden Summen. Ist k (und damit k 2) ungerade, so erhält —
man
als Wert der Differenz der beiden
2.4 Fibonacci- und Lucasvektoren
47
Summen
(lkhn-m+k-2 (_ 1)" l-m+1 lk-2hn-m+k-2 + ( —l)n'-m+l) ~
=
~
+ 2 ( l)nlm-i( l)m *) -(lk-lhn-m+k-2 5 —
-{lk-\hn-m+k-2 (lk-lln-m+k-2
( l)™+m/m_i)
2 ~
~
—
—
2
( l)"_mZm_i)
•
—
Für k < 0
in
=
folgt
das
(-l)"in- 0
Ergebnis
aus
dem Fall k
Wir beschließen diesen Abschnitt mit zwei aussagen deuten kann.
0 wegen
>
Identitäten,
die
/_„
man
=
(—l)n+1/„
und
auch als Teilbarkeits-
Satz 2.14 Für ganze Zahlen
m
:
und
n
gelten:
fn-2m + /n+2m-2 /2m-1
..."
'
' .
.
und
fn+2m-\
+
'n-1 —
/ri-2m-l
fn— 1 i
h man
—
beachte, dass die Ausdrücke auf der linken Seite der Gleichungen für festes
ganzzahlig und unabhängig von m Beweis:
Setzt
man
in Korollar 2.13 k
fn+m 2/n —
also
sind.
1
4"
=
m
für
fn lfn—m
gerades =
/re+m-2 + fn-m fm—\
(1.18). =
m
Schreibt
ungerade;
_
}2n-2 fn 1
/2(n-l) _
fn
/n+m-2
+
lm
1
fn-m
i
1.
—
-{lm-ll2n-2 0
man
2 ~
Gleichung.
( 1)" mlm-l)-
hn-2 + 2 ( l)r
5/n
die erste
—
—
—
sich
l
2m anstelle von m, so erhält dann ergibt sich aus Korollar 2.13
—
folgt
ergibt
fm—l/2n—2i
man
/n+m-2/71-1 + fn-lfn-m Daraus
so
—
—
—
nach Sei k
m,
2 Fibonaccizahlen und Lineare
48
Algebra
da die rechte Seite dieser Gleichung von m unabhängig ist, muss auch die linke Seite dieser Gleichung unabhängig von m sein. Wählt man speziell m 1, so ergibt sich —
fn l 4~ fn 1 -;—
—
'0
Iq
wegen
anstelle
=
2. Nun erhält
von m
man
schreibt. 0 unter der Bedingung 0 eine r, ^ Gleichung der Form rj_i q^i + n+i mit | r»+i | 0 gilt. Folglich kann r, ^ 0 aber nur für endlich viele i e N gelten und es gibt somit einen 0. Wegen rn ^ 0 ^ r\ ist n > 0. Man betrachte die kleinsten Index n mit rn+i =
.
=
Gleichungen
ro
=
q\rx + r2
r\
=
q2r2 +r3
(A0) (Ai)
rn-2
=
qn-\rn-i + rn
(An-2)
r„-i
=
qnrn
(An-i)
Aus (An_i) erhält man rn \ rn_i, aus (An-2) rn | rn-2 usw., bis schließlich vn | T\ und rn | rn folgen. Das bedeutet: rn ist ein gemeinsamer Teiler von a und b. Um zu beweisen, dass r„ tatsächlich der größte gemeinsame Teiler ist, zeigen wir, dass für einen beliebigen gemeinsamen Teiler d von a und 6 auch d | rn gilt; denn daraus folgt d < rn. Aus (Aq) schließt man d | r2, aus {A\) d | r3 usw., bis man zu d \ rn gelangt. 0
52
Eigenschaften von
3 Zahlentheoretische
Beispiel:
Wir berechnen den
ggT
von
Fibonacci- und
Lucasfolge
288 und 84 mithilfe des euklidischen
Algorith-
mus:
288
=
84
=
36
=
3 84 + 36 2 36 + 12 3 12 •
Daher ist
•
•
ggT(288, 84)
Der euklidische d
=
12.
Algorithmus erlaubt
=
eine
Darstellung von d := ggT(a, b)
in der Form
+ s-b
r-a
(3.1)
mit passenden ganzen Zahlen r und s; wir werden diese Darstellung gelegentlich benötigen. Man erhält die Darstellung (3.1), indem man die Gleichungen (Aq) bis (An-2) jeweils umstellt
(A'0) (A[)
r2=a- qiri
r3=r1-q2r2
(A'n_2) (A'n-i)
r„-i r„_3 (e):
=
—
=
Binomialkoemzienten
3.1.3
In diesem Abschnitt erinnern wir zienten.
an
Definition und
Eigenschaften
von
BinomialkoefR-
Definition 3.6 Seien n, k mit
(gelesen „n
aus
fn\ \k)
n-{n-l).[n k\
k+ -
1)
n\ _
1
fe!(n-fc)!
Für fc 0 ist ( 0 ) 1, für k > n oder k < 0 setzt man (£) =0. Dabei ist n! 1.n. durch n\ gegeben „n Fakultät") Für nichtnegative n und fc ist (\) stets eine nichtnegative ganze Zahl. =
(£)
> k nichtnegative ganze Zahlen. Der Binomialkoeffizient fc"oder „n über fe") ist definiert durch
n
=
'
'
(gelesen:
=
Bemerkung: Man kann die obige Definition auf reelle Zahlen sich auf den linken Teil der Gleichung (3.2) beschränkt.
n
erweitern,
wenn man
3,1 Zahlentheoretische
55
Grundlagen
Die folgenden Rechenregeln für BinomialkoefRzienten geben wir ohne Beweis an; in allen Fällen kann man den Beweis mithilfe der Definition durch direktes Nachrechnen oder mit vollständiger Induktion führen.
Satz 3.7 Für
nichtnegative ganze
(a) fc-(2)
=
n-(2l})
(T ) (2) + U-i) =
(fc)=(n-fe) (d) E2=o(S)
=
2"
ELo(-l)fc(fc)
Im
=
Ofürn>(
Lemma beweisen wir einige Teilbarkeitseigenschaften für Binomialkoeffiwir die zienten, später häufiger benötigen werden:
folgenden
Lemma 3.8
Sei p eine Primzahl.
(a)
Die Binomialkoeffizienten
(b)
Die Binomialkoeffizienten
(£) sind für fc )
=
1 sämtlich durch p teilbar.
1,... ,p —
sind für k
=
bar. 1 alle durch p teilbar.
2,.. .,p —
Beweis:
(a) Wegen (pk)
fc! p (p 1) (p k + Primzahl und fc 1 < < da fc!, p p ist. Es fc! + gilt (b) (p l)p- (p + 2 C+1) durch p teilbar, aber nicht fc!. =
•
-
1)
ist p ein Teiler
von
-
(f.) k\,
aber nicht
von
•
=
•
•
-
fc);
daher ist
(p+x)
fc! für 2 < fc < p •
1 -
Will man Potenzen einer Summe x + y berechnen, so wird dies durch den binomischen Lehrsatz erleichtert. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion mithilfe der Rechenregeln für Binomialkoeffizienten:
56
3 Zahlentheoretische
Satz 3.9
Eigenschaften
von
Fibonacci- und
Lucasfolge
(Binomischer Lehrsatz)
k=0
^
'
Der binomische Lehrsatz liefert eine interessante Formel. Vergleicht man die Koeffizienten von xl in der Binomialentwicklung von (1 + x)r+s und von (1 + x)r(l + x)s(= (1 + x)r+s) mit r,s,t G No, so ergibt sich r
+ t
s
Eu«/" V* 2=0
*7
(3.3)
'
—
Gruppen, Ringe, Körper
3.1.4
In diesem Abschnitt werden
einige wichtige Begriffe
aus
der
Algebra bereitgestellt.
Definition 3.10
Gruppe (G, o) ist eine nichtleere Menge G Verknüpfung o : G x G —> G: so dass gelten: Eine
(Gl) (G2)
Assoziativität:
o c
=
=
b
=
(inneren)
(b o c) für alle a,b,c G G; (neutralen Elements) e: G;
jedem
a
G
G
gibt
es
ein 6 G G mit
=
Man nennt eine
a o
mit einer
a o
Existenz eines inversen Elements: Zu ao6 e 6oa. =
(G4)
o
Existenz eines Einselements eoa a ooefür alle a G =
(G3)
[a b)
zusammen
Gruppe
b o a für alle
kommutativ oder abelsch,
wenn
zusätzlich
gilt:
a,b G G.
Verknüpfung in einer Gruppe wird häufig als Produkt, d. h. multiplikativ, geschrieben, also z. B. a b oder einfach ab. Bei kommutativen Gruppen stellt man die Verknüpfung meist additiv in der Form a + b dar. Das inverse Element eines Elements a einer Gruppe wird meist als a_1 bezeichnet; bei einer additiv geschriebenen kommutativen Gruppe schreibt man dafür a und bezeichnet das neutrale Element mit 0. Die
—
3,1 Zahlentheoretische
57
Grundlagen
Beispiele: Z, Q, E, C
•
mit der
gewöhnlichen Addition
als
Verknüpfung
sind abelsche
Grup-
pen.
Q \ {0}, E* E \ {0}, C* C \ {0} jeweils mit der gewöhnlichen Multiplikation als Verknüpfung sind abelsche Gruppen.
Q*
•
=
=
=
Definition 3.11 Eine Teilmenge H c G einer
Gruppe (G, o) heißt Untergruppe von G, wenn gelten:
(1) eeH; (2) a,be H => aobe H; a€H=> a"1 G H.
(3)
Beispiele: •
•
Z ist Untergruppe von Q, Q ist Untergruppe jeweils mit der Addition als Verknüpfung.
Die
Menge von
gruppe •
mZ der Z.
ganzzahligen
von
R,
E ist
Untergruppe
Vielfachen einer ganzen Zahl
m
von
C,
ist eine Unter-
Gruppe G besitzt {e} und G als triviale Untergruppen.
Jede
Definition 3.12 Eine Gruppe (G, o) heißt zyklisch, wenn sie von einem Element o erzeugt wird. Jedes Element von G lässt sich also als Potenz o™ bzw. a~n darstellen; dabei definiert man a2 o a,..., ak+1 ak o a, und a~k (ak)~1. Zyklische a o a, a3 sukzessive a2 Gruppen sind offensichtlich kommutativ. =
=
=
=
Beispiele: •
(Z, +)
ist eine
•
Für
G
Das
m
folgende
Z ist
zyklische Gruppe,
(mZ, +)
eine
die
von m
von
1 erzeugt wird.
erzeugte zyklische Untergruppe
Lemma klärt die Struktur der
Untergruppen
von
Z:
von
Z.
3 Zahlentheoretische
58
Eigenschaften
Fibonacci- und
von
Lucasfolge
Lemma 3.13
Jede
Untergruppe
Beweis: Sei H ^ {0}. Dann enthält H auch positive ganze Zahlen; wir nehmen an, dass m das kleinste positive Element von H ist. Mit m gehört auch jede Zahl mk (k £ Z) zu H, also gilt mZ c H. Sei nun umgekehrt a ein beliebiges Element aus H. Dividiert man a mit Rest durch m, so ergibt sich a qm + r mit q, r € Z und 0 < r < m. Wegen a € H und qm e H ist auch r a qm € H\ da nach Wahl von m alle positiven Elemente von H größer oder gleich m sind, folgt r 0. Somit ist a qm G mZ und weiter H C mZ. Insgesamt gilt also if mZ. =
=
—
=
=
=
Nun zwei weitere begegnen werden:
algebraische Strukturen,
deren Vertreter
uns
im nächsten Abschnitt
Definition 3.14 Ein Ring (R, +, •) ist eine nichtleere Menge R zusammen mit einer additiv geschriebenen inneren Verknüpfung + (Addition) und einer multiplikativ geschriebenen inneren Verknüpfung (Multiplikation), so dass folgende Bedingungen erfüllt sind: •
(1) (2)
Die
(3)
Es
i? ist
bezüglich + eine kommutative Gruppe. Multiplikation in R ist assoziativ und es der Multiplikation.
gelten
die
Distributivgesetze
(a b)-c +
Der
=
a- c
+ b-
c
und
Ring R heißt kommutativ,
Beispiel: Ring.
Z ist mit der
c
•
(a + b)
wenn
=
seine
c
existiert ein Einselement
•
a
+
c
•
b für alle
a,b,c&
bezüglich R.
Multiplikation kommutativ ist.
gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer
Definition 3.15
Ein kommutativer Ring (K, +, •) heißt Körper, plikation eine kommutative Gruppe ist.
Beispiel:
,
R und C sind
Körper.
wenn
K
\ {0} bezüglich der
Multi-
3.1 Zahlentheoretische
59
Grundlagen
Kongruenzen und Restklassen
3.1.5
In diesem Abschnitt werden wichtige Begriffe aus der elementaren Zahlentheorie eingeführt. Diese Ergebnisse werden insbesondere im Abschnitt 3.4 ständig benutzt.
Definition 3.16
Seien a, 6 und modulo m,
^
m
0 ganze Zahlen. Genau dann nennt man a kongruent (zu) b ein Teiler von a b ist und man schreibt a b (modm). =
wenn m
—
Beispiel: denn 5
47
2
=
| (47 2)
=
-
(mod5) 12 (mod5) 45; 5 | (47 12) 35; =
=
-
Aus der Definition
=
5
-13 (mod 5)
=
| (47 (-13)) -
-3 (mod5), 60; 5 | (47
=
—
(-3))
=
50.
ergeben sich einige einfache Rechenregeln für Kongruenzen:
Lemma 3.17
Seien a, b, o,, 6; (i
(a) (b) (c) (d)
(ii
=
a,
=
=
1,..., n) und
bi (mod m) (i bi (modm) (i
m
=
1,... n)
=
1,.. .n)
^ 0 ganze
Zahlen. Dann
gelten:
E"=1 YJ"=1 6^ (mod m) J\7=i ai Il?=i ^ (modm) =
=
(mod m) Für ganze Zahlen ^ 0 (i 1,... ,n) und m kgV(m-i,..., m^) äquivalent: o ö(modm,) für i 1,.. .k und a 6(modm) a
=
b (mod m)
ol
=
b1
=
=
=
=
sind
=
Beweis:
(a)
bi (modm) und a2 b2 (modm). Dann gilt m \ (a\—bi) und m \ (02—62) und weiter m \ [(a\ b\) + (a2 b2)], d.h. ci\ + a2 b\ + b2 (modm). Der Rest folgt durch vollständige Induktion. (b) Aus ai b\ (modm) und a2 b2 (modm) folgt m | [a\ b\) und m | (a2 b2) und weiter m | (0102 6102) und m | (bia2 bib2), also m | [(aio2 6102) + (6102 6162)] (0102—6162), d. h. es gilt ai02 6162 (modm); der Rest ergibt sich wieder mit vollständiger Induktion. (c) ist ein Spezialfall von (b). (d) Aus nii I (o 6) für i 1,..., k folgt, dass (a 6) ein gemeinsames Vielfaches der 6) nach Definition des kgV. Gilt umgekehrt m | (a 6), rrii ist, und daher gilt m | (a so ergibt sich wegen m, | m nach Lemma 3.2(e) sofort rrii | (a 6) für i = 1,..., k. (} Seien a\
=
=
=
—
—
=
=
—
—
=
—
—
—
—
=
=
—
—
—
—
—
Es ist 3 3 (mod 5), 6 1 (mod 5), 8 3 (mod 5). Dann gilt: 3+6+8 17 3 + 1 + 3(mod5) 7(mod5) ee 2(mod5); 3 6 8 144 3 1 -3(mod5) 9(mod5) 4(mod5); 64 1296 l4(mod5) l(mod5); 83 512 33 (mod5) 27(mod5)
Beispiele:
=
=
=
=
=
=
-
=
=
=
=
=
-
=
=
=
=
=
=
2(mod5).
3 Zahlentheoretische
60 Für
Eigenschaften von Fibonacci-
Lucasfolge
und
Kongruenzen gilt außerdem
(Kürzungsregel für Kongruenzen) Gilt ac bc (modm) und sind m und c teilerfremd, so folgt a b (modm). Für eine b (modp). a Primzahl p mit p \ c gilt insbesondere ac be (modp)
Lemma 3.18
=
=
=
Beweis: m
| (a b) —
—
Man hat m | (ac be) (a b)c. Da m und c teilerfremd Dies ist natürlich speziell für m p richtig. gelten. =
-
sind,
muss
somit
—
=
Der nächste Satz liefert häufig ein wichtiges Argument bei zahlentheoretischen Beweisen. Er hat seinen Namen nach dem französischen Mathematiker und Juristen Pierre de Fermat (1607(?)-1665), den man hauptsächlich mit seinem letzten Satz, dem großen Satz von Fermat, in Verbindung bringt. Dieser Satz besagt, dass die diophantische Gleichung xn + yn zn für kein k > 2 und natürliche Zahlen x, y und z erfüllbar ist. Dieser Satz konnte erst 1993 durch Andrew Wiles gezeigt werden. =
Beweis: Wegen Lemma 3.2(b) können wir uns auf nichtnegative a beschränken. Falls p kein Teiler von a ist, folgt die zweite Kongruenz mithilfe der Kürzungsregel aus der 0 offensichtlich richtig. Wir führen den Beweis ersten. Die erste Kongruenz ist für a durch vollständige Induktion nach a und nehmen an, die Kongruenz ist für ein a > 0 schon gezeigt. Mithilfe des binomischen Lehrsatzes 3.9 erhalten wir =
Die BinomialkoefHzienten Damit erhalten wir
(\) sind nach Lemma 3.8 für k
(a + l)p wobei die letzte
=
a° + aP
Kongruenz aufgrund
Wir wenden uns nun einer genaueren sitzt einige wichtige Eigenschaften:
=
aP + 1
=
a
+ 1
=
1,.. +p— 1 durch p teilbar. -
(modp),
der Induktionsannahme
Untersuchung
der
richtig
ist.
Kongruenzrelation
zu.
Sie be-
3.1 Zahlentheoretische
61
Grundlagen
Lemma 3.20 Die Relation kongruent modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf a, 6, c £ Z sind folgende drei Bedingungen erfüllt:
(R) Reflexivität: a a (modm) (S) Symmetrie: a b (modm) (T) Transitivität: a b (modm),
Z, d. h.
=
=
(modm) c (modm) =>• b
=
6
=
=
a
a
=
c
(modm)
Beweis:
(R): Wegen m | 0 für beliebige ganze Zahlen m / 0 gilt m | (a a), also a a (modm). (S): Falls m | n gilt, so ist natürlich auch m | n erfüllt. Daher folgt aus m \ (a b) auch m | (b a), was die Behauptung liefert. (T): Aus a 6(modm) und b c(modm) ergibt sich m | (a 6) und m \ (b c). Dann ist m aber auch ein Teiler von (a—b) + (b—c) c (modm). a—c, und es folgt a =
—
—
—
—
=
=
—
Dies liefert die Motivation
zu
folgender
—
=
=
Definition:
Definition 3.21 Seien k und m ganze Zahlen. Unter der Restklasse modulo rn von fc, bezeichnet k, versteht man den bei Division von k durch m erhaltenen Rest. Da sich k eindeutig in der Form k Im + r mit / £ Z, r £ {0,m 1} schreiben lässt, sieht man, dass die Anzahl der Restklassen modulo m genau m ist. Offenbar ist also jede ganze Zahl modulo m £ N zu einer der Zahlen 1,..., m 1 kongruent. Die Menge {0,1,..., m 1} nennt man das kleinste nichtnegative Restsystem modulo m. Allgemeiner heißt jede Menge von m paarweise modulo m inkongruenten ganzen Zahlen ein vollständiges Restsystem modulo m. Gelegentlich verwendet man noch ein weiteres spezielles vollständiges Restsystem, das sogenannte absolut kleinste Restsystem modulo m. Es besteht aus denjenigen ganzen Zahlen r mit mit
=
—
—
—
—\m,
Beweis durch
vollständige Induktion nach m. fn-i fn-i 0, und es gilt trivialerweise fn \ 0. Angenommen, die Behauptung ist bereits für ein m G N gezeigt.
m
=
1
:
=
—
Wir den Term
/,...
/(m+1)„_1-/™Jti1
=
fmn+(n-\) fn-\
f^-^fn-i + fmnfn'i dabei wurde Satz
=
Für
m +1
untersuchen
(/mn-l/n-1 + fmnfn)-fn-l
1.9 verwendet. Nach Induktionsvorausf2 teilbar. Außerdem ist fmn nach Satz 3.25 durch /„ teilbar, so dass alle beide Summanden durch fn teilbar sind. Somit teilt fn auch die Summe und die Behauptung ist gezeigt. 1
setzung ist der —
~
erste Summand der letzten Summe durch
3.2
71
Teilbarkeitsaussagen
Lemma 3.36
Für
m
> 1
und
n
> 2 ist
fmn
f™+l
-
/JJLj
+
durch
fn
teilbar.
Beweis durch
vollständige Induktion nach m. /„ fn+i fn-i fn- (fn-i + fn) + fn-i 0 ist natürlich durch /3 teilbar. Sei die Behauptung bereits für eine natürliche Zahl m gezeigt, d. h. es gilt insbesondere fmn fn\i f™-! (mod fn). Wir wenden Satz 1.9 auf den Ausdruck für m + 1 an und erhalten + fmn-if„ + fmnfn+1 /(m+1)n /™£ +
m
=
1
:
=
-
=
-
=
—
=
fm+l Jn 1
-
f _l_ fm T I\Jn+1 ljn
f Jmn
fm
\f
Jn-l/Jn+1 -
_l_ '
+
-
=
fn+1 Jn 1
fn-l) 0 teilbar ist.
-
f f Jnjmn
.
l
T
fm
(c
\
f
Jn—l\Jn l
Jn+1)
—
fmn-1 fn-l nach dem fnfmn-1 fnfn-l fn{fmn-l (mod fn)
vorhergehenden Lemma durch fn Aus den bisherigen Ergebnissen wissen wir, dass /„ insbesondere die Fibonaccizahl fnp, p Primzahl, teilt. Betrachtet man die eindeutige Primfaktorzerlegung von /„ und von fnp, so treten in der Zerlegung von fnp natürlich sämtliche Primzahlen aus der Zerlegung von /„ und möglicherweise noch weitere Primzahlen, die teilerfremd zu /„ sind, auf. Bei den Primzahlen q, die sowohl /„ als auch fnp teilen, könnte fnp durch eine höhere Potenz von q teilbar sein als /„. Man macht jedoch die erstaunliche Entdeckung, dass die einzige Primzahl, für die dies möglich ist, die Primzahl p ist: —
—
=
~
~
da —
—
=
.
—
—
~
Satz 3.37 Seien p und q Primzahlen. Darm
(a)
Ist q
(b)
Teilt p
(c)
Ist
(d) -
^ p ein
Teiler
von
/„,
gelten:
so
ist
^ 2 die Fibonaccizahl /„,
nicht durch q teilbar. so
ist
y£ durch p, aber nicht durch p2 teilbar
^p- durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. ist durch 4, aber nicht durch Ist fn durch 2, aber nicht durch 4 teilbar, ^ 8 teilbar. /„ durch 4 teilbar,
so
ist
so
I
Beweis: Nach dem vorhergehenden Lemma ist fnp f„+i + bar. Andererseits ist fnp durch /„ teilbar und es gilt fp+1 Ef=o fn-jr+r U fn-jr+r ; daher ist —
=
EU
-
T^-EtiC durch
ff
teilbar. Insbesondere
1=0
=
durch
(/„+i -
fn
teil-
fn-i)
•
(3-9)
gilt
^sEti^M/.). Jn
f„-i
(3-io)
3 Zahlentheoretische
72
Eigenschaften von
Lucasfolge
Fibonacci- und
/n_i (mod /„) folgt daraus ^ pfn+{ (mod /„), daher ist jeder gef meinsame Teiler von y£ und /„ auch gemeinsamer Teiler von p und /„ und umgekehrt; es gilt also ggT(^, /„) ggT(p, /„). Sei nun q ^ p ein Primfaktor von /„. Da ggT(p, /„) nur die Werte 1 oder p annimmt, ist ggT(p, fn) und damit auch ggT(y£, /„) nicht durch q teilbar. Damit ist (a) gezeigt. Nun sei p ^ 2 ein Primfaktor von fn. Da der Term (3.9) durch f2 teilbar ist, gilt
Wegen /n+i
=
=
=
insbesondere
Modulo
p2
können wir
fn-x fn+i
=
=
und
fn-\
sip + ri s2p + r2
fn+\
in
Form schreiben:
folgender
(modp2), (mod p2),
wobei 0 < n, r2, si,s2 < p. Wegen p \ fn fn+1 fn-\ ergibt sich rx r2 r 0; letzteres gilt wegen der Teilerfremdheit von fn-i und /„ bzw. /„ und fn+\. Somit können wir schreiben =
=
=
-
ff-
=
^(slP + r)\s2p + r)*"1"* (mod p2).
Entwickelt man alle Terme auf der rechten Seite mithilfe des binomischen ergibt sich für den fc-ten Term
Satzes,
so
(sip + r)k(s2p + r)p-1~k =
=
Q
-
-
Addiert
man
\ k) ~
Slprk-\p-l-k s2prp-k-2rk + r*^1"* kpsirp~2 + (p 1 k)ps2rp~2 + rp~l (mod p2).
die Terme für k
=
-
1
0,1,... ,p
auf,
so
ergibt sich
—
P(P 1) P(P 1) 2n fnp 3-psirp p-2 j p_2 £-\-ps2rp +prpp-l I(modpz) £ £ prp~l (modp2).
-fJn
-
,
'
,
-
_
(3.11)
=
Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt rp_1 1 (mod p), also ist und man erhält =p (modp2); damit ist (b) gezeigt. Nun sei p 2. Dann wird (3.11) zu =
prp_1
=
p
(mod p2)
jr^
=
f-- =2(si +s2+r) (mod 4).
(3.12)
Jn
Modulo 4 ergibt sich die Fibonaccifolge zu 0, 1, 1, 2, 3, und fn+i beide kongruent 1 modulo 4; es ist daher s\ 2 (mod 4), was (c) beweist. zu fy^ =
1, 0, 1, 1, ...; daher sind /„_i s2 0, r 1 und (3.12) wird
=
=
=
3.2
73
Teilbarkeitsaussagen
3 (mod 4), Ist /„ durch 2, aber nicht durch 4 teilbar, so ist fn-i = 1 (mod 4) und fn+i also si 0, S2 1, r 1 und (3.12) wird zu y21- 0 (mod 4); damit ist auch (d) gezeigt. =
0
=
=
=
—
Der soeben bewiesene Satz ist ein wichtiger Schritt bei der Herleitung des Ergebnisses über primitive Primteiler von Fibonaccizahlen. Dieses Thema wollen wir jedoch nicht weiter verfolgen, sondern wir wenden uns einer Kongruenzaussage für den Quotienten fy^ zu und schicken ein Lemma voraus.
Beweis durch vollständige Induktion nach k. Für k 1 gilt offensichtlich fn-i fn-i (mod/„). Sei die Behauptung also bereits für ein k G N gezeigt. Wir untersuchen erhalten mit Satz 1.9 und der Induktionsvoraussetzung =
=
/(fc+l)n-l was
die
Damit zu
=
fkn + (n-\)
=
fkn-lfn-1 + fknfn
=
fn-lfn-1
=
/(fc+i)„-i
und
fn-1 (mod/n),
Behauptung zeigt.
gelingt es,
die
zeigen.
Beweis:
Wir
zeigen zunächst die Kongruenz
^ In
folgende interessante Teilbarkeitsaussage über den Quotienten
=
fc-/*Zi(mod/„)
(3.13)
= 1 1 ist die Behauptung wegen durch vollständige Induktion nach k. Für k schon für k N erhalten die ein nun G sicherlich richtig. Sei bewiesen; dann Behauptung =
3 Zahlentheoretische
74
Eigenschaften
von
Fibonacci- und
Lucasfolge
wir für k + 1 wieder mit Satz 1.9
/(fc+l)n fn
1 _
fn r
—
In
\fkn—lfn 4~ fknfn+1)
{fkn lfn
fknfn
4~
fknfn \) —
—
fkn
1
4~
fkn ~t~
— —
~~7
In
fn
1—
Wenden wir nun das vorige Lemma und die Induktionsvoraussetzung auf den letzten Term an und beachten, dass fkn nach Satz 3.25 von fn geteilt wird, so ergibt sich
damit ist (3.13) gezeigt. Mit (3.13) und Satz 3.4(c),
ggT(/„,
(d)
f-f-) In
erhalten wir für den =
ggT(/n, k fnz\)
dabei haben wir im letzten Schritt die Tatsache sind, s. Satz 3.26. 0
3.2.3
Teilbarkeitsaussagen für
ggT: =
ggT(/n, k) | jfc;
benutzt, dass /„ und /„_i teilerfremd
Lucaszahlen
Im
Folgenden sollen die Ergebnisse aus Abschnitt 3.2.1 auf Lucaszahlen übertragen werden, soweit dies möglich ist. Wir haben bereits gesehen (Satz 3.26), dass aufeinanderfolgende Lucaszahlen teilerfremd sind. Jedoch kann man für Lucaszahlen keine volle Entsprechung zu Satz 3.27 zeigen, sondern man kann nur die Periodizität der Lucasfolge modulo m „retten". Ersetzt man nämlich im Beweis von Satz 3.27 die Fibonaccizahlen durch Lucaszahlen, so kann man genau wie dort schließen, dass es unter den ersten m2 —1 Paaren von Restklassen (Ii, Zj+i) ein Paar (ls, ls+i) mit (Ts, ls+i) (lo,h) (2,1) gibt. Wir halten fest: =
=
Lemma 3.40 natürliche Zahl m > 2 existiert ein s 6 N, 1 < s < m, mit ls h und ls+\ l\ 1 (modm). Die Lucasfolge modulo m ist daher periodisch; die natürliche Zahl s wird die Periodenlänge der Lucasfolge modulo m genannt. Für 2
jede
(modm)
=
=
=
=
Die Teilbarkeitsaussage von Satz 3.27 lässt sich jedoch nicht auf Lucaszahlen übertragen: Hier gibt es im Gegenteil sogar Zahlen, die nie als Teiler von Lucaszahlen auftreten können. Beispielsweise gilt:
3.2
75
Teilbarkeitsaussagen
Lemma 3.41 Keine Lucaszahl ln ist durch 8 teilbar.
Beweis: Wir betrachten die Lucasfolge modulo 8. Wäre ein ln durch 8 teilbar, so hätten wir für dieses n die Kongruenz ln 0 (mod 8). Nun ist aber Zo = 2, Ii = 1, h 3, J3 4, Z4 7, l5 11 ee 3 (mod 8), Z6 18 2 (mod 8), Z7 29 ee 5 (mod 8), Z8 76 ee 4 (mod 8), Zi0 123 ee 3 (mod 8), Zu 47 ee 7 (mod 8), lg 199 ee 322 ee 2 (mod 8), Zi3 521 ee 1 (mod 8), Zi4 843 ee 3 (mod 8),...; 7 (mod 8), Z12 wegen der Rekursion der Lucasfolge und wegen Zo ee Z12 ee 2 (mod 8),Zi ee Z13 ee 1 (mod 8) wiederholen sich die Reste modulo 8 von Z12 an periodisch immer wieder, d.h. die Lucasfolge modulo 8 hat die Periodenlänge 12. Dabei tritt offensichtlich keine Null auf. Somit kann kein Z„ durch 8 teilbar sein. 0 =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Andererseits
folgen aus der Periodizität barkeitsaussagen (vgl. Korollar 3.32):
der
=
Lucasfolge
modulo
m
einige wichtige
Teil-
Lemma 3.42 Eine Lucaszahl
ln ist genau dann
(a) gerade, wenn n durch 3 teilbar ist, (b) durch 3 teilbar, wenn n 2 oder 6 (mod 8) gilt =
Beweis:
(a)
Wir betrachten die
h
Lucasfolge =
modulo 2:
1,1,0,1, 1,0,...
Offensichtlich fallen Lucas- und Fibonaccifolge modulo 2 0 (mod2). Dies zeigt die Behauptung.
(b)
Die
zusammen
und
es
ist
Z3„
ee
Lucasfolge modulo 3 lautet h
=
1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,...,
Lucasfolge hat modulo 3 die Periodenlänge 8. Wegen Z2 0 (mod 3) und Iq ee 0 (mod 3) ist Z„ dann für jedes n mit n ee 2 (mod 8) und jedes n mit n ee 6 (mod 8) durch 3 teilbar.
d. h. die
=
Als nächstes untersuchen wir die Teilbarkeit von Lucaszahlen untereinander. Hier können wir nur eine etwas schwächere Aussage als Satz 3.25 zeigen:
Eigenschaften von
3 Zahlentheoretische
76
Fibonacci- und
Lucasfolge
Satz 3.43 Seien rn, n natürliche Zahlen mit
m
gilt lm | in-
Beweis: mit
Nach
passendem
so, dass der L,
n
ungerade
G
No-
;ann
IS
ist n k m mit ungeradem k G N; sei k 2r + 1 Wir führen den Beweis wieder durch vollständige Induktion,
Voraussetzung
r
=
—
diesmal nach r. Für r 0, also n m, ist die Mit Satz 1.16 erhalten wir =
\
=
In
trivial. Im Fall
Behauptung
^3m
1 ist k
=
=
3 und
n
=
3m.
( 1) ^mi
^2m^m
hm-rm
r
—
die rechte Seite ist also durch lm teilbar und es gilt lm | /„. Für ein r G No sei bereits Z(2r—3)m | /„ und l(2r-i)m I In gezeigt. Aus Satz 1.16 sich
ergibt
i(2r+l)m '(2r-l)m+2m l(2r-l)mhm (—l)2mZ(2r-3)m ~
=
~
Nach Induktionsvoraussetzung gilt lm \ l(2r-3)m und lm | l(2r-i)m, so dass die rechte Seite der Gleichung durch lm geteilt wird. Daher ist lm auch ein Teiler von l(2r+i)m- C" Für gerade Quotienten ^ gilt die Teilbarkeitsaussage von Satz 3.43 im nicht. Allgemeinen Beispielsweise ist I2 3 und U 7; es gilt zwar 2 | 4, aber I2 \ h\ oder 5 | 10, aber l5 = 11 \l10 = 123.
Bemerkung:
=
=
Den ggT zweier Lucaszahlen kann man zwar explizit cher Form wie in Satz 3.29 für Fibonaccizahlen.
angeben, jedoch
nicht in
so
einfa-
Satz 3.44
Seien
m
und
n
natürliche
Zahlen,
sei d
C ld, ggT(4
:=
2,
*j falls ^
1
sonst.
falls
ggT(m,ra). und
Dann
gilt:
^ ungerade,
oder j
gerade
und 3 | d,
Dem Beweis von Satz 3.44 schicken wir ein Lemma voraus, das die wesentliche Beweisidee enthält und beim Beweis des Satzes eine wichtige Rolle spielen wird.
3.2
77
Teilbarkeitsaussagen
Lemma 3.45
Seien
m
und
natürliche Zahlen und sei
n
n
ein Teiler
von m.
Dann
gilt
^ ungerade, ( ln,2, falls ggT(lm,ln)=\ falls gerade und 3 I d,
1
—
1
sonst.
Mit Satz 1.16 und Satz 3.4(d) gilt ggT(Zm, /„) ggT(/m—n^n ( 1) Im—2n,ln) ggT(/m_2„, ln)- Wiederholtes Anwenden von Satz 1.16 und Satz 3.4(d) liefert schließlich nach k Schritten ggT(Zm,/n) ggT(ZTO_2fcn, ln), sofern m 2kn > 0. Ist m (2r+l)n ungerade, so erhalten wir nach r Schritten ggT(im, ln) ggT(Zm_2rn, ln) Beweis:
—
=
=
-
=
=
=
ggT(/n,^n)
Für
gerades
ggT(Zo, ln) Dies
ln-
=
m
=
=
2rn
ggT(2, ln);
sich nach r Schritten ggT(Zm,/n) ggT(Zm_2rn,/„) nach Lemma 3.42(a) ist /„ genau dann gerade, wenn 3 | n gilt.
ergibt
=
=
zeigt die Behauptung.
Beweis von Satz 3.44: Wir betrachten nochmals den euklidischen und n mit d ggT(m, n):
m
Algorithmus für
=
m
n
=
=
q\n + r2 0): ggT(/m,/n) ggT(Zm_2(tn, ln)- Ist q\ im euklidischen Algorithmus gerade, so ergibt sich im letzten Schritt ggT(/m,Z„) ggT(/r2, ln), ist q\ ungerade, so erhalten wir ggT(/m, /„) ggT(Zn_r2, ln). Als nächstes berechnet man den ggT von lT2 und ln, usw. Man beachte, dass ggT(r2,n) ggT(n r2,n) nach Satz 3.4(d); dies stellt sicher, dass sich der ggT der Indizes in diesem und in jedem weiteren Schritt nicht verändert, sondern stets gleich d := ggT(m, n) bleibt. Für die zugehörigen Lucaszahlen bedeutet dies nach dem vorigen Lemma, dass am Schluss entweder ggT(ZTO, l„) ggT(Zd, Id) = ld oder ggT(/TO, /„) ggT(Z0, ld) ggT(2, ld) stehen bleibt. Unter der Voraussetzung, dass beide Quotienten ^ und ^ ungerade sind, gilt Id \ lm und Id \ ln nach Satz 3.43, d.h. gerade, so gilt Id \ lm nach ggT(/m,Z„) ld- Ist einer der beiden Quotienten, z.B. dem Lemma, so dass sich in diesem Fall ggT(/m, /„) ggT(2, ld) ergibt. Damit ist Satz =
=
=
—
=
=
=
—
=
=
=
=
=
3.44
gezeigt. 0
Nun können wir auch die
Umkehrung von
Satz 3.43 beweisen:
3 Zahlentheoretische
78
Eigenschaften von Fibonacci-
und
Lucasfolge
Satz 3.46 Für natürliche Zahlen n > 1 der Quotient ?r ist ungerade
u
Wegen ln | lm gilt ggT(ZTO,Z„)
Beweis:
ln h 3 ist, muss ggT(/m,/„) und ^ beide ungerade sind. >
=
=
Abschließend sei noch eine spezielle erwähnt, die später benötigt wird:
ln. Da ln wegen n > 1 eine Lucaszahl mit ZggT(m,„) sein> was nur möglich ist, wenn ^ =
Teilbarkeitsaussage für Fibonacci- und Lucaszahlen
ggT(/n, ln) ggT(/n, /„_! + fn+l) ggT(/„, 2/„_i); da /„_i und /„ nach Satz 3.26 teilerfremd sind, der ggT für gerades /„, also für 3 | n, gleich 2, und für ungerades /„ gleich 1. Aus Satz 1.26 erhalten wir
Beweis:
ggT(/n, 2/„_i /„) +
ist
=
=
=
=
Wir verzichten auf eine weitere Diskussion von Teilbarkeitsaussagen für Fibonacci- und Lucaszahlen. Dieses Thema können s interessierte Leser/innen jedoch noch bei den Aufgaben vertiefen, vgl. den Arbeitsauftrag 3.6.2.1.
Die
3.3
Fibonaccifolge modulo m
In diesem Abschnitt wird die Fibonaccifolge modulo m untersucht. Zunächst formulieren wir einige allgemeine Aussagen und betrachten dann den Fall genauer, wo m eine Primzahl ist.
Die
3.3.1
Periodenlänge
der
Fibonaccifolge
modulo
m
Satz 3.27 hat gezeigt, dass sich für jedes m > 2 unter den ersten m2 1 Fibonaccizahlen findet, die durch m teilbar ist. Im Beweis wurde die Folge (3.8)
eine
—
(/o, fl), (fl, /z), (/2, /3), betrachtet und mit 1
t.
Bemerkung:
=
=
= =
Für zusammengesetztes m kann man also einige Aussagen über die Fibonaccifolge modulo m treffen und man sieht, dass alles auf die Falls hinausläuft, wo m eine Primzahl ist.
3.3.2
Die
Fibonaccifolge
modulo p, p
Periodenlänge der Untersuchung des
prim
Um die Fibonaccifolge modulo p für Primzahlen p untersuchen zu können, benötigen wir einen Hilfssatz. Dazu betrachten wir spezielle Moduli m und wählen das absolut kleinste Restsystem als Repräsentantensystem modulo m. Wir nehmen an, m € N ist ungerade und teilerfremd zu 5. Nun ordnen wir den Zahlen
5, 2 5, 3 5,...,
'
^
5
3.3 Die
83
Fibonaccifolge modulo m
ihre absolut kleinsten Reste modulo zeichen die Reste haben.
m zu
Beispielsweise erhalten
17 die Reste 5, —7
wir für
m
=
und interessieren
Vorzeichenfolge +,-,-,+,+,-,+,+• Es
dafür, welche
uns nur
Vor-
2,3,8, —4,1,6 und somit die —
zeigt sich, dass die Vorzeichenverteilung
nur von
der Endziffer
von m
im Dezimal-
system abhängt: Lemma 3.53
Gilt m 10t + r mit r € {1,3, 7,9}, so hängt die Vorzeichenverteilung in der Folge der absolut kleinsten Reste modulo m, die zur Folge 5,2 5,3 5,..., 5 gehört, nur von r ab und es gilt: =
•
•
•
Vorzeichenfolge t+ t+ t+ !+
tt-
t+ t+
t
t+ t+
(t + l) -
(t+1)- (t+l) (t + l)~ (t + l)
(t+l) + (t+l)
t
(t l) -
+
Beweis: Wir müssen beachten, dass die zur Folge 5,2-5,3-5,..., 5 gehörenden Reste von einer Zahl zur nächsten stets um 5 wachsen. 1 : Für ein k € N ist 5k < r ) d. h. jede dieser Zahlen ist absolut kleinster Rest modulo m. Wir erhalten also t positive Reste 5,..., 5t. Da 5(t + 1) > mZ , ist der nächste Rest negativ und gleich 5t 4. Die nächsten Reste erhalten wir, indem wir dazu sukzessive 5 addieren; wir bekommen t 1 weitere negative Reste, der letzte davon ist —1. Daher ist 4 der nächste Rest, dem t 1 weitere positive Reste folgen, der letzte davon ist 5t 1. Danach erhalten wir eine Folge von t negativen Resten, die bei —5t + 3 beginnen und bei —2 aufhören. Schließlich erhalten wir noch t positive Reste von 3 bis 5t 2. 3 : Für k < t ist wieder 5k < r = 5* + 1, sodass jede dieser t Zahlen absolut kleinster Rest modulo m ist. Weiter gilt 5(t + 1) > der nächste Rest ist also negativ und gleich 5t + 2; fortgesetztes Addieren von 5 liefert t 1 weitere negative Reste, der letzte davon ist —3. Der folgende Rest ist 2, und dann gibt es t 1 weitere positive Reste bis 5t 3. Als nächsten Rest erhalten wir 5t 1, und nun gibt es t weitere negative Reste, der letzte davon ist —1. Danach ergibt sich 4 als Rest und es folgen noch t 1 positive Reste bis 5t 1. 7 : Auch hier gilt 5k < r 5t + 3 für k < t und es ergeben sich insgesamt t positive Reste. Dann geht es weiter mit dem negativen Rest —5t 2, und es folgen t weitere negative Reste, der letzte davon ist —2. Es folgt der positive Rest 3 und noch t weitere positive Reste bis 5t + 3; danach kommt der negative Rest —5t + 1, gefolgt von t 1 negativen Resten. Der folgende Rest ist ist 1; danach kommen t weitere positive Reste bis 5t + 1. =
—
—
—
—
—
^f1
—
=
=
—
—
—
—
—
—
=
^f1
—
—
=
=
—
—
3 Zahlentheoretische
84
Eigenschaften von Fibonacci-
und
Lucasfolge
5£ + 4 für t < 4, also ergeben sich insIn diesem Fall gilt 5k < Weiter der Rest 5t 4, sodass man insgesamt Reste. negative positive folgt gesamt t + 1 negative Reste bekommt, der letzte davon ist -4. Danach kommt der Rest 1 und weitere t positive Reste bis 5t + 1. Der nächste Rest ist negativ und gleich —5t 3, gefolgt von t weiteren negativen Resten bis —3. Als nächsten Rest bekommt man 2 und die t weiteren Reste der Form 5k + 2 mit k auf Daher die für gelten, Periodenlänge gerade sein. —
—
=
-
=
-
—
=
=
=
=
3.3.3
Die
Verteilung der Fibonaccizahlen
modulo
m
Wie wir schon wissen, ist die Fibonaccifolge modulo m periodisch und es treten darin die Zahlen 0,1,..., m 1 in einer sich periodisch wiederholenden Anordnung auf. Nun kann man die Frage stellen, ob in dieser Folge jeder dieser Reste gleich oft vorkommt. Diese Eigenschaft hat einen besonderen Namen: —
Definition 3.60
{an}
eine Folge ganzer Zahlen. Für k £ N sei A(k, j, m) die Anzahl der Folgenmit an < k und an j (modra). Die Folge {an} heißt uniform verteilt modulo m, m > 2, wenn für alle j £ {0,1,..., m 1} gilt
Sei
glieder an
=
—
lim
fc->oo
A(k, j,m)
-
k
Wir untersuchen diese
Frage zunächst Periodenlänge ergibt sich:
=
—.
m
für Primzahlen. Aus den
Betrachtungen
über die
Satz 3.61 Die
Fibonaccifolge {/„ modulop]
ist
In den Beispielen nach Satz 3.48 hatten wir für die Fibonaccifolge modulo 20 gezeigt und die ersten Folgenglieder angegeben: 0, 1, 1, 2, 3, 0 , 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, Durch einfaches Zählen sieht man, dass jede der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 unter den 20 ersten Folgengliedern genau viermal auftritt; daher gilt:
Beweis:
5 bereits
A(5)
=
...
lim
\ -A(k,j,5) \
fc->oo K
=
5
für
j
=
0,1, 2,3,4.
0
Die Primzahl 5 ist ein Ausnahmefall. Für alle anderen Primzahlen ist die nicht uniform verteilt modulo p:
Fibonaccifolge
3 Zahlentheoretische
90
Eigenschaften von Fibonacci-
und
Lucasfolge
Satz 3.62 Sei p
^
5 eine Primzahl. Dann ist
Beweis 2 : Die Fibonaccifolge modulo 2 lautet 0, 1, 1, 0, 1, ...; auf eine Null folgen also d. h. zwei Einsen und es gilt lim^oo A(k, 0, 2) 4 und lirm.-,.«, A(k, 1,2) ist 2 nicht uniform verteilt. modulo {/„} Nun sei p eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl. Dann teilt p nach Satz 3.56 die Fibonaccizahl fp nicht, aber es existiert eine natürliche Zahl t ^ p mit ft 0 (mod p); t sei die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft. Wegen Satz 3.49 gilt dann fit == 0 (mod p) für alle / €E N. Andererseits gibt es aber keine natürliche Zahl q mit It < q < (l + l)t und fq 0 (mod p), da es sonst ein r mit 0 < r < t und /r 0 (mod p) gäbe im Widerspruch zur Minimalität von t. Dies sieht man folgendermaßen ein: Für ein solches q wäre dann nach Satz 3.29 ggT(/;t, fq) ® (m°dj?), und mit q) < It + r (0 < r < t) wäre ggT(lt, q) ggT(lt, It + r) q r) r < t. Wegen der Minimalität von t gilt A(k, 0,p) J- Sei k \t + r mit 0 < r < t. Dann J_ und weiter 4 also 4 A(/c,0,p) lim^oo 4 A(k,0,p) gilt A(k,0,p) 4 ^ p) für jede Primzahl p ^ 2,5. Also ist die Fibonaccifolge modulo p nicht uniform verteilt. 0
p
\
—
£
=
=
•
§,
=
=
=
=
=
=
±f£,
[f
=
=
=
•
/ggT(;t ggT(/f, |_f
=
=
=
=
.
_
Ergebnisse wurden von Lawrence Kuipers und Jau-Shyong Shiue in [KSh72] gezeigt. Die beiden Autoren benutzten ein Resultat von I.Niven: Ist eine Zahlenfolge für eine zusammengesetzte Zahl m uniform verteilt, so ist sie auch für jeden positiven Teiler von m uniform verteilt. Daraus ergibt sich mithilfe des vorstehenden Satzes unmittelbar, dass die Fibonaccifolge für zusammengesetzte Zahlen m > 2 und m ^ 5k nicht Diese
uniform verteilt modulo m sein kann. Andererseits legt Satz 3.61 die folgende Vermutung nahe: Die Fibonaccifolge ist modulo 5 uniform verteilt. Diese Vermutung konnte von Harald Niederreiter in [N72] bestätigt werden; der Beweis ist eine sehr trickreiche Induktion nach dem Exponenten k. Seine Argumentation stützt sich dabei auf die von D. D. Wall in [W60] gezeigte stärkere 5k besagt, dass die Periodenlänge A(5fe) 4 5k Version von Satz 3.52, die für m beträgt. Außerdem benutzt er die Darstellung einer Fibonaccizahl durch eine Reihe aus Lemma 3.57 sowie die Formel (3.3) für Binomialkoeffizienten. =
3.3.4
Summenformeln modulo
=
•
m
In Kapitel 1 hatten wir Summenformeln für Fibonaccizahlen hergeleitet. Hier betrachten wir nun Summen von Fibonaccizahlen modulo m, bei denen die Summation genau über eine Periode genommen wird. Wegen der Periodizität der Fibonaccifolge gilt A(m)
fc+A(m)
i=0
i=k+l
(3.17) liegt also Translationsinvarianz vor. Dabei darf k wegen der Erkenntnisse aus Abschnitt 1.6 auch negativ sein. Mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel 1 können wir die es
91
3.4 Fibonaccizahlen und Binomialkoeffizienten
folgenden Summenformeln modulo m zeigen: Satz 3.63 Für meN,
m
2 ge
>
(c)
E^/i^OCmodm) ^//EOfmodm; E-i^/f 0(modm)
(d)
E-=7'(-i)i+1/ durch p teilbar. Wir suchen also ein 11 G N mit Ii r(l) < n und (Ii + 1) r(l) > n. Mithilfe der Gaußklammer können wir Ii Nun bestimmen wir entsprechend r(2) und erhalten elegant aufschreiben: Ii 12 L J- Dabei müssen wir beachten, dass alle durch p2 teilbaren Fibonaccizahlen ja auch durch p teilbar sind, so dass also jede durch p2 teilbare Fibonaccizahl nur eine weitere p-Potenz zum Produkt /1 /„ beiträgt. Sukzessive wird nun für jedes s mit ps < fn der zugehörige Index r(s) bestimmt; dabei kommen in jedem Schritt genau „neue" p-Potenzen hinzu. Somit ist [n]! durch ist- Man beachte, dass die Summation für jede Primzahl psteilbar, wobei S p wegen ps < fn nur über eine endliche Zahl von Summanden läuft. Mit Lemma 3.65 folgt nun > + dies bedeutet, dass der Zähler des Bruchs [ £ ] mindestens durch eine ebenso große Potenz von p teilbar ist wie der Nenner. Da dies für alle Primzahlen gilt, ist [£] ganzzahlig und positiv, da alle Fibonaccizahlen positiv sind. =
=
,
•
•
•
•
=
—
7^27
LrtjyJ-
•
•
=
LrTjyJ ESI_7(7)J EsLt(7)J EaLffeJ EsLtrtJ;
Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge
3.5
Wir untersuchen nun die Frage, ob Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge vorkommen und welche Fibonacci- bzw. Lucaszahlen das sind. Die folgenden Ergebnisse gehen auf Arbeiten von J.H.E. Cohn und O. Wyler zurück. Für Fibonaccizahlen hat
man
das
folgende Resultat:
Satz 3.72
Die
einzigen Quadratzahlen
in der
Fibonaccifolge sind /j
=
=
1 und
/12
=
144.
3 Zahlentheoretische
98
Eigenschaften von Fibonacci-
Als erstes betrachten wir die Fibonaccizahlen
Beweis:
/„ mit n 34,/10
12 Quadratzahl ist. Insbesondere ist /„ dann auch modulo 8 Quadratzahl, also gilt fn 0,1 oder 4 (mod 8). Die Fibonaccifolge modulo 8 1,/s 144
=
2,/4
=
und
=
3,/5 es
=
=
=
=
ist
21, f9
=
=
=
=
=
lautet hat n
=
1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,..., 0 (mod 8) entsprechen Indizes also Periodenlänge 12. Den Fibonaccizahlen /„ 1 (mod 8) entsprechen Indizes 0 oder 6 (mod 12), den Fibonaccizahlen /„ =
=
4 (mod 8) kommen nicht oder 11 (mod 12), und Fibonaccizahlen mit /„ vor. Bei der Suche nach Quadratzahlen in der Fibonaccifolge können wir uns also auf Indizes n mit n 0,1,2,6 oder 11 (mod 12) beschränken. Wir unterscheiden zwei Fälle: ri s
1,2
=
=
1. Fall:
der Form
n
ist
n
=
In diesem Fall ist n 1 oder 11 (mod 12) und man kann 12fc ± 1 mit einem k G N darstellen. Nach Satz 1.27(b) gilt
ungerade.
fn
=
/l2fc±l
=
/6fe±l'6fe
=
—
( l)6fc/±l
=
fak±\hk
~
n
in
(3.18)
E
—
Man beachte, dass /„ wegen 3 j n nach Korollar 3.32(a) ungerade ist. Nun zerlegen wir 6k in der Form 6k 2 3^h mit h > 1 und h \ 3. Dann ist 2h ein Teiler von 6k und der Quotient = 3^ ist ungerade. Somit gilt l2h \ hk nach Satz 3.43. Die Lucasfolge modulo 8 ist =
•
fr
1,3,4,7,3,2,5,7,4,3,7,2,1,3,... und hat ebenfalls die
Periodenlänge
12. Modulo 4 lautet die
Lucasfolge
1,3,0,3,3,2,1,3,... und hat die Periodenlänge 6. Es gilt also l2m 3 (mod 4) für 3 \ m und Z2m 2 (mod 4) für 3 | m. In unserem Fall ist 3 \ 2h, somit gilt hh 3(mod4), und l2h muss einen 3 ist Primteiler p (mod4) besitzen. Wegen (3.18) /„ —1 (modp); wir nehmen an, dass /„ Quadratzahl ist, also etwa /„ x2. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist dann xv~x [x1)2^ 1 (modp) fn2 (modp) (—l)2^" (modp); das kann nur richtig sein, wenn gerade ist, wenn also z. B. 2^- = 2q oder p 4q +1 mit q G N gilt. Dies ist ein Widerspruch zu p 3 (mod 4) und /„ kann keine Quadratzahl sein. =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
^4
=
=
2. Fall: n ist gerade, also n 6k oder n 12k + 2 mit fceN. Angenommen, /12/c+2 fek+ikk+i (-l)6fc+1/o hk+ihk+\ ist Quadratzahl; da /6fc+i und l§k+i nach Satz 3.47 teilerfremd sind, wäre dann f§k+\ Quadratzahl, was nach dem 1. Fall ausgeschlossen ist. 2h 2l 3J mit Nun nehmen wir an, dass f^k Quadratzahl ist und schreiben 6k i > 0, j > 1, 2 \ h und 3 \ h. Nach Satz 3.31 gilt f2h \ fsk und wir können f$k fihZ schreiben; nach Satz 3.39 gilt ggT(f2h,z) | 2l 3j. Wegen 3 \ h ist f2h ungerade und 1, also wegen 2 \ h gilt 3 \ f2h nach Korollar 3.32(a) und (b). Somit folgt ggT(/2^, z) =
=
=
=
-
=
•
=
=
Quadratzahlen in der
3.5
Fibonacci- und der
99
Lucasfolge
/2/1 Quadratzahl sein. Da aber 3 kein Teiler von h ist, ist 2h nicht durch 12 teilbar und es muss 2h 2 (mod 12) gelten, was, wie wir schon gesehen haben, nicht sein kann. Damit ist der Satz gezeigt. muss
=
Nun untersuchen wir die
Lucasfolge
auf
Quadratzahlen.
Satz 3.73 In der Lucasfty 1 und l3 4 = 22 sind offensichtlich Quadratzahlen, aber l2 = 3 ist Beweis: Ii kein Quadrat. Wir nehmen nun an, dass ln mit n > 3 eine Quadratzahl ist, und dass n minimal gewählt ist. Dann ist ln auch modulo 8 ein Quadrat und es gilt ln 0,1 oder 4 (mod 8). Ein Vergleich mit der Lucasfolge modulo 8 (vgl. den vorigen Beweis) zeigt, dass dann n 1, 3 oder 9 =
—
=
=
(mod 12)
Ist
n ee
1
sein
muss.
(mod 12),
also
n
=
12k +
ll2k + l
1,
so
gilt
nach Satz 1.16
( 1) h
Ißk + llßk —
=
1-
Ißk + llßk —
—
—
Wir schreiben 6fc 2 3jh mit j > 1, 3 \ h; somit ist 2h \ 6k mit ungeradem und l2h teilt l6k nach Satz 3.43. Wegen 3\2h ist l2h 3 (mod 4); es existiert also ein Primteiler p I l2h mit p ee 3 (mod 4). Wie im Beweis des vorigen Satzes schließen wir nun, dass dies unmöglich ist. =
•
=
n ee 3 oder 9 (mod 12), so können wir Satz 1.16 und Satz 1.15 ergibt sich
Ist
n
=
12k ±3
=
3-
(4k ± 1)
schreiben. Nach
/ffc±1
wobei d := ggT(/4fc±1, + 3) nach Satz 3.4(d) ein Teiler von 3 sein muss. Nach Korollar 3.42(b) gilt 3 | ln, falls n ee 2 oder 6 (mod 8), was hier nicht erfüllt ist. Daher ist d 1 und sowohl Uk±i als auch + 3 muss eine Quadratzahl sein. Da n > 3 minimal gewählt war, muss 4k ± 1 3 sein (da l3 Quadratzahl ist) und es folgt k 1, also n 9. Die Lucaszahl lg 76 ist aber keine Quadratzahl. Damit ist alles gezeigt. 0
l\k±i
=
=
=
=
=
Lucaszahlen, die sich als Produkt ax2 einer natürlichen Zahl a und eiQuadratzahl x2 schreiben lassen, waren wiederholt Gegenstände wissenschaftlicher Arbeiten, s. hierzu auch die Arbeitsaufträge 3.6.2.2 und 3.6.2.3. London und Finkelstein ([LF69]) sowie Lagarias und Weisser ([LW81]) untersuchten Kubikzahlen unter den Fibonacci- und den Lucaszahlen. Sie erhielten folgende ResulFibonacci- und ner
tate:
3 Zahlentheoretische
100
•
fi
1
=
l3 und fe
=
=
8
=
Eigenschaften von Fibonacci-
23 sind die einzigen Kubikzahlen
und
Lucasfolge
unter den Fibonacci-
zahlen. •
Die
einzige Lucaszahl, die Kubikzahl ist,
Ii
ist
Damit wollen wir die Zahlentheorie verlassen und matik zuwenden.
=
uns
1.
anderen
Teilgebieten der
Mathe-
Aufgaben Übungsaufgaben
3.6 3.6.1
1. Beweisen Sie die
2. Beweisen Sie die bisher nicht 3. Beweisen Sie die
Lemma 3.2.
Teilbarkeitsregeln von
Aussagen
Teile
gezeigten
Satz 3.5.
über Binomialkoeffizienten
4. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz
5. Verifizieren Sie dass sche Gruppe sind.
von
Z, Q, R und C
von
Satz 3.7.
(Satz 3.9).
mit der Addition als
6. Verifizieren Sie dass Z*, Q*, M* und C* mit der eine abelsche Gruppe sind.
Verknüpfung eine
abel-
Multiplikation als Verknüpfung
7. Erstellen Sie je eine Verknüpfungstafel für die Restklassen modulo 5 Addition und Multiplikation.
bezüglich
8. Erstellen Sie je eine Verknüpfungstafel für die Restklassen modulo 6 Addition und Multiplikation.
bezüglich
9. Beweisen Sie: Die Summe durch 11 teilbar, genauer:
von
zehn
aufeinanderfolgenden
Fibonaccizahlen ist
n+9
£ fk
=
11
•
/n+6-
k=n
(Hinweis:
führt 10.
Ziel.)
Zeigen Sie: Besitzt eine ungerade natürliche Zahl n nur Primteiler der Form 4fc + l, gilt n 1 (mod 4).
so
11.
Geschicktes Umformen der linken Seite mithilfe der Rekursionsformel
zum
=
Zeigen Sie: Eine natürliche Zahl n p
=
3 (mod 4).
12. Geben Sie die die Folge?
=
3
(mod 4) besitzt mindestens einen Primteiler
Fibonaccifolge/Lucasfolge modulo 7 an.
Welche
Periodenlänge
hat
3.6
Aufgaben
3.6.2 1.
101
Arbeitsaufträge
Zeigen Sie:
{ld,
falls
2, falls 1
wobei d
=
ggT(m, n).
?j™- gerade,
sonst,
ungerade und 3 | d,
Zeigen Sie: Die einzigen Fibonaccizahlen der Form 2a:2, wobei x2 Quadratzahl ist, /3 2 2 l2 und /6 8 2 22. 18 2 32. 3. Zeigen Sie: Die einzige Lucaszahl der Form 2x2 ist Iq 2.
sind
=
=
•
=
=
=
=
Literatur zu Kapitel 3 Eine ausführliche Darstellung der algebraischen und zahlentheoretischen Begriffe aus Abschnitt 1 findet sich in [Bo2] und [Bu]. Die meisten der in den Abschnitten 3.2 bis 3.5 angesprochenen Themen werden bei [V] und [wBe] behandelt. Weitere Resultate zu Fibonacci- und Lucasfolge modulo m (Abschnitt 3.3) stehen in den Originalarbeiten [W60], [N72] und [KSh72]. Quadratzahlen in Fibonacci- und Lucasfolge wurden in [C81] und [Wy64], Kubikzahlen in [LW81] untersucht. Der Artikel [R05] gibt einen Überblick über die wichtigsten neueren Ergebnisse zur Fibonaccifolge aus der Zahlentheorie.
Fibonaccizahlen in der
4
Analysis
Im ersten Teil dieses kurzen Abstechers in die Analysis untersuchen wir Folgen und Reihen im Zusammenhang mit den Fibonaccizahlen, z. B. Folgen mit dem Grenzwert $. Der zweite Teil befasst sich mit formalen Potenzreihen, insbesondere wird die erzeugende Funktion der Fibonaccizahlen hergeleitet und wir betrachten einige interessante
Dezimalbruchentwicklungen.
Einige spezielle Folgen
4.1
Kapitel werden wir uns häufig mit Abschätzungen für Beträge reeller Zahlen herumschlagen müssen. Daher wollen wir uns hier nochmals die wichtigsten Eigenschaften des Betrags reeller Zahlen ins Gedächtnis rufen. Für x € M. ist der Betrag definiert In diesem
durch
!x 0
—x
Für den Zahlen.
Betrag gelten
die
für für für
0, 0,
x
>
x
=
x
< 0.
folgenden Rechenregeln; dabei
sind
x
und y
\xy\ \x\\y\ + \x y\ < |x| + \y\ Dreiecksungleichung |x y\ > | |x| \y\ | umgekehrte Dreiecksungleichung Die Leserin/der Leser sollte sich die Zeit nehmen, diese Regeln aus der =
—
—
beliebige
reelle
(4.1) (4-2) (4.3) Definition des
Betrags herzuleiten.
Wir wenden uns nun einigen speziellen Folgen zu, die auf verschiedene Weise mit den Fibonaccizahlen zu tun haben. In Definition 1.1 hatten wir eine Folge als Abbildung ip : N —> X der natürlichen Zahlen in eine Menge X erklärt. Hier geht es jetzt um Folgen reeller Zahlen, also um Abbildungen ip : N —> R. Dabei werden uns weniger die Folgen selbst, sondern vielmehr ihre Grenzwerte interessieren. Daher schicken wir einige Definitionen voraus. Definition 4.1 Eine Folge {xn} reeller Zahlen heißt konvergent, mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zu jedem e > 0
\xn x\ —
< e
für alle
n
eine reelle Zahl x € R ein N G K so, dass
wenn es
>
gibt N.
es
4 Fibonaccizahlen in der
104 Die Zahl
x
nennt
man
den Grenzwert oder Limes der
lim xn
n—yoo
Eine
Folge,
die gegen 0
=
x
oder xn
konvergiert,
für
—> x
heißt
Folge und
man
Analysis
schreibt
n —> oo.
Nullfolge.
Zum Nachweis der Konvergenz einer Folge werden wir meist nicht die Definition benutzen, sondern die in Lemma 4.2(b) angegebene etwas handlichere Version:
Lemma 4.2 Mir eine
Folge {xn} reeller Zahlen und
a
6 R
gilt:
(a) Die Folge {xn} ist genau dann eine Nullfolge, wenn die Folge {|xn|} der Beträge eine
(b)
Nullfolge ist.
Folge {a:n} konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a G K, wenn die Folge {xn a} eine Nullfolge ist. Etwas anders formuliert: {xn} konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn \xn a\ für hinreichend große n beliebig klein wird.
Die
—
—
Der sehr einfache Beweis ergibt sich unmittelbar rin/dem Leser überlassen.
aus
der Definition 4.1;
er
sei der Lese-
Für konvergente Folgen gelten einige Rechenregeln, die einem die Arbeit erheblich erleichtern können. Wir werden daher jetzt die für das Folgende wichtigen beweisen. Zuvor jedoch noch ein Hinweis auf die mathematische Terminologie: Wenn von einer Folge {xn} gesagt wird, dass „fast alle" Folgenglieder eine bestimmte Eigenschaft haben, so bedeutet das, dass es höchstens endlich viele Ausnahmen davon gibt. Wenn also fast alle Folgenglieder positiv sind, so ist es unerheblich, ob die ersten 3 oder die ersten 30 oder die ersten 5 Millionen Folgenglieder negativ oder 0 sind, wichtig ist nur, dass die Anzahl der Folgenglieder, die aus der Reihe tanzen, endlich ist. Satz 4.3 Für zwei
konvergente Folgen {xn} und {yn}
(a) Xn + Vn -» X + y (b) axn —> ax für a € K
mit xn
—> x
und yn
—>
y
gelten:
4.1
Einige spezielle Folgen
105
Beweis: (a) Zu einem vorgegebenen e > 0 wählen wir Zahlen Ni und N2 so, dass \xn x\ < | für alle natürlichen Zahlen n > N\ und \yn —y\ < | für alle natürlichen Zahlen n > JV2; solche Zahlen Ni und iV2 existieren nach Definition 4.1. Für alles Indizes n, die größer als die größere der beiden Zahlen N\ und N2 sind, gelten dann beide Ungleichungen und es folgt \xn + y„ {x + y)\ < \xn -x\ + \yn y\ < e, dabei haben wir die Dreiecksungleichung verwendet. (b) Für a 0 sind alle Glieder der Folge {axn} gleich null und die Behauptung ist trivial. Sei also a ^ 0. Da die Folge {xn} gegen den Grenzwert x konvergiert, gibt es zu einem gegebenen e > 0 ein N G N mit \axn ax\ e für n > N. \a\\xn x\ < \a\ Damit ist die Behauptung gezeigt. 0 -
-
-
—
jfj
=
—
Aus diesem Satz bilden.
4.1.1
folgt insbesondere,
dass die
—
konvergenten Folgen
=
einen Vektorraum
mit dem Grenzwert $
Folgen
Nun sollen Folgen im Mittelpunkt stehen, deren Grenzwert die bereits bekannte Zahl $ ist, die sogenannte „goldene Zahl", die auch in Hauptrolle spielen wird.
1+2v/^
=
Wir betrachten die Xq
Diese
.
Folge {xn},
1,
Folge definiert 1+
die
gegeben
Kapitel 1 Kapitel 5 eine aus
ist durch
(4.4)
Xu +1
den unendlichen Kettenbruch 1
(4.5)
1 +
Zwischen diesem Kettenbruch bzw. der durch (4.4) definierten reellen Zahl $ besteht folgender Zusammenhang:
Folge {xn}
und der
Beweis: Aus Kapitel 1 wissen wir bereits, dass $ die Beziehung 2 $ + 1, oder, nach Division durch die Beziehung $ 1 + erfüllt. Die Rekursionsformel (4.4) für =
=
^
4 Fibonaccizahlen in der
106
die
Folge {x„} liefert
Analysis
weiter 1 *En
1
l
—
1+
» + !>
Wiederholtes Anwenden der Rekursionsformel xn
$
$nxn_ix„_2
•
•
(4.4) ergibt schließlich nx„_i •-xq
-x0
x0
•
(4-6)
Nun müssen wir den Ausdruck ganz rechts in geeigneter Weise abschätzen. Dazu zeigen wir durch vollständige Induktion xn > 1 für natürliche Zahlen n > 1. Nach Definition 1 und x\ = 1 +1 = 2 > 1. Wenn bereits xn > 1 bekannt ist, so gilt nach der sind xq 1 + Rekursionsformel (4.4) xn+i > 1 wegen 0 < < 1 nach Induktionsvoraus> ist 1 wie n Somit tatsächlich für > xn 1, setzung. behauptet. Damit ist der Term im Nenner des letzten Ausdrucks von (4.6) auf jeden Fall größer als n+1 und der Kehrwert davon kleiner als Also folgt, wie wir zeigen wollten, $ $ 1 > wird Wegen xn |< | beliebig klein, sodass sich daraus nach Lemma 4.2(b) die Konvergenz der Folge gegen den Grenzwert ergibt. 0 =
^-
=
^q_r
-
^^r.
Mit dem soeben bewiesenen Satz haben wir auch die
folgende Aussage gezeigt:
Korollar Der unendliche Kettenbrucl 1+
1+ IT-X
stellt die irrationale Zahl $ dar.
Als ein Nebenprodukt liefert Satz 4.4 eine wichtige Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen.
Aussage
über den Grenzwert des
Satz 4.6
Für den Quotienten
aufeinanderfolgender
fn
1
$"+1
Fibonaccizahlen und
lim n"^°°
gilt
%_! In
=
$.
4.1
107
Einige spezielle Folgen
Aufgrund der Definition der Fibonaccifolge gilt &
Beweis:
fn + 1 fn
fn + fn-l fn
_
.
1 t"
=
1 und
_1_ 7
_ —
{—f^}
stimmt also mit der in Satz 4.4 betrachteten die Folge Daraus ergibt sich sofort die Aussage über den Grenzwert. Aus Gleichung (4.6) folgt außerdem unmittelbar
fn + 1 fn wie
Folge {xn} überein.
/n-l --VI
behauptet.
Gleichung in Satz 4.6 bedeutet, dass die Folge i^^-} der Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen recht gute Näherungswerte für $ liefert, weil ^r}+i und
Die erste
damit j
£n+\
rasch sehr klein wird.
(4.5) kann man eine „geschachtelte"
In ähnlicher Weise wie den Kettenbruch bei durch die Folge {yn} mit yo
=
und
l
yn+1
=
y/l + yn
Wurzel
(4.7)
definieren.
Beweis: Durch vollständige Induktion zeigen wir zunächst yn > 1 für alle n G No. Nach Definition ist yo 1; sei also für ein n G N bereits yn > 1 gezeigt. Dann gilt « > + \/2 1,4142, also yn+i > 1, wie behauptet. yn+i \/l yn 1 entsteht Sn+x dadurch positiver Summand, nämlich 7-^7, dazuaddiert wird. Somit gilt Zunächst einmal 1
x —
4.1
Einige spezielle Folgen
Damit
ergibt
111
sich für die n-te Partialsumme die
Sn
=
Abschätzung
tUVS.±^. »=l Jt
i=\
(4.9)
*
Auf der rechten Seite der Ungleichung (4.9) steht nun eine Partialsumme einer geometrischen Reihe. Für geometrische Reihen VJ"=o °' m^ l?l < Snt die Formel (siehe
Aufgabe 4.3)
oo
Also
gilt
in
unserem
Fall
*-v/5 i=l
Zusammen mit
(4.8)
5 + 3v/5 —;-< 6.
*
liefert dies
K Sn < 6;
(4.11)
in der Terminologie der Analysis bedeutet das: Die Folge der Partialsummen Sn ist beschränkt. Sie ist, wie wir oben bereits festgestellt haben, aber auch streng monoton wachsend. Allen Analysis-Kundigen geht spätestens jetzt ein Licht auf:
Jede monotone und beschränkte
Folge ist konvergent.
Dieser Satz gehört zum Standardrepertoire der Analysis und kann in jedem Lehrbuch der Analysis nachgesehen werden, siehe z.B. [AE], Theorem 4.1 auf Seite 175 oder [K], Seite 46; hier würde die Herleitung des Satzes zu weit führen. Damit ist jedenfalls Folgendes klar:
Sehr viel mehr kann man jedoch nicht zu diesem Grenzwert S sagen: Man weiß zwar, dass er existiert, aber man kennt seinen genauen Wert nicht. Immerhin ist bekannt, dass S irrational ist, doch bedarf es noch einiger Arbeit, um S explizit zu bestimmen.
4 Fibonaccizahlen in der
112
Analysis
Potenzreihen mit Fibonaccizahlen
4.2
Im Folgenden wird eine Verallgemeinerung des formalen Potenzreihen.
Reihenbegriffs benötigt, die sogenannten
Definition 4.13 Für eine Folge {rn} reeller Zahlen definiert Variablen x durch
die formale Potenzreihe in einer
man
oo
P{x) Wird für
x
eine feste reelle Zahl
a
=
Y2nxi. i=0
eingesetzt,
so
erhält
man
die Reihe
CO
P(a)
=
£>.a\ t=0
die konvergieren kann oder auch nicht. Zu jeder formalen Potenzreihe gibt es eine reelle Zahl R so, dass die Potenzreihe für alle \x\ < R konvergiert; R heißt dann der Konvergenzradius der Potenzreihe. (Anmerkung: Potenzreihen werden im Allgemeinen über den komplexen Zahlen betrachtet. Daher spricht man nicht von einem Konvergenzintervall, sondern von einem Konvergenzkreis mit dem zugehörigen Kon-
vergenzradius.)
Für eine natürliche Zahl
n
definieren wir die Funktion Fn : R — K durch
Fn(x)
J2fiXi-
=
i=l
Die Formel
Binet liefert
von
F»v
-
-Tg E1 V
2=1
*
*v
(4-12)
2=
Für x j£ 1 und \I>x ^ 1 ergibt sich daher mithilfe der Formel (1.17) für die n-te Partialsumme einer geometrischen Reihe sowie der Formeln (1.6) bis (1.8) _,
.
,
Fn(x) v '
1 =
n+lxn + l
^n+l^n + l
x
^x
^
--=-
—=
_
_
»»-1
V5 xT,njxn+2 ($n+l $n+l)-.n+l + ($ $*X2 (
V($x)8 ^
n
1 -= -
t=i
/^ v/5 -
lim n—k nn
V(*x)i. ^
'
(4.15)
j=i
^
Unter unserer Voraussetzung |x| < existieren die Grenzwerte der beiden geometrischen Reihen, da nach dem oben Gesagten |3>x| < 1 und |^x| < 1 gilt. Somit existiert für solche x auch der Grenzwert F(x). Wegen (4.13) können wir schreiben
F(x)
x
lim
-
/„x"+2 fn+1xn+1 -
1
n—¥oo
X —
x
1
Nach Satz 1.19 lim i—>oo
1
lim -
f„xn+1
lim n—toc
/„+ixn
—
gilt /„
< ™ +
1; dies liefert
fnxn+1
< lim
(^L y5
Wegen |x| < 1 liirin-KX) /n+ixn+1 gezeigt:
X2
X —
X2
—
^=
n—>oo
+
l)xn+1
=
4= v5
Um
n~>oc
($x)n +
und |x| < 1 erhalten wir lim«-^ fnxn+1 0. Damit ergibt sich insgesamt F(x)
=
=
1— X
lim n—foo
xn+1.
0 und entsprechend X2 Wir haben also . —
4 Fibonaccizahlen in der
114
Analysis
Satz 4.14 Die formale Poten
konvergiert
für
\x\
2 ein
(2fnfn_1)2+(f2-f2_1)2 4/^_1+£-2/2.£_i+/n-i (fn + fl-x? Nach (1.4) ist f2n-i f2 + f2_,, woraus sofort =
=
=
=
Behauptung folgt.
Beispiel: Sei n 5, also a 2/5/4 2 5 3 /9 34. Damit erhält man a2 + b2 302 + 162 Tripel (30; 16; 34) ein pythagoreisches Tripel. =
=
=
=
•
•
=
= =
30, b
/f f\
=
900 + 256
aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen /„, fn+i, fn+2 pythagoreisches Tripel:
Vier ein
f2n-\
=
-
=
=
1156
=
=
-
fn+3
und
52 32 16, c 342. Also ist das
=
erzeugen ebenfalls
Satz 5.2
Setzt
man
an
=
(an; bn; cn) für n Beweis:
fn+2
~
>
1 ein
=
=
bilden
=
=
=
(/2+2 /2+1)2 + 4/2+1/2+2 außerdem -
cn
=
/2n+3-
(/2+2 + /2+1)2 c2, ~
=
0
=
was zu
zeigen
war.
Wir wählen wieder n 5, also /s 5, fe 8, fi 13, f$ 21 und setzen und c 2 8 13 208 82 + 132 64 + 169 233. Damit gilt § 21 105,6 1052 + 2082 11025 + 43264 54289 2332, d.h. (105; 208; 233) ist ein +- b2
Beispiel: a2
so
=
=
Wegen (1.4) gilt a
=
=
Man hat also a2 + 62 {fnfn+z)2 + (2/„+i/n+2)2. Einsetzen von /„ Und /n+3 fn+2 + fn + l liefert a2n+b2n [(fn+2 fn+l){fn+2 + fn+i)]2 +
fn+l
4/2+1/2+2
2/n+1/n+2 und cn f2+1 + f2+2 f2n+3, pythagoreisches Tripel mit a2 +bn c2.
fnfn+3,bn
=
=
=
•
=
=
=
=
=
•
=
pythagoreisches Tripel.
=
=
=
=
=
=
=
5.2 Der
119
goldene Schnitt
Abschließend seien noch naccizahlen vorkommen.
in denen Lucas- und Fibo-
pythagoreische Tripel vorgestellt,
Satz 5.3 Die Zahlen an
=
lnln+3, bn
pythagoreisches Tripel
=
2ln+xln+2 bn c2
mit an +
und cn
=
5/2n+3
bilden für alle
n
€ N ei
=
Beweis: Der Nachweis ist etwas trickreicher als in den beiden vorigen Fällen. Wir formen den Ausdruck für an zunächst einmal mithilfe der Rekursionsformel um, rechnen dann aus und fassen zusammen: +# [Cn+2 Wl)(/„+2 + Wl)]2 + {Un+3)2 + + 4ln+iln+2 + ln+2 [ln+2 {ln+\ + ln+\ + + Nun schreiben wir mithilfe von Satz 1.29 um:
K+l^n+2 'n+l]2 2Z21+1i2,+2 ln+2)2l2+l /21+2 5/2+1+4.(-l)"+1+5/2+2+4.(-l)«+2 l2n+1+l2n+2 5-(/2+1 + /2+2) 5/2n+3 dabei wurde im =
=
-
—
—
=
=
=
vorletzten Schritt
(1.4)
verwendet.
Beispiel: Für n 1 erhalten wir a liU 1-7 7, b 2I2I3 2 3 4 24 und 5/5 5 -5 25. Es gilt c2 252 625 49 + 576 72 + 242 a2 + b2. Wir haben also das pythagoreische Tripel (7; 24; 25) erhalten. =
=
=
=
=
=
=
•
c=
=
5.2
=
=
=
Der
goldene Schnitt
=
=
•
=
Dieser Abschnitt ist einer besonderen Art der Teilung einer Strecke, dem sogenannten goldenen Schnitt, gewidmet. In Architektur und Kunst nimmt diese als besonders harmonisch und schön empfundene Teilung eine herausragende Stellung ein: Die Fassaden vieler Bauwerke sowie die Kompositionen bedeutender Gemälde orientieren sich am goldenen Schnitt. Daher betrachten wir zuerst die Eigenschaften des goldenen Schnitts und zeigen dann, wie er mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
5.2.1
Teilung einer Strecke
Zunächst klären wir den Begriff „Teilverhältnis" allgemein und untersuchen dann die besondere Art der Teilung einer Strecke, die als goldener Schnitt bezeichnet wird.
Definition 5.4 Wird eine Strecke [AB] durch einen Punkt T auf der Geraden AB geteilt, so nennt X das Teilverhältnis der Streckenlängen AT man das Zahlenverhältnis AT : TB und TB. Man sagt dann, dass T die Strecke [AB] im Verhältnis A teilt. Der Punkt T kann dabei innerhalb oder außerhalb der Strecke [AB] liegen. Im ersten Fall ist T ein innerer Teilpunkt von [AB], im zweiten Fall ein äußerer Teilpunkt. =
5 Fibonaccizahlen in der Geometrie
120
B
T
A
BT
A
Die innere Teilung einer Strecke [ab] wird als besonders harmonisch angesehen, wenn sich die Länge der größerem der beiden Teilstrecken zur Länge der kleineren so verhält wie die Länge der Gesamtstrecke zur Länge der größeren Strecke, wenn also gilt
ÄT
AB
TB wobei AB
AT + Tb
ÄT
_ ~
In diesem Fall Schnitts.
von
~
AT + TB; damit ergibt sich
=
AT TB
Umformen
spricht
'
einer
man von
Gleichung (5.2)
+
TB man
_
^ i/j, also n v>0 g^Vj, für j > logg n der Fall (dabei bezeichnet logg den Logarithmus zur Basis g und log den dekadischen Logarithmus). Wir nehmen an, dass diese Situation nach genau k > 0 Schritten eintritt. Dann gilt (6.2) für i 0,... ,fe 1 und außerdem ist 0 < ak = vk < g. Mittels Induktion ergibt sich für j = 0,..., k >
>
•
•
> 0.
>
•
—
=
=
=
=
—
vo
=
Vjg3
+
Ea'ö*; i=0
daraus
folgt (6.1)
tet ao,..., a/t G
gezeigt.
für j
=
{0,..., g
k. -
Aufgrund des Konstruktionsprinzips gilt dann wie behaup1}. Damit ist die Existenz einer Darstellung der Form (6.1)
Nun müssen wir noch die Eindeutigkeit dieser Darstellung nachweisen. Aus (6.1) und den Eigenschaften der at ergibt sich gk < n < gk+1, daher ist k und damit eindeutig festgelegt. Jede weitere Darstellung der Form (6.1) hat daher die Gestalt =
k 71
=
Yl a'i9l i=0
mit
a'0,..., a'k
G
{0,..., g 1}
Darstellungen für
ergibt -
n,
so
a'k ^ 0.
und sich
Subtrahieren wir die beiden verschiedenen
k
]TK
*i)9'
=
0.
(6.3)
-
i=0
Daher muss a'0 a0 durch g teilbar sein, und wegen | a'0 a0 \< g folgt a'Q ao- Daraus und aus (6.3) ergibt sich, dass (a[ a^)g durch g2 teilbar, also a[ Oi durch g teilbar sein muss. Mittels Induktion folgt also = für i = 0,...,k. Somit ist auch die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt. 0 =
—
—
—
—
Ein besonders wichtiges Zahlensystem ist das kleinstmögliche mit ganzzahliger Basis, nämlich dasjenige mit der Basis g 2. Es heißt Dualsystem oder Binärsystem oder eben Zweiersystem und kommt mit den Ziffern 0 und 1 aus. Seine Stufenzahlen sind =
6 Das
142
2345
=
im
Beispiel 2345 Zweierpotenzen:
die Potenzen von 2. Um 2345 in eine Summe von
Fibonaccizahlensystem
unser
wir
•
•
•
=
Nim-Spiele
Dualsystem darzustellen, zerlegen
1 2048 + 1 256 + 1 32 + 1 8 + 1 1 211 + 0 210 + 0 29 + 1 28 + 0 +0 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 •
und
•
•
•
•
•
•
27 + 0 26 + 1 25 2°
•
=
(100100101001)2
und erhalten somit die Darstellung (100100101001)2 von 2345 im Dualsystem; die tiefgestellte 2 gibt die Basis des Zahlensystems an. Hat man umgekehrt eine Darstellung im Dualsystem, z. B. (1110100)2, so schreibt man die dargestellte Zahl wie in (6.1) mithilfe von Zweierpotenzen auf, also
(1110100)2
=
•
26 +
1
•
25
22
+0
Folge
von
+ 1 24 + 0 23 + 1 1 64 + 1 32 + 1 16 + 1 4 1
•
•
•
21
2°
+0
•
=
•
•
•
=
•
116,
und erhält so ihre Darstellung im Zehnersystem. Dies bedeutet insbesondere, dass jede beliebige endliche eine Binärdarstellung einer natürlichen Zahl ist.
Einsen und Nullen
folgenden Abschnitt wird ein Zahlensystem vorgestellt, das auch nur die Ziffern 0 und 1 verwendet, wobei aber nicht mehr jede beliebige Folge von Einsen und Nullen erlaubt ist. Dieses Zahlensystem verwendet die Fibonaccizahlen als Stufenzahlen. Im
Der Satz
6.1.2
von
Zeckendorf
Die Antwort auf die Frage nach der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen durch Fibonaccizahlen liefert der Satz von Zeckendorf. Der Belgier Edouard Zeckendorf (1901-1983) war eigentlich Arzt und beschäftigte sich nur nebenbei mit Mathematik. Er veröffentlichte einige Arbeiten zur elementaren Zahlentheorie, darunter auch den nach ihm benannten
Satz. Zunächst führen wir den Begriff der Zeckendorfsequenz ein. Dadurch lassen sich die folgenden Sätze einfacher formulieren. Definition 6.2 Eine
Zeckendorfsequenz ist eine (endliche) Folge
( oder f > ,
=
1)
ist die kleinste natürliche
bk-x nicht vorkommt,
ak +
Zahl, die
unter den Zahlen ao,..., ak-\ und
k.
Dabei notieren wir die Paare (ak; bk) stets so, dass ak das Paar (bk;ak) eine „Gewinnposition" ist. Als erstes zeigen wir ein Lemma, das die näher beschreibt.
ao, a2 > a\ usw. Daher ist die Folge ao, ai, a2, streng monoton wachsend. Wegen bk ak + k < ak+i +k +1 bk+\ ergibt sich daraus unmittelbar, dass auch die Folge bo, £>i, b2,... streng monoton wächst; dies zeigt (4). (3) folgt unmittelbar aus (GP2), denn bk ak k. Nach (GP2) ist an die kleinste natürlich Zahl, die unter ao,..., an~i und bo, bn-\ nicht vorkommt. Da die Folge der ak streng monoton wächst, taucht an spätestens im n-ten Schritt auf und kommt wegen der strengen Monotonie unter den ak kein zweites Mal vor. Aus dem gleichen Grund kommt auch unter den bk keine Zahl doppelt vor. Es könnte aber noch der Fall an bm auftreten. Dabei kann n > m nach dem Auswahlverfahren für die ak nicht sein, und falls n < m, so gilt an < am < am + m bm, ein Fall ist Damit auch m n ist Der ohnehin nicht Widerspruch. möglich. wegen (GP3) =
•
=
=
—
,
=
=
=
(1) gezeigt.
Jetzt müssen wir noch nachweisen, dass die Eigenschaften (1) bis (4) folgen.
Eigenschaften (GP1)
bis
(GP3)
aus
den
150
6 Das
Fibonaccizahlensystem
Nim-Spiele
und
Da die Folgen {dk} und {bk} nach (4) streng monoton wachsen und andererseits die Folge der natürlichen Zahlen selbst die einzige streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist, die alle natürlichen Zahlen enthält, ergibt sich (GP3) wegen (3). Zum Nachweis von (GP2) nehmen wir an, n G N ist die kleinste natürliche Zahl, die unter do, ax,..., afc_i, bo, öi,..., öfc_i nicht vorkommt. Wegen (4) ist dann dk > n. Wäre dk > n, könnte n wegen der strengen Monotonie nicht in der Folge {dj} auftreten. Also müsste wegen (2) n bi für ein l > k gelten; nach (GP3) hätten wir dann n bi di + l und somit o; n l < n; d. h. a; müsste bereits unter a_,. .. d, so sei (c, c') die Gewinnposition, in der c vorkommt. Natürlich ist c' ^ d, da (c; d) nach Voraussetzung keine Gewinnposition ist. Falls c' < d, nimmt man vom Haufen mit d Steinen genau d c' Steine weg und landet damit auf der Gewinnposition (c; c'). Ist c' > d, so gilt d c < c' c und man sucht diejenige Gewinnposition (am; bm) mit bm am d c. Die Eigenschaft 6.8.(4) erfordert am < c wegen bm—dm < d—c. Daher muss der Spieler vom Haufen mit c Steinen genau c bm am und vom Haufen mit d Steinen genau d Steine wegnehmen, um die Gewinnposition (am\ bm) mit bm—am d—c zu erreichen. —
—
—
—
=
—
—
—
—
=
—
=
—
—
—
—
—
—
=
Mit Satz 6.9 ist jetzt klar, dass der Spieler, der zuerst auf eine Gewinnposition kommt, das Spiel sicher gewinnt, sofern er nichts mehr falsch macht. Die Startposition entschei-
6.2
Nim-Spiele
151
det bei diesem Spiel bereits dessen Ausgang, falls beide Spieler die Gewinnstrategie kennen. Allerdings dürfte in den meisten Fällen der beginnende Spieler gewinnen, da es mehr Nicht-Gewinnpositionen als Gewinnpositionen gibt. Überraschend ist aber, dass man die Gewinnpositionen berechnen kann. Doch bevor wir dies in Angriff nehmen, schicken wir noch ein Lemma voraus, das sich später als sehr nützlich erweisen wird. Wir benötigen hier wieder die Gaußklammer aus Definition 3.64.
Lemma 6.10 Seien
x
und y zwei positive irrationale Zahlen mit
i + i=l. x
y
)ann kommt jede natürliche Zahl genau einmal unter den Gliedern der r„
ror, und
zwar
=
[nxj
und
sn
=
in genau einer dieser
[nj/J
für n
€
Folgen
N
(6-11)
Folgen.
Beweis: Offensichtlich gilt x, y > 1. Sei N eine beliebige natürliche Zahl. Dann betrachten wir alle natürlichen Zahlen n mit [nxj < N, also mit n < —. Die letztere Ungleichung gilt für alle n 1,2,..., |_—J. Entsprechend gilt ny < N für alle =
n=l,2,...,LfJ-
Daher gibt es unter den Zahlen 1, 2,..., JV 1 genau {r„} und {s„}. Da und irrational sind, folgt
^
N x
—
^
1