Fibonacci und die Folge(n) 9783486598490, 9783486589108

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LLi

Fibonacci und die Folge(n) von

Apl. Prof. Dr. Huberta Lausch

Unter Mitarbeit von Dino Azzarello

Oldenbourg Verlag München

Apl. Prof. Dr. Huberta Lausch ist seit vielen Jahren Dozentin für Mathematik mit den Arbeitsgebieten Algebra, Zahlentheorie und Geometrie an der Universität Würzburg. Außerdem arbeitete sie als Lektorin für Mathematik, Physik und Informatik bei verschiedenen Schulbuchverlagen. Zurzeit ist sie als Lehrkraft an einem Gymnasium tätig. Der Brückenschlag zwischen Schulmathematik und Fachwissenschaft ist ihr ein großes Anliegen.

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Vorwort Einer einfachen Zahlenfolge gelingt es, seit Jahrhunderten die Menschen zu faszinieren, obwohl zunächst einmal nichts an ihr spektakulär zu sein scheint: Beginnend mit zwei Einsen, ist jedes weitere Folgenglied Summe der beiden vorangegangenen Folgenglieder. Dieses Bildungsgesetz das Bildungsgesetz der Fibonaccifolge entpuppt sich bei näherem Hinsehen jedoch als eine Art Naturgesetz: Die Blattrosetten vieler Pflanzen richten sich danach, und wer sich die Mühe macht, eine Sonnenblume oder ein Gänseblümchen genauer anzuschauen, wird feststellen, dass die Einzelblüten Spiralen bilden, deren Mitgliederzahl jeweils eine Fibonaccizahl ist. Auch die Schuppen von Tannenzapfen oder Ananasfrüchten folgen diesem Gesetz. Unter dem Stichwort Phyllotaxis findet jeder Interessierte (z. B. im Internet) viele Beispiele dafür. -

-

In diesem Buch soll es jedoch nicht um das Vorkommen der Fibonaccifolge in der Natur oder um ihre Anwendung in der Wirtschaft Fibonacci Trading ist hier das Schlagwort gehen, sondern um die herbere und eher verborgene Schönheit ihrer vielfältigen Verflechtungen mit vielen Teilgebieten der Mathematik. Der Schwerpunkt dieses Buchs liegt auf der Zahlentheorie und der Algebra. Aus diesem Grund tritt neben der Fibonaccifolge auch sofort ihre Gegenspielerin und Gefährtin, die Lucasfolge, auf den Plan. Das erste Kapitel stellt einfache Folgerungen aus dem Bildungsgesetz der beiden Folgen vor. Für die Leserinnen und Leser bedeutet dies jedoch harte Rechenarbeit, denn die Beweise sind zwar elementar, aber gelegentlich recht trickreich, und sollten zumindest teilweise von jeder/jedem durchgerechnet werden. Das zweite Kapitel schlägt die Brücke zur Linearen Algebra und wendet sich eher an mathematisch vorgebildete Leserinnen und Leser; es kann getrost übersprungen werden. Das Herzstück des Buchs stellt das umfangreiche Kapitel drei dar: Hier werden Teilbarkeitsfragen untersucht Teilbarkeit der Fibonacci- oder Lucaszahlen untereinander oder durch bestimmte Primzahlen -, die beiden Folgen modulo m betrachtet und die Frage nach dem Vorkommen von Quadratoder Kubikzahlen unter den Folgengliedern geklärt. In Kapitel vier kommt schließlich noch die Analysis und in Kapitel fünf die Geometrie zu Wort: Es ist undenkbar, ein Buch über die Fibonaccifolge zu schreiben, ohne zumindest ihren Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt zu erwähnen. Kapitel sechs greift nun nochmals durch die Konstruktion eines Zahlensystems mithilfe der Fibonaccizahlen auf das Leitmotiv Zahlentheorie zurück, aber angewendet wird all diese Theorie, um zwei besondere Nim-Spiele zu analysieren. In Kapitel sieben gibt es einen kleinen Abstecher in die Informatik. Kapitel acht eröffnet den Blick zu neuen Ufern: Es zeigt sich nämlich, dass die Fibonaccifolge nur ein Anfang war zu einer viel umfassenderen Theorie, der Theorie der Lucasfolgen. Auch andere Verallgemeinerungen der Fibonaccifolge, wie die Tribonaccifolge, die sehr interessante! Padovanfolge und Fibonacci- und Lucaspolynome werden angesprochen. Im Anhang sind jeweils die ersten 60 Folgenglieder von Fibonacci-, Lucas-, Padovan-

-

-

-

-

Vorwort

VI und Perrinfolge angegeben, damit sich jede(r) die schaulich klar machen kann.

Eigenschaften

dieser

Folgen auch an-

Da dieses Buch sich nicht nur an Studierende der Mathematik, sondern hauptsächlich an interessierte Schülerinnen und Schüler wendet, habe ich versucht, alle erforderlichen Hilfsmittel im Buch selbst bereitzustellen. Das ist nicht an allen Stellen gelungen, etwa bei der Linearen Algebra, doch wurden stets die verwendeten Sätze zitiert und Quellen dafür angegeben, sodass es immer möglich ist, der Argumentation zu folgen. Am Ende eines jeden Kapitels findet sich ein Abschnitt mit Aufgaben, der meist in die Teile „Übungsaufgaben" und „Arbeitsaufträge" untergliedert ist. Bei den Arbeitsaufträgen handelt es sich um umfangreichere Aufgaben, die etwa im Rahmen einer Facharbeit bearbeitet werden könnten. Literaturhinweise am Ende eines jeden Kapitels erlauben ein vertieftes Studium.

Nun ist es aber an der Zeit, denjenigen zu danken, ohne die dieses Buch nicht entstanden wäre. Mein ganz besonderer Dank gilt meinem Freund Dino Azzarello, dessen exzellente Facharbeit die Keimzelle dieses Buches darstellt und sich insbesondere in Kapitel 1 und den Abschnitten 3.1, 3.2 sowie 6.1 wiederfindet. Seine klare und perfekte Darstellung hat ein Vorbild geschaffen, an dem sich der Rest des Buchs messen lassen muss. Meinem Würzburger Kollegen Manfred Dobrowolski danke ich für die Unterstützung sowie für seine Verbesserungvorschläge, insbesondere zu den Kapiteln 4 und 8. Ohne ihn hätte dieses Werk niemals seine Geburt sprich: sein Erscheinen erlebt. Schließlich sei auch Frau Kathrin Mönch vom Oldenbourg Wissenschaftsverlag gedankt, der das Thema Fibonaccifolge ein persönliches Anliegen war. -

Grafing

-

Huberta Lausch

Inhaltsverzeichnis 1

Fibonacci- und

1

Lucasfolge

1.1

Grundlegende Eigenschaften Einführung und Definitionen

.

1

1.2

Einfache Summenformeln.

3

1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3

Weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge. Das Prinzip der vollständigen Induktion. Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen. Beziehungen zwischen Lucaszahlen.

8 8 9 13

1.4 1.4.1 1.4.2

Lineare Rekursion und die Formel von Binet. Die Formel von Binet. Lineare Rekursion die Herleitung der Formel von Binet.

15 15 18

1.5 1.5.1 1.5.2

der Formel von Binet. Folgerungen für die Folgerungen Fibonaccifolge. Beziehungen zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen.

20 21 26

1.6

Fibonacci- und Lucaszahlen mit negativen Indizes.

28

1.7

Aufgaben.

30

2

Fibonaccizahlen und Lineare Algebra

31

2.1

Die

31

2.3

Herleitung der Formel von Binet mithilfe der Eigenwertrechnung. Die Darstellung der Fibonaccizahlen als Determinanten von Matrizen Herleitung von Fibonacci-Identitäten mithilfe der Matrizenrechnung.

2.4

Fibonacci- und Lucasvektoren.

41

2.5 2.5.1 2.5.2

Aufgaben. Arbeitsaufträge

48 48 48

3

Zahlentheoretische

von

-

2.2

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

aus

....

Übungsaufgaben

. .

35 38

Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge 49 Zahlentheoretische Grundlagen. 49

Teiler und Vielfache. 49 Der euklidische Algorithmus und Eigenschaften von ggT und kgV. 51

Binomialkoeffizienten. 54

Gruppen, Ringe, Körper. Kongruenzen und Restklassen

.

56 59

VIII 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.6 3.6.1 3.6.2

_Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitsaussagen. Teilbarkeitsaussagen für Fibonaccizahlen. Quotienten von Fibonaccizahlen. Teilbarkeitsaussagen für Lucaszahlen Die Fibonaccifolge modulo m. Die Periodenlänge der Fibonaccifolge modulo m Die Fibonaccifolge modulo p, p prim. .

.

Die

Verteilung der Fibonaccizahlen modulo m Summenformeln modulo m. .

Fibonaccizahlen und Binomialkoeffizienten. Summenformeln mit Binomialkoeffizienten.

Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten. Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge. Aufgaben.

Übungsaufgaben Arbeitsaufträge

. .

64 64 70 74 78 78 82 89 90 91 92 95 97 100 100 101

4

Fibonaccizahlen in der

4.1 4.1.1 4.1.2

Folgen

4.2

Potenzreihen mit Fibonaccizahlen

.

112

4.3

Aufgaben.

115

5

Fibonaccizahlen in der Geometrie

117

5.1

Rechtwinklige Dreiecke. Der goldene Schnitt. Teilung einer Strecke. Konstruktionsverfahren für den goldenen Schnitt.

117

5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.5 5.5.1 5.5.2

103 Analysis Einige spezielle Folgen. 103

mit dem Grenzwert $. 105 Reihen mit Fibonaccizahlen. 108

119 119 121

Goldene Dreiecke. 125 Die Winkel im goldenen Dreieck. 125 Das Das

regelmäßige Zehneck. regelmäßige Fünfeck. Fibonaccispirale und goldene Spirale. Aufgaben .

Übungsaufgaben Arbeitsaufträge

6

Das

6.1

Die

.

.

Fibonaccizahlensystem

und

Nim-Spiele

Darstellung natürlicher Zahlen durch Fibonaccizahlen.

127 128

133 137 137 138 139

139

Inhaltsverzeichnis_ 6.1.1 6.1.2 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.3.1 6.3.2

Stellenwertsysteme. Der Satz von Zeckendorf. Nim-Spiele. Das Spiel „Euklid". Das Spiel von Wythoff. Das Spiel von Wythoff und das Fibonaccizahlensystem. Aufgaben.

Übungsaufgaben Arbeitsaufträge

.

.

139 142 146 146 148 152 155 155 156

7

Die Fibonaccizahlen in der Informatik

157

7.1

Binäre Suchbäume

157

7.2

Fibonacci-Heaps. Aufgaben .

7.3 7.3.1 7.3.2 8 8.1 8.1.1 8.1.2

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.3

8.4 8.5 8.5.1 8.5.2

Übungsaufgaben Arbeitsaufträge

.

.

.

160 162 162 162

163 Verallgemeinerungen der Fibonaccizahlen Lucasfolgen. 163 163 Einführung und Definitionen Eigenschaften von Lucasfolgen. 166 Die Padovanfolge. 170 Definition und Eigenschaften. 170 .

Rekursions- und Summenformeln. 171 Kombinatorische Deutung der Padovanzahlen. 174 Padovan- und Perrinfolge. 174 Die Die

Plastikzahl. Padovanspirale. Die Tribonaccifolge. Fibonacci- und Lucaspolynome. Aufgaben .

Übungsaufgaben Arbeitsaufträge

.

.

A

Tabellen der

A.l

Die ersten 60

A.2

Die ersten

A.3

Die ersten 60 Padovanzahlen

A.4

Die ersten 60

Zahlenfolgen

176 177 178 180

183 183 184 185

Fibonaccizahlen. 185 60 Lucaszahlen. 186 .

187

Perrinzahlen.

188

Inhaltsverzeichnis

X B

Die Formeln

von

Cardano

189

Literaturverzeichnis

191

Index

195

Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge

1

In diesem Kapitel werden Folgen im Allgemeinen und speziell die Fibonaccifolge und die Lucasfolge als Beispiele rekursiver Folgen vorgestellt. Zunächst bringen wir einfache Summenformeln, die man unmittelbar aus der Rekursionsformel herleiten kann. Das Prinzip der vollständigen Induktion wird benutzt, um weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge und insbesondere die Formel von Binet zu beweisen. Diese Formel erlaubt eine explizite Berechnung des n-ten Folgenglieds in Abhängigkeit von n und führt auf weitere Resultate. Außerdem werden verschiedene Zusammenhänge zwischen Fibonacci- und Lucasfolge aufgezeigt. Schließlich definieren wir beide Folgen auch für negative Indizes.

1.1

Einführung und Definitionen

Die erste

Spur der Fibonaccifolge findet sich bereits um 450 v. Chr. in einem Werk des Sanskrit-Grammatikers Pingala. Als erster in Europa beschrieb sie jedoch der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa (etwa um 1170 bis ungefähr 1240), bekannter als Fibonacci, abgeleitet von Filius Bonaccii oder Figlio di Bonacci (Sohn des Bonacci), in seinem Buch Liber Abaci. Zunächst müssen wir jedoch klären, was eine Folge überhaupt ist. Daher beginnen wir mit einer formalen Definition des Folgenbegriffs. Definition 1.1 Eine

Folge ist eine Abbildung

2 kann

man

die linke Seite in der

Z~2™=2(f2i /2i-2) f2n darstellen, und dies ist gerade die Behauptung. —

=

—

(c)

Die

gesuchte Summe erhält 2n

n

£ i=l

wobei

(a), (b)

und

man

n

f*

=

als Differenz

f2i-l ~

i=l

/2„+i

=

=

1

/2n+2 —

/2n

=

/2n+l

~

1,

—

i=l

/2n+2

/2n

verwendet wurden.

0

-

Mithilfe der Teile (b) und (c) des vorigen Satzes kann der ersten n Fibonaccizahlen berechnen.

man

die alternierende Summe

1.2 Einfache Summenformeln

5

Beweis: Für gerades n 2k subtrahiert man die Summe der ersten k Fibonaccizahlen mit geradem Index von der Summe der ersten k Fibonaccizahlen mit ungeradem Index: =

k

k

£ fii-l £ hi

=

-

f2k

-

/bfc+l + 1

=

—fik-l + 1)

i=l

;-l

Die

Aussage für ungerades n Gleichung fok+i hk + hk-l =

2k + 1 addiert:

=

ergibt sich,

wenn man

auf beiden Seiten der

2k

+w

=

/2fc

+i

i=l

Damit ist der Satz

vollständig bewiesen. 0

Bisher haben wir mithilfe der Rekursionsformel verschiedene Summen von Fibonaccizahlen bestimmt. Mit einem kleinen Trick gelingt es sogar, die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen zu berechnen.

Beweis: Der Trick besteht darin, ff mithilfe der Rekursionsformel geschickt darzustellen. Es gilt nämlich ff fifi+i fi-ifi für i 2,n. Beachtet man ff fif2 und setzt dies in Y!i=i fn eini ergibt sich fif2 + £™=2(/i/i+i /i-i/i) /n/n+i- 0 =

=

=

—

=

-

Quadrate von Fibonaccizahlen können als Summen von Produkten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen dargestellt werden. Auch bei diesem Beweis wird die Rekursionsformel mehrfach verwendet.

Grundlegende Eigenschaften

1

Fibonacci- und

von

Lucasfolge

Satz 1.6

i=l

Sei zunächst

Beweis:

n

ungerade,

2m+l

22

für

fn+i fn+i n

=

ungerades n für gerades n

1 ~

2m + 1. Es

ergibt

sich:

m

/»/»+!

=

Z1/2

+

£(/2i/2i

+/2i+l/2i+2)

+l

i=l

i=l

m =

/l/2

+

£ /2i+l(/2i + /2i+2) i=l m

=

/l/2

+

£(/2i+2

—

/2i)(/2i+2 + /2i)

i=l m

=

/l/2

+

£(/|i+2 /Ii) ~

i=l

=

Nun sei

n

gerade,

n

=

/1/2

+

/lm+2 /! /lm+2 /n+1 =

2m. Dann erhält

2m

=

~~

man:

m

fifi+l

—

i=l

m

£(/2i-l/2i + /2i/2i+l) i=l

/2i(/2i + l + /2i-l)

=

i=l m

m =

£(/2i+l

-

/2»-l)(/2/fe £/*+!>+•••+ E /*+£/* =

fc = l

k—l

k=2

k=n

l

k=n

—

=

(fn+2 1) + (fn+2

"

1

~

"

^

•

(/n+2

+

^

•••

+

-

"

£ A) 7

fc=l

(/»+!• -i

^/fc-(n-2).l

n(/n+2 1)

1

fc=l

fc=l

•n+1 =

"

n-1

-[/i + (/4-l) +

n(/n+2"

•

2

/

n(/n+2

fl) +

+

/1

fc=4 =

n(/n+2 1) [(/n+3 1) h h fl nfn+2 /n+3 + 2;

=

-

-

-

-

-

-

-

(n 2) + /i] -

—

dabei wurden

/i

=

/2

=

1 und

f$

=

2 benutzt.

Für Lucaszahlen kann man aus der Rekursionsformel (1.1) in ähnlicher Weise verschiedene einfache Summenformeln herleiten. Da die Beweise der Sätze 1.3, 1.4, 1.5 und 1.7 fast wörtlich übernommen werden können, ist der Beweis der entsprechenden Aussagen der Leserin/dem Leser überlassen, s. Aufgabe 1.7.1. Satz 1.8 Für Lucaszahlen

(a) (b) (c) (d)

gelten folgende Beziehungen:

Summe der ersten

n

Lucaszahlen:

=

^«+2

^ ~~

YÜl=i ^i-i tan Summe der ersten n Lucaszahlen mit geradem Index: Yl7=i fe» ^2n+i 1 Summe der Quadrate der ersten Lucaszahlen: $7J"=1 lf lnln+i 2 Summe der ersten

n

Lucaszahlen mit

ungeradem

Index:

=

-

=

—

n

=

—

2

1

8

Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge

Weitere Eigenschaften von Fibonacci- und Lucasfolge

1.3

Das Prinzip der vollständigen Induktion zwischen Fibonacci- oder Lucaszahlen.

1.3.1

Das

Prinzip

der

ermöglicht den Nachweis weiterer Beziehungen

vollständigen

Induktion

Bei vielen Beweisen aus der elementaren Zahlentheorie spielt das Prinzip der vollständigen Induktion eine wichtige Rolle. Es nutzt die Tatsache aus, dass man von jeder noch so großen natürlichen Zahl aus stets um eins weiter zählen kann. Damit gelingt es häufig, die Gültigkeit einer Aussage für alle natürlichen Zahlen nachzuweisen. Genauer gesagt nutzt das Prinzp der vollständigen Induktion das fünfte Peano-Axiom (nach Giuseppe

Peano, 1858-1932)

aus:

Enthält eine Menge M die natürliche Zahl 1 (oder 0) und enthält M für jede natürliche Zahl m £ M auch den Nachfolger m + 1, so ist N* (bzw. N) die kleinste derartige Menge, d.h. es gilt N* C M (bzw. N C M). der vollständigen Induktion: Es sei no € N* (meist ist no 0 oder no 1) und für jede natürliche Zahl n > no sei eine ist Falls wahr und für jedes n > no aus der Richtigkeit von A(n) Aussage. ^4(no) A(n) die Richtigkeit von A{n + 1) folgt, dann gilt A(n) für alle n > n0.

Prinzip

=

Das Beweisverfahren 1.

gliedert

=

sich also in

folgende Schritte:

Induktionsanfang (Induktionsverankerung):

Es wird

ist. 2.

Induktionsvoraussetzung (Induktionsannahme): A(n)

3. Induktionsschluss

(Schluss

von n

auf n +

1):

gezeigt, dass A(no) richtig ist

Man weist

tigkeit von A(n) die Richtigkeit von A(n + 1) folgt.

richtig. nach, dass

aus

der Rich-

Jedes Folgenglied von Fibonacci- und Lucasfolge hängt von den beiden vorhergehenden Folgengliedern ab. Daher ist für Beweise in diesem Zusammenhang die folgende modifizierte Version des Beweisverfahrens besser geeignet: 1. 2.

gezeigt, dass ^4(no) und A(no + 1) richtig sind. Induktionsvoraussetzung: Es seien A(n) und A(n + 1) richtig.

Induktionsanfang:

(Schluss von n und n + 1 auf n + 2): Man zeigt, dass A(n) und A(n + 1) die Richtigkeit von A(n + 2) folgt.

3. Induktionsschritt

Richtigkeit

von

Es wird

aus

der

9

Lucasfolge

1,3 Weitere

Eigenschaften von Fibonacci-

1.3.2

Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen

Das

und

Induktion gestattet es meist in seiner modifizierten Form, (oder für n 0 und n 1) verankert werden muss eine Vielzahl von Beziehungen zwischen Fibonaccizahlen zu beweisen. Viele dieser Formeln werden später bei der Herleitung weiterer Beziehungen nützlich sein.

Prinzip der vollständigen wo

für

n

=

1 und

n

2

=

-

=

=

-

Beweis durch vollständige Induktion nach m. Die Induktionsverankerung ist für m und m 2 gegeben durch

=

1

=

/n+1 fn+2

=

=

/n-l/l + /n/2 /n-l/2 + /n/3

/n-1 /n-1

=

=

1+

/n 1 /n-1 + fn, + 2/n (/n-1 + /n) + fn -

=

'

=

=

/n+1

+

/n,

nach der Rekursionsformel der Fibonaccifolge für beliebiges n G N* richtig ist. Als nächstes zeigen wir den Induktionsschritt (Schluss von m und m + 1 auf m + Nach Induktionsvoraussetzung gilt für ein m G N* und für m + 1:

was

fn+m /n+m+1

=

2).

fn lfm ~t~ fnfm+l fn lfm+l /n/m+2? —

=

—

durch Addition

ergibt

sich daraus

fn+m ~t~ /n+m+1

fn +m+2 /n-l(/m + fm+l) /n-l/m+2 + /n/m+3-

+

/n(/m+l + fm+2)

—

=

Die m.

Behauptung gilt

Setzt

man

in Satz 1.9

/2n

=

fn+m+2

also auch für

m

=

/n-l/n

n,

+

so

erhält

/n/n + 1

=

und damit für alle natürlichen Zahlen

man

/n(/n-l

+

/n + l)i

(1-2)

/„ ist also ein Teiler von /^n- Weiter sieht man aus (1.2), dass die Differenz der Quadrate zweier Fibonaccizahlen fn-\ und /ra+i wieder eine Fibonaccizahl ist, es gilt nämlich: /2n

=

/n(/n-l+/n + l)

=

(/n+1 /n-1) {fn- 1 + /n+1) ~

=

fn + l~fn-l

(1-3)

10

1

Grundlegende Eigenschaften von Fibonacci-

und

Lucasfolge

Außerdem ist die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen wieder eine Fibonaccizahl. Das sieht man ein, wenn man in Satz 1.9 m n + 1 setzt: =

/2n + l

=

=

(1-4)

/n+(„ + l) fn-lfn + 1 + fnfn+2 (fn+l fn)fn+l + fn(fn + fn+l) =

—

=

fn + l

fnfn + 1

+

fn

+

~

Der nächste Satz liefert eine interessante Fibonaccizahlen:

fnfn+1

=

fn + fn + l

Beziehung zwischen vier aufeinanderfolgenden

Satz 1.10

Beweis durch

vollständige Induktion

nach

=

=

fn+2fn+3

~

fn+lfn+4

=

n:

(-l)1

L /2/3-/i/4 = l-2-l-3 Für ein beliebiges n£f gelte nun die mithilfe der Rekursionsformel (1.1): n

obige Beziehung. Dann erhalten

wir für

n

+1

fn+2fn+3 fn+l{fn+2 + /n+3) /n+2/n+3 fn+lfn+2 fn + l fn+3 (fn+2 fn+l)fn+3 fn+lfn+2 fnfn+3 fn+lfn+2 (-l)(/n+l/n+2 fnfn+3) ~

=

—

~

—

=

—

—

—

=

—

=

(-l)"+\

wie behauptet, wobei wir im letzten Schritt die ben. 0

Induktionsvoraussetzung verwendet ha-

Wir zeigen nun die Identität von d'Ocagne (nach dem französischen Mathematiker Maurice d'Ocagne, 1862-1938). Sie ist eine Verallgemeinerung von Satz 1.10: Setzt man in Satz 1.11 nämlich m n + 2, so erhält man die Aussage von Satz 1.10. =

Satz 1.11

fmfn + l -

Im Spezialfall Beweis: Identität ist richtig.

m

=

fnfm + 1 n

=

(-1)™fm-n (™ > ")

ergibt sich fmfm+i

fmfm+i —

=

0

=

(—l)°/o und die

1.3 Weitere

Eigenschaften von Fibonacci-

Nun nehmen wir n

E

Ti

2:

/m/2 fmfz

—

m

>

n an

/l/m+l /2/m+l

und

fm /m+1 2/m /m+l

=

(-l)2/m-2

Für es

passende m und gelten also

—

Damit erhalten wir für

n

+ 1


J Damit lässt sich die

1

\

#2 \rtd-l J

folgende Verallgemeinerung der

Formeln

von

Binet

zeigen:

Satz 2.6 Für alle ganzen Zahlen

(a)

n

gilt

für Fibonaccivektoren

V5

(b)

für Lucasvektoren

Beweis: Verwendet man sowie die Formel von Binet (Satz 1.17 bzw. Satz 1.20), so liefert komponentenweises Vergleichen der linken und der rechten Seiten der Gleichungen die Behauptung.

Geometrisch bedeutet Satz 2.6, dass alle Fibonaci- und Lucasvektoren der Länge d in liegen, nämlich in der von den Vektoren $ und * aufgespannten Ebene.

einer Ebene

Für die Vektoren $ und * kann man nun wie üblich Skalarprodukte berechnen. Wir stellen die Ergebnisse im folgenden Lemma zusammen:

2 Fibonaccizahlen und Lineare

42

Algebra

Lemma 2.7

f Vh~fd $d"x für gerades d,

für ungerades d [ ld f -v^/d*^1 für gerades d, 1

Z^ *d

{

=

Beweis: (1.17) für

0 für 1 für

für

gerades d, ungerades

ungerades eZ

d

Wegen $* -1 gilt geometrische Folgen ergibt sich =

=

d-l

«.«

E*2l

.

=

2=0

(UT)

=

Mithilfe der Summenformel

E(-§) i=0

l-(-f)« l-(-|)

(1.6)

also 2

#d -

1+

(-l)d$d

\T/d-l

(-l)^-1^^-^^^ (-l)d$d] (fW"1^-!)«^1^ _|_ $

_

(2.10)

Vektors

/„. Für n 0 erhält man aus (2.10) den in Kapitel 1 bewiesenen Satz 1.5; dabei muss man für ungerades d ein wenig rechnen, um die Gleichheit einzusehen. n gesetzt und berücksichtigt man /_„ Wird in Satz 2.8 dagegen m (-l)n+1/n =

=

und l-n

=

(-1)"/

n,

so

erhält

=

die Summenformel

—

man

f

d_i

£(-l)7n-i/„-H {I *=o

Wählt

man

in Satz 2.8

n

=

1 und

(-l^+Vd/d-i 1 g [(-1)

=

m

=

—

t,

Wd-i so

+

fen]

für

gerades d,

für

ungerades

d

(2.11)

ergibt sich

f fdft-d ±^ 1,. Y/(-lYfi+ift-i={ I jr (Wt-d + «t+i) ~£ ,

.

für ...

mr

gerades d, ungerades ...

d

(2.12)

.

Entsprechende Spezialisierungen kann man natürlich auch auf die Sätze 2.9 und 2.10 anwenden; die Leserin/der Leser ist hiermit dazu eingeladen, selbst verschiedene Spezialfälle auszuprobieren, s. die Arbeitsaufträge 2.5.2.1 und 2.5.2.2. Vergleicht man Satz 2.8 mit Satz 2.9, so kann man das folgende Ergebnis festhalten:

C-C Aus von

=

{54'4 [ 5/„ fm •

+2

•

(-l)nZm_n

für für

gerades d, ungerades

d.

(2.10) ergeben sich interessante Formeln für Summe und Differenz zweier Fibonaccizahlen. Es gilt nämlich für alle m, n € Z

Quadrate

2.4 Fibonacci- und Lucasvektoren

45

Korollar 2.11

fn

Beweis:

Mit

fm-nfm+n,

fit

m

falls

m

ungerade, gerade

n -

-{lm-nlm+n n

=

+d

1

gilt

+

fm

4

•

-

(-1)71),

falls

m-n

—

d-l

fn

d-3

z2 f(n+l)+i-

/«+*

—

i=0

Ist

m

n

d wird

gerade, also d ungerade,

1

=

angewandt —

i=0

—

/« + /m

=

\[ldhn+d-l (-1)" \{(ld ld-2)hn+d-l 2

~

0 =

-

nln+m ~z\lm 0

(2.10) +2

"

auf beide Summen

(-l)n+1]

(-1)"]

4 •

~

=

wenn

ld-2hn+d-l

•

~

=

gilt,

so

4-(-l)n]

4 •

( 1) ],

—

wobei im letzten Schritt m n + d Für ungerades m n = d 1, d. h.

1 benutzt wurde.

=

—

fn + frn

gerades d, —

=

fdf2n+d-l

fd-2f2n+d-l ~

Damit ist alles

erhält

man

nach

—

=

fd-lf2n+d-l

Quadrate

zweier Fibonaccizahlen

ergibt

Korollar 2.12

Sei

=

fm-nfm+n-

gezeigt.

Für die Differenz der

Beweis:

(2.10) analog zu oben

m

=

n

+ d. Dann können wir schreiben d-l

f2 Jm

f2 Jn -

=

d-l

V _Vf2 f2 / Jn-\-l-\-i / J n+i' _j

^

sich für m, n € Z

2 Fibonaccizahlen und Lineare

46 Mithilfe

fm~fn Für

(2.10) ergibt

von

=

fdf2n+d+l

ungerades

m

n

~

=

sich für

gerades

fdf2n+d-l

m

n

d erhalten wir

d:

=

-

fd{f2n+d+l

=

Algebra

f2n+d-l)

=

fdf2n+d

=

fm-nfm+n-

~

entsprechend:

—

f2 Jm

f

{ldhn+d+l

Jn _

2

{ld(hn+d+l

(im-Jm+n folgt eine weitere verallgemeinert:

ldhn+d-1

+2

•

( 1)™) —

-

hn+d-l) + 4 ( 1)™) •

—

Aus Satz 2.8

( —l)n + 1

•

-

—

+4

•(-!)").

interessante

0

die Resultate

Beziehung,

aus

Abschnitt 1.3

Korollar 2.13

fn+k-2fn-m+k-l fk-lhn m+k—2

l:{lk~ihn-m+k-2 —

Beweis:

Sei zunächst k > 0. Es

2 -

•

(-l)n~~mlm-i)

m+k l ~t~

fn lfn

m —

—

—

—

—

ungerades

k

gilt fc-i

fn-rk 2fn

für

—

fc-3

^ ^ fn i=0

l+ifn —

m+i —

x

] fn+ifn

m+l i —

—

Auf die beiden Summen wenden wir jetzt Satz 2.8 an. Dabei ist bei der ersten Summe in Satz 2.8 d durch k, n durch n 1 und m durch n m zu ersetzen. Bei der zweiten Summe ist in Satz 2.8 k 2 anstelle von d und n m + 1 anstelle von m einzusetzen. Für gerades k (und damit gerades k 2) ergibt sich —

—

—

—

—

fkf2n-m+k-2

fk-lf2n-m+k-2

fk-2f2n-m+k-2 ~ —

als Wert der Differenz der beiden Summen. Ist k (und damit k 2) ungerade, so erhält —

man

als Wert der Differenz der beiden

2.4 Fibonacci- und Lucasvektoren

47

Summen

(lkhn-m+k-2 (_ 1)" l-m+1 lk-2hn-m+k-2 + ( —l)n'-m+l) ~

=

~

+ 2 ( l)nlm-i( l)m *) -(lk-lhn-m+k-2 5 —

-{lk-\hn-m+k-2 (lk-lln-m+k-2

( l)™+m/m_i)

2 ~

~

—

—

2

( l)"_mZm_i)

•

—

Für k < 0

in

=

folgt

das

(-l)"in- 0

Ergebnis

aus

dem Fall k

Wir beschließen diesen Abschnitt mit zwei aussagen deuten kann.

0 wegen

>

Identitäten,

die

/_„

man

=

(—l)n+1/„

und

auch als Teilbarkeits-

Satz 2.14 Für ganze Zahlen

m

:

und

n

gelten:

fn-2m + /n+2m-2 /2m-1

..."

'

' .

.

und

fn+2m-\

+

'n-1 —

/ri-2m-l

fn— 1 i

h man

—

beachte, dass die Ausdrücke auf der linken Seite der Gleichungen für festes

ganzzahlig und unabhängig von m Beweis:

Setzt

man

in Korollar 2.13 k

fn+m 2/n —

also

sind.

1

4"

=

m

für

fn lfn—m

gerades =

/re+m-2 + fn-m fm—\

(1.18). =

m

Schreibt

ungerade;

_

}2n-2 fn 1

/2(n-l) _

fn

/n+m-2

+

lm

1

fn-m

i

1.

—

-{lm-ll2n-2 0

man

2 ~

Gleichung.

( 1)" mlm-l)-

hn-2 + 2 ( l)r

5/n

die erste

—

—

—

sich

l

2m anstelle von m, so erhält dann ergibt sich aus Korollar 2.13

—

folgt

ergibt

fm—l/2n—2i

man

/n+m-2/71-1 + fn-lfn-m Daraus

so

—

—

—

nach Sei k

m,

2 Fibonaccizahlen und Lineare

48

Algebra

da die rechte Seite dieser Gleichung von m unabhängig ist, muss auch die linke Seite dieser Gleichung unabhängig von m sein. Wählt man speziell m 1, so ergibt sich —

fn l 4~ fn 1 -;—

—

'0

Iq

wegen

anstelle

=

2. Nun erhält

von m

man

schreibt. 0 unter der Bedingung 0 eine r, ^ Gleichung der Form rj_i q^i + n+i mit | r»+i | 0 gilt. Folglich kann r, ^ 0 aber nur für endlich viele i e N gelten und es gibt somit einen 0. Wegen rn ^ 0 ^ r\ ist n > 0. Man betrachte die kleinsten Index n mit rn+i =

.

=

Gleichungen

ro

=

q\rx + r2

r\

=

q2r2 +r3

(A0) (Ai)

rn-2

=

qn-\rn-i + rn

(An-2)

r„-i

=

qnrn

(An-i)

Aus (An_i) erhält man rn \ rn_i, aus (An-2) rn | rn-2 usw., bis schließlich vn | T\ und rn | rn folgen. Das bedeutet: rn ist ein gemeinsamer Teiler von a und b. Um zu beweisen, dass r„ tatsächlich der größte gemeinsame Teiler ist, zeigen wir, dass für einen beliebigen gemeinsamen Teiler d von a und 6 auch d | rn gilt; denn daraus folgt d < rn. Aus (Aq) schließt man d | r2, aus {A\) d | r3 usw., bis man zu d \ rn gelangt. 0

52

Eigenschaften von

3 Zahlentheoretische

Beispiel:

Wir berechnen den

ggT

von

Fibonacci- und

Lucasfolge

288 und 84 mithilfe des euklidischen

Algorith-

mus:

288

=

84

=

36

=

3 84 + 36 2 36 + 12 3 12 •

Daher ist

•

•

ggT(288, 84)

Der euklidische d

=

12.

Algorithmus erlaubt

=

eine

Darstellung von d := ggT(a, b)

in der Form

+ s-b

r-a

(3.1)

mit passenden ganzen Zahlen r und s; wir werden diese Darstellung gelegentlich benötigen. Man erhält die Darstellung (3.1), indem man die Gleichungen (Aq) bis (An-2) jeweils umstellt

(A'0) (A[)

r2=a- qiri

r3=r1-q2r2

(A'n_2) (A'n-i)

r„-i r„_3 (e):

=

—

=

Binomialkoemzienten

3.1.3

In diesem Abschnitt erinnern wir zienten.

an

Definition und

Eigenschaften

von

BinomialkoefR-

Definition 3.6 Seien n, k mit

(gelesen „n

aus

fn\ \k)

n-{n-l).[n k\

k+ -

1)

n\ _

1

fe!(n-fc)!

Für fc 0 ist ( 0 ) 1, für k > n oder k < 0 setzt man (£) =0. Dabei ist n! 1.n. durch n\ gegeben „n Fakultät") Für nichtnegative n und fc ist (\) stets eine nichtnegative ganze Zahl. =

(£)

> k nichtnegative ganze Zahlen. Der Binomialkoeffizient fc"oder „n über fe") ist definiert durch

n

=

'

'

(gelesen:

=

Bemerkung: Man kann die obige Definition auf reelle Zahlen sich auf den linken Teil der Gleichung (3.2) beschränkt.

n

erweitern,

wenn man

3,1 Zahlentheoretische

55

Grundlagen

Die folgenden Rechenregeln für BinomialkoefRzienten geben wir ohne Beweis an; in allen Fällen kann man den Beweis mithilfe der Definition durch direktes Nachrechnen oder mit vollständiger Induktion führen.

Satz 3.7 Für

nichtnegative ganze

(a) fc-(2)

=

n-(2l})

(T ) (2) + U-i) =

(fc)=(n-fe) (d) E2=o(S)

=

2"

ELo(-l)fc(fc)

Im

=

Ofürn>(

Lemma beweisen wir einige Teilbarkeitseigenschaften für Binomialkoeffiwir die zienten, später häufiger benötigen werden:

folgenden

Lemma 3.8

Sei p eine Primzahl.

(a)

Die Binomialkoeffizienten

(b)

Die Binomialkoeffizienten

(£) sind für fc )

=

1 sämtlich durch p teilbar.

1,... ,p —

sind für k

=

bar. 1 alle durch p teilbar.

2,.. .,p —

Beweis:

(a) Wegen (pk)

fc! p (p 1) (p k + Primzahl und fc 1 < < da fc!, p p ist. Es fc! + gilt (b) (p l)p- (p + 2 C+1) durch p teilbar, aber nicht fc!. =

•

-

1)

ist p ein Teiler

von

-

(f.) k\,

aber nicht

von

•

=

•

•

-

fc);

daher ist

(p+x)

fc! für 2 < fc < p •

1 -

Will man Potenzen einer Summe x + y berechnen, so wird dies durch den binomischen Lehrsatz erleichtert. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion mithilfe der Rechenregeln für Binomialkoeffizienten:

56

3 Zahlentheoretische

Satz 3.9

Eigenschaften

von

Fibonacci- und

Lucasfolge

(Binomischer Lehrsatz)

k=0

^

'

Der binomische Lehrsatz liefert eine interessante Formel. Vergleicht man die Koeffizienten von xl in der Binomialentwicklung von (1 + x)r+s und von (1 + x)r(l + x)s(= (1 + x)r+s) mit r,s,t G No, so ergibt sich r

+ t

s

Eu«/" V* 2=0

*7

(3.3)

'

—

Gruppen, Ringe, Körper

3.1.4

In diesem Abschnitt werden

einige wichtige Begriffe

aus

der

Algebra bereitgestellt.

Definition 3.10

Gruppe (G, o) ist eine nichtleere Menge G Verknüpfung o : G x G —> G: so dass gelten: Eine

(Gl) (G2)

Assoziativität:

o c

=

=

b

=

(inneren)

(b o c) für alle a,b,c G G; (neutralen Elements) e: G;

jedem

a

G

G

gibt

es

ein 6 G G mit

=

Man nennt eine

a o

mit einer

a o

Existenz eines inversen Elements: Zu ao6 e 6oa. =

(G4)

o

Existenz eines Einselements eoa a ooefür alle a G =

(G3)

[a b)

zusammen

Gruppe

b o a für alle

kommutativ oder abelsch,

wenn

zusätzlich

gilt:

a,b G G.

Verknüpfung in einer Gruppe wird häufig als Produkt, d. h. multiplikativ, geschrieben, also z. B. a b oder einfach ab. Bei kommutativen Gruppen stellt man die Verknüpfung meist additiv in der Form a + b dar. Das inverse Element eines Elements a einer Gruppe wird meist als a_1 bezeichnet; bei einer additiv geschriebenen kommutativen Gruppe schreibt man dafür a und bezeichnet das neutrale Element mit 0. Die

—

3,1 Zahlentheoretische

57

Grundlagen

Beispiele: Z, Q, E, C

•

mit der

gewöhnlichen Addition

als

Verknüpfung

sind abelsche

Grup-

pen.

Q \ {0}, E* E \ {0}, C* C \ {0} jeweils mit der gewöhnlichen Multiplikation als Verknüpfung sind abelsche Gruppen.

Q*

•

=

=

=

Definition 3.11 Eine Teilmenge H c G einer

Gruppe (G, o) heißt Untergruppe von G, wenn gelten:

(1) eeH; (2) a,be H => aobe H; a€H=> a"1 G H.

(3)

Beispiele: •

•

Z ist Untergruppe von Q, Q ist Untergruppe jeweils mit der Addition als Verknüpfung.

Die

Menge von

gruppe •

mZ der Z.

ganzzahligen

von

R,

E ist

Untergruppe

Vielfachen einer ganzen Zahl

m

von

C,

ist eine Unter-

Gruppe G besitzt {e} und G als triviale Untergruppen.

Jede

Definition 3.12 Eine Gruppe (G, o) heißt zyklisch, wenn sie von einem Element o erzeugt wird. Jedes Element von G lässt sich also als Potenz o™ bzw. a~n darstellen; dabei definiert man a2 o a,..., ak+1 ak o a, und a~k (ak)~1. Zyklische a o a, a3 sukzessive a2 Gruppen sind offensichtlich kommutativ. =

=

=

=

Beispiele: •

(Z, +)

ist eine

•

Für

G

Das

m

folgende

Z ist

zyklische Gruppe,

(mZ, +)

eine

die

von m

von

1 erzeugt wird.

erzeugte zyklische Untergruppe

Lemma klärt die Struktur der

Untergruppen

von

Z:

von

Z.

3 Zahlentheoretische

58

Eigenschaften

Fibonacci- und

von

Lucasfolge

Lemma 3.13

Jede

Untergruppe

Beweis: Sei H ^ {0}. Dann enthält H auch positive ganze Zahlen; wir nehmen an, dass m das kleinste positive Element von H ist. Mit m gehört auch jede Zahl mk (k £ Z) zu H, also gilt mZ c H. Sei nun umgekehrt a ein beliebiges Element aus H. Dividiert man a mit Rest durch m, so ergibt sich a qm + r mit q, r € Z und 0 < r < m. Wegen a € H und qm e H ist auch r a qm € H\ da nach Wahl von m alle positiven Elemente von H größer oder gleich m sind, folgt r 0. Somit ist a qm G mZ und weiter H C mZ. Insgesamt gilt also if mZ. =

=

—

=

=

=

Nun zwei weitere begegnen werden:

algebraische Strukturen,

deren Vertreter

uns

im nächsten Abschnitt

Definition 3.14 Ein Ring (R, +, •) ist eine nichtleere Menge R zusammen mit einer additiv geschriebenen inneren Verknüpfung + (Addition) und einer multiplikativ geschriebenen inneren Verknüpfung (Multiplikation), so dass folgende Bedingungen erfüllt sind: •

(1) (2)

Die

(3)

Es

i? ist

bezüglich + eine kommutative Gruppe. Multiplikation in R ist assoziativ und es der Multiplikation.

gelten

die

Distributivgesetze

(a b)-c +

Der

=

a- c

+ b-

c

und

Ring R heißt kommutativ,

Beispiel: Ring.

Z ist mit der

c

•

(a + b)

wenn

=

seine

c

existiert ein Einselement

•

a

+

c

•

b für alle

a,b,c&

bezüglich R.

Multiplikation kommutativ ist.

gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer

Definition 3.15

Ein kommutativer Ring (K, +, •) heißt Körper, plikation eine kommutative Gruppe ist.

Beispiel:

,

R und C sind

Körper.

wenn

K

\ {0} bezüglich der

Multi-

3.1 Zahlentheoretische

59

Grundlagen

Kongruenzen und Restklassen

3.1.5

In diesem Abschnitt werden wichtige Begriffe aus der elementaren Zahlentheorie eingeführt. Diese Ergebnisse werden insbesondere im Abschnitt 3.4 ständig benutzt.

Definition 3.16

Seien a, 6 und modulo m,

^

m

0 ganze Zahlen. Genau dann nennt man a kongruent (zu) b ein Teiler von a b ist und man schreibt a b (modm). =

wenn m

—

Beispiel: denn 5

47

2

=

| (47 2)

=

-

(mod5) 12 (mod5) 45; 5 | (47 12) 35; =

=

-

Aus der Definition

=

5

-13 (mod 5)

=

| (47 (-13)) -

-3 (mod5), 60; 5 | (47

=

—

(-3))

=

50.

ergeben sich einige einfache Rechenregeln für Kongruenzen:

Lemma 3.17

Seien a, b, o,, 6; (i

(a) (b) (c) (d)

(ii

=

a,

=

=

1,..., n) und

bi (mod m) (i bi (modm) (i

m

=

1,... n)

=

1,.. .n)

^ 0 ganze

Zahlen. Dann

gelten:

E"=1 YJ"=1 6^ (mod m) J\7=i ai Il?=i ^ (modm) =

=

(mod m) Für ganze Zahlen ^ 0 (i 1,... ,n) und m kgV(m-i,..., m^) äquivalent: o ö(modm,) für i 1,.. .k und a 6(modm) a

=

b (mod m)

ol

=

b1

=

=

=

=

sind

=

Beweis:

(a)

bi (modm) und a2 b2 (modm). Dann gilt m \ (a\—bi) und m \ (02—62) und weiter m \ [(a\ b\) + (a2 b2)], d.h. ci\ + a2 b\ + b2 (modm). Der Rest folgt durch vollständige Induktion. (b) Aus ai b\ (modm) und a2 b2 (modm) folgt m | [a\ b\) und m | (a2 b2) und weiter m | (0102 6102) und m | (bia2 bib2), also m | [(aio2 6102) + (6102 6162)] (0102—6162), d. h. es gilt ai02 6162 (modm); der Rest ergibt sich wieder mit vollständiger Induktion. (c) ist ein Spezialfall von (b). (d) Aus nii I (o 6) für i 1,..., k folgt, dass (a 6) ein gemeinsames Vielfaches der 6) nach Definition des kgV. Gilt umgekehrt m | (a 6), rrii ist, und daher gilt m | (a so ergibt sich wegen m, | m nach Lemma 3.2(e) sofort rrii | (a 6) für i = 1,..., k. (} Seien a\

=

=

=

—

—

=

=

—

—

=

—

—

—

—

=

=

—

—

—

—

—

Es ist 3 3 (mod 5), 6 1 (mod 5), 8 3 (mod 5). Dann gilt: 3+6+8 17 3 + 1 + 3(mod5) 7(mod5) ee 2(mod5); 3 6 8 144 3 1 -3(mod5) 9(mod5) 4(mod5); 64 1296 l4(mod5) l(mod5); 83 512 33 (mod5) 27(mod5)

Beispiele:

=

=

=

=

=

=

-

=

=

=

=

=

-

=

=

=

=

=

=

2(mod5).

3 Zahlentheoretische

60 Für

Eigenschaften von Fibonacci-

Lucasfolge

und

Kongruenzen gilt außerdem

(Kürzungsregel für Kongruenzen) Gilt ac bc (modm) und sind m und c teilerfremd, so folgt a b (modm). Für eine b (modp). a Primzahl p mit p \ c gilt insbesondere ac be (modp)

Lemma 3.18

=

=

=

Beweis: m

| (a b) —

—

Man hat m | (ac be) (a b)c. Da m und c teilerfremd Dies ist natürlich speziell für m p richtig. gelten. =

-

sind,

muss

somit

—

=

Der nächste Satz liefert häufig ein wichtiges Argument bei zahlentheoretischen Beweisen. Er hat seinen Namen nach dem französischen Mathematiker und Juristen Pierre de Fermat (1607(?)-1665), den man hauptsächlich mit seinem letzten Satz, dem großen Satz von Fermat, in Verbindung bringt. Dieser Satz besagt, dass die diophantische Gleichung xn + yn zn für kein k > 2 und natürliche Zahlen x, y und z erfüllbar ist. Dieser Satz konnte erst 1993 durch Andrew Wiles gezeigt werden. =

Beweis: Wegen Lemma 3.2(b) können wir uns auf nichtnegative a beschränken. Falls p kein Teiler von a ist, folgt die zweite Kongruenz mithilfe der Kürzungsregel aus der 0 offensichtlich richtig. Wir führen den Beweis ersten. Die erste Kongruenz ist für a durch vollständige Induktion nach a und nehmen an, die Kongruenz ist für ein a > 0 schon gezeigt. Mithilfe des binomischen Lehrsatzes 3.9 erhalten wir =

Die BinomialkoefHzienten Damit erhalten wir

(\) sind nach Lemma 3.8 für k

(a + l)p wobei die letzte

=

a° + aP

Kongruenz aufgrund

Wir wenden uns nun einer genaueren sitzt einige wichtige Eigenschaften:

=

aP + 1

=

a

+ 1

=

1,.. +p— 1 durch p teilbar. -

(modp),

der Induktionsannahme

Untersuchung

der

richtig

ist.

Kongruenzrelation

zu.

Sie be-

3.1 Zahlentheoretische

61

Grundlagen

Lemma 3.20 Die Relation kongruent modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf a, 6, c £ Z sind folgende drei Bedingungen erfüllt:

(R) Reflexivität: a a (modm) (S) Symmetrie: a b (modm) (T) Transitivität: a b (modm),

Z, d. h.

=

=

(modm) c (modm) =>• b

=

6

=

=

a

a

=

c

(modm)

Beweis:

(R): Wegen m | 0 für beliebige ganze Zahlen m / 0 gilt m | (a a), also a a (modm). (S): Falls m | n gilt, so ist natürlich auch m | n erfüllt. Daher folgt aus m \ (a b) auch m | (b a), was die Behauptung liefert. (T): Aus a 6(modm) und b c(modm) ergibt sich m | (a 6) und m \ (b c). Dann ist m aber auch ein Teiler von (a—b) + (b—c) c (modm). a—c, und es folgt a =

—

—

—

—

=

=

—

Dies liefert die Motivation

zu

folgender

—

=

=

Definition:

Definition 3.21 Seien k und m ganze Zahlen. Unter der Restklasse modulo rn von fc, bezeichnet k, versteht man den bei Division von k durch m erhaltenen Rest. Da sich k eindeutig in der Form k Im + r mit / £ Z, r £ {0,m 1} schreiben lässt, sieht man, dass die Anzahl der Restklassen modulo m genau m ist. Offenbar ist also jede ganze Zahl modulo m £ N zu einer der Zahlen 1,..., m 1 kongruent. Die Menge {0,1,..., m 1} nennt man das kleinste nichtnegative Restsystem modulo m. Allgemeiner heißt jede Menge von m paarweise modulo m inkongruenten ganzen Zahlen ein vollständiges Restsystem modulo m. Gelegentlich verwendet man noch ein weiteres spezielles vollständiges Restsystem, das sogenannte absolut kleinste Restsystem modulo m. Es besteht aus denjenigen ganzen Zahlen r mit mit

=

—

—

—

—\m,

Beweis durch

vollständige Induktion nach m. fn-i fn-i 0, und es gilt trivialerweise fn \ 0. Angenommen, die Behauptung ist bereits für ein m G N gezeigt.

m

=

1

:

=

—

Wir den Term

/,...

/(m+1)„_1-/™Jti1

=

fmn+(n-\) fn-\

f^-^fn-i + fmnfn'i dabei wurde Satz

=

Für

m +1

untersuchen

(/mn-l/n-1 + fmnfn)-fn-l

1.9 verwendet. Nach Induktionsvorausf2 teilbar. Außerdem ist fmn nach Satz 3.25 durch /„ teilbar, so dass alle beide Summanden durch fn teilbar sind. Somit teilt fn auch die Summe und die Behauptung ist gezeigt. 1

setzung ist der —

~

erste Summand der letzten Summe durch

3.2

71

Teilbarkeitsaussagen

Lemma 3.36

Für

m

> 1

und

n

> 2 ist

fmn

f™+l

-

/JJLj

+

durch

fn

teilbar.

Beweis durch

vollständige Induktion nach m. /„ fn+i fn-i fn- (fn-i + fn) + fn-i 0 ist natürlich durch /3 teilbar. Sei die Behauptung bereits für eine natürliche Zahl m gezeigt, d. h. es gilt insbesondere fmn fn\i f™-! (mod fn). Wir wenden Satz 1.9 auf den Ausdruck für m + 1 an und erhalten + fmn-if„ + fmnfn+1 /(m+1)n /™£ +

m

=

1

:

=

-

=

-

=

—

=

fm+l Jn 1

-

f _l_ fm T I\Jn+1 ljn

f Jmn

fm

\f

Jn-l/Jn+1 -

_l_ '

+

-

=

fn+1 Jn 1

fn-l) 0 teilbar ist.

-

f f Jnjmn

.

l

T

fm

(c

\

f

Jn—l\Jn l

Jn+1)

—

fmn-1 fn-l nach dem fnfmn-1 fnfn-l fn{fmn-l (mod fn)

vorhergehenden Lemma durch fn Aus den bisherigen Ergebnissen wissen wir, dass /„ insbesondere die Fibonaccizahl fnp, p Primzahl, teilt. Betrachtet man die eindeutige Primfaktorzerlegung von /„ und von fnp, so treten in der Zerlegung von fnp natürlich sämtliche Primzahlen aus der Zerlegung von /„ und möglicherweise noch weitere Primzahlen, die teilerfremd zu /„ sind, auf. Bei den Primzahlen q, die sowohl /„ als auch fnp teilen, könnte fnp durch eine höhere Potenz von q teilbar sein als /„. Man macht jedoch die erstaunliche Entdeckung, dass die einzige Primzahl, für die dies möglich ist, die Primzahl p ist: —

—

=

~

~

da —

—

=

.

—

—

~

Satz 3.37 Seien p und q Primzahlen. Darm

(a)

Ist q

(b)

Teilt p

(c)

Ist

(d) -

^ p ein

Teiler

von

/„,

gelten:

so

ist

^ 2 die Fibonaccizahl /„,

nicht durch q teilbar. so

ist

y£ durch p, aber nicht durch p2 teilbar

^p- durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. ist durch 4, aber nicht durch Ist fn durch 2, aber nicht durch 4 teilbar, ^ 8 teilbar. /„ durch 4 teilbar,

so

ist

so

I

Beweis: Nach dem vorhergehenden Lemma ist fnp f„+i + bar. Andererseits ist fnp durch /„ teilbar und es gilt fp+1 Ef=o fn-jr+r U fn-jr+r ; daher ist —

=

EU

-

T^-EtiC durch

ff

teilbar. Insbesondere

1=0

=

durch

(/„+i -

fn

teil-

fn-i)

•

(3-9)

gilt

^sEti^M/.). Jn

f„-i

(3-io)

3 Zahlentheoretische

72

Eigenschaften von

Lucasfolge

Fibonacci- und

/n_i (mod /„) folgt daraus ^ pfn+{ (mod /„), daher ist jeder gef meinsame Teiler von y£ und /„ auch gemeinsamer Teiler von p und /„ und umgekehrt; es gilt also ggT(^, /„) ggT(p, /„). Sei nun q ^ p ein Primfaktor von /„. Da ggT(p, /„) nur die Werte 1 oder p annimmt, ist ggT(p, fn) und damit auch ggT(y£, /„) nicht durch q teilbar. Damit ist (a) gezeigt. Nun sei p ^ 2 ein Primfaktor von fn. Da der Term (3.9) durch f2 teilbar ist, gilt

Wegen /n+i

=

=

=

insbesondere

Modulo

p2

können wir

fn-x fn+i

=

=

und

fn-\

sip + ri s2p + r2

fn+\

in

Form schreiben:

folgender

(modp2), (mod p2),

wobei 0 < n, r2, si,s2 < p. Wegen p \ fn fn+1 fn-\ ergibt sich rx r2 r 0; letzteres gilt wegen der Teilerfremdheit von fn-i und /„ bzw. /„ und fn+\. Somit können wir schreiben =

=

=

-

ff-

=

^(slP + r)\s2p + r)*"1"* (mod p2).

Entwickelt man alle Terme auf der rechten Seite mithilfe des binomischen ergibt sich für den fc-ten Term

Satzes,

so

(sip + r)k(s2p + r)p-1~k =

=

Q

-

-

Addiert

man

\ k) ~

Slprk-\p-l-k s2prp-k-2rk + r*^1"* kpsirp~2 + (p 1 k)ps2rp~2 + rp~l (mod p2).

die Terme für k

=

-

1

0,1,... ,p

auf,

so

ergibt sich

—

P(P 1) P(P 1) 2n fnp 3-psirp p-2 j p_2 £-\-ps2rp +prpp-l I(modpz) £ £ prp~l (modp2).

-fJn

-

,

'

,

-

_

(3.11)

=

Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt rp_1 1 (mod p), also ist und man erhält =p (modp2); damit ist (b) gezeigt. Nun sei p 2. Dann wird (3.11) zu =

prp_1

=

p

(mod p2)

jr^

=

f-- =2(si +s2+r) (mod 4).

(3.12)

Jn

Modulo 4 ergibt sich die Fibonaccifolge zu 0, 1, 1, 2, 3, und fn+i beide kongruent 1 modulo 4; es ist daher s\ 2 (mod 4), was (c) beweist. zu fy^ =

1, 0, 1, 1, ...; daher sind /„_i s2 0, r 1 und (3.12) wird

=

=

=

3.2

73

Teilbarkeitsaussagen

3 (mod 4), Ist /„ durch 2, aber nicht durch 4 teilbar, so ist fn-i = 1 (mod 4) und fn+i also si 0, S2 1, r 1 und (3.12) wird zu y21- 0 (mod 4); damit ist auch (d) gezeigt. =

0

=

=

=

—

Der soeben bewiesene Satz ist ein wichtiger Schritt bei der Herleitung des Ergebnisses über primitive Primteiler von Fibonaccizahlen. Dieses Thema wollen wir jedoch nicht weiter verfolgen, sondern wir wenden uns einer Kongruenzaussage für den Quotienten fy^ zu und schicken ein Lemma voraus.

Beweis durch vollständige Induktion nach k. Für k 1 gilt offensichtlich fn-i fn-i (mod/„). Sei die Behauptung also bereits für ein k G N gezeigt. Wir untersuchen erhalten mit Satz 1.9 und der Induktionsvoraussetzung =

=

/(fc+l)n-l was

die

Damit zu

=

fkn + (n-\)

=

fkn-lfn-1 + fknfn

=

fn-lfn-1

=

/(fc+i)„-i

und

fn-1 (mod/n),

Behauptung zeigt.

gelingt es,

die

zeigen.

Beweis:

Wir

zeigen zunächst die Kongruenz

^ In

folgende interessante Teilbarkeitsaussage über den Quotienten

=

fc-/*Zi(mod/„)

(3.13)

= 1 1 ist die Behauptung wegen durch vollständige Induktion nach k. Für k schon für k N erhalten die ein nun G sicherlich richtig. Sei bewiesen; dann Behauptung =

3 Zahlentheoretische

74

Eigenschaften

von

Fibonacci- und

Lucasfolge

wir für k + 1 wieder mit Satz 1.9

/(fc+l)n fn

1 _

fn r

—

In

\fkn—lfn 4~ fknfn+1)

{fkn lfn

fknfn

4~

fknfn \) —

—

fkn

1

4~

fkn ~t~

— —

~~7

In

fn

1—

Wenden wir nun das vorige Lemma und die Induktionsvoraussetzung auf den letzten Term an und beachten, dass fkn nach Satz 3.25 von fn geteilt wird, so ergibt sich

damit ist (3.13) gezeigt. Mit (3.13) und Satz 3.4(c),

ggT(/„,

(d)

f-f-) In

erhalten wir für den =

ggT(/n, k fnz\)

dabei haben wir im letzten Schritt die Tatsache sind, s. Satz 3.26. 0

3.2.3

Teilbarkeitsaussagen für

ggT: =

ggT(/n, k) | jfc;

benutzt, dass /„ und /„_i teilerfremd

Lucaszahlen

Im

Folgenden sollen die Ergebnisse aus Abschnitt 3.2.1 auf Lucaszahlen übertragen werden, soweit dies möglich ist. Wir haben bereits gesehen (Satz 3.26), dass aufeinanderfolgende Lucaszahlen teilerfremd sind. Jedoch kann man für Lucaszahlen keine volle Entsprechung zu Satz 3.27 zeigen, sondern man kann nur die Periodizität der Lucasfolge modulo m „retten". Ersetzt man nämlich im Beweis von Satz 3.27 die Fibonaccizahlen durch Lucaszahlen, so kann man genau wie dort schließen, dass es unter den ersten m2 —1 Paaren von Restklassen (Ii, Zj+i) ein Paar (ls, ls+i) mit (Ts, ls+i) (lo,h) (2,1) gibt. Wir halten fest: =

=

Lemma 3.40 natürliche Zahl m > 2 existiert ein s 6 N, 1 < s < m, mit ls h und ls+\ l\ 1 (modm). Die Lucasfolge modulo m ist daher periodisch; die natürliche Zahl s wird die Periodenlänge der Lucasfolge modulo m genannt. Für 2

jede

(modm)

=

=

=

=

Die Teilbarkeitsaussage von Satz 3.27 lässt sich jedoch nicht auf Lucaszahlen übertragen: Hier gibt es im Gegenteil sogar Zahlen, die nie als Teiler von Lucaszahlen auftreten können. Beispielsweise gilt:

3.2

75

Teilbarkeitsaussagen

Lemma 3.41 Keine Lucaszahl ln ist durch 8 teilbar.

Beweis: Wir betrachten die Lucasfolge modulo 8. Wäre ein ln durch 8 teilbar, so hätten wir für dieses n die Kongruenz ln 0 (mod 8). Nun ist aber Zo = 2, Ii = 1, h 3, J3 4, Z4 7, l5 11 ee 3 (mod 8), Z6 18 2 (mod 8), Z7 29 ee 5 (mod 8), Z8 76 ee 4 (mod 8), Zi0 123 ee 3 (mod 8), Zu 47 ee 7 (mod 8), lg 199 ee 322 ee 2 (mod 8), Zi3 521 ee 1 (mod 8), Zi4 843 ee 3 (mod 8),...; 7 (mod 8), Z12 wegen der Rekursion der Lucasfolge und wegen Zo ee Z12 ee 2 (mod 8),Zi ee Z13 ee 1 (mod 8) wiederholen sich die Reste modulo 8 von Z12 an periodisch immer wieder, d.h. die Lucasfolge modulo 8 hat die Periodenlänge 12. Dabei tritt offensichtlich keine Null auf. Somit kann kein Z„ durch 8 teilbar sein. 0 =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Andererseits

folgen aus der Periodizität barkeitsaussagen (vgl. Korollar 3.32):

der

=

Lucasfolge

modulo

m

einige wichtige

Teil-

Lemma 3.42 Eine Lucaszahl

ln ist genau dann

(a) gerade, wenn n durch 3 teilbar ist, (b) durch 3 teilbar, wenn n 2 oder 6 (mod 8) gilt =

Beweis:

(a)

Wir betrachten die

h

Lucasfolge =

modulo 2:

1,1,0,1, 1,0,...

Offensichtlich fallen Lucas- und Fibonaccifolge modulo 2 0 (mod2). Dies zeigt die Behauptung.

(b)

Die

zusammen

und

es

ist

Z3„

ee

Lucasfolge modulo 3 lautet h

=

1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,...,

Lucasfolge hat modulo 3 die Periodenlänge 8. Wegen Z2 0 (mod 3) und Iq ee 0 (mod 3) ist Z„ dann für jedes n mit n ee 2 (mod 8) und jedes n mit n ee 6 (mod 8) durch 3 teilbar.

d. h. die

=

Als nächstes untersuchen wir die Teilbarkeit von Lucaszahlen untereinander. Hier können wir nur eine etwas schwächere Aussage als Satz 3.25 zeigen:

Eigenschaften von

3 Zahlentheoretische

76

Fibonacci- und

Lucasfolge

Satz 3.43 Seien rn, n natürliche Zahlen mit

m

gilt lm | in-

Beweis: mit

Nach

passendem

so, dass der L,

n

ungerade

G

No-

;ann

IS

ist n k m mit ungeradem k G N; sei k 2r + 1 Wir führen den Beweis wieder durch vollständige Induktion,

Voraussetzung

r

=

—

diesmal nach r. Für r 0, also n m, ist die Mit Satz 1.16 erhalten wir =

\

=

In

trivial. Im Fall

Behauptung

^3m

1 ist k

=

=

3 und

n

=

3m.

( 1) ^mi

^2m^m

hm-rm

r

—

die rechte Seite ist also durch lm teilbar und es gilt lm | /„. Für ein r G No sei bereits Z(2r—3)m | /„ und l(2r-i)m I In gezeigt. Aus Satz 1.16 sich

ergibt

i(2r+l)m '(2r-l)m+2m l(2r-l)mhm (—l)2mZ(2r-3)m ~

=

~

Nach Induktionsvoraussetzung gilt lm \ l(2r-3)m und lm | l(2r-i)m, so dass die rechte Seite der Gleichung durch lm geteilt wird. Daher ist lm auch ein Teiler von l(2r+i)m- C" Für gerade Quotienten ^ gilt die Teilbarkeitsaussage von Satz 3.43 im nicht. Allgemeinen Beispielsweise ist I2 3 und U 7; es gilt zwar 2 | 4, aber I2 \ h\ oder 5 | 10, aber l5 = 11 \l10 = 123.

Bemerkung:

=

=

Den ggT zweier Lucaszahlen kann man zwar explizit cher Form wie in Satz 3.29 für Fibonaccizahlen.

angeben, jedoch

nicht in

so

einfa-

Satz 3.44

Seien

m

und

n

natürliche

Zahlen,

sei d

C ld, ggT(4

:=

2,

*j falls ^

1

sonst.

falls

ggT(m,ra). und

Dann

gilt:

^ ungerade,

oder j

gerade

und 3 | d,

Dem Beweis von Satz 3.44 schicken wir ein Lemma voraus, das die wesentliche Beweisidee enthält und beim Beweis des Satzes eine wichtige Rolle spielen wird.

3.2

77

Teilbarkeitsaussagen

Lemma 3.45

Seien

m

und

natürliche Zahlen und sei

n

n

ein Teiler

von m.

Dann

gilt

^ ungerade, ( ln,2, falls ggT(lm,ln)=\ falls gerade und 3 I d,

1

—

1

sonst.

Mit Satz 1.16 und Satz 3.4(d) gilt ggT(Zm, /„) ggT(/m—n^n ( 1) Im—2n,ln) ggT(/m_2„, ln)- Wiederholtes Anwenden von Satz 1.16 und Satz 3.4(d) liefert schließlich nach k Schritten ggT(Zm,/n) ggT(ZTO_2fcn, ln), sofern m 2kn > 0. Ist m (2r+l)n ungerade, so erhalten wir nach r Schritten ggT(im, ln) ggT(Zm_2rn, ln) Beweis:

—

=

=

-

=

=

=

ggT(/n,^n)

Für

gerades

ggT(Zo, ln) Dies

ln-

=

m

=

=

2rn

ggT(2, ln);

sich nach r Schritten ggT(Zm,/n) ggT(Zm_2rn,/„) nach Lemma 3.42(a) ist /„ genau dann gerade, wenn 3 | n gilt.

ergibt

=

=

zeigt die Behauptung.

Beweis von Satz 3.44: Wir betrachten nochmals den euklidischen und n mit d ggT(m, n):

m

Algorithmus für

=

m

n

=

=

q\n + r2 0): ggT(/m,/n) ggT(Zm_2(tn, ln)- Ist q\ im euklidischen Algorithmus gerade, so ergibt sich im letzten Schritt ggT(/m,Z„) ggT(/r2, ln), ist q\ ungerade, so erhalten wir ggT(/m, /„) ggT(Zn_r2, ln). Als nächstes berechnet man den ggT von lT2 und ln, usw. Man beachte, dass ggT(r2,n) ggT(n r2,n) nach Satz 3.4(d); dies stellt sicher, dass sich der ggT der Indizes in diesem und in jedem weiteren Schritt nicht verändert, sondern stets gleich d := ggT(m, n) bleibt. Für die zugehörigen Lucaszahlen bedeutet dies nach dem vorigen Lemma, dass am Schluss entweder ggT(ZTO, l„) ggT(Zd, Id) = ld oder ggT(/TO, /„) ggT(Z0, ld) ggT(2, ld) stehen bleibt. Unter der Voraussetzung, dass beide Quotienten ^ und ^ ungerade sind, gilt Id \ lm und Id \ ln nach Satz 3.43, d.h. gerade, so gilt Id \ lm nach ggT(/m,Z„) ld- Ist einer der beiden Quotienten, z.B. dem Lemma, so dass sich in diesem Fall ggT(/m, /„) ggT(2, ld) ergibt. Damit ist Satz =

=

=

—

=

=

=

—

=

=

=

=

=

3.44

gezeigt. 0

Nun können wir auch die

Umkehrung von

Satz 3.43 beweisen:

3 Zahlentheoretische

78

Eigenschaften von Fibonacci-

und

Lucasfolge

Satz 3.46 Für natürliche Zahlen n > 1 der Quotient ?r ist ungerade

u

Wegen ln | lm gilt ggT(ZTO,Z„)

Beweis:

ln h 3 ist, muss ggT(/m,/„) und ^ beide ungerade sind. >

=

=

Abschließend sei noch eine spezielle erwähnt, die später benötigt wird:

ln. Da ln wegen n > 1 eine Lucaszahl mit ZggT(m,„) sein> was nur möglich ist, wenn ^ =

Teilbarkeitsaussage für Fibonacci- und Lucaszahlen

ggT(/n, ln) ggT(/n, /„_! + fn+l) ggT(/„, 2/„_i); da /„_i und /„ nach Satz 3.26 teilerfremd sind, der ggT für gerades /„, also für 3 | n, gleich 2, und für ungerades /„ gleich 1. Aus Satz 1.26 erhalten wir

Beweis:

ggT(/n, 2/„_i /„) +

ist

=

=

=

=

Wir verzichten auf eine weitere Diskussion von Teilbarkeitsaussagen für Fibonacci- und Lucaszahlen. Dieses Thema können s interessierte Leser/innen jedoch noch bei den Aufgaben vertiefen, vgl. den Arbeitsauftrag 3.6.2.1.

Die

3.3

Fibonaccifolge modulo m

In diesem Abschnitt wird die Fibonaccifolge modulo m untersucht. Zunächst formulieren wir einige allgemeine Aussagen und betrachten dann den Fall genauer, wo m eine Primzahl ist.

Die

3.3.1

Periodenlänge

der

Fibonaccifolge

modulo

m

Satz 3.27 hat gezeigt, dass sich für jedes m > 2 unter den ersten m2 1 Fibonaccizahlen findet, die durch m teilbar ist. Im Beweis wurde die Folge (3.8)

eine

—

(/o, fl), (fl, /z), (/2, /3), betrachtet und mit 1
t.

Bemerkung:

=

=

= =

Für zusammengesetztes m kann man also einige Aussagen über die Fibonaccifolge modulo m treffen und man sieht, dass alles auf die Falls hinausläuft, wo m eine Primzahl ist.

3.3.2

Die

Fibonaccifolge

modulo p, p

Periodenlänge der Untersuchung des

prim

Um die Fibonaccifolge modulo p für Primzahlen p untersuchen zu können, benötigen wir einen Hilfssatz. Dazu betrachten wir spezielle Moduli m und wählen das absolut kleinste Restsystem als Repräsentantensystem modulo m. Wir nehmen an, m € N ist ungerade und teilerfremd zu 5. Nun ordnen wir den Zahlen

5, 2 5, 3 5,...,

'

^

5

3.3 Die

83

Fibonaccifolge modulo m

ihre absolut kleinsten Reste modulo zeichen die Reste haben.

m zu

Beispielsweise erhalten

17 die Reste 5, —7

wir für

m

=

und interessieren

Vorzeichenfolge +,-,-,+,+,-,+,+• Es

dafür, welche

uns nur

Vor-

2,3,8, —4,1,6 und somit die —

zeigt sich, dass die Vorzeichenverteilung

nur von

der Endziffer

von m

im Dezimal-

system abhängt: Lemma 3.53

Gilt m 10t + r mit r € {1,3, 7,9}, so hängt die Vorzeichenverteilung in der Folge der absolut kleinsten Reste modulo m, die zur Folge 5,2 5,3 5,..., 5 gehört, nur von r ab und es gilt: =

•

•

•

Vorzeichenfolge t+ t+ t+ !+

tt-

t+ t+

t

t+ t+

(t + l) -

(t+1)- (t+l) (t + l)~ (t + l)

(t+l) + (t+l)

t

(t l) -

+

Beweis: Wir müssen beachten, dass die zur Folge 5,2-5,3-5,..., 5 gehörenden Reste von einer Zahl zur nächsten stets um 5 wachsen. 1 : Für ein k € N ist 5k < r ) d. h. jede dieser Zahlen ist absolut kleinster Rest modulo m. Wir erhalten also t positive Reste 5,..., 5t. Da 5(t + 1) > mZ , ist der nächste Rest negativ und gleich 5t 4. Die nächsten Reste erhalten wir, indem wir dazu sukzessive 5 addieren; wir bekommen t 1 weitere negative Reste, der letzte davon ist —1. Daher ist 4 der nächste Rest, dem t 1 weitere positive Reste folgen, der letzte davon ist 5t 1. Danach erhalten wir eine Folge von t negativen Resten, die bei —5t + 3 beginnen und bei —2 aufhören. Schließlich erhalten wir noch t positive Reste von 3 bis 5t 2. 3 : Für k < t ist wieder 5k < r = 5* + 1, sodass jede dieser t Zahlen absolut kleinster Rest modulo m ist. Weiter gilt 5(t + 1) > der nächste Rest ist also negativ und gleich 5t + 2; fortgesetztes Addieren von 5 liefert t 1 weitere negative Reste, der letzte davon ist —3. Der folgende Rest ist 2, und dann gibt es t 1 weitere positive Reste bis 5t 3. Als nächsten Rest erhalten wir 5t 1, und nun gibt es t weitere negative Reste, der letzte davon ist —1. Danach ergibt sich 4 als Rest und es folgen noch t 1 positive Reste bis 5t 1. 7 : Auch hier gilt 5k < r 5t + 3 für k < t und es ergeben sich insgesamt t positive Reste. Dann geht es weiter mit dem negativen Rest —5t 2, und es folgen t weitere negative Reste, der letzte davon ist —2. Es folgt der positive Rest 3 und noch t weitere positive Reste bis 5t + 3; danach kommt der negative Rest —5t + 1, gefolgt von t 1 negativen Resten. Der folgende Rest ist ist 1; danach kommen t weitere positive Reste bis 5t + 1. =

—

—

—

—

—

^f1

—

=

=

—

—

—

—

—

—

=

^f1

—

—

=

=

—

—

3 Zahlentheoretische

84

Eigenschaften von Fibonacci-

und

Lucasfolge

5£ + 4 für t < 4, also ergeben sich insIn diesem Fall gilt 5k < Weiter der Rest 5t 4, sodass man insgesamt Reste. negative positive folgt gesamt t + 1 negative Reste bekommt, der letzte davon ist -4. Danach kommt der Rest 1 und weitere t positive Reste bis 5t + 1. Der nächste Rest ist negativ und gleich —5t 3, gefolgt von t weiteren negativen Resten bis —3. Als nächsten Rest bekommt man 2 und die t weiteren Reste der Form 5k + 2 mit k auf Daher die für gelten, Periodenlänge gerade sein. —

—

=

-

=

-

—

=

=

=

=

3.3.3

Die

Verteilung der Fibonaccizahlen

modulo

m

Wie wir schon wissen, ist die Fibonaccifolge modulo m periodisch und es treten darin die Zahlen 0,1,..., m 1 in einer sich periodisch wiederholenden Anordnung auf. Nun kann man die Frage stellen, ob in dieser Folge jeder dieser Reste gleich oft vorkommt. Diese Eigenschaft hat einen besonderen Namen: —

Definition 3.60

{an}

eine Folge ganzer Zahlen. Für k £ N sei A(k, j, m) die Anzahl der Folgenmit an < k und an j (modra). Die Folge {an} heißt uniform verteilt modulo m, m > 2, wenn für alle j £ {0,1,..., m 1} gilt

Sei

glieder an

=

—

lim

fc->oo

A(k, j,m)

-

k

Wir untersuchen diese

Frage zunächst Periodenlänge ergibt sich:

=

—.

m

für Primzahlen. Aus den

Betrachtungen

über die

Satz 3.61 Die

Fibonaccifolge {/„ modulop]

ist

In den Beispielen nach Satz 3.48 hatten wir für die Fibonaccifolge modulo 20 gezeigt und die ersten Folgenglieder angegeben: 0, 1, 1, 2, 3, 0 , 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, Durch einfaches Zählen sieht man, dass jede der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 unter den 20 ersten Folgengliedern genau viermal auftritt; daher gilt:

Beweis:

5 bereits

A(5)

=

...

lim

\ -A(k,j,5) \

fc->oo K

=

5

für

j

=

0,1, 2,3,4.

0

Die Primzahl 5 ist ein Ausnahmefall. Für alle anderen Primzahlen ist die nicht uniform verteilt modulo p:

Fibonaccifolge

3 Zahlentheoretische

90

Eigenschaften von Fibonacci-

und

Lucasfolge

Satz 3.62 Sei p

^

5 eine Primzahl. Dann ist

Beweis 2 : Die Fibonaccifolge modulo 2 lautet 0, 1, 1, 0, 1, ...; auf eine Null folgen also d. h. zwei Einsen und es gilt lim^oo A(k, 0, 2) 4 und lirm.-,.«, A(k, 1,2) ist 2 nicht uniform verteilt. modulo {/„} Nun sei p eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl. Dann teilt p nach Satz 3.56 die Fibonaccizahl fp nicht, aber es existiert eine natürliche Zahl t ^ p mit ft 0 (mod p); t sei die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft. Wegen Satz 3.49 gilt dann fit == 0 (mod p) für alle / €E N. Andererseits gibt es aber keine natürliche Zahl q mit It < q < (l + l)t und fq 0 (mod p), da es sonst ein r mit 0 < r < t und /r 0 (mod p) gäbe im Widerspruch zur Minimalität von t. Dies sieht man folgendermaßen ein: Für ein solches q wäre dann nach Satz 3.29 ggT(/;t, fq) ® (m°dj?), und mit q) < It + r (0 < r < t) wäre ggT(lt, q) ggT(lt, It + r) q r) r < t. Wegen der Minimalität von t gilt A(k, 0,p) J- Sei k \t + r mit 0 < r < t. Dann J_ und weiter 4 also 4 A(/c,0,p) lim^oo 4 A(k,0,p) gilt A(k,0,p) 4 ^ p) für jede Primzahl p ^ 2,5. Also ist die Fibonaccifolge modulo p nicht uniform verteilt. 0

p

\

—

£

=

=

•

§,

=

=

=

=

=

=

±f£,

[f

=

=

=

•

/ggT(;t ggT(/f, |_f

=

=

=

=

.

_

Ergebnisse wurden von Lawrence Kuipers und Jau-Shyong Shiue in [KSh72] gezeigt. Die beiden Autoren benutzten ein Resultat von I.Niven: Ist eine Zahlenfolge für eine zusammengesetzte Zahl m uniform verteilt, so ist sie auch für jeden positiven Teiler von m uniform verteilt. Daraus ergibt sich mithilfe des vorstehenden Satzes unmittelbar, dass die Fibonaccifolge für zusammengesetzte Zahlen m > 2 und m ^ 5k nicht Diese

uniform verteilt modulo m sein kann. Andererseits legt Satz 3.61 die folgende Vermutung nahe: Die Fibonaccifolge ist modulo 5 uniform verteilt. Diese Vermutung konnte von Harald Niederreiter in [N72] bestätigt werden; der Beweis ist eine sehr trickreiche Induktion nach dem Exponenten k. Seine Argumentation stützt sich dabei auf die von D. D. Wall in [W60] gezeigte stärkere 5k besagt, dass die Periodenlänge A(5fe) 4 5k Version von Satz 3.52, die für m beträgt. Außerdem benutzt er die Darstellung einer Fibonaccizahl durch eine Reihe aus Lemma 3.57 sowie die Formel (3.3) für Binomialkoeffizienten. =

3.3.4

Summenformeln modulo

=

•

m

In Kapitel 1 hatten wir Summenformeln für Fibonaccizahlen hergeleitet. Hier betrachten wir nun Summen von Fibonaccizahlen modulo m, bei denen die Summation genau über eine Periode genommen wird. Wegen der Periodizität der Fibonaccifolge gilt A(m)

fc+A(m)

i=0

i=k+l

(3.17) liegt also Translationsinvarianz vor. Dabei darf k wegen der Erkenntnisse aus Abschnitt 1.6 auch negativ sein. Mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel 1 können wir die es

91

3.4 Fibonaccizahlen und Binomialkoeffizienten

folgenden Summenformeln modulo m zeigen: Satz 3.63 Für meN,

m

2 ge

>

(c)

E^/i^OCmodm) ^//EOfmodm; E-i^/f 0(modm)

(d)

E-=7'(-i)i+1/ durch p teilbar. Wir suchen also ein 11 G N mit Ii r(l) < n und (Ii + 1) r(l) > n. Mithilfe der Gaußklammer können wir Ii Nun bestimmen wir entsprechend r(2) und erhalten elegant aufschreiben: Ii 12 L J- Dabei müssen wir beachten, dass alle durch p2 teilbaren Fibonaccizahlen ja auch durch p teilbar sind, so dass also jede durch p2 teilbare Fibonaccizahl nur eine weitere p-Potenz zum Produkt /1 /„ beiträgt. Sukzessive wird nun für jedes s mit ps < fn der zugehörige Index r(s) bestimmt; dabei kommen in jedem Schritt genau „neue" p-Potenzen hinzu. Somit ist [n]! durch ist- Man beachte, dass die Summation für jede Primzahl psteilbar, wobei S p wegen ps < fn nur über eine endliche Zahl von Summanden läuft. Mit Lemma 3.65 folgt nun > + dies bedeutet, dass der Zähler des Bruchs [ £ ] mindestens durch eine ebenso große Potenz von p teilbar ist wie der Nenner. Da dies für alle Primzahlen gilt, ist [£] ganzzahlig und positiv, da alle Fibonaccizahlen positiv sind. =

=

,

•

•

•

•

=

—

7^27

LrtjyJ-

•

•

=

LrTjyJ ESI_7(7)J EsLt(7)J EaLffeJ EsLtrtJ;

Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge

3.5

Wir untersuchen nun die Frage, ob Quadratzahlen in der Fibonacci- und der Lucasfolge vorkommen und welche Fibonacci- bzw. Lucaszahlen das sind. Die folgenden Ergebnisse gehen auf Arbeiten von J.H.E. Cohn und O. Wyler zurück. Für Fibonaccizahlen hat

man

das

folgende Resultat:

Satz 3.72

Die

einzigen Quadratzahlen

in der

Fibonaccifolge sind /j

=

=

1 und

/12

=

144.

3 Zahlentheoretische

98

Eigenschaften von Fibonacci-

Als erstes betrachten wir die Fibonaccizahlen

Beweis:

/„ mit n 34,/10


12 Quadratzahl ist. Insbesondere ist /„ dann auch modulo 8 Quadratzahl, also gilt fn 0,1 oder 4 (mod 8). Die Fibonaccifolge modulo 8 1,/s 144

=

2,/4

=

und

=

3,/5 es

=

=

=

=

ist

21, f9

=

=

=

=

=

lautet hat n

=

1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,..., 0 (mod 8) entsprechen Indizes also Periodenlänge 12. Den Fibonaccizahlen /„ 1 (mod 8) entsprechen Indizes 0 oder 6 (mod 12), den Fibonaccizahlen /„ =

=

4 (mod 8) kommen nicht oder 11 (mod 12), und Fibonaccizahlen mit /„ vor. Bei der Suche nach Quadratzahlen in der Fibonaccifolge können wir uns also auf Indizes n mit n 0,1,2,6 oder 11 (mod 12) beschränken. Wir unterscheiden zwei Fälle: ri s

1,2

=

=

1. Fall:

der Form

n

ist

n

=

In diesem Fall ist n 1 oder 11 (mod 12) und man kann 12fc ± 1 mit einem k G N darstellen. Nach Satz 1.27(b) gilt

ungerade.

fn

=

/l2fc±l

=

/6fe±l'6fe

=

—

( l)6fc/±l

=

fak±\hk

~

n

in

(3.18)

E

—

Man beachte, dass /„ wegen 3 j n nach Korollar 3.32(a) ungerade ist. Nun zerlegen wir 6k in der Form 6k 2 3^h mit h > 1 und h \ 3. Dann ist 2h ein Teiler von 6k und der Quotient = 3^ ist ungerade. Somit gilt l2h \ hk nach Satz 3.43. Die Lucasfolge modulo 8 ist =

•

fr

1,3,4,7,3,2,5,7,4,3,7,2,1,3,... und hat ebenfalls die

Periodenlänge

12. Modulo 4 lautet die

Lucasfolge

1,3,0,3,3,2,1,3,... und hat die Periodenlänge 6. Es gilt also l2m 3 (mod 4) für 3 \ m und Z2m 2 (mod 4) für 3 | m. In unserem Fall ist 3 \ 2h, somit gilt hh 3(mod4), und l2h muss einen 3 ist Primteiler p (mod4) besitzen. Wegen (3.18) /„ —1 (modp); wir nehmen an, dass /„ Quadratzahl ist, also etwa /„ x2. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist dann xv~x [x1)2^ 1 (modp) fn2 (modp) (—l)2^" (modp); das kann nur richtig sein, wenn gerade ist, wenn also z. B. 2^- = 2q oder p 4q +1 mit q G N gilt. Dies ist ein Widerspruch zu p 3 (mod 4) und /„ kann keine Quadratzahl sein. =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

^4

=

=

2. Fall: n ist gerade, also n 6k oder n 12k + 2 mit fceN. Angenommen, /12/c+2 fek+ikk+i (-l)6fc+1/o hk+ihk+\ ist Quadratzahl; da /6fc+i und l§k+i nach Satz 3.47 teilerfremd sind, wäre dann f§k+\ Quadratzahl, was nach dem 1. Fall ausgeschlossen ist. 2h 2l 3J mit Nun nehmen wir an, dass f^k Quadratzahl ist und schreiben 6k i > 0, j > 1, 2 \ h und 3 \ h. Nach Satz 3.31 gilt f2h \ fsk und wir können f$k fihZ schreiben; nach Satz 3.39 gilt ggT(f2h,z) | 2l 3j. Wegen 3 \ h ist f2h ungerade und 1, also wegen 2 \ h gilt 3 \ f2h nach Korollar 3.32(a) und (b). Somit folgt ggT(/2^, z) =

=

=

=

-

=

•

=

=

Quadratzahlen in der

3.5

Fibonacci- und der

99

Lucasfolge

/2/1 Quadratzahl sein. Da aber 3 kein Teiler von h ist, ist 2h nicht durch 12 teilbar und es muss 2h 2 (mod 12) gelten, was, wie wir schon gesehen haben, nicht sein kann. Damit ist der Satz gezeigt. muss

=

Nun untersuchen wir die

Lucasfolge

auf

Quadratzahlen.

Satz 3.73 In der Lucasfty 1 und l3 4 = 22 sind offensichtlich Quadratzahlen, aber l2 = 3 ist Beweis: Ii kein Quadrat. Wir nehmen nun an, dass ln mit n > 3 eine Quadratzahl ist, und dass n minimal gewählt ist. Dann ist ln auch modulo 8 ein Quadrat und es gilt ln 0,1 oder 4 (mod 8). Ein Vergleich mit der Lucasfolge modulo 8 (vgl. den vorigen Beweis) zeigt, dass dann n 1, 3 oder 9 =

—

=

=

(mod 12)

Ist

n ee

1

sein

muss.

(mod 12),

also

n

=

12k +

ll2k + l

1,

so

gilt

nach Satz 1.16

( 1) h

Ißk + llßk —

=

1-

Ißk + llßk —

—

—

Wir schreiben 6fc 2 3jh mit j > 1, 3 \ h; somit ist 2h \ 6k mit ungeradem und l2h teilt l6k nach Satz 3.43. Wegen 3\2h ist l2h 3 (mod 4); es existiert also ein Primteiler p I l2h mit p ee 3 (mod 4). Wie im Beweis des vorigen Satzes schließen wir nun, dass dies unmöglich ist. =

•

=

n ee 3 oder 9 (mod 12), so können wir Satz 1.16 und Satz 1.15 ergibt sich

Ist

n

=

12k ±3

=

3-

(4k ± 1)

schreiben. Nach

/ffc±1

wobei d := ggT(/4fc±1, + 3) nach Satz 3.4(d) ein Teiler von 3 sein muss. Nach Korollar 3.42(b) gilt 3 | ln, falls n ee 2 oder 6 (mod 8), was hier nicht erfüllt ist. Daher ist d 1 und sowohl Uk±i als auch + 3 muss eine Quadratzahl sein. Da n > 3 minimal gewählt war, muss 4k ± 1 3 sein (da l3 Quadratzahl ist) und es folgt k 1, also n 9. Die Lucaszahl lg 76 ist aber keine Quadratzahl. Damit ist alles gezeigt. 0

l\k±i

=

=

=

=

=

Lucaszahlen, die sich als Produkt ax2 einer natürlichen Zahl a und eiQuadratzahl x2 schreiben lassen, waren wiederholt Gegenstände wissenschaftlicher Arbeiten, s. hierzu auch die Arbeitsaufträge 3.6.2.2 und 3.6.2.3. London und Finkelstein ([LF69]) sowie Lagarias und Weisser ([LW81]) untersuchten Kubikzahlen unter den Fibonacci- und den Lucaszahlen. Sie erhielten folgende ResulFibonacci- und ner

tate:

3 Zahlentheoretische

100

•

fi

1

=

l3 und fe

=

=

8

=

Eigenschaften von Fibonacci-

23 sind die einzigen Kubikzahlen

und

Lucasfolge

unter den Fibonacci-

zahlen. •

Die

einzige Lucaszahl, die Kubikzahl ist,

Ii

ist

Damit wollen wir die Zahlentheorie verlassen und matik zuwenden.

=

uns

1.

anderen

Teilgebieten der

Mathe-

Aufgaben Übungsaufgaben

3.6 3.6.1

1. Beweisen Sie die

2. Beweisen Sie die bisher nicht 3. Beweisen Sie die

Lemma 3.2.

Teilbarkeitsregeln von

Aussagen

Teile

gezeigten

Satz 3.5.

über Binomialkoeffizienten

4. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz

5. Verifizieren Sie dass sche Gruppe sind.

von

Z, Q, R und C

von

Satz 3.7.

(Satz 3.9).

mit der Addition als

6. Verifizieren Sie dass Z*, Q*, M* und C* mit der eine abelsche Gruppe sind.

Verknüpfung eine

abel-

Multiplikation als Verknüpfung

7. Erstellen Sie je eine Verknüpfungstafel für die Restklassen modulo 5 Addition und Multiplikation.

bezüglich

8. Erstellen Sie je eine Verknüpfungstafel für die Restklassen modulo 6 Addition und Multiplikation.

bezüglich

9. Beweisen Sie: Die Summe durch 11 teilbar, genauer:

von

zehn

aufeinanderfolgenden

Fibonaccizahlen ist

n+9

£ fk

=

11

•

/n+6-

k=n

(Hinweis:

führt 10.

Ziel.)

Zeigen Sie: Besitzt eine ungerade natürliche Zahl n nur Primteiler der Form 4fc + l, gilt n 1 (mod 4).

so

11.

Geschicktes Umformen der linken Seite mithilfe der Rekursionsformel

zum

=

Zeigen Sie: Eine natürliche Zahl n p

=

3 (mod 4).

12. Geben Sie die die Folge?

=

3

(mod 4) besitzt mindestens einen Primteiler

Fibonaccifolge/Lucasfolge modulo 7 an.

Welche

Periodenlänge

hat

3.6

Aufgaben

3.6.2 1.

101

Arbeitsaufträge

Zeigen Sie:

{ld,

falls

2, falls 1

wobei d

=

ggT(m, n).

?j™- gerade,

sonst,

ungerade und 3 | d,

Zeigen Sie: Die einzigen Fibonaccizahlen der Form 2a:2, wobei x2 Quadratzahl ist, /3 2 2 l2 und /6 8 2 22. 18 2 32. 3. Zeigen Sie: Die einzige Lucaszahl der Form 2x2 ist Iq 2.

sind

=

=

•

=

=

=

=

Literatur zu Kapitel 3 Eine ausführliche Darstellung der algebraischen und zahlentheoretischen Begriffe aus Abschnitt 1 findet sich in [Bo2] und [Bu]. Die meisten der in den Abschnitten 3.2 bis 3.5 angesprochenen Themen werden bei [V] und [wBe] behandelt. Weitere Resultate zu Fibonacci- und Lucasfolge modulo m (Abschnitt 3.3) stehen in den Originalarbeiten [W60], [N72] und [KSh72]. Quadratzahlen in Fibonacci- und Lucasfolge wurden in [C81] und [Wy64], Kubikzahlen in [LW81] untersucht. Der Artikel [R05] gibt einen Überblick über die wichtigsten neueren Ergebnisse zur Fibonaccifolge aus der Zahlentheorie.

Fibonaccizahlen in der

4

Analysis

Im ersten Teil dieses kurzen Abstechers in die Analysis untersuchen wir Folgen und Reihen im Zusammenhang mit den Fibonaccizahlen, z. B. Folgen mit dem Grenzwert $. Der zweite Teil befasst sich mit formalen Potenzreihen, insbesondere wird die erzeugende Funktion der Fibonaccizahlen hergeleitet und wir betrachten einige interessante

Dezimalbruchentwicklungen.

Einige spezielle Folgen

4.1

Kapitel werden wir uns häufig mit Abschätzungen für Beträge reeller Zahlen herumschlagen müssen. Daher wollen wir uns hier nochmals die wichtigsten Eigenschaften des Betrags reeller Zahlen ins Gedächtnis rufen. Für x € M. ist der Betrag definiert In diesem

durch

!x 0

—x

Für den Zahlen.

Betrag gelten

die

für für für

0, 0,

x

>

x

=

x

< 0.

folgenden Rechenregeln; dabei

sind

x

und y

\xy\ \x\\y\ + \x y\ < |x| + \y\ Dreiecksungleichung |x y\ > | |x| \y\ | umgekehrte Dreiecksungleichung Die Leserin/der Leser sollte sich die Zeit nehmen, diese Regeln aus der =

—

—

beliebige

reelle

(4.1) (4-2) (4.3) Definition des

Betrags herzuleiten.

Wir wenden uns nun einigen speziellen Folgen zu, die auf verschiedene Weise mit den Fibonaccizahlen zu tun haben. In Definition 1.1 hatten wir eine Folge als Abbildung ip : N —> X der natürlichen Zahlen in eine Menge X erklärt. Hier geht es jetzt um Folgen reeller Zahlen, also um Abbildungen ip : N —> R. Dabei werden uns weniger die Folgen selbst, sondern vielmehr ihre Grenzwerte interessieren. Daher schicken wir einige Definitionen voraus. Definition 4.1 Eine Folge {xn} reeller Zahlen heißt konvergent, mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zu jedem e > 0

\xn x\ —

< e

für alle

n

eine reelle Zahl x € R ein N G K so, dass

wenn es

>

gibt N.

es

4 Fibonaccizahlen in der

104 Die Zahl

x

nennt

man

den Grenzwert oder Limes der

lim xn

n—yoo

Eine

Folge,

die gegen 0

=

x

oder xn

konvergiert,

für

—> x

heißt

Folge und

man

Analysis

schreibt

n —> oo.

Nullfolge.

Zum Nachweis der Konvergenz einer Folge werden wir meist nicht die Definition benutzen, sondern die in Lemma 4.2(b) angegebene etwas handlichere Version:

Lemma 4.2 Mir eine

Folge {xn} reeller Zahlen und

a

6 R

gilt:

(a) Die Folge {xn} ist genau dann eine Nullfolge, wenn die Folge {|xn|} der Beträge eine

(b)

Nullfolge ist.

Folge {a:n} konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a G K, wenn die Folge {xn a} eine Nullfolge ist. Etwas anders formuliert: {xn} konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn \xn a\ für hinreichend große n beliebig klein wird.

Die

—

—

Der sehr einfache Beweis ergibt sich unmittelbar rin/dem Leser überlassen.

aus

der Definition 4.1;

er

sei der Lese-

Für konvergente Folgen gelten einige Rechenregeln, die einem die Arbeit erheblich erleichtern können. Wir werden daher jetzt die für das Folgende wichtigen beweisen. Zuvor jedoch noch ein Hinweis auf die mathematische Terminologie: Wenn von einer Folge {xn} gesagt wird, dass „fast alle" Folgenglieder eine bestimmte Eigenschaft haben, so bedeutet das, dass es höchstens endlich viele Ausnahmen davon gibt. Wenn also fast alle Folgenglieder positiv sind, so ist es unerheblich, ob die ersten 3 oder die ersten 30 oder die ersten 5 Millionen Folgenglieder negativ oder 0 sind, wichtig ist nur, dass die Anzahl der Folgenglieder, die aus der Reihe tanzen, endlich ist. Satz 4.3 Für zwei

konvergente Folgen {xn} und {yn}

(a) Xn + Vn -» X + y (b) axn —> ax für a € K

mit xn

—> x

und yn

—>

y

gelten:

4.1

Einige spezielle Folgen

105

Beweis: (a) Zu einem vorgegebenen e > 0 wählen wir Zahlen Ni und N2 so, dass \xn x\ < | für alle natürlichen Zahlen n > N\ und \yn —y\ < | für alle natürlichen Zahlen n > JV2; solche Zahlen Ni und iV2 existieren nach Definition 4.1. Für alles Indizes n, die größer als die größere der beiden Zahlen N\ und N2 sind, gelten dann beide Ungleichungen und es folgt \xn + y„ {x + y)\ < \xn -x\ + \yn y\ < e, dabei haben wir die Dreiecksungleichung verwendet. (b) Für a 0 sind alle Glieder der Folge {axn} gleich null und die Behauptung ist trivial. Sei also a ^ 0. Da die Folge {xn} gegen den Grenzwert x konvergiert, gibt es zu einem gegebenen e > 0 ein N G N mit \axn ax\ e für n > N. \a\\xn x\ < \a\ Damit ist die Behauptung gezeigt. 0 -

-

-

—

jfj

=

—

Aus diesem Satz bilden.

4.1.1

folgt insbesondere,

dass die

—

konvergenten Folgen

=

einen Vektorraum

mit dem Grenzwert $

Folgen

Nun sollen Folgen im Mittelpunkt stehen, deren Grenzwert die bereits bekannte Zahl $ ist, die sogenannte „goldene Zahl", die auch in Hauptrolle spielen wird.

1+2v/^

=

Wir betrachten die Xq

Diese

.

Folge {xn},

1,

Folge definiert 1+

die

gegeben

Kapitel 1 Kapitel 5 eine aus

ist durch

(4.4)

Xu +1

den unendlichen Kettenbruch 1

(4.5)

1 +

Zwischen diesem Kettenbruch bzw. der durch (4.4) definierten reellen Zahl $ besteht folgender Zusammenhang:

Folge {xn}

und der

Beweis: Aus Kapitel 1 wissen wir bereits, dass $ die Beziehung 2 $ + 1, oder, nach Division durch die Beziehung $ 1 + erfüllt. Die Rekursionsformel (4.4) für =

=

^

4 Fibonaccizahlen in der

106

die

Folge {x„} liefert

Analysis

weiter 1 *En

1

l

—

1+

» + !>

Wiederholtes Anwenden der Rekursionsformel xn

$

$nxn_ix„_2

•

•

(4.4) ergibt schließlich nx„_i •-xq

-x0

x0

•

(4-6)

Nun müssen wir den Ausdruck ganz rechts in geeigneter Weise abschätzen. Dazu zeigen wir durch vollständige Induktion xn > 1 für natürliche Zahlen n > 1. Nach Definition 1 und x\ = 1 +1 = 2 > 1. Wenn bereits xn > 1 bekannt ist, so gilt nach der sind xq 1 + Rekursionsformel (4.4) xn+i > 1 wegen 0 < < 1 nach Induktionsvoraus> ist 1 wie n Somit tatsächlich für > xn 1, setzung. behauptet. Damit ist der Term im Nenner des letzten Ausdrucks von (4.6) auf jeden Fall größer als n+1 und der Kehrwert davon kleiner als Also folgt, wie wir zeigen wollten, $ $ 1 > wird Wegen xn |< | beliebig klein, sodass sich daraus nach Lemma 4.2(b) die Konvergenz der Folge gegen den Grenzwert ergibt. 0 =

^-

=

^q_r

-

^^r.

Mit dem soeben bewiesenen Satz haben wir auch die

folgende Aussage gezeigt:

Korollar Der unendliche Kettenbrucl 1+

1+ IT-X

stellt die irrationale Zahl $ dar.

Als ein Nebenprodukt liefert Satz 4.4 eine wichtige Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen.

Aussage

über den Grenzwert des

Satz 4.6

Für den Quotienten

aufeinanderfolgender

fn

1

$"+1

Fibonaccizahlen und

lim n"^°°

gilt

%_! In

=

$.

4.1

107

Einige spezielle Folgen

Aufgrund der Definition der Fibonaccifolge gilt &

Beweis:

fn + 1 fn

fn + fn-l fn

_

.

1 t"

=

1 und

_1_ 7

_ —

{—f^}

stimmt also mit der in Satz 4.4 betrachteten die Folge Daraus ergibt sich sofort die Aussage über den Grenzwert. Aus Gleichung (4.6) folgt außerdem unmittelbar

fn + 1 fn wie

Folge {xn} überein.

/n-l --VI

behauptet.

Gleichung in Satz 4.6 bedeutet, dass die Folge i^^-} der Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen recht gute Näherungswerte für $ liefert, weil ^r}+i und

Die erste

damit j

£n+\

rasch sehr klein wird.

(4.5) kann man eine „geschachtelte"

In ähnlicher Weise wie den Kettenbruch bei durch die Folge {yn} mit yo

=

und

l

yn+1

=

y/l + yn

Wurzel

(4.7)

definieren.

Beweis: Durch vollständige Induktion zeigen wir zunächst yn > 1 für alle n G No. Nach Definition ist yo 1; sei also für ein n G N bereits yn > 1 gezeigt. Dann gilt « > + \/2 1,4142, also yn+i > 1, wie behauptet. yn+i \/l yn 1 entsteht Sn+x dadurch positiver Summand, nämlich 7-^7, dazuaddiert wird. Somit gilt Zunächst einmal 1


x —

4.1

Einige spezielle Folgen

Damit

ergibt

111

sich für die n-te Partialsumme die

Sn

=

Abschätzung

tUVS.±^. »=l Jt

i=\

(4.9)

*

Auf der rechten Seite der Ungleichung (4.9) steht nun eine Partialsumme einer geometrischen Reihe. Für geometrische Reihen VJ"=o °' m^ l?l < Snt die Formel (siehe

Aufgabe 4.3)

oo

Also

gilt

in

unserem

Fall

*-v/5 i=l

Zusammen mit

(4.8)

5 + 3v/5 —;-< 6.

*

liefert dies

K Sn < 6;

(4.11)

in der Terminologie der Analysis bedeutet das: Die Folge der Partialsummen Sn ist beschränkt. Sie ist, wie wir oben bereits festgestellt haben, aber auch streng monoton wachsend. Allen Analysis-Kundigen geht spätestens jetzt ein Licht auf:

Jede monotone und beschränkte

Folge ist konvergent.

Dieser Satz gehört zum Standardrepertoire der Analysis und kann in jedem Lehrbuch der Analysis nachgesehen werden, siehe z.B. [AE], Theorem 4.1 auf Seite 175 oder [K], Seite 46; hier würde die Herleitung des Satzes zu weit führen. Damit ist jedenfalls Folgendes klar:

Sehr viel mehr kann man jedoch nicht zu diesem Grenzwert S sagen: Man weiß zwar, dass er existiert, aber man kennt seinen genauen Wert nicht. Immerhin ist bekannt, dass S irrational ist, doch bedarf es noch einiger Arbeit, um S explizit zu bestimmen.

4 Fibonaccizahlen in der

112

Analysis

Potenzreihen mit Fibonaccizahlen

4.2

Im Folgenden wird eine Verallgemeinerung des formalen Potenzreihen.

Reihenbegriffs benötigt, die sogenannten

Definition 4.13 Für eine Folge {rn} reeller Zahlen definiert Variablen x durch

die formale Potenzreihe in einer

man

oo

P{x) Wird für

x

eine feste reelle Zahl

a

=

Y2nxi. i=0

eingesetzt,

so

erhält

man

die Reihe

CO

P(a)

=

£>.a\ t=0

die konvergieren kann oder auch nicht. Zu jeder formalen Potenzreihe gibt es eine reelle Zahl R so, dass die Potenzreihe für alle \x\ < R konvergiert; R heißt dann der Konvergenzradius der Potenzreihe. (Anmerkung: Potenzreihen werden im Allgemeinen über den komplexen Zahlen betrachtet. Daher spricht man nicht von einem Konvergenzintervall, sondern von einem Konvergenzkreis mit dem zugehörigen Kon-

vergenzradius.)

Für eine natürliche Zahl

n

definieren wir die Funktion Fn : R — K durch

Fn(x)

J2fiXi-

=

i=l

Die Formel

Binet liefert

von

F»v

-

-Tg E1 V

2=1

*

*v

(4-12)

2=

Für x j£ 1 und \I>x ^ 1 ergibt sich daher mithilfe der Formel (1.17) für die n-te Partialsumme einer geometrischen Reihe sowie der Formeln (1.6) bis (1.8) _,

.

,

Fn(x) v '

1 =

n+lxn + l

^n+l^n + l

x

^x

^

--=-

—=

_

_

»»-1

V5 xT,njxn+2 ($n+l $n+l)-.n+l + ($ $*X2 (

V($x)8 ^

n

1 -= -

t=i

/^ v/5 -

lim n—k nn

V(*x)i. ^

'

(4.15)

j=i

^

Unter unserer Voraussetzung |x| < existieren die Grenzwerte der beiden geometrischen Reihen, da nach dem oben Gesagten |3>x| < 1 und |^x| < 1 gilt. Somit existiert für solche x auch der Grenzwert F(x). Wegen (4.13) können wir schreiben

F(x)

x

lim

-

/„x"+2 fn+1xn+1 -

1

n—¥oo

X —

x

1

Nach Satz 1.19 lim i—>oo

1

lim -

f„xn+1

lim n—toc

/„+ixn

—

gilt /„

< ™ +

1; dies liefert

fnxn+1

< lim

(^L y5

Wegen |x| < 1 liirin-KX) /n+ixn+1 gezeigt:

X2

X —

X2

—

^=

n—>oo

+

l)xn+1

=

4= v5

Um

n~>oc

($x)n +

und |x| < 1 erhalten wir lim«-^ fnxn+1 0. Damit ergibt sich insgesamt F(x)

=

=

1— X

lim n—foo

xn+1.

0 und entsprechend X2 Wir haben also . —

4 Fibonaccizahlen in der

114

Analysis

Satz 4.14 Die formale Poten

konvergiert

für

\x\




2 ein

(2fnfn_1)2+(f2-f2_1)2 4/^_1+£-2/2.£_i+/n-i (fn + fl-x? Nach (1.4) ist f2n-i f2 + f2_,, woraus sofort =

=

=

=

Behauptung folgt.

Beispiel: Sei n 5, also a 2/5/4 2 5 3 /9 34. Damit erhält man a2 + b2 302 + 162 Tripel (30; 16; 34) ein pythagoreisches Tripel. =

=

=

=

•

•

=

= =

30, b

/f f\

=

900 + 256

aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen /„, fn+i, fn+2 pythagoreisches Tripel:

Vier ein

f2n-\

=

-

=

=

1156

=

=

-

fn+3

und

52 32 16, c 342. Also ist das

=

erzeugen ebenfalls

Satz 5.2

Setzt

man

an

=

(an; bn; cn) für n Beweis:

fn+2

~

>

1 ein

=

=

bilden

=

=

=

(/2+2 /2+1)2 + 4/2+1/2+2 außerdem -

cn

=

/2n+3-

(/2+2 + /2+1)2 c2, ~

=

0

=

was zu

zeigen

war.

Wir wählen wieder n 5, also /s 5, fe 8, fi 13, f$ 21 und setzen und c 2 8 13 208 82 + 132 64 + 169 233. Damit gilt § 21 105,6 1052 + 2082 11025 + 43264 54289 2332, d.h. (105; 208; 233) ist ein +- b2

Beispiel: a2

so

=

=

Wegen (1.4) gilt a

=

=

Man hat also a2 + 62 {fnfn+z)2 + (2/„+i/n+2)2. Einsetzen von /„ Und /n+3 fn+2 + fn + l liefert a2n+b2n [(fn+2 fn+l){fn+2 + fn+i)]2 +

fn+l

4/2+1/2+2

2/n+1/n+2 und cn f2+1 + f2+2 f2n+3, pythagoreisches Tripel mit a2 +bn c2.

fnfn+3,bn

=

=

=

•

=

=

=

=

=

•

=

pythagoreisches Tripel.

=

=

=

=

=

=

=

5.2 Der

119

goldene Schnitt

Abschließend seien noch naccizahlen vorkommen.

in denen Lucas- und Fibo-

pythagoreische Tripel vorgestellt,

Satz 5.3 Die Zahlen an

=

lnln+3, bn

pythagoreisches Tripel

=

2ln+xln+2 bn c2

mit an +

und cn

=

5/2n+3

bilden für alle

n

€ N ei

=

Beweis: Der Nachweis ist etwas trickreicher als in den beiden vorigen Fällen. Wir formen den Ausdruck für an zunächst einmal mithilfe der Rekursionsformel um, rechnen dann aus und fassen zusammen: +# [Cn+2 Wl)(/„+2 + Wl)]2 + {Un+3)2 + + 4ln+iln+2 + ln+2 [ln+2 {ln+\ + ln+\ + + Nun schreiben wir mithilfe von Satz 1.29 um:

K+l^n+2 'n+l]2 2Z21+1i2,+2 ln+2)2l2+l /21+2 5/2+1+4.(-l)"+1+5/2+2+4.(-l)«+2 l2n+1+l2n+2 5-(/2+1 + /2+2) 5/2n+3 dabei wurde im =

=

-

—

—

=

=

=

vorletzten Schritt

(1.4)

verwendet.

Beispiel: Für n 1 erhalten wir a liU 1-7 7, b 2I2I3 2 3 4 24 und 5/5 5 -5 25. Es gilt c2 252 625 49 + 576 72 + 242 a2 + b2. Wir haben also das pythagoreische Tripel (7; 24; 25) erhalten. =

=

=

=

=

=

=

•

c=

=

5.2

=

=

=

Der

goldene Schnitt

=

=

•

=

Dieser Abschnitt ist einer besonderen Art der Teilung einer Strecke, dem sogenannten goldenen Schnitt, gewidmet. In Architektur und Kunst nimmt diese als besonders harmonisch und schön empfundene Teilung eine herausragende Stellung ein: Die Fassaden vieler Bauwerke sowie die Kompositionen bedeutender Gemälde orientieren sich am goldenen Schnitt. Daher betrachten wir zuerst die Eigenschaften des goldenen Schnitts und zeigen dann, wie er mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.

5.2.1

Teilung einer Strecke

Zunächst klären wir den Begriff „Teilverhältnis" allgemein und untersuchen dann die besondere Art der Teilung einer Strecke, die als goldener Schnitt bezeichnet wird.

Definition 5.4 Wird eine Strecke [AB] durch einen Punkt T auf der Geraden AB geteilt, so nennt X das Teilverhältnis der Streckenlängen AT man das Zahlenverhältnis AT : TB und TB. Man sagt dann, dass T die Strecke [AB] im Verhältnis A teilt. Der Punkt T kann dabei innerhalb oder außerhalb der Strecke [AB] liegen. Im ersten Fall ist T ein innerer Teilpunkt von [AB], im zweiten Fall ein äußerer Teilpunkt. =

5 Fibonaccizahlen in der Geometrie

120

B

T

A

BT

A

Die innere Teilung einer Strecke [ab] wird als besonders harmonisch angesehen, wenn sich die Länge der größerem der beiden Teilstrecken zur Länge der kleineren so verhält wie die Länge der Gesamtstrecke zur Länge der größeren Strecke, wenn also gilt

ÄT

AB

TB wobei AB

AT + Tb

ÄT

_ ~

In diesem Fall Schnitts.

von

~

AT + TB; damit ergibt sich

=

AT TB

Umformen

spricht

'

einer

man von

Gleichung (5.2)

+

TB man

_

^ i/j, also n v>0 g^Vj, für j > logg n der Fall (dabei bezeichnet logg den Logarithmus zur Basis g und log den dekadischen Logarithmus). Wir nehmen an, dass diese Situation nach genau k > 0 Schritten eintritt. Dann gilt (6.2) für i 0,... ,fe 1 und außerdem ist 0 < ak = vk < g. Mittels Induktion ergibt sich für j = 0,..., k >

>

•

•

> 0.

>

•

—

=

=

=

=

—

vo

=

Vjg3

+

Ea'ö*; i=0

daraus

folgt (6.1)

tet ao,..., a/t G

gezeigt.

für j

=

{0,..., g

k. -

Aufgrund des Konstruktionsprinzips gilt dann wie behaup1}. Damit ist die Existenz einer Darstellung der Form (6.1)

Nun müssen wir noch die Eindeutigkeit dieser Darstellung nachweisen. Aus (6.1) und den Eigenschaften der at ergibt sich gk < n < gk+1, daher ist k und damit eindeutig festgelegt. Jede weitere Darstellung der Form (6.1) hat daher die Gestalt =

k 71

=

Yl a'i9l i=0

mit

a'0,..., a'k

G

{0,..., g 1}

Darstellungen für

ergibt -

n,

so

a'k ^ 0.

und sich

Subtrahieren wir die beiden verschiedenen

k

]TK

*i)9'

=

0.

(6.3)

-

i=0

Daher muss a'0 a0 durch g teilbar sein, und wegen | a'0 a0 \< g folgt a'Q ao- Daraus und aus (6.3) ergibt sich, dass (a[ a^)g durch g2 teilbar, also a[ Oi durch g teilbar sein muss. Mittels Induktion folgt also = für i = 0,...,k. Somit ist auch die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt. 0 =

—

—

—

—

Ein besonders wichtiges Zahlensystem ist das kleinstmögliche mit ganzzahliger Basis, nämlich dasjenige mit der Basis g 2. Es heißt Dualsystem oder Binärsystem oder eben Zweiersystem und kommt mit den Ziffern 0 und 1 aus. Seine Stufenzahlen sind =

6 Das

142

2345

=

im

Beispiel 2345 Zweierpotenzen:

die Potenzen von 2. Um 2345 in eine Summe von

Fibonaccizahlensystem

unser

wir

•

•

•

=

Nim-Spiele

Dualsystem darzustellen, zerlegen

1 2048 + 1 256 + 1 32 + 1 8 + 1 1 211 + 0 210 + 0 29 + 1 28 + 0 +0 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 •

und

•

•

•

•

•

•

27 + 0 26 + 1 25 2°

•

=

(100100101001)2

und erhalten somit die Darstellung (100100101001)2 von 2345 im Dualsystem; die tiefgestellte 2 gibt die Basis des Zahlensystems an. Hat man umgekehrt eine Darstellung im Dualsystem, z. B. (1110100)2, so schreibt man die dargestellte Zahl wie in (6.1) mithilfe von Zweierpotenzen auf, also

(1110100)2

=

•

26 +

1

•

25

22

+0

Folge

von

+ 1 24 + 0 23 + 1 1 64 + 1 32 + 1 16 + 1 4 1

•

•

•

21

2°

+0

•

=

•

•

•

=

•

116,

und erhält so ihre Darstellung im Zehnersystem. Dies bedeutet insbesondere, dass jede beliebige endliche eine Binärdarstellung einer natürlichen Zahl ist.

Einsen und Nullen

folgenden Abschnitt wird ein Zahlensystem vorgestellt, das auch nur die Ziffern 0 und 1 verwendet, wobei aber nicht mehr jede beliebige Folge von Einsen und Nullen erlaubt ist. Dieses Zahlensystem verwendet die Fibonaccizahlen als Stufenzahlen. Im

Der Satz

6.1.2

von

Zeckendorf

Die Antwort auf die Frage nach der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen durch Fibonaccizahlen liefert der Satz von Zeckendorf. Der Belgier Edouard Zeckendorf (1901-1983) war eigentlich Arzt und beschäftigte sich nur nebenbei mit Mathematik. Er veröffentlichte einige Arbeiten zur elementaren Zahlentheorie, darunter auch den nach ihm benannten

Satz. Zunächst führen wir den Begriff der Zeckendorfsequenz ein. Dadurch lassen sich die folgenden Sätze einfacher formulieren. Definition 6.2 Eine

Zeckendorfsequenz ist eine (endliche) Folge

( oder f > ,

=

1)

ist die kleinste natürliche

bk-x nicht vorkommt,

ak +

Zahl, die

unter den Zahlen ao,..., ak-\ und

k.

Dabei notieren wir die Paare (ak; bk) stets so, dass ak das Paar (bk;ak) eine „Gewinnposition" ist. Als erstes zeigen wir ein Lemma, das die näher beschreibt.


ao, a2 > a\ usw. Daher ist die Folge ao, ai, a2, streng monoton wachsend. Wegen bk ak + k < ak+i +k +1 bk+\ ergibt sich daraus unmittelbar, dass auch die Folge bo, £>i, b2,... streng monoton wächst; dies zeigt (4). (3) folgt unmittelbar aus (GP2), denn bk ak k. Nach (GP2) ist an die kleinste natürlich Zahl, die unter ao,..., an~i und bo, bn-\ nicht vorkommt. Da die Folge der ak streng monoton wächst, taucht an spätestens im n-ten Schritt auf und kommt wegen der strengen Monotonie unter den ak kein zweites Mal vor. Aus dem gleichen Grund kommt auch unter den bk keine Zahl doppelt vor. Es könnte aber noch der Fall an bm auftreten. Dabei kann n > m nach dem Auswahlverfahren für die ak nicht sein, und falls n < m, so gilt an < am < am + m bm, ein Fall ist Damit auch m n ist Der ohnehin nicht Widerspruch. möglich. wegen (GP3) =

•

=

=

—

,

=

=

=

(1) gezeigt.

Jetzt müssen wir noch nachweisen, dass die Eigenschaften (1) bis (4) folgen.

Eigenschaften (GP1)

bis

(GP3)

aus

den

150

6 Das

Fibonaccizahlensystem

Nim-Spiele

und

Da die Folgen {dk} und {bk} nach (4) streng monoton wachsen und andererseits die Folge der natürlichen Zahlen selbst die einzige streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist, die alle natürlichen Zahlen enthält, ergibt sich (GP3) wegen (3). Zum Nachweis von (GP2) nehmen wir an, n G N ist die kleinste natürliche Zahl, die unter do, ax,..., afc_i, bo, öi,..., öfc_i nicht vorkommt. Wegen (4) ist dann dk > n. Wäre dk > n, könnte n wegen der strengen Monotonie nicht in der Folge {dj} auftreten. Also müsste wegen (2) n bi für ein l > k gelten; nach (GP3) hätten wir dann n bi di + l und somit o; n l < n; d. h. a; müsste bereits unter a_,. .. d, so sei (c, c') die Gewinnposition, in der c vorkommt. Natürlich ist c' ^ d, da (c; d) nach Voraussetzung keine Gewinnposition ist. Falls c' < d, nimmt man vom Haufen mit d Steinen genau d c' Steine weg und landet damit auf der Gewinnposition (c; c'). Ist c' > d, so gilt d c < c' c und man sucht diejenige Gewinnposition (am; bm) mit bm am d c. Die Eigenschaft 6.8.(4) erfordert am < c wegen bm—dm < d—c. Daher muss der Spieler vom Haufen mit c Steinen genau c bm am und vom Haufen mit d Steinen genau d Steine wegnehmen, um die Gewinnposition (am\ bm) mit bm—am d—c zu erreichen. —

—

—

—

=

—

—

—

—

=

—

=

—

—

—

—

—

—

=

Mit Satz 6.9 ist jetzt klar, dass der Spieler, der zuerst auf eine Gewinnposition kommt, das Spiel sicher gewinnt, sofern er nichts mehr falsch macht. Die Startposition entschei-

6.2

Nim-Spiele

151

det bei diesem Spiel bereits dessen Ausgang, falls beide Spieler die Gewinnstrategie kennen. Allerdings dürfte in den meisten Fällen der beginnende Spieler gewinnen, da es mehr Nicht-Gewinnpositionen als Gewinnpositionen gibt. Überraschend ist aber, dass man die Gewinnpositionen berechnen kann. Doch bevor wir dies in Angriff nehmen, schicken wir noch ein Lemma voraus, das sich später als sehr nützlich erweisen wird. Wir benötigen hier wieder die Gaußklammer aus Definition 3.64.

Lemma 6.10 Seien

x

und y zwei positive irrationale Zahlen mit

i + i=l. x

y

)ann kommt jede natürliche Zahl genau einmal unter den Gliedern der r„

ror, und

zwar

=

[nxj

und

sn

=

in genau einer dieser

[nj/J

für n

€

Folgen

N

(6-11)

Folgen.

Beweis: Offensichtlich gilt x, y > 1. Sei N eine beliebige natürliche Zahl. Dann betrachten wir alle natürlichen Zahlen n mit [nxj < N, also mit n < —. Die letztere Ungleichung gilt für alle n 1,2,..., |_—J. Entsprechend gilt ny < N für alle =

n=l,2,...,LfJ-

Daher gibt es unter den Zahlen 1, 2,..., JV 1 genau {r„} und {s„}. Da und irrational sind, folgt

^

N x

—

^

1