Einstein-Räume [Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage, Reprint 2021] 9783112570081, 9783112570074

Citation preview

A. S. Petrow Einstein-Räume

Mathematische Lehrbücher und Monographien Herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften der DDR Institut für Mathematik

II. Abteilung Mathematische Monographien Band XVI Einstein-Räume von A. S. Petrow

Einstein-Räume von A. S. Petrow

In deutscher Sprache herausgegeben von Hans-Jürgen Treder

Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage

Akademie-Verlag • Berlin 1985

neTpOB, A. 3 . IJpocTpaHCTBa 3ÖHiiiTeßHa Erschienen im Staatsverlag für phys.-math. Literatur (Fismatgis), Moekau 1961 Übersetzung aus dem Bussischen: Helmut Koch

I S S N 0076-5430

Erschienen im Akademie-Verlag, D D R - 1 0 8 6 Berlin, Leipziger Straße 3 © der deutschsprachigen Ausgabe Akademie-Verlag Berlin 1964 Lizenznummer: 202 • 100/419/85 Printed in the German Democratic Republic Fotomechanischer Nachdruck und buchbinderische Verarbeitung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", 5820 Bad Langensalza LSV1065 Bestellnummer: 763 487 9 (5478) 05400

VORWORT DES HERAUSGEBERS ZUR DEUTSCHEN

AUSGABE

Das Buch von A. S. PETBOW über „EmsTEnsr-Räume" ist die erste umfassende Monographie, in der die durch die EiNSTEiNschen Gravitationsgleichungen bestimmten vier dimensionalen RiEMANNschen Mannigfaltigkeiten von der LORENTZMiNKOWSKischen Signatur von geometrischen Gesichtspunkten aus behandelt werden. Der Schwerpunkt des Buches sind die Kapitel III—V, die zu einem großen Teil über invariante Klassifizierungen der EiNSTEiNschen Räume zu einem großen Teil auf die Forschungen des Verfassers zurückgehen. Die dabei gewonnenen Gesichtspunkte haben sich von großer Bedeutung für die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie und insbesondere für die Erforschung der mathematischen Eigenschaften der Gravitationswellen erwiesen. Dementsprechend sind auch in den letzten Jahren eine größere Anzahl von Arbeiten erschienen, die im engen Zusammenhang mit dem Gegenstand dès Buches stehen bzw. die hier geschilderten Resultate weiterführen. Professor PETBOW hat selbst für die deutsche Auflage die russische Originalausgabe neu durchgesehen und an verschiedenen Stellen ergänzt. — Als Herausgeber der deutschen Ausgabe habe ich verschiedentlich Noten beigetragen und in einem Anhang eine kurze Übersicht über die Entwicklung des Problems der invariierten Klassifizierung der EmsTEiKschen Gravitationsfelder seit dem Erscheinen der russischen Ausgabe des Buches „EiNSTEix-Räume" (Moskau 1961) gegeben. Ferner ist das Literaturverzeichnis durch weitere Arbeiten ergänzt worden und umfaßt jetzt über~500 Nummern, so daß wohl der größte Teil aller einschlägigen Arbeiten erfaßt ist. Meinen Mitarbeitern, den Herren Dipl.-Phys. U. KASPER, Dipl.-Phys. E. KREISEL und Dipl.-Phys. E. LIEBSCHER, danke ich für ihre Hilfe bei der Durchsicht der Korrekturen.

Berlin, im Oktober 1963

HAXS-JÜBGEH TREDER

E I N L E I T U N G

Das vorliegende Buch ist dem Studium der Räume gewidmet, die der allgemeinen Relativitätstheorie und ihrer Verallgemeinerung auf beliebige Dimensionszahl zugrunde liegen. Da es in der Literatur zur Relativitätstheorie eine Reihe grundlegender Monographien gibt, wie z.B. das Buch von W . A . F O C K „Theorie von Raum, Zeit und Gravitation" und das Buch von L . L A N D A U und E. LXFSCHITZ „Feldtheorie", sowie ferner der Enzyklopädie-Artikel von W. P A U L I (mit P A U L I S Ergänzungen) [407] und das Buch von S Y N G E [429] über allgemeine Relativitätstheorie, hat sich der Autor, um Wiederholungen zu vermeiden, bewußt auf einen Kreis von Fragen beschränkt, die in diesen Untersuchungen nicht berührt werden und sowohl für Physiker als auch für Mathematiker von Interesse sind. Daraus erklärt sich die Tatsache, daß sich das vorliegende Buch speziell mit der mathematischen Seite der Fragestellung beschäftigt. Dabei wird den vierdimensionalen Räumen mit einer Signatur vom LoRENTZ-MmKOWSKischen Typ besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Gegenwärtig gibt es eine umfangreiche Zeitschriftenliteratur, in der viele neue Ergebnisse zusammengetragen wurden, die den Mathematikern und Physikern, die sich nicht speziell mit Fragen der allgemeinen Relativitätstheorie beschäftigen, unbekannt sind. Ein Teil dieser Ergebnisse wird im vorliegenden Buch behandelt. Bei Fragen, die aus diesem oder jenem Grunde nicht berücksichtigt werden konnten, wird auf die Bibliographie und eine Reihe von Aufgaben verwiesen. Der Autor hat sich bemüht, die Bibliographie nach Möglichkeit vollständig zu machen. Ein Teil der Aufgaben erfordert eine einfache Anwendung der im Buch enthaltenen Ergebnisse, andere dagegen stellen eine wesentliche Bereicherung der Theorie dar. Um im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie zu bleiben, werden die verschiedenen Varianten der einheitlichen Feldtheorie nicht betrachtet. Der Autor konzentriert die Aufmerksamkeit des Lesers auf Probleme, die offensichtlich gegenwärtig eine größere Perspektive haben, wie z. B. die Anwendung der LiEschen Gruppen auf die Untersuchung von Gravitationsfeldern, das CAUCHY-

vin

Einleitung

Problem, die Verwendung invarianter Methoden bei der Charakterisierung der ErNSTBiNschen Bäume und ähnliches. Die heutige Entwicklung der Relativitätstheorie führt zu Problemen wie die Gravitationsstrahlung, die Quantlung des Gravitationsfeldes, die Wechselwirkung von Feldern usw. Zur Untersuchung dieser Probleme sind besondere mathematische Methoden erforderlich. Bei der Niederschrift des Buches hat sich der Autor das Ziel gesetzt, den Leser an diese Methoden heranzuführen. Der Autor spricht dem Redakteur des Buches, A. F. LAPKO, dessen Ratschläge und Bemerkungen einen wesentlichen Einfluß auf die Qualität des Buches hatten, seinen herzlichsten Dank aus.

INHALTSVERZEICHNIS Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

RiEMAirNsche Mannigfaltigkeiten v Tensoralgebra Kovariante Differentiation Parallelverschiebung im Raum Vn Der Krümmungstensor des Raumes V„ Geodätische Linien Spezielle Koordinatensysteme im Raum VH RiKMANNsche Krümmung im Raum F„. Räume konstanter Krümmung Satz über die Hauptachsen eines Tensors LiEsche Gruppen im Raum Vn

1

. . . .

1 '6 11 15 19 25 29 43 47 53

Kapitel II. EiNSTEisrsche Räume

63

§ 11. § 12. § 13. § 14.

63 68 71 74

Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie. LoRKNTZ-Transformation Die Feldgleichungen der relativistischen Gravitationstheorie EiNSTKiNsche Räume Einige Lösungen der Gravitationsgleichungen

Kapitel III. Allgemeine Klassifikation der Gravitationsfelder

83

§ 15. § 16. § 17. § 18.

Sechsdimensionale KLEIN-Räume Klassifikation der EiNSTEiNschen Räume Stationäre Krümmungen Klassifikation der ErNSTEiNschen Räume im Fall n — 4

83 86 88 90

§ 19. § 20. § 21. § 22.

Die kanonische Form der Matrizen (i?ai)) für die Räume Ti und Ti 96 Klassifikation der Gravitationsfelder allgemeiner Art 108 Die komplexe Darstellung der Tensoren im MrNKOW8Ki-RauA 113 Die Basis des vollständigen Invariantensystems zweiter Ordnung im Raum F 4 . . 118

Kapitel IV. Bewegungen im freien Raum

125

§ 23. § 24. § 25. § 26. § 27. § 28.

125 133 142 161 180

Klassifikation von Tt nach Bewegungsgruppen Nichtisomorphe Bewegungsgruppen in freien Räumen Räume maximaler Beweglichkeit Tx,TltT3 Spezielle Räume Tv die Bewegungsgruppen gestatten Räume T% und T3, die Bewegungen gestatten Zusammenstellung der Ergebnisse. Ubersicht der bekannten Lösungen der Feldgleichungen

189

X

Inhaltsverzeichnis

Kapitel V. Klassifikation von Gravitationsfeldern allgemeiner Art nach Bewegungsgruppen 193 § 29. Gravitationsfelder, die Bewegungsgruppen 0T (r 55 2) gestatten 194 § 30. Gravitationsfelder, die eine Bewegungsgruppe ö , gestatten. 0 3 wirkt auf Transitivitätsflächen V t oder F a

200

§ 31. Gravitationsfelder, « die Bewegungsgruppen O t gestatten. Ga wirkt auf Transitivitätsflächen 7 S oder F , 206 § 32. Gravitationsfelder, die eine einfach-transitive oder nichttransitive Bewegungsgruppe ö 4 gestatten 223 § 33. Gravitationsfelder, die eine Bewegungsgruppe Or gestatten (r > 5)

238

Kapitel VI. Konforme Abbildung EiNSTEiNscher Bäume

255

§ 34. § 35. § 36. § 37.

Konforme Abbildung RiEMAioischer Bäume 255 Konforme Abbildung RiEMANNscher Bäume auf ElNSTEinsche Bäume ' . . . . . 258 Abbildung EiNSTEiNscher Bäume auf ElNSTElNsche Räume. Nichtisotroper Fall . 264 Abbildung EiNSTEiNscher Räume. Isotroper Fall 269

Kapitel V I I . Das CAUCHY-Problem für die EiNSTEiNsche» Feldgleichungen § 38. § 39. § 40. § 41. § 42. § 43. § 44. § 45.

276

Die EiNSTEiNsohen Feldgleichungen 276 Das äußere CAtTCHY-Problem 280 Abschätzung der Freiheit in der Vorgabe der Potentiale der ErNSTEiuschen Räume 285 Charakteristische und bicharakteristische Mannigfaltigkeiten 294 Der Energie-Impuls-Tensor 297 Der Erhaltungssatz für den Energie-Impuls-Tensor 305 Das innere CATJCHY-Problem für den Massenstrom 307 Das innere CATJCHY-Problem im Fall einer idealen Flüssigkeit 310

Kapitel V I I I . Spezielle Typen von Gravitationsfeldern

315

§ 46. § 47. § 48. § 49. § 50. § 51. § 52. § 53.

315 325 328 331 336 3^4 349 354

Zerlegbare und konform-zerlegbare ErssTEiNsche Bäume Symmetrische Gravitationsfelder Statische ErasTEiNsche Räume Zentralsymmetrische Gravitationsfelder Gravitationsfelder mit Axialsymmetrie Harmonische Gravitationsfelder Zylindrische Gravitationswellen Gravitationsfelder mit Grenzbedingungen

Anhang. Zur neuesten Entwicklung der invarianten Darstellung von freien Gravitationsfeldern und der Erforschung der Gravitationsstrahlung 359 Literaturverzeichnis

365

Sachverzeichnis

391

KAPITEL

I

G R U N D L A G E N D E R T E N S O R A N A L YS IS

Jeder EiNSTEiNsche Raum ist ein Spezialfall einer sogenannten RiEMANNschen Mannigfaltigkeit. Daher ist es nötwendig, zunächst diesen Begriff zu definieren. § 1. ßiemannsche Mannigfaltigkeiten Wir betrachten eine Gesamtheit von Objekten, die man eindeutig allen geordneten Systemen von n reellen oder komplexen Zahlen (x1, ..., xn) zuordnen kann, die den Ungleichungen la? — a" | < e« (1.1) genügen, wobei a*(tx = 1,2, ..., n) Konstanten und e" positive Zahlen sind. Eine solche Gesamtheit nennen wir ein beschränktes Gebiet des n-dimensionalen Raumes und die Objekte selbst die Punkte dieses Gebietes. J e nach der Anwendung und in Abhängigkeit von der Zahl n kann man diese Punkte in verschiedener Weise interpretieren (Terme eines Spektrums, Ereignisse im Raum-Zeit-Kontinuum, der Zustand eines dynamischen Systems, Geraden usw.). Jede eindeutige Zuordnung zwischen Punkten und Zahlensystemen (a;1, ..., xn) nennen wir ein Koordinatensystem. Die Zahlen x* heißen die Koordinaten des Punktes, dem in diesem Koordinatensystem das Zahlensystem xa entspricht. Wenn in eiriem Gebiet zwei Koordinatensysteme {a?} und {x"'} gegeben sind, so gibt es eine 'eineindeutige stetige Zuordnung zwischen diesen beiden Systemen, sie kann durch die Gleichungen xa = /»(x1, ..., x"'),

xa' = & =

0 ist (EmsTEni

§ 4. Parallelverschiebung im Raum V,

Wir nennen den Raum V„ eben und bezeichnen ihn mit dem Symbol R n , wenn es für ihn ein Koordinatensystem gibt, in dem die Komponenten des metrischen Tensors konstant sind: gaß = const. Im folgenden Paragraphen geben wir eine

16

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis

invariante. Charakterisierung eines ebenen Raumes. Wenn außerdem die Form ds2 = g„ßdzf da? positiv definit ist, bezeichnet man Rn als gewöhnlichen Raum. Ein Beispiel für einen gewöhnlichen Raum B„ ist der dreidimensionale euklidische Raum. V„ ist eine Verallgemeinerung von R„ in dem Sinne, daß die Existenz eines Koordinatensystems, in dem gif konstant ist, nicht vorausgesetzt wird. Ein grundlegender Begriff der euklidischen Geometrie ist der Begriff des Parallelismus. Beim Aufbau der Geometrie des Raumes F„ ist es natürlich, die Frage nach dem Parallelismus in einer solchen Mannigfaltigkeit zu stellen. Dazu ist es notwendig, Vektoren an verschiedenen Punkten des gegebenen Raumgebietes miteinander vergleichen zu können. Wenn diese Punkte durch eine Kurve verbunden sind, kann man vom Vergleich der Vektoren an verschiedenen Punkten der Kurve sprechen. Im weiteren werden wir uns davon überzeugen, daß man den Begriff des Parallelismus in V„ nicht von der Kurve trennen kann, längs derer man die Vektoren untersucht. Wir stellen daher die Frage nach der Parallelverschiebung von Vektoren längs einer gegebenen Kurve in V„. Dieser Begriff muß notwendig definiert werden, und wenn man nicht zusätzliche Forderungen stellt, wird seine Definition nicht eindeutig sein. Um die Parallelverschiebung von Vektoren in V„ in natürlicher Weise zu definieren, führen wir einige Überlegungen durch, die übrigens vom formalen Gesichtspunkt aus nicht notwendig sind. Zu diesem Zweck betrachten - xfi) + J Ci'rfa (*) (xß ->)(xy-

h

(7.1)

ein, wobei die Oß Konstanten sind, die der Bedingung | 0$ | =}= 0 genügen, aber im übrigen beliebig sind. Man kann speziell Oß = 9$ setzen. Differenziert man (7.1) erst einmal und dann zweimal nach x* und berechnet diese Ableitungen im Punkt P, so erhält man (7.2) Nach (3.7) ist bei dieser Transformation (f^'

= 0 genau dann, wenn

(AZA^Apr» + Aid ß .A«.) P = 0

30

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis

gilt. Durch Verjüngung mit Af AVJ und unter Berücksichtigung von 4 M 2 - = «5 erhalten wir die äquivalente Beziehung ( d*x*' \ (-^m rfv) — \dx*da? Jp' die wegen (7.2) eine Identität ist. Statt (7.1) hätte man auch ein Polynom von beliebiger Ordnung, in dem die Koeffizienten der Glieder dritter, vierter usw. Ordnung beliebig sind, einführen können. Folglich gibt es unendlich viele verschiedene Möglichkeiten, ein im Punkt P geodätisches Koordinatensystem einzuführen. Diese Willkür kann man zur weiteren Spezialisierung der Koordinaten ausnützen. Man kann z. B. ein Korodinatensystem einführen, das längs einer vorgegebenen Kurve geodätisch ist (FERMI [60], S. 2 1 — 2 3 ) . Aus (7.2) folgt, daß sich die ganze oben durchgeführte Konstruktion buchstäblich wiederholen läßt, wenn man einen affin zusammenhängenden Raum ohne Toraion betrachtet (siehe § 3). Für einen solchen Raum kann man ebenfalls Koordinatensysteme einführen, die längs einer vorgegebenen Kurve geodätisch sind ( L . EISENHART [80], S. 6 4 ; P. K . RASCHEWSKI [188], S. 4 1 0 ) . Der Sinn von Koordinaten, die in einem Punkt geodätisch sind, besteht darin, daß in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes P diese Koordinaten sich den affinen Koordinaten des Raumes Rn nähern, da die Formel für die Parallelverschiebung in P in diesen Koordinaten die' Form d£a = 0 hat. Das heißt, die Koordinaten des parallel verschobenen Vektors sind in diesem Punkt stationär und erhalten folglich bei Verschiebung aus dem Punkt P einen Zuwachs A der unendlich klein von höherer Ordnung ist. Eine lineare Transformation dieser .Koordinaten führt wieder zu Koordinaten, die im gegebenen Punkt geodätisch sind, da sich das Zusammenhangsobjekt bei einer solchen Transformation wie ein Tensor verhält (siehe (3.7)). RiEMANNacAe und Normalkoordinaten. Die angeführte Möglichkeit, die in einem Punkt geodätischen Koordinaten noch weiter zu spezialisieren, kann man in Form sogenannter RiEMANNsc&er Koordinaten, die von RIEMANN [1] eingeführt wurden, im Raum Vn realisieren. Die Besonderheit dieses Koordinatensystems besteht darin, daß in ihm die Gleichung einer durch den Koordinatenanfang gehenden Geodätischen die gleiche Form hat wie die Gleichung einer durch den Anfangspunkt eines kartesischen Koordinatensystems im euklidischen Raum gehenden Geraden. Wir betrachten einen Raum V„ mit beliebigem Koordinatensystem, fixieren einen Punkt P als Koordinatenursprung und legen durch P Geodätische nach allen Richtungen. Die Gleichung jeder Geodätischen sei mit dem kanonischen Parameter geschrieben. Da zwei beliebige kanonische Parameter durch die lineare Abhängigkeit T = ar + b verbunden sind, können wir den Parameter r so wählen, daß für jede Geodätische dem Punkt P der Parameterwert r = 0 entspricht. Dadurch wird der Parameter bis auf einen konstanten Faktor festgelegt.

§ 7. Spezielle Koordinatensysteme im Baum VK

31

Eine beliebige Geodätische, die durch den Punkt P geht, ist, vollständig durch -=— i bestimmt. Ein Punkt A auf dt Jp der Geodätischen ist durch den Parameterwert x bestimmt. Es ist klar, daß diese Behauptungen nur in einer Umgebung von P gelten, in der die Bedingungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes für die Differentialgleichungen, welche die Geodätische definieren, erfüllt sind. Nur in einem solchen Gebiet kann man von der Konstruktion RiEMANNscher Koordinaten sprechen. Wenn der Punkt A im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten Xa (x = 1,..., n) hatte, so kann man diesem Punkt jetzt n Zahlen (7.3)

r = zuordnen, die RiEMANNscAew Koordinaten des Punktes A. Folglich ist

(7.4)

In dieser Formel bezeichnen wir von der Tradition abweichend die RiEMANNSchen Koordinaten nicht mit xa', sondern mit neuem Kernbuchstaben y". Im ursprünglichen Koordinatensystem hängen die Funktionen Xa auf dén Geodätischen von den Anfangsbedingungen und dem Parameter T ab: XA = XA(T, XA, £*). Aus der Theorie der Differentialgleichungen (W. W. STEPANOW [101], S. 275) ist bekannt, daß dabei die XA stetige differenzierbare Funktionen aller ihrer Argumente von der gleichen Klasse wie die Komponenten des Objektes r\jy des RiEMANNschen Zusammenhangs sind. Daher sind die XA stetig differenzierbare Funktionen der ya. Um die eindeutige Beziehung zwischen Xa und in einem Gebiet um den Ursprung zu klären, bemerken wir, daß im Punkte P

\dx)p gilt. Folglich ist

\dyt> drfp

{

.

\dyPJP

vi

^r— ist ungleich Null, d. h. sie untero(y)\p scheidet sich von Null in einer Umgebung des Koordinatenursprungs. In dieser Umgebung ist die Beziehung zwischen x" und ya eindeutig. Geometrisch bedeutet das, daß in dieser Umgebung durch die Punkte P und A sich nur eine Geodätische legen läßt. Wird das ursprüngliche, Koordinatensystem in ein anderes Koordinatensystem transformiert, so gehen die dazugehörigen RiEMANNscAew Koordinaten auseinander durch eine lineare homogene Transformation hervor, da die Vektoren in dem ebenen, VH im Punkte P berührenden Raum sich nach diesem Gesetz transformieren. Es lassen sich verschiedene notwendige und hinreichende Kriterien dafür angeben, daß das Koordinatensystem in Vn ein RiEMANNsches Koordinatensystem

32

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis

ist. Diese Kriterien unterscheiden sich in der Form, sind jedoch untereinander äquivalent, z. B . : «) Die Gleichungen der Geodätischen hoben die Form (7.3), wenn man f" = const voraussetzt. ß) Die Komponenten des Objektes des RiEMANNscAew Zusammenhangs genügen der Beziehung = 0. (7.5) Die Notwendigkeit von ...ft-l'ai+1... «p,

*

* ga = ga

(7-24) . (», 1 = 1,...,

m)

die Skalarprodukte der Koordinatenvektoren auf der Fläche sind. Die g^(u) definieren also eine quadratische Differentialform auf der m-Fläche. Wenn | g(i | 4= 0 ist, liegt eine metrisierte m-Fläche vor, d. h. ein RiEMANNscher Raum Vm. In diesem Fall heißt die Fläche nichtisotrop. Ist dagegen | gif \ — 0, so erhalten wir eine isotrope m-Fläche, die in der Relativitätstheorie (n = 4, m = 3) eine wichtige physikalische Interpretation bei der Untersuchung von Wellenprozessen zuläßt. Solche Flächen können nur bei Räumen F„ mit indefiniter Metrik vorkommen. Wir nennen den Vektor na des Raumes Vn normal zur m-Fläche, wenn er orthogonal zu allen m Koordinatenvektoren u" (k — 1, ..., m; « = 1, ..., n) ist: k g„ß n'uß — 0 k

(k=i,...,m).

(7.25)

Da die Ränge der Matrizen (gaß) und (vfi) gleich n bzw. m sind, ist der Rang der k Matrix (gaßufi) gleich m, und das bezüglich der Unbekannten n" homogene Gleik chungssystem (7.25) hat n—m linear unabhängige Lösungen. In jedem Punkt des Raumes F„ existieren n—m unabhängige Vektoren, die zu Vm normal sind.

38

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalyais

Wir betrachten den Fall isotroper Hyperflächen, zu deren Charakteristik der folgende Satz grundlegende Bedeutung hat: Eine Normale zur Hyperfläche ist genau dann isotrop, wenn die Hyperfläche selbst isotrop ist. Aus ( 7 - 2 4 ) und aus der Determinantentheorie (KOWALEWSKI [ 2 1 ] , S. 7 7 ) folgt 9 = \9a\

=2^0),

n

n n

wobei A und m die entsprechenden Determinanten m-ter Ordnung der beiden n n g„ß -Q--.1 und

sind. Andererseits zeigen (7.25) und die Glei-

chung nßiifi = 0, die aus (7.25) folgt, daß A und et) proportional zu n" und n» sind. t n n Folglich erhalten wir g = wobei kx und k2 von Null verschiedene Proportionaditätsfaktoren sind. Wenn die Fläche isotrop ist, gilt 5 = 0, und der Normalenvektor ist isotrop. Die umgekehrte Behauptung ist ebenfalls richtig. Jetzt können wir das GAUSSSCAC Koordinatensystem, einführen. Dabei gehen wir von einer nichtisotropen Hyperfläche fix11) = 0, die in jedem Punkt eines gewissen Gebietes eine nichtisotrope Normale ¿i

Dann entsprechen der Matrix G, die Vektoren iß = vß — ivß, . . . , iß = vß — ivK «+1 1 1 2t t I

Daraus folgt, daß K = 2(p + iq), K = 2(p — iq) ist, wobei p und q reelle Zahlen sind, und gkf gleich 2(p + iq), wenn k + j — s + 1, gleich 2(p — iq), wenn A; + ? = 3s + 1 und gleich Null in den übrigen Fällen ist. Wie nehmen die 2s reellen Vektoren uß,..., vß, vß, ...,v> als Koordinaten l « l » vektoren und numerieren sie neu, indem wir den Vektoren u einen ungeraden und den Vektoren v einen geraden Index zuordnen. Dann nehmen die Matrizen GY, und B2S die folgende Gestalt an: p q q — p

sind. 'Hierin besteht der Inhalt des sogenannten zweiten Ijmschen Hauptsatzes ([147], S. 67 bis 69). Sind speziell die Konstanten Cf,- gleich Null, so sind alle Kommutatoren gleich Null, und die Gruppe heißt abetsch. Die Gesamtheit der Transformationen aus der Gruppe Gr, die einen Punkt P(xr*) festlassen, bilden eine Untergruppe Hm der Gruppe Gr, die stationäre Untergruppe genannt wird ([147], S. 81). Per definitionem gilt für einen beliebigen Operator aus Hm die Gleichung f"(x) = 0 .

(10.7)

Wenn sich zwei beliebige Punkte aus Xn ineinander durch eine Transformation der Gruppe Gr überführen lassen, so heißt G> transitiv. Im entgegengesetzten Fall heißt die Gruppe nichttransitiv und zerlegt X„ in die Gesamtheit der Transitivitätsflächen, auf denen die Gruppe transitiv ist. So ist z. B. die Drehungsgruppe des gewöhnlichen R a nichttransitiv, dagegen die Translationsgruppe transitiv. Unter den transitiven Gruppen begegnet man Gruppen, für die man eine Familie von Mannigfaltigkeiten finden kann (deren Vereinigung gleich dem ganzen Raum ist), so daß bei den Transformationen dieser Gruppe ein Punkt dieser

56

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis

Mannigfaltigkeit in einen Punkt einer anderen übergeht und alle Punkte der ersten Mannigfaltigkeit in gewisse Punkte der zweiten transformiert werden. Das gilt z. B. für die transitive Translationsgruppe des dreidimensionalen euklidischen Raumes. Solche transitiven Gruppen heißen imprimitiv, und die angegebenen Familien von Mannigfaltigkeiten nennt man Imprimitivitätsfamilien. Im entgegengesetzten Fall ist die Gruppe primitiv. So ist die Bewegungsgruppe der euklidischen Ebene offensichtlich primitiv. Eine Gruppe ist genau dann transitiv, wenn r n und der Bang der Matrix (1«) < gleich M(« = 1, . . . , » ; « = 1 , . . . , r) ist ([147], S. 88). Wenn r = n ist, so heißt die Gruppe einfach-transitiv, wenn r > n ist, mehrfach-transitiv. *

Zwei Gruppen Gr und Gr, die durch die endlichen Gleichungen (

L

ÖRaßrt, ¡ = L ÖRaßyd,

0, (10.14) ~ 0>

Diese Gleichungen stellen die Integrabilitätsbedingungen für die K i l l i n g Gleichungen dar sowie abgeleitete Gleichungen aus ihnen, die man durch fortgesetzte kovariante Differentiation unter Benützung der Bedingungen (10.11) und (10.13) erhält. Natürlich kann man sie auch unmittelbar erhalten als Verträglichkeitsbedingungen der Gleichungen (10.11) (siehe z. B. [147], S. 257—259). Die Untersuchung der Gleichungen (10.14) spielt eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Ordnung r der Bewegungsgruppe Gr von F„. Man erhält den folgenden Satz als Folgerung von allgemeinen Sätzen über die Verträglichkeit eines Differentialgleichungssystems ([147], § 6):

§ 10. Lixsche Gruppen im Baum V„

59

Gr ist genau dann Bewegungsgruppe in V„, wenn der Rang der Matrix des homogenen algebraischen Oleichungssystems (10.14) bis zu einer gewissen Nummer k bezüglich der Unbekannten ¿ja und unter den Bedingungen (10.11) gleich n(n + 1) ist, und die Hinzufügung neuer Gleichungen aus (10.14) mit der Nummer k -f 1 diesen Rang nicht ändert. Jede Klassifikation der Räume Vn nach Bewegungsgruppen ist zwangsläufig mit der Bestimmung der Struktur der zu untersuchenden Gruppen verbunden, d. h. mit anderen Worten, der Strukturkonstanten für irgendeine kanonische Basis der Gruppe. Wenn man die Struktur der Gruppe kennt, kann man das einfachste mit dieser Struktur zusammenhängende holonome Koordinatensystem sowie die Operatoren der Gruppe bezüglich dieses Koordinatensystems bestimmen. Danach läuft die Bestimmung der Räume V„ mit gegebener Gruppe auf die Integration der KiLLraa-Gleichungen mit unbekannten Funktionen gra/J hinaus. Bei der Anwendung auf Räume, die durch die Gravitationsfelder bestimmt werden, interessieren uns nur reelle Bewegungsgruppen und reelle Strukturen. Für r = 2,3 wurde die Klassifikation nach reellen nichtisomorphen Strukturen von B i a n c h i [44], für r = 4 (unter Ausschluß des Falles einer Gruppe Gi mit einer abelschen Untergruppe G3) von Rrutschkowitsch [(203], S. 9; [260], S. 209) durchgeführt, wobei letzterer von der Klassifikation nichtisomorpher Strukturen der Gruppen 0 4 im komplexen Gebiet ausging, die von Lie ([7], § 137) durchgeführt wurde. Diese Klassifikation ergibt folgende Strukturen: r = 2 I. [XjX2] == o, G2 abelsch, II. [ X ^ g ] = Xv G2 nichtabelsch.

(10.15)

r=3

(10.16)

Nichtauflösbare Gruppen VIII. [X 1 X 2 ] = X1, [X2X„] = X3, [X3X1] = IX. [XxX2] = Xa,

[ X 2 X 3 ] = -Xj,

[XgXj] =

-2X2>i z2.

60

Kapitel I. Grundlagen der Tensoranalysis

Die Zahl nichtisomorpher Strukturen über dem Körper der komplexen Zahlen ist kleiner (die Typen VI und VII fallen ebenso wie V I I I und I X zusammen). r = 4

Gt auflösbar, ö 4 enthält keine abelsche Untergruppe Gs I.

= 0,

[ X 3 X J = 0,

[X 2 X 3 ] = Xlt

[X x x 4 ] = cX u [X 2 X 4 ] = x 2 ,

[X 3 X 4 ] = (c - 1)X3

(c ist eine beliebige reelle Zahl), II. [ X i X J = 0,

[X 2 X 3 ] = Zlt

[ Z , Z J = 0,

[X x X 4 ] = 2X 1; [X 2 X 4 ] = X2, III. [X x X 2 ] = 0,

[X 2 X 3 ] = x 1 ;

[X x X 4 ] = qXv [X 2 X 4 ] = X3, IV. [ Z i Z J = 0, [X 1 X 4 ] = X1, V. [X x X 2 ] = 0, [Iii,] =

[X 3 X 4 ] = X 2 + x 3 , [X 3 X x ] = 0, [X 3 X 4 ] = - X , + j X , ( f l « < 4 ) >

[X 2 X 3 ] = X 2)

[X.XJ = 0,

[X 2 X 4 ] = 0,

[X 3 X 4 ] = 0,

[X 2 X 3 ] = x 2 ,

[XgXJ = — x 1 ;

(10.17)

[X 2 X 4 ] = - X 1; [X 3 X 4 ] = 0.

ö 4 auflösbar, ö 4 enthält eine abelsche Untergruppe G3 VI. [Xß= ~Maß

(12.2)

erhalten (EINSTEIN [ 3 5 ] , S . 7 7 8 ) .

EINSTEIN fand diese Gleichungen erst nach langem Suchen, wobei er verschiedene Hypothesen untersuchte. So ging er im Jahre 1914 von der Voraussetzung Raß = KTaß aus ([34], S. 1030). Gleichzeitig (im Jahre 1915) und abhängig von EINSTEIN fand HILBERT ( [ 4 1 ] , S. 3 9 5 ) die Gleichungen ( 1 2 . 2 ) mit H i l f e eines

Variationsprinzips. Jedoch leitete er die Gleichungen nicht für beliebige materielle Systeme ab, sondern ging von der MiEschen Theorie der Materie aus ([33], S. 512). Diese Methode, die Feldgleichungen zu erhalten, wurde von KLEIN ([40], S. 469; [45], S. 235) vervollkommnet. KLEIN benutzte Variationen der Koordinaten, die an den Integrationsgrenzen nicht verschwinden (zur Zeit LAGBANGES wurde diese Methode häufig in der klassischen Mechanik angewandt), dabei erhalten viele Beziehungen eine einfachere F o r m (PAULI [ 1 4 9 ] , S. 1 0 4 — 1 0 7 ; 2 8 5 ; LANDAU und LIFSCHITZ [ 1 5 6 ] , S. 3 0 9 - 3 1 3 ; FOCK [ 2 2 5 ] , S . 2 7 3 , 2 7 8 ; WEYL [ 6 9 ] , S. 2 0 5 - 2 0 6 ; BERGMANN [ 1 5 2 ] ) .

Außer den Gleichungen (12.2) muß der metrische Tensor, wenn er einer wirklichen Materieverteilung entsprechen soll, der folgenden Bedingung genügen: gaß läßt sich in jedem Punkt des Raum-Zeit-Kontinuums durch eine nichtausgeartete reelle lineare Transformation in die Form 1 0 0 0 - 1 0 n _- 1 i n 0 0 0 0 0

0 0 n 0

( 1 2 '3)

überführen, d. h. in jedem Punkt P gilt im Berührungsraum R i die MINKOWSKIGeometrie.2) Durch die linke Seite von (12.2) ist die Geometrie des Raum-Zeit*) Die NüWTONsche Gravitationstheorie folgt als Spezialiall für schwache Felder und kleine Geschwindigkeiten aus der allgemeinen Relativitätstheorie, die also die geometrische Theorie des Gravitationsfeldes ist. (Anm. d. Red.) 2)

V g l . a b e r a u c h E I N S T E I N u n d R O S E N [375], T B E D E R [470]. ( A n m . d. R e d . )

Kapitel II.

70

EiNSTEiNsche B ä u m e

Kontinuums vollständig bestimmt. Die rechte Seite enthält eine Konstante X und den Energie-Impuls-Tensor Taß, der die Verteilung und Bewegung der Materie beschreibt. Daher bedeutet (12.2), daß die Materie die Geometrie des Raum-ZeitKontinuums festlegt und umgekehrt die Bewegung der Massen durch den metrischen Tensor des nicht ebenen Raumes bestimmt ist. Die Bedingung (12.3) beschreibt die physikalische Behauptung, daß in einem unendlich kleinen Gebiet des Raumes während eines infinitesimalen Zeitintervalls die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie gilt. Die Übereinstimmung der aus (12.2) abgeleiteten Folgerungen mit der Erf a h r u n g ( T . A . TICHOW [102], S. 7 ; A . F . BOGORODSKI [121], S. 3 ; S. I . WAWILOW

[84]) im Rahmen der erreichbaren Genauigkeit und des Fehlens von Tatsachen, die mit (12.2) unvereinbar sind, spricht für die Richtigkeit dieser Gleichungen für bekannte Experimente und Beobachtungen. Die grundlegende Voraussetzung, von der EINSTEIN bei der Aufstellung der Feldgleichungen (12.2) ausging, läßt sich folgendermaßen formulieren: 1. Bei Vorhandensein von Gravitation ist die Geometrie des Raum-Zeit-Kontinuums gleich der Geometrie eines RiEMANNschen Vt. 2. Die Verteilung und Bewegung von Energie und Impuls wird durch den symmetrischen Tensor Taß (x1, x2, x3, x4) beschrieben. Taß genügt dem Erhaltungsgeselz =

(12.4)

0.

3. Die Feldgleichungen sollen Tensorcharakter haben. 4. Sie sollen linear bezüglich der zweiten partiellen Ableitungen der Potentiale g*ß{x) sein. 5. Der EnergieImpuls-Tensor soll die Geometrie des Raumes V4 bestimmen. Hieraus folgen die Gleichungen (12.2) unter Berücksichtigung einiger Grenzbedingungen eindeutig. Umgekehrt erhält man aus der Voraussetzung, daß die Gleichungen des Gravitationsfeldes die Form (12.2) haben, alle diese Annahmen als Folgerung. Die Herleitung von (12.2) mit Hilfe eines Variationsprinzips stützt sich auf folgende Annahmen: 1. Die Gleichungen des Gravitationsfeldes erhält man durch Variation der Summe der Wirkung von Feld und Materie. 2. Die Variation der Wirkung des Feldes führt zu den EuLER-LAGRANGEschen Gleichungen des HAMiLTONschen Prinzips. Im Vakuum ist die Variationsaufgabe für ein Integral I

=

j

RY^gdx^dxtdstPdx*,

61

=

0,

A

das über ein vierdimensionales Gebiet A erstreckt wird, zu lösen. Dabei ist R die skalare Krümmung des Raumes F 4 . 3 . Q sei eine Funktion von gewissen Größen q, die ein abgeschlossenes System bilden, und den Ableitungen dieser Größen nach den Raum- und Zeitkoordinaten. Dann wird die Wirkung der Materie durch das Integral

§ 13. EmsTEXNsche Bäume

71

ausgedrückt und der Energie-Impuls-Tensor ist _

2

»Q

und erfüllt von selbst die Bedingung (12.4). Außerdem sind einige andere Voraussetzungen bezüglich der Grenzbedingungen notwendig. Die Hypothese 2 ist mit einer Reihe anderer Hypothesen gleichwertig und die Ableitung von (12.2) aus ihnen hat mehr heuristischen Charakter.1) Jedenfalls erhält man die Feldgleichungen bei den meisten gegenwärtig bekannten Varianten der einheitlichen Feldtheorie aus einem Variationsprinzip. Die physikalische Bedeutung von (12.2) läßt sich nur auf experimentellem Wege erweisen. § 13. Einsteinsche Bäume Im Vakuum, wo der Energie-Impuls-Tensor T,ß gleich Null ist (z. B. außerhalb der Punktmassen, wenn die Materie durch Punktmassen dargestellt wird), haben die Gleichungen (12.2) die Form = 0,

(13.1)

da man unter dieser Voraussetzung durch Verjüngung bezüglich 2) eine konstante Größe ist, was unmittelbar aus (13.2) und (5.19) folgt. Diese Gleichungen lassen sich als die Feldgleichungen (12.2) in dem Fall ansehen, daß der Energie-Impuls-Tensor Tap sich nur um einen konstanten Faktor vom metrischen Tensor gaß unterscheidet. Ein physikalisches Modell für ein derartiges Feld ist ein nach allen Richtungen homogener Raum, dessen Materiedichte im ganzen Raum konstant ist ([156], S. 343; [225], S. 447). Bei einer „scharfen" Verteilung der Materie kann man von der „inneren" und „äußeren" Aufgabe bei der Integration der Feldgleichungen sprechen. In diesem Fall bestimmt (13.1) die Lösungen der „äußeren" Aufgabe. Unabhängig von der Gravitationstheorie begegnet man Räumen F„, die den Gleichungen (13.2) genügen, bei vielen geometrischen Fragen. Auch bei fast allen gegenwärtig bekannten Varianten der einheitlichen Feldtheorie ergeben sich l ) Immerhin ist die obige Form von I die einfachste, die mit den allgemeinen Voraussetzungen der allgemeinen Relativitätstheorie vereinbar ist. (Anm. d. Red.)

72

Kapitel II. EiNSTEiNBche Bäume

Räume F„ von diesem Typ. Wir werden im folgenden derartige RIEMANNSCÄ« Mannigfaltigkeiten, die der Bedingung (13.2) genügen, bei beliebigem n (Dimension des Raumes) und beliebiger Signatur der Metrik EiNSTEraacAe Räume nennen und mit dem Symbol On bezeichnen. In dem Fall, daß n — 4 und die Signatur von *

Gi von der Form ( (-) ist, werden wir das Symbol T verwenden. Ist außerdem x = 0, d. h. es gilt (13.1), so gebrauchen wir das Symbol T.1) Das Gravitationsfeld wird also im Vakuum durch die Geometrie des Raumes T beschrieben. Statt durch (13.2) läßt sich der Raum Q„ auch anders definieren. Wir betrachten im F„ einen Punkt P und die Gesamtheit der von P ausgehenden Richtungen, die den Beziehungen Raß dx* dx? = 0 genügen. Die Hauptrichtungen dieses Kegels zweiter Ordnung heißen nach RICCI die Hawptrichtungen des Raumes F„ im gegebenen Punkt. Durch die Gleichung ist im Berührungsraum des Punktes P eine Fläche zweiter Ordnung mit dem Zentrum in P gegeben. Die Hauptrichtungen dieser Fläche, die mitunter als EiNSTEiNscAe Indikatrix bezeichnet wird, sind die Riccischen Hauptrichtungen. Dann sind die Gleichungen (13.2) äquivalent zu der Forderung, daß diese Richtungen unbestimmt sind, d. h. in jedem Punkt des Raumes F„ soll die EINSTEINsche Indikatrix eine Hypersphäre sein. Eine andere Charakterisierung von G„ im Fall einer positiv-definierten Metrik wurde von THOMAS ([107], S. 331—340) angegeben. Man erhält sie, indem man einen Skalar, der von THOMAS „quadratische Krümmung" des Raumes F„ genannt wird, gleich Null setzt. Er zeigte, daß ein Raum F„ mit positiv-definierter Metrik genau dann gleich einem Raum Gn ist, wenn die Bedingung nRaßR*ß

-

R* = 0

(13.3)

erfüllt ist. Die Forderung, daß die Metrik definit ist, ist hierbei wesentlich. Die Möglichn(n 4- 1) keit, die Bedingungen (13.2) durch eine Gleichung zu ersetzen, erklärt ¿t sich dadurch, daß eine Gleichung der Form E s - = 0 bei reellen a{ dem System a( — 0 {i = 1 , 2 , . . . ) äquivalent ist. Es existiert auch eine Definition des Raumes G„, die sich auf den Begriff der Krümmung nicht in einer zweidimensionalen, sondern in einer wt-dimensionalen Richtung des Raumes F„ stützt (CARTAN [98], S. 1 9 9 - 2 0 0 ; WRONA [150], S. 2 3 4 ) . Im Fall n = 4 gilt der folgende Satz: Wenn in V4 eine der Bedingungen a) Raß =

xgaß,

ß) 39lal'Rßr]lf>] = 2x9l»la9pß9
0. i l l

100

Kapitel III. Allgemeine Klassifikation der Gravitationsfelder

I n der Ebene dieses reellen Bivektors lassen sich immer zwei reelle, orthogonale und nichtisotrope Vektoren rjx, y* finden. Die Norm des Bivektors läßt sich dann in der Form 2rj c r] a y t y z ausdrücken. Folglich haben die Normen dieser beiden Vektoren gleiches Vorzeichen. Da die Signatur des Raumes die Form ( —+) hat und bei reellen Transformationen fest bleibt, sind die Normen beider Vektoren kleiner als Null. Wenn wir diese zwei Vektoren umnormieren, können wir sie als Vektoren f und eines orthonormierten 4-Beins benützen. 2 8 * Ebenso definieren wir in der Ebene von Vaß zwei orthogonale, reelle und nicht• i* isotrope Vektoren, jedoch wegen g^ V Vb < 0 mit Normen von entgegenl l gesetztem Vorzeichen. Diese Vektoren bezeichnen wir mit £ = i&>) + va (f«0 + itß) »

24

31

34

(s = 2 , 3 ) .

12

Die Isotropiebedingung für diese Bivektoren führt zu der Beziehung v2 = eiifi2,

v3 =

e3ifi3,

wobei e2 und e3 gleich i 1 sind. Da W und W nicht orthogonal sind, muß e1 — — ea 2 3 gelten. Also kann man z. B. -)_

jyxp = £*P 2

24

31

— £*ßt 34

12

W«? = o{£«f> + i ^ f l — i t ß 3

24

31

34

12

setzen, wobei a ein beliebiger, von Null verschiedener Faktor ist. Stellen wir die zu (19.8), (19.9) und (19.10) analogen Bedingungen für den Tensor Rab im R9 auf, so erhalten wir Ä » - ^ob)

= 0, i (Bab-Xgab)W"

(Rab — X9al>) W» = 0, =

agabW.

(19.11)

Um die isotropen Vektoren vollständig festzulegen, kann man z. B. a = 1 setzen. Danach ist das kanonische orthonormierte 4-Bein eindeutig bestimmt. Wegen f«? f» = ~

9ay9ß>)

'

überführen (siehe Aufgabe 3 dieses Paragraphen). ) Man legt dann der Klassifikation den WEYLschen Tensor CxßYg zugrunde (s. unten). (Anm. d. Red.)

x

§ 21. Die komplexe Darstellung der Tensoren im MRNKOWSKI-Raum

113

Da in einem 1naterieerfiilüen Baum (Taß =|= 0) der Energie-Impuls-Tensor die Hauptrolle spielt, erscheint es natürlich und notwendig, bei einer Klassifikation von Feldern mit Hilfe der Untersuchung der algebraischen Eigenschaften Tensoren, den Krümmungstensor des Baumes und einen Tensor, der den Tensor T,ß enthält, wie z. B. den Tensor P,ßr}, zu berücksichtigen. Aulgaben 1. Man bestimme den Baumtyp im Innern einer inkompressiblen Flüssigkeitskugel mit der Metrik * P = - W - « - ^

-

+ ar — r*+

+

\ Z AAQ / V ,

wobei a = r„ 1/-^-, h0 der Wert von h auf der Kugeloberfläche und h2 = 1 — ^ m — \ Im r — 2m ist. Der Energie-Impuls-Tensor sei in der Form T*ß =

+

uxU0 + pga0

gegeben. 2. Man betrachte das äußere Problem unter den Bedingungen der vorhergehenden Aufgabe. 8. Bei welchen Werten von a und A fällt der Tensor PxßYs mit dem WEYLschen Tensor (20.19) zusammen? § 21. Die komplexe Darstellung der Tensoren im Minkowski-Baum In § 19 und § 20 haben wir durch die Abbildung des Kr/nm-Raumes auf eine dreidimensionale, metrische, komplexe, ebene Mannigfaltigkeit kanonische Formen für die orthogonalen Komponenten des Krümmungstensors und des. Baum-Materie-Tensors erhalten. Die verwendete Abbildung ist von selbständigem Interesse, da sie gestattet, an die Untersuchung eines größeren Problemkreises heranzugehen. Auf diesem Wege kann man z. B. die Frage nach der algebraischen Klassifikation behebiger Bitensoren im KLEiN-Raum stellen und auch die Lösung anderer Probleme versuchen. In den Arbeiten [208] und [316] wurden derartige Fragen untersucht und sogenannte biplanare Bäume eingeführt, die im wesentlichen mit den K L E I N Bäumen übereinstimmen, wie unten gezeigt wird. Daher verläuft die Untersuchung in diesen Arbeiten bei einer etwas anderen Terminologie ebenso wie oben. Die dabei erhaltenen Ergebnisse werden in diesem Paragraphen kurz dargelegt. Wir nennen einen Vektorraum B2„ von gerader Dimension biplanar, wenn in ihm ein Tensor gegeben ist, der durch die sogenannte absolute Involution definiert ist, die den Bedingungen «S«5 = 8 Petrow

(21.1)

114

Kapitel IU. Allgemeine Klassifikation der Gravitationsfelder

und einer charakteristischen Gleichung der Form 6*+1=0,

4 = 0

mit den «-fachen Wurzeln i, —i genügt. Mit Hilfe dieses Tensors kann man jedem Tensor einen konjugierten Tensor zuordnen, den wir vom gegebenen durch eine Überstreichung unterscheiden: P = eba&,

i„ =

ä* =

sl4au.

Man kann immer Vektoren aa so wählen, daß sie zusammen mit ihren Konjugierten eine Basis unabhängiger Vektoren bilden, die wir im weiteren als kanonische Basis bezeichnen. Wir betrachten die folgenden komplexen Kombinationen

4 f= 4 & + ie«>' J« = J & ~ ie«)' die, wie man leicht sieht; den Beziehungen Ab4 = -iA°a,

Ä>4 = iÄ»,

A\A\ = AI,

Ä\Ä\ = Ä%

genügen. Diese komplexen Konstruktionen kann man als Verbindungsgrößen bei der Abbildung der Bitensoren des Raumes B%n auf einen komplexen w-dimensionalen Baum benutzen. Gerade zu diesem Zweck wjurde eine derartige Konstruktion in der Arbeit ([261], S. 247) angewandt, wo der Tensor p"6 = ¡7°® ± ^ »e"4 in den KLEiN-Raum 22g eingeführt wird. Dieser Tensor fällt im J5S mit dem Tensor A0* = g^A" zusammen. Die Abbildung von ab auf einen komplexen linearen ra-dimensionalen Raum wird durch Aa = A%ab,

Äa =

—iAa

definiert. Um sich davon zu überzeugen, daß der komplexe Raum, auf den Bin abgebildet wird, von der Dimension n ist, genügt es, zu bemerken, daß aus einer Abhängigkeit zwischen den Vektoren von Bin m m 2 tfa» + Z /¿ä» = 0 *=1 k k= 1 k nach der Abbildung eine Beziehung m £ (A*— i/il)Ac k=l k

= 0

folgt. Sind a, ä die Vektoren einer kanonischen Basis, so sind sie ebenso wie die k k ihnen entsprechenden Vektoren A unabhängig. Daraus folgt, daß behebige n + 1 k

§ 21. Die komplexe Darstellung der Tensoren im MnrcowsKi-Raum

115

komplexe Vektoren A* abhängig sind und B&, folglich auf einen w-dimensionalen komplexen Raum abgebildet wird, den wir An nennen. Mit Hilfe von A% kann man jedem Tensor fy- des Raumes B ^ einen Tensor jT^-; in A„ zuordnen:

Ersetzt man in dieser Formel die eine oder andere Verbindungsgröße A% durch Af, so wird dem Tensor V} — eine Größe zugeordnet, die man als zu den konjugierten Räumen A„ und A„ gehörige Verbindungsgrößen betrachten kann. Diese Größen werden im weiteren hermitesche Tensoren genannt wegen ihrer Ähnlichkeit mit hermiteschen Formen im Sinne des Transformationsgesetzes. Demnach kann man jedem Tensor aus Bin einen Tensor und einen Satz hermitescher Tensoren aus A„ zuordnen. Speziell erhält man für einen Tensor zweiter Stufe das Tensorbild ¿ab = ~2 ACa(acb — Heb) und das herfnitesche Bild Kl = ~2 Aa(abc + äeb) in An, wobei a>cb = 4eW gilt. Ein Tensor heiße Protensor, wenn sein hermitesches Bild bei der Abbildung gleich Null ist. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß ab =

a

~aab

gilt. Ist jedoch das Tensorbild gleich Null, so sprechen wir von einem prohermiteschen Tensor mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung ob — ®o6-

a

Betrachten wir nun den MiNKOWSKi-Raum mit der Signatur ( + + - ) — ) oder ( +)» der durch die Bedingung 9ip 9ip 9kp 9ip ®i#W epgrs —

9ig 9jq 9kq 9lq 9ir

9jr

9k, 9lr

9u

9i> 9k> 9u

(i,j = j 1,2, 3,4)

charakterisiert ist, die eine Beziehung zwischen den Komponenten des alternierenden Diskriminantentensörs e y w mit der einzigen wesentlichen Komponente i234 = VI !71 herstellt.

e

8*

116

Kapitel III. Allgemeine Klassifikation der Gravitationsfelder

Die in § 18 definierte Abbildung einer beliebigen bivektoriellen Größe des MrNKOWSKi-Raumes auf einen Vektor des lokalen KLEiN-Raumes iJ 6 läßt sich, wie schon bemerkt, mit Hilfe von Verbindungsgrößen beschreiben: = Viiu = aytnß (22.5) erfüllt und sein hermitesches Bild Aab gleich Null ist. ; Wir nennen einen Bitensor einfach, wenn neben (22.4) die Bedingung Aab = 0 gilt. Ein beliebiger Bitensor läßt sich in invariante Teile zerlegen, wenn man ihn in der Form einer Summe * o aß.yö = azß, y» + a*ß, yd

a

(22.6)

eines einfachen und eines isotropen Bitensors darstellt. Dabei ist jeder Summand vollständig charakterisiert durch die Bedingungen R a a«ß*y "ß*y == J 9ßy oder

Art = Acaacb

und

o o daß, yd = 2a[a[ßgm, 0

wobei a\ = 0, folglich

0

(22.7) (22.8) (22.9)

0

= a,py und A+^Ala*

(22.10)

120

Kapitel III. Allgemeine Klassifikation der Gravitationsfelder

gilt. Die untersuchte Basis muß aus Invarianten bestehen, die man durch ständige Verjüngung eines Tensors mit dem metrischen Tensor und dem kriminantentensor des Raumes F 4 erhält. Betrachten wir zunächst Größen des KiEiN-Raumes a ^ und b^, die metrische, isotrope oder einfache Tensoren sind. I n Ra entsprechen ihnen soren Am, Bat, oder hermitesche Bilder A ^ , B ^ . Wegen (22.8) gilt A^Bf

vollDissymTen-

=

Daher wird der Bitensor Caß.yt =

a

af,a^,iar,

wenn a und b isotrope Bitensoren sind, in R 3 auf den Tensor C„ = AmB%

(22.11)

abgebildet. Entsprechend erhält man in dem Fall, daß a und b einfache Tensoren sind und daher hermitesche Tensoren in R3 abgebildet werden, das Tensorbild von Caß. yt in Rs : Crt = A^B%.

(22.12)

Unter Benützung der Formel (22.9) kann man schreiben Caß. yi = 2aaUgß], b°*rt = 2a„ t . b"ß]yi.

(22.13)

Da aber gilt, folgt

C„, 7t = 4al bhu gm

[ =j= tv ist das nicht der Fall, d. h. die Gruppe ist nichtabelsch. Ein Raum Tx ist, wenn er eine Bewegungsgruppe Or mit r > 4 gestattet, eben. Daher hat man die Strukturen der folgenden Gruppen 0T zu bestimmen: r = 1, 2, 3, 4 für T 1 > f = 1,..., 6 für Ti und r = 1, 2 für T3. Diese imbekannten Strukturen lassen sich mit Hilfe des folgenden Algorithmus bestimmen: Wir haben die Untergruppen Or der vollen Gruppe des Raumes T't maximaler Beweglichkeit mit der Basis Xlt..., Xu aufzusuchen, wobei ri = 10, r2 = 6 und r3 — 2 ist. Die Operatoren der unbekannten Untergruppe seien von der Form 7,=£

i=l

CfXk,

Cj = const.

Berücksichtigt man die Struktur der vollen Gruppe [X(r S: 2). Wegen (10.6) müssen die KILLING-Vektoren den Strukturgleichungen ¿"ö.*" -

p

q

q

=

p

a

genügen. Da ein RiEMANNscher Raum keine Torsion sich diese Gleichungen auch in der invarianten Form p q

p

=

q

t

hat ( J ^ = 0), lassen (24.4)

,

schreiben. Da bei einer Bewegung die R i E M A N N s c h e Metrik fest bleibt, ändern sich auch die Zusammenhangskoeffizienten nicht. Mit anderen Worten, die LIEschen Ableitungen der Zusammenhangskoeffizienten müssen für einen beliebigen KILLING-Vektor der Gruppe 0 T gleich Null sein: , „ +

= 0.

ii

(24.5)

Differenziert man (24.8) kovariant und berücksichtigt (24.7) und die RiccrrIdentität (5.8), so erhält man f..

p

q

* - iß, p

q

. +

p

= C'pj f . . , .

q